Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4...

16
Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου

Transcript of Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4...

Page 1: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου

Επαναληπτικές ασκήσεις

Στέλιος Μιχαήλογλου

Page 2: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού
Page 3: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

3

Ασκήσεις

1. Δίνεται η παράσταση 17 1 5 32 : 4 3 4 α) Να αποδείξετε ότι Α=18.β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος;γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.δ) Να βρεθεί ένας αριθμός Β ώστε οι αριθμοί Α και Β να είναι πρώτοι μεταξύ τους .

2. Δίνονται οι παραστάσεις 4 8 5 1 2: 1 :7 14 6 5 3

και 3 6434 18 0,5 : 1

5 5

.

α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α,β.β) Να λύσετε την εξίσωση x :

3. α) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:3

22 4 1:3 3 6

3 9 3 2 1: 2 : 44 16 2 3 3

20173 23 1 3 1: 6 4 8 12 4 4 2

β) Να υπολογίσετε το .γ) Να βρείτε το , και το . . , , .

4. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:5 1 1 2 1: 6 2 :6 2 3 3 3

2 3 7 5 4 3

182124 2 2 32 4 2 3 18 3 2

α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α,Β,Γβ) Να υπολογίσετε το γινόμενο .γ) Να βρείτε αριθμό Δ ο οποίος όταν διαιρείται με το Α δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο 4.δ) Να βρείτε όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το Α δίνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο.

5. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: 3 3 34 5 4 3 2 3 2 4 7 2 2 3: 3 2 3

3 1 1 1 1 2:2 3 4 12 2 3

α) Να δείξετε ότι 2 και 176

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

6. Το πηλίκο μίας διαίρεσης είναι π = 12 και το υπόλοιπο είναι υ = 4. Συμβολίζουμε με Δ τον Διαιρετέο καιμε δ τον διαιρέτη της διαίρεσης αυτής.

α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο διαιρέτης, δ.β) Για τη μικρότερη τιμή του διαιρέτη (αυτή που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα) να βρείτε το Διαιρετέο, Δ

και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.γ) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον Δ και να βρείτε το Ε.Κ.Π(Δ, δ) και Μ.Κ.Δ(δ, π).

Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή ΑντίστροφοςΑΒ

Page 4: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

4

7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 5.α) Να υπολογίσετε το άθροισμα του αριθμού αυτού με τον διψήφιο που προκύπτει αν αλλάξουμε τη θέση

των ψηφίων του.β) Αν το ένα ψηφίο του διψήφιου είναι κατά 1 μεγαλύτερο από το άλλο ψηφίο του, να βρείτε τον διψήφιο

αριθμό.

8. Τρία αδέλφια πήραν από τον πατέρα τους 200 ευρώ. Σκέφτηκαν να αφήσουν στον κουμπαρά τους 80

ευρώ και τα υπόλοιπα να τα μοιραστούν με τον παρακάτω τρόπο: ο μεγάλος αδελφός πήρε το 12

των

χρημάτων, ο μεσαίος το 13

των χρημάτων και ο μικρότερος τα υπόλοιπα χρήματα.

α) Πόσα χρήματα πήρε ο κάθε αδερφός;β) Ποιο ποσοστό των αρχικών χρημάτων πήρε ο καθένας τους;

9. Αν τα 45

των μαθητών ενός σχολείου είναι 200 να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο.

10.Στις εκπτώσεις αγοράσαμε ένα κινητό τηλέφωνο με έκπτωση 15% και πληρώσαμε 170€.α) Πόσο θα πληρώναμε για να το αγοράσουμε πριν τις εκπτώσεις;β) Αν μετά τις εκπτώσεις το κατάστημα αυξήσει τη τιμή πώλησης του τηλεφώνου κατά 15% η νέα τιμή

πώλησης θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις;

11.Μία κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους 3 γιους και σε 6 άλλους συγγενείς ως εξής:

Η κάθε κόρη πήρε το 18

και ο κάθε γιος το 17

της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου

στους 6 άλλους συγγενείς.α) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς.β) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε 3.750 €, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα

χρήματα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη.

12.Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο 3, για να προκύψει ο αντίστροφος του 415

;

13.Για ένα τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαμε 840€. Το τραπέζι κοστίζει όσο 3 καρέκλες. Πόσο θαπληρώσουμε αν αγοράσουμε ακόμη άλλες δύο καρέκλες;

14.Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και τοεμβαδόν του;

15.Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 30%;

16.Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 26cm .α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας

διάστασης του πρώτου ορθογωνίου.β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί.

Page 5: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

5

17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και η ΓΔ είναιδιχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες και ηευθεία 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ .Έστω ότι ˆ ˆ 40 και ˆ 60 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τηΒΓ και οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ̂ και ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τη γωνία ̂ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι

διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να δείξετε ότι ˆ 60 .

20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες, οιευθείες 3 4, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 150 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , και να δείξετε ότι το τρίγωνοΑΕΔ είναι ισοσκελές.

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , , .γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;

21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.

22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.

23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης ναυπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.

24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Ναυπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.

25.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 50. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.

5

17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και η ΓΔ είναιδιχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες και ηευθεία 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ .Έστω ότι ˆ ˆ 40 και ˆ 60 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τηΒΓ και οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ̂ και ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τη γωνία ̂ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι

διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να δείξετε ότι ˆ 60 .

20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες, οιευθείες 3 4, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 150 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , και να δείξετε ότι το τρίγωνοΑΕΔ είναι ισοσκελές.

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , , .γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;

21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.

22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.

23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης ναυπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.

24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Ναυπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.

25.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 50. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.

5

17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και η ΓΔ είναιδιχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες και ηευθεία 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ .Έστω ότι ˆ ˆ 40 και ˆ 60 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τηΒΓ και οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ̂ και ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τη γωνία ̂ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι

διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να δείξετε ότι ˆ 60 .

20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες, οιευθείες 3 4, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 150 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , και να δείξετε ότι το τρίγωνοΑΕΔ είναι ισοσκελές.

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , , .γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;

21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.

22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.

23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης ναυπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.

24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Ναυπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.

25.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 50. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.

Page 6: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

6

Επαναληπτικές ασκήσεις Α΄ Γυμνασίου

1. Δίνεται η παράσταση 17 1 5 32 : 4 3 4 α) Να αποδείξετε ότι Α=18.β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος;γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.δ) Να βρεθεί ένας αριθμός Β ώστε οι αριθμοί Α και Β να είναι πρώτοι μεταξύ τους .

Λύση

α) 17 1 5 32 : 4 3 4

17 5 8 12 17 5 8 12 30 12 18

β) Ο αριθμός 18 είναι σύνθετος γιατί εκτός από το 1 και το 18, τον διαιρούν και οι αριθμοί 2, 3, 6, 9.

γ) 218 2 3

δ) Ο αριθμός Β για να είναι πρώτος με τον Α δεν πρέπει να διαιρείται με κανέναν από τους διαιρέτες του Α και ταπολλαπλάσιά τους. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το 5 ( υπάρχουν πολλές επιλογές π.χ. 7, 11, 13, 17...), άρα Β= 5.

2. Δίνονται οι παραστάσεις 4 8 5 1 2: 1 :7 14 6 5 3

και 3 6434 18 0,5 : 1

5 5

.

α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α,β.β) Να λύσετε την εξίσωση x :

Λύση

α)5

4 8 5 1 1 2 4: :7 14 6 1 5 3

17

214

8

25 5 1 3 2 56 5 5 2 2

1

36

24

5

13 2 31 1 1 22 3 2

3 643 3 34 1 48 0,5 : 1 2 0,55 5 5

5 3 31 2 0,5 4 1 1 3 1 3 4

1

β) x : x 42

x 4 2 x 8

3. α) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:3

22 4 1:3 3 6

3 9 3 2 1: 2 : 44 16 2 3 3

20173 23 1 3 1: 6 4 8 12 4 4 2

β) Να υπολογίσετε το .γ) Να βρείτε το , και το . . , , .

Λύση

18931

233

Page 7: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

7

α)23

22 4 1 8 3 1 8 3 1 8:3 3 6 9 4 6 9 4 6

31

93

4

2

11 2 1 4 1 3 16 3 6 6 6 6 2

3 9 3 2 1: 2 : 44 16 2 3 3

3

3 16 3 2 2 1: 44 9 2 3 1 3

3

116

4

14 9

33 2 6 1: 42 3 3 3

4 3 4 3 443 2 3 1

23

3 21

4 3

34 2 4

1

4 2

2 2

20173 23 1 3 1 3 1 3 1: 3 4 8 1 : 3 642 4 4 2 2 4 4 2

64 2017

1

20176 1 3 2 7 1: 3 1 : 3 14 4 4 4 4 4

7 1 7: 34 4 4

4 3 7 3 4

1

β) 12

2 4 4

γ) . . , . . 2,6 2 3 6

Οι διαιρέτες του είναι: 1, 2, 3, 6Οι διαιρέτες του είναι: 1, 2, 4 και οι διαιρέτες του Δ είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12, άρα

. . , , . . 2,4,6 2

4. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:5 1 1 2 1: 6 2 :6 2 3 3 3

2 3 7 5 4 3 182124 2 2 32 4 2 3 18 3 2

α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α,Β,Γβ) Να υπολογίσετε το γινόμενο .γ) Να βρείτε αριθμό Δ ο οποίος όταν διαιρείται με το Α δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο 4.δ) Να βρείτε όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το Α δίνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο.

Λύση

α)3 2

5 1 1 2:6 2 3 3

6

2 1 5 3 2 3 5 1 52 : : 4 2 : 4 63 6 6 6 1 6 6 6

6 4 6 5 4 6 7

1

2 3 7 5 4 3 2 3 2 7 2 3 2 7 10

182124 2 2 32 4 2 3 18 3 2 16 16 18212 9 18 9 8 18212 9 18 1 2 9 18 1 18 18 0

4 62 31 31 1

223

Page 8: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

8

β) 7 10 0 0

γ) Από τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι 7 5 4 39

δ) Τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης Ε:7 είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6.Αν υ=0, τότε και π=0 που είναι αδύνατο.Αν υ=1, τότε και π=1, οπότε 7 1 1 8 Αν υ=2, τότε π=2, οπότε 7 2 2 16 Αν υ=3, τότε π = 3 και 7 3 3 24 Αν υ = 4 τότε π = 4 και 7 4 4 32 Αν υ = 5 τότε π = 5 και 7 5 5 40 Αν υ = 6 τότε π = 6 και 7 6 6 48

5. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις: 3 3 34 5 4 3 2 3 2 4 7 2 2 3: 3 2 3

3 1 1 1 1 2:2 3 4 12 2 3

α) Να δείξετε ότι 2 και 176

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

Λύση

α) 3 3 34 5 4 3 2 3 2 4 7 2 2 3: 3 2 3

4 1 3 2 6 4 7 8 2 3: 27 8 3

4 1 3 2 2 1 2 3: 27 24 5 3 4 1 2 3:3 5 3 3 2 1 5 9 2 1 5 9 2 7 9 2

4 3 3 2

3 1 1 1 1 2 3 4 3 1 3 4: :2 3 4 12 2 3 2 12 12 12 6 6

3 7 1 1 3 6 1 3 12 1 36 1 1 18 1 17: : 32 12 12 6 2 12 6 2 6 6 12 6 6 6 6 6

β) Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή ΑντίστροφοςΑ 2 2

- 12

Β 176

176

617

Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή ΑντίστροφοςΑΒ

Page 9: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

9

6. Το πηλίκο μίας διαίρεσης είναι π = 12 και το υπόλοιπο είναι υ = 4. Συμβολίζουμε με Δ τον Διαιρετέο και με δτον διαιρέτη της διαίρεσης αυτής.

α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο διαιρέτης, δ.β) Για τη μικρότερη τιμή του διαιρέτη (αυτή που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα) να βρείτε το Διαιρετέο, Δ

και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.γ) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον Δ και να βρείτε το Ε.Κ.Π(Δ, δ) και Μ.Κ.Δ(δ, π).

Λύση

α) Γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι μικρότερο από τον διαιρέτη, οπότε επειδή το υπόλοιπο τηςδιαίρεσης είναι το 4 η μικρότερη τιμή του διαιρέτη είναι το 5.

β) 12 5 4 60 4 64

γ) Είναι 664 2 2 2 2 2 2 2 . . , . . 64,5 64 5=320

. . , . . 12,5 1

7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 5.α) Να υπολογίσετε το άθροισμα του αριθμού αυτού με τον διψήφιο που προκύπτει αν αλλάξουμε τη θέση των

ψηφίων του.β) Αν το ένα ψηφίο του διψήφιου είναι κατά 1 μεγαλύτερο από το άλλο ψηφίο του, να βρείτε τον διψήφιο

αριθμό.Λύση

Έστω αβ ο διψήφιος αριθμός. Τότε το β είναι το ψηφίο των μονάδων και το α των δεκάδων.Επειδή το άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με 5, έχουμε ότι: 5

α) Αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του προκύπτει ο αριθμός βα.Είναι 10 1 10 και 10 1 10 Είναι 10 10 11 11

Επειδή 5 είναι 11 11 5 , άρα 11 11 55

β) Αν ο α είναι κατά 1 μεγαλύτερο του β, δηλαδή 1 , τότε:

1 5 ή 2 5 1 4 άρα 4 22

και 2 1 3 , οπότε ο αριθμός είναι ο 32.

Αν ο β είναι κατά 1 μεγαλύτερο του α, δηλαδή 1 , τότε:

1 5 ή 2 5 1 4 άρα 4 22

και 2 1 3 , οπότε ο αριθμός είναι ο 23.

8. Τρία αδέλφια πήραν από τον πατέρα τους 200 ευρώ. Σκέφτηκαν να αφήσουν στον κουμπαρά τους 80 ευρώ και

τα υπόλοιπα να τα μοιραστούν με τον παρακάτω τρόπο: ο μεγάλος αδελφός πήρε το 12

των χρημάτων, ο

μεσαίος το 13

των χρημάτων και ο μικρότερος τα υπόλοιπα χρήματα.

α) Πόσα χρήματα πήρε ο κάθε αδερφός;β) Ποιο ποσοστό των αρχικών χρημάτων πήρε ο καθένας τους;

Λύση

α) Τα χρήματα που θα μοιράσουν τα 3 αδέλφια είναι 200 – 80 = 120€.

6432168421

222222

Page 10: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

10

Ο μεγάλος αδελφός πήρε 12

1 12060

60 €, ο μεσαίος πήρε 13

1 12040

40 € και

ο μικρός αδελφός πήρε 120€ - 60€ - 40€ = 20€.

β) Ο μεγάλος αδελφός πήρε 60 από τα 200€, δηλαδή το 60 30 30%100 100 των χρημάτων.

Ο μεσαίος αδελφός πήρε 40 από τα 200€, δηλαδή το 40 20 20%200 100 των χρημάτων και

Ο μικρός αδελφός πήρε 20 από τα 200€, δηλαδή το 20 10 10%200 100 των χρημάτων.

9. Αν τα 45

των μαθητών ενός σχολείου είναι 200 να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο.

Λύση

α΄ τρόπος (αναγωγή στη μονάδα)

Επειδή τα 45

των μαθητών είναι 200, το 15

των μαθητών θα είναι 200 : 4 50 , οπότε τα 55

, δηλαδή όλοι οι μαθητές

θα είναι 50 5 250 β΄ τρόπος (εξίσωση)

Έστω x οι μαθητές του σχολείου, τότε: 4 x 2005

4x 2005

4x 200 5 4x 1000

1000x 2504

10.Στις εκπτώσεις αγοράσαμε ένα κινητό τηλέφωνο με έκπτωση 15% και πληρώσαμε 170€.α) Πόσο θα πληρώναμε για να το αγοράσουμε πριν τις εκπτώσεις;β) Αν μετά τις εκπτώσεις το κατάστημα αυξήσει τη τιμή πώλησης του τηλεφώνου κατά 15% η νέα τιμή

πώλησης θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις;Λύση

α) Έστω x η αρχική τιμή του τηλεφώνου.

Η έκπτωση είναι 15 x 0,15 x100 και η τιμή στις εκπτώσεις είναι x 0,15x 1 0,15 x 0,85x

Άρα 0,85x 170 ή 85 x 170100

ή 85x 170 100 άρα 170x 2

100851 200 .

Δηλαδή η αρχική τιμή του τηλεφώνου είναι 200€.

β) Αν τώρα αυξηθεί η τιμή που είχε στις εκπτώσεις κατά 15%, η αύξηση θα είναι 15 170 25,5100 € και

η νέα τιμή του τηλεφώνου θα είναι 170 25,5 195,5 €, δηλαδή η νέα τιμή πώλησης του τηλεφώνου δεν θαθα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις.

Page 11: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

11

11.Μία κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους 3 γιους και σε 6 άλλους συγγενείς ως εξής:

Η κάθε κόρη πήρε το 18

και ο κάθε γιος το 17

της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου

στους 6 άλλους συγγενείς.α) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς.β) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε 3.750 €, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα

χρήματα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη.Λύση

α) Οι 2 κόρες πήραν τα 1 2 128 8 4 της κληρονομιάς και οι 3 γιοί τα 1 33

7 7 της κληρονομιάς.

Άρα οι γιοί και οι κόρες μαζί πήραν τα

7 4

1 3 7 12 194 7 28 28 28

της κληρονομιάς, οπότε για τους 6 συγγενείς

έμειναν τα 28 19 928 28 28 της κληρονομιάς.

Ο καθένας από τους 6 συγγενείς πήρε τα 9 9 6 9: 6 :28 28 1

3

128 6 2

356 της κληρονομιάς.

β) Αν x € η κληρονομιά τότε: 3 x 375056

3x 375056

3x 56 3750

56 3750x

1250

31 56 1250 70.000 €

12. Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο 3, για να προκύψει ο αντίστροφος του 415

Λύση

Έστω x ο ζητούμενος αριθμός, τότε: 153 x4

άρα

4

15 3 15 12 3x4 1 4 4 4

13. Για ένα τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαμε 840€. Το τραπέζι κοστίζει όσο 3 καρέκλες. Πόσο θα πληρώσουμεαν αγοράσουμε ακόμη άλλες δύο καρέκλες

Λύση

Έστω x το κόστος μιας καρέκλας, τότε το τραπέζι κοστίζει 3⋅x .Για τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαμε 840€, δηλαδή 3x + 4x = 840 ή 7x = 840 ή x = 840 : 7=120Άρα η μία καρέκλα στοιχίζει 120€.Αν αγοράσουμε ακόμη 2 καρέκλες θα πληρώσουμε 840 + 2 ⋅120 =1080€.

Page 12: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

12

14. Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το εμβαδόντου.

Λύση

Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε με αύξηση κατά 30% γίνεται 30 0,3 1,3100

Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4 1,3 5,2 Η αύξηση είναι: 5,2 4 (5,2 4) 1,2 και το ποσοστό της αύξησης είναι1,2 300,3 30%4 100

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 21,3 1,3 1,69 και αυξάνεται κατά 20,69 ή κατά 69% του αρχικού πουείναι 2 .

15. Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 30%Λύση

Έστω ότι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α, τότε η περίμετρος του είναι 3α.Αν η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου αυξηθεί κατά 20% τότε θα γίνει

20 0,2 1 0,2 1,2100

Τότε η περίμετρος του θα είναι 3 1,2 3,6 .

Η αύξηση είναι 3,6 3 3,6 3 0,6 και το ποσοστό αύξησης είναι 0,6 200,2 20%3 100

.

16.Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 26cm .α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας

διάστασης του πρώτου ορθογωνίου.β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί.

Λύση

Έστω α,β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε 6

α) Αν το μήκος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4α και τοεμβαδόν του θα είναι 24 4 6 24cm .Αν το πλάτος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4β και τοεμβαδόν του θα είναι 24 4 4 6 24cm .

β) Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ακέραιοι αριθμοί, αναζητούμε δύο ακέραιους που το γινόμενότους είναι 6.Αν α = 1cm, τότε 1 6 άρα 6cm Αν α = 2cm, τότε 2 6 άρα 3cm Αν α = 3cm, τότε 3 6 άρα 2cm

Αν α = 4cm, τότε 4 6 άρα 6 cm4

απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αν α = 5cm, τότε 5 6 άρα 6 cm5

απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αν α = 6cm, τότε 6 6 άρα 1cm .Αν ο α είναι μεγαλύτερος του 6 είναι φανερό ότι ο β θα είναι μικρότερος του 1 που δεν γίνεται αφού είναιακέραιος αριθμός.Είναι φανερό επίσης ότι αν επιλέγαμε τιμές για το β και υπολογίζαμε το α θα προέκυπταν τα ίδια ζευγάριααριθμών.

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

12

14. Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το εμβαδόντου.

Λύση

Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε με αύξηση κατά 30% γίνεται 30 0,3 1,3100

Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4 1,3 5,2 Η αύξηση είναι: 5,2 4 (5,2 4) 1,2 και το ποσοστό της αύξησης είναι1,2 300,3 30%4 100

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 21,3 1,3 1,69 και αυξάνεται κατά 20,69 ή κατά 69% του αρχικού πουείναι 2 .

15. Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 30%Λύση

Έστω ότι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α, τότε η περίμετρος του είναι 3α.Αν η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου αυξηθεί κατά 20% τότε θα γίνει

20 0,2 1 0,2 1,2100

Τότε η περίμετρος του θα είναι 3 1,2 3,6 .

Η αύξηση είναι 3,6 3 3,6 3 0,6 και το ποσοστό αύξησης είναι 0,6 200,2 20%3 100

.

16.Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 26cm .α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας

διάστασης του πρώτου ορθογωνίου.β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί.

Λύση

Έστω α,β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε 6

α) Αν το μήκος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4α και τοεμβαδόν του θα είναι 24 4 6 24cm .Αν το πλάτος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4β και τοεμβαδόν του θα είναι 24 4 4 6 24cm .

β) Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ακέραιοι αριθμοί, αναζητούμε δύο ακέραιους που το γινόμενότους είναι 6.Αν α = 1cm, τότε 1 6 άρα 6cm Αν α = 2cm, τότε 2 6 άρα 3cm Αν α = 3cm, τότε 3 6 άρα 2cm

Αν α = 4cm, τότε 4 6 άρα 6 cm4

απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αν α = 5cm, τότε 5 6 άρα 6 cm5

απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αν α = 6cm, τότε 6 6 άρα 1cm .Αν ο α είναι μεγαλύτερος του 6 είναι φανερό ότι ο β θα είναι μικρότερος του 1 που δεν γίνεται αφού είναιακέραιος αριθμός.Είναι φανερό επίσης ότι αν επιλέγαμε τιμές για το β και υπολογίζαμε το α θα προέκυπταν τα ίδια ζευγάριααριθμών.

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

12

14. Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το εμβαδόντου.

Λύση

Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε με αύξηση κατά 30% γίνεται 30 0,3 1,3100

Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4 1,3 5,2 Η αύξηση είναι: 5,2 4 (5,2 4) 1,2 και το ποσοστό της αύξησης είναι1,2 300,3 30%4 100

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 21,3 1,3 1,69 και αυξάνεται κατά 20,69 ή κατά 69% του αρχικού πουείναι 2 .

15. Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 30%Λύση

Έστω ότι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α, τότε η περίμετρος του είναι 3α.Αν η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου αυξηθεί κατά 20% τότε θα γίνει

20 0,2 1 0,2 1,2100

Τότε η περίμετρος του θα είναι 3 1,2 3,6 .

Η αύξηση είναι 3,6 3 3,6 3 0,6 και το ποσοστό αύξησης είναι 0,6 200,2 20%3 100

.

16.Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 26cm .α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας

διάστασης του πρώτου ορθογωνίου.β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί.

Λύση

Έστω α,β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε 6

α) Αν το μήκος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4α και τοεμβαδόν του θα είναι 24 4 6 24cm .Αν το πλάτος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4β και τοεμβαδόν του θα είναι 24 4 4 6 24cm .

β) Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ακέραιοι αριθμοί, αναζητούμε δύο ακέραιους που το γινόμενότους είναι 6.Αν α = 1cm, τότε 1 6 άρα 6cm Αν α = 2cm, τότε 2 6 άρα 3cm Αν α = 3cm, τότε 3 6 άρα 2cm

Αν α = 4cm, τότε 4 6 άρα 6 cm4

απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αν α = 5cm, τότε 5 6 άρα 6 cm5

απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.

Αν α = 6cm, τότε 6 6 άρα 1cm .Αν ο α είναι μεγαλύτερος του 6 είναι φανερό ότι ο β θα είναι μικρότερος του 1 που δεν γίνεται αφού είναιακέραιος αριθμός.Είναι φανερό επίσης ότι αν επιλέγαμε τιμές για το β και υπολογίζαμε το α θα προέκυπταν τα ίδια ζευγάριααριθμών.

Page 13: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

13

17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και η ΓΔ είναιδιχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

Λύση

α) Επειδή η ευθεία ΓΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ και ˆ 20 , είναιˆ 2 20 40

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180

ˆ90 40 180

ˆ 130 180

ˆ 180 130 50

β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆˆ ˆ 180 ή ˆ20 90 180 ή ˆ 110 180 , άραˆ 180 110 70

Είναι ˆˆ 180 άρα ˆ 180 70 110

γ) Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΑΒ, οπότεˆ ˆ 70

Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΓΒ,οπότε ˆ ˆ 20 .Τέλος οι γωνίες ˆ ˆ, είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 20 .

18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες και η ευθεία 3

είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ . Έστω ότι ˆ ˆ 40 και ˆ 60 .α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

Λύση

α) Είναι ˆ 40 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 3 .Επειδή η 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ , είναι ˆˆ 40

β) Είναι ˆ ˆ 60 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 4 .Είναι ˆˆˆ ˆ 80 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 5 .

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

13

17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και η ΓΔ είναιδιχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

Λύση

α) Επειδή η ευθεία ΓΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ και ˆ 20 , είναιˆ 2 20 40

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180

ˆ90 40 180

ˆ 130 180

ˆ 180 130 50

β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆˆ ˆ 180 ή ˆ20 90 180 ή ˆ 110 180 , άραˆ 180 110 70

Είναι ˆˆ 180 άρα ˆ 180 70 110

γ) Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΑΒ, οπότεˆ ˆ 70

Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΓΒ,οπότε ˆ ˆ 20 .Τέλος οι γωνίες ˆ ˆ, είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 20 .

18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες και η ευθεία 3

είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ . Έστω ότι ˆ ˆ 40 και ˆ 60 .α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

Λύση

α) Είναι ˆ 40 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 3 .Επειδή η 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ , είναι ˆˆ 40

β) Είναι ˆ ˆ 60 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 4 .Είναι ˆˆˆ ˆ 80 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 5 .

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

13

17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90 και η ΓΔ είναιδιχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20 .

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

Λύση

α) Επειδή η ευθεία ΓΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ και ˆ 20 , είναιˆ 2 20 40

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180

ˆ90 40 180

ˆ 130 180

ˆ 180 130 50

β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆˆ ˆ 180 ή ˆ20 90 180 ή ˆ 110 180 , άραˆ 180 110 70

Είναι ˆˆ 180 άρα ˆ 180 70 110

γ) Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΑΒ, οπότεˆ ˆ 70

Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΓΒ,οπότε ˆ ˆ 20 .Τέλος οι γωνίες ˆ ˆ, είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 20 .

18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες και η ευθεία 3

είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ . Έστω ότι ˆ ˆ 40 και ˆ 60 .α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , .β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, , .

Λύση

α) Είναι ˆ 40 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 3 .Επειδή η 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ , είναι ˆˆ 40

β) Είναι ˆ ˆ 60 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 4 .Είναι ˆˆˆ ˆ 80 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 5 .

Page 14: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

14

Είναι ˆ ˆ ˆ 180 ή ˆ 80 60 180 άρα ˆ 180 140 40

19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓκαι οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες.α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ̂ και ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τη γωνία ̂ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι

διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να δείξετε ότι ˆ 60 .

Λύση

α) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, οι γωνίες ̂ και ̂βρίσκονται στη βάση του οπότε είναι ίσες.Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180 ή ˆ ˆ20 180 ή ˆ2 180 20 160 άραˆ 160 : 2 80 , οπότε και ˆ 80 .

β) Είναι ˆˆ 40 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την ΔΒ.

Επειδήˆ

ˆ 402

η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β.

γ) Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ˆ ˆˆ 180 ή ˆ40 80 180 ή ˆ120 180 άραˆ 180 120 60 .

Οι γωνίες ̂ και ˆ είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 60

20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες, οι ευθείες

3 4, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 150 .α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , και να δείξετε ότι το τρίγωνο

ΑΕΔ είναι ισοσκελές.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , , .γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;

Λύση

α) Είναι ˆ ˆ90 180 ή ˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30

Είναι ˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30 .Επειδή ˆ̂ το τρίγωνο ΑΕΔ έχει δύο γωνίες του ίσες και είναι ισοσκελές.

β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ˆˆˆ 180 ή ˆˆ ˆ90 180 ή ˆ 90 30 30 180 ήˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30 .Είναι ˆ ˆ 30 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 5 .Είναι ˆ ˆ 30 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 4 .

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

14

Είναι ˆ ˆ ˆ 180 ή ˆ 80 60 180 άρα ˆ 180 140 40

19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓκαι οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες.α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ̂ και ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τη γωνία ̂ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι

διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να δείξετε ότι ˆ 60 .

Λύση

α) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, οι γωνίες ̂ και ̂βρίσκονται στη βάση του οπότε είναι ίσες.Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180 ή ˆ ˆ20 180 ή ˆ2 180 20 160 άραˆ 160 : 2 80 , οπότε και ˆ 80 .

β) Είναι ˆˆ 40 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την ΔΒ.

Επειδήˆ

ˆ 402

η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β.

γ) Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ˆ ˆˆ 180 ή ˆ40 80 180 ή ˆ120 180 άραˆ 180 120 60 .

Οι γωνίες ̂ και ˆ είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 60

20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες, οι ευθείες

3 4, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 150 .α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , και να δείξετε ότι το τρίγωνο

ΑΕΔ είναι ισοσκελές.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , , .γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;

Λύση

α) Είναι ˆ ˆ90 180 ή ˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30

Είναι ˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30 .Επειδή ˆ̂ το τρίγωνο ΑΕΔ έχει δύο γωνίες του ίσες και είναι ισοσκελές.

β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ˆˆˆ 180 ή ˆˆ ˆ90 180 ή ˆ 90 30 30 180 ήˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30 .Είναι ˆ ˆ 30 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 5 .Είναι ˆ ˆ 30 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 4 .

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

14

Είναι ˆ ˆ ˆ 180 ή ˆ 80 60 180 άρα ˆ 180 140 40

19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓκαι οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες.α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ̂ και ̂ του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τη γωνία ̂ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι

διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να δείξετε ότι ˆ 60 .

Λύση

α) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, οι γωνίες ̂ και ̂βρίσκονται στη βάση του οπότε είναι ίσες.Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180 ή ˆ ˆ20 180 ή ˆ2 180 20 160 άραˆ 160 : 2 80 , οπότε και ˆ 80 .

β) Είναι ˆˆ 40 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την ΔΒ.

Επειδήˆ

ˆ 402

η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β.

γ) Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ˆ ˆˆ 180 ή ˆ40 80 180 ή ˆ120 180 άραˆ 180 120 60 .

Οι γωνίες ̂ και ˆ είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 60

20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2, είναι παράλληλες, οι ευθείες

3 4, είναι κάθετες, ˆ 60 και ˆ 150 .α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ , και να δείξετε ότι το τρίγωνο

ΑΕΔ είναι ισοσκελές.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , , .γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;

Λύση

α) Είναι ˆ ˆ90 180 ή ˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30

Είναι ˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30 .Επειδή ˆ̂ το τρίγωνο ΑΕΔ έχει δύο γωνίες του ίσες και είναι ισοσκελές.

β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ˆˆˆ 180 ή ˆˆ ˆ90 180 ή ˆ 90 30 30 180 ήˆ 150 180 άρα ˆ 180 150 30 .Είναι ˆ ˆ 30 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 5 .Είναι ˆ ˆ 30 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2, που τέμνονται από την 4 .

Page 15: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

15

Στο τρίγωνο ΕΒΓ είναι ˆ ˆˆ 180 ή ˆ30 30 180 ή ˆ60 180 άρα ˆ 180 60 120 .

γ) Επειδή ˆ ˆ το τρίγωνο ΕΒΓ έχει δύο γωνίες ίσες και είναι ισοσκελές.

21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.

Λύση

Έστω ̂ η μία γωνία, τότε η άλλη θα είναι η ˆ2 . Επειδή είναι παραπληρωματικές ισχύει ότιˆ ˆ2 180 ή ˆ3 180 άρα ˆ 180 :3 60 και ˆ2 2 60 120 .

22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.

Λύση

Έστω ̂ η γωνία και ̂ η συμπληρωματική. Είναι ˆ ˆ 90 .Επειδή η γωνία είναι 20 μικρότερη από την συμπληρωματικής της έχουμε ότι ˆ ˆ 20 .Άρα ˆ ˆ20 90 ή ˆ2 90 20 110 άρα ˆ 110 : 2 55 και 55 20 35

23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να υπολογιστούνκαι οι τέσσερις γωνίες.

Λύση

Έστω ̂ η μία γωνία τότε η άλλη θα είναι ˆ3 .Όμως ˆ ˆ3 180 ή ˆ4 180 άρα ˆ 180 : 4 45 , άρα οι οξείες γωνίες πουσχηματίζονται είναι 45 αφού είναι κατακορυφήν και αντίστοιχα οι αμβλείες γωνίεςείναι 180 45 135 .

24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να υπολογιστούν οιγωνίες του τριγώνου.

Λύση

Επειδή η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β, έχουμε ότι ˆ ˆ3 .

Επειδή η γωνία Γ είναι μισή της Β, έχουμε ότιˆˆ2

.

Είναι ˆ ˆ ˆ 180

ˆˆ ˆ3 1802

2ˆ ˆ4 180

1 2

ˆ ˆ8 1802 2

ˆ9 1802

ˆ9 2 180

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

15

Στο τρίγωνο ΕΒΓ είναι ˆ ˆˆ 180 ή ˆ30 30 180 ή ˆ60 180 άρα ˆ 180 60 120 .

γ) Επειδή ˆ ˆ το τρίγωνο ΕΒΓ έχει δύο γωνίες ίσες και είναι ισοσκελές.

21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.

Λύση

Έστω ̂ η μία γωνία, τότε η άλλη θα είναι η ˆ2 . Επειδή είναι παραπληρωματικές ισχύει ότιˆ ˆ2 180 ή ˆ3 180 άρα ˆ 180 :3 60 και ˆ2 2 60 120 .

22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.

Λύση

Έστω ̂ η γωνία και ̂ η συμπληρωματική. Είναι ˆ ˆ 90 .Επειδή η γωνία είναι 20 μικρότερη από την συμπληρωματικής της έχουμε ότι ˆ ˆ 20 .Άρα ˆ ˆ20 90 ή ˆ2 90 20 110 άρα ˆ 110 : 2 55 και 55 20 35

23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να υπολογιστούνκαι οι τέσσερις γωνίες.

Λύση

Έστω ̂ η μία γωνία τότε η άλλη θα είναι ˆ3 .Όμως ˆ ˆ3 180 ή ˆ4 180 άρα ˆ 180 : 4 45 , άρα οι οξείες γωνίες πουσχηματίζονται είναι 45 αφού είναι κατακορυφήν και αντίστοιχα οι αμβλείες γωνίεςείναι 180 45 135 .

24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να υπολογιστούν οιγωνίες του τριγώνου.

Λύση

Επειδή η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β, έχουμε ότι ˆ ˆ3 .

Επειδή η γωνία Γ είναι μισή της Β, έχουμε ότιˆˆ2

.

Είναι ˆ ˆ ˆ 180

ˆˆ ˆ3 1802

2ˆ ˆ4 180

1 2

ˆ ˆ8 1802 2

ˆ9 1802

ˆ9 2 180

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

15

Στο τρίγωνο ΕΒΓ είναι ˆ ˆˆ 180 ή ˆ30 30 180 ή ˆ60 180 άρα ˆ 180 60 120 .

γ) Επειδή ˆ ˆ το τρίγωνο ΕΒΓ έχει δύο γωνίες ίσες και είναι ισοσκελές.

21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.

Λύση

Έστω ̂ η μία γωνία, τότε η άλλη θα είναι η ˆ2 . Επειδή είναι παραπληρωματικές ισχύει ότιˆ ˆ2 180 ή ˆ3 180 άρα ˆ 180 :3 60 και ˆ2 2 60 120 .

22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.

Λύση

Έστω ̂ η γωνία και ̂ η συμπληρωματική. Είναι ˆ ˆ 90 .Επειδή η γωνία είναι 20 μικρότερη από την συμπληρωματικής της έχουμε ότι ˆ ˆ 20 .Άρα ˆ ˆ20 90 ή ˆ2 90 20 110 άρα ˆ 110 : 2 55 και 55 20 35

23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να υπολογιστούνκαι οι τέσσερις γωνίες.

Λύση

Έστω ̂ η μία γωνία τότε η άλλη θα είναι ˆ3 .Όμως ˆ ˆ3 180 ή ˆ4 180 άρα ˆ 180 : 4 45 , άρα οι οξείες γωνίες πουσχηματίζονται είναι 45 αφού είναι κατακορυφήν και αντίστοιχα οι αμβλείες γωνίεςείναι 180 45 135 .

24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να υπολογιστούν οιγωνίες του τριγώνου.

Λύση

Επειδή η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β, έχουμε ότι ˆ ˆ3 .

Επειδή η γωνία Γ είναι μισή της Β, έχουμε ότιˆˆ2

.

Είναι ˆ ˆ ˆ 180

ˆˆ ˆ3 1802

2ˆ ˆ4 180

1 2

ˆ ˆ8 1802 2

ˆ9 1802

ˆ9 2 180

Page 16: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου - askisopolis.gr‘ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2017.pdf · 4 7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού

www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου

16

ˆ9 360

ˆ 360 :9 40 , οπότε ˆ 3 40 120 και 40ˆ 202

25.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 50. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.

Λύση

Επειδή οι γωνίες που βρίσκονται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και η άλλη γωνία της βάσης θα είναι50. Αν ̂ είναι η τρίτη γωνία του τριγώνου, τότε:

ˆ 50 50 180

ˆ 100 180

ˆ 180 100 80