μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

221
mep Mathematics Enhancement Programme Demonstration Project Practice Book: Y9B Principal Author: Ted Graham, Centre for Teaching Mathematics, Plymouth University Senior Editor: David Burghes, Centre for Innovation in Mathematics Teaching, Plymouth University Advisors and Checkers: Graham Bryant, Chris Graddon, Chris Hall, David Lee, Graham Middleton, Nigel Oates, Albine Patterson Typesetter: Liz Holland Design: Clinton Banbury, P.O. Box 2892, Billericay, Essex CM11 2LF Tel: 01277 630421 This is one component of MEP Mathematics resources for Y9. All enquiries regarding these resources should be addressed to Mathematics Enhancement Programme CIMT, Faculty of Education University of Plymouth Douglas Avenue Exmouth EX8 2AT Tel: 01395 255521 Fax: 01395 255422

Transcript of μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

Page 1: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

m e p Mathematics Enhancement Programme Demonstration Project

Practice Book: Y9B

Principal Author: Ted Graham, Centre for Teaching Mathematics, Plymouth University

Senior Editor: David Burghes, Centre for Innovation in Mathematics Teaching,Plymouth University

Advisors and Checkers: Graham Bryant, Chris Graddon, Chris Hall, David Lee,Graham Middleton, Nigel Oates, Albine Patterson

Typesetter: Liz Holland

Design: Clinton Banbury, P.O. Box 2892, Billericay, Essex CM11 2LFTel: 01277 630421

This is one component of MEP Mathematics resources for Y9.All enquiries regarding these resources should be addressed to

Mathematics Enhancement ProgrammeCIMT, Faculty of EducationUniversity of PlymouthDouglas AvenueExmouth EX8 2AT

Tel: 01395 255521Fax: 01395 255422

Page 2: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ï

çòï îóÜ Í¸¿°»­Ì¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ¹·ª»­ ¬¸» ²¿³»­ ±º ­±³» îóÜ ­¸¿°»­ò ײ ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ©·´´½±²­·¼»® ¬¸» °®±°»®¬·»­ ±º ­±³» ±º ¬¸»­» ­¸¿°»­ò

ç ß®»¿ô л®·³»¬»® ¿²¼ ʱ´«³»

뽬¿²¹´»ß´´ ¿²¹´»­ ¿®»®·¹¸¬ ¿²¹´»­ ø ÷Ñ°°±­·¬» ­·¼»­ ¸¿ª»¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸

çðp

ͯ«¿®»ß´´ ¬¸» ­·¼»­ ¸¿ª»¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ß´´ ¿²¹´»­ ¿®»®·¹¸¬ ¿²¹´»­ ø ÷çð p

п®¿´´»´±¹®¿³ Ñ°°±­·¬» ­·¼»­ ¸¿ª»¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸

θ±³¾«­ß´´ ¬¸» ­·¼»­ ¸¿ª» ¬¸»­¿³» ´»²¹¬¸Ü·¿¹±²¿´­ ¾·­»½¬ ¿¬®·¹¸¬ ¿²¹´»­

Ì®¿°»¦·«³

Õ·¬» Ü·¿¹±²¿´­ ·²¬»®­»½¬¿¬ ®·¹¸¬ ¿²¹´»­

×­±­½»´»­ Ì®·¿²¹´»Ì©± ­·¼»­ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³»´»²¹¬¸ ¿²¼ ¬¸» ¿²¹´»­±°°±­·¬» ¬¸»­» ¬©±­·¼»­ ¿®» »¯«¿´

Û¯«·´¿¬»®¿´ Ì®·¿²¹´» ß´´ ¿²¹´»­ ¿®» êð p

Page 3: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

î

Û¨¿³°´» ï

Ü®¿© ¬¸» ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ ±º ¿² »¯«·´¿¬»®¿´ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

̸»®» ¿®» í ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ô ¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò ̸»§ ¶±·² »¿½¸ ª»®¬»¨ø½±®²»®÷ ¬± ¬¸» ³·¼°±·²¬ ±º ¬¸» ±°°±­·¬» ­·¼»ò

Û¨¿³°´» î

Ò¿³» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸·­ ·­ ¿ ®¸±³¾«­ ¾»½¿«­» ¿´´ ¬¸» ­·¼»­ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸­ò

ø¾÷ ̸·­ ·­ ¿² ·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´» ¾»½¿«­» ¬©± ±º ¬¸» ¿²¹´»­ ¿®» ¬¸» ­¿³» ­·¦»ò

Û¨¿³°´» í

ͬ¿¬» ¬¸» ±®¼»® ±º ®±¬¿¬·±²¿´ ­§³³»¬®§ ±ºæ

ø¿÷ ¿ ¬®¿°»¦·«³ô ø¾÷ ¿ °¿®¿´´»´±¹®¿³ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ï ø¾÷ î ø«²´»­­ ¬¸» °¿®¿´´»´±¹®¿³ ¸¿°°»²­ ¬± ¾» ¿­¯«¿®»ô ·² ©¸·½¸ ½¿­» ¬¸» ±®¼»® ±º ®±¬¿¬·±²¿´­§³³»¬®§ ©±«´¼ ¾» ì÷ò

çòï

ïë ½³

ïë ½³

ïë ½³

ïë ½³

ìð % ìð %

ïðð %

Page 4: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

í

Û¨»®½·­»­ïò Ò¿³» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

îò Ü®¿© ¼·¿¹®¿³­ ¬± ­¸±© ¬¸» ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ ±ºæ

ø¿÷ ¿ µ·¬»ô ø¾÷ ¿ ­¯«¿®»ô

ø½÷ ¿ ®»½¬¿²¹´»ô ø¼÷ ¿² ·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´»ò

íò ر© ³¿²§ ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ ¿®» ¬¸»®» º±®æ

ø¿÷ ¿ °¿®¿´´»´±¹®¿³ô ø¾÷ ¿ ®¸±³¾«­ á

ìò ͬ¿¬» ©¸»¬¸»® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¬¿¬»³»²¬­ ·­ ¬®«» ±® º¿´­»ò

ø¿÷ ß ­¯«¿®» ·­ ¿´­± ¿ ®¸±³¾«­ò

ø¾÷ ß ­¯«¿®» ·­ ¿´­± ¿ µ·¬»ò

ø½÷ ß ®»½¬¿²¹´» ·­ ¿´­± ¿ µ·¬»ò

ø¼÷ ß °¿®¿´´»´±¹®¿³ ·­ ¿´­± ¿ µ·¬»ò

ø»÷ ß ®»½¬¿²¹´» ·­ ¿´­± ¿ °¿®¿´´»´±¹®¿³ò

ëò É®·¬» ¼±©² ¬¸» ±®¼»® ±º ®±¬¿¬·±²¿´ ­§³³»¬®§ ±ºæ

ø¿÷ ¿ ®¸±³¾«­ô ø¾÷ ¿ ­¯«¿®»ô

ø½÷ ¿² ·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´»ô ø¼÷ ¿² »¯«·´¿¬»®¿´ ¬®·¿²¹´»ô

ø»÷ ¿ µ·¬»ò

ê ½³

ì ½³

ë ½³

ë ½³

ë ½³

ë ½³

ïð ½³

ì ½³ ì ½³

êð% êð%

ê ½³

ê ½³

ì ½³

ì ½³ èð%

ëð% ëð%

êð%

êð% êð%

Page 5: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ì

êò ß ¬®·¿²¹´» ¸¿­ ±²» ´·²» ±º ­§³³»¬®§ò ɸ¿¬ ¬§°» ±º ¬®·¿²¹´» ·­ ·¬á

éò Ü®¿© ¿ ¬®¿°»¦·«³ ¬¸¿¬ ¸¿­æ

ø¿÷ ±²» ´·²» ±º ­§³³»¬®§ô ø¾÷ ²± ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ò

èò ß ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´» ·­ ¿´­± ¿² ·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´»ò ɸ¿¬ ­·¦»­ ¿®» ¬¸» ±¬¸»®¿²¹´»­ ·² ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»á

çò Ú±® ¿ ­»³·½·®½´»æ

ø¿÷ ¼®¿© ¿ ¼·¿¹®¿³ ¬± ­¸±© ·¬­ ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ô

ø¾÷ ­¬¿¬» ·¬­ ±®¼»® ±º ®±¬¿¬·±²¿´ ­§³³»¬®§ò

ïðò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ¼·¿¹®¿³ ¬± ­¸±© ¬¸» ´·²»­ ±º ­§³³»¬®§ ±º ¿ ®»¹«´¿® °»²¬¿¹±²ò

ø¾÷ ͬ¿¬» ¬¸» ±®¼»® ±º ®±¬¿¬·±²¿´ ­§³³»¬®§ ±º ¿ ®»¹«´¿® ±½¬¿¹±²ò

ïïò α­»³¿®§ ¼®»© ¬¸»­» ®»½¬¿²¹´»­ «­·²¹ ¿ ½±³°«¬»®æ

ßÞ

Ý

Ü

뽬¿²¹´» ß ¸¿­ ©·¼¬¸ í ¿²¼ ´»²¹¬¸ ëæë

í

̸» ½±³°«¬»® ®»°»¿¬»¼ ¬¸»­» ·²­¬®«½¬·±²­ ¬± ¼®¿© ¬¸» ±¬¸»® ®»½¬¿²¹´»­æ

²»© ©·¼¬¸ ã °®»ª·±«­ ©·¼¬¸ l î

²»© ´»²¹¬¸ ã °®»ª·±«­ ´»²¹¬¸ õ °®»ª·±«­ ©·¼¬¸

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ¬¿¾´»ò©·¼¬¸ ´»²¹¬¸

®»½¬¿²¹´» ß í ë

®»½¬¿²¹´» Þ òòòòòò òòòòòò

®»½¬¿²¹´» Ý òòòòòò òòòòòò

®»½¬¿²¹´» Ü òòòòòò òòòòòò

øÕÍíñçìñÓ¿ñíóëñÐï÷

çòï

Page 6: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ë

çòî ß®»¿ ±º Í°»½·¿´ ͸¿°»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ª¿®·±«­ ­¸¿°»­ò

ß®»¿ ±º ¿ ½·®½´» ã ® î

ß®»¿ ±º ¿ ¬®·¿²¹´» ã ï



ß®»¿ ±º ¿ °¿®¿´´»´±¹®¿³ ã ¾¸

Û¨¿³°´» ï

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©²ò

ͱ´«¬·±²

ß®»¿ ã ï

îì êl l

ã ïî ½³î

Û¨¿³°´» î

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¿ ½·®½´» ©·¬¸ ¼·¿³»¬»® ïð ³ò

ͱ´«¬·±²

ο¼·«­ ã ïð î ëh ã ³

ß®»¿ ã l ë î ã éè ëíçèïêíìò ³î

ã éèòë ³ î ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

Û¨¿³°´» í

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ­¸¿°» ­¸±©²æ

®

¸

¾

¸

¾

ì ½³

ê ½³

ø¸ ·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¸»·¹¸¬÷

è ³

ì ³

Page 7: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ê

ͱ´«¬·±²

ß®»¿ ±º ®»½¬¿²¹´» ã ì l è

ã íî ³ î

ο¼·«­ ±º ­»³·½·®½´» ã ì î îh ã ³

ß®»¿ ±º ­»³·½·®½´» ã ï

îî îl l

ã êòîèíïèëíðé ³ î

̱¬¿´ ¿®»¿ ã íî ê îèíïèëíðé íè îèíïèëíðéõ ãò ò ³î

ã íèòí ³ î ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

Û¨¿³°´» ì

̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ °·»½» ±º ½¿®¼ ·² ¬¸» ­¸¿°» ±º ¿ °¿®¿´´»´±¹®¿³ô ¬¸¿¬¸¿­ ¸¿¼ ¿ ½·®½«´¿® ¸±´» ½«¬ ·² ·¬ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ­¸¿¼»¼ °¿®¬ò

ïï ½³

ê ½³ì ½³

ͱ´«¬·±²

ß®»¿ ±º °¿®¿´´»´±¹®¿³ ã ïï êl

ã êê ½ ³ î

ο¼·«­ ±º ½·®½´» ã ì î îh ã ½³

ß®»¿ ±º ½·®½´» ã l î î

ã ïîòëêêíéðêï ½ ³ î

ß®»¿ ±º ­¸¿°» ã êê ïî ëêêíéðêï ëí ìííêîçíçó ãò ò ½³î

ã ëíòì ½ ³ î ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

çòî

Page 8: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

é

Û¨»®½·­»­ïò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷

ø¼÷

îò Ý¿´½«´¿¬»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô ¬¸» ¿®»¿ ±º ¿½·®½´» ©·¬¸æ

ø¿÷ ®¿¼·«­ ê ³ô ø¾÷ ¼·¿³»¬»® îð ½³ô ø½÷ ¼·¿³»¬»® ç ½³ò

íò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ë ½³

í ½³

ç ³

ë ³

êòë ³

ê ³

êòî ½³

ì ½³

ë ½³î ½³

ì ½³

ê ½³í ½³

î ½³

ê ½³

ïî ½³

ì ³

ïð ³

è ³

è ½³

ë ½³

è ½³

ïì ½³

Page 9: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

è

çòî

ìò Ý¿´½«´¿¬»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô ¬¸» ¿®»¿ ±º¬¸» ­»³·½·®½´» ©·¬¸æ

ø¿÷ ®¿¼·«­ íð ½³ô ø¾÷ ¼·¿³»¬»® ïì ³³ò

ëò ß ½·®½´» ±º ®¿¼·«­ è ½³ ·­ ½«¬ ·²¬± ê °¿®¬­±º »¯«¿´ ­·¦»ô ¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ °¿®¬ô ¹·ª·²¹§±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

êò Ù·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º»¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­ò Û¿½¸ ±º ¬¸» ½«®ª»¼ °¿®¬­ ·­ ¿ ­»³·½·®½´»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

éò ß ®»½¬¿²¹«´¿® ³»¬¿´ °´¿¬» ·­ ­¸±©² ·²¬¸» ¼·¿¹®¿³ò Ú±«® ¸±´»­ ±º ¼·¿³»¬»®è ³³ ¿®» ¼®·´´»¼ ·² ¬¸» °´¿¬»ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»³¿·²·²¹³»¬¿´ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ïï ½³

ì ½³

ê ½³

ç ³³

ç ³³

è ³

è ³

è ³

ç ½³

ç ½³

ë ½³

ìð ³³

îð ³³

Page 10: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ç

èò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ­¸¿°»­¸±©²ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

çò ̸» ¿®»¿ ¬¸¿¬ ¸¿­ ¾»»² ­¸¿¼»¼ ·² ¬¸»

¼·¿¹®¿³ ¸¿­ ¿² ¿®»¿ ±º îïòè ½³î ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·¿³»¬»® ±º ¬¸»­»³·ó½·®½«´¿® ¸±´»ô ¹·ª·²¹ §±«®¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³·´´·³»¬®»ò

ïðò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸» ´·¼ ±º ¿ ½¸·´¼ù­ ­¸¿°»ó­±®¬»® ¾±¨ò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿±º ¬¸» ´·¼ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

í ½³

îòè ½³

îòè ½³

ì ½³

í ½³

ïðòë ½³

ïìòî ½³

ï ½³ ì ½³ ï½³

î ½³

ë ½³

î ½³

ë ½³

î ½³î ½³

ç ½³

ê ½³

Page 11: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïð

ïïò Û¿½¸ ­¸¿°» ·² ¬¸·­ ¯«»­¬·±² ¸¿­ ¿² ¿®»¿ ±º ïð ½³ î òÒ± ¼·¿¹®¿³ ·­ ¼®¿©² ¬± ­½¿´»ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» °¿®¿´´»´±¹®¿³ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸»¬®·¿²¹´»ò

ø½÷ ɸ¿¬ ³·¹¸¬ ¾» ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¸ô ¿ ¿²¼ ¾·² ¬¸·­ ¬®¿°»¦·«³á

ɸ¿¬ »´­» ³·¹¸¬ ¾» ¬¸» ª¿´«»­ ±º¸ô ¿ ¿²¼ ¾ á

ø¼÷ Ô±±µ ¿¬ ¬¸·­ ®»½¬¿²¹´»æ

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ¨ ¿²¼ «­» ·¬ ¬± º·²¼ ¬¸» ´»²¹¬¸ ¿²¼ ©·¼¬¸ ±º¬¸» ®»½¬¿²¹´»ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹òøÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

ïîò ̸·­ ­¸¿°» ·­ ¼»­·¹²»¼ «­·²¹ í ­»³·ó½·®½´»­ò

̸» ®¿¼·· ±º ¬¸» ­»³·ó½·®½´»­ ¿®» í ô î ¿²¼ ¿ ¿ ¿ò

¿í¿

î¿ r

ø¿÷ Ú·²¼ ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ­»³·ó½·®½´»ô ·² ¬»®³­ ±º ¿ ¿²¼ ô ¿²¼ ­¸±© ¬¸¿¬¬¸» ¬±¬¿´ ¿®»¿ ±º ¬¸» ­¸¿°» ·­ ê î¿ ò

ø¾÷ ̸» ¿®»¿ô ê î¿ ô ±º ¬¸» ­¸¿°» ·­ ïî ½³ î ò

É®·¬» ¿² »¯«¿¬·±² ·² ¬¸» º±®³ ¿ ã òòòò ô ´»¿ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ·²¬»®³­ ±º ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ ¿²¼ ­·³°´·º§ §±«® »¯«¿¬·±²ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

çòî

¸»·¹¸¬

ì ½³

î ½³

¾¿­»

¾

¸

¿

ì ¨ õ î

¿®»¿ ã ïð ½³ î

ïð ¨ ó ï

Page 12: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïï

ïíò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

îë ½³ ÒÑÌÌÑÍÝßÔÛ

é ½³

͸±© §±«® ©±®µ·²¹òøÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

ïìò ß ¾±¨ º±® ½±ºº»» ·­ ·² ¬¸» ­¸¿°» ±º ¿ ¸»¨¿¹±²¿´ °®·­³ò

Ѳ» »²¼ ±º ¬¸» ¾±¨ ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò

ïð ½³

ë ½³

è ½³

ì ½³

ÒÑÌÌÑÍÝßÔÛ

Û¿½¸ ±º ¬¸» ê ¬®·¿²¹´»­ ·² ¬¸» ¸»¨¿¹±² ¸¿­ ¬¸» ­¿³» ¼·³»²­·±²­ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ¿®»¿ ±º ¬¸» ¸»¨¿¹±²ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ ̸» ¾±¨ ·­ ïð ½³ ´±²¹ò

ߺ¬»® °¿½µ·²¹ô ¬¸» ½±ºº»» º·´´­ èðû±º ¬¸» ¾±¨ò

ر© ³¿²§ ¹®¿³­ ±º ½±ºº»» ¿®» ·² ¬¸» ¾±¨á

ø̸» ³¿­­ ±º ï ½³ í ±º ½±ºº»» ·­ ðòë ¹®¿³­ò÷

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø½÷ ß îîé ¹ °¿½µ»¬ ±º ¬¸» ­¿³» ½±ºº»» ½±­¬­ }îòïçòر© ³«½¸ °»® ïðð ¹ ±º ½±ºº»» ·­ ¬¸·­á͸±© §±«® ©±®µ·²¹

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

ïð ½³

Page 13: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïî

çòí л®·³»¬»® ±º Í°»½·¿´ ͸¿°»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»®­ ±º ª¿®·±«­ ­¸¿°»­ò ̸» °»®·³»¬»® ±º ¿½·®½´» ·­ ®»º»®®»¼ ¬± ¿­ ¬¸» ù½·®½«³º»®»²½»ùò

̸» ½·®½«³º»®»²½»ô Ýô ±º ¿ ½·®½´» ã î ® ±® ¼

©¸»®» ® ·­ ¬¸» ®¿¼·«­ ¿²¼ ¼ ·­ ¬¸» ¼·¿³»¬»® ±º¬¸» ½·®½´»ò

Û¨¿³°´» ï

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ½·®½«³º»®»²½» ±º ¿ ½·®½´» ©·¬¸ ®¿¼·«­ è ½³ò

ͱ´«¬·±²

Ë­·²¹ ¬¸» º±®³«´¿ô Ý ®ã î ô ¹·ª»­

Ý ã î èl l ã ëð îêëìèîìêò ½³

ã ëðòí ½³ ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

Û¨¿³°´» î

̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ ­»³·½·®½´» ±º

¼·¿³»¬»® ïî ½³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ­»³·½·®½´»ò

ͱ´«¬·±²

Ô»²¹¬¸ ±º ½«®ª» ã l hïî î

ã ïèòèìçëëëçî ½³

ͬ®¿·¹¸¬ »¼¹» ã ïî ½³

̱¬¿´ °»®·³»¬»® ã ïî ïè èìçëëëçîõ ò

ã íðòèìçëëëçî ½³

ã íðòè ½³ ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò÷

Û¨¿³°´» í

̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ ­¸¿°» ¬¸¿¬ ·­ ³¿¼» «°±º ¿ ®»½¬¿²¹´»ô ¿ ¬®·¿²¹´» ¿²¼ ¿ ­»³·½·®½´»ò

Ý¿´½«´¿¬» ·¬­ °»®·³»¬»®ò

ͱ´«¬·±²

Ô»²¹¬¸ ±º ½«®ª» ã l hé î

ã ïðòççëëéìîç ½³

é

é ½³é ½³

è ½³è ½³

ë ½³

ïî ½³

Page 14: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïí

̱¬¿´ °»®·³»¬»® ã è ë è é ïð ççëëéìîçõ õ õ õ ò

ã íèòççëëéìîç ½³

ã íçòð ½³ ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

Û¨»®½·­»­ïò Ù·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô ½¿´½«´¿¬» ¬¸»

½·®½«³º»®»²½» ±º ¿ ½·®½´» ©·¬¸æ

ø¿÷ ®¿¼·«­ ê ³ô ø¾÷ ¼·¿³»¬»® ïë ½³ô ø½÷ ®¿¼·«­ è ³³ò

îò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷

ø¼÷

íò Ù·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô ½¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º¬¸» ­»³·½·®½´» ­¸±©²ò

ïè ½³

ì ½³

è ½³

ç ½³

è ½³

ïð ½³

ê ½³

èòë ½³ì ½³

ì ½³ë ½³

ë ½³

Page 15: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïì

ìò ß ½·®½´» ±º ®¿¼·«­ è ½³ ·­ ½«¬ ·²¬± º±«®»¯«¿´ °¿®¬­ ¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³æ

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ½·®½«³º»®»²½» ±º ¬¸»±®·¹·²¿´ ½·®½´»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º »¿½¸ ±º¬¸» ì °¿®¬­ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ëò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò ̸» ½·®½«´¿® °¿®¬­ ¿®» »·¬¸»® ­»³·½·®½´»­ ±®¯«¿®¬»®­ ±º ½·®½´»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

êò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¸¿°»­æ

ø¿÷ ø¾÷

çòí

ïð ³

ïë ³

ïë ³

ç ½³

è ½³

ïð ½³ ïð ½³

ïð ½³

ê ½³

ë ½³

í ½³

ì ½³

ì ½³

ì ½³

è ½³

é ½³

î ½³

î ½³

ï ½³

Page 16: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïë

¾

¾¾

½ ½

¿

¿

¿

¼ ¼

é

ë

»

í

»»º º

º º

»

­ ­

¬ ¬

¬

éò ß ­¯«¿®» ¸¿­ ¿² ¿®»¿ ±º íê ³î ò Ý¿´½«´¿¬» ·¬­ °»®·³»¬»®ò

èò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸·­ ­¸¿°»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ½»²¬·³»¬®»æ

ï ³

ï ³

ï ³

ï ³

ï ³

ï ³ï ³

ï ³

ïð ³

ê ³

çò ß ½·®½´» ±º ®¿¼·«­ íî ½³ ·­ ½«¬ ·²¬± è »¯«¿´ °¿®¬­ô¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º »¿½¸ °¿®¬ô ¹·ª·²¹ §±«®¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³·´´·³»¬®»ò

ïðò ̸» ¬±¬¿´ °»®·³»¬»® ±º ¿ ­»³·½·®½´» ·­ íé ½³ò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ®¿¼·«­ ±º ¬¸»­»³·½·®½´»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³·´´·³»¬®»ò

ïïò ̸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸·­ ­¸¿°» ·­ í î¬ ­õ ò

° ¬ ­ã õí î

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» °»®·³»¬»®­ ±º »¿½¸ ±º ¬¸»­» ­¸¿°»­òÉ®·¬» »¿½¸ »¨°®»­­·±² ·² ·¬­ ­·³°´»­¬ º±®³ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

øÕÍíñçëñÓ¿ñíóëñÐï÷

Page 17: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïê

ïîò Û¿½¸ ­·¼» ±º ¬¸·­ ¸»¨¿¹±² ·­ ï ½³ ´±²¹ò

ø¿÷ ̸» ­¸¿¼»¼ ­¸¿°» ¾»´±© ·­ ³¿¼» º®±³ é ¸»¨¿¹±² ¬·´»­ò

É®·¬» ¼±©² ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ­¸¿¼»¼ ­¸¿°»ò

ø¾÷ Ѳ ¿ ½±°§ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼·¿¹®¿³ô ­¸¿¼» ¿ ­¸¿°» ³¿¼» ©·¬¸ é ¬·´»­©¸·½¸ ¸¿­ ¿ ­³¿´´»® °»®·³»¬»®ò

çòí

Page 18: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïé

ø½÷ Û¨°´¿·² ©¸¿¬ ³¿¼» ·¬­ °»®·³»¬»® ´»­­ ¬¸¿² ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» º·®­¬­¸¿°»ò

ø¼÷ Ѳ ¿ ½±°§ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼·¿¹®¿³ô ­¸¿¼» ¿ ­¸¿°» ³¿¼» ©·¬¸ é ¬·´»­©¸·½¸ ¸¿­ ¬¸» ¾·¹¹»­¬ °±­­·¾´» °»®·³»¬»®ò

ø»÷ Û¨°´¿·² ©¸¿¬ ³¿¼» §±«® ­¸¿°» ¸¿ª» ¬¸» ¾·¹¹»­¬ °±­­·¾´» °»®·³»¬»®ò

øÕÍíñçìñÓ¿ñíóëñÐî÷

Page 19: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïè

ïíò ɧ² ¿²¼ Ö¿§ ¿®» «­·²¹ ¬¸»·® ©¸»»´½¸¿·®­ ¬± ³»¿­«®» ¼·­¬¿²½»­ò

ø¿÷ ̸» ´¿®¹» ©¸»»´ ±² ɧ²ù­ ©¸»»´½¸¿·® ¸¿­ ¿ ¼·¿³»¬»® ±º êð ½³ò

ɧ² °«­¸»­ ¬¸» ©¸»»´ ®±«²¼ »¨¿½¬´§ ±²½»ò

Ý¿´½«´¿¬» ¸±© º¿® ɧ² ¸¿­ ³±ª»¼ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ ̸» ´¿®¹» ©¸»»´ ±² Ö¿§ù­ ©¸»»´½¸¿·® ¸¿­ ¿ ¼·¿³»¬»® ±º ëî ½³ò

Ö¿§ ³±ª»­ ¸»® ©¸»»´½¸¿·® º±®©¿®¼ çëð ½³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¸±© ³¿²§ ¬·³»­ ¬¸» ´¿®¹» ©¸»»´ ¹±»­ ®±«²¼ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

ïìò ø¿÷ ß ½·®½´» ¸¿­ ¿ ®¿¼·«­ ±º ïë ½³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ½·®½´»ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ ß ¼·ºº»®»²¬ ½·®½´» ¸¿­ ¿ ½·®½«³º»®»²½» ±º ïîð ½³ò

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ®¿¼·«­ ±º ¬¸» ½·®½´»á

͸±© §±«® ©±®µ·²¹òøÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

çòí

ïë ½³

Page 20: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïç

çòì Í«®º¿½» ß®»¿ ¿²¼ ʱ´«³» ±º íóÜ Í¸¿°»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ¿²¼ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º íóÜ ­¸¿°»­ ­«½¸ ¿­½«¾»­ô ½«¾±·¼­ô °®·­³­ ¿²¼ ½§´·²¼»®­ò

Ý«¾»

¨¨

¨ã ¨ íʱ´«³»

Í«®º¿½» ¿®»¿ ã ê ¨ î

Ý«¾±·¼

¨

§

¦

ʱ´«³»

Í«®º¿½» ¿®»¿

ã ¨ § ¦

ã î ¨ § õ î¨ ¦ õ î §¦

ʱ´«³»

ß®»¿ ±º ½«®ª»¼ ­«®º¿½»

ß®»¿ ±º »¿½¸ »²¼

ã ° ® î ¸

ã î° ® ¸

ã ° ® î

®

¸Ý§´·²¼»®

Ю·­³

ß´ ß °®·­³ ¸¿­ ¿ «²·º±®³ ½®±­­ó­»½¬·±²

̱¬¿´ ­«®º¿½» ¿®»¿ ã î ° ® ¸ õ î° ® î

ʱ´«³» ã ¿®»¿ ±º ½®±­­ ­»½¬·±² l ´»²¹¬¸

ã ß ´

Page 21: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îð

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸» ½«¾±·¼ ­¸±©²ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ¬¸»½«¾±·¼ ­¸±©²ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ʱ´«³» ã ì ïè ël l

ã íêð ³ í

ø¾÷ Í«®º¿½» ¿®»¿ ã î l lø ÷ õ l lø ÷ õ l lø ÷ì ïè î ì ë î ë ïè

ã ïìì ìð ïèðõ õ

ã íêì ³ î

Û¨¿³°´» î

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ¿²¼ ¬±¬¿´ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ¬¸»½§´·²¼»® ­¸±©²ò

ͱ´«¬·±²

ʱ´«³» ã ® ¸î ã l lì êî ã çê

ã íðïòëçîèçìé ½³ í

ã íðî ½³ í ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

ß®»¿ ±º ½«®ª»¼ ­«®º¿½» ã î ® ¸ ã î ì êl l l

ã ìè

ã ïëðòéçêììéì ½³ î

ß®»¿ ±º »¿½¸ »²¼ ã ® î ã l ì î

ã ïê

ã ëðòîêëìèîìê ½³ î

̱¬¿´ ­«®º¿½» ¿®»¿ ã ïëðòéçêììéì õ lø ÷î ëð îêëìèîìêò

ã îëïòíîéìïîí ½³ î

ã îëï ½³ î ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

Ò±¬»æ Ú®±³ ¬¸» ©±®µ·²¹ ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ½«®ª»¼ ­«®º¿½» ·­ ìè ô¿²¼ ¬¸¿¬ ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ »²¼ ·­ ïê ò ̸» ¬±¬¿´ ­«®º¿½» ¿®»¿ ·­ ¬¸»®»º±®»

ìè î ïê èð îëï íîéìïîíõ lø ÷ ã ã ò ½³î

ã îëï ½³ î ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷

çòì

ïè ³

ë ³

ì ³

ì ½³

ê ½³

Page 22: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îï

Û¨¿³°´» í

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸·­ °®·­³ò

ͱ´«¬·±²

ß®»¿ ±º »²¼ ±º °®·­³ ã ï

îè êl l

ã îì ½³ î

ʱ´«³» ±º °®·­³ ã îì l ïð

ã îìð ½³ í

Û¨»®½·­»­ïò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ¿²¼ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½«¾±·¼­æ

ø¿÷ ø¾÷

îò Ù·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³»¿²¼ ¬±¬¿´ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½§´·²¼»®­æ

ø¿÷ ø¾÷

ê ½³

è ½³

ïð ½³

ë ³

ì ³

é ³

è ½³

è ½³

ì ½³

ïð ½³

î ½³

ê ½³

è ½³

Page 23: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îî

íò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ °®·­³­æ

ø¿÷ ø¾÷

ìò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ¿²¼ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ °®·­³æ

î ³

ïòë ³

ïð ³

îòë ³

ëò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ ©±±¼»² ¾´±½µ ¬¸¿¬¸¿­ ¸¿¼ ¿ ¸±´» ¼®·´´»¼ ·² ·¬ò ̸» ¼·¿³»¬»®±º ¬¸» ¸±´» ·­ î ½³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸·­ ­±´·¼ô ¹·ª·²¹§±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

êò ß ½±²½®»¬» ¾»¿³ ·­ ¬± ®»­¬ ±² ¬©±½±²½®»¬» °·´´¿®­ò ̸» ¾»¿³ ·­ ¿½«¾±·¼ ©·¬¸ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ ðòë ³ôí ³ ¿²¼ ðòì ³ò

̸» °·´´¿®­ ¸¿ª» ¼·¿³»¬»® ðòì ³ ¿²¼¸»·¹¸¬ î ³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ª±´«³» ±º ½±²½®»¬»²»»¼»¼ ¬± ³¿µ» ¬¸» ¾»¿³ ¿²¼ ¬¸»°·´´¿®­ò α«²¼ §±«® ¿²­©»® ¬± ¿­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

çòì

é ½³

îòë ½³

ïî ½³

í ³

ê ³

ì ³

ê ½³

ê ½³

ì ½³

Page 24: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îí

éò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸» ½®±­­ó­»½¬·±² ±º ¿ °·°» ±º ´»²¹¬¸ ëð ½³ò̸» ·²²»® ¼·¿³»¬»® ±º ¬¸» °·°» ·­ îð ½³ ¿²¼ ¬¸» ±«¬»® ¼·¿³»¬»® ·­ íð ½³ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º ³»¬¿´ ²»»¼»¼ ¬± ³¿µ» ¬¸» °·°»ò α«²¼ §±«®¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ¬¸» °·°»ô ·²½´«¼·²¹ ¬¸» ·²­·¼» ­«®º¿½»òα«²¼ §±«® ¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

èò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ °®·­³ò̸» ½®±­­ó­»½¬·±² ±º ¬¸» °®·­³½±²­·­¬­ ±º ¿ ®»½¬¿²¹´» ¿²¼ ¿­»³·½·®½´»ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³»±º ¬¸» °®·­³ò Ù·ª» §±«®¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³íò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ­«®º¿½»

¿®»¿ ±º ¬¸» °®·­³ò Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³î ò

çò ̸» ª±´«³» ±º ¬¸» °®·­³ ­¸±©² ·­ éîð ³³í ò

ç ³³

è ³³

ê ³³

ïð ³³

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» °®·­³ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ¬¸» °®·­³ò

îð ½³

ë ½³

í ½³

Page 25: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îì

ïðò ß ½§´·²¼»® ¸¿­ ¿ ¼·¿³»¬»® ±º ïî ½³ ¿²¼ ¿ ½«®ª»¼ ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ïíî ±®

ìïë ½³ î ø¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­÷ò

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» ½§´·²¼»®ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸» ½§´·²¼»®ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸»

²»¿®»­¬ ½³íò

ïïò ø¿÷ ̸»­» ½«¾±·¼­ ¿®» ³¿¼» º®±³ ­³¿´´ ½«¾»­ò

É®·¬» ¸±© ³¿²§ ­³¿´´ ½«¾»­ ¬¸»®» ¿®» ·² »¿½¸ ½«¾±·¼ò

̸» º·®­¬ ·­ ¼±²» º±® §±«ò

ø·÷ ø··÷

Ý«¾» ø·÷ ·­ ³¿¼» º®±³ïî ­³¿´´ ½«¾»­ò

ø···÷

ø·ª÷

ø¾÷ ̸·­ ­¸¿°» ·­ ³¿¼» ©·¬¸ ¬©± ½«¾±·¼­ò

É®·¬» ¸±© ³¿²§ ½«¾»­ ¬¸»®» ¿®» ·² ¬¸·­ ­¸¿°»ò

ì

ì

î î

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® íóëñÐï÷

çòì

î

î

í

ë

î ï

î

ìî

í

î

ë

Page 26: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îë

ïîò ø¿÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸·­ ­¬¿²¼¿®¼ ­·¦» ¾±¨ ±º ­¿´¬á

Í¿´¬Í¬¿²¼¿®¼

Í·¦»

ïð ½³

ë ½³ê ½³

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸·­ ­°»½·¿´ ±ºº»®¾±¨ ±º ­¿´¬ô ©¸·½¸ ·­ îðû ¾·¹¹»®á

̸» ­¬¿²¼¿®¼ ­·¦» ¾±¨ ½±²¬¿·²­ »²±«¹¸ ­¿´¬ ¬± º·´´ «° ïð ­¿´¬ °±¬­ò

Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬ Í¿´¬

ø½÷ ر© ³¿²§ ­¿´¬ °±¬­ ³¿§ ¾» º·´´»¼ «° º®±³ ¬¸» ­°»½·¿´ ±ºº»® ¾±¨ ±º­¿´¬á

øÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

ïíò ø¿÷ Ô±±µ ¿¬ ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

͸±© ©±®µ·²¹ ¬± »¨°´¿·²©¸§ ¿²¹´» ¨ ³«­¬ ¾» ¿ ®·¹¸¬ ¿²¹´»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸·­ °®·­³á

DZ« ³«­¬ ­¸±© »¿½¸ ­¬»° ·²§±«® ©±®µ·²¹ò

îðû ³±®»

Í¿´¬

Í°»½·¿´Ñºº»®

ïð ½³ è ½³

ê ½³

¨ p

ÒÑÌÌÑÍÝßÔÛ

è ½³

ê ½³é ½³

ïð ½³ÒÑÌÌÑÍÝßÔÛ

Page 27: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îê

ø½÷ Ю·­³­ ß ¿²¼ Þ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ½®±­­ó­»½¬·±²¿´ ¿®»¿ò

ÒÑÌÌÑÍÝßÔÛ

ß

í ½³

Þ

ë ½³

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» ¬¿¾´»æ

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

ïìò ÌÖù­ Ý¿¬ Ú±±¼ ·­ ­±´¼ ·² ¬·²­ ­¸¿°»¼ ´·µ» ¬¸·­òÛ¿½¸ ¬·² ¸¿­ ¿² ·²¬»®²¿´ ¸»·¹¸¬ ±º ë ½³ò

ø¿÷ ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ´·¼ ±º ¬¸» ¬·² ·­ íë ½³ î òɱ®µ ±«¬ ¬¸» ª±´«³» ±º ½¿¬ º±±¼ ¬¸¿¬ ¬¸» ¬·² ½±²¬¿·²­ò

ø¾÷ ̸» ´¿¾»´ ¬¸¿¬ ¹±»­ ®±«²¼ ¬¸» ¬·² ±ª»®´¿°­ ¾§ ï ½³ò

̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ´¿¾»´ ·­ ïíì ½³ î ò

ɱ®µ ±«¬ ¬¸» ¼·­¬¿²½» ¿®±«²¼ ¬¸» ¬·²ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

çòì

Ю·­³ ß Ð®·­³ Þ

¸»·¹¸¬ ë ½³ í ½³

ª±´«³» îðð ½³ í òòòòòòòòòò ½³ í

ÒÑÌÌÑÍÝßÔÛ

ë ½³

ï ½³

ë ½³

Page 28: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îé

ÌÖù­ Ý¿¬ Ú±±¼ °´¿²­ ¬± «­» ¬·²­ ¬¸¿¬ ¿®» ¬¸» ­¸¿°» ±º ½§´·²¼»®­ò

̸» ·²¬»®²¿´ ³»¿­«®»³»²¬­ ±º ¿ ¬·² ¿®» ­¸±©²ò

ø½÷ ɱ®µ ±«¬ ¬¸» ª±´«³» ±º ½¿¬ º±±¼ ¬¸¿¬ ¬¸» ¬·² ½±²¬¿·²­ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ ëóéñÐî÷

ì ½³

ê ½³

Page 29: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îè

ïðòï ݱ²­¬¿²¬ Ü·ºº»®»²½»­×² ¬¸» º·®­¬ °¿®¬ ±º ¬¸·­ «²·¬ ©» ½±²­·¼»® ­»¯«»²½»­ ©¸»®» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»²­«½½»­­·ª» ¬»®³­ ·­ ¬¸» ­¿³» »ª»®§ ¬·³»ò É» ¿´­± «­» º±®³«´¿» ¬± ½®»¿¬» ¬¸» ¬»®³­±º ¿ ­»¯«»²½»ò

Û¨¿³°´» ï

É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ éô ïïô ïëô ïçô îíô òòò

ø¾÷ ïô çô ïéô îëô ííô òòò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ é ïï ïë ïç îí òòò

ì ì ì ì

̸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² »¿½¸ ¬»®³ ¿²¼ ¬¸» ²»¨¬ ·­ ¿´©¿§­ ìò ̸·­ ª¿´«» ·­½¿´´»¼ ¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»ò ͱ ©» ½¿² ½±²¬·²«» ¬¸» ­»¯«»²½» ¾§ ¿¼¼·²¹ 컿½¸ ¬·³»ò ̸·­ ¹·ª»­ ¬¸» ­»¯«»²½»æ

éô ïïô ïëô ïçô îíô îéô íïô íë

ø¾÷ ï ç ïé îë íí òòò

è è è è

Ø»®» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² »¿½¸ ¬»®³ ¿²¼ ¬¸» ²»¨¬ ·­ ¿´©¿§­ èò ̱½±²¬·²«» ¬¸» ­»¯«»²½» ©» ³«­¬ µ»»° ±² ¿¼¼·²¹ è »ª»®§ ¬·³»ò ̸·­ ¹·ª»­¬¸» ­»¯«»²½»æ

ïô çô ïéô îëô ííô ìïô ìçô ëé

Û¨¿³°´» î

ß ­»¯«»²½» ·­ ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã õí ïò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸·­ ­»¯«»²½»ò

ͱ´«¬·±²

̸» º·®­¬ ¬»®³ô ±º¬»² ½¿´´»¼ « ï ô ·­ º±®³»¼ ¾§ ­«¾­¬·¬«¬·²¹ ² ã ï ·²¬± ¬¸» º±®³«´¿ò

« ï ã í ï ïl õ

ã í ïõ

ã ì

ïð Í»¯«»²½»­

Page 30: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îç

Ú±® ¬¸» ­»½±²¼ ¬»®³ô ­«¾­¬·¬«¬» ² ãî ¬± ¹·ª»æ

« î ã í î ïl õ

ã é

Ú±® ¬¸» ¬¸·®¼ ¬»®³ô ­«¾­¬·¬«¬» ² ã í ¬± ¹·ª»æ

« í ã í í ïl õ

ã ïð

Ú±® ¬¸» º±«®¬¸ ¬»®³ô ­«¾­¬·¬«¬» ² ã ì ¬± ¹·ª»æ

« ì ã í ì ïl õ

ã ïí

Ú±® ¬¸» º·º¬¸ ¬»®³ô ­«¾­¬·¬«¬» ² ãë ¬± ¹·ª»æ

« ë ã í ë ïl õ

ã ïê

ͱ ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¿®»

ìô éô ïðô ïíô ïêò

Û¨¿³°´» í

̸» ¬»®³­ ±º ¿ ­»¯«»²½» ¿®» ¹·ª»² ¾§ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã óè íò

Ý¿´½«´¿¬»æ

ø¿÷ ¬¸» º·®­¬ í ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ø¾÷ ¬¸» ïð𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ø½÷ ¬¸» îð𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ² ã ï ¹·ª»­ « ï ã è ï íl ó

ã ë

² ã î ¹·ª»­ « î ã è î íl ó

ã ïí

² ã í ¹·ª»­ « í ã è í íl ó

ã îï

ͱ ¬¸» º·®­¬ í ¬»®³­ ¿®»

ëô ïíô îïò

Page 31: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íð

ø¾÷ ² ã ïðð ¹·ª»­ « ïðð ã è ïðð íl ó

ã éçé

ͱ ¬¸» ïð𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ·­ éçéò

ø½÷ ² ã îðð ¹·ª»­ « îðð ã è îðð íl ó

ã ïëçé

ͱ ¬¸» îð𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ·­ ïëçéò

Û¨»®½·­»­ïò É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ îô ëô èô ïïô ïìô òòò

ø¾÷ çô ïèô îéô íêô ìëô òòò

ø½÷ ïíô ïìô ïëô ïêô ïéô òòò

ø¼÷ éô ïëô îíô íïô íçô òòò

îò É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ïððô çèô çêô çìô çîô òòò

¾÷ îðô ïéô ïìô ïïô èô òòò

ø½÷ ìèô ìíô íèô ííô îèô òòò

ø¼÷ ïéô ïíô çô ëô ïô òòò

íò ß ­»¯«»²½» ·­ ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã óê îò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»á

ìò ß ­»¯«»²½» ·­ ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã õè î ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»á

ø½÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ëò ß ­»¯«»²½» ·­ ¹·ª»² ¾§ « ²² ã óé í ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ì ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»á

ø½÷ Û¨°´¿·² ©¸»®» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¿°°»¿®­ ·² ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¬»®³­ò

ïðòï

Page 32: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íï

êò ß ­»¯«»²½» ·­ ¹·ª»² ¾§ « ²² ã õç îò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ì ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ ر© ¼±»­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬»®³­ ®»´¿¬» ¬± ¬¸» º±®³«´¿á

éò ß ­»¯«»²½» ·­ ¹·ª»² ¾§ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã óïï éò

ø¿÷ ɸ¿¬ ©±«´¼ §±« »¨°»½¬ ¬± ¾» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸»­»¯«»²½»á

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ì ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¿²¼ ½¸»½µ §±«® ¿²­©»® ¬±°¿®¬ ø¿÷ò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ï𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

èò ß ­»¯«»²½» ·­ ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã óèî ì ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬»®³­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»á

ø½÷ ر© ¼±»­ ¬¸·­ ¼·ºº»®»²½» ®»´¿¬» ¬± ¬¸» º±®³«´¿á

ø¼÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» î𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

çò ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ïð𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¹·ª»² ¾§ « ²² ã óè ëò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» î문 ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¹·ª»² ¾§ « ²² ã óïï íò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» îð𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¹·ª»² ¾§ « ²² ã õí îî ò

ø¼÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ë謸 ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¼»º·²»¼ ¾§ « ²² ã óïððð ë ò

ïðò Ú±«® ­»¯«»²½»­ô ßô Þô Ý ¿²¼ Üô ¿®» ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» º±´´±©·²¹ º±®³«´¿»æ

ß « ²² ã õè î

Þ « ²² ã óé í

Ý « ²² ã õí ï

Ü « ²² ã óïðð ê

ø¿÷ ɸ·½¸ ­»¯«»²½»­ ¸¿ª» ì ¿­ ¬¸»·® º·®­¬ ¬»®³á

ø¾÷ ɸ·½¸ ­»¯«»²½» ·­ ¼»½®»¿­·²¹á

ø½÷ ɸ·½¸ ­»¯«»²½» ¸¿­ ¿ ¼·ºº»®»²½» ±º é ¾»¬©»»² ¬»®³­á

ø¼÷ ɸ·½¸ ­»¯«»²½» ¸¿­ íðï ¿­ ·¬­ ïð𬸠¬»®³á

Page 33: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íî

ïðòï

ïïò ø¿÷ Ô±±µ ¿¬ ¬¸·­ °¿®¬ ±º ¿ ²«³¾»® ´·²»òÉ®·¬» ¼±©² ¬¸» î ³·­­·²¹ ²«³¾»®­ò

P é òòòòòòòòò ï ë ç òòòòòòòòò ïé

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ­»²¬»²½»æ

̸» ²«³¾»®­ ±² ¬¸·­ ´·²» ¹± «° ·² ­¬»°­ ±º òòòòòòòòò ò

ø¾÷ ̸·­ ·­ ¿ ¼·ºº»®»²¬ ²«³¾»® ´·²»òÉ®·¬» ¼±©² ¬¸» í ³·­­·²¹ ²«³¾»®­ò

éòë éòê éòé éòè òòòòòòòòò òòòòòòòòò òòòòòòòòò

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ­»²¬»²½»æ

̸» ²«³¾»®­ ±² ¬¸·­ ´·²» ¹± «° ·² ­¬»°­ ±º òòòòòòòòò ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ìóêñÐï÷

ïîò Ö»ºº ³¿µ»­ ¿ ­»¯«»²½» ±º °¿¬¬»®²­ ©·¬¸ ¾´¿½µ ¿²¼ ¹®»§ ¬®·¿²¹«´¿® ¬·´»­ò

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ï

°¿¬¬»®²²«³¾»®

î

°¿¬¬»®²²«³¾»®

í

̸» ®«´» º±® º·²¼·²¹ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¬·´»­ ·² °¿¬¬»®² ²«³¾»® Ò ·² Ö»ººù­­»¯«»²½» ·­æ

²«³¾»® ±º ¬·´»­ ã õï íÒ

ø¿÷ ̸» ï ·² ¬¸·­ ®«´» ®»°®»­»²¬­ ¬¸» ¾´¿½µ ¬·´»ò

ɸ¿¬ ¼±»­ ¬¸» íÒ ®»°®»­»²¬á

ø¾÷ Ö»ºº ³¿µ»­ °¿¬¬»®² ²«³¾»® ïî ·² ¸·­ ­»¯«»²½»ò

ر© ³¿²§ ¾´¿½µ ¬·´»­ ¿²¼ ¸±© ³¿²§ ¹®»§ ¬·´»­ ¼±»­ ¸» «­»á

ø½÷ Ö»ºº «­»­ êï ¬·´»­ ¿´¬±¹»¬¸»® ¬± ³¿µ» ¿ °¿¬¬»®² ·² ¸·­ ­»¯«»²½»ò

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¬¸» °¿¬¬»®² ¸» ³¿µ»­á

Page 34: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íí

ø¼÷ Þ¿®¾¿®¿ ³¿µ»­ ¿ ­»¯«»²½» ±º °¿¬¬»®²­ ©·¬¸ ¸»¨¿¹±²¿´ ¬·´»­ò

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ï°¿¬¬»®²²«³¾»®

î °¿¬¬»®²²«³¾»®

í

Û¿½¸ °¿¬¬»®² ·² Þ¿®¾¿®¿ù­ ­»¯«»²½» ¸¿­ ï ¾´¿½µ ¬·´» ·² ¬¸» ³·¼¼´»ò

Û¿½¸ ²»© °¿¬¬»®² ¸¿­ ê ³±®» ¹®»§ ¬·´»­ ¬¸¿² ¬¸» °¿¬¬»®² ¾»º±®»ò

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» ®«´» º±® º·²¼·²¹ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¬·´»­ ·² °¿¬¬»®²²«³¾»® Ò ·² Þ¿®¾¿®¿ù­ ­»¯«»²½»ò

²«³¾»® ±º ¬·´»­ ã õòòòòòòòòò òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò

ø»÷ Ù©»²²± «­»­ ­±³» ¬·´»­ ¬± ³¿µ» ¿ ¼·ºº»®»²¬ ­»¯«»²½» ±º °¿¬¬»®²­ò

̸» ®«´» º±® º·²¼·²¹ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¬·´»­ ·² °¿¬¬»®² ²«³¾»® Ò ·²Ù©»²²±ù­ ­»¯«»²½» ·­æ

²«³¾»® ±º ¬·´»­ ã õï ì Ò

Ü®¿© ©¸¿¬ §±« ¬¸·²µ ¬¸» º·®­¬ í °¿¬¬»®²­ ·² Ù©»²²±ù­ ­»¯«»²½»½±«´¼ ¾»ò

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

Page 35: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íì

ïíò Ñ©»² ¸¿­ ­±³» ¬·´»­ ´·µ» ¬¸»­»æ

Ø» «­»­ ¬¸» ¬·´»­ ¬± ³¿µ» ¿ ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­ò

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ï

°¿¬¬»®²²«³¾»®

í

°¿¬¬»®²²«³¾»®

î

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ì

ø¿÷ Û¿½¸ ²»© °¿¬¬»®² ¸¿­ ³±®» ¬·´»­ ¬¸¿² ¬¸» ±²» ¾»º±®»ò̸» ²«³¾»® ±º ¬·´»­ ¹±»­ «° ¾§ ¬¸» ­¿³» ¿³±«²¬ »¿½¸ ¬·³»ò

ر© ³¿²§ ³±®» ¬·´»­ ¼±»­ Ñ©»² ¿¼¼ »¿½¸ ¬·³» ¸» ³¿µ»­ ¿ ²»©°¿¬¬»®²á

ø¾÷ ر© ³¿²§ ¬·´»­ ©·´´ Ñ©»² ²»»¼ ¿´¬±¹»¬¸»® ¬± ³¿µ» °¿¬¬»®² ²«³¾»® ê á

ø½÷ ر© ³¿²§ ¬·´»­ ©·´´ Ñ©»² ²»»¼ ¿´¬±¹»¬¸»® ¬± ³¿µ» °¿¬¬»®² ²«³¾»® ç á

ø¼÷ Ñ©»² «­»­ ìð ¬·´»­ ¬± ³¿µ» ¿ °¿¬¬»®²ò

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¬¸» °¿¬¬»®² ¸» ³¿µ»­á

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ìóêñÐî÷

ïðòï

Page 36: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íë

ïðòî Ú·²¼·²¹ ¬¸» Ú±®³«´¿ º±® ¿ Ô·²»¿® Í»¯«»²½»×¬ ·­ °±­­·¾´» ¬± ¼»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ´·²»¿® ­»¯«»²½»­ô ·ò»ò ­»¯«»²½»­ ©¸»®» ¬¸»¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­ ·­ ¿´©¿§­ ¬¸» ­¿³»ò

̸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ²«³¾»® °¿¬¬»®²

ïï ïì ïé îð îí îê òòò

¿®» í í í í í

׺ ©» ´±±µ ¿¬ ¬¸» ­»¯«»²½» í² ô ·ò»ò ¬¸» ³«´¬·°´»­ ±º íô ¿²¼ ½±³°¿®» ·¬ ©·¬¸ ±«®±®·¹·²¿´ ­»¯«»²½»

±«® ­»¯«»²½» ïï ïì ïé îð îí îê

­»¯«»²½» í² í ê ç ïî ïë ïè

©» ½¿² ­»» »¿­·´§ ¬¸¿¬ ¬¸» º±®³«´¿ ¬¸¿¬ ¹»²»®¿¬»­ ±«® ²«³¾»® °¿¬¬»®² ·­

²¬¸ ¬»®³ ±º ­»¯«»²½» ã õí è²

·ò»ò « ²² ã õí è

׺ô ¸±©»ª»®ô ©» ¸¿¼ ­¬¿®¬»¼ ©·¬¸ ¬¸» ­»¯«»²½»

íè ìï ìì ìé ëð ëí òòò

¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ ©±«´¼ ­¬·´´ ¸¿ª» ¾»»² í ¿²¼ ¬¸» ½±³°¿®·­±² ±º ¬¸·­ ­»¯«»²½»©·¬¸ ¬¸» ­»¯«»²½» í²

±«® ­»¯«»²½» íè ìï ìì ìé ëð ëí

­»¯«»²½» í² í ê ç ïî ïë ïè

©±«´¼ ¸¿ª» ´»¼ ¬± ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã õí íëò

ײ ¬¸» ­¿³» ©¿§ô ¬¸» ­»¯«»²½»

P é P ì P ï î ë è òòò

¿´­± ¸¿­ º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ í ¿²¼ ¬¸» ½±³°¿®·­±²

±«® ­»¯«»²½» P é P ì P ï î ë è

­»¯«»²½» í² í ê ç ïî ïë ï觷»´¼­ ¬¸» º±®³«´¿ « ²² ã óí ïð ò

Ú®±³ ¬¸»­» »¨¿³°´»­ô ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ¿²§ ­»¯«»²½» ©·¬¸ ½±²­¬¿²¬ º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»í ¸¿­ ¬¸» º±®³«´¿

« ² ½² ã õí

©¸»®» ¬¸» ¿¼¶«­¬³»²¬ ½±²­¬¿²¬ ½ ³¿§ ¾» »·¬¸»® °±­·¬·ª» ±® ²»¹¿¬·ª»ò

̸·­ ¿°°®±¿½¸ ½¿² ¾» ¿°°´·»¼ ¬± ¿²§ ´·²»¿® ­»¯«»²½»ô ¹·ª·²¹ «­ ¬¸» ¹»²»®¿´ ®«´» ¬¸¿¬æ

׺ ¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­·­ ¼ô ¬¸»²

« ¼ ² ½² ã l õ

Page 37: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íê

Û¨¿³°´» ï

Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸·­ ­»¯«»²½»æ

éô ïíô ïçô îëô íïô òòò

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ½±²­·¼»® ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ô

é ïí ïç îë íï òòò

ê ê ê ê

ß­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ·­ ¿´©¿§­ êô ©» ½¿² ©®·¬»ô

« ² ½² ã õê

ß­ ¬¸» º·®­¬ ¬»®³ ·­ éô ©» ½¿² ©®·¬» ¼±©² ¬¸» »¯«¿¬·±²æ

é ã ê ïl õ ½

ã ê õ ½

½ ã ï

ͱ ¬¸» º±®³«´¿ ©·´´ ¾»ô

« ²² ã õê ï

É» ½¿² ½¸»½µ ¬¸¿¬ ¬¸·­ º±®³«´¿ ·­ ½±®®»½¬ ¾§ ¬»­¬·²¹ ·¬ ±² ±¬¸»® ¬»®³­ô º±® »¨¿³°´»ô

¬¸» 쬸 ¬»®³ ã l õ ãê ì ï îë

©¸·½¸ ·­ ½±®®»½¬ò

Û¨¿³°´» î

Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸·­ ­»¯«»²½»æ

îô éô ïîô ïéô îîô îéô òòò

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ½±²­·¼»® ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ô

î é ïî ïé îî îé òòò

ë ë ë ë ë

̸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² »¿½¸ ¬»®³ ·­ ¿´©¿§­ ëô ­± ¬¸» º±®³«´¿ ©·´´ ¾»ô

« ² ½² ã õë

ïðòî

Page 38: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íé

̸» º·®­¬ ¬»®³ ½¿² ¾» «­»¼ ¬± º±®³ ¿² »¯«¿¬·±² ¬± ¼»¬»®³·²» ½æ

î ã ë ïl õ ½

î ã ë õ ½

½ ã P í

ͱ ¬¸» º±®³«´¿ ©·´´ ¾»ô

« ²² ã óë í

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ½±²­¬¿²¬ ¬»®³ô ½ô ·­ ¹·ª»² ¾§

½ ã óº·®­¬ ¬»®³ º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»

Û¨¿³°´» í

Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»æ

îèô îëô îîô ïçô ïêô ïíô òòò

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ½±²­·¼»® ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ô

îè îë îî ïç ïê ïí òòò

P í P í P í P í P í

Ø»®» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ·­ ²»¹¿¬·ª» ¾»½¿«­» ¬¸» ¬»®³­ ¿®» ¾»½±³·²¹ ­³¿´´»®ò

Ë­·²¹ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¿­ P í ¹·ª»­ô

« ² ½² ã ó õí

̸» º·®­¬ ¬»®³ ·­ îèô ­±

îè ã ó l õí ï ½

îè ã ó õí ½

½ ã íï

̸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ ·­ ¬¸»²ô

« ²² ã ó õí íï

±®

« ²² ã óíï í

Page 39: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íè

ïðòî

Û¨»®½·­»­ïò Ú±® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

éô ïïô ïëô ïçô òòò

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­ô

ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ ¬¸¿¬ ¹»²»®¿¬»­ ¬¸» ­»¯«»²½»ò

îò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ êô ïðô ïìô 18ô î2ô òòò

ø¾÷ ïïô ïíô ïëô ïéô ïçô òòò

ø½÷ çô ïêô îíô íðô íéô òòò

ø¼÷ íìô ëêô éèô ïððô ïîîô òòò

ø»÷ îîô íïô ìðô ìçô ëèô òòò

íò Ѳ» ²«³¾»® ·­ ³·­­·²¹ º®±³ ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»æ

ïô êô ïïô ô îïô îêô íï

ø¿÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ³·­­·²¹ ²«³¾»®á

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ ¬¸¿¬ ¹»²»®¿¬»­ ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ìò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ïô ìô éô ïðô ïíô òòò ø¾÷ îô êô ïðô ïìô ïèô òòò

ø½÷ ìô ïíô îîô íïô ìðô òòò ø¼÷ ëô ïëô îëô íëô ìëô òòò

ø»÷ ïô îðô íçô ëèô ééô òòò

ëò Ú±® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ïèô ïêô ïìô ïîô ïðô òòò

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­ô

ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ ¬¸¿¬ ¹»²»®¿¬»­ ¬¸» ­»¯«»²½»ò

êò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ïçô ïêô ïíô ïðô éô òòò ø¾÷ ïððô çêô çîô èèô èìô òòò

ø½÷ ìïô íìô îéô îðô ïíô òòò ø¼÷ êêô ëðô íìô ïèô îô òòò

ø»÷ çðô èïô éîô êíô ëìô òòò

Page 40: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

íç

éò Ú±® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

P îô P ìô P êô P èô P ïðô P ïîô òòò

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­ô

ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ò

èò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ ¬¸¿¬ ¹»²»®¿¬»­ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ðô P ëô P ïðô P ïëô P îðô òòò

ø¾÷ P ïèô P ïêô P ïìô P ïîô P ïðô òòò

ø½÷ P ëô P èô P ïïô P ïìô P ïéô òòò

ø¼÷ èô ïô P êô P ïíô P îðô òòò

ø»÷ P éô P íô ïô ëô çô òòò

çò ß ­»¯«»²½» ¸¿­ º·®­¬ ¬»®³ îð ¿²¼ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ ·­¿´©¿§­ íïò

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ ¬± ¹»²»®¿¬» ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ïðò ̸» ­»½±²¼ ¿²¼ ¬¸·®¼ ¬»®³­ ±º ¿ ­»¯«»²½» ¿®» ïê ¿²¼ îéò ̸» ¼·ºº»®»²½»¾»¬©»»² ­«½½»­­·ª» ¬»®³­ ·² ¬¸» ­»¯«»²½» ·­ ¿´©¿§­ ½±²­¬¿²¬ò

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ïïò ̸·­ ·­ ¿ ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­©·¬¸ ¹®»§ ¿²¼ ©¸·¬» ¬·´»­ò

̸» ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­ ½±²¬·²«»­ ¾§ ¿¼¼·²¹ »¿½¸ ¬·³»ò

ø¿÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ¬¿¾´»æ

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ï °¿¬¬»®²²«³¾»®

î °¿¬¬»®²²«³¾»®

í

°¿¬¬»®² ²«³¾»® ²«³¾»® ±º ²«³¾»® ±º¹®»§ ¬·´»­ ©¸·¬» ¬·´»­

ë

ïê

Page 41: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìð

ø¾÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ¬¿¾´» ¾§ ©®·¬·²¹ »¨°®»­­·±²­æ

ø½÷ É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² ¬± ­¸±© ¬¸» ¬±¬¿´ ²«³¾»® ±º ¬·´»­ ·² °¿¬¬»®²²«³¾»® ²ò Í·³°´·º§ §±«® »¨°®»­­·±²ò

ø¼÷ ß ¼·ºº»®»²¬ ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­ ·­ ³¿¼» ©·¬¸ ¬·´»­ò

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ï °¿¬¬»®²²«³¾»®

î °¿¬¬»®²²«³¾»®

í

̸» ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­ ½±²¬·²«»­ ¾§ ¿¼¼·²¹ »¿½¸ ¬·³»ò

Ú±® ¬¸·­ ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­ô ©®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² ¬± ­¸±© ¬¸» ¬±¬¿´²«³¾»® ±º ¬·´»­ ·² °¿¬¬»®² ²«³¾»® ²ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ ¿²¼ ­·³°´·º§ §±«® »¨°®»­­·±²ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

ïðòí Í»½±²¼ Ü·ºº»®»²½»­ ¿²¼ Ï«¿¼®¿¬·½ Í»¯«»²½»­×² ­»½¬·±² ïðòî ©» ¼»¿´¬ ©·¬¸ ­»¯«»²½»­ ©¸»®» ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­©¿­ ¿ ½±²­¬¿²¬ ª¿´«»ò ײ ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» »¨¬»²¼ ¬¸·­ ·¼»¿ ¬± ­»¯«»²½»­ ©¸»®» ¬¸»¼·ºº»®»²½»­ ¿®» ²±¬ ½±²­¬¿²¬ò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ê ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» ¯«¿¼®¿¬·½ º±®³«´¿ô

« ² ²² ã õ óî ï

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ò

ø½÷ ݱ³³»²¬ ±² ¬¸» ®»­«´¬­ §±« ±¾¬¿·²ò

ïðòî

°¿¬¬»®² ²«³¾»® »¨°®»­­·±² º±® »¨°®»­­·±² º±®¬¸» ²«³¾»® ±º ¬¸» ²«³¾»® ±º

¹®»§ ¬·´»­ ©¸·¬» ¬·´»­

²

Page 42: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìï

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Í«¾­¬·¬«¬·²¹ ² ã ï ¹·ª»­ô

« ï ã ï ï ïî õ ó

ã ï

Ú±® ² ã î ô

« î ã î î ïî õ ó

ã ë

Ú±® ² ã íô

« í ã í í ïî õ ó

ã ïï

Ú±® ² ã ì ô

« ì ã ì ì ïî õ ó

ã ïç

Ú±® ² ã ëô

« ë ã ë ë ïî õ ó

ã îç

Ú±® ² ã êô

« ê ã ê ê ïî õ ó

ã ìï

ͱ ¬¸» º·®­¬ ê ¬»®³­ ¿®»ô

ïô ëô ïïô ïçô îçô ìï

ø¾÷ ̸» ¼·ºº»®»²½»­ ½¿² ²±© ¾» ½¿´½«´¿¬»¼ô

ï ë ïï ïç îç ìï

ì ê è ïð ïî

ø½÷ Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ ¿®» ½±²­¬¿²¬ò ̸»§ ¿®»¿´´ »¯«¿´ ¬± îò ̸»­» ¿®» ½¿´´»¼ ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ô ¿­ ­¸±©² ¾»´±©ò

Í»¯«»²½» ï ë ïï ïç îç ìï

Ú·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ ì ê è ïð ïî

Í»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ î î î î

Page 43: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìî

Û¨¿³°´» î

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¼»º·²»¼ ¾§ ¬¸» ¯«¿¼®¿¬·½ º±®³«´¿

« ² ²² ã ó óí îî

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» º·®­¬ ¿²¼ ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸·­ ­»¯«»²½»ò

ø½÷ ݱ³³»²¬ ±² §±«® ®»­«´¬­ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ú±® ² ã ïô « ï ã í ï ï îîl ó óã í ï îó óã ð

Ú±® ² ã î ô « î ã í î î îîl ó óã è

Ú±® ² ã íô « í ã í í í îîl ó óã îî

Ú±® ² ã ì ô « ì ã í ì ì îîl ó óã ìî

Ú±® ² ã ëô « ë ã í ë ë îîl ó óã êè

ͱ ¬¸» ­»¯«»²½» ·­ô

ðô èô îîô ìîô êèô òòò

ø¾÷ ̸» ¼·ºº»®»²½»­ ¿®» ½¿´½«´¿¬»¼ ¾»´±©æ

Í»¯«»²½» ð è îî ìî êè òòò

Ú·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ è ïì îð îê

Í»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ê ê ê

ø½÷ ß¹¿·²ô ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ¿®» ½±²­¬¿²¬å ¬¸·­ ¬·³» ¬¸»§ ¿®» ¿´´ êò

Ò±¬»Ú±® ¿ ­»¯«»²½» ¼»º·²»¼ ¾§ ¿ ¯«¿¼®¿¬·½ º±®³«´¿ô ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ©·´´ ¾»½±²­¬¿²¬ ¿²¼ »¯«¿´ ¬± ¬©·½» ¬¸» ²«³¾»® ±º ² î ò

Ú±® »¨¿³°´»ô

« ² ã ² ²î ïõ ó Í»½±²¼ ¼·ºº»®»²½» ã î

« ² ã í îî² ²ó ó Í»½±²¼ ¼·ºº»®»²½» ã ê

« ² ã ë éî² ²ó õ Í»½±²¼ ¼·ºº»®»²½» ã ïð

ïðòí

Page 44: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìí

Û¨¿³°´» í

Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

îô çô îðô íëô ëìô òòò

ͱ´«¬·±²

ݱ²­·¼»® ¬¸» º·®­¬ ¿²¼ ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»æ

î ç îð íë ëì òòò

é ïï ïë ïç

ì ì ì

ß­ ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ¿®» ½±²­¬¿²¬ ¿²¼ »¯«¿´ ¬± ìô ¬¸» º±®³«´¿ ©·´´ ¾»¹·²

« ²² ã õî î òòò

̱ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ®»­¬ ±º ¬¸» º±®³«´¿ô ­«¾¬®¿½¬ î î² º®±³ »¿½¸ ¬»®³ ±º ¬¸»­»¯«»²½»ô ¿­ ­¸±©² ¾»´±©æ

Í»¯«»²½» î ç îð íë ëì òòò

î î² î è ïè íî ëð

Ò»© ­»¯«»²½» ð ï î í ì

ï ï ï ï

̸» ²»© ­»¯«»²½» ¸¿­ ¿ ½±²­¬¿²¬ ¼·ºº»®»²½» ±º ï ¿²¼ ¾»¹·²­ ©·¬¸ ðô ­± º±® ¬¸·­­»¯«»²½» ¬¸» º±®³«´¿ ·­ ² ó ïò

ݱ³¾·²·²¹ ¬¸·­ ©·¬¸ ¬¸» î î² ¹·ª»­

« ² ²² ã õ óî ïî

Û¨¿³°´» ì

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ¿²¼ ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ôìô ïô ðô ïô ìô çô òòò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ²»¨¬ î ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ì ï ð ï ì ç òòò

P í P ï ï í ë

î î î î

Page 45: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìì

ø¾÷ Û¨¬»²¼·²¹ ¬¸» ­»¯«»²½»­ ¿¾±ª» ¹·ª»­ô

ì ï ð ï ì ç ïê îë òòò

P í P ï ï í ë é ç

î î î î î î

ø½÷ ß­ ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ¿®» ½±²­¬¿²¬ ¿²¼ ¿´´ »¯«¿´ ¬± îô ¬¸» º±®³«´¿ ©·´´

½±²¬¿·² ¿² ù ² î ù ¬»®³ô ¿²¼ ¾» ±º ¬¸» º±®³

« ² ¿² ¾² ã õ õî

É» ³«­¬ ²±© ¼»¬»®³·²» ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¿ ¿²¼ ¾ò ̸» »¿­·»­¬ ©¿§ ¬± ¼± ¬¸·­ ·­

¬± ­«¾¬®¿½¬ ² î º®±³ »¿½¸ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô ¬± º±®³ ¿ ²»©ô ­·³°´»®­»¯«»²½»ò

±«® ­»¯«»²½» ì ï ð ï ì ç

­»¯«»²½» ² î ï ì ç ïê îë íê

²»© ­»¯«»²½» í P í P ç P ïë P îï P îé

̸» ²»© ­»¯«»²½»

í P í P ç P ïë P îï P îé òòò

P ê P ê P ê P ê P ê

¸¿­ ½±²­¬¿²¬ º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ ±º P ê ­± ©·´´ ¾» ¹·ª»² ¾§ ó õê² ¾ ò

Ë­·²¹ ¬¸» º·®­¬ ¬»®³ ¹·ª»­ô

í ã ó l õê ï ¾

¾ ã ç

̸«­ ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ­·³°´»® ­»¯«»²½» ·­ ó õê ç² ò

Ò±© ½±³¾·²·²¹ ¬¸·­ ©·¬¸ ¬¸» ² î ¬»®³ ¹·ª»­ô

« ² ²² ã ó õî ê ç

ïðòí

Page 46: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìë

Û¨»®½·­»­ïò ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ê ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¼»º·²»¼ ¾§ô

« ² ²² ã õ õî î ï

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø½÷ Ë­» ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ²»¨¬ î ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

îò ß ­»¯«»²½» ¸¿­ ·¬­ ¹»²»®¿´ ¬»®³ ¼»º·²»¼ ¿­ô

« ² ²² ã ó óè ïî

ø¿÷ ɸ¿¬ ©±«´¼ §±« »¨°»½¬ ¬± ¾» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»á

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ò Ü·¼ §±« ±¾¬¿·² ¬¸»ª¿´«»­ §±« »¨°»½¬»¼á

íò ß ­»¯«»²½» ·­ ´·­¬»¼ ¾»´±©æ

êô çô ïìô îïô íðô ìïô òòò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ìò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ïô éô ïéô íïô ìçô éïô òòò

ø¾÷ êô ïèô íèô êêô ïðîô ïìêô òòò

ø½÷ P ëô ïðô íëô éðô ïïëô ïéðô òòò

ø¼÷ ïô ïðô îëô ìêô éíô ïðêô òòò

ëò ß ­»¯«»²½» ·­ ´·­¬»¼ ¾»´±©æ

îô çô îðô íëô ëìô ééô òòò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸·­ ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ Ú±®³ ¿ ­·³°´»® ­»¯«»²½» ¾§ ­«¾¬®¿½¬·²¹ î î² º®±³ »¿½¸ ¬»®³ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­·³°´»® ­»¯«»²½»ò

ø¼÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ±®·¹·²¿´ ­»¯«»²½»ò

êò ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

êô ïéô íêô êíô çèô ïìïô òòò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

Page 47: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìê

éò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ íô ïéô íçô êçô ïðéô òòò

ø¾÷ ëô ïèô íéô êîô çíô òòò

ø½÷ çô îíô ìëô éëô ïïíô òòò

ø¼÷ P ìô ïîô íèô éìô ïîðô òòò

èò ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»½±²¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

çô ìô P ëô P ïèô P íëô òòò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø½÷ Ø»²½» ­¸±© ¬¸¿¬ ¬¸» î𬸠¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ·­ Pééðò

çò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

êô ïðô ïîô ïîô ïðô êô òòò

ïðò ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ô ­»½±²¼ ¿²¼ ¬¸·®¼ ¼·ºº»®»²½»­ º±® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

êô ïíô íîô êçô ïíðô îîïô òòò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ïïò ̸·­ ·­ ¿ ­»®·»­ ±º °¿¬¬»®²­ ©·¬¸ ¹®»§ ¿²¼ ¾´¿½µ ¬·´»­ò

°¿¬¬»®²²«³¾»®

ï

°¿¬¬»®²²«³¾»®

î °¿¬¬»®²²«³¾»®

í

ø¿÷ ر© ³¿²§ ¹®»§ ¬·´»­ ¿²¼ ¾´¿½µ ¬·´»­ ©·´´ ¬¸»®» ¾» ·² °¿¬¬»®²²«³¾»® è á

ø¾÷ ر© ³¿²§ ¹®»§ ¬·´»­ ¿²¼ ¾´¿½µ ¬·´»­ ©·´´ ¬¸»®» ¾» ·² °¿¬¬»®²²«³¾»® ïê á

ø½÷ ر© ³¿²§ ¹®»§ ¬·´»­ ¿²¼ ¾´¿½µ ¬·´»­ ©·´´ ¬¸»®» ¾» ·² °¿¬¬»®² ²«³¾»® Ð á

ø¼÷ Ì ã ¬±¬¿´ ²«³¾»® ±º ¹®»§ ¬·´»­ ¿²¼ ¾´¿½µ ¬·´»­ ·² ¿ °¿¬¬»®²Ð ã °¿¬¬»®² ²«³¾»®

Ë­» ­§³¾±´­ ¬± ©®·¬» ¼±©² ¿² »¯«¿¬·±² ½±²²»½¬·²¹ Ì ¿²¼ Ðò

øÕ­íñçêñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐî÷

ïðòí

Page 48: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìé

ïðòì Í°»½·¿´ Í»¯«»²½»­Þ»º±®» ¹±·²¹ ±² ¬± ´±±µ ¿¬ ¸¿®¼»® »¨¿³°´»­ô ©» ´·­¬ ­±³» ±º ¬¸» ·³°±®¬¿²¬­»¯«»²½»­ ¬¸¿¬ §±« ­¸±«´¼ µ²±©æ

ïô íô ëô éô çô ïïô ïíô òòò¬¸» ±¼¼ ²«³¾»®­ « ²² ã óî ï

îô ìô êô èô ïðô ïîô ïìô òòò¬¸» »ª»² ²«³¾»®­ « ²² ã î

ïô ìô çô ïëô îëô íêô ìçô òòò

¬¸» ­¯«¿®» ²«³¾»®­ « ²² ã î

ïô èô îéô êìô ïîëô îïêô íìíô òòò

¬¸» ½«¾» ²«³¾»®­ « ²² ã í

ïô íô êô ïðô ïëô îïô îèô òòò

¬¸» ¬®·¿²¹«´¿® ²«³¾»®­ « ² ²² ã õø ÷ï

îï

̸»®» ·­ ±²» ±¬¸»® ·³°±®¬¿²¬ ­»¯«»²½»ô ²¿³»´§ ¬¸» °®·³» ²«³¾»®­

îô íô ëô éô ïïô ïíô ïéô ïçô îíô îçô íïô òòò

Ò±¬»æ ¬¸»®» ·­ ²± º±®³«´¿ º±® ½¿´½«´¿¬·²¹ ¬¸» ²¬¸ °®·³» ²«³¾»®ò

É» ²±© ´±±µ ¿¬ ±¬¸»®ô ¸¿®¼»® ­»¯«»²½»­ ¹»²»®¿¬»¼ ¾§ ¿´¹»¾®¿·½ ®«´»­ò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ïô ïô îô íô ëô èô ïíô òòò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ½¿´½«´¿¬·²¹ ¬¸» ²¬¸ ¬»®³ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ë­» ¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ ¬± »¨¬»²¼ ¬¸» ­»¯«»²½»æ

ï ï î í ë è ïí òòò

ð ï ï î í ë

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» º·®­¬ ¼·ºº»®»²½»­ô ·¹²±®·²¹ ¬¸» º·®­¬ ðô ¿®» ·² º¿½¬ ¬¸» ¿½¬«¿´­»¯«»²½» ·¬­»´ºò ̸»­» ½¿² ¬¸»² ¾» «­»¼ ¬± »¨¬»²¼ ¬¸» ­»¯«»²½»æ

ï ï î í ë è ïí îï íì ëë òòò

ð ï ï î í ë è ïí îï

Page 49: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìè

ø¾÷ Û¿½¸ ¬»®³ ·­ ¬¸» ­«³ ±º ¬¸» ¬©± °®»ª·±«­ ¬»®³­å º±® »¨¿³°´»ô

« « «í î ïã õ

« « «ì í îã õ

É» ½¿² »¨°®»­­ ¬¸·­ ³¿¬¸»³¿¬·½¿´´§ ¿­ô

« « «² ² ²ã õó óï î

̸·­ º±®³«´¿ ½±²²»½¬­ « ² ¬± ¬¸» ¬©± °®»ª·±«­ ¬»®³­ô ®¿¬¸»® ¬¸¿² ² ©¸·½¸ ©»«­»¼ ·² ¬¸» »¿®´·»® ­»½¬·±²­ò ̸·­ ­»¯«»²½» ·­ ¿½¬«¿´´§ ¿ ­°»½·¿´ ­»¯«»²½» ¿²¼·­ ½¿´´»¼ ¬¸» Ú·¾±²¿½½· ­»¯«»²½»ò

Û¨¿³°´» î

̸» º·®­¬ ¬©± ¬»®³­ ±º ¿ ­»¯«»²½» ¿®» ï ¿²¼ îò ̸» ­»¯«»²½» ·­ ¼»º·²»¼ ¿­ô

« « «² ² ²ã õó óî ï î

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ͱ´«¬·±²

Ò±¬» ¬¸¿¬ « ï ïã ¿²¼ « î îã ò

« í ã î î ï« «õ

ã î î ïl õ

ã ë

« ì ã î í î« «õ

ã î ë îl õ

ã ïî

« ë ã î ì í« «õ

ã î ïî ël õ

ã îç

ͱ ¬¸» º·®­¬ ë ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¿®»ô

ïô îô ëô ïîô îç

Û¨¿³°´» í

Ú±® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

êô ïîô îìô ìèô çêô òòò

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ²»¨¬ î ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¿ ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ²¬¸ ¬»®³ò

ïðòì

Page 50: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ìç

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ò±¬» ¬¸¿¬ô ·² ¬¸·­ ­»¯«»²½»ô »¿½¸ ¬»®³ ·­ ¬©·½» ¬¸» °®»ª·±«­ ¬»®³ò

ê ïî îì ìè çê ïçî íèì òòò

l î l î l î l î l î l î

ø¾÷ ݱ²­·¼»® ¸±© »¿½¸ ¬»®³ ·­ º±®³»¼æ

«

«

«

«

ï

îî

íí

ìì

ê í î

ïî í î î í î

îì í î î î í î

ìè í î î î î í î

ã ã l

ã ã l l ã l

ã ã l l l ã l

ã ã l l l l ã l

Ø»²½» ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ©·´´ ¾» « ²²ã lí î ò

̸·­ ­»¯«»²½» ·­ ¿² »¨¿³°´» ±º ¿² »¨°±²»²¬·¿´ ­»¯«»²½»ò

Û¨¿³°´» ì

ݱ²­·¼»® ¬¸» ­»¯«»²½»ô

í

ë

é

è

ïï

ïï

ïë

ïì

ïç

ïéô ô ô ô ô

îí

îðô òòò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ î ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ²¬¸ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ׬ ·­ ¾»­¬ ¬± ½±²­·¼»® ¬¸» ²«³»®¿¬±®­ ¿²¼ ¬¸» ¼»²±³·²¿¬±®­ ­»°¿®¿¬»´§ò

Ú·®­¬ ½±²­·¼»® ¬¸» ­»¯«»²½» ±º ²«³»®¿¬±®­ô

í é ïï ïë ïç îí òòò

ì ì ì ì ì

ß­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬»®³­ ·­ ìô ©» ¸¿ª»

« ² ¿² ã õì

¿²¼ «­·²¹ ¬¸» º·®­¬ ¬»®³ô

í ã ì ïl õ ¿

¿ ã P ï

Ø»²½»« ² ã ì ï² ó

Page 51: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëð

Ò±© ½±²­·¼»® ¬¸» ­»¯«»²½» ±º ¼»²±³·²¿¬±®­ô

ë è ïï ïì ïé îð òòò

í í í í í

ß­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½»­ ¾»¬©»»² ¬»®³­ ·­ íô ©» ¸¿ª»

« ² ã í² ¾õ

¿²¼ô «­·²¹ ¬¸» º·®­¬ ¬»®³ô

ë ã í ïl õ ¾

¾ ã î

Ø»²½»« ² ã í î² õ

ͱ º±® ¬¸» ¹·ª»² ­»¯«»²½» ±º º®¿½¬·±²­ ©» ¸¿ª»ô

«²

²² ã ó

õì ï

í î

Û¨¿³°´» ë

ɸ¿¬ ¸¿°°»²­ ¬± ¬¸» ­»¯«»²½» ¼»º·²»¼ ¾§ô

«²

²² ã ó

õï

ï

¿­ ² ¾»½±³»­ ´¿®¹»® ¿²¼ ´¿®¹»®á

ͱ´«¬·±²

̸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ´·­¬­ ² ¿²¼ « ² º±® ­»ª»®¿´ ª¿´«»­ ±º ²ò

Ú®±³ ¬¸» ¬¿¾´» ·¬ ½¿² ¾» ­»»² ¬¸¿¬ ¬¸» ª¿´«»­ ±º «²

²² ã ó

õï

ï ¹»¬ ´¿®¹»® ¿²¼ ´¿®¹»®

¿­ ² ·²½®»¿­»­ò

ر©»ª»®ô ¬¸» ²«³»®¿¬±® ·­ ¿´©¿§­ ­³¿´´»® ¬¸¿² ¬¸» ¼»²±³·²¿¬±®ô ­± »¿½¸ ª¿´«»« ² ³«­¬ ¾» ­³¿´´»® ¬¸¿² ïò

׬ º±´´±©­ ¬¸¿¬ô ¿­ ² ¹»¬­ ´¿®¹»® ¿²¼ ´¿®¹»®ô ¬¸» ª¿´«»­ ±º « ² ³«­¬ ¹»¬ ½´±­»® ¿²¼½´±­»® ¬± ïò

ïðòì

Page 52: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëï

² «²

²² ã ó

õï

ï« ² ¬± í ¼»½·³¿´ °´¿½»­

ï ð ð

îï

íðòííí

íî

ìðòë

ìí

ëðòê

ëì

êðòêêé

ïðç

ïïðòèïè

îðïç

îïðòçðë

ëðìç

ëïðòçêï

ïððçç

ïðïðòçèð

ëððìçç

ëðïðòççê

ïðððççç

ïððïðòççè

îðððïççç

îððïðòççç

Û¨»®½·­»­ïò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ²»¨¬ ¬¸®»» ¬»®³­ ·² »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ïô íô ìô éô ïïô ïèô òòò

ø¾÷ ìô çô ïíô îîô íëô òòò

ø½÷ï

îô

î

ëô

í

èô

ì

ïïô

ë

ïìô òòò

ø¼÷ ëô ïëô ìëô ïíëô ìðëô òòò

Page 53: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëî

îò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º·®­¬ ê ¬»®³­ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ « « « « «² ² ²ï î ï îð íã ã ã õó óô ô

ø¾÷ « « « « «² ² ²ï î ï îí ì îã ã ã õó óô ô

ø½÷ « « « « «² ² ²ï î ï îê ïð íã ã ã óó óô ô

ø¼÷ « « « « «² ² ²ï î ï îï îã ã ã ló óô ô

íò ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ²»¨¬ í ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ïô ìô ïêô êìô îëêô òòò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ²¬¸ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ìò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ ïëô éëô íéëô ïèéëô çíéëô òòò

ø¾÷ ïô íô çô îéô èïô òòò

ø½÷ îðô îððô îðððô îð ðððô îðð ðððô òòò

ø¼÷ ìô îèô ïçêô ïíéîô çêðìô òòò

ëò ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ïô éô ïíô ïçô îëô íïô òòò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

îô ïðô ïèô îêô íìô ìîô òòò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ô

ï

îô

é

ïðô

ïí

ïèô

ïç

îêô

îë

íìô

íï

ìîô òòò

êò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¬»®³­ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ï

ìô

î

ëô

í

êô

ì

éô

ë

èô òòò

ø¾÷ï

íô

í

ïïô

ë

ïçô

é

îéô

ç

íëô òòò

ø½÷ë

éô

ïì

ïîô

îí

ïéô

íî

îîô

ìï

îéô òòò

ø¼÷ï

ïðô

é

îðô

ïí

ìðô

ïç

èðô

îë

ïêðô òòò

ïðòì

Page 54: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëí

éò Ü»¬»®³·²» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¹»²»®¿´ ¬»®³ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­ô ¿²¼ ¿´­± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ï𬸠¬»®³ ±º »¿½¸ ­»¯«»²½»ò

ø¿÷ ïô ê

éô

ç

ïïô

ì

ëô

ïë

ïçô òòò ø¾÷

ï

ëô

í

ì ïô

è

éô

îï

ïéô òòò

èò ø¿÷ ݱ³°´»¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» º±® «²

²² ã

õî

ïò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ©¸¿¬ ¸¿°°»²­ ¬± « ² ¿­ ² ¾»½±³»­ ´¿®¹»® ¿²¼ ´¿®¹»®ò

çò ݱ³°´»¬» ¬¿¾´»­ ­·³·´¿® ¬± ¬¸» ±²» ·² ¯«»­¬·±² èô º±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­æ

ø¿÷ «²

²² ã óë ï

ø¾÷ «²

²² ã õê ï

ø½÷ «²

²² ã õ

õí ï

ïø¼÷ «

²

²² ã õ ï

î

ݱ³³»²¬ ±² ¬¸» ®»­«´¬­ §±« ±¾¬¿·²ò

ïðò ɸ¿¬ ¼± §±« ¬¸·²µ ©·´´ ¸¿°°»² ¬± »¿½¸ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»­ ¾»´±© ¿­ ²¾»½±³»­ ´¿®¹»á

ø¿÷ «²

²² ã

õì

ïø¾÷ «

²

²² ã õé ï

ø½÷ «²

²² ã

õî ïø¼÷ «

²

²² ã

óì

î ï

Ì»­¬ §±«® °®»¼·½¬·±²­ ©·¬¸ ­±³» ´¿®¹»® ¿²¼ ´¿®¹»® ª¿´«»­ ±º ²ò

² « ² « ² ¬± í ¼»½·³¿´ °´¿½»­

ï

ë

ïð

ëð

ïðð

ëðð

ïððð

îððð

Page 55: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëì

ïïò ø¿÷ Ø»®» ·­ ¿ ²«³¾»® ½¸¿·²æ

î ì ê è ïð ïîr r r r r r̸» ®«´» ·­æ ¿¼¼ ±² î »¿½¸ ¬·³»

ß ¼·ºº»®»²¬ ²«³¾»® ½¸¿·² ·­æ

î ì è ïê íî êìr r r r r rɸ¿¬ ½±«´¼ ¬¸» ®«´» ¾»á

ø¾÷ ͱ³» ²«³¾»® ½¸¿·²­ ­¬¿®¬ ´·µ» ¬¸·­æ

ï ër rÉ®·¬» ¼±©² ¬¸®»» ¼·ºº»®»²¬ ©¿§­ ¬± ½±²¬·²«» ¬¸·­ ²«³¾»® ½¸¿·²ò

Ú±® »¿½¸ ½¸¿·² ©®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ ¬¸®»» ²«³¾»®­ò̸»² ©®·¬» ¼±©² ¬¸» ®«´» §±« ¿®» «­·²¹ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® íóëñÐî÷

ïîò Û¿½¸ ¬»®³ ±º ¿ ²«³¾»® ­»¯«»²½» ·­ ³¿¼» ¾§ ¿¼¼·²¹ ï ¬± ¬¸» ²«³»®¿¬±® ¿²¼  ¬¸» ¼»²±³·²¿¬±® ±º ¬¸» °®»ª·±«­ ¬»®³ò

Ø»®» ·­ ¬¸» ¾»¹·²²·²¹ ±º ¬¸» ²«³¾»® ­»¯«»²½»æ

ï

í

î

ë

í

é

ì

ç

ë

ïïô ô ô ô ô òòò

ø¿÷ É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ²¬¸ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½»ò

ø¾÷ ̸» º·®­¬ º·ª» ¬»®³­ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ¿®» ­¸±©² ±² ¬¸» ¹®¿°¸ò

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòê

ðòë

ðòì

ðòí

¬»®³ ²«³¾»®ï î í ì ëð

̸» ­»¯«»²½» ¹±»­ ±² ¿²¼ ±² º±® »ª»®ò

ɸ·½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ º±«® ¹®¿°¸­ ­¸±©­ ¸±© ¬¸» ­»¯«»²½» ½±²¬·²«»­á

Ù®¿°¸ ï Ù®¿°¸ î

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòìë

ðòí

¬»®³ ²«³¾»®

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòë

ðòí

¬»®³ ²«³¾»®

ïðòì

Page 56: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëë

Ù®¿°¸ í Ù®¿°¸ ì

ª¿´«»±º

¬»®³

ï

ðòí

¬»®³ ²«³¾»®

ª¿´«»±º

¬»®³

ïðð

ðòí

¬»®³ ²«³¾»®

ø½÷ ̸» ²¬¸ ¬»®³ ±º ¿ ¼·ºº»®»²¬ ­»¯«»²½» ·­ ²

² î ïõò

̸» º·®­¬ ¬»®³ ±º ¬¸» ­»¯«»²½» ·­ï

îò

É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²»¨¬ ¬¸®»» ¬»®³­ò

ø¼÷ ̸·­ ²»© ­»¯«»²½» ¿´­± ¹±»­ ±² ¿²¼ ±² º±® »ª»®ò

ɸ·½¸ ±º ¬¸» º±«® ¹®¿°¸­ ¾»´±© ­¸±©­ ¸±© ¬¸» ­»¯«»²½» ½±²¬·²«»­á

Ù®¿°¸ ï Ù®¿°¸ î

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòë

𬻮³ ²«³¾»®

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòë

𬻮³ ²«³¾»®

Ù®¿°¸ í Ù®¿°¸ ì

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòë

𬻮³ ²«³¾»®

ª¿´«»±º

¬»®³

ðòë

𬻮³ ²«³¾»®

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

Page 57: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëê

ïïòï Û¯«¿¬·±²­ô Ú±®³«´¿» ¿²¼ ×¼»²¬·¬·»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ¼·­½«­­ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² »¯«¿¬·±²­ô º±®³«´¿» ¿²¼·¼»²¬·¬·»­ô ¿²¼ ¬¸»² ¹± ±² ¬± ³¿µ» «­» ±º ¬¸»³ò

ß² »¯«¿¬·±² ½±²¬¿·²­ «²µ²±©² ¯«¿²¬·¬·»­å º±® »¨¿³°´»ô

í î ïï¨ õ ã̸·­ »¯«¿¬·±² ½¿² ¾» ­±´ª»¼ ¬± ¼»¬»®³·²» ¨ò

ß º±®³«´¿ ´·²µ­ ±²» ¯«¿²¬·¬§ ¬± ±²» ±® ³±®» ±¬¸»®¯«¿²¬·¬·»­å º±® »¨¿³°´»ô

ß ®ã î

̸·­ º±®³«´¿ ½¿² ¾» «­»¼ ¬± ¼»¬»®³·²» ß º±® ¿²§ ¹·ª»²ª¿´«» ±º ®ò

ß² ·¼»²¬·¬§ ·­ ­±³»¬¸·²¹ ¬¸¿¬ ·­ ¿´©¿§­ ¬®«» º±® ¿²§ ª¿´«»­±º ¬¸» ª¿®·¿¾´»­ ¬¸¿¬ ¿®» ·²ª±´ª»¼å º±® »¨¿³°´»ô

î î î¨ § ¨ §õø ÷ f õ ¿²¼

¨ § ¨ ¨ § §õø ÷ f õ õî î îî

׺ ¿²§ °¿·® ±º ª¿´«»­ ±º ¨ ¿²¼ § ¿®» ­«¾­¬·¬«¬»¼ô ¬¸»² ¬¸»´»º¬ ¸¿²¼ ­·¼» ±º ¿² ·¼»²¬·¬§ ©·´´ ¹»²»®¿¬» ¬¸» ­¿³» ª¿´«»¿­ ¬¸» ®·¹¸¬ ¸¿²¼ ­·¼» ±º ¬¸¿¬ ·¼»²¬·¬§ò

Û¨¿³°´» ï

̸» º±®³«´¿ Ý Úã óø ÷ë

çíî ·­ «­»¼ ¬± ½±²ª»®¬ ¬»³°»®¿¬«®»­ ·² ¼»¹®»»­

Ú¿¸®»²¸»·¬ ¬± ¼»¹®»»­ Ý»´­·«­ò

ø¿÷ ׺ Ú ã ìïô ½¿´½«´¿¬» Ýò

ø¾÷ ׺ Ú ã ïíïô ½¿´½«´¿¬» Ýò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ý ã ë

çìï íîl óø ÷

Ý ã ë

ççl

Ý ã ë

ïï ß´¹»¾®¿·½ Ó¿²·°«´¿¬·±²

Page 58: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëé

ø¾÷ Ý ã ë

çïíï íîl óø ÷

Ý ã ë

çççl

Ý ã ëë

Û¨¿³°´» î

ß º±®³«´¿ ­¬¿¬»­ ¬¸¿¬ ª « ¿¬ã õ ò

Ý¿´½«´¿¬» ª ·º « ¿ ¬ã ã ãïð ê î îðô ò ¿²¼ ò

ͱ´«¬·±²

ɸ»² ­«¾­¬·¬«¬·²¹ ·²¬± »¯«¿¬·±²­ô §±« ²»»¼ ¬± ¾» ¿©¿®» ¬¸¿¬ ¬¸» ÞÑÜÓßÍ ®«´»¿°°´·»­ ¿«¬±³¿¬·½¿´´§ò

ª ã « ¿¬õ

ª ã ïð ê î îðõ lò

ª ã ïð ïîìõª ã ïíì

Û¨¿³°´» í

ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ é îï¨ ã ø¾÷ ¨ ó ãë ïî

ø½÷ î ï ê¨ õ ã ø¼÷ ë è îî¨ ó ã

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ é ¨ ã îï

¨ ã îï

éÜ·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ é

¨ ã í

ø¾÷ ¨ ó ë ã ïî

¨ ã ïî ëõ ß¼¼·²¹ ë ¬± ¾±¬¸ ­·¼»­

¨ ã ïé

ø½÷ î ï¨ õ ã ê

î ¨ ã ê ïó Í«¾¬®¿½¬·²¹ ï º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

î ¨ ã ë

¨ ã ë

îÜ·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ î

¨ ã îï

î

Page 59: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëè

ø¼÷ ë è¨ ó ã îî

ë ¨ ã îî èõ ß¼¼·²¹ è ¬± ¾±¬¸ ­·¼»­

ë ¨ ã íð

¨ ã íð

ëÜ·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ ë

¨ ã ê

Û¨¿³°´» ì

Ѳ» ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¬¿¬»³»²¬­ ·­ ²±¬ ¿² ·¼»²¬·¬§ò ɸ·½¸ ±²»á

ߨ §õ

îf ¨ §

î îõ

Þ ¨ §ó f § ¨ó

Ý ¨ §î îõ f ¨ § ¨ §õø ÷ óî î

ͱ´«¬·±²

ß² ·¼»²¬·¬§ ©·´´ ¾» ¬®«» º±® ¿²§ °¿·® ±º ª¿´«»­ ¨ ¿²¼ §ò É» ½±«´¼ ¬»­¬ »¿½¸­¬¿¬»³»²¬ ©·¬¸ ¨ ã ë ¿²¼ § ã ïð ò

Ô»º¬ó¸¿²¼ó­·¼» ±º ß ã ¨ §õ ã õ ã ãî

ë ïð

î

ïë

îé ëò

η¹¸¬ó¸¿²¼ó­·¼» ±º ß ã ¨ §

î î

ë

î

ïð

îî ë ë é ëõ ã õ ã õ ãò ò

̸»®»º±®» ÔØÍ ±º ß ã ÎØÍ ±º ß ·º ¨ §ã ãë ïð ¿²¼ ò

ÔØÍ ±º Þ ã ¨ §ó ã ó ã óë ïð ë

ÎØÍ ±º Þ ã § ¨ó ã ó ãïð ë ë

̸»®»º±®» ÔØÍ ±º ß g ÎØÍ ±º ß ·º ¨ §ã ãë ïð ¿²¼ ò

ÔØÍ ±º Ý ã ¨ §î î î îë ïð îë ïðð ïîëõ ã õ ã õ ãÎØÍ ±º Ý ã ¨ § ¨ §õø ÷ ó ã õø ÷ ó l l ã óî î îî ë ïð î ë ïð ïë ïðð

ã ó ãîîë ïðð ïîë

̸»®»º±®» ÔØÍ ±º Ý ã ÎØÍ ±º Ý ·º ¨ §ã ãë ïð ¿²¼ ò

ͱ ­¬¿¬»³»²¬ Þ ·­ ²±¬ ¿² ·¼»²¬·¬§ò É» ¸¿ª» ²±¬ °®±ª»¼ ¬¸¿¬ ß ¿²¼ Ý ¿®» ·¼»²¬·¬·»­ô¾«¬ ©» µ²±© ¬¸¿¬ ¬¸»§ ¿®» ¬®«» º±® ½»®¬¿·² ª¿´«»­ ±º ¨ ¿²¼ §ò

ïïòï

Page 60: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ëç

Û¨»®½·­»­ïò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ ì ïî¨ ã ø¾÷ ¨ ó ãë è ø½÷ ¨ õ ãí ç

ø¼÷ ïë îðõ 㨠ø»÷ ¨ ó ãí ç øº÷¨

îéã

ø¹÷ ¨ õ ãé îî ø¸÷ ë íð¨ ã ø·÷¨

ìçã

îò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ î ï ïï¨ õ ã ø¾÷ ì í îï¨ ó ã ø½÷ ë ê ì¨ ó ã

ø¼÷ ë ç îê¨ ó ã ø»÷ ç îï ïðî¨ õ ã øº÷ ïð ë íë¨ ó ã

ø¹÷¨

îí ìõ ã ø¸÷

¨

éç îó ã ø·÷

¨

îí ïïõ ã

ø¶÷ ¨ õ ãê ë øµ÷ ì îð ïð¨ õ ã ø´÷¨

ìç ìõ ã

íò ײ ¬¸·­ ¯«»­¬·±²ô «­» ¬¸» º±®³«´¿ô

Ý Úã óø ÷ë

çíî

Ý¿´½«´¿¬» Ý ·ºæ

ø¿÷ Ú ã éé ø¾÷ Ú ã êè ø½÷ Ú ã ïëè

ìò ײ ¬¸·­ ¯«»­¬·±²ô «­» ¬¸» º±®³«´¿ô

ª « ¿¬ã õÝ¿´½«´¿¬» ª ·ºæ

ø¿÷ « ¿ ¬ã ã ãî í éô ¿²¼

ø¾÷ « ¿ ¬ã ã ãí î ð è ëò ô ò ¿²¼

ø½÷ « ¿ ¬ã ã ãíð ì îîô ¿²¼

ø¼÷ « ¿ ¬ã ã ó ãí ê ð î ìðò ô ò ¿²¼

ëò ̸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¿®»¿ ±º ¿ ¬®¿°»¦·«³ ·­ô

ß ¿ ¾ ¸ã õø ÷ï

î

Ý¿´½«´¿¬» ß ·ºæ

ø¿÷ ¿ ¾ ¸ã ã ãì ïð êô ¿²¼ ø¾÷ ¿ ¾ ¸ã ã ãî ïð ïíô ¿²¼

ø½÷ ¿ ¾ ¸ã ã ãí î î è í îò ô ò ò ¿²¼ ø¼÷ ¿ ¾ ¸ã ã ãì î ë é îô ò ò ¿²¼

¿

¾

¸

Page 61: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êð

ïïòï

êò ׺ ¿ ¾ ½ã ã ã óê é ë îô ò ¿²¼ ô ½¿´½«´¿¬»æ

ø¿÷ ¿ ¾ ½õ õ ø¾÷ ¿¾ ½õ ø½÷ î í¿ ¾õ

ø¼÷ ¿ ¾ ½õ õî í ø»÷ ¿½ øº÷ ¿ ¾î îõ

ø¹÷ ¿ ½î îõ ø¸÷ ¿¾ ¾½õ ø·÷ ¿ ¾ ½óø ÷

éò ß º±®³«´¿ ­¬¿¬»­æ

§ ¨ã óì ë

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» § ·º ¨ ã íò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¨ ·º § ã îíò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¨ ·º § ã è ò

èò ̸» ³»¿² ±º ¬¸®»» ²«³¾»®­ ·­ ½¿´½«´¿¬»¼ «­·²¹ ¬¸» º±®³«´¿ô

³¨ § ¦ã õ õ

í

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ³ ·º ¨ § ¦ã ã ãè ïé îô ¿²¼ ò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¨ ·º ³ § ¦ã ã ãë ê éô ¿²¼ ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¦ ·º ³ ¨ §ã ã ãïè ïç îðô ¿²¼ ò

çò Ë­» ¬¸» º±®³«´¿ Ý Úã óø ÷ë

çíî ¬± ¼»¬»®³·²» Ú ©¸»²æ

ø¿÷ Ý ã ïðð ø¾÷ Ý ã êð ø½÷ Ý ã ð

ïðò ɸ·½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¬¿¬»³»²¬­ ¿®» ²±¬ ·¼»²¬·¬·»­á

ߨ

§f §

¨

Þ ¨ §l f § ¨l

Ý ¨ §óø ÷ î f § ¨óø ÷ î

Ü ¿ ¾õø ÷ î f ¿ ¾óø ÷ î

Û î ¨ § f ¨ § ¨ §õø ÷ ó óî î î

Page 62: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êï

ïïò Ö»²²§ ·­ ¸±´¼·²¹ ¿ ®±© ±º ½«¾»­ò

DZ« ½¿²²±¬ ­»» »¨¿½¬´§ ¸±© ³¿²§ ½«¾»­ ­¸» ·­ ¸±´¼·²¹ò

Ý¿´´ ¬¸» ²«³¾»® ±º ½«¾»­ ­¸» ·­ ¸±´¼·²¹ ²ò

ø¿÷ ͸» ¶±·²­ ±² ¬©± ³±®» ½«¾»­ò

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ¬±¬¿´ ²«³¾»® ±º ½«¾»­ ­¸» ·­ ¸±´¼·²¹ ²±©ò

ø¾÷ Ö»²²§ ­¬¿®¬­ ¿¹¿·² ©·¬¸ ² ½«¾»­ò

Ѳ» ½«¾» ·­ ®»³±ª»¼ò

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ²«³¾»® ±º ½«¾»­ ­¸» ·­ ¸±´¼·²¹ ²±©ò

ø½÷ Ö»²²§ ­¬¿®¬­ ¿¹¿·² ©·¬¸ ² ½«¾»­ò

ß²±¬¸»® ®±© ±º ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ ·­ ¶±·²»¼ ±²ò

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ¬±¬¿´ ²«³¾»® ±º ½«¾»­ ­¸» ·­ ¸±´¼·²¹ ²±©ò

ø¼÷ Ö¿½±¾ ¿´­± ¸¿­ ­±³» ½«¾»­ ·² ¸·­ ¸¿²¼­ò

ײ ±²» ¸¿²¼ ¬¸»®» ¿®» î ï² ó ò

ײ ¬¸» ±¬¸»® ¸¿²¼ ¬¸»®» ¿®» î ï² óø ÷ ½«¾»­ò

×­ Ö¿½±¾ ¸±´¼·²¹ ¬¸» ­¿³» ²«³¾»® ±º ½«¾»­ ·² »¿½¸ ¸¿²¼áÛ¨°´¿·² §±«® ¿²­©»®ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

±²» ½«¾»®»³±ª»¼

¿²±¬¸»® ®±©¶±·²»¼ ±²

Page 63: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êî

ïïòï

ïîò ø¿÷ Û´·² ¸¿­ ¿ ¾¿¹ ±º ³¿®¾´»­ò

DZ« ½¿²²±¬ ­»» ¸±© ³¿²§ ³¿®¾´»­¿®» ·²­·¼» ¬¸» ¾¿¹ò

Ý¿´´ ¬¸» ²«³¾»® ±º ³¿®¾´»­ ©¸·½¸Û´·² ­¬¿®¬­ ©·¬¸ ·² ¸»® ¾¿¹ ²ò

Û´·² °«¬­ ë ³±®» ³¿®¾´»­ ·²¬± ¸»® ¾¿¹ò

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² ¬± ­¸±© ¬¸» ¬±¬¿´²«³¾»® ±º ³¿®¾´»­ ·² Û´·²ù­ ¾¿¹ ²±©ò

ø¾÷ οª· ¸¿­ ¿²±¬¸»® ¾¿¹ ±º ³¿®¾´»­ò

Ý¿´´ ¬¸» ²«³¾»® ±º ³¿®¾´»­ ©¸·½¸Î¿ª· ­¬¿®¬­ ©·¬¸ ·² ¸·­ ¾¿¹ ¬ò

οª· ¬¿µ»­ î ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º ¸·­ ¾¿¹ò

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² ¬± ­¸±© ¬¸» ¬±¬¿´²«³¾»® ±º ³¿®¾´»­ ·² οª·ù­ ¾¿¹ ²±©ò

ø½÷ Ö·´´ ¸¿­ í ¾¿¹­ ±º ³¿®¾´»­ò

Û¿½¸ ¾¿¹ ¸¿­ ° ³¿®¾´»­ ·²­·¼»ò

Ö·´´ ¬¿µ»­ ­±³» ³¿®¾´»­ ±«¬ò

Ò±© ¬¸» ¬±¬¿´ ²«³¾»® ±º ³¿®¾´»­ ·² Ö·´´ù­ í ¾¿¹­ ·­ í ê° ó ò

ͱ³» ±º ¬¸» ­¬¿¬»³»²¬­ ¾»´±© ½±«´¼ ¾» ¬®«»òÉ®·¬» ¼±©² ¬¸» ´»¬¬»® ±º »¿½¸ ­¬¿¬»³»²¬ ©¸·½¸ ½±«´¼ ¾» ¬®«»ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

ß Ö·´´ ¬±±µ î ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º ±²» ±º ¬¸»¾¿¹­ô ¿²¼ ²±²» ±«¬ ±º ¬¸» ±¬¸»® ¾¿¹­ò

Þ Ö·´´ ¬±±µ î ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º »¿½¸ ±º¬¸» ¾¿¹­ò

Ý Ö·´´ ¬±±µ í ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º ±²» ±º ¬¸»¾¿¹­ô ¿²¼ ²±²» ±«¬ ±º ¬¸» ±¬¸»® ¾¿¹­ò

Ü Ö·´´ ¬±±µ í ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º »¿½¸ ±º ¬©± ±º¬¸» ¾¿¹­ô ¿²¼ ²±²» ±«¬ ±º ¬¸» ±¬¸»® ¾¿¹ò

Û Ö·´´ ¬±±µ ê ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º ±²» ±º ¬¸» ¾¿¹­¿²¼ ²±²» ±«¬ ±º ¬¸» ±¬¸»® ¾¿¹­ò

Ú Ö·´´ ¬±±µ ê ³¿®¾´»­ ±«¬ ±º »¿½¸ ±º ¬©± ±º¬¸» ¾¿¹­ô ¿²¼ ²±²» ±«¬ ±º ¬¸» ±¬¸»® ¾¿¹ò

Page 64: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êí

ïíò ײ ¬¸»­» ©¿´´­ »¿½¸ ¾®·½µ ·­ ³¿¼» ¾§ ¿¼¼·²¹ ¬¸» ¬©± ¾®·½µ­ «²¼»®²»¿¬¸ ·¬ò

¿

¿ õ ¾

¾

ø¿÷ É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ¬±° ¾®·½µ ·² ¬¸·­ ©¿´´òÉ®·¬» §±«® »¨°®»­­·±² ¿­ ­·³°´§ ¿­ °±­­·¾´»ò

³ ²

² õ °³ õ ²

°

òòòòòòòòòòòòòòò

ø¾÷ Ó¿µ» ¿ ½±°§ ±º ¬¸» ©¿´´­ ­¸±©² ¾»´±© ¿²¼ º·´´ ·² ¬¸» ³·­­·²¹»¨°®»­­·±²­òÉ®·¬» §±«® »¨°®»­­·±²­ ¿­ ­·³°´§ ¿­ °±­­·¾´»ò

¸ ¸

òòòòòòòòòòòòòòò

ì ¸ ó ï

òòòòòòòòòòòòòòò

¸ ó ï

òòòòòòòòòòòòòòò

òòòòòòòòòòòòòòò

í¬ õ ê « î « ó í ¬

î « ó í¬

ø½÷ ײ ¬¸» ©¿´´ ¾»´±©ô ¸ô ¶ ¿²¼ µ ½¿² ¾» ¿²§ ©¸±´» ²«³¾»®­ò

Û¨°´¿·² ©¸§ ¬¸» ¬±° ¾®·½µ ±º ¬¸» ©¿´´ ³«­¬ ¿´©¿§­ ¾» ¿² »ª»² ²«³¾»®ò

DZ« ½¿² ½±°§ ¬¸» ©¿´´ ¿²¼ º·´´ ·² ¬¸» ³·­­·²¹ »¨°®»­­·±²­ ·º §±« ©¿²¬ ¬±ò

òòòòòòòòòòòòòòò

òòòòòòòòòòòòòòò

î ¸ î µ¶

òòòòòòòòòòòòòòò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

Page 65: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êì

ïïòî Í·³°´·º§·²¹ Û¨°®»­­·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ ¸±© ¬± ­·³°´·º§ »¨°®»­­·±²­ô ·² °¿®¬·½«´¿®ô ¸±© ¬±®»³±ª» ¾®¿½µ»¬­ º®±³ ¾±¬¸ º±®³«´¿» ¿²¼ »¯«¿¬·±²­ò

ݱ´´»½¬·²¹ ´·µ» ¬»®³­

Û¨¿³°´»­

¿ ¿ ¿õ õ ã í¿

¿ ¾ ¿õ õ ã î ¿ ¾õ

î è§ §õ ã ïð §

¨ ¨ ¨õ õî î ã ¨ ¨õ î î

Ѳ´§ ´·µ» ¬»®³­ ½¿² ¾» ½±´´»½¬»¼

Û¨¿³°´» ï

Í·³°´·º§ ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ô

ø¿÷ ì î í ê¿ ¾ ¿ ¾õ õ õ ø¾÷ í ì î¨ § ¨ §ó õ ó

ø½÷ ¨ ¨ ¨ ¨î îì îõ õ ó ø¼÷ ì î íî î¿ ¿ ¿ ¿õ õ ó

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ì î í ê é è¿ ¾ ¿ ¾ ¿ ¾õ õ õ ã õ ø¾÷ í ì î ë ë¨ § ¨ § ¨ §ó õ ó ã ó

ø½÷ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨î î îì î í íõ õ ó ã õ ø¼÷ ì í ê îî î î¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿õ õ ó ã ó

Û¨°¿²¼·²¹ Þ®¿½µ»¬­

Ûª»®§ ¬»®³ ·² »¿½¸ ¾®¿½µ»¬ ³«­¬ ¾» ³«´¬·°´·»¼¾§ »ª»®§ ±¬¸»® ·¬»³ò

¨ ¨ì îõø ÷ ã ¨ ¨ ¨l õ lì î

ã ì îî¨ ¨õ

¨ ¨õø ÷ õø ÷ï ì ã ¨ ¨ ¨ ¨l õ l õ l õ lì ï ï ì

ã ¨ ¨ ¨î ì ìõ õ õ

ã ¨ ¨î ë ìõ õ

ß´¬»®²¿¬·ª»´§ô §±« ½¿² »¨°¿²¼ ¾®¿½µ»¬­ «­·²¹¬¸» ù¾±¨ù ³»¬¸±¼ô ¿­ ­¸±©² ±°°±­·¬»ò

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨õø ÷ õø ÷ ã õ õ õ ã õ õï ì ï ì ì ë ìî î

l ¨ õï

¨ ¨ î õï¨

õ ì õ ì ¨ õ ì

Page 66: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êë

Û¨¿³°´» î

Û¨°¿²¼ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹æ

ø¿÷ î í¨ õø ÷ ø¾÷ ì î ê¨ óø ÷ø½÷ ¨ ¨ õø ÷î ø¼÷ î í î¨ ¨ óø ÷

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ î í¨ õø ÷ ã î î íl õ l¨

ã î ê¨ õ

ø¾÷ ì î ê¨ óø ÷ ã ì î ì êl ó l¨

ã è îì¨ ó

ø½÷ ¨ ¨ õø ÷î ã ¨ ¨ ¨l õ l î

ã ¨ ¨î îõ

ø¼÷ î í î¨ ¨ óø ÷ ã î í î î¨ ¨ ¨l ó l

ã ê ìî¨ ¨ó

Û¨¿³°´» í

Û¨°¿²¼ô

ø¿÷ ¨ ¨õø ÷ õø ÷ê í ø¾÷ ¨ ¨õø ÷ óø ÷ì î ë

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ¨ ¨õø ÷ õø ÷ê í ã ¨ ¨ ¨ ¨l õ l õ l õ lí ê ê í

ã ¨ ¨ ¨î í ê ïèõ õ õ

ã ¨ ¨î ç ïèõ õ

±® ¿´¬»®²¿¬·ª»´§ô «­·²¹ ¬¸» ¾±¨ ³»¬¸±¼ô

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨õø ÷ õø ÷ ã õ õ õ ã õ õê í ê í ïè ç ïèî î

ø¾÷ ¨ ¨õø ÷ óø ÷ì î ë ã ¨ ¨ ¨ ¨l ó l õ l ó lî ë ì î ì ë

ã î ë è îðî¨ ¨ ¨ó õ ó

ã î í îðî¨ ¨õ ó

l ¨ õê

¨ ¨ î õê ¨

õí õí¨ õïè

Page 67: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êê

ß¹¿·²ô «­·²¹ ¬¸» ¾±¨ ³»¬¸±¼ô

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨õø ÷ óø ÷ ã õ ó ó ã õ óì î ë î è ë îð î í îðî î

Û¨»®½·­»­ïò Í·³°´·º§ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¾§ ½±´´»½¬·²¹ ´·µ» ¬»®³­æ

ø¿÷ ì ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷

¿ ¾ ¿ ¾ ½ ¾ ½

¿ ¾ ¿ ¾ ° ¯ ° ¯

¨ § ¨ § ¨ § ¦ § ¦

¨ § ¨ § § ¦ § ¦ §

õ õ õ õ õ

õ ó õ õ ó õ

ó õ õ õ õ ó õ

ó ó ó õ ó õ õ

î ì î ê í

ì ë î ïì ïï è í

ê ì è ç ïï è í î ì

ïê è í ì ïï ïî ïð ì î

îò Í·³°´·º§ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

í í ì ì ì î í

í î ê ïî ç í

î î î î

î î î î

¨ ¨ ¨ ¨ § § § §

¿ ¿ ¿ ¿ ¨ ¨ ¨ ¨

õ õ ó õ ó õ

õ õ ó õ ó õ

íò Û¨°¿²¼ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ ¾§ ³«´¬·°´§·²¹ ±«¬ ¬¸» ¾®¿½µ»¬­æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

í ê ì î í ï

ì î ë ê í ë é î ë

ê ì î è í ë ç ë ïð

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

õø ÷ õø ÷ óø ÷

õø ÷ óø ÷ óø ÷

óø ÷ óø ÷ õø ÷

ìò Í·³°´·º§ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

î í ì ì ë ê î í

ì ê é î ï ïï î ì é í

è ê ì é í ì ë ê í î

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ õ õø ÷ óø ÷ õ õø ÷

óø ÷ õ õø ÷ óø ÷ õ õø ÷

óø ÷ õ óø ÷ óø ÷ õ óø ÷

ëò Û¨°¿²¼ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ ¾§ ³«´¬·°´§·²¹ ±«¬ ¬¸» ¾®¿½µ»¬­æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ õø ÷ óø ÷

óø ÷ õø ÷ óø ÷

óø ÷ õø ÷ óø ÷

í ê ï í î

î ì ê î ì ë í é

ïï í ïì î í ê ì î

ïïòî

l ¨ õ ì

î ¨ î î¨ õè ¨

óë óë ¨ óîð

Page 68: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êé

êò Û¨°¿²¼ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ ¾§ ³«´¬·°´§·²¹ ±«¬ ¬¸» ¾®¿½µ»¬­æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ õø ÷ õø ÷ õø ÷ õø ÷ õø ÷

õø ÷ óø ÷ óø ÷ õø ÷ óø ÷ õø ÷

óø ÷ óø ÷ óø ÷ óø ÷ óø ÷ óø ÷

ì í î ì ï ë

ê ï ì î í î

ì ë í î é ç

éò Í·³°´·º§ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­æ

ø¿÷

ø¾÷

ø½÷

ø¼÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ õø ÷ õ õø ÷ õø ÷

õø ÷ õø ÷ õ óø ÷ õø ÷

õø ÷ õø ÷ ó óø ÷ õø ÷

óø ÷ óø ÷ ó óø ÷ óø ÷

î ì ï î

í é ï ë

ê î î í

ì è ï ç

èò Û¨°¿²¼ »¿½¸ »¨°®»­­·±²æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

î ï í î ì é î ï

í ë î è ì ë í è

è î í í ê ë í é

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ õø ÷ óø ÷ õø ÷

õø ÷ óø ÷ õø ÷ óø ÷

õø ÷ óø ÷ óø ÷ óø ÷

çò Í·³°´·º§æ

ø¿÷

ø¾÷

ø½÷

í î ë ç ì î í ë

ì ê ë ï î í í ï

ê ë ï î é í ë

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ õø ÷ õ óø ÷ óø ÷

õø ÷ õø ÷ ó õø ÷ õø ÷

óø ÷ õø ÷ ó õø ÷ óø ÷

ïðò Û¨°¿²¼æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

ø¶÷ øµ÷ ø´÷

ø³÷ ø²÷ ø±÷

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

õø ÷ óø ÷ õø ÷

õø ÷ óø ÷ óø ÷

õø ÷ óø ÷ õø ÷

õø ÷ óø ÷ õø ÷

õø ÷ óø ÷ óø ÷

ï î í

ë é è

ïð ïî ì

î í ì é í î

ì ï ë î ê ì

î î î

î î î

î î î

î î

î î î

Page 69: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êè

ïïò Û¨°¿²¼æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

õø ÷ óø ÷ õø ÷ óø ÷

õø ÷ óø ÷ õø ÷ óø ÷

õø ÷ óø ÷ õø ÷ óø ÷

õø ÷ óø ÷ õø ÷ óø ÷

ï ï í í

é é ç ç

ïî ïî î ï î ï

í î í î ì é ì é

ïîò Û¨°¿²¼æ

ø¿÷ ¨ õø ÷ï í ø¾÷ î ï í¨ õø ÷ ø½÷ ¨ óø ÷ë í

ïíò Ø»®» ¿®» ­±³» ¿´¹»¾®¿ ½¿®¼­æ

² õ î² h î

² ó î

²

² í

² î

î ²

î õ ²

² õ ²î ² ó ²

ø¿÷ Ѳ» ±º ¬¸» ½¿®¼­ ©·´´ ¿´©¿§­ ¹·ª» ¬¸» ­¿³» ¿²­©»® ¿­ ²î ò

ɸ·½¸ ½¿®¼ ·­ ·¬á

ø¾÷ Ѳ» ±º ¬¸» ½¿®¼­ ©·´´ ¿´©¿§­ ¹·ª» ¬¸» ­¿³» ¿²­©»® ¿­ ² l ² ò

ɸ·½¸ ½¿®¼ ·­ ·¬á

ø½÷ Ì©± ±º ¬¸» ½¿®¼­ ©·´´ ¿´©¿§­ ¹·ª» ¬¸» ­¿³» ¿²­©»® ¿­ î l ² ò

ɸ·½¸ ½¿®¼­ ¿®» ¬¸»§á

ø¼÷ É®·¬» ¿ ²»© ½¿®¼ ©¸·½¸ ©·´´ ¿´©¿§­ ¹·ª» ¬¸» ­¿³» ¿²­©»® ¿­

í ² õ î ² ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

ïïòî

é

Page 70: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

êç

ïìò ø¿÷ ø·÷ ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ ®»½¬¿²¹´» ïè ½³ ´±²¹ ¿²¼ ïì ½³ ©·¼»ò׬ ¸¿­ ¾»»² ­°´·¬ ·²¬± º±«® ­³¿´´»® ®»½¬¿²¹´»­ô ßô Þô Ý ¿²¼ ÜòÉ®·¬» ¼±©² ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ­³¿´´ ®»½¬¿²¹´»­ò

Ѳ» ¸¿­ ¾»»² ¼±²» º±® §±«ò

ïð ½³ è ½³

ì ½³

ïð ½³ ß Þ

Ý Ü

ß®»¿ ±º 뽬¿²¹´» Ý ã ìð ½³ î ò

ø··÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ©¸±´» ®»½¬¿²¹´»á

ø···÷ ɸ¿¬ ·­ ïè ïìl á

ø¾÷ ø·÷ ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ ®»½¬¿²¹´» ² õø ÷í ½³ ´±²¹ ¿²¼

² õø ÷î ½³ ©·¼»ò׬ ¸¿­ ¾»»² ­°´·¬ ·²¬± º±«® ­³¿´´»® ®»½¬¿²¹´»­òÉ®·¬» ¼±©² ¿ ²«³¾»® ±® ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ­³¿´´®»½¬¿²¹´»ò

Ѳ» ¸¿­ ¾»»² ¼±²» º±® §±«ò

² ½³ í ½³

î ½³

² ½³ Û Ú

Ù Ø

ß®»¿ ±º 뽬¿²¹´» Ú ã í² ½³ î ò

ø··÷ ɸ¿¬ ·­ ² ²õø ÷ õø ÷í î ³«´¬·°´·»¼ ±«¬áøÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

Page 71: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éð

ïëò Ó«´¬·°´§ ±«¬ ¿²¼ ­·³°´·º§ ¬¸»­» »¨°®»­­·±²­æ

ø¿÷ í î î ì í¨ ¨óø ÷ ó óø ÷ø¾÷ ¨ ¨õø ÷ õø ÷î í

ø½÷ ¨ ¨õø ÷ óø ÷ì ï

ø¼÷ ¨ óø ÷î î

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïêò ß ²«³¾»® ¹®·¼ ·­ ·²­·¼» ¿ ´¿®¹» ¬®·¿²¹´»ò̸» ­³¿´´ ¬®·¿²¹´»­ ¿®» ²«³¾»®»¼ ½±²­»½«¬·ª»´§ò

̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸» º·®­¬ ì ®±©­ò

ïí

ï

î í ì

êë é è ç

ïð ïï ïî ïì ïë ïê

®±© ï

®±© î

®±© í

®±© ì

ø¿÷ ß² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ´¿­¬ ²«³¾»® ·² ®±© ² ·­ ² î ò ®±© ²² î

É®·¬» ¿² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» ´¿­¬ ¾«¬ ±²» ²«³¾»®·² ®±© ²ò

ø¾÷ ß² »¨°®»­­·±² º±® ¬¸» º·®­¬ ²«³¾»® ·² ®±© ² ·­ ² ²î î îó õ ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ¬¸» º·®­¬ ²«³¾»® ·² ®±© ïðò

ø½÷ Ó¿µ» ¿ ½±°§ ±º ¬¸» ¬¿¾´» ¿²¼ ½±³°´»¬» ·¬ ¾§ ©®·¬·²¹ ¿² »¨°®»­­·±²æ

ø¼÷ Ó¿µ» ¿ ½±°§ ±º ¬¸» ¬¿¾´» ¿²¼ ½±³°´»¬» ·¬ ¾§ ©®·¬·²¹ ¿² »¨°®»­­·±²æ

ø»÷ Ó«´¬·°´§ ±«¬ ¿²¼ ­·³°´·º§ ¬¸» »¨°®»­­·±² ² ²õø ÷ ó õø ÷ õï ï ïî ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïïòî

á ®±© ²² î

º·®­¬ ²«³¾»® ·² ®±© ² ² ²î î îó õ

­»½±²¼ ²«³¾»® ·² ®±© ²

½»²¬®» ²«³¾»® ·² ®±© ² ² ²î ïó õ

½»²¬®» ²«³¾»® ·² ®±© òòòòòòòòò ² ²õø ÷ ó õø ÷ õï ï ïî

Page 72: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éï

ïïòí Ú¿½¬±®·­·²¹×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½±²­·¼»® »¨¿³°´»­ ±º ¬¸» °®±½»­­ ±º º¿½¬±®·­·²¹ô ©¸»®»¾§ ¬¸»°®±½»­­ ±º ®»³±ª·²¹ ¾®¿½µ»¬­ ·­ ®»ª»®­»¼ ¿²¼ ¾®¿½µ»¬­ ¿®» ·²¬®±¼«½»¼ ·²¬±»¨°®»­­·±²­ò

Û¨¿³°´» ï

Ú¿½¬±®·­»æø¿÷ è ïî¨ õ ø¾÷ íë îè¨ õ

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ò±¬» ¬¸¿¬ ¾±¬¸ ¬»®³­ ¿®» ³«´¬·°´»­ ±º ìô ­± ©» ½¿² ©®·¬»ô

è ïî ì î í¨ ¨õ ã õø ÷ø¾÷ Ø»®» ¾±¬¸ ¬»®³­ ¿®» ³«´¬·°´»­ ±º éô ­±

íë îè é ë ì¨ ¨õ ã õø ÷λ­«´¬­ ´·µ» ¬¸·­ ½¿² ¾» ½¸»½µ»¼ ¾§ ³«´¬·°´§·²¹ ±«¬ ¬¸» ¾®¿½µ»¬ ¬± ¹»¬ ¾¿½µ ¬± ¬¸»±®·¹·²¿´ »¨°®»­­·±²ò

Û¨¿³°´» î

Ú¿½¬±®·­»ô

ø¿÷ ¨ ¨î îõ ø¾÷ í çî¨ ¨ó ø½÷ ¨ ¨í îó

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ø»®»ô ¿­ ¾±¬¸ ¬»®³­ ¿®» ³«´¬·°´»­ ±º ¨ô ©» ½¿² ©®·¬»ô

¨ ¨ ¨ ¨î î îõ ã õø ÷ø¾÷ ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ¾±¬¸ ¬»®³­ ¿®» ³«´¬·°´»­ ±º ¨ ¿²¼ íô ¹·ª·²¹ô

í ç í íî¨ ¨ ¨ ¨ó ã óø ÷

ø½÷ ײ ¬¸·­ »¨¿³°´»ô ¾±¬¸ ¬»®³­ ¿®» ³«´¬·°´»­ ±º ¨ î ô

¨ ¨ ¨ ¨í î î ïó ã óø ÷ͱ³»¬·³»­ ·¬ ·­ °±­­·¾´» ¬± º¿½¬±®·­» ·² ­¬¿¹»­ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·² °¿®¬ ø¾÷ô §±« ½±«´¼¸¿ª» ©±®µ»¼ ´·µ» ¬¸·­æ

í ç í í

í í

î î¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨

ó ã óø ÷ã óø ÷

Û¨¿³°´» í

Ú¿½¬±®·­»æ

ø¿÷ ¨ ¨î ç ïèõ õ ø¾÷ ¨ ¨î î ïëõ ó ø½÷ ¨ ¨î é ïîó õ

Page 73: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éî

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸·­ »¨°®»­­·±² ©·´´ ²»»¼ ¬± ¾» º¿½¬±®·­»¼ ·²¬± ¬©± ¾®¿½µ»¬­æ

¨ ¨ ¨ ¨î ç ïèõ õ ã ø ÷ ø ÷

ß­ ¬¸» »¨°®»­­·±² ¾»¹·²­ ¨ î ô ¾±¬¸ ¾®¿½µ»¬­ ³«­¬ ¾»¹·² ©·¬¸ ¨ò ̸» ¬©±²«³¾»®­ ¬± ¹± ·² ¬¸» ¾®¿½µ»¬­ ³«­¬ ³«´¬·°´§ ¬±¹»¬¸»® ¬± ¹·ª» ïè ¿²¼ ¿¼¼ ¬±¹·ª» çò ͱ ¬¸»§ ³«­¬ ¾» í ¿²¼ êô ¹·ª·²¹ô

¨ ¨ ¨ ¨î ç ïè í êõ õ ã õø ÷ õø ÷DZ« ½¿² ½¸»½µ ¬¸·­ ®»­«´¬ ¾§ ³«´¬·°´§·²¹ ±«¬ ¬¸» ¾®¿½µ»¬­ò

ø¾÷ É» ²±¬» º·®­¬ ¬¸¿¬ ¬©± ¾®¿½µ»¬­ ¿®» ²»»¼»¼ ¿²¼ ¬¸¿¬ ¾±¬¸ ³«­¬ ½±²¬¿·² ¿² ¨ô¿­ ­¸±©²æ

¨ ¨ ¨ ¨î î ïëõ ó ã ø ÷ ø ÷Ì©± ±¬¸»® ²«³¾»®­ ¿®» ²»»¼»¼ ©¸·½¸ô ©¸»² ³«´¬·°´·»¼ ¹·ª» P ïë ¿²¼ ©¸»²¿¼¼»¼ ¹·ª» îò ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ¬¸»­» ¿®» P í ¿²¼ ëò ͱ ¬¸» º¿½¬±®·­¿¬·±² ·­ô

¨ ¨ ¨ ¨î î ïë í ëõ ó ã óø ÷ õø ÷ݸ»½µ ¬¸·­ ®»­«´¬ ¾§ ³«´¬·°´§·²¹ ±«¬ ¬¸» ¾®¿½µ»¬­ò

ø½÷ ß¹¿·²ô ©» ¾»¹·² ¾§ ²±¬·²¹ ¬¸¿¬ô

¨ ¨ ¨ ¨î é ïîó õ ã ø ÷ ø ÷É» ®»¯«·®» ¬©± ²«³¾»®­ ©¸·½¸ô ©¸»² ³«´¬·°´·»¼ ¹·ª» ïî ¿²¼ ©¸»² ¿¼¼»¼¹·ª» P éò ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ¬¸»­» ²«³¾»®­ ¿®» P í ¿²¼ P ìò

¨ ¨ ¨ ¨î é ïî í ìó õ ã óø ÷ óø ÷

Û¨»®½·­»­ïò Ú¿½¬±®·­»æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

ì î ê ïî ë îð

ì íî ê è è ïî

îï ïì ïë îð íð ïð

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

ó ó ó

õ ó ó

ó õ ó

îò Ú¿½¬±®·­»æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

î î î

î î î

î î î

ì í ì

ê è ç ïë é îï

îè íë ê ïì ë í

õ ó ó

õ õ ó

ó ó ó

ïïòí

Page 74: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éí

íò Ú¿½¬±®·­»æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

í î î í í î

í î î í í î

î í í î í î

î ì î

è ì ïê íê ì îî

ïê ê ïì îï îè ìç

õ ó ó

õ ó õ

ó õ ó

ìò ø¿÷ Û¨°¿²¼ ¨ ¨õø ÷ óø ÷ë ë ò

ø¾÷ Ú¿½¬±®·­» ¨ î îëó ò

ø½÷ Ú¿½¬±®·­» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹æ

ø·÷ ¨ î ìçó ø··÷ ¨ î êìó ø···÷ ¨ î ïððó

ø·ª÷ ¨ ¿î îó øª÷ ¨ ¾î îìó

ëò Ú¿½¬±®·­»æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

î î î

î î î

î î î

é ïî è é ïï ïè

ïî îé ïé éð ê è

ïê îè ïè éé ïê êí

õ õ õ õ õ õ

õ õ õ õ õ õ

õ õ õ õ õ õ

êò Ú¿½¬±®·­»æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

î î î

î î î

î î î

î îð ïî

ïí íê ïð ïê ìî

ïí íð ïé éî î çç

õ ó õ ó ó ó

ó õ ó õ õ ó

õ ó ó õ ó ó

éò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ­¸±©² ·­

¨ ¨î ëó ò

Û¨°®»­­ ¿ ·² ¬»®³­ ±º ¨ò

èò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ­¸±©² ·­

¨ ¨î ïï íðõ õ ò

Û¨°®»­­ ¿ ·² ¬»®³­ ±º ¨ò

¿

¨

¨ õ êø ÷

¿

Page 75: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éì

çò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©² ·­

ï

î

í

îëî¨ ¨õ ó ò

Û¨°®»­­ ¸ ·² ¬»®³­ ±º ¨ò

ïðò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ¬®¿°»¦·«³ ­¸±©² ·­

ï

îïð ïèî¨ ¨õ õ ò

Ü»¬»®³·²» ¿ò

ïïòì Ë­·²¹ Ú±®³«´¿»×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ³¿µ» «­» ±º º±®³«´¿» ¿²¼ ¼»ª»´±° ­·³°´» º±®³«´¿» ±«®­»´ª»­òÚ·®­¬ ©» ¾»¹·² ©·¬¸ ­±³» ®»ª·­·±² ±º ©±®µ·²¹ ©·¬¸ ²»¹¿¬·ª» ²«³¾»®­ò

Û¨¿³°´» ï

׺ ¿ ¾ ½ ¼ã ã ó ã ó ãê ë é íô ô ¿²¼ ô ½¿´½«´¿¬»æ

ø¿÷ ¿ ½õ ø¾÷ ¿ ¾ó ø½÷ ¾½ ø¼÷ ¾ ½ ¼î õ

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ¿ ½õ ã ê éõ óø ÷ã ê éóã P ï

ø¾÷ ¿ ¾ó ã ê ëó óø ÷ã ê ëõã ïï

ø½÷ ¾½ ã óø ÷ l óø ÷ë é

ã íë

ø¼÷ ¾ ½ ¼î õ ã óø ÷ õ óø ÷ lë é íî

ã îë îïõ óø ÷ã îë îïóã ì

ïïòí

¸

¨ ó î

¿

¨ õ è

¨ õ îø ÷

Page 76: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éë

Û¨¿³°´» î

ß ¬®·¿²¹´» ¸¿­ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ ¨ô ¨ õ ì ¿²¼ ¨ õ èô¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» °»®·³»¬»®ô °ô±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ©¸»² ¨ ã ïð ò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¨ ©¸»² ¬¸» °»®·³»¬»® ·­ ìëò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ° ã ¨ ¨ ¨õ õø ÷ õ õø ÷ì è

° ã í ïî¨ õ

ø¾÷ ° ã í ïð ïîl õ

° ã íð ïîõ

° ã ìî

ø½÷ ìë ã í ïî¨ õ

íí ã í ¨ Í«¾¬®¿½¬·²¹ ïî º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

¨ ã íí

íÜ·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ í

¨ ã ïï

Û¨¿³°´» í

ß ®»³±ª¿´ º·®³ ½¸¿®¹»­ }èð °´«­ }î º±® »ª»®§ ³·´» ¬¸¿¬ ¬¸»·® ®»³±ª¿´ ª¿² ¬®¿ª»´­ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ½±­¬ô }Ýô ±º ¿ ³±ª» ±º ² ³·´»­ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ½±­¬ ±º ³±ª·²¹ îêî ³·´»­ò

ø½÷ ß ³±ª» ½±­¬­ }ëððò ر© º¿® ¼·¼ ¬¸» ®»³±ª¿´ ª¿² ¬®¿ª»´á

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ý ã èð îõ ²

ø¾÷ Ý ã èð îêî îõ l

Ý ã èð ëîìõÝ ã }êðì

ø½÷ ëðð ã èð îõ ²

ìîð ã î² Í«¾¬®¿½¬·²¹ è𠺮±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

² ã ìîð

îÜ·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ î

² ã îïð ³·´»­ô ­± ¬¸» ª¿² ¬®¿ª»´´»¼ îïð ³·´»­ò

¨ õ è

¨ õ ì¨

Page 77: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éê

Û¨»®½·­»­

ïò ׺ ° ¯ ® ­ã ã ó ã ã óê î ïî ëô ô ¿²¼ ô ½¿´½«´¿¬»æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

ø¶÷ øµ÷ ø´÷

° ¯ ° ­ ® ¯

¯ ­ ° ® ® ­

°¯ ® ® ¯ ­ ® ¯

¯ ° ­ ® ¯ ­

õ ó ó

õ ó õ

õ ó õ

ó ó õ

î î î

î ë

ê î ì î í é

îò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ ¯«¿¼®·´¿¬»®¿´ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸»°»®·³»¬»®ô °ô ±º ¬¸» ¯«¿¼®·´¿¬»®¿´ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ·º ¨ ã ïì ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¨ ·º ¬¸» °»®·³»¬»® ·­ éíò

íò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ °¿®¿´´»´±¹®¿³ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸»°»®·³»¬»®ô °ô ±º ¬¸» °¿®¿´´»´±¹®¿³ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»®©¸»² ¨ ã é ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¨ ·º ¬¸» °»®·³»¬»® ·­ ïèîò

ìò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ µ·¬»ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸»°»®·³»¬»®ô °ô ±º ¬¸» µ·¬»ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ·º ¨ ã ç ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¨ ·º ¬¸» °»®·³»¬»® ·­ ïïèò

ëò ̸» ­»³·ó½·®½´» ­¸±©² ¸¿­ ®¿¼·«­ ®ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² º±®³«´¿» º±® ¬¸» ¿®»¿¿²¼ °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ­»³·ó½·®½´»ô¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬±î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ¿²¼ °»®·³»¬»®·º ® ã ë ½³ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ® ·º ¬¸» °»®·³»¬»® ·­ ìð ½³ò

ø¼÷ Ü»¬»®³·²» ® ·º ¬¸» ¿®»¿ ·­ ïè ½³î ò

ïïòì

¨ õ î

¨ õ î

¨ õ ï

¨

î ¨ õ ï

¨

¨ õ ç

¨ õ ïî

® ®

Page 78: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éé

êò ß ¬¿¨· º·®³ ½¸¿®¹»­ }ïòèð °´«­ ëð° °»® ³·´» ¬®¿ª»´´»¼ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ½±­¬ô Ý °»²½»ô ±º ¬®¿ª»´´·²¹ ³ ³·´»­ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ½±­¬ ±º ¿ íó³·´» ¶±«®²»§ò

ø½÷ ̸» ½¸¿®¹» º±® ¿ ¶±«®²»§ ·­ }êò ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¼·­¬¿²½» ¬®¿ª»´´»¼á

éò ߸³»¼ ®«²­ ¿ ¾¿µ»¼ °±¬¿¬± ­¬¿´´ ¿¬ ¬¸» ³¿®µ»¬ò Ø» ³¿µ»­ ¿ °®±º·¬ ±º ìð° ±²»¿½¸ °±¬¿¬± ¸» ­»´´­ ¾«¬ ¸» ¸¿­ ¬± °¿§ }ëð »¿½¸ ¼¿§ º±® ¬¸» ­¬¿´´ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¿³±«²¬ ±º ³±²»§ô ·² °±«²¼­ô ߸³»¼³¿µ»­ ±² ±²» ¼¿§ ·º ¸» ­»´´­ ¨ °±¬¿¬±»­ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ©¸¿¬ ¸¿°°»²­ ·º ¨ ã îðð ò

ø½÷ Ü»­½®·¾» ©¸¿¬ ¸¿°°»²­ ·º ¨ ã ïðð ò

ø¼÷ ر© ³¿²§ °±¬¿¬±»­ ³«­¬ ¸» ­»´´ ¬± ³¿µ» ¿ °®±º·¬ ±º }ïðð ·² ±²» ¼¿§á

èò λ½±®¼­ º±® ¬¸» ©»¿¬¸»® ­«¹¹»­¬ ¬¸¿¬ ±² ¿ª»®¿¹»ô ·¬ ·­ îî pÝ ©¿®³»® ·²Ó·¿³· ¬¸¿² ·² É¿­¸·²¹¬±²ò

̸» ¿ª»®¿¹» ¬»³°»®¿¬«®» ·² Ó·¿³· ·² pÝ ·­ Óò

̸» ¿ª»®¿¹» ¬»³°»®¿¬«®» ·² É¿­¸·²¹¬±² ·² pÝ ·­ Éò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® Ó ·² ¬»®³­ ±º Éò

ø¾÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® É ·² ¬»®³­ ±º Óò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» Ó ·º É ·­ P éò

ø¼÷ Ü»¬»®³·²» É ·º Ó ·­ P íò

çò ß² »²¹·²»»® ½¸¿®¹»­ }îð °´«­ }° °»® ¸±«® ¬± ®»°¿·® ½»²¬®¿´ ¸»¿¬·²¹ ¾±·´»®­ò߬ ±²» ¸±«­» ¿ ®»°¿·® ¬¿µ»­ í ¸±«®­ ¿²¼ ½±­¬­ }éïò

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ª¿´«» ±º °ò

ø¾÷ É®·¬» ¼±©² ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ½±­¬ô }Ýô ±º ¿ ®»°¿·® ¬¸¿¬ ¬¿µ»­ ¨ ¸±«®­ò

ø½÷ ß ®»°¿·® ½±­¬­ }çêòëðò ر© ´±²¹ ¼±»­ ·¬ ¬¿µ»á

ïðò ß´¿² ½´¿·³­ ¬¸¿¬ ¬¸» ¬©± ­¸¿°»­ ­¸±©² ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ¿®»¿ò

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¿ º±®³«´¿ º±® ¬¸» ¿®»¿ ±º »¿½¸ ­¸¿°»ò

ø¾÷ ×­ ß´¿² ½±®®»½¬á

¨ õ ì

¨ õ ï

¨ õ ïð

¨ õ î î ¨ õ î

¨ õ é

Page 79: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éè

ïïòì

ïïò ×½» ½®»¿³­ ¿®» ­±´¼ ¿­ ½±²»­ ±® ¬«¾­ ¿¬ ¬¸» Þ»¿½¸ Õ·±­µòß ½±²» ½±­¬­ êð °»²½»òß ¬«¾ ½±­¬­ ìð °»²½»ò

̸» ·²½±³» øÚ÷ ·² °»²½» ±º ¬¸» Þ»¿½¸ Õ·±­µ ½¿² ¾» ½¿´½«´¿¬»¼ º®±³ ¬¸»»¯«¿¬·±² Ú ã õêð ì𨠧 ©¸»®» ¨ ·­ ¬¸» ²«³¾»® ±º ½±²»­ ­±´¼ ¿²¼ § ·­¬¸» ²«³¾»® ±º ¬«¾­ ­±´¼ò

ø¿÷ Ѳ Ö«²» ï­¬ ïççìô ¨ §ã ãêë èð ¿²¼ ò

ɱ®µ ±«¬ ¬¸» ·²½±³»ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ Ѳ Ö«²» î²¼ ïççìô Ú ¿²¼ ã ãìèðð ëð¨ ò

ɱ®µ ±«¬ ¸±© ³¿²§ ¬«¾­ ©»®» ­±´¼ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø½÷ Ü«®·²¹ ¬¸» º·®­¬ ©»»µ ±º ´¿­¬ ­«³³»® çëð ·½» ½®»¿³­ ©»®» ­±´¼òìíé ±º ¬¸»³ ©»®» ¬«¾­ò

ɸ¿¬ °»®½»²¬¿¹» ±º ¬¸» ·½» ½®»¿³­ ­±´¼ ©»®» ¬«¾­á

ø¼÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ·²½±³» ·² °±«²¼­ º±® ¬¸» ­«³³»® ±º ïççë «­·²¹ ¬¸»·²º±®³¿¬·±² ·² ¬¸» ¾±¨ò

Ô¿­¬ ­«³³»® ïì éîí ·½» ½®»¿³­ ©»®» ­±´¼òα«¹¸´§ ¬¸» ­¿³» ²«³¾»® ±º ·½» ½®»¿³­ ·­ ´·µ»´§¬± ¾» ­±´¼ ·² ¬¸» ­«³³»® ±º ïççëò̸» ®¿¬·± ±º ½±²»­ ¬± ¬«¾­ ­±´¼ ·­ ´·µ»´§ ¬± ¾» ¿¾±«¬ ï æ ïò̸» ½±­¬ ±º ¿ ½±²» ·­ ¬± ­¬¿§ ¿¬ êð °»²½»ò̸» ½±­¬ ±º ¿ ¬«¾ ·­ ¬± ­¬¿§ ¿¬ ìð °»²½»ò

ø·÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²«³¾»® §±« ©·´´ «­» ·²­¬»¿¼ ±º ïì éîíò

ø··÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ª¿´«» §±« ©·´´ «­» º±® ¬¸» ½±­¬ ±º ¿² ·½» ½®»¿³ò

ø···÷ É®·¬» ¼±©² §±«® »­¬·³¿¬» ±º ¬¸» ¬±¬¿´ ·²½±³» º±® ¬¸» ­«³³»®±º ïççëò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ ëóéñÐï÷

ïîò ß ®±¾±¬ ¿½½»´»®¿¬»­ ¿¬ ¿ ½±²­¬¿²¬ ®¿¬»ò ׬ ½¿² ³±ª» ¾¿½µ©¿®¼­ ±® º±®©¿®¼­ò

ɸ»² ¬¸» ®±¾±¬ ³±ª»­ô ¬¸®»» »¯«¿¬·±²­ ½±²²»½¬ ¬¸» º±´´±©·²¹æ

« ·¬­ ·²·¬·¿´ ­°»»¼ ·² ³ñ­

ª ·¬­ º·²¿´ ­°»»¼ ·² ³ñ­

¿ ·¬­ ¿½½»´»®¿¬·±² ·² ³ñ­ î

­ ¬¸» ¼·­¬¿²½» ¬®¿ª»´´»¼ ·² ³

¬ ¬¸» ¬·³» ¬¿µ»² ·² ­»½±²¼­

̸» »¯«¿¬·±²­ ¿®»æ

ª « ¿ ¬ã õ ª « ¿­î î îã õ ­ « ¬ ¿ ¬ îã õ ï

î

Page 80: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

éç

Ú±® ¿ ¶±«®²»§ ³¿¼» ¾§ ¬¸» ®±¾±¬æ

« ³ñ­ã ð îëò ¬ ­»½±²¼­ã í ëò ¿ ³ñ­ã o òð ðë

Ë­» ¬¸» ¿°°®±°®·¿¬» »¯«¿¬·±² ¬± º·²¼æ

ø¿÷ ̸» ¼·­¬¿²½» ¬®¿ª»´´»¼ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ ̸» ®±¾±¬ù­ º·²¿´ ­°»»¼ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ êóèñÐî÷

ïíò Ó¿¹·½ ­¯«¿®»­ ©»®» «­»¼ ¬± ¬»´´ º±®¬«²»­ ´±²¹ ¿¹± ·² ݸ·²¿ò̸»§ ½±²¬¿·² ©¸±´» ²«³¾»®­ ­¬¿®¬·²¹ º®±³ ïò̸» ²«³¾»®­ ·² »¿½¸ ®±© ¿¼¼ «° ¬± ¬¸» ³¿¹·½ ²«³¾»®ò

Û´»®·ù­ ³¿¹·½ ­¯«¿®» ¸¿­ í ®±©­ò̸» ³¿¹·½ ²«³¾»® ·­ ïëò̸» ­·¦» ·­ í íl ò

̱²§ ³¿¼» ¿ ³¿¹·½ ­¯«¿®» ©·¬¸ ³±®» ®±©­ò̸» ³¿¹·½ ²«³¾»® ·­ îçîëòÉ» ¼± ²±¬ µ²±© ¬¸» ­·¦» ±º ¸·­ ­¯«¿®»ò

ø¿÷ ɸ»² ¬¸» ­·¦» ±º ¿ ³¿¹·½ ­¯«¿®» ·­ ² ²l ô

¬¸» ³¿¹·½ ²«³¾»® ·­ ² ² î ï

î

õø ÷ò

Ë­» ² ã í ¬± ½¸»½µ ¬¸¿¬ ¬¸·­ ©±®µ­ º±® Û´»®·ù­ ³¿¹·½ ­¯«¿®»ò

ø¾÷ Ú·²¼ ¬¸» ­·¦» ±º ̱²§ù­ ³¿¹·½ ­¯«¿®»òDZ« ³¿§ «­» ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ò

øÕÍíñçìñÓ¿ñëóéñÐî÷

³¿¹·½ ²«³¾»® ïë

è ï ê

í ë é

ì ç î

³¿¹·½ ²«³¾»® îçîë

á

Page 81: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èð

ïìò ß´¿² ¬¸®±©­ ¿ ¾¿´´ ¬± Õ¿¬·» ©¸± ·­ ­¬¿²¼·²¹ îð ³ ¿©¿§ò̸» ¾¿´´ ·­ ¬¸®±©² ¿²¼ ½¿«¹¸¬ ¿¬ ¿ ¸»·¹¸¬ ±º îòð ³ ¿¾±ª» ¬¸» ¹®±«²¼ò

îð

îòð

ð

§

¨Ø±®·¦±²¬¿´ ¼·­¬¿²½»¬®¿ª»´´»¼ ¾§ ¾¿´´ ø³÷

Ø»·¹¸¬ ±º¾¿´´ ¿¾±ª»¬¬¸» ¹®±«²¼

ø³÷

̸» ¾¿´´ º±´´±©­ ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±²

§ ½ ¨ã õ óø ÷ê ïð î ©¸»®» ½ ·­ ¿ ½±²­¬¿²¬ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ½ ¾§ ­«¾­¬·¬«¬·²¹ ¨ §ã ãð îô ·²¬± ¬¸»»¯«¿¬·±²ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ß´¿² ¬¸®±©­ ¬¸» ¾¿´´ ¬± Õ¿¬·» ¿¹¿·²ô ¾«¬ ¬¸·­ ¬·³» ¬¸» ¾¿´´ ¸·¬­ ¬¸» ¹®±«²¼¾»º±®» ·¬ ®»¿½¸»­ ¸»®ò

̸» ¾¿´´ º±´´±©­ ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ ¨ã ó ó óø ÷ð ï ê ïêîò

ð

§

¨Ø±®·¦±²¬¿´ ¼·­¬¿²½»¬®¿ª»´´»¼ ¾§ ¾¿´´ ø³÷

Ø»·¹¸¬ ±º¾¿´´ ¿¾±ª»¬¸» ¹®±«²¼

ø³÷

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¸»·¹¸¬ ¿¾±ª» ¬¸» ¹®±«²¼ ¿¬ ©¸·½¸ ¬¸» ¾¿´´ ´»º¬ ß´¿²ù­¸¿²¼ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïïòì

§ ¨ ¨ã ó ó óø ÷ð ï ê ïêîò

Page 82: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èï

ïîòï λ½¿°æ ß²¹´»­ ¿²¼ ͽ¿´» Ü®¿©·²¹Ì¸» ½±²½»°¬­ ·² ¬¸·­ «²·¬ ®»´§ ¸»¿ª·´§ ±² µ²±©´»¼¹» ¿½¯«·®»¼ °®»ª·±«­´§ô°¿®¬·½«´¿®´§ º±® ¿²¹´»­ ¿²¼ ­½¿´» ¼®¿©·²¹­ô ­± ·² ¬¸·­ º·®­¬ ­»½¬·±² ©» ®»ª·­» ¬¸»­»¬©± ¬±°·½­ò

Û¨¿³°´» ï

ײ ¬¸» ¼·¿¹®¿³ ±°°±­·¬»ô ¼»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦»±º »¿½¸ ±º ¬¸» «²µ²±©² ¿²¹´»­ò

ͱ´«¬·±²

Í·²½»½ õ pïðð ã ïèð p øÞÝÜ ·­ ¿ ­¬®¿·¹¸¬ ´·²»÷

½ ã ïèð ïððp ó p

½ ã èð p

ß´­±ô ¾ ½ã ô ­·²½» ¬¸» ¬®·¿²¹´» ·­ ·­±­½»´»­ô ­± ¾ ã pèð ò

Ú·²¿´´§ô ­·²½»

¿ ¾ ½õ õ ã pïèð ø¿²¹´»­ ·² ¿ ¬®·¿²¹´» ¿¼¼ «° ¬± ïèð p÷

¬¸»²

¿ ã ïèð èð èðp ó p õ pø ÷­± ¿ ã îð p

Û¨¿³°´» î

ײ ¬¸» ¼·¿¹®¿³ ±°°±­·¬»ô ¹·ª»² ¬¸¿¬ ¿ ã pêë ô¼»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» «²µ²±©²¿²¹´»­ò

ͱ´«¬·±²

¾ ã ïèð p ó ¿ ø¿²¹´»­ ±² ¿ ­¬®¿·¹¸¬ ´·²» ¿®»­«°°´»³»²¬¿®§ô ·ò»ò ¬¸»§ ¿¼¼ «° ¬± ïèð p÷

¾ ã ïèð êëp ó p

¾ ã ïïë p

½ ã ¿ ã êë p øª»®¬·½¿´´§ ±°°±­·¬» ¿²¹´»­÷

¼ ã ¾ ã ïïë p ø½±®®»­°±²¼·²¹ ¿²¹´»­ô ¿­ ¬¸» ´·²»­ ¿®» °¿®¿´´»´÷

» ã ¿ ã êë p ø½±®®»­°±²¼·²¹ ¿²¹´»­÷

º ã ¿ ã êë p ø¿´¬»®²¿¬» ¿²¹´»­÷

ïî ݱ²­¬®«½¬·±²­ ¿²¼ Ô±½·

ïðð%½

¾

¿

ß

ÞÝ

Ü

øÞÝÜ ·­ ¿ ­¬®¿·¹¸¬ ´·²»ò÷

»¼

¾ ¿½

º

Page 83: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èî

Û¨¿³°´» í

Ü®¿© ¿² ¿½½«®¿¬» °´¿² ±º ¬¸» ½¿® °¿®µ©¸·½¸ ·­ ­µ»¬½¸»¼ ¸»®»ò Ë­» ¬¸» ­½¿´»

ï ½³ f ïð ³ò

Û­¬·³¿¬» ¬¸» ¼·­¬¿²½» ßÞò

ͱ´«¬·±²

̸» »¯«·ª¿´»²¬ ´»²¹¬¸­ ¿®»æ

ïðð ³ f ïð ½³ô èð ³ f è ½³ô êð ³ f ê ½³ô

¹·ª·²¹ ¬¸» º±´´±©·²¹ ­½¿´» ¼®¿©·²¹æ

ß

Þ

ײ ¬¸» ­½¿´» ¼®¿©·²¹ô ßÞ ã ïïòé ½³ô ©¸·½¸ ¹·ª»­ ¿² ¿½¬«¿´ ¼·­¬¿²½» ßÞ ã ïïé ³·² ¬¸» ½¿® °¿®µò

ïîòï

êð ³

èð ³

ïðð ³

êð ³

ß

Þ

Page 84: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èí

Û¨»®½·­»­ïò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ¿²¹´»­ ³¿®µ»¼ ©·¬¸ ¿ ´»¬¬»® ·² ¬¸»

º±´´±©·²¹ ¼·¿¹®¿³­ô ¹·ª·²¹ ®»¿­±²­ º±® §±«® ¿²­©»®­ò

ø¿÷ ø¾÷

îò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ¿²¹´»­ ³¿®µ»¼ ©·¬¸ ¿ ´»¬¬»® ·² ¬¸»º±´´±©·²¹ ¼·¿¹®¿³æ

êë% íë%

¾ ½

¿

¼ »

íò ÞÝÜÛ ·­ ¿ ¬®¿°»¦·«³ò Ü»¬»®³·²»¬¸» ­·¦» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ¿²¹´»­³¿®µ»¼ ©·¬¸ ¿ ´»¬¬»® ·² ¬¸»¼·¿¹®¿³ô ¹·ª·²¹ ®»¿­±²­º±® §±«® ¿²­©»®­ò

ìò Ü®¿© ¿ ­½¿´» ¼®¿©·²¹ ±º ¬¸» ®«²²·²¹ ¬®¿½µ ­¸±©² ·² ¬¸» ­µ»¬½¸ ¾»´±©ò ̸»®¿¼·«­ ±º ¬¸» ­»³·½·®½´»­ ·­ ìë ³ò

Ë­» ¿ ­½¿´» ±º

ï ½³ f ïð ³ò

½ ¾

¿

ìè%

½ ¿¾êí%

çð ³

èð ³

ß

Ý

Þ

Ü

Û

ìê%

ïïî%

° ¯® ­

¨ § ¦

Page 85: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èì

ëò ø¿÷ ̸» ¬·³» ±² ¬¸·­ ½´±½µ ·­ í ±ù½´±½µò

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ­·¦» ±º ¬¸» ¿²¹´»¾»¬©»»² ¬¸» ¸¿²¼­á

ø¾÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ©¸±´» ²«³¾»®³·­­·²¹ º®±³ ¬¸·­ ­»²¬»²½»æ

߬ òòòòòòòòò ±ù½´±½µ ¬¸» ­·¦» ±º ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ¸¿²¼­ ·­ ïèð pò

ø½÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ­·¦» ±º ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ¸¿²¼­ ¿¬ ï ±ù½´±½µá

ø¼÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ­·¦» ±º ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ¸¿²¼­ ¿¬ ë ±ù½´±½µá

ø»÷ ر© ´±²¹ ¼±»­ ·¬ ¬¿µ» º±® ¬¸» ³·²«¬» ¸¿²¼ ¬± ³±ª» íêð p á

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® íóëñÐî÷

êò ø¿÷ ɸ·½¸ ¬©± ±º ¬¸»­» ¿²¹´»­ ¿®» ¬¸» ­¿³» ­·¦»á

ø¾÷ Ü®¿© ¿² ¿²¹´» ©¸·½¸ ·­ ¾·¹¹»® ¬¸¿² ¿ ®·¹¸¬ ¿²¹´»ò

ø½÷ Õ»´´§ ·­ º¿½·²¹ Ò±®¬¸ò

͸» ¬«®²­ ½´±½µ©·­» ¬¸®±«¹¸ î ®·¹¸¬ ¿²¹´»­ò

ɸ·½¸ ¼·®»½¬·±² ·­ ­¸» º¿½·²¹ ²±©á

ø¼÷ ß´»¼ ·­ º¿½·²¹ É»­¬ò

Ø» ¬«®²­ ½´±½µ©·­» ¬¸®±«¹¸ í ®·¹¸¬ ¿²¹´»­ò

ɸ·½¸ ¼·®»½¬·±² ·­ ¸» º¿½·²¹ ²±©á

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® íóëñÐï÷

ïîòï

ï

î

í

ì

ëêé

è

ç

ïð

ïïïî

ßÞ

Ý

ÛÜ

Ò

Í

É Û

Page 86: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èë

éò ̸» ­¸¿°» ¾»´±© ¸¿­ í ·¼»²¬·½¿´ ©¸·¬» ¬·´»­ ¿²¼ í ·¼»²¬·½¿´ ¹®»§ ¬·´»­ò

̸» ­·¼»­ ±º »¿½¸ ¬·´» ¿®» ¿´´ ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ò

Ñ°°±­·¬» ­·¼»­ ±º »¿½¸ ¬·´» ¿®» °¿®¿´´»´ò

Ѳ» ±º ¬¸» ¿²¹´»­ ·­ éð p ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­·¦» ±º ¿²¹´» µò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­·¦» ±º ¿²¹´» ³ò͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® ìóêñÐï÷

èò Õ¿§ ·­ ¼®¿©·²¹ ­¸¿°»­ ±² ¸»® ½±³°«¬»®ò

ø¿÷ ͸» ©¿²¬­ ¬± ¼®¿© ¬¸·­¬®·¿²¹´»ò ͸» ²»»¼­ ¬±µ²±© ¿²¹´»­ ¿ô ¾ ¿²¼ ½ò

Ý¿´½«´¿¬» ¿²¹´»­ ¿ô ¾ ¿²¼ ½ò

ø¾÷ Õ¿§ ¼®¿©­ ¿ ®¸±³¾«­æ

Ý¿´½«´¿¬» ¿²¹´»­ ¼ ¿²¼ »ò

ø½÷ Õ¿§ ¬§°»­ ¬¸» ·²­¬®«½¬·±²­ ¬± ¼®¿© ¿ ®»¹«´¿® °»²¬¿¹±²æ

®»°»¿¬ ë ź±®©¿®¼ ïðô ´»º¬ ¬«®² éîÃ

ݱ³°´»¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ·²­¬®«½¬·±²­ ¬± ¼®¿© ¿ ®»¹«´¿® ¸»¨¿¹±²æ

®»°»¿¬ ê ź±®©¿®¼ ïðô ´»º¬ ¬«®² òòòòòòòòòÃ

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ìóêñÐï÷

½

¿

¾ìð%

èòï

çòî

ê

èð%

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

ëð%

ïð

ïð

ïð

ïð

»

¼

µ

³éð%

ÒÑÌ ÌÑ ÍÝßÔÛ

Page 87: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èê

çò ײ ¬¸» ­½¿´» ¼®¿©·²¹ô ¬¸» ­¸¿¼»¼ ¿®»¿ ®»°®»­»²¬­ ¿ ´¿©²ò

̸»®» ·­ ¿ ©·®» º»²½» ¿´´ ¿®±«²¼ ¬¸» ´¿©²ò

̸» ­¸±®¬»­¬ ¼·­¬¿²½» º®±³ ¬¸» º»²½» ¬± ¬¸» »¼¹» ±º ¬¸» ´¿©² ·­ ¿´©¿§­ ê ³ò

Ѳ ¿ ½±°§ ±º ¬¸» ¼·¿¹®¿³ô ¼®¿© ¿½½«®¿¬»´§ ¬¸» °±­·¬·±² ±º ¬¸» º»²½»ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïîòï

ͽ¿´»æ ï ½³ ¬± í ³í ³

Ô¿©²

í ³

Page 88: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èé

ïðò Ô±±µ ¿¬ ¬¸» ¼·¿¹®¿³æ

Í·¼» ßÞ ·­ ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ ¿­ ­·¼» ßÝò

Í·¼» ÞÜ ·­ ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ ¿­ ­·¼» ÞÝò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ¨ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïîòî ݱ²­¬®«½¬·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ ¸±© ¬± ½±²­¬®«½¬ ¬®·¿²¹´»­ ¿²¼ ª¿®·±«­ ´·²»­ò DZ« ©·´´²»»¼ ¿ ®«´»®ô ¿ °®±¬®¿½¬±® ¿²¼ ¿ °¿·® ±º ½±³°¿­­»­ ¬± ¾» ¿¾´» ¬± ¼®¿© ¬¸»­»½±²­¬®«½¬·±²­ò ̸» º±´´±©·²¹ »¨¿³°´»­ ·´´«­¬®¿¬» ­±³» ±º ¬¸» ¬»½¸²·¯«»­ ¬¸¿¬ §±«©·´´ ²»»¼ ¬± «­»ò

Û¨¿³°´» ï

ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ¾·­»½¬±®±º ¬¸» ´·²» ßÞò

̸»² ´¿¾»´ ¬¸» ³·¼°±·²¬ ±º ßÞô Óò

ͱ´«¬·±²

̸»®» ¿®» ³¿²§ ´·²»­ ¬¸¿¬ ½«¬ ßÞ»¨¿½¬´§ ·² ¸¿´ºò É» ¸¿ª» ¬±½±²­¬®«½¬ ¬¸» ±²» ¬¸¿¬ ·­°»®°»²¼·½«´¿® ¬± ßÞò

É» ¾»¹·² ¾§ ¼®¿©·²¹ ¿®½­ ±º »¯«¿´®¿¼·«­ô ½»²¬®»¼ ±² ¬¸» °±·²¬­ ß ¿²¼Þô ¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò̸» ®¿¼·«­ ±º ¬¸»­» ¿®½­ ­¸±«´¼ ¾»

®±«¹¸´§î

í ¬±

í

ì ±º ¬¸» ´»²¹¬¸ ßÞò

̸»² ¼®¿© ¿ ´·²» ¬¸®±«¹¸ ¬¸»·²¬»®­»½¬·±² °±·²¬­ ±º ¬¸» ¬©±¿®½­ò

̸» °±·²¬ ©¸»®» ¬¸» ¾·­»½¬±®·²¬»®­»½¬­ ßÞ ½¿² ¬¸»² ¾»´¿¾»´´»¼ Óò

ß Þ

л®°»²¼·½«´¿®¾·­»½¬±®

Ó

ß Þ

Þ Ý

Ü

ß

¨%í¨%

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

ß Þ

Page 89: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èè

Û¨¿³°´» î

̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸» ´·²»ßÞ ¿²¼ ¬¸» °±·²¬ Ýò

Ü®¿© ¿ ´·²» ¬¸®±«¹¸ Ý ¬¸¿¬·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ßÞò

ͱ´«¬·±²

Ë­·²¹ Ý ¿­ ¬¸» ½»²¬®»ô ¼®¿©¿² ¿®½ ¿­ ­¸±©²ò

̸»² «­·²¹ ¬¸» ·²¬»®­»½¬·±² °±·²¬­ ±º¬¸·­ ¿®½ ©·¬¸ ¬¸» ´·²» ßÞ ¿­ ½»²¬®»­ô¼®¿© ¬©± º«®¬¸»® ¿®½­ ©·¬¸®¿¼·· ±º »¯«¿´ ´»²¹¬¸ò ̸»°»®°»²¼·½«´¿® ´·²» ½¿² ¬¸»²¾» ¼®¿©² º®±³ Ý ¬¸®±«¹¸¬¸» °±·²¬ ©¸»®» ¬¸»­»¬©± ²»© ¿®½­ ½®±­­ò

Û¨¿³°´» í

Þ·­»½¬ ¬¸·­ ¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

̱ ¾·­»½¬ ¿² ¿²¹´» §±« ²»»¼ ¬± ¼®¿©¿ ´·²» ¬¸¿¬ ½«¬­ ¬¸» ¿²¹´» ·² ¸¿´ºò

Ú·®­¬ ¼®¿© ¿² ¿®½ «­·²¹ Ñ ¿­ ¬¸» ½»²¬®»ò

ïîòî

ß Þ

Ý

Ñ

Ñ

ß Þ

Ý

ß Þ

Ý

Page 90: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

èç

̸»² ¼®¿© ¬©± º«®¬¸»® ¿®½­ ±º »¯«¿´®¿¼·«­ô «­·²¹ ¬¸» °±·²¬­ ©¸»®» ¬¸» ¿®½·²¬»®­»½¬­ ¬¸» ´·²»­ ¿­ ¬¸» ½»²¬®»­ò

̸» ¾·­»½¬±® ½¿² ¬¸»² ¾» ¼®¿©² º®±³Ñ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» °±·²¬ ©¸»®» ¬¸»­»¬©± ²»© ¿®½­ ½®±­­ò

Û¨¿³°´» ì

̸» ¬®·¿²¹´» ßÞÝ ·­ ­«½¸ ¬¸¿¬ ßÞ ½³ô ÞßÝã P ã pè ìð ¿²¼ P ã pßÞÝ êð òÜ®¿© ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ¼®¿© ¬¸» ´·²» ßÞ ±º´»²¹¬¸ è ½³ò

߬ ¬¸» ´»º¬ó¸¿²¼ó»²¼ ±º ¬¸» ´·²»ô¼®¿© ¬¸» P ÞßÝ ©¸·½¸ ·­ ìð p ò

̸»² ¼®¿© ¬¸» P ßÞÝ ©¸·½¸ ·­ êð pò

ß Þ

ß Þ

ìð%

ß Þ

ìð% êð%

Ý

Ñ

Page 91: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çð

Û¨»®½·­»­ïò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ´·²» ±º ´»²¹¬¸ ïð ½³ò

ø¾÷ ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ¾·­»½¬±® ±º ¬¸» ´·²»ò

ø½÷ ݸ»½µ ¬¸¿¬ ·¬ ¼±»­ ½«¬ ¬¸» ´·²» ·² ¸¿´ºò

ø¼÷ Ë­» ¿ °®±¬®¿½¬±® ¬± ½¸»½µ ¬¸¿¬ ·¬ ·­ °»®°»²¼·½«´¿®ò

îò ø¿÷ Ó¿®µ í °±·²¬­ô ²±¬ ·² ¿ ­¬®¿·¹¸¬ ´·²»ô ±² ¿ °·»½» ±º °¿°»® ¿²¼ ´¿¾»´¬¸»³ ßô Þ ¿²¼ Ýò Ü®¿© ¿ ´·²» º®±³ ß ¬± Þò

ø¾÷ ݱ²­¬®«½¬ ¿ ´·²» ¬¸¿¬ ·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ßÞ ¿²¼ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ Ýò

ø½÷ Ë­» ¿ °®±¬®¿½¬±® ¬± ½¸»½µ ¬¸¿¬ §±«® ´·²» ·­ °»®°»²¼·½«´¿®ò

íò ø¿÷ Ë­» ¿ ®«´»® ¿²¼ ¿ °®±¬®¿½¬±® ¬± ½±²­¬®«½¬ ¬¸» ¬®·¿²¹´» ßÞÝ ©¸»®»ßÞ ½³ô ßÞÝã P ã pê êð ¿²¼ P ã pÞßÝ ëð ò

ø¾÷ ݱ²­¬®«½¬ ¿ ´·²» ¬¸¿¬ ·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ßÝ ¿²¼ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸»½±®²»® Þò

ìò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ é ½³ô ì ½³ ¿²¼ ê ½³ò

ø¾÷ ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ¾·­»½¬±® ±º »¿½¸ ­·¼»ò ɸ¿¬ ¼± §±«²±¬·½»á

ø½÷ Ü®¿© ¿ ½·®½´» ©·¬¸ ·¬­ ½»²¬®» ¿¬ ¬¸» °±·²¬ ©¸»®» ¬¸» ´·²»­ ·²¬»®­»½¬ ¿²¼¬¸¿¬ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ »¿½¸ ½±®²»® ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

ø¼÷ λ°»¿¬ ¬¸·­ °®±½»­­ º±® ¿²§ ±¬¸»® ¬®·¿²¹´»ò ܱ»­ ·¬ ­¬·´´ ©±®µá

ëò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¬®·¿²¹´» ©¸·½¸ ¸¿­ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ è ½³ô é ½³ ¿²¼ ê ½³ò

ø¾÷ ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» ¾·­»½¬±® ±º »¿½¸ ¿²¹´» ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

ø½÷ Ë­·²¹ ¬¸» °±·²¬ ©¸»®» ¬¸» ´·²»­ ·²¬»®­»½¬ ¿­ ·¬­ ½»²¬®»ô ¼®¿© ¬¸» ´¿®¹»­¬½·®½´» ¬¸¿¬ ©·´´ º·¬ ·²­·¼» ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

êò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¸±© ×­¸³¿»´ ½±²­¬®«½¬»¼¿ êð p ¿²¹´»ò

ø¿÷ ݱ²­¬®«½¬ ¿ êð p ¿²¹´» ·² ¬¸·­ ©¿§¿²¼ ¬¸»² ½¸»½µ ¬¸¿¬ ·¬ ·­ êð pò

ø¾÷ Þ·­»½¬ §±«® ¿²¹´» ¬± ±¾¬¿·² ¿íð p ¿²¹´»ò

ø½÷ ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» º±´´±©·²¹ ¿²¹´»­ô «­·²¹ ¿ °¿·® ±º ½±³°¿­­»­ ¿²¼ ¿ ®«´»®ò

ø·÷ ïîð p ø··÷ îìð p ø···÷ íðð p

ø·ª÷ çð p øª÷ îéð p øª·÷ ìë p

ïîòî

êð%

Page 92: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çï

éò ̸» ¬®·¿²¹´» ßÞÝ ·­ ­«½¸ ¬¸¿¬ ßÞ ê ½³ô ßÝ é ½³ã ã ¿²¼ P ã pÞßÝ ëð ò

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ­·¼» ÞÝ á

ø½÷ ݱ²­¬®«½¬ ¿ ´·²» ¬¸¿¬ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ Ý ¿²¼ ·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ßÞò

ø¼÷ Ø»²½» ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

èò ß ¬®·¿²¹´» ÐÏÎ ¸¿­ ÐÎ ê ½³ô ÏÎ ë ½³ ¿²¼ ÏÐÎã ã P ã pìë ò ß¾·¹¿·´ ¿²¼Õ·®­¬§ ¿®» ¿­µ»¼ ¬± ¼®¿© ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò ̸»§ ¼®¿© ¬¸» ¬©± ¬®·¿²¹´»­ ¾»´±©ò

ø¿÷ ß®» ¬¸»§ ¾±¬¸ ½±®®»½¬á

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ¬©± °±­­·¾´» ¬®·¿²¹´»­ ßÞÝô ¹·ª»² ¬¸» ·²º±®³¿¬·±² ¾»´±©ò

ßÞ ã è ½³

ÞÝ ã é ½³

P ÞßÝ ã ëð p

çò ݱ²­¬®«½¬ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­ô ©·¬¸±«¬ «­·²¹ ¿ °®±¬®¿½¬±®ò

ø¿÷ ø¾÷

ß¾·¹¿·´ù­Ì®·¿²¹´»

Ï

Ð Î

Õ·®­¬§ù­Ì®·¿²¹´»

Î

Ð Î

Ï

íð% ìë%é ½³ ïîð%

ë ½³

ê ½³

Page 93: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çî

ïðò Ü®¿© ¿ ½·®½´» ¿²¼ ¬©± ½¸±®¼­ ´·µ» ¬¸±­» ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ¾·­»½¬±® º±® »¿½¸ ½¸±®¼ò ɸ¿¬ ¼± §±« ²±¬·½»á

ܱ §±« ¬¸·²µ ¬¸·­ ©·´´ ¿´©¿§­ ¾» ¬®«»á

ïïò Ø»®» ·­ ¿ ®±«¹¸ ­µ»¬½¸ ±º ¿ ­»½¬±® ±º ¿ ½·®½´»ò

éì%

èòë ½³

èòë ½³

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

Ó¿µ» ¿² ¿½½«®¿¬»ô º«´´ ­·¦» ¼®¿©·²¹ ±º ¬¸·­ ­»½¬±®ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

ïîò Ö¿²» ©¿²¬­ ¬± ¼»­·¹² ¿ ¬±§ »²¹·²»ò

͸» ³¿µ»­ ¿ ®±«¹¸ ­µ»¬½¸ ¬± ­¸±© ­±³» ±º ¬¸» ³»¿­«®»³»²¬­ò

Ö¿²» ­¬¿®¬­ ¬± ¼®¿© ¬¸» ¿½½«®¿¬» ­·¼» ª·»©ò

Ѳ ¿ ½±°§ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼·¿¹®¿³ô º·²·­¸ Ö¿²»ù­ ­·¼» ª·»©ò

DZ« ©·´´ ²»»¼ ¿ ®«´»®ô ¿² ¿²¹´» ³»¿­«®»® ±® °®±¬®¿½¬±®ô ¿²¼ ¿ °¿·® ±º½±³°¿­­»­ò

ïîòî

Page 94: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çí

øÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐï÷

Page 95: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çì

ïíò ø¿÷ ̸» ¬±° ¿²¼ ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸·­ ¾±¨ ¿®» ­»³·ó½·®½´»­ò

ɸ·½¸ ±²» ±º ¬¸» ²»¬­ ¾»´±© ½±«´¼ º±´¼ «° ¬±³¿µ» ¿ ¾±¨ ´·µ» ¬¸·­á

ß

Þ

Ý

Ü

Û

ø¾÷ ̸·­ ·­ ¿ ®±«¹¸ ­µ»¬½¸ ±º ¬¸» ¾¿­» ±º ¿ ¾±¨ò

׬ ·­ ¿ ­»³·ó½·®½´»ô ©·¬¸ ¼·¿³»¬»® è ½³ò

Ó¿µ» ¿² ¿½½«®¿¬»ô º«´´ ­·¦» ¼®¿©·²¹±º ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸» ¾±¨ò

DZ« ©·´´ ²»»¼ ¿ ®«´»® ¿²¼ ¿ °¿·® ±º ½±³°¿­­»­ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® íóëñÐî÷

ïîòî

è ½³

Page 96: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çë

ïîòí Ô±½·ß ´±½«­ ·­ ¿ ­»¬ ±º °±·²¬­ ¿´´ ±º ©¸·½¸ ­¸¿®» ­±³» ½±³³±² °®±°»®¬§ò ß ´±½«­ ³¿§¾» ¿ °±·²¬ô ¿ ´·²»ô ¿ ½«®ª» ±® ¿ ®»¹·±²ò ̸» ·³°±®¬¿²¬ °±·²¬ ·­ ¬¸¿¬ ¿´´ ¬¸» °±·²¬­¬¸¿¬ ³¿µ» «° ¬¸» ´±½«­ ¸¿ª» ¬± ­¿¬·­º§ ¬¸» ­¿³» ®«´» ±® ½±²¼·¬·±²ò Ú±® »¨¿³°´»ô§±« ³·¹¸¬ ¾» ¿­µ»¼ ¬± ¼®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ¿ ½»®¬¿·² ¼·­¬¿²½» º®±³ ¿¹·ª»² °±·²¬ ±® ´·²»ò

Û¨¿³°´» ï

Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» í ½³ º®±³ ¬¸» °±·²¬ ßò

ͱ´«¬·±²

̸» ´±½«­ ©·´´ ­·³°´§ ¾» ¿ ½·®½´»ô ½»²¬®» ßô©·¬¸ ®¿¼·«­ í ½³ò Ûª»®§ °±·²¬ ±² ¬¸»½·®½´» ©·´´ ¾» í ½³ º®±³ ßò

Û¨¿³°´» î

Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» »¯«·¼·­¬¿²¬ º®±³ ß ¿²¼ Þò

ß Þ

ͱ´«¬·±²

ß´´ ¬¸» °±·²¬­ ³«­¬ ¾» ¬¸» ­¿³» ¼·­¬¿²½» º®±³ ß ¿­ º®±³ Þò ̸» ´±½«­ ·­ ¬¸»°»®°»²¼·½«´¿® ¾·­»½¬±® ±º ¬¸» ´·²» ßÞò

ß Þ

Ô±½«­

ß

Ô±½«­

Page 97: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çê

ïîòí

Û¨¿³°´» í

Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬¿®» ï ½³ º®±³ ¬¸·­ ½·®½´»ò

ͱ´«¬·±²

̸» ´±½«­ ·­ ³¿¼» «° ±º î °¿®¬­òï °¿®¬ ½±²­·­¬­ ±º ¬¸» °±·²¬­¬¸¿¬ ¿®» ï ½³ º®±³ ¬¸» ½·®½´»¿²¼ ·²­·¼» ·¬å ¬¸» ±¬¸»® ·­¬¸±­» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ï ½³º®±³ ¬¸» ½·®½´» ¿²¼ ¿®»±«¬­·¼» ·¬ò

Û¨»®½·­»­ïò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ´·²» ±º ´»²¹¬¸ ë ½³ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ï ½³ º®±³ ¬¸» ´·²»ò

îò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ½·®½´» ±º ®¿¼·«­ î ½³ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» î ½³ º®±³ ¬¸» ½·®½´»ò

ø½÷ Ѳ §±«® ¼·¿¹®¿³ô ­¸¿¼» ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ´»­­ ¬¸¿² î ½³º®±³ ¬¸» ½·®½´»ò

íò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ï ½³º®±³ ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ò

ø½÷ λ°»¿¬ °¿®¬ ø¾÷ º±® ¿ ®»½¬¿²¹´» ¬¸¿¬ ·­ ê ½³´±²¹ ¿²¼ ë ½³ ©·¼»ò

í ½³

ì ½³

ï ½³

Page 98: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çé

ìò ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­¬¸¿¬ ¿®» »¯«·¼·­¬¿²¬ º®±³ ¬¸» ¬©±´·²»­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ëò ø¿÷ ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©²·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­¬¸¿¬ ¿®» ï ½³ º®±³ ¬¸» ¬®·¿²¹´»ò

êò Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬¿®» ï ½³ º®±³ ¬¸» ­¸¿°» ·² ¬¸»¼·¿¹®¿³ò

éò Ì©± °±·²¬­ ß ¿²¼ Þ ¿®» ê ½³ ¿°¿®¬ò

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» »¯«·¼·­¬¿²¬ º®±³ ß ¿²¼ Þò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ë ½³ º®±³ Þò

ø½÷ ײ¼·½¿¬» ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®» ë ½³ º®±³ ß ¿²¼ Þò

èò ̸» °±·²¬­ ß ¿²¼ Þ ¿®» ç ½³ ¿°¿®¬ò Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ¬¸¿¬ ¿®»¬©·½» ¿­ º¿® º®±³ ß ¿­ ¬¸»§ ¿®» º®±³ Þò

çò ø¿÷ ݱ²­¬®«½¬ ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©² ·²¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º °±·²¬­ ¬¸¿¬¿®» »¯«·¼·­¬¿²¬ º®±³ ß ¿²¼ Þ¿²¼ ©·¬¸·² í ½³ ±º Ýò

ì ½³

ê ½³

ì ½³

ì ½³

ê ½³

ß

Þ

Ý

ì ½³

í ½³ ê ½³

Page 99: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çè

ïðò ß ´¿¼¼»® ¸¿­ ´»²¹¬¸ ì ³ò ׬ ·²·¬·¿´´§ ´»¿²­ ¿¹¿·²­¬ ¿ ª»®¬·½¿´ ©¿´´ ©·¬¸ ·¬­¾¿­» ±² ¸±®·¦±²¬¿´ ¹®±«²¼ò

̸» ´¿¼¼»® ­´·¼»­ ¼±©² «²¬·´ ·¬ ·­ ´§·²¹ ¸±®·¦±²¬¿´ ±² ¬¸» ¹®±«²¼ò

Ü®¿© ¬¸» ´±½«­ ±º ¬¸» ³·¼°±·²¬ ±º ¬¸» ´¿¼¼»®ô «­·²¹ ¿ ­«·¬¿¾´» ­½¿´» ¼®¿©·²¹ò

ïïò ͱ³» °«°·´­ ©¿²¬ ¬± °´¿²¬ ¿ ¬®»» ·² ¬¸» ­½¸±±´ù­ ¹¿®¼»²ò

̸» ¬®»» ³«­¬ ¾» ¿¬ ´»¿­¬ ïî ³ º®±³ ¬¸» ­½¸±±´ ¾«·´¼·²¹ò

׬ ³«­¬ ¿´­± ¾» ¿¬ ´»¿­¬ ïð ³ º®±³ ¬¸» ½»²¬®» ±º ¬¸» ®±«²¼ °±²¼ò

ø¿÷ ͸±© ¿½½«®¿¬»´§ ±² ¿ ½±°§ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ °´¿² ¬¸» ®»¹·±² ·² ©¸·½¸¬¸» ¬®»» ½¿² ¾» °´¿²¬»¼ò

͸¿¼» ·² ¬¸·­ ®»¹·±²ò

ø¾÷ ̸» °«°·´­ ©¿²¬ ¬± ³¿µ»¿ ¹®¿ª»´ °¿¬¸ ±º ©·¼¬¸ï ³ ¿®±«²¼ ¬¸» °±²¼ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º¬¸» °¿¬¸ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐî÷

ïîòí

ͽ¸±±´Þ«·´¼·²¹­

ÍÝßÔÛ ï ½³ ¬± î ³

î ³

б²¼

Ú»²½»

Page 100: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

çç

ïí Ù®¿°¸­ô Û¯«¿¬·±²­ ¿²¼×²»¯«¿´·¬·»­

ïíòï Ô·²»¿® ײ»¯«¿´·¬·»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ ¸±© ¬± ­±´ª» ´·²»¿® ·²»¯«¿´·¬·»­ ¿²¼ ·´´«­¬®¿¬» ¬¸»·®­±´«¬·±²­ «­·²¹ ¿ ²«³¾»® ´·²»ò

ɸ»² «­·²¹ ¿ ²«³¾»® ´·²»ô ¿ ­³¿´´ ­±´·¼ ½·®½´» ·­ «­»¼ º±® } ±® m ¿²¼ ¿ ¸±´´±©½·®½´» ·­ «­»¼ º±® â ±® äò

Ú±® »¨¿³°´»ô

¨ m ë

P ï ð ï î í ì ë ê

Ø»®» ¬¸» ­±´·¼ ½·®½´» ³»¿²­ ¬¸¿¬ ¬¸» ª¿´«» ë ·­ ·²½´«¼»¼ò

¨ ä é

P ï ð ï î í ì ë ê éP ì P í P î

Ø»®» ¬¸» ¸±´´±© ½·®½´» ³»¿²­ ¬¸¿¬ ¬¸» ª¿´«» é ·­ ²±¬ ·²½´«¼»¼ò

ɸ»² ­±´ª·²¹ ´·²»¿® ·²»¯«¿´·¬·»­ ©» «­» ¬¸» ­¿³» ¬»½¸²·¯«»­ ¿­ ¬¸±­» «­»¼ º±®­±´ª·²¹ ´·²»¿® »¯«¿¬·±²­ò ̸» ·³°±®¬¿²¬ »¨½»°¬·±² ¬± ¬¸·­ ·­ ¬¸¿¬ ©¸»² ³«´¬·°´§·²¹±® ¼·ª·¼·²¹ ¾§ ¿ ²»¹¿¬·ª» ²«³¾»®ô §±« ³«­¬ ®»ª»®­» ¬¸» ¼·®»½¬·±² ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§òر©»ª»®ô ·² °®¿½¬·½»ô ·¬ ·­ ¾»­¬ ¬± ¬®§ ¬± ¿ª±·¼ ¼±·²¹ ¬¸·­ò

Û¨¿³°´» ï

ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ õ âê í ¿²¼ ·´´«­¬®¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ±² ¿ ²«³¾»® ´·²»ò

ͱ´«¬·±²

¨ õ ê â í

¨ â í êó Í«¾¬®¿½¬·²¹ ê º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­ ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§

¨ â P í

̸·­ ½¿² ¾» ·´´«­¬®¿¬»¼ ¿­ ­¸±©² ¾»´±©æ

P ì P í P î P ï ð ï î í

Page 101: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðð

Û¨¿³°´» î

ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ í é ïç¨ õ m ¿²¼ ·´´«­¬®¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ±² ¿ ²«³¾»® ´·²»ò

ͱ´«¬·±²

í é¨ õ m ïç

í¨ m ïî Í«¾¬®¿½¬·²¹ é º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

¨ m ì Ü·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ í

̸·­ ½¿² ²±© ¾» ­¸±©² ±² ¿ ²«³¾»® ´·²»ò

P ï ð ï î í ì ë ê

Û¨¿³°´» í

×´´«­¬®¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ¬± ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ïî í êó m¨ ò

ͱ´«¬·±²

Þ»½¿«­» ¬¸·­ ·²»¯«¿´·¬§ ½±²¬¿·²­ ¬¸» ¬»®³ ù óí¨ ùô º·®­¬ ¿¼¼ í¨ ¬± ¾±¬¸ ­·¼»­ ¬±®»³±ª» ¬¸» P ­·¹²ò

ïî íó ¨ m ê

ïî m ê íõ ¨ ß¼¼·²¹ í¨ ¬± ¾±¬¸ ­·¼»­

ê m í ¨ Í«¾¬®¿½¬·²¹ ê º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

î m ¨ Ü·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ í

±® ¨ } î

̸·­ ·­ ·´´«­¬®¿¬»¼ ¾»´±©ò

P î P ï ð ï î í

Û¨¿³°´» ì

ͱ´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±² ó ä õ }é ë í îí¨ ò

ͱ´«¬·±²

ײ ¿² ·²»¯«¿´·¬§ ±º ¬¸·­ ¬§°» §±« ³«­¬ ¿°°´§ ¬¸» ­¿³» ±°»®¿¬·±² ¬± »¿½¸ ±º ¬¸» í°¿®¬­ò

ó é ä ë í¨ õ } îí

óïð ä ë ¨ } îð Í«¾¬®¿½¬·²¹ í º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

óî ä ¨ } ì Ü·ª·¼·²¹ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¾§ ë

̸·­ ½¿² ¬¸»² ¾» ·´´«­¬®¿¬»¼ ¿­ ¾»´±©ò

P ï ð ï î í ì ëP í P î

ïíòï

Page 102: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðï

Û¨»®½·­»­ïò Ü®¿© ¼·¿¹®¿³­ ¬± ·´´«­¬®¿¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ·²»¯«¿´·¬·»­æ

ø¿÷ ¨ â í ø¾÷ ¨ } ì

ø½÷ ¨ } óî ø¼÷ ¨ m óí

ø»÷ ó } äî ì¨ øº÷ ð í} }¨

îò É®·¬» ¼±©² ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ®»°®»­»²¬»¼ ¾§ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼·¿¹®¿³­æ

ø¿÷ P í P î P ï ð ï î í

ø¾÷ P í P î P ï ð ï î í

ø½÷ P í P î P ï ð ï î í ì

ø¼÷ P ì P í P î P ï ð ï î

ø»÷ P ì P í P î P ï ð ï î í

íò ͱ´ª» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ·²»¯«¿´·¬·»­ ¿²¼ ·´´«­¬®¿¬» ¬¸» ®»­«´¬­ ±² ¿ ²«³¾»®´·²»ò

ø¿÷ ¨ õ âé ïî ø¾÷ ¨ ó âê í ø½÷ ì îð¨ }

ø¼÷ ë ïð¨ m ø»÷ ¨ õ mê è øº÷ ¨ ó } óê í

ø¹÷ ¨ õ }è ë ø¸÷¨

îím ø·÷

¨

ìï} ó

ìò ͱ´ª» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ·²»¯«¿´·¬·»­ ¿²¼ ·´´«­¬®¿¬» §±«® ­±´«¬·±²­ ±² ¿²«³¾»® ´·²»ò

ø¿÷ ê î è¨ õ m ø¾÷ ë í é¨ ó â ø½÷ í ç ê¨ ó ä

ø¼÷ ì î íð¨ õ } ø»÷ ë ç ï¨ õ } ó øº÷ ì ïî ì¨ õ â

ø¹÷¨

îì íõ â ø¸÷

¨

ëï íó } ó ø·÷

¨

ìê ëõ }

ëò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ ·²»¯«¿´·¬·»­ô ·´´«­¬®¿¬·²¹ §±«® ­±´«¬·±²­ ±² ¿ ²«³¾»® ´·²»ò

ø¿÷ ó } õ }ï í î ïé¨ ø¾÷ ì ê îîó ä¨ ø½÷ ë í ïó m ó¨

ø¼÷ ïì ì î ïè} ó }¨ ø»÷ îð è ìó ä¨ øº÷ íî ç ìó m ó¨

ø¹÷ ïï í îðó }¨ ø¸÷ ó } ó } óïï í î ë¨ ø·÷ ó ä õ }é î ë ï¨

Page 103: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðî

êò Ù·ª»² ¬¸¿¬ ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸»®»½¬¿²¹´» ­¸±©² ·­ ´»­­ ¬¸¿² ììôº±®³ ¿²¼ ­±´ª» ¿² ·²»¯«¿´·¬§ò

éò ̸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©²·­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² îï ¾«¬ ´»­­ ¬¸¿² ±®»¯«¿´ ¬± íðò

Ú±®³ ¿²¼ ­±´ª» ¿² ·²»¯«¿´·¬§«­·²¹ ¬¸·­ ·²º±®³¿¬·±²ò

èò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ­¸±©²³«­¬ ¾» ´»­­ ¬¸¿² ë𠾫¬ ¹®»¿¬»®¬¸¿² ±® »¯«¿´ ¬± ïðò

Ú±®³ ¿²¼ ­±´ª» ¿² ·²»¯«¿´·¬§ º±® ¨ò

çò ß ½§½´·­¬ ¬®¿ª»´­ ¿¬ ¿ ½±²­¬¿²¬ ­°»»¼ ª ³·´»­ °»® ¸±«®ò Ø» ¬®¿ª»´­ íð ³·´»­·² ¿ ¬·³» ¬¸¿¬ ·­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² í ¸±«®­ ¾«¬ ´»­­ ¬¸¿² ë ¸±«®­ò

Ú±®³ ¿² ·²»¯«¿´·¬§ º±® ªò

ïðò ̸» ¿®»¿ ±º ¿ ½·®½´» ³«­¬ ¾» ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ±® »¯«¿´ ¬± ïð ³ î ¿²¼ ´»­­ ¬¸¿²

îð ³ î ò Ü»¬»®³·²» ¿² ·²»¯«¿´·¬§ ¬¸¿¬ ¬¸» ®¿¼·«­ô ®ô ±º ¬¸» ½·®½´» ³«­¬ ­¿¬·­º§ò

ïïò ̸» °¿¬¬»®² ­¸±©² ·­ º±®³»¼ ¾§­¬®¿·¹¸¬ ´·²»­ ±º »¯«¿¬·±²­ ·² ¬¸»º·®­¬ ¯«¿¼®¿²¬ò

ø¿÷ Ѳ» ®»¹·±² ±º ¬¸» °¿¬¬»®²½¿² ¾» ¼»­½®·¾»¼ ¾§ ¬¸»·²»¯«¿´·¬·»­

¨

¨

§ ¨

§

}mm}

î

ï

í

ݱ°§ ¬¸» ¼·¿¹®¿³ ¿²¼ °«¬ ¿² Î ·² ¬¸» ­·²¹´» ®»¹·±² ±º ¬¸» °¿¬¬»®² ¬¸¿¬·­ ¼»­½®·¾»¼ò

ïíòï

¨ õ è

¨

¨ õ ï ¨ õ î

¨ õ í

¨ õ ì

ë

§

¨ï î í

ï

î

í

¨ ã ï ¨ ã î ¨ ã í§ ã ¨

§ ã í

ð

Page 104: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðí

̸·­ ·­ ¿²±¬¸»® °¿¬¬»®² º±®³»¼¾§ ­¬®¿·¹¸¬ ´·²» ¹®¿°¸­ ±º»¯«¿¬·±²­ ·² ¬¸» º·®­¬ ¯«¿¼®¿²¬ò

ø¾÷ ̸» ­¸¿¼»¼ ®»¹·±² ½¿² ¾»¼»­½®·¾»¼ ¾§ ¬¸®»» ·²»¯«¿´·¬·»­ò

É®·¬» ¼±©² ¬¸»­» ¬¸®»»·²»¯«¿´·¬·»­ò

øÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïíòî Ù®¿°¸­ ±º Ï«¿¼®¿¬·½ Ú«²½¬·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ®»½¿° ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º ­¬®¿·¹¸¬ ´·²»­ ¾»º±®» ´±±µ·²¹ ¿¬ ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º¯«¿¼®¿¬·½ º«²½¬·±²­ò

ß ­¬®¿·¹¸¬ ´·²» ¸¿­ »¯«¿¬·±² § ³ ¨ ½ã õ ©¸»®»

³ ·­ ¬¸» ¹®¿¼·»²¬ ¿²¼ ½ ·­ ¬¸» §ó·²¬»®½»°¬ò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ´·²»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ã õ è ¿²¼ § ¨ã õ íò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¬®¿²­´¿¬·±² ¬¸¿¬ ©±«´¼ ³±ª» § ¨ã õ è ±²¬± § ¨ã õ íò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̱ °´±¬ ¬¸» ¹®¿°¸­ô ©» ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸®»» °±·²¬­ ±² »¿½¸ ´·²»ò

Ú±® § ¨ã õ è ©» ¸¿ª»

øP íô ë÷ô øðô è÷ ¿²¼ øìô ïî÷ò

Ú±® § ¨ã õ í ©» ¸¿ª»ô

øP ìô P ï÷ô øðô í÷ ¿²¼ øíô ê÷ò

̸» ¹®¿°¸­ ¿®» ­¸±©² ¾»´±©ò

§

¨î ì

î

ì

¨ ã î § ã ¨

§ ã ì

§ ã î

¨ ã ì

ð

Page 105: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðì

ïíòî

§

¨Pè Pé Pê Pë Pì Pí Pî Pï ï î í ì ë ê é è ç ïð

ïí

ïî

ïð

ïï

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

ð ïï

§ ã ¨ õ è

§ ã ¨ õ í

ïì

ø¾÷ ß ¬®¿²­´¿¬·±² ¿´±²¹ ¬¸» ª»½¬±® ð

ëó:89

*()

©±«´¼ ³±ª» ¬¸» ´·²» § ¨ã õ è ±²¬±

¬¸» ´·²» § ¨ã õ íò

Û¨¿³°´» î

Ü®¿© ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã î ò

ͱ´«¬·±²

§ ¨ã î ·­ ²±¬ ¿ ´·²»¿® »¯«¿¬·±²ô ­± ©» ©·´´ ¸¿ª» ¬± ¼®¿© ¿ ­³±±¬¸ ½«®ª»ò ̱ ¼±¬¸·­ ©» ²»»¼ ¬± ½¿´½«´¿¬» ¿²¼ °´±¬ ¿ ®»¿­±²¿¾´» ²«³¾»® ±º °±·²¬­ò É» ¾»¹·² ¾§¼®¿©·²¹ «° ¿ ¬¿¾´» ±º ª¿´«»­æ

Ë­·²¹ ¬¸»­» ª¿´«»­ ¬¸» ¹®¿°¸ ½¿² ¾» ¼®¿©²ô ¿­ ­¸±©²æ

¨ P í P î P ï ð ï î í

¨ î ç ì ï ð ï ì ç

Page 106: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðë

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

Û¨¿³°´» í

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã õî î ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ½«®ª» ·­ ®»´¿¬»¼ ¬± ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã î ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ß ¬¿¾´» ±º ª¿´«»­ ¸¿­ ¾»»² ½±³°´»¬»¼æ

̸» ¹®¿°¸ ·­ ­¸±©² ¾»´±©æ

¨ P í P î P ï ð ï î í

¨ î îõ ïï ê í î í ê ïï

§ ¨ã î

Page 107: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðê

ïíòî

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

ïï

ïð

ø¾÷ ̸·­ ½«®ª» ·­ ¿ ¬®¿²­´¿¬·±² ±º ¬¸» ½«®ª» § ¨ã î ¿´±²¹ ¬¸» ª»½¬±®ð

î

:89

*()

ò

Û¨»®½·­»­

ïò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã õî ïò

ø¾÷ ͬ¿¬» ¬¸» ¹®¿¼·»²¬ ±º ¬¸·­ ´·²»ò

îò Ü®¿© ¬¸» ´·²» ¬¸¿¬ ¸¿­ ¹®¿¼·»²¬ ó ï

î ¿²¼ §ó·²¬»®½»°¬ êò

íò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ´·²»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ § ¨ã õî í ¿²¼ § ¨ã ó õî íò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¬®¿²­º±®³¿¬·±² ¬¸¿¬ ©±«´¼ ³¿° ±²» ´·²» ±²¬± ¬¸» ±¬¸»®ò

ìò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ § ¨ã î ¿²¼ § ¨ã óî ïò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ¬©± ½«®ª»­ ¿®» ®»´¿¬»¼ò

§ ¨ã õî î

Page 108: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðé

ëò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ § ¨ã õî í ¿²¼ § ¨ã óî ïò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¬®¿²­º±®³¿¬·±² ¬¸¿¬ ©±«´¼ ³¿° ¬¸» º·®­¬ ½«®ª» ±²¬± ¬¸»­»½±²¼ò

êò É·¬¸±«¬ ¼®¿©·²¹ ¿²§ ¹®¿°¸­ô ¼»­½®·¾» ¬¸» ®»´¿¬·±²­¸·° ¾»¬©»»² ¬¸» ½«®ª»­©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ã õî ïô § ¨ã óî ë ¿²¼ § ¨ã õî ê ò

éò ø¿÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ ¨ã õî î ò

ø½÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸·­ ½«®ª» ·­ ®»´¿¬»¼ ¬± ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã î ò

èò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ½«®ª» § ¨ã î î ò

ø¾÷ Ѳ ¬¸» ­¿³» ¼·¿¹®¿³ô ¿´­± ¼®¿© ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­

§ ¨ã óî ïî ¿²¼ § ¨ã õî îî ò

ø½÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ¬¸®»» ½«®ª»­ ¿®» ®»´¿¬»¼ò

çò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ § ¨ã õî ì ¿²¼ § ¨ã óî î ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¬®¿²­º±®³¿¬·±² ¬¸¿¬ ©±«´¼ ³¿° ±²» ½«®ª» ±²¬± ¬¸» ±¬¸»®ò

ïðò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ § ¨ ¨ã óî ì ¿²¼ § ¨ ¨ã õ õî î íò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ®»´¿¬·±²­¸·° ¾»¬©»»² ¬¸» ¬©± ½«®ª»­ò

ïïò ø¿÷ ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸» ¹®¿°¸ ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã î ò

§

§ ã ¨ î

¨

ݱ°§ ¬¸» ¼·¿¹®¿³ ¿²¼ô ±² ¬¸» ­¿³» ¿¨»­ô ­µ»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸ ©·¬¸

»¯«¿¬·±² § ¨ã î î ò

¨ P ì P í P î P ï ð ï î í ì

¨ ¨î îõ

Page 109: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðè

ø¾÷ Ý«®ª» ß ·­ ¬¸» ®»º´»½¬·±² ·² ¬¸» ¨ó¿¨·­ ±º § ¨ã î ò

§

§ ã ¨ î

¨

ß

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» »¯«¿¬·±² ±º ½«®ª» ß á

ø½÷ Ý«®ª» Þ ·­ ¬¸» ¬®¿²­´¿¬·±²ô ±²» «²·¬ «° ¬¸» §ó¿¨·­ô ±º § ¨ã î ò

§

¨

øðô ï÷

Þ

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» »¯«¿¬·±² ±º ½«®ª» Þ á

ø¼÷ ̸» ­¸¿¼»¼ ®»¹·±² ·­ ¾±«²¼»¼ ¾§ ¬¸» ½«®ª» § ¨ã î ¿²¼ ¬¸» ´·²»

§ ã îò

§ § ã ¨ î

¨

§ ã î

É®·¬» ¼±©² ¬©± ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬·»­ ¾»´±© ©¸·½¸ ¬±¹»¬¸»® º«´´§ ¼»­½®·¾»¬¸» ­¸¿¼»¼ ®»¹·±²ò

§ ¨ ¨ § §

§ ¨ ¨ § §

ä ä ä ä

â â â â

î

î

ð î ð

ð î ð

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïíòî

Page 110: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïðç

ïíòí Ù®¿°¸­ ±º Ý«¾·½ ¿²¼ λ½·°®±½¿´ Ú«²½¬·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º ½«¾·½ º«²½¬·±²­ô ·ò»ò ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º º«²½¬·±²­©¸±­» °±´§²±³·¿´ »¯«¿¬·±²­ ½±²¬¿·² ¨ í ¿²¼ ²± ¸·¹¸»® °±©»®­ ±º ¨ò É» ¿´­± ´±±µ

¿¬ ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º ®»½·°®±½¿´ º«²½¬·±²­ô º±® »¨¿³°´»ô § ¨ã ï

îô §

¨ã í

¿²¼ §¨

ã óîò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º § ¨ã í ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ­§³³»¬®§ ±º ¬¸» ½«®ª»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ú·®­¬ ½±³°´»¬» ¿ ¬¿¾´» ±º ª¿´«»­æ

̸» ¹®¿°¸ ·­ ­¸±©² ¾»´±©æ

ø¾÷

ø¾÷ ̸» ¹®¿°¸ ¸¿­ ®±¬¿¬·±²¿´ ­§³³»¬®§ ±º ±®¼»® î ¿¾±«¬ ¬¸» °±·²¬ ©·¬¸½±±®¼·²¿¬»­ øðô ð÷ò

¨ P í P î P ï ð ï î í

§ ¨ã í P îé P è P ï ð ï è îé

§

¨Pí Pî Pï ï î íð

îì

îð

ïê

ïî

è

ì

Pïî

Pïê

Pîð

Pîì

Pîè

§ ¨ã í

Page 111: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïð

ïíòí

Û¨¿³°´» î

Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ ¨ã óí í ò

ͱ´«¬·±²

ݱ³°´»¬·²¹ ¿ ¬¿¾´» ±º ª¿´«»­ ¹·ª»­æ

̸» ¹®¿°¸ ·­ ­¸±©² ¾»´±©æ§

¨Pí Pî Pï ï î íð

îð

ïê

ïî

è

ì

Pïî

Pïê

Pîð

Û¨¿³°´» í

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² §¨

ã èò

ø¾÷ Ѳ ¬¸» ­¿³» ¼·¿¹®¿³ô ¼®¿© ¬¸» ´·²» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã õ î ò

ø½÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ©¸»®» ¬¸» ´·²» ½®±­­»­ ¬¸» ½«®ª»ò

¨ P ì P í P î P ï ð ï î í ì

§ ¨ ¨ã óí í P ëî P ïè P î î ð P î î ïè ëî

§ ¨ ¨ã óí í

Page 112: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïï

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ݱ³°´»¬·²¹ ¿ ¬¿¾´» ±º ª¿´«»­ ¹·ª»­æ

Ò±¬» ¬¸¿¬è

¨ ·­ ²±¬ ¼»º·²»¼ ©¸»² ¨ ã ð ò

̸»­» ª¿´«»­ ½¿² ¬¸»² ¾» «­»¼ ¬± ¼®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ¾»´±©ò

§

¨Pê Pì Pî î ì êð

ïð

è

ê

ì

î

Pïð

ïî

ïì

ïê

Pïî

Pïì

Pïê

Pè è

§ ã ¨ õ î

§ ã è¨

§ ã è¨

¨ P è P ì P î P ï ó ïî

ïî ï î ì è

§¨

ã èP ï P î P ì P è P ïê ïê è ì î ï

Page 113: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïî

ïíòí

ø¾÷ ̸» ´·²» § ¨ã õ î ô ©¸·½¸ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ øP êô P ì÷ô øðô î÷ ¿²¼ øèô ïð÷ò ¸¿­¾»»² ¿¼¼»¼ ¬± ¬¸» ¹®¿°¸ ¿¾±ª»ò

ø½÷ ̸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸»­» °±·²¬­ ¿®» øP ìô P î÷ ¿²¼ øîô ì÷ò

Û¨»®½·­»­ïò ø¿÷ Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ¼®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ã õí ëô § ¨ã óí ï ¿²¼ § ¨ã óí ìò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ¹®¿°¸­ ¿®» ®»´¿¬»¼ò

îò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ ¨ã óí ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ­§³³»¬®§ ±º ¬¸» ½«®ª»ò

íò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã õø ÷ï íò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ½«®ª» ®»´¿¬»­ ¬± ¬¸» ¹®¿°¸ ±º § ¨ã í ò

ø½÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ­§³³»¬®§ ±º ¬¸» ½«®ª» § ¨ã õø ÷ï íò

ìò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã óø ÷î í ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ­§³³»¬®§ ±º ¬¸·­ ½«®ª»ò

ëò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ § ¨ã óî í ¿²¼

§ ¨ã í ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¬®¿²­º±®³¿¬·±² ¬¸¿¬ ©±«´¼ ³¿° ±²» ½«®ª» ±²¬± ¬¸» ±¬¸»®ò

êò ø¿÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ø¾÷ Ë­» ¬¸»­» ª¿´«»­ ¬± ¼®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² §¨

ã ïò

ø½÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ­§³³»¬®§ ±º ¬¸·­ ½«®ª»ò

¨ P ì P î P ï ó ïî

ïî ï î ì

ï¨

Page 114: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïí

éò Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ¼®¿© ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§¨

ã ïô §

¨ã î

¿²¼ §¨

ã ìò

èò ø¿÷ Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ¼®¿© ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² §¨

ã ê ¿²¼ ¬¸»

´·²» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã óé ô º±® ª¿´«»­ ±º ¨ º®±³ï

î ¬± éò

ø¾÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ©¸»®» ¬¸» ´·²» ·²¬»®­»½¬­ ¬¸»½«®ª»ò

çò Ü»¬»®³·²»ô ¾§ ¼®¿©·²¹ ¿ ¹®¿°¸ô ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ©¸»®» ¬¸» ´·²»

©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã ó í ·²¬»®­»½¬­ ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² §¨

ã ïðò Ë­»

ª¿´«»­ ±º ¨ º®±³ P ì ¬± êò

ïðò Ü»¬»®³·²»ô ¹®¿°¸·½¿´´§ô ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ©¸»®» ¬¸» ½«®ª» §¨

ã ï

·²¬»®­»½¬­ ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

ø¿÷ § ¨ã î ô ø¾÷ § ¨ã í ò

ïíòì ͱ´ª·²¹ Ò±²óÔ·²»¿® Û¯«¿¬·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½±²­·¼»® ¸±© ¬± ­±´ª» »¯«¿¬·±²­ ¾§ «­·²¹ ¹®¿°¸­ô ¬®·¿´ ¿²¼·³°®±ª»³»²¬ ±® ¿ ½±³¾·²¿¬·±² ±º ¾±¬¸ò

Û¨¿³°´» ï

ͱ´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨í êõ ã ¾§ «­·²¹ ¿ ¹®¿°¸ò

ͱ´«¬·±²

̸» ¹®¿°¸ § ¨ ¨ã õí ­¸±«´¼ ¾» ¼®¿©² º·®­¬ô ¿­ ­¸±©²ò

ß ´·²» ½¿² ¬¸»² ¾» ¼®¿©² ±² ¬¸» ¹®¿°¸ º®±³ ê ±² ¬¸» §ó¿¨·­ô ¿½®±­­ ¬± ¬¸» ½«®ª»¿²¼ ¼±©² ¬± ¬¸» ¨ó¿¨·­ò ̸·­ ¹·ª»­ ¿² ¿°°®±¨·³¿¬» ­±´«¬·±² ¾»¬©»»² ïòê ¿²¼ ïòéô­± ¹®¿°¸·½¿´´§ ©» ³·¹¸¬ »­¬·³¿¬» ¨ ¬± ¾» ïòêëò

Page 115: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïì

ïíòì

§

¨Pí Pî Pï ï î íð

îð

ïê

ïî

è

ì

îì

îè

íî

Pïî

Pïê

Pîð

Pîì

Pîè

Píî

§ ¨ ¨ã õí

Page 116: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïë

ïíòì

Û¨¿³°´» î

Ü»¬»®³·²» ¿ ­±´«¬·±² ¬± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨í êõ ã ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ͱ´«¬·±²

̸» °®»ª·±«­ »¨¿³°´» ­«¹¹»­¬»¼ ¹®¿°¸·½¿´´§ ¬¸¿¬ ¬¸»®» ·­ ¿ ­±´«¬·±² ±º ¬¸»»¯«¿¬·±² ¾»¬©»»² ¨ ã ï êò ¿²¼ ¨ ã ï éò ò É» ©·´´ ²±© «­» ¿ ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬³»¬¸±¼ ¬± º·²¼ ¨ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ô «­·²¹ ¨ ã ï êò ¿­ ¿ ­¬¿®¬·²¹ ª¿´«» ·² ¬¸» °®±½»­­ò

߬ ¬¸·­ ­¬¿¹» ©» ½¿² ½±²½´«¼» ¬¸¿¬ ¬¸» ­±´«¬·±² ·­ ¨ ã ï êíò ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´°´¿½»­ò

Û¨¿³°´» í

Ë­» ¿ ¹®¿°¸ ¿²¼ ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬

¬± ­±´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨í î ïðõ ã ò

ͱ´«¬·±²

̸» ¹®¿°¸ ·²¼·½¿¬»­ ¬¸¿¬ ¬¸»®» ©·´´ ¾» ¿­±´«¬·±² ¬¸¿¬ ·­ ¿ ´·¬¬´» ´»­­ ¬¸¿² îô¿°°®±¨·³¿¬»´§ ïòçò

ß ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ ¿°°®±¿½¸ ·­²±© «­»¼ ¬± ¼»¬»®³·²» ¨ ¬± ¿ ¹®»¿¬»®¼»¹®»» ±º ¿½½«®¿½§ò

Ì®·¿´ ¨ ¨ ¨í õ ݱ³³»²¬

ïòê ëòêçê ïòê ä ¨

ïòé êòêïí ïòê ä ¨ ä ïòé

ïòêë êòïìîïîë ïòê ä ¨ ä ïòêë

ïòêí ëòçêðéìé ïòêí ä ¨ ä ïòêë

ïòêì êòðëðçìì ïòêí ä ¨ ä ïòêì

ïòêíë êòððëéîîèè ïòêí ä ¨ ä ïòêíë

§

¨Pí Pî Pï ï î íð

§ ã ¨ í õ ¨ î

ïð

è

ê

ì

î

ïî

Page 117: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïê

ïíòì

̸» ­±´«¬·±² ·­ ¨ ã ï èéò ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Ò±¬»æ ̸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨í î ïðõ ã ¸¿¼¶«­¬ ±²» ­±´«¬·±²ò ر©»ª»®ô ·²¹»²»®¿´ô ¬¸»®» ³¿§ ¾» ³±®» ¬¸¿²±²» ­±´«¬·±²ò Ú±® »¨¿³°´»ô ¬¸»¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±²

¨ ¨í î ð ïõ ã ò ¸¿­ ¬¸®»» ­±´«¬·±²­ò

Û¨»®½·­»­

ïò Ë­» ¿ ¹®¿°¸ ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» î ­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î êõ ã ò

îò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ ¨ã óî î ò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± ¼»¬»®³·²» ¿°°®±¨·³¿¬» ­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸» »¯«¿¬·±²­æ

ø·÷ î èî¨ ¨ó ã ô

ø··÷ î ëî¨ ¨ó ã ò

íò ̸» º±´´±©·²¹ ¹®¿°¸ ·­ º±® § ¨ ¨ ¨ã ó óí î ê ò

Ë­» ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± ­±´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ ¨ ¨ ¨í î ê èó ó ã ø¾÷ ¨ ¨ ¨í î ê ïðó ó ã o

ø½÷ ¨ ¨ ¨í î ê îó ó ã ø¼÷ ¨ ¨ ¨í î ê ìó ó ã ó

Ì®·¿´ ¨ ¨ ¨í îõ ݱ³³»²¬

ïòç ïðòìêç ¨ ä ïòç

ïòè çòðéî ïòè ä ¨ ä ïòç

ïòèë çòéëìïîë ïòèë ä ¨ ä ïòç

ïòèè ïðòïéçðéî ïòèë ä ¨ ä ïòèè

ïòèé ïðòðíêïðí ïòèë ä ¨ ä ïòèé

ïòèê çòèçììëê ïòèê ä ¨ ä ïòèé

ïòèêë çòçêëïïìêí ïòèêëä ¨ ä ïòèé

§ ã ¨ í õ ¨ î

§

¨

ïòë

ðòë

Pðòë

Pïòë

Pï ï

§ ã ðòï

Page 118: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïé

§

¨Pí Pî Pï ï î íð

îð

ïê

ïî

è

ì

îì

Pïî

Pïê

Pîð

ì

ìò ̸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨í ïðððõ ã ¸¿­ ¿ ­±´«¬·±² ½´±­» ¬± ¨ ã ïð ò

Ë­» ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ ¬± ±¾¬¿·² ¬¸» ­±´«¬·±² ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ëò ̸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨õ ã ë ¸¿­ ¿ ­±´«¬·±² ¾»¬©»»² ¨ ¨ã ãí ì ¿²¼ ò Ú·²¼¬¸·­ ­±´«¬·±² ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

êò Ë­» ¿ ¹®¿°¸·½¿´ ³»¬¸±¼ º±´´±©»¼ ¾§ ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ ¬± ¼»¬»®³·²»

¾±¬¸ ­±´«¬·±²­ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î ê èõ ã ô ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

éò ̸» »¯«¿¬·±² ¨¨

õ ãïè ¸¿­ î ­±´«¬·±²­ò

ø¿÷ Ë­» ¿ ¹®¿°¸ ¬± ¼»¬»®³·²» ¿°°®±¨·³¿¬»­ ª¿´«»­ º±® ¬¸»­» ­±´«¬·±²­ò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸»­» ­±´«¬·±²­ ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ «­·²¹ ¬®·¿´ ¿²¼·³°®±ª»³»²¬ò

èò ̸» »¯«¿¬·±² è ëî í¨ ¨ó ã ¸¿­ í ­±´«¬·±²­ò Ü»¬»®³·²» »¿½¸ ­±´«¬·±²½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

§ ¨ ¨ ¨ã ó óí î ê

Page 119: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïè

¨ §

ï P í

î ï

ïíòì

çò ̸» »¯«¿¬·±² ï

ïî

¨¨õ ã ¸¿­ ï ­±´«¬·±²ò Ü»¬»®³·²» ¬¸·­ ­±´«¬·±² ½±®®»½¬ ¬±

î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ïðò Ü»¬»®³·²» »¿½¸ ±º ¬¸» ­±´«¬·±²­ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨í ì îó ã ½±®®»½¬ ¬±î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ïïò ̸» ¬¿¾´» ¾»´±© ­¸±©­ ª¿´«»­ ±º ¨ ¿²¼ § º±® ¬¸» »¯«¿¬·±² § ¨ ¨ã õ óî ëò

ø¿÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» ¬¿¾´»ò

̸» ª¿´«» ±º § ·­ 𠺱® ¿ ª¿´«» ±º ¨ ¾»¬©»»² ï ¿²¼ îò

ø¾÷ Ú·²¼ ¬¸» ª¿´«» ±º ¨ô ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ô ¬¸¿¬ ¹·ª»­ ¬¸» ª¿´«» ±º § ½´±­»­¬¬± ðò

DZ« ³¿§ «­» ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ô ¿­ ­¸±©²ò

øÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïîò Û²·¼ ©¿²¬­ ¬± º·²¼ ¬¸» ®±±¬­ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² î ïð ëî¨ ¨ã ó ò̸» ®±±¬­ ¿®» ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¨ ©¸·½¸ ³¿µ» ¬¸» »¯«¿¬·±² ½±®®»½¬ò

Û²·¼ ©±®µ­ ±«¬ ª¿´«»­ ±º î î¨ ¿²¼ ïð ë¨ ó ò͸» ¿´­± ©±®µ­ ±«¬ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² »¿½¸ °¿·® ±º ª¿´«»­ ¾§ ­«¾¬®¿½¬·²¹¬¸» ª¿´«» ïð ë¨ ó º®±³ ¬¸» ª¿´«» ±º î î¨ òÛ²·¼ ²±¬»­ ©¸»¬¸»® ¬¸·­ ¼·ºº»®»²½» ·­ °±­·¬·ª» ±® ²»¹¿¬·ª»ò

ø¿÷ Ѳ» ®±±¬ ±º ¬¸» »¯«¿¬·±² î ïð ëî¨ ¨ã ó ´·»­ ¾»¬©»»² ¨ ã ð ¿²¼ ¨ ã ïòË­» ¬¸» ¬¿¾´» ¬± »¨°´¿·² ©¸§ò

¨ P î P ï ð ï î í

§ P í ï é

¨ î î¨ ïð ë¨ ó Ü·ºº»®»²½»

P î è P îë õ íí б­·¬·ª»

P ï î P ïë õ ïé б­·¬·ª»

ð ð P ë õ ë б­·¬·ª»

ï î ë P í Ò»¹¿¬·ª»

î è ïë P é Ò»¹¿¬·ª»

Page 120: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïïç

Û²·¼ ¬¸»² ¬®·»­ ï ¼»½·³¿´ °´¿½» ²«³¾»®­ º±® ¨ò

ø¾÷ Þ»¬©»»² ©¸·½¸ ¬©± ï ¼»½·³¿´ °´¿½» ²«³¾»®­ ¼±»­ ¬¸» ®±±¬ ´·»á

ø½÷ Ì®§ ­±³» î ¼»½·³¿´ °´¿½» ²«³¾»®­ º±® ¨ò͸±© ¿´´ §±«® ¬®·¿´­ ·² ¿ ¬¿¾´» ´·µ» ¬¸» ±²» ¾»´±©ò

Ú·²¼ ¬¸» ¬©± ª¿´«»­ ±º ¨ ¾»¬©»»² ©¸·½¸ ¬¸» ®±±¬ ´·»­ò

É®·¬» ¼±©² ¿´´ ¬¸» ¼·¹·¬­ §±« ¹»¬ º±® ¬¸» ª¿´«»­ ±º î î¨ ô ïð ë¨ ó¿²¼ Ü·ºº»®»²½»ò

ø¼÷ Þ»¬©»»² ©¸·½¸ ¬©± î ¼»½·³¿´ °´¿½» ²«³¾»®­ ¼±»­ ¬¸» ®±±¬ ´·»á

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ ëóéñÐï÷

¨ î î¨ ïð ë¨ ó Ü·ºº»®»²½»

ðòí ðòïè P î õ îòïè

ðòì ðòíî P ï õ ïòíî

ðòë ðòëð ð õ ðòëð

ðòê ðòéî ï P ðòîè

ðòé ðòçè î P ïòðî

¨ î î¨ ïð ë¨ ó Ü·ºº»®»²½»

Page 121: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîð

ïíòì

ïíò

̸» ¹®¿°¸ ­¸±©­ § ¨ ¨ã õî ì ò

ø¿÷ ͱ´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î ì î ðõ ó ã «­·²¹ ¬¸» ¹®¿°¸òÙ·ª» §±«® ¿²­©»®­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¾÷ Ù·ª» ¿² »¨¿³°´» ±º ¿²±¬¸»® »¯«¿¬·±² §±« ½±«´¼ ­±´ª» ·² ¿ ­·³·´¿® ©¿§«­·²¹ ¬¸» ¹®¿°¸ò

ø½÷ ̸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î ì ë ðõ õ ã ½¿²²±¬ ¾» ­±´ª»¼ «­·²¹ ¬¸» ¹®¿°¸òɸ§ ²±¬á

Õ»´´§ «­»¼ ¿² ·¬»®¿¬·ª» ³»¬¸±¼ ¬± º·²¼ ¿ ³±®» ¿½½«®¿¬» ­±´«¬·±² ¬± ¬¸»

»¯«¿¬·±² ¨ ¨î ì î ðõ ó ã ò

Õ»´´§ù­ ³»¬¸±¼ ©¿­ ¨¨

²

²

õ ãõï

î

ì

Pë Pì PîPí Pï ï

ì

í

î

ï

ðð ¨

§

§ ã ¨ î õ ì ¨

Page 122: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîï

ø¼÷ Û¨°´¿·² ¸±© Õ»´´§ù­ ³»¬¸±¼ ®»´¿¬»­ ¬± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î ì î ðõ ó ã ò

Õ»´´§ ­¬¿®¬»¼ ©·¬¸ ¨ ï ïã «­»¼ ¸»® ·¬»®¿¬·ª» ³»¬¸±¼ º±«® ¬·³»­ò͸» ¹±¬ ¬¸»­» ®»­«´¬­ò

¨ ï ¨ î ¨ í ¨ ì ¨ ë

ï ð ì ðòìëìëìëë ðòììèçéçê ðòììçëìïí

ø»÷ ͬ»ª» «­»¼ ¿ ¼·ºº»®»²¬ ·¬»®¿¬·ª» ³»¬¸±¼ò

ͬ»ª»ù­ ³»¬¸±¼ ©¿­ ¨¨

¨²

²

²

õ ã óï

î ìò

Ø» ­¬¿®¬»¼ ©·¬¸ ¨ ï ïã òɱ®µ ±«¬ ¨ ¨ ¨ ¨î í ì ëô ô ¿²¼ ¿²¼ ©®·¬» ¬¸»³ ­¸±©·²¹ ¿´´ ¬¸» ¼·¹·¬­ ±²§±«® ½¿´½«´¿¬±®ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ çóïð÷

ïíòë Ï«¿¼®¿¬·½ ײ»¯«¿´·¬·»­×² ¬¸» º·®­¬ ­»½¬·±² ±º ¬¸·­ «²·¬ ©» ½±²­·¼»®»¼ ´·²»¿® ·²»¯«¿´·¬·»­ò ײ ¬¸·­ ­»½¬·±²©» ©·´´ ½±²­·¼»® ¯«¿¼®¿¬·½ ·²»¯«¿´·¬·»­ ¿²¼ ³¿µ» «­» ±º ¾±¬¸ ¹®¿°¸­ ¿²¼ ¬¸»º¿½¬±®·­¿¬·±² ¬¸¿¬ §±« «­»¼ ·² ˲·¬ ïïò

É» ¾»¹·² ©·¬¸ ¿ ¹®¿°¸·½¿´ ¿°°®±¿½¸ò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ ¨ã õ óî í ïðò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± ­±´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î í ïð ðõ ó m ò

ͱ´«¬·±²

̸» ¹®¿°¸ ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò Ò±¬» ¬¸¿¬ ¨ ¨î í ïð ðõ ó ã ¿¬ ¨ ã óë ¿²¼ ¨ ã î ò

̸» ¹®¿°¸ ­¸±©­ ¬¸¿¬

¨ ¨î í ïð ðõ ó m

©¸»² ¨ ¨} ó më î ±® ò

Page 123: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîî

ïíòë

§

¨Pí Pî Pï ï î íðPëPê Pì

ïð

è

ê

ì

î

Pïð

Pïî

Û¨¿³°´» î

ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§

¨ ¨î ê ðó ä

ͱ´«¬·±²

Ú¿½¬±®·­·²¹ ¹·ª»­æ

¨ ¨ ¨ ¨î ê êó ã óø ÷

ͱ ¨ ¨î ê ðó ã ©¸»² ¨ ã ð ±® ¨ ã ê ò

͵»¬½¸·²¹ ¬¸» ¹®¿°¸ ¿­ ­¸±©²·²¼·½¿¬»­ ¬¸¿¬ ¬¸» ­±´«¬·±² ·­

ð êä ä¨ ò

Û¨¿³°´» í

ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§

îë ðîó â¨

§ ¨ ¨ã õ óî í ïð

§

¨ð ê

§ ã ¨ î ó ê ¨

Page 124: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîí

ͱ´«¬·±²

Ú¿½¬±®·­·²¹ ¹·ª»­æ

îë ë ëîó ã óø ÷ õø ÷¨ ¨ ¨

ͱ îë ðîó 㨠©¸»² ¨ ã ë ±® ¨ ã óë ò

̸» ­µ»¬½¸ ­¸±©­ ¬¸¿¬ îë ðîó â¨

©·´´ ¾» ­¿¬·­º·»¼ ©¸»² ó ä äë ë¨ ò

Û¨»®½·­»­

ïò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ ¨ã õ óî î íò

ø¾÷ ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î î í ðõ ó m

ø½÷ ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î î í ðõ ó ä ò

îò Ë­» ¿ ¹®¿°¸ ¬± ­±´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ï ðîó ä¨ ò

íò Ë­» ¿ ¹®¿°¸ ¬± ­±´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î í ì ðõ ó } ò

ìò ø¿÷ Ú¿½¬±®·­» ¨ ¨î ëó ò

ø¾÷ ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸ ±º § ¨ ¨ã óî ë ò

ø½÷ ͬ¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î ë ðó ä ò

ëò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ ·²»¯«¿´·¬·»­æ

ø¿÷ ¨ ¨î ë ðõ â ø¾÷ ¨ ¨î í ðó }

ø½÷ ¨ ¨ó äî ð ø¼÷ î ðî¨ ¨ó m

êò ø¿÷ Ú¿½¬±®·­» ¨ î ìçó ò

ø¾÷ ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸ ±º § ¨ã óî ìç ò

ø½÷ ͬ¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ î ìç ðó â ò

§

¨ð

îë§ ã îë ó ¨ î

Pë ë

Page 125: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîì

éò ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬·»­æ

ø¿÷ ¨ î íê ðó ä ø¾÷ ïðð ðîó m¨

ø½÷ ¨ î ïê ðó } ø¼÷ èï ðîó ä¨

èò ø¿÷ Ú¿½¬±®·­» ¨ ¨î ë ïìó ó ò

ø¾÷ ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸ ±º § ¨ ¨ã ó óî ë ïìò

ø½÷ ͬ¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î ë ïì ðó ó m ò

çò ͱ´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬·»­æ

ø¿÷ ¨ ¨î ê îé ðó ó ä ø¾÷ ¨ ¨î é ïî ðõ õ }

ø½÷ ¨ ¨î ïí ìð ðó õ â ø¼÷ ¨ ¨î é ïè ðó ó m

ïðò ø¿÷ Ú¿½¬±®·­» ó õ ó¨ ¨î ïî îéò

ø¾÷ ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸ ±º § ¨ ¨ã ó õ óî ïî îéò

ø½÷ ͬ¿¬» ¬¸» ­±´«¬·±² ±º ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ ¨ ¨î ïî îé ðó õ ä ò

ïïò Ü»²·­» ¿²¼ Ô«µ» ¿®» «­·²¹ ¬¸» »¨°®»­­·±² ² ² õø ÷ï

î ¬± ¹»²»®¿¬» ¬®·¿²¹«´¿®

²«³¾»®­ò

Ú±® »¨¿³°´»ô ¬¸» ¬®·¿²¹«´¿® ²«³¾»® º±® ² ã ì ·­ ì ì ï

î

õø ÷ô ©¸·½¸ ©±®µ­ ±«¬

¬± ¾» ïðò

ø¿÷ Ü»²·­» ©¿²¬­ ¬± ­±´ª» ¬¸» ·²»¯«¿´·¬§ íððï

îíêðä

õø ÷ ä² ²

¬± º·²¼ ¬¸»

¬©± ¬®·¿²¹«´¿® ²«³¾»®­ ¾»¬©»»² íðð ¿²¼ íêðò

ɸ¿¬ ¿®» ¬¸»­» ¬©± ¬®·¿²¹«´¿® ²«³¾»®­á

DZ« ³¿§ «­» ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ò

ø¾÷ Ô«µ» ©¿²¬­ ¬± º·²¼ ¬¸» ¬©± ­³¿´´»­¬ ¬®·¿²¹«´¿® ²«³¾»®­ ©¸·½¸ º·¬ ¬¸»

·²»¯«¿´·¬§² ² õø ÷ â

ï

îîéðð ò

ɸ¿¬ ¿®» ¬¸»­» ¬©± ¬®·¿²¹«´¿® ²«³¾»®­á

DZ« ³¿§ «­» ¬®·¿´ ¿²¼ ·³°®±ª»³»²¬ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïíòë

Page 126: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîë

ïíòê Û¯«¿¬·±²­ ±º л®°»²¼·½«´¿® Ô·²»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½±²­·¼»® ¬¸» ®»´¿¬·±²­¸·° ¾»¬©»»² °»®°»²¼·½«´¿® ´·²»­ò

׺ ±²» ´·²» ¸¿­ ¹®¿¼·»²¬ ³ô ³ g ðô ¿ ´·²» ¬¸¿¬ ·­

°»®°»²¼·½«´¿® ¬± ·¬ ©·´´ ¸¿ª» ¹®¿¼·»²¬óï

³ò

Ò±¬»æ ̸» »¨¿³°´»­ ¬¸¿¬ º±´´±© ³¿µ» «­» ±º ¬¸» ¹»²»®¿´ »¯«¿¬·±² § ³ ¨ ½ã õº±® ¿ ­¬®¿·¹¸¬ ´·²» ©·¬¸ ¹®¿¼·»²¬ ³ ¿²¼ §ó·²¬»®½»°¬ ½ò

Û¨¿³°´» ï

ß ´·²» °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» ±®·¹·² ¿²¼ ·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ¬¸» ´·²» ©·¬¸ »¯«¿¬·±²§ ¨ã óé ò Ü»¬»®³·²» ¬¸» »¯«¿¬·±² ±º ¬¸» ´·²»ò

ͱ´«¬·±²

̸» ´·²»ù­ »¯«¿¬·±² § ¨ã óé ½¿² ¾» ®»©®·¬¬»² ·² ¬¸» º±®³ § ¨ã ó õ é ­¸±©·²¹¬¸¿¬ ·¬ ¸¿­ ¹®¿¼·»²¬ P ïò

ß °»®°»²¼·½«´¿® ´·²» ©·´´ ¸¿ª» ¹®¿¼·»²¬óó

ãï

ïï ¿²¼ ­± ·¬­ »¯«¿¬·±² ©·´´ ¾» § ¨ ½ã õ ò

ß­ ·¬ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» ±®·¹·²ô ©» µ²±© § ã 𠩸»² ¨ ã ð ò

Í«¾­¬·¬«¬·²¹ ¬¸»­» ª¿´«»­ ·²¬± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¹·ª»­ô

ð ã ð õ ½

­±

½ ã ð

Ø»²½» ¬¸» »¯«¿¬·±² ·­ § ¨ã ò

Û¨¿³°´» î

ß ´·²» °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» °±·²¬­ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ øîô ê÷ ¿²¼ øëô P ï÷ò

ß ­»½±²¼ ´·²» °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» °±·²¬­ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ øðô í÷ ¿²¼ øéô ê÷ò

ß®» ¬¸» ¬©± ́ ·²»­ °»®°»²¼·½«´¿®á

ͱ´«¬·±²

Ù®¿¼·»²¬ ±º º·®­¬ ´·²» ãóø ÷ ó

óï ê

ë î

ã ó é

í

Ù®¿¼·»²¬ ±º ­»½±²¼ ´·²» ã ê í

é ð

óó

ò

ã í

éò

Page 127: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîê

Þ«¬ ¿­í

éã ó

ó:8

*(

ï

é

í

ô ¬¸» ´·²»­ ¿®» °»®°»²¼·½«´¿®ò

Ò±¬»æ ̸·­ »¨¿³°´» ·´´«­¬®¿¬»­ ¿² ¿´¬»®²¿¬·ª» ©¿§ ±º ´±±µ·²¹ ¿¬ ¬¸» ®»´¿¬·±²­¸·°¾»¬©»»² ¬¸» ¹®¿¼·»²¬­ ±º °»®°»²¼·½«´¿® ´·²»­ô ²¿³»´§ ¬¸¿¬ ¬¸» °®±¼«½¬ ±º¬¸»·® ¹®¿¼·»²¬­ ·­ óïò

Ú±® »¨¿³°´»ô ó l ã óé

í

í

éï

Û¨»®½·­»­

ïò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ´·²» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã óî ïò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» »¯«¿¬·±² ±º ¿ °»®°»²¼·½«´¿® ´·²» ¬¸¿¬ °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸»±®·¹·²ò

ø½÷ Ü®¿© ¬¸·­ ´·²» ¿²¼ ½¸»½µ ¬¸¿¬ ·¬ ·­ °»®°»²¼·½«´¿®ò

îò ̸» »¯«¿¬·±²­ ±º ë ´·²»­ ¿®» ¹·ª»² ¾»´±©ò

ß § ¨ã óè ë

Þ § ¨ã õí î

Ý

Ü

Û

§¨

§¨

§¨

ã ó õ

ã ó

ã ó õ

î

ïêï

ìí

èé

ɸ·½¸ ´·²» ±® ´·²»­ ¿®»æ

ø¿÷ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ßô ø¾÷ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± Þ á

íò ̸» °±·²¬­ ßô Þô Ý ¿²¼ Ü ¸¿ª» ½±±®¼·²¿¬»­ øïô í÷ô øêô ï÷ô øíô ï÷ ¿²¼ øëô ê÷®»­°»½¬·ª»´§ò ͸±© ¬¸¿¬ ßÞ ·­ °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ÝÜò

ìò ß ¯«¿¼®·´¿¬»®¿´ ¸¿­ ½±®²»®­ ¿¬ ¬¸» °±·²¬­ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ Ï øéô í÷ô Î øêô ë÷ôÍ øîô í÷ ¿²¼ Ì øíô ï÷ò

͸±© ¬¸¿¬ ÏÎÍÌ ·­ ¿ ®»½¬¿²¹´»ò

ëò ̸» ´·²» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ã óé ¿²¼ ¿ °»®°»²¼·½«´¿® ´·²» ·²¬»®­»½¬ ¿¬ ¬¸»°±·²¬ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ øìô í÷ò Ü»¬»®³·²» ¬̧ » »¯«¿¬·±² ±º ¬̧ » °»®°»²¼·½«´¿® ́ ·²»ò

ïíòê

Page 128: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîé

êò ß®» ¬¸» ´·²»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­

§¨

§ ¨ã ó ã óî

íè í ¿²¼

°»®°»²¼·½«´¿®á

éò ß ´·²» °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» ±®·¹·² ¿²¼ ¬¸» °±·²¬ øìô é÷ò Ü»¬»®³·²» ¬¸»»¯«¿¬·±²­ ±º ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ´·²»­ ¬¸¿¬ °¿­­ ¬¸®±«¹¸æ

ø¿÷ ¬¸» ±®·¹·²ô ø¾÷ ¬¸» °±·²¬ øìô é÷ò

èò ß ´·²» ·­ ¼®¿©² °»®°»²¼·½«´¿® ¬± ¬¸» ´·²» § ¨ã õï

îì ­± ¬¸¿¬ ·¬ °¿­­»­

¬¸®±«¹¸ ¬¸» °±·²¬ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ øíô í÷ò

ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» »¯«¿¬·±² ±º ¬¸» °»®°»²¼·½«´¿® ´·²»ò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» °±·²¬ ©¸»®» ¬¸» ¬©± ´·²»­ ·²¬»®­»½¬ò

çò Ì©± °»®°»²¼·½«´¿® ´·²»­ ·²¬»®­»½¬ ¿¬ ¬¸» °±·²¬ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ øìô ê÷ò Ѳ»´·²» ¸¿­ ¹®¿¼·»²¬ P ìò Ü»¬»®³·²» ¬¸» »¯«¿¬·±²­ ±º ¬¸» ¬©± ´·²»­

ïðò Ì©± °»®°»²¼·½«´¿® ´·²»­ ·²¬»®­»½¬ ¿¬ ¬¸» °±·²¬ ©·¬¸ ½±±®¼·²¿¬»­ øêô ë÷ò Ѳ»´·²» °¿­­»­ ¬¸®±«¹¸ ¬¸» ±®·¹·²ò ɸ»®» ¼±»­ ¬¸» ±¬¸»® ´·²» ·²¬»®­»½¬ ¬¸»¨ó¿¨·­á

Page 129: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîè

ïì Û­¬·³¿¬·±² ¿²¼ß°°®±¨·³¿¬·±²

ïìòï α«²¼·²¹Ì¸»®» ¿®» ¬¸®»» ³¿·² ©¿§­ ¬± ®±«²¼ ²«³¾»®­æ

ø·÷ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðô ïððô ïðððô »¬½å

ø··÷ ¬± ¿ ½»®¬¿·² ²«³¾»® ±º ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­å

ø···÷ ¬± ¿ ½»®¬¿·² ²«³¾»® ±º ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¿ ³»¿­«®»¼ ´»²¹¬¸ ­«½¸ ¿­ ùïî ½³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ù ³»¿²­ ¬¸¿¬ ¬¸»¿½¬«¿´ ´»²¹¬¸ ´·»­ ¾»¬©»»² ïïòë ½³ ¿²¼ ïîòë ½³ò

Þ§ ½±²ª»²¬·±²ô ©» ²±®³¿´´§ ®±«²¼ ðòë «° ¬± ¬¸» ²»¨¬ ©¸±´» ²«³¾»®ô ­± ·² º¿½¬ô

ïïòë ½³ } ¿½¬«¿´ ´»²¹¬¸ ä ïîòë ½³

É» ½¿´´ ïïòë ¬¸» ´±©»® ¾±«²¼ ¿²¼ ïîòë ¬¸» «°°»® ¾±«²¼ò É» ½¿² ¿´­± ©®·¬» ¬¸»«°°»® ¾±«²¼ ¿­

ïîòìççç ò ò ò ò ±® ïî ìçò Y

©¸»®» ¬¸» ¼±¬ ¿¾±ª» ¬¸» ç ³»¿²­ ¬¸¿¬ ·¬ ·­ ®»°»¿¬»¼ ·²¼»º·²·¬»´§ô ±® ®»½«®­ò

׬ ·­ ·³°±®¬¿²¬ ¬± ­»» ¬¸¿¬ ïîòìç ·­ ²±¬ ¬¸» «°°»® ¾±«²¼ô ¿­ô º±® »¨¿³°´»ô ¬¸»´»²¹¬¸ ½±«´¼ ¸¿ª» ¾»»² ïîòìçèò

Û¨¿³°´» ï

ß º±±¬¾¿´́ ³¿¬½ ̧·­ ©¿¬½¸»¼ ¾§ ëê éìî °»±°´»ò É®·¬» ¬¸·­ ²«³¾»® ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ô

ø¿÷ ïð ðððô ø¾÷ ïðððô ø½÷ ïðò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ëê éìî ã êð ðð𠬱 ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð ðððò

ø¾÷ ëê éìî ã ëé ðð𠬱 ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðððò

ø½÷ ëê éìî ã ëê éì𠬱 ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðò

Û¨¿³°´» î

É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­æ

ø¿÷ ìé íïê ø¾÷ íðí çéï

ø½÷ îðòìëí ø¼÷ ðòððìíêè

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ìé íïê ã ìé íð𠬱 í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¾÷ íðí çéï ã íðì ðð𠬱 í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø½÷ îðòìëí ã îðòë ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¼÷ ðòððìíêè ã ðòððìíé ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

Page 130: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïîç

Û¨¿³°´» í

É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²«³¾»® ±º ¼»½·³¿´ °´¿½»­ ­¬¿¬»¼æ

ø¿÷ ðòíéìï ¬± î ¼ò°ò

ø¾÷ íòèìëï ¬± î ¼ò°ò

ø½÷ ïìîòèíïë ¬± ï ¼ò°ò

ø¼÷ ðòðððèëï ¬± ì ¼ò°ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ðòíéìï ã ðòíé ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¾÷ íòèìëï ã íòèë ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­

ø½÷ ïìîòèíïë ã ïìîòè ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

ø¼÷ ðòðððèëï ã ðòðððç ¬± ì ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Û¨¿³°´» ì

ͬ¿¬» ¬¸» «°°»® ¿²¼ ´±©»® ¾±«²¼­ º±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¯«¿²¬·¬·»­ ¿²¼ ©®·¬» ¿²·²»¯«¿´·¬§ º±® ¬¸» ¿½¬«¿´ ª¿´«» ·² »¿½¸ ½¿­»ò

ø¿÷ ì ³³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³³ò

ø¾÷ ïë µ¹ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ µ¹ò

ø½÷ ìòëê ³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ë°°»® ¾±«²¼ ³³

Ô±©»® ¾±«²¼ íòë ³³ ³³ ¿½¬«¿´ ª¿´«» ä ìòë ³³

ãã

$#"

}ì ë

í ëò

ò

ø¾÷ Ë°°»® ¾±«²¼ µ¹

Ô±©»® ¾±«²¼ ïìòë µ¹ µ¹ ¿½¬«¿´ ª¿´«» ä ïëòë µ¹

ãã

$#"

}ïë ë

ïì ëò

ò

ø½÷ Ë°°»® ¾±«²¼ ³

Ô±©»® ¾±«²¼ ìòëëë ³ ³ ¿½¬«¿´ ª¿´«» ä ìòëêë ³

ãã

$#"

}ì ëêë

ì ëëëò

ò

Page 131: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíð

Û¨»®½·­»­ïò α«²¼ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïððæ

ø¿÷ ïðè ø¾÷ ïçç ø½÷ íìéï

ø¼÷ ëç ø»÷ íí øº÷ ìëï

îò α«²¼ ¬¸» ²«³¾»® ì éêë ïéí ¬±æ

ø¿÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ ³·´´·±²ô ø¾÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðô

ø½÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðððô ø¼÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ ïððò

íò É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­æ

ø¿÷ íé ìïî ø¾÷ èì ëêí ø½÷ îêïòìî

ø¼÷ ðòíêèì ø»÷ ðòððîêïë øº÷ ðòððîëéïí

ø¹÷ íòêîïí ø¸÷ ìòððéï ø·÷ ïèòíðéï

ìò É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­æ

ø¿÷ éòìíï ø¾÷ èòîêç ø½÷ ìòéïíë

ø¼÷ ïïòçîë ø»÷ îìòèêðí øº÷ ììòððïç

ëò É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²«³¾»® ±º ­·¹²·º·½¿²¬º·¹«®»­ ­¬¿¬»¼æ

ø¿÷ êòìéë ¬± î ­òºò ø¾÷ ïìéí ¬± ï ­òºò

ø½÷ íêèï ¬± î ­òºò ø¼÷ ëéïòíî ¬± ì ­òºò

ø»÷ ïê ððï ¬± í ­òºò øº÷ ïìèòîë ¬± í ­òºò

ø¹÷ ïêòççç ¬± í ­òºò ø¸÷ íèòçéïî ¬± î ­òºò

ø·÷ ïêðòíé ¬± ì ­òºò

êò É®·¬» ¬¸» ²«³¾»® ïèíòçëçï ½±®®»½¬ ¬±æ

ø¿÷ í ¼»½·³¿´ °´¿½»­ ø¾÷ í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­

ø½÷ î ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ ø¼÷ ë ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­

ø»÷ ï ¼»½·³¿´ °´¿½» øº÷ ï ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»

éò Þ¿®®§ ®±«²¼­ ¬¸» ²«³¾»® íéìòìç ¬± íéëò

ø¿÷ Û¨°´¿·² ©¸¿¬ ³·­¬¿µ» ¸» ¸¿­ ³¿¼»ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© Þ¿®®§ ¬®·»¼ ¬± ®±«²¼ ¬¸» ²«³¾»® ¿²¼ ¬¸»² ¹·ª» ¬¸» ½±®®»½¬¿²­©»®ò

ïìòï

Page 132: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíï

èò Ë­» ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¬± ½¿®®§ ±«¬ ¬¸» º±´´±©·²¹ ½¿´½«´¿¬·±²­ò ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª»¬¸» ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± î ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

íí ì îî ð é ïìî ð è

êê ï îé í îë ïððï êî ìé

í ìï ð ððçî èè ð ððé ìî ï ðçëî

h h h

l l l

l h l

ò ò

ò ò

ò ò ò ò

çò ̸» ³¿­­ ±º ¿ ­¸·° ·­ ­¬¿¬»¼ ¿­ ìé íèì ¬±²²»­ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ¬±²²»ò ß®» ¬¸»º±´´±©·²¹ ­¬¿¬»³»²¬­ ½±®®»½¬á

ø¿÷ ̸» ³¿­­ ·­ ´»­­ ¬¸¿² ìé íèìòë ¬±²²»­ò

ø¾÷ ̸» ³¿­­ ·­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ìé íèìòì ¬±²²»­ò

ïðò ß²²·» ­¿§­ ¬¸¿¬ ¸»® ®¿¾¾·¬ ¸¿­ ¿ ³¿­­ ±º ïìéí ¹®¿³­ò Ù·ª» ¬¸·­ ³¿­­½±®®»½¬ ¬±æ

ø¿÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðð ¹®¿³­ô

ø¾÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð ¹®¿³­ô

ø½÷ ¬¸» ²»¿®»­¬ µ¹ò

ïïò ߬ ¿² ¿¬¸´»¬·½­ ³»»¬·²¹ô ¬¸» ¼·­½«­ ¬¸®±©­ ¿®» ³»¿­«®»¼ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬½»²¬·³»¬®»ò

ø¿÷ Ê·ªù­ ¾»­¬ ¬¸®±© ©¿­ ³»¿­«®»¼ ¿­ íëòìî ³ò

ݱ«´¼ Ê·ªù­ ¬¸®±© ¿½¬«¿´´§ ¸¿ª» ¾»»² ³±®» ¬¸¿² íëòìî ³ á

Û¨°´¿·² §±«® ¿²­©»®ò

ø¾÷ ݸ®·­ ©±² ¬¸» ¸«®¼´»­ ®¿½» ·² ¿ ¬·³» ±º ïìòê ­»½±²¼­ ³»¿­«®»¼ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ¬»²¬¸ ±º ¿ ­»½±²¼ò

Þ»¬©»»² ©¸¿¬ ¬©± ª¿´«»­ ¼±»­ ݸ®·­ù­ ¬·³» ¿½¬«¿´´§ ´·»á

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ ëóéñÐï÷

ïîò ̸» ¬¿¾´» ­¸±©­ ¬¸» ´»²¹¬¸­ ±º ­±³» ®·ª»®­ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ µ³ò

ø¿÷ ø·÷ É®·¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º »¿½¸ ®·ª»® ®±«²¼»¼ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðð µ³ò

ø··÷ ɸ·½¸ ¬©± ®·ª»®­ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðð µ³á

窻® Ô»²¹¬¸ ·² µ³ ¬± Ô»²¹¬¸ ·² µ³ ¬± ¬¸»¬¸» ²»¿®»­¬ µ³ ²»¿®»­¬ ïðð µ³

Í»ª»®² íëì

̸¿³»­ íìê

Ì®»²¬ îçé

ɧ» îïë

Ü»» ïïí

Page 133: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíî

ïìòï

ø¾÷ ø·÷ É®·¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º »¿½¸ ®·ª»® ®±«²¼»¼ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð µ³ò

ø··÷ ɸ·½¸ ¬©± ®·ª»®­ ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ´»²¹¬¸ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð µ³á

ø½÷ ̸»®» ·­ ¿²±¬¸»® ®·ª»® ©¸·½¸ ·­ ²±¬ ±² ¬¸» ´·­¬ò

׬ ¸¿­ ¿ ´»²¹¬¸ ±º îðð µ³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðð µ³ô ¿²¼ ¿ ´»²¹¬¸ ±ºïëð µ³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð µ³ò

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ­»²¬»²½» ¬± ¹·ª» ±²» °±­­·¾´» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸»®·ª»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ µ³ò

̸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ®·ª»® ½±«´¼ ¾» òòòòòòòòòòòòòò µ³ò

ø¼÷ Ì©± ³±®» ®·ª»®­ ¸¿ª» ¼·ºº»®»²¬ ´»²¹¬¸­ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ µ³ò

̸»§ ¾±¬¸ ¸¿ª» ¿ ´»²¹¬¸ ±º îëð µ³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð µ³ô ¾«¬ ¬¸»·®´»²¹¬¸­ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðð µ³ ¿®» ¼·ºº»®»²¬ò

ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸·­ ­»²¬»²½» ¬± ¹·ª» ¿ °±­­·¾´» ´»²¹¬¸ ±º »¿½¸®·ª»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ µ³ò

̸» ´»²¹¬¸­ ±º ¬¸» ®·ª»®­ ½±«´¼ ¾» òòòòòòòòòòòòòò µ³ ¿²¼ òòòòòòòòòòòòòò µ³ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ìóêñÐî÷

ïíò ø¿÷ ̸» ´»²¹¬¸ ±º ¿² »²ª»´±°» ·­ îï ½³ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ½³ò

ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ­³¿´´»­¬ °±­­·¾´» ®»¿´ ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» »²ª»´±°»á

ø¾÷ ̸» ·²¬»®ª¿´ ±² ¬¸» ²«³¾»® ´·²» ¾»´±© ­¸±©­ ¿´´ ¬¸» °±­­·¾´» ®»¿´´»²¹¬¸­ ±º ¬¸» »²ª»´±°»ò

É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½±®®»½¬ ²«³¾»®­ º±® ¬¸» ´±©»® ¿²¼ «°°»® ´·³·¬­ ±º ¬¸»·²¬»®ª¿´ô ®»°®»­»²¬»¼ ±² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ ¾§ ß ¿²¼ Þò

îï Þß

窻® Ô»²¹¬¸ ·² µ³ ¬± Ô»²¹¬¸ ·² µ³ ¬± ¬¸»¬¸» ²»¿®»­¬ µ³ ²»¿®»­¬ ïð µ³

Í»ª»®² íëì

̸¿³»­ íìê

Ì®»²¬ îçé

ɧ» îïë

Ü»» ïïí

îï ½³

ïï ½³

Page 134: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíí

ø½÷ ̸» ´»²¹¬¸ ±º ¿ ½¿®¼ ·­ îðòë ½³ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ¬»²¬¸ ±º ¿ ½³ò

̸» ·²¬»®ª¿´ ±² ¬¸» ²«³¾»® ´·²» ¾»´±©­¸±©­ ¿´´ ¬¸» °±­­·¾´» ®»¿´ ´»²¹¬¸­ ±º ¬¸» ½¿®¼ò

É®·¬» ¼±©² ¬¸» ²«³¾»®­ ®»°®»­»²¬»¼ ±² ¬¸» ²«³¾»® ´·²» ¾§ Ýô Ü¿²¼ Ûò

Ü ÛÝ

ø¼÷ Ý¿² §±« ¾» ­«®» ¬¸» ½¿®¼ ©·´´ º·¬ ·² ¬¸»±°»² »²ª»´±°» ´·µ» ¬¸·­á

Û¨°´¿·² ©¸§ò

øÕÍíñçìñÓ¿ñëóéñÐî÷

ïìòî Û­¬·³¿¬·±²Û­¬·³¿¬·±² ·­ ·³°±®¬¿²¬ ¾»½¿«­» ·¬ ¿´´±©­ §±« ¬± ½¸»½µ ¬¸¿¬ ¬¸» ¿²­©»®­ §±« ±¾¬¿·²±² ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¿®» ®»¿­±²¿¾´»ò ׬ ·­ »¿­§ ¬± ³¿µ» ¿ ­·³°´» ³·­¬¿µ» ©¸»² «­·²¹ ¿½¿´½«´¿¬±® ±® ©±®µ·²¹ ±«¬ ¿ °®±¾´»³ ¾§ ¸¿²¼ô ­± ¿² »­¬·³¿¬·±² ±º ¬¸» »¨°»½¬»¼¿²­©»® ·­ ¿ «­»º«´ ½¸»½µò

Ѳ» ±º ¬¸» ­·³°´»­¬ ¿°°®±¿½¸»­ ¬± »­¬·³¿¬·±² ·­ ¬± ®±«²¼ ¿´´ ¬¸» ²«³¾»®­ ·²ª±´ª»¼¬± ï ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»ò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ì éí ïè ìò òl ò

ø¾÷ Ë­» ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¬± º·²¼ ì éí ïè ìò òl ò

ø½÷ ݱ³°¿®» ¬¸» »­¬·³¿¬» ©·¬¸ ¬¸» »¨¿½¬ ª¿´«»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ì éí ïè ìò òl e ë îðl ã ïðð

ø¾÷ ì éí ïè ìò òl ã èéòðíî

ø½÷ Þ»½¿«­» ·² ø¿÷ ©» ®±«²¼»¼ ¾±¬¸ ²«³¾»®­ «°ô ¬¸» »­¬·³¿¬» ·­ ­´·¹¸¬´§¾·¹¹»® ¬¸¿² ¬¸» ¿½¬«¿´ ª¿´«»ô ¾«¬ ·¬ ¼±»­ ¹·ª» «­ ¿² ·¼»¿ ±º ¬¸» ­·¦» ±º ¬¸»¿²­©»®ò

îðòë ½³

ïð ½³

Page 135: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíì

ïìòî

Û¨¿³°´» î

̸» ½±®®»½¬ ¿²­©»® ¬± ïì ï ïè íò òl ·­ ´·­¬»¼ ¾»´±©ô ¿´±²¹ ©·¬¸ í ·²½±®®»½¬ ¿²­©»®­òîëòèðí

îëèòðí

îëèðòí

îëèðí

Ë­» »­¬·³¿¬·±² ¬± ¼»½·¼» ©¸·½¸ ·­ ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»®ò

ͱ´«¬·±²

ïì ï ïè íò òl e ïð îðl ã îðð

ͱ ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»® ³«­¬ ¾» îëèòðí

ß´¬¸±«¹¸ ©» ±º¬»² ®±«²¼ ¬± ï ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»ô ©» ½¿² ­±³»¬·³»­ °®±¼«½» ¾»¬¬»®»­¬·³¿¬»­ ¾§ «­·²¹ ±¬¸»® ª¿´«»­ ¬¸¿¬ ¿®» ­¬·´´ »¿­§ ¬± ©±®µ ©·¬¸ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·²Û¨¿³°´» î ¿¾±ª»ô ©» ½±«´¼ ¸¿ª» ­¿·¼ ¬¸¿¬

ïì ï ïè í ïì îð îèðò òl e l ã

©¸·½¸ ·­ ½´±­»® ¬± ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»® îëèòðí

̸» ·³°±®¬¿²¬ ¬¸·²¹ ¬± ®»³»³¾»® ·­ ¬¸¿¬ §±« ³«­¬ ¾» ¿¾´» ¬± ¼± ¬¸» »­¬·³¿¬·±²½¿´½«´¿¬·±² ·² §±«® ¸»¿¼ò

Û¨¿³°´» í

Û­¬·³¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±ºæ

ø¿÷í èé ïì ê

ç íî

ò ò

ò

l

ø¾÷éî íí ì

ìï

l ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷í èé ïì ê

ç íî

ò ò

ò

le

ì ïð

ïð

lã ì ã î

±®

í èé ïì ê

ç íî

ò ò

ò

l e ì ïê

ç

l ã î ì

í

l ã è

íã î

î

íã î êòY

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ¿½¬«¿´ ª¿´«» ·­ îòìêî ¬± í ¼ò°ò

Page 136: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíë

ø¾÷éî íí ì

ìï

l ò e éð íð

ìð

l ã îïðð

ìðã îððð

ìðã ëð

Ò±¬» ¬¸¿¬ ëð ·­ ¾»¬©»»² é ¿²¼ èô ¾«¬ ©·´´ ¾» ½´±­»® ¬± é ­·²½» é ã ìç òÉ» ½¿² ¬¸»®»º±®» ¬¿µ» é ¿­ ±«® »­¬·³¿¬»ò

̸» ¿½¬«¿´ ª¿´«» ·­ éòêëç ¬± í ¼ò°ò

DZ« ³·¹¸¬ ¿´­± ²»»¼ ¬± ¿°°®±¨·³¿¬» ©¸»² ½±²ª»®¬·²¹ ¾»¬©»»² ¼·ºº»®»²¬ «²·¬­ò̸» º±´´±©·²¹ ´·­¬ ®»³·²¼­ §±« ±º ­±³» ±º ¬¸» ·³°±®¬¿²¬ ¿°°®±¨·³¿¬·±²­ ¾»¬©»»²³»¬®·½ ¿²¼ ·³°»®·¿´ «²·¬­ò

è µ³ e ë ³·´»­

ï ³ e ìð ·²½¸»­

íð ½³ e ï º±±¬

îòë ½³ e ï ·²½¸

ï µ¹ e îòî ´¾­

ï ´·¬®» e ïí

ì °·²¬­

ï ¹¿´´±² e ìï

î ´·¬®»­

ï ¿½®» e î

ë ¸»½¬¿®»

ìëð ¹ e ï ´¾

Û¨»®½·­»­ïò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ¿²­©»® ¬± »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½¿´½«´¿¬·±²­æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

í ê ïì í ìé ïçî íí ê ìðí

ïï îë éê í ïî èì í çì ïðí ê îï éî

ìì íî ï çèé êè íç é ìè ïî ðîï ë çïé

ò ò ò

ò ò ò ò ò ò

ò ò ò ò ò ò

l l l

l l h

h h h

îò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

í ç ïé ìë

ì îíè ï é íî

êî ì ïè í

ì é

ïï ìî ïç çç

í èëï

î îò ò

òò ò

ò ò

ò

ò ò

ò

l õ

l l

Page 137: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíê

íò Ö¿³»­ ©®·¬»­ ¼±©² ¬¸·­ ­¬¿¬»³»²¬æ

ïì êî ìðï ëèê îêîò òl ã

ø¿÷ Ë­» »­¬·³¿¬·±² ¬± ¼»­½®·¾» ©¸§ Ö¿³»­ ³«­¬ ¾» ©®±²¹ò

ø¾÷ Ë­» ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»®ô ¿²¼ ¬¸»² ¼»­½®·¾»¬¸» ³·­¬¿µ» ¬¸¿¬ Ö¿³»­ ³¿¼»ò

ìò Ë­» »­¬·³¿¬·±² ¬± ¼»½·¼» ©¸·½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½¿´½«´¿¬·±²­ ¿®» ¼»º·²·¬»´§·²½±®®»½¬æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ïë î êïîð çíðîìð êë îîì ïî ì ë îê

ïçî ìëèé èèðéðì íìê çî î íê ïì é

ò ò ò ò

ò ò ò

l ã h ã

l ã h ã

ëò Ú±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½¿´½«´¿¬·±²­ ¬¸®»» °±­­·¾´» ¿²­©»®­ ¿®» ¹·ª»²ô ¾«¬±²´§ ±²» ·­ ½±®®»½¬ò Ë­» »­¬·³¿¬·±² ¬± ­»´»½¬ ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»®ò

ø¿÷ í éïî èðë

îçè èïê

îçèè ïê

îçèèèï ê

ò

ò

ò

ò

l ã431

21

ø¾÷ îçëë èî ç èî

íðï

íðïð

íðïðð

ò òh ã431

21

ø½÷é î è ï

ì

ëìï èé

ëì ïèé

ë ìïèé

î îò òò

ò

ò

õ ã431

21

ø¼÷èì î éí ê

î î

éï éí

é ïéí

ð éïéí

ò ò

ò

ò

ò

ò

õ ã431

21

êò ̸» ³±²¬¸ ±º Ü»½»³¾»® ¸¿­ íï ¼¿§­ò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ²«³¾»® ±º ­»½±²¼­ ·²Ü»½»³¾»®ò ݱ³°¿®» §±«® »­¬·³¿¬» ©·¬¸ ¬¸» ½±®®»½¬ ª¿´«»ò

éò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ½·®½«³º»®»²½» ±º ¿ ½·®½´» ©·¬¸ ¿ ®¿¼·«­ ±º îðòë ½³ò

èò ß ¾±±µ ¸¿­ íîê °¿¹»­ ©·¬¸ ¿² ¿ª»®¿¹» ±º îêèòì ©±®¼­ ±² »¿½¸ °¿¹»òÛ­¬·³¿¬» ¬¸» ²«³¾»® ±º ©±®¼­ ·² ¬¸» ¾±±µò

çò ߬ ¿ ­½¸±±´ ¬¸» ¿ª»®¿¹» ¼¿·´§ ¿³±«²¬ ­°»²¬ ¾§ »¿½¸ ½¸·´¼ ·² ¬¸» ½¿²¬»»² ·­}ïòìîò ̸»®» ¿®» ïîêì °«°·´­ ·² ¬¸» ­½¸±±´ò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ¿³±«²¬ ­°»²¬·² ¬¸» ½¿²¬»»² »¿½¸ ¼¿§ò

ïìòî

Page 138: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíé

ïðò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¿ ½·®½´» ±º ®¿¼·«­ êòîé ½³ò

ïïò Ý¿®´ ¸¿­ ¿² ±´¼ ®»½·°» º±® »¹¹ ½«­¬¿®¼ ©·¬¸ ®¿·­·²­ò

ø¿÷ ̸» ½«­¬¿®¼ ³«­¬ ¾» ½±±µ»¼ ¿¬ íîð ¼»¹®»»­ Ú¿¸®»²¸»·¬òÝ¿®´ ¸¿­ ¿ ®«´» ¬± ½¸¿²¹» ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» ¬± ¼»¹®»»­ Ý»´­·«­ò

Ϋ´»æ

̱ ½¸¿²¹» ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» ¬± ¼»¹®»»­ Ý»´­·«­ô

­«¾¬®¿½¬ íî º®±³ ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» ·² ¼»¹®»»­ Ú¿¸®»²¸»·¬ô

¬¸»² ³«´¬·°´§ ¬¸» ¿²­©»® ¾§ ëô

¬¸»² ¼·ª·¼» ¾§ çò

Ë­» Ý¿®´ù­ ®«´» ¬± ½¸¿²¹» íîð ¼»¹®»»­ Ú¿¸®»²¸»·¬ ¬± ¼»¹®»»­ Ý»´­·«­òDZ« ³«­¬ ­¸±© »¿½¸ ­¬»° ·² §±«® ½¿´½«´¿¬·±²ò

ø¾÷ Ý¿®´ ·­ «­·²¹ ¬¸·­ ®»½·°»æ

Û¹¹ Ý«­¬¿®¼ ©·¬¸ ο·­·²­

ïì °±«²¼ ±º ®¿·­·²­

ï °·²¬ ±º ³·´µ

í »¹¹­

Ы¬ ¬¸» ®¿·­·²­ ·² ¿² è ·²½¸ ¾±©´ò

Ó·¨ ¬¸» »¹¹­ ¿²¼ ³·´µô ¿²¼ °±«® ±ª»® ¬¸» ®¿·­·²­òÞ¿µ» ·² ¬¸» ±ª»² ¿¬ íîð p Ú¿¸®»²¸»·¬ º±® ¿¾±«¬ ¿² ¸±«®ò

Ø» ­¬¿®¬­ ¬± ½¸¿²¹» ¬¸» ¿³±«²¬­ ·²¬± ³»¬®·½ ³»¿­«®»­ò

É®·¬» ¼±©² ¬¸» ©±®¼­ ±® ²«³¾»®­ ³·­­·²¹ º®±³ ¬¸» ­»²¬»²½»­ ¾»´±©ò

Û¹¹ Ý«­¬¿®¼ ©·¬¸ ο·­·²­

ß¾±«¬ ïðð ¹®¿³­ ±º ®¿·­·²­

ß¾±«¬ ðòë òòòòòòòòòò ±º ³·´µ

í »¹¹­

Ы¬ ¬¸» ®¿·­·²­ ·² ¿ òòòòòòòòò ½»²¬·³»¬®» ¾±©´ò

øÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® ìóêñÐï÷

Page 139: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíè

ïìòí Ý¿´½«´¿¬±® Ë­»×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½±²­·¼»® ¸±© ¬± ³¿µ» ¬¸» ¾»­¬ «­» ±º ½¿´½«´¿¬±®­ò É» º±½«­ ±²¬¸» «­» ±º ¾®¿½µ»¬­ò É» ©·´´ ¬¸»² ´±±µ ¿¬ ¬¸» «­» ±º ¬¸» ³»³±®§ º«²½¬·±²­òÝ¿´½«´¿¬±®­ ª¿®§ ¿ ¹®»¿¬ ¼»¿´ ¾±¬¸ ·² ¬¸» ²«³¾»® ±º ³»³±®·»­ ¿ª¿·´¿¾´» ¿²¼ ·²¸±© ¬¸»§ ¿®» «­»¼ò ׬ ·­ »­­»²¬·¿´ º±® §±« ¬± ´»¿®² ¸±© §±«® ½¿´½«´¿¬±® ³»³±®§©±®µ­ò

Û¨¿³°´» ï

Ý¿´½«´¿¬»ì é í î

è ê í ï

ò ò

ò ò

õó

ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ¬± í ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ͱ´«¬·±²

Ë­» ¬¸» º±´´±©·²¹ µ»§­ ¬± ±¾¬¿·² ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»®æ

ø ì é õ í î ÷ h

ø è ê í ï ÷ ã

DZ« ­¸±«´¼ ±¾¬¿·² ïòìíêíêíêíêô ©¸·½¸ ®±«²¼­ ¬± ïòìíê ¬± í ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Ò±¬» ¸±© ¾®¿½µ»¬­ ¸¿ª» ¾»»² «­»¼ ¿®±«²¼ ¾±¬¸ ¬¸» ²«³»®¿¬±® ¿²¼ ¬¸»¼»²±³·²¿¬±® ±º ¬¸» º®¿½¬·±²ò

Û¨¿³°´» î

Æ¿®¿¸ «­»­ ¸»® ½¿´½«´¿¬±® ¬± ±¾¬¿·² ¿² ¿²­©»® ¬±ô

ì é

ïðî í è

ò

òó

͸» ±¾¬¿·²­ ¬¸» ¿²­©»® P íòéë ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¿÷ Ë­» »­¬·³¿¬·±² ¬± ­¸±© ¬¸¿¬ ¸»® ¿²­©»® ·­ ·²½±®®»½¬ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» »®®±® ­¸» ³¿¼» ©¸»² «­·²¹ ¸»® ½¿´½«´¿¬±®ô ¿²¼ ©®·¬» ¼±©² ¬¸»½¿´½«´¿¬·±² ¬¸¿¬ ­¸» ¿½¬«¿´´§ ½¿®®·»¼ ±«¬ò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»®ô ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ì é

ïðî í è

ò

òóe ë

ïðð ìóe ë

ïððã ðòðë

̸» »­¬·³¿¬» ·²¼·½¿¬»­ ¬¸¿¬ Æ¿®¿¸ù­ ²»¹¿¬·ª» ¿²­©»® ³«­¬ ¾» ·²½±®®»½¬ò

ø¾÷ Æ¿®¿¸ º±®¹±¬ ¬± ·²½´«¼» ¾®¿½µ»¬­ ¿®±«²¼ ¬¸» ¼»²±³·²¿¬±® ±º ¬¸» º®¿½¬·±²ò͸» ¿½¬«¿´´§ ½¿´½«´¿¬»¼

ì é

ïððí è

òòó

Page 140: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïíç

ø½÷ ̸» ½±®®»½¬ ¿²­©»® ½¿² ¾» ±¾¬¿·²»¼ ¾§ «­·²¹ ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¯«»²½» ±ºµ»§­æ

ì é h ø ï ð î í è ÷ ã

̸·­ ¹·ª»­ ¿ ª¿´«» ±º ðòðìéèêïëðéô ©¸·½¸ ·­ ðòðìéç ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸·­ ½±³°¿®»­ ©»´´ ©·¬¸ ¬¸» »­¬·³¿¬»ò

Û¨»®½·­»­ïò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²­©»®­ ¬± ¬¸» º±´´±©·²¹ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ¬± î ­·¹²·º·½¿²¬

º·¹«®»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷

í è ì é

ê î è ç

ìî í

è ê ïî ç

ëê é è

í î

ïï ì ïç ê

é íï

ì èé í êî

ë ç ð êî

ïì ê

è î

í é

ì ç

ì í í ðé ê ïðç

î ç ç èï ë ððê

îï í î ï

ì é ïî è

ò ò

ò ò

ò

ò ò

ò

ò

ò ò

ò

ò ò

ò ò

ò

ò

ò

ò

ò ò ò

ò ò ò

ò

ò ò

lõ õ

ó õ

õó

ó

l ll l

l óø ÷õ

îò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ê éî í è ì êî í èì

ê î é ì í êè î ìï è îï í

ê î ïì î è ðí ïï ì í è ì î

î í

î î î

ò ò ò ò

ò ò ò ò ò

ò ò ò ò ò ò

óø ÷ õø ÷

õ õø ÷ l óø ÷

l óø ÷ õ óø ÷

íò Ú±® »¿½¸ ½¿´½«´¿¬·±² ¾»´±©ô º·®­¬ ±¾¬¿·² ¿² »­¬·³¿¬» ±º ¬¸» ¿²­©»® ¿²¼ ¬¸»²½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿½¬«¿´ ¿²­©»®ô ©¸»®» ²»½»­­¿®§ ®±«²¼·²¹ ¬¸» ª¿´«» ¬±í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

èï ì

ïî í î

íí ê

ì ëî

ïï î

îï ë

èè çî ïì íé

î êç

èì í ïè çî

í ì ê ð ïé

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò ò

ò

ò ò

ò ò

óó

ó õóø ÷

Page 141: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìð

ìò Ö±­»°¸ ¿²¼ Ö»²²§ «­» ¬¸»·® ½¿´½«´¿¬±®­ ¬± ¬®§ ¬± ½¿´½«´¿¬»ô

í é è ç

ì êï

ò ò

ò

õ

ɸ»² ¬¸»§ ®±«²¼ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ô Ö±­»°¸ ±¾¬¿·²­ ¬¸» ¿²­©»® ëòêí¿²¼ Ö»²²§ ¹»¬­ îòéíò

ø¿÷ Ë­» »­¬·³¿¬·±² ¬± ¼»½·¼» ©¸± ¸¿­ ¬¸» ·²½±®®»½¬ ¿²­©»®ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ½¿´½«´¿¬·±² ¬¸¿¬ ©¿­ «­»¼ ¬± ±¾¬¿·² ¬¸» ·²½±®®»½¬ ¿²­©»®ò

ø½÷ ݸ»½µ ¬¸¿¬ ¬¸» ±¬¸»® ¿²­©»® ·­ ½±®®»½¬ò

ëò Ü»» ¿²¼ Ü¿²·»´´¿ °®»­­ ¬¸» µ»§­ ±² ¬¸»·® ½¿´½«´¿¬±®­ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹­»¯«»²½»­æ

Ü»» ì h é õ ê ã h í ã

Ü¿²·»´´¿ ì h é õ ê h í ã

ø¿÷ ɸ¿¬ ¿²­©»®­ ¼± ¬¸»§ ±¾¬¿·²á

ø¾÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½¿´½«´¿¬·±² ¬¸¿¬ Ü»» ¸¿­ ¬¸» ¿²­©»® ¬±ò

ø½÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½¿´½«´¿¬·±² ¬¸¿¬ Ü¿²·»´´¿ ¸¿­ ¬¸» ¿²­©»® ¬±ò

êò ß¼®·¿² ½¿´½«´¿¬»­ ¬¸» ²«³¾»® ±º ­»½±²¼­ ·² î ¸±«®­ ¿²¼ ìð ³·²«¬»­ ¿­ îëîðòØ·­ ¾®±¬¸»®ô η½¸¿®¼ô ­¿§­ ¬¸¿¬ ¸» ·­ ©®±²¹ ¿²¼ ¬¸¿¬ ¬¸» ½±®®»½¬ ¿²­©»® ·­çêðð ­»½±²¼­ò

ø¿÷ Ë­» ¿² »­¬·³¿¬» ¬± ­¸±© ¬¸¿¬ ß¼®·¿² ³«­¬ ¾» ©®±²¹ò

ø¾÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½¿´½«´¿¬·±²­ ¬¸¿¬ ¬¸» ¾®±¬¸»®­ ¼·¼ ¬± ±¾¬¿·² ¬¸»·® ¿²­©»®­ò

éò Ü»²·­» ­¿§­ ¬¸¿¬ ­¸» ½¿² ±¾¬¿·² ¬¸» ¿²­©»® ¬±

í ê

ïé î

è ê

í ë

ò

ò

ò

òõ

«­·²¹ ¸»® ½¿´½«´¿¬±®ô ¾«¬ ©·¬¸±«¬ «­·²¹ ¾®¿½µ»¬­ò Ø¿²²¿¸ ¼·­¿¹®»»­ò

ɸ± ·­ ½±®®»½¬á Û¨°´¿·² ©¸§ò

èò ɸ·½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½¿² ¾» ½¿´½«´¿¬»¼ ±² ¿ ½¿´½«´¿¬±®ô ©·¬¸±«¬ «­·²¹¾®¿½µ»¬­ ±® ¿ ³»³±®§á

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

í é è íîì

ç

ê

îë

ïï ê

ì

í î

ì

ë î

è í

îî ï

ë

l õ l õ

õ l

ll

õ

ïìòí

Page 142: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìï

çò Ú±® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ½¿´½«´¿¬·±²­ô º·®­¬ ±¾¬¿·² ¿² »­¬·³¿¬» ¿²¼ ¬¸»²½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿½¬«¿´ ª¿´«»ô ©¸»®» ²»½»­­¿®§ ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬±í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¿÷í é

ð èì

ò

òø¾÷

è î

ï ê

ç î

ï í

ò

ò

ò

òõ

ø½÷ è ì ì è î è ì ì èî îò ò ò òõ ó l l ø¼÷èî êí

ìé íî

ól

ïðò ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ­«³ ¬¸¿¬ §±« ©±«´¼ «­» ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ²«³¾»® ±º

­»½±²¼­ ·² í ¼¿§­ô ì ¸±«®­ ¿²¼ îè ïî ³·²«¬»­ò

ø¾÷ Ѿ¬¿·² ¬¸» ¿²­©»® ±² §±«® ½¿´½«´¿¬±®ò

ïïò Ü¿ª·¼ ·­ ­¬«¼§·²¹ ¾´±±¼ ½»´´­ ¬¸®±«¹¸ ¿ ³·½®±­½±°»ò

̸» ¼·¿³»¬»® ±º ¿ ®»¼ ½»´´ ·­ ðòðððéïì ½³ ¿²¼ ¬¸» ¼·¿³»¬»® ±º ¿ ©¸·¬» ½»´´ ·­ðòððïîìí ½³ò

ø¿÷ Ë­» ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¬± ©±®µ ±«¬ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¼·¿³»¬»® ±º ¿®»¼ ½»´´ ¿²¼ ¬¸» ¼·¿³»¬»® ±º ¿ ©¸·¬» ½»´´ò

Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ·² ³·´´·³»¬®»­ò

Ü¿ª·¼ ©¿²¬­ ¬± »¨°´¿·² ¸±© ­³¿´´ ¬¸» ½»´´­ ¿®»òØ» ½¿´½«´¿¬»­ ¸±© ³¿²§ ©¸·¬» ½»´´­ ©±«´¼ º·¬ ¿½®±­­ ¿ º«´´ ­¬±° ©¸·½¸¸¿­ ¿ ¼·¿³»¬»® ±º ðòêë ³³ò

ø¾÷ ر© ³¿²§ ©¸±´» ©¸·¬» ½»´´­ ©±«´¼ º·¬ ¿½®±­­ ¬¸» º«´´ ­¬±°á

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ ëóéñÐï÷

ïîò 뽬¿²¹´»­ ©·¬¸ ´»²¹¬¸ ¿²¼ ©·¼¬¸ ·² ¬¸» ­°»½·¿´

®¿¬·± ïî

ï ëæ

õ ¿®» ½¿´´»¼ ¹±´¼»² ®»½¬¿²¹´»­ò

ͱ³» ¿®¬·­¬­ «­» ¬¸»³ ¾»½¿«­» ¬¸» °®±°±®¬·±²­ ´±±µ ¿¬¬®¿½¬·ª»ò

ø¿÷ ɱ®µ ±«¬ î

ï ëõò

É®·¬» ¬¸·­ «­·²¹ ¿´´ ¬¸» ¼»½·³¿´ °´¿½»­ §±«® ½¿´½«´¿¬±® ­¸±©­ò

ø¾÷ ο³»­¸ «­»¼ ¸·­ ½¿´½«´¿¬±® »ºº·½·»²¬´§ ¬± ©±®µ ±«¬ î

ï ëõò

Ø» ¼·¼ ²±¬ ¸¿ª» ¬± ©®·¬» ¼±©² ¿²§ ²«³¾»®­ ¿²¼ ¬¸»² µ»§ ¬¸»³ ¾¿½µ·²¬± ¸·­ ½¿´½«´¿¬±®ò

͸±© ¬¸» ­¬»°­ ¸» ³·¹¸¬ ¸¿ª» «­»¼ ©·¬¸ ¸·­ ½¿´½«´¿¬±®ò

î

ï ëõï

Page 143: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìî

ø½÷ Ú±«® º¿½»­ ±º ¬¸·­ ½«¾±·¼ ¿®» ¹±´¼»² ®»½¬¿²¹´»­ò

̸» ª±´«³» ±º ¬¸» ½«¾±·¼ ·­æ

î

ï ë

î

ï ëï

õ:89

*()

:89

*()

l

Ë­» ¿ ­¸±®¬ ¿²¼ ¿½½«®¿¬» ³»¬¸±¼ ±² §±«® ½¿´½«´¿¬±® ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸·­òÉ®·¬» ¬¸» ª±´«³» «­·²¹ ¿´´ ¬¸» ¼»½·³¿´ °´¿½»­ §±«® ½¿´½«´¿¬±® ­¸±©­ò

ø¼÷ ͸±© ¬¸» ­¬»°­ §±« «­»¼ ¬± ³¿µ» §±«® ³»¬¸±¼ ­¸±®¬ ¿²¼ ¿½½«®¿¬»òøÕÍíñçìñÓ¿ñëóéñÐï÷

ïìòì Û®®±® Ю±°¿¹¿¬·±²×º ¬¸»®» ·­ ¿² »®®±® ·² ¿ ª¿´«» ¬¸¿¬ ·­ «­»¼ ·² ¿ ½¿´½«´¿¬·±²ô ¬¸¿¬ »®®±® ½¿² ¾»½±³»³±®» ­·¹²·º·½¿²¬ ©¸»² ¬¸» ½¿´½«´¿¬·±² ·­ ³¿¼»ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·º ¬¸» ®¿¼·«­ ±º ¿½·®½´» ·­ ®±«²¼»¼ º®±³ îòëé ½³ ¬± îòê ½³ô ¿² »®®±® ±º ðòìç ½³ î ©±«´¼ ¾» ³¿¼»©¸»² ½¿´½«´¿¬·²¹ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ½·®½´»ò

ײ ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ½±²­·¼»® ¸±© »®®±®­ ·²¬®±¼«½»¼ ¾§ ®±«²¼·²¹ ½¿² ¾» ·²½®»¿­»¼ø±® °®±°¿¹¿¬»¼÷ ·² ­«¾­»¯«»²¬ ½¿´½«´¿¬·±²­ò

Û¨¿³°´» ï

̸» ®¿¼·«­ ±º ¿ ½·®½´» ·­ ¹·ª»² ¿­ íï ½³ô ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ò ɸ¿¬ ¿®» ¬¸»°±­­·¾´» »®®±®­ ©¸»² ½¿´½«´¿¬·²¹ ·¬­ ¿®»¿á

ͱ´«¬·±²

ß­ ¬¸» ®¿¼·«­ô ® ½³ô ·­ ¹·ª»² ¿­ íï ½³ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ô ©» ¸¿ª»

íð ë íï ëò ä ò} ®

׺ ® ãíð ëò ô ß ã l íð ë îò

ã îçîîòìêêëêê ½³ î

ã îçîð ½³ î ¬± í ­òºò

׺ ® ã íïô ß ã l íï î

ã íðïçòðéðëì ½³ î

ã íðîð ½³ î ¬± í ­òºò

׺ ® ãíï ëò ô ß ã l íï ë îò

ã íïïéòîìëíïï ½³ î

ã íïîð ½³ î ¬± í ­òºò

ïìòí

î

ï ëõ

ï

î

ï ëõ

Page 144: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìí

׺ ® ã íð ëò ô ¬¸»² ¬¸» »®®±® ·­

íðïç ðéðëì îçîî ìêêëêê çê êðíçéìò ò òó ã ½³ î

©¸·´­¬ô ·º ® ã íï ëò ô ¬¸» »®®±® ·­

íïïé îìëíïï íðïç ðéðëì çè ïéìééðìíò ò òó ã ½³î

Ø»²½» ¬¸» ³¿¨·³«³ °±­­·¾´» »®®±® ±½½«®­ ©¸»² ® ã íï ëò ô ¿²¼ ·­ ¿°°®±¨·³¿¬»´§çè îò ½³îò ײ ±¬¸»® ©±®¼­ô ¬¸»®» ·­ ¿ °±¬»²¬·¿´ »®®±® ¸»®» ±º ¿´³±­¬ ïðð ½³î ·² ¬¸»¿®»¿ ·º ©» ½¿´½«´¿¬» ·¬ º®±³ ¬¸» ®±«²¼»¼ ®¿¼·«­ò

Û¨¿³°´» î

ß ®»½¬¿²¹«´¿® °´±¬ ±º ´¿²¼ ¸¿­ ­·¼»­ ©·¬¸ ´»²¹¬¸­±º íè ³ ¿²¼ ëî ³ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ ±ºæ

ø¿÷ ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ô

ø¾÷ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸» ­·¼»­ ¸¿ª» ¾»»² ¹·ª»² ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³»¬®»ô ­±

ëïòë ³ ´»²¹¬¸ ³

íéòë ³ ©·¼¬¸ ³

} ä} ä

ëî ë

íè ë

ò

ò

Ó·²·³«³ °»®·³»¬»® ã î íéòë õ ëïòëø ÷ã ïéè ³

Ó¿¨·³«³ °»®·³»¬»® ã î íèòë õ ëîòëø ÷ã ïèî ³

ø¾÷ Ó·²·³«³ ¿®»¿ ã íéòë l ëï ëò

ã ïçíïòîë ³ î

Ó¿¨·³«³ ¿®»¿ ã íè ë ëî ëò òlã îðîïòîë ³ î

Û¨¿³°´» í

̸» ª¿´«»­ ±º ¨ ¿²¼ § ¿®» ¹·ª»² ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½» ¿­ ¨ §ã ãì î é íò ò ¿²¼

Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³·²·³«³ ¿²¼ ³¿¨·³«³ ª¿´«»­ ±ºæ

ø¿÷ ¨ §õ ø¾÷ § ¨ó ø½÷¨

§

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ²±¬» ¬¸¿¬ ì ïë ì îë é îë é íëò ò ò ò} ä } ä¨ § ¿²¼ ò

ø¿÷ Ó·²·³«³ ª¿´«» ±º ¨ §õ ã ì ïë é îëò òõã ïïòì

íè ³

ëî ³

ø³·²·³«³ ª¿´«» ±º ̈õ ³·²·³«³ ª¿´«» ±º §÷

Page 145: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìì

Ó¿¨·³«³ ª¿´«» ±º ¨ §õ ã ì îë é íëò òõã ïïòê

ø¾÷ Ó·²·³«³ ª¿´«» ±º § ¨ó ã é îë ì îëò òóã í

Ó¿¨·³«³ ª¿´«» ±º § ¨ó ã é íë ì ïëò òóã íòî

ø½÷ Ó·²·³«³ ª¿´«» ±º ¨

§ã ì ïë

é íë

ò

òã ðòëêìêîëèë

ã ðòëêë ¬± í ­òºò

Ó¿¨·³«³ ª¿´«» ±º¨

§ã ì îë

é îë

ò

òã ðòëèêîðêèçê

ã ðòëèê ¬± í ­òºò

Ò±¬» ¬¸¿¬ô º±® ¨ ¿²¼ § ¾±¬¸ °±­·¬·ª»ô

̱ º·²¼ ³¿¨·³«³ ª¿´«» ±º ¨ §õ ±® ¨ § ô

«­» ¬¸» ´¿®¹»­¬ ª¿´«» ±º ¨ ¿²¼ ´¿®¹»­¬ ª¿´«» ±º §ò

̱ º·²¼ ¬¸» ³·²·³«³ ª¿´«» ±º ¨ §õ ±® ¨ § ô

«­» ¬¸» ­³¿´´»­¬ ª¿´«» ±º ¨ ¿²¼ ­³¿´´»­¬ ª¿´«» ±º §ò

̱ º·²¼ ³¿¨·³«³ ª¿´«» ±º ¨ §ó ±®¨

§ô

«­» ¬¸» ´¿®¹»­¬ ª¿´«» ±º ¨ ¿²¼ ­³¿´´»­¬ ª¿´«» ±º §ò

̱ º·²¼ ¬¸» ³·²·³«³ ª¿´«» ±º ¨ §ó ±®¨

§ô

«­» ¬¸» ­³¿´´»­¬ ª¿´«» ±º ¨ ¿²¼ ´¿®¹»­¬ ª¿´«» ±º §ò

Û¨»®½·­»­ïò ß ½¿® °¿®µ ·­ ¿ ­¯«¿®» ©·¬¸ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ ìè ³ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³»¬®»ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ º±®æ

ø¿÷ ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ½¿® °¿®µô ø¾÷ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ½¿® °¿®µò

îò ̸» ®¿¼·«­ ±º ¿ ½·®½´» ·­ ¹·ª»² ¿­ ç ½³ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸»³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ º±® ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ½·®½´»ò α«²¼§±«® «°°»® ¿²¼ ´±©»® ¾±«²¼­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ïìòì

ø³·²·³«³ ª¿´«» ±º §P ³¿ ·̈³«³ ª¿´«» ±º ̈ ÷

ø³¿ ·̈³«³ ª¿´«» ±º §P ³·²·³«³ ª¿´«» ±º ̈ ÷

ø³·²·³«³ ª¿´«» ±º ̈h ³¿ ·̈³«³ ª¿´«» ±º §÷

ø³¿ ·̈³«³ ª¿´«» ±º ̈h ³·²·³«³ ª¿´«» ±º §÷

ø³¿ ·̈³«³ ª¿´«» ±º §õ ³¿ ·̈³«³ ª¿´«» ±º ̈ ÷

Page 146: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìë

íò ß ®»½¬¿²¹´» ¸¿­ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ ïòîé ³ ¿²¼ îòìí ³ ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´°´¿½»­ò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ º±®æ

ø¿÷ ¬¸» °»®·³»¬»®ô ø¾÷ ¬¸» ¿®»¿ò

ìò ̸» º±®³«´¿ Ê®ã ì

í

í

·­ «­»¼ ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ª±´«³» ±º ¿ ­°¸»®» ±º

®¿¼·«­ ®ò ß ­°¸»®» ¸¿­ ®¿¼·«­ ïè ½³ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ º±® ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸»­°¸»®»ò α«²¼ §±«® «°°»® ¿²¼ ´±©»® ¾±«²¼­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ëò ׺ ¨ ¿²¼ § ¿®» ¹·ª»² ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½» ¿­ ¨ §ã ãë î ïï êò ò ¿²¼ ô½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ ±ºæ

ø¿÷ ¨ î ø¾÷ ¨ §õ ø½÷ ¨§

ø¼÷ § ¨ó ø»÷ ¨ §î îõ øº÷¨

§

êò Ø¿²²¿¸ ³»¿­«®»­ ©·¬¸ ¿ ®«´»® ¬¸¿¬ ¸¿­ ³¿®µ­ »ª»®§ ðòë ½³ò ͸» ­¿§­ ¬¸¿¬¬¸» ´»²¹¬¸­ ±º ¬¸» ­·¼» ±º ¿ ®»½¬¿²¹´» ¿®» èòë ½³ ¿²¼ ïî ½³ ½±®®»½¬ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ðòë ½³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ ±ºæ

ø¿÷ ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ô

ø¾÷ ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ò

éò ̸» ®¿¼·«­ ±º ¿ ½·®½´» ·­ ­¿·¼ ¬± ¾» ïè ³ o ðòë ³ò

ø¿÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ³¿¨·³«³ °±­­·¾´» ®¿¼·«­ ±º ¬¸» ½·®½´»á

ø¾÷ É®·¬» ¬¸» ½·®½«³º»®»²½» ±º ¬¸» ½·®½´» ·² ¬¸» º±®³ ¿ ¾³ ³o ô ¹·ª·²¹¬¸» ª¿´«»­ ±º ¿ ¿²¼ ¾ ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

èò ß ­¯«¿®» ¸¿­ ­·¼»­ ©·¬¸ ´»²¹¬¸­ ¬¸¿¬ ¿®» ¹·ª»² ¿­ ï è ð ðëò ò½³ ½³o ò

ø¿÷ É®·¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ­¯«¿®» ·² ¬¸» º±®³ ¿ ¾½³ ½³o ò

ø¾÷ É®·¬» ¬¸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ­¯«¿®» ·² ¬¸» º±®³ ¿ ¾½³ ½³î îo ò

çò ̸» ¿®»¿ ±º ¿ ­¯«¿®» ·­ ¹·ª»² ¿­ ïì ³ î ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³ î òÝ¿´½«´¿¬» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³ °±­­·¾´» ª¿´«»­ º±® ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸»­·¼» ±º ¬¸» ­¯«¿®»ô ®±«²¼·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ïðò ß ½·®½´» ¸¿­ ¿®»¿ ëð î½³ ½³î îo ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ³¿¨·³«³ ¿²¼ ³·²·³«³°±­­·¾´» ª¿´«»­ ±º ¬¸» ®¿¼·«­ ±º ¬¸» ½·®½´»á α«²¼ §±«® «°°»® ¿²¼ ´±©»®¾±«²¼­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Page 147: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìê

ïïò Ó¿®§ô ß®ª·²¼ ¿²¼ Ò»­¬¿ ©®±¬» ¿ ³¿­­ ¬± ¼·ºº»®»²¬ ²«³¾»®­ ±º ¼»½·³¿´°´¿½»­ò

Ó¿®§ ©®±¬» ïòé ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»òß®ª·²¼ ©®±¬» ïòéìè ¬± í ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¿÷ Ý¿² ¾±¬¸ ±º ¬¸»³ ¾» ½±®®»½¬áÛ¨°´¿·² ¸±© §±« ¼»½·¼»¼ò

ø¾÷ Ò»­¬¿ ©®±¬» ïòéìéì ¬± ì ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Ý¿² ¾±¬¸ Ò»­¬¿ ¿²¼ ß®ª·²¼ ¾» ½±®®»½¬áÛ¨°´¿·² ¸±© §±« ¼»½·¼»¼ò

ø½÷ ̸»§ ©®±¬» ¿ ª±´«³» ¬± ¼·ºº»®»²¬ ²«³¾»®­ ±º ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

Ó¿®§ ©®±¬» îòê ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»òß®ª·²¼ ©®±¬» îòêë ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

̸»§ ¿®» ¾±¬¸ ½±®®»½¬ò

ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ´±©»® ¿²¼ «°°»® ¾±«²¼­ ±º ¬¸» ª±´«³»á

ø¼÷ ̸» ³¿­­ ±º ¿ ¾´±½µ ·­ ðòïð µ·´±¹®¿³­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

׬­ ª±´«³» ·­ ðòðî ´·¬®»­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

¼»²­·¬§³¿­­

ª±´«³»ã

ɱ®µ ±«¬ ¬¸» ³·²·³«³ ¿²¼ ³¿¨·³«³ °±­­·¾´» ¼»²­·¬§ ±º ¬¸» ¾´±½µò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø»÷ ̸» ³¿¨·³«³ °±­­·¾´» °»®½»²¬¿¹» »®®±® ·² ¬¸» ¼»²­·¬§ ±º ¬¸» ¾´±½µ½¿² ¾» ¬¸±«¹¸¬ ±º ·² ¼·ºº»®»²¬ ©¿§­ ¿²¼ ¬¸»®»º±®» ½¿´½«´¿¬»¼ «­·²¹¼·ºº»®»²¬ ³»¬¸±¼­ò

ײª»­¬·¹¿¬» ¬©± ¼·ºº»®»²¬ ³»¬¸±¼­ ©¸·½¸ ¹·ª» ¿ ³¿¨·³«³ °»®½»²¬¿¹»»®®±® ¹®»¿¬»® ¬¸¿² íðûò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª¿´«»­ ¬¸»§ ¹·ª» º±® ¬¸» °»®½»²¬¿¹» »®®±®ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçìñÓ¿ñçóïðñÛ¨¬÷

ïîò ̸» »¨¿½¬ º±®³«´¿ ¬± ½±²ª»®¬ ¿ ¬»³°»®¿¬«®» ³»¿­«®»¼ ·² ¼»¹®»»­ Ý»´­·«­ øÝ÷¬± ¼»¹®»»­ Ú¿¸®»²¸»·¬ øÚ÷ ·­

ÚçÝ

ëã õ íî

ß² ¿°°®±¨·³¿¬» º±®³«´¿ ±º¬»² «­»¼ º±® ¬¸·­ ½±²ª»®­·±² ·­

Ú îÝã õ íð

ïìòì

Page 148: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìé

ø¿÷ ̸» ¬»³°»®¿¬«®» ·­ îð ðò pÝ ô ³»¿­«®»¼ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ¬»²¬¸ ±º ¿ ¼»¹®»»òɸ¿¬ ©±«´¼ §±« ±¾¬¿·² ¿­ ¬¸» «°°»® ¿²¼ ´±©»® ¾±«²¼­ ±º ¬¸»¬»³°»®¿¬«®» ·² ¼»¹®»»­ Ú¿¸®»²¸»·¬ ·º §±« «­»¼ ¬¸» ¿°°®±¨·³¿¬»º±®³«´¿ º±® ¬¸» ½±²ª»®­·±²á

ø¾÷ ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» «°°»® ¿²¼ ´±©»® ¾±«²¼­ ±º ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» ·² ¼»¹®»»­Ú¿¸®»²¸»·¬ ±¾¬¿·²»¼ ¾§ «­·²¹ ¬¸» »¨¿½¬ º±®³«´¿ ¬± ½±²ª»®¬ îð ðò pÝ ¬±Ú¿¸®»²¸»·¬á

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®½»²¬¿¹» »®®±® ©¸»² ¬¸» ¿°°®±¨·³¿¬» º±®³«´¿ô ®¿¬¸»®¬¸¿² ¬¸» »¨¿½¬ º±®³«´¿ô ·­ «­»¼ ¬± ½±²ª»®¬ íð ðò pÝ ¬± Ú¿¸®»²¸»·¬ò

ø¼÷ Ú±® ©¸¿¬ ®¿²¹» ±º ª¿´«»­ ±º Ý ¼±»­ ¬¸» ¿°°®±¨·³¿¬» º±®³«´¿ ¹·ª» ¿²¿²­©»® ·² ¼»¹®»»­ Ú¿¸®»²¸»·¬ ©¸·½¸ ¼·ºº»®­ ¾§ ¿ °»®½»²¬¿¹» »®®±® ±º²± ³±®» ¬¸¿² ëû º®±³ ¬¸» »¨¿½¬ º±®³«´¿á

Ù·ª» §±«® ¿²­©»®­ ¬± ±²» ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ çóïð÷

Page 149: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìè

ïëòï Ч¬¸¿¹±®¿­ù ̸»±®»³Ð§¬¸¿¹±®¿­ù ̸»±®»³ ¼»­½®·¾»­ ¬¸» ·³°±®¬¿²¬ ®»´¿¬·±²­¸·° ¾»¬©»»² ¬¸» ´»²¹¬¸­ ±º¬¸» ­·¼»­ ±º ¿ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»ò

Ч¬¸¿¹±®¿­ù ̸»±®»³

ײ ¿ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»ô

¿ ¾ ½î î îõ ã

̸» ´±²¹»­¬ ­·¼»ô ½ô ·² ¿®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´» ·­ ½¿´´»¼ ¬¸» ¸§°±¬»²«­»ò

Û¨¿³°´» ï

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ­·¼» ßÞ±º ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»æ

ͱ´«¬·±²

ײ ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ô

ßÞ î ã ßÝ ÞÝî îõ

ã ë çî îõ

ã îë èïõã ïðê

ßÞ ã ïðê ã ïðòîçëêíðïì ½³

ã ïðòí ½³ ø¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»÷

Û¨¿³°´» î

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ­·¼» ÈDZº ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ïë Ì®·¹±²±³»¬®§

½¿

¾

ß

Ý Þ

ë ½³

ç ½³

ïì ½³

ê ½³

È

Ç

Æ

Page 150: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïìç

ͱ´«¬·±²

ײ ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ô

ÇÆ î ã ÈÇ ÈÆî îõ

ïì î ã ÈÇ î õ ê î

ïçê ã ÈÇ î õ íê

ÈÇ î ã ïêð

ÈÇ ã ïêð ã ïîòêìçïïðêì ½³

ã ïîòê ½³ ø¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»÷

Û¨¿³°´» í

Ü»¬»®³·²» ©¸»¬¸»® ±® ²±¬ ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»½±²¬¿·²­ ¿ ®·¹¸¬ ¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

׺ ¬¸» ¬®·¿²¹´» ¼±»­ ½±²¬¿·² ¿ ®·¹¸¬ ¿²¹´»ô ¬¸»² ¬¸» ´±²¹»­¬ ­·¼»ô ÞÝô ©±«´¼ ¾» ¬¸»

¸§°±¬»²«­»ò ͱô ¬¸» ¬®·¿²¹´» ©·´´ ¾» ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ·º ßÞ ßÝ ÞÝî îõ ãî ò

Ú·®­¬ ½±²­·¼»®ô

ßÞ ßÝî õ î ã é ïìî îõ ã ìç ïçêõ

ã îìëÒ±© ½±²­·¼»®ô

ÞÝ î ã ïç î

ã íêïײ ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ô

ß Þ ß Ýî îõ g Þ Ý î

­± ·¬ ¼±»­ ²±¬ ½±²¬¿·² ¿ ®·¹¸¬ ¿²¹´»ò

Û¨»®½·­»­ïò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¸§°±¬»²«­» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»­ ­¸±©²ò ɸ»®»

²»½»­­¿®§ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ß

ÞÝ

ïì ½³ é ½³

ïç ½³

è ½³

ê ½³ ì ½³

îð ½³

Page 151: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëð

ø½÷ ø¼÷

îò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» «²³¿®µ»¼ ­·¼» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»­ ­¸±©²ò ײ»¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­òø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

íò ø¿÷ Ü»¬»®³·²» ßÞò ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ÛÚò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ÙØò ø¼÷ Ü»¬»®³·²» ÖÕò

ïëòï

è ½³ ç ½³

ïé ³

ïï ³

ß

ÞÝ

ìï ½³

ìð ½³

ê ½³

ì ½³

îð ³

ïè ³

ïì ³³

ïé ³³

ç ³

ïî ³

Ü Û

Ú

íòë ³

èòì ³

íîë ³ íîí ³

Ö Õ

Ô

ÙØ

×

çê µ³îè µ³

Page 152: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëï

ìò ɸ·½¸ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»­ ¾»´±© ½±²¬¿·² ®·¹¸¬ ¿²¹´»­áø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ëò Í¿³ ©¿´µ­ ïðð ³ ²±®¬¸ ¿²¼ ¬¸»² ïðð ³ »¿­¬ò ر© º¿® ·­ ­¸» º®±³ ¸»®­¬¿®¬·²¹ °±­·¬·±²á Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ¼»¹®»» ±º ¿½½«®¿½§ò

êò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ¬®¿°»¦·«³ ­¸±©²ò Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ³·´´·³»¬®»ò

ë ½³

ç ½³

ê ½³

éò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¿ °´¿² º±® ¿©¸»»´½¸¿·® ®¿³°ò

̸» ¼·­¬¿²½» ßÝ ·­ î ³ò

Ù·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ·² ³»¬®»­ô½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½³ô½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·­¬¿²½» ßÞ ·ºæ

ø¿÷ ÞÝ ½³ã îð ø¾÷ ÞÝ ½³ã íð

èò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ¿²¼ ¿®»¿±º ¬¸·­ ¬®¿°»¦·«³æ

ïð ½³ê ½³

è ½³

ë ½³ é ½³

ç ½³

ïî ½³

ë ½³ïí ½³

èì ½³

çè ½³

íê ½³

Þ

Ýß

ïð ½³

ïè ½³

ïð ½³

Page 153: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëî

ïëòï

çò ß ®±°» ·­ ïð ³ ´±²¹ò Ѳ» »²¼ ·­ ¬·»¼ ¬± ¬¸» ¬±° ±º ¿ º´¿¹°±´»ò ̸» ¸»·¹¸¬ ±º¬¸» º´¿¹°±´» ·­ ë ³ò ̸» ®±°» ·­ °«´´»¼ ¬·¹¸¬ ©·¬¸ ¬¸» ±¬¸»® »²¼ ±² ¬¸»¹®±«²¼ò

ر© º¿® ·­ ¬¸» »²¼ ±º ¬¸» ®±°» º®±³ ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸» º´¿¹°±´»á Ù·ª» §±«®¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

ïðò ß ´¿¼¼»® ´»¿²­ ¿¹¿·²­¬ ¿ ª»®¬·½¿´ ©¿´´ò ̸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ´¿¼¼»® ·­ ë ³ò ̸»º±±¬ ±º ¬¸» ´¿¼¼»® ·­ î ³ º®±³ ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸» ©¿´´ò

ر© ¸·¹¸ ·­ ¬¸» ¬±° ±º ¬¸» ´¿¼¼»® ¿¾±ª» ¬¸» ¹®±«²¼áÙ·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

ïïò Í¿®¿¸ ³¿µ»­ ¿ µ·¬» º®±³ ¬©± ·­±­½»´»­ ¬®·¿²¹´»­ô ¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ìð ½³ ìð ½³

êð ½³

èð ½³ èð ½³

Ü Þ

Ý

ß

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¸»·¹¸¬ô ßÝô ±º ¬¸» µ·¬»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬½»²¬·³»¬®»ò

ïîò ײ ¬¸·­ ¯«»­¬·±² §±« ©·´´ ¹»¬ ²± ³¿®µ­ ·º §±« ©±®µ ±«¬ ¬¸» ¿²­©»® ¬¸®±«¹¸­½¿´» ¼®¿©·²¹ò

ß®¬±² ´¿²¼

Ý¿°» б·²¬

Ò

ìòè µ³

éòë µ³

Ý¿°» б·²¬ ·­ éòë µ³ »¿­¬ ¿²¼ ìòè µ³ ²±®¬¸ ±º ß®¬±²ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¼·®»½¬ ¼·­¬¿²½» º®±³ ß®¬±² ¬± Ý¿°» б·²¬ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹òøÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® ëóéñÐî÷

ÒÑÌ ÌÑ ÍÝßÔÛ

Page 154: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëí

ïíò ß ½«°¾±¿®¼ ²»»¼­ ¬± ¾» ­¬®»²¹¬¸»²»¼ ¾§ °«¬¬·²¹ ¿ ­¬®«¬ ±² ¬¸» ¾¿½µ ±º ·¬ ´·µ»¬¸·­ò

­¬®«¬ ïçð ½³

ïëð ½³

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ­¬®«¬ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ ײ ¿ ­³¿´´ ®±±³ ¬¸» ½«°¾±¿®¼ ·­ ·² ¬¸·­ °±­·¬·±²ò

Ê×ÛÉ ÔÑÑÕ×ÒÙÜÑÉÒ ÑÒÌØÛ ÎÑÑÓ

èð ½³

îïð ½³

ïêë ½³

ïëð ½³

Ý¿´½«´¿¬» ·º ¬¸» ®±±³ ·­ ©·¼» »²±«¹¸ ¬± ¬«®² ¬¸» ½«°¾±¿®¼ ´·µ» ¬¸·­¿²¼ °«¬ ·¬ ·² ·¬­ ²»© °±­·¬·±²ò

ÒÛÉÐÑÍ×Ì×ÑÒ

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ ëóéñÐï÷

Page 155: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëì

ïëòî Ì®·¹±²±³»¬®·½ Ú«²½¬·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ·²¬®±¼«½» í º«²½¬·±²­æ ­·²»ô ½±­·²» ¿²¼ ¬¿²¹»²¬ô ¿²¼ ¬¸»·® «­» ·²®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»­ò Ú·®­¬ ©» ´±±µ ¿¬ ¬¸» ½±²ª»²¬·±²­ «­»¼ º±® ¬¸» ²¿³»­ ±º ¬¸»­·¼»­ ±º ¿ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´» ©·¬¸ ®»­°»½¬ ¬± ±²» ±º ¬¸» ¿²¹´»­ò

̸» ¿¼¶¿½»²¬ ­·¼» ·­ ¬¸» ­·¼» ¶±·²·²¹ ¬¸»¿²¹´» ¿²¼ ¬¸» ®·¹¸¬ ¿²¹´»ò

̸» ±°°±­·¬» ­·¼» ·­ ±°°±­·¬» ¬¸» ¿²¹´»ò

̸» ¸§°±¬»²«­» ·­ ¬¸» ­·¼» ±°°±­·¬» ¬¸»®·¹¸¬ ¿²¹´» ¿²¼ ·­ ¬¸» ´±²¹»­¬ ­·¼» ·² ¬¸»¬®·¿²¹´»ò

Ë­·²¹ ¬¸»­» ¼»º·²·¬·±²­ô ©» ½¿² ©®·¬» ¼±©² ¬¸» ¬®·¹±²±³»¬®·½ º«²½¬·±²­æ

­·² ã ±°°±­·¬»

¸§°±¬»²«­»ã Ñ

Ø

½±­ ã ¿¼¶¿½»²¬

¸§°±¬»²«­»ã ß

Ø

¬¿² ã ±°°±­·¬»

¿¼¶¿½»²¬ã Ñ

ß

Ò±¬» ¬¸¿¬ ©» ¿¾¾®»ª·¿¬» ­·²»ô ½±­·²» ¿²¼ ¬¿²¹»²¬ ¬± ­·²ô ½±­ ¿²¼ ¬¿²ò

ײ ¬¸» º±´´±©·²¹ Û¨¿³°´»­ ¿²¼ Û¨»®½·­»­ô ©» ·²ª»­¬·¹¿¬» ¬¸» °®±°»®¬·»­ ±º ¬¸»­»¬®·¹±²±³»¬®·½ º«²½¬·±²­ò

Û¨¿³°´» ï

Û­¬·³¿¬» ¬¸» ­·²ô ½±­ ¿²¼ ¬¿² ±º íð pô «­·²¹¿² ¿½½«®¿¬» ¼®¿©·²¹ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©²ò

ͱ´«¬·±²

̸» ¬®·¿²¹´» ¸¿­ ¾»»² ¼®¿©² ¿½½«®¿¬»´§¾»´±©ô ¿²¼ ¬¸» ­·¼»­ ³»¿­«®»¼ò

Ñ°°±­·¬»Ø§°±¬»²«­»

ß¼¶¿½»²¬

ïð ½³íð%

íð%

ïïòê ½³ëòè ½³

ïð ½³

Page 156: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëë

Ø»®»ô ¸§°±¬»²«­» ã ïïòê ½³ ô ¿¼¶¿½»²¬ ã ïð ½³ ¿²¼ ±°°±­·¬» ã ëòè ½³ô ­±ô

­·²íð p ã Ñ

Øã ë è

ïï ê

ò

òã ðòë

½±­íð p ã ß

Øã ïð

ïï êòã ðòèê ø¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­÷

¬¿²íð p ã Ñ

ßã ë è

ïð

ò ã ðòëè

Ò±¬» ¬¸¿¬ ·º ©» ¸¿¼ ¼®¿©² ¿ ­·³·´¿® ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»ô ¿¹¿·² ½±²¬¿·²·²¹ ¬¸»íð p ¿²¹´» ¾«¬ ©·¬¸ ¼·ºº»®»²¬ ­·¼» ´»²¹¬¸­ô ¬¸»² ©» ³¿§ ¸¿ª» ±¾¬¿·²»¼ ­´·¹¸¬´§¼·ºº»®»²¬ ª¿´«»­ º±® ­·²íð p ô ½±­íð p ¿²¼ ¬¿²íð p ò DZ« ½¿² ±¾¬¿·² ³±®» ¿½½«®¿¬»ª¿´«»­ ±º ­·²íð p ô ½±­íð p ¿²¼ ¬¿²íð p ¾§ «­·²¹ ¿ ­½·»²¬·º·½ ½¿´½«´¿¬±®ò ׺ §±«¸¿ª» ¿ ½¿´½«´¿¬±® ©·¬¸ ¬¸» ¬®·¹±²±³»¬®·½ º«²½¬·±²­ô ¼± ¬¸·­ ¿²¼ ½±³°¿®» ¬¸»³ ©·¬¸¬¸» ª¿´«»­ ¿¾±ª»ò

ÉßÎÒ×ÒÙæ ɸ»² §±« «­» ¿ ­½·»²¬·º·½ ½¿´½«´¿¬±®ô ¿´©¿§­ ½¸»½µ ¬¸¿¬ ·¬ ·­¼»¿´·²¹ ©·¬¸ ¿²¹´»­ ·² ¼»¹®»» ³±¼»ò

Û¨¿³°´» î

ø¿÷ Ó»¿­«®» ¬¸» ¿²¹´» ³¿®µ»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»æ

ïð ½³ ê ½³

è ½³

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­·²»ô ½±­·²» ¿²¼ ¬¿²¹»²¬ ±º ¬¸·­ ¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ײ ¬¸·­ ½¿­» ¬¸» ¿²¹´» ½¿² ¾» ³»¿­«®»¼ ©·¬¸ ¿ °®±¬®¿½¬±® ¿­ íé p ò

ø¾÷ Ø»®» ©» ¸¿ª»

±°°±­·¬» ã ê ½³

¿¼¶¿½»²¬ ã è ½³

¸§°±¬»²«­» ã ïð ½³

Page 157: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëê

ïëòî

­·² ã Ñ

ؽ±­ ã ß

ج¿² ã Ñ

ß

ã ê

ïðã è

ïðã ê

è

ã ðòê ã ðòè ã ðòéë

Û¨»®½·­»­

ïò ø¿÷ Ü®¿© í ¼·ºº»®»²¬ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»­ ¬¸¿¬ »¿½¸ ½±²¬¿·² ¿ êð p ¿²¹´»ò

ø¾÷ Ë­» »¿½¸ ¬®·¿²¹´» ¬± »­¬·³¿¬» ­·²êð p ô ¿²¼ ½¸»½µ ¬¸¿¬ §±« ¹»¬¿°°®±¨·³¿¬»´§ ¬¸» ­¿³» ª¿´«» ·² »¿½¸ ½¿­»ò

ø½÷ Û­¬·³¿¬» ¿ ª¿´«» º±® ½±­êð p ò

ø¼÷ Û­¬·³¿¬» ¿ ª¿´«» º±® ¬¿²êð p ò

îò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´» ¬¸¿¬ ½±²¬¿·²­ ¿² ¿²¹´» ±º ëð pò

ø¾÷ Ë­» ¬¸·­ ¬®·¿²¹´» ¬± »­¬·³¿¬»æ

ø·÷ ½±­ëð p ô ø··÷ ­·²ëð p ô ø···÷ ¬¿²ëð p ò

íò ø¿÷ Ü®¿© ¿ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´» ©¸·½¸ ½±²¬¿·²­ ¿ ìë p ¿²¹´»ò

ø¾÷ Û¨°´¿·² ©¸§ ­·² ½±­ìë ìëp ã p ¿²¼ ­¬¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ¬¿² ìë p ò

ìò ø¿÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»ô ¹·ª·²¹ §±«® ª¿´«»­ ½±®®»½¬ ¬±î ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

Ü®¿© ¿°°®±°®·¿¬» ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»­ ¬± ¾» ¿¾´» ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸»ª¿´«»­ò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ­·²ô ½±­ ¿²¼ ¬¿² µ»§­ ±² §±«® ½¿´½«´¿¬±® ¬± ½¸»½µ §±«® ª¿´«»­ò

ß²¹´» ­·²» ½±­·²» ¬¿²¹»²¬

ïð p

îð p

íð p

ìð p

ëð p

êð p

éð p

èð p

Page 158: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëé

ëò ß °«°·´ ­¬¿¬»­ ¬¸¿¬ ¬¸» ­·²» ±º ¿² ¿²¹´» ·­ ðòëò ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¿²¹´»á

êò ׺ ¬¸» ½±­·²» ±º ¿² ¿²¹´» ·­ ðòïéô ©¸¿¬ ·­ ¬¸» ¿²¹´»á Ù·ª» ¬¸» ³±­¬ ¿½½«®¿¬»¿²­©»® §±« ½¿² ±¾¬¿·² º®±³ §±«® ½¿´½«´¿¬±® ¿²¼ ¬¸»² ®±«²¼ ·¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬¼»¹®»»ò

éò ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ª¿´«»­ ±ºæ

ø¿÷ ½±­ ð p ø¾÷ ­·² ð p ø½÷ ­·² çð p

ø¼÷ ½±­ çð p ø»÷ ¬¿² ð p øº÷ ¬¿² çð p

èò Ë­» §±«® ½¿´½«´¿¬±® ¬± ±¾¬¿·² ¬¸» º±´´±©·²¹ô ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­æ

ø¿÷ ­·² èî p ø¾÷ ½±­ ïï p ø½÷ ­·² ìî p

ø¼÷ ¬¿² èð p ø»÷ ¬¿² ëî p øº÷ ¬¿² íè p

çò Ë­» §±«® ½¿´½«´¿¬±® ¬± ±¾¬¿·² ¬¸» ¿²¹´» ô ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ô ·ºæ

ø¿÷ ½±­ òã ð í ø¾÷ ­·² òã ð éé ø½÷ ¬¿² òã ï êî

ø¼÷ ­·² òã ð íï ø»÷ ½±­ òã ð èç øº÷ ¬¿² òã ïï ì

ïðò ß ­¬«¼»²¬ ½¿´½«´¿¬»­ ¬¸¿¬ ½±­ òã ð è ò

ø¿÷ Þ§ ½±²­·¼»®·²¹ ¬¸» ­·¼»­ ±º ¿ ­«·¬¿¾´» ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»ô ¼»¬»®³·²»¬¸» ª¿´«»­ ±º ­·² ¬¿² ¿²¼ ò

ø¾÷ Ë­» ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¬± º·²¼ ¬¸» ¿²¹´» ò

ø½÷ Ë­» ¬¸» ¿²¹´» §±« º±«²¼ ·² °¿®¬ ø¾÷ ¬± ª»®·º§ §±«® ¿²­©»®­ ¬± °¿®¬ ø¿÷ò

ïëòí Ý¿´½«´¿¬·²¹ Í·¼»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» «­» ¬¸» ¬®·¹±²±³»¬®·½ º«²½¬·±²­ ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸­ ±º ­·¼»­·² ¿ ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»ò

Ì®·¹±²±³»¬®·½ Ú«²½¬·±²­

­·² ã Ñ

ؽ±­ ã ß

ج¿² ã Ñ

ß

Page 159: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëè

Û¨¿³°´» ï

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ­·¼» ³¿®µ»¼ ¨ ·² ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

ײ ¬¸·­ ¯«»­¬·±² ©» «­» ¬¸» ±°°±­·¬» ­·¼» ¿²¼¬¸» ¸§°±¬»²«­»ò ̸»­» ¬©± ­·¼»­ ¿°°»¿® ·² ¬¸»º±®³«´¿ º±® ­·² ô ­± ©» ¾»¹·² ©·¬¸ô

­·² ã Ñ

Ø

ײ ¬¸·­ ½¿­» ¬¸·­ ¹·ª»­ô

­·² ìð p ã ¨

è ±®

¨ ã è ìðl p­·²

ã ëòïìîíððèéé ½³

ã ëòï ½³ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»

Û¨¿³°´» î

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ­·¼» ßÞ ±º ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ©» ¿®» ½±²½»®²»¼ ©·¬¸ ­·¼» ß Þ ©¸·½¸ ·­ ¬¸» ±°°±­·¬» ­·¼» ¿²¼ ­·¼»ÞÝ ©¸·½¸ ·­ ¬¸» ¿¼¶¿½»²¬ ­·¼»ô ­± ©» «­» ¬¸» º±®³«´¿ô

¬¿² ã Ñ

ß

Ú±® ¬¸·­ °®±¾´»³ ©» ¸¿ª»ô

¬¿²ëð p ã ¨

ç

­± ¨ ã ç ëðl p¬¿²

ã ïðòéîëéèîíí ½³

ã ïðòé ½³ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»

ïëòí

é

¨è ½³

ìð%

¨

ç ½³

ëð%

ß Þ

Ý

Page 160: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïëç

Û¨¿³°´» í

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¸§°±¬»²«­» ±º¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ©» ®»¯«·®» ¬¸» º±®³«´¿ ¬¸¿¬ ´·²µ­ ¬¸» ¿¼¶¿½»²¬ ­·¼» ¿²¼ ¬¸» ¸§°±¬»²«­»ô­± ©» «­» ½±­ ò

ͬ¿®¬·²¹ ©·¬¸

½±­ ã Ñ

Ø

©» ½¿² «­» ¬¸» ª¿´«»­ º®±³ ¬¸» ¬®·¿²¹´» ¬± ±¾¬¿·²ô

½±­îð p ã ïî

Ø

Ø l p½±­îð ã ïî

Ø ã ïî

îð½±­ pã ïîòééðïííîé ½³

̸»®»º±®» ¬¸» ¸§°±¬»²«­» ¸¿­ ´»²¹¬¸ ïîòè ½³ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

Û¨»®½·­»­ïò Ë­» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ­·²» ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ­·¼» ³¿®µ»¼ ¨ ·²

»¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­ò ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ï¼»½·³¿´ °´¿½»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ïî ½³îð%

ìë%

ïè ½³¨¨ïí ½³

ìð%

íë%

ïï ½³¨ ¨

íî ½³

îë%

Page 161: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêð

îò Ë­» ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¸» ½±­·²» ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¿¼¶¿½»²¬ ­·¼» ·²»¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­ò Ù·ª» §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

íò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ­·¼»­ ·²¼·½¿¬»¼ ¾§ ´»¬¬»®­ ·² »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹¬®·¿²¹´»­ò Ù·ª» »¿½¸ ±º §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ïëòí

ïè ½³

íè%

íð%

ïì ½³

ìî%

í ½³

ïë%

íð ½³

íë%

ìð ³

¿

¾

îð%ïï ½³

°

è ½³ìð%

¨

ç ½³

îë%¦

éð%

îð ³

¨

ïî ½³

ëð%¨

§

Page 162: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêï

ìò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¸§°±¬»²«­» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­òÙ·ª» »¿½¸ ±º §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± í ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ëò Ý¿´½«´¿¬» ¿´´ ¬¸» ´»²¹¬¸­ ³¿®µ»¼ ©·¬¸ ´»¬¬»®­ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­ò Ù·ª»»¿½¸ ±º §±«® ¿²­©»®­ ½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

êò ß ´¿¼¼»®ô ©¸·½¸ ¸¿­ ´»²¹¬¸ ê ³ô ´»¿²­ ¿¹¿·²­¬ ¿ ª»®¬·½¿´ ©¿´´ò ̸» ¿²¹´»¾»¬©»»² ¬¸» ´¿¼¼»® ¿²¼ ¬¸» ¸±®·¦±²¬¿´ ¹®±«²¼ ·­ êë p ò

ø¿÷ ر© º¿® ·­ ¬¸» º±±¬ ±º ¬¸» ´¿¼¼»® º®±³ ¬¸» ©¿´´á

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» ¬±° ±º ¬¸» ´¿¼¼»® ¿¾±ª» ¬¸» ¹®±«²¼á

ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½»²¬·³»¬®»ò

éò ß ¾±¿¬ ­¿·´­ ëð µ³ ±² ¿ ¾»¿®·²¹ ±º ðéð pò

ø¿÷ ر© º¿® »¿­¬ ¼±»­ ¬¸» ¾±¿¬ ¬®¿ª»´á

ø¾÷ ر© º¿® ²±®¬¸ ¼±»­ ¬¸» ¾±¿¬ ¬®¿ª»´á

ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

è ½³

íë%

éð%í ½³

ïè ½³

ìï%

ìî%

íí ½³

ïé ½³

ëð%¾

¿

¼ïë ½³

îë%½

º

ïì ½³

ïî%»

êî%ê ½³

¸¹

Page 163: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêî

èò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» °»®·³»¬»® ¿²¼ ¿®»¿ ±º¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò Ù·ª» §±«® ¿²­©»®­½±®®»½¬ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

çò ß ®¿³° ¸¿­ ´»²¹¬¸ ê ³ ¿²¼ ·­ ¿¬ ¿² ¿²¹´» ±º ëð p ¿¾±ª» ¬¸» ¸±®·¦±²¬¿´ò ر©¸·¹¸ ·­ ¬¸» ¬±° ±º ¬¸» ®¿³°á Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º¿½½«®¿½§ò

ïðò ß ®±°» ·­ ­¬®»¬½¸»¼ º®±³ ¿ ©·²¼±© ·² ¬¸» ­·¼» ±º ¿ ¾«·´¼·²¹ ¬± ¿ °±·²¬ ±² ¬¸»¹®±«²¼ô ê ³ º®±³ ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸» ¾«·´¼·²¹ò ̸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ®±°» ¿²¼¬¸» ­·¼» ±º ¬¸» ¾«·´¼·²¹ ·­ ïç pò

ø¿÷ ر© ´±²¹ ·­ ¬¸» ®±°»á

ø¾÷ ر© ¸·¹¸ ·­ ¬¸» ©·²¼±©á

ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ½»²¬·³»¬®»ò

ïëòì Ý¿´½«´¿¬·²¹ ß²¹´»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» «­» ¬®·¹±²±³»¬®§ ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦»­ ±º ¿²¹´»­ ·² ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´»­ò Ѳ §±«® ­½·»²¬·º·½ ½¿´½«´¿¬±® §±« ©·´´ º·²¼ ¾«¬¬±²­ ´¿¾»´´»¼

w ­·² w ô w ½±­ wó óï ï ¿²¼ w ¬¿² wóï ò DZ« ©·´´ ²»»¼ ¬± ¾» ¿¾´» ¬± «­» ¬¸»­» ¬± ½¿´½«´¿¬»¬¸» ¿²¹´»­ ¬¸¿¬ ©·´´ ¿®·­» ·² ¬¸» °®±¾´»³­ ©¸·½¸ º±´´±©ò ß¹¿·²ô ©» ­¬¿®¬ ©·¬¸ ¬¸»¬¸®»» ¬®·¹±²±³»¬®·½ º«²½¬·±²­æ

Ì®·¹±²±³»¬®·½ Ú«²½¬·±²­

­·² ã Ñ

ؽ±­ ã ß

ج¿² ã Ñ

ß

Û¨¿³°´» ï

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ·² ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

ײ ¬¸·­ ¬®·¿²¹´» ©» ¿®» ¹·ª»² ¬¸» ´»²¹¬¸­ ±º ¬¸»¿¼¶¿½»²¬ ¿²¼ ±°°±­·¬» ­·¼»­ô ­± ©» ©·´´ «­»ô

¬¿² ã Ñ

ß

Ë­·²¹ ¬¸» ´»²¹¬¸­ ¹·ª»²ô ©» ¸¿ª»

¬¿² ã è

ë

ã ïòê

ïë ½³

îð%

ë ½³

è ½³

ïëòí

Page 164: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêí

É» ½¿² ¬¸»² «­» ¬¸» ¬¿² óï µ»§ ±² ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¬± ±¾¬¿·²

ã ¬¿² òó ø ÷ï ï ê ã ëé ççìêïêéèò p

ã ëè ðò p ø¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»÷

Û¨¿³°´» î

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ³¿®µ»¼ ·² ¬¸·­ ¬®·¿²¹´»ò

ͱ´«¬·±²

Þ»½¿«­» ¬¸» ´»²¹¬¸­ ¹·ª»² ¿®» º±® ¬¸»¿¼¶¿½»²¬ ­·¼» ¿²¼ ¬¸» ¸§°±¬»²«­»ô ¬¸» º±®³«´¿ º±® ½±­ ³«­¬ ¾» «­»¼ò

½±­ ã ß

Ø

ã è

ïéã ðòìéðëèèîíë

ã ½±­ ò òó ø ÷ ã pï ð ìéðëèèîíë êï çîéëïíðê

ã êï çò p ø¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»÷

Û¨¿³°´» í

ß ®»½¬¿²¹´» ¸¿­ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ ë ³ ¿²¼ ïð ³ò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸»´±²¹ ­·¼» ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ¿²¼ ¿ ¼·¿¹±²¿´ò

ͱ´«¬·±²

̸» ­±´«¬·±² ·­ ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ïð

ë

Ë­·²¹ ¬¸» º±®³«´¿ º±® ¬¿² ¹·ª»­

¬¿² ã ë

ïð

ã ðòë

̸»² «­·²¹ ¬¸» ¬¿² óï µ»§ ±² ¿ ½¿´½«´¿¬±® ¹·ª»­

ã ¬¿² ò òó ø ÷ ã pï ð ë îê ëêëðëïïè

ã îê êò p ø¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»÷ò

ïé

è

Page 165: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêì

ïëòì

Û¨»®½·­»­ïò Ù·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ô ©¸»®» ²»½»­­¿®§ô ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ô «­» §±«®

½¿´½«´¿¬±® ¬± ±¾¬¿·² ·ºæ

ø¿÷ ­·² òã ð è ø¾÷ ½±­ òã ð ë ø½÷ ¬¿² ã ï

ø¼÷ ­·² òã ð í ø»÷ ½±­ ã ð øº÷ ¬¿² ã ïì

îò Ë­» ¬¸» ¬¿²¹»²¬ º«²½¬·±² ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ·² »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹¼·¿¹®¿³­ò ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

íò Ë­» ­·²» ±® ½±­·²» ¬± ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ·² »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­òײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª» §±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

è ½³

îòë ½³

ìòé ½³

è ½³

ë ½³

é ½³çòë ½³

ïð ½³

ïð ½³é ½³

ïê ³

îð ³

îï ½³

îî ½³ îð ½³

íì ½³

Page 166: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêë

ìò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ·² »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬®·¿²¹´»­ò ײ »¿½¸ ½¿­»ô ¹·ª»§±«® ¿²­©»® ½±®®»½¬ ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ëò ß ®·¹¸¬ó¿²¹´»¼ ¬®·¿²¹´» ¸¿­ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ í ½³ô ì ½³ ¿²¼ ë ½³ò

Ü»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦»­ ±º ¿´´ ¬¸» ¿²¹´»­ ·² ¬¸» ¬®·¿²¹´»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»®­ ¬±¬¸» ²»¿®»­¬ ¼»¹®»»ò

êò ̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ ¬¸» ½®±­­ó­»½¬·±²±º ¿ ­¸»¼ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸»®±±º ¿²¼ ¬¸» ¸±®·¦±²¬¿´ò Ù·ª» §±«®¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ¼»¹®»»ò

éò ß ´¿¼¼»® ±º ´»²¹¬¸ ê ³ ´»¿²­ ¿¹¿·²­¬ ¿ ©¿´´ò ̸» º±±¬ ±º ¬¸» ´¿¼¼»® ·­ ¿¬ ¿¼·­¬¿²½» ±º í ³ º®±³ ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸» ©¿´´ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ´¿¼¼»® ¿²¼ ¬¸» ¹®±«²¼ò

èò ß ®»½¬¿²¹´» ¸¿­ ­·¼»­ ±º ´»²¹¬¸ ïî ½³ ¿²¼ ïè ½³ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ´»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ô ¹·ª·²¹ §±«®¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³·´´·³»¬®»ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ¼·¿¹±²¿´ ¿²¼ ¬¸» ­¸±®¬»® ­·¼» ±º ¬¸»®»½¬¿²¹´»ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ¼»¹®»»ò

îì ½³

è ½³

íð ½³

îð ½³

îð ½³ïì ½³ è ½³

é½³

îòê ³

íòì ³

îòï ³

Page 167: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêê

çò ß­ ¿² ¿»®±°´¿²» ¬®¿ª»´­ íððð ³ ¿´±²¹ ¿ ­¬®¿·¹¸¬ º´·¹¸¬ °¿¬¸ô ·¬ ®·­»­ ëðð ³ò

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» º´·¹¸¬ °¿¬¸ ±º ¬¸» ¿»®±°´¿²» ¿²¼ ¬¸»¸±®·¦±²¬¿´ò Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ¿ ­»²­·¾´» ´»ª»´ ±º ¿½½«®¿½§ò

ïðò ß ©»·¹¸¬ ¸¿²¹­ º®±³ î ­¬®·²¹­ ¿­ ­¸±©² ·² ¬¸» ¼·¿¹®¿³ò

ïðð ½³ïîð ½³çð ½³

Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¿²¹´» ¾»¬©»»² ¬¸» ¬©± ­¬®·²¹­ô ¹·ª·²¹ §±«® ¿²­©»® ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ¼»¹®»»ò

ïïò ο³°­ ¸»´° °»±°´» ¹±·²¹ ·²¬± ¾«·´¼·²¹­ò

ß ®¿³° ¬¸¿¬ ·­ ïð ³ ´±²¹ ³«­¬ ²±¬ ¸¿ª» ¿ ¸»·¹¸¬ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ðòèí ³ò

ø¿÷ Ø»®» ¿®» ¬¸» °´¿²­ º±® ¿ ®¿³°æ

×­ ¬¸·­ ®¿³° ¬±± ¸·¹¸áDZ« ³«­¬ ­¸±© ½¿´½«´¿¬·±²­ ¬± »¨°´¿·² §±«® ¿²­©»®ò

ø¾÷ Ø»®» ¿®» ¬¸» °´¿²­ º±® ¿ ¼·ºº»®»²¬ ®¿³°ò

ر© ´±²¹ ·­ ¬¸» ¾¿­» ±º ¬¸·­ ®¿³°áDZ« ³«­¬ ­¸±© §±«® ½¿´½«´¿¬·±²­ò

ø½÷ ̸» ®»½±³³»²¼»¼ ¹®¿¼·»²¬ ±º ¿ ®¿³° ·­ ï ·² îðò

ɸ¿¬ ¿²¹´» ¹·ª»­ ¬¸» ®»½±³³»²¼»¼ ¹®¿¼·»²¬áDZ« ³«­¬ ­¸±© §±«® ½¿´½«´¿¬·±²­ò

øÕÍíñççñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐî÷

ïëòì

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

ïð ³

çòèë ³

¸»·¹¸¬

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

ïð ³

¾¿­»íòë%

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

îð

ï

Page 168: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêé

ïîò ß ¾±¿¬ ­¿·´­ º®±³ ¬¸» ¸¿®¾±«® ¬± ¬¸» ¾«±§ò

̸» ¾«±§ ·­ ê µ³ ¬± ¬¸» »¿­¬ ¿²¼ ì µ³ ¬± ¬¸» ²±®¬¸ ±º ¬¸» ¸¿®¾±«®ò

Ò

ÍÛß

ÔßÒÜ

ØßÎÞÑËÎ

Ô×ÙØÌØÑËÍÛ

ÞËÑÇ

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­¸±®¬»­¬ ¼·­¬¿²½» ¾»¬©»»² ¬¸» ¾«±§ ¿²¼ ¬¸» ¸¿®¾±«®òÙ·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ¾»¿®·²¹ ±º ¬¸» ¾«±§ º®±³ ¬¸» ¸¿®¾±«®ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

̸» ¾«±§ ·­ ïòî µ³ ¬± ¬¸» ²±®¬¸ ±º ¬¸» ´·¹¸¬¸±«­»ò̸» ­¸±®¬»­¬ ¼·­¬¿²½» º®±³ ¬¸» ´·¹¸¬¸±«­» ¬± ¬¸» ¾«±§ ·­ îòë µ³ò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¸±© º¿® ¬¸» ¾«±§ ·­ ¬± ¬¸» ©»­¬ ±º ¬¸» ´·¹¸¬¸±«­»ò

Ù·ª» §±«® ¿²­©»® ¬± ï ¼»½·³¿´ °´¿½»ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹òøÕÍíñçêñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

ïíò Þ¿®¹¿¬» ·­ ê µ³ »¿­¬ ¿²¼ ì µ³²±®¬¸ ±º Ý¿°» б·²¬ò

ø¿÷ ͬ»ª» ©¿²¬­ ¬± ­¿·´ ¼·®»½¬´§º®±³ Ý¿°» б·²¬ ¬± Þ¿®¹¿¬»ò

Ѳ ©¸¿¬ ¾»¿®·²¹ ­¸±«´¼ ¸»­¿·´á

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

ø¾÷ ß²²¿ ­¿·´­ º®±³ Ý¿°» б·²¬±² ¿ ¾»¿®·²¹ ±º ðìè pò͸» ­¬±°­ ©¸»² ­¸» ·­ ¼«» ²±®¬¸ ±º Þ¿®¹¿¬»ò

ر© º¿® ²±®¬¸ ±º Þ¿®¹¿¬» ·­ ß²²¿á

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐî÷

ÒÑÌ ÌÑÍÝßÔÛ

Þ¿®¹¿¬»

Ý¿°» б·²¬

ì µ³

ê µ³

´¿²¼

Ò

Page 169: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêè

ïêòï ߪ»®¿¹»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ®»ª·­·¬ ¬¸» ¬¸®»» ¬§°»­ ±º ¿ª»®¿¹»ô ¬¸» ³»¿²ô ³»¼·¿² ¿²¼ ³±¼»òÉ» ¿´­± «­» ¬¸» ®¿²¹» ±º ¿ ­»¬ ±º ¼¿¬¿ò

Ó»¿² ã ­«³ ±º ¬¸» ª¿´«»­

²«³¾»® ±º ª¿´«»­

Ó»¼·¿² ã ³·¼¼´» ª¿´«» ø©¸»² ¬¸» ¼¿¬¿ ·­ ¿®®¿²¹»¼ ·²±®¼»®÷å ©¸»®» ¬¸»®» ¿®» ¬©± ½»²¬®¿´ ª¿´«»­ô¬¸» ³»¼·¿² ·­ ¬¸»·® ³»¿²

Ó±¼» ã ³±­¬ ½±³³±² ª¿´«»

ο²¹» ã ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ´¿®¹»­¬ ¿²¼ ­³¿´´»­¬ ª¿´«»­

Û¨¿³°´» ï

ï é è î í ê ë ïð í

Ú±® ¬¸·­ ­¿³°´»ô

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿²ô ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿²ô

ø½÷ ­¬¿¬» ¬¸» ³±¼»ô ø¼÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ®¿²¹»ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ó»¿² ã ï é è î í ê ë ïð í

ç

õ õ õ õ õ õ õ õ

ã ìë

ç

ã ë

ø¾÷ ̱ º·²¼ ¬¸» ³»¼·¿²ô º·®­¬ ©®·¬» ¬¸» ²«³¾»®­ ·² ±®¼»®ò

ï î í í ë ê é è ïð

Ó»¼·¿²

ß­ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¼¿¬¿ ·¬»³­ ·­ ±¼¼ô ¬¸» ³»¼·¿² ©·´´ ¾» ¬¸» ³·¼¼´» ²«³¾»®ô©¸·½¸ ·­ ë ·² ¬¸·­ ½¿­»ô ­±

Ó»¼·¿² ã ë

ø½÷ ̸» ³±¼» ·­ ¬¸» ³±­¬ ½±³³±² ª¿´«»ô ©¸·½¸ ·­ í º±® ¬¸·­ ­»¬ ±º ª¿´«»­ò

ø¼÷ ο²¹» ã ïð ïó

ã ç

ïê Ý«³«´¿¬·ª» Ú®»¯«»²½§

Page 170: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïêç

Û¨¿³°´» î

Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¬ ±º ª¿´«»­æ

ìì íî èè ïç íí éì êî íï íí ëê

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ©®·¬» ¬¸» ²«³¾»®­ ·² ±®¼»®æ

ïç íï íî íí íí ìì ëê êî éì èè

ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ¬¸»®» ¿®» î ³·¼¼´» ²«³¾»®­ô íí ¿²¼ ììò ̸» ³»¼·¿² ©·´´ ¾» ¬¸» ³»¿²±º ¬¸»­»ò

Ó»¼·¿² ã íí ìì

î

õ

ã éé

î

ã íèòë

Û¨¿³°´» í

ß ½´¿­­ ½±´´»½¬»¼ ¼¿¬¿ ±² ¬¸» ²«³¾»® ±º °»±°´» ´·ª·²¹ ·² ¬¸»·® ¸±³»ô ©¸·½¸ ·­ ­¸±©²·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ²«³¾»® ±º °»±°´» ´·ª·²¹ ·² »¿½¸ ¸±³»ò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ±º ¬¸» ¼¿¬¿ò

ø½÷ ͬ¿¬» ¬¸» ³±¼» ±º ¬¸» ¼¿¬¿ò

Ò«³¾»® ±º л±°´» Ú®»¯«»²½§Ô·ª·²¹ ·² ر³»

î í

í ç

ì ïð

ë î

ê í

é ï

è ï

ç ð

ïð ï

Page 171: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéð

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸» º·®­¬ ­¬»° ·­ ¬± ½±³°´»¬» ¬¸» ¬¿¾´» ¾»´±©æ

Ó»¿² ã ïîê

íðã ìòî °»±°´» °»® ¸±³»

ø¾÷ ß­ ¬¸»®» ¿®» í𠪿´«»­ô ¬¸» ³»¼·¿² ·­ ¬¸» ³»¿² ±º ¬¸» ï문 ¿²¼ ïꬸ ª¿´«»­ò

Ú®±³ ¬¸» º·®­¬ ¬¿¾´» ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ¾±¬¸ ¬¸» ï문 ¿²¼ ïꬸ ª¿´«»­ ¿®» ìô ­±¬¸» ³»¼·¿² ·­ ì °»±°´» °»® ¸±³»ò

ø½÷ ̸» ³±­¬ ½±³³±² ª¿´«» ·­ ì ­± ¬¸» ³±¼» ·­ ì °»±°´» °»® ¸±³»ò

Û¨»®½·­»­ïò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ¿²¼ ¬¸» ®¿²¹» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¬­ ±º ¼¿¬¿æ

ø¿÷ í ïé ë ê ïî

ø¾÷ íð ìî ïç îï íí êî

ø½÷ é è í ïì íï í è ç ïí îî

ø¼÷ ïïì ïïë ïïð ïïç ïïì ïïè ïîí ïíí

îò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ¬¸» ³±¼» ±º »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¬­ ±º ¼¿¬¿æ

ø¿÷ è ë ïç íî ïç

ø¾÷ íí ïì ïê ïç îî íí ïê íí îî

ø½÷ ë ç ïç í ïì îï ë é

ø¼÷ ïï îï ïç ïï ïí ïê ïï ïç îî îð

ïêòï

Ò«³¾»® ±º л±°´» Ú®»¯«»²½§ Ò«³¾»® ±º л±°´» l Ú®»¯«»²½§Ô·ª·²¹ ·² ر³»

î í ê

í ç îé

ì ïð ìð

ë î ïð

ê í ïè

é ï é

è ï è

ç ð ð

ïð ï ïð

ÌÑÌßÔÍ íð ïîê

Page 172: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéï

íò ײ ©¸·½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼¿¬¿ ­»¬­ ·­ ¬¸» ³»¿² ¬¸» ­¿³» ¿­ ¬¸» ³»¼·¿²æ

ß íì ê ïç ïé ç

Þ îç ïî ïé ïè ìì ïí ïé ìð

Ý ïðï ïðé ïèí ëï ëé éé ïðð çî

Ü îé çî ëê èí ìë

ìò ɸ·½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼¿¬¿ ­»¬­ ¸¿­ ¬¸» ´¿®¹»­¬ ®¿²¹»æ

ß ïì îé èè éí ëê êï

Þ íéì ëîï êîè íïì éîç

Ý èèè çïî èçé çðé èèé èçí

ëò ̸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ¹·ª»­ ¬¸» ®»­«´¬­ ±º ¿ ­«®ª»§ ¯«»­¬·±² ¿­µ·²¹ °»±°´»¸±© ³¿²§ ¬»´»ª·­·±² ­»¬­ ¬¸»§ ¸¿¼ ·² ¬¸»·® ¸±³»ò

Ú±® ¬¸·­ ¼¿¬¿ô

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿²ô

ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿²ô

ø½÷ ­¬¿¬» ¬¸» ³±¼»ò

êò ß ½¿® °¿®µ ³¿²¿¹»® ®»½±®¼»¼ ¬¸» ²«³¾»® ±º ½¿®­ »²¬»®·²¹ ¸»® ½¿® °¿®µ »¿½¸¸±«®ò ̸» ¼¿¬¿ ­¸» ½±´´»½¬»¼ ·­ ´·­¬»¼ ¾»´±©ò

ïê îî ïé ê ë è íî ïë ç é ïì íí

îï ïï ê ë ïï ïì ïî îî ïç ïï í ïì

ïì é îí ìï íî ïê ë ïç ïì íí é ïî

Ú±® ¬¸·­ ¼¿¬¿æ

ø¿÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿²ô ø¾÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿²ô

ø½÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³±¼»ô ø¼÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ®¿²¹»ò

ɸ·½¸ ±º ¬¸» í ¿ª»®¿¹»­ ­¸±«´¼ ¬¸» ³¿²¿¹»® «­» ¬± ½±²ª·²½» ¸»® »³°´±§»®­¬¸¿¬ ¬¸» ½¿® °¿®µ ·­ ¹±·²¹ ¬± ³¿µ» ¿ ´¿®¹» °®±º·¬á

Ò«³¾»® ±º Ì»´»ª·­·±²­ Ú®»¯«»²½§

ð í

ï ïè

î êì

í éí

ì îî

ë ïì

ê ê

Page 173: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéî

ïêòï

éò Ö±¸² ´±±µ­ ¿¬ ¬¸» °®·½» ±º ¿ ½±³°«¬»® ¹¿³» ·² è ¼·ºº»®»²¬ ­¸±°­ò ̸» °®·½»­¸» ­»»­ ¿®»æ

}îçòçç }îëòðð }íìòçç }îçòðð

}îìòçç }îçòçç }íïòðð }îçòçë

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ±º ¬¸·­ ¼¿¬¿ò

ø¾÷ ͬ¿¬» ¬¸» ³±¼» ±º ¬¸·­ ¼¿¬¿ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿²ò

ɸ·½¸ ±º ¬¸»­» ¿ª»®¿¹»­ ­¸±«´¼ ¸» «­» ¬± ¿®¹«» ¬¸¿¬ ¬¸» ½±³°«¬»® ¹¿³» ·­¬±± »¨°»²­·ª»á

èò Ú±® ¬¸» ­»¬ ±º ¼¿¬¿ ¹·ª»² ¾»´±©ô ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ¿²¼ ¼»¬»®³·²» ¬¸»³»¼·¿²ò

ì é í ç ë ê ïìî í é ïï

Ü»­½®·¾» ¬¸» ¿¼ª¿²¬¿¹»­ ±º «­·²¹ ¬¸» ³»¼·¿²ô ®¿¬¸»® ¬¸¿² ¬¸» ³»¿² ·² ¬¸·­ ½¿­»ò

çò ß ­¬«¼»²¬ ½±´´»½¬»¼ ¼¿¬¿ ±² ¬¸» ²«³¾»® ±º ª·­·¬­ ¬± ¬¸» ¼»²¬·­¬ ³¿¼» ¾§³»³¾»®­ ±º ¸·­ ½´¿­­ ·² ±²» ­½¸±±´ §»¿®ò

Ø·­ ®»­«´¬­ ¿®» ­¸±©² ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¾¿® ½¸¿®¬æ

Ú®»¯«»²½§

Ò«³¾»® ±º Ê·­·¬­ð ï î í ì ë ê é è

ðïîíìëêéèç

ïðïï

Ú±® ¬¸» ¼¿¬¿æ

ø¿÷ ­¬¿¬» ¬¸» ³±¼»ô

ø¾÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿²ô

ø½÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿²ò

ïðò ß ­»¬ ±º ¬¸®»» ²«³¾»®­ ¸¿­ ³»¿² ïïô ³»¼·¿² ïî ¿²¼ ®¿²¹» ïíò ɸ¿¬ ¿®» ¬¸»í ²«³¾»®­á

Page 174: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéí

ïêòî Ù®±«°»¼ Ü¿¬¿É¸»² ¼»¿´·²¹ ©·¬¸ ¹®±«°»¼ ¼¿¬¿ ·¬ ·­ ·³°±®¬¿²¬ ¬± ¬¸·²µ ¿¾±«¬ ¬¸» ¬§°» ±º ¼¿¬¿ ¬¸¿¬·­ ¾»·²¹ °®±½»­­»¼ò DZ« ¿´­± ¸¿ª» ¬± ¼»½·¼» ¬¸» ®¿²¹» ±º ª¿´«»­ ¬¸¿¬ »¿½¸ ¹®±«°½±²¬¿·²­òɸ»² ½¿´½«´¿¬·²¹ ¬¸» ³»¿² ±º ¹®±«°»¼ ¼¿¬¿ô ©» ¿­­«³» ¬¸¿¬ ¿´´ ¬¸» ª¿´«»­ ´·» ¿¬¬¸» ³·¼°±·²¬ ±º ¬¸» ¹®±«°ò̸»­» ·¼»¿­ ¿®» ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨¿³°´»­ò

Û¨¿³°´» ï

̸» ¬¿¾´» ¾»´±© ­¸±©­ ¬¸» ¬·³»­ ¬¿µ»² ¾§ ¿ ¹®±«° ±º ©¿´µ»®­ ¬± ½±³°´»¬» ¿ïëó³·´» ©¿´µò ̸»·® ¬·³»­ ¸¿ª» ¾»»² ®»½±®¼»¼ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ¸±«®ò

×´´«­¬®¿¬» ¬¸» ¼¿¬¿ «­·²¹ ¿ ¾¿® ½¸¿®¬ ¿²¼ ¿ º®»¯«»²½§ °±´§¹±²ò

ͱ´«¬·±²

ß ¬·³» ±º ë ¸±«®­ ¿½¬«¿´´§ ³»¿²­ ¿ ¬·³» ¬¸¿¬ ·­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ±® »¯«¿´ ¬± ìï

î ¸±«®­

¾«¬ ·­ ´»­­ ¬¸¿² ëï

î ¸±«®­ô ­± ¬¸» ¾¿® ®»°®»­»²¬·²¹ ¬¸·­ ¬·³» ±² ¬¸» ¾¿® ½¸¿®¬ ©·´´

¾»¹·² ¿¬ ìòë ¿²¼ »²¼ ¿¬ ëòëò

Í·³·´¿®´§ô ¬¸» ¾¿® º±® ¿ ¬·³» ±º í ©·´´ ¾»¹·² ¿¬ îòë ¿²¼ »²¼ ¿¬ íòëò

̸» ¾¿® ½¸¿®¬ ·­ ­¸±©² ¾»´±©æ

Ú®»¯«»²½§

Ì·³» ø¸±«®­÷

ð

ï

î

í

ì

ë

ê

é

è

ç

ïð

ïï

ð ï î í ì ë ê é è

ïî

ç ïð

Ì·³» ø¸±«®­÷ í ì ë ê é è

Ú®»¯«»²½§ î ë ïî ïï ì í

Page 175: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéì

ïêòî

̸» º®»¯«»²½§ °±´§¹±² ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò É» ±¾¬¿·² ·¬ ¾§ ¶±·²·²¹ ¬¸» ³·¼°±·²¬­ ±º¬¸» ¬±°­ ±º ¬¸» ¾¿®­ º®±³ ¬¸» °®»ª·±«­ ¹®¿°¸ò

Ú®»¯«»²½§

Ì·³» ø¸±«®­÷

ð

ï

î

í

ì

ë

ê

é

è

ç

ïð

ïï

ð ï î í ì ë ê é è

ïî

ç ïð

Û¨¿³°´» î

߬ ¿ ­½¸±±´ º¿·®ô ª·­·¬±®­ »²¬»® ¿ ùÙ«»­­ ¬¸» ©»·¹¸¬ ±º ¬¸» ½¿µ»ù ½±³°»¬·¬·±²ò ̸»·®¹«»­­»­ô ®±«²¼»¼ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïðð ¹®¿³­ô ©»®» ®»½±®¼»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ø¿÷ ×´´«­¬®¿¬» ¬¸» ¼¿¬¿ «­·²¹ ¿ ¾¿® ½¸¿®¬ò

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ±º ¬¸» ¼¿¬¿ò

ø½÷ ͬ¿¬» ¬¸» ³±¼¿´ ½´¿­­ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸» ¹«»­­»­ ¸¿ª» ¾»»² ®»½±®¼»¼ ¬± ±²» ¼»½·³¿´ °´¿½»ô ·² ±¬¸»® ©±®¼­ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ ïðð ¹®¿³­ò ̸·­ ³»¿²­ ¬¸¿¬ ¬¸» º·®­¬ ½¿¬»¹±®§ô ²±³·²¿´´§ ¼»­½®·¾»¼¿­ ùðòë ó ðòé µ¹ù ¿½¬«¿´´§ ·²½´«¼»­ ¹«»­­»­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ±® »¯«¿´ ¬± ðòìë µ¹ ¾«¬´»­­ ¬¸¿² ðòéë µ¹ò ̸» °®»½·­» ¼»­½®·°¬·±² ±º ¬¸» º·®­¬ ½¿¬»¹±®§ ·­ ¬¸»®»º±®»

ð ìë ð éëò ò µ¹ ¹«»­­ µ¹} ä

̸» ²±³·²¿´ ¼»­½®·°¬·±²­ ±º ¬¸» ±¬¸»® ½´¿­­»­ ³«­¬ ¿´­± ¾» ·²¬»®°®»¬»¼°®»½·­»´§ ·º ©» ¿®» ¬± ®»°®»­»²¬ ¬¸» ¼¿¬¿ ¿½½«®¿¬»´§ò

̸» °®»½·­» ¼»­½®·°¬·±²­ ±º ¬¸» ½´¿­­»­ ·²¼·½¿¬» ¸±© ¬¸» ¾¿®­ ­¸±«´¼ ¾»¼®¿©² ±² ¬¸» ¾¿® ½¸¿®¬ò

Ù«»­­ øµ¹÷ ðòë ó ðòé ðòè ó ïòð ïòï ó ïòí ïòì ó ïòê ïòé ó ïòç

Ú®»¯«»²½§ ë íî îê ïï ê

Ù«»­­ øµ¹÷ ð ìë ð éëò ò} äÙ ð éë ï ðëò ò} äÙ ï ðë ï íëò ò} äÙ ï íë ï êëò ò} äÙ ï êë ï çëò ò} äÙ

Ú®»¯«»²½§ ë íî îê ïï ê

Page 176: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéë

ø¾÷ ̸» ³»¿² ½¿² ¾» »­¬·³¿¬»¼ ¾§ ¿­­«³·²¹ ¬¸¿¬ ¿´´ ¬¸» ª¿´«»­ ·² ¿ ½´¿­­ ¿®»»¯«¿´ ¬± ¬¸» ³·¼°±·²¬ ±º ¬¸» ½´¿­­ò

Û­¬·³¿¬» ±º ³»¿² ã çð í

èð

ò ã ïòïîèéë µ¹

ã ïòï µ¹ ¬± î ­·¹²·º·½¿²¬ º·¹«®»­

ø½÷ ̸» ³±¼¿´ ½´¿­­ ·­ ¬¸» ±²» ©·¬¸ ¬¸» ¸·¹¸»­¬ º®»¯«»²½§ò ײ ¬¸·­ ½¿­»ô ¬¸»³±¼¿´ ½´¿­­ ¸¿­ ²±³·²¿´ ¼»­½®·°¬·±² ùðòè ó ïòð µ¹ùô ©¸·½¸ ³»¿²­ ¹«»­­»­ ·²¬¸» ·²¬»®ª¿´ ð éë ï ðëò ò µ¹ µ¹} äÙ ô ·ò»ò éëð ïðëð ¹®¿³­ ¹®¿³­} äÙ ò

Ú®»¯«»²½§

Ù«»­­ øµ¹÷ðòì ðòë ðòê ðòé ðòè ðòç ïòð ïòï ïòî ïòí ïòì ïòë ïòê ïòé ïòè ïòç îòð

ð

ì

è

ïî

ïê

îð

îì

îè

íî

íê

Ý´¿­­ Ó·¼°±·²¬ Ú®»¯«»²½§ Ú®»¯«»²½§ l Ó·¼°±·²¬

ð ìë ð éëò ò} äÙ ðòê ë ë ð ê íl ãò

ð éë ï ðëò ò} äÙ ðòç íî íî ð ç îè èl ãò ò

ï ðë ï íëò ò} äÙ ïòî îê îê ï î íï îl ãò ò

ï íë ï êëò ò} äÙ ïòë ïï ïï ï ë ïê ël ãò ò

ï êë ï çëò ò} äÙ ïòè ê ê ï è ïð èl ãò ò

ÌÑÌßÔÍ èð çðòí

Page 177: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéê

Û¨»®½·­»­ïò ̸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ´·­¬­ ¬¸» ®»­«´¬­ ±º ¿ ­«®ª»§ ¬¸¿¬ ®»½±®¼»¼ ¬¸» ¸»·¹¸¬­ ±º

°«°·´­ ·² ±²» §»¿® ¹®±«°ò ̸» ¸»·¹¸¬­ ¸¿ª» ¾»»² ¹·ª»² ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ïð ½³ò

ø¿÷ ×´´«­¬®¿¬» ¬¸» ¼¿¬¿ ±² ¿ ¾¿® ½¸¿®¬ò

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» °«°·´­ò

îò ̸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ´·­¬­ ¬¸» ³¿­­»­ ±º ¿ ¹®±«° ±º ­¬«¼»²¬­ô ®»½±®¼»¼ ¬± ¬¸»²»¿®»­¬ µ¹æ

ø¿÷ ×´´«­¬®¿¬» ¬¸» ¼¿¬¿ «­·²¹ ¿ º®»¯«»²½§ °±´§¹±²ò

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ³¿­­ º±® ¬¸»­» ­¬«¼»²¬­ò

íò ß² Û²¹´·­¸ ½´¿­­ ´±±µ»¼ ¿¬ ¬¸» ²«³¾»® ±º ©±®¼­ °»® ­»²¬»²½» º±® ¿² »­­¿§¬¸¿¬ ±²» ±º ¬¸»³ ¸¿¼ ©®·¬¬»²ò ̸»·® ®»­«´¬­ ¿®» ­«³³¿®·­»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹¬¿¾´»æ

ø¿÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ²«³¾»® ±º ©±®¼­ °»® ­»²¬»²½»ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ·­ ¬¸» ³±¼¿´ ½´¿­­á

ìò ̸» ¬·³» ¬¿µ»² º±® °»±°´» ¬± ­±´ª» ¿ °«¦¦´» ·­ ®»½±®¼»¼ô ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬³·²«¬»ô ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ¬·³» ¬¿µ»² ¬± ­±´ª» ¬¸» °«¦¦´»ò

ïêòî

Ø»·¹¸¬ ø½³÷ ïìð ïëð ïêð ïéð ïèð ïçð

Ú®»¯«»²½§ í ë ëé êí íð î

Ó¿­­ øµ¹÷ êð êï êî êí êì êë êê êé êè êç éð

Ú®»¯«»²½§ í é ç ïï ïð îî ïé îí ïï ç ë

Ò«³¾»® ±º ɱ®¼­ ê ó è ç ó ïï ïî ó ïì ïë ó ïé ïè ó îð

Ú®»¯«»²½§ ïí ïð è ì í

Ì·³» ø³·²­÷ î ó ë ê ó ç ïð ó ïí ïì ó ïé ïè ó îï

Ú®»¯«»²½§ í ïç îð ïî ê

Page 178: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéé

ëò ̸» ¾¿® ½¸¿®¬ ­¸±©­ ¬¸» ®»­«´¬­ ±º ¿ ­«®ª»§ ·²¬± ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ïì󧻿®ó±´¼°«°·´­ò

Ú®»¯«»²½§

Ø»·¹¸¬ ø½³÷ïìð ïëð ïêð ïéð ïèð ïçð

ë

ïð

ïë

îð

îë

íð

íë

ìð

ìë

ëð

ëë

êð

êë

éð

éë

èð

èë

çð

ð

ø¿÷ ͬ¿¬» ¬¸» ³±¼¿´ ½´¿­­ò

ø¾÷ Ý¿´½«´¿¬» ¿² »­¬·³¿¬» ±º ¬¸» ³»¿² ¸»·¹¸¬ò

êò ̸» ¸»·¹¸¬­ ±º ­±³» °´¿²¬­ ¹®±©² ·² ¿ ´¿¾±®¿¬±®§ ©»®» ®»½±®¼»¼ ¿º¬»® ì©»»µ­ò ̸» ®»­«´¬­ ¿®» ´·­¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ø¿÷ Ü®¿© ¿ º®»¯«»²½§ °±´§¹±² º±® ¬¸» ¼¿¬¿ò

ø¾÷ ͬ¿¬» ¬¸» ³±¼¿´ ½´¿­­ò

ø½÷ Ý¿´½«´¿¬» ¿² »­¬·³¿¬» ±º ¬¸» ³»¿² ¸»·¹¸¬ò

Ø»·¹¸¬ ø½³÷ ïï ó ïë ïê ó îð îï ó îë îê ó íð íï ó íë íê ó ìð

Ú®»¯«»²½§ í é ïç îð ïï î

Page 179: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéè

éò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ±º ¬¸» ¼¿¬¿ ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ º®»¯«»²½§ °±´§¹±²æ

Ú®»¯«»²½§

Ì·³» ø­»½±²¼­÷

ï

î

í

ì

ëê

é

è

ç

ïð

ïïïî

ïí

ïì

ðð ï î í ì ë ê é è ç ïð ïï ïî

èò ݸ·´¼®»² ©»®» ¿­µ»¼ ¬± ­»´´ ¬·½µ»¬­ º±® ¿ ­½¸±±´ °´¿§ò ß ®»½±®¼ ©¿­ µ»°¬ ±º¸±© ³¿²§ ¬·½µ»¬­ »¿½¸ ½¸·´¼ ­±´¼ò

ø¿÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ²«³¾»® ±º ¬·½µ»¬­ ­±´¼ò

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ¬±¬¿´ ²«³¾»® ±º ¬·½µ»¬­ ­±´¼ò

çò ß ½±³°¿²§ ±©²­ ¿ º´»»¬ ±º î𠪿²­ò ̸» ³·´»¿¹» ±² »¿½¸ ª¿² ·­ ®»½±®¼»¼ò̸» ®»­«´¬­ ¿®» ¹·ª»² ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ø¿÷ ×´´«­¬®¿¬» ¬¸» ¼¿¬¿ ©·¬¸ ¿ ¾¿® ½¸¿®¬ò

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ³·´»¿¹»ò

ïðò Ö±­¸«¿ ·­ ¹·ª»² ¬¸» ¼¿¬¿ ¾»´±© ¿²¼ ¿­µ»¼ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿²ò

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¿² »­¬·³¿¬» ±º ¬¸» ³»¿²ò

ø¾÷ Ö±­¸«¿ ¿´­± ½¿´½«´¿¬»­ ¬¸¿¬ ¬¸» ³»¿² ³«­¬ ¾» ¹®»¿¬»® ¬¸¿² ïðéòçòÛ¨°´¿·² ¸±© ¸» ±¾¬¿·²»¼ ¬¸·­ ª¿´«»ò

ø½÷ Ü»¬»®³·²» ¿ ª¿´«» ¬¸¿¬ ¬¸» ³»¿² ³«­¬ ¾» ´»­­ ¬¸¿²ò

ïêòî

Ì·½µ»¬­ ͱ´¼ ð ó ïð ïï ó îð îï ó ëð ëï ó ïðð

Ú®»¯«»²½§ é ìî è í

Ê¿´«» ïðð ó ïðì ïðë ó ïðç ïïð ó ïïì ïïë ó ïïç

Ú®»¯«»²½§ ë ïê íî é

Ó·´»¿¹» ð ëððð} äÓ ëððð ïð ððð} äÓ ïð ððð ïëððð} äÓ ïëððð îð ððð} äÓ

Ú®»¯«»²½§ ï ì è é

Page 180: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïéç

ïïò Ô§² ®»½±®¼»¼ ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» ¿¬ ´«²½¸ ¬·³» »ª»®§ ¼¿§ º±® ¿ ©»»µò͸» ­¬¿®¬»¼ ¬± ¼®¿© ¿ ¾¿® ½¸¿®¬ ¬± ­¸±© ¸»® ®»­«´¬­òø¿÷ ̸» ¬»³°»®¿¬«®» ±² Ú®·¼¿§ ©¿­ îë pÝ ò

̸» ¬»³°»®¿¬«®» ±² Í¿¬«®¼¿§ ©¿­ ïç pÝòѲ ¿ ½±°§ ±º Ô§²ù­ ¾¿® ½¸¿®¬ô ¼®¿© ¬¸» ¾¿®­ º±® Ú®·¼¿§ ¿²¼Í¿¬«®¼¿§ò

Ô§²ù­ Þ¿® ݸ¿®¬

ð

ïð

îð

íðÌ»³°»®¿¬«®»

pÝø ÷

Í«² Ó±² Ì«»­ É»¼ ̸«®­ Ú®· Í¿¬

ɸ¿¬ ©¿­ ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» ±² Ó±²¼¿§á

ø¾÷ Ú·ª» ³±®» °«°·´­ ®»½±®¼»¼ ¬¸» ¬»³°»®¿¬«®» »ª»®§ ¼¿§ º±® ¼·ºº»®»²¬©»»µ­ ·² ¬¸» §»¿®ò

ð p

ïð p

îðp

íðp

Í«² Ó±² Ì«»­ É»¼ ̸«®­ Ú®· Í¿¬

ÞßÎ ÝØßÎÌ ï

ð p

ïð p

îðp

íðp

Í«² Ó±² Ì«»­ É»¼ ̸«®­ Ú®· Í¿¬

ÞßÎ ÝØßÎÌ î

ð p

ïð p

îðp

íðp

Í«² Ó±² Ì«»­ É»¼ ̸«®­ Ú®· Í¿¬

ÞßÎ ÝØßÎÌ í

ð p

ïð p

îðp

íðp

Í«² Ó±² Ì«»­ É»¼ ̸«®­ Ú®· Í¿¬

ÞßÎ ÝØßÎÌ ì

Page 181: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèð

ð p

ïð p

îðp

íðp

Í«² Ó±² Ì«»­ É»¼ ̸«®­ Ú®· Í¿¬

ÞßÎ ÝØßÎÌ ë

Ó¿¬½¸ ¬¸» °«°·´­ù ½±³³»²¬­ ¬± ¬¸»·® ¾¿® ½¸¿®¬­ò ̸» º·®­¬ ·­ ¼±²» º±®§±«ò

ÐËÐ×ÔÍù ÝÑÓÓÛÒÌÍ

Ы°·´ ßæ þ׬ ©¿­ ª»®§ ©¿®³ ¿¬ º·®­¬ô ¬¸»² ·¬ ­«¼¼»²´§ ¹±¬ ³«½¸ ½±´¼»®òþ

Ы°·´ Þæ þÛ¿½¸ ¼¿§ ©¿­ ½±´¼»® ¬¸¿² ¬¸» ¼¿§ ¾»º±®»òþ

Ы°·´ Ýæ þ̸» ¬»³°»®¿¬«®» ©¿­ ¿¾±«¬ ¬¸» ­¿³» ¿´´ ©»»µòþ

Ы°·´ Üæ þÛ¿½¸ ¼¿§ ©¿­ ¸±¬¬»® ¬¸¿² ¬¸» ¼¿§ ¾»º±®»òþ

Ы°·´ Ûæ þ̸»®» ©»®» ë ©¿®³ ¼¿§­ ¿²¼ î ½±´¼ ¼¿§­òþ

Ы°·´ ßæ Þ¿® ݸ¿®¬ î

Ы°·´ Þæ Þ¿® ݸ¿®¬ òòòòòò

Ы°·´ Ýæ Þ¿® ݸ¿®¬ òòòòòò

Ы°·´ Üæ Þ¿® ݸ¿®¬ òòòòòò

Ы°·´ Ûæ Þ¿® ݸ¿®¬ òòòòòò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® íóëñÐî÷

ïêòî

Page 182: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèï

ïêòí Ý«³«´¿¬·ª» Ú®»¯«»²½§Ý«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½·»­ ¿®» »¿­§ ¬± ½¿´½«´¿¬» º®±³ ¿ º®»¯«»²½§ ¬¿¾´»ò Ý«³«´¿¬·ª»º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸­ ½¿² ¬¸»² ¾» «­»¼ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿² ±º ¿ ­»¬ ±º ¼¿¬¿ò ײ ¬¸·­­»½¬·±² ©» ¿´­± ´±±µ ¿¬ ¬¸» ·¼»¿ ±º ¯«¿®¬·´»­ô ¬¸» ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ¿²¼ ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»ò

ɸ»² §±« ¸¿ª» ¿ ­»¬ ±º ² ª¿´«»­ô ·² ±®¼»®ô

Ô±©»® ¯«¿®¬·´» ã ² õ ï

쬸 ª¿´«»

Ó»¼·¿² ã ² õ ï

 ª¿´«»

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» ãí ï

ì

² õø ÷¬¸ ª¿´«»

ײ¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã «°°»® ¯«¿®¬·´» P ´±©»® ¯«¿®¬·´»

Í»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»

î

׺ ¬¸» ¼¿¬¿ ·­ ¿®®¿²¹»¼ ·² ¿² ±®¼»®»¼ ´·­¬ô ¿²¼ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¼¿¬¿ ª¿´«»­ô ²ô ·­ ±¼¼

¬¸»² ¬¸» ² õ ï

 ª¿´«» ©·´´ ¾» ¿ ­·²¹´» ·¬»³ º®±³ ¬¸» ´·­¬ô ¿²¼ ¬¸·­ ©·´´ ¾» ¬¸»

³»¼·¿²ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·º ² ã çë ¬¸» ³»¼·¿² ©·´´ ¾» ¬¸» çë ï

îìè

õ ã ¬¸ ª¿´«»ò

ر©»ª»®ô ·º ² ·­ »ª»² ¬¸»² ² õ ï

î©·´´ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ¬©± ½»²¬®¿´ ª¿´«»­ ¬¸¿¬ ³«­¬

¾» ¿ª»®¿¹»¼ ¬± ±¾¬¿·² ¬¸» ³»¼·¿²ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·º ² ã ïëê ¬¸»² ïëê ï

îéè ë

õ ã ò ô

©¸·½¸ ¬»´´­ «­ ¬¸¿¬ ©» ³«­¬ ¿ª»®¿¹» ¬¸» é謸 ¿²¼ é笸 ª¿´«»­ ¬± ¹»¬ ¬¸» ³»¼·¿²ò

Ú±® ´¿®¹» ­»¬­ ±º ¼¿¬¿ô ©» »­¬·³¿¬» ¬¸» ´±©»® ¯«¿®¬·´»ô ³»¼·¿² ¿²¼ «°°»® ¯«¿®¬·´»

«­·²¹ ¬¸» ² ² ²

ì î

í

쬸ô ¬¸ ¿²¼ ¬¸ ª¿´«»­ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·º ² ã îððð ô ¬¸»² ©» ©±«´¼

»­¬·³¿¬» ¬¸» ´±©»® ¯«¿®¬·´»ô ³»¼·¿² ¿²¼ «°°»® ¯«¿®¬·´» «­·²¹ ¬¸» ëðð¬¸ô ïðð𬸠¿²¼ïëð𬸠ª¿´«»­ò

Page 183: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèî

Û¨¿³°´» ï

Ú±® ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¬ ±º ¼¿¬¿ô

ì é ïè í ç ë ïð

ø¿÷ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿²ô

ø¾÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»ô

ø½÷ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»ò

ͱ´«¬·±²

Ú·®­¬ ´·­¬ ¬¸» ª¿´«»­ ·² ±®¼»®æ

í ì ë é ç ïð ïè

ø¿÷ ß­ ¬¸»®» ¿®» é ª¿´«»­ô ¬¸» ³»¼·¿² ©·´´ ¾» ¬¸» é ï

îì

õ ã ¬¸ ª¿´«»ò

Ó»¼·¿² ã éò

ø¾÷ ̸» ´±©»® ¯«¿®¬·´» ©·´´ ¾» ¬¸» é ï

ìî

õ ã ²¼ ª¿´«»ò

Ô±©»® ¯«¿®¬·´» ã ìò

̸» «°°»® ¯«¿®¬·´» ©·´´ ¾» ¬¸» í é ï

ìê

õø ÷ ã ¬¸ ª¿´«»ò

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» ã ïðò

̸» ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã «°°»® ¯«¿®¬·´» P ´±©»® ¯«¿®¬·´»

ã ïð ìóã ê

̸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»

î

ã ê

î

ã í

Û¨¿³°´» î

ø¿÷ Ü®¿© ¿ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸ º±® ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼¿¬¿æ

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿² º®±³ ¬¸» ¹®¿°¸ò

ø½÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» º®±³ ¬¸» ¹®¿°¸ò

ïêòí

Ø»·¹¸¬ ø½³÷ ïëð ïëë} ä¸ ïëë ïêð} ä¸ ïêð ïêë} ä¸ ïêë ïéð} ä¸ ïéð ïéë} ä¸

Ú®»¯«»²½§ ì îî ëê íî ë

Page 184: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèí

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ú®±³ ¬¸» ¼¿¬¿ ¬¿¾´» ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ¬¸»®» ¿®» ²± ¸»·¹¸¬­ «²¼»® ïëð ½³ò˲¼»® ïëë ½³ ¬¸»®» ¿®» ¬¸» º·®­¬ ì ¸»·¹¸¬­ò˲¼»® ïêð ½³ ¬¸»®» ¿®» ¬¸» º·®­¬ ì ¸»·¹¸¬­ °´«­ ¿ º«®¬¸»® îî ¸»·¹¸¬­ ¬¸¿¬ ¿®»¾»¬©»»² ïëë ½³ ¿²¼ ïêð ½³ô ¹·ª·²¹ îê ¿´¬±¹»¬¸»®ò˲¼»® ïêë ½³ ©» ¸¿ª» ¬¸» îê ¸»·¹¸¬­ °´«­ ¬¸» ëê ¬¸¿¬ ¿®» ¾»¬©»»² ïêð ½³¿²¼ ïêë ½³ô ¹·ª·²¹ èî ¿´¬±¹»¬¸»®òݱ²¬·²«·²¹ ¬¸·­ °®±½»­­ «²¬·´ »ª»®§ ¸»·¹¸¬ ¸¿­ ¾»»² ½±«²¬»¼ ¹·ª»­ ¬¸»º±´´±©·²¹ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¬¿¾´»ò

̸» ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸ ½¿² ²±© ¾» °´±¬¬»¼ «­·²¹ ¬¸» °±·²¬­ ·² ¬¸»¬¿¾´»ô øïëðô ð÷ô øïëëô ì÷ô øïêðô îê÷ô øïêëô èî÷ô øïéðô ïïì÷ ¿²¼ øïéëô ïïç÷ò̱ ±¾¬¿·² ¬¸» ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ °±´§¹±²ô ©» ¼®¿© ­¬®¿·¹¸¬ ´·²» ­»½¬·±²­¬± ¶±·² ¬¸»­» °±·²¬­ ·² ­»¯«»²½»ò

Ø»·¹¸¬ ø½³÷

ðïëð ïëë ïêð ïêë ïéð ïéë

èð

ïð

îð

íð

ìð

ëð

êð

éð

çð

ïðð

ïïð

ïîð

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

Ø»·¹¸¬ ø½³÷ ˲¼»® ïëð ˲¼»® ïëë ˲¼»® ïêð ˲¼»® ïêë ˲¼»® ïéð ˲¼»® ïéë

Ý«³«´¿¬·ª» ð ð ìõ ì îîõ îê ëêõ èî íîõ ïïì ëõÚ®»¯«»²½§ ã ì ã îê ã èî ã ïïì ã ïïç

Page 185: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèì

ïêòí

ø¾÷ ̸»®» ¿®» ïïç ª¿´«»­ô ­± ¬¸» ³»¼·¿² ©·´´ ¾» ¬¸» ïïç ï

îêð

õ ã ¬¸ ª¿´«»ò

̸·­ ½¿² ¾» ®»¿¼ º®±³ ¬¸» ¹®¿°¸ ¿­ ­¸±©² ¿¾±ª»ò

Ó»¼·¿² e ïêí ½³ò

̸» ´±©»® ¯«¿®¬·´» ©·´´ ¾» ¹·ª»² ¾§ ¬¸» ïïç ï

ì

õ:8

*( ¬¸ ª¿´«»ò

Ô±©»® ¯«¿®¬·´» e ïêðòë ½³ò

̸» «°°»® ¯«¿®¬·´» ©·´´ ¾» ¹·ª»² ¾§ ¬¸» í ïïç õ ï

쬸

ø ÷ ª¿´«»ò

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» e ïêêòë ½³ò

Ë­·²¹ ¬¸»­» ª¿´«»­ ¹·ª»­æ

ײ¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã ïêê ë ïêð ëò òó

ã ê ½³

Û¨¿³°´» í

Û­¬·³¿¬» ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ±º ¬¸» ¼¿¬¿ ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸æ

Ó¿­­ øµ¹÷

ð

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

ïë

ï

î

í

ìë

ê

é

èç

ïð

ïï

ïîïí

ïì

ð ï î í ì ë

ͱ´«¬·±²

̸» ­¿³°´» ½±²¬¿·²­ ïë ª¿´«»­ô ­± ¬¸» ´±©»® ¯«¿®¬·´» ©·´´ ¾» ¬¸» ïë ï

ìì

õ ã ¬¸ ª¿´«»ò

Í·³·´¿®´§ô ¬¸» «°°»® ¯«¿®¬·´» ©·´´ ¾» ¬¸» ï ª¿´«»ò

̸»­» ½¿² ¾» ±¾¬¿·²»¼ º®±³ ¬¸» ¹®¿°¸ô ¿­ º±´´±©­æ

Page 186: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèë

Ó¿­­ øµ¹÷

ð

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

ïë

ïî

í

ì

ëê

é

è

çïð

ïï

ïî

ïíïì

ð ï î í ì ë

Ô±©»® ¯«¿®¬·´» ã ïòì µ¹

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» ã í µ¹

ײ¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã í ï ìó ò

ã ïòê µ¹

Í»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ã ðòè µ¹

Û¨»®½·­»­ïò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­»¬ ±º ¼¿¬¿æ

ïï è ë ç é í ì è ïì ïê î

îò Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ±º ¬¸·­ ­¿³°´»æ

ìî îê íî ìï ëî íí èè éï íè ëî ëí îé ìê íî ëç

íò ײ ¿ ­¿³°´»ô ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ·­ ïìò ̸» ´±©»® ¯«¿®¬·´» ·­ ë ´»­­¬¸¿² ¬¸» ³»¼·¿²ò Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ·º ¬¸» «°°»® ¯«¿®¬·´» ·­ çïò

ìò Þ»´±© ¿®» ¬¸» ¬·³»­ô ·² ³·²«¬»­ô ­°»²¬ ±² ¸±³»©±®µ ±²» »ª»²·²¹ ¾§ ¿ ¹®±«°±º ­¬«¼»²¬­ò

Ì·³» Í°»²¬ ø³·²÷ ð ïð} ä¬ ïð îð} ä¬ îð íð} ä¬ íð ìð} ä¬ ìð ëð} ä¬

Ú®»¯«»²½§ í é ïð ïë ì

Page 187: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèê

ø¿÷ ݱ°§ ¿²¼ ½±³°´»¬» ¬¸» º±´´±©·²¹ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¬¿¾´»æ

ø¾÷ Ü®¿© ¿ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ °±´§¹±² º±® ¬¸·­ ¼¿¬¿ò

ø½÷ Ë­» ¬¸» °±´§¹±² ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿²ò

ø¼÷ Ë­» ¬¸» °±´§¹±² ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»ò

ëò Û­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ±º ¬¸» ¼¿¬¿ ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸»º±´´±©·²¹ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸æ

Ø»·¹¸¬ ø½³÷

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

ðïî

íì

ë

êé

èç

ïðïï

ð î ì ê è ïð ïî ïì ïê ïè îð îî îì

êò ø¿÷ Ù¿¬¸»® ¼¿¬¿ ±² ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» °«°·´­ ·² §±«® ½´¿­­ò

ø¾÷ Ü®¿© ¿ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸ º±® ¬¸» ¼¿¬¿ò

ø½÷ Ë­» ¬̧ » ¹®¿° ̧¬± »­¬·³¿¬» ¬̧ » ³»¼·¿² ̧ »·¹ ¬̧ ¿²¼ ¬̧ » ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·́ » ®¿²¹»ò

éò Ë­» ¿ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ·²¬»®¯«¿®¬·´»®¿²¹» ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼¿¬¿æ

èò ß º¿½¬±®§ ½±´´»½¬»¼ ¼¿¬¿ ±² ¬¸» ¬·³» º±® ©¸·½¸ ¿ °¿®¬·½«´¿® ¬§°» ±º ½¿²¼´»©±«´¼ ¾«®²ò ̸» ¼¿¬¿ ·­ ­«³³¿®·­»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

ïêòí

Ì·³» ø³·²÷ ˲¼»® ð ˲¼»® ïð ˲¼»® îð ˲¼»® íð ˲¼»® ìð ˲¼»® ëð

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

ݱ­¬ ø}÷ ïð ïï} ä½ ïï ïî} ä½ ïî ïí} ä½ ïí ïì} ä½ ïì ïë} ä½

Ú®»¯«»²½§ è ïî ìð î ï

Ì·³» ø³·²­÷ ð ïð} ä¬ ïð îð} ä¬ îð íð} ä¬ íð ìð} ä¬ ìð ëð} ä¬

Ú®»¯«»²½§ ï î ïî ïë ë

Page 188: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèé

ø¿÷ ر© ¼± ¬¸» ³»¿² ¿²¼ ³»¼·¿² ½±³°¿®»á

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» º±® ¬¸» ¼¿¬¿ò

çò ̸» ²«³¾»® ±º °¿­­»²¹»®­ ±² ¿ ¾«­ ®±«¬» ©¿­ ®»½±®¼»¼ ±ª»® ¿ °»®·±¼ ±º¬·³»ô ¬± ¹·ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ ¼¿¬¿æ

Ü»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ±º ¬¸» ¼¿¬¿ò

ïðò Ù·ª» ¿² »¨¿³°´» ±º ¿ ­¿³°´» º±® ©¸·½¸ ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ·­ ¿¯«¿®¬»® ±º ¬¸» ®¿²¹» ±º ¬¸» ­¿³°´»ò

ïïò ̸» ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸ ­¸±©­ ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ïëð Ò±®©¿§ º·® ¬®»»­ò

îë

ëð

éë

ïðð

ïîë

ïëð

ð

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

Ø»·¹¸¬ ±º Ì®»»­ ø³÷

ðòëë ðòêð ðòêë ðòéð ðòéë ðòèð

ø¿÷ Ë­» ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿² ¸»·¹¸¬ ¿²¼ ¬¸» ·²¬»®¯«¿®¬·´»®¿²¹» ±º ¬¸» Ò±®©¿§ º·®­ò

Ò«³¾»® ±º п­­»²¹»®­ Ú®»¯«»²½§

ð ïð} ä² í

ïð îð} ä² é

îð íð} ä² ïî

íð ìð} ä² ïí

ìð ëð} ä² îç

ëð êð} ä² îé

Page 189: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèè

ø¾÷ ɸ·½¸ ±²» ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­µ»¬½¸»­ ±º º®»¯«»²½§ ¼·¿¹®¿³­ ­¸±©­ ¬¸»¼·­¬®·¾«¬·±² ±º ¸»·¹¸¬­ ±º ¬¸» Ò±®©¿§ º·®­á

Ø»·¹¸¬ ±º Ì®»»­

Ò«³¾»®±º

Ì®»»­

Ø»·¹¸¬ ±º Ì®»»­

Ò«³¾»®±º

Ì®»»­

Ü·¿¹®¿³ ß Ü·¿¹®¿³ Þ

Ø»·¹¸¬ ±º Ì®»»­

Ò«³¾»®±º

Ì®»»­

Ø»·¹¸¬ ±º Ì®»»­

Ò«³¾»®±º

Ì®»»­

Ü·¿¹®¿³ Ý Ü·¿¹®¿³ Ü

øÕÍíñçèñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐî÷

ïîò ìð ­¬«¼»²¬­ ©±®µ»¼ ±² ¿ º¿®³ ±²» ©»»µ»²¼ò ̸» ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§¹®¿°¸ ­¸±©­ ¬¸» ¼·­¬®·¾«¬·±² ±º ¬¸» ¿³±«²¬ ±º ³±²»§ »¿®²»¼ò Ò± ±²»»¿®²»¼ ´»­­ ¬¸¿² }ïëò

ð

ïð

îð

íð

ìð

ð ë ïð ïë îð îë íð íë ìð ìë ëðß³±«²¬ ±º Ó±²»§ Û¿®²»¼ ø}÷

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

ø¿÷ λ¿¼ ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¼·¿² ¿³±«²¬ ±º ³±²»§ »¿®²»¼ò

ø¾÷ Û­¬·³¿¬» ¬¸» °»®½»²¬¿¹» ±º ­¬«¼»²¬­ ©¸± »¿®²»¼ ´»­­ ¬¸¿² }ìðò

ø½÷ Ѳ ¿ ½±°§ ±º ¬¸» ¹®¿°¸ô ­¸±© ¸±© ¬± ©±®µ ±«¬ ¬¸» ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»±º ¬¸» ¿³±«²¬ ±º ³±²»§ »¿®²»¼ò

É®·¬» ¼±©² ¬¸» ª¿´«» ±º ¬¸» ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»ò

ïêòí

Page 190: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïèç

ø¼÷ í𠱺 ¬¸» ­¬«¼»²¬­ ©±®µ ±² ¬¸» º¿®³ ¿²±¬¸»® ©»»µ»²¼ ´¿¬»® ·² ¬¸»§»¿®ò ̸» ¬¿¾´»­ ©¸·½¸ º±´´±© ­¸±© ¬¸» ¼·­¬®·¾«¬·±² ±º ¬¸» ¿³±«²¬ ±º³±²»§ »¿®²»¼ ¾§ ¬¸» ­¬«¼»²¬­ò

Ü®¿© ¿ ½«³«´¿¬·ª» º®»¯«»²½§ ¹®¿°¸ «­·²¹ ¿ ½±°§ ±º ¬¸» ¿¨»­ ¾»´±©ò

ë

ïð

ïë

îð

îë

íð

ðð ë ïð ïë îð îë íð íë ìð ìë ëð ëë êð

ß³±«²¬ ±º Ó±²»§ Û¿®²»¼ ø}÷

Ý«³«´¿¬·ª»Ú®»¯«»²½§

ø»÷ ͬ¿¬» ©¸»¬¸»® »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¬¿¬»³»²¬­ ·­ ¬®«» ±® º¿´­»ò

ßò ̸®»» ±º ¬¸» ­¬«¼»²¬­ »¿®²»¼ ´»­­ ¬¸¿² }íë »¿½¸ò

Þò ̸» ³»¼·¿² ¿³±«²¬ »¿®²»¼ ·­ ¾»¬©»»² }ìð ¿²¼ }ìëò

Ýò Ó±­¬ ±º ¬¸» íð ­¬«¼»²¬­ »¿®²»¼ ³±®» ¬¸¿² }ëð »¿½¸ò

øÕÍíñçéñÓ¿ñÌ·»® êóèñÐï÷

Ó±²»§ Û¿®²»¼ ø}÷ Ò±ò ±º ͬ«¼»²¬­ Ó±²»§ Û¿®²»¼ø}÷ Ò±ò ±º ͬ«¼»²¬­

m îë ¿²¼ä íð ï ä îë ð

m íð ¿²¼ ä íë î ä íð ï

m íë ¿²¼ ä ìð í ä íë í

m ìð ¿²¼ ä ìë ì ä ìð ê

m ìë ¿²¼ ä ëð ïð ä ìë ïð

m ëð ¿²¼ ä ëë é ä ëð îð

mëë ¿²¼ ä êð í ä ëë îé

ä êð íð

Page 191: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçð

ïêòì Þ±¨ ¿²¼ ɸ·­µ»® 䱬­ß ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ ·­ ¾¿­»¼ ±² ¬¸» ³·²·³«³ ¿²¼ ³¿¨·³«³ ª¿´«»­ô ¬¸» «°°»®¿²¼ ´±©»® ¯«¿®¬·´»­ ¿²¼ ¬¸» ³»¼·¿²ò ̸·­ ¬§°» ±º °´±¬ °®±ª·¼»­ ¿ ¹±±¼ ©¿§ ¬±½±³°¿®» ¬©± ±® ³±®» ­¿³°´»­ò

Ó·²·³«³Ê¿´«»

Ó¿¨·³«³Ê¿´«»Ô±©»®

Ï«¿®¬·´» Ó»¼·¿² Ë°°»®Ï«¿®¬·´»

Ò±¬»æ Þ±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬­ ³«­¬ ¿´©¿§­ ¾» ¼®¿©² ¿½½«®¿¬»´§ ¬± ­½¿´»ò

Û¨¿³°´» ï

Ù·ª»² ¬¸» ·²º±®³¿¬·±² ¾»´±©ô ¼®¿© ¿ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ò

Ó·²·³«³ èî

Ô±©»® ¯«¿®¬·´» çì

Ó»¼·¿² çë

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» ïðî

Ó¿¨·³«³ ïïð

ͱ´«¬·±²

̸» ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ ·­ ­¸±©² ¾»´±©ò

èð çð ïðð ïïð

Û¨¿³°´» î

Ü®¿© ¿ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ º±® ¬¸·­ ­¿³°´»æ

ë é ï ç ïï îî ïë

ͱ´«¬·±²Ú·®­¬ ´·­¬ ¬¸» ­¿³°´» ·² ±®¼»®ô ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ¬¸» ¯«¿®¬·´»­ò

ï ë é ç ïï ïë îî

Ó·²·³«³ Ô±©»® Ó»¼·¿² Ë°°»® Ó¿¨·³«³¯«¿®¬·´» ¯«¿®¬·´»

Page 192: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçï

̸» ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ ·­ ­¸±©² ¾»´±©æ

ð î ì ê è ïð ïî ïì ïê ïè îð îî îì

Û¨¿³°´» í

ß ¹¿®¼»²»® ½±´´»½¬»¼ ¼¿¬¿ ±² ¬©± ¬§°»­ ±º ¬±³¿¬±ò ̸» ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬¾»´±© ­¸±©­ ¼¿¬¿ º±® ¬¸» ³¿­­»­ ·² ¹®¿³­ ±º ¬¸» ¬±³¿¬±»­ ·² ¬¸» ¬©± ­¿³°´»­ò

ݱ³°¿®» ¿²¼ ½±²¬®¿­¬ ¬¸» ¬©± ¬§°»­ ¿²¼ ¿¼ª·­» ¬¸» ¹¿®¼»²»® ©¸·½¸ ¬§°» ±º ¬±³¿¬±¸» ­¸±«´¼ ¹®±© ·² º«¬«®»ò

̧°» ß

̧°» Þ

ëð ëëìëìð êðÓ¿­­ ·² ¹®¿³­

ͱ´«¬·±²

Ú®±³ ¬¸·­ ¬¿¾´» ©» ½¿² ­»» ¬¸¿¬ ¾±¬¸ ¬§°»­ ±º ¬±³¿¬± ¸¿ª» ¬¸» ­¿³» ¿ª»®¿¹» ³¿­­¾»½¿«­» ¬¸»·® ³»¼·¿²­ ¿®» ¬¸» ­¿³»ò

ݱ³°¿®·²¹ ¬¸» ³»¼·¿²­ ¿²¼ ·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»­ ­¸±©­ ¬¸¿¬ ¬¸»®» ·­ º¿® ³±®»ª¿®·¿¬·±² ·² ¬¸» ³¿­­»­ ±º ¬¸» ¬§°» ß ¬±³¿¬±»­ô ©¸·½¸ ³»¿²­ ¬¸¿¬ ¬¸» ³¿­­»­ ±º¬§°» Þ ¿®» ³±®» ½±²­·­¬»²¬ ¬¸¿² ¬¸±­» ±º ¬§°» ßò

ر©»ª»®ô ½±³°¿®·²¹ ¬¸» ¬©± ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬­ô ¿²¼ ¬¸» «°°»® ¯«¿®¬·´»­ô­¸±©­ ¬¸¿¬ ¬§°» ß ¬±³¿¬±»­ ©·´´ ¹»²»®¿´´§ ¸¿ª» ¿ ´¿®¹»® ³¿­­ ¬¸¿² ¬¸±­» ±º ¬§°» Þò

Ò»ª»®¬¸»´»­­ô ¬¸»®» ©·´´ ¾» ­±³» ¬§°» ß ¬±³¿¬±»­ ¬¸¿¬ ¿®» ´·¹¸¬»® ¬¸¿² ¿²§ ±º¬§°» Þò

Ì¿µ·²¹ ¿´´ ¬¸·­ ¬±¹»¬¸»®ô ¬¸» ¹¿®¼»²»® ©±«´¼ ¾» ¾»­¬ ¿¼ª·­»¼ ¬± °´¿²¬ ¬§°» ߬±³¿¬±»­ ·² º«¬«®» ¿­ ¸» ·­ ´·µ»´§ ¬± ¹»¬ ¿ ¾»¬¬»® §·»´¼ º®±³ ¬¸»³ ¬¸¿² º®±³ ¬§°» Þò

̧°» ß Ì§°» Þ

Ó»¼·¿² ëî ¹®¿³­ ëî ¹®¿³­

Ô±©»® Ï«¿®¬·´» ìç ¹®¿³­ ëï ¹®¿³­

Ë°°»® Ï«¿®¬·´» ëé ¹®¿³­ ëì ¹®¿³­

ο²¹» ïì ¹®¿³­ è ¹®¿³­

ײ¬»®¯«¿®¬·´» ο²¹» è ¹®¿³­ í ¹®¿³­

Page 193: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçî

Û¨»®½·­»­ïò Ü®¿© ¿ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ º±® ¿ ­¿³°´» ¬¸¿¬ ¸¿­æ

Ó·²·³«³ ïð

Ô±©»® ¯«¿®¬·´» ïì

Ó»¼·¿² ïê

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» îð

Ó¿¨·³«³ îç

îò Ü®¿© ¿ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ º±® ¬¸» º±´´±©·²¹ ­¿³°´»æ

ïé îî ïè íí ïì íê íç ìï

îë íï ïè ïç ïê îï îï

íò ß ­¿³°´» ¸¿­æ

Ó·²·³«³ í ο²¹» îï

Í»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ì Ó»¼·¿² ïé

Ë°°»® ¯«¿®¬·´» îð

Ü®¿© ¿ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ º±® ¬¸» ­¿³°´»ò

ìò Ú±® ¬¸» ­¿³°´» ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬ô ¼»¬»®³·²»æ

ø¿÷ ¬¸» ®¿²¹»ô ø¾÷ ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹»ò

ð è ïê îì íê ìì ëî êðì ïî îð îè ìð ìè ëê

ëò ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ³»¼·¿² ¿²¼ ¬¸» ­»³·ó·²¬»®¯«¿®¬·´» ®¿²¹» ±º ¬¸» º±´´±©·²¹­¿³°´»æ

ð î ì ê è ïð ïî ïì ïê ïè îð îî

ïêòì

Page 194: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçí

êò ̸» ¬©± ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬­ ­¸±© ¬¸» ¼¿¬¿ ½±´´»½¬»¼ ¾§ ¬¸»³¿²«º¿½¬«®»®­ ±² ¬¸» ´·º»ó­°¿² ±º ´·¹¸¬ ¾«´¾­ò

ð ï î í ì ë ê é è

Ó¿²«º¿½¬«®»® ß

Ó¿²«º¿½¬«®»® Þ

Ì·³» øïððð­ ¸±«®­÷

Ú®±³ ¬¸·­ ¼¿¬¿ô ©¸·½¸ ³¿²«º¿½¬«®»® °®±¼«½»­ ¬¸» ¾»¬¬»® ´·¹¸¬ ¾«´¾á

Ù·ª» ®»¿­±²­ º±® §±«® ¿²­©»®ò

éò ß ³¿¬¸­ ¬»­¬ ·­ ¹·ª»² ¬± ¬©± ½´¿­­»­ò ̸» ®»­«´¬­ ¿®» ·´´«­¬®¿¬»¼ ¾»´±©òݱ³°¿®» ¿²¼ ½±²¬®¿­¬ ¬¸» ®»­«´¬­ò

Ý´¿­­ çÐ

Ý´¿­­ çÏ

ð î ì ê è ïð ïî ïì ïê ïè îð

èò ß ¾«·´¼»® ½¿² ½¸±±­» ¾»¬©»»² ¬©± ¼·ºº»®»²¬ ¬§°»­ ±º ¾®·½µ ¬¸¿¬ ¿®» ½±´±«®»¼®»¼ ±® §»´´±©ò ̸» ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬­ ¾»´±© ·´´«­¬®¿¬» ¬¸» ®»­«´¬­ ±º ¬»­¬­±² ¬¸» ­¬®»²¹¬¸ ±º ¬¸» ¾®·½µ­ò

ÎÛÜ

ÇÛÔÔÑÉ

Page 195: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçì

Ú®±³ ¬¸» ¼¿¬¿ ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬­æ

ø¿÷ ¹·ª» ±²» ®»¿­±² ©¸§ ¬¸» ¾«·´¼»® ³·¹¸¬ °®»º»® ¬± «­» ®»¼ ¾®·½µ­ò

ø¾÷ ¹·ª» ±²» ®»¿­±² ©¸§ ¬¸» ¾«·´¼»® ³·¹¸¬ °®»º»® ¬± «­» §»´´±© ¾®·½µ­ò

çò ß ½´¿­­ ¬±±µ ¿² Û²¹´·­¸ ¬»­¬ ¿²¼ ¿ Ó¿¬¸­ ¬»­¬ò Þ±¬¸ ¬»­¬­ ¸¿¼ ¿ ³¿¨·³«³°±­­·¾´» ³¿®µ ±º îëò ̸» ®»­«´¬­ ¿®» ·´´«­¬®¿¬»¼ ¾»´±©ò

Û²¹´·­¸

Ó¿¬¸­

ð î ì ê è ïð ïî ïì ïê ïè îð

ݱ³°¿®» ¿²¼ ½±²¬®¿­¬ ¬¸» ®»­«´¬­ò

ïðò ß ½·²»³¿ ·­ ­¸±©·²¹ í º·´³­ô ßô Þ ¿²¼ Ýò ̸» ¿¹»­ ±º °»±°´» ©¿¬½¸·²¹ ¬¸»º·´³­ ¿®» ·´´«­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¾±¨ ¿²¼ ©¸·­µ»® °´±¬­æ

ð ïð îð íð ìð ëð êðß¹» ø§»¿®­÷

ß

Þ

Ý

ß²­©»® ¬¸» º±´´±©·²¹ ¯«»­¬·±²­ô ¹·ª·²¹ ®»¿­±²­ ¬± ­«°°±®¬ §±«® ¿²­©»®­ò

ø¿÷ ɸ·½¸ º·´³ ¼± §±« ¬¸·²µ §±« ©±«´¼ ²±¬ ¾» ¿´´±©»¼ ¬± ©¿¬½¸á

ø¾÷ ɸ·½¸ º·´³ ©±«´¼ §±« °®±¾¿¾´§ »²¶±§ ³±­¬á

ø½÷ ɸ·½¸ º·´³ ©±«´¼ §±«® °¿®»²¬­ °®±¾¿¾´§ »²¶±§ ³±­¬á

ïêòì

Page 196: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçë

ïéòï Ï«¿¼®¿¬·½ Û¨°®»­­·±²­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ®»ª·­·¬ ¯«¿¼®¿¬·½ º±®³«´¿» ¿²¼ ´±±µ ¿¬ ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º ¯«¿¼®¿¬·½º«²½¬·±²­ò

̸» ¹»²»®¿´ º±®³«´¿ º±® ¿ ¯«¿¼®¿¬·½ ¹®¿°¸ ·­

§ ¿¨ ¾¨ ½ã õ õî

©¸»®» ¿ô ¾ ¿²¼ ½ ¿®» ½±²­¬¿²¬­ò É» ·²ª»­¬·¹¿¬» ¸±© ª¿®§·²¹ ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¿ô ¾ ¿²¼ ½½¸¿²¹»­ ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» º«²½¬·±²ò

Û¨¿³°´» ï

ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã óî ïò

ø½÷ ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã õî ïô ¼»­½®·¾·²¹ ¸±© ·¬ ®»´¿¬»­ ¬± ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ¹·ª»­ ¿ ­»¬ ±º ª¿´«»­ ¬¸¿¬ ½¿² ¾» «­»¼ ¬± ¼®¿© ¬¸» ¹®¿°¸æ

̸» ¹®¿°¸ ·­ °´±¬¬»¼ ±°°±­·¬»ò

ïé Ï«¿¼®¿¬·½ Ú«²½¬·±²­

§ ¨ã î

¨ P í P î P ï ð ï î í

¨ î ç ì ï ð ï ì ç

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

Page 197: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçê

ïéòï

ø¾÷ ̸» ¬¿¾´» ¹·ª»­ ª¿´«»­ º±® § ¨ã óî ïò

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î

·­ ¬®¿²­´¿¬»¼ ¼±©²©¿®¼­ï «²·¬ ¬± ¹·ª» ¬¸» ¹®¿°¸

§ ¨ã óî ïò

ø½÷ ̱ ±¾¬¿·² ¬¸» ¹®¿°¸

§ ¨ã õî ï ¬¸» ¹®¿°¸

§ ¨ã î ³«­¬ ¾»¬®¿²­´¿¬»¼ «°©¿®¼­¾§ ï «²·¬ô ¿­ ­¸±©²·² ¬¸·­ ¼·¿¹®¿³ò

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

§ ã ¨ î

ïð

§ ã ¨ î õ ï

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

§ ã ¨ î ó ï

§ ã ¨ î

¨ P í P î P ï ð ï î í

¨ î è í ð P ï ð í è

Page 198: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçé

Û¨¿³°´» î

ø¿÷ Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ¼®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ã î ¿²¼ § ¨ã ï

î

î ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ¬©± ¹®¿°¸­ ¿®» ®»´¿¬»¼ò

ø½÷ ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸­ § ¨ã ï

ì

î ¿²¼ § ¨ã î î ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´» ¹·ª»­ ¬¸» ª¿´«»­ ²»»¼»¼ ¬± °´±¬ ¬¸» ¬©± ¹®¿°¸­æ

ø¾÷ ̸» ¹®¿°¸ § ¨ã ï

îî ¿´©¿§­ ¸¿­

»¨¿½¬´§ ¸¿´º ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» ¹®¿°¸

§ ¨ã î ô ¿­ ­¸±©² ±°°±­·¬»ò

ø½÷

̸» ¹®¿°¸ § ¨ã ï

ìî ©·´´ ¸¿ª»

ï

ì

±º ¬¸» ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î ò

̸» ¹®¿°¸ § ¨ã î î ©·´´ ¾» ¬©·½»

¿­ ¸·¹¸ ¿­ ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î ò

̸» ¬©± ¹®¿°¸­ ¿®» ­¸±©² ·² ¬¸»¼·¿¹®¿³ ±² ¬¸» ´»º¬ò

¨ P í P î P ï ð ï î í

¨ î ç ì ï ð ï ì ç

ï

î

î¨ ìòë î ðòë ð ðòë î ìòë

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

§ ã ¨ î

ïð

§ ã ïî

¨ î

§

¨

ç

è

é

ê

ë

ì

í

î

ï

Pí Pî Pï ð ï î í

§ ã ¨ î

ïð

§ ã ïì

¨ î

§ ã î ¨ î

Page 199: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçè

Û¨»®½·­»­×² ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨»®½·­»­ §±« ©·´´ »¨°´±®» º«®¬¸»® ¸±© ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¿ô ¾ ¿²¼ ½½¸¿²¹» ¬¸» ­¸¿°» ±º ¿ ¯«¿¼®¿¬·½ ¹®¿°¸ò

ïò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î ò

ø¾÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã õî í ±² ¬¸» ­¿³» ¿¨»­ò

ø½÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã óî î ±² ¬¸» ­¿³» ¿¨»­ò

ø¼÷ Ü»­½®·¾» ¸±© ¬¸» ¬¸®»» ¹®¿°¸­ ¿®» ®»´¿¬»¼ò

îò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã ó î ò

ø¾÷ Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ¼®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­æ

ø·÷ § ¨ã óì î ø··÷ § ¨ã óç î

ø···÷ § ¨ã óï î ø·ª÷ § ¨ã ó óï î

íò Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ­µ»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸­æ

ø¿÷ § ¨ã î ø¾÷ § ¨ã í î

ø½÷ § ¨ã ì î ø¼÷ § ¨ã í

ì

î

ìò Ѳ ¬¸» ­¿³» ­»¬ ±º ¿¨»­ô ­µ»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸­æ

ø¿÷ § ¨ã ó î ø¾÷ § ¨ã ó ï

î

î

ø½÷ § ¨ã ó ï

ì

î ø¼÷ § ¨ã ó í

ì

î

ëò ø¿÷ 䱬 ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ § ¨ã ã õî ìî î ¿²¼ ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» °±·²¬­ ©¸»®» ¬¸» ¬©± ½«®ª»­ ·²¬»®­»½¬á

êò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ § ¨ § ¨ã õø ÷ ã õø ÷ ã óø ÷ï í îî îô ¿²¼ î ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¸±© »¿½¸ ¹®¿°¸ ·­ ®»´¿¬»¼ ¬± ¬¸» ¹®¿°¸ § ¨ã î ò

ø½÷ Ѳ ¿ ²»© ­»¬ ±º ¿¨»­ô ­µ»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ § ¨ § ¨ã óø ÷ ã óø ÷ ã õø ÷ë í ìî îô ¿²¼ î ò

ïéòï

Page 200: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

ïçç

éò ͵»¬½¸ ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ § ¨ã õø ÷ õï ïî ø¾÷ § ¨ã óø ÷ óî íî

ø½÷ § ¨ã õø ÷ óì íî ø¼÷ § ¨ã óø ÷ õí îî

èò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ ¨ § ¨ ¨

§ ¨ ¨ § ¨ ¨

ã õ ã õ

ã õ ã õ

î î

î î

î

ì ê

ô

ô

ø¾÷ Ú±® »¿½¸ ¹®¿°¸ô ©®·¬» ¼±©² ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» ´±©»­¬ °±·²¬ò ɸ¿¬©±«´¼ ¾» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» ´±©»­¬ °±·²¬ ±º ¬¸» ½«®ª»

§ ¨ ¾ ¨ã õî á

ø½÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ±º ¬¸» ½«®ª»­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ ¨ § ¨ ¨ § ¨ ¨ã ó ã ó ã óî î îì êô ¿²¼

ø¼÷ ɸ¿¬ ©±«´¼ ¾» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» ´±©»­¬ °±·²¬ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸

»¯«¿¬·±² § ¨ ¾ ¨ã óî á

çò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸­ ©·¬¸ »¯«¿¬·±²­ô

§ ¨ ¨ § ¨ ¨ã õ õ ã õ õî ì ï í ê îî î ¿²¼ ò

ø¾÷ ɸ»®» ¼±»­ »¿½¸ ½«®ª» ·²¬»®­»½¬ ¬¸» §ó¿¨·­á

ø½÷ ɸ»®» ¼±»­ ¬¸» ½«®ª» § ¿ ¨ ¾ ¨ ½ã õ õî ·²¬»®­»½¬ ¬¸» §ó¿¨·­á

ø¼÷ É®·¬» ¼±©² ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» ´±©»­¬ °±·²¬ ±º »¿½¸ ±º ¬¸» ½«®ª»­¼®¿©² ·² °¿®¬ ø¿÷ò

ø»÷ ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» ´±©»­¬ °±·²¬ ±º ¬¸» ½«®ª»

§ ¿ ¨ ¿ ¨ ½ã õ õî î á

ïðò ø¿÷ 䱬 ¬¸» ¹®¿°¸­ô

§ ¨ ¨ § ¨ ¨ã õ õ ã õ óî îë ï î è ïô ¿²¼ § ¨ ¨ã ó õí ç éî ò

ø¾÷ ɸ¿¬ ¿®» ¬¸» ½±±®¼·²¿¬»­ ±º ¬¸» ´±©»­¬ °±·²¬ ±º ¬¸» ½«®ª»

§ ¿ ¨ ¾ ¨ ½ã õ õî á

Page 201: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðð

ïéòï

ïïò ̸» ¹®¿°¸ ­¸±©­ ¬¸» ®¿¬» ¿¬ ©¸·½¸ ½¿®­ ´»º¬ ¿ ½¿® °¿®µ º®±³ ë °³ ¬± ê °³ò

Ó·²«¬»­ ¿º¬»® ë °³¨

§

ð ïð îð íð ìð ëð êðð

ïð

îð

íð

ìð

Ý¿®­´»¿ª·²¹

°»®³·²«¬»

̸» ´±©»­¬ ®¿¬» ©¿­ ï𠽿®­ °»® ³·²«¬» ¿¬ ë °³ ¿²¼ ê °³ò̸» ¸·¹¸»­¬ ®¿¬» ©¿­ ì𠽿®­ °»® ³·²«¬» ¿¬ ëòíð °³ò

§ ¿ ¨ ¾ ¨ ½ã õ õî ·­ ¬¸» ®»´¿¬·±²­¸·° ¾»¬©»»² §ô ¬¸» ²«³¾»® ±º ½¿®­ ´»¿ª·²¹°»® ³·²«¬»ô ¿²¼ ¨ô ¬¸» ²«³¾»® ±º ³·²«¬»­ ¿º¬»® ë °³ò

ø¿÷ Û¨°´¿·² ¸±© §±« ½¿² ©±®µ ±«¬ º®±³ ¬¸» ¹®¿°¸ ¬¸¿¬ ¬¸» ª¿´«» ±º ½ ·­ ïðò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± º±®³ »¯«¿¬·±²­ ¬± ©±®µ ±«¬ ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¿ ¿²¼ ¾ ·²¬¸» »¯«¿¬·±² § ¿ ¨ ¾ ¨ ½ã õ õî ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹òøÕÍíñççñÓ¿ñÛ¨¬÷

ïéòî Ï«¿¼®¿¬·½ Û¯«¿¬·±²­æ Ú¿½¬±®·­¿¬·±²×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ º¿½¬±®·­¿¬·±² ¿²¼ ¸±© ¬¸·­ ½¿² ¾» «­»¼ ¬± ­±´ª» ¯«¿¼®¿¬·½»¯«¿¬·±²­ò ײ ˲·¬ ïï §±« º¿½¬±®·­»¼ »¨°®»­­·±²­å ©» ²±© ¬¿µ» ¬¸·­ ±²» ­¬¿¹»º«®¬¸»® ¬± ­±´ª» »¯«¿¬·±²­ò ײ ˲·¬ ïï §±« ´±±µ»¼ ¿¬ º¿½¬±®·¦·²¹ »¨°®»­­·±²­ ©·¬¸½±³³±² º¿½¬±®­ò É» ²±© ¼»ª»´±° ¬¸·­ ¬± ­±´ª·²¹ »¯«¿¬·±²­ ©·¬¸ ½±³³±² º¿½¬±®­ò

Û¨¿³°´» ï

Ú¿½¬±®·­»æ ø¿÷ ïî è¨ õ ø¾÷ ¨ ¨í îõ ø½÷ í ïëî¨ ¨õ

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ïî è ì í î¨ ¨õ ã õø ÷

ø¾÷ ¨ ¨ ¨ ¨í î î ïõ ã õø ÷

ø½÷ í ïë í ëî¨ ¨ ¨ ¨õ ã õø ÷

Page 202: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðï

Û¨¿³°´» î

Ú¿½¬±®·­»æ ø¿÷ ¨ ¨î ê èõ õ

ø¾÷ ¨ ¨î ë êó õ

ͱ´«¬·±²

ß­ ¾±¬¸ »¨°®»­­·±²­ ½±²¬¿·² ¨ î ô ¬¸»§ ©·´´ º¿½¬±®·­» ·² ¬¸» º±®³æ

ø¨ o ÷ ø¨ o ÷

É» ³«­¬ ¼»¬»®³·²» ¬¸» ³·­­·²¹ ²«³¾»®­ô ¿²¼ ©¸»¬¸»® ¿ ù õ ù ±® ¿ ùPù ­·¹² ·­®»¯«·®»¼ ·² »¿½¸ ¾®¿½µ»¬ò

ø¿÷ Ú±® ¨ ¨î ê èõ õ ©» ®»¯«·®» ¬©± ²«³¾»®­ ¬¸¿¬³«´¬·°´§ ¬±¹»¬¸»® ¬± ¹·ª» è ¿²¼ ¿¼¼ ¬±¹»¬¸»® ¬±¹·ª» êò

ͱ ¬¸» ²«³¾»®­ ¿®» î ¿²¼ ìò

Ø»²½» ¨ ¨ ¨ ¨î ê è î ìõ õ ã õø ÷ õø ÷ ò

ø¾÷ Ú±® ¨ ¨î ë êó õ ©» ®»¯«·®» ¬©± ²«³¾»®­ ¬¸¿¬³«´¬·°´§ ¬±¹»¬¸»® ¬± ¹·ª» ê ¿²¼ ¿¼¼ ¬±¹»¬¸»® ¬±¹·ª» P ëò

ͱ ¬¸» ²«³¾»®­ ¿®» P î ¿²¼ P íò

Ø»²½» ¨ ¨ ¨ ¨î ë ê î íó õ ã óø ÷ óø ÷ ò

Û¨¿³°´» í

Ë­» º¿½¬±®·­¿¬·±² ¬± ­±´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ ¨ ¨î ê ðõ ã

ø¾÷ ¨ ¨î í î ðõ õ ã

ø½÷ ¨ ¨î è ïê ðó õ ã

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ú·®­¬ º¿½¬±®·­» ¬¸» ¯«¿¼®¿¬·½ »¨°®»­­·±²

¨ ¨î êõ ã ð

¨ ¨ õø ÷ê ã ð

Ú±® ¬¸» ´»º¬ó¸¿²¼ó­·¼» ¬± ¾» ¦»®±ô »·¬¸»®æ

¨ ¨ã õ ãð ê ð ±®

̸» ­»½±²¼ »¯«¿¬·±² ¸¿­ ­±´«¬·±² ¨ ã óê ô ­± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î ê ðõ 㸿­ ­±´«¬·±² ¨ ¨ã ã óð ê ±® ò

l ¨ P î

¨ ¨ î ó î ¨

P í óí¨ õ ê

l ¨ õ î

¨ ¨ î õî ¨

õ ì õ ì ¨ õ è

Page 203: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðî

ïéòî

ø¾÷ Ú·®­¬ º¿½¬±®·­» ¬¸» ´»º¬ó¸¿²¼ó­·¼» ±º ¬¸» »¯«¿¬·±²æ

¨ ¨î í îõ õ ã ð

¨ ¨õø ÷ õø ÷î ï ã ð

¨ ¨õ ã õ ãî ð ±® ï ð

­± ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î í î ðõ õ ã ¸¿­ ­±´«¬·±²

¨ ã óî ±® ¨ ã óï

ø½÷ Ú¿½¬±®·­» ¬¸» ´»º¬ó¸¿²¼ó­·¼» ±º ¬¸» »¯«¿¬·±²æ

¨ ¨î è ïêó õ ã ð

¨ ¨óø ÷ óø ÷ì ì ã ð

¨ óø ÷ì î ã ð

ͱ ¨ ó ì ã ð

©¸·½¸ ³»¿²­ ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î è ïê ðó õ ã ¸¿­ ¶«­¬ ±²» ­±´«¬·±²ô²¿³»´§

¨ ã ì

Ò±¬» ¬¸¿¬ ·² ¬¸·­ »¨¿³°´» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¸¿­ ±²´§ ±²» ­±´«¬·±²ò

Û¨¿³°´» ì

ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ î íî¨ ¨ã ø¾÷ ¨ ¨î é êã ó

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ Ú·®­¬ô ©» ®»¿®®¿²¹» ¬¸» »¯«¿¬·±² ­± ¬¸¿¬ ·¬ ¸¿­ ð ±² ¬¸» ®·¹¸¬ó¸¿²¼ó­·¼»ò

̸·­ º·®­¬ ­¬»° ·­ »­­»²¬·¿´ò

î î¨ ã í ¨

î íî¨ ¨ó ã ð Í«¾¬®¿½¬·²¹ í¨ º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­

Ò±© ©» º¿½¬±®·­» ¬¸» ´»º¬ó¸¿²¼ó­·¼» ¿²¼ ­±´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¿­ ©» ¼·¼ ·²Û¨¿³°´» îò

¨ ¨î í ðóø ÷ ã

­± ¨ ¨ã ó ãð î í ð±® ò

̸» ­»½±²¼ »¯«¿¬·±² ¸¿­ ­±´«¬·±² ¨ ã ïï

îò

̸»®»º±®» ¬¸» »¯«¿¬·±² î íî¨ ¨ã ¸¿­ ­±´«¬·±² ¨ ¨ã ãð ïï

î±® ò

l ¨ õ î

¨ ¨ î õî ¨

õ ï õï¨ õ î

l ¨ P ì

¨ ¨ î ó ì ¨

P ì ó ì ¨ õ ïê

Page 204: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðí

ø¾÷ ß¹¿·²ô ¬¸» º·®­¬ ­¬»° ·­ ¬± ®»¿®®¿²¹» ¬¸» »¯«¿¬·±² ­± ¬¸¿¬ ·¬ ¸¿­ ð ±² ¬¸» ®·¹¸¬ó¸¿²¼ó­·¼»ò

¨ î ã é ê¨ ó¨ ¨î é ê ðó õ ã Í«¾¬®¿½¬·²¹ é ¨ º®±³ ¾±¬¸ ­·¼»­ ¿²¼

¿¼¼·²¹ ê ¬± ¾±¬¸ ­·¼»­

Ò±© ©» º¿½¬±®·­» ¬¸» ´»º¬ó¸¿²¼ó­·¼» ¿²¼ ­±´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±²ò

¨ ¨óø ÷ óø ÷ ãï ê ð

­± ¨ ¨ó ã ó ãï ð ê ð±® ò

̸»®»º±®» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î é êã ó ¸¿­ ­±´«¬·±² ¨ ¨ã ãï ê±® ò

Û¨»®½·­»­ïò Ú¿½¬±®·­» ¬¸» º±´´±©·²¹æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

í îï ë îð

ê è îð

ì íð ë ïê

î

î í î î

î î ì î

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

õ ó ó

õ ó õ

ó õ õ

îò Ú¿½¬±®·­» ¬¸» º±´´±©·²¹æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷ ø·÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

î î î

î î î

î î î

ì í í î ë ïì

îï îð ïî íë ïð îë

ïï íð î êí ïì ìè

õ õ ó õ ó ó

ó õ õ õ ó õ

ó õ ó ó ó õ

íò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ ø¾÷ ø½÷

ø¼÷ ø»÷ øº÷

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

î î î

î î î

ì ð í ð é ð

ì ð é í ð î ë ð

ó ã õ ã ó ã

ó ã ó ã ó ã

ìò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷

ø·÷ ø¶÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

î î

î î

î î

î î

î î

è ïî ð î è ð

ê ð í ì ð

è ïë ð ïï ïè ð

ê îé ð ïð îï ð

ïê ïé ð ïé êð ð

ó õ ã õ ó ã

õ ó ã õ ó ã

ó õ ã ó õ ã

ó ó ã õ õ ã

ó ó ã õ õ ã

Page 205: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðì

ïéòî

ëò ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

î î

î î

î î

è í ì

ë ëð éð ïé

ëê ïì ëï

ã ã

õ ã õ ã

õ ã ã õ

êò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ ¨ã õ óî î íò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ¹®¿°¸ ¬± »¨°´¿·² ©¸§ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î î í ðõ ó ã ¸¿­ ¬©±­±´«¬·±²­ò

éò ø¿÷ Ü®¿© ¬¸» ¹®¿°¸ ±º ¬¸» ½«®ª» ©·¬¸ »¯«¿¬·±² § ¨ ¨ã õ õî î ïò

ø¾÷ ر© ³¿²§ ­±´«¬·±²­ ©·´´ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î î ï ðõ õ ã ¸¿ª»á

ø½÷ ݸ»½µ §±«® ¿²­©»® ¬± ø¾÷ ¾§ º¿½¬±®·­·²¹ ¨ ¨î î ïõ õ ò

èò Ë­» ¿ ¹®¿°¸ ¬± »¨°´¿·² ©¸§ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î î î ðõ õ ã ¸¿­ ²± ­±´«¬·±²­ò

çò ß ®»½¬¿²¹´» ·­ í ½³ ´±²¹»® ¬¸¿² ·¬ ·­ ©·¼»ò ̸» ©·¼¬¸ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ·­ © ½³

¿²¼ ¬¸» ¿®»¿ ·­ ïð ½³ î ò

ø¿÷ Û¨°´¿·² ©¸§ © © õø ÷ ãí ïðò

ø¾÷ ͸±© ¬¸¿¬ ¬¸» »¯«¿¬·±² ·² °¿®¬ ø¿÷ ½¿² ¾» ®»©®·¬¬»² ·² ¬¸» º±®³

© ©î í ïð ðõ ó ã

ø½÷ ͱ´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±² © ©î í ïð ðõ ó ã ò

ø¼÷ Û¨°´¿·² ©¸§ ±²´§ ±²» ±º ¬¸» ­±´«¬·±²­ ¬± ¬¸» »¯«¿¬·±²

© ©î í ïð ðõ ó ã ½¿² ¾» ¿°°´·»¼ ¬± ¬¸» ¹·ª»² ®»½¬¿²¹´»ò

ø»÷ ͬ¿¬» ¬¸» ¼·³»²­·±²­ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´»ò

ïðò ̸» ­«®º¿½» ¿®»¿ ±º ¬¸·­ ½«¾±·¼ ·­ ïè ½³ î ò

Ü»¬»®³·²» ¬¸» ª±´«³» ±º ¬¸» ½«¾±·¼ò

ïïò ͱ´ª» º±® §ô

ç

îî

§§

õã õ

¨

¨

¨ õ í

Page 206: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðë

ïéòí Ï«¿¼®¿¬·½ Û¯«¿¬·±²­æ ݱ³°´»¬·²¹ ¬¸» ͯ«¿®»Ý±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®» ·­ ¿ «­»º«´ ¬»½¸²·¯«» º±® ­±´ª·²¹ ¯«¿¼®¿¬·½ »¯«¿¬·±²­ò ׬ ·­ ¿³±®» °±©»®º«´ ¬»½¸²·¯«» ¬¸¿² º¿½¬±®·­¿¬·±² ¾»½¿«­» ·¬ ½¿² ¾» ¿°°´·»¼ ¬± »¯«¿¬·±²­¬¸¿¬ ¼± ²±¬ º¿½¬±®·­»ò

ɸ»² ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®»ô ¿² »¨°®»­­·±² ´·µ»ô

¿ ¨ ¾ ¨ ½î õ õ ·­ ©®·¬¬»² ·² ¬¸» º±®³ ß ¨ Þ Ýõø ÷ õî ò

É» ©·´´ ¾»¹·² ©·¬¸ ¬¸» ­·³°´» »¨¿³°´» ©¸»®» ¿ ã ïò ײ ¬¸·­ ½¿­» ©» ©·´´ ©®·¬»»¨°®»­­·±²­ ·² ¬¸» º±®³

¨ ¾ ¨ ½î õ õ ¿­ ¨ Þ Ýõø ÷ õî

׺ ©» »¨°¿²¼ ¨ Þ Ýõø ÷ õî ©» ¹»¬ ¨ Þ ¨ Þ Ýî îîõ õ õ ò

ݱ³°¿®·²¹ ¬¸·­ ©·¬¸ ¨ ¾ ¨ ½î õ õ ­¸±©­ ¬¸¿¬

¾ Þã î ¿²¼ ½ Þ Ýã õî

©¸·½¸ ¹·ª»­ Þ¾ãî

¿²¼ Ý ½ Þã ó î

Ë­·²¹ ¬¸»­» ¬©± ®»­«´¬­ ©» ½¿² ²±© ­»¬ ¿¾±«¬ ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®» ·² ­±³»­·³°´» ½¿­»­ò

Û¨¿³°´» ï

É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ ·² ¬¸» º±®³ ¨ Þ Ýõø ÷ õî ò

ø¿÷ ¨ ¨î ê ïõ õ ø¾÷ ¨ ¨î ì îõ ó ø½÷ ¨ ¨î îõ

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ݱ³°¿®·²¹ ¨ ¨î ê ïõ õ ©·¬¸ ¨ ¾ ¨ ½î õ õ ©» ­»» ¬¸¿¬ ¾ ½ã ãê ￲¼ ·²¬¸·­ ½¿­»ô ­±

Þ¾ã ã ãî

ê

îí ¿²¼ Ý ½ Þã ó ã ó ã óî îï í èò

̸»®»º±®» ¨ ¨ ¨î îê ï í èõ õ ã õø ÷ ó ò

ø¾÷ Ø»®» ¾ ½ã ã óì ¼ ô ­±

Þ¾ã ã ãî

ì

îî ¿²¼ Ý ½ Þã ó ã óø ÷ ó ã óî îî î ê ò

̸»®»º±®» ¨ ¨ ¨î îì î î êõ ó ã õø ÷ ó ò

ø½÷ Ø»®» Þ ã ãî

îï ¿²¼ Ý ã ó ã óð ï ïî ô

­± ¨ ¨ ¨î îî ï ïõ ã õø ÷ ó ò

Page 207: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðê

Û¨¿³°´» î

ͱ´ª» ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­ ¾§ ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®»ò

ø¿÷ ¨ ¨î ì ë ðó ó ã ø¾÷ ¨ ¨î ê ï ðõ ó ã

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ݱ³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®» ¹·ª»­ô

¨ ¨ ¨î îì ë î çó ó ã óø ÷ ó

Ò±© ©» ½¿² ­±´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±²

¨ óø ÷î î ã ç

¨ ó î ã o ç

¨ ó î ã o í

¨ ã î ío

­± ¨ ã ë ±® P ï

ø¾÷ ݱ³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®» ¹·ª»­ô

¨ ¨ ¨î îê ï í ïðõ ó ã õø ÷ ó

Ò±© ©» ½¿² ­±´ª» ¬¸» »¯«¿¬·±²

¨ õø ÷í î ã ïð

¨ õ í ã o ïð

¨ ã ó oí ïð

­± ¨ ã ðòïêî ±® P êòïêî ¬± í ¼»½·³¿´ °´¿½»­

ïéòí

Page 208: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðé

Û¨»®½·­»­

ïò É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ ·² ¬¸» º±®³ ¨ Þ Ýõø ÷ õî ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

î î

î î

î î

ê ì

è ïð

é ë

õ õ

õ ó

õ ó

îò É®·¬» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¨°®»­­·±²­ ·² ¬¸» º±®³ ¨ Þ Ýõø ÷ õî æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷

ø·÷ ø¶÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

î î

î î

î î

î î

î î

ê ï è í

ïð ïî ïî è

ì ï ê í

ë í í ì

î í

õ õ ó õ

õ ó õ õ

ó õ ó ó

õ õ õ ó

õ ó ó õ

íò ͱ´ª» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¯«¿¼®¿¬·½ »¯«¿¬·±² ¾§ ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®»æ

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

î î

î î

î î

î è ð ì í ð

è ïî ð ë ì ð

î ïë ð í îè ð

ó ó ã õ õ ã

õ õ ã ó õ ã

ó ó ã õ ó ã

ìò ͱ´ª» »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ ¯«¿¼®¿¬·½ »¯«¿¬·±²­ ¾§ ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®»òÙ·ª» §±«® ¿²­©»®­ ¬± î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ø»÷ øº÷

ø¹÷ ø¸÷

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

î î

î î

î î

î î

î ë ð ì ï ð

ê ë ð ïð ï ð

í ð í ï ð

ë ì ð í ë ð

õ ó ã õ ó ã

õ ó ã ó ó ã

õ ó ã ó õ ã

õ ó ã õ ó ã

ëò ̸» ®»½¬¿²¹´» ­¸±©² ¸¿­ ¿² ¿®»¿ ±º îð ½³î ò

ø¿÷ É®·¬» ¼±©² ¿² »¯«¿¬·±² º±® ¬¸»©·¼¬¸ ¨ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ¿²¼ ­¸±©

¬¸¿¬ ·¬ ­·³°´·º·»­ ¬± ¨ ¨î ì îð ðõ ó ã ò

ø¾÷ Ë­» ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®» ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ©·¼¬¸ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ¬±î ¼»½·³¿´ °´¿½»­ò

¨

¨ õ ì

Page 209: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðè

êò ø¿÷ É®·¬» ¬¸» »¯«¿¬·±² ¨ ¨î ó õ ãè ïè ð ·² ¬¸» º±®³ ¨ Þ Ýõø ÷ õ ãî ð ò

ø¾÷ Û¨°´¿·² ©¸§ ¬¸» »¯«¿¬·±² ¸¿­ ²± ­±´«¬·±²­ò

éò Í·³°´·º§ »¿½¸ ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ »¯«¿¬·±²­ ¿²¼ ±¾¬¿·² ¬¸»·® ­±´«¬·±²­ ¾§½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®»ò

ø¿÷ ø¾÷

ø½÷ ø¼÷

ì îð è ð îð ìð êð ð

í ê ç ð ë íð ïë ð

î î

î î

¨ ¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨

õ ó ã ó õ ã

õ ó ã ó ó ã

èò ̸» ¸»·¹¸¬ ±º ¿ ¾¿´´ ¿¬ ¬·³» ¬ ­»½±²¼­ ½¿² ¾» ½¿´½«´¿¬»¼ ¾§ «­·²¹ ¬¸» º±®³«´¿

¸ ¬ ¬ã óîð ë î

ø¿÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ª¿´«» ±º ¸ ©¸»² ¬ ã î ò

ø¾÷ Ü»¬»®³·²» ¬¸» ª¿´«»­ ±º ¬ º±® ©¸·½¸ ¸ ã ïëò

çò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ®»½¬¿²¹´» ­¸±©² ·­ íð ½³ î ò

Ü»¬»®³·²» ¬¸» ª¿´«» ±º ¨ò

ïðò ̸» ¿®»¿ ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´» ­¸±©² ·­ ïîð ½³ î ò

Ü»¬»®³·²» ¬¸» °»®·³»¬»® ±º ¬¸» ¬®·¿²¹´»½±®®»½¬ ¬± ¬¸» ²»¿®»­¬ ³·´´·³»¬®»ò

ïïò Ë­» ¬¸» ³»¬¸±¼ ±º ½±³°´»¬·²¹ ¬¸» ­¯«¿®» ±® ¬¸» ¿°°®±°®·¿¬» º±®³«´¿ ¬±

­±´ª» ¨ ¨î ì î ðõ ó ã ò

͸±© §±«® ©±®µ·²¹ò

É®·¬» §±«® ¿²­©»®­ ­¸±©·²¹ ¿´´ ¬¸» ¼·¹·¬­ ±² §±«® ½¿´½«´¿¬±®ò

øÕÍíñçëñÓ¿ñÔ»ª»´­ çóïð÷

ïéòí

î ¨ õ ì

¨

î ¨

î ¨ õ î

Page 210: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îðç

ïèòï ο²¼±³ Í¿³°´»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ ®¿²¼±³ ­¿³°´»­ ¿²¼ ¿¬ ¬¸» ¼·ºº»®»²½» ¾»¬©»»² ¿ ½»²­«­¿²¼ ¿ ­¿³°´»ò

ײ ¿ ½»²­«­ô ·²º±®³¿¬·±² ±² »ª»®§ ³»³¾»® ±º ¿ °±°«´¿¬·±² ·­ ½±²­·¼»®»¼ò ײ ¬¸»ËÕô ¿ ½»²­«­ ·­ ½¿®®·»¼ ±«¬ »ª»®§ ï𠧻¿®­ò ̸» ¿³±«²¬ ±º ©±®µ ®»¯«·®»¼ ¬± ½¿®®§±«¬ ¿ ½»²­«­ ³»¿²­ ¬¸¿¬ ·¬ ·­ ¿² »¨°»²­·ª» °®±½»­­ò

ײ ¿ ­¿³°´»ô ¿ ­«¾­»¬ ±º ¬¸» °±°«´¿¬·±² ·­ ½±²­·¼»®»¼ ¬± ¬®§ ¬± ±¾¬¿·² ·²º±®³¿¬·±²¿¾±«¬ ¿ °¿®¬·½«´¿® °®±¾´»³ ±® ·­­«»ò Þ»½¿«­» ¿ ­¿³°´» ·­ ²±®³¿´´§ ³«½¸ ­³¿´´»®¬¸¿² ¬¸» ©¸±´» °±°«´¿¬·±²ô ·¬ ·­ ¯«·½µ»® ¿²¼ »¿­·»® ¬± ¬¿µ» ¿²¼ ¬± ¿²¿´§­» ¿ ­¿³°´»¬¸¿² ¬± ½¿®®§ ±«¬ ¿ ½»²­«­ ±º ¬¸» »²¬·®» °±°«´¿¬·±²ò Í¿³°´·²¹ »²¬¿·´­ ´»­­ »ºº±®¬¿²¼ ´»­­ »¨°»²­»ò ײ ­±³» ½¿­»­ô ·¬ ·­ »­­»²¬·¿´ ¬± ¬¿µ» ¿ ­¿³°´»ò Ú±® »¨¿³°´»ô·³¿¹·²» ¿ º·®³ ¬¸¿¬ «­»­ ¯«¿´·¬§ ½±²¬®±´ ¬± ¬»­¬ ¬¸» ´·¹¸¬ ¾«´¾­ ·¬ ³¿²«º¿½¬«®»­ô ¬±­»» ¸±© ´±²¹ ¬¸»§ ´¿­¬ò ø׺ »ª»®§ ·¬»³ ©¿­ ¬»­¬»¼ «²¬·´ ·¬ ­¬±°°»¼ ©±®µ·²¹ ¬¸»§©±«´¼ ¸¿ª» ²± ´·¹¸¬ ¾«´¾­ ´»º¬ ¬± ­»´´ÿ÷ ̸»§ ¬¸»®»º±®» ¬¿µ» ­¿³°´»­ º®±³ ¬¸»°®±¼«½¬·±² ¿²¼ ¬»­¬ ¬¸»­» ¬± ­»» ·º ¬¸» ¯«¿´·¬§ ·­ «° ¬± ­¬¿²¼¿®¼ò

ײ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ô »ª»®§ ³»³¾»® ±º ¬¸» °±°«´¿¬·±² ·­ »¯«¿´´§ ´·µ»´§ ¬± ¾»·²½´«¼»¼ ·² ¬¸» ­¿³°´»ò Ѳ» ©¿§ ±º ­»´»½¬·²¹ ¿ ­¿³°´» ·­ ¬± «­» ®¿²¼±³ ²«³¾»®­ô¿­ ¼»³±²­¬®¿¬»¼ ·² ¬¸» »¨¿³°´» ¾»´±©ò DZ« ½¿² º·²¼ ®¿²¼±³ ²«³¾»®­ ·² ¾±±µ­ ±º­¬¿¬·­¬·½¿´ ¬¿¾´»­ò DZ« ½¿² ¿´­± ¹»²»®¿¬» ¬¸»³ «­·²¹ ¿ ½¿´½«´¿¬±® ±® ¿ ½±³°«¬»®ò

̸» ¼·¿¹®¿³ ­¸±©­ °¿®¬ ±º ¿ ¬¿¾´» ±º ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ò

ïè Í¿³°´·²¹

ο²¼±³ Ü·¹·¬­

çèèëç ðçèèì ìëîéë ðçìêé çíðîê íîçïî

îêêðì çëðçç çíéëï ððëçð çíðêð êìééê

èîçèì êëéèð çììîè íðïêð èêðîí ëîîèì

éðèèè ïìðêí çêéðð èíððè ïéëéç éïíîï

ééèðí êïèéî èêîìë êèîîð êêîêé ðïíéç

ïïíðì ðïêëè èîìðì ìêéîè íëîîè ìçêéí

ëíëëî ëïîïë ìëêïï èíçîé ððééî ççîçë

Page 211: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïð

Û¨¿³°´» ï

ײ ¿ ½´¿­­ ¬¸»®» ¿®» íð °«°·´­ò ̸» ¬»¿½¸»® ¼»½·¼»­ ¬± ¬¿µ» ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±ºë °«°·´­ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸» ³»¿² ¸»·¹¸¬ ±º ¬¸» °«°·´­ ·² ¬¸» ½´¿­­ò Í»´»½¬ ¿ ®¿²¼±³­¿³°´» ±º ë °«°·´­ º®±³ ¬¸» ´·­¬ò

ï ß´¿² ïð ο½¸»´ ïç Í¿½¸¿ îè Í¿´·º

î Ô«½§ ïï Þ»² îð Ø¿´·³ îç ß²²·»

í ̱³ ïî Û³³¿ îï Ü¿²·»´´¿ íð Õ¿®»²

ì ߦ¿® ïí Ø¿²²¿¸ îî Ö±­»°¸

ë Ö¿§²» ïì Ù®¿½» îí ß²²¿

ê Ò¿¼·³¿ ïë Ó·´»­ îì ͱ°¸·»

é Ó¿¬¬¸»© ïê Ö¿³»­ îë Õ¿¬¸®§²

è Í«­¸· ïé Ö±­¸«¿ îê Ø»´»²

ç Ó±¸¿³³»¼ ïè Ô·­¿ îé Ú¿¬±«³¿¬¿

ͱ´«¬·±²

̱ ¬¿µ» ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» §±« ²»»¼ ¬± «­» ¿ ´·­¬ ±º ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ô ¿­ º±´´±©­æ

í ì ë ì é í ð é é ï ì ð î ê ð ë è è è ë ê ê ì ë

íì ëì éí é éï ìð îê ë èè èë êê ìë

ë é ê ð î é è î é ê ï ë

ëé êð îé èî éê ïë

̸» ¼·¹·¬­ ¿®» ¬¿µ»² ·² °¿·®­ ¬± º±®³ îó¼·¹·¬ ²«³¾»®­ô ¿­ ­¸±©² ¿¾±ª»ò ß´´ ¬¸±­»²«³¾»®­ ¹®»¿¬»® ¬¸¿² íð ¿®» ¼·­½¿®¼»¼ ø¿­ ¬¸»®» ¿®» íð °«°·´­ ±² ¬¸» ´·­¬÷ò ̸»°®±½»­­ ·­ ½±²¬·²«»¼ «²¬·´ ë ¼·ºº»®»²¬ ²«³¾»®­ ¾»¬©»»² ï ¿²¼ í𠸿ª» ¾»»² ±¾¬¿·²»¼ò

ͱ ¬¸» ­¿³°´» ©·´´ ¾» ³¿¼» «° ±º ¬¸» º±´´±©·²¹ °«°·´­æ

é Ó¿¬¬¸»©

îê Ø»´»²

ë Ö¿§²»

îé Ú¿¬±«³¿¬¿

ïë Ó·´»­

Û¨¿³°´» î

Ü·­½«­­ ©¸»¬¸»® ±® ²±¬ ¬¸» º±´´±©·²¹ ­·¬«¿¬·±²­ °®±¼«½» ®¿²¼±³ ­¿³°´»­ò

ø¿÷ Ó¿®µ ·­ ½±²¼«½¬·²¹ ¿ ­«®ª»§ º±® ¿ ³¿¹¿¦·²»ò Ø» ­¬±°­ °»±°´» ¿¬ ®¿²¼±³ ±² ¿Í¿¬«®¼¿§ ³±®²·²¹ ¿¬ ¸·­ ´±½¿´ ­¸±°°·²¹ ½»²¬®»ò

ø¾÷ Ù®¿²²§ Ì¿§´±®ù­ Ò¿¬·±²¿´ Ô±¬¬»®§ ²«³¾»®­ò

ïèòï

Page 212: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïï

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ̱ °®±¼«½» ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ô »ª»®§ ³»³¾»® ±º ¬¸» °±°«´¿¬·±² ³«­¬ ¸¿ª» ¿²»¯«¿´ ½¸¿²½» ±º ¾»·²¹ ­»´»½¬»¼ò ײ ¬¸» ½¿­» ±º Ó¿®µù­ ­¿³°´»ô ¸» ·­ »¨½´«¼·²¹°»±°´» ©¸± ¿®» ¿¬ ©±®µ ±² ¬¸¿¬ Í¿¬«®¼¿§ô ¿­ ©»´´ ¿­ ±¬¸»® °»±°´» ©¸± ¸¿ª»²ù¬¹±²» ¬± ¬¸¿¬ ­¸±°°·²¹ ½»²¬®»ò ͱ ¿´¬¸±«¹¸ Ó¿®µ ·­ ­¬±°°·²¹ °»±°´» ¿¬®¿²¼±³ô ¸» ·­ ²±¬ °®±¼«½·²¹ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ò

ø¾÷ Ó±­¬ °»±°´» «­» °»®­±²¿´ ®»¿­±²­ ©¸»² ¬¸»§ ­»´»½¬ ¬¸»·® Ò¿¬·±²¿´ Ô±¬¬»®§²«³¾»®­ò Ù®¿²²§ Ì¿§´±® ³¿§ô º±® »¨¿³°´»ô ¸¿ª» «­»¼ ¬¸» ²«³¾»® ±º¹®¿²¼½¸·´¼®»² ¬¸¿¬ ­¸» ¸¿­ô ¬¸»·® ¾·®¬¸¼¿§­ô ¬¸» ²«³¾»® ±º ¸»® ¸±«­»ô »¬½ò ׺¬¸¿¬ ·­ ¬¸» ½¿­» ¬¸»² ­¸» ¸¿­ ²±¬ ­»´»½¬»¼ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ò ر©»ª»®ô ·º ­¸»¾±«¹¸¬ ¿ ùÔ«½µ§ Ü·°ù º®±³ ¸»® ´±½¿´ ­¸±° ¬¸»² ¬¸» ½±³°«¬»®·­»¼ Ò¿¬·±²¿´Ô±¬¬»®§ ¬·´´ ­¸±«´¼ ¸¿ª» °®±¼«½»¼ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ò

Ò±¬»æ Ú±® ­³¿´´ °±°«´¿¬·±²­ ·¬ ·­ ®»´¿¬·ª»´§ »¿­§ ¬± °®±¼«½» ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»òÍ·³°´§ ²«³¾»® »ª»®§ ³»³¾»® ±º ¬¸» °±°«´¿¬·±²ô ©®·¬» ¬¸±­» ²«³¾»®­ ±²°·»½»­ ±º °¿°»® ¿²¼ °«¬ ¬¸»³ ·²¬± ¿ ¸¿¬ ±® ¬±³¾±´¿ò Ó·¨ ¬¸»³ ©»´´ ¿²¼ ¿­µ­±³»±²» ¬± °·½µ ±«¬ ¿­ ³¿²§ ²«³¾»®­ ¿­ §±« ²»»¼ º±® §±«® ­¿³°´»ô ¬¸»² ¬¿µ»¬¸» ½±®®»­°±²¼·²¹ ·¬»³­ º®±³ ¬¸» °±°«´¿¬·±²ò ̸·­ °®±½»­­ ½´»¿®´§ ¾»½±³»­«²³¿²¿¹»¿¾´» ©¸»² ©» ·²ª»­¬·¹¿¬» ´¿®¹» °±°«´¿¬·±²­ô ©¸·½¸ ·­ ©¸§ ©» ¬»²¼¬¸»² ¬± «­» ®¿²¼±³ ²«³¾»® ¹»²»®¿¬±®­ò

Û¨»®½·­»­É¸»² «­·²¹ ®¿²¼±³ ²«³¾»® ¬¿¾´»­ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¯«»­¬·±²­ô ©±®µ º®±³ ´»º¬ ¬±®·¹¸¬ ¿´±²¹ ¬¸» ¬±° ®±© ±º ²«³¾»®­ô ¬¸»² ­·³·´¿®´§ ¿´±²¹ ­«¾­»¯«»²¬ ®±©­ò

ïò Ë­» ¬¸» ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ¾»´±© ¬± ­»´»½¬ ¿ ­»½±²¼ ­¿³°´» ±º ë º®±³ ¬¸» ½´¿­­ ·²Û¨¿³°´» ïò

é ï ç ë ì í ë ç ï ê è ì ë í î ï é ê ê ð ï î í í é ð î î

ê í é ï í ë í í î í ê ë î ì ê ë ï ï í ð è ë é í ç ê ë ë

îò Ë­» ¬¸» ¬¿¾´» ±º ®¿²¼±³ ²«³¾»®­ ­¸±©² ¿¬ ¬¸» ­¬¿®¬ ±º ¬¸·­ «²·¬ ¬± ­»´»½¬ ¿­¿³°´» ±º ïð °«°·´­ º®±³ ¬¸» ´·­¬ ·² Û¨¿³°´» ïò

íò ̸»®» ¿®» ïð ½±³°»¬·¬±®­ ·² ¿² ¿¬¸´»¬·½­ »ª»²¬ò ̸»·® ²¿³»­ ¿®»æ

Ö·³³§ Ö«³° Ø¿®±´¼ Ø¿³³»® ̱³ ̸®±©

Ü·½µ Ü·­½«­ Ø¿®®§ ر° п«´ Ы¬¬

Í¿³ ͸±¬ Ô·¿³ Ô±²¹ Ö¿µ» Ö¿ª»´·²

Ê·½¬±® Ê¿«´¬

ø¿÷ Ò«³¾»® ¬¸» ½±³°»¬·¬±®­ º®±³

ï Ö·³³§ Ö«³° î Ø¿®±´¼ Ø¿³³»® òòòòòòòòòòòò

ïð Ê·½¬±® Ê¿«´¬

Page 213: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïî

ø¾÷ Ë­» ¬¸» º±´´±©·²¹ ´·­¬ ±º ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ¬± ­»´»½¬ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º í±º ¬¸» ½±³°»¬·¬±®­ º±® ¼®«¹ ¬»­¬·²¹ò

îê êð ìç ëð çç çí éë ïð

ðë çð çí ðê ðê ìé éê èî

çè ìê ëé èð çì ìî èí ðï

êð èê ðî íë îî èì éð èè

ìò ß ½±«²½·´ ©¿²¬­ ¬± ¬¿´µ ¬± ¬¸» ®»­·¼»²¬­ ±º ¿ ­¬®»»¬ ¬± ¼·­½«­­ ¿ °®±°±­»¼¬®¿ºº·½ ½¿´³·²¹ ­½¸»³»ò ̸» ¸±«­»­ ·² ¬¸» ­¬®»»¬ ¿®» ²«³¾»®»¼ º®±³ ï ¬± ëéò

Ë­» ¬¸» ´·­¬ ±º ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ·² ¯«»­¬·±² ï ¬± ·¼»²¬·º§ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±ºï𠱺 ¬¸» ¸±«­»­ º±® ¬¸» ½±«²½·´ ¬± ª·­·¬ò

ëò ײ ¿²±¬¸»® ®±¿¼ ¬¸» ¸±«­»­ ¿®» ²«³¾»®»¼ º®±³ ï ¬± ëíçò

Ë­» ¬¸» ´·­¬ ±º ®¿²¼±³ ²«³¾»®­ ·² ¯«»­¬·±² ï ¬± ·¼»²¬·º§ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±ºê ¸±«­»­ º±® ¬¸» ½±«²½·´ ¬± ª·­·¬ò

êò ß ¬»´»°¸±²» ¼·®»½¬±®§ ¸¿­ îëð °¿¹»­ò Ѳ »¿½¸ °¿¹» ¬¸»®» ¿®» ìð𠲿³»­ò

ø¿÷ Ü»­½®·¾» ¸±© §±« ½±«´¼ «­» ®¿²¼±³ ²«³¾»®­ ¬± ­»´»½¬ ¿ ®¿²¼±³­¿³°´» º®±³ ¬¸» ¬»´»°¸±²» ¾±±µò

ø¾÷ Û¨°´¿·² ©¸§ ¬¸» ­¿³°´» ·­ ²±¬ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» º®±³ ¬¸» ©¸±´»°±°«´¿¬·±² ±º ¬¸» ¿®»¿ò

éò ̸» ¿¹»­ô ·² §»¿®­ô ±º ¬¸» ³»³¾»®­ ±º ¿ ½±³°«¬»® ½´«¾ ¿®» ´·­¬»¼ ¾»´±©ò

Ü»» ïî Ó¿¨ ïê Ñ´´·» ïè

Ü»²·­» ïì Ò¿¦·® ïë Ö¿³»­ ïï

̱³ ïê Ö¿²» ïé Ø¿²²¿¸ ïì

ر´´§ ïï Ú»®¼· ïï Ù»³³¿ ïí

η½¸¿®¼ ïë Õ·³ ïì Ò¿¼·¿ ïê

Ö¿· ïí Ù®¿²¬ ïî Ø«¹¸ ïì

Ê·½¬±® ïí Ö«´·»¬¬» ïí Þ»² ïí

묻® ïì Ò·¹»´ ïì ß´· ïë

ø¿÷ Ò«³¾»® ¬¸» ½´«¾ ³»³¾»®­ º®±³ ï Ü»»ô î Ó¿¨ô òòòò îì ß´·ò

ø¾÷ Ë­» ¬¸» ´·­¬ ±º ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ·² ¯«»­¬·±² ï ¬± ¹»²»®¿¬» ¿ ®¿²¼±³­¿³°´» ±º ë ½´«¾ ³»³¾»®­ ¿²¼ ½¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ¿¹» º±® §±«®­¿³°´»ò

ø½÷ Ë­» ¬¸» ´·­¬ ±º ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ·² ¯«»­¬·±² ï ·² ®»ª»®­» ±®¼»® ø·ò»ò ë ëê çô »¬½ò÷ ¬± ¹»²»®¿¬» ¿ ­»½±²¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ë ½´«¾ ³»³¾»®­òÝ¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ¿¹» º±® ¬¸·­ ²»© ­¿³°´»ò

ø¼÷ ݱ³°¿®» ¬¸» ¬©± ­¿³°´»­ ¿²¼ ¬¸» ¬©± ³»¿²­ò

ïèòï

Page 214: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïí

èò ø¿÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¿¼ª¿²¬¿¹»­ ±º «­·²¹ ¿ ½»²­«­ ®¿¬¸»® ¬¸¿² ¿ ­¿³°´»ò

ø¾÷ Ü»­½®·¾» ¬¸» ¼·­¿¼ª¿²¬¿¹»­ ±º «­·²¹ ¿ ½»²­«­ ®¿¬¸»® ¬¸¿² ¿ ­¿³°´»ò

çò Ó® Ó¿§ ©¿²¬­ ¬± µ²±© ¬¸» ³»¿² ×Ï ±º ¬¸» °«°·´­ ·² ¸·­ ½´¿­­ò

ɱ«´¼ §±« ®»½±³³»²¼ ¬¸¿¬ ¸» «­»­ ¿ ­¿³°´» ±® ¿ ½»²­«­á

ͬ¿¬» ©¸·½¸ §±« ©±«´¼ «­»ô ¿²¼ »¨°´¿·² ©¸§ò

ïðò ß ´¿®¹» ­½¸±±´ ¸¿­ ïèðð °«°·´­ò ̸» ¸»¿¼¬»¿½¸»® ©¿²¬­ ¬± º·²¼ ±«¬ ¸±© º¿®¬¸» °«°·´­ ¸¿ª» ¬± ¬®¿ª»´ ¬± ­½¸±±´ò ß¼ª·­» ¸·³ ©¸»¬¸»® ¬± ½¿®®§ ±«¬ ¿ ½»²­«­±® ¬± «­» ¿ ­¿³°´»ò Û¨°´¿·² ©¸§ §±« ¹·ª» ¬¸·­ ¿¼ª·½»ò

ïèòî Í¿³°´·²¹ Ì»½¸²·¯«»­×² ¬¸·­ ­»½¬·±² ©» ´±±µ ¿¬ ¬©± º«®¬¸»® ¬»½¸²·¯«»­ º±® ­¿³°´·²¹æ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´·²¹¿²¼ ¯«±¬¿ ­¿³°´·²¹ò

ß ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ·­ ¬¿µ»² ¾§ ­¿³°´·²¹ ¿¬ ®»¹«´¿® ·²¬»®ª¿´­ò

ß ¯«±¬¿ ­¿³°´» ·­ ©¸»² ¬¸» ¼·ºº»®»²¬ ½¿¬»¹±®·»­ ¬¸¿¬ ³¿µ» «° ¬¸» °±°«´¿¬·±² ¿®»®»°®»­»²¬»¼ ¿½½±®¼·²¹ ¬± ¬¸»·® °®±°±®¬·±² ©·¬¸·² ¬¸» ±ª»®¿´´ °±°«´¿¬·±²ò

ß ¬§°·½¿´ «­» ±º ¯«±¬¿ ­¿³°´·²¹ ·­ ·² ±°·²·±² °±´´ ­«®ª»§­ ©¸»®» ¬¸»®» ·­ ¿ ²»»¼ ¬±®»º´»½¬ ¬¸» ©¿§ ¬¸» °±°«´¿¬·±² ¾®»¿µ­ ¼±©² ¾»¬©»»² ¬¸» ¬©± ¹»²¼»®­ô ·²¬± ¼·ºº»®»²¬¿¹» ¹®±«°·²¹­ô ·²¬± ½«´¬«®¿´ ¿²¼ »¬¸²·½ ¾¿½µ¹®±«²¼­ô »¬½ò ̸» ½¸±·½» ±º °»±°´»­»´»½¬»¼ º®±³ »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ ·­ ´»º¬ ¬± ¬¸» °»®­±² ½±´´»½¬·²¹ ¬¸» ·²º±®³¿¬·±²ò

É» ©·´´ «­» ¬¸» ½´¿­­ º®±³ Û¨¿³°´» ï ¿¬ ¬¸» ¾»¹·²²·²¹ ±º ¬¸·­ «²·¬ ¬± ¼»³±²­¬®¿¬»¸±© ¬± «­» ¬¸»­» ­¿³°´·²¹ ¬»½¸²·¯«»­ò ̸» ²¿³»­ ¿®» ´·­¬»¼ ¿¹¿·² ¾»´±©æ

ï ß´¿² ïð ο½¸»´ ïç Í¿½¸¿ îè Í¿´·º

î Ô«½§ ïï Þ»² îð Ø¿´·³ îç ß²²·»

í ̱³ ïî Û³³¿ îï Ü¿²·»´´¿ íð Õ¿®»²

ì ߦ¿® ïí Ø¿²²¿¸ îî Ö±­»°¸

ë Ö¿§²» ïì Ù®¿½» îí ß²²¿

ê Ò¿¼·³¿ ïë Ó·´»­ îì ͱ°¸·»

é Ó¿¬¬¸»© ïê Ö¿³»­ îë Õ¿¬¸®§²

è Í«­¸· ïé Ö±­¸«¿ îê Ø»´»²

ç Ó±¸¿³³»¼ ïè Ô·­¿ îé Ú¿¬±«³¿¬¿

Page 215: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïì

ïèòî

Û¨¿³°´» ï

Í»´»½¬ ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ±º ­·¦»

ø¿÷ ê ø¾÷ ë

º®±³ ¬¸» ½´¿­­ò

ͱ´«¬·±²

ø¿÷ ß­ ¬¸»®» ¿®» íð °«°·´­ ·² ¬¸» ½´¿­­ô ¿²¼ ©» ©¿²¬ ¿ ­¿³°´» ±º êô ©» ½¿´½«´¿¬»íð ê ëh ã ò É» ½¿² ¬¸»² ±¾¬¿·² ±«® ­¿³°´» ±º ­·¦» ê ¾§ ­»´»½¬·²¹ »ª»®§ 문³»³¾»® ±º ¬¸» ½´¿­­ò

̸·­ ©±«´¼ ¹·ª»æ

ë Ö¿§²»ïð ο½¸»´ïë Ó·´»­îð Ø¿´·³îë Õ¿¬¸®§²íð Õ¿®»²

ø¾÷ Ú±® ¿ ­¿³°´» ±º ­·¦» ë ©» ½±«´¼ ­»´»½¬ »ª»®§ ꬸ ³»³¾»® ±º ¬¸» ½´¿­­æ

ê Ò¿¼·³¿ïî Û³³¿ïè Ô·­¿îì ͱ°¸·»íð Õ¿®»²

DZ« ½¿² ­»´»½¬ ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ±º ­·¦» ê ¾§ ½¸±±­·²¹ ¿²§ ±º ¬¸» º·®­¬ ë ·¬»³­ ¿­¿ ­¬¿®¬·²¹ °±·²¬ ¿²¼ ¬¸»² ¬¿µ·²¹ »ª»®§ 문 ·¬»³ ¬¸»®»¿º¬»®ò Ú±® »¨¿³°´»ô ·² °¿®¬ ø¿÷©» ½±«´¼ ¸¿ª» ­¬¿®¬»¼ ©·¬¸ °«°·´ ²«³¾»® î øÔ«½§÷ ¿²¼ ¬¸»² ­»´»½¬»¼ °«°·´­ ²«³¾»®éô ïîô ïéô îî ¿²¼ îéò ̸·­ ©±«´¼ ¸¿ª» ¹»²»®¿¬»¼ ¬¸» ­¿³°´»

Ô«½§ô Ó¿¬¬¸»©ô Û³³¿ô Ö±­¸«¿ô Ö±­»°¸ô Ú¿¬±«³¿¬¿ò

Í·³·´¿®´§ô ­¬¿®¬·²¹ ©·¬¸ °«°·´ ²«³¾»® ì øߦ¿®÷ ·² °¿®¬ ø¾÷ ©±«´¼ ¸¿ª» ¹»²»®¿¬»¼ ¬¸»­¿³°´»

ߦ¿®ô ο½¸»´ô Ö¿³»­ô Ö±­»°¸ô Í¿´·ºò

Û¨¿³°´» î

Ý®»¿¬» ¿ ¯«±¬¿ ­¿³°´» ±º ­·¦» ï𠺮±³ ¬¸» ½´¿­­ò

ͱ´«¬·±²

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ½´¿­­ ½±²¬¿·²­ ïî ¾±§­ ¿²¼ ïè ¹·®´­ò

ß­ ¬¸» ®¿¬·± ±º ¾±§­ ¬± ¹·®´­ ·­ î ¬± í ·² ¬¸» ½´¿­­ô ¬¸»§ ³«­¬ ¾» ·² ¬¸» ­¿³» ®¿¬·± ·²¬¸» ­¿³°´»òͱ º±® ¿ ­¿³°´» ±º ïð ©» ²»»¼ ì ¾±§­ ¿²¼ ê ¹·®´­ò ̸»­» ¼± ²±¬ ²»»¼ ¬± ¾» ½¸±­»²

Page 216: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïë

¿¬ ®¿²¼±³ô ¿²¼ ­± ½±«´¼ ¾»æ

ß´¿² Ô«½§Ì±³ Ö¿§²»ß¦¿® Ò¿¼·³¿Ó¿¬¬¸»© Í«­¸·

ο½¸»´Û³³¿

׺ ¬¸» ¬»¿½¸»® ·­ ­»´»½¬·²¹ ¬¸» °«°·´­ ¬¸»² ·¬ ·­ °±­­·¾´» ¬¸¿¬ ¬¸»§ ³¿§ ½¸±±­» ¬¸»·®º¿ª±«®·¬» ì ¾±§­ ¿²¼ ê ¹·®´­ô ©¸·½¸ ©±«´¼ ·²¬®±¼«½» ­±³» ¾·¿­ ¬± ¬¸» ­¿³°´»ò ׬ ·­¾»­¬ ¬± ¿ª±·¼ ¬¸·­ °±­­·¾·´·¬§ ¾§ ­»´»½¬·²¹ ì ¾±§­ ®¿²¼±³´§ º®±³ ¬¸» ¹®±«° ±º ïî¾±§­ô ´·µ»©·­» º±® ¬¸» ¹·®´­ò ̸·­ °®±¼«½»­ ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ò É» ©·´´´±±µ ¿¬ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´»­ ·² ³±®» ¼»¬¿·´ ·² ­»½¬·±² ïèòí

Û¨»®½·­»­ïò Í»´»½¬ ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ±º ­·¦» ï𠺮±³ ¬¸» ½´¿­­ «­»¼ ·² Û¨¿³°´» ïò

îò ̸»®» ¿®» ìð𠬮»»­ ·² ¿ °´¿²¬¿¬·±²ò ß´´ ¬¸» ¬®»»­ ¸¿ª» ¾»»² °´¿²¬»¼ ·² ®±©­òÜ»­½®·¾» ¸±© ¬± ½®»¿¬» ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ±º îë ¬®»»­ò

íò ̸» ¸±«­»­ ·² ¿ ­¬®»»¬ ¿®» ²«³¾»®»¼ º®±³ ï ¬± íìðòÜ»­½®·¾» ¸±© ¬± ½®»¿¬» ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ±º ­·¦» îðò

ìò ß ¬¸»¿¬®» ¹®±«° ¸¿­ ìð ³»³¾»®­ ±º ©¸±³ ïë ¿®» ¾±§­ò ß ¯«±¬¿ ±º ­·¦» è ·­¬± ¾» ·²¬»®ª·»©»¼ò ر© ³¿²§ ¹·®´­ ¿²¼ ¸±© ³¿²§ ¾±§­ ­¸±«´¼ ¾» ·²½´«¼»¼·² ¬¸» ­¿³°´»á

ëò ×­ ¿ ¯«±¬¿ ­¿³°´» ¿´­± ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»á

êò Û¨°´¿·² ©¸§ ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ·­ ²±¬ ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ò

éò ß ½±³°¿²§ »³°´±§­ ¬¸» º±´´±©·²¹ ²«³¾»®­ ±º ­¬¿ºº ·² í ½¿¬»¹±®·»­æ

Ó¿²¿¹»³»²¬ ïð

Ì»½¸²·½¿´ îð

ß¼³·²·­¬®¿¬·ª» îð

ر© ³¿²§ º®±³ »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ ­¸±«´¼ ¾» ·²½´«¼»¼ ·² ¿ ¯«±¬¿ ­¿³°´» ±º ­·¦»æ

ø¿÷ ïð ø¾÷ ë ø½÷ îë á

Page 217: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïê

èò λº»® ¬± ¬¸» ³»³¾»®­ ±º ¬¸» ½±³°«¬»® ½´«¾ ·² ¯«»­¬·±² é ±º Û¨»®½·­» ïèòïòÝ®»¿¬» ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´»­ ±º ­·¦»æ

ø¿÷ è ø¾÷ ê ø½÷ ì

º®±³ ¬¸» ´·­¬ ±º ³»³¾»®­ò

çò ײ ¿ ­¬®»»¬ ¬¸» ¸±³»­ ²«³¾»®»¼ ï ¬± éð ¿®» ¸±«­»­ ¿²¼ ¬¸±­» ²«³¾»®»¼ éï ¬±çð ¿®» ¾«²¹¿´±©­ò

ø¿÷ ɸ·½¸ ¸±³» ²«³¾»®­ ©±«´¼ §±« ·²½´«¼» ·² ¿ ­§­¬»³¿¬·½ ­¿³°´» ±º­·¦» ïè á

ø¾÷ ر© ³¿²§ ¾«²¹¿´±©­ ©±«´¼ §±« ·²½´«¼» ·² ¿ ¯«±¬¿ ­¿³°´» ±º­·¦» ïè á

ø½÷ ݱ³³»²¬ ±² ¬¸» ²«³¾»® ±º ¾«²¹¿´±©­ ·²½´«¼»¼ ·² »¿½¸ ­¿³°´»ò

ïðò Ú±® ¬¸» ¸±³»­ ¼»­½®·¾»¼ ·² ¯«»­¬·±² çô «­» ¬¸» ®¿²¼±³ ²«³¾»® ¹»²»®¿¬±® ±²¿ ½¿´½«´¿¬±® ±® ½±³°«¬»® ¬± ½®»¿¬» ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ïèò

ر© ¼±»­ ¬¸» ²«³¾»® ±º ¾«²¹¿´±©­ ·²½´«¼»¼ ·² ¬¸·­ ­¿³°´» ½±³°¿®» ©·¬¸¬¸» ­¿³°´»­ «­»¼ ·² ¯«»­¬·±² ç á

ïèòí ͬ®¿¬·º·»¼ ο²¼±³ Í¿³°´»­ß ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ·­ ­·³·´¿® ¬± ¿ ¯«±¬¿ ­¿³°´»ò ̸» µ»§ ¼·ºº»®»²½» ·­ ¬¸¿¬¬¸» ®»°®»­»²¬¿¬·ª»­ º®±³ »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ ¿®» ½¸±­»² ¿¬ ®¿²¼±³ò ײ ¬¸» °®»ª·±«­­»½¬·±² ©» ´±±µ»¼ ¿¬ ¿ ¯«±¬¿ ­¿³°´» ¬¸¿¬ ©¿­ ³¿¼» «° ±º ì ¾±§­ ¿²¼ ê ¹·®´­ò

ײ ¬¸» ¯«±¬¿ ­¿³°´» ¬¸» º·®­¬ ì ¾±§­ º®±³ ¬¸» ´·­¬ ©»®» ½¸±­»² ¿²¼ ¬¸»² ¬¸» º·®­¬ê ¹·®´­ò

ײ ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ¬¸» ì ¾±§­ ­¸±«´¼ ¾» ­»´»½¬»¼ ®¿²¼±³´§ º®±³ ¬¸» ïî¾±§­ ·² ¬¸» ½´¿­­ò ײ ¬¸» ­¿³» ©¿§ô ¬¸» ê ¹·®´­ ­¸±«´¼ ¾» ­»´»½¬»¼ ®¿²¼±³´§ º®±³¬¸» ïè ¹·®´­ ·² ¬¸» ½´¿­­ò

Û¨¿³°´» ï

Ì¿µ» ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ë º®±³ ¬¸» ½´¿­­ ½±²­·¼»®»¼ ·² ¬¸» »¿®´·»®­»½¬·±²­ò

ͱ´«¬·±²

̸» ½´¿­­ ½±²­·­¬­ ±º ïè ¹·®´­ ¿²¼ ïî ¾±§­ô íð °«°·´­ ¿´¬±¹»¬¸»®ò É» ©¿²¬ ¿ ­¿³°´»

±º ­·¦» ë ­± ©» ²»»¼ ¬± ·²½´«¼» ë

íð

ï

êã ±º ¬¸» ¹·®´­ô ¿²¼

ï

ê ±º ¬¸» ¾±§­ò ̸·­

³»¿²­ ¬¸¿¬ ©» ²»»¼ ¬± ½¸±±­» í ¹·®´­ ¿²¼ î ¾±§­ò

ïèòî

Page 218: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïé

É» ½¸±±­» ¿ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º í ¹·®´­ò ̸» ¹·®´­ ·² ¬¸» ½´¿­­ ¿®»æ

ï Ô«½§ é Ø¿²²¿¸ ïí ͱ°¸·»

î Ö¿§²» è Ù®¿½» ïì Õ¿¬¸®§²

í Ò¿¼·³¿ ç Ô·­¿ ïë Ø»´»²

ì Í«­¸· ïð Í¿½¸¿ ïê Ú¿¬±«³¿¬¿

ë ο½¸»´ ïï Ü¿²·»´´¿ ïé ß²²·»

ê Û³³¿ ïî ß²²¿ ïè Õ¿®»²

Ë­·²¹ ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ¹·ª»­æ

ç î é í ð í í è ë ç ð ð í è ê è ê í ð ç í ê ç ç é ç ï ë

í ç ïë

ͱ ¬¸» ­¿³°´» ©·´´ ½±²¬¿·²æ

í Ò¿¼·³¿

ç Ô·­¿

ïë Ø»´»²

̸» ¾±§­ ¿®»æ

ï ß´¿² ë Ó±¸¿³³»¼ ç Ö±­¸«¿

î ̱³ ê Þ»² ïð Ø¿´·³

í ߦ¿® é Ó·´»­ ïï Ö±­»°¸

ì Ó¿¬¬¸»© è Ö¿³»­ ïî Í¿´·º

Ë­·²¹ ®¿²¼±³ ¼·¹·¬­ ¹·ª»­æ

î ì î ï ë ê é ì ç í é ì î ç è ð ð é í ê è ç ë ï é ë î é

é

î ï î ì ì ð ð é í ì ç î ë ï ð î

é î

Ò±¬» ¬¸¿¬ ¬¸» ­»½±²¼ é ·­ ·¹²±®»¼ò

ͱ ¬¸» ­¿³°´» ©·´´ ¿´­± ½±²¬¿·²æ

é Ó·´»­

î ̱³

̸» ½±³°´»¬» ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ©·´´ ¬¸»®»º±®» ½±²­·­¬ ±º

Ò¿¼·³¿ô Ô·­¿ô Ø»´»²ô Ó·´»­ ¿²¼ ̱³ò

Page 219: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïè

ïèòí

Û¨¿³°´» î

ß ½±³°¿²§ ¸¿­ ¿ ¬±¬¿´ ±º íêð »³°´±§»»­ ·² º±«® ¼·ºº»®»²¬ ½¿¬»¹±®·»­æ

Ó¿²¿¹»®­ íê

Ü®·ª»®­ ëì

ß¼³·²·­¬®¿¬·ª» ͬ¿ºº çð

Ю±¼«½¬·±² ͬ¿ºº ïèð

ر© ³¿²§ º®±³ »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ ­¸±«´¼ ¾» ·²½´«¼»¼ ·² ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º­·¦» îð á

ͱ´«¬·±²

̱ ½®»¿¬» ¿ ­¿³°´» ±º ­·¦» îð ©» ²»»¼ îð

íêð

ï

ïè ±® ±º ¬¸» ©±®µº±®½»ò ͱ ©» ¬¿µ»

¬¸·­ º®¿½¬·±² ±º ¬¸» ²«³¾»® ±º »³°´±§»»­ ·² »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ò

Ó¿²¿¹»®­ï

ïèíêl ã î

Ü®·ª»®­ï

ïèëìl ã í

ß¼³·²·­¬®¿¬·ª» ͬ¿ººï

ïèçðl ã ë

Ю±¼«½¬·±² ͬ¿ººï

ïèïèðl ã ïð

ÌÑÌßÔ ã îð

Û¨»®½·­»­ïò Ý®»¿¬» ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ï𠺱® ¬¸» ½´¿­­ ½±²­·¼»®»¼ ·² ¬¸»

Û¨¿³°´»­ò

îò ß ½¿¬»®·²¹ ½±³°¿²§ »³°´±§­ ¬¸» ­¬¿ºº ´·­¬»¼ ·² ¬¸» º±´´±©·²¹ ¬¿¾´»æ

Ü»´·ª»®§ Ü®·ª»®­ ïî

ݱ±µ­ íê

Ý´»¿²·²¹ ͬ¿ºº ì

Í¿´»­ ͬ¿ºº è

ر© ³¿²§ ±º »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ ±º ­¬¿ºº ­¸±«´¼ ¾» ·²½´«¼»¼ ·² ¿ ­¬®¿¬·º·»¼®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ïë á

Page 220: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îïç

íò ß ¹¿®¿¹» ­»®ª·½»­ ÊÉ ¿²¼ ß«¼· ½¿®­ò ̸»§ ©¿²¬ ¬± ½¿®®§ ±«¬ ¿ ½«­¬±³»®­¿¬·­º¿½¬·±² ­«®ª»§ò

ø¿÷ Û¨°´¿·² ©¸§ ¬¸»§ ³·¹¸¬ ©¿²¬ ¬± «­» ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´»ò

ø¾÷ ̸»§ ¸¿ª» îððð ®»¹«´¿® ½«­¬±³»®­ ±º ©¸±³ êë𠸿ª» ß«¼· ½¿®­ò

Ü»­½®·¾» ¸±© ¬± ±¾¬¿·² ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ì𠱺 ¬¸»½«­¬±³»®­ ¬± ·²¬»®ª·»©ò

ìò ß º¿®³»® ±©²­ ïîð Ö»®­»§ ½±©­ ¿²¼ ïèð Ú®·»­·¿²­ò ر© ³¿²§ ±º »¿½¸¾®»»¼ ±º ½±© ­¸±«´¼ ¸» ·²½´«¼» ·² ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ë𠺱® ¿­«®ª»§ ±º ³·´µ ¯«¿´·¬§á

ëò ß ­«®ª»§ ©¿­ ½¿®®·»¼ ±«¬ ¬± ¼»¬»®³·²» ¬¸» ­·¦» °»±°´» ©±«´¼ °®»º»® º±® ¿²»© ½±·²ò ײ ¬¸» ­«®ª»§ °»±°´» ©»®» ¿­µ»¼ ¬± ­»´»½¬ ¬¸» ­·¦» ½±·² ¬¸»§°®»º»®®»¼ ¿²¼ ·²¼·½¿¬» ¬¸»·® ­»¨ ¾§ «­·²¹ ¬¸» ´»¬¬»® Ó ±® Úò

Ú±®¬§ °»±°´» ¬±±µ °¿®¬ ¿²¼ ¬¸» ®»­«´¬­ ¿®» ­¸±©² ¾»´±©ò

ïÓîÚ ìÚ

ííÓ

çÚèÓ

ïðÚ

ïïÓ

éÓêÚ

íÓ

ïîÚ

îíÓ

ïìÓ ïëÓïêÓ

ïéÚ

îîÚ

ïíÚ

îïÓîðÓ

ïèÓïçÚ

îëÓîêÓ

îìÚ

îéÓ

îèÚîçÓ

íîÓ

ëÓ

íìÓ íëÚíêÓ

íçÚìðÓ

íðÓ

íèÚíéÓ

íïÚ

Page 221: μαθηματικά γυμνασίου Y9b από το πανεπιστήμιο του Plymouth

ÓÛÐ Çç Ю¿½¬·½» Þ±±µ Þ

îîð

ø¿÷ ر© ³¿²§ ³¿´»­ ¿²¼ ¸±© ³¿²§ º»³¿´»­ ©±«´¼ §±« ·²½´«¼» ·² ¿­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ïð á

ø¾÷ Í»´»½¬ ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ïð ¿²¼ «­» ·¬ ¬± »­¬·³¿¬» ¬¸»³»¿² ¼·¿³»¬»® ±º ¬¸» ½±·²­ò

êò ̸»®» ¿®» ïîðð °«°·´­ ·² ¿ ­½¸±±´ò ̸»·® ³»¬¸±¼­ ±º ¬®¿²­°±®¬ ¬± ­½¸±±´ ¿®»¹·ª»² ¾»´±©ò

Þ«­ éîð

É¿´µ íïð

ݧ½´» çð

Ý¿® èð

ر© ³¿²§ °«°·´­ º®±³ »¿½¸ ½¿¬»¹±®§ ­¸±«´¼ ¾» ·²½´«¼»¼ ·² ¿ ­¬®¿¬·º·»¼®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ëðá

éò ̸»®» ¿®» ïëð𠸱³»­ ·² ±²» °¿®¬ ±º ¿ ½·¬§ò ̸»­» ¸±³»­ ½¿² ¾» ¼·ª·¼»¼·²¬± í ½¿¬»¹±®·»­æ

Ю·ª¿¬»´§ ±©²»¼ ¸±³»­ éîð

ر³»­ ®»²¬»¼ º®±³ ½±«²½·´ ëçî

ر³»­ ®»²¬»¼ º®±³ °®·ª¿¬» ´¿²¼´±®¼­ ïèè

̸» ½±«²½·´ ·­ ¬± ½¿®®§ ±«¬ ¿ ­«®ª»§ ·²¬± ¬¸» ¯«¿´·¬§ ±º ¸±³»­ò

ø¿÷ ɸ¿¬ ©±«´¼ ¾» ¬¸» ¿¼ª¿²¬¿¹» ±º «­·²¹ ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´»á

ø¾÷ ر© ³¿²§ ¸±³»­ ±º »¿½¸ ¬§°» ­¸±«´¼ ¾» ·²½´«¼»¼ ·² ¿ ­¬®¿¬·º·»¼®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» îðð á

èò ø¿÷ Ú·²¼ ±«¬ ¸±© »¿½¸ ³»³¾»® ±º §±«® ½´¿­­ ¬®¿ª»´­ ¬± ­½¸±±´ò

ø¾÷ Ý®»¿¬» ¿ ­¬®¿¬·º·»¼ ®¿²¼±³ ­¿³°´» ±º ­·¦» ïðò

ø½÷ Ú·²¼ ¬¸» ¬·³» ¬¸¿¬ ·¬ ¬¿µ»­ »¿½¸ ±º ¬¸» °»±°´» ·² ¬¸» ­¿³°´» ¬± ¬®¿ª»´ ¬±­½¸±±´ò

ø¼÷ Ý¿´½«´¿¬» ¬¸» ³»¿² ¬·³» º±® §±«® ­¿³°´»ò

ø»÷ ݱ³°¿®» §±«® ®»­«´¬­ ©·¬¸ ±¬¸»® °»±°´»ù­ ­¿³°´»­ò

ïèòí