Soluzioni di Adriana Lanza

QUESITO1 Si determini il campo di esistenza della funzione:

y=√2 sen (2 x )−√3logcos x ,

con 0 ≤ x ≤ 2π .

L’argomento della radice quadrata deve essere positivo o nullo, l’argomento del logaritmo deve essere positivo, il denominatore deve essere diverso da zero.

{ 2sin 2 x−√3≥0cos x>0∩cos x≠1

→

Nel risolvere le disequazioni dobbiamo tener conto del fatto che l’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π corrisponde ad un periodo della funzione cos (x) , ma a due periodi della funzione sin(2x)

{π3 ≤2 x≤ 23 π →

0<x< π2∪ 3

2π<x<2π

π6≤ x≤ π

3∪ 76π ≤ x≤ 4

3π

Le soluzioni comuni corrispondono all’arco NE →

π6≤x ≤ π

3∪ 76π ≤x ≤ 4

3π

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QUESITO2 Si calcoli il limite della funzione

√x+√ x−1−1√x2−1

, quando x tende a 1

+.

limx→ 1+¿ √x−1

√x2−1+ limx →1+¿ √x−1

√x2−1

¿¿ ¿

¿ =

limx→ 1+¿ 1

√x+1+ limx→1+¿ √ x−1

√ x2−1

¿¿¿

¿*√x+1

√x+1=

1√2 +

lim

x→1+¿

x−1√x−1∗1

√x+1¿

¿* 1

√x+1 = 1√2

+0= 1√2

QUESITO 3 Si provi che le due funzioni f ( x )=cos2 x e g( x )=−sen2 x hanno le derivate

uguali e se ne dia una giustificazione.

D ¿D ¿

Le due funzioni hanno la stessa derivata perché differiscono solo per una costante additiva.

Infatti cos2 x=1−sin2 x

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QUESITO 4. Un rettangolo ABCD è tale che risulta AB=4 e

BC=1 .

Si determini il triangolo isoscele di area minima circoscritto al rettangolo e tale che la base contenga il segmento AB.

Dalla similitudine dei triangoli EFG e EDC si deduce

GFEH

=CDEK

→GF=¿x 4x−1

Area EFG =S(x)= 2 x2

x−1 x>1

S' (x )=2 x (x−2)(x−1)2

S(x) decresce nell’intervallo ]1;2[ e cresce per x>2

Il valore x=2 corrisponde al triangolo di area minima →S(2)=8,

pari al doppio dell’area del rettangolo ABCD.

I quattro triangoli rettangoli EDK ECK,ADF,BCG sono tra loro congruenti e ciascuno di essi è equivalente alla quarta parte del rettangolo ABCD

Si poteva anche giungere al risultato mediante il ragionamento seguente

Data la simmetria rispetto alla retta EH , possiamo limitarci a considerare metà figura Osserviamo che il triangolo EFH equivale alla somma dei seguenti poligoni

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rettangolo AHKD di area 2

triangolo rettangolo EKD di area x-1

triangolo rettangolo FAD. di area 1x−1

S(x) pertanto è minima quando è minima la somma

x−1+ 1x−1

Poiché la somma di due grandezze inversamente proporzionali è minima quando esse assumono valori, uguali, x deve assumere il valore 2.

QUESITO 5 Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse x

della porzione di piano limitata dalla curva y=x2−x3 e dall’asse delle x.

Studio (veloce) della funzione f(x)=x2−x3

limx→∓∞

f (x )=±∞

f(0)=f(1)=0

Segno della derivata prima e crescenza o decrescenza del grafico

f ' ( x )=2 x−3 x2

------------0++++++++++++ 3/2 ---------------------------------

V=π∫0

1

(x2−x3)2dx=π105

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