andwarck.files.wordpress.com · Web viewDefinisi sebaran peluang binom : p x = n x π x . (1-π)...

MAKALAH UJI KESESUAIAN SEBARANSTATISTIK NON PARAMETRIK

Disusun oleh :

ANWARMATEMATIKA A

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDINMAKASSAR

2012

1

Kata Pengantar

Alhamdulillahi Rabbil’ Alamin, atas berkat dan Rahmat Allah SWT.

Serta puji syukur dipanjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas telah memberikan

kekuatan kepada penyusun hingga dapat menyelesaikan penyusunan “Makalah

Statistik Uji kesesuaian sebaran”. Penyusunan makalah ini adalah merupakan

salah satu persyaratan untuk mengikuti mata kuliah Statistik non Parametrik.

Dalam penyusunan Makalah Statistik Uji kesesuaian sebaran ini

penyusun merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis

penulisan maupun materi yang masih jauh dari kategori sempurna yang dapat

memuaskan bagi semua kalangan dalam berbagai aspek, mengingat akan

kemampuan yang dimiliki penulis. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak

sangat penyusun harapkan yang bersifat membangun agar laporan ini lebih

termanfaatkan bagi kita semua di masa yang akan datang.

Dalam penyusunan makalah ini, kami dari penyusun menyampaikan

ucapan terima kasih kepada semua pihak yang membantu dalam menyelesaikan

proses penyusunan laporan ini, baik secara langsung maupun secara tidak

langsung sehingga laporan ini dapat terselesaikan.

Akhirnya penulis berharap semoga Allah memberikan imbalan yang

setimpal pada mereka yang telah memberikan bantuan, dan dapat menjadikan

semua bantuan ini sebagai ibadah, Amiin Yaa Robbal ‘Alamiin.

Gowa, 11 Maret 2011

Penyusun

2

DAFTAR ISI

Kata Pengantar …………………………………………………………….. i

Daftar Isi …………………………………………………………………… ii

BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………….. 1

A. Latar Belakang ………………………………………………. 1

B. Rumusan Masalah …………………………………………… 1

C. Tujuan ……………………………………………………….. 2

BAB II PEMBAHASAN ………………………………………………… 3

A. Uji Kenormalan ……………………………………………… 3

B. Uji Sebaran Poisson …………………………………………. 7

C. Uji Sebaran Binom …………………………………………... 11

D. Uji Sebaran Seragam ………………………………………… 14

BAB III PENUTUP ………………………………………………………. 15

A. Kesimpulan ………………………………………………….. 15

B. Saran ………………………………………………………… 15

Daftar Pustaka ……………………………………………………………. Iii

3

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana

merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan

mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau

hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Kejadian yang sering atau jarang terjadi dikatakan mempunyai

peluang terjadi yang besar atau kecil. Keseluruhan nilai-nilai peluang biasa

digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mengaplikasikan statistika

terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai

dari mempelajari populasi.

Tiga buah sebaran teoritis yang paling terkenal, diantaranya dua

buah sebaran peluang yang diskrit dan sebaran yang kontinyu. Kedua

sebaran yang teoritis yang deskrit itu ialah sebaran binomial dan sebaran

Poisson. Sebaran kontinyu nya adalah sebaran normal.

B. Rumusan Masalah

1. Melakukan uji kesesuaian sebaran dengan menggunakan uji

kenormalan.

2. Melakukan uji kesesuaian sebaran dengan menggunakan uji sebaran

poisson.


binom.


seragam.

4

http://id.wikipedia.org/wiki/Data

C. Tujuan

1. Dapat melakukan uji kesesuaian sebaran dengan menggunakan uji

kenormalan.


sebaran poisson.


sebaran binom.


sebaran seragam.

5

BAB II

PEMBAHASAN

Sebaran probabilitas dipergunakan untuk menggambarkan frekuensi

relatif munculnya harga-harga tertentu (yang dapat dihitung maupun diukur) dari

suatu variabel random. Beberapa macam dari sebaran probabilitas untuk variabel

random yang deskrit yaitu sebaran poisson, sebaran binomial, dan sebaran

seragam. Sedangkan untuk variabel random yang kontinyu adalah sebaran normal

(Gaussian).

A. Uji Kenormalan

Sebaran Normal digunakan untuk menggambarkan Sebaran dari

variabel random yang kontinyu. Hampir semua Sebaran kontinyu di alam

digambarkan dengan Sebaran normal.

Gambar a : Kurva sebaran normal baku

Ciri-ciri sebaran normal adalah sebagai berikut :

1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x.

2. Nilai Peluang peubah acak dalam sebaran Peluang Normal dinyatakan

dalam luas dari di bawah kurva berbentuk genta\lonceng (bell shaped

curve).

3. Kurva maupun persamaan normal melibatkan nilai x, µ dan σ.

6

4. Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang

tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu.

5. Nilai mean, median dan modus adalah sama / berhimpit.

6. Kurvanya simetris.

7. Luas daerah yang terletak dibawah kurva dan diatas garis mendatar = 1.

Andaikan X adalah peubah acak normal dengan rerata μ dan

simpangan baku σ , transmormasi X menjadi Z = X−μ

σ akan membentuk

peubah acak normal baku, dengan rerata nol dan simpangan baku satu.

Contoh Soal :

pengukuran terhadap tinggi mahasiswa tingkat pertama dilakukan dan

diambil sebuah sampel acak berukuran 100. Hasil pengukuran dicatat dan

diberikan dalam tabel berikut.

Tabel a.1 : Tinggi(cm) 100 mahasiswa

Tinggi (cm) Frekuensi

140-144 7

145-149 10

150-154 16

155-159 23

160-164 21

165-169 17

170-174 6

Apakah data tersebut dapat menjadi bukti yang cukup bahwa populasi tinggi

mahasiswa tersebar normal?

Penyelesaian :

Ho: Data berasal dari populasi normal

H1: Data berasala dari populasi yang tidak normal

7

Tabel a.2 : frekuensi dan titik tengah

Tinggi (cm) f x x2 f.x f.x2

140-144 7 142 20164 994 141148

145-149 10 147 21609 1470 216090

150-154 16 152 23104 2432 369664

155-159 23 157 24649 3611 566927

160-164 21 162 26244 3402 551124

165-169 17 167 27889 2839 474113

170-174 6 172 29584 1032 177504

Jumlah 100 15780 2496570

Keterangan : f = frekuensi

x = titik tengah

Nilai rerata (µ) = ∑ f . x

∑ f=

15780100

=157,8

Simpangan baku (σ)= √¿¿¿

= √ 249657000−2490084009900

=√ 6486009900

=8,09

Selanjutnya,

1) Menentukan batas bawah interval tiap-tiap kelas untuk menghitung luas di

bawah kurva normal.

x = batas bawah kelas – 0,5

Menentukan batas atas interval kelas terakhir, dengan menggunakan

rumus :

x = batas atas kelas + 0,5

2) Batas-batas tersebut dinyatakan dalam angka baku.

z= x−μσ

8

3) Menghitung luas di bawah kurva normal baku tiap-tiap kelas dengan

merujuk pada Lampiran C.

4) Menentukan frekuensi teoritis atau frekuensi harapan tiap-tiap kelas

dengan menggunakan rumus :

Frekuensi teoritis = n x luas di bawah kurva baku

Dari langkah tersebut diperoleh :

Tabel a.3 : Frekuensi harapan dan pengamatan tinggi 100 mahasiswa

Batas KelasZ untuk

batas kelas

Luas tiap

kelas

Frekuensi

harapan

Frekuensi

Pengamatan

139,5 -2,26

144,5 -1,64 0,0386 3,9 7

149,5 -1,03 0,1010 10,1 10

154,5 -0,41 0,1894 18,9 16

159,5 +0,21 0,2423 24,2 23

164,5 +0,83 0,2135 21,4 21

169,5 +1,45 0,1298 13,0 17

174,5 +2,06 0,0538 5,4 6

Jumlah 96,9 100

Perlu diperhatikan bahwa jumlah frekuensi harapan 96,9 secara teoritis

seharusnya sama dengan jumlah frekuensi pengamatan 100. Perbedaan ini

terjadi karena :

1) Pendekatan dalam membaca tabel

2) Pendekatan dalam arti populasi riil mempunyai rentang terhingga yang

didekati oleh populasi normal yang rentangnya dari -∞ sampai +∞.

Selanjutnya, kita menghitung statistik uji chi-kuadrat

x2=∑i=1

k (¿−H (¿ ))2

H (¿)

9

x2= (7−3,9 )2

3,9+ (10−10,1 )2

10,1+ (16−18,9 )2

18,9+ (23−24,3 )2

24,3+¿

(21−21,4)2

21,4+(17−13,0)2

13,0+(6−5,4)2

5,4

x2=4,27

Jika kita menggunakan taraf kesignifikan α = 5%, dari tabel, kita memperoleh

banyaknya kelas interval k =7, sehingga sebaran chi-kuadrat memiliki dk=7-

2-1=4. Nilai kritis X 0,95: 42 = 9,49 lebih besar dari nilai statistik X2 =

4,27.dengan demikian, hipotesis nol yang mengasumsikan kenormalan

populasi tinggi mahasiswa dapat diterima pada taraf kesignifikan 5%.

B. Uji Sebaran Poisson

Uji sebran poisson adalah uji yang menghasilkan peubah acak X, yang

menyatakan jumlah keberhasilan dalam selang waktu atau daerah tertentu.

Sebaran poisson merupakan salah satu model sebaran peluang untuk peubah

acak farik.

Sebaran paisson dengan parameter rerata μ mempunyai massa peluang

P(x) = e−μ μx

x ! dengan x= 0,1,2,3,...

Nilai harapan sebaran poisson adalah μ dan simpangan baku √ μ. Sebaran

poisson merupakan salah satu model sebaran peluang untuk peubah acak

yang farik.

Contoh Soal :

Terjadinya salah satu cetak kata – kata dalam setiap halaman buku pelajaran

diduga mempunyai sebaran poisson. Pengamatan dilakukan terhadap 50

halaman yang diambil secara acak dan untuk setiap halaman dicatat

banyaknya kata yang salah cetak. Hasil pencatatan tersebut diberikan pada

tabel berikut:

Tabel b.1 : Data salah cetak kata tiap halaman

Salah Cetak 0 1 2 3

Banyaknya 28 15 6 1

10

Halaman

Sekarang kita akan menaksir sebaran Poisson berdasarkan data tersebut, dan

menguji hipotesis yang mengatakan bahwa taksiran sebaran Poisson yang

diperoleh itu tidak berbeda dengan sebaran Poisson sesungguhnya dalam

populasi.

Penyelesaian :

Pertama-tama kita menaksir rerata salah cetak setiap halaman dengan rerata

sampel

x=28(0)+15(1)+6(2)+1(3)28+15+6+1

= 0,6

Berdasarkan taksiran μ ini, fungsi massa peluang sebaran poisson diduga

sama dengan

P(x) e−0,6 0,6x

x ! dimana x= 0,1,2,3,...

Jika X menyatakan peubah acak banyaknya kata salah cetak setiap halaman,

frekuensi harapan salah cetak untuk 50 halaman tersebut dapat ditaksir

sebagai berikut:

P(0) = 0,5488, sehingga diharapkan 50 x (0,5488) = 27,4 halaman yang

tidak memiliki kata salah cetak;


memiliki satu kata salah cetak;


memiliki dua kata salah cetak;


memiliki tiga kata salah.

Frekuensi salah cetak hasil pengamatan dan yang diharapkan apabila

sebaran poisson yang diasumsikan benar pada tabel berikut:

Tabel b.2 : Data dan frekuensi harapan salah cetak kata

Banyaknya salah cetak Pengamatan Harapan

0 28 27,4

1 15 16,5

11

2 6 4,9

3 1 1,0

Jumlah 50 49,8

Perlu diperhatikan bahwa jumlah frekuensi pengamatan pada tabel di

atas adalah 50, sedangkan untuk frekuensi harapan 49,8. Hal ini akibat

pendekatan sebaran poisson dengan sebaran multinom. Nilai x pada sebaram

poisson dari nol dengan ∞, sedangkan dalam sebaran multinom hanya

bernilai 0,1,2,3. Walaupun demikian, perbedaan yang diperoleh relatif kecil,

yaitu 0,2 dari 50 halaman.

Selanjutnya tabel di atas memuat frekuensi harapan 1,0 dan

4,9(kurang dari 5). Frekuensi harapan yang terlalu kecil akan mengakibatkan

nilai chi-kuadrat terlalu besar, sehingga tidak mencerminkan penyimpangan

yang wajar antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan. Untuk

mengatasi masalah itu, penggabungan dua sel tersebut merupakan salah satu

cara yang bisa dilakukan. Dengan menggabungkan dua sel itu, dapat

disimpulkan”

X2 = (28−27,4)2

27,4+(15−16,5)2

16,5+(7−5,9)2

5,9 = 0,35

Setelah penggabungan sel, kita hanya memiliki tiga kelompok(k=3),

dan kita menaksir satu parameter, yaitu μ, sehingga sebaran chi-kuadrat

mempunyai dk= 3-1-1=1. Dengan taraf kesignifikan α =5%, kita

memperoleh nilai kritis X 0,95: 12 = 3,84, yang lebih besar dari nilai hitung X2 =

0,35. Ini berarti kita mempunyai alasan untuk menolak taksiran poisson

tersebut.

Pemanfaatan sebaran chi-kuadrat dalam pengujian yang menyangkut

sebaran poisson dapat pula dilakukan untuk pengujian rerata. Misalkan ada k

(k>1) buah sebaran poisson dengan parameter μ1 , μ2, μ3,....μk . pasangan

hipotesis berikut yang akan diuji

H0:μ1=μ2=…=μk

H1:Paling sedikit satu kesamaan tidak berlaku.

12

Dari setiap populasi yang diambil sebuah sampel acak yang berturut-

turut berukuran n1, n2,..., dan nk. Untuk setiap sampel, kita menghitung

banyaknya peristiwa yang mengikuti sebaran poisson. Jika banyaknya

peristiwa ini berturut-turut dinyatakan dengan x1,x2,...,xk, maka reratanya

adalah

x = x1+x2+…+xk

k .

Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis tersebut adalah

X2 =∑i=1

k

¿¿¿¿ .

Kesimpulan menolak H0 diambil apabila X2>X2(1-α );(k-1) dan menerima

H0 apabila X2≤X2(1-α );(k-1).

Misalnya, lima orang sekertaris bertugas untuk menyalin data ke

dalam sebuah daftar yang telah disediakan. Andaikan banyaknya salah salin

untuk setip daftar mempunyai sebaran poisson masing- masing dengan rerata

setiap sekretaris μ1 , μ2, μ3 , μ4 μ5. Dari hasil salinan setiap sekretaris diambil

sampel acak berukuran lima dan dicatat banyaknya kesalahan setiap daftar.

Hasil yang diperoleh diberikan dalam tabel berikut:

SekretarisKesalahan setiap

daftarjumlah

1 2, 0, 3, 3, 2 10

2 0, 0, 2, 1, 5 5

3 1, 1, 2, 3, 2 9

4 2, 1, 1, 1, 4 9

5 2, 3, 0, 3, 3 11

Jumlah 44

H0: μ1=μ2=μ3=μ4=μ5 (μi = rerata kesalahan sekrataris ke-i, i=

1,2,3,4,5)

H1: Paling sedikit satu kesamaan tidak berlaku.

13

Dalam kolom terakhir pada tabel di atas, kita memperoleh rerata

kesalahan seluruh sekretaris adalah x = 44/5 =8,8.

Dengan demikian, statistik uji dihitung dengan

X2 = (10−8,8)2

8,8 + (5−8,8)2

8,8+(9−8,8)2

8,8+(9−8,8)2

8,8+

(11−8,8)2

8,8 = 2,36

Nilai kritis untuk taraf kesignifikan α= 5% dan dk= 5-1 =4 adalah

X20,95:4 = 9,49 yang lebih besar dari nilai hitung X2 = 2,36. Jadi H0 diterima

yang berarti tidak ada perbedaan kecermatan (ketidak-cermatan) lima

sekretaris tersebut dalam menyalin data ke dalam daftar.

C. Uji sebaran Binom

Tindakan yang hasilnya terdiri dari dua kategori. Binomial adalah

sebaran deskrit yang digunakan untuk menduga peluang keluaran tertentu

muncul sebanyak x kali dalam suatu contoh terhingga berukuran yang diambil

dari suatu populasi tak terhingga dimana peluang munculnya keluaran

tersebut konstan sebesar p. Percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen

dimanakan Percobaan Bernnoulli.

Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri

sebagai berikut:

1) Percobaan diulang n kali

2) Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2

kelas, Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL", "YA" atau

"TIDAK", "SUCCESS" or "FAILED".

3) Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p

tidak berubah.

Peluang gagal = q = 1- p.

4) Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

Definisi sebaran peluang binom :

p ( x )=(nx )π x .(1−π )n− x , untuk x=0,1,2 ,…,n

Keterangan :

n = banyaknya ulangan

14

x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak X

p = peluang berhasil pada setiap ulangan

π = peluang gagal = 1-π pada setiap ulangan

Kita mengetahui bahwa nilai harapan peubah acak binom adalah

µ=nxπ dan variansinya σ2=nπ(1-π). Fungsi sebaran binom mempunyai satu

parameter yang perlu ditaksir, yaitu π, sehingga uji chi-kuadrat yang akan

digunakan memiliki dk=k-1-1=k-2.

Contoh Soal :

Empat mata uang dilemparkan secara bersamaan sebanyak seribu kali,

frekuensi munculnya muka (M) dicatat dan hasilnya diberikan dalam tabel

sebagai berikut :

Tabel c.1 : Data banyaknya M pada pelemparan 4 mata uang 1000 kali

Banyaknya M 0 1 2 3 4

frekuensi 43 149 352 296 160

Kita menaksirkan peluang munculnya M, dan membuat fungsi massa peluang

binom berdasarkan taksian itu.

Penyelesaian :

Berdasarkan data tabel c.1, rerata munculnya M dapat dihitung, yaitu

43 (0 )+149 (1 )+352 (2 )+296 (3 )+160(4 )43+149+352+296+160 =2,381

Untuk percobaan tersebut di atas, n=4, sehingga kita dapat menaksirkan π

dengan menggunakan hubungan nxπ=rerata. Jadi, 4π=2,381, atau

π=2,381/4=0,6. Dengan demikian, fungsi massa peluang sebaran binom dapat

ditaksir dengan

p ( x )=(4x)(0,6)x .(0,4)n−x ,untuk x=0,1,2,3,4.

Selanjutnya, kita akan menguji apakah fungsi massa peluang itu dapat

diterima dengan taraf kesignifikanan α=5%. Dengan menggunakan fungsi

15

massa peluang tersebut, frekuensi harapan untuk 1000 kali percobaan dapat

dilakukan sebagai berikut.

p(0) = 0,026, sehingga diharapkan 1000x(0,026)=26 kali tidak ada M

yang muncul

p(1) = 0,153, sehingga diharapkan 1000x(0,153)=153 kali muncul satu

M

p(2) = 0,346, sehingga diharapkan 1000x(0,346)=346 kali muncul dua

M

p(3) = 0,345, sehingga diharapkan 1000x(0,345)=345 kali muncul tiga

M

p(4) = 0,130, sehingga diharapkan 1000x(0,130)=130 kali muncul

empat M.

Hasil percobaan dan frekuensi harapan dicantumkan di dalam

Tabel c.2 : Data frekuensi harapan banyaknya M

Banyaknya M Pengamatan Harapan

0 43 26

1 149 153

2 352 346

3 296 345

4 160 130

Selanjutnya, kita menghitung statistic

x2=(43−26)2

26+

(149−153)2

153+(352−346)2

346+(296−345)2

345+(160−130)2

130

¿25,21

Karena ada 5 kategori munculnya M, dan satu parameter yang ditaksir, maka

uji chi-kuadrat mempunyai dk=5-1-1=3. Nilai kritis untuk α=5% diberikan

oleh x0,95 ;32 =7,81. Karena x2=25,21 lebih besar dari 7,81, kita menolak

hipotesis yang menyatakan bahwa taksiran fungsi massa peluang binom yang

diperoleh tersebut berbeda dengan fungsi massa peluang sebenarnya. Hal ini

16

dapat pula diartikan bahwa taksiran peluang munculnya M, yaitu 0,6 tidak

didukung oleh data.

D. Uji Sebaran Seragam

Sebaran seragam merupakan sebaran peluang diskrit yang paling

sederhana dimana suatu peubah acak memiliki nilai peluang yang semuanya

sama.

Sebaran seragam : Jika suatu peubah acak X dengan nilai x1, x2, …, xk,

memiliki peluang yang sama, maka sebaran diskrit seragamnya diberikan

oleh

p ( x )=1k

,untuk x=1,2,3 ,…k

Contoh Soal :

Sebuah pabrik menghasilkan enam macam sabun mandi. Hari pertama

penjualan keenam sabun itu dicatat dan hasilnya dimuat dalam tabel berikut :

Tabel d.1 : Data hasil penjualan enam macam sabun

Macam Sabun A B C D E F

Pembelinya 15 24 23 16 17 25

Dari hasil data tersebut, dapatkah diterima anggapan bahwa keenam macam

sabun mandi itu memiliki peminat yang sama banyak pada taraf

kesignifikanan α=5%?

Penyelesaian :

Jika peminat keenam macam sabun mandi memiliki sebaran seragam,

peluang masing-masing adalah 1/6. Karena ada 120 pembeli hari pertama,

frekuensi harapan masing-masing jenis sabun adalah 120x(1/6)=20. Statistik

uji diberikan oleh

17

x2=(15−20)2

20+(24−20)2

20+(23−20)2

20+(16−20)2

20+(17−20)2

20+(25−20)2

20

¿5,00

Nilai kritis pengujian x0,95 ;52 =11,1 lebih besar dari nilai statistic hitung

x2=5,00. Data tersebut tidak dapat memberikan alasan yang cukup untuk

menolak anggapan bahwa keenam macam sabun itu memiliki peminat yang

sama banyak. Perbedaan banyaknya pembeli yang terjadi pada keenam

macam sabun itu, merupakan penyimpangan penyimpangan wajar karena

faktor kebetulan atau acak, dan bukan kecenderungan yang sistematis.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Uji kenormalan adalah uji yang digunakan untuk menggambarkan

Sebaran dari variabel random yang kontinyu.

2. Uji sebaran poisson adalah uji yang menghasilkan peubah acak X,

yang menyatakan jumlah keberhasilan dalam selang waktu atau daerah

tertentu.

3. Uji sebaran binom adalah sebaran deskrit yang digunakan untuk

menduga peluang keluaran tertentu muncul sebanyak x kali dalam

suatu contoh terhingga berukuran yang diambil dari suatu populasi tak

terhingga dimana peluang munculnya keluaran tersebut konstan

sebesar p.

4. Uji sebaran seragam adalah sebaran peluang diskrit yang paling

sederhana dimana suatu peubah acak memiliki nilai peluang yang

semuanya sama.

B. Saran

1. Dalam pengambilan data, hendaknya kalian lebih memperhatikan

ketelitian data agar di peroleh data yang lebih akurat lagi.

18

2. Lakukan perencanaan, pengumpulan, penganalisisan,

penginterpretasian, dan pempresentasian data dengan baik agar

diperoleh hasil yang lebih baik.

DAFTAR PUSTAKAIlmiawan, Teguh. 2011. statistika-binomial-poisson-dan-normal.

http//www.google.com. diakses pada tanggal 12 maret 2012.

Tiro, Muhammad arif. 2000. Dasar-dasar Statistika. Makassar: Andira Publisher.

Tiro, Muhammad arif. 2000. Statitik non Parametrik. Makassar: Andira Publisher.

19

http://id.wikipedia.org/wiki/Data

andwarck.files.wordpress.com · Web viewDefinisi sebaran peluang binom : p x = n x π x . (1-π)...

Documents

Transcript of andwarck.files.wordpress.com · Web viewDefinisi sebaran peluang binom : p x = n x π x . (1-π)...