Primera Solemne.Clculo IntegralJornada Vespertina

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Indicaciones: No est permitido el uso de libros ni apuntes.

Debe desarrollar cada pregunta en la hoja correspondiente, no se aceptan hojas anexas.

Preguntas incompletas y/o con desarrollo incoherente sern evaluadas con menor puntaje.

Debe resolver los ejercicios utilizando los contenidos vistos en clases.

Est permitido el uso de calculadora no simblica.

El uso de aparatos tecnolgicos tales como celulares, tablets o similares, durante el desarrollo de la evaluacin sersancionado con la nota mnima.

Pregunta 1 Pregunta 2 Pregunta 3 NOTA

Puntaje

Puntajerecorregido

DECLARO HABER REVISADO LA EVALUACIN Y ESTAR DE ACUERDOCON LA CALIFICACIN

Da Mes Ao NOTA

Firma Estudiante

1

Utilice sumas de Riemann para expresar el siguiente lmite con una integral definida y de ser posible

calcule su valor. lmn

[1

n(2n + 1)+

1n(2n + 2)

+ ... +1

n(2n + n)

]. (2.0 puntos)

Pregunta 1 (Sumas de Riemann).

2

Determine la existencia del siguiente lmite lmx0

1

x2

x24x2

t + sen2t

tdt. (2.0 puntos)

Pregunta 2 (Teorema fundamental del Clculo).

3

Para un grupo urbano particular, algunos socilogos estudiaron el ingreso anual promedio actual y(endlares) que una persona con x aos de educacin puede recibir al buscar un empleo ordinario. En elestudio se estimo que la razn a la que cambia el ingreso con respecto a la cantidad de aos de educacinde una persona est dada por:

dy

dx= 5x5 x, 2 x 20

Determine el ingreso de una persona que tiene 9 aos de estudios, si se sabe que los ingresos de unapersona con 16 aos de estudio es de y = 40100 dlares. (2.0 puntos)

Pregunta 3 (Problemas de valor inicial).

4

PAUTAObservacin. La solucin de los siguientes problemas puede no ser nica. Si encuentra algn Herrorfavor comuniquelo va email.

Utilice sumas de Riemann para expresar el siguiente lmite con una integral definida y de ser posible

calcule su valor. lmn

[1

n(2n + 1)+

1n(2n + 2)

+ ... +1

n(2n + n)

]. (2.0 puntos)

Solucin. Observe:

lmn

[1

n(2n + 1)+

1n(2n + 2)

+ ... +1

n(2n + n)

]= lm

n

[nk=1

1n(2n + k)

]

= lmn

nk=1

1n2(2 + kn)

= lmn

nk=1

1n

2 +

k

n

= lmn

nk=1

12 +

k

n

1n

= lmn

nk=1

f(xk)k

Donde f(x) =1

2 + x, xk =

k

ny k =

1

n. Por lo tanto:

lmn

[1

n(2n + 1)+

1n(2n + 2)

+ ... +1

n(2n + n)

]= lm

n

nk=1

f(xk)k

=

10

12 + x

dx

= 2

2 + x|10

= 2(

32)

Solucin Pregunta 1 (Sumas de Riemann).

5

Determine la existencia del siguiente lmite lmx0

1

x2

x2x2

t + sen2t

tdt. (2.0 puntos)

Solucin. Observe que al aplicar la regla de LHpital y el teorema fundamental del clculo se obtiene:

lmx0

1

x2

x24x2

t + sen2t

tdt = lm

x01

2x

[[x2 + sen2(

x2)]2x

x2 [4x

2 + sen2(

4x2)]8x

4x2

]

= lmx0

[ [x

2 + sen2(x)]

x2 [4x

2 + sen2(2x)]4

4x2

]

= lmx0

[1 +

sen2(x)

x2 4

[1 +

sen2(2x)

4x2

]]

= lmx0

[1 +

[sen(x)

x

]2 4 4

[sen(2x)

2x

]2]= 6

Por lo tanto lmx0

1

x2

4x2x2

t + sen2t

tdt = 6

Solucin Pregunta 2 (Teorema fundamental del Clculo.).

6

Para un grupo urbano particular, algunos socilogos estudiaron el ingreso anual promedio actual y(endlares) que una persona con x aos de educacin puede recibir al buscar un empleo ordinario. En elestudio se estimo que la razn a la que cambia el ingreso con respecto a la cantidad de aos de educacinde una persona est dada por:

dy

dx= 5x5 x, 2 x 20

Determine el ingreso de una persona que tiene 9 aos de estudios, si se sabe que los ingresos de unapersona con 16 aos de estudio es de y = 40100 dlares. (2.0 puntos)Solucin. Observe que del enunciado se puede deducir que la funcin ingreso es de la forma:

y(x) =

dy

dxdx + c =

[5x5 x]dx + c

=

[5x5/2 x]dx + c = 10

7x7/2 x

2

2+ c

Por otro lado se tiene que y(16) = 40100, de donde se deduce que:

10

7(16)7/2 (16)

2

2+ c = 40100 c = 117756

7 16,820, 21429

De lo anterior se tiene que la funcin ingreso es y(x) =10

7x7/2 x

2

2+

117756

7. Por lo tanto el ingreso de

una persona con 9 aos de estudio es:

y(9) =278685

14 19906, 0714286

Solucin Pregunta 3 (Problemas de valor inicial).

7