E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...
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E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios Tema 9
Sistemas de EDOs linealesFrancisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07Diciembre 2006, Versión 1.2
Ejercicio 1 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= x+ 2y,
dy
dt= 2x+ y.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ1 22 1
¶X,
con
X =
µx(t)y(t)
¶.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄1− λ 22 1− λ
¯̄̄̄= (1− λ) (1− λ)− 4= 1− 2λ+ λ2 − 4= λ2 − 2λ− 3,
resolvemos la ecuación característica
λ2 − 2λ− 3 = 0,
λ =2±√4 + 12
2=
⎧⎨⎩2+42 = 3,
2−42 = −1,
los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = 3.
Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos
(A− λ1I)X = 0,
1
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 2
(A+ I)X = 0,µ1 + 1 22 1 + 1
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
2 22 2
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x+ y = 0 ,
resolvemos paramétricamente½x = αy = −α , α ∈ R,
los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ1−1
¶, α ∈ R.
Tomamos
V1 =
µ1−1
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = 3. Resolvemos
(A− 3I)X = 0,µ1− 3 22 1− 3
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
−2 22 −2
¶µxy
¶=
µ00
¶,
que es equivalente a µ1 −11 −1
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x− y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = αy = α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ11
¶, α ∈ R,
tomamos
V2 =
µ11
¶.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 3
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ1−1
¶e−t, X2 =
µ11
¶e3t.
Solución general
X = c1
µ1−1
¶e−t + c2
µ11
¶e3t, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 2 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= −4
5x+
3
5y,
dy
dt=−25x− 11
5y.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ−4/5 3/5−2/5 −11/5
¶X,
con
X =
µx(t)y(t)
¶.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄−4/5− λ 3/5−2/5 −11/5− λ
¯̄̄̄= (−4/5− λ) (−11/5− λ) + 6/25
=44
25+4
5λ+
11
5λ+ λ2 +
6
25
= λ2 + 3λ+ 2.
Resolvemos la ecuación característica
λ2 + 3λ+ 2 = 0,
λ =−3±
√9− 8
2=
⎧⎨⎩−3+12 = −1,
−3−12 = −2,
los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = −2.
Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos el sistema
(A− λ1I)X = 0,
(A+ I)X = 0,µ−4/5 + 1 3/5−2/5 −11/5 + 1
¶µxy
¶=
µ00
¶,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 4
µ1/5 3/5−2/5 −6/5
¶µxy
¶=
µ00
¶,
que es equivalente a µ1 31 3
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x+ 3y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = −3αy = α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ−31
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ−31
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = −2. Resolvemos
(A+ 2I)X = 0,µ−4/5 + 2 3/5−2/5 −11/5 + 2
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
6/5 3/5−2/5 −1/5
¶µxy
¶=
µ00
¶,
que es equivalente a µ2 12 1
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{2x+ y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = αy = −2α , α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ1−2
¶, α ∈ R,
tomamos
V2 =
µ1−2
¶.
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 5
X1 =
µ−31
¶e−t, X2 =
µ1−2
¶e−2t.
Solución general
X = c
µ−31
¶e−t + c2
µ1−2
¶e−2t, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 3 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 2x+ 3y,
dy
dt= 2x+ y.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ2 32 1
¶X,
con
X =
µx(t)y(t)
¶.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄2− λ 32 1− λ
¯̄̄̄= (2− λ) (1− λ)− 6= 2− 2λ− λ+ λ2 − 6= λ2 − 3λ− 4.
Resolvemos la ecuación característica
λ2 − 3λ− 4 = 0,
λ =3±√9 + 16
2=
⎧⎨⎩3+52 = 4,
2−52 = −1,
los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = 4.
Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos
(A− λ1I)X = 0,
(A+ I)X = 0,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 6
µ2 + 1 32 1 + 1
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
3 32 2
¶µxy
¶=
µ00
¶,
que es equivalente a µ1 11 1
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x+ y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = αy = −α , α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ1−1
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ1−1
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = 4. Resolvemos
(A− 4I)X = 0,µ2− 4 32 1− 4
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
−2 32 −3
¶µxy
¶=
µ00
¶,
resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{2x− 3y = 0,
resolvemos paramétricamente⎧⎪⎨⎪⎩x = α
y =2
3α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ12/3
¶, α ∈ R,
para evitar fracciones, tomamos el vector propio correspondiente a α = 3
V2 =
µ32
¶.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 7
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ1−1
¶e−t, X2 =
µ32
¶e4t.
Solución general
X = c1
µ1−1
¶e−t + c2
µ32
¶e4t, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 4 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 2x+ 4y,
dy
dt= 4x+ 2y.
Determina la solución particular que verifica½x(0) = 5,y(0) = −1.
1. Determinamos la solución general
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ2 44 2
¶X,
con
X =
µx(t)y(t)
¶.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄2− λ 44 2− λ
¯̄̄̄= (2− λ)2 − 16= 4− 4λ+ λ2 − 16= λ2 − 4λ− 12.
Resolvemos la ecuación característica
λ2 − 4λ− 12 = 0,
λ =4±√16 + 48
2=4±√64
2=
⎧⎨⎩4+82 = 6,
4−82 = −2,
los valores propios sonλ1 = −2, λ2 = 6.
Vectores propios asociados a λ1 = −2. Resolvemos
(A− λ1I)X = 0,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 8
(A+ 2I)X = 0,µ2 + 2 44 2 + 2
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
4 44 4
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x+ y = 0 ,
resolvemos paramétricamente½x = αy = −α , α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ1−1
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ1−1
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = 6. Resolvemos
(A− 6I)X = 0,µ2− 6 44 2− 6
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
−4 44 −4
¶µxy
¶=
µ00
¶,
resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x− y = 0 ,
resolvemos paramétricamente½x = αy = α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ11
¶, α ∈ R,
tomamos
V2 =
µ11
¶.
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ1−1
¶e−2t, X2 =
µ11
¶e6t.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 9
Solución general
X = c1
µ1−1
¶e−2t + c2
µ11
¶e6t, c1, c2 ∈ R.
2. Solución particular
Imponemos la condición
X(0) =
µ5−1
¶y resulta
c1
µ1−1
¶e0 + c2
µ11
¶e0 =
µ5−1
¶,½
c1 + c2 = 5,−c1 + c2 = −1.
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2c2 = 4,
c2 = 2,
y sustituyendo en la primera, resulta
c1 = 3.
La solución del problema de valor inicial es
X = 3
µ1−1
¶e−2t + 2
µ11
¶e6t. ¤
Ejercicio 5 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
dx
dt= −4x+ y + z,
dy
dt= x+ 5y − z,
dz
dt= y − 3z.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
⎛⎝ −4 1 11 5 −10 1 −3
⎞⎠X,con
X =
⎛⎝ x(t)y(t)z(t)
⎞⎠ .
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 10
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =
¯̄̄̄¯̄ −4− λ 1 1
1 5− λ −10 1 −3− λ
¯̄̄̄¯̄
= (−4− λ) (5− λ) (−3− λ) + 1 + (−4− λ)− (−3− λ)
= (−4− λ) (5− λ) (−3− λ) + 1− 4− λ+ 3 + λ
= (−4− λ) (5− λ) (−3− λ) ,
Obtenemos la ecuación característica
(−4− λ) (5− λ) (−3− λ) = 0,
los valores propios son
λ1 = −3, λ2 = −4, λ3 = 5.
Vectores propios asociados a λ1 = −3. Resolvemos
(A− λ1I)X = 0,
(A+ 3I)X = 0,⎛⎝ −4 + 3 1 11 5 + 3 −10 1 −3 + 3
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,⎛⎝ −1 1 1
1 8 −10 1 0
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ .Aplicamos el método de Gauss⎛⎝ −1 1 1 0
1 8 −1 00 1 0 0
⎞⎠ ,
(2a + 1a)→ 2a
⎛⎝ −1 1 1 00 9 0 00 1 0 0
⎞⎠ ,(2a/9)→ 2a
(3a − 2a/9)→ 3a
⎛⎝ −1 1 1 00 1 0 00 0 0 0
⎞⎠ .Resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas½
−x+ y + z = 0,y = 0.
Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = αy = 0z = α
, α ∈ R.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 11
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
⎛⎝ 101
⎞⎠ , α ∈ R,
tomamos
V1 =
⎛⎝ 101
⎞⎠ .Vectores propios asociados a λ2 = −4. Resolvemos
(A+ 4I)X = 0,⎛⎝ −4 + 4 1 11 5 + 4 −10 1 −3 + 4
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,⎛⎝ 0 1 11 9 −10 1 1
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,que conduce al sistema ½
x+ 9y − z = 0y + z = 0
.
Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = −9y + z = 9α+ α = 10αy = −αz = α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
⎛⎝ 10−11
⎞⎠ , α ∈ R,
tomamos
V2 =
⎛⎝ 10−11
⎞⎠ .Vectores propios asociados a λ3 = 5. Resolvemos
(A− 5I)X = 0,⎛⎝ −4− 5 1 11 5− 5 −10 1 −3− 5
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,⎛⎝ −9 1 1
1 0 −10 1 −8
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ .
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 12
Aplicamos el método de Gauss⎛⎝ −9 1 1 01 0 −1 00 1 −8 0
⎞⎠ ,intercambiamos las dos primeras filas⎛⎝ 1 0 −1 0
−9 1 1 00 1 −8 0
⎞⎠ ,
(2a + 9 · 1a)→ 2a
⎛⎝ 1 0 −1 00 1 −8 00 1 −8 0
⎞⎠ ,resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas½
x− z = 0,y − 8z = 0.
Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = αy = 8αz = α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ3 son de la forma
V = α
⎛⎝ 181
⎞⎠ , α ∈ R,
tomamos
V3 =
⎛⎝ 181
⎞⎠ .Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
⎛⎝ 101
⎞⎠ e−3t, X2 =
⎛⎝ 10−11
⎞⎠ e−4t, X3 =
⎛⎝ 181
⎞⎠ e5t.Solución general
X = c1
⎛⎝ 101
⎞⎠ e−3t + c2⎛⎝ 10−11
⎞⎠ e−4t + c3⎛⎝ 181
⎞⎠ e5t, c1, c2, c3 ∈ R. ¤
Ejercicio 6 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 3x− 18y,
dy
dt= 2x− 9y.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 13
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ3 −182 −9
¶X.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄3− λ −182 −9− λ
¯̄̄̄= (3− λ) (−9− λ) + 36
= −27− 3λ+ 9λ+ λ2 + 36
= λ2 + 6λ+ 9.
Resolvemos la ecuación característica
λ2 + 6λ+ 9 = 0,
λ =−6±
√36− 362
=−62= −3 (doble).
Tenemos un único valor propio doble λ = −3. Vectores propios asociados aλ = −3. Resolvemos
(A− λI)X = 0,
(A+ 3I)X = 0,µ3 + 3 −182 −9 + 3
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
6 −182 −6
¶µxy
¶=
µ00
¶,
que es equivalente a µ1 −31 −3
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x− 3y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = 3αy = α
, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ son de la forma
V = α
µ31
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ31
¶.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 14
El subespacio de vectores propios es de dimensión 1. Obtenemos un vectorsolución
X1 =
µ31
¶e−3t.
Sabemos que podemos construir una segunda solución de la forma
X2 = V1teλt +V2e
λt
donde V2 es un vector que verifica
(A+ 3I)V2 = V1,µ6 −182 −6
¶µxy
¶=
µ31
¶,½
6x− 18y = 32x− 6y = 1 .
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{2x− 6y = 1
y necesitamos una solución cualquiera. Si tomamos y = 0, resulta½x = 1/2,y = 0.
Obtenemos el vector
V2 =
µ1/20
¶y construimos un segundo vector solución de la forma
X2 = V1teλt +V2e
λt,
esto es
X2 =
µ31
¶te−3t +
µ1/20
¶e−3t.
La solución general es
X = c1
µ31
¶e−3t + c2
∙µ31
¶te−3t +
µ1/20
¶e−3t
¸, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 7 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
dx
dt= x− 2y + 2z,
dy
dt= −2x+ y − 2z,
dz
dt= 2x− 2y + z.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 15
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
⎛⎝ 1 −2 2−2 1 −22 −2 1
⎞⎠X,con
X =
⎛⎝ x(t)y(t)z(t)
⎞⎠ .El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =
¯̄̄̄¯̄ 1− λ −2 2−2 1− λ −22 −2 1− λ
¯̄̄̄¯̄
= (1− λ)3+ 8 + 8− 4 (1− λ)− 4 (1− λ)− 4 (1− λ)
= (1− λ)3 + 16− 12 + 12λ= (1− λ)
3+ 4 + 12λ
= 1− 3λ+ 3λ2 − λ3 + 4 + 12λ
= 5 + 9λ+ 3λ2 − λ3.
Observamos que P (λ) se anula para λ = −1. Descomponemos usando la reglade Ruffini
−1 3 9 5−1) 1 −4 −5
−1 4 5 0
y obtenemos
5 + 9λ+ 3λ2 − λ3 = (λ+ 1)¡−λ2 + 4λ+ 5
¢.
Resolvemos−λ2 + 4λ+ 5 = 0,
λ =−4±
√16 + 20
−2 =−4± 6−2 =
⎧⎨⎩2−2 = −1,
−10−2 = 5.
Los valores propios son
λ1 = −1 (doble), λ2 = 5.
Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos
(A+ I)X = 0,⎛⎝ 1 + 1 −2 2−2 1 + 1 −22 −2 1 + 1
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,⎛⎝ 2 −2 2−2 2 −22 −2 2
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 16
que es equivalente a ⎛⎝ 1 −1 11 −1 11 −1 1
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ .Resulta un sistema de una ecuación con tres incógnitas
{x− y + z = 0,
resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = αy = βz = −α+ β
, α,β ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
⎛⎝ 10−1
⎞⎠+ β
⎛⎝ 011
⎞⎠ , α,β ∈ R.
Disponemos de dos vectores propios linealmente independientes asociados alvalor propio λ1 = −1
V1 =
⎛⎝ 10−1
⎞⎠ , V2 =
⎛⎝ 011
⎞⎠ ,que nos proporcionan los vectores solución
X1 =
⎛⎝ 10−1
⎞⎠ e−t, X2 =
⎛⎝ 011
⎞⎠ e−t.Vectores propios asociados a λ2 = 5. Resolvemos
(A− 5I)X = 0,⎛⎝ 1− 5 −2 2−2 1− 5 −22 −2 1− 5
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ ,⎛⎝ −4 −2 2−2 −4 −22 −2 −4
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 000
⎞⎠ .Reducimos el sistema a forma triangular⎛⎝ −4 −2 2 0
−2 −4 −2 02 −2 −4 0
⎞⎠ ,(3a/2)→ 1a
(2a/2)→ 2a
(1a/2)→ 3a
⎛⎝ 1 −1 −2 0−1 −2 −1 0−2 −1 1 0
⎞⎠ ,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 17
(2a + 1a)→ 2a
(3a + 2 · 1a)→ 3a
⎛⎝ 1 −1 −2 00 −3 −3 00 −3 −3 0
⎞⎠ ,(2a/(−3))→ 2a
(3a − 2a)→ 3a
⎛⎝ 1 −1 −2 00 1 1 00 0 0 0
⎞⎠ .Obtenemos el sistema ½
x− y − 2z = 0,y + z = 0.
Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = y + 2z = −α+ 2α = α,y = −α,z = α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
⎛⎝ 1−11
⎞⎠ , α ∈ R,
tomamos
V3 =
⎛⎝ 1−11
⎞⎠y obtenemos el vector solución
X3 =
⎛⎝ 1−11
⎞⎠ e5t.Sistema fundamental de soluciones
X1 =
⎛⎝ 10−1
⎞⎠ e−t, X2 =
⎛⎝ 011
⎞⎠ e−t, X3 =
⎛⎝ 1−11
⎞⎠ e5t.Solución general
X =c1
⎛⎝ 10−1
⎞⎠ e−t + c2⎛⎝ 011
⎞⎠ e−t + c3⎛⎝ 10−11
⎞⎠ e5t, cj ∈ R. ¤
Ejercicio 8 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 2x+ 8y,
dy
dt= −x− 2y.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 18
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ2 8−1 −2
¶X.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄2− λ 8−1 −2− λ
¯̄̄̄= (2− λ) (−2− λ) + 8
= −4− 2λ+ 2λ+ λ2 + 8
= λ2 + 4.
Resolvemosλ2 + 4 = 0,
λ = ±2i.Tenemos un par de valores propios complejos conjugados.Calculamos un vector propio asociado a
λ = 2i.
Resolvemos(A− 2iI)X = 0,µ
2− 2i 8−1 −2− 2i
¶µxy
¶=
µ00
¶,
reducimos a forma triangularµ2− 2i 8 0−1 −2− 2i 0
¶.
Intercambiamos las filas µ−1 −2− 2i 02− 2i 8 0
¶,
multiplicamos la primera fila por 2− 2i y la sumamos a la segunda, como
(2− 2i) (−2− 2i) = −4− 4i+ 4i+ 4i2 = −8,
resulta µ−1 −2− 2i 00 0 0
¶,
que es equivalente a µ1 2 + 2i 00 0 0
¶.
Obtenemos un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x+ (2 + 2i)y = 0,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 19
resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = −(2 + 2i) a,
y = a, a ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ son de la forma
V = a
⎛⎝ − (2 + 2i)1
⎞⎠ , a ∈ R,
tomamos el vector propio correspondiente a a = −1
V =
µ2 + 2i−1
¶=
µ2−1
¶+ i
µ20
¶.
Podemo obtener un sistema fundamental de soluciones tomando la parte real yla parte imaginaria de
(cos 2t+ i sin 2t)
∙µ2−1
¶+ i
µ20
¶¸.
Sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ2−1
¶cos 2t−
µ20
¶sin 2t =
µ2 cos 2t− 2 sin 2t,
− cos 2t
¶,
X2 =
µ20
¶cos 2t+
µ2−1
¶sin 2t =
µ2 cos 2t+ 2 sin 2t− sin 2t
¶.
La solución general es
X = c1
∙µ2−1
¶cos 2t−
µ20
¶sin 2t
¸+ c2
∙µ20
¶cos 2t+
µ2−1
¶sin 2t
¸= c1
µ2 cos 2t− 2 sin 2t,
− cos 2t
¶+ c2
µ2 cos 2t+ 2 sin 2t− sin 2t
¶, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 9 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 3x− 3y + 4,
dy
dt= 2x− 2y − 1.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ3 −32 −2
¶X+
µ4−1
¶.
Se trata de un sistema completo
X0= AX+B,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 20
con
X =
µx(t)y(t)
¶, A =
µ3 −32 −2
¶, B =
µ4−1
¶.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄3− λ −32 −2− λ
¯̄̄̄= (3− λ) (−2− λ) + 6
= −6− 3λ+ 2λ+ λ2 + 6
= λ2 − λ.
Resolvemosλ2 − λ = 0,
λ (λ− 1) = 0,los valores propios son
λ1 = 0, λ2 = 1.
Vectores propios asociados a λ1 = 0. Resolvemos
(A− λ1I)X = 0,
AX = 0,µ3 −32 −2
¶µxy
¶=
µ00
¶,
resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x− y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = α,y = α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ11
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ11
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = 1. Resolvemos
(A− I)X = 0,µ3− 1 −32 −2− 1
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
2 −32 −3
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 21
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{2x− 3y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = α,y = 2
3α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ12/3
¶, α ∈ R,
tomamos el vector propio correspondiente a α = 3,
V2 =
µ32
¶.
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ11
¶, X2 =
µ32
¶et.
Solución general del sistema homogéneo
X = c1
µ11
¶+ c2
µ32
¶et.
Sabemos que es posible construir una solución particular de la forma
Xp = Φ
ZΦ−1B dt,
donde Φ es una matriz fundamental
Φ =
µ1 3et
1 2et
¶y B es la columna de términos independientes
B =
µ4−1
¶.
Empezamos calculandos la inversa Φ−1,
|Φ| = 2et − 3et = −et,
Φ−1 =1
−et
µ2et −3et−1 1
¶=
µ−2 3e−t −e−t
¶.
A continuación, calculamos
Φ−1B =
µ−2 3e−t −e−t
¶µ4−1
¶=
µ−8− 34e−t + e−t
¶=
µ−115e−t
¶,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 22
integramos ZΦ−1B dt =
Z µ−115e−t
¶dt =
µ−11t−5e−t
¶y, finalmente, calculamos la solución particular del sistema completo
Xp = Φ
ZΦ−1B dt =
µ1 3et
1 2et
¶ µ−11t−5e−t
¶=
µ−11t − 15−11t− 10
¶.
Solución general del sistema completo
Podemos escribir la solución general en la forma
X = ΦC+Φ
ZΦ−1B dt.
X =
µ1 3et
1 2et
¶µc1c2
¶+
µ−11t − 15−11t− 10
¶,
o bien, usando un sistema fundamental de soluciones
X = c1
µ11
¶+ c2
µ32
¶et +
µ−11t − 15−11t− 10
¶.
En ambos casos, obtenemos la solución general⎧⎨⎩ x (t) = c1 + 3c2et − 11t − 15,
y (t) = c1 + 2c2e−t − 11t− 10. ¤
Ejercicio 10 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 3x− 5y + et/2,
dy
dt=3
4x− y − et/2.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ3 −53/4 −1
¶X+
µet/2
−et/2¶
se trata de un sistema lineal completo
X0= AX+B,
con
X =
µx(t)y(t)
¶, A =
µ3 −53/4 −1
¶, B =
µet/2
−et/2¶.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 23
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄3− λ −53/4 −1− λ
¯̄̄̄= (3− λ) (−1− λ) + 15/4
= −3− 3λ+ λ+ λ2 + 15/4
= λ2 − 2λ+ 3/4.
Resolvemosλ2 − 2λ+ 3/4 = 0,
λ =2±√4− 32
=2± 12
=
⎧⎨⎩ 3/2,
1/2.
Los valores propios sonλ1 = 1/2, λ2 = 3/2.
Vectores propios asociados a λ1 = 1/2. ResolvemosµA− 1
2I
¶X = 0,
µ3− 1/2 −53/4 −1− 1/2
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
5/2 −53/4 −3/2
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{x− 2y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = 2α,y = α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ21
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ21
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = 3/2. ResolvemosµA− 3
2I
¶X = 0,
µ3− 3/2 −53/4 −1− 3/2
¶µxy
¶=
µ00
¶,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 24
µ3/2 −53/4 −5/2
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{3x− 10y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = αy = 3
10α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ13/10
¶, α ∈ R,
para evitar fracciones, tomamos α = 10
V2 =
µ103
¶.
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ21
¶et/2, X2 =
µ103
¶e3t/2.
Solución general del sistema homogéneo
Xh = c1
µ21
¶et/2 + c2
µ103
¶e3t/2, c1, c2 ∈ R.
Podemos construir una solución particular de la forma
Xp = Φ
ZΦ−1B dt
donde Φ es la matriz fundamental
Φ =
µ2et/2 10e3t/2
et/2 3e3t/2
¶y B la columna de términos idependientes
B =
µet/2
−et/2¶
Calculamos la inversa de la matriz fundamental
|Φ| = 6et/2e3t/2 − 10et/2e3t/2 = 6e2t − 10e2t = −4e2t,
Φ−1 =1
−4e2t
µ3e3t/2 −10e3t/2−et/2 2et/2
¶=−14
µ3e−t/2 −10e−t/2−e−3t/2 2e−3t/2
¶.
Calculamos el producto
Φ−1B =
∙−14
µ3e−t/2 −10e−t/2−e−3t/2 2e−3t/2
¶¸µet/2
−et/2¶
=−14
µ3 + 10
−e−t − 2e−t¶=1
4
µ−133e−t
¶,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 25
integramosZΦ−1B dt =
Z1
4
µ−133e−t
¶dt =
1
4
µ−13t−3e−t
¶=−14
µ13t3e−t
¶y finalmente, determinamos la solución particular del sistema completo
Xp = Φ
ZΦ−1B dt =
µ2et/2 10e3t/2
et/2 3e3t/2
¶ ∙−14
µ13t3e−t
¶¸=−14
µ2et/2 10e3t/2
et/2 3e3t/2
¶ µ13t3e−t
¶=−14
µ26tet/2 + 30et/2
13tet/2 + 9et/2
¶.
Podemos reescribir la solución particular como sigue
Xp =−14
µ2613
¶tet/2 − 1
4
µ309
¶et/2
= −µ13/213/4
¶tet/2 −
µ15/29/4
¶et/2.
Solución general del sistema completo
X = Xh +Xp,
X = c1
µ21
¶et/2+c2
µ103
¶e3t/2−
µ13/213/4
¶tet/2−
µ15/29/4
¶et/2, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 11 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx
dt= 2y + et,
dy
dt= −x+ 3y − et.
Expresamos el sistema en forma matricial
X0 =
µ0 2−1 3
¶X+
µet
−et¶.
Se trata de un sistema lineal completo
X0= AX+B,
con
X =
µx(t)y(t)
¶, A =
µ0 2−1 3
¶, B =
µet
−et¶.
El polinomio característico es
p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄−λ 2−1 3− λ
¯̄̄̄= (−λ) (3− λ) + 2
= λ2 − 3λ+ 2.
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 26
Resolvemosλ2 − 3λ+ 2 = 0,
λ =3±√9− 82
=3± 12
=
½2,1.
Los valores propios sonλ1 = 1, λ2 = 2.
Vectores propios asociados a λ1 = 1. Resolvemos
(A− I)X = 0,µ−1 2−1 2
¶µxy
¶=
µ00
¶,
resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas,
{−x+ 2y = 0.
Resolvemos paramétricamente½x = 2αy = α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma
V = α
µ21
¶, α ∈ R,
tomamos
V1 =
µ21
¶.
Vectores propios asociados a λ2 = 2. Resolvemos
(A− 2I)X = 0,µ−2 2−1 3− 2
¶µxy
¶=
µ00
¶,µ
−2 2−1 1
¶µxy
¶=
µ00
¶.
Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas
{−x+ y = 0,
resolvemos paramétricamente½x = α,y = α, α ∈ R.
Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma
V = α
µ11
¶, α ∈ R,
Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 27
tomamos
V2 =
µ11
¶.
Obtenemos el sistema fundamental de soluciones
X1 =
µ21
¶et, X2 =
µ11
¶e2t.
Solución general del sistema homogéneo
Xh = c1
µ21
¶et + c2
µ11
¶e2t, c1, c2 ∈ R.
Podemos construir una solución particular de la forma
Xp = Φ
ZΦ−1B dt
donde Φ es la matriz fundamental
Φ =
µ2et e2t
et e2t
¶y B es el vector de términos independientes
B =
µet
−et¶.
Invertimos la matriz fundamental
|Φ| = 2e3t − e3t = e3t,
Φ−1 =1
e3t
µe2t −e2t−et 2et
¶=
µe−t −e−t−e−2t 2e−2t
¶.
Calculamos el producto
Φ−1B =
µe−t −e−t−e−2t 2e−2t
¶µet
−et¶
=
µ1 + 1
−e−t − 2e−t¶=
µ2
−3e−t¶,
integramos ZΦ−1B dt =
Z µ2
−3e−t¶dt =
µ2t3e−t
¶,
y finalmente, obtenemos la solución particular del sistema completo
Xp = Φ
ZΦ−1B dt =
µ2et e2t
et e2t
¶µ2t3e−t
¶=
µ4tet + 3et
2tet + 3et
¶.
Solución general del sistema completo
X = c1
µ21
¶et + c2
µ11
¶e2t +
µ4tet + 3et
2tet + 3et
¶= c1
µ21
¶et + c2
µ11
¶e2t +
µ42
¶tet +
µ33
¶et, c1, c2 ∈ R. ¤