- 1 -

الحيان: األستاذ حساب التكامل الثانية بكالوريا علوم رياضية :أحسب التكامالت التالية :1التمرين

360

cos( )sin ( )x x dxπ

22و∫0

sin( )cos ( )x x dxπ

و∫4

02x x dx−∫

32و0

sin ( )x dxπ

2و∫0

cos( ) sin(2 )1 sin(2 )

t t dtt

π +2 و∫+

0

cos( )1 2sin( )

t dtt

π

+∫

و1

21

12 5

dxx x− + و ∫+

4

1

(ln )e x dxx∫ و

2

0 1

x

x

e dxe+∫

: 2التمرين ;: حل المعادلة التالية . 1 2,5x xx e e −∈ + =.

2lim: أحسب النهاية . 21

x

x

ex→+∞ +

: أحسب التكامل -أ. 32

21

24

I dtt

=+∫

: استنتج قيمة التكامل - بln 5

ln 2 (3 ) 1

x

x x

eJ dxe e

=+ −

∫

1xt: يمكن وضع ( e= − ( :3التمرين

: أحسب -أ. 1 3

2

0

1x x dx+∫.

: دالة أصلية للدالة حدد على - ب21

xxx+

.

: باستعمال المكاملة باألجزاء ؛ أحسب - جـ3 3

20 1

x dxx+

∫.

: أحسب . 2ln 2

20 2 2

x

x x

e dxe e− 1xt: يمكن وضع ( ∫+ e= −(

:4ين التمر

*: بين أن . 12 2 2 2

1 1 1:(1 ) 1

xx x x x

∀ ∈ = −+ +

.

: استنتج قيمة التكامل . 22

2 21

1(1 )

I dxx x

=+∫.

: 5التمرين : باستعمال المكاملة باألجزاء؛ أحسب التكامل التالي . 1

( )1

2

0

ln 1I x x dx= + +∫.

): استنتج التكامل التالي . 2 )1

2

0

ln 1J x x dx= + −∫.

:6التمرين : باستعمال المكاملة بتغيير المتغير؛ أحسب التكامل التالي -أ. 1

1

20

11

I dxx

=+

21t: يمكن وضع ( ∫ x x= + +(

:ستنتج التكامل باستعمال المكاملة باألجزاء؛ ا- ب1

2

0

1J x dx= +∫

: أحسب التكامل التالي . 20

21

12 2

K dxx x−

=+ +

∫.

:7التمرين

2:بين أن. 1

1 1 2 12, ;2 2 3 2 5 2 2 1

txt t t t

⎧ ⎫ ⎛ ⎞∀ ∈ − − = +⎨ ⎬ ⎜ ⎟+ − + −⎩ ⎭ ⎝ ⎠

: أحسب التكامل التالي . 24

21 2 3 2

tdtIt t

=+ −∫.

: تكامل استنتج قيمة ال. 35

0 2 3 1dx

x x+ +∫.

3( يمكن استعمال مكاملة بتغيير المتغير 1t x= +. ( : 8التمرين

: بين أن -أ. 12

2 3 2 1; 1 14 3

xx x x⎡ ⎤+⎛ ⎞∀ ∈ + + = +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦.

2 بين باستعمال طريقة تغيير المتغير؛ واضعا- ب 13

xt + :؛ أن =

1

23 12

1 2 3:1 3 12

I dxx x

π

−

= =+ +∫

: تحقق من أن -أ. 2

*2 2 2

1 1 2 1 1;( 1) 2( 1) 2( 1)

xxx x x x x x x x

+∀ ∈ = − −

+ + + + + +

: أحسب التكامل - ب1

23 12

1( 1)

dxx x x− + +∫.

: التكامل ؛ باستعمال المكاملة باألجزاء ؛ أحسب.31

2 23 12

(2 1) ln( )( 1)

x xK dxx x−

+=

+ +∫

:أحسب التكامالت التالية : 9التمرين 2 4 3

21

3 2x xI dxx

− += و∫

02

2

( 1) 2 5J x x x dx−

= + + و∫+

24

12

( 1)sin(2 1)K x x dx

π −

−

= + و∫+1

21

12 5

L dxx x−

=+ +∫.

:10التمرين

: أحسب التكامل التالي .12

21 1xI dx

x=

+∫.

2 : لدالة أوجد دالة أصلية ل.2 2( 1)xx

x +.

: باستعمال المكاملة باألجزاء؛ أحسب . 32

2 21

ln( )( 1)x x dxx +∫.

*: الحظ أن ( 2 2

1 1;( 1) 1

xxx x x x

∀ ∈ = −+ +

(

- 2 -

:11التمرين ): أحسب التكامل التالي . 1 )2

01 sin(2 )I x dx

π= +∫.

: أحسب التكامل -أ. 231

20 1xK dx

x=

+∫.

: باستعمال المكاملة باألجزاء؛أحسب- ب1 2

0tan( )J x Arc x dx= ∫

:12التمرين

: أحسب . 13

1 (1 )dx

x x+∫ ) يمكن وضع :t x=.(

: بين أن -أ. 22

: 11 1

x xx

x x

e ex ee e

−−

−∀ ∈ = − ++ +

.

: أحسب - ب2ln 2

0 1

x

x

e dxe

−

−+∫.

: باستعمال المكاملة باألجزاء؛ أحسب - جـln 2

0ln(1 )x xe e dx− −+∫

:13التمرين

}: تحقق أن . 1 } 2 2

1 1 1 11,0 :( 1) 1 ( 1)

tt t t t t

∀ ∈ − − = − −+ + +

: أحسب التكامل التالي . 22

21

1( 1)

dtt t +∫.

: استنتج قيمة التكامل . 3ln 2

20

1( 1)x dxe xtيمكن وضع ( ∫+ e=(

:14التمرين

}: تحقق أن . 1 }2 11 : 1

1 1tt t

t t∀ ∈ − − = − +

+ +.

: أحسب التكامل التالي . 221

0 1tI dt

t=

+∫.

: بين أن . 31

02

1x dx I

x=

t :يمكنك وضع ( ∫+ x= ( .

) : أحسب ؛ باستعمال المكاملة باألجزاء. 4 )1

0ln 1 x dx+∫.

:15التمرين

: بين أن .13

21 ln 2

1t dt

t= +

−∫.

: أحسب .210

5

1 12

x dxx+ −1t: يمكنك وضع ( ∫− x= −(

:16التمرين

:أحسب التكامل . 12

02 1I x dx= −∫.

xtبوضعك. 2 e=؛ أحسب التكامل :ln 2

0

3x x

x x

e eJ dxe e

−

−

+=

+∫.

: الحظ أن ( 2

2 2

3 3 2( 1) 1t t

t t t t+

= −+ +

(

:17التمرين

1 : أحسب التكامل . 11 ln

e

e

I x dxx

= ∫.

2 بحيث يكونb وa أوجد العددين-أ. 21 1

t bat t= +

+ + لكل عدد

.-1 يخالف t حقيقي

: أحسب التكامل ) ب7

2

11 2

J dxx

=+ +∫

2tيمكن وضع ( x= +( :18التمرين

:2 : حدد دالة أصلية للدالة. 1(1 )

x

x

eu xe+

.

: باستعمال مكاملة باألجزاء؛ أحسب . 2ln 2

20

( )(1 )

x x

x

x e e dxe

++∫.

:19التمرين

: أحسب التكامل . 10

2 1 2 x

dxI dxe−

=xtيمكنك وضع ( ∫+ e−=(

: باستعمال مكاملة باألجزاء؛أحسب. 20

ln 2ln(1 2 )x xJ e e dx−

−= +∫

:20التمرين

2: بين أن . 1 2

1: 1( 1) 1 ( 1)

x x

x x x

e exe e e

∀ ∈ = − −+ + +

: أحسب . 21

20 ( 1)x

dxe +∫.

: باستعمال مكاملة باألجزاء؛ أحسب . 31

30 ( 1)

x

x

xe dxe +∫.

0aليكن : 21التمرين دالة عددية متصلة على f ولتكن<] المجال ],a a−.

: دالة زوجية؛ فإنfبين أنه إذا آانت. 10

( ) 2 ( )a a

af x dx f x dx

−=∫ ∫

): دالة فردية؛ فإنf أنه إذا آانتبين. 2 ) 0a

af x dx

−=∫.

:استنتج حساب التكاملين التاليين . 3

2

2

sin( )I x dxπ

π−

= و ∫1212

1cos( ) ln1

xJ x dxx−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠∫

: 22التمرين .T ودورية دورهاعلى دالة متصلةfلتكن

: بين أن .10

: ( ) ( )T T

f x dx f x dxα

αα

+∀ ∈ =∫ ∫.

: أحسب التكامل .22008

32005

3

sin( )I x dxπ

π= ∫.

:23التمرين )أحسب نهاية المتتالية )n n

u التالية في آل من الحاالت :

-أ 2 1

1

12

n

np

un p

−

=

= -ب ؛ ∑+

2 21

14

n

np

un p=

=−

∑

) -جـ )20

sinn

np

pu pn

π=

=∑ .

- 3 -