Les éléments isoparamétriques - Moodle · ϕ(x,y ) = a0 +a1x+a2y +a3xy (5) → Comme on l’a...

Les éléments isoparamétriques

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1 / 40 Introduction

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→ Pour le moment, on a développé des fonctions de forme pourdes éléments 1D

– Les fonctions de forme étaient facilement définies car lagéométrie du problème avait une très faible importance dansla définition de ces dernières

– Elles ne dépendaient que de la longueur des éléments

→ On a aussi vu que la solution d’un problème par éléments finispasse par la définition d’une matrice de rigidité globale [K] etde la résolution du système:

[K] ∆ = F (1)

où ∆ sont les degrés de liberté de la structure (les inconnuesà déterminer) et F les forces appliquées sur la structure.

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→ Pour un élément donné, sa matrice de rigidité exprimée dansson repère local

[

K(i)]

fait le lien entre les degrés de liberté etles forces attachées à cet élément:

[

K(i)]

∆(i)

=

F (i)

(2)

→ On a montré, dans plusieurs contextes, que la matrice derigidité totale de la structure est donnée par:

[K] =∑

[

K(i)]

(3)

où les[

K(i)]

sont les matrices de rigidité des élémentsexprimées dans le repère global et où des lignes et des colonnesde 0 ont été rajoutées pour inclure tous les D.L. du problème.

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→ On a aussi vu que les matrices de rigidité des éléments dansleurs repères locaux étaient définies à l’aide de la méthode desrésidus pondérés et de l’intégration par parties.

→ On devait résoudre le système:∫

D

R(x) Ni dD = 0 (4)

où D est le domaine de l’élément et Ni sont les fonctions deforme.

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→ Dans le cas général, il peut devenir très difficile d’exprimer lesfonctions de forme pour un élément 2D ou 3D qui n’a pas deforme régulière

→ Comme on l’a fait précédemment pour des éléments 1D, onpourrait exprimer une fonction ϕ(x, y) dans un élément carrépar une interpolation bi-linéaire du type:

ϕ(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3xy (5)

→ Comme on l’a fait précédemment, on pourrait exprimer ϕ(x, y)comme une fonction de ses valeurs nodales aux 4 noeuds del’élément:

ϕ(x, y) = Ni(x, y)T

ϕ1

ϕ2

ϕ3

ϕ4

(6)

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→ Dans le cas d’un élément carré ou rectangulaire, l’allure desfonctions de forme prendrait celle de la figure suivante:

Figure 1: Illustration de la fonction de forme N1 pour un élémentquadrilatéral à 4 noeuds

→ On aura bien, comme dans le cas des fonctions 1D,Ni(xj) = δij

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→ Pour une forme plus compliquée, comme celle illustrée à lafigure suivante, la définition mathématique des fonction deforme devient algébriquement compliquée (mais pas impossible)

Figure 2: Illustration d’un élément de géométrie complexe où il estdifficile d’exprimer algébriquement les fonctions de forme pour tous

les noeuds

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→ En tout cas, la définition des fonctions de forme dans le repèreréel d’un élément n’est plus systématique: elle dépend de lagéométrie du problème

– Si on a des éléments qui ne sont pas forme carrée, il fautdéfinir à la main chacune des fonctions de forme de chaqueélément

– On perd donc tout l’avantage d’utiliser un ordinateur.

→ Il existe une manière (heureusement !) systématique d’établirdes fonctions de forme pour des éléments de forme nonrégulière.

Coordonnées normalisées

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→ La technique consiste à appliquer une transformation surl’élément de l’espace réel vers un espace où l’élément estnormalisé.

Figure 3: Transformation de l’élément réel vers l’élément normalisé

Coordonnées normalisées

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→ Pour cet élément normalisé, ou élément parent on va définir,une fois pour toutes, les fonctions de forme

→ Pour connaître celles de l’élément réel, il ne suffira qued’appliquer la transformée inverse... encore faut-il que celapuisse se faire systématiquement

Fonctions de forme d’éléments 2D normalisés

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11 / 40

→ Pour s’assurer qu’il y ait continuité de la fonction d’essai U∗

d’un élément 2D à l’autre, on va choisir une fonction d’essai dutype:

U∗(x, y) = Ni(x, y)T ui (7)

→ De plus, on doit s’assurer que la valeur de U∗ sur les côtés d’unélément ne dépende que des valeurs nodales sur ce côté

→ De cette manière, deux éléments qui partagent le même côtéauront la même fonction d’essai sur ce côté.


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12 / 40

→ Pour définir ces fonctions de forme, on va procéder à un produitde fonctions d’interpolation 1D

→ Si l’on travaille en coordonnées normalisées où ξ, η et ζ∈ [−1, 1] on aura pour des éléments 1D les fonctions de formesuivantes:

121

121

121

(1 )

(1 )

(1 )

L

L

L

122

122

122

(1 )

(1 )

(1 )

L

L

L

, ,

Figure 4: Illustration des fonctions de forme pour un élémentnormalisé 1D linéaire

→ On peut bien vérifier que Li(ξj) = Li(ηj) = Li(ζj) = δij


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13 / 40

→ Pour un élément quadratique, on aura de la même manière:

121

121

121

( 1)

( 1)

( 1)

Q

Q

Q

2

2

2

2

2

2

(1 )

(1 )

(1 )

Q

Q

Q

123

123

123

(1 )

(1 )

(1 )

Q

Q

Q

, ,

Figure 5: Illustration des fonctions de forme pour un élémentnormalisé 1D quadratique

→ On peut bien vérifier que Qi(ξj) = Qi(ηj) = Qi(ζj) = δij

Éléments 2D normalisés de la famille de Lagrange

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14 / 40

→ Dans la famille de Lagrange, les fonctions de forme associéesaux noeuds de l’élément sont des produits de fonctionsélémentaires décrites aux transparents précédents

→ En procédant de la sorte, on s’assure que Ni(xj) = δij

Élément bi-linéaire

→ Pour cet élément, les fonctions de forme sont obtenues par leproduit des fonctions de forme 1D linéaires

Élément bilinéaire - 4 nuds (Lagrange)

Figure 6.7

141 1 1

142 2 1

143 2 2

144 1 2

1 1

1 1

1 1

1 1

N L L

N L L

N L L

N L L

(6.3)

Figure 6: Illustration des fonctions de forme pour un élémentnormalisé 2D bi-linéaire (Lagrange)


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15 / 40

Élément bi-quadratique

→ Pour cet élément, les fonctions de forme sont obtenues par leproduit de fonctions de formes quadratiques 1D.

→ Avec cette opération, on voit que l’on doit rajouter un noeudau milieu de chaque côté de l’élément ainsi qu’au centre de cedernier

→ Ce noeud n’a aucune influence sur les éléments voisins carNi(xj) = δij

Figure 6.8

141 1 1

142 3 1

143 3 3

144 1 3

2125 2 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

etc....

N Q Q

N Q Q

N Q Q

N Q Q

N Q Q

(6.4)

Figure 7: Illustration des fonctions de forme pour un élémentnormalisé 2D bi-quadratique (Lagrange)


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16 / 40

Figure 8: Illustration des fonctions de forme pour des éléments deLagrange bi-quadratiques

Éléments 2D normalisés de la famille de Serendip

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17 / 40

→ Tout comme pour la famille de Lagrange, les fonctions de formesont obtenues par le produit de fonctions de forme 1D

→ La différence est que pour les éléments de Serendip, ons’arrange pour qu’il n’y ait pas de noeud à l’intérieur del’élément

→ Ceci permet de réduire le nombre de DL à traiter lors du calculfinal de la solution.

→ Pour les éléments bi-linéaires, comme il n’y a pas de noeud aumilieu de l’élément, les éléments de Lagrange et Serendip sontidentiques

→ Pour les éléments quadratiques, il faut être un peu astucieux...


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18 / 40

Éléments quadratiques

→ Pour les noeuds au centre des côtés, on va utiliser une fonctionquadratique pour la coordonnée (i.e. ξ ou η) sur laquelle setrouve les noeuds voisins et une fonction linéaire pour lacoordonnée selon laquelle se trouve le noeud sur le côté opposé

Figure 6.9

2125 2 1

2128 1 2

1 12 21 1 1 5 8

2 21 1 14 4 4

14

14

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

N Q L

N L Q

N L L N N

Figure 9: Illustration des fonctions de forme pour des éléments deSerendip quadratiques


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19 / 40

Éléments quadratiques

→ Pour les noeuds aux coins des éléments, c’est un peu pluscomplexe

→ On doit avoir∑

Ni(ξ, η) = 1∀(ξ, η) ∈ [−1, 1] (on le verra plustard)

→ On choisit en premier une interpolation linéaire selon les deuxcôtés

→ Pour avoir Ni(xj) = δij , on doit soustraire de N1 (parexemple) une certaine fonction qui vaut 1

2 aux noeuds 8 et 5 etqui vaut 0 ailleurs.

→ Pour ce faire, on utilisera les fonctions de forme développéesprécédemment pour les noeuds 8 et 5

Figure 6.9

2125 2 1

2128 1 2

1 12 21 1 1 5 8

2 21 1 14 4 4

14

14

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

N Q L

N L Q

N L L N N


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Utilisation

20 / 40

Figure 10: Illustration des fonctions de forme pour des éléments deSerendip quadratiques

Éléments 3D normalisés

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Eléments 2D

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Utilisation

21 / 40

→ Pour des éléments 3D, on suit la même logique...

181 1 1 2

182 2 1 2

183 2 2 2

188 1 2 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

etc.....

1 1 1

N L L L

N L L L

N L L L

N L L L

Figure 11: Illustration des fonctions de forme pour un élémenttri-linéaire (Lagrange et Serendip)

Éléments 3D normalisés

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Eléments 2D

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Utilisation

22 / 40

2149 2 1 2

21412 1 2 2

21413 1 1 2

1 1 12 2 21 1 1 2 9 12 13

18

18

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 (2 )

N Q L L

N L Q L

N L L Q

N L L L N N N

Figure 12: Illustration des fonctions de forme pour un élément deSerendip quadratique

Utilisation des éléments normalisés

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réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

23 / 40 Lien entre les coordonnées réelles et normalisées (en 2D)

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Utilisation

⊲ réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

24 / 40

→ On cherche ici à faire un lien entre les couples (ξi, ηi) et (xi, yi)→ De cette manière, on peut connaître l’emplacement réel

physique auquel correspond un point sur l’élément parent→ Pour arriver à cela, on va représenter la géométrie de l’élément

à l’aide de fonctions de forme→ Ces fonctions, on le rappelle, sont des interpolations des valeurs

nodales. Elle nous permettront donc d’interpoler la géométried’un élément.

→ On définira, pour un élément bi-linéaire:

x(ξ, η) y(ξ, η)

=

N1 N2 N3 N4

x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4

(8)

Lien entre les coordonnées réelles et normalisées (en 2D)

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Utilisation

⊲ réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

25 / 40

x(ξ, η) y(ξ, η)

=

N1 N2 N3 N4


→ On rappelle que les Ni données à l’équation précédente sontexprimées dans le repère normalisé (fonctions de ξ et η)

→ On notera par N ei celles qui sont exprimées dans le repère

local réel de l’élément (fonctions de x et y)→ Comme ces fonctions représentent la même chose physique, on

doit avoir:

N ei (x, y) = Ni(ξ, η) pour les couples (x(ξ, η), y(ξ, η)) (9)

Étymologie

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Utilisation

⊲ réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

26 / 40

L’appellation Élément Isoparamétrique provient du fait que lesmêmes formulations mathématiques sont utilisées pour :

→ définir la géométrie du problème et changer de base,→ définir les fonctions de forme des déplacements.

Coordonnées

normalisées

Fonctions

de forme

Géométrie

Interpolation

des déplacements

ξ, η

U∗

Ni (ξ, η)

x, y

Figure 13: Représentation des éléments isoparamétriques en 2D

Une nouvelle expression pour les résidus pondérés

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Utilisation

réel ↔ norm.

⊲ Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

27 / 40

→ L’utilisation de la technique des résidus pondérés – critère deGalerkin – dans le domaine Ω d’un élément 2D va s’écrire sousla forme:

∫

ΩR(x, y) N e

i (x, y) dΩ = 0 (10)

→ On a vu que l’on pouvait exprimer les cordonnées (x, y) del’élément réel en fonction des paramètres (ξ, η).

→ En effectuant partiellement ce changement de variables, onaura:

∫ η=+1

η=−1

∫ ξ=+1

ξ=−1R(x(ξ, η), y(ξ, η)) Ni(ξ, η) dΩ = 0 (11)

→ Il nous reste ici à expliciter le terme dΩ qui fait intervenir desnotions de géométrie différentielle


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Utilisation

réel ↔ norm.


Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

28 / 40

→ Supposons un élément de surface tel qu’illustré sur la figuresuivante:

x

y

ξ

η

C

OA

B

dΩ

∂x

∂ηdη

∂x

∂ξdξ

∂y

∂ξdξ

∂y

∂ηdη

Figure 14: Élément de surface dans le repère réel et normalisé

→ L’aire de cet élément de surface sera donnée par:

dΩ = ~OA× ~OB (12)


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Utilisation

réel ↔ norm.


Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

29 / 40

x

y

ξ

η

C

OA

B

dΩ

∂x

∂ηdη

∂x

∂ξdξ

∂y

∂ξdξ

∂y

∂ηdη

→ Supposons que l’on fixe η = 0. On aura alors x = x(ξ) ety = y(ξ). Alors, on aura:

A = (∂x

∂ξdξ,

∂y

∂ξdξ) (13)

d’où:~OA =

∂x

∂ξdξ~i+

∂y

∂ξdξ~j (14)

où ~i et ~j sont des vecteurs unitaires selon x et y.


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Utilisation

réel ↔ norm.


Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

30 / 40

x

y

ξ

η

C

OA

B

dΩ

∂x

∂ηdη

∂x

∂ξdξ

∂y

∂ξdξ

∂y

∂ηdη

→ Supposons que l’on fixe ξ = 0. On aura alors x = x(η) ety = y(η). Alors, on aura:

B = (∂x

∂ηdη,

∂y

∂ηdη) (15)

d’où:~OB =

∂x

∂ηdη~i+

∂y

∂ηdη~j (16)

où ~i et ~j sont des vecteurs unitaires selon x et y.


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Utilisation

réel ↔ norm.


Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

31 / 40

→ On pourra donc calculer:

~OA× ~OB =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂x∂ξ

dξ ∂y∂ξ

dξ 0∂x∂η

dη ∂y∂η

dη 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂x

∂ξ

∂y

∂ηdξdη −

∂y

∂ξ

∂x

∂ηdξdη

)

~k

= det

[

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

]

dξdη

= det [J ] dξdη

(17)

où la matrice J est appelée matrice Jacobienne.→ On a donc tout ce qu’il nous faut pour terminer notre

expression des résidus pondérés.


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Utilisation

réel ↔ norm.


Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

32 / 40

→ On aura donc le résultat final suivant pour la méthode desrésidus pondérés:

∫ η=+1

η=−1

∫ ξ=+1

ξ=−1R(x(ξ, η), y(ξ, η)) Ni(ξ, η)det [J ] dξdη

= 0 (18)

→ Cette forme est très puissante car elle est systématique et peutêtre traitée par un ordinateur

→ La forme du résidu R est la même pour tous les éléments demême nature et est définie par la physique du problème.

→ Les Ni sont connues et ont la même forme pour tous leséléments de même nature

→

x yT

= Ni(ξ, η)T [

xi yi]

sont des quantitésconnues qui peuvent être définies systématiquement à partir dela connaissance de la position des noeuds de l’élément


Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.


Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

33 / 40

∫ η=+1

η=−1

∫ ξ=+1

ξ=−1R(x(ξ, η), y(ξ, η)) Ni(ξ, η)det [J ] dξdη

= 0

→ Le calcul de det [J ] fait intervenir les dérivées partielles descoordonnées physiques par rapport aux coordonnées normalisées

– Avec la définition de (x, y) que l’on vient de donner, onpeut facilement calculer ces dérivées partielles. On aura, parexemple:

∂x

∂ξ= Ni,ξ

T xi (19)

et ainsi de suite.

→ On voit ici que l’on a tout ce qu’il faut pour faire intégrer à unordinateur le système d’équations du résidu pondéré pourcalculer les matrices de rigidité locales des éléments.

→ Mais toutes ces simplifications ont un coût... lequel ?

L’intégration numérique de l’équation des résidus pondérés

Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.

⊲ ∫Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

34 / 40

→ Le coût de cette définition systématique est que l’on ne peutplus intégrer l’équation 18 analytiquement car sa forme peutvarier d’un élément à l’autre

→ Il est plus pratique de développer des algorithmes d’intégrationnumérique qui seront toujours les mêmes d’un problème àl’autre.

→ Par exemple, en 1D, on connaît la règle du trapèze:

Figure 15: Illustration de la règle du trapèze pour l’intégrationnumérique

Au final, A =∑

wif(xi) où les wi sont déterminés à priori enfonction de l’algorithme d’intégration utilisé.

L’intégration numérique de l’équation des résidus pondérés

Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.

⊲ ∫Numérique

Dérivée

Exemple ∂

∂x

35 / 40

→ Certains algorithmes sont plus performants que d’autres, c’estle cas notamment des quadratures de Gauss.

→ En 1D les wi déterminés par la méthode des quadratures deGauss permettent d’intégrer exactement un polynôme de degré2n− 1 avec seulement n points d’intégration

→ Les wi sont calculés à partir de la théorie des polynômes et sontrépertoriés dans des tables

→ Le flux de la fonction d’essai (i.e. les contraintes dans unproblème de mécanique du solide) est le plus précis aux pointsd’intégration

Dérivée d’une fonction d’essai

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Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

⊲ Dérivée

Exemple ∂

∂x

36 / 40

→ On a vu que l’on peut exprimer une fonction dans le repère ξ –η comme:

ϕ(ξ, η) = NiT ϕi (20)

où les ϕi sont les valeurs nodales de la fonction.→ Si la fonction ϕ(ξ, η) = cte, alors, on peut voir que l’on doit

avoir∑

Ni = 1→ Supposons que l’on ait une fonction ϕ(x(ξ, η), y(ξ, η)) et que

l’on désire la dériver par rapport à ξ ou η. Avec la règle dedérivation en chaîne, on aura:

∂ϕ∂ξ∂ϕ∂η

=

∂ϕ∂x

∂x∂ξ

+ ∂ϕ∂y

∂y∂ξ

∂ϕ∂x

∂x∂η

+ ∂ϕ∂y

∂y∂η

=

[

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

]

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

= [J ]

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

(21)

→ On aura donc:

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

=[

J−1]


(22)

Exemple de calcul de la dérivée

Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

⊲ Exemple ∂

∂x

37 / 40

Soit l’élément bi-linéaire quadrilatéral suivant:

Figure 16: Élément quadrilatéral pour l’exemple de calcul de dérivéed’une fonction

Pour cet élément, on avait déjà calculé les fonctions de forme:

Ni =1

4

(1− ξ)(1− η)(1 + ξ)(1− η)(1 + ξ)(1 + η)(1− ξ)(1 + η)

(23)


Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

⊲ Exemple ∂

∂x

38 / 40

La matrice Jacobienne devient donc:

[J ] =

1

4

[

−(1− η) (1− η) (1 + η) −(1 + η)−(1− ξ) −(1 + ξ) (1 + ξ) (1− ξ)

]


(24)

Comme ϕ(ξ, η) = NiT ϕi alors:

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

=[

J−1]


=[

J−1]

[

Ni,ξT

Ni,ηT

]

ϕi

(25)


Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

⊲ Exemple ∂

∂x

39 / 40

De manière complètement analogue, on aura:

ϕ(x, y) = N ei

T ϕi

= N ei (x(ξ, η), y(ξ, η))

T ϕi

= Ni(ξ, η)T ϕi

(26)

pour les couples (x, y) et (ξ, η) correspondants et où les N ei sont

les fonctions de formes de l’élément dans le repère réel. Avec cetterelation, on tire:

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

=

N ei,x

T

N ei,y

T

ϕi

=[

J−1]

[

Ni,ξT

Ni,ηT

]

ϕi

(27)


Elm. Iso. Par.

Utilisation

réel ↔ norm.

Résidus Pond.∫

Numérique

Dérivée

⊲ Exemple ∂

∂x

40 / 40

∂ϕ∂x∂ϕ∂y

=

N ei,x

T

N ei,y

T

ϕi

=[

J−1]

[

Ni,ξT

Ni,ηT

]

ϕi

De cette dernière équation on tire l’égalité suivante très utile:

N ei,x

T

N ei,y

T

=

[

J−1]

[

Ni,ξT

Ni,ηT

]

(28)

Cette relation pourra être très utile lors de l’intégration par partiesdans la méthode des résidus pondérés

Les éléments isoparamétriques - Moodle · ϕ(x,y ) = a0 +a1x+a2y +a3xy (5) → Comme on l’a...

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Transcript of Les éléments isoparamétriques - Moodle · ϕ(x,y ) = a0 +a1x+a2y +a3xy (5) → Comme on l’a...