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DataSeismic Soporte Teórico - Bill Goodway

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High Technologyin Geophysics

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REPORTE TÉCNICO

“Improved AVO fluid detection and lithologydiscrimination using Lamé petrophysical parameters;

“λρ”, “µρ”, & “λ/µ fluid stack”, from P and Sinversions”

by Bill Goodway, Taiwen Chen, and Jon Downton(SEG 1997 Expanded Abstracts)

Dr. Danilo R. Velis

CONICETFacultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas

UNLP

Octubre de 2007

Resumen

El presente reporte técnico está basado en un análisis del trabajo de Bill Goodway, Taiwen

Chen y Jon Downton, “Improved AVO fluid detection and lithology discrimination using Lamé

petrophysical parameters; “λρ”, “µρ”, & “λ/µ fluid stack”, from P and S inversions” (SEG

1997, Expanded Abstracts, 183–186).

El trabajo enfatiza el uso de nuevos indicadores basados en los parámetros petrofísicos de

Lamé, λρ y µρ. Estos indicadores presentan varias ventajas en relación a los parámetros utili-

zados tradicionalmente en un análisis de AVO, como ser los cambios observados en las veloci-

dades. Entre las ventajas se destacan su mayor sensibilidad ante la presencia de fluidos porales

(por ejemplo, gas), y su mayor poder discriminatorio para diferenciar litologías.

En este reporte se desarrollan y explican detalladamente todos los pasos necesarios para

derivar cada una de las expresiones, indicando las aproximaciones y validez de las mismas en los

casos que correspondan. Algunas de las aproximaciones son validadas con un análisis del peso

relativo de los términos involucrados. Asimismo se explican los conceptos básicos asociados

a los diversos parámetros y módulos elásticos que aparecen en las diferentes expresiones, y

cómo se interrelacionan e influyen a la hora de buscar indicadores sensibles ante la presencia

de fluidos porales.

ÍNDICE GENERAL I

Índice general

1. Introducción 1

1.1. La ecuación de onda y las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Las constantes elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Módulo de Bulk (κ): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Módulo de corte o rigidez (µ): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3. Módulos elásticos mejor que velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Teoría, análisis y métodos 7

2.1. Enmascaramiento del contenido de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Nuevos indicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1. La relación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2. El parámetro λ/µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3. Sensibilidad de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. AVO: el rol de la densidad y el coeficiente de reflexión . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1. λ y µ (¡y ρ!) a partir de la sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2. Un modelo de dos términos: obtención de λρ, µρ y λ/µ . . . . . . . . 17

2.4. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Noviembre de 2007 Improved AVO fluid detection using Lamé parameters - Danilo Velis

1

Capítulo 1

Introducción

Goodway y otros (1997) enfatizan el hecho de que los métodos tradicionales de análisis pe-

trofísico y de AVO procuran extraer información acerca de los fluidos porales y las propiedades

litológicas de los medios a través del análisis de las variaciones anómalas observadas en las

velocidades compresivas, Vp, y de corte, Vs. Otros procedimientos basan su análisis en el uso

de datos sísmicos, a partir de los cuales se puede determinar el coeficiente de Poisson mediante

la relación (Vp/Vs)2 [Ostrander, 1984], o bien las reflectividades o perfiles de impedancia P y S

(ver por ejemplo [Gidlow et al., 1992]).

1.1. La ecuación de onda y las velocidades

La razón por la cual se pone tanto énfasis en las velocidades y la densidad (implícita en

las impedancias), radica en las ecuaciones de Zoeppritz, que describen cómo se particiona la

energía de una onda que incide sobre una discontinuidad elástica que separa dos medios. Las

ecuaciones de Zoeppritz son las fórmulas que permiten relacionar, en función del ángulo de

incidencia, cuánta energía se transmite y cuánta se refleja, tanto para la componente compresiva

como de cizalla de una determinada onda incidente. Su derivación detallada es bastante com-

pleja y requiere muchos pasos matemáticos y algunas hipótesis sobre el modelo de subsuelo

(ondas planas en medios elásticos, isótropos y homogéneos). Esencialmente la idea es consi-

derar una onda plana que incide con determinado ángulo sobre una interfase, y luego tener en

cuenta que los desplazamientos de las partículas y las tensiones generadas a ambos lados de la

discontinuidad deben ser iguales (por eso hablamos de un medio elástico, caso contrario habría

fracturas de los materiales y se perdería la validez del fenómeno de propagación de ondas como

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1.1. LA ECUACIÓN DE ONDA Y LAS VELOCIDADES 2

lo utilizamos en la sísmica de exploración). Escribiendo entonces la igualdad de los desplaza-

mientos y tensiones para cada una de las componentes en que se particiona la onda incidente,

es que se obtienen las ecuaciones de Zoeppritz.

A partir de plantear las ecuaciones de Newton o de movimiento (fuerza = masa por acelera-

ción) sobre una unidad de volumen, y considerando pequeñas deformaciones (por eso hablamos

de elasticidad), es posible derivar la ecuación de onda unidimensional, que se expresa

d2u

dx2=

ρ

M

d2u

dt2. (1.1)

Aquí u representa el desplazamiento de las partículas en la coordenada x, siendo ρ y M la

densidad y el módulo de Young del medio, respectivamente.

Es fácil verificar que una solución de esta ecuación diferencial es

u = Aeiω(t−x/V ), (1.2)

donde A y ω son constantes y V es la velocidad de propagación. Esta es la expresión de una

onda plana1 de amplitud A y velocidad V .

Para demostrar que la onda plana anterior es una solución de la ecuación de onda, es sufi-

ciente calcular las derivadas segundas de u con respecto a x y a t respectivamente, y reemplazar

en la ecuación original. En efecto,

du

dx= −

Veiω(t−x/V ) ⇒

d2u

dx2=

Aω2

V 2eiω(t−x/V ) (1.3)

y

du

dt= Aωeiω(t−x/V ) ⇒

d2u

dt2= Aω2eiω(t−x/V ). (1.4)

Reemplazando en la ecuación de onda original, se tiene

Aω2

V 2eiω(t−x/V ) =

ρ

MAω2eiω(t−x/V ) (1.5)

1Se denomina onda plana porque su fase, ω(t − x/V ) es un plano, para cada tiempo t, en el espacio (x, y, z)(notar que depende del tiempo y de x solamente).

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1.2. LAS CONSTANTES ELÁSTICAS 3

Cancelando las expresiones idénticas a cada lado de la igualdad, queda

1

V 2=

ρ

M. (1.6)

Este resultado implica que la velocidad de propagación depende solamente del módulo elástico

y la densidad, es decir

V =

√M

ρ. (1.7)

La ecuación de onda tridimensional puede derivarse en forma análoga, aunque su expre-

sión es algo más compleja porque están involucradas las tres coordenadas espaciales: x, y, z.

En este caso se tiene una ecuación para deformaciones de compresión, y otra para deforma-

ciones de cizalla, lo que lleva a definir dos velocidades diferentes: la velocidad de ondas de

compresión, Vp, y la velocidad de ondas de cizalla o de corte (shear waves), Vs:

Vp =

√43µ + κ

ρy Vs =

õ

ρ(1.8)

donde µ y κ son el módulo de rigidez (o de corte) y el módulo de Bulk (o incompresibilidad),

respectivamente. Estos parámetros surgen de la teoría de elasticidad, que estudia el comporta-

miento de un sólido ante la aplicación de fuerzas, ya sea de compresión o de cizalla, en una o

varias direcciones espaciales simultáneamente2.

1.2. Las constantes elásticas

Las dos módulos elásticos descriptos, κ y µ, están vinculados a través del parámetro de

Lamé λ (Nota: λ es la primera constante elástica o parámetro de Lamé, la segunda es µ), que,

aunque no tiene significado físico aparente, es una constante muy utilizada en la teoría de elas-

ticidad esencialmente por conveniencia algebraica. La relación es

2Es importante tener en cuenta que la teoría de elasticidad es válida cuando las deformaciones sufridas porlos materiales son pequeñas, como ocurre durante la propagación de una onda sísmica. Bajo estas hipótesis, losmateriales se comportan elásticamente; es decir, las deformaciones son transitorias.

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1.2. LAS CONSTANTES ELÁSTICAS 4

λ = κ −2

3µ (1.9)

Reemplazando esta expresión en la correspondiente a Vp, se obtiene la definición alternativa de

la velocidad de la onda P en función de los parámetros de Lamé λ y µ, o sea

Vp =

√λ + 2µ

ρ. (1.10)

Contrariamente al parámetro de Lamé λ, los módulos elásticos κ y µ sí tienen un significado

físico bien claro y definido. Conocer estos conceptos es esencial para comprender cómo se com-

portan las ondas sísmicas cuando atraviesan diferentes materiales y rocas cuyos poros pueden

estar llenos (o no) con diferentes fluidos.

1.2.1. Módulo de Bulk (κ):

El módulo de Bulk, también conocido como incompresibilidad del medio, tiene el siguien-

te significado físico. Supongamos que tenemos un pequeño paralelepípedo rectangular de cierto

material y que le ejercemos una presión en todas las caras, como se muestra en la Figura 1.1a. Si

el material no es muy duro, podemos imaginar que es posible apretar el cubo hasta convertirlo

en uno más pequeño (el cuerpo se contrae).

El módulo de Bulk representa el cociente entre el cambio en la presión ejercida sobre el

cubo y la magnitud del cambio relativo de volumen sufrido por el mismo (dilatación cúbica).

Es decir, la dilatación (o contracción) relativa resulta proporcional al cambio en la presión, y la

constante de proporcionalidad está dada por el módulo de Bulk:

∆P = κ × dilatación = κ∆V

V⇒ κ =

∆P

∆V/V(1.11)

Un κ muy grande (material muy duro), implica que debemos ejercer una presión muy grande

para poder producir algún cambio significativo de volumen. Por el contrario, un κ pequeño im-

plica que una presión moderada producirá cambios importantes de volumen. Los gases tienen

una incompresibilidad muy baja, en tanto que los líquidos y los sólidos tienen una incompresi-

bilidad muy alta.

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1.2. LAS CONSTANTES ELÁSTICAS 5

∆y′

∆y∆x′

∆x

∆z′

∆z

P

P

P

κ =∆P

∆V/V

γFx

µ =Fx

γ

Figura 1.1: (a) Módulo de Bulk: dilatación de un paralelepípedo ante la acción de una pre-sión. (b) Módulo de rigidez: deformación del cuerpo ante la acción de una fuerza paralela a lasuperficie fija.

1.2.2. Módulo de corte o rigidez (µ):

El módulo de rigidez describe cuan difícil es deformar un cuerpo ante la aplicación de fuer-

zas de corte o tangenciales. Supongamos que tenemos el paralelepípedo mencionado más arriba

firmemente pegado a una mesa por uno de sus lados (de manera que nos queda un cuadrado),

como se ilustra en la Figura 1.1b. Ahora supongamos que ejercemos una fuerza paralela a la

mesa sobre uno de los bordes superiores del mismo tratando de deformarlo. Si el material tiene

un módulo de rigidez pequeño, será muy fácil deformar el cuadrado en la dirección de la fuerza

aplicada, como se ve en la figura. Si, en cambio, el módulo de rigidez del material es grande,

necesitaremos ejercer mucha fuerza para producir la misma deformación.

El módulo de rigidez representa el cociente entre la fuerza de corte ejercida y el cambio

relativo de la deformación en la dirección de la fuerza. En este caso, este cambio relativo de

la deformación es igual a la tangente del ángulo γ (cateto menor sobre cateto mayor), que

para deformaciones pequeñas, es igual a γ. Es decir, la deformación (llamémosla γ) resulta

proporcional a la fuerza ejercida, y la constante de proporcionalidad está dada por el módulo de

rigidez:

Fx = µ × deformación = µγ ⇒ µ =Fx

γ(1.12)

Los gases y los fluidos no pueden soportar fuerzas de corte, por lo que sus módulos de rigidez

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1.2. LAS CONSTANTES ELÁSTICAS 6

son nulos. Por esta razón, no existen ondas S en gases y fluidos, como se desprende de la

ecuación (1.8).

1.2.3. Módulos elásticos mejor que velocidades

En este punto es bueno notar que la física subyacente involucra módulos elásticos más

que velocidades, como señalan Goodway y otros en la Introducción. Por ejemplo, la ecuación

de onda (1.1) incluye las constantes ρ y M , y no la velocidad, que sí surge luego de plantear

la solución, calcular las derivadas y reemplazar en la ecuación original. La velocidad queda

definida entonces en términos del cociente entre módulo de Young y densidad (para el caso de

la ecuación de onda unidimensional), y en términos del cociente entre los módulos elásticos µ

y κ, y la densidad (para el caso de la ecuación de onda tridimensional que nos interesa), a través

de las expresiones anteriores para Vp y Vs.

Por todo esto, resulta razonable procurar contribuir a la identificación de las propiedades

litológicas de los reservorios y sus posibles contenidos de fluidos mediante el análisis de los

cambios detectados en los parámetros fundamentales asociados a las rocas mismas (módulo de

rigidez, incompresibilidad y densidad), y no tanto basándose en el análisis de los cambios en

las velocidades de las ondas sísmicas, que tal vez puedan enmascarar los cambios asociados a

los parámetros elásticos mencionados.

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7

Capítulo 2

Teoría, análisis y métodos

Las técnicas estándar de análisis de AVO se basan fundamentalmente en las variaciones de

las velocidades y de la densidad, lo que conduce a un enmascaramiento de las variaciones de

los módulos fundamentales descriptos en el capítulo anterior, y por ende, a la poca efectividad

de estos métodos para detectar la presencia de fluidos porales. Por ello algunos autores (ver

referencias en el trabajo de Goodway y otros) comenzaron a proponer otras técnicas de análisis

de AVO basadas en las variaciones del módulo de rigidez µ (ligado a la matriz de la roca),

o incluso el módulo de Bulk o incompresibilidad κ (ligado a la presencia de fluidos). Estas

nuevas estrategias conducen a la presentación de nuevos indicadores que resultan más sensibles

y apropiados para la detección de fluidos y la discriminación litológica a partir del análisis de

los datos de pozo o bien del análisis de AVO en registros prestack.

2.1. Enmascaramiento del contenido de fluidos

Para comprender por qué el contenido de fluidos puede resultar enmascarado en un análisis

de AVO convencional comencemos por observar cuál es la relación entre los módulos elásticos y

las velocidades. Los módulos elásticos κ y µ se relacionan con las velocidades Vp y Vs mediante

Vp =

√43µ + κ

ρy Vs =

õ

ρ. (2.1)

Una dificultad clave que encuentran los métodos convencionales para detectar la presencia de

fluidos porales es que las variaciones en κ (y Vp) pueden resultar enmascaradas por cambios

diversos en µ, que es un parámetro insensible a los fluidos porales (recordemos que el módulo

de rigidez µ es un parámetro elástico relacionado con la matriz de la roca, y no con el contenido

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2.1. ENMASCARAMIENTO DEL CONTENIDO DE FLUIDOS 8

de sus poros). En otras palabras, un cambio en la incompresibilidad κ debido a la presencia de

fluidos, puede no arrojar cambios detectables en la velocidad compresiva Vp porque el módulo

de rigidez también puede presentar cambios (aunque no asociados a la presencia de fluidos). Por

ejemplo, si κ disminuye cierto porcentaje por la presencia de gases, pero al mismo tiempo µ

aumenta en la misma medida por un cambio de litología, luego Vp presentará pocas variaciones,

como se puede apreciar a partir de la ecuación anterior. En definitiva, los métodos de análisis

de AVO basados en velocidades no serán efectivos en estos casos.

En la práctica el parámetro más sensible a los fluidos porales sería el parámetro de Lamé λ,

que como vimos está relacionado con los módulos κ y µ mediante la relación

λ = κ −2

3µ. (2.2)

Sin embargo, como µ no varía ante la presencia de fluidos, las variaciones de λ que debieran

reflejar los cambios de κ resultan atenuadas por posibles cambios en µ debido a otros factores

que nada tienen que ver con la presencia de fluidos porales, sino con diferencias litológicas en

la matriz de las rocas.

Resumiendo, la relación entre los parámetros que acabamos de mencionar puede escribirse

como

V 2p =

43µ + κ

ρ=

λ + 2µ

ρ. (2.3)

Observando las expresiones anteriores, está claro que cualquier cambio en µ (cambio no aso-

ciado a la presencia de fluidos) puede enmascarar cualquier cambio en κ o λ sí asociados a la

presencia de fluidos, de modo que las variaciones en Vp no serían de mucha utilidad para re-

solver el problema. En otras palabras, la detección de cambios en Vp pueden estar asociados

tanto a la presencia de fluidos como a cambios de la incompresibilidad µ.

Algunos métodos de análisis de AVO incorporan un tercer término en las ecuaciones del

coeficiente de reflexión de manera tal que se pueda estimar también la densidad. Si embargo,

estas técnicas carecen de la robustez que exhiben los métodos basados en expresiones de dos

términos, donde se puede obtener con bastante confiabilidad los atributos “intercept” y “gra-

dient”.

Por ello, las técnicas descriptas presentan ciertas limitaciones:

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2.2. NUEVOS INDICADORES 9

1. o bien son poco sensibles debido al enmascaramiento producido por posibles cambios en

la matriz (cambios de µ),

2. o bien son demasiado complejas y poco robustas cuando se pretende agregar un término

adicional a las expresiones del coeficiente de reflexión.

Queda clara entonces la necesidad de contar con nuevos indicadores de la presencia de

fluidos.

2.2. Nuevos indicadores

Alternativamente, Goodway y otros (1997) proponen utilizar como indicadores los paráme-

tros elásticos multiplicados por la densidad, que se relacionan con Vp y las impedancias Ip e Is

mediante las siguientes expresiones:

Ip = Vpρ ⇒ I2p = (Vpρ)2 = (λ + 2µ)ρ, (2.4)

en virtud de la relación (2.3). Análogamente, como V 2s = µ/ρ,

Is = Vsρ ⇒ I2s = (Vsρ)2 = µρ. (2.5)

Si se dispone de un perfil de densidad de donde obtener ρ, es posible entonces estimar

los parámetros λ y µ directamente a partir de estas relaciones. En efecto, despejando µ de la

ecuación (2.5), se tiene

µ = V 2s ρ. (2.6)

Y despejando λ de la ecuación (2.4), se tiene

λ = V 2p ρ − 2µ = V 2

p ρ − 2V 2s ρ. (2.7)

En el caso que no se dispone de un perfil de densidad pero sí de la sísmica, se pueden estimar

en cambio los parámetros λρ y µρ. Así, de la ecuación (2.5) se obtiene

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2.2. NUEVOS INDICADORES 10

µρ = I2s , (2.8)

y de la ecuación (2.4) se obtiene

λρ = I2p − 2µρ = I2

p − 2I2s . (2.9)

2.2.1. La relación de Poisson

El análisis basado en la relación de Poisson involucra el cociente de velocidades Vp/Vs

elevado al cuadrado, lo que indicaría que está bien cerca de medir la propiedad más sensitiva

dada por el cociente de módulos λ/µ. Veamos.

El coeficiente de Poisson σ es una constante elástica que mide cuánto cambia la sección

de cierto volumen de material cuando el mismo es estirado (o comprimido) en una dirección.

Matemáticamente, el coeficiente de Poisson puede escribirse en términos de las constantes de

Lamé λ y µ mediante

σ =λ

2(λ + µ)(2.10)

Si reemplazamos λ y µ por las expresiones obtenidas más arriba, ecuaciones (2.6) y (2.7) res-

pectivamente, obtenemos

σ =V 2

p ρ − 2V 2s ρ

2(V 2p ρ − 2V 2

s ρ + V 2s ρ)

=V 2

p − 2V 2s

2(V 2p − V 2

s ). (2.11)

Dividiendo numerador y denominador por V 2s , se obtiene finalmente

σ =(Vp/Vs)

2 − 2

2(Vp/Vs)2 − 2. (2.12)

Esta relación nos permitiría estimar, en principio, el coeficiente de Poisson a partir de las ve-

locidades. Notar sin embargo que no es una buena práctica utilizar esta expresión para estimar

el coeficiente de Poisson, ya que la ecuación (2.10) que utilizamos para hallar esta expresión,

asume elasticidad lineal. Pero las rocas no se comportan linealmente elásticas, por lo que las

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2.2. NUEVOS INDICADORES 11

velocidades no nos darán valores razonables para σ, salvo en casos especiales. Por ende, el aná-

lisis de AVO basado en la relación de Poisson debe tomarse con cautela (ver [Gretener, 2003]

para una interesante discusión sobre el tema).

2.2.2. El parámetro λ/µ

Pero el parámetro de interés es λ/µ, que está dado por

λ

µ=

V 2p ρ − 2V 2

s ρ

V 2p ρ

=V 2

p

V 2s

− 2. (2.13)

Como se puede apreciar a partir de la expresión anterior, estimando la relación de velocidades

V 2p /V 2

s a partir de la sísmica podremos estimar la relación de los parámetros de Lamé, λ/µ,

indicador que resulta muy sensitivo ante la presencia o no de fluidos.

Desafortunadamente, los valores numéricos típicos para λ/µ son del mismo orden de mag-

nitud que la constante “2” que aparece en la expresión anterior, por lo que los cambios asociados

al cociente de velocidades podrían no reflejarse directamente con el impacto esperado en cam-

bios de la relación λ/µ. No obstante, si bien λ carece de sentido físico, resulta un parámetro

sensible a la presencia de fluidos. Por ello, esta técnica puede verse como una forma de elimi-

nar la influencia del parámetro asociado a la matriz, o sea el módulo de rigidez µ, revelando la

componente más sensible a los fluidos porales, o sea λ.

2.2.3. Sensibilidad de los parámetros

La Tabla 1 del trabajo de Goodway y otros muestra un ejemplo de cómo varían los diferentes

parámetros en una situación litológica típica (interfase que separa una lutita de una arena con

gas). La tabla muestra los valores de los parámetros Vp/Vs, V 2p /V 2

s , σ, λ + 2µ, µ, λ y λ/µ, para

cada una de las dos unidades litológicas, así como el cambio porcentual promedio (o cambio

fraccional expresado en porcentaje) observado entre ellas.

Estos cambios fueron calculados en forma análoga a como se calculan las reflectividades

∆Vs/Vs, ∆Vp/Vp y ∆ρ/ρ. Es decir, supongamos que el parámetro en cuestión es P , donde P

es igual a Vp/Vs, V 2p /V 2

s , σ, etc., luego el cambio porcentual promedio que muestra la última

línea de la tabla se calcula mediante

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2.2. NUEVOS INDICADORES 12

0

20

40

60

80

100

120

Vp Vs ρ Vp/Vs Vp2/Vs

2 σ λ+2µ µ λ λ/µ

Cam

bio

porc

entu

al p

rom

edio

(%

)

Figura 2.1: Cambio porcentual promedio para diferentes parámetros correspondientes al modelode la Tabla 1 (contraste lutita-arena con gas) del trabajo de Goodway y otros (1997).

cambio porcentual promedio =|P2 − P1|

P̄× 100 %, (2.14)

donde

P̄ =P1 + P2

2, (2.15)

y donde los subíndices se refieren a las unidades litológicas (1 = lutita, 2 = arena con gas).

Naturalmente, valores altos del cambio porcentual promedio indican que el parámetro es

muy sensible a los cambios litológicos. Contrariamente, valores del cambio porcentual prome-

dio muy bajos indican poca sensibilidad, por lo que estos parámetros no serán de mucha utilidad

como indicadores de la presencia de fluidos.

Por ejemplo, el cambio porcentual promedio de la velocidad Vp es muy bajo, apenas del

1.4 %, pero el cambio porcentual promedio de λ es del 70 %, un valor realmente alto. Sin em-

bargo, el mayor cambio promedio porcentual de todos los parámetros analizados corresponde

al de λ/µ, que exhibe un valor de 110 %, lo que demuestra el verdadero poder discriminatorio

de este indicador. La Figura 2.1 muestra comparativamente los cambios porcentuales prome-

dio de todos estos parámetros, donde se puede distinguir claramente cuáles parámetros reflejan

contrastes importantes y cuáles no.

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2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 13

Vale la pena explicar un poco el comportamiento inusualmente bajo del cambio en Vp frente

a un cambio significativo en Vs (ya hemos mencionado esta dificultad al comienzo de este ca-

pítulo, sección “Enmascaramiento del contenido de fluidos”). La razón de este comportamiento

está asociada al hecho de que Vp depende tanto de λ como de µ (ver ecuación (2.3)), y como λ

decrece al pasar de la lutita a la arena con gas (como respuesta a la presencia de gas la incom-

presibilidad κ disminuye, y por ende disminuye también λ) y µ aumenta (el módulo de rigidez

es insensible a la presencia de gas), los efectos se compensan de alguna manera y el cambio

total en Vp resulta muy pequeño.

Notar en este punto que uno de los parámetros más utilizados en un análisis de AVO es

justamente ∆Vp/Vp, y como acabamos de ver para este ejemplo, este indicador no resulta en-

tonces muy apropiado pues exhibe una sensibilidad muy baja. Por el contrario, el parámetro

elástico λ por separado es mucho más sensible: en este caso ∆λ/λ es del orden del 70 %. Si

consideramos el parámetro λ/µ, el cambio porcentual es todavía más significativo, llegando al

110 %. Este análisis resalta de alguna manera las virtudes de estos parámetros petrofísicos como

indicadores para la detección de fluidos y la discriminación de litologías.

Por otro lado, los indicadores convencionales más sensibles para este tipo de litologías, o

sea los parámetros σ y V 2p /V 2

s , arrojan cambios porcentuales del 45 % y 55 % respectivamente,

valores muy inferiores a los correspondientes a λ y λ/µ (70 % y 110 %).

2.3. AVO: el rol de la densidad y el coeficiente de reflexión

Todo este análisis funciona muy bien cuando se dispone de un perfil de densidad. Cuando

sólo se cuenta con la sísmica, con el fin de extraer información acerca de los parámetros λ y µ a

partir de la sísmica es necesario acudir a otras consideraciones. Al respecto, necesitamos utilizar

las aproximaciones del coeficiente de reflexión versus el ángulo de incidencia que se derivan a

partir de las ecuaciones de Zoeppritz. Este es el análisis de AVO convencional basado en ajustar

las amplitudes de los registros prestack con el modelo de coeficiente de reflexión seleccionado.

Generalmente, el punto de partida para este análisis de AVO es la expresión dada por Aki y

Richards (1980) para el coeficiente de reflexión, que es una aproximación válida para ángulos

de incidencia pequeños a moderados (en todo caso menores que el ángulo crítico y menores a

90 grados) y presupone que los contrastes de las velocidades y densidades entre los dos medios

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2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 14

Medio 1

Vp1, Vs1

, ρ1

Medio 2

Vp2, Vs2

, ρ2

discontinuidad

onda S transmitida (Tps)

onda P transmitida (Tpp)

onda P reflejada (Rpp)

onda S reflejada (Rps)

θi

φr

θr

φt

θt

onda P incidente (Ap = 1)

Figura 2.2: Tetrapartición de la energía de una onda P incidente en una discontinuidad horizon-tal.

no son muy abruptos (se asumen medios con propiedades elásticas similares). Este modelo del

coeficiente de reflexión (coeficiente Rpp = R(θ)) que incide oblicuamente sobre una disconti-

nuidad (ver Figura 2.2) está dado por:

R(θ) =1

2(1 + tan2 θ)

∆Vp

Vp− 4K2 sin2 θ

∆Vs

Vs+

1

2(1 − 4K2 sin2 θ)

∆ρ

ρ, (2.16)

donde

Vp =Vp1

+ Vp2

2, Vs =

Vs1+ Vs2

2, ρ =

ρ1 + ρ2

2, (2.17)

y

∆Vp = Vp2− Vp1

, ∆Vs = Vs2− Vs1

, ∆ρ = ρ2 − ρ1 y θ =θi + θt

2. (2.18)

Además

Noviembre de 2007 Improved AVO fluid detection using Lamé parameters - Danilo Velis

2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 15

K =Vs

Vp

(2.19)

Como vemos, la expresión (2.16) involucra las reflectividades ∆Vp/Vp y ∆Vs/Vs, e incluye

explícitamente un término para el cambio fraccional de la densidad.

2.3.1. λ y µ (¡y ρ!) a partir de la sísmica

A partir de esta ecuación de Aki y Richards, ecuación (2.16), es posible encontrar una rela-

ción donde los módulos elásticos λ y µ aparezcan explícitamente. Esta relación es:

R(θ) =1

4(1 + tan2 θ)

∆(λ + 2µ)

λ + 2µ− 2K2 sin2 θ

∆µ

µ+

1

4(1 − tan2 θ)

∆ρ

ρ, (2.20)

que es la expresión del coeficiente de reflexión al pie de la página 183 del trabajo de Goodway

y otros.

Para derivar esta ecuación a partir de la ecuación de Aki y Richards se procede de la si-

guiente manera. El primer paso consiste en vincular los cambios fraccionales de las velocidades

(reflectividades) con los cambios fraccionales de los parámetros elásticos que nos interesa. Ha-

ciendo uso de las relaciones conocidas para Vp y Vs en función de los parámetros elásticos, se

tiene:

V 2p =

λ + 2µ

ρ=

ξ

ρ⇒ ξ = ρV 2

p , (2.21)

donde por simplicidad hemos definido el nuevo parámetro

ξ = λ + 2µ (2.22)

Por otro lado,

V 2s =

µ

ρ⇒ µ = ρV 2

s . (2.23)

Aplicamos ahora la regla de la cadena para la diferenciación para ξ y µ respectivamente:

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2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 16

⎧⎪⎨⎪⎩

ξ = ρV 2p ⇒ ∆ξ = ∂ξ

∂Vp

∆Vp + ∂ξ∂ρ

∆ρ

µ = ρV 2s ⇒ ∆µ = ∂µ

∂Vs

∆Vs + ∂µ∂ρ

∆ρ(2.24)

Reemplazando las derivadas parciales ∂ξ/∂Vp = 2ρVp, ∂ξ/∂ρ = V 2p , ∂µ/∂Vs = 2ρVs y

∂µ/∂ρ = V 2s , se tiene

⎧⎨⎩

∆ξ = 2ρVp∆Vp + V 2p ∆ρ

∆µ = 2ρVs∆Vs + V 2s ∆ρ,

(2.25)

y dividiendo todo por ξ = ρV 2p y µ = ρV 2

s respectivamente,

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∆ξξ

= 2ρVp∆Vp

ρV 2p

+V 2

p∆ρ

ρV 2p

= 2∆Vp

Vp

+ ∆ρρ

∆µµ

= 2ρVs∆Vs

ρV 2s

+ V 2s

∆ρρV 2

s

= 2∆Vs

Vs

+ ∆ρρ

,

(2.26)

de donde surge inmediatamente

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∆Vp

Vp

= 12

(∆ξξ− ∆ρ

ρ

)∆Vs

Vs

= 12

(∆µµ

− ∆ρρ

).

(2.27)

Reemplazamos ahora estas expresiones en la aproximación de Aki y Richards, ecuación (2.16),

de modo que

R(θ) =1

2(1+tan2 θ)

1

2

(∆ξ

ξ−

∆ρ

ρ

)−4K2 sin2 θ

1

2

(∆µ

µ−

∆ρ

ρ

)+

1

2(1−4K2 sin2 θ)

∆ρ

ρ,

(2.28)

y reagrupando en términos con igual cambio fraccional,

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2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 17

R(θ) =1

4(1 + tan2 θ)

∆ξ

ξ− 2K2 sin2 θ

∆µ

µ+

(1

4−2K2 sin2 θ −

1

4tan2 θ +2K2 sin2 θ

)∆ρ

ρ

=1

4(1 + tan2 θ)

∆ξ

ξ− 2K2 sin2 θ

∆µ

µ+

1

4(1 − tan2 θ)

∆ρ

ρ

=1

4(1 + tan2 θ)

∆(λ + 2µ)

λ + 2µ− 2K2 sin2 θ

∆µ

µ+

1

4(1 − tan2 θ)

∆ρ

ρ,

(2.29)

que es igual a la ecuación de la página 183 del trabajo de Goodway y otros.

Siguiendo el análisis de estos autores, la expresión anterior bien podría utilizarse entonces

para estimar los cambios en los parámetros elásticos y la densidad a partir de un análisis de

AVO. Sin embargo, este procedimiento no resulta práctico porque el ajuste de las amplitudes

prestack con un modelo de tres términos como el anterior no es muy robusto (puede que se

encuentren varios juegos de parámetros diferentes que aproximen igualmente bien al modelo

anterior). Por esta razón, en general se busca tener un modelo que contenga solamente dos

términos, lo que permite realizar el ajuste de los parámetros de una recta (intercept y gradient),

que es un procedimiento mucho más robusto y práctico desde el punto de vista computacional.

2.3.2. Un modelo de dos términos: obtención de λρ, µρ y λ/µ

Pero un modelo de dos términos implica que debemos reacomodar la expresión del coefi-

ciente de reflexión de manera tal que los dos términos seleccionados capturen la mayor parte de

las variaciones del mismo con el ángulo, para no cometer muchos errores al pasar de tres a dos

términos. Es decir, el modelo de dos términos debe tener un rango de validez lo suficientemente

amplio como para que una análisis de AVO basado en él tenga sentido práctico a la hora de

evaluar la posible presencia de fluidos.

Por ejemplo, si ignoramos el término de la densidad en la última expresión, el modelo de

dos términos resultante no sería bueno, pues numéricamente el coeficiente de ∆ρρ

es significativo

y del mismo orden de magnitud que los coeficientes de ∆(λ+2µ)λ+2µ

y ∆µµ

. En efecto, la Figura 2.3

muestra comparativamente los tres coeficientes que multiplican a los cambios fraccionales en

la expresión (2.20), o sea:

• coeficiente 1: 14(1 + tan2 θ),

Noviembre de 2007 Improved AVO fluid detection using Lamé parameters - Danilo Velis

2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 18

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

d

Angulo de incidencia (grados)

coeficiente de ∆(λ+2µ)(/λ+2µ)coeficiente de ∆µ/µcoeficiente de ∆ρ/ρ

Figura 2.3: Comparación de los coeficientes que multiplican a los cambios fraccionales en laexpresión para el coeficiente de reflexión, ecuación (2.20). K = 0.5.

• coeficiente 2: −2K2 sin2 θ,

• coeficiente 3: 14(1 − tan2 θ).

Claramente, excepto para cierto rango de ángulos de incidencia, el término asociado a la densi-

dad no puede ser obviado.

Por las razones expuestas, es necesario entonces contar con una expresión de dos términos,

pero que sea lo suficientemente precisa como para un adecuado análisis de AVO. La ecuación

de la página 184 del trabajo de Goodway y otros, y que transcribimos a continuación, tiene estas

características:

R(θ) = (1 + tan2 θ)∆Ip

2Ip− 8K2 sin2 θ

∆Is

2Is−

(1

2tan2 θ − 2K2 sin2 θ

)∆ρ

ρ(2.30)

donde

∆Ip

Ip=

∆Vp

Vp+

∆ρ

ρy

∆Is

Is=

∆Vs

Vs+

∆ρ

ρ, (2.31)

son las reflectividades compresivas y de corte, respectivamente.

Noviembre de 2007 Improved AVO fluid detection using Lamé parameters - Danilo Velis

2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 19

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 10 20 30 40 50 60 70

Am

plitu

d

Angulo de incidencia (grados)

coeficiente de ∆Ip/Ipcoeficiente de ∆Is/Iscoeficiente de ∆ρ/ρ

Figura 2.4: Comparación de los coeficientes que multiplican a los cambios fraccionales en laexpresión para el coeficiente de reflexión, ecuación (2.30). Comparar con la Figura 2.3. K =0.5.

Efectivamente, la Figura 2.4 muestra el peso relativo de cada uno de los coeficientes que

aparecen multiplicando a los cambios fraccionales ∆Ip

Ip

, ∆Is

Is

y ∆ρρ

en esta nueva aproximación

del coeficiente de reflexión:

• coeficiente 1: 12(1 + tan2 θ),

• coeficiente 2: −4K2 sin2 θ,

• coeficiente 3: −12tan2 θ + 2K2 sin2 θ.

Como se puede apreciar, en este caso el coeficiente que multiplica a ∆ρρ

, coeficiente 3, es

despreciable frente a los otros dos para ángulos de incidencia relativamente pequeños. Por ello,

bajo estas circunstancias es posible prescindir del término de la densidad y contar con una

expresión de dos términos solamente, lo que presupone un proceso mucho más robusto y estable

a la hora de ajustar “intercept” y “gradient” a los datos prestack.

Una vez realizado el ajuste, mediante un proceso de inversión es posible obtener las impe-

dancias Ip e Is, y a partir de éstas, los parámetros λρ y µρ tras usar las relaciones vistas arriba,

ecuaciones (2.8) y (2.9), que vinculan las impedancias con los parámetros elásticos, o sea

Noviembre de 2007 Improved AVO fluid detection using Lamé parameters - Danilo Velis

2.3. AVO: EL ROL DE LA DENSIDAD Y EL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN 20

⎧⎨⎩

λρ = I2p − 2I2

s

µρ = I2s

(2.32)

Por supuesto, este procedimiento nos permite obtener asimismo el parámetros λ/µ con la fór-

mula

λ

µ=

λρ

µρ=

I2p − 2I2

s

I2s

=I2p

I2s

− 2. (2.33)

Derivación de la ecuación (2.30)

A partir de la expresión de Aki y Richards, ecuación (2.16), es muy sencillo obtener la

expresión (2.30), que es igual a la ecuación del coeficiente de reflexión de la página 184 del

trabajo de Goodway et al.

Comencemos por considerar los cambios fraccionales de las impedancias ∆Ip/Ip y ∆Is/Is.

Estas cantidades se pueden calcular a partir de la definición de las impedancias Ip y Is aplicando

la regla de la cadena para la diferenciación. O sea:

⎧⎪⎨⎪⎩

Ip = Vpρ ⇒ ∆Ip = ∂Ip

∂Vp

∆Vp + ∂Ip

∂ρ∆ρ

Is = Vsρ ⇒ ∆Is = ∂Is

∂Vs

∆Vs + ∂Is

∂ρ∆ρ.

(2.34)

Como ∂Ip/∂Vp = ρ, ∂Ip/∂ρ = Vp, ∂Is/∂Vs = ρ, ∂Is/∂ρ = Vs, reemplazando y dividiendo por

Ip e Is respectivamente,

⎧⎪⎨⎪⎩

∆Ip

Ip

= ρ∆Vp+Vp∆ρVpρ

= ∆Vp

Vp

+ ∆ρρ

∆Is

Is

= ρ∆Vs+Vs∆ρVsρ

= ∆Vs

Vs

+ ∆ρρ

.(2.35)

Escribimos ahora la expresión de Aki y Richards (2.16) en términos de estos cambios fraccio-

nales de impedancias en lugar de los cambios fraccionales de las velocidades. De las última

expresión hallamos

⎧⎪⎨⎪⎩

∆Vp

Vp

= ∆Ip

Ip

− ∆ρρ

∆Vs

Vs

= ∆Is

Is

− ∆ρρ

,(2.36)

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2.4. COMENTARIOS FINALES 21

que sustituyendo en la ecuación (2.16) queda

R(θ) =1

2

(1 + tan2 θ

) ∆Vp

Vp− 4K2 sin2 θ

∆Vs

Vs+

1

2

(1 − 4K2 sin2 θ

) ∆ρ

ρ

=(1 + tan2 θ

) ∆Vp

2Vp− 8K2 sin2 θ

∆Vs

2Vs+

(1 − 4K2 sin2 θ

) ∆ρ

=(1 + tan2 θ

) (∆Ip

2Ip−

∆ρ

)− 8K2 sin2 θ

(∆Is

2Is−

∆ρ

)+

(1 − 4K2 sin2 θ

) ∆ρ

2ρ.

(2.37)

Agrupando en función de los cambios fraccionales ∆Ip/Ip, ∆Is/Is y ∆ρ/ρ,

R(θ) =(1 + tan2 θ

) (∆Ip

2Ip−

∆ρ

)− 8K2 sin2 θ

(∆Is

2Is−

∆ρ

)+

(1 − 4K2 sin2 θ

) ∆ρ

=(1 + tan2 θ

) ∆Ip

2Ip− 8K2 sin2 θ

∆Is

2Is−

(tan2 θ − 8K2 sin2 θ + 4K2 sin2 θ

) ∆ρ

2ρ,

(2.38)

y como además

I2s

I2p

=(Vsρ)2

(Vpρ)2=

V 2s

V 2p

= K2, (2.39)

finalmente,

R(θ) =(1 + tan2 θ

) ∆Ip

2Ip− 8K2 sin2 θ

∆Is

2Is−

(tan2 θ − 4K2 sin2 θ

) ∆ρ

2ρ(2.40)

que es igual a la expresión que queríamos hallar.

2.4. Comentarios finales

Goodway y otros demuestran con varios ejemplos el mayor poder discriminatorio de los in-

dicadores λρ y µρ por sobre las impedancias Ip y Is, asociadas directamente con las velocidades

compresivas y de corte, respectivamente. Como se puede apreciar a través de los ejemplos, en

general Is acompaña a los cambios en Ip, ya que ambos parámetros comparten la densidad y

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2.4. COMENTARIOS FINALES 22

µ en sus definiciones, como hemos visto en las secciones anteriores, pudiendo conducir a pro-

blemas de enmascaramiento del contenido de fluidos. Como contraparte, los parámetros más

próximos a la “física” del problema, λρ y µρ, resultan más adecuados para detectar la presencia

de fluidos y discriminar litologías, como queda demostrado en los crossplots. Los parámetros

λρ y µρ, debido a su significado físico implícito en sus definiciones (ver Sección “Las constan-

tes elásticas”) están mucho menos correlacionadas entre sí que las impedancias, ya que ambos

parámetros miden (aunque λ indirectamente a través de la incompresibilidad κ) propiedades

físicas del medio que de alguna manera son “ortogonales”, como se desprende de la Figura 1.1.

Esta “ortogonalidad” contribuye a aumentar la dispersión de los crossplots, y por ende favorece

la capacidad discriminatoria de estos parámetros.

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BIBLIOGRAFÍA 23

Bibliografía

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"λ/µ fluid stack", from P and S inversions: 67th Annual International Meeting, Expanded

Abstracts, 183–186, Soc. of Expl. Geophys.

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