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E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 Sistemas de EDOs lineales Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Diciembre 2006, Versión 1.2 Ejercicio 1 Resuelve el sistema dx dt = x +2y, dy dt =2x + y. Expresamos el sistema en forma matricial X 0 = μ 1 2 2 1 X, con X = μ x(t) y(t) . El polinomio característico es p(λ) = |A λI| = ¯ ¯ ¯ ¯ 1 λ 2 2 1 λ ¯ ¯ ¯ ¯ = (1 λ) (1 λ) 4 = 1 2λ + λ 2 4 = λ 2 2λ 3, resolvemos la ecuación característica λ 2 2λ 3=0, λ = 2 ± 4 + 12 2 = 2+4 2 =3, 24 2 = 1, los valores propios son λ 1 = 1, λ 2 =3. Vectores propios asociados a λ 1 = 1. Resolvemos (A λ 1 I) X = 0, 1

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E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios Tema 9

Sistemas de EDOs linealesFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Curso 2006/07Diciembre 2006, Versión 1.2

Ejercicio 1 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= x+ 2y,

dy

dt= 2x+ y.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ1 22 1

¶X,

con

X =

µx(t)y(t)

¶.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄1− λ 22 1− λ

¯̄̄̄= (1− λ) (1− λ)− 4= 1− 2λ+ λ2 − 4= λ2 − 2λ− 3,

resolvemos la ecuación característica

λ2 − 2λ− 3 = 0,

λ =2±√4 + 12

2=

⎧⎨⎩2+42 = 3,

2−42 = −1,

los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = 3.

Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos

(A− λ1I)X = 0,

1

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 2

(A+ I)X = 0,µ1 + 1 22 1 + 1

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

2 22 2

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x+ y = 0 ,

resolvemos paramétricamente½x = αy = −α , α ∈ R,

los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ1−1

¶, α ∈ R.

Tomamos

V1 =

µ1−1

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = 3. Resolvemos

(A− 3I)X = 0,µ1− 3 22 1− 3

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

−2 22 −2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

que es equivalente a µ1 −11 −1

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x− y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = αy = α

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ11

¶, α ∈ R,

tomamos

V2 =

µ11

¶.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 3

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ1−1

¶e−t, X2 =

µ11

¶e3t.

Solución general

X = c1

µ1−1

¶e−t + c2

µ11

¶e3t, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 2 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= −4

5x+

3

5y,

dy

dt=−25x− 11

5y.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ−4/5 3/5−2/5 −11/5

¶X,

con

X =

µx(t)y(t)

¶.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄−4/5− λ 3/5−2/5 −11/5− λ

¯̄̄̄= (−4/5− λ) (−11/5− λ) + 6/25

=44

25+4

5λ+

11

5λ+ λ2 +

6

25

= λ2 + 3λ+ 2.

Resolvemos la ecuación característica

λ2 + 3λ+ 2 = 0,

λ =−3±

√9− 8

2=

⎧⎨⎩−3+12 = −1,

−3−12 = −2,

los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = −2.

Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos el sistema

(A− λ1I)X = 0,

(A+ I)X = 0,µ−4/5 + 1 3/5−2/5 −11/5 + 1

¶µxy

¶=

µ00

¶,

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 4

µ1/5 3/5−2/5 −6/5

¶µxy

¶=

µ00

¶,

que es equivalente a µ1 31 3

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x+ 3y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = −3αy = α

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ−31

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ−31

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = −2. Resolvemos

(A+ 2I)X = 0,µ−4/5 + 2 3/5−2/5 −11/5 + 2

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

6/5 3/5−2/5 −1/5

¶µxy

¶=

µ00

¶,

que es equivalente a µ2 12 1

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{2x+ y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = αy = −2α , α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ1−2

¶, α ∈ R,

tomamos

V2 =

µ1−2

¶.

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 5

X1 =

µ−31

¶e−t, X2 =

µ1−2

¶e−2t.

Solución general

X = c

µ−31

¶e−t + c2

µ1−2

¶e−2t, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 3 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 2x+ 3y,

dy

dt= 2x+ y.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ2 32 1

¶X,

con

X =

µx(t)y(t)

¶.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄2− λ 32 1− λ

¯̄̄̄= (2− λ) (1− λ)− 6= 2− 2λ− λ+ λ2 − 6= λ2 − 3λ− 4.

Resolvemos la ecuación característica

λ2 − 3λ− 4 = 0,

λ =3±√9 + 16

2=

⎧⎨⎩3+52 = 4,

2−52 = −1,

los valores propios sonλ1 = −1, λ2 = 4.

Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos

(A− λ1I)X = 0,

(A+ I)X = 0,

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 6

µ2 + 1 32 1 + 1

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

3 32 2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

que es equivalente a µ1 11 1

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x+ y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = αy = −α , α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ1−1

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ1−1

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = 4. Resolvemos

(A− 4I)X = 0,µ2− 4 32 1− 4

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

−2 32 −3

¶µxy

¶=

µ00

¶,

resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{2x− 3y = 0,

resolvemos paramétricamente⎧⎪⎨⎪⎩x = α

y =2

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ12/3

¶, α ∈ R,

para evitar fracciones, tomamos el vector propio correspondiente a α = 3

V2 =

µ32

¶.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 7

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ1−1

¶e−t, X2 =

µ32

¶e4t.

Solución general

X = c1

µ1−1

¶e−t + c2

µ32

¶e4t, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 4 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 2x+ 4y,

dy

dt= 4x+ 2y.

Determina la solución particular que verifica½x(0) = 5,y(0) = −1.

1. Determinamos la solución general

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ2 44 2

¶X,

con

X =

µx(t)y(t)

¶.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄2− λ 44 2− λ

¯̄̄̄= (2− λ)2 − 16= 4− 4λ+ λ2 − 16= λ2 − 4λ− 12.

Resolvemos la ecuación característica

λ2 − 4λ− 12 = 0,

λ =4±√16 + 48

2=4±√64

2=

⎧⎨⎩4+82 = 6,

4−82 = −2,

los valores propios sonλ1 = −2, λ2 = 6.

Vectores propios asociados a λ1 = −2. Resolvemos

(A− λ1I)X = 0,

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 8

(A+ 2I)X = 0,µ2 + 2 44 2 + 2

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

4 44 4

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x+ y = 0 ,

resolvemos paramétricamente½x = αy = −α , α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ1−1

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ1−1

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = 6. Resolvemos

(A− 6I)X = 0,µ2− 6 44 2− 6

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

−4 44 −4

¶µxy

¶=

µ00

¶,

resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x− y = 0 ,

resolvemos paramétricamente½x = αy = α

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ11

¶, α ∈ R,

tomamos

V2 =

µ11

¶.

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ1−1

¶e−2t, X2 =

µ11

¶e6t.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 9

Solución general

X = c1

µ1−1

¶e−2t + c2

µ11

¶e6t, c1, c2 ∈ R.

2. Solución particular

Imponemos la condición

X(0) =

µ5−1

¶y resulta

c1

µ1−1

¶e0 + c2

µ11

¶e0 =

µ5−1

¶,½

c1 + c2 = 5,−c1 + c2 = −1.

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos

2c2 = 4,

c2 = 2,

y sustituyendo en la primera, resulta

c1 = 3.

La solución del problema de valor inicial es

X = 3

µ1−1

¶e−2t + 2

µ11

¶e6t. ¤

Ejercicio 5 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

dx

dt= −4x+ y + z,

dy

dt= x+ 5y − z,

dz

dt= y − 3z.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

⎛⎝ −4 1 11 5 −10 1 −3

⎞⎠X,con

X =

⎛⎝ x(t)y(t)z(t)

⎞⎠ .

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 10

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =

¯̄̄̄¯̄ −4− λ 1 1

1 5− λ −10 1 −3− λ

¯̄̄̄¯̄

= (−4− λ) (5− λ) (−3− λ) + 1 + (−4− λ)− (−3− λ)

= (−4− λ) (5− λ) (−3− λ) + 1− 4− λ+ 3 + λ

= (−4− λ) (5− λ) (−3− λ) ,

Obtenemos la ecuación característica

(−4− λ) (5− λ) (−3− λ) = 0,

los valores propios son

λ1 = −3, λ2 = −4, λ3 = 5.

Vectores propios asociados a λ1 = −3. Resolvemos

(A− λ1I)X = 0,

(A+ 3I)X = 0,⎛⎝ −4 + 3 1 11 5 + 3 −10 1 −3 + 3

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,⎛⎝ −1 1 1

1 8 −10 1 0

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ .Aplicamos el método de Gauss⎛⎝ −1 1 1 0

1 8 −1 00 1 0 0

⎞⎠ ,

(2a + 1a)→ 2a

⎛⎝ −1 1 1 00 9 0 00 1 0 0

⎞⎠ ,(2a/9)→ 2a

(3a − 2a/9)→ 3a

⎛⎝ −1 1 1 00 1 0 00 0 0 0

⎞⎠ .Resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas½

−x+ y + z = 0,y = 0.

Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = αy = 0z = α

, α ∈ R.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 11

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

⎛⎝ 101

⎞⎠ , α ∈ R,

tomamos

V1 =

⎛⎝ 101

⎞⎠ .Vectores propios asociados a λ2 = −4. Resolvemos

(A+ 4I)X = 0,⎛⎝ −4 + 4 1 11 5 + 4 −10 1 −3 + 4

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,⎛⎝ 0 1 11 9 −10 1 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,que conduce al sistema ½

x+ 9y − z = 0y + z = 0

.

Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = −9y + z = 9α+ α = 10αy = −αz = α

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

⎛⎝ 10−11

⎞⎠ , α ∈ R,

tomamos

V2 =

⎛⎝ 10−11

⎞⎠ .Vectores propios asociados a λ3 = 5. Resolvemos

(A− 5I)X = 0,⎛⎝ −4− 5 1 11 5− 5 −10 1 −3− 5

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,⎛⎝ −9 1 1

1 0 −10 1 −8

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ .

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 12

Aplicamos el método de Gauss⎛⎝ −9 1 1 01 0 −1 00 1 −8 0

⎞⎠ ,intercambiamos las dos primeras filas⎛⎝ 1 0 −1 0

−9 1 1 00 1 −8 0

⎞⎠ ,

(2a + 9 · 1a)→ 2a

⎛⎝ 1 0 −1 00 1 −8 00 1 −8 0

⎞⎠ ,resulta un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas½

x− z = 0,y − 8z = 0.

Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = αy = 8αz = α

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ3 son de la forma

V = α

⎛⎝ 181

⎞⎠ , α ∈ R,

tomamos

V3 =

⎛⎝ 181

⎞⎠ .Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

⎛⎝ 101

⎞⎠ e−3t, X2 =

⎛⎝ 10−11

⎞⎠ e−4t, X3 =

⎛⎝ 181

⎞⎠ e5t.Solución general

X = c1

⎛⎝ 101

⎞⎠ e−3t + c2⎛⎝ 10−11

⎞⎠ e−4t + c3⎛⎝ 181

⎞⎠ e5t, c1, c2, c3 ∈ R. ¤

Ejercicio 6 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 3x− 18y,

dy

dt= 2x− 9y.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 13

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ3 −182 −9

¶X.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄3− λ −182 −9− λ

¯̄̄̄= (3− λ) (−9− λ) + 36

= −27− 3λ+ 9λ+ λ2 + 36

= λ2 + 6λ+ 9.

Resolvemos la ecuación característica

λ2 + 6λ+ 9 = 0,

λ =−6±

√36− 362

=−62= −3 (doble).

Tenemos un único valor propio doble λ = −3. Vectores propios asociados aλ = −3. Resolvemos

(A− λI)X = 0,

(A+ 3I)X = 0,µ3 + 3 −182 −9 + 3

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

6 −182 −6

¶µxy

¶=

µ00

¶,

que es equivalente a µ1 −31 −3

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x− 3y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = 3αy = α

, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ son de la forma

V = α

µ31

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ31

¶.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 14

El subespacio de vectores propios es de dimensión 1. Obtenemos un vectorsolución

X1 =

µ31

¶e−3t.

Sabemos que podemos construir una segunda solución de la forma

X2 = V1teλt +V2e

λt

donde V2 es un vector que verifica

(A+ 3I)V2 = V1,µ6 −182 −6

¶µxy

¶=

µ31

¶,½

6x− 18y = 32x− 6y = 1 .

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{2x− 6y = 1

y necesitamos una solución cualquiera. Si tomamos y = 0, resulta½x = 1/2,y = 0.

Obtenemos el vector

V2 =

µ1/20

¶y construimos un segundo vector solución de la forma

X2 = V1teλt +V2e

λt,

esto es

X2 =

µ31

¶te−3t +

µ1/20

¶e−3t.

La solución general es

X = c1

µ31

¶e−3t + c2

∙µ31

¶te−3t +

µ1/20

¶e−3t

¸, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 7 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

dx

dt= x− 2y + 2z,

dy

dt= −2x+ y − 2z,

dz

dt= 2x− 2y + z.

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 15

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

⎛⎝ 1 −2 2−2 1 −22 −2 1

⎞⎠X,con

X =

⎛⎝ x(t)y(t)z(t)

⎞⎠ .El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =

¯̄̄̄¯̄ 1− λ −2 2−2 1− λ −22 −2 1− λ

¯̄̄̄¯̄

= (1− λ)3+ 8 + 8− 4 (1− λ)− 4 (1− λ)− 4 (1− λ)

= (1− λ)3 + 16− 12 + 12λ= (1− λ)

3+ 4 + 12λ

= 1− 3λ+ 3λ2 − λ3 + 4 + 12λ

= 5 + 9λ+ 3λ2 − λ3.

Observamos que P (λ) se anula para λ = −1. Descomponemos usando la reglade Ruffini

−1 3 9 5−1) 1 −4 −5

−1 4 5 0

y obtenemos

5 + 9λ+ 3λ2 − λ3 = (λ+ 1)¡−λ2 + 4λ+ 5

¢.

Resolvemos−λ2 + 4λ+ 5 = 0,

λ =−4±

√16 + 20

−2 =−4± 6−2 =

⎧⎨⎩2−2 = −1,

−10−2 = 5.

Los valores propios son

λ1 = −1 (doble), λ2 = 5.

Vectores propios asociados a λ1 = −1. Resolvemos

(A+ I)X = 0,⎛⎝ 1 + 1 −2 2−2 1 + 1 −22 −2 1 + 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,⎛⎝ 2 −2 2−2 2 −22 −2 2

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 16

que es equivalente a ⎛⎝ 1 −1 11 −1 11 −1 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ .Resulta un sistema de una ecuación con tres incógnitas

{x− y + z = 0,

resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = αy = βz = −α+ β

, α,β ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

⎛⎝ 10−1

⎞⎠+ β

⎛⎝ 011

⎞⎠ , α,β ∈ R.

Disponemos de dos vectores propios linealmente independientes asociados alvalor propio λ1 = −1

V1 =

⎛⎝ 10−1

⎞⎠ , V2 =

⎛⎝ 011

⎞⎠ ,que nos proporcionan los vectores solución

X1 =

⎛⎝ 10−1

⎞⎠ e−t, X2 =

⎛⎝ 011

⎞⎠ e−t.Vectores propios asociados a λ2 = 5. Resolvemos

(A− 5I)X = 0,⎛⎝ 1− 5 −2 2−2 1− 5 −22 −2 1− 5

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,⎛⎝ −4 −2 2−2 −4 −22 −2 −4

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ .Reducimos el sistema a forma triangular⎛⎝ −4 −2 2 0

−2 −4 −2 02 −2 −4 0

⎞⎠ ,(3a/2)→ 1a

(2a/2)→ 2a

(1a/2)→ 3a

⎛⎝ 1 −1 −2 0−1 −2 −1 0−2 −1 1 0

⎞⎠ ,

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Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 17

(2a + 1a)→ 2a

(3a + 2 · 1a)→ 3a

⎛⎝ 1 −1 −2 00 −3 −3 00 −3 −3 0

⎞⎠ ,(2a/(−3))→ 2a

(3a − 2a)→ 3a

⎛⎝ 1 −1 −2 00 1 1 00 0 0 0

⎞⎠ .Obtenemos el sistema ½

x− y − 2z = 0,y + z = 0.

Resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = y + 2z = −α+ 2α = α,y = −α,z = α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

⎛⎝ 1−11

⎞⎠ , α ∈ R,

tomamos

V3 =

⎛⎝ 1−11

⎞⎠y obtenemos el vector solución

X3 =

⎛⎝ 1−11

⎞⎠ e5t.Sistema fundamental de soluciones

X1 =

⎛⎝ 10−1

⎞⎠ e−t, X2 =

⎛⎝ 011

⎞⎠ e−t, X3 =

⎛⎝ 1−11

⎞⎠ e5t.Solución general

X =c1

⎛⎝ 10−1

⎞⎠ e−t + c2⎛⎝ 011

⎞⎠ e−t + c3⎛⎝ 10−11

⎞⎠ e5t, cj ∈ R. ¤

Ejercicio 8 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 2x+ 8y,

dy

dt= −x− 2y.

Page 18: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 18

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ2 8−1 −2

¶X.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄2− λ 8−1 −2− λ

¯̄̄̄= (2− λ) (−2− λ) + 8

= −4− 2λ+ 2λ+ λ2 + 8

= λ2 + 4.

Resolvemosλ2 + 4 = 0,

λ = ±2i.Tenemos un par de valores propios complejos conjugados.Calculamos un vector propio asociado a

λ = 2i.

Resolvemos(A− 2iI)X = 0,µ

2− 2i 8−1 −2− 2i

¶µxy

¶=

µ00

¶,

reducimos a forma triangularµ2− 2i 8 0−1 −2− 2i 0

¶.

Intercambiamos las filas µ−1 −2− 2i 02− 2i 8 0

¶,

multiplicamos la primera fila por 2− 2i y la sumamos a la segunda, como

(2− 2i) (−2− 2i) = −4− 4i+ 4i+ 4i2 = −8,

resulta µ−1 −2− 2i 00 0 0

¶,

que es equivalente a µ1 2 + 2i 00 0 0

¶.

Obtenemos un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x+ (2 + 2i)y = 0,

Page 19: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 19

resolvemos paramétricamente⎧⎨⎩ x = −(2 + 2i) a,

y = a, a ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ son de la forma

V = a

⎛⎝ − (2 + 2i)1

⎞⎠ , a ∈ R,

tomamos el vector propio correspondiente a a = −1

V =

µ2 + 2i−1

¶=

µ2−1

¶+ i

µ20

¶.

Podemo obtener un sistema fundamental de soluciones tomando la parte real yla parte imaginaria de

(cos 2t+ i sin 2t)

∙µ2−1

¶+ i

µ20

¶¸.

Sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ2−1

¶cos 2t−

µ20

¶sin 2t =

µ2 cos 2t− 2 sin 2t,

− cos 2t

¶,

X2 =

µ20

¶cos 2t+

µ2−1

¶sin 2t =

µ2 cos 2t+ 2 sin 2t− sin 2t

¶.

La solución general es

X = c1

∙µ2−1

¶cos 2t−

µ20

¶sin 2t

¸+ c2

∙µ20

¶cos 2t+

µ2−1

¶sin 2t

¸= c1

µ2 cos 2t− 2 sin 2t,

− cos 2t

¶+ c2

µ2 cos 2t+ 2 sin 2t− sin 2t

¶, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 9 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 3x− 3y + 4,

dy

dt= 2x− 2y − 1.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ3 −32 −2

¶X+

µ4−1

¶.

Se trata de un sistema completo

X0= AX+B,

Page 20: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 20

con

X =

µx(t)y(t)

¶, A =

µ3 −32 −2

¶, B =

µ4−1

¶.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄3− λ −32 −2− λ

¯̄̄̄= (3− λ) (−2− λ) + 6

= −6− 3λ+ 2λ+ λ2 + 6

= λ2 − λ.

Resolvemosλ2 − λ = 0,

λ (λ− 1) = 0,los valores propios son

λ1 = 0, λ2 = 1.

Vectores propios asociados a λ1 = 0. Resolvemos

(A− λ1I)X = 0,

AX = 0,µ3 −32 −2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x− y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = α,y = α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ11

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ11

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = 1. Resolvemos

(A− I)X = 0,µ3− 1 −32 −2− 1

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

2 −32 −3

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Page 21: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 21

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{2x− 3y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = α,y = 2

3α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ12/3

¶, α ∈ R,

tomamos el vector propio correspondiente a α = 3,

V2 =

µ32

¶.

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ11

¶, X2 =

µ32

¶et.

Solución general del sistema homogéneo

X = c1

µ11

¶+ c2

µ32

¶et.

Sabemos que es posible construir una solución particular de la forma

Xp = Φ

ZΦ−1B dt,

donde Φ es una matriz fundamental

Φ =

µ1 3et

1 2et

¶y B es la columna de términos independientes

B =

µ4−1

¶.

Empezamos calculandos la inversa Φ−1,

|Φ| = 2et − 3et = −et,

Φ−1 =1

−et

µ2et −3et−1 1

¶=

µ−2 3e−t −e−t

¶.

A continuación, calculamos

Φ−1B =

µ−2 3e−t −e−t

¶µ4−1

¶=

µ−8− 34e−t + e−t

¶=

µ−115e−t

¶,

Page 22: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 22

integramos ZΦ−1B dt =

Z µ−115e−t

¶dt =

µ−11t−5e−t

¶y, finalmente, calculamos la solución particular del sistema completo

Xp = Φ

ZΦ−1B dt =

µ1 3et

1 2et

¶ µ−11t−5e−t

¶=

µ−11t − 15−11t− 10

¶.

Solución general del sistema completo

Podemos escribir la solución general en la forma

X = ΦC+Φ

ZΦ−1B dt.

X =

µ1 3et

1 2et

¶µc1c2

¶+

µ−11t − 15−11t− 10

¶,

o bien, usando un sistema fundamental de soluciones

X = c1

µ11

¶+ c2

µ32

¶et +

µ−11t − 15−11t− 10

¶.

En ambos casos, obtenemos la solución general⎧⎨⎩ x (t) = c1 + 3c2et − 11t − 15,

y (t) = c1 + 2c2e−t − 11t− 10. ¤

Ejercicio 10 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 3x− 5y + et/2,

dy

dt=3

4x− y − et/2.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ3 −53/4 −1

¶X+

µet/2

−et/2¶

se trata de un sistema lineal completo

X0= AX+B,

con

X =

µx(t)y(t)

¶, A =

µ3 −53/4 −1

¶, B =

µet/2

−et/2¶.

Page 23: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 23

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄3− λ −53/4 −1− λ

¯̄̄̄= (3− λ) (−1− λ) + 15/4

= −3− 3λ+ λ+ λ2 + 15/4

= λ2 − 2λ+ 3/4.

Resolvemosλ2 − 2λ+ 3/4 = 0,

λ =2±√4− 32

=2± 12

=

⎧⎨⎩ 3/2,

1/2.

Los valores propios sonλ1 = 1/2, λ2 = 3/2.

Vectores propios asociados a λ1 = 1/2. ResolvemosµA− 1

2I

¶X = 0,

µ3− 1/2 −53/4 −1− 1/2

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

5/2 −53/4 −3/2

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{x− 2y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = 2α,y = α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ21

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ21

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = 3/2. ResolvemosµA− 3

2I

¶X = 0,

µ3− 3/2 −53/4 −1− 3/2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

Page 24: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 24

µ3/2 −53/4 −5/2

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{3x− 10y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = αy = 3

10α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ13/10

¶, α ∈ R,

para evitar fracciones, tomamos α = 10

V2 =

µ103

¶.

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ21

¶et/2, X2 =

µ103

¶e3t/2.

Solución general del sistema homogéneo

Xh = c1

µ21

¶et/2 + c2

µ103

¶e3t/2, c1, c2 ∈ R.

Podemos construir una solución particular de la forma

Xp = Φ

ZΦ−1B dt

donde Φ es la matriz fundamental

Φ =

µ2et/2 10e3t/2

et/2 3e3t/2

¶y B la columna de términos idependientes

B =

µet/2

−et/2¶

Calculamos la inversa de la matriz fundamental

|Φ| = 6et/2e3t/2 − 10et/2e3t/2 = 6e2t − 10e2t = −4e2t,

Φ−1 =1

−4e2t

µ3e3t/2 −10e3t/2−et/2 2et/2

¶=−14

µ3e−t/2 −10e−t/2−e−3t/2 2e−3t/2

¶.

Calculamos el producto

Φ−1B =

∙−14

µ3e−t/2 −10e−t/2−e−3t/2 2e−3t/2

¶¸µet/2

−et/2¶

=−14

µ3 + 10

−e−t − 2e−t¶=1

4

µ−133e−t

¶,

Page 25: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 25

integramosZΦ−1B dt =

Z1

4

µ−133e−t

¶dt =

1

4

µ−13t−3e−t

¶=−14

µ13t3e−t

¶y finalmente, determinamos la solución particular del sistema completo

Xp = Φ

ZΦ−1B dt =

µ2et/2 10e3t/2

et/2 3e3t/2

¶ ∙−14

µ13t3e−t

¶¸=−14

µ2et/2 10e3t/2

et/2 3e3t/2

¶ µ13t3e−t

¶=−14

µ26tet/2 + 30et/2

13tet/2 + 9et/2

¶.

Podemos reescribir la solución particular como sigue

Xp =−14

µ2613

¶tet/2 − 1

4

µ309

¶et/2

= −µ13/213/4

¶tet/2 −

µ15/29/4

¶et/2.

Solución general del sistema completo

X = Xh +Xp,

X = c1

µ21

¶et/2+c2

µ103

¶e3t/2−

µ13/213/4

¶tet/2−

µ15/29/4

¶et/2, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 11 Resuelve el sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩dx

dt= 2y + et,

dy

dt= −x+ 3y − et.

Expresamos el sistema en forma matricial

X0 =

µ0 2−1 3

¶X+

µet

−et¶.

Se trata de un sistema lineal completo

X0= AX+B,

con

X =

µx(t)y(t)

¶, A =

µ0 2−1 3

¶, B =

µet

−et¶.

El polinomio característico es

p(λ) = |A− λI| =¯̄̄̄−λ 2−1 3− λ

¯̄̄̄= (−λ) (3− λ) + 2

= λ2 − 3λ+ 2.

Page 26: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 26

Resolvemosλ2 − 3λ+ 2 = 0,

λ =3±√9− 82

=3± 12

=

½2,1.

Los valores propios sonλ1 = 1, λ2 = 2.

Vectores propios asociados a λ1 = 1. Resolvemos

(A− I)X = 0,µ−1 2−1 2

¶µxy

¶=

µ00

¶,

resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas,

{−x+ 2y = 0.

Resolvemos paramétricamente½x = 2αy = α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ1 son de la forma

V = α

µ21

¶, α ∈ R,

tomamos

V1 =

µ21

¶.

Vectores propios asociados a λ2 = 2. Resolvemos

(A− 2I)X = 0,µ−2 2−1 3− 2

¶µxy

¶=

µ00

¶,µ

−2 2−1 1

¶µxy

¶=

µ00

¶.

Resulta un sistema de una ecuación con dos incógnitas

{−x+ y = 0,

resolvemos paramétricamente½x = α,y = α, α ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ2 son de la forma

V = α

µ11

¶, α ∈ R,

Page 27: E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 9 ...

Ejercicios tema 9: Sistemas de EDO’s lineales 27

tomamos

V2 =

µ11

¶.

Obtenemos el sistema fundamental de soluciones

X1 =

µ21

¶et, X2 =

µ11

¶e2t.

Solución general del sistema homogéneo

Xh = c1

µ21

¶et + c2

µ11

¶e2t, c1, c2 ∈ R.

Podemos construir una solución particular de la forma

Xp = Φ

ZΦ−1B dt

donde Φ es la matriz fundamental

Φ =

µ2et e2t

et e2t

¶y B es el vector de términos independientes

B =

µet

−et¶.

Invertimos la matriz fundamental

|Φ| = 2e3t − e3t = e3t,

Φ−1 =1

e3t

µe2t −e2t−et 2et

¶=

µe−t −e−t−e−2t 2e−2t

¶.

Calculamos el producto

Φ−1B =

µe−t −e−t−e−2t 2e−2t

¶µet

−et¶

=

µ1 + 1

−e−t − 2e−t¶=

µ2

−3e−t¶,

integramos ZΦ−1B dt =

Z µ2

−3e−t¶dt =

µ2t3e−t

¶,

y finalmente, obtenemos la solución particular del sistema completo

Xp = Φ

ZΦ−1B dt =

µ2et e2t

et e2t

¶µ2t3e−t

¶=

µ4tet + 3et

2tet + 3et

¶.

Solución general del sistema completo

X = c1

µ21

¶et + c2

µ11

¶e2t +

µ4tet + 3et

2tet + 3et

¶= c1

µ21

¶et + c2

µ11

¶e2t +

µ42

¶tet +

µ33

¶et, c1, c2 ∈ R. ¤