Διακριτά Μαθηματικά ( ΗΥ118 )

90
1 Διακριτά Μαθηματικά (ΗΥ118) Καθηγήτρια: Μαρία Παπαδοπούλη Ph.D. Columbia University

description

Διακριτά Μαθηματικά ( ΗΥ118 ). Καθηγήτρια: Μαρία Παπαδοπούλη Ph.D. Columbia University. Σύντομο Βιογραφικό Μαρίας Παπαδοπούλη. Επίκουρος Καθηγήτρια τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστημιου Κρήτης Ερευνήτρια Ινστιτούτο Πληροφορικής, ΙΤΕ Επισκέπτρια Καθηγήτρια - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Διακριτά Μαθηματικά ( ΗΥ118 )

Page 1: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

1

Διακριτά Μαθηματικά (ΗΥ118)

Καθηγήτρια: Μαρία Παπαδοπούλη Ph.D. Columbia University

Page 2: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

2

Σύντομο Βιογραφικό Μαρίας Παπαδοπούλη

• Επίκουρος Καθηγήτριατμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστημιου Κρήτης• Ερευνήτρια Ινστιτούτο Πληροφορικής, ΙΤΕ• Επισκέπτρια Καθηγήτριατμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστημίου

ΒόρειαςΚαρολίνας (UNC)

Page 3: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

3

Textbook: Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών C.L.Liu Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

ISBN 960-524-072-6Email: [email protected]

[email protected]

Ώρες/μέρες Διδασκαλία: Τρίτη 17:00-19:00

Πέμπτη 17:00-19:00 Παρασκευή 13:00-15:00 (φροντιστήριο)

Βοηθοί: Λεκάκης, Κριαρά, Νικητάκη, Κατερτζής Αίθουσα: αμφιθέατρο Γ’

Page 4: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

4

Δομή Μαθήματος• Έμφαση στα τρία κεφάλαια (κεφ. 1, 3,

5)• 4 φροντιστήρια στο κάθε κεφάλαιο• 1 πρόοδος με θέματα μονάχα απο το

κάθε κεφάλαιο• 1 φροντιστήριο με λύσεις της προόδου

Page 5: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

5

Πρόγραμμα της βασικής ύλης

(ενδεικτικό-θα επιβεβαιωθεί)• 2-18 Οκτωβρίου σύνολα (κεφ. 1)• 23 ‘η 25 Οκτωβρίου πρόοδος (κεφ. 1)• 25 Οκτωβρίου-27 Νοεμβρίου

συνδυαστική (κεφ. 3)• 29 Νοεμβρίου πρόοδος (κεφ. 3)• 4-13 Δεκεμβρίου γράφοι (κεφ. 5)• 18 Δεκεμβρίου πρόοδος (κεφ. 5)

Page 6: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

6

Θεματική ενότηταΘεματική ενότητα

ΣύνολαΣύνολα

Page 7: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

7

Διακριτά αντικείμεναΣτη καθημερινή μας ζωή και στην εργασία μας

μιλάμε για διακριτά αντικείμενα, που περιλαμβάνουν μια μεγάλη ποικιλία αντικειμένων όπως ανθρώπους, βιβλία, υπολογιστές, αισθητήρες, προγράμματα υπολογιστών, κ.ά.

με φράσεις όπως:«Οι μαθητές στην αίθουσα αυτή σπουδάζουν

Επιστήμη Η/Υ και βρίσκονται στο 2ο έτος των σπουδών τους.»

Page 8: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

8

Διακριτά αντικείμενα«Οι περισσότεροι φοιτητές της Επι. Η/Υ είναι

αγόρια.»

«Η πλειοψηφία των μαθητών ενδιαφέρονται να γίνουν καλοί, οργανωμένοι επιστήμονες.»

«Θέλουμε να διαλέγουμε μια σύνδεση στο Internet που είναι ενσύρματη, έχει ταχύτητα (bit rate) που υπερβαίνει τα 384 kbps, αλλά δεν υπερβαίνει τα μηνιαίο κόστος της τα 25 ευρώ.»

Page 9: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

9

Ρόλος των διακριτών μαθηματικών

Για τον χειρισμό ενός μεγάλου πλήθους ειδών διακριτών αντικειμένων, θέλουμε να γενικεύσουμε μερικές από τις βασικές έννοιες και να δώσουμε κάποια κοινή ορολογία.

Ας παρατηρήσουμε τα κοινά χαρακτηριστικά των προηγούμενων φράσεων

Page 10: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

10

ΠαραδείγματαΓια παράδειγμα, στην πρώτη φράση

θεωρούμε δύο συλλογές από αντικείμενα («φοιτητές») («μαθητές στην αίθουσα αυτή σπουδάζουν Επιστήμη Η/Υ») και («μαθητές στην αίθουσα αυτή βρίσκονται στο 2ο έτος των σπουδών τους»)

και αναφερόμαστε στους φοιτητές που ανήκουν και στις δύο αυτές συλλογές

Page 11: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

11

Εισαγωγή στην ορολογία

Στα παραδείγματα έχουμε αντικείμενα που ανήκουν σε όλες τις κλάσεις ή σε ορισμένες κλάσεις που παρουσιάζονται στην φράση.

Αρχίζουμε λοιπόν με την εισαγωγή ενός μέρους της βασικής ορολογίας και των βασικών εννοιών της στοιχειώδους θεωρίας συνόλων

Page 12: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

12

ΣύνολοΈνα σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων.

Συμβολισμός: {a, b, c} για να συμβολίσουμε το σύνολο πουαποτελείται από τα αντικείμενα a, b και c.

Τα αντικείμενα ενός συνόλου λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου

Page 13: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

13

Στοιχείο ενός συνόλου•Το a είναι ένα στοιχείο του συνόλου S:

α є Sή το S περιέχει το α.

•Το δ ΔΕΝ εμπεριέχεται στο S

α є S

δ S

Page 14: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

14

ΠαρατήρησηΤα στοιχεία ενός συνόλου ΔΕΝ είναι

διατεταγμένα κατά κανένα τρόπο

επομένως τα {a, b, c} και {b, c, a} αναπαριστούν την ίδια συλλογή στοιχείων

Υπάρχουν διατεταγμένα σύνολα- θα μιλήσουμε γι’ αυτά αργότερα...

Page 15: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

15

Τρόποι περιγραφής ενός συνόλου• Αναλυτική καταγραφή των στοιχείων του• Περιγραφή με αναφορά στις κοινές

ιδιότητες των στοιχείων του συνόλουS={x | το x έχει κάποιες ιδιότητες}

π.χ.SHY={ χ | ο x είναι 2ο ετής φοιτητής της Επιστήμης Υπολογιστών}

Page 16: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

16

Κενό σύνολο

Κενό σύνολο: { } ή Ø το σύνολο που δεν περιέχει

στοιχεία

Page 17: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

17

Ερωτήσεις:Ποια είναι τα στοιχεία του συνόλου {e, f, g}{{a, b, c}, d}{{{a, b}, Ø }, Ø }{Ø ,{Ø }}Σκεφτείτε ένα σύνολο σαν ένα «κουτί» που

εμπεριέχει αντικείμενα- τα μέλη του

Page 18: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

18

Απαντήσεις• το σύνολο {Ø ,{Ø }} περιέχει δύο στοιχεία: το κενό κι ένα σύνολο που περιέχει ως

μοναδικό του στοιχείο το κενό σύνολο

• το σύνολο {{a, b, c}, d} περιέχει δύο στοιχεία: το σύνολο {a, b, c} και το d

Page 19: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

19

Υποσύνολο συνόλου

Δεδομένων δύο συνόλων P και Q λέμε ότι το P είναι υποσύνολο του Q εάν

κάθε στοιχείο του P είναι και στοιχείο του Q

Συμβολισμός:P Q

Page 20: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

20

Παραδείγματα {a, b} {a, d, e, f, b}

{a, b} ? {{a, b}, d, e, f} ποια είναι η σχέση;

{a, b} є {{a, b}, d, e, f}

Page 21: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

21

Ίσα σύνολα

Δύο σύνολα P και Q ονομάζονται ίσα αν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία

Page 22: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

22

Παραδείγματα• P={x| x είναι ένας θετικός, άρτιος

ακέραιος όχι μεγαλύτερος από 10}

• Q={x| x=y+z, y є {1, 3, 5}, z є {1, 3, 5}}

Page 23: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

23

QuizΠάρετε τώρα το

R={x| x=2y με y є {1, 3, 5} Ποια είναι η σχέση μεταξύ του Q και

του R; Q ? R

Page 24: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

24

Γνήσιο Υποσύνολο ΣυνόλουΤο P είναι γνήσιο υποσύνολο του Τ, εάν το P δεν είναι ίσο με το Τ, δηλαδή όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο

στο Τ που δεν ανήκει στο PΣυμβολισμός:

Παράδειγμα: {a, b} {a, x, y, b, z}

P Τ

Page 25: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

25

Quiz:Είναι οι παρακάτω προτάσεις αληθείς?1. Για οποιοδήποτε σύνολο P, το P είναι

υποσύνολο του P.2. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιοδήποτε

συνόλου, αλλά το κενό σύνολο δεν είναι πάντα στοιχείο ενός οποιουδήποτε συνόλου.

3. Το σύνολο {Ø} δεν είναι υποσύνολο του {{Ø}}, αν και είναι στοιχείο του συνόλου {{Ø}}.

Page 26: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

26

Ένωση Συνόλων

Η ένωση δύο συνόλων P και Q, είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν στο P ή στο Q (ή και στα δύο)Συμβολισμός: ή QP PQ

Page 27: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

27

Παραδείγματα

1. {e, f} {g, h} = {e, f, g, h}

2. {a, b} Ø = {a, b} 3. {a, b} {Ø} = {a, b, Ø}

Page 28: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

28

Τομή δυο συνόλων

Η τομή δύο συνόλων P και Q, είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν τόσο στο P όσο και στο Q Συμβολισμός: ή

QP PQ

Page 29: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

29

Παραδείγματα1. {a, b} {a, c} = {a}2. {a, b} Ø = Ø

Page 30: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

30

Κοινές ιδιότητεςΑν τα στοιχεία του P χαρακτηρίζονται από μιακοινή ιδιότητα και τα στοιχεία του Q χαρακτηρίζονται από μια άλλη ιδιότητα τότε:•P Q είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία έχουν τουλάχιστον μια από αυτές τις ιδιότητες •P Q είναι το σύνολο των στοιχείων που έχουν και τις δύο αυτές ιδιότητες.

Page 31: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

31

Χρήση παρενθέσεων• Ως διαχωριστικά :

• Υπόδειξη προτεραιότητας:

RQP

RQPRQP

Page 32: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

32

• ένωση μιας σειράς συνόλων P1, P2, P3 …, Pk-1 και Pk

kk PPPPP 1321 ......

Page 33: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

33

Παρόμοια:•Η τομή του συνόλου και του συνόλου R είναι και περιέχει ακριβώς τα στοιχεία που είναι στο P, στο Q και στο R. •Η τομή του συνόλου περιέχει ακριβώς τα στοιχεία που είναι στο P1, στο P2,…, Pκ-1 και στο Pκ.Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό

και θα αναφερόμαστε στην τομή των κ συνόλων P1, P2,…, Pκ-1, Pκ

QP RQP

kk PPPPP 1321 ......

kk PPPPP 1321 ....

Page 34: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

34

Διαζευγμένα σύνολα

Δύο σύνολα ονομάζονται διαζευγμένα αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο

Page 35: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

35

Πρόταση QRPRQPR

Page 36: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

36

ΑπόδειξηΑρχικά θα δείξουμε ότι

(1)

Μετά θα δείξουμε ότι(2)

QRPRQPR

QPRQRPR

Page 37: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

37

Αν και οι δύο παραπάνω σχέσεις ισχύουν τότε δεν μένει παρά τα δύο σύνολα

=

Για να δείξουμε το (1) είναι αρκετό να δείξουμε ότι x x

QPR QRPR

QPR QRPR

Page 38: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

38

Έστω λοιπόν x .

Εξ’ ορισμού (της τομής), το x R και x•Αν το x P, τότε θα πρέπει x •Αν το x Q, τότε θα πρέπει x Δηλαδή το στοιχείο x ή x ή ότι x

QPR

QP

PR

QRRQ

PR QR

QRPR

Page 39: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

39

Επομένως ! •Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η πρόταση (2) ισχύει.Έστω x Το x ή x x R ή και x P ή x R και x Q. Άρα το x R και πρέπει και x P ή x Q.

QRPRQPR

QRPR PR QR

QPRx

Page 40: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

40

Οπότε !! Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε

ότι

Και γενικότερα:• •

QPRQRPR

QRPRQPR

kK PRPRPRPPPR ...... 2121

kK PRPRPRPPPR ...... 2121

Page 41: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

41

Διαφορά συνόλων

Η διαφορά δύο συνόλων P και Q, συμβολίζεται P-Q, είναι το σύνολο που περιέχει ακριβώς τα στοιχεία του P τα οποία ΔΕΝ ανήκουν στο Q.Συμβολισμός: P- Q

Page 42: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

42

Παραδείγματα{a, b, c} – {a, b} = {c}{a, b} – {a, b} = Ø{a, b} – {e, f} = {a, b}

Page 43: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

43

ΣυμπλήρωμαΕάν το Q είναι υποσύνολο του P, το

σύνολο P-Q ονομάζεται συμπλήρωμα του Q ως προς το P

Page 44: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

44

Συμμετρική διαφοράΗ συμμετρική διαφορά δύο συνόλων P και Q, συμβολίζεται με και είναι το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο P ή στο Q αλλά όχι και στα δύοΣυμβολισμός:

QP

QP

Page 45: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

45

Παραδείγματα

{a, b} {a, c} = {b, c}{a, b} {a, b} = Ø{a, b} Ø = {a, b}

Page 46: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

46

Quiz:Πως γράφεται η συμμετρική διαφορά στη πράξη συνόλων ?

QPQPQP

Page 47: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

47

Δυναμοσύνολο Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α, συμβολίζεται P(A), είναι το σύνολο το οποίο περιέχει ακριβώς όλα τα υποσύνολα του Α.Συμβολισμός: P(A)

Page 48: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

48

ΠαραδείγματαP ({a, b}) = {{ }, {a}, {b}, {a, b}}P ({a, b, c}) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}

Παρατήρηση:για οποιοδήποτε σύνολο Α

{ } є P(A) καθώς επίσης και το { } P(A)

Page 49: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

49

Διαγράμματα VennΤο κάθε σύνολο αναπαρίσταται από τις γραμμοσκιασμένες επιφάνειες

QP

QP QP

P- Q

Page 50: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

50

Ακόλουθο του ΑΑκόλουθο του Α είναι το σύνολο Συμβολισμός:

Α+ είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Α μαζί με ένα επιπλέον στοιχείο, το σύνολο Α.

AA

Α+

Page 51: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

51

Παραδείγματα 1. Α = {a, b}

A+ = {a, b} { {a, b} }

2. Α = { {a}, b}A+= { {a}, b, { {a}, b} }

Page 52: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

52

Κατασκευή συνόλωνΘα χρησιμοποιήσουμε τους αριθμούς 0, 1,

2, 3… ως ονόματα των συνόλων.Γράφουμε: 0 = Ø

1 = {Ø} 2 = {Ø, {Ø} } 3 = {Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}} }

Προφανώς έχουμε 1=0+, 2=1+, 3=2+, κ.ο.κ

Page 53: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

53

Ορισμός συνόλου Ν1. Το Ν περιέχει το σύνολο 0. 2. Εάν το σύνολο nΝ, n+Ν.3. Το Ν δεν περιέχει άλλα στοιχεία εκτός

από όσα περιγράφονται παραπάνω .(με όχι πολύ αυστηρότητα/ακρίβεια

μπορούμενα πούμε ότι το 2. του παραπάνω ορισμούκάνει το Ν να είναι ένα άπειρο σύνολο )

Page 54: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

54

Ένα προς ένα αντιστοιχίαΥπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του P και των στοιχείων του Q, εάν είναι δυνατό να ζευγαρώσουμε τα στοιχεία του P και με τα στοιχεία του Q με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε στοιχείο του P να ζευγαρώνει με ένα συγκεκριμένο στοιχείο του Q και αντιστρόφως.

Page 55: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

55

Παραδείγματα•υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου {a, b, c} και των στοιχείων του συνόλου {Ø, δ, e} • ΔΕΝ υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία των στοιχείων του συνόλου {a, b, c} και των στοιχείων του συνόλου {a, b}. Οπότε τώρα μπορούμε να συγκρίνουμε δύο σύνολα και να πούμε αν έχουν το ίδιο ή διαφορετικό μέγεθος

Page 56: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

56

Πεπερασμένο σύνολοΈνα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο εάν υπάρχει μία ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου και των στοιχείων ενός συνόλου n όπου nєN.

•n ονομάζεται πληθικός αριθμός του συνόλου .

Page 57: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

57

Παραδείγματα

Οι πληθικοί αριθμοί των συνόλων {a, b, c} {a, Ø, d}{ Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}} }

είναι όλοι ίσοι με το 3.

Page 58: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

58

Αριθμήσιμο σύνολοΈνα σύνολο λέγεται αριθμήσιμο εάν υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου και των στοιχείων του Ν.Παρατηρούμε:Το σύνολο των φυσικών αριθμών {0, 1, 2, 3, …} είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.

Page 59: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

59

Συμβολισμός Νο συμβολισμός Ν ίσως να δημιουργεί σύγχυση. Ωστόσο είναι εσκεμμένος, γιατί το σύνολο Ν είναι όντως το σύνολο των φυσικών αριθμών .

Page 60: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

60

Παράδειγμα Το σύνολο των μη-αρνητικών ακεραίων {0, 2, 4, 6, 8, …} είναι αριθμήσιμο, αφού υπάρχει μία ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των μη αρνητικών άρτιων ακεραίων και των φυσικών αριθμών,δηλαδή ο άρτιος ακέραιος 2i αντιστοιχεί στον φυσικό αριθμό i για i=0, 1, 2, ….

Page 61: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

61

Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα

Μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου

Τι είναι άπειρο σύνολο;;

Page 62: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

62

Ασκήσεις στα Σύνολα

Page 63: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

63

Άσκηση 1Προσδιορίστε τα παρακάτω σύνολα:1. 2. 3. 4. 5.

Page 64: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

64

Άσκηση 1 (λύση)1. 2. 3. 4. 5.

Page 65: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

65

Άσκηση 2Έστω Α= {}. Κατασκευάστε τα

παρακάτω σύνολα: 1. 2. 3. 4.

Page 66: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

66

Άσκηση 2 (λύση)1. - 2. - 3.

4.

Page 67: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

67

Άσκηση 3Προσδιορίστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής . Εξηγήστε σύντομα την απάντησή σας.

P(A) – {A} = P(A)

Page 68: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

68

Άσκηση 3 (λύση)P(A) – {A} = P(A)

Δεν ισχύει γιατί ΑP(A) όμως ΑP(A)-{A}τα δύο σύνολα δεν περιέχουν τα ίδια

στοιχεία.

Page 69: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

69

Άσκηση 4Έστω Α= {α, {α}}. Προσδιορίστε

αν η πρόταση είναι αληθής ή ψευδής

{{{α}}} Ρ(Α)

Page 70: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

70

Άσκηση 4 (λύση)Ισχύει Ρ(Α) = { { }, {α}, {{α}}, {α,

{α}} }Άρα η πρόταση είναι ψευδής

Page 71: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

71

Άσκηση 5Έστω Α= {,{}}. Καθορίστε αν καθεμία από τις

παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής1. 2. 3. 4. 5. 6.

Page 72: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

72

Άσκηση 5 (λύση)1. Αληθής2. Αληθής3. Αληθής4. Αληθής5. Αληθής6. Ψευδής

Page 73: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

73

Κατηγορίες συνόλωνΩς προς το μέγεθος τους τα σύνολα

διακρίνονται σε πεπερασμένα και άπειρα.

Τα άπειρα χωρίζονται σε αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα

Page 74: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

74

Διαγώνιο επιχείρημα Έστω: n αγόρια και n διαφορετικές

γεύσεις παγωτού.Υπάρχει 1 αγόρι που διαφωνεί με το:

1ο αγόρι στο εάν η 1η γεύση είναι ωραία2ο αγόρι στο εάν η 2η γεύση είναι ωραία…………………nο αγόρι στο εάν η n γεύση είναι ωραία

Page 75: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

75

Διαγώνιο επιχείρημαΤότε είμαστε σίγουροι ότι αυτό το

αγόρι δεν είναι κανένα από τα n-αγόρια του παραδείγματος γιατί διαφωνεί με καθένα από αυτά κατά ένα τουλάχιστον τρόπο

Page 76: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

76

Διαγώνιο επιχείρημαΠαγωτά Αγόρια

Σοκολάτα Βανίλια

James Ναι Όχι

John Όχι Όχι

Νέο αγόρι Όχι Ναι

Page 77: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

77

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Παράδειγμα μη αριθμήσιμου απειροσυνόλου είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και 1

Page 78: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

78

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Μέθοδος: θα υποθέσουμε ότι το σύνολο είναι αριθμήσιμο και στη συνέχεια θα δείξουμε την ύπαρξη κάποιας αντίφασης

Page 79: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

79

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Εάν το σύνολο των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και 1 είναι αριθμήσιμο, τότε υπάρχει μια ένα- προς- ένα αντιστοιχία μεταξύ των πραγματικών αυτών αριθμών και των φυσικών αριθμών

Page 80: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

80

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Κατά συνέπεια, μπορούμε να τους καταγράψουμε λεπτομερώς τον ένα μετά τον άλλο σε δεκαδική μορφή όπως:

0, a11 a12 a13 a14 …0, a21 a22 a23 a24…0, ai1 ai2 ai3 ai4…

Aij : συμβολίζει το j-στο ψηφίο του i-στού αριθμού στη λίστα

Page 81: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

81

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Θεωρείστε τον αριθμό 0, b11 b12 b13 b14 …

Όπου bi = 1 αν ai= 9

και bi = 9- aij αν aij=0, 1, 2, …, 8

για όλα τα i.

Page 82: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

82

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Προφανώς ο αριθμός 0, b11 b12 b13 b14 … είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ του 0 και 1 στο δεξιό άκρο του οποίου δεν υπάρχει άπειρη ακολουθία από μηδενικά.

Page 83: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

83

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Επιπλέον είναι διαφορετικός από κάθε αριθμό της παραπάνω λίστας, γιατί διαφέρει

από τον πρώτο αριθμό στο πρώτο ψηφίοαπό τον δεύτερο αριθμό στο δεύτερο ψηφίο

……………………………..από τον i-στο αριθμό στο i-στο ψηφίοκ.ο.κ

Page 84: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

84

Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο

Συνεπώς συμπεραίνουμε ότι η παραπάνω λίστα δεν είναι μια λεπτομερής καταγραφή του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και 1 γεγονός που δημιουργεί αντίφαση με την υπόθεση ότι το σύνολο αυτό είναι αριθμήσιμο

Page 85: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

85

Μαθηματική επαγωγή πολύ δυνατή τεχνική στα μαθηματικά Για μια δεδομένη πρόταση που εξαρτάται

από έναν φυσικό αριθμό n μπορούμε να δείξουμε ότι

1. Η πρόταση είναι αληθής για n=n0 και 2. Η πρόταση είναι αληθής για n=k+1,

υποθέτοντας ότι η πρόταση είναι αληθής για n=k (k>n0)

Page 86: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

86

Μαθηματική επαγωγήτότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

η πρόταση είναι αληθής για όλους τους φυσικούς αριθμούς n>= n0

Βήμα 1: Βάση της επαγωγής Βήμα 2: Βήμα της Επαγωγής

Page 87: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

87

Παράδειγμα Δείξτε: 2n > n3 για n >= 10 (1).1. Βάση της επαγωγής

Για n=10 έχουμε 210=1024>1000= 103

οπότε για n=10 η (1) ισχύει

Page 88: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

88

Παράδειγμα2. Βήμα της επαγωγής

Υποθέτουμε ότι η (1) ισχύει για n=k

2κ>κ3 (2)(τώρα θα δείξουμε ότι ισχύει και

για n=k+1)

Page 89: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

89

Παράδειγμα2κ+1= 2×2κ > (1+ 1/10)3×2κ >=(1+1/κ)3×2κ > (1+1/κ)3×κ3=((1+1/κ) ×κ)3 =(κ+1)3

Page 90: Διακριτά Μαθηματικά  ( ΗΥ118 )

90