2_miara
1
A B μ A, B ∈F (Ω, F ,μ) μ(A)+ μ(B)= μ(A ∪ B)+ μ(A ∩ B) . Ω 0 ⊆ Ω F =2 Ω Ω 0 μ(A)= (A ∩ Ω 0 ), +∞ . μ μ ⇔ Ω 0 μ σ ⇔ Ω 0 μ ⇔ Ω 0 =1 x 0 X α :2 X → ¯ R + α(A)= 0, x 0 / ∈ A 1, x 0 ∈ A . α μ : B 1 → ¯ R + μ(A)= 0, A +∞, A ([0, 1], B 1 | [0,1] ,μ) B 1 | [0,1] = {A ∩ [0, 1]; A ∈B 1 } μ μ({0})=1 , μ((a, b]) = ln b - ln a 0 <a<b ≤ 1 . μ σ μ μ σ((-∞,a],a ∈ Q + ) μ((-∞,a]) = a 2 a ∈ Q + μ([1, √ 2]) μ B(R 2 ) P μ(P )= P μ(A)=0 a y =0
description
lista
Transcript of 2_miara
-
2. Miara
w. 2.1 Poka, e jeli zbiory A i B s -mierzalne (tzn. A,B F , gdzie (,F , )-przestrzez miar), to
(A) + (B) = (A B) + (A B) .
w. 2.2 Niech 0 oraz F = 2 . Okrelamy miar liczc elementy zbioru 0 wzorem
(A) ={
](A 0), jeli jest to zbir skoczony+ w przeciwnym wypadku .
Poka, e
a) jest miar,b) jest miar skoczon 0 jest skoczony,c) jest miar -skoczon 0 jest przeliczalny,d) jest miar probabilistyczn ]0 = 1.w. 2.3 Niech x0 bdzie elementem zbioru X. Okrelamy : 2X R+ wzorem
(A) ={
0, gdy x0 / A1, gdy x0 A .
Udowodnij, e jest miar probabilistyczn.
w. 2.4 Poka, e odwzorowanie : B1 R+ zadane wzorem
(A) ={
0, jeli A jest zbiorem przeliczalnym+, jeli A jest zbiorem nieprzeliczalnymjest miar.
w. 2.5 Niech ([0, 1],B1|[0,1], ) bdzie przestrzeni z miar, gdzie
B1|[0,1] = {A [0, 1]; A B1}
oraz miara spenia warunki({0}) = 1 ,
((a, b]) = ln b ln a dla 0 < a < b 1 .Poka, e
a) jest -skoczona,b) nie jest skoczona.
w. 2.6 Niech bdzie miar na ((, a], a Q+) tak, e ((, a]) = a2 dla a Q+.Oblicz ([1,
2]).
w. 2.7 Niech bdzie miar na B(R2) tak, e dla kadego prostokta P o wierzchokachwymiernych (P ) = pole P . Poka, e (A) = 0, gdzie a jest prost o rwnaniu y = 0.
