Βασικά Μαθηματικά

Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗΒασικά Μαθηµατικά

∆ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης ∗

Εκπαιδευτικός ΄Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως

Πειραιάς 185 31

04 Μαρτίου 2009

Περίληψη

Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα-

ϑηµατικών γνώσεων που χρειάζεται κάποιος για να προχωρήσει στην

µελέτη του Απειροστικού Λογισµού.

Το ϕυλλάδιο διατίθεται ∆ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική

εκµετάλλευση από οποιονδήποτε.

∗email: [email protected]

1

Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ

Κ. Κυρίτσης 2 Βασικά Μαθηµατικά

Περιεχόµενα

1 Βασική ΄Αλγεβρα 3

1.1 Αριθµοί και Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Πράξεις µε Αριθµούς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Το Παραγοντικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Αλγεβρικές Ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Ανισότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 Απόλυτη Τιµή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Υποσύνολα Αριθµών – ∆ιαστήµατα . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9 ∆υνάµεις και Ρίζες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9.1 ∆υνάµεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9.2 Ρίζες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.3 Λύση της Εξίσωσης xn = α . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9.4 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση . . . . . . . . . . 9

1.10Ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.11∆ιώνυµο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.12Ανάπτυγµα σε Μερικά ή Απλά Κλάσµατα . . . . . . . . . . . . 11

2 Τριγωνοµετρία 12

2.1 Γεωµετρικοί Ορισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Το Ηµίτονο και το Συνηµίτονο . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Εφαπτοµένη και Συνεφαπτοµένη . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Τέµνουσα και Συντέµνουσα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . 14

2.6 Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Υπερβολικές Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις 17

Κεντρικό : Εθνική Αντιστάσεως & Μακράς Στοάς 7, Πειραιάς 185 31

Παράρτηµα: ∆εληγιώργη 106Α, Πειραιάς 185 34. (΄Εναντι Παν. Πειραιώς)

Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.

URL: http://www.vitali.gr, email: [email protected].

Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1 Βασική ΄Αλγεβρα

1.1 Αριθµοί και Σύνολα

Σύνολο είναι απλοϊκά µια καλώς ορισµένη συλλογή αντικειµένων. Γράφουµε

ότι x ∈ S και διαβάζουµε το x ανήκει στο S όταν το x είναι µέλος του συνόλου

S. Αν το x δεν ανήκει στο S, γράφουµε ότι x /∈ S.

Θα µας απασχολήσουν τα ακόλουθα σύνολα αριθµών.

1. Οι ϕυσικοί αριθµοί N = 0, 1, 2, . . ..

2. Οι ακέραιοι αριθµοί Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ..

3. Οι ϱητοί αριθµοί Q = x = n/m : n ∈ Z, m ∈ Z∗.

4. Οι άρρητοι αριθµοί, δηλαδή όσοι δεν µπορούνε να γραφτούν σαν ϱητοί.

5. Οι πραγµατικοί αριθµοί R.

6. Οι µιγαδικοί αριθµοί C = z = x + iy : x, y ∈ R και i2 = −1.

Με αστερίσκο συµβολίζουµε τα αντίστοιχα σύνολα όταν δεν περιλαµβάνε-

ται το µηδέν, π.χ. R∗ = R − 0, N∗ = N − 0, κ.λ.π.

΄Ενας ακέραιος ϑα λέγεται άρτιος αν µπορεί να γραφτεί σαν πολλαπλάσιο

του 2,

n = 2k, k ∈ Z. (1)

Θα λέγεται περιττός αν δεν είναι άρτιος, στην οποία περίπτωση ϑα είναι

n = 2k + 1, k ∈ Z. (2)

1.2 Πράξεις µε Αριθµούς

Για τις πράξεις µε αριθµούς έχουµε ότι

1.

x + y = y + x. (3)

2.

x · y = y · x. (4)

3.

x · (y + z) = x · y + x · z. (5)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Ποιο γενικά (και παραλείποντας την τελεία-σύµβολο του πολλαπλασια-

σµού από εδώ και στο εξής)

(x + y)(z + w) = xz + xw + yz + yw. (6)

Με αυτό τον κανόνα ϐγάζουµε κοινούς παράγοντες ή αναπτύσσουµε

παρενθέσεις.

Η πρόσθεση (ή η αφαίρεση) κλασµάτων γίνεται ως εξής.

x

y+

z

w=

xw

yw+

zy

wy=

xw + zy

yw. (7)

Αντίστοιχα για την απλοποίηση κλάσµατος είναι

ax

ay=

/ax

/ay=

x

y. (8)

Για τα σύνθετα κλάσµατα είναι

xy

zw

=x · wy · z . (9)

Τέλος για τα πρόσηµα σε ένα κλάσµα είναι

−α

β=

−α

β=

α

−β. (10)

1.3 Το Παραγοντικό

Το παραγοντικό ενός ϑετικού ακεραίου n γράφεται n! και ορίζεται να είναι

n! =

n · (n − 1)! , n > 1

1 , n = 1.(11)

Με άλλα λόγια είναι

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1. (12)

Για την µονάδα έχουµε ότι 1! = 1 και κατά σύµβαση ορίζουµε

0! = 1. (13)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.4 Αλγεβρικές Ταυτότητες

Σηµαντικές ταυτότητες είναι οι εξής.

1. Τετράγωνο αθροίσµατος και διαφοράς

(α ± β)2 = α2 ± 2αβ + β2. (14)

2. ∆ιαφορά τετραγώνων

(α − β) · (α + β) = α2 − β2. (15)

3. Ανάπτυγµα κύβου

(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3, (16)

(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3. (17)

4. Ποιο γενικά είναι

αn −βn = (α−β)(αn−1 +αn−2β +αn−3β2 + · · ·+αβn−2 +βn−1). (18)

5. Το διωνυµικό ανάπτυγµα είναι

(α + β)n =n∑

k=0

C(n, k)αn−kβk, (19)

όπου

C(n, k) =n!

k!(n − k)!. (20)

1.5 Εξισώσεις

∆εδοµένης µιας εξίσωσης A = B µπορούµε να γράψουµε

1.

A − B = 0, (21)

2.

0 = −A + B, (22)

3.

Ax = Bx (23)

αρκεί x 6= 0.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.6 Ανισότητες

Για τρεις πραγµατικούς x, y, z είναι

1. x < y, ή x = y, ή x > y (κανόνας της τριχοτόµησης).

2. Αν x > y και y > z, τότε x > z.

3. Αν x > y τότε x + z > y + z.

4. Αν x > y και z > 0 τότε xz > yz. Αν αντιθέτως z < 0, τότε xz < yz.

5. Αν x > y τότε

1

x<

1

y.

1.7 Απόλυτη Τιµή

Ορίζεται να είναι

|x| =

x, x ≥ 0,

−x, x < 0.(24)

΄Εχει τις εξής ιδιότητες

1.

|xy| = |x||y|, (25)

2.

||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|, (26)

3.

||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y|. (27)

Επίσης ισχύει ότι

|x| ≤ α ⇔ −α ≤ x ≤ α (28)

και

|x| ≥ α ⇔ x ≥ α ή x ≤ −α. (29)

Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και γι΄ αυστηρές ανισότητες.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.8 Υποσύνολα Αριθµών – ∆ιαστήµατα

Πολλές ϕορές χρειάζεται να δώσουµε ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθ-

µών σαν κάποιο διάστηµα. ΄Ετσι έχουµε τις εξής ισοδύναµες σχέσεις.

x ∈ [α, β] ⇔ α ≤ x ≤ β. (30)

x ∈ (α, β) ⇔ α < x < β. (31)

Αν τα άκρα του διαστήµατος ανήκουν στο διάστηµα, εξίσωση (30), το δι-

άστηµα λέγεται κλειστό. Αν δεν ανήκουν, εξίσωση (31), ϑα λέγεται ανοιχτό.

Υπάρχουν και οι ενδιάµεσες περιπτώσεις,

x ∈ [α, β) ⇔ α ≤ x < β (32)

και

x ∈ (α, β ] ⇔ α < x ≤ β. (33)

Τα άκρα µπορεί να είναι και άπειρα, στην οποία περίπτωση το διάστηµα

είναι ανοιχτό στο συγκεκριµένο άκρο.

1.9 ∆υνάµεις και Ρίζες

1.9.1 ∆υνάµεις

΄Εστω α πραγµατικός αριθµός και n ϑετικός ακέραιος. Ορίζουµε να είναι

α2 = α · α, α3 = α · α2 και γενικά αn = α · αn−1. Ο α λέγεται ϐάση και ο nεκθέτης. Επίσης ϑεωρούµε ότι α1 = α και α0 = 1. Για το πρόσηµο ισχύει

ότι

(−1)n =

1 > 0, n = 2k

−1 < 0, n = 2k + 1.(34)

Επειδή α · 1α

= 1, γράφουµε

α−1 =1

α(35)

και κατ΄ επέκταση είναι α−n = 1/αn. ΄Ετσι ορίζονται δυνάµεις µε ακέραιους

εκθέτες.

Για τις δυνάµεις και τους εκθέτες ισχύει ότι

1.

αn · αm = αn+m, (36)

2.αn

αm= αn · α−m = αn−m, (37)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


3.

(αn)m = αnm = (αm)n, (38)

4.(

α

β

)n

=αn

βn. (39)

1.9.2 Ρίζες

Ορίζουµε την n-ϱίζα του β να είναι εκείνος ο ϑετικός αριθµός, ο οποίος όταν

υψωθεί στην n ϑα δώσει τον β. ΄Εστω ότι είναι αn = β. Σ΄ αυτή την περίπτωση

η n- ϱίζα του β είναι ο α και γράφουµε

α = n

√

β. (40)

Ορίζουµε λοιπόν δυνάµεις σε κλασµατικούς (ϱητούς) εκθέτες να είναι

n

√α = α

1

n (41)

και ποιο γενικά

αn

m = m

√αn =

(

m

√α)n

. (42)

Ισχύει ότι

αn· 1n = n

√αn =

(

n

√α)n

= α. (43)

1.9.3 Λύση της Εξίσωσης xn = α

Εδώ ϑα ϑεωρήσουµε ότι το n είναι ϑετικός ακέραιος, n ∈ N. Ας υποθέσουµε

επίσης ότι α > 0. Τότε είναι

x =

± n

√α , n = 2k

n

√α , n = 2k + 1.

(44)

Ισοδύναµα είναι

|x| = n

√α, n = 2k (45)

και

x = n

√α, n = 2k + 1. (46)

Στην περίπτωση που το α είναι αρνητικό, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση για

άρτια n και έχει λύση την

x = − n

√

|α| (47)

για περιττά n.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.9.4 Εκθετική και Λογαριθµική Συνάρτηση

Γενικεύουµε τα παραπάνω για δυνάµεις ϑετικών πραγµατικών υψωµένων σε

οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό, αx. Αυτή είναι η εκθετική συνάρτηση.

Συνήθως δουλεύουµε µε την ex. Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των εκθετών.

Αν τώρα αx = y, ορίζουµε τον λογάριθµο του y µε ϐάση το α να είναι εκε-

ίνος ο πραγµατικός αριθµός x στον οποίο όταν υψώσουµε τον α ϑα πάρουµε

x. Γράφουµε λοιπόν logα y = x.

Η σύνδεση λογαρίθµου και εκθετικού είναι

αx = y ⇔ logα y = x. (48)

Επιπλέον είναι

logα α = 1, (49)

logα 1 = 0, (50)

x = αlogα

x. (51)

Οι λογάριθµοι έχουν τις εξής ιδιότητες.

1.

logα(x · y) = logα x + logα y. (52)

2.

logα

(

x

y

)

= logα x − logα y. (53)

3.

logα xp = p · logα x. (54)

4.

logα x =logβ x

logβ α. (55)

Στην πράξη χρησιµοποιούνται περισσότερο οι λογάριθµοι µε ϐάση το eκαι λέγονται ϕυσικοί λογάριθµοι, συµβολίζονται δε loge x = ln x και οι

δεκαδικοί λογάριθµοι µε ϐάση το 10, στην οποία περίπτωση γράφουµε

log10 x = log x.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


1.10 Ευθεία

Η ευθεία έχει εξίσωση y = αx + β. Το α λέγεται κλίση και είναι α = tan θ,

η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα Ox. Το βλέγεται µετατόπιση και µας δίνει το σηµείο τοµής της ευθείας µε τον άξονα

Oy (δηλαδή όταν x = 0).

Μια οριζόντια ευθεία έχει κλίση µηδέν και είναι απλά y = β. Μια κατα-

κόρυφη ευθεία δεν περιγράφεται από την παραπάνω εξίσωση, αλλά δίνεται

σαν x = γ, εννοόντας την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το x = γσηµείο.

Αν α > 0 η ευθεία είναι αύξουσα (ανεβαίνει), αν α < 0 η ευθεία είναι

ϕθίνουσα (κατεβαίνει).

∆ύο ευθείες y = α1x + β1 και y = α2x + β2 είναι παράλληλες αν α1 = α2.

Θα είναι κάθετες αν α1α2 = −1. Η κάθετη µιας οριζόντιας ευθείας είναι µια

κατακόρυφη και αντίστροφα.

1.11 ∆ιώνυµο

∆ιώνυµο είναι η παράσταση αx2 + βx + γ µε α 6= 0. Για να ϐρούµε τις ϱίζες

του υπολογίζουµε την διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ. Αν ∆ ≥ 0 τότε έχει

πραγµατικές ϱίζες και είναι

x1,2 =−β ±

√∆

2α. (56)

Αν ∆ < 0 τότε δεν έχει πραγµατικές ϱίζες, αλλά έχει µιγαδικές,

x1,2 =−β ± i

√

|∆|2α

. (57)

Το διώνυµο µπορούµε να το γράψουµε α(x− x1)(x− x2). Αυτή η γραφή

λέγεται παραγοντοποίηση.

Το συµπλήρωµα του τετραγώνου γίνεται ως εξής

αx2 + βx + γ = α

(

x2 +β

αx

)

+ γ (58)

= α

(

x2 +β

αx +

β2

4α2− β2

4α2

)

+ γ (59)

= α

(

x2 +β

αx +

β2

4α2

)

+ α

(

− β2

4α2

)

+ γ (60)

= α

(

x +β

2α

)2

+

(

γ − β2

4α

)

. (61)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Τέλος σηµειώνουµε ότι το διώνυµο έχει το ίδιο πρόσηµο µε το α όταν το

x είναι εκτός του διαστήµατος των ϱιζών και αντίθετο του α για x εντός του

διαστήµατος των ϱιζών.

1.12 Ανάπτυγµα σε Μερικά ή Απλά Κλάσµατα

΄Εστω η ϱητή συνάρτηση f(x) = P (x)/Q(x) µε τον ϐαθµό του πολυωνύµου

P (x) µικρότερο από τον ϐαθµό του πολυωνύµου Q(x). Μπορούµε να την

αναπτύξουµε σε απλά κλάσµατα

Ax + B

(αx2 + βx + γ)r,

A

(αx + β)r. (62)

Εάν το (x − r) είναι παράγοντας του Q(x) και m η µέγιστη δύναµη στην

οποία εµφανίζεται, δηλαδή το (x − r)m είναι η µέγιστη δύναµη που διαιρεί

το Q(x), τότε στην ανάλυση σε απλά κλάσµατα του αντιστοιχούµε m µερικά

κλάσµατα,A1

x − r+

A2

(x − r)2+ · · ·+ Am

(x − r)m. (63)

Εάν το x2+px+q µε ∆ < 0 είναι παράγοντας του Q(x) µε µέγιστη δύναµη

n, τότε του αντιστοιχούµε n µερικά κλάσµατα,

B1x + C1

x2 + px + q+

B2x + C2

(x2 + px + q)2· · ·+ Bnx + Cn

(x2 + px + q)n. (64)

Εφαρµόζουµε αυτή τη διαδικασία για κάθε παράγοντα του Q(x). Θέτον-

τας το αρχικό κλάσµα ίσο µε το άθροισµα όλων των απλών κλασµάτων που

προκύπτουν µ΄ αυτόν τον τρόπο και πολλαπλασιάζοντας µε τον παρονοµα-

στή Q(x), µετά τις απλοποιήσεις µας µένει ένα πολυώνυµο του x στο δεξί

µέλος, το πολυώνυµο P (x) στο αριστερό. Εξισώνοντας οµοιοβάθµιους όρους

και λύνοντας ένα αλγεβρικό σύστηµα εξισώσεων, ϐρίσκουµε του συντελεστές

Ai, Bi, Ci.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


2 Τριγωνοµετρία

2.1 Γεωµετρικοί Ορισµοί

Γεωµετρικά το ηµίτονο και το συνηµίτονο ορίζονται σε ένα ορθογώνιο τρίγω-

νο. ΄Εστω λοιπόν το τρίγωνο OAB.

O A

B

θ

Εξ΄ ορισµού είναι

sin θ =AB

OB(65)

και

cos θ =OA

OB. (66)

Επίσης ορίζουµε την εφαπτοµένη να είναι

tan θ =AB

OA. (67)

Είναι προφανές ότι

tan θ =sin θ

cos θ. (68)

Επιπλέον από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα,

(OA)2 + (AB)2 = (OB)2, (69)

είναι

cos2 θ + sin2 θ = 1. (70)

2.2 Το Ηµίτονο και το Συνηµίτονο

Και οι δύο είνα περιοδικές µε ελάχιστη περίοδο 2π. Μερικές χαρακτηριστικές

τιµές είναι



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


x sin x cos x0 0 1

π

6

1

2

√3

2π

4

√2

2

√2

2π

3

√3

2

1

2π

21 0

Επιπλέον επισηµένουµε ότι

sin x = − sin(−x), (71)

και

cos x = cos(−x). (72)

Το ηµίτονο και το συνηµίτονο σχετίζονται µεταξύ τους ως εξής

sin(x − π

2) = − cos x, (73)

sin(x +π

2) = cos x, (74)

cos(x − π

2) = sin x, (75)

cos(x +π

2) = − sin x. (76)

sin(x + π) = − sin(x), (77)

cos(x + π) = − cos(x). (78)

Τέλος αναφέρουµε ότι

| sin(x)| ≤ 1, (79)

| cos(x)| ≤ 1. (80)

2.3 Εφαπτοµένη και Συνεφαπτοµένη

Ορίζουµε την εφαπτοµένη να είναι

tanx =sin x

cos x(81)

και την συνεφαπτοµένη να είναι

cot x =cos x

sin x. (82)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Παρατηρούµε ότι η συνεφαπτοµένη είναι το αντίστροφο της εφαπτοµένης,

tan x =1

cot x. (83)

Μερικές χαρακτηριστικές τιµές είναι

x tanx cot x0 0 ±∞π

6

1√3

√3

π

41 1

π

3

√3

1√3

π

2±∞ 0

Επιπλέον επισηµένουµε ότι

tan x = − tan(−x), (84)

και

cot x = − cot(−x). (85)

2.4 Τέµνουσα και Συντέµνουσα

Τέλος ορίζουµε την τέµνουσα

sec x =1

cos x, (86)

και την συντέµνουσα

csc x =1

sin x. (87)

2.5 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις

Οι αντίστροφρες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως εξής :

y = sin−1 x = arcsin x, (−π/2 ≤ x ≤ π/2), (88)

y = cos−1 x = arccos x, (0 ≤ x ≤ π), (89)

y = tan−1 x = arctanx, (−π/2 < x < π/2), (90)

y = cot−1 x = arccotx, (0 < x < π), (91)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


y = sec−1 x = arcsecx, (0 ≤ x ≤ π), (92)

y = csc−1 x = arccscx, (−π/2 ≤ x ≤ π/2). (93)

Ισχύουν οι ιδιότητες

arccscx = arcsin1

x, (94)

arcsecx = arccos1

x(95)

και

arccotx =π

2− arctanx. (96)

Στις παρενθέσεις αναφέρεται ο συνήθης πρωτεύον κλάδος για την κάθε

µια τους.

2.6 Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες

Οι σχέσεις που ακολουθούν αποτελούν ταυτότητες που χρησιµοποιούνται συ-

χνά.

sin2 x + cos2 x = 1, (97)

1 + tan2 x = sec2 x =1

cos2 x, (98)

1 + cot2 x = csc2 x =1

sin2 x, (99)

sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, (100)

cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y, (101)

tan(x ± y) =tanx ± tan y

1 ∓ tanx tan y. (102)

Από τις παραπάνω µπορούµε να δείξουµε ότι

cos x cos y =1

2(cos(x − y) + cos(x + y)) , (103)

sin x sin y =1

2(cos(x − y) − cos(x + y)) , (104)

sin x cos y =1

2(sin(x − y) + sin(x + y)) , (105)

cos x sin y =1

2(sin(x + y) − sin(x − y)) . (106)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Θέτωντας x = (A + B)/2, y = (A − B)/2, οπότε ϑα είναι A = x + y και

B = x − y οι παραπάνω ταυτότητες γίνονται

cos A + cos B = 2 cosA + B

2cos

A − B

2, (107)

cos A − cos B = −2 sinA + B

2sin

A − B

2, (108)

sin A + sin B = 2 sinA + B

2cos

A − B

2, (109)

sin A − sin B = 2 cosA + B

2sin

A − B

2. (110)

Ειδικά για x = y έχουµε

sin(2x) = 2 sin x cos x, (111)

και

cos(2x) = cos2 x − sin2 x (112)

= 1 − 2 sin2 x (113)

= 2 cos2 x − 1. (114)

Επίσης

tan(2x) =2 tanx

1 − tan2 x. (115)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


3 Υπερβολικές Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις

Κατ΄ αντιστοιχεία µε τις τριγωνοµετρικές ορίζουµε και τις υπερβολικές τρι-

γωνοµετρικές συναρτήσεις. Είναι

sinh x =ex − e−x

2, (116)

cosh x =ex + e−x

2, (117)

tanh x =sinh x

cosh x=

ex − e−x

ex + e−x, (118)

coth x =cosh x

sinh x=

ex + e−x

ex − e−x, (119)

sechx =1

cosh x=

2

ex + e−x, (120)

cschx =1

sinh x=

2

ex − e−x. (121)

Μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες και ταυτότητες των υπερβολικών τρι-

γωνοµετρικών είναι οι εξής :

cosh2 x − sinh2 x = 1, (122)

1 − tanh2 x = sechx, (123)

coth2 x = 1 + csch2x, (124)

sinh(−x) = − sinh x, (125)

cosh(−x) = cosh x, (126)

tanh(−x) = − tanh x, (127)

sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, (128)

cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, (129)

tanh(x ± y) =tanhx ± tanh y

1 ± tanhx tanh y. (130)

Τέλος αναφέρουµε τις αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις :

sinh−1 x = arcsinhx = ln(x +√

x2 + 1), ∀ x, (131)

cosh−1 x = arccoshx = ln(x +√

x2 − 1), x ≥ 1, (132)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


tanh−1 = arctanhx =1

2ln

(

1 + x

1 − x

)

, |x| < 1, (133)

coth−1 x = arccothx = ln

(

1

x+

√x2 + 1

|x|

)

, x 6= 0, (134)

sech−1x = arcsechx = ln

(

1 +√

1 − x2

x

)

, 0 < x ≤ 1, (135)

coth−1 x = arccothx =1

2ln

(

x + 1

x − 1

)

, |x| > 1. (136)



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια

Μαθήµατα για :

• Πανεπιστήµιο Πειραιώς

• Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών

• Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

• Πάντειον Πανεπιστήµιο

• Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ)

• Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ)

• ΤΕΙ Αθηνών

• ΤΕΙ Πειραιώς...

Σεµινάρια για ∆ιαγωνισµούς ∆ηµοσίου

Προετοιµασία για :

• Εθνική Σχολή ∆ηµόσιας ∆ιοίκησης

• Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης

• Υπουργείο Οικονοµικών

• Υπουργείο Εξωτερικών

• Υπουργείο ∆ικαιοσύνης

• ∆ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών

• ∆ιαγωνισµός Ευρύτερου ∆ηµόσιου Τοµέα.



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Ξένες Γλώσσες

• Αγγλικά

• Κινέζικα

• TOEFL (εξεταστικό κέντρο)

• GMAT

• IELTS

• TOEIC

• GRE

Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL

Εξειδικευµένα Σεµινάρια

• Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,. . . )

• Matlab

• Mathematica

• Autocad

• Μηχανογραφηµένη Λογιστική

• Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,. . . )



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Εκπ

αιδε

υτικ

ός΄Ο

µιλος

ΒΙΤ

ΑΛΗ


Πληροφορική (Πιστοποιήσεις)

• Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ)

• Προχωρηµένο Επίπεδο

• Εξειδικευµένο Επίπεδο

Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL

Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keyCERT

Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για

τα προγράµµατά µας.

∆ιευθυντής Εκπαίδευσης

∆ρ. Χόντας Στυλιανός

∆ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ

Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ



Τηλ. 210-4220970-2, Fax. 210-4220634.


Βασικά Μαθηματικά

Documents

Transcript of Βασικά Μαθηματικά

γ6 2 βασικά δομικά συστατικά στοιχεία και κύρια αντικείμενα

3.3 Βασικά Εμπόδια Επικοινωνίας

Μαθηματικά Εργασιών 1

Βασικά Θέματα

Τα βασικά ... για το νέο ραδιοερασιτέχνη

καταραμένα μαθηματικά

μαθηματικά θεόφιλος καϊρης

ραψωδια η,θ, βασικά σημεία

Τα Πολύ Βασικά για την Python

Γενικά Μαθηματικά 1 : Απειροστικός Λογισμός, Βασικά ολοκληρώματα

Μαθηματικά με Φρούτα

B. Βασικά στοιχεία χρήσης του προγράµµατος ......B. Βασικά στοιχεία χρήσης του προγράµµατος MS OFFICE WORD 2003

Φαντασία και Μαθηματικά

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

διακριτά μαθηματικά

Μαθηματικά Α΄ τάξη.

Μειώνουμε τις τιμές έως 50% σε βασικά προϊόντα!

Βασικά Στοιχεία Ισολογισμού & Κατάστασης Αποτελεσμάτων Χρήσης Διεθνούς Επιχείρησης

Μαθηματικά Κατ. Διαγώνισμα

Φιλοσοφία Τα Βασικά Ζητήματα