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π und Kettenbrüche Daniel Frischemeier, 33034 Brakel - Hembsen Gutachter: Prof. Dr. Hans-Dieter Rinkens Tag der Abgabe: 5.2.2009
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π und Kettenbrüche
Daniel Frischemeier,
33034 Brakel - Hembsen
Gutachter: Prof. Dr. Hans-Dieter Rinkens
Tag der Abgabe: 5.2.2009
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Inhaltsverzeichnis
0 Vorwort ........................................................................................................ 3
1 Die Approximation von π vor 1650 .............................................................. 4
1.1 Die Babylonier ....................................................................................... 4
1.2 Die Ägypter ............................................................................................ 4
1.3 Die Bibel ................................................................................................ 5
1.4 Die Griechen .......................................................................................... 5
1.5 Die Inder ................................................................................................ 7
1.6 Die Chinesen ......................................................................................... 8
1.7 Die Araber .............................................................................................. 8
1.8 Europa ................................................................................................... 8
2 Das Wallis – Produkt ................................................................................... 9
2.1 Eulers Analogien .................................................................................. 10
3 Kettenbrüche ............................................................................................. 12
3.1 Endliche Kettenbrüche ......................................................................... 13
3.2 Unendliche Kettenbrüche ..................................................................... 15
3.3 Ein Algorithmus zur Kettenbruchentwicklung ....................................... 16
3.4 Der regelmäßige Kettenbruch von π .................................................... 17
4 π – Approximation mit Näherungsbrüchen ................................................ 18
4.1 Näherungsbrüche ................................................................................ 19
4.2 Die Näherungsbrüche für π ................................................................. 21
4.3 Eigenschaften der Näherungsbrüche .................................................. 22
4.4 Kettenbruchentwicklung ....................................................................... 26
4.5 Approximation mit Näherungsbrüchen ................................................. 30
4.6 Approximation mit Nebennäherungsbrüchen ....................................... 37
5 Besondere Kettenbrüche für π .................................................................. 48
5.1 Der Kettenbruch von Lord William Brouncker ...................................... 48
5.1.1 Brounckers Kettenbruch und die Leibniz - Reihe .......................... 49
5.1.2 Der Beweis von Leonard Euler ...................................................... 50
5.1.3 Brounckers Vorgehensweise ......................................................... 51
5.2 Der Kettenbruch von Lambert .............................................................. 58
5.3 Andere Kettenbrüche mit Bildungsgesetz ............................................ 59
6 Konvergenz vs. Bildungsgesetz ................................................................. 60
6.1 Der regelmäßige Kettenbruch für π ..................................................... 60
6.2 Der Kettenbruch von Brouncker ........................................................... 62
6.3 Der Kettenbruch von Lambert .............................................................. 63
6.4 Der Kettenbruch von Jung ................................................................... 64
7 Die Zahl π nach 1700 ................................................................................ 65
7.1 Unendliche Reihen .............................................................................. 65
7.2 Leonard Euler ...................................................................................... 66
7.3 Johann Heinrich Lambert & Ferdinand Lindemann .............................. 67
7.4 Carl Friedrich Gauß und der AGM-Algorithmus ................................... 68
7.5 Srinivasa Ramanujan ........................................................................... 68
7.6 BBP-Methode ...................................................................................... 69
8 Fazit ........................................................................................................... 70
9 Literaturverzeichnis .................................................................................... 72
10 Internetquellen ........................................................................................... 74
11 Abbildungsverzeichnis ............................................................................... 74
12 Tabellenverzeichnis ................................................................................... 74
3
0 Vorwort
Die Zahl ist definiert als das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines
Kreises.
Doch ist „mehr“. In der Schulmathematik taucht in der Sekundarstufe 1 bei der
Kreis- und Körperberechnung auf, in der Oberstufe in der Analysis, wenn es darum
geht, das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen. Ebenso findet es in der
Stochastik seine Verwendung bei der Gaußschen Dichtefunktion oder aber auch bei
der Approximation der Fakultät n! (Stirlingsche Formel). ist in jeder Hinsicht eine
beeindruckende Zahl, die die Menschheit seit knapp 4000 Jahren beschäftigt. Seit
dieser Zeit wird zum einen versucht den Kreis in endlich vielen Schritten mit Zirkel und
Lineal zu konstruieren (dass dieses unmöglich ist, bewies Ferdinand Lindemann im
Jahr 1882) und zum anderen möglichst viele Stellen von zu berechnen. Viele
berühmte Mathematiker arbeiteten mit den unterschiedlichsten Methoden daran, so
genau wie möglich zu approximieren und berechneten mit diesen viele
Nachkommastellen von . Dieses nahm bei Archimedes (287-212 v. Chr.) seinen
Ursprung und wird bis zum heutigen Tage fortgeführt. Sir Isaac Newton, der Begründer
der Differentialrechnung sagte über sich selbst (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.182): „Ich
schäme mich, wenn ich Ihnen sage, auf wie viele Stellen ich diese Berechnung
ausführte, weil ich gerade nichts anderes zu tun hatte.“ Selbst „Genies“ wie Isaac
Newton konnten sich anscheinend dem Eifer nicht entziehen, mehr und immer mehr
Stellen von zu bestimmen.
Diese Arbeit beschäftigt sich ebenfalls mit der Approximation der Zahl und zwar
mithilfe von Kettenbrüchen. Das erste Kapitel gibt einen kurzen Überblick über die
Geschichte von bis ungefähr zum Jahr 1650. Dabei werden die Errungenschaften
der verschiedenen Kulturen rund um und der „Quadratur des Kreises“ kurz
vorgestellt. Im zweiten Kapitel wird ein unendliches Produkt für vorgestellt, welches
der englische Mathematiker John Wallis hergeleitet hat und welches in einen
Kettenbruch verwandelt werden kann. Das dritte Kapitel stellt am Anfang die
Kettenbruchtheorie vor, so dass darauf aufbauend im vierten Kapitel auf die
Kettenbruchdarstellung der Zahl eingegangen werden kann. Des Weiteren wird in
diesem Kapitel die Approximation von mit Näherungsbrüchen untersucht. Hier
werden vor allem „gute“ Näherungsbrüche, also rationale Näherungen, die „gut“
approximieren, präsentiert. Im fünften Kapitel wird ein ganz besonderer („schöner“)
Kettenbruch für dargestellt: einer, der ein Bildungsgesetz hat und der von Lord
William Brouncker aus dem Wallis-Produkt hergeleitet wurde. Zunächst wird dieser
Kettenbruch mit der Leibniz-Reihe verglichen, um dann Vermutungen anzustellen, wie
4
Brouncker es geschafft hat, diesen Kettenbruch wirklich aus dem Wallis-Produkt
herzuleiten, denn seine wahre Vorgehensweise bleibt bis heute ein Geheimnis.
Anschließend werden noch andere „schöne“ Kettenbrüche für , die ein
Bildungsgesetz haben, vorgestellt. Im sechsten Kapitel werden die Kettenbrüche für
hinsichtlich ihres Konvergenzverhaltens beurteilt. Abschließend werden im siebten und
letzten Kapitel der Beweis der Irrationalität von mithilfe eines Kettenbruches sowie
die weiteren Entdeckungen rund um geschildert.
Doch nun zunächst der Überblick über die Entwicklung der Zahl beginnend bei den
Babyloniern.
1 Die Approximation von π vor 1650
Die Berechnung des Kreises ist eines der ältesten Probleme der Menschheit.
Fast alle Kulturen haben sich damit beschäftigt die Zahl zu approximieren. Was nun
folgt, ist ein Überblick über die Erkenntnisse einiger Kulturen bezüglich bis 1650.
Dabei sollen die gefundenen rationalen Approximationen für besonders beachtet
werden.
1.1 Die Babylonier
Die Babylonier fanden ca. 2000 v. Chr. die erste und damit älteste Approximation
von . Durch Betrachten des Kreises mit dem Radius 1 und des regelmäßigen
Sechseckes, welches im Einheitskreis einbeschrieben war, folgerten sie, dass der
dreifache Durchmesser gleich dem Umfang des regelmäßigen Sechsecks war (vgl.
Delahaye 1999, S.64). Außerdem gaben die Babylonier eine Abschätzung des
Verhältnisses zwischen dem Einheitskreis und dem einbeschriebenen Sechseck an:
8
13
3600
36
60
57
3
.
Man vermutet, dass sie dieses durch eine näherungsweise Berechnung in dem ihnen
vertrauten Hexagesimalsystem (60er System) erhalten haben, denn die Nenner der
beiden Brüche 60/57 und 3600/36 sind Potenzen von 60 (vgl. Delahaye 1999, S.65).
1.2 Die Ägypter
Den Ägyptern wird nachgesagt, dass sie die Gleichung
5
2
9
16
erfunden hätten. Das allerdings ist in der Form, in der die Gleichung steht, völlig
unmöglich (vgl. Delahaye 1999, S.63). Die Ägypter kannten weder das
Gleichheitszeichen (welches erst 1557 eingeführt wurde), noch die Bezeichnung der
Kreiszahl mit dem griechischen Buchstaben (diese wurde noch später als das
Gleichheitszeichen, nämlich von William Jones (1675-1749) gewählt (vgl. Heuser 2003,
S.336)) und schon gar nicht die Dezimalziffern von 0 bis 9 und algebraische
Schreibweise der Formel (vgl. Delahaye 1999, S.63). Folgende Entdeckung der
Ägypter kann allerdings als historisch belegt werden und zwar mithilfe des Papyrus
Rhind, welches ein altes ägyptisches Rechenbuch ist (vgl. Delahaye 1999, S.63):
Subtrahiert man von einem Kreis mit dem Durchmesser d gerade 1/9 des
Durchmessers und quadriert diesen Wert, so erhält man die Fläche des Kreises, also:
2
2222
9
16
9
162
9
8
9
8)²
9( rrrd
ddF
.
Setzt man nun für F die Formel ²rF voraus, so erhält man in der heutigen
Notation tatsächlich:
2
9
16
.
1.3 Die Bibel
Auch in der Bibel findet Verwendung. Im Buch der Könige (7,23) heißt es:
„…und er machte ein Meer, gegossen von einem Rand zum andern zehn Ellen weit,
rundumher, und fünf Ellen hoch, und eine Schnur dreißig Ellen lang war das Maß
ringsum.“ Hier wird das Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser mit 1/3
angegeben.
1.4 Die Griechen
Es gibt viele griechische Mathematiker, die sich mit der Kreisberechnung beschäftigt
haben. So versuchte Antiphon um 430 v. Chr., einen Kreis mit Vielecken auszulegen
und somit durch immer weitere Verfeinerungen die Fläche des Kreises auszuschöpfen
(vgl. Arndt&Haenel 2000, S.163). Die heute bekannte „Exhaustions-Methode“ geht also
auf ihn zurück. Bryson von Herakläa, der etwa zur Zeit Antiphons lebte, behauptete,
dass die Kreisfläche das arithmetische Mittel der Flächeninhalte des ein- und
umbeschriebenen Vielecks sei (vgl. Berggren, Borwein&Borwein 1997, S.283). Diese
6
Vermutung ist nicht zutreffend, aber in ihr taucht zum ersten Mal der Begriff „untere“
und „obere Schranke“ auf. Erstmals wurde versucht einzuschachteln. Vor allem aber
beschäftigten sich die Griechen mit der „Quadratur des Kreises“.
Mit klassischen Konstruktionsmethoden (also mit Zirkel und Lineal) versuchte Hippias
von Elis ca. 425 v. Chr. den Kreis mit einer so genannten „Quadratrix“ zu quadrieren
(vgl. Boyer 1968, S.106). Dabei ließ er den Punkt D von C nach E (siehe Abbildung 1)
mit einer konstanten Geschwindigkeit den Kreisbogen durchlaufen. Gleichzeitig
bewegte er eine zu AB senkrechte Gerade vom Punkt A zum Punkt B mitderselben
Geschwindigkeit. Die Ortskurve (in der Abbildung grün eingezeichnet) auf die alle
Schnittpunkte beider Geraden liegen, ist die Quadratrix des Hippias.
Abbildung 1: Quadratrix (Hippias von Elis)1
Ein Problem bereitet allerdings die Konstruktion des Punktes G auf AB. Dieser ist nur
mithilfe eines Grenzprozesses zu erreichen und somit ist die Quadratur des Kreises in
endlich vielen Schritten mit dieser Methode nicht durchführbar (vgl. Delahaye 1999,
S.71). Die Hoffnung, dass die Quadratur des Kreises in endlich vielen Schritten
möglich sei, näherte Hippokrates von Chios (keine Zeitangabe vorhanden), als er
zeigte (vgl. Boyer 1968, S.73), dass die beiden Kreissicheln über den Katheten gleich
dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks waren (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Möndchen des Hippokrates2
Die wichtigsten Erkenntnisse über den Kreis und somit auch über die Zahl erzielte
Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.). Er stellte als Erster fest, dass bei jedem
Kreis das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser gleich dem des Flächeninhalts
zum Quadrat seines Radius ist (vgl. Delahaye 1999, S.72). Noch viel wichtiger war
seine Methode, die Kreiszahl zu berechnen. Dabei ging er wie folgt vor: er
betrachtete den Einheitskreis und nahm regelmäßige (zuerst 6-, dann 12-, 24-, 48-, 96-
1 http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/Geometry/PlaneGeometry/PlaneCurves/TranscendentalCurves/
QuadratrixOfHippias.htm (aufgerufen am: 14.1.2009). 2 http://www.mathematik.ch/geschichte/moendchen_hippokrates.php (aufgerufen am: 14.1.2009).
7
, usw.) n-Ecke und schachtelte damit den Kreis von innen und außen ein (vgl.
Delahaye 1999, S.72):
Abbildung 3: Approximation nach Archimedes3
Mithilfe bekannter Werkzeuge aus der Dreieckslehre, dem Satz des Pythagoras und
den Strahlensätzen, zeigte er, dass man mithilfe der Startwerte: 320 a , 30 b und
den Formeln
nn
nnn
ba
baa
21 und nnn bab 11
die Umfänge der einbeschriebenen und umbeschriebenen Vielecke berechnen kann.
So stieg mit der Anzahl der Ecken auch die Genauigkeit der Approximation.
Seine genaueste Abschätzung machte Archimedes mit regelmäßigen 96-Ecken.
Dabei erhielt er für die folgende Einschachtelung (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.168):
71
103
7
13
oder mit unechten Brüchen ausgedrückt:
71
223
7
22 .
1.5 Die Inder
Im Jahre 380 tauchte die Zahl zum ersten Mal in einem indischen Dokument auf. Als
Näherung wird der Wert 3,1416 verwendet, der auch 119 Jahre später noch einmal
auftaucht. Als Entdecker wird Aryabhata (476-550) genannt und es wird vermutet, dass
er den Wert mit einer ähnlichen Methode wie Archimedes gefunden hat (vgl.
Arndt&Haenel 2000, S.173). Weitere 100 Jahre später fand Brahmagupta (598-668)
die Näherung 10 , die ungenauer als die vorangegangenen ist (vgl. Delahaye
1999, S.77).
3 http://dok.bib.fh-giessen.de/opus/volltexte/2004/3104/html/briefmarken/briefmarke_01_03.htm
(aufgerufen am: 14.1.2009).
8
1.6 Die Chinesen
Auch die Chinesen haben für eine Abschätzung gefunden:
3,121024< <3,142704. Dieses gelang dem chinesischen Mathematiker Liu Hui (220-
280), der ähnlich wie Archimedes, mithilfe von regelmäßigen Vielecken (er benutzte ein
Vieleck mit 192 Seiten) einschachtelte (vgl. Delahaye 1999, S.77).
Etwas später nahm er sogar ein Vieleck mit 3072 Seiten und erhielt folgenden Wert:
14159,3 . Zu Chongshi (429-500) fand im 5. Jahrhundert mit
3,1415926< <3,1415927 eine noch bessere Abschätzung und gleichzeitig den
unechten Bruch 113/355 , der auf 6 Nachkommastellen genau approximiert (vgl.
Delahaye 1999, S.77).
1.7 Die Araber
Auch der Astronom und Mathematiker Al-Kashi (1380-1429) näherte die Zahl mit
einem ähnlichen Verfahren wie Archimedes an. Er betrachtete regelmäßige Polygone
und berechnete den Wert 2 im Sexagesimalsystem. Für ergab sich dabei ein
Wert, der auf 14 Stellen genau ist (vgl. Delahaye 1999, S.78).
1.8 Europa
Nach Archimedes und den anderen Griechen wurden in Europa bis hin zum 13.
Jahrhundert keine bemerkenswerten Erkenntnisse über die Kreisberechnung erzielt.
Lediglich Klaudios Ptolemaios (ca. 170-100 v. Chr.) gab für die Näherung 120/377
an (vgl. Delahaye 1999, S.78). Danach hatte erst Leonardo von Pisa, auch als
Fibonacci bekannt, einen Näherungswert entdeckt. Dieser )141818,3( ist allerdings
weiter von entfernt als der, den Ptolemaios früher gefunden hatte (vgl. Delahaye
1999, S.79). Eine interessante „mechanische“ Approximation entdeckte Leonardo da
Vinci (1452-1519), in dem er einen Zylinder, dessen Höhe gleich dem halben Radius
des Querschnitts war, nahm und abrollte. Die Mantelfläche ist ein Rechteck, welches
gleich der Fläche des Querschnittskreises, also ²rA war (vgl. Arndt&Haenel
2000, S.174). Adrianus Metius (1571-1635) bezeichnete den Bruch 113/355 als gute
Näherung für , doch dieser (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.175) wurde schon
mindestens 1000 Jahre früher in China entdeckt (siehe auch 1.6). Ebenfalls nach der
archimedischen Methode ging Francois Vieta (1540-1603) vor und fand neun Stellen
für . Es wurde zum Trend immer mehr Stellen von zu ermitteln. So bestimmte der
Niederländer Ludolph von Ceulen (1539-1610) zunächst 20, dann kurze Zeit später 32
und dann letztendlich sogar 35 Stellen von . Aufgrund dessen wurde die Zahl
früher auch „Ludolph´sche Zahl“ genannt und ist bis heute als solche in der Literatur zu
9
finden (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.176). Für einen Meilenstein in der Berechnung von
sorgte im Jahr 1593 erneut der Franzose Vieta. Er betrachtete den Einheitskreis,
und versuchte dessen Fläche zunächst mit einem einbeschriebenen regelmäßigen
Viereck, dann mit einem Achteck, 16-Eck, usw. zu bestimmen. Vieta betrachtete nicht
wie Archimedes den Umfang der Vielecke, sondern die Fläche. Je mehr Ecken sein
regelmäßiges Vieleck hatte, desto näher kam er an die exakte Fläche des
Einheitskreises heran. Geometrische und trigonometrische Betrachtungen führten
dazu, dass er folgende faszinierende Formel erhielt (vgl. Delahaye 1999, S.79):
...2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
.
Faszinierend ist diese deshalb, weil in dieser Formel erstmals als unendliches
Produkt dargestellt ist. Ein weiteres unendliches Produkt für ist das von John Wallis
(1616-1703) gefundene:
...86
75
64
53
42
314
.
Mit diesem beschäftigen wir uns im folgenden Kapitel.
2 Das Wallis – Produkt
Nachdem Francois Vieta als erster Mathematiker die Zahl als unendliches Produkt
darstellte, fand John Wallis (1616-1703) 62 Jahre später ebenfalls ein unendliches
Produkt für :
...)²2(
)12)(12(...
66
75
44
53
22
312
4
p
pp
.
Diese Formel hat gegenüber der Vieta–Formel den Vorteil, dass sie ohne
Wurzelzeichen dargestellt ist. Sie drückt durch ein unendliches Produkt von Brüchen
aus, welche sowohl im Zähler als auch im Nenner nur aus natürlichen Zahlen
bestehen. Die Vorgehensweise von John Wallis bei dieser Formel ist sehr kompliziert
und rechenaufwändig (vgl. Delahaye 1999, S.84). Inspiriert vom italienischen
Mathematiker Bonventura Cavalieri versuchte auch Wallis den Kreis zu quadrieren.
Dabei untersuchte er die Fläche des Vierteleinheitskreises, dessen Gleichung ihm als
2
1
²)1( xy
bekannt war und versuchte sie durch kleine Rechtecksflächen auszuschöpfen. Doch
ihm fehlten die geeigneten „Werkzeuge“ und so war es ihm zunächst schlicht
unmöglich Summen der Form
10
nnnn
n mS ...321
zu berechnen. Dieses gelang ihm dann durch das Aufstellen einiger Verhältnisse,
welche er durch induktives Schließen (dem Vorgänger der heute bekannten
vollständigen Induktion) verifizierte und so auf sein Produkt stieß. Dieses ist allerdings
ein Beweis, der heute nicht mehr zu rechtfertigen wäre, weil diese Formeln „nur“
induktiv erschlossen und nicht durch vollständige Induktion bewiesen wurden (vgl.
Delahaye 1999, S.84). Was nun folgt ist ein Beweis des Wallis – Produktes von
Leonard Euler.
2.1 Eulers Analogien
Leonard Euler (1707-1783) entdeckte im Jahr 1748 einen weiteren Beweis für die
Gültigkeit des Wallis – Produktes, der auf Analogie und plausiblen Schlussfolgerungen
beruht und deshalb sehr „gewagt“ war (vgl. Polya 1969, S. 41).
Der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705) soll lange Zeit versucht
haben den Grenzwert der Reihe
...25
1
16
1
9
1
4
11 ,
zu finden, doch es sollte ihm nicht gelingen. Euler hörte von diesem Problem und
versuchte den Wert für diese Summe zu finden. Es wird vermutet, dass er
verschiedene Ausdrücke dafür gefunden haben soll, aber keinen, der die Summe exakt
beschreiben konnte (vgl. Polya 1969, S. 41). Durch plausible Schlussfolgerungen und
Analogien aus bekannten Zusammenhängen entdeckte er schließlich, dass die Summe
gegen 6/² konvergiert. Er schloss von endlichen Polynomen und deren Nullstellen
auf die unendliche Potenzreihe von xsin , um dann nach Betrachtung der Nullstellen
von xsin und xx /)(sin und einem Koeffizientenvergleich den Grenzwert der Summe
herzuleiten. Das Wallis – Produkt verifizierte er auf eine ähnliche Weise.
Euler betrachtete eine allgemeine Gleichung n-ten Grades (vgl. Polya 1969, S. 42):
0...²210 n
n xaxaxaa ,
die maximal n Nullstellen hat. Das Polynom auf der linken Seite der Gleichung lässt
sich aber auch als Produkt von Linearfaktoren darstellen:
0)(...))(( 21 nn xxxa ,
wobei i jeweils die Nullstelle des Polynoms ist. Ist keine der Nullstellen, also keine
der Lösungen der Gleichung, gleich Null, so kann man die Gleichung auch so
aufschreiben (dieses besagt der Satz von Vieta):
11
01...1121
0
n
xxxa
(mit )0i .
Zwei Linearkombinationen sind genau dann gleich, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten
gleich sind. Auch dieses war Euler bekannt, also führte er einen Koeffizientenvergleich
durch und erhielt:
n
aa
1...
111
321
01 .
Im Weiteren ging er bei der unendlichen Potenzreihe von xsin analog vor.
Er entwickelte zunächst
...!7!5!3
³sin)(
75
xxx
xxxf .
Um Nullstellen zu finden, setze er den Funktionsterm mit 0 gleich:
0...!7!5!3
³sin)(
75
xxx
xxxf .
Der Graph der Sinusfunktion hat bei k (für k ℤ )
Nullstellen, also bei ,...2,2,,,0 . Um die störende Nullstelle bei 0 zu eliminieren,
dividierte er die Gleichung noch durch x und erhielt somit:
0...!7!5!3
²1
sin)(
64
xxx
x
xxg .
Dabei ging dann die Nullstelle bei 0 verloren, denn der Graph von )(xg hat die
Nullstellen bei ,...2,2,, , allgemein also bei k (für k ℤ und )0k .
Nun hatte er sein Ziel erreicht: er hatte Nullstellen, die von 0 verschieden waren und
konnte somit seinen letzten Schluss machen und die Potenzreihe von x
xsin so
aufschreiben:
...²9
²1
²4
²1
²
²1...
21
2111
sin
xxxxxxx
x
x .
Setzt man nun noch 2
x so folgt:
...²9
21
²4
21
²
21
2
2sin
222
...66
75
44
53
22
31...
36
35
16
15
4
3....
36
11
16
11
4
11
2
.
12
Durch Multiplikation mit 2 erhält man das Wallis – Produkt für /4 .
Trotz allem ist dieses Vorgehen sehr „gewagt“, denn der Schluss von endliche auf
unendliche Polynome ist nicht offensichtlich, außerdem hat er die Eigenschaften
endlicher auf unendliche Potenzreihen übertragen. Euler selbst soll skeptisch
gegenüber der Gültigkeit dieser Methode gewesen sein und es nicht nur an dem
Beispiel der Reihe
...25
1
16
1
9
1
4
11 ,
sondern auch an der Leibniz–Reihe und weiteren ihm bekannten Reihen probiert
haben. Zehn Jahre später fügte er einen neuen Beweis an, der ihn dann in seiner
Vorgehensweise bestätigte (vgl. Polya 1969, S. 45). Dabei (vgl. Arndt&Haenel 2000,
S.184) bewies er nicht nur die Gültigkeit der Grenzwerte des Wallis - Produktes und
der oben genannten Reihen, sondern die vieler anderer Reihen, die gegen Potenzen
von konvergieren (siehe auch Kapitel 7.2).
Zum effektiven Berechnen von eignet sich das Wallis - Produkt allerdings nicht,
denn es konvergiert nur sehr langsam. So müssen viele Berechnungsschritte
ausgeführt werden, um auf drei Nachkommastellen genau zu erhalten. Interessant
ist das Wallis - Produkt dennoch: erstens aufgrund seiner Darstellung und zweitens,
weil ein irischer Mathematiker, Lord Brouncker, dieses in einen unendlichen
Kettenbruch verwandelt hat (dazu Näheres in Kapitel 5).
3 Kettenbrüche
Im vorherigen Kapitel haben wir das Wallis – Produkt als besondere Darstellung für
kennen gelernt. Der Nachteil dieser Darstellung ist, dass die Konvergenz bei diesem
Produkt allerdings sehr langsam ist und so erheblich viele Rechenschritte auszuführen
sind, um auf drei Stellen genau zu erhalten (vgl. Delahaye 1999, S.85). Nun wollen
wir mithilfe von Kettenbrüchen approximieren. Diese lassen sich in zwei Kategorien
aufteilen: in endliche und unendliche Kettenbrüche. Dabei soll sowohl in diesem als
auch im nächsten Kapitel nur auf regelmäßige Kettenbrüche eingegangen werden.
Um nun eine Vorstellung von der Kettenbruchtheorie zu erhalten, betrachten wir
zunächst die Form und dann einige Eigenschaften der Kettenbrüche.
13
3.1 Endliche Kettenbrüche
Einen Ausdruck der Form
n
n
nb
ab
b
ab
ab
ab
1
3
3
2
21
10
...
wird als endlicher Kettenbruch bezeichnet (vgl. Perron 1954, S.1).
Im Folgenden gehen wir auf Kettenbrüche ein, bei denen alle Teilzähler 1 sind, also
1ia (für alle i ℕ), und außerdem alle Teilnenner jb ℕ (für alle j ℕ0). Diese
besonderen Kettenbrüche heißen regelmäßig (vgl. Perron 1954, S.24). Für den
endlichen, regelmäßigen Kettenbruch
nbb
b
b
1...
1
1
2
1
0
schreibt man vereinfacht auch
nbbbb ,...,,; 210 .
Dabei vereinbaren wir aus Gründen der Eindeutigkeit, dass jeweils das letzte Element,
also in diesem Fall nb , von 1 verschieden sein soll. Ebenso betrachten wir in der
gesamten Arbeit nur Kettenbrüche deren letztes Element von 0 verschieden ist.
Ein endlicher Kettenbruch stellt immer eine rationale Zahl dar. Dieser Sachverhalt wird
beim Zusammenfassen eines endlichen Kettenbruchs deutlich, bei dem man hinten
beginnt und ihn dann „…von dort aus herrichtet“ (vgl. Perron 1954, S.2). Dabei werden
in endlich vielen Schritten nur die Grundrechenarten Addition und „Division innerhalb
der Menge der ganzen Zahlen ℤ benutzt. Obwohl diese bezüglich der Division zwar
nicht abgeschlossen sind, kann als Ergebnis „schlimmstenfalls“ eine rationale Zahl
stehen, weshalb ein endlicher Kettenbruch immer eine rationale Zahl darstellt. Auch die
Umkehrung ist richtig: Jede rationale Zahl kann als endlicher Kettenbruch geschrieben
werden und zwar mithilfe des euklidischen Algorithmus (vgl. Perron 1954, S.22).
Sei 1
0
x
x(mit 0x ℤ 1, x ℕ ) eine rationale Zahl, so können wir mithilfe des euklidischen
Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 0x und 1x bestimmen. Wir
betrachten den Fall 10 xx (für 10 xx verläuft der Beweis analog). Wir dividieren die
kleinere durch die größere der beiden Zahlen und erhalten einen ganzzahligen
14
.1
1
1
1
0
1
0
b
bx
x
2100 xxbx
Quotienten, den wir 0b nennen und einen Rest 2x , mit 12 xx . Wir erhalten also die
Gleichung:
. (3.1)
Geht die Division nicht auf, also ist 120 xx , dann fahren wir fort und dividieren nun
1x durch 2x . Erneut erhalten wir einen ganzzahligen Quotienten 1b und einen Rest 3x ,
mit 23 xx . Dieses Verfahren setzt man so lange fort, bis für einen Rest
ix ( i ℕ ) gilt:
0ix . Dann ist der letzte von Null verschiedene Rest der größte gemeinsame Teiler
von 0x und 1x (vgl. Perron 1954, S.23). Wir schreiben die einzelnen Gleichungen
schematisch auf:
2
1
0
1
0
1
20
1
0
2100
1
x
xb
x
x
x
xb
x
xxxbx wobei 120 xx (3.2)
3
2
1
2
1
2
3
1
2
13211
1
x
xb
x
x
x
xb
x
xxxbx wobei
230 xx (3.3)
4
3
2
3
2
3
42
3
24322
1
x
xb
x
x
x
xb
x
xxxbx wobei 340 xx (3.4)
…
1
2
1
1
211
v
vv
v
vvvvv
x
xb
x
xxxbx
2
1
1
1
1
v
v
v
v
v
x
xb
x
x wobei 120 vv xx (3.5)
v
v
vvvv b
x
xxbx
2
1
21 0 wobei 02 vx (3.6)
Nun setzen wir
1
:
v
vv
x
x ( )1v
und dann die Gleichung (3.3) in (3.2) ein und erhalten:
(3.7)
15
.
1
1
1
2
2
1
0
1
0
b
b
bx
x
In (3.7) setzen wir nun (3.4) ein und erhalten:
(3.8)
Durch Fortführung dieses Schemas erhalten wir schlussendlich für unseren Bruch die
Kettenbruchdarstellung (vgl. Perron 1954, S.23)
vbb
b
b
bx
x
1..
1
1
1
3
2
1
0
1
0
.
Einen Kettenbruch
kk bbbb ,...,;; 210 mit nk 0
nennen wir reduziert. Außerdem nennen wir einen Kettenbruch
nkkkk bbbbr ,...,,, 21
Rest des endlichen Kettenbruchs und es gilt (vgl. Khintchine 1956, S.2):
.,,,...,,;1
,,...,,; 11210
1
1210
nnn
n
nn bbbbbbb
bbbbb (3.9)
Wie oben schon erwähnt, ist wegen der Eindeutigkeit das letzte Element von 1
verschieden.
3.2 Unendliche Kettenbrüche
Analog zur Gestalt eines endlichen Kettenbruchs bezeichnen wir einen Ausdruck der
Form
...2
21
10
b
ab
ab
als einen unendlichen Kettenbruch (vgl. Perron 1954, S.18)
und den Ausdruck
...
1
1
2
1
0
bb
b ,...,; 210 bbb
als einen unendlichen, regelmäßigen Kettenbruch (vgl. Perron 1954, S.23/24).
Zum unendlichen, regelmäßigen Kettenbruch ,...,, 210 bbb nennen wir
kk bbbb ,...,;; 210
16
einen reduzierten Kettenbruch und
,...,, 21 kkkk bbbr
den Rest des unendlichen, regelmäßigen Kettenbruchs.
Wenn 0 nun aber eine irrationale Zahl ist, so wird der zugehörige Kettenbruch
unendlich sein. Zum anderen ist der Grenzwert eines jeden unendlichen und
regelmäßigen Kettenbruchs irrational (vgl. Perron 1954, S.33/34). Dieses setzen wir
zunächst ohne Beweis voraus, ehe es später im Kapitel 4.4 bewiesen wird. Ist die Zahl
quadratisch–irrational, das heißt, Lösung einer quadratischen Gleichung, so ist der
unendliche, regelmäßige Kettenbruch sogar periodisch (vgl. Perron 1954, S.66). Auf
diesen Fall soll allerdings nicht weiter eingegangen werden, da er für diese Arbeit nicht
von Bedeutung ist. Um nun den Kettenbruch einer irrationalen Zahl 0 zu entwickeln,
verwenden wir den Kettenbruchalgorithmus.
3.3 Ein Algorithmus zur Kettenbruchentwicklung
Sei 0 eine irrationale Zahl, dann kann man den unendlichen, regelmäßigen
Kettenbruch ,...],;[ 210 bbb wie folgt ermitteln (vgl. Perron 1954, S.24):
Dazu definieren wir zunächst dieses: ii bb |max{:0 ℤ, }0ib .
Als Erstes nimmt man den größten ganzzahligen Anteil von 0 , dieser ist 00 : b .
Der Rest, der größer als 0 und kleiner als 1 ist, wird mit
1
1
bezeichnet. Man bildet den Kehrwert, erhält 1 und nimmt auch hier den größten
ganzzahligen Anteil, also .: 11 b Der Rest, der nun übrig bleibt wird mit
2
1
bezeichnet. Auch hier bildet man wieder den Kehrwert und nimmt dann vom Kehrwert
erneut den größten ganzzahligen Anteil, also 22 : b . Dieses kann man so weiter
führen. Schematisch sieht das dann so aus:
00
1
1
;
11
2
1
;
22
3
1
; … ;
11
1
vv
v
.
Setzen wir dann
00 : b ; 11 : b ; 22 : b ; … ; vvb : ,
so erhalten wir die regelmäßige Kettenbruchentwicklung für 0 :
17
,...].,,;[ 32100 bbbb
Nun betrachten wir einige Beispiele regelmäßiger Kettenbruchentwicklungen, 2 kann
beispielsweise so dargestellt werden (vgl. Scheid 1991, S.49):
]2;1[,...]2,2,2,2,2,2,2;1[2 .
Die regelmäßige Kettenbruchentwicklung von 2 ist periodisch, denn 2 ist Lösung
der quadratischen Gleichung 02² x und somit quadratisch–irrational, oder
allgemein gesagt: 2 ist algebraisch.
Ein weiteres Beispiel ist die regelmäßige Kettenbruchentwicklung der eulerschen Zahl:
,...]10,1,1,8,1,1,6,1,1,4,1,1,2,1;2[e .
Die Zahl e ist nicht algebraisch, das heißt, dass sie keine Lösung einer algebraischen
Gleichung n-ten Grades sein könnte (vgl. Khintchine 1956, S.48). Die eulersche Zahl
ist transzendent, aber obwohl e transzendent ist, erkennen wir bei der
Kettenbruchentwicklung eine gewisse Regelmäßigkeit (vgl. Bundschuh, S.240). Die
Zahl ist ebenfalls transzendent, also untersuchen wir die regelmäßige
Kettenbruchentwicklung von auf Gesetzmäßigkeiten.
3.4 Der regelmäßige Kettenbruch von π
Wir nutzen den Kettenbruchalgorithmus aus dem Kapitel 3.3:
0 ; 30 b
...0626,7
...14159,0
1
3
111
; 711 b
...99659,15
...062513,0
1
7
11
111
2
; 1522 b
...003417,1
...99659,0
1
15
11
222
3
; 133 b
...63483,292
...0034172,0
1
1
11
333
4
; 29244 b
...57522,1
...63483,0
1
292
11
444
5
; 155 b
also:
18
...1
1292
11
115
17
13
oder kürzer: ,...]1,292,1,15,7;3[ .
Durch die Weiterführung des Algorithmus 3.4 erhalten wir als erste 33 Elemente des
regelmäßigen Kettenbruchs (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.232):
[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6].
Diese berechnete erstmals John Wallis im Jahr 1685 mithilfe der 35 Stellen von
Ludolph Van Ceulen (vgl. Bauer 2009, S.274). Im Gegensatz zur eulerschen Zahl lässt
sich weder bei den ersten 33 Gliedern, noch bei den nächsten 19.999.999.967
Gliedern (20 Milliarden Glieder wurden bisher berechnet) ein Bildungsgesetz oder
Muster erkennen (vgl. Bauer&Haenel 2007, S.6). Die regelmäßige
Kettenbruchentwicklung von hat jedoch noch einen weiteren Nachteil: Die
Dezimalstellen von müssen bekannt sein, denn sonst kann der Algorithmus nicht
anwendet werden. Aber wir werden im Kapitel 4 eine sehr nützliche Eigenschaft des
regelmäßigen Kettenbruchs kennen lernen: indem wir nur Abschnitte des Kettenbruchs
betrachten, können wir mithilfe von Brüchen, so genannten Näherungsbrüchen, gut
approximieren.
4 π – Approximation mit Näherungsbrüchen
Wir haben im vorherigen Kapitel die regelmäßige Kettenbruchentwicklung von
kennen gelernt und feststellen müssen, dass diese scheinbar keine Gesetzmäßigkeit
aufweist. Nun betrachten wir von dem regelmäßigen Kettenbruch nur noch Abschnitte,
so genannte Näherungsbrüche, und werden feststellen, dass diese sehr gute
Näherungswerte für liefern. Außerdem untersuchen wir in Kapitel 4.3, welche
Eigenschaften Näherungsbrüche haben. Mit diesen Erkenntnissen können wir dann
ableiten, wie die Näherungsbrüche angeordnet sind und in Kapitel 4.5 untersuchen,
warum gerade sie „beste Näherungen“ für sind. Außerdem werden wir in Kapitel 4.6
erfahren, welche anderen Brüche noch als „beste Näherungen“ für infrage kommen.
19
....1 1210 vv BBBBB
4.1 Näherungsbrüche
Zunächst betrachten wir die Näherungsbrüche eines regelmäßigen Kettenbruchs
allgemein:
Sei ,...],;[ 210 bbb ein unendlicher, regelmäßiger Kettenbruch, dann bezeichnen wir
den reduzierten Kettenbruch
v
vvv
B
Abbbb ],...,,;[ 210
als v-ten Näherungsbruch von , beziehungsweise als v-te Konvergente (vgl.
Khintchine 1956, S.4). Ein unendlicher Kettenbruch hat unendlich viele
Näherungsbrüche (vgl. Perron 1954, S.18). Wenn die Näherungsbrüche mit
wachsendem Index v gegen einen Grenzwert konvergieren, also
(4.1)
gilt, so nennt man einen Kettenbruch auch konvergent (vgl. Perron 1954, S.18) und es
gilt folgende Ungleichungskette für die Nenner der Näherungsbrüche:
(4.2)
Betrachten wir nun zunächst die ersten drei Näherungsbrüche von .
1
0
0
0
0 bb
B
A ;
1
10
1
0
1
1 11
b
bb
bb
B
A ;
111
1
21
02210
21
20210
2
1
0
2
2
bb
bbbbb
bb
bbbbb
bb
bB
A
.1
)1(
012
012
21
0102
BBb
AAb
bb
bbbb
Dabei ist vA die Folge der Zähler und entsprechend vB die Folge der Nenner
der Näherungsbrüche. Es wird deutlich, dass wir die Näherungsbrüche eines
regelmäßigen Kettenbruchs durch einen Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner
darstellen können. Allgemein notiert:
21
21
vvv
vvv
v
v
BBb
AAb
B
A.
Der Vollständigkeit halber definieren wir die Formel auch für die Indizes 1v und
2v (vgl. Schwarz 1998, S.172). Wir erhalten dann:
v
v
v B
Alim
20
.],,...,,[21
21
1100
vvv
vvvvv
BB
AAbbb
11 A , 01 B sowie 02 A , 12 B ,
wobei der entsprechende Näherungsbruch 11 / BA , der innerhalb dieser Arbeit des
Öfteren auftaucht, wegen der Division durch 0 nicht definiert ist. Nun beweisen wir die
Gültigkeit durch vollständige Induktion (vgl. Rockett&Szüsz 1992, S.2).
Beweis
Den Induktionsanfang (IA) für 2v haben wir oben schon gemacht.
In der Induktionsvoraussetzung (IV) behaupten wir nun, dass die oben genannte
Formel für k ℕ gilt, also:
21
21
kkk
kkk
k
k
BBb
AAb
B
A.
Außerdem gilt nach (3.9):
]1
,...,,;[],,...,,;[1
2101210
1
1
v
vvv
v
v
bbbbbbbbbb
B
A.
Also:
21111
21111
2
1
1
1
2
1
1
1
21
1
21
1
1
11
)1
(
)1
(
kkkkkk
kkkkkkb
k
k
kkk
k
k
kkk
kk
k
k
kk
k
k
k
k
BbBBbb
AbAAbb
Bb
BBb
Ab
AAb
BBb
b
AAb
b
B
A k
11
11)(
1211
1211
)(
)(
kkk
kkkIV
kkkkk
kkkkk
BBb
AAb
BBBbb
AAAbb.
Ebenso gilt:
21 vvvv AAbA und 21 vvvv BBbB
und somit:
(4.3)
Wird nun vvb gesetzt (dabei ist v der Rest eines regelmäßigen Kettenbruchs), so
erhalten wir:
(4.4)
Diese Formel wird für spätere Beweise nützlich sein.
.21
21
vvv
vvv
v
v
BBb
AAb
B
A
21
4.2 Die Näherungsbrüche für π
Mithilfe der Formel (4.3)
21
21
vvv
vvv
v
v
BBb
AAb
B
A
können wir nun sämtliche Näherungsbrüche für rekursiv berechnen.
Dieses führen wir exemplarisch für die ersten drei Näherungsbrüche aus:
1
3
103
013
210
210
0
0
BBb
AAb
B
A,
7
22
017
137
101
101
1
1
BBb
AAb
B
A,
106
333
1715
32215
012
012
2
2
BBb
AAb
B
A.
In der folgenden Tabelle betrachten wir nun die Abweichung der Näherungsbrüche von
sowie die Abweichung aufeinander folgender Näherungsbrüche:
v vb Näherungsbruch
v
v
B
A
Abweichung
v
vv
B
A
Abweichung
aufeinander
folgender
Näherungsbrüche
1
1
v
v
v
vv
B
A
B
Ad
0 3
1
3
-0,141592653 ---
1 7
7
22
+0,001294489
7
1
2 15
106
333
-0,000083219627
742
1
3 1
113
355
+0,000000266765
11978
1
4 292
33102
103993
-0,000000000577
3740526
1
5 1
33215
104384
+0,000000000330
1099482930
1
6 1
66317
208341
-0,000000000124
2202719155
1
Tabelle 1: Näherungsbrüche für π (Quelle: Eigene Darstellung)
22
Aus der Tabelle wird Folgendes ersichtlich: Mithilfe der Näherungsbrüche finden wir
gute Approximationen für . Schon beim Näherungsbruch 113/355 ist die
Approximation auf 6 Nachkommastellen genau. Diese Approximation hat Adrianus
Metius (1571-1635) gefunden (angeblich ist sie aber noch viel früher in China entdeckt
worden, vgl. Kapitel 1.6). Auch die Näherungsbrüche 1/3 , 7/22 und 106/333 waren
längst vor der Erfindung von Kettenbrüchen bekannt. Eine andere Auffälligkeit dieser
Tabelle ist der große „Sprung“ von 113/355 nach 33102/103993 . An dieser Stelle fällt
vor allem der hohe Wert des Teilnenners 4b auf. Wenn der Teilnenner groß ist, scheint
die Approximation besonders gut zu sein (Näheres dazu in Kapitel 6, wenn der
regelmäßige Kettenbruch von auf sein Konvergenzverhalten untersucht wird). Es
gibt weitere solcher Stellen, an denen ein „Sprung“ vorliegt. Dieses ist zum Beispiel
auch bei 431v der Fall, dann ist 20776431 b (vgl. Khrushchev 2008, S.10). Die
Näherungsbrüche sind abwechselnd kleiner oder größer als . Außerdem
approximiert jeder Näherungsbruch besser als sein Vorgänger. Für den Abstand
zweier aufeinander folgender Näherungsbrüche von gilt:
11
1 1
vvv
v
v
v
BBB
A
B
A ( v ℕ).
Dies bedeutet, dass der absolute Abstand zweier aufeinander folgender
Näherungsbrüche ein Stammbruch ist. Dieser hat als Nenner das Produkt der beiden
Nenner der Näherungsbrüche.
4.3 Eigenschaften der Näherungsbrüche
Wir beweisen nun nacheinander unsere Beobachtungen allgemein für alle
Näherungsbrüche vv BA / . Bei einigen dieser Beweise müssen wir auf den folgenden
Satz zurückgreifen, den wir deshalb als erstes beweisen wollen (vgl. Schwarz 1998,
S.164).
4.3.1 Satz
Für die Näherungsbrüche vv BA / , 11 / vv BA (für v ℕ0) gilt:
Beweis
Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion.
Den Induktionsanfang (IA) machen wir für 0v und erhalten:
.)1( 1
11
v
vvvv ABBA
23
111001010 bABBA .
Wir behaupten: Wenn unsere Induktionsvoraussetzung (IV)
1
11 )1(
k
kkkk ABBA
für alle k ℕ gilt, dann gilt die Formel auch für 1k :
kkkkkkkkkkkk ABBbBAAbABBA )()( 111111
kkkkkkkkkkkkkk ABBAABABbBABAb 111111
2)(
11 )1()(
k
IV
kkkk ABBA .
Daraus können wir außerdem folgern:
1),( vv BAggT ,
denn der größte gemeinsame Teiler von vA und
vB müsste nach obiger Gleichung
auch den Term 1)1( v teilen. Dieses ist aber nur für den Teiler 1 (beziehungsweise
auch -1) der Fall. Weiter kann man aus der Gleichung 1
11 )1(
v
vvvv ABBA für
v ℕ0 sogar schließen, dass der größte gemeinsame Teiler von ),( vv BA ,
von ),( 11 vv BA , von ),( 1 vv BA und von ),( 1vv BB gleich 1 ist, wenn die
Näherungsbrüche 11 / vv BA und vv BA / aufeinander folgend sind (vgl. Perron 1954,
S.25). Aus dieser Formel können wir nun weitere Erkenntnisse bezüglich unserer
Näherungsbrüche ziehen, wie zum Beispiel, dass für den Abstand zwei aufeinander
folgender Näherungsbrüche der Satz 4.3.2 gilt (vgl. Scheid 1991, S.51).
4.3.2 Satz
Für zwei aufeinander folgende Näherungsbrüche vv BA / , 11 / vv BA (für v ℕ) gilt:
1
1
1
1 )1(
vv
v
v
v
v
v
BBB
A
B
A .
Beweis
Um die Gültigkeit dieses Satzes zu beweisen, dienen uns die Rekursionsformeln (4.3)
sowie der Satz 4.3.1 als Voraussetzung. Der Beweis besteht darin, dass wir die
Differenz der beiden aufeinander folgenden Näherungsbrüche bilden und diese mithilfe
unserer Voraussetzungen vereinfachen. Wir erhalten:
1
1
1
11
1
1 )1(
vv
v
vv
vvvv
v
v
v
v
BBBB
ABBA
B
A
B
A.
Eine Aussage über die Anordnung der Näherungsbrüche macht der Satz 4.3.3.
24
4.3.3 Satz
Für die Näherungsbrüche vv BA / ( v ℕ0) eines Kettenbruchs einer irrationalen Zahl
0
gilt (vgl. Perron 1954, S.36):
1
1
3
3
5
5
12
12
0
2
2
4
4
2
2
0
0 ......B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
v
v
v
v
.
Beweis
Um die Gültigkeit dieser Ungleichungskette zu beweisen, zeigen wir erst einmal, dass
ein Näherungsbruch mit ungeradem Index 12: nv echt größer als ein
Näherungsbruch mit geradem Index nv 2: (beides für n ℕ0) ist.
Als Voraussetzung für den Beweis nutzen wir den Satz 4.3.2, welcher besagt, dass für
aufeinander folgende Näherungsbrüche für ( v ℕ) die Gleichung
1
1
1
1 )1(
vv
v
v
v
v
v
BBB
A
B
A
gilt.
Wir behaupten, dass (für n ℕ0)
n
n
n
n
B
A
B
A
2
2
12
12
gilt. Dieses beweisen wir, indem wir zeigen, dass die Differenz von 1212 / nn BA und
nn BA 22 / positiv ist:
nnnn
n
n
n
n
n
BBBBB
A
B
A
212212
1)12(
2
2
12
12 1)1(
,
der Nenner nn BB 212 ist positiv und somit auch der Bruch
nn BB 212
1
. Daraus folgt:
.2
2
12
12
n
n
n
n
B
A
B
A
Jetzt bleibt zu zeigen, dass ein Näherungsbruch mit geradem Index nv 2 größer ist
als sein Vorgänger mit dem Index 22 nv . Wir müssen also beweisen, dass
22
22
2
2
n
n
n
n
B
A
B
A
(für n ℕ) gilt. Ebenfalls muss noch gezeigt werden, dass ein Näherungsbruch mit
ungeradem Index 12 nv immer kleiner ist als sein Vorgänger mit dem Index
12 nv . Wir betrachten zunächst den Fall, dass v gerade ist.
25
Um die Ungleichung 22
22
2
2
n
n
n
n
B
A
B
A zu zeigen, beweisen wir, dass die Differenz der
Näherungsbrüche nn BA 22 / und
2222 / nn BA größer als 0 ist. Wir betrachten die
Differenz:
2212
2
122
12
22
22
12
12
12
12
2
2
22
22
2
2 )1()1(
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
BBBBB
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A.
Der linke Bruch
122
12)1(
nn
n
BB
ist negativ, denn der Zähler ist negativ, weil eine Potenz mit einer negativen Basis und
einem ungeraden Exponenten negativ ist. Der rechte Bruch
2212
2)1(
nn
n
BB
ist positiv, denn der Zähler ist positiv, weil eine Potenz mit einer negativen Basis und
einem geraden Exponenten immer positiv ist.
Nun ist der Ausdruck
2212
2)1(
nn
n
BB
absolut gesehen größer als
122
12)1(
nn
n
BB,
denn für die Nenner der Näherungsbrüche gilt laut der Ungleichungskette (4.2):
vv BBBBB 1210 ...1
und somit gilt ebenfalls:
nnn BBB 21222 .
Fazit:
22
22
2
2
22
22
2
2 0
n
n
n
n
n
n
n
n
B
A
B
A
B
A
B
A.
Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass ein Näherungsbruch mit ungeradem Index 12: nv
immer kleiner ist als sein Vorgänger mit dem Index 12: nv . Wir betrachten nun also
den Fall, dass v ungerade ist. Dabei gehen wir analog vor und betrachten die
Differenz der Näherungsbrüche 1212 / nn BA und
1212 / nn BA , um die Ungleichung
26
12
12
12
12
n
n
n
n
B
A
B
A
(für n ℕ) zu beweisen:
122
12
212
22
12
12
2
2
2
2
12
12
12
12
12
12 )1()1(
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
BBBBB
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A.
Es gilt:
0)1(
212
22
nn
n
BB und 0
)1(
122
12
nn
n
BB,
außerdem:
nn
n
BB 212
22)1(
122
12)1(
nn
n
BB,
denn: 122 nnBB nn BB 212 .
Fazit:
12
12
12
12
12
12
12
12 0
n
n
n
n
n
n
n
n
B
A
B
A
B
A
B
A.
Und somit gilt:
1
1
3
3
5
5
12
12
0
2
2
4
4
2
2
0
0 ......B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
n
n
n
n
.
Welche Konsequenzen haben diese Sätze für die Näherungsbrüche von ?
Mit jedem weiteren Näherungsbruch können wir besser approximieren.
Die Näherungsbrüche mit geradem Index bilden eine monoton wachsende
Folge vv BA 22 / , die gegen konvergiert. Hingegen bilden die Näherungsbrüche
mit ungeradem Index eine monoton fallende Folge 1212 / vv BA , die ebenfalls den
Grenzwert besitzt. Mithilfe der Näherungsbrüche kann folgendermaßen
eingeschachtelt werden:
.7
22
113
355
33215
104384
99532
312689............
66317
208341
33102
103993
106
333
1
3
12
12
2
2
n
n
n
n
B
A
B
A
4.4 Kettenbruchentwicklung
Im vorherigen Kapitel haben wir schon impliziert, dass eine irrationale Zahl eine
unendliche Kettenbruchentwicklung hat und dass ein unendlicher, regelmäßiger
27
Kettenbruch tatsächlich konvergiert. Mithilfe der Sätze über Näherungsbrüche aus den
vorherigen Kapiteln 4.1, 4.2 und 4.3 können wir dieses nun auch beweisen.
4.4.1 Satz
Wenn die Zahl 0 irrational ist, so ist ihr Kettenbruch unendlich und somit können wir
schreiben (vgl. Perron 1954, S.31): ,...],,[ 2100 bbb .
Beweis
Zunächst betrachten wir die Entwicklung der Nenner der Näherungsbrüche. Diese
Nenner vB sind ganzzahlig und werden mit der aus dem Kapitel 4.1 bekannten Formel
21 vvvv BBbB entwickelt. Wenn der Index v größer wird, so wachsen auch die
Werte für vB , also gilt (4.2): ...1 3210 BBBB .
Der unendliche Kettenbruch ,...],,[ 2100 bbb kann auch mithilfe des Abschnitts v so
dargestellt werden: ],,...,,[ 12100 vvbbbb , wobei ,...],[ 1 vvv bb ist.
Es gilt laut (4.4) außerdem:
21
21
0
vvv
vvv
BB
AA
.
Nun bilden wir die Differenz von der irrationalen Zahl 0 und dem Nährungsbruch
11 / vv BA und erhalten:
)(
)()(
211
211211
1
1
21
21
1
1
0
vvvv
vvvvvvvv
v
v
vvv
vvv
v
v
BBB
BBAAAB
B
A
BB
AA
B
A
.)( 211
2121
vvvv
vvvv
BBB
BAAB
Die Differenz im Zähler ist nach dem Satz 4.3.1 entweder 1 oder -1 und somit erhalten
wir:
(4.5)
Die Nenner wachsen mit zunehmenden Index v über alle Grenzen, also gilt:
1
1
0 limv
v
v B
A ,
was nach (4.1) gerade die Definition für einen unendlichen, konvergenten Kettenbruch
ist.
.)(
)1(
211
1
1
1
0
vvvv
v
v
v
BBBB
A
28
4.4.2 Satz
Jeder unendliche Kettenbruch ,...],,[ 210 bbb konvergiert gegen eine irrationale Zahl 0
(vgl. Perron 1954, S.32/33).
Beweis
Dieser Beweis gliedert sich in mehrere Teilbeweise (vgl. Bundschuh 1998, S.225).
Als Erstes ist zu zeigen, dass jeder unendliche Kettenbruch konvergiert, also einen
Grenzwert besitzt. Dieses lässt sich mit dem Monotonie–Kriterium zeigen, welches
besagt, dass eine Folge konvergiert, wenn sie sowohl monoton wachsend als auch
nach oben beschränkt ist. Entsprechend gilt, dass eine Folge konvergiert, wenn sie
monoton fallend und nach unten beschränkt ist (vgl. Heuser 2003, S.155).
Laut dem Satz 4.3.3 ist bekannt, dass die Folge nn BA 22 / der Näherungsbrüche
monoton wachsend ist. Zudem ist der Näherungsbruch 1212 / nn BA eine obere
Schranke, weshalb nn BA 22 / das Monotoniekriterium erfüllt und dementsprechend
gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Ebenso kann die Konvergenz der Folge
1212 / nn BA gezeigt werden. Ebenso ist 1212 / nn BA nach dem Satz 4.3.3
monoton fallend und der Näherungsbruch nn BA 22 / eine untere Schranke. Somit
konvergiert auch die Folge 1212 / nn BA gegen den Grenzwert '
0 . Zweitens ist zu
zeigen, dass beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Wegen dem ersten Beweisteil gilt:
'
0 0 00
'
0 .
Außerdem erhalten wir durch Abschätzung diese Ungleichung:
nn
n
n
n
n
n
BBB
A
B
A
212
22
2
2
12
12
0
'
0
)1(
.
Insgesamt haben wir somit folgende Ungleichungskette:
nn
n
n
n
n
n
BBB
A
B
A
212
22
2
2
12
12
0
'
0
)1(0
.
Die Differenz 0
'
0 ist somit auf der linken Seite durch die 0 nach unten und durch
die Nullfolge nn
n
BB 212
22)1(
nach oben eingeschachtelt. Nach dem Einschachtelungssatz
(vgl. Heuser 2003, S.152) konvergiert auch die Differenz 0
'
0 gegen 0 und deshalb
folgt: 0
'
0 .
29
Damit ist gezeigt, dass es nur einen Grenzwert 0 gibt. Schließlich bleibt noch zu
zeigen, dass der Grenzwert 0 irrational ist. Dieses lässt sich mit einem indirekten
Beweis zeigen, indem angenommen wird, dass 0 rational, also qp /0 ist und
diese Annahme zum Widerspruch geführt wird. Es gilt:
v
v
v
v
v
v
B
A
B
A
B
A
1
1
0 .
Mit unserer Annahme q
p0 erhalten wir:
v
v
v
v
v
v
B
A
B
A
B
A
q
p
1
1 .
Aus dem Satz 4.3.2 folgt:
vv
v
v
v
v
v
BBB
A
B
A
1
2
1
1 )1(
.
Aus
vv
v
BqB
A
q
p
1
folgt schließlich:
vBq
1
v
v
v
v
v
v
B
A
B
A
B
A
q
p
1
1
vvvv
v
BBBB 11
2 1)1(
.
Entscheidend ist die Ungleichung
vBq
1
vv BB 1
1
,
welche so interpretiert werden kann, dass bei festem q der Faktor 1vB im Nenner des
rechten Bruches immer kleiner als q bleibt. Dies stellt aber ist einen Widerspruch zu
der Tatsache dar, dass die Folge vB unbeschränkt wächst. Konsequenterweise
muss die Annahme verworfen werden, weshalb die Behauptung, dass 0 irrational ist,
korrekt ist.
Fazit: Jeder unendliche Kettenbruch ,...],,[ 210 bbb konvergiert gegen eine irrationale
Zahl 0 .
30
4.5 Approximation mit Näherungsbrüchen
Nachdem wir in Kapitel 4.3 die Eigenschaften von Näherungsbrüchen kennen gelernt
haben, ist es nun möglich, irrationale Zahlen mit Näherungsbrüchen zu approximieren.
Der folgende Satz hilft uns, Aussagen über die Güte der Approximation mit
Näherungsbrüchen zu treffen (vgl. Perron 1954, S.37). Danach wollen wir eine
Definition für „beste Näherung“ einführen und zeigen, dass ein Näherungsbruch auch
wirklich immer eine „beste Näherung“ an eine Zahl 0 darstellt.
4.5.1 Satz
Die Näherungsbrüche einer Zahl 0 approximieren den wahren Wert
0 mit einer
solchen Genauigkeit, dass der Fehler kleiner ist als der reziproke Wert vom Quadrat
des Näherungsnenners (vgl. Perron 1954, S.37). Es gilt für ( v ℕ):
2
11
1
0
1
vv
v
BB
A .
Für die Approximation von mit dem Näherungsbruch 113/355 bedeutet das
beispielsweise:
12769
1
²113
1
113
355 .
Die Abweichung des Näherungsbruches 113/355 von der Zahl beträgt also weniger
als ²113/1 .
Beweis
Um diesen Satz zu beweisen, greifen wir auf die Formel (4.5) zurück, welche wir
folgendermaßen umformen können:
)(
1
2111
1
0
vvvvv
v
BBBB
A
.
Diese Gleichheit gilt nur, wenn vb der letzte Teilnenner ist, also wenn:
21 vvvv BBB . Aus der Ungleichungskette (4.2) folgt weiterhin, dass die Nenner
der Näherungsbrüche vB mit wachsendem Index v größer werden. Daher gilt
vv BB 1 und somit auch
2
1111
1
0
11
vvvv
v
BBBB
A
aus der Tatsache, dass durch Austausch von vB und 1vB der Nenner kleiner und
damit der Wert des Bruches größer gemacht wurde.
31
.1 vv BNBMQ
Der Satz 4.5.1 zeigt uns, dass ein Näherungsbruch eine „gute Näherung“ an eine Zahl
0 liefert. Aber ist das auch die wirklich „beste Näherung“? Die in diesem
Zusammenhang wichtigste Aussage macht das Gesetz der besten Näherung.
4.5.2 Das Gesetz der besten Näherung
Jetzt wollen wir zeigen, dass ein Näherungsbruch vv BA / tatsächlich die beste
Approximation an eine irrationale Zahl 0 liefert (vgl. Perron 1954, S.44/45). Das heißt,
dass wir ein Kriterium für „beste Näherung“ brauchen. Dazu beweisen wir zunächst
den folgenden Satz, um dann eine Definition für „beste Näherung“ daran
anzuschließen.
4.5.2.1 Satz
Sei vv BA / (mit 1);( vv BAggT und 1v ) der Näherungsbruch v-ter Ordnung von
der irrationalen Zahl0 , so gilt für jeden Bruch
vv BAQP // mit vBQ 0 und
QP, ℤ:
PQAB vv 00 .
Beweis
Wir beweisen (vgl. Perron 1954, S.45) das Gesetz der besten Näherung allgemein und
behaupten, dass
PQABAB vvvv 01010 gilt.
Da wir den Ausdruck PQ 0 abschätzen müssen, überlegen wir zunächst welcher
Zusammenhang zwischen vAP, und
1vA besteht: vAP, und
1vA sind ganzzahlig und
so kann P auf folgende Weise als Linearkombination ausgedrückt werden:
1 vv ANAMP . Derselbe Zusammenhang besteht zwischen vBQ, und 1vB :
.1 vv BNBMQ Zunächst stellen wir ein lineares Gleichungssystem mit den
Gleichungen
1 vv ANAMP
(4.6)
auf und überprüfen, ob N und M ganze Zahlen sind:
1
1
vv
vv
BNBMQ
ANAMP
vvvvv
vvvvv
ABNABMAQ
BANBAMBP
1
1
32
ABNABMAQ
ABNABMBANBAMAQBP
vvvv
vvvvvvvvv
1
11
ABNABMAQ
NABNBAAQBP
vvvv
vvvvvv
1
11
MABNABAQ
ABBANAQBP
vvvvv
vvvvvv
1
11 )(
ABNABMAQ
NAQBP
vvvv
v
vv
1
1)1(
)()1( 1
vv
v AQBPN .
Laut der Voraussetzung sind die Zahlen QPBA vv ,,, allesamt ganzzahlig und daher
gilt dieses auch für den Term )()1( 1
vv
v AQBP und somit für N .
Durch analoges Vorgehen erhält man:
)()1( 11
1
vv
v BPAQM .
Wir ziehen als Zwischenfazit 1: Wir können die ganzen Zahlen NM , also wie folgt
ausdrücken:
)()1( 1
vv
v AQBPN
)()1( 11
1
vv
v BPAQM
und wir können folgern, dass NM , ganzzahlig sind.
Ein Blick auf unser Ziel:
Die Ungleichung
vv ABPQ 00
soll gezeigt werden.
Wir gehen von der linken Seite aus und setzen die Gleichungen (4.6) ein:
)()( 1010 vvvv ANAMBNBMPQ
)()(
)()(
0101
*
0101
0101
1001
vvvv
vvvv
vvvv
vvvv
ABMABN
ABMABN
MAMBNANB
MANAMBNB
)( 101 vv ABN
.0101 vvvv ABAB
33
Die Gleichheit (*) der Terme
)()()()( 01010101 vvvvvvvv ABMABNABMABN
muss noch gezeigt werden. Dieses wäre gegeben, wenn )( 101 vv ABN und
)( 0 vv ABM dasselbe Vorzeichen haben. Aus dem Zwischenfazit 1 können wir
folgern: N muss von Null verschieden sein, denn sonst würde gelten:
vv AQBP ,
laut der obigen Voraussetzung gilt auch, dass vv BAQP // .
Aus vv AQBP folgt aber gerade, dass
v
v
B
A
Q
P
und das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss N in jedem Fall von 0
verschieden sein. Wir führen nun eine Fallunterscheidung für M durch.
1. Fall:
Sei 0M , dann gilt für die Gleichungen (4.6):
NAP v 1 sowie NBQ v 1
.
Dann können wir zeigen:
1011011010 vvvvvv ABABNNANBPQ
vv AB 0 .
Somit wäre die Behauptung für den einfachen Fall 0M schon gezeigt.
Nun wollen wir dies auch für 0M zeigen und nehmen nun an, dass M und N
unterschiedliche Vorzeichen haben.
2. Fall:
Sei 0M , dann gilt :
vvvv BMQBNBNBMQ 11 .
Laut Voraussetzung gilt: 1Q und 11 QBB vv und 0M .
Daraus können wir folgende Ungleichungen ableiten:
0 vBM und 0 vBMQ .
Aus vv BMQBN 1 und 0 vBMQ folgt, dass: 01 vBN und
schlussendlich
0N ,
weil .01 vB
34
3. Fall:
Sei 0M , dann gilt:
vvvv BMQBNBNBMQ 11.
Laut Voraussetzung gilt: 1Q und 11 QBB vv und 0M .
Daraus können wir nun ableiten, dass das Produkt vBM positiv ist, also
.0 vBM
Es folgt aber auch, dass
0 vBMQ ,
denn: QBv und da M eine ganze Zahl und in diesem Fall ( 0M ) sogar eine
natürliche Zahl ist, gilt:
0 vv BMQQBM ,
damit 01 NBv gilt, muss
0N
sein, denn: 01 vB .
Wir halten unser Zwischenfazit 2 fest:
Wenn 0M , dann: 0N . Außerdem: wenn 0M , dann: 0N .
Gemäß dem Satz 4.3.2 ist bekannt, dass 0 von den Näherungsbrüchen, wie folgt
eingeschachtelt wird:
1
1
0
v
v
v
v
B
A
B
A (wenn v gerade ist) und
v
v
v
v
B
A
B
A
0
1
1 (wenn v ungerade ist).
Durch Umformung erhalten wir für den geraden Index v die Ungleichungen:
1010 vv AB und 00 vv AB .
Wenn der Index v aber ungerade ist, so gelten die Ungleichungen:
1010 vv AB und 00 vv AB .
N und M haben unterschiedliche Vorzeichen (siehe Zwischenfazit 2), deshalb
müssen die Terme
)( 101 vv ABN und )( 0 vv ABM
dasselbe Vorzeichen besitzen. Dieses können wir zeigen, indem wir die zwei
möglichen Fälle für den Index v untersuchen:
1. Fall: Wir nehmen zunächst an, dass der Index v gerade ist, dann gilt:
0)( 101 vv AB und 0)( 0 vv AB .
Sei nun 0N und 0M , dann :
0)( 101 vv ABN und 0)( 0 vv ABM .
35
Sei 0N und 0M , dann :
0)( 101 vv ABN und 0)( 0 vv ABM .
2. Fall: Nun betrachten wir den Fall, dass v ungerade ist.
Dann gelten die Ungleichungen
0)( 101 vv AB sowie 0)( 0 vv AB .
Sei nun 0N und 0M , dann :
0)( 101 vv ABN und 0)( 0 vv ABM .
Sei 0N und 0M , dann :
0)( 101 vv ABN und 0)( 0 vv ABM .
Zwischenfazit 3: Die Terme
)( 101 vv ABN und )( 0 vv ABM
haben dasselbe Vorzeichen, daraus folgern wir:
.)()()()( 01010101 vvvvvvvv ABMABNABMABN
Noch einmal der Blick auf unser Ziel:
vv ABPQ 00
soll gezeigt werden, also:
)()( 1010 MANAMBNBPQ vvvv
)()(
)()(
0101
0101
0101
1001
vvvv
vvvv
vvvv
vvvv
ABMABN
ABMABN
MAMBNANB
MANAMBNB
)( 101 vv ABN
.0101 vvvv ABAB
Fazit:
(4.7)
Das bedeutet: Wenn der Bruch vv BA / mit 0B ein Näherungsbruch (mindestens
erster Ordnung von 0 ) ist, so gibt es keinen Bruch QP / (mit vv BA / QP / ), für den
PQAB vv 00 und zugleich vBQ 0 wäre (vgl. Perron 1954, S.45).
Nun soll an diesem Satz unsere Definition für die „beste Näherung“ geknüpft werden.
.00 PQAB vv
36
4.5.2.2 Definition
Ein Bruch BA / mit 0B heißt eine „beste Näherung“ von0 , wenn jeder andere
Bruch, der näher oder ebenso nahe an 0 liegt wie BA / einen größeren Nenner hat
(vgl. Perron 1954, S.46). Mithilfe der Ungleichung (4.7) können wir sogar beweisen,
dass die Näherungsbrüche von 0 ab 1v „beste Näherungen“ sind und für
vBQ 0 folgendes gilt:
Q
P
B
A
v
v 00 .
Beweis:
Den Beweis führen wir per Widerspruch. Unsere Voraussetzung dafür ist die in
(4.5.2.1) bewiesene Ungleichung
PQAB vv 00 (für vBQ 0 ).
Wir wollen zeigen, dass folgendes gilt:
Q
P
B
A
v
v 00 für vBQ 0 .
Wir nehmen nun an, dass
Q
P
B
A
v
v 00
gelte und führen diese Annahme zum Widerspruch:
PQQ
PQ
Q
PB
B
ABAB v
v
vvvv 00000 .
Dementsprechend gilt die Ungleichung
PQAB vv 00 ,
was aber im Widerspruch zur Voraussetzung steht und aufgrund dessen die
Behauptung gilt.
Was heißt das für ? Dieses soll zunächst am Beispiel des Näherungsbruch 106/333
verdeutlicht werden: Es gibt keinen Bruch (unabhängig davon, wie der Zähler gewählt
wird) mit kleinerem Nenner als 106, der näher an liegt als die Näherung 106/333 .
Wir halten als Fazit fest: Die Näherungsbrüche, die wir mithilfe der Rekursionsformeln
aus Kapitel 4.2 berechnet haben, sind „beste Näherungen“ für . Laut dem Gesetz der
besten Näherung lässt sich keiner dieser Näherungswerte verbessern, indem man
(unabhängig vom Zähler) einen beliebigen Bruch mit kleinerem Nenner nimmt. Jeder
Näherungsbruch (reduzierter Kettenbruch) ist ein besserer Bruch für . Gibt es aber
37
vielleicht auch noch andere Brüche, die der Definition der „besten Näherung“ genügen
aber keine reduzierten Kettenbrüche sind? Dieses soll im folgenden Kapitel untersucht
werden. Dafür müssen wir nun Brüche, die wir Nebennäherungsbrüche nennen,
betrachten.
4.6 Approximation mit Nebennäherungsbrüchen
4.6.1 Nebennäherungsbrüche Zur Erinnerung: Den reduzierten Kettenbruch
v
vvv
B
Abbbb ],...,,;[ 210
haben wir in Kapitel 4.1 als v-ten Näherungsbruch von bezeichnet. Um diese Art von
Näherung mit den Nebennährungsbrüchen abzugrenzen, wollen wir unsere aus Kapitel
4.2 bekannten Näherungsbrüche nun „Hauptnäherungsbrüche“ nennen.
4.6.1.1 Definition
Als Nebennäherungsbruch definieren wir die Ausdrücke (vgl. Perron 1954, S.47):
21
21
21
21
21
21
)1(
)1(,....,
2
2,
vvv
vvv
vv
vv
vv
vv
BBb
AAb
BB
AA
BB
AA (für )1v .
Allgemein nennen wir einen Ausdruck der Form (für )1v
(4.8)
mit dem Parameter c einen Nebennäherungsbruch. Für c gilt laut unserer Definition:
11 vbc und c ℕ.
Diese Brüche liegen alle zwischen
21
21
0
0
vv
vv
BB
AA und
21
21
vvv
vvv
BBb
AAb
oder anders gesagt zwischen den beiden Hauptnäherungsbrüchen
2
2
v
v
B
Aund
v
v
B
A.
Laut dem Satz 4.3.3 gilt die Ungleichungskette
1
1
3
3
5
5
12
12
0
2
2
4
4
2
2
0
0 ......B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
v
v
v
v
.
21
21
vv
vv
BBc
AAc
38
Unter der Annahme, dass der Index v gerade ist, erhalten wir mit der Formel (4.8) alle
Näherungen, die kleiner sind als 0 . Für die Brüche mit ungeradem Index v kann man
feststellen, dass sie allesamt größer als 0 sind (vgl. Perron 1954, S.48).
Wir erhalten also zwei Serien von Näherungsbrüchen. Zum einen die Serie:
,...,...,1
1,,...,
1
1,
4
4
234
234
23
23
2
2
012
012
01
01
0
0
B
A
BBb
AAb
BB
AA
B
A
BBb
AAb
BB
AA
B
A
(4.9)
in der alle Näherungsbrüche zwischen zwei Hauptnäherungsbrüchen mit geradem
Index v aufgeführt sind. Entsprechend erhalten wir zum anderen die Serie:
,...,...,1
1,,...,
1
1
3
3
123
123
12
12
1
1
101
101
10
10
B
A
BBb
AAb
BB
AA
B
A
BBb
AAb
BB
AA
(4.10)
in der alle Näherungsbrüche zwischen zwei Hauptnäherungsbrüchen mit ungeradem
Index v aufgelistet sind. Nützlich für die weiteren Beweise erweist sich die Tatsache,
dass eine der beiden Näherungen
1
1
v
v
B
A und
21
21
vv
vv
BBc
AAc
(für vbc 0 ) der Serie (4.9) und die andere der Serie (4.10) angehört.
Nehmen wir nämlich an, dass der Index v gerade ist, so ist 11 / vv BA in der Serie
(4.10) und )/()( 2121 vvvv BcBAcA in der Serie (4.9) enthalten. Wenn v ungerade
ist, so ist es genau umgekehrt. Daher können wir als (4.11) festhalten, dass
1
1
0
v
v
B
A und
21
21
0
vv
vv
BBc
AAc
unterschiedliche Vorzeichen haben, da sie auf verschiedenen Seiten von 0 liegen.
Zunächst einmal prüfen wir, welche Nebennäherungsbrüche wir für die Zahl
erhalten. Die ersten fünf Hauptnäherungsbrüche für sind:
.33102
103993,
113
355,
106
333,
7
22,
1
3
Die Nebennäherungsbrüche zwischen den Hauptnäherungsbrüchen
1/3 und 7/22 lassen sich mit dem Ausdruck (4.8) wie folgt berechnen (vgl. Perron
1954, S.52):
c
c
c
c
BBc
AAc
vv
vv 13
01
13
21
21
, wobei für c gilt: 61 c .
Dabei kann, wie man in der Ungleichung sieht, c maximal so groß sein, wie der um 1
verminderte, entsprechende Teilnenner .vb
Für 6c ergibt sich beispielsweise der Nebennäherungsbruch
39
6
19
6
163
,
für 5c erhält man
5
16
5
153
als Nebennäherungsbruch.
Durch weitere Rechnungen erhalten wir die Nebennäherungsbrüche:
1
4,
2
7,
3
10,
4
13.
Für diese Brüche gilt:
1
3
1
4
2
7
3
10
4
13
5
16
6
19
7
22 .
Analog lassen sich auch die Nebennäherungsbrüche zwischen den
Hauptnäherungsbrüchen 7/22 und 106/333 berechnen. Da 2b =15, erhalten wir jetzt
sogar 14 Nebennäherungsbrüche:
.8
25,
15
47,
22
69,
29
91,
36
113,
43
135,
50
157,
57
179,
64
201,
71
223,
78
245,
85
267,
92
289,
99
311
Wir müssen uns nun allerdings die Frage stellen, ob auch wirklich alle davon „beste
Näherungen“ sind. Um das zu klären, betrachten wir nochmals die Definition 4.5.2.2:
Ein Bruch BA / mit positivem Nenner heißt eine „beste Näherung von 0 “, wenn jeder
andere Bruch, der näher oder ebenso nahe an 0 liegt wie BA / einen größeren
Nenner hat (vgl. Perron 1954, S.46). Die folgende Tabelle ( auch siehe nächste Seite)
zeigt die Abweichungen der Nebennäherungsbrüche zwischen 7/22 und .1/3
c Nebennäherungsbruch
N
M
Abweichung
N
Mv
1
6
19
0,025074013
2
5
16
0,058407346
3
4
13
0,108407346
4
3
10
0,191740679
40
5
2
7
0,358407346
6
1
4
0,858407346
Tabelle 2: Nebennährungsbrüche zwischen 22/7 und 3/1
(Quelle: Eigene Darstellung)
Gerade bei den letzten drei Nebennäherungsbrüchen 1/4 , 2/7 und 3/10 fällt eine
große Abweichung von auf. Sind diese Brüche dennoch „beste Näherungen“ im
Sinne der obigen Definition 4.5.2.2? Wir überprüfen, ob der Bruch 3/10 eine „beste
Näherung“ für ist. Die Abweichung von beträgt absolut gesehen ungefähr
.19174,0 Sollten wir nun einen Bruch angeben können, der einen kleineren Nenner als
3 hat und näher an liegt, so kann 3/10 keine „beste Näherung“ für sein. Der
Hauptnäherungsbruch 1/3 hat einen kleineren Nenner als der Bruch 3/10 und weicht
von betragsmäßig nur um ca. 0,14159 ab. Somit ist 3/10 als „beste Näherung“ für
auszuschließen. Nun wollen wir genauer untersuchen, welche
Nebennäherungsbrüche wirklich „beste Näherungen“ für sind. Wir vermuten, dass
dieses vom Parameter c abhängig ist. Um diese Untersuchung durchführen zu können,
müssen wir zunächst die Nebennäherungsbrüche von anderen Brüchen abgrenzen
und zeigen, dass ein Nebennäherungsbruch dann eine beste Näherung an eine Zahl
0 sein wird, wenn dieser näher an 0 liegt als der tev )1( Hauptnäherungsbruch.
Dieses soll dann auch unsere Definition sein, die uns angibt, wann ein
Nebennäherungsbruch eine „beste Näherung“ für 0 ist. Zuvor beweisen wir nun, dass
ein Nebennäherungsbruch eine „beste Näherung“ für 0 ist, wenn jeder andere Bruch
QP / , der näher oder ebenso nah an 0 liegt, einen größeren Nenner als unsere
Näherung hat. Dieses besagt der Satz 4.6.2 (vgl. Perron 1954, S.48):
4.6.2 Satz
Jeder andere Bruch QP / , der näher oder ebenso nah an 0 liegt wie ein
Näherungsbruch )/()( 2121 vvvv BcBAcA hat einen absolut größeren Nenner als
der Näherungsbruch (wobei QP / )/()( 2121 vvvv BcBAcA ).
Beweis
Es ist zu zeigen, dass aus
41
21
21
00
vv
vv
BcB
AcA
Q
P
die Ungleichung 21 vv BcBQ folgt.
Aus der Ungleichung
21
21
00
vv
vv
BcB
AcA
Q
P
können wir folgern, dass der Bruch QP / näher (oder genauso nah) an 0 liegt wie der
Nebennäherungsbruch )/()( 2121 vvvv BcBAcA . Wenn QP / aber nun näher
(oder genauso nah) an 0 liegt, so liegt QP / auch näher (oder genauso nah) an dem
Hauptnäherungsbruch 11 / vv BA als der Nebennäherungsbruch und deshalb gilt die
Ungleichung:
1
1
21
21
1
1
v
v
vv
vv
v
v
B
A
BcB
AcA
B
A
Q
P.
Wir beginnen mit der linken Seite der Ungleichung und erhalten:
Q
P
B
A
Q
P
B
A
B
A
Q
P
v
v
v
v
v
v
0
1
1
00
1
1
0
1
1 .
Nun schätzen wir diesen Ausdruck mithilfe der Dreiecksungleichung ab:
Q
P
B
A
Q
P
B
A
v
v
v
v
0
1
1
00
1
1
0 .
Laut der Voraussetzung liegt der Bruch QP / näher an 0 als die Näherung
)/()( 2121 vvvv BcBAcA und somit gilt:
Q
P
B
A
v
v
0
1
1
0
21
21
0
1
1
0
vv
vv
v
v
BcB
AcA
B
A .
Betrachten wir jetzt nur noch die rechte Seite der Ungleichung, also:
21
21
0
1
1
0
vv
vv
v
v
BcB
AcA
B
A .
Einer der beiden Summanden
1
10
v
v
B
A ,
21
21
0
vv
vv
BcB
AcA
ist negativ, der andere positiv, weil
1
1
v
v
B
A und
21
21
vv
vv
BcB
AcA
42
laut (4.11) auf verschiedenen Seiten von 0 liegen. Deshalb folgt:
21
21
0
1
1
0
21
21
0
1
1
0
vv
vv
v
v
vv
vv
v
v
BcB
AcA
B
A
BcB
AcA
B
A
.1
1
21
21
21
21
0
1
1
0
v
v
vv
vv
vv
vv
v
v
B
A
BcB
AcA
BcB
AcA
B
A
Lesen wir nun unsere gesamte Ungleichungskette von links nach rechts, so erhalten
wir:
1
1
21
21
1
1
v
v
vv
vv
v
v
B
A
BcB
AcA
B
A
Q
P.
Aufgrund von (4.11) gilt:
1
1
21
21
1
1
v
v
vv
vv
v
v
B
A
BcB
AcA
B
A
Q
P
)(
)()(
211
211211
vvv
vvvvvv
BcBB
BcBAAcAB
)( 211
2121
vvv
vvvv
BcBB
BAAB.
Der Zähler ist nach dem Satz (4.3.1) entweder 1 oder -1, während der Nenner in jedem
Fall positiv ist. Nun können die Betragsstriche entfernt werden und wir erhalten:
)(
1
2111
1
vvvv
v
BcBBB
A
Q
P.
Multiplikation beider Seiten mit dem Term 1vQB (wobei sowohl Q als auch
1vB nach
Definition positiv sind) ergibt:
21
11
vv
vvBcB
QQAPB .
Zu untersuchen bleibt der Ausdruck 11 vv QAPB . Die Zahlen 1,, vAQP und
1vB sind
ganzzahlig und somit muss gelten:
111 vv QAPB .
Wir erhalten die Ungleichungskette
21
111
vv
vvBcB
QQAPB
aus der wir dieses folgern können:
43
.121
vv BcB
Q
Somit ist 21 vv BcBQ . Hierbei muss allerdings ausgeschlossen werden, dass der
Bruch QP / gleich dem Hauptnäherungsbruch 11 / vv BA ist, denn sonst wäre
(4.12)
und damit könnte man den obigen Schluss 21 vv BcBQ nicht ziehen.
Fazit: Jeder andere Bruch QP / , der näher oder ebenso nah an 0 liegt wie ein
Näherungsbruch 2121 / vvvv BcBAcA hat einen absolut größeren Nenner als der
Näherungsbruch (wobei QP /2121 / vvvv BcBAcA ). Eine Ausnahme bildet
höchstens (siehe (4.12)) der Hauptnäherungsbruch11 / vv BA .
Aufgrund unserer Definition für eine „beste Näherung“ schließen wir hieraus, dass der
Nebennäherungsbruch 2121 / vvvv BcBAcA nur dann eine beste Näherung sein
wird, wenn er näher an 0 liegt als der Hauptnäherungsbruch
11 / vv BA .
Mithilfe von (4.11), was besagt, dass
1
1
0
v
v
B
A und
21
21
0
vv
vv
BBc
AAc
unterschiedliche Vorzeichen haben, können wir folgern, dass 11 / vv BA niemals
zwischen 0 und 2121 / vvvv BcBAcA liegen kann, denn 11 / vv BA und
2121 / vvvv BcBAcA liegen auf verschiedenen Seiten von 0 . Somit kann der Satz
4.6.2 sowohl auf Haupt-, als auch auf Nebennäherungsbrüche verallgemeinert werden
(vgl. Perron 1954, S.49).
4.6.3 Satz
Jeder Bruch, der zwischen 0 und einem Haupt- oder Nebennäherungsbruch liegt, hat
einen absolut größeren Nenner als dieser. Und auch die Umkehrung dieses Satzes gilt
(vgl. Perron 1954, S.49).
4.6.4 Satz
Wenn ein Bruch QP / mit 0Q von der Art ist, dass jeder zwischen 0 und QP /
fallende Bruch einen Nenner hat, der absolut größer als Q ist, dann ist QP / einem
Haupt- oder Nebennäherungsbruch gleich. Mithilfe der Sätze 4.6.2, 4.6.3 und 4.6.4
können wir nun untersuchen, welche Näherungen wirklich „beste Näherungen“ sind.
011 vv QAPB
44
Wir halten fest: Ein Nebennäherungsbruch der Form
21
21
vv
vv
BBc
AAc
ist dann und nur dann „beste Näherung“ an eine Zahl 0 sein wird, wenn gilt:
1
1
0
21
21
0
v
v
vv
vv
B
A
BBc
AAc .
Ausgehend von dieser Ungleichung isolieren wir c , da die Entscheidung „beste
Näherung“ oder nicht, nur vom Parameter c abhängig sein kann. Zunächst einmal
bilden wir sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite den Hauptnenner, damit
wir nur noch einen Bruch auf jeder Seite haben:
1
110
21
21210 )()(
v
vv
vv
vvvv
B
AB
BBc
AcABcB .
Aus 021 vv BBc und 01 vB folgt:
1
110
21
21210 )()(
v
vv
vv
vvvv
B
AB
BcB
AcABcB .
Den Zähler des linken Bruches multiplizieren wir aus und ordnen die Summanden
anders an:
1
110
21
212010
v
vv
vv
vvvv
B
AB
BcB
AcABcB
.)(
1
110
21
202110
1
110
21
202110
v
vv
vv
vvvv
v
vv
vv
vvvv
B
AB
BcB
ABABc
B
AB
BcB
ABcAcB
Aus der Formel (4.4)
101
202
vv
vvv
AB
AB
folgt durch Multiplikation des Terms 101 vv AB auf beiden Seiten:
)( 101202 vvvvv ABAB .
Dieses in die Ungleichung eingesetzt, ergibt:
.))((
)()(
1
110
21
101
1
110
21
101101
v
vv
vv
vvv
v
vv
vv
vvvvv
B
AB
BcB
ABc
B
AB
BcB
ABABc
45
Nun dividieren wir auf beiden Seiten durch den Term101 vv AB , wobei
0101 vv AB (weil ja 0 11 / vv BA ) und erhalten:
121
1)(
vvv
v
BBcB
c .
Um nun die Brüche zu beseitigen, multiplizieren wir mit dem Term 121 )( vvv BBcB ,
der in jedem Fall größer als 0 ist, da 21,, vv BBc allesamt positiv sind.
Somit erhalten wir die vereinfachte Ungleichung:
211 vvvv BcBBc .
Die Betragsstriche auf der linken Seite müssen noch beseitigt werden. Das können wir
aber erst machen, wenn die Zahl zwischen den Betragsstrichen positiv ist.
Es gilt, dass cbvv und somit ist der Term )( vc negativ. Wir nehmen die
Gegenzahl )( cv , die in jedem Fall positiv ist und lassen die Betragsstriche weg:
211)( vvvv BcBBc .
Die linke Seite ausmultipliziert und die Summanden, die ein c enthalten auf eine Seite
der Ungleichung gebracht und wir erhalten:
(4.13)
Für den Parameter c gilt: c ℕ und vbc 0 , wobei vb der tev Teilnenner des
Kettenbruchs ,...],,...,,;[ 1210 vv bbbbb ist. Nun machen wir eine Fallunterscheidung für
welche c diese Ungleichung erfüllt ist, denn dann liegt der Nebennäherungsbruch
näher an 0 als der Hauptnäherungsbruch
11 / vv BA und ist in diesem Fall eine „beste
Näherung“. Wir betrachten den Term c2 und führen eine Fallunterscheidung durch
(vgl. Perron 1954, S.51).
1. Fall: Die Ungleichung 211 2 vvvv BcBB ist erfüllt, wenn 12 vbc gilt. Dann
gilt nämlich:
vvvvvv BBbBcB 1121 )1(2
und somit die Ungleichung
211 2 vvvv BcBB .
Welche anderen Fälle können noch eintreten?
2. Fall: Wir betrachten: 12 vbc und setzen dies in (4.13) ein:
12121 )1(2 vvvvvvv BbBBbBcB .
Laut Kapitel 3.2 gilt:
.2 211 vvvv BcBB
46
vvb
und somit:
11 vvvv BBb .
Damit ist die Ungleichung (4.13) für den Fall 12 vbc nicht erfüllbar.
3. Fall: Im Sonderfall vbc 2 muss eine weitere Untersuchung geführt werden, denn
die Ungleichung (4.13) liefert uns für diesen Fall:
vvvvvv BBBbB 211
1
v
vv
B
B .
Dann müssen sowohl die linke als auch die rechte Seite in Kettenbrüche entwickelt
werden und man erhält die Ungleichung:
],,...,,[,...],,[ 12121 bbbbbbb vvvvv .
Sollte diese erfüllt sein, so ist ein Nebennäherungsbruch auch für den Fall vbc 2 eine
„beste Näherung“. Wir halten als Fazit den folgenden Satz fest:
4.6.5 Satz
Der Nebennäherungsbruch
21
21
vv
vv
BBc
AAc
ist dann und nur dann „beste Näherung“ an eine Zahl 0 , wenn gilt: vbc 2 . Im Fall
vbc 2 muss eine weitere Unterscheidung gemacht werden. Im Fall vbc 2 liegt nie
eine „beste Näherung“ an die Zahl 0 vor.
4.6.6 Die „besten Näherungen“ für π
Mithilfe dieses Satzes können wir nun endgültig sämtliche Brüche für bestimmen,
die „beste Näherungen“ sind.
Die aus dem Kapitel 4.2 bekannten Hauptnäherungsbrüche
,...33102
103993,
113
355,
106
333,
7
22,
1
3
sind nach dem Satz 4.5.2.1 „beste Näherungen“. Jetzt gilt es, die
Nebennäherungsbrüche zwischen den Hauptnäherungsbrüchen zu bestimmen.
Die zwischen 7/22 und 1/3 haben wir schon bestimmt, sie lauten:
.1
4,
2
7,
3
10,
4
13,
5
16,
6
19
47
Wir untersuchen, bei welchen dieser Brüche die geforderte Bedingung vbc 2 erfüllt
ist.
Bei 016
136
6
19
ist 6c und 71 b . Somit ist die Bedingung
vbc 2 erfüllt.
Bei 015
135
5
16
ist 5c und 71 b . Somit ist die Bedingung vbc 2 erfüllt.
Bei 014
134
4
13
ist 4c und 71 b . Somit ist die Bedingung
vbc 2 erfüllt.
Bei 013
133
3
10
ist 3c und 71 b . Somit ist die Bedingung vbc 2 nicht erfüllt.
Nur die Brüche
4
13,
5
16,
6
19
sind also „beste Näherungen“.
Analog findet man, dass von den zwischen 106/333 und 7/22 eingeschachtelten
Nebennäherungsbrüchen nur die Brüche
99
311,
92
289,
85
267,
78
245,
71
223,
64
201,
57
179
„beste Näherungen“ sind.
Zwischen den Hauptnäherungsbrüchen 113/355 und 106/333 gibt es keinen
Nebennäherungsbruch, da 13 b und man für 1c nur den Bruch 113/355 erhält.
Als Überblick nun folgende Brüche, die eine „beste Näherung“ für im Sinne der
Definition 4.5.2.2 sind:
,...16717
52518,
16604
52163,
113
355,
106
333,
99
311,
92
289,
85
267,
78
245,
71
223,
64
201,
57
179,
7
22,
6
19,
5
16,
4
13,
1
3 .
Diese halten wir auch als Fazit dieses Kapitels fest. Ebenfalls wollen wir vermerken,
dass viele dieser Näherungsbrüche schon weit vor der Kettenbruchtheorie bekannt
waren. So gab Archimedes schon die rationalen Näherungen 7/22 sowie 71/223 als
unterste beziehungsweise als oberste Schranke für an (vgl. Kapitel 1.4). Die
Näherungsbrüche 106/333 und 113/355 entdeckte Metius (vgl. Kapitel 1.5) und der
Wert 1/3 wurde schon in der Bibel genannt (vgl. Kapitel 1.3). Allgemein haben wir
festgestellt, dass sich die Zahl mithilfe von Näherungsbrüchen sehr gut
approximieren lässt. Dabei müssen wir zwischen Haupt- und Nebennäherungsbrüchen
unterscheiden. Die Hauptnäherungsbrüche sind immer eine „beste Näherung“ für .
Bei den Nebennäherungsbrüchen ist das vom Parameter c abhängig.
48
5 Besondere Kettenbrüche für π
Im dritten Kapitel haben wir die regelmäßige Kettenbruchentwicklung von kennen
gelernt und feststellen müssen, dass diese keinem Bildungsgesetz zugrunde liegt.
Allerdings konnten wir in Kapitel 4 feststellen, dass die reduzierten Kettenbrüche, bzw.
Näherungsbrüche gut approximieren. Nun soll der Schwerpunkt in diesem Kapitel
nicht mehr nur auf eine gute Approximation gelegt werden, sondern auf
bemerkenswerte Kettenbrüche, also auf Kettenbrüche, die ein Bildungsgesetz haben.
Der vermutlich bekannteste ist der von Lord Brouncker gefundene Kettenbruch für
/4 . Diesem werden wir uns ganz besonders in den Kapiteln 5.1.1, 5.1.2 und 5.1.3
widmen. Danach werden wir in 5.2 und 5.3 weitere Kettenbrüche mit Bildungsgesetz
kennen lernen, um dann abschließend im sechsten Kapitel zu unterscheiden, welche
dieser Kettenbrüche besonders gut approximieren und dieses mit dem
regelmäßigen Kettenbruch für vergleichen.
5.1 Der Kettenbruch von Lord William Brouncker
Als John Wallis seine Entdeckung gemacht hatte und die Formel
...66442
...553314
gefunden hatte (siehe Kapitel 2), schickte er seinem Gefährten Lord William Brouncker
einen Brief, in dem er ihm seine Entdeckungen mitteilte. William Brouncker (1620-
1684) war einer der „größten Mathematiker seiner Zeit“ (vgl. Stedall 2002, S.183). Er
war ein Zeitgenosse und Vertrauter von John Wallis, obwohl sie hinsichtlich ihrer
politischen und religiösen Einstellung unterschiedlicher nicht sein konnten (vgl. Stedall
2002, S.183). Brouncker studierte die Wallis- Formel, übersetzte sie in einen
Kettenbruch und erhielt folgende faszinierende Darstellung:
...2
²72
²52
²32
11
4
.
Wallis war derart erstaunt darüber, dass er sofort versuchte diese zu verifizieren. Doch
es sollte ihm nicht gelingen. Lord Brouncker selbst äußerte sich nicht zu seiner
Vorgehensweise und so muss vermutet und spekuliert werden, wie Brouncker auf
diesen Kettenbruch kam (vgl. Beckmann 1970, S.131).
In vielen Quellen (vgl. Khrushchev 2008, S.134 und Coolidge 1963, S.137) werden
Parallelen von Brounckers Kettenbruch und der Leibniz-Reihe angedeutet und so
49
wollen wir zunächst die Gemeinsamkeiten von Brounckers Kettenbruch und der
Leibniz-Reihe untersuchen.
5.1.1 Brounckers Kettenbruch und die Leibniz - Reihe
Wir betrachten zunächst die Entstehung der Leibniz – Reihe. Angeblich soll diese
schon 1410 dem indischen Mathematiker Madhava bekannt gewesen sein, ist dann
aber nicht bis in das Abendland überliefert worden (vgl. Delahaye 1999, S.88). So
entdeckte James Gregory 1673 die Reihe
0
12753
12
)1(...
7
1
5
1
3
1)arctan(
k
kk
k
xxxxxx ,
indem er den Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion
²1
1)(
xxg
betrachtete. Die arctan-Reihe von Gregory nimmt an der Stelle 1x den Wert 4
an:
412
1)1(...1
7
11
5
11
3
11)1arctan(
0
12753
k
kk
k .
Dieses hat Gregory allerdings nie explizit aufgeschrieben. Erst Leibniz berechnete den
Grenzwert der Reihe für 1x , weshalb diese Reihe nach ihm benannt wurde (vgl.
Delahaye 1999, S.88). Wir untersuchen nun zunächst die Konvergenten der Leibniz-
Reihe
...11
1
9
1
7
1
5
1
3
11
12
)1(
4 0
k
k
k
und des Kettenbruchs von Brouncker:
...2
²52
²32
11
4
und stellen diese in einer Tabelle gegenüber, wobei vL v( ℕ0)die ersten
Konvergenten der Leibniz-Reihe und vK ( v ℕ0) die entsprechenden Konvergenten
des Kettenbruchs von Brouncker sind.
50
v
v
vv
A
BL
v
vv
B
AK
0 1 1
1 3/2 2/3
2 15/13 13/15
3 105/76 76/105
4 945/789 789/945
5 10395/7734 7734/10395
Tabelle 3: die ersten sechs Konvergenten der Leibniz-Reihe
und des Kettenbruchs von Brouncker (Quelle: Eigene Darstellung)
Nun lässt sich folgende Vermutung aufstellen: die Konvergenten der Leibniz-Reihe
sind gerade die reziproken Konvergenten des Kettenbruchs. Der anschließende
Beweis von Euler zeigt, wie Brounckers Kettenbruch aus der arctan-Reihe hergeleitet
werden kann.
5.1.2 Der Beweis von Leonard Euler
Leonard Euler bewies im Jahr 1812, dass Brounckers Kettenbruch gegen /4
konvergiert und zeigte dabei die Parallelen von Brounckers Kettenbruch und der
Leibniz-Reihe auf (vgl. Coolidge 1963, S.137). Dabei nutzte er, dass man eine
unendliche, aber konvergente Reihe der Form
...3212110 c
in einen dazu äquivalenten Kettenbruch der Form
...11
1
1
43
3
2
2
10
c
transformieren kann (vgl. Perron 1957, S.17).
Euler verwendete die von Gregory entdeckte Reihe:
...7
1
5
1
3
1)arctan( 753 xxxxx
und wandelte sie gemäß der oben genannten Transformation in einen Kettenbruch um
und erhielt
51
...²57
²25²35
²9²3
²1
)arctan(
x
xx
xx
x
xx ,
indem er
x1 , 3
²2
x ,
5
²33
x ,…
setzte.
Von der Gregory-Reihe wusste Euler, dass sie an der Stelle 1x gegen 4/
konvergiert, dieses bewies er sogar mithilfe seiner „tollkühnen“ Analogien (siehe
Kapitel 2.1). Demnach folgerte er, dass auch der zur Reihe äquivalente Kettenbruch an
der Stelle 1x gegen 4/ konvergiert. Setzt man im Kettenbruch 1x , so erhalten
wir:
4
...2
252
92
11
1)1arctan(
.
Durch Kehrwertbildung erhalten wir Brounckers Kettenbruch:
4
...2
²52
²32
11
.
5.1.3 Brounckers Vorgehensweise
Im Folgenden soll beschrieben werden, wie Lord Brouncker seinen Kettenbruch aus
dem Wallis-Produkt abgeleitet haben könnte. Eine Erklärung dafür versuchte schon
John Wallis in seinem Werk „Arithmetica Infinitorum“ (1655) anzugeben. Im Kapitel mit
der treffenden Überschrift „Idem Aliter“ (frei übersetzt: „Dasselbe nur anders“) versucht
er Brounckers Vorgehensweise zu rekonstruieren (vgl. Stedall 2004, S.167). Diese
bezeichnen Kritiker (vgl. Stedall 2002, S.188) als „unwahrscheinlich“ und bezweifeln,
dass Brouncker so vorgegangen ist, wie es von Wallis beschrieben wurde. Was nun
folgt ist eine Vermutung, wie Brouncker vorgegangen sein könnte, um das Wallis-
Produkt in seinen Kettenbruch zu verwandeln (vgl. Stedall 2002, S.190).
Wir nehmen das Wallis – Produkt als Ausgangspunkt:
...88664422
...77553312
...8866442
...77553314
.
Brouncker könnte erkannt haben, dass im Zähler Produkte der Form
52
)²1()2()( ssbsb
1)²1(2²)2( sssss (5.3)
und im Nenner Produkte der Form
)²1()1)(1( sss
stehen (vgl. Stedall 2004, S.168). Dabei ist s ungerade und somit gilt: 12 ns (für
n ℕ ) . Dieses könnte ihn dazu veranlasst haben, die beiden ungeraden Faktoren (5.3)
so zu erhöhen, dass im Zähler auch das Quadrat einer geraden Zahl steht. Dieses
Muster könnte Brouncker gebraucht haben, um nachher die Äquivalenz seines
Kettenbruchs mit dem Wallis- Produkt zu zeigen. So könnte er den Faktor s zu
)(sb und den Faktor 2s zu )2( sb erhöht haben, sodass (vgl. Khrushchev 2008,
S.138):
. (5.4)
So hätte Brouncker sowohl im Zähler als auch im Nenner Quadrate gerader Zahlen
gehabt:
...)²11()²7()²3(
...)²9()²5()²1(
sss
sss.
Die Gleichung (5.4) eingesetzt, liefert den Ausdruck:
In diesem lassen sich fast alle Faktoren kürzen und so erhält man:
)(..)12()10(.)8()6()4()2(
...)10()8()6()4()2()(sb
sbsbsbsbsbsb
sbsbsbsbsbsb
.
Für 1s erhalten wir das Wallis-Produkt:
..)121()101(.)81()61()41()21(
...)101()81()61()41()21()1()1(
bbbbbb
bbbbbbb
..)13()11()9()7()5()3(
...)11()9()7()5()3()1()1(
bbbbbb
bbbbbbb .
und können nun folgern (da wir vorausgesetzt haben, dass das Wallis-Produkt gegen
/4 konvergiert), dass )1(b gegen /4 konvergiert. Was offen bleibt ist der
Ausdruck, der sich hinter )1(b verbirgt (vgl. Khrushchev 2008, S.139). Brouncker
könnte diesen schrittweise entwickelt haben (vgl. Stedall 2002, S.190).
Um Quadrate gerader Zahlen sowohl im Zähler als auch im Nenner des Wallis-
Produktes zu erhalten, müssen folgende Produkte gelten:
...)12()10(.)8()6()4()2(
...)10()8()6()4()2()(
sbsbsbsbsbsb
sbsbsbsbsbsb
53
²6)7()5( bb
²2)3()1( bb
²4)5()3( bb
(5.5)
…
²)1()1( ssbsb .
Um diese zu erhalten gehen wir von den Produkten
²231
(5.6)
²675
…
aus (vgl. Stedall 2002, S.190). Dabei betrachten wir nur die ersten drei Produkte, mit
den anderen kann analog verfahren werden. Wir müssen nun versuchen aus (5.6)
Produkte zu konstruieren, die zwei Ansprüchen genügen:
1.) sie müssen gegen eine gerade Quadratzahl konvergieren,
2.) sie müssen dem Muster (5.5) genügen, das heißt, dass der zweite Faktor des
ersten Produktes gleich dem ersten Faktor des zweiten Produktes, der zweite Faktor
des zweiten Produkts gleich dem ersten Faktor des dritten Produktes, usw.… ist.
Die Produkte (5.6) sind kleiner als die Quadrate. Wir können sie verbessern, indem wir
einen Faktor erhöhen, denn so machen wir gleichzeitig das Produkt größer:
²21333
11
(5.7)
²613577
15
.
Um allerdings das Muster (5.5) beizubehalten, müssen die Produkte (5.7) erneut
verändert werden. Eine Näherung die auch Brouncker bekannt gewesen sein dürfte,
ist: n
nn2
11² (vgl. Stedall 2002, S.190). Diese können wir als Grundlage für
unser Muster (5.5) nehmen. Wir wählen den Nenner des Bruches immer doppelt so
groß, wie sein ganzzahliger Anteil ist. Hält man sich daran, so ist die Existenz des
Musters immer gewährleistet. Angewandt auf die Produkte (5.7) sieht das so aus:
²453
²411555
13
54
²26
13
2
11
a
²614
17
10
15
c
²24
19
6
13
2
11
(5.8)
²649
1782
14
17
7
15
.
Nun genügen die Produkte (5.8) wieder dem Muster (5.5), allerdings ergeben sie
erneut nicht die exakten Quadrate, sie sind etwas größer. Aber wir sehen, dass sie sich
immer besser dem Wert des Quadrates annähern. Um die Produkte kleiner zu
machen, vergrößern wir den Nenner des Bruches im jeweils ersten Faktor mit
0,, cba und erhalten folgende Gleichungen (vgl. Stedall 2002, S.191):
(5.9)
.
Die Gleichungen nach cba ,, aufgelöst und wir erhalten:
9
9;
7
9;
5
9 cba .
Diese werden in (5.9) eingesetzt und daher werden die Faktoren zu einem
Kettenbruch:
²26
13
5
92
11
(5.10)
²614
17
9
910
15
.
²420
323
10
15
6
13
²410
15
6
13
b
²410
15
7
96
13
55
²213
47
15
47
13
15
6
96
13
2
92
11
²41635
26085
109
555
15
47
10
910
15
6
96
13
²6205
1449
109
555
14
914
17
10
910
15
²2
6
96
13
´2
92
11
a
²4
10
910
15
´6
96
13
b
²6
14
914
17
´10
910
15
c
Um nun das Muster (5.5) wieder zu erlangen, verändern wir die Produkte im Sinne
unserer Näherung n
nn2
11² und zwar so, dass im letzten Teilnenner
vb des
Kettenbruchs immer das Doppelte vom ganzzahligen Anteil 0b des gesamten Bruches
steht und so erhalten wir:
(5.11)
.
Erneut sind die Produkte etwas größer als die Quadrate und deshalb erhöhen wir
wieder jeweils die letzten Teilnenner des ersten Faktors mit 0´´,´, cba :
(5.12)
und erhalten als Werte für ´:´,´, cba
56
11
25´;
9
25´;
7
25´ cba .
Diese in (5.12) eingesetzt, liefern uns die Produkte:
²2
6
96
13
7
252
92
11
²4
10
910
15
9
256
96
13
²6
14
914
17
11
2510
910
15
.
Der nächste Schritt würde jetzt die Wiederherstellung des Musters (5.5) vorsehen.
Danach würden wieder die jeweils letzten Teilnenner um 0´´´´,´´, cba erhöht, um das
Produkt kleiner zu machen. Wendet man dieses Verfahren immer wieder an, so
gewinnen die einzelnen Faktoren/Kettenbrüche jedes Mal einen Teilnenner hinzu und
der Wert des Produktes nähert sich immer mehr dem Wert des Quadrates (vgl. Stedall
2002, S.192). Es ist also ein Prozess des ständigen Änderns und Rechnens. Der
Kettenbruch
...2
252
92
11)1(
b
ist dabei gerade der Kettenbruch von Brouncker, der gegen /4 konvergiert. An
dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass es sich bei der oben
geschilderten Vorgehensweise Brounckers „nur“ um eine Vermutung handelt. Wenn er
aber wirklich so vorgegangen sein sollte, so hat Brouncker mehr gefunden als nur
„seinen“ Kettenbruch für /4 . Dann hat er auch die vielen weiteren Kettenbrüche, die
ebenfalls gegen oder gegen rationale Vielfache oder Kehrwerte von
konvergieren, gefunden. Denn aus den bekannten Produkten (5.5) folgt beispielsweise:
57
...6
256
96
13)3(
b
)3(²2)3(4
²2)3()1( bbbb .
Somit konvergiert der Kettenbruch
gegen . Auch die anderen Kettenbrüche ),...9(),7(),5( bbb konvergieren gegen
rationale Vielfache oder Kehrwerte von (vgl. Stedall 2002, S.194):
²6364
916
...14
914
17
...10
910
15)7()5(
bb
²8649
256
4
9
...18
918
19
...14
914
17)9()7(
bb
…
Diese sind auch schon im Werk „Arithmetica Infinitorum“ (1656) von John Wallis
aufgelistet (vgl. Stedall 2004, S.169). Mit seinem Kettenbruch
...50
2550
950
125)25(
b
soll Brouncker diese Einschachtelung gefunden haben (vgl. Khrushchev 2008, S.146):
.931415926536,3691415926535,3
Allgemein, so behauptet Khrushchev, soll Brouncker sogar diese Funktionalgleichung
entwickelt haben (vgl. Khrushchev 2008, S.144):
...)1(2
²5)1(2
²3)1(2
²1)1(
...)1(2
²5)1(2
²3)1(2
²1)1(²
ss
s
s
ss
s
ss. (5.13)
kurz: )1()1(² sbsbs
58
...7
²95
²43
²1
)arctan(
x
x
x
xx
.
....9
²47
²35
²23
²11
4
Für 2s liefert (5.13) die beiden Kettenbrüche für /4)1( b (linker Faktor) und für
)3(b (rechter Faktor). Ebenso kann man beispielsweise für 4s erneut den
Kettenbruch )3(b (dann: linker Faktor) und den Kettenbruch /16)5( b
entwickeln. Die Gleichung (5.13) ist laut Khrushchev in zweierlei Hinsicht bedeutsam
(vgl. Khrushchev 2008, S.11): Erstens erinnere sie an die dritte binomische Formel
und zweitens an die Funktionalgleichung der eulerschen
Gammafunktion )()1( xxx .
Auch die Interpretation des Wallis – Produkt ist mit Berücksichtigung der
Funktionsgleichung (5.13) eine andere. Es sieht dann, wie oben schon gezeigt, so aus
(vgl. Khrushchev 2008, S.11):
..)13()11()9()7()5()3(
...)11()9()7()5()3()1()1(
bbbbbb
bbbbbbb
Das Produkt besteht in dieser Form im Zähler und Nenner aus Kettenbrüchen, von
denen jeder gegen rationale Vielfache oder Kehrwerte von konvergiert und ist in
dieser Form sogar schon im „Arithmetica Infinitorum“ abgebildet (vgl. Stedall 2004,
S.169).
5.2 Der Kettenbruch von Lambert
Einen weiteren Kettenbruch für , der ein Bildungsgesetz hat, fand Johann Heinrich
Lambert (1728-1777) im Jahr 1770 (vgl. Bauer 2009, S.278).
Indem er die aus 5.1.1 bekannte arctan-Reihe
...7
1
5
1
3
1)arctan( 753 xxxxx
mithilfe eines euklidischen Teileralgorithmus in den Funktionskettenbruch
(5.14)
umformte, entdeckte er für 1x folgende Darstellung für /4 , nämlich (vgl. Bauer
2009, S.278):
(5.15)
59
...1
201
121
61
21
11
2
...113
²59
²473
²35
²233
²11
12
Lambert war es auch, der als erster einen Beweis der Irrationalität von mithilfe eines
Kettenbruchs darlegte (siehe Kapitel 7.3).
5.3 Andere Kettenbrüche mit Bildungsgesetz
Außer den Kettenbrüchen von Brouncker oder dem von Lambert gibt es noch andere
Kettenbrüche für , die ein Bildungsgesetz besitzen.
Leonard Euler fand im Jahr 1739 den Ausdruck (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.215):
.
(5.16)
Ungefähr 36 Jahre später gab er den Kettenbruch
(5.17)
an (vgl. Bauer 2009, S.279). Dieser lässt sich aus dem Funktionskettenbruch (5.14)
von Lambert ableiten, indem man dort 3/1x setzt. Außerdem ist dieser in der
Literatur bei Bauer und Haenel auch als Jungscher Kettenbruch (nach dem
tschechischen Mathematiker Vilém Jung) bekannt (vgl. Bauer 2009, S.279).
Im Jahr 1783 fand Leonard Euler dann noch die beiden folgenden Kettenbrüche:
...4
754
534
313
21
2
und
...8
758
538
317
21
4
. (5.18)
60
In diesem Kapitel haben wir nun einige Kettenbrüche mit einem Bildungsgesetz kennen
gelernt. Im anschließenden Kapitel sollen diese und der regelmäßige Kettenbruch von
im Bezug auf ihr Approximationsverhalten bewertet werden.
6 Konvergenz vs. Bildungsgesetz
Mithilfe der in Kapitel 5 aufgeführten Kettenbrüche können wir beliebig genau
approximieren. Es stellt sich nun die Frage nach der Güte der Approximation oder
genauer gesagt, wie viele Schritte man ausführen muss, um eine „gute“ Approximation
zu erhalten. Wünschenswert wäre eine Approximation bei der mit jedem Schritt, also
mit jedem hinzugenommenen Kettenbruchterm bzw. jedem weiteren Näherungsbruch
ungefähr eine genaue Nachkommastelle von dazu kommt. Ein solches
Konvergenzverhalten wird dann auch linear genannt (vgl. Bauer 2009, S.278).
Eine andere Art von Konvergenz wäre die logarithmische Konvergenz. Diese würde
bewirken, dass ungefähr mit 10 Schritten eine Nachkommastelle, mit 100 Schritten
zwei Nachkommastellen, mit 1000 Schritten drei Nachkommastellen, usw. gefunden
werden (vgl. Bauer&Haenel 2007, S.14). Dabei ist der Rechenaufwand im Vergleich
zum Ertrag sehr hoch.
Wir untersuchen die Kettenbrüche für auf ihr Konvergenzverhalten.
6.1 Der regelmäßige Kettenbruch für π
Die Näherungsbrüche des regelmäßigen, unendlichen Kettenbruchs
,...]1,292,1,15,7;3[ sind aus dem Kapitel 4 bekannt, ebenso die Abweichungen von
(siehe Kapitel 4.2, Tabelle 1). Nimmt man beispielsweise den Näherungsbruch
33102/103993 so stimmt dieser mit den ersten zehn Dezimalstellen von überein.
Die folgende Abbildung gibt Auskunft über das Konvergenzverhalten. Dabei ist auf der
x-Achse die Anzahl der Kettenbruchterme bzw. der Index des v-ten Näherungsbruches
angegeben. Auf der y-Achse ist der relative Fehler in Abhängigkeit von v aufgetragen.
61
Abbildung 4: Konvergenzverhalten des regelmäßigen Kettenbruchs 4
Der Graph ist annähernd eine Gerade, das heißt, dass das Konvergenzverhalten fast
linear ist. Mit jedem weiteren Kettenbruchterm erhält man ungefähr eine genaue Stelle
für hinzu. Besonders gute Näherungen ergeben sich, wenn der Kettenbruch vor
einem großen Teilnenner (wie zum Beispiel 2524 b ) abgebrochen wird. Dieses
haben wir bereits in Kapitel 4.2 festgestellt und lässt sich auch an den Sprüngen in der
Abbildung 4 erkennen.
Die Erklärung hierfür ist die Ungleichung
1
1/
vvvv
v
bBAB
A ,
die Friedrich L. Bauer hergeleitet hat (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.54). Der Term auf der
linken Seite gibt den relativen Fehler der Näherung an, mit dem Term auf der rechten
Seite kann dieser abgeschätzt werden. Daher ist der relative Fehler der Näherung
klein, wenn der Term
(6.1)
möglichst klein ist. Dieses ist genau dann der Fall, wenn der Nenner
von (6.1) groß und somit der Teilnenner 1vb des Kettenbruchs groß ist.
Der regelmäßige Kettenbruch konvergiert also „gut“. Er hat jedoch den Nachteil, dass
er über kein Bildungsgesetz verfügt und deshalb, so fordern Bauer und Haenel dürfte
dieser Kettenbruch gar nicht als „Kettenbruch von “ bezeichnet werden, weil er gar
nicht komplett bekannt ist (vgl. Bauer&Haenel 2007, S.11). Ein weiterer Nachteil ist,
dass man schon vorher kennen muss, um überhaupt diesen Kettenbruch aufstellen
zu können, denn ohne Kenntnis über die Dezimalstellen von kann der
Kettenbruchalgorithmus (siehe Kapitel 3.3) nicht angewendet werden.
4 vgl. Bauer, Historische Notizen zur Informatik, Seite 239.
1
1
vvv bBA
62
6.2 Der Kettenbruch von Brouncker
Nun zum Kettenbruch von Brouncker, der gegen /4 konvergiert: Dieser hat ein
Bildungsgesetz, aber konvergiert er ebenfalls linear? Die folgende Abbildung zeigt das
Konvergenzverhalten von Brounckers Kettenbruch:
Abbildung 5: Konvergenzverhalten von Brounckers Kettenbruch b(1) (Quelle: Eigene Darstellung)
Dieses Verhalten ist nicht linear. Der Kettenbruch von Brouncker konvergiert
logarithmisch und somit zu langsam, als dass man mit ihm viele Stellen von
ausrechnen könnte (vgl. Bauer 2009, S.318).
Der Kettenbruch konvergiert ähnlich langsam wie die Leibniz-Reihe, was nicht weiter
verwunderlich ist, da die Konvergenten des Kettenbruchs gerade die reziproken
Konvergenten der Leibniz - Reihe sind (siehe 5.1.1). Die weiteren Kettenbrüche von
Brouncker, wie zum Beispiel )3(b und )5(b (siehe Kapitel 5.1.3) konvergieren besser,
aber ebenfalls „nur“ logarithmisch wie folgende Abbildung für den Kettenbruch
)3(b zeigt:
63
Abbildung 6: Konvergenzverhalten von Brounckers Kettenbruch b(3)
(Quelle: Eigene Darstellung)
Die ersten zehn Kettenbruchterme liefern nur ungefähr drei genaue Dezimalstellen
für . Führt man weitere neunzig Schritte aus, so hat man zirka sechs genaue
Dezimalstellen für .
6.3 Der Kettenbruch von Lambert
Bleibt noch der Kettenbruch von Lambert. Dieser vereint beide Aspekte, sowohl das
„gute“ Approximationsverhalten, als auch die schöne Gestalt, denn er konvergiert linear
(siehe Abbildung 7) und hat ein Bildungsgesetz (vgl. Bauer 2009, S.273).
Abbildung 7: Konvergenzverhalten von Lamberts Kettenbruch
(Quelle: Darstellung aus Bauer 2009)
64
Mit den ersten zehn Kettenbruchtermen gewinnt man sieben genaue Stellen, mit den
ersten hundert 76 und mit den ersten tausend Kettenbruchtermen gewinnt man 7656
genaue Dezimalstellen für (vgl. Bauer 2009, S.278). Asymptotisch erhält man pro
Kettenbruchterm )83(log10 0,7656 Dezimalstellen für (vgl. Bauer 2009, S.278).
Verblüffend ist hier die Tatsache, dass der Lambertsche Kettenbruch ebenso wie
Brounckers Kettenbruch aus der arctan-Reihe (siehe Kapitel 5.1.1) abgeleitet wurde.
Dennoch ist das Konvergenzverhalten der beiden Kettenbrüche extrem
unterschiedlich. Bauer und Haenel erklären dieses mit der Transformation, die Lambert
durchführte (vgl. Bauer&Haenel 2007, S.17). Wie schon in 5.2 erwähnt, hat Lambert
einen euklidischen Teileralgorithmus, also eine Art „euklidischer Algorithmus“, benutzt,
um seinen Funktionskettenbruch (5.14) zu erhalten. Dieser Algorithmus bedient sich
ebenfalls der Wechselwegnahme, wobei die Teilbarkeit im Sinne der Polynomringe
benutzt wird und somit Polynomdivisionen durchgeführt werden. Diese
Vorgehensweise beschleunigt die Konvergenz des Kettenbruchs erheblich (vgl.
Bauer&Haenel 2007, S.17).
6.4 Der Kettenbruch von Jung
Dieser Kettenbruch ist, wie oben schon erwähnt, ein Sonderfall des Lambertschen
Kettenbruch. Wir erhalten ihn, indem wir in Lamberts Funktionskettenbruch (5.1.3)
3/1x setzen. Dieser Kettenbruch konvergiert ebenso wie der Lambertsche
Kettenbruch (5.15) linear und sogar noch schneller (vgl. Bauer 2009, S.279), wie die
Abbildung 8 zeigt:
Abbildung 8: Konvergenzverhalten des Jungschen Kettenbruchs
(Quelle: Eigene Darstellung)
65
Mit dem Jungschen Kettenbruch gewinnen wir 11 genaue Nachkommastellen nach den
ersten zehn Kettenbruchtermen und 113 genaue Nachkommastellen für nach den
ersten hundert Kettenbruchtermen. Ein Nachteil dieses Kettenbruchs ist allerdings
seine Gestalt, die auf der linken Seite der Gleichung zunächst als Faktor 12 enthält
und auch auf der rechten Seite kein so prägendes Bildungsgesetz (wegen den
Produkten in jedem zweiten Teilnenner) wie etwa der Lambertsche Kettenbruch (5.15)
aufweist (vgl. Bauer 2009, S.279). Die anderen drei Kettenbrüche (siehe (5.16) und
(5.18)), die Euler gefunden hatte, konvergieren ebenfalls „nur“ logarithmisch (vgl.
Bauer&Haenel 2007, S.15). Zusammenfassend kann man sagen, dass der
regelmäßige Kettenbruch von „gut“ konvergiert aber den Nachteil hat, kein
Bildungsgesetz zu haben. Der Kettenbruch von Brouncker hat ein solches, konvergiert
aber logarithmisch und damit nicht „gut“. Der Kettenbruch von Lambert vereinigt beide
Aspekte: er konvergiert linear und hat eine Gesetzmäßigkeit. Vor allem aber ermöglicht
dieser Kettenbruch auch ein effizientes Berechnen der Dezimalstellen von . Denn im
Gegensatz zum regelmäßigen Kettenbruch für braucht man die Zahl hier nicht zu
kennen. Der Jungsche Kettenbruch konvergiert ebenfalls linear, allerdings ist die
Gesetzmäßigkeit bei diesem nicht so offensichtlich. Noch besser als lineare
Konvergenz wäre beispielsweise die quadratische Konvergenz. Doch es ist bis jetzt
kein Kettenbruch für gefunden worden, der diesem Anspruch genügt (vgl. Bauer
2009, S.278/279). Ein Verfahren, welches quadratisch konvergiert, ist der AGM –
Algorithmus von Carl Friedrich Gauß, der im Kapitel 7.4 kurz vorgestellt wird.
7 Die Zahl π nach 1700
Von 1593 bis zum Jahr 1700 sind viele faszinierende und vor allem schöne Formeln für
gefunden worden. Vieta und Wallis (siehe Kapitel 2) entdeckten für ein
unendliches Produkt, Lord Brouncker einen unendlichen Kettenbruch (mit
Bildungsgesetz, siehe Kapitel 4) und Gregory und Leibniz unendliche Reihen (siehe
Kapitel 4) für .
Abschließend folgen jetzt weitere Erkenntnisse rund um ab 1700:
7.1 Unendliche Reihen
Eine berühmte unendliche Reihe, die Leibniz-Reihe haben wir bereits im Kapitel 5.1.1
kennen gelernt. Sir Isaac Newton (1642-1727), der Erfinder der Differentialrechnung,
66
stellte ausgehend vom binomischen Lehrsatz und der Entwicklung der arcsin-Funktion
die Formel
...
2
1
12
1
)2(...42
)12(...531...
³2
1
3
1
2
1
2
16
12 ppp
p
auf (vgl. Delahaye 1999, S.91).
Einen weiteren Meilenstein in der Berechnung von gelang dem Engländer John
Machin (1680-1752). Schon Gregory versuchte mithilfe arctan-Entwicklung zu
approximieren:
0
12753
12
)1(...
7
1
5
1
3
1)arctan(
k
kk
k
xxxxxx
(siehe Kapitel 4) für 1x erhält man die oben erwähnte Leibniz-Reihe.
Nun konvergiert diese schlecht, da nur eine Entwicklung des arctan in die Reihe
miteinfließt (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.185). Um die Konvergenz zu beschleunigen,
baute Machin eine Reihe, die aus zwei arctan-Entwicklungen bestand und erhielt die
Formel
239
1arctan
5
1arctan44 .
Jeden der beiden Ausdrücke berechnete er dann einzeln mithilfe der arctan-
Entwicklung von Gregory. Im Jahr 1706 berechnete Machin so 100 Stellen von (vgl.
Arndt&Haenel 2000, S.185). Diese Methode wurde von verschiedenen Mathematikern
immer weiter optimiert, so dass sie bis ins Jahr 1970 immer weiter Nutzung fand.
7.2 Leonard Euler
Leonard Euler, der als einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten gilt, machte
ebenfalls viele Entdeckungen rund um die Zahl .
Einige davon haben wir schon im Kapitel 2 kennen gelernt. Mit seinen „tollkühnen
Analogien“ (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.185) verifizierte er nicht nur das Wallis-Produkt
und die Leibniz-Reihe, sondern auch, dass die Reihe
...²3
1
²2
11
gegen 6/² konvergiert. Doch damit nicht genug, er stellte auch Reihen auf, die gegen
Potenzen von konvergierten, so zum Beispiel:
...³5
1
³3
1
³1
1
32
³
oder
67
...3
1
2
1
1
1
96 444
4
.
Bemerkenswert ist die Reihenentwicklung (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.215):
....3
1
2
1
1
1
2
!27
76977927
126262624
26
Außer diesen Reihen fand er im Jahr 1743 eine ganz besondere Formel, die als die
„Königin aller Formeln“ gilt (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.183):
zize iz sincos .
Setzt man für z die Zahl , so ergibt sich:
sincos ie i.
Die Kosinusfunktion hat an der Stelle den Extremwert -1, die Sinusfunktion eine
Nullstelle. Deshalb erhält man folgende Darstellung (die auch eulersche Identität
genannt wird):
1ie
oder auch
01 ie .
Diese letzte Darstellung vereinigt alle fünf wichtigen Konstanten der Mathematik.
7.3 Johann Heinrich Lambert & Ferdinand Lindemann
Johann Heinrich Lambert fand nicht nur einen gesetzmäßigen Kettenbruch, der gegen
konvergiert (siehe Kapitel 5.2), sondern er bewies auch als erster, dass irrational
ist. Und zwar mithilfe eines Kettenbruchs.
Dafür stellte er zunächst eine unendliche Kettenbruchentwicklung für )tan(x auf (vgl.
Arndt&Haenel 2000, S.185):
...7
²5
²3
²1
)tan(
x
x
x
xx .
Lambert zeigte zunächst, dass )tan(x für rationale Werte (außer der 0) von x irrational
ist. Seine Folgerung daraus war, dass x nicht rational sein kann, wenn )tan(x rational
ist. Somit ist die Zahl 4/ irrational, denn an der Stelle 4/ ist der Wert der
68
Tangensfunktion 1 und damit rational. Wenn 4/ irrational ist, so muss auch
irrational sein (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.185).
Ferdinand Lindemann bewies 1882 sogar, dass transzendent ist. Das heißt, dass
niemals Lösung einer algebraischen Gleichung sein kann. Dieses gelang ihm, in dem
er annahm, dass algebraisch sei und unter Benutzung der Eulerschen Identität
dieses zum Widerspruch führte. Somit war endgültig bewiesen, dass die Quadratur des
Kreises mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Schritten nicht möglich ist (vgl. Delahaye
1999, S.202/203).
7.4 Carl Friedrich Gauß und der AGM-Algorithmus
Zur Berechnung von wünscht man sich vor allem einen Algorithmus, der in wenigen
Schritten möglichst viele Stellen liefert. Das ist bei Algorithmen, die linear konvergieren,
der Fall. Die Methode von Gauß aus dem Jahr 1806 konvergiert sogar quadratisch,
das heißt, dass sich mit jedem Berechnungsschritt die Anzahl der Stellen verdoppelt
(vgl. Bauer 2009, S.278). Die ersten neun Berechnungsschritte liefern
1,4,9,20,42,85,173,347 und 697 Stellen für (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.192). Der
Algorithmus beruht vor allem auf dem arithmetisch-geometrischen Mittel (kurz: AGM)
und ist rekursiv definiert. Dennoch ist er in Vergessenheit geraten und erst im Jahr
1976 entdeckten Eugene Salamin und Richard P. Brent den Algorithmus wieder (vgl.
Arndt&Haenel 2000, S.87). Die Brüder Peter und Jonathan Borwein entwickelten aus
diesem Algorithmus immer neuere und vor allem schnellere Algorithmen. So leiteten
sie im Jahr 1984 zunächst einen quadratisch konvergierenden (vgl. Borwein&Borwein
1987, S.46/47), dann drei Jahre später einen biquadratisch konvergierenden
Algorithmus her (vgl. Borwein&Borwein 1987, S.170). Es folgten noch weitere
Steigerungen, denn die Borweins entwickelten noch einen quintisch und einen
bikubisch konvergierenden Algorithmus (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.225).
Mithilfe dieser Algorithmen erzielte der Japaner Yasumasa Kanada 1999 einen
zwischenzeitlichen Weltrekord, denn ihm gelang es, 206.158.430.000 Dezimalziffern
von zu bestimmen (vgl. Bauer 2009, S.274).
7.5 Srinivasa Ramanujan
Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887-1920) fand viele „unglaubliche“
Formeln für , die später die Grundlage für weitere Weltrekorde zur Bestimmung von
Stellen von waren. So fand er beispielsweise:
69
1
044 396)!(
)263901103()!4(
8
9801
nnn
nn
oder auch
1
0 2
33
3 640320)!)(!3(
)54514013413591409()!6()1(12
k k
k
kk
kk .
Die erste Formel konvergiert extrem schnell. Jedes Glied dieser Reihe liefert ungefähr
acht genaue Nachkommastellen für (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.13).
Mit der Ramanujan-Reihe
kk
k k
kk
k
³)640320(
54514013413591409
)!3)³(!(
)!6()1(
³640320
121
0
berechneten die Brüder Chudnovsky im Jahr 1989 eine Milliarde Nachkommastellen
von (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.109).
Wie Ramanujan diese Ausdrücke gefunden hat, ist allerdings bis heute ein ungelöstes
Rätsel, denn er gab für seine Formel nie den Weg, seine Vorgehensweise oder gar
einen Beweis an (vgl. Delahaye 1999, S.143).
7.6 BBP-Methode
Ähnlich wie im 17. Jahrhundert die Bestimmung der Nachkommastellen von immer
größeren Umfang annahm (vgl. Kapitel 1.8), so wurden ab 1970 ständig neue und
immer bessere Algorithmen entwickelt, um möglichst genau zu approximieren.
Hierbei sind besonders die „ - Numeriker“ Jonathan und Peter Borwein, David Bailey
und Simon Plouffle zu nennen, die diese Entwicklung vorangetrieben haben. Dieser
Überblick soll mit der Vorstellung des von ihnen entwickelten BBP- Verfahren
(Borwein-Bailey-Plouffle – Verfahren) schließen:
0 68
1
58
1
48
2
18
4
16
1
nn nnnn
.
Diese Reihe ermöglicht es jede beliebige Stelle von im 16er System zu berechnen
ohne die vorherigen kennen zu müssen (vgl. Arndt&Haenel 2000, S.118).
Der letzte bekannte Weltrekord aus dem Jahr 2002 wurde vom Japaner Yasumasa
Kanada erzielt, in dem er unter Verwendung des verbesserten AGM-Algorithmus
1241100000000 Nachkommastellen für angab (vgl. Bauer&Haenel 2007, S.6).
70
8 Fazit
Wir haben in dieser Arbeit Kettenbrüche kennen gelernt, mit denen die Zahl beliebig
genau approximiert werden kann und dabei zunächst den regelmäßigen Kettenbruch
für kennen gelernt. Dieser konvergiert „gut“, denn er konvergiert fast linear, was
soviel heißt, dass wir mit ihm in x Rechenschritten auch ungefähr x genaue
Nachkommastellen für erhalten. Mit ihm können wir außerdem durch Abbrechen der
Kettenbruchentwicklung Näherungsbrüche (reduzierte Kettenbrüche) erzeugen, die
eine beste Näherung an sind. Zwischen diesen Näherungsbrüchen haben wir noch
die Nebennäherungsbrüche entdeckt, die zwischen den Näherungsbrüchen
eingeschachtelt sind. Es sind allerdings nicht alle Nebennäherungsbrüche beste
Näherungen. Bemerkenswert ist aber, dass viele der Näherungsbrüche, die der
Definition der besten Näherung genügen, schon Jahrhunderte vorher (entweder im
antiken Griechenland, in China oder auch im mittelalterlichen Europa) bekannt waren.
Als großen Nachteil des regelmäßigen Kettenbruchs für halten wir die fehlende
Gesetzmäßigkeit in der Kettenbruchentwicklung fest. Deshalb haben wir im Weiteren
auch Kettenbrüche mit Bildungsgesetz in der Kettenbruchentwicklung betrachtet. Hier
ist vor allem der Kettenbruch von Brouncker zu nennen. Diesen haben wir zunächst mit
der Leibniz-Reihe verglichen und eine Vermutung aufgestellt, wie Brouncker diesen
aus dem Wallis-Produkt hergeleitet hat. Wir haben feststellen müssen, dass sich alle
drei Darstellungen, sowohl das Wallis-Produkt, als auch Brounckers Kettenbruch und
die Leibniz-Reihe nicht zur effektiven Berechnung von eignen, denn sie
konvergieren allesamt logarithmisch. Abschließend haben wir den Kettenbruch von
Lambert kennen gelernt. Dieser vereinigt beide Aspekte: er hat eine Gesetzmäßigkeit
und konvergiert linear und ermöglicht deshalb auch ein effizientes Berechnen der
Dezimalstellen von . Als Sonderfall des Lambertschen Kettenbruch entdeckten wir
den Jungschen Kettenbruch. Dieser konvergiert ebenfalls linear und sogar schneller
als der von Lambert, allerdings ist die Gesetzmäßigkeit bei dem Jungschen
Kettenbruch nicht so offensichtlich. Für das effektive Berechnen der Dezimalstellen von
in der heutigen Zeit haben die oben genannten Kettenbrüche keine Bedeutung
mehr, denn wie wir in Kapitel 7 erfahren haben, gibt es Algorithmen, die quadratisch, ja
sogar biquadratisch und quintisch oder bikubisch konvergieren. Diese in Kombination
mit der modernen Technik und immer leistungsfähigeren Computern, lassen den
Kettenbrüchen im Sinne einer effizienten Berechung von keine Bedeutung mehr zu
kommen.
71
Es ist die Gestalt an sich (siehe Brounckers, Lamberts und Eulers Kettenbrüche) und
es sind die Eigenschaften (reduzierte Kettenbrüche als beste Näherungen), die
Kettenbrüche für trotzdem interessant machen.
72
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74
10 Internetquellen
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http://www.mathematik.ch/geschichte/moendchen_hippokrates.php (aufgerufen am: 14.1.2009)
http://dok.bib.fh-giessen.de/opus/volltexte/2004/3104/html/briefmarken/briefmarke_01_03.htm
(aufgerufen am: 14.1.2009)
11 Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Quadratrix (Hippias von Elis) ..................................................................... 6 Abbildung 2: Möndchen des Hippokrates ....................................................................... 6 Abbildung 3: Approximation nach Archimedes ............................................................... 7 Abbildung 4: Konvergenzverhalten des regelmäßigen Kettenbruchs .......................... 61 Abbildung 5: Konvergenzverhalten von Brounckers Kettenbruch b(1) ......................... 62 Abbildung 6: Konvergenzverhalten von Brounckers Kettenbruch b(3) ......................... 63 Abbildung 7: Konvergenzverhalten von Lamberts Kettenbruch ................................... 63 Abbildung 8: Konvergenzverhalten des Jungschen Kettenbruchs ............................... 64
12 Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Näherungsbrüche für π ............................................................................... 21 Tabelle 2: Nebennährungsbrüche zwischen 22/7 und 3/1 ........................................... 40 Tabelle 3: die ersten sechs Konvergenten der Leibniz - Reihe .................................... 50
