Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

ª·ıËÌ·ÙÈÎ¿μ� °Àª¡∞™π√À

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·1

™À°°ƒ∞º∂π™ ¶·Ó·ÁÈÒÙË˜ μÏ¿ÌÔ˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈÎ‹˜ ∂Î·›‰Â˘ÛË˜

¶·Ó·ÁÈÒÙË˜ ¢ÚÔ‡ÙÛ·˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈÎ‹˜ ∂Î·›‰Â˘ÛË˜

°ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶Ú¤Û‚Ë˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈÎ‹˜ ∂Î·›‰Â˘ÛË˜

∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ ƒÂÎÔ‡ÌË˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈÎ‹˜ ∂Î·›‰Â˘ÛË˜

∫ƒπΔ∂™-∞•π√§√°∏Δ∂™ μ·Û›ÏÂÈÔ˜ °È·Ï·Ì¿˜, ∞Ó·ÏËÚˆÙ‹˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ∂.∫.¶.∞.Ã·Ú¿Ï·ÌÔ˜ ΔÔ˘Ì¿ÛË˜, ™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ¶ÔÏ˘Í¤ÓË ƒ¿‰Ô˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,

∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ μ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘ÛË˜

∂π∫√¡√°ƒ∞º∏™∏ £ÂÔ‰fiÛË˜ μÚ·Ó¿˜, ™ÎÈÙÛÔÁÚ¿ÊÔ˜ - ∂ÈÎÔÓÔÁÚ¿ÊÔ˜

ºπ§√§√°π∫∏ ∂¶πª∂§∂π∞ ∂˘ÁÂÓ›· μÂÏ¿ÁÎÔ˘, ºÈÏfiÏÔÁÔ˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈÎ‹˜ ∂Î·›‰Â˘ÛË˜

À¶∂À£À¡√™ Δ√À ª∞£∏ª∞Δ√™ ∫∞π °ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶ÔÏ‡˙Ô˜, ¶¿ÚÂ‰ÚÔ˜ Â.ı. ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘Δ√À À¶√∂ƒ°√À ∫∞Δ∞ Δ∏ ™À°°ƒ∞º∏

∂•øºÀ§§√ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ª‹ÏÈÔ˜, ∑ˆÁÚ¿ÊÔ˜ - Ã·Ú¿ÎÙË˜

¶ƒ√∂∫ΔÀ¶øΔπ∫∂™ ∂ƒ°∞™π∂™

°� ∫.¶.™. / ∂¶∂∞∂∫ II / ∂Ó¤ÚÁÂÈ· 2.2.1. / ∫·ÙËÁÔÚ›· ¶Ú¿ÍÂˆÓ 2.2.1.·:«∞Ó·ÌfiÚÊˆÛË ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Î·È Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ·Î¤ÙˆÓ»

¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™ΔπΔ√ÀΔ√¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ °. μÏ¿¯Ô˜√ÌfiÙÈÌÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ∞.¶.£.,¶ÚfiÂ‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

¶Ú¿ÍË ÌÂ Ù›ÙÏÔ: «™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ ÌÂ ‚¿ÛËÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ»

∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ ÀÂ‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘∞ÓÙÒÓÈÔ˜ ™. ªÔÌ¤ÙÛË˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

∞Ó·ÏËÚˆÙ¤˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ› ÀÂ‡ı˘ÓÔÈ ŒÚÁÔ˘°ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫. ¶·ÏËfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘πÁÓ¿ÙÈÔ˜ ∂. Ã·Ù˙ËÂ˘ÛÙÚ·Ù›Ô˘ ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿ÚÂ‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

ŒÚÁÔ Û˘Á¯ÚËÌ·ÙÔ‰ÔÙÔ‡ÌÂÓÔ 75% ·fi ÙÔ ∂˘Úˆ·˚Îfi ∫ÔÈÓˆÓÈÎfi Δ·ÌÂ›Ô Î·È 25% ·fi ÂıÓÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜.

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·2

À¶√Àƒ°∂π√ ∂£¡π∫∏™ ¶∞π¢∂π∞™ ∫∞π £ƒ∏™∫∂Àª∞Δø¡¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™ΔπΔ√ÀΔ√

¶·Ó·ÁÈÒÙË˜ μÏ¿ÌÔ˜¶·Ó·ÁÈÒÙË˜ ¢ÚÔ‡ÙÛ·˜

°ÂÒÚÁÈÔ˜ ¶Ú¤Û‚Ë˜∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ ƒÂÎÔ‡ÌË˜

√ƒ°∞¡π™ª√™ ∂∫¢√™∂ø™ ¢π¢∞∫Δπ∫ø¡ μπμ§πø¡∞£∏¡∞

ª·ıËÌ·ÙÈÎ¿μ� °Àª¡∞™π√À

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·3

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·4

Πρόλογος

Το βιβλίο «Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου» περι-λαμβάνει την ύλη που προβλέπεται από το πρό-γραμμα σπουδών του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

Αποτελείται από δύο μέρη τα οποία θα μελετη-θούν παράλληλα και αρκετές φορές συμπληρω-ματικά.

Στο πρώτο μέρος, η Άλγεβρα ξεκινά με εξισώσειςκαι ανισώσεις α’ βαθμού, ενώ στο δεύτερο μέροςη Γεωμετρία ξεκινά με τα εμβαδά επίπεδων σχη-μάτων τα οποία οδηγούν στο Πυθαγόρειο θεώρη-μα. Στη Γεωμετρία το Πυθαγόρειο θεώρημα θα με-λετηθεί μόνο για ρητούς αριθμούς και κατόπιν θααποτελέσει τη βάση για την εισαγωγή των άρρη-των αριθμών στο δεύτερο κεφάλαιο της Άλγεβρας.Γνωρίζοντας τους πραγματικούς αριθμούς μπο-ρούμε να μελετήσουμε την Τριγωνομετρία, η ο-ποία καταλαμβάνει τις περισσότερες παραγρά-φους του δεύτερου κεφαλαίου του δευτέρου μέ-ρους, το οποίο ολοκληρώνεται με τα διανύσματα.

Στη συνέχεια η πορεία των δύο μερών του βιβλίουγίνεται σχεδόν ανεξάρτητη. Το πρώτο μέρος ολο-κληρώνεται με την παρουσίαση βασικών συναρ-τήσεων και την περιγραφική Στατιστική, ενώ τοδεύτερο με τη μέτρηση κύκλου και τη μελέτη καιμέτρηση γεωμετρικών στερεών.

Οι συγγραφείς

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·5

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·6

ª∂ƒ√™ ∞’

∫∂º∞§∞π√ 1Ô - ∂•π™ø™∂π™ - ∞¡π™ø™∂π™

1.1 - ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙË˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ - ∞ÏÁÂ‚ÚÈÎ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 - ∂ÍÈÛÒÛÂÈ˜ ·� ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 - ∂›Ï˘ÛË Ù‡ˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 - ∂›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ÌÂ ÙË ¯Ú‹ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 - ∞ÓÈÛÒÛÂÈ˜ ·� ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

∫∂º∞§∞π√ 2Ô - ¶ƒ∞°ª∞Δπ∫√π ∞ƒπ£ª√π

2.1 - ΔÂÙÚ·ÁˆÓÈÎ‹ Ú›˙· ıÂÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 - ÕÚÚËÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› - ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 - ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

∫∂º∞§∞π√ 3Ô - ™À¡∞ƒΔ∏™∂π™

3.1 - ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙË˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 - ∫·ÚÙÂÛÈ·Ó¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓÂ˜ - °Ú·ÊÈÎ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛË˜ . . . . . . 583.3 - ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y=·x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 - ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y=·x + ‚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5 - ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y=·/x - ∏ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

∫∂º∞§∞π√ 4Ô - ¶∂ƒπ°ƒ∞ºπ∫∏ ™Δ∞Δπ™Δπ∫∏

4.1 - μ·ÛÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ ÙË˜ ™Ù·ÙÈÛÙÈÎ‹˜: ¶ÏËı˘ÛÌfi˜ - ¢Â›ÁÌ· . . . . . . . . . . . . . 854.2 - °Ú·ÊÈÎ¤˜ ¶·Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3 - ∫·Ù·ÓÔÌ‹ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ Î·È Û¯ÂÙÈÎÒÓ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4 - √Ì·‰ÔÔ›ËÛË ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5 - ª¤ÛË ÙÈÌ‹ - ¢È¿ÌÂÛÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ª∂ƒ√™ μ’

∫∂º∞§∞π√ 1Ô - ∂ªμ∞¢∞ ∂¶π¶∂¢ø¡ ™Ã∏ª∞Δø¡ - ¶À£∞°√ƒ∂π√ £∂øƒ∏ª∞

1.1 - ∂Ì‚·‰fiÓ Â›Â‰Ë˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.2 - ªÔÓ¿‰Â˜ Ì¤ÙÚËÛË˜ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161.3 - ∂Ì‚·‰¿ Â›Â‰ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.4 - ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Περιεχόμενα

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·7

∫∂º∞§∞π√ 2Ô - Δƒπ°ø¡√ª∂Δƒπ∞ - ¢π∞¡À™ª∞Δ∞

2.1 - ∂Ê·ÙÔÌ¤ÓË ÔÍÂ›·˜ ÁˆÓ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.2 - ∏Ì›ÙÔÓÔ Î·È Û˘ÓËÌ›ÙÔÓÔ ÔÍÂ›·˜ ÁˆÓ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422.3 - ªÂÙ·‚ÔÏ¤˜ ËÌÈÙfiÓÔ˘, Û˘ÓËÌÈÙfiÓÔ˘ Î·È ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓË˜ . . . . . . . . . . . . . . 1472.4 - √È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 30Æ, 45Æ Î·È 60Æ . . . . . . . . . . . 1522.5 - ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.6 - ÕıÚÔÈÛÌ· Î·È ‰È·ÊÔÚ¿ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.7 - ∞Ó¿Ï˘ÛË ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÂ ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛÂ˜ . . . . . . . . . . . . . . . 168

∫∂º∞§∞π√ 3Ô - ª∂Δƒ∏™∏ ∫À∫§√À

3.1 - ∂ÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.2 - ∫·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡ÁˆÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.3 - ª‹ÎÔ˜ Î‡ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.4 - ª‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.5 - ∂Ì‚·‰fiÓ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.6 - ∂Ì‚·‰fiÓ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔÌ¤· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

∫∂º∞§∞π√ 4Ô - °∂øª∂Δƒπ∫∞ ™Δ∂ƒ∂∞ - ª∂Δƒ∏™∏ ™Δ∂ƒ∂ø¡

4.1 - ∂˘ıÂ›Â˜ Î·È Â›Â‰· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.2 - ™ÙÔÈ¯Â›· Î·È ÂÌ‚·‰fiÓ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064.3 - ŸÁÎÔ˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.4 - ∏ ˘Ú·Ì›‰· Î·È Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙË˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.5 - √ ÎÒÓÔ˜ Î·È Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.6 - ∏ ÛÊ·›Ú· Î·È Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙË˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.7 - °ÂˆÁÚ·ÊÈÎ¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓÂ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

∞¶∞¡Δ∏™∂π™ Δø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

∂Àƒ∂Δ∏ƒπ√ √ƒø¡. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

μπμ§π√°ƒ∞ºπ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

¶π¡∞∫∞™ Δƒπ°ø¡√ª∂Δƒπ∫ø¡ ∞ƒπ£ªø¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Περιεχόμενα

μ' °Àª¡-ª∞£∏Δ∏ (001-008) 16-11-06 12:41 ™ÂÏ›‰·8

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√ 11 ÔÔ

Εξισώσεις

Ανισώσεις

Μ Ε Ρ Ο Σ Α �

1.1 (9-14) 18-12-06 22:49 ™ÂÏ›‰·9

§›Á· Ú¿ÁÌ·Ù· Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿ ÁÈ· ÙË ˙ˆ‹ ÙÔ˘ ÌÂÁ¿ÏÔ˘¤ÏÏËÓ· Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘, Ô˘ ¤˙ËÛÂ ÛÙËÓ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· ÙÔÓ 3Ô Ì.Ã. ·ÈÒÓ·. √È ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙÔ˘ fiÌˆ˜

Â›¯·Ó ÙÂÚ¿ÛÙÈ· ÛËÌ·Û›· ÁÈ· ÙË ıÂÌÂÏ›ˆÛË ÙË˜ ÕÏÁÂ‚Ú·˜ Î·ÈÂÎÙÈÌ‹ıËÎ·Ó ÔÏ‡ ÙÔ˘˜ ÂfiÌÂÓÔ˘˜ ·ÈÒÓÂ˜. ∞fi Ù· 13 ¤ÚÁ· Ô˘¤ÁÚ·„Â ÛÒıËÎ·Ó ÌfiÓÔ Ù· 10 (Ù· 6 ÛÂ ÂÏÏËÓÈÎ¿ ¯ÂÈÚfiÁÚ·Ê· Î·ÈÙ· 4 ÛÂ ·Ú·‚ÈÎ‹ ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË).ΔÔ ÈÔ ‰È¿ÛËÌÔ ·fi Ù· ¤ÚÁ· ÙÔ˘ Â›Ó·È Ù· «∞ÚÈıÌËÙÈÎ¿» (6‚È‚Ï›·). ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ ÂÏÏËÓÈÎfi ¤ÚÁÔ ÛÙÔ ÔÔ›ÔÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛËÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ¶ÚÔ˜ ÙÈÌ‹Ó ÙÔ˘ ÌÈ· ÂÈ‰ÈÎ‹ Î·ÙËÁÔÚ›·ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È «¢ÈÔÊ·ÓÙÈÎ¤˜ ÂÍÈÛÒÛÂÈ˜».

ŸÙ·Ó ¤ı·ÓÂ, ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ -Î·Ù¿ ·Ú·ÁÁÂÏ›·Ó ÙÔ˘- ·ÓÙ›¿ÏÏÔ˘ ÂÈÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜, Û˘Ó¤ıÂÛ·Ó ¤Ó· ÁÚ›ÊÔ Î·È ÙÔÓ ¤ÁÚ·„·Ó¿Óˆ ÛÙÔÓ Ù¿ÊÔ ÙÔ˘. π‰Ô‡ ÏÔÈfiÓ ÙÔ ∂›ÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘.

«¢π∞μ∞Δ∏ ™∂ ∞ÀΔ√ Δ√¡ Δ∞º√ ∞¡∞¶∞À∂Δ∞π √ ¢π√º∞¡Δ√™.

™∂ ∂™∂¡∞ ¶√À ∂π™∞π ™√º√™, ∏ ∂¶π™Δ∏ª∏ £∞ ¢ø™∂π Δ√

ª∂Δƒ√ Δ∏™ ∑ø∏™ Δ√À. ∞∫√À™∂

– √ £∂√™ Δ√À ∂¶∂Δƒ∂æ∂ ¡∞ ∂π¡∞π ¡∂√™ °π∞ Δ√ ∂¡∞ ∂∫Δ√

Δ∏™ ∑ø∏™ Δ√À.

– ∞∫√ª∏ ∂¡∞ ¢ø¢∂∫∞Δ√ ∫∞π ºÀΔƒø™∂ Δ√ ª∞Àƒ√ °∂¡π Δ√À.

– ª∂Δ∞ ∞¶√ ∂¡∞ ∂μ¢√ª√ ∞∫√ª∞ ∏ƒ£∂ Δ√À °∞ª√À Δ√À

∏ ª∂ƒ∞.

– Δ√¡ ¶∂ª¶Δ√ Ãƒ√¡√ ∞ÀΔ√À Δ√À °∞ª√À °∂¡¡∏£∏∫E

ENA ¶∞π¢π.

– Δπ ∫ƒπª∞ °π∞ Δ√ ¡∂∞ƒ√ Δ√À °π√. ∞º√À ∂∑∏™∂ ª√¡∞Ã∞

Δ∞ ªπ™∞ Ãƒ√¡π∞ ∞¶√ Δ√¡ ¶∞Δ∂ƒ∞ Δ√À °¡øƒπ™∂ Δ∏¡

¶∞°ø¡π∞ Δ√À £∞¡∞Δ√À.

– Δ∂™™∂ƒ∞ Ãƒ√¡π∞ ∞ƒ°√Δ∂ƒ∞ √ ¢π√º∞¡Δ√™ μƒ∏∫∂

¶∞ƒ∏°√ƒπ∞ ™Δ∏ £§πæ∏ Δ√À ºΔ∞¡√¡Δ∞™ ™Δ√ Δ∂§√™ Δ∏™

∑ø∏™ Δ√À».

™‡ÌÊˆÓ· Ì’ ·˘Ùfi ÙÔ Â›ÁÚ·ÌÌ·, fiÛ· ¯ÚfiÓÈ· ¤˙ËÛÂ Ô¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜; ∞Ó x ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ ËÏÈÎ›· ÙÔ˘ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘, fiÙ·Ó¤ı·ÓÂ, ÙfiÙÂ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ Úfi‚ÏËÌ· ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ

ÂÍ›ÛˆÛË: + + + 5 + + 4 = x.

™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ı· Ì¿ıÔ˘ÌÂ Ó· Ï‡ÓÔ˘ÌÂ Ù¤ÙÔÈÂ˜ ÂÍÈÛÒÛÂÈ˜(Î·ıÒ˜ Î·È ·ÓÈÛÒÛÂÈ˜).£· ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Â›ÛË˜ ÙÚfiÔ˘˜ Ó· ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô·˘Ù‹, ÁÈ· Ó· Ï‡ÓÔ˘ÌÂ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙË˜ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹˜ ˙ˆ‹˜.

x2

x7

x12

x6

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟΣΗΜΕΙΩΜΑ

1.1 Η έννοιατης μεταβλητής.Aλγεβρικέςπαραστάσεις

1.2 Εξισώσεις α’ βαθμού

1.3 Επίλυση τύπων

1.4 Επίλυσηπροβλημάτωνμε τη χρήσηεξισώσεων

1.5 Ανισώσεις α’ βαθμού

1.1 (9-14) 18-12-06 22:49 ™ÂÏ›‰·10

Η έννοια της μεταβλητής - Aλγεβρικές παραστάσεις1.1.Μεταβλητή

Η ομιλία σε κινητό τηλέφωνο κοστίζει 0,005 € το δευτερόλεπτο.Πόσο κοστίζει ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων, έναάλλο διάρκειας 15 δευτερολέπτων και ένα άλλο διάρκειας 27δευτερολέπτων;

ΛύσηΕύκολα βέβαια βρίσκουμε ότι:❖ Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 10 δευτερολέπτων κοστίζει

10 � 0,005 = 0,05 €.❖ Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 15 δευτερολέπτων κοστίζει

15 � 0,005 = 0,075 €.❖ Ένα τηλεφώνημα διάρκειας 27 δευτερολέπτων κοστίζει

27 � 0,005 = 0,135 €.

Μπορούμε λοιπόν να σκεφτούμε ότι το κόστος ενός τηλεφωνήμα-τος θα είναι: (διάρκεια τηλεφωνήματος) � 0,005 €. Για ευκολία,συμβολίζουμε με το γράμμα x τη διάρκεια του τηλεφωνήματος (σεδευτερόλεπτα), οπότε καταλήγουμε ότι το κόστος για κάθε τηλε-φώνημα διάρκειας x δευτερολέπτων είναι:x � 0,005 €.To γράμμα x που παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό, λέγεταιμεταβλητή.Φυσικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα γράμματα(ελληνικά ή λατινικά) για να παραστήσουμε μεταβλητές: y, z, t,α, β, γ, ...

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή ομοίων όρων� Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, λέγεται,

όπως γνωρίζουμε, αριθμητική παράσταση.Για παράδειγμα, η παράσταση 22 �33 –– 44 �(( –– 33 )) ++55 είναι μια

αριθμητική παράσταση. Ομοίως, η παράστασηείναι μία αριθμητική παράσταση.

� Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς καιμεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.Για παράδειγμα, η παράσταση 22 �xx –– 44 �xx++55 είναι μια

αλγεβρική παράσταση. Oι προσθετέοι λέγονται όροι αυτής.

Ομοίως, η παράσταση είναι μία αλγεβρική παρά-

σταση. Πώς κάνουμε όμως τις πράξεις σε μια αλγεβρικήπαράσταση; Στο σημείο αυτό μπορεί να μας βοηθήσει λίγοη Γεωμετρία! Ας θυμηθούμε, λοιπόν, τα εμβαδά τωνορθογωνίων:

22 �xx –– 4433 �xx 22++55

55 �88++44 �3322 (( –– 77 )) ++ 66 �99

11¢¢ƒƒ∞∞™™ΔΔ∏∏ƒƒ ππ√√ΔΔ∏∏ΔΔ∞∞

1.1 (9-14) 18-12-06 22:49 ™ÂÏ›‰·11

Στο διπλανό σχήμα δύο ορθογώνια (1) και (2) είναι «τοποθε-τημένα» έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα μεγάλο ορθογώνιο. Ναυπολογίσετε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου.

ΛύσηΓια να βρούμε το εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου, υπάρχουνδύο τρόποι:

➤ 1ος τρόπος: ➤ 2ος τρόπος:Το μεγάλο ορθογώνιο έχει Το εμβαδόν του (1) είναι: α � γ. βάση α + β και ύψος γ, Το εμβαδόν του (2) είναι: β � γ.άρα το εμβαδόν του είναι: Άρα το εμβαδόν του μεγάλου

oρθογωνίου είναι:

Φυσικά, και οι δύο τρόποι θα πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλε-σμα, δηλαδή: (α + β) � γ = α � γ + β � γ, που είναι η γνωστήεπιμεριστική ιδιότητα, η οποία μπορεί να γραφεί και στη μορφή:

Στη μορφή αυτή, η επιμεριστική ιδιότητα μπορεί να μας βοηθήσεινα κάνουμε εύκολα πράξεις στις αλγεβρικές παραστάσεις:

Παράδειγμα:7 � α + 8 � α = (7 + 8) � α = 15 � αx + 4 � x – 2 � x = (1 + 4 – 2) � x = 3 � x5 � t – 6 � t – 8 � t = (5 – 6 – 8) � t = –9 � t

Η διαδικασία αυτή με την οποία γράψαμε σε απλούστερημορφή τις παραπάνω αλγεβρικές παραστάσεις, ονομάζεται«αναγωγή ομοίων όρων».

Παρατήρηση:Όταν γράφουμε αλγεβρικές παραστάσεις, συνήθως δε βάζουμε το σύμβολο (�) του πολλαπλασιασμούμεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών. Γράφουμε δηλαδή 3xy αντί για3 �x �y. Eπίσης, γράφουμε 2(4xy – 1) + 3(2 – 5x) αντί για 2 �( 4 �x �y – 1) + 3 �( 2 – 5 � x ).To σύμβολο του πολλαπλασιασμού θα χρησιμοποιείται βέβαια, για τον πολλαπλασιασμό αριθμών: 3 � 5 ή 3�(–5).

Να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις παραστάσεις:(α) 2x + 5x, (β) 3α + 4α – 12α, (γ) ω + 3ω + 5ω + 7ω.

Έχουμε ότι:(α) 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x(β) 3α + 4α – 12α = (3 + 4 – 12)α = –5α(γ) ω + 3ω + 5ω + 7ω = (1 + 3 + 5 + 7)ω = 16ω.

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

α � γ + β � γ = (α + β) � γ

α � γ + β � γ(α + β) � γ


12 Μέρος Α’ - 1.1. H έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις

(1) (2)

α β

γ

1.1 (9-14) 18-12-06 22:49 ™ÂÏ›‰·12

Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) 4y + 3x – 2y + x, (β) y + 2ω – 3y + 2 + ω + 5.

Έχουμε ότι:(α) 4y + 3x – 2y + x = 4y – 2y + 3x + x = (4 – 2)y + (3 + 1)x = 2y + 4x

(β) y + 2ω – 3y + 2 + ω + 5 = y – 3y + 2ω + ω + 2 + 5 = (1 – 3)y + (2 + 1)ω + (2 + 5) == –2y + 3ω + 7.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8, όταν x = –0,45.

Aπλοποιούμε πρώτα την παράσταση Α: A= 2(x + 3) – 4(x – 1) – 8 =

= 2x + 6 – 4x + 4 – 8 = 2x – 4x + 6 + 4 – 8 = –2x + 2Eπομένως, όταν x = –0,45, είναι: Α = –2�(–0,45) + 2 = 0,9 + 2 = 2,9.

Να υπολογίσετε την περίμετρο του παρακάτω τετραπλεύρου, όταν x + y = 10.

H περίμετρος του τετραπλεύρου είναι ίση με:Π= x + (y + 3) + (x + 2) + (y – 2) =

= x + y + 3 + x + 2 + y – 2 == x + x + y + y + 3 + 2 – 2 = 2x + 2y + 3 == 2(x + y) + 3

Eπειδή x + y = 10, είναι Π = 2�10 + 3 = 20 + 3 = 23.

Nα αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείοτης στήλης Α του διπλανούπίνακα με ένα στοιχείο τηςστήλης Β.

Για κάθε αλγεβρική παράσταση της1ης στήλης του διπλανού πίνακα,δίνονται τρεις απαντήσεις Α, Β και Γ,από τις οποίες μία μόνο είναι σωστή.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Να αντιστοιχίσετε κάθε παράστασητης στήλης Α με την ίση τηςπαράσταση που βρίσκεται στηστήλη Β.

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Α’ - 1.1. H έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις 13

y+3

x+2

y–2

x

iv) 4x – 1δ) –(3x + 5) – (x – 6)iii) –4x – 1γ) (–3x + 5) – (x + 6)ii) –4x + 1β) (–3x + 5) – (x –6)i) –4x + 11α) (3x + 5) + (x – 6)

ΣΤΗΛΗ ΒΣΤΗΛΗ Α

–2α2α8α+8βδ) 3α–4β+4β–5α=9α–3α3αγ) –5α+3α–α=–5y10y4yβ) 3y–3y+4y=4x–2x12xα) 2x–4x+6x=ΓΒΑ

iv) 2xδ) –2x+4x–7xiii) 4xγ) –x+3x–6xii) –5xβ) x–3x+4xi) –4xα) 2x+5x–3xΣΤΗΛΗ ΒΣΤΗΛΗ Α

1.1 (9-14) 18-12-06 22:49 ™ÂÏ›‰·13

Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές για ναεκφράσετε με μια αλγεβρική παράστασητις παρακάτω φράσεις:α) Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο

κατά 12.β) Το άθροισμα δύο αριθμών πολλαπλα-

σιασμένο επί 9.γ) Την περίμετρο ενός ορθογωνίου, που

το μήκος του είναι 2 m μεγαλύτεροαπό το πλάτος του.

Να χρησιμοποιήσετε μια μεταβλητή γιανα εκφράσετε με μια αλγεβρική παρά-σταση τις παρακάτω φράσεις:α) Το συνολικό ποσό που θα πληρώσου-

με για να αγοράσουμε 5 κιλά πατάτες,αν γνωρίζουμε την τιμή του ενός κιλού.

β) Την τελική τιμή ενός προϊόντος, ανγνωρίζουμε ότι αυτή είναι η αναγρα-φόμενη τιμή συν 19% ΦΠΑ.

Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις:α) 20x – 4x + xβ) –7α – 8α – αγ) 14y + 12y + yδ) 14ω – 12ω – ω + 3ωε) –6x + 3 + 4x – 2 στ) β – 2β + 3β – 4β

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:α) 2x – 4y + 3x + 3yβ) 6ω – 2ω + 4α + 3ω + αγ) x + 2y – 3x – 4yδ) –8x + ω + 3ω + 2x – x

Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις A, B καιστη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή τους:α) Α = 3(x + 2y) – 2(2x + y),

όταν x = 1, y = –2.β) Β = 5(2α – 3β) + 3(4β – α),

όταν α = –3, β = 5.

Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:α) Α = 2(α–3β) + 3(α + 2β), όταν α = 0,02

και β = 2005.β) Β = 3(x + 2y) + 2(3x + y) + y,

όταν x + y = .

Oι διαιτολόγοι, για να εξετάσουν αν ένα άτο-μο είναι αδύνατο ή παχύ, χρησιμοποιούν

τον αριθμό (δείκτης σωματικού βάρους

ή body mass index, δηλαδή ΒΜΙ), όπου Β το βάρος του ατόμου και υ το ύψος του σεμέτρα. Ανάλογα με το αποτέλεσμα αυτό, τοάτομο κατατάσσεται σε κατηγορία σύμφω-να με τον παρακάτω πίνακα:

Nα χαρακτηρίσετε:α) Το Γιώργο, με βάρος 87 κιλά και ύψος

1,75 μέτρα.β) Την Αλέκα, με βάρος 64 κιλά και ύψος

1,42 μέτρα.γ) Τον εαυτό σας.

πάνω από40

πάνω από40

3ος βαθμόςπαχυσαρκίας

30 - 4028,7 - 402ος βαθμόςπαχυσαρκίας

25 - 29,923,6 - 28,61ος βαθμόςπαχυσαρκίας

19,5 - 24,918,5 - 23,5Κανονικό βάρος

ΑΝΔΡΕΣΓΥΝΑΙΚΕΣ

Βυ2

7

19

6

5

4

3

2

1

14 Μέρος Α’ - 1.1. H έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

1.1 (9-14) 18-12-06 22:49 ™ÂÏ›‰·14

Χρήσιμες ιδιότητες πράξεωνΜια σχέση ισότητας ή ανισότητας είναι στην ουσίαμια ζυγαριά, η οποία είτε ισορροπεί, είτε γέρνειαπό τη μία πλευρά, είτε γέρνει από την άλλη.

Αν α και β παριστάνουν τα βάρη των αντικειμένωντου σχήματος, τότε θα ισχύει μία μόνο από τιςσχέσεις:

α = β, α < β, α > β

Για να χειριστούμε σωστά μια ισότητα, είναι χρήσιμονα έχουμε υπόψη μας μερικoύς βασικούς κανόνες.

Ο Γιώργος έχει μια ζυγαριά που ισορροπεί, όπωςφαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πρόκειται δηλαδή γιαέναν κύβο που έχει βάρος ίσο με το βάρος δύοκώνων. Προσθέτει στo δίσκο της ζυγαριάς όπουβρίσκεται ο κύβος, μια μπάλα, οπότε η ζυγαριάγέρνει προς αυτή την πλευρά. Πόσες μπάλες πρέ-πει να τοποθετήσει στο δίσκο της ζυγαριάς όπουβρίσκονται οι δύο κώνοι, για να ισορροπήσει καιπάλι η ζυγαριά;

ΛύσηΓια να ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπειβέβαια να τοποθετήσει και στην άλλη πλευρά τοίδιο βάρος, δηλαδή μία μπάλα.Δηλαδή: ένας κύβος και μία μπάλα ισορροπούνμε 2 κώνους και μία μπάλα.Το συμπέρασμα αυτό μπορούμε να το διατυπώ-σουμε ως γενικότερο κανόνα για τις ισότητες.

Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση.

Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και

πάλι μια ισότητα. Δηλαδή: ∞Ó · = ‚ ÙfiÙÂ · – Á = ‚ – Á .

ÕÚ· :

Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι

μια ισότητα. Δηλαδή: ∞Ó · = ‚ ÙfiÙÂ · + Á = ‚ + Á .

ÕÚ· :


Eξισώσεις α� βαθμού1.2.

α = β

α < β

α > β

α

α

α

β

β

β

1.2(15-21) 18-12-06 22:53 ™ÂÏ›‰·15

O Γιώργος ξέρει ότι ένας κύβος ισορροπεί με δύοκώνους. Αν βάλει 4 κύβους στη μία πλευρά, πόσουςκώνους πρέπει να βάλει στην άλλη πλευρά, ώστε ναισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά;

ΛύσηΑφού τετραπλασίασε το βάρος στη μία πλευρά, γιανα ισορροπήσει και πάλι η ζυγαριά, πρέπει να τοπο-θετήσει τετραπλάσιο βάρος και στην άλλη πλευρά,δηλαδή πρέπει να τοποθετήσει 8 κώνους.

Γενικά:

Ομοίως:

Η έννοια της εξίσωσης

Η διπλανή ζυγαριά ισορροπεί! Μπορείτε να βρείτεπόσο ζυγίζει ένας κύβος; Τα βαρίδια ζυγίζουν100 γραμμάρια το καθένα.

ΛύσηΓια να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα, θα πρέπεινα προσπαθήσουμε να απομονώσουμε στον έναδίσκο της ζυγαριάς έναν κύβο, φροντίζοντας όμως ηζυγαριά να ισορροπεί.

➤ 1ο βήμα:Καταρχάς, παρατηρούμε ότι στον ένα δίσκο τηςζυγαριάς υπάρχουν δύο βαρίδια των 100 γραμμα-ρίων το καθένα, και στον άλλο δίσκο υπάρχουν έξι.Επομένως, μπορούμε να αφαιρέσουμε δύο βαρί-δια από κάθε δίσκο χωρίς να “χαλάσουμε” τηνισορροπία της ζυγαριάς.


Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τονίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα.Δηλαδή:

a ‚∞Ó · = ‚ ÙfiÙÂ ⎯⎯ = ⎯⎯ ÌÂ Á≠0 .Á Á

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασια-στούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλιμια ισότητα. Δηλαδή:

∞Ó · = ‚ ÙfiÙÂ · � Á = ‚ � Á .


16 Μέρος Α’ - 1.2. Εξισώσεις α� βαθμού

?

100 gr100 gr 100 gr100 gr

100 gr 100 gr

100 gr100 gr

?

100 gr100 gr

100 gr100 gr

100 gr

100 gr 100 gr

100 gr

1.2(15-21) 18-12-06 22:53 ™ÂÏ›‰·16

➤ 2ο βήμα:Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι μπορούμε με τονίδιο τρόπο ν’ αφαιρέσουμε έναν κύβο από κάθεδίσκο χωρίς πάλι να διαταραχθεί η ισορροπία τηςζυγαριάς.

➤ 3ο βήμα:Τώρα έχουν μείνει δύο κύβοι στον ένα δίσκο καιτέσσερα βαρίδια στον άλλο. Για να βρούμε πόσοβάρος έχει ο ένας κύβος, μπορούμε να σηκώσου-με έναν κύβο από τον ένα δίσκο (δηλαδή το μισόβάρος ενός δίσκου) και δύο βαρίδια από τον άλλοδίσκο (δηλαδή το μισό βάρος του άλλου δίσκου).Διαιρέσαμε, λοιπόν, τα βάρη και των δύο δίσκωνδια 2, οπότε η ζυγαριά συνεχίζει να ισορροπεί.

Άρα, ένας κύβος ζυγίζει 200 γραμμάρια.

Aς δούμε τώρα μια «μαθηματική» λύση του παραπάνωπροβλήματος:

Ας πούμε ότι κάθε κύβος ζυγίζει x κιλά.Τότε, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς βρίσκοντανστην αρχή 3x + 200 γραμμάρια και στο δεξιό δίσκοx + 600 γραμμάρια. Αφού η ζυγαριά ισορροπεί, θαείναι: 3x + 200 = x + 600.

Για να βρούμε τώρα τον άγνωστο αριθμό x, λύνουμε την εξίσωση.

Άρα, ο κάθε κύβος ζυγίζει 200 γραμμάρια.

Απλοποιούμε τα κλάσματαx = 200

Διαιρούμε με το 2 και ταδύο μέλη της εξίσωσης

2x = 4002 2

Αναγωγή ομοίων όρων(3 – 1)x = 400 άρα 2x = 400

Aφαιρούμε το x και από ταδύο μέλη της εξίσωσης

3x – x = x + 400 – x

Κάνουμε τις πράξεις3x = x + 400

Αφαιρούμε το 200 και απότα δύο μέλη της εξίσωσης

3x+ 200– 200= x + 600–200

Περιγραφή λύσηςEξίσωση 3x + 200 = x + 600

H παράσταση 3x + 200 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση x + 600λέγεται δεύτερο μέλος αυτής.

Η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x, ονομάζεται εξίσωση.

Μέρος Α’ - 1.2. Εξισώσεις α� βαθμού 17

100 gr

100 gr

100 gr100 gr

100 gr

100 gr

100 gr 100 gr

100 gr

100 gr

100 gr 100 gr100 gr

100 gr

100 gr 100 gr100 gr

100 gr

100 gr100 gr

1.2(15-21) 18-12-06 22:54 ™ÂÏ›‰·17

Επαλήθευση:

Πράγματι, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν 3�200 + 200 = 600 + 200 = 800 γραμμάρια

και στο δεύτερο δίσκο υπάρχουν 200 + 600 = 800 γραμμάρια. Δηλαδή, η ζυγαριά ισορροπεί.

Στην παραπάνω λύση της εξίσωσης 3x + 200 = x + 600 «απομονώσαμε» το x στο πρώτομέλος της εξίσωσης, προσθέτοντας ή αφαιρώντας και στα δύο μέλη τον ίδιο αριθμό. Ηδιαδικασία αυτή μπορεί να γίνει πιο γρήγορα με τη βοήθεια του εξής πρακτικού κανόνα:

Δηλαδή: 3x+200 = x+600

3x–x = 600–200

2x = 400

=

Άρα x = 200

Nα λυθεί η εξίσωση: 2(x–1)+3(2–x)=4(x+2) .

Έχουμε διαδοχικά:2x – 2 + 6 – 3x = 4x + 8

2x – 3x – 4x = 8 + 2 – 6

–5x = 4

=

Άρα x = –

Να λυθεί η εξίσωση: + y = + 2 .

Σε αυτή την εξίσωση έχουμε και παρονομαστές.Μπορούμε, όμως, να πάρουμε μια εξίσωση χωρίς παρονομαστές, αν πολλαπλασιά-σουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2 και 3.Συνήθως χρησιμοποιούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο εδώ είναι το 6.Η διαδικασία αυτή λέγεται απαλοιφή παρονομαστών.

Λύση:

2y + 33

y + 12

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

45

←←←← ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ ÌÂ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘4

–5–5x–5

←←←← ∫¿ÓÔ˘ÌÂ ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ

←←←← XˆÚ›˙Ô˘ÌÂ ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜

←←←← K¿ÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ Ú¿ÍÂÈ˜ (ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎ‹ È‰ÈfiÙËÙ·)

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

4002

2x2

Σε μία εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο,αλλάζοντας το πρόσημό τους .


←← ←← MÂÙ·Ê¤ÚÔ˘ÌÂ ÙÔ +x ÛÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜, ÔfiÙÂ Á›ÓÂÙ·È –x.∂›ÛË˜, ÌÂÙ·Ê¤ÚÔ˘ÌÂ ÙÔ +200 ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÏÔ˜,ÔfiÙÂ Á›ÓÂÙ·È –200.

←← ←← ∫¿ÓÔ˘ÌÂ ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ.

←← ←← ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ ÌÂ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Î·È ·ÏÔ-ÔÈÔ‡ÌÂ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·.

1.2(15-21) 18-12-06 22:54 ™ÂÏ›‰·18

6 ( + y) = 6 ( + 2)6 + 6y = 6 + 6�2

3(y + 1) + 6y = 2(2y + 3) + 12

3y + 3 + 6y = 4y + 6 + 12

3y + 6y – 4y = 6 + 12 – 3

5y = 15

=

Άρα y = 3

Nα λυθεί η εξίσωση: 2(3 – x) + 4(x – 1) = 2x + 5.

Έχουμε διαδοχικά: 6 – 2x + 4x – 4 = 2x + 5–2x + 4x – 2x = 5 – 6 + 4

0x = 3Στην περίπτωση αυτή, δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με το συντελεστήτου αγνώστου, γιατί, όπως γνωρίζουμε, δε γίνεται διαίρεση με το 0.Παρατηρούμε, όμως, ότι για κάθε τιμή του x, το πρώτο μέλος της εξίσωσης ισούται πάντα με 0,οπότε δε μπορεί να είναι ίσο με 3. Επομένως, η εξίσωση αυτή δεν έχει καμία λύση. Μια τέτοιαεξίσωση λέγεται αδύνατη.

Να λυθεί η εξίσωση: – = .

Έχουμε διαδοχικά:

10 – 10 = 10

2�3 – (2x + 1) = 5 – 2x

6 – 2x – 1 = 5 – 2x

–2x + 2x = 5 – 6 + 1

0x = 0

Στην περίπτωση αυτή επίσης, δε μπορούμε να λύσουμε ως προς x διαιρώντας με τοσυντελεστή του αγνώστου, γιατί όπως γνωρίζουμε, δε γίνεται διαίρεση με το 0.Παρατηρούμε όμως, ότι η εξίσωση 0x = 0 επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x.Για παράδειγμα: 0 � 2 = 0, 0 � 3 = 0, 0 � (–7) = 0 κ.τ.λ. Δηλαδή, κάθε αριθμός είναι λύση τηςεξίσωσης. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται ταυτότητα.

←←←← K¿ÓÔ˘ÌÂ ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ

←←←← ÃˆÚ›˙Ô˘ÌÂ ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜


←←←← ∞ÏÔÔÈÔ‡ÌÂ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

←←←← A·ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ : ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂÎ·È Ù· ‰‡Ô Ì¤ÏË ÙË˜ ÂÍ›ÛˆÛË˜ ÌÂ ÙÔ 10

5 – 2x10

2x + 110

35

Λύση:

5 – 2x10

2x + 110

35

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

←←←← ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ ÌÂ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘155

5y5

←←←← K¿ÓÔ˘ÌÂ ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ



←←←← ∞ÏÔÔÈÔ‡ÌÂ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·

←←←← K¿ÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ Ú¿ÍÂÈ˜ (ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎ‹ È‰ÈfiÙËÙ·)2y + 3

3y + 1

2

←←←← A·ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ: ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂÎ·È Ù· ‰‡Ô Ì¤ÏË ÙË˜ ÂÍ›ÛˆÛË˜ ÌÂ ÙÔ 6

2y + 33

y + 12


1.2(15-21) 18-12-06 22:54 ™ÂÏ›‰·19

Στις παρακάτω ισότητες να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει:

α) 5 + ..... = 35 β) 5 � ..... = 35 γ) 127 – ..... = 103

δ) 32 – ..... = 35 ε) 14 + ..... = 5 στ) 2 � ..... + 3 = 17

Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) H εξίσωση 2x = 6 έχει λύση τον αριθμό 3.

β) H εξίσωση 5x + x = x είναι ταυτότητα.γ) Οι εξισώσεις x + 1 = 5 και –x + 5 = 1 έχουν λύση τον ίδιο αριθμό.

δ) Η εξίσωση 3x = 0 είναι ταυτότητα.

ε) Η εξίσωση 0 � x = 0 είναι αδύνατη.

Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Αμε τη λύση της στη στήλη Β.

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™


iv) –3δ) 2x = 3 + x

iii) –2γ) 1x = –4

ii) 3β) 3x = –9i) –8α) –2x = 4


∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Nα εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεταιείναι η λύση της εξίσωσης:α) –2x + 3 = 21 x = –7β) 3x + 5 = 7,5 x = 0,5γ) –3x + 4 = 7x – 6 x = 1

Nα λύσετε τις εξισώσεις:α) 2x + 21 = 4 + x – 5β) –9 + 7y + y = 1 – 2yγ) 3t – 3(t + 1) = t + 2(t + 1) + 1

Nα λύσετε τις εξισώσεις:α) 4(2x + 1) – 6(x – 1) = 3(x + 2)β) 3(y + 1) + 2(y – 4) = 2y – (y – 6)γ) 6(ω + 2) + 3 = 3 – 2(ω – 4)

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) =

β) =

γ) =


α) – = – 2

β) – = y +

γ) (ω + 4) – 7 = (1 – ω) +


α) 3x – ( – 5) = 6 – ( – 2)β) 5 – ( + ) = 12 – (t – )Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) = β) =

Για ποια τιμή του x είναι Α = Β;α) αν Α = 5x – 3, B = 12 – 2xβ) αν Α = 2(x – 1) + , B = 6 +

Δίνεται η εξίσωση:μ(x + 6) – 2 = (2μ – 1)x + 2

α) Aν μ = 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωσηέχει λύση x = 8.

β) Aν η εξίσωση έχει λύση x = 7, νααποδείξετε ότι μ = 3.

γ) Αν μ = 1, να λύσετε την εξίσωση.

9

x3

32

8

t1 – ⎯212 – ⎯2

12t – ⎯312 + ⎯2

13

1 + x⎯2

11 + ⎯4

7

t + 56

1 + 2t3

t + 12

x3

2x3

6

ω – 234

17

14

1 – 3y2

2y + 76

y – 13

1 – 3x15

x – 43

x + 45

5

1 – 3x4

2(x – 1) – 22

5x + 24

7x – 63

3x – 54

2x + 32

4

3

2

1

1.2(15-21) 18-12-06 22:54 ™ÂÏ›‰·20


Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο.α) Να βρείτε την

τιμή του x, ώστενα είναι ισοσκε-λές με βάση τηΒΓ. Ποιο είναι σ’αυτή την περί-πτωση το μήκοςκάθε πλευράς;

β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε ναείναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ.Ποιο είναι σ’ αυτή την περίπτωση τομήκος κάθε πλευράς;

γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές μεβάση την ΑΓ.

Δίνεται το ορθογώνιο του παρακάτωσχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς x, yκαι ω (το ω παριστάνει μοίρες).

11

10Α

Β Γ2x+1

x+52x+3

2y + 3

15 – 2y

11

3x

– 1

2ω – 40°�

Mπορείτε να συμπληρώσετε τα κενά στα παρακάτωαριθμητικά σταυρόλεξα;°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::

2 • + 5 = 11• • •

• + = 22

+ + +• 2 + 4 =

= = =• 17 + 39 =

•

+

=

13

• + -2 = -11• • •

• + = -7

+ + +• -3 + -9 =

= = =• -6 + -1 =

•

-3

+

=

-14

π™Δ√ƒπ∫√ ™∏ª∂πøª∞

√È ÂÍÈÛÒÛÂÈ˜ Î·È ÔÈ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ÙÔ˘˜ Ì¤Û· ÛÙÔ˘˜ ·ÈÒÓÂ˜.∫·Ù¿ ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· Ë ¤ÏÏÂÈ„Ë Î·Ù¿ÏÏËÏÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ Â›¯Â ÂÌÔ‰›ÛÂÈ ÙÈ˜ Ï‡ÛÂÈ˜ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓÌÂ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘Ù¤˜ Ó· ıÂˆÚÔ‡ÓÙ·È ÔÏ‡ÏÔÎÂ˜ Î·È ‰‡ÛÎÔÏÂ˜.ñ ™ÙÔÓ ÂÚ›ÊËÌÔ ·ÈÁ˘ÙÈ·Îfi ¿˘ÚÔ ÙÔ˘ ƒËÓÙ (ÂÚ›Ô˘ 1700 .Ã. - μÚÂÙ·ÓÈÎfi

ªÔ˘ÛÂ›Ô) ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÌÂ ÈÂÚÔÁÏ˘ÊÈÎ¿ (‰È·‚¿˙ÔÓÙ·È ·fi ‰ÂÍÈ¿ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿).

ñ ™ÙËÓ ∞Ó·Á¤ÓÓËÛË (15Ô˜ - 16Ô˜ ·ÈÒÓ·˜) ÔÈ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ› ·ÏÔÔÈ‹ıËÎ·Ó Î·Ù¿Î¿ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ:– √ °¿ÏÏÔ˜ Nicolas Chuquet (1445 - 1500) ¤ÁÚ·ÊÂ: «120 p 51 ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ 200»,

‰ËÏ·‰‹ 12x0 + 5x1 = 20x0 ‹ ÈÔ ·Ï¿ 12 + 5x = 20.– E›ÛË˜, Ô °¿ÏÏÔ˜ François Viete (1540 - 1603) ¤ÁÚ·ÊÂ: «12·q 5a aeq. 23».– O IÙ·Ïfi˜ Niccolo Fontana ‹ Tartaglia (1499 - 1557) ¤ÁÚ·ÊÂ Â›ÛË˜: «12 ¡ p 5 R ÈÛÔ‡Ù·È 20 ¡».

ñ √ °¿ÏÏÔ ̃René Descartes (‹ ∫·ÚÙ¤ÛÈÔ ̃1596 - 1650) ÛÙÈ̃ ·Ú¯¤ ̃ÙÔ ̆17Ô ̆·ÈÒÓ· ¤ÁÚ·ÊÂ «12 + 5z μ20». ΔËÓÂÔ¯‹ ·˘Ù‹ Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈÎ¿ Î·ıÒ˜ Î·È ¿ÏÏ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È Û¯Â‰fiÓ·ÔÎÏÂÈÛÙÈÎ¿ ÌÂ Ì·ıËÌ·ÙÈÎ¿ Û‡Ì‚ÔÏ·, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ Û˘ÓÂÙ¤ÏÂÛÂ ÛÙËÓ ·ÏÌ·ÙÒ‰Ë ÚfiÔ‰Ô ÙË˜ÂÈÛÙ‹ÌË˜.

1.2(15-21) 18-12-06 22:54 ™ÂÏ›‰·21

Σε πολλές επιστήμες χρησιμοποιούμε ισότητες που συνδέουνμεταξύ τους μεγέθη. Για παράδειγμα:Στη Φυσική ο όγκος V με τη μάζα m και την πυκνότητα ρ συν-δέονται με τον τύπο m = ρ � V.Στη Γεωμετρία ο όγκος V ενός παραλληλεπιπέδου δίνεταιαπό τον τύπο V = α � β � γ, όπου α, β, γ είναι οι τρεις διαστά-σεις του.Στις τραπεζικές συναλλαγές ο τόκος ενός δανείου δίνεται από

τον τύπο Τ = , όπου K το κεφάλαιο, t ο χρόνος

διάρκειας του δανείου και E το επιτόκιο της τράπεζας.Όταν έχουμε έναν τύπο στον οποίο γνωρίζουμε τις τιμές πουπαίρνουν όλες οι μεταβλητές του εκτός από μία, τότε μπο-ρούμε να υπολογίσουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής.Αυτό γίνεται, αν επιλύσουμε τον τύπο ως προς την άγνωστημεταβλητή.

Στις Αγγλοσαξονικές χώρες (κυρίως στις ΗΠΑ) για τη μέτρησητης θερμοκρασίας χρησιμοποιούνται οι βαθμοί Φαρενάιτ (°F).Στον υπόλοιπο κόσμο όμως -όπως και στη χώρα μας- χρησι-μοποιούνται οι βαθμοί Κελσίου (°C).Η σχέση που συνδέει τους °F και τους °C, είναι:

α) Ένας Αμερικανός που θέλει να ταξιδέψει στην Ελλάδαπληροφορείται ότι, στην Αθήνα έχει θερμοκρασία 20°C.Μπορείτε να τον βοηθήσετε να μετατρέψει αυτή τη θερμο-κρασία σε °F;

β) Ένας Έλληνας που θέλει να ταξιδέψει στη Νέα Υόρκηπληροφορείται ότι, εκεί έχει θερμοκρασία 41°F. Mπορείτενα τον βοηθήσετε να μετατρέψει αυτή τη θερμοκρασία σε °C;

Λύσηα) Όταν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία σε °C, είναι εύκολο να

βρούμε την αντίστοιχη θερμοκρασία σε °F, γιατί ο τύποςF = 1,8C + 32 “λειτουργεί αμέσως” (είναι λυμένος, όπωςλέμε, ως προς F).– Για C = 20 είναι:

F = 1,8 � 20 + 32 = 36 + 32 = 68Άρα, στην Αθήνα έχει θερμοκρασία 68°F.

β) Όταν θέλουμε να μετατρέψουμε °F σε °C, τα πράγματαμε τον τύπο F = 1,8C + 32 είναι λίγο πιο δύσκολα:– Για F = 41 είναι 41 = 1,8C + 32 και στη συνέχεια πρέ-

πει να λύσουμε την εξίσωση αυτή ως προς C:

F = 1,8C + 32


Κ � Ε � t100

Eπίλυση τύπων1.3.

O Anders Celsius,ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ ÙÔ 1701ÛÙËÓ √˘„¿Ï· ÙË˜™Ô˘Ë‰›·˜.√È ·Ô‡‰Â˜ ÙÔ˘‹Ù·Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô

Î·ıËÁËÙ¤˜: Ô Magnus Celsius,Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È Ô AndersSpole, ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜. √ ·Ù¤Ú·˜ÙÔ˘ ¡ils Celsius ‹Ù·Ó Â›ÛË˜Î·ıËÁËÙ‹˜ ÙË˜ ∞ÛÙÚÔÓÔÌ›·˜.√ ∫¤ÏÛÈÔ˜ ıÂˆÚ‹ıËÎÂ Ù·Ï·-ÓÙÔ‡¯Ô˜ ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈÎ¿ Î·ÈÛÂ ÓÂ·Ú‹ ËÏÈÎ›· (29 ÂÙÒÓ ÙÔ1730) ‰ÈÔÚ›ÛÙËÎÂ Î·ıËÁËÙ‹˜AÛÙÚÔÓÔÌ›·˜.™˘ÌÌÂÙÂ›¯Â ÙÔ 1736 ÛÙË ‰È¿ÛË-ÌË ·ÔÛÙÔÏ‹ ·ÛÙÚÔÓfiÌˆÓ ÛÙÔTornea, ÛÙÔ ‚ÔÚÂÈfiÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ÙË˜ ™Ô˘Ë‰›·˜ (“∏ ·ÔÛÙÔÏ‹ ÙÔ˘Lapland”). √ ÛÙfi¯Ô˜ ÙË˜ ·Ô-ÛÙÔÏ‹˜ ‹Ù·Ó Ó· ÂÈ‚Â‚·ÈˆıÂ› ËÂÔ›ıÂÛË ÙÔ˘ Newton, fiÙÈ ËÌÔÚÊ‹ ÙË˜ °Ë˜ Â›Ó·È ÂÏÏÂÈ„ÔÂÈ-‰‹˜ Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Â›Â‰Ë ÛÙÔ˘˜fiÏÔ˘˜, Ú¿ÁÌ· Ô˘ ÂÈÙÂ‡¯ıË-ÎÂ ÌÂ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· Á›ÓÂÈ Ô∫¤ÏÛÈÔ˜ ‰È¿ÛËÌÔ˜.

°È· ÙÈ˜ ÌÂÙÂˆÚÔÏÔÁÈÎ¤˜ ·Ú·-ÙËÚ‹ÛÂÈ˜ ÙÔ˘, Î·Ù·ÛÎÂ‡·ÛÂ ÙËÁÓˆÛÙ‹ ÎÏ›Ì·Î· Ì¤ÙÚËÛË˜ ÙË˜ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜, ÌÂ 100 ÁÈ· ÙÔÛËÌÂ›Ô Ù‹ÍË˜ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Î·È 0ÁÈ· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ‚Ú·ÛÌÔ‡ ÙÔ˘.ªÂÙ¿ ÙÔ ı¿Ó·Ùfi ÙÔ˘, Ô˘ ÚÔ-‹ÏıÂ ·fi Ê˘Ì·Ù›ˆÛË ÙÔ 1744(ÛÂ ËÏÈÎ›· ÌfiÏÈ˜ 43 ÂÙÒÓ), Ë ÎÏ›-Ì·Î· ·ÓÙÈÛÙÚ¿ÊËÎÂ ÛÙË ÛËÌÂ-ÚÈÓ‹ ÙË˜ ÌÔÚÊ‹. ¢ËÏ·‰‹ 0 ÁÈ· ÙÔÛËÌÂ›Ô Ù‹ÍË˜ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Î·È 100ÁÈ· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ‚Ú·ÛÌÔ‡ ÙÔ˘.

1.3(22-25) 18-12-06 23:00 ™ÂÏ›‰·22

41 – 32 = 1,8C 9 = 1,8C

=

5 = C Άρα, στη Nέα Υόρκη έχει θερμοκρασία 5°C.

Nα μετατρέψετε σε βαθμούς Κελσίου τις θερμοκρασίες τριών ακόμα Αμερικανικών πόλεων:

ΛύσηΘα πρέπει, βέβαια, να λύσουμε τρεις εξισώσεις όπως η παραπάνω! Αντί να επαναλάβουμετην ίδια διαδικασία τρεις φορές, λύνουμε πρώτα τον τύπο F = 1,8C + 32 ως προς C:

F – 32 = 1,8C ή =

Άρα: C = .

Ο τύπος C = είναι ίδιος (ισοδύναμος) με τον τύπο F = 1,8C + 32, μόνο που «είναι

λυμένος» ως προς C.

Επομένως:

– για F = 23 είναι C = = = –5

– για F = 32 είναι C = = = 0

– για F = 59 είναι C = = = 15

Το εμβαδόν ενός τριγώνου με βάση β και ύψος υ,

γνωρίζουμε ότι δίνεται από τον τύπο Ε = βυ. Να

λύσετε τον τύπο αυτόν ως προς β και ως προς υ. Στη

συνέχεια να βρείτε:α) Το ύψος ενός τριγώνου που έχει εμβαδόν 12 cm2

και βάση 4 cm.β) Τη βάση ενός τριγώνου που έχει εμβαδόν 35 cm2

και ύψος 7 cm.

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών: 2Ε = 2 βυ.

Άρα: 2Ε = βυ.

12

Λύση:

12

∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

271,8

59 – 321,8

01,8

32 – 321,8

–91,8

23 – 321,8

F – 321,8

F – 321,8

1,8C1,8

F – 321,8

Λος Άντζελες: 59°FΒαλτιμόρη: 32°FΒοστώνη: 23°F


1,8C1,8

91,8

Μέρος Α’ - 1.3. Επίλυση τύπων 23

Διαπιστώσαμε ότι, αν έχουμεμία σχέση που συνδέει δύο ήπερισσότερες μεταβλητές, μπο-ρούμε (χρησιμοποιώντας τιςτεχνικές που μάθαμε στις εξι-σώσεις) να λύσουμε τη σχέσηαυτή ως προς μία μεταβλητή.

B Δ Γ

Α

β

υ

1.3(22-25) 18-12-06 23:00 ™ÂÏ›‰·23

Για να λύσουμε ως προς β, διαιρούμε και τα δύο μέλη με το υ, οπότε: β = .

Για να λύσουμε ως προς υ, διαιρούμε και τα δύο μέλη με το β, οπότε: υ= .

α) Από τον τύπο υ = για Ε = 12 και β = 4 έχουμε: υ = = = 6 (cm).

β) Από τον τύπο β = για Ε = 35 και υ = 7 έχουμε: β = = = =10 (cm).

γ=(α–β–1)δαδ

γ = ⎯β

γ=(α–β)δ(α–β)δ

γ = ⎯β

γΗ σχέση α = β(1 + ⎯ ), αν λυθεί ως προς γ, γίνεται:

δ4 .

αβγ = ⎯

δα–β

γ = ⎯δ

αγ= ⎯ –δβ

γ=α–β–δΗ σχέση α = β + γδ, αν λυθεί ως προς γ, γίνεται:3 .

γδβ = ⎯α

αβ = ⎯

γδβ=α–γδβ=γδ–αΗ σχέση α = β+γδ, αν λυθεί ως προς β, γίνεται:2 .

4xβγ

α = ⎯3

α=3βγα=βγ–3Η σχέση 3α = βγ, αν λυθεί ως προς α, γίνεται:1 .

ΔΓΒΑ

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

707

2�357

2Ευ

2Ευ

2�124

2Εβ

2Εβ

2Εβ

2Ευ

24 Μέρος Α’ - 1.3. Επίλυση τύπων

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να επιλύσετε τους παρακάτω τύπους τωνΜαθηματικών και της Φυσικής ως προς τημεταβλητή που ζητείται:

Μήκος κύκλου:L = 2πρ, ως προς ρ.

Περίμετρος ορθογωνίου:P = 2x + 2y, ως προς y.

Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειαςκυλίνδρου: Ε = 2πρυ, ως προς ρ.

Εξίσωση ευθείας:αx + βy + γ = 0, ως προς y, με β � 0

Εμβαδόν παραλληλεπιπέδου:Ε = 2(xy + yω + ωx) ως προς ω.

Ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνη-

ση: υ = ως προς t.

Eμβαδόν τραπεζίου:

Ε = ( )υ, ως προς β.

S = , ως προς λ.

Ρ = Ρ0 + εh, ως προς h.

Q = mcθ, ως προς c.

F = kC , ως προς q1.

S = υ0t + gt2, ως προς υ0.1212

q1 � q2

r211

10

9

α1 – λ8

β + Β2

7

St

6

5

4

3

2

1

1.3(22-25) 18-12-06 23:00 ™ÂÏ›‰·24

Μέρος Α’ - 1.3. Επίλυση τύπων 25Μέρος Α’ - 1.3. Επίλυση τύπων 25

Για ένα ιδεώδες αέριο σε κανονική πίεση,ο όγκος του σε θερμοκρασία θ °C δίνεταιαπό τον τύπο:

V = V0 (1 + ),όπου V0 ο όγκος στους 0 °C.α) Να λύσετε τον τύπο αυτό ως προς θ.β) Στους 0°C ένα ιδεώδες αέριο έχει

όγκο V0 = 25 cm3. Σε ποια θερμο-κρασία έχει όγκο 30 cm3;

Εμπειρικές μελέτες για τη χιονόπτωσηστη Βρετανία κατέληξαν στο εξής συμπέ-ρασμα: ο αριθμός D των ημερών ενόςέτους στη διάρκεια των οποίων πέφτει

χιόνι, δίνεται κατάπροσέγγιση από τοντύπο:D = 0,155 � h + 11,όπου h είναι το υψό-μετρο ενός τόπου σεμέτρα.α) Σύμφωνα με αυτό

τον τύπο, πόσεςημέρες χιονίζει σεέναν τόπο που είναι παραθαλάσσιος(h = 0);

β) Σε ποιο υψόμετρο χιονίζει 6 μήνες τοχρόνο (180 ημέρες) και σε ποιο υψό-μετρο χιονίζει κάθε ημέρα;

14

θ273,15

13

°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::

Στην παρακάτω πυραμίδα κάθε αριθμόςείναι ίσος με το άθροισμα των δύοαριθμών που βρίσκονται ακριβώς

από κάτω του, όπως φαίνεταιστο παράδειγμα.

–253

38

11

Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό x στιςπαρακάτω πυραμίδες;

7x2357¯–5

118

1.3(22-25) 18-12-06 23:00 ™ÂÏ›‰·25

Στην καθημερινή ζωή παρουσιάζονται πολλές φορές προβλήματαμε αριθμούς, που η επίλυσή τους είναι πολύ συχνά επίπονη καιπολύπλοκη. Στην παράγραφο αυτή, θα μάθουμε να χρησιμοποι-ούμε μεταβλητές και εξισώσεις, για να απλοποιούμε τη λύσητέτοιων προβλημάτων.Έχουμε μάθει σε προηγούμενες τάξεις να λύνουμε μερικά από ταπροβλήματα αυτά με τη βοήθεια της πρακτικής Αριθμητικής.

Στον αστερισμό της Δόξας!Στις 14 Iουνίου 1987 η εθνική μας ομάδα μπάσκετ κατέκτησε τοΠανευρωπαϊκό Πρωτάθλημα νικώντας στο στάδιο Ειρήνης καιΦιλίας, στον τελικό, την πανίσχυρη ομάδα της τότε ΣοβιετικήςΈνωσης με 103-101. Πρωταγωνιστής και σούπερ - σταρ τήςβραδιάς ήταν ο Νίκος Γκάλης που πέτυχε 40 πόντους. Ο Γκάληςείχε σε εκείνο τον αγώνα 22 εύστοχες βολές, από τις οποίες οι8 ήταν βολές του 1 πόντου και οι υπόλοιπες 14 ήταν βολές των2 ή των 3 πόντων.Πόσα τρίποντα πέτυχε εκείνο το βράδυ ο Γκάλης;

ΛύσηΈχουμε τα εξής δεδομένα για τον Γκάλη:❖ Πέτυχε συνολικά 40 πόντους.❖ Είχε 22 εύστοχες βολές από τις οποίες:

– 8 του 1 πόντου,– άγνωστος αριθμός βολών των 2 πόντων,– άγνωστος αριθμός βολών των 3 πόντων.

Το πρόβλημα ζητά να προσδιορίσουμε τον αριθμό των βολώντων 3 πόντων που πέτυχε ο Γκάλης.

Έστω ότι είχε x επιτυχίες των 3 πόντων και 14 – x επιτυχίες των2 πόντων. Αφού πέτυχε συνολικά 40 πόντους, έχουμε την εξί-σωση:

8 � 1 + (14 – x) � 2 + x � 3 = 408 + 28 – 2x + 3x = 40

– 2x + 3x = 40 – 8 – 28x = 4

Άρα, ο Γκάλης εκείνο το βράδυ πέτυχε 4 τρίποντα (και φυσικά14 – 4 = 10 δίποντα).Οι αριθμοί αυτοί επαληθεύουν το πρόβλημα:8 � 1 + 10 � 2 + 4 � 3 = 40.Aπό την παραπάνω δραστηριότητα συμπεραίνουμε ότι, η λύσηπροβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων περιλαμβάνει τα επό-μενα γενικά βήματα:


Eπίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων1.4.

ªÂ Ú·ÎÙÈÎ‹∞ÚÈıÌËÙÈÎ‹:

∞fi ÙÈ˜ 22 Â‡ÛÙÔ¯Â˜‚ÔÏ¤˜ ÔÈ 8 ‹Ù·Ó ÙÔ˘ 1fiÓÙÔ˘. ∂ÔÌ¤Óˆ˜, ÔÈ

˘fiÏÔÈÂ˜ 14 ‹Ù·Ó ÙˆÓ 2‹ ÙˆÓ 3 fiÓÙˆÓ. ∞Ó Î·ÈÔÈ 14 ·˘Ù¤˜ ‚ÔÏ¤˜ ‹Ù·ÓÙˆÓ 2 fiÓÙˆÓ, ÙfiÙÂ Ô°Î¿ÏË˜ ı· Â›¯Â ÂÙ‡¯ÂÈ

ÂÎÂ›ÓÔ ÙÔ ‚Ú¿‰˘8�1+14�2 = 8+28 = 36

fiÓÙÔ˘˜ ·ÓÙ› ÁÈ· 40 Ô˘¤Ù˘¯Â ÛÙËÓ

Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· .∞ÊÔ‡ ¤Ù˘¯Â 40–36=4ÂÈÏ¤ÔÓ fiÓÙÔ˘˜, Ë

‰È·ÊÔÚ¿ ·˘Ù‹ ÔÊÂ›ÏÂÙ·ÈÛÙ· ÙÚ›ÔÓÙ·. ¢ËÏ·‰‹,¤Ù˘¯Â 4 ÙÚ›ÔÓÙ· Î·È14 – 4 = 10 ‰›ÔÓÙ· .

1.4(26-30) 18-12-06 23:02 ™ÂÏ›‰·26

Να βρείτε τον αριθμό που το διπλάσιό του, αν το ελαττώσσουμε κατά 8, δίνει τοναριθμό αυξημένο κατά 9.

Ονομάζουμε τον άγνωστο αριθμό x. To διπλάσιο είναι 2x.Aν το ελαττώσσουμε κατά 8, είναι 2x – 8.Ο αριθμός αυξημένος κατά 9 είναι x + 9.Συνδέουμε τα παραπάνω σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος και προκύπτειη εξίσωση:

2x – 8 = x + 9 ή 2x – x = 9 + 8 ή x = 17δηλαδή, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 17.

Μία βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 10 λεπτά. Μια άλλη βρύση γεμίζει την ίδια δεξαμενή

σε 15 λεπτά. Σε πόσα λεπτά της ώρας γεμίζει η δεξαμενή, αν ανοίξουν και οι δύο βρύσες;

Έστω, ότι και οι δύο μαζί γεμίζουν την δεξαμενή σεx λεπτά. Αφού η πρώτη γεμίζει σε 10 λεπτά, σε ένα

λεπτό θα γεμίζει το και σε x λεπτά τα της

δεξαμενής. Oμοίως, η δεύτερη βρύση σε x λεπτά θα

γεμίσει τα της δεξαμενής. Αφού και οι δύο μαζί

θα γεμίσουν τη δεξαμενή, έχουμε την εξίσωση:

+ = 1

30 + 30 = 30 � 1

3x + 2x = 305x = 30

x = 6

Eπομένως, και οι δύο βρύσες γεμίζουν τηνδεξαμενή σε 6 λεπτά.

x15

x10

x15

x10

x15

x10

110

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

➤ Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα.

➤ Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το x) για να εκφράσουμε τον άγνωστο

αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε.

➤ Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του x.

➤ Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της

εκφώνησης.

➤ Λύνουμε την εξίσωση.

➤ Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

Μέρος Α’ - 1.4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 27

ªÂ Ú·ÎÙÈÎ‹ ∞ÚÈıÌËÙÈÎ‹:

∏ ÚÒÙË ‚Ú‡ÛË ÛÂ ¤Ó· ÏÂÙfi

ÁÂÌ›˙ÂÈ ÙÔ ÙË˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜

Î·È Ë ‰Â‡ÙÂÚË ÙÔ .

∂ÔÌ¤Óˆ˜, Î·È Ô ‰‡Ô Ì·˙›

ÁÂÌ›˙Ô˘Ó ÛÂ 1 ÏÂÙfi ÙÔ

+ = + = =

ÙË˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜. ∞ÊÔ‡ ÛÂ 1

ÏÂÙfi ÁÂÌ›˙ÂÈ ÙÔ ÙË˜

‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜, ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÔ‡Ó 6ÏÂÙ¿ ÁÈ· Ó· ÙË ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó

ÔÏfiÎÏËÚË.

16

16

530

230

330

115

110

115

110

1.4(26-30) 18-12-06 23:02 ™ÂÏ›‰·27

Η ανιψιά μου η ΜαρίζαΗ ανιψιά μου η Μαρίζα έγραψε 16 και 18 σε δύο διαγωνίσματαΜαθηματικών.α) Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο τρίτο διαγώνισμα για να

έχει μέσο όρο 18 και στα τρία διαγωνίσματα;β) Μπορεί να βγάλει μέσο όρο 19;

Έστω x ο βαθμός που θα πάρει η Μαρίζα στο τρίτο διαγώνισμα. Ο μέσος όρος τωντριών διαγωνισμάτων προκύπτει, αν διαιρέσουμε το άθροισμά τους δια 3,

δηλαδή: .

α) Για να βγάλει μέσο όρο 18, πρέπει: = 18

3 � = 3 � 18

34 + x = 54x = 54 – 34x = 20

Άρα, για να βγάλει μέσο όρο 18, πρέπει να γράψει 20 στο τρίτο διαγώνισμα.

Ο αριθμός αυτός επαληθεύει το πρόβλημα, γιατί = 18.

β) Για να βγάλει μέσο όρο 19, πρέπει =19 άρα 34 + x = 57 ή x = 23.

Φυσικά, επειδή δεν είναι δυνατόν να γράψει βαθμό 23 λέμε ότι, παρόλοπου η εξίσωση λύθηκε, η λύση της απορρίπτεται.Δηλαδή, είναι αδύνατον η Μαρίζα να βγάλει μέσο όρο 19.

Τρία αδέλφια μοιράστηκαν ένα χρηματικό ποσό. Ο μικρότερος έλαβε το του ποσού

και 12 € ακόμη, ο μεσαίος έλαβε το του ποσού και 8 € ακόμη και ο μεγαλύτερος

έλαβε το του ποσού και 6 € ακόμη.

Να βρεθεί το αρχικό χρηματικό ποσό και το μερίδιο του καθενός.

Έστω x το αρχικό ποσό.❖ Ο μικρότερος έλαβε το του ποσού και 12 € ακόμη, δηλαδή x + 12.

❖ Ο μεσαίος έλαβε το του ποσού και 8 € ακόμη, δηλαδή x + 8.

❖ Ο μεγαλύτερος έλαβε το του ποσού και 6 € ακόμη, δηλαδή x + 6.13

13

14

14

15

15

Λύση:

13

14

15

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

16 + 18 + x3

16 + 18 + 203

16 + 18 + x3

16 + 18 + x3

16 + 18 + x3

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

28 Μέρος Α’ - 1.4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

1.4(26-30) 18-12-06 23:02 ™ÂÏ›‰·28

Το άθροισμα των τριών αυτών ποσών είναι το αρχικό ποσό x που μοιράστηκαν.Έτσι, έχουμε την εξίσωση:

x + 12 + x + 8 + x + 6 = x

+ + + 26 = x

60 + 60 + 60 + 60 � 26 = 60x

12x + 15x + 20x + 1560 = 60x

12x + 15x + 20x – 60x = –1560

– 13x = –1560

x =

x = 120

Άρα, το αρχικό ποσό ήταν 120 €.

Ο μικρότερος πήρε �120 + 12 = 24 + 12 = 36 €,

ο μεσαίος πήρε �120 + 8 = 30 + 8 = 38 € και

ο μεγαλύτερος πήρε �120 + 6 = 40 + 6 = 46 €.

Οι αριθμοί αυτοί επαληθεύουν το πρόβλημα, αφού36 + 38 + 46 = 120.

Το διπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 4 είναι ίσο με το 32.Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις επιλύει το πρόβλημα αυτό;

Ο Κώστας έχει 38 € και ο Γιάννης 14 €. Αγόρασαν από ένα σουβλάκι ο καθένας,οπότε τα χρήματα που έχει τώρα ο Κώστας είναι τριπλάσια από τα χρήματα που έχειο Γιάννης. Πόσο κοστίζει κάθε σουβλάκι; Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις επιλύειτο πρόβλημα αυτό;

38 = 3 � 14 + xΔ14 – x = 3(38–x)Γ

38–x = 3(14–x)B38 + x = 3x + 14Α

2 .

2x + 4 = 32Δ4x – 2 = 32Γ

2x + 32 = 4B2x – 4 = 32Α

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

13

14

15

–1560–13

x3

x4

x5

x3

x4

x5

13

14

15

Μέρος Α’ - 1.4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 29

ªÂ Ú·ÎÙÈÎ‹ ∞ÚÈıÌËÙÈÎ‹:

ΔÔ + + ÙÔ˘

Û˘ÓÔÏÈÎÔ‡ ÔÛÔ‡ Â›Ó·È Ù·

+ + =

ÙÔ˘ ÔÛÔ‡ ·˘ÙÔ‡.

ÕÚ·, ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÔ˘

ÔÛÔ‡ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·12 + 8 + 6 = 26 €.

∞ÊÔ‡ Ùa ÙÔ˘ ÔÛÔ‡

Â›Ó·È 26, ÙÔ ÙÔ˘ ÔÛÔ‡

·˘ÙÔ‡ ı· Â›Ó·È

26 : 13 = 2 € Î·È Ùa

ı· Â›Ó·È 60 � 2 = 120 €.

∂ÔÌ¤Óˆ˜, ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ

ÔÛfi Â›Ó·È 120 €.

6060

160

1360

1360

4760

2060

1560

1260

13

14

15

1.4(26-30) 18-12-06 23:02 ™ÂÏ›‰·29

30 Μέρος Α’ - 1.4. Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

Nα βρεθούν οι οξείες γωνίες ορθογωνί-ου τριγώνου ΑΒΓ, αν η μία είναι διπλά-σια της άλλης.

Στα παρακάτω σχήματα το ορθογώνιο καιτο τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Ναβρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

Ένας πατέρας είναι 44 ετών και ο γιοςτου είναι 8 ετών. Μετά από πόσα έτη ηηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια τηςηλικίας του γιου;

Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα χρηματικόποσό. Ο πρώτος πήρε το 3 του ποσού,ο δεύτερος πήρε το 2 του ποσού και οτρίτος πήρε το 2 του ποσού και 100 €ακόμη. Να βρείτε το αρχικό χρηματικόποσό που μοιράστηκαν και το μερίδιοτου καθενός.

Το ρεζερβουάρ ενός αυτοκινήτου περιέ-χει διπλάσια ποσότητα βενζίνης από τορεζερβουάρ ενός άλλου αυτοκινήτου. Αντο πρώτο αυτοκίνητο καταναλώσει 34λίτρα και το δεύτερο 7 λίτρα, θα μείνειίδια ποσότητα βενζίνης στα δύο αυτοκί-νητα. Πόσα λίτρα βενζίνης περιέχει κάθεαυτοκίνητο;

Δώδεκα μικρά λεωφορεία των 8 και 14ατόμων μεταφέρουν συνολικά 126 επι-βάτες. Πόσα λεωφορεία είναι των 8 καιπόσα των 14 ατόμων;

Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 8 mκαι 12 m. Για να διπλασιάσουμε το εμβα-δόν του, αυξάνουμε τη μεγαλύτερη διά-σταση κατά 4 m. Πόσο πρέπει να αυξή-σουμε τη μικρότερη διάσταση;

Ο Πέτρος και ο Σάκης αμείβονται για τηνεργασία τους με την ώρα. Ο Πέτρος κερ-δίζει 2 € την ώρα περισσότερα από τονΣάκη. Όταν ο Πέτρος εργάζεται 7 ώρεςκαι ο Σάκης 5 ώρες, ο Σάκης κερδίζει 26€ λιγότερα από τον Πέτρο. Να βρεθεί τοωρομίσθιο του καθενός.

Όλα μου τα στιλό εκτός από 3 είναιμπλε, όλα μου τα στιλό εκτός από 4 είναικόκκινα, όλα μου τα στιλό εκτός από 5είναι μαύρα. Πόσα στιλό έχω;

Το τρίαθλο είναι ένα αγώνισμα που πε-ριλαμβάνει έναν αγώνα κολύμβησης,έναν αγώνα ποδηλασίας και έναν αγώναδρόμου. Η συνολική απόσταση που δια-νύει ένας αθλητής και στα τρία αγωνί-σματα είναι 51,5 km. Ο αγώνας δρόμου

γίνεται σε μία απόσταση που είναι κατά8,5 km μεγαλύτερη από την απόστασηστην οποία γίνεται ο αγώνας κολύμβη-σης. Ο αγώνας της ποδηλασίας γίνεταισε τετραπλάσια απόσταση απ’ αυτήντου αγώνα δρόμου.α) Yποθέτοντας ότι το ευθύγραμμο τμή-

μα x παριστάνει την απόσταση στηνοποία γίνεται ο αγώνας δρόμου, νααντιγράψετε και να συμπληρώσετε τοσχήμα με τις πληροφορίες της εκφώ-νησης.

β) Ποια απόσταση διανύει ένας αθλητήςσε κάθε αγώνισμα;

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

x–7

x x

xx

Συνολική διαδρομή ;

Aγώναςκολύμβησης

Aγώναςδρόμου

Aγώνας ποδηλασίας

; x;

1.4(26-30) 18-12-06 23:02 ™ÂÏ›‰·30

ΑνισώσειςΌπως γνωρίζουμε, η σχέση που συνδέει τα βάρη μιαςζυγαριάς που δεν ισορροπεί, είναι μία σχέση ανίσωσης.Για παράδειγμα, για τα βάρη α και β του διπλανούσχήματος έχουμε την ανίσωση: α < β ή ισοδύναμα, τηνανίσωση β > α.

Μερικές φορές, επίσης, χρησιμοποιούμε το σύμβολο «�»ή το σύμβολο «�». Γράφουμε: α � β, όταν είναι α = β ήα < β και διαβάζουμε: «το α είναι μικρότερο ή ίσο του β».

Παρατήρηση:Αν ένας αριθμός α είναι μικρότερος από τον αριθμό β, τότε οα βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β στην ευθεία τωναριθμών. Η ίδια ανίσωση βέβαια μπορεί να γραφεί και β > α,γιατί ο β βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον α.

Δίνονται οι αριθμοί α και β του διπλανού σχήματος.Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=»στη θέση των κενών.α) α ..... β β) α + 2 ....... β + 2γ) α + 12 ..... β + 12 δ) α – 7 ........β – 7

Λύσηα) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β στην ευθεία

των αριθμών, οπότε α < β.β) Ο α + 2 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β + 2,

οπότε α + 2 < β + 2.γ) Ο α + 12 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β + 12,

οπότε α + 12 < β + 12δ) Ο α – 7 βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β – 7,

οπότε α – 7 < β – 7.

Γενικά, για την πρόσθεση και την αφαίρεση, ισχύει:

Δίνονται οι αριθμοί α και β του σχήματος.Να συμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=»στη θέση των κενών.α) α ..... β β) 2α ..... 2β γ) 5α ..... 5β


Αν και στα δύο μέλη μιας ανίσωσης προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότεπροκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή:Αν α < β τότε α + γ < β + γ και α – γ < β – γ.Αν α > β τότε α + γ > β + γ και α – γ > β – γ.


Aνισώσεις α� βαθμού1.5.

· < ‚

α

β

· ‚

· ·+2 ‚ ‚+2

� �

·–7 · ‚–7 ‚

� �

· ·+12‚ ‚+12��

· ‚

· ‚

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·31

Λύσηα) Ο α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β.β) Ο 2α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον 2β, οπότε

2α < 2β.γ) Ο 5α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον 5β, οπότε

5α < 5β.

Δίνονται οι αριθμοί α και β του διπλανού σχήματος. Νασυμπληρώσετε ένα από τα σύμβολα «<», «>», «=» στηθέση των κενών.α) α ........ β β) –2α ..... –2β γ) –5α ..... –5β

Λύσηα) O α βρίσκεται «πιο αριστερά» από τον β, οπότε α < β.β) Ο –2α βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον –2β, οπότε

–2α > –2β.γ) Ο –5α βρίσκεται «πιο δεξιά» από τον –5β, οπότε

–5α > –5β.

Γενικά, ισχύει για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση:

Επίλυση ανισώσεων

Στο διπλανό σχήμα η ζυγαριά δεν ισορροπεί! Αν ονομά-σουμε x το βάρος κάθε πράσινου κύβου (τα μπλε βαρίδιαζυγίζουν 50 γραμμάρια το καθένα):α) Με τη βοήθεια του x να εκφράσετε με μια σχέση ανί-

σωσης το γεγονός ότι η ζυγαριά δεν ισορροπεί.β) Τι μπορούμε να πούμε για το βάρος x κάθε πράσινου

κύβου;


Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικόαριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την αντίστροφη φορά. Δηλαδή:

Αν α<β και γ < 0 τότε α � γ > β � γ και α >β

γ γ .

Αν α>β και γ < 0 τότε α � γ < β � γ και α <β

γ γ .

Αν και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθ-μό, τότε προκύπτει και πάλι μια ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή:

Αν α<β και γ > 0 τότε α � γ < β � γ και α <β

γ γ .

Αν α>β και γ > 0 τότε α � γ > β � γ και α >β

γ γ .


32 Μέρος Α’ - 1.5. Ανισώσεις α� βαθμού

· 2·‚ 2‚�

· 5·‚ 5‚��

�

· ‚

-2‚ ·-2· ‚��

-5‚ ·-5· ‚��

50g

50g50g

50g

50g50g

50g

50g50g

50g

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·32

Λύσηα) Στον 1ο δίσκο της ζυγαριάς υπάρχουν 3 πράσινοι κύβοι και δύο βαρίδια των 50

γραμμαρίων, δηλαδή συνολικό βάρος 3x + 2 � 50 = 3x + 100 γραμμάρια.Στον 2ο δίσκο υπάρχει 1 πράσινος κύβος και 8 βαρίδια των 50 γραμμαρίων δηλαδή,συνολικό βάρος x + 8 � 50 = x + 400 γραμμάρια.Ο 1ος δίσκος είναι πιο βαρύς, οπότε ισχύει: 3x + 100 > x + 400.

β) Η ανίσωση αυτή μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για το βάρος x, αν τη λύσουμε μεπαρόμοιο τρόπο με αυτόν που ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, από την ανίσωση που βρήκαμε (x > 150) δεν μπορούμε νασυμπεράνουμε πόσο ακριβώς ζυγίζει κάθε πράσινος κύβος, συμπεραίνουμε όμως ότι το βάροςτου είναι οπωσδήποτε μεγαλύτερο από 150 γραμμάρια. Μπορεί να είναι 150,1 γραμμάρια,μπορεί να είναι 200 γραμμάρια ή μπορεί να είναι 1.000 κιλά! Δηλαδή, όταν λύνουμε μίαανίσωση, συνήθως δε βρίσκουμε μία μόνο λύση, αλλά άπειρες! Γι’ αυτό παριστάνουμε αυτέςτις λύσεις στην ευθεία των αριθμών, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Το λευκό κυκλάκι πάνω ακριβώς από το 150 δείχνει ότι ο αριθμός αυτός δεν είναι λύση τηςανίσωσης.

Ο τρόπος που ακολουθούμε για να λύσουμε μια ανίσωση, είναι παρόμοιος με τον τρόποπου ακολουθούμε στην επίλυση εξισώσεων. Δηλαδή:● Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.● Κάνουμε αναγωγές ομοίων ορων.● Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα

δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης.

Να λύσετε την ανίσωση 2(x – 1) – 3 (x + 1) � 4 (x + 2) + 12.

Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά:Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μια ανίσωση που περιέχει μία μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές τηςμεταβλητής, λέγεται ανίσωση με έναν άγνωστο.

Απλοποιούμε τα κλάσματαx > 150

Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου2x > 3002 2

Κάνουμε τις αναγωγές ομοίων όρων2x > 300Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους3x – x > 400 – 100

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΛΥΣΗΣΑΝΙΣΩΣΗ 3x + 100 > x + 400

Μέρος Α’ - 1.5. Ανισώσεις α� βαθμού 33

-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·33

2x – 2 – 3x – 3 � 4x + 8 + 12

2x – 3x – 4x � 8 + 12 + 2 + 3

– 5x � 25

�

x � –5Στη συνέχεια, παριστάνουμε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών: H μπλε τελείαακριβώς πάνω στο –5 σημαίνει ότι και ο αριθμός αυτός είναι λύση της ανίσωσης.

Να λύσετε την ανίσωση + � x.

Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά:

8 + 8 � 8x

2 (5 – x) + x + 2 � 8x10 – 2x + x + 2 � 8x

–2x + x – 8x � –10 – 2–9x � –12

�

x �

Στη συνέχεια, παριστάνουμε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών:

Να λύσετε την ανίσωση 2(x – 1) – 3 (x + 2) < 4(x + 1) – 5(x – 2).Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά: Παρατηρούμε ότι, η ανίσωση αυτή αληθεύει2x – 2 – 3x – 6 < 4x + 4 – 5x + 10 για κάθε τιμή του αριθμού x. Δηλαδή είναι

2x – 3x – 4x + 5x < 4 + 10 + 2 + 6 ταυτότητα. Η παράσταση των λύσεων αυτών0x < 22 στην ευθεία των αριθμών θα είναι όλη η ευθεία.

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

43

←←←← ¢È·ÈÚ¤Û·ÌÂ ÌÂ ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÁÈ’ ·˘Ùfi·ÏÏ¿Í·ÌÂ ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË.

–12–9

–9x–9

x + 28

5 – x4

Λύση:

x + 28

5 – x4

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

←←←← ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ ÌÂ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘.¶¶ÚÚÔÔÛÛÔÔ¯̄‹‹ fifiÌÌˆ̂˜̃!! .. ¢È·ÈÚ¤Û·ÌÂ ÌÂ ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfiÁÈ’ ·˘Ùfi ·ÏÏ¿Í·ÌÂ ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË.

25–5

–5x–5

←←←← ∫¿ÓÔ˘ÌÂ ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ


←←←← ∫¿ÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ Ú¿ÍÂÈ˜ (ÂÈÌÂÚÈÛÙÈÎ‹ È‰ÈfiÙËÙ·)


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2

43

-2 -1 0 1 2

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·34

Να λύσετε την ανίσωση x + 2 + 2(x – 3) > 3x + 4.Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Η ανίσωση γράφεται διαδοχικά: x + 2 + 2x – 6 > 3x + 4x + 2x – 3x > 4 – 2 + 6

0x > 8Παρατηρούμε ότι, η ανίσωση αυτή δεν αληθεύει για καμιά τιμή του αριθμού x.Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ανίσωση είναι αδύνατη.Στην παράσταση των λύσεων αυτών στην ευθεία των αριθμών δε θα σημειώσουμετίποτα, γιατί κανένας αριθμός δεν είναι λύση αυτής της ανίσωσης.

Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 3x – 5 � x + 3 και 4 < 14 + 5x.Στη συνέχεια, να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των αριθμών.

Λύνουμε χωριστά τις δύο ανισώσεις:3x – 5 � x + 3 4 < 14 + 5x

3x – x � 3 + 5 4 – 14 < 5x2x � 8 –10 < 5x

� <

x � 4 –2 < x H παράσταση των λύσεων της πρώτης Η παράσταση των λύσεων της δεύτερηςανίσωσης στην ευθεία των αριθμών: ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών:

Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία.

Όπως βλέπουμε από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοίπου βρίσκονται ανάμεσα στο –2 και στο 4. Άρα, είναι οι αριθμοί x για τους οποίουςισχύει: –2 < x � 4.

Παρατήρηση: Η σχέση –2 < x � 4 είναι μια διπλή ανίσωση, γιατί ισχύουν συγχρόνως και

η x > –2 και η x � 4.

Nα λύσετε την ανίσωση: � 2 � .

Η ανίσωση � 2 � χωρίζεται σε δύο ανισώσεις, οι οποίες πρέπει να

ισχύουν ταυτόχρονα ή όπως λέμε, να συναληθεύουν: � 2 και 2 � .3 – x

2x + 1

3

3 – x2

x + 13

Λύση:

3 – x2

x + 13

66∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

5x5

–105

82

2x2

Λύση:

55∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·35

Λύνουμε χωριστά τις δύο ανισώσεις:

� 2 2 �

3 � � 3 � 2 2 � 2 � 2 �

x + 1 � 6 4 � 3 – xx � 6 – 1 x � 3 – 4x � 5 x � –1

H παράσταση των λύσεων της πρώτης Η παράσταση των λύσεων της δεύτερηςανίσωσης στην ευθεία των αριθμών: ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών:

Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία.

Όπως βλέπουμε από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοίπου βρίσκονται από το –1 και αριστερά. Άρα, είναι οι αριθμοί x για τους οποίουςισχύει: x � –1.

Nα συμπληρώσετε τα κενά:

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη):ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) Ανα < β τότε α – 16 < β – 16.β) Ανα < β τότε –α < –β.γ) Ανα < 0 τότε 2α < α.

δ) Ανα > 1 τότε > 1.

ε) Ανα < 5 τότε α < 8.στ) Η ανίσωση 3x – 5 > 7 έχει λύση τον αριθμό x = 4.

ζ) Η ανίσωση x + 500 > x + 499 αληθεύει για κάθε αριθμό x.η) Η ανίσωση x + 500 > x + 501 αληθεύει για κάθε αριθμό x.θ) Η ανίσωση 2x – 3 < 3x – 2 έχει λύσεις τους αριθμούς x < 1.

1α

2 .

η) Αν x � –1, τότε –4x ......................... ζ) Αν x < 7, τότε –3x ...............................

στ) Αν x < 4, τότε 3x 2

................................ε) Αν x � –2, τότε 2x ...............................

δ) Αν x � 6, τότεx

–3................................ γ) Αν x > 5, τότε x – 3 ...............................

β) Αν x < –3, τότε x 2

................................α) Αν x < 3, τότε x + 3 ..............................

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

3 – x2

x + 13

3 – x2

x + 13


-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·36


Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσε-τε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:α) 8x + 4 � 16 + 5xβ) x + 3 > –2γ) –(1 – x) > 2x – 1δ) –7x + 3 � 4 – x

Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσε-τε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:α) 3(ω – 1) > ω – 2β) 2x + 2 – (x –2) � 4 – xγ) 3y – 1 – (y + 2) < 2(y + 2) +1δ) 4(t + 5) < t – 4

Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσε-τε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους:

α) – >1

β) 2 (x + 1) – (x + 1) >

γ) x + 3 + – > 0

δ) � ( + ) – > 2

ε) ω – < –

στ) t + > +

Nα βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:α) x – 4 < 1 και 2 – x < 3β) 2(x + 1) + x > 6 – 2x και

7x – 8 > 3(x + 3) + 7γ) 3x – 1 > 2(1 – x) + 7 και

3(1 – x) � 6

δ) 3y – 15 > (y + 2) και

y – < y – 5

ε) 2x – 1 < 7 και3(x – 1) > –6 καιx � 3(x – 2)

στ) > και

2(3x – 1) + x > –2(x + 5) – 1 και3 + x < 2(x – 3)

Nα λύσετε και να παραστήσετε στην ευθείατων αριθμών τις λύσεις των ανισώσεων:α) –7 < 2x + 1 � 19β) –1 < 1 – 2x < 3γ) 3 � 5x + 1 � 8

Για ποιες τιμές του θετικού ακέραιουαριθμού μ, έχουμε ότι ο Α = 2 (μ – 3) – 4είναι αρνητικός ;

Για ποιες τιμές του αριθμού α, η ανίσωση2x – 3α + 1 > α(x – 1) έχει λύση τον αριθ-μό x = 2;

H Άννα είχε τριπλάσια χρήματα από τηΜαρία, αλλά δαπάνησε 14 € και τώραέχει λιγότερα από τη Μαρία. Να αποδεί-ξετε ότι η Μαρία έχει λιγότερα από 7 €.

Ο Γιώργος έχει γράψει δύο διαγωνίσμα-τα με βαθμούς 12 και 14. Τι βαθμό πρέ-πει να γράψει στο επόμενο διαγώνισμαγια να έχει μέσο όρο πάνω από 14;

Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας «Parla-net» προτείνει στους πελάτες της δύο«πακέτα» συνδρομής:

1ο: πάγιο 7,50 € το μήνα και χρέωση 0,254 € το λεπτό.

2ο: πάγιο 15 € το μήνα και χρέωση0,204 € το λεπτό.

Από πόσο χρόνο ομιλίας και πάνωσυμφέρει το 2ο πακέτο;

Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίουέχει μήκος 80 m, περίμετρο μικρότερηαπό 240 m και εμβαδόν μεγαλύτερο από3000 m2. Πόσα μέτρα μπορεί να είναι τοπλάτος του;

11

10

9

8

7

6

5

2x + 13

3x – 12

521

23

25

4

27t28

2t – 17

t + 14

ω – 34

ω – 12

ω – 22

x + 76

x + 13

x + 12

12

x + 13

x + 22

x2

32

2 – x3

3x – 44

3

2

1

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·37

✐ Επιμεριστική ιδιότητα:➤ (α + β) � γ = α � γ + β � γ ➤ α � γ + β � γ = (α + β) � γ

✐ Αν προσθέσουμε, αφαιρέσουμε, πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ισότηταςμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι ισότητα. Δηλαδή:Αν α = β, τότε: α + γ = β + γ

α – γ = β – γα � γ = β � γ και

= , με γ � 0

✐ Σε μια εξίσωση ή ανίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο,

αλλάζοντας το πρόσημό τους.

✐ Για να λύσουμε μία εξίσωση, ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

✐ Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξίσωσης, ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

✐ Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε και στα δύο μέλη μιας ανίσωσης τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτεικαι πάλι ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή:

✐ Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με τον ίδιο θετικό αριθμό,τότε προκύπτει και πάλι ανίσωση με την ίδια φορά. Δηλαδή:

✐ Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με τον ίδιο αρνητικό αριθμό,τότε προκύπτει ανίσωση με την αντίστροφη φορά. Δηλαδή:

✐ Για να λύσουμε μια ανίσωση, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με αυτήν της επίλυσης εξισώ-σεων, αλλά πρέπει να προσέξουμε ιδιαίτερα να αλλάζουμε τη φορά της ανίσωσης, ότανδιαιρούμε ή πολλαπλασιάζουμε με αρνητικό αριθμό.

Αν α < β τότε α � γ > β � γ καια

>β

γ γ , όταν γ < 0.

Αν α < β τότε α � γ < β � γ καια

<β

γ γ , όταν γ > 0.

Αν α < β τότε α + γ < β + γ και α – γ < β – γ.

➤ Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα.➤ Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το x) για να εκφράσουμε τον άγνωστο

αριθμό που πρέπει να προσδιορίσουμε.➤ Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του x.➤ Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της

εκφώνησης.➤ Λύνουμε την εξίσωση.➤ Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

➤ Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.➤ Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.➤ Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.➤ Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου.

βγ

αγ

Eξισώσεις – Ανισώσεις 1∂·Ó¿ÏË„Ë ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘

1.5(31-38) 18-12-06 23:06 ™ÂÏ›‰·38

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√


Πραγματικοί αριθμοί

22 ÔÔ

2.1(39-44) 18-12-06 23:08 ™ÂÏ›‰·39


2.1 Τετραγωνική ρίζαθετικού αριθμού

2.2 Άρρητοι αριθμοί.Πραγματικοί αριθμοί

2.3 Προβλήματα

ª¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ

Ê˘ÛÈÎÔ‡˜, ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Î·È

ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

™ÙÔ˘˜ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘˜ Â›¯·ÌÂ ÂÍÂÙ¿ÛÂÈ ÙË

‰ÂÎ·‰ÈÎ‹ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, Ë ÔÔ›· ‹Ù·Ó

ÁÓˆÛÙ‹ ÛÂ ·Ï‹ ‹ ÂÚÈÔ‰ÈÎ‹ ÌÔÚÊ‹.

À¿Ú¯ÂÈ fiÌˆ˜ Î·È ¤Ó· ¿ÏÏÔ Û‡ÓÔÏÔ

·ÚÈıÌÒÓ, ÔÈ ¿ÚÚËÙÔÈ, ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜

ÂÍÂÙ¿˙Ô˘ÌÂ ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi.

√È ¿ÚÚËÙÔÈ Ì·˙› ÌÂ ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜

Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜,

ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È ÌÂ Ï‹ÚË ÙÚfiÔ

¿Óˆ ÛÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Ô˘ ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ

Â˘ıÂ›· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ΔÔ

ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ·È ÌÂ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹

ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂˆÓ ÙˆÓ ¿ÚÚËÙˆÓ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË

ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ.

2.1(39-44) 18-12-06 23:08 ™ÂÏ›‰·40

Η Πηνελόπη έγινε αρχιτέκτων! Πήρε επιτέλους το δίπλωμά τηςκαι γεμάτη όρεξη ρίχνεται στην πρώτη της δουλειά! Πρέπει ναχτίσει ένα σπίτι με τετραγωνική βάση σε ένα γωνιακό οικόπεδο.Αφού ρώτησε την Πολεοδομία, πληροφορήθηκε ότι στο συγκε-κριμένο οικόπεδο μπορεί κανείς να χτίσει σπίτι εμβαδού 289m2. Ποιο θα πρέπει να είναι το μήκος x κάθε πλευράς τηςτετραγωνικής βάσης του σπιτιού;

ΛύσηΓνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε = x2. Άρα πρέπει x2 = 289. Δηλαδή, πρέπει να βρούμε έναν αριθμόx, του οποίου το τετράγωνο να είναι 289.

❖ Μήπως είναι x = 10;Τότε όμως x2 = 102 = 100 (θέλει πιο πολύ).

❖ Μήπως είναι x = 20;Τότε όμως x2 = 202 = 400 (θέλει πιο λίγο).

❖ Μήπως είναι x = 15;Τότε όμως x2 = 152 = 225 (θέλει λίγο πιο πολύ).

❖ Μήπως είναι x = 17;Τότε x2 = 172 = 289 (αυτό είναι!).

Το σπίτι θα έχει τετραγωνική βάση, πλευράς 17 (m).

Ο θετικός αριθμός 17, του οποίου το τετράγωνο ισούται με 289,ονομάζεται τετραγωνική ρίζα του 289 και συμβολίζεται με��289. Δηλαδή ��289 = 17.

Γενικά:

Για παράδειγμα: �� = γιατί ( )2=

��0,64 = 0,8 γιατί 0,82 = 0,64

��17,64 = 4,2 γιατί 4,22 = 17,64Σχόλια:➤ Δεν ορίζουμε ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό του να

είναι αρνητικός. Για παράδειγμα η ��–25 δεν έχει νόημα, γιατί κανένας αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δε δίνει αποτέλεσμα –25.

49

23

23

49

Επειδή, 02 = 0, ορίζουμε ως ��0 = 0.

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικόςαριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τοναριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με ��α.


Tετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού2.1.

��aριζικό ή σύμβολο ρίζας

υπόρριζη ποσότητα

2.1(39-44) 18-12-06 23:08 ™ÂÏ›‰·41

➤ Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας, προκύπτει ότι:

●

●

➤ Σύμφωνα με τα παραπάνω:

α) Είναι λάθος να γράψουμε ��25 = –5, παρόλο που (–5)2 = 25, καθώς –5 < 0.

β) Είναι λάθος να γράψουμε ��(–5)2 = –5, καθώς –5 < 0. Το σωστό είναι ��(–5)2 =��25 = 5.

Να βρείτε τους αριθμούς: ��25, ��49, ��64, ��121.

Αν x = ��25 τότε x2 = 25. Άρα πρέπει να βρούμε ένα θετικό αριθμό του οποίου τοτετράγωνο να ισούται με 25. Με δοκιμές βρίσκουμε εύκολα ότι 52 = 25, δηλαδή x = 5.Άρα ��25 = 5.Ομοίως, βρίσκουμε ότι:

��49 = 7 γιατί 72 = 49, ��64 = 8 γιατί 82 = 64, ��121 = 11 γιατί 112 = 121.

Nα υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες: α) ��16, β) ��0,16, γ) ��0,0016.

α) Γνωρίζουμε ότι 42 = 16. Άρα ��16 = 4.β) Γνωρίζουμε ότι (0,4)2 = 0,16. Άρα ��0,16 = 0,4.γ) Γνωρίζουμε ότι (0,04)2 = 0,0016. Άρα ��0,0016 = 0,04.

Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίουτριγώνου του διπλανού σχήματος.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:β2 + 2,82 = 3,52 ή β2 + 7,84 = 12,25 ήβ2 = 12,25 – 7,84 ή β2 = 4,41

Επομένως: β = ��4,41 = 2,1 γιατί 2,12 = 4,41.

Πόσο απέχει η πόλη Α από την πόλη Β;

Aπό το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2 ή ΑΒ2 + 152 = 172 ήΑΒ2 + 225 = 289 ή ΑΒ2 = 289 – 225 ήΑΒ2 = 64 οπότε ΑΒ = ��64 ή ΑΒ = 8

Επομένως, η πόλη Α απέχει 8 km από την πόλη Β.

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Αν α � 0, τότε (��α )2 = α.

Αν ��α = x, όπου α � 0, τότε x � 0 και x2 = α.

42 Μέρος Α’ - 2.1. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

β

2,8

3,5

Α

Β

Γ

17 km

15 km

2.1(39-44) 18-12-06 23:08 ™ÂÏ›‰·42

Για τους x, y ισχύει: y = ��x. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστήαπάντηση:

Η εξίσωση x2 = 16 έχει λύσεις:Α: μόνο το 4 B: μόνο το –4 Γ: το 4 και το –4.

Στον διπλανό πίνακα να αντιστοιχίσετε σε κάθε αριθμό τηςστήλης Α την τετραγωνική του ρίζα που βρίσκεται στη στήλη Β.

Να εξετάσετε αν ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις:α) ��16 = 8 β) ��4 = 16γ) ��9 = 3 δ) ��0,4 = 0,2ε) ��–9 = –3 στ) η ��0 δεν υπάρχειζ) ��4 = –2 η) ��16+9 = 5θ) ��25 – 9 = 5 – 3 = 2 ι) ��100 = 50

Αν x είναι ένας θετικός αριθμός, στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστήαπάντηση.

η σχέση αυτή είναι αδύνατηx = ±10x = 100x = 50x = 10Αν ��100 = x4.

η σχέση αυτή είναι αδύνατηx = –8x = 256x = –4x = 4Αν ��x = –16, τότε3.

η σχέση αυτή είναι αδύνατηx = ±81x = 4,5x = 81x = 3Αν ��x = 9, τότε2.

η σχέση αυτή είναι αδύνατηx = 2,5x = –25x = 25x = 10Αν ��x = 5, τότε1.

EΔΓΒΑ

5 .

4 .

3 .

2 .

x2 = y2y2 = xx2 = yΙσχύει η σχέση:γ)

oποιοσδήποτε αριθμόςαρνητικός ή μηδένθετικός ή μηδένΟ y είναι:β)

oποιοσδήποτε αριθμόςαρνητικός ή μηδένθετικός ή μηδένΟ x είναι:α)

ΓΒΑ

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Μέρος Α’ - 2.1. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού 43

9

16

4

25

36

163285

1864

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνι-

κές ρίζες.

α) ��81, ��0,81, ��8100 .

β) ��4 , ��0,04, ��400, ��40000

γ) ��121, ��1,21, ��12100, ��0,0121

δ) ��, �� , �� , �� .

Να υπολογίσετε τους αριθμούς:

α) ��36 = β) ��18+18 =

γ) ��18 �18 = δ) (��18)2=

Να τοποθετήσετε σε κάθε τετράγωνο έναν

κατάλληλο αριθμό, ώστε να ισχύει η αντί-

στοιχη ισότητα.

3

2

36121

40049

14425

94

1

2.1(39-44) 18-12-06 23:08 ™ÂÏ›‰·43

44 Μέρος Α’ - 2.1. Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

α) ��= β) (��❏ )2= 5

γ) ��❏ + 3 = 6 δ) ��❏ +2 = 11

ε) 2 – ��❏ = 0 στ) (��❏ )2+��❏ =6

Να αποδείξετε ότι:

α)��+��9 = 2 β) ��2+��2+��4 = 2

γ) ��7+��2+��1+��9 = 3

Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευράτων παρακάτω ορθογωνίων τριγώνων.

Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς x πουικανοποιούν τις εξισώσεις:

α) x2 = 9 β) x2 = 25

γ) x2 = 64 δ) x2 = .

Να υπολογίσετε το ύψος

του ισοσκελούς τριγώ-

νου ΑΒΓ του διπλανού

σχήματος.

Nα υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός ορθο-γωνίου γηπέδου που έχει διαστάσεις65 m και 72 m.

To τετράγωνο ενός θετικού αριθμού, αναυξηθεί κατά 8, γίνεται ίσο με το τριπλά-σιο του τετραγώνου του αριθμού αυτού.Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;

Στο διπλανό σχήμα να

βρείτε το μήκος x.

Nα συγκρίνετε τους

αριθμούς ��α, α, α2, στις

παρακάτω δύο περιπτώσεις:

α) Αν α > 1 π.χ. α = 4, α = 9, α = 16...

β) Αν 0<α<1 π.χ. α= , α= , α= ,...

Τι παρατηρείτε;

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Τι συμπεραίνετε;


Τι συμπεραίνετε;


Τι συμπεραίνετε;3664

169

��α+β��α + ��β��β��αβα14

3625

164

��αβ��α��β

��β��αβα

13

4936

49

��αβ��α��β��β��αβα12

116

19

14

11

10

9

8

7

10081

6

5

��42

4

23

4❏

6

8

x y

12

3 5

β

13

21

20

α γ

12

36 85

ω

37

� ��

A

B Γ

3,73,7

2,4

17

4

3

β

13

ƒÒÙËÛ·Ó ¤Ó· Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi ÙÔ˘ 20Ô˘ ·ÈÒÓ· fiÛˆÓÂÙÒÓ Â›Ó·È. ∞˘Ùfi˜ ·¿ÓÙËÛÂ ˆ˜ ÂÍ‹˜:«∏ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎ‹ Ú›˙· ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ Ô˘ ÁÂÓÓ‹ıËÎ·Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ›ÛË ÌÂ ÙË ÛËÌÂÚÈÓ‹ ÌÔ˘ ËÏÈÎ›·».¶fiÛˆÓ ÂÙÒÓ ‹Ù·Ó, fiÙÂ ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ Î·È ÔÈ· ¯ÚÔÓÔ-ÏÔÁ›· ¤ÁÈÓÂ Ë ÂÚÒÙËÛË;

ªÔÚÂ›ÙÂ Ó· ·ÏÏ¿ÍÂÙÂ ÙË ı¤ÛËÂÓfi˜ ÌfiÓÔ Û›ÚÙÔ˘, ÒÛÙÂ Ó·ÚÔÎ‡„ÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË˜ ÈÛfiÙËÙ·;

°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::12

α

γ

x

9

2.1(39-44) 18-12-06 23:08 ™ÂÏ›‰·44

Άρρητοι αριθμοί

Oι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγε-θών μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών.Στην πεποίθηση αυτή είχαν στηρίξει όλη την κοσμοθεωρία τουςκαι προσπαθούσαν να επιλύσουν προβλήματα από τον πραγ-ματικό κόσμο.Η πρώτη κρίση στα Μαθηματικά εμφανίστηκε όταν, σύμφωναμε την παράδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος (450 π.Χ. περί-που) «αποκάλυψε» τον «άρρητο» ��2.Σύντομα βρέθηκαν και άλλοι άρρητοι αριθμοί. Ο Εύδοξος ο Κνί-διος (407 - 354 π.Χ.) ήταν αυτός που έβγαλε τους Πυθαγόρει-ους από την κρίση θεμελιώνοντας ένα μεγάλο μέρος της μελέ-της των άρρητων αριθμών.

Ας δούμε, όμως, πώς οδηγηθήκαμε στην ύπαρξη των αρρήτων.Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς 1cm καιθέλουμε να υπολογίσουμε τη διαγώνιο x του τετραγώνου.Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: x2 = 12 + 12 = 2.

Στη συνέχεια, οι Πυθαγόρειοι απέδειξαν ότι δεν υπάρχει ρητός

αριθμός , τέτοιος ώστε, x = . Αυτό σημαίνει ότι ο x δε

μπορεί να είναι ούτε δεκαδικός ούτε περιοδικός δεκαδικός.

Γενικά:

Για να προσεγγίσουμε τον αριθμό x, παρατηρούμε διαδοχικά ότι:1 = 12 < 2 < 22 = 4

1,96 = 1,42 < 2 < 1,52 = 2,251,9881 = (1,41)2 < 2 < (1,42)2 = 2,0164

1,9994 = (1,414)2 < 2 < (1,415)2 = 2,00221,99996 = (1,4142)2 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024

1,9999899 =(1,41421)2 < 2 < (1,41422)2 = 2,000018....................

1 < ��2 < 21,4 < ��2 < 1,5

1,41 < ��2 < 1,421,414 < ��2 < 1,415

1,4142 < ��2 < 1,41431,41421 < ��2 < 1,41422

....................Στην προηγούμενη παράγραφο συμβολίζαμε με ��α τον θετικό αριθμό που, όταν υψωθεί στοτετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α.

ÕÚ· :

Kάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

μν

μν

Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί2.2.

1

1 x 1

1

1 ��2

��2

2

1,4 1,5

1,41 1,42

1,414 1,415

��2

��2

2.2(45-48) 18-12-06 23:11 ™ÂÏ›‰·45

Επομένως, τον αριθμό x που προσπαθούμε να βρούμε έτσι ώστε x2 = 2, μπορούμε να τονσυμβολίζουμε με ��2, αλλά δεν μπορούμε να τον υπολογίσουμε με ακρίβεια, παρά μόνο προ-σεγγιστικά. Αφού είναι άρρητος, δε μπορεί να γραφεί ως ρητός ή δεκαδικός με γνωστάψηφία. Με τους προηγούμενους υπολογισμούς μπορούμε μόνο να προσεγγίσουμε τον ��2ως εξής:

Αποδεικνύεται, επίσης, ότι και οι αριθμοί ��3, ��5, ��6, ��7, ��8, ��10, ��11,... είναι άρρητοι.Αργότερα, θα μάθουμε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών,όπως ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π.

Σχόλιο:Τις τετραγωνικές ρίζες μπορούμε να τις προσεγγίσουμε με τη βοήθεια ενός μικροϋπολογιστή τσέπης

ως εξής: Για να προσεγγίσουμε τον αριθμό ��2, πατάμε διαδοχικά τα πλήκτρα και , οπότε

στην οθόνη βλέπουμε τον αριθμό 1,414213 που είναι μια προσέγγιση του ��2 , με έξι δεκαδικά ψηφία.

Παλαιότερα, για τον υπολογισμό των ριζών χρησιμοποιούσαμε ειδικούς πίνακες.

Πραγματικοί αριθμοίΑς μελετήσουμε όλα τα σύνολα αριθμών που έχουμε συναντήσει.➤ Οι φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, ... παριστάνονται στη

διπλανή ευθεία με σημεία.Στην αρχή Ο έχουμε τοποθετήσει το μηδέν (0).

➤ Οι ακέραιοι αριθμοί: ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ... παριστάνονταιπάλι με σημεία.Τοποθετούμε στα δεξιά της αρχής Ο τους θετικούς ακέραιουςαριθμούς και στα αριστερά τους αρνητικούς.

➤ Το σύνολο των ρητών αριθμών, δηλαδή των αριθμών που

μπορούν να γραφούν στη μορφή , όπου μ ακέραιος καιν φυσικός αριθμός.Οι ρητοί αριθμοί έχουν γνωστή δεκαδική μορφή και γεμίζουντην ευθεία, αλλά όχι πλήρως.

➤ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται όχι μόνο από τουςρητούς αλλά και όλους τους άρρητους. Οι πραγματικοί αριθ-μοί καλύπτουν πλήρως την ευθεία, δηλαδή κάθε σημείο τηςευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και αντίστρο-φα κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε μοναδικό σημείοτης ευθείας. Για το λόγο αυτό, την ευθεία αυτή την ονομάζου-με ευθεία ή άξονα των πραγματικών αριθμών.

μν

��2

Έχουμε:με προσέγγιση χιλιοστού: ��2 = 1,414με προσέγγιση δεκάκις χιλιοστού: ��2 = 1,4142με προσέγγιση εκατοντάκις χιλιοστού: ��2 = 1,41421 κ.o.κ.Οι αριθμοί αυτοί λέγονται ρητές προσεγγίσεις του αριθμού ��2.

ÕÚ· :

46 Μέρος Α’ - 2.2. Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί

0 1 2 3

√

√

√

√

0-1-2-3 1 2 3

0-1-2-3 1 2 3

-2,37 3,21-49

12

0-1-2-3 1 2 3π

��3��2

-��5

-��13 -2,37 3,21-49

12

2.2(45-48) 18-12-06 23:11 ™ÂÏ›‰·46

Να βρείτε τις ρητές προσεγγίσεις του αριθμού ��13 έως και τρία δεκαδικά ψηφία.

Με διαδοχικές δοκιμές έχουμε:Επειδή 32 = 9 και 42 = 16 είναι 3 < ��13 < 4.Επειδή (3,6)2 = 12,96 και (3,7)2 = 13,69 είναι 3,6 < ��13 < 3,7.Επειδή (3,60)2 = 12,960 και (3,61)2 = 13,032 είναι 3,60<��13 < 3,61.Επειδή (3,605)2 = 12,996 και (3,606)2 = 13,003 είναι 3,605<��13<3,606.Άρα η ρητή προσέγγιση του ��13 είναι 3,605.Σχόλιο: Για την ακρίβεια λέμε ότι ��13 = 3,605 με έλλειψη και ��13 = 3,606 με υπερβολή.

Χρησιμοποιήστε ένα μικροϋπολογιστή τσέπης για να βρείτε με προσέγγιση τριών δεκα-δικών ψηφίων τις τετραγωνικές ρίζες: α) ��3, β) ��50, γ) ��72, δ) ��1764, ε) ��427.

Έχουμε ότι:α) Πατώντας διαδοχικά τα πλήκτρα και στην οθόνη παρουσιάζεται ο

αριθμός 1,7320508. Άρα, με προσέγγιση τριών δεκαδικών ψηφίων ισχύει ότι: ��3 = 1,732.

β) Ομοίως ��50 = 7,071 γ) Ομοίως ��72 = 8,485δ) Ομοίως ��1764 = 42 ε) Ομοίως ��427 = 20,664

Nα τοποθετήσετε στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς:

–4, –2,38, , –��13, 4,13, 3,6, , 1, 2.

Μπορούμε να γράψουμε όλους τους αριθμούς σε δεκαδική μορφή χρησιμοποιώντας

τις ρητές προσεγγίσεις δύο ψηφίων για τους άρρητους, οπότε έχουμε:

–4 < –��13 = –3,61<–3<–2,38 < –2 < 0 < = 0,�4 < = 0,45 <1<2<3,6<4<4,13

Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τον άρρητο αριθμό ��2 .

Θεωρούμε τον άξονα των πραγματικών αριθμών και στο σημείο 1 φέρνουμε κάθετοτμήμα ΑΒ στον άξονα μήκους 1.Το τρίγωνο ΟΑΒ που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

1��5

49

Λύση:

1��5

49

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

��3Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Α’ - 2.2. Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί 47

O-1-2-3-4 4

4,13-2,38-��13

321

3,649

1��5

2.2(45-48) 18-12-06 23:11 ™ÂÏ›‰·47

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:ΟΒ2 = ΟΑ2 + ΑΒ2 = 12 + 12 = 2 ήΟΒ = ��2. Με κέντρο το Ο καιακτίνα ΟΒ κατασκευάζουμε κύκλοο οποίος τέμνει τον άξονα στασημεία Γ, Δ.

Στο σημείο Γ βρίσκεται ο άρρητος ��2,ενώ στο Δ βρίσκεται ο άρρητος –��2 .

Aν τοποθετήσουμε τους αριθμούς στην ευθεία των πραγματικών, να εξετάσετεποιες από τις παρακάτω ανισώσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες.

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) 4 < ��4,5 < 5 δ) 10 < ��21 < 11

β) 1,4 < ��2 < 1,5 ε) 1,7 < ��3 < 1,8

γ) 7 < ��15 < 8 στ) 2 < ��7 < 3

Στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε τοποθετήσει τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ.Στις παρακάτω προτάσεις να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

ΑΒΔΓΟ αριθμός –��5 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείοδ)

ΑΔΒΓΟ αριθμός –��3 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείογ)

ΖΕΔΓΟ αριθμός ��6 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείοβ)

ΔΓΕΑΟ αριθμός ��3 πρέπει να τοποθετηθεί κοντά στο σημείοα)

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

48 Μέρος Α’ - 2.2. Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί

-1-2-3 2 3Ο 1

1

Β

Α

Α B Γ

Ο

Δ E

1-1-2-3-4 2 3 4 5

Ζ

6

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Ποιοι από τους επόμενους αριθμούςείναι ρητοί και ποιοι άρρητοι;

α) ��2, (��2)2 β) –��, ��

γ) ��18, �� , ��182

Toποθετήστε σε μία σειρά από τον μικρότεροστον μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς:α) ��5, ��7, ��3, 1, ��2 β) ��5, ��7, 2, ��2γ) 1+��3, ��3 δ) ��2, ��1+��2

Να βρείτε τις ρητές προσεγγίσεις έως

και δύο δεκαδικά ψηφία των αριθμών:α) ��3, β) ��5, γ) ��7, δ) ��8.

Να λυθούν οι εξισώσεις:α) x2 = 0, β) x2 = 5, γ) x2 = –3, δ) x2 = 17.

Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 12 cm2.Να βρείτε με προσέγγιση εκατοστού τομήκος της πλευράς του.

Ένα τετράγωνο έχει διαγώνιο 12 cm. Ναβρείτε: α) το μήκος της πλευράς του μεπροσέγγιση δύο δεκαδικών, β) την ακρι-βή τιμή του εμβαδού του.

6

5

4

3

2

182

45

49

1

Ο-1-2-3 2 3

��2

1

1

Β

Α ΓΔ

2.2(45-48) 18-12-06 23:11 ™ÂÏ›‰·48

Όπως γνωρίζουμε, δε μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια την τιμή ενός άρρητου αριθμού.Σε διάφορα όμως προβλήματα της πραγματικής ζωής συναντάμε άρρητους αριθμούς για τουςοποίους χρησιμοποιούμε ρητές προσεγγίσεις δύο ή τριών δεκαδικών ψηφίων.

Κατά τη μετακίνηση από την πόλη Α στην πόλη Β,μετά στο χωριό Γ και από το χωριό Γ στο χωριό Δ,ο μετρητής του αυτοκινήτου κατέγραψε τις αποστά-σεις ΑΒ = 20 km, BΓ = 13 km και ΓΔ = 5 km. Ποιαείναι η απόσταση από το χωριό Δ στην πόλη Α;

ΛύσηΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από το Πυθαγόρειοθεώρημα έχουμε:

ΑΓ2 = ΑΒ2 + ΒΓ2 ή ΑΓ2 = 202 + 132 ήΑΓ2 = 569 ή ΑΓ = ��569 ήΑΓ = 23,85 (km) με προσέγγιση εκατοστού.

Επομένως, ΑΔ = ΑΓ – ΔΓ = 23,85 – 5 = 18,85 (km).

Mπορούμε να σηκώσουμε όρθιο το ντουλάπι τουδιπλανού σχήματος;

ΛύσηΑν η διαγώνιος δ είναι μικρότερη ή το πολύ ίση μετο ύψος 2,2 m του δωματίου, τότε μπορούμε νασηκώσουμε όρθιο το ντουλάπι.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:δ2 = 2,12 + 0,72 = 4,41 + 0,49 = 4,90.

Άρα δ=��4,90=2,21 (m) με προσέγγιση εκατοστού.Επομένως, δε μπορούμε να σηκώσουμε όρθιο τοντουλάπι, γιατί δ > 2,2 (m).

H διαγώνιος της οθόνης της τηλεόρασης είναι 30ίντσες και οι διαστάσεις της x, y έχουν λόγο

= . Να βρείτε τις διαστάσεις της τηλεόρασης.��74

xy

Πρόβλημα 3

Πρόβλημα 2

Πρόβλημα 1

Προβλήματα2.3.

A

Γ

Β

Δ

20 k

m13 km

5 km

0,7 m

ταβάνι

2,1

m2,2 m

πάτωμα

ταβάνι

2,2 m

πάτωμα

δ

0

2.3(49-52) 18-12-06 23:14 ™ÂÏ›‰·49

ΛύσηΑφού x, y είναι οι διαστάσεις της οθόνης και 30ίντσες η διαγώνιος, από το Πυθαγόρειο θεώρημαέχουμε ότι: x2 + y2 = 302.Από τα δεδομένα έχουμε = , oπότε

( )2= ( )2

ή = ή x2 = y2

και αντικαθιστώντας στο Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

y2 + y2 = 302 ή y2 = 302 ή

23y2 = 14400 ή y2 = ή

y2 = 626,08 ή y = 25,02 (ίντσες)

και x = � 25,02 = 16,55 (ίντσες).

Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε ταμήκη x, y και ω.

ΛύσηΕφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στοτρίγωνο ΑΓΔ έχουμε:ΑΓ2 = ΑΔ2 + ΓΔ2 ή22 = 1,22 + x2 ή x2 = 22 – 1,22 = 4 – 1,44 = 2,56. Άρα x = ��2,56 = 1,6 (m).

Eπίσης ΒΓ = ΒΔ + ΔΓ ή2,5 = y + 1,6 ήy = 2,5 – 1,6 = 0,9 (m).

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΔέχουμε:ΑΒ2 = ΑΔ2 + ΒΔ2 ήω2 = 1,22 + 0,92 = 1,44 + 0,81 = 2,25.

Άρα ω = ��2,25 = 1,5 (m).

Πρόβλημα 4

��74

1440023

2316

716

716

716

x2

y2��74

xy

��74

xy

50 Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα

x

y

δ=30 ίντσες

Α

ΒΔ

ω

y x Γ

2 m

2,5 m

1,2

m

2.3(49-52) 18-12-06 23:14 ™ÂÏ›‰·50

Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα 51Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα 51Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα 51Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα 51Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα 51Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα 51

Nα υπολογίσετετο εμβαδόν τουσταυρού τουσχήματος.

To ανάπτυγμα σε χαρτόνι μιας πυραμί-δας αποτελείται από το τετράγωνο ΑΒΓΔ,που η διαγώνιός του είναι 10 cm και τέσ-σερα ισοσκελή τρίγωνα που οι ίσες πλευ-ρές τους είναι 8 cm.Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας τηςπυραμίδας.

Οι συντεταγμένες των κορυφών του τρι-γώνου ΚΛΜ είναι Κ(0,2), Λ(2,3), Μ(1,0).Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθο-γώνιο.

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ μεπλευρά 12 cm. Αν Ε είναι το μέσο τηςδιαμέσου του ΑΔ, να υπολογίσετε τομήκος ΒΕ.

Δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουνμήκος 10 cm και 8 cm αντίστοιχα. Nαβρεθεί η τρίτη πλευρά του, ώστε το τρί-γωνο να είναι ορθογώνιο. (Υπόδειξη: Να

διακρίνετε δύο περιπτώσεις).

Οι κουκκίδες του παρακάτω σχήματοςαπέχουν 1 cm οριζόντια και κατακόρυφα.α) Να ενώσετε δύο κουκκίδες, ώστε το

μήκος του ευθύγραμμου τμήματοςπου σχηματίζεται να είναι:i) ��2 cm, ii) ��5 cm, iii) ��13 cm.

β) Να ενώσετε τέσσερις κουκκίδες,ώστε να σχηματιστεί ένα τετράγωνομε εμβαδόν:i) 2 cm2, ii) 5 cm2, iii) 13 cm2.

Το σήμα της φωτογρα-φίας έχει σχήμα ισό-πλευρου τριγώνου μεπλευρά 60 cm και στηρί-ζεται σε κολόνα ύψους 2m. Να βρείτε την από-σταση της κορυφής Κτης πινακίδας από τοέδαφος.

7

6

5

4

3

2

1

y

x0

Λ

Μ

Κ

1

1

2

3

2 3

x

20 cm

x

x

x

x

x

x

xx

x

!2 m

K

60 cm

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

A B

ΓΔ

88

8

8

1 cm

1 cm

8

10

8

8

8

2.3(49-52) 18-12-06 23:14 ™ÂÏ›‰·51

52 Μέρος Α’ - 2.3. Προβλήματα

Tα βέλη στην άσφαλτο αποτελούνται από ένα κίτρινο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο καιαπό ένα κίτρινο ισοσκελές τρίγωνο. Οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 20 cm και 2,3 m.Το τρίγωνο έχει βάση 60 cm και ίσες πλευρές 2,1 m. Πόσα περίπου τέτοια βέλη μπο-ρούμε να βάψουμε με 1 κιλό κίτρινου χρώματος το οποίο μπορεί να καλύψει επιφάνεια540 dm2;

Oι μπάρες που είναι τοποθετημένες στις δύο άκρες του δρόμου απέχουν μεταξύ τους

8 m. Ένα φορτηγό έχει περίγραμμα ορθογωνίου με μήκος 7,5 m και πλάτος 2,4 m. Είναι

δυνατόν ο οδηγός του να εκτελέσει ελιγμούς, ώστε το φορτηγό να κάνει αναστροφή;

9

8

� 8 m

2,4 m

7,5

m

δ=;

✐ Tετραγωνική ρίζα

ΙδιότητεςΑν ��α = x, τότε x2 = α, όπου οι αριθμοί α και x είναι θετικοί ή ίσοι με μηδέν.

Επομένως:

✐ Άρρητοι αριθμοί

✐ Πραγματικοί αριθμοί

ονομάζονται όλοι οι ρητοί και όλοι οι άρρητοι αριθμοί.

ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι δεν είναι ρητοί, δηλαδή δε μπορούν να μ

γραφούν στη μορφή ⎯⎯ , με μ, ν ακέραιους και ν � 0.ν

(��α )2 = α

ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ένας θετικός αριθμός ο οποίος, όταν υψωθεί

στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Συμβολίζεται με ��α .

Πραγματικοί αριθμοί2Επανάληψη Κεφαλαίου

2.3(49-52) 18-12-06 23:14 ™ÂÏ›‰·52

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√


Συναρτήσεις

33 ÔÔ

ΠλατείαOμονοίας

Εμπορικό Κέντρο

Μνημείο Ηρώων

Δημαρχείο

Μεσαιωνικό Κάστρο

Εκκλησία

Ερείπια Αρχ. Ναού

Μουσείο

ΛεωφόροςΕυημερίας

Λεωφόρος

Ευτυχίας

Σχολείο

3.1(53-57) 18-12-06 23:16 ™ÂÏ›‰·53

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟΣΗΜΕΙΩΜΑ H

Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·ÔÙÂÏÂ›

ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙˆÓ

ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È

¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÛÂ fiÏÂ˜ ÙÈ˜

ıÂÙÈÎ¤˜ ÂÈÛÙ‹ÌÂ˜.

™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ı·

ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘ÌÂ Ó·

Î·Ù·ÓÔ‹ÛÔ˘ÌÂ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙË˜

Û˘Ó¿ÚÙËÛË˜ Î·È

ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ ÙË ÁÚ·ÊÈÎ‹

·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÛÂ

Î·ÚÙÂÛÈ·Ó¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓÂ˜.

£· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ ¤ÙÛÈ ÙÈ˜

Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó

ÛÙÈ˜ ÁÚ·ÊÈÎ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙË˜

Â˘ıÂ›·˜ Î·È ÙË˜ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹˜.

3.1 Η έννοιατης συνάρτησης

3.2 Καρτεσιανέςσυντεταγμένες.Γραφική παράστασησυνάρτησης

3.3 Η συνάρτηση y = αx

3.4 H συνάρτησηy = αx + β

3.5 H συνάρτηση y = .

Η υπερβολή

αx

3.1(53-57) 18-12-06 23:16 ™ÂÏ›‰·54

Κατά καιρούς ακούμε στην τηλεόραση για τις αυξήσεις στουςμισθούς των εργαζομένων. Αυτή τη χρονιά ανακοινώθηκε αύξη-ση 3%.α) Δύο εργαζόμενοι έχουν μισθούς 800 € και 1100 € το μήνα.

Πόση είναι η αύξηση που θα πάρει ο καθένας;β) Ένας εργαζόμενος έχει μισθό x €. Ποια είναι η αύξηση y που

θα πάρει εφέτος;

Λύσηα) Η αύξηση θα είναι:

για τον πρώτο εργαζόμενο: � 800 = 3 � 8 = 24 €,

για τον δεύτερο εργαζόμενο: � 1100 = 3 � 11 = 33 €.

β) Η αύξηση θα είναι: � x = 0,03x δηλαδή y = 0,03x.

Παρατήρηση:

H σχέση y = 0,03x μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για άλλες τιμές της

μεταβλητής x. Αν, για παράδειγμα, ένας εργαζόμενος έχει μισθό

x = 700 €, η αύξηση που θα πάρει θα είναι y = 0,03 � 700 = 21 €.

Ομοίως, για x = 1500 βρίσκουμε αύξηση y = 0,03 � 1500 = 45 €.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι «η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτησητης μεταβλητής x». Έτσι, μπορούμε να λέμε απλά ότι έχουμε ορίσει τησυνάρτηση y = 0,03x.

Πίνακας ΤιμώνΗ αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών x και y φαίνεται καλύτερα με τη βοήθεια τουπίνακα τιμών. Έτσι, για τη συνάρτηση y = 0,03x έχουμε:

Για x = 700, y = 0,03 � 700 = 21.Για x = 800, y = 0,03 � 800 = 24.Για x = 900, y = 0,03 � 900 = 27.Για x = 1000, y = 0,03 � 1000 = 30.Για x = 1100, y = 0,03 � 1100 = 33.

Τα ζεύγη των τιμών αυτών παρουσιάζονταιστον διπλανό πίνακα, o οποίος λέγεταιπίνακας τιμών της συνάρτησης y = 0,03x.

Με τη σχέση αυτή κάθε τιμή της μεταβλητής x (παλιός μισθός),αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y (αύξηση).Μια τέτοια σχέση στα Μαθηματικά λέγεται συνάρτηση.

3100

3100

3100


H έννοια της συνάρτησης3.1.

3% ?x

y

3330272421y

11001000900800700x

3.1(53-57) 18-12-06 23:16 ™ÂÏ›‰·55

Δίνεται η συνάρτηση y = 2x + 3. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

Για x = –2: y = 2 � (–2) + 3 = –4 + 3 = –1.Για x = –1: y = 2 � (–1) + 3 = –2 + 3 = 1.Για x = 0: y = 2 � 0 + 3 = 3.Για x = 1: y = 2 � 1 + 3 = 2 + 3 = 5.Για x = 2: y = 2 � 2 + 3 = 4 + 3 = 7.

Άρα, ο πίνακας τιμών είναι:

Ένας ελαιοπαραγωγός έχει υπολογίσει ότι απόκάθε κιλό ελιάς που πηγαίνει στο ελαιοτριβείο,παίρνει 0,2 κιλά λάδι.α) Πόσα κιλά λάδι θα πάρει από παραγωγή 500

κιλών ελιών;β) Να εκφράσετε την ποσότητα y σε κιλά του

λαδιού, που θα πάρει, ως συνάρτηση της ποσό-τητας x των ελιών που παράγει.

γ) Πόσα κιλά ελιές πρέπει να παράγει, ώστε να πάρει 250 κιλά λάδι;

α) Αφού από 1 κιλό ελιές παίρνει 0,2 κιλά λάδι, από 500 κιλά ελιές θα πάρει0,2 � 500 = 100 κιλά λάδι.

β) Από x κιλά ελιές θα πάρει 0,2x κιλά λάδι. Δηλαδή y = 0,2x.γ) Από τη συνάρτηση y = 0,2x, για y = 250 κιλά λάδι έχουμε: 250 = 0,2x

ή x = = 1250. Άρα, θα πρέπει να παράγει 1250 κιλά ελιές.

Oι μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται κατά 20 € ο καθένας. Η σχέσηπου εκφράζει το νέο μισθό y ως συνάρτηση του παλιού μισθού x, είναι:

α) y = 20x β) y = x + 20 γ) y = δ) y = 0,2x

Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας εταιρείας αυξάνονται κατά 15%. Η σχέση που εκφράζειτο νέο μισθό y ως συνάρτηση του παλιού μισθού x, είναι:

α) y = x + β) y = x + 15 γ) y = 1,15x δ) y = 0,15x

Tο εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές x και y είναι 100 cm2. H σχέση που εκφρά-ζει το μήκος του y ως συνάρτηση του x, είναι:

α) y = 100x β) y = 100 + x γ) y = δ) y = 100 – x 100

x

3 .

15100

2 .

x20

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

2500,2

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

7531–1y

210–1–2x

Λύση:

y

210–1–2x

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

56 Μέρος Α’ - 3.1. H έννοια της συνάρτησης

3.1(53-57) 18-12-06 23:16 ™ÂÏ›‰·56

Δίνεται τετράγωνο πλευράς x. Η σχέση που εκφράζει το εμβαδόν E του τετραγώνουως συνάρτηση του x είναι:α) E = 2x β) E = x2 γ) E = ��2x2 δ) E = 4x

Να αντιστοιχίσετε τις συναρτή-σεις της στήλης Α του διπλα-νού πίνακα με τον πίνακα τιμώντης στήλης Β.

(Στη στήλη Β ένας πίνακαςτιμών περισσεύει.)

5 .

4 .

Μέρος Α’ - 3.1. H έννοια της συνάρτησης 57

20124y210–1–3x

–10124y210–1–3x

531–1–5y210–1–3x

521210y210–1–3x

ΣΤΗΛΗ Β

(γ) y = 1 – x

(β) y = x2 + 1

(α) y = 2x + 1

ΣΤΗΛΗ Α

i)

ii)

iii)

iv)

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Nα συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών τωνπαρακάτω συναρτήσεων:α) y = 3x – 2

β) y =

Nα συμπληρώσετε τον πίνακα τιμώντων παρακάτω συναρτήσεων:

α) y = x2 + 1

β) y = x2 + 3x – 2

Οι τιμές ενός καταστήματος ηλεκτρονι-κών επιβαρύνονται με φόρο 8%. Ναεκφράσετε τις τιμές y με φόρο, ωςσυνάρτηση των τιμών x χωρίς φόρο.

Ένας πωλητής παίρνει μισθό 600 € τομήνα και ποσοστό 7% επί του ποσούτων πωλήσεων που πραγματοποιεί. Ναεκφράσετε το συνολικό ποσό y, που κερ-δίζει το μήνα, ως συνάρτηση του ποσούx των πωλήσεων που πραγματοποιεί.

Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές με μήκη xκαι y (σε cm).

α) Αν η περίμετρος του ορθογωνίου είναι60 cm, να εκφράσετε την πλευρά yως συνάρτηση της πλευράς x.

β) Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι100 cm2, να εκφράσετε την πλευράy ως συνάρτηση της πλευράς x.

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά με μήκος x(σε cm). Nα εκφράσετε το εμβαδόν Ε καιτην περίμετρο Π του τετραγώνου ωςσυναρτήσεις του x. Στη συνέχεια, νασυμπληρώσετε τον πίνακα τιμών:

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνα-κα τιμών της συνάρτησης y = 3x – 5:

Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 70χιλιόμετρα την ώρα.α) Πόση απόσταση θα έχει διανύσει σε

2 ώρες και πόση σε 5 ημέρες;β) Να εκφράσετε την απόσταση S (σε

χιλιόμετρα) που θα έχει διανύσει τοαυτοκίνητο ως συνάρτηση του χρό-νου t (σε ώρες).

8

–27y

–32x

7

Π

E

0,352,521x

6

5

4

3

y

310–2–3x

y520–1–3x

2

x – 12

y20–1–2–3x

1

y

5420–1x

3.1(53-57) 18-12-06 23:16 ™ÂÏ›‰·57

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα χάρτη μιας πόληςστον οποίο φαίνονται οι δύο κεντρικές οδικέςαρτηρίες της πόλης και μερικά οικοδομικάτετράγωνα.

Έχουν, επίσης, σημειωθεί μερικά βασικά σημείατης πόλης, όπως η Ομόνοια (κεντρική πλατεία καισημείο διασταύρωσης των δύο βασικών λεωφό-ρων), το Δημαρχείο, το Εμπορικό Κέντρο, κ.τ.λ.

Για να επισκεφθούμε κάποιο από αυτά τα σημεία(π.χ. το Δημαρχείο), ξεκινώντας από την Ομόνοιαπρέπει να κινηθούμε τρία τετράγωνα προς ταδεξιά πάνω στη Λεωφόρο Ευτυχίας και ένατετράγωνο προς τα πάνω παράλληλα προς τηΛεωφόρο Ευημερίας.Δηλαδή, η θέση του Δημαρχείου προσδιορίζεταιεπακριβώς από το ζεύγος των αριθμών (3, 1).

Ομοίως, η θέση της Eκκλησίας προσδιορίζεταιαπό το ζεύγος των αριθμών (–3, 1). Δηλαδή για ναπάμε στην εκκλησία ξεκινώντας από την Ομόνοια,πρέπει να κινηθούμε τρία τετράγωνα προς τααριστερά στη Λεωφόρο Ευτυχίας και ένατετράγωνο προς τα πάνω, παράλληλα προς τηνΛεωφόρο Ευημερίας.

Να χρησιμοποιήσετε το διπλανό διάγραμμα (πουείναι ένας πιο απλός χάρτης της ίδιας πόλης), γιανα προσδιορίσετε τη θέση και των άλλων βασικώνσημείων της πόλης που φαίνονται στο χάρτη.

ΛύσηΞεκινώντας από την Ομόνοια (Ο) έχουμε:❖ Μνημείο Ηρώων: 1 τετράγωνο δεξιά και 3 πάνω, άρα (1, 3).❖ Εμπορικό Κέντρο: 1 τετράγωνο αριστερά και 2 πάνω, άρα (–1, 2).❖ Μουσείο: 2 τετράγωνα αριστερά και 3 κάτω, άρα (–2, –3).❖ Σχολείο: 0 τετράγωνα αριστερά (ή δεξιά) και 2 κάτω, άρα (0, –2).❖ Ερείπια Αρχ. Ναού: 2 τετράγωνα δεξιά και 4 κάτω, άρα (2, –4).❖ Μεσαιωνικό Κάστρο: 3 τετράγωνα δεξιά και 1 κάτω, άρα (3, –1).

Σύστημα συντεταγμένωνΣτην παραπάνω δραστηριότητα διαπιστώσαμε ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε τη θέσηοποιουδήποτε σημείου της πόλης χρησιμοποιώντας δύο βασικούς οδικούς άξονες: τιςΛεωφόρους Ευτυχίας και Ευημερίας.


Kαρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης3.2.

ΠλατείαOμονοίας

Εμπορικό Κέντρο

Μνημείο Ηρώων

Δημαρχείο

Μεσαιωνικό Κάστρο

Εκκλησία


Μουσείο

ΛεωφόροςΕυημερίας

ΛεωφόροςΕυτυχίας

Σχολείο


Σχολείο

4

3

2

1

Ο 1 2 3 4

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

Μουσείο

Δημαρχείο

ΜνημείοΗρώων

ΕμπορικόΚέντρο

Εκκλησία

MεσαιωνικόΚάστρο

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·58

Την ιδέα αυτή μπορούμε να την εφαρμόσουμε γενικότερα για να προσδιορίσουμε τη θέσηοποιουδήποτε σημείου του επιπέδου, ως εξής:

Δηλαδή, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο ζεύγος των αριθμών (3, 2) και συμβολίζεται M(3, 2).Ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς λέγεται τετμημένη του σημείου Μ και ο δεύτεροςλέγεται τεταγμένη του σημείου Μ.Η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ λέγονται συντεταγμένες του σημείου M.

Αλλά και αντιστρόφως,αν έχουμε ένα σύστημααξόνων στο επίπεδο καιένα ζεύγος αριθμών

π.χ. το (–3, ),μπορούμε να βρούμε

ένα μόνο σημείο Μ του

επιπέδου που αντιστοι-

χεί στο ζεύγος αυτό ως

εξής:

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι οι άξονες x�x και y�y αποτελούν ένασύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλώς σύστημα αξόνων.

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντε-ταγμένων και, αντιστρόφως, κάθε ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε έναμόνο σημείο του επιπέδου.ÕÚ· :

52

Μέρος Α’ - 3.2. Kαρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης 59

4

3

2

1

Ο 1 2 3 4

–1

–1

–2

–2–3–4x�

y�

x

y

1. Σχεδιάζουμε δύο κάθετουςάξονες x΄x και y΄y, με κοινήαρχή Ο και ίδιες μονάδεςμέτρησης καθώς και ένασημείο M.

2. Από το M φέρνουμε παράλληληπρος τον άξονα y΄y που τέμνειτον άξονα x΄x στο σημείο A.Για το σχήμα μας το Ααντιστοιχεί στον αριθμό 3 τουάξονα x΄x.

3. Από το M φέρνουμε παράλληληπρος τον άξονα x΄x που τέμνειτον άξονα y΄y στο σημείο B.Για το σχήμα μας το Βαντιστοιχεί στον αριθμό 2 τουάξονα y΄y.

y�

y

x� x

4

3

2

1

Ο 1 2 3 4

–1

–1

–2

–2–3–4A

M

y�

y

x� x

4

3

2

1

Ο 1 2 3 4

–1

–1

–2

–2–3–4A

B MM

y�

y

4

3

2

1

Ο 1 2 3 4

–1

–1

–2

–2–3–4

Α

Β

1. Σημειώνουμε με Α το σημείο τουάξονα x΄x που αντιστοιχεί στοναριθμό –3 και με Β το σημείοτου άξονα y΄y που αντιστοιχεί

στον αριθμό 5 .2

2. Από τα σημεία Α και Β φέρνουμεπαράλληλες προς τους άξονεςy΄y και x΄x αντίστοιχα, που τέμνο-νται στο σημείο M, που είναι τοζητούμενο με συντεταγμένες

M(–3, 5 ).2

y�

y

x�

4

3

2

1

Ο 1 2 3 4

–1

–1

–2

–2–3–4Α

M(–3, 5 )2

Β

xxx�

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·59

Παρατηρήσεις:α) Στα παραπάνω σχήματα χρησιμοποιήσαμε κάθετους άξονες των οποίων οι μονάδες μέ-

τρησης έχουν το ίδιο μήκος. Ένα τέτοιο σύστημα λέγεται ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.Όπως θα δούμε όμως παρακάτω, υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες επιβάλλεται ναχρησιμοποιήσουμε συστήματα αξόνων με διαφορετικού μήκους μονάδες μέτρησης στουςάξονες x�x και y�y. Φυσικά, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ορθοκανονικό.Στα επόμενα σχήματα -εκτός αν αναφέρεται διαφορετι-κά- λέγοντας σύστημα αξόνων θα εννοούμε ορθοκανονι-κό σύστημα αξόνων.

β) Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα

μέρη που λέγονται τεταρτημόρια. Στο διπλανό σχήμα

σημειώνονται τα πρόσημα της τετμημένης και της τεταγ-

μένης σε κάθε τεταρτημόριο.

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Δίνεται η συνάρτηση y = x2.

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών:

β) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα.γ) Να ενώσετε με γραμμές τα σημεία αυτά. Τι γραμμή σχηματίζεται;δ) Να επαναλάβετε τα παραπάνω βήματα (α), (β) και (γ) για την ίδια συνάρτηση y = x2

χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα τιμών. Tι παρατηρείτε;

ε) Τι γραμμή θα σχηματιστεί, αν χρησιμοποιήσουμε ένα πίνακα τιμών με πολύ περισσότεραζεύγη τιμών;

Λύσηα) Για x = –4 είναι y = (–4)2 = � 16 = 8.

Για x = –2 είναι y = (–2)2 = � 4 = 2.

Για x = 0 είναι y = (0)2 = 0.

Για x = 2 είναι y = (2)2 = � 4 = 2.

Για x = 4 είναι y = (4)2 = � 16 = 8.

Eπομένως, ο πίνακας τιμών είναι:82028y

420–2–4x

12

12

12

12

12

12

12

12

12

y

43210–1–2–3–4x

12

y

420–2–4x

12


60 Μέρος Α’ - 3.2. Kαρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης

1o τεταρτημόριο

(+, +)


(+, –)


(–, +)


(–, –)

xx�

y

y�

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·60

β) Τα ζεύγη (x, y) που προκύπτουν γ) Ενώνοντας με τη σειρά τα σημεία Α, από τον παραπάνω πίνακα είναι: Β, Ο, Γ και Δ σχηματίζεται μια πολυ-(–4, 8), (–2, 2), (0, 0), (2, 2) και (4, 8) γωνική γραμμή.που αντιστοιχούν στα σημεία Α, Β, Ο, Γκαι Δ του παρακάτω σχήματος.

δ) Ομοίως έχουμε:

Τα σημεία τώρα είναι περισσότερα και η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται μοιάζειμε καμπύλη.

ε) Ας χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα τιμών με πολύ περισσότερα ζεύγη. Για παράδειγμα:

Όπως παρατηρούμε στα παρακάτω σχήματα, η γραμμή που θα σχηματιστεί θα είναικαμπύλη.

87,6057,226,8456,486,486,8457,227,6058y

43,93,83,73,6...0...–3,6–3,7–3,8–3,9–4x

84,520,500,524,58y

43210–1–2–3–4x


A

Ζ

Β Γ

Η

Θ Ε

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5

–1

–2

x x

y y

–5 –4 –3 –2 –1

Δ A

Ζ

Β Γ

Η

Θ Ε

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5

–1

–2

–5 –4 –3 –2 –1

Δ

A

B Γ

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5

–1

–2

–5 –4 –3 –2 –1

Δ

x

y

A

B Γ

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5

–1

–2

–5 –4 –3 –2 –1

Δ

y

x

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·61

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δίνει μια «εποπτική» εικόνα της συνάρτησης αυτήςκαι μας βοηθάει να αντλήσουμε χρήσιμες πληροφορίες για τη σχέση των μεταβλητών x και y.

Nα βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ και Δ του παρακάτω σχήματος.Τι συμπεραίνετε;

Παρατηρούμε ότι από τα σημεία Α και Γ οι κάθετεςπρος τον άξονα y�y αντιστοιχούν στο σημείο Ο, οπότεαυτά τα σημεία έχουν τεταγμένες 0. Άρα είναι Α(2, 0), Γ(–3, 0).Ομοίως, από τα σημεία Β και Δ οι κάθετες προς τονάξονα x�x αντιστοιχούν στο σημείο Ο, οπότε τα σημείααυτά έχουν τετμημένη 0. Άρα είναι Β(0, 3) και Δ(0, –4).Δηλαδή:Κάθε σημείο του άξονα x�x έχει τεταγμένη 0 καικάθε σημείο του άξονα y�y έχει τετμημένη 0.

Δίνεται το σημείο Α(3, 2). Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς:

α) τον άξονα x�x β) τον άξονα y�y γ) την αρχή Ο των αξόνων.

Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων αυτών;

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτησηενός άλλου μεγέθους x. Ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής τοσύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, y).


Ο 1 2 3 4x

y

1

-1

-2

-3

-4

2

3

4

-1-2-3

Γ

B

A

Δ

-4

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5

–1

–2

x

y

–5 –4 –3 –2 –1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O 1 2 3 4 5

–1

–2

x

y

–5 –4 –3 –2 –1

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·62

Από το Α φέρνουμε κάθετες ΑΜ και ΑΠ στουςάξονες x�x και y�y. α) Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΒ = ΜΑ.

Το σημείο Β είναι το συμμετρικό του Α ως προςτον άξονα x�x και έχει συντεταγμένες (3, –2).

β) Προεκτείνουμε την ΑΠ κατά τμήμα ΠΔ = ΠΑ.Το σημείο Δ είναι το συμμετρικό του Α ως προςτον άξονα y�y και έχει συντεταγμένες (–3, 2).

γ) Ενώνουμε το Α με την αρχή Ο των αξόνων καιπροεκτείνουμε κατά τμήμα ΟΓ = ΟΑ. Το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Α ωςπρος την αρχή Ο και έχει συντεταγμένες (–3, –2).

Δίνονται τα σημεία Α(2, 3) και Β(10, 9). Να υπολογίσετε την απόστασή τους ΑΒ.Τι συμπεραίνετε;

Σχηματίζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλα-νού σχήματος. Tότε το σημείο Γ έχει συντεταγμένες(10, 3), οπότε ΑΓ = 10 – 2 = 8 και ΒΓ = 9 – 3 = 6.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι:

AB2 = ΑΓ2 + ΒΓ2 ή

ΑΒ2 = 82 + 62 ή

ΑΒ2 = 100 ή

ΑΒ = 10

Γενικότερα:

Έχει διαπιστωθεί ότι το νερό της θάλασσας δεν έχει παντού την ίδια θερμοκρασία.Όσο πιο βαθιά κατεβαίνουμε, τόσο πιο κρύο γίνεται το νερό. Ένα ωκεανογραφικόσκάφος κάνει μετρήσεις θερμοκρασίας σε διάφορα βάθη στο βόρειο Αιγαίο, με τα εξήςαποτελέσματα:

όπου T είναι η θερμοκρασία (σε βαθμούς Κελσίου) η οποία μεταβάλλεται ωςσυνάρτηση του βάθους x (σε μέτρα).α) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.β) Να χρησιμοποιήσετε τη γραφική παράσταση για να εκτιμήσετε τη θερμοκρασία

του νερού σε βάθος 500 μέτρων.γ) Σε ποιο βάθος από την επιφάνεια της θάλασσας η θερμοκρασία είναι 15°C;

912172028Τ

400200100500x

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Αν δίνονται δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2), η απόστασή τους υπολογίζεται από

τον τύπο: ΑΒ = ��(x2–x1)2+�(y2–y1)2.

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:


1 2 3

1

-1

-2

y

x

2

-1-2-3

Γ B

Μ

Π AΔ

Ο

Ο

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

7

8

910

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112-1-2-3

A(2, 3)

B(10, 9)

Γ8

6

y

x

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·63

α) Σ’ ένα σύστημα αξόνων τοποθετούμε τασημεία με συντεταγμένες (0, 28), (50, 20),(100, 17), (200, 12) και (400, 9).Χρησιμοποιούμε ένα μη ορθοκανονικόσύστημα αξόνων. Στον άξονα x�x η μονάδαμέτρησης αντιστοιχεί σε 100 μέτρα, ενώστον άξονα y�y η μονάδα μέτρησης αντι-στοιχεί σε θερμοκρασία 5°C. Στη συνέχεια,ενώνουμε με μία καμπύλη τα σημεία αυτά.

β) Για να βρούμε τη θερμοκρασία τουνερού σε βάθος 500 μέτρων, από τοσημείο με τετμημένη 500 του άξονα x�xφέρνουμε ευθεία παράλληλη στον άξονα y�y, που τέμνει την γραφική παράστασηστο σημείο Ρ. Στη συνέχεια, από το Ρ φέρνουμε παράλληλη προς τον άξονα x�x,που τέμνει τον άξονα y�y στο σημείο με τεταγμένη (περίπου) 8. Άρα, ηθερμοκρασία σε βάθος x = 500 m είναι (περίπου) T = 8°C.

γ) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι 15°C, φέρνουμε από τοσημείο με τεταγμένη 15 του άξονα y�y παράλληλη προς τον άξονα x�x που τέμνειτη γραφική παράσταση στο σημείο Σ. Στη συνέχεια, από το Σ φέρνουμεπαράλληλη προς τον άξονα y�y, που τέμνει τον άξονα x�x στο σημείο μετετμημένη (περίπου) 130 m. Άρα, η θερμοκρασία είναι 15°C σε βάθος (περίπου)x = 130 m.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2.

Σχηματίζουμε, καταρχάς, έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης.

Στη συνέχεια, τοποθετούμε σ’ ένα σύστημααξόνων τα σημεία με συντεταγμένες (x, y) τουπαραπάνω πίνακα. Έτσι, βρίσκουμε τα σημείαΑ(–3, 9), Β(–2, 4), Γ(–1, 1), Ο(0, 0), Δ(1, 1),Ε(2, 4) και Ζ(3, 9).

Στη συνέχεια, ενώνουμε με τη σειρά τα σημείααυτά. Η καμπύλη που προκύπτει είναι η γραφικήπαράσταση της συνάρτησης y = x2.

9410149y

3210–1–2–3x

Λύση:

55∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:


T

Ο 100130 200 300 400 500βάθος σε μέτρα

θερμ

οκρα

σία

νερο

ύ σε

°C

10

15

58

20

25

30

Σ

Ρ

x

A

Β

Γ Δ

E

Z

O

1

1-1-2-3 2 3

x

y

2

3

4

5

6

7

8

9

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·64

Να αντιστοιχίσετε σε κάθε σημείο τις συντεταγμένες του:

Να συμπληρώσετε τον πίνακα, όπως φαίνεται στο παράδειγμα της 1ης γραμμής.

Στο διπλανό σχήμα είναι:

α) ΑΒ < ΑΓ, β) ΑΒ > ΑΓ, γ) ΑΒ = ΑΓ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Στο διπλανό σχήμα:α) Α: Α

∧ < 90° Β: Α

∧ = 90° Γ: Α

∧ > 90°

β) Α: εφθ=5 Β: εφθ= Γ: εφθ= Δ: εφθ=1

γ) Α: ΑΒ < ΑΓ Β: ΑΒ = ΑΓ Γ: ΑΒ > ΑΓ

δ) Α: εφφ=3 Β: εφφ = 5 Γ: εφφ=1 Δ: εφφ=2


Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράστασημιας συνάρτησης.α) για x=1, είναι y = ........ Α: –1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5β) για x=3, είναι y = ........ Α: –1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5γ) για y=6, είναι x = ........ Α: –1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5δ) για y=2, είναι x = ........ Α: –1 Β: 2 Γ: 3 Δ: 5


5 .

57

75

4 .

3 .

(3, –5)

(–3, –5)

(–3, 5)

(3, 5)

(2, –3)(2, 3)(–2, –3)(–2, 3)

Συμμετρικό του Αως προς το O

Συμμετρικό του Αως προς τον y�y

Συμμετρικό του Αως προς τον x�x

Σημείο Α

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™


AB

Γ Δ

Ο

1

2

3

-3

-2

-1

1 2x

y

3-1-2-3

(2, 3)(3, 2)

(–2, 3)(–3, 2)

(–2, –3)(–3, –2)(2, –3)(3, –2)

Συντεταγμένες

Α

Β

Γ

Δ

Σημείο

Ο-1 1

1

2

2

3

x

y

3

6

-2-3

B

Γ

Α

5

-1-2-3 7654321

12

4

5

6

Ο

B φ θ Γ

Α(2, 5)

-1-2-3 754321

12

4

5

6

Ο 6

3

3

4

x

x

y

y

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·65


Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγ-μένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι.

Σ’ ένα τετραγωνισμένο χαρτί να σχεδιάσετεένα σύστημα αξόνων και να σημειώσετε τα

σημεία: Α(–3, 2), Β(–0,25, 1), Γ(0, – ),

Δ(– , – ), Ε(–��2 , 0), Ζ(2,4, –3,2).

Δίνονται τα σημεία Α(–3, 4) και Β(2, – ).

Σε τετραγωνισμένο χαρτί να βρείτε τιςσυντεταγμένες των συμμετρικών τουςσημείων ως προς τον άξονα x�x, τον άξοναy�y και την αρχή Ο των αξόνων.

α) Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγ-μένες των σημείων Α, Β και Γ.

β) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.i) To μήκος ΒΓ ισούται με:

Α: 1 + 3 = 4 Β: 2 – 2 = 0Γ: 3 – 1 = 2 Δ: –1 – 3 = –4

ii) Το μήκος ΑΓ ισούται με:Α: 3 – 3 = 0 Β: 1 + 2 = 3Γ: 1 – 2 = –1 Δ: 2 – 1 = 1

γ) Αφού παρατηρήσε-τε ότι το τρίγωνοΑΒΓ είναι ορθογώ-νιο στο Γ, να επα-ληθεύσετε με τηβοήθεια του Πυθα-γόρειου θεωρήμα-τος ότι η απόστασηΑΒ είναι ίση με 5.

Να βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων από τους άξονες x�x και y�y.α) Α(3, 5) β) B(–3, 2) γ) Γ(0, –4)

Να βρείτε τις απόστάσεις των σημείων:α) Α(3, 5) και Β(5, 1) β) Α(–2, 1) και Β(2, –3)γ) Α(3,–5) και Β(–2, –5) δ) Α(–5,–7) και Β(–5, 2)

Ένα πλοίο Πκινείται με τα-χύτητα 8 μίλιατην ώρα καικατευθύνεταιπρος το λιμά-νι Λ. Η θέσητου πλοίου ως προς ένα σύστημα συντεταγ-μένων με αρχή το Λ και μονάδα μέτρησης το1 μίλι, είναι (–8, 15). Σε πόση ώρα θα φτάσειστο λιμάνι;

Η πίεση P (σε cm Ηg) του αέρα ως συνάρ-τηση του ύψους h από το έδαφος φαίνεταιστον παρακάτω πίνακα.

α) Να κατασκευάσετε σε ορθογώνιο σύστη-μα συντεταγμένων τη γραφική παράστα-ση της συνάρτησης αυτής.

β) Ποια είναι η πίεση σε ύψος 1,5 km από τοέδαφος;

γ) Σε ποιο ύψος η πίεση είναι περίπου ίσημε 70 cm Hg;

H θερμοκρασία Τ του αέρα ως συνάρτησητου ύψους h φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

α) Να κατασκευάσετε σε ορθογώνιο σύστη-μα συντεταγμένων τη γραφική παράστα-ση της συνάρτησης αυτής.

β) Πόση περίπου είναι η θερμοκρασία τουαέρα σε ύψος 500 μέτρων;

γ) Σε ποιο ύψος η θερμοκρασία του αέραείναι περίπου 12°C;

Όταν ένα σώμα (π.χ. μια μπάλα) πέφτει απόένα ψηλό σημείο (π.χ. από τον τελευταίοόροφο ενός ουρανοξύστη ύψους 100 m) δενκινείται ομαλά (με σταθερή ταχύτητα), αλλάεκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση. Στον παρακά-τω πίνακα φαίνεται η απόσταση x που δια-νύει το σώμα ως συνάρτηση του χρόνου t.

Να κατασκευάσετε σε ορθογώνιο σύστηματη γραφική παράσταση της συνάρτησηςαυτής.

80452050x(m)43210t(s)

10

4101622Θερμοκρασία Τ σε °C3210Ύψος h σε χιλιόμετρα

9

52606876Πίεση Ρ σε cm Hg3210Ύψος h σε χιλιόμετρα

8

7

6

5

4

723

12

92

52

2

1

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Ο

123456

y�

y

x

Z

B

Δ

Ε

ΘΗ

Γ Α

Ι

Οx�

y�

x

Γ A

B

Λ

Π

–8

15

y

3.2(58-66) 18-12-06 23:20 ™ÂÏ›‰·66

Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση y = αx

Στην εφημερίδα διαβάζουμε διάφορες φράσεις, όπως:«... η τιμή της βενζίνης μειώθηκε ανάλογα με τη μείωση τουπετρελαίου...». Οι φράσεις αυτές παρουσιάζουν ένα ποσό ναμεταβάλλεται σε σχέση με κάποιο άλλο.

Όπως γνωρίζουμε, δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλα-πλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότεκαι οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τονίδιο αριθμό.

Δίνονται τέσσερα τετράγωνα με πλευρές (σε cm) 0,5, 1, 1,5 και 2.α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

β) Να εκφράσετε την περίμετρο y ενός τετραγώνου ως συνάρ-τηση του μήκους x της πλευράς του.

Λύσηα) Για x = 0,5 η περίμετρος είναι y = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2.

Ομοίως, βρίσκουμε την περίμετρο και στις άλλες περιπτώσεις, που είναι αντίστοιχα: 4, 6 και 8.

Επίσης, για το λόγο έχουμε:

= 4, = 4, = 4 και = 4

β) Παρατηρούμε ότι ο λόγος είναι σταθερός πάντοτε και ίσος με 4.

Άρα = 4 ή y = 4x. H σχέση αυτή εκφράζει το y ως

συνάρτηση του x.

Σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμεκαι αρνητικές τιμές της μεταβλητής x στη συνάρτησηy = αx.

yx

yx

4444λόγος yx

8642περίμετρος y

21,510,5πλευρά x

82

61,5

41

20,5

yx

λόγος yx

περίμετρος y

21,510,5πλευρά x


H συνάρτηση y = αx3.3.

3.3(67-71 18-12-06 23:23 ™ÂÏ›‰·67

Aφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών, ο οποίοςπεριλαμβάνει και αρνητικές τιμές του x, να κατασκευάσετε τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x. Τι παρατηρείτε;

ΛύσηΓια x = –3 είναι y = (–3) = – = –1,5.

Ομοίως, βρίσκουμε τις υπόλοιπες τιμές και συμπληρώνουμετον πίνακα.

Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων παριστάνουμε τα σημείαμε συντεταγμένες τα ζεύγη των τιμών του πίνακα. Παρα-τηρούμε ότι τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω σε μιαευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο.

Η κλίση της ευθείας y = αx

Παρατηρούμε ότι στην ευθεία y = αx ο λόγος είναι πάντα σταθερός και ίσος με α, δηλαδή:

= α, για x � 0. O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx.

Για παράδειγμα, η ευθεία y = –2x έχει κλίση –2.

yx

yx

Όταν αναφερόμαστε στην ευθεία, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx,τότε λέμε: η ευθεία με εξίσωση y = αx ή απλώς η ευθεία y = αx. Ο άξονας x�x είναι η ευθείαμε εξίσωση y = 0x, δηλαδή y = 0.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μία ευθεία που διέρχεται απότην αρχή Ο των αξόνων.

1,5 10,50–0,5 –1 –1,5 y

3210–1–2–3x

32

12

y

3210–1–2–3x

12


68 Μέρος Α’ - 3.3. H συνάρτηση y = αx

y

x

y�

x�

O 1

1

2 3-0,5

0,5

-1,5

1,5

-1-1-2-3

3.3(67-71 18-12-06 23:23 ™ÂÏ›‰·68

Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε την ευθεία με εξίσωση y = –0,6x.

H συνάρτηση y = –0,6x έχει γραφικήπαράσταση μια ευθεία που διέρχεταιαπό την αρχή Ο των αξόνων.Επομένως, πρέπει να βρούμε έναακόμα σημείο της.Για x = 3 είναι y = –0,6 � 3 = –1,8.Άρα, η ευθεία περνάει από το σημείοΑ(3, –1,8). Η γραφική της παράστα-ση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις y = x και y = –x.

Η συνάρτηση y = x έχει γραφική παράσταση μια ευθεία πουδιέρχεται από την αρχή Ο. Ένα δεύτερο σημείο τηςπροσδιορίζεται δίνοντας μια τυχαία τιμή στο x εκτός τηςμηδενικής. Για x = 1 είναι y = 1, άρα η ευθεία διέρχεται απότο σημείο Α(1, 1). Η ζητούμενη ευθεία είναι η ΟΑ. Ομοίως,βρίσκουμε ότι η γραφική παράσταση της y = –x είναι η ΟΒ.Παρατήρηση: Η ευθεία με εξίσωση y = x είναι διχοτόμος της 1ης

και 3ης γωνίας των αξόνων και η y = –x είναι διχοτόμος της 2ης

και της 4ης γωνίας.

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τοσημείο Α(–2, 1).

Το σημείο A έχει συντεταγμένες x = –2, y = 1, οπότε η κλίση της ευθείας είναι

α = = = – . Επομένως, η εξίσωση της ευθείας είναι η y = – x.

Ένα πολυκατάστημα κάνει έκπτωση 20% σε όλα του τα είδη.α) Πόση έκπτωση αναλογεί σ’ ένα ζευγάρι παπούτσια το οποίο κοστίζει αρχικά

100 €; Ποια είναι η τιμή που θα το αγοράσουμε μετά την έκπτωση;β) Να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα,

με τις τιμές διαφόρων ειδών του κατα-στήματος και να εξετάσετε αν είναιανάλογα τα ποσά x, y και τα ποσά x, ω.

γ) Να εκφράσετε τα ποσά y και ω ως συναρτήσεις του x.

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12

12

1–2

yx

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Α’ - 3.3. H συνάρτηση y = αx 69

y

x

y�

-1

-1

1

1A(1,1)

y=–x y=x

O

80Tελική τιμή ω

20Έκπτωση y

1508050200100Αρχική τιμή x

–1–2 21

0,6

–0,6

–1,2

–1,8

1,2

1,8

–1

y = –0,6x

–3 3

2

1

Ο

–2

xx�

y�

y

B(1,–1)

3.3(67-71 18-12-06 23:23 ™ÂÏ›‰·69

α) H έκπτωση που αναλογεί είναι 100 � = 20 €, οπότε θα το αγοράσουμε100 – 20 = 80 €.

β) Ομοίως, με το ερώτημα (α) συμπληρώ-νουμε τον πίνακα:

γ) Τα ποσά x και y είναι ανάλογα, γιατί: = = = = = = 0,2.Eπομένως, y = 0,2x.

Tα ποσά x και ω είναι ανάλογα, γιατί: = = = = = = 0,8.Eπομένως, ω = 0,8x.

Tα ποσά x και y είναι ανάλογα.α) Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα τιμών.

β) Ποιος από τους παρακάτω τύπους εκφράζει το y ως συνάρτηση του x;

A: y = 5x, B: y = x, Γ: y = x. Δ: y = 0,4x.

Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι η y = 3x;

Ποια από τις παρακάτω ευθείες έχει κλίση – ;

α) y = 3x β) y = –3x γ) y = x δ) y = – x ε) y = x – .


13

13

13

133 .

2 .

52

25

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

120150

6480

4050

160200

80100

ωx

30150

1680

1050

40200

20100

yx

20100

Λύση:

70 Μέρος Α’ - 3.3. H συνάρτηση y = αx

120644016080Tελική τιμή ω

3016104020Έκπτωση y

1508050200100Αρχική τιμή x

155y

42x

1–2–3 2 3

1y

y�

x

–1

Ο–1x

–1 Ο–1

–2–3 2 3

1y

y�

x

–1

Ο–1 11

1

2

3

y

y�

x

–1 Ο–1

1

1

2

3

y

y�

3.3(67-71 18-12-06 23:23 ™ÂÏ›‰·70

Μέρος Α’ - 3.3. H συνάρτηση y = αx 71Μέρος Α’ - 3.3. H συνάρτηση y = αx 71

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Γνωρίζοντας ότι τα ποσά x και y είναιανάλογα:α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω

πίνακα τιμών:

β) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x.γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρ-

τηση αυτή.

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθo-γωνίων αξόνων τις ευθείες:y = 2x, y = 3x και y = 5x.

Nα σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθο-γωνίων αξόνων τις ευθείες:

y = x και y = – x.

Ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτηταυ = 5 m/s. Να εκφράσετε το διάστημα Sπου διανύει ως συνάρτηση του χρόνου t.Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηαυτή.

Βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποίαδιέρχεται από την αρχή των αξόνων καιαπό το σημείο Α(2, 6).

Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστημααξόνων μια ευθεία η οποία να διέρχεταιαπό την αρχή Ο των αξόνων και να έχει

κλίση .

Να βρείτε την κλίση μιας ευθείας η οποίανα διέρχεται από την αρχή Ο των αξό-νων και από το σημείο Α(–1, 3).

Οι τιμές των αγροτικών προϊόντων σε μια χώρα αυξήθηκαν κατά 20% σ’ έναχρόνο.α) Να βρείτε τη σχέση που εκφράζει τις

νέες τιμές y των αγροτικών προϊό-ντων, ως συνάρτηση των παλιών τουςτιμών x.

β) Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση.γ) Με τη βοήθεια της παραπάνω συνάρ-

τησης να βρείτε:i) Tη σημερινή τιμή ενός προϊόντος που

είχε πέρυσι 7 €.ii)Tην περσινή τιμή ενός προϊόντος που

έχει τώρα 7 €.

Η ισοτιμία του Ευρώ έναντι του Δολλαρίουτην 21/7/03 ήταν 112 $ για 100 €.α) Nα βρείτε τη σχέση που εκφράζει την

τιμή y σε δολλάρια ενός προϊόντος ωςσυνάρτηση της τιμής x του προϊόντοςαυτού σε Ευρώ.

β) Από τη γραφική παράσταση να βρείτεκατά προσέγγιση την τιμή σε δολλάριαενός αεροπορικού εισιτηρίου πουκοστίζει 250 €.

γ) Από τη γραφική παράσταση να βρείτεκατά προσέγγιση την τιμή σε Ευρώενός αεροπορικού εισιτηρίου κόστους250 $.

9

8

7

32

6

5

4

12

12

3

2

30216y

521x

1

3.3(67-71 18-12-06 23:23 ™ÂÏ›‰·71

Η ευθεία με εξίσωση y = αx + β

Στις προηγούμενες παραγράφους μάθαμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αxείναι ευθεία, η οποία διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Σε αυτή την παράγραφο θαμελετήσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β. Aς δούμε ένα παράδειγμα:

Το κινητό της Κατερίνας.Η Κατερίνα έχει κινητό τηλέφωνο με χρέωση 0,9 C για κάθελεπτό ομιλίας.α) Αν ονομάσουμε x το χρόνο ομιλίας (σε λεπτά) και y το ποσό

πληρωμής (σε €) που αντιστοιχεί, να συμπληρώσετε τονπαρακάτω πίνακα.

Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x και να σχεδιάσετεσε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της συνάρτη-σης αυτής.

β) Η τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει και 10 € πάγιο το μήνα.Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με το νέο ποσό πληρωμής y με την προσθήκη και των 10 €.

Να εκφράσετε το νέο ποσό πληρωμής y ως συνάρτηση τουχρόνου ομιλίας x και να σχεδιάσετε τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης αυτής στο ίδιο σύστημασυντεταγμένων.

γ) Τι σχέση έχουν οι δύο αυτές γραφικές παραστάσεις;

Λύσηα) Για x = 5 είναι y = 0,9 � 5 = 4,5 €.

Ομοίως, βρίσκουμε τα υπόλοιπα ζεύγη του πίνακα.

Παρατηρούμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα, γιατί = 0,9

ή y = 0,9x. H γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτήςείναι μια ημιευθεία που αρχίζει από την αρχή των αξόνωνκαι έχει κλίση 0,9, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

yx

1813,594,50,9Ποσό πληρωμής y

20151051Χρόνος ομιλίας x

Συνολικό ποσό πληρωμής y

Πάγιο

Ποσό πληρωμής oμιλίας


0,9Ποσό πληρωμής y



H συνάρτηση y = αx + β3.4.

Ο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

123456789

1011121314151617181920

y

x

y = 0,9x

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·72

β) Εύκολα συμπληρώνουμε τον πίνακα προσθέτονταςστο ποσό πληρωμής και το πάγιο των 10 €.

Η νέα συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό ποσόπληρωμής είναι y = 0,9x + 10.Toποθετούμε στο σύστημα αξόνων τα νέα ζεύγη (x, y)του παραπάνω πίνακα των οποίων η τεταγμένη είναιαυξημένη κατά 10 μονάδες. Αν ενώσουμε τα νέα αυτάσημεία, παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης y = 0,9x + 10 είναι ημιευθεία παράλληληπρος την ημιευθεία y = 0,9x, μετατοπισμένη κατά 10μονάδες προς τα πάνω στον άξονα y�y.

Στο εξής, όταν αναφερόμαστε στηνευθεία που είναι η γραφική παράστασητης συνάρτησης y = αx + β, θα λέμε: ηευθεία με εξίσωση y = αx + β ή απλώςη ευθεία y = αx + β.Ο αριθμός α, που, όπως γνωρίζουμε,λέγεται κλίση της ευθείας y = αx, λέγεταικαι κλίση της ευθείας y = αx + β.

Η εξίσωση της μορφής αx + βy = γ

Παρατηρήσαμε ότι οι συναρτήσεις y = αx και y = αx + β παριστάνουν ευθείες. Ωστόσο,υπάρχουν και άλλες εξισώσεις που παριστάνουν ευθείες, όπως φαίνεται στο παρακάτωπαράδειγμα.

Η κυρία Μαρίκα σκοπεύει να ξοδέψει 15 € για να αγοράσεικρέας που κοστίζει 6 € το κιλό και πατάτες, που κοστίζουν 2 €το κιλό. Ποια σχέση συνδέει τα κιλά κρέας και τα κιλά πατά-τες που τελικά θα αγοράσει;

ΛύσηΈστω ότι θα αγοράσει x κιλά κρέας και y κιλά πατάτες. Θαξοδέψει λοιπόν 6x € για το κρέας και 2y € για πατάτες. Εφό-σον διαθέτει μόνο 15 €, πρέπει 6x + 2y = 15. Aν λύσουμε τησχέση αυτή ως προς y, έχουμε:


Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β�0 είναι μια ευθείαπαράλληλη της ευθείας με εξίσωση y = αx, που διέρχεταιαπό το σημείο (0, β) του άξονα y�y.

2823,51914,510,9Συνολικό ποσό πληρωμής y

+10+10+10+10+10Πάγιο

1813,594,50,9Ποσό πληρωμής oμιλίας


Μέρος Α’ - 3.4. H συνάρτηση y = αx + β 73

Ο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

123456789

101112131415161718192021222324252627282930

y

x

y = 0,9x

+10

+10

+10

+10

+10

y = 0,9x + 10

O

ββ

β θετικός

O β

ββ αρνητικός

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·73

6x + 2y = 15 ή

2y = –6x + 15 ή

y = –3x +

που γνωρίζουμε ότι παριστάνει ευθεία.

Γενικά:

Για παράδειγμα:● Η εξίσωση 12x + 3y = 15 γράφεται 3y = –12x + 15 ή

y = –4x + 5 και παριστάνει ευθεία με κλίση α = –4.

● Η εξίσωση 0x + 3y = 15 γράφεται y = 5 και παριστάνειευθεία παράλληλη προς τον άξονα x�x.Γενικότερα, η εξίσωση y = κ παριστάνει ευθεία παράλ-ληλη προς τον άξονα x�x.Η ευθεία y = 0 παριστάνει τον άξονα x�x.

● Η εξίσωση 12x + 0y = 15 γράφεται x = ή x =

και παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y�y.Γενικότερα, η εξίσωση x = κ, παριστάνει ευθεία παράλ-ληλη προς τον άξονα y�y.Η ευθεία x = 0 παριστάνει τον άξονα y�y.

Σημεία τομής της ευθείας αx + βy = γ με τους άξονες

➤ Γνωρίζουμε ότι ο άξονας x�x έχει εξίσωση y = 0.Επομένως, για να βρούμε το σημείο Α στο οποίο η ευθεία αx + βy = γ, με α � 0 ήβ � 0 τέμνει τον άξονα x�x, θέτουμε y = 0 και υπολογίζουμε την τετμημένη του x.

➤ Γνωρίζουμε ότι ο άξονας y�y έχει εξίσωση x = 0. Επομένως, για να βρούμε το σημείοΒ στο οποίο η ευθεία αx + βy = γ, με α�0 ή β�0 τέμνει τον άξονα y�y, θέτουμε x = 0και υπολογίζουμε την τεταγμένη του y.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = –2x, y = –2x + 3 και y = –2x – 3, όπου x ο πραγματικός αριθμός.

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

54

1512

Μια εξίσωση της μορφής αx + βy = γ, με α�0 ή β�0παριστάνει ευθεία.

¢È·ÈÚ¤Û·ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô Ì¤ÏË ÌÂ 2➥152

¶‹Á·ÌÂ ÙÔ 6x ÛÙÔ ¿ÏÏÔ Ì¤ÏÔ˜➥

74 Μέρος Α’ - 3.4. H συνάρτηση y = αx + β

Ο

–1–2–3

1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6

7

x� x

y

y�

y=–3x+7,5

Ο 1 2 3 4 51

2

34

x� x

y

y�

y=5

Ο 1 2 3 4 51

2

34

x� x

y

y�

x= 5 4

5

8

5

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·74

H γραφική παράσταση της συνάρτησης y = –2x είναι ευθεία,η οποία διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Για να τησχεδιάσουμε, αρκεί να βρούμε ένα ακόμη σημείο της.Για x = 1 είναι y = –2 � 1 = –2.Άρα, διέρχεται και από το σημείο Α με συντεταγμένες (1,–2).Ενώνουμε το Ο με το Α και προεκτείνουμε.Η γραφική παράσταση της y = –2x φαίνεται στο διπλανόσχήμα.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = –2x + 3 είναιευθεία παράλληλη με την y = –2x και τέμνει τον άξονα y�yστο σημείο (0, 3). Mεταφέρουμε το σημείο (0, 0) στο σημείο(0, 3) και το σημείο (1, –2) στο (1, 1). Ενώνουμε τα νέα αυτάσημεία και προεκτείνουμε.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = –2x + 3 φαίνεταιστο διπλανό σχήμα.

Ομοίως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = –2x – 3είναι ευθεία παράλληλη με την y = –2x και τέμνει τον άξοναy�y στο σημείο (0, –3). Μεταφέρουμε το σημείο (0, 0) στοσημείο (0, –3) και το σημείο (1, –2) στο (1, –5). Ενώνουμετα σημεία αυτά και προεκτείνουμε, όπως φαίνεται στο διπλα-νό σχήμα.

Δίνεται η εξίσωση 3x – 4y = 12, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί.α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία αυτή τέμνει τους άξονες.β) Να τη σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων.γ) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x και να βρείτε την κλίση της ευθείας.

α) Για τον άξονα y�y:θέτουμε x = 0 στην εξίσωση της ευθείας, οπότε έχουμε:

3 � 0 – 4y = 12 ή –4y = 12 ή y = = –3.

Άρα, τέμνει τον άξονα y�y στο σημείο Α με συντεταγμένες (0, –3).Για τον άξονα x�x:θέτουμε y = 0 στην εξίσωση της ευθείας, οπότε έχουμε:

3 � x – 4 � 0 = 12 ή 3x = 12 ή x = = 4.

Άρα, τέμνει τον άξονα x�x στο σημείο Β με συντεταγμένες (4, 0).

123

12–4

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:


y

y�

xx�1

1

–1–1

–2

–2

–3

–3

2

2

3

3O

A(1,–2)

y=–2x

y�

xx�1

1

–1–1

–2

–2

–3

–3

2

2 3

+3

O

y=–2x

y=–2x+33

y

y�

xx�1

1

–1–1

–4

–5

–3

2

2 3

–3

O

A(1,–2)

B(1,–5)

y=–2x

y=–2x–3

3y

–2

–3

–2

A(1,–2)

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·75

β) Ενώνουμε τα παραπάνω σημεία Α και Β καιπροεκτείνουμε.Η γραφική παράσταση της ευθείας 3x – 4y = 12φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

γ) Για να εκφράσουμε το y ως συνάρτηση του x,λύνουμε ως προς y τη σχέση 3x – 4y = 12, δηλαδή:

–4y = –3x + 12 ή y = x + ή

y = x – 3. Η κλίση της ευθείας αυτής είναι .

Η προσγείωση ενός αεροπλάνουΗ ταχύτητα (σε m/s) ενός αεροπλάνου πουπροσγειώνεται, από τη στιγμή που αγγίζει τοέδαφος μέχρι να σταματήσει, δίνεται από τησχέση: υ = 45 – 1,5 t, όπου t ο χρόνος που πέρα-σε από τη χρονική στιγμή που το αεροπλάνοάγγιξε το έδαφος.α) Να βρείτε την ταχύτητά του τη στιγμή που αγγίζει το έδαφος.β) Να βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να σταματήσει το αεροπλάνο και να παρα-

στήσετε γραφικά την ταχύτητά του υ ως συνάρτηση του χρόνου t.

α) Για t = 0 η ισότητα υ = 45 – 1,5 t δίνει υ = 45 m/s.

β) Τη στιγμή που σταματάει, το αεροπλάνο έχειταχύτητα 0 m/s. Για την τιμή αυτή του υ, ηισότητα υ = 45 – 1,5 t γίνεται:0 = 45 – 1,5 t ή 1,5 t = 45 ή t = ή

t = 30 (s).

Άρα, οι δυνατές τιμές του χρόνου t είναι0 � t � 30.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησηςυ = 45 – 1,5 t είναι ευθύγραμμο τμήμα μεάκρα τα σημεία (0, 45) και (30, 0).

H ευθεία y = 3x είναι παράλληλη προς την:


y = –3x + 5Δ:y = 3x – 7Γ:

y = x – 3B:y = x + 3A:

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

451,5

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

34

34

12–4

–3–4


y

y�

xx� O1234

–1–2–3–4–51 2 3 4

–1–2–3

5

A

B

15

20

25

30

35

40

50U

10 15 20 25

10

55

O

30

t

45

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·76

Στο διπλανό σχήμα έχουμε σχεδιάσει τις τρεις παράλληλεςευθείες της στήλης Β.Να αντιστοιχίσετε καθεμιά με την εξίσωσή της.

Στο διπλανό σχήμα το ορθογώνιοΑΒΓΔ έχει κέντρο το Ο και οι πλευρέςτου είναι παράλληλες προς τουςάξονες x�x και y�y.Να αντιστοιχίσετε κάθε πλευρά με τηνεξίσωση της ευθείας στην οποίαανήκει.

Η ευθεία με εξίσωση 4x + y = 4


Μια ευθεία ε τέμνει τους άξονες στα σημεία (3, 0) και (0, 4). Η εξίσωσή της είναι:


4x + 3y = 12Γ:3x + 4y = 16B:3x + 4y = 9A:5 .

(0,–1)(0,–4)(4, 4)(0, 4)(0, 1)τέμνει τον άξονα y�y στο σημείο:γ)

(0, 4)(1, 0)(–4,0)(4, 0)(4, 1)τέμνει τον άξονα x�x στο σημείο:β)

3–11–44έχει κλίση:α)

ΕΔΓBA4 .

3 .

y = 2x + 2ε3

y = 2x – 1ε2

y = 2xε1

Στήλη ΒΣτήλη Α

2 .


y

y�

xx�1

1

–1–1–2

–3

3

O 2

–2

–33

A

Γ Δ

Β

x = –3ΒΔ

y = –2ΓΔ

x = 3ΑΓ

y = 2ΑΒ

ΕυθείεςΠλευρές

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Στο ίδιο σύστημα ορθογωνίων αξόνωννα παραστήσετε γραφικά τις ευθείες μεεξισώσεις:

y = x, y = x+2 και y = x – 3.

Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηy = –3x + 2, όταν:α) ο x είναι πραγματικός αριθμός.β) x � 0.γ) –2 � x � 5.

Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας ηοποία έχει κλίση 2 και τέμνει τον άξοναy�y στο σημείο με τεταγμένη –3.

Στο σχήμα δίνονται τα σημεία Α(1, 1) καιΒ(2, 3).α) Να αποδείξετε ότι η

απόσταση ΑΒ είναιίση με ��5.

β) Να αποδείξετε ότι ηευθεία με εξίσωσηy = 2x – 1 διέρχεταιαπό τα σημεία Α και Β.

4

3

2

12

12

12

1y

y�

x

A

x�1

3

Ο

2

1 2

B

y

y�

xx� 1

–1–2

–3

–3

3

4

3

ε1

ε2

ε3

O

2

2

–2

–1

1

2

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·77


Όταν χρησιμοποιούμε ταξί, πληρώνου-με 0,5 € για τη σημαία και 0,2 € για κάθεχιλιόμετρο διαδρομής. Να βρείτε τησυνάρτηση που μας δίνει το ποσό y πουθα πληρώσουμε για μια διαδρομή xχιλιομέτρων.

Δίνεται η ευθεία με εξίσωση 2x – 3y = 6.Nα βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνειτους άξονες.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράστασητης ευθείας x + y = 2.

Nα σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθο-γωνίων αξόνων το ορθογώνιο ΑΒΓΔ, τουοποίου οι πλευρές ανήκουν στις ευθείεςy = 2, y = 3, x = 1 και x = –2.Ποιες είναι οι συντεταγμένες των κορυ-φών Α, Β, Γ και Δ;Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίουΑΒΓΔ;

Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει ηλεκτρο-νικούς υπολογιστές με κόστος 200 € τοτεμάχιο.Επίσης, πληρώνει 100 € την ημέρα γιατην ενοικίαση μιας αποθήκης, για νααποθηκεύει τους ηλεκτρονικούς υπολο-γιστές.α) Να εκφράσετε το συνολικό ημερή-

σιο κόστος y του εργοστασίου ωςσυνάρτηση του αριθμού x των ηλε-κτρονικών υπολογιστών που κατα-σκευάζει ημερησίως.

β) Να σχεδιάσετε σε σύστημα ορθογω-νίων αξόνων τη συνάρτηση αυτή.

Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι κάθε παί-κτης ξεκινάει έχοντας ως δώρο από τηνεταιρεία παραγωγής 1000 €. Στη συνέ-χεια, πρέπει να απαντήσει σε 20 ερωτή-σεις. Σε κάθε σωστή απάντηση κερδίζει100 €, ενώ σε κάθε λανθασμένη απάντη-ση χάνει 50 €. Συμβολίζουμε με x τοπλήθος των σωστών απαντήσεων.

α) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το πλήθος ω των λανθασμένων απα-ντήσεων.

β) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το συνολικό κέρδος y του παίκτη.

γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρ-τηση y.

10

9

8

7

6

5

3.4(72-78) 18-12-06 23:26 ™ÂÏ›‰·78

H συνάρτηση y = α – H υπερβολήx3.5.

Ποσά αντιστρόφως ανάλογα – Η υπερβολήΌπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, όταν ένα σώμα κινείται, η ταχύτητά του δίνεται από τη

σχέση: Ταχύτητα = ή υ = .

Η απόσταση s δύο πόλεων είναι 60 χιλιόμετρα. Aν με t παραστή-σουμε το χρόνο (σε ώρες) που χρειάζεται ο ποδηλάτης να διανύσειτην απόσταση των δύο πόλεων:α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Τι παριστάνει το γινόμενο υ � t;β) Γιατί λέμε ότι η ταχύτητα υ και ο χρόνος t είναι ποσά αντιστρό-

φως ανάλογα;γ) Να εκφράσετε την ταχύτητα υ ως συνάρτηση του χρόνου t. Χρη-

σιμοποιήστε τις τιμές του πίνακα του ερωτήματος (α) για να σχε-διάσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Λύσηα) Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Παρατηρούμε ότι το γινόμενο υ � t παριστάνει την απόσταση sκαι είναι πάντοτε 60, δηλαδή υ � t = 60.

β) Τα ποσά υ και t, όπως είδαμε και σε προηγούμενες τάξεις,λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, γιατί όταν η τιμή του ενόςπολλαπλασιαστεί επί έναν αριθμό, τότε η τιμή του άλλου διαι-ρείται με τον αριθμό αυτό. Το γινόμενo υ � t των ποσών υ και t,αν είναι αντιστρόφως ανάλογα, είναι σταθερό.

γ) Σε σύστημα συντεταγμένων τοποθετούμε όλα τα σημεία πουέχουν συντεταγμένες τα ζεύγη (t,υ) του παραπάνω πίνακα. Mιαπρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης, φαίνεται στοδιπλανό σχήμα.

Σε δύο ανάλογα ποσά x και y, οι τιμές τους μπορεί να είναι καιαρνητικοί αριθμοί.

Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των αντιστοίχων τιμώντους είναι σταθερό. Αν α� 0 είναι το σταθερό γινόμενο των x και y, τότε το y εκφράζεται ωςσυνάρτηση του x από τον τύπο y = α .x

60606060606060Απόσταση s

1236153060Ταχύτητα υ

60302010421Χρόνος t

60606060606060Απόσταση s

Ταχύτητα υ

60302010421Χρόνος t


st

ΔιάστημαΧρόνος

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

00

3.5(79-82) 18-12-06 23:28 ™ÂÏ›‰·79

α) Δίνεται η συνάρτηση y = , x � 0. Με τη βοήθεια του παρα-

κάτω πίνακα τιμών να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

y = – , x � 0.

Λύσηα) Συμπληρώνουμε τον πίνακα:

Σε σύστημα συντεταγμένων τοποθετούμε τα σημεία που έχουνσυντεταγμένες τα ζεύγη τιμών (x, y) του παραπάνω πίνακα.Τα σημεία αυτά σχηματίζουν δύο γραμμές, μία στο πρώτοτεταρτημόριο και μία στο τρίτο, όπως στο διπλανό σχήμα.

β) Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

Tα σημεία αυτά σχηματίζουν δύο γραμμές, μία στο δεύτεροτεταρτημόριο και μία στο τρίτο τεταρτημόριο, όπως στο διπλα-νό σχήμα.

Οι γραφικές παραστάσεις που κάναμε λέγονται υπερβολές καιοι δύο γραμμές που τις συνθέτουν λέγονται κλάδοι της υπερβο-λής.

Γενικά:

Και στις δύο περιπτώσεις η γραφική παράσταση μιαςυπερβολής έχει:– Κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.– Άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξό-

νων, δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις y = x και y = –x.

αH γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ⎯⎯, όπου α � 0xλέγεται υπερβολή και αποτελείται από δύο κλάδους πουβρίσκονται:– Στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α > 0.– Στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α < 0.

–13– ⎯2–333⎯

21y

321–1–2–3x

13⎯23–33– ⎯

2–1y

321–1–2–3x

3x

y

321–1–2–3x

3x


80 Μέρος Α’ - 3.5. H συνάρτηση y = α/x – H υπερβολή

y

y�

x� xΟ–1–3 1

1

3

2 3–2

y

y�

x� xO–1–3 1 2–2 3

y=–x y=x

O

· > 0

y

y�

x� x

y

y�

x� xO

y = –x y = x

· < 0

3.5(79-82) 18-12-06 23:28 ™ÂÏ›‰·80

α) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις υπερβολές: y = , x � 0 και y = – , x � 0.

β) Ποιες είναι οι συμμετρίες που ισχύουν μεταξύ των κλάδων των παραπάνω υπερβολών;

α) Σχηματίζουμε τους πίνακες τιμών:

Κατόπιν σχεδιάζουμε τις δύο υπερβολές.

β) Αν ονομάσουμε τους τέσσερις κλάδους Κ1,Κ2, Κ3, Κ4 όπως φαίνεται στο σχήμα, τότεέχουμε ότι:● Ο Κ1 είναι συμμετρικός με τον Κ3 ως προς τον άξονα y�y.● O K1 είναι συμμετρικός με τον Κ4 ως προς τον άξονα x�x.● O K1 είναι συμμετρικός με τον Κ2 ως προς την αρχή των αξόνων.Παρόμοιες συμμετρίες ισχύουν και για τους άλλους κλάδους.

Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα;

α) β) γ) δ)

Nα χαρακτηρίσετε ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) τις παρακάτω προτάσεις:ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 2.

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων.

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y =

βρίσκεται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων.

δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= –

έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.

Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές πα-ραστάσεις (α), (β) και (γ) τριών υπερβολών.Να αντιστοιχίσετε σε καθεμιά την εξίσωσή της.

3 .

5x

10x

5x

2x

2 .

–5–3–2y2,446y0,50,30,2y421y

532x532x532x532x

1 .∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

–1–2–6621y

631–1–3–6x

126–6–2–1y

631–1–3–6x

Λύση:

6x

6x

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Α’ - 3.5. H συνάρτηση y = α/x – H υπερβολή 81

Ο-1-2-3-4-5-62 3 4 5 6

x

y

y�

12345

-1-2-3-4-5

K4

K1K3

K2

1

6

-6

1-1-2

2 3

γα

Ο-3

-3

-2

-1

1

2

3

x�

x

y

y�

β

y = 3xΓ.

y = 2xΒ.

y = 1xΑ.

3.5(79-82) 18-12-06 23:28 ™ÂÏ›‰·81

82 Μέρος Α’ - 3.5. H συνάρτηση y = α/x – H υπερβολή

✐ Αν ο σταθερός λόγος δύο ανάλογων ποσών x και y είναι ίσος με α, τότε το y εκφράζεται

ως συνάρτηση του x από την ισότητα y = αx.

✐ H γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο

των αξόνων και έχει κλίση α.

✐ H γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής y = αx + β, β � 0 είναι ευθεία παράλληλη

προς την ευθεία y = αx και τέμνει τον αξόνα y�y στο σημείο με τεταγμένη β.

✐ Mια εξίσωση της μορφής αx + βy = γ, με α � 0 ή β � 0 παριστάνει ευθεία.

✐ Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών

τους είναι σταθερό. Αν α είναι η τιμή του γινομένου x � y, το y εκφράζεται ως συνάρτηση του x

από τη συνάρτηση y = , x�0.

✐ H γραφική παράσταση μιας υπερβολής y = , x � 0, βρίσκεται:

• στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α > 0• στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο των αξόνων, όταν α < 0.

✐ H γραφική παράσταση μιας υπερβολής y = , x � 0, έχει:

• κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.• άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες με εξισώσεις

y = x και y = –x.

αx

αx

αx

yx

Συναρτήσεις3Επανάληψη Κεφαλαίου

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλο-γα. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθο-γωνίων αξόνων τις γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεων:

α) y = β) y = γ) y = .

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα ορθο-γωνίων αξόνων τις γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεων:

y = και y = – .

H απόσταση Γης - Σελήνης είναι περίπουΓΣ = 380.000 χιλιόμετρα.α) Ποια είναι η ταχύτητα σε km/h ενός

πυραύλου που διανύει την απόστασηΓΣ σε 3 ημέρες;

β) Να εκφράσετε την ταχύτητα υ ενός πυ-ραύλου ως συνάρτηση του χρόνου tπου χρειάζεται για να διανύσει την από-σταση ΓΣ. Να σχεδιάσετε τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης αυτής.

Θεωρούμε όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν36 cm2.α) Ονομάζοντας x και y τις διαστάσεις ενός

τέτοιου ορθογωνίου να συμπληρώσετετον πίνακα:

Τι έχετε να παρατηρήσετε για τα μεγέθηx και y;

β) Να εκφράσετε το πλάτος y ενός τέτοιουορθογωνίου ως συνάρτηση του μήκους x.

γ) Να σχεδιάσετε σε σύστημα ορθογω-νίων αξόνων τη γραφική παράστασητης συνάρτησης αυτής.

y

36181264321x

5

4

12x

12x

3

20x

5x

3x

2

4y

1264321x

1

3.5(79-82) 18-12-06 23:28 ™ÂÏ›‰·82

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√ 44 ÔÔ


Περιγραφική Στατιστική

4.1(83-88) 18-12-06 23:31 ™ÂÏ›‰·83


4.1 Bασικές έννοιεςτης Στατιστικής:Πληθυσμός - Δείγμα

4.2 Γραφικέςπαραστάσεις

4.3 Κατανομήσυχνοτήτων καισχετικώνσυχνοτήτων

4.4 Ομαδοποίησηπαρατηρήσεων

4.5 Μέση τιμή - Διάμεσος

∏™Ù·ÙÈÛÙÈÎ‹ ·ÔÙÂÏÂ›

·Ó·fiÛ·ÛÙÔ ÎÔÌÌ¿ÙÈ ÙË˜

˙ˆ‹˜ Ì·˜.

Δ· ·ÔÙÂÏ¤ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ÂÎÏÔÁÒÓ ,

ÔÈ ÚÔÙÈÌ‹ÛÂÈ˜ ÙˆÓ Î·Ù·Ó·ÏˆÙÒÓ,

ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÙËÏÂı¤·ÛË˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó

ÌÂÚÈÎ¿ ÌfiÓÔ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÙË˜

¯Ú‹ÛË˜ ÙË˜ ™Ù·ÙÈÛÙÈÎ‹˜.

∞ÊÔ‡ ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ‚·ÛÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜,

ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ Ò˜ Ù· ÛÙ·ÙÈÛÙÈÎ¿

·ÔÙÂÏ¤ÛÌ·Ù· ·ÚÈÛÙ¿ÓÔÓÙ·È ÁÚ·ÊÈÎ¿

Ì¤Ûˆ ‰È·ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ.

£· ÁÓˆÚ›ÛÔ˘ÌÂ, Ù¤ÏÔ˜, ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÌÂ

ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÔÌ·‰ÔÔÈÔ‡ÌÂ

·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ˜ Î·È ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ ‰‡Ô

¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎ¤˜ ÙÈÌ¤˜ ÌÈ·˜

ÛÙ·ÙÈÛÙÈÎ‹˜ ¤ÚÂ˘Ó·˜:

ÙË Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ Î·È ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ.

4.1(83-88) 18-12-06 23:31 ™ÂÏ›‰·84

Aπό μία έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών ενός Γυμνασίουστη Βόρεια Ελλάδα σχετικά με τις ποδοσφαιρικές προτιμήσειςτους προέκυψαν τα εξής αποτελέσματα: Από τους 60 μαθητέςπου απάντησαν στην έρευνα, 12 μαθητές προτιμούν τον ΠΑΟΚ,6 την ΑΕΚ, 9 τον Ολυμπιακό, 18 τον Άρη Θεσσαλονίκης, 3 τον

Παναθηναϊκό, 9 τον Ηρακλή και 3 τον ΟΦΗ.α) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών αυτού

του Γυμνασίου που προτιμούν τον Άρη, τονΠΑΟΚ και ποιο το ποσοστό των μαθητώνπου προτιμούν τον Ηρακλή;

β) Ποια είναι τα αντίστοιχα ποσοστά για τιςυπόλοιπες ομάδες;

γ) Είναι αξιόπιστα τα προηγούμενα αποτελέ-σματα, δηλαδή γενικεύονται για όλη τηνΕλλάδα;

Λύσηα) Οι μαθητές που προτιμούν τον Άρη είναι 18 στους 60.

Μετατρέπουμε αυτόν τον αριθμό σε ποσοστό επί τοις

εκατό: = 0,3 = 30%

Ομοίως, έχουμε:

❖ Για τον ΠΑΟΚ: = 0,2 = 20%

❖ Για τον Ηρακλή: = 0,15% = 15%

β) Για τις υπόλοιπες ομάδες τα ποσοστά είναι:

❖ Ολυμπιακός: = 0,15 = 15%

❖ ΑΕΚ: = 0,1 = 10%

❖ Παναθηναϊκός: = 0,05 = 5%

❖ ΟΦΗ: = 0,05 = 5%

γ) Προφανώς, τα αποτελέσματα δεν είναι αξιόπιστα, δηλαδήδε μπορούν να γενικευθούν για όλο το μαθητικό πληθυ-σμό των Γυμνασίων της Ελλάδας.

Για να εξασφαλίσουμε αξιοπιστία στα αποτελέσματα, θα πρέπεινα αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα διαφορετικά.

360

360

660

960

960

1260

1860


Bασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα4.1.

4.1(83-88) 18-12-06 23:31 ™ÂÏ›‰·85

Θέλουμε να εξετάσουμε τις ποδοσφαιρικές προτιμήσεις τωνμαθητών όλων των Γυμνασίων της Ελλάδας. Οι μαθητές αυτοί αποτελούν τον «πληθυσμό» της έρευνάς μας.

Γενικά:

Επειδή στην Ελλάδα υπάρχουν περίπου 400.000 μαθητέςΓυμνασίου, δε θα μπορούσαμε φυσικά να τους ρωτήσουμεόλους. Στη δραστηριότητα είχαμε ένα «δείγμα» από 60μαθητές, δηλαδή κάναμε μία «δειγματοληψία» (ή «δημο-σκόπηση»). Το πλήθος των μαθητών που ρωτήσαμε (60άτομα), αποτελεί το «μέγεθος του δείγματος».Στη συνέχεια, διαπιστώσαμε ότι τα αποτελέσματα που βρήκαμεδε μπορούν να γενικευθούν για όλο τον πληθυσμό, αφού τοδείγμα ήταν μόνο από μία περιοχή της Ελλάδας και δεν είναι«αντιπροσωπευτικό» του πληθυσμού.

Απογραφή και ΔειγματοληψίαΗ συγκέντρωση στατιστικών δεδομένων γίνεται με απογραφή,με διαρκή εγγραφή και κυρίως με δειγματοληψία.

➤ Με την απογραφή συγκεντρώνονται στοιχεία απ’ όλα ταάτομα του πληθυσμού σε μία καθορισμένη ημερομηνία.Στη χώρα μας η απογραφή του πληθυσμού γίνεται κάθε10 χρόνια από την ΕΣΥΕ (Εθνική Στατιστική Υπηρεσίατης Ελλάδας).

➤ Η διαρκής εγγραφή γίνεται καθημερινά στα ληξιαρχεία στα οποία καταχωρούνται γεννήσεις, γάμοι κ.τ.λ., στατελωνεία για εμπορεύματα, στα νοσοκομεία για ασθένειεςκ.τ.λ.

➤ Σε μια δειγματοληψία συγκεντρώνουμε στοιχεία μόνοαπό ένα μέρος του πληθυσμού, που λέγεται δείγμα καιπροσπαθούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για όλο τονπληθυσμό.

Η δειγματοληψία, σε σύγκριση με την απογραφή, έχει το πλεονέκτημα του μικρού κόστουςκαι της ταχύτητας συγκέντρωσης των πληροφοριών. Από την άλλη πλευρά, όμως, έχει τομειονέκτημα ότι ο σχεδιασμός και η εκτέλεσή της χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή, γιατίδιαφορετικά δεν οδηγούν σε σωστά συμπεράσματα.

Ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μελετάμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους, λέγεταιπληθυσμός. Το χαρακτηριστικό (π.χ. η ομάδα προτίμησης στο ποδόσφαιρο) ως προς τοοποίο μελετάμε τα στοιχεία ενός πληθυσμού, ονομάζεται μεταβλητή.

86 Μέρος Α’ - 4.1. Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα

4.1(83-88) 18-12-06 23:31 ™ÂÏ›‰·86

Για να εκτιμήσουμε το αποτέλεσμα των ερχομένων βουλευτικών εκλογών, ρωτήσαμε3.000 φοιτητές για το κόμμα που θα ψηφίσουν.α) Ποιος είναι ο πληθυσμός και ποιο είναι το δείγμα; Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό;β) Αν οι φοιτητές προτίμησαν τα κόμματα Α, Β, Γ με ποσοστά 40%, 35% και 25%

αντίστοιχα, να βρείτε πόσοι από αυτούς προτίμησαν το Α κόμμα, πόσοι το Β καιπόσοι το Γ;

α) Ο πληθυσμός είναι όλοι οι Έλληνες ψηφοφόροι, ενώ το δείγμα είναι οι 3.000φοιτητές. Το δείγμα αυτό δεν είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού, γιατί οιφοιτητές αποτελούν μια ειδική κατηγορία ψηφοφόρων (έχουν νεαρή ηλικία,ανώτερο επίπεδο σπουδών και ριζοσπαστικό τρόπο σκέψης).

β) To κόμμα Α το προτίμησαν 3.000 = 1.200 φοιτητές.

Το κόμμα Β το προτίμησαν 3.000 = 1.050 φοιτητές.

Το κόμμα Γ το προτίμησαν 3.000 = 750 φοιτητές.

Ένα εργοστάσιο που κατασκευάζει απορρυπαντικά για να προωθήσει ένα νέο προϊόν, έκανεπρώτα μία έρευνα της ελληνικής αγοράς. Απευθύνθηκε σε μια εταιρεία δημοσκοπήσεων καιζήτησε να μάθει πόσες φορές οι ελληνίδες νοικοκυρές αγοράζουν απορρυπαντικό κάθεμήνα. Η εταιρεία δημοσκοπήσεων επέλεξε να ρωτήσει 2000 νοικοκυρές και έδωσε τααποτελέσματα στον εργοστασιάρχη.Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τησωστή απάντηση.

1. Ο πληθυσμός της έρευνας είναι:α) Όλοι οι έλληνες πολίτες.β) 2000 νοικοκυρές.γ) Όλες οι ελληνίδες νοικοκυρές.δ) Όλοι οι πελάτες των σούπερ-μάρκετ.

2. Η μεταβλητή της έρευνας είναι:α) Οι ελληνίδες νοικοκυρές.β) Τα απορρυπαντικά που κυκλοφορούν στην Ελλάδα.γ) Το απορρυπαντικό που χρησιμοποιούν οι ελληνίδες νοικοκυρές.δ) Πόσες φορές αγοράζουν απορρυπαντικό οι ελληνίδες νοικοκυρές.

3. Το μέγεθος του δείγματος είναι:α) Περίπου 5.000.000 ελληνίδες νοικοκυρές.β) Οι 2000 νοικοκυρές που ρωτήθηκαν.γ) Το πλήθος των απορρυπαντικών που αγοράζονται κάθε μήνα.δ) Όλες οι μάρκες απορρυπαντικών που κυκλοφορούν στην ελληνική αγορά.

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∏∏ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

25100

35100

40100

Λύση:

∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Α’ - 4.1. Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα 87

4.1(83-88) 18-12-06 23:31 ™ÂÏ›‰·87

88 Μέρος Α’ - 4.1. Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να υπολογίσετε χωρίς μολύβι και χαρτί:α) το 100% του 72β) το 50% του 60γ) το 25% του 80δ) το 10% του 70ε) το 20% του 80στ) το 72% του 100

Nα υπολογίσετε:α) το 15% του 80β) το 40% του 60γ) το 35% του 120δ) το 75% του 80ε) το 30% του 30στ) το 5% του 1000

Το 15 είναι το 25% του αριθμού:α) 25, β) 60, γ) 100, δ) 40.

Το 15% του αριθμού 200 είναι:α) 30, β) 7, γ) 21, δ) 42.

Σε μια έρευνα που έγινε σε 2000 άτομαοι 300 ήταν νέοι κάτω των 25 ετών. Τιποσοστό του δείγματος αντιπροσωπεύειο αριθμός αυτός;

Σε μια δημοσκόπηση που έγινε για τιςΠροεδρικές εκλογές, 360 άτομα απάντη-σαν ότι προτιμούν τον υποψήφιο «Α»,280 άτομα τον υποψήφιο «Β», και 160άτομα τον υποψήφιο «Γ». Ποια είναι ταποσοστά κάθε υποψηφίου σ’ αυτή τηδημοσκόπηση;

Σ’ ένα σχολείο φοιτούν 120 αγόρια και180 κορίτσια. Στη Β� Γυμνασίου φοιτούνσυνολικά 90 άτομα.α) Ποιο είναι το ποσοστό των κοριτσιών

στο σχολείο;β) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών

της Β� Γυμνασίου;

Για να βρούμε τα ποσοστά των οπαδώντων ομάδων ποδοσφαίρου, ρωτήσαμε1000 άτομα στον Πειραιά ποια ομάδαυποστηρίζουν.

Ποιος είναι ο πληθυσμός της έρευνας καιποιο το δείγμα; Είναι το δείγμα αξιόπιστο;

H Kατερίνα για να βρεί το δημοφιλέστεροτραγούδι την περίοδο αυτή, σκοπεύει ναρωτήσει τους μαθη-τές ενός σχολείου.Μπορείτε να εξηγή-σετε γιατί το αποτέ-λεσμα της έρευναςδε θα είναι αντικει-μενικό; Τι πρέπεινα κάνει η Κατερίναγια να καταλήξει σ’ένα αξιόπιστο συμπέρασμα;

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4.1(83-88) 18-12-06 23:31 ™ÂÏ›‰·88

Μια δισκογραφική εταιρεία προσπαθεί να επεκτείνει τιςπωλήσεις της σε εφήβους. Προτού να επενδύσει σε είδημουσικής που προτιμούν οι μαθητές, αποφασίζει να κάνει μίαέρευνα ανάμεσα σε 200 μαθητές που επέλεξε τυχαία απ’ όλητην Ελλάδα. Ο υπεύθυνος, που έκανε την έρευνα, παρουσίασεστο διευθυντή της εταιρείας τις παρακάτω τρεις γραφικέςπαραστάσεις (διαγράμματα).α) Πόσοι μαθητές προτίμησαν κάθε είδος μουσικής;β) Σε ποια είδη μουσικής προτείνετε να επενδύσει η εταιρεία;

Λύσηα) Παρατηρούμε ότι 60 μαθητές στους 200 προτιμούν λαϊκό

τραγούδι, δηλαδή ποσοστό 30%. 40 μαθητές στους 200προτιμούν το ροκ, δηλαδή ποσοστό 20%. 50 μαθητέςστους 200 προτιμούν το δημοτικό τραγούδι, δηλαδήποσοστό 25%. 30 μαθητές στους 200 προτιμούν τοελαφρύ, δηλαδή ποσοστό 15%, ενώ 20 μαθητές στους 200προτιμούν το Metal, δηλαδή ποσοστό 10%.

β) Η εταιρεία πρέπει να επενδύσει κατά σειρά προτεραιότηταςστο λαϊκό, δημοτικό, ροκ, ελαφρύ και metal.


Γραφικές παραστάσεις4.2.

Eίδος μουσικής που προτιμούν οι μαθητέςEίδος μουσικής που προτιμούν οι μαθητές

Λαϊκό

κάθε παριστάνει 10 μαθητές

Ροκ Δημοτικό Ελαφρύ MetalΛαϊκό Ροκ Δημοτικό Ελαφρύ Metal

Eίδος Μουσικής

Μα

θητέ

ς

70

60

50

40

30

20

10

0

Μetal

Λαϊκό

Ροκ

Είδ

ος

μο

υσ

ική

ς π

ου

πρ

οτι

μο

ύν

οι

μα

θητέ

ς

Δημοτικό

Ελαφρύ

20%

30%

10%

15%

25%

4.2(89-94) 18-12-06 23:34 ™ÂÏ›‰·89

Tέτοια διαγράμματα βλέπουμε καθημερινά στις εφημερίδες και τα περιοδικά, πουπαρουσιάζουν τα αποτελέσματα μιας έρευνας με τρόπο πιο παραστατικό και κατανοητό. Αςδούμε μερικά διαγράμματα που χρησιμοποιούμε πιο συχνά:

ΕικονογράμματαΣτα εικονογράμματα χρησιμοποιούμε τηνεικόνα ενός αντικειμένου για να δείξουμεπόσες φορές αυτό παρουσιάζεται στηνέρευνά μας. Σ’ ένα τέτοιο διάγραμμα,βέβαια, πρέπει να υπάρχει ο τίτλος πουμας κατατοπίζει για το είδος και τημεταβλητή της έρευνας, η κλίμακα πουδείχνει τον αριθμό των αντικειμένων πουπαριστάνει η εικόνα (π.χ. στο διπλανόεικονόγραμμα, κάθε CD παριστάνει 10μαθητές) καθώς και ο τίτλος κάθε στήλης(π.χ. λαϊκό - ροκ - δημοτικό κ.τ.λ.)

ΡαβδογράμματαΣτα ραβδογράμματα χρησιμοποιούμεορθογώνια για να δείξουμε το πλήθος τωνμαθητών που δήλωσαν ότι προτιμούν ένασυγκεκριμένο είδος μουσικής. Σ’ ένα τέτοιοραβδόγραμμα πρέπει, βέβαια, να υπάρχουνο τίτλος του που μας κατατοπίζει για τοείδος της έρευνας και οι τίτλοι των αξόνων.Αυτοί οι τίτλοι αξόνων μας δείχνουν ότι οοριζόντιος άξονας παριστάνει τα είδη τηςμουσικής και ο κάθετος άξονας τον αριθμότων μαθητών.Τα ραβδογράμματα, γενικά, σχεδιάζονταιεύκολα και είναι πιο ακριβή από ταεικονογράμματα.Τα ορθογώνια ενός ραβδογράμματοςμπορεί να είναι τοποθετημένα οριζόντια,όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Πολλές φορές αντί για ορθογώνια, σχεδιά-ζουμε κάθετες γραμμές.

Κυκλικά διαγράμματαΣτα κυκλικά διαγράμματα μπορούμε ναδούμε τι μέρος του δείγματος προτιμά κάθεείδος μουσικής. Συγκεκριμένα, το δείγμαπαριστάνεται με έναν κυκλικό δίσκο και οιτιμές της μεταβλητής με κυκλικούς τομείς

90 Μέρος Α’ - 4.2. Γραφικές παραστάσεις

Eίδος μουσικής που προτιμούν οι μαθητές

Λαϊκό

κάθε παριστάνει 10 μαθητές

Ροκ Δημοτικό Ελαφρύ Metal


Λα

ϊκό

Ρο

κΔ

ημ

οτι

κόΕ

λαφ

ρύ

Met

al

Eίδ

ος

Μο

υσ

ική

ς

Μαθητές706050403020100


Λαϊκό Ροκ Δημοτικό Ελαφρύ Metal

Eίδος Μουσικής

Μα

θητέ

ς

70

60

50

40

30

20

10

0

4.2(89-94) 18-12-06 23:34 ™ÂÏ›‰·90

διαφορετικού χρώματος. Πώς, όμως, υπολογίζουμε τηγωνία κάθε κυκλικού τομέα;Επειδή έλαβαν μέρος στην έρευνα 200 άτομα και οκύκλος έχει 360°, θα πρέπει τα 200 άτομα νααντιστοιχούν στις 360°.Επομένως, τα 60 άτομα που δήλωσαν ότι προτιμούν τολαϊκό τραγούδι, θα πρέπει να αντιστοιχούν σε μία γωνία θ,

τέτοια ώστε: = .

Επομένως έχουμε: θ = � 360° ή θ = 108°.

Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε και τις υπόλοιπες γωνίεςτου κυκλικού διαγράμματος:

➤ Για το ροκ: θ = � 360° = 72°

➤ Για το δημοτικό: θ = � 360° = 90°

➤ Για το ελαφρύ: θ = � 360° = 54°

➤ Για το metal: θ = � 360° = 36°

XρονογράμματαΤα χρονογράμματα είναι διαγράμματα, ταοποία χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμετη χρονική εξέλιξηενός φαινομένου. Γιαπαράδειγμα, αν θέλου-με να παραστήσουμετα κέρδη μιας εται-ρείας (σε χιλιάδες €)κατά τα έτη 1998 -2004 (πίνακας 1), μπο-ρούμε να χρησιμο-ποιήσουμε το διπλανόχρονόγραμμα.

Σε μια έρευνα που έγινε σε δείγμα 300 μαθητών σχετικά μετο πλήθος των εξωσχολικών βιβλίων που διάβασαν τοντελευταίο μήνα, προέκυψαν τα αποτελέσματα τουδιπλανού πίνακα. Για τα δεδομένα αυτά να κατασκευάσετεραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα και εικονόγραμμα (μεεικόνα XX = 10 μαθητές).

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

20200

30200

50200

40200

60200

360°θ

20060

Μέρος Α’ - 4.2. Γραφικές παραστάσεις 91

1802004200200317020021302001150200010019991201998

Κέρδη (χιλ. €)Έτος

Kέρδη επιχείρησης

Κέρ

δη

(σ

ε χ

ιλ.

ευρ

ώ)

Έτος

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Πίνακας 1

2004 2005

150

200

100

50

0

250

204403802

1101500

ΜαθητέςΑριθμόςβιβλίων

Μetal

Λαϊκό

Ροκ

Είδος μουσικής που προτιμούνοι μαθητές

Δημοτικό

Ελαφρύ

72°

36°

54°

90°

108°

4.2(89-94) 18-12-06 23:34 ™ÂÏ›‰·91

➤ Για το ραβδόγραμμα:Στον οριζόντιο άξονα x�x τοποθετούμε τουςαριθμούς 0, 1, 2, 3, 4 της πρώτης στήλης τουπίνακα και στον κατακόρυφο άξονα y�y τουςαριθμούς 0 έως 110 (ανά 10). Στη συνέχεια,κατασκευάζουμε ορθογώνια με ίσες βάσεις καιαντίστοιχα ύψη, ίσα με τους αριθμούς της δεύτερηςστήλης του πίνακα.

➤ Για το κυκλικό διάγραμμα:Για να κατασκευάσουμε το κυκλικό διάγραμμα, πρέπει να υπολογίσουμε τιςαντίστοιχες επίκεντρες γωνίες. Το πλήθος των ατόμων του δείγματος (300άτομα) αντιστοιχεί στις 360° του κύκλου. Άρα:

– Για τους 50 μαθητές που δε διάβασαν κανένα βιβλίο έχουμε: =

οπότε: θ = � 360 = � 360 = 60°.

– Ομοίως, για τους 110 μαθητές που διάβασαν ένα βιβλίο έχουμε:

θ = � 360 = 11 � 12 = 132°.

– Για τους 80 μαθητές που διάβασαν 2 βιβλία: θ = � 360 = 8 � 12 = 96°.



Με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμόνιου χωρίζουμε τον κύκλο σεκυκλικούς τομείς με επίκεντρες γωνίες 60°, 132°, 96°, 48° και24° και συμπληρώνουμε τους τίτλους σε κάθε κυκλικό τομέα.

➤ Για το εικονόγραμμα:Αφού η εικόνα XX αντιστοιχεί σε 10 μαθητές:– Για 50 μαθητές που δε διάβασαν κανένα βιβλίο, θα πρέπει

να χρησιμοποιήσουμε 5 φορές την εικόνα ( = 5).– Ομοίως, για τους 110 μαθητές που διάβασαν ένα βιβλίο,

θα χρησιμοποιήσουμε = 11 φορές την εικόνα.

– Ομοίως, βρίσκουμε για 80 μαθητές, 8 φορές την εικόνα.– Για 40 μαθητές, 4 φορές την εικόνα.– Για 20 μαθητές, 2 φορές την εικόνα.

11010

5010

20300

40300

80300

110300

16

50300

360°θ

30050

Λύση:


Ο 0 1 2 3 4αριθμός βιβλίων

μα

θη

τέ

ς

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Πλήθος βιβλίων που διάβασαντον τελευταίο μήνα

0πλήθος βιβλίων

XX=

10

μα

θη

τές

1 2 3 4

XXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXX

60°24°48°

4 βιβλία0 βιβλία

3 βιβλία

1 βιβλίο

132°96°

2 βιβλία

πλήθος βιβλίων που διάβασαν τον τελευταίο μήνα

4.2(89-94) 18-12-06 23:34 ™ÂÏ›‰·92

Ρωτήσαμε μερικούς μαθητές ενόςΓυμνασίου πόσες φορές πήγαν στονκινηματογράφο τον τελευταίο μήνα. Οιαπαντήσεις τους φαίνονται στο διπλανόδιάγραμμα.

Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Σε μία έρευνα ρωτήθηκαν 400 φίλαθλοι μιας πόλης ποιααπό τις τρεις ομάδες ποδοσφαίρου της πόλης τους είναι η καλύ-τερη. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στο διπλανό κυκλικό διά-γραμμα.Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

144°160°150°126°Η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στην «κόκκινη θύελλα» είναι:5.

2510020090Πόσα άτομα υποστηρίζουν την «κίτρινη καταιγίδα»;4.

25%80%35%160%Τι ποσοστό αποτελούν οι οπαδοί της «κόκκινης θύελλας»;3.

30%90%40%35%Τι ποσοστό αποτελούν οι οπαδοί της «πράσινης λαίλαπας»;2.

50%30%90%25%Τι ποσοστό αποτελούν οι οπαδοί της «κίτρινης καταιγίδας»;1.

ΔΓΒΑ

2 .

30%10%12%3%Οι μαθητές που δεν πήγαν ούτε μία φορά σε κινηματογράφοτον τελευταίο μήνα αποτελούν ποσοστό:

6.

1518810Πόσοι μαθητές πήγαν το πολύ 2 φορές σε κινηματογράφοτον τελευταίο μήνα;

5.

1518810Πόσοι μαθητές πήγαν τουλάχιστον 2 φορές σε κινηματο-γράφο τον τελευταίο μήνα;

4.

5803Πόσοι μαθητές πήγαν 5 φορές σε κινηματογράφο τοντελευταίο μήνα;

3.

0856Πόσοι μαθητές πήγαν 3 φορές σε κινηματογράφο τοντελευταίο μήνα;

2.

1002558Το πλήθος των μαθητών που ρωτήθηκαν ήταν:1.

ΔΓΒΑ

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Μέρος Α’ - 4.2. Γραφικές παραστάσεις 93

Επισκέψεις στον κινηματογράφο

0 1 2 3 4 5 6

Μα

θη

τές

7

8

9

10

6

5

4

3

2

1

0

90°

ΚίτρινηΚαταιγίδα

ΚόκκινηΘύελλα

Πράσινη Λαίλαπα

160 οπαδοί

4.2(89-94) 18-12-06 23:34 ™ÂÏ›‰·93


∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Το παρακάτω εικονόγραμμα μας πληρο-φορεί για τον αριθμό των βιβλίων πουπούλησε ένας εκδοτικός οίκος τα έτη2000, 2001, 2002 και 2003.

( = 20.000 βιβλία)

α) Να βρείτε πόσα βιβλία πουλήθηκανκάθε έτος και πόσα συνολικά και τατέσσερα έτη.

β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των συ-νολικών πωλήσεων που αντιπροσω-πεύουν οι πωλήσεις που πραγματο-ποιήθηκαν το έτος 2002.

γ) Να μετατρέψετε το παραπάνωεικονόγραμμα σε χρονόγραμμα.

Με τη βοήθεια του παρακάτω εικονο-γράμματος ( =12 μαθητές):α) Να βρείτε πόσους μαθητές έχει

συνολικά το Γυμνάσιο αυτό.β) Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών

που προτιμούν το λεωφορείο.γ) Να παραστήσετε τα δεδομένα με

ραβδόγραμμα.

Σε μία αποθήκη υπάρχουν τέσσερις τύποικινητών τηλεφώνων Α, Β, Γ, Δ σε ποσο-στό 10%, 30%, 40%, 20% αντίστοιχα.α) Να παραστήσετε τα δεδομένα με

κυκλικό διάγραμμα.β) Να βρείτε πόσα κινητά τηλέφωνα

υπάρχουν από κάθε τύπο, αν ο συνο-λικός τους αριθμός είναι 400.

Ρωτήσαμε τους μαθητές ενός Γυμνασί-ου πόσες ημέρες απουσίασαν από τοσχολείο τον τελευταίο μήνα. Οι απαντή-σεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

α) Πόσοι μαθητές απουσίασαν 4 ημέ-ρες; Τι ποσοστό αποτελούν αυτοί οιμαθητές;

β) Να παραστήσετε τα δεδομένα τουπίνακα με ραβδόγραμμα και με κυ-κλικό διάγραμμα.

Δίνεται το διπλανό κυκλι-κό διάγραμμα:α) Να βρείτε τη γωνία ω.β) Να το μετατρέψετε σε

εικονόγραμμα.

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τον αριθμότων λεπτών που μελετούν κατά μέσοόρο ημερησίως, οι μαθητές της Γ’Γυμνασίου ενός σχολείου.

α) Να παραστήσετε τα δεδομένα τουπίνακα με ένα ραβδόγραμμα.

β) Να βρείτε το ποσοστό (%) των μαθη-τών που μελετούν τουλάχιστον 90�,καθώς και το ποσοστό των μαθητώνπου μελετούν το πολύ 120�.

8%5%180�

16%12%150�

33%30%120�

27%33%90�

12%14%60�

4%6%30�

% Κοριτσιών% ΑγοριώνΑριθμός ωρών

6

5

60ΣΥΝΟΛΟ4

2382

121350

Αριθμός μαθητώνΑριθμός ημερών

4

3

Με τα πόδια

Παπάκι

Ποδήλατο

Αυτοκίνητο

Λεωφορείο

2

2003

2002

2001

2000

1

ωσύμφωνα

φω

νήεν

τα

Γράμματα τηςελληνικής αλφαβήτου

4.2(89-94) 18-12-06 23:34 ™ÂÏ›‰·94

ΣυχνότητεςΡωτήσαμε ένα δείγμα 50 μαθητών Γυμνασίου πόσεςώρες περίπου βλέπουν τηλεόραση την εβδομάδα. Οιαπαντήσεις τους (με τη σειρά που καταγράφηκαν) φαίνο-νται στο διπλανό πίνακα.Οι αριθμοί αυτοί λέγονται παρατηρήσεις.Τα αποτελέσματα αυτά, όμως, έτσι όπως είναι τοποθε-τημένα, δε μας δίνουν μια σαφή εικόνα της έρευνας. Δε

φαίνεται εύκολα, δηλαδή, πόσοι μαθητές βλέπουν τηλεόρασηπ.χ. 5 ώρες την εβδομάδα και πόσοι 3 ώρες την εβδομάδα. Γιατο λόγο αυτό, τοποθετούμε τα παραπάνω στατιστικά δεδομένα,σε έναν πίνακα, ως εξής:

Όπως βλέπουμε:� Στην πρώτη στήλη του παραπάνω πίνακα έχουμε γράψει κατά σειρά μεγέθους το

πλήθος των ωρών που μπορεί κάποιος μαθητής να έχει παρακολουθήσει τηλεόραση. Οιαριθμοί αυτοί είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 και λέγονται τιμές.

� Στη δεύτερη στήλη κάνουμε διαλογή των παρατηρήσεων. Δηλαδή, διαβάζουμε με τησειρά τη λίστα των δεδομένων και καταγράφουμε κάθε παρατήρηση με συμβολικότρόπο, με μία γραμμή (| ) για την αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής. Για ευκολία στηνκαταμέτρηση σχηματίζουμε πεντάδες ( ||||�).

� Στην τρίτη στήλη μεταφέρουμε τα αποτελέσματα της διαλογής. Έτσι, η απάντηση«βλέπω περίπου 3 ώρες την εβδομάδα τηλεόραση» εμφανίζεται 7 φορές. Στην περί-πτωση αυτή λέμε ότι η τιμή «3 ώρες» έχει συχνότητα 7. Ομοίως, η τιμή «4 ώρες» έχεισυχνότητα 13 και η τιμή «7 ώρες» έχει συχνότητα 5.Γενικά, στον παραπάνω πίνακα φαίνεται πώς κατανέμονται οι 50 μαθητές τουδείγματος ως προς το χαρακτηριστικό: «πόσες ώρες βλέπουν τηλεόραση την εβδομά-δα». Για το λόγο αυτό, ο συγκεκριμένος πίνακας δίνει μια κατανομή συχνοτήτων.

50ΣΥΝΟΛΟΠίνακας 1

5� � � ��7

6� � � �� 6

10� � � �� 5

13� � � �� 4

7� � � �� 3

6� � � �� 2

3� � �1

Αριθμός μαθητών(συχνότητες)ΔιαλογήΏρες (τιμές) τηλεθέασης

την εβδομάδα

Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων4.3.

2545354526

3745644234

6516326571

4274747645

3544353142

4.3(95-99) 18-12-06 23:37 ™ÂÏ›‰·95

96 Μέρος Α’ - 4.3. Kατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

Σχετικές Συχνότητες

Ο παραπάνω πίνακας μας δίνει κάποιες πληροφορίες, όπως για παράδειγμα, ότι η τιμή 4έχει συχνότητα 13 (δηλαδή 13 από τους μαθητές απάντησαν ότι βλέπουν τηλεόραση 4 ώρεςτην εβδομάδα). Η συχνότητα όμως αυτή (δηλαδή ο αριθμός 13) δεν έχει καμιά αξία μόνητης, αν δεν αναφερθεί ο αριθμός των μαθητών που ρωτήθηκαν. Πράγματι, άλλη αξία έχει ησυχνότητα 13 στους 50 και άλλη θα έχει η συχνότητα 13 στους 100 ή 13 στους 1000 μαθη-τές.

Δηλαδή, είναι ανάγκη να ξέρουμε τι μέρος του δείγματος αποτελούν οι 13 μαθητές. Το μέρος

αυτό εκφράζεται με το κλάσμα , το οποίο λέγεται σχετική συχνότητα της τιμής 4. Συνή-

θως, τη σχετική συχνότητα τη μετατρέπουμε σε ποσοστό επί τοις εκατό %.

Έτσι, έχουμε: = 0,26 = 26%.

Δηλαδή, το 26% των μαθητών αυτού του Γυμνασίου βλέπει 4 ώρες την εβδομάδα τηλεόραση.

Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε όλες τις σχετικές συχνότητες του πίνακα συχνοτήτων πουείναι αντίστοιχα:

= 0,06 = 6%, = 0,12 = 12%, = 0,14 = 14%, = 0,26 = 26%,

= 0,20 = 20%, = 0,12 = 12% και = 0,10 = 10%.

Τώρα μπορούμε προσθέτοντας μια ακόμη στήλη στον πίνακα 1 να έχουμε έναν πίνακα,στον οποίο να φαίνονται οι τιμές, οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες των παρατη-ρήσεων της έρευνας. Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων.

10050ΣΥΝΟΛΟ

105� � � ��7

126� � � �� 6

2010� � � �� 5

2613� � � �� 4

147� � � �� 3

126� � � �� 2

63� � �1

Σχετικές Συχνότητες (επί %)Συχνότητες (μαθητές)ΔιαλογήΤιμές (ώρες) τηλεθέασης

550

650

1050

1350

750

650

350

Για να βρούμε τη σχετική συχνότητα μιας τιμής, διαιρούμε τη συχνότητα της τιμής αυτήςμε το πλήθος όλων των παρατηρήσεων. Στη συνέχεια, εκφράζουμε τον αριθμό αυτό ωςποσοστό επί τοις εκατό (%).

1350

1350

Πίνακας 2

4.3(95-99) 18-12-06 23:37 ™ÂÏ›‰·96

� Παρατηρούμε ότι: το άθροισμα όλων των συχνοτήτων ισούται με το πλήθος τωνπαρατηρήσεων του δείγματος.

� Επίσης, το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων ισούται με 100.Χρησιμοποιώντας τώρα τα στοιχεία του πίνακα 2 μπορούμε να έχουμε και μια εποπτικήεικόνα της έρευνας, κάνοντας διαγράμματα, όπως τα παρακάτω:

Στο διπλανό πίνακα έχουμε συγκεντρώσει τααποτελέσματα μιας έρευνας, που έγινε σε μιακωμόπολη σχετικά με το πλήθος των παιδιώνπου έχει κάθε οικογένεια. Στις παρακάτωερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Μέρος Α’ - 4.3. Kατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων 97

1 2 3 4 5 6 7Ώρες τηλεθέασης

Μα

θητέ

ς

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 6 7

Ώρες τηλεθέασης

Πο

σο

στό

%10

15

30

25

20

5

0

Ώρες τηλεθέασης

7 ώρες10%

1 ώρα6%

2 ώρες12%

3 ώρες14%

4 ώρες26%

5 ώρες20%

6 ώρες12%

360°Άθροισμα

5 50 � 360° = 36°7

6 50 � 360° = 43,2°6

10 50 � 360° = 72°5

13 50 � 360° = 93,6°4

7 50 � 360° = 50,4°3

6 50 � 360° = 43,2°2

3 50 � 360° = 21,6°1

ΓωνίαΤιμές

Υπολογισμός γωνιώνκυκλικού διαγράμματος

Εβδομαδιαίες ώρες τηλεθέασηςτων μαθητών της Β� Γυμνασίου



23571211Πλήθος

οικογενειών

543210Παιδιά

4.3(95-99) 18-12-06 23:37 ™ÂÏ›‰·97

98 Μέρος Α’ - 4.3. Kατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

Μια έρευνα που έγινε μεταξύ των μαθητών ενός Γυμνασίου της Κρήτης, σχετικά μετις ποδοσφαιρικές προτιμήσεις τους, κατέληξε σε έντονη «διαφωνία» με αποτέλεσμανα «χαθούν» μερικά στοιχεία. Μπορείτε να βρείτε τα στοιχεία που λείπουν;

Σύνολο30ΕΡΓΟΤΕΛΗΣ

3570ΟΦΗ10ΠΑΝΑΘΗΝΑΪΚΟΣ

30ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ5ΠΑΟΚ

ΑΕΚΣχετικές συχνότητες (επί τοις %)ΣυχνότητεςΟμάδες

2 .

1 12

�360° 40 360°

�124012

�360°1240

�360°Αν κατασκευάσουμε κυκλικό διάγραμ-μα, η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχείστις οικογένειες που έχουν 1 παιδί είναι:

5

5 40

�100 5 100

1005

� 40 5 100

� 40Η σχετική συχνότητα των οικογενειώνπου έχουν 3 παιδιά ως ποσοστό επίτοις εκατό είναι:

4

100 11

40 11

11 40

11 100

Η σχετική συχνότητα των οικογενειώνπου δεν έχουν παιδιά είναι:

3

24063Η συχνότητα της τιμής 4 είναι:2

124065Το συνολικό πλήθος οικογενειώνπου ρωτήθηκαν είναι:

1

ΔΓΒΑ

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες:

Αριθμός παιδιών των οικογενειώνενός χωριού

Αριθμός απουσιών των μαθητώνμιας τάξης κατά το Νοέμβριο

40Σύνολο16

564631228130

Σχετικήσυχνότητα %ΣυχνότηταΑριθμός

απουσιών

Σύνολο448314210140

Σχετικήσυχνότητα %

ΣυχνότηταΑριθμόςπαιδιών

1

4.3(95-99) 18-12-06 23:37 ™ÂÏ›‰·98

Μέρος Α’ - 4.3. Kατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων 99

Ο αριθμός των γεννήσεων σ’ ένα μαιευ-τήριο τα έτη2000 έως 2004φαίνεται στοπαρακάτωραβδόγραμμα:

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνο-τήτων και σχετικών συχνοτήτων.

β) Να μετατρέψετε το ραβδόγραμμα σεχρονόγραμμα.

γ) Ποια χρονιά οι γεννήσεις παρουσία-σαν αύξηση και ποια μείωση;

Ο αριθμός των ελαττωματικών προϊό-ντων μιας βιοτεχνίας το πρώτο δεκαήμε-ρο του Μαρτίου είναι: 0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 1,0, 1.α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και

σχετικών συχνοτήτων.β) Να παρασταθούν τα δεδομένα με

κυκλικό διάγραμμα.γ) Να παρασταθεί η κατανομή σχετικών

συχνοτήτων με ραβδόγραμμα.

Τα αποτελέσματα που πέτυχε μια ομάδαποδοσφαίρου σε 34 αγώνες ήταν:Η , Η , Ι , Ν , Ι , Ι , Ι , Ι , Ν , Η , Ι , Η ,Η , Ι , Ν , Ι , Η, Ν, Ι , Ι , Ι , Ν, Η, Η, Ι ,Ι , Ι , Ι , Ι , Ι , Ν, Ι , Ν, Ν.(H = Ήττα, Ν = Νίκη, Ι = Ισοπαλία)α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και

σχετικών συχνοτήτων.β) Να παρασταθεί η κατανομή σχετικών

συχνοτήτων με ραβδόγραμμα καικυκλικό διάγραμμα.

Ο αριθμός των μηνυμάτων που έστειλεανά ημέρα τον Ιούλιο ο Τάκης, είναι:4 , 5 , 2 , 1 , 5 , 4 , 0 , 4 , 7 , 3 , 5 ,2 , 2 , 6 , 5 , 3 , 2 , 3 , 1 , 7 , 6 , 4 ,5 , 3 , 3 , 2 , 2 , 4 , 2 , 5 , 2 .α) Να γίνει πίνακας συχνοτήτων και σχε-

τικών συχνοτήτων.β) Να βρείτε πόσες ημέρες τα μηνύματα

ήταν περισσότερα από 3.

γ) Να βρείτε το ποσοστό των ημερώνστις οποίες τα μηνύματα ήταν το πολύ 3.

δ) Να παραστήσετε την κατανομή σχετι-κών συχνοτήτων με ραβδόγραμμα.

Σε μια έρευνα που έγινε σε 25 μαθητέςως προς την ομάδα αίματος, έγιναν οιπαρατηρήσεις:Ο, Α, Α, Α, Ο, ΑΒ, Α, Β, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α,Ο, Β, Β, Β, Α, Α, ΑΒ, Β, Ο, Α, Α, Α.α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και

σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό.β) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών

που έχουν ομάδα Α ή Β;γ) Ποια ομάδα αίματος εμφανίζεται λιγό-

τερο στο δείγμα;

Σε ένα διαγώνισμα με τέσσερις ερωτή-σεις ο αριθμός των σωστών απαντήσε-ων φαίνεται στο κυκλικό διάγραμμα.

α) Να γίνει ο πίνακας σχετικών συχνοτή-των.

β) Αν κάθε σωστή ερώτηση βαθμολο-γείται με 5 μονάδες, να βρεθεί τοποσοστό των μαθητών που έχουνβαθμολογία μικρότερη ή ίση του 10.

Στο εικονόγραμμα δίνεται ο αριθμός τωνυπολογιστών που πούλησε μια εταιρείατο έτος 2003 για 4 μάρκες Α, Β, Γ, Δ.α) Πόσους συνολικά υπολογιστές πού-

λησε η εταιρεία;β) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων.γ) Ποιο είναι το ποσοστό των υπολογι-

στών που δεν είναι μάρκας Α ή Β;

8

7

6

5

4

3

2Γ

εν

νή

σεις

2000 2001 2002 2003 20040

100

200

300

400

500

600

700

Έτος

2 ερωτήσεις

1 ερώτηση

4 ερωτήσεις Καμμία

90°150°

60°

30° 30°3 ερωτήσεις

Μά

ρκ

α

= 1000 υπολογιστές

A

B

Γ

Δ

4.3(95-99) 18-12-06 23:37 ™ÂÏ›‰·99

Εξετάσαμε τους μαθητές ενός Γυμνασίου ως προς το βάροςτους. Τα αποτελέσματα (στρογγυλοποιημένα σε κιλά) είναι:

Επειδή οι διαφορετικές τιμές που βρήκαμε είναι πάρα πολλές(από 41 έως 81 κιλά) και ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων πουπρέπει να κατασκευάσουμε είναι πολύ μεγάλος, χωρίζουμε τιςπαραπάνω παρατηρήσεις σε «ομάδες» που λέγονται «κλάσεις»,ως εξής:Στην 1η κλάση τοποθετούμε όσους μαθητές ζυγίζουν 40 – 46κιλά, στη 2η όσους ζυγίζουν 46 – 52, στην 3η 52 – 58, στην 4η58 – 64, στην 5η 64 – 70, στην 6η 70 – 76 και στην 7η 76 – 82κιλά. (Αν κάποια παρατήρηση συμπίπτει με το δεξιό άκρο μιαςκλάσης, την τοποθετούμε στην αμέσως επόμενη κλάση).Να κάνετε διαλογή των παραπάνω παρατηρήσεων και νακατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων.

ΛύσηΣύμφωνα με τα δεδομένα συμπληρώνουμε τον επόμενοπίνακα κατανομής συχνοτήτων:

Η διαδικασία, που είδαμε στην προηγούμενη δραστηριότητα, ονομάζεται ομαδοποίησητων παρατηρήσεων. Χωρίσαμε, δηλαδή, το διάστημα από 40 κιλά έως 81 κιλά, στο οποίοανήκουν οι παρατηρήσεις, σε υποδιαστήματα. Τα υποδιαστήματα αυτά λέγονται κλάσεις.Στη δραστηριότητα θεωρήσαμε κλάσεις πλάτους 6 κιλών.

100%80Σύνολα

2,50 %2� �76 – 82

5 %4� � � �70 – 76

8,75 %7� � � �� 64 – 70

25 %20� � � �� 58 – 64

32,50 %26� � � �� 52 – 58

16,25 %13� � � �� 46 – 52

10 %8� � � �� 40 – 46

Σχετικές συχνότητεςΣυχνότητεςΔιαλογήΚλάσεις


Ομαδοποίηση παρατηρήσεων4.4.

56735358416151615451695561634657

62534756465550595344605648546359

78475956604243675468524255548155

62574943526349624271607565574152

66535957675558537247644761465953

4.4(100-103) 18-12-06 23:39 ™ÂÏ›‰·100

Μέρος Α’ - 4.4. Oμαδοποίηση παρατηρήσεων 101

Γραφική παρουσίαση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων

Μια ομαδοποιημένη κατανομή παρι-στάνεται με ιστόγραμμα, που αποτε-λείται από συνεχόμενα ορθογώνια, ταοποία έχουν ύψος ίσο με τη συχνότηταή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχηςκλάσης.

Έτσι, το ορθογώνιο της κλάσης 40 - 46έχει ύψος 8. Οι αριθμοί 40 και 46λέγονται άκρα της κλάσης. Επίσης, ο

αριθμός 43 (δηλαδή = =43)λέγεται κέντρο της κλάσης 40 – 46.


Από τη στιγμή που έχουμε κάνει ομαδοποίηση των

παρατηρήσεων, οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες

που έχουμε βρει στον παραπάνω πίνακα κατανομής

συχνοτήτων, δεν αναφέρονται σε μεμονωμένους αριθμούς,

αλλά στις κλάσεις. Έτσι, λέμε ότι η κλάση 58 - 64 έχει

συχνότητα 20 και σχετική συχνότητα 25% χωρίς να

γνωρίζουμε τη συχνότητα καθεμιάς από τις τιμές 58, 59,

60,...,63 που ανήκουν στην κλάση αυτή. Έτσι, θεωρούμε ότι

20 μαθητές που έχουν βάρος 58 - 64 κιλά αντιπροσω-

πεύονται από το κέντρο της κλάσης, δηλαδή τον αριθμό

= = 61 κιλά.

Σε μια εθνική οδό η Τροχαία έλεγξε 50 αυτοκίνητα ωςπρος την ταχύτητα που είχαν αναπτύξει. Τα αποτελέσματαφαίνονται στον διπλανό πίνακα.α) Να κατασκευάσετε πίνακα σχετικών συχνοτήτων

και ιστόγραμμα συχνοτήτων.β) Αν το όριο ταχύτητας στο συγκεκριμένο σημείο της

Εθνικής οδού είναι 120 km/h, τι ποσοστό των οδηγών παρανόμησε; (Θεωρούμε ότι παρανόμησανακόμα και οι οδηγοί που έτρεχαν με 120 km/h).

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

1222

58 + 642

462

40 + 462

αρ

ιθμ

ός

μα

θη

τών

(συχ

νότη

τες)

κιλά

0

5

10

15

20

25

30

40 46 52 58 64 70 76 82

50Σύνολο

3160–180

7140–160

12120–140

15100–120

880–100

560–80

AυτοκίνηταΤαχύτητα σε km/h

4.4(100-103) 18-12-06 23:39 ™ÂÏ›‰·101

102 Μέρος Α’ - 4.4. Oμαδοποίηση παρατηρήσεων

α) Η συχνότητα της κλάσης 60 - 80είναι 5, οπότε η σχετική συχνό-τητα της κλάσης αυτής είναι:

= = 0,10 ή 10%.

Ομοίως, βρίσκουμε και τις υπό-λοιπες σχετικές συχνότητες.Χρησιμοποιώντας τις συχνό-τητες της 2ης στήλης τουδιπλανού πίνακα κατασκευά-ζουμε το ιστόγραμμα συχνο-τήτων.

β) Παρανόμησαν όσοι οδηγοίανήκουν στις τρεις τελευταίεςκλάσεις, δηλαδή 12+7+3=22οδηγοί, δηλαδή ποσοστό

= = 0,44 ή 44%.

Δίνονται τα ομαδοποιημένα δεδομένα του παρακάτω πίνακα.

Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Δίνονται οι βαθμοί που πήραν 20 μαθητές σ’ ένα διαγώνισμα:

Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Σχετικές συχνότητες

Συχνότητες

16 – 2012 – 168 – 124 – 80 – 4Κλάσεις

111414718

81031512

18413711

1061216182 .

5 8 2088

5Η συχνότητα της κλάσης 5 – 10 είναι:3

107,5155Το κέντρο της κλάσης 5 – 10 είναι:2

20254Το πλάτος της κάθε κλάσης είναι:1

ΔΓΒΑ

4853Συχνότητες

15 – 2010 – 155 – 100 – 5Κλάσεις

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

44100

2250

110

550

Λύση:

αυ

τοκ

ίνη

τα

ταχύτητα

0123456789

101112131415

60 80 100 120 140 160 180

6 %3160–18014 %7140–16024 %12120–14030 %15100–120

16 %880–10010 %560–80

Σχετικές ΣυχνότητεςΣυχνότητεςΚλάσεις

4.4(100-103) 18-12-06 23:39 ™ÂÏ›‰·102

Μέρος Α’ - 4.4. Oμαδοποίηση παρατηρήσεων 103Μέρος Α’ - 4.4. Oμαδοποίηση παρατηρήσεων 103

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Στο παρακάτω ιστόγραμμα δίνονται οιηλικίες 120 ατόμων που εργάζονται σ’ένα υπουργείο. Τα δεδομένα είναι ομα-δοποιημένα σε τέσσερις κλάσεις ίσουπλάτους. Το ορθογώνιο της κλάσης40 – 50 δεν είναι συμπληρωμένο.

α) Να βρείτε τις συχνότητες των κλάσεων.β) Να συμπληρώσετε το ιστόγραμμα.

Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 50 άτομα γιατον αριθμό των ημερών που ξεκουρά-στηκαν τον τελευταίο μήνα. Προέκυψανοι παρατηρήσεις

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σεπέντε κλάσεις ίσου πλάτους.

β) Να γίνει το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Η βαθμολογία 30 μαθητών σ’ ένα διαγώ-νισμα στο κεφάλαιο της Στατιστικής είναι:


β) Να γίνει το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Ο αριθμός των τροχαίων παραβάσεωνστην Εθνική Οδό, που έγινε κατά τηδιάρκεια ενός μήνα ανά ημέρα, ήταν:


β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμασυχνοτήτων.

Από μία έρευνα που έγινε σε 80 εργαζό-μενους μιας επιχείρησης για το πόσεςημέρες ήταν άρρωστοι τον περασμένοχρόνο, βρέθηκαν τα αποτελέσματα πουφαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Nα κατασκευάσετε το ιστόγραμμασυχνοτήτων.

10%15%40%35%ποσοστό

30–4020–3010–200–10ημέρες

ασθένειας

5

242263241245272215232214272298285262211242214249201294221207243247267233211272282223211261

4

181816618168191412144141214

14126121910410141214191018

3

4653383483442658

43449642630641025

21742745021162132

2

1

Αριθμός εργαζομένων

Ηλικίες σε έτη

12

20 30 40 50 60

36

48

4.4(100-103) 18-12-06 23:39 ™ÂÏ›‰·103

Μέση τιμή

Ο Γιώργος έχει μια ταβέρνα σ’ ένα μικρό νησί του Αιγαίου.Τα κέρδη του, σε €, για το προηγούμενο έτος ήταν ανάμήνα:0, 0, 100, 400, 1000, 1500, 2500, 5000, 1500, 250, 50, 0.Τι μηνιαίο μισθό θα έπρεπε να παίρνει, αν ήτανυπάλληλος, ώστε να είχε το ίδιο ετήσιο εισόδημα;

ΛύσηΑς εξετάσουμε πρώτα πόσα χρήματα κέρδισε ο Γιώργοςόλη τη χρονιά. Ο Γιώργος κέρδισε συνολικά0 + 0 + 100 + 400 + 1000 + 1500 + 2500 + 5000 + 1500 +250 + 50 + 0 = 12.300 €.

Αν το ποσό αυτό μοιραστεί εξίσου σε όλους τους μήνες, θα

κέρδιζε = 1025 € κάθε μήνα.

Θα λέμε ότι ο μέσος όρος ή η μέση τιμή των κερδών του Γιώρ-γου είναι 1025 €.

Ισχύει λοιπόν ότι:

Μέση τιμή =

Διάμεσος

Οι μηνιαίες αποδοχές εννέα εργαζομένων μιας επιχείρησης είναι (σε €):700, 600, 2900, 950, 700, 800, 700, 2100, 900.

α) Να βρείτε τη μέση τιμή των αποδοχών των εργαζομένων.β) Να βρείτε την τιμή που «προσεγγίζει» καλύτερα τις αποδοχές των περισσότερων

εργαζομένων.

Λύσηα) Η μέση τιμή των αποδοχών είναι:

= = 1150 €10350

9700 + 600 + 2900 + 950 + 700 + 800 + 700 + 2100 + 900

9


άθροισμα των παρατηρήσεωνπλήθος των παρατηρήσεων

Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρα-τηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

12.30012


Μέση τιμή - Δ ιάμεσος4.5.

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·104

Μέρος Α’ - 4.5. Μέση τιμή – Διάμεσος 105

β) Παρατηρούμε ότι οι περισσότεροι εργαζόμενοι (7 στους 9) έχουν αποδοχές μικρότερες(κάτω από 1000 €) από τη μέση τιμή που βρήκαμε (1150 €), ενώ μόνο δύοέχουν μεγαλύτερες αποδοχές (2100 και 2900 €). Αυτοί οι δύο μεγάλοι μισθοί φαίνεται ότιαυξάνουν τη μέση τιμή.Τοποθετούμε κατά σειρά μεγέθους τις αποδοχές των 9 υπαλλήλων:

600 700 700 700 900 950 2100 2900

4 παρατηρήσεις 4 παρατηρήσεις

Παρατηρούμε ότι η τιμή 800 € βρίσκεται ακριβώς στη μέση, γιατί υπάρχουν 4 παρατη-ρήσεις μικρότερες ή ίσες του 800 και 4 παρατηρήσεις μεγαλύτερες ή ίσες του 800. Ημεσαία αυτή παρατήρηση «προσεγγίζει» καλύτερα τις αποδοχές των περισσότερωνεργαζομένων.

Η προηγούμενη δραστηριότητα παρουσιάζει ένα μέγεθος της Στατιστικής το οποίο ονομά-ζουμε διάμεσο.

Ένας εύκολος τρόπος για να βρίσκουμε τη διάμεσο είναι ο εξής:Γράφουμε τις παρατηρήσεις με σειρά μεγέθους:

600 700 700 700 800 900 950 2100 2900Στη συνέχεια, διαγράφουμε την πρώτη και την τελευταία παρατήρηση:

600 700 700 700 800 900 950 2100 2900Μετά διαγράφουμε τη δεύτερη και την προτελευταία:

600 700 700 700 800 900 950 2100 2900Και συνεχίζουμε έτσι μέχρι να μείνει μόνο μία παρατήρηση, που είναι η διάμεσος:

600 700 700 700 900 950 2100 2900

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που μένουν δύο «μεσαίες» παρατηρήσεις. Αν έχουμε τις παρατηρήσεις: 15, 11, 11, 12, 16, 17, 13, 14, 16, 19, τις τοποθετούμε με σειράμεγέθους και διαγράφουμε διαδοχικά από τα άκρα, προς τα μέσα:

11 11 12 13 16 16 17 19

Παρατηρούμε ότι περισσεύουν δύο μεσαίες παρατηρήσεις: το 14 και το 15.Αυτό οφείλεται στο ότι το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 10 (δηλαδή άρτιος αριθμός),οπότε δεν υπάρχει μεσαία παρατήρηση.Σε αυτή την περίπτωση θα θεωρήσουμε ως διάμεσο τον αριθμό = = 14,5.

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουμε ως διάμεσο το μέσο όροτων δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

292

14 + 152

14 15

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός, παίρνουμε ως διάμεσοτη μεσαία παρατήρηση.

800

800

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·105

106 Μέρος Α’ - 4.5. Μέση τιμή – Διάμεσος

Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής

Μετά το τέλος ενός διαγωνίσματος ο καθηγητής δίνει στον Γυμνα-σιάρχη το διπλανό πίνακα με τους βαθμούς των μαθητών της τάξης.Πώς θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το μέσο όρο των βαθμώνόλης της τάξης;

ΛύσηΕίναι φανερό ότι δε μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια τημέση τιμή των βαθμών, γιατί δε γνωρίζουμε τι βαθμό ακριβώςπήρε κάθε μαθητής. Γνωρίζουμε ότι 6 μαθητές πήραν βαθμό από8 μέχρι 12, αλλά αγνοούμε τον ακριβή βαθμό του καθενός.Θα βρούμε μία τιμή που προσεγγίζει τη μέση τιμή, δηλαδή θακάνουμε μια εκτίμηση της μέσης τιμής.

Θεωρούμε ότι όλοι οι βαθμοί μιας κλάσης αντιπροσωπεύονται από το κέντρο της κλάσης.Δηλαδή, υποθέτουμε ότι οι 6 μαθητές που έχουν πάρει βαθμούς από 8 μέχρι 12, έχουν όλοι

τον ίδιο βαθμό, ίσο με το κέντρο της κλάσης, δηλαδή βαθμό = = 10.

Ομοίως, θεωρούμε ότι οι 10 μαθητές που έχουν πάρει βαθμό από 12 έως 16, έχουν όλοι τονίδιο βαθμό ίσο με:

= = 14 κ.ο.κ.

Κατασκευάζουμε, λοιπόν,τον διπλανό πίνακα:

Στην περίπτωση αυτή, οι 25 μαθητές έχουν πάρει συνολικά 322 βαθμούς, οπότε η μέση τιμή

των βαθμών είναι: = 12,88.

Eπομένως, για να βρούμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής:� Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων.� Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσης με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.� Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα.� Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων.

Η Έλενα εξετάστηκε πέντε φορές σ’ αυτό το τρίμηνο στο μάθημα της Ιστορίας και πήρετους βαθμούς: 16, 14, 18, 18 και 14. Τι βαθμό πρέπει να πάρει ως γενικό βαθμότριμήνου;

H μέση τιμή των βαθμών της Έλενας είναι: = = 16.805

16 + 14 + 18 + 18 + 145

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

32225

282

12 + 162

202

8 + 122


25ΣΥΝΟΛΟ616–20

1012–1668–1224–810–4

Μαθητές(συχνότητες)

Βαθμοί

32225ΣΥΝΟΛΑ

18 � 6 = 10861816 – 20

14 � 10 = 140101412 – 16

10 � 6 = 606108 – 12

6 � 2 = 12264 – 8

2 � 1 = 2120 – 4

(Συχνότητα) � (κέντρο κλάσης)ΣυχνότηταΚέντροκλάσης

Κλάσεις

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·106

Μέρος Α’ - 4.5. Μέση τιμή – Διάμεσος 107

Ο διπλανός πίνακας δείχνει τον αριθμό

των τερμάτων που πέτυχε μια ομάδα

ποδοσφαίρου στους 15 πρώτους αγώ-νες πρωταθλήματος.α) Πόσα τέρματα έχει πετύχει συνολικά

η ομάδα αυτή και στους 15 αγώνες;β) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός τερμά-

των που πετυχαίνει η ομάδα αυτή σε κάθε αγώνα;

α) Σε 1 αγώνα έχει πετύχει 0 τέρματα, άρα σύνολο 1 � 0 = 0.Σε 4 αγώνες έχει πετύχει 1 τέρμα, άρα σύνολο 4 � 1 = 4.Σε 3 αγώνες έχει πετύχει 2 τέρματα, άρα σύνολο 3 � 2 = 6.Σε 5 αγώνες έχει πετύχει 3 τέρματα, άρα σύνολο 5 � 3 = 15.Σε 2 αγώνες έχει πετύχει 4 τέρματα, άρα σύνολο 4 � 2 = 8.

Οπότε, συνολικά έχει πετύχει:1 � 0 + 4 � 1 + 3 � 2 + 5 � 3 + 4 � 2 = 0 + 4 + 6 + 15 + 8 = 33 τέρματα.

β) Αφού σε 15 αγώνες έχει πετύχει συνολικά 33 τέρματα, ο μέσος όρος για κάθε

αγώνα είναι: = = 2,2 τέρματα.

Σε μία τάξη υπάρχουν 8 μαθητές και 12 μαθήτριες. Το μέσο ύψος των 8 μαθητών είναι168 cm και το μέσο ύψος των 12 μαθητριών είναι 162 cm. Ποιο είναι το μέσο ύψοςόλων των μαθητών της τάξης;

Το άθροισμα των υψών των 8 μαθητών (σε cm) είναι: 8 � 168 = 1344.Το άθροισμα των υψών των 12 μαθητριών (σε cm) είναι: 12 � 162 = 1944.Το άθροισμα των υψών και των 20 μαθητών (σε cm) είναι: 1344 + 1944 = 3288.

Επομένως, το μέσο ύψος (σε cm) είναι: = 164,4.

Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων:α) 3 5 2 7 3 2 4 6 6 4 3β) 12 15 14 17 13 18 15 16 13 17 12 11

α) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά:2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7

Το πλήθος τους είναι 11 (περιττός). Διαγράφοντας τις ακραίες παρατηρήσεις ανά δύο:2� 2� 3� 3� 3� 4� 5� 6� 6� 7�

περισσεύει η 6η κατά σειρά παρατήρηση, η οποία ισούται με τη διάμεσο.

4

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

328820

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

3315

1 � 0 + 4 � 1 + 3 � 2 + 5 � 3 + 4 � 215

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

15ΣΥΝΟΛΟ2453324110

ΑγώνεςΤέρματα

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·107

108 Μέρος Α’ - 4.5. Μέση τιμή – Διάμεσος

β) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά.11 12 12 13 13 14 15 15 16 17 17 18

Το πλήθος τους είναι 12 (άρτιος). Διαγράφοντας τις ακραίες παρατηρήσεις ανά δύο:11� 12� 12� 13� 13� 15� 16� 17� 17� 18�

περισσεύουν δύο παρατηρήσεις: η 6η (14) και η 7η (15).Η διάμεσος είναι ο μέσος όρος αυτών των δύο παρατηρήσεων, δηλαδή ο

αριθμός: = = 14,5.

Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις:Το άθροισμα 50 παρατηρήσεων είναι 100. Η μέση τιμή είναι:Α: 500 Β: 5 Γ: Δ: 2

Η μέση τιμή 100 παρατηρήσεων είναι 28,2. Το άθροισμα των παρατηρήσεων είναι:Α: 2,82 Β: 282 Γ: 2820 Δ: 0,282

Η μέση τιμή μιας κατανομής είναι 3 και το άθροισμα των παρατηρήσεων είναι 60. Τοπλήθος των παρατηρήσεων είναι:Α: 5 Β: 20 Γ: 180 Δ:

Από τις παρακάτω παρατηρήσεις, που είναι τοποθετημένες σε αύξουσα σειράμεγέθους, λείπει η 5η κατά σειρά παρατήρηση2 3 5 7 ....... 14 14 15α) Αν η διάμεσος είναι 7, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10β) Αν η διάμεσος είναι 8, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10γ) Αν η διάμεσος είναι 8,5, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10

Δίνεται η κατανομή συχνοτήτων του διπλανού πίνακα.Η μέση τιμή είναι ίση με:

Α: Β:

Γ: Δ: 10 � 2 + 20 � 3 + 30 � 49

10 + 20 + 309

10 � 2 + 20 � 3 + 30 � 43

10 + 20 + 303

5 .

4 .

360

3 .

2 .

12

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

292

14 + 152

14 15

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Να υπολογιστεί η μέση τιμή των παρατη-ρήσεων κάθε γραμμής.α) 7 7 7 7 7 7β) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10γ) –3 –2 –2 0 1 1 1

δ)

Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεωνκάθε γραμμής:α) 4 3 2 1 –1 –2β) 2 2 4 2 3 3 1γ) 100 101 99 98 101 102 103δ) –5 –2 0 1 3 –4

2

13

15

14

12

13

12

1

430320210

ΣυχνότητεςΤιμές

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·108

Μέρος Α’ - 4.5. Μέση τιμή – Διάμεσος 109Μέρος Α’ - 4.5. Μέση τιμή – Διάμεσος 109

Η βαθμολογία σε 14 μαθήματα τουπρώτου τετραμήνου δύο μαθητών τηςΒ’ Γυμνασίου είναι:

α) Nα βρείτε τον μέσο όρο της βαθμολο-γίας κάθε μαθητή.

β) Να εκτιμήσετε ποιος μαθητής έχεικαλύτερη επίδοση.

γ) Να βρείτε τη διάμεσο της βαθμολο-γίας κάθε μαθητή.

Το ύψος των 12 παικτών της ομάδαςμπάσκετ της ΑΕΚ είναι σε cm:192, 197, 197, 198, 198, 200, 200, 201,201, 204, 205, 206.α) Να βρείτε το μέσο ύψος της ομάδας.β) Να βρείτε τη διάμεσο των υψών της

ομάδας.γ) Αν ο παίκτης με ύψος 192 cm αντικα-

τασταθεί από άλλον ύψους 200 cm,ποιο είναι το νέο μέσο ύψος της ομάδας;

Η θερμοκρασία το μεσημέρι κάθε ημέ-ρας του Νοεμβρίου στον Άλιμο είναι:

α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνο-τήτων και σχετικών συχνοτήτων.

β) Να βρείτε τη μέση θερμοκρασία και τη διάμεσο των θερμοκρασιών.

Σε μία πόλη 200 παιδιά παρουσιάζουναλλεργική αντίδραση σ’ ένα φάρμακο,σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:

α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων καισχετικών συχνοτήτων της κατανομής.

β) Να βρείτε τη μέση ηλικία των παιδιών.

Οι ηλικίες ενός δείγματος 200 φιλάθλωνπου παρακολουθούν έναν αγώνα τένιςείναι:

Να βρείτε τη μέση τιμή της ηλικίας τωνφιλάθλων.

Μια ένωση καταναλωτών κατέγραψε την

τιμή πώλησης ενός προϊόντος (σε €) σε

20 διαφορετικά σημεία πώλησης:

α) i) Nα τοποθετήσετε τα δεδομένααυτά σε πίνακα συχνοτήτων.

ii) Να βρείτε τη μέση τιμή πώλησηςΜ του προϊόντος.

β) i) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένασε κλάσεις, όπως φαίνεται στονπαρακάτω πίνακα:

ii) Να βρείτε τη μέση τιμή πώλησηςΜ� των ομαδοποιημένων παρα-τηρήσεων του πίνακα αυτού.

iii) Ποια είναι η πραγματική μέσητιμή (Μ ή Μ�);

...

...

...47 – 4945 – 47

ΣυχνότητεςΚλάσεις

53495254504749524951

50485246495445514750

8

200ΣΥΝΟΛΟ

1239–452433–393627–335621–274815–21249–15

ΣυχνότηταΗλικία

7

1010 – 12108 – 10306 – 8604 – 6402 – 4500 – 2

ΣυχνότηταΗλικία παιδιών

6

141612181016141014181412161414121017121614171618141016121410

5

4

2018191819191718201918181919

Β μαθητής

1719181918181917162019161718

Α μαθητής

3

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·109

✐Ένα σύνολο του οποίου μελετάμε τα στοιχεία ως προς τουλάχιστον ένα χαρακτηριστικό λέγεται

πληθυσμός.

Επειδή η έρευνα ολόκληρου του πληθυσμού δεν είναι πάντοτε εφικτή, καταφεύγουμε στη

δειγματοληψία. Επιλέγουμε, δηλαδή, ένα αντικειμενικό δείγμα από το οποίο μπορούμε να

βγάλουμε αξιόπιστα συμπεράσματα για όλο τον πληθυσμό.

✐Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων γίνεται με πίνακες και διαγράμματα.

Υπάρχουν διαφόρων μορφών διαγράμματα, όπως το εικονόγραμμα, το ραβδόγραμμα, το

κυκλικό διάγραμμα και το χρονόγραμμα.

✐Συχνότητα μιας τιμής λέγεται ο αριθμός που εκφράζει πόσες φορές εμφανίζεται στο δείγμα η

τιμή αυτή.

✐Η σχετική συχνότητα μιας τιμής είναι το πηλίκο της συχνότητας της τιμής αυτής με το πλήθος

όλων των παρατηρήσεων, και εκφράζεται ως ποσοστό επί τοις εκατό.

✐Όταν κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων, χωρίζουμε τις παρατηρήσεις σε ομάδες ή

κλάσεις και παρουσιάζουμε την κατανομή με ιστόγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων.

✐Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρή-

σεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

✐Για να βρούμε τη διάμεσο μιας κατανομής, γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά και

βρίσκουμε τη μεσαία παρατήρηση. Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουμε

ως διάμεσο το μέσο όρο των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

✐Για να βρούμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής:

� Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων.

� Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσης με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.

� Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα.

� Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων.

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

ΔΙΑΜΕΣΟΣ

ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

ΠΙΝΑΚΕΣ – ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ

ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ

Περιγραφική Στατιστική4Επανάληψη Κεφαλαίου

4.5(104-110) 18-12-06 23:44 ™ÂÏ›‰·110

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√

ΜΕΡΟΣ Β �

Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων

ΠυθαγόρειοΘεώρημα

11 ÔÔ

1.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (111-115) 18-12-06 23:47 ™ÂÏ›‰·111


1.1 Εμβαδόν επίπεδηςεπιφάνειας

1.2 Μονάδες μέτρησηςεπιφανειών

1.3 Εμβαδά επίπεδωνσχημάτων

1.4 Πυθαγόρειοθεώρημα

√È ÏËÌÌ‡ÚÂ˜ ÙÔ˘ ¡Â›ÏÔ˘, ÙÔ˘

Δ›ÁÚË Î·È ÙÔ˘ ∂˘ÊÚ¿ÙË, ÚÈÓ

·fi ÂÚ›Ô˘ ÙÚÂÈ˜ ¯ÈÏÈÂÙ›Â˜,

·Ó¿ÁÎ·Û·Ó ÙÔ˘˜ Ï·Ô‡˜ Ô˘ Î·ÙÔÈÎÔ‡Û·Ó

ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ó· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ó ÙËÓ «Ù¤¯ÓË»

ÙË˜ Ì¤ÙÚËÛË˜ ÙË˜ ÁË˜ (°Âˆ-ÌÂÙÚ›·).

ΔfiÙÂ ·Ó·Ù‡¯ıËÎÂ Ë ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡,

ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ

ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi.

£· Ì¿ıÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ‚·ÛÈÎ¤˜ ÌÔÓ¿‰Â˜

Ì¤ÙÚËÛË˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ,

Î·ıÒ˜ Î·È ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜

˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡:

ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘,

·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È

ÙÚ·Â˙›Ô˘.

™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ

ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È ı·

ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘.

1.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (111-115) 18-12-06 23:47 ™ÂÏ›‰·112

Δίνονται δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με κάθετες πλευρές5 cm και ένα τετράγωνο πλευράς 5 cm.α) Μπορείτε χρησιμοποιώντας τα τρία αυτά σχήματα να κατα-

σκευάσετε:i) Ένα ορθογώνιο πλάτους 10 cm και ύψους 5 cm;ii) Ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου οι κάθετες

πλευρές είναι 10 cm;iii) Ένα ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις 5 cm και 15 cm;

β) Τι έκταση καταλαμβάνουν τα παραπάνω σχήματα στο επιπε-δο, αν θεωρήσουμε ως μονάδα μέτρησης το τετραγωνάκι πλευράς 1 cm;

Λύσηα) Έχουμε τα παρακάτω σχήματα:

β) Μετρώντας τα τετραγωνάκια πλευράς 1 cm βρίσκουμε ότιτο ορθογώνιο καταλαμβάνει έκταση 50, το τραπέζιο 50 καιτο ορθογώνιο τρίγωνο πάλι 50. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι τατρία νέα σχήματα που προκύπτουν, παρόλο που είναι δια-φορετικά μεταξύ τους, καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στοεπίπεδο, γιατί αποτελούνται ακριβώς από τα ίδια στοιχεία:το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.Για να δηλώσουμε ότι τα τρία αυτά σχήματα που κατασκευ-άσαμε, καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στο επίπεδο, λέμεότι έχουν το ίδιο εμβαδόν.Για να μετρήσουμε το εμβαδόν, πρέπει πρώτα να επιλέξου-με μία μονάδα μέτρησης.Αν, αρχικά, επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης το ένα από ταδύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα, τότε τα τρία νέα σχήματαέχουν εμβαδόν 4.


Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας1.1.

Ορθογώνιο Ορθογώνιο τρίγωνο

Τραπέζιο

1.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (111-115) 18-12-06 23:47 ™ÂÏ›‰·113

Αν επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης το τετραγωνάκι πλευράς 1 cm, τότε, όπως είδαμε,θα έχουν εμβαδόν 50.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων χρησιμοποιώντας ως μονάδα

μέτρησης εμβαδού: α) β) γ)

α) Μετρώντας τα τετραγωνάκια που υπάρχουν μέσα σε κάθεσχήμα παρατηρούμε ότι είναι 71.Άρα Ε = 71.

β) Αφού κάθε τριγωνάκι έχειτο μισό εμβαδόν από κάθε τετρα-γωνάκι , τα δύο εμβαδά με μο-νάδα μέτρησης το θα είναι2 � 71 = 142. Άρα Ε = 142.

γ) Αφού κάθε έχει το διπλάσιοεμβαδόν από κάθε τετραγωνάκι

, τα δύο εμβαδά με μονάδα

μέτρησης το θα είναι = 35,5.

Άρα Ε = 35,5.

Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων Α, Β, Γ χρησιμοποιώντας ως μονάδαμέτρησης εμβαδών το . Τι παρατηρείτε;

Βρίσκουμε ότι τα εμβαδά των Α, Β, Γ είναι Α: 25, Β: 12,5, Γ: 37,5. Επομένως,παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του Γ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών Α και Β, κάτιπου γίνεται φανερό αν «ενώσουμε» κατάλληλα τα σχήματα Α και Β.

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

712

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει τηνέκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτόςεξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε.

114 Μέρος Β’ - 1.1. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

ΑΒ

Γ

1.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (111-115) 18-12-06 23:47 ™ÂÏ›‰·114

Μέρος Β’ - 1.1. Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας 115

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει τομεγαλύτερο εμβαδόν;

Nα υπολογίσετε το εμβαδόν καθενόςαπό τα παρακάτω σχήματα χρησιμοποι-ώντας ως μονάδα εμβαδού το .Τι παρατηρείτε;

Δίνονται τέσσερα ορθογώνια και ισοσκε-λή τρίγωνα με ίσες κάθετες πλευρές:

α) Χρησιμοποιώντας μόνο τα δύο τρί-γωνα να κατασκευάσετε ένα τρίγω-νο και ένα τετράγωνο.

β) Χρησιμοποιώντας και τα 4 τρίγωνα,(μια φορά το καθένα) να κατασκευά-σετε ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιοκαι ένα τραπέζιο.

3

2

1

Α B

Στο παρακάτω σχήμα χρησιμοποιήσαμε 12 σπίρτα για να σχηματίσουμεένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με 9 τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου!

Aν τοποθετήσουμε, όμως, με διαφορετικό τρόπο τα 12 αυτά σπίρτα,μπορούμε να σχηματίσουμε σχήματα με άλλο εμβαδόν.Για παράδειγμα, το παρακάτω σχήμα (σταυρός) έχει εμβαδόν ίσο με5 τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου.

Μπορείτε να τοποθετήσετε με άλλο τρόπο τα 12 αυτά σπίρτα, ώστε ναπροκύψουν σχήματα με εμβαδά 8, 7, 6, 4, 3 τετράγωνα πλευράς ενόςσπίρτου;

°π∞ ¢π∞™∫∂¢∞™∏:

1.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (111-115) 18-12-06 23:47 ™ÂÏ›‰·115

● Ας θεωρήσουμε ένα τετράγωνο πλευράς 1 m. To εμβαδόν τουτετραγώνου αυτού λέγεται τετραγωνικό μέτρο (1 m2) και τοχρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης εμβαδών.

● Αφού 1 m = 10 dm, το τετραγωνικό μέτρο χωρίζεται σε10 � 10 = 100 «τετραγωνάκια» πλευράς 1 dm. To εμβαδόν σεκάθε τετραγωνάκι ονομάζεται τετραγωνικό δεκατόμετρο ήτετραγωνική παλάμη (1 dm2).Παρατηρούμε ότι 1 m2 = 100 dm2.

● Ας θεωρήσουμε τώρα ένα τετράγωνο πλευράς 1 dm.Αφού 1 dm = 10 cm, το τετραγωνικό δεκατόμετρο χωρίζεταισε 10 � 10 = 100 «τετραγωνάκια» πλευράς 1 cm. Το εμβαδόνενός τετραγώνου πλευράς 1 cm λέγεται τετραγωνικόεκατοστόμετρο ή τετραγωνικός πόντος (1 cm2).Παρατηρούμε ότι 1 dm2 = 100 cm2.

● Ας θεωρήσουμε τώρα ένα τετράγωνο πλευράς 1 cm.Αφού 1 cm = 10 mm, το τετραγωνικό εκατοστόμετροχωρίζεται σε 10 � 10 = 100 «τετραγωνάκια» πλευράς 1 mm.Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 mm λέγεταιτετραγωνικό χιλιοστόμετρο (1 mm2).Παρατηρούμε ότι 1 cm2 = 100 mm2.

● Άλλες μονάδες μέτρησης εμβαδών είναι:– Το τετραγωνικό χιλιόμετρο (1 km2), το οποίο ισούται

με το εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς 1000 m.Eπομένως 1 km2 = 1000 � 1000 = 1.000.000 m2.Χρησιμοποιείται κυρίως για τη μέτρηση μεγάλωνεκτάσεων, όπως είναι η έκταση που καταλαμβάνει ένακράτος, ένας νομός ή ένα νησί.

– Το στρέμμα, το οποίο ισούται με 1000 m2 και χρησιμο-ποιείται κυρίως για τη μέτρηση των εμβαδών οικοπέδωνκαι κτημάτων.

❖ Συνοψίζοντας τα παραπάνω σχηματίζουμε τον πίνακα:

0,01 m21 dm2 =

0,0001 m20,01 dm2 =1 cm2 =

0,000001 m20,0001 dm2 =0,01 cm2 =1 mm2 =

100 mm21 cm2 =

10.000 mm2100 cm2 =1 dm2 =

1.000.000 mm210.000 cm2 =100 dm2 =1 m2 =

Μονάδες μέτρησης επιφανειών1.2.

1 m = 10 dm

1 m

= 1

0 d

m

1 m2 = 100 dm2

1 cm2 = 100 mm2

1 cm=10 mm

1 c

m=

10 m

m

\\

1 dm = 10 cm

1 d

m =

10 c

m

1 dm2 = 100 cm2\\

1.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (116-118) 18-12-06 23:49 ™ÂÏ›‰·116

Mε τη βοήθεια του σχήματοςμετατροπής μονάδων εμβα-δού, να συμπληρώσετε τονδιπλανό πίνακα.

Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, για να μετατρέψουμε ένα εμβαδόν στην αμέσωςμικρότερη μονάδα, πολλαπλασιάζουμε με το 100, ενώ για να το μετατρέψουμε στηναμέσως μεγαλύτερη μονάδα, διαιρούμε με το 100. Επομένως:

Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά:α) 3,7 dm2, 7 cm2, 4,3 cm2, 3,7 m2.β) 40 cm2, 42 mm2, 40 dm2, 3 m2.γ) 1453 mm2, 14,5 cm2, 1,4 dm2, 0,14 m2.

α) Μετατρέπουμε τα τέσσερα εμβαδά στην ίδια μονάδα μέτρησης:3,7 dm2 = 370 cm2, 3,7 m2 = 37000 cm2, οπότε:4,3 cm2 < 7 cm2 < 3,7 dm2 = 370 cm2 < 3,7 m2 = 37000 cm2.

β) 42 mm2 < 40 cm2 = 4000 mm2 < 40 dm2 = 400000 mm2 < 3 m2 = 3000000 mm2

γ) Αφού 14,5 cm2 = 1450 mm2, 1,4 dm2 = 14000 mm2 και 0,14 m2 = 140000mm2,έχουμε ότι: 14,5 cm2 < 1453 mm2 < 1,4 dm2 < 0,14 m2.


0,0062 m20,062 m20,00062 m20,0000062 m26,2 mm2 = 6

0,062 dm262000 dm2620 dm262 dm26,2 m2 = 5

0,00062 mm20,62 mm26200 mm2620 mm26,2 cm2 = 4

0,00062 m2620 m20,62 m262 m26,2 cm2 = 3

0,062 cm20,62 cm2620 cm262 cm26,2 mm2 = 2

0,62 cm262000 cm2620 cm262 cm26,2 m2 = 1

ΔΓΒΑ

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12653126,531,26530,012653

712200712271,220,7122

3200000320003203,20

253000000253000025300253

mm2cm2dm2m2

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Β’ - 1.2. Μονάδες μέτρησης επιφανειών 117

12653

7122

320

253

mm2cm2dm2m2

mm2

cm2

dm2

m2

x100 :100

x100 :100

x100 :100

1.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (116-118) 18-12-06 23:49 ™ÂÏ›‰·117

Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση.Για να μετατρέψουμε:

διαιρούμε με 10.000πολλαπλασιάζουμε με 10.000διαιρούμε με 10010. mm2 σε dm2

πολ/με με 10.000διαιρούμε με 10.000διαιρούμε με 1009. cm2 σε m2

διαιρούμε με 1.000διαιρούμε με 100.000πολ/με με 1.000.0008. m2 σε mm2

διαιρούμε με 10.000πολλαπλασιάζουμε με 10.000διαιρούμε με 1007. m2 σε cm2

διαιρούμε με 10πολλαπλασιάζουμε με 100διαιρούμε με 1006. mm2 σε cm2

διαιρούμε με 100πολλαπλασιάζουμε με 100πολλαπλασιάζουμε με 10.0005. cm2 σε dm2

διαιρούμε με 10διαιρούμε με 100πολλαπλασιάζουμε με 1004. dm2 σε m2

πολ/με με 100διαιρούμε με 10διαιρούμε με 1003. cm2 σε mm2

διαιρούμε με 10πολλαπλασιάζουμε με 100διαιρούμε με 1002. dm2 σε cm2

διαιρούμε με 10διαιρούμε με 100πολλαπλασιάζουμε με 1001. m2 σε dm2

ΓΒΑ

2 .

118 Μέρος Β’ - 1.2. Μονάδες μέτρησης επιφανειών

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Nα μετατρέψετε σε m2 τα παρακάτωμεγέθη:32 cm2, 312 cm2, 127 km2, 710 dm2,12720 mm2, 212 dm2, 1280 mm2,79 km2.

Nα μετατρέψετε σε cm2 τα παρακάτωμεγέθη:12 m2, 175 dm2, 456 m2, 136 m2, 3 km2,1750 mm2, 256 km2.

Nα μετατρέψετε σε mm2 τα παρακάτωμεγέθη:12 km2, 431 m2, 17 dm2, 236 cm2.

Nα μετατρέψετε σε km2 τα παρακάτωμεγέθη:7233 mm2, 4321 cm2, 6322 dm2,14632 mm2, 560 m2.

Στις παρακάτω περιπτώσεις να εκφρά-σετε τα εμβαδά στην ίδια μονάδα μέτρη-σης και στη συνέχεια να τις κατατάξετεκατά σειρά μεγέθους από το μικρότεροπρος το μεγαλύτερο.α) 13850 mm2, 0,23 m2, 0,48 m2,

670 cm2, 13,7 dm2.β) 32 dm2, 1,23 m2, 23270 mm2,

1356 cm2.

Ποια από τις μονάδες μέτρησης εμβα-δού θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε,για να μετρήσουμε το εμβαδόν:α) του δωματίου μας,β) της Κρήτης,γ) ενός αγρού,δ) ενός γραμματόσημου,ε) ενός φύλλου τετραδίου.

6

5

4

3

2

1

1.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (116-118) 18-12-06 23:49 ™ÂÏ›‰·118

Εμβαδόν τετραγώνουΑς θεωρήσουμε ένα τετράγωνο πλευράς 5 cm.Μπορούμε να το χωρίσουμε σε 5 � 5 = 52 = 25 «τετραγω-νάκια» πλευράς 1 cm, καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν 1cm2. Άρα, το τετράγωνο έχει εμβαδόν 25 cm2.

Γενικά:

Εμβαδόν ορθογωνίουΑς θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο με πλευρές 3 cm και 5 cm. Όπως φαίνεται στο σχήμα, το ορθογώνιο χωρίζεται σε 15«τετραγωνάκια» εμβαδού 1 cm2. Επομένως, το ορθογώνιοέχει εμβαδόν 3 � 5 = 15 cm2.

Γενικά:

Τις πλευρές ενός ορθογωνίου τις λέμε μήκος (τημεγαλύτερη πλευρά) και πλάτος (τη μικρότερη) και τιςονομάζουμε διαστάσεις του ορθογωνίου. Έτσι, μπορούμενα πούμε ότι το γινόμενο των διαστάσεων ενόςορθογωνίου ισούται με το εμβαδόν του ή:

εμβαδόν ορθογωνίου = μήκος � πλάτος.

Παρατήρηση:Για να συμβολίσουμε το εμβαδόν κάθε επίπεδου σχήματος, τογράφουμε μέσα σε παρένθεση. Δηλαδή, το εμβαδόν ενόςτετραπλεύρου ΑΒΓΔ συμβολίζεται με (ΑΒΓΔ), το εμβαδόν ενόςτριγώνου ΖΗΘ συμβολίζεται με (ΖΗΘ) κ.ο.κ.

Εμβαδόν παραλληλογράμμουΑς θεωρήσουμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με βάσηΑΒ = β = ΓΔ και ας φέρουμε τα ύψη του ΔΕ = υ και ΓΖ = υ.Μεταφέροντας το τρίγωνο ΑΔΕ στη θέση τού (ίσου μεαυτό) τριγώνου ΒΓΖ, παρατηρούμε ότι:το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ισούται με τοεμβαδόν του ορθογωνίου ΕΖΓΔ.

Άρα: (ΑΒΓΔ) = (ΕΖΓΔ) = ΕΖ � ΓΖ = β � υ.Γενικά:

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με τογινόμενο μίας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος.

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α, β ισούταιμε α � β.

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α ισούται με α2.

Εμβαδά επίπεδων σχημάτων1.3.

α

β

ΑE

Α E E

Β

Β

Γ

Γ

Δ

Δ Δ

ZE Β

ΓΔ

1 cm

1 cm

Z

Z

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·119

Εμβαδόν τυχαίου τριγώνουΑς θεωρήσουμε ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ που δεν είναι ορθογώ-νιο και ας πάρουμε και άλλο ένα τρίγωνο ίδιο με αυτό. Αντοποθετήσουμε το δεύτερο τρίγωνο δίπλα στο πρώτο, όπωςφαίνεται στα διπλανά σχήματα, τότε θα σχηματιστεί έναπαραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, που θα έχει ως βάση β, τη βάση ΒΓτου ΑΒΓ και ως ύψος υ, το ύψος του ΑΒΓ, από την κορυφή Α.Είτε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο είτε είναι αμβλυγώνιο, τοεμβαδόν του θα είναι ίσο με το μισό του παραλληλογράμμουΑΒΓΔ που σχηματίζεται, αν τοποθετήσουμε άλλο ένα τρίγωνοίσο με το ΑΒΓ, όπως φαίνεται στα διπλανά σχήματα.

Επομένως, θα ισχύει:

(ΑΒΓ) = (ΑΒΓΔ) = β � υ,

όπου β η βάση του ΑΒΓ και υ το αντίστοιχο ύψος.

Γενικά:

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνουΌταν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, τότε η μία από τις κάθετεςπλευρές είναι η βάση β και η άλλη το ύψος του.

Επομένως: (ΑΒΓ) = β � υ = β � γ.

Εμβαδόν τραπεζίουΑς θεωρήσουμε το τραπέζιο ΑΓΔΕ που έχει μεγάλη βάσηΑΓ = Β, μικρή βάση ΕΔ = β και ύψος ΕΘ = υ.Θεωρώντας άλλο ένα ίσο τραπέζιο με το ΑΓΔΕ σχηματίζουμεένα παραλληλόγραμμο ΑΖΗΕ, όπως φαίνεται στο διπλανόσχήμα. Το παραλληλόγραμμο που σχηματίσαμε έχει βάση(β + Β) και ύψος υ.Επομένως: (ΑΖΗΕ) = (β + Β) � υ.Όμως: (ΑΖΗΕ) = 2(ΑΓΔΕ)

Άρα: (ΑΓΔΕ) =

Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του

ημιαθροίσματος των βάσεών του με το ύψος του.

(β + Β)υ2

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με τομισό του γινομένου των δύο κάθετων πλευρών του.

12

12

Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό τουγινομένου μιας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος.

12

12

120 Μέρος B’ - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων

Α

Β

Δ

➜➜

β

υ

Γ

Α β

Β

Γ

Α Γ Ζ

ΗΔE

βΒ

Ββ

Θ

Α

Ββ

υ

Γ

B β Γ

A

υ

B β Γ

ΔA

υ

υ = γ

υ

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·120

Να συμπληρώσετε τονδιπλανό πίνακα:

Με τη βοήθεια της σχέσης: εμβαδόν ορθογωνίου = μήκος � πλάτος, συμπληρώνουμετον πίνακα:

H αίθουσα Φυσικής στο σχολείο της Άννας αποφασίστηκε να στρωθεί με τετράγωναπλακάκια που το καθένα έχει πλευρά 25 cm.α) Να βρείτε πόσα πλακάκια θα χρειαστούν, αν το δάπεδο της τάξης έχει διαστά-

σεις 12 m μήκος και 8 m πλάτος.β) Αν κάθε πλακάκι κοστίζει 0,5 €, πόσα χρήματα θα χρειαστούν για να στρωθεί

η τάξη;

α) Το εμβαδόν του δαπέδου είναι: ΕΔΑΠ = 12 � 8 = 96 (m2) και το εμβαδόν σε κάθεπλακάκι είναι: ΕΠΛΑΚ = 25 � 25 = 625 (cm2) = 0,0625 (m2).Διαιρώντας τα δύο αυτά εμβαδά βρίσκουμε πόσα πλακάκια χρειάζονται για ναστρωθεί η τάξη:

= = 1536.

β) Αφού χρειάζονται 1536 πλακάκια και το κάθε πλακάκι κοστίζει 0,5 €, το συνολικόκόστος θα είναι: 1536 � 0,5 = 768 €.

Στο σχολείο της Κάτιας το μαθητικό συμβούλιο εκδίδει μια εφημερίδα που κάθε φύλλοτης έχει διαστάσεις 42 cm μήκος και 30 cm πλάτος. Να υπολογίσετε τη συνολική επι-φάνεια του χαρτιού που θα χρησιμοποιηθεί, για να τυπωθούν 800 αντίτυπα της εφη-μερίδας, αν κάθε αντίτυπο έχει 8 φύλλα.

Το εμβαδόν κάθε φύλλου είναι 30 � 42 = 1260 (cm2). Aφού κάθε αντίτυπο έχει 8φύλλα, χρειάζονται 8 � 1260 = 10080 (cm2) χαρτί για κάθε αντίτυπο.Eπομένως, για να τυπωθούν 800 αντίτυπα, θα χρειαστούν:800 � 10080 = 8064000 (cm2) = 806,4 (m2) χαρτί.

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

960,0625

EΔΑΠ

ΕΠΛΑΚ

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

330 m286 m10 m33 m

45 m228 m9 m5 m

85 m244m5 m17 m

120 m244 m10 m12 m

Εμβαδόνορθογωνίου

Περίμετροςορθογωνίου

Πλάτοςορθογωνίου

Μήκοςορθογωνίου

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος B’ - 1.3. Eμβαδά επίπεδων σχημάτων 121

330 m233 m45 m29 m

44m17 m

10 m12 m

Εμβαδόνορθογωνίου

Περίμετροςορθογωνίου

Πλάτοςορθογωνίου

Μήκοςορθογωνίου

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·121

Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος φέρνουμε τηδιάμεσο ΑΜ.Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΓέχουν το ίδιο εμβαδόν.

Φέρνουμε το ύψος ΑΗ. Τότε το τρίγωνο ΜΑΒ έχει εμβαδόν: (ΜΑΒ) = .

Το τρίγωνο ΜΑΓ έχει εμβαδόν: (ΜΑΓ) = . Όμως, ΜΒ = ΜΓ, επειδή το Μ είναι

το μέσο της ΒΓ (η ΑΜ είναι διάμεσος). Άρα: (ΜΑΒ) = (ΜΑΓ).

Ένα οικόπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, πωλείται προς 300 € το m2.Ποια είναι η αξία του οικοπέδου;

Bρίσκουμε πρώτα το εμβαδόν του οικοπέδου.Αυτό αποτελείται από το ορθογώνιο ΑΒΓΔ καιτο τραπέζιο ΒΕΖΓ.Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι:(ΑΒΓΔ) = 18 � 15 = 270 (m2).To εμβαδόν του τραπεζίου είναι:

(ΒΕΖΓ) = = 115 (m2).

Άρα, το εμβαδόν του οικοπέδου είναι 270 + 115 = 385 (m2).Για να βρούμε την αξία πώλησης του οικοπέδου, πολλαπλασιάζουμε το εμβαδόν του μετην τιμή πώλησης του τετραγωνικού μέτρου. Άρα, η αξία του οικοπέδου είναι:385 � 300 = 115.500 €.

Στο παρακάτω σχήμα:α) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ ως συνάρτηση του x.β) Αν το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι το τριπλάσιο από το εμβαδόν του

ορθογωνίου ΑΕΖΔ, να υπολογίσετε το x.

α) Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ, η μικρή βάση είναι ΔΓ = x + 3 (cm), η μεγάλη βάση είναιΑΒ = x + 1 + 3 = x + 4 (cm) και το ύψος του είναι ΔΑ = 6 (cm). Άρα, το εμβαδόν του

είναι: (ΑΒΓΔ) = = = 3(2x + 7) (cm2).

β) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι(ΑΕΖΔ) = 3 � 6 = 18 (cm2).Aφού το εμβαδόν του τραπεζίου είναι τριπλάσιοαπό το εμβαδόν του ορθογωνίου, έχουμε:(ΑΒΓΔ) = 3 � (ΑΕΖΔ) ή 3(2x + 7) = 3 � 18Δηλαδή:2x + 7 = 18 ή 2x = 11 ή x = 5,5 (cm).

(x + 3 + x + 4) � 62

(β + Β) � υ2

Λύση:

66∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

(15 + 8) � 102

Λύση:

55∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

ΜΓ � ΑΗ2

ΒΜ � ΑΗ2

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


Δ Γ

Ζ

ΕBΑ 28 m

8 m

15 m

18 m

Α B

ΓΔ3cm x

6 cm

x+1

Α

B ΓΗ Μ

Ε

Ζ

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·122

Στο διπλανό σχήμα:


Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

654Το ύψος ΘΚ που αντιστοιχεί στην πλευρά ΕΗ

είναι:7

201632Το εμβαδόν του τριγώνου ΕΘΗ είναι:6

BΓ�AΛ2

AΓ�BK2

AB�AΓ2

Ποιο από τα επόμενα δεν είναι ίσο με το εμβαδόν

του τριγώνου ΑΒΓ;5

564Η πλευρά x = ΕΘ είναι:4

321224To εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΕΖΗΘ είναι:3

4,595,5To ύψος x που αντιστοιχεί στην πλευρά ΑΔ είναι:2

18924To εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι:1

ΓΒΑ

2 .

211822,5To εμβαδόν του ΑΒΕΘ είναι:8

271822,5To εμβαδόν του ΑΔΕΗ είναι:7

211812To εμβαδόν του ΑΔΖΗ είναι:6

4,5129To εμβαδόν του ΒΖΗ είναι:5

4,5129To εμβαδόν του ΑΗΓ είναι:4

211812To εμβαδόν του ΑΓΕΗ είναι:3

18126To εμβαδόν του ΑΓΖΘ είναι:2

963To εμβαδόν του ΑΒΗΘ είναι:1

ΓΒΑ

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™


Α

B

Γ

Δ

Θ

Η

Ζ

Ε

3 cm

3 c

m3

cm

3 c

m

Α

3 cmx

Β

ΓΔ 6 cm

4 cm

ΗΘ

Ζ

3 cm

8 cm

x cm

Ε

Α

Β

K

Λ Γ

Θ

E

Η

Κ

Ζ

4 c

m

6 cm

10 cm

8 cm

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·123

181624

Αν το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΕΔ

είναι 12cm2 και το Ε είναι το μέσο της πλευράς ΓΔ,

τότε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι:

11

17,52016Το εμβαδόν κάθε πράσινου τριγώνου είναι:10

845Το εμβαδόν του μπλε παραλληλογράμμου είναι:9

864

Το διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει εμβαδόν

16cm2 και το Ε είναι το μέσο της πλευράς ΓΔ. Το

εμβαδόν του τριγώνου ΚΕΓ είναι:

8

ΓΒΑ


Α

υ

Β

Δ

Κ

ΓΕ

8m

5m

Α B

ΓΕΔ

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Αν η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι60 cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

Οι διαστάσεις ενός φύλλου στο εικοσά-φυλλο τετράδιο του Σταύρου είναι 21 cmκαι 30 cm. Να υπολογίσετε πόση επιφά-νεια χαρτιού έχει όλο το τετράδιο.

Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότιτα εμβαδά του ροζ και του κίτρινου σχή-ματος είναι ίσα.

Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνοΑΒΓΔ. Στη συνέχεια να προεκτείνετε τηνπλευρά ΑΒ του τετραγώνου και να πάρε-τε τμήμα ΒΕ = ΑΒ.

α) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνοΑΒΓΔ και το τρίγωνο ΑΕΔ έχουν ίσαεμβαδά.

β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τουΑΕΔ είναι διπλάσιο από το εμβαδόντου ΒΓΕ.

Nα υπολογίσετε τα εμβαδά των δύοσχημάτων στο παρακάτω σχήμα, αν x = 5cm. Στη συνέχεια, να εξηγήσετε γιατί αυτάείναι ίσα για οποιαδήποτε τιμή του x.

Ένα τετράγωνο και ένα τραπέζιο έχουνίσα εμβαδά. Αν οι βάσεις του τραπεζίουείναι 12 cm και 20 cm και το ύψος τουείναι 4 cm, να υπολογίσετε το εμβαδόντου τετραγώνου.

6

5

4

3

2

1

x

x x

x

3cm

6cm

1m

α

α

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·124


Ένας ορθογώνιος κήπος έχει διαστάσεις40 m και 25 m. Tον κήπο διασχίζουν δύοκάθετα μεταξύ τους δρομάκια. Το έναπαράλληλο προς τη μεγάλη πλευρά τουκήπου με πλάτος 0,6 m και το άλλο με πλά-τος 0,8 m. Το υπόλοιπο τμήμα θα φυτευτεί

με γκαζόν. Να υπολογίσετε το κόστος τηςκατασκευής του γκαζόν, αν ο γεωπόνοςχρεώνει 12 € κάθε m2 γκαζόν.

Τα παρακάτω ορθογώνια έχουν τις ίδιεςδιαστάσεις. Εξηγήστε γιατί τα πράσιναμέρη των δύο ορθογωνίων έχουν ίσαεμβαδά.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται οικόπεδοσχήματος ορθογωνίου, το οποίο διασχίζειδιαγώνια ένας δρόμος σταθερού πλάτους.α) Να αποδείξετε ότι τα τριγωνικά οικόπε-

δα που απομένουν έχουν ίσα εμβαδά.β) Να υπολογίσετε το x, ώστε ο δρόμος να

«αποκόπτει» από το οικόπεδο τμήματου οποίου το εμβαδόν να είναι ίσο μετο 3 του εμβαδού που απομένει στοοικόπεδο.

Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ του παρακάτωσχήματος είναι Μ και Ν τα μέσα τωνπλευρών του ΑΔ και ΔΓ αντίστοιχα.α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ

και ΝΓΒ έχουν ίσα εμβαδά.

β) Να αποδείξετε ότιτο τετράπλευροΒΜΔΝ έχει εμβα-δόν όσο είναι τοάθροισμα των εμ-βαδών των παρα-πάνω τριγώνων.

Στα παρακάτω σχήματα κάθε τετραγωνά-κι έχει πλευρά 1 cm. Να βρείτε τα εμβαδάτων 12 σχημάτων που δίνονται:

Στο τετράπλευρο του διπλανού σχήματοςοι διαγώνιες είναικάθετες.Αν ΒΔ=5 cm,ΟΑ=3cmκαι ΟΓ=6cm, να υπο-λογίσετε το εμβαδόντου τετράπλευρου.

Να υπολογίσετε το x σε καθένα από ταπαρακάτω σχήματα.

13

12

11

10

9

8

7

25 m

40 m

0,6 m

0,8 m

↔

↔

x

30 m

18 m

Α

Μ

Ν

Β

ΓΔ

Β Δ

Γ

Α

Ο

4 c

m4 c

m

x

x

x

x

x

x

40 cm2 36 cm2

20 cm2

18 cm2

1 2 3

4 5 6

7

89

10 1112

{

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·125


Να υπολογίσετε τα εμβαδά των παρακά-τω σχημάτων:

Να βρείτε το εμβαδόν του πορτοκαλίτετραγώνου του παρακάτω σχήματος.

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η κάτοψηενός διαμερίσματος. Να βρείτε:α) Το εμβαδόν κάθε δωματίου.β) Το εμβαδόν του γωνιακού διαδρόμου.γ) Το εμβαδόν της βεράντας.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το τοπο-γραφικό διάγραμμα ενός κτήματος τοοποίο πωλείται προς 20.000 € το στρέμμα.α) Να βρεθεί η αξία του κτήματος.β) Πόσα κλήματα μπορούμε να φυτέψου-

με στο κτήμα αυτό, αν κάθε κλήμααπαιτεί 2,5 m2 χώρο;

17

16

15

14

5 cm

12 cm 12 cm4

cm

5 cm

6 cm

10 cm

4 cm 8 cm

6 cm

9 cm

5 cm

512

12

12

12

5

5

5

60m

44m

50m 3

0m

°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::Πίσω από την κουρτίνα κρύβονται ένα τετράγωνο,ένα ορθογώνιο και ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Βρείτε τη θέση και το εμβαδόν καθενός, αν γνωρίζετε ότι:1. Το ορθογώνιο έχει τετραπλάσιο εμβαδόν και βρίσκεται πιο αριστερά από το τετράγωνο.2. Ένα σχήμα εμβαδού 100 cm2 βρίσκεται δεξιά από το ορθογώνιο τρίγωνο.3. Δεξιά από ένα σχήμα με τέσσερις ορθές γωνίες βρίσκεται το ορθογώνιο τρίγωνο.4. Οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με τις κάθετες πλευρές του

ορθογωνίου.

Σαλόνι

Κου

ζίνα

Mπάνιο

WC

Γραφ

είο

Υπνοδωμάτιο1

Υπ

νοδω

μάτι

ο2

ΔιάδρομοςΒε

ρά

ντ

α

Β ε ρ ά ν τ α

2,5 m 4 m 3 m 1,5 m 2,5 m

2,5 m

8,5

m

3 m

3 m

3 m

1 m

4 m

4 m

1.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (119-126) 18-12-06 23:52 ™ÂÏ›‰·126

Δίνονται οκτώ ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές β, γκαι υποτείνουσα α και τρία τετράγωνα με πλευρές α, β, γαντίστοιχα.

α) Να υπολογίσετε τα εμβαδά ε, Ε, Ε1, Ε2 των διπλανώντριγώνων και τετραγώνων.

β) Να τοποθετήσετε κατάλληλα τα τρίγωνα και τετράγωνα, ώστε να σχηματίσουν δύο νέα τετράγωνα, πλευράς (β + γ).

Λύσηα) Έχουμε ότι: ε =

Ε = α2

Ε1 = γ2

Ε2 = β2

β) Αρκεί να τα τοποθετήσουμε όπως φαίνεται στα παρακάτωσχήματα. Παρατηρούμε ότι μπορούμε να γράψουμε τοεμβαδόν των ίσων τετραγώνων πλευράς (β + γ) με δύοδιαφορετικούς τρόπους:1ος τρόπος: Ε1 + Ε2 + 4ε από το πρώτο τετράγωνο πουαποτελείται απο 4 τρίγωνα και τα δύο τετράγωνα πλευράς β,γ αντίστοιχα.2ος τρόπος: Ε + 4ε από το δεύτερο τετράγωνο που απο-τελείται πάλι από 4 τρίγωνα και το τετράγωνο πλευράς α.

Επομένως, θα ισχύει ότι: Ε1 + Ε2 + 4ε = Ε + 4ε ήΕ1 + Ε2 = Ε ή

Η σχέση αυτή, που συνδέει τις κάθετες πλευρές με την υποτεί-νουσα ενός τριγώνου, εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα,δηλαδή ισχύει:

β2 + γ2 = α2

β � γ2


Πυθαγόρειο θεώρημα1.4.

γ

αβε

γ

β

α

β

α

γ E1

E2

E

β

ββ

β

βα

αα

α

β

β

γ

γ γ

γ

εεε

ε

ε

ε

ε ε γ

γ

γ

γ

E1

E2

E

β

1.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (127-132) 18-12-06 23:54 ™ÂÏ›‰·127

Παρατήρηση:Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει ότι:α2 = β2 + γ2, δηλαδή το εμβαδόν του μεγάλου πορτοκαλί τετραγώ-νου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο πράσινωντετραγώνων.

Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος

Στην Αρχαία Αίγυπτο για την κατασκευή ορθών γωνιώνχρησιμοποιούσαν το σκοινί του παραπάνω σχήματος.Όπως βλέπουμε, το σκοινί έχει 13 κόμπους σε ίσεςαποστάσεις μεταξύ τους που σχηματίζουν 12 ίσαευθύγραμμα τμήματα.

Κρατώντας τους ακραίους κόμπους ενωμένους καιτεντώνοντας το σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχηματίζεταιτο τρίγωνο ΑΒΓ, το οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πίστευαν ότι είναιορθογώνιο με ορθή γωνία την κορυφή Β. Μεταγενέστερα, οιαρχαίοι Έλληνες επαλήθευσαν τον ισχυρισμό αυτόαποδεικνύοντας την επόμενη γενική πρόταση, που είναιγνωστή ως το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος:

Να επαληθεύσετε το Πυθαγόρειο θεώρημαστο τρίγωνο του διπλανού σχήματος.

Στο τρίγωνο ΔΕΖ οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη 5 και 12, οπότε το άθροισμα τωντετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι 52 + 122 = 25 + 144 = 169. Επιπλέον, η υποτείνουσα έχει μήκος 13 και το τετράγωνό της ισούται με: 132 = 169.Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού: 52 + 122 = 132.

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισματων τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντιαπό τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑΣε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετρα-γώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με τοτεράγωνο της υποτείνουσας.

128 Μέρος B’ - 1.4. Πυθαγόρειο θεώρημα

Γ

α2

Α

Β

Α ΑB Γ

Δ Ζ

Ε

5

12

13

Α

Γ

B

γ

γ2

ββ2

�

α

1.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (127-132) 18-12-06 23:55 ™ÂÏ›‰·128

Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 150 m.α) Να βρείτε τον αριθμό x.β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

α) Η περίμετρος του τριγώνου είναι:ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ = 5x + 10 + 6x + 5 + 3x – 5 = 14x + 10.Σύμφωνα με την εκφώνηση είναι:14x + 10 = 150 ή 14x = 150 – 10 ή

14x = 140 ή x = .

Άρα x = 10.

β) Για x = 10 τα μήκη των πλευρών (σε μέτρα) είναι:ΑΒ = 5 � 10 + 10 = 60,ΑΓ = 3 � 10 – 5 = 25, ΒΓ = 6 � 10 + 5 = 65.Επομένως: ΑΒ2 + ΑΓ2 = 602 + 252 = 3600 + 625 = 4225.Επίσης: ΒΓ2 = 652 = 4225.Επομένως: ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2 και σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείουθεωρήματος το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

Ένα ράφι ΑΒ είναι στερεωμένο σε ένα κατακόρυφοτοίχο με ένα μεταλλικό στήριγμα μήκους ΓΔ = 32,6 cm.Αν ΒΔ = 27,7 cm και BΓ = 17,2 cm, να εξετάσετε αν τοράφι είναι οριζόντιο.

Το ράφι θα είναι οριζόντιο, μόνο αν είναι κάθετο στον τοίχο, δηλαδή αν το τρίγωνοΒΓΔ είναι ορθογώνιο στο Β.Είναι: ΒΔ2 + ΒΓ2 = 27,72 + 17,22 = 767,29 + 295,84 = 1063,13.Επίσης: ΓΔ2 = 32,62 = 1062,76.Επομένως: ΒΔ2 + ΒΓ2 � ΓΔ2, οπότε το τρίγωνο ΒΓΔ δεν είναι ορθογώνιο.

Στο διπλανό σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 12 cm.To σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ και ΒΡ = 3 cm.α) Να υπολογίσετε τα ΜΔ2, ΜΡ2 και ΔΡ2.β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΡΔ είναι ορθογώνιο στο Μ.

α) Αφού το Μ είναι μέσο του ΑΒ, είναι ΑΜ = ΜΒ = 6 (cm).Eπίσης: ΓΡ = 12 – 3 = 9 (cm).Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΔ έχουμε:

ΜΔ2 = ΑΔ2 + ΑΜ2 = 122 + 62 = 144 + 36 = 180.

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

14014

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος B’ - 1.4. Πυθαγόρειο θεώρημα 129

Α Γ3x–5

5x+

10 6x+5

Β

Α

Δ

Β

Γ

Α Μ B

ΓΔ

Ρ12

3

1.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (127-132) 18-12-06 23:55 ™ÂÏ›‰·129

Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΒΡ έχουμε:ΜΡ2 = ΜΒ2 + ΒΡ2 = 62 + 32 = 36 + 9 = 45,και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΡ έχουμε:ΔΡ2 = ΔΓ2 + ΡΓ2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225.

β) Είναι ΜΔ2 + ΜΡ2 = 180 + 45 = 225 = ΔΡ2, οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο τουΠυθαγόρειου θεωρήματος, το τρίγωνο ΜΡΔ είναι ορθογώνιο στο Μ.

Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 - 4 τα τρίγωνα ΑΒΓ είναι ορθογώνια στο Α.Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

β=8καιγ=9

β=12και

γ=13

β=13και

γ=10

β=15καιγ=8

β =καιγ =

4

30 cm24 cm20 cm14 cmx =3

5 cm4 cm3 cm2 cmx =2

12 cm10 cm9 cm7 cmx =1

ΔΓBΑ

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™HH ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™


Α Γ

x

8 cm

6 cm

Β

Α Γ

5 cm

4 cm

x

B

Α Γ

26 cm

x

10cm

B

Α Γ

17 cm

β

γ

B

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Να βρείτε το εμβαδόν του κόκκινουτετραγώνου στα επόμενα σχήματα.

Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω τρίγωναείναι ορθογώνια.

α) Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με μήκηπλευρών 6 cm, 8 cm και 10 cm. Nααποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναιορθογώνιο.

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχειδιπλάσιες πλευρές από τις πλευρέςτου ΑΒΓ, καθώς και το τρίγωνο πουέχει τις μισές πλευρές από τις πλευ-ρές του ΑΒΓ, είναι επίσης ορθογώνιο.

3

21

25 m2

9 m2

5,76 m2

1m2

1 m2

0,64 m2

24 25

16

208 15

1712

7

1.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (127-132) 18-12-06 23:55 ™ÂÏ›‰·130

Μέρος B’ - 1.4. Πυθαγόρειο θεώρημα 131

Το τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήμα-τος είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ = 10 dmκαι ΒΓ = 12 dm. Να υπολογίσετε τοεμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευ-ρά ίση με το ύψος ΑΔ του τριγώνου.

Να υπολογίσετετο εμβαδόν τουμπλε τετραγώ-νου το οποίοέχει πλευρά ίσημε τη διαγώνιοτου ορθογώνι-ου ΑΒΓΔ.

Για να σχηματίσει ορθήγωνία με δύο ξύλιναδοκάρια (όπως λέμεγια να «γωνιάσει» ταδοκάρια), ένας τεχνίτηςμετράει στο ένα δοκάριΑΒ = 30 cm και στοάλλο ΑΓ = 40 cm. Στησυνέχεια, τα τοποθετείκατάλληλα, ώστε ναείναι ΒΓ = 50 cm. Μπο-ρείτε να εξηγήσετε γιατίείναι σίγουρος ότι ηγωνία που σχηματίζουντα δοκάρια είναι ορθή;

Ο χαρταετός του διπλα-νού σχήματος είναιρόμβος με διαγώνιες12 dm και 16 dm. Nαβρείτε την περίμετροκαι το εμβαδόν της επι-φάνειας του χαρταετού.

H διατομή ενός καναλιού είναι σχήματοςισοσκελούς τραπεζίου με πλευρές:ΓΔ = ΑΒ = 5 m, ΒΓ = 7 m και ΑΔ = 13 m.Να υπολογίσετε το ύψος x του καναλιού.

Ποια από τις τοποθεσίες Ε, Δ, Α είναιπλησιέστερα στην πόλη Β;

9

8

7

6

5

4

10 d

m

A

B ΓΔ

10 dm

12 dm

90°

50 cm

A B

Γ

30 cm

40 c

m

A Ο

Δ

Γ

B

A

B

x x

7 m

5 m 5 m

Γ

Δ13 m

A

B

E

9 m8 m

Γ

Δ

17 m 12 m

™ÙÔ ‰ÈÏ·ÓfiÛ¯‹Ì· ¤¯Ô˘ÌÂ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°

(∧

∞=90Æ) ÌÂ Ì‹ÎÔ˜˘ÔÙÂ›ÓÔ˘Û·˜ ·Î·È Ì‹ÎË Î¿ıÂ-ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ ‚Î·È Á. ∂ÍˆÙÂÚÈÎ¿ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÂÈ ÙÚ›·ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÌÂ Ì‹ÎË ÏÂ˘ÚÒÓ ·, ‚ Î·È Á ·ÓÙ›-ÛÙÔÈ¯·. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¿«ÎÔÌÌ¿ÙÈ·» Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓÎ¿ıÂÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ, ÌÔÚÂ›ÙÂ Ó· «ÁÂÌ›ÛÂÙÂ» ÙÔÌÂÁ¿ÏÔ ÁÎÚ›˙Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙË˜ ˘ÔÙÂ›ÓÔ˘Û·˜ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ù· ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¿ ÎÔÌÌ¿-ÙÈ· ¯ˆÚ›˜ ÙÔ ¤Ó· Ó· ÂÈÎ·Ï‡ÙÂÈ ÙÔ ¿ÏÏÔ;

°π∞ ¢π∞™∫∂¢∞™∏:

α

α

α

α

γγ

γγΑ

ΒΓ

ββ

β

1 m

2,1m

β

1.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (127-132) 18-12-06 23:55 ™ÂÏ›‰·131


π™Δ√ƒπ∫√ ™∏ª∂πøª∞To ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·

ΔÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ·ÔÙÂÏÂ› ¤Ó· ·fi Ù· ÈÔ ÎÔÌ„¿ ·ÏÏ¿ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·Î·È ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎ¿ ıÂˆÚ‹Ì·Ù· ÌÂ ÔÏÏ¤˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜.∏ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘ ıÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Î·È ·Ú·‰ÔÛÈ·Î¿ ·Ô‰›‰ÂÙ·È ÛÙÔÓ ¶˘ı·-

ÁfiÚ· ÙÔ ™¿ÌÈÔ (585 - 500 .Ã.), ‰ÂÓ Â›Ó·È ‚¤‚·ÈÔ fiÙÈ ¤ÁÈÓÂ ·fi ·˘ÙfiÓ ‹ ·fiÎ¿ÔÈÔÓ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ™¯ÔÏ‹ Ô˘ ›‰Ú˘ÛÂ.ŸÌˆ˜ Â›Ó·È ‚¤‚·ÈÔ ˆ˜ Â›ÙÂ fi ›‰ÈÔ˜ Â›ÙÂ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ ‰È·Ù‡ˆÛ·Ó ÙËÓÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË. ™‡ÌÊˆÓ· ÌÂ ÙËÓ ·Ú¿‰ÔÛË, ÔÈ ıÂÔ› ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛ·Ó ÛÙÔÓ

¶˘ı·ÁfiÚ· ÙÔ ÔÌÒÓ˘ÌÔ ıÂÒÚËÌ· Î·È fiÙ·Ó ÙÔ ·¤‰ÂÈÍÂ, ÁÈ· Ó· ÙÔ˘˜ Â˘¯·ÚÈÛÙ‹ÛÂÈ, ¤Î·ÓÂ ı˘Û›· 100‚Ô‰ÈÒÓ. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi, ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È Û˘¯Ó¿ Î·È ˆ˜ “ıÂÒÚËÌ· ÙË˜ ÂÎ·-ÙfiÌ‚Ë˜”. ∂ÈÏ¤ÔÓ, ÔÈ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ ‰È·Ù‡ˆÛ·Ó Î·È ·¤‰ÂÈÍ·Ó ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ıÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜.¶ÔÏÏÔ› Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ›, ‰È¿ÛËÌÔÈ Î·È ÌË, ÚÔÛ¿ıËÛ·Ó Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ó ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÂ‰ÈÎ‹ ÙÔ˘˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË Ì¤ıÔ‰Ô. ∞Ó¿ÌÂÛ· Û’ ·˘ÙÔ‡˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÚÔÛˆÈÎfiÙËÙÂ˜, fiˆ˜ ÔLeonardo da Vinci Î·È Ô ÚfiÂ‰ÚÔ˜ ÙˆÓ ∏¶∞ Garfield.To 1940 o Elisha Scott Loomis ÂÚÈ¤Ï·‚Â 365 ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¤˜ ·Ô‰Â›ÍÂÈ˜ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıÂˆÚ‹-Ì·ÙÔ˜ Û’ ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô.

✐ Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ο θετικός αριθμός που εκφράζει το πλήθος των

μονάδων μέτρησης, το οποίο χρειάζεται να πάρουμε, ώστε να καλύψουμε τη δοσμένη επιφάνεια.

✐ Μονάδες μέτρησης εμβαδών

✐ Εμβαδά των βασικών επιπέδων σχημάτων.

✐ Πυθαγόρειο θεώρημα: β2 + γ2 = α2

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με τοτετράγωνο της υποτείνουσας.

✐ Αντίστροφο Πυθαγόρειου θεωρήματοςΑν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνωντων δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.

100 mm21 cm2 =

10.000 mm2100 cm2 =1 dm2 =

1.000.000 mm210.000 cm2 =100 dm2 =1 m2=

Eμβαδά Επίπεδων Σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα1∂·Ó¿ÏË„Ë ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘

Ε = α2

Τετράγωνο

Oρθογώνιο τρίγωνο Τυχαίο τρίγωνοΤραπέζιο

Oρθογώνιο Παραλληλόγραμμο

αα

α βΕ = α � β

β

υ Ε = β � υ

γ

β

υ

β

υ

Β

β

Ε = β � γ12 Ε = β � υ

12

Ε = (β+Β)�υ12

1.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (127-132) 18-12-06 23:55 ™ÂÏ›‰·132

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√ 22 ÔÔ

ΜΕΡΟΣ Β �

Τριγωνομετρία

Διανύσματα

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·133


2.1 Εφαπτομένη οξείαςγωνίας

2.2 Ημίτονο και συνημίτονοοξείας γωνίας

2.3 Μεταβολές ημιτόνου,συνημιτόνου καιεφαπτομένης

2.4 Οι τριγωνομετρικοίαριθμοί των γωνιών30°, 45° και 60°

2.5 Η έννοια τουδιανύσματος

2.6 Άθροισμα και διαφοράδιανυσμάτων

2.7 Ανάλυση διανύσματοςσε δύο κάθετεςσυνιστώσες

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ και τα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ.

Η Τριγωνομετρία, όπως προδίδει και το όνομά της,

ασχολείται με τη μέτρηση των τριγώνων και για την

ακρίβεια με τη μέτρηση των στοιχείων των τριγώνων.

Είναι ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα των

Μαθηματικών που αναπτύχθηκε από πολύ παλιά, από

τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι τη χρησιμοποίησαν με

θαυμαστά αποτελέσματα.

Ιδιαίτερα εύστοχη ήταν η εκτίμηση του Γάλλου

μαθηματικού D’ Alembert το 1789: «Η τριγωνομετρία είναι

η τέχνη να βρίσκεις τα άγνωστα στοιχεία ενός τριγώνου

με τα λιγότερα μέσα που διαθέτεις».

Εμείς θα περιοριστούμε στη μελέτη των τριγωνομετρικών

αριθμών (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) οξείας

γωνίας. Θα εξετάσουμε τις μεταβολές τους και θα τους

χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε αρκετά προβλήματα.

Στη συνέχεια, στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου θα

μελετήσουμε τα διανύσματα, μια έννοια γνωστή κυρίως

από τη Φυσική.

Χρησιμοποιώντας διανύσματα μπορούμε να παραστή-

σουμε διάφορα φυσικά μεγέθη, όπως τη δύναμη, την

ταχύτητα κ.ά., στα οποία εκτός από το μέτρο τους είναι

απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους.

Είναι, λοιπόν, πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε τα στοιχεία

ενός διανύσματος, να μπορούμε να κάνουμε πράξεις

μ’ αυτά, καθώς και να τα αναλύουμε σε συνιστώσες.

Αρκετές δραστηριότητες από την καθημερινή μας ζωή και

αρκετά παραδείγματα από τη Φυσική θα μας βοηθήσουν

να κατανοήσουμε πλήρως τη χρήση των διανυσμάτων.

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·134

Τι είναι η Τριγωνομετρία;

H Τριγωνομετρία αναπτύχθηκε αρχικά για τις ανάγκες της Αστρονομίας και τηςΓεωγραφίας, αλλά χρησιμοποιήθηκε στη διάρκεια πολλών αιώνων και σε άλλους κλάδουςτων Μαθηματικών, στη Φυσική, στη Μηχανική και στη Χημεία.

Οι έννοιες του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας προέκυψαναπό τις παρατηρήσεις των Αστρονόμων της Αρχαιότητας.

Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι τα αστέρια βρίσκονταν πάνω σε μια τεράστια νοητήσφαίρα, στην οποία κινούνταν μόνο οι τότε γνωστοί πλανήτες: Ερμής, Αφροδίτη, Άρης,Δίας, Κρόνος, Σελήνη. Στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν τις αποστάσεις μεταξύ τωνπλανητών –που είναι αδύνατον να μετρηθούν άμεσα– οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν νατις υπολογίσουν από τις γωνίες που σχημάτιζαν μεταξύ τους.

Ο Αρίσταρχος ο Σάμιος, ο Πτολεμαίος, ο Ίππαρχος και άλλοι, που ασχολήθηκαν με τηνΑστρονομία, βρήκαν σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών τριγώνων.

Περίπου δύο χιλιάδες χρόνια πριν δημιουργήθηκαντριγωνομετρικοί πίνακες, δηλαδή πίνακες με τους τριγωνο-μετρικούς αριθμούς (ημίτονα, συνημίτονα, εφαπτομένες)γωνιών. Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αυτώναριθμών δεν ήταν καθόλου απλός. Άρχισε να απλοποιείταιμετά τον 17ο αιώνα μ.Χ. και στις ημέρες μας είναιπανεύκολος με τη χρήση των υπολογιστών τσέπης. Σκοπόςαυτών των πινάκων ήταν να διευκολυνθούν οι υπολογισμοίτης Αστρονομίας.

Οι εφαρμογές της Αστρονομίας ήταν πολλές καιεντυπωσιακές. Ένα απλό παράδειγμα είναι η ναυσιπλοΐα κατά τη διάρκεια της νύχτας. Οιαρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν ένα ναυτικό όργανο, τον αστρολάβο, με τον οποίομετρούσαν ουσιαστικά γωνίες και με τη χρήση της τριγωνομετρίας υπολόγιζαν αποστάσειςκαι χάραζαν την πορεία τους.

Οι αρχαίοι Έλληνες γνωρίζοντας ότι η Γη είναισφαιρική χρησιμοποίησαν την Τριγωνομετρία στηΓεωγραφία. Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε τριγωνομε-τρικούς πίνακες στο έργο του «Γεωγραφία», ενώ οΚολόμβος είχε πάντα μαζί του στα ταξίδια του το έργοτου Regiomontanus: «Ephemerides Astronomicae».Παρόλο που η Τριγωνομετρία εφαρμόστηκε αρχικάστη σφαίρα, έχει περισσότερες εφαρμογές στοεπίπεδο.Η Τριγωνομετρία αποτελεί βασικό πεδίο γνώσης, καθώς συμβάλλει στην κατανόηση τουχώρου και των ιδιοτήτων του.Οι εφαρμογές της Τριγωνομετρίας δεν περιορίζονται στη Γεωμετρία, αλλά επεκτείνονταιστις βολές στη Φυσική, στην ανάκλαση στην Οπτική, στις αντοχές υλικών στη Στατική καισε άλλους κλάδους των Φυσικών ή ακόμα και των Κοινωνικών επιστημών.

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·135

Η πινακίδα που βρίσκεται στο σημείο Ο πληροφορεί τον

οδηγό του αυτοκινήτου πόσο ανηφορικός είναι ο δρόμος

ΟΓ. Το ποσοστό 10% ή = 0,1 σημαίνει ότι σε κάθε

100 m οριζόντιας απόστασης ανεβαίνουμε 10 m. Έτσι,

π.χ. στο σημείο Α είναι ΟΑ = 50 m και ανεβαίνουμε

ΑΔ = 50 � 0,1 m = 5 m.



ΛύσηΠαρατηρούμε ότι ΒΕ = 10, ΓΖ = 15, οπότε οι λόγοι της

τρίτης στήλης παραμένουν σταθεροί:

= = 0,1

= = 0,1

= = 0,1

Αν ονομάσουμε ω τη γωνία που σχηματίζει ο

ανηφορικός δρόμος με το οριζόντιο επίπεδο, τότε οι

λόγοι , , και γενικά ο λόγος

είναι ο ίδιος για όλα τα σημεία ύψος

οριζόντια απόσταση

ΓΖΟΓ

ΒΕΟΒ

ΑΔΟΑ

15150

ΓΖΟΓ

10100

ΒΕΟΒ

550

ΑΔΟΑ

ΓΖ ΟΓ =ΓΖ = ΟΓ = 150

BE ΟB =BE = ΟB = 100

AΔΟΑ =ΑΔ = 5ΟΑ = 50

10100


Eφαπτομένη οξείας γωνίας2.1.

10 m

AO

Β Γ

ΔΕ

Ζ

�

10%

™Â Î¿ıÂ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°

(∧∞ = 90Æ) Ë Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ∞°,

ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È «·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿

ÙË˜ ÁˆÓ›·˜∧μ» Î·È Ë ∞μ «ÚÔÛÎÂ›ÌÂÓË

Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙË˜ ÁˆÓ›·˜∧μ».

º˘ÛÈÎ¿, ÚÔÎÂÈÌ¤ÓÔ˘ ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›·∧° , Ë ∞μ Â›Ó·È Ë «·¤Ó·ÓÙÈ», ÂÓÒ Ë ∞°

Â›Ó·È Ë «ÚÔÛÎÂ›ÌÂÓË» Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿.

ΑΒ

Γ

υποτείνουσα(απέναντι απότην ορθή γωνία)

απέναντικάθετηπλευράαπό τηγωνία

∧Β

προσκείμενηκάθετη πλευρά στη γωνία

∧Β

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·136

της ευθείας ΟΖ. Ο σταθερός αυτός λόγος λέγεται εφαπτομένητης γωνίας ω και γράφουμε εφω = 0,1. Ειδικά, όταν αναφερό-μαστε σε δρόμο, όπως παραπάνω, η εφαπτομένη της γωνίαςω ονομάζεται κλίση του δρόμου. Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ω ο σταθε-ρός αυτός λόγος γράφεται ως εξής:

ονομάζεται εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζεται με εφω.

Σχόλιο 1:Ας θυμηθούμε την κλίση της ευθείας με εξίσωση y = αx, πουσυναντήσαμε στην παράγραφο 3.2.

Είδαμε ότι ο λόγος είναι πάντα σταθερός και ίσος με τον

αριθμό α για κάθε σημείο Α της ευθείας με εξίσωση y = αx.Aν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με εξίσωσηy = αx με τον άξονα x�x, τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒισχύει:

Σχόλιο 2:Για να υπολογίσουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας,μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα τριγωνομε-τρικών αριθμών των γωνιών 1° – 89°, που βρίσκεται στοτέλος του βιβλίου (σελ. 254).Σε επόμενη παράγραφο (§2.3) θα μάθουμε να υπολογίζουμετην εφαπτομένη μιας γωνίας χρησιμοποιώντας έναν«επιστημονικό» υπολογιστή τσέπης.

Η κλίση α της ευθείας με εξίσωση y = αx είναι ίση με τηνεφαπτομένη της γωνίας ω, που σχηματίζει η ευθεία με τονάξονα x�x.

ΑΒ y εφω = ⎯⎯ = ⎯⎯ = α

ΟΒ x

yx

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντικάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιαςοξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι πάντοτεσταθερός και λέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω.

απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας ω

προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω

Μέρος Β’ - 2.1. Εφαπτομένη οξείας γωνίας 137

B

O

A(x,y)

y

x

��ω

Α

Γ

ω B

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·137

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ = 13 cm. Αν η μία κάθετη πλευ-

ρά έχει μήκος ΑΒ = 5 cm, να υπολογίσετε τις εφαπτομένες των γωνιών ∧Β και

∧Γ.

Γνωρίζουμε ότι:

εφ∧Β = = και

εφ∧Γ = =

Επομένως, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το μήκος

της κάθετης πλευράς ΑΓ.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα γνωρίζουμε ότι ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2 και αντικαθιστώντας

με ΑΒ = 5 cm και ΒΓ = 13 cm, έχουμε:

52 + ΑΓ2 = 132 ή 25 + ΑΓ2 = 169 ή ΑΓ2 = 169 – 25 = 144

Eπομένως, ΑΓ = ��144 = 12 (cm).

Άρα: εφ∧Β = = και εφ

∧Γ = = .

Nα σχεδιάσετε μια γωνία ω, με εφω = .

Σύμφωνα με τον ορισμό της εφαπτομένης οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου,

ισχύει: εφω = .

Επομένως, για να σχεδιάσουμε μια οξεία γωνία ω με εφω = , αρκεί να κατασκευά-

σουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με 1 και η

άλλη κάθετη πλευρά ίση με 5.

Για τη γωνία ω ισχύει: εφω = = .15

ΑΒΑΓ

15

απέναντι κάθετη πλευράπροσκείμενη κάθετη πλευρά

Λύση:

15

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

512

ΑΒΑΓ

125

ΑΓΑΒ

ΑΒAΓ


ΑΓAB


Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

138 Μέρος Β’ - 2.1. Εφαπτομένη οξείας γωνίας

Α

13 cm

5 c

m

Β

Γ

1 Ô ‚ ‹ Ì ·∫·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜

2 Ô ‚ ‹ Ì ·ª¤ÙÚËÛË ÏÂ˘ÚÒÓ

3 Ô ‚ ‹ Ì ·KaÙ·ÛÎÂ˘‹ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

Α Γ

Βρ=1

ρ = 5 cm

Α Γ

Β1 cm

5 cmω

Α

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·138

Nα υπολογίσετε το ύψος του κυπαρισσιού του παρακάτω σχήματος χρησιμοποιώνταςτο μήκος της σκιάς του και τη γωνία ω.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ γνωρίζουμε ότι ΑΒ = 9 m και ∧Β = ω = 25°.

Θέλουμε να υπολογίσουμε την πλευρά ΑΓ.Ο τριγωνομετρικός αριθμός που συνδέει την απέναντι με την προσκείμενη πλευράμιας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι η εφαπτομένη της γωνίας

∧Β.

Έχουμε λοιπόν: εφ∧Β = οπότε

ΑΓ = ΑΒ � εφ∧Β άρα ΑΓ = 9 � εφ25°.

Με τη βοήθεια του πίνακα εφαπτομένωνβρίσκουμε ότι εφ25° = 0,47.Άρα, ΑΓ = 9 � 0,47 = 4,23, δηλαδή το ύψοςτου κυπαρισσιού είναι 4,23 m.

Ένας τουρίστας ύψους ΑΓ = 1,80 m «βλέπει»τον πύργο με γωνία 32° και απέχει από αυτόν45 m. Nα υπολογίσετε το ύψος ΕΔ του πύργου.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ γνωρίζουμε το

μήκος της κάθετης πλευράς ΑΒ = 45 m και μια

οξεία γωνία 32°. Επομένως, για να υπολογί-

σουμε την άλλη κάθετη πλευρά ΒΕ, χρησιμο-

ποιούμε την εφαπτομένη της γωνίας των 32°.

Είναι εφ32° = = = .

Από τον πίνακα εφαπτομένων βρίσκουμε: εφ32° = 0,62, οπότε η παραπάνω σχέση

γίνεται: 0,62 = , οπότε έχουμε: ΒΕ = 45 � 0,62 = 27,9 (m).

Eπομένως, το συνολικό ύψος του πύργου είναι:

ΔΕ = ΔΒ + ΒΕ = 1,8 + 27,9 = 29,7 (m).

Στο διπλανό σχήμα είναι εφθ = ........

Α: , Β: , Γ: , Δ: .

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

75125

75100

12575

10075

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

ΒΕ45

ΒΕ45

ΒΕΑΒ


Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

ΑΓΑΒ

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


100

75125

θ

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·139

Στο διπλανό σχήμα είναι:α) εφθ = ..........

Α: , Β: , Γ: , Δ: .

β) εφφ = ..........

Α: , Β: , Γ: , Δ: 2.


Σε κάθε γωνία θ, φ, ω,

ψ του διπλανού σχή-

ματος να αντιστοιχίσετε

την εφαπτομένη της.

3 .

24

34

43

35

45

43

34

2 .

140 Μέρος Β’ - 2.1. Εφαπτομένη οξείας γωνίας

B

Γ

Α

φ

θ

B

A

Γ

Δ

φ

ψω

θ

3⎯2ψ

1ω

5⎯2φ

5⎯3θ

ΕφαπτομένηΓωνία

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε

το μήκος x:

Να σχεδιάσετε μια γωνία ω με εφω = 0,7.

Ποια στοιχεία μπορείτε να υπολογίσετε

σε ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία

30°, αν η απέναντι κάθετη πλευρά έχει

μήκος 4 cm;

Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετετην απόσταση των δύο πλοίων.

Ένας τουρίστας βλέπει την κορυφή ενόςπύργου από σημείο Α με γωνία 40° καιτη βάση του πύργου με γωνία 18°. Ανγνωρίζετε ότι ΑΒ = 3 m, να υπολογίσετετο ύψος h του πύργου.

5

4

3

2

1

Α

B

Γ Δ

Ζ

ΕΛ

Μ Κ

Θ

Ι

Η

x

x

x

x

(α)

13

38°

30°

35°

(β)

(γ)

12 17

(δ)

45°

10

34° 23°

40 m

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·140


Την Καθαρά Δευ-

τέρα ο Λάκης και

ο Σάκης βλέπουν

το χαρταετό του

Μάκη με γωνίες

55° και 85° αντί-

στοιχα.

Ο Λάκης και ο

Σάκης βρίσκονται

σε απόσταση 80

m. Nα βρείτε σε τι

ύψος από το έδα-

φος έχει ανέβει ο χαρταετός του Μάκη,

αν γνωρίζουμε ότι τα μάτια του Λάκη και

του Σάκη βρίσκονται σε ύψος 1,40 m.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα

τραπέζι του μπιλιάρδου.

Δύο μπάλες Α και Γ είναι τοποθετημένες

έτσι ώστε, ΔΕ = 90 cm, ΑΔ = 25 cm,

ΓΕ = 35 cm και ΒΕ = x cm. Ένας παίκτης

θέλει να χτυπήσει τη μπάλα Γ με τη

μπάλα Α ακολουθώντας τη διαδρομή

ΑΒΓ του σχήματος.

α) Να εκφράσετε την απόσταση ΒΔ ως

συνάρτηση του x.

β) Στο τρίγωνο ΑΔΒ να εκφράσετε την

εφθ ως συνάρτηση του x.

γ) Στο τρίγωνο ΒΕΓ να εκφράσετε την

εφθ ως συνάρτηση του x.

δ) Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω

συμπεράσματα των ερωτημάτων

(β) και (γ), να αποδείξετε ότι το x είναι

λύση της εξίσωσης 35(90 – x) = 25x.

Να προσδιορίσετε τον αριθμό x.

7

6

2.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (133-141) 18-12-06 23:58 ™ÂÏ›‰·141

Το ημίτονο

Ένα πυροσβεστικό όχημα σταματά μπροστά από ένακτίριο που φλέγεται, για να κατεβάσει έναν άνθρωποπου βρίσκεται στην ταράτσα του κτιρίου. Η σκάλα τουοχήματος έχει μήκος ΟΑ = 50 m και το κτίριο έχειύψος ΑΔ = 30 m. Ο πυροσβέστης που βρίσκεται στηνάκρη της σκάλας παίρνει τον άνθρωπο πουκινδυνεύει και η σκάλα αρχίζει να μαζεύεται.Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:


ΛύσηΠαρατηρούμε ότι οι λόγοι της τρίτης στήλης παραμέ-νουν σταθεροί:

= = , = = και = = .

Είναι φανερό ότι ο λόγος αυτός παραμένει σταθερόςγια κάθε διαδοχική θέση της σκάλας. Επίσης, είναιφανερό ότι η γωνία ω στα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ,ΟΒΕ, ΟΓΖ που σχηματίζονται, παραμένει σταθερή.

Ο σταθερός αυτός λόγος γράφεται ως:

ονομάζεται ημίτονο της γωνίας ω και συμβολίζεται με ημω. Δηλαδή

Επομένως:

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μίας οξείαςγωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός καιλέγεται ημίτονο της γωνίας ω.

ημω = απέναντι κάθετη πλευράυποτείνουσα

απέναντι κάθετη πλευράυποτείνουσα

35

1220

ΓΖΟΓ

35

2440

ΒΕΟΒ

35

3050

ΑΔΟΑ

ΓΖ⎯ =ΟΓΓΖ = 12OΓ = 20

BE⎯ =ΟBBE = 24OB = 40

ΑΔ⎯ =ΟΑAΔ = 30OA = 50


Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας2.2.

υποτείνουσα

προσκείμενη

απ

ένα

ντι κ

άθετ

η π

λευρ

άω

Oω

Γ

20

20

Ζ Ε Δ

10Β

Α

ω

2.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (142-146) 19-12-06 00:01 ™ÂÏ›‰·142

Το συνημίτονοΑν συμπληρώσουμε, τώρα, τον παρακάτω πίνακα για το ίδιο σχήμα:

παρατηρούμε ότι σχηματίζεται και ένας δεύτερος σταθερός λόγος:

Ο λόγος αυτός ονομάζεται συνημίτονο της γωνίας ω και συμβολίζεται συνω.

Επομένως:

Παρατηρήσεις:

α) Γνωρίζουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από καθε-

μία από τις κάθετες πλευρές, οπότε οι λόγοι:

και

είναι μικρότεροι της μονάδας. Επομένως ισχύουν οι ανισώσεις:

0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1

για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω.

β) Αν τώρα διαιρέσουμε το ημω με το συνω θα προκύψει = = = εφω,

όπως φαίνεται από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΔ του σχήματος της προηγούμενης

σελίδας. Άρα:

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρέςΑΒ = 15 cm και ΑΓ = 20 cm. Να υπολογίσετε τα ημίτονα καιτα συνημίτονα των γωνιών

∧Β και

∧Γ.


11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

ημωεφω = ⎯⎯

συνω

ΑΔΟΔ

AΔ⎯ΟΑΟΔ⎯ΟΑ

ημωσυνω

προσκείμενη κάθετη πλευράυποτείνουσα


Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μίας οξείαςγωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου δια την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός καιλέγεται συνημίτονο της γωνίας ω.

συνω =προσκείμενη κάθετη πλευρά



OΖ 16 4⎯ = ⎯ = ⎯ΟΓ 20 5

ΟΖ = 16OΓ = 20

OΕ 32 4⎯ = ⎯ = ⎯ΟΒ 40 5

ΟE = 32OB = 40

OΔ 40 4⎯ = ⎯ = ⎯ΟΑ 50 5

OΔ = 40OA = 50

Μέρος Β’ - 2.2. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας 143

Β

ΓA 20 cm

15

cm

2.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (142-146) 19-12-06 00:01 ™ÂÏ›‰·143

Για τον υπολογισμό του ημιτόνου ή του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου

τριγώνου, πρέπει να γνωρίζουμε και το μήκος της υποτείνουσας ΒΓ.

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625 οπότε ΒΓ = ��625 = 25 cm.

Άρα: ημ∧Β = = = =

συν∧Β = = = =

ημ∧Γ = = = =

συν∧Γ = = = =

Παρατηρούμε ότι ημ∧Β = συν

∧Γ και ημ

∧Γ = συν

∧Β.

Να σχεδιαστεί μία οξεία γωνία ω, με ημω = .

Σύμφωνα με τον ορισμό του ημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, ισχύει:

ημω = .

Επομένως, για να κατασκευάσουμε οξεία γωνία ω με ημω = , αρκεί να κατασκευά-

σουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η μία κάθετη πλευρά του θα είναι ίση με 3και η υποτείνουσά του ίση με 5.

Για τη γωνία ω ισχύει: ημω = = .35

ΑΒΒΓ

35


Λύση:

35

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

45

2025

ΑΓΒΓ

προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία ∧Γ


35

1525

ΑΒΒΓ

απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία ∧Γ


35

1525

ΑΒΒΓ

προσκείμενη κάθετη πλευρά στη γωνία ∧Β


45

2025

ΑΓΒΓ

απέναντι κάθετη πλευρά στη γωνία ∧Β


Λύση:

144 Μέρος Β’ - 2.2. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Α Α Γ

B ρ = 5 cm

ρ = 3 cm

Α Γ

B

53

1o ‚‹Ì·K·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÔÚı‹˜ ÁˆÓ›·˜

2o ‚‹Ì·ª¤ÙÚËÛË ÏÂ˘ÚÒÓ

3o ‚‹Ì·∫·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

ω

2.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (142-146) 19-12-06 00:01 ™ÂÏ›‰·144

Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι:

α)

β)

γ)

δ)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματοςποιος από τους παρακάτω αριθμούς:

Α: συνθ Β: συνφ Γ: ημφ

ισούται με ;

Σε ποιο από τα παρακάτω τρίγωνα ισχύει συνθ = ;

Αν ημθ = και συνθ = , τότε: εφθ = .... Α: , Β: , Γ: , Δ:

Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

Να βάλετε σε κύκλο τις τιμές που δε μπορούν να εκφράζουν το συνημίτονο οξείας γωνίας:

α) β) – γ) δ) ε) στ) 1,45

Δίνεται το διπλανό σχήμα. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) τιςπαρακάτω σχέσεις:

α) συνθ = β) συνθ = γ) συνθ =

δ) συνθ = ε) συνθ = στ) ημθ =

ζ) ημθ = η) ημθ = θ) ημθ =

Στο διπλανό σχήμα η γωνία ∧Α είναι ορθή. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω

φράσεις:α) Στο τρίγωνο ........... είναι: συν Α

∧ΔΒ = .

β) Στο τρίγωνο ........... είναι: ημ Α∧ΒΓ = .

γ) Στο τρίγωνο ........... είναι: συν......... = .ΑΕΕΓ

.......

.......

.......

.......

7 .

ΑΔΑΓ

ΑΔΓΔ

ΔΕΓΔ

ΑΒΒΓ

ΓΕΓΔ

ΑΒΒΓ

ΓΒΓΕ

ΓΔΑΓ

ΑΓΒΓ

6 .

��54

32

23

12

��32

5 .

54

53

43

34

45

354 .

43573 .

817

2 .

1312

1213

135

5 13συνφ =

5 13

135

5 12

1213συνθ =

125

1213

5 13

5 12ημφ =

5 13

1213

5 12

125ημθ =

ΔΓΒΑ1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Μέρος Β’ - 2.2. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας 145

AΒ

135

12

Γ

φ

θ

AΓ

17

15

8

B

θ

φ

A: Β: Γ:

57

43

θ

5743

θ

57

43θ

AΓ

Δ

Ε

B

θ

A Γ

Β

Ζ

Δ

Ε

2.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (142-146) 19-12-06 00:01 ™ÂÏ›‰·145

146 Μέρος Β’ - 2.2. Hμίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών στα παρακάτωορθογώνια τρίγωνα.

Δίνεται μια οξεία γωνία ω για την οποία ισχύει συνω = . Να υπολογίσετε το ημω.

Δίνεται μια οξεία γωνία ω. Να αποδείξετε ότι:α) 2 + 5ημω < 7 β) 4 – 2συνω > 2 γ) 5ημω + 3συνω < 8

Στο διπλανό σχήμα είναι: ΟΑ= 10 m, ΟΒ = 12 m και ΟΓ = 8 m.Nα υπολογίσετε τις αποστάσεις ΟΔ, ΑΓ και ΒΔ.

4

3

352

1

Α

B Γ

5 cm3 cm

(α) Α

B Γ4 cm

1,5 cm

(β)

A

B

Γ9 cm

7 cm

(γ)

O θΓ

Α

Δ

Β

π™Δ√ƒπ∫√ ™∏ª∂πøª∞O ÌË¯·ÓÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ∞ÓÙÈÎ˘ı‹ÚˆÓ A™Δƒ√§∞μ√™

AÛÙÚÔÏ¿‚Ô˜ Â›Ó·È ¤Ó· ·ÛÙÚÔÓÔÌÈÎfi fiÚÁ·ÓÔ Ô˘ ÂÊÂ˘Ú¤ıËÎÂ·fi ÙÔÓ ¤ÏÏËÓ· ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ ÿ·Ú¯Ô ÙÔ 2Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ÁÈ· Ó·ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ·ÛÙÂÚÈÔ‡ ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ·,Î·ıÒ˜ Î·È ÙË ÁˆÓÈ·Î‹ ·fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·ÛÙÂÚÈÒÓ.™ÙËÓ ÚÒÙË ÙÔ˘ ÌÔÚÊ‹ Ô ·ÛÙÚÔÏ¿‚Ô˜ ‹Ù·Ó ¤Ó·˜ Í‡ÏÈÓÔ˜‰›ÛÎÔ˜, ÛÙÔ Î˘ÎÏÈÎfi Ï·›ÛÈÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‹Ù·Ó ¯·Ú·ÁÌ¤ÓÂ˜ ÔÈ˘Ô‰È·ÈÚ¤ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ÛÂ ÌÔ›ÚÂ˜ Î·È ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· Ô˘ ¤‰ÂÈ¯ÓÂ ÙÔÌË‰¤Ó (·Ú¯‹) ÙˆÓ ˘Ô‰È·ÈÚ¤ÛÂˆÓ.™ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ‰›ÛÎÔ˘ ‹Ù·Ó ÛÙÂÚÂˆ-Ì¤ÓÔ˜ ¤Ó·˜ Î·ÓfiÓ·˜ (¯¿Ú·Î·˜), Ô˘ÌÔÚÔ‡ÛÂ Ó· ÂÚÈÛÙÚ¤ÊÂÙ·È Î·È ÌÂÙÔÓ ÔÔ›Ô ÁÈÓfiÙ·Ó Ë ÛÙfi¯Â˘ÛË ÙÔ˘·ÛÙÂÚÈÔ‡.∞ÚÁfiÙÂÚ· ÔÈ ·ÛÙÚÔÏ¿‚ÔÈ ¤ÁÈÓ·ÓÌÂÙ·ÏÏÈÎÔ›, ÌÂ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ ·fi˙ˆ‰È·Îfi Î‡ÎÏÔ Î·È Î¿ÔÈÔ˘˜·ÛÙÚÔÓÔÌÈÎÔ‡˜ ¯¿ÚÙÂ˜. ◊Ù·Ó ÙÔ

Î˘ÚÈfiÙÂÚÔ fiÚÁ·ÓÔ Ó·˘ÛÈÏÔ˝·˜ Î·Ù¿ ÙÔ ÌÂÛ·›ˆÓ· Î·È ·ÓÙÈÎ·Ù·ÛÙ¿ıËÎÂ·fi ÙÔÓ ÂÍ¿ÓÙ· ÙÔÓ 18Ô ·ÈÒÓ·.™‹ÌÂÚ· ÔÈ ·ÛÙÚÔÏ¿‚ÔÈ Â›Ó·È ·ÛÙÚÔÓÔÌÈÎ¿ fiÚÁ·Ó· ÌÂÁ›ÛÙË˜ ·ÎÚ›‚ÂÈ·˜,ÂÊÔ‰È·ÛÌ¤Ó· ÌÂ ‰ÈfiÙÚ· ÌÚÔÛÙ¿ ·fi ÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È ÚÔÛ·ÚÌÔÛÌ¤ÓÔ ¤Ó·Ú›ÛÌ·. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó ÙË ¯ÚÔÓÈÎ‹ ÛÙÈÁÌ‹ Î·Ù¿ ÙËÓ ÔÔ›· ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓÔ·ÛÙ¤ÚÈ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ· ÛÂ ÔÚÈÛÌ¤ÓÔ ‡„Ô˜, Û˘Ó‹ıˆ˜ 45Æ ‹ 60Æ.

™ÙË Á·ÏÏÈÎ‹ ·˘Ù‹ÌÈÎÚÔÁÚ·Ê›· ÙÔ˘ 13Ô˘

·ÈÒÓ· ÙÚÂÈ˜ ÌÔÓ·¯Ô›·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÌÂ ¤Ó·Ó

·ÛÙÚÔÏ¿‚Ô Î¿ÔÈÔ·ÛÙ¤ÚÈ.

2.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (142-146) 19-12-06 00:01 ™ÂÏ›‰·146

Η χρήση του υπολογιστή τσέπης για τον υπολογισμό τουημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας ω

Επειδή ο υπολογισμός του ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης μιας γωνίας δεν είναιαπλός, χρησιμοποιούμε συχνά έναν «επιστημονικό» υπολογιστή τσέπης. Ο «επιστημονικός»υπολογιστής περιλαμβάνει τα πλήκτρα , και .

To πρώτο υπολογίζει το ημίτονο, το δεύτερο το συνημίτονο και το τρίτο την εφαπτομένη μίαςγωνίας (π.χ. των 63°) ως εξής:α) Πατάμε το πλήκτρο που μετατρέπει τους αριθμούς σε μοίρες. Το πλήκτρο αυτό διαφέρει

από υπολογιστή σε υπολογιστή. Συνήθως η ένδειξη που φανερώνει ότι έχουμε πατήσειτο σωστό πλήκτρο είναι DEG.

β) Πατάμε διαδοχικά τα πλήκτρα:

ή που υπολογίζει το ημ63°.

γ) Στην οθόνη παρουσιάζεται ο αριθμός 0,891 που είναι το ημ63°.

δ) Ανάλογα πατώντας τα πλήκτρα:

ή έχουμε ότι: συν63° = 0,454 και

ή έχουμε ότι: εφ63° = 1,963.


Στο τέλος του βιβλίου (σελ. 254) μπορείτε να βρείτε έναν πίνακα με τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς των γωνιών από 1° έως 89°, για να τον χρησιμοποιήσετε στις ασκήσεις.

Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένηςοξείας γωνίας ω

Ας εξετάσουμε τώρα τι συμβαίνει όταν μεταβάλλεται η γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης ή τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών πουβρίσκεται στο τέλος του βιβλίου, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

ΛύσηBρίσκουμε ότι:

8,1442,4751,0720,532εφαπτομένη

0,1220,3750,6820,883συνημίτονο

0,9920,9270,7310,469ημίτονο

83°68°47°28°

εφαπτομένη

συνημίτονο

ημίτονο

83°68°47°28°


36tantan36

36coscos36

36sinsin36

tancossin

Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης2.3.

2.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (147-151) 19-12-06 00:03 ™ÂÏ›‰·147

Από τον προηγούμενο πίνακα παρατηρούμε ότι:

Γεωμετρικά, τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται σταδιπλανά σχήματα:Σχηματίζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΕ, ΟΓΖ, μεσταθερή υποτείνουσα R = ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ και θεωρούμε τρειςγωνίες: ω < φ < θ.Παρατηρούμε ότι: ΑΔ < ΒΕ < ΓΖ.

Επομένως, διαιρώντας με R έχουμε ότι: < < ή

ημω < ημφ < ημθ.

Στο ίδιο σχήμα παρατηρούμε ότι: ΟΔ > ΟΕ > ΟΖ.

Οπότε: > > ή συνω > συνφ > συνθ.

Ας θεωρήσουμε ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ, ΟΑΔ μεσταθερή τη μία κάθετη πλευρά ΟΑ και ορθή τη γωνία

∧Α.

Παρατηρούμε ότι, όταν η οξεία γωνία με κορυφή το σημείο Ομεγαλώνει, δηλαδή: ω < φ < θ, τότε μεγαλώνει αντίστοιχα ηαπέναντι κάθετη πλευρά: ΑΒ < ΑΓ < ΑΔ.

Επομένως: < < ή εφω < εφφ < εφθ.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = 5 cm, OB = 8 cm και

ΑΓ = 2 cm. Nα υπολογίσετε την απόσταση ΒΔ.

Παρατηρούμε ότι στο σχήμα υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα ΟΑΓ και ΟΒΔ με

κοινή γωνία θ.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε: ημθ = .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΔ έχουμε: ημθ = .

Άρα, θα ισχύει ότι: = οπότε: ΒΔ = � OB ή ΒΔ = � 8 = = 3,2 (cm).165

25

ΑΓΟΑ

ΒΔΟΒ

ΑΓΟΑ

ΒΔΟΒ

ΑΓΟΑ

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

● Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες.

● Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα συνημίτονα, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες.

● Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσες εφαπτομένες, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες.

ΑΔΟΑ

ΑΓΟΑ

ΑΒΟΑ

ΟΖR

ΟΕR

ΟΔR

ΓΖR

BER

ΑΔR

Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται, τότε: αυξάνεται το ημίτονότης, ελαττώνεται το συνημίτονό της και αυξάνεται η

εφαπτομένη της.

148 Μέρος B’ - 2.3. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

Α

Γ

ΔΕΖΟ

RR

R

Β

Δ

Γ

Β

ΑΟ

ω φ

θ

ωφ θ

OΔ

Α

Γ

Β

θ

2.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (147-151) 19-12-06 00:03 ™ÂÏ›‰·148

Το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζει μια πίστα

του σκι με το οριζόντιο επίπεδο είναι ημ∧Β = 0,31.

Αν ένας σκιέρ βρίσκεται σε σημείο Γ ύψους

ΑΓ = 155 m από το έδαφος, να βρεθεί η απόσταση

ΒΓ που θα διανύσει ο σκιέρ ώσπου να φτάσει στο

έδαφος.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧Α = 90°) πρέπει να βρούμε την πλευρά (υποτείνουσα)

ΒΓ γνωρίζοντας ότι: ΑΓ = 155 m και ημ∧Β = 0,31.

Έχουμε ότι: ημ∧Β = ή ΒΓ = ή ΒΓ = ή ΒΓ = 500 m.

Ένας παρατηρητής Α, που βρίσκεται 100 m

από την ακτή Β και 150 m από ένα δέντρο Γ,

θέλει να υπολογίσει την απόσταση ΒΔ του

πλοίου Δ από την ακτή Β. Μ’ ένα γωνιόμετρο

(ένα όργανο που μας επιτρέπει να μετράμε

γωνίες) σκοπεύει το πλοίο και το δέντρο και

βρίσκει τη γωνία Δ∧ΑΓ=70°. Αν

∧Γ = 90°, να

υπολογίσετε την απόσταση ΔΒ.

Έστω x = ΒΔ η απόσταση του πλοίου από την ακτή. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ

χρησιμοποιούμε το συνημίτονο της γωνίας των 70°.

Eίναι: συν70° = = =

M’ έναν επιστημονικό υπολογιστή τσέπης βρίσκουμε: συν70° = 0,34, οπότε η παρα-

πάνω σχέση γίνεται 0,34 = και έχουμε:

(100 + x) � 0,34 = 150 ή

34 + 0,34 x = 150 ή

0,34 x = 150 – 34 ή

x = = 341,18 (m).1160,34

150100 + x

150100 + x

ΑΓAΔ


Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

1550,31

ΑΓ

ημ∧Β

ΑΓΒΓ

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος B’ - 2.3. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης 149

Γ

ΒΑ

155 m

2.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (147-151) 19-12-06 00:03 ™ÂÏ›‰·149

Nα κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις που αφορούν

τις γωνίες των διπλανών ορθογωνίων τριγώνων:

α) A: φ < θ B: φ = θ Γ: φ > θ

β) A: ω < y B: ω = y Γ: ω > y

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λανθασμένο).ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) ημ13° < ημ15°

β) συν13° < συν15°

γ) συν57° < συν27°

δ) ημ57° < ημ27°

ε) ημ32° < ημ23°

στ) συν32° < συν23°

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

150 Μέρος B’ - 2.3. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης

θ

45

φ

3

4yω

(α) (β)

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Να υπολογίσετε το x σε καθένα από τα

παρακάτω τρίγωνα:

Nα υπολογίσετε το x στα παρακάτωτρίγωνα:

Σ’ ένα ιστιοπλοϊκόσκάφος το ύψος τουκαταρτιού έως τοσημείο Α είναι 8 m.Να βρείτε το μήκοςπου έχουν τα συρμα-τόσχοινα που στηρί-ζουν τα πανιά, αναυτά σχηματίζουνγωνίες 55° και 70°αντίστοιχα με το επίπεδο της θάλασσας.

Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσειένα σπίτι με υπόγειο γκαράζ. Το ύψοςτου γκαράζ πρέπει να είναι ΒΓ = 2,25 mκαι η κλίση της ράμπας θ = 13°.Να βρείτε το μήκος ΑΓ της ράμπας καιτην απόσταση ΑΒ του σημείου Α από τοσπίτι.

4

3

2

1

15 cm

A

A

B

B

Γ

Γ

x

x1 cm

28°

A

B Γ

68°

50°

x

α)

β)

γ)5 cm

63° xx5

10

35°β)α)

x

4840°

38°δ)γ)x

x

550°

ε)

Α

2.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (147-151) 19-12-06 00:03 ™ÂÏ›‰·150

Μέρος B’ - 2.3. Mεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης 151

Να διατάξετε από τον μεγαλύτερο στονμικρότερο τους τριγωνομετρικούς αριθ-μούς (χωρίς να τους υπολογίσετε):α) ημ37°, ημ56°, ημ16° και ημ20°β) συν25°, συν36°, συν20° και συν28°γ) εφ18°, εφ22°, εφ51° και εφ89°

Μια σκάλα ύψους6 m είναι ακουμπι-σμένη σε τοίχούψους 7 m. Γιαλόγους ασφαλείας,η γωνία στο έδαφοςπρέπει να είναι 75°.Να βρείτε την από-σταση ΑΒ όπουπρέπει να τοποθε-τηθεί η βάση τηςσκάλας από τοντοίχο, καθώς καιτην απόσταση ΓΔαπό το πάνω μέρος της σκάλας έως τοπάνω μέρος του τοίχου.

Ένας γεωλόγος θέλει να υπολογίσει τηναπόσταση από το σημείο Α, όπουβρίσκεται, μέχρι το σπίτι Μ στην άλληπλευρά ενός ποταμού. Χρησιμοποιεί έναγειτονικό σημείο Β που βρίσκεται σε

απόσταση ΑΒ = 20 m και με τη βοήθειαενός γωνιόμετρου βρίσκει ότι Α

∧ΒΜ = 78°

και Β∧ΑΜ = 70°. Να υπολογίσετε τις

αποστάσεις ΑΗ και ΑΜ.

Η ακτίνα της Γης είναι R=ΓΑ=6371 kmκαι η γωνία Α

∧ΓΣ είναι 89,05°. Να υπολο-

γίσετε με τη βοήθεια του παρακάτω σχή-ματος την απόσταση Γης - Σελήνης (ΓΣ).

8

7

6

5

ΓΗ

ΣΕΛΗΝΗ

Γ

Σ

Α�

2.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (147-151) 19-12-06 00:03 ™ÂÏ›‰·151

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 45°

Ας θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνοΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ = ΑΓ = 1 cm. Τότε οι γωνίεςτης βάσης του είναι

∧Β =

∧Γ = 45°. Να υπολογίσετε τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ45°, συν45° και εφ45°.

ΛύσηΑπό το Πυθαγόρειο θέωρημα έχουμε:

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 = 12 + 12 = 2, άρα ΒΓ = ��2.

Επομένως: ημ45° = = = =

συν45° = = =

εφ45° = = = 1

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τωνγωνιών 30° και 60°

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓκαι ΑΒΓ΄ με κοινή πλευρά την ΑΒ, οξείες γωνίες

∧Β1=

∧Β2= 30°

και υποτείνουσες ΒΓ = ΒΓ΄ = 2 cm, όπως φαίνεται στοδιπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούςαριθμούς ημ30°, συν30°, εφ30°, ημ60°, συν60° και εφ60°.

ΛύσηΤο τρίγωνο ΒΓΓ΄ είναι ισόπλευρο, αφού όλες οι γωνίεςτου είναι 60°, οπότε:ΓΓ΄ = 2 cm και AΓ = ΑΓ΄ = 1 cm.Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ότι:

ημ∧Β2 = ημ30° = = .

Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας ∧Β2 = 30°,

θα υπολογίσουμε πρώτα την πλευρά ΑΒ.Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ότι:ΑΒ2 = ΒΓ2 – ΑΓ2 = 22 – 12 = 3, οπότε ΑΒ = ��3.

Επομένως: συν∧Β2 = συν30° = = .

��32

ΑΒΒΓ

12

ΑΓΒΓ


11

ΑΓΑΒ

��22

1��2

ΑΒΒΓ

��22

1��2(��2 )2

1��2

ΑΓΒΓ


Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°2.4.

Α

ΓΒ

1 cm

1 cm

45° 45°

Β

ΓΑ

30°30°

2 cm

2 cm

Γ΄

1

60° 60°

2

90°

2.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (152-155) 19-12-06 00:05 ™ÂÏ›‰·152

Ακόμα: εφ∧Β2 = εφ30° = = = = = .

Επίσης, στο ίδιο σχήμα μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο, το συνημίτονο και την

εφαπτομένη της γωνίας ∧Γ = 60°:

ημ∧Γ = ημ60° = = , συν

∧Γ = συν60° = = και

εφ∧Γ = εφ60° = = = ��3.

Σύμφωνα, λοιπόν, με τα παραπάνω έχουμε τον πίνακα:

Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισότητα: ημ245° = 1 – ημ30°.

Γνωρίζουμε ότι ημ45° = , οπότε ημ245° = ( )2= = .

Eπίσης, γνωρίζουμε ότι ημ30° = , οπότε 1 – ημ30° = 1 – = .

Επομένως ημ245° = 1 – ημ30° = .

Να αποδείξετε ότι το ύψος και το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς

α, δίνονται από τους τύπους: υ = και Ε = .

Φέρνουμε το ύψος ΑΜ του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ, οπότε:

ημ∧Β = ημ60° = ή = ή υ = α � .

Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου είναι:

(ΑΒΓ) = α � υ = α � α � = .

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = ημ30° + συν60° + 2συν30° – 2εφ45° + 2ημ45°.

Έχουμε: Α = ημ30° + συν60° + 2συν30° – 2εφ45° + 2ημ45°

= + + 2 � – 2 � 1 + 2 � = 1 + ��3 – 2 + ��2 = ��3 + ��2 – 1��22

��32

12

12

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

α2��34

��32

12

12

��32

υα

��32

ΑΜΑΒ

Λύση:

α2��34

α��32

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12

12

12

12

12

24

��22

��22

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

��31��3⎯3εφαπτομένη

1⎯2��2⎯2

��3⎯2συνημίτονο

��3⎯2��2⎯2

1⎯2ημίτονο

60°45°30°

��31

ΑΒΑΓ

12

ΑΓΒΓ

��32

ΑΒΒΓ

��33

��3(��3)2

��3��3 � ��3

1��3

ΑΓΑΒ

Μέρος Β’ - 2.4. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60° 153

Α

Γα

Μ

30°30°

α

α

Β60° 60°

2.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (152-155) 19-12-06 00:05 ™ÂÏ›‰·153

Σε κάθε αριθμό της στήλης Α να αντιστοιχίσετε

τον ίσο του αριθμό που βρίσκεται στη στήλη Β.

Aν ημθ = συνθ, όπου θ οξεία γωνία, τότε:Α: θ = 30° Β: θ = 45° Γ: θ = 60° Δ: θ = 90°Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη):ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

α) ημ60° = 2ημ30°

β) 2συν60° = 1

γ) ημ45° + συν45° = 2ημ45°

δ) συν30° = ημ60°

ε) συν60° = ημ30°

Στο διπλανό κύβο για τη γωνία θ = Β∧AΓ, ισχύει ότι:

Α: συνθ = Β: συνθ =

Γ: συνθ = Δ: συνθ = 1


��22

��32

12

4 .

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

154 Μέρος Β’ - 2.4. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°

α) συν60°

β) ημ45°

γ) ημ30°

δ) ημ60°

ε) συν45°

στ) συν30°


i) 1ii) ��3

3

iii) ��22

iv) ��23

v) ��32

Α

Β

Γ

θ

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Να υπολογίσετε τις πλευρές α και β ενόςορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ στις παρα-κάτω περιπτώσεις:α)

∧A = 90°,

∧B = 30°, γ = 5 cm.

β)∧A = 90°,

∧B = 45°, γ = 7 cm.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές

ΑΒ = 12 cm, ΒΓ = 5 cm, ΑΓ = 13 cm.

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο.

β) Να υπολογίσετε το ημ∧Α και το συν

∧Α.

Nα αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:

α) ημ230° + ημ245° + ημ260° = .

β) 2ημ230°+2συν260°–2ημ245° = 0.

Να βρείτε την τιμή της παράστασηςΑ = 2ημ2ω – συνω στις παρακάτωπεριπτώσεις:

α) ω = 30° β) ω = 45° γ) ω = 60°

4

32

3

2

1

2.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (152-155) 19-12-06 00:06 ™ÂÏ›‰·154

Μέρος Β’ - 2.4. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60° 155

Ένα αεροπλάνο Α πετά σε ύψος 1500mκαι φαίνεται από τον πύργο ελέγχου τουαεροδρομίου με γωνία 30°. Ποια είναι ηοριζόντια απόσταση ΠΒ από τον πύργοελέγχου;

Στο διπλανό σχήμανα υπολογίσετε τιςαποστάσεις ΑΒ καιΑΔ.

Να υπολογίσετε το συνολικό μήκος τηςτεθλασμένης γραμμής ΑΒΓΔ στο παρα-κάτω σχήμα.

Στο παρακάτω σχήμα το σημείο Γ είναιμέσο του ΑΒ. Να υπολογίσετε:α) τη γωνία θβ) την απόσταση ΑΕγ) την απόσταση ΕΔ

Να υπολογίσετετην περίμετροτου διπλανούσχήματος.

Στο παρακάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ να υπο-λογίσετε το μήκος της μεγάλης βάσης ΓΔ.

Σε μια ρώγα από σταφύλι...Δύο σπουργίτια βρίσκονται στην κορυφήδύο στύλων ύψους 5 m και 9 mαντίστοιχα, όπως φαίνεται στο παρακάτωσχήμα. Ξεκινούν την ίδια στιγμή και μετην ίδια ταχύτητα με στόχο μια ρώγα απόσταφύλι που βλέπουν υπό γωνίες 60° και30° στο έδαφος στο σημείο Ρ. Ποιο απότα δύο σπουργίτια θα φτάσει πρώτο τηρώγα;

Για ν’ ανέβουμε στον 2ο όροφο ενόςεμπορικού κέντρου χρησιμοποιούμε τιςκυλιόμενες σκάλες, όπως βλέπουμε στοσχήμα. Να υπολογίσετε το ύψος του 2ουορόφου από το έδαφος.

12

11

10

9

8

7

6

5

Β Π

1500 m

30°

Α

30°

B

8 m

Γ

Δ

A45°

A

B

Γ

Δ

3 m3 m

60°45° 30°Ζ Η

Δ

θ

30°

6 cm

Α

Γ

ΒΕ

6

6

6

x

x120°

120°

Α Β

4

5

6

ΓΔ60° 45°

P

2.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (152-155) 19-12-06 00:06 ™ÂÏ›‰·155

Χαρακτηριστικά στοιχεία ενός διανύσματοςΌταν μετράμε ένα μέγεθος, όπως π.χ. το χρόνο πουχρειαζόμαστε για να διαβάσουμε αυτή την παράγραφο,γράφουμε τη μέτρηση ως έναν αριθμό που ακολουθείταισυνήθως από μία μονάδα μέτρησης. Για παράδειγμα,χρειαζόμαστε 30 δευτερόλεπτα για να διαβάσουμε τηνπαράγραφο αυτή. Χρησιμοποιώντας το σύμβολο t για τοχρόνο, γράφουμε: t = 30 (s).

Mερικά μεγέθη προσδιορίζονται πλήρως, αν δοθεί μόνο το μέτρο τους. Για παράδειγμα:ο χρόνος, που εκφράζεται σε ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα κ.τ.λ., η θερμοκρασία πουεκφράζεται σε βαθμούς Κελσίου, Φαρενάϊτ κ.τ.λ., η μάζα που εκφράζεται σε χιλιόγραμμα,γραμμάρια κ.τ.λ.Tέτοια μεγέθη λέγονται βαθμωτά ή μονόμετρα μεγέθη. Όμως, δεν είναι όλα τα μεγέθημονόμετρα. Υπάρχουν και άλλα, που εκτός από μέτρο έχουν και κατεύθυνση. Ένα παράδειγματέτοιου μεγέθους είναι το παρακάτω:

Ο Αντώνης συζητά με το Βαγγέλη για ένα αυτοκίνητο πουπέρασε από μπροστά του την ώρα που βρισκόταν σε ένασταυροδρόμι, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.Αντώνης: Άσε, Βασίλη, πέρασε από μπροστά μου ένα αυτοκί-νητο σαν σίφουνας! Πρέπει να έτρεχε τουλάχιστον με 100χιλιόμετρα την ώρα.Βαγγέλης: Καλά, προς τα πού πήγαινε τόσο γρήγορα;Μπορείτε να περιγράψετε την κίνηση του αυτοκινήτου;

ΛύσηΓια να προσδιορίσουμε πλήρως την κίνηση του αυτοκινήτου,πρέπει να γνωρίζουμε:α) Από ποιο σημείο ξεκίνησε το αυτοκίνητο. Στο διπλανό

σχήμα φαίνεται ότι ξεκίνησε από το περίπτερο.β) Προς ποια κατεύθυνση ή αλλιώς με ποια φορά κινείται;

Στο σχήμα φαίνεται ότι κινείται νότια.γ) Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία κινείται. Εδώ, το

μέτρο της ταχύτητας είναι 80 km/h.Bλέπουμε, λοιπόν, ότι δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο της ταχύτητας (80 km/h) αλλά για να καταλάβουμε προς τα πούκινείται το αυτοκίνητο, χρειάζεται η αρχική του θέση και ηκατεύθυνσή του.

Μεγέθη, όπως η ταχύτητα, που έχουν μέτρο καικατεύθυνση, ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη.


Η έννοια του διανύσματος2.5.

περίπτερο

υ = 80 km/h

Β

ΑΔ

Ν

2.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (156-161) 19-12-06 00:08 ™ÂÏ›‰·156

Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα πουσυμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο Α που είναι η αρχήκαι λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείοΒ που είναι το πέρας (τέλος) του διανύσματος.

Το διάνυσμα, τότε, συμβολίζεται με ³ΑΒ.

Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία:α) Διεύθυνση, την ευθεία ε που ορίζουν τα άκρα Α, Β ή

οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή.β) Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το

Α και πέρας το Β (³ΑΒ) ή αρχή το Β και πέρας το Α (³ΒΑ).γ) Μέτρο, το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο

συμβολίζουμε με � ³ΑΒ�. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας αριθμόςθετικός ή μηδέν.

Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενόςδιανύσματος.


Συχνά για ευκολία συμβολίζουμε τα διανύσματα με μικρά γράμ-

ματα της ελληνικής αλφαβήτου: ±α,

±β,

±γ,...

Τα διανύσματα παίζουν βασικό ρόλο στη Φυσική. Εκτός από τη

μετατόπιση και την ταχύτητα άλλα διανυσματικά μεγέθη είναι η

επιτάχυνση, η δύναμη, το βαρυτικό, το ηλεκτρικό, το μαγνητικό

πεδίο κ.ά.

Μέτρο διανύσματοςΓια να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια του μέτρου τουδιανύσματος, αρκεί να καταλάβουμε τη διαφορά μεταξύαπόστασης και μετατόπισης. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ένα πλοίο του Πολεμικού Ναυτικού συμμετέχει σε μια άσκηση.

Αποπλέει αρχικά από τη Σαλαμίνα (Α) και σταματάει διαδοχικά

σε τέσσερα προκαθορισμένα σημεία ανεφοδιασμού (Β), (Γ), (Δ)

και (Ε). Διανύοντας τις αποστάσεις που φαίνονται στον πίνακα,

ποια είναι η συνολική απόσταση που διένυσε το πλοίο και ποιαείναι η απόσταση της αρχικής και της τελικής του θέσης;

70 ναυτικά μίλια(Δ) ±± (Ε)

300 ναυτικά μίλια(Γ) ±± (Δ)

350 ναυτικά μίλια(Β) ±± (Γ)

240 ναυτικά μίλια(Α) ±± (Β)

ΑπόστασηΔιαδρομή


Μέρος Β’ - 2.5. Η έννοια του διανύσματος 157

Α

Α

B

Α

B

Bε

ζη

±α

Α

Β

550

240

350

300

70

Γ

Δ

Ε

2.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (156-161) 19-12-06 00:08 ™ÂÏ›‰·157

ΛύσηΗ συνολική απόσταση που διένυσε το πλοίο είναι:

� ³ΑΒ� + � ³ΒΓ� + � ³ΓΔ � +� ³ΔΕ� = 240 + 350 + 300 + 70 = 960 ναυτικά

μίλια.

Η απόσταση της αρχικής και τελικής του θέσης είναι:

� ³ΑΕ� = 550 ναυτικά μίλια.

Η απόσταση είναι βαθμωτό (αριθμητικό) μέγεθος. Λέμε, π.χ.

ότι το πλοίο διένυσε απόσταση 960 ναυτικών μιλίων, αλλά δεν

ξέρουμε πού πήγε.

Ποια είναι όμως η μετατόπιση του πλοίου;Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος. Λέμε, π.χ. ότι τοπλοίο ξεκίνησε από τη Σαλαμίνα και μετατοπίστηκε 240 ναυτικάμίλια προς Νότο, οπότε ξέρουμε ακριβώς από πού ξεκίνησε καιπού κατέληξε. Η τελική μετατόπιση του πλοίου εκφράζεται απότο διάνυσμα ³ΑΕ, καθώς μας ενδιαφέρει η αρχική και η τελικήθέση του πλοίου.Ας προσέξουμε ιδιαίτερα ότι το μέτρο της μετατόπισης ³ΑΕ είναι

� ³ΑΕ� = 550 ναυτικά μίλια και δεν έχει καμία σχέση με τη συνο-

λική απόσταση που διένυσε από τη Σαλαμίνα έως το τελευταίο

σημείο ανεφοδιασμού (960 ναυτικά μίλια).

Ίσα και αντίθετα διανύσματα

Σε μια μετακόμιση ο Μιχάλης και ο Γρηγόρης προσπαθούν ναμετακινήσουν ένα θρανίο σπρώχνοντάς το από τα δύο άκρατου, όπως φαίνεται στο σχήμα, σε μια παράλληλη θέση.Τι νομίζετε ότι ισχύει για τις δυνάμεις που εφαρμόζει ο Μιχάληςκαι ο Γρηγόρης στα άκρα του θρανίου;

ΛύσηΌπως καταλαβαίνουμε τα διανύσματα

±F1 και

±F2 θα είναι ίσα.

Ας θυμηθούμε ένα παιχνίδι που παίζεται συχνά στις παραλίες ή

στις κατασκηνώσεις. Δύο ομάδες παιδιών αρχίζουν να τραβάνε

ένα σχοινί προς αντίθετη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο

διπλανό σχήμα. Ακριβώς στη μέση του σχοινιού υπάρχει μια

γραμμή. Αν μία ομάδα καταφέρει να τραβήξει τον πρώτο παίκτη

της άλλης ομάδας μετά τη γραμμή, τότε η ομάδα κερδίζει.Βλέπουμε ότι οι δυνάμεις που ασκούνται από τις δύο ομάδες,

Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουν την ίδιαδιεύθυνση, την ίδια φορά και ίσα μέτρα.


158 Μέρος Β’ - 2.5. Η έννοια του διανύσματος

³³F1³³F2

2.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (156-161) 19-12-06 00:08 ™ÂÏ›‰·158

όταν παραμένουν ακίνητες, αλληλοεξουδετερώνονται ή όπωςλέμε, είναι αντίθετες.

Δίνεται το διπλανό τετράγωνο ΑΒΓΔ. Ποια από τα διανύσματα³ΑΒ, ³ΒΓ, ³ΓΔ, ³ΔΓ, ³ΔΑ, ³ΑΔ,

α) έχουν ίσα μέτρα;

β) είναι ίσα;

γ) είναι αντίθετα;

α) Γνωρίζουμε ότι οι πλευρές ενός τετραγώνου έχουν το ίδιο μήκος.

Επομένως, τα διανύσματα ³ΑΒ, ³ΒΓ, ³ΓΔ, ³ΔΓ, ³ΔΑ και ³ΑΔ έχουν ίσα μέτρα.

Δηλαδή: �³ΑΒ� = �³ΒΓ� = �³ΓΔ � = �³ΔΓ � = �³ΔΑ� = �³ΑΔ�.

β) Τα διανύσματα ³ΑΒ και ³ΔΓ είναι ίσα, γιατί έχουν ίδια διεύθυνση και φορά και ίσα

μέτρα. Ομοίως, τα διανύσματα ³ΒΓ και ³ΑΔ είναι ίσα.

Δηλαδή: ³ΑΒ = ³ΔΓ και ³ΒΓ = ³ΑΔ.

γ) Τα διανύσματα ³ΑΒ και ³ΓΔ είναι αντίθετα, γιατί έχουν ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα

και αντίθετη φορά. Ομοίως τα διανύσματα ³ΒΓ και ³ΔΑ είναι αντίθετα.

Στο παραπάνω σχήμα οι αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων είναι ίσες με 1 cm.

Nα βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων ³ΟΒ, ³ΟΓ, ³ΓΛ, ³ΘΖ, ³ΔΑ, ³ΡΔ, ³ΤΛ, ³ΚΘ, ³ΝΑ, ³ΑΖ

και ³ΓΛ. Ποια από τα διανύσματα αυτά είναι μεταξύ τους ίσα και ποια αντίθετα;

To μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ είναι 2 cm. Δηλαδή: � ³ΟΒ � = 2.

Ομοίως βρίσκουμε: � ³ΟΓ � = 3, � ³ΓΛ � = 5, � ³ΘΖ � = 2, � ³ΔΑ � = 3, � ³ΡΔ � = 9, � ³ΤΛ � = 5, � ³ΚΘ � = 9,

� ³ΝΑ � = 5, � ³ΒΗ � = 5 και � ³ΡΚ � = 4.

Ίσα διανύσματα είναι τα: ³ΤΛ = ³ΝΑ = ³ΒΗ και ³ΡΔ = ³ΚΘ.

Αντίθετα είναι τα: ³ΓΛ και ³ΤΛ, ³ΓΛ και ³ΝΑ, ³ΓΛ και ³ΒΗ, ³ΔΑ και ³OΓ, ³ΟΒ και ³ΘΖ.

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια

διεύθυνση, ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.


Α

Δ

Β

Γ

Y T Σ Ρ Ν Μ Λ Κ Ο Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ

2.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (156-161) 19-12-06 00:08 ™ÂÏ›‰·159

Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές;

α) ³ΑΒ = ³ΔΓ

β) ³ΑΓ = ³ΒΔ

γ) ³ΑΟ = ³ΟΔ

δ) ³ΟΑ = ³ΟΓ

ε) ³ΟΑ = ³ΟΒ

Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές;

α) ³ΑΔ = ³ΒΓ

β) � ³ΑΔ � = � ³ΑΒ �γ) � ³ΟΑ � = � ³ΟΒ �δ) ³ΔΑ = ³ΒΑ

ε) ³ΟΔ = ³ΟΒ

Στο διπλανό εξάγωνο όλα τα τρίγωνα διαφορετικού

χρώματος είναι ισόπλευρα. Να συμπληρώσετε τις

παρακάτω ισότητες:

α) ³ΑΒ = ³Ε... = ³...Γ = ³...Ο

β) ³ΑΖ = ³Β... = ³...Δ = ³...Ε

γ) � ³ΒΓ � = � ³Ε... � = � ³Ε... � = � ³Ε... �

Ποια από τα παρακάτω μεγέθη χρειάζονται ένα διάνυσμα για να παρασταθούν;

α) βάρος β) ύψος γ) μάζα δ) ταχύτητα

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

4 .

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

160 Μέρος Β’ - 2.5. Η έννοια του διανύσματος

Α

Γ

Ο

Δ

B

Α

O B

Γ

Δ

Α B

ΟΓ

ΔΕ

Ζ

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Στο εξάγωνο του

διπλανού σχήμα-

τος όλες οι πλευ-

ρές είναι ίσες.

Από τα διανύσμα-

τα ³ΑΒ, ³BΓ, ³ΓΔ, ³ΕΔ, ³ΕΖ και ³ΑΖ ποια

είναι ίσα και ποια αντίθετα;

Ποια από τα διανύσματα του σχήματος

είναι ίσα με το διάνυσμα ³ΑΒ;

Ποια είναι αντίθετα με το ³ΑΒ;

21 Α B

Γ

ΔΕ

Ζ

±α

±γ

±κ

±λ

±θ ±

δ

±ι

±ε ±

η

±ζ

±β

Α

Β

2.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (156-161) 19-12-06 00:08 ™ÂÏ›‰·160


Τα διανύσματα ±α και

±β του παρακάτω

σχήματος έχουν ίσα μέτρα. Να εξετάσετε

αν τα διανύσματα αυτά είναι ίσα.

Ποια από τα διανύσματα του παρακάτω

σχήματος:

α) έχουν ίσα μέτρα;

β) είναι ίσα;

γ) είναι αντίθετα;

Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων ±α,

±β,

±γ και

±δ του σχήματος.

Σ’ ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ να

σχεδιάσετε με αρχή το σημείο Γ, ένα

διάνυσμα ³ΓΔ αντίθετο του ³ΑΒ και στη

συνέχεια να σχεδιάσετε με αρχή το

σημείο Δ, το διάνυσμα ³ΔΑ.

Να αποδείξετε ότι το ³ΔΑ είναι αντίθετο

του ³ΒΓ.

Στη δοκό ΑΓ έχουν σχεδιαστεί οι δυνά-

μεις ±F1,

±F2,

±Β,

±F3,

±F4,

±F5.

Nα βρείτε ποιες από αυτές:

α) έχουν ίδια διεύθυνση

β) έχουν αντίθετη φορά

γ) είναι αντίθετες

δ) είναι ίσες

ε) έχουν ίσα μέτρα

7

6

5

4

3

±α

±β

±α

±γ

±δ

±β

1cm { {

1cm

Α

Γ

Β = 20Ν

F1 = 5Ν

F2 = 5Ν

F5 = 7Ν

F3 = 7Ν

F4 = 5Ν

°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::

™ÙÔ ÛÎ¿ÎÈ, Ë ‚·Û›ÏÈÛÛ·ÌÔÚÂ› Ó· ÎÈÓËıÂ› ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·,Î¿ıÂÙ· Î·È ‰È·ÁÒÓÈ·,fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.ªÔÚÂ›ÙÂ Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙÂ¿ÏÏÂ˜ 4 ‚·Û›ÏÈÛÛÂ˜,¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ, Ì·˙› Ì’ ·˘Ù‹ÓÔ˘ ¤¯ÂÈ ‹‰Ë ÙÔÔıÂÙËıÂ›,Ó· Î·Ï‡ÙÔ˘Ó Î·È Ù· 64ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙÔ˘ ÛÎ·ÎÈÔ‡;

±α ±

κ

±ι

±ε

±ζ

±θ

±γ

±β

±δ

2.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (156-161) 19-12-06 00:08 ™ÂÏ›‰·161

Άθροισμα διανυσμάτωνΣτη δραστηριότητα 2 της προηγούμενης παραγράφου είδαμεότι η τελική μετατόπιση ήταν το διάνυσμα ³ΑΕ. Οι διαδοχικέςμετατοπίσεις ήταν τα διανύσματα: ³ΑΒ, ³ΒΓ, ³ΓΔ και ³ΔΕ, τα οποίαλέγονται διαδοχικά διανύσματα, γιατί το τέλος του καθενός είναιη αρχή του επoμένου. Είναι φανερό ότι το άθροισμα τωνδιαδοχικών μετατοπίσεων ισούται με την τελική μετατόπιση,δηλαδή: ³ΑΒ + ³ΒΓ + ³ΓΔ + ³ΔΕ = ³ΑΕ.Με τον τρόπο αυτό ορίζεται το άθροισμα διαδοχικώνδιανυσμάτων. Τι γίνεται, όμως, όταν τα διανύσματα δεν είναιδιαδοχικά; Ας δούμε ένα διαφορετικό παράδειγμα.

Ο Σέργιος είναι καπετάνιος ενός ιστιοπλοϊκού, που έχειαναμμένη τη μηχανή του και κρατάει σταθερή πορεία. Χωρίς ναελέγξει την κατεύθυνση του ανέμου που φυσάει, σηκώνει το έναπανί. Το ιστιοπλοϊκό αρχίζει να αλλάζει πορεία, καθώς ο άνεμοςφυσά προς άλλη κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα.Αν

±F1 είναι η δύναμη που ασκεί στο σκάφος η μηχανή και

±F2 η

δύναμη που ασκεί στο σκάφος ο άνεμος, προς ποιακατεύθυνση θα κινηθεί το ιστιοπλοϊκό;

ΛύσηΈχουμε λοιπόν δύο δυνάμεις

±F1 (μηχανή) και

±F2 (άνεμος) που

ασκούνται στο ιστιοπλοϊκό ταυτόχρονα και θέλουμε να βρούμε

τη συνισταμένη δύναμη, όπως λέμε στη Φυσική, δηλαδή το

άθροισμα των δύο διανυσμάτων ±F1 και

±F2.

Μεταφέρουμε παράλληλα το διάνυσμα ±F1, έτσι ώστε να γίνει

διαδοχικό με το ±F2, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε:

±F1 +

±F2 = ³ΑΒ + ³ΑΔ = ³ΑΔ + ³ΔΓ = ³ΑΓ =

±Fολ.

Oι δυνάμεις ±F1 και

±F2 λέγονται συνιστώσες της

±Fολ.

Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε το ±Fολ είναι να δούμε ότι

αποτελεί τη διαγώνιο ³ΑΓ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.

Επομένως, έχουμε δύο μεθόδους, για να βρίσκουμε τοάθροισμα διανυσμάτων.

Α. Η μέθοδος του πολυγώνουΜεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε ναπροσθέσουμε, ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά.Το άθροισμα των

±α,

±β,

±γ, θα είναι το διάνυσμα

±δ, που θα

έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας τουτελευταίου.


Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων2.6.

Α

Β

550

240

350

300

70

Γ

Δ

Ε

±F1

±F1

±F2

±F1

±F1

±Fολ±

F2

Α Β

ΓΔ

±α

±β

±δ

±γ

2.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (162-167) 19-12-06 00:11 ™ÂÏ›‰·162

Β. Η μέθοδος του παραλληλογράμμου

Μεταφέρουμε τα διανύσματα ±α,

±β, έτσι ώστε να έχουν κοινή

αρχή και σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει

πλευρές τα διανύσματα ±α και

±β.

Η διαγώνιος ±δ του παραλληλογράμμου που έχει ως αρχή

την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων±α και

±β.

Διαφορά διανυσμάτωνΗ διαφορά δύο διανυσμάτων ³ΑΒ και ³ΓΔ συμβολίζεται με ³ΑΒ – ³ΓΔ και ορίζεται ως άθροισμα

του ³ΑΒ με το αντίθετο διάνυσμα του ³ΓΔ, δηλαδή με το ³ΔΓ: ³ΑΒ – ³ΓΔ = ³ΑΒ + (–³ΓΔ) = ³ΑΒ + ³ΔΓ.

Διαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή

³ΟΑ – ³ΟΒ = ³ΟΑ + ³ΒΟ

= ³ΒΟ + ³ΟΑ

= ³³ΒΑ

Το διάνυσμα ³ΒΑ είναι η

διαφορά του ³ΟΒ από το ³ΟΑ

³ΟΑ + ³ΒΟ =

= ³ΒΟ + ³ΟΑ

προσθέτουμε στο ³ΟΑ το αντί- θετο του ³ΟΒ, δηλαδή το ³ΒΟ.

Τα διανύσματα ³ΒΟ και ³ΟΑ

είναι διαδοχικά.

³ΟΑ – ³ΟΒ Για να αφαιρέσουμε δύο

διανύσματα με κοινή αρχή,

³ΑΒ – ³ΓΔ = ³ΑΒ +(–³ΓΔ)

= ³ΑΒ + ³ΔΓ

= ³ΑΒ + ³ΒΕ

= ³³ΑΕ

Το διάνυσμα ³ΑΕ είναι η

διαφορά του ³ΓΔ από το ³ΑΒ

³ΑΒ + ³ΔΓ = ³ΑΒ + ³ΒΕ Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε

ένα διάνυσμα ³ΒΕ ίσο με το ³ΔΓ.

³ΑΒ + ³ΔΓ προσθέτουμε στο ³ΑΒ το αντί-

θετο του ³ΓΔ, δηλαδή το ³ΔΓ.

³ΑΒ – ³ΓΔΓια να αφαιρέσουμε

δύο διανύσματα,

Μέρος Β’ - 2.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 163

±α

±β

±δ

ΑΒ

Γ

Δ

ΑΒ

Γ

Δ

ΑΒ

ΓΕΔ

ΑΒ

Γ

ΕΔ

O

A

B

O

A

B

O

A

B

2.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (162-167) 19-12-06 00:11 ™ÂÏ›‰·163

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η διαφορά ³ΟΑ – ³ΟΒ δύο διανυσμάτων ³ΟΑ, ³ΟΒ με κοινή αρχή Ο,

είναι ένα διάνυσμα ³ΒΑ, με αρχή το πέρας του δευτέρου και πέρας το πέρας του πρώτου.

Επομένως για τις διαγωνίους ³ΟΓ και ³ΒΑ του διπλανού

παραλληλογράμμου ισχύει: ³ΟΓ = ³α + ³β και ³ΒΑ = ³α – ³β.

Το μηδενικό διάνυσμαΤο άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος

(πέρας) ταυτίζονται. Το διάνυσμα αυτό λέγεται μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με ±0.

Eπομένως, το μηδενικό διάνυσμα είναι ένα σημείο, οπότε δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε

φορά. Το μέτρο του είναι ίσο με 0. Δηλαδή: �±0 � = 0.

Δίνεται τυχαίο τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι: ³ΑΒ – ³ΓΒ = ³ΑΔ – ³ΓΔ.

Έχουμε: ³ΑΒ – ³ΓΒ = ³ΑΒ + ³ΒΓ = ³ΑΓ.

Επίσης: ³ΑΔ – ³ΓΔ = ³ΑΔ + ³ΔΓ = ³ΑΓ.

Επομένως: ³ΑΒ – ³ΓΔ = ³ΑΔ – ³ΓΔ.

Τρεις δυνάμεις ασκούνται στο ιστοπλοϊκό του παρακάτω

σχήματος: η ±F1 από τη μηχανή του, η

±F2 από τα πανιά

του (αέρας) και το ρεύμα της θάλασσας ±F3 .

Σε ποιο νησί κατευθύνεται το ιστιοπλοϊκό;

Το ιστιοπλοϊκό κινείται κατά τη διεύθυνση της

συνισταμένης των τριών αυτών δυνάμεων, δηλαδή

του αθροίσματος ±F1 +

±F2 +

±F3 .

Αν σχηματίσουμε το άθροισμα αυτών των δυνάμεων,

η συνισταμένη τους δείχνει ότι το ιστιοπλοϊκό

κατευθύνεται προς τη Σέριφο.

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

164 Μέρος Β’ - 2.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

±α

Ο Β

ΓΑ

±β

±α +

±β

±α– ±β

ΑΒ

ΓΔ

2.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (162-167) 19-12-06 00:11 ™ÂÏ›‰·164

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να προσδιορίσετε το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: ³ΑΓ + ³ΒΜ + ³ΔΒ + ³ΓΔ =

±0.

Έχουμε: ³ΑΓ + ³ΒΜ + ³ΔΒ + ³ΓΔ = ±0 ή

³ΑΓ + ³ΓΔ + ³ΔΒ + ³ΒΜ = ±0 ή

³ΑΔ + ³ΔM =±0 ή

³ΑΜ = ±0

Το διάνυσμα ³ΑΜ ισούται με το μηδενικό διάνυσμα, οπότε η αρχή και το πέραςταυτίζονται. Επομένως, το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Α.

Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Σε καθεμιάαπό τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

α) ³ΑΒ + ³Β... = ³ΑΔ

β) ³ΒΓ = ³Β... + ³Δ...

γ) ³Γ... – ³Γ... = ³ΑΒ

δ) ³ΑΓ = ³Α... + ³ΒΔ + ³.....

Η ισότητα ³ΑΓ = ³ΑΒ + ³ΑΔ είναι σωστή σ’ ένα μόνο από τα παρακάτω σχήματα.

Μπορείτε να βρείτε σε ποιο;3 .

2 .

±0³ΑΔ³ΓΔ³ΑΒ+ ³ΓB+ ³BA+ ³ΒΔ=ε)

³ΑΓ³ΑΒ³ΑΔ³ΑΒ+ ³ΓΔ+ ³ΔΒ+ ³ΒΓ=δ)

Το τετράπλευρο ΑΒΔΓ

είναι παραλληλόγραμμο.ΑΔ = ΒΓ

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔείναι παραλληλόγραμμο.

Αν ³ΑΒ = ³ΓΔ, τότε:γ)

Το Α ταυτίζεταιμε το Γ.

Το Β είναι τομέσο του ΑΓ.

Το τρίγωνο ΑΒΓείναι ισοσκελές.

Αν ³ΑΒ = ³BΓ, τότε:β)

Το Β ταυτίζεταιμε το Γ.

Το Α είναι τομέσο του ΒΓ.

Το τρίγωνο ΑΒΓείναι ισοσκελές.

Αν ³ΑΒ = ³ΑΓ, τότε:α)

ΓΒΑ

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


Α

Α Α

Α: Β: Γ:

B B

B

Γ

Γ

Γ

Δ Δ Δ

Δ Γ

ΒΑ

2.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (162-167) 19-12-06 00:11 ™ÂÏ›‰·165

Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

παραλληλόγραμμο.

Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις.

³ΒΔ³ΟΑ³ΟΓ³ΟΔ³ΟΒ + ³ΑΔ=δ)

³ΒΔ³ΟΓ³ΟΔ³ΟΑ³ΟΒ + ³ΓΔ=γ)

³ΟΒ³ΟΔ³ΑΓ³ΟΓ³ΟΑ + ³ΒΓ=β)

³ΑΓ³ΔΒ³ΒΔ³ΒΓ³ΑΒ + ³ΑΔ=α)

ΔΓΒΑ

4 .

166 Μέρος Β’ - 2.6. Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων

Α

O

Β

ΓΔ

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Στο παρακάτω σχήμα να σχεδιάσετε τααθροίσματα:α)

±α +

±β β)

±β +

±γ γ)

±α +

±β +

±γ

Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ.Να υπολογιστούντα αθροίσματα:

α) ³ΑΒ + ³ΒΓ + ³ΓΔ

β) ³ΑΒ + ³ΒΓ + ³ΓΔ + ³ΔΑ

γ) ³ΑΒ – ³ΓΒ – ³ΑΔ

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ σημείοτης ΒΓ. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα:

α) ³ΔΓ + ³ΜΔ + ³ΑΜ

β) ³ΓΜ + ³ΜΒ + ³ΒΓ + ³ΒΔγ) ³ΒΓ + ³ΔΜ + ³ΑΒ + ³ΜΑ

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο τοσημείο τομής των διαγωνίων του.Να συγκρίνετε τιςδιαφορές:

α) ³ΒΟ – ³ΒΑ

β) ³ΒΓ – ³ΒΟγ) ³ΔΟ – ³ΔΑδ) ³ΔΓ – ³ΔΟ

Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευραΑΒΓΔ και ΒΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμα.

Να βρεθούν τα αθροίσματα:α) ³ΑΒ + ³ΑΔ β) ³ΕΓ + ³ΔΑγ) ³ΑΒ + ³ΒΓ δ) ³ΑΒ + ³ΖΕ + ³ΓΔ

Σε ένα σώμα ασκούνται οι δυνάμεις ±F1,±

F2 και ±F3, όπως βλέπουμε στο παρακά-

τω σχήμα. Να σχεδιάσετε τη συνισταμένη

τους.

Στο διπλανό

σχήμα να

σχεδιάσετε

τα διανύσμα-

τα ³ΑΔ, ³ΑΕ, ³ΑΖ και ³ΑΘ,

έτσι ώστε να

ισχύει:³ΑΔ = ³ΑΒ + ³ΑΓ,³ΑΕ = ³ΑΒ + ³ΓΑ,³ΑΖ = ³ΑΒ + ³ΑΒ και³ΑΘ = ³ΑΒ + ³ΒΓ + ³ΓΑ.

7

6

5

4

3

2

1

±±α

±±β

±±γ

Α Β

ΓΔ

Α Β

ΓΔ

Ο

Α Β

ΓΔ

Ζ

Ε

±±F1 ±±

F2

±±F3

Β

Γ

Α

2.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (162-167) 19-12-06 00:11 ™ÂÏ›‰·166


Aν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας

ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (∧Α=90°),

να αποδείξετε ότι: ³ΓΒ – ³ΓΑ = ³ΑΜ – ³ΜΓ.

Μία βάρκα διασχίζεικάθετα ένα ποτάμι.Αν η βάρκα κινείταιμόνο από τη μηχανήτης, θα έχει ταχύτη-τα με μέτρο 2 m/s. Ηβάρκα παρασύρεται,όμως, από το ρεύμα του ποταμού πουέχει ταχύτητα 0,6 m/s.

α) Να σχεδιάσετε τις δύο ταχύτητες.β) Να σχεδιάσετε την διεύθυνση που θα

πάρει τελικά η βάρκα.

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα

μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ.

Να αποδείξετε ότι: ³ΜΓ + ³ΜΔ = ³ΑΝ + ³ΒΝ.

109

8

Α B

ΓΔ

Μ

Ν

™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·, Ù· ÛËÌÂ›· ∫, §, ª, ¡, Â›Ó·È Ù· Ì¤Û· ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢.ªÔÚÂ›ÙÂ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙÂ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÔÛÙ·˘ÚfiÏÂÍÔ;

TT·· ‰‰ÈÈ··ÓÓ‡‡ÛÛÌÌ··ÙÙ·· ÛÛÙÙÔÔ ¯̄¿¿ÔÔ˜̃ÙÙËË˜̃ ÎÎ˘̆ÎÎÏÏÔÔÊÊÔÔÚÚ››··˜̃

™Â ÌÈ· fiÏË ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¤ÍÈ ÁÚ·ÌÌ¤˜ ÌÂÙÚfi.√ ¯¿ÚÙË˜ ÙˆÓ ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ú·-Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·. °È· Ó· ÌÂÙ·‚Ô‡ÌÂ ·fi ¤Ó·ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ fiÏË˜ ÛÂ ¤Ó· ¿ÏÏÔ, ÁÈ· ·Ú¿-‰ÂÈÁÌ· ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∑2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢3,ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó· ÎÈÓËıÔ‡ÌÂ ÌÂ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ÙÚfiÔ˘˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·ÛÙ·-ıÔ‡Ó ÌÂ ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù·:³Z2Δ3 = ³Z2Γ6 + ³Γ6Γ2 + ³Γ2Δ3 ή

³Z2Δ3 = ³Z2Β7 + ³Β7Β2 + ³Β2Δ3 ή ³Z2Δ3 = ³Z2Α6 + ³Α6Α3 + ³Α3Β4 + ³Β4Β2 + ³Β2Δ3

·) ªÔÚÂ›ÙÂ Ó· ‚ÚÂ›ÙÂ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ (¤ÛÙˆ Î·È ÈÔ Ì·ÎÚÈÓÔ‡˜) ÁÈ· Ó· Î¿ÓÔ˘ÌÂ ÙË

‰È·‰ÚÔÌ‹ ³Z2Δ3 Î·È Ó· ÙÔ˘˜ ÁÚ¿„ÂÙÂ ÛÂ ÌÔÚÊ‹ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ;

‚)ªÂ ÔÈÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ÌÔÚÂ› Î·ÓÂ›˜ Ó· ÌÂÙ·‚Â› ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞4 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °3;

¡· ÁÚ¿„ÂÙÂ ÙÈ˜ ‰È·‰ÚÔÌ¤˜ ·˘Ù¤˜ ÛÂ ÌÔÚÊ‹ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ.

Á) ¡· Î¿ÓÂÙÂ ÙÈ˜ ‰È·‰ÚÔÌ¤˜: ³Ε3Α7 , ³Δ4Ζ1 Î·È ³Γ8Α1 μÂ fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfi-ÙÂÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜!

°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::

Α Β

Γ

ΛΜ

Δ

Ο

Κ

Ν

³³ΑΟ ³³ΑΒ

³³ΟΝ

³³ΟΛ

+

+ ++

+

+

=

=

= = =

=

2.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (162-167) 19-12-06 00:11 ™ÂÏ›‰·167

Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσεςΌταν γίνεται σεισμός, ασκούνται δυνάμεις στα

διάφορα μέρη των κτιρίων. Ο μηχανικός που κατα-

σκευάζει τα κτίρια, για να εξασφαλίσει την αντοχή

τους χρησιμοποιεί τις γνώσεις των επιστημών της

«Στατικής» και της «Αντοχής Υλικών». Υπολογίζει,

λοιπόν, τις δυνάμεις που ασκούνται στα κάθετα και

οριζόντια μέρη των κτιρίων (κολόνες και δοκάρια),

για να μην πέσουν τα κτίρια. Κατά τη διάρκεια του

σεισμού εφαρμόζεται μια πλάγια δύναμη στις

κολόνες και τα δοκάρια του κτιρίου, όπως φαίνεται στο σκίτσο.

Ο μηχανικός ενδιαφέρεται να γνωρίζει χωριστά τις δυνάμεις ±F1,

±F2,

που ασκούνται αντίστοιχα στο δοκάρι και την κολόνα. Είναι

αναγκαία, λοιπόν, η ανάλυση ενός διανύσματος ±F σε δύο κάθετα

διανύσματα.

Η ανάλυση του διανύσματος ±F στις δύο κάθετες συνιστώσες

του±F1 και

±F2, γίνεται ως εξής:

Στην αρχή Α του διανύσματος ³ΑΒ = ±F, σχηματίζουμε δύο

κάθετες ευθείες x�x και y�y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Από το πέρας Β φέρνουμε δύο κάθετες: τη ΒΓ στην x�x και τη

ΒΔ στην y�y. Τότε το ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο, επομένως:³ΑΒ = ³ΑΓ + ³ΑΔ και επιπλέον ³ΑΓ =

±F1 και ³ΑΔ =

±F2.

Μέτρα ΣυνιστωσώνΑν γνωρίζουμε ότι το μέτρο της δύναμης που προέρχεται από τοσεισμό είναι �

±F � = 6000 N και σχηματίζει με το οριζόντιο δοκάρι

γωνία θ = 30°, μπορούμε να υπολογίσουμε τα μέτρα τωνκάθετων συνιστωσών της

±F.

Αναλύουμε το διάνυσμα ³ΑΒ σε δύο κάθετες συνιστώσες:³ΑΓ =

±Fοριζ και ³ΑΔ =

±Fκαθ.

Γνωρίζουμε ότι: � ³ΑΒ� = 6000 N και θ = 30°.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ότι:

συνθ = = και ημθ = = .

Όμως ³ΑΔ = ³ΓΒ, οπότε �³ΑΔ� = �³ΓΒ�. Επομένως:

�³ΓΒ �

� ³ΑΒ�ΓΒΑΒ

�³AΓ �

� ³ΑΒ�ΑΓΑΒ

Aνάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες2.7.

y�

x�

A

B

Γ

Δ

x

y

±F1

±F2

±F

±F

Aθ=30°

Δ

Γ

B

±Fοριζ

±Fκαθ

±F

2.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (168-172) 19-12-06 00:14 ™ÂÏ›‰·168

�±Fοριζ� = �³ΑΓ � = �³ΑΒ � � συνθ = 6000 � = 3000��3 (Ν).

�±Fκαθ� = �³ΑΔ � = �³ΑΒ � � ημθ = 6000 � = 3000 (Ν).

Γενικότερα, για τα μέτρα των δύο κάθετων συνιστωσών ±F1 και

±F2 μιας δύναμης

±F ισχύει ότι:

και

Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ.

Αν � ³ΑΓ � = 6, να υπολογίσετε τα μέτρα � ³ΑΒ � και � ³ΑΔ �.

Έχουμε: συν30° = = και ημ30° = = , άρα

� ³ΑΒ� = �³³ΑΓ� � συν30° = 6 � = 3��3 και �³ΑΔ� = �³ΑΓ � � ημ30° = 6 � = 3.

Ένα φορτηγό βάρους 40000 N, είναι σταθμευμένο σε

μία κατηφόρα με γωνία κλίσης 30°, όταν ξαφνικά

λύνεται το χειρόφρενο! Το διάνυσμα ±Β του βάρους

του αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους

συνιστώσες, από τις οποίες η ±Β1 εξουδετερώνεται

από το έδαφος, ενώ η ±Β2 κινεί το φορτηγό στην

κατηφόρα. Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης ±Β2 .

Έχουμε: συν60° = , oπότε: �³Β2 � = �±Β � � συν60° = 40000 � = 20000 N.

12

�³Β2�

�±Β �

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12

��32

�³AΔ �

�³ΑΓ�

ΑΔΑΓ

�³AΒ �

�³ΑΓ�

ΑΒΑΓ

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

�±±F2 � = �

±±F � ημθ�

±±F1� = �

±±F � συνθ

12

��32

Μέρος Β’ - 2.7. Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 169

Aθ=30°

Δ

Β

Γ

±B1

±B2

±B

30°60°

30°

2.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (168-172) 19-12-06 00:14 ™ÂÏ›‰·169

Στο παρακάτω σχήμα αναλύσαμε τα διανύσματα ³ΑΒ , ³ΓΔ και ³ΕΖ σε δύο κάθετες

συνιστώσες αλλά τα διανύσματα μπερδεύτηκαν! Μπορείτε να βρείτε ποιες είναι οι

σωστές από τις παρακάτω σχέσεις;

Μια δύναμη ±F,μέτρου �

±F � = 5 Ν αναλύεται σε δύο

κάθετες συνιστώσες ±F1 και

±F2.

Αν �±F1� = 4 Ν τότε �

±F2� = ......

Α: 1 Ν Β: 2 Ν Γ: 3 Ν Δ: 4 Ν

Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Μια δύναμη ±F αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους

συνιστώσες ±F1 και

±F2 με μέτρα 5 N και 12 N αντίστοιχα.

Τότε �±F � =......

Α: 15 Β: 13 Γ: 17 Δ: 18Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

3 .

2 .

±γ +

±ζ

±α +

±δ

±α +

±ε

±γ +

±δ³ΕΖ =γ)

±ε +

±δ

±β +

±ζ

±α +

±ζ

±β +

±γ³ΓΔ =β)

±ε +

±γ

±α +

±ζ

±α +

±ε

±γ +

±ζ³ΑΒ =α)

ΔΓΒΑ

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

170 Μέρος Β’ - 2.7. Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες

±α

±β

±γ

±δ

±ε

±ζ

Α

Γ

Δ

Ε

Ζ

Β

5 N

4 NΔ

Α Γ

B±F1

±F2

±F

5 N

12 N

Δ

Γ

B±F1

±F2

±F

Α

2.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (168-172) 19-12-06 00:14 ™ÂÏ›‰·170

Μέρος Β’ - 2.7. Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 171

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να αναλύσετε τα παρακάτω διανύσματα

σε άθροισμα δύο κάθετων συνιστωσών.

O Kωστάκης κάνει τσουλήθρα, όπως

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν το

βάρος του Κωστάκη είναι 270 Ν, να

βρείτε το μέτρο της δύναμης ±Β2 που τον

κάνει να κινείται.

Σε υπόγειο τελεφερίκ οι ράγες σχηματί-

ζουν με το οριζόντιο επίπεδο γωνία 60°.

Το βάρος του βαγονιού των επιβατών

(μαζί με τους επιβάτες) είναι 30000 Ν και

σύρεται πάνω στις ράγες από την

κορυφή με ένα συρματόσχοινο.

Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που

πρέπει να ασκείται από το συρματό-

σχοινο στο βαγόνι, ώστε να κινείται με

σταθερή ταχύτητα προς τα πάνω;

Ένας κυνηγός για να φτιάξει μια παγίδα,

χρησιμοποιεί δύο σανίδες ίσου μήκους

και τις τοποθετεί στο έδαφος, ώστε να

σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές

τρίγωνο.

Στην κορυφή του τριγώνου τοποθετεί

πέτρα βάρους 200 N.

Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που

δέχεται κάθε σανίδα από το βάρος της

πέτρας;

Ένας σκιέρ γιγαντιαίου άλματος κατε-

βαίνει την εξέδρα που σχηματίζει με τον

ορίζοντα γωνία 30°. Αν το βάρος του έχει

μέτρο 800 N, ποιο είναι το μέτρο της

δύναμης που τον μετακινεί κατά μήκος

της εξέδρας;

5

4

3

2

1

2.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (168-172) 19-12-06 00:14 ™ÂÏ›‰·171

Επανάληψη στα Διανύσματα

Επανάληψη στην Τριγωνομετρία2∂·Ó¿ÏË„Ë ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘

✐ Aν ω είναι μια οξεία γωνία ορθογωνίου

τριγώνου, τότε:

ημω =

συνω=

εφω =

✐ Για οποιαδήποτε οξεία γωνία ω ισχύουν:

• 0 < ημω < 1

• 0 < συνω < 1

• εφω =

✐ Όταν μια οξεία γωνία μεγαλώνει, τότε

αυξάνεται το ημίτονό της και η εφαπτο-

μένη της, αλλά ελαττώνεται το συνημί-

τονό της.

✐ Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα

ή ίσα συνημίτονα ή ίσες εφαπτομένες,

τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες.

✐ Τριγωνομετρικοί αριθμοί 30° - 45° - 60°

��31��3⎯3εφαπτομένη

1⎯2��2⎯2

��3⎯2συνημίτονο

��3⎯2��2⎯2

1⎯2ημίτονο

60°45°30°

ημωσυνω




✐ Διανυσματικά λέγονται τα μεγέθη πουέχουν μέτρο και κατεύθυνση.

✐ Τα στοιχεία ενός διανύσματος ³ΑΒ είναιη διεύθυνση, η φορά και το μέτρο.

✐ Δύο διανύσματα λέγονται ίσα, όταν έχουντην ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και ίσαμέτρα, ενώ δύο διανύσματα λέγονταιαντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση,ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.

✐ Άθροισμα διανυσμάτων.

Α. Η μέθοδος του

πολυγώνου:

Όταν τα διανύσμα-

τα γίνουν διαδοχικά.

Β. Η μέθοδος του

παραλληλογράμμου:

Όταν τα διανύσματα±α,

±β, έχουν κοινή αρχή.

✐ Διαφορά διανυσμάτων.³ΑΒ – ³ΓΔ = ³ΑΒ + (– ³ΓΔ ) = ³ΑΒ + ³ΔΓ

✐ Διαφορά διανυσμάτων με κοινή αρχή.³ΟΑ – ³ΟΒ = ³ΒΑ

✐ Το μηδενικό διάνυσμα ±0 είναι ένα

διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος

(πέρας) ταυτίζονται. Το μέτρο του είναι

ίσο με 0.

✐ Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες

συνιστώσες με μέτρα:

�±±F1� = �

±±F � συνθ

�±±F2� = �

±±F� ημθ

±α

±β

±γ

±δ

±α

±β

±δ

2.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (168-172) 19-12-06 00:14 ™ÂÏ›‰·172

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√ 33 ÔÔ

ΜΕΡΟΣ Β �

Μέτρηση Κύκλου

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·173


3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες

3.2 Κανονικά πολύγωνα

3.3 Μήκος κύκλου

3.4 Μήκος τόξου

3.5 Εμβαδόν κυκλικούδίσκου

3.6 Εμβαδόν κυκλικούτομέα

ΔÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘

ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘,

ÙÔ ÔÔ›Ô ‹Ù·Ó ¤Ó· ·fi Ù·

ÙÚ›· ÂÚ›ÊËÌ· ¿Ï˘Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙË˜

∞Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, Ô‰‹ÁËÛÂ ÛÙËÓ

ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÂÎÙ›ÌËÛË˜ ÙË˜ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘

·ÚÈıÌÔ‡ , ÙÔ˘ ÈÔ ‰È¿ÛËÌÔ˘ ·fi

fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

√ ·ÚÈıÌfi˜ ÚÔÎ‡ÙÂÈ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎ¿

·fi ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘, Ë ÔÔ›·

Â›Ó·È ÙÔ Î‡ÚÈÔ ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÔ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘

ÎÂÊ·Ï·›Ô˘.

£· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ, ÂÈÏ¤ÔÓ, Ù· Î·ÓÔÓÈÎ¿

ÔÏ‡ÁˆÓ·: ÔÏ‡ÁˆÓ· ÌÂ ›ÛÂ˜ ÏÂ˘Ú¤˜

Î·È ›ÛÂ˜ ÁˆÓ›Â˜. ∂›Ó·È ÔÏ‡ ÁÓˆÛÙ¿

Û¯‹Ì·Ù· Û’ ÂÌ¿˜, ·ÏÏ¿ ÙÒÚ· ı·

ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ ÈÔ ‰ÈÂÍÔ‰ÈÎ¿ Ù·

ÛÙÔÈ¯Â›· ÙÔ˘˜ Î·È ÙËÓ Î·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÙÔ˘˜.

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·174

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ

γιατί τα θέατρα, όπως η

Επίδαυρος, έχουν

«κυκλικό» σχήμα;

Γιατί από κάθε κάθισμα, που

βρίσκεται πάνω στον κύκλο,

ο θεατής «βλέπει τη σκηνή

με την ίδια γωνία φ».

Οι γωνίες που βλέπουμε στο διπλανό σχήμα έχουν την κορυφή

τους (θεατής) πάνω στον κύκλο και οι δύο πλευρές τους

τέμνουν τον κύκλο.

Το τόξο �ΒΓ του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμ-

μένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της.

Επίσης, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία Β∧ΑΓ βαίνει στο τόξο

�ΒΓ.

Στο Πανεπιστήμιο γίνεται μάθημα στο Αμφιθέατρο. Δύο φοιτη-

τές, ο Αντώνης και ο Μιχάλης, κάθονται σε μία σειρά θέσεων

που σχηματίζει με την έδρα ημικύκλιο, όπως φαίνεται στο

διπλανό σχήμα.

Στο διάλειμμα ο Αντώνης μέτρησε την απόστασή του από τα δύο

άκρα Β, Γ της έδρας και βρήκε ότι ΑΒ = 3 m, ΑΓ = 4 m, ενώ

έχουμε ότι ΒΓ = 5 m. Ο Μιχάλης, αντίστοιχα, βρήκε ότι

ΒΜ = 2��5 m και ΜΓ = ��5 m.

α) Να εξετάσετε αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα στα

τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΜΓ.

β) Τι γωνίες είναι οι ∧Α και

∧Μ;

γ) Τι συμπεραίνετε γενικά για κάθε εγγεγραμμένη γωνία που

βαίνει σε ημικύκλιο;

Λύσηα) Έχουμε ότι:

ΑΒ2 + ΑΓ2 = 32 + 42 = 25 = 52 = ΒΓ2

BM2 + MΓ2 = (2��5)2 + (��5)2 = 25 = ΒΓ2


Mια γωνία x∧Αy που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και

οι πλευρές της Αx, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη

γωνία στον κύκλο (Ο, ρ).

Εγγεγραμμένες γωνίες3.1.

Α

B

x

y

Γ

BEΔΡΑ

Aντώνης

Μιχάλης

Γ

Μ

Α

Κ

φ

φφ

σκηνή

θεατής

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·175

Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα και στα δύο τρί-

γωνα ΑΒΓ και ΒΜΓ.

β) Aφού ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα έχουμε ότι:∧Α = 90° και

∧Μ = 90°, δηλαδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια.

γ) Συμπεραίνουμε ότι η προηγούμενη διαπίστωση ισχύει γενι-

κά, δηλαδή:

Μια ορθή γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ίση με το μισό τηςαντίστοιχης επίκεντρης που είναι η πλήρης γωνία. Τοσυμπέρασμα αυτό ισχύει για κάθε εγγεγραμμένη και τηναντίστοιχη επίκεντρη γωνία της.

Συγκεκριμένα:

Σε ένα κύκλο (Ο, ρ) θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ, έτσι

ώστε �ΑΒ = 120° και

�ΒΓ = 100°. Να υπολογίσετε τις

γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

Αφού �ΒΓ = 100°, τότε η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία Β

∧ΟΓ θα είναι και αυτή ίση με 100°.

Επομένως, η γωνία Β∧ΑΓ που είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο ίδιο τόξο

�ΒΓ με την

επίκεντρη Β∧ΟΓ θα είναι: Β

∧ΑΓ = = 50°. Ομοίως προκύπτει ότι: Β

∧ΓΑ = 60°.

Επειδή το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ είναι 180°, θα ισχύει ότι:

Α∧ΒΓ = 180° – 50° – 60° = 70°.

Β∧ΟΓ2

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

� Kάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό τηςεπίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο.

� Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στοίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες.

� Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό τουμέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

176 Μέρος Β’ - 3.1. Εγγεγραμμένες γωνίες

A BΚ

M

Α

B

120°

100°

Γ

Ο

K

B

Δ

Γ

Α

Λ

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·176

Στο παρακάτω σχήμα η ΒΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Να υπολογίσετε τα διαδοχικά

τόξα �ΑΒ,

�ΒΓ,

�ΓΔ,

�ΔΑ.

Tα διαδοχικά τόξα �BΓ και

�ΓΔ σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε:

5x + 10° + x + 50° = 180° ή 6x = 120°, επομένως

x = 20°.

Ομοίως, τα διαδοχικά τόξα �ΒΑ και

�ΑΔ σχηματίζουν

ημικύκλιο, οπότε: 3y – 20° + 7y = 180°, επομένως

10y = 200° ή y = 20°.

Έχουμε ότι: �ΑΒ = 3y – 20° = 60° – 20° = 40°,

�ΒΓ = 5 � 20° + 10° = 110°,

�ΓΔ = 20° + 50° = 70°,

�ΔΑ = 7 � 20° = 140°.

Στο παρακάτω σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου και οι ΟΔ, ΟΕ είναι διχοτόμοι

των γωνιών Β∧ΟΓ, Α

∧ΟΓ αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τόξο

�ΕΔ.

Αφού οι ΟΔ, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Β∧ΟΓ και Α

∧ΟΓ

αντίστοιχα, θεωρούμε ότι Β∧ΟΔ = Δ

∧ΟΓ = φ και

Α∧ΟΕ = Ε

∧ΟΓ = ω.

Όμως, Δ∧ΟΕ = Δ

∧ΟΓ + Ε

∧ΟΓ = φ + ω.

Έχουμε Β∧ΟΓ + Γ

∧ΟΑ = 180°, δηλαδή 2φ + 2ω = 180°,

οπότε φ + ω = 90°.

Άρα Δ∧ΟΕ = 90° και το αντίστοιχο τόξο

�ΕΔ είναι ίσο με 90°.

Στα παρακάτω σχήματα ποιες από τις γωνίες είναι εγγεγραμμένες και ποιες επίκεντρες;

Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή

απάντηση.

100°25°50°Το μέτρο του τόξου �ΑΒ είναι:β)

100°25°50°Το μέτρο της γωνίας φ είναι:α)

ΓBA

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Β’ - 3.1. Εγγεγραμμένες γωνίες 177

Α

B Δ

5x+10°x+50°

3y-20°

Γ

ΑΟ

B

ΔΕ

Γ

ωω φ

φ

Ο

αγ

β

ζ

δ

ε

η

Α

BM φ

50°

θ

Ο7y

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·177

Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή

απάντηση.

Αν σε κύκλο φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους, τότε τα τέσσερα ίσα τόξα είναι:

Α: 80° Β: 180° Γ: 90° Δ: 45°.


Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

270°90°45°Η άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού

σε 45 λεπτά διαγράφει τόξο:δ)

30°90°60°Η άκρη του ωροδείκτη ενός ρολογιού

σε 3 ώρες διαγράφει τόξο:γ)

Το τόξο τηςεπίκεντρης είναι

ίσο με το μισό τουτόξου της

εγγεγραμμένης

Το τόξο τηςεπίκεντρης είναιδιπλάσιο από το

τόξο τηςεγγεγραμμένης

είναιίσα

Αν σ’ έναν κύκλο μια επίκεντρη γωνίαείναι ίση με μια εγγεγραμμένη, τότε γιατα αντίστοιχα τόξα ισχύει:

β)

90°60°180°To μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίαςπου βαίνει σε ημικύκλιο είναι:α)

ΓBA

5 .

4 .

50°70°60°Το μέτρο της γωνίας A∧ΓΒ είναι:δ)

50°70°60°Το μέτρο της γωνίας A∧BΓ είναι:γ)

100°140°120°Το μέτρο της γωνίας A∧OΓ είναι:β)

50°70°60°Το μέτρο της γωνίας Β∧ΑΓ είναι:α)

ΓBA

3 .

178 Μέρος Β’ - 3.1. Εγγεγραμμένες γωνίες

O

B

AΓ

100°

140°

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω που

υπάρχουν στα παρακάτω σχήματα.

Στο διπλανό σχήμα το

ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και

το Μ ένα σημείο του τόξου�ΑΒ. Να υπολογίσετε τη

γωνία A∧ΜΒ.

Έστω Μ και Ν τα μέσα των τόξων �ΑΒ και

�ΒΓ αντίστοιχα, ενός κύκλου κέντρου Ο

και ακτίνας ρ. Αν �ΒΓ = 60° και

�ΑΓ = 170°,

να βρείτε το μέτρο του τόξου �ΜΝ.

3

2

1

55°

φω

φ

30°

80°

ω

φ

ω

60°

Α

O

M

N

Γ

170°

60°

BΜ

Α

Δ

Β

Γ

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·178

Μέρος Β’ - 3.1. Εγγεγραμμένες γωνίες 179

Να υπολογίσετε τη γωνία φ στο παρακάτω

σχήμα.

Στον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ του

παρακάτω σχήματος να υπολογίσετε τα

τόξα �ΑΒ, �ΔΒ, �ΒΓ, �ΓΑ, αν γνωρίζουμε

ότι A∧OΓ = 45° και ότι οι ΑΒ, ΓΔ είναι διά-

μετροι του κύκλου.

Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = 6 cm δίνε-

ται σημείο του Γ, έτσι ώστε �ΑΓ = 2 �ΒΓ. Να

υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ.

Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y στο

παρακάτω σχήμα.

Σ’ έναν κύκλο θεωρούμε τρία διαδοχικά

τόξα �AB = 100°, �ΒΓ = 160° και �ΓΔ = 80°.

Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετρά-

πλευρου ΑΒΓΔ.

Στον κύκλο κέντρου Ο οι χορδές ΑΒ και

ΓΔ τέμνονται στο Ρ. Αν �AΓ = 50° και�ΒΔ = 70°, να υπολογίσετε τη γωνία φ.

9

8

7

6

5

4

90°2φ

2φ+30°120°

Α

ΒΓ

Δ

Ο45°

Γ

ΑO

Β

Α

Β Γ

Δ

Ο

70°

80°

y

x100°

Α

50° 70°Ρ

ΒΓ

Δ

Ο

φ

3.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (173-179) 19-12-06 00:16 ™ÂÏ›‰·179

Στην Α� Γυμνασίου μελετήσαμε

διάφορα είδη τετραπλεύρων,

όπως το παραλληλόγραμμο,

το ορθογώνιο, το ρόμβο, το

τετράγωνο και το τραπέζιο.

Ένα τυχαίο τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις

κορυφές.

Μπορούμε να σχηματίσουμε και πολύγωνα με 5, 6, 7, ...

κορυφές, τα οποία αντίστοιχα λέγονται πεντάγωνο, εξάγωνο,

επτάγωνο, ... , κ.τ.λ.

� Ένα πολύγωνο με ν κορυφές θα το λέμε ν-γωνο.Εξαίρεση αποτελεί το πολύγωνο με 4 κορυφές, πουλέγεται τετράπλευρο.

� Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλευρές τουείναι μεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι μεταξύτους ίσες. π.χ.

Κανονικά πολύγωνα3.2.

·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ

ÔÚıÔÁÒÓÈÔ

ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ

ÚfiÌ‚Ô˜

ÙÚ·¤˙ÈÔ

Α Β

ΓΔ

ΑΑ

ΒΒ

Γ

ΔΕ πεντάγωνο εξάγωνο

επτάγωνο

Γ

Δ

ΕΖ

Α

Β

Γ

Δ

ΕΖ

Η

Iσόπλευρο τρίγωνο Τετράγωνο

Κανονικό πεντάγωνο Κανονικό εξάγωνο

3.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (180-185) 19-12-06 00:19 ™ÂÏ›‰·180

Κατασκευή κανονικών πολυγώνων

α) Να χωρίσετε έναν κύκλο σε έξι ίσα και διαδοχικά τόξα:�ΑΒ, �ΒΓ, �ΓΔ, �ΔΕ, �ΕΖ, �ΖΑ.

β) Τι παρατηρείτε για τα ευθύγραμμα τμήματα (χορδές) ΑΒ,

ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ;

γ) Τι είδους πολύγωνο είναι το ΑΒΓΔΕΖ;

Λύσηα) Αφού όλος ο κύκλος έχει μέτρο 360°, για να τον χωρίσου-

με σε έξι ίσα τόξα, κάθε τόξο θα έχει μέτρο = 60°.

Σχηματίζουμε διαδοχικά έξι επίκεντρες γωνίες ω = 60°, οι

οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε έξι ίσα και διαδοχικά τόξα.

β) Γνωρίζουμε από την Α’ Γυμνασίου ότι ίσα τόξα αντιστοιχούν

σε ίσες χορδές, επομένως:

ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΕ = ΕΖ = ΖΑ.

γ) Η γωνία Α∧ΒΓ του εξαγώνου είναι εγγεγραμμένη γωνία του

κύκλου με αντίστοιχο τόξο, μέτρου:�ΑΖ + �ΖΕ + �ΕΔ + �ΔΓ = 60° + 60° + 60° + 60° = 240°.

Επομένως, Α∧ΒΓ = 240° = 120°.

Ομοίως, έχουμε ότι:

Β∧ΓΔ = Γ

∧ΔΕ = Δ

∧ΕΖ = Ε

∧ΖΑ = Ζ

∧ΑΒ = 120°.

Το εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ έχει όλες τις πλευρές του ίσες μεταξύτους και όλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους, οπότε είναικανονικό.

Η διαδικασία κατασκευής ενός κανονικού πολυγώνου με νπλευρές (κανονικό ν-γωνο) ακολουθεί τα εξής βήματα:

1o ‚‹Ì·:Υπολογίζουμε τη γωνία ω = .

2o ‚‹Ì·:Σχηματίζουμε διαδοχικά ν επίκεντρες γωνίες ω, οι οποίες χωρί-

ζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα.

3o ‚‹Ì·:Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων.

Eίδαμε ότι με την προηγούμενη διαδικασία κατασκευά-ζεται ένα κανονικό εξάγωνο, του οποίου οι κορυφές είναισημεία ενός κύκλου. Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγε-γραμμένος κύκλος του πολυγώνου.

360°ν

12

360°6


Μέρος Β’ - 3.2. Kανονικά πολύγωνα 181

ΟΔ

Γ

A

Ζ Ε

B

60°

3.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (180-185) 19-12-06 00:19 ™ÂÏ›‰·181

Επίσης, λέμε ότι το πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο στοσυγκεκριμένο κύκλο. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε ναεγγράψουμε σε ένα κύκλο ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένατετράγωνο και γενικά ένα κανονικό ν-γωνο.

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

➤ Κεντρική γωνία ν-γώνου

Aς θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές (κανονικό

ν-γωνο) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ).

Eίδαμε προηγουμένως ότι για να χωρίσουμε τον κύκλο σε ν ίσα

τόξα, θεωρούμε ν διαδοχικές επίκεντρες γωνίες ω = .

Καθεμία από τις γωνίες αυτές λέγεται κεντρική γωνία τουκανονικού ν-γώνου.

Επομένως:

➤ Γωνία ν-γώνου

Σε οποιοδήποτε κανονικό ν-γωνο οι γωνίες Μ∧ΑΒ, Α

∧ΒΓ, Β

∧ΓΔ, ...

κ.ο.κ. είδαμε ότι είναι ίσες, αφού είναι εγγεγραμμένες σε ίσα

τόξα και τις συμβολίζουμε με φ.

� Η γωνία φ ονομάζεται γωνία του κανονικού ν-γώνου.

Ας δούμε τη σχέση της κεντρικής γωνίας ω και της γωνίας φ

του ν-γώνου. Ενώνουμε το κέντρο του ν-γώνου με τις κορυφές,

οπότε σχηματίζονται ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

Σε καθένα από τα τρίγωνα αυτά οι προσκείμενες στη βάση

γωνίες είναι ίσες με . Στο τρίγωνο ΟΑΒ θα έχουμε ότι:

ω + + = 180° ή ω + φ = 180° ή

Επομένως:

Η γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπλη-

ρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου.

φ = 180° – ωφ2

φ2

φ2

H κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση

με ω = 360° .ν

360°ν

182 Μέρος Β’ - 3.2. Kανονικά πολύγωνα

B

Γ

Δ

Μ

φφ

φ

φ

φ

AΜ

B

ΓO

ω

O

A

B

Γ

Δ

Ε

ρ

ωρ

ρ

ρ

Ο

A

ωω

φ2 φ

2 φ2

φ2

φ2

φ2

3.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (180-185) 19-12-06 00:19 ™ÂÏ›‰·182

α) Να βρείτε τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου.

β) Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 162°.

α) Αν ονομάσουμε φ τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου

και ω την κεντρική του γωνία, έχουμε:

φ = 180°– ω = 180° – = 180° – 36° = 144°.

β) Ισχύει ότι: φ = 180°– ω ή 162° = 180°– ή

= 180° – 162° ή = 18° ή ν = ή ν = 20.

Δηλαδή, το κανονικό εικοσάγωνο έχει γωνία φ = 162°.

Να κατασκευαστεί κανονικό πεντάγωνο.

➤ Γράφουμε κύκλο (Ο, ρ) και σχηματίζουμε μια επίκεντρη

γωνία ΑO∧

Β = = 72°.

➤ Με το διαβήτη θεωρούμε διαδοχικά τόξα ίσα με το �ΑΒ.

➤ Φέρνουμε τις χορδές των παραπάνω τόξων.

Δίνεται ένα κανονικό ν-γωνο. Να κατασκευάσετε το κανονικό πολύγωνο που έχει

διπλάσιες πλευρές (2ν-γωνο).

Αν ω είναι η κεντρική γωνία του πολυγώνου που έχει ν

πλευρές, και θ η κεντρική γωνία του πολυγώνου με 2ν

πλευρές, έχουμε ότι ω = και θ = .

Επομένως, θ = .

Αν φέρουμε τις διχοτόμους των κεντρικών γωνιών του

ν-γώνου, οι γωνίες που θα σχηματιστούν θα είναι οι κεντρικές

γωνίες του πολυγώνου με 2ν πλευρές. Οι διχοτόμοι, όπως

γνω-ρίζουμε, διέρχονται από τα μέσα των τόξων. Τα μέσα

αυτών των τόξων και οι κορυφές του αρχικού ν-γώνου

αποτελούν τις κορυφές του κανονικού πολυγώνου με 2ν πλευρές.

ω2

360°2ν

360°ν

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

360°5

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

36018

360°ν

360°ν

360°ν

360°10

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


OΓ

ΒΑ

Δ

Ε

72°

O

ωθ

ω φ

3.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (180-185) 19-12-06 00:19 ™ÂÏ›‰·183




65°

18

45°

12

35°

8

ε) Η κεντρική του γωνία είναι:

στ) Το πλήθος των πλευρών του είναι:Η γωνία ενός κανονικούπολυγώνου είναι 135°

30°

8

24°

12

15°

15

γ) Η κεντρική του γωνία είναι:

δ) Το πλήθος των πλευρών του είναι:Η γωνία ενός κανονικούπολυγώνου είναι 150°

30°

72°

24°

156°

15°

24°

α) Η κεντρική του γωνία είναι:

β) Η γωνία του πολυγώνου είναι:Ένα κανονικό πολύγωνοέχει 15 πλευρές.

ΓBA

3 .

60°30°150°Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 30°.Η γωνία του πολυγώνου είναι:

γ)


β)


α)

ΓBA2 .

362412Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 10°.Το πλήθος των πλευρών του είναι:

ε)

12106Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 36°.Το πλήθος των πλευρών του είναι:

δ)

132°72°52°H κεντρική γωνία κανονικού πεντάγωνου είναι:γ)

60°30°120°H κεντρική γωνία κανονικού δωδεκάγωνου είναι:β)

60°30°120°Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου είναι:α)

ΓBA1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

184 Μέρος Β’ - 3.2. Kανονικά πολύγωνα

Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες. Σε κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναιτετραπλάσια της κεντρικής του γωνίας.Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών τουπολυγώνου.

Nα υπολογίσετε την κεντρική γωνία ωκαι τη γωνία φ ενός κανονικού εξαγώνουκαι να επαληθεύσετε ότι: ω + φ = 180°.

H γωνία ενός κανονικού πολυγώνου

είναι τα της ορθής. Να βρείτε τον

αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

53

4

3

2

160°72°

150°15°

γωνία κανονικού πολυγώνουκεντρική γωνία

10653

κεντρικήγωνία

γωνία κανονικούπολυγώνου

πλήθοςπλευρών

1

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

3.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (180-185) 19-12-06 00:19 ™ÂÏ›‰·184


Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύ-γωνο:α) με κεντρική γωνία ω = 16°.β) με γωνία φ = 130°.

Να κατασκευάσετε κανονικό οκτάγωνο.

Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία ίσημε την κεντρική του γωνία;

Με πλευρές τις πλευ-ρές ενός κανονικούεξάγωνου, κατασκευά-ζουμε τετράγωνα εξωτε-ρικά του εξαγώνου.Να αποδείξετε ότι οικορυφές των τετραγώ-νων, που δεν είναι καικορυφές του εξαγώνου, σχηματίζουνκανονικό δωδεκάγωνο.

8

7

6

5

AB

Γ

ΛΚ

Δ

Ζ

Ε


Δ· Î·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡ÁˆÓ· ÛÙË º‡ÛË, ÛÙËÓ Δ¤¯ÓË Î·È ÛÙÈ˜ ∂ÈÛÙ‹ÌÂ˜

ΔÔ ·Ï¿ÙÈ ÙË˜ ∞lhambra ÛÙË Granada ÙË˜ πÛ·Ó›·˜ Â›Ó·È ÙÔ ÂÍÔ¯fiÙÂÚÔ,›Ûˆ˜, ‰Â›ÁÌ· ¯Ú‹ÛË˜ ÙˆÓ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ÛÙËÓ Δ¤¯ÓË. Œ¯ÂÈÊÙÈ·¯ÙÂ› fiÏÔ ÌÂ „ËÊÈ‰ˆÙ¿ ¿Óˆ ÛÂ Û¯¤‰È· Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔ˘ÓÂ·Ó·Ï‹„ÂÈ˜ ·fi Û˘Óı¤ÛÂÈ˜ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ. ∞Ó¿ÏÔÁ· Û¯¤‰È·¤¯Ô˘ÌÂ ‰ÂÈ ÛÂ ÌˆÛ·˚Î¿, ÛÂ ˘Ê¿ÛÌ·Ù· Î·È ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· ÛÙÈ˜ Δ¤¯ÓÂ˜.Ã·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfiÙÂÚÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÈ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›Â˜ ÙÔ˘√ÏÏ·Ó‰Ô‡ Î·ÏÏÈÙ¤¯ÓË M.C. Escher.

∏ ¯Ú‹ÛË Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ÛÙËÓ Δ¤¯ÓË Î·È ÙË ‰È·ÎfiÛÌËÛË ·ÔÙÂÏÂ› ÎÔÌÌ¿ÙÈ ÔÏÏÒÓ ·Ú¯·›ˆÓÔÏÈÙÈÛÌÒÓ. √È ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ (ÂÚ›Ô˘ 4000 .Ã.) ‰È·ÎÔÛÌÔ‡Û·Ó Ù· Û›ÙÈ· Î·È ÙÔ˘˜ Ó·Ô‡˜ ÙÔ˘˜ ÌÂÛ¯¤‰È· ·fi Â·Ó·Ï·Ì‚·ÓfiÌÂÓ· Î·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡ÁˆÓ·.∞Ó¿ÏÔÁÂ˜ ‰È·ÎÔÛÌ‹ÛÂÈ˜ ‹ ·ÎfiÌË Î·È ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÛÙÈ˜ Î·Ù·ÛÎÂ˘¤˜ ÎÙÈÚ›ˆÓ ¤¯Ô˘Ó ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛÙÂ› ÛÙÔ˘˜∞ÈÁ‡ÙÈÔ˘˜, ÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓÂ˜, ÙÔ˘˜ ª·˘ÚÈÙ·ÓÔ‡˜, ÙÔ˘˜ ƒˆÌ·›Ô˘˜, ÙÔ˘˜ ¶¤ÚÛÂ˜, ÙÔ˘˜ ÕÚ·‚Â˜, ÙÔ˘˜μ˘˙·ÓÙÈÓÔ‡˜, ÙÔ˘˜ π¿ˆÓÂ˜ Î·È ÙÔ˘˜ ∫ÈÓ¤˙Ô˘˜. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ‰È¿ÊÔÚÂ˜ ÙÂ¯ÓÈÎ¤˜ Û¯Â‰È·ÛÌÔ‡ Î·È‹Ù·Ó ¤ÓÙÔÓÔ˜ Ô “Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi˜” ÙÚfiÔ˜ ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÌÔ‡.

™Â ·ÚÎÂÙÔ‡˜ ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡˜ Ë ıÚËÛÎÂ›· ‹Ù·Ó ÂÎÂ›ÓË Ô˘ ÙÔ˘˜ ÒıËÛÂ Û’·˘Ùfi ÙÔ Â›‰Ô˜ Δ¤¯ÓË˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ÈÛÏ·ÌÈÎ‹ ıÚËÛÎÂ›···ÁÔÚÂ‡ÂÈ ÙËÓ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ˙ˆÓÙ·ÓÒÓ ÔÚÁ·ÓÈÛÌÒÓ ÛÂ ¤ÚÁ· Ù¤¯ÓË˜.°È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi, ÔÈ ª·˘ÚÈÙ·ÓÔ› ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ·Ó ÌfiÓÔ ·ÊËÚËÌ¤Ó·ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¿ Û¯‹Ì·Ù·. ∞ÓÙ›ıÂÙ·, ÔÈ ƒˆÌ·›ÔÈ Î·È ¿ÏÏÔÈ ÌÂÛÔÁÂÈ·ÎÔ› Ï·Ô›¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ·Ó ˆ˜ ÊfiÓÙÔ Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ‡˜ Î·ÓÔÓÈÎÒÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ, ÁÈ· Ó·ÙÔÓ›ÛÔ˘Ó ·Ó··Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÌÂ ·ÓıÚÒÔ˘˜ ‹ ÛÎËÓ¤˜ ·fi ÙË Ê‡ÛË.

Δ· Î·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡ÁˆÓ· Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙË º‡ÛË Î·È Á›ÓÔÓÙ·È ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÔÌÂÏ¤ÙË˜ ·fi ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ ÙˆÓ º˘ÛÈÎÒÓ ∂ÈÛÙËÌÒÓ, fiˆ˜ ÙËÓ∫Ú˘ÛÙ·ÏÏÔÁÚ·Ê›· (ÌÂ ·ÎÙ›ÓÂ˜ Ã), ÙËÓ ∫‚·ÓÙÔÌË¯·ÓÈÎ‹, ÙËÓ ∫‚·ÓÙÈÎ‹ÃËÌÂ›·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ∫Ú˘ÛÙ·ÏÏÔÁÚ·Ê›· ÌÂ ·ÎÙ›ÓÂ˜ Ã Â›Ó·È ÔÂÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ ÎÏ¿‰Ô˜ Ô˘ ·Û¯ÔÏÂ›Ù·È ÌÂ ÙËÓ Â·Ó·ÏËÙÈÎ‹ ÙÔÔı¤ÙËÛË›‰ÈˆÓ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ, fiˆ˜ ·˘Ù¿ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙË º‡ÛË. ∞ÚÎÂÙ¤˜ ·fi ÙÈ˜·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ˜ ÛÙËÓ ∫Ú˘ÛÙ·ÏÏÔÁÚ·Ê›· Î·Ù¿ Ù· Ì¤Û· ÙÔ˘ 20Ô˘ ·ÈÒÓ· ÌÔÈ¿˙Ô˘ÓÌÂ ¤ÚÁ· Ù¤¯ÓË˜ ÙÔ˘ M.C. Esher.

ÕÏÏÔÈ ÙÔÌÂ›˜ ¤ÚÂ˘Ó·˜ Ô˘ ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·È Û˘ÛÙËÌ·ÙÈÎ¿ ÌÂ Î·ÓÔÓÈÎ¿ÔÏ‡ÁˆÓ· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ÛÙË °ÂˆÏÔÁ›·, ÙË ªÂÙ·ÏÏÔ˘ÚÁ›·, ÙËμÈÔÏÔÁ›· ·ÎfiÌË Î·È ÛÙËÓ ∫Ú˘ÙÔÁÚ·Ê›·!

3.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (180-185) 19-12-06 00:19 ™ÂÏ›‰·185

Ας θεωρήσουμε ένα νόμισμα των 2 €. Αφού μετρήσετε τηδιάμετρό του δ, να βάλετε μελάνι γύρω - γύρω από το νόμισμακαι να το κυλίσετε κάθετα στο χαρτί, έτσι ώστε να κάνει μιαπλήρη περιστροφή.

α) Το μήκος L που διαγράφει είναι το μήκος του κύκλου.

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

β) Ας δούμε κατόπιν μερικές προσεγγιστικές μετρήσεις απότην Αστρονομία για την «περιφέρεια» και τις διαμέτρουςκάποιων πλανητών. Συμπληρώστε τον πίνακα:

Να κάνετε τις πράξεις με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίωνχρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης. Τι παρατηρείτε;

Λύσηα) Έχουμε ότι:

β) Παρατηρούμε ότι ο λόγος είναι περίπου 3,14 για όλους

τους πλανήτες. Αυτός ο σταθερός λόγος ονομάστηκε από

τους αρχαίους Έλληνες ως «ο αριθμός π», ο πιο διάσημος

και αξιοσημείωτος απ’ όλους τους αριθμούς (βλέπε Ιστο-

ρικό σημείωμα).

Lδ

3,14 cm Lδ =

7,85 cmL=

2,5 cmδ=

3476 km10914,6 kmΣελήνη

12756 km40053,8 kmΓη

6794 km21333,2 kmΆρης

12104 km38006,6 kmAφροδίτη

4879 km15320 kmΕρμής

LδδLΠλανήτες

Lδ =

L =

δ =


Μήκος κύκλου3.3.

L

3.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (186-189) 19-12-06 00:21 ™ÂÏ›‰·186

Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός π είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεκαδικός με άπειραψηφία, τα οποία δεν προκύπτουν με συγκεκριμένη διαδικασία. Τα πρώτα 40 δεκαδικά ψηφίατου π είναι:

π = 3,14159 26535 89793 23846 2643383279 50288 41971 ...

Από τη σχέση = π, προκύπτει ότι:


Στις εφαρμογές και ασκήσεις θα χρησιμοποιούμε για τον π την προσεγγιστική τιμή 3,14.

Ένας κύκλος έχει μήκος L = 9,42 cm. Να βρείτε το μήκος της ακτίνας του.

Για το μήκος του κύκλου ισχύει ότι:

L = 2πρ ή ρ = = = 1,5 cm.

Ένας κύκλος έχει μήκος 10 cm περισσότερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερη είναι

η ακτίνα του;

Θα ισχύει ότι: L1 = L2 + 10 ή 2πρ1 = 2πρ2 + 10. Επομένως:

ρ1 = ρ2 + ή ρ1 = ρ2 + ή ρ1 = ρ2 + 1,59.

Δηλαδή, η ακτίνα του πρώτου κύκλου είναι μεγαλύτερη κατά 1,59 cm της ακτίνας του

δεύτερου.

Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου στο παρακάτω σχήμα.

Η εγγεγραμμένη γωνία A∧ΓΒ είναι ίση με 30°, οπότε βρίσκου-

με την αντίστοιχη επίκεντρη Α∧ΟΒ = 2 � 30° = 60°. Επομένως,

το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο με ΟΑ = ΟΒ = ΑΒ = 2 cm,

οπότε ρ = 2 cm. Άρα, το μήκος του κύκλου είναι:

L = 2πρ = 2 � 3,14 � 2 = 12,56 cm.

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

102 � 3,14

102π

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

9,422 � 3,14

L2π

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Το μήκος του κύκλου υπολογίζεται από τη σχέση:

ή

Lδ

Μέρος Β’ - 3.3. Mήκος κύκλου 187

L = πδ L = 2πρ

Γ

Α

Β

Ο

30°

2 cm

3.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (186-189) 19-12-06 00:21 ™ÂÏ›‰·187


Aν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το μήκος του κύκλου:Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: τετραπλασιάζεται Δ: παραμένει το ίδιο.Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ, 2ρ, 3ρ αντίστοιχα.Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

L3

6ρ

L2

4ρ

L1

2ρ

L3

L1

L2

L3

L1

L2

3 .

2 .

12,56 cm37,68 cmΜήκος κύκλου L

9 cm3 cm4 cm5 cmΑκτίνα ρ1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

188 Μέρος Β’ - 3.3. Mήκος κύκλου

L1

L2 L3

ρ ρ ρ

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Ένας κύκλος έχει μήκος 20 cm περισσό-τερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερηείναι η ακτίνα του;

Γύρω από τονκορμό ενός αιωνό-βιου δέντρου τυλί-γουμε ένα σκοινί.Μετράμε το σκοινίκαι βρίσκουμε ότιέχει μήκος 3,5 m.Να υπολογίσετετην ακτίνα τουκορμού.

Οι διάμετροι δύο κύκλων διαφέρουνκατά 5 cm. Να βρείτε πόσο διαφέρουν:α) oι ακτίνες τουςβ) oι περίμετροί τους.

Οι περίμετροι δύο κύκλων έχουν λόγο 2προς 1. Να βρείτε το λόγο:α) των διαμέτρων τους.β) των ακτίνων τους.

Ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού έχειμήκος 2,5 cm. Να βρείτε πόσο διάστημα

θα διαγράψει το άκρο του λεπτοδείκτησε 12 ώρες.

Στη μηχανή ενός αυτοκινήτου δύοτροχαλίες Α, Β συνδέονται με ελαστικόιμάντα. Αν ρΑ = 2 cm και ρΒ = 8 cm, ναβρείτε πόσες στροφές θα κάνει η Α, αν ηΒ κάνει μία στροφή.

Ένας ποδηλάτης, που προετοιμάζεταιγια τους αγώνες, προπονείται σε στίβοσχήματος κύκλου με ακτίνα ρ = 30 m.Πόσες στροφές θα κάνει σε 3 ώρες προ-πόνησης, αν κινείται με ταχύτητα 20km/h;

Γνωρίζουμε ότι ο Ισημερινός της Γης έχειμήκος 40.000 km περίπου. Θεωρώνταςότι η Γη είναι σφαιρική να βρείτε τηνακτίνα της.

8

7

6

5

4

3

2

1

3.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (186-189) 19-12-06 00:21 ™ÂÏ›‰·188

Μέρος Β’ - 3.3. Mήκος κύκλου 189

√ Â›Ó·È Ô ÌfiÓÔ˜ ¿ÚÚËÙÔ˜ Î·È ˘ÂÚ‚·ÙÈÎfi˜, –fiˆ˜ Ï¤ÁÂÙ·È– ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙ¿Ù·È ÛÙË

Ê‡ÛË. ™ÙËÓ ¶·Ï·È¿ ¢È·ı‹ÎË Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ Ô ıÂˆÚÔ‡ÓÙ·Ó ›ÛÔ˜ ÌÂ ÙÔ 3. √È μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ

ÂÚ›Ô˘ ÙÔ 2.000 .Ã. ıÂˆÚÔ‡Û·Ó fiÙÈ Ô Â›ÙÂ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ÌÂ ÙÔ 3 Â›ÙÂ ÌÂ ÙÔ 3 .

√È ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ ÛÙÔÓ ¿˘ÚÔ ÙÔ˘ Rhind (1500 .Ã.) ıÂˆÚÔ‡Û·Ó fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÓfi˜ Î‡ÎÏÔ˘ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ ( ‰)2

, fiÔ˘ ‰ Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘, ÔfiÙÂ, ≈ 3,16049...

øÛÙfiÛÔ, ÔÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓÂ˜ Í¤Ê˘Á·Ó ·fi ÙÈ˜ «¯ÔÓ‰ÚÈÎ¤˜» ÂÎÙÈÌ‹ÛÂÈ˜ ÙˆÓ μ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Î·ÈÙˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ Î·È ¤‰ˆÛ·Ó ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎ‹ Ì¤ıÔ‰Ô ÁÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ . ΔÔ Û˘Ó‰‡·Û·ÓÌÂ ¤Ó· ·fi Ù· ÂÚ›ÊËÌ· «¿Ï˘Ù·» ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÙË˜ ∞Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜: ÌÂ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ Î·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÌÂ Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ÈÛÂÌ‚·‰ÈÎÔ‡ ÌÂ ‰ÔÛÌ¤ÓÔ Î‡ÎÏÔ.

¶ÔÏÏÔ› ÂÈÛÙ‹ÌÔÓÂ˜ ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· (ÌÂ ÚˆÙfiÁÔÓ· Ì¤Û·) Ì¤¯ÚÈ Û‹ÌÂÚ·(ÌÂ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘˜ ˘ÂÚ˘ÔÏÔÁÈÛÙ¤˜), ÚÔÛ¿ıËÛ·Ó Ó· ‚ÚÔ‡Ó ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ÌÂ fiÛÔ ÙÔ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ‰ÂÎ·‰ÈÎ¿ „ËÊ›·. ªÂÚÈÎ¤˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙÈ˜ ÚÔÛ¿ıÂÈÂ˜ Â›Ó·È ÔÈ·Ú·Î¿Ùˆ:

∞ƒÃπª∏¢∏™: ≤ ≤ 3 ¶Δ√§∂ª∞π√™: ≈ (=3,1416...)

3,14085 ... ≤ ≤ 3,142857

≈ 3 ‹

TSU CHUNG-CHI (∫›Ó·): 3,1415926 ≤ ≤ 3,1415927, ≈ .

AL–KASHI (15Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì.Ã.): 16 ·ÎÚÈ‚‹ ‰ÂÎ·‰ÈÎ¿ „ËÊ›·.

LUDOLPH VAN CEULEN: 20, Î·ÙfiÈÓ 32, ÙÂÏÈÎ¿ 35 ·ÎÚÈ‚‹ ‰ÂÎ·‰ÈÎ¿ „ËÊ›·.

SNELL: 34 „ËÊ›·.

VIETE (1592): ÚÒÙÔ˜ Ù‡Ô˜: =

JOHN WALLIS: = � � � � � ...

LEIBNIZ (1673): =1 – + – + ...

JOHN MACHIN (1706): 100 ‰ÂÎ·‰ÈÎ¿ „ËÊ›· JOLIANN DASE (1824 - 1861): 200

WILLIAM SHANKS (1853): 707 ∂¡π∞C (H/Y)(1949): 2037

CDC 6600 (1967): 500.000 I·ˆÓÈÎ‹ √Ì¿‰· (1993): 16.777.216 (=224).

19

17

15

13

4

67

65

45

43

23

21

2

1

��1��1+1��1��1+1��1+1��1 ...

2

355113

227

17

377120

1070

31071

∂ Î Ù È Ì ‹ Û Â È ˜ Ù Ô ˘

89

18


= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 ... = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 ...

3.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (186-189) 19-12-06 00:21 ™ÂÏ›‰·189

Για να υπολογίσουμε το μήκος ενός τόξου μετρημένου σε

μοίρες, αρκεί να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών.

Ένα τόξο 360° (ολόκληρος ο κύκλος) έχει μήκος 2πρ.

Ένα τόξο μ° πόσο μήκος έχει;

Έχουμε: = ή � = 2πρ � .

Aκτίνια (rad)Aρκετές φορές ως μονάδα μέτρησης των τόξων ενός κύκλου

θεωρούμε το τόξο που έχει το ίδιο μήκος με την ακτίνα ρ του

κύκλου. Αυτή η μονάδα μέτρησης λέγεται ακτίνιο ή rad.

Αν χρησιμοποιήσουμε ακτίνια,τότε:

Σχέση μοιρών και ακτινίωνΕξισώνοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις:

� = 2πρ �

� = αρ

βρίσκουμε ότι: 2πρ � = αρ ή π � = α ή .

Η αναλογία αυτή εκφράζει τη σχέση των μοιρών με τα ακτίνια.

Σχόλιο:

Ο κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τόξα

από δύο κάθετες διαμέτρους:�ΑΒ = �ΒΓ = �ΓΔ = �ΔΑ.

Καθένα από αυτά τα τόξα έχει μέτρο 90°

και ονομάζεται τεταρτοκύκλιο.

μ α⎯⎯ = ⎯⎯180 π

μ180

μ360

μ360

Το μήκος ενός τόξου α rad ισούται με: � = αρ.

μΤο μήκος ενός τόξου μ° ισούται με: � = 2πρ � ⎯ .

360

μ360

μ�

3602πρ

�μ°

2πρ360°

ΜήκοςΤόξο

Μήκος τόξου3.4.

Α

Β

Γ

Δ O

O

�μ°

Oρ

1 rad

3.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (190-192) 19-12-06 00:23 ™ÂÏ›‰·190

Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα παρακάτω τόξα:

rad, 25°, 48°, rad, 225°, rad.

Για να μπορέσουμε να συγκρίνουμε τα τόξα, θα πρέπει είτε να τα μετατρέψουμε όλα

σε μοίρες είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε rad. Aς κάνουμε και τις δύο μετατροπές:

Επομένως, ισχύει ότι:

25° < 45° < 48° < 225° < 270° < 330° ή < < < < < .

Ένα τόξο 30° έχει μήκος 1,3 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Το μήκος του τόξου είναι: � = 2πρ , οπότε έχουμε διαδοχικά:

1,3 = πρ

1,3 = πρ

πρ = 7,8

ρ = = = 2,48 (cm).

Nα αποδείξετε ότι τα μήκη των τόξων �ΑΟ και �ΑΒ

στο διπλανό σχήμα είναι ίσα. Σχολιάστε το αποτέλεσμα.

Στον κύκλο (Κ, ρ) το τόξο �ΑΟ είναι ημικύκλιο, επομένως έχει μήκος:

�1 = 2πρ = πρ. Στον κύκλο (Ο, 2ρ) το τόξο �ΑΒ αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο,

οπότε έχει μήκος: �2 = 2π � (2ρ) = πρ. Άρα, τα δύο τόξα έχουν ίδιο μήκος.

Συμπεραίνουμε ότι δύο τόξα με ίσα μήκη δεν είναι απαραίτητα ίσα, αφού

μπορεί να ανήκουν σε κύκλους με διαφορετικές ακτίνες.

90360

180360

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

7,83,14

7,8π

16

30180

μ360

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

11π6

3π2

5π4

4π15

π4

5π36

11π ⎯6

5π 225°= ⎯4

3π ⎯2

4π 48° = ⎯15

5π 25° = ⎯36

π ⎯4rad

11π ⎯ = 330°6225°3π ⎯ = 270°

248°25°π ⎯ = 45°4Μοίρες

Λύση:

11π6

3π2

π4

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Β’ - 3.4. Mήκος τόξου 191

B

Ο Αρ

Κ

3.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (190-192) 19-12-06 00:23 ™ÂÏ›‰·191

Να αντιστοιχίσετε τα μέτρα των τόξων της πρώτης γραμμής από μοίρες σε ακτίνια

(rad) της δεύτερης γραμμής.

Aν το μήκος � ενός τόξου μ° είναι ίσο με το του μήκους του κύκλου στον οποίο

ανήκει, τότε:

Α: μ = 45° Β: μ = 90° Γ: μ = 60° Δ: μ = 180°

Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.


7π6

5π4

3π4

π2Τόξο σε ακτίνια

270°60°100°30°Τόξο σε μοίρες3 .

182 .

3π2

π2ππ

32ππ4Ακτίνια

360°45°270°180°60°90°Μοίρες

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

192 Μέρος Β’ - 3.4. Mήκος τόξου

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™


Nα υπολογίσετε το μήκος ενός τεταρτοκύ-

κλιου ακτίνας ρ = 8 cm.

Σ’ έναν κύκλο που έχει μήκος 188,4 cm να

βρείτε το μήκος τόξου 30°.

Να βρείτε το μήκος του τόξου που αντι-στοιχεί στην πλευρά τετραγώνου εγγε-γραμμένου σε κύκλο με ακτίνα ρ = 10 cm.

Ένα τόξο 45° έχει μήκος 15,7 cm.Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου.

Δίνονται 2 τόξα π ακτινίων. Να εξετάσετεαν είναι πάντοτε ίσα.

Δίνονται τρεις ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων1 cm, 1,5 cm και 2 cm και μια επίκεντρηγωνία 45°. Να βρείτε τα μήκη των τόξωνπου αντιστοιχούν στη γωνία αυτή.

7

6

5

4

3

2

180°

3π 2

2π 3

15°

π 3

Τόξο σε ακτίνιαΤόξο σε μοίρες

1

Α Γ E

ΒΔ

Ζ

O 45°

3.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (190-192) 19-12-06 00:23 ™ÂÏ›‰·192

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενόςκυκλικού δίσκου, χωρίζουμε τον κυκλικόδίσκο σε όσο πιο μικρά μέρη μπο-ρούμε. Κόβουμε τα κομματάκια αυτά καικατόπιν τα τοποθετούμε όπως φαίνεταιστο διπλανό σχήμα:

Παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ένα σχήμα που «μοιάζει» μεορθογώνιo. Αν συνεχίσουμε να χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκοολοένα σε πιο μικρά ίσα μέρη, τότε το τελικό σχήμα θαπροσεγγίζει όλο και περισσότερο ένα ορθογώνιο, του οποίου η«βάση» είναι ίση με το μισό του μήκους του κύκλου, δηλαδή μεπρ, και το «ύψος» με την ακτίνα του κύκλου.

Επομένως, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ισούται με τοεμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, δηλαδή με ρ � πρ.

Επομένως:

Αν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,28 cm, να βρείτε το εμβαδόν του.

Το μήκος του κύκλου δίνεται από τον τύπο L=2πρ, δηλαδή 6,28=2 � 3,14 ρ, οπότε ρ=1 (cm).

Tότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: Ε = πρ2 = 3,14 � 12 = 3,14 (cm2).

Στο διπλανό σχήμα η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα

στους δύο κύκλους ονομάζεται κυκλικός δακτύλιος. Αν το εμβαδόν

του κίτρινου δακτυλίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε κυκλικού

δίσκου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = ��2 cm, να βρείτε την ακτίνα R του

μεγάλου κύκλου.

Τo εμβαδόν Ε του δακτυλίου ισούται με τη διαφορά των εμβαδών Ε1= πR2 και E2= πρ2

των δύο κυκλικών δίσκων. Επομένως, Ε = Ε1 – Ε2 = πR2 – πρ2.

Αφού Ε = Ε2, θα έχουμε:

πR2 – πρ2 = πρ2 ή πR2 = 2πρ2 ή R2 = 2ρ2 ή R2 = 2(��2 )2 = 4.

Οπότε: R = 2 cm.

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ2

Εμβαδόν κυκλικού δίσκου3.5.

1 23

4

πρ

O

ρR

ρ

1

2

3

4 6

5

3.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (193-195) 19-12-06 00:25 ™ÂÏ›‰·193

Mια πιτσαρία προσφέρει πίτσες κυκλικού σχήματος σετρία μεγέθη: τη μικρή, τη μεσαία και τη μεγάλη. Η μικρήέχει διάμετρο 23 cm και κοστίζει 7 €. Η μεσαία έχειδιάμετρο 28 cm και κοστίζει 8 € και 50 λεπτά. Η μεγάληέχει διάμετρο 33 cm και κοστίζει 11 € και 90 λεπτά.Ποια από τις τρεις πίτσες συμφέρει από άποψη τιμής;

Για να συγκρίνουμε τις 3 πίτσες, αρκεί να βρούμε το κόστος τού 1 cm2 για κάθε πίτσα.

Η μικρή έχει εμβαδόν: Ε1 = πρ21 = π � ( )2

= 415,27 (cm2).

Η μεσαία έχει εμβαδόν: Ε2 = πρ22 = π � 142 = 615,44 (cm2).

Η μεγάλη έχει εμβαδόν: Ε3 = πρ23 = π � ( )2

= 854,87 (cm2).

Το κόστος του 1 cm2 για κάθε πίτσα είναι:

Επομένως, συμφέρει να αγοράσουμε τη μεσαία πίτσα.

Ένας κύκλος έχει εμβαδόν ίσο αριθμητικά με το μήκος του. Η ακτίνα του είναι ίση με:Α: 4 Β: 2 Γ: 6 Δ: 5.Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Ένας κύκλος έχει μήκος L = 4 cm. Tο εμβαδόν του είναι:

Α: 12 cm2 B: cm2 Γ: 9 cm2 Δ: 16 cm2.


Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν του:

Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: εξαπλασιάζεται Δ: εννιαπλασιάζεται.



942 cm228,26 cm2Εμβαδόν κύκλου Ε

2,5 cm5 cmΑκτίνα ρ κύκλου4 .

3 .

4π

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

1190 = 1,39 (λεπτά/cm2)854,87

Μεγάλη

850 = 1,38 (λεπτά/cm2)615,44

Μεσαία

700 = 1,69 (λεπτά/cm2)415,27

Μικρή

332

232

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

194 Μέρος B’ - 3.5. Eμβαδόν κυκλικού δίσκου

3.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (193-195) 19-12-06 00:25 ™ÂÏ›‰·194



4ρ cm

3ρ cm

2ρ cm

ρ cm

4 cm

3 cm

2 cm

1 cm

Εμβαδόν ΕΜήκος LΑκτίνα ρ5 .

Μέρος B’ - 3.5. Eμβαδόν κυκλικού δίσκου 195

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Ένας κύκλος (Ο, ρ) έχει διάμετρο 10 cm.

Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει

τετραπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο

(Ο, ρ).

Να βρείτε το εμβαδόν

του μπλε κυκλικού δα-

κτυλίου, αν ρ=2 cm και

R=3 cm.

Στο διπλανό σχήμα

να υπολογίσετε το

μήκος και το εμβα-

δόν του κύκλου.

Ένας κύκλος έχει ακτίνα 10 cm.

Να κατασκευάσετε κυκλικό δίσκο με

διπλάσιο εμβαδόν.

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 3 cm. Να

βρεθεί (κατά προσέγγιση) η ακτίνα ενός

κυκλικού δίσκου που είναι ισοδύναμος

(δηλαδή έχει το ίδιο εμβαδόν) με το

τετράγωνο.

Λυγίζουμε ένα σύρμα μήκους 1,256 m,

ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρείτε το

εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που

αντιστοιχεί στο συρμάτινο κύκλο.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν κυκλικού

δίσκου που είναι περιγεγραμμένος σε

τετράγωνο πλευράς α = 6 cm.

Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν

144π cm2. Να βρείτε το μήκος του τόξου

του κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη

γωνία 60°.

8

7

6

5

4

3

2

1

O

ρR

O

A

B Γ

6 cm

8 cm

3.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (193-195) 19-12-06 00:26 ™ÂÏ›‰·195

Ας θεωρήσουμε ένα κύκλο (Ο, ρ)

και μια επίκεντρη γωνία x∧Οy

μέτρου μ°. Το μέρος του κυκλικού

δίσκου που περιέχεται μέσα στη

γωνία x∧Οy λέγεται κυκλικός τομέ-

ας γωνίας μ° του κύκλου (Ο, ρ).

Aν η επίκεντρη γωνία x∧Οy είναι μέτρου μ°, τότε και το

αντίστοιχο τόξο της έχει μέτρο μ°, οπότε βρίσκουμε τοεμβαδόν του κυκλικού τομέα:

= ή

Αν το τόξο έχει μετρηθεί σε ακτίνια και ισούται μεα rad, τότε πάλι έχουμε:

E = πρ2 � = ή

Mια κυκλική πλατεία έχει ακτίνα ρ = 20 m. Ένας προβολέας είναιτοποθετημένος στο κέντρο της πλατείας και εκπέμπει μια δέσμηφωτός που φωτίζει ένα κυκλικό τομέα γωνίας 50°.α) Να βρείτε το εμβαδόν της πλατείας.β) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που φωτίζεται.

Λύσηα) Το εμβαδόν της πλατείας είναι: Ε = πρ2 = 3,14 � 202 = 1256 (m2).

β) Γνωρίζουμε ότι όλη η πλατεία αντιστοιχεί σε τόξο360° και έχει εμβαδόν 1256 m2. Για να βρούμε τοεμβαδόν ε του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σετόξο 50°, χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών, οπότε:

= ή ε = 1256� = 174,44 (m2).

Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα στονστίβο της σφαιροβολίας ακτίνας ρ = 24 m και γωνίας 65°.

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα δίνεται από τον τύπο:

Ε = πρ2 = 3,14 � 242 � = 326,56 (m2).65

360μ

360

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

50360

50ε

3601256


1E = ⎯⎯ αρ2

2ρ2α2

α2π

μE = πρ2 � ⎯⎯

360μΕ

360πρ2

Εμβαδόν κυκλικού τομέα3.6.

Ο

x

y

μ°μ°

Επρ2Eμβαδόν

μ°360°Τόξο σε μοίρες

Επρ2Eμβαδόν

α2πΤόξο σε ακτίνα (rad)

Ο 50°

ε1256

50°360°

3.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (196-198) 19-12-06 00:28 ™ÂÏ›‰·196

O παρακάτω κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ και εμβαδόν 40 cm2. Nα υπολογίσετε τα εμβα-δά Ε1, Ε2, Ε3, Ε4.

Έχουμε ότι:

Δ∧ΟΓ = 30°, Γ

∧ΟΒ = 90° και Δ

∧ΟΑ = 90° – Δ

∧ΟΓ = 90° – 30° = 60°

Επομένως: Ε1 = (πρ2) = 40 � = 20 (cm2).

Ε2 = (πρ2) = 40 � = 10 (cm2).

Ε3 = (πρ2) = 40 � = 3,33 (cm2).

Ε4 = (πρ2) = 40 � = 6,67 (cm2).


Σ’ έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ = ........ (cm) ο κυκλικός τομέας γωνίας 120°έχει μήκος τόξου 6π (cm) και εμβαδόν ............. (cm2). Να συμπληρώσετε τα κενά.

Η ακτίνα ενός κύκλου είναι 12 cm. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 60° έχει εμβαδόν:Α: 24π (cm2) B: 36π (cm2) Γ: 54π (cm2) Δ: 108π (cm2).


Αν το εμβαδόν κυκλικού τομέα είναι 12,56 cm2 και η γωνία του είναι 90°, η ακτίνα τουκύκλου είναι: Α: 2 cm, Β: 4 cm, Γ: 9 cm, Δ: 7 cm.Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν ενός κυκλικούτομέα του κύκλου:Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: εξαπλασιάζεται Δ: εννιαπλασιάζεται.Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

5 .

4 .

3 .

2 .

Ε = 3π cm2ρ = 3 cm

Ε = 8π cm2μ = 45°

μ = 60°ρ = 2 cm

εμβαδόν κυκλικού τομέαγωνία κυκλικού τομέαακτίνα κύκλου1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

16

60360

112

30360

14

90360

12

180360

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος Β’ - 3.6. Eμβαδόν κυκλικού τομέα 197

Α

Ε1

Ε2

Ε3

Ε4

ΔΓ

ΒΟ

30°

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™Να υπολογιστεί η γωνία κυκλικού τομέα

που έχει εμβαδόν ίσο με το του

εμβαδού του κύκλου.

Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 30° έχει

εμβαδόν 1 m2. Να υπολογίσετε την

ακτίνα του κύκλου.

218

1

3.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (196-198) 19-12-06 00:28 ™ÂÏ›‰·197

198 Μέρος Β’ - 3.6. Eμβαδόν κυκλικού τομέα

Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι1256 cm2. Να υπολογίσετε το εμβαδόνενός κυκλικού τομέα γωνίας 36°.

Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας 45°είναι 20,25π cm2. Να βρείτε το εμβαδόντου κύκλου στον οποίο ανήκει ο τομέας.

Δύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνεςρ1=3 cm και ρ2=4 cm

αντίστοιχα. Να υπο-λογίσετε το εμβαδόντου γραμμοσκιασμέ-νου μέρους του σχή-ματος.

Ο υαλοκαθαριστήραςενός αυτοκινήτου έχειμήκος 55 cm. Το σημείοπεριστροφής απέχειαπό το λάστιχο καθα-ρισμού 15 cm. Aν ουαλοκαθαριστήρας διαγράφει γωνία 120°, να υπολογίσετε την επιφάνεια πουκαθαρίζει.

Να υπολογίσετε τα εμβαδά των γραμμο-σκιασμένων καμπυλόγραμμων επιφα-

νειών στα παρακάτω τετράγωνα:α) ΑΒ=ΒΓ=8 cm β) ΑΒ = 8 cm

γ) ΑΒ = 8 cm δ) ΑΒ = 8 cm

ε) AB = 8 cm

Να βρείτε το εμβαδόντης γραμμοσκιασμέ-νης επιφάνειας στοσχήμα, αν οι αριθμοίεκφράζουν τα μήκητων αντίστοιχων τμη-μάτων σε cm.

8

7

6

5

4

3

O

A

Γ

B

Δ

Α Β

ΓΔ

Α Β

ΓΔ

Α Β

ΓΔ

Α Β

ΓΔ

Α Β

ΓΔ

Δ

Ζ

Γ33

3 3

Β

Ε

✐ Εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα ειναι

μεταξύ τους ίσες.

✐ Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει ίσο

αντίστοιχο τόξο.

✐ Κανονικό πολύγωνο:ίσες πλευρές

ίσες γωνίες

✐ Κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου: ω =

✐ Γωνία κανονικού ν-γώνου: φ = 180° – ω

✐ Μήκος κύκλου: = π ή L = 2πρ

✐ Μήκος τόξου: � = 2πρ � ή � = αρ

✐ Εμβαδό κυκλικού δίσκου: Ε = πρ2

✐ Εμβαδό κυκλικού τομέα: Ε = πρ2� ή Ε = αρ2

2μ

360

μ360

Lδ

360°ν

Μέτρηση Κύκλου 3∂·Ó¿ÏË„Ë ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘

120°

5515Α

33

3.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (196-198) 19-12-06 00:28 ™ÂÏ›‰·198

Mέτρηση Στερεών

Γεωμετρικά Στερεά

H Γεωμετρία του Xώρουαποτελεί ένα από τα πιοενδιαφέροντα κεφάλαια,

εξαιτίας των πολλώνεφαρμογών της στην

καθημερινή ζωή.

Θα μας απασχολήσει ημελέτη στερεών σωμάτων,

όπως τo πρίσμα,ο κύλινδρος, η πυραμίδα,

ο κώνος και η σφαίρα.Θα εξετάσουμε τα στοιχεία

τους και τη μέτρηση τωνεπιφανειών τους

και του όγκου τους

(Στερεομετρία).

ΜΕΡΟΣ Β �

∫∫∂∂ºº∞∞§§∞∞ππ√√ 44 ÔÔ

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·199

√ ÃÒÚÔ˜√ Ê˘ÛÈÎfi˜ ÎfiÛÌÔ˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ˙Ô‡ÌÂ Î·È fiÏ· Ù· ¿„˘¯· ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓ·,Î·ıÒ˜ Î·È Ù· ¤Ì„˘¯· fiÓÙ· Ô˘ Ì·˜ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔ˘Ó, ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔÓ«¯ÒÚÔ».Δ· Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÛÂ Â›Â‰· Î·È ÛÙÂÚÂ¿ Î·È

·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÂÈÊ¿ÓÂÈÂ˜, ÁÚ·ÌÌ¤˜ Î·È ÛËÌÂ›·.

√È ÂÈÊ¿ÓÂÈÂ˜ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ‰È·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ó Ù· ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓ·ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜, ÔÈ ÁÚ·ÌÌ¤˜ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Î·È Ù· ÛËÌÂ›· Î·Ì›·.∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È Ë ÂÈÛÙ‹ÌË Ô˘ ÌÂÏÂÙ¿ Ù· ÛÙÂÚÂ¿ÛÒÌ·Ù· Î·È ÙÈ˜ È‰ÈfiÙËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ ÛÙÔÓ ¯ÒÚÔ. ∏ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›··Û¯ÔÏÂ›Ù·È ÌÂ ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙˆÓ fiÁÎˆÓ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ ÛÙÂÚÂÒÓÛ¯ËÌ¿ÙˆÓ: ÙˆÓ ÚÈÛÌ¿ÙˆÓ, ÙˆÓ Î˘Ï›Ó‰ÚˆÓ, ÙË˜ ÛÊ·›Ú·˜ Î.Ô.Î.√ ¯ÒÚÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙÚÂÈ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¤˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂÈ˜: Ì‹ÎÔ˜, Ï¿ÙÔ˜ Î·È ‡„Ô˜

Î·È ÂÎÙÂ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈfiÚÈÛÙ·. √È ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ ÌÂÏ¤ÙËÛ·Ó ÙË ÛÊ·›Ú·Î·È Î¿ÔÈ· Î·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡Â‰Ú·, ·ÏÏ¿ ÔÈ ¶Ï·ÙˆÓÈÛÙ¤˜ ‹Ù·Ó ·˘ÙÔ›Ô˘ ·Û¯ÔÏ‹ıËÎ·Ó ÂÎÙÂÙ·Ì¤Ó· ÌÂ Ù· Î·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡Â‰Ú·.ΔÔ ÙÂÙÚ¿Â‰ÚÔ, Ô Î‡‚Ô˜, ÙÔ ÔÎÙ¿Â‰ÚÔ, ÙÔ ÂÈÎÔÛ¿Â‰ÚÔ Î·È ÙÔ‰ˆ‰ÂÎ¿Â‰ÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¶Ï·ÙˆÓÈÎ¿ ™ÙÂÚÂ¿. √ÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Â›ÛË˜Î·È ∫ÔÛÌÈÎ¿ ™ÙÂÚÂ¿, Î·ıÒ˜ ÛÙË ºÈÏÔÛÔÊ›· ÙÔ˘ ¶Ï¿ÙˆÓ·Û˘Ì‚fiÏÈ˙·Ó ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯· ÙËÓ ÊˆÙÈ¿, ÙË ÁË, ÙÔ ÓÂÚfi, ÙÔÓ ·¤Ú· Î·È ÙËÓ«¤ÌÙË Ô˘Û›·» (quinta essentia).∏ ÌÂÏ¤ÙË ÙÔ˘ Î‡‚Ô˘, ÙÔ˘ ÙÂÙÚ¿Â‰ÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ‰ˆ‰ÂÎ¿Â‰ÚÔ˘ Ú¤ÂÈÓ· ¤ÁÈÓÂ ·fi ÙÔ˘˜ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘˜Ø Ô £Â·›ÙËÙÔ˜ ÌÂÏ¤ÙËÛÂ ÙÔ ÔÎÙ¿Â‰ÚÔÎ·È ÙÔ ÂÈÎÔÛ¿Â‰ÚÔ, ÂÓÒ Ô ∂‡‰ÔÍÔ˜ ıÂÌÂÏ›ˆÛÂ ÙË Ì¤ÙÚËÛ‹ ÙÔ˘˜.∏ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›· ·ÔÙÂÏÂ› ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜˙ˆ‹˜: ·fi Ì›· ·Ï‹ ·Ú·ÁÁÂÏ›· Ù·ÂÙÛ·Ú›·˜ ÁÈ· ÙÔ ‰ˆÌ¿ÙÈfi Ì·˜¤ˆ˜ ÙÔ Û¯Â‰È·ÛÌfi ÎÙÈÚ›ˆÓ ÛÙËÓ ∞Ú¯ÈÙÂÎÙÔÓÈÎ‹. ¢ÂÓ Â›Ó·È fiÌˆ˜ Î·ÈÏ›ÁÂ˜ ÔÈ ÂÈ‰Ú¿ÛÂÈ˜ ÙË˜ ÛÙËÓ Δ¤¯ÓË: ˙ˆÁÚ·ÊÈÎ‹, ÁÏ˘ÙÈÎ‹ Î.¿.∏ ÂÍ·ÈÚÂÙÈÎ‹ ¯Ú‹ÛË ÙË˜ ·›ÛıËÛË˜ ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Ì¤Û· ·fi ÙË °ÂˆÌÂÙÚ›·¤ÁÈÓÂ Ê·ÓÂÚ‹ Î·Ù¿ ÙËÓ ∞Ó·Á¤ÓÓËÛË. ∏ ∞Ó·Á¤ÓÓËÛË ‰È¤ıÂÙÂ ‰‡Ô‚·ÛÈÎ¿ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎ¿: ÙËÓ ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ Û¯‹Ì· Î·È ÙËÓ ¤ÌÊ·ÛË ÛÙÔ¯ÚÒÌ·. √ ÌfiÓÔ˜, ›Ûˆ˜, ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˜ Ô˘ ¤Êı·ÛÂ ÛÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ Â›Â‰ÔÎ·È ÛÙ· ‰‡Ô ‹Ù·Ó Ô Leonardo da Vinci, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤‰ˆÛÂ ÛÙËÓ∂ÈÂ‰ÔÌÂÙÚ›· Î·È ÙË ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›· ÌÈ· ‰È¿ÛÙ·ÛË ¿ÁÓˆÛÙË ÛÙÈ˜ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÂ˜ ÁÂÓÈ¤˜. √ «ª˘ÛÙÈÎfi˜ ¢Â›ÓÔ˜» ÙÔ˘ da Vinci ÛÙËÓÂÎÎÏËÛ›· Santa Maria della Grazie ÛÙÔ ªÈÏ¿ÓÔ Â›Ó·È ¤Ó· ¤ÍÔ¯Ô‰Â›ÁÌ· ÙË˜ ¯Ú‹ÛË˜ ÙˆÓ ÁÓÒÛÂˆÓ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜ ÛÙËÓ Δ¤¯ÓË Î·ÈÂÎÏ‹ÛÛÂÈ ÌÂ ÙËÓ ¿ÌÂÛË ·›ÛıËÛË ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÛÙÔ ıÂ·Ù‹.∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ‚Ú›ÛÎÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎ¤˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Î·È ÛÂ ¿ÏÏÂ˜ÂÈÛÙ‹ÌÂ˜. ™ÙË μÈÔÏÔÁ›· Î·È ÛÙËÓ π·ÙÚÈÎ‹ Ë ÌÂÏ¤ÙË ÙÔ˘ ÂÁÎÂÊ¿ÏÔ˘ ‹Î·È ¿ÏÏˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Á›ÓÂÙ·È ÌÂ ¤ÓÙÔÓË ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÂÓÓÔÈÒÓ ÙË˜ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. ™ÙË ÃËÌÂ›· Ë ‰ÔÌÈÎ‹ Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓÔÚÁ·ÓÈÎÒÓ ÂÓÒÛÂˆÓ Á›ÓÂÙ·È ÌÂ È‰ÈfiÙËÙÂ˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÙË˜™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜. ™ÙË ™ÂÈÛÌÔÏÔÁ›·, ÔÈ ÚÔÛÔÌÔÈÒÛÂÈ˜ ÙˆÓ ÎÈÓ‹ÛÂˆÓÙˆÓ ÙÂÎÙÔÓÈÎÒÓ Ï·ÎÒÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó «ÁÂˆÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ Î·ÓfiÓÂ˜» ÛÙÔ¯ÒÚÔ. √È ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙË˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÃÒÚÔ˘ Â›Ó·È ÔÏÏ¤˜·Ó·‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·˜ ÙË ÁÓÒÛË ÙË˜ ™ÙÂÚÂÔÌÂÙÚ›·˜ ÛÂ ¤Ó· ·Ó·fiÛ·ÛÙÔÎÔÌÌ¿ÙÈ ÙË˜ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜ ˙ˆ‹˜, ÙË˜ Δ¤¯ÓË˜ Î·È ÙË˜ ∂ÈÛÙ‹ÌË˜.

4.1 Ευθείες και επίπεδαστο χώρο

4.2 Στοιχεία καιεμβαδόν πρίσματοςκαι κυλίνδρου

4.3 Όγκος πρίσματοςκαι κυλίνδρου

4.4 Η πυραμίδα και ταστοιχεία της

4.5 Ο κώνος και ταστοιχεία του

4.6 Η σφαίρα και ταστοιχεία της

4.7 Γεωγραφικέςσυντεταγμένες

ΕΙΣΑΓΩΓH

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·200

Ευθείες και ΕπίπεδαΟι πρωταρχικές έννοιες του χώρου - γωστές ήδη από τηνεμπειρία μας - είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο.Τα επίπεδα τα έχουμε συνδέσει στο φυσικό κόσμο με τηναίσθηση των επιφανειών.Η επιφάνεια του μαυροπίνακα, ενός λείου πατώματος, ενόςκαθρέπτη μάς δίνουν την αίσθηση του επιπέδου.Ωστόσο, το επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα και για να το παρα-στήσουμε, σχεδιάζουμε ένα παραλληλόγραμμο για να χωράειστην επιφάνεια του χαρτιού. Το ονομάζουμε, επίσης μ’ ένα απότα τελευταία μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου (p, q, r).Μία ευθεία ε ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο από τα δύο σημείαΑ και Β. Αν θεωρήσουμε ένα τρίτο σημείο Γ που δεν ανήκειστην ευθεία ε, τότε τα τρία αυτά σημεία Α, Β, και Γ ορίζουν έναεπίπεδο p. Προφανώς, η ευθεία ε και το σημείο Γ ορίζουν τοίδιο επίπεδο.Γι’ αυτό ακριβώς το λόγο, οι φωτογράφοι για μεγαλύτερησταθερότητα στηρίζουν τις φωτογραφικές μηχανές τους σετρίποδο και έτσι εξηγείται η τρίτη ρόδα στα ποδήλατα τωνμικρών παιδιών.

Σχετικές θέσεις δύο επιπέδωνΣε ένα κλειστό βιβλίο οι δύο επιφάνειες που ορίζουν τα

εξώφυλλά του, μας δίνουν την αίσθηση ότι όσο και αν τις

προεκτείνουμε, δεν τέμνονται ποτέ.

Τα δύο επίπεδα που δημιουργούνται έτσι, λέγονται παράλληλα.

Αν τώρα ανοίξουμε το βιβλίο, παρατηρούμε ότι σχηματίζονται

δύο επίπεδα που τα κοινά τους σημεία ανήκουν σε μια ευθεία.

Λέμε, τότε, ότι τα επίπεδα τέμνονται.

Η ευθεία αυτή λέγεται τομή των δύο επιπέδων.

Ευθείες και επίπεδα στο χώρο4.1.

B ε

p

A B

Γ

ε

A

p

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·201

Επομένως:

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώροΓνωρίζουμε ότι δύο διαφορετικές ευθείες που ανήκουν στο ίδιο

επίπεδο μπορούν να είναι παράλληλες ή να τέμνονται.

Όμως, όπως φαίνεται στον διπλανό κύβο, υπάρχουν ευθείες

στο χώρο που δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν

κανένα κοινό σημείο.

Οι ευθείες αυτές λέγονται ασύμβατες.

Επομένως:

Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδουΌπως ξέρουμε, από δύο σημεία ορίζεται μοναδική ευθεία.

Όταν τα σημεία αυτά ανήκουν σε ένα επίπεδο, τότε ολόκληρη η

ευθεία ανήκει στο επίπεδο αυτό.

Η ευθεία αυτή λέγεται ευθεία του επιπέδου.

Αν μια ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με ένα επίπεδο, τότε είναι

παράλληλη στο επίπεδο αυτό.

Όταν έχουμε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ζ, οι μόνες

δυνατές θέσεις που μπορεί να έχουν είναι:

● Να είναι παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο

επίπεδο και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο.

● Να τέμνονται, δηλαδή να έχουν ένα μόνο κοινό

σημείο.

● Να είναι ασύμβατες, δηλαδή να ανήκουν σε

διαφορετικά επίπεδα και να μην έχουν κανένα

κοινό σημείο.

Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι:

● Να είναι παράλληλα.

● Να τέμνονται κατά μία ευθεία.

202 Μέρος Β’ - 4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο

ε

ε

ε

ζ

ζ

A B

ε

p

p

ε

ζ

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·202

Είναι, όμως, δυνατό μια ευθεία να τέμνει ένα επίπεδο μόνο σε

ένα σημείο. Το σημείο Γ ονομάζεται ίχνος της ε στο επίπεδο p.

Ευθεία κάθετη σε επίπεδοΑς θεωρήσουμε μια ευθεία ε που τέμνει το επίπεδο p στο

σημείο Α. Αν η ε είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου p,

που διέρχεται από το σημείο Α, τότε θα λέμε ότι η ευθεία ε είναι

κάθετη στο επίπεδο p.

Αποδεικνύεται ότι:

Απόσταση σημείου από επίπεδοΑν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει από την κορυφή Α του κεκλι-

μένου πύργου της Πίζας, θα παρατηρήσουμε ότι διαγράφει

τροχιά κάθετη προς το έδαφος. Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα

ΑΒ, που φέρουμε προς το

επίπεδο p από ένα σημείο Α που

δεν ανήκει στο επίπεδο, λέγεται

απόσταση του σημείου Α από το

επίπεδο p.

Παρατηρούμε ότι το κάθετο

ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι

μικρότερο από κάθε πλάγιο

ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.

Απόσταση παράλληλων επιπέδωνΗ επιφάνεια p του τραπεζιού ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο

προς το επίπεδο q του δαπέδου. Το ύψος του τραπεζιού

εκφράζει την απόσταση οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου

του τραπεζιού p από το επίπεδο του δαπέδου q.

Η απόσταση αυτή ονομάζεται απόσταση των παράλληλων

επιπέδων p και q.

Μια ευθεία είναι κάθετη σε

ένα επίπεδο, όταν είναι

κάθετη σε δύο ευθείες του

που διέρχονται από το

ίχνος της.

Οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι:

● Η ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο.

● Η ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο.

● Η ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο.

Μέρος Β’ - 4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 203

p

ε

Γ

p

A

B

Γ

pε1

ε

ε2

Α

A

BΓ

p

q

�

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·203

Στον κύβο ΑΒΓΔΕΖΗΘ του διπλανού σχήματος να βρείτε

τις ευθείες των ακμών του που είναι ασύμβατες στη ακμή ΑΒ.

Είναι οι ευθείες ΔΘ, ΘΕ, ΗΖ, ΗΓ, γιατί τέμνουν τα επίπεδα

στα οποία ανήκει η ΑΒ χωρίς να τέμνουν την ΑΒ.

Στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του διπλανού

σχήματος να υπολογίσετε:

α) τη ΒΓ β) τη γωνία x = Β∧

ΑΓ.

α) H ΒΓ είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΓ. Εφαρμόζοντας το

Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΒΔΓ έχουμε:

ΒΓ2 = 32 + 42 ή ΒΓ2 = 25 ή ΒΓ = 5 (cm).

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ θα υπολογίσουμε τη εφαπτομένη της γωνίας x.

Είναι λοιπόν εφx = , οπότε εφx = = 0,51 και από τον πίνακα εφαπτο-

μένων βρίσκουμε ότι x = 27°.

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣΜια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο, αν είναι

παράλληλη σε μια ευθεία του επιπέδου.Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, αν είναι κάθετη

σε μια ευθεία του επιπέδου.Μια ευθεία ανήκει σε ένα επίπεδο, όταν δύο σημεία της είναι

και σημεία του επιπέδου.Απόσταση δύο παραλλήλων επιπέδων ονομάζουμε το μήκος

του ευθύγραμμου τμήματος που έχει τα άκρα του στα δύο επίπεδα.

Κάθε ευθεία κάθετη σε ένα επίπεδο, τέμνει το επίπεδο αυτό.

Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο, είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο p, τότε είναι κάθετη

σε κάθε άλλο επίπεδο που είναι παράλληλο στο p.Από τρία διαφορετικά σημεία που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία, διέρχονται:Α: Δύο επίπεδα Β: Μόνο ένα επίπεδο Γ: Άπειρα επίπεδαNα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.Πόσα επίπεδα διέρχονται από μια ευθεία;Α: Ένα Β: Δύο Γ: Τρία Δ: ΆπειραΝα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

9 .

8 .

7 .

6 .

5 .

4 .

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

59,8

ΒΓΑΒ

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

204 Μέρος Β’ - 4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο

Α B

Ε

Θ Η

Ζ

ΓΔ

B

Γ

Δ

Α 9,8 cm

4 cm

3 cm

x

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·204

Στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλε-πίπεδο να βρείτε ευθείες που είναι:α) κάθετες στην ΑΕ.β) παράλληλες στην ΑΒ.γ) ασύμβατες με την ΔΓ.

Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε επίπεδατα οποία:α) είναι παράλληλα με το επίπεδο p.β) τέμνουν το επίπεδο p. Σε κάθε περί-

πτωση να βρείτε την κοινή τουςευθεία.

Το διπλανόσχήμα παρι-στάνει έναορθογών ιοπαραλληλε-πίπεδο.α) Να σχεδιάσετε το επίπεδο που ορί-

ζουν τα σημεία Α, Δ, Ζ.β) Να σχεδιάσετε την ευθεία που

διέρχεται από το σημειο Κ και είναικάθετη στην κάτω έδρα του ορθογώ-νιου παραλληλεπιπέδου.

Οι αποστάσεις των

σημείων Α,Β από

το επίπεδο p είναι

ΑΑ�=20, ΒΒ�=14.

Αν Α�Β�=8, να υπολογίσετε το ΑΒ.

Στο παρακάτω ορθογώνιο παραλληλε-πίπεδο να υπολογίσετε το ΑΗ.

Ο παρακάτω κύβος έχει ακμή 12 cm. α) Να εξηγήσετε γιατί η ΗΓ και η ΛΚ

είναι κάθετες στην έδρα ΑΒΓΔ τουκύβου.

β) Να υπολο-λογίσετε τηναπόστασητης κορυφήςΓ από τογραμμο-σκιασμένοεπίπεδο.

Η κεραία ΑΚ του σχήματος, ύψους 12m,είναι τοποθετημένη κάθετα στο επίπεδοτου εδάφους. Συγκρατείται με τρίασυρματόσχοινα που στερεώνονται στηνκορυφή της και στα σημεία Β, Γ, Δ πουαπέχουν 5 m από το Κ.Να υπολογίσετε το συνολικό μήκος τωνσυρματόσχοινων που συγκρατούν τηνκεραία.

7

6

5

4

3

2

1

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

pA�

A

B�

B

A

ΘB

Δ Γ

H

ZE

Λ

K

p

B

Γ

Δ

K

Α

B

Γ

Δ

Ε

Ζ

ΗΘp

A

Δ Γ

A

E Z

HΘ

B

Δ Γ

A

E Z

HΘ

B

A

E Z

HΘ

KΔ Γ

B

3 cm

4 cm

12 cm

4.1-°∂øª∂Δƒπ∞ (199-205) 19-12-06 00:30 ™ÂÏ›‰·205

Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία τουΣτο φυσικό κόσμο τα αντικείμενα των διπλανών σχημάτων μάςδίνουν την έννοια του ορθού πρίσματος.Στη Στερεομετρία τα παρακάτω στερεά σώματα ονομάζονταιορθά πρίσματα. Στη συνέχεια, τα ορθά πρίσματα θα τα λέμεαπλά πρίσματα.

Κάθε πρίσμα έχει:δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα πολύγωνα και τις άλλεςέδρες του που είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα καιονομάζονται παράπλευρες έδρες.Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονται βάσεις του πρίσματος.Οι παράπλευρες έδρες σχηματίζουν την παράπλευρηεπιφάνεια του πρίσματος. Οι πλευρές των εδρών τουπρίσματος ονομάζονται ακμές.Η απόσταση των δύο βάσεων, που είναι ίση με το ύψος μιαςπαράπλευρης έδρας, λέγεται ύψος του πρίσματος.Αν οι βάσεις του πρίσματος είναι τρίγωνο, τετράπλευρο,πεντάγωνο κ.ο.κ, τότε αντίστοιχα το πρίσμα λέγεται τριγωνικό,τετραπλευρικό, πενταγωνικό κ.ο.κ.

Δύο από τα βασικότερα ορθά πρίσματα είναι ο κύβος καιτο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

Εμβαδόν επιφάνειας πρίσματοςΣτο διπλανό σχήμα βλέπουμε τη διαδικασία ανάπτυξης και τοτελικό ανάπτυγμα της επιφάνειας ενός πρίσματος. Ως

ανάπτυγμα της επιφάνειας ενόςπρίσματος θεωρούμε το επίπεδοσχήμα που προκύπτει αν «ξεδιπλώ-σουμε» την παράπλευρη επιφάνειάτου και τις βάσεις του.Η παράπλευρη επιφάνεια σχηματίζειένα ορθογώνιο, που η μία διάστασήτου είναι η περίμετρος της βάσης και ηάλλη το ύψος του πρίσματος.

Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου4.2.

ÔÚıÔÁÒÓÈÔ·Ú·ÏÏËÏÂ›Â‰Ô

Î‡‚Ô˜

ÙÚÈÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· ÂÓÙ·ÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ· ÂÍ·ÁˆÓÈÎfi Ú›ÛÌ·

ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ‚¿ÛË˜

‡„Ô˜

4.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (206-211) 19-12-06 00:33 ™ÂÏ›‰·206

Φυσικά, για να βρούμε το ολικό εμβαδόν, πρέπει να

προσθέσουμε και τα εμβαδά των δύο βάσεων.

ΚύλινδροςΤα παρακάτω στερεά δίνουν την έννοια του κυλίνδρου.

Ένας κύλινδρος αποτελείται από δυό ίσουςκαι παράλληλους κυκλικούς δίσκους, πουείναι οι βάσεις του, και την παράπλευρηεπιφάνεια, που, αν την ξετυλίξουμε, θαδούμε ότι έχει σχήμα ορθογωνίου.

Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος

του κυλίνδρου.

Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρουΑς θεωρήσουμε το ανάπτυγμα ενός κυλίνδρου.Είναι φανερό ότι το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας τουκυλίνδρου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου πουσχηματίζεται, οπότε ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου τηςβάσης επί το ύψος του κυλίνδρου.Η περίμετρος της βάσης ισούται με το μήκος του κύκλου,δηλαδή 2πρ.

Το ολικό εμβαδόν ενός πρίσματος (Εολ) είναι το άθροι-

σμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας Επ και

των εμβαδών Εβ των δύο βάσεων.

Δηλαδή: Εολ = Επ + 2Εβ

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός

πρίσματος ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της

βάσης του επί το ύψος του πρίσματος. Δηλαδή:

Επ = (περίμετρος βάσης) � (ύψος)

Μέρος Β’ - 4.2. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου 207

ŒÓ·˜ Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÌÔÚÂ› Ó·ÚÔÎ‡„ÂÈ Î·È ·fi ÙËÓÂÚÈÛÙÚÔÊ‹ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘AB°¢ Á‡Úˆ ·fi ÌÈ·ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, .¯. ÙËÓ A¢, Î·ÈÙfiÙÂ Ï¤ÁÂÙ·È Î‡ÏÈÓ‰ÚÔ˜ ÂÎÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜.H ÏÂ˘Ú¿ B° Ï¤ÁÂÙ·ÈÁÂÓ¤ÙÂÈÚ· ÙÔ˘ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘ Î·ÈÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘.

Δ

Α Β

Γ

ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ‚¿ÛË˜

‡„Ô˜

4.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (206-211) 19-12-06 00:33 ™ÂÏ›‰·207

Φυσικά, για να βρούμε το ολικό εμβαδόν του κυλίνδρου, πρέπει

στο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας να προσθέσουμε τα

εμβαδά των δύο βάσεων.

Να βρείτε πόσο χαρτόνι (σε cm2) χρειάζεται, για να κατασκευαστεί το πρίσμα του

παρακάτω σχήματος, του οποίου οι βάσεις είναι ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες

πλευρές 3 cm και 4 cm αντίστοιχα και το ύψος είναι 10 cm.

Οι βάσεις του πρίσματος είναι ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες

πλευρές 3 cm και 4 cm.

Η υποτείνουσα ΒΓ υπολογίζεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

ΒΓ2 = 32 + 42 ή ΒΓ2 = 25 ή ΒΓ = 5 (cm). Eπομένως:

Εβ = β � υ = 3 � 4 = 6 (cm2).

Επ = (περίμετρος βάσης) � (ύψος) = 12 � 10 = 120 (cm2).

Εολ = Επ + 2Εβ = 120 + 2 � 6 = 132 (cm2).

Να υπολογιστεί το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας

του πρίσματος που δίνεται στο διπλανό σχήμα.

Οι βάσεις του πρίσματος είναι τετράπλευρα με

περίμετρο: 3 + 4 + 6 + 5 = 18 (cm).

Το ύψος του πρίσματος είναι 7 cm. Άρα, το εμβαδόν της

παράπλευρης επιφάνειας είναι:


Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12

12

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Το ολικό εμβαδόν Εολ ενός κυλίνδρου ισούται με το

εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Επ και τα εμβαδά

Εβ των δύο βάσεων. Δηλαδή:

Εολ = Επ + 2Εβ

Το εμβαδόν Επ της παράπλευρης επιφάνειας ενός

κυλίνδρου ισούται με την περίμετρο της βάσης (που

είναι ίση με 2πρ) επί το ύψος του κυλίνδρου. Δηλαδή

Επ = (περίμετρος βάσης) � (ύψος) ή Επ =2πρ � υ

208 Μέρος Β’ - 4.2. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου

6 cm

Α

B

3 cm

4 cm

10 cm

Γ

Δ

Ε

Ζ

3 cm

7 c

m

5 cm4 cm

E Z

Θ

Α

H

Δ Γ

Β

4.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (206-211) 19-12-06 00:34 ™ÂÏ›‰·208

Κόστος δεξαμενής καυσίμων

Μια κλειστή δεξαμενή αποθήκευσης καυσίμων έχει σχήμα κυλίν-

δρου με ύψος 20 m και ακτίνα βάσης ρ = 30 m. Είναι κατασκευα-

σμένη από ειδική λαμαρίνα που κοστίζει 5 € το τετραγωνικό μέτρο.

Ποιο είναι το κόστος της λαμαρίνας για την κατασκευή της δεξαμενής;

Πρέπει να βρούμε πόσα τετραγωνικά μέτρα λαμαρίνας χρησιμοποιήθηκαν (δηλαδή

το ολικό εμβαδόν) και να το πολλαπλασιάσουμε με το κόστος 5 € ανά τετραγωνικό

μέτρο.

• Η παράπλευρη επιφάνεια έχει εμβαδόν:

Επ = (περίμετρος βάσης) � (ύψος)

= 2πρ � υ = 2 � 3,14 � 30 � 20 = 3768 (m2).

• Καθεμία από τις βάσεις έχει εμβαδόν: Εβ = πρ2 = 3,14 � 302 = 2826 (m2).

• Το ολικό εμβαδόν του κυλίνδρου είναι:

Εολ = Επ + 2 � Εβ = 3768 + 2 � 2826 = 9420 (m2).

Επομένως, το κόστος της λαμαρίνας είναι 9420 � 5 = 47100 €.

Η βάση της μηχανής

Το διπλανό κλειστό κουτί κατασκευάζεται από ξύλο και

χρησιμεύει ως βάση μιας μηχανής. Να βρείτε την επι-

φάνεια του ξύλου που θα χρησιμοποιηθεί για την κατα-

σκευή της βάσης.

Παρατηρούμε ότι το κουτί είναι ένα πενταγωνικό πρίσμα με βάσεις τα πεντάγωνα

ΑΒΓΔΕ και ΖΗΘΙΚ.

Η περίμετρος της κάθε βάσης είναι:

ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΕ + ΕΑ = 20 + 4 + 10 + 12 + 10 = 56 (cm).

Το ύψος του πρίσματος είναι υ = ΑΖ = 5 (cm).

Επομένως, το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι:


Για να βρούμε το εμβαδόν της βάσης ΑΒΓΔΕ, τη χωρίζουμε σε δύο μέρη: σε ένα

ορθογώνιο ΑΕΔΔ� και σε ένα τραπέζιο ΒΓΔΔ�. Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΕΔΔ�

είναι ίσο με 10 � 12 = 120 (cm2). Το εμβαδόν του τραπεζίου ΒΓΔΔ� είναι ίσο με:

Ετρ = (β + Β) � υ = (4 + 10) � 8 = 56 (cm2).

Άρα, το εμβαδόν της βάσης είναι: Εβ = 120 + 56 = 176 (cm2).

Το ολικό εμβαδόν του πρίσματος είναι:

Εολ = Επ + 2Εβ = 280 + 2 � 176 = 280 + 352 = 632 (cm2).

12

12

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


�

�

E

H

12 cm

20 cm4 cm

5cm 10 c

m

10 cm

Θ

Ι

Δ�

Δ

Γ

Β

Ζ

ΑΚ

4.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (206-211) 19-12-06 00:34 ™ÂÏ›‰·209

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.

Ένα πρίσμα με βάση πεντάγωνο έχει:

α) A: 5 έδρες Β: 6 έδρες Γ: 7 έδρες.

β) A: 8 κορυφές Β: 10 κορυφές Γ: 12 κορυφές.

γ) A: 10 ακμές Β: 15 ακμές Γ: 12 ακμές.

Δίνεται πρίσμα με βάση τετράγωνο πλευράς 10cm και ύψους 8cm.

α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι:

A: 400 cm2 Β: 320 cm2 Γ: 800 cm2.

β) Το ολικό εμβαδόν του είναι:

A: 600 cm2 Β: 520 cm2 Γ: 800 cm2.

Ένας κύλινδρος έχει διάμετρο βάσης 10cm και ύψος 8cm.

α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του είναι:

A: 40π cm2 Β: 60π cm2 Γ: 80π cm2.

β) Το ολικό εμβαδόν του είναι:

A: 100π cm2 Β: 110π cm2 Γ: 130π cm2.

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

210 Μέρος Β’ - 4.2. Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνα-

κα, όπου φαίνεται η περίμετρος της

βάσης, το ύψος και το εμβαδόν της παρά-

πλευρης επιφάνειας πρίσματος.

Να βρείτε το εμβαδόν της παράπλευρης

επιφάνειας τριγωνικού πρίσματος του

οποίου η βάση είναι τρίγωνο με πλευρές

α = 3 dm, β = 5 dm, γ = 6 dm και το ύψος

0,8 cm.

Έστω α, β, γ τα

μήκη των πλευρών

της βάσης ενός

τριγωνικού

πρίσματος, υ το

ύψος του και Επ το

εμβαδόν της παρά-

πλευρης επιφάνειας.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω

πίνακα.

45808040Επ

5845υ

2524γ

2553β

3232α

3

2

5142470Εμβαδόν Επ

1065ύψος υ

578περίμετρος βάσης

1 Ε

γβ

αυ

Δ

Α

Β Γ

4.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (206-211) 19-12-06 00:34 ™ÂÏ›‰·210


Θέλουμε να βάψουμε τους τοίχους ενός

δωματίου που έχει σχήμα ορθογωνίου

παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις:

πλάτος 4 m, μήκος 5 m και ύψος 3 m.

Πόσα κιλά χρώμα πρέπει να αγορά-

σουμε, αν είναι γνωστό ότι ένα κιλό

χρώματος καλύπτει περίπου 9 m2;

Nα υπολογίσετε το ολικό εμβαδόν πρί-

σματος με ύψος υ = 20 cm και βάσεις

ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 4 cm.

H σκηνή ενός κάμπινγκ είναι κατα-

σκευασμένη από ύφασμα (μαζί με το

δάπεδό της) και έχει διαστάσεις που

φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα

τετραγωνικά μέτρα ύφασμα χρειάστηκαν

για την κατασκευή της;

Να βρεθεί το εμβαδόν της παράπλευρης

επιφάνειας και το ολικό εμβαδόν ενός

κυλίνδρου, όταν:

α) Έχει ακτίνα βάσης 3 cm και ύψος 5 cm.

β) Έχει διάμετρο βάσης 4 cm και ύψος

6 cm.

γ) Έχει περίμετρο βάσης 15,7 cm και

ύψος 32 cm.

δ) Έχει εμβαδόν βάσης 50,24 cm2 και

ύψος 2 dm.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω

πίνακα που συνδέει την ακτίνα της

βάσης και το ύψος ενός κυλίνδρου με το

εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας

και το ολικό εμβαδόν του.

Το κυλινδρικό κουτί μιας

κονσέρβας έχει ύψος 12

cm και ακτίνα βάσης 3

cm. Το υλικό των βάσεων

κοστίζει 0,5 € το τετραγω-

νικό μέτρο, ενώ το υλικό

της παράπλευρης επιφά-

νειας κοστίζει 0,3 € το

τετραγωνικό μέτρο.

Πόσο θα κοστίζει το υλικό

όταν πρόκειται να κατα-

σκευάσουμε 1000 κουτιά;

9

62,8753,6ολικό εμβαδόν (cm2)

125,662,850,4εμβαδόν Επ (cm2)

15ύψος κυλίνδρου (cm)

123ακτίνα βάσης (cm)

8

7

6

5

4

1,6 m

1,7 m

2 m

0,5

m

2 m

4.2-°∂øª∂Δƒπ∞ (206-211) 19-12-06 00:34 ™ÂÏ›‰·211

Η έννοια του όγκουΑς θεωρήσουμε ένα στερεό σώμα Σ και έναν κύβο με ακμήμήκους μία μονάδα. Ο θετικός αριθμός που δηλώνει με πόσεςεπαναλήψεις του κύβου ή μέρους του κύβου σχηματίζεται τοστερεό σώμα Σ, λέγεται όγκος του σώματος.

Moνάδες μέτρησης όγκουΩς μονάδα μέτρησης όγκου θεωρούμε έναν κύβο με ακμήμήκους 1 μέτρο (m).Ο όγκος του ισούται με 1 κυβικό μέτρο (m3).Οι κυριότερες υποδιαιρέσεις του κυβικού μέτρου είναι:

α) Το κυβικό δεκατόμετρο (dm3) που είναι όγκος κύβου με

ακμή 1 dm.

Αφού 1m =10 dm, θα ισχύει ότι:

1 m3 = 103 dm3 = 1000 dm3.

Αντίστροφα ισχύει ότι: 1 dm3 = m3 = 0,001 m3.

β) Το κυβικό εκατοστόμετρο (cm3) που είναι όγκος κύβου με

ακμή 1cm. Ισχύει ότι 1 m = 10 dm = 100 cm, οπότε

1 m3 = 103 dm3 = 1003 cm3.

Αντίστροφα ισχύει ότι: 1 cm3 = dm3 = m3.

γ) Το κυβικό χιλιοστόμετρο (mm3) που είναι όγκος κύβου με

ακμή 1mm. Ισχύει ότι 1 m = 10 dm = 100 cm= 1000 mm,

οπότε 1 m3 = 103 dm3 = 1003 cm3= 10003 mm3.

Αντίστροφα ισχύει ότι:

1mm3 = cm3 = dm3 = m3

Στον όγκο των υγρών συνηθίζουμε να ονομάζουμε το dm3 ωςλίτρο (� ). Τότε, το cm3 λέγεται χιλιοστόλιτρο (m� ).

Όγκος πρίσματος και κυλίνδρουΑς θεωρήσουμε μια σύριγγα γεμάτη χρωματισμένο νερό.Ασκώντας πίεση, το έμβολο διαγράφει το μήκος της σύριγγαςέως ότου αδειάσει όλο το νερό.Είναι φανερό ότι το νερό έχει όγκο ίσο με τον όγκο τηςκυλινδρικής σύριγγας.Ο όγκος της σύριγγας διαγράφεται από την κίνηση τουεμβαδού του εμβόλου σε όλο το μήκος της.

11000000000

11000000

11000

11000000

11000

11000

Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου4.3.

V = 12

V = 6 V = 3,5

4.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (212-215) 19-12-06 00:36 ™ÂÏ›‰·212

Είναι φανερό ότι το ίδιο θα ισχύει, αν στη θέση της κυλινδρικής

σύριγγας έχουμε ένα οποιοδήποτε πρίσμα.

Να βρείτε τον όγκο του κυλίνδρου στις παρακάτω περιπτώσεις:α) με ακτίνα βάσης 3 cm και ύψος 5 cm,β) με διάμετρο βάσης 4 cm και ύψος 4 cm,γ) με περίμετρο βάσης 31,4 cm και ύψος 3 cm.

α) Εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου V του κυλίνδρου και έχουμε:

V = πρ2 � υ = π � 32 � 5 = 45π = 141,3 (cm3).

β) Αφού η διάμετρος είναι δ = 4 cm, η ακτίνα είναι ρ = 2 cm.

Εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου κυλίνδρου και έχουμε:

V = πρ2 � υ = π � 22 � 4 = 16π = 50,24 (cm3).

γ) Πρώτα υπολογίζουμε την ακτίνα του κύκλου της βάσης:

L = 2πρ ή

31,4 = 2π � ρ ή

31,4 = 6,28 � ρ ή

ρ = 5 (cm).

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον τύπο του όγκου κυλίνδρου και έχουμε:

V = πρ2 � υ = π � 52 � 3 = 75π = 235,5 (cm3).

Ο διπλανός κορμός δέντρου θεωρούμενος ως κύλινδρος

έχει μήκος 8 m και διάμετρο βάσης 0,6 m. Η τιμή του

συγκεκριμένου είδους ξυλείας είναι 100 € ανά κυβικό

μέτρο. Πόσο αξίζει ο κορμός;

Αφού η διάμετρος του κορμού είναι δ = 0,6 m, τότε η ακτίνα του κύκλου της βάσης του

κυλίνδρου είναι ρ = 0,3 (m).

Επομένως, ο όγκος του κυλίνδρου είναι:

VK = πρ2 � υ = 3,14 � (0,3)2 � 8 = 2,26 (m3).

Αφού η αξία του συγκεκριμένου είδους ξυλείας είναι 100 € το κυβικό μέτρο, η αξία του

κορμού είναι: Α = 2,26 � 100 = 226 €.

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Ο όγκος ενός πρίσματος ισούται με το γινόμενο του

εμβαδού της βάσης του επί το ύψος, δηλαδή:

Όγκος = (Εμβαδόν βάσης) � (ύψος)

Ο όγκος ενός κυλίνδρου ισούται με το γινόμενο του

εμβαδού της βάσης του επί το ύψος, δηλαδή:

Όγκος = (Εμβαδόν βάσης) � (ύψος)

Μέρος Β’ - 4.3. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου 213

υ

υ

4.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (212-215) 19-12-06 00:36 ™ÂÏ›‰·213

Ένα πρίσμα έχει βάση τετράγωνο πλευράς α (cm) και είναι εγγεγραμ-

μένο σε κύλινδρο με ύψος 10 cm και ακτίνα βάσης ρ = 3 cm.

α) Να υπολογίσετε τη πλευρά α του τετραγώνου.

β) Να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου και τον όγκο

του πρίσματος.

α) Tο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει υποτείνουσα ΑΓ = 2 � ρ = 2� 3 = 6 (cm).

Aπό το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

α2 + α2 = 62 ή 2α2 = 36 ή α2 = 18.

Άρα: α = ��18 = 4,24 (cm).

β) Ο όγκος του κυλίνδρου είναι: Vκυλ = πρ2υ = 3,14 � 32 � 10 = 282,6 (cm2).

O όγκος του πρίσματος είναι:

Vπρ = Εβ � υ = α2 � υ = 18 � 10 = 180 (cm2).

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπου φαίνεται το εμβαδόν της βάσης, το

ύψος και ο όγκος πρίσματος.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όπου φαίνεται το εμβαδόν της βάσης, το

ύψος και ο όγκος κυλίνδρου.

Δίνονται τέσσερις κύλινδροι που έχουν όλοι ακτίνα βάσης ρ=4 cm. Να συμπληρώσετετον παρακάτω πίνακα:

όγκος V

oλικό εμβαδόν Εολ

εμβαδόν παράπλευρηςεπιφάνειας Επ

8 cm6 cm4 cm2 cmύψος κυλίνδρου υ

4ος Κύλινδρος3ος Κύλινδρος2ος Κύλινδρος1ος Κύλινδρος

3 .

12072όγκος (cm3)

64ύψος (cm)

922εμβαδόν βάσης (cm2)

2 .

3056όγκος (cm3)

63ύψος (cm)

812εμβαδόν βάσης (cm2)

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

214 Μέρος Β’ - 4.3. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου

Δ

ΓΑ

Β

�

4.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (212-215) 19-12-06 00:36 ™ÂÏ›‰·214

Μέρος Β’ - 4.3. Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου 215

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Τριγωνικό πρίσμα με βάση ορθογώνιο

τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές

ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 4 cm έχει ύψος ίσο

με την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου

ΑΒΓ.

Να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφά-

νειας του πρίσματος,

β) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του,

γ) τον όγκο του πρίσματος.

Δίνεται πρίσμα με βάση ισόπλευρο

τρίγωνο. Αν γνωρίζετε ότι το ύψος του

είναι τετραπλάσιο από την πλευρά του

ισόπλευρου τριγώνου της βάσης του και

η παράπλευρη επιφάνειά του έχει

εμβαδόν 432 cm2, να υπολογίσετε τον

όγκο του.

Ένα τετραγωνικό πρίσμα έχει ολικό

εμβαδόν που είναι τριπλάσιο του εμβαδού

της παράπλευρης επιφάνειάς του.

Να αποδείξετε ότι η πλευρά του τετρα-

γώνου της βάσης του είναι τετραπλάσια

από το ύψος του πρίσματος.

Ένα πρίσμα έχει βάση ισοσκελές

τραπέζιο ΑΒΓΔ, με ίσες πλευρές

ΑΔ = ΒΓ = 5 cm. Tο ύψος του τραπεζίου

είναι 3 cm και το ύψος του πρίσματος

είναι 10 cm. Αν ο όγκος του πρίσματος

είναι 180 cm3 και το εμβαδόν της

παράπλευρης επιφάνειας είναι 220 cm2,

να βρείτε:

α) το εμβαδόν και την περίμετρο του

τραπεζίου ΑΒΓΔ,

β) τα μήκη των βάσεων ΑΒ και ΓΔ του

τραπεζίου ΑΒΓΔ.

Λυγίζουμε ένα φύλλο χαρτιού μεγέθους

Α4 (21x29cm) και κατασκευάζουμε έναν

κύλινδρο ύψους 21cm.

Nα βρείτε την ακτίνα βάσης και τον όγκο

του κυλίνδρου.

Να βρείτε τον όγκο κυλίνδρου ο οποίος

έχει:

α) ακτίνα βάσης 10 cm και ύψος 1,2 cm.

β) εμβαδόν βάσης 100 mm2 και ύψος

0,2 m.

Ένα τσιγάρο έχει μήκος 8,5 cm από τα

οποία τα 2,5 cm καταλαμβάνει το φίλτρο.

Η διάμετρος μιας βάσης του είναι 0,8 cm.

Οι αναλύσεις του Υπουργείου Υγείας

κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι περιέχει

0,5 mg πίσσας ανά κυβικό εκατοστό

καπνού και ότι το τσιγαρόχαρτο περιέχει

0,05 mg πίσσας ανά τετραγωνικό

εκατοστό χαρτιού.

Πόσα mg πίσσας εισπνέει ημερησίως

ένας καπνιστής που καπνίζει 15 τσιγάρα

την ημέρα;

(Να θεωρήσετε ότι ο καπνιστής πετάει το

τσιγάρο έχοντας καπνίσει τα 5 από τα 6

cm του τσιγάρου).

7

6

5

4

3

2

1

4.3-°∂øª∂Δƒπ∞ (212-215) 19-12-06 00:36 ™ÂÏ›‰·215

Aπό την αρχαιότητα οι άνθρωποι έκτιζαν μνημεία με τη μορφήπυραμίδας.

Oι τάφοι των βασιλέων της αρχαίας Αιγύπτου είχαν τη γνωστήσ’ εμάς μορφή της πυραμίδας.

Οι Αζτέκοι και οι Ίνκας είχαν χτίσει, επίσης, ναούς στο σχήμαπυραμίδας, αρκετοί από τους οποίους σώζονται μέχρι σήμερα.

Στην είσοδο του μουσείου του Λούβρου, στο Παρίσι, υπάρχειμια σύγχρονη πυραμίδα που σχεδιάστηκε το 1989 από τοναρχιτέκτοντα Γιέο Μιγκ Πέι.

Για παράδειγμα, μια πυραμίδα με μια έδρα το επτάγωνοΑΒΓΔΕΖΗ φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Τα στοιχεία της πυραμίδας● Το πολύγωνο ΑΒΓΔΕΖΗ λέγεται

βάση της πυραμίδας.

● Τα τρίγωνα με κοινή κορυφή το

σημείο Κ: ΚΑΒ, ΚΒΓ, ΚΓΔ, ΚΔΕ,

ΚΕΖ, ΚΖΗ και ΚΗΑ λέγονται

παράπλευρες έδρες της

πυραμίδας.

● Το κοινό σημείο Κ των παράπλευρων εδρών λέγεται

κορυφή της πυραμίδας.

● Αν από την κορυφή Κ φέρουμε κάθετο ευθύγραμμο

τμήμα ΚΘ προς τη βάση, τότε το ΚΘ λέγεται ύψος της

πυραμίδας.

Παρατηρούμε στο διπλανό σχήμα ότι το ύψος μιας

πυραμίδας μπορεί να βρίσκεται και εκτός της πυραμίδας.

● Mια πυραμίδα που έχει ως βάση ένα τρίγωνο, λέγεταιτριγωνική πυραμίδα.

Πυραμίδα λέγεται ένα στερεό, που μία έδρα του είναι ένα

πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα με

κοινή κορυφή.

H πυραμίδα και τα στοιχεία της4.4.

Κ

Ε

ΔΘ

ΓΒ

Α

Η

Ζ

Κ

ΑΒ

Θ

υ

Γ

Δ

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·216

Επειδή όμως η τριγωνική πυραμίδα έχει τέσσεριςτριγωνικές έδρες και οποιαδήποτε έδρα της μπορεί ναθεωρηθεί ως βάση, τη λέμε και τετράεδρο.

● Mια πυραμίδα που έχει βάση τετράπλευρο λέγεταιτετραπλευρική.

● Μια πυραμίδα που έχει βάση πεντάγωνο λέγεταιπενταγωνική κ.ο.κ.

Κανονική πυραμίδα● Μια πυραμίδα λέγεται κανονική, αν η βάση της είναι

κανονικό πολύγωνο και η προβολή της κορυφής της στηβάση είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώνου, όπωςφαίνεται στο διπλανό σχήμα.

● Σε οποιαδήποτε κανονική πυραμίδα οι παράπλευρεςέδρες είναι ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα (ΚΑΒ, ΚΒΓ,ΚΓΔ, ΚΔΕ, ΚΕΖ, ΚΖΑ).Αντίστροφα, αν οι παράπλευρες έδρες μίας πυραμίδαςείναι ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα, τότε η πυραμίδαείναι κανονική.

Εμβαδόν επιφάνειας πυραμίδαςΗ ολική επιφάνεια της πυραμίδας αποτελείται από δύο μέρη:την επιφάνεια των παράπλευρων εδρών της, που ονομάζεται

παράπλευρη επιφάνεια και τηνεπιφάνεια της βάσης της.Για να υπολογίσουμε τοεμβαδόν της παράπλευρηςεπιφάνειας ΕΠ μιας πυραμίδας,υπολογίζουμε το εμβαδόν κάθεπαράπλευρης έδρας (που είναιτρίγωνο) και προσθέτουμε ταεμβαδά αυτά.Eπομένως, στο διπλανό σχήμαέχουμε:

Μέρος Β’ - 4.4. H πυραμίδα και τα στοιχεία της 217

Α

ΒΒ Γ

Δ

Ε

Α

Γ

ΚΚ

Δ

ÙÂÙÚ·ÏÂ˘ÚÈÎ‹ ˘Ú·Ì›‰·ÂÓÙ·ÁˆÓÈÎ‹ ˘Ú·Ì›‰·

Α

Β

Γ

Δ

Δ

Γ

Α

Β

K

Α Β

Γ

ΔΕ

ΖΟ

�

ÙÂÙÚ¿Â‰ÚÔ

ÙÂÙÚ¿Â‰ÚÔ

Α

Β

Β

Γ

Δ

Δ

Κ1Κ

Α

Γ

Κ2

Κ3

Κ4

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·217

ΕΠ = (Κ1ΑB) + (Κ2BΓ) + (Κ3ΓΔ) + (Κ4ΔΑ).

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας Εολ της

πυραμίδας, προσθέτουμε στο εμβαδόν της παράπλευρης

επιφάνειας το εμβαδόν της βάσης Εβ.

Στο προηγούμενο σχήμα έχουμε ότι:

Εολ = ΕΠ + Εβ = (Κ1ΑB) + (Κ2BΓ) + (Κ3ΓΔ) + (Κ4ΔΑ) + (ΑΒΓΔ).

Εμβαδόν επιφάνειας κανονικής πυραμίδαςΌταν η πυραμίδα είναι κανονική, τότε η παράπλευρη επιφάνειάτης αποτελείται από ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα, ταοποία έχουν όλα ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Καθένα από αυτά ταύψη λέγεται απόστημα της κανονικής πυραμίδας.

Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας

μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας:

ΕΠ=(ΚΑΒ) + (ΚΒΓ) + (ΚΓΔ) + (ΚΔΕ) + (ΚΕΖ) + (ΚΖΑ) = 6(ΚΑΒ).

Άρα: ΕΠ = 6 � � ΑΒ � α = � (6 � ΑΒ) � α.

Όμως, η περίμετρος του κανονικού εξαγώνου ισούται με 6 � ΑΒ.

Τελικά, καταλήγουμε ότι:

ΕΠ = (περίμετρος εξαγώνου) � απόστημα.

Το συμπέρασμα αυτό ισχύει τελικά για κάθε κανονική πυραμίδα:

Για να βρούμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της κανονικής

πυραμίδας, αρκεί να προσθέσουμε στο εμβαδόν της

παράπλευρης επιφάνειας ΕΠ και το εμβαδόν του κανονικού

πολυγώνου, που αποτελεί τη βάση της κανονικής πυραμίδας.

Όγκος πυραμίδαςΚατασκευάζουμε με χαρτόνι ένα πρίσμα και μια πυραμίδα, έτσιώστε να έχουν βάσεις ίσα τρίγωνα και ίσα ύψη.

Αν γεμίσουμε διαδοχικά τρεις φορές με αλεύρι την πυραμίδακαι αδειάσουμε το αλεύρι μέσα στο πρίσμα, θα δούμε ότι τοπρίσμα γεμίζει τελείως. Η διαπίστωση αυτή ισχύει γενικότερα.

ΕΠ = 11 (περίμετρος βάσης) � απόστημα

12

12

12

Εολ = ΕΠ + Εβ

218 Μέρος Β’ - 4.4. H πυραμίδα και τα στοιχεία της

α

A B

Κ

Ζ Ε

Δ

ΓΒ

Α

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·218

Επομένως, ο όγκος της πυραμίδας

ισούται με το του όγκου του πρίσμα-

τος.

Ο όγκος V της πυραμίδας ισούται με:

O ίδιος τύπος ισχύει για τον όγκο μιαςπυραμίδας με βάση οποιοδήποτεπολύγωνο.

Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση κανονικό

δωδεκάγωνο με πλευρά 5 cm. Αν το ύψος μιας

παράπλευρης έδρας της είναι 9 cm, να βρείτε το

εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς της.

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι:

Επ = � (περίμετρος βάσης) � (απόστημα).

Η περίμετρος της βάσης είναι: 12 � 5 = 60 (cm) και το απόστημα 9 cm.

Άρα: Επ = � 60 � 9 = 270 (cm2).

Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει βάση με πλευρά 8 cm και ύψος 12 cm.

Να υπολογίσετε τον όγκο της.

O όγκος της πυραμίδας είναι: V = � (εμβαδόν βάσης) � (ύψος).

Αφού η πυραμίδα είναι κανονική, η βάση της είναι τετράγωνο

πλευράς 8 cm, οπότε το εμβαδόν της βάσης είναι:

Εβ = 82 = 64 (cm2).

Επομένως, V = � Eβ � υ = � 64 � 12 = 256 (cm3).13

13

13

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12

12

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

V = 22 (Eμβαδόν βάσης) � (ύψος)

13


Ζ

Γ

Β

Α

Α

Β Γ

ΔΕ

ΔE

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·219

Aπό έναν κύβο που έχει ακμή α = 10 cm, αφαιρούμε μια πυραμίδα, όπως φαίνεται στο

παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που απομένει.

Ο όγκος V του στερεού που απομένει, θα βρεθεί,

αν από τον όγκο VΚ του κύβου αφαιρέσουμε τον όγκο VΠ

της πυραμίδας. Έχουμε ότι:

VK = α3 = 103 = 1000 (cm3)

VΠ = Εβ � υ = � α2 � = � α3 = = 166,67 (cm3).

Άρα: V = VK – VΠ = 1000 – 166,67 = 833,33 (cm3).

To έτος 3.000 π.Χ. περίπου οι αρχαίοι Αιγύπτιοι

έκτισαν την πυραμίδα του Χέοπα, που έχει

βάση τετράγωνο πλευράς 233 m και παρά-

πλευρη ακμή 220 m (περίπου).

α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της παρά-

πλευρης επιφάνειας αυτής της πυραμίδας.

β) Αν γνωρίζουμε ότι το ύψος της είναι 146 m,

να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας.

α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας δίνεται από

τον τύπο: ΕΠ = (περίμετρος βάσης) � (απόστημα).

Για να υπολογίσουμε το απόστημα ΟΜ της πυραμίδας,

εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΜΔ:

ΟΜ2 = ΟΔ2 – ΔΜ2, δηλαδή

ΟΜ2 = 2202 – 116,52 = 34827,75.

Οπότε: ΟΜ = 186,62 m.

Άρα: Επ = (περίμετρος βάσης) � (απόστημα)

= � (4 � 233) � 186,62 =

= 932 � 186,62 = 86964,92 (m2).

β) Ο όγκος είναι: V = (εμβαδόν βάσης) � (ύψος), με εμβαδόν βάσης:

Εβ = 2332 = 54289 (m2).

Eπομένως: V = � 54289 � 146 = 2642064,6 (m3). 13

13

12

12

12

12

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

10006

16

α2

13

13

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏


α2

α2 ύψος της πυραμίδας

Α B

Ο

Γ

Μ

Δ 233m

146 m

220

m

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·220

ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

Η τετραγωνική πυραμίδα και το τετράεδρο έχουν το ίδιο

πλήθος εδρών.

Κάθε κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι κανονικό τετράεδρο.

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ανάπτυγμα πυραμίδας.

O αριθμός των εδρών μιας πυραμίδας είναι πάντα άρτιος αριθμός.

Σε μια πυραμίδα το ύψος βρίσκεται πάνω στην παράπλευρη

επιφάνεια.

Στο παρακάτω σχήμα, οι πυραμίδες ΙΕΖΗΘ και ΗΑΒΖΕ έχουν

τον ίδιο όγκο.

Ο λόγος των όγκων μιας πυραμίδας και ενός πρίσματος με ίδια βάση και ίσα ύψη είναι:

A: B: 2 Γ: Δ: . Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Οι παράπλευρες έδρες μιας κανονικής πυραμίδας είναι τρίγωνα:

A: Ισόπλευρα Β: Ισοσκελή Γ: Ορθογώνια Δ: Σκαληνά


Η πυραμίδα του διπλανού σχήματος έχει βάση:

A: ΟΓΔ Β: ΟΒΓ Γ: ΑΒΓΔ Δ: ΟΑΒ


9 .

8 .

14

13

12

7 .

6 .

5 .

4 .

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™


Α

ΔΓ

Β

Ο

Ι

Α

Β Γ

Δ

Ε

Ζ Η

Θ

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·221


∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

που αφορά στα στοιχεία μιας κανονικής

τετραγωνικής πυραμίδας.

Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση

τετράγωνο με πλευρά 12 cm και ύψος

10 cm. Να υπολογίσετε τον όγκο της.

Μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα έχει

βάση με πλευρά 9 cm και απόστημα 12

cm. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν της

παράπλευρης επιφάνειάς της.

Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση τετρά-

γωνο πλευράς 9 cm και το ύψος της

παράπλευρης έδρας της είναι 8 cm. Να

υπολογίσετε το εμβαδόν:

α) της παράπλευρης επιφάνειας,

β) της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας.

Μια τετραγωνική πυραμίδα έχει όγκο

700 cm3 και ύψος 17 cm. Να υπολογί-

σετε την πλευρά του τετραγώνου της

βάσης της.

Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει

απόστημα 10 cm και πλευρά βάσης 16

cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της

παράπλευρης επιφάνειάς της και τον

όγκο της.

Ένα τετράεδρο έχει όλες τις ακμές του

ίσες με 6 cm. Nα υπολογίσετε το

εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του.

Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής

πυραμίδας είναι εννεαπλάσιος από τον

όγκο μίας άλλης κανονικής πυραμίδας

με την οποία έχει το ίδιο ύψος. Να βρείτε

το λόγο των πλευρών των βάσεών τους.

Στο διπλανό σχήμα

φαίνεται ένας κύβος

πλευράς α = 10 cm

και μια πυραμίδα με

βάση μία έδρα του

κύβου και ύψος υ = 6

cm. Nα υπολογίσετε

τον όγκο του στερεού.

Μια κανονική πυραμίδα με βάση εξάγω-

νο έχει ύψος 8 cm και παράπλευρη ακμή

10 cm. Να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφά-

νειας της πυραμίδας,

β) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της

πυραμίδας,

γ) τον όγκο της πυραμίδας.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

256όγκος (cm3)

192εμβαδόν παράπλευρης

επιφάνειας (cm2)

810απόστημα (cm)

812πλευρά βάσης (cm)

68ύψος (cm)

1

Ο

K

α

υ

4.4-°∂øª∂Δƒπ∞ (216-222) 19-12-06 00:38 ™ÂÏ›‰·222

Στην καθημερινή μας ζωή έχουμε συναντήσει συχνά τηνεικόνα ενός κώνου. Πώς μπορούμε όμως να κατασκευά-σουμε προσεγγιστικά ένα κώνο;

Παίρνουμε ένα κυκλικό στεφάνι ακτίνας ρ. Στη συνέχεια,κατασκευάζουμε από χαρτόνι ίσα ορθογώνια τρίγωνα μεμια κάθετη πλευρά ίση με την ακτίνα ρ του στεφανιού.Κολλάμε γύρω από ένα ξυλάκι όλα τα ορθογώνια τρίγωναπου κόψαμε, έτσι ώστε να έχουν την ίδια κορυφή Κ και οιβάσεις τους να «πατάνε» στο στεφάνι.

Αν «ντύσουμε» με ύφασμα ή χαρτί το σχήμα πουκατασκευάσαμε, τότε εμφανίζεται ένας κώνος.

Η βάση του κώνου είναι ένας κυκλικός δίσκος με κέντροΟ και ακτίνα ΟΑ, την άλλη κάθετη πλευρά τουορθογωνίου ΚΟΑ. Η ακτίνα ΟΑ = ρ λέγεται ακτίνα τουκώνου.

Η κάθετη πλευρά ΚΟ γύρω από την οποίαπεριστρέψαμε το ορθογώνιο τρίγωνο, λέγεταιύψος του κώνου. Η υποτείνουσα ΚΑ του ορθο-γωνίου τριγώνου λέγεται γενέτειρα του κώνου καιτο μήκος της συμβολίζεται με λ.Η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφήτής γενέτειρας ΚΑ είναι η παράπλευρη επιφάνειατου κώνου.

Εμβαδόν επιφάνειας κώνουΓια να υπολογίσουμε το εμβαδόν της παρά-πλευρης επιφάνειας ΕΠ του κώνου, αρκεί ναπαρατηρήσουμε ότι το ανάπτυγμά της προκύπτει«ξετυλίγοντας» τον κώνο, όπως φαίνεται στοδιπλανό σχήμα.

Κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται απότην περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου ΚΟΑγύρω από μία κάθετη πλευρά του ΚΟ.

Ο κώνος και τα στοιχεία του4.5.

Κ

Α

Β Γ

ρ

Δ

Ε

Α B

KK

A Ο

λ

Α B

K Α ΒΟ

Κ

λ

Κ

ΑΒ

Κ

Α

Α�

B

λ

4.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (223-227) 19-12-06 00:41 ™ÂÏ›‰·223

Παρατηρούμε ότι το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας

του κώνου ισούται με το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα ακτίνας

λ με μήκος τόξου �ΑΑ� = 2πρ.

Οπότε: ΕΠ = � (2πρ) � λ ή

Για να βρούμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου,

αρκεί στο εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ΕΠ να

προσθέσουμε και το εμβαδόν της βάσης του: EB = πρ2.

Οπότε:

Όγκος κώνουΚατασκευάζουμε με χαρτόνι ένα κώνο και ένα κύλινδρο, έτσι

ώστε να έχουν την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Γνωρίζουμε ότι ο

όγκος του κυλίνδρου είναι ίσος με πρ2υ.

Αν γεμίσουμε διαδοχικά με αλεύρι τρεις φορές τον κώνο και

αδειάσουμε το αλεύρι μέσα στον κύλινδρο, θα δούμε ότι ο

κύλινδρος γεμίζει τελείως.

Επομένως, ο όγκος του κώνου είναι το του όγκου του

κυλίνδρου. Δηλαδή:

V = 22 πρ2υ

13

Eολ = ΕΠ + Εβ = πρλ + πρ2

ΕΠ = π � ρ � λ 12

To εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου

είναι ίσο με το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα, που έχει

ακτίνα τη γενέτειρα λ του κώνου και μήκος τόξου το

μήκος του κύκλου της βάσης του κώνου.

224 Μέρος B’ - 4.5. O κώνος και τα στοιχεία του

υ

ρ

υ

ρ

4.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (223-227) 19-12-06 00:41 ™ÂÏ›‰·224

Nα βρείτε τον όγκο ενός κώνου με γενέτειρα λ = 13 cm και ύψος

12 cm.

Έχουμε ότι: ρ2 = λ2 – υ2 = 132 – 122 = 25 άρα ρ = 5 (cm) και

V = � πρ2 � υ = � 3,14 � 52 � 12 = 314 (cm3).

H διάμετρος της βάσης ενός κώνου είναι 12 cm και το ύψος του 8 cm. Να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας,

β) τον όγκο του.

α) Γνωρίζουμε ότι ΕΠ = π � ρ � λ.

Για να βρούμε το μήκος της γενέτειρας λ, εφαρμόζουμε το

Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΒ:

ΟΒ2 = ΟΚ2 + ΚΒ2 = 82 + 62 = 100, άρα λ = ΟΒ = 10 cm και

ΕΠ = 3,14 � 6 � 10 = 188,4 (cm2).

β) Έχουμε ότι:

V = � πρ2 � υ = � 3,14 � 62 � 8 = 301,44 (cm3).

Στον κώνο του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε:

α) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας,

β) τον όγκο του κώνου.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ έχουμε:

ημ30°= ή = ή λ = 8 (cm) και

συν30° = ή = ή 2υ = 8��3 ή υ = 4��3 = 6,93 (cm).

α) Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου είναι:

Εολ = ΕΠ + Εβ = πρλ + πρ2 = π � 4 � 8 + π � 42 = 48π = 48 �3,14 = 150,72 (cm2).

β) Ο όγκος του κώνου είναι:

V = � πρ2 � υ = π � 42 � 6,93 = 116,05 (cm3).13

13

υ8

��32

υλ

4λ

12

ρλ

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

13

13

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

13

13

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Μέρος B’ - 4.5. O κώνος και τα στοιχεία του 225

13 cm

12 c

m

ρ

O

K

O

B

λ

λ

ρ=4cm

υ

30°

K A

4.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (223-227) 19-12-06 00:41 ™ÂÏ›‰·225

Ένας κώνος έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 251,2 cm2 και

γενέτειρα με μήκος 10 cm. Nα υπολογίσετε:

α) την ακτίνα της βάσης του, β) το ύψος του, γ) τον όγκο του.

α) ‘Εχουμε ότι ΕΠ = πρλ ή ρ = ή ρ = = 8, άρα ρ = 8 (cm).

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ έχουμε ΟΚ2 = ΟΑ2 – ΑΚ2 = 102 – 82 = 36, άρα

υ = ΟΚ = 6 (cm).

γ) Ο όγκος του κώνου είναι ίσος με: V = � πρ2� υ = 3,14 � 82 � 6 = 401,92 (cm2).


To ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου

είναι τρίγωνο.

Η γενέτειρα λ, το ύψος υ και η ακτίνα ρ του κώνου ικανοποιούν

τη σχέση λ2 = υ2 + ρ2.

Η γενέτειρα ενός κώνου είναι πάντα μεγαλύτερη από την ακτίνα.

Η βάση ενός κώνου είναι κυκλικός δίσκος.

Η ακτίνα της βάσης ενός κώνου είναι 6 cm και το ύψος του 8 cm. Η γενέτειρά του είναι:

A: 10 dm B: 10 cm Γ: 12 m Δ: 6 cm.


O όγκος του κώνου είναι 12π m3 και η ακτίνα του 3 m. Το ύψος του είναι:

A: π m B: 6 m Γ: 4 m Δ: 4π m.


Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα της βάσης ενός κώνου, τότε η παράπλευρη επιφάνεια:

A: διπλασιάζεται B: τετραπλασιάζεται Γ: παραμένει ίδια.


Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα της βάσης ενός κώνου, τότε ο όγκος του κώνου:

A: διπλασιάζεται B: τετραπλασιάζεται Γ: παραμένει ίδιος


Το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι κυκλικός τομέας με

ακτίνα 12 cm και γωνία 60°. H ακτίνα της βάσης του κώνου είναι:

A: 4 cm B: 3 dm Γ: 2 cm Δ: 2 dm.


Aν διπλασιάσουμε το ύψος ενός κώνου, τότε ο όγκος του:

A: διπλασιάζεται B: τριπλασιάζεται Γ: τετραπλασιάζεται.


10 .

9 .

8 .

7 .

6 .

5 .

4 .

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

13

13

251,23,14 � 10

ΕΠ

π � λΛύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

226 Μέρος B’ - 4.5. O κώνος και τα στοιχεία του

O

10 cm

AK

4.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (223-227) 19-12-06 00:41 ™ÂÏ›‰·226

Μέρος B’ - 4.5. O κώνος και τα στοιχεία του 227

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Συμπληρώστε τα στοιχεία του κώνουπου λείπουν στον παρακάτω πίνακα:

Ένας κώνος έχει όγκο V = 1 m3.Να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου:α) με διπλάσιο ύψος (μόνο),β) με διπλάσια ακτίνα βάσης (μόνο),γ) με διπλάσιο ύψος και διπλάσια ακτίνα

βάσης.

Ένα δοχείο με σχήμα κώνου που έχειύψος 20 cm και ακτίνα βάσης 10 cm είναιγεμάτο νερό. Αδειάζουμε το παραπάνωδοχείο σε ένα άλλο δοχείο, που έχεισχήμα κύβου με ακμή 20 cm. Ναεξετάσετε αν θα ξεχειλίσει το νερό ή όχι.

Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια κωνικήσκηνή, η οποία να έχει όγκο τουλάχιστον20 m3. Aν το ύψος της σκηνής είναι 3 m,πόση πρέπει να είναι η διάμετρος τηςβάσης;

Να υπολογιστεί ο

όγκος και το εμβαδόν

της ολικής επιφά-

νειας του στερεού

στο διπλανό σχήμα.

Δύο στερεοί κώνοι έχουν κοινή βάση μεακτίνα 4 cm και ύψη 8 cm και 12 cmαντίστοιχα. Να βρείτε τον όγκο τουστερεού που σχηματίζεται.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (∧Α=90°)

στρέφεται πρώτα γύρω από την πλευράΑΒ και έπειτα γύρω από την πλευρά ΑΓ,όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

Να υπολογίσετε:α) το λόγο των παράπλευρων επιφα-

νειών των δύο κώνων που σχηματί-ζονται,

β) το λόγο των όγκων τους.

Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓπεριστρέφεται γύρω από τη βάση του ΒΓ,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ΑνΒΓ=24 cm και AB=13 cm, να υπολογίσετε:α) την ολική επιφάνεια του στερεού που

σχηματίζεται,β) τον όγκο του.

Η στέγη της κεντρικής σκηνής ενόςτσίρκου έχει σχήμα κώνου με διάμετροβάσης 40 m και ύψος 15 m. Πόσατετραγωνικά μέτρα πλαστικοποιημένουυφάσματος χρειάστηκαν για τηνκατασκευή της;

Μια κλεψύδρα σχήματος κώνου «μετρά»το χρόνο αδειάζοντας 4 cm3 άμμο τολεπτό (min). Aν η ακτίνα της βάσης είναι5 cm και το ύψος 9,17 cm, να βρείτε σεπόσο χρόνο θα αδειάσει τελείως ηκλεψύδρα;

10

9

8

7

6

5

4

3

2

169,56Παράπλευρη

επιφάνεια (cm2)

167.46Όγκος (cm3)

910Γενέτειρα (cm)

43Aκτίνα βάσης (cm)

1084Ύψος (cm)

1

4 cm4 cm

6 cm

ΑΓΔ

B

Α

Δ

B

Γ

Α

Β Γ

Δ

4.5-°∂øª∂Δƒπ∞ (223-227) 19-12-06 00:41 ™ÂÏ›‰·227

Τα διπλανά σχήματα μάς δίνουν την έννοια της σφαίρας. Αν

έχουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) και τον περιστρέψουμε γύρω

από μία διάμετρο του ΑΒ, παρατηρούμε ότι σχηματίζεται μια

σφαίρα.

Κατά την περιστροφή ο κύκλος

δημιουργεί την επιφάνεια της

σφαίρας.

Επομένως, η απόσταση ενός οποιου-

δήποτε σημείου της επιφάνειας μιας

σφαίρας από το κέντρο Ο είναι ίση

με την ακτίνα ρ. Το σημείο Ο λέγεται

κέντρο της σφαίρας και η ακτίνα ρ

του κύκλου λέγεται ακτίνα της

σφαίρας.

Σχετικές θέσεις επιπέδου και σφαίρας

Μία σφαίρα και ένα επίπεδο στο χώρο έχουν τη δυνατότητα να

τοποθετηθούν κατά τρεις διαφορετικούς τρόπους, όπως

φαίνεται στα διπλανά σχήματα:

α) Να μην τέμνονται μεταξύ τους.

β) Να εφάπτονται σε ένα σημείο.

γ) Να τέμνονται σε κύκλο.

Παρατηρούμε ότι ο κύκλος που αποτελεί την τομή του

επιπέδου με τη σφαίρα, «μεγαλώνει» όσο το επίπεδο

«πλησιάζει» στο κέντρο της σφαίρας. Όταν το κέντρο της

σφαίρας ανήκει στο επίπεδο, τότε ο κύκλος στον οποίο

τέμνονται ονομάζεται μέγιστος κύκλος της σφαίρας.

Σφαίρα λέγεται το στερεό σώμαπου παράγεται, αν περιστρέ-ψουμε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ)γύρω από μία διάμετρό του.

H σφαίρα και τα στοιχεία της4.6.

A

�

Ο

B

A

ρ

4.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (228-232) 19-12-06 00:44 ™ÂÏ›‰·228

Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας

Όπως είδαμε, η επιφάνεια που δημιουργείται από την

περιστροφή ενός κύκλου (Ο, ρ) γύρω από μια διάμετρό του,

αποτελεί την επιφάνεια της σφαίρας.

Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες

με τον Αρχιμήδη υπολόγισαν το εμβαδόν της επιφάνειας της

σφαίρας και μάλιστα συγκρίνοντάς την με την παράπλευρη

επιφάνεια του κυλίνδρου!

Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι, αν μια σφαίρα «εγγράφεται» σε

κύλινδρο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, τότε η επιφάνεια

της σφαίρας είναι ίση με την παράπλευρη επιφάνεια του

κυλίνδρου.

Επομένως: Εσφ = 2πρ � υ = 2πρ � 2ρ ή

Tο προηγούμενο συμπέρασμα διατυπώνεται και ως εξής:

Όγκος της σφαίρας

Ας κατασκευάσουμε μια σφαίρα ακτίνας ρ και δύο κυλίνδρους

με βάση κύκλο ακτίνας ρ και ύψος υ = 2ρ.

Γεμίζουμε διαδοχικά με αλεύρι τρεις φορές τη σφαίρα και

αδειάζουμε το αλεύρι στους δύο κυλίνδρους.

Τελειώνοντας βλέπουμε ότι οι δύο κύλινδροι είναι τελείως

γεμάτοι. Επομένως, ο τριπλάσιος όγκος σφαίρας ακτίνας ρ

ισούται με τον διπλάσιο όγκο κυλίνδρου με ακτίνα βάσης ρ και

ύψος υ = 2ρ:

3Vσφ = 2Vκ ή Vσφ = Vκ = πρ2 � (2ρ) ή

Δίνεται σφαίρα ακτίνας ρ = 2 cm. Να βρείτε:

α) το εμβαδόν Ε της επιφάνειάς της,

β) τον όγκο της.

α) Γνωρίζουμε ότι: Εσφ = 4πρ2 = 4 � 3,14 � 22

= 50,24 (cm2).

β) Γνωρίζουμε ότι: Vσφ = πρ3 = � 3,14 � 23 = 33,49 (cm3).43

43

Λύση:

11∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

Vσφ = JJ πρ3

23

23

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ισούται με το

εμβαδόν τεσσάρων μεγίστων κύκλων της.

Εσφ = 4πρ2

Μέρος Β’ - 4.6. H σφαίρα και τα στοιχεία της 229

υ=2ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

2ρ

ρ

2ρ

4.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (228-232) 19-12-06 00:44 ™ÂÏ›‰·229

Η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι 144π (m2). Nα βρείτε τον όγκο της.

Γνωρίζουμε ότι: Εσφ = 4πρ2, οπότε 144π = 4πρ2 ή 36 = ρ2 ή ρ = 6 (m).

Aπό τον τύπο υπολογισμού του όγκου της σφαίρας έχουμε:

Vσφ = πρ3 = π � 63 = 904,32 (m3).

Nα βρείτε πόσα χρήματα θα χρειαστούμε, για να βάψουμε μία σφαιρική δεξαμενή

διαμέτρου δ = 20 m, αν το ένα κιλό χρώμα κοστίζει 8 € και καλύπτει επιφάνεια 4 m2.

To εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι Εσφ = 4πρ2 = 4π � 102 = 1256 (m2).

Aφού κάθε κιλό χρώμα καλύπτει 4 m2, για να καλυφθεί η επιφάνεια των 1256 m2 της

σφαίρας χρειάζονται = 314 κιλά χρώμα που κοστίζουν συνολικά 314 � 8 = 2512 €.

Nα βρείτε το εμβαδόν της τομής επιπέδου και σφαίρας κέντρου Ο και ακτίνας R = 5 cm,

όταν το επίπεδο απέχει από το κέντρο της σφαίρας απόσταση d = 3 cm.

Aφού το επίπεδο απέχει απόσταση από το

κέντρο της σφαίρας μικρότερη από την ακτίνα

της, τότε η τομή είναι κυκλικός δίσκος ακτίνας:

ρ = ��R2– d2 = ��52– 32 = ��16 = 4 (cm).

Tότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι:

Ε = πρ2 = π � 42 = 50,24 (cm2).


To εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι τετραπλάσιο από το

εμβαδόν ενός μέγιστου κύκλου της.

Σε μια σφαίρα ακτίνας 3 cm το εμβαδόν της επιφάνειας και ο όγκος

της εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό.

Η τομή σφαίρας και επιπέδου που διέρχεται από το κέντρο της

είναι πάντα κύκλος.

Η τομή σφαίρας και επιπέδου που δε διέρχεται από το κέντρο της

είναι πάντα κύκλος.

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ισούται με το γινόμενο του

μήκους ενός μέγιστου κύκλου της με τη διάμετρο αυτής.5 .

4 .

3 .

2 .

1 .

∂∂ƒƒøøΔΔ∏∏™™∂∂ππ™™ ∫∫∞∞ΔΔ∞∞¡¡√√∏∏™™∏∏™™

Λύση:

44∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

12564

Λύση:

33∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

43

43

Λύση:

22∂∂ ºº ∞∞ ƒƒ ªª √√ °° ∏∏

230 Μέρος Β’ - 4.6. H σφαίρα και τα στοιχεία της

ρ

d R

O

4.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (228-232) 19-12-06 00:44 ™ÂÏ›‰·230

Δύο σφαίρες με ακτίνες 5 cm και 12 cm είναι γεμάτες με νερό. Αν αδειάσουμε το

περιεχόμενό τους σε μία τρίτη σφαίρα με ακτίνα 13 cm, τότε:

A: Η τρίτη σφαίρα θα γεμίσει πλήρως.

Β: Η τρίτη σφαίρα θα ξεχειλίσει.

Γ: Η τρίτη σφαίρα δε θα γεμίσει.


Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, τότε ο όγκος της:

A: Διπλασιάζεται Β: Τριπλασιάζεται Γ: Τετραπλασιάζεται Δ: Οκταπλασιάζεται.


Ένα τμήμα ΑΒ έχει μήκος 6 cm. Ένα σημείο Σ απέχει 4 cm από το μέσο Μ του

ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Τότε:

A: Το Σ ανήκει στη σφαίρα διαμέτρου ΑΒ.

Β: Το Σ ανήκει στο εσωτερικό της σφαίρας διαμέτρου ΑΒ.

Γ: Το Σ βρίσκεται εξωτερικά της σφαίρας διαμέτρου ΑΒ.


Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας ακτίνας ρ και το εμβαδόν του κυκλικού

δίσκου με την ίδια ακτίνα έχουν λόγο:

A: 1 Β: Γ: Δ: 4


Όταν μία σφαίρα ακτίνας ρ «εγγράφεται» σε κύλινδρο, τότε η επιφάνεια της σφαίραςείναι:A: διπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρουΒ: τριπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρουΓ: τετραπλάσια της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρουΔ: ίση με την παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρουΝα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

10 .

13

12

9 .

8 .

7 .

6 .

Μέρος Β’ - 4.6. H σφαίρα και τα στοιχεία της 231

∞∞™™∫∫∏∏™™∂∂ππ™™

Να συμπληρώσετε τους πίνακες:

Α.

Β.

Η διάμετρος μιας σφαίρας είναι δ = 4 cm.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφά-

νειας και τον όγκο της σφαίρας.

2

36π m3V: όγκος σφαίρας

E: εμβαδόν επιφά-νειας σφαίρας

8dm3,2dm10cm1mρ: ακτίνα σφαίρας

288 πΌγκος (cm3)

400 πΕμβαδόνεπιφάνειας (cm2)

21Ακτίνασφαίρας (cm)

1

4.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (228-232) 19-12-06 00:44 ™ÂÏ›‰·231

232 Μέρος Β’ - 4.6. H σφαίρα και τα στοιχεία της

Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας,

καθώς και τον όγκο ημισφαιρίου ακτίνας

R = 4 m.

Mε ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλα-

σιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, ώστε

το εμβαδόν της επιφάνειάς της να

πολλαπλασιαστεί επί 4; επί 36; επί 100;

Να βρείτε την ποσότητα του χρώματος

που χρειάζεται, για να βαφεί σφαιρική

δεξαμενή ακτίνας ρ = 10 m, αν το ένα

κιλό χρώματος βάφει επιφάνεια 8 m2.

Tέσσερις κίτρινες μπάλες έχουν ακτίνα

5 cm και πέντε κόκκινες μπάλες έχουν

ακτίνα 4 cm. Ποιου χρώματος μπάλες

έχουν τη μεγαλύτερη συνολική επιφά-

νεια και ποιου χρώματος μπάλες έχουν

το μεγαλύτερο συνολικό όγκο;

Σε κιβώτιο που έχει σχήμα κύβου

χωράει ακριβώς μια σφαίρα με ακτίνα 40

cm. Nα βρείτε το μέρος του κιβωτίου που

μένει άδειο.

Δύο σφαίρες έχουν διαμέτρους 30 cm

και 40 cm. Να υπολογίσετε τη διάμετρο

μιας τρίτης σφαίρας, της οποίας το

εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι ίσο με

το άθροισμα των εμβαδών των

επιφανειών των δύο σφαιρών.

Στο παρακάτω σχήμα οι δύο μικρές

σφαίρες έχουν διαμέτρους ΑΟ=ΟΒ= 4cm,

και περιέχονται στη μεγάλη σφαίρα

κέντρου Ο και ακτίνας ρ = ΟΑ = ΟΒ.

Nα βρείτε τον όγκο του γραμμοσκια-

σμένου στερεού.

9

8

7

6

5

4

3

Α4 4

Ο Β

4.6-°∂øª∂Δƒπ∞ (228-232) 19-12-06 00:44 ™ÂÏ›‰·232

Το σχήμα της Γης είναι ελλειψοειδές.

Για πρακτικούς λόγους, όμως,

θεωρούμε ότι η Γη είναι σφαίρα και την

ονομάζουμε γήινη σφαίρα ή

υδρόγειο σφαίρα.

Η υδρόγειος σφαίρα περιστρέφεται

γύρω από τον εαυτό της, γύρω από

ένα νοητό άξονα, ο οποίος περνά από

τους δύο πόλους.

Ο νοητός αυτός άξονας ονομάζεται

άξονας περιστροφής της Γης. Ο

μέγιστος κύκλος της γήινης σφαίρας, ο

οποίος είναι κάθετος στον άξονα

περιστροφής, ονομάζεται ισημερινός.

Ο ισημερινός χωρίζει τη Γη σε δύο ημισφαίρια, το

βόρειο (συμβολίζεται με το γράμμα Ν από την

αγγλική λέξη North που σημαίνει Βορράς) και το

νότιο (συμβολίζεται με το γράμμα S από την

αγγλική λέξη South που σημαίνει Νότος).

Η τομή κάθε επιπέδου, το οποίο είναι παράλληλο

προς το επίπεδο του ισημερινού με την επιφάνεια

της γήινης σφαίρας, είναι κύκλος με κέντρο πάνω

στον άξονα περιστροφής.

Έτσι, το βόρειο και το νότιο ημισφαίριο χωρίζονται

από παράλληλους προς τον ισημερινό κύκλους, με

αποτέλεσμα από κάθε τόπο πάνω στην επιφάνεια

της Γης να περνά ένας παράλληλος κύκλος, ο

οποίος ονομάζεται παράλληλος του τόπου.

Το ημικύκλιο με διάμετρο ΠΠ�, το οποίο περνά από

το αστεροσκοπείο Γκρήνουϊτς της Μ. Βρεττανίας,

ονομάζεται πρώτος μεσημβρινός. Ο πρώτος

μεσημβρινός χωρίζει τη γήινη σφαίρα σε δύο

ημισφαίρια, το ανατολικό (συμβολίζεται με το

γράμμα Ε από την αγγλική λέξη East που σημαίνει

ανατολή) και το δυτικό (συμβολίζεται με το γράμμα

W από την αγγλική λέξη West που σημαίνει δύση).

Γεωγραφικές συντεταγμένες4.7.

Iσημερινός

Νότιοημισφαίριο

Ανατολικόημισφαίριο

Δυτικόημισφαίριο

Πρώτοςμεσημβρινός

Παράλληλοςκύκλος

Παράλληλοςκύκλος

Βόρειοημισφαίριο

Π’ΝότιοςΠόλος

Π’ΝότιοςΠόλος

ΠΒόρειοςΠόλος

ΠΒόρειοςΠόλος

4.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (233-237) 19-12-06 00:47 ™ÂÏ›‰·233

Από κάθε τόπο περνά ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΠΠ’. Το

ημικύκλιο ονομάζεται μεσημβρινός του τόπου.

Κάθε τόπος χαρακτηρίζεται από δύο διαφορετικές

επίκεντρες γωνίες. Στο διπλανό σχήμα, αν Α είναι το

σημείο τομής του ισημερινού με τον πρώτο μεσημβρινό,

ο τόπος Τ χαρακτηρίζεται από την επίκεντρη γωνία λ και

την επίκεντρη γωνία ω.

Η επίκεντρη γωνία λ ονομάζεται γεωγραφικό μήκος του

τόπου και η ω γεωγραφικό πλάτος του τόπου.

Ανάλογα με τη θέση του τόπου, το γεωγραφικό μήκος

χαρακτηρίζεται ως δυτικό (W) ή ως ανατολικό (Ε) (αν ο

τόπος βρίσκεται στο ανατολικό ή στο δυτικό ημισφαίριο

αντίστοιχα).

Επίσης, το γεωγραφικό πλάτος χαρακτηρίζεται ως

βόρειο (Ν) ή νότιο (S), αν ο τόπος βρίσκεται στο βόρειο

ή στο νότιο ημισφαίριο αντίστοιχα.

Έτσι, οι συντεταγμένες μερικών σπουδαίων πόλεων είναι:

73,45°43,10°ΝΕΑ ΥΟΡΚΗ

43,08°23,38°ΡΙΟ ΝΤΕ ΤΖΑΝΕΙΡΟ

34,07°151,15°ΣΙΝΔΕΥ

0,38°51,29°ΛΟΝΔΙΝΟ

3,08°48,23°ΠΑΡΙΣΙ

12,30°40,04°ΡΩΜΗ

22,30°40,15°ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

23,45°37,27°°ΑΘΗΝΑ

WSΕΝ

234 Μέρος B’ - 4.7. Γεωγραφικές συντεταγμένες

Νότος(S)

Bοράς(Ν)

Π’

Π

ω Ανατολή(Ε)

Δύση(W)

Α

T

λ

4.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (233-237) 19-12-06 00:47 ™ÂÏ›‰·234

Μέρος B’ - 4.7. Γεωγραφικές συντεταγμένες 235

°°ππ∞∞ ¢¢ππ∞∞™™∫∫∂∂¢¢∞∞™™∏∏::

➤ ™Â ÔÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜ °Ë˜¤Ó·˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ı·ÎÔ›Ù·˙Â ÓfiÙÈ· ÚÔ˜ fiÏÂ˜ÙÈ˜ Î·ÙÂ˘ı‡ÓÛÂÈ˜;

➤ ™¯Â‰È¿ÛÙÂ ¤Ó· ÛÊ·ÈÚÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Ó· ¤¯ÂÈ fiÏÂ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜.

➤ ŒÓ·˜ Ù·ÍÈ‰ÈÒÙË˜ ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜ ‰È¤Û¯ÈÛÂ ÌÈ· ‰È·‰ÚÔÌ‹ Î·È Í·Ó·Á‡ÚÈ-ÛÂ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô ÍÂÎ›ÓËÛÂ. ∫·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙË˜ ‰È·‰ÚÔ-Ì‹˜ ÙÔ ÎÂÊ¿ÏÈ ÙÔ˘ ‰È¤Ó˘ÛÂ 12,56 Ì¤ÙÚ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ·fi Ù· fi‰È· ÙÔ˘. ¶Ò˜ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ;

➤ ªÈ· ·ÚÎÔ‡‰· ‚Á‹ÎÂ ·fiÙË ÛËÏÈ¿ ÙË˜, ÚÔ¯Ò-ÚËÛÂ 1 km ÓfiÙÈ·, ÛÙËÛ˘Ó¤¯ÂÈ· 1 km ·Ó·ÙÔÏÈÎ¿Î·È Ù¤ÏÔ˜ 1 km ‚fiÚÂÈ· Î·ÈÍ·Ó·‚Ú¤ıËÎÂ ÛÙË ÛËÏÈ¿ÙË˜! ΔÈ ¯ÚÒÌ· ¤¯ÂÈ Ë·ÚÎÔ‡‰·;

4.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (233-237) 19-12-06 00:47 ™ÂÏ›‰·235

✐ Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι:

➤ να είναι παράλληλα,➤ να τέμνονται κατά μία ευθεία.

✐ Όταν έχουμε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ζ, τότε οι μόνες δυνατές θέσεις που

μπορεί να έχουν είναι:➤ Να είναι παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να μην έχουν

κανένα κοινό σημείο.➤ Να τέμνονται, δηλαδή να έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.➤ Να είναι ασύμβατες, δηλαδή να ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα και να μην

έχουν κανένα κοινό σημείο.

✐ Οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι:

➤ Η ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο.➤ Η ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο.➤ Η ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο.

Ευθεία κάθετη σε επίπεδο✐ Μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα επίπεδο, όταν είναι κάθετη σε δύο ευθείες του που

διέρχονται από το ίχνος της.

Εμβαδόν επιφάνειας πρίσματος

✐ Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: ΕΠ = (περίμετρος βάσης) � (ύψος)

Ολικό εμβαδόν: Εολ = ΕΠ + 2Εβ

Εμβαδόν επιφάνειας κυλίνδρου

✐ Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας: ΕΠ = 2πρ � υ

Ολικό εμβαδόν: Εολ = ΕΠ + 2Εβ

Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου

✐ Όγκος πρίσματος: V = (εμβαδόν βάσης) � (ύψος)

✐ Όγκος κυλίνδρου: V = πρ2υ

Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου

Σχετικές θέσεις ευθειών στο χώρο

Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων

Στερεομετρία 4∂·Ó¿ÏË„Ë ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘

4.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (233-237) 19-12-06 00:47 ™ÂÏ›‰·236

✐ Μια πυραμίδα λέγεται κανονική, αν η βάση της είναι κανονικό πολύγωνο και η

προβολή της κορυφής της στη βάση είναι το κέντρο του κανονικού πολυγώνου.

Εμβαδόν κανονικής πυραμίδας: ΕΠ = (περίμετρος βάσης) � (απόστημα)

Εολ = Επ + Εβ

Όγκος πυραμίδας: V = (εμβαδόν βάσης) � (ύψος)

✐ Κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογω-νίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Εμβαδόν επιφάνειας κώνου: ΕΠ = πρλ

Εολ = ΕΠ + Εβ = πρλ + πρ2

Όγκος κώνου: V = πρ2υ

✐ Σφαίρα είναι το στερεό σχήμα που παράγεται, αν περιστρέψουμε έναν κυκλικό

δίσκο γύρω από μια διάμετρό του.

Εμβαδόν σφαίρας: Εσφ= 4πρ2

Όγκος σφαίρας: Vσφ = πρ343

Σφαίρα

13

Κώνος

13

12

Πυραμίδα

4.7-°∂øª∂Δƒπ∞ (233-237) 19-12-06 00:47 ™ÂÏ›‰·237

∂ÍÈÛÒÛÂÈ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂÈ˜

1.1 ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙË˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜– ∞ÏÁÂ‚ÚÈÎ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) ± iii, ‚) ± iv, Á) ± i, ‰) ± ii·) °, ‚) ∞, Á) μ, ‰) ° ·) ± iv, ‚) ± i, Á) ± iii, ‰) ± ii

∞™∫∏™∂π™:

·) 3x+12, ‚) (x+y)�9 Á) 2x+2(x–2)

·) 5x, ‚) x+ x

·) 17x, ‚) –16·, Á) 27y, ‰) 4ˆ, Â) –2x+1, ÛÙ) –2‚·) 5x–y, ‚) 7ˆ+5·, Á) –2x–2y, ‰) –7x+4ˆ ·) ∞=–9, ‚) μ=–36,·) ∞=0,1, ‚) μ=1·) μªπ: 28,4 -1Ô˜ ‚·ıÌfi˜ ·¯˘Û·ÚÎ›·˜ ÁÈ· ¿Ó‰ÚÂ˜,‚) μªπ: 31,7 - 2Ô˜ ‚·ıÌfi˜ ·¯˘Û·ÚÎ›·˜ ÁÈ· Á˘Ó·›ÎÂ˜

1.2 ∂ÍÈÛÒÛÂÈ˜ ·� ‚·ıÌÔ‡

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) 30, ‚) 7, Á) 24, ‰) –3, Â) –9, ÛÙ) 7·) ™, ‚) §, Á) ™, ‰) §, Â) §·) ± iii, ‚) ± iv, Á) ± i, ‰) ± ii

∞™∫∏™∂π™:

∫¿ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â·Ï‹ıÂ˘ÛË ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ fiÙÈ: ·) ‰ÂÓ Â›Ó·È Ï‡ÛË, ‚) ‰ÂÓ Â›Ó·È Ï‡ÛË, Á) Â›Ó·È Ï‡ÛË.·) x=–22, ‚) y=1, Á) t=–2

·) x=4, ‚) y= , Á) ˆ=–

·) x=–11, ‚) x= , Á) x=

·) x=–61, ‚) y=4, Á) ˆ=

·) x= , ‚) t=–26

·) x=– , ‚) t=

·) x= , ‚) x=3,9

·) °È· Ì=2 Ï‡ÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ ÂÍ›ÛˆÛË ÌÂ ¿ÁÓˆÛÙÔ ÙÔ x,‚) ÁÈ· x=7 Ï‡ÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ ÂÍ›ÛˆÛË ÌÂ ¿ÁÓˆÛÙÔ ÙÔ Ì,Á) ·‰‡Ó·ÙË

·) x=2 ÌÂ ÏÂ˘Ú¤˜ 7, 7, 5 ‚) x=4 ÌÂ ÏÂ˘Ú¤˜ 11, 9, 9,Á) Ë ÂÍ›ÛˆÛË 2x+3=2x+1 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙËx=4, y=3, ˆ=65Æ

1.3 ∂›Ï˘ÛË Ù‡ˆÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

° μ ° ∞

∞™∫∏™∂π™:

Ú=

y=

Ú=

y=

ˆ=

t=

‚=

Ï=

h=

c=

q1=

˘0=

·) ı= , ‚) ı=54,63ÆC

·) D=11 ËÌ¤ÚÂ˜ ‚) ÁÈ· D=180, h=1090,3 m,Á) ÁÈ· D=360, h=2.251,6 m

1.4 ∂›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ÌÂ ÙË ¯Ú‹ÛËÂÍÈÛÒÛÂˆÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

¢ μ

∞™∫∏™∂π™:

∞Ó x Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙË˜ ÌÈ·˜ ÔÍÂ›·˜ ÁˆÓ›·˜ Î·È 2x ÙÔ

Ì¤ÙÚÔ ÙË˜ ‰Â‡ÙÂÚË˜, ÙfiÙÂ x=30Æ Î·È 2x=60Æ.

1

21

14

273,15 (V–V0)V0

13

2S–gt2

2t12

F�r2

kc�q2

11

Qm�ı

10

P–P0Â

9

s–·s

8

2E–μ˘˘

7

s˘

6

∂–2xy2x+2y

5

–·x–Á‚

4

E2˘

3

P–2x2

2

L2

1

4321

11

10

9

157

8

1217

16

7

98

6

114

5

97

3013

4

12

114

3

2

1

3

2

1

7

6

5

4

3

19100

2

1

3

2

1

11∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô

∞¶∞¡Δ∏™∂π™ Δø¡ ∞™∫∏™∂ø¡

ª∂ƒ√™ ∞�

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·238

x=14 m.x=10 ¤ÙË.ΔÔ ·Ú¯ÈÎfi ÔÛfi Â›Ó·È 1200€. √ ÚÒÙÔ˜ Ê›ÏÔ˜ ‹ÚÂ300€, Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Ê›ÏÔ˜ ‹ÚÂ 400€, Ô ÙÚ›ÙÔ˜ Ê›ÏÔ˜‹ÚÂ 500€.

ΔÔ ÚÒÙÔ ·˘ÙÔÎ›ÓËÙÔ ÂÚÈ¤¯ÂÈ 54 Ï›ÙÚ· Î·È ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔÂÚÈ¤¯ÂÈ 27 Ï›ÙÚ·.∂›Ó·È 7 Ù· ÏÂˆÊÔÚÂ›· ÙˆÓ 8 ·ÙfiÌˆÓ Î·È 5 ÙˆÓ 14 ·ÙfiÌˆÓ¶Ú¤ÂÈ Ó· ·˘ÍËıÂ› Î·Ù¿ 4 m.ΔÔ ˆÚÔÌ›ÛıÈÔ ÙÔ˘ ¶¤ÙÚÔ˘ Â›Ó·È 8€ Î·È ÙÔ˘ ™¿ÎË 6€.

Δ· ÛÙÈÏfi Â›Ó·È 6.·)

‚) Ô ·ÁÒÓ·˜ ‰ÚfiÌÔ˘ Â›Ó·È 10 km, ÙË˜ ÎÔÏ‡Ì‚ËÛË˜ 1,5 kmÎ·È ÙË˜ Ô‰ËÏ·Û›·˜ 40 km.

1.5 ∞ÓÈÛÒÛÂÈ˜ ·� ‚·ıÌÔ‡

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) x+3<6, ‚) <– , Á) x–3>2, ‰) �–2, Â) 2x�–4,

ÛÙ) <6, ˙) –3x>–21, Ë) –4x�2

·) ™, ‚) §, Á) ™, ‰) §, Â) ™, ÛÙ) §, ˙) ™, Ë) §, ı) §

∞™∫∏™∂π™:

·) x�4, ‚) x>–5, Á) x<0, ‰) x�– .

·) ˆ> , ‚) x�0, Á) 0 � y<8, ‰) t<–8

·) x> , ‚) 0 � x>–1, Á) x>– , ‰) x>11, Â) ˆ<–3,

ÛÙ) 0 � t>–11·) –1<x<5, ‚) x>6, Á) ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¤˜ Ï‡ÛÂÈ˜,‰) y>14,2, Â) –1<x�3, ÛÙ) x>9

·) –4<x�9, ‚) –1<x<1, Á) � x �

Ì<5

·<

∞Ó x € Â›Ó·È Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· ÙË˜ ª·Ú›·˜, ÙfiÙÂ (3x–14)€ Â›Ó·ÈÙ· ¯Ú‹Ì·Ù· ÙË˜ ÕÓÓ·˜ ÌÂÙ¿ ÙË ‰·¿ÓË.¶Ú¤ÂÈ Ó· ÁÚ¿„ÂÈ 16<x�20.°È· ¯ÚfiÓÔ ÔÌÈÏ›·˜ x>150 ÏÂÙ¿.37,5<x<40.

¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

2.1 ΔÂÙÚ·ÁˆÓÈÎ‹ Ú›˙· ıÂÙÈÎÔ‡·ÚÈıÌÔ‡

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) ∞, ‚) ∞, Á) μ °9 ± 3, 16 ± 4, 4 ± 2, 25 ± 5, 36 ± 6·) §, ‚) §, Á) ™, ‰) §, Â) §, ÛÙ) §, ˙) §, Ë) ™, ı) §, È) §1) μ, 2) μ, 3) ∂, 4) ∞

∞™∫∏™∂π™:

·) 9, 0,9, 90, ‚) 2, 0,2, 20, 200, Á) 11, 1,1, 110, 0,11,

‰) , , , .

·) 6, ‚) 6, Á) 18, ‰) 18·) 9, ‚) 5, Á) 33, ‰) 81, Â) 4,ÛÙ) 4,4 ‹ 2,16 ‹ 1,25 ‹ 3,9 ‹ 5,1 ‹ 6,0ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘ÌÂ ÙÈ˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎ¤˜ Ú›˙Â˜ ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÈ˜ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚÂ˜.x=10, y=5, ‚=4, ·=29, Á=35, ˆ=77

·) x=3, ‚) x=5, Á) x=8, x=˘=3,5‰=97x=2·=5, ‚=12, Á=15, x=8·) ��α<·<·2, ‚) ��α>·>·2

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ fiÙÈ: ��·��‚ = ��·�‚.

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ fiÙÈ: =��.

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ fiÙÈ: ��·+��‚ ≠ ��·+‚.

14

·‚

��·��‚

13

12

11

10

9

8

7

109

6

5

4

3

2

611

207

125

32

1

5

4

3

21

22∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô

11

10

9

8

54

7

6

75

25

5

4

227

3213

3

12

2

16

1

2

3x2

x–3

32

x2

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

∞·ÓÙ‹ÛÂÈ˜ ÙˆÓ ·ÛÎ‹ÛÂˆÓ 239

51,5

±±±± ±±±±x–8,5x4x

· ‚ ��· ��‚ ��4 16 2 4

25 36 5 6 56

56

12

12

·‚

��·��‚

· ‚ ��· ��‚ ��·+��‚ ��·+‚

9 16 3 4 7 5

64 36 8 6 14 10

· ‚ ��· ��‚ ��·��‚ ��·‚

9 4 3 2 6 6

36 49 6 7 42 42

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·239

2.2 ÕÚÚËÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) §, ‚) ™, Á) §, ‰) §, Â) ™, ÛÙ) ™·) ¢, ‚) ∂, Á) °, ‰) μ

∞™∫∏™∂π™:·) ¿ÚÚËÙÔ˜, ÚËÙfi˜, ‚) ÚËÙfi˜, ¿ÚÚËÙÔ˜,Á) ¿ÚÚËÙÔ˜, ÚËÙfi˜, ÚËÙfi˜·) 1<��2<��3<��5<��7, ‚) ��2<2<��5<��7,

Á) ��3<1+��3, ‰) ��2<��1+��2·) 1,73, ‚) 2,23, Á) 2,64, ‰) 2,82·) x=0, ‚) x=±��5, Á) ·‰‡Ó·ÙË, ‰) x=±��17·=3,46 cm·) ·=8,48 cm, ‚) ∂=72cm2

2.3 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·

∞™∫∏™∂π™:∂=400 cm2 ∂=151,38 cm2

μÚ›ÛÎÔ˘ÌÂ fiÙÈ ∫§=��5, §ª=��10, ∫ª=��5, ÔfiÙÂ ÙÔÙÚ›ÁˆÓÔ ∫§ª Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.μ∂=7,93 cm∂Ê·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘ÌÂ ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿ ˆ˜ ˘ÔÙÂ›ÓÔ˘Û· (·’ ÂÚ›ÙˆÛË: x=��164==12,81) ‹ ˆ˜ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ (‚’ ÂÚ›ÙˆÛË: x=6).·) i) ˘ÔÙÂ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÌÂ

Î¿ıÂÙÂ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ 1 cm,ii) ˘ÔÙÂ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÌÂ Î¿ıÂÙÂ˜

ÏÂ˘Ú¤˜ 1 cm Î·È 2 cm,iii) ˘ÔÙÂ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÌÂ Î¿ıÂÙÂ˜

ÏÂ˘Ú¤˜ 2 cm Î·È 3 cm.‚) ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜ (·).2,5196 m 5 ‚¤ÏË√ Ô‰ËÁfi˜ ÌÔÚÂ› Ó· Î¿ÓÂÈ ·Ó·ÛÙÚÔÊ‹.

™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂÈ˜

3.1 ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙË˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

‚ Á Á ‚ (·) ± ii), (‚) ± i), (Á) ± iii)

∞™∫∏™∂π™:

·) x –3 –2 –1 0 2y –11 –8 –5 –2 4

‚) x –1 0 2 4 5

y –1 – 2

·) x –3 –1 0 2 5y 10 2 1 5 26

‚) x –3 –2 0 1 3y –2 –4 –2 2 16

y=1,08xy=600+0,07x

·) y=30–x, ‚) y=

E=x2 Î·È ¶=4x. EÔÌ¤Óˆ˜:

x 1 2 2,5 5 0,3E 1 4 6,25 25 0,09¶ 4 8 10 20 1,2

x 2 4 –3 1y 1 7 –14 –2

·) ™Â 2 ÒÚÂ˜ ı· ¤¯ÂÈ ‰È·Ó‡ÛÂÈ 140 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ·, ÂÓÒ ÛÂ 5ËÌ¤ÚÂ˜ ı· ¤¯ÂÈ ‰È·Ó‡ÛÂÈ 8400 ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚ·, ‚) s=70t.

3.2 ∫·ÚÙÂÛÈ·Ó¤˜ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓÂ˜°Ú·ÊÈÎ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘Ó¿ÚÙËÛË˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

∞(2, 3), μ(–2, 3), °(–2, –3), ¢(2, –3)™ËÌÂ›Ô ™˘Ì/Îfi ˆ˜ ™˘Ì/Îfi ˆ˜ ™˘Ì/Îfi ˆ˜

∞ ÚÔ˜ x�x ÚÔ˜ y�y ÚÔ˜ √

(–2, 3) (–2, –3) (2, 3) (2, –3)

(3, 5) (3, –5) (–3, 5) (–3, –5)

(–3, 5) (–3, –5) (3, 5) (3, –5)

(–3, –5) (–3, 5) (3, –5) (3, 5)

(3, –5) (3, 5) (–3, –5) (–3, 5)

·) ·) μ, ‚) ¢, Á) μ, ‰) ° ·) °, ‚) ¢, Á) ¢, ‰) ∞

∞™∫∏™∂π™:∞(2, 3), μ(4, 0), °(–3, 3), ¢(0, –4), ∂(–4, –2), ∑(5, –3), ∏(–2, 1),£(–5, 0), π(0, 5)ø˜ ÚÔ˜ x�x: A1(–3, –4), B1(2, ).ø˜ ÚÔ˜ y�y: A2(3, 4), B2(–2, – ).ø˜ ÚÔ˜ √: A3(3, –4), B3(–2, ).·) ∞(1, 3) μ(–2, –1) °(–2, 3), ‚) i) A, ii) B,Á) ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ

ıÂÒÚËÌ·.·) 5 Î·È 3, ‚) 2 Î·È 3, Á) 4 Î·È 0·) ��20, ‚) ��32, Á) 5, ‰) 917 Ì›ÏÈ· Î·È 2h 7� 30��

‚) 64 cmHg, Á) 0,75 km ‚) 19ÆC, Á) 1,6 km98

7

6

5

4

72

72

72

3

1

5

43

2

1

8

7

6

100x

5

4

3

2

32

12

12

1

54321

33∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô

9

87

6

5

4

3

21

6

5

4

3

2

1

2

1

240 ∞·ÓÙ‹ÛÂÈ˜ ÙˆÓ ·ÛÎ‹ÛÂˆÓ

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·240

3.3 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y=·x

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) x 2 4 6 ‚) °y 5 10 15

∏ Â˘ıÂ›· ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ (‰)

∞™∫∏™∂π™:·) x 1 2 5 7 10

y 3 6 15 21 30‚) y=3x¢È¤Ú¯ÔÓÙ·È fiÏÂ˜ ·fi ÙÔ O Î·È ·fi Ù· ÛËÌÂ›· (1, 2), (1, 3),(1, 5) ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.¢È¤Ú¯ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ‰‡Ô ·fi ÙÔ O Î·È ·fi Ù· ÛËÌÂ›· (2, 1),(2, –1) ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.

s=5t.

y=3x.

¢È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ O Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (2, 3).

·=–3.

·) y=1,2x, Á) i) 8,4 €, ii) x=5,83 €.

·) y=1,12x, ‚) 280$, Á) 223 €.

3.4 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y=·x+‚

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

° Â1 ± y=2x+2, Â2 ± y=2x, Â3 ± y=2x–1,

AB ± y=2, A° ± x=–3, °¢ ± y=–2, μ¢ ± x=3·) μ, ‚) ¢, Á) μ °

∞™∫∏™∂π™:

∏ y= x ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ √ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (2, 1). ªÂ

·Ú¿ÏÏËÏË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÚÔÎ‡ÙÔ˘Ó ÔÈ ¿ÏÏÂ˜ ‰‡ÔÂ˘ıÂ›Â˜.

·) ∂˘ıÂ›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌÂ›· (1, –1) Î·È (0, 2),

‚) ËÌÈÂ˘ıÂ›· ÌÂ ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 2), Á) Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ

ÙÌ‹Ì· ÌÂ ¿ÎÚ· Ù· ÛËÌÂ›· (–2, 8) Î·È (5, –13).

y=2x–3

·) ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ∞μ°, ‚) Â·Ï‹ıÂ˘ÛË

y=0,2x+0,5.

(0, –2), (3, 0).

¢È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌÂ›· (1, 1) Î·È (2, 0).

∞(–2, 2), μ(1, 2), °(1, 3), ¢(–2, 3), ∂=3Ù.Ì.

·) y=200x+100.

·) ˆ=20–x, ‚) y=150x, 0�x�20.

3.5 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y=

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™·) Î·È Á) ·) §, ‚) §, Á) ™, ‰) ™

· ± y= , ‚ ± y= Á ± y= .

∞™∫∏™∂π™:x 1 2 3 4 6 12y 12 6 4 3 2 1

·) ˘=5277,78 km/h, ‚) ˘=

·) x 1 2 3 4 6 12 18 36y 36 18 12 9 6 3 2 1

Δ· x, y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiÊˆ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·. ‚) y= , x>0.

¶ÂÚÈÁÚ·ÊÈÎ‹ ™Ù·ÙÈÛÙÈÎ‹4.1 μ·ÛÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ ÙË˜ ™Ù·ÙÈÛÙÈÎ‹˜:

¶ÏËı˘ÛÌfi˜ - ¢Â›ÁÌ·

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

Á) ‰) ‚)

∞™∫∏™∂π™:

·) 72, ‚) 30, Á) 20, ‰) 7, Â) 16, ÛÙ) 7 2·) 12, ‚) 24, Á) 42, ‰) 60, Â) 9, ÛÙ) 50‚) ·) 15%°È· ÙÔÓ «∞» Â›Ó·È 45%, ÁÈ· ÙÔÓ «μ» 35% Î·È ÁÈ· ÙÔÓ «°» 20%·) 60%, ‚) 30%¶ÏËı˘ÛÌfi˜: ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ô·‰ÒÓ. ¢Â›ÁÌ·: Ù· 1000¿ÙÔÌ· Ô˘ ÚˆÙ‹ıËÎ·Ó. ΔÔ ‰Â›ÁÌ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÍÈfiÔÛÙÔΔÔ ‰Â›ÁÌ· Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ·ÓıÚÒÔ˘˜ fiÏˆÓÙˆÓ ËÏÈÎÈÒÓ.

4.2 °Ú·ÊÈÎ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂÈ˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

1.°, 2.μ, 3.μ, 4.¢, 5.°, 6.μ, 1.∞, 2.μ, 3.μ, 4.°, 5.∞

∞™∫∏™∂π™:

·) 2000 : 80.000, 2001 : 110.000, 2002 : 160.000,2003 : 130.000. ™˘ÓÔÏÈÎ¿: 480.000, ‚) 33,33%

·) 300 Ì·ıËÙ¤˜, ‚) 24% ‚) ∞:40, μ:120, °:160, ¢:80·) 3 Ì·ıËÙ¤˜, 5% ·) 105Æ‚) ΔÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ 90� ÌÂÏÂÙ¿ ÙÔ 80% ÙˆÓ ·ÁÔÚÈÒÓ Î·È ÙÔ84% ÙˆÓ ÎÔÚÈÙÛÈÒÓ. ΔÔ ÔÏ‡ 120� ÌÂÏÂÙ¿ ÙÔ 83% ÙˆÓ·ÁÔÚÈÒÓ Î·È ÙÔ 76% ÙˆÓ ÎÔÚÈÙÛÈÒÓ.

6

54

32

1

21

9

8

7

6

543

2

1

321

44∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô

36x

5

380.000t

4

1

1x

2x

3x

3

21

·x

10

9

8

7

6

5

4

3

2

12

1

54

3

21

9

8

7

6

5

4

3

2

1

32

1


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·241

4.3 ∫·Ù·ÓÔÌ¤˜ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ Î·ÈÛ¯ÂÙÈÎÒÓ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

1°, 2∞, 3μ, 4¢, 5∞

∞™∫∏™∂π™:

∞ÚÈıÌfi˜ ·È‰ÈÒÓ ∞ÚÈıÌfi˜ ·Ô˘ÛÈÒÓ

·)

‚) ∞‡ÍËÛË: 2002, 2003. ªÂ›ˆÛË: 2001, 2004

·)

·)

·)

‚) 15 ËÌ¤ÚÂ˜, Á) 51,61 %

·)

‚) 68 %, Á) ∏ ∞μ ÌÂ Û˘¯ÓfiÙËÙ· 12%

·)

‚) 75 %

·) 20.000 ˘ÔÏÔÁÈÛÙ¤˜

‚)

Á) 45 %

4.4 √Ì·‰ÔÔ›ËÛË ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂˆÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

1μ, 2°, 3¢

0,20,30,250,20,05™¯ÂÙ. Û˘¯ÓfiÙËÙÂ˜146541™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜

16 – 2012 – 168 – 124 – 80 – 4∫Ï¿ÛÂÈ˜2

1

20000™‡ÓÔÏÔ5000¢4000°7000B4000A

™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜M¿ÚÎ· ∏/À

8

100™‡ÓÔÏÔ8,3416,7341,722518,30

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ. (Â› ÙÔÈ˜ %)™ˆÛÙ¤˜ ··ÓÙ‹ÛÂÈ˜7

10025 ™‡ÓÔÏÔ123AB246B4411A205O

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ.(Â› ÙÔÈ˜ %)™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜OÌ¿‰·

·›Ì·ÙÔ˜6

10031 ™‡ÓÔÏÔ

6,45276,452619,356516,135416,135325,81826,45213,2310

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ.(Â› ÙÔÈ˜ %)™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜∞ÚÈıÌfi˜

ÌËÓ˘Ì¿ÙˆÓ5

10034™‡ÓÔÏÔ

23,538¡

52,9418π

23,538∏

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ.(Â› ÙÔÈ˜ %)™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜AÔÙÂÏ¤ÛÌ·Ù·4

10010™‡ÓÔÏÔ

3032

4041

3030

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ.(Â› ÙÔÈ˜ %)™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜∞ÚÈıÌfi˜

ÚÔ˚fiÓÙˆÓ3

2.000 100™‡ÓÔÏÔ204002004255002003

22,5450200212,52502001204002000

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ.(Â› ÙÔÈ˜ %)™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜ŒÙÔ˜2

100%™‡ÓÔÏÔ 402,5%1

10%4100%™‡ÓÔÏÔ 4015%610%4

15%620%8

30%1235%14

20%825%10

7,5%310%4

™¯ÂÙÈÎ‹ Û˘¯ÓfiÙ.™˘¯ÓfiÙËÙ·™¯ÂÙÈÎ‹ Û˘¯ÓfiÙ.™˘¯ÓfiÙËÙ·

1

100™‡ÓÔÏÔ: 20015303570102015305102040

™¯ÂÙÈÎ¤˜ Û˘¯ÓfiÙ. (Â› ÙÔÈ˜ %)™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜2

1


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·242

∞™∫∏™∂π™:

·) ∏ Û˘¯ÓfiÙËÙ· Ô˘ ÏÂ›ÂÈ Â›Ó·È 24

·)

·)

·)

√È Û˘¯ÓfiÙËÙÂ˜ ÁÈ· ÙËÓ Î¿ıÂ ÎÏ¿ÛË Â›Ó·È 28, 32, 12, 8·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.

4.5 ª¤ÛË ÙÈÌ‹ - ¢È¿ÌÂÛÔ˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

¢ ° μ ·) ·, ‚) °, Á) ¢¢

∞™∫∏™∂π™:

·) �x=7, ‚) �x=5,5, Á) �x=– , ‰) �x=

·) ‰=1,5, ‚) ‰=2, Á) ‰=101, ‰) ‰=–1

·) �xΑ=17,9, xΒ=18,6, ‚) √ Ì·ıËÙ‹ ̃μ, Á) ‰∞=18, ‰μ=19

·) �x=199,9, ‚) ‰=200, Á) �x�=200,58

·)

‚) �x = 14, ‰ = 14

·)

‚) �x=4,4

�x=24,72

·) i) ii) M= 49,9

‚) i)

ii) M�= 50,4.iii) H ÙÈÌ‹ ª.

20™‡ÓÔÏÔ353 – 55551 – 53749 – 51347 – 49245 – 47

™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜TÈÌ¤˜

20™‡ÓÔÏÔ254153352251350449148247146145

™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜TÈÌ¤˜8

7

100200™‡ÓÔÏÔ

51010 – 125108 – 1015306 – 830604 – 620402 – 425500 – 2

™¯ÂÙ. ™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜ %™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜∏ÏÈÎ›· ·È‰ÈÒÓ6

10030™‡ÓÔÏÔ

103186,662172061630914

16,6751216,67510

™¯ÂÙ. ™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜ %™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜£ÂÚÌÔÎÚ·Û›·5

4

3

2

12350

47

1

5

4321

5

30™‡ÓÔÏÔ4280 – 3007260 – 2807240 – 2604220 – 2408200 – 220

™˘¯ÓfiÙËÙÂ˜∫Ï¿ÛÂÈ˜4

30™‡ÓÔÏÔ816 – 201212 – 1648 – 1254 – 810 – 4


50™‡ÓÔÏÔ48 – 1086 – 8154 – 6152 – 480 – 2


1


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·243

∂Ì‚·‰¿ Â›Â‰ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·

1.1 ∂Ì‚·‰fiÓ Â›Â‰Ë˜ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜

∞™∫∏™∂π™:

ΔÔ Û¯‹Ì· ∞.∫·È Ù· ÙÚ›· ¤¯Ô˘Ó ÂÌ‚·‰fiÓ 39.·)

1.2 ªÔÓ¿‰Â˜ Ì¤ÙÚËÛË˜ ÂÈÊ·ÓÂÈÒÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

1° 2¢ 3¢ 4∞ 5μ 6∞1∞ 2μ 3° 4μ 5° 6∞ 7μ 8∞ 9μ 10°

∞™∫∏™∂π™:

32 cm2=0,0032 m2 312 cm2=0,0312 m2

127km2=127.000 m2 710 dm2=7,1 m2

12720 mm2=0,01272 m2 212 dm2=2,12 m2

1280 mm2=0,00128 m2 79 km2=79.000.000 m2

12 m2=120.000 cm2 175 dm2=17.500 cm2

456 m2=4.560.000 cm2 136 m2=1.360.000 cm2

3 km2=30.000.000.000 cm2 1750 mm2=17,5 cm2

256 km2=2.560.000.000.000 cm2

12 km2=12.000.000.000.000 mm2

431 m2=431.000.000 mm2

17 dm2=170.000 mm2

236 cm2=23.600 mm2

7233 mm2=0,000000007233 km2

4321 cm2=0,0000004321 km2

6322 dm2=0,00006322 km2

14632 mm2=0,000000014632 km2

560 m2=0,00056 km2

·) 13850 mm2=0,013850 m2

670 cm2=0,067 m2

13,7 dm2=0,137 m2

13850 mm2<670 cm2<13,7 dm2<0,23 m2<0,48 m2

‚) 32 dm2=0,32 m2

23270 mm2=0,02327 m2

1356 cm2=0,1356 m2

23270 mm2<1356 cm2<32 dm2<1,23 m2

·) m2, ‚) km2, Á) ÛÙÚ¤ÌÌ·, ‰) cm2, Â) cm2

1.3 ∂Ì‚·‰¿ Â›Â‰ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

1°, 2°, 3μ, 4∞, 5°, 6μ, 7∞, 8μ

1°, 2°, 3∞, 4∞, 5∞, 6°, 7μ, 8∞, 9°, 10∞, 11°

∞™∫∏™∂π™:

∂=225 cm2

∂=12.600 cm2

ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÚÔ˙ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ

ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Î›ÙÚÈÓÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ù· ÔÔ›· Â›Ó·È ›Û·

ÌÂ 48 .

·) ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ÙÈ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞∂¢.

‚) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÂ ÙÔ

ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

∂›Ó·È ∂1=∂2=x2+3x.

∂=64 cm2

ΔÔ ÎfiÛÙÔ˜ ı· Â›Ó·È 11.477,76 €.

™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÂ ÙÈ˜ ‰È·-

ÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ.

·) √È ÏÂ˘Ú¤˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È 18 m Î·È (30–x) m,

‚) x=6 m.

·) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÂ ÙÔ ÂÌ‚·-

‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

‚) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ Ù· (ª¢μ), (¢¡μ) ÌÂ Ù· (ª∞μ), (¡°μ)

·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.

∂1=15 cm2 ∂2=12 cm2 ∂3=7,5 cm2

∂4=16 cm2 ∂5=16 cm2 ∂6=15 cm2

∂7=9 cm2 ∂8=16 cm2 ∂9=18,5 cm2

∂10=10 cm2 ∂11=11 cm2 ∂12=22 cm2

(∞μ°¢)=22,5 cm2

x=10 cm, x=6 cm, x=10 cm, x=6 cm.

E=60 cm2, E=34 cm2, E=32 cm2,

E=24 cm2, E=81 cm2, E=12,5 cm2.

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

2

1

6

5

4

3

2

1

2

1

3

2

1

11∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô


ª∂ƒ√™ μ�

‚)

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·244

∂=169 Ù.Ì.

·) ∂Û·Ï=34 m2 ∂ÎÔ˘˙=12 m2 ∂ÁÚ·Ê=9 m2

∂wc=4,5 m2 ∂˘Ó1=12 m2 ∂Ì·Ï=7,5 m2

∂˘Ó2=10 m2

‚) ∂‰È·‰=10,5 m2, Á) ∂‚ÂÚ=49 m2

·) 56800 €, ‚) 1136 ÎÏ‹Ì·Ù·

1.4 ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

° μ ° ∞

∞™∫∏™∂π™:

∂1=16 m2, E2=6,76 m2, E3=0,36 m2.

∂Ê·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ·.·) ∂Ê·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÙËÓ

ÙÚÈ¿‰· 6 cm, 8 cm, 10 cm.‚) ∂Ê·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÁÈ· ÙÈ˜

ÙÚÈ¿‰Â˜ 12 cm, 16 cm, 20 cm Î·È 3 cm, 4 cm, 5 cm.∂=64 dm2

∂=5,41 m2

∞Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ fiÙÈ Ë ÁˆÓ›· ∧

Α Â›Ó·È ÔÚı‹ ÌÂ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ˘ ıÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜.¶=40 dm, E=96 dm2

x=4 m.√È ÙÔÔıÂÛ›Â˜ ∞, ¢.

ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚ›· - ¢È·Ó‡ÛÌ·Ù·

2.1 ∂Ê·ÙÔÌ¤ÓË ÔÍÂ›·˜ ÁˆÓ›·˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

° ·) μ, ‚) ¢

ı ±1, Ê± , ˆ ± , y ±

∞™∫∏™∂π™:

·) x = 6,92 cm ‚) x = 11,9 cmÁ) x = 16,64 cm ‰) x = 10 cm∂ÚÁ·˙fiÌ·ÛÙÂ fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2.Œ¯Ô˘ÌÂ fiÙÈ: ∞° = 6,93 cm, μ° = 8 m,

∧

Β= 60Æ,ÂÌ‚·‰fiÓ ∂ = 13,86 cm2 Î·È ˘ = 0,87 cm(ÙÔ ‡„Ô˜ ·fi ÙÔ ∞).∏ ·fiÛÙ·ÛË Â›Ó·È 34,93 m.h = 10,74 m.√ ¯·ÚÙ·ÂÙfi˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÂ ‡„Ô˜ 102,67 m.

·) B¢ = (90–x) cm, ‚) ÂÊı = , Á) ÂÊı = .

‰) Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ÙˆÓ ÂÚˆÙËÌ¿ÙˆÓ (‚) Î·È (Á) Â›Ó·È ›Û·ÁÈ· x = 52,5 cm.

2.2 HÌ›ÙÔÓÔ Î·È Û˘ÓËÌ›ÙÔÓÔ ÔÍÂ›·˜ÁˆÓ›·˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) ° ‚) μ Á) ¢ ‰) °

μ μ ∞ ‰) Î·È ÛÙ)·) ™, ‚) ™, Á) §, ‰) §, Â) ™, ÛÙ) ™, ˙) ™, Ë) §, ı) ™

·) ¢∞μ, Û˘Ó∞∧

¢μ = ‚) ∞μ°, ËÌ∞∧

μ°=

Á) ∞∂°, Û˘Ó∞∧

∂° = .

∞™∫∏™∂π™:

·) ËÌ∧

Α = , Û˘Ó∧

Α = , ËÌ∧

Γ = , Û˘Ó∧

Γ =

‚) ËÌ∧

Α = 0,94, Û˘Ó∧

Α = 0,35, ËÌ∧

Γ =0,35, Û˘Ó∧

Γ = 0,94Á) ËÌ

∧

Β = 0,79, Û˘Ó∧

Β = 0,61, ËÌ∧

Γ =0,61, Û˘Ó∧

Γ = 0,79

ËÌˆ = .

ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙÈ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙÂ˜ ËÌˆ < 1 Î·È Û˘Óˆ < 1.

√¢ = 15 m, A° = 6 m, μ¢ = 9 m.

2.3 MÂÙ·‚ÔÏ¤˜ ËÌÈÙfiÓÔ˘, Û˘ÓËÌÈÙfiÓÔ˘Î·È ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓË˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) ° ‚) °

·) ™ ‚) § Á) ™ ‰) § Â) § ÛÙ) ™

∞™∫∏™∂π™:·) x = 7,04 cm ‚) x = 2,67 cm Á) x = 4,2 cm·) x = 11,01 cm ‚) x = 5,74 cm Á) x = 4,77 cm‰) x = 4,93 cm Â) x = 5,96 cm.Δ· Ì‹ÎË ÙˆÓ Û˘ÚÌ·ÙfiÛ¯ÔÈÓˆÓ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÈ˜ÁˆÓ›Â˜ 55Æ Î·È 70Æ Â›Ó·È 9,77 m Î·È 8,51 m ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.∞° = 10 m, ∞μ = 9,74 m·) ËÌ56Æ > ËÌ37Æ > ËÌ20Æ > ËÌ16Æ ‚) Û˘Ó20Æ> Û˘Ó25Æ > Û˘Ó28Æ > Û˘Ó36Æ Á) ÂÊ89Æ > ÂÊ51Æ > ÂÊ22Æ > ÂÊ18Æ∞B = 1,55 m, °¢ = 1,2 m∞∏ = 19,56 m, ∞ª = 36,9 m

°™ = 6371Û˘Ó89,05Æ

8

7

6

5

4

3

2

1

2

1

4

3

45

2

45

35

35

45

1

∞∂∂°

∞°μ°

∞¢¢μ

7

6

5432

1

35x

2590–x

7

6

5

4

3

2

1

53

32

52

3

21

22∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô

9

8

7

6

5

4

3

2

1

4321

17

16

15


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·245

2.4 √È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 30Æ, 45Æ, Î·È 60Æ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) ±i), ‚) ±iii), Á) ±i),

‰) ±v), Â) ±iii), ÛÙ) ±v)

μ·) §, ‚) ™, Á) ™, ‰) ™, Â) ™ ∞

∞™∫∏™∂π™:

·) · = ‚ =

·) ‚ = 7 cm · = 7��2 cm·) ∂Ê·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ·Ô-

‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÛÙÔ μ.

‚) ËÌ∧

Α = Û˘Ó∧

Α =

∂ÎÙÂÏÔ‡ÌÂ ÙÈ˜ Ú¿ÍÂÈ˜ ÌÂÙ¿ ·fi ·ÓÙÈÎ·Ù¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

·)∞ = ‚) ∞ = Á) ∞ = 1

¶μ = 2598 m

AB = 4��2 m, ∞¢ = m

∞μ + μ° + °¢ = 3��2 + 6 + 2��3 m·)ı = 30Æ ‚) ∞∂ = 4��3 m Á) ∂¢ = 9,1 m¶ = 18 + 4��3 °¢ = 7 + 3��2 ¶ÚÒÙÔ ı· Êı¿ÛÂÈ ÙÔ ÛÔ˘ÚÁ›ÙÈ ·fi ÙÔ μ. 15,98 m

2.5 H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) ™, ‚) §, Á) §, ‰) §, Â) §

·) ™, ‚) ™, Á) §, ‰) §, Â) §

·) ∞μ±

= ∂¢±

= √°±

= ∑√±

‚) ∞∑±

= μ√±

= °¢±

= √∂±

Á) �μ°±� = �∂∑

±� = �∂√± � = �∂¢

±�‰)

∞™∫∏™∂π™:

ÿÛ·: ∞μ±

= ∂¢±

, μ°±

= ∑∂±

, °¢±

= ∞∑±

∞ÓÙ›ıÂÙ·: ∞μ±

Î·È ¢∂±

, μ°±

Î·È ∂∑±

, °¢±

Î·È ∑∞±

ÿÛ·: ı±

, ˙±

∞ÓÙ›ıÂÙ·: Ï±

,Â±

¢ÂÓ Â›Ó·È ›Û·.

·) �·±� = �‰±

� , �Á±� = �Â±� = �˙±

� Î·È � i±

� = �Î±�

‚) Á±

, ˙±

, Á) È±

, Î±

�·±� = ��10 cm, �‚±

� = ��2 cm, �Á±� = 4 cm, �‰±

�= 5 cm

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ fiÙÈ ÙÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.

·) (F1±

, F3±

, F5±

) Î·È (F2±

, F4±

, B±

)

‚) (F3±

, F1±

), (F5±

, F1±

), (F4±

, F2±

), (±μ , F2

±),

Á) F4±

, F2±

‰) F3±

, F5±

2.6. ÕıÚÔÈÛÌ· Î·È ‰È·ÊÔÚ¿ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) °, ‚) μ, Á) °, ‰) μ, Â) ∞

·) ∞μ±

+ B¢±

= ∞¢±

, ‚) μ°±

= B¢±

+ ¢°±

,

Á) °μ±

– °∞±

= ∞μ±

, ‰) ∞°±

= ∞μ±

+ B¢±

+ ¢°±

μ ·) ¢, ‚) °, Á) ∞, ‰) μ

∞™∫∏™∂π™:

∂Ê·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ‹ ÙÔ˘·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.·) ∞¢

±, ‚) 0±, Á) ¢°

±

·) ∞°±

, ‚) B¢±

, Á) ¢°±

·) ∞√±

, ‚) √°±

, Á) ∞√±

, ‰) √°±

∂›Ó·È ›ÛÂ˜ ÔÈ ‰È·ÊÔÚ¤˜ ·), Á) Î·È ‚) ‰).·) ∞°

±, ‚) ∂μ

±, Á) ∞°

±, ‰) ∞¢

±

ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· °ª±

= ªμ±

·ÊÔ‡ ÙÔ ªÂ›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ °μ.ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙÈ˜ ÈÛfiÙËÙÂ˜ ¡°

±= –¡¢

± Î·È ∞ª

±= –μª

±.

2.7. ∞Ó¿Ï˘ÛË ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÂ ‰‡ÔÎ¿ıÂÙÂ˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛÂ˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·)μ, ‚) °, Á) ∞

° μ

∞™∫∏™∂π™:

� μ2±�=135��2 ¡ � F

±� = 15000��3 ¡

� μ1±�= � μ2

±� = 100��2 ¡ � μ1±�=400¡54

32

32

1

10

8

5

4

3

2

1

43

2

1

7

6

5

4

3

2

1

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

16��33

6

5

2–��22

1–��32

4

3

1213

513

2

10��36

10��33

1

43

2

1


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·246

ª¤ÙÚËÛË Î‡ÎÏÔ˘

3.1. ∂ÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

∂ÁÁÂÁÚ·ÌÌ¤ÓÂ˜: ·, Ë ∂›ÎÂÓÙÚÂ˜: Á, Â, ı

·)μ, ‚) ∞

·) ∞, ‚) μ, Á) μ, ‰) °

° ·)°, ‚) °, Á) μ, ‰) °

∞™∫∏™∂π™:

·) Ê = 110Æ, ˆ = 250Æ ‚) Ê = 30Æ, ˆ = 40ÆÁ) Ê = 30Æ, ˆ = 60Æ

∞∧

Μμ = 135Æ �ΜN=95Æ Ê = 30Æ

�AB = 180Æ, �

ΔΒ = 45Æ, �ΒΓ = 135Æ, �

ΑΓ = 45Æ∧

∞ = 30Æ,∧

μ = 60Æ, μ° = 3 cm, ∞° = 3��3 cm.

x = 65Æ, y = 80Æ

∞∧

= 120Æ, ∧

μ = 50Æ, ∧

° = 60Æ, ∧

¢ = 130Æ

Ê = 60Æ

3.2 ∫·ÓÔÓÈÎ¿ ÔÏ‡ÁˆÓ·

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·)° ‚) μ Á) μ ‰) μ Â) °

·)° ‚) ∞ Á) ∞

·)μ ‚) μ Á) ° ‰) μ Â) μ ÛÙ) ∞

∞™∫∏™∂π™:Ï‹ıÔ˜ ÁˆÓ›· ÎÂÓÙÚÈÎ‹ÏÂ˘ÚÒÓ Î·ÓÔÓÈÎÔ‡ ÁˆÓ›·

ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘3 60Æ 120Æ5 108Æ 72Æ6 120Æ 60Æ

10 144Æ 36Æ

ÎÂÓÙÚÈÎ‹ ÁˆÓ›·ÁˆÓ›· Î·ÓÔÓÈÎÔ‡

ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘15Æ 165Æ30Æ 150Æ72Æ 108Æ20Æ 160Æ

Ó = 10 ˆ = 60Æ, Ê = 120Æ Ó = 12

·) ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ, ‚) ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ.

∂ÚÁ·˙fiÌ·ÛÙÂ fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2.

ΔÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÁˆÓ›· ›ÛË ÌÂ ÙËÓ ÎÂÓÙÚÈÎ‹ ÙÔ˘ ÁˆÓ›·.

∞Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ fiÙÈ fiÏÂ˜ ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ Â›Ó·È ›ÛÂ˜ ÌÂ ∫§,

fiÔ˘ ∫§ = ∞μ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘ÌÂ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜.

3.3. ª‹ÎÔ˜ Î‡ÎÏÔ˘

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

AÎÙ›Ó· Ú 5 6 4 3 2 9

M‹ÎÔ˜ 31,4 37,68 25,12 18,84 12,56 56,52Î‡ÎÏÔ˘ L

B

OÈ ÏfiÁÔÈ Â›Ó·È: = , = , = 3.

= , = , =

∞™∫∏™∂π™:

∏ ‰È·ÊÔÚ¿ Â›Ó·È .

Ú = 0,56 m ·) 2,5 cm ‚)5 ·) 2 ÚÔ˜ 1 ‚) 2 ÚÔ˜ 1 188,4 cm4 ÛÙÚÔÊ¤˜ 318,47 ÛÙÚÔÊ¤˜ 6.369,43 km

3.4 M‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

90Æ± , 60Æ± , 180Æ±

270Æ± , 45Æ± , 360Æ± 2

∞

ΔfiÍÔ ÛÂ ÌÔ›ÚÂ˜ 30Æ 90Æ 135Æ 225Æ 100Æ 210Æ 60Æ 270Æ

ΔfiÍÔ ÛÂ ·ÎÙ›ÓÈ·

∞™∫∏™∂π™:

ΔfiÍÔ ÛÂ ÌÔ›ÚÂ˜ 60Æ 15Æ 120Æ 270Æ 180Æ

ΔfiÍÔ ÛÂ ·ÎÙ›ÓÈ·

� = 4 � = 15,7 cm � = 15,7 cm

Ú = 20 cmE›Ó·È ›Û· ÌfiÓÔ ·Ó Â›Ó·È ÙfiÍ· ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ‹ ›ÛˆÓ Î‡ÎÏˆÓ.

�∞μ = cm, �°¢ = cm, �∑∂ = cm2

38

4

7

6

5

432

32

23

12

3

1

32

3

76

59

54

34

2

6

3

2

4

32

3

2

1

876

54

32

10

1

L3

6ÚL2

4ÚL1

2Ú

L3

L1

23

L2

L3

12

L1

L2

3

2

1

8

7

6

5

432

1

3

2

1

9

8

7

6

5

432

1

54

3

2

1

33∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·247

3.5 ∂Ì‚·‰fiÓ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙfiÍÔ˘

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

μ μ ¢

∞ÎÙ›Ó· Ú Î‡ÎÏÔ˘ 5 cm 3 cm 2,5 cm ��300EÌ‚·‰fiÓ Î‡ÎÏÔ˘ ∂ 78,5cm2 28,26cm2 19,625cm2 942cm2

AÎÙ›Ó· Ú ª‹ÎÔ˜ L EÌ‚·‰fiÓ1 cm 6,28 cm 3,14 cm2

2 cm 12,56 cm 12,56 cm2

3 cm 18,84 cm 28,26 cm2

4 cm 25,12 cm 50,24 cm2

Ú cm 6,28Ú cm 3,14Ú2 cm2

2Ú cm 12,56Ú cm 12,56Ú2 cm2

3Ú cm 18,84Ú cm 28,26Ú2 cm2

4Ú cm 25,12Ú cm 50,24Ú2 cm2

∞™∫∏™∂π™:

Ú = 10 cm E = 15,7 cm2

L = 31,4 cm, E = 78,5 cm2

∫·Ù·ÛÎÂ˘¿˙Ô˘ÌÂ Î‡ÎÏÔ ÌÂ ·ÎÙ›Ó· Ú = 14,14 cm.Ú = 1,69 cm E = 0,1256 m2 = 1256 cm2

E = 56,52 cm2 12,56 cm.

3.6 ∂Ì‚·‰fiÓ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔÌ¤·

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·ÎÙ›Ó· Î‡ÎÏÔ˘ ÁˆÓ›· Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔÌ¤· ÂÌ‚·‰fiÓ

Ú = 2 cm Ì = 60Æ ∂ = cm2

Ú = 8 cm Ì = 45Æ ∂ = 8 cm2

Ú = 3 cm Ì = 120Æ ∂ = 3 cm2

Ú = 9 cm, E = 27 cm2

∞ μ ¢

∞™∫∏™∂π™:

Ì = 45Æ Ú = 1,95 m ∂ = 125,6 cm2 ∂ = 508,68 cm2

∂ = 5,5 cm2 ∂ = 4893 cm2

·) ∂ = 38,88 cm2 ‚) ∂ = 38,88 cm2

Á) ∂ = 50,24 cm2 ‰) ∂ = 13,76 cm2

Â) ∂ = 36,48 cm2

∂=31,35 cm2

°ÂˆÌÂÙÚÈÎ¿ ÛÙÂÚÂ¿ª¤ÙÚËÛË ÛÙÂÚÂÒÓ4.1 ∂˘ıÂ›Â˜ Î·È Â›Â‰· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

™ § ™ § ™ ™ ™ μ ¢

∞™∫∏™∂π™:

·) ∞μ, ∂∑, ∞¢, ∂£, ‚) ¢°, £∏, ∂∑, Á) ∂∞, ∂£, ∑μ, ∑∏·) ¶·Ú¿ÏÏËÏÔ Â›Ó·È ÙÔ Â›Â‰Ô Ô˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÈ˜

Â˘ıÂ›Â˜ °¢, ¢∑, ‚) Δ· Â›Â‰· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fiÙ· ˙Â‡ÁË (∞∂, ∂¢), (∂∏, ∏∑) Î·È (£∏, ∏∑) Ù¤ÌÓÔ˘ÓÙÔ p ÛÙÈ˜ ∞∂, ∂∏ Î·È £∏ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.

∞μ = 10, ∞∏ = 13 cm·) E›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÙ· ÙÂÌÓfiÌÂÓ· ˙Â‡ÁË (¢°, μ°) Î·È

(¢μ, ∞°) ÛÙ· ÛËÌÂ›· ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ °, ∫ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·.‚) ∫° = 6��2 cm

39 m.

4.2 ™ÙÔÈ¯Â›· Î·È ÂÌ‚·‰fiÓ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜Î·È Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

·) °, ‚) μ, Á) μ, ·) μ, ‚) μ, ·) °, ‚) °

∞™∫∏™∂π™:

∂ = 112 cm2

6 ÎÈÏ¿ ¯ÚÒÌ·, ∂ÔÏ = 240 + 8��3 cm2

ÃÚÂÈ¿ÛÙËÎ·Ó 16 m2 ‡Ê·ÛÌ·.

·) ∂ = 94,2 cm2 Î·È ∂ÔÏ = 150,72 cm2

‚) ∂ = 75,36 cm2 Î·È ∂ÔÏ = 100,48 cm2

Á) ∂ = 502,4 cm2 Î·È ∂ÔÏ = 541,65 cm2

‰) ∂ = 502,4 cm2 Î·È ∂ÔÏ = 602,88 cm2

9,61 C9

62,8753,6690,875,36150,72oÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ (cm2)

56,52125,662,850,2494,2ÂÌ‚·‰fiÓ ∂ (cm2)92145‡„Ô ̃Î˘Ï›Ó‰ÚÔ ̆(cm)1101023·ÎÙ›Ó· ‚¿ÛË ̃(cm)8

7

6

54

4580804045∂

58445˘251324Á22553‚53232·3

2

514247040EÌ‚·‰fiÓ ∂

102,86105⁄„Ô˜ ˘0,55478¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ‚¿ÛË˜1

321

7

6

54

2

1

987654321

44∫ ÂÊ¿ Ï · È Ô

8

7

65

43

21

543

2

23

1

87

65

4

3

21

5

4

321


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·248

4.3 ŸÁÎÔ˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

∞™∫∏™∂π™:

·) ∂ = 60 cm2 ‚) ∂ÔÏ = 72 cm2 Á) V = 30 cm3

V = 216��3 cm3

AÓÙÈÎ·ıÈÛÙÔ‡ÌÂ Ù· ‰Â‰ÔÌ¤Ó· ÛÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ ∂ÔÏ.

·) ∂‚ = 18 cm2, ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ = 22 cm‚) ∞μ = 2 cm, °¢ = 10 cmÚ = 4,62 cm, V = 1407,45 cm3

·) 120 cm3 ‚) 20000 mm3

28,26 mg ›ÛÛ·˜.

4.4. ∏ ˘Ú·Ì›‰· Î·È Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙË˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

§ ™ ™ § § ™ ° μ °

∞™∫∏™∂π™:

V = 480 cm3

E = 324 cm2

·) ∂ = 144 cm2 ‚) ∂ÔÏ = 225 cm2

· = 11,1 cmE = 320 cm2, V = 512 cm3

EÔÏ= 62,28 cm2

∞Ó = τότε = .

V = 1200 cm3

·) ∂ = 162 cm2 ‚) ∂ÔÏ = 255,53 cm2

Á) V= 249,4 cm3

4.5. √ ÎÒÓÔ˜ Î·È Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙÔ˘∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

§ ™ ™ ™ μ ° ∞

μ ° ∞

∞™∫∏™∂π™:

·) 2m3, ‚) 4m3, Á) 8m3

To ÓÂÚfi ‰ÂÓ ı· ÍÂ¯ÂÈÏ›ÛÂÈ.TÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ 5 m.VÔÏ = 301,44 cm3, EÔÏ = 241,15 cm2

V = 335 cm3

·) = , β) =

·) EoÏ = 408,2 cm2, ‚) VÔÏ = 628 cm3

1570 m2 ‡Ê·ÛÌ·.¶ÂÚ›Ô˘ 60 min.

4.6. H ÛÊ·›Ú· Î·È Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙË˜

∂ƒøΔ∏™∂π™ ∫∞Δ∞¡√∏™∏™

™ ™ ™ § ™

° ¢ ° ¢ ¢

∞™∫∏™∂π™:

A.

B.

∂ = 50,24 cm2, V = 33,5 cm3

∂ = 100,48 m2, V = 133,97 m2

MÂ 2, 6, 10 ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. 157 ÎÈÏ¿ ¯ÚÒÌ·.√È Î›ÙÚÈÓÂ˜ Ì¿ÏÂ˜ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Û˘ÓÔÏÈÎ‹ ÂÈ-Ê¿ÓÂÈ· Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi fiÁÎÔ.√ fiÁÎÔ˜ Ô˘ ·ÔÌ¤ÓÂÈ Â›Ó·È 244.053 cm3.‰ = 50 cm V = 200,96 cm3.98

7

6

54

3

2

36 m3682,67 dm343,69 dm34000 3 cm2

43 m2V

36 m2256 dm240,96 dm2400 cm24 m2E

3m8dm3,2dm10cm1mÚ

2884000

332

343fiÁÎÔ˜ (cm3)

144400164ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ (cm2)

61021·ÎÙ›Ó· ÛÊ·›Ú·˜ (cm)

1

109876

54321

10

9

8

ΑΓΑΒ

V1

V2

ΑΓΑΒ

Ε1

Ε2

7

6

5

4

3

2

169,56135,6188,447,1ÂÌ‚.·Ú¿Ï. ÂÈÊ. (cm2)

252,45167,46301,4437,68fiÁÎÔ˜ (cm3)

910,8105ÁÂÓ¤ÙÂÈÚ· (cm)

6463·ÎÙ›Ó· ‚¿ÛË˜ (cm)

6,71084‡„Ô˜ (cm)1

1098

7654321

10

9

13

α1

α2

19

V1

V2

8

7

6

5

4

3

2

288256384fiÁÎÔ˜ (cm3)

192202,24240ÂÌ‚. ·Ú.ÂÈÊ.(cm2)

812,6410·fiÛÙËÌ· (cm)

12812ÏÂ˘Ú¿ ‚¿ÛË˜ (cm)

6128‡„Ô˜ (cm)1

987654321

7

6

5

4

3

2

1

128 cm396 cm364 cm332 cm3fiÁÎÔ˜ V96 cm280 cm264 cm248 cm2oÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ ∂ÔÏ

64 cm248 cm232 cm216 cm2ÂÌ‚·‰fiÓ ·Ú¿Ï. ∂

8 cm6 cm4 cm2 cm‡„Ô˜ Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘3

1207288fiÁÎÔ˜ (cm3)684‡„Ô˜ (cm)

20922∂Ì‚·‰fiÓ ‚¿ÛË˜ (cm)2

305636fiÁÎÔ˜ (cm3)673‡„Ô˜ (cm)5812∂Ì‚·‰fiÓ ‚¿ÛË˜ (cm)1


A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·249

ευρετήριο όρων

Αδύνατη εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Άθροισμα διανυσμάτων . . . . . . . . . . . . . .162Ακμές πρίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Άκρα της κλάσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101Ακτίνα κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223Ακτίνα σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228Ακτίνιο (rad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190Αλγεβρική παράσταση . . . . . . . . . . . . . . . .11Αναγωγή ομοίων όρων . . . . . . . . . . . . . . .12Ανατολικό ημισφαίριο της Γης . . . . . . . . . .233Ανίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Αντίθετα διανύσματα . . . . . . . . . . . . . . . .159Αντιπροσωπευτικό δείγμα . . . . . . . . . . . . .86Αντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας . . .175Άξονας περιστροφής της Γης . . . . . . . . .233Απαλοιφή παρονομαστών . . . . . . . . . . . . .18Απογραφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Απόσταση παράλληλων επιπέδων . . . . . .203Απόσταση σημείου από επίπεδο . . . . . . .203Αριθμητική παράσταση . . . . . . . . . . . . . . . .11Άρρητοι αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Ασύμβατες ευθείες . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

Βαθμωτά μεγέθη . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156Βάσεις πρίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Βάση πυραμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216Βόρειο ημισφαίριο της Γης . . . . . . . . . . . .233

Γενέτειρα κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . 207Γενέτειρα κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223Γεωγραφικό μήκος ενός τόπου . . . . . . . . .234Γεωγραφικό πλάτος ενός τόπου . . . . . . . .234Γήινη σφαίρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233Γραφική παράσταση συνάρτησης . . . . . . . .62Γωνία κανονικού πολυγώνου . . . . . . . . . .182

Δείγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Δειγματοληψία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Δημοσκόπηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Διαδοχικά διανύσματα . . . . . . . . . . . . . . .162Διαλογή των παρατηρήσεων . . . . . . . . . . .95Διάμεσος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105Διάνυσμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156Διανυσματικά μεγέθη . . . . . . . . . . . . . . . .156Διαφορά διανυσμάτων . . . . . . . . . . . . . . .163Διεύθυνση διανύσματος . . . . . . . . . . . . . .157Διπλή ανίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Δυτικό ημισφαίριο της Γης . . . . . . . . . . . .233

Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο . . . . . . . . .175Εικονόγραμμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας . . . . . . . . .114Εμβαδόν επιφάνειας κανονικής

πυραμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218Εμβαδόν επιφάνειας πυραμίδας . . . . . . . .218Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας . . . . . . . . . .229Εμβαδόν κυκλικού δίσκου . . . . . . . . . . . .193Εμβαδόν κυκλικού τομέα . . . . . . . . . . . . .196Εμβαδόν ολικής επιφάνειας κώνου . . . . . .224Εμβαδόν ορθογωνίου . . . . . . . . . . . . . . . .119Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου . . . . . . . .120Εμβαδόν παραλληλογράμμου . . . . . . . . . .119Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας

κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας

πρίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207Εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας

κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224Εμβαδόν τετραγώνου . . . . . . . . . . . . . . . .119Εμβαδόν τραπεζίου . . . . . . . . . . . . . . . . .120Εμβαδόν τυχαίου τριγώνου . . . . . . . . . . .120Εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Εξίσωση ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Επιμεριστική ιδιότητα . . . . . . . . . . . . . . . . .12Επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201Επιφάνεια σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . .229Ευθεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

Ε

Δ

Γ

B

A

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·250

E˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ 251

Ευθεία κάθετη σε επίπεδο . . . . . . . . . . . .203Ευθεία των πραγματικών αριθμών . . . . . . .46Εφαπτομένη γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . .137

Ημίτονο γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

Ίσα διανύσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158Ισημερινός της Γης . . . . . . . . . . . . . . . . .233Ιστόγραμμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101Ίχνος ευθείας σε επίπεδο . . . . . . . . . . . .203

Κανονική πυραμίδα . . . . . . . . . . . . . . . .217Κανονικό πολύγωνο . . . . . . . . . . . . . . . .180Κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου . .182Κέντρο σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228Κέντρο της κλάσης . . . . . . . . . . . . . . . . .101Κλάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100Κλίση ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Κορυφή πυραμίδας . . . . . . . . . . . . . . . .216Κυβικό δεκατόμετρο (1 dm3) . . . . . . . . . .212Κυβικό εκατοστόμετρο (1 cm3) . . . . . . . .212Κυβικό μέτρο (1 m3) . . . . . . . . . . . . . . . .212Κυβικό χιλιοστόμετρο (1 mm3) . . . . . . . .212Κυκλικό διάγραμμα . . . . . . . . . . . . . . . . .90Κυκλικός τομέας . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196Κύλινδρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207Κώνος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

Λίτρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

Μέγεθος του δείγματος . . . . . . . . . . . . . . .86Μέγιστος κύκλος σφαίρας . . . . . . . . . . . .228Μεσημβρινός ενός τόπου . . . . . . . . . . . .234Μέση τιμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104Μέσος όρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104Μεταβλητή (Άλγεβρα) . . . . . . . . . . . . . . . .11Μεταβλητή (Στατιστική) . . . . . . . . . . . . . .86Μέτρο διανύσματος . . . . . . . . . . . . . . . .157Μηδενικό διάνυσμα . . . . . . . . . . . . . . . .164

Μήκος κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187Μήκος τόξου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190Μονόμετρα μεγέθη . . . . . . . . . . . . . . . .156

Νότιο ημισφαίριο της Γης . . . . . . . . . . . .233

Όγκος κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . .213Όγκος κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224Όγκος πρίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . .213Όγκος πυραμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . .219Όγκος σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229Όγκος σώματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212Ολικό εμβαδόν κυλίνδρου . . . . . . . . . . . .208Ολικό εμβαδόν πρίσματος . . . . . . . . . . .207Ομαδοποίηση παρατηρήσεων . . . . . . . .100Ορθό πρίσμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων . . . . . . . .60

Παράλληλα επίπεδα . . . . . . . . . . . . . . . .201Παράλληλος ενός τόπου . . . . . . . . . . . . .233Παράπλευρες έδρες πρίσματος . . . . . . .206Παράπλευρες έδρες πυραμίδας . . . . . . .216Παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου . . . . .207Παράπλευρη επιφάνεια κώνου . . . . . . . .223Παρατηρήσεις (Στατιστική) . . . . . . . . . . . .95Περιγεγραμμένος κύκλος πολυγώνου . . .181Πίνακας κατανομής συχνοτήτων . . . . . . . .96Πίνακας τιμών συνάρτησης . . . . . . . . . . .55Πληθυσμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Πολύγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180Πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο . . . . .182Ποσά ανάλογα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Ποσά αντιστρόφως ανάλογα . . . . . . . . . . .79Πραγματικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . .46Πρώτος μεσημβρινός της Γης . . . . . . . . .233Πυθαγόρειο θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . .128Πυραμίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

Ραβδόγραμμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90Ρητές προσεγγίσεις άρρητου αριθμού . . . .46

Ρ

Π

Ο

Ν

Μ

Λ

Κ

Ι

Η

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·251

252 E˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ

Στρέμμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116Συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Συνημίτονο γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . .143Συνιστώσες διανύσματος . . . . . . . . . . . .162Συντεταγμένες σημείου . . . . . . . . . . . . . .59Σύστημα ορθογώνιων αξόνων . . . . . . . . .59Συχνότητα μιας τιμής . . . . . . . . . . . . . . . .95Σφαίρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228Σχετική συχνότητα μιας τιμής . . . . . . . . . .96

Ταυτότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19Τεταγμένη σημείου . . . . . . . . . . . . . . . . . .59Τεταρτημόρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Τετμημένη σημείου . . . . . . . . . . . . . . . . . .59Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού . . . . . .41Τετραγωνικό δεκατόμετρο (1 dm2) . . . . . .116Τετραγωνικό εκατοστόμετρο (1 cm2) . . . .116Τετραγωνικό μέτρο (1 m2) . . . . . . . . . . . .116

Τετραγωνικό χιλιόμετρο (1 km2) . . . . . . .116Τετραγωνικό χιλιοστό (1 mm2) . . . . . . . .116Τετράεδρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Τετραπλευρική πυραμίδα . . . . . . . . . . . .217Τομή επιπέδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201Τριγωνική πυραμίδα . . . . . . . . . . . . . . . .216

Υπερβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Ύψος κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . .107Ύψος κώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223Ύψος πρίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Ύψος πυραμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

Φορά διανύσματος . . . . . . . . . . . . . . . . .157

Χιλιοστόλιτρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212Χρονόγραμμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Χ

Φ

Υ

Τ

Σ

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·252

1. Andibi, André: “Nouveau Transmath, 5e”, Nathan, 2000.

2. Bolt, Brian: “A Mathematical Jamboree”, Cambridge University Press, 1995.

3. Buckwell, Geoff: “Work Out Core Mathematics Gcse/ks4”, Palgrave Macmillan, 1995.

4. Crisler, Nancy - Froelich, Gary: “Discrete Mathematics through Applications”.

W. H. Freeman, 2006.

5. Gérald, Nadine - Jacob, Nadine - Riou, Elisabeth - Courivaud, Claude - Dodard,

Alain - Roncin, Pascal: “Trapèze. Mathématiques 3e”, Bréal Rosny, 1999.

6. Hoffmann, Banesh: “About Vectors”, Dover Publications, 1966.

7. Jacobs, Harold R.: “Elementary Algebra”, W. H. Freeman, 1979.

8. Jacobs, Harold R.: “Mathematics. A Human Endeavor ”, W. H. Freeman, 1994.

9. Laborde, Jean-Marie and Bellemain, Franck: “Cabri - Geometry II ”, Texas

Instruments, 1993.

10. Lanoëlle, Alain - Nassiet, Francis - Perrinaud, Jean-Claude - Porté, Daniel -

Rivoallan, Louis: “Dimathème, 4ème”, Didier, 1998.

11. National Council of Teachers of Mathematics: “Principles and Standards for

School Mathematics ”, NCTM, 2000.

12. Parker, Marla: “She Does Math ! : Real - Life Problems from Women on the Job”,

Mathematical Association of America, 1995.

13. Rayner, Douglas: “General mathematics: revision and practice”, Oxford University

Press, 1984.

14. Serra, Eric - Barberi, Daniel - Concas, Christine - Escalier, Elian - Germoni, Louis

- Germoni, Michèle - Pupin, Cathy: “Math 3e”, Bordas, 1999.

15. Serra, Michael: “Discovering Geometry: An Inductive Approach (Student)”, Key

Curriculum Press, 1997.

16. Serra, Michael: “Discovering Geometry: An Investigative Approach”, Key

Curriculum Press, 2002.

17. The Consortium for Mathematics and its Applications: “Mathematics; Modelling

Our World ”, W. H. Freeman, 1998.

18. Γαβρίλης, Κωνσταντίνος - Γαβρίλης, Δημήτρης: «Μαθαίνοντας στο Internet Μαθη-

ματικά», Εκδόσεις Καστανιώτη, 2001.

19. Δημητρακόπουλος, Δημήτρης: «Καινοτόμες προσεγγίσεις των Μαθηματικών μέσα

από εφαρμογές», Εκδόσεις Προμηθεύς, 2000.

20. Τουμάσης, Μπάμπης: «Πώς να ενεργοποιήσουμε τα παιδιά στο μάθημα των

Μαθηματικών», Εκδόσεις Κωστόγιαννου, 1999.

21. Τουμάσης, Μπάμπης: «Σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών», Εκδόσεις

Gutenberg, 2002.

22. Τουμάσης, Μπάμπης - Αρβανίτης, Τάσος: «Διδασκαλία Μαθηματικών με χρήση

Η/Υ», Εκδόσεις Σαββάλα, 2003.

βιβλιογραφία

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·253

254 ΔÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓÈÒÓ

°ˆÓ›·(ÛÂ ÌÔ›ÚÂ )̃

ËÌ›ÙÔÓÔ Û˘ÓËÌ›ÙÔÓÔ ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓË °ˆÓ›·(ÛÂ ÌÔ›ÚÂ )̃

ËÌ›ÙÔÓÔ Û˘ÓËÌ›ÙÔÓÔ ÂÊ·ÙÔÌ¤ÓË

1 0,0175 0,9998 0,01752 0,0349 0,9994 0,03493 0,0523 0,9986 0,05244 0,0698 0,9976 0,06995 0,0872 0,9962 0,08756 0,1045 0,9945 0,10517 0,1219 0,9925 0,12288 0,1392 0,9903 0,14059 0,1564 0,9877 0,158410 0,1736 0,9848 0,176311 0,1908 0,9816 0,194412 0,2079 0,9781 0,212613 0,2250 0,9744 0,230914 0,2419 0,9703 0,249315 0,2588 0,9659 0,267916 0,2756 0,9613 0,286717 0,2924 0,9563 0,305718 0,3090 0,9511 0,324919 0,3256 0,9455 0,344320 0,3420 0,9397 0,364021 0,3584 0,9336 0,383922 0,3746 0,9272 0,404023 0,3907 0,9205 0,424524 0,4067 0,9135 0,445225 0,4226 0,9063 0,466326 0,4384 0,8988 0,487727 0,4540 0,8910 0,509528 0,4695 0,8829 0,531729 0,4848 0,8746 0,554330 0,5000 0,8660 0,577431 0,5150 0,8572 0,600932 0,5299 0,8480 0,624933 0,5446 0,8387 0,649434 0,5592 0,8290 0,674535 0,5736 0,8192 0,700236 0,5878 0,8090 0,726537 0,6018 0,7986 0,753638 0,6157 0,7880 0,781339 0,6293 0,7771 0,809840 0,6428 0,7660 0,839141 0,6561 0,7547 0,869342 0,6691 0,7431 0,900443 0,6820 0,7314 0,932544 0,6947 0,7193 0,965745 0,7071 0,7071 1,0000

46 0,7193 0,6947 1,035547 0,7314 0,6820 1,072448 0,7431 0,6691 1,110649 0,7547 0,6561 1,150450 0,7660 0,6428 1,191851 0,7771 0,6293 1,234952 0,7880 0,6157 1,279953 0,7986 0,6018 1,327054 0,8090 0,5878 1,376455 0,8192 0,5736 1,428156 0,8290 0,5592 1,482657 0,8387 0,5446 1,539958 0,8480 0,5299 1,600359 0,8572 0,5150 1,664360 0,8660 0,5000 1,732161 0,8746 0,4848 1,804062 0,8829 0,4695 1,880763 0,8910 0,4540 1,962664 0,8988 0,4384 2,050365 0,9063 0,4226 2,144566 0,9135 0,4067 2,246067 0,9205 0,3907 2,355968 0,9272 0,3746 2,475169 0,9336 0,3584 2,605170 0,9397 0,3420 2,747571 0,9455 0,3256 2,904272 0,9511 0,3090 3,077773 0,9563 0,2924 3,270974 0,9613 0,2756 3,487475 0,9659 0,2588 3,732176 0,9703 0,2419 4,010877 0,9744 0,2250 4,331578 0,9781 0,2079 4,704679 0,9816 ,01908 5,144680 0,9848 0,1736 5,671381 0,9877 0,1564 6,313882 0,9903 0,1392 7,115483 0,9925 0,1219 8,144384 0,9945 0,1045 9,514485 0,9962 0,0872 11,430186 0,9976 0,2698 14,300787 0,9986 0,0523 19,081188 0,9994 0,0349 28,636389 0,9998 0,0175 57,2900

Δƒπ°ø¡√ª∂Δƒπ∫√π ∞ƒπ£ª√π Δø¡ °ø¡πø¡ 1Æ - 89Æ

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·254

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·255

ªÂ ·fiÊ·ÛË ÙË˜ ∂ÏÏËÓÈÎ‹˜ ∫˘‚¤ÚÓËÛË˜ Ù· ‰È‰·ÎÙÈÎ¿ ‚È‚Ï›· ÙÔ˘

¢ËÌÔÙÈÎÔ‡, ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ §˘ÎÂ›Ô˘ Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓ

√ÚÁ·ÓÈÛÌfi ∂Î‰fiÛÂˆ˜ ¢È‰·ÎÙÈÎÒÓ μÈ‚Ï›ˆÓ Î·È ‰È·Ó¤ÌÔÓÙ·È ‰ˆÚÂ¿Ó ÛÙ·

¢ËÌfiÛÈ· ™¯ÔÏÂ›·. Δ· ‚È‚Ï›· ÌÔÚÂ› Ó· ‰È·Ù›ıÂÓÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË, fiÙ·Ó

Ê¤ÚÔ˘Ó ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË ÙË˜ ÁÓËÛÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. ∫¿ıÂ ·ÓÙ›Ù˘Ô

Ô˘ ‰È·Ù›ıÂÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË Î·È ‰Â Ê¤ÚÂÈ ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ, ıÂˆÚÂ›Ù·È

ÎÏÂ„›Ù˘Ô Î·È Ô ·Ú·‚¿ÙË˜ ‰ÈÒÎÂÙ·È Û‡ÌÊˆÓ· ÌÂ ÙÈ˜ ‰È·Ù¿ÍÂÈ˜ ÙÔ˘

¿ÚıÚÔ˘ 7 ÙÔ˘ ¡fiÌÔ˘ 1129 ÙË˜ 15/21 ª·ÚÙ›Ô˘ 1946 (º∂∫ 1946, 108, ∞�).

∞·ÁÔÚÂ‡ÂÙ·È Ë ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙÂ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, Ô˘ Î·Ï‡ÙÂÙ·È·fi ‰ÈÎ·ÈÒÌ·Ù· (copyright), ‹ Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ÛÂ ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ ÙË ÁÚ·Ù‹ ¿‰ÂÈ·ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.

μπμ§π√™∏ª√

A¶∞¡Δ∏™∂π™(238-256)13/11/06 19-12-06 00:50 ™ÂÏ›‰·256

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου

Documents

Transcript of Μαθηματικά Β' Γυμνασίου