05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

11

Click here to load reader

Transcript of 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

Page 1: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� ��

����������

�������������� ������ ��������� ���� �������

�� � ���� �� ����������� � ����� � � � �������� � �� � �� ��� ��� ���� ������ �� �

�� ��� ������ �� > ��� ������ [ ]��� ����� �������� � [ ]���

!"#������ ����������

$��� �→�� � � ��� ���� %����&����������'� ������(��������)"

$��� � �*� �� ��� ��� ������� ������� �� ����� ����� �� � %�+���,�,���� ���

�� ���� ������ ������ ������� ""%��%""%*�%"%� ��������� +=∈∀ "

- ����������������� �� ����������������� ��� �*� �� ��� �� ��� �� ���

����

- ����������� � �� � ����� ���� ����� ����������� "%"%� ������ =∈∀ ��

"%"%� ������ =∈∀ .�� � �� ����������� �� ������������ � �� � ���� ������

."/� ���� ��� �� ������������������ ����� �

$��� [ ] �→��� �� - ��� ��� � ��� �� �� �� ��� �������� ��� [ ]��� ������'��

������� ���(������� "� �% �0 ����=σ �� [ ]��� ����������������� [ ]�� ��∈ �

, ������ �� ����� ] [�� �� ��−

, ��� �������%�� ��"�������� �−��

, ���� �������%�� ��"�������� ��

%�'��������� ���� � ����������������� ��� ������ ���� ����������� ��"

- ����������������� ��������� [ ] �→��� �� �

��� �� ������������� ⇔ �*� �� ��� �� �� ��������������

1��� �������� ��

$������ ��� �� ����������������� [ ]��� ����������� ���� � � � � � µλ +

%�2 �∈µλ� "�� �������� �� ��������������

����������� ���������� ������ ��������������� ��������� ���� ������

touscours.net

Page 2: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� ����3�����

�"���� ����

$��� [ ] �→��� �� ��� �� ������������� - �������� ���

��� +=�

����������� ""%��%""%*�%"%

���

*���������'���������������������������������� ��������(�� �'� ���������

���� [ ]��� ���� ������������������ �

�"�����4�������������

1 ������� � ������ ���� �� ���������������� � ����������� �� ���� � �������� �

���(��������� ������������������� ����

�"5� ������

$� ��� �� ������� ���� ������������ �� ����������������� [ ]��� �

������������� �∈µλ� �

��� +=+�

��������� "%"%""%% µλµλ

*����������������� ������ ���� ���"������� �� � �6�����������

� ��� ����� �������� ������

3"�� 7������

$� [ ] �→��� �� ����� �� �������������� �� =�

������� "%"%

8"�������

$� � ��� � � �� ���� �������� �� �� �� ��� �������� ��� � ����� �

�� �� � ��������

��� +=�

���������� "%"%"%

9"/� ���� �&��������������������)

$������ ��� �� ����������������� [ ]��� ������� �����4�� ����

���� ��(���� ������ �������� �� =�

������ "%"%

�� � ����������������� ��� �� ���� ����������� � ����� ����������

�'� ������� �'� � �� ���� �� �� �� ��� �������� �� ���4 � �� ������ �'� �

������'� ������������ ���� ��� �� ���

touscours.net

Page 3: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� ��

����8�����

":�7������ ��������

$��� [ ] �→��� �� ��� �� �������������

$� �� ≤ ������ �� ≤�

������� "%"%

���� ������� �

���� � �

� ���� =� "% ����� �� ×∈ +"�% θ %����� ���

�=� "% "

!�����

��−− ==

��

� �������� "%"% θθ

$��� ����������������������������� ����������� ���� "%���� �θ−�

!���� �����������

��

∈∈∈

�� +=�

�������� "%"% �� � 0"% =�

���� �� ���

�=� "%

-���������� [ ]��� �∈ � "%"%"%"%"% ������������ � ==+≤ − θ

�� � �� ≤=�

������ "%"%

1"� ��������'� ��� ���� �� �� ��������������

*�������

$��� �→�� � !���� � ��� ������(�� �� �� ������� � �� �*� �� ��� �� �

������(������� ������� "%"+%��"%"+%*�"%+� ��������� +=∈∀

$��� �→�� � � ������(�� $� 0"%+� =∈∀ ���� � ����� ������ =∈∀∈∃ "%���

%����� �������� 0"+%��"+%*�0+ ==⇔= ��� �������� � ��������"

$��� �→�� � ; �������������%����"���� ��� ���� �→�� � �������(���

�������� �� =+ $� � ����� � � ����������� ����� �'� ���(����� ������������ � ���

�'� ���(�������� ���� � �� + ��������� �� %�'���� ��������������� �������� �"

1�������

*������ �������� ���� += ���� 3"�% �∈�� �� ���� �� �� ����

"�� %��� ������� ����� +==

$��� �∈� ������� �� →�� ���� ���� ���� ������ ������ =∈∀ "%��

!��������������(��������� ������� =∈∀ "%+��

1 ��������� ���� βα �� += ���� 3"�% �∈βα �� ��

"�� %���"%� ������� � ββα +=∈∀ �

�� �����������(����������������� �∈� �

�������

��

������

���������

=+=++−=

"%

"����� %"�� ���%"%+

ββα

αα

βαβββαβββα

��� ������������ <�∈� ����� ���� ����

��

� ���� ������������������

�� ���� �����

touscours.net

Page 4: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� ��

����9�����

=����4���

$��� �→�� � ��� �� �� !������������� ��∈ �

5��� ����

�→

�����

���

"%

���������(�������������

�� ����� ����

$��� �→�� � � �� �� �� !���� � ����� ��� ���������� ��� �� ��� �� ����� ����

������ ��∈ � ��

����� "%� ����'� �������������������������� ���������0� �

�� ����� ��3�

$��� [ ] �→��� �� � �� �� ��� �� ���� � � � ��������� �� � ��� [ ]��� !�����

"%"%"% ��������

�−=� %��'� ��� [ ]�

��� "% "

���� ������� �������4���

!�������>����4����������4��� ��� � �� *�� = �� �� ��3 =

!����� ���� ���� ��∈ � ��� +=�

����������� "%"%"% 3� � �� � ���� ��� ���

�� ���� � ��

����� "%�� �� �

����� "%3� �� �������(�����������������������������

�� �� 3� %������� �� �� 3� �� ��� �� ���"��'�2����������

5���� ����� ����������4�������� ��� ��������� �������� ����������

!��������� ����������������������������� ���� ��������

1�������

#������� �������� ��� �������������������� ���� ������ ��� � 3���8�

- ������������������������� �������� ���������������� ���������������� ��

�������� �∈� �� � ����

��= ��

+���

�� �����

0

"38%

0

8 *�3��� %���� ������ ���� ���"

-�� "�"3�� 3%���%�8

38"�%

38

38

8"38%

0

"38%

0

"38% −+−=−+

=�

��

+= +

++

� �����

���

��� ���

���

���

�� ��8

8"3�� 33���8%

�83���

8

0

8 −+=� ���

����

��

/"� �������� ����������

*������

$��� � �→�� ��

$������ ��� �� ��������� � ����� �� ��

$������ �������(��������� � ���������(������������ ++"+% ��� +=

$��� �∈� ; ��� ���� �→�� � ��������������� �� %����"������'��������

����������(�������������������������,�4������� �� ������

- ���(��������� ���������������� �� ����������� ��� �*� �� ��� ���� �

touscours.net

Page 5: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� ���������

���������������� ��������������� ��������� �����������

=����4���

$��� � [ ] �→��� ���

$������ ��������� �� ��� [ ]��� �

[ ] �� −=�

������������ "%+"%"%"%"%"%+

�� ����� ���/��������=�>������������� ������%��'����� �−� "

$� [ ] �→��� �� ����������� �� % �≥� "��� [ ]��� �

� −−+

−−++−+−+=

−−

−�

��

��

����

����

����

���������� "%

"?�%

"%"%

"?�%

"% "%++

?3

"%"%+"%"%"% "%

�"�%

�3

%5����� ������� ���� ������������������ ����������������� �������� ��"

�� ����� ���� ���������=�>���,5���� ��%��'����� �−� "

$������������� �� % �≥� "��� [ ]��� ����������� �� ��7��� �����������"%�� ��� [ ]��� %��� ���������� ��� ���� ���������� �� ������ ����� �������

(�� ��"�������

��

����

����

����������

��

?"%

"?�%

"% "%++

?3

"%"%+"%"%"%

"�%�3 −

≤���

����

−−++−+−+− −

���� ������� �

$��� �������4��������� �������������� ��������

��

�����

���

��

?"%

"?�%

"% "%� −

≤−

−�

• $� �� ≤ �� �������

�� −−≤

−− −−

��

��

����

�����

��"%

"?�%

"%"%

"?�%

"% "%�

"%�

-���������� [ ]��� �∈ �"?�%

"%"%

"?�%

"%"%

"?�%

"% �"%

�"%

−−≤

−−=

−− −−−

�����

����

�� ��

��

�'�2����� �������������� ��� � ����� ������������ ���� ���������

?

"%

?

"%

"?�%

"%"%

"?�%

"% �"%

���

����

������

�� ��

��

��

�� −=�

��

−−=−

−≤−

−��

−−

• $� �� ≤ �� ����4�����6��� ������ ��

�� −−=

−− −−

��

��

����

�����

��"%

"?�%

"%"%

"?�%

"% "%�

"%�

�������������� [ ]��� �∈ � "%"?�%

"%"%

"?�%

"% "%�

"%�

���

����

�� ��

��

−−=

−− −−

*�������������� ��%������"

���� �=� � � �(��� � �'� ���������� ����������� �� �� ��� ����� �������� ���

�'��������������������� ���� �������������������� ���� ����������� ���

$� 83"% ����� += ��� [ ]��0 � �� '������ ��� �� ] [��0∈� ��� ���

"%+"0�%"0%"�% ���� −=− ���������������� 383� ���� +=+ ����������������(��

touscours.net

Page 6: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� ����@�����

A"��� ���� ��������(��

=����4���

$��� [ ] �→����ϕ �������� �� ������� �→�� � ��� �� ������� [ ] ��� ⊂"�%ϕ

!���� �� ="%

"%"%"%+"%%

��������

ϕ

ϕϕϕ

5����� ������� ���� ������������������� �������2���������������������

������� �(�� �B� �� ��������� �→�� � ���� ������������ � ��� ������� ϕ�� ���

������(����� [ ]��� �� [ ] "%+""%%"%+""%%+"%"+%�� ����������� ϕϕϕϕϕ ×=×=∈∀ �

C"*�������������� �������� ��

�� �6�� ��� �'������� ��� ����������� �� �� �� ��� ������ ���� ��� �� ���� � �

������� �� � �� �� �����4�� �� �� ��>� � ��� ���� ����� ���� � � ������� �� � �

%�6�����������������'��������������������� ���� ��"

��������������� ������ ���������� ������������ ���� �������!":�������� �����

*������

$��� "%�� �∈ �������� �����D������������ ���� � � 3� ��������������������

���� � � 3� !����������������� ����� ����������� � "%�� ������������

� �= =

���

����

−+=

��

���

����

� �

"%

λ

-2����� ���> D������������ ���� ��%��������������� ��4�����"����2

��� ���λ �� ��������� �����

$������ �� � � �� � ����������� ��� �� � ����� �D����� ���� �������

� ������������ "%��� � ��� ��� ����� � ���� �� �� ������������������������

�� ���� ����> D��������� ���� ����>�����

�"%

−� ��2 <� �� ∈∈ ��

• �������� ���� ����> ������������� �

• ��������

�"%

−� ��2 3≥� �

$����� � ����������� ��� �� � �����

!�������� ���� ���

�"%

−� ��������������������

�"%

�−−−

−����

��

%5������������ ������������� ������ �E"

• �������

�−�

� %5������������������������ ��� ���������������??"

, $� �∈� �� ���������

�−�

� �������� ] [��∞− ����� ] [+∞�� �����������

��� −� �

touscours.net

Page 7: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� ��

����F�����

, $� �∉� ��������

�−�

� ������� ���������� ��������

����

��

����

��

���

+−−=

−−−=

−∈∀

3""%%

��� ���� ��� += �� ��� =

�� � 3"�% �∈�� �� 093 <− ��

- �����������

���

����

���

+−−+−

=+−

−∈∀3

33�

3

"3%��

!� ���� ����������������

���

+−−

3

3� ������� "� % 3 ����� +−�

- ������ ���� �� � ��������� �������������*������

��

+−−

3

3�

- ��� ����� ������������ � �����93

�33

3 ��

������� −+�

���

� −=+−∈∀ �

�������� � 09

3

>− �� - � ������������ <+∈ �� ������

9

33 �

�� −=

!� ������� �∈�� �0 �� ��

[ ] "%

"%

"%

"% 333

"%

33

3

33

30�

3�

30�

�3

�00

!���� �

"%

��

��

��

��

��

��

��

� �

��

����

��

��

����

� −−

=−=

↑=

+=

+−=

+− ���

!� ���� ����������������

�+−3

�� ������� �

���

� − "3

%G

�!����

� ��

�� �

/� ����� ��� ��������������

�−�

� ��������

�����

�����

−��

���

� −++−

9

3!����

9

3"� %

3

33

3

��

��

��

��

������

%.�� � �� ��� �� ���� ����� ���� �� �� ������� ��� �� �������� ������� �� � ��

��� ������E?"

."������������� ������ ��������������� ���� ��

�'�(���� (�� �B�� � ���� ������ ������� �'��� � ��� ����������� �� !"� �

������������������ ����� ������ ����� � �4���E

- ���� ��� � �6�� ��������� ��� �� "%�� �∈ � �� ������ � ��4�� ��� �

��������� �� ������ ������������ �� ���������� � �� � ������������������ ��������� ����

�D��� ����� �� � ����� %���� �� ����� ��� ��� ������� � ����� �����"� �� � �� ��� �D���

��������� � ������� ��� 7�����������������������6�����������������������

������ ������� �������� � � �D�� �� H∈� ����

������ "%

"% 3

3�

−++

−+

−λλλ

� �����

touscours.net

Page 8: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� ����I�����

��������������� ����

������ "%

"% 3

3�

−++

−+

−λλλ

%����������������������������

�∈� � �D�� �� �� "%"% ���� = � ������� "%�� �∈ � �� �� �'� ����� �� ��

������������ � ����� ���������"

!� ���������'��������J�� ������� −

λ%���� �� H∈� �� �∈λ "���������J���

������� −

λ �� ���� �����'� ������ �������� �������� �������� ��������D� ���

����������

����

������

���

���� +−+=

++−+−+=

−+

− 33 "%

"%"% βαλλλλλλ

-2 �∈����� βα �� 093 <− ��

1 ������� � �4�������

��

+−+

3

βα� ������� ��������������E

���� �� �� ��������� ��� ������ � ��� "% −

λ ��

��� "% −λ

���� 3≥� ��� �

�'� ������ '����� � ���6�%� ��������������4�"

�"1�������

• ��7���� '���������7����������������������>������������ ��

; ������������F38

3

"�3%

9�

+++��

��� � ���

@38 "�3%

@

++−

��� �

• *���������'� �������������

�3 −�

� � ��� ] [ ] [ ] [���������� −+∞−∞−=� �

��

���

+−

−=

− �

3

�3 ���

��� � ��

���

+−

−=

−∈∀

3

��

3 �����

!� ��� � � ��������� ���

�3 −�

� � ��� � ��� ( )�� �� 3

� +−− ��� � � ���� �����

��

3

+−�

�� �

• *���������'� �����������38 "�%

−�� � ��� ] [ ] [+∞∞−= ������� �

������������ � ����� ����������� � "%�� �

5�������� ��4����� ��������������������� �������������

33

3

3

3

3�

3

3�

38 "%"%"%"%"�%"�%"�%

����������� −+

−+

−+

−+

−+

−=

−γγββαα

%�"

%1 ������� ���������� { }38 "�%

���H

−∈∀

�� � ���������� �� 7�������'� �������

�������������� � ����� ����������� �� ������ 33��3� ��� βγβγαα ==∈ � ����

� ���������������� ��� ������"

touscours.net

Page 9: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� ����K�����

1 ������L� ����� �� �� �(��� ��

3

3�

3

3

3�

3

33

3

3

3

33

3

3

3

3�

3

3�

38

"%"�%�"%

"%"%"�%�"�%

��

��

��

��

�����������������

−+

−+

−+

−+

−+

−=

−+

−+

−+

−+

−+

−=

−γγββαα

γγββαα

�� ������ ��������������������� � ����� ����������

3

3

33��

3

�33�

3

� ��� αγβαγβαγαγ ������ ======

�� ���������� ��������� 3� � αα

1 ��������� �%�"��� 3"�% −� �� �(��� ��

�����

3

3�33"�%"�%

"�%

� −++−=++

αα

-2����� �������� ����� ������ �� '�������D��

1 ������L� �������� �(��� �K

�3 =α

1 ������ ����������� ��������� �4����������� �������

+"�%"�%3"�%

"�3%3 3

�83����

��

� −+−+=+++− α

1 ��� � ���������� ��� ������K

3� −=α

!� ���

���

����

−+

−−+

−+

−−+

−+

−−=

− 333

3

3

3

338 "%"%

3

"%"%

3

"�%

"�%

3

K

"�%

��

��

��

��

���

1 �������� �"% ��

−��

"% 3

3

��

−�� �(��� ��

���

����

−+

−+

++++

−+

−−=

− 333

3

3338 "%"%�

93

"�%

"�%

3

K

"�%

��

��

��

���

- ��

8

�3

93333 ++

+++

+=++

+����

��

1�983

3�3"%

++=

++ ���

-���������� �∈�� �0 �� ��

[ ] "%

"%

"%

"% 3

983

3�

3

8

3

3

�0

8

3

3

8

3

3

�0

8

3

3

83

8

3

�0

!���� 8

3

�8

3

"%

+

+

+

+

=

=+↑

=+

==++ ��

��

��

��

�� �� �������������

�8

3 ++×

��� � ������� ��

����

� + "3

�%

8

3!���� 83 �� �

�'����������� ������������333

3

"%"% ��

��

��

−+

−� ��������

���

����

−+

−−

3

3

��

��

��� ���������� �

���

+++−−

�3 ��

���

touscours.net

Page 10: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� �����0�����

!� ���� ����������������38 "�%

−�� � ������� ���� �

���

����

++−+�

���

� +++++−

−−−�

�"

3

�%

8

3!���� 83"�� %

��� 3

K

�3

3

��

����

����

���������� ��� ������ � "%���� �α� ��� <�∈α ���� MN�� �∈ �

$��� <�∈α � MN�� �∈ � �� ���� �� →�� ���� �� ��� "%"%� ������ �α=∈∀ � � ���

�� �� ������O������� �� �������������

1�����

$��� MN�� �∈ ������� ���������� �� →� ���� ����� "%"%� ����� �α=∈∀ �

!�������������(����� ""%+"%%"%+� ������� � +=∈∀ αα�

- ��� ������������ ����

���

��������

=+⇔=+∈∀⇔=

+

"%"%+"%�+

αα�

%5������4���������� ����7��������������������������> D��������P ���� ����

� �� �� �������������� ������"

; ����'���4(���

$��� �∈� ������ �� ≤"���%

$���+MNMN������ ��

+→

αϕ

���

%������ ���� �(�� � �� ������ MN�� ��∈ ������ MN+ ��� ��∈+α "

!����ϕ ����� �����%����������� ���������"�������� 0≠α �� ������������

"���%""%���%M�N ���� � =∈∀ ϕ�

!� ���ϕ ���� 7������%������� 0"���%""%���%0"% =�=−∞=�= ���� ϕϕ "

�����ϕ ���� � ������������ ���� ��� �� ���ϕ ���(�7������

!� ������������ � ���� MN�� ��∈ ������ ��� =+ +α ���� ��6�� �� ������ ≤

�� ������ �

5�� ���������� �� "%���� �α� ��� � �� � ��� ���"% +���� �α

� � �2� ��� � ������

���> D�����6�����������%� �'�(��� ������� ��������� "

��������������������� 0=α %� ��������������������������6�����������"

� ���6��

- ������ ���(�� �������������������� ���� ������������������

"���%"% ����� � ωα� �� "�� %"% ����� � ωα

� %�2 �∈ωα � ��� MN�� �∈ "

1�������

*���������������������� "3���%"�%� 3

� ����� � +� �� "3�� %"�%� 3

3 ����� � +�

$��� 3� ���� += !���� "�%"%� 3"3�% +=∈∀ + ����� ��� ���������� �������������������

�*� ���� ������������ �� �� ��� � ������������ 3�

touscours.net

Page 11: 05 intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans r

���������� �������� ���� ����� ����� ���� ����������� �� �����������

- ������������������� "%"% 3"3�% γβα ++= + ����� ��

!���� ""3%""%3�%%"%+� 3"3�% βαγβα +++++=∈∀ + �������� ���

"�%3�

���

3�

3��

3�

�"3�%��03"3�%���"3�%+�� �

βγαβα

βγαβα

−+

=+

−=+

=⇔

=++=++=+⇔=

���

�����

�'�2����4���������� �(��� ���'� ������������������� ������

( )"9@8%"98%�0"3�%3�3

�"%� 3"3�% ��������� �� −+++−=∈∀ +

!� ���

( )"3�� %"9@900%"3���%"8803%�3

�""%*�%"%� 33

� ������������ � −+−−++==∈∀ �

( )"3���%"9@900%"3�� %"8803%�3

�""%��%"%� 33

3 ������������ � −+−+++==∈∀ �

���������������� �������!����

- ��������'� ��������'� �������� ����� ������ �� �� �

% ��

�� θθθ "�� �%��� "

$� θθθ � "�� �%��� %���� ��� �� θ ?"���� ��� ����� θθ −� ����������� ���� �

�������(�� ��=� ����6���������������������'� �������

$��'���� ��� ����� θπθ −� ����������� ���� ��������(�� θ�� =�

$��'���� ��� ����� θπθ +� ����������� ���� ��������(�� θ�� =�

touscours.net