Μια σύνθετη κίνηση ράβδου.

Μόνο για καθηγητές Μια οµογενής ράβδος µάζας 0,4kg και µήκους l=2,4m ηρεµεί στην επιφάνεια µιας πα-

γωµένης λίµνης. Σε µια στιγµή δέχεται στιγµιαίο λάκτισµα στο ένα της άκρο Α. Αν δί-

νεται η ροπή αδράνειας της ράβδου Ι=1/12 Μℓ2:

i) Να βρεθεί ένα σηµείο της ράβδου Ρ, το οποίο να έχει µηδενική ταχύτητα, αµέσως

µετά το λάκτισµα.

ii) Αν ω=12rad/s να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια που απέκτησε η ράβδος.

Απάντηση:

i) Αφού η δύναµη που ασκήθηκε στη ράβδο δεν πέρναγε από το κέντρο

µάζας της ράβδου, αυτή θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση, µια µεταφο-

ρική µε ταχύτητα υcm, και µια στροφική γύρω από κατακόρυφο άξο-

να που περνά από το κέντρο µάζας Κ. Έστω ένα σηµείο Ρ που απέχει

κατά d από το άκρο Α. Στο σχήµα φαίνονται οι δυο συνιστώσες της

ταχύτητας εξαιτίας των δύο κινήσεων (µεταφορικής και κυκλικής

γύρω από το Κ). Αφού θέλουµε υΡ=0 υόυε:

υcm= υγρ ή

υcm=ω· (d-ℓ/2) (1)

Εφαρµόζουµε το γενικευµένο νόµο του Νεύτωνα για τη µεταφορική κίνηση:

Fdt

Pd vr

= → dtFPdrr

= →

mυcm= ∫Fdt (2)

Με εφαρµoγή του αντίστοιχου νόµου του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση:

Fdt

Ldτr

r

= → dtFLd2

lrr⋅= →

Ιω= ∫ ⋅⋅ dtF2

l (3)

Με διαίρεση των (1) και (2) κατά µέλη παίρνουµε:

∫

∫=Fdt

Fdt

m

m cm

2121 2 l

l ω

υ →

212

=ω

υ

l

cm → l6

ωυ =cm (4)

Με αντικατάσταση στην (1) παίρνουµε:

−=

26

ll dω

ω →

l3

2=d =1,6m

ii) Η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι:

Κ= ½ mυcm2 + ½ Iω2

Όπου από την (4):

smcm /8,46

== lω

υ οπότε:

Κ= ½ mυcm2 + ½ 2

12

1lm ω

2 = 18,448J

dmargaris@sch.gr