1

Τρίτη, 19 Ιανουαρίου 2010.

Έλεγχοι Υποθέσεων για το Μέσο Κανονικού Πληθυσµού.

Α. Αµφίπλευρος έλεγχος.

Έστω 1 2, ,...,n

X X X τ.δ. από κανονική κατανοµή ( )2,N µ σ , όταν το 2σ είναι

γνωστό.

Ζητούµε κρίσιµη περιοχή για τον έλεγχο της 0 0:H µ µ= , έναντι της 1 0:H µ µ≠

Λύση:

Κατά τα γνωστά, επιζητούµε να καταλήξουµε σε µια στατιστική συνάρτηση ε-

λέγχου (ελεγχοσυνάρτηση) η οποία είναι µία συνάρτηση δεδοµένων του τυχαίου

δείγµατος και των παραµέτρων, η οποία, κάτω από την υπόθεση 0H να έχει

γνωστή κατανοµή, ανεξάρτητη από άγνωστες παραµέτρους.

Στο παράδειγµά µας, αυτή είναι η 0Xz

n

µ

σ

−= , η οποία ακολουθεί την τυποποι-

ηµένη κανονική κατανοµή ( )( )0,1N .

Τότε µπορούµε να απορρίψουµε την 0H , σε επίπεδο στατιστικής σηµαντικότη-

τας α, αν 2

az z≥

Α. Μονόπλευρος έλεγχος.

Ζητούµε κρίσιµη περιοχή για τον έλεγχο της 0 0:H µ µ= , έναντι της 1 0:H µ µ<

Λύση:

Όµοια µε το παραπάνω, η ελεγχοσυνάρτηση είναι η ίδια και απορρίπτουµε την

0H , για ακραίες αρνητικές τιµές του z .

Αντίθετα ( )1 0:H µ µ> , απορρίπτουµε την 0H , για ακραίες θετικές τιµές του z .

Βήµατα Ελέγχου Υποθέσεων

1) Με λόγο πιθανοφανειών ή γενικευµένο λόγο πιθανοφανειών, καταλήγου-

µε σε ελεγχοσυνάρτηση, η οποία κάτω από την 0H , έχει γνωστή κατανοµή και

είναι ανεξάρτητη από άγνωστες παραµέτρους.

2) Απορρίπτουµε την 0H , αν η παρατηρούµενη τιµή της ελεγχοσυνάρτησης

είναι ακραία κάτω από την αρχική υπόθεση ( 0H ). Το πόσο ακραία, καθορίζεται

από το ε.σ.σ. (α), αλλιώς η 0H δεν απορρίπτεται και το συµπέρασµα είναι ότι τα

δεδοµένα δεν παρέχουν αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της 0H .

Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται στην κανονική κατανοµή, όταν η διασπορά

( )2σ είναι άγνωστη.

1 2, ,...,n

X X X τ.δ. από ( )2,N µ σ , όταν η 2σ είναι άγνωστη.

2

3) Τότε, όπως θυµόµαστε, αντί της 2σ , παίρνουµε την εκτιµήτριά της s και

ελεγχοσυνάρτηση είναι η ( )0X

TS

n

µ−= , η οποία, κάτω από την 0H , ακολουθεί

την κατανοµή Student t, µε n-1 βαθµούς ελευθερίας ( )( )1

~n

T−

t , η οποία είναι

είναι ανεξάρτητη από άγνωστες παραµέτρους.

Τότε για αµφίπλευρο έλεγχο, απορρίπτουµε την 0H , για ακραίες τιµές της Τ,

δηλαδή ( ), 1

2a n

T−

≥ t ,

και για µονόπλευρο έλεγχο, απορρίπτουµε την 0H , για ακραίες θετικές (ή αρνη-

τικές) τιµές της Τ, δηλαδή ( ), 1a nT

−> t , ή ( ), 1a n

T−

< t

Παρατηρούµενο Επίπεδο Σηµαντικότητας

(Observed Level of Significance, p – value)

είναι η πιθανότητα να πάρει η ελεγχοσυνάρτηση τιµή τόσο ακραία ή πε-

ρισσότερο ακραία από αυτή που παρατηρήσαµε στο δείγµα µας, κάτω από την

αρχική υπόθεση 0H .

Τότε θα απορρίπτουµε την 0H , αν το p-value είναι µεγαλύτερο από τη a

z .