Θεματα Στερεας Ελλαδας 2005-2009 Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Θέµατα γραπτής Ανακεφαλαιωτικής Εξέτασης περιόδου

Μαίου-Ιουνίου 2006 στο µάθηµα των Μαθηµατικών

Τάξη Γ΄

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1. Να συµπληρώσετε τις ταυτότητες :

(α+β)2= α

2-β

2= και να αποδείξετε ότι:

32233 33)( βαββααβα +++=+

2. Αποδείξτε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ηµ2ω+συν

2ω+1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις:

9x+18=

(x-1)2-9=

(x+2)(x-1)2-(9x+18)=

2. Να λυθεί η εξίσωση : (x-2)2=x+10

3. Να λυθεί το σύστηµα :

143

1=−

+ yx

245=+

yx

(Να απαντήσετε σε ένα θέµα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις)

ΘΕΩΡΙΑ

Θέµα 1

Α)Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β)3=α

3+3α

2β+3αβ

2+β

3

Β) Να συµπληρωθούν οι ταυτότητες (α-β)

2=

α2-β

2=

(α-β)3=

Θέµα 2

Α) Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα (ορισµός)

Β)Πότε δύο τρίγωνα είναι όµοια (ορισµός)

Γ) ∆ύο τρίγωνα ίσα είναι όµοια ; ∆ικαιολογείστε την απάντησή σας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1

Να λυθεί η εξίσωση (χ-2)/2χ=2/(2-χ)+4/(χ2-2χ)

Άσκηση 2

Αν ηµχ≠0 και συνχ≠-1 να αποδείξετε την ισότητα

1+συνχ/ηµχ+ηµχ/(1+συνχ)=2/ηµχ

Άσκηση 3

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ η διάµεσος του. Φέρνω την Β∆ κάθετη στην ΑΜ και τη ΓΕ κάθετη στην ΑΜ.

Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα Β∆Μ και ΓΕΜ είναι ίσα

Παρατήρηση: οι ερωτήσεις Α και Β του δευτέρου θέµατος της θεωρίας δεν είναι σαφώς διατυπωµένες. Η

προσθήκη της λέξης ορισµός ίσως θα έπρεπε να αποφευχθεί.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

: α) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των

συµπληρωµατικών γωνιών .

β) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των

παραπληρωµατικών γωνιών .

γ) Αν για γωνία ω ισχύει : oo

270180 ≤≤ω ποιο είναι το πρόσηµο των

ηµω , συνω , εφω ;

ΘΕΜΑ 2ο

: α) Τι λέγεται πολυώνυµο ;

β) Πώς πολλαπλασιάζουµε δύο πολυώνυµα ;

γ) Να αποδειχτεί η ταυτότητα : 32233 33)( βαββαβα +++=+ a

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

: ∆ίνονται τα πολυώνυµα : Α = (3x - 1) ( )22−x - 9(3x – 1) και Β = 422 16)15( xx −−

α) Να γίνουν γινόµενο τα πολυώνυµα Α , Β .

β) Να απλοποιηθεί η παράσταση : B

A

γ) Να λυθεί η εξίσωση : 1

1

−

=

xB

A

ΘΕΜΑ 2ο

: Αν το σύστηµα :

β+α=−

β+α=+

2y2x

3y3x2 έχει λύση το ζεύγος ( x , y ) = ( 2 , 3 )

να βρεθούν τα α , β .

ΘΕΜΑ 3ο

:

Στο διπλανό σχήµα είναι ∆Ε // ΒΓ

και ΑΓ = 6 , ΓΕ = x + 2 , ΑΒ = x – 5 ,

∆Β = 3 και Ε∆ = 12

α) Να υπολογιστούν τα τµήµατα ΕΓ και ΒΑ

β) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕ∆

είναι όµοια και να γραφούν οι λόγοι που

προκύπτουν από την οµοιότητα αυτή .

γ) Να υπολογιστεί το µήκος του τµήµατος ΒΓ .

Παρατήρηση: στο 3ο

θέµα των ασκήσεων και στην ερώτηση β) προτιµότερη διατύπωση

να γραφεί η αναλογία που προκύπτει από την οµοιότητα

Γραπτές ανακεφαλαιωτικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου

Τάξη Γ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 10. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ηµ

2ω+ συν

2ω =1

ΘΕΜΑ 20. Να διατυπώσετε τα 3 βασικά κριτήρια ισότητας τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να λυθεί η εξίσωση : xxxx

x

2

6

2

32

2+

=

+

−+

2) Να λυθεί το σύστηµα : 2

1

2

2

3=

−

−

− ψχψx

3

1

4

12

3

2=

−

−

− ψχ

3) Να γίνουν οι πράξεις :

(3χ+ψ)(3χ-ψ)-2(χ-2ψ)2 +(4χ-ψ)

2

Να απαντήσετε σε ένα µόνο θέµα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ.

ΤΑΞΗ Γ΄

Θεωρία:

1. α) Να αποδείξετε ότι: (α+β) (α-β) = α2-β

2

β) Να συµπληρώσετε τα κενά στις ισότητες:

i) (α+β)3 = α

3+. . . + . . . + β

3 ii) α

2+β

2-2αβ=(. . . - . . .)

2

2. Να χαρακτηρίσετε σωστή ή λάθος (Σ - Λ) κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις:

i) ∆ύο τρίγωνα µε ίσες γωνίες είναι ίσα.

ii) Αν δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες είναι όµοια:

iii) ∆ύο όµοια τρίγωνα είναι και ίσα:

Ασκήσεις:

1. i) Να βρείτε µε δοκιµές δύο αριθµούς κ και λ ώστε: κ+λ=-8 και κλ=15.

ii) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο: χ2-8χ+15=

2. Από ένα σηµείο Μ φέρνουµε τις εφαπτόµενες ΜΑ και ΜΒ κύκλου (Ο,R). Να αποδείξετε

ότι ΜΑ=ΜΒ.

3. Να λυθεί το σύστηµα και να γίνει επαλήθευση:

652

3=+

ψχ

26

3

4

2=

−−

+ ψχ

(Από τα δύο θέµατα θεωρίας γράφετε το ένα και από τις τρεις ασκήσεις τις δύο)

ΘΕΜΑΤΑ

Γραπτών ανακεφαλαιωτικών απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2006 στα Μαθηµατικά

ΘΕΩΡΙΑ

1) α. Να αποδειχτεί η ταυτότητα: (α+β)3

= α3

+ 3 α2

β + 3 α β2

+ β3

β. Να συµπληρωθούν οι ισότητες (α-β)2

= ………………….………, (α+β)(α-β) = …………….,

(α-β)3

=…………………………

2) α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας των τριγώνων.

β. Όταν δυο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες, τι συµπεραίνουµε για τις αντίστοιχες πλευρές

τους και όταν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, τι συµπεραίνουµε για τις αντίστοιχες γωνίες

τους;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε1 , ε2 και ε3 είναι παράλληλες και τέµνονται από τις ευθείες ε και ε’.

Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ δηλαδή την x και την πλευρά Β’Γ’

2) Αν 180ο

<ω < 270ο

και συνω= -

να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της

γωνίας ω.

3) Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο 28m και εµβαδόν 40 m2

. Να υπολογίσετε τις

διαστάσεις του.

ε2

ε3

ε’

ε

2 x-5

x

Γ’

Β’

Β

Γ

Α’

Α

3

ε1

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

Να συµπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες:

α) (α+β)2= β) (α+β)·(α-β)= γ) (α-β)

3 =

ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνεται η συνάρτηση ψ=αχ2 (α≠0)

Για ποιες τιµές του α, η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής:

α) Έχει άξονα συµµετρίας και ποιόν;

β) Έχει µέγιστο ή ελάχιστο και ποιό;

γ) Πως λέγεται η καµπύλη αυτή και πότε βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα χ΄χ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Να δείξετε ότι :

(2ηµα +3συνα)2+(3ηµα-2συνα)

2=13

ΘΕΜΑ 2ο

Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο 20 m και εµβαδό 21 m2 .Να

βρεθούν οι διαστάσεις αυτού.

ΘΕΜΑ 3ο

Να αποδείξετε ότι τα ύψη του ισοσκελούς τριγώνου, που φέρουµε στις

ίσες του πλευρές, είναι ίσα.

ΤΑΞΗ Γ΄ Απολυτήριες εξετάσεις Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηµατικά. Α' ΘΕΩΡΙΑ 1.α) Να συµπληρωθούν οι ταυτότητες : (α-β)2 = (α+β) (α-β) = (α+β)3 = (α-β)3 = 2.Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις :

α) χ2+5χ+6 = 0 β) χ+2 - (χ-2)2= 3χ-2

2 2 2. Να λυθούν τα συστήµατα :

α) χ-ψ=5 β) 3χ+ψ + χ+ψ = -1 χ+ψ=3 4 5

-χ+2ψ - χ-ψ = 3

3 4 Α 3. Στο διπλανό σχήµα είναι:

∆Ε//ΒΓ , Α∆=ΑΓ , ∆Β=3cm και ΕΓ=2cm. Να βρείτε τα ΑΒ , ΑΓ ∆ Ε Β Γ

Ο∆ΗΓΙΕΣ: Να απαντήσετε στο ένα από τα δυο θέµατα θεωρίας και στα δύο από τα

τρία θέµατα ασκήσεων

ΘΕΜΑ 1Ο

i) Τι ονοµάζεται ταυτότητα;

ii) Αποδείξτε τήν ταυτότητες (α + β)2

=α2

+2αβ+ β2

iii) Συµπληρώστε τα κενά:

(α + β)3

=…………………..

(α - β)3

=…………………….

(α + β) (α - β)=……………. (Μονάδες 6,67)

ΘΕΜΑ 2Ο

Να αποδείξετε την τριγωνοµετρική ταυτότητα: ηµ2

ω + συν2

ω = 1

(Μονάδες 6,67)

ΘΕΜΑ 3Ο

Να λυθεί η κλασµατική εξίσωση: χ 1 1

+ =

χ+2 2-χ χ2

- 4 (Μονάδες 6,67)

ΘΕΜΑ 4Ο

Να λυθεί η τριγωνοµετρική ταυτότητα: ηµχ συνχ 1

- =

1-συνχ ηµχ ηµχ

i) Ξεκινήστε από το 1ο

µέλος της και κάνετε τα κλάσµατα οµώνυµα

ii) Στη συνέχεια µε την βοήθεια γνωστής τριγωνοµετρικής ταυτότητας

καταλήξτε στο 2ο

µέλος. (Μονάδες 6,67)

ΘΕΜΑ 5Ο

Από το µέσο Μ της βάσης ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουµε τα Μ∆ και

ΜΕ κάθετα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι:

i. Μ∆=ΜΕ

ii. Το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισοσκελές.

iii. Τα τρίγωνα ΒΜ∆ και ΜΕΓ είναι όµοια


Παρατήρηση:Στο 4ο

θέµα τα ερωτήµατα έχουν την µορφή υποδείξεων , που δεν

προβλέπεται

Καλή Επιτυχία

Ο ∆ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1o

Α. Να δώσετε τον ορισµό της ταυτότητας.

Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα: 3 3 2 2 3(α β) α 3α β 3αβ β+ = + + +

Γ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες: 2i) (α-β) = ii) (α-β)(α β) ...+ =

ΘΕΜΑ 2o

Α. Να δώσετε τους ορισµούς για το ηµω, συνω, εφω µε 0o

< ω < 360o

, για τις τιµές

της γωνίας ω όπου ορίζονται.

Β. Να αποδείξετε ότι: 2 2συν ω ηµ ω 1+ =

Γ. Να συµπληρώσετε τις ισότητες:

oi)συν(180 -ω)=...

oii)ηµ(90 -ω) ...=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1o

Αν 5

ηµω13

= και ο ο

90 ω 180< < , να υπολογίσετε το συνω και την εφω .

ΘΕΜΑ 2o

Να υπολογίσετε τους α, β αν γνωρίζετε ότι οι αριθµοί 1− και 2 είναι λύσεις της

εξίσωσης 22x αx β-1=0+ + .

ΘΕΜΑ 3o

α) Να κάνετε γινόµενο τις παραστάσεις 3 2A x 4x +4x= + , 2

Β x - 4= , 2Γ x - 2x=

β) Να λύσετε την εξίσωση 1 2 1

Α Β Γ+ =

Να απαντήσετε σε ένα (1) από τα θέµατα θεωρίας και σε δύο (2) ασκήσεις

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ

ΤΑΞΗ: Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΑΘΑΝ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7-6-2006-06

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1. α) Ποια µονώνυµα λέγονται όµοια;

β) Πως πολλαπλασιάζοµε δυο µονωνυµα;

γ) Πως πολλαπλασιάζοµε δυο πολυώνυµα;

ΘΕΜΑ 2. α) Τι ονοµάζοµε τριγωνική ιδιότητα

β) Αναφέρατε τις τρεις περιπτώσεις ισότητας τριγώνων

γ) Πότε δυο τρίγωνα είναι όµοια;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1. Να κάνετε τις πράξεις:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 3 2

3 3χ −ψ + χ −ψ χ +ψ + χ +ψ + χ −ψ χ +ψ

ΘΕΜΑ 2 Να λυθεί η εξίσωση:

7+χ2-(χ+8)

2=-24χ-(χ-8)

2

ΘΕΜΑ 3. Να υπολογίσετε δυο αριθµούς που έχουν άθροισµα 22 και η διαίρεση του

µεγαλυτέρου από αυτούς µε τον µικρότερο δίνει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 2.

ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΩΡΙΑ

Θέµα 10

α) Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; β) Πότε δύο τρίγωνα είναι όµοια;

Θέµα 20

Για το διπλανό τρίγωνο, να γράψετε: α) Το νόµο των ηµιτόνων β) Το νόµο των συνηµιτόνων για τις πλευρές α, β, γ αντίστοιχα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

α) Να βρεθεί το ανάπτυγµα ( χ2 + 3

ψ )3

= ;

β) Να γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις:

ι) χ2 – 49ψ4 = ;

ii) χ2 – 9χ – 36 = ;

Άσκηση 2η

Αν 900<ω<1800 και ηµω=5

4 , να βρεθεί το συνω= ; και η εφω= ;

Άσκηση 3η

Να λυθεί το σύστηµα: 124

1

3

12+=

−−

− χψx

3χ – 2ψ = 12

Γραπτές Ανακεφαλαιωτικές Απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηµατικά

Α) Θεωρία

Θέµα 1ο

: Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Θέµα 2ο

: α) Να συµπληρωθούν οι ισότητες

(α+β)3=………….. (α+β)(α-β)=……………..

β) Να αποδειχτεί η ταυτότητα (α+β)2=α

2+2αβ+β

2

Β) Ασκήσεις

Θέµα 1ο

: Να αποδειχτεί η ισότητα :

(α2+β

2)(χ

2+ψ

2)=(αψ-βχ)

2+(αχ+βψ)

2

Θέµα 2ο

: Να λυθεί το σύστηµα χ-ψ=1

χ2+2ψ=6

Θέµα 3ο: Αν ηµχ=0,5 και 900<χ<180

0 να βρεθούν τα συνχ και εφχ.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ

ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:…………………………………………………..

Α ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

• Να συµπληρώστε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι

γνωστές ταυτότητες

2

2

3

(α + β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(α -β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(α -β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=

=

=

• Να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα 22

)()( β−α=β−α⋅β+α

ΘΕΜΑ 2ο

Σε ορθοκανονκό σύστηµα αξόνων χΟψ θεωρούµε το σηµείο

Μ(χ,ψ) τέτοιο ώστε =

∧

xOM ω και θέτουµε ΟΜ=ρ

• Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι

ορισµοί των τριγωνοµετρικών αριθµών της γωνίας ω

ηµω =

συνω =

εφω =

• Να αποδείξετε τις τριγωνοµετρικές ταυτότητες

συνω

ηµω=εφω

122

=ωσυν+ωηµ

Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυµα

=−42x , =− xx 43 , =+ xx 22

Να λύσετε την εξίσωση

xx

x

xxx

x

4

22

2

1

4 322−

−=

++

−

ΑΣΚΗΣΗ 2

η

Να επιλύσετε τα παρακάτω συστήµατα : α)

1 2

03 4

4 3 8

x y

x y

− −− =

+ =

β) 3( 4) 2 7( )

( 1) 4 6( ) 1

x y x y

x y x y

+ − = −

− + = + −

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Εάν 180° < ω < 270° , και ηµω = -13

5

Υπολογίστε • το συνω • και την εφω

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε σε ένα (1) από τα δυο (2) θέµατα θεωρίας και σε δυο (2) από τις τρεις (3) ασκήσεις .

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΙΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

ΘΕΩΡΙΑ:

ΘΕΜΑ1:

1. Τι ονοµάζεται ταυτότητα;

2. Να συµπληρώσετε τις ισότητες, (α+β)2=……., (α+β)(α-β) =……..,

(α+β)3=………….

3. Για ποιους πραγµατικούς αριθµούς α και β ισχύει (α+β)2=α

2+ β

2.

ΘΕΜΑ 2:

1. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει ηµ2ω+συν

2ω=1.

2. Υπάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει 2ηµω-8=0; ∆ικαιολογήστε την απάντηση

σας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

ΘΕΜΑ 1:

Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β ώστε οι αριθµοί –1 και 4

να είναι ρίζες της εξίσωσης χ3+αχ

2+βχ+4=0.

ΘΕΜΑ2:

1. Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα Α=34

3

2

2

+−

−

xx

xx

και

Β=1

33

23

2

+++

+

xxx

x

.

2. Να λυθεί η εξίσωση Α+Β=1

2

2−x

ΘΕΜΑ 3:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε ευθεία ε παράλληλη προς την ΒΓ, που τέµνει την ΑΒ

και ΑΓ στα ∆ και Ε αντίστοιχα. Αν ∆Β=4cm ,ΑΕ=6 και το ΓΕ είναι µεγαλύτερο

του Α∆ κατά 2, να υπολογίσετε τα Α∆, ΕΓ,ΑΒ και ΑΓ.

Απαντήστε σε 1 θέµα θεωρίας και 2 Ασκήσεις.

Παρατήρηση:Επειδή στη Γ΄ Γυµνασίου οι µαθητές δεν είναι εξοικειωµένοι µε την

έννοια της εξίσωσης 3ου

βαθµού θα ήταν σκόπιµο η ερώτηση να αναφέρεται σε

εξίσωση 2ου

βαθµού

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1. Α. Να αποδείξετε ότι: (α+β)2=α

2+2αβ+β

2

Β. Να µεταφέρετε τα παρακάτω στο φύλο απαντήσεων και να συµπληρώσετε τα

κενά: i) (α-β)2=α

2…2αβ…β

2

ii) (α+β)3=…………….

iii) α2-β

2=……………….

iv) (α-β)3=α

3……+3αβ

2….

2. Α. Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Β. Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Θαλή. Να κάνετε σχήµα και να γράψετε τις

σχέσεις που το εκφράζουν

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται η εξίσωση: 4

2

2

3

2

1

222−

=

−

−

+ xxxxx

Α. Να βρείτε για ποιες τιµές του χ µηδενίζονται οι παρονοµαστές της παραπάνω

εξίσωσης.

Β. Να λυθεί η παραπάνω εξίσωση.

2. Α. Να λυθεί το σύστηµα : 2 x + y = 5

x + y = 3

Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(2,5) και

Β(1,3).

3. Να δείξετε ότι: εφα (ηµα + συνα)2=εφα+2 ηµα συνα εφα

(Να απαντήσετε σε ένα από τα δύο θέµατα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέµατα των

ασκήσεων)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑϊΟΥ-ΙOYNIOY


ΘΕΜΑΤΑ

Α. ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Τι ονοµάζουµε ταυτότητα;

Β) Να συµπληρώσετε τις ισότητες:

(α-β)2=…………… (α+β).(α-β)=………………..

(α+β)3=…………………….

Γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα:

(α-β)3=α

3-3α

2β+3αβ

2-β

3

2.α) Να ορίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µιας γωνίας ω µε την

βοήθεια των συντεταγµένων ενός σηµείου Μ(χ,ψ) σε ορθοκανονικό

σύστηµα αξόνων.

Β) Να αποδείξετε ότι: εφω=ηµω/συνω (συνω≠0)

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται η παράσταση: A=(2x-3)2-(3x-2)

2-(x-1)(x+1)

Α) Να κάνετε τις πράξεις

Β) Να βρείτε την αριθµητική τιµή της Α για Χ=-1

2. Να λυθεί η εξίσωση:

2χ-2/χ-2 + 3χ-1/χ+2=8/χ2-4

3.Να λυθεί το σύστηµα

χ-3/2- ψ+1/3=2

2χ+3(ψ-2)=-8

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ :ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

A.ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1

α)Τι ονοµάζεται ταυτότητα

β)Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)2=α

2+2αβ+β

2

ΘΕΜΑ 2

Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότηταs τριγώνων

Β.ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1

Να λυθεί το σύστηµα 3(3χ+7ψ)-12=2(χ+9ψ)

2

2ψ-χ-

8

35 ψχ −

=2

3

ΘΕΜΑ 2

Να λυθεί η εξίσωση 1

132

2

2

−

+−

x

xx

-2

1 x−

=22

2

+

−

x

xx

ΘΕΜΑ 3

Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσειs

α) α(α-7)-β(β-7)

β) β(β-2)-(α2-1)

γ) χ2-2005χ-2006

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Να διατυπωθεί το θεώρηµα του Θαλή.

β) Να γραφούν τα κριτήρια οµοιότητας δύο τριγώνων.

2. Να συµπληρωθούν οι ταυτότητες:

α) (α+β)2=

β) (α-β)2=

γ) (α+β)3=

δ) (α-β)3=

ε) α2-β

2=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί η εξίσωση:

(χ-1)2 +2(χ-1)-7χ+7=0

2. Στο παρακάτω σχήµα να βρεθεί το χ, αν ∆Ε//ΒΓ.

Α

χ 6

∆ Ε

χ+4 8

Β Γ

3. ∆ύο φίλοι συζητούν για την ηλικία τους.

Ο Α λέει: Το διπλάσιο της ηλικίας µου µαζί µε τη δική σου ηλικία µας δίνουν

50 χρόνια.

Ο Β λέει: Το τριπλάσιο της ηλικίας µου ισούται µε το διπλάσιο της ηλικίας σου

αυξηµένο κατά 5.

Να βρείτε τις ηλικίες τους.

(Παρατήρηση: από τη θεωρία επιλέγετε το ένα θέµα και από τις ασκήσεις τις

δύο).

Γραπτές Απολυτήριες Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου - Ιουνίου

στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ: Γ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: …………………………………………………………..

ΘΕΩΡΙΑ

1ο ΘΕΜΑ:

α) Τι ονοµάζουµε µονώνυµο; β) Πότε δύο µονώνυµα λέγονται όµοια;

γ) Τι ονοµάζουµε ταυτότητα; Να συµπληρωθούν οι ταυτότητες:

δ) (α+β) (α-β) = ……….. ε) (α-β)2 = …………… ζ) (α+β)

3 = ………

2ο ΘΕΜΑ:

α) Να γράψετε τον νόµο των ηµιτόνων

β) Να γράψετε τον νόµο των συνηµιτόνων ( ως προς την πλευρά α )

Να συµπληρώσετε τις ισότητες: γ) εφω = …… και δ) ηµ2ω+συν

2ω = …....

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1η: Να λυθεί η εξίσωση: (x+1)

2 + x (2x+1) = 4x

2-3

2η: Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διχοτόµο Αχ

της . Επίσης φέρνουµε τις αποστάσεις ΒΕ

και ΓΖ των κορυφών Β και Γ από την Αχ.

Να δείξετε ότι ισχύει:

ΑΒ.ΑΖ = ΑΕ.ΑΓ

3η: Να λυθεί το σύστηµα :

3 (x-2y) = 4 ( x-y) - 2

122

4

5

32−=

−−

+y

yxyx

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Από τα δύο θέµατα θεωρίας γράφετε

το ένα και από τις τρείς ασκήσεις τις δύο

χ

Α

Β

Γ

∧

Α

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΈΜΑ 1Ο

:

ι) Nα αποδειχθεί η ταυτότητα

(α+β)2

= α2+2αβ+β

2

ιι) Να συµπληρωθούν οι ισότητες:

(α+β) (α-β) =………..

(α-β)3

=……………….

αν.α

µ = ………

(αν)µ= ……….

ΘΕΜΑ 2Ο

:

ι) Να αποδειχθεί για µια γωνία ω ισχύει : ηµ2ω + συν

2ω =1

ιι) Να συµπληρωθούν τα κενά :

α) =

συνω

ηµω……

β) Αν για µια γωνία χ ισχύει ότι 90ο

<χ<180ο

τότε :

ηµχ….0

συνχ…0

εφχ…..0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο

:

Να εκτελεστούν οι πράξεις :

i) (2-x)3

ii) (3x+1)2

iii) (3x+1)2 – x (x-3)(x+3) – (2-x)

3

ΘΕΜΑ 2Ο

:

∆ίνεται η ευθεία ε : ψ= (α-3).χ-4 όπου α είναι πραγµατικός αριθµός.

Αν η ευθεία διέρχεται από το σηµείο Β(5,6) τότε:

ι) Να βρεθεί η τιµή του α καθώς και η εξίσωση της ε.

ιι) Για την τιµή του α που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα να βρεθούν τα σηµεία

στα οποία η ευθεία ε τέµνει τους άξονες.

ιιι) Να σχεδιαστεί η ευθεία σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων και να βρεθεί το

εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ευθεία µε τους άξονες χχ’ και ψψ’ .

ΘΕΜΑ 3Ο

:

Να λυθεί το σύστηµα:

x-y=2

x2+xy = 60

ΑΠΟ ΤΙΣ ∆ΥΟ ΘΕΩΡΙΕΣ ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ Η ΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ∆ΥΟ.


ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2006

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ’

ΘΕΜΑΤΑ

Α ΘΕΩΡΙΑ (Γράψτε ένα (1) από τα δύο (2) θέµατα θεωρίας)

1. α) Τι λέγεται µονώνυµο και τι πολυώνυµο; Γράψτε από ένα παράδειγµα.

β) ∆ιατυπώστε τον κανόνα πολλαπλασιασµού δύο µονωνύµων.

2. α) Γράψτε ένα (1) κριτήριο ισότητας τριγώνων.

β) Γράψτε ένα (1) κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γράψτε δύο (2) από τις τρεις (3) ασκήσεις)

1. α) Να κάνετε τις πράξεις για την παράσταση

Α και στην συνέχεια αναγωγή οµοίων όρων

ώστε να προκύψει πολυώνυµο κατά την

φθίνουσα σειρά του εκθέτη του x .

Α= ( ) ( )2 21 3 2 11x x x− − − −

β) Να παραγοντοποιήσετε τον αριθµητή και τον

παρονοµαστή του κλάσµατος και να

απλοποιήσετε την παράσταση Β.

Για ποιες τιµές της µεταβλητής x ορίζεται η

παράσταση Β, όπου x πραγµατικός αριθµός.

2

2

3 12

5 6

x

x x

−Β =

− +

2. Λύστε το σύστηµα µε αγνώστους τις µεταβλητές x,y

όπου x,y πραγµατικοί αριθµοί και βρείτε τα ζεύγη

(x,y) των λύσεων του συστήµατος.

22

41

1x y

yx + =

− =

3.

α) Αν για µια γωνία ω είναι

4

5συνω = − και 90

ο

< ω < 180ο

,

να υπολογισθούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί ηµω και εφω.

β) Αντικαταστήστε τις τιµές των τριγωνοµετρικών αριθµών του α) ερωτήµατος και υπολογίστε την

τιµή της παράστασης: (90 ) 2 4 90ηµ ω συνω εφω ηµΠ = °− − + − °i i

Σηµείωση: Τα θέµατα είναι βαθµολογικά ισοδύναµα. Τα αντίστοιχα υποερωτήµατα σε κάθε

θέµα ισοµοιράζονται την βαθµολογία του κάθε θέµατος «Καλή Επιτυχία»

( )2

α β · · · + = και ( )3

α β · · · + =

!""

#$2

χ 2 2 4

2χ χ 2 χ 2χ

−+ =

− −

##$

χ 1 ψ1

3 4χ ψ

25 4

+− =

+ =

% "&''()2

χ3

−

**+,(+-, 2

ΑΕ χ3

= − ,&)+",

" 2

χ3

−

*

( )

&

"-


ΤΑΞΗ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ

Α . ΘΕΩΡΙΑ

1) α) Να αντιγράψετε τις ισότητες στο γραπτό σας συµπληρωµένες

(α+β)2=…………………………………

(α+β) (α-β)=……………………………

(α-β)2=………………………………….

β) Να αναπτύξετε τις παραστάσεις

(x+3)2=……………………………………………….

(x-5)2=……………………………………………….

(κ+2)(κ-2) = ………………………………………..

2) α) Πότε δύο τρίγωνα είναι όµοια ;

β) Nα εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα του σχήµατος είναι όµοια και να βρείτε τον

λόγο οµοιότητας λ ;


1) ∆ίνονται οι παραστάσεις Α και Β

Α = 2(x+5)+3(x+4)+4(x+2)

B= (x+1)2 - (x-1)

2 +5(x+6)

Να τις αναπτύξετε και να ελέγξετε αν Α=Β

2) α) Να λυθεί ή εξίσωση

2χ2+10χ+12=0

β) Να λυθεί ή εξίσωση

3

1 x

x

x

=+

.

3) Μετρούµε την θερµοκρασία στην Άµφισσα καθηµερινά και για 10 συνεχόµενες

ηµέρες . Τα αποτελέσµατα της µέτρησης ( σε βαθµούς Κελσίου) είναι τα παρακάτω :

ι) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα των συχνοτήτων Θερµοκρασία Συχνότητα Σχετική Συχνότητα (%)

8

9

10

11

2 4

5

6 12

15

10 8 9 9 10 10 10 9 11 10

ιι) Ποιος είναι ο µέσος όρος της θερµοκρασίας της Άµφισσας για το

συγκεκριµένο 10ήµερο;

ιιι) Μετράµε την θερµοκρασία της Ιτέας για το ίδιο δεκαήµερο και τα

αποτελέσµατα είναι

Ποια από τις δύο πόλεις είναι η θερµότερη µε βάση τις παραπάνω µετρήσεις; (Να

δικαιολογήσετε την απάντηση σας µε τους απαραίτητους υπολογισµούς)

7 8 9 9 11 12 11 13 11 11

ΤΑΞΗ Γ΄

Θέµατα γραπτών απολυτηρίων εξετάσεων

περιόδου Μαΐου-Ιουνίου


Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1. α. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α+β)2=α

2+2αβ+β

2 .

β. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες:

(….- β)2=α

2 - …… + … , (α + …)(α - …)=… - β

2

ΘΕΜΑ 2. α. Τι λέγεται αλγεβρική παράσταση;

β. Τι λέγεται µονώνυµο;

γ. Πότε δύο µονώνυµα λέγονται όµοια;

Β΄ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1. Να κάνετε τις πράξεις: (α + 5)2 +7(α-4)

ΑΣΚΗΣΗ 2. Να κάνετε τις πράξεις: 3

4

2

3

+

+

+ xx

ΑΣΚΗΣΗ 3. Να λύσετε την εξίσωση: 2χ2-7χ+8=χ

2-χ


ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ1ο

Α. α) Να συνδέσετε µε ισότητα κάθε όρο της στήλης Α µε τον αντίστοιχο όρο της στήλης Β.

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

βα. (α: β)ν

( α )2

ν

ν

β

α

αµ.α

ν α

µ-ν

αµ:α

ν α

αν: β

ν α

µ+ν

(β

α )ν (

α

β)ν

(β

α )-ν

βα .

β) Μελετήστε τις παρακάτω προτάσεις και σε κάθε περίπτωση να γράψετε το γράµµα της απάντη-

σης που θεωρείτε ορθή.

i) Aν α<0 και ν περιττός τότε η δύναµη αν είναι :

Α : θετική , Β : αρνητική , Γ : 0 , ∆ : 1 , Ε : 2

ii) H παράσταση (2

1)-1

είναι ίση µε :

Α : 2

1 , Β : 1 , Γ : 2 , ∆ : -1 , Ε : -2

iii) Αν α # 0 και ν = 0 τότε η δύναµη αν είναι :

Α : 1 , Β : 0 , Γ : αρνητική , ∆ : ν , Ε : -1

Β. α) Να συµπληρώσετε τις ταυτότητες :

α2 – β

2 = ………… , (α – β)

3 = ………….. , (α+β)

2 = ……………

β) Να αποδείξτε την τρίτη από αυτές .

Γ. α) Από ποιους τύπους δίνονται οι λύσεις και η διακρίνουσα της εξίσωσης αχ2 + βχ +γ =0 , α#0 .

β) Μία εξίσωση 2ου

βαθµού µε διακρίνουσα αρνητική :

Α : είναι αδύνατη , Β : είναι αόριστη , Γ : έχει δύο ρίζες , ∆ : έχει µια ρίζα .

ΘΕΜΑ2ο

Α. α) Σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων ΧΟΨ , να πάρετε ένα σηµείο Μ(χ,ψ)στο πρώτο τεταρτηµόριο,

να ονοµάσετε ω τη γωνία ΧΟΜ και ρ το µήκος του ΟΜ. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν

τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω χρησιµοποιόντας τα µεγέθη χ,ψ,ρ.

β) χρησιµοποιόντας τους παραπάνω τύπους να αποδείξετε ότι ηµ2ω + συν

2ω = 1 .

Β. α) Ποιο είναι το πρόσηµο της εφαπτοµένης στα τέσσερα τεταρτηµόρια που χωρίζεται το επίπεδο

από ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων;

β) Να βρείτε σε ποιο τεταρτηµόριο καταλήγει η πλευρά µιας γωνίας ω όταν ισχύει συγχρόνως :

i) ηµω > 0 και συνω < 0 ii) εφω < 0 και συνω > 0

Γ. α) i) Το συνηµίτονο µιας γωνίας 120ο ισούται µε :

Α : ηµ60ο , Β : - συν60

ο , Γ : συν120

ο , ∆ : - ηµ60

ο

ii) To ηµίτονο της γωνίας 49ο ισούται µε :

Α : συν49ο , Β : εφ49

ο , Γ : ηµ41

ο , ∆ : συν41

ο

β) Συµπληρώστε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις :

i) Η εφαπτοµένη της γωνίας 90ο δεν ορίζεται . Σ Λ

ii) O αριθµός 3

5 µπορεί να είναι το ηµίτονο µιας γωνίας . Σ Λ

iii) Ισχύει ότι εφω = ηµω

συνω , ηµω # 0 . Σ Λ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ1ο

α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις :

i) (3χ-2).(χ-2)+(2-χ).(2χ-1) , ii) (α-β)2 – 4.α

2 , iii) χ

2 +10 χ –24

β) Να κάνετε τις πράξεις : (2χ-1)2 – 2(χ+3) –(3χ+1).(2χ+1)

ΘΕΜΑ2ο

Να λύσετε την εξίσωση : (χ2 +χ +1 ) (χ

2 – 5χ +6) = 0 .

ΘΕΜΑ3ο

Να δείξετε ότι :

i) (ηµα+συνα)2 - (ηµα-συνα)

2 = 4ηµα.συνα

ii) ηµω

ωσυν

+1

2

= 1-ηµω

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡOΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ

1) Α) Να αντιστοιχίσετε την ταυτότητα της στήλης Α µε το ανάπτυγµά της στη στήλη Β

στηλη Α στηλη Β

1. ( α – β ) 2

Α α 3 - 3 α 2 β + 3 α β 2 – β 3

2. ( α + β ) 3

Β ( α – β ) ( α + β )

3. ( α + β ) 2

Γ α 3 + 3 α 2 β + 3 α β 2 + β 3

4. ( α – β ) 3

∆ α 2 + 2 α β + β 2

5. α 2 – β 2

Ε α 2 – 2 α β + β 2

Β) Αποδείξτε την ταυτότητα ( α - β ) 2

2) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθούν οι εξισώσεις :

Α) x2 - 5 x + 6 = 0

Β) ( 2 x + 3 ) 2 + ( x - 2 ) (3 x + 2 ) = ( 3x + 1 ) 2

2. Nα λύσετε το σύστηµα 3 x + 2 y = 5

x - 4 y = 11

Α

3.

∆ Ε


Β Γ

Στο διπλανό σχήµα η ∆Ε είναι παράλληλη

µε τη ΒΓ και έχουµε: Α∆=2χ –3 ,∆Β= χ-1,

ΑΕ = χ+9 και ΕΓ= χ+3. Να βρεθεί το χ

Θ Ε Μ Α Τ Α

Γραπτών Ανακεφαλαιωτικών Απολυτήριων Εξετάσεων Περιόδου Ιουνίου

στα Μ α θ η µ α τ ι κ ά

Τ Α Ξ Η Γ΄

Α ΄ ΘΕΩΡΙΑ

1ο ΘΕΜΑ

i) Να συµπληρωθούν και να αποδειχθούν οι ταυτότητες :

(α-β)2=……… και (α-β)

3 =………………

ii) Ισχύει η ισότητα (-α-β)2= (α+β)

2 ; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.

2ο ΘΕΜΑ

i) ∆ίνεται η γωνία ω τέτοια ώστε: 0ο ≤ω≤ 180

ο . Να αποδείξετε ότι :

α) εφω=συνω

ηµω και β) ηµ

2ω + συν

2ω=1

ii) Αν γωνία ω=0ο , ισχύει η ισότητα ηµ

2ω +συν

2ω =1; ∆ικαιολογήστε την

απάντησή σας .


1η ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί το σύστηµα : 2χ +3(ψ-1)= 1

και 2χψ + ψ2 =7ψ-2

2η ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί η εξίσωση : 4

2

2−x

+2

2

1

xx −

= xx

x

2

4

2+

−

3η ΑΣΚΗΣΗ

∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), όπως στο παρακάτω σχήµα.

Παίρνω στη βάση ΒΓ τµήµατα ΒΜ=ΓΝ. Φέρω τα Β∆⊥ Α∆ και ΓΕ⊥ ΑΕ.

i) ∆είξτε ότι τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΝΓ είναι ίσα.

ii) ∆είξτε ότι Α∆=ΑΕ.

B Γ

Ε

Ν Μ

∆

A

ΘΕΜΑΤΑ

Γραπτών απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Ιουνίου στα

Μαθηµατικά της Γ’ Τάξης.

Α’ Θεωρία

1) α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)3 = α

3 + 3α

2β + 3αβ

2+β

3

β) Να συµπληρώσετε τις ισότητες ι) (α-β)2 = ………. ιι) (α-β)(α+β) = ……….

2)α) Να αποδείξετε ότι εφω = ηµω/συνω

β) Να συµπληρώσετε τις ισότητες : ι) ηµ(90-ω) = … ιι) συν(180-ω) = …

γ) Είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω ισότητες;

ι) ηµ90ο = 0 ιι) συν180

ο = -1 ιιι) εφ180

ο = 0

Β’ Ασκήσεις

1)α) ∆ίνονται οι παραστάσεις: Α = (χ2 - 9) / (χ

2 + 4χ + 3) και

Β = (6χ2 + 6) / (χ

3 – χ

2 + χ - 1). Να δείξετε ότι : Α= (χ-3) / (χ+1) και Β= 6 / (χ-1)

β) Να λύσετε την εξίσωση Α+Β= 12 / (χ2 – 1)

2) Να λύσετε το σύστηµα : χ/2 – y/3 = -2

(2χ-1) / 5 + (y+5) / 4 = 1

3) ∆ίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ. Πάνω στην πλευρά ΒΓ παίρνουµε

σηµεία ∆ και Ε τέτοια ώστε Β∆ = ΓΕ.

α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΓΕ και να δείξετε ότι Α∆=ΑΕ.

β) Να δείξετε ότι ΕΓ= (ΒΓ-∆Ε) / 2

Να απαντήσετε σε ένα θέµα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις. Όλες οι απαντήσεις θα

δοθούν στην κόλλα σας.

∆ Β Ε Γ

Α

Τ Α Ξ Η Γ΄

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ


Α) Θ Ε Ω Ρ Ι Α

ΘΕΜΑ 1°: α) Να συµπληρωθούν οι ισότητες:

ι) (α-β) (α+β) =

ιι) (α-β)2 =

β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2

ΘΕΜΑ 2°: α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Θαλή.

β) Στο σχήµα οι ευθείες ε1,ε2 και

ε3 είναι παράλληλες.

Να γράψετε τις σχέσεις που

ισχύουν για τα τµήµατα που

ορίζονται στην ευθεία ε και

για τα τµήµατα που ορίζονται

στην ευθεία ε΄.

Β) Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

ΘΕΜΑ 1°: Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης:

03252

=−− xx

ΘΕΜΑ 2°: Να λυθεί το σύστηµα:

1032

2

33

=−

−=+

yx

yx

ΘΕΜΑ 3°: ∆ίνεται η παράσταση

42

6

2

32

+−

++=Α

xxx

α) Να γίνουν οι πράξεις στην παράσταση.

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του x δεν ορίζεται η παράσταση Α.

Παρατήρηση: Να γράψετε ένα θέµα θεωρίας και δύο θέµατα ασκήσεων.

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ1Ο: α)Τι λέµε µονώνυµο και από τι αποτελείται;∆ώστε ένα παράδειγµα

µονωνύµου και διακρίνετε τα µέρη του.

β)Πότε δύο ή περισσότερα µονώνυµα λέγονται όµοια;

γ)Πως βρίσκουµε το γινόµενο µονωνύµων;

ΘΕΜΑ 2Ο: α)Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

β)Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο: ∆ίνονται οι παραστάσεις Α=(α+5)

2+(β-2).(β+2)-5.(2α-1)-β

2-42

Β=β2+β-2 και Γ=αβ-4β+2α-8

i)Να κάνετε τις πράξεις στην παράσταση Α.

ii)Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Β και Γ.

iii)Να απλοποιήσετε την παράσταση: ( ) Γ⋅−⋅

Β⋅⋅Α

4

125

15

β

ΘΕΜΑ 2Ο: Να λύσετε την κλασµατική εξίσωση:

XX

X

8

242

2−

− –

X

X

−

−

8

9 = 1

ΘΕΜΑ 3Ο: Αν ηµω=

5

3 και 90

ο≤ω≤ 180

ο τότε:

α)Να υπολογίσετε το συνω.

β)Να υπολογίσετε την εφω.

γ)Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

εϕωηµσυν

συνηµσυνωηµω

⋅⋅

⋅⋅⋅

00

00

100110

7080

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ (ΟΠΟΙΟ ΘΕΛΕΤΕ) ΑΠΟ ΤΑ ∆ΥΟ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ∆ΥΟ (ΟΠΟΙΑ ΘΕΛΕΤΕ) ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ 1Ο

Να µεταφέρετε στο γραπτό σας και να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία

της στήλης Α στα αντίστοιχα-ίσα- στοιχεία της στήλης Β.

στήλη Α στήλη Β

ηµ(90-ω) ηµω

συν(90-ω) συνω

ηµ(180-ω) εφω

συν(180-ω) -εφω

εφ(180 - ω) -ηµω

ΘΕΜΑ 2Ο

α) Τι ονοµάζουµε ταυτότητα

β) Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α2 - β

2 =

( α + β )2 =

γ) Να αποδείξετε τις ταυτότητες (α-β)2 = α

2 -2αβ+β

2

(α+β)3 = α

3+3α

2β+3αβ

2+β

3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (απο τις τρείς ασκήσεις θα επιλέξετε και θα λύσετε τις

δύο)

ΘΕΜΑ 1

0

Να λυθεί το σύστηµα: 3(χ+ψ)-5(ψ-χ) =4

και 3(χ+ψ)-2(χ-ψ) =11

ΘΕΜΑ 2

Ο

Να λυθεί η εξίσωση: 2χ-2 3χ-1 8

χ-2 χ+2 χ2-4

ΘΕΜΑ 3Ο

∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάµεσος ΑΜ,

Στην ηµιευθεία ΑΜ φέρνουµε Β∆ ⊥ ΑΜ και

ΓΕ ⊥ΑΜ.

Να αποδείξετε ότι Β∆ = ΓΕ


ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ-ΜΑΪΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο : Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

α) ( α+β) (α-β)= α2- β

2

β) (α+β)

3=α

3+3α

2β+3αβ

2+β

3

ΘΕΜΑ2Ο

: Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο

: Να λύσετε την εξίσωση:

4

14

2

3

22

2

−Χ

+Χ=

+Χ+

−Χ

Χ

ΘΕΜΑ 2Ο

: Αν συνω = -5

4 και 180

ο ≤ ω ≤ 270

ο , να υπολογίσετε το ηµω και την εφω

ΘΕΜΑ 3Ο :Να λύσετε το σύστηµα: 2

42

3=

Ψ−

−Χ

3Χ + 2Ψ = 7

Θεµατα απολυτηριων εξετασεων περιοδου

Μαιου- Ιουνιου στα µαθηµατικα.

Θεωρια

1.α) Τι ονοµαζουµε µονωνυµο και τι πολυωνυµο(γραψτε απο ενα παραδειγµα). β) Ποτε δυο µονώνυµα λεγονται οµοια και ποτε αντιθετα(>> >> >> >>). γ) Να συµπληρωσετε την ισοτητα (α-β)3=....... και να την αποδειξετε. 2.α) ∆ιατυπωστε τον νοµο των συνηµιτονων για την πλευρα α ενος τριγωνου ΑΒΓ. β) Να λυσετε τον παραπανω τυπο (νοµο) ως προς συνΑ. γ) Πως γινεται ο νοµος των συνηµιτονων για την πλευρα α οταν Α=90ο (αιτιολογηση). Ασκησεις

1.α) Να κανετε τις πραξεις στις παραστασεις Α,Β εφαρµοζοντας ταυτοτητες οπου υπαρχουν: Α=(2x+4)2 -3x(x-2)-17 Β= -2(x+3)(x-3)+(x-2)2 β) Να υπολογισετε την παρασταση Β-Α και στη συνεχεια την αριθµητικη της τιµης οταν x=0. 2. Να λυθει το συστηµα: x+2y = -1

4

3+x -

3

32 +y =

3

13 −x

3. Αν ηµω = 2

3και 90ο

≤≤ω 180ο , να υπολογισετε τα συνω και εφω και στην

συνεχεια να υπολογισεται την τιµη της παραστασης Α = 2ηµω – συνω + εφω.

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2006

ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηµατικά

ΕΙΣΗΓΗΤHΣ: Μακρόπουλος Γεώργιος

Ερωτήσεις θεωρίας

Θεωρία 1.

i) Να αποδείξετε ότι: ( ) 222

2 β+αβ−α=β−α .

ii) Να συµπληρώσετε τα κενά: ( ) .........................

3

+++=β+α

iii) Να συµπληρώσετε τα κενά: ( ) 42

y9..............x2 ++=+

Θεωρία 2.

Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων..

Ασκήσεις Άσκηση 1.

Να λύσετε το σύστηµα:

=−

=+

+−

14yx3

32

6y

3

1x

Άσκηση 2.

Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( )22

1xx62xx3x2 +−=−−−

Άσκηση 3.

Αν 00270x180 << και

5

3x −=συν , να υπολογίσετε το ηµx και την εφx.

Να απαντήσετε σε µια από τις δυο ερωτήσεις θεωρίας, και να λύσετε τις δυο από τις

τρεις ασκήσεις. Τα θέµατα καθώς και τα υποερωτήµατα είναι βαθµολογικώς

ισοδύναµα.


ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ


Α. ΘΕΩΡΙΑ (Από τις δυο ερωτήσεις να απαντήσετε τη µία)

1. α) Να συµπληρώσετε και να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα

(α-β)2 =………….

β)Να συµπληρώσετε τις ταυτότητες.

(α+β)(α-β)=……...

(α+β)2=…………..

(α+β)3=………………

2. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Από τις τρεις ασκήσεις να λύσετε τις δυο)

1.Να λυθούν οι εξισώσεις.

α) 2x2+5x+3=0

β) +

+ 2

2

x

x

x

x

2

2+

=2

2.Σ ε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ,ΑΓ και στις

προεκτάσεις παίρνουµε αντίστοιχα τµήµατα ΒΚ=ΓΛ .Αν Μ µέσο της ΒΓ να δείξετε ότι

α)ΚΜ=ΜΛ β)ΚΓ=ΒΛ γ) ΒΚΓ=ΒΛΓ

3. Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσειςB

Α)3x-6=……….

Β)(2χ-1)2-(5χ+3)

2=……..

Γ)χ3-χ

2+χ-1=………

∆)6x2+xψ+18xω+3ψω=…..

Ε)x2-2xψ+ψ

2-1=………

Στ)(α-β)3+(β-α)(χ+ψ)

2=…...

Παρατήρηση: το τρίτο θέµα των ασκήσεων έχει περισσότερα από τρία ερωτήµατα


ΤΑΞΗ: Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ 1Η

Ι )Τι λέγεται µονώνυµο: Να δώσετε ένα παράδειγµα µονωνύµου και να ορίσετε τον συντελεστή και το κύριο

µέρος του.

Ι Ι ) Πότε δυο µονώνυµα λέγονται όµοια : Να δώσετε ένα παράδειγµα .

ΘΕΩΡΙΑ 2Η

Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Θαλή , να κάνετε το σχετικό σχήµα και να γράψετε την σχέση που

ισχύει .

ΑΣΚΗΣΗ 1Η

Να λυθεί η εξίσωση : ( χ - 3 )2 - 2χ ( χ + 8 ) = - ( χ + 5 )

2 + 2

ΑΣΚΗΣΗ 2Η

Αν 00

≤ χ ≤ 900 και 2ηµχ - 3 = 0

Ι ) Να υπολογιστεί η γωνία χ.

Ι Ι ) Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας χ .

ΑΣΚΗΣΗ 3Η

Να λυθεί µε οποιαδήποτε αλγεβρική µέθοδο το σύστηµα :

3 ( χ + y ) = 4 y + 1

2 ( χ + y ) = χ + 5

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α

.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Θ Ε Μ Α Τ Α

Θ Ε Ω Ρ Ι Α

Θ Ε Μ Α 10 α) Nα συµπληρωθουν οι ισοτητες 1) (α+β)

2=…… 2) (α-β)

2=…..

β) Να αποδειχθεί ότι (α+β).(α-β)=α2-

β2

Θ Ε Μ Α 20 α)

Στο ανωτερω σχηµα 1) Συµπληρωστε τις ισοτητες ηµω=…. Συνω=…… εφω=……

2) ∆ειξτε ότι ηµ2ω+συν

2ω=1

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Θ Ε Μ Α 10 Να λυθει η εξισωση 1-

2

1

+x

+2

1

−x

=4

2

−xx

x

Θ Ε Μ Α 20 ∆ινεται η εξισωση αχ2

+βχ=10 1

ω

χ χ΄

Ψ

Ψ΄

Μ(χ,ψ)

χ

ψ

1) Αν α=1 και β=3 να λυθει η παραπανω εξισωση

2) Αν η εξισωση 1 εχει λυσεις χ=-1 και χ=-2 βρειτε τα α και β

Θ Ε Μ Α 30

Στο παρακατω σχηµα βρειτε το µηκος του χ

χ

3

5

4

Θέµατα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων

Περιόδου Μαΐου – Ιουνίου

ΘΕΩΡΙΑ

Ι. α) Να συµπληρώσετε τις ισότητες:

(α+β)2

=

(α-β)2 =

(α+β)3

=

(α-β)3 =

(α+β) (α-β) =

β) Να αποδείξετε την πρώτη από αυτές.

ΙΙ. α) Να συµπληρώσετε τις ισότητες:

ηµ (90-ω) =

συν (90-ω) =

ηµ (180-ω) =

συν (180-ω) =

εφ (180-ω) =

Για την συµπλήρωση θα χρησιµοποιήσετε, ηµω, συνω, εφω.

β) Να αποδείξετε ότι:

εφω = ηµω

συνω

ηµ2ω + συν

2ω = 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ι. Να βρεθεί αν οι εξισώσεις έχουν κοινή λύση:

α) (x+1) (2x+3) = 4x2 + 5

β) 2x

x2-4

= 1

x+2 +

x-1

2-x

II. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ΚΛ//ΒΓ. Να βρεθούν ΑΛ, ΚΛ και η περίµετρος

του τριγώνου ΑΚΛ. ∆ίνονται ΑΚ=5 cm, ΚΒ=3cm, AΓ=11,2 cm και ΒΓ=16cm.

ΙΙΙ. Να λυθούν τα συστήµατα:

α) 2x + y = 4

3x + 5y = 13

β) x-y

3 –

2x-5y

2 =

1

6

x - y = 2

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ


ΘΕΩΡΙΑ 1η : α)Σχεδιάστε τρεις παράλληλες ευθείες ε1 ,ε 2 ,ε3

που τέµνουν τις ευθείες δ1 , δ2 στα σηµεία Α,Β,Γ και Α΄ , Β’, Γ’ αντίστοιχα.

β)∆ιατυπώστε το θεώρηµα του Θαλή.

γ)Γράψτε την µαθηµατική σχέση για τα αντίστοιχα τµήµατα των ευθειών δ1 και δ2.

ΘΕΩΡΙΑ 2η: Να συµπληρώσετε τις ταυτότητες :

α) (α+β)2=…………………, (α+β)

3=……………………………

α3-3α

2β+3αβ

2-β

3=…….

β) Να αποδείξετε την ταυτότητα : (α-β)2=α

2-2αβ+β

2…………………….

.γ)Τι είναι ταυτότητα;

ΑΣΚΗΣΗ 1η :α) Να εκτελέσετε τις πράξεις:

Α=(χ+2)2 -6 (χ-1) -13 =………..

β)Να λύσετε την εξίσωση Α= 0

ΑΣΚΗΣΗ 2η : Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά (σε ορθοκανονικό σύστηµα

συντεταγµένων ) το γραµµικό σύστηµα :

2χ - 4ψ = - 10

χ + 3ψ= 10

ΑΣΚΗΣΗ 3η :Εστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Κ,Λ,Μ τα

µέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα , τότε να

αποδείξετε ότι ΚΜ=ΜΛ.

Επιλεγετε ένα θέµα θεωρίας και δύο θέµατα ασκήσεων.!!!!


ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ


Α.ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1o

1. Να αποδείξετε την ταυτότητα:(α+β) 2222 ββ ++= aa

2. Nα µεταφέρετε στο γραπτό σας τον παρακάτω πίνακα και να τον

συµπληρώσετε έτσι ώστε στην ίδια οριζόντια γραµµή και σε διαφορετική

στήλη να υπάρχουν τα δύο µέλη µιας αξιοσηµείωτης ταυτότητας

στήλη Α στήλη Β

(α+β)2

(α+β).(α-β)

χ2+(α+β)χ+αβ

α3+3α

2β + 3αβ

2+β

3

(α-β)2

(α-β) 3

ΘΕΜΑ 2o

1.Για την γωνία xOM =ω του διπλανού

σχήµατος να αποδείξετε ότι:

ι) 122

=+ ωσυνωηµ

ιι)συνω

ηµωεφω =

B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1o

Να λύσετε το παρακάτω σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων:

=+

=−

7

12211

ψ

ψ

x

x

ΘΕΜΑ 2o

∆ίνονται οι παραστάσεις Α=56

25

2

2

++

−

xx

x

και Β=xx

xx

102

2510

2

2

−

+−

α) Να βρείτε για ποιες τιµές του χ δεν ορίζεται η αριθµητική τιµή κάθε µιας

β)Να παραγοντοποιήσετε τους όρους των Α,Β και να τις απλοποιήσετε.

γ)Να βρείτε την τιµή του χ για την οποία οι αριθµητικές τιµές των Α , Β γίνονται

ίσες.

ΘΕΜΑ 3o

x

ψ΄

Μ(x,ψ)

ω

ψ

x΄ Ο

∆ίνονται οι παραστάσεις :

Ε= )180(

)90().90(

ωηµ

ωσυνωηµ

ο

οο

−

−−

, Ζ = εφωσυνωηµω .2 − ,µε 0 ο

ω 90≺≺o

Να αποδείξετε ότι :

ι) Ε= συνω

ιι)Ζ= ηµω

ιιι)(Ε +2 Ζ 2 ) 2006 =1

.

Ο∆ΗΓΙΑ: Να απαντήσετε σε ένα από τα θέµατα της θεωρίας και σε δύο από

τα θέµατα των ασκήσεων.

.............................................................................................................

ΘΕΩΡΙΑ 1η :

Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενα ωστε η πρόταση που ακολουθεί να

είναι σωστή: Η συνάρτηση ψ =αχ2 µε α ≠ 0

λέγεται ……………

εχει µέγιστο οταν …….. ελάχιστο οταν …… εχει κορυφή το σηµείο

…….. και εχει άξονα συµµετρίας τον………..

ΘΕΩΡΙΑ 2η Να διατυπώσετε το θεώρηµα του ΘΑΛΗ και µε τη βοήθεια σχήµατος

να γράψετε τη σχέση που το εκφράζει

……………………………………………….

ΑΣΚΗΣΗ 1η : α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις x

2-4 και χ

2-2χ

β) να κάνετε την αφαίρεση _2_ _ _1_ φθάνοντας το αποτέλεσµα

x2-4 χ

2-2χ

στην απλούστερη µορφή του

γ) ποιες τιµές του χ εξαιρουνται στο προηγούµενο ερωτηµα ;

ΑΣΚΗΣΗ 2η : ∆ίνονται οι ευθείες ψ = -3χ +3 και ψ = - ¾ χ+3

α) εξηγείστε γιατι δεν είναι παράλληλες

β) βρείτε το σηµειο τοµης τους

γ) υπολογίστε το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις δυο ευθείες

και τον οριζόντιο άξονα χ”χ .

ΑΣΚΗΣΗ 3η:

Σε ενα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α=900 η υποτείνουσα εναι 2χ-4

και οι δυο κάθετες πλευρές είναι χ+1 και χ-1 να υπολογίσετε την

περίµετρο του τριγώνου.

(*) Να γράψετε µία θεωρία και δύο ασκήσεις.

Καλή επιτυχία!

Τάξη: Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μάθηµα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1ο

Θέµα α) Τι ονοµάζεται ταυτότητα; β) Συµπληρώστε τις παρακάτω ισότητες

(α + β)2 =

(α – β)2 =

(α + β)(α – β) =

(α + β)3 =

(α – β)3 = και αποδείξτε την πρώτη 2

ο

Θέµα

α) Ποια µονώνυµα ονοµάζονται όµοια;

β) ∆ιατυπώστε το θεώρηµα του Θαλή ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1ο

Θέµα α) Να λυθεί η εξίσωση

x – 2 = __2__ + __4___ 2x 2 – x x2 – 2x

β) Να κάνετε τις πράξεις

(3x – 1)2 – 3x.(x+2)

2ο

Θέµα α) Να παραγοντοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις

i) 4x3 – 8x2 + 12x

ii) x2 – x – 2

iii) 4x2 + 4x +1 β) Να υπολογιστεί το x στο παρακάτω τρίγωνο

όταν ΒΓ ∆Ε

3ο

Θέµα

Να λυθεί του σύστηµα:

3x – 2y = 42

2x – y = 26

___________________________________________________________________________ Παρατήρηση:το δεύτερο θέµα από την θεωρία αποτελείται από ερωτήσεις που δεν ανήκουν στο ίδιο κεφάλαιο. Η ίδια παρατήρηση ισχύει και για το δεύτερο θέµα των ασκήσεων

ΘΕΩΡΙΑ

1) α) Τι ονοµάζεται ταυτότητα .

β) Να αποδείξετε την ταυτότητα : (α + β)2

= α2

+2αβ + β2

2) Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

χ – ψ =2

1) Να λυθεί το σύστηµα

χ2

+ χψ -3ψ2

=12

2) Αν ηµω = - 2

1 και 180

0 ≤ ω ≤ 270

0 να υπολογίσετε

α) το συνω και την εφω

β) Να υπολογίσετε την παράσταση : Α = 2εφ2ω - εφω

1 + συνω

3) Να κάνετε τις πράξεις : ( x

x 1+ -

1+x

x

) : (1

6

−x

- x

2)

Από τα δύο θέµατα θεωρίας να γράψετε το ένα και από τις τρεις ασκήσεις να γράψετε τις δύο.

Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο: α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) 222

2 βαβαβα ++=+

β) Να συµπληρώσετε τις ταυτότητες: ( )( ) =−+ βαβα . ( ) =+3

βα

ΘΕΜΑ 2ο: ∆ίνεται η γωνία ω=ΟΜ

∧

x του σχήµατος α) Να συµπληρώσετε τις ισότητες

=ηµω =συνω =εφω

β) Να αποδείξετε ότι συνω

ηµωεφω = .


ΑΣΚΗΣΗ 1η: I. Να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυµα:

107xxδ25,10xxγ25,xβ6x,3xα 2222+−=++=−=−=

II. Να απλοποιήσετε την παράσταση 107

25

2510

63

2

2

2

2

+−

−

++

−=Κ

xx

x

xx

xx

.

ΑΣΚΗΣΗ 2

η: ∆ίνεται η παράσταση

( ) ( )( ) ( )( ) ( )141.233.352

−+−−+−+−+=Α xxxxxxx

I. Να κάνετε τις πράξεις. II. Να λύσετε την εξίσωση 4=Α .

ΑΣΚΗΣΗ 3η: I. Να λυθεί το σύστηµα

=+

−=

+−

+

254

3

1

15

11

5

23

yx

xxyx

II. Αν yx, είναι η λύση του συστήµατος να υπολογίσετε την τιµή της

παράστασης

yx

=Γ

2006

1.

2006

1.

Θα απαντήσετε σε ένα µόνο θέµα θεωρίας και σε δύο µόνο ασκήσεις.

Α π α γ ο ρ ε ύ ε τ α ι η χ ρ ή σ η δ ι ο ρ θ ω τ ι κ ο ύ υ γ ρ ο ύ .


Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου

ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηµατικά ΤΑΞΗ: γ΄ Γυµνασίου

Εισηγητές

M(x,y)

ρ ω x

y

O

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1Ο

∆ιατυπώστε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων

ΖΗΤΗΜΑ 2ο

α)Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β)2=α

2+2αβ+β

2

β) Να συµπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες

(α-β)2=…

(α+β)(α-β)=…

(α+β)3=…

(α-β)3=…

ΖΗΤΗΜΑ 1ο

Να λυθεί η εξίσωση

4

2

2

2

1

2

11

−Χ

Χ=

Χ−−

+Χ−

ΖΗΤΗΜΑ 2ο

Αν ηµω=5

3και

00

18090 ≤≤ω να βρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί (συνω και εφω)

ΖΗΤΗΜΑ 3ο

Να λυθεί το σύστηµα

312

1

5

2=Ψ−Χ

204 =Ψ−Χ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ζητούνται από τη θεωρία ένα ζήτηµα και από τις ασκήσεις δύο ζητήµατα

ΘΕΩΡΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ………………………. ……….ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ……………………. ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ Α…………………………ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ Β…………………… ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ………………………………………….

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να συµπληρωθούν και κατόπιν να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: (α+β)2=……………………….. και (α+β)3=……………………….. Β. Να αντιστοιχίσετε τα δεδοµένα της1ης στήλης µε αυτά της 2ης στήλης

1η ΣΤΗΛΗ 2η ΣΤΗΛΗ

1. 4x2-20x+25

Α. (-2x+5)2 2. -4x2-20x-25

Β. (-2x-5)2 3. 4x2+25

Γ. (2x-5)(2x+5) 4. 4x2+20x+25

∆. (x-5)2 5. x2-10x+25

6. 4x2-25

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. α) Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων β) Να διατυπώσετε το θεώρηµα Θαλή Β. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση στις ακόλουθες προτάσεις : 1.Ένα από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων µας λέει ότι δυο τρίγωνα είναι ίσα αν και µόνο αν έχουν ίσες: Α. τις πλευρές Β. τις γωνίες Γ. τις πλευρές και τις γωνίες ∆. τίποτε από αυτά 2. ∆ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ έχουν ΑΓ=∆Ζ και ΒΓ=∆Ε. Τότε ΑΒΓ=∆ΕΖ αν επιπλέον Α. Α=Ζ Β. Γ=∆ Γ. Β=Ε ∆. Β=∆ Ε. Α=Ε 3. ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ µε Β=Ε=90°, έχουν ΑΒ=ΕΖ. Τότε ΑΒΓ=∆ΕΖ αν επιπλέον: Α. ΑΓ=ΖΕ Β. ΒΓ=∆Ε Γ. ΒΓ= ∆Ζ ∆. Β=∆ Ε. Α=∆ 4. ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ µε Β=Ζ=90°, έχουν Γ=Ε. Τότε ΑΒΓ=∆ΕΖ αν επιπλέον: Α. ΑΓ=ΖΕ Β. ΒΓ=ΖΕ Γ.Α=∆ ∆.ΑΓ=∆Ζ Ε.∆Ε=ΑΒ ΘΕΜΑ 3

ο

Α. Να λυθεί η εξίσωση:xxx

x

−

−=

+

+

− 2

11

2

1

4

2

2

Β. Να λυθεί το σύστηµα :

=−

−=+

112

25

2

3

yx

yx

ΘΕΜΑ 4ο

Α. Να αποδείξετε ότι:

α) συνϖηµϖηµϖ

συνϖ

συνϖ

ηµϖ

⋅

1=+ , µε ηµω≠0 και συνω≠0

β) (xσυνω+yηµω)2+( xηµω-yσυνω)2=x2+y2. Β. Αν 0°≤ x ≤180°, να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2ηµx-1=0 και β) 5συνx-3=0. [∆ίνεται συν53°≈0,6]

ΘΕΜΑ 5ο

Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις :

Α. ( )

xx

xx

x

x

5

1076

4

123

2

22

+

+−⋅

−

Β. ( )

+−+

+−

−

+⋅−

)5)(5(

7

5

3

5

1252

xxxx

x

x

Παρατήρηση:α) το ερώτηµα Β του 2ου θέµατος θεωρίας σκόπιµο ήταν να είχε αποφευχυεί.β) το 3ο θέµα των ασκήσεων έχει δυο ερωτήσεις που ανήκουν σε διαφορετικά κεφάλαια κάτι που δεν επιτρέπεται. Γενικά τα θέµατα των ασκήσεων κρίνονται αρκετά ως προς τον όγκο.

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1) α. Πότε δύο µονώνυµα λέγονται ίσα και πότε όµοια;

β. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

ι) (α-β)2 = …, ιι) α

2 – β

2 = …, ιιι) ηµ

2ω + συν

2ω = …, ιv) ηµ(180

ο – ω) = …

2) α. Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα και πότε όµοια;

β. Γράψτε ένα από τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) α. Να γίνει γινόµενο παραγόντων η παράσταση: Α = α2 + β

2 +2(αβ – 8).

β. Να λυθεί η εξίσωση 2=1

_2x

3_

x4

1+x

4.

2) Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει εµβαδόν 490 cm2. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουµε ένα σηµείο ∆

τέτοιο ώστε 5

2=

∆Β

Α∆. Από το ∆ φέρνουµε ευθεία παράλληλη προς την ΒΓ η οποία τέµνει

την ΑΓ στο Ε.

ι) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Α∆Ε και ΑΒΓ είναι όµοια και να βρείτε τον λόγο οµοιότητας

ιι) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου Α∆Ε.

3) α. Να δείξετε ότι: εφα

εφα+ηµα = 1 + συνα.

β. Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει η σχέση 2συνω – 1 = 0, τότε να υπολογίσετε τους

τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας φ = 180ο – ω .

Να γράψετε ένα θέµα θεωρίας και δυο ασκήσεις

ΕΠΙΘΕΤΟ: ………….……………… ΟΝΟΜΑ: …………….………


ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

Θέµα 1ο

α ) Να συµπληρώσετε τις ισότητες:

(α-β)2=

α2-β

2=

(α-β)3=

β) Υπάρχουν αριθµοί α , β ώστε να ισχύει (α+β)2= α

2+β

2 ;

Θέµα 2ο

α) Να συµπληρώσετε τις ισότητες για α, β µη αρνητικούς αριθµούς:

a β =

β

α=

2α =

β) Ισχύει πάντα η ισότητα a + β = β+a για α, β µη αρνητικούς. ∆ώστε παράδειγµα για

να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ∆ΥΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΘΕΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέµα 1ο

Να λυθεί η εξίσωση:

x(x2-7x-8)(2x-2)(x

2-4)=0

Θέµα 2ο

Να λυθεί το σύστηµα µε αλγεβρικό τρόπο.

652

3=+

yx

26

3

4

2=

−−

+ yx

Θέµα 3ο

Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

22

−−

+=

x

xx

x

xxA

ηµ

συν

εφ

ηµ

συν

εφ

ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ ΣΕ ∆ΥΟ ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΘΕΜΑΤΑ


ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

Ζήτηµα 1ο

Να γραφούν τα αναπτύγµατα των (α-β)2=…. και (α+β)

3 =……

∆είξατε ότι (α+β)2=α

2+2αβ+β

2 και (α-β)

3 =α

3-3α

2β+3αβ

2-β

3

Ζήτηµα 2

ο

Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ζήτηµα 1ο

∆ίδονται τα πολυώνυµα Α(χ)=χ2+4χ-12 και Β(χ)=4-χ

2

Να παραγοντοποιηθουν τα πολυώνυµα Α(χ) και Β(χ) .

Να λυθεί η εξίσωση Α(χ) +2 Β(χ)=0

Να λυθεί η εξίσωση )(

)(

xB

xA=-x

Ζήτηµα 2

ο

Η παραβολή ψ=χ2+2χ+1 τέµνει τον άξονα ψψ΄ στο σηµείο Α και διέρχεται από

το σηµείο Β του άξονα χ΄χ .

Να υπολογίσετε τις συντεταγµένες των σηµείων Α και Β.

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ .

Ζήτηµα 3ο

Να υπολογίσετε τους ρητούς αριθµούς α,β ώστε τα συστήµατα

3χ+ψ=-1 (α-1)χ-(β-1)ψ=5

(Σ1) (Σ2)

χ-ψ=-3 αχ-(2β+1)ψ=4

να έχουν την ίδια λύση.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Να απαντήσετε σε ένα ζήτηµα θεωρίας και σε δύο ζητήµατα

ασκήσεων.


ΤΑΞΗ Γ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

1) α) Τι λέγεται µονώνυµο και τι πολυώνυµο; Αναφέρατε ένα παράδειγµα σε κάθε

περίπτωση.

β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β)2=α

2+2αβ+β

2

2) Να εκφράσετε το θεώρηµα του Θαλή (σχήµα,κανόνας,τύπος)


3(χ+1)-2(ψ-1)=12

1) Να λυθεί το σύστηµα

2

3

2

1

3

2=

+−

+ ψx

2) Να λυθεί η κλασµατική εξίσωση x

x

x

x

−

−=

− 12

1

2

2

3) Να γίνουν οι πράξεις και να απλοποιηθεί η παράσταση

Α=xxx

x

x

x

3

15

2

3

9

4

22

2

−

−

−

+⋅

−

−

Μάθηµα : Μαθηµατικά Τάξη Γ’ Γυµνασίου

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

Α) Τι ονοµάζεται ταυτότητα

Β) Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

( ) 222

2 βαβαβα ++=+

( )( ) 22 βαβαβα −=−+

ΘΕΜΑ 2Ο

∆ιατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δυο τυχαίων τριγώνων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο

∆ίνονται οι παραστάσεις :

Α= ( ) 912

−−x και Β= ( )2125 +− x

Α) Να παραγοντοποιηθούν

Β) Να λυθεί η εξίσωση Α=Β

ΘΕΜΑ 2Ο

Να λυθεί το σύστηµα :

( ) 222 =−+− xyx

( ) 3814 −=−+− yx

ΘΕΜΑ 3ο

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (µε ΑΒ=ΑΓ ) να φέρετε τις διάµεσους Β∆ και ΓΕ

που τέµνονται στο σηµείο Κ

Α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΑΕΓ

Β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ∆ΥΟ ΘΕΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1

ο

Α) Να αποδείξετε ότι: (α-β)3=α

3-3α

2+3αβ

2-β

3

Β) Να γράψετε το νόµο των ηµιτόνων και των συνηµιτόνων.

ΘΕΜΑ 2ο

Α) Να αποδείξετε ότι: çì ù óõí ù2 2 1+ =

Β) Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α) (α-β)2= …

β) (α+β)(α-β)=…

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1

ο

Να λύσετε την εξίσωση:

1x

8

1x

3x

1x

1x2 −

=+

−+

−

+

ΘΕΜΑ 2ο

Να λύσετε το σύστηµα:

3

4 51

2

3 43

x y x y

x y x y

++

+= −

− +−

−=

ΘΕΜΑ 3ο

Nα υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x,

αν ισχύει: 90 180

4

5

0 0< <

= −

x

óõí x.

Παρατήρηση: οι ερωτήσεις κάθε θέµατος θεωρίας πρέπει να αναφέρονται

στο ίδιο κεφάλαιο.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ ΜΑÏΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ 1η α) Πως πολλαπλασιάζουµε ένα µονώνυµο µε ένα πολυώνυµο; β) Πως πολλαπλασιάζουµε δύο πολυώνυµα; γ) Συµπληρώστε τις ταυτότητες : (α-β)3= , (α+β)(α-β)= ,(α+β)2=

ΘΕΩΡΙΑ 2η

Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω, ισχύει: ηµ2ω+συν2ω=1. (Να κάνετε σχήµα) ΑΣΚΗΣΗ 1η α) Να κάνετε τις πράξεις: 16)5()13()13()52( 222

−++−+⋅−−+ aaaaa

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση:

2

22

)(

65

3

yyxA

yx

xx

x +

++⋅

+

+⋅=

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση:

14x

3x:

144

9

22

2

−

+

+−

−=

xx

xB

ΑΣΚΗΣΗ 2η Να λύσετε την εξίσωση:

4

2

2

1

2

11

2

−

=

−

−

+

−

x

x

xx

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Εξωτερικά ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) κατασκευάζουµε τα τετράγωνα ΑΒ∆Ε και ΑΓΖΗ.

Να δείξετε ότι : ΖΒ=Γ∆. ( Να κάνετε σχήµα)

(Απαντήστε σε ένα θέµα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις)

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Ποια είναι τα κριτήρια της ισότητας δύο τριγώνων;

β) Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων;

γ) ∆ιατυπώστε το Θεώρηµα του Θαλή.

2. Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων xΟy παίρνουµε σηµείο Μ(x,y). Αν MOx = φ, να

αποδείξετε ότι:

α) ηµ2φ + συν

2φ = 1 και β)

φ συν

φηµ φ εφ =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να κάνετε τις πράξεις: (2χ+3)2 + (χ-2)

3 + 5χ(χ+3)(χ-3) – (χ-1)

3

2. Να λυθεί η εξίσωση: 44

2

1

2

2322

2

+−

+−

−

−=

+− xx

x

x

x

xx

x

3. Να λυθεί το σύστηµα: x + y = 3

2x2 – 3xy = 2


ασκήσεων)

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Τι είναι άθροισµα οµοίων µονωνύµων και τι είναι γινόµενο µονωνύµων;

β) Να συµπληρώσετε τις ταυτότητες:

i) (α-β)2

= ii) α2-β

2 = iii) (α-β)

3 =

2. α) Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα µεταξύ τους; (Κριτήρια ισότητας τριγώνων)

β) ∆ιατυπώστε το Θεώρηµα του Θαλή.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) Να γίνουν οι πράξεις: (x2-2y)3y + (xy-y

2)(-x) + (x+y)(-2xy)

β) Οµοίως: 3(x-3)2 – 2(x-1)

2 + 2(x+1)

2 – (x-y)(x+y)

2. α) Να λυθεί η εξίσωση: 13

2

6

1

12

3−

+=

−−

− xxx

β) Οµοίως: 3χ2+8χ-3 = 0

3. α) Να λυθεί το σύστηµα: 2x – y = 19

3x + y = 16

β) Να εξετάσετε αν οι τιµές των x και y που βρήκατε στο προηγούµενο σύστηµα

το επαληθεύουν. Παρατήρηση: η άσκηση 2α) είναι ποιο κοντά στην ύλη της Β΄Γυµνασίου


ασκήσεων.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ :

1α) Ποιες παραστάσεις ονοµάζονται µονώνυµα;

β) Πότε δύο ή περισσότερα µονώνυµα λέγονται όµοια, και τι είναι το άθροισµα

οµοίων µονωνύµων;

γ) Συµπληρώστε και αποδείξτε την ισότητα : (α + β)3 = ……………..

2. Να γράψετε και να αποδείξετε τις σχέσεις των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας

γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ :

1. α) Να λυθεί το σύστηµα : 1

45

834

=+

=−

yx

yx

β) Για τις λύσεις του συστήµατος να βρείτε την αριθµητική τιµή της

παράστασης yx

yxA

−

−

=

8

2. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 3x2 = 27x , β) 6x

2 – x – 2 = 0 ,

γ) xxx

x

x 2

4

2

2

2

2

2

−

=

−

+−

3.Να γίνουν οι πράξεις και οι αναγωγές οµοίων όρων στην παράσταση :

2x3 – (2x + 1)

2 – (x – 1)*(x

2 + x + 1) και να βρεθεί η αριθµητική τιµή του

αποτελέσµατος για x = -1.

Παρατήρηση: το δεύτερο θέµα θεωρίας θα ήταν σαφέστερα διατυπωµένο αν

γράφαµε τις σχέσεις που ζητάµε να αποδείξουν.

ΤΑΞΗ Γ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ∆ΟΥ

ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θ Ε Μ Α Τ Α

Α. ΘΕΩΡΙΑ.

ΘΕΜΑ 1Ο

. ∆ίνεται ένα σηµείο Μ(x,y), σε ορθογώνιο σύστηµα αξόνων xOy µε

ΟΜ=ρ και γωνία ˆxOM =ω. α) Να ορίσετε τους τρεις τριγωνοµετρικούς αριθµούς

της γωνίας ω. β) Να αποδείξετε ότι ηµ2ω+συν

2ω=1.

ΘΕΜΑ 2Ο

. α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

(α+β)2=……… α

2-2αβ+β

2=………, (α-β) (α+β)=……

γ) Να αποδείξετε ότι ( α-β)3=α

3-3α

2β+3αβ

2-β

3.


ΘΕΜΑ 1Ο

. Να λυθεί το σύστηµα:

32 3

x y− =

2(x-y) +5 y =-1

ΘEMA 2Ο

.

α) Να απλοποιηθούν τα κλάσµατα :

Κ=2

2

1

3 2

x

x x

−

− +

, Λ=2

2

2

4

x x

x

−

−

β) Να λυθεί η εξίσωση Κ+Λ =2

5

4x −

.

ΘΕΜΑ 3Ο

. Aν ηµω=3

5, µε 90

ο≤ω≤ 180

ο, να υπολογίσετε τους άλλους

τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω.

Σηµείωση: Από τα δύο θέµατα της θεωρίας να απαντήσετε στο ένα και από τις τρεις ασκήσεις στις

δύο.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο : α) Τι λέγετε μονώνυμο και τι πολυώνυμο ; β) Πότε δύο ή περισσότερα μονώνυμα λέγονται όμοια ; Τι είναι το άθροισμα όμοιων μονωνύμων ; ΘΕΜΑ 2ο : Στο διπλανό σχήμα είναι y

ΟΜ = ρ και x M = B ∧

O∧

ω α) Να ορίσετε τα : ημω , συνω , εφω ρ με βάση τις συντεταγμένες x , y του Μ και την απόσταση ΟΜ = ρ x΄ x β) Να αποδείξετε ότι : ι) ημ2ω + συν2ω = 1 y΄

ιι) εφω = συνωημω

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο : Δίνονται τα πολυώνυμα : Α = ( x + 2)2 + ( x + 1)2 – 2(x – 1)2 – 5( 2x + 1) B = - (x + 1)2 + 2(1 – x)(1 + x) – ( 1 – x)2 α) Να δειχτεί ότι : Α = -2 και Β = - 4x2 .

β) Να λυθεί η εξίσωση : AB = x + 1 .

ΘΕΜΑ 2ο : Να λυθεί το σύστημα : ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

−=

+−

+

633

115

15

23

yx

xxyx

ΘΕΜΑ 3ο : Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο είναι ΜΒ = 2ΜΔ , και ΔΕ = 4 α) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΜΕ είναι όμοια και να γραφούν οι ίσοι λόγοι που προκύπτουν από την ομοιότητα β) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας . γ) Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΒ . (Να απαντήσετε σε 1 θέμα θεωρίας και 2 ασκήσεις .Το σχήμα να γίνει στην κόλλα σας )

M(x,y)

ω

Α Ο

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο Α/ Να αποδείξεις την ταυτότητα 32233 33)( βαββααβα +++=+Β/ Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες: i/ (α+β)2 = ii/ (α+β)(α-β) = ΘΕΜΑ 2ο Α/ Να αποδείξεις ότι : ημ2ω + συν2ω=1 , όπου ω : τυχαία γωνία. Β/ Να συμπληρώσεις τις ισότητες : i/ συν ( 180 –ω ) =........................ ii/ ημ (90 – ω ) = ...........................

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο

Α/Να λυθεί το σύστημα ⎪⎭

⎪⎬⎫

=+−

−=−

−−

33)2(2

125

32

ψψχ

χψχψχ

Β/ Αν (χ,ψ) η λύση του συστήματος να αποδειχθεί ότι: (3χ+2ψ)2007 +( 10χ+11ψ)2008=χ-ψ ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται τα πολυώνυμα Α= χ2 +4χ – 12 , Β = 4 – χ2 . Α/ Να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα Α, Β . Β Να λυθεί η εξίσωση Α + 2Β = 0 . ΘΕΜΑ 3ο Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία (ε) παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Αν ΑΔ=4 , ΔΒ=2 και ΑΕ = 6 Α/ Να υπολογίσεις το ευθύγραμμο τμήμα ΕΓ Β/ Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια και να υπολογίσεις τον λόγο ομοιότητας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψεις ένα από τα θέματα θεωρίας και δύο από τα θέματα των ασκήσεων

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007

Σχ. Έτος 2006-2007 ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ

1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες :

( ) =+ 2βα … ( ) =− 3βα …

β.) Να αποδείξετε ότι: ( ) 32233 33 βαββααβα +++=+

2. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Για ποια τιμή του κ , το σημείο (κ-1 , κ) ανήκει στη γραφική παράσταση της παραβολής ;

2. α.) Να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις :

β.) Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

652 +−= xxy

99 23 −+−=Α xxx xx 32 −=Β

ΒΑ

3. Να λυθεί το σύστημα:

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις.

32 =− yx 422 =−+ yxyx

Γραπτές Απολυτήριες Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2007 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ

ΘΕΩΡΙΑ 1ο ΘΕΜΑ:

α) Τι ιδιότητα έχει το ευθύγραμμο τμήμα που φέρουμε από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου, παράλληλο προς μία άλλη πλευρά του;

β) Τι ιδιότητα έχει το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου;

γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του « ΘΑΛΗ ». 2ο ΘΕΜΑ:

α) Να δώσετε τους ορισμούς ημω = …… , συνω = …… , εφω = ……. για οποιαδήποτε γωνία ω (σχήμα )

εφω = συνωημω

β) Να αποδείξετε ότι:

γ) Αν φ και ( 180 – φ ) είναι παραπληρωματικές γωνίες, να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες: ημ (180-φ) = …. συν ( 180 – φ ) = ………… , εφ ( 180 – φ ) = …………

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1η: Να λυθεί η εξίσωση: 6

131

1=

++

+x

xx

x

2η: α) Να γίνει γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων η παρακάτω παράσταση:

( χ+ 2 ) . ( χ- 3 )2 – 9 . ( χ + 2 ) = ………………..

β) Να γίνει γινόμενο το: χ2 – χ – 42 = …………... 3η: Να λυθεί το σύστημα : 2χ – 3y = 12

χ + 1 = -2y

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Απαντάτε σε 1 θέμα θεωρίας και λύνετε 2 ασκήσεις.

x/

y/

x

Μ( x,y) y

ρ ω

ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α) Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων i) ( ) ιι) ( ) ιιι) ...............2 =+ βα ...............2 =− βα ( ) ...............3 =+ βα ιv) ( ) v)...............3 =− βα ( )( ) ............=−+ βαβα β) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( ) ...........3 =+ βα ΘΕΜΑ 2ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Σε κάθε κριτήριο να κάνετε το αντίστοιχο σχήμα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( )(ΘΕΜΑ 1ο α) Να γίνουν οι πράξεις: )1212352 2 +−−−= xxxxA

β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα xxx

xx6

423

3

−+−

ΘΕΜΑ 2ο Να λύσετε το σύστημα

617

312

23

132

=+

−+

=+ψχ

ψx

Κατόπιν να εξετάσετε αν οι λύσεις του συστήματος (χο,ψο) είναι συγχρόνως και λύσεις της εξίσωσης ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) . Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ=ΓΕ αντίστοιχα . α) Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ β) Αν ΔΖ και ΕΗ είναι κάθετες στην ευθεία της ΒΓ να αποδείξετε ότι ΔΖ =ΕΗ

022 =−−αα

ΣΧ. Έτος 2006-2007

ΤΑΞΗ Γ΄ Θέματα απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου

στα Μαθηματικά

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1. α) Διατυπώστε τον νόμο των συνημιτόνων για την πλευρά α ενός τριγώνου ΑΒΓ (τύπος).

β) Να λύσετε τον παραπάνω νόμο (τύπο) ως προς συνΑ

γ) Πώς γίνεται ο νόμος των συνημιτόνων για την πλευρά α, όταν . °=Α∧

90

Θέμα 2.

α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο; (γράψτε από ένα παράδειγμα)

β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια και πότε αντίθετα; (γράψτε από ένα παράδειγμα)

γ) Να συμπληρώσετε την ισότητα (α-β)3 =……………… και να την αποδείξετε.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. α) Να κάνετε τις πράξεις στις παραστάσεις Α , Β εφαρμόζοντας ταυτότητες

όπου υπάρχουν: =Α ( ) ( ) 15232 2 −−ΧΧ−+Χ

Β = ( ) ( ) ( )2222 2 −Χ⋅+Χ⋅−−Χ

β) Να υπολογίσετε την παράσταση Β−Α και στη συνέχεια την αριθμητική

τιμή, όταν 1−=Χ .

2. Να λυθεί στο R η εξίσωση:

43

201

34 2 −Χ+Χ

=−Χ

++ΧΧ


( ) 3322 −Υ−Χ=Υ−Χ⋅

( ) 2423 +Υ+Χ=Υ+Χ⋅

Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Μαθηματικά γ΄ Γυμνασίου

ΘΕΩΡΙΑ (Προσοχή από τα δύο θέματα θεωρίας θα απαντήσετε μόνο στο ένα)

ΘΕΜΑ 1ο: α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )2 2 2α+β =α +2αβ+ββ) Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ταυτότητες:

( ) ( )α+β . α-β =... ( ) 3α+β =...( )2α-β =....

M(x,y) y

x

y΄

x΄

ρ

ω

Ο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Προσοχή από τις τρεις ασκήσεις θα απαντήσετε μόνο στις δύο)

ΘΕΜΑ 2ο: Δίνεται η γωνία του σχήματος ω=ΟΜ∧

xα) Να γράψετε στην κόλλα σας συμπληρωμένες τις ισότητες

η μ ω = σ υ νω = εφ ω =

η μ ωε φ ω =σ υ ν ωβ) Να αποδείξετε ότι

ΑΣΚΗΣΗ 1η α) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις x-2

Α= 3 2x -5x +6x και

2x +3x= 2x - 9

Β

β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασηςΑ

Β όταν 1

x=2007

ΑΣΚΗΣΗ 2η α) Να λυθεί η εξίσωση 2 3

- = 3 2 x+2x - 4x x - 4

1

β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης όπου είναι η δεκτή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης.

( ) ( )22Π= x-2 . x +2x+4 x

ε1 ε2

ε3

Α

Β

Γ

Δ

Ε

Ζ

2cm

6cm

x +1

4x -1

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο σχήμα είναι . ε //ε //ε1 2 3α) Να υπολογίσετε το x β) Να υπολογίσετε το μήκος των τμημάτων . και ΕΖΔΕ

Α. ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο

i. Τι ονομάζουμε ταυτότητα; ii. Να συμπληρώσετε τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων ώστε να είναι ταυτότητες :

α) (α + β) * (α – β) = ………… , β) (α – β)3 = …………… iii. Να αποδείξετε την ταυτότητα : χ2 + (α + β) * χ + α*β = (χ + α) * (χ + β)

Θέμα 2ο

i. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή ii. Να συμπληρώσετε τα κενά στις διαδοχικές ισότητες, με ευθύγραμμα τμήματα,

ώστε να εκφράζουν το παραπάνω θεώρημα ....

........

........

ΑΔ=

ΗΘ=

ΒΔ=

ΖΗ=

AB αν

ε1//ε2//ε3//ε4. ε ε΄

ε1 Α Ε ε2 Β Ζ ε3 Γ Η ε4 Δ Θ


1η : Να αποδείξετε την ταυτότητα : χσυνημχημχ 2

21

11

1=

++

−

2η :

i. Να επιλύσετε το σύστημα : 6χ – 2ψ = -3 3χ + 6ψ = 16

[Απάντηση : (χ , ψ) = (25,

31 )]

ii. Για τις τιμές αυτές των χ και ψ να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης

Α= ψχ

ψχψχ22

22 )()( *

−

−+

3η : Αν Α=36

672

2

−

+−

xx x

και Β=1

672

2

−

++

xx x

i. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. ii. Να λύσετε την εξίσωση Α = Β. iii. Να αποδείξετε ότι : (Α + Β)2 – (Α – Β)2 = 4

ΤΑΞΗ Γ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο : α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: 222 2)( βαβαβα +−=− β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ...)( 2 =+ βα

...)()( =−⋅+ βαβα ...)( 3 =+ βα

ΘΕΜΑ 2ο : α) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των συμπληρωματικών γωνιών. β) Να γράψετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών.

γ) Να γράψετε τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας αν i) Η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και ii) Η γωνία βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο.

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η: Να λύσετε την εξίσωση:

31

32

91

2 −−

+=

−x

x xx 2η: α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία Α (-2,-1) και Β (1,5) β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες x’x και y’y η γραφική παράσταση της ευθείας του α ερωτήματος. 3η: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ).

Α

Παίρνουμε στη βάση ΒΓ τμήματα ΒΔ=ΓΕ και φέρνουμε ΔΖ κάθετη στην ΑΒ και ΕΗ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΕΗ είναι ίσα. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Ζ Η Γ Β Δ Ε Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ τάξη

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ :

1. α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα στα παρακάτω i) (α – β)2 = ………. ii) (α – β)3 =……….. γ) Να αποδείξετε τη ταυτότητα :

(α + β)3 = α3 + 3α2 β + 3αβ2 + β3 2. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων xOy δίνεται η γωνία = ω . Να δείξετε MOx ότι : α) ω + συν2ω = 1 2ημ

β) εφω = συνωημω , συνω ≠ 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Από το μέσο Μ του ΒΓ φέρνουμε τις αποστάσεις ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι ΜΕ = ΜΖ. 2. Να λύσετε το σύστημα :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=+

2 6

3 -y - 4

2 x

6 5y

23x

3. Να λύσετε την εξίσωση

2

4 x 5 -x 2x - 10 +

=

Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!

Προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαίου- Ιουνίου 2007 Στa Μαθηματικά της Γ΄ Γυμνασίου

Ονοματεπώνυμο

ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Α. Για την γωνία xOM=ω του διπλανού σχήματος

να αποδείξετε ότι: συνωημωεφω =

Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ημ(90-ω)=………. ημ(180-ω)=……… ημ2ω+συν2ω=……..

εφ(180-ω)=……..

Γ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα να την χαρακτηρίσετε Σωστή ή Λάθος. Π1: Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες Π2: Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία Π3: Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν δυο γωνίες τους και δυο πλευρές τους ίσες μία προς μία Π4: Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δυο γωνίες τους ίσες μία προς μία και η μια πλευρά του ενός είναι ίση με μια πλευρά του άλλου ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2. Α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i) (α+β)2=……………………. Iιi) (α-β)2=……………………. Iiii) (α+β)3=……………………. Iiv) (α-β)3=……………………. B) Επιλέξτε τη σωστή πρόταση: Mια εξίσωση 2ου βαθμού μπορεί να έχει: Α: Μια λύση Β: Το πολύ δυο λύσεις Γ: Καμία λύση Δ: Τουλάχιστον δύο λύσεις Γ) Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=3χ, επιλέξτε τη σωστή πρόταση: i) διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Είναι καμπύλη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων iii) Είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα χ΄χ iv) Είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα ψ΄ψ ΑΣΚΗΣΗ 1

i) Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παρακάτω παραστάσεις: Α = α2(α-2)-3(α2-2α) B = x2-6x+9 ii) Να απλοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις:

Α= 3

2

)1(6)1(3

++

xx Β=

4)2(3)2(

2 −−+−

aaaa

ΑΣΚΗΣΗ 2 Α. Να λυθούν οι εξισώσεις :

i) 4x2-x-5=0 ii) 2x +

x2 =-2

ΑΣΚΗΣΗ 3

Αν x+x1 =5, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:

α) x2 + 2

1x

β) x3 + 3

1x

Να απαντήσετε σε μια από τις δυο ερωτήσεις θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις.

Καλή επιτυχία

Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου –Ιουνίου

στα Μαθηματικά ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο : Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Θέμα 2ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: (α-β)2 =….. (α+β) (α-β) = γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β)3=α3-3α2β+3αβ2-β3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1ο : Να λυθεί το σύστημα : 2

31

23

=+

−− yx

2χ+3(y-2)=-8 Θέμα 2ο : Δίνονται τα πολυώνυμα : Α=1-4χ2 Β= 2χ+4χ2

a. Να παραγοντοποιηθούν b. Να απλοποιηθεί το κλάσμα

BA

c. Να λυθεί η εξίσωση BA = χ

Θέμα 3ο : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε ΒΔ κάθετη στη ΒΓ Και ΓΕ κάθετη στη ΒΓ στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς τη ΒΓ, ώστε τα κάθετα τμήματα ΒΔ και ΓΕ να είναι ίσα. Να δείξετε ότι : Α Ε= Α Δ

^Δ

^Ε

Α’ ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1ο : Να διατυπώσετε το νόμο των συνημιτόνων. Σχήμα απαραίτητο.

ΘΕΜΑ 2ο : Για ένα σύστημα (2) εξισώσεων 1ου βαθμού, με δύο άγνωστους, εξηγήστε τι σημαίνει

γραμμική λύση και τι αλγεβρική λύση. Δώστε ένα παράδειγμα.

Β’ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :

ΑΣΚΗΣΗ 1η : Να λυθεί η εξίσωση : 5210

−−

xx =

24+x

ΑΣΚΗΣΗ 2η : Να βρείτε ποιες από τις ευθείες είναι παράλληλες : y=3x+4, y=4x+4, y=3x+3,

y=4x-3, y=4x+3, y=x+4

ΑΣΚΗΣΗ 3η : Στο διπλανό τρίγωνο να υπολογίσετε τα τμήματα ΚΒ και ΚΗ (προσέγγιση

εκατοστού)


Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ

ΤΑΞΗ: Γ΄ Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά. .

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2.

Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα στις παρακάτω ταυτότητες: α) (α - β)2 =………………………… β) (α + β) · (α - β)=………………… γ) (α + β)3 =………………………... δ) (α - β)3 =…………………………

2. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: x 2 + 10·(x + 1) = -x 2 - 2 .

2. Δίνεται γωνία ω με 90 0 <ω<180 0 και ημω = 54

.

α) Να βρείτε το συνω και την εφω. β) Να βρείτε το ημ(180 ω), το συν(180 ω) και την εφ(180 ω). γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = συν2ω · (1 + εφ2ω).

3. α) Να λυθεί το σύστημα: ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ψ+

0 - 0 - 0 -

+ψ=113x7x2 .

β) Για τις τιμές των x και ψ που βρήκατε στο (α) ερώτημα, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Α = (x2x+ ψψ + x)x- x4- x. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δύο θέματα ασκήσεων. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 στα Μαθηματικά

τάξη Γ' Θεωρία 1ο) α. να αποδείξετε ότι (α+β)^2=α^2+2αβ+β^2 β. να συμπληρώσετε τις ισότητες: Ι) α^2-β^2=……….. ΙΙ) (α-β)^3=………… 2ο) Α. Να συμπληρώσετε τις ισότητες Ι) ημ(180ο-ω)=………… ΙΙ) συν(180ο-ω)=………. ΙΙΙ) εφ(180ο-ω)=………… Β. Να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο (<, >, =) στα εξής: Αν 0ο <x <180ο τότε ημx……..0 Αν 90ο <x <180ο τότε συνx…….0 Ασκήσεις 1η) Να λυθεί η εξίσωση

2η) Αν Α=x^2+x^2ψ-x-ψ και Β=x^2-ψ^2 τότε α. να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις Α και Β β. να απλοποιήσετε το κλάσμα

3η)Να λυθεί το σύστημα:


ΘΕΜΑ 1ο . Ν’ αποδείξετε την ταυτότητα :

(α+β) 3 = α3 + 3α2β+ 3αβ2 + β3 Να συμπληρώσετε τα κενά : (-α+β) 2 = ……………., (α+β) 2 = …………….., (α-β) . (α+β) = ……………… ΘΕΜΑ 2ο . Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ χ 3 20 1. Να λυθεί εξίσωση : + = χ+4 χ-1 χ2+3χ-4 χ+ψ χ-ψ = 5 3 2. Να λυθεί το σύστημα: χ+ψ χ-ψ ψ+2 - = 2 3 2 5 3. Αν ημω = - και 270ο < ω < 360ο, να βρεθούν το συνω και εφω 13 Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α: ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1 α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο; β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; γ) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: (α-β)2=….. (α+β)3=….. ΘΕΜΑ 2 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ημ2ω+συν2ω=1 β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: συν(90 o -ω)=… ημ(180 -ω)=… o

εφ(180 o -ω)=…

Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1

∆ίνεται το κλάσμα: 12

1822

2

−+−χχ

χ

α) Να παραγοντοποιηθούν οι όροι του β) Για ποιες τιμές του χ ορίζεται το κλάσμα αυτό γ) Να γίνει απλοποίηση του κλάσματος ΘΕΜΑ 2

Να λυθούν τα συστήματα: α) 273 =+ ψχ β) 143

1=−

+ ψχ

245=+

ψχ 3146 =+ ψχ

ΘΕΜΑ 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ+β διέρχεται από τα σημεία Μ και Ν με συντεταγμένες Μ(1,-3) και Ν(-1,-9). α) Να βρεθούν τα α και β β) Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες χχ΄και ψψ΄ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!

1

Α. ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο : Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. ∧ ΘΕΜΑ 2Ο : Δίνεται η γωνία x OM = ω του σχήματος

y Μ(x,ψ)

ρ ω

x

Ο

α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες ημω = ….. συνω = …. εφω = ….

β) Να αποδείξετε ότι εφω = συνωημω .


ΑΣΚΗΣΗ 1η

2

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4(x² + x + 1) = 3x² + 1

β) 1

2

−xx − 5 =

11−x

ΑΣΚΗΣΗ 2η Να λύσετε τα συστήματα α) x − 3y = −2 β) 3x − 7y = 12

2x + 5y = 7 −x +37 y = − 4

ΑΣΚΗΣΗ 3η Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 6 cm, ΓΑ =8 cm, ΕΖ =10 cm, ZΔ = 15 cm και ΔΕ = 20cm. α) Να δείξετε ότι είναι όμοια και να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. β) Να γράψετε τις ίσες γωνίες που προκύπτουν από την ομοιότητα.

Δ15

Α 4 ΖΒ

610

820

Γ

Ε

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες : (α + β)2= (α - β)2= (α + β)3= (α - β)3= (α + β) (α - β) = και να αποδειχθεί η πρώτη και η τελευταία ταυτότητα Θέμα 2 Να γραφτούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1 Να λύσετε τις εξισώσεις ι) χ2 + 7χ + 6 = 0 ιι) 9χ2 + 12χ + 4 = 0 ιιι) χ2 + χ + 6 = 0 Θέμα 2 Να κάνετε τις πράξεις

Α= 6492

+−

xx .

7362

+−

xx Β=

162 −+

ωψχ :

4

22

+−

ωψχ

Θέμα 3 Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων

3χ + 2ψ = -1 χ + 4ψ = 1

5

Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007


ΘΕΜΑΤΑ Α.ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1.

α) Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ( ( ( ............)2

=−βa .........)3=−βa ........)3

=+βα ..........22 =− βα

β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( βαβαβ 222 2) +++ =a ΘΕΜΑ 2.

Να διατυπώσετε: α )Τα κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. β) Τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1. Nα λυθεί το σύστημα: 2χ+3ψ=1 3χ+ψ=12 ΘΕΜΑ 2.

Να λυθεί η εξίσωση: 41

2−+

xx =

1052−x + 2

1+−

xx

ΘΕΜΑ 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ). Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε σημείο Κ και στην πλευρά ΑΓ σημείο Λ ώστε ΑΚ=ΑΛ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα . (

Δ

ΑΒΓ

Δ

ΚΒΜ Δ

ΜΛΓΔΔ

ΜΛΓ=ΚΒΜ )

β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Δ

ΚΛΜ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ΄ΤΑΞΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ 1: α)Τι ονομάζεται μονώνυμο; β) Τι ονομάζεται συντελεστής και τι κύριο μέρος μονωνύμου; γ)Πότε δυο μονώνυμα λέγονται όμοια;(παράδειγμα) ΘΕΩΡΙΑ2: Για τη γωνία χοΜ=ω του παρακάτω σχήματος να αποδείξετε ότι:

i) M(χ,ψ) ψ 122 =+ ωσυνωημ

ii)συνωημωεφω = ( )0≠συνω ω

χ ΄ χ Ο

ψ΄ ΑΣΚΗΣΗ1:Να λύσετε το παρακάτω σύστημα δυο γραμμικών εξισώσεων:

11χ-2ψ=12 χ+ψ=7 ΑΣΚΗΣΗ2:α)Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: , και 2 22 −+ χχ 442 ++ χχ 82 −χ

β)Ανχ

χ−−

=2

82 2

A και 44

22

2

++−+

=χχχχB να βρείτε για ποιες τιμές του χ δεν ορίζεται

η αριθμητική τιμή της παράστασης BA ⋅ γ)Να απλοποιήσετε την παράσταση BA ⋅ ΑΣΚΗΣΗ3:Στο παρακάτω σχήμα είνα ΔΕ| | ΒΓ και ΑΔ=3χ+1, ΔΒ=χ-1 ,ΑΕ=χ+7 και ΕΓ=χ-2. Α Να υπολογίσετε το χ. 3χ+1 χ+7 Δ Ε

χ-1 χ-2 Β Γ

(ΕΠΙΛΕΓΕΤΕ 1 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ


1) α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. (α+β)2=………………………………. (α-β)3=……………………………….. γ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α-β)2=α2-2αβ+β2 2) α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς

Μ(χ,ψ) ψ αριθμούς της τυχαίας γωνίας ω

ρ ω από το διπλανό σχήμα.

χ΄ χ β)Να αποδείξετε ότι εφω=συνωημω

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ψ΄ 3(χ+1)-2(ψ-1)=12 1) Να λυθεί το σύστημα

23

21

32

=+

−+ ψx

2) Να λυθεί η κλασματική εξίσωση x

xx

x−

−=− 1

21

22

3) Να γίνουν οι πράξεις και να απλοποιηθεί η παράσταση

Α=xxx

xxx

315

23

94

22

2

−−

−+

⋅−−

(Από τις δύο θεωρίες να κάνετε τη μία και από τις τρεις ασκήσεις τις δύο )

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ 1. Α. Να αποδείξετε ότι: (α+β)(α-β) = α2 - β2

Β. Να μεταφέρετε τα παρακάτω στο φύλο απαντήσεων και να συμπληρώσετε τα κενά: i) (α+β)2=……………….. ii) (α-β)2=………………... iii) (α+β)3=……………….. iv) (α-β)3=α3……+3αβ2….. 2. Α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β. Να γράψετε το θεώρημα του Θαλή. Να κάνετε σχήμα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4χ2 - 16χ = 0 β) χ2 + 49 = 0 γ) χ2 + χ - 6 = 0

Β. Να λυθεί η εξίσωση: 9

43

23

3222 −

=−

−+ xxxxx

2. Α. Να λυθεί το σύστημα : 2x – y = 4 3x + 2y = 13 Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(-1,-1) και Β(1,5). 3. Α. Να υπολογίσετε το γινόμενο: (1+εφ180ο) (1-ημ0ο) συν30ο ημ45οεφ60ο= Β. Να δείξετε ότι: ημχ συν2ω + ημχ ημ2ω = εφχ συνχ (Να απαντήσετε σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο από τα τρία θέματα των ασκήσεων)

= =

2. α)Να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ

1.α)Να αποδείξετε ότι = +2αβ + 2)( βα + 2α 2β β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες = , 2)( βα + ( )βαβα −+ )(

3)( βα +

συνωημωεφω =

β)Να συμπληρώσετε τις ισότητες ,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί η εξίσωση 1-

=− )180( 0 ωημ =− )180( 0 ωσυν=− )180( 0 ωεφ

0412 =−

−χχχ

2. Σαράντα τέσσερις μαθητές της Γ΄ Τάκης του Γυμνασίου πήγαν εκδρομή και διανυκτέρευσαν στο Βόλο. Στο ξενοδοχείο ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ χρησιμοποιήθηκαν 18 δίκλινα και τρίκλινα δωμάτια. Πόσα δίκλινα και τρίκλινα χρησιμοποιήθηκαν αν κάθε μαθητής είχε το κρεβάτι του.

3. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε τα ύψη ΑΔ και ΓΕ . Αυτά τέμνονται στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΓΔΖ είναι όμοια. Μετά να γράψετε τις αναλογίες των πλευρών.

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡ. ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α)ΘΕΩΡΙΑ 1)α)Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων ΧΟΨ παίρνουμε ένα σημείο Μ(χ,ψ) τέτοιο,ώστε ΧΟΜ=ω.Να γράψετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω (να κάνετε και σχήμα) β)ποιο είναι το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω, όταν 900<ω<1800

γ)ποιες σχέσεις ισχύουν για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών ω και 1800-ω; 2)α)τι είναι η γραφική παράσταση των συναρτήσεων i) ψ=αχ και ii)ψ=αχ+β β)να σχεδιάσετε τις ευθείες ψ=2 και χ=3.Από τις δύο αυτές ευθείες ποια είναι γραφική παράσταση συνάρτησης και γιατί ; Β)ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)α)Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο 3x3 –5x2 +2 β)Να λύσετε την εξίσωση 3x3 –5x2 +2x=0 2)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(-1,2) και Β(4,-1) 3)Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ ,ΓΔ και ΑΒ>ΓΔ. Να φέρετε τα ύψη ΔΕ και ΓΖ του τραπεζίου α)να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΓΒΖ β)να συγκρίνετε τα τμήματα ΑΕ και ΒΖ γ)να δείξετε ότι ΑΕ=

2ΓΔ−AB

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ


ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο Α. Πως προσθέτουμε δυο όμοια μονώνυμα, πως πολλαπλασιάζουμε δυο μονώνυμα. Β. Να συμπληρώσετε την ισότητα (α-β)3=……….. ΘΕΜΑ 2Ο Α. Γράψτε τις 3 περιπτώσεις ισότητας τριγώνων Β. Πότε 2 πολύγωνα είναι ιόμοια, πότε 2 τρίγωνα είναι όμοια ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1Ο Να λυθεί η εξίσωση (χ-8)2=(χ+8)2-χ2-24χ-7 ΘΕΜΑ 2Ο

Αν τα 2 τρίγωνα ΑΒΓ Α’Β’Γ’ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ , να δείξετε ότι και ο λόγος

των διχοτόμων ΑΔ και Α’Δ’ λδδ

='

ΘΕΜΑ 3Ο Να λυθεί το σύστημα

732=−

yχ

132=−

yx

1


ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:________________________________________________

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α+β)2 = α2+2αβ+β2

β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες:

(α-β)2=….

(α+β) · (α-β)=….

(α+β)3=….

(α-β)3=….

2. α) Να αποδείξετε ότι συνωημωεφω =

β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

ημ(180-ω)=…. ημ(90-ω)=….

συν(180-ω)=…. συν(90-ω)=….

εφ(180-ω)=…. ημ2ω+συν2ω=….

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθούν η εξισώσεις:

α) x2-2x-3=0

β) (3x2 + 2x) · (x2-1) · (x2+2)=0

2. α) Να λυθεί το σύστημα:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

=−

−+

234

228

ψ

ψψ

x

xx

β) Αν (x 0, ψ 0) είναι η λύση του συστήματος, να βρεθεί το α ώστε η ευθεία

ψ=αx-4 να διέρχεται από το σημείο (x 0, ψ 0).

2

3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε ΓΔ κάθετη στην ΑΓ και

ΒΕ κάθετη στην ΑΒ και παίρνουμε ΒΕ=ΓΔ.

Από Ε και Δ φέρνουμε τις κάθετες στην ΒΓ, ΕΖ και ΔΗ αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα

β) τα τρίγωνα ΒΕΖ και ΓΔΗ είναι ίσα.

Α

Ε Δ

Ζ Β Γ

Η

ΘΕΜΑΤΑ

Γραπτών ανακεφαλαιωτικών προαγωγικών εξετάσεων

περιόδου Μαΐου- Ιουνίου στα Μαθηματικά

ΘΕΩΡΙΑ

1. Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες ( )2βα + =……………………………., ( )( ) ......................................=−+ β α βα ,

=……………………………………… ( 3βα − ) Β. Να αποδειχτεί η ταυτότητα ( ) 32233 33 βαββααβα +++=+

2. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει,

Α. 122 =+ ωσυνωημ

Β. συνωημωεφω = για 0≠συνω

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η εξίσωση 1

21

41 2 +

=−

−− χχχχ

Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ μηδενίζονται οι παρονομαστές της παραπάνω εξίσωσης

Β Να λυθεί η παραπάνω εξίσωση

A 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ // ΒΓ και ΕΖ // ΑΒ , ΑΔ=7cm, ΕΓ=6cm, ΑΕ=χ, ΕΖ=3cm. 7 x Να υπολογίσετε το χ.

Ε ∆ 6 3 B Γ Ζ

3. Αν τα συστήματα (Σ1): 93

==

+−

yy

x και (Σ2): ay

ay ββ =

=⎨ έχουν την ίδια

λύση, να βρείτε τους αριθμούς α,β. 2⎩⎨⎧ x

−+

⎩

⎧32xx

(Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δυο ασκήσεις )

Καλή Επιτυχία

ΤΑΞΗ Γ΄ Γυμνασίου

Θέματα γραπτών απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 ΘΕΩΡΙΑ 1. Να αντιγράψετε στην κόλα σας τον πίνακα (2) και να τον συμπληρώσετε, αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της 1ης στήλης, το ανάπτυγμα της 2ης στήλης του πίνακα (1) Πίνακας (1)

1η Στήλη 2η Στήλη i. (α-β)2 1. α3-β3

ii. (α+β)(β-α) 2. α2+2αβ+β2

iii. (α-β)3 3. α3-β3-3αβ(α-β) iv. (α+β)2 4. α2-β2

5. β2+α2-2αβ 6. β2- α2

Πίνακας (2)

i. ii. iii. iv.

2. Να σημειώσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις, αντιγράφοντας στην κόλα σας μόνο το νούμερο της πρότασης: i) Δύο τρίγωνα με ίσες γωνίες είναι ίσα. ii) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις υποτείνουσες και από μία οξεία γωνία ίσες, είναι ίσα. iii) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν από μία οξεία γωνία ίση είναι όμοια. iv) Δύο ισοσκελή τρίγωνα που έχουν ίσες τις βάσεις και τις γωνίες που περιέχονται στις ίσες πλευρές ίσες, είναι ίσα. v) Α Ζ Ο Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΖΕ και Α = Ε. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΟ=ΖΕΟ. Β Ε vi) Α Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ//ΚΛ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΚΛ είναι όμοία. Κ Β Λ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τους παρακάτω τύπους:

α) SlR ρ= , ως προς S. β)

21

111RRR

+= , ως προς R.

γ) γαβ112

+= , ως προς α. δ) λ

α−

=1

S , ως προς λ

2. Αν ισχύει 21

−=ψχ , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

22

22 64ψχ

ψχψχ+

+−=Α

3. Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και εισπράχτηκαν 1810 €. Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε 2€ και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,2€, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες. ( Από τα δύο θέματα θεωρίας γράφετε το ένα , από τις τρεις ασκήσεις γράφετε τις δύο και όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα).

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 .α.Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. β. Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου ; ΘΕΜΑ 2 α. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων χοψ δίνεται σημείο Μ(χ,ψ). Αν η Γωνία ΧΟΜ=ω και ΟΜ=ρ να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημω=……. συνω=….. εφω=…… β.Να αποδείξετε ότι ημ2ω+συν2ω =1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1 Δίνετε η παράσταση Α=9

16)53(2

2

−−+

xx

α. Για ποιες τιμές του χ από το R έχει νόημα η παράσταση; β. Να απλοποιηθεί η παράσταση Α. γ. Να λυθεί η εξίσωση Α=3 ΘΕΜΑ 2 Αν για την γωνία ω ισχύουν¨:

ημω= 22 και 0<ω<90

α. Να υπολογίσετε το συνω. β. Να υπολογίσετε την εφω. γ. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α=-3εφω.συνχ+2συν2ω. Όπου χ τυχαία γωνία. ΘΕΜΑ 3 Να υπολογίσετε τα α, β αν γνωρίζετε ότι οι αριθμοί 2 και 3 είναι λύσεις της εξίσωσης: χ2-(2α+1)χ+2β=0 Από τα δύο θέματα θεωρίας γράφετε το ένα και από τα τρία θέματα ασκήσεων γράφετε τα δύο. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ 1Ο Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: α) α+β) (α-β)= ………………….. β) (α-β) 2 = ………………………. γ) (α+β)3 = ………………………………………

δ) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) 3

ΘΕΜΑ 2Ο Να συμπληρώσετε της ιδιότητες: α) ημ2ω+…..=1 β) γ2=β2+α2-…….. γ) ……..≤ συνω ≤ …….. δ) ημ (90ο-ω)=…… ε) συν (180ο –ω)=…… ζ) εφω= ……..

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η. Να λύσετε την εξίσωση : (χ+3)2 = 2χ+6 ΑΣΚΗΣΗ 2η.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(2,5) , Β(1,3) ΑΣΚΗΣΗ 3η. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και χορδή του ΑΒ η οποία δεν περνάει από το κέντρο Ο. Φέρνουμε την ΟΚ ΑΒ η οποία τέμνει τον κύκλο στο Μ. Φέρνουμε ΑΒ την ΜΝ ΑΟ. Να δείξετε ότι ΜΝ = 2

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΈΜΑ 1Ο : ι) Nα αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 ιι) Να συμπληρωθούν οι ισότητες γράφοντας τα αναπτύγματα των παρακάτω ταυτοτήτων (α+β) (α - β) =……….. (α - β)2 =………………. (α - β)3= ……………….

ΘΕΜΑ 2Ο : Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1Ο : Στο παρακάτω σχήμα ΔΕ// ΒΓ. Αν ΑΔ= 2ψ , ΑΕ=3 , ΔΒ= ψ+1, ΕΓ= 4ψ-1 να υπολογιστεί η τιμή του ψ .

Α

3 2ψ

ΕΔ

4ψ-1 ψ+1

ΓΒ ΘΕΜΑ 2Ο : ι) Να υπολογιστεί η παράσταση:

00

000

7010013580110

ημσυνεφσυνημ

⋅⋅⋅

ιι) Να αποδειχθεί οι παρακάτω ισότητα: (ημχ + συνχ)2 + )+ (ημχ - συνχ)2 = 2 ΘΕΜΑ 3Ο : Να λυθεί το σύστημα:

16

43

2=

+−

−χ ψ

2(3χ-5) - 4(ψ-1) = 34 ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΥΟ ΘΕΩΡΙΕΣ ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ Η ΜΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΔΥΟ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο: α) Να αποδείξετε την ταυτότητα β)Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες:

( ) 22)( βαβαβα −=−⋅+

( ) =+ 2βα

( )( ) =−

=−3

2

βα

βα

ΘΕΜΑ 2Ο: Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή και να το εφαρμόσετε στο διπλανό σχήμα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο α) Αν 00<ω<900 και 54

=ημω

τιμή της

να υπολογισθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί

της γωνίας ω. β) Να υπολογισθεί η παραστασης: ( ) ( )ωεφωημωημ −⋅+−⋅+−=Α 1803903)180( 0

ΘΕΜΑ 2Ο Να λυθεί το σύστημα:

13

2

732

=−

=−

ψχ

ψχ

ΘΕΜΑ 3Ο α) Να απλοποιηθούν τα κλάσματα:

8263

2

2

−⋅⋅−⋅

=Αχ

χχ 2

62

+−−

=Βχχχ

β) Να λύσετε την εξίσωση Α=Β , όπου Α,Β είναι οι παραστάσεις που θα προκύψουν από τις απλοποιήσεις του πρώτου και του δευτέρου κλάσματος αντίστοιχα. ΠΡΟΣΟΧΗ :Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων.

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο : Α. Τι ονομάζουμε ταυτότητα;

B. Γράψτε συμπληρωμένες τις παρακάτω ταυτότητες i) ( ) 2a β ...+ = ii) ( )( )α β α β ...+ − =

iii) ( )3α β ...− =

Γ. Αποδείξτε την ταυτότητα ( )2 2 2α β α 2αβ β− = − + ΘΕΜΑ 2ο : Δίνεται η συνάρτηση 2y ax , a 0= > . Α. Πως λέγεται η γραφική της παράσταση;

B. Ποιες ιδιότητες έχει; Γ. Κάντε μια πρόχειρη γραφική παράσταση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η : Α. Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων τις παραστάσεις:

2 2 2x 2x, x 4, 3x 6, x 4x 4− − − − +

Β. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: 2

2 2x 2x 3x 6A , Bx 4 x 4x 4− −

= =− − +

Γ. Να λύσετε την εξίσωση A B 0− =

ΑΣΚΗΣΗ 2η : Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα.

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΖ, ΕΖΓ είναι ίσα. Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. Γ. Αν AB 8cm= και BΓ 4cm= , να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΔΕΖ.

ΑΣΚΗΣΗ 3η ( ) ( )22 2 2

yx 52 6 2x 1 y 2 x y 1

⎧ + =⎪⎨⎪ + + − = + +⎩

. : Δίνεται το σύστημα

Β. Να λύσετε το σύστημα:

Σημείωση: Πρέπει να απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα

θεωρίας, και σε δύο από τις τρεις ασκήσεις.


Α. Κάνοντας πράξεις σε κάθε εξίσωση να αποδείξετε ότι έρχεται στην

απλούστερη μορφή: 3x y 15x 2y 2

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =−⎪⎩.

3x y 15x 2y 2

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =−⎪⎩

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο: α)Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α+β)2 = ……………. (α−β)2 = ……………. (α+β)Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης..(α–β) = ………. β)Να αποδείξετε ότι: (α+β)3 = α3+3α2β+3αβ2+β3 ΘΕΜΑ 2Ο: α)Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. β)Πότε δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο: Δίνεται η εξίσωση 3

)9()3( 2

−+⋅+

⋅ΑΒ

=Γx

xx όπου ,

και

814 −=Α x

36244 2 +−=Β xx 6

53

xxx ⋅

=Γ

α)Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β.

β)Να απλοποιήσετε την παράσταση Γ και την κλασματική παράσταση ΑΒ

γ)Με δεδομένο ότι 0≠x και 3±≠x να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. ΘΕΜΑ 2Ο: ε1 Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2//ε3. α)Να γράψετε την ισότητα x 33 των λόγων που προκύπτει ε2 από το θεώρημα του Θαλή. 7 x–10 β)Να υπολογίσετε το x. ε3

ΘΕΜΑ 3Ο: Να λύσετε το σύστημα: 32

35

4=−

− ψx

112)2()4()1( 2 =+−⋅−−+ ψxxx ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ (ΟΠΟΙΟ ΘΕΛΕΤΕ) ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ (ΟΠΟΙΑ ΘΕΛΕΤΕ) ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΖΗΤΗΜΑ 2ο α) Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων xOy να πάρετε ένα σημείο Μ(x, y) στο δεύτερο τεταρτημόριο. Να ονομάσετε ω τη γωνία xOM και ρ το μήκος ΟΜ. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω χρησιμοποιώντας τα μεγέθη x, y, ρ. β) Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους να αποδείξετε ότι 122 =+ ωσυνωημ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο

Να λύσετε το σύστημα

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−+

=+

+−

34

13

52

53

12

1

xy

yx

ΖΗΤΗΜΑ 2ο Έστω η ευθεία 3x - y = - 6α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες xx΄ και yy΄ αντίστοιχα. β) Αν Ο η αρχή των αξόνων να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 3ο α) Αναπτύξτε τις ταυτότητες

Α= 2)2( +xΒ= 3)1( −x

β) Για τα Α και Β του α) ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση 025 2 =+−+ BAxx Να απαντήσετε σε ένα ζήτημα από τη θεωρία και σε δύο ζητήματα από τις ασκήσεις


ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

Α) Τι λέγεται μονώνυμο;

Β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;

Γ) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα;

ΘΕΜΑ 2ο

Να συμπληρωθούν οι ισότητες :

i. (α+β)2=….

ii. (α+β) (α-β)=….

iii. (α+β)3=…

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η

i. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα :

χ2-4=… χ3-4χ=… χ2+2χ=…

ii. Να λύσετε την εξίσωση:

Άσκηση 2η

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 20m και εμβαδόν 21m2. Να βρεθούν οι

διαστάσεις αυτού.

Άσκηση 3η

Να αποδειχθεί ότι :

(2ημχ+3συνχ)2+(3ημχ-2συνχ)2=13

Να απαντήσετε σ’ ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006 - 2007


1) Α) Τι ονομάζεται μονώνυμο;Πότε δύο μονώνυμα θα λέγονται όμοια ; ( άθε περίπτωση και α Β) Να διατυπώσετε τον Νόμο των Ημιτόνων

Να αναφέρεται σε κ πό ένα παράδειγμα )

2) A Β)Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,

) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή.( να γίνει και σχήμα )

γράφοντας στο γραπτό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

1. Δύο ισοσκελή τρίγωνα με μία γωνία ίση είναι όμοια. 2. ( )2 2ημ 180 ω συν ω 1− + =

3. Δύο κανονικά πολύγωνα με ίδιο αριθμό πλευρών είναι πάντα όμοια.

4. Δύο ορθογώνια τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες είναι ίσα .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να αποδειχθεί η ταυτότητα : ( ) ( ) ( )2 222 2 2 22α −β + αβ = α +β

2) Να λυθεί η εξίσωση : 21 1 22 x 1 x 1+ =

− −

3) Να λυθεί το σύστημα : x 4y 12x 2y 3 0

⎧⎪⎨⎪⎩

+ =

− + =

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!

ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Από τα δύο θέματα θεωρίας να απαντηθεί μόνο το ένα και από τις τρεις ασκήσεις μόνο οι δύο

∆

ΓΒ

Ε

Α

Η

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο Α) Να αποδείξετε την ταυτότητα : (α+β)2=α2+2αβ+β2 Β) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος καθεμία από τις επόμενες ισότητες: i) (α-β)2 = α2+2αβ-β2 ii) (α-β)(α+β) = α2-β2 iii) (α-β)3 = α3-β3-3α2β+3αβ2 ΘΕΜΑ 2Ο

Α) Δίνεται η γωνία = ω του σχήματος . Να ˆxOM

αποδείξετε ότι : συνωημωεφω =

Β) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθος καθεμία από τις επόμενες ισότητες: i) ημ(180ο - ω) = ημω ii) συν(180ο - ω) = - συνω iii) συν(90ο – ω) = - ημω

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να λύσετε το σύστημα :⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−+

103

623

2

yx

yx

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να λύσετε την εξίσωση: 2

6 5 13 6 53 2

x xx x x x 6− −

− = −+ − + −

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Αν ΒΔ ,ΓΕ είναι τα ύψη του και Η το σημείο τομής τους . Να αποδείξετε ότι :

i) ΒΔ=ΓΕ ii) Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. iii) Τα τρίγωνα ΒΗΕ και ΓΗΔ είναι ίσα.

Nα απαντήσετε σε ένα από τα δυο θέματα θεωρίας και σε δυο από τις τρεις ασκήσεις.

x

y

O

ω

Μ(x,y) •

x΄

y΄


ΟΝΟΜΑ:----------------------------------------------

Από τα δυο θέματα θεωρία να κάνετε ένα και από τις τρεις ακήσεις τις δυο. Όλα τα θέματα να απαντηθούν στο γραπτό σας. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α) Τι ονομάζεται ταυτότητα: ¨β) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2

γ) Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες (α+β)(α-β)= (α+β)3 = ΘΕΜΑ 2ο Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δυο τρίγωνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο Α) Να δείξετε ότι : (ημω +συνω)2+(ημω-συνω)2=2

Β) Αν ημχ=53 και 900 ≤χ≤1800 να υπολογιστούν:

i) το συνχ ιι) η εφχ ΘΕΜΑ 2ο Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) , β) 3-2χ+χ2 =0 , χ+5χ-6=0

042 =+ xx 06425 2 =−x

γ) ( ) ( )( ) xxxx 93312 2 =+−−− ΘΕΜΑ 3ο α) Δίνεται η ευθεία ε1 με εξίσωση 2χ-3ψ=6.Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της ε1 στο γραπτό σας.Να κάνετε κατόπιν την γραφική παράσταση της ε1.

χ

0

ψ

0 β) Δίνεται και η ευθεία ε2 με εξίσωση ψ=3χ+12 .Να λυθεί το σύστημα

. Τέμνονται οι ευθείες ε1,ε2 και αν ναι ,σε ποιο σημείο;

γ) Αν χ , ψ είναι η λύση του συστήματος να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+==−123

632χψψχ

ΨΧ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Γ

20062007

20072006

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ( ) 222 2 ββαβα ++=+ a Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω αξιοσημείωτες ταυτότητες: α. ( ) ( ) ..........=−⋅+ ββα a β. γ. ( )α β− =

2.......... ( ) ..........3 =+ βα

Γ. Να παραγοντοποιήσετε τις επόμενες αλγεβρικές παραστάσεις, γράφοντας πρώτα τη μέθοδο που θα χρησιμοποιήσετε: α. β. αμα μβ μγ+ − α β βx y x y+ + + γ. α β 2 2− ΘΕΜΑ 2Ο y Μ(χ,ψ) δ Α. α. Σε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων xOy, να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ω

O x της γωνίας . Αν Μ σημείο της Οδ και ΟΜ=ρ ωδ =∧

xO ( yx, )

β. Αν , να αποδείξετε τον τύπο: συνω≠0 εϕωημωσυνω

=

Β. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες: α. β. γ. ( )ημ ω180o− = .......... ( )συν ω180o− = .......... ( )εϕ ω180o− = ..........

Γ. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τα κατάλληλα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο καταλήγουν οι αντίστοιχες γωνίες.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ημω συνω εφω

10 τεταρτημόριο 20 τεταρτημόριο

30 τεταρτημόριο 40 τεταρτημόριο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 3Ο

Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 0 β. 374 2 =+− xx 25313

++

=+−

xx

xx

ΘΕΜΑ 4Ο Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν ΑΒΓ ένα τρίγωνο με ΒΓ=12cm και Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , τότε ισχύει η ισότητα : α. ΜΝ=12cm β. ΜΝ=24cm γ. ΜΝ=6cm δ. ΜΝ=4cm Β. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ και ΑΔ=6cm , ΔΒ=2cm , ΑΕ= 9cm και ΒΓ=20cm. α. Να υπολογίσετε το ΕΓ. β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. γ. Να υπολογίσετε το ΔΕ. ΘΕΜΑ 5Ο

Κέρδος σε € x

Αριθμός ημερών ν (συχνότητα)

90 6 100 4 120 3 130 5 160 7

Τα ημερήσια κέρδη ενός ελεύθερου επαγγελματία κατά τη διάρκεια ενός μήνα φαίνονται στο διπλανό πίνακα. α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τη στήλη των αθροιστικών συχνοτήτων Ν. β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τη στήλη των σχετικών συχνοτήτων f %. γ. Να παρασταθεί η κατανομή συχνοτήτων με ραβδόγραμμα.

δ. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της κατανομής. _

xε. Να βρείτε πόσες ημέρες ο επαγγελματίας έχει κέρδη μέχρι και 120€

Σύνολο 25

ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΕΙ ΜΟΝΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΤΑ ΤΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΑ ΔΥΟ

Α

6 9 Δ Ε

2 χ

Β

20 Γ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑÏΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1η Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : α) (α+β)2= β) α2-β2= γ) Να αποδείξετε ότι : 32233 33)( ββαβααβα +⋅⋅+⋅⋅+=+ ΘΕΩΡΙΑ 2η α) Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή.

β) Τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου; (να κάνετε σχήμα)

ΑΣΚΗΣΗ 1η Να λύσετε και να επαληθεύσετε το σύστημα:

75 =− ψχ

1

ΑΣΚΗΣΗ 2η Να λύσετε την εξίσωση: 82

516

482

1122 −

−=

−+

++

xx

xxx

ΑΣΚΗΣΗ 3η Αν είναι και 00 360270 ≤≤ φ54

=συνφ , να υπολογίσετε το ημφ

και την εφφ . (Απαντήστε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

535 24

=−

−+ ψχψχ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α.ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1o α)Ποια ισότητα λέγεται ταυτότητα; β)Να αποδείξετε την ταυτότητα:(α+β).(α-β)=α 22 β−

ΘΕΜΑ 2o Δίνεται η γωνία xOM =ω του διπλανού σχήματος α)Αν ΟΜ=ρ να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες με τις οποίες ορίζονται οι τριγωνομετρικοί της αριθμοί

ημω=...... , συνω=

...

... , εφω=......

β)Να αποδείξετε ότι:

συνωημωεφω =

B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η α)Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση x x22−β) Να λύσετε την εξίσωση x = 0 x22−γ) Να λύσετε την εξίσωση

xxxxx

24

22

22

2 −+

−=

−

ΑΣΚΗΣΗ 2η Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία Α(5,0),Β(5,3) Γ(0,6),Δ(-3,3) και να σχεδιάσετε τις ευθείες ΑΒ,ΓΔ. α)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ και να δικαιολογήσετε ότι η ευθεία αυτή δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. β)Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΓΔ .

xψ΄

ψ Μ(x,ψ)

ω x΄ Ο

ΑΣΚΗΣΗ 3η Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ=10cm ,ΑΔ=8cm και η γωνία ΒΑΔ=120ο . α) Να εξηγήσετε γιατί η γωνία ΑΒΓ =60ο . β)Nα υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου ΑΓ.

Γ Δ

γ) Αν ΑΓ= 84 ≈ 9,2 να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας ΓΑΒ. Δίνονται:συν60ο =0,5 και ημ60ο ≈ 0,8 .

Α Β ΟΔΗΓΙΑ: ΄Εχετε στην διάθεση σας τετραγωνισμένο χαρτί για την 2η ΑΣΚΗΣΗ. Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα της θεωρίας και σε δύο από τα θέματα των ασκήσεων.

ΘΕΩΡΙΑ: ΘΕΜΑ 1Ο α. Συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες: (α+β)2 =….. (α+β) )( βα −⋅ =… (α-β)3=… β. Να συμπληρωθεί η ταυτότητα (α+β)3 =….. και να αποδειχθεί η ταυτότητα (α+β)3 ΘΕΜΑ 2Ο

α. Να αποδείξετε ότι ημ2ω + συν2ω =1.

β. Να αποδείξετε ότι εφω=συνωημω

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις :

α) x2- gx + 28 = 0

β) 42

12

42 −

=−

−+ x

xxx


⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−+⋅

+=

−

yyxx

yx

223)(3)2(63

22

1

3. α) Να βρείτε σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες xx΄ και yy΄ η ευθεία

y=2x+8 β) Δίνεται ότι η η ευθεία y=2κx+5 διέρχεται από το σημείο Α(1,13). Να βρείτε την τιμή του κ.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ……………………………………………….…..

Α ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

Να συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν οι γνωστές ταυτότητες

3

3

(α + β ) (α -β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(α + β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(α -β ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

⋅ ===

2

Να αποδείξετε την παρακάτω ταυτότητα 2 2( ) 2α −β = α − αβ + β

ΘΕΜΑ 2ο

Να γράψετε τα κύρια στοιχεία και 3 από τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τρίγωνου

Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας δυο τριγώνων Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Δίνονται τα πολυώνυμα

3 2x 4x 4xΑ= + + , , 2x 4Β= − x2x2 −=Γ

Να αποδείξετε ότι 2x (x 2)Α= ⋅ +

και Γ Β Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα

Να λύσετε την εξίσωση: 1 2 1+ =

Α Β Γ

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Δίνεται το σύστημα:

3x - 4y = α-βx+2y = 3α-5β

⎧⎨⎩

Αν το σύστημα έχει λύση την (x,y) (2,1)=

α-β 2

3α-5β 4 =⎧

⎨ =⎩ Να αποδείξετε ότι

• Να βρείτε τα

ΑΣΚΗΣΗ 3η α , β

Αν και x 3 ημω= ⋅ y 3 συνω= ⋅


9 και

) Να βρεθεί η μεγίστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Να απαντήσετε : σε ένα (1) από τα δύο (2) θέματα θεωρίας και σε δύο (2) από τις τρείς (3) ασκήσεις .


2 2x y+ = 4 4 2 2x y 9 (x y− = ⋅ −

x 2Α = +

Θ Ε Μ Α Τ Α Θ Ε Ω Ρ Ι Α Θ Ε Μ Α 10 α) Nα αποδειχθεί η ταυτότητα : (α-β)2 = α2-2αβ+β2 . β) Nα συμπληρωθουν οι ισοτητες 1) (α+β)2=…… 2) α2- β2=…… 3) (α-β)3=……. Θ Ε Μ Α 20 α) Να αναφέρετε 2 κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. β) Να απαντήσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) στις πιο κάτω προτάσεις : Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα , όταν έχουν : (i) 2 αντίστοιχες πλευρές ίσες. (ii) τις οξείες γωνίες τους ίσες. (iii) 1 πλευρά και 1 γωνία ίση. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α 10 Δίνονται οι παραστάσεις : Α = χ2 – 4χ + 4 , Β = χ2 – 2χ , Γ = χ2 – 1 α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α , Β , Γ .

β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα : ΓΒ+Α .

Θ Ε Μ Α 20 Αν συνω = - 1312 και 900 < ω <1800 , να υπολογισθούν οι άλλοι

τριγωνομετρικοί αριθμοί : ημω , εφω . Θ Ε Μ Α 30 Δίνεται το σύστημα : κ – λ = 2 2κ + 3λ = -1 α) Να λυθεί το σύστημα αυτό . β) Να λυθεί η εξίσωση : χ2 – κχ + 2λ = 0 , όπου κ και λ είναι οι λύσεις του πιο πάνω συστήματος. ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ 1 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ 2 ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ . « ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ»

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2007


ΤΑΞΗ: Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Να διατυπώσετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων και να εξηγήσετε με σχήμα.

β) Σε ένα τρίγωνο, τι γνωρίζετε για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών;

Διατυπώστε το σχετικό θεώρημα και εξηγήστε με σχήμα.

2. α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες:

)( ........................3 =+ βα .........................2 22 =+− βαβα

β) Να συμπληρώσετε και να αποδείξετε τις ταυτότητες:

)( )( ............................=+•− βαβα )( .....................2 =+ βα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) Να λύσετε την εξίσωση 028 με όποιον τρόπο επιθυμείτε. 102 2 =−− xx

β) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες δεν ορίζεται η παρακάτω παράσταση,

δικαιολογώντας την απάντησή σας.

) )(( 145112

2 −−•++=Α

αααα

2. Δίνονται ημ76ο= 0,970 και εφ76ο= 4,011. Να βρείτε: α) Πόσες μοίρες είναι η

συμπληρωματική και η παραπληρωματική της γωνία, β) Το συνημίτονο των 76ο, γ) Όλους

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της συμπληρωματικής και της παραπληρωματικής της

γωνίας. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

3. Να λύσετε το παρακάτω σύστημα με όποια μέθοδο επιθυμείτε και να ερμηνεύσετε

γεωμετρικά το αποτέλεσμά σας (δηλ. ποια η σχετική θέση των δύο ευθειών).

187

21

=+ yx

22 =− yx

Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα.

Να απαντήσετε σε 1 από τα 2 θέματα θεωρίας και σε 2 από τις 3 ασκήσεις.

Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ

Η ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ

Γραπτών απολυτηρίων εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης.

Θεωρία 1η. α) Να αποδείξετε ότι : (α-β)2 =α2 –2αβ+β2 και (α+β)3 =α3 + 3α2 β+3αβ2 +β3 . β)Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: (α+β)2 , α2 -β2 , (α-β)3 . Θεωρία 2η. Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. Άσκηση 1η Δίνεται η παράσταση : Α=(χ-2)2 –(χ-3).(χ+3)+(2χ+3).(χ-1)-2χ.(χ+1) α) Να γίνουν οι πράξεις β)Να λυθεί η εξίσωση Α=5 Άσκηση 2η.Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης: Α= 3ημχ+2συνχ+5.

Άσκηση 3η.Να λυθεί το σύστημα: 12 3x y− =

-5χ+8y=4

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:……………………………………………… ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ 1η α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)3 =α3+3α2β+3αβ2+β3. γ) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α+β)2 = (α-β)2 = (α+β) (α-β) = (α-β)3 = ΘΕΩΡΙΑ 2η α) Να αποδείξετε ότι ημ2ω+συν2ω=1. β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(90ο-ω)= συν(90ο-ω)= ημ(180ο-ω)= συν(180ο-ω)= εφ(180ο-ω)=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η α) Nα λυθεί η εξίσωση: 2x2-5x+3=0

β) Nα λυθεί η εξίσωση: 2

x 2 2 4x x 2 x 2−

− =− − x

ΑΣΚΗΣΗ 2η Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ φέρουμε την διχοτόμο Α∆ και πάνω σε αυτή παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι : α) ΒΜ=ΓΜ β)Γωνία ΒΜΑ=Γωνία ΓΜΑ γ)Η Μ∆ είναι διάμεσος του τριγώνου ΒΜΓ ΑΣΚΗΣΗ 3η α) Να λυθεί το σύστημα: x+ψ=3 2x2-3xψ=2 β) Να βρείτε ποια λύση του συστήματος είναι σημείο της ευθείας 2x+ψ=9

Να απαντήσετε σε μια (1) θεωρία και δυο (2) ασκήσεις. Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

1

ΘΕΜΑΤΑ

ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ Θεωρία 1η

i) Να δώσετε τον ορισμό της ταυτότητας στα μαθηματικά (μονάδες 1)

ii) Να αποδείξετε ότι ( ) 222 βαβ2αβα ++=+ (μονάδες 2)

iii) Να αντιγράψετε συμπληρωμένες στην κόλλα εξετάσεων (χωρίς απόδειξη) τις ισότητες

a) ( ) ................................βα 2 =−

b) ( ) ................................βα 3 =+ (μονάδες 1,66)

iv) Να υπολογίσετε την παράσταση ( ) =− 3ψx2 (μονάδες 2)

Θεωρία 2η

i) Να δώσετε τον ορισμό της ισότητας δύο τριγώνων

(μονάδες 2) ii) Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων

(μονάδες 4,66)

ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να λυθεί το σύστημα


⎩⎨⎧

=−+

=−

1ψψxx

1xψ22

2

Άσκηση 2η

Αν 180 και 00 270x << 2

3xσυν −= να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

xεφxσυν6xημ2A −

=


Άσκηση 3η i) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις :

3x4xA 2 +−= , και 4x4xB 2 +−= 1xΓ 4 −= (μονάδες 3,66)

ii) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση ΓΒΑΔ⋅

= και στη συνέχεια να

απλοποιηθεί

(μονάδες 3) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Να επιλέξετε ένα (μόνο) θέμα από το ΜΕΡΟΣ Α: ΘΕΩΡΙΕΣ (από τις δύο που υπάρχουν στη σελίδα 1) και να επιλέξετε δύο (μόνο) θέματα από το ΜΕΡΟΣ Β: ΑΣΚΗΣΕΙΣ (από τις τρεις που υπάρχουν στη σελίδα 2)


Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηματικά περιόδου Μαΐου-Ιουνίου ΟΝΟΜ/ΜΟ……………………………………………………………………… Α.ΘΕΩΡΙΑ(Απαντήστε σε ένα από τα δύο θέματα) ΘΕΜΑ 1ο) α)Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2 β)Να συμπληρώσετε τις ισότητες: i)(α-β)2= ii) (α+β)·(α-β)= ΘΕΜΑ 2ο)Αν από το μέσο Μ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη ΜΝ προς την πλευρά του ΒΓ να αποδείξετε ότι διέρχεται από το μέσο Ν της τρίτης πλευράς ΑΓ. Α Μ Ν

Β Γ Β.ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Απαντήστε σε δύο από τα τρία θέματα) ΘΕΜΑ 1ο

Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις =− 42

x xx−4

και =−2

4xx

x−4

ΘΕΜΑ2ο Έστω η παράσταση Α=(x-1)2+ (x +1)2- 3x -4 i )Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α για x=1 ii)Να λυθεί η εξίσωση Α=0 ΘΕΜΑ3ο Σε ένα σχολείο συμμετέχουν στην παρέλαση της 25ης Μαρτίου 52 συνολικά μαθητές συντεταγμένοι σε δύο τμήματα, το ένα σε τετράδες και το άλλο σε τριάδες. Αν το σύνολο των σειρών είναι 15 να βρείτε πόσες τετράδες και πόσες τριάδες έχουμε.

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο

α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α2 –β2 =……. (α +β)3 =…….

γ) Να αποδείξετε ότι: (α –β)2 = α2 –2αβ+β2 .

ΘΕΜΑ 2ο

α) Τι τιμές παίρνουν το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας ω; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(1800-ω)=… , συν(1800-ω)=…, και εφ(1800-ω)=…. γ) Να αποδείξετε ότι: ημ2ω + συν2 ω=1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1η

α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

.........82 =+x .........16 2 =− x .........82 =−x

β) Να λύσετε την εξίσωση: 82

516

128252

2 −−

=−

+++

xx

xxx

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να λύσετε το σύστημα: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−

=+

+−

51632

32

63

1

yx

yx

A

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Αν ΔΕ//ΒΓ , να υπολογίσετε το x, όταν ΑΔ=3cm , ΔΒ=2cm, ΑΕ=x, ΕΓ=3cm . Ε∆

Γ

B

Ο ∆ιευθυντής Οι Εισηγητές

ΤΑΞΗ Γ΄ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο α) Να αναφέρετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων β) Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και το μισό αυτής. ΘΕΜΑ 2Ο α) Αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο Μ( χ , ψ ) του επιπέδου και γωνία Χ Ο Μ = ω Να διατυπώσετε τους τύπους των τριγωνομετρικών αριθμών ημω , συνω και εφω β) Να αποδείξετε ότι ημ2ω + συν2ω =1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Να λυθεί το σύστημα =+2

3 βa33β−a

027

413

1=

−−

− βa

2) Μια μεταλλική πλάκα που έχει σχήμα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

30cm και 40cm θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνεται κάθε πλευρά κατά 10% . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο θα παραμείνει ορθογώνιο.

3) Συναντήθηκαν ορισμένοι φίλοι και αντάλλαξαν χειραψία με όλους τους άλλους. Αν έγιναν 15 χειραψίες πόσοι ήταν οι φίλοι;

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και δυο ασκήσεις . (κατ’ επιλογή)

Γραπτών απολυτήριων εξετάσεων Περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ον α) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες ι) (α+β)3 =

ιι) (α-β) 3 = ιιι) α 2-β 2=

β) Να αποδείξετε τις ταυτοτητες ι) χ2+(α+β)χ+αβ=(χ+α)(χ+β) ιι) (α+β)2=α2+2αβ+

ΘΕΜΑ 2ον α) Να συμπληρώσετε τους τύπους που ισχύουν για παραπληρωματικές γωνίες ι) ημ(180ο-ω)= ιι) συν(180ο-ω)= ιιι) εφ(180ο-ω)= β)Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία χΟΜ=ω ισχύει ημ2ω+συν2ω=1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ον Δίδεται το συνω=1/3 ,με 0ο<ω<180ο

Να υπολογίσετε το ημω και εφω ΘΕΜΑ 2ον Να λύσετε τις εξίσωσεις α) χ 2 -χ -2 =0 β)2/(2-χ) –1/(χ+1)=5/(χ2-χ-2)

ΘΕΜΑ 3ον Να λύσετε τα συστήματα α) χ+y=7 β)2χ+4y=12 x-y=-1 χ2+y2=8

Α.- Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΘΕΜΑ 1ο α)Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3 β)Να συμπληρώσετε τι ταυτότητες (α-β)=…. (α+β).(α-β)=…… γ)Αν ισχύει (α+β)3=α3+β3, τα’ι συμπεραίνετε για τα α και β ? ΘΕΜΑ 2ο α)Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων που αναφέρονται σε μια πλευρά και μια οξεία γωνία. β)Ομοίως τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων που αναφέρονται σε πλευρές. γ)Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια κάθετη πλευρά και μία οξεία γωνία ίσες είναι πάντοτε ίσα. Β)Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να λυθεί το σύστημα

⎪⎭

⎪⎬⎫

−+=−

=−

−+

9)3(223

1025

33

ψχψχ

ψχψχ

ΑΣΚΗΣΗ 2η α)Να γίνουν γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις Α=χ2-2χ , Β=χ2-3χ+2

β)Να λυθεί η εξίσωση: Α=−Β

1χ

ΑΣΚΗΣΗ 3η Σ΄ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύειβγ

αγα

ημ2

4 22 −=

Α


i) γαγ

ημ2

4 22 −=Β

ii) γασυν2

=Β και

iii) β=γ Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις.

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο Α/ Να διατυπώσεις τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Β/ Δύο όμοια τρίγωνα είναι και ίσα; Γ/ Δύο ίσα τρίγωνα είναι και όμοια; ΘΕΜΑ 2ο Α/ Να αποδείξεις την ταυτότητα 32233 33)( βαββααβα −+−=−Β/ Να συμπληρώσεις τις ταυτότητες: i/ (α-β)2 = ii/ (α+β)(α-β) =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Δίνεται ότι Α=χ3 +4χ2 +4χ , Β = χ2- 4 , Γ = χ2 – 2χ . Α/ Να κάνετε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων τις παραστάσεις Α, Β, Γ .

Β/ Να λύσετε την εξίσωση : Γ

=Β

+Α

121

ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με γωνία Α=100ο , γωνία Β=30ο , γωνία Δ=30ο , γωνία Ε=50ο , ΑΓ=2 , ΕΖ=5. α/ Να αποδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να βρεις τον λόγο ομοιότητας του ΔΕΖ προς το ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 3ο

Να λυθεί το σύστημα : ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

+=−

−−

1223

124

13

12

ψχ

χψχ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να γράψεις ένα από τα θέματα θεωρίας και δύο από τα θέματα των ασκήσεων

Γραπτες απολυτηριες εξετασεις περιοδου Μαιου- Ιουνιου στα ΜαθηματικαΤαξη Γ’

ΘΕΩΡΙΑ

1. α) Τι ονομαζουμε ταυτοτητα; β) Να συμπληρωσετε και να αποδειξετε την ισοτητα (α-β) 2= γ) Να συμπληρωσετε τις ισοτητες α3- β 3 = χ 2+(α+β)χ+αβ=

2. α) Να γραψετε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας ω με 0<=ω<=180 (Να γινει το σχημα.) β) Να αποδειξετε οτι εφω=ημω/συνω . Εξηγειστε για ποια τιμη του ω δεν οριζεται η εφω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.α) Να κανετε τη διαιρεση (6χ3+15 χ2 –69χ+30) : (2χ-1) β) Να παραγοντοποιησετε το πολυωνυμο 6χ3+15χ2-69χ+30

2. Να λυθει το συστημα (7+χ)/5- (2χ-y)/4 = y-4

(5y-7)/2 + (4x-11)/6 = 22-5x

3. Δινεται τριγωνο ΑΒΓ, απο το μεσο Μ της πλευρας ΒΓ φερνουμε καθετες ΜΔ και ΜΕ στις πλευρες ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Αν ΜΔ=ΜΕ, να αποδειξετε οτι ΑΔ=ΑΕ.

o

Γραπτές Απολυτήριες Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2008 στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1o :α) Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες : i) (α-β)2 = ……….. ii) (α + β) (α – β) =……… iii) α3 – β3 = ……….

β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα : (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

Θέμα 2o : α) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

β) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1η: i) Να απλοποιηθεί η παράσταση: ............44

422

xx

x

ii) Να απλοποιηθεί η παράσταση: ............4

82

3

x

x

iii) Να βρεθεί το πηλίκο : Α : Β = ……………….

Άσκηση 2η: Να λυθεί το σύστημα : 132

yx

45

2

y

yx

Άσκηση 3η: Στο διπλανό σχήμα ΔΕ//ΒΓ, ΑΒ = x, ΑΔ = 3, ΑΕ = x+1, ΕΓ= 4 Να υπολογιστεί το x = ;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Απαντήστε σε (1) θέμα θεωρίας και σε (2) ασκήσεις.

Ε

Γ

X+1

Α

Δ

Β

3

4x

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΤΑΞΗ: Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:


ΘΕΜΑ 1ο . Ν’ αποδείξετε την ταυτότητα : (α+β) 3 = α3 + 3α2β+ 3αβ2 + β3

Να συμπληρώσετε τα κενά : (α+β) 2 = …………….., (α-β) . (α+β) = ………………

ΘΕΜΑ 2ο . Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων

ΑΣΚΗΣΕΙΣ χ 3 201. Να λυθεί εξίσωση : + = χ+4 χ-1 χ2+3χ-4

χ - 1 - ψ = 1

4 2. Να λυθεί το σύστημα: χ ψ + = - 1 6 4

33. Αν ημω = και η γωνία ω είναι αμβλεία να βρεθούν το συνω και η εφω 5

Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΤΑΞΗ: Γ΄

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 6-6-2008

ΘΕΜΑΤΑΘΕΩΡΙΑ:

ΘΕΜΑ 1Ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα;

β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: (α – β) 2 = ……………………… (α + β) (α – β) = …………………

γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α – β)3 = α3 – 3 α2β + 3 αβ2 – β3

ΘΕΜΑ 2ο : Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

ΘΕΜΑ 1ο : Να λυθεί το σύστημα: 2Χ + 3 (Ψ + 2) = 4

Χ - 3 - Ψ + 1 2 3

ΘΕΜΑ 2ο : Δίνονται τα πολυώνυμα:

Α = Χ2 – 9 Β = 2Χ2 – 8Χ + 6

α) Να παραγοντοποιηθούν

β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα Α / Β

ΘΕΜΑ 3ο : Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ // ΒΓ . Να υπολογιστούν τα Χ και Ψ.

Α

Β ΓΘ

Δ ΕΖ

Χ3

Ψ+6

8

Ψ

6

=2

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑΘΕΜΑ 1ο

Α/ Να αποδείξετε ότι : α/ (α-β)2 = α2 - 2αβ +β2

β/ (α-β)(α+β) = α2 - β2

Β/ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα α β γ δ ε

Αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α , το ανάπτυγμά της από την στήλη ΒΑ Βα.(α+2)2 1. α3 – 1β. (α-2)2 2. α3 -3α +3.α2 -1γ. (2.α – 1)(2.α + 1 ) 3. α2 +4.α + 4δ. (α-1)3 4. 4.α2 -1ε. (α-1)(α2+α+1) 5. 16.α2-1

6. α3 -3.α2 +3.α -17. α2 -4.α +4

ΘΕΜΑ 2ο

Α/ Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να πάρετε ένα σημείο Μ στο 1ο ή στο 2ο

τεταρτημόριο με συντεταγμένες x, y . Αν ω =

xoM , να αποδείξετε ότι ημ2ω +συν2ω =1Β/ Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α/ ημ(180-ω) = ……..

β/ συν (180 – ω ) = ……….γ/ εφ ( 180 – ω ) = …………

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Α

Β Γ

Γ' Β'

Κ Λ

Δ

Στο τρίγωνο του παραπάνω σχήματος έχουμε προεκτείνει τις πλευρές του, ΑΒ , ΑΓ

κατά τμήματα ΒΒ΄ και ΓΓ’ αντίστοιχα ώστε ΒΒ’ =ΑΒ και ΓΓ’ = ΑΓ .

Το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου και Β’Κ , Γ’Λ τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από

τα σημεία Β’ , Γ’ προς την ευθεία ΒΓ.Να αποδείξετε ότι Β’Κ = Γ’Λ.ΘΕΜΑ 2Ο

α/Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση x3 + 3x2 – 4xβ/ Να λύσετε την εξίσωση x3 + x2 = 4x-2x2

ΘΕΜΑ 3ο

Αν το σύστημα: αx+ βy = -23αx+2βy = 2

έχει λύση το διατεταγμένο ζεύγος (x , y ) = ( 3 , 2 ) , να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α , β .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Από τα δυο θέματα θεωρίας να γράψετε το ένα μόνο και από τα τρία θέματα των ασκήσεων να γράψετε μόνο τα δύο.

ΤΑΞΗ Γ ΣΧ. ΕΤΟΣ 2007-08Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μaθηματικά

Α ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο α) Τι ονομάζουμε ταυτότητα;

β) Να συμπληρώσετε την ισότητα: 2

γ) Να αποδείξετε τη ταυτότητα: 32233 33 ^Θέμα 2ο Για τη γωνία χΟΜ =ω του σχήματος ψ α) Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

. Μ(χ , ψ) = … , = … , = … ρ β) Να αποδείξετε ότι: =

. ) ω γ) Να αποδείξετε ότι: 122 χ΄ Ο χ

ψ΄ ΒΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 1ο Να λύσετε την εξίσωση:

2

8

2

422

Θέμα 2ο Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι διάμεσος , ΒΔΑΜ και ΓΕΑΜ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. Α

Δ B Μ

Γ Ε

Θέμα 3ο α) Να λύσετε το σύστημα: 4614

637

β)Να κάνετε την επαλήθευση.

(Από τα δύο θέματα θεωρίας να γράψετε το ένα και από τα τρία των ασκήσεων τα δύο)

.

ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ: 2007-2008

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

Γ’ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ


ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΡΙΤΗ 17 ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

α) Να αποδείξετε ότι: 2 2 2α β α 2 α β+β .

β) Να συμπληρώσετε στη κόλλα σας τα κενά ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

α+β α β ...................

3α+β ...............................

ΘΕΜΑ 2ο

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων έστω

σημείο M x,y με ΟΜ=ρ και µ µxOΜ=ω .

Α. Να χαρακτηρίσετε στη κόλλα σας με Σαν είναι σωστές ή με Λ αν είναι λάθος τις παρακάτω προτάσεις:

1.y

ημω=ρ

2.y

συνω=ρ

3.y

εφω=x

Β. Να αποδείξετε ότι: 2 2ημ ω+συν ω=1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Να λύσετε την εξίσωση:2

2x 2 3x 1 8.

x 2 x 2 x 4

ΘΕΜΑ 2ο

Αγόρασε κάποιος πελάτης από έναν παραγωγό 3 κιλά κάστανα και 8 κιλά καρύδια και πλήρωσε 30,50 €. Ένας άλλος πελάτης αγόρασε από τον ίδιο παραγωγό 4 κιλά κάστανα και 4 κιλά καρύδια και πλήρωσε 24 €. Πόσο κοστίζει το κιλό τα κάστανα και πόσο τα καρύδια;

ΘΕΜΑ 3ο

Για μια οξεία γωνία ω είναι: 4

συνω= .5

Να υπολογίσετε:

1. Το ημω.

2. Την εφω.

3. Την παράσταση: Α=5 ημω συνω συνω εφω συνω.

Να απαντήσετε σε 1 θέμα θεωρίας και σε 2 θέματα ασκήσεων.


ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΑΞΗ : Γ’ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΗΜΝΙΑ: 26/05/08

ΘΕΩΡΙΑ 1η

α) Τι ονομάζουμε πολυώνυμο και πως πολλαπλασιάζουμε δυο πολυώνυμα; (παράδειγμα)β) Τι ονομάζουμε ταυτότητα; Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες: (α-β)2 = … (α+β)3 = ………….., (α+β)(α-β)= …….. Να αποδειχθεί η :(α-β)3= α3-3α2β+3αβ2-β3

ΘΕΩΡΙΑ 2η

α) Να δώσετε τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας ω (στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων)β) Να γράψετε και να αποδείξετε τις σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω (συνω, ημω, εφω).

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να λυθεί η εξίσωση: 2 2

1 3 2 2

9 4 3 ( 3)( 3)( 1)

x x x

x x x x x x

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να αποδειχθεί ταυτότητα: (χ-1)(χ+1)3-2χ(χ-1)(χ+1)=(χ-1)(χ+1)(χ2+1)

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ έχουν ΑΜ=Α’Μ’, ΑΒ=Α’Β’ τις γωνίες ' ' '

όπου ΑΜ, Α’Μ’ είναι οι διάμεσοι των τριγώνων.Να δείξετε ότι:α) ΒΜ=Β’Μ’

β) ' ' 'V V

(δηλαδή τα τρίγωνα είναι ίσα)

Μ'Μ

B Γ

AΑ'

Γ'

Β'

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝΜΑΊΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΤΑΞΗ ΓΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 02-06-2008

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 10

1) Τι ονομάζουμε πολυώνυμο και τι βαθμό πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή του;

2) Να συμπληρωθούν οι ισότητεςI. (α-β)2=

II. (α+β)2=III. α3-β3=

3) Να εξετάσετε αν η ισότητα (α+β)2=(α-β)2 είναι ταυτότητα για οποιεσδήποτε τιμές των πραγματικών αριθμών α,β

ΘΕΜΑ 20

1) Δίνεται σημείο Μ(χ,ψ) του επιπέδου και η γωνία ΧΟΜ=ω όπως στο σχήμα .

Να δειχτεί ότι εφω= συνω 0

2) Να χαρακτηριστούν οι προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ)I. συν (1800-ω)=- συνω

II. ημ2ω=συν2ω-1III. ημ1400=ημ400

3) Τι πρόσημο έχουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας αμβλείας γωνίας;

ω

χ

ψ Μ(χ,ψ)

Ο

ΑΣΚΗΣΕΙΣΘΕΜΑ 10

Δίνεται η παράσταση

Α=6

822

3

I. Για ποιες τιμές του χ ορίζεται η παράσταση;II. Να απλοποιηθεί η παράσταση

III. Να λυθεί η εξίσωση Α=0

ΘΕΜΑ 20

Να λυθεί το σύστημα :

8)2(32

23

1

2

3

ΘΕΜΑ 30

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90) με ΑΒ =6cm ΑΓ=8cm και έστω Δ το μέσο της ΑΓ.Από το Δ φέρνουμε κάθετη στη ΒΓ και έστω Ε το σημείο τομής.

Να δειχθεί ότιI. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι όμοιο με το ΔΕΓ

II. Να γραφούν οι λόγοι των ομολόγων πλευρώνIII. Να υπολογιστούν τα τμήματα ΒΓ,ΒΕ,ΔΕ.

Να απαντηθούν το ένα(1) από τα δυο θέματα θεωρίαςκαι τα δυο (2) από τα τρία θέματα ασκήσεων.

Β

Ε

Δ

Α

Γ

Γραπτες απολυτήριες εξετάσειςπεριόδου Μαίου- Ιουνίου 2008


Θέματα:Θεωρία

Θέμα 1ο: Α) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε οι ισότητες να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητεςι) (α-β)(α+β)=……ιι) (α-β)(α2+αβ+β2)=…..ιιι) (α-β)3=……β) Να αποδείξετε ότι (α+β)2= α2+2αβ+β2

Θέμα 2ο: Α) Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσαΒ) Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα

Ασκήσεις

Θέμα 1ο: Α)Δίνονται οι παραστάσειςΑ=(x+1)2 και Β=x2+2x+3Να αποδείξετε ότι Β=Α+2 και ΑΒ+1=(Α+1)2

Β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση(x+1)2 (x2+2x+3)+1

Θέμα 2ο: Να λύσετε το σύστημα (2x+y)(x-3y)=6x

3-1=y

Θέμα 3ο: Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΕΔ//ΑΒ και ΕΖ//ΑΔ να υπολογίσετε τα x και y

Να απαντήσετε σε ένα από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο θέματα από τα τρία των ασκήσεων. Όλες οι απαντήσεις να γραφούν στην κόλλα σας.

Καλή επιτυχία!!!

Η Διευθύντρια Εισηγητές

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΕΙΣΗΓΗΤΕΣ:ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:9/6/08

ΘΕΜΑΤΑΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

Α. Πότε δυο μονώνυμα λέγονται όμοια, πως βρίσκουμε τα άθροισμα δυο όμοιων μονωνύμων, πως πολλαπλασιάζουμε δυο μονω΄νυμα.Β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες (α-β)2=……….. , (α-β)3=………..,(α+β)(α-β)=………..

ΘΕΜΑ 2Ο

Α. Γράψτε τις 3 περιπτώσεις ισότητας τριγώνωνΒ. Πότε 2 πολύγωνα είναι όμοια, πότε 2 τρίγωνα είναι όμοια

ΑΣΚΗΣΕΙΣΘΕΜΑ 1Ο

Να λυθεί η εξίσωση9(χ2-2)-8χ=4χ(2χ-1)+14

ΘΕΜΑ 2Ο

Να κάνετε τις πράξεις

66

5

33

23

22

322

aa

a

a

a

ΘΕΜΑ 3Ο

Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ, ΒΕΔ είναι όμοια και να υπολογίσετε το χ.

Γ ΡΑ ΠΤΕ Σ Α ΠΟΛΥ ΤΗ ΡΙΕ Σ ΕΞΕ ΤΑΣΕ ΙΣΜΑ ΪΟ Υ – ΙΟ Υ ΝΙΟΥ 20 08


ΤΑΞΗ: Γ΄

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:________________________________________________

ΘΕΩΡΙΑ1. Α. Nα αποδειχθεί η ταυτότητα:

(α+β)2 = α2 +2αβ+β2

Β. Να συμπληρωθούν οι σχέσεις :1) (α-β)2=2) (α-β)(α+β)=3) (α-β)3=4) α3-β3=

2. Α. Nα αποδειχθεί η ταυτότητα:

ημ 2 ω+συν 2ω=1

Β.Να συμπληρωθούν οι σχέσεις:

1) ημ(180-ω)=2) συν(180-ω)= 3) εφ(180-ω)=

Ασκήσεις1.Να λυθεί το σύστημα :

210

343

5

43

82

58

4

32

xx

xx

2. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ε1//ε2//ε3 που τέμνονται από την ε4και ε5 ,να βρείτε την άγνωστη πλευρά χ

ε1

ε2

ε3

ε4 ε5

2χ

6 3χ

8

3.Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο .Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ και τα τμήματα ΒΔ =ΓΕ. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

Η Δ/ντρια Η καθηγήτρια

Α

Γ ΕΔ Β

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο

α) Αποδείξτε την ταυτότητα (α+β)(α-β)=α2-β2

β) Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα την ένδειξη Σωστό αν είναι σωστή ή την ένδειξη Λάθος αν είναι λάθος.

1.Τα μονώνυμα -2χψ2z και 5z χψ2 είναι όμοια

2. Ισχύει (α−β)3 =(α−β)⋅(α2 +αβ+β2 )

3. Η παράσταση 8

( 3)x x ορίζεται για χ 0

4. Ισχύει

2

2

3 ( 2)2

3

x xx

x

5. Ισχύει

22

2 2

4

4 4

x

x x

ΘΕΜΑ 2Ο

α)Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

β) Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα την ένδειξη Σωστό αν είναι σωστή ή την ένδειξη Λάθος αν είναι λάθος

1. Aν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και δύο γωνίες ίσες μία προς μια, τότε είναι ίσα.

2. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες.

3. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν και τις δύο οξείες γωνίες τους ίσες τότε είναι ίσα.

4. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος που φέρουμε από την κορυφή προς την βάση είναι ύψος και διάμεσος.

γ) Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων

Α

Β Γ60

8cm

70

ΔΕ

Ζ

70

60

8cm

Μ

Κ Λ

60

8cm50

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1Ο

Να λύσετε την εξίσωση : (χ2+1)(χ2-9)(χ2-χ-6)=0

ΘΕΜΑ 2Ο

Να προσδιοριστούν οι τιμές των α και β ώστε το σύστημα:

να έχει λύση (χ , ψ) = (2 , 1)

ΘΕΜΑ 3Ο

Να αποδείξετε ότι: (3ημχ+2συνχ)2+(2ημχ-3συνχ)2 =13

ΟΔΗΓΙΕΣ

1. Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στην κόλλα σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας

παραδοθούν. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το γραπτό σας και τα φωτοαντίγραφα..3. Να απαντήσετε στην κόλλα σας επιλέγοντας σε ένα (1) από τα δύο θέματα θεωρίας και σε δύο

(2) από τις τρεις ασκήσεις .4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.5. Και τα τρία θέματα βαθμολογούνται ισοδύναμα.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΘΕΩΡΙΑΘΕΜΑ 1ο

α) Να αποδειχθεί η ισότητα ( ταυτότητα ) 222 2)( aaa

β) Να συμπληρωθούν ο ι επόμενες ισότητες (ταυτότητες )

(α -β)(α+β)=……… , .......)( 2 a , ......)( 3

ΘΕΜΑ 2ο

α) Να συμπληρωθούν ο ι ισότητες ημ(180 -ω)=……., συν(180 -ω)=……… , εφ(180 -ω)=…..

β) Να αποδείξετε ότ ι γ ια οποιαδήποτε γωνία ω με συνω 0 ισχύει εφω=

ΑΣΚΗΣΕΙΣΘΕΜΑ 1ο

Να αποδείξετε ότ ι 2)()( 22

ΘΕΜΑ 2ο

Να λυθεί το σύστημα : 1 ,3χ -0,8ψ=2,1

0 ,9χ+0,4ψ=0,5

ΘΕΜΑ 3ο

Για δυο ενδεχόμενα Α κα ι Β ενός δειγματ ικου χώρου Ω ισχύουν : Ρ(Α)=2

1, Ρ(Β)=

3

2

και 5

4)( BAP Να βρείτ ε τ ις πιθανότητες : )(AP και )( BAP

ΤΑΞΗ Γ΄Θέματα απολυτήριων εξετάσεων περιόδου Μαΐου- Ιουνίου


ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1.

α) Τι ονομάζουμε μονώνυμο, ποια τα μέρη του και πώς ονομάζονται;

β) Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια και πότε αντίθετα; Δώστε από ένα παράδειγμα.

γ)Υπολογίστε τα λ, μ, ν ώστε τα μονώνυμα 2112 και 225 να είναι ίσα.

Θέμα 2.α) Να αποδειχθεί ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημ2ω+συν2ω=1

β) Εξετάστε αν υπάρχει γωνία ω για την οποία να ισχύει ημω=2

1 και συνω=

3

1

γ) Να συμπληρωθούν οι :

ημ(180-ω)=……… συν(180-ω)=… εφ(180-ω)=……… εφω=.....

.....

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνονται οι παραστάσεις Α = 422

442

2

και Β = 35

36

α) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β.

β) Αν Α= 12

2

και Β=1

62

να λύσετε την εξίσωση: Α = 1

3 + Β

2 . Να λυθεί το σύστημα:

232

14

5

5

12

Α

3. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ // ΒΓ. Αν ΑΔ=3, ΑΒ=χ ,

ΑΕ=χ +1, ΕΓ=4 να υπολογιστεί το χ Δ Ε

Β Γ

Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ΄ΤΑΞΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ 1η: α)Πότε μια ακέραια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο;(παράδειγμα)β)Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; (παράδειγμα)γ) Ποια μονώνυμα λέγονται ίσα και ποια αντίθετα;

ΘΕΩΡΙΑ2 α) Για τη γωνία

=

του παρακάτω σχήματος με ΟΜ=ρ να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: ψ

i) ..........

......... ιι)

...........

.......... ιιι)

..........

.......... Μ(χ,ψ) ρ

ω

β) Να αποδείξετε ότι χ΄ Ο χ

γ)Να συμπληρώσετε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω ,όταν η ω είναι οξεία και όταν είναι αμβλεία.

ΑΣΚΗΣΗ 1η:Nα λύσετε το σύστημα:

5123

32

2

ΑΣΚΗΣΗ 2η: Δίνεται το πολυώνυμο P 231913133 2 α)Να δείξετε ότι το P (χ)= 24103 23 β)Να κάνετε την διαίρεση P(χ) :(χ+3) και να παραγοντοποιήσετε το P(χ).

γ)Να απλοποιήσετε το κλάσμα

1222 23 P

ΑΣΚΗΣΗ 3η:Στο παρακάτω σχήμα η ΔΕ είναι παράλληλη στη ΒΓ και ΑΔ=5-χ, ΔΒ=χ+1 ,ΑΕ=3-χ και ΕΓ=2χ-1. Nα υπολογίσετε το χ.

Α 5-χ 3-χ

Δ Ε χ+1 2χ-1

Β Γ

(Επίλέγετε 1 θέμα θεωρίας και 2 ασκήσεις)

ημω συνω εφωω οξείαω αμβλεία

Θ Ε Μ Α Τ ΑΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ΄Θα γράψετε ένα θέμα από τις δύο θεωρίες και δύο θέματα από τις τρεις ασκήσεις

Α΄ ΘΕΩΡΙΑ

1Ο ΘΕΜΑ

i. Τι λέγεται ταυτότητα;ii. Να δείξετε ότι (α-β)2=α2-2αβ+β2

iii. Τα αναπτύγματα (-α+ β)2=α2-2αβ+β2 και (α +β)(α2+αβ+β2)=α3+β3 είναι σωστά; Αν όχι γράψτε το σωστό .

2Ο ΘΕΜΑ

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy δίνετε σημείο Μ(x,y) στο 1ο τεταρτημόριο. Αν η γωνία xΟΜ=ω και ΟΜ=ρ τότε:

i. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω , συνω και εφω της γωνίας ω συναρτήσει των x,y και ρ.

ii. Να δείξετε ότι ημ2ω+συν2ω=1iii. Υπάρχει γωνία ω με ημω=1 και συνω=0 ; Αν ναι ορίζετε η εφω;

Δικαιολογείστε την απάντησή σας.


1η ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί η κλασματική εξίσωση :

4 x+ 1 x+2 - =

x2 +2x-3 2 - 2 x x+3

2η ΑΣΚΗΣΗ

Να λυθεί το σύστημα:

4 x-5y=3

5x-4y =6

3η ΑΣΚΗΣΗ

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΚΛ παράλληλη με ΒΓ, ΑΚ=x , ΑΛ=4 cm ,ΚΛ=5 cm , ΚΒ=9 cm , ΛΓ=x+9 cm και ΒΓ=y+13 cm .α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΚΛ είναι όμοια .β)Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων x και y.

Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα.Καλή επιτυχία.

ΤΑΞΗ Γ’

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 28/05/2008

Να απαντήσετε σε ένα από τα θέματα θεωρίας και σε δύο από τα θέματα ασκήσεων. Όλες οι απαντήσεις να δοθούν στο απαντητικό σας φύλλο.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣΘΕΜΑ 1Ο ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣΑ) Να αντιστοιχίσετε κάθε ταυτότητα από την αριστερή στήλη με το όνομά της από τη δεξιά στήλη.

α. (α+β)2=α2+2αβ+β2 1. τετράγωνο διαφοράςβ. (α-β)2=α2-2αβ+β2 2. κύβος διαφοράςγ. (α+β)(α-β)=α2-β2 3. τετράγωνο αθροίσματοςδ. (α-β)3=α3-3α2β+3αβ2-β3 4. γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά

Β) Να αποδείξετε δύο από τις παραπάνω ταυτότητες.

ΘΕΜΑ 2ο

Α) Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως: Θεώρημα του ΘαλήΒ) Στο διπλανό σχήμα ε1//ε2//ε3

Να γράψετε τις αναλογίες που προκύπτουν από το Θεώρημα του Θαλή.

ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝΘΕΜΑ 3ο

Να λύσετε το σύστημα:4x + y = -4-x + 2y = 10

ΘΕΜΑ 4ο

Να λύσετε την εξίσωση: 4x2-6x+2=0

ΘΕΜΑ 5ο

Να αποδείξετε ότι:ημ2α συν2β + ημ2α ημ2β + συν2α = 1

Ο Διευθυντής Ο Εισηγητής

Α

Β

Γ΄

Α΄

Γ

Β΄

ε1

ε2

ε3

εε΄

Τάξη Γ΄

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις Ιουνίου στα Μαθηματικά

Α.Θεωρία

Θέμα 1ο

Να γίνει αντιστοίχιση των παραστάσεων του πίνακα 1 με τις ίσες παραστάσεις του πίνακα 2

Πίνακας1 Πίνακας2

1. (α+β)2 A. α2-β2

2.(α-β)2 B. α3-3α 2β+3αβ 2-β3

3.(α+β)3 C. α2+2αβ+β2

4.(α-β)3 D. α3+3α 2β+3αβ 2+β3

5.(a+β)( α2-αβ+β2) E. α2-2αβ+β2

6.(a-β)( α2+αβ+β2) F. α3-β3

7.(a+β)(α-β) G. α3+β3

Θέμα 2ο

Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητος τριγώνων

Β.Ασκήσεις

Ασκηση 1η

Α) Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις

Χ2-2χ, Χ2+2χ, Χ2-4

Β)Να λύσετε την εξίσωση 42

6

221

226

x

x

xxxx

Ασκηση 2η

α)Να λυθεί το σύστημα

2022)2(4

122)1(

x

xx και να δειχθεί

ότι η λύση του είναι (χ,ψ)=(2,4)

β)Αν η παραπάνω λύση του α) ερωτήματος είναι και λύση του

συστήματος

1822

axax να βρεθούν οι α,β

Ασκηση 3η

a)Αν ημχ=5

3 και η γωνία x είναι οξεία να βρεθούν το συνχ

και η εφχ

β)Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης

Α=5ημ(180-χ)+ 5συν(180-χ)+ 4εφ(180-χ) +4 όπου χ είναι η γωνία του α) ερωτήματος


Α

ΔΕ

Β Ζ Γ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ


ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο : i) Τι λέγεται ταυτότητα ; ii) Να αποδειχτεί η ταυτότητα: (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 . iii) Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες : (α + β)(α – β) = …………… α2 – 2αβ + β2 = ………….. ΘΕΜΑ 2ο : i) Να γραφούν τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων . ii) Να γραφούν τα κριτήρια ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο : α) Να απλοποιηθεί η παράσταση : Α = 10x7x

25x

5x

4x2

22

β) Να λυθεί η εξίσωση : Α = 3

1

x

x ( A : η παράσταση του ερωτήματος (α) )

ΘΕΜΑ 2ο: α) Να λυθεί η εξίσωση 31x

1x

1x

2x

β) Αν οι λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος (α) είναι και λύσεις της εξίσωσης x3 + x2 – κx + λ = 0 να βρεθούν τα κ , λ .

ΘΕΜΑ 3ο : Στο διπλανό σχήμα δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με : ΑΓ = 80 , ΑΒ = 60 , ΒΖ = 60 , ΖΓ = 40 και ΔΕ // ΒΓ , ΕΖ // ΑΒ Να υπολογιστούν τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων : ΕΓ και ΔΒ . ( το σχήμα να μεταφερθεί στην κόλλα σας)

( Να απαντήσετε σε 1 θέμα θεωρίας και 2 ασκήσεις )

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2007-2008 ΤΑΞΗ Γ΄

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ………ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ………ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ…………

ΘΕΜΑΤΑΑ’ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

α) Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ταυτότητες: i) (α+β)2=……………… ii) (α-β)2=……………. iii) (α+β)(α-β)=……..

β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα (α-β)3 =………………… γ) Τι είναι μονώνυμο; Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια και ποια αντίθετα;

ΘΕΜΑ 2Ο

α) Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες i) …….+συν2ω=1 ii) ημ0=………, συν0=……, ημ90=……, συν180=……

β) Να διατυπωθούν ο Νόμος Ημιτόνων και ο Νόμος Συνημιτόνων.

γ) Να αποδειχθεί ότι εφω=

Β’ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Να λυθεί η εξίσωση xxxx 41)1(3)12( 2

ΘΕΜΑ 2ο

Να λυθεί το σύστημα :

1243)4(2

310

3

2

2

5

32

xyyx

xyxyx

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90) με ΑΒ=16cm και ΑΓ=12cm. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν Ε είναι το μέσον της ΑΒ και Ζ μέσον της ΑΓ να βρεθούν οι πλευρές του τριγώνου ΕΖΔ.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΤΑΞΗ Γ


ΘΕΩΡΙΑ1. α. Να αποδείξετε ότι (α+β)2= α2 +2αβ+β2

β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες:i) α2 – β2 = ii) (α+β)3

2. Να αποδείξετε ότι ημ2ω+συν2ω=1

ψ

M (χ,ψ) ρ ω

ο χ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Να λυθεί η εξίσωση x2 – 2(x – 1)=3(x +2) – x – 7

2. Να λυθεί το σύστημα : 22

1

3

2

x

632

x

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι γωνία Α=30ο, β=4 cm και γ=2 3 cmΝα υπολογίσετε α.) την πλευρά α,

β) τις γωνίες Β και Γ

Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΡΙΑ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ


ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: …………………………………………………….

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1Ο

Α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3.

Β) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες

1. (α-β)2=

2. (α-β)3=

3. α2-β2=

Θέμα 2Ο

Έστω σημείο Μ σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει συντεταγμένες (χ,y) και η απόσταση του από την αρχή των αξόνων Ο είναι ίση με ρ. Να

αποδείξετε ότι

όπου ˆ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 1ο

Έστω η παράσταση 2

4 x 2

x 1 x 1 x 1

Α) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α.

Β) Να λυθεί η εξίσωση 2

4 x 2

x 1 x 1 x 1

=0

Θέμα 2ο

A) Να λυθεί το σύστημα

2x 3 y

x y 2

B) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Β=(χ+y)2008+x2008+y2008, αν τα χ,yέχουν για τιμές τη λύση του παραπάνω συστήματος

Θέμα 3ο

Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 0A 90 ) Βτα Δ,Η είναι μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα.Επίσης το ΔΗ είναι κάθετο στην ΑΒ

Α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΔΗ Η Δ

Β) Αν ΑΓ=6cm και ΒΓ=10cm να υπολογίσετε τα μήκητων ΔΗ και ΑΔ.

Α Γ

ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΣΕ ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΣΕ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Καλή Επιτυχία!!

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2008ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΑΞΗ Γ΄

ΘΕΩΡΙΑ

1) Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i) (α+β)2=α2+2αβ+β2

ii) (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3

2) Διατύπωσε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) i) Να γίνει γινόμενο παραγόντων η παράσταση: α3-3α2

ii) Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

96

332

23

aa

aaa

2) Να λύσετε την εξίσωση: 83234 22

3) Η παραβολή 22 διέρχεται από τα σημεία (0,-3) και (-3,0).Να βρείτε τα , και την ελάχιστη τιμή της.

(Να απαντήσετε σε ένα θέμα θεωρίας και σε δύο ασκήσεις)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΝΕΡΗΣΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ

ΔΕΥΤΕΡΑ 26 ΜΑΙΟΥ 2008ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΤΡΕΙΣ (3)

ΟΜΑΔΑ Α’ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)3 = α3+3α2β+3αβ2+β3


Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα των απαντήσεων δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Για οποιουσδήποτε αριθμούς α και β ισχύει: (α+β)2=α2+β2

β. Αν ρ1, ρ2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης αx2 +βx + γ = ο με α 0,τότε το τριώνυμο αx2 +βx + γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο: αx2 +βx + γ = (x- ρ1)(x- ρ2)

γ. Αν η διακρίνουσα Δ=β2-4αγ της εξίσωσης αx2 +βx + γ = ο με α 0, είναι μη αρνητική, τότε η παραπάνω εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση.

δ. Αν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους x, yείναι αδύνατο, τότε οι ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις είναι παράλληλες.

ε. Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) και δ(x) με δ(x) 0, και κάνουμε τη διαίρεση Δ(x):δ(x) τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) και υ(x), για τα οποία ισχύει: Δ(x)=δ(x).π(x)+υ(x), όπου υ(x)=0 ή το υ(x) έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x)

(Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 2ο

Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει: ημ2ω + συν2ω = 1


Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα των απαντήσεων δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α. Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180ο-ω ισχύει: ημ(180ο-ω)=- ημω

β. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα.

γ. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της.

δ. Αν ω είναι μια αμβλεία γωνία , τότε συνω < 0

ε. Τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες, αν τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ίσα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη.

(Μονάδες 5)

ΟΜΑΔΑ Β’

ΘΕΜΑ 3ο

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει: ημω=5

4, να αποδείξετε ότι :

Α. συνω = 5

3

(Μονάδες 2)

Β. εφω=3

4

(Μονάδες 2)

Γ. 70

3

135

120

(Μονάδες 2, 6)

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διαμέσοί του ΒΔ και ΓΕ. Αν Κ είναι το σημείο τομής των διαμέσων, τότε να αποδείξετε:

Α. τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα.(Μονάδες 3)

Β. Το τρίγωνο ΒΓΚ είναι ισοσκελές.

(Μονάδες 3, 6)

ΘΕΜΑ 5ο

Δίνονται τα πολυώνυμα:Α(x) = 2x(3x-1)-(x-1).(1+x)-3x2-1 και B(x)=(3x-2)2-(2x-1).(4x-3)

α. Να δείξετε ότι Α(x)= 2x2-2x και Β(x)=x2-2x+1(Μονάδες 2)

β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α(x) και B(x)(Μονάδες 1)

γ. Να βρείτε τις τιμές του x που ορίζεται η αλγεβρική παράσταση

Γ(x)=)x(B

)x(και μετά να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση Γ(x)

(Μονάδες 2)

δ. Να λύσετε την εξίσωση Γ(x)=1x

2


Να απαντήσετε ένα από τα δύο θέματα της ομάδας Α και δύο από τα τρία θέματα της ομάδας Β

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

Ο Διευθυντής Ο Εισηγητής

ΤΑΞΗ Γ΄ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2007-2008 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Θ Ε Μ Α Τ Α

Α.ΘΕΩΡΙΑ.ΘΕΜΑ 1Ο. Δίνεται ένα σημείο Μ(x,y), σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων xOy με ΟΜ=ρ και xOM=ω. α) Να ορίσετε τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β) Να αποδείξετε ότι ημ2ω+συν2ω=1.

ΘΕΜΑ 2Ο. α) Τι λέγεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: (α+β)2=……… α2-2αβ+β2=………, (α-β) (α+β)=……γ) Να αποδείξετε ότι ( α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3.

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ.ΘΕΜΑ 1Ο. Να λυθεί το σύστημα:

3 1 1

2 3 6

x y

2χ+3(y-2)=-11

ΘEMA 2Ο. Δίνονται τα πολυώνυμα : Α=χ2-χ+1 και Β=χ-1α) Να υπολογίσετε την παράσταση Κ=Α.Β-Β3

β) Να λυθεί η εξίσωση Κ=2

ΘΕΜΑ 3Ο. Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) και δυο χορδές του ΑΓ και ΒΔ που τέμνονται εντός του κύκλου στο Ζ. Αν ΑΖ=6 cm, ΒΖ=9cm και ΔΖ=8cm να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΓΔΖ είναι όμοια.β) να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΓΖ.

Σημείωση: Από τα δύο θέματα της θεωρίας να απαντήσετε στο ένα και από τις τρεις ασκήσεις στις δύο.

©g.p.t

Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις Μαΐου – Ιουνίου2008Στα Μαθηματικά

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο

ι) Τι λέγεται ταυτότητα ;ιι) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2

ιιι) Να συμπληρωθεί η ισότητα α2-β2=( )( )

ΘΕΜΑ 2ο

ι) Διατυπώστε τα κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων ιι) Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο

Δίνεται η αλγεβρική παράσταση 1

122

Α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις χ2-χ και χ2-1Β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η αλγεβρική παράσταση Α έχει νόημαΓ) Να λύσετε την εξίσωση Α=0

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνονται οι ευθείες ε1 : χ+2ψ=5 και ε2 : 3χ-ψ=1Α) Να βρείτε το σημείο Α ( συντεταγμένες ) που η ευθεία ε1 τέμνει τον άξονα χ΄χΒ) Να βρείτε το σημείο Β ( συντεταγμένες ) της τομής των ευθειών ε1 και ε2 .

ΘΕΜΑ 3ο

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω=13

12

Α) Να βρείτε το συνωΒ) Να βρείτε την εφω


ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ :

Θέμα 1ον

α) Τι καλείται ταυτότητα ; β) Να αποδειχθεί η ταυτότητα : ( α + β ) ( α – β ) = α2 – β2 . γ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , αντιστοιχίζοντας κάθε παράσταση της στήλης Α , με το ανάπτυγμα της που υπάρχει στην στήλη Β .

Θέμα 2ον

α) Να γράψετε τα κριτήρια που πρέπει να ικανοποιούν δυο τρίγωνα , ώστε να είναι ισα μεταξύ τους . β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , αντιστοιχίζοντας κάθε τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης Α , με τον ισο του τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης Β :

γ ) Ποιες βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες γνωρίζετε; .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1η

Να λυθεί η εξίσωση : ψ 2 ( ψ – 2 ) + 4ψ ( ψ – 2 ) + 4ψ – 8 = 0 . Άσκηση 2η

Οι μαθητές ενός τμήματος της Γ ΄ Γυμνασίου , αν καθίσουν ανά ένας σε κάθε θρανίο που υπάρχει μέσα στην τάξη τους , τότε μένουν όρθιοι 8 μαθητές , ενώ αν καθίσουν ανά δυο σε κάθε θρανίο που υπάρχει μέσα στην τάξη τους , τότε μένουν κενά 4 θρανία . Να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος αυτού και πόσα τα θρανία που υπάρχουν στην τάξη τους . Άσκηση 3η

Αν γνωρίζουμε ότι η γωνία ω είναι αμβλεία και το ημω = 4 5 , τότε :

α ) να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω , β ) με βάση τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω , που υπολογίσατε προηγουμένως να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

Α = 1 3 ημω +

2 3 συνω –

1 10 εφω .

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΤΑΞΗ Γ΄

ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1Ο .

Α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β)2 = α2+2αβ+β2 Β) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε οι ισότητες να εκφράζουν αξιοσημείωτες ταυτότητες 1. (α - β )2 = ……………………………………………… 2. (α + β ) (α - β) = ……………………………………… 3. α3 + β3 = ……………………………………………… Γ) Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα την ένδειξη Σωστό αν είναι σωστή ή την ένδειξη Λάθος αν είναι λάθος. H εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α≠ 0 1. Έχει διακρίνουσα την Δ= β2-4αγ.

2. Έχει δύο ρίζες χ1,2 = 2βα

− ± Δ όταν Δ=0

3. Έχει μία διπλή ρίζα χ= -2βα

όταν Δ>0

ΘΕΜΑ 2Ο .

Σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση. Α) Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι: 1. 90ο 2. 180ο 3. 360ο 4. 60ο

Β) α) Για το σημείο Μ(x , y) του σχήματος να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ημω = …… , συνω = …… , εφω = ……

β) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει : ημ2ω + συν2ω = 1

Γ) Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα την ένδειξη Σωστό αν είναι σωστή ή την ένδειξη Λάθος αν είναι λάθος.

1. Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μια. 2. Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

3. Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν δυο γωνίες τους και δυο πλευρές τους ίσες μία προς μία

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1η Άσκηση

Έστω οι παραστάσεις: Α=2

2

2 44

χ χχ

−−

και Β=3

2

84 4

χχ χ

++ +

α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i. 2χ2-4χ ii. χ2-4 iii. χ3 +8 iv. 2χ2 -6x+4 β) Να βρείτε τις τιμές του χ που ορίζονται οι παραστάσεις Α, Β και να τις απλοποιήσετε. 2η Άσκηση 2χ+ψ=3 α) Να λύσετε το σύστημα: 2χ+3ψ=5 β) Αν οι ευθείες ε1:2χ+ψ=3, ε2:2χ+3ψ= 5 και ε3: χ-κψ=κ+5 διέρχονται από το ίδιο σημείο να

βρείτε το κ 3η Άσκηση

Αν συνx = 45

− και 90ο < x < 180ο,

α)Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας χ β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής της γωνίας χ

γ) Να δείξετε ότι 2ημχ+συν(1800-χ)-2εφ(1800-χ)= 12

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ Α.ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 10. Α)Να δείξετε ότι ισχύει η ταυτότητα: (α+β)2=α2+2αβ+β2

Β)Να συμπληρωθούν οι ισότητες: i)α2-β2=…………………. ii)α3-β3=…………………

iii)(α+β)3=………………. ΘΕΜΑ 20 Να διατυπώσετε τα τρία κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων . Β.ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 10. Δίνεται η παράσταση:Α=(χ+2ψ)2-(2χ-ψ)2+5χ2-5ψ2 Α)Να γίνουν οι πράξεις. Β)Να βρεθεί η τιμή της παράστασης για χ=2 και ψ=-1.

ΘΕΜΑ 20 Να λυθεί η εξίσωση: xx

xxx

x 11

21222 −−

=−−

ΘΕΜΑ 30: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ.Προεκτείνουμε την ΒΑ κατά τμήμα ΑΔ=ΑΒ και την ΓΑ κατά τμήμα ΑΕ=ΑΓ. Έστω τυχαίο σημείο Μ της πλευράς ΒΓ και η προέκταση της ΜΑ τέμνει την ΔΕ στο σημείο Ν. Να δείξετε ότι:

Α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το ΑΔΕ Β) ΔΕ=ΒΓ και γωνία Β ίση με τη γωνία Δ. Γ) ΒΜ=ΔΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1Ο: α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες (α-β)(α+β)=…………………………………………… (α-β) 2=…………………………………………. β)Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)3=α3+2α2β+3αβ2+β3 γ)Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι γινόμενο παραγόντων;

i. 8χ+16ψ

ii. (χ+2ψ)*χ-ψ

iii. 4(α-β) 2 (χ-ψ)

ΘΕΜΑ 2Ο: α)Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει ημ2ω+συν2ω=1 β)Αν για μια γωνία ισχύει 180<ω<270 ποιο είναι το πρόσημο των ημω, συνω, εφω; γ)Ποιες είναι οι σχέσεις που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1Ο: α) Να γίνουν πράξεις: (2χ-1) 2 -3(χ-3)(χ+3) β)Να κάνετε γινόμενο τις παραστάσεις Α=χ2-4χ+4 Β=χ3-4χ Γ=α2-α-2αβ+β2+β

γ)Να λυθεί η εξίσωση: 21 2x

Α B=

ΘΕΜΑ 2Ο: α)Να λυθεί το σύστημα 3α-3+2β=α+3 3α+2(2β-1)=3β+5 β)Για τις τιμές των α, β που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση: 5χ2+13βχ+3α=0 ΘΕΜΑ 3Ο: Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓμε βάση ΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος του. Αν Κ είναι ένα σημείο της ΑΔ, να δείξετε ότι α)Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ είναι ίσα β) Το τρίγωνο ΒΓΚ είναι ισοσκελές

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΤΑΞΗ Γ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α.. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β) 2 =α 2 +2αβ+β 2

β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες (α-β) 2 =………………………………. (α+β) (α-β)=………………………. (α-β) 3 =…………………………………… ΘΕΜΑ 2ο α. Να αποδείξετε ότι ημ 2ω+συν 2ω=1, όπου ω τυχαία γωνία. β. Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία ω , ώστε να ισχύει ημω=1 και συνω=1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α. 9(ω -2)- 8ω=4ω(2ω-1)+14 ΘΕΜΑ 2ο α. Για οποιαδήποτε γωνία θ να αποδείξετε ότι : ( ημθ - συνθ)

2 + ( ημθ + συνθ)2 = 2

β. Αν η γωνία θ είναι αμβλεία και ισχύει ημθ=34

να υπολογίσετε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς συνθ και εφθ. ΘΕΜΑ 3ο α. Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση ψ=αχ+β, η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(2,2) και Β(3,6).Να βρείτε τα α και β. β. Αν το σημείο Γ(λ , 5λ) ανήκει στην ίδια ευθεία να βρείτε το λ.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ΄

Θ Ε Ω Ρ Ι Α

ΘΕΜΑ 1ο α) Τι ονομάζεται ταυτότητα; β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: 2( )a β− =… 3 3α β− =… ( )( )α β α β− + =… γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα 3 3 2 2 3( ) 3 3α β α α β αβ β+ = + + + . ΘΕΜΑ 2ο α) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων. β) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων.


ΘΕΜΑ 1ο

Να λυθεί η εξίσωση : 2 25 1 1

2 3 3 1x x

x x x x x− + −− =+ − + −

ΘΕΜΑ 2ο

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ότι ημω 1517

= τότε:

α) Να υπολογίσετε το συνω και την εφω. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : 0 0 0 017 ημ(180 ω) + 17 συν(180 ω) - 8 εφ(180 ω) συν120Α= ⎡ ⎤⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⎣ ⎦ ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται το σύστημα : (2α-β)x + (β-α)y = 17

(5α-1)x + (-β+2)y = -1

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

το οποίο έχει λύση (x , y) = ( 1 , -2).

Να βρείτε τα α , β.

Γραπτές Απολυτήριες Εξετάσεις Περιόδου Μαΐου – Ιουνίου 2009 στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1: α) Να αποδειχθεί η ταυτότητα

3322 )()( βαββααβα +=+⋅−⋅+ β) Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τα παρακάτω: i) 22 )()( βαβα −−=+ ii) 32233 33)( βαββααβα ++−=−

iii) 22))(( βααββα −=−+ Θέμα 2: α) Στο διπλανό σχήμα δίνεται χοζ=ω. Αν Μ(χ,ψ) σημείο της Οζ τότε να συμπληρώσετε τα παρακάτω: Ρ=ΟΜ=… ημω=… συνω=… εφω=… β) Να αποδείξετε ότι 122 =+ ωσυνωημ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί η εξίσωση: 4

22

12

11 2 −=

−−

+−

xx

xx

2. Να λυθεί το σύστημα: yyxx 283

−=−

−

yxyx−

+=

−−

23

4323

3. Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΓΔ. Να υπολογίσετε το χ.

Μ(χ,ψ)

χ

ψ ζ

Ο ω

ρ

Α Β

Γ Δ

Ε Ζ

8 χ+3

χ 5


ΤΑΞΗ: Γ΄ Γυμνασίου. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Δίνεται η εξίσωση : αx2+βx+γ=0, με α≠0 (1) Α. Σε κάθε μία από τις προτάσεις που ακολουθούν, να επιλέξετε την

σωστή απάντηση από τις προτεινόμενες: (i) ο τύπος που δίνει την διακρίνουσα Δ είναι ο εξής: α) Δ=-β

2 +4αγ β) Δ=β2 +4αγ γ) Δ= -β

2 -4αγ δ) Δ= β2 -4αγ

(ii) αν Δ>0, τότε η εξίσωση (1): α) δεν έχει καμία λύση β) έχει μία διπλή λύση γ) έχει δύο άνισες λύσεις δ) έχει τρεις λύσεις (iii) αν Δ=0, τότε η εξίσωση (1): α) είναι αδύνατη β) έχει μία διπλή λύση γ) είναι αόριστη δ) έχει μοναδική λύση την x=0 (iv) αν Δ<0, τότε η εξίσωση (1): α) έχει δύο λύσεις αρνητικές β) έχει δύο λύσεις θετικές γ) είναι αδύνατη δ) είναι αόριστη

Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: (i) αν η εξίσωση (1) έχει δύο άνισες λύσεις, τότε αυτές δίνονται από τον τύπο:………………… (ii) αν η εξίσωση (1) έχει μία διπλή λύση, τότε αυτή δίνεται από τον τύπο:…………………

2. Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) της γωνίας ω του διπλανού σχήματος.

Β. Έστω οξεία γωνία ω. Να κρίνετε αν είναι σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις σχέσεις που ακολουθούν: (i) ημω>0 Σ Λ (ii) συνω>0 Σ Λ (iii) εφω<0 Σ Λ

ψ

ψ΄

χχ΄

ρ

ω

Ο

Μ(x,ψ)

Β ΓM

A

ΕΔ

Γ. Σε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχίσετε το ίσο της από την στήλη Β: ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. ημ(180

0-ω) α. συνω

2. συν(1800-ω) β. –εφω

3. εφ(1800-ω) γ. –ημω

δ. ημω ε. εφω στ. -συνω

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες, έτσι ώστε να

προκύψουν σωστά αναπτύγματα ταυτοτήτων: (i) (…..+2x)

2=9+…..+…..

(ii) (x+…..)3=…..+6x

2ψ+…..+…..

(iii) 25x2-…..=(5x+3ψ)(…..-…..)

Β. Να αποδείξετε ότι: 2α(2α-1)2-(2α-1)3-4α2=1-4α

2. Α. Αν το σύστημα: ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−++=+−

5β3ψ)1β2(xα3αβψx)1α( έχει λύση την (x,ψ)=(3,2), να

βρείτε τα α, β. Β. Για α=2 και β=1 να σχεδιάσετε την ευθεία που έχει εξίσωση (α-1)x+βψ=α+3, να βρείτε τα σημεία που αυτή τέμνει τους άξονες x΄x και ψ΄ψ και να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία αυτή και τους άξονες.

3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (με

ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρνουμε ΜΔΑΒ και ΜΕΑΓ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να δείξετε ότι ΜΔ=ΜΕ β) Να φέρετε την διάμεσο ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ και να δείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ

∧

MΕ.

Τάξη: Γ΄ Γυμνασίου Μάθημα: Μαθηματικά

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 Α) Να δώσετε τον ορισμό της ταυτότητας.

( Μονάδες 2) Β) Να αποδείξετε την ταυτότητα 2 2 2( ) 2α β α α β β+ = + ⋅ ⋅ +

( Μονάδες 2,6) Γ) Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με αυτά της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β 1. 3( )α β− α. 2 2α β− 2. ( ) ( )α β α β− ⋅ + β. 3 3α β− 3. 2 2( ) ( )α β α α β β− ⋅ + ⋅ + γ. 3 2 2 33 3α α β α β β− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − 4. 2( )α β− δ. 2 2α β+ ε. 2 22α α β β− ⋅ ⋅ +

( Μονάδες 2)

ΘΕΩΡΙΑ 2 Χρησιμοποιώντας τα παρακάτω τρίγωνα να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων με λόγια και με σύμβολα.

( Μονάδες 6,6)

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η εξίσωση 2

1 71 1 1

xx x x

− =+ − −

Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζονται οι όροι της εξίσωσης και στη συνέχεια να τη λύσετε.

( Μονάδες 6,7) ΑΣΚΗΣΗ 2 Να λύσετε το σύστημα 3 ( 5) 2 (2 1) 18x y⋅ − + ⋅ ⋅ + =

4 6 43 2

x y+ −− =

( Μονάδες 6,7)

ΑΣΚΗΣΗ 3 Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ' ' 'ΑΒΓ έχουν τις διχοτόμους ΑΔ και ' 'ΑΔ ίσες.


α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ' ' 'ΑΒΔ είναι ίσα. ( Μονάδες 2,7)

β) Τα τμήματα ΑΒ και ' 'ΑΒ είναι ίσα. ( Μονάδες 1)

γ) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ' ' 'ΑΒΓ είναι ίσα. ( Μονάδες 3)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ –ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Α.ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο α)Να αποδείξετε την ταυτότητα : (α-β)(α+β) =α 2 - β 2 β) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες : ι)(α+β) 2 = ……….+2αβ+……… ιι)(α-β) 3 =α 3 -……..+3αβ .........2− ιιι)α 3 - β 3 =(α-β)(…….+αβ+…….) ΘΕΜΑ 2ο α) Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα του Θαλή. β) Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ παράλληλη στην ΒΓ, με εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή να γράψετε δύο ίσους λόγους ευθυγράμμων τμημάτων.

B.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνονται τα πολυώνυμα: Ρ )(x =2 x )172()13( 232 −−−+− xxxx και Q( x )= 4)1)(1(2)12( 2 +++−−− xxxx α) Να δείξετε ότι: P( x )= 122 ++ xx και Q( x ) 732 2 +−= xx β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες οι αριθμητικές τιμές των P( x ), Q( x ) γίνονται ίσες . γ) Να παραγοντοποιήσετε το P( x ) και να δικαιολογήσετε ότι P( x ) 0≥ για οποιαδήποτε τιμή του x . ΑΣΚΗΣΗ 2η

Δίνεται το σύστημα :⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−

=−−

146

14

12

ψχ

ψχ

α) Σε κάθε εξίσωση να κάνετε απαλοιφή των παρονομαστών και να φέρετε το

σύστημα στη μορφή: 2χ 4ψ 5

2χ 3ψ 12− =⎧

⎨− + = −⎩

β) Να λύσετε το σύστημα .

B

A

Δ

Γ

Ε

ΑΣΚΗΣΗ 3η Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω=

53 να αποδείξετε ότι :

α) συνω =54

−

β)εφω =43

−

γ) 0

0

135120

εφσυνωσυνημω−

− = 5,5

ΤΑΞΗ Γ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο α)Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+β)2=α2+2αβ+β2

β)Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες (α-β)2= (α2-β2)= (α-β)3

ΘΕΜΑ 2ο Να δείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει α) ημ2ω +συν2ω =1 β) εφω =

συνωημω , ημω/συνω, , συνω ≠ 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ).Να φέρετε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ β) Να δείξετε ότι οι διάμεσοι ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες ΘΕΜΑ 2ο

Να λυθούν οι εξισώσεις α) χ2+2χ-3=0 β)

32

++

XX -

11

−+

XX =

326

2 −+ XX

Θέμα 30 Να λυθεί το σύστημα 2χ+3ψ=5 5(3χ+ψ)=4(χ-3)+28ψ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ

1. Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

32233

222

33)()2)()

βαββααβα

βαβαβα

−+−=−

+−=−

iii

2. Διατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται η παράσταση

335105

2

2

−+−

=Αx

xx

α) Να απλοποιήσετε την παραπάνω παράσταση Α. β) Να λύσετε την εξίσωση: Α=1

2. Να βρείτε τις τιμές του αριθμού k αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση

05522 22 =++++ kkkxx (με άγνωστο το x) έχει λύση τον αριθμό 1.

3. Να αποδείξετε ότι:

20092000)(4)2()2( 22 =+−+++− συνχημχσυνχημχ

Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2009 Μαθηματικά γ΄ Γυμνασίου

Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο:

α) Τι λέγεται ταυτότητα;

β) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( )2 2 2α-β =α -2αβ+β

γ) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: ( )3α-β =... ( )( )α+β α-β =

ΘΕΜΑ 2ο: Για τη γωνία xΟΜ =ω∧

του διπλανού σχήματος να αποδειχθούν ότι: α) 2 2η μ ω + σ υ ν ω =1

β) η μ ωε φ ω =σ υ ν ω .


M(x,y)

ρ

ω

x

y

O

ΑΣΚΗΣΗ 1η: Να λυθεί το σύστημα

x + 3 x - y- = 32 35 . x - y = 2 3

⎧⎪⎨⎪⎩

ΑΣΚΗΣΗ 2η: Σε ισοσκελές τρίγωνο Α Β Γ ( )Α Β = Α Γ φέρουμε τη διάμεσο Α ΜΑν Μ Δ ⊥ Α Β και Μ Ε ⊥ Α Γ να αποδείξετε ότι: α) =Β Δ Γ Ε και β) Τα τρίγωνα Δ Α Μ και Ε Α Μ είναι ίσα.

ΑΣΚΗΣΗ 3η: Δίνεται το κλάσμα3

2

x -4x=10x -20x

Α

α) Να απλοποιηθεί το κλάσμα

β) Να λυθεί η εξίσωση1=

x-1Α

γ) Αν κ η θετική ρίζα της παραπάνω εξίσωσης να βρεθεί η τιμή της παράστασης

( ) ( )= 2018 . 2018κ κΠ + −

ΤΑΞΗ Γ΄ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ

ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1ο α) Τι λέγεται ταυτότητα.

β) Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α-β)2 = …, α3+β3-… γ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α-β)3=α3-3α2β+3αβ2-β3

Θέμα 2ο α) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος να αποδείξετε ότι: ημ2ω+συν2ω=1 β) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ(180ο-ω)=… , εφ(180ο-ω)=… ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 1ο Δίνονται τα πολυώνυμα: Α(x)=(2x-1)(x-3)2-9(2x-1) B(x)=4x4-(2x2-1)2

α) Να παραγοντοποιηθούν τα Α(x) και Β(x)

β) Να απλοποιηθεί η παράσταση: )()(

xx

ΒΑ

γ) Να λυθεί η εξίσωση: 12

5)()(

+−=

ΒΑ

xxx

Θέμα 2ο Να λυθεί το σύστημα:

32

63

1=

++

− yx

25

163−=

+ xy

Θέμα 3ο Στην προέκταση της βάσης ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε σημεία Δ, Ε, ώστε ΒΔ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔΕ τρίγωνο ισοσκελές β) ΒΚ=ΓΛ όπυ ΒΚ⊥ΑΔ και ΓΛ⊥ΑΕ γ) ΑΛ+ΔΚ=ΑΔ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΤΑΞΗ: ΄Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ


ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ:

1) α) Να συμπληρώσετε τις σχέσεις:

i) (α+β) (α-β) = ................

ii) (α-β)3 =..................

β) Ν’ αποδείξετε ότι: (α+β)3 = α3+3α2β+3αβ2+β3

2) α) Στο διπλανό σχήμα να ορίσετε τα: Μ (x,y)

ημω, συνω και εφω. ρ

ω

β) Ν’ αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει: ημ2ω+συν2ω = 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

1) α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο: x2 – x – 2

β) Να λύσετε την εξίσωση: 02

12

12 =

−−

−−+

xxxx

2) Να λυθεί το σύστημα: 33

122

5=

++

− yx

42

63

4=

−−

+ yx

3) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

ΒΔ=ΓΕ. Ν’ αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

Ο

Μ(x,y)

y

x ω

ρ

ΤΑΞΗ : Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ


ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο : α) Τι λέγεται ταυτότητα ; β) Να αποδειχτεί ότι :( α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 γ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν ταυτότητες : (α – β)3 = ……….. , (α + β)2 = ………. ΘΕΜΑ 2ο : Στο διπλανό σχήμα είναι

ΟΜ = ρ και x∧

O M = ∧

ω α) Να ορίσετε τα : ημω , συνω , εφω με βάση τις συντεταγμένες x , y του Μ και την απόσταση ΟΜ = ρ β) Να αποδείξετε ότι :

εφω = συνωημω

γ) Να συμπληρωθούν : ημ(180ο – ω ) = …… , συν(180ο – ω ) = …… , εφ(180ο – ω ) = …… ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο : Δίνονται οι κλασματικές παραστάσεις :

Α = 1x

)1x)(x21(2 −

+− και Β = 2x3x

x2x2

23

+−−

α) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις Α και Β . β) Να λυθεί η εξίσωση : Α + Β = 2 . ΘΕΜΑ 2ο :

Αν το σύστημα ⎩⎨⎧

=ψβ−α−χβ−α=ψ−β−αχ

27)2()(6)13(2

έχει λύση ( χ ,ψ) = ( 4 , -1)

να βρεθούν τα α , β . ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η εξίσωση 25x2 – 5x – 12 = 0 και μια γωνία ω με 90ο < ω < 180ο . α) Να λυθεί η εξίσωση β) Αν η μια από τις λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος (α) είναι ίση με το συνω να βρεθούν : ημω και εφω .

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ 1Ο : A. Να αποδείξετε τις ταυτότητες. α) (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 β) (α + β)3 = α3 +3α2 β +3αβ2 + β3 γ) (α-β)(α+β) = α2 – β2

ΘΕΩΡΙΑ 2Ο : α) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. β) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. ΑΣΚΗΣΗ 1η : Να λυθεί το σύστημα : 5(2χ + 3) + 5ψ = 6χ – 8 4χ – 3(2ψ + χ) =3(2 – χ) + 4 ΑΣΚΗΣΗ 2η : Να λυθεί η κλασματική εξίσωση :

χχχ

χχχ 4

225

262

2

−−+

=−

ΑΣΚΗΣΗ 3η : Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει συνω = – 54

, τότε να υπολογίσετε:

α) τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς β) την τιμή της παράστασης Α. Α = 25ημωσυνω + 16εφ2ω + (ημ2ω + συν2ω)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008

ΤΑΞΗ: Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων

1) (α-β)2=… 2) (α+β)3=… 3) α2-β2=… 4) (α+β)2=… 5) (α-β)3=… Β. Να αποδείξετε την δεύτερη από τις παραπάνω ταυτότητες ΘΕΜΑ 2ο Α. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων ( να κάνετε ένα σχήμα για

κάθε κριτήριο) Β. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

(να κάνετε σχήμα για κάθε κριτήριο). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Α. Να λύσετε την εξίσωση 2χ2 - 3χ + 1 = 0 και να δείξετε ότι η μια από τις ρίζες

της είναι το 12

.

Β. Αν α είναι η κλασματική ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος Α να λύσετε το

σύστημα αχ + ψ= - 1 3χ + 2ψ = 0

ΑΣΚΗΣΗ 2η Α.

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις Α =2

2

5 62 6

x xx x− +−

και Β = 2

22

xx x−

Β. Να λύσετε την εξίσωση Α+Β = 2

42x x−

όπου Α και Β είναι οι

απλοποιημένες παραστάσεις του ερωτήματος Α.

ΑΣΚΗΣΗ 3η Α. Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ μέσον της ΒΓ. Αν ΒΔ=ΓΕ, να αποδείξετε ότι: α) ΜΔ=ΜΕ β) τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ είναι ίσα.

Α

Δ Ε

Β Γ Μ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Γ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 10 Α: Να συμπληρωθούν οι ταυτότητες

i. (α+β)2 = ii. (α+β)(α-β) =

iii. (α-β)3 = iv. α3 + β3 = Β: Να αποδείξετε την ταυτότητα : (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2 ΘΕΜΑ 20

i. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια ; (Να γίνει και το ανάλογο σχήμα ) ii. Αν δύο τρίγωνα είναι ορθογώνια και ισοσκελή τότε είναι όμοια . Η παραπάνω

πρόταση είναι σωστή ή λάθος ; Δικαιολογήστε την απάντηση σας . ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 10

i. Να γίνουν γινόμενα πρωτοβάθμιων παραγόντων τα πολυώνυμα : χ2 - 16 , χ2 -6χ + 8

ii. Να λυθούν οι εξισώσεις : χ2 -16 = 0 , χ2 -6χ + 8 = 0

iii. Να απλοποιηθεί το κλάσμα : )4)(86(

162

2

++−−

xxxx

ΘΕΜΑ 20 Δίνεται η ευθεία : 6χ + 2ψ = 8 – 2λ

i. Να βρεθεί ο αριθμός λ ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων .

ii. Για λ = 4 να λυθεί το σύστημα : ⎩⎨⎧

=−−=+

42826

ψχλψχ

ΘΕΜΑ 30 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Αν Δ ,Ε ,Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε:

i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΜ , ΕΜΓ είναι ίσα. ii. Τι τρίγωνο είναι το ΔΕΜ ; Δικαιολογείστε την απάντησή σας .

Γραπτές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις περιόδου Ιουνίου 2009 Μάθημα : Μαθηματικά Τάξη : Γ

ΘΕΩΡΙΑ

1ο ΘΕΜΑ Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων πάρτε ένα σημείο Μ(x,y)

α) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = ^

xoM .

β) Αποδείξτε ότι ημ2ω + συν2ω = 1

γ) Αποδείξτε ότι εφωσυνωημω

= .

2ο ΘΕΜΑ Συμπληρώστε τις ισότητες : α) (α+β)3 =_____________________ β) α3 – β3 =_____________________ γ) (α-β)·(α+β) = _________________ Αποδείξτε ότι (α-β)3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1η ΑΣΚΗΣΗ

α. Να βρεθούν οι ρ1 και ρ2 οι ρίζες της εξίσωσης x2 + x – 20 = 0 β. Για μία γωνία ω, με 90ο < ω < 180ο, ισχύει ότι το ημω , είναι κλάσμα με όρους τις

λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος α. Πόσο είναι το ημω ; Στη συνέχεια να υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

2η ΑΣΚΗΣΗ

x

y

3

6

Α

Β

Γ

ε1

ε2

ε3

Αν ε1//ε2//ε3 και το τμήμα ΑΓ έχει μήκος 12 : α) Να γράψετε δύο σχέσεις που να συνδέουν τα x,y. β) Να λύσετε στη συνέχεια το σύστημα που προέκυψε για να υπολογίσετε τα x,y.. 3η ΑΣΚΗΣΗ α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις :

2 – 2x = 3x + 3 = x2 – 1 = 3x2 – 3 =

β. Να λυθεί η κλασματική εξίσωση :33

21222

3233

322

2

−++

=−+

−+−

xxx

xx

xx

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ – ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ’

ΘΕΜΑΤΑ

Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο (α) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ( ).( ) ....− + =α β α β 3( ) .....α β− = (β) Να αποδείξετε ότι 2 2 2( ) 2α β α αβ β− = − + ΘΕΜΑ 2ο Δίνεται ένα σημείο ( , )yχΜ σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων x yΟ με OM ρ= και

χ ω∧ ∧

ΟΜ = .

(α) Να ορίσετε τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω∧

.

(β) Να αποδείξετε ότι: ημωεφωσυνω

=

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο

Να λυθεί το Σύστημα: 1 3

2 3 22( 1) 3 27

y

x y

χ +− =

− − =

ΘΕΜΑ 2ο

Θεωρούμε τις παραστάσεις: 2

2

( 1) 42 1

χ

χ χ

Α = − −

Β = + +

(α) Να παραγοντοποιηθούν τα ,Α Β

(β) Να απλοποιηθεί η παράσταση ΑΓ =

Β

(γ) Να λυθεί η εξίσωση 3χΓ = −

ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ παίρνουμετμήματα ΓΔ και ΓΕ αντίστοιχα έτσι, ώστε ΓΔ=ΓΕ. Αν Ζ σημείο της διχοτόμου ΓΗ να δείξετε ότι: (α) ΖΔ=ΖΕ (β) Οι αποστάσεις του Ζ από τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ είναι ίσες.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑ 1ο: α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α΄ το ανάπτυγμά της από τη στήλη Β΄:

ΣΤΗΛΗ Α΄ ΣΤΗΛΗ Β΄ α) (x+4)2 β) (x-4)2 γ) (4x-3)(4x+3) δ) (x-1)3 ε) (x-1)(x2+x+1)

1. x3-1 2. x3-3x+3x2-1 3. x2+8x+8 4. 4x2-9 5. x3-3x2+3x-1 6. x2-8x+16 7. 16x2-9 8. x2+8x+16

β) Να αποδείξετε ότι: (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3 ΘΕΜΑ 2ο: Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές και με (Λ) αν είναι λανθασμένες: α) Δύο τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές ίσες και μια γωνία ίση είναι ίσα. β) Δύο τρίγωνα που έχουν μια πλευρά ίση και δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες μια προς μία είναι ίσα. γ) Δύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν τις δύο κάθετες πλευρές τους ίσες μια προς μία είναι ίσα Β. Για τις παραπληρωματικές γωνίες ω, φ=180ο-ω να συμπληρωθούν οι ισότητες: ημ(180ο-ω)=….., συν(180ο-ω)=….., εφ(180ο-ω)=…..,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η: α) Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

133

23

2

++++

xxxx

β) Να λυθεί η εξίσωση: 0111 2 =−

−−xxx

ΑΣΚΗΣΗ 2η: Να βρείτε δύο διαδοχικούς περιττούς ακεραίους που το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 74. ΑΣΚΗΣΗ 3η: Να αποδειχθεί ότι: (2ημx+3συνx)2 – (3ημx-2συνx)2 = 13

ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑÏΟΥ- ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ Γ΄ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ 1η α) Τι ονομάζουμε ακέραια αλγεβρική παράσταση; β) Τι ονομάζουμε μονώνυμο; γ) Πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο; ΘΕΩΡΙΑ 2η

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οχψ θεωρούμε το σημείο Μ με συντεταγμένες (χ,ψ). Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ημιευθεία ΟΜ με τον ημιάξονα Οχ α) να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω (ημω, συνω και εφω) β) να αποδείξετε ότι ημ2ω + συν2ω = 1.

--------------------------- ΑΣΚΗΣΗ 1η

Δίνεται η παράσταση Α(x) = xxxxx 2

34

22

1222 −

+−

++

α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η A(x).

β) Να αποδείξετε ότι Α(x) =)2(

2−xx

.

γ) Να λύσετε την εξίσωση Α(x)=41

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να λύσετε το σύστημα:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−+

+−

=+−

++

34

42

3

1211

2412

62

ψχψχ

ψχψχψχ

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=10, ΑΚ=x, ΑΛ=x+3 και ΛΓ=x. Αν ΚΛ // ΒΓ να υπολογιστεί το x.

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ( Διαλέξτε και απαντήστε σε ένα από τα δύο θέματα ) Θέμα 1ο Α) Συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες

2

3 3

3

( )

( )

− =

+ =

− =

α β

α β

α β

Β) Αποδείξτε μία από τις παραπάνω ( όποια θέλετε ) Θέμα 2ο Α) Διατυπώστε τα 3 κριτήρια ισότητας (τυχαίων) τριγώνων Β) Διατυπώστε το Θεώρημα του Θαλή . ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ( Διαλέξτε και απαντήστε σε δύο από τα τρία θέματα ) Θέμα 1ο Δίνονται οι παραστάσεις 3( ) ( 2) 3 (2 7) 8χ χ χ χΑ = + − + − και

2( ) (2 3) ( 1)(3 1) 5 4χ χ χ χ χΒ = − − − + + − . α) Να δείξετε ότι 3( ) 9χ χ χΑ = − και 2( ) 5 6χ χ χΒ = − + β) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α(χ) και Β(χ)

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 18( ) 2χχ χ

Α=

Β −

Θέμα 2ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 2( ) ( ) (9 2 ) 1χ κχ κ λ χ λ χΡ = − + + − + Α) Αν (2) 35Ρ = και ( 1) 1Ρ − = − να βρείτε τους αριθμούς κ και λ . Β) Για κ = - 6 και λ = -5 ι) να γίνει η διαίρεση του Ρ(χ) με το πολυώνυμο 2χ+1 και να γραφεί το Ρ(χ) με την ταυτότητα της διαίρεσης ιι) Να λυθεί η εξίσωση Ρ(χ) = -5 ιιι) Να παραγοντοποιηθεί το Α(χ) = Ρ(χ) + 5 και να δείξετε ότι για χ>3 είναι Α(χ) < 0 Θέμα 3ο Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ 90Α = o και να φέρετε το ύψος του ΑΔ Α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια . Β) Να γράψετε τις ισότητες των λόγων που προκύπτουν και να δείξετε ότι ΑΒ⋅ΑΓ = ΒΓ⋅ΑΔ

Γ) Αν επιπλέον είναι 2ΒΓ

ΑΔ = να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές

ΤΑΞΗ : Γ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Α . ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1ο : Δίνεται η εξίσωση αχ2 + βχ + γ = 0 , α ≠ ο : α ) Αν Δ > Ο τί είδους ρίζες έχει η εξίσωση ; β ) Μπορούν οι εξισώσεις με ελλιπή μορφή αχ2 + βχ = 0 , αχ2 + γ = 0 να επιλυθούν με τον τύπο χ1,2 = β +- √Δ όπου Δ = β2 - 4αγ ; 2α Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας . γ ) Η εξίσωση 3χ2 = 12χ έχει μοναδική λύση την χ= 4 . Συμφωνείτε ή όχι ; Δικαιολογείστε την απάντησή σας . ΘΕΜΑ 2ο : α ) Σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας ω και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ημ2ω + συν2ω = 1 β ) Πώς συνδέονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των παραπληρωματικών γωνιών ; γ ) Υπάρχει γωνία Α τέτοια ώστε ημΑ = 1 και συνΑ = 4 ; 5 5 Β . ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο : Να λυθεί η εξ'ισωση : 2χ + 1 = 3 3χ - 9 χ 3χ - χ2 ΘΕΜΑ 2ο : Να λυθεί το σύστημα : χ - y + 5 = χ - 1 3 2 2y - χ - 6 = χ + 2y - 2 3 3 ΘΕΜΑ 3ο : Εάν σε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ είναι γ ( α2 - γ2 ) = β ( α2 - β2 ) τότε Α = 120º

ΤΑΞΗ Γ Θέματα γραπτών Ανακεφαλαιωτικών Απολυτηρίων Εξετάσεων

στο μάθημα των Μαθηματικών ΘΕΩΡΙΑ 1 α) Να αποδείξετε την ταυτότητα 32233 33)( βαββααβα +++=+ β) Να συμπληρώσετε τα κενά ..........3.........)(... 23 −−+=− αβ Να επιλέξετε την σωστή απάντηση ......................)3)(3( =−+ yy χχ 223) yi −χ 22 3) χ−yii 229) yiii −χ 22 9) χ−yiv ΘΕΩΡΙΑ 2

(α) Να αποδείξετε ότι εφωσυνωημω

= για οποιαδήποτε γωνία ω με

0≠συνω (β) Τι ξέρετε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών; ΑΣΗΣΗ 1

Δίνονται οι παραστάσεις Α=6−χ

χ , Β=4−χ

χ , Γ=2410

112 +− χχ

(α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 24102 +− χχ (β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι αλγεβρικές παραστάσεις Α, Β, Γ. (γ) Να λυθεί η εξίσωση 2Α+Β= -Γ ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε το ύψος ΑΕ και πάνω σ’αυτό παίρνουμε τυχαίο σημαίο Ζ. Να δείξετε ότι (α) Τα τρίγωνα ΒΖΕ, ΓΕΖ είναι ίσα (β) Τα τρίγωνα ΑΖΒ, ΑΖΓ είναι ίσα (γ) Η ΖΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΖΓ ΑΣΚΗΣΗ 3 Να λυθεί το σύστημα

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−−

+−−=−

24

23

32315)6()4(

yyy

χχχχ

Α

Β ΓΕ

Ζ

ω

ρ

y

y

Μ (x,y)

χ χ

ΤΑΞΗ Γ’

Γραπτές απολυτήριες εξετάσεις Ιουνίου 2009 στα Μ α θ η μ α τ ι κ ά

Ι.ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1ο

α. Τι ονομάζουμε μαθηματική ταυτότητα;

β. Να αποδείξετε την ταυτότητα:

(α2- β2)=(α+β).(α-β)

γ. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) αν είναι σωστή ή

με (Λ) αν είναι λάθος κάθε μία από τις

ισότητες: i. (α +β)2=α2+β2

ii. (α-β) 2 = (β-α) 2

iii. (α + ) 2=α2+ +2

iv. x2+(α .β)x+(α +β)=(x+α).(x+β)

Θέμα 2ο

α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα του Θαλή.

β. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ.

Να συμπληρώσετε τους λόγους: = = που προκύπτουν από το θεώρημα

του Θαλή.

ΙΙ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

‘Ασκηση 1η

α. Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τις παραστάσεις: x2-1 και x2+x

β. Να λύσετε την εξίσωση:

+ =

‘Aσκηση 2η

Να αποδείξετε ότι τα συστήματα:

Σ1

Σ2

έχουν κοινή λύση.

‘Ασκηση 3η

Αν για τη γωνία ω γνωρίζουμε ότι:00<ω<900και ημ ω= να βρείτε:

α. Το συν ω και την εφ ω

β. Την αριθμητική τιμή της παράστασης:

Α=

Θεματα Στερεας Ελλαδας 2005-2009 Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Documents

Transcript of Θεματα Στερεας Ελλαδας 2005-2009 Μαθηματικά Γ γυμνασίου