Les éléments isoparamétriques - Moodle · PDF fileϕ(x,y ) = a0 +a1x+a2y...

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  • Les éléments isoparamétriques

    ⊲ Elm. Iso. Par. Introduction

    Problème

    Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    1 / 40 Introduction

    Elm. Iso. Par.

    ⊲ Introduction Problème

    Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    2 / 40

    → Pour le moment, on a développé des fonctions de forme pour des éléments 1D

    – Les fonctions de forme étaient facilement définies car la géométrie du problème avait une très faible importance dans la définition de ces dernières

    – Elles ne dépendaient que de la longueur des éléments

    → On a aussi vu que la solution d’un problème par éléments finis passe par la définition d’une matrice de rigidité globale [K] et de la résolution du système:

    [K] {∆} = {F} (1)

    où {∆} sont les degrés de liberté de la structure (les inconnues à déterminer) et {F} les forces appliquées sur la structure.

    Introduction

    Elm. Iso. Par.

    ⊲ Introduction Problème

    Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    3 / 40

    → Pour un élément donné, sa matrice de rigidité exprimée dans son repère local

    [

    K̄(i) ]

    fait le lien entre les degrés de liberté et les forces attachées à cet élément:

    [

    K̄(i) ]{

    ∆̄(i) }

    = {

    F̄ (i) }

    (2)

    → On a montré, dans plusieurs contextes, que la matrice de rigidité totale de la structure est donnée par:

    [K] = ∑

    [

    K(i) ]

    (3)

    où les [

    K(i) ]

    sont les matrices de rigidité des éléments exprimées dans le repère global et où des lignes et des colonnes de 0 ont été rajoutées pour inclure tous les D.L. du problème.

    Introduction

    Elm. Iso. Par.

    ⊲ Introduction Problème

    Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    4 / 40

    → On a aussi vu que les matrices de rigidité des éléments dans leurs repères locaux étaient définies à l’aide de la méthode des résidus pondérés et de l’intégration par parties.

    → On devait résoudre le système: ∫

    D

    R(x) {Ni} dD = {0} (4)

    où D est le domaine de l’élément et {Ni} sont les fonctions de forme.

  • Problème

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    ⊲ Problème Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    5 / 40

    → Dans le cas général, il peut devenir très difficile d’exprimer les fonctions de forme pour un élément 2D ou 3D qui n’a pas de forme régulière

    → Comme on l’a fait précédemment pour des éléments 1D, on pourrait exprimer une fonction ϕ(x, y) dans un élément carré par une interpolation bi-linéaire du type:

    ϕ(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3xy (5)

    → Comme on l’a fait précédemment, on pourrait exprimer ϕ(x, y) comme une fonction de ses valeurs nodales aux 4 noeuds de l’élément:

    ϕ(x, y) = {Ni(x, y)} T

    ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4

    (6)

    Problème

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    ⊲ Problème Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    6 / 40

    → Dans le cas d’un élément carré ou rectangulaire, l’allure des fonctions de forme prendrait celle de la figure suivante:

    Figure 1: Illustration de la fonction de forme N1 pour un élément quadrilatéral à 4 noeuds

    → On aura bien, comme dans le cas des fonctions 1D, Ni(xj) = δij

    Problème

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    ⊲ Problème Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    7 / 40

    → Pour une forme plus compliquée, comme celle illustrée à la figure suivante, la définition mathématique des fonction de forme devient algébriquement compliquée (mais pas impossible)

    Figure 2: Illustration d’un élément de géométrie complexe où il est difficile d’exprimer algébriquement les fonctions de forme pour tous

    les noeuds

    Problème

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    ⊲ Problème Coord. Norm.

    Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    8 / 40

    → En tout cas, la définition des fonctions de forme dans le repère réel d’un élément n’est plus systématique: elle dépend de la géométrie du problème

    – Si on a des éléments qui ne sont pas forme carrée, il faut définir à la main chacune des fonctions de forme de chaque élément

    – On perd donc tout l’avantage d’utiliser un ordinateur.

    → Il existe une manière (heureusement !) systématique d’établir des fonctions de forme pour des éléments de forme non régulière.

  • Coordonnées normalisées

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    Problème

    ⊲ Coord. Norm. Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    9 / 40

    → La technique consiste à appliquer une transformation sur l’élément de l’espace réel vers un espace où l’élément est normalisé.

    Figure 3: Transformation de l’élément réel vers l’élément normalisé

    Coordonnées normalisées

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    Problème

    ⊲ Coord. Norm. Eléments 2D

    Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    10 / 40

    → Pour cet élément normalisé, ou élément parent on va définir, une fois pour toutes, les fonctions de forme

    → Pour connaître celles de l’élément réel, il ne suffira que d’appliquer la transformée inverse... encore faut-il que cela puisse se faire systématiquement

    Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    Problème

    Coord. Norm.

    ⊲ Eléments 2D Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    11 / 40

    → Pour s’assurer qu’il y ait continuité de la fonction d’essai U∗

    d’un élément 2D à l’autre, on va choisir une fonction d’essai du type:

    U∗(x, y) = {Ni(x, y)} T {ui} (7)

    → De plus, on doit s’assurer que la valeur de U∗ sur les côtés d’un élément ne dépende que des valeurs nodales sur ce côté

    → De cette manière, deux éléments qui partagent le même côté auront la même fonction d’essai sur ce côté.

    Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    Problème

    Coord. Norm.

    ⊲ Eléments 2D Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    12 / 40

    → Pour définir ces fonctions de forme, on va procéder à un produit de fonctions d’interpolation 1D

    → Si l’on travaille en coordonnées normalisées où ξ, η et ζ ∈ [−1, 1] on aura pour des éléments 1D les fonctions de forme suivantes:

    1 21

    1 21

    1 21

    (1 )

    (1 )

    (1 )

    L

    L

    L

    1 22

    1 22

    1 22

    (1 )

    (1 )

    (1 )

    L

    L

    L

    , ,

    Figure 4: Illustration des fonctions de forme pour un élément normalisé 1D linéaire

    → On peut bien vérifier que Li(ξj) = Li(ηj) = Li(ζj) = δij

  • Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    Problème

    Coord. Norm.

    ⊲ Eléments 2D Elm. Lagrange

    Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    13 / 40

    → Pour un élément quadratique, on aura de la même manière:

    1 21

    1 21

    1 21

    ( 1)

    ( 1)

    ( 1)

    Q

    Q

    Q

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    (1 )

    (1 )

    (1 )

    Q

    Q

    Q

    1 23

    1 23

    1 23

    (1 )

    (1 )

    (1 )

    Q

    Q

    Q

    , ,

    Figure 5: Illustration des fonctions de forme pour un élément normalisé 1D quadratique

    → On peut bien vérifier que Qi(ξj) = Qi(ηj) = Qi(ζj) = δij

    Éléments 2D normalisés de la famille de Lagrange

    Elm. Iso. Par.

    Introduction

    Problème

    Coord. Norm.

    Eléments 2D

    ⊲ Elm. Lagrange Elm. Serendip

    Élm. 3D

    Utilisation

    14 / 40

    → Dans la famille de Lagrange, les fonctions de forme associées aux noeuds de l’élément sont des produits de fonctions élémentaires décrites aux transparents précédents

    → En procédant de la sorte, on s’assure que Ni(xj) = δij

    Élément bi-linéaire

    → Pour cet élément, les fonctions de forme sont obtenues par le produit des fonctions de forme 1D linéaires

    Élément bilinéaire - 4 nuds (Lagrange)

    Figure 6.7

    1 41 1 1

    1 42 2 1

    1 43 2 2

    1 44 1 2

    1 1

    1 1

    1 1

    1 1

    N L L

    N L L

    N L L

    N L L