Ανισώσεις – Απόλυτη Τιμή

1. Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.

1) −2 χ+8< χ+3( χ+1) 2) 3−5 ( χ−1 )≥7 χ−4

3)χ−1

4− χ

5≥1 4)

χ+23

− χ+12

<x+ 3 χ+16

2. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων (αν υπάρχουν):1) 3 ( χ+2 )> χ+12 και 2 ( χ−5 )<2−(5− χ )

2) − χ+4<5≤ χ+2 και χ+12<2 χ+ 3

2< 3 χ+4

2

3) 4 ( χ+4 )+x+1>2 (4 χ−5 ) και 6 (11− χ )≤4 ( χ−2 )−3( χ+1)

4)4 ( χ−5)

5−1< 7 χ

10−18

5 και

χ+32

−275

> 3 χ−120

− χ5

3. Η εταιρεία πετρελαιοειδών «Πετρόϊκα» προτείνει στους νέους πελάτες της τα εξής πακέτα για το πετρέλαιο θέρμανσης:

Α Πακέτο : κόστος μεταφοράς 80 € και χρέωση 0,58 € ανά λίτρο

Β Πακέτο : χρέωση 0,60 € ανά λίτρο χωρίς κόστος μεταφοράς

Από πόσα λίτρα και πάνω συμφέρει η επιλογή του Α πακέτου;

4. Να λύσετε τις εξισώσεις:

1) |μ|=2 2) |χ−6|=18 3) |ψ+8|=−3

4) |χ|−3=8 5) 6|z|−7=356) | χ+3

3 χ−5|=2

1

Αλγεβρικές Παραστάσεις

1. Να κάνετε τις πράξεις:

1) −4 χ+6 χ−5 χ+2 χ2)

13χψ−2

5χψ

3) −2 χ+( χ+3)−(2 χ−8 )4)

5)6)

7)

8) −24ω2ψ4 :(−13ψω6 )

9)10)

2. Να βρείτε τους ακέραιους κ, λ ώστε η πιο κάτω αλγεβρική παράσταση να είναι μονώνυμο.

3. Να κάνετε τις πράξεις:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

2

13) 14)

4. Να κάνετε τις διαιρέσεις :

1) 2)

3)4)

5) 6)

5. Ο ένας παράγοντας του πολυώνυμου είναι το . Να βρείτε τον άλλο παράγοντα.

6. Να βρείτε το πολυώνυμο το οποίο όταν διαιρεθεί με το δίνει πηλίκο

και αφήνει υπόλοιπο 3.

7. Να κάνετε τις πράξεις:

1)2)

3) 4)

5)

6)

8. Δίνονται τα πολυώνυμα: A= , Β= , Γ= Να βρείτε:

1) Α+Β−Γ= 2) Β⋅Γ=

3

3) 4) Α÷Β=

9. Αν , και , να βρείτε:

1) 2)

3) 4)

Να λύσετε την εξίσωση:

10. Δίνονται τα μονώνυμα και

1) Να βρείτε το πηλίκο .

2) Αν το μονώνυμο είναι όμοιο με το πιο πάνω πηλίκο να βρείτε τις τιμές των μ και λ.

11. Να βρείτε τα αναπτύγματα:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

12. Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

αποτελέσματος για

13. Αν , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης :

14. Αν , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

4

15. Αν και , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της

παράστασης .

16. Αν , να δείξετε ότι:

17. Να αποδείξετε την ταυτότητα:

18. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

19. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

20. Χρησιμοποιώντας πλήρη παραγοντοποίηση σε γινόμενο ή με άλλο τρόπο να βρείτε

τη τιμή του πολυωνύμου για χ=101 και ψ=99 .

21. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:

5

1) 2)

22. Να κάνετε τις πράξεις:

1) 2)

3) 4)

23. Να γίνουν απλά τα σύνθετα κλάσματα:

1) 2)

ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Γραμμικά Συστήματα - Ευθεία

1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α ( 2, -3 ) και έχει

κλίση λ = 4.

2. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας :

1) που διέρχεται από τα σημεία ( 6, -1 ) και ( 3, 2 )

2) που διέρχεται από τα σημεία ( -5, 3 ) και ( 2, 3 )

3) που διέρχεται από τα σημεία ( 2, 4 ) και ( 2,- 6 )

4) που περνά από το σημείο (3,-6) και είναι παράλληλη με την ευθεία 3 χ− y=5

5) που περνά από το σημείο (-10,3) και κάθετη με την ευθεία y=5 χ−3

3. Να βρεθεί ο α ώστε οι ευθείες y=2 χ−5 και y= (2a−7 ) χ+9 να είναι :

1) παράλληλες. 2) κάθετες.

4. Δίνονται οι πιο κάτω γραφικές παραστάσεις:

6

1) Με τη βοήθεια των πιο πάνω γραφικών παραστάσεων να λύσετε τα πιο κάτω

συστήματα :

i) x+2 y=8x− y=2

ii) y=3x− y=2

iii) x=6x+2 y=8

iv) y=0 x+2 y=8

v) x=0x− y=2

2) Να αποδείξετε ότι εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι τετραπλάσιο από το

εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ.

5. Να λύσετε τα συστήματα:

1) x− y=9x+ y=13

2) 3 x− y=122 x+3 y=19

3) 2α−3 β=−6 α−2 β=−5

4) 3φ+5ω=50 4 φ+3ω=41

5)2x5

− y3=8

3

x=2( y+1)

6)4x+ 3y=17

3x+ 2y=12

6. Δίνεται η ευθεία ( λ+μ ) x+(2 μ−λ ) y=3. Να βρεθούν οι αριθμοί λ και μ ώστε η

πιο πάνω ευθεία να διέρχεται από τα σημεία (2,5) και (-1,-7).

7. Δίνεται η εξίσωσηx2+ (a+β ) x+2α+β=4.Να βρείτε τους αριθμούς α και β

7

ώστε η εξίσωση να έχει λύσεις τους αριθμούς 2 και -3.

8. Δίνεται το πολυώνυμο f ( x )=x3+a x2+β x−6. Αν ισχύει ότι f (−1 )=0

f (2 )=0 να βρείτε τις τιμές των α και β.

9. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 260 παιδιά ,τα οποία μένουν σε 50 σκηνές των 4

ατόμων και 6 ατόμων. Αν όλες οι σκηνές είναι γεμάτες να βρείτε πόσες είναι οι

σκηνές των 4 ατόμων και 6 ατόμων.

10. Ο κερματοδέκτης ενός μηχανήματος πώλησης αναψυκτικών δέχεται κέρματα του

ενός ευρώ και δύο ευρώ .Όταν ανοίχτηκε, διαπιστώθηκε ότι περιείχε 80 κέρματα

συνολικής αξίας 95 ευρώ. Πόσα κέρματα από κάθε είδος υπήρχαν;

11. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 15.Αν εναλλάξουμε τη

θέση των ψηφίων του ,παίρνουμε αριθμό μικρότερο του αρχικού κατά 27.Να

βρείτε τον αρχικό αριθμό.

12. Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι σε κάθε παίκτη υποβάλλονται 10 ερωτήσεις και για

κάθε σωστή απάντηση προστίθενται βαθμοί ,ενώ για κάθε λανθασμένη απάντηση

αφαιρούνται βαθμοί. Κάποιος παίκτης έδωσε 7 σωστές απαντήσεις και

συγκέντρωσε 52 βαθμούς ενώ κάποιος άλλος απάντησε σωστά 4 ερωτήσεις και

πήρε 4 βαθμούς συνολικά. Πόσους βαθμούς παίρνει για κάθε σωστή απάντηση και

πόσους βαθμούς του αφαιρούνται για κάθε λανθασμένη απάντηση;

13. Αν 4+4+4+…+4+7+7+7+…+7=305 και το πλήθος των προσθετέων

του πρώτου μέλους είναι 50 ,να βρείτε πόσες φορές χρησιμοποιήθηκε ο αριθμός 4

και πόσες ο αριθμός 7.

14. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(1,4 )Β(−2,5) καιΓ (−1,3) .

1) Να υπολογίσετε τις κλίσεις των πλευρών του τριγώνου.2) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.3) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου.4) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ.

ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Εξισώσεις

1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

8

1) χ2−8 χ=0 2) χ2−64=0

3) χ2−2 χ=15

4) ( χ+5)( χ 2−2 χ−3)(2 χ−5)=0

5) 3α 2+4α−7=0

6) 25ψ2−20ψ+4=0

2. Να βρείτε το είδος των ριζών των εξισώσεων:

1) 4 χ2− χ+8=0 2) 7 χ2−5 χ=−3 3) 3 χ (3 χ+10)+25=0

3. Να βρείτε τη τιμή του χ στο διπλανό σχήμα.

4. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογώνιο με εμβαδόν 150 τετραγωνικά μέτρα. Αν το μήκος του είναι 5 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος του να βρείτε πόσα μέτρα συρματόπλεγμα χρειάζονται για την περίφραξη του.

5. Το ορθογώνιο τρίγωνο και το τετράγωνο του διπλανού σχήματος έχουν το ίδιο εμβαδόν. Να υπολογίσετε το χ.

6. Αν Α=( χ−3 )2−( χ+3 )2 και Β=3 χ2−2 χ και ισχύει ότι ΑΒ

=1 να βρείτε τη τιμή του χ

με χ>0.

7. Αν η εξίσωση ( χ−μ )2+5 ( χ−μ )+6=0 έχει ρίζα τον αριθμό 5,να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού μ αν το μ είναι άρτιος αριθμός.

8. Να λυθούν οι εξισώσεις:

1)χ−2χ

+ 4χ−2

= 8

χ2−2 χ2)

y+2y

= y+3y+4

− 4

y2+4 y

9

3)3y+5

− yy−5

= y2+2525− y2

4) 2 x

y2+ y=1− 2

y+1 5)

ρρ−1

+ 6

ρ2−1=4

6)3

ω2−3ω−4= 2ω+5

ω3+2ω2+ω+ 4

ω2−4ω

7) ( χ+1χ−1 )

2

−4χ+1χ−1

+3=0 8) 3κ+2

= 2κ+ κ−4

κ2+2κ

¿

ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Συναρτήσεις

1. Ο αριθμός των τερμάτων που πέτυχε ο Κριστιάνο Ρονάλντο κατά τις χρονιές 2008-2012 , παρουσιάζεται στο διπλανό πίνακα.

1) Να κατασκευάσετε ένα βελοειδές διάγραμμα για τον διπλανό πίνακα.2) Να εξετάσετε (και να δικαιολογήσετε) αν το διάγραμμα

ορίζει συνάρτηση και να την ονομάσετε με f . 3) Ποιο είναι το Πεδίο Ορισμού και ποιο το Πεδίο Τιμών της

f .4) Να βρείτε το γράφημα της συνάρτηση f .5) Να βρείτε τις τιμές f (2011 ) και f (2008 ).

2. Δίνεται συνάρτηση f : A→B με f ( x )=2x+1 και πεδίο ορισμού

Α={−1,0 ,2,3,5 }. Να βρείτε το πεδίο τιμών f ( A ) της συνάρτησης f .

3. Δίνονται οι συναρτήσεις

1) f :R→R με τύπο f ( x )=3 x−5,

2) h :(−∞ ,+2)→R με τύπο h ( x )=5 x−3

3) g : [−1 ,+∞ )→ R με τύπο g ( χ )=3− χ

Να βρείτε το πεδίο τιμών τους.

4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων:

10

Χρονιά Τέρματα

2008 342009 452010 522011 422012 56

α) f ( χ )=5−7 χ β) g ( χ )= χ 2+3 γ) h ( χ )=√2 χ+5

δ) R ( χ )= 1

χ2−16ε) P ( χ )= 5

√2 χ−6

5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f . Από τη γραφική παράσταση να βρείτε:

α) i) f(-1) ii) f(0) iii) f(1)

β) τις τιμές του χ αν

i) f(x)=-3 ii) f(x)= 5

γ) το Π.Ο. και Π.Τ. της συνάρτησης

δ) τα σημεία τομής της f με τους άξονες

ε) τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική

παράσταση της f βρίσκεται πάνω από

τον άξονα των χ.

6. Να εξετάσετε ποιες από τις πιο κάτω γραφικές παραστάσεις είναι συνάρτηση του ψ ως προς χ:

α) β)

11

γ) δ)

7. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού και το Πεδίο Τιμών των συναρτήσεων που δίνονται γραφικά πιο κάτω:

α) β)

γ) δ)

α) β)

12

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

γ) δ)

ΕΝΟΤΗΤΑ 8: Γεωμετρία

1. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Λ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

1) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς, .μία τότε είναι ίσα

Σ Λ

2) Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές . βρίσκονται ίσες γωνίες

Σ Λ

3) ,Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και έχουν μια γωνία αντίστοιχα ίση τότε απαραίτητα

.θα είναι ίσα

Σ Λ

4) Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση μία , προς μία και έχουν μια κάθετη πλευρά τους

.αντίστοιχα ίση τότε απαραίτητα θα είναι ίσα

Σ Λ

2. Να δείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΔ είναι ύψος και διχοτόμος.

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ).Αν Μ και Λ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι :1) ΒΛ=ΓΜ2) Τα Μ και Λ απέχουν ίση απόσταση από την πλευρά ΒΓ.

13

4. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά τμήματα ΒΖ=ΓΗ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ΖΛ και ΗΜ αποστάσεις από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΖΛ=ΗΜ.

5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Αν Κ,Λ,Μ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΛΚ=ΛΜ.

6. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΚ. Αν ΑΒ=ΒΔ και ΑΓ=ΓΕ να αποδείξετε ότι Δ και Ε απέχουν ίση απόσταση από την ευθεία ΒΓ.

7. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι τυχαίο τρίγωνο με ΑΔ=ΑΒ ,ΑΕ=ΑΓ και ΑΔ⊥ ΑΒ , ΑΓ⊥ ΑΕ.Να δείξετε ότι ΓΔ=ΒΕ.

8. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ) , Μ μέσο της ΒΓ και ΑΖ=ΑΕ. Να δείξετε το τρίγωνο ΜΖΕ είναι ισοσκελές.

14

9. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Λ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής.

1) Ορθογώνιο είναι κάθε παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία .

Σ Λ

2) Αν οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου είναι ίσες τότε αυτό είναι ορθογώνιο.

Σ Λ

3) Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Σ Λ

4) Ένας ρόμβος είναι και τετράγωνο . Σ Λ

10. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ .Προεκτείνετε τη ΔΓ προς το μέρος του Γ κατά τμήμα ΔΓ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΒΕΓ παραλληλόγραμμο.

11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ.Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αν η παράλληλη από το Ε προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ,να αποδείξετε ότι:1) ΒΖΕΔ παραλληλόγραμμο2) ΑΕ=ΒΖ

12. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ,Μ είναι το μέσο της ΑΔ. Φέρουμε την ΒΜ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΒΜ=ΜΕ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΔΕ είναι παραλληλόγραμμο.

13. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΑΔ=ΑΒ και την ΑΓ κατά τμήμα ΑΕ=ΑΓ. Να δείξετε ότι το ΒΓΔΕ είναι ορθογώνιο.

15

14. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α̂=90 °). Αν τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι ΑΔΕΖ ορθογώνιο.

15. Να δείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου.

16. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ τετραγώνου ΑΒΓΔ, παίρνουμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα , ώστε ΑΕ =ΒΖ. Να αποδείξετε ότι :1) ΑΖ=ΔΕ2) ΑΖ⊥ ΔΕ

17. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α̂=90 °) και το ύψος του ΑΔ.1) Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ να δείξετε ότι ΑΕΔΖ ορθογώνιο.

2) Αν Μ είναι το μέσο της ΕΖ να δείξετε ότι ΔΜ=ΒΓ4 .

18. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε και Ζ είναι των ΒΓ και ΓΔ

αντίστοιχα. Αν η ΕΖ τέμνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Η ,να αποδείξετε ότι ΓΗ= ΑΓ4 .

19. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ ,ΒΓ,ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε σημεία Κ,Λ,Μ και Ν αντίστοιχα τέτοια ,ώστε ΑΚ=ΒΛ=ΓΜ=ΔΝ. Να δείξετε ότι ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο.

20. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β̂> Γ̂ φέρουμε το ύψος του ΑΔ. Αν Ε και Ζ τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα ,να αποδείξετε ότι Δ Ε̂ Ζ=Β̂−Γ̂ .

21. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Αν Μ ,Ν ,Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ ΑΓ,ΒΓ αντίστοιχα να δείξετε:1) Το τετράπλευρο ΜΝΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο2) Το τρίγωνο ΝΛΝ είναι ισοσκελές.

22. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα χ και y

16

1) 2)

3) 4)

17