MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

)( 0φω += tAsenx

x = elongación, m A = amplitud (elongación máxima), m ω = pulsación angular (frecuencia angular), rad/s φ0 = fase inicial, rad

)cos( 0φωω +== tAdt

dxv velocidad en m/s

xtsenAdt

dva 2

02 )( ωφωω −=+−== aceleración en m/s2

ωAVmáx = 2ωAamáx =

Característica de un MAS → xa 2ω−= → x · ctea =

fπω 2= (rad/s) T

f1= (s–1 = Hz)

ωπ2=T (s)

MUELLE : maKxF =−= → xm

ka −= →

m

k=2ω → m

k=ω → mk ·2ω=

ENERGÍA DE UN MAS

2

2

1kxEp = )(

2

1

2

1 222 xAkmvEc −== 222

2

1

2

1AmkAEpEcEm ω==+=

PÉNDULO SIMPLE

g

lT π2= donde

T

πω 2= o bien m

k=ω

Aspectos trigonométricos útiles:

1cos =θ πθ n2= múltiplo par de π 1cos −=θ πθ )12( += n múltiplo impar de π

0cos =θ 2

)12(πθ += n múltiplo impar de π/2

1±=θsen 2

)12(πθ += n múltiplo impar de π/2

0=θsen πθ n= múltiplo de π

V=0 Vmáx V=0

amáx a=0 amáx

–A O +A

EL MOVIMIENTO ONDULATORIO

- Periodo (T): tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. - Longitud de onda (λ): distancia entre dos puntos sucesivos en igualdad de fase.

- Velocidad de propagación (Vp): (m/s) T

Vpλ= velocidad a la que se propagan los pulsos.

- Frecuencia (f = ν): )s (Hz T

1f 1−== número de pulsos producidos por unidad de tiempo.

- Amplitud (A): distancia máxima que separa un punto de la perturbación de la posición de equilibrio. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA

)Kxt(senA )x,t(y 0φ+±ω= o bien

λ±π= x

T

tsen2A )x,t(y

(rad/s) T

2π=ω ≡ pulsación angular ; )(m 2

K 1−

λπ= ≡ número de ondas

- Velocidad transversal de un punto de la onda: Kx)t( cos A )x,t('y)x,t(v −ωω== → vmax = Aω

- Aceleración transversal de un punto de la onda: Kx)t(sen A- )x,t('v)x,t(a 2 −ωω== → amax = Aω2 – Diferencia de fase entre dos puntos de la onda en un mismo instante de tiempo:

φ1 = ωt – kx1 , φ2 = ωt – kx2 → ∆φ = k(x2 – x1) – Diferencia de fase entre de un mismo punto en dos instantes diferentes:

φ1 = ωt1 – kx , φ2 = ωt2 – kx → ∆φ = ω(t2 – t1) ENERGÍA DE UNA ONDA

222 ym2

1mV

2

1EpEcE ω+=+=

Para la máxima elongación V = 0 , y = A: 22222

máx Afm2Am2

1E π=ω=

Intensidad de onda: energía que atraviesa por unidad de tiempo una superficie colocada en el punto donde se mide, perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

∝2

2

m

w AI

Si no hay pérdidas:

π=

22 m

w

r4

PI (P ≡ potencia del foco emisor)

Si hay pérdidas:

⋅= β−2

x0 m

w eII (β ≡ coeficiente de absorción del medio)

SONIDO

2

2

2

1

2

1

A

A

I

I=

2

1

2

2

2

1

r

r

I

I = t·S

E

r4

P

S

PI

2=

π==

Intensidad sonora: 2

100 m

w 10I I

β

⋅= 2

12

0 m

w 10 I −=

Nivel de intensidad sonora: dB I

Ilog 10

0

⋅=β (decibelios)

ONDAS ESTACIONARIAS Dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos: 1) )kxt(Aseny1 −ω= ; )kxt(Aseny2 +ω=

21 yyy += → Usando

−⋅

+=+2

BAcos

2

BAsen 2B senA sen → y(x, t) = 2A cos kx · sen ωt

2) )tkx(Aseny1 ω−= ; )tkx(Aseny2 ω+=

21 yyy += → Usando

−⋅

+=+2

BAcos

2

BAsen 2B senA sen → y(x, t) = 2A sen kx · cos ωt

3) )tkxcos(Ay1 ω−= ; )tkxcos(Ay2 ω+=

21 yyy += → Usando

−⋅

+=+2

BAcos

2

BAcos 2B cosA cos → y(x, t) = 2A cos kx · cos ωt

4) )kxtcos(Ay1 −ω= ; )kxtcos(Ay2 +ω=

21 yyy += → Usando

−⋅

+=+2

BAcos

2

BAcos 2B cosA cos → y(x, t) = 2A cos kx · cos ωt

También pueden ser útiles:

−⋅

+=−2

BAsen

2

BAcos 2B senA sen ;

−⋅

+−=−22

2 cosA cosBA

senBA

senB

Para el caso: y(x, t) = 2A cos kx · sen ωt → Ar = 2A cos kx

Máximos de interferencia: cos kx = ±1 → kx = nπ → π=λπ

nx2

→ 2

nxλ=

Mínimos de interferencia: cos k x = 0 → 2

)1n2(kxπ−= →

2)1n2(x

2 π−=λπ

→ 4

)1n2(xλ−=

Distancia entre dos máximos o dos mínimos consecutivos.

2nx1

λ= , 2

)1n(x 2

λ+= → 2

xxd 12

λ=−= → 2

dλ=

2)1n2(x1

λ−= , 2

)1n2(x 2

λ+= → 2

xxd 12

λ=−= → 2

dλ=

Distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos:

2nx1

λ= , 4

)1n2(x 2

λ−= → 4

xxd 21

λ=−= → 4

dλ=

EFECTO DOPPLER

F

O

vv

vvf' f

−−

⋅=

VO = velocidad del observador ; VF = velocidad del foco ; v = velocidad de la onda;

λ/2

λ/4

Ar

VF VO

X

EFECTO DOPPLER

F

O

vv

vvf' f

−−

⋅=

VO = velocidad del observador ; VF = velocidad del foco ; v = velocidad de la onda; Casos:

1) Foco en reposo (VF = 0) y observador alejándose: v

vvf'f O−⋅=

2) Foco en reposo (VF = 0) y observador acercándose: v

vvf'f O+⋅=

3) Foco acercándose y observador en reposo (VO = 0): Fvv

vf'f

−⋅=

4) Foco alejándose y observador en reposo (VO = 0): Fvv

vf'f

+⋅=

5) Los dos al encuentro: F

O

vv

vvf'f

−+⋅=

6) Los dos separándose: F

O

vv

vvf'f

+−

⋅=

VF VO

X

CAMPO GRAVITATORIO

r2u

r

m MGF ⋅−=

r2u

r

MGg ⋅−= r = R + h

r

MGV −=

r

m MGU −=

)VV(mUUUrdFW BABA

B

ABA −⋅=∆−=−=⋅= ∫→

−=

fi

T

r

1

r

1

2

m MGW

Velocidad de escape: Ec + Ep = 0 → 0r

m MG vm

2

1 2 =− → r

GM2Ve =

Velocidad orbital: Fg = Fc → r

vm

r

m MG

2

= → r

GMVo =

Energía mecánica de un satélite: 2 vm2

1Ec = ;

r

m MGEp −= →

r

m MG

2

1

r

m MG vm

2

1E 2

M −=−=

Periodo en una órbita circular: GM

r2

r

GM

r2

v

r22T

3π=π=π=

ωπ=

Periodo de un péndulo: g

l2T π=

Leyes de Kepler:

- Áreas m2

L

dt

dA = - Periodos 32

31

22

21

r

r

T

T=

DATOS: G = 6’673 ·10-11 N·m2 / Kg2 =TM 6·1024 Kg RT = 6380 Km g0 = 9’81 m/s2

R

r

h

CAMPO ELÉCTRICO

r2u

r

q QKF ⋅= qe = 1.6·10-19 C

EqF ⋅= me = 9.1·10-31 Kg

r2u

r

QKE ⋅= mp = mn = 1.67·10-27 Kg

V = E · d K = 9·109 N·m2/C2

r

QKV = ε0 = 8.85·10-12 F/m

r

q QKU =

)VV(qUUrdFW BAAB

B

ABA −=−=⋅= ∫→ (si sale + →trabajo realizado por el campo eléctrico; si

sale → trabajo realizado por un agente externo)

Ecuación de Maxwell: ErrdEV −=⋅−= ∫ si el campo es constante → VB – VA = E · d

La variación de potencial disminuye en el sentido del campo.

CAMPO MAGNÉTICO INTERACCIÓN MAGNÉTICA

Ley de Lorentz : )Bv(qF ×= [B] = T (teslas)

Ley de Laplace: ) ( BlIF ×= FUENTES DEL CAMPO

Línea indefinida de corriente: d2

IB 0

πµ

= (µ0 = 4π·10-7 T m/A)

Espira circular (en el centro): r2

IB 0µ

=

INDUCCIÓN MAGNÉTICA

Flujo magnético: θ⋅⋅=⋅=Φ ∫ cosSBSdB Wb (webers)

Fuerza electromotriz inducida: ttdt

d if

∆Φ−Φ

−=∆∆Φ−=Φ−=Ε (voltios)

Corriente inducida: R

IΕ

= (amperios)

OPTICA

c0 = 3·108 m/s n

cv = ;

f

c0 =λ ;

nf

c

f

v ==λ

f0 = fmedio v = λ · f ; λ

λ= 0n ;

2

1

2

1

1

2

v

v

n

n

λλ

==

Ley de Snell: n1 · sen θi = n2 · sen θr

Ángulo límite: 1

2l n

n sen =θ , n1 > n2

2

1

2

1

1

2

v

v

n

n

rsen

i sen

λλ

===

Láminas plano paralelas: desviación del rayo de luz: 1

11

r cos

)ri(send

−⋅=δ

Prisma óptico:

φ

φ+δ

==

2sen

2sen

r sen

i senn

m

FÍSICA CUÁNTICA Ecuación de Planck : fhE ⋅= , h = 6’63·10–34 J·s

λ= c

f cf

1T

λ== c0 = 3·108 m/s

Efecto fotoeléctrico: h · f = W0 + Ec → 20 mv

2

1fhfh +⋅=⋅

−=

λ 22

21 n

1

n

1R

1 R = 1’09677 m–1

De Broglie mv

h

p

h ==λ

Heisenber π

≥∆⋅∆2

hpx

FÍSICA NUCLEAR

2cmE ⋅∆=∆ (1u = 1’66·10–27 Kg 1eV = 1’6·10–19 J) Defecto de masa de un átomo: ∆m = Z · mp + (A – Z) · mn – M

Radiactividad: t0 eNN λ−⋅= →

=−

0N

NLntλ

Periodo de semidesintegración: λ

= 2LnT

21

Tiempo de vida media: λ

=τ 1

Defecto de masa en una reacción nuclear: por ejemplo n3 Ba Kr n U 10

14156

9236

10

23592 ++→+

∆m = mU + mn – (mKr + mBa + 3 mn)

me = 9.1·10-31 Kg ; mp = mn = 1.67·10-27 Kg partícula α = helio 4 = He4

2

radiación β = electrón = e01−

neutrón = n10

protón = H11 = p1

1 deuterio = H21 titrio = H3

1

fotón = γ00