Οικονομικά Μαθηματικά

Καθηγητής Συριόπουλος Κωνσταντίνος 1

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Καθηγητής : Συριόπουλος Κωνσταντίνος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΣΥΧΡΟΝΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

1.1 ΣΥΝΟΛΑ – ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ

Ορισµός Συνόλου – Υποσύνολου

Σύνολο είναι µια συλλογή από ορισµένα και εντελώς διακεκριµένα µεταξύ τους στοιχεία.

Αν a είναι ένα από αυτά τα στοιχεία τότε λέµε ότι για το σύνολο S το a S∈ .

Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία και λέγεται Κενό σύνολο και

συµβολίζεται µε ∅ . Ισχύει πάντα ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

Κάθε σύνολο λέµε ότι είναι καλά ορισµένο και εννοούµε ότι αν x είναι ένα στοιχείο ,

τότε λέµε ότι το x ανήκει ή δεν ανήκει στο σύνολο δηλαδή συµβολίζουµε ως εξής :

ή Sx

Sx

∉

∈ .

Υπάρχουν δυο βασικοί τρόποι γραφής ενός συνόλου ο τρόπος της απαρίθµησης , όταν

λέµε για παράδειγµα πως ένα σύνολο S έχει στοιχεία τους αριθµούς 2 , 3 , 4 και

γράφουµε 2,3,4S = , και ο τρόπος της περιγραφής όπου δε µπορούµε να γράψουµε

όλα τα στοιχεία ενός συνόλου και το περιγράφουµε , για παράδειγµα το σύνολο των

Ακεραίων αριθµών άρα /S x x Z= ∈ .

Έστω ένα σύνολο X και ένα σύνολο Y τότε θα λέµε ότι το X είναι Υποσύνολο του Y

όταν όλα τα στοιχεία του X είναι και στοιχεία του Y δηλαδή YX ⊂ .

Αν ακόµα συµβαίνει όλα τα στοιχεία του X να είναι και στοιχεία του Y αλλά όλα τα

στοιχεία του Y δεν είναι στο X (δηλαδή τα υπόλοιπα είναι εκτός του X ) τότε λέµε ότι

το X είναι Γνήσιο Υποσύνολο του Y δηλαδή YX ⊆ .

Ιδιότητες Συνόλων και Υποσυνόλων

1. ∆υο σύνολα είναι ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία ανεξάρτητα της

διάταξη τους. Τότε θα λέµε ότι X Y= .

2. Ισχύει ότι αν X Y⊆ και επίσης Y X⊆ τότε ισχύει ότι X Y= δηλαδή

X YX Y

Y X

⊆↔ =

⊆.

3. Λέµε ότι η Τοµή δυο συνόλων είναι ένα σύνολο που έχει ως στοιχεία , τα

στοιχεία εκείνα που ανήκουν και στα δυο σύνολα δηλαδή :

YxkaiXxxYXW ∈∈=∩= ,,:


4. Ένωση δυο συνόλων ονοµάζουµε το σύνολο εκείνο που περιέχει ως στοιχεία το

άθροισµα των στοιχείων και των δύο συνόλων δηλαδή είναι :

: , _ ,C A B x x X or else x Y= ∪ = ∈ ∈ .

5. Το συµπληρωµατικό σύνολο CX είναι το σύνολο το οποίο περιέχει στοιχεία που

δεν ανήκουν στο δοθέν σύνολο X δηλαδή :C CX x X x X= ∈ ∉ .

6. Ξένα σύνολα µεταξύ τους λέµε τα σύνολα ,X Y τα οποία η τοµή τους είναι το

κενό σύνολο (δεν περιέχουν κανένα κοινό στοιχείο).

7. ∆ύναµη Συνόλου (power set) Χ λέµε όλα τα υποσύνολα του X και σηµειώνεται

µε ( ) XAAXP ⊆= : .

8. ∆ιαµέριση ενός συνόλου λέγεται µια ανάλυση του συνόλου σε υποσύνολα τέτοια

ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου να ανήκει µόνο σε ένα από αυτά τα υποσύνολα

που λέγονται υποσύνολα διαµέρισης . Άρα ∆ιαµέριση είναι µια ανάλυση σε ξένα

µεταξύ τους υποσύνολα . Γενικά θεωρούµε ένα βασικό σύνολο το U (Universal)

και µια συλλογή από ξένα υποσύνολα στο U η ένωση δηλαδή των οποίων είναι

το U . O διαµερισµός συµβολίζεται ως εξής :

Αν έχουµε n υποσύνολα iX µε 1, 2,....i n= έτσι ώστε :

. 1, 2,3, , , , , , i ji j n X X O∀ = ∩ = και , 1, 2,3, , , , , , ,iX U i n= ∀ =∪

τότε τα n υποσύνολα αποτελούν διαµερισµό του U . Σχηµατικά είναι :

Παραδείγµατα συνόλων στην οικονοµία


• Το σύνολο των Α.Ε. σε µια οικονοµία .

• Το σύνολο όλων των επιχειρήσεων που παράγουν ένα συγκεκριµένο προϊόν

(industry).

• Το σύνολο των αγοραστών και πωλητών ενός προϊόντος (market).

• Το σύνολο των ποσοτήτων των αγαθών και υπηρεσιών που ένας

καταναλωτής µπορεί να καταναλώσει βάση του εισοδηµατικού του

περιορισµού.

• Το σύνολο των παραγόµενων ποσοτήτων που µια επιχείρηση είναι

τεχνολογικά ικανή να παράγει και το σύνολο των εισροών που χρειάζεται για

τη παραγωγή αυτή (production set).

Παράδειγµα 1

Θεωρούµε τα σύνολα

Z+ = x : x ακέραιος θετικός αριθµός

10,8,6,4,22

:

11.....3,2,111:

=

∈∈=

=≤∈=

+

+

Zx

AxB

xZxA

Τότε έχουµε ότι

1. Είναι

++ ⊆→⊆

⊆

ZBZA

kai

AB

2. Είναι AZ ⊆+ ? όχι γιατί υπάρχει αριθµός π.χ. ο 12x = που δεν ανήκει στο A

αλλά ανήκει στο Ζ+ .

3. +⊂ ZA και αφού +⊂→⊆ ZBAB .

4. Είναι AB ⊂ ? Ναι γιατί τα στοιχεία του B ανήκουν στο A .


Θεωρούµε τα δυο σύνολα ,X Y όπως τα ορίζουµε να βρεθούν η ένωση και η τοµή .

Λύση

: 2 0 , 2 , 3, 4 , 6 , 8, ....2 02

: 1 0 2 4 , 1 0 ,1 2 ,1 4 , ... .2 42

xX x Z x Z

xY x Z x Z

+ +

+ +

= ∈ ≤ ∈ =

= ∈ ≤ ≤ ∈ =

Η ένωση και η τοµή είναι

2

.2010:20,...12,10

2

,24:24,.........6,4,2

++

++

∈≤≤∈==∩

∈≤∈==∪

Zx

xZxYX

Zx

xZxYX


Να βρεθεί η δύναµη συνόλου 1,2,3X =

Λύση


Το X έχει 3 στοιχεία άρα η δύναµη του θα είναι 823 = και θα είναι :

( ) 1 , 2 , 3 , (1 , 2 ) , (1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , , P X X= ∅


Το σύνολο κατανάλωσης αγαθών ενός καταναλωτή δίνεται από το σύνολο

0,:),( 2121 ≥= xxxxC . Το σύνολο των αγαθών και υπηρεσιών που ένας καταναλωτής

µπορεί να αγοράσει (budget set) είναι :),( 221121 MxpxpxxB ≤+= όπου 1 2,X X είναι

οι ποσότητες των αγαθών , 1 2,P P είναι οι τιµές τους και M το εισόδηµα του . Ορίστε τα

σύνολα .

Λύση

Είναι

B είναι το σύνολο των συνδυασµών των αγαθών 1 και 2 που οι καταναλωτές µπορούν

να αγοράσουν .

C είναι το σύνολο των ποσοτήτων των αγαθών 1 και 2 που ο καταναλωτής είναι ικανός

να καταναλώσει .

CB ∪ είναι το σύνολο των ποσοτήτων των αγαθών 1 και 2 που ο καταναλωτής µπορεί

να αγοράσει ή είναι φυσικά ικανός να καταναλώσει .

CB ∩ είναι το σύνολο των ποσοτήτων των αγαθών 1 και 2 που ο καταναλωτής είναι

ικανός να καταναλώσει και µπορεί να αγοράσει .

1.2 ΑΡΙΘΜΟΙ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ R

Ορισµοί

Ας ορίσουµε µερικά βασικά σύνολα και τις ιδιότητες τους :

1. Οι Φυσικοί Αριθµοί (natural numbers) : ,,,,,,,,,,,4,3,2,1=+Z

2. Οι Ακέραιοι Αριθµοί (integers numbers) : .........3,2,1,0,1,2,3.... −−−=Z

3. Οι φυσικοί και οι ακέραιοι είναι κλειστά σύνολα ως προς τις βασικές πράξεις

( ),+ • .

4. Οι Ρητοί Αριθµοί (rational numbers) : [ ]

−∈∈= 0,: ZbZa

b

aQ .

5. Το Z είναι υποσύνολο του Q και το Q είναι κλειστό ως προς και τις τέσσερις

πράξεις. Επίσης οποιοσδήποτε αριθµός ρητός µπορεί να παρουσιαστεί πάνω στον

άξονα των αριθµών αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει γιατί υπάρχουν και οι

άρρητοι.

6. Οι Άρρητοι Αριθµοί (irrational numbers) : QxQ ∉= .

7. Οι Πραγµατικοί Αριθµοί (real numbers) : QQR ∪= .

Καρτεσιανό Γινόµενο

Μπορούµε να ορίσουµε το γινόµενο δυο ή περισσότερων συνόλων και το ονοµάζουµε

Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το καρτεσιανό γινόµενο του R

µε τον εαυτό του. Αρχικά ορίζουµε το καρτεσιανό γινόµενο ως εξής :


Έστω X και Y δυο σύνολα µε XxX ∈= και Y y Y= ∈ τότε το σύνολο των

διατεταγµένων ζευγών , (αµφιµονοσήµαντο) , ( ),x y µας δίνει το καρτεσιανό γινόµενο

YX ⊗ .

Το καρτεσιανό γινόµενο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών µε τον εαυτό του είναι :

( ) ( )

....,.........,,:,....),,(

,,:,,

,:,

3

2

RzRyRxzyxR

RRzRyRxzyxRRR

RRyRxyxRR

n ∈∈∈=

=∈∈∈=⊗⊗

=∈∈=⊗

γενικα

Σχηµατικά το τρισδιάστατο είναι :

Παράδειγµα

Ποιο είναι το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων 1,2,3A = και ,B a b= .

Λύση

Είναι : ( ) ),3(),,3(),,2(),,2(),,1(,,1,3,2,1 babababa =⊗

1.3 ΣΥΜΠΑΓΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΟΥ


Θα ορίσουµε την έννοια της συµπαγοτητας συνόλου. Αρχικά θα δώσουµε τις εξής

έννοιες .

Ορισµός Μετρικής Απόστασης

Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R , µπορούµε να ορίσουµε την απόσταση δυο

σηµείων ,a b ως τη διαφορά τους δηλαδή b a− . Στα καρτεσιανά γινόµενα και ειδικά στο

καρτεσιανό δισδιάστατο του R , για να υπολογίζουµε την απόσταση δυο σηµείων

ορίζουµε τη µετρική συνάρτηση (απόσταση). Ο γενικός ορισµός είναι ο παρακάτω :

Θεωρούµε X ένα µη κενό σύνολο και την απεικόνιση RXXd →⊗: δηλαδή µια

απεικόνιση όπου τα στοιχεία του καρτεσιανού απεικονίζονται µε έναν πραγµατικό

αριθµό τότε η απεικόνιση d ονοµάζεται Μετρική επί του X αν και µόνο αν ισχύουν τα

παρακάτω αξιώµατα :

1. ( , ) 0d x y ≥ και ( , ) 0d x y = στη περίπτωση που x y=

2. ( , ) ( , )d x y d y x= , αξίωµα συµµετρίας

3. ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y≤ + (αξίωµα τριγωνικής ανισότητας)

Τότε λέµε ότι το ζεύγος ( ),X d καλείται Μετρικός Χώρος .

Στη περίπτωση του R R⊗ εννοούµε την απόσταση δυο σηµείων στο επίπεδο δηλαδή αν

( )21 ,aaa = και ( )1 2,b b b= τότε η µετρική του θα είναι :

( ) ( )2

22

2

11),( bababad −+−= .

Γενικά στο nR ορίζουµε την µετρική ως :

( )∑ −=n

ii babad1

2),(

Ορισµός ε – γειτονίας (ανοικτής σφαίρας)

Έστω ( ),R d µετρική επί του R και 0ε > ένας αριθµός τότε καλούµε ε – γειτονία του

a (ή ανοικτή σφαίρα του a ) µε κέντρο a και ακτίνα ε το σύνολο :

εε <∈= ),(:),( axdRxaV .

Ουσιαστικά είναι το σύνολο των σηµείων που βρίσκονται σε απόσταση ε από το a

(υπάρχει και κλειστή σφαίρα όπου η µετρική είναι ( , )d x a ε≤ ).

Θεωρώντας λοιπόν µια µετρική συγκεκριµένη βρίσκουµε την ε – γειτονία της παίρνοντας

κάθε φορά την απόσταση ε που θέλουµε .

Σχηµατικά θα µπορούσαµε να παραστήσουµε την απόσταση 1ε = για κάποιες µετρικές

(όπως του κύκλου ) στα παρακάτω σχήµατα .


∆οθέντος λοιπόν της ανοικτής και κλειστής σφαίρας ορίζουµε το ανοικτό και κλειστό

σύνολο αντίστοιχα .

Άρα ένα σύνολο nRX ⊂ θα είναι Ανοικτό αν για κάθε x του X υπάρχει ε έτσι ώστε

( ) XxV ⊂ε, και Κλειστό θα είναι αν το συµπληρωµατικό του είναι ανοικτό .

Άρα ένα σύνολο είναι ανοικτό αν είναι δυνατόν όταν κάθε ε – γειτονία του βρίσκεται

µέσα στο σύνολο και είναι κλειστό όταν το συµπλήρωµα του είναι ανοικτό .

Θα ορίσουµε παρακάτω κάποιους ορισµούς που µας δίνουν την έννοια της

συµπαγοτητας.

Ορισµός Σηµείου Συσσώρευσης

Έστω το σύνολο R τότε ένα σηµείο a στο R λέγεται σηµείο συσσώρευσης του R αν

για κάθε ε – γειτονία του a περιέχονται άπειρα σηµεία του R (δηλαδή όποια απόσταση

ε και να διαλέξω για το σηµείο a τότε ανάµεσα τους υπάρχουν άπειρα σηµεία του

συνόλου και αυτό συµβαίνει πάντα στο σύνολο των πραγµατικών π.χ. αν έχω 2a = και

1ε = τότε µεταξύ του 2 και του 3 υπάρχουν άπειρα σηµεία άρα κάθε πραγµατικός

αριθµός είναι σηµείο συσσώρευσης).

Ορισµός Παράγωγου συνόλου

Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης ενός συνόλου S λέγεται Παράγωγο Σύνολο και

συµβολίζεται µε S ′ .


Ορισµός Περιβλήµατος (Closure)

Το σύνολο που περιέχει το αρχικό σύνολο και το παράγωγο του δηλαδή το S και το

S ′ (την ένωση τους) λέγεται Περίβληµα και συµβολίζεται ως : SSS ′∪= .

Ορισµός Συµπαγοτητας

∆οθέντων ενός υποσύνολου A και ενός µετρικού χώρου X θα λέµε ότι το A είναι

παντού πυκνό (συµπαγές) στο X όταν και µόνο όταν : XAAA =′∪= .

Άρα το σύνολο των ρητών είναι συµπαγές στο R .

Ουσιαστικά εννοούµε ότι το σύνολο A είναι συµπαγές όταν για κάθε σηµεία του ,x y

υπάρχει ανάµεσα z όπου το Az ∈ (δηλαδή ανάµεσα στο ,x y υπάρχουν άπειρα σηµεία).


Να βρεθεί η µετρική απόσταση των σηµείων : α) 2 και 3 , β) (2,3) και (4,1) , γ) (2,3,4)

και (4,1,-5)

Λύση

Α) (2,3) 2 3 1d = − =

Β) [ ] ( ) ( )2 2(2,3), (4,1) 2 4 3 1 283d = − + − =

Γ) [ ] ( ) ( ) ( )2 2 2(2,3,4), (4,1, 5) 2 4 3 1 4 5 9.43d − = − + − + + =


Να βρεθούν οι ανοικτές σφαίρες ακτίνας ε του α) 2 , β) του (2,3) , γ) του (2,3,1)

Λύση

Α) ( )2(2) : 2 (2 ,2 )N x R x ε ε ε= ∈ − ↔ − +≺

Β) ( ) ( ) [ ]2 22(2,3) ( , ) : 2 3 (2,3),x y R x y ε κυκλος εΝ = ∈ − + − ↔≺

Γ) ( ) ( ) ( ) 2 2 23(2,3,1) ( , , ) : 2 3 1 (2,3,1), N x y z R x y z ε σφαιρα ε= ∈ − + − + − ↔≺

1.4 ΚΥΡΤΟΣ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΣ (CONVEX COMBINATION)

Ορίζουµε ότι σε ένα διάστηµα [ ],a β κάθε άλλο σηµείο µεταξύ των a και β ανήκει

µέσα στο διάστηµα.

Θεωρούµε δυο σηµεία ενός διαστήµατος το x και το x′ µε x x′< τότε ορίζεται ένας

αριθµός που αντιστοιχεί ανάµεσα στα σηµεία αυτά , λέγεται γραµµικός συνδυασµός

(κυρτός συνδυασµός) και είναι :

xxx ′−+= )1( λλ

όπου [ ]0,1λ∈


Γράφοντας αλλιώς την εξίσωση δηλαδή )( xxxx −′−′= λ παρατηρούµε ότι η

µέγιστη τιµή του x είναι η x′ και η ελάχιστη η x .

Το x λέγεται convex combination of x and x′ .


ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

2.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Με τον όρο συστήµατα γραµµικών εξισώσεων εννοούµε µια σειρά από εξισώσεις όπου

έχουµε κάποιους άγνωστους και ο συνδυασµός λύσης των εξισώσεων αυτών µας δίνει τις

τιµές των αγνώστων.

Οι περιπτώσεις είναι τρεις :

1. οι άγνωστοι όσες και οι εξισώσεις.

2. οι άγνωστοι περισσότεροι από τις εξισώσεις .

3. οι άγνωστοι λιγότεροι από τις εξισώσεις .

Θα ασχοληθούµε όµως µε την πρώτη περίπτωση. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα

σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους όσες και οι εξισώσεις .

Τότε το σύστηµα θα έχει ή µοναδική λύση ή άπειρες λύσεις ή δε θα έχει λύση. Αυτό

ισχύει πάντα γιατί αποτελεί και βασικό θεώρηµα στη θεωρία της γραµµικής άλγεβρας .

Η γενική µορφή του συστήµατος γραµµικών εξισώσεων είναι :


11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

.....

....

....................................

.......

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + =

+ + + + =

+ + + + =

Φυσικά στη περίπτωση που οι άγνωστοι είναι ίσοι µε τις εξισώσεις και έχω ότι m n= το

σύστηµα θα λέγεται οµοιογενές αν τα b είναι µηδενικά και συνεπώς αν m n< .

Ορισµός Μήτρας (Πίνακας)

Λέµε ότι ένας πίνακας είναι η αντιστοιχία γραµµών και στηλών ενός γραµµικού

συστήµατος. Στην οικονοµία , (και όχι µόνο) , λέγεται Μήτρα Εισροών Εκροών

(Πίνακας ∆ιπλής Εισόδου) ή αλλιώς Input Requirement Matrix.

Ιδιότητες

1. ∆υο µήτρες είναι ίσες αν έχουν όλα τα στοιχεία ίσα .

2. Μια µήτρα λέγεται Τετραγωνική αν έχει ίδιο αριθµό γραµµών και στηλών .

3. Μια µήτρα λέγεται ∆ιαγώνιος αν είναι τετραγωνική και αν όλα τα στοιχεία εκτός

κύριας διαγωνίου είναι µηδενικά .

4. Μια µήτρα λέγεται Μοναδιαία αν είναι διαγώνιος και τα στοιχεία της κυρίας

διαγωνίου είναι µονάδες ( συµβολίζεται µε Ι).

Πράξεις

• Η πρόσθεση και η αφαίρεση δυο µητρών γίνεται µε την πρόσθεση ή την

αφαίρεση των στοιχείων κατά αντιστοιχία .

• Πολλαπλασιασµός πραγµατικού αριθµού µε µια µήτρα γίνεται όταν

πολλαπλασιάζουµε όλα τα στοιχεία της µήτρας µε αυτόν τον αριθµό.

• Πολλαπλασιασµός µητρών πραγµατοποιείται όταν οι µήτρες είναι τετραγωνικές ή

όταν οι στήλες της πρώτης είναι ίσες µε τις γραµµές της δεύτερης δηλαδή

::

:

A m nC m q

B n q

⊗→ ⊗

⊗ . Ο πολλαπλασιασµός γίνεται µε τον εξής τρόπο : Κάθε

στοιχείο της µήτρας C βρίσκεται αν πολλαπλασιάσουµε το ι–στο στοιχείο

γραµµής της A µε το j–στο στοιχείο αντιστοίχως της στήλης της B και

προσθέσουµε το αποτέλεσµα δηλαδή : 1

n

ij ik kj

k

C a b=

=∑ .

• Ανάστροφη Μήτρα της A είναι η TA στην οποία αλλάζουν οι γραµµές µε τις

στήλες. Βασικές ιδιότητες µιας Ανάστροφης µήτρας είναι :

1. ( )T TA A=

2. ( )T T TA B A B+ = +

3. ( )T T TAB B A=

• Συµµετρική µήτρα λέγεται η µήτρα εκείνη όπου είναι ίση µε την ανάστροφη της

δηλαδή TA A= .


• Εκθετικά αναλλοίωτη µήτρα λέγεται µήτρα εκείνη που είναι συµµετρική και η

κάθε εκθετική δύναµη της δίνει τον εαυτό της δηλαδή 1 2 3 ..... n

A A A A A= = = = = .

• Τάξη µιας τετραγωνικής µήτρας (Ίχνος) λέγεται το άθροισµα των στοιχείων της

κυρίας διαγωνίου δηλαδή : 1 1 2 2 3 3( ) ....n n ntr A a a a a= + + + + µε βασικές

ιδιότητες να είναι :

1. ( ) ( )tr AB tr BA=

2. ( ) ( ) ( )tr A B tr A tr B+ = +

3. ( ) ( )tr kA k tr A= i

4. ( ) ( )Ttr A tr A=

• Επιµερισµός µήτρων και Υποµητρες είναι οι µικρές υποµητρες που

σχηµατίζονται µέσα στη µήτρα .

• Αντίστροφη µήτρα µιας τετραγωνικής µήτρας είναι η µήτρα που ικανοποιεί τη

σχέση : 1 1AA A A I

− −= = και τότε λέµε ότι η τετραγωνική µήτρα είναι

αντιστρέψιµη (µη ιδιάζουσα) .

• Ορθογώνια µήτρα είναι η τετραγωνική µήτρα όπου 1TA A−= .

Ορισµός Ορίζουσας

Ορίζουσα (determinant) είναι ένας αριθµός που αντιστοιχεί σε µια τετραγωνική µήτρα.

Έστω λοιπόν για παράδειγµα η µήτρα : 1 3

2 4A

=

τότε η ορίζουσα της είναι :

4 6 2A = − = − .

Σύστηµα γραµµικών εξισώσεων

Έστω το σύστηµα n ταυτόχρονων γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους X τότε

µπορούµε να γράψουµε ότι έχουµε το σύστηµα σε µορφή πινάκων : AX B= µε

: , : 1, : 1A n n X n B n⊗ ⊗ ⊗ .

Λύνοντας το ως προς το διάνυσµα X έχω ότι : 1 1 1

1

nA AX A B I X A B

X A B

− − −

−

= ⇔ = ⇔

=

Άρα για να υπάρχει αντίστροφη θα πρέπει να ισχύει ότι : | | 0A ≠ .

Θεωρήµατα Οριζουσων

1. Η ορίζουσα της ανάστροφης της A είναι ίδια µε την ορίζουσα της A ακόµα και

αν η A δεν είναι συµµετρική δηλαδή | | | |TA A= .

2. Αν η µήτρα B προκύπτει από την A αλλάζοντας γραµµές ή στήλες τότε ισχύει

| | | |B A= − .

3. Αν µια µήτρα έχει δυο ή περισσότερες γραµµές ή στήλες ίδιες τότε η ορίζουσα

της είναι µηδενική.


4. Αν µια γραµµή της µήτρας A είναι πολλαπλάσια µιας άλλης γραµµής (και στις

στήλες ισχύει οµοίως) τότε η ορίζουσα της είναι µηδενική.

5. Αν προσθέσουµε (αφαιρέσουµε) το πολλαπλάσιο µιας γραµµής (στήλης) σε µια

άλλη γραµµή (στήλη) η ορίζουσα δεν αλλάζει .

6. Ορίζουσα µιας µήτρας της οποίας τα στοιχεία πάνω (κάτω) από την κύρια

διαγώνιο είναι µη µηδενικά και τα στοιχεία κάτω (πάνω) από τη κύρια διαγώνιο

είναι µηδενικά ισούται µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου και

αυτή η µήτρα λέγεται τριγωνική .

7. Αν πολλαπλασιάσουµε τα στοιχεία µιας γραµµής ή στήλης µια µήτρας µε έναν

αριθµό τότε η ορίζουσα αυτού είναι ίση µε το πολλαπλάσιο της αρχικής

ορίζουσας δηλαδή | | | |B k A= .

8. Αν πολλαπλασιάσω όλα τα στοιχεία µιας µήτρας µε έναν αριθµό τότε η ορίζουσα

που προκύπτει είναι ο αριθµός υψωµένος στην δύναµη της τάξης επί την αρχική

ορίζουσα δηλαδή | | | | ,n

n nB k A A ⊗= .

9. Η ορίζουσα του γινόµενου δυο τετραγωνικών µήτρων είναι ίση µε το γινόµενο

των οριζουσων τους .

Αντίστροφη µήτρας 2Χ2

Έστω µια µήτρα 11 12

21 22

a aA

a a

=

τότε η αντίστροφη της είναι : 22 121

21 11

1

| |

a aA

a aA

− − = −

και φυσικά καταλαβαίνουµε ότι αν δεν υπάρχει ορίζουσα δεν υπάρχει αντίστροφη

Ορίζουσα µήτρας 3Χ3

Έστω µια µήτρα

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

. Βρίσκουµε πρώτα τις ελάσσονες ορίζουσες M .

Είναι : 22 23

11

32 33

a aM

a a

=

άρα η ορίζουσα είναι 11 22 33 23 32| |M a a a a= −

Είναι : 12 13

31 31 12 23 13 22

22 23

| |a a

M M a a a aa a

= → = −

Κ.τ.λ.

Μετά επισυνάπτουµε τα πρόσηµα στις ελάσσονες ορίζουσες . Ο γενικός κανόνας είναι

( 1)i j+− .

Ορίζουµε τις προσαρτηµένες ορίζουσες (δηλαδή τις ελάσσονες µε πρόσηµο) που είναι

( 1)i j

ij ijC M+= − .


Τελικά για να πάρουµε την ορίζουσα της A παίρνουµε οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη και

τρέχουµε τις προσαρτηµένες µε το κάθε στοιχείο της γραµµής ή στήλης δηλαδή για

παράδειγµα αν πάρουµε τη πρώτη γραµµή θα είναι :

11 11 12 12 13 13| |A a C a C a C= + +

Αυτό γίνεται και µε παραπάνω τάξης µήτρες εκτός αν χρησιµοποιώ τις ιδιότητες .

Αντίστροφη µήτρας 3Χ3

Έχω υπολογίσει την ορίζουσα τρίτης τάξης σύµφωνα µε τα παραπάνω. Υπολογίζω την

Προσαρτηµένη µήτρα που είναι :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

C C C

C C C C

C C C

=

τότε θα λέµε ότι η αντίστροφη της µήτρας A είναι η 1 1

| |

TA CA

− = .

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο γίνεται και η αντίστροφη µήτρας n n⊗ .

Ιδιότητες αντίστροφης µήτρας

1. 1 1 1( )AB B A− − −= όταν οι Α,Β είναι ίδιας διάστασης

2. 1 1( )A A− − =

3. 1 1( ) ( )T TA A− −=

Βαθµός µήτρας A

Είναι ο αριθµός των ανεξάρτητων γραµµικά στηλών και γραµµών της και συµβολίζεται

µε ( )r A .

2.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΝxΝ

Έστω το σύστηµα εξισώσεων AX B= όπου A είναι µια τετραγωνική µήτρα βαθµού

n n× η οποία είναι αντιστρέψιµη , X είναι ένα διάνυσµα 1n× και B είναι ένα διάνυσµα

επίσης 1n× . Επειδή υπάρχει η αντίστροφη της A προκύπτει ότι 1X A B

−= .

Ένας τρόπος λύσης του συστήµατος σε τέτοιες περιπτώσεις είναι ο κανόνας του

CRAMER ο οποίος θα εξηγηθεί στο παρακάτω παράδειγµα .

ΚΑΝΟΝΑΣ CRAMER

Έστω το σύστηµα µε άγνωστο διάνυσµα το X :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 15

: 3 2 5

6 5 28

x x x

x x x

x x x

+ − =

Σ − + = − + + =

Το πρώτο βήµα είναι να µετατρέψουµε το σύστηµα σε µορφή µήτρων όπου η A είναι η

µήτρα των συντελεστών , το X είναι το διάνυσµα των άγνωστων και το B είναι το

διάνυσµα των ισοτήτων δηλαδή :


2 4 1

1 3 2

6 5 1

A

− = −

και

1

2

3

x

X x

x

=

και

15

5

28

B

= −

Μετά βρίσκουµε την ορίζουσα της µήτρας A και βλέπουµε αν είναι διάφορη του

µηδενός. Όντως είναι στο παράδειγµα µας 5A = − .

Ονοµάζουµε 1 2 3| |,| |,| |A A A τα cofactors που σχηµατίζονται µε βάση το διάνυσµα B .

Η λύση κάθε αγνώστου είναι :

| |ii

Ax

A=

Αυτά τα 1 2 3| |,| |,| |A A A είναι οι ορίζουσες των πινάκων αυτών όπου στη στήλη κάθε

φορά του αγνώστου (π.χ. για το 1X η πρώτη στήλη) βάζουµε το διάνυσµα στήλη του B

δηλαδή για παράδειγµα είναι 1

15 4 1

5 3 2

28 5 1

A

− = − −

και βρίσκουµε την ορίζουσα του .

Άρα λοιπόν κατά σειρά είναι :

1

1

102

5

Ax

A

−= = =

− ,

2

2

153

5

Ax

A

−= = =

− ,

3

3

51

5

Ax

A

−= = =

−

ΤΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ΕΙΣΡΟΩΝ – ΕΚΡΟΩΝ (LEONTIEF)

Σε αυτό το υπόδειγµα θεωρούµε την οικονοµία σαν ένα αριθµό από

αλληλοσχετιζόµενους βιοµηχανικούς παραγωγικούς κλάδους όπου η εκροή ενός κλάδου

θεωρείται εισροή σε έναν άλλο κλάδο. Κάθε κλάδος δηλαδή παράγει ένα ενδιάµεσο

αγαθό δυνητικά που µπορεί να χρησιµοποιηθεί στη τελική κατανάλωση.

Το πρόβληµα είναι να βρούµε το επίπεδο παραγωγής κάθε κλάδου που είναι αρκετό να

ικανοποιήσει τη ζήτηση από άλλο κλάδο και τη κατανάλωση.

Υποθέτουµε σταθερές τιµές για να εκφράσουµε όλες τις εκροές και τη ζήτηση σε

νοµισµατικές µονάδες .

Έστω n αγαθά που παράγονται από n επιχειρήσεις και ix είναι η νοµισµατική άξια της

εκροής της ι-στης επιχείρησης. Έτσι το διάνυσµα των παραγόµενων αγαθών για την

οικονοµία σε νοµισµατικές µονάδες θα είναι :


1

2, 0

...

n

x

xX X

x

= ≥

Η τελική ζήτηση από τους καταναλωτές σε νοµισµατικές µονάδες για το παραγόµενο

προϊόν της ι-στης επιχείρησης είναι σταθερή id και άρα το διάνυσµα της τελικής

ζήτησης είναι :

1

2, 0

...

n

d

dD D

d

= ≥

Έστω ija η νοµισµατική άξια της εκροής της ι-στης επιχείρησης η οποία απαιτείται για

την παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος στην j-στη επιχείρηση.

Μπορούµε να γράψουµε και να ορίσουµε τη µήτρα A η οποία δίνει τις απαιτούµενες

ποσότητες εισροές κάθε επιχείρησης

11 1

1

n

n nn

a a

A

a a

=

…

για ολόκληρη την οικονοµία η

οποία είναι µια τετραγωνική µήτρα (µερικοί παραγωγικοί συντελεστές ija µπορεί να

είναι και µηδενικοί) .

Με iia εννοούµε τις απαραίτητες εισροές της ι-στης επιχείρησης σε προϊόν που

παράγεται από την ίδια όταν είναι θετικό πάντα.

Συνεπώς η συνολική νοµισµατική άξια της εκροής της ι-στης επιχείρησης που ζητείται

από όλες τις επιχειρήσεις είναι 1 1 2 2

1

..n

ij j i i in n

j

a x a x a x a x=

= + + +∑ όπου ij ja x είναι η

νοµισµατική άξια της παραγωγής της ι-στης επιχείρησης η οποία χρειάζεται για τη

παραγωγή jx µονάδων προϊόντος της επιχείρησης j .

Η συνολική ζήτηση είναι

11 1 12 2 11

11 1

2 21 1 22 2 2

1

1 1 2 2

...

..

... ........................

...

n n

n

n n

n nn

n n n nn n

a x a x a xxa a

x a x a x a xAX

a ax a x a x a x

+ + + + + + = = + + +

…

Η κάθε λοιπόν γραµµή µας δείχνει την συνολική ζήτηση του παραγόµενου προϊόντος της

επιχείρησης i από όλους τους κλάδους παραγωγής. Συνολικά για ολόκληρη την

οικονοµία συµπεριλαµβανοµένης και της ζήτησης κατανάλωσης θα είναι 1

n

ij j i

j

a x d=

+∑

και τελικά για το κλάδο i για να εξισώνεται η ζήτηση µε τη πρόσφορα θα έχουµε :


1

( )n

i ij j i

j

x a x d=

= +∑ ή αλλιώς

1( )X AX D X I A D

−= + ⇔ = −

2.3 ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Εισαγωγικά

Οι διανυσµατικοί χώροι είναι βασική γνώση για να κατανοηθούν καλύτερα τα γραµµικά

υποδείγµατα , τα συστήµατα και η παλινδρόµηση. Από την ονοµατολογία τους

καταλαβαίνουµε ότι πρακτικά αναφερόµαστε σε κάποια σύνολα που είναι χώροι τέτοιοι

ώστε τα διανύσµατα (µεταβλητές) έχουν κάποιες συγκεκριµένες ιδιότητες .

Ορισµός ∆ιανυσµατικού Χώρου

Θεωρούµε ένα σύνολο A αντιµεταθετικο ως προς τις πράξεις + και πραγµατικού

αριθµού τότε το σύνολο ( ), ,A + • λέγεται ∆ιανυσµατικός Χώρος .

Ουσιαστικά είναι ένα σύνολο που οι πράξεις του είναι κλειστές δηλαδή το αποτέλεσµα

ενός στοιχείου του συνόλου σαν πράξη δίνει πάλι στοιχείο που ανήκει στο σύνολο.

Ορίζεται επίσης ως : A A A+• ⊗ → .

Παραδείγµατα διανυσµατικών χωρών είναι ο χώρος των συναρτήσεων , ο χώρος των

πολυώνυµων , ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων , κ.α.

Από δω και πέρα τα διανύσµατα (τα στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου) θα τα

εννοούµε ως διανύσµατα γραµµής ή στήλης .

1

2

3

...

n

V

V

V V

V

=

και [ ]1 2 3, , ......, nV V V V V=

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ∆Χ

1. Η πρόσθεση :

1 1 1 1

2 2 2 2

.. ... .........

n n n n

w v w v

w v w vW V

w v w v

± ± ± = ± =

±


2. Ο πολ/σµος διανυσµάτων : [ ]

1

2

1 2

1

, , ...,...

n

n i i

i

n

w

wW V v v v w v

w

=

• = =

∑ και ειδικά

αυτό λέγεται Εσωτερικό Γινόµενο όπου βέβαια ισχύει και ο νόµος της

αντιµεταθετικοτητας.

3. Ο πολ/σµος µε αριθµό είναι 1 2 1 2[ , ,... ] [ , ,..., ]n nkV k v v v kv kv kv= =

4. Μήκος διανύσµατος : Το µήκος ενός διανύσµατος ενός ∆Χ είναι 2 2 2

1 2 .... nV v v v= + + + και ονοµάζεται και ευκλείδεια Νόρµα (norm) και αλλιώς

µπορούµε να το γράψουµε ως TV VV= .

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΣ

Ένα πολύ βασικό στοιχείο των ∆Χ είναι οι γραµµικοί συνδυασµοί τους .

Όταν λέµε γραµµικό συνδυασµό εννοούµε ότι ένα διάνυσµα µπορούµε να το γράψουµε

σαν συνδυασµό µε κάποιους συντελεστές κάποιων άλλων διανυσµάτων αλλά γραµµικά

(χωρίς να υψώνω σε δύναµη) .

Ένας γραµµικός συνδυασµός του U διανύσµατος σε σχέση µε τα ,V W , είναι ο εξής :

1 2 1 2, ,U V W Rλ λ λ λ= + ∈

Βασικό είναι να καταλάβουµε όµως ότι τα στοιχεία ενός διανύσµατος µπορεί να µην

είναι όλα γραµµικός συνδυασµός .

1. Ένα υποσύνολο B του V λέγεται Γεννήτορας του αν κάθε στοιχείο του V είναι

γραµµικός συνδυασµός ενός πλήθους στοιχείων του B και γράφουµε V B=< > .

Παράδειγµα ο γεννήτορας του 2R χώρου είναι τα στοιχεία (1,0) και (0,1) .

2. Τα στοιχεία ενός ∆Χ λέγονται Γραµµικά Ανεξάρτητα όταν οποιοσδήποτε

γραµµικός συνδυασµός τους είναι ίσος µε το µηδέν µόνο και µόνο όταν οι

συντελεστές είναι µηδέν δηλαδή :

1 1 2 2 3 3

1 2 3

.... 0

... 0

nv v v vν

ν

λ λ λ λ

λ λ λ λ

+ + + + = ⇔

= = = = =

Από δω προκύπτει ότι κάθε υποσύνολο του V είναι γραµµικά ανεξάρτητο αν τα στοιχεία

του υποσύνολου είναι γραµµικώς ανεξάρτητα (γενικά λέµε το σύνολο ανεξάρτητο αν

είναι τα στοιχεία του ανεξάρτητα) και επίσης καταλαβαίνουµε ότι ένα σύνολο είναι

γραµµικώς εξαρτηµένο αν κάποιο από τα στοιχεία του είναι γραµµικός συνδυασµός των

υπόλοιπων .

ΓΩΝΙΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Είναι η γωνία που σχηµατίζουν δυο διανύσµατα στους άξονες και δίνεται από τη σχέση:

ˆcosT

V W

V Wφ = .


ΒΑΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ

Είδαµε πριν τι είναι ο γεννήτορας και τι είναι ο γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων

ενός ∆Χ άρα µπορούµε να ορίσουµε ότι :

Ένα υποσύνολο B είναι Βάση του διανυσµατικού χώρου V αν το B είναι :

1. γεννήτορας (παράγει το χώρο) και

2. είναι γραµµικώς ανεξάρτητο σύνολο

Η βάση που αποτελείται από µοναδιαία στοιχεία είναι η Ορθοκανονικη βάση όπως π.χ.

η βάση του χώρου 2R είναι το σύνολο (1,0), (0,1)B = και είναι ορθοκανονικη βάση

για τον 2R .

Θα κάνουµε κάποιους χαρακτηρισµούς των βάσεων :

1. Λέµε ότι ένα υποσύνολο B είναι βάση αν κάθε στοιχείο του είναι ένας γραµµικός

συνδυασµός µοναδικός .

2. Αν έχω ένα ∆Χ τον V και ένα υποσύνολο του B παράγει απλά το χώρο τότε

κάθε υποσύνολο του B είναι αµέσως βάση.

3. Όλες οι βάσεις ενός ∆Χ έχουν τον ίδιο αριθµό στοιχείων και µάλιστα κάθε

παραπάνω στοιχείο είναι γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης (αυτό

µας λέει ότι κάθε στοιχείο ενός χώρου γράφεται µε µια εξίσωση µε συντελεστές

και στοιχεία της βάσης όπως είδαµε πριν στον 2R ).

∆ΙΑΣΤΑΣΗ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ

Ονοµάζουµε διάσταση (dimension) ενός ∆Χ τον µέγιστο αριθµό των γραµµικά

ανεξάρτητων στοιχείων του .

Ι∆ΙΟ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ – Ι∆ΙΟΤΙΜΕΣ

θα δώσουµε τον ορισµό και µέσω παραδείγµατος θα δούµε τι σηµαίνει ιδιοδιανυσµα και

ιδιοτιµη. Ο ορισµός είναι :

Έστω ένας διανυσµατικός χώρος και µια τετραγωνική µήτρα µε στοιχεία από

αντιµεταθετικο σώµα τότε το στοιχείο λ λέγεται ιδιοτιµη του A αν υπάρχει διάνυσµα

τέτοιο ώστε AX Xλ= και το διάνυσµα X θα λέγεται ιδιοδιανυσµα του πίνακα A της

ιδιοτιµης λ (χαρακτηριστική εξίσωση) .

Μια πολύ βασική ιδιότητα των ιδιοτιµων είναι ότι αν είναι κλειστός χώρος και για ένα

πίνακα A υπάρχουν οι ιδιοτιµες 1 2 3, , ,... κλ λ λ λ τότε ισχύει ότι :

1 2

1 2

( ) ...

| | ...

tr A κ

κ

λ λ λ

λ λ λ

= + + +

Α =

∆ΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ

Έστω A µια τετραγωνική µήτρα µε στοιχεία από ένα αντιµεταθετικο σώµα .

Λέµε ότι η µήτρα διαγωνιοποιειται αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο

πίνακας 1P AP− να είναι διαγώνιος δηλαδή :

1

1

0

0 n

P AP

λ

λ

−

=

…


Αν ο πίνακας A διαγωνοποιηται τότε το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο γράφεται

(αναλύεται) σε πρωτοβάθµιους παράγοντες µε συντελεστές από το σώµα K .


Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές τιµές και τα χαρακτηριστικά διανύσµατα του πίνακα

5 6 6

1 4 2

3 6 4

A

− − = − − −

και η διάσταση του χώρου για κάθε ιδιοτιµη.

Λύση

Ξεκινάµε και παίρνουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση που είναι :

5 ___ 6 ____ 6

| | 0 1____ 4 ____ 2 0 ( 1)( 2) 0

3 ______ 6 ___ 4

A I

λλ λ λ λ

λ

− − −

− = ⇔ − − = ⇔ − − =

− − −

Από εδώ βρίσκουµε ότι οι χαρακτηριστικές τιµές (ιδιοτιµες) είναι οι 1λ = και 2λ =

Για κάθε ένα από τα λ παίρνουµε το αντίστοιχο χαρακτηριστικό διάνυσµα

(ιδιοδιανυσµα) δηλαδή

Για 1λ = τα ιδιοδιανυσµατα είναι οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος :

4 6 6 0

( 1 ) 0 1 3 2 0

3 6 5 0

4 6 6 0

3 2 0

3 6 5 0

x

A I X y

z

x y z

x y z

x y z

− − − = ⇔ − = ⇔ − −

− − =− + + = − − =

i i

Άρα οι λύσεις είναι

3

3

x y

z y

y y R

= −

= −

= ∈

άρα το ιδιοδιανυσµα είναι

3

1

3

X y

− = −

διάστασης 1

Οµοίως για 2λ = έχω το ιδιοδιανυσµα

1 1

1 0

0 1

y z

X y y z

z

+ = = +

διάστασης 2


THE LINEAR PRODUCTION TECHNOLOGY

Μια επιχείρηση παράγει δυο προϊόντα τα 1 2,y y µε τη χρήση δυο εισροών 1 2,z z και έστω

ija η ποσότητα της εισροής που χρειάζεται για τη παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος. Τα

στοιχεία ija περιγράφουν τη γνωστή µας µήτρα και έστω αυτή είναι η µήτρα

3 1

2 5A

=

Ας υποθέσουµε ότι η επιχείρηση παράγει 200 µονάδες του προϊόντος 1y και 15 του


προϊόντος 2y τότε µπορούµε να βρούµε τις ποσότητες εισροών που χρειάζονται

λύνοντας τη σχέση Z AY= (πίνακες) δηλαδή είναι :

1 1

2 2

3 1 75

2 5 115

z yZ AY

z y

= ⇔ = =

Στο ίδιο παράδειγµα αν δίνονται τα 1 2,z z ως 10,20 αντίστοιχα ποια είναι τα επίπεδα

παραγωγής 1 2,y y ?

Τότε έχω ότι Z AY= άρα 1Y A Z

−= .


IS-LM MODEL OF A CLOSED ECONOMY

Έστω ότι έχουµε :

15 0.8( ), 25 0.25 , 65 , 94, 5 50 , 1500C Y T T Y I R G L Y R M= + − = − + = − = = − = όπου

C = κατανάλωση , Υ = παραγόµενο προϊόν , Τ = φόρος (εισοδηµατικός) , Ι = δαπάνες

επένδυσης , R = επίπεδο επιτοκίου , G = κυβερνητικές δαπάνες , L = ζήτηση χρήµατος ,

Μ = πρόσφορα χρήµατος και ζητούνται τα επίπεδα ισορροπίας των Υ και R .

Λύση

Η συνάρτηση IS είναι 485 2.5Y C I G R= + + = −

Η συνάρτηση LM είναι 300 10L M Y R= ⇔ = +

Έτσι το σύστηµα IS – LM είναι 10 300Y R− = και σε µορφή µήτρων γίνεται:

1 2.5 485 448

1 10 300 14.8

Y Y

R R

= ⇔ = −

Άρα το επίπεδο ισορροπίας της παραγωγής της οικονοµίας είναι 448 και το επιτόκιο

ισορροπίας είναι 14,8% . Στο επίπεδο ισορροπίας θα είναι 25 0, 25(448) 87ET = − + = και

συνεπώς το τρέχον έλλειµµα είναι 94 87 7G T− = − = .

2.4 ΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ

Έστω το σύστηµα εξισώσεων µε k µεταβλητές

1 1 2 2 ... , 1, 2...i i i k ki iy b x b x b x U i n= + + + + =

και αλλιώς γράφεται

1 1 1

11 1

2 2 2

1

... .. ...

k

n kn

n k n

y b ux x

y b u

x xy b u

= +

…

και πάλι αλλιώς γράφεται

( 1) ( ) ( 1) ( 1)n n k k kY X B U× × × ×= + και U είναι τα σφάλµατα

Ισχύει ότι 2(0, )U IID σ∼ (µε IID είναι η από κοινού κατανοµή των n σφαλµάτων είναι

η κανονική και είναι ανεξάρτητη αφού η κανονική υποθέτει µη συσχέτιση).


Τα X είναι γραµµικά ανεξάρτητα δηλαδή ( ) ( )Tr X X r X k= = που σηµαίνει ότι υπάρχει

η 1( )TX X − .

Ισχύει ότι

1

2

0

0( ) 0

....

0n

u

uE U E

u

= = =

και 2var( ) ( )

T

nU E UU Iσ= =

Παίρνουµε εκτιµητές OLS (ελάχιστα τετράγωνα) και είναι :

2

1

1

min ( ) ( )

2

0 2 2 0

( )

nT T T T T T T T

i

i

T T T T T

T T

T T

S u U U Y XB Y XB Y Y B X Y Y XB B X XB

S Y Y B X Y B X XB

SX Y X XB

B

B X X X Y

=

−

= = = − − = − − + ⇔

= − + ⇔

∂= ⇔ − + = ⇔

∂=

∑

για να είναι αυστηρά κυρτή θα πρέπει να είναι η εσσιανή µήτρα θετικά ορισµένη δηλαδή

2 TH X X= . Αν αυτή η µήτρα είναι θετικά ορισµένη (όλες οι ιδιοτιµες είναι θετικές)

τότε υπάρχει ελάχιστο. Αυτό γίνεται όταν η µήτρα X είναι πλήρης άρα ισχύει ότι

( )r X k= αλλά όµως η X είναι n k× και µε n k> άρα δεν υπάρχει µεταξύ τους

γραµµική εξάρτηση .


ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

3.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ορισµός Συνάρτησης

Έστω δυο σύνολα X και Y τότε θα λέµε ότι µια συνάρτηση από το X στο Y είναι µια

απεικόνιση (κανόνας) που αντιστοιχεί σε κάθε σηµείο του X ένα και µόνο ένα σηµείο

του Y .

Το σύνολο X ονοµάζεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης και το σύνολο Y πεδίο τιµών.

Συµβολίζουµε µια συνάρτηση ως εξής : RyxxfyYXf ∈=→ ,),(,: .


Γραµµική συνάρτηση – Κλίση

Θεωρούµε την y ax= που είναι γραµµική συνάρτηση και θεωρούµε δυο τιµές της

συνάρτησης για δυο τιµές του x άρα έχω ότι 11 axy = και

22 axy = τότε ονοµάζουµε

κλίση (gradient) τη ποσότητα :

12

12

xx

yy

x

ya

−

−=

∆∆

=

Κυρτός Συνδυασµός Σηµείων

Έστω δυο διαφορετικά σηµεία τα ),( 11 yx και ),( 22 yx . Ο κυρτός συνδυασµός των

σηµείων αυτών λέµε ότι είναι το ),( yx και υπολογίζεται ως :

),( yx = λ ),( 11 yx + (1-λ) ),( 22 yx

άρα

),( yx = [ ]2121 )1(,)1( yyxx λλλλ −+−+

Σχηµατικά φαίνεται στο παρακάτω σχήµα


Convex combination για τα (2, 3) και (-3, 2)


Λύση

)]1(2),1(32[)2,3)(1()1,2( λλλλλλ −+−−=−−+=x

Τετραγωνικές συναρτήσεις (Κοίλη – Κυρτή)

Οι τετραγωνικές συναρτήσεις έχουν γενικό τύπο :

0,,2 ≠∈++= aRxcbxaxy

∆ιακρίνουµε τη καµπύλη οριακού κόστους (αν θέλουµε ΜΙΝ σε µια θετική τιµή πρέπει

0b < ) και τη καµπύλη συνολικού κέρδους (αν θέλουµε MAX σε µια θετική τιµή της x

πρέπει 0b > ). Σχηµατικά φαίνεται παρακάτω :


Εκθετικές συναρτήσεις (Power Function)


Λογαριθµικές Συναρτήσεις


)ln(

,log

,0,

xyex

kai

bxxy

basebaaby

y

y

b

x

=→=

==

⇔

=>=

Μια συνάρτηση f είναι CONCAVE αν


]1.0[

)1(

)()1()()(

∈

′′−+′=

′′−+′≥

λλλ

οπουλλ

xxx

xfxfxf

Επίσης είναι strictly concave αν ισχύει µόνο η ανισότητα και το (0,1)λ∈ .

Σχηµατικά φαίνεται παρακάτω :

Μια συνάρτηση f είναι CONVEX αν :

]1.0[

)1(

)()1()()(

∈

′′−+′=

′′−+′≤

λλλ

οπουλλ

xxx

xfxfxf

Σχηµατικά φαίνεται παρακάτω :



Έστω 2)( xxf = . To σηµείο x είναι ένας κυρτός συνδυασµός των σηµείων x′ και x′′ και έστω: 0,4λ = , 2x′ = και 5x′′ = .

Λύση

Είναι : x = 0,4•2 + 0,6•5 = 3,8 άρα ( ) 44,148.3)8.3()(2 === fxf που είναι και το

ύψος της συνάρτησης στο x .

Από το γραµµικό συνδυασµό παίρνουµε την ευθεία που ενώνει τα σηµεία των τιµών των

συναρτήσεων )(),( xfxf ′′′ .

Είναι : 6,16)()1()( =′′−+′ xfxf λλ που είναι το ύψος της ευθείας γραµµής που ενώνει

τα σηµεία (2,4) και (5,25) στο σηµείο x =3,8 και φαίνεται ότι η συνάρτηση είναι strictly

convex µεταξύ αυτών των σηµείων γιατί 14,44 < 16,6 .


3.2 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Ακολουθία

Ονοµάζεται η συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο των ακέραιων

αριθµών άρα είναι : ( ) :f n Z R→ .

Σύγκλιση ακολουθίας

Θα λέµε ότι µια ακολουθία nX συγκλίνει (ή έχει όριο το L ) αν για οποιοδήποτε 0ε >

όσο µικρό και αν είναι υπάρχει µια τιµή N τέτοια ώστε :

Lx

ή

NnLx

nn

n

=

>−

∞→lim

,ε≺

Ιδιότητες ακολουθίας

Θεωρούµε τις ακολουθίες

a

n

b

n

a L

b L

→

→τότε για n → ∞ έχουµε :

Α) lima

n nca cL→∞ =

Β) lim( ) a b

n na b L L± = ±

Γ) lim( )( ) a b

n na b L L=

∆) lim , 0a

bn

b

n

a LL

b L= ≠

Με τον ίδιο τρόπο αν θεωρήσουµε τις συγκλίνουσες ακολουθίες a

n

n

a L

b

→

→ ∞τότε για n → ∞ έχω τα εξής αντίστοιχα :

Α) limn ncb→∞ = ±∞

Β) lim( )n na b± = ±∞

Γ) lim( )( )n na b = ±∞

∆) lim 0n

n

a

b=

Ε) lim( ) 0n

c

b=


Συνεχής ανατοκισµός

Γενικά περιγράφεται από τη σχέση : (1 )nrP

n• + όπου r το επιτόκιο και n οι µήνες µε

P το κεφάλαιο .

Με το συνεχή ανατοκισµό λοιπόν θεωρούµε ότι n →∞ άρα µπορούµε να θεωρήσουµε

και το όριο της ακολουθίας :

lim(1 )n

n

r

n→∞+

Υπολογισµός παρούσας άξιας

Μια σηµαντική οικονοµική εφαρµογή των ακολουθιών είναι ο προσδιορισµός της

παρούσας άξιας ενός οικονοµικού ποσού που αναµένεται να εισπραχθεί σε κάποια

µελλοντική χρονική στιγµή :

( )ttr

VPV

+=

1

Για 0r ο παρονοµαστής γίνεται ολοένα µεγαλύτερος όσο µεγαλώνει ο χρόνος T και

συνεπώς η συνάρτηση γίνεται µικρότερη. Με αλλά λόγια η είσπραξη ενός χρηµατικού

ποσού στο µέλλον έχει µικρότερη σηµερινή άξια όσο µακρύτερος είναι ο χρόνος

είσπραξης .


Έστω η συνάρτηση 3 , 1,2,3.....nx n n= + = τότε οι τιµές της nx είναι 4,5,6,…...

Τώρα αν θεωρήσουµε την ακολουθία ( ) 3 ( 1)nf n = + − τότε η ακολουθία παίρνει τιµές

2,4,2,4… άρα το πεδίο τιµών είναι το 2,4.


H ακολουθία 1

nxn

= είναι 1, 1/2, 1/3.1/4,….. Η απόσταση ανάµεσα στους όρους nx

και του 0 είναι 0nx − η οποία βαίνει µειούµενη όσο το n παίρνει µεγαλύτερη τιµή άρα

η ακολουθία 1

nxn

= συγκλίνει στο 0 (το όριο της δηλαδή είναι το 0) και σχηµατικά

φαίνεται παρακάτω :



Υπολογισµός PV είσπραξης ποσού 1 εκατ € στο τέλος κάθε έτους για 3 έτη µε επιτόκιο

12% .

1. 1ο έτος PV = 1000000/1+0.12 = 892000

2. 2ο έτος 21000000 /(1.12)PV = = 797000

3. 3o έτος 31000000 /(1,12)PV = = 71100000

Άρα το συνολικό άθροισµα είναι SUM = 2401000

∆οθέντος ενός επιτοκίου 12% για τα επόµενα 3 έτη τι ποσό χρηµάτων πρέπει να δοθεί

σήµερα έτσι ώστε να µπορούν να καλυφθούν δαπάνες 1 εκατ € στο τέλος καθενός από τα

επόµενα 3 έτη?

Η απάντηση είναι το SUM που βγάλαµε πριν.


ΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ

Ας υποθέσουµε ότι το ετήσιο αποταµιευτικό επιτόκιο είναι 12% σε ένα λογαριασµό

κατάθεσης 1000 €. Στο τέλος ενός έτους θα είναι 1000 (1.12) 1120• = €.

Ας υποθέσουµε τώρα ότι η τράπεζα υπολογίζει το τόκο κάθε 6 µήνες όπου είναι 12% : 2

= 6% το εξάµηνο άρα σε ένα έτος θα είναι : 2(1000 1.06) 1.06 1000 1.06 1123.60• • = • =

και αν ο τόκος υπολογίζεται ανά µήνα τότε θα είναι : 121000 1.01 1126.82• = άρα

παρατηρούµε ότι όσο πιο µεγάλη είναι η συχνότητα υπολογισµού του τόκου τόσο

µεγαλύτερη είναι η αξία του κεφαλαίου στο τέλος ενός έτους .


Γενικά θα είναι ο τύπος : (1 )nrP

n• + όπου r το επιτόκιο και n οι µήνες µε P το

κεφάλαιο και µε το συνεχή ανατοκισµό λοιπόν θεωρούµε ότι n →∞ άρα µπορούµε να

θεωρήσουµε και το όριο της ακολουθίας :

lim(1 )n

n

r

n→∞+


Σύµφωνα µε το παράδειγµα του συνεχή ανατοκισµού λέµε :

Για r = 1 (τόκος 100%) θα είναι 1

lim(1 ) 2.7n

ne

n→∞+ = =

Αν θέσουµε n

sr

= και 1r

n srn s= ⇔ = τότε

lim(1 )n

n

r

n→∞+ =

1 1lim(1 ) lim[(1 ) ]sr r r

s se

s s→∞ →∞+ = + =

έτσι αν επενδύσουµε P € για ένα έτος µε επιτόκιο r συνεχώς ανατοκιζόµενο θα είναι rPe


Έστω 100P = , 0,12r = τότε rPe = 1127 €

Αν υποθέσουµε τώρα N φορές το έτος ανατοκισµού του κεφαλαίου τότε :

(1 ) (1 )

t

n ntr rV P P

n n

= + = +

Αν υποθέσουµε ότι η διαδικασία του κεφαλαίου P είναι συνεχώς ανατοκιζόµενη για t

περιόδους τότε :

( )r t rtV P e P e= =


Έστω 1000P = € και 0,12r = ετησίως. Το κεφάλαιο επενδύεται για 2 έτη ( 2t = ) άρα το

κεφάλαιο ανατοκίζεται και γίνεται : 0.12 21000 1.270,25V e •= • =

Εάν περιµένουµε να εισπράξουµε V µετά από t έτη από σήµερα και το επιτόκιο είναι

%r ετησίως ανατοκιζόµενο n φορές το χρόνο τότε η σηµερινή άξια είναι X και είναι :

(1 )

[1 ( )]

nt

nt

r VV X X

rn

n

= • + ⇔ =+

συνεπώς η παρούσα αξία είναι :

[1 ( ) ]t

n t

VP V

r

n

=+

για n φορές το χρόνο

και


rt rt

rt

rt

t

VXe V X Ve

e

ara

PV Ve

−

−

= ⇒ = =

=για t έτη


Τι ποσό περιµένουµε να λάβουµε από µια σηµερινή επένδυση 10000 € µε ετήσιο

επιτόκιο 3% στις παρακάτω περιπτώσεις?

1. στο τέλος ενός έτους µε 6-µηνο ανατοκισµό

2. στο τέλος 5 ετών µε 6-µηνο ανατοκισµό

3. στο τέλος 5 ετών µε µηνιαίο ανατοκισµό

4. στο τέλος 1 έτους µε συνεχή ανατοκισµό

5. στο τέλος 5 ετών µε συνεχή ανατοκισµό

λύση

Επειδή έχουµε : (1 ) n trV P

n= + για διακριτό ανατοκισµό , και

r tV P e= για

συνεχή ανατοκισµό µε αντικατάσταση των τύπων βρίσκουµε ότι :

1. 20.0310000(1 ) 10302

2V = + =

2. 2 50.0310000(1 ) 11605

2V

•= + =

3. 5 120.0310000(1 ) 11616

12V

•= + =

4. 0.0310000 10304V e= =

5. 0.03 510000 11618V e•= =


Ποια είναι η παρούσα αξία των 25000 € µε ετήσιο επιτόκιο 8% στις παρακάτω

περιπτώσεις :

1. στο τέλος ενός έτους µε ετήσιο ανατοκισµό

2. στο τέλος 20 ετών µε ετήσιο ανατοκισµό

3. στο τέλος 20 ετών µε συνεχή ανατοκισµό

Λύση

Επειδή έχουµε τους τύπους : [1 ( / )]

t n t

VP V

r n=

+ για διακριτό ανατοκισµό και

r t

tP V V e

−= για συνεχή ανατοκισµό που µας δίνουν τις παρούσες αξίες µε

αντικατάσταση στους τύπους προκύπτουν :

1. 25000

23.1481 0.08

=+


2. 20

250005363

(1 0.08)=

+

3. 1.625000 5047e

− =

3.3 ΣΕΙΡΕΣ

Ορισµός

Αν ,....,3,2,1, =tat µια ακολουθία τότε ονοµάζουµε Σειρά τη ποσότητα :

,.........2,1,1

==∑=

naSn

t

tn

Ισχύει ότι : La

a

n

n

n =+∞→

1lim

- Αν 1L < η σειρά συγκλίνει

- Αν 1L > η σειρά αποκλίνει

- Αν 1L = η σειρά είτε αποκλίνει είτε συγκλίνει

Τα παραπάνω αποτελούν έναν έλεγχο πότε η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει.

Γεωµετρικές σειρές

Έστω 1−= t

t apa µε ,a p σταθερές τότε λέµε ότι η σειρά της ακολουθίας είναι η :

∑=

−− ++++==n

t

nt

n apapapaapS1

121......

θεωρούµε :

pap

ap

a

an

n

n

n ==−

+1

1

Άρα η σειρά αυτή

- συγκλίνει αν 1p <

- αποκλίνει αν 1p >

- αν 1p = τότε aat = και naSn = που αποκλίνει για 0a ≠ .

Αρµονικές σειρές

Αυτές προκύπτουν από την ακολουθία n

an

1= και ισχύει :

11

1

1

lim 1 =+=+∞→

n

n

a

a

n

n

n


Παρούσα αξία περιοδικών πληρωµών

Είδαµε πριν σαν εφαρµογή των ακολουθιών είναι η παρούσα αξία ( )tt

r

VPV

+=

1 , ποσού

V που εισπράττεται σε t µελλοντικές περιόδους µετά. Σε πολλές οικονοµικές

περιπτώσεις όµως απαιτείται ο υπολογισµός της παρούσας αξίας µιας σειράς ποσών

χρήµατος δηλαδή το άθροισµα των υποπεριόδων 1, 2,....t T= όπως για παράδειγµα όταν

πρόκειται για ένα στεγαστικό δάνειο ή άλλο µακροχρόνιο δάνειο .

Έστω ότι ένα δάνειο αποπληρώνεται σε T έτη και ο δανειζόµενος καταβάλλει στην

τράπεζα στο τέλος κάθε έτους V πόσο µε επιτόκιο r . Τότε η παρούσα αξία είναι :

( ) ( ) ( )TT

ttT

r

V

r

V

r

V

ra

VP

+++

++

+=

+=∑

= 1.....

11 21

Αν οι πληρωµές είναι στο άπειρο τότε χρησιµοποιούµε τη σχέση της άπειρης

γεωµετρικής σειράς µε : V

aa r

=+

και 1

1p

r=

+ .

Άρα

( )∑∞

=∞→ =

+−

+=+

=1

1

11

1

1lim

ttTT

r

V

r

r

V

r

VP

Εσωτερικός βαθµός απόδοσης (ΙRR)

Τo IRR µιας επένδυσης ή ενός επιχειρηµατικού σχεδίου είναι το επιτόκιο εκείνο που

εξισώνει τη παρούσα αξία του οφέλους και του κόστους δηλαδή ο παράγοντας r του

παρονοµαστή της παρούσας αξίας :

( )∑=

=+

n

tt

t

r

V

0

01

3.4 Ο ΚΕΥΝΣΙΑΝΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Στο Κευνσιανό υπόδειγµα ισορροπία παρουσιάζεται όταν οι συνολικές δαπάνες

εξισώνονται µε το τρέχον GDP όχι κατά ανάγκη σε συνθήκες πλήρους απασχόλησης .

TOTAL OUTPUT (Real GDP) = C + I + G + NET EXPORT (Planned Aggregate

Expenditure).

Στο υπόδειγµα αυτό ο πολλαπλασιαστής δαπανών κατέχει σπουδαίο ρόλο.

Ας υποθέσουµε ότι η κυβέρνηση αυξάνει κατά 100 € τις δηµόσιες δαπάνες (π.χ.

συντήρηση εθνικών δρόµων). Αυτή η δαπάνη δηµιουργεί εισόδηµα και έστω ότι το 60%

του εισοδήµατος αυτού δαπανάται στην εγχώρια αγορά προϊόντων και υπηρεσιών

(δηλαδή το 0,6 άρα 60 € ).

Αυτό µε τη σειρά του παράγει νέο εισόδηµα και έστω ότι 60% αυτού δαπανάται στην

εγχώρια αγορά (δηλαδή 60 € x 0,6 = 36 € ) κ.ο.κ.

Άρα προκύπτει κατά σειρά


1ος

γύρος (αρχική δαπάνη) 100€

2ος

γύρος 60€

3ος γύρος 36€

4ος γύρος 21,6 €

5ος γύρος 12,96 €

Κ.ο.κ.

∆ηλαδή η γεωµετρική σειρά γίνεται :

( ) ( )2100 100 0,6 100 0,6 ....+ + + µε 100a = και 0,6p = .

Το όριο είναι 2506.01

100=

−€ .

Ο πολλαπλασιασµός του KEYNES είναι : MPC

M−

=1

1 όπου MPC η οριακή ροπή

κατανάλωσης .

Σχηµατικά είναι :



ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

4.1 ΣΥΝΕΧΕΙΑ –ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισµός Συνέχειας

Μια συνάρτηση θα λέγεται συνεχής ένα το γράφηµα της δε παριστάνει διαλείµµατα ή

ασυνεχή χωρίσµατα.

Το αριστερό όριο µιας συνάρτησης ( )f x το οποίο ορίζεται αριστερά του x a= στο

σηµείο a υπάρχει και ισούται µε lim ( ) l

x af x L

−→= αν για κάθε 0ε οποιοδήποτε µικρό

υπάρχει 0δ τέτοιο ώστε || ( ) | ,lf x L xε− ∀≺ να ικανοποιεί a x aδ− ≺ ≺ και οµοίως

lim ( ) r

x af x L

+→= να ικανοποιεί | ( ) | ,rf x L xε− ∀≺

Η συνάρτηση ( )f x θα λέµε ότι είναι συνεχής στο x a= αν lim ( )x a

f x−→

= lim ( )x a

f x+→

και

θα έχουµε : lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

Η συνάρτηση ( )f x η οποία ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα που περιλαµβάνει το

σηµείο x a= είναι συνεχής αν υπάρχει κάποιο 0δ :

| ( ) ( ) | ,| | , 0f x f a x aε δ ε− − ∀ >≺ ≺

Ο ορισµός αυτός δείχνει την οµοιότητα µε τον ορισµό του ορίου µιας ακολουθίας

δηλαδή µια συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο που εξετάζουµε αν η συνάρτηση είναι

πολύ κοντά στη τιµή της F για το σηµείο .

Θεώρηµα

Αν έχουµε δυο συναρτήσεις ( )f x και ( )g x και είναι συνεχής και ένας c µη αρνητικός

τότε οι παρακάτω συναρτήσεις είναι και αυτές συνεχείς :

1

( )

( ) ( )

( )

( ) / ( )

( ) ( )

( )

cf x

f x g x

f x c

f x g x

f x g x

f x−

+

ΣΥΝΕΧΕΙΣ +

Παραδείγµατα στην οικονοµία :

1. διαιρετότητα εισροών και συνάρτηση παραγωγής

2. µισθοί και Bonus

3. πρόγραµµα κοινωνικής παροχής

4. συνάρτηση οριακού προϊόντος

5. συνάρτηση εισοδήµατος κόστους κερδοφορίας σε πλήρως ανταγωνιστική

οικονοµία

6. το υπόδειγµα ανταγωνισµού των τιµών

7. το υπόδειγµα τοποθεσίας εταιριών


Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής

Το θεώρηµα είναι βασικό στη µελέτη ισορροπίας στα οικονοµικά αλλά και στο

χαρακτηρισµό των συνθηκών κάτω από τις οποίες υπάρχει γενική ισορροπία ή ισορροπία

πολλών αγορών.

Αν ( )y f x= συνεχής στο [ ], ,a b b a> τότε µπορεί η συνάρτηση να πάρει οποιαδήποτε

τιµή µεταξύ των ( )f a και ( )f b .

Και επίσης :

Έστω ( )f x συνεχής στο κλειστό διάστηµα [ ],a b και ( ) ( )f a f b≠ τότε για

οποιοδήποτε αριθµό y µεταξύ των ( ), ( )f a f b υπάρχει µια τιµή x τέτοια ώστε:

( ), ( , )y f x x a b= ∈

Σχηµατικά :

Ύπαρξη ισορροπίας

Θεωρούµε το απλό υπόδειγµα µερικής ισορροπίας µε p οι τιµές , Y η ποσότητα µε

( )Y D p= τη ζήτηση και ( )Y S p= τη προσφορά .

Η τιµή 0ep p= ≥ υπάρχει όταν για το σηµείο αυτό οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες δηλαδή

( ) ( )e eD p S p= άρα το σηµείο ισορροπίας είναι το ( , )e ey p .

Όταν έχουµε 0ep = τότε έχουµε ∆ωρεά .

Η συνάρτηση Υπερβάλλουσας Ζήτησης είναι η διαφορά τους , δηλαδή η

( ) ( ) ( )Z p D p S p= − και ανάλογα το πρόσηµο της είναι και ποιο από τη ζήτηση ή τη

προσφορά είναι µεγαλύτερο.

Σε ισορροπία θα είναι ( ) 0 ( ) ( )e e eZ p D p S p= ⇔ =

Άρα η 0ep > είναι τιµή ισορροπίας .


Για να ορίσουµε ένα σύνολο ικανών συνθηκών ύπαρξης της ισορροπίας παίρνουµε το

θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής .

Έστω ένα αγαθό η παραγωγή του οποίου έχει κόστος και συνεπώς στη τιµή µηδέν η

προσφορά είναι (0) 0S = ενώ από υπόθεση έχουµε ότι (0) 0D > και για 0p =

παίρνουµε αµέσως τη συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης που είναι :

(0) (0) (0) 0Z D S= − > . Βέβαια για µια τιµή αρκετά ψηλή οι εταιρίες έχουν συµφέρον να

παράγουν το αγαθό αλλά οι καταναλωτές θα βρίσκουν τη τιµή ψηλά και έτσι θα υπάρχει

πλεόνασµα προσφοράς άρα αν αυτή η τιµή είναι η p έχω τότε ότι :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0D p S p Z p D p S p< ⇔ = − <

Αν οι συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης είναι συνεχής στο διάστηµα τιµών ˆ[ , ]o p

τότε σύµφωνα µε το ΘΕΤ κάθε τιµή είναι µεταξύ του διαστήµατος δηλαδή: ˆ ˆ[0, ] ( ) [ (0), ( )]p p Z p Z Z p∀ ∈ ⇔ ∈

Άρα υπάρχει µια τιµή c που είναι η τιµή ισορροπίας όταν είναι : (0) 0

ˆ( ) 0

Z

Z p

>

< άρα το c

είναι η τιµή ισορροπίας και µάλιστα ec p=

Οι ικανές συνθήκες για την ύπαρξη ισορροπίας θετικής της συνάρτηση υπερβάλλουσας

ζήτησης είναι :

- για τιµή 0p = , (0) (0)D S> άρα (0) 0Z >

- υπάρχει κάποια τιµή ˆ ˆ ˆ ˆ0 : ( ) ( ) ( ) 0p S p D p Z p> ⇔ <

Παράγωγος και ∆ιαφορικό συνάρτησης

- Εφαπτόµενη µιας καµπύλης είναι η ευθεία γραµµή η οποία έχει ένα µόνο κοινό

σηµείο µε τη καµπύλη .

- Παράγωγος σηµείου είναι η τιµή της κλίσης της συνάρτησης για τα σηµεία της

κατά µήκος της γραµµής της όπως ορίζεται από το ΠΟ .

- Τέµνουσα είναι η γραµµή που ενώνει δυο σηµεία της συνάρτησης µε ευθύγραµµο

τµήµα (µερικές φορές λέγεται και χορδή αλλά δεν είναι ο σωστός όρος γιατί η

χορδή αναφέρεται κυρίως σε κλειστές καµπύλες) .

- Κλίση τέµνουσας ορίζεται από τον λόγο 2 1

2 1

( ) ( )f x f xm

x x

−∆Υ= =∆Χ −

(το όριο αυτού

είναι η παράγωγος).

- Έστω ένα σηµείο 1 1( , ( ))K x f x και µια συνάρτηση ( )y f x= σε ένα διάστηµα που

περιλαµβάνει το Κ τότε αν υπάρχει το όριο 0

limx

m l∆ →

= τότε η γραµµή που περνάει

από το Κ µε κλίση λ είναι η εξίσωση της εφαπτόµενης.

- ∆ιαφορικό µιας συνάρτησης είναι µια εκτίµηση του y

x

∆∆

και συµβολίζεται µε

dyd

dx= . Υπάρχουν διάφορα είδη διαφορικών όπως το ακριβές διαφορικό ή τα

µερικά διαφορικά (από τις µερικές παραγώγους) .

- ∆ιαφορίσιµη συνάρτηση είναι µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα ανοικτό

και για ένα σηµείο της x a= που το περιλαµβάνει έχουµε ότι το όριο υπάρχει και


είναι πεπερασµένο (όχι άπειρο) : 0

( ) ( )limx

f a x f a

x∆ →

+ ∆ −∆

τότε λέµε ότι αυτή είναι

και η τιµή της παραγώγου στο σηµείο a . Επίσης είναι βασικό να ξέρουµε ότι

όταν µια συνάρτηση είναι διαφορίσιµη είναι οπωσδήποτε συνεχής στο σηµείο

εκείνο.

4.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ –ΟΡΙΑΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ

Η συνάρτηση συνολικού κόστους µιας επιχείρησης ( )C C y= δείχνει το κόστος της

παραγωγής του προϊόντος Υ.

Έτσι ο λόγος ( ) ( )C C y y C y

y y

∆ + ∆ −=

∆ ∆ αντιπροσωπεύει το µέσο ρυθµό µεταβολής στο

κόστος για κάθε προστιθέµενη µονάδα παραγόµενου προϊόντος και αν υπολογίσουµε το

όριο του λόγου αυτού για ∆Y→ 0 τότε παίρνουµε τον άµεσο ρυθµό µεταβολής δηλαδή

το οριακό κόστος παραγωγής δηλαδή τη πρώτη παράγωγο του συνολικού κόστους .

Κανόνες παραγώγισης

1

) ( ) ( ) 0 ___( )

) ( ) ( ) _____( )

) ( ) ( ) _____( )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ___( )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ___( )

) ( ) ( ) ( )

n n

A f x c f x

B f x mx b f x m

C f x x f x nx

D f x g x h x f x g x h x

E f x cg x f x cg x

F h x f x g x

σταθερηγραµµικη

εκθετικηαθροιστικη

σταθερο

−

′= ⇔ =

′= + ⇔ =

′= ⇔ =

′ ′ ′= ± ⇔ = +

′ ′= ⇔ = Χ

=

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ___( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) _____( )

( ) ( )

) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ______( )

1) ( ) ln ( ) _____( )

h x f x g x f x g x

f x f x g x f x g xG h x h x

g x g x

h x f g x h x f g u

f x x f xx

παραγωγικη

κλασµατος

συνθεσης

λογαριθµικη

′ ′ ′⇔ = +

′ ′−′= ⇔ =

′ ′ ′Η = ⇔ =

′Ι = ⇔ =

Αλυσιδωτή Παραγώγιση

Αν ( )y f u= και ( )u g x= έτσι ώστε ( ( )) ( )y f g x h x= = τότε ( ) ( ) ( )h x f u g u′ ′ ′=

Αυτό µπορεί να γράφει και ως εξής :

dy dy du

dx du dx=

Επίσης είναι και σαν ιδιότητα παραγώγισης ο κανόνας D ‘ HOPITAL για τα όρια

συναρτήσεων .


Η Συνάρτηση Παραγωγής

Έστω η συνάρτηση ay L= µε 0a > , L η εργασία και Υ το παραγόµενο προϊόν. Η

συνάρτηση αυτή εκφράζει τη συνολική παραγωγικότητα της εργασίας TR(L). Το Οριακό

προϊόν της εργασίας είναι το MP(L) και είναι ίσο µε :

1( ) adyMP L aL

dL

−= =

Συνάρτηση Οριακού Εισοδήµατος για Ανταγωνιστική Επιχείρηση και για Μονοπώλιο

θεωρούµε τη συνάρτηση του Συνολικού εισοδήµατος που είναι ( )TR q pq= όπου q το

προϊόν και p η τιµή . Μια ανταγωνιστική επιχείρηση θεωρεί τη τιµή σταθερή και ίση µε

τη τιµή της αγοράς p άρα για την επιχείρηση αυτή είναι ( )TR q pq= .

To Οριακό Εισόδηµα θα είναι:

( )( )

dTR qMR q p

dq= =

Μια µονοπωλιακή επιχείρηση που είναι η µοναδική στο κλάδο και θέτει τη τιµή σα

συνάρτηση της ζήτησης ( )q D p= και γράφοντας την στην αντίστροφη µορφή της είναι 1( ) ( )p D q p q−= = άρα το συνολικό εισόδηµα είναι ( ) ( )TR q pq pq q= = δηλαδή το

γινόµενο δυο συναρτήσεων άρα το οριακό εισόδηµα είναι:

( )

( ) ( )dTR q

MR q p q q pdq

′= = +i

Αν θεωρήσουµε την τυπική περίπτωση όπου η τιµή και η ποσότητα σχετίζονται αρνητικά

τότε ( )MR q p< άρα σαν συµπέρασµα έχω ότι : Το Οριακό Εισόδηµα από αύξηση των

πωλήσεων είναι µικρότερο από τη τιµή πώλησης για οποιοδήποτε ποσότητα 0q > .

Ας θεωρήσουµε το παρακάτω παράδειγµα :

Έστω µια επιχείρηση πουλάει τη παραγωγή της q σε τιµή ˆ ˆ( )p p q= . Για να πουλήσει

µια επιπλέον µονάδα παραγόµενου προϊόντος q∆ πρέπει να µειώσει τη τιµή όλων των

µονάδων πωλούµενων προϊόντων κατά p∆ .


Η µεταβολή στο εισόδηµα είναι ∆R = περιοχή Α – περιοχή Β άρα είναι :

ˆ ˆ( )R p p q p q∆ = − ∆ ∆ − ∆ i

Το R∆ µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ανάλογα µε το µέγεθος των περιοχών Α και Β.

Όσο µικρότερη είναι η τιµή p τόσο µεγαλύτερη είναι η πωλούµενη ποσότητα q και

συνεπώς τόσο µεγαλύτερη είναι η περιοχή Β. Αυτό εξηγεί και το φαινόµενο της

αυξανόµενης απόκλισης του οριακού εισοδήµατος από τη τιµή όσο αυξάνει η πωλούµενη

ποσότητα .

Έχουµε επίσης ότι :

ˆ ˆ

ˆ ˆ

R pp q p

q q

dpMR p q

dq

∆ ∆= − −∆ ⇔

∆ ∆

= +

i

Νέα τιµή

πώλησης

Απώλεια

εισοδήµατος λόγω

µείωσης τιµής κατά

∆p


Σχέση µεταξύ Οριακής και Μέσης Τιµής Συνάρτησης

Έστω µια συνάρτηση f που µπορεί να είναι µια συνάρτηση κόστους , συνολικής

παραγωγής κ.τ.λ.

Η Μέση τιµή της συνάρτησης είναι ( )

( )f x

A xx

= παραγωγίζοντας έχω ότι

( ) ( )( )

f x A xA x

x

′ −′ = όπου ( )f x′ είναι η οριακή τιµή της συνάρτησης.

Λέµε ότι :

- Συνάρτηση παραγωγής ή συνολική συνάρτηση παραγωγής είναι η µαθηµατική

έκφραση της σχέσης µεταξύ εισροών (ανεξάρτητες µεταβλητές) και παραγόµενου

προϊόντος (εξαρτηµένη µεταβλητή).

- Οριακό προϊόν είναι η επιπλέον εκροή που µπορεί να παραχθεί από τη

χρησιµοποίηση (µίσθωση) µιας επιπλέον µονάδα εισροής .

- Ο Νόµος της Φθίνουσας Απόδοσης θέτει ότι όταν προστίθονται επιπλέον µονάδες

µιας µεταβλητής εισροής στις πάγιες εισροές τότε το οριακό προϊόν της

µεταβλητής εισροής βαίνει µειούµενο .

- Ο Νόµος της Φθίνουσας Οριακής Παραγωγικότητας ισχύει πάντα βραχυχρόνια

(ορίζει τη χρονική εκείνη περίοδο στην οποία ισχύουν οι συνθήκες: Ι) σταθεροί

συντελεστές παραγωγής και ΙΙ) δεν εισέρχονται ούτε νέες ούτε εξέρχονται ήδη

υπάρχουσες επιχειρήσεις στον κλάδο) και βραχυχρόνια κάθε επιχείρηση είναι

αντιµέτωπη µε φθίνουσες αποδόσεις .

Οριακό Έσοδο Παραγωγής Εργασίας

Έστω η συνάρτηση παραγωγής µε q το παραγόµενο προϊόν και L η µοναδική εισροή

εργασίας ( )q q L= . Το Οριακό Προϊόν Εργασίας είναι το ( )dq

MR LdL

= και µετράει την

επιπλέον παραγωγή προϊόντος εξ αιτίας της αύξησης κατά µια µονάδα της εργασίας .

Η Οριακή Τιµή Προϊόντος Εργασίας MVP(L) που είναι η αγοραία αξία του παραγόµενου

προϊόντος από την αύξηση κατά µια µονάδας είναι (µε p τη τιµή) : ( ) ( )MVP L p MP L= i

Το επιπλέον εισόδηµα που κερδίζει η επιχείρηση από τη χρησιµοποίηση µιας επιπλέον

µονάδας εργασίας ονοµάζεται Οριακό Έσοδο Παραγωγής Εργασίας MRP(L) και αν

R(q) είναι η συνάρτηση εσόδων της επιχείρησης τότε :

( ) ( ) ( )dR dR dq

M RP L M R q M P LdL dq dL

= = =i i

Είδαµε και πριν ότι η συνάρτηση οριακού εισοδήµατος για µια ανταγωνιστική

επιχείρηση ισούται απλά µε τη αγοραία τιµή δηλαδή ( )MR q p= συνεπώς για µια

ανταγωνιστική επιχείρηση θα είναι ( ) ( )MVP L MRP L= .

Στην περίπτωση του µονοπωλίου η τιµή εξαρτάται από το επίπεδο παραγωγής και

συνεπώς εξαρτάται από το επίπεδο της χρησιµοποιούµενης εισροής .

Αν γράψουµε την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης ( )q D p= και τη κάνουµε 1( ) ( ) ( ( ))p D q p q p q L−= = = και υποθέσουµε ότι είναι αρνητική στη πρώτη παράγωγο

τότε η συνάρτηση εισοδήµατος µονοπωλίου είναι :

( ( )) ( ( )) ( )R q L p q L q L= i


Τότε θα είναι ( ) 0dp dp dq

p LdL dq dL

′ = = ≺

Το οριακό εισόδηµα παραγωγής εργασίας είναι : ( ) ( ) ( )dR

MRP L p L q MP L pdL

′= = +i i

Άρα τα οριακό εισόδηµα παραγωγής εργασίας στο µονοπώλιο βρίσκεται κάτω από τη

καµπύλη της οριακής αξίας του προϊόντος εργασίας. Με απλά λόγια η αξία περισσότερης

εργασίας είναι µικρότερη από την αγοραία αξία της στο µονοπώλιο .

Σχέση µεταξύ Συνάρτησης Κόστους και Συνάρτησης Παραγωγής για µια Εισροή

Θεωρούµε τη συνάρτηση παραγωγής ( )q q L= και η συνάρτηση οριακού προϊόντος

( )dq

MP LdL

= . Επειδή το οριακό εισόδηµα αυξάνει όσο η εργασία σηµαίνει ότι για κάθε

µια επιπλέον χρησιµοποιούµενη µονάδα εισροής η αύξηση του παραγόµενου προϊόντος

είναι µικρότερη. Ανάποδα όσο µεγαλύτερο είναι το αρχικό επίπεδο παραγωγής τόσο

µεγαλύτερη αύξηση εισροής χρειαζόµαστε για τη παραγωγή µια επιπλέον µονάδας

εργασίας. Αυτό σηµαίνει ότι το οριακό κόστος παραγωγής αυξάνει όταν η οριακή

παραγωγικότητα εργασίας πέφτει και αντίστροφα .

Έστω 0C το σταθερό κόστος παραγωγής και W το κόστος ανά µονάδα εργασίας

(ηµεροµίσθιο) τότε ας υποθέσουµε ότι 0( )C L WL C= + είναι το κόστος από τη

χρησιµοποίηση L µονάδων εργασίας. Χρησιµοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση

µπορούµε να γράψουµε το κόστος σαν συνάρτηση του παραγόµενου προϊόντος δηλαδή

0( ) ( )C q W L q C= +i και το οριακό κόστος είναι dC dL

Wdq dq

= .

4.3 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

Θεωρούµε τη γραµµική συνάρτηση y a bp= − όπου a είναι η ζητούµενη ποσότητα όταν

η τιµή είναι 0p = και dy

bdp

= − το µέγεθος της πτώσης ζήτησης σε µια αύξηση τιµής

δηλαδή η κλίση b εξαρτάται από µονάδες µέτρησης των Υ και p.

Το πρόβληµα είναι οι µονάδες µέτρησης δηλαδή αλλιώς µετράµε το b σε κιλά και

αλλιώς σε τόνους γιατί τότε η κλίση (µεταβολή) είναι διαφορετική .

Αυτό το αποφεύγουµε εισάγοντας ένα µέγεθος σε όρους ποσοστιαίας µεταβολής σε κάθε

µεταβλητή Υ και p.

Έστω 1 1 2 2( , ), ( , )y p y p δυο σηµεία της συνάρτησης ζήτησης τότε η µέση ποσοστιαία

µεταβολή των τιµών µεταξύ των δυο αυτών σηµείων είναι : 2 1

1 2

% 100/ 2

p pp

p p

−∆ = •

+ και

αυτής της ποσότητας ζήτησης είναι : 2 1

1 2

% 100/ 2

y yy

y y

−∆ =

+i ανεξάρτητα από τις µονάδες

µέτρησης των υ και p .

Η Ελαστικότητα (µέση) ζήτησης είναι :


2 1

1 2 1 2

2 1 1 2

1 2

/ 2 ( )%

% ( )

/ 2

y y

y y y y yy

p pp p p p

p p

− + ∆ +∆− = − = − −∆ ∆ +

+

δηλαδή η ποσοστιαία µεταβολή της ζήτησης Υ λόγω µιας µεταβολής των τιµών p

Η ελαστικότητα σηµείου είναι :

1 2 1

1 2 1

( )lim ( )

( )p

y y y pdy

p p p dp y∆ →∞

∆ +− = −∆ +

Συνάρτηση Ζήτησης Σταθερής Ελαστικότητας

Θεωρούµε τη συνάρτηση by a p −= και για 1β = έχω τη µοναδιαία ελαστικότητα

ζήτησης .

Στη περίπτωση αυτή το συνολικό εισόδηµα από πωλήσεις είναι το ίδιο για κάθε τιµή.

Άρα σε κάθε µείωση η αύξηση της τιµής αντιστοιχεί η ίδια αύξηση ή µείωση των

πωλήσεων έτσι ώστε το συνολικό εισόδηµα να παραµένει το ίδιο . Άρα η ελαστικότητα

ζήτησης ισούται µε τη µονάδα .

Κοίλες και Κυρτές Συναρτήσεις

Η παράγωγος µιας συνάρτησης είναι επίσης συνάρτηση άρα µπορούµε να βρούµε και τις

επόµενες παραγώγους µε τον ίδιο τρόπο.

Λέµε ότι µια συνάρτηση είναι Αύξουσα αν είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα και

παραγωγίσιµη µε τη πρώτη παράγωγο της θετική ή µηδέν για κάθε της σηµείο στο

διάστηµα και λέµε ότι είναι Φθίνουσα όταν είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο κλειστό

διάστηµα και για κάθε σηµείο της η πρώτη παράγωγος είναι αρνητική η µηδέν. Όταν

είναι αύξουσα ή φθίνουσα αντίστοιχα αλλά η παράγωγος δεν παίρνει την τιµή µηδέν τότε

λέµε ότι είναι Γνησίως Αύξουσα ή Φθίνουσα .

Μια συνάρτηση f µπορεί να είναι αύξουσα ή φθίνουσα µε διαφορετικό ρυθµό

µεταβολής. ∆ηλαδή αν έχω µια συνάρτηση τότε µπορεί να είναι αύξουσα (φθίνουσα)

αλλά η κλίση της να µειώνεται ή να αυξάνεται οπότε συµβαίνει να έχω την συνάρτηση

αύξουσα και την πρώτη παράγωγο αύξουσα ή φθίνουσα .

Άρα το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου δεν είναι ικανό να µας δώσει εικόνα για το

πλήρες γράφηµα της συνάρτησης .

- Θα λέµε ότι µια συνάρτηση που είναι ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ ],a b

παραγωγισιµη και συνεχής θα είναι Κυρτή αν για κάθε x στο διάστηµα αυτό αν

η δεύτερη παράγωγος είναι θετική ή µηδέν.

- Θα λέµε ότι µια συνάρτηση που είναι ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [ ],a b

παραγωγισιµη και συνεχής θα λέγεται Κοίλη αν για κάθε x στο διάστηµα αυτό η

δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική ή µηδέν (οµοίως και τα γνησίως) .


Τροποποιηµένη ∆ιάρκεια και Κυρτότητα Οµολογίας

Η απόδοση στη λήξη µιας οµολογίας είναι η τυποποιηµένη εσωτερική απόδοση η οποία

εξισώνει την αξία των µελλοντικών εισροών µε τη τρέχουσα τιµή της οµολογίας. Η

τρέχουσα άξια του τοκοµεριδίου που πληρώνει η οµολογία είναι :

1 ...(1 ) (1 )

nCB n

CFCFP

y y= + +

+ + µε το Y IRR= δηλαδή η περιοδική απόδοση στη λήξη .

Η κλίση της εφαπτόµενης είναι η πρώτη παράγωγος της τιµής ως προς την απόδοση Υ

και αν διαιρέσουµε τη πρώτη παράγωγο µε τη τιµή 1dp

dy pi παίρνουµε ένα µέγεθος της

ποσοστιαίας µεταβολής της τιµής της οµολογίας για µια µεταβολή της απόδοσης 1% και

είναι γνωστό σαν Τροποποιηµένη ∆ιάρκεια .

Ο υπολογισµός γίνεται ως εξής :

( 1)

1

1

(1 )

(1 )

( )( ) (1 )

(1 )

Z T T

T

T

T TT T

P CFy

P CF y

T CFdPT CF y

dy y

− ++

= ⇔+

= + ⇔

−= − + =

+

i

i

άρα αναπτύσσοντας (είναι σειρά) και βγάζοντας κοινό παράγοντα το 1

1 y+ και

πολλαπλασιάζοντας µε 1/ p έχω τελικά ότι είναι :

1

( )1 1 1

1 (1 )

ni

ii

i C Fd p

d y p y y p=

−= + +

∑i (MODIFIED DURATION)


Η τροποποιηµένη διάρκεια είναι µια ένδειξη του κίνδυνου επιτοκίων της οµολογίας. H

MD είναι µια εκτίµηση της τιµής της οµολογίας εξαιτίας µιας µεταβολής των επιτοκίων

ωστόσο µόνο για πολύ µικρές µεταβολές. Για µεγάλες µεταβολές δεν επαρκεί διότι

αποτελεί γραµµική προσέγγιση µιας κυρτής συνάρτησης. Παίρνουµε λοιπόν τη δεύτερη

παράγωγο που είναι η κυρτότητα της MD και είναι :

Convexity of a bond: 2

2

1d p

dy p

Το κάνουµε αυτό αναλυτικά για κάθε µια και η σειρά (τύπος) γίνεται για τη δεύτερη

παράγωγο : 2

31 2

2 3 4 5 2

12 ( 1)2 6....

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

n

n

CF n n CFCF CFd P

dy y y y y+

+= + + + +

+ + + +

4.4 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR

Eχουµε πει ότι το διαφορικό µιας συνάρτησης είναι ο τύπος

( ) ( )dy

f x dy f x dxdx

′ ′= ⇔ = και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη προσέγγιση της

µεταβολής της µεταβλητής Υ δεδοµένου της µεταβολής της µεταβλητής Χ. Το σφάλµα

αυτής της προσέγγισης είναι µικρό µόνο αν θεωρήσουµε µικρές µεταβολές στην Χ που

αυτό όµως δεν είναι πάντα εφικτό για αυτό χρησιµοποιούµε το Ανάπτυγµα TAYLOR.

Καταρχήν ανάπτυγµα µιας συνάρτησης λέµε µια πολυωνυµική συνάρτηση σε µια ε–

γειτονιά ενός σηµείου της 0x µε τελεστές να εκφράζονται ως παράγωγοι (τελεστής είναι

κάποιες σταθερές ποσότητες όπως αριθµοί π.χ. το 5 ή ακόµα διαφορικά σταθερά ή

ακόµα µερικές παράγωγοι ως τελεστές κ.τ.λ.). Στο ανάπτυγµα κατά ΤΑΥLOR οι

τελεστές των όρων του πολυωνύµου είναι οι ν–οστες παράγωγοι στο σηµείο 0x που

έχουν συγκεκριµένη τιµή.

Σύµφωνα µε το ανάπτυγµα TAYLOR λοιπόν θα χρησιµοποιήσουµε την τιµή της

συνάρτησης γύρω από το 0x σε συνδυασµό µε την τιµή παραγώγων της συνάρτησης για

το 0x µε σκοπό να πάρουµε µια τιµή άλλη για τη συνάρτηση ας πούµε για την 1x την

1( )f x .

Άρα ο τύπος του αναπτύγµατος κατά TAYLOR είναι ο ακόλουθος :

( )1

0 1 01 0

1

( )( )( ) ( )

!

k kn

n

k

f x x xf x f x R

k

−

=

−= + +∑

και αναπτύσσεται ως εξής :

1 2 ( 1) 1

0 1 0 0 1 0 0 1 01 0

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ....

1! 2! ( 1)!

n n

n

f x x x f x x x f x x xf x f x R

n

− −′ ′′− − −= + + + + +

−


όπου ( ) 1 00 1

( )( ) ,

!

n

n

x xR f c x c x

n

−= < < και λέγεται κατάλοιπο αλλά όταν

0nn R→∞⇔ → και συνήθως απλά το αναφέρουµε.

Παρατηρούµε ότι : ( )1

0 1 01 0

1

( )10 1 0

1 0

1

( ) ( )( ) ( )

!

( ) ( )( ) ( )

!

k kn

n

k

k kn

n

k

f x x xf x f x R

k

f x x xf x f x R

k

−

=

−

=

−= + + ⇔

−− = + ⇔

∑

∑

( )10 1 0

1

( )( )

!

k kn

n

k

f x x xR

k

−

=

−∆Υ = +∑ Η µεταβολή στο σηµείο εκείνο

4.5 ΜΕΓΙΣΤΑ – ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Έστω µια συνάρτηση ( )Y f x= θα εξετάσουµε τις ακραίες τιµές ή αλλιώς τα Ελάχιστα

και τα Μέγιστα . Τα µέγιστα και τα ελάχιστα αναφέρονται πάντα στην τιµή της

συνάρτησης για κάποιο x από το ΠΟ της . Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις για να βρούµε

αυτές τις τιµές . Ας υποθέσουµε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής µε δεύτερη παράγωγο

και έχει ΠΟ και ΣΤ όλο το R.

Ορισµός Ολικού Μεγίστου

θα λέµε ότι η συνάρτηση παραγωγισιµη έχει Ολικό Μέγιστο (global max) στο σηµείο 0x

αν ισχύει : 0( ) ( ),f x f x x≥ ∀ (αντίστροφα για το ελάχιστο).

Ορισµός Τοπικού Μεγίστου

θα λέµε ότι η συνάρτηση παραγωγισιµη έχει Τοπικό µέγιστο (local max) στο σηµείο 0x

αν ισχύει : 0 0 0( ) ( ), ( , )f x f x x x xε ε≥ ∀ ∈ − + (αντίστροφα για το ελάχιστο).

Αν η συνάρτηση έχει τοπικό µέγιστο στο σηµείο 0x τότε η πρώτη παράγωγος είναι

µηδέν στο σηµείο δηλαδή 0( ) 0f x′ = .

Πρέπει να γνωρίζουµε ότι αν µια συνάρτηση έχει τοπικό µέγιστο τότε το διαφορικό της

είναι µηδενικό γιατί δεν δέχεται παραπάνω µεταβολές dy και τότε έχω πάντα ότι η

πρώτη παράγωγος είναι µηδενική. Αυτό είναι αναγκαίο όχι και ικανό όµως γιατί µπορεί

να έχω συνάρτηση µε σηµεία καµπής στα οποία έχω πρώτη παράγωγο µηδενική αλλά όχι

τοπικό µέγιστο .

Επίσης πρέπει να ξέρω ότι µια παραγωγισιµη συνάρτηση είναι πάντα συνεχής ενώ µια

συνεχής δεν είναι πάντα παραγωγισιµη άρα αυτό µε οδηγεί στο συµπέρασµα ότι αν έχω

ένα ακραίο σηµείο (π.χ. τοπικό µέγιστο) η παράγωγος µου δίνει την δυνατότητα να

καταλάβω ότι η συνάρτηση είναι στάσιµη στο σηµείο.

∆ηλαδή µια στάσιµη σε ένα σηµείο συνάρτηση δε σηµαίνει ότι είναι και ακρότατο κατά

ανάγκη .

Τα περισσότερα οικονοµικά υποδείγµατα βασίζονται στην ιδέα ότι τα άτοµα

(καταναλωτής , επενδύτης , παραγωγός , χρηµατοπιστωτικές , διαµεσολαβητές , κ.τ.λ.)


επιθυµούν την βέλτιστη επιλογή ανάµεσα σε ένα σύνολο εναλλακτικών και η βέλτιστη

αυτή επιλογή είναι η βέλτιστη λύση µιας συνάρτησης.

ΜΟΝΟΠΩΛΙΟ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ

Ένας µονοπωλητής έχει συνάρτηση ζήτησης της ( )X p µε Χ η ζήτηση (παραγωγή

Output) και p η τιµή του προϊόντος τότε αυτή η συνάρτηση σηµαίνει ότι αν ο

µονοπωλητής θέσει µια τιµή µεγαλύτερη του σταθερού όρου τότε δε θα πουλήσει καµία

ποσότητα του προϊόντος του γιατί κανένας καταναλωτής δεν είναι διατεθειµένος να

πληρώσει τόσο ακριβά ενώ αντίθετα αν µειώσει την τιµή κατά 1 (εύρο/νοµισµατικη

µονάδα) θα οδηγήσει σε αύξηση της ζήτησης και θα πουλήσει µια µονάδα του προϊόντος

του .

Ας το πάρουµε µε παράδειγµα :

Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι 100X p= − και η συνάρτηση κόστους δηλαδή η

παραγωγή µιας επιπλέον µονάδας προϊόντος είναι : 25C x= .

Τότε η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης είναι 2( ) 100 25x px C x x xΠ = − = − −

Η βέλτιστη τιµή είναι η λύση της πρώτης παραγωγού ίση µε µηδέν δηλαδή:

0

0 0

0

( ) 0 37.5

100 62.5

1.4

x x

p x

αρα

′Π = ⇔ =

= − =

Π =

Άρα ορίζονται ως εξής οι συναρτήσεις

- συνάρτηση συνολικού εισοδήµατος 2( ) 100R x pX x x= = −

- συνάρτηση συνολικού κόστους ( ) 25C x x=

- συνάρτηση συνολικού κέρδους ( ) ( ) ( )x R x C xΠ = −

- συνάρτηση ζήτησης 100X p= −

- συνάρτηση οριακού εισοδήµατος ( )R x′

- συνάρτηση οριακού κόστους ( )C x′

ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ

Έστω 5C x= η συνάρτηση κόστους επιχείρησης σε ανταγωνιστική αγορά. Αυτό

σηµαίνει ότι θα πουλήσει στη τιµή p σταθερά και όχι συνάρτηση του παραγόµενου

προϊόντος. Η υπόθεση αυτή δείχνει ότι µια ανταγωνιστική επιχείρηση είναι µικρή σε

σχέση µε το συνολικό µέγεθος της αγοράς και συνεπώς οι αποφάσεις της σχετικά µε την

παραγωγή της δε µπορούν να επηρεάσουν την τιµή της αγοράς .

Αν 8p = € η αγοραία τιµή του παραγόµενου προϊόντος τότε το εισόδηµα της επιχείρησης

είναι ( ) 8R x px x= = και η συνάρτηση κέρδους είναι ( ) 8 5 3x x x xΠ = − = .

Η παραγωγή που µεγιστοποιεί το κέρδος είναι 3′Π = που δεν έχει νόηµα. Παρατηρούµε

ότι η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης βαίνει αυξανόµενη µε το παραγόµενο προϊόν

και δεν έχει µέγιστο. Έτσι η συγκεκριµένη επιχείρηση θα θέλει να αυξάνει συνεχώς τη

παραγωγή της αφού έτσι θα αυξάνει το κέρδος της. Επίσης παρατηρούµε ότι το οριακό

κέρδος της είναι πάντοτε ψηλότερο από το οριακό κόστος της που σηµαίνει ότι η


παραγωγή µιας επιπλέον µονάδας προϊόντος αυξάνει πάντοτε µε το εισόδηµα όχι όµως

και το κόστος .

Με αλλά λόγια για να εφαρµόσουµε τον κανόνα µέγιστου θα πρέπει συνάρτηση να έχει

µέγιστη τιµή που εδώ δεν ισχύει.

Ποια είναι η οικονοµική ερµηνεία ;

Εάν τουλάχιστον µια επιχείρηση σε µια ανταγωνιστική αγορά έχει σταθερές αποδόσεις

κλίµακας (που σηµαίνει µια γραµµική συνάρτηση κόστους στη περίπτωση µας) τότε οι

συνθήκες τέλειου ανταγωνισµού δεν ισχύουν και αντικαθιστώνται από µονοπώλιο ή

ολιγοπώλιο αφού η αγορά αποζηµιώνει τις επιχειρήσεις που αυξάνουν στο άπειρο τη

παραγωγή τους µε αποτέλεσµα η δοµή της αγοράς να είναι λιγότερο ανταγωνιστική αφού

οι επιχειρήσεις οδηγούν την αγορά. Έτσι κάτω από την υπόθεση της «οριζόντιας

καµπύλης ζήτησης» δε µπορούµε να υποθέσουµε ότι η επιχείρηση είναι τόσο µικρή που

να µη µπορεί να επηρεάσει την τιµή .

ΜΟΝΟΠΩΛΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (=1) ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ

Έστω το µονοπώλιο µε συνάρτηση ζήτησης 110X p−= η αντίστροφα 110p x−= και

συνάρτηση κόστους 5C x= .

Η συνάρτηση είναι σταθερής ελαστικότητας γιατί 2

1( 10 )( ) 1

10

dx p pe p

dp x p

−−= − = − − =

που είναι ανεξάρτητη της ζήτησης .

Επίσης είναι :

( ) 10

( ) 5

( ) ( ) ( ) 10 5

( ) 5

R x px

C x x

x R x C x x

x

= =

=

Π = − = −

′Π = −

Συνεπώς το κέρδος µεταβάλλεται αντίστροφα µε το παραγόµενο προϊόν , χαµηλότερη

παραγωγή ψηλότερο κέρδος. Όσο η παραγωγή µειώνεται οι τιµές αυξάνουν για να

διατηρήσουν σταθερό εισόδηµα άρα αφού µειώνοντας τη παραγωγή διατηρείται σταθερό

το εισόδηµα και συµφέρει τον παραγωγό να παράγει όσο γίνεται λιγότερο. Αλλά αν η

παραγωγή µηδενιστεί τότε το κέρδος είναι µηδενικό συνεπώς δε µπορεί να υπάρχει

µέγιστο .


Ας θεωρήσουµε ξανά ότι έχουµε το παράδειγµα 100 , ( ) 5x p C x x= − = η συνάρτηση

ζήτησης και κόστους αντίστοιχα και το προϊόν αφορά βιβλίο και η επιχείρηση έναν

εκδοτικό οίκο .

Έστω τώρα ότι ο συγγραφέας δικαιούται συγγραφικά δικαιώµατα 10%r = της τιµής

αγοράς για κάθε βιβλίο που πουλιέται άρα το εισόδηµα του συγγραφέα είναι : 2( ) 0.1 0.1 ( ) 0.1(100 )Y x px R x x x= = = − .

Το κέρδος του εκδοτικού οίκου είναι 2( ) ( ) ( ) 65 0.9x R x C x x xΠ = − = −

Αν υποθέσουµε επίσης ότι :


Α) ο συγγραφέας θέλει να θέσει τιµή και ποσότητα έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει το

εισόδηµα του τότε έχω 0 0( ) 10 0.2 50Y x x x′ = − ⇔ = που είναι οι επιθυµητές πωλήσεις

και 0 100 50 50p = − = η επιθυµητή τιµή ανά βιβλίο

Β) Ο εκδοτικός οίκος εκδίδει αριθµό αντιτύπων που µεγιστοποιεί το κέρδος του :

0 0 0 0( ) 65 1.8 36.1, 63.9x x x p′Π = − ⇔ = = ανά βιβλίο

Από τα Α και Β φαίνεται ότι υπάρχει σύγκρουση συµφερόντων η οποία είναι γενική και

δεν εξαρτάται από τις υποθέσεις µόνο του συγκεκριµένου παραδείγµατος .

Γενικά θα είναι αν θέσουµε : 0 1r< < , ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )

Y x rR x

x R x C x rR x r R x C x

=Π = − − = − −

Και µεγιστοποιώντας το Υ (συγγραφέας) θα έχουµε ( ) 0AR x′ = ενώ µεγιστοποιώντας το

Π θα έχουµε : ( )

( ) 0 ( )1

p

p p

C xx R x

r

′′ ′Π = ⇔ =

− .

Έτσι όσο το οριακό κόστος αυξάνει το επιθυµητό επίπεδο παραγωγής αντιτύπων του

εκδοτικού οίκου x θα διαφέρει από αυτό του συγγραφέα Ax .

∆εδοµένου ότι υποθέσαµε το οριακό εισόδηµα να βαίνει µειούµενο µε τη παραγωγή

πρέπει να ισχύει ότι A px x> .

ΕΙΣΟ∆ΗΜΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

Υπάρχει ένας απλός τρόπος να δούµε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ της ελαστικότητας

ζήτησης σε ένα σηµείο της καµπύλης ζήτησης και της επίδρασης που ασκείται στο

εισόδηµα από πωλητές λόγω µεταβολών στη παραγωγή. Έτσι θα δούµε τι υπάρχει πίσω

από τη σύγκρουση του προηγούµενου παραδείγµατος .

Έστω το µονοπώλιο µε αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης ( )p p x= και συνάρτηση

εισοδήµατος ( ) ( )R x p x x= i Το οριακό εισόδηµα είναι ( )dp

R x p xdx

′ = + και η

ελαστικότητα είναι p dx x dp

e ex dp p dx

= − → = − ενώ η συνάρτηση οριακού εισοδήµατος

µπορεί να γραφτεί : 1

( )R x p pe

′ = −

Έστω 0p > τότε :

- Αν 1e < τότε 0R′ < άρα όταν η ζήτηση είναι ανελαστική τότε µια αύξηση της

παραγωγής θα µειώσει το εισόδηµα .

- Αν 1e > τότε 0R′ > άρα η ζήτηση είναι ελαστική τότε µια αύξηση της

παραγωγής θα αυξήσει το εισόδηµα .

- Αν 1e = τότε το επίπεδο παραγωγής µεγιστοποιείται και ικανοποιεί 0R′ =

Πρόταση

Ένας µονοπωλητής που επιδιώκει να µεγιστοποιήσει το κέρδος του µε θετικό οριακό

κόστος θα βρίσκεται πάντα σε ισορροπία στο σηµείο της καµπύλης ζήτησης όπου 1e >

και σε ισορροπία είναι 0R C′ ′= > και για R C′ ′> θα πρέπει να έχουµε 1e > .


ΣΥΝΟΛΙΚΟ –ΜΕΣΟ-ΟΡΙΑΚΟ-ΣΤΑΘΕΡΟ-ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΚΟΣΤΟΣ

Είναι TC=TFC+TVC όπου αυτό σηµαίνει ότι : Συνολικό κόστος = συνολικό σταθερό +

µεταβλητό .

- TCF = άθροισµα όλων των πηγών κόστους που δε µεταβάλλεται µε τη παραγωγή

και επίσης ισχύει ότι TFC

AFCq

= όπου AFC είναι το µέσο σταθερό κόστος το

οποίο πέφτει όσο αυξάνει η παραγωγή.

- TVC = άθροισµα όλων των πηγών µεταβλητού κόστους που µεταβάλλεται

ανάλογα µε τη παραγωγή βραχυχρόνια. Επίσης περιλαµβάνει πληροφορίες για

τους συντελεστές παραγωγής τις τιµές τους και τη τεχνολογία. Βαίνει πάντοτε

αυξανόµενο όταν αυξάνεται η παραγωγή προϊόντος µε πάντοτε θετική κλίση

TVCAVC

q=

- Οριακό κόστος MC είναι οι µεταβολές του µεταβλητού κόστους είναι η αύξηση

στο συνολικό κόστος που προέρχεται από τη παραγωγή µιας επιπλέον µονάδας

προϊόντος. Το MC ενδεχοµένως αυξάνεται µε την αύξηση της παραγωγής και σαν

αποτέλεσµα της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας (π.χ. εργασίας) έπεται ότι

απαιτούνται περισσότερες µονάδες εισροής για τη παραγωγή µιας επιπλέον

µονάδας προϊόντος µε συνέπεια την αύξηση του κόστους. Με αλλά λόγια

φθίνουσες αποδόσεις συνεπάγονται αύξηση οριακού κόστους .

Η κλίση του TVC είναι TVC

TVCq

∆=

∆. Το MC είναι εξ ορισµού η µεταβολή του TVC

που επέρχεται από την αύξηση της παραγωγής κατά µια µονάδα δηλαδή κατά 1q∆ = .

Έτσι το MC είναι η κλίση του TVC .

Σε µια ανταγωνιστική αγορά βραχυχρόνια µια τυπική ανταγωνιστική επιχείρηση

αντιµετωπίζει συνάρτηση ζήτησης η οποία απλά είναι οριζόντια στη τιµή ισορροπίας της

αγοράς (πλήρως ελαστική καµπύλη ζήτησης).

Γνωρίζουµε ότι το συνολικό εισόδηµα είναι R p y= i . Το οριακό εισόδηµα της

επιχείρησης MR είναι το επιπλέον εισόδηµα που κερδίζει η επιχείρηση όταν αυξήσει την

παραγωγή της κατά µια µονάδα παραγόµενου προϊόντος. Στην τέλεια ανταγωνιστική

αγορά ισχύει MR p= δηλαδή σε πλήρη ανταγωνισµό η καµπύλη του οριακού

εισοδήµατος και η καµπύλη ζήτησης ταυτίζονται .

Για να µεγιστοποιήσει το κέρδος της η επιχείρηση θα παράγει το επίπεδο εκείνο του

προϊόντος όπου θα ισχύει min(MR) Ωστόσο όταν το οριακό εισόδηµα ΜR είναι

µεγαλύτερο του οριακού κόστους MC σηµαίνει ότι κάθε µια επιπλέον µονάδα

παραγόµενου προϊόντος προσθέτει κέρδος δηλαδή η επιχείρηση µπορεί να παράγει

περισσότερο .

Όµως θα παράγει τόσο ώστε MR p= και συνολικά είναι MR MC p= = .



Έστω η συνάρτηση συνολικής παραγωγής είναι 2 3( ) 10 12f x x x x= + −

Τότε η συνάρτηση µέσης παραγωγής είναι 2( )( ) 10 12

f xA x x x

x= = + − και η οριακή

συνάρτηση παραγωγής είναι 2( ) 10 24 3f x x x′ = + − . Σαν µέγιστη τιµή η συνάρτηση

µέσης παραγωγής έχει πρώτη παράγωγο ίση µε µηδέν άρα 0( ) 0 6A x x′ = ⇔ = .

Στη τιµή αυτή έχουµε ότι (6) 46

(6) 46

A

f

= ′ =

και η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική άρα είναι

κοίλη όποτε στο σηµείο 6 παίρνει τη µέγιστη τιµή της .

Παρατήρηση

Το συνολικό κόστος παραγωγής είναι το άθροισµα του µεταβλητού κόστους και του

σταθερού κόστους της παραγωγικής διαδικασίας. Αν υποθέσουµε µια µόνο εισροή τότε η

συνάρτηση παραγωγής ( )Y f x= περιγράφει τη σχέση παραγωγής και αν γνωρίζουµε τι

παραγωγή δηµιουργείται από κάθε επίπεδο εισροής τότε µπορούµε να εργαστούµε

αντίστροφα για να προσδιορίσουµε την εισροή που απαιτείται για να παράγουµε

συγκεκριµένο επίπεδο προϊόντος .

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ο παρακάτω πίνακας είναι χαρακτηριστικό συγκεντρωτικό βοήθηµα για τις παραγώγους

είτε συνάρτησης είτε σύνθεσης συνάρτησης

α/α Συνάρτηση Παράγωγος Σύνθετη

συνάρτηση

Σύνθετη παράγωγος

1 ny x= 1ny nx −′ = ( )( )n

y f x= ( ) 1( ) ( )

ny n f x f x

−′ ′=

2 y x=

1

2y

x′ = ( )y f x=

( )

2 ( )

f xy

f x

′′ =

3 siny x= cosy x′ = sin ( )y f x= ( ) cos ( )y f x f x′ ′= i

4 cosy x= siny x′ = cos ( )y f x= ( ) sin ( )y f x f x′ ′= i

5 y xεφ= 2

1

cosy

x′ =

( )y f xεφ= 2

( )

cos ( )

f xy

f x

′′ =

6 y xσφ= 2

1

siny

x′ =

( )y f xσφ= 2

( )

sin ( )

f xy

f x

′′ =

7 lny x= 1y

x′ =

ln ( )y f x= ( )

( )

f xy

f x

′′ =

8 expy x= expy x′ = exp ( )y f x= ( ) exp ( )y f x f x′ ′=

9 xy a= lnxy a a′ = ( )f xy a= ( ) ( ) lnf xy a f x a′ ′=


4.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΠΕ∆ΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

Για να βρω το ΠΟ µιας συνάρτησης :f A B→ δηλαδή το σύνολο Α προσέχουµε τα

εξής:

- αν µας δίνεται η συνάρτηση και είναι γνωστή (γραµµική , πολυωνυµική κ.τ.λ.)

τότε το Α είναι τα συνήθη π.χ. σε µια γραµµική είναι το R ή το διάστηµα που

ορίζει η ίδια η συνάρτηση

- αν η συνάρτηση είναι κλασµατική προσέχουµε να εξαιρέσουµε τα x αυτά που

µηδενίζουν τον παρονοµαστή

- αν η συνάρτηση περιέχει ρίζα τότε προσέχουµε να πάρουµε τα x αυτά που

κάνουν το υπόριζο θετικό

- αν µας δίνει περιπτώσεις περιορισµών λύνω ως προς αυτούς τους περιορισµούς


Να βρεθούν τα ΠΟ των συναρτήσεων κατά σειρά :

Λύση

2( ) 5 10f x x x= + + που είναι φανερό ότι είναι όλο το R ως πολυωνυµικη

5 18

( )42

xf x

x

−=

+

εδώ έχω κλάσµα άρα προσέχω τον παρονοµαστή οπότε πρέπει 42x ≠ − άρα ΠΟ =R-42

( ) 1f x x= −

εδώ έχω ρίζα άρα πρέπει 1 0x − > άρα : 1xΠΟ >

( )f x x= Για | 3 2 | 2x − ≤

εδώ έχω περιορισµό άρα το λύνω και έχω:

| 3 2 | 2 2 3 2 2 0 3 4 0 4 / 3x x x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ όπου είναι και το διάστηµα

που ανήκουν τα x

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ

Ο καλύτερος δυνατός τρόπος είναι να εξετάζουµε αν είναι παραγωγισιµη οπότε αν είναι ,

θα είναι και συνεχής στο διάστηµα αυτό.

Επειδή όµως αν είναι συνεχής δεν είναι πάντα παραγωγισιµη αν µας ζητάνε σε σηµείο να

εξεταστεί η συνέχεια κοιτάµε τα πλευρικά όρια για το σηµείο ώστε να ισχύει ο ορισµός

της συνέχειας .


Να βρεθεί η συνεχεία της συνάρτησης στο 1x =

| 2 |,| | 1( )

| 3 |,| | 1

x xf x

x x

− >=

≤

Λύση

Βλέπουµε καταρχήν ότι η συνάρτηση είναι παντού ορισµένη στο R και για 1x = έχω την

τιµή της (1) 3f = .


Επίσης είναι παραγωγισιµη ως προς τους κλάδους της αλλά επειδή στο 1 αλλάζει ο τύπος

δε γνωρίζω αν είναι συνεχής . Εξετάζω πλευρικά όρια και έχω :

1 1lim ( ) lim | 3 | 3x x

f x x− −→ →

= = και 1 1

lim ( ) lim | 2 | |1 2 | 1x x

f x x+ +→ →

= − = − = που είναι διαφορετικά

άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1 .

ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

Η παραγώγιση µιας συνάρτησης είναι πολύ εύκολη γιατί απλά εφαρµόζονται οι τύποι

και οι ιδιότητες .


Να παραγωγιστεί η συνάρτηση 2

2 7 23( ) 5 ln ln

4

x xf x x x x x x

x

+= + − + +

Λύση

2

2

2

2

7 23( ) 5 ln ln

4

1 1 (14 23)4 4(7 23 )( ) 10 ln 1

162

x xf x x x x x x

x

x x x xf x x x

x xx

+= + − + + ⇔

+ − +′ = + − + + +

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ – ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ - ΤΕΜΝΟΥΣΑ

Οι περιπτώσεις στο ρυθµό µεταβολής και την εφαπτόµενη και την τέµνουσα είναι

αντικατάσταση των τύπων

Παράδειγµα 6 (ΡΜ)

Έστω η συνάρτηση 2( )f x x= και τα σηµεία της Κ(2,4) και Ρ(4,16). Να υπολογιστεί ο

ρυθµός µεταβολής.

Λύση

Έχω ότι

4 2 2∆Χ = − = και 16 4 12∆Υ = − = άρα ο ρυθµός είναι 12

62

y

x

∆= =

∆

Παράδειγµα 7 (Τέµνουσα)

Έστω η συνάρτηση y ax b= + µε α,β σταθερές και τα σηµεία 1 1

2 2

( , )

( , )

K x y

P x y

. Ποια είναι η

κλίση της ευθείας ?

Λύση

Έχω αµέσως ότι

( )KP

y b x x a bx am b

x x

∆ + ∆ + − −= = =∆ ∆


Παράδειγµα 8 (εφαπτόµενη)

Να βρεθεί η εφαπτόµενη της 2( )f x x= στο σηµείο Κ(4,16)

Λύση

Είναι 2( )

( ) 2

(4) 8

f x x

f x x

f

= ⇔

′ = ⇔

′ =

άρα βρήκα τη κλίση της ευθείας άρα από την εξίσωση ευθείας µε ένα σηµείο αµέσως

έχω ότι η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι ε : Y-16=8(X-4)

Παράδειγµα 9 (εφαπτόµενη)

Έστω η συνάρτηση 3 2( ) 2f x x x x= − − και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης της

παράλληλης στην ευθεία 7Χ+3Υ-1=0.

Λύση

Εδώ έχω ήδη τη κλίση της εφαπτόµενης που είναι ίδια µε την κλίση της ευθείας γιατί

είναι παράλληλες άρα η κλίση της εφαπτόµενης είναι λ = -7/3.

Αρκεί να βρούµε ένα σηµείο και να ορίσουµε την εφαπτόµενη. Επειδή έχω τη κλίση

σηµαίνει ότι για κάθε x έχω τη τιµή της παραγώγου συνάρτησης άρα είναι 3 2 2( ) 2 ( ) 3 4 1f x x x x f x x x′= − − ⇔ = − − άρα έστω ένα σηµείο της εφαπτόµενης

0 0( , )A x y τότε για αυτό το σηµείο ισχύει ότι :

2

0 0

0

0

73 4 1

3

2 / 3

2 / 27

x x

x

y

και

− − = − ⇔

=

=

άρα η ευθεία είναι Υ-2/27 = -7/3(Χ-2/3)

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR


Να βρεθεί το ανάπτυγµα Τ στην ( ) xf x e= για το σηµείο 1

Λύση

Είναι ( )1

1

2 3 1

(0)( 0)( ) (0)

!

( ) 1 ......2! 3! ( 1)!

k kn

n

k

n

n

f xf x f R

k

x x xf x x R

n

−

=

−

−= + + ⇔

= + + + + + +−

∑


ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ


Έστω δυο συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς οι : ( ) , 0

( ) , 0

D p a b p b

S p c ep e

= − >

= + >

Πρέπει να προσδιορίσουµε τις προϋποθέσεις των παραµέτρων a και c που απαιτούνται

για να διασφαλίσουµε την ύπαρξη θετικής τιµής ισορροπίας.

Η συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης είναι η ( ) ( ) ( )Z p a c e b p= − − + .

Παίρνω τις συνθήκες θα πρέπει :

- (0) 0Z > άρα a c>

- Για κάποιο p θα πρέπει ˆ( ) 0a c

Z p pe b

−< ⇔ >

+

Άρα οι συνθήκες στην ουσία ικανοποιούνται για a c> όποτε υπάρχει µια τιµή ep τέτοια

ώστε να έχω ισορροπία και από το ΘΕΤ είναι η ακόλουθη :

e a cp

e b

−=

+

(στη πραγµατικότητα οι συνθήκες της συνέχειας προσδιορίζονται από τις υποθέσεις για

τη τεχνολογία και τις προτιµήσεις των καταναλωτών).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ –ΟΡΙΑΚΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ


Έστω ( ) 80C y y= δηλαδή όποιο και να είναι το τρέχον επίπεδο παραγωγής το κόστος

για τη παραγωγή µιας µονάδας προϊόντος είναι 80 λόγω της πρώτης παραγώγου (οριακό

κόστος) .

Το διαφορικό είναι 80dC dy= .

Η συνάρτηση είναι γραµµική. Η περίπτωση αυτή αναφέρεται για «σταθερές αποδόσεις

κλίµακας» ωστόσο δεν ισχύει πάντα , ιδίως βραχυπρόθεσµα , όπου κάποιες εισροές

(εξοπλισµός) θεωρούνται σταθερές .

Ας υποθέσουµε ότι η µόνη εισροή είναι η εργασία. Όσο η επιχείρηση χρησιµοποιεί

µεγαλύτερη ποσότητα της εισροής (εργασία) για να παράγει επιπλέον προϊόν οι

προστιθέµενες µονάδες εργασίας µειώνονται , είναι λιγότερο παραγωγικές , αφού

υπάρχει λιγότερο κεφάλαιο για κάθε προστιθέµενη µονάδα εργασίας (ιδίως για

επιχειρήσεις που παράγουν ήδη πολύ).

Η συνάρτηση που ικανοποιεί αυτά είναι η 2( )C y y= που έχει παράγωγο 2C y′ = άρα το

οριακό κόστος είναι συνεχώς αυξανόµενο.

Για παράδειγµα αν η παραγωγή είναι 200 µονάδες προϊόντος τότε το οριακό κόστος είναι

400 για µια επιπλέον µονάδα παραγωγής .

Αν η επιχείρηση παράγει ας πούµε 300 µονάδες και θέλει να παράγει 400 µονάδες

(αύξηση 100 µονάδες) τότε :

(400) (300) 70000C C C∆ = − =

Αν όµως χρησιµοποιήσουµε το διαφορικό για την εκτίµηση είναι:

2 2*300*100 60000dC ydy= = =

Το σφάλµα είναι 14% .


ΟΡΙΑΚΟ ΕΙΣΟ∆ΗΜΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΠΩΛΙΟ


Έστω η συνάρτηση ζήτησης ( ) 40 2p q q= −

Λύση

Το συνολικό έσοδο του µονοπωλίου είναι :

( ) ( ) (40 2 )TR q p q q q q= = −

Το οριακό έσοδο είναι η παράγωγος ως προς q άρα :

( ) (40 2 ) (40 2 ) 40 4dP

MR q q q q q qdq

′ ′= = − + − = −

βάζοντας τιµές συγκεκριµένες π.χ. για ένα q βρίσκω το αντίστοιχο p και όλες αν το

MR συγκριτικά .

ΜΕΣΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΤΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


Καταρχήν πρέπει να πούµε ότι αν θεωρήσουµε µια συνάρτηση µέσου κόστους ( )A Y και

µια οριακού ( )M Y τότε παρατηρούµε ότι όταν το κόστος παραγωγής µιας επιπλέον

µονάδας προϊόντος (δηλαδή το οριακό κόστος) είναι κάτω από το µέσο κόστος τότε το

µέσο κόστος παραγωγής βαίνει µειούµενο στο Υ και όταν είναι από πάνω τότε η

συνάρτηση µέσου κόστους είναι αύξουσα ενώ όταν είναι ίσα το µέσο κόστος δε

µεταβάλλεται .

Έτσι ας θεωρήσουµε µια συνάρτηση συνολικού κόστους την 2( ) 10 25TC y y y= + + .

Α) MC = ΑC όταν η AC είναι οριζόντια τότε :

2

( ) 2 10

( )10 25 /

251 0 5

MC T y y

T yAC y y

y

AC yy

′= = +

= = + +

′ = − = ⇔ =

άρα η καµπύλη είναι οριζόντια στο σηµείο Υ = 5 όπου εκεί έχω MC = 20 και AC = 20

B) Αν MC AC< τότε η AC είναι φθίνουσα άρα 5Y <


Κάνοντας χρήση του κανόνα παραγωγισης να δείξετε ότι η καµπύλη του οριακού

κόστους µε συνάρτηση παραγωγής 1/ 2q L= είναι αύξουσα .

Λύση

Είναι 1/ 2

0( ) ( ) 2C q WL q C C W L′= + ⇔ = άρα είναι αύξουσα.

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ∆ΙΑΡΚΕΙΑ


Μια 2ετης οµολογία που πληρώνει 5 εξαµηνιαία CF και η απόδοση στη λήξη είναι 8%

ετησίως .

Λύση


Είναι 4

1

5103.692

(0.4)ii

P=

= =∑

για το MD έχω 4

1

( )5386.405

(0,4)i

iMD

−= = −∑ και πολλαπλασιάζω µε

1

1 Y+ και είναι :

1371.405 (1/ ) 3.58

0.4MD p= − ⇔ ⇔ −

Στη πράξη δεν λαµβάνουµε υπόψη το αρνητικό πρόσηµο και παρουσιάζουµε την

τροποποιηµένη διάρκεια σε έτη άρα διαιρώντας µε 2 (είναι εξάµηνα) έχουµε το 1,7.

Άρα για µια αύξηση της απόδοσης (επιτόκιο) µιας ποσοστιαίας µονάδας η τιµή θα

µειωθεί κατά 1,8% περίπου .



ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΑ

Με τον όρο πολυµεταβλητές συναρτήσεις εννοούµε τις συναρτήσεις µε περισσότερες

µεταβλητές οι οποίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και η µεταβολή της κάθε µιας είναι

ανεξάρτητη από την µεταβολή των άλλων .

Οι συναρτήσεις έχουν την γενική µορφή 1 2( ) ( , , .... )

ny f X f x x x= = .

Μας ενδιαφέρουν η µερική παράγωγος , η συναρτησιακή ορίζουσα , οι πλεγµένες , τα

ακρότατα και οι πολλαπλασιαστές Lagrange .

5.1 ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Έστω µια συνάρτηση 1 2( , , .... )

ny f x x x= τότε η µεταβολή της µιας µεταβλητής όταν οι

υπόλοιπες µένουν σταθερές λέγεται µερική παράγωγος και προκαλεί µεταβολή y∆ και

είναι :

11

1 1 2 1 2

01 1

( , , .... ) ( , , ... )lim n n

xx

f x x x x f x x xy yf

x x x∆ →

+ ∆ −∆ ∂= = =

∆ ∆ ∂

Η Γεωµετρική της Ερµηνεία

Η µερική παράγωγος είναι µέτρο µεταβολής µιας συνάρτησης. Έστω η συνάρτηση

( , )Q Q K L= τότε το Q

K

∂∂

σχετίζεται µε το ρυθµό µεταβολής στο Q ως προς το Κ όταν το

L µένει σταθερό.

Αν το Κ µένει σταθερό µόνο τα σηµεία στην ευθεία έχουν νόηµα και η µερική ως προς L

είναι η κλίση της καµπύλης στο χώρο όπως και είναι επίσης συνάρτηση της Κ.


Ανώτερης Τάξης

Όπως είναι φυσικό υπάρχουν και οι µερικές παράγωγοι δεύτερης , τρίτης κ.τ.λ. τάξης ως

προς οποιαδήποτε µεταβλητή .

Αρµονικές

Μια συνάρτηση λέγεται αρµονική όταν ισχύει ότι : 0 0xx yy

f f f∆ = ⇔ + =

∆ιάνυσµα Κλίσης

Το διάνυσµα κλίσης µιας συνάρτησης στο σηµείο της 0x είναι το διάνυσµα µε τις

µερικές παραγώγους στο σηµείο 0x δηλαδή :

1

00

2

( )

( )( )

.........

f x

x

f xf x

x

∂ ∂ ∂

∇ = ∂

Εσσιανή Μήτρα

Εσσιανή µήτρα είναι ο πίνακας ( )H f µε στοιχεία 2

ij

i j

fH

x x

∂=∂ ∂

που αντιστοιχούν στην

ι– γραµµή και στη j–στήλη αντίστοιχα και γράφεται ως εξής :

2 2

2

1 1

2 2

2

1

( )

n

n n

f f

x x x

H f

f f

x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

∂ ∂ ∂

…

Σύνθετες συναρτήσεις

Έστω ότι έχουµε τη συνάρτηση ( , )f x y και κάθε µια µεταβλητή x και y είναι

ενδιάµεσες µεταβλητές δηλαδή έχουν σχέση µε άλλες ανεξάρτητες ( , )

( , )

x x u v

y y u v

=

= τότε

ορίζεται µερική παράγωγος της f ως προς ( , )u v και είναι :

x u y u

x v y v

ff x f y

u

k a i

ff x f y

v

∂ = + ∂ ∂ = +∂


Υπόδειγµα αγοράς

Έστω ένα υπόδειγµα για ένα προϊόν να παρουσιάζεται από τις συναρτήσεις:

Q a bP

Q c dP

= −

= − + µε , , , 0a b c d > και λύσεις µε συνθήκες ισορροπίας να είναι:

a cP

b d

ad bcQ

b d

+ = +

− = +

Αν ζητάµε τη µεταβολή που προκαλείται στο P από τη µεταβολή της α τότε πρέπει να

υπολογίσουµε τη µερική της ως προς α και αυτή διαφέρει από την µερική της P . Άρα

µπορούµε να υπολογίσουµε τη µερική παράγωγο κάθε µιας µεταβλητής .

Παράδειγµα 1 (Μερικές Παράγωγοι)

Να βρεθεί η µερική παράγωγος των µεταβλητών για τη συνάρτηση: 2 3( , ) 3 2 4f x y x xy y= + +

Λύση

Είναι

6 2xf x y= + και 22 12yf x y= +

Παράδειγµα 2 (Σύνθεση µερικών παραγώγων)

Έστω η συνάρτηση 2 2( , )f x y x xy y= + + µε ενδιάµεσες 22 ,x t y t= = να βρεθεί η

µερική της f στο t .

Λύση

Είναι 3 2(2 )2 (2 )2 4 6 8t x t y tf f x f y x y y x t t t t= + = + + + = + +

5.2 ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

Θεωρούµε τις συναρτήσεις 1 2( , , . . . )i nf x x x τότε για να βρούµε την συναρτησιακή

σχέση (γραµµικότητα) στο σετ αυτό των n µεταβλητών χρησιµοποιούµε την Ιακωβιανή

Ορίζουσα που είναι :

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

__ __ ... __

__ __ .... __| | | |

..................................

__ __ .... __

n

in

i

n n n

n

f f f

x x x

f f d ff

x x xJx

f f f

x x x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂∂

∂ ∂ ∂= =∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂


Τότε λέµε ότι αν η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι µηδενική οι συναρτήσεις

1 2( , , . . . )i nf x x x είναι συναρτησιακά εξαρτηµένες (όταν λέµε ότι είναι συναρτησιακά

εξαρτηµένες εννοούµε ότι µεταξύ τους υπάρχει µια σχέση όπως ας πούµε η µια είναι

τετράγωνο της άλλης ή η µια είναι ίδια µε την άλλη plus ένα σταθερό όρο κ.τ.λ.)

Οι εφαρµογές της ιακωβιανής είναι κυρίως στις παραµετρικές εξισώσεις όπου βρίσκουµε

τις εξισώσεις εφαπτοµένης και κάθετου επιπέδου αλλά κυρίως στο να βρούµε τα Οµαλά

σηµεία .

Οµαλό σηµείο µιας παραµετρικής είναι το σηµείο εκείνο που η συναρτησιακή ορίζουσα

του δεν είναι µηδενική .

Παράδειγµα 3 (Ιακωβιανή)

Να εξεταστεί η ανεξαρτησία των 2 2

( , ) 2 3

( , ) 4 12 9

f x y x y

g x y x xy y

= +

= + +

Λύση

Παίρνω αµέσως ιακωβιανή βρίσκοντας τις µερικές και είναι :

2

3

x

y

f

f

= =

και 8 12

12 18

x

y

g x y

g x y

= + = +

και έχω ότι |J| = 0

άρα οι συναρτήσεις είναι εξαρτηµένες .

5.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Έστω 1 2( , ,... )kQ P x x x= εκφράζει τη ποσότητα του παραγόµενου προϊόντος ως προς

τους συντελεστές παραγωγής 1 2, ,... kx x x (κεφάλαιο , εργασία , πρώτες ύλες…).

Οριακή Παραγωγικότητα του συντελεστή ix είναι η µερική παράγωγος της συνάρτησης

προς τον συντελεστή αυτόν δηλαδή το i

P

x

∂∂

.

Συνήθως 0i

P

x

∂>

∂ δηλαδή όσο αυξάνει ένας συντελεστής τόσο αυξάνει η παραγωγή.

Πέρα ενός σηµείου η παραγωγή συνεχίζει να αυξάνει αλλά µε φθίνων ρυθµό (δηλαδή η

δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική).

Αυτό το φαινόµενο λέγεται «ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑΣ»

ΟΡΙΑΚΗ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ

Ορίζουµε ως Οριακή χρησιµότητα του προϊόντος Ι τη µερική παράγωγο δηλαδή το i

U

p

∂∂

Αν 1 2( , ... )ky f x x x= τότε η µερική ελαστικότητα ως προς κάποιο x είναι η ποσότητα

, i

iy x

i

x yE

y x

∂=

∂.

Η µερική ελαστικότητα δίνει τη ποσοστιαία µεταβολή της U αν η ix αυξηθεί κατά 1%

και όλες οι υπόλοιπες εξαρτηµένες µεταβολές παραµείνουν σταθερές.


5.4 ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Λέµε γενικά ότι µια εξίσωση παραµετρική ορίζει πλεγµένη µορφή αν έχει την µορφή :

[ , , ( , )] 0f x y g x y =

Αρχικά µπορούµε να πούµε ότι υπάρχει το θεώρηµα πλεγµένης συνάρτησης που λέει ότι

αν ένα σηµείο δίνει µηδέν στην εξίσωση αλλά όχι µερική παράγωγο της ως προς τη

πλεγµένη τότε αυτό είναι οµαλό σηµείο και η εξίσωση λύνεται µονοσήµαντα .

Για τα µη οµαλά σηµεία ισχύει ότι όλες οι µερικές είναι µηδενικές. Το βασικό είναι όµως

πως παραγωγίζουµε µια πλεγµένη συνάρτηση και ειδικά πως λύνουµε µια παραµετρική

πλεγµένη εξίσωση.

Η παραγώγιση γίνεται ως εξής :

Α) Για δυο µεταβλητές

Έστω ότι έχουµε την εξίσωση ( , ( )) 0f x y x = και πρέπει να βρούµε τα 2

2,

dy d y

dx dx δηλαδή

πρώτη και δεύτερη παράγωγο χωρίς να βρούµε τον αλγεβρικό τύπο της ( )Y x .

Είναι ότι ισχύει 0f f

dx dyx y

∂ ∂+ =

∂ ∂ άρα έχω ότι η πρώτη παράγωγος είναι :

x

y

fd y

d x f= −

Παραγωγίζοντας αυτή παίρνουµε και τη δεύτερη παράγωγο που είναι : 2 22

2 3

2xx y xy x y yy x

y

f f f f f f fd y

dx f

− += −

από τον πρώτο τύπο βγαίνει ο δεύτερος µε παραγώγιση .

Β) Για τρεις µεταβλητές

Έστω τώρα η εξίσωση ( , , ) 0 ( , , ( , )) 0f x y z f x y z x y= ⇔ = που στο χώρο εκφράζει

επιφάνεια και ισχύει το θεώρηµα πλεγµένων συναρτήσεων (συνήθως ισχύει πάντα).

Τότε προκύπτει ότι οι µερικές είναι :

x

z

y

z

fz

x f

fz

y f

∂ = − ∂∂ = −

∂

Γ) Για συναρτήσεις που ορίζονται από συστήµατα εξισώσεων

Εδώ δεν θα µας απασχολήσει εκτός αν το συναντήσουµε να θυµόµαστε ότι έχει λύση

µέσω ιακωβιανής .



Να υπολογίσετε τη πρώτη παράγωγο dy

dx της 3 3( , ) 6f x y x y xy= + −

Λύση

Είναι πλεγµένη γιατί θέλω παράγωγο µεταξύ των Υ και Χ

Άρα έχω από τον τύπο 2

2

3 6

3 6

x

y

fd y d y x y

d x f d x y x

−= − ⇔ = −

−

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Οµογενείς είναι οι συναρτήσεις που αν τις πολλαπλασιάσουµε µε έναν αριθµό τότε η

συνάρτηση µεταβάλλεται κατά αναλογία του αριθµού αυτού δηλαδή ισχύει ότι

( , ) ( , )nf kx ky k f x y= . Ανάλογα τον έκθετη του κ αυτή είναι και η τάξη (βαθµός) της

συνάρτησης.

ΕΞΙΣΩΣΗ EULER

Η εξίσωση EULER έχει τη µορφή x yxf yf f+ ≡ και ισχύει µόνο για γραµµικές οµογενείς

συναρτήσεις .

ΟΜΟΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Είναι οι συναρτήσεις οι σύνθετες όπου η εσωτερική είναι οµογενής δηλαδή για τη

συνάρτηση [ ( , )]g f x y η ( , )f x y είναι οµογενής .

ΑΚΡΟΤΑΤΑ

Θεωρούµε τη συνάρτηση ( , )z f x y= . Στις πολυµεταβλητές συναρτήσεις για να υπάρχει

ακραία τιµή θα πρέπει 0dz = χωρίς απαραίτητα να είναι 0, 0dx dy= = . Άρα θα πρέπει

να έχω :

0 0, 0x y x ydz f dx f dy f f= + = ⇔ = =

Γι αυτό πάντα χρησιµοποιούµε τις δεύτερες µερικές παραγώγους .

Η ολική παράγωγος της δεύτερης τάξης είναι η εξής :

2 2 22xx xy yyd z f d x f dxdy f d y= + +

και δηµιουργούνται οι συνθήκες για να έχουµε µέγιστο και ελάχιστο που είναι οι

παρακάτω


Για την 1ης

τάξης έχουµε ότι τα σηµεία αυτά λέγονται στάσιµα ή αλλιώς κρίσιµα .

Όταν ένα σηµείο έχει µερικές παραγώγους µηδενικές και σαν λύση δίνει µηδέν στη

παραµετρική εξίσωση αλλά δεν είναι ελάχιστο ή µέγιστο τότε λέγεται σαγµατικό .

Άρα µπορούµε να πούµε ότι τα σηµεία µιας επιφάνειας είναι τριών ειδών τα µέγιστα τα

ελάχιστα και τα σαγµατικά .

Παράδειγµα 5 (ακρότατα)

Να µελετηθούν τα ακρότατα της συνάρτησης 3 3( , ) 3f x y x y xy= − +

Λύση

Αρχικά βρίσκουµε τις µερικές πρώτες παραγώγους που είναι : 2

2

3 3 0

3 3 0

x

y

f x y

f y x

= + =

= − + =

Οι µόνες λύσεις του συστήµατος είναι τα σηµεία (0,0) και (1,-1)

Τα σηµεία αυτά είναι και τα στάσιµα .

Παίρνουµε τις δεύτερες µερικές παραγώγους και είναι :

6 , 3, 6xx xy yyf x f f y= = = −

Οπότε τώρα κοιτάµε καθένα σηµείο ξεχωριστά :

Για το (0,0) έχουµε ότι :

0, 3, 0xx xy yyf f f= = = και 2

xx yy xyf f f< άρα το σηµείο (0,0) είναι σαγµατικό.

Για το (1,-1) έχουµε ότι :

6, 3, 6xx xy yyf f f= = = και 2

xx yy xyf f f> άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο στο σηµείο αυτό.

5.5 ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ( LAGRANGE)

Τα ακρότατα που µελετήσαµε µέχρι τώρα λέγονται ελευθέρα δηλαδή είναι ανεξάρτητες

οι µεταβλητές µεταξύ τους που όµως αυτό δε συµβαίνει πάντα (ποτέ σχεδόν δε

συµβαίνει) αλλά συµβαίνει να συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις. Τότε λέµε ότι έχουµε

πρόβληµα ακραίων τιµών δεσµευµένων. Έχουµε κάποιες περιπτώσεις που µπορούµε να

διακρίνουµε αλλά θα δούµε τις δυο βασικές :

ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ

1ης

ΤΑΞΗΣ 0x y

f f= = 0x y

f f= =

2ης

ΤΑΞΗΣ 2

, 0xx yy

xx yy xy

f f

and

f f f

≺

i

2

, 0xx yy

xx yy xy

f f

and

f f f

i


1η περίπτωση

Έστω η συνάρτηση ( , )f f x y= και µε περιορισµό ότι οι µεταβλητές ακολουθούν τη

καµπύλη ( , )g x y c= .

Εφαρµόζοντας το θεώρηµα των πλεγµένων έχω ότι τα στάσιµα σηµεία είναι αυτά όπου

0x y y xf g f g− = άρα το σύνολο των στάσιµων σηµείων της συνάρτησης ( , )f f x y=

µε το περιορισµό ( , ) , ( )g x y c y y x= = δίνεται από τις εξισώσεις :

x x

y y

f g

f g

f g

λ

λ

λ

∇ = ∇ ⇔

= =

Η µεταβλητή λ λέγεται πολλαπλασιαστής του LAGRANGE και η τιµή της

προσδιορίζεται σε κάθε δεσµευµένο στάσιµο σηµείο από το σύστηµα των εξισώσεων.

2η περίπτωση

Είναι και η γενική περίπτωση όπου έχουµε n µεταβλητές να ικανοποιούν m

περιορισµούς .

Θα πάρουµε όµως την απλή περίπτωση µε 2 και µε 3 µεταβλητές .

Αν ( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x yλ λ= + τότε θεωρούµε την ορίζουσα για το σηµείο

0 0( , )P x y .

2 2

__ __

( , , ) __ __

__ ___ 0

xx xy x

xy yy y yy x xx y

x y

F F g

D x y F F g F g F g

g g

λ = = −

1. Αν D είναι θετική τότε η ( , )f x y παρουσιάζει δεσµευµένο τοπικό µέγιστο για το

σηµείο.

2. Αν η D είναι αρνητική τότε η ( , )f x y παρουσιάζει δεσµευµένο τοπικό ελάχιστο

για το σηµείο .

Παράδειγµα 6 (LAGRANGE)

Να µελετηθούν τα ακρότατα της συνάρτησης ( , )f x y xy= µε τη συνθήκη

( , ) : 1g x y x y+ =

Λύση

∆ηµιουργούµε τη συνάρτηση ( , , ) ( 1)F x y xy x yλ λ= + + − και βρίσκουµε τις µερικές

παραγώγους που είναι :


1

x

y

F y

F x

F x yλ

λ

λ

= +

= + = + −

και λύνοντας το σύστηµα αυτό ίσο µε µηδέν και άγνωστους τα Χ,Υ και λ

έχω ότι οι λύσεις είναι : 1/ 2

1/ 2

x y

λ= =

= −

και για τις τιµές αυτές έχω τις δεύτερες

παραγώγους 0

1

xx yy

xy yx

F F

F F

= =

= = άρα παίρνω τη ορίζουσα LaGrange και είναι :

__ __ 0 __1__1

__ __ 1__ 0 __1 2 0

1__1__ 0__ ___ 0

xx xy x

yx yy y

x y

F F g

D F F g

g g

= = = >

άρα έχω τοπικό µέγιστο στο σηµείο (½ , ½) και µε τιµή της συνάρτησης max 1/ 4f = .



ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ – ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Σε ένα δέντρο παρουσιάζεται η ανάλυση των φαινοµένων .

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ- ΜΟΝΤΕΛΟ

ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΤΙΚΟ (ακριβής περιγραφή

φαινοµένου)

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ (προσεγγιστική

περιγραφή)

ΤΥΠΟΥ Α

ΤΥΠΟΥ Β ∆υναµικά

Υποδείγµατα

ΑΠΛΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΧΡΟΝΟΥ

∆ΙΑΚΡΙΤΟΥ

ΧΡΟΝΟΥ

ΣΥΝΕΧΟΥΣ

ΧΡΟΝΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

∆ΙΑΦΟΡΩΝ

∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


Τα τύπου Α είναι συνάρτηση του χρόνου απλή δηλαδή ( )tY f t= όπου Υ η κατάσταση

συστήµατος φαινοµένου στιγµής t , t o χρόνος διακριτός και συνεχής και f ο

µετασχηµατισµός. Τέτοιες συναρτήσεις είναι οι σταθερές , οι πολυωνυµικές , οι ρητές ,

τριγωνοµετρικές κ.α.

Η λύση τους έχει την εξής λογική σειρά :

Α) Προσδιορίζουµε την οικογένεια υποδειγµάτων

Β) Εκτίµηση παραµέτρων υποδείγµατος

Μας ενδιαφέρουν όµως τα δυναµικά συστήµατα

6.1 ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΓΕΝΙΚΑ

Στα δυναµικά συστήµατα θέλουµε να περιγράψουµε ρητά µέσα στο χρόνο τις µεταβολές

(τη κίνηση) δηλαδή τη δυναµική κίνηση του συστήµατος ( )tY f t= . Πολλές φορές είναι

πιο εύκολο να περιγράψουµε τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος tY σε όρους

Νόµου κίνησης του συστήµατος .

Νόµος Κίνησης του Συστήµατος

Είναι ο τρόπος , οι όροι , (κατάσταση) µε τον οποίο µεταβάλλεται το σύστηµα στο

πέρασµα του χρόνου σαν συνάρτηση προγενέστερων καταστάσεων του.

Μια τέτοια εξίσωση ονοµάζεται Εξίσωση ∆ιαφορών.

Αυτές οι εξισώσεις δε περιγράφουν ρητά τη πορεία του συστήµατος tY στο χρόνο αλλά

το πώς το σύστηµα εξαρτάται από προηγούµενες καταστάσεις του. Με άλλα λόγια η

κίνηση στο χρόνο αποτελεί τη λύση.

Η λύση µιας τέτοιας εξίσωσης διαφορών είναι µια συνάρτηση χρόνου που επαληθεύει

την εξίσωση διαφορών δηλαδή είναι µια εξίσωση της µορφής :

1 1 ( )t t tY a Y Y f tΛΥΣΗ

−= → =

Μπορούµε να διακρίνουµε περιπτώσεις ανάλογα µε το είδος (βαθµός) της εξίσωσης.

6.1.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

Έστω ο νόµος της κίνησης που µας ενδιαφέρει να είναι :

1t tY aY+ =

Μας ενδιαφέρει να µελετήσουµε και να απαντήσουµε στα ερωτήµατα όπως :

Α) Τι κίνηση του tY στο χρόνο συνεπάγεται η παραπάνω εξίσωση? Για να δώσουµε

απάντηση θέλουµε πληροφορίες .

Β) Ποια είναι η αρχική κατάσταση του συστήµατος 0Y ?

Γ) Προς τα πού πηγαίνει το σύστηµα όσο περνάει ο χρόνος δηλαδή όσο περνάει ο χρόνος

το σύστηµα tY συγκλίνει σε µια κατάσταση ισορροπίας Y ή αποκλίνει?


Θεώρηση Του Συστήµατος

Θεωρούµε αρχικά ως αρχική τιµή του συστήµατος τη τιµή 0Y τότε βλέπουµε κατά σειρά

ότι

1 0

2

2 1 0

.......

t

t

Y aY

Y aY a Y

Y a Y

− =

− = =

−

− =

Η λύση του συστήµατος της εξίσωσης διαφορών 1ου

βαθµού είναι : 0

t

tY a Y=

Τώρα έχουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις :

- Αν | | 1a ≺ έχω σύγκλιση στο µηδέν (0). Επειδή έχω λοιπόν δυο πεδία για το 0a

βλέπουµε ότι :

Α) Αν 01 0a− ≺ ≺ οι τιµές θα εναλλάσσονται µεταξύ θετικών και αρνητικών και

θα µικραίνουν όσο προχωρεί στο χρόνο

Β) Αν 00 1a≺ ≺ οι τιµές έχουν το ίδιο πρόσηµο (ανάλογα µε αυτό της

0Y ) και

τείνουν µονότονα στο 0


- Αν | | 1a τότε έχω απόκλιση δηλαδή η ακολουθία είναι explosive


- Αν 0 1a = ± τότε είναι


Σύστηµα Πληθυσµού- Υπόθεση Malthus

Ένα κλασικό παράδειγµα είναι το σύστηµα του πληθυσµού. Θεωρούµε ότι το σύστηµα

εκφράζεται από την εξίσωση 1ου

βαθµού 1( )t tDp f p −= και επειδή είναι ανάλογη έχω ότι

για κάποιο κ είναι 1t tDp kp −= .

Η διαχρονική εξέλιξη του συστήµατος αυτού είναι :

1 1 1

1( 1)

t t t t t

t t

Dp kp p p kp

p k p

− − −

−

= ⇒ − = ⇒

= +

Άρα η λύση αυτού του συστήµατος είναι : 0( 1) t

tp k p= +

Αν 0k > τότε ( )1 1k + > και η χρονοσειρα αυξάνει συνεχώς (δεν υπάρχει σηµείο

ισορροπίας) .

Αν 0k < τότε 1 1k + < και η χρονοσειρά µειώνεται συνεχώς δηλαδή η ισορροπία είναι

προς εξαφάνιση .

6.1.2 ΕΞΙΣΩΣΗ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ 1ου

ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΟΡΟ

Έστω τώρα ο νόµος της κίνησης που µας ενδιαφέρει να είναι :

1n nY aX b+ = +

Αναπτύσσοντας όπως στο προηγούµενο έχουµε ότι (τώρα δείχνουµε από το n όρο και

κατά κάτω είναι το ίδιο πράγµα) .


1

2 2

2 2 2

2 3 2

3 3

3 2 4 3 2

( ) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

( ) ( 1) ( 1)

n

n n n

n

n n

aX b

a aX b b a X ab b a X b aY

a aX b b a a X b a a

a aX b b a a a X b a a a

−

− − −

− −

+

+ + = + + = + +=

+ + + = + + + + + + + = + + + +

Και γενικά καταλήγουµε ότι ο γενικός τύπος θα είναι ο

1 2

0 ( ...... 1)n n n

nY a X b a a a− −= + + + + +

Παίρνουµε τώρα περιπτώσεις

- Για α = 1 έχω ότι 0nY X b n= + i

- Για 1a ≠ έχω ότι 1 2

0 0

1( .... 1) ( )

1

nn n n n

n

aY a X b a a a a X b

a

− − −= + + + + + =

−

Η λύση της εξίσωσης αυτής 1ου

βαθµού µε σταθερό όρο είναι αυτές παραπάνω δηλαδή

ΛΥΣΕΙΣ 1ου

ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ

- 0nY X b n= + i για α = 1

- 0

1( ), 1

1

nn

n

aY a X b a

a

−= ≠

−

6.2 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ – ΣΥΓΚΛΙΣΗ

Μια από τις πιο βασικές ιδιότητες των εξισώσεων διαφορών είναι ότι συχνά υπάρχει µια

τιµή στην οποία το δυναµικό σύστηµα γίνεται στάσιµο δηλαδή έχω ότι 1t tY Y Y+ = = µε

Y να είναι µια τιµή ισορροπίας

Σε µια γραµµική εξίσωση διαφορών 1ου

βαθµού και αυτόνοµη υπάρχει πάντα µια

στάσιµη τιµή για 1a ≠

Έστω λοιπόν το υπόδειγµα 1t tY aY b−= + και αντικαθιστώ µε τη τιµή ισορροπίας τότε

έχω

1

bY aY b Y

a= + ⇒ =

−

Τότε πηγαίνοντας στο σύστηµα µας µε τη τιµή ισορροπίας γνωστή έχω ότι η λύση του

συστήµατος µε τη τιµή ισορροπίας είναι η


1( )t t

Y Y a Y Y−− = −

Με αλλαγή µεταβλητών έχω ότι έστω t tX Y Y= − άρα γίνεται

1 0

t

t t tX aX X a XΛΥΣΗ

−= → = οπότε και η λύση του αρχικού θα είναι

0( )t

tY Y a Y Y− = − ⇔

0( )1 1

t

t

b bY a Y

a a= + −

− −

Αυτή είναι και η γενικευµένη λύση του συστήµατος

Παρατηρούµε ότι η Σύγκλιση ή η Απόκλιση εξαρτάται εντελώς από τον όρο 1

ta αφού

είναι ο µόνος που εξαρτάται από το χρόνο t

Η απόκλιση από την κατάσταση του συστήµατος είναι ανάλογη από την απόκλιση της

αρχικής τιµής.

- Αν 1 0ta → όσο t →∞ τότε η 0

11t

aY

a

ΣΥΓΚΛΙΣΗ→−

- Αν 1

ta →∞ όσο t →∞ τότε η tY αποκλίνει

Άρα πρέπει να γνωρίζουµε τη συµπεριφορά του 1

ta όσο t →∞

Γενικά χρειαζόµαστε να γνωρίζουµε πληροφορία για το 1a και το σηµείο αρχικής τιµής


Και


6.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ

Περνάµε στη περίπτωση των εξισώσεων διαφορών µη γραµµικής µορφής.

Αυτές έχουν τη µορφή 1

a

t tY Y+ = .

Υποθέτω ότι για την ισορροπία είναι η τιµή Y όπου 1t tY Y Y+ = = .

Ο σκοπός είναι να δείξουµε ότι συγκλίνει σε ισορροπία η tY .

- Αν συγκλίνει τότε ανεξάρτητα από την αρχική συνθήκη 0Y θα οδηγεί (η διαδροµή του)

στο Y .

- Αν δεν συγκλίνει τότε το ενδιαφέρον µας είναι να δούµε εάν αποκλίνει τελικά ή αν έχει

κυκλική ή χαοτική συµπεριφορά .

Έχω τη µορφή 1

a

t tY Y+ = και για τη τιµή ισορροπίας Y καταλήγω να έχω ότι

0

1

aY

Y YY

== ⇒

=.

Όταν λοιπόν το σύστηµα έχει αυτές τις τιµές θα παραµείνει στις τιµές αυτές για πάντα.

Μας ενδιαφέρει να γνωρίζουµε ποια τιµή από τις δυο θα έχουµε δηλαδή σε ποια από τις

δυο αυτές τιµές συγκλίνει (αν συγκλίνει) .

Το εργαλείο που χρησιµοποιούµε είναι το Phase Diagram που δείχνει την διαχρονική

εξέλιξη ενός συστήµατος προς τον εαυτό του .


PHASE DIAGRAM

Συµπέρασµα

Eνα PD µιας Ε∆ είναι το γράφηµα της 1tY + έναντι της

tY δηλαδή του µετασχηµατισµού f.

Τα σηµεία Steady-state (ισορροπίας) θα βρίσκονται στη τοµή της ( )tf Y µε την ευθεία

45ο γιατί σε αυτή την ευθεία έχουµε 1t tY Y += .

Αν λοιπόν 1/ 2a = και αρχική τιµή 1/ 2 επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία µέχρι τη

στάσιµη τιµή 1Y = . Συµπερασµατικά βλέπουµε ότι η tY µοιάζει να αποκλίνει από το

σηµείο 0Y = αλλά συγκλίνει στο σηµείο 1Y = ξεκινώντας από µια οποιαδήποτε τιµή

00 1Y≺ ≺ .

Στη συνέχεια ελέγχουµε τη κίνηση του συστήµατος tY δεξιά του σηµείου ισορροπίας

1Y = π.χ. µια τιµή 0,5 όπου παρατηρούµε ότι το σύστηµα συγκλίνει στη τιµή 1.

Συµπερασµατικά λοιπόν για οποιαδήποτε αρχική τιµή 0Y το σύστηµα tY µοιάζει να

συγκλίνει στη τιµή Υ= 1 έτσι ώστε να είναι µια σταθερή ισορροπία ενώ αντίθετα το

σηµείο Υ= 0 είναι µια ασταθής ισορροπία όπου και το σύστηµα tY αποκλίνει του µηδέν.


Έστω 2

1t tY Y+ = και 0 0.5Y =

Το σύστηµα αποκλίνει για 1Y = και συγκλίνει για 0Y = µε 0 0.5Y =


Με 0 1.5Y = το σύστηµα αποκλίνει του 1 και αυξάνει µονότονα

Συµπερασµατικά 1,

0. __ _

Y

Y

ασταθης

τοπικα σταθερη ισορροπια

=

=

Θεώρηµα 1ο

Για κάθε σηµείο ισορροπίας για οποιαδήποτε αυτόνοµη Ε∆ 1ης

τάξης µη γραµµικής είναι

τοπικά σταθερό αν η απόλυτη τιµή της κλίσης είναι | ( ) | 1f Y′ ≺ και ασταθής αλλού άρα

έχουµε ότι : 1

1 1( )a a

t t t tY Y f Y aY −+ +′= ⇒ = και για τις τιµές της ισορροπίας έχουµε ότι

11 | | 1 | | 1

a

tY aY a−= ⇒ ⇒≺ ≺ για σταθερή ισορροπία στο σηµείο 1

0 | | 1Y a= ⇒ απροσδιόριστο


Αν

1

1 int

(0) 0, 10

( ) (0) ,0 1

1 (1) 1 __ 1 1

locally

stable

stationarya a

t t t t po s

locally

stable

f aY

Y Y f Y aY f

Y f a Y if a

απροσδιοριστο α−+

′ = →= ⇒

′ ′= ⇒ = → = < < ′= → = ⇒ = → −

≺ ≺

Με άλλα λόγια η tY συγκλίνει στο 0 για 1tY < αλλά δε συγκλίνει στο µηδέν για 1tY ≥ .

Θεώρηµα 2ο

Θα παρατηρήσουµε ταλαντώσεις στο tY σύστηµα αν η παράγωγος f ′ είναι αρνητική

0tY∀ > και το σύστηµα θα κινείται µονότονα αν η παράγωγος είναι θετική 0tY∀ > .

(τα θεωρήµατα εφαρµόζονται σε γραµµικές και µη γραµµικές αλλά το θεώρηµα 2 δεν

εφαρµόζεται αν η παράγωγος αλλάζει πρόσηµο)



ΣΥΝΗΘΕΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Σαν ∆Ε εννοούµε ένα µαθηµατικό πρότυπο όπου παίρνει τη µορφή µιας συναρτησιακής

σχέσης που περιέχει µια άγνωστη συνάρτηση και ορισµένες παραγώγους αυτής. Η

σύγκριση των λύσεων ή των ποιοτικών ιδιοτήτων των λύσεων των ∆Ε είναι αυτό που

καθορίζει τη πιστότητα του µαθηµατικού πρότυπου και τη µελέτη ενός συγκεκριµένου

φαινοµένου .

Στην οικονοµία αντιπροσωπεύει προβλήµατα που αφορούν ανάλυση των οικονοµικών

θεωριών , µελέτη σύγχρονων µεθόδων καλλιέργειας , τεχνολογικά επιτεύγµατα στην

βιοµηχανία κ.α.

7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣ

Θεωρούµε τη συνάρτηση µιας µεταβλητής ( )y y x= και να έχει παραγώγους τις 2

( )

2( ) , ( ) ,............., ( )

nn

n

dy d y d yy x y x y x

dx dx dx′ ′′= = =

Η σχέση της µορφής :

( )( , , , ,...... ) 0nf x y y y y′ ′′ =

Ονοµάζεται ∆ιαφορική Εξίσωση. Περιέχει τουλάχιστον µια από τις παραγώγους χωρίς

να είναι απαραίτητο να περιέχει τα Χ,Υ .

ΤΑΞΗ

Ονοµάζουµε τάξη µιας ∆Ε τη τάξη της µεγαλύτερης παραγώγου που εµφανίζεται στην

εξίσωση δηλαδή όταν έχω πρώτη παράγωγο είναι 1ης

τάξης , δεύτερη παράγωγο είναι 2ης

τάξης κ.ο.κ.

ΒΑΘΜΟΣ

Ονοµάζουµε βαθµό τη µεγαλύτερη δύναµη της τάξεως της ∆.Ε .

∆ΙΑΦΟΡΑ ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΑΞΗΣ

Έστω ότι έχουµε µια ∆Ε µιας τάξης τότε αν η εξίσωση είναι : 2 5 6( ) ( ) 0y xy y y′′′ ′+ + + =

και τότε λέµε ότι είναι τάξης 3 και βαθµού 2.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ∆Ε

Είναι η ∆Ε εκείνη που είναι πολυώνυµο 1ου

βαθµού κάποιας τάξης όπως για παράδειγµα

η 0y y yx′′ ′+ + = . Είναι µεν 2ης

τάξης αλλά 1ου

βαθµού άρα είναι γραµµική . Η γενική

µορφή µιας γραµµικής ∆Ε είναι : ( ) ( 1)

1 1 0( ) ( ) ...... ( ) ( ) ( ) 0n n

n nf x y f x y f x y f x y f x−

− ′+ + + + + =i i i i

Όλες οι f συναρτήσεις είναι κάποιες συναρτήσεις του Χ (δεν περιέχουν παράγωγο του Υ

και το Υ).


ΠΟΙΟΤΙΚΗ – ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ∆Ε

Η πρώτη έννοια της ποιοτικής θεωρίας είναι να έχουµε καλά τοποθετηµένο ένα

πρόβληµα µιας ∆Ε. Εννοούµε δηλαδή ότι πρέπει να έχουµε υπόψη µας και να ξέρουµε

µερικές παραµέτρους όπως :

- το πρόβληµα έχει λύση ακόµα και αν δε µπορούµε να τη βρούµε?

- Αν έχει λύση είναι µια ή πολλές?

- Αν είναι µοναδική πως ξέρουµε ότι µικρές µεταβολές στις αρχικές συνθήκες

επιφέρουν µικρές µεταβολές στη λύση (δηλαδή η λύση είναι συνεχής συνάρτηση

των αρχικών συνθηκών)?

- Πρόβληµα ευστάθειας – µοναδικότητας – ύπαρξης .

Άρα λοιπόν ορίζουµε ότι ένα πρόβληµα είναι καλά τοποθετηµένο αν έχει µια λύση

µοναδική και είναι συνεχής συνάρτηση των βοηθητικών συνθηκών του. Η εύρεση

µεθόδων για τον αναλυτικό υπολογισµό µιας ∆Ε η της προσεγγιστικής αυτής αποτελεί

την ποσοτική θεωρία των ∆Ε.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ∆Ε

Είναι ο τρόπος που από συνάρτηση κατασκευάζω τη ∆Ε . Ο τρόπος είναι ο ακόλουθος :

Θεωρώ τη συνάρτηση 1 2( , , ,... )ny y x c c c= µε τα c να είναι αυθαίρετες σταθερές.

Παραγωγίζω n φορές και απαλείφω επίσης τις σταθερές κατά µέλη οπότε προκύπτει η

εξίσωση ( )( , , , ,...... ) 0n

f x y y y y′ ′′ = .


Να κατασκευαστεί η ∆Ε για τη συνάρτηση 2 3

1 2y c x c x= +

Λύση

Παραγωγίζω διαδοχικά δυο φορές και έχω : 2

1 22 3y c x c x′ = + και 1 22 6y c c x′′ = + και λύνω ως προς τα c και έχω (ως σύστηµα) :

1

2

2

y xyc

x

′ ′′−= και

2 23

xy yc

x

′′ ′−=

Άρα η ∆Ε είναι η 2 3 2

1 2 4 6 0y c x c x x y xy y′′ ′= + ⇒ − + =

ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ∆Ε

Η γενική λύση µιας ∆Ε είναι η λύση µετά την ολοκλήρωση της δηλαδή για τη εξίσωση ( )( , , , ,...... ) 0nf x y y y y′ ′′ = η λύση είναι µια συνάρτηση Υ=Υ(Χ) που ικανοποιεί την

εξίσωση αυτή .


ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΧΕΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

• 1( )a ax ax −′ =

• ( )x x

e e′ =

• ( )sin cosx x′ =

• ( )cos sinx x′ = −

• ( ) 1ln x

x

′ =

• ( ) 2

1arctan

1x

x

′ =+

• ( )2

1arcsin

1x

x

′ =−

• cos( )2

x xe ehx

−+=

• sin( )2

x xe ehx

−−=

• ( ) lnx xa a a′ =

• dy dy dt

dx dt dx=

• ∆ιαφορικό ( ) ( )y f x dy f x dx′= ⇒ =

ΒΑΣΙΚΑ ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

• 11

1

a ax dx x ca

+= ++∫

• 1

ln | |dx x cx

= +∫

• x xe dx e c= +∫

• cos sinx dx x c⋅ = +∫

• sin cosx dx x c⋅ = − +∫


• 1

ln | |dx x a cx a

= − +−∫

• 2

1arctan

1dx x c

x= +

+∫

• 2

1arcsin

1dx x c

x= +

−∫

• 1

ln

x xa dx a c

a= +∫

• Παραγωγιση ορισµένου ολοκληρώµατος ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a= −∫

• Παραγωγιση ορισµένου µε

µεταβλητότητα ( ) [ ( ) ( )] ( )

t

a

d df x dx F b F a f t

dt dt= − =∫

• Κατά παράγοντες

b

a

f gdx fg gdf= −∫ ∫i

7.2 ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ

Η ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Η γενική µορφή µιας ∆Ε 1ης

τάξης είναι η ( , , ) 0F x y y′ = ή αλλιώς ( , )dy

f x ydx

= ή

αλλιώς ( , ) ( , ) 0A x y dx B x y dy+ = . Εξετάζουµε µερικές µορφές εµφάνισης της ∆Ε

∆Ε ΜΟΡΦΗΣ

Η µορφή της είναι : ( )y f x′ = . Λύνεται µε απλή ολοκλήρωση γιατί δε περιέχει τη

συνάρτηση Υ .

Παράδειγµα

Αν 1

yx

′ = η ∆Ε τότε έχω 1

ln | |y dx c x cx

= + = +∫

ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Έχουν τη µορφή ( ) ( ) 0A x dx B y dy+ = και η λύση της δίνεται µε απλή ολοκλήρωση

κάθε µεταβλητής δηλαδή η λύση είναι ( ) ( )A x dx B y dy C+ =∫ ∫


Να λυθεί η ∆Ε 2( 1)y y x′ = +

Λύση

Είναι χωριζόµενων µεταβλητών άρα τη φέρνω στη µορφή που θέλω για να ολοκληρώσω


(πως το καταλαβαίνουµε αυτό? Βασικά κοιτάµε και προσπαθούµε να έχουµε µια

εξίσωση όπου όλα τα Υ µε παραγώγους και εκθέτες να είναι από τη µια πλευρά της

ισότητας και όλα τα Χ οµοίως από την άλλη εµού και το χωριζόµενων µεταβλητών).

Είναι

2 2

2

2

( 1) ( 1)

( 1)1

dyy y x y x

dx

dydy y xdx xdx

y

′ = + ⇒ = + ⇒

= + ⇒ =+

∆ηλαδή εδώ το Α και το Β είναι τα 2

1( ) , ( )

1A y B x x

y= = −

+ άρα η λύση είναι η :

21 1arctan

1 2dy xdx C y x C

y+ − = ⇒ − =

+∫ ∫

7.2.1 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ∆Ε

Αρχικά να δώσουµε έναν ορισµό που είναι απαραίτητος

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Οµογενείς είναι οι συναρτήσεις που αν τις πολλαπλασιάσουµε µε έναν αριθµό τότε η

συνάρτηση µεταβάλλεται κατά αναλογία του αριθµού αυτού δηλαδή ισχύει ότι

( , ) ( , )nf kx ky k f x y= . Ανάλογα τον εκθέτη του κ αυτή είναι και η τάξη (βαθµός) της

συνάρτησης. Έστω λοιπόν ότι έχουµε τώρα µια ∆Ε οµογενή τότε ο τρόπος λύσης είναι ο

εξής :

Θεωρούµε την αντικατάσταση ( )y u x x= και την ανάγουµε σε άγνωστους το x και το

u(x) και µετασχηµατίζοντας το dy καταλήγουµε σε χωριζόµενων µεταβλητών άρα

έχουµε την τελική και µε αντικατάσταση στη αρχική προκύπτει η λύση που είναι και η

γενική .


Να λυθεί η ∆Ε 2 2( ) 2 0x y dx xydy+ − =

Λύση

Αρχικά βλέπουµε ότι έχει τη µορφή ( , ) ( , ) 0A x y dx B x y dy+ = άρα είναι ∆Ε 1ης τάξης

και παρατηρούµε ότι οι Α,Β συναρτήσεις είναι οµογενείς γιατί ( , ) ( , )nA kx ky k A x y=

και ( , ) ( , )nB kx ky k B x y= όπου 2 2( , ) , ( , ) 2A x y x y B x y xy= + = − .

Άρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το µετασχηµατισµό ( )y u x x= και γίνεται :

( ) ( )dy d ux u x u dx′= = + . Άρα αντικαθιστώ στην αρχική και έχω : 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

( ) 2 ( ) 0

(1 ) 2 ( ) 0

[(1 ) 2 2 ] 0

[(1 ) 2 ] 0

x u x dx x u u x u dx

dux u dx x u x u dx

dx

x u dx uxdu u dx

x u dx uxdu

′+ − + = ⇒

+ − + = ⇒

+ − − = ⇒

− − =


Θεωρώ την αγκύλη µόνο και παρατηρώ ότι είναι χωριζόµενων µεταβλητών οπότε τη

λύνω και είναι : 2

2

2

2

(1 ) 2 0

2

1

ln ln( 1)

( 1)

u dx uxdu

dx udu

x u

x u c

x u C

− − = ⇒

= ⇒−

+ − = ⇒

− =

Άρα από αυτήν µε αντικατάσταση τη θεώρηση που έχω κάνει προκύπτει ότι 2

2( 1)

yx C

x− = δηλαδή

2yx C

x− = που είναι και η πλεγµένη λύση της ∆Ε .

∆Ε ΠΟΥ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ

Συνήθως έχουν τη µορφή 1 1 1

2 2 2

( )a x b y c

y fa x b y c

+ +′ =

+ + µε τα α, b ,c να είναι σταθερές .

Για τη λύση αυτών διακρίνουµε 3 περιπτώσεις βασικές

Α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ

Όταν 1 2 2 1 0a b a b− ≠ (παρατηρήστε ότι είναι η ορίζουσα των συντελεστών των Χ και Υ

στο κλάσµα)

Στη περίπτωση αυτή κάνουµε µετασχηµατισµό 1 1 1a x b y c u+ + = και 2 2 2a x b y c w+ + =

και προκύπτει οµογενής βρίσκουµε τη λύση ( , ) 0F u w = και αντιστοίχως της αρχικής .

Β ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ

Όταν 1 2 2 1 10 , 0a b a b b− = ≠ τότε θεωρούµε το µετασχηµατισµό 1 1a x b y u+ = και

προκύπτει χωριζόµενων µεταβλητών των u , x .

Γ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ

Όταν 1 2 2 1 20 , 0a b a b b− = ≠ τότε θεωρούµε το µετασχηµατισµό 2 2a x b y u+ = (είναι

ίδιος µε το παραπάνω) και προκύπτει µια ∆Ε χωριζόµενων µεταβλητών.


Να βρεθεί η λύση της ∆Ε 1

( 1) ( 2) 02

x yx y dx x y dy y

x y

+ +′+ + + − + + = ⇒ = −

− + +

Είναι της α µορφής όπου 1 2 2 1 0a b a b− ≠ (γιατί είναι ίσο µε -2) άρα θεωρώ την

αντικατάσταση : 1 , 2 x y u x y v+ + = − + + =

και σε διαφορικά είναι :


,

1

1

dx dy du dx dy dv

dx dy du

dx dy dv

y du

y dv

+ = − + = ⇒

+= ⇒

− +′+=

′− +

Άρα η αρχική σχέση γίνεται βάση της τελευταίας ( ) ( ) 0v u du v u dv+ + − = οµογενής απλή

µε λύση κατά τα γνωστά την 21ln | | arctan ln( 1)

2u t t c= − + + . Αντικαθιστώ στην αρχική

το v ut= και έχω ότι η λύση της αρχικής ζητούµενης είναι:

22 1 2ln | 1| arctan ln[( ) 1]

1 2 1

x y x yx y c

x y x y

− + + − + ++ + = − + +

+ + + +


Να λυθεί η ∆Ε 2 1

2 4 1

x yy

x y

− +′ =− −

Είναι της δεύτερης µορφής όπου 1 2 2 1 10 , 0a b a b b− = ≠ και θεωρούµε την

αντικατάσταση 2 , 2 4 2 x y u x y v− = − = . Με διαφοριση παίρνω ότι :

2 ,

2

dx dy du

du dxdy

− = ⇒

− +=

Άρα η ∆Ε µπορεί να γραφτεί ως εξής :

2 1 1

(2 1) 3 02 4 1 2 2 1

dy x y du dx uu du dx

dx x y u

− + − + += ⇒ = ⇒ − − − =

− − − που είναι χωριζόµενων

µεταβλητών. Με απλή ολοκλήρωση έχω τελικά ότι η γενική λύση της ∆Ε είναι η 2( 2 ) ( 2 ) 3x y x y x c− − + − − =

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ∆Ε

Έχουν τη µορφή ( ) ( )y f x y g x′ + = µε τις f , g να είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις του

x. Η γενική λύση αυτής της ∆Ε είναι το άθροισµα της οµογενούς λύσης και της ειδικής

λύσης δηλαδή :

Λύση της οµογενούς :

Θεωρώ την οµογενή αντίστοιχη ∆Ε και είναι η ( ) 0y f x y′ + = και µε ολοκλήρωση

προκύπτει ότι η λύση είναι η :

( )( )

f x dx

y x c e−∫= i

Λύση της ειδικής :

Θεωρώ την ειδική στη τιµή ισορροπίας άρα είναι η ( )

00 ( )f x dx

y y c x e−∫′ = ⇒ = i

Γενική λύση:

Είναι το άθροισµα των δυο παραπάνω δηλαδή :

( )

0( )f x dx

y x c e y−∫= +i



Να βρεθεί η λύση της 2 xy y e′ + =

Λύση

Λύνουµε πρώτα την αντίστοιχη οµογενή 22 0 xy y y ceΛΥΣΗ −′ + = → =

Και λύνουµε έπειτα την ειδική που είναι 2 3

0 0

10 2 ( )

3

x xy y c x e y e−′ = ⇒ = ⇒ = . Η γενική

λύση είναι η 2 31

2

x xy ce e

−= +

Παρατηρήσεις

- Με τον όρο αντίστοιχη οµογενής της ∆Ε δεν εννοούµε το αντίστοιχο οµογενής ∆Ε

είναι εντελώς άσχετα .

- Κατά την ειδική λύση ψάχνουµε µια συνάρτηση c(x) η οποία να ικανοποιεί την λύση

της αντίστοιχης οµογενούς και έχει γενική µορφή την ( )

0 ( )f x d x

y c x e− ∫= i και προκύπτει

αν θεωρηθεί ότι αντί για σταθερά c έχουµε πλέον συνάρτηση c(x). Αυτή η µέθοδος

προσδιορισµού της µερικής λύσης λέγεται «µέθοδος µεταβολής των σταθερών»

7.2.2 Η ∆Ε BERNULLI

H ∆Ε BERNULLI έχει τη γενική µορφή ( ) ( ) ny f x y g x y′ + = . Φυσικά το n είναι τάξης

n>2 γιατί αν είναι 0 ή 1 αναγόµαστε στις προηγούµενες περιπτώσεις .

Η εύρεση της γενικής λύσης της ∆Ε Βernulli πετυχαίνεται µε την αντικατάσταση 1

1 ny u −= και προκύπτει γραµµική α τάξης µε άγνωστη συνάρτηση την u(x).


Να λυθεί η ∆Ε 31y y y

x− =

Λύση

Είναι ∆Ε Bern. ∆ίνουµε µια απλής µορφής για να δούµε το τρόπο αλλά και σε πιο

πολύπλοκες µορφές η αντικατάσταση είναι ίδια . Θεωρώ την αντικατάσταση 1

1/ 21 3y u u−−= =

Βρίσκω το διαφορικό που είναι : 1/ 2 3/ 2( )

2

dy dy du d u du uu

dx du dx dx dx

− −

′= = = −

Αντικαθιστώ τα ,y y′ µε τα αντίστοιχα στην αρχική και προκύπτει :

1 1 21 2

2u u u u

x x′ ′− − = ⇒ + = −

Λύνω αυτή τη απλή γραµµική (οµογενής και ειδική) και προκύπτει ότι έχει λύση την

2 2( )

3u x c x x

−= −i

άρα η αντίστοιχη αρχική ∆Ε Bernulli είναι :


2 1/ 22( )

3y c x x

− −= −i

7.2.3 ∆Ε RICCATI

H ∆Ε Riccati έχει τη γενική µορφή 2( ) ( ) ( )y f x y g x y h x′ + = + και συνήθως δίνεται µια

πληροφορία για την συνάρτηση (συνήθως δίνεται µια µερική λύσης της).

Χρησιµοποιώντας αυτή τη πληροφορία κάνουµε το µετασχηµατισµό 1

my yu

= + όπου

my η µερική λύση (πληροφορία) της y και από την αντικατάσταση αυτή προκύπτει ∆Ε

γραµµική µε άγνωστο το ( )u x και λύνουµε κατά τα γνωστά .



2

1 1 , my y y y x

x x

−′ + = − + =

Λύση

Είναι ∆Ε Riccati και έχουµε τη πληροφορία µιας µερικής λύσης της συνάρτησης άρα

θεωρούµε την αντικατάσταση και παραγωγίζουµε ως προς x και είναι :

11 1my y y x

u u

−= + ⇒ = +

και παραγωγίζοντας έχω ότι 1 1

2 2dy dx duy x u u

dx dx dx

− −− −′ ′= + ⇒ = − −

Αντικαθιστώ τα ,y y′ µε τα αντίστοιχα στην αρχική και προκύπτει η 3

1u ux

′ − = που

είναι απλή γραµµική (οµογενής και ειδική) και λύνοντας την έχω ότι 3 1( )

2u x c x x= −i

Άρα η λύση της ∆Ε Riccati είναι µε απλή αντικατάσταση :

1 3 11

( )2

y x c x x− −= + −i

7.2.4 ΑΜΕΣΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΕΣ ∆Ε

Οι ∆Ε της µορφής ( , ) ( , ) 0P Q

P x y dx Q x y dyy x

ΣΥΝΘΗΚΗΣ ∂ ∂+ = → =

∂ ∂ λέγονται

άµεσα ολοκληρώσιµες ∆Ε .

Γνωρίζουµε από τη θεωρία (βλ σχετική βιβλιογραφία) ότι το πρώτο µέλος είναι το ολικό

διαφορικό µιας συνάρτησης δηλαδή ( , ) ( , ) ( , )dF x y P x y dx Q x y dy= + .

Άρα η γενική λύση της ∆Ε θα είναι η συνάρτηση ( , )F x y c=



Να λυθεί η ∆Ε 2 2( 2 ) ( ) 0x xy dx x y dy+ + + =

Λύση

Έχουµε την ∆Ε και παρατηρούµε ότι είναι της µορφής άµεσα ολοκληρώσιµη γιατί αν

θέσουµε 2 2( , ) 2 , ( , )P x y x xy Q x y x y= + = + έχουµε ότι µε µερική παραγώγιση ισχύει

2 2P Q

x xy x

∂ ∂= ⇔ =

∂ ∂

Η γενική λύση της ∆Ε είναι µια συνάρτηση ( , )F x y c= που ικανοποιεί τις σχέσεις :

2( , ) 2F

P x y x xyx

∂= = +

∂ και 2( , )

FQ x y x y

y

∂= = +

∂

Για να βρούµε τη λύση κάνουµε το εξής:

Ολοκληρώνουµε τη πρώτη ως προς x κρατώντας το y σταθερό και αντικαθιστούµε την

έκφραση που βρίσκουµε στην δεύτερη. Αναλυτικά λοιπόν είναι : Η πρώτη

ολοκληρώνεται ως προς x κρατώντας το y σταθερό . 2

3 2

( , ) ( 2 ) ( )

1( , ) ( )

3

F x y x xy dx c y

F x y x yx c y

= + + ⇔

= + +

∫

και αντικαθιστούµε αυτή στη δεύτερη σχέση και είναι

3 2 21 ( )( ( ))3

dc yx yx c y x y y

y dy

∂+ + = + ⇒ =

∂

όπου από εδώ βρίσκουµε το ( )c y που είναι 21( )

2c y y k= +

Άρα η ( , )F x y είναι : 3 2 21 1( , )

3 2F x y x yx y k c= + + + −

7.2.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ EULER

Περνάµε τώρα στη περίπτωση όπου οι ∆Ε έχουν την µορφή όπως πριν αλλά δεν ισχύει η

συνθήκη να είναι άµεσα ολοκληρώσιµες δηλαδή η ∆Ε έχει τη µορφή

( , ) ( , ) 0 KAI P QP x y dx Q x y dy

y x

∂ ∂+ = → ≠

∂ ∂

Καταρχήν δεν είναι άµεσα ολοκληρώσιµη άρα δε µπορούµε να δουλέψουµε όπως

παραπάνω. Στη πραγµατικότητα όµως ψάχνουµε µια συνάρτηση ( , )M x y ώστε να

πολλαπλασιάσουµε τη ∆Ε και από τα δυο µέλη να µας δίνει άµεσα ολοκληρώσιµη και να

ισχύει η συνθήκη δηλαδή να έχουµε τη µορφή :

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0

M P M QM x y P x y dx M x y Q x y dy

y x

ΣΥΝΘΗΚΗΣ ∂ ∂+ = → =

∂ ∂

Αυτή η συνάρτηση Μ ονοµάζεται πολλαπλασιαστής EULER της ∆Ε. Γενικά είναι ένα

πολύπλοκο πρόβληµα και βρίσκεται µόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Κάποιες από αυτές τις

περιπτώσεις είναι , η Μ να είναι συνάρτηση µόνο του x ή µόνο του y µια άλλη να είναι

συνάρτηση µιας σχέσης µεταξύ τους (π.χ. u = x+y) ή γενικά να µη δίνεται τίποτα και να


δοκιµάζουµε πειραµατικά. Θα δούµε δυο παραδείγµατα το ένα να είναι η Μ συνάρτηση

µιας µεταβλητής (έστω της x) και το άλλο να µην έχουµε πληροφορία για την Μ .


Έστω ότι δίνεται η ∆Ε ( ) 2 0x Y dx xydy+ − = και η συνάρτηση Μ είναι συνάρτηση µόνο

του x

Λύση

Παρατηρούµε ότι η δοσµένη συνάρτηση δεν είναι άµεσα ολοκληρώσιµη και γνωρίζουµε

επίσης ότι η συνάρτηση Μ είναι µόνο συναρτήσει του x

Άρα γράφεται :

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,

M P M QM x y P x y dx M x y Q x y dy

y x

∂ ∂+ = =

∂ ∂

Κάνω τις πράξεις στη συνθήκη και έχω

( , ) ( , ) ( ) 1( )

( )

M P M Q M x P Q

y x M x Q y x

′∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = −

∂ ∂ ∂ ∂(σχέση 1)

Παρατηρούµε ότι το πρώτο µέλος είναι συνάρτηση µόνο του x άρα οµοίως πρέπει να

είναι και το δεύτερο άρα αν θέσουµε το δεύτερο µέλος ίσο µε µια συνάρτηση δηλαδή

1( ) ( )

P Qf x

Q y x

∂ ∂− =

∂ ∂ (σχέση 2) είναι και αυτή συνθήκη για την ∆Ε .

Άρα οι δυο συνθήκες είναι οι σχέσεις 1,2 για την ∆Ε . Λύνουµε το πρώτο µέλος και

έχουµε λοιπόν ότι :

( )( )( ) ( )

( )

f x dxM xf x M x e

M x

′ ∫= ⇒ =

Επίσης λύνουµε την σχέση 1 να βρούµε µε τι ισούται η f και προκύπτει ότι

1 2( ) ( ) ( )

P Qf x f x

Q y x x

∂ ∂− = ⇒ = −

∂ ∂ (σχέση 3)

Άρα από τη σχέση 1 βάση της σχέσης 3 προκύπτει ότι

2( ) ( ) 2( ) ( )

( ) ( )

M x M xf x M x x

M x M x x

−′ ′= ⇒ = − ⇒ =

Αυτός είναι και ο πολλαπλασιαστής. Τον πολλαπλασιάζω στην ∆Ε και προκύπτει άµεσα

ολοκληρώσιµη ∆Ε που λύνεται κατά τα γνωστά . Τελικά η λύση της αρχικής ∆Ε είναι η

21lny x c

x− + = .


Να λυθεί η ∆Ε 2 2( ) ( ) 0y xy dx x yx dy− + + = µε τη χρήση κατάλληλου πολλαπλασιαστή

Λύση

Καταρχήν παρατηρούµε ότι δεν είναι άµεσα ολοκληρώσιµη. Όποτε ψάχνουµε

πολλαπλασιαστή Ε . Όµως δεν έχουµε καµία πληροφορία γι αυτόν. Υποθέτουµε ότι έχει

ένα πολλαπλασιαστή Ε της µορφής ( )M u όπου υ είναι µια συνάρτηση των x,y και άρα

µε αυτόν τον τρόπο θα έχω µια άµεσα ολοκληρώσιµη ∆Ε της µορφής :


( ( ), ) ( ( ), )( ) ( , ) ( ) ( , ) 0,

M u P M u QM u P x y dx M u Q x y dy

y x

∂ ∂+ = =

∂ ∂

Παίρνοντας τη συνθήκη τώρα και κάνοντας πράξεις (παραγώγιση πηλίκου) έχω τελικά

ότι :

( )

( ( ), ) ( ( ), )

( )

Q PdM u

M u P M u Q x yduu uy x M u

P Qy x

∂ ∂−

∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂∂ ∂ −∂ ∂

(σχέση 1)

(µη ξεχνάµε ότι παραγωγίζω και το υ αλυσιδωτά βάση των x,y)

Παρατηρούµε στη σχέση 1 ότι το πρώτο µέλος είναι συνάρτηση της µεταβλητής υ µόνο

άρα το ίδιο πρέπει να ισχύει και για το δεύτερο µέλος. ∆εν υπάρχει όµως πληροφορία γι

αυτό κάνουµε δόκιµες θέτοντας τη συνάρτηση υ ίση µε κάτι είτε συνάρτηση του x είτε

συνάρτηση του y είτε µιας σχέσης µεταξύ τους .

Έστω u x= τότε έχω ότι :

2

( )

4 4

( ) 1

Q PdM u

xy yx yduu uM u x yx xy

P Qy x

∂ ∂−

∂ ∂= ⇒ =

∂ ∂ − − − −−∂ ∂

όπου όµως το y δεν απλοποιείται άρα δεν µας ευκολύνει και δοκιµάζουµε άλλο.

Έστω u y=

Οµοίως αν κάνουµε τις πράξεις δεν απλοποιείται το x. ∆οκιµάζουµε εύκολες απλές

παραστάσεις των x και y µαζί .

Έστω u xy=

Τότε καταρχήν έχω ότι

,u u

y xx y

∂ ∂= =

∂ ∂ και η σχέση 1 γίνεται µετά από πράξεις

( )

2

( )

Q PdM u

x yduu uM u u

P Qy x

∂ ∂−

∂ ∂= = −

∂ ∂−

∂ ∂

που είναι συνάρτηση µόνο του υ άρα µας συµφέρει

Άρα από τη σχέση 1 προκύπτει ο πολλαπλασιαστής που είναι :

2 2 2

( )

2 1 1( )

( )

dM u

du M uM u u u x y

= − ⇒ = =

Με το πολλαπλασιαστή αυτόν η ∆Ε µετατρέπεται σε άµεσα ολοκληρώσιµη συνάρτηση

άρα µπορούµε να τη λύσουµε κατά τα γνωστά και τελικά προκύπτει ότι η γενική λύση

της είναι η 1

ln lnx y cyx

− − + =


7.2.6 ∆Ε CLAIRAUT

Έχει τη µορφή ( )y xy f y′ ′= + όπου η συνάρτηση ( )f y′ είναι µια µη µηδενική

συνάρτηση µε µεταβλητή y′ και για την επίλυση της θεωρούµε την αντικατάσταση

y p′ = άρα προκύπτει της µορφής ( )y xp f p= + . Επειδή όµως από τη σχέση y p′ =

κάνοντας τις πράξεις προκύπτει ότι ( )

( ) 0dp df p

xdx dp

+ = τελικά προκύπτει ότι p c=

σταθερά άρα η γενική λύση της θα είναι η ( )y xc f c= + .


Να λυθεί η ∆Ε s in ( )d y d y

y xd x d x

= +

Λύση

Όπως βλέπουµε είναι της µορφής Clairaut άρα θέτουµε dy

pdx

= και η δοσµένη ∆Ε

γράφεται s in ( )y x p p= + παραγωγίζω ως προς x και έχω :

s in ( ) c o s ( ) ( c o s ) 0d y d p d p d p

y x p p p x x pd x d x d x d x

= + ⇒ = + + ⇒ + = που

από αυτή έχω ότι

c o sc o s 0

s in

x px p

y x c p

= −+ = ⇒

= − + που είναι και η παραµετρική λύση

7.2.7 ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ LAGRANGE

Η ∆Ε Lagrange έχει τη µορφή ( ) ( )d y d y

y x f gd x d x

= +i (στην ουσία είναι µια πιο

γενική µορφή της CLAIRAUT) και µε τις ,f g δοσµένες συναρτήσεις. Κάνουµε

ακριβώς την ίδια αντικατάσταση όπως πριν δηλαδή y p′ = και αυτή γίνεται

__ __

( ) ( )( ) ( ) ( ( ))

x

dx df p dg py xf p g p p f p x

dp dp dp

παραγωγιζωως προς= + → − − = και προκύπτει µια

γραµµική 1ης

τάξης συνάρτηση ( )x x p= και δίνει σε παραµετρική µορφή τη λύση της

∆Ε µε παράµετρο p


Να λυθεί η ∆Ε 1

2y x yy

′= +′

Λύση

Αντικαθιστώ (βλέποντας αρχικά ότι είναι µια LaGrange) µε το y p′ = και έχω

__ __ 2

1 12 2

x

dxy xp p x

p dp p

παραγωγιζωως προς= + → + = που είναι γραµµική 1

ης τάξης (οµογενής +

ειδική) και λύνοντας την προκύπτει ότι : 2 2( ) lnOM EIx p x x cp p p− −

∆= + = +

Άρα η γενική παραµετρική λύση της ∆Ε είναι :


2 2( ) ln1

2 12

x p c p p p

y x yy x py

p

− − = +′= + ⇒ ′ = +

7.2.8 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ

Έστω ότι έχουµε µια ∆Ε ( , )y f x y′ = και µια συνθήκη ( )y a b= και ζητάµε τη λύση της

∆Ε η οποία να ικανοποιεί τη παραπάνω συνθήκη. Το πρόβληµα αυτό είναι γνωστό ως

ΠΑΤ.

Για τη λύση αυτού του προβλήµατος βρίσκουµε τη γενική λύση της ∆Ε (όπως

αναφέρθηκε παραπάνω ανάλογα τη περίπτωση) η οποία όµως γενική λύση περιέχει και

µια σταθερά c η οποία προσδιορίζεται ακριβώς µε τη συνθήκη.

Το ΠΑΤ έχει µοναδική λύση όταν στη περιοχή του σηµείου ( ),a b , η f είναι συνεχής

και η µερική της παράγωγος φραγµένη .

7.2.9 Ι∆ΙΑΖΟΥΣΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Μερικές φορές µια ∆Ε 1ης τάξης είναι δυνατόν να έχει λύσεις που δε προκύπτουν από τη

γενική λύση για ειδικές τιµές των σταθερών. Οι λύσεις αυτές ονοµάζονται

«Ι∆ΙΑΖΟΥΣΕΣ» . Θα αναφερθούµε µόνο στη µέθοδο χωρίς να επεκταθούµε παρακάτω.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ Ρ – ∆ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ

Για µια συνάρτηση ( , , )dy

F x ydx

µε αντικατάσταση y p′ = και Παραγωγίζοντας µερικώς

ως προς p κρατώντας σταθερά τα x,y να προκύπτει ότι ( , , )

0F x y p

p

∂=

∂ όπου µε

απαλοιφή του p να έχω ∆(x,y) = 0 .

Η εξίσωση αυτή λέγεται P–∆ιακρινουσα της ∆Ε και η συνάρτηση που ορίζεται σε

πλεγµένη µορφή από τη διακρίνουσα ή σε παραµετρική µε το p εφόσον ικανοποιεί την

∆Ε αποτελεί ιδιάζουσα µορφή της.

ΙΣΟΓΩΝΙΕΣ – ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ

Θεωρούµε µια συνάρτηση ( , , )F x y c όπου c µια παράµετρος η οποία για κάθε τιµή της

ορίζεται στο επίπεδο µια άλλη παραµετρική τροχιά (π.χ. για µια τιµής της ορίζεται

κύκλος για µια άλλη κύκλος άλλος οµόκεντρος µε τον αρχικό κ.τ.λ.)

Αυτές οι διάφορες τιµές του c που µας δίνουν κάποιους τέτοιους κύκλους ονοµάζεται

µονοπαραµετρικη οικογένεια . Το πρόβληµα θα διατυπώνεται ως εξής :

Αν έχουµε µια µονοπαραµετρικη οικογένεια καµπυλών ( , , )F x y c τότε θα ζητείται άλλη

οικογένεια που τέµνει τη δοσµένη υπό γωνία σταθερή (οι εφαπτόµενες της). Για τη λύση

εργαζόµαστε ως εξής : Βρίσκουµε τη ∆Ε της δοσµένης οικογένειας καµπυλών δηλαδή τη

∆Ε 1ης

τάξης που ικανοποιεί τη ∆Ε που έχουµε και στη συνέχεια κάνουµε το


µετασχηµατισµό (για να βρούµε την άλλη οικογένεια καµπυλών)

ˆtan

ˆ1 tan

dy

dy dx

dx

φ

φ

−→

+ (µε φ

τη γωνία µεταξύ τους).

Η καινούργια ∆Ε είναι επίσης 1ης

τάξης και η λύση της είναι η καινούργια

µονοπαραµετρικη οικογένεια .

Φυσικά για γωνία 90ο έχω τις ορθογώνιες τροχιές όπου στον µετασχηµατισµό είναι :

1

/

dy

dx dy dx→

7.3 ΑΠΛΗ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης

ΤΑΞΗΣ

Μετά τη µελέτη αυτή της πρακτικής λύσης των ∆Ε 1ης

τάξης που µπορεί να συναντήσει

ο αναγνώστης τίθεται το ερώτηµα του πως θα λυθεί µια δοσµένη ∆Ε όταν δεν δίνεται

καµία πληροφορία εκτός του ότι αναγνωρίζουµε αρχικώς ότι είναι γραµµική 1ης

τάξης.

Τα βασικά βήµατα που πρέπει να ακολουθηθούν είναι τα εξής :

Βήµα 1ο

Γράφουµε τη ∆Ε σε µια εκ των δυο µορφών (οποία µπορεί να βγει)

) ( , ) ( , ) 0

) ( , )

A P x y d x Q x y d y

d yB f x y

d x

+ =

=

Βήµα 2ο

Από τη µορφή Α µπορούµε να λέξουµε αν είναι :

1. Χωριζόµενων µεταβλητών όποτε η γενική λύση είναι µε απλή ολοκλήρωση

2. Οµογενής όταν οι P,Q είναι οµογενείς ίδιου βαθµού και η γενική λύση βρίσκεται

µε αντικατάσταση y=ux

3. Άµεσα ολοκληρώσιµη που αυτό συµβαίνει όταν P Q

y x

∂ ∂=

∂ ∂

Βήµα 3ο

Αν δεν είµαστε σε θέση να κάνουµε τα παραπάνω κοιτάµε αν τη φέρουµε στη µορφή Β

και τότε µπορούµε να πούµε τα εξής :

1. Αν το y εµφανίζεται µόνο σε απλή δύναµη τότε η ∆Ε είναι γραµµική

2. Αν το y εµφανίζεται σε απλή και κάποια άλλη δύναµη τότε είναι BERNOULLI

3. Αν το y εµφανίζεται σε δυνάµεις και επιπλέον δίνεται µια µερική λύση της τότε

πρόκειται για RICATTI

Βήµα 4ο

Αν από τα προηγούµενα βήµατα δε καταλήγουµε κάπου κοιτάµε για το κατάλληλο

πολλαπλασιαστή Ε (ολοκληρουν παράγοντα)


Βήµα 5ο

Αν και πάλι δεν είναι εύκολη η προσέγγιση δοκιµάζουµε αν είναι Lagrange (Clairaut)

όποτε χρησιµοποιούµε την αντικατάσταση y p′ =

Βήµα 6ο

Σε όλες τις περιπτώσεις αν έχουµε πρόβληµα αρχικών τιµών όποτε δουλεύουµε

αναλόγως

7.4 Η ΠΟΙΟΤΙΚΗ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Στις περισσότερες περιπτώσεις των µη γραµµικών περιπτώσεων που είδαµε παραπάνω

όπως είναι οι ∆Ε άµεσα ολοκληρώσιµες , οι χωριζόµενων µεταβλητών και οι

BERNULLI έχουµε δει την λύση ποσοτικά (στη διάρκεια του χρόνου t).

Μπορούµε να δώσουµε και µια ποιοτική ανάλυση τους κατά τη διαχρονική τους πορεία

(π.χ. αν συγκλίνουν) παρατηρώντας απλώς την ∆Ε ή το γράφηµα της ή ακόµα και

χρησιµοποιώντας τις ποσοτικές λύσεις τους

ΤΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΦΑΣΗΣ

Ας θεωρήσουµε µια ∆Ε 1ης

τάξης στη γενική µορφή ( )dy

f ydt

= γραµµική ή όχι. Μια

γεωµετρική της απεικόνιση αυτής της ∆Ε καλείται ∆ιάγραµµα Φάσης , , dy

O ydt

άξονες

από το οποίο παίρνουµε σηµαντικές πληροφορίες.

1. Οπουδήποτε πάνω στον οριζόντιο άξονα για 0dy

dt το y κινείται και πρέπει να

αυξάνει µε το χρόνο και από αριστερά προς τα δεξιά. Κατά αναλογία κάθε σηµείο

κάτω από τον οριζόντιο άξονα πρέπει να αντιστοιχεί σε µια αριστερή κίνηση του

y επειδή το αρνητικό πρόσηµο της παραγώγου υπονοεί µείωση του στο χρόνο.

Αυτές οι τάσεις κατεύθυνσης δίνονται µε βέλη στο διάγραµµα. Αυτά τα

αποτελέσµατα είναι ανεξάρτητα από το αλγεβρικό πρόσηµο του y και αν η

γραµµή φάσης µετακινηθεί προς τα αριστερά τα βέλη κατεύθυνσης δεν αλλάζουν.

2. Αν υπάρχει ένα επίπεδο ισορροπίας του y αυτό µπορεί να συµβεί µόνο στον

οριζόντιο άξονα 0dy

dt= όπου το y είναι στάσιµο στο χρόνο. Για να βρούµε την

ισορροπία πρέπει να θωρήσουµε µόνο τη τοµή γραµµής φάσης µε τον οριζόντιο

άξονα. Από την άλλη µεριά για να εξετάσουµε τη δυναµική ευστάθεια της

ισορροπίας θα πρέπει να δούµε αν ανεξάρτητα από την αρχική θέση του y η

γραµµή φάσης οδηγεί πάντα στη θέση ισορροπίας.

3. Οι τύποι µιας διαχρονικής πορείας µπορεί να είναι τρεις. Θέτοντας µια τιµή

ισορροπίας 0y στο πρώτο τύπο η διαχρονική πορεία δίνει ένα συνεχώς

αυξανόµενο (ή µειούµενο) y σε σχέση µε τι τιµή ισορροπίας µε απόκλιση από

αυτήν και τείνει µε αύξοντα ρυθµό επειδή καθώς ακολουθούµε τα βέλη στη

γραµµή φάσης αποκλίνουµε περισσότερο από τον οριζόντιο άξονα , στο δεύτερο

τύπο η διαχρονική πορεία τείνει συνεχώς να συγκλίνει προς τη τιµή ισορροπίας

αν ακολουθήσουµε τα βέλη της γραµµής φάσης και στο τρίτο τύπο να έχω µια


περιοδικότητα στη διαχρονική πορεία γύρω από τη τιµή ισορροπίας. Γενικά όµως

µπορούµε να πούµε ότι το κλειδί για τη δυναµική ευστάθεια της ισορροπίας ή τη

σύγκλιση της διαχρονικής πορείας οφείλεται στη κλίση της γραµµής φάσης στο

σηµείο τοµής της. Μια θετική κλίση λοιπόν παράγει δυναµική αστάθεια και µια

αρνητική κλίση µια δυναµική ευστάθεια. Στη περιοδικότητα όµως έχουµε ότι το

dy

dtεναλλάσσει συνεχώς τιµές µεταξύ αρνητικού και θετικού άξονα και στα δυο

σηµεία τοµής της η γραµµή φάσης έχει άπειρη κλίση (κάθετες στον οριζόντιο

άξονα). Αυτό σηµαίνει ότι µόνο µερικές τοµές µεταξύ µιας γραµµής φάσης είναι

θέσεις ισορροπίας.

Συµπερασµατικά λοιπόν θα λέγαµε ότι για τη µελέτη της δυναµικής ευσταθείας της

ισορροπίας έχει κανείς δυνατότητα επιλογής είτε να βρει τη διαχρονική πορεία είτε να τη

συµπεράνει από τη γραµµή φάσης της. Ένα τέτοιο µοντέλο είναι το µοντέλο µεγένθυσης

του Solow.


Έστω Κ το κεφαλαίο Ι η επένδυση και δ ο ρυθµός απόσβεσης να συνδέονται µε την

σχέση : ( ) ( ) ( )K t I t K tδ′ = − Αυτή η ∆Ε µας λέει ότι ο ρυθµός µεταβολής του κεφαλαίου

ισούται µε τις Νέες επενδύσεις (Ι) µείον την απόσβεση του υπάρχοντος κεφαλαίου (δΚ).

Αν λοιπόν γνωρίζουµε την εξέλιξη των επενδύσεων Ι , και δοθέντος της παραπάνω

σχέση για να προσδιορίσουµε το µέγεθος του κεφαλαίου (capital stoke) σε κάποιο σηµείο

του χρόνου αρκεί να λύσουµε τη παρακάτω ∆Ε . Η λύση της ∆Ε αυτής είναι η

( )t I

K t Ceδ

δ−= + που µας λέει ότι όταν το αποθεµατικό κεφαλαίο φτάσει στο επίπεδο

του Ι/δ (η απόσβεση θα ισούται µε τις νέες επενδύσεις) τότε δε θα υπάρχει παραπέρα

αύξηση ή µείωση στο ύψος του αποθεµατικού κεφαλαίου .

Έχουµε βρει ότι 0( ) ( )

tI IK t K e

δ

δ δ−= − + όπου η Ι/δ είναι η τιµή ισορροπίας του

αποθέµατος κεφαλαίου .

Αφού δ>0 τότε υπάρχει σύγκλιση δηλαδή ( )I

K tδ

→


ΤΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ WALRASIAN ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΙΜΩΝ

Θεωρούµε τα γνωστά από την οικονοµική θεωρία των συναρτήσεων προσφοράς και

ζήτησης

Έχω λοιπόν ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι οι ( ) ( )

( ) ( )

D

S

q t A Bp t

q t F Gp t

= +

= + µε A,B,F,G>0

Ισορροπία έχω όταν οι συναρτήσεις είναι ίσες άρα :

( ) ( )D S A Fq t q t A Bp F Gp p

G B

−= ⇒ + = + ⇒ =

−

Για κάποιο t λοιπόν θα συµβαίνει αυτό. Αν όµως ( )p t p≠ τότε όσο αλλάζει το t αλλάζει

και η p(t). Με ποιο τρόπο?

Πρέπει να βρούµε το Νόµο κίνησης της τιµής και παριστάνουµε τους ρυθµούς

µεταβολής µιας ποσότητας που είναι συνάρτηση συνεχούς χρόνου µε τη παράγωγο.

Άρα ο Νόµος Κίνησης της τιµής είναι : ( )D Sdp

p a q qdt

′= = − δηλαδή η ταχύτητα

µεταβολής της τιµής είναι ανάλογη του «κενού» προσφοράς και ζήτησης και το a

προσδιορίζει τη ταχύτητα προσαρµογής της τιµής.

Θα έχουµε : 0 D Sp q q′ ⇒ ( αύξηση τιµών) και 0 D Sp q q′ ⇒≺ ≺ (πτώση τιµών)

Βέβαια αναµένουµε να έχει αρνητική κλίση η Dq δηλαδή 0B < και θετική η Sq δηλαδή

0G > . ∆ε θέτουµε όµως περιορισµούς. Θα ψάξουµε να βρούµε τι συµβαίνει , δηλαδή


ποιοι είναι εκείνοι οι περιορισµοί στο Β και στο G που πρέπει να ισχύουν έτσι ώστε η

τιµή να συγκλίνει στη τιµή ισορροπίας?

Είναι ( ) ( ) ( )D Sp a q q p a B G p a A F′ ′= − ⇒ − − = − έχω ∆Ε άρα η λύση της είναι :

( ) ( )

0( ) [ ]a B G t a G B tA F

p t Ce p p e pG B

− − −−= + = − +

− που ο σταθερός όρος είναι η τιµή

ισορροπίας και συµπίπτει . Συγκλίνει η τιµή αγοράς στη τιµή ισορροπίας?

Θα πρέπει 0G B− > αφού 0a > . Μόνο τότε ο εκθέτης είναι αρνητικός και θα συγκλίνει

Ικανοποιείται αυτή η συνθήκη? Ναι όταν 0B < και 0G > .

ΤΟ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ΜΕΓΕΝΘΥΣΗΣ ΤΟΥ SOLOW

To υπόδειγµα µεγένθυσης του SOLOW έχει σκοπό να δείξει ότι η πορεία µεγενθυσης

στο υπόδειγµα του DOMAR είναι πρώτα από όλα αποτέλεσµα της ειδικής υπόθεσης

σχετικά µε τη συνάρτηση παραγωγής και ότι κάτω από συνθήκες η ανάγκη ισορροπίας

δε µπορεί να µην υπάρχει.

Στο υπόδειγµα του DOMAR το προϊόν εκφράζεται σαν µια συνάρτηση µόνο του

κεφαλαίου Κ όπου η δυναµικότητα της παραγωγής είναι ένα σταθερό πολλαπλάσιο του

αποθέµατος κεφαλαίου. Η απουσία µιας εργασιακής εισροής στη συνάρτηση παραγωγής

µας οδηγεί στο γεγονός ότι η εργασία είναι πάντα συνδεδεµένη µε το κεφάλαιο µε

σταθερή αναλογία , οπότε µπορούµε να εξετάζουµε έναν µόνο από αυτούς τους

συντελεστές παραγωγής.

Ο SOLLOW αντίθετα θέλει να αναλύσει την περίπτωση όπου το κεφάλαιο και η εργασία

είναι συσχετισµένα αλλιώς (συνδυάζονται µε µεταβλητές αναλογίες). Έτσι προτείνει ως

συνάρτηση παραγωγής για το καθαρό προϊόν την ( , ) ( ,1) ( )K

Y f K L L f L F kL

= = =i i την

οποία θεωρεί γραµµικώς οµογενή µε µερικές παραγώγους θετικές (θετικά οριακά

προϊόντα) και δεύτερες µερικές παραγώγους αρνητικές (φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας –

µακροοικονοµική µορφή).

Οι υποθέσεις του είναι ότι :

1. dK

S Ydt

= i όπου S η οριακή ροπή προς αποταµίευση και Υ το καθαρό προϊόν

και δείχνει ότι µια σταθερή αναλογία του Υ επενδύεται

2. /

0dL dt

cL

= ( σταθερό ρυθµό αύξησης εργασίας)

Βλέπουµε ότι προσδιορίζονται εξαρχής οι ρυθµοί µεταβολής του Κ και του L. Βλέπουµε

όµως ότι αποτελεί ένα πλήρες υπόδειγµα. Λύνοντας το παίρνουµε τη ∆Ε ως προς k µε

δυο παραµέτρους το S , c που είναι και η θεµελιώδες εξίσωση του SOLLOW και είναι:

( ) ( )d k

s F k c kd t

= −i


7.5 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ∆Ε

Έχουν τη γενική µορφή (1) ( )

0 1( , ( ) , ( ) ,.... ( ) ) 0n

nF x a t y a t y a t y = και η ειδική περίπτωση 2ης

τάξης θα µπορούσαµε να πούµε ότι έχει τη γενική µορφή ( ) ( ) 0y P t y Q t y′′ ′+ + = .

ΟΡΙΖΟΥΣΑ WRONSKI

Αν θεωρήσουµε δυο λύσεις 1 2,y y της ∆Ε 2ης

τάξης τότε η ορίζουσα WRONSKI είναι η

1 2

1 2

y y0

y yW = ≠

′ ′ και τότε οι λύσεις είναι και γραµµικώς ανεξάρτητες (λύσεις της ∆Ε)

και η γενική λύση της ( ) ( ) 0y P t y Q t y′′ ′+ + = έχει τη µορφή 1 1 2 2y c y c y= + (λέµε γενικά

ότι τα 1 2,y y αποτελούν Θεµελιώδη λύση της ∆Ε).

Αντίστοιχα ορίζεται η ορίζουσα WRONSKI για 3ης

τάξης κ.τ.λ. Η βασική της όµως

ιδιότητα είναι η ορίζουσα WRONSKI ικανοποιεί τη ∆Ε ( ) 0dw

P t wdt

+ = που είναι


τάξης χωριζόµενων µεταβλητών και δίνει ως λύση την ( )

( )P t dt

w t ce−∫= της

αντίστοιχης ∆Ε και ισχύει για κάθε τάξη της ∆Ε.

Η περίπτωση να δίνονται και οι δυο λύσεις που να ικανοποιούν τη ∆Ε είναι τετριµµένη

γιατί είναι απλή αντικατάσταση. Θα δούµε ένα παράδειγµα όπου δεν δίνεται τουλάχιστον

η µια λύση


Έστω ότι έχει δοθεί η ∆Ε ( ) ( ) 0y P t y Q t y′′ ′+ + = και έχει δοθεί επίσης ότι 1

ty e= ,

2 (0) 1y = και 2( ) tw t e= . Θα βρούµε τη δεύτερη λύση καθώς και τη γενική .

Λύση

Από την ορίζουσα W προκύπτει ότι 1 2

2 2

1 2

y y

y y

tW y y e′= = − =

′ ′ που είναι µια απλή


τάξης και έχει λύση την 2 ( ) t

My c t e= . Από τη µέθοδο µεταβολής των

σταθερών επειδή 2 2 ( ) ( )t t t

M My y e c t e e c t t′ ′− = ⇒ = ⇒ = άρα η άλλη λύση της ∆Ε είναι

η 2 2 2

t t

M Oy y y e te= + = + (και από το ΠΑΤ που δίνεται). Άρα και η γενική λύση της ∆Ε

είναι η 1 1 2 2y c y c y= + .

ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ∆Ε ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 2ης ΤΑΞΗΣ

Θα αναφερθούµε στις ∆Ε 2ης

τάξης και οµοίως εφαρµόζουµε και στις παραπάνω τάξης.

Η γενική µορφή τους είναι η 0y ay by′′ ′+ + = µε a,b να είναι σταθερές και η γενική τους

λύση είναι η 1 1 2 2y c y c y= + . Για τη λύση τους εφαρµόζουµε τη µέθοδο της

χαρακτηριστικής αλγεβρικής εξίσωσης. Θεωρούµε την αντικατάσταση


22

2

1y

dy

dt

d y

dt

λ

λ

→

→

→

και η ∆Ε µετατρέπεται σε αλγεβρική ίση µε 12

2

0bλ

λ αλλ

+ + = ⇒

ρίζες της .

Έτσι καταλήγουµε να διακρίνουµε δυο βασικές περιπτώσεις :

Α) Αν 1 2λ λ≠ τότε η γενική λύση της ∆Ε µε δυο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Για πραγµατικούς είναι : 1 2

1 2

t ty c e c e

λ λ= +

Για µιγαδικές λύσεις των 1,2 1 2b b tλ = ± είναι :

1

1 2 2 2[ c o s ( ) s i n ( ) ]b ty c e b t c b t= +

Β) Αν 1 2λ λ= τότε έχω διπλή ρίζα και οι δυο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι οι :

1

2

t

t

y e

y te

λ

λ

=

=


Να λυθεί η ∆Ε 3 2 0y y y′′ ′− + = και η ∆Ε 4 5 0y y y′′ ′− + =

Λύση

Α) Εφαρµόζω τη αλγεβρική εξίσωση κάνοντας την αντικατάσταση:

2

2

2

1y

dy

dt

d y

dt

λ

λ

→

→

→

και προκύπτει ότι είναι 12

2

13 2 0

2

λλ λ

λ

=− + = ⇒

=

άρα η λύση είναι 2

1 2

t ty c e c e= +

Β) Εφαρµόζω οµοίως τη αλγεβρική χαρακτηριστική εξίσωση κάνοντας την

αντικατάσταση


22

2

1y

dy

dt

d y

dt

λ

λ

→

→

→

και προκύπτει ότι είναι 12

2

24 5 0

2

i

i

λλ λ

λ

= +− + = ⇒

= − (προσοχή οι

µιγαδικές λύσεις είναι πάντα συζυγείς) και άρα η λύση της ∆Ε είναι η

2 2

1 2c o s ( ) s in ( )t ty c e t c e t= +

Παρατηρήσεις

• Στις γραµµικές οµογενείς εξισώσεις ανώτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές η

µεθοδολογία είναι ακριβώς η ίδια

• Η αντικατάσταση είναι η 2 ( )

2

2 ( )1, , ,......

nn

n

dy d y d yy

dt dt dxλ λ λ

→ → → →

• Όταν µας προκύπτει η αλγεβρική εξίσωση φυσικό είναι να µας προκύπτει ένα

πολυώνυµο κάποιου βαθµού ως προς λ. Η εύρεση των ριζών µιας τέτοιας

εξίσωσης είναι γενικά περίπλοκη αλλά συνήθως για τους πραγµατικούς

εφαρµόζοµε τη γνωστή µέθοδο όπου οι ακέραιες ρίζες είναι και διαιρέτες του

σταθερού όρου.

• Οι λύσεις είναι ακριβώς ίδιας µορφής είτε πρόκειται για διαφορετικές ρίζες είτε

για διπλές ρίζες ακόµα και για µιγαδικές (συνήθως αυτές προκύπτουν από

διτετράγωνες αλγεβρικές εξισώσεις)

Η ∆Ε EULER – ∆Ε ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΝΤΑΙ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΩΝ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

Υπάρχουν κάποιες ∆Ε γραµµικές ανώτερης τάξης οµογενείς που ναι µεν δεν είναι

σταθερών συντελεστών αλλά µπορούν να µετατραπούν σε σταθερών συντελεστών. Μια

χαρακτηριστική περίπτωση είναι αυτή των ∆Ε EULER και προκύπτει µε τη κατάλληλη

αντικατάσταση. Στην περίπτωση της 2ης τάξης ∆Ε η γενική µορφή της ∆Ε EULER έχει

τη µορφή : 2

2

1 22( ) ( ) 0

d y dyat b c at b c y

dx dx+ + + + =

Το χαρακτηριστικό τους είναι ότι κάθε συντελεστής είναι πολλαπλασιασµένος σε δύναµη

ίση µε τη παραγωγό που αναφέρεται ο συντελεστής (2η παράγωγο – 2

η δύναµη ο

συντελεστής κτλ).

Η λύση βρίσκεται µε την αντικατάσταση x

x e bat b e t

a

−+ = ⇒ =

Βέβαια υπάρχουν και άλλες ∆Ε EULER που χρειάζεται ειδική αντικατάσταση και

συνήθως αυτή έχει σχέση µε τις τριγωνοµετρικές ή τις υπερβολικές συναρτήσεις δηλαδή


ή µια απλή έκφραση του ηµίτονου ή του συνηµίτονου είτε τις εκφράσεις του ηµίτονου

και του συνηµίτονου σε σχέση µε τα te και χρησιµοποιώντας πάντα τη τριγωνοµετρική

ταυτότητα .



2

2(2 1) 6(2 1) 4 0

d y dyt t y

dx dx+ + + + =

Λύση

Είναι ∆Ε EULER (όπως περιγράψαµε πριν) οπότε κάνουµε τη γνωστή αντικατάσταση

12 1

2

xx e

t e t−

+ = ⇒ = . Τώρα θα µετασχηµατίσουµε τη ∆Ε και αντί της µεταβλητής t

και των παραγώγων ως προς t θα περιέχει τη µεταβλητή x και τις παραγώγους της y ως

προς x .

Με αλυσιδωτή παραγωγιση λοιπόν προκύπτει ότι :

• 1 1

2 2

xxe dt

t edx

−= ⇒ =

• 2

x

dy

dy dy dx dx

dt dx dt e= =

•

2

2 2

/2 2

2

( ) 4d dxx x

dy d y dy

d y dx dx dx

dt e e

−= =

Αντικαθιστώ όλα αυτά στην αρχική ∆Ε και προκύπτει η 2

22 0

d y dyy

dx dx+ + = που είναι

απλή και λύνεται µε την αλγεβρική εξίσωση και τελικά έχει λύση τη διπλή ρίζα

12

2

12 1 0

1

λλ λ

λ

= −+ + = ⇒

= − άρα η λύση είναι η 1 2( ) x xy x c e c e− −= + και από την

αντικατάσταση 2 1 xt e+ = έχω τελικά ότι 1

1 2( ) ( ln | 2 1 |)(2 1)y t c c t t−= + + +

∆Ε ΜΕ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΜΙΑ ΜΕΡΙΚΗ ΛΥΣΗ

Η περίπτωση όπου µας δίνεται µια ∆Ε και δεν έχει σταθερούς συντελεστές αλλά δίνεται

µια µερική λύση αυτής. Η γενική µορφή της θα είναι: 2

12( ) ( ) 0

d y dyP t Q t y y

dt dt

ΜΕΡΙΚΗΣΛΥΣΗΣ+ + = →

Η γενική λύση της ∆Ε βρίσκεται µε την αντικατάσταση 1( )y u t y= αλλά δε θα

εξετάσουµε αναλυτικότερα αυτή τη περίπτωση.


ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ∆Ε ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

Αναφερόµαστε τώρα σε µη οµογενείς ∆Ε (δεύτερο µέλος όχι ίσο µε µηδέν) 2ης

η

ανώτερης τάξης. Η γενική µορφή τους είναι η 2

2( ) ( ) ( )

d y dyP x Q x y F x

dt dt+ + = µε

αντίστοιχη οµογενή την 2

2( ) ( ) 0

d y dyP x Q x y

dt dt+ + =

Πρόταση

Η γενική λύση µιας πλήρους ∆Ε είναι το άθροισµα της γενικής οµογενής και της ειδικής

µη οµογενής (ότι ισχύει και στις γραµµικές 1ης

τάξης). Οπότε σύµφωνα µε τη πρόταση αν

είναι δυνατόν να βρούµε τη λύση της οµογενούς τότε η λύση της µερικής είναι εύκολη

υπόθεση.

Θα πάρουµε όµως µια γενική µεθοδολογία

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ

Θεωρούµε ότι έχουµε τη ∆Ε 2

2( ) ( ) ( )

d y dyP x Q x y F x

dt dt+ + = . Θεωρούµε αρχικά την

αντίστοιχη οµογενή που είναι η 2

2( ) ( ) 0

d y dyP x Q x y

dt dt+ + = και υποθέτουµε ότι αυτή έχει

δυο λύσεις γραµµικά ανεξάρτητες τις 1 2,y y οπότε η γενική λύση της αντίστοιχης

οµογενούς είναι η 1 1 2 2( ) ( ) ( )Oy t c y t c y t= + µε τα c να είναι σταθερές.

Θεωρούµε την πλήρη ∆Ε 2

2( ) ( ) ( )

d y dyP x Q x y F x

dt dt+ + = και υποθέτουµε ότι έχει µερική

λύση την 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )My t c t y t c t y t= + µε c(t) να είναι συναρτήσεις του t (µεταβολές

σταθερών) τότε η ( )My t θα πρέπει να ικανοποιεί την πλήρης ∆Ε.

Βρίσκουµε τις παραγώγους (εδώ είναι 2ης τάξης άρα τις δυο πρώτες παραγώγους δηλαδή

ανάλογα τη τάξη) της ( )My t δηλαδή τις ( )My t′ και ( )My t′′ που είναι :

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0My t c t y t c t y t c t y t c t y t∆ΕΣΜΕΥΣΗΣ′ ′ ′ ′ ′= + → + =

(σχέση 1 )

και

1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M

y t c t y t c t y t c t y t c t y t′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′= + + +

Και αντικαθιστούµε αυτά στην αρχική εξίσωση. Μετά από πράξεις έχω ότι (στις πράξεις

έχουµε πολλές απλοποιήσεις γιατί ξέρουµε τις µερικές λύσεις τις οµογενούς)

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )c t y t c t y t F t′ ′ ′ ′+ = (σχέση 2)


Οι σχέσεις 1 και 2 αποτελούν σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους τα 1 2( ), ( )c t c t′ ′

το οποίο λύνεται µε CRAMER.

(Η ορίζουσα του παρονοµαστή θα δούµε ότι είναι η ορίζουσα WRONSKI που είναι µη

µηδενική άρα το σύστηµα έχει πάντα µοναδική λύση).

Άρα µπορούµε να βρούµε τα 1 2( ), ( )c t c t′ ′ δηλαδή µε απλή ολοκλήρωση βρίσκουµε και τα

αντίστοιχα 1 2( ), ( )c t c t και αντικαθιστώντας στην γενική λύση της ∆Ε έχουµε τη γενική

λύση.



2 24 4

1

xd y dy ey

dx dx x− + =

+ και να βρεθεί λύση που να ικανοποιεί τις

συνθήκες (0) 1, (0) 0dy

ydx

= = .

Λύση

Πρόκειται για µια γραµµική ∆Ε 2ης τάξης µη οµογενής. Θα εφαρµόσουµε τη µέθοδο των

σταθερών µεταβολών.

Θεωρούµε την αντίστοιχη οµογενή που είναι η 2

24 4 0

d y dyy

dx dx− + = η οποία είναι

γραµµική σταθερών συντελεστών (βλ προηγούµενη παράγραφο) και µε το τρόπο της

χαρακτηριστικής εξίσωσης έχω τη διπλή ρίζα λ = 2 άρα η λύση της οµογενούς είναι η 2 2

1 2

x x

Oy c e c e= +

Περνάµε στην λύση της µερικής της ∆Ε. Αυτή έχει τη µορφή 2 2

1 2( ) ( ) ( )x x

My x c x e c x xe= + και ικανοποιείται η δέσµευση:

2 2

1 2 1 2( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0x xc x e c x xe c x c x x′ ′ ′ ′+ = ⇒ + = (σχέση 1)

Αντικαθιστώντας στην αρχική ∆Ε προκύπτει η δεύτερη σχέση που ψάχνουµε που είναι η

1 2 2

12 ( ) (1 2 ) ( )

1c x x c x

x′ ′+ + =

+ (σχέση 2 )

Τις σχέσεις 1 και 2 τις λύνω µε αγνώστους τα 1 2( ), ( )c x c x′ ′ µε τη µέθοδο CRAMER και

ολοκληρώνοντας βρίσκω τα 1 2( ), ( )c x c x που είναι :

2

1

2

1( ) ln ( 1)

2

( ) a r c t a n

c x x

c x x

= − +

=

Άρα η µερική λύση είναι :

2 2 21( ) ln( 1) arctan

2

x x

My x x e xe x= − + + οπότε η γενική λύση της ∆Ε της αρχικής

είναι η

2 2 2 2 2

1 2

1( ) ln( 1) arctan

2

x x x xy x c e c xe x e xe x= + − + +


Εφαρµόζουµε τώρα τις συνθήκες του προβλήµατος που έχουν δοθεί αρχικά δηλαδή τα

(0) 1, (0) 0dy

ydx

= = και βρίσκουµε τις σταθερές και τελικά έχω ότι η γενική λύση της ∆Ε

είναι :

2 2 2 2 21( ) 2 ln( 1) arctan

2

x x x xy x e xe x e xe x= − − + +

ΕΝΑ ΥΠΟ∆ΕΙΓΜΑ ΑΓΟΡΑΣ ΜΕ ΠΡΟΣ∆ΟΚΙΕΣ ΤΙΜΩΝ

Έχουµε δει ότι το δυναµικό υπόδειγµα αγοράς ,D SQ Q έχει θεωρηθεί ως συναρτήσεις

µόνο των τρέχουσων τιµών P. Μερικές φορές όµως οι καταναλωτές µπορούν να

βασίζουν τις συµπεριφορές τους όχι στις τρέχουσες τιµές αλλά στην τάση των τιµών

αυτών που επικρατεί εκείνη τη στιγµή γιατί η τάση των τιµών είναι δυνατόν να τους

οδηγήσει σε κάποιες προσδοκίες σχετικά µε το επίπεδο τιµών στο µέλλον και οι

προσδοκίες αυτές µε τη σειρά τους να επηρεάσουν τις αποφάσεις τους σχετικά µε το τι

ζητούν και τι προσφέρουν.

Στο πλαίσιο του συνεχούς χρόνου οι πληροφορίες σχετικά µε τη τάση των τιµών

βασίζονται σε δυο παραγώγους , τη παράγωγο dP

dt για το αν οι τιµές αυξάνονται και στη

παράγωγο 2

2

d P

dt στο αν οι τιµές αυξάνονται µε αύξοντα ρυθµό. Αν λάβουµε υπόψη µας

αυτές τις παραγώγους στις συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης θα προκύψουν οι δυο

συναρτήσεις που είναι ∆Ε και θα είναι µια σχέση της µορφής : 2

2

2

2

[ ( ), , ]

[ ( ), , ]

D

S

dP d PQ D P t

dt dt

dP d PQ S P t

dt dt

=

=

Ας δούµε τη γραµµική εκδοχή των συναρτήσεων αυτών τότε θα έχουν τη µορφή 2 2

2 2

2 2

2 2

[ ( ), , ]

[ ( ), , ]

D

S

dP d P dP d PQ D P t a bP m n

dt dt dt dt

dP d P dP d PQ S P t c dP u w

dt dt dt dt

= = − + +

= = − + + +

όπου a , b , c , d είναι οι παράµετροι σε προηγούµενα υποδείγµατα αγοράς και m , n , u ,

w οι νέες.

Οι τέσσερις αυτές παράµετροι µε απροσδιόριστα πρόσηµα εκφράζουν τις προσδοκίες

τιµών των αγοραστών και των πωλητών. Για παράδειγµα αν 0m > µια άνοδος τιµών θα

είναι η αιτία αύξησης του dQ . Αυτό σηµαίνει τη προτίµηση των αγοραστών να αυξήσουν

τις αγορές τους τώρα που οι τιµές είναι σχετικά χαµηλές σε περίπτωση που οι ανοδικές

τιµές συνεχίζουν την άνοδο. Από την άλλη µεριά αν 0m < δηλώνει την προσδοκία µιας

άµεσης ανατροπής της τάσης των τιµών πράγµα που κάνει τους αγοραστές να

προτιµήσουν τη περικοπή των αγορών περιµένοντας µια πτώση τιµών που ίσως

υλοποιηθεί αργότερα. Ο υπολογισµός των άλλων σταθερών συντελεστών που

αναφέρονται στις παραγώγους κάνει τους αγοραστές να συµπεριφέρονται µε βάση και το


ρυθµό µεταβολής. Έτσι οι νέες παράµετροι m , n εισάγουν ένα ουσιαστικό στοιχείο

κερδοσκοπίας τιµών στο µοντέλο. Αντίστοιχα οι παράµετροι οι υπόλοιπες.

7.6 ΜΕΘΟ∆ΟΣ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ

Ορίζουµε το σύµβολο d

Ddt

= που ονοµάζεται Τελεστής παραγωγισης δηλαδή για

παράδειγµα µια συνάρτηση έχει τελεστή ( )df

Df f tdt

′= = (π.χ. για δοσµένη συνάρτηση

είναι ( )

( )at

at atd eD e ae

dt= = ) .

Ισχύον στους τελεστές οι ιδιότητες των παραγώγων όπως τις ξέρουµε και επίσης κάποιες

βασικές ιδιότητες είναι :

• ( ) ( )D k f k D f=i i

• 1 2 1 2( ) ( ) ( )D f f D f D f+ = +

• 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( )D f f D f f D f f= +i

• ( ) ( )n

n

n

dD f f

dt=

• 1 1( )D f t dt

D

− = = ∫

• 2

2

1( ( ) )D f t dt

D

− = = ∫ ∫

• ΒΑΣΙΚΗ Ι∆ΙΟΤΗΤΑ : Κάνουµε πράξεις µε το σύµβολο D σαν να ήταν µια

µεταβλητή π.χ. 2 ( 1)D D D D+ = + .

Με τη χρήση του τελεστή λοιπόν µπορούµε να βρούµε µερικές λύσεις ∆Ε οποιασδήποτε

τάξης που είναι όµως γραµµικές µε σταθερούς συντελεστές κάνοντας το µετασχηµατισµό

όπου παράγωγος της y ο τελεστής.

Για παράδειγµα αν έχουµε : 2

2 2

22 0 2 2 0 ( 2 2) 0

d y dyy D y Dy y D D y

dt dt− + = ⇒ − + = ⇒ − + =

Μπορούµε να διακρίνουµε 3 γενικές περιπτώσεις µε τη χρήση των τελεστών (χωρίς να

σηµαίνει ότι είναι αυτές και µόνο) και διαχωρίζονται ανάλογα τη µορφή του β µέλους

της ∆Ε .

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α

Το β µέλος είναι εκθετική ή τριγωνοµετρική

Βασιζόµαστε στο γεγονός ότι

• ( )

( )at

at atd eD e ae

dt= =

• ( ) ( )at atf D e f a e=


• 1

1/ ( )( )

at atf D e e

f a=

• Αν F(a) =0 (α ρίζα του µε βαθµό πολλαπλότητας ) τότε ισχύει ο τύπος

1

( ) ( )

at atte e

f D f a

λ

λ=



4

25 6 td y dy

y edt dt

− + =

Λύση

Η ∆Ε γράφεται

2

4 2 4 4

2 2

15 6 ( 5 6)

5 6

t t td y dyy e D D y e y e

dt dt D D− + = ⇒ − + = ⇒ =

− +

Ο αριθµός 4 δεν είναι ρίζα του παρονοµαστή όποτε η µερική λύση είναι η

4 4

2

1 1

45 6 2

t ty e y eDD D

= ⇒ ==− +

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β

Το δεύτερο µέλος είναι πολυώνυµο. Η εύρεση της µερικής λύσης βασίζεται σε δυο πολύ

βασικά στοιχεία.

Α) Η (n+1) τάξης παράγωγος σε n βαθµού πολυώνυµου είναι µηδενική .

Β) Στη γεωµετρική πρόοδο . 211 ....

1k k

k= + + +

−


Να λυθεί η ∆Ε µε χρήση τελεστών 2 2dy

y xdx

− = − −

Λύση

Αυτή η ∆Ε γράφεται

2 2 212 ( 1) 2 ( 2)

1

dyy x D y x y x

dx D− = − − ⇒ − = − − ⇒ = +

−

και από γεωµετρική πρόοδο έχω ότι

2 2 2 2 2 2 21( 2) (1 ...)( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ....

1y x y D D x x D x D x

D= + ⇒ = + + + + = + + + + + +

−

Το πολυώνυµο 2( 2)x + είναι δεύτερου βαθµού άρα 3 2( 2) 0D x + = η παραπάνω

γράφεται 2 2 2 2

2

( 2) ( 2) ( 2) ( )

2 2 2

y x D x D x

y x x

παραγωγιζω= + + + + + ⇒

= + + +

Που είναι µια µερική λύση της ∆Ε


ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Γ

Το β µέλος είναι συνδυασµός των δυο παραπάνω περιπτώσεων.

Εδώ βασιζόµαστε στη παρατήρηση του παραγώγου γινοµένου και προκύπτει η Β

περίπτωση όποτε δουλεύουµε κατά τα γνωστά.

Γενικά λοιπόν ισχύει ότι :

( )( ( )) ( ) ( )at atF D e f x e F D a f t= +

7.7 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Θεωρούµε τη συνάρτηση ( )f t που είναι ορισµένη για κάθε t > 0 τότε το ολοκλήρωµα

0

( ) ( ) stF s f t e dt

+∞−= ∫ που το ορίζουµε συνάρτηση του s λέγεται µετασχηµατισµός

LAPLACE της συνάρτησης ( )f t και συµβολίζουµε ως ( ) ( )L f t F s= όπως επίσης

ορίζουµε και την αντίστροφη LAPLACE που είναι η 1 ( ) ( )L F s f t− = .

Στη συνέχεια θα δούµε τις ιδιότητες που είναι πολύ χρήσιµες στο µετασχηµατισµό

LAPLACE τον αντίστροφο µετασχηµατισµό και επίσης τη λύση ∆Ε µε τη χρήση του

µετασχηµατισµού. ∆ε θα εξετάσουµε τη λύση ολοκληρωµάτων µε τη χρήση του

µετασχηµατισµού LAPLACE

ΒΑΣΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ

Η συνάρτηση HEAVISIDE (Η)

Ορίζουµε τη συνάρτηση Η όπως φαίνεται παρακάτω και είναι γνωστή ως συνάρτηση

µοναδιαίου βήµατος.

1, 0( )

0 , 0

tH t

t

>=

<

Που όπως καταλαβαίνουµε γίνεται µέσω του µετασχηµατισµού L :

1 ( )L H t

s=

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 1

( ) ( )L cf t cF s=

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s+ = +

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 2

Έστω η συνάρτηση ( )f t για την οποία ισχύει ότι ( ) ( )L f t F s= τότε η συνάρτηση

( )ate f t έχει µετασχηµατισµό την ( ) ( )atL e f t F s a= −

Αυτή είναι και η πιο βασική ιδιότητα. Μπορούµε να δούµε παραδείγµατα όπως :


2 2

2 2

1 ( )

1 ( )

c o s ( ) ( )

s i n ( ) ( )

a t

i a t

L e H ts a

L e H ts i a

sL a t H t

s a

aL a t H t

s a

− =−

− =−

− =+

− =+

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 3

Αν η συνάρτηση ( )f t έχει µετασχηµατισµένη την ( ) ( )L f t F s= τότε η ( )f t a− έχει

µετασχηµατισµένη την ( ) ( )asL f t a e F s−− = (απορία της προηγούµενης ιδιότητας)

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ 4

Αν η συνάρτηση ( )f t έχει µετασχηµατισµένη την ( ) ( )L f t F s= τότε η συνάρτηση

( )t f ti έχει µετασχηµατισµένη την ( ) ( )dF

L tf t F sds

′= − = −

Πολύ βασική ιδιότητα και αυτή γιατί όπως καταλαβαίνουµε µπορούµε εύκολα να

βρίσκουµε το µετασχηµατισµό της συνάρτησης επί της µεταβλητής παραγωγιζοντας τον

αντίστοιχο µετασχηµατισµό της και γενικότερα µας δίνει τη δυνατότητα σε συνδυασµό

µε τις άλλες ιδιότητες να βρίσκουµε µετασχηµατισµούς L χωρίς τη χρήση γενικευµένου

ολοκληρώµατος .


Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός L της ( )a tt e H ti

Λύση

Με απλή χρήση των ιδιοτήτων έχω

1 ( )at

L e H ts a

=−

άρα επί τη µεταβλητή απλά παραγωγιζω και είναι

2

1 1 ( ) ( )

( )

atL t e H ts a s a

′= =− −

i

Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ

Τίθεται εδώ το πρόβληµα της εύρεσης της αρχικής συνάρτησης ( )f t όταν µας δίνεται η

µπορούµε να εκφράσουµε το µετασχηµατισµό L άρα δηλαδή το πρόβληµα είναι η

εύρεση του αντίστροφου µετασχηµατισµού L. Το πρόβληµα στη γενική µορφή είναι

πολύπλοκο αφού δεν υπάρχει γενικός τύπος ή γενική µεθοδολογία και περιοριζόµαστε σε

ειδικές περιπτώσεις που στηρίζονται σε υποθέσεις και βάση των ιδιοτήτων και γενικά

λέµε ότι :

1. Αν η συνάρτηση είναι ρητή την αναλύουµε σε απλά κλάσµατα

2. Αν εµφανισθεί όρος της µορφής ( )F s a− εφαρµόζουµε την ιδιότητα 2


3. Αν εµφανισθεί όρος της µορφής 1

( )k

s a− θα εργαζόµαστε χωρίς το α αφού

προέρχεται από παραγωγιση

4. Αν υπάρξει της µορφής ( )ase F s− εργαζόµαστε µε την ιδιότητα 3


Να βρεθεί η αρχική συνάρτηση της συνάρτησης 2

2

5 2( )

( 3) 1

s sF s e

s

− +=

− +

Λύση

Η ύπαρξη του e µας οδηγεί αµέσως στο ρητό µέρος όπου αναλύουµε τα κλάσµατα µε

ίδιο παρονοµαστή και προκύπτει

2 2 2 2

5 2 5( 3 3) 2 3 15 17

( 3) 1 ( 3) 1 ( 3) 1 ( 3) 1

s s s

s s s s

+ − + + −= = +

− + − + − + − +

Θέτω τώρα το s-3 = k και είναι :

2 2

15 17

1 1

k

k k+

+ +

Με εφαρµογή της ιδιότητας 2 έχουµε :

3

2

5 2 5cos ( ) 17sin ( )

( 3) 1

t sL e tH t tH t

s

++ =

− + και µε εφαρµογή της ιδιότητας 3 έχουµε

τελικά ότι 3( 2)

1 3( 2)

(5cos( 2) 17sin( 2) ( 2) ( )

( ) (5cos( 2) 17sin( 2) ( 2)

t

t

L e t t H t F s

L F s e t t H t

−

− −

− + − − = ⇒

= − + − −

ΕΠΙΛΥΣΗ ∆Ε ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE

Η επίλυση ∆Ε µε χρήση του µετασχηµατισµού L βασίζεται στη εξής ιδιότητα :

Ι∆ΙΟΤΗΤΑ

Αν θεωρήσουµε µια συνάρτηση f και τις παραγώγους της τότε ισχύει ότι ( )

1 2

( ) ( ) (0) (0) .....

nn n n

n

d fL s F s s f s f

dt

− − ′= − − −

∆ηλαδή για να δούµε απλά τις δυο πρώτες παραγώγους θα είναι :

(2)2

(2)

( ) (0)

( ) (0) (0)

dfL sF s f

dt

d fL s F s sf f

dt

= −

′= − −

Ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα

1. Μετασχηµατίζουµε τα µέλη της ∆Ε σύµφωνα µε την παραπάνω ιδιότητα και

προκύπτει αλγεβρική εξίσωση


2. Λύνουµε την αλγεβρική εξίσωση που βρήκαµε

3. Υπολογίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό L της συνάρτησης που βρέθηκε

και είναι η λύση της ∆Ε


Να λυθεί η ∆Ε 2 0, (0) 1dy

y ydt

+ = =

Λύση

Μετασχηµατίζουµε τη ∆Ε σύµφωνα µε το µετασχηµατισµό L και εφαρµόζουµε την

ιδιότητα δοσµένης της ΠΑΤ (αρχικής τιµής) και είναι :

2 0

2 0

( ) (0) 2 ( ) 0 ( 2) ( ) 1 0

dyL y L

dt

dyL L y

dt

s y s y y s s y s

+ = ⇒

+ = ⇒

− + = ⇒ + − =i

Επειδή όµως 1

( )2

y ss

=+

έχω τελικά ότι η λύση της ∆Ε είναι η

1 2( ) ( ) ( )ty t L y s e H t− −= =


Να λυθεί η ∆Ε

Λύση

Μετασχηµατίζουµε την εξίσωση κατά L και έχουµε

2

3

2

23

2

2

2 2

2

3 2 ( )

3 2 ( )

1( ) 3 ( ) 3 2 ( )

3

6 1 0 6 1 0 5 / 2 2 1 / 2( )

( 3 2 )( 3) ( 3)( 2 )( 1) 1 2 3

t

t

d y d yL y L e H t

d t d t

d y d yL L L y L e H t

d t d t

s y s s sy s y ss

s s s sy s

s s s s s s s s s

− + = ⇒

− + = ⇒

− − + + = ⇒−

− + − += = = − +

− + − − − − − − −

Άρα η λύση της ∆Ε είναι η

1

2 3

5 / 2 2 1/ 2( )

1 2 3

5 1( ) ( 2 ) ( )

2 2

t t t

y t Ls s s

y t e e e H t

−= − + ⇒− − −

= − +


7.7 ∆Ε ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ

Θεωρούµε τη ∆Ε ( ) ( ) 0y P x y Q x y′′ ′+ + = και ξέρουµε τους τρόπους που µπορεί

να λυθεί αυτή η ∆Ε και είδαµε ακόµα και το µετασχηµατισµό L στη προηγούµενη

ενότητα. Τώρα θα δούµε τη λύση αυτής της ∆Ε µε τη µέθοδο των σειρών (FROBENIUS)

καθώς και θα δούµε και µερικές αναφορές σε ορισµούς.

ΟΜΑΛΑ ΚΑΙ ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ ∆Ε

Λέµε ότι ένα σηµείο 0x µιας ∆Ε λέγεται οµαλό όταν οι συναρτήσεις P , Q

αναπτύσσονται κατά TAYLOR σε περιοχή του (είναι δηλαδή αναλυτικές συναρτήσεις).

Οι συναρτήσεις αυτές είναι συνήθως πολυώνυµα , τριγωνοµετρικές , εκθετικές κ.τ.λ. και

είναι αναλυτικές σε κάθε σηµείο του ΠΟ τους. Αν µια από τις P , Q δεν είναι αναλυτική

σε σηµείο 0x τότε λέµε ότι το σηµείο αυτό είναι ανώµαλο. Σηµειώνουµε όµως ότι αν το

0x είναι ανώµαλο σηµείο αλλά οι συναρτήσεις 2

0 0( ) ( ), ( ) ( )x x P x x x Q x− − είναι

αναλυτικές τότε το 0x λέγεται ασθενώς ανώµαλο.

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR

Eχουµε πει ότι το διαφορικό µιας συνάρτησης είναι ο τύπος:

( ) ( )dy

f x dy f x dxdx

′ ′= ⇔ = και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη προσέγγιση της

µεταβολής της µεταβλητής Υ δεδοµένου της µεταβολής της µεταβλητής Χ. Το σφάλµα

αυτής της προσέγγισης είναι µικρό µόνο αν θεωρήσουµε µικρές µεταβολές στην Χ που

αυτό όµως δεν είναι πάντα εφικτό για αυτό χρησιµοποιούµε το Ανάπτυγµα TAYLOR.

Καταρχήν ανάπτυγµα µιας συνάρτησης λέµε µια πολυωνυµικη συνάρτηση σε µια ε–

γειτονιά ενός σηµείου της 0x µε τελεστές να εκφράζονται ως παράγωγοι (τελεστής είναι

κάποιες σταθερές ποσότητες όπως αριθµοί π.χ. το 5 ή ακόµα διαφορικά σταθερά ή ακόµα

µερικές παράγωγοι ως τελεστές κ.τ.λ.). Στο ανάπτυγµα κατά ΤΑΥLOR οι τελεστές των

όρων του πολυωνύµου είναι οι ν–στες παράγωγοι στο σηµείο 0x που έχουν

συγκεκριµένη τιµή.

Σύµφωνα µε το ανάπτυγµα TAYLOR λοιπόν θα χρησιµοποιήσουµε την τιµή της

συνάρτησης γύρω από το 0x σε συνδυασµό µε την τιµή παραγώγων της συνάρτησης για

το 0x µε σκοπό να πάρουµε µια τιµή άλλη για τη συνάρτηση ας πούµε για την

1x την

1( )f x . Άρα ο τύπος του αναπτύγµατος κατά TAYLOR είναι ο ακόλουθος

( )1

0 1 01 0

1

( ) ( )( ) ( )

!

k kn

n

k

f x x xf x f x R

k

−

=

−= + +∑

και αναπτύσσεται ως εξής : 1 2 ( 1) 1

0 1 0 0 1 0 0 1 01 0

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ....

1! 2! ( 1)!

n n

n


n

− −′ ′′− − −= + + + + +

−

όπου ( ) 1 00 1

( )( ) ,

!

n

n

x xR f c x c x

n

−= < < και λέγεται κατάλοιπο αλλά όταν

0nn R→∞⇔ →


και συνήθως απλά το αναφέρουµε .

Παρατηρούµε ότι : ( )1

0 1 01 0

1

( ) ( )( ) ( )

!

k kn

n

k

f x x xf x f x R

k

−

=

−= + + ⇔∑

( )10 1 0

1 0

1

( ) ( )( ) ( )

!

k kn

n

k

f x x xf x f x R

k

−

=

−− = + ⇔∑

( )10 1 0

1

( )( )

!

k kn

n

k

f x x xR

k

−

=

−∆Υ = +∑ που είναι η µεταβολή στο σηµείο

εκείνο .

ΛΥΣΗ ∆Ε ΜΕ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR (ΟΜΑΛΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ)

Αν πάρουµε το ανάπτυγµα TAYLOR και το γράψουµε: 1 2 ( 1) 1

0 1 0 0 1 0 0 1 00

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ....

1! 2 ! ( 1) !

n nf x x x f x x x f x x x

f x f xn

− −′ ′′− − −= + + + +

−

Και στη θέση των παραγώγων της συνάρτησης στο 0x βάλουµε κάποιες σταθερές C. Ο

υπολογισµός των υπόλοιπων παραγώγων γίνεται συναρτήσει των C αυτών µε διαδοχικές

παραγωγισεις στη ∆Ε .


Να λυθεί η ∆Ε στο 0 : 0y xy′′ − =

Λύση

Είναι ∆Ε 2ης τάξης µεταβλητών συντελεστών. Θεωρούµε δυο τιµές τις

1 2(0) , (0)y c y c′= = και αντικαθιστώντας έχω ότι επίσης (0) 0y′′′ = .

Κάνουµε διαδοχικές παραγωγισεις στη ∆Ε για να προκύψουν οι παράγωγοι στο 0 που

είναι συναρτήσει των 1 2,c c και ο τύπος TAYLOR τελικά δίνει ότι : 1 2 ( 1) 1

0 1 0 0 1 0 0 1 00

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ....

1! 2 ! ( 1) !

n nf x x x f x x x f x x x

f x f xn

− −′ ′′− − −= + + + + ⇒

−

32

2 11

3 4

1 2

0( ) .......

1! 2 ! 3!

( ) (1 ....) ( 2 ...)3! 4 !

c x x cxy x c

x xy x c c x

= + + + + ⇒

= + + + + +

Που είναι και η γενική λύση της ∆Ε

ΛΥΣΗ ∆Ε ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ∆Ο ΤΗΣ ∆ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΑΣ (ΟΜΑΛΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ)

Λέµε ότι η ∆Ε έχει λύση µε τη µέθοδο της δυναµοσειράς όταν προκύπτει η σχέση :

0( ) ( )k

ky x a x x= −∑

Με αντικατάσταση της στη ∆Ε και εφαρµογή της µεθόδου προσδιοριστέων συντελεστών

βρίσκουµε τους συντελεστές ka συναρτήσει αυθαίρετων συντελεστών .



Να λυθεί η ∆Ε µε δυναµοσειρά στους 5 πρώτους όρους της 2 0y xy xy′′ ′− + = στο 0

Λύση

Το σηµείο 0 είναι οµαλό σηµείο της ∆Ε άρα υπάρχει λύση στη µορφή σειράς και είναι η

( ) n

ny x a x=∑ όπου αντικαθιστώ αυτό στη ∆Ε και είναι :

( ) 2 ( ) 0n n n

n n na x x a x x a x′′ ′− + =∑ ∑ ∑

Αναπτύσσοντας τους όρους επειδή το πολυώνυµο είναι µηδενικό πρέπει να είναι

µηδενικοί οι συντελεστές. Άρα στην ουσία εκλέγοντας αυθαίρετα ως 0 1 1 2,a c a c= = όλοι

οι άλλοι συντελεστές είναι συναρτήσει των C. Μπορεί να βγει ο αναγωγικός τύπος

λοιπόν που είναι τελικά στη περίπτωση µας 12

2

( 1)( 2)

n nn

na aa

n n

−+

−=

+ + που από εδώ

προκύπτουν οι 5 πρώτοι όροι της ∆Ε.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ FROBENIOUS (ΑΝΩΜΑΛΟ ΣΗΜΕΙΟ)

Θεωρούµε τώρα το 0x να είναι ανώµαλο σηµείο δηλαδή οι συναρτήσεις P , Q να µην

είναι αναλυτικές αλλά οι συναρτήσεις 2

0 0( ) ( ), ( ) ( )x x P x x x Q x− − να είναι αναλυτικές

στο 0x τότε η ∆Ε έχει λύση :

Λύση : 0 0( ) ( ) ( )r n

ny x x x a x x= − −∑

∆είκτρια : ( 1) 0r r mr v− + + =

Όρια : 0

0

0

2

0

lim( ) ( )

lim( ) ( )

x x

x x

m x x P x

v x x Q x

→

→

= −

= −

Η ∆είκτρια εξίσωση είναι 2ο βαθµού και έχει δυο λύσεις. Τότε µας προκύπτουν 3

περιπτώσεις για τη διαφορά τους. 1 2r r−

Περίπτωση Α

Η διαφορά 1 2r r− να µην είναι ακέραιος αριθµός

Τότε οι λύσεις είναι δυο γραµµικά ανεξάρτητες της µορφής

1

2

1 0 0

2 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

r n

n

r n

n

y x x x a x x

y x x x b x x

= − −

= − −

∑∑

Περίπτωση Β

Η διαφορά τους να είναι µηδέν δηλαδή 1 2r r r= = τότε προκύπτουν δυο γραµµικά

ανεξάρτητες λύσεις της µορφής


1 0 0

12

( ) ( ) ( )

( )

r n

ny x x x a x x

yy x

r

= − −

∂=

∂

∑

Περίπτωση Γ

Η διαφορά τους 1 2r r− να είναι ακέραιος αριθµός τότε έχει λύσεις είτε

1

2

1 0 0

2 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

r n

n

r n

n

y x x x a x x

y x x x b x x

= − −

= − −

∑∑

Είτε

1

2

1 0 0

12

( ) ( ) ( )

( )

r n

n

r

y x x x a x x

yy x

r

= − −

∂=

∂

∑


Να λυθεί η ∆Ε µε τη µέθοδο FROBENIOUS 2 1

03 3

y y yx x

′′ ′+ + = στο 0

Λύση

Το 0 είναι ανώµαλο σηµείο όπως βλέπουµε .

Θεωρούµε τις αντίστοιχες 2

0 0( ) ( ), ( ) ( )x x P x x x Q x− − και προκύπτει ότι είναι

2

0 0

2( ) ( ) , ( ) ( )

3 3

xx x P x x x Q x− = − = που αυτές είναι αναλυτικές .

Βρίσκω τα όρια αρχικά που είναι :

0

0

0

2

0

lim( ) ( ) 2 / 3

lim( ) ( ) 0

x x

x x

m x x P x

v x x Q x

→

→

= − =

= − =

Βρίσκω τη δεικτρια που είναι 1

2

0( 1) 0

1/ 3

rr r mr v

r

=− + + = ⇒

= άρα είµαστε στη

περίπτωση Α.

Άρα οι λύσεις είναι οι : 1

2

1

2

( )

( )

r n

n

r n

n

y x x a x

y x x b x

=

=

∑∑

Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσω τους συντελεστές ,n na b κατά τα γνωστά (δηλαδή µε

αντικατάσταση στη εξίσωση ∆Ε και αναπτύσσοντας) και θα βρούµε από κει τους

αναδροµικούς τύπους για τα ,n na b .


7.8 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τα γραµµικά διαφορικά συστήµατα είναι συστήµατα διαφορικών εξισώσεων που τα

ανάγουµε στη µορφή συστηµάτων µε µήτρες για ευκολία λύσης. Έχουν τη γενική µορφή

( ) ( )d Y

A t Y B td t

= +

Όπου φυσικά είναι οι κατάλληλοι πίνακες διαστάσεων που να γίνεται ο

πολλαπλασιασµός. Για ένα 2Χ2 σύστηµα θα µπορούσαµε να πούµε ότι έχει τη µορφή :

1 111 121

21 22 2 22

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y f ta t a tY

a t a t Y f tY

′ = +

′

Θα αναφέρουµε τις δυο βασικές περιπτώσεις των οµογενών µε σταθερούς συντελεστές

και των µη οµογενών µε µη σταθερούς συντελεστές και θα γίνει αναφορά στο τρόπο

λύσης χωρίς παραδείγµατα .

ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

Έχει τη µορφή :

d Y

A Yd t

=

η αλλιώς

111 121

21 22 22

Ya aY

a a YY

′ =

′

Ο πίνακας Α είναι σταθερών όρων (αριθµοί). Ο τρόπος λύσης είναι ο ακόλουθος :

Βρίσκουµε τη χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα Α και κατά συνέπεια τις ιδιοτιµές και

τα ιδιοδιανύσµατα. Καθένα από τα ιδιοδιανύσµατα στη µορφή 1 2

1 2,t ty e y e

λ λ αποτελεί

λύση του συστήµατος δηλαδή η γενική λύση της ∆Ε θα είναι : 1 2

1 1 2 2( )t t

y t c y e c y eλ λ= +

ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Έχει τη µορφή :

( ) ( )d Y

A t Y B td t

= +

ή αλλιώς 1 111 121

21 22 2 22

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y f ta t a tY

a t a t Y f tY

′ = +

′

Ο γενικός τρόπος λύσης είναι ο εξής :


Η γενική λύση είναι ίση µε το άθροισµα της µερικής και της οµογενούς αντίστοιχης και

από τη µέθοδο της µεταβολής των σταθερών (για τη µερική λύση).

ΛΙΓΑ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Θεωρούµε ένα γραµµικό διαφορικό σύστηµα µε τη µορφή που είδαµε πιο πάνω. Είδαµε

πως το οµογενές λύνεται µε τη χρήση της χαρακτηριστικής ορίζουσας και ιδιοτιµών. Αν

οι λύσεις είναι πραγµατικές αρνητικές ή µιγαδικές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος τότε οι

λύσεις του Σ∆Ε χαρακτηρίζονται ασυµπτωτικα ασταθείς. Αν µια τουλάχιστον από τις

ρίζες είναι πραγµατική θετική ή µιγαδική µε θετικό πραγµατικό µέρος τότε οι λύσεις

είναι ασταθείς. Αν οι ρίζες είναι µιγαδικές φανταστικές οι λύσεις είναι ευσταθείς.

Ένα σύστηµα λέγεται αυτόνοµο όταν έχει τη µορφή ( , ), ( , )dy dx

f x y g x ydx dy

= =

δηλαδή το δεύτερο µέλος δεν εξαρτάται από το t. Το σηµείο που µηδενίζει τις

συναρτήσεις είναι το κρίσιµο σηµείο και προφανώς είναι µια λύση του Σ∆Ε .

Με απαλοιφή του t βρίσκουµε µια πλεγµένη συνάρτηση Y=Y(X) που η γραφική της

παράσταση για διάφορες τιµές των σταθερών δίνει το πορτραίτο φάσεων του

συστήµατος.

Σχηµατικά δείχνουµε διάφορα πορτραίτα φάσεων :

Α) Ασταθής κόµβος

Β) Ασταθές σαγµατικο σηµείο

Γ) Αστεροειδης ευσταθής και εκφυλισµένος ασταθής κόµβος


∆) Κέντρο- Ασταθής εστία – Ευσταθής εστία



ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΥ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑ

ΓΕΝΙΚΑ

Είδαµε τα φαινόµενα συνεχούς και διακριτού χρόνου που είναι προσδιοριστικά τώρα

όµως θα εξετάσουµε τα στοχαστικά φαινόµενα. Αρχικά πρέπει να ορίσουµε ένα

µαθηµατικό εργαλείο που θα τα περιγράφει.

8.1 ΟΡΙΣΜΟΙ

Τυχαίο Πείραµα είναι ένα πείραµα τύχης όπου:

Α) όλα τα δυνατά αποτελέσµατα είναι γνωστά από πριν

Β) για κάθε επανάληψη το αποτέλεσµα δεν είναι γνωστό

Γ) το κάθε φορά επαναλαµβάνεται κάτω από απόλυτα όµοιες συνθήκες

Τυποποιώντας αυτό ορίζουµε ότι :

1. Είναι ο δειγµατοχώρος S

2. Το ενδεχόµενο ενδιαφέροντος και τα συναφή του δηλαδή µια σ–άλγεβρα

, , ,0cF A A S= . Επίσης ορίζουµε τη συνάρτηση απεικόνισης P και έτσι

προσάπτουµε πιθανότητες η οποία συνάρτηση φεύγει από το F και πηγαίνει σε

ένα διάστηµα αριθµών που εκφράζουν ποσοτικά την αβεβαιότητα για το

ενδεχόµενο A και αυτή είναι η συνάρτηση πιθανότητας .

3. Ταυτονοµία – Ανεξαρτησία. Η βασική ιδιότητα είναι οι απόλυτα όµοιες συνθήκες

που χρειάζεται αυτονοµία και ανεξαρτησία των επαναλήψεων. Μια νέα

πληροφορία B την εκµεταλλευόµαστε ως δεσµευµένη πιθανότητα (ανήκει στη

σ–άλγεβρα).

4. ∆εσµευµένη Πιθανότητα: Αν έχουµε δυο γεγονότα το Α και το Β τότε λέµε ότι

όταν το ένα συµβαίνει µετά το άλλο θα θεωρούµε τη πιθανότητα δεσµευµένη και

ορίζουµε ότι η δεσµευµένη πιθανότητα του γεγονότος Β δοθέντος του γεγονότος

Α είναι η σχέση : ( )

( / )( )

P A BP B A

P A

∩= .

5. Θα λέµε επίσης ότι δυο γεγονότα είναι στοχαστικά ανεξάρτητα όταν

( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = άρα η δεσµευµένη είναι ( )

( / ) ( )( )

P A BP B A P B

P A

∩= = .

Μπορούµε τώρα λοιπόν να φύγουµε από αυτό το πλαίσιο και να µεταφερθούµε σε ένα

όµοιο του στο οποίο τα ενδεχόµενα να εκφράζονται µε αριθµούς.

8.2 ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ- ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

Τυχαίες Μεταβλητές : Ονοµάζονται οι µεταβλητές που προκύπτουν από το αποτέλεσµα

ενός τυχαίου πειράµατος. ∆ιακρίνονται σε ∆ιακριτές και Συνεχής. Οι διακριτές είναι οι

σηµειακές (σηµεία) και οι συνεχής είναι διαστήµατα. Το Υπόδειγµα είναι η συνάρτηση

πιθανότητας ( , )tf x θ .

Μέχρι τώρα λοιπόν τυποποιήσαµε το τυχαίο πείραµα µε τη µορφή του χώρου

πιθανοτήτων και του τυχαίου δείγµατος και των ανεξάρτητων και ταυτονοµων δοκιµών

και επίσης µεταµορφώσαµε το χώρο πιθανοτήτων στη µορφή µοντέλου πιθανοτήτων f

κρατώντας αναλλοίωτη τη δοµή. Αποµένει να µεταµορφώσουµε το τυχαίο δείγµα σε


όρους πραγµατικών αριθµών δηλαδή να εκφράσουµε τις συνθήκες ανεξαρτησίας και

ταυτονοµιας σε όρους τυχαίας µεταβλητής .

Συνθήκη ανεξαρτησίας

Η συνθήκη ανεξαρτησίας είναι :

1 1 1 2 2 2( , ) ( , ) ( , )... ( , )i n n n

f X f x f x f xθ θ θ θ=

δηλαδή η από κοινού κατανοµή είναι ίση µε το γινόµενο των οριακών κατανοµών .

Συνθήκη Ταυτονοµίας

Έχω την ίδια φόρµουλα F και τις ίδιες παραµέτρους θ για κάθε x δηλαδή έχω ίδιες

ροπές ίδιο µέσο και ίδια διακύµανση άρα έχω Ταυτονοµία και µπορώ να γράψω ότι :

1 1 1 2 2 2

2

( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )

( )

var( )

i i n n n

i

i

f X f x f x f x

E X

X

θ θ θ θ

µ

σ

= = = =

=

=

Περιορισµοί εξάρτησης

1. Μια στοχαστική ανέλιξη tx θα λέγεται ανεξάρτητη. Αν δεν ισχύει αυτό θα

χρησιµοποιούµε την υπόθεση περιορισµού εξάρτησης του MARKOV που λέει

ότι : *

1 2 1 2( / , ,... ) ( / , ,.... )t t t t t tf x x x f x x xθ θ− − − −=

2. Με την έννοια της γραµµικής ανεξαρτησίας θα λέµε ότι:

cov( , ) ( , ) 0,t s t sx x corr x x t s= = ≠

3. Μια στοχαστική ανέλιξη tx θα λέγεται ασυµπτωτικα ασυσχέτιστη αν 0( , ) 0k

t t kcorr x x→

− →

Περιορισµοί ετερογενειας

1. Μια ανεξάρτητη στοχαστική ανέλιξη tx θα είναι αυτόνοµη αν

( ; ) ( ; )t t tf x f xθ θ=

2. Μια µη ανεξάρτητη στοχαστική ανέλιξη θα λέγεται αυστηρά στάσιµη όταν

1 2 1 2( , ,... ; ) ( , ,... ; )T t t T tf x x x f x x xθ θ+ + +=

Στασιµότητα 1ης

τάξης

( ) ( )t t TE x E x µ+= = δηλαδή ίδιος µέσος

Στασιµότητα 2ης

τάξης

2

( )

var( )

cov( , ) (| |)

t

t

t s

E x

x

x x c t s

µ

σ

=

=

= −


8.3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ

Α) ΙDD

Έχω ότι 1 2 1 1 1

1

( , ,... ; ) ( ; ).... ( ; ) ( ; )I D

T T Tf x x x f x f x f xτ

θ θ θ θΤΙ

Τ=

= =∏

Β) Λευκός θόρυβος

2

( ) 0

var( )

cov( , ) 0

t

t

t s

E x

x

x x

σ

=

=

=

δηλαδή στασιµότητα 2ης

τάξης

Γ) Martingate

1 2 1( / , ,...)t t t tE x x x x− − −= στάσιµη 1ης

τάξης

Τυχαίος περίπατος

Γεννιέται από το 1t t tx x u−= + . Αν η στοχαστική ανέλιξη είναι τυχαίος περίπατος

τότε 1t t tY x x −= − που είναι IID ή αλλιώς : 1t t t tY x x u−= − = . Ο τυχαίος

περίπατος δεν είναι στάσιµος 2ης

τάξης γιατί ισχύει ότι :

2

( )

var( )

t

t

E x t

x

µ

τσ

=

=


ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1

Να βρεθεί η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ των παρακάτω ζευγών σηµείων :

1) 4 και -5 στο R

Είναι ( ) 981)5(4)5,4(2 ==−−=−d

2) (-6,2) και (8,-1) στο RxR

Είναι ( ) ( ) 2051286)]1,8(),2,6[(22 =++−−=−−d

3) (5,-3,0,8) και (12,-6,3,1) στο 4R

Είναι

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1164999491830631251,3,6,12,8,0,3,52222 =+++=−+−++−+−=−−d

Άσκηση 2

Για ε = 0,1 και ε = 10 περιγράψτε τις ε – γειτονίες :

1) Για )1(−Ν ε

Είναι ( ) )1,1(1:)1(2 εεε +−−−→+∈=−Ν ≺xRx

Άρα για τις τιµές του ε έχουµε αντίστοιχα (-1-0,1,-1+0,1) = (-1,1 , -0,9) για ε = 0,1 και

(-1-10 , -1+10) = (-11 , 9) για ε = 10

2) Για )1,1(−Ν ε

Είναι ( ) ( ) ε≺22211:),()1,1( −++∈=− yxRyxN

Άρα για ε = 0,1 έχουµε τον ανοικτό κύκλο [ (-1,1) , 0,1 ] κέντρου (-1,1) ακτίνας 0,1 µε

εξίσωση ( ) ( ) 01.01122 =−++ yx

για ε = 10 έχουµε τον ανοικτό κύκλο [ (-1.1) , 10] κέντρου (-1,1) ακτίνας 10 µε εξίσωση

( ) ( ) 1001122 =−++ yx

3) Για )1,1,1( −−Ν ε

Είναι ( ) ( ) ( ) ε≺2223111:),,()1,1,1( ++−++∈=−− zyxRzyxN

Άρα για ε = 0,1 έχουµε την ανοικτή σφαίρα [ (-1,1,-1) , (0,1) ] κέντρου (-1,1,-1) ακτίνας

0,1 µε εξίσωση : ( ) ( ) ( ) 01.0111222 =++−++ zyx και για ε = 10 έχουµε την ανοικτή

σφαίρα [ (-1,1,-1) , 10 ] κέντρου (-1,1,-1) ακτίνας 10 µε εξίσωση :

( ) ( ) ( ) 100111222 =++−++ zyx


Άσκηση 3

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2)( xxf = είναι αυστηρά κυρτή (strictly convex)

Λύση

Για να δείξουµε ότι µια συνάρτηση είναι αυστηρά κυρτή θα πρέπει να δείξουµε αρχικά

ότι είναι κυρτή και έπειτα ότι ισχύει µόνο η ανισότητα για λ ε (0,1).

Έχουµε να δείξουµε ότι 1 2( ) ( ( ) (1 ) ( )f x f x f xλ λ+ −≺ για 1 2,x x στο ΠΟ.

Έχουµε ότι 1 2(1 )x x xλ λ= + −

Παίρνουµε να δείξουµε την ανισότητα ότι ισχύει για τα λ ε (0,1).

Έχουµε :

1 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1

( ) ( ) (1 ) ( )

[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )

[ (1 ) ] (1 )

(1 ) 2 (1 ) (1 )

(1 2 ) 2 2

2

f x f x f x

f x x f x f x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

+ − ⇔

+ − + − ⇔

+ − + − ⇔

+ − + − + − ⇔

+ + − + − + − ⇔

+ + − +

≺

≺

≺

≺

≺

2 2 2 2

2 1 2 1 2 22x x x x x xλ λ λ− + − ⇔≺

(φεύγουν τα 2

2x και από τα δυο µέλη καθώς και το λ ως κοινός παράγοντας και

συνεχίζοντας) 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

2

1 2

2 2 2

2 2

2(1 ) (1 )( )

2

0 ( )

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

λ λ λ

λ λ λ

λ λ

+ − + − − ⇔

+ + − + ⇔

− − + ⇔

+ ⇔

+

≺

≺

≺

≺

≺

που είναι αληθές πάντα αλλά και λόγω συνεπαγωγής ισχύει και η αρχική άρα η

συνάρτηση F είναι αυστηρώς κυρτή.

Άσκηση 4

Να βρείτε τους κυρτούς συνδυασµούς (convex combinations)

1) -2 και 4

Είναι ( 2) (1 )4 6 4x λ λ λ= − + − = − +

2) (-1,1) και (3,4)

Είναι )]43(),34[()4,3)(1()1,1( +−+−=−+−= λλλλx

3) ( -2,0,1) και (1,-2,2)

Είναι )]2(),22(),13[()2,2,1)(1()1,0,2( +−−+−=−−+−= λλλλλx

Άσκηση 5


Η συνάρτηση µέσου κόστους της επιχείρησης Ε δίνεται από τον τύπο :

120202 +−= xxy όπου y είναι το µέσο κόστος σε € ανά µονάδα παραγόµενου

προϊόντος .Η τιµή του προϊόντος είναι 10 € ανά µονάδα . Σε ποιο επίπεδο παραγωγής η Ε

έχει break even (τιµή = µέσο κόστος)

Λύση

Είναι όταν :

2

1 0

1 0 2 0 1 2 0

y

x x

α ν τ ικ α τα σ τα σ η=

= − +

η ∆ιακρινουσα είναι αρνητική

Άσκηση 6

Να δειχθεί ότι η συνάρτηση y x= , x >0 είναι αυστηρά κοίλη ( strictly concave)

Λύση

Αρκεί να δείξουµε ότι για λ ε (0,1) ισχύει ότι 1 2( ) ( ) (1 ) ( )f x f x f xλ λ+ −

Ο κυρτός συνδυασµός είναι 1 2(1 )x x xλ λ= + −

Άρα έστω ότι ισχύει η ανισότητα τότε

1 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2

( ) ( ) (1 ) ( )

[ (1 ) ] (1 )

(1 ) (1 )

(1 ) [ (1 ) ]

(1 ) 2 (1 )

2 2 2

f x f x f x

f x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ


+ − ⇔

+ − + − ⇔

+ − + − ⇔

+ − + − ⇔

+ − + − + − ⇔

+ − + + − + − ⇔

φεύγουν οι ίσοι όροι από τα δυο µέλη και ο κοινός παράγοντας το λ και συνεχίζοντας

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2

1 2

2 2

(1 ) (1 ) 2(1 )

2 0

( ) 0

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

λ λ λ

λ λ λ

+ − + − ⇔

− + − − ⇔

+ − ⇔

+

που ισχύει πάντα άρα και λόγω συνεπαγωγής και η αρχική µας υπόθεση άρα η

συνάρτηση είναι αυστηρώς κοίλη.

Άσκηση 7

Να δειχθεί ότι η 210y x= − είναι strictly concave

Λύση

Αρκεί να δείξουµε ότι για λ ε (0,1) ισχύει ότι 1 2( ) ( ) (1 ) ( )f x f x f xλ λ+ −


Ο κυρτός συνδυασµός είναι 1 2(1 )x x xλ λ= + −

Άρα έστω ότι ισχύει η ανισότητα τότε

1 2

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) (1 ) ( )

10 [ (1 ) ] (10 ) (1 )(10 )

10 (1 ) 2 (1 ) 10 10 10

2 2 2

2 2

f x f x f x

x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ


λ λ λ

+ − ⇔

− + − − + − − ⇔

− − − − − − + − − + ⇔

− − − + − + − − + ⇔

− − − + −

2 2

1 2

2

1 2( ) 0

x

x x

− ⇔

−

ισχύει άρα και η αρχική

Άσκηση 8

Να δειχθεί ότι η 1/ 2

1 2 1 2 1 2( , ) ( ) , , 0y f x x x x x x= = + είναι concave

Λύση

Αρκεί να δείξουµε ότι για λ ε (0,1) ισχύει ότι

1 2

( ) ( ) (1 ) ( )

( , ) ,

( , )

( , )

( , ) ( , )

f X f X f X

X x y

X x y

X x y

o

x x x y

λ λο π ο υ

τ α ν

′ ′′+ −

=

′ ′ ′=

′′ ′′ ′′=

=

Ο κυρτός συνδυασµός είναι

( , ) ( , ) (1 )( , )

( , ) [ (1 ) , (1 ) ]

x y x y x y

x y x x y y

λ λλ λ λ λ

′ ′ ′′ ′′= + − ⇔

′ ′′ ′ ′′= + − + −

Άρα έστω ότι ισχύει η ανισότητα τότε :


1/2 1/2 1/2

2 2

( ) ( ) (1 ) ( )

[ (1 ) (1 ) ] ( ) (1 )( )

( _ )

(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) 2 (1 ) ( ( )

f X f X f X

x x y y x y x y

x x y y x y x y x y x y

x x x y y

λ λ

λ λ λ λ λ λυψωνω τετραγωνο

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

′ ′′+ − ⇔

′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ − + + − + + − + ⇔

′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ − + + − + + − + + − + + ⇔

′ ′′ ′′ ′ ′′ ′+ − + + −

2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

(1 2 )( )

2 ( )( ) 2 ( )( )

2

2 2 ( )( ) 2 ( )( )

y x y x y

x y x y x y x y

x x x y y y x y x y x y x

y x y x y x y x y

x y x y

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ

′ ′ ′ ′′ ′′+ + + − +

′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + − + + ⇔

′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′+ − + + − + + + + + − −

′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + − + + ⇔

′ ′ ′ ′ ′′+ + +

2

22 ( )( ) 2 ( )( )

_ _ _ _ _ _ _

2 ( )( ) 2 ( )( )

(1 )( ) ( 1)( ) 2(1

x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y

λ λ λ

λ λ

λ κοινος παραγοντας φευγει απο τα δυο µελη

λ λ λ λ λ

λ λ

′′ ′′ ′′+ − −

′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + − + + ⇔

′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + + − − + + + − + + ⇔

′ ′ ′′ ′′− + − + − −

2

) ( )( )

_(1 )_

( ) ( ) 2 ( )( ) 0

[ ] 0

x y x y

To

x y x y x y x y

x y x y

λ

λ φευγει

′ ′ ′′ ′′+ + ⇔

−

′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′+ + + + + + ⇔

′ ′ ′′ ′′+ + +

Άσκηση 9

Να δειχθεί ότι η ακολουθία 1

( ) , 1,2,3,.......f n nn

= = συγκλίνει στο 0

Λύση

Θεωρούµε την ακολουθία 1

( ) , 1,2,3,.......f n nn

= = και εξετάζουµε αν συγκλίνει

Όποτε έχουµε 1

lim ( ) lim 0 1n n

f nn→∞ →∞

= = ≺ άρα η ακολουθία συγκλίνει


Άσκηση 10

Υπολογίστε την παρούσα αξία 500 € που θα εισπραχθούν ένα έτος από σήµερα όταν το

επιτόκιο είναι 8%

Λύση

Θεωρώντας ότι για t = 1 (ανά έτη ) και µε επιτόκιο r = 0.08 η παρούσα αξία είναι για ένα

έτος των 500€

1

5 0 0 5 0 04 6 2 , 9 6 2

(1 ) (1 0 . 0 8 ) 1 . 0 8t t

VP V

r= = = =

+ +

Άσκηση 11

Έστω ένα επιτόκιο r τέτοιο ώστε η παρούσα αξία να πάρουµε 2V € σε 2t έτη από σήµερα

ισούται µε τη παρούσα αξία να πάρουµε 1V € σε 1t έτη από σήµερα µε 2 1t t Υποθέστε

ότι το επιτόκιο λογίζεται ετησίως

Α) να δειχθεί ότι 2 1V V

Β) να δειχθεί ότι η παρούσα αξία 2V € , 2( )t k+ έτη από σήµερα είναι ίση µε τη παρούσα

αξία 1V € , 1( )t k+ έτη από σήµερα για οποιαδήποτε τιµή του k δηλαδή µας ενδιαφέρει η

απόλυτη διαφορά των χρονικών περιόδων

Λύση

Ο υπολογισµός της παρούσας αξίας δίνεται από τον τύπο

(1 )t t

VPV

r=

+ µε V το αρχικό κεφάλαιο , r το επιτόκιο και t το χρόνο

θεωρούµε ότι έχουµε δυο παρούσες αξίες για αντίστοιχα δυο κεφάλαια το 1 1( )V t και το

2 2( )V t άρα για καθένα από αυτά αντίστοιχα η παρούσα αξία του είναι

1

11 1( )

(1 ) t

VPV t

r=

+ και

2

22 2( )

(1 ) t

VPV t

r=

+ µε το ίδιο επιτόκιο

Α) Γνωρίζουµε όµως ότι οι παρούσες αξίες είναι ίσες άρα εξισώνουµε τις δυο εξισώσεις

και έχουµε

1 2

1 21 1 2 2( ) ( )

(1 ) (1 )t t

V VPV t PV t

r r= ⇔ =

+ +

όµως 2 1t t και επειδή το 1+r είναι σταθερό άρα προκύπτει ότι 2 1(1 ) (1 )t tr r+ +

όµως για να ισχύει η ισότητα στα κλάσµατα θα πρέπει εκ των παραπάνω να ισχύει :

2 1V V

Β) Θα δείξουµε ότι µας ενδιαφέρει η απόλυτη διαφορά των χρονικών περιόδων για κάθε

k έτη που προστίθονται

Η κάθε αντίστοιχη παρούσα αξία στη περίπτωση αυτή είναι

1

11 1( )

(1 )t k

VP V t k

r++ =

+ και

2

22 2( )

(1 )t k

VP V t k

r++ =

+ το k να παίρνει

οποιαδήποτε τιµή (φυσικά για k = 0 ανάγεται το πρόβληµα στη πρώτη περίπτωση άρα

ισχύει εκ της υπόθεσης)

Από υπόθεση γνωρίζουµε ότι


1 1 2 2( ) ( )PV t PV t= σχέση (α)

έχουµε

1 1 2 2( ) ( )PV t k PV t k+ = + ⇔

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )t k t k t t t tk k

V V V V V V

r r r r r r r r+ += ⇔ = = =

+ + + • + + • + + +

που ισχύει λόγω της σχέσης (α) άρα ισχύει και η αρχική µας υπόθεση

άρα οι παρούσες αξίες είναι ίσες ανεξάρτητα τα k έτη που προστιθονται

Άσκηση 12

Έστω η σειρά , 0na c c= µια σταθερά τότε να δείξετε ότι αυτή είναι ένα παράδειγµα

σειράς όπου

1lim 1n

nn

a

a

+

→∞= και ότι είναι αποκλίνουσα

Λύση

Η σειρά είναι γράφεται ως εξής :

1

n i

i

a a nc∞

=

= =∑ . Ο κάθε όρος της σειράς είναι ίσος µε c άρα ο νιόστος επίσης και ο n+1

άρα για το όριο έχω : 1lim | | lim | | 1n

n nn

a c

a c

+

→∞ →∞= =

Θα δείξουµε τώρα ότι η σειρά είναι αποκλίνουσα. Όταν µια σειρά έχει όριο ίσο µε 1 τότε

είτε συγκλίνει είτε αποκλίνει. Αν υποθέσουµε ότι συγκλίνει τότε για κάθε ε > 0 θα

υπάρχει το διάστηµα (1-ε,1+ε) τέτοιο ώστε να περιέχει άπειρους όρους της εκτός

πεπερασµένου πλήθους άτοπο άρα η σειρά αποκλίνει.

Άσκηση 13

Υποθέστε µια αρχική αυτόνοµη αύξηση της κυβερνητικής δαπάνης στα 50 έκατ €. Τα

νοικοκυριά δαπανούν το 75% του πλεονάσµατος εισοδήµατος τους στην εγχώρια αγορά

αγαθών και υπηρεσιών. Να εκτιµηθεί η συνολική επίπτωση στην οικονοµία σύµφωνα µε

το υπόδειγµα του Κευνσιανου πολλαπλασιασµού.

Λύση

Θεωρούµε ότι η κυβέρνηση κάνει µια αύξηση της κυβερνητικής δαπάνης ύψους 50

εκατοµ € και τα νοικοκυριά δαπανούν το 75% στην εγχώρια αγορά αγαθών

Άρα η αρχική δαπάνη είναι 50.000.000 0,75 37.500.000• =

Αυτό µε τη σειρά του παράγει νέο εισόδηµα και το 75% σταθερά δαπανάται στην

εγχώρια αγορά άρα µε τον τρόπο αυτό προκύπτει ότι

1ος

γύρος δαπάνης 50,000,000

2ος

γύρος δαπάνης 50.000.000 0,75 37.500.000• =

3ος

γύρος δαπάνης 37.500.000 0.75 28.125.000• =

4ος

γύρος δαπάνης 28.125.000 0.75 21.093.750• =

Κ.ο.κ.


Άρα η γεωµετρική σειρά είναι µε α = 50.000.000 και ρ = 0,75 250.000.000 50.000.000(0.75) 50.000.000(0.75) ............+ + +

Το όριο είναι 50.000.000

200.000.0001 0.75

=−

€

Ο πολλαπλασιαστής του KEYNES είναι

1 14

1 0.25M

MPC= = =

−

ΦΥΛΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2

Άσκηση 1

∆είξτε σε ποιο σηµείο οι συναρτήσεις παρακάτω δεν είναι συνεχής και εξηγήστε ποιοι

από τους όρους του ορισµού της σελίδας 33 δεν ικανοποιούνται

Α) 2 3, 1

( )5, 1

x xf x

x x

+ <=

+ ≥ και Β) ( ) 1/f x x=

Λύση

Α) Η συνάρτηση έχει δυο κλάδους όπου αλλάζει ο τύπος της στο σηµείο χ = 1 .Ανά

κλάδο η συνάρτηση είναι συνεχής ως παραγωγισιµη γιατί είναι γραµµική Θα εξετάσουµε

άρα τη συνέχεια στο σηµείο χ=1 Για να εξετάσουµε τη συνέχεια στο σηµείο χ=1 θα

πάρουµε τα πλευρικά όρια

Είναι

1

1

lim ( ) 5

lim ( ) 6

x

x

f x

f x

−

+

→

→

=

= άρα είναι διαφορετικά άρα δεν ορίζεται η συνέχεια στο χ=1

Β) Η συνάρτηση ( ) 1/f x x= είναι παραγωγισιµη άρα και συνεχής εκτός του σηµείου

που δεν ορίζεται η συνάρτηση και είναι εκεί που µηδενίζεται ο παρονοµαστής δηλαδή

στο σηµείο χ=0


Άσκηση 2

∆ίνονται οι συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης ( ) 50 2D p p= − και ( ) 10S p p= − +

Να κάνετε το διάγραµµα D(p) , S(p) και Ζ = D-S και να βρείτε τη τιµή και τη ποσότητα

ισορροπίας Ικανοποιούνται οι συνθήκες 1,2 της σελίδας 38?

Λύση

θεωρούµε τις συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης και ορίζουµε ep τη τιµή ισορροπίας

όταν είναι ( ) ( )e eD p S p=

Πρέπει να προσδιορίσουµε τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη ισορροπίας

Καταρχήν βρίσκουµε τη συνάρτηση πλεονασµατικής ζήτησης που είναι η

( ) ( ) ( )

( ) 60 3

Z p D p S p

Z p p

= − ⇔

= −

Η συνθήκη Α θέτει ότι (0) 0 60 0Z > ⇔ > άρα ισχύει

Άρα από συνθήκη Β υπάρχει ένα p έτσι ώστε ˆ( ) 0Z p < και ικανοποιείται για όλες τις

τιµές του p όταν 20p >

Άρα για την ύπαρξη θετικής ισορροπίας έχω ότι ( και αφού για τους συντελεστές είναι

50 10> − ) υπάρχει το σηµείο ep που είναι σηµείο ισορροπίας δηλαδή Ζ = 0 άρα είναι

60ep =

Άσκηση 3

Έστω η συνάρτηση 2y x= και το σηµείο Ρ(20,400) Να βρεθεί ο λόγος y

x

∆∆

για κάθε

τέµνουσα που ενώνει καθένα από τα σηµεία Α(25,625) , Β(24,576) , Γ(23,529) ∆(22,484)

και Ε(21,441) Να βρείτε το διαφορικό και να υπολογίσετε το σφάλµα ε

Λύση

Για κάθε ένα από τα σηµεία αυτά , µε το Ρ θα υπολογίσουµε τη κλίση της τέµνουσας άρα

είναι

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4

Σειρά2

Σειρά1


400 625: 45

20 25

yAP

x

∆ −= =

∆ −

400 576: 44

20 24

yBP

x

∆ −= =

∆ −

400 529 129:

20 23 23

yP

x

∆ −Γ = =

∆ −

400 484: 42

20 22

yP

x

∆ −∆ = =

∆ −

400 441: 41

20 21

yEP

x

∆ −= =

∆ −

Το διαφορικό είναι 2dy

dy xdxdx

⇔ =

Το σφάλµα θα είναι y dy e e y dy∆ = + ⇔ = ∆ −

Βρίσκω µια εφαπτοµένη της συνάρτησης που είναι η 2 1y x= − άρα για µια τυχαία

µεταβολή οχ χ=2 (1→3) το σφάλµα είναι 8 4 4y dy e e y dy∆ = + ⇔ = ∆ − = − =

Άσκηση 4

Είναι παραγωγισιµη η συνάρτηση 3 2, 5

( )12, 5

x xf x

x x

+ ≤=

+ > σε ποιο σηµείο δεν είναι και

γιατί?

Λύση

Η συνάρτηση είναι παραγωγισιµη κατά κλάδους άρα και συνεχής ( ως γραµµική)

Θα εξετάσουµε στο σηµείο χ=5 τι γίνεται µε τα πλευρικά όρια διαφορισιµοτητας

Είναι

0

(5 ) (1)lim 5

Dx

f Dx f

Dx−→

+ −= και

0

(5 ) (1)lim 13

Dx

f Dx f

Dx+→

+ −= που είναι διαφορετικά άρα δεν

είναι συνεχής στο σηµείο χ=5

Άσκηση 5

Ένας µονοπωλητής έχει αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης p a bq= − να βρείτε την

συνάρτηση οριακού εισοδήµατος

Λύση

Η συνάρτηση οριακού εισοδήµατος είναι η ( ) ( ) ( 1)MR q p q p b a bq a b q′= + = − + − = − −

Άσκηση 6

Να δείξετε ότι η συνάρτηση 4( )f x x= ικανοποιεί τον ορισµό της γνησίως κυρτής

Λύση

Η συνάρτηση είναι παραγωγισιµη άρα και συνεχής στο σύνολο των πραγµατικών

αριθµών

Η δεύτερη παράγωγος είναι 2( ) 12 0,f x x x R′′ = ≥ ∀ ∈ άρα είναι γνησίως κυρτή


Άσκηση 7

Έστω η συνάρτηση παραγωγής 1/3y x= για χ>0 βρείτε την συνάρτηση κόστους

0( ) ( )C y c rg y= + όπου ( )x g y= είναι η αντίστροφη συνάρτηση παραγωγής και δείξτε

ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι strictly concave ενώ η συνάρτηση κόστους είναι

strictly convex

Λύση

Θεωρούµε τη συνάρτηση παραγωγής που είναι η 1/3 5/320

9y x y x

−′′= ⇔ = − ≤ πάντα

s. concave µε αντίστροφη την 3( )x g y y= =

Η συνάρτηση κόστους είναι η 0

3

0

( ) ( )

( ) ( ) 6 0

C y c rg y

C y c ry C y ry

= + ⇔

′′= + ⇔ = ≥ πάντα s.convex

Και βλέπουµε ότι

Άσκηση 8

Με τη χρήση αναπτύγµατος TAYLOR να βρείτε µια εκτίµηση της συνάρτησης

( ) xf x e−= για [0,1]x∈ µε επιλογή το 0

Λύση

Η εκτίµηση της συνάρτησης ( ) xf x e−= για το χ=0 είναι µε το ανάπτυγµα της σειράς

TAYLOR 1 2 ( 1) 1

0 0 0 0 0 00

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ....

1! 2! ( 1)!

n n

n


n

− −′ ′′− − −= + + + + + ⇔

−

2 ( 1) 10 (0) (0) (0)

( ) ....1! 2! ( 1)!

n n

n

f x f x f xf x e R

n

− −′ ′′= + + + + + ⇔

−i i i

1 2 1 1( 1) ( 1)( ) 1 ....

1! 2! ( 1)!

n n

n

x x xf x R

n

− −− −= + + + + + ⇔

−i i

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4

X

Y

Σειρά2

Σειρά1


Άσκηση 9

Έστω 3 2( ) 12 50 20 , 0C y y y y y y= − + + ≥ βρείτε και σχεδιάστε σε ποιο διάστηµα είναι

κυρτή και σε ποιο κοίλη

Λύση

Παίρνω τη συνάρτηση και βρίσκω την δεύτερη παράγωγο (είναι παραγωγισιµη και

συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της )

Είναι λοιπόν 3 2( ) 12 50 20, 0C y y y y y= − + + ≥

2( ) 3 24 50, 0C y y y y′ = − + ≥

( ) 6 24, 0C y y y′′ = − ≥

Άρα από τη δεύτερη παράγωγο έχω ότι είναι το πρόσηµο της σε κάθε διάστηµα

0, 4C y′′ ≥ ≥ και 0,0 4C y′′ ≤ ≤ ≤

Άρα κυρτή είναι στο πρώτο διάστηµα και κοίλη είναι στο δεύτερο διάστηµα

Σχηµατικά έχω

ΦΥΛΛΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3

Άσκηση 1

Να βρεθούν οι τιµές των Χ και Υ αν 1 2 1

2 0 2

y

x y

= −

Λύση

Έχω ότι

1 2 1

2 0 2

y

x y

= −

Για να είναι οι δυο µήτρες ίσες θα πρέπει κάθε στοιχείο τους να

είναι ίσο αντιστοίχως άρα προκύπτει ότι

0

20

40

60

80

100

120

140

1 2 3 4 5

Σειρά1


1 2 1 2

2 0 2 0 2

y y

x y x y x y

= = ⇔ − − = ⇒ = =

Άσκηση 2 Οµοίως για τα επόµενα

Λύση

Έστω ότι

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

y z

y z

y z

=

από τη πρώτη γραµµή προκύπτει ότι 0

0

y

z

=

= και από τη 3η στήλη προκύπτει ότι

0

1

z

kai

z

= =

άρα οι πίνακες δεν είναι ίσοι

Άσκηση 3

Μια εταιρία παράγει 3 προϊόντα και οι ποσότητες αυτών είναι σε δεδοµένη στιγµή

15000

27000

13000

q

=

µε τιµές [ ]10,12,5p = .Για τη παραγωγή χρησιµοποιούνται οι εισροές

11000

30000Z

=

µε κόστος [ ]20,8W = Να βρεθεί το κέρδος

Λύση

Το κέρδος είναι pq wzΠ = − άρα έχω από το τύπο

[ ] [ ]15000

1100010 __12 __ 5 27000 20 __ 8

3000013000

(10 15000 12 27000 5 13000) (20 11000 8 30000)

539000 460000 79000

pq wzΠ = − ⇔

Π = − ⇔

Π = + + − + ⇔

Π = − =

i i i i i

Άσκηση 4

Να γίνει ο πολ/σµος των διανυσµάτων ΑΒ και ΒΑ

Λύση

[ ]1_ 2 _ 0

1

0

1

A

B

=

− =

Αυτά είναι τα διανύσµατα


Επειδή είναι διανύσµατα και ζητάω το Εσωτερικό γινόµενο έχω ότι ισχύει και ο νόµος

της αντιµεταθετικοτητας άρα είναι 3

1

1 0 0 1i i

i

A B a b B A=

= = − + + = − =∑ i i

Άσκηση 5

Να δειχθεί ότι ( )T T TA B A B+ = + όταν 1 2

3 0A

=

και 3 1

1 1B

= −

Λύση

Ισχύει από ιδιότητα ότι για κάθε τετραγωνική µήτρα ( )T T TA B A B+ = +

Αρκεί να το δείξουµε για τους συγκεκριµένους πίνακες

Έχω ότι

4 3

2 1A B

+ =

άρα ο ανάστροφος του αθροίσµατος είναι

4 2( )

3 1

TA B

+ =

Βρίσκω τους ανάστροφους κάθε πίνακα ξεχωριστά που είναι

1 3

2 0

3 1

1 1

T

T

A

kai

B

=

− =

και τώρα βρίσκουµε το άθροισµα αυτών που είναι

4 2

3 1

T TA B

+ =

που είναι ίσα άρα ισχύει

Άσκηση 6

Να υπολογιστεί το κέρδος αν

2000

3000

6000

q

=

,

10

15

20

p

=

,

2000

2500

2000

Z

=

,

5

10

15

W

=

Λύση

Ο τύπος του κέρδους είναι pq wzΠ = − και επειδή δεν γίνονται οι πολ/σµοι θα

χρησιµοποιήσουµε τους ανάστροφους όπου χρειάζεται άρα έχω

185000 65000 120000

T Tq p z wΠ = − ⇔

Π = − =

Άσκηση 7

Εάν : (3 5)A ⊗ και : (3 7)AB ⊗ τότε ποια είναι η διάσταση της Β

Λύση


Έστω ότι η διάσταση της Β είναι n m⊗ . Για να γίνεται ο πολ/σµος θα πρέπει σύµφωνα

µε τον κανόνα για τις διαστάσεις : 5

(3 5) ( ) (3 7)7

nn m

m

=⊗ • ⊗ = ⊗ ⇔

=

Άσκηση 8

Με τι ισούται tr(In) µε Ι µοναδιαία µήτρα

Λύση

Ψάχνουµε το ίχνος της µοναδιαίας µήτρας Ι άρα είναι

1 1

( ) (1)n n

n ii

i i

tr I a n= =

= = =∑ ∑

Άσκηση 9

Έστω 1 1

x xA

x x

− = − −

αναλλοίωτη?

Λύση

Αναλλοίωτη σηµαίνει ότι η µήτρα υψωµένη σε κάθε δύναµη είναι ίση µε την αρχική

δηλαδή 2 3 .... n

A A A A= = =

Η σωστή λύση είναι επαγωγικά

Είναι

Α) Για n =2 έχω

1 1

x xA A A

x x

− = = − −

i άρα ισχύει

Β) έστω ότι ισχύει για n = k δηλαδή kA A=

Γ) θα δείξω ότι ισχύει για n = k +1

Είναι 1 2k k

A A A A A A A+ = = = =i i άρα ισχύει άρα και η αρχική

Άσκηση 10

Έστω 1 3

2 4A

− = −

και 5

3X

=

Να υπολογίσετε ( ) , , ,T T T T TAX X A XX X X . Ορίζεται

η T TA X ?

Λύση

Αρχικά βλέπουµε ότι γίνεται ο πολ/σµος µεταξύ των µήτρων ο οποίος βλέπουµε ότι είναι

εφικτός

Βρίσκουµε τη µήτρα του πολ/σµου ΑΧ που είναι

4

2AX

− = −

άρα ο ανάστροφος αυτού είναι [ ]( ) 4 __ 2TAX = − −

Υπολογίζουµε το ( )T T TX A AX= από γνωστή ιδιότητα


Υπολογίζουµε τον [ ]5 25 15

5 __ 33 15 9

TXX

= =

Υπολογίζουµε τον 25 15

15 9

TX X

=

Εξετάζουµε αν ορίζεται ο T TA X

Ο 1 2

3 4

TA−

= − και ο [ ]5 __ 3T

X =

Ο ένας είναι διάστασης 2×2 και ο άλλος είναι 1×2 οπότε δεν ορίζεται ο πολλ/σµος


Άσκηση 1

Να βρεθούν οι αντίστροφες µήτρες των ακολούθων

Λύση

1) 5 0

0 3A

=

Βρίσκω αρχικά την ορίζουσα της Α που είναι

| | 15A = άρα υπάρχει αντίστροφη

όποτε η αντίστροφη µήτρα της Α είναι η 13 01

0 515A−

=

2) 3 2

1 1A

= −

. Βρίσκω πάλι την ορίζουσα που είναι | | 5A =

άρα η αντίστροφη υπάρχει και είναι η µήτρα 11 21

1 35A− −

=

3) 1 2

2 4A

=

Βρίσκω την ορίζουσα της Α που είναι |Α| = 0

Άρα δεν υπάρχει αντίστροφη

Άσκηση 2

Έστω στο παράδειγµα εχω ότι 2 1

3 4A

=

Α) Εάν η επιχείρηση θέλει να παράγει 5

µονάδες του προϊόντος 1Y και 10 µονάδες του

2Y πόσες ποσότητες των εισροών 1 2,Z Z

θα χρειαστεί?

Β) Έστω ότι οι τιµές των εισροών είναι 5€ και 10€ αντίστοιχα δηλαδή 5

10W

=

τότε

πως ερµηνεύουµε το TW AY ? Είναι βαθµωτο η µήτρα?

Λύση


Η επιχείρηση παράγει δυο προϊόντα 1Y και

2Y µε τη χρήση εισροών 1 2,Z Z σύµφωνα µε

τη µήτρα input requirements Α που είναι :

2 1

3 4A

=

Αν παράγει 5 µονάδες του 1Y και 10 µονάδες του 2Y τότε οι ποσότητες εισροών 1 2,Z Z

είναι

1 1

2 2

1

2

1

2

2 1 5

3 4 10

20

55

Z YA

Z Y

Z

Z

Z

Z

= ⇔

= ⇔

=

B) Είναι

[ ]2 1 5

5 __10 4953 4 10

TW AY

= =

που είναι βαθµωτό και εκφράζει το συνολικό

κόστος των εισροών για τη παραγωγή µιας µονάδας από κάθε προϊόν

Άσκηση 3

Να υπολογίσετε την ορίζουσα 3| |A της µήτρας

1 0 1

1 1 2

1 2 1

A

=

Λύση

Αρχικά βρίσκω την δύναµη της µήτρας 3ου βαθµού και µετά από τις πράξεις έχω ότι είναι

3

6 6 8

13 15 19

13 14 17

A

=

οπότε η ορίζουσα είναι : 3

3

| | 6(15 17 14 19) 6(14 17 13 19) 8(14 14 15 13)

| | 4

A

A

= • − • − • − • + • − • ⇔

= −

Άσκηση 4

Να αποδείξετε τις ιδιότητες αντίστροφης µήτρας

Αποδείξεις

Οι ιδιότητες είναι

- 1 1 1( )AB B A− − −= όταν οι Α,Β είναι ίδιας διάστασης

- 1 1( )A A− − =

- 1 1( ) ( )T TA A− −=


- 1 1| |

| |A

A

− =

θα αποδείξουµε τις ιδιότητες

Α) έχουµε

Αρκεί να δείξουµε ότι το γινόµενο 1 1( )( )AB B A− − δίνει τον µοναδιαίο άρα έχω 1 1 1 1 1 1( )( ) ( )AB B A A BB A AIA AA I− − − − − −= = = =

Β) Η αντίστροφη της αντίστροφης είναι η ίδια η µήτρα άρα είναι 1 1 1 1( ) ( ) ( )A A A A I− − − −= = άρα ισχύει

Γ) Ο αντίστροφος του ανάστροφου είναι ίσος µε τον ανάστροφο του αντίστροφου

Είναι 1

1

1

1

( )

( )

( )

T T

T T

T T

AA I

AA I

A A I

A A I

οµοιως

−

−

−

−

= ⇔

= ⇔

=

=

άρα έχω ότι 1 1( ) ( )T TA A− −=

∆) θέλω να δείξω ότι 1 1| |

| |A

A

− = (θα χρησιµοποιήσω την ιδιότητα 1 1( )A A− − = )

Είναι 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1

(3)

( ) ( )

| ( ) | | |

| ( ) || | 1

| || | 1

1| |

| |

AA I

A A I οριζουσες

−

− − −

− − −

− − −

−

−

= ⇔

= ⇔

Α Α = Ι ⇔

Α Α = ⇔

Α Α = ⇔

Α =Α

Άσκηση 5

Να βρεθεί το µήκος των διανυσµάτων κατά σειρά

Λύση

Α)

1

2

1

W

= −

Το µήκος του W διανύσµατος είναι 2 2 21 2 ( 1) 6W = + + − =

Β)

1

2

1

V

− = −

Το µήκος του διανύσµατος V είναι 2 2 2( 1) ( 2) 1 6V = − + − + =


Γ)

0

0

1

Q

= −

Το µήκος του διανύσµατος είναι 1Q =

∆)

1/ 3

1/ 3

1/ 3

P

=

Το µήκος του διανύσµατος είναι 23(1/ 3) 1/ 3P = =

Άσκηση 6

Να βρείτε τη γωνία των ζευγών διανυσµάτων που ακολουθούν αν είναι ορθογώνια

Λύση

Α)

1 1

0 , 0

1 1

Y W

= = −

Άρα η γωνία τους είναι 1 0 1

cos 02 2

TW Y

W Yφ

+ −= = = άρα ορθογώνια

Β)

0 3

0 , 1

1 0

Y W

= = −

Οµοίως έχω ότι

0 0 0cos 0

1 10

TW Y

W Yφ

+ += = = άρα ορθογώνιο

Γ) 1 2

,2 1

Y W−

= =

οµοίως έχω

2 2cos 0

5 5

TW Y

W Yφ

− += = = άρα ορθογώνια

Άσκηση 7

Έστω V το θετικό τεταρτηµόριο στους άξονες Χ,Υ το οποίο ορίζεται ως εξής

: , 0x

V x yy

= ≥

τότε

Α) Αν τα διανύσµατα W και Q στο V είναι και το άθροισµα τους ?

Β) Εάν W είναι στο V και λ βαθµωτος το γινόµενο λW είναι στο V?

Γ) Με βάσει τα παραπάνω το V αποτελεί διανυσµατικό χώρο?

Λύση


Α) Θεωρούµε δυο διανύσµατα του V το a

Wb

=

και το c

Qd

=

µε a,b,c,d, στο θετικό

τεταρτηµόριο και παίρνω το άθροισµα τους που είναι W+Q άρα έχω ότι

a c a cW Q V

b d b d

+ + = + = ∈ +

(ως διάνυσµα στο θετικό τεταρτηµόριο )

Β) Αν το λ είναι βαθµωτό και θετικό η µηδέν τότε ο πολ/σµος µε το W δίνει διάνυσµα

του συνόλου V στο θετικό τεταρτηµόριο δηλαδή

xW V

y

λλ

λ

= ∈

αν το λ είναι αρνητικό τότε δεν δίνει διάνυσµα στο χώρο

Γ) Με βάση τον ορισµό του ∆Χ το σύνολο V είναι διανυσµατικός χώρος για λ>0 γιατί

είναι κλειστό ως προς τις πράξεις. Έχει βάση τα µοναδιαία ιδιοδιανυσµατα και είναι

ανεξάρτητος


Άσκηση 1

Με τη µέθοδο CRAMER να λυθεί το σύστηµα (Α) και (Β)

(Α)

1 2

1 3

2 3

2 7

3 8

2 3

x x

x x

x x

− + =

− + = −

+ = −

(Β)

2 4 3

3 2 1

6 5 5

x x x

x x x

x x x

+ − =

− + = −

+ + =

Λύση

Για το (Α)

Σχηµατίζω τη µήτρα των συντελεστών των άγνωστων που είναι η Α τη µήτρα των

άγνωστων Χ και τη µήτρα των σταθερών αριθµών τη Β και είναι κατά σειρά

2 1 0

3 0 1

0 1 2

A

− = −

,

1

2

3

x

X x

x

=

και

7

8

3

B

= − −

Έχω ότι | | 8A = άρα υπάρχει η αντίστροφη οπότε δουλεύω µε τη µέθοδο Cramer και

σύµφωνα µε τη θεωρία µου οι λύσεις είναι

- 11

| |

| |

Ax

A= όπου

1

7 1 0

8 0 1

3 1 2

A

= − −

και 1| | 6A = άρα 1

1

| | 6

| | 8

Ax

A= =

- 22

| |

| |

Ax

A= όπου 2

2 7 0

3 8 1

0 3 2

A

− = − − −

και 2| | 16A = άρα 22

| | 162

| | 8

Ax

A= = =

- 33

| |

| |

Ax

A= όπου 3

2 1 7

3 0 8

0 1 3

A

− = − − −

και 3| | 14A = − άρα 33

| | 14 7

| | 8 4

Ax

A= = − = −


Για το (Β)

Σχηµατίζω πάλι τη µήτρα των συντελεστών των άγνωστων τη µήτρα των άγνωστων και

τη µήτρα των σταθερών όρων και είναι

2 4 1

1 3 2

6 5 1

A

− = −

,

1

2

3

x

X x

x

=

και

3

1

5

B

= −

Βρίσκω την ορίζουσα της µήτρας Α που είναι | | 5A = − άρα υπάρχει αντίστροφη όποτε

δουλεύω µε τη µέθοδο Cramer και σύµφωνα µε τη θεωρία µου οι λύσεις είναι

- 11

| |

| |

Ax

A= όπου 1

3 4 1

1 3 2

5 5 1

A

− = − −

και 1| | 5A = − άρα 11

| | 51

| | 5

Ax

A

−= = =

−

- 22

| |

| |

Ax

A= όπου 2

2 3 1

1 1 2

6 5 1

A

− = −

και 2| | 0A = άρα 2

2

| |0

| |

Ax

A= =

- 33

| |

| |

Ax

A= όπου 3

2 4 3

1 3 1

6 5 5

A

= − −

και 3| | 25A = − άρα 33

| | 255

| | 5

Ax

A

−= = =

−

Άσκηση 2

Για τη µήτρα 2 1

1 2A

=

να γράφει η χαρακτηριστική εξίσωση και να βρεθούν οι

χαρακτηριστικές τιµές τα αντίστοιχα ιδιοδιανυσµατα και να διαγωνοποιησετε τη µήτρα

Α

Λύση

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι :

2

2 1 1 0 2 1| | 0 | | 0 | | 0

1 2 0 1 1 2

(2 ) 1 0

Aλ

λ λλ

λ

− − Ι = ⇔ − = ⇔ = ⇔ −

− − =

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι χαρακτηριστικές τιµές της χαρακτηριστικής

εξίσωσης που είναι οι 1

2

3

1

λ

λ

=

=

Για κάθε ένα από τα λ παίρνουµε το αντίστοιχο χαρακτηριστικό διάνυσµα (ιδιοδιανυσµα)

δηλαδή

• Για λ = 3 έχω

1 1 0( 3 ) 0

1 1 0

0

0

xA X

y

x yx y

x y

− − Ι = ⇔ = ⇔ −

− + =⇔ =

− =

i


άρα το ιδιοδιανυσµα είναι για τη τιµή λ = 3 το 1

1X x

=

µε dim = 1

• Για λ = 1 έχω

1 1 0( 1 ) 0

1 1 0

0

0

xA X

y

x yx y

x y

− Ι = ⇔ = ⇔

+ =

⇔ = −+ =

i

άρα το ιδιοδιανυσµα είναι 1

1X x

= −

µε dim = 1

Τώρα θα διαγωνοποιησουµε το πίνακα

Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι το

2 2( ) (2 ) 1 4 3AX λ λ λ λ= − − = − + µε τις ρίζες 1

2

3

1

λ

λ

=

=

Τα 2 χαρακτηριστικά διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα άρα ο πίνακας

διαγωνοποιηται

Ο πίνακας Ρ για τον οποίο ισχύει 1P AP

− να είναι διαγώνιος έχει στήλες τα

χαρακτηριστικά διανύσµατα από τις χαρακτηριστικές τιµές άρα φτιάχνω το πίνακα Ρ που

είναι 1 1

1 1P

= −

και ο αντίστροφος του είναι ο 11 11

1 12P− − −

= − −

Άρα εύκολα βρίσκουµε ότι 11 0

0 3P AP−

=

άρα ο Α διαγωνοποιηται

Άσκηση 3

Έστω η µήτρα 1( )T TP X X X X−=

(Α) Να δείξετε ότι η µήτρα είναι εκθετικά αναλλοίωτη

(Β) Αν

1 2

1 4

1 1

1 3

X

=

να βρείτε τις ιδιοτιµες της Ρ

Λύση

Για τη µήτρα Ρ έχω να δείξω ότι είναι εκθετικά αναλλοίωτη θα δουλέψω επαγωγικά

Για n = 2 έχω ότι 2 1 1

2 1 1

2 1

2

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

T T T T

T T T T

T T

P P P X X X X X X X X

P X X X X X X X X

P X X X X

P P

−

− −

−

= = ⇔

= ⇔

= ⇔

=

i i

άρα εκθετικά αναλλοίωτη

Έστω ότι ισχύει για n = k δηλαδή kP P=

Θα δείξω ότι ισχύει για n = k + 1 έχω οπότε 1 2k k

P P P P P P P+ = = = =i i ισχύει


άρα η Ρ είναι εκθετικά αναλλοίωτη

∆οθέντος τώρα της µήτρας Χ βρίσκω την µήτρα Ρ που είναι µετά από πράξεις

,διάστασης 4×4

1

1 2 1 2

1 4 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1( ) ( )

1 1 2 4 1 3 1 1 2 4 1 3

1 3 1 3

1 2

1 4

1 1

1 3

T TP X X X X

P

−

= = ⇔

=

i i i

14 10 1 1 1 1

10 30 2 4 1 3

1 2

1 4 30 10 1 1 1 11

1 1 10 4 2 4 1 320

1 3

4 3 4 2

1 3 -2 41

4 -2 7 10

P

P

− ⇔

− = ⇔ −

=

i i

i i i

1

2 4 1 3

Οι ιδιοτιµές θα δίνονται από τη χαρακτηριστική εξίσωση που είναι

4/10 - λ 3/10 4/10 2/10

1/10 3/10 - λ 2/10 4/10| | 0 0

4/10 2/10 7/10 -λ 1/10

2/10 4/10 1/10 3/10 -λ

P Iλ− = ⇔ = ……..

Άσκηση 4

Ποιες από τις παρακάτω µήτρες είναι θετικά ορισµένες αρνητικά ορισµένες ή

απροσδιόριστες ?

1 1 0

1 4 2

0 2 3

A

=

,

5 6 6

1 4 2

3 6 4

B

− − = − − −

και

1 0 1

0 1 1

1 1 2

C

=

Λύση

Οι θετικά ορισµένες µήτρες είναι αυτές που έχουν θετικές ιδιοτιµες άρα αρκεί να βρω τις

ιδιοτιµες σε κάθε πίνακα

Για το πίνακα Α έχω ότι 3 2| | 0 8 16 11 0Iλ λ λ λΑ− = ⇔ − + + =

Οµοίως για τον Β έχω ότι 3 2| | 0 5 8 44 0B Iλ λ λ λ− = ⇔ − + + =


Και για τον C έχω

0

| | 0 (1 )( 3) 0 1

3

C

λλ λ λ λ λ

λ

=

− Ι = ⇔ − − = ⇔ = =

απροσδιόριστη

Άσκηση 5

Έστω 3X R∈ και 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3( ) 5 3 2 8g X x x x x x x x= + + − + να βρεθεί η τετραγωνική µορφή

Λύση

Η τετραγωνική µορφή θα είναι της µορφής ( ) Tg X X AX= όπου

1

2

3

x

X x

x

=

άρα είναι η

τετραγωνική µορφή

[ ]1

1 2 3 2

3

5 1 4

( ) , , 0 3 0

4 0 2

T

x

g X X AX x x x x

x

− = =

ΕΝ∆ΕΙΚΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

- WILKES F .M 1994 Mathematics for Business Finance and Economics ,

Rutledge London

- Yamane T , Α. Κιντης 1981 Μαθηµατικά για Οικονοµολόγους , Gutenberg

Αθήνα (τόµος Α κεφ 1,2,3 )

- CHIANG 1964 και µεταγενέστερα Mathematics for Economists

Οικονομικά Μαθηματικά

Documents

Transcript of Οικονομικά Μαθηματικά