Les éléments isoparamétriques

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Problème

Coord. Norm.

Eléments 2D

Elm. Lagrange

Elm. Serendip

Élm. 3D

Utilisation

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Eléments 2D

Elm. Lagrange

Elm. Serendip

Élm. 3D

Utilisation

2 / 40

→ Pour le moment, on a développé des fonctions de forme pour des éléments 1D

– Les fonctions de forme étaient facilement définies car la géométrie du problème avait une très faible importance dans la définition de ces dernières

– Elles ne dépendaient que de la longueur des éléments

→ On a aussi vu que la solution d’un problème par éléments finis passe par la définition d’une matrice de rigidité globale [K] et de la résolution du système:

[K] {∆} = {F} (1)

où {∆} sont les degrés de liberté de la structure (les inconnues à déterminer) et {F} les forces appliquées sur la structure.

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Utilisation

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→ Pour un élément donné, sa matrice de rigidité exprimée dans son repère local

[

K̄(i) ]

fait le lien entre les degrés de liberté et les forces attachées à cet élément:

[

K̄(i) ]{

∆̄(i) }

= {

F̄ (i) }

(2)

→ On a montré, dans plusieurs contextes, que la matrice de rigidité totale de la structure est donnée par:

[K] = ∑

[

K(i) ]

(3)

où les [

K(i) ]

sont les matrices de rigidité des éléments exprimées dans le repère global et où des lignes et des colonnes de 0 ont été rajoutées pour inclure tous les D.L. du problème.

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Élm. 3D

Utilisation

4 / 40

→ On a aussi vu que les matrices de rigidité des éléments dans leurs repères locaux étaient définies à l’aide de la méthode des résidus pondérés et de l’intégration par parties.

→ On devait résoudre le système: ∫

D

R(x) {Ni} dD = {0} (4)

où D est le domaine de l’élément et {Ni} sont les fonctions de forme.

Problème

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Utilisation

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→ Dans le cas général, il peut devenir très difficile d’exprimer les fonctions de forme pour un élément 2D ou 3D qui n’a pas de forme régulière

→ Comme on l’a fait précédemment pour des éléments 1D, on pourrait exprimer une fonction ϕ(x, y) dans un élément carré par une interpolation bi-linéaire du type:

ϕ(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3xy (5)

→ Comme on l’a fait précédemment, on pourrait exprimer ϕ(x, y) comme une fonction de ses valeurs nodales aux 4 noeuds de l’élément:

ϕ(x, y) = {Ni(x, y)} T















ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4















(6)

Problème

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Utilisation

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→ Dans le cas d’un élément carré ou rectangulaire, l’allure des fonctions de forme prendrait celle de la figure suivante:

Figure 1: Illustration de la fonction de forme N1 pour un élément quadrilatéral à 4 noeuds

→ On aura bien, comme dans le cas des fonctions 1D, Ni(xj) = δij

Problème

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Eléments 2D

Elm. Lagrange

Elm. Serendip

Élm. 3D

Utilisation

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→ Pour une forme plus compliquée, comme celle illustrée à la figure suivante, la définition mathématique des fonction de forme devient algébriquement compliquée (mais pas impossible)

Figure 2: Illustration d’un élément de géométrie complexe où il est difficile d’exprimer algébriquement les fonctions de forme pour tous

les noeuds

Problème

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Eléments 2D

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Élm. 3D

Utilisation

8 / 40

→ En tout cas, la définition des fonctions de forme dans le repère réel d’un élément n’est plus systématique: elle dépend de la géométrie du problème

– Si on a des éléments qui ne sont pas forme carrée, il faut définir à la main chacune des fonctions de forme de chaque élément

– On perd donc tout l’avantage d’utiliser un ordinateur.

→ Il existe une manière (heureusement !) systématique d’établir des fonctions de forme pour des éléments de forme non régulière.

Coordonnées normalisées

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Utilisation

9 / 40

→ La technique consiste à appliquer une transformation sur l’élément de l’espace réel vers un espace où l’élément est normalisé.

Figure 3: Transformation de l’élément réel vers l’élément normalisé

Coordonnées normalisées

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Utilisation

10 / 40

→ Pour cet élément normalisé, ou élément parent on va définir, une fois pour toutes, les fonctions de forme

→ Pour connaître celles de l’élément réel, il ne suffira que d’appliquer la transformée inverse... encore faut-il que cela puisse se faire systématiquement

Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

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Problème

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Élm. 3D

Utilisation

11 / 40

→ Pour s’assurer qu’il y ait continuité de la fonction d’essai U∗

d’un élément 2D à l’autre, on va choisir une fonction d’essai du type:

U∗(x, y) = {Ni(x, y)} T {ui} (7)

→ De plus, on doit s’assurer que la valeur de U∗ sur les côtés d’un élément ne dépende que des valeurs nodales sur ce côté

→ De cette manière, deux éléments qui partagent le même côté auront la même fonction d’essai sur ce côté.

Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

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Élm. 3D

Utilisation

12 / 40

→ Pour définir ces fonctions de forme, on va procéder à un produit de fonctions d’interpolation 1D

→ Si l’on travaille en coordonnées normalisées où ξ, η et ζ ∈ [−1, 1] on aura pour des éléments 1D les fonctions de forme suivantes:

1 21

1 21

1 21

(1 )

(1 )

(1 )

L

L

L

1 22

1 22

1 22

(1 )

(1 )

(1 )

L

L

L

, ,

Figure 4: Illustration des fonctions de forme pour un élément normalisé 1D linéaire

→ On peut bien vérifier que Li(ξj) = Li(ηj) = Li(ζj) = δij

Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

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Élm. 3D

Utilisation

13 / 40

→ Pour un élément quadratique, on aura de la même manière:

1 21

1 21

1 21

( 1)

( 1)

( 1)

Q

Q

Q

2

2

2

2

2

2

(1 )

(1 )

(1 )

Q

Q

Q

1 23

1 23

1 23

(1 )

(1 )

(1 )

Q

Q

Q

, ,

Figure 5: Illustration des fonctions de forme pour un élément normalisé 1D quadratique

→ On peut bien vérifier que Qi(ξj) = Qi(ηj) = Qi(ζj) = δij

Éléments 2D normalisés de la famille de Lagrange

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Eléments 2D

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Élm. 3D

Utilisation

14 / 40

→ Dans la famille de Lagrange, les fonctions de forme associées aux noeuds de l’élément sont des produits de fonctions élémentaires décrites aux transparents précédents

→ En procédant de la sorte, on s’assure que Ni(xj) = δij

Élément bi-linéaire

→ Pour cet élément, les fonctions de forme sont obtenues par le produit des fonctions de forme 1D linéaires

Élément bilinéaire - 4 nuds (Lagrange)

Figure 6.7

1 41 1 1

1 42 2 1

1 43 2 2

1 44 1 2

1 1

1 1

1 1

1 1

N L L

N L L

N L L

N L L