10 Phys I Stiliaris

ΒΑΡΥΤΗΤΑΒΑΡΥΤΗΤΑΝόμος της ΒαρύτηταςΒαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από την Επιφάνεια της ΓηςΠλανήτες σε Ελλειπτικές Τροχιές – Νόμοι του KeplerΒαρυτική Δυναμική ΕνέργειαΤροχιές και Ενέργεια

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177

Stathis STILIARIS, UoA 2016-2017 1

ΦΥΣΙΚΗΦΥΣΙΚΗ ΙΙ

ALONSOALONSOFINNFINN

GIANCOLIGIANCOLI HALLIDAYHALLIDAY‐‐RESNICK RESNICK WALKERWALKER

YOUNGYOUNGFREEDMANFREEDMAN

ΝόμοςΝόμος τηςτηςΒαρύτηταςΒαρύτητας

13.1, 13.213.1, 13.2 6.1, 6.2, 6.36.1, 6.2, 6.3 13.1 13.1 έωςέως 13.513.5 12.1, 12.212.1, 12.2

ΝόμοιΝόμοι τουτου KeplerKepler 13.513.5 6.56.5 13.713.7 12,512,5

ΒαρυτικήΒαρυτική ΔυναμικήΔυναμικήΕνέργειαΕνέργεια ––ΔορυφόροιΔορυφόροι

13.4, 13.613.4, 13.6 6.4, 6.6, 6.76.4, 6.6, 6.7 13.6, 13.813.6, 13.8 12.3, 12.4 12.3, 12.4

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝΚΕΦΑΛΑΙΩΝ

ΤΜΗΜΑΤΜΗΜΑ ΑΑ’’ΕυστάθιοςΕυστάθιος ΣτυλιάρηςΣτυλιάρης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟNN ΑΘΗΝΩΝΑΘΗΝΩΝ, 201, 20166‐‐20120177


ΝΟΜΟΣΝΟΜΟΣ ΤΗΣΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ((NEWTON)NEWTON)

ΝόμοςΝόμος τηςτης ΒαρύτηταςΒαρύτητας τουτου Newton Newton σεσε διανυσματικήδιανυσματική μορφήμορφή

r̂rmmGF 212

21=r

2

211

KgmN106.67G ⋅

×= −

212

21

rmmGF = 123

12

21 rrmmGF

rr=

ΒαρύτηταΒαρύτητα στηνστηνεπιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΓηςΓης ⇒= 2

ΓRmMGmg 2

ΓRMGg =



Kg106Kg106.67

)10(6.410M 2411‐

26

⋅≈××

⋅≈GRgM

RMGg

2

2Γ

Γ=⇒=

ΕκτίμησηΕκτίμηση τηςτης μέσηςμέσης πυκνότηταςπυκνότητας ρρΓΓ τηςτης ΓηςΓης

ΓΓ

Γ

π=

π==

GRg

43

R34GRg

VMρ

3

2

Γ

33Γ m/Kg105.5ρ ⋅≈

ΕκτίμησηΕκτίμηση τηςτης μάζαςμάζας ΜΜ τηςτης ΓηςΓης



23

rmρπr

34GF ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

rρmG34πF ⋅⋅⋅⋅=

ΒαρύτηταΒαρύτητα στοστο εσωτερικόεσωτερικό τηςτης ΓηςΓης

ΈναΈνα ομογενέςομογενές σφαιρικόσφαιρικό κέλυφοςκέλυφος δενδεν ασκείασκείσυνισταμένησυνισταμένη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη σεσε σωματίδιοσωματίδιοτοποθετημένοτοποθετημένο στοστο εσωτερικόεσωτερικό τουτου..

rkFrr

−=

ΤοΤο σώμασώμα εκτελείεκτελεί ταλάντωσηταλάντωση μεμε περίοδοπερίοδο::

Gρ3π

Gmρ34πm2π

km2πT ===



2h )hR(mMGmg+

=Γ

g)hR(

MGg 2h <+

=Γ

ΒαρύτηταΒαρύτητα πάνωπάνω απόαπό τηντην επιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΓηςΓης

hRR Γ +=

ΠαρατηρήσειςΠαρατηρήσεις

•• ΕάνΕάν ηη απόστασηαπόσταση απόαπό τηντην επιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΓηςΓης γίνειγίνει όσοόσο καικαι ηη ακτίναακτίνα τηςτης ((h=Rh=RΓΓ)) τότετότετοτο gghh υποτετραπλασιάζεταιυποτετραπλασιάζεται..

•• ΤοΤο διαστημικόδιαστημικό λεωφορείολεωφορείο γιαγια τοτο οποίοοποίο τοτο h h ≈≈ 400400 km km δέχεταιδέχεται βαρυτικήβαρυτική επιτάχυνσηεπιτάχυνσηgghh ≈≈ 8.70 m/s8.70 m/s22..



ΒαρύτηταΒαρύτητα σεσε διαφορετικούςδιαφορετικούς ΠλανήτεςΠλανήτες

ΣεΣε δύοδύο διαφορετικούςδιαφορετικούς σφαιρικούςσφαιρικούς πλανήτεςπλανήτες μεμε ακτίνεςακτίνες RRAA καικαι RRBB , , τωντων οποίωνοποίων οιοιπυκνότητεςπυκνότητες είναιείναι αντίστοιχααντίστοιχα ρρAA καικαι ρρBB, , ηη βαρύτηταβαρύτητα στηνστην επιφάνειαεπιφάνεια καθενόςκαθενός είναιείναι::

GRρ34π

R

ρπR34

GRMGg 2

3

2 ===

ΠΛΑΝΗΤΗΣΠΛΑΝΗΤΗΣ ΑΑ

ΠΛΑΝΗΤΗΣΠΛΑΝΗΤΗΣ ΒΒ

AAA ρGR34πg =

BBB ρGR34πg =

B

A

B

A

B

A

ρρ

RR

gg

⋅=

ΣτηνΣτην επιφάνειαεπιφάνεια τηςτης ΣελήνηςΣελήνης τοτο g g είναιείναι περίπουπερίπου τοτο 1/6 (1.631/6 (1.63m/sm/s22)) τηςτης τιμήςτιμής στηνστην ΓηΓη. . ΔεδομένουΔεδομένουότιότι οο λόγοςλόγος τωντων ακτίνωνακτίνων τωντων δύοδύο αυτώναυτών ουρανίωνουρανίων σωμάτωνσωμάτων είναιείναι 0.270.27 συνάγεταισυνάγεται πωςπως ηη μέσημέσηπυκνότηταπυκνότητα τηςτης ΣελήνηςΣελήνης είναιείναι μικρότερημικρότερη (0.62 (0.62 φορέςφορές) ) τηςτης μέσηςμέσης πυκνότηταςπυκνότητας τηςτης ΓηςΓης..


ΝΟΜΟΙΝΟΜΟΙ ΤΟΥΤΟΥ KEPLERKEPLER

ΌτανΌταν έναένα σώμασώμα κινείταικινείται υπόυπό τηντην επίδρασηεπίδραση κεντρικήςκεντρικής δύναμηςδύναμηςηη στροφορμήστροφορμή τουτου L L είναιείναι διατηρήσιμηδιατηρήσιμη ποσότηταποσότητα..

ΗΗ κίνησηκίνηση ενόςενός δορυφόρουδορυφόρου γύρωγύρω απόαπό ένανέναν πλανήτηπλανήτη αποτελείαποτελεί χαρακτηριστικόχαρακτηριστικό παράδειγμαπαράδειγμα. .

rrF(r)r̂F(r)(r)Frr

==

ΜιαΜια κεντρικήκεντρική δύναμηδύναμη ((όπωςόπως είναιείναι ηη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη) ) μπορείμπορεί νανα γραφείγραφεί στηνστην παρακάτωπαρακάτωμορφήμορφή: :

ΟπότεΟπότε ηη ροπήροπή τηςτης δύναμηςδύναμης αυτήςαυτής ττ ωςως προςπρος τηντην αρχήαρχή τωντων αξόνωναξόνων είναιείναι::

( ) 0rrr

F(r)rr

F(r)rFr τ =×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=×=

rrrrrrr

καικαι δεδομένουδεδομένου ότιότι 0dtLd τ ==r

r constdtdθmrL 2 ==


ΝΟΜΟΙΝΟΜΟΙ ΤΟΥΤΟΥ KEPLERKEPLER11οςος ΝόμοςΝόμος KeplerKepler

ΚίνησηΚίνηση ΠλανητώνΠλανητών σεσε ΕλλειπτικέςΕλλειπτικές ΤροχιέςΤροχιές

ΟΟ ΉλιοςΉλιος βρίσκεταιβρίσκεται σεσε μιαμια απόαπό τιςτις εστίεςεστίες τηςτης έλλειψηςέλλειψης καικαισεσε απόστασηαπόσταση ee∙∙aa ((εστιακήεστιακή απόστασηαπόσταση) ) απόαπό τοτο κέντροκέντρο τηςτης..

eeΕκκεντρότηταΕκκεντρότητα

RRaaΑπόστασηΑπόσταση ΑφηλίουΑφηλίου

RRppΑπόστασηΑπόσταση ΠεριηλίουΠεριηλίου



ΗΗ επιβατικήεπιβατική ακτίναακτίνα διαγράφειδιαγράφει ίσαίσα εμβαδάεμβαδά σεσε ίσουςίσους χρόνουςχρόνους

dtL2m1dtvmr

2m1dtvr

21dA

rrrrr=×=×= const

m2L

dtdA

==

ΕναλλακτικάΕναλλακτικά

ω=θ

= 2r21

dtrdr

21

dtdA

αλλάαλλά ( ) ( ) ω=ω=== ⊥⊥2mrrmr mvrrpL άραάρα

m2L

dtdA

=



ΤοΤο τετράγωνοτετράγωνο τηςτης περιόδουπεριόδου είναιείναι ανάλογοανάλογο τουτου κύβουκύβου τουτου μεγάλουμεγάλου ημιάξοναημιάξονα

322

2

2

rMGωrmω

rmMG

rmv

=⇒==

ΚεντρομόλοςΚεντρομόλος ΔύναμηΔύναμη = = ΒαρυτικήΒαρυτική ΔύναμηΔύναμη

Τ2πω =

32

2

rMG

T4π

= 32

2 rGM4πT ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ΣτηνΣτην ελλειπτικήελλειπτική κίνησηκίνηση τοτο r r τηςτης σχέσηςσχέσης αυτήςαυτήςταυτίζεταιταυτίζεται μεμε τοντον μεγάλομεγάλο ημιάξοναημιάξονα a a τηςτης έλλειψηςέλλειψης..

ΣτιςΣτις τέσσερεςτέσσερες ελλειπτικέςελλειπτικές τροχιέςτροχιές μεμε τοντον ίδιοίδιομεγάλομεγάλο ημιάξοναημιάξονα πουπου απεικονίζονταιαπεικονίζονται στοστο διπλανόδιπλανόσχήμασχήμα, , παρόλοπαρόλο πουπου ηη εκκεντρότηταεκκεντρότητα έχειέχειδιαφορετικήδιαφορετική τιμήτιμή, , ηη συνολικήσυνολική ενέργειαενέργεια είναιείναι ηη ίδιαίδια. .


ΒΑΡΥΤΙΚΗΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑ

∫∞

=R

rd)r(FWrr

RmMGU‐UW R −== ∞ r

mMG‐U(r) =

ΥπολογισμόςΥπολογισμός τουτου έργουέργου πουπου απαιτείταιαπαιτείται γιαγια νανα μετακινηθείμετακινηθεί σώμασώμα μάζαςμάζας m m εντόςεντόςβαρυτικούβαρυτικού πεδίουπεδίου ((προκαλούμενουπροκαλούμενου απόαπό τητη μάζαμάζα ΜΜ) ) απόαπό τοτο σημείοσημείο R R στοστο άπειροάπειρο. .

ΓιαΓια τητη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη F(r) F(r) ισχύειισχύει::

drrmMGdrF)cos(180drFrd(r)F 2

o −=−=⋅⋅=rr

∫∫∞ ∞∞

−=−==−==R R

2R

2 RmMG

RmMG0

rmMGdr

r1GmM dr

rmMG‐W

ΑλλάΑλλά RRR U0UUUW =−=−= ∞ οπότεοπότε: :



rmMG‐U(r) =

ΤοΤο βαρυτικόβαρυτικό πεδίοπεδίο είναιείναι συντηρητικόσυντηρητικό. .

ΔηλαδήΔηλαδή τοτο έργοέργο τηςτης βαρυτικήςβαρυτικής δύναμηςδύναμης είναιείναι ανεξάρτητοανεξάρτητοαπόαπό τητη διαδρομήδιαδρομή πουπου επιλέγεταιεπιλέγεται καικαι εξαρτάταιεξαρτάται μόνομόνο απόαπότητη διαφοράδιαφορά τουτου δυναμικούδυναμικού στοστο αρχικόαρχικό καικαι τελικότελικό σημείοσημείο::

r̂rU- Ugrad-F∂∂

==r

GAGA UUW −=→

r̂r

mMG- F 2=r

ΕίναιΕίναι εύκολαεύκολα κατανοητόκατανοητό ότιότι τοτο έργοέργο κατάκατά μήκοςμήκος τωντωντόξωντόξων BC BC καικαι DE DE είναιείναι μηδενικόμηδενικό, , δεδομένουδεδομένου ότιότι κατάκατά μήκοςμήκοςτωντων τόξωντόξων αυτώναυτών ηη βαρυτικήβαρυτική δύναμηδύναμη είναιείναι κάθετηκάθετη σεσεοποιαδήποτεοποιαδήποτε στοιχειώδηστοιχειώδη μετατόπισημετατόπιση. .



km/s11.2R

2GMv0 ==

ΤαχύτηταΤαχύτητα ΔιαφυγήςΔιαφυγήςΗΗ απαιτούμενηαπαιτούμενη ελάχιστηελάχιστη αρχικήαρχική ταχύτηταταχύτητα βλήματοςβλήματος γιαγια νανα μπορέσειμπορέσει ναναδιαφύγειδιαφύγει τηςτης επίδρασηςεπίδρασης τουτου βαρυτικούβαρυτικού πεδίουπεδίου τηςτης ΓηςΓης. .

0UKUKUK E RREER =+=+⎯⎯ →⎯+= ∞∞

= ∞

ΗΗ εξίσωσηεξίσωση αυτήαυτή ισχύειισχύει γιαγια κάθεκάθε ουράνιοουράνιο σώμασώμα. . ΓιαΓια τοντον ΉλιοΉλιο ((M=2M=2××101030 30 Kg, R=7Kg, R=7××10108 8 m) m) ηη ταχύτηταταχύτηταδιαφυγήςδιαφυγής είναιείναι 618 618 km/s km/s ενώενώ γιαγια αστέρααστέρα νετρονίωννετρονίων αυτήαυτή γίνεταιγίνεται 22××10105 5 km/skm/s..

RM2Gv0

RmMGmv

210UK E 22

RR =⇒=−⇒=+=


ΤΡΟΧΙΕΣΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑΚίνησηΚίνηση δορυφόρουδορυφόρου σεσε κυκλικήκυκλική τροχιάτροχιά γύρωγύρω απόαπό πλανήτηπλανήτη

ΓιαΓια κυκλικήκυκλική τροχιάτροχιά ισχύειισχύει::

2mvK&

rmv

rmMG

22

2 ==

2UK −=

rGmM

21K =

K2UUKE −==+=

ΣυνεπώςΣυνεπώς::

ΣυνολικήΣυνολική ΕνέργειαΕνέργεια: : E = K + UE = K + U

ΚινητικήΚινητική ΕνέργειαΕνέργεια::ΘετικήΘετική

ΔυναμικήΔυναμική& & ΟλικήΟλική ΕνέργειαΕνέργεια

ΑρνητικήΑρνητική


ΤΡΟΧΙΕΣΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑΥπολογισμόςΥπολογισμός τηςτης συνολικήςσυνολικής ενέργειαςενέργειας δορυφόρουδορυφόρου κινούμενουκινούμενου σεσε

ελλειπτικήελλειπτική τροχιάτροχιά γύρωγύρω απόαπό πλανήτηπλανήτη

όπουόπου

rmMGvvm

rmMGmvUK r −+=−=+= ⊥ )(

21

21E 222

ΕπειδήΕπειδή όμωςόμως ηη δύναμηδύναμη είναιείναι κεντρικήκεντρική, , ηη στροφορμήστροφορμήL L τουτου συστήματοςσυστήματος διατηρείταιδιατηρείται καικαι ισχύειισχύει::

m: m: ΜάζαΜάζα δορυφόρουδορυφόρουΜΜ: : ΜάζαΜάζα πλανήτηπλανήτηL: L: ΣτροφορμήΣτροφορμή δορυφόρουδορυφόρου

vv22

vv

vv11

rr11 rr22

MM

⊥v

rvrω

dtdθrv,

dtdrvr === ⊥

222

mrLωωmr

dtdθmrL =⇒==

οπότεοπότε

rmMGωmr

21mv

21E 222

r −+=

rmMG

2mrLmv

21E 2

22r −+=

ΣτιςΣτις ακραίεςακραίες θέσειςθέσεις τηςτης έλλειψηςέλλειψης όό δορυφόροςδορυφόρος δενδεν έχειέχει ακτινικήακτινική ταχύτηταταχύτητα ((vvrr=0)=0) καικαι ηη παραπάνωπαραπάνωεξίσωσηεξίσωση γίνεταιγίνεται::

rmMG

2mrLE 2

2

−=


ΤΡΟΧΙΕΣΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΕΝΕΡΓΕΙΑΥπολογισμόςΥπολογισμός τηςτης συνολικήςσυνολικής ενέργειαςενέργειας δορυφόρουδορυφόρου κινούμενουκινούμενου σεσε

ελλειπτικήελλειπτική τροχιάτροχιά γύρωγύρω απόαπό πλανήτηπλανήτη

ΟιΟι λύσειςλύσεις τηςτης δευτεροβάθμιαςδευτεροβάθμιας αυτήςαυτής εξίσωσηςεξίσωσης ταυτίζονταιταυτίζονται μεμε τατα rr11 καικαι rr22, , τοτο άθροισμαάθροισμα τωντωνοποίωνοποίων είναιείναι οο άξοναςάξονας τηςτης έλλειψηςέλλειψης (=(=2a2a):):

2a2mE

M2Gm2arr2

21 =−⇒=+

2amMGE −=

ΤοΤο αποτέλεσμααποτέλεσμα αυτόαυτό είναιείναι ταυτόσημοταυτόσημο μεμε τηντην ενέργειαενέργεια δορυφόρουδορυφόρου κινούμενουκινούμενου σεσε κυκλικήκυκλικήτροχιάτροχιά, , όπουόπου οο ημιάξοναςημιάξονας a a ταυτίζεταιταυτίζεται μεμε τηντην ακτίναακτίνα τηςτης κυκλικήςκυκλικής τροχιάςτροχιάς r.r.

0LMr2Gm2mErr

mMG2mr

LE 2222

2

=−+⇒−=


10 Phys I Stiliaris

Documents

Transcript of 10 Phys I Stiliaris