1. 1. . Ah Av Bh Bv fh hh hv th fv Ph Pv Mh rv =tv rh r B M A P d g GEOMETRA DESCRIPTIVA GEOMETRA DESCRIPTIVA Ing. Alberto M. Prez G.Ing. Alberto M. Prez G.
2. 2. Universidad de los Andes Ncleo Universitario Rafael Rangel Departamento de Ingeniera Trujillo-Venezuela Trabajo presentado con fines de ascenso a la categora de Asistente en el escalafn de la Universidad de los Andes Trujillo; 1.997 GEOMETRA DESCRIPTIVA GEOMETRA DESCRIPTIVA Ing. Alberto M. Prez G.Ing. Alberto M. Prez G.
3. 3. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. iii TABLA DE CONTENIDO. INTRODUCCIN...............................................................................................................................................................................................xi JUSTIFICACIN...............................................................................................................................................................................................xii OBJETIVOS.......................................................................................................................................................................................................xiii METODOLOGA ..............................................................................................................................................................................................xiv captulo 1. marco terico. .........................................................................................................................................................................1 conceptos bsicos.......................................................................................................................................................................2 PUNTO..........................................................................................................................................................................................2 LNEA............................................................................................................................................................................................2 RECTA..........................................................................................................................................................................................2 NGULO.......................................................................................................................................................................................2 POLIGONAL.................................................................................................................................................................................3 POLGONO...................................................................................................................................................................................3 CURVA..........................................................................................................................................................................................4 CRCULO......................................................................................................................................................................................5 SUPERFICIE.................................................................................................................................................................................5 SLIDO ........................................................................................................................................................................................7 TRAZADO.......................................................................................................................................................................................8 EL JUEGO DE ESCUADRAS ......................................................................................................................................................9 TRAZADO DE RECTAS CON LAS ESCUADRAS.......................................................................................................................9 TRAZADO DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA.......................................................................................9 DIVISIN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ............................................................................................................10 TRAZADO DE POLGONOS REGULARES...............................................................................................................................10 MTODOS GENERALES DE TRAZADO DE POLGONOS REGULARES ..............................................................................12 ESCALA.........................................................................................................................................................................................13 ESCALMETRO ..........................................................................................................................................................................13 captulo 2. sistemas de proyeccin. ................................................................................................................................................14 sistemas de proyeccin...........................................................................................................................................................15 a) PROYECCIN CILNDRICA ..................................................................................................................................................15 1) PROYECCIN ORTOGONAL .........................................................................................................................................15 i) Proyeccin en vistas mltiples....................................................................................................................................15 ii) Proyeccin Acotada ...................................................................................................................................................16 iii) Proyeccin Axonomtrica .........................................................................................................................................16 A) Proyeccin Isomtrica.........................................................................................................................................16 B) Proyeccin Dimtrica ..........................................................................................................................................16 C) Proyeccin Trimtrica .........................................................................................................................................17
4. 4. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. iv 2) PROYECCIN OBLICUA ................................................................................................................................................17 i) Proyeccin Caballera ..................................................................................................................................................18 ii) Proyeccin de Gabinete .............................................................................................................................................18 iii) Proyeccin Oblicua Area.........................................................................................................................................18 b) PROYECCIN CNICA.........................................................................................................................................................18 1) Perspectiva de un punto de fuga......................................................................................................................................18 2) Perspectiva de dos puntos de fuga ..................................................................................................................................18 3) Perspectiva de tres puntos de fuga ..................................................................................................................................18 captulo 3. Proyeccin DIDRICA. ..................................................................................................................................................21 Proyeccin DE PUNTOS.........................................................................................................................................................22 DOBLE PROYECCIN ORTOGONAL ......................................................................................................................................22 PLANO LATERAL DE PROYECCIN .......................................................................................................................................22 DIEDROS ....................................................................................................................................................................................22 DIBUJO EN PROYECCIN DIDRICA .....................................................................................................................................22 COORDENADAS DE UN PUNTO ..............................................................................................................................................22 POSICIONES PARTICULARES DE UN PUNTO .......................................................................................................................23 a) Punto en un cuadrante .....................................................................................................................................................23 b) Punto en un plano principal de proyeccin.......................................................................................................................23 c) Punto en el plano lateral...................................................................................................................................................23 d) Punto en el origen ............................................................................................................................................................24 e) Punto en un eje de coordenadas......................................................................................................................................24 PROYECCIN LATERAL DE UN PUNTO.................................................................................................................................24 REPRESENTACIN DE PUNTOS EN PROYECCIN LATERAL ............................................................................................25 OBTENCIN DE LA PROYECCIN LATERAL DE UN PUNTO A PARTIR DE SU PROYECCIN DIDRICA......................25 POSICIN RELATIVA ENTRE DOS PUNTOS ..........................................................................................................................26 Proyeccin DE RECTAS.........................................................................................................................................................27 PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA .....................................................................................................................................27 TRAZAS DE UNA RECTA..........................................................................................................................................................27 DETERMINACIN DE LAS TRAZAS DE UNA RECTA.............................................................................................................27 VISIBILIDAD ...............................................................................................................................................................................27 CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA .......................................................................................................................27 DETERMINACIN DE LOS CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA..........................................................................28 DIFERENCIA DE COTA ENTRE DOS PUNTOS / TRINGULO DE REBATIMIENTO HORIZONTAL.....................................28 DIFERENCIA DE VUELO ENTRE DOS PUNTOS / TRINGULO DE REBATIMIENTO VERTICAL........................................28 ARCOCAPAZ..............................................................................................................................................................................29 MEDICIN DE DISTANCIAS EN RECTAS ................................................................................................................................29 RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES ...........................................................................................................................30 a) Recta horizontal................................................................................................................................................................30 1) Recta contenida en el plano horizontal de proyeccin...............................................................................................30 b) Recta frontal .....................................................................................................................................................................30
5. 5. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. v 1) Recta contenida en el plano vertical de proyeccin...................................................................................................30 c) Recta paralela a la lnea de tierra.....................................................................................................................................30 1) Recta contenida la lnea de tierra ..............................................................................................................................30 d) Recta vertical....................................................................................................................................................................31 e) Recta de punta .................................................................................................................................................................31 f) Recta de perfil ...................................................................................................................................................................31 CONSTRUCCIN DE RECTAS .................................................................................................................................................31 a) Conocida la proyeccin vertical y el ngulo ( o )...............................................................................................................31 b) Conocida la proyeccin horizontal y el ngulo ( o ) ..........................................................................................................31 c) Conocida la proyeccin vertical y el ngulo ( o )...............................................................................................................32 d) Conocida la proyeccin horizontal y el ngulo ( o ) ..........................................................................................................32 e) Conocida la proyeccin horizontal y el verdadero tamao...............................................................................................32 f) Conocida la proyeccin vertical y el verdadero tamao....................................................................................................33 g) Conocido el verdadero tamao y los ngulos ( o ) y ( o )..................................................................................................33 Proyeccin DE planos..............................................................................................................................................................35 TEOREMAS DE PLANOS ..........................................................................................................................................................36 RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO.................................................................................................................................36 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO.................................................................................................................................37 TRAZAS DE UN PLANO ............................................................................................................................................................37 DETERMINACIN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO...............................................................................................................38 RECTAS CARACTERSTICAS DE UN PLANO.........................................................................................................................38 a) Rectas caractersticas frontales .......................................................................................................................................38 b) Rectas caractersticas horizontales..................................................................................................................................38 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR RECTAS CARACTERSTICAS ...................................................39 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS ......................................................................................39 NOTACIN CONVENIDA DE PLANOS DEFINIDOS POR TRAZAS ........................................................................................39 PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES...........................................................................................................................39 a) Plano frontal .....................................................................................................................................................................40 b) Plano horizontal................................................................................................................................................................40 c) Plano vertical....................................................................................................................................................................40 d) Plano de punta .................................................................................................................................................................40 e) Plano de perfil...................................................................................................................................................................40 f) Plano paralelo a la lnea de tierra......................................................................................................................................40 g) Plano que pasa por la lnea de tierra ...............................................................................................................................40 1) Plano primer bisector .................................................................................................................................................40 2) Plano segundo bisector..............................................................................................................................................40 captulo 4. interseccin; paralelismo; y perpendicularidad. ..........................................................................................41 interseccin..................................................................................................................................................................................42 INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO..............................................................................................................................42 ANLISIS DE VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIN DE UNA RECTA CON UN PLANO.......................................................43
6. 6. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. vi INTERSECCIN ENTRE DOS PLANOS ...................................................................................................................................44 ANLISIS DE VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIN DE DOS PLANOS.................................................................................45 INTERSECCIN DE TRES PLANOS.........................................................................................................................................46 PARALELISMO...........................................................................................................................................................................47 PARALELISMO ENTRE RECTAS..............................................................................................................................................47 PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO ...............................................................................................................................47 RECTA PARALELA A UN PLANO.............................................................................................................................................47 PLANO PARALELO A UNA RECTA..........................................................................................................................................48 RECTA PARALELA A DOS PLANOS........................................................................................................................................48 PARALELISMO ENTRE PLANOS .............................................................................................................................................48 PERPENDICULARIDAD. ........................................................................................................................................................49 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS ................................................................................................................................49 RECTAS PERPENDICULARES Y RECTAS ORTOGONALES.................................................................................................50 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO..................................................................................................................50 PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA...............................................................................................................................50 RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA.............................................................................................................................51 RECTAS DE MXIMA PENDIENTE DE UN PLANO.................................................................................................................51 RECTAS DE MXIMA INCLINACIN DE UN PLANO ..............................................................................................................51 PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS................................................................................................................................52 PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS ..............................................................................................................................52 captulo 5. PROBLEMAS MTRICOS. .........................................................................................................................................53 PROBLEMAS MTRICOS. ....................................................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ...........................................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO .........................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.......................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.............................................................................................................54 PERPENDICULAR COMN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN ............................................................................................55 NGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN ................................................................................................................56 NGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.................................................................................................................56 NGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO...........................................................................................................................56 NGULO ENTRE DOS PLANOS ...............................................................................................................................................57 captulo 6. LUGARES GEOMTRICOS. ....................................................................................................................................58 LUGARES GEOMTRICOS..................................................................................................................................................59 PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS DADOS..............................................................................................................59 PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS DADOS Y SE ENCUENTRA EN UNA RECTA DADA ......................................59 RECTA QUE SE CORTA CON DOS RECTAS DADAS Y PASA POR UN PUNTO DADO.......................................................59 RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y FORMA UN NGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIN ..............60 RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y FORMA UN NGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL
7. 7. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. vii DE PROYECCIN ..............60 PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y FORMA UN NGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIN ..............61 PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y FORMA UN NGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL DE PROYECCIN ..............62 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE FORMA UN NGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIN ..............62 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE FORMA UN NGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL DE PROYECCIN ..............63 captulo 7. MTODOS PARA OBTENER PROYECCIONES EN VERDADERO TAMAO. ...............65 REBATIMIENTO DE PLANOS. ............................................................................................................................................66 GENERALIDADES DEL REBATIMIENTO DE PLANOS...........................................................................................................66 REBATIMIENTO DIRECTO Y REBATIMIENTO INVERSO.......................................................................................................66 REBATIMIENTO A TRAVS DE LA TRAZA HORIZONTAL DE UN PLANO ...........................................................................67 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS ....................................................................................................................................68 REBATIMIENTO DE LA TRAZA VERTICAL DE UN PLANO....................................................................................................68 REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO, POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA TRAZA VERTICAL DEL PLANO ..............68 REBATIMIENTO A TRAVS DE LA TRAZA VERTICAL DE UN PLANO.................................................................................69 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS ....................................................................................................................................69 REBATIMIENTO DE LA TRAZA HORIZONTAL DE UN PLANO ..............................................................................................70 REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO, POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA TRAZA HORIZONTAL DEL PLANO ..............70 REBATIMIENTO A TRAVS DE UNA RECTA CARACTERSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO .......................................71 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS ....................................................................................................................................71 REBATIMIENTO DE UNA RECTA CARACTERSTICA FRONTAL DE UN PLANO.................................................................72 REBATIMIENTO A TRAVS DE UNA RECTA CARACTERSTICA FRONTAL DE UN PLANO..............................................72 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS ....................................................................................................................................73 REBATIMIENTO DE UNA RECTA CARACTERSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO ..........................................................74 ROTACIN. .................................................................................................................................................................................77 ROTACIN DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN EJE DE PUNTA.........................................................................................77 ROTACIN DE VARIOS PUNTOS.............................................................................................................................................77 ROTACIN DE UNA RECTA .....................................................................................................................................................77 ROTACIN DE UN PLANO A UNA POSICIN VERTICAL......................................................................................................78 ROTACIN DE UN PLANO EN POSICIN VERTICAL HASTA UNA POSICIN FRONTAL..................................................79 ROTACIN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA POSICIN FRONTAL..............................................................................79 ROTACIN DE UN PLANO A UNA POSICIN DE PUNTA......................................................................................................80 ROTACIN DE UN PLANO EN POSICIN DE PUNTA HASTA UNA POSICIN HORIZONTAL...........................................82 ROTACIN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA POSICIN HORIZONTAL........................................................................83 CAMBIO DE PLANOS DE Proyeccin. .............................................................................................................................85
8. 8. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. viii CAMBIO DEL PLANO VERTICAL DE PROYECCON PARA OBSERVAR EN POSICIN DE PUNTA A UN PLANO CUALQUIERA ..............85 CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCON PARA OBSERVAR EN POSICIN HORIZONTAL A UN PLANO DE PUNTA ..............86 OBSERVACIN EN POSICIN HORIZONTAL DE UN PLANO CUALQUIERA POR MEDIO DE DOS CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIN SUCESIVOS ..............87 CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCON PARA OBSERVAR EN POSICIN VERTICAL A UN PLANO CUALQUIERA ..............88 CAMBIO DEL PLANO VERTICAL DE PROYECCON PARA OBSERVAR EN POSICIN FRONTAL A UN PLANO QUE SE ENCUENTRA EN POSICIN VERTICAL ..............88 OBSERVACIN EN POSICIN FRONTAL DE UN PLANO CUALQUIERA POR MEDIO DE DOS CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIN SUCESIVOS ..............89 captulo 8. POLIEDROS. .........................................................................................................................................................................91 POLIEDROS. ...............................................................................................................................................................................92 DETERMINACIN DE LA VISIBILIDAD EN LAS PROYECCIONES DE POLIEDROS ............................................................92 TETRAEDRO REGULAR........................................................................................................................................................94 CONSTRUCCIN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO UN VRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE AL EJE ..............95 CONSTRUCCIN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO UN VRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA ..............96 CONSTRUCCIN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO EL PLANO QUE CONTIENE A UNA CARA Y EL VRTICE NO CONTENIDO EN ESE PLANO ..............97 CUBO..............................................................................................................................................................................................99 CONSTRUCCIN DE UN CUBO CONOCIDO UN VRTICE Y EL EJE.................................................................................100 CONSTRUCCIN DE UN CUBO CONOCIDO UN VRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA DIAGONAL MAYOR ............101 PIRMIDE REGULAR RECTA...........................................................................................................................................103 CONSTRUCCIN DE UNA PIRMIDE REGULAR RECTA CONOCIDA LA ALTURA; EL EJE; Y UN VRTICE DE LA BASE ............103 CONSTRUCCIN DE UNA PIRMIDE REGULAR RECTA CONOCIDO EL PLANO DE LA BASE; UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL; Y LA LONGITUD DE LAS ARISTAS DE LA BASE ............104 CONSTRUCCIN DE UNA PIRMIDE REGULAR RECTA CONOCIDO EL VRTICE PRINCIPAL; Y EL PLANO BASE CON UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA DE LAS ARISTAS DE LA BASE ............106 PRISMA REGULAR RECTO...............................................................................................................................................107 CONSTRUCCIN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDO UN PLANO BASE CON UNO DE LOS VRTICES DE LA MISMA; Y EL CENTRO DE LA OTRA BASE ............107 CONSTRUCCIN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDO EL EJE; LA ALTURA; Y UN VRTICE..........108 CONSTRUCCIN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDA LA ALTURA; UN VRTICE; Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL ............109
9. 9. Geometra Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Prez G. ix BIBLIOGRAFA ..............................................................................................................................................................................................111
10. 10. Geometra Descriptiva INTRODUCCIN Ing. Alberto M. Prez G. xi introduccin. Aunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo para llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos mas remotos: el lenguaje grfico. La idea de comunicar los pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existi desde la antiguedad. Los hombres primitivos registraban sus ideas por medio de figuras hechas sobre pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. Las formas mas antiguas de escritura se realizaron con figuras, como lo prueban los jeroglficos egipcios. Mas adelante, estas figuras fueron simplificadas, y transformadas en los smbolos abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su fundamento en el dibujo. En la figura siguiente se muestra un ejemplo de como a partir de los jeroglficos egipcios: Aleph (buey) y Nahas (serpiente) pueden haber evolucionado los caracteres latinos (A y N) respectivamente. Aleph (buey) Nahas (serpiente) La representacin grfica se desarroll bsicamente en dos direcciones distintas: a) la artstica y b) la tcnica. En la antiguedad prcticamente todo el mundo era iletrado, no exista la imprenta, por lo tanto no haba peridicos ni libros, y los pocos que haba eran manuscritos realizados en papiro o pergamino y no eran asequibles al pblico. En general la gente aprenda escuchando, mirando esculturas, dibujos, cuadros, expuestos en lugares pblicos. El artista no era simplemente un artista, era tambin un maestro, un filsofo, un medio de expresin y comunicacin. En cuanto a la representacin tcnica, se desarroll desde los comienzos de la historia registrada ante la necesidad de representar los objetos diseados para su posterior construccin o fabricacin. De las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes, y otras estructuras de buena construccin se deduce que no pudieron haberse levantado sin la previa elaboracin de dibujos cuidadosamente preparados que sirvieran de gua a sus constructores. El dibujo tcnico mas antiguo que se conoce es un grabado realizado sobre una loseta de piedra que representa el diseo en planta de una fortaleza, realizado alrededor del ao 4.000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea. En el ao 30 a. C., el Arquitecto romano Vitruvius escribi un tratado sobre Arquitectura. Se atribuye a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y otros el desarrollo, a principios de siglo quince, de la teora de las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de proyeccin (proyeccin en vistas). Y aunque Leonardo da Vinci usaba dibujos para transmitir a los dems sus ideas y diseos de construcciones mecnicas, no est muy claro que haya hecho dibujos en los que aparecieran vistas ortogrficas, aunque es muy probable que los hubiera hecho. El tratado de Leonardo da Vinci sobre pintura, publicado en 1.651, se considera como el primer libro impreso sobre la teora de dibujo de proyecciones; pero esta enfocado a la perspectiva, no a la proyeccin ortogrfica. En cuanto a la Geometra (parte de la matemtica que se ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, lneas, ngulos, superficies y cuerpos), tuvo su origen en Egipto hacia el ao 1.700 a. C., y su desarrollo se debi a la necesidad prctica de la medicin de terrenos. Hacia el ao 600 a. C. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fund la escuela jnica. Su discpulo Pitgoras fund la escuela pitagrica que dio gran avance a la geometra demostrando, entre otros su famoso teorema para los tringulos rectngulos (a2 + b2 = h2). Otros personajes destacados en este campo fueron: Zenn, Hippias, Platn, Hipcrates, Eudoxio, Arqumides, etc. En el siglo tres a. C. Euclides en su obra Elementos culmina una prolongada evolucin de las ideas y establece de forma sistemtica los fundamentos de la geometra elemental. Durante la edad media se observ poco avance en el campo de la geometra, contrariamente al desarrollo extraordinario que se observ en la edad moderna, en la cual Desargues estableci los fundamentos de la Geometra Proyectiva y Monge los de la Geometra Descriptiva, la cual es la gramtica del lenguaje grfico. Con respecto a la Geometra Descriptiva, sus comienzos estn asociados en los problemas que se encontraron en el diseo de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglo dieciocho. Se considera a Gaspar Monge (1.746 - 1.818), ya citado, como el "inventor" de la geometra descriptiva, aunque precedieron a sus esfuerzos varias publicaciones sobre Estereotoma (arte y tcnica de tallar la madera o piedra con fines constructivos), arquitectura, y perspectiva donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la geometra descriptiva. Fue a finales del siglo dieciocho cuando Monge, siendo profesor de la Escuela Tecnolgica de Francia, desarroll los principios de la proyeccin que constituyen la base del dibujo tcnico de hoy en da. Pronto se reconoci que estos principios de la geometra descriptiva tenan tan gran importancia militar que se oblig a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1.795, ao a partir del cual se convirtieron en parte importante de la educacin tcnica en Francia y Alemania; y posteriormente en los Estados Unidos. Su libro La Gomtrie Descriptive, se considera aun como el primer texto para exponer los principios bsicos del dibujo de proyectistas. Los principios de Monge llegaron a los Estados Unidos en 1.816, procedentes de Francia, y los trajo el Sr. Claude Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El profesor Crozet publico en 1.821 el primer texto en ingls sobre geometra descriptiva. En los aos siguientes se convirtieron estos principios en parte regular del plan de estudios de los primeros aos de ingeniera en el Instituto Politcnico Rensselaer, en la Universidad de Harvard, en la Universidad de Yale, y en otras, convirtindose de esta forma hoy en da la geometra descriptiva en materia de estudio en los primeros aos de las carreras de Ingeniera y Arquitectura en la gran mayora de las universidades del mundo.
11. 11. Geometra Descriptiva JUSTIFICACIN Ing. Alberto M. Prez G. xii JUSTIFICACIN. Es muy comn que el estudiante de Ingeniera, Arquitectura, otras carreras afines, inicie sus estudios con la impresin de que el trabajo en la mesa de dibujo ser una actividad de importancia secundaria en su vida profesional, y por lo tanto carece de sentido dedicar tiempo y esfuerzo en adquirir el dominio de una actividad tan rutinaria como la elaboracin de dibujos, propia netamente de los dibujantes. Esta forma de pensar es completamente errnea, pues es el dominio de la expresin grfica de sus ideas lo que lo har mas y mejor profesional. Y lejos de concebirla como una actividad sin importancia debe asimilarla como lo que realmente es: la base piedra de fundamento sobre la que edificar toda su vida profesional. Es precisamente en este inicio de sus estudios, el momento en el cual el futuro profesional debe tomar una decisin que afectar toda su vida, pues debe elegir, paradjicamente hablando, si fundar su edificio sobre roca arena. El profesional de la Ingeniera, Arquitectura, o cualquier otra carrera afn, debe ser capaz de expresar grficamente y con toda claridad sus ideas. Todo proyecto consta de: clculos de esfuerzos, anlisis de movimientos, diseo y dimensionamiento de partes, especificacin de materiales, proceso de ensamblaje y/o construccin, entre otros aspectos, estas caractersticas no se expresan con palabras, aunque son utilizadas en un breve porcentaje, deben elaborarse planos que sirvan de gua para la construccin de todo proyecto, y la expresividad de estos planos es responsabilidad neta del proyectista y lo que determinar que el aspecto final del proyecto sea o n el que l ha concebido inicialmente. Es por esta razn necesario que el proyectista domine las tcnicas de dibujo y expresin grfica, pues deben hacerse muchos esquemas antes de concebir una idea definitiva, y estos no los va a realizar el dibujante, pues el no es quien esta desarrollando la idea. Si bien es cierto que al momento de realizar un proyecto se elaboran muchos esquemas a mano alzada, tambin es frecuente, en esta fase de diseo, la realizacin de dibujos tcnicos aunque no definitivos para fijar detalles constructivos que sera imposible definir en un esquema impreciso, y estos en la mayora de los casos tampoco los realiza el dibujante. Por esta razn, el Ingeniero Arquitecto debe dominar el dibujo a mano alzada y el Dibujo Tcnico y estar consciente que el aspecto expresivo de un dibujo es algo muy personal que el debe desarrollar y transmitir a sus dibujantes, para que sus dibujos expresen lo que el quiere decir y en la forma en que l lo quiere decir. Quizs pues un profesional de la Ingeniera Arquitectura que no domine el dibujo y sus tcnicas es comparable a un ser que carezca de habla; y en base a esta misma comparacin puede decirse que un Ingeniero o Arquitecto que dibuje mal es equivalente a un ser que hable mal, y ambos corrern el riesgo de que sus ideas sean rechazadas, an siendo grandes ideas, por no haber sido expuestas en forma clara y precisa, causando de esta forma la incomprensin de las mismas. Es aqu donde tiene gran vigencia el adagio popular que dice: No importa slo lo que se dice; sino tambin como se dice.
12. 12. Geometra Descriptiva OBJETIVOS Ing. Alberto M. Prez G. xiii OBJETIVOS. La Geometra Descriptiva es de las materias que se aprenden "haciendo" y no solo "viendo". Y es quizs este aspecto lo que dificulta su aprendizaje, siendo necesario por parte del estudiante la realizacin constante de ejercicios prcticos que le permitan consolidar los conocimientos tericos previamente expuestos. Este aspecto de la Geometra Descriptiva, aunque es considerado en la enseanza en aula de la misma, ha sido descuidado en la elaboracin de la mayora de los textos. Siendo por esta razn uno de los objetivos de la presente obra subsanar esta carencia, colocando al alcance de los estudiantes de Geometra Descriptiva, as como de los profesionales de la Ingeniera y/o Arquitectura que as lo requieran, un texto terico en el cual puedan revisar los conceptos fundamentales de la misma. Otra de las dificultades con que se encuentra el estudiante de Geometra Descriptiva es el grado de sintetizacin que se alcanza al representar objetos tridimensionales mediante esquemas bidimensionales. Esto tambin ha sido descuidado o cubierto de manera insatisfactoria en una gran cantidad de textos de Geometra Descriptiva, por lo tanto en la elaboracin de la presente obra han sido incluidas una gran variedad de ilustraciones tridimensionales realizadas en perspectivas diversas, y presentadas paralelamente junto a su correspondiente representacin en Doble Proyeccin Ortogonal. Se pretende asimismo que la presente obra sirva como material de apoyo y consulta para los estudiantes de Geometra Descriptiva, quienes durante el transcurso de su asistencia diaria a clases se encuentran con la dificultad de la toma de apuntes, en algunos casos de difcil elaboracin, y que por lo tanto son copiados en forma imprecisa en sus cuadernos, trayendo posteriormente resultados desastrosos en el momento de pretender consolidar los conocimientos adquiridos. El contenido de la presente obra esta basado en el programa vigente de la materia Sistemas de Representacin 10 dictado en la Universidad de Los Andes.
13. 13. Geometra Descriptiva METODOLOGA Ing. Alberto M. Prez G. xiv METODOLOGA. Con la finalidad de alcanzar los objetivos propuestos, la presente obra se desarrolla de la siguiente manera: a) En su comienzo se presenta un marco terico en el cual se exponen los conceptos bsicos de la Geometra Elemental; tales como: punto; lnea; recta; plano; etc. Continuando esta seccin se exponen, en forma netamente prctica, los procedimientos de trazado con las escuadras, y de dibujo de polgonos regulares de hasta ocho lados por mtodos particulares y generales. Los conceptos expuestos en esta seccin se supone que son del conocimiento previo por parte del estudiante de Geometra Descriptiva, por lo tanto son mostrados en forma netamente grfica, por medio de ilustraciones sencillas y de fcil interpretacin, no obstante si se dificulta su comprensin deben estudiarse estos mtodos por medio de cualquier texto bsico de Geometra. Todos los conceptos tericos aqu expuestos son de gran importancia para la comprensin del resto de esta obra y el estudiante no debe pasar esta seccin si no comprende y/o ejecuta sin dificultad los procedimientos prcticos aqu mostrados, ya que son la base del trabajo en Doble Proyeccin Ortogonal. b) Sigue a esta exposicin de conceptos bsicos una introduccin a los Sistemas de Proyeccin, presentando una breve descripcin de los mas comunes. Esto es con la finalidad de que el estudiante conozca y diferencie las distintas formas de representacin de los objetos. c) A continuacin se describe detalladamente el sistema de Doble Proyeccin Ortogonal, tambin denominado sistema de Proyeccin Didrica, el cual es el objeto principal de esta obra. En adelante se definirn con exactitud los mtodos de representacin de puntos, rectas, planos, poliedros, determinacin de intersecciones, trazado de rectas y planos paralelos y perpendiculares, procedimientos de observacin de elementos geomtricos en verdadero tamao, visibilidad, etc. A partir de esta seccin, todos los conceptos son expuestos de la siguiente manera: 1) Se expone, mediante un breve comentario terico, el concepto que se quiere emitir. Este debe ser ledo por el estudiante, las veces que lo considere necesario hasta lograr su comprensin. 2) Acompaa al concepto terico en estudio un grfico en perspectiva que lo ilustra, el cual, al ser observado paralelamente con la lectura, facilitar grandemente la comprensin de la idea que se quiere expresar. 3) Se incluye, en forma simultnea con el grfico en perspectiva, una segunda ilustracin del mismo concepto, pero elaborada en doble proyeccin ortogonal. Esto se hace con la finalidad de capacitar al estudiante en la resolucin prctica de problemas de Geometra Descriptiva. Estas dos ilustraciones deben compararse minuciosamente para lograr la comprensin total de las mismas. 4) Seguidamente se desarrolla, a manera de ejemplo, y netamente en Doble Proyeccin Ortogonal, un ejercicio relacionado con el concepto recin expuesto, explicando con detalle la elaboracin del mismo. Por medio de estos ejercicios el estudiante podr darse cuenta si ha adquirido la comprensin de lo explicado y se encuentra en condiciones de continuar el estudio de los siguientes conceptos. En general, esta obra debe ser estudiada inicialmente en el orden expuesto y en la forma descrita, ya que cada uno de los conceptos emitidos inicialmente tiene relacin con los que sern presentados posteriormente. No obstante, una vez conocido todo el contenido de esta obra, el estudiante podr darse cuenta que lograr repasar fcilmente cualquier tema en particular por medio de la simple observacin de los grficos que lo acompaan, sin que sea necesario leer nuevamente todo el contenido terico expuesto. Con respecto a la nomenclatura utilizada en la elaboracin de la presente obra, su significado se explica en el momento en que es introducida por primera vez, por considerar que este es el momento mas propicio para su comprensin. Finalmente, el estudiante debe ejercitarse en la resolucin de problemas, resolviendo para ello los ejercicios que podr encontrar en cualquier problemario gua de ejercicios de Geometra Descriptiva.
14. 14. Geometra Descriptiva Ing. Alberto M. Prez G. captulo 1 marco terico. Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la ms compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricacin deben ser descritos con toda precisin para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamao y funcionalidad. Es el estudio de la Geometra Descriptiva, lo que permite definir correctamente la representacin plana (proyeccin) de los objetos tridimensionales antes despus de su existencia real. Estudiar Geometra Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos; resortes; engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones; carreteras; represas; planetas; galaxias; en fin, todos los objetos fsicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometra Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboracin de estas proyecciones. Se logra definir grficamente cualquier objeto, mediante la sintetizacin del mismo a sus elementos geomtricos mas simples, como lo son: puntos; lneas; superficies; ngulos; etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometra Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razn por la cual se inicia la presente obra con este primer captulo, en el cual se describen en forma simple los conceptos geomtricos bsicos de mayor uso en el estudio de la Geometra Descriptiva. Adems, pensando en la ejercitacin prctica del estudiante en la resolucin de problemas de Geometra Descriptiva, se incluyen en este marco terico las formas elementales de: trazado; manejo de escuadras y comps; y se incluye una breve descripcin del concepto de escala. Se supone que todo el contenido de este primer captulo es del conocimiento previo del estudiante de Geometra Descriptiva, razn por la cual se presenta en forma concisa y con carcter principalmente informativo.
15. 15. Geometra Descriptiva CONCEPTOS BSICOS Ing. Alberto M. Prez G. 2 CONCEPTOS BSICOS. PUNTO. Es la representacin de una posicin fija del espacio. No es un objeto fsico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. En la fig.1, se muestran algunas formas de representar a un punto. Con un crculo Con un cuadradoCortando lneas A A A fig.1. Representacin de un Punto. LNEA. Es una sucesin infinita de puntos. Una lnea puede ser: a) recta, b) poligonal (quebrada), c) curva fig.2. c) Curva a) Recta b) Poligonal (Quebrada) c) Curva fig.2. Lneas. RECTA. Lnea de direccin constante. Una recta puede ser definida por dos puntos, a los que une recorriendo su menor distancia. ALGUNAS PARTES DE UNA RECTA SON: a) Semirrecta. Cada una de las dos partes en que divide a una recta, uno cualquiera de sus puntos fig.3a. b) Segmento. Porcin de una recta comprendida entre dos de sus puntos fig.3b. Las semirrectas son de longitud infinita, mientras que los segmentos son de longitud finita. A Aa b A-B B a) Semirrectas (a) y (b) b) Segmento (A-B) fig.3. Partes de una Recta. SEGN LA POSICIN RELATIVA EN QUE SE ENCUENTREN DOS RECTAS, SE DEFINEN COMO: a) Rectas que se cortan. Si las rectas poseen un punto en comn. En este caso las rectas estn contenidas en un mismo plano fig.4a. b) Rectas paralelas. Si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso las rectas estn contenidas en un mismo plano fig.4b. c) Rectas que se cruzan. Son dos rectas que no se cortan ni son paralelas. En este caso las rectas no estn contenidas en un mismo plano fig.4c. bab a P b a a) Rectas que se cortan b) Rectas paralelas c) Rectas que se cruzan fig.4. Posicin relativa entre rectas. NGULO. Porcin de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen comn. UN NGULO, SEGN SU MEDIDA ANGULAR EN GRADOS SEXAGESIMALES 1 , SE DEFINE COMO: a) Cncavo. Si mide entre 1800 y 3600 fig.5a. b) Llano. Si mide 1800 fig.5b. c) Completo. Si mide 3600 fig.5c. d) Convexo. Si miden menos de 1800. Se definen a su vez fig.5d: 1) Agudo. Si mide menos de 900. 2) Recto. Si mide 900. 3) Obtuso. Si mide entre 900 y 1800. DOS NGULOS SE DEFINEN COMO: ngulos consecutivos. Si se ubican uno a continuacin del otro. A su vez se denominan fig.5e: a) Complementarios. Si la suma de sus medidas angulares es igual a 900. b) Suplementarios. Si la suma de sus medidas angulares es igual a 1800. DOS RECTAS QUE SE CORTAN DEFINEN CUATRO NGULOS, LOS CUALES, TOMADOS EN PARES, SE DEFINEN COMO: a) Opuestos. Si no poseen ninguna semirrecta comn. En este caso sus medidas angulares son iguales fig.5f. b) Adyacentes. Si poseen una semirrecta comn. En este caso son ngulos suplementarios fig.5g. 1 Un grado sexagesimal es la 90va. parte del ngulo recto.
16. 16. Geometra Descriptiva CONCEPTOS BSICOS Ing. Alberto M. Prez G. 3 SI DOS RECTAS PARALELAS SON CORTADAS POR UNA TERCERA RECTA, SE FORMAN OCHO NGULOS, LOS CUALES, CONSIDERADOS EN PARES DE IGUAL MEDIDA ANGULAR, SE DEFINEN COMO: a) ngulos alternos. Los cuales se agrupan en fig.5h: 1) ngulos alternos internos. 2) ngulos alternos externos. b) ngulos correspondientes, fig.5i. f) ngulos opuestos a) Cncavo 180o