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1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS 1.6.1- NORMAS DE VETORES

Definição 1.6.1- Chama-se norma de um vetor x, x , qualquer função definida num

espaço vetorial E, com valores em R, satisfazendo as seguintes condições: N1) x ≥ 0 e x = 0 se e somente se x = 0. N2) xλλλλ = �λ � x para todo escalarλ. N3) yx ++++ ≤ yx ++++ (desigualdade triangular).

Como exemplos de normas no Rn de uso frequente temos:

a) E

x = xii

n2

1=� , b)

∞∞∞∞x = max

i n1≤ ≤� xi� , c)

1x =

i

n

=�

1

� xi

Vamos mostrar que E

x = X II

N2

1=� é uma norma bem definida no Rn, isto é, vamos

mostrar que as condições N1, N2, N3 estão satisfeitas. (A prova de que b) e c) definem normas no Rn fica a cargo do leitor).

Assim:

N1) E

x = xii

n2

1=� ≥ 0 (evidente)

E

x = xii

n2

1=� = 0 ⇔ xi

i

n2

1=� = 0 ⇔ xi = 0, ∀ ⇔ =i x θ

N2) Exλλλλ = λ2 2

1

xii

n

=� = λ2 2

1

xii

n

=� = �λ � xi

i

n2

1=� = �λ �

Ex

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N3) x y x yE i i+ = + =�2 2( ) (x1+y1)2 + (x2 + y2)2+...+ (xn + yn)2 =

= x x y y x x y y x x y yn n n n12

1 1 12

22

2 2 22 2 22 2 2+ + + + + + + + + =�

= xii

n2

1=� + 2 x yi i

i

n

=�

1

+ yii

n2

1=� = ∗

Usando desigualdade de Schwartz:

x yi ii

n

=�

1

≤ xii

n2

1=� yi

i

n2

1=� ; temos:

∗ ≤ xii

n2

1=� + 2 xi

i

n2

1=� yi

i

n2

1=� + yi

i

n2

1=�

= x x y y x yE E E E E E

2 2 22+ + = +( )

Portanto: x y x yE E E

+ ≤ +2 2( )

Extraindo-se a raiz quadrada de ambos os membros, temos que

x y x yE E E

+ ≤ +

Logo, x E = xii

n2

1=� é uma boa definição de norma.

Exemplo de cálculo de norma.

Seja x =

−

−

�

�

������

�

�

������

1103420

x E = ( ) ( )− + + + + − =1 10 3 4 20 5262 2 2 2 2 x ∞ = max ( − − =1 10 3 4 20, , , , ) 20

x 1 = − + + + + − =1 10 3 4 20 38

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Definição 1.6.2 Duas normas • •a be são ditas equivalentes se existem constantes k e k’ tais que

k x x k x x Ea b a≤ ≤ ∀ ∈' , . Como exemplos de normas equivalentes, temos:

a) x x n x∞ ∞≤ ≤1 b) x x n xE∞ ∞≤ ≤

c)1

1nx x n xE i≤ ≤

Vamos verificar que x x n x∞ ∞≤ ≤1 ; a verificação das demais fica a cargo do

leitor. Temos: x ∞ = max

i n1≤ ≤� xi� = max { x1 , x2 ,�, xn } =

= x x x x x xk k ii

k

ii k

n

ii

n

≤ + + = = ==

−

= + =� � �

1

1

1 11

= x1 + x2 +�+ xn { }≤ + + +x x xk k k� =

= n x n max x n xk i n i= =≤ ≤ ∞1

.

Definição 1.6.3:

Dada uma seqüência de vetores x(k) ∈ E e uma norma sobre E, dizemos que a seqüência { x(k)} converge para x ∈ E se 0)( →−xx k , quando k → ∞.

1.6.2- Norma de matrizes.

O conjunto das matrizes (nxn), com as operações de soma de matrizes e produto de um escalar por uma matriz forma um espaço vetorial E de dimensão n2.

Podemos então falar em norma de uma matriz A ∈ E.

Algumas normas de matrizes:

a) A max aj n ij

j

n

∞ ≤ ≤ == �

1 1

(norma linha)

b) A max aj n ij

j

n

1 1 1

=≤ ≤ =

� (norma coluna)

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c) A aE iji j

n

==� 2

1,

(norma euclidiana)

A verificação de que a) b) e c) acima são normas bem definidas no espaço vetorial das matrizes nxn, fica a cargo do leitor.

Exemplo de cálculo de normas: Seja:

A=3 2 16 3 41 2 1

−

−

�

�

���

�

�

���

A ∞ = + + =6 3 4 13

A 1 3 6 1 10= + + − =

A E = ( 9 + 4 + 1 + 36 + 9 + 16 + 1 + 4 + 1)½ = 9

São válidas as seguintes desigualdades:

a) 1n

A A n AE∞ ∞≤ ≤

b) 1

1 1nA A n AE≤ ≤

c) A n A∞ ≤ 1 d) A n A1 ≤ ∞

Verificação a cargo do leitor. Para as normas de matrizes • • •∞ , ,1 E , vale:

AB A B≤ • para quaisquer matrizes A e B. (Prove).

Definição 1.6.4: Normas subordinadas.

Dada uma norma de vetor no Rn, podemos definir uma norma de matrizes, que será dita subordinada a ela, por:

A Axx

==

sup1

A norma de matriz assim definida pode ser interpretada como sendo o comprimento

do maior vetor no conjunto imagem {Ax} da esfera unitária { x/ x = 1} pela transformação x → Ax.

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Definição 1.6.5: Normas consistentes.

Dada uma norma no Rn e uma norma de matrizes dizemos que elas são consistentes

se, para qualquer x, xAAx ≤

Observação: Notemos que ∃ x0 ∈E tal que 0xAAxo ≤ . Nestas condições:

A = min k tal que xkAx ≤ .

Se uma norma de matrizes é subordinada a uma norma do Rn elas são consistentes. (Prove). 1.7- Sistemas lineares - Métodos Iterativos.

Um método é dito iterativo quando fornece uma seqüência de aproximante da solução, cada um dos quais obtidos dos anteriores pela repetição do mesmo tipo de processo.

Um método iterativo é dito estacionário se cada aproximante é obtido do anterior sempre pelo mesmo processo.

Quando os processos variam de passo para passo mas se repetem ciclicamente de s em s passos ele é dito s-cíclico.

Agrupando-se os s passos de cada ciclo num único passo composto, obtemos um método estacionário.

Notação:

Em todo esse capítulo usaremos as seguintes definições e notações: Sendo Ax=b um sistema linear, denotaremos sua solução por x e sua solução

aproximada por x . e = x - x será dito erro r = b - A x será dito resíduo

Resulta: Ae = r. De fato:

Ae = A(x - x ) = Ax - A x = b - A x = r

isto é, o erro é solução do sistema onde os termos conhecidos foram substituído pelos resíduos.

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1.7.1- Método de Jacobi-Richardson

Seja resolver o sistema linear Ax = b. Definimos L, D e R por:

Lij = �

≤�

ji,0ji,a ij ; dij =

�

≠=

ji,0ji,a ij ; rij =

�

≥

ji,0ji,a ij

Podemos então escrever:

A = L + D + R .

Supondo det (D) ≠0, podemos transformar o sistema original em ( L + D + R) x = b Dx = - (L + R)x + b x = - D-1 (L + R)x + D-1 b.

O processo iterativo definido por: x(k+1) = - D-1 (L + R)x(k) + D-1b é chamado de “Jacobi-Richardson”.

Por hipótese os aii ≠ 0. Podemos então dividir cada equação pelo correspondente elemento da diagonal principal, o que resulta D = I.

Assim, o processo se escreverá x(k+1) = - ( L∗ + R∗) x(K) + b∗

onde os elementos de L∗ são lij = �

�

�

≤

�=∗

ji,0

ji,a

aa

ii

ijij

os de R∗ são rij = �

�

�

≥

=∗

ji,0

ji,a

aa

ii

ijij e

os de b∗ são ii

ii a

bb =∗ , i = 1, 2, ...., n .

Ou seja, dado o sistema linear:

31

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

..................................................................................

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

O método de Jacobi-Richardson consiste na determinação de uma sequência de aproximantes de índice K

x )k(

1 , x )k(2 , . . . , x )k(

n , k = 1, 2, 3, . . . a partir de valores iniciais

x )0(

1 , x )o(2 , . . . , x )o(

n

através do processo iterativo definido por: x )1k(

1+ = 0 - a )k(

212 x∗ - . . . - a ∗∗ + 1)k(

nn1 bx

x )1k(

2+ =- a 0x )k(

121 −∗ - . . . - a ∗∗ + 2)k(

nn1 bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . x )1k(

n+ = - a )k(

1ni x∗ - a ∗∗ +−− n)k(

22n b0...x .

1.7.1.1- Critério de convergência

Fazendo B = - ( L* + R*) no critério geral de convergência e escolhendo sucessivamente as normas

∞• e

1• obtemos os critérios:

a) o método de Jacobi-Ricchardson converge se:

a.1) i

max 1an

ij1j

ij �≠=

∗ (critério das linhas)

ou

a.2) j

max 1an

ji1i

ij �≠=

∗ (critério das colunas)

Observação: O processo iterativo para quando

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( ) ε≤−

∞

+∞

+

1

)()1(

k

kk

x

xx (erro relativo)

onde ε é um número positivo previamente estabelecido. Exemplo 1.7.1:

Resolver o sistema:

�

�

�

=++−=++

=++

6x10x3x28xx5x

7xx2x10

321

321

321

pelo método de Jacobi-Richardson com x(0) = ( 0.7, -1.6, 0.6)t e ε < 10-2.

Solução:

Dividindo cada equação pelo correspondente elemento da diagonal principal obtemos:

x1 + 0. 2x2 + 0.1x3 = 0.7

0.2x1 + 2x2 + 0.2x3 = -1.7

0.2x1 + 0. 3x2 + x3 = 0.6

Temos:

i

max �≠=

n

ij1j

ija = 0.5 < 1

portanto temos o critério de convergência satisfeito.

Neste caso o critério das colunas, j

max �≠=

n

ji1i

ija = 0.5 < 1, também está satisfeito. .

Efetuando-se as iterações definidas por:

x )1k(

1+ = -0 . −)k(

2x2 7.0x1.0 )k(3 +

x )1k(

2+ = - −)k(

1x2.0 6.1x2.0 )k(3 −

x )1k(

3+ = -0 . −)k(

1x2 6.0x3.0 )k(2 +

33

a partir de x(0) = ( 0.7, -1.6, 0.6)t , resultam os seguintes valores:

K 0 1 2 3 4 X1 0.7 0.96 0.978 0.9994 0.99792 X2 -1.6 -1.86 -1.98 -1.9888 -1.99956 X3 0.6 0.94 0.966 0.9984 0.99676

Observações:

- Para ε < 10-2 temos que a solução do sistema é: X= ( 0.99 ; -1.99 ; 0.99)t; - A solução exata do sistema proposto é x = ( 1, -2, 1)t .