Κεφάλαιο 5 Περιστροφική Κίνηση

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΜΕΡΟΣ Α: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ

ΚΙΝΗΣΗΣ

(Οι σημειώσεις βασίζονται στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α (Hugh

D. Young).

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΟΝΤΟΜΑΡΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

www.sciencephysics4all.weebly.com



Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται σε πρωτοετείς φοιτητές ΑΕΙ και ΤΕΙ που

διδάσκονται το μάθημα Φυσική Ι – Μηχανική σε πρώτο πανεπιστημιακό επίπεδο.

Είναι βασισμένες στο βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Τόμος Α (Hugh D. Young).

Περιέχουν σύνοψη της θεωρίας των κεφαλαίων 9 και 10, καθώς και χαρακτηριστικά

παραδείγματα με τις λύσεις τους.

Δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση υποκατάστατο πανεπιστημιακού βιβλίου.

Αποτελούν όμως ένα χρήσιμο βοήθημα για το φοιτητή που χρειάζεται λυμένα

παραδείγματα για την περεταίρω κατανόηση της θεωρίας.

Επικοινωνία

Αν θέλετε να επικοινωνήσετε μαζί μας για οποιοδήποτε λόγο (παρατηρήσεις,

διορθώσεις κ.τ.λ) στείλτε τα μας το μήνυμά σας σε ένα από τα παρακάτω mail:

[email protected]

[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ...................................................................................... 1

ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ .................................................................. 4

Α.1) Γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση .................................................................... 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ

ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ .................................................................................. 7

Α.2) Περιστροφή με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση .................................................. 9

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

.................................................................................................................................. 11

Α.3) Σχέσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης ................................................................ 12

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ .................................................................................................. 14

Α.4) ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ .......................................... 16

Α.5) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ....................................................... 18

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ .............................. 19

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ:ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ – ΡΟΠΗ

ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ........................................................................................................... 24

Α.6) ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ...................................................... 34

Α.7) ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΘΕΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ............................................................... 35

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ............................. 37

ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ .................................... 39

Β.1) Ροπή ................................................................................................................. 39

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ ..................................................... 42

Β.2) Ροπή και γωνιακή επιτάχυνση ......................................................................... 43

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ............................... 45

a) Για το παραλληλεπίπεδο ισχύει: .......................................................................... 50

Β.3) Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα ......................................................... 51

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ .......... 61

Β.4) Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση ..................................................... 66

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ........ 67

Β.5) Στροφορμή – Διατήρηση στροφορμής ............................................................ 68

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ – ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ .................. 70

Β.6) Γυροσκόπια ...................................................................................................... 75

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΓΥΡΟΣΚΟΠΙΑ....................................................................... 77



ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Α.1) Γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση

Εισαγωγή

Έστω ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα (ως προς κάποιο

αδρανειακό σύστημα αναφοράς) που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στη σελίδα

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Τη γωνία τη μετράμε σε ακτίνια. Ένα ακτίνιο (rad) είναι η γωνία που αντιστοιχεί σε τόξο

ίσο με την ακτίνα του κύκλου (που διαγράφει ένα τυχαίο σημείο από τον άξονα περιστροφής,

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα).

Για να εκφράζουμε τη γωνία 360 σε rad, γράφουμε,

23602

360 radR

Rrad

R

Srad

Αν διαιρέσουμε τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας με 360, προκύπτει:

rad180

1

ενώ αν διαιρέσουμε με 2π, προκύπτει:

1801rad

Τις δυο τελευταίες ισότητες τις χρησιμοποιούμε για να μετατρέψουμε την τιμή μιας γωνίας

από μοίρες σε ακτίνια ή αντίστροφα.

Έστω ένα τυχαίο σημείο Ρ του σώματος. Το νοητό

ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία Ο και Ρ

περιστρέφεται μαζί με το σώμα. Η γωνία που

σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα ΟΡ με τον άξονα

x περιγράφει τη θέση του σώματος κατά την

περιστροφή του και έχει την έννοια της

συντεταγμένης θέσης κατά την περιστροφή.

Αν θέλουμε να εκφράσουμε πόσα rad είναι μια τυχαία γωνία ,

πρέπει να βρούμε πόσες φορές χωρά η ακτίνα R του κύκλου μέσα

στο αντίστοιχο τόξο S της γωνίας. Είναι, δηλαδή,

radR

S

Κάθε κύκλος είναι τόξο μήκους RS 2 , που αντιστοιχεί σε

επίκεντρη γωνία 360 .

P

y

x



Για παράδειγμα, αν radrad6180

3013030

Ομοίως προκύπτει:

rad4

45

, rad3

60

, rad2

90

, 180 rad ,

rad2

3270

Προσοχή! Μια γωνία σε ακτίνια είναι ο λόγος δύο μηκών, επομένως είναι καθαρός αριθμός

χωρίς διαστάσεις. Συνήθως όμως γράφουμε το αποτέλεσμα σε rad για να το διακρίνουμε από

μια γωνία εκφρασμένη σε μοίρες ή στροφές.

Γωνιακή ταχύτητα

Επομένως η μέση γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως:

tttav

12

12 (Α.1.1)

Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα είναι το όριο της av καθώς 0t , δηλαδή:

dt

d

tt

0lim (Α.1.2)

Επειδή το σώμα είναι στερεό όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν το σημείο Ο (από το

οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής) με τα διάφορα σημεία του σώματος στρέφονται κατά

την ίδια γωνία στον ίδιο χρόνο. Επομένως σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή κάθε τμήμα

του στερεού έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Αν η γωνία εκφράζεται σε ακτίνια, η

μονάδα της γωνιακής ταχύτητας είναι το srad /1 . Συχνά όμως χρησιμοποιούνται άλλες

μονάδες, όπως οι στροφές το λεπτό (rev/min ή rpm). Δύο χρήσιμες σχέσεις μετατροπής είναι

οι:

sradsrev /2/1

και

sradrpmrev /60

21min/1

Η περιστροφική κίνηση ενός στερεού εκφράζεται

συναρτήσει του ρυθμού μεταβολής της γωνίας

στροφής . Στο διπλανό σχήμα το τυχαίο νοητό

ευθύγραμμο τμήμα ΟΡ σχηματίζει γωνία 1 με τον

άξονα x τη χρονική στιγμή 1t και γωνία 2 τη

χρονική στιγμή 2t .

P

1

y

x

2 P



Γωνιακή επιτάχυνση

Όταν η γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται, τότε το σώμα έχει γωνιακή

επιτάχυνση. Έστω 1 η γωνιακή ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή 1t και 2 η

γωνιακή ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή 2t . Ορίζουμε τη μέση γωνιακή

επιτάχυνση ως:

tttav

12

12)( (Α.1.3)

Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση είναι το όριο της )(av καθώς 0t , δηλαδή:

dt

d

tt

0lim (Α.1.4)

Επίσης, επειδή dt

d , η γωνιακή επιτάχυνση μπορεί να εκφραστεί και ως:

2

2

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d (Α.1.5)

Η συνήθης μονάδα της γωνιακής επιτάχυνσης είναι το 2/1 srad .

Σημείωση: Στο σώμα που στρέφεται, κάθε σημείο που δε βρίσκεται στον άξονα περιστροφής

έχει την ίδια στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα

και στον ίδιο χρόνο dt θα έχει την ίδια

μεταβολή γωνιακής ταχύτητας d . Επομένως μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, κάθε

σημείο του στερεού έχει την ίδια γωνιακή επιτάχυνση .

Σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε τη γωνιακή επιτάχυνση σαν διάνυσμα.

Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής, όπως

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα και η φορά του είναι η ίδια με τη φορά της γωνιακής

ταχύτητας αν το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας αυξάνεται και αντίθετη αν το μέτρο της

γωνιακής ταχύτητας μειώνεται.

Σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε τη

γωνιακή ταχύτητα σαν διάνυσμα. Το διάνυσμα της

γωνιακής ταχύτητας βρίσκεται πάνω στον άξονα

περιστροφής, όπως φαίνεται στο σχήμα και η φορά του

προκύπτει από τον κανόνα του δεξιού χεριού.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ

ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Άσκηση 9-3 σελ. 251 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D. Young)

Ένα παιδί σπρώχνει τον τροχό με τα περιστρεφόμενα αλογάκια στο λούνα παρκ. Η γωνία

κατά την οποία στρέφεται ο τροχός μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση 3)( ttt , όπου srad /50,2 και 3/0400,0 srad .

a) Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου.

b) Ποια είναι η αρχική τιμή της γωνιακής ταχύτητας;

c) Υπολογίστε τη στιγμιαία τιμή της γωνιακής ταχύτητας ω τη στιγμή st 00,5 και τη μέση

γωνιακή ταχύτητα av για το χρονικό διάστημα από 0t ως st 00,5 . Πως συγκρίνονται

αυτές οι δύο ποσότητες;

ΛΥΣΗ

a) 23 3 ttt

dt

d

dt

tdt

b) Για 01t , srad /50,21

c) Για st 00,52 , 2

2

3

2

2 5,500,2504,0350,23s

rads

s

rad

s

radt

Για 01 t , 01

Για st 00,52 , radss

rads

s

radt 5,1712504,000,550,2 3

3

3

222

srads

rad

ttav /50,3

05

05,17

12

12

Προφανώς, 2 av




Η γωνία κατά την οποία περιστρέφεται ο τροχός ενός ποδηλάτου δίνεται από τη σχέση 32)( ctbtat , όπου cba ,, είναι σταθερές με μονάδες που παρέχουν τη γωνία στροφής

σε ακτίνια, αν ο χρόνος εκφράζεται σε δευτερόλεπτα. Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση

του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου.

ΛΥΣΗ

ctbctbt

dt

dctbta

dt

d

dt

tdt 6232 232

2

2

2

2

Άσκηση 9-39 σελ. 253 από το βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική, τόμος Α (Hugh D.

Young)

Ένας κύλινδρος εκτυπωτικής μηχανής περιστρέφεται κατά γωνία )(t που δίνεται από τη

σχέση 32)( ttt , όπου 2/50,2 srad και 3/400,0 srad .

a) Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου ως συνάρτηση του χρόνου.

b) Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου ως συνάρτηση του χρόνου.

c) Πόση είναι η μέγιστη θετική γωνιακή ταχύτητά του και για ποια τιμή του t πραγματοποιείται το μέγιστο αυτό;

ΛΥΣΗ

a) 232 32 tttt

dt

d

dt

tdt

b) ttt

dt

d

dt

tdt

6232 2

c) Το σώμα λαμβάνει τη μέγιστη θετική γωνιακή ταχύτητά όταν:

s

s

rads

rad

tt 08,2

40,06

50,22

6

20620

3

2

Άρα η μέγιστη θετική γωνιακή ταχύτητα του σώματος θα είναι:

sradss

rads

s

radtt /21,508,240,0308,250,2232

2

32

2

max


Young)

Ο τροχός ποδηλάτου ακτίνας 0,33m στρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση που δίνεται από τη

σχέση tt )( , όπου 2/20,1 srad και 3/30,0 srad . Όταν 0t , ο τροχός είναι

ακίνητος.

a) Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα και τη γωνιακή μετατόπιση ως συναρτήσεις του χρόνου.

b) Υπολογίστε τη μέγιστη θετική γωνιακή ταχύτητα και τη μέγιστη θετική γωνιακή

μετατόπιση του τροχού.



ΛΥΣΗ

a) td

t

0

0 tdt

t

0

2

2tt

td

t

0

0

tdtt

t

0

2

2

62

32 tt

c) Ο τροχός λαμβάνει τη μέγιστη θετική γωνιακή ταχύτητά όταν:

s

s

rads

rad

tt 00,4

30,0

20,1

00

3

2

Άρα η μέγιστη θετική γωνιακή ταχύτητα του τροχού θα είναι:

sradssrad

ss

radtt /40,200,16

2

/30,000,420,1

2

23

2

2

max

Ο τροχός λαμβάνει τη μέγιστη θετική γωνιακή μετατόπιση όταν:

002

02

0 2

ttttt

(απορρίπτεται καθώς για 0t , ο τροχός

είναι ακίνητος) ή

s

s

rads

rad

tt 00,8

30,0

20,122

02

3

2

Άρα η μέγιστη θετική γωνιακή μετατόπιση του τροχού θα είναι:

rad

ss

rads

s

rad

tt80,12

6

00,51230,0

2

00,6420,1

62

3

3

2

232

max

Α.2) Περιστροφή με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση

Έστω 0 η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος τη χρονική στιγμή 00 t και τη χρονική

στιγμή t . Αν η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή θα είναι ίση με τη μέση τιμή της για

οποιοδήποτε χρονικό διάστημα. Άρα,

ttt

0

0

(Α.2.1)



Αν αναπαραστήσουμε την (Α.2.1) γραφικά, προκύπτει:

Αντικαθιστώντας την (Α.2.1) στην (Α.2.2) προκύπτει:

tt

2

00

2

2 2

0 tt 2

02

1tt

2

002

1tt 2

002

1tt (Α.2.3)

, όπου 0 η γωνία περιστροφής του σώματος την αρχική χρονική στιγμή 00 t .

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (Α.2.1) και (Α.2.3) μπορούμε να καταλήξουμε σε μία σχέση που

δεν περιέχει το χρόνο:

t 0

0t . Αντικαθιστώντας τη σχέση αυτή στην (Α.2.3) προκύπτει:

2

0000

2

1

2

0

2

000

2

1

2

2 2

00

22

000

2

00

22

000 2222

22

002 02

0

2 2 (Α.2.4)

Προσοχή! Οι σχέσεις (Α.2.1) - (Α.2.4) ισχύουν μόνο όταν η γωνιακή επιτάχυνση είναι

σταθερή.

Ακολουθεί πίνακας με τη σύγκριση γραμμικής και γωνιακής κίνησης με σταθερή επιτάχυνση

Στο διπλανό γράφημα το σκιασμένο εμβαδό (τραπέζιο)

έχει διαστάσεις rad, επομένως αποτελεί τη γωνία

περιστροφής του σώματος. Άρα η γωνία στροφής στο

χρονικό διάστημα t0 θα είναι:

t2

0

(Α.2.2)

0

t st

s

rad



Συγκριτικός πίνακας μεγεθών στην ομαλά επιταχυνόμενη μεταφορική και στη

στροφική κίνηση

Μεταφορική κίνηση

Στροφική κίνηση

Μετατόπιση: x

Γωνία περιστροφής: (σε rad)

Ταχύτητα: at 0

Γωνιακή ταχύτητα: t 0

Μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά

επιταχυνόμενη κίνηση:

2

002

1attxx

, όπου 0 η ταχύτητα και

0x η θέση του σώματος

τη χρονική στιγμή 0t .

Γωνία περιστροφής: (σε rad) στην στροφική

κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση:

2

002

1tt

, όπου 0 η γωνιακή ταχύτητα και

0 η γωνία

στροφής του σώματος τη χρονική στιγμή 0t .

Σχέση μεταξύ ταχύτητας και θέσης του σώματος

σε τυχαία χρονική στιγμή

02

0

2 2 xxa

Σχέση μεταξύ ταχύτητας και γωνίας στροφής

του σώματος σε τυχαία χρονική στιγμή

02

0

2 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ


Ηλεκτρικός κινητήρας τέθηκε εκτός λειτουργίας και η γωνιακή ταχύτητά του ελαττώνεται

ομοιόμορφα με σταθερή γωνιακή επιβράδυνση από 900rev/min σε 400rev/min μέσα σε 5,00s.

a) Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση σε 2/ srev και τον αριθμό των περιστροφών που

εκτελεί ο κινητήρας στο διάστημα των 5,00s.

b) Πόσα επιπλέον δευτερόλεπτα χρειάζονται για να ακινητοποιηθεί ο κινητήρας αν η γωνιακή

επιτάχυνση παραμένει σταθερή και ίση με την τιμή που υπολογίστηκε στο (a);

ΛΥΣΗ

a) 22

12

12 /67,1/3

5

00,5

60

900

60

400

srevsrevs

s

rev

s

rev

tt

2

02

1tt revs

s

revs

s

rev2,5400,5

3

5

2

100,5

60

900 2

2



b) Ο κινητήρας ακινητοποιείται όταν 0 . Άρα

t 2 t20

2t

23

560

400

s

revs

rev

t st 00,4


Young)

Ένας σφόνδυλος έχει σταθερή γωνιακή επιτάχυνση 2/50,2 srad και διαγράφει γωνία rad100

σε s00,5 . Πόση ήταν η γωνιακή ταχύτητα του σφονδύλου στην αρχή του χρονικού

διαστήματος των s00,5 κατά το οποίο ο σφόνδυλος επιταχύνθηκε;

ΛΥΣΗ

a) 2

02

1tt

t

t 2

02

1

s

ss

radrad

00,5

00,2550,22

1100 2

2

0

srad /8,130

Α.3) Σχέσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης

Ταχύτητα

Όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό ακλόνητο άξονα, κάθε σημείο του

σώματος εκτελεί κυκλική κίνηση. Η κυκλική τροχιά του κάθε σημείου βρίσκεται σε επίπεδο

κάθετο στον άξονα περιστροφής και το κέντρο της βρίσκεται στον άξονα.

Παραγωγίζοντας τη σχέση (Α.3.1) ως προς το χρόνο προκύπτει:

rdt

dr

dt

ds (Α.3.2)

,όπου το μέτρο της στιγμιαίας γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ρ και η γωνιακή

ταχύτητα του στερεού. Η διεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ρ είναι

εφαπτομένη σε κάθε σημείο της κυκλικής τροχιάς.

Έστω ένα τυχαίο σημείο Ρ του σώματος. Το σημείο

αυτό βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα

περιστροφής και κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας

r . Η σχέση που συνδέει τη γωνία με το μήκος του

τόξου που διαγράφει είναι:

rs (Α.3.1)

P

y

x

s r



Επιτάχυνση

Η επιτάχυνση ενός τυχαίου σημείου Ρ πρέπει να εκφραστεί συναρτήσει της ακτινικής

(κεντρομόλου) συνιστώσας rada και της επιτρόχιας συνιστώσας tana .

Η ακτινική συνιστώσα της επιτάχυνσης rada συνδέεται με την αλλαγή της κατεύθυνσης του

σημείου. Για ένα σωμάτιο που κινείται σε κυκλική τροχιά ισχύει:

rarad

2 (Α.3.4)

Αντικαθιστώντας την (Α.3.2) στην (Α.3.4) προκύπτει:

r

rarad

2

rarad2 (Α.3.5)

Προσοχή! Οι σχέσεις (Α.3.4) - (Α.3.5) ισχύουν σε κάθε χρονική στιγμή ακόμα και αν οι ,

δεν είναι σταθερές.

Το διανυσματικό άθροισμα της ακτινικής συνιστώσας και της επιτρόχιας συνιστώσας ενός

σωματίου σε περιστρεφόμενο σώμα είναι η γραμμική επιτάχυνση a

( radaaa

tan ).

Προσοχή! Οι σχέσεις rs , r , ra tan και rarad2 ισχύουν μόνο όταν η

μετριέται σε ακτίνια. Για να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις αυτές πρέπει να εκφράζουμε τις

γωνιακές ποσότητες σε ακτίνια.

Επίσης οι σχέσεις rs , r και ra tan ισχύουν και για οποιοδήποτε σωμάτιο

έχει την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα με σημείο περιστρεφόμενου σώματος. Π.χ. όταν

ξετυλίγεται μη εκατό σχοινί τυλιγμένο από κύλινδρο κυκλικής διατομής, η ταχύτητα του

σχοινιού και η εφαπτομενική του επιτάχυνση σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι ίσες με

αυτές που έχει το σημείο, στο οποίο το σχοινί εφάπτεται στον κύλινδρο. Ομοίως και για

σχοινί σε τροχαλία χωρίς ολίσθηση κ.ο.κ.

Η εφαπτομενική συνιστώσα της

επιτάχυνσης tana είναι παράλληλη προς τη

στιγμιαία ταχύτητα και μεταβάλλει το

μέτρο της ταχύτητας του σημείου.

dt

da

tan

dt

dra

tan

ra tan (Α.3.3)

Η rada είναι πάντοτε εφαπτόμενη στην

κυκλική τροχιά.

a

rada

tana

r

x

y



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ


Young)

Ελικόπτερο ανυψώνεται κατακόρυφα με 20,0m/s, ενώ η κύρια έλικα περιστρέφεται στο

οριζόντιο επίπεδο με 400rev/min. Η έλικα έχει μήκος (από το ένα ως το άλλο άκρο) ίσο με

10,0m οπότε η απόσταση από τον άξονα περιστροφής του άκρου του κάθε πτερυγίου της

έλικας είναι 5,0m. Υπολογίστε το μέτρο της συνισταμένης ταχύτητας του άκρου του

πτερυγίου, καθώς το ελικόπτερο επιχειρεί την ανύψωση.

ΛΥΣΗ

Μετατρέπουμε τη γωνιακή ταχύτητα της έλικας σε rad/s.

srads

radrev/

3

40

60

2400

min400

Η γραμμική ταχύτητα του άκρου του πτερυγίου είναι:

r ms

rad0,5

3

40

s

m

3

200

Η γραμμική ταχύτητα του άκρου του πτερυγίου έχει συνεχώς διεύθυνση στο οριζόντιο

επίπεδο και είναι κάθετη στην ανύψωση. Άρα, το μέτρο της συνισταμένης ταχύτητας του

άκρου του πτερυγίου θα είναι:

22

22

0,20/3

200

s

msm

sm /210


Young)

Τροχός περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα 12,0rad/s.

a) Υπολογίστε την ακτινική επιτάχυνση σε σημείο που απέχει 0,500m από τον άξονα

χρησιμοποιώντας τη σχέση rarad2 .

b) Υπολογίστε την εφαπτομενική ταχύτητα του σημείου και την ακτινική του επιτάχυνση από

τη σχέση r

arad

2 .

ΛΥΣΗ

a) 2

2

2 /0,72500,00,12 smms

radrarad

b) smms

radr /0,6500,00,12

2

22

/0,72500,0

/0,6sm

m

sm

rarad




Young)

Ένας σφόνδυλος ακτίνας 0,300m ξεκινά από την ηρεμία και επιταχύνεται με σταθερή

γωνιακή επιτάχυνση 0,6002/ srad . Υπολογίστε το μέτρο της εφαπτομενικής επιτάχυνσης,

της ακτινικής επιτάχυνσης και της συνισταμένης επιτάχυνσης σημείου της περιφέρειάς του

a) Τη στιγμή της εκκίνησης.

b) Αφού περιστράφηκε κατά γωνία 120 .

c) Αφού περιστράφηκε κατά γωνία 240 .

ΛΥΣΗ

a) O σφόνδυλος ξεκινάει από την ηρεμία, άρα 00 .

ratan 22tan 180,0600,0300,0s

m

s

radma

02 rarad

2

22

tan 180,0s

maaa rad

b) ratan 22tan 180,0600,0300,0s

m

s

radma

3

21200

22

0

2 22 2 rad

s

rad

3

2600,02

2

srad /585,1

Άρα,

2

2

2 /754,0300,0585,1 smms

radrarad

2

2

2

2

2

22

tan 775,0754,0180,0s

m

s

m

s

maaa rad

c) ratan 22tan 180,0600,0300,0s

m

s

radma

3

42400

22

0

2 22 2 rad

s

rad

3

4600,02

2



srad /241,2

Άρα,

2

2

2 51,1300,0241,2s

mm

s

radrarad

2

2

2

2

2

22

tan 52,151,1180,0s

m

s

m

s

maaa rad


Young)

O ιμάντας ηλεκτρικής σκούπας (αναρροφητήρα) συνδέει τον άξονα ακτίνας 0,40cm και τον

τροχό ακτίνας 2,00cm. Ο κινητήρας περιστρέφει τον άξονα με 60,0rev/s και ο κινούμενος

ιμάντας γυρίζει τον τροχό, ο οποίος στη συνέχεια είναι συνδεδεμένος μέσω άλλου άξονα με

κατάλληλο κυλινδρικό εξάρτημα που αναρροφά τη σκόνη από το χαλί που καθαρίζεται.

Υποθέστε ότι ο ιμάντας δεν ολισθαίνει ούτε στον άξονα, ούτε στον τροχό.

a) Πόση είναι η ταχύτητα ενός σημείου του ιμάντα;

b) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού σε rad/s;

ΛΥΣΗ

a) sms

radmr /5,120,60104,0 2

11

b) Ο ιμάντας δεν ολισθαίνει, ούτε υφίσταται επιμήκυνση αλλά κινείται με την ίδια

εφαπτομενική ταχύτητα στον άξονα και στον τροχό.

Άρα,

srads

rad

cm

cm

r

rrr /4,75260

00,2

4,01

2

122211

Α.4) ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

11 r , 22 r ,…. (Α.4.1)

Το σώμα του σχήματος, που στρέφεται με γωνιακή

ταχύτητα ω, γύρω από τον άξονα z´z, έχει κινητική

ενέργεια. Προκειμένου να υπολογίσουμε την

κινητική ενέργεια του σώματος, το χωρίζουμε σε ένα

σύνολο μαζών ..., 21 mm Οι μάζες αυτές έχουν την

ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές ταχύτητες

που δίνονται από τις σχέσεις:



Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των

μαζών από τις οποίες αποτελείται,

...21 KKK ...2

1

2

1 2

22

2

11 mmK (Α.4.2)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (Α.4.1) στη σχέση (Α.4.2) προκύπτει:

...2

1

2

1 2

2

2

2

2

1

2

1 rmrmK 22

22

2

11 ...)(2

1rmrmK

22

2

1

i

iirmK (Α.4.3)

Όπου Irmi

ii 2, η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής.

Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα το άθροισμα των

γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα

τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής.

i

iirmrmrmI 22

22

2

11 ... (Α.4.4)

Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα το 1 2mkg .

Προσοχή! Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται από τη θέση του άξονα περιστροφής.

Για κάθε άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειας του ίδιου σώματος είναι διαφορετική.

Επομένως

2

2

1IK (Α.4.5)

Η παραπάνω σχέση δίνει την κινητική ενέργεια στερεού σώματος λόγω περιστροφικής

κίνησης.

Δυναμική ενέργεια στερεού σώματος

Σε ομογενές πεδίο βαρύτητας g , η δυναμική ενέργεια είναι ίδια με αυτή που θα είχε το

σώμα, αν η μάζα του ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του σώματος. Άρα η δυναμική

ενέργεια σώματος μάζας M είναι:

cmMgyU (Α.4.6)

, όπου cmy η y συντεταγμένη του κέντρου μάζας.

Απόδειξη

Θεωρούμε ότι το σώμα αποτελείται από ένα σύνολο μαζών im . Επομένως η δυναμική

ενέργεια κάθε στοιχειώδους μάζας θα είναι: iii gymU .



Η ολική δυναμική ενέργεια θα είναι:

gymymgymgymU ...... 22112211 (Α.4.7)

Όμως από τις σχέσεις που ορίζουν τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας, γνωρίζουμε ότι:

...

...

21

2211

mm

ymymycm cmymmymym ...)(... 212211 cmMyymym ...2211

Άρα, αντικαθιστώντας στην (Α.4.7) προκύπτει: cmMgyU

Α.5) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

Όταν ένα στερεό δεν μπορεί να παρασταθεί από μερικές σημειακές μάζες, το άθροισμα στη

σχέση i

iirmI 2αντικαθίσταται με ολοκλήρωμα:

dmrI 2 (Α.5.1)

Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος πρέπει να παραστήσουμε τα dmr, με την

ίδια μεταβλητή ολοκλήρωσης. Για ένα τρισδιάστατο αντικείμενο είναι ευκολότερο να

εκφράσουμε την dm ως dVdm , όπου η πυκνότητα του σώματος.

Άρα η (Α.5.1) γίνεται:

dVrI 2 (Α.5.2)

Αν το σώμα είναι ομογενές. Δηλαδή αν η πυκνότητα είναι σταθερή, η (Α.5.2) γράφεται:

dVrI 2 (Α.5.3)

Για να χρησιμοποιήσουμε την (Α.5.3) πρέπει να εκφράσουμε τον στοιχειώδη όγκο

συναρτήσει των διαφορικών των μεταβλητών ολοκλήρωσης, δηλ. dxdydzdV . Ο

στοιχειώδης όγκος dV επιλέγεται πάντα έτσι ώστε όλα τα σημεία μέσα σ’ αυτόν να

βρίσκονται σχεδόν στην ίδια απόσταση από τον άξονα περιστροφής.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

1. Ομογενής λεπτή ράβδος

Περίπτωση Α:

Ο άξονας είναι κάθετος στο μήκος της ράβδου και διέρχεται από το κέντρο της:

Άρα, dxL

Mdm

L

dx

M

dm

Επομένως,

dmrI 2

2

2

2

L

L

dxL

MxI

2

2

2

L

L

dxxL

MI

2

2

3

3

L

L

x

L

MI

2424

33 LL

L

MI

2

12

1MLI

Περίπτωση Β:

Ο άξονας είναι κάθετος στο μήκος της ράβδου και διέρχεται από το άκρο της:

Ομοίως, με πριν καταλήγουμε:

L

dxL

MxI

0

2 L

dxxL

MI

0

2

L

x

L

MI

0

3

3

3

3L

L

MI 2

3

1MLI

2. Κοίλος (ομογενής) κύλινδρος περιστρεφόμενος περί τον άξονα συμμετρίας του

Έστω ένας κοίλος κύλινδρος μήκους L , εσωτερικής ακτίνας 1R και εξωτερικής 2R .

Διαλέγουμε ως στοιχειώδη όγκο έναν λεπτό κυλινδρικό φλοιό πάχους dr , μήκους L που

Εκλέγουμε σαν στοιχειώδη μάζα ένα απειροστό τμήμα της

ράβδου, μήκους dx σε μια απόσταση r=x από το κέντρο της

ράβδου, από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής.

Ισχύει:

x

dx

M

dm

Εάν θεωρήσουμε το μήκος της ράβδου Lx , L

dx

M

dm



απέχει r από τον άξονα περιστροφής. Θεωρούμε ότι όλα τα στοιχεία του στοιχειώδη όγκου

απέχουν το ίδιο από τον άξονα περιστροφής. Για το στοιχειώδη όγκο ισχύει:

drLrdV 2

Όπου:

r2 το μήκος της περιφέρειας του φλοιού

L το ‘ύψος’ του φλοιού

dr το πάχος του φλοιού.

Επομένως,

dmrI 2 2

1

2

R

R

dVrI 2

1

22

R

R

rdrrLI 2

1

32

R

R

drrLI

2

1

42

4R

R

rLI 4

1

4

22

1RRLI 212

2

2

1

2

22

1RRRRLI (1)

Όμως ο όγκος του κοίλου κυλίνδρου είναι:

212

2

2

1

2

2 RRLLRLRV (2)

Αντικαθιστώντας την (1) στη (2) προκύπτει:

2

1

2

22

1RRVI 222

12

1RRMI

3. Συμπαγής (ομογενής) κύλινδρος περιστρεφόμενος περί τον άξονα συμμετρίας του

4. Λεπτότοιχος (ομογενής) κύλινδρος περιστρεφόμενος περί τον άξονα συμμετρίας του

Ακολουθούμε την ίδια ανάλυση, θέτοντας RRR 21.

Άρα, 2MRI

5. Κυκλικός (ομογενής) δίσκος περιστρεφόμενος περί τον άξονα συμμετρίας του

Ακολουθούμε την ίδια ανάλυση, θέτοντας 01 R και

RR 2 .Άρα, 2

2

1MRI

Ο κυκλικός δίσκος είναι ένας συμπαγής κύλινδρος πολύ

μικρού L . Όμως η ροπή αδράνειας του συμπαγούς

κυλίνδρου δεν εξαρτάται από το μήκος L . Άρα και σ’ αυτή

την περίπτωση ισχύει: 2

2

1MRI



6. Ομογενής σφαίρα περιστρεφόμενη περί τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της

Έστω ομογενής σφαίρα ακτίναςR . Διαλέγουμε ως στοιχειώδη όγκο έναν λεπτό δίσκο πάχους

dx και ακτίνας r σε απόσταση x από το κέντρο της σφαίρας. Η ακτίνα του δίσκου που θα

έχει κέντρο από το οποίο διέρχεται ο άξονας περιστροφής θα είναι: 22 xRr

Ο όγκος του δίσκου θα είναι: dxxRdxrdV 222

Η μάζα του δίσκου θα είναι: dxxRdVdm 22

Όμως είδαμε ότι η ροπή αδράνειας λεπτού ομογενούς δίσκου είναι: 2

2

1MRI

Άρα,

dxxRdxxRrdmrdI2222222

22

1

2

1

Επομένως, η ροπή αδράνειας του ενός ημισφαιρίου της σφαίρας θα είναι:

R

dxxRI0

222

2

R

dxxxRRI0

4224 22

R

xxRxRI

0

5324

532

2

53

2

2

555 RRRI

15

8

2

5RI

Άρα, η ροπή αδράνειας ολόκληρης της σφαίρας θα είναι:

5

15

82 RII

(1)

Η μάζα της σφαίρας είναι:

3

4 3RVM

(2)

Στοιχειώδης δίσκος ακτίνας r ,

πάχους dx σε απόσταση x από το

κέντρο της σφαίρας.



Επομένως, με τη βοήθεια της (2) η (1) γράφεται: 2

5

2MRI

7. Ομογενές σφαιρικό κέλυφος περιστρεφόμενο περί τον άξονα που διέρχεται από το

κέντρο του

Έστω ομογενές σφαιρικό κέλυφος ακτίνας R . Διαλέγουμε ως στοιχειώδη μάζα την

περιφέρεια του λεπτού κυκλικού δίσκου που είδαμε στο παράδειγμα 6. Η περιφέρεια αυτή

έχει πρακτικά δύο διαστάσεις:

A

dA

M

dm

A

dAMdm (1)

Η στοιχειώδης επιφάνεια στο κέλυφος θα δίνεται από τη σχέση:

rdxdA 2 rRddA 2 (2)

Επίσης, όπως βλέπουμε από το σχήμα sinsin RrR

r (3)

Τέλος το εμβαδό της επιφάνειας σφαιρικού φλοιού είναι: 24 RA (4)

Αντικαθιστώντας τις (2), (3) και (4) στην (1) προκύπτει:

A

dAMdm

24

sin2

R

RdRMdm

d

Mdm

2

sin (5)

Αντικαθιστώντας την (5) στη σχέση dmrdI 2 , θα έχουμε:

d

MRdI

2

sin32

0

32

2

sind

MRI

0

32

sin2

dMR

I

Θεωρούμε το σχήμα ΄κούφιο’ και

κρατάμε το στοιχειώδη δακτύλιο

ακτίνας r , πάχους Rddx σε

απόσταση x από το κέντρο.

Σημείωση: Επειδή R

dSd

R

S

Όμως έχουμε θεωρήσει dSdx

Άρα, Rddx

S



0

22

sinsin2

dMR

I

0

22

sincos12

dMR

I

Στο σημείο αυτό θέτουμε: dduu sincos

Για:

1cos0

1cos

Άρα,

1

1

22

12

duuMR

I

1

1

32

32u

uMRI

13

11

3

1

2

2MRI

3

4

2

2MRI 2

3

2MRI

8. Λεπτή ορθογώνια πλάκα ως προς άξονα κατά μήκος μιας ακμής

Χωρίζουμε την πλάκα σε στοιχειώδεις λωρίδες

πάχους dx που απέχουν x από τον άξονα

περιστροφής.

A

dA

M

dm

A

dAMdm

dmrI 2 dAx

A

MI 2

a

bdxxA

MI

0

2 a

dxxbA

MI

0

2

a

xb

A

MI

0

3

3

3

3ab

ab

MI 2

3

1MaI

dx

x

a

b



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ:ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ –

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ


Young)

Τέσσερις μικρές σφαίρες, μάζας 0,200kg η καθεμία, βρίσκονται στις κορυφές τετραγώνου

πλευράς 0,400m και είναι συνδεδεμένες με ελαφριές ράβδους. Υπολογίστε τη ροπή

αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα

a) διερχόμενο διά του κέντρο του τετραγώνου και κάθετο στο επίπεδό του (ο άξονας

διέρχεται διά του σημείου Ο στο σχήμα)

b) τέμνοντα δύο απέναντι πλευρές του τετραγώνου στο μέσο τους ( ο άξονας κείται κατά

μήκος της γραμμής ΑΒ στο σχήμα).

ΛΥΣΗ

a) Η κάθε μάζα απέχει από τον άξονα απόσταση:

2220800,0200,0200,0 mmmr

Άρα η ροπή αδράνειας του συστήματος θα είναι:

2

22

4321

2

4

2

3

2

2

2

1 0800,0800,0 mkgrmmmmrmrmrmrmI

20640,0 kgmI

b) Η κάθε μάζα απέχει από τον άξονα απόσταση:

mr 200,0

Άρα η ροπή αδράνειας του συστήματος θα είναι:

22

4321

2

4

2

3

2

2

2

1 200,0800,0 mkgrmmmmrmrmrmrmI

20320,0 kgmI


Young)

Ο τροχός μιας άμαξας είναι κατασκευασμένος όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η ακτίνα

του είναι 0,300m και η στεφάνη του έχει μάζα 1,20kg. Καθεμία από τις οκτώ ακτίνες, που

είναι ανά δύο αντιδιαμετρικές, έχει μάζα 0,300kg. Πόση είναι η ροπή αδράνειας του τροχού

ως προς άξονα κάθετοστο επίπεδό του και διερχόμενο διά του κέντρου του;



ΛΥΣΗ

a) Η ροπή αδράνειας του τροχού θα ισούται με το άθροισμα της ροπής αδράνειας της

στεφάνης και των ροπών αδράνειας των ακτίνων.

Χωρίσουμε τη στεφάνη σε στοιχεία μάζας ,..., 21 mm που απέχουν απόσταση r από τον άξονα

περιστροφής. Η ροπή αδράνειας της στεφάνης θα είναι:

2222

11

2

22

2

11 108,0300,020,1...... kgmmkgMrrmmrmrmI

Η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το άκρο της είναι:

222 0090,0300,0300,03

1

3

1kgmmkgMrI

Άρα η ροπή αδράνειας του τροχού θα είναι:

222 180,00090,08108,08 kgmkgmkgmIII


Young)

Ο σφόνδυλος ενός βενζινοκινητήρα επιβάλλεται να αποδίδει 300 J από την κινητική του

ενέργεια, ενώ ταυτόχρονα η γωνιακή του ταχύτητα ελαττώνεται από 660rev/min σε

540rev/min. Ποια ροπή αδράνειας πρέπει να προβλέπουν οι προδιαγραφές του;

ΛΥΣΗ

s

rad

s

radrev1,69

60

2660

min660

s

rad

s

radrev5,56

60

2540

min540

Η κινητική ενέργεια του βενζινοκινητήρα μειώνεται κατά: JK 300

Άρα:

22

2

1

2

1 IIK 22

2

1IK

22

2

KI



2

22380,0

1,695,56

600kgm

s

rad

s

rad

JI


Young)

Επιδιώκεται να γίνει αποθήκευση ενέργειας με μεγάλο σφόνδυλο σχήματος δίσκου ακτίνας

R=1,20m και μάζας 80,0kg. Για να αποφευχθεί η θραύση του σφονδύλου, η μέγιστη

επιτρεπόμενη ακτινική επιτάχυνση σημείο της περιφέρειάς του είναι 5000 2/ sm . Πόση είναι

η μέγιστη κινητική ενέργεια που μπορεί να αποθηκευτεί στο σφόνδυλο;

ΛΥΣΗ

R

aRa rad

rad 2

m

sm

20,1

/5000 2

srad /5,64

Γνωρίζουμε ότι η ροπή αδράνειας κυκλικού δίσκου δίνεται από τη σχέση:

222 6,5720,10,802

1

2

1kgmmkgMRI

Άρα,

Js

radkgmIK 5

2

22 1020,15,646,572

1

2

1


Young)

Ένα ελαφρύ, εύκαμπτο σχοινί είναι τυλιγμένο πολλές φορές γύρω από συμπαγή κύλινδρο

βάρους 40,0Ν και ακτίνας 0,25m, ο οποίο στρέφεται χωρίς τριβή περί σταθερό οριζόντιο

άξονα. Το ελεύθερο άκρο του σχοινιού έλκεται με σταθερή δύναμη Ρ για μια απόσταση

5,00m. Πόση πρέπει να είναι η Ρ, ώστε η τελική ταχύτητα του άκρου του σχοινιού να είναι

4,00m/s;

ΛΥΣΗ

Το έργο της δύναμης Ρ είναι ίσο με την κινητική ενέργεια που αποκτά ο κύλινδρος.

PWKK 0 PWK lPI 2

2

1 lPMR 22

2

1

2

1 lPR

g

w 22

4

1

22

4

1R

g

w

lP

2

4

1R

g

w

lP 2

4

1g

w

lP

2

2

00,4

8,9

0,40

00,54

1

s

m

s

m

N

mP

NP 3,3




Young)

Κέντρο μάζας εκτεταμένου σώματος. Πόσο έργο πρέπει να παράγει ένας παλαιστής για να

ανυψώσει το κέντρο μάζας του αντιπάλου του – που είναι 120kg – κατά κατακόρυφη

απόσταση 0,400m;

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε το επίπεδο που βρίσκεται η αρχική θέση του κέντρου μάζας του παλαιστή σαν

επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας 0U . Το έργο του βάρους του παλαιστή που

ανυψώνεται θα είναι:

UUWw UWw Jms

mkgmghW cmw 470400,08,9120

2

Άρα, το έργο της δύναμης του παλαιστή θα είναι: JWW wF 470


Young)

Χρησιμοποιείστε τη σχέση dmrI 2 για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας μιας λεπτής,

ομογενούς ράβδου, μάζας M και μήκους L ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της

άκρο και είναι κάθετος στη ράβδο.

ΛΥΣΗ

dxL

Mdm

L

dx

M

dm

Επομένως,

dmrI 2 L

dxL

MxI

0

2 L

dxxL

MI

0

2

L

x

L

MI

0

3

3

3

3L

L

MI 2

3

1MLI

(Το συγκεκριμένο θέμα έχει αναλυθεί αναλυτικά στη στην παράγραφο: Παραδείγματα

υπολογισμού ροπής αδράνειας).


Young)

Η μάζα ανά μονάδα μήκους λεπτής ράβδου μήκους L μεταβάλλεται με την απόσταση από το

αριστερό της άκρο σύμφωνα με τη σχέση: xdx

dm , όπου το δίνεται σε μονάδες 2kgm .

a) Υπολογίστε την ολική μάζα της ράβδου συναρτήσει των και L.



b) Χρησιμοποιείστε την εξίσωση dmrI 2 για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της

ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στη ράβδο.

Χρησιμοποιείστε την έκφραση στην οποία καταλήξατε στο (a), ώστε να εκφράσετε το I

συναρτήσει των M και L . Πως συγκρίνεται το αποτέλεσμά σας με τη σχέση που ισχύει για

ομοιόμορφη ράβδο;

ΛΥΣΗ

a) xdx

dm xdxdm

Άρα,

22

2

0

2

0

LxxdxdmM

LL

(1)

b) dmrI 2

L

xdxxI0

2

L

dxxI0

344

4

0

4 LxI

L

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2) προκύπτει: 2

2L

MI (3)

Για την ομοιόμορφη ράβδο ισχύει: 2

3L

MI (4)

Άρα, διαιρώντας τις (3) και (4) κατά μέλη προκύπτει:

IIIII

I

2

3

2

3


Young)

Η τροχαλία στο παρακάτω σχήμα έχει ακτίνα R και ροπή αδράνειας I . Το νήμα δεν

ολισθαίνει κατά μήκος της περιφέρειας του τροχού της τροχαλίας. Ο συντελεστής τριβής

μεταξύ του σώματος Α και της επιφάνειας της τράπεζας είναι . Το σύστημα αφήνεται από

τη ηρεμία και το σώμα B αρχίζει να κατέρχεται. Χρησιμοποιήστε ενεργειακές μεθόδους για

να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος B ως συνάρτηση της απόστασης d που κάλυψε

η πτώση του σώματος B .



ΛΥΣΗ

Γνωρίζουμε ότι:

otherWUKUK 1122 (1)

, όπου 21,UU η αρχική και η τελική τιμή της συνολικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος

, 21 ,KK η αρχική και η τελική τιμή της συνολικής κινητικής ενέργειας του συστήματος

και otherW τα έργα των μη διατηρητικών δυνάμεων (που μειώνουν τη μηχανική ενέργεια του

συστήματος). Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι το έργο της τριβής στο σώμα A , δηλαδή

gdmWW ATother (2).

Το σύστημα αφήνεται από την ηρεμία άρα 01 K (3).

Επίσης: 222

22

1

2

1

2

1BBAABA mImKKKK

2

2

2

22

1

2

1

2

1BBAA m

RImK

(4)

Όμως, η γραμμική ταχύτητα της τροχαλίας (ταχύτητα του σχοινιού) είναι ίση με τις

ταχύτητες των δύο σωμάτων, διότι τα σώματα κινούνται ως σύστημα. Άρα,

BA (5)

Συνδυάζοντας τις (4) και (5) προκύπτει:

BABA m

R

ImmI

RmK

2

222

2

2

22

1

2

1

2

1

2

1 (6)

Επίσης θέτουμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το επίπεδο στο οποίο φθάνει το

σώμα B μόλις διανύσει απόσταση d .

Άρα 02 U (7)

Τέλος η αρχική δυναμική ενέργεια του συστήματος θα είναι gdmU B1 (8). Αγνοήσαμε

σκόπιμα τη δυναμική ενέργεια του A καθώς δεν αλλάζει κατά τη διάρκεια της κίνησης οπότε

τοποθετείται και στα 2 μέλη της (1) και απλοποιείται.

Αντικαθιστώντας τις (2), (3), (6), (7) στην (1) προκύπτει:

otherWUK 12

gdmgdmm

R

Im ABBA

2

2

2

1

BA

AB

mR

Im

gdmm

2

2 2

BA

AB

mR

Im

gdmm

2

2




Young)

Η τροχαλία στο παρακάτω σχήμα έχει ακτίνα 0,200 m και ροπή αδράνειας 2420,0 kgm . Το

νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του τροχού της τροχαλίας. Χρησιμοποιήστε

ενεργειακές μεθόδους για να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος των kg00,4 λίγο πριν

προσκρούσει στο έδαφος.

ΛΥΣΗ

Θέτουμε:

mR 200,0 2420,0 kgmI

kgm 00,41

kgm 00,22

md 00,5

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει:

1122 UKUK (1)

, όπου 21,UU η αρχική και η τελική τιμή της συνολικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος

, 21 ,KK η αρχική και η τελική τιμή της συνολικής κινητικής ενέργειας του συστήματος

Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το έδαφος. Άρα,

gdmU 11 (2)

gdmU 22 (3)

Το σύστημα ξεκινάει από την ηρεμία, άρα 01 K (4)

Τέλος η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος θα είναι:

2

22

2

2

1122

1

2

1

2

1

m

RImK

(5)



Όμως, η γραμμική ταχύτητα της τροχαλίας (ταχύτητα του σχοινιού) είναι ίση με τις

ταχύτητες των δύο σωμάτων, διότι τα σώματα κινούνται ως σύστημα. Άρα,

21 (6)

Συνδυάζοντας τις (5) και (6) προκύπτει:

221

22

2

2

2

2

122

1

2

1

2

1

2

1m

R

ImmI

RmK (6)

Αντικαθιστώντας τις (2), (3), (4), (6) στην (1) προκύπτει:

gdmgdmm

R

Im 12221

2

2

1

gdmgdmm

R

Im 21221

2

2

1

gdmmm

R

Im 21221

2

2

1

221

212 2

mR

Im

gdmm

221

212

mR

Im

gdmm

kgm

kgmkg

ms

mkgkg

00,2200,0

420,000,4

00,58,900,200,42

2

2

2

sm /44,3


Young)

Ένας κύλινδρος ακτίνας R και μάζας M έχει πυκνότητα που αυξάνεται γραμμικά με την

απόσταση r από τον άξονα του κυλίνδρου σύμφωνα με τη σχέση ar . Υπολογίστε τη

ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του συναρτήσει των M και R .

Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με τα ισχύοντα για ομογενή κύλινδρο. Βρέθηκε η σωστή

ποιοτική σχέση;

ΛΥΣΗ

Έστω L το μήκος του κυλίνδρου. Χωρίζουμε τον κύλινδρο σε στοιχειώδη κυλινδρικά

κελύφη πάχους dr .

Γνωρίζουμε ότι:

dVdm rdrLdm 2 Lrdrdm 2 rLdrardm 2 draLrdm 22

dmrI 2

R

drraLI0

42

R

raLI

0

5

52

52

5RaLI 5

5

2aLRI (1)

dr

R



Επίσης,

R

drraLMdmM0

22

R

raLM

0

3

32 3

3

2aLRM (2)

Διαιρώντας τις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει:

3

5

3

25

2

R

R

M

I 2

5

3R

M

I 2

5

3MRI (3)

Η ροπή αδράνειας αν ο κύλινδρος έχει ομοιόμορφη πυκνότητα είναι:

2

2

1MRI (4)

Διαιρώντας τις (3) και (4) κατά μέλη προκύπτει:

2

15

3

I

I

5

6

I

I II

5

6II

Το αποτέλεσμα είναι αναμενόμενο καθώς ο κύλινδρος μεταβλητής πυκνότητας έχει το

μεγαλύτερο μέρος της μάζας του σε μεγαλύτερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής.


Young)

Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ενός συμπαγούς ομογενούς κώνου περί άξονα διερχόμενου

διά του κέντρου του κώνου. Ο κώνος έχει μάζα M και ύψος h . Η ακτίνα της κυκλικής

βάσης του κώνου είναι R .

ΛΥΣΗ

Χωρίζουμε τον κώνο σε στοιχειώδεις κυκλικούς δίσκους ακτίνας r .



Όμως, όπως έχουμε αποδείξει η ροπή αδράνειας κυκλικού δίσκου είναι: 2

2

1MRI

Άρα για κάθε στοιχειώδη κυκλικό δίσκο στη συγκεκριμένης περίπτωση θα έχουμε:

2

2

22

2

22

2

1

2

1z

h

Rdzz

h

RdIdmrdI dzz

h

RdI 4

4

4

2

1

Επομένως,

h

dzzh

RI

0

4

4

4

2

1

h

z

h

RI

0

5

4

4

52

1 5

4

4

10

1h

h

RI 4

10

1hRI (1)

Όμως,

hRVM 2

3

1 (2)

Διαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει:

hR

hR

M

I

2

4

3

110

1

10

3 2R

M

I 2

10

3MRI

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι:

zh

Rr

h

R

z

r

Ο όγκος του κυκλικού δίσκου θα είναι:

dzrdV 2 dzzh

RdV 2

2

2

Άρα,

dzzh

RdmdVdm 2

2

2

r

R

z

h



Α.6) ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Όπως έχει γίνει αντιληπτό, ένα σώμα έχει άπειρες ροπές αδράνειας, διότι υπάρχουν άπειροι

άξονες από τους οποίους μπορεί να περιστρέφεται.

Θεώρημα παραλλήλων αξόνων

Αν cmI η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το

κέντρο μάζας, η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει

απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα

που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματoς

επί το τετράγωνο της απόστασης d.

2MdII cmp (Α.6.1)

Στο σημείο αυτό θα υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ορθογώνιας πλάκας ως προς άξονα

κάθετο στο επίπεδό της που διέρχεται από το κέντρο της με τη βοήθεια του θεωρήματος των

καθέτων αξόνων.

Απόδειξη θεωρήματος παραλλήλων αξόνων

Μεταξύ της ροπής αδράνειας cmI ενός σώματος ως προς

άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και της

ροπής αδράνειας pI ως προς οποιοδήποτε άλλο άξονα

p , παράλληλο με τον πρώτο σε απόσταση d από αυτόν,

υπάρχει μια απλή σχέση, γνωστή ως το θεώρημα

παραλλήλων αξόνων ή θεώρημα Steiner .

Άξονας περιστροφής

παράλληλος στον άξονα που

διέρχεται από το κέντρο μάζας

Στοιχείο μάζας

Άξονας περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο

μάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας

Λεπτό φύλλο σώματος



Αρχικά θεωρούμε ένα πολύ λεπτό τμήμα του σώματος, παράλληλο προς το επίπεδο xy και

κάθετο στον άξονα z. Θεωρούμε ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων, το κέντρο μάζας

του σώματος: 0 cmcmcm zyx . Ο άξονας διά του κέντρου μάζας διέρχεται από το σημείο

Ο του σχήματος και είναι παράλληλος στον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ρ. Οι

συντεταγμένες του σημείου P είναι ba, . Η απόσταση του άξονα που διέρχεται από το Ρ

από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι 22 bad .

Έστω τώρα ένα στοιχείο μάζας im στο λεπτό τμήμα του σώματος με συντεταγμένες

iii zyx ,, . Η ροπή αδράνειας του λεπτού τμήματος ως προς τον άξονα που διέρχεται από το

κέντρο μάζας είναι:

22

iiicm yxmI (Α.6.2)

Αντίστοιχα, η ροπή αδράνειας του τμήματος αυτού ως προς τον άξονα που διέρχεται από το Ρ

είναι:

22

byaxmI iiip

iiiiiiiip mbaymbxmayxmI 2222 22

iicmicmiiip mbamybmxayxmI 2222 22 (Α.6.3)

Διότι,

i

ii

cmm

xmx και

i

ii

cmm

ymy

Όμως έχουμε θέσει 0 cmcmcm zyx . Άρα, η σχέση (Α.6.3) γίνεται:

iiiip mbayxmI 2222 2MdII cmp

Διότι, 22

iiicm yxmI και 22 bad .

Σημείωση: Παρατηρούμε ότι οι εκφράσεις δεν περιέχουν τις συντεταγμένες iz , έτσι

μπορούμε να επεκτείνουμε τα αθροίσματα για να συμπεριλάβουμε όλα τα σημεία σε όλα τα

λεπτά τμήματα.

Α.7) ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΘΕΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

Το θεώρημα καθέτων αξόνων ισχύει μόνο για σώματα με σχήμα λεπτού επίπεδου φύλλου.

Έστω λοιπόν ότι ένα τέτοιο σώμα βρίσκεται στο επίπεδο xy. Συμβολίζουμε με xI και yI τις

ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες x και y και OI τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα O

κάθετο στο επίπεδο.

Σύμφωνα με το θεώρημα ισχύει: yxO III



Επομένως η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το O είναι:

xyiiiiiiiO IIymxmyxmI 2222

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα καθέτων αξόνων μπορούμε να υπολογίσουμε πολύ εύκολα τη

ροπή αδράνειας λεπτής ορθογώνιας πλάκας ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της που

διέρχεται από το κέντρο της:

9. Λεπτή ορθογώνια πλάκα ως προς άξονα διά του κέντρου

dmrI x2

dAxA

MI x

2

2

2

2

a

a

x bdxxA

MI

2

2

2

a

a

x dxxbA

MI

2

2

3

3

a

ax

xb

A

MI

2424

33 aab

ab

MI x

2

12

1MaI x (2)

Απόδειξη: Έστω ένα στοιχείο μάζας im με συντεταγμένες

ii yx , .

Η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα x είναι:

2

iix ymI .

Η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα y είναι:

2

iiy xmI .

Η απόσταση ir της im από το σημείο O είναι

22

iii yxr .

Σύμφωνα με το θεώρημα των καθέτων αξόνων

ισχύει:

yx III (1)

Άρα θα υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας της

πλάκας ως προς τον άξονα x και ως προς τον

άξονα y .

Χωρίζουμε την πλάκα σε στοιχειώδεις λωρίδες

πάχους dx που απέχουν x από τον άξονα

περιστροφής.

A

dA

M

dm

A

dAMdm

a

b

x

y

dx

dy

x

y

O

ix

iy ir

im



Ομοίως, χωρίζουμε την πλάκα σε στοιχειώδεις λωρίδες πάχους dy που απέχουν y από τον

άξονα περιστροφής.

A

dA

M

dm

A

dAMdm

dmrI y2

dAyA

MI y

2

2

2

2

b

b

y adyyA

MI

2

2

2

b

b

y dyyaA

MI

2

2

3

3

b

by

ya

A

MI

2424

33 bba

ab

MI y

2

12

1MbI y (3)

Άρα, αντικαθιστώντας τις (2) και (3) στην (1) προκύπτει: 22

12

1bMI

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ


Young)

Η ροπή αδράνειας λεπτής ομοιόμορφης ράβδου μάζας M και μήκους L ως προς άξονα

κάθετο στη ράβδο διερχόμενο διά του κέντρου της είναι 2

12

1MLI cm . Χρησιμοποιήστε το

θεώρημα παραλλήλων αξόνων για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα κάθετο

στη ράβδο και διερχόμενο από το ένα άκρο της.

ΛΥΣΗ

2

2

LMII cmp 22

4

1

12

1MLMLI p

2

3

1MLI p


Young)

Χρησιμοποιείστε το θεώρημα παράλληλων αξόνων για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας

τετράγωνου μεταλλικού φύλλου με πλευρά a και μάζα M ως προς άξονα κάθετο στο φύλλο

και διερχόμενο διαμέσου μιας από τις κορυφές του.

ΛΥΣΗ

Άξονας περιστροφής

2/a

2/a

Άξονας διερχόμενος από το

κέντρο μάζας

d



2

2

222

222aaaa

d

2MdII cmp

2

22

2

2

12

1 aMaaMI p M

aM

aI p

26

22

3

2 2MaI p


Young)

Μια ομογενής λεπτή ράβδος κάμπτεται σχηματίζοντας τετράγωνο πλευράς a . Αν η ολική

μάζα της ράβδου είναι M , υπολογίστε τη ροπή αδράνειας της ως προς άξονα διερχόμενο διά

του κέντρου του τετραγώνου, κάθετο προς το επίπεδό του.

(Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε το θεώρημα παράλληλων αξόνων).

ΛΥΣΗ

Η κάθε πλευρά του τετραγώνου θα έχει μάζα 4

MM . Η ροπή αδράνειας της κάθε πλευράς

ως προς το κέντρο θα είναι:

2MdII cmp

2

2

212

1 aMaMI p

44412

1 22 aMa

MI p

22

16

1

48

1MaMaI p

2

12

1MaI p

Άρα, η ροπή αδράνειας του τετραγώνου θα είναι:

2

3

14 MaII pp



ΕΝΟΤΗΤΑ Β: ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Β.1) Ροπή

Ροπή δύναμης (

) είναι το φυσικό μέγεθος που περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να

στρέφει ένα σώμα.

α) Ροπή δύναμης ως προς άξονα

Έστω ένα σώμα που έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω από τον άξονα z΄z . Στο σώμα

ασκείται δύναμη F

που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής και ο φορέας

της απέχει από τον άξονα απόσταση l .

Ροπή της δύναμης F

, ως προς τον άξονα περιστροφής zz ονομάζεται το διανυσματικό

μέγεθος

που έχει

1. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της

δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας).

lF (Β.1.1)

2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού

3. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής.

Μονάδα ροπής είναι το 1 Νm.

Η ροπή μιας δύναμης ως προς άξονα είναι μηδέν

1. όταν η δύναμη ασκείται στον άξονα.

2. όταν ο φορέας της δύναμης τέμνει τον άξονα

3. όταν ο φορέας της δύναμης είναι παράλληλος στον άξονα.

β) Ροπή δύναμης ως προς σημείο

Αν σ' ένα ελεύθερο σώμα ασκηθεί δύναμη που ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο μάζας

του, το σώμα δεν περιστρέφεται (θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση). Αν όμως ο φορέας της

δύναμης δε διέρχεται από το κέντρο μάζας του, το σώμα μαζί με τη μεταφορική κίνηση θα

εκτελέσει και περιστροφική γύρω από ένα νοητό άξονα (ελεύθερος άξονας) που διέρχεται

από το κέντρο μάζας του σώματος και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη

και το κέντρο μάζας του σώματος.

Για να προσδιορίσουμε τη φορά της ροπής

κλείνουμε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού και τα

τοποθετούμε έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά

κατά την οποία η δύναμη, τείνει να περιστρέψει

το σώμα. Ο αντίχειρας τότε δίνει τη φορά του

διανύσματος της ροπής.



Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια

της ροπής της δύναμης ως προς σημείο.

Η ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο είναι μηδέν

1. όταν η δύναμη ασκείται στο σημείο αυτό

2. όταν ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το σημείο αυτό

Στις δύο αυτές περιπτώσεις 0l και κατά συνέπεια 0

γ) Ροπή ζεύγους δυνάμεων

Η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του, που

απέχει απόσταση 1x από τη δύναμη 1F

και 2x από τη δύναμη 2F

είναι:

2211 xFxF

Όμως επειδή 21 FF , προκύπτει:

)( 2112111 xxFxFxF dF 1 (Β.1.2)

Ορίζουμε ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων 1F

και 2F

το διανυσματικό μέγεθος

, το οποίο

έχει:

1. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δύο δυνάμεων.

Ροπή δύναμης F

, ως προς σημείο Ο, ονομάζεται το

διανυσματικό μέγεθος

που έχει

1. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου F της

δύναμης επί την απόσταση l του σημείου Ο από το

φορέα της δύναμης, δηλαδή:

lF

2. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το

φορέα της δύναμης και το σημείο Ο

3. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού

χεριού.

Ζεύγος δυνάμεων ονομάζουμε ένα σύστημα δύο

δυνάμεων 1F

και 2F

, οι οποίες ασκούνται σε δύο

διαφορετικά σημεία του σώματος, είναι

αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα. Παράδειγμα

ζεύγους δυνάμεων είναι οι δυνάμεις του διπλανού

σχήματος. Το επίπεδο που ορίζεται από τις δύο

δυνάμεις λέγεται επίπεδο του ζεύγους και η

απόσταση d των φορέων των δύο δυνάμεων

λέγεται βραχίονας του ζεύγους.



2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

3. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της 1F

(της μιας από τις δύο δυνάμεις) επί τον

βραχίονα d του ζεύγους. Δηλαδή: dF 1

Η αλγεβρική τιμή της ροπής

Κατά σύμβαση θεωρούμε θετική τη ροπή της δύναμης που τείνει να περιστρέψει το

σώμα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητική τη ροπή της

δύναμης που τείνει να το περιστρέψει κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

δ) Γενίκευση ορισμού ροπής

Έστω τώρα ότι μία δύναμη F

ασκείται σε ένα σημείο P που προσδιορίζεται από ένα

διάνυσμα θέσης r

(ως προς το σημείο Ο).στον άξονα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Το μέτρο της ροπής της δύναμης αυτής μπορεί να γραφεί με έναν από τους παρακάτω

ισοδύναμους τρόπους:

sinsintan rFFrrF ή sinsin rFrFlF

Προφανώς η συνιστώσα radF έχει μηδενική ροπή ως προς το Ο διότι ο φορέας της διέρχεται

από το Ο.

Παρατηρούμε ότι η ποσότητα sinrF είναι το μέτρο του διανυσματικού γινομένου:

Fr

(Β.1.3)

Επομένως ο ορισμός της ροπής γενικεύεται ως εξής:

Όταν μια δύναμη F

, ασκείται σε ένα σημείο που έχει διάνυσμα θέσης r

ως προς ένα σημείο

αναφοράς Ο, η ροπή

της δύναμης ως προς το Ο ορίζεται ως: Fr

.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΗΣ


Young)

ΛΥΣΗ

mNmNNN 57,11273,0707,00,240,18707,00,16 (η πλάκα κινείται

αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.)


Young)

Δύναμη F

δίνεται από jNiNF

00,500,4 και το διάνυσμα r

από τον άξονα μέχρι το

σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι: jmimr

500,0300,0 . Υπολογίστε το διάνυσμα

της ροπής της δύναμης αυτής.

ΛΥΣΗ

jNiNjmimFr

00,500,4500,0300,0

jjNmijNmjiNmiiNm

50,200,250,120,1 (1)

Μια τετραγωνική πλάκα πλευράς 0,180m

περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από

το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στην πλάκα.

Υπολογίστε τη συνολική ροπή ως προς αυτόν τον

άξονα η οποία οφείλεται στις 3 δυνάμεις που φαίνονται

στο σχήμα, αν τα μέτρα των δυνάμεων είναι

NF 0,241 , NF 0,162 και NF 0,183 .

mmmd 1273,0090,0090,022

132

dFdFdF yy 132

dFFF yy 132

dFFF 45sin45sin 132

1F

yF1

xF1

2F

yF2

xF2

3F

)(

d d

d



Όμως,

0

jjii

kji

kij

Άρα,

(1) kNmkNmkNm

50,000,250,1

Β.2) Ροπή και γωνιακή επιτάχυνση

Στην περίπτωση ενός υλικού σημείου, από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής προκύπτει ότι

για να μεταβληθεί η ταχύτητά του πρέπει να ασκηθεί σε αυτό δύναμη που δίνεται από τη

σχέση:

amF (2ος Νόμος του Νεύτωνα)

Στο νόμο αυτό η επιτάχυνση a

του υλικού σημείου μάζας m είναι το αποτέλεσμα της

συνισταμένης δύναμης F

(αίτιο) που ασκείται σε αυτό.

Αντίστοιχος νόμος ισχύει στη στροφική κίνηση στερεών σωμάτων. Σύμφωνα με αυτόν, για

να μεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα

πρέπει να ασκηθεί σ' αυτό ροπή. Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (ροπή) και το αποτέλεσμα

(μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας) είναι

I (Β.2.1)

Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης, δηλαδή,

το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα το οποίο

περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας

(υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της γωνιακής επιτάχυνσης του

σώματος.

Φυσική σημασία της ροπής αδράνειας:

Από τη σχέση I φαίνεται ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αδράνειας ενός

σώματος τόσο πιο δύσκολα αλλάζει η περιστροφική κατάσταση του σώματος. Η ροπή

αδράνειας εκφράζει στην περιστροφή, ότι εκφράζει η μάζα στη μεταφορική κίνηση, δηλαδή

την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση. Ενώ όμως η μάζα ενός σώματος είναι

σταθερό μέγεθος η ροπή αδράνειας εξαρτάται κάθε φορά από τη θέση του άξονα

περιστροφής. Ένα στερεό σώμα έχει μία μάζα και άπειρες ροπές αδράνειας, μία για κάθε




Εφαρμογή

Ασκήσεις με τροχαλία - σώματα

Τα σώματα μάζας 1m και 2m κινούνται με την ίδια επιτάχυνση διότι κινούνται ως σύστημα.

Το επόμενο βήμα είναι η εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για την

τροχαλία. Ροπή στην τροχαλία δημιουργούν μόνο οι δυνάμεις 1

και 2

. Το βάρος της

τροχαλίας w

και η δύναμη στήριξης F

δεν δημιουργούν ροπή διότι οι διευθύνσεις τους

διέρχονται από τον άξονα περιστροφής.

Επίσης όπως παρατηρούμε από το σχήμα ισχύουν οι σχέσεις (ισχύουν μόνο αν το σχοινί είναι

αβαρές!):

11 (3) και 22 (4)

,διότι οι δυνάμεις 1

, 1

και 2

,

2

λειτουργούν σαν δράση – αντίδραση.

Η ροπή που δημιουργεί η 1

στην τροχαλία θα είναι R 11


στην τροχαλία θα είναι R 22

Επομένως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης για την τροχαλία διατυπώνεται ως

εξής:

I IRR 21 (5)

1w

2w

1

2

1

2

R

F

w

δράση-

αντίδραση

δράση-

αντίδραση


είναι μεγαλύτερη από τη

ροπή που δημιουργεί η 2

.Επίσης η 1

τείνει να

περιστρέψει την τροχαλία αντίθετα από την 2

. Για

το λόγο αυτό οι δύο ροπές έχουν αντίθετα πρόσημα.

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις εφαρμόζουμε τους

νόμους της μηχανικής χωριστά σε κάθε σώμα.

Σώμα μάζας 1m :

cmx amF 1 cmamw 111

cmamw 111 cmamgm 111(1)

Σώμα μάζας 2m :

cmx amF 2 cmamw 222

cmamw 222 cmamgm 222(2)



Με τη βοήθεια των σχέσεων (3) και (4) και αντικαθιστώντας τη σχέση για τη ροπή αδράνειας

της τροχαλίας ως προς τον άξονά της, 2

2

1mRI η σχέση (5) γράφεται:

2

212

1mRRR 2

212

1mRR mR

2

121 (6)

Από τα δεδομένα της άσκησης γνωρίζουμε ότι η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο σκοινί

είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Επομένως ισχύει η σχέση:

R

aRa cm

cm (7)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) , (2) και (7) στη σχέση (6) προκύπτει:

mR2

121

R

amRamgmamgm cm

cmcm2

1)( 2211

cmcmcm maamgmamgm2

12211 cmcmcm amammagmgm 2121

2

1

cmammmgmgm 2121

2

1

21

21

2

1mmm

gmgmacm

21

21

2

1mmm

gmmacm

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ


Young)

Ένα στερεό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο μάζας 5,00kg ηρεμεί πάνω σε μια οριζόντια

επιφάνεια χωρίς τριβή. Ένα σχοινί δεμένο στο σώμα αυτό περνάει από μια τροχαλία

διαμέτρου 0,120m και καταλήγει σε ένα άλλο σώμα ίσης μάζας που κρέμεται κατακόρυφα.

Το σύστημα αφήνεται να κινηθεί ελεύθερα και παρατηρούμε ότι σε 2,00s τα σώματα

κινούνται κατά 3,00m.

a) Πόση είναι η τάση σε κάθε τμήμα του σχοινιού;

b) Πόση είναι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας;



ΛΥΣΗ

a)

Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (1) και (2) στη σχέση (3):

R

aIRmaRagm cm

cmcm 2

2R

aImamg cm

cm 2

2R

aImag cm

cm (4)

Επίσης από την εκφώνηση γνωρίζουμε ότι σε 2,00s τα σώματα κινούνται κατά 3,00m.

Άρα,

2

2 2

2

1

t

satas cmcm

2

2/50,1

00,4

00,32sm

s

macm

Αντικαθιστώντας στις (1) και (2) βρίσκουμε την τάση σε κάθε τμήμα του σχοινιού:

cmagmT 1 NsmkgT 5,41/3,800,5 2

1

NsmkgamT cm 5,7/50,100,5 2

2

b) Αντικαθιστώντας στην (3) βρίσκουμε τη ροπή αδράνειας της τροχαλίας.

221R

aITT cm

2

2

22

21 3264,0/50,1

0144,034kgm

sm

mN

a

RTTI

cm

Σώμα 1: cmamTmg 1

cmagmT 1 (1)

Σώμα 2: cmamT 2 (2)

Τροχαλία: IRTRT 21

R

aIRTRT cm 21

(3)

N

2

2T

1T

1

2T

1T




Young)

Ένας τροχός ακονίσματος διαμέτρου 0,600m και μάζας 50,0kg περιστρέφεται με γωνιακή

ταχύτητα 900rev/min. Πιέζετε κάθετα προς την παράπλευρη επιφάνεια του τροχού ένα

τσεκούρι με δύναμη 160Ν, όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα, οπότε ο τροχός σταματάει σε

10,0s. Να βρείτε το συντελεστή τριβής μεταξύ του τσεκουριού και του τροχού. Να αμελήσετε

την τριβή στα σημεία στήριξης του άξονα του τροχού.

ΛΥΣΗ

a) Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του τροχού θα είναι:

sradsrads

radrev/2,94/30

60

2900

min900

Η ροπή αδράνειας του τροχού θα είναι:

222 25,2300,00,502

1

2

1kgmmkgMRI

H ροπή στον τροχό (λόγω της τριβής τροχού –τσεκουριού) κατ’ απόλυτη τιμή θα είναι:

Nms

sradkgm

tII 2,21

0,10

/2,9425,2 2

Άρα,

RT RF

442,0300,0160

2,21

mN

Nm

FR




Young)

Μια σταθερή ροπή ίση με Nm0,20 ασκείται σε έναν περιστρεφόμενο τροχό επί 8,00s και

κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος η γωνιακή ταχύτητα του τροχού αυξάνει

από μηδέν σε 100rev/min. Η εξωτερική ροπή κατόπιν απομακρύνεται και ο τροχός

σταματάει σε 100s λόγω της τριβής στα στηρίγματα του. Υπολογίστε:

a) Τη ροπή αδράνειας του τροχού.

b) Τη ροπή της τριβής.

c) Το συνολικό αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει ο τροχός στο διάστημα των 108s.

ΛΥΣΗ

a) srads

radrev/

6

20

60

2100

min100

2/48

20srad

t

IF2

2

3,15

/48

14,320

0,20kgm

srad

NmI F

b) 22 /60

2/

600

20sradsrad

t

NmsradkgmI 60,1/60

14,323,15 22

c) Η γωνία που διαγράφει ο τροχός όσο επιταχύνεται είναι::

radss

radt

34,1300,8

48

20

2

1

2

1 2

2

2

1

Η γωνία που διαγράφει ο τροχός όσο επιβραδύνεται είναι:

radss

radt

67,166100

60

2

2

1

2

1 2

2

2

2

Επομένως, ο συνολικός αριθμός των περιστροφών που θα εκτελέσει ο τροχός στο διάστημα

των 108s θα είναι:

0,902

67,16634,13

2

21

N περιστροφές


Young)

Ένα μεγάλο ρολό από χαρτί περιτυλίγματος μάζας 15,0kg και ακτίνας R=12,0cm ακουμπά σε

ένα κατακόρυφο τοίχο και συγκρατείται από ένα πλαίσιο, το οριζόντιο τμήμα του οποίου

είναι μια κυλινδρική ράβδος που διέρχεται από το κέντρο του ρολού. Η ράβδος

περιστρέφεται χωρίς τριβή μέσα στο πλαίσιο και η ροπή αδράνειας του χαρτιού και της



ράβδου γύρω από τον άξονα είναι 2120,0 kgm . Ο συντελεστής της κινητικής τριβής μεταξύ

του χαρτιού και του τοίχου είναι 20,0 . Μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη NF 40

ασκείται στην άκρη του χαρτιού και το χαρτί ξετυλίγεται.

a) Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκεί η ράβδος στο χαρτί καθώς ξετυλίγεται;

b) Πόση είναι η γωνιακή επιτάχυνση του ρολού;

ΛΥΣΗ

a)

FwF

23

3

2 FwF NNF 36,248

20,073,1

380

b) IF IRTRF

I

RTRF

I

RTF

I

RNF

I

RF

F2

2

2/16,15

120,0

12,02

36,24820,00,40

sradkgm

mNN


Young)

O μηχανισμός που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα χρησιμοποιείται για να ανυψώσει ένα

κιβώτιο με προμήθειες από το αμπάρι ενός πλοίου. Το κιβώτιο έχει συνολική μάζα 50,0kg.

Ένα σχοινί είναι τυλιγμένο γύρω από ένα ξύλινο κύλινδρο με μεταλλικό άξονα ο οποίος

στηρίζεται σε έτριβα ρουλεμάν. Ο κύλινδρος έχει ακτίνα 0,250m και ροπή αδράνειας 2920,0 kgmI γύρω από τον άξονα περιστροφής. Το κιβώτιο κρέμεται από το ελεύθερο

άκρο του σχοινιού. Η μία άκρη του άξονα σχηματίζει μανιβέλα με χειρολαβή. Όταν γυρίζει η

μανιβέλα, το άκρο της χειρολαβής διαγράφει έναν κατακόρυφο κύκλο ακτίνας 0,12m, ο

κύλινδρος γυρίζει και το κιβώτιο ανυψώνεται. Ποιο μέτρο πρέπει να έχει μια δύναμη

F

ασκούμενη εφαπτομενικά στην περιστρεφόμενη χειρολαβή για να ανυψώσει το κιβώτιο με

επιτάχυνση 2/20,1 sm ; (Η ροπή αδράνειας του μεταλλικού άξονα και της μανιβέλας καθώς

και η μάζα του σχοινιού μπορούν να θεωρηθούν αμελητέα).

0yF 030cos FTwF

030cos FNwF (1)

0xF2

030sin

FNFN (2)

Αντικαθιστούμε την (2) στην (1):

02

30cos FF

wF

F

F

N

T

w



ΛΥΣΗ

Για το σώμα που ανυψώνεται ισχύει:

cmcm mamgTmaF NsmkgagmT cm 550/110,50 2

Για την τροχαλία ισχύει:

I R

aIRTdF cm

R

aIRTdF cm

Rd

aI

d

RTF cm

Nmm

smkgm

m

mNF 64,1182

12,0250,0

/20,1920,0

12,0

250,0550

22


Young)

Ένα στερεό παραλληλεπίπεδο μάζας m=5,00kg γλιστράει σε ένα κεκλιμένο επίπεδο που

σχηματίζει γωνία 0,37 με το οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής κινητικής τριβής είναι 0,20.

Ένας σπάγγος, προσδεμένος στο σώμα τυλίγεται γύρω από την περιφέρεια ενός τροχού που

έχει σταθερό άξονα στο σημείο Ο. Ο τροχός έχει μάζα kgM 0,20 , εξωτερική ακτίνα

mR 200,0 και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονά του 2300,0 kgm .

a) Με πόση επιτάχυνση γλιστράει το σώμα αυτό πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

b) Πόση είναι η τάση του σπάγκου;

ΛΥΣΗ

a) Για το παραλληλεπίπεδο ισχύει:

cos00 mgNwNF yy

cmxcmx amTTwmaF cmmamgTmg cossin (1)

w

T

F

N

T

gm

37

T

T

N

w

xw

yw



Για την τροχαλία ισχύει:

R

aIRTIa cm

2R

aIT cm

(2)

Αντικαθιστούμε την (2) στην (1):

cossin2

mgR

Iamgma cm

cm cossin 222 mgRIamgRRma cmcm

cossin 222 mgRmgRmRIacm

2

22 cossin

mRI

mgRmgRacm

2

2 cossin

mRI

mgRacm

mR

IR

mgRacm

2

2

2 cossin

mR

I

mgacm

2

cossin

2

2

2

2

/73,1

00,5200,0

300,0

37cos20,037sin8,900,5

sm

kgm

kgm

s

mkg

acm

b) Από τη σχέση (2) προκύπτει:

Nm

smkgm

R

aIT cm 0,13

200,0

/73,1300,0

2

22

2

Β.3) Περιστροφή γύρω από κινούμενο άξονα

Μέχρι τώρα αναφερθήκαμε σε στροφικές κινήσεις γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής. Τα

συμπεράσματά μας για την κίνηση αυτή μπορούν να επεκταθούν και στις περιπτώσεις που ο

άξονας περιστροφής μετατοπίζεται. Αυτό συμβαίνει στις σύνθετες κινήσεις, στις οποίες το

σώμα κάνει ταυτόχρονα μεταφορική και στροφική κίνηση, όπως στην κίνηση ενός τροχού

που κυλάει.

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης ισχύει και στις περιπτώσεις αυτές, αρκεί ο

άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το σώμα να

1) διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος,

2) να είναι άξονας συμμετρίας και

3) να μην αλλάζει κατεύθυνση κατά τη διάρκεια της κίνησης.



Εφαρμογές

Α) Κύλιση κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο

Ο κύλινδρος επιταχύνεται μεταφορικά. Επομένως, σύμφωνα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα στη

διεύθυνση της κίνησης ισχύει:

cmx aMF cmx aMw cmaMMg sin (1)

Το επόμενο βήμα είναι να εφαρμόσουμε τoν θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Όπως

βλέπουμε από το σχήμα η μόνη δύναμη που δημιουργεί ροπή στον κύλινδρο είναι η τριβή

καθώς το βάρος και η κάθετη δύναμη από το επίπεδο έχουν διευθύνσεις που διέρχονται από

τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου. Άρα,

I I 2

2

1MRR (2)

Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: Racm (3)

(Όπου cma η μεταφορική επιτάχυνση (επιτάχυνση κέντρου μάζας) του κυλίνδρου, , η

γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και R η ακτίνα του.)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (2) προκύπτει:

R

aMRR cm2

2

1 cmMRaR

2

1cmMa

2

1 (4)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (4) στη σχέση (1). Άρα,

cmcm aMMaMg2

1sin cmMaMg

2

3sin cmag

2

3sin

3

sin2 gacm

Με τη βοήθεια της σχέσης (4) μπορεί να υπολογιστεί και η τιμή της στατικής τριβής:

w

xw

yw

)(



3

sin

3

sin2

2

1 MggM

Σημείωση 1: Από τη σχέση cmcm IRI συμπεραίνουμε ότι η στατική

τριβή είναι υπεύθυνη για τη δημιουργία γωνιακής επιτάχυνσης. Η στατική τριβή είναι

αναγκαία για να αποφευχθεί η ολίσθηση και για να αποκτήσει ένα σώμα γωνιακή

επιτάχυνση. Η συνιστώσα sinmg είναι αδύνατο να προκαλέσει γωνιακή επιτάχυνση διότι η

διεύθυνσή της διέρχεται από τον άξονα περιστροφής. Επομένως αν δεν υπάρχει τριβή, τότε

δεν υπάρχει ροπή ως προς τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος

να ολισθαίνει χωρίς να κυλίεται υπό την επίδραση της συνιστώσας sinmg . Δηλαδή υπάρχει

μόνο μεταφορική κίνηση cmx maF cmmmg sin

Σημείωση 2: Ό ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής που απαιτείται για να αποφευχθεί η

ολίσθηση είναι:

s όπου η στατική τριβή. Ο ελάχιστός συντελεστής στατικής

τριβής στο προηγούμενο παράδειγμα θα είναι:

tan3

1

cos

3

sin

Mg

Mg

s

Σημείωση 3: Όταν υπάρχει στατική τριβή ένας κύλινδρος εκτελεί μεταφορική και

περιστροφική κίνηση, δηλ. κυλίεται. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του θα είναι:

cmx maFcmmamg sin

mgacm

sin

Όταν δεν υπάρχει τριβή ένας κύλινδρος δεν κυλίεται αλλά ολισθαίνει. Άρα η επιτάχυνση του

κέντρου μάζας του θα είναι:

cmx maFcmmaTmg sin singacm

Άρα η επιτάχυνση του κυλίνδρου όταν κυλίεται είναι μικρότερη από την επιτάχυνση όταν

ολισθαίνει.

Υπολογισμός του χρόνου κίνησης και του μέτρου της τελικής ταχύτητας κατά την

κύλιση σε πλάγιο επίπεδο χωρίς ολίσθηση

Έχουμε υπολογίσει με την προηγούμενη διαδικασία, την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του

κυλίνδρου. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το χρόνο κίνησης του κυλίνδρου από την εξίσωση:

cm

cma

xttax

2

2

1 2 (1)

Στην παραπάνω σχέση x είναι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.

x



Υπολογίζουμε την τελική ταχύτητα του κυλίνδρου από την εξίσωση:

tacmcm (2)

Αντικαθιστώντας την (1) στη (2) προκύπτει:

cm

cmcma

xa

2 xacmcm 2

Σημείωση: Όταν ζητείται απ’ ευθείας το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του

κυλίνδρου στη βάση του πλάγιου επιπέδου, είναι πιο εύκολο μα εφαρμόσουμε τη διατήρηση

της μηχανικής ενέργειας του κυλίνδρου.

Η φορά της στατικής τριβής

Κύλιση προς τα κάτω Κύλιση προς τα πάνω

Β: Το γιο - γιο

Στον κύλινδρο ασκούνται δύο δυνάμεις. Το βάρος του w

και η τάση του νήματος

. Η

διεύθυνση του βάρους διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου (δηλαδή από τον άξονα

w

To γιο - γιο αποτελείται από ένα μικρό κύλινδρο, μάζας

m και ακτίνας R στο κυρτό μέρος του οποίου έχει τυλιχτεί

πολλές φορές ένα σκοινί. Κρατώντας το ελεύθερο άκρο του

σκοινιού και αφήνοντας τον κύλινδρο να πέσει, το σκοινί

ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από ένα

νοητό οριζόντιο άξονα, τον xx . Θεωρούμε, ότι το σχοινί

παραμένει κατακόρυφο σε όλη τη διάρκεια της κίνησής του.

R

cm

cm

Όταν ο κύλινδρος κυλίεται προς τα κάτω

επιταχύνεται, άρα τα cm και αυξάνονται.

Δηλαδή η τριβή τείνει να περιστρέψει τον

κύλινδρο. Οπότε έχει την κατεύθυνση του

σχήματος.

Όταν ο κύλινδρος κυλίεται προς τα πάνω

επιβραδύνεται, άρα τα cm και μειώνονται.

Δηλαδή η τριβή τείνει να περιστρέψει τον

κύλινδρο αντίθετα από τη φορά κίνησης. Οπότε

έχει την κατεύθυνση του σχήματος.



περιστροφής του) με αποτέλεσμα να μη δημιουργεί ροπή. Επομένως ροπή στον κύλινδρο

δημιουργεί μόνο η τάση του νήματος.

Ο κύλινδρος εκτελεί μεταφορική και στροφική κίνηση. Για τη μεταφορική του κίνηση

μπορούμε να γράψουμε:

cmamF cmamw cmammg (1)

Για το στροφική του κίνηση γράφουμε:

I I 2

2

1mRR (2)

Η κίνηση γίνεται χωρίς ολίσθηση. Επομένως, ισχύει η σχέση: Racm (3)

(Όπου cma η μεταφορική επιτάχυνση (επιτάχυνση κέντρου μάζας) του κυλίνδρου, , η

γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και R η ακτίνα του κυλίνδρου.)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (2) προκύπτει:

R

amRR cm2

2

1 cmmRaR

2

1cmma

2

1 (4)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στη σχέση (1) υπολογίζουμε την επιτάχυνση του κέντρου

μάζας του κυλίνδρου. Άρα:

cmammg cmcm ammamg2

1 cmcm ammamg

2

1 cmmamg

2

3

cmag2

3 cmag 32

3

2gacm

Από την τιμή της επιτάχυνσης στη σχέση (4) μπορούμε να υπολογίσουμε την τάση του

νήματος.

Προσδιορισμός της ταχύτητας διαφόρων σημείων της περιφέρειας του τροχού

Η ταχύτητα κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας

cm

, λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας

, λόγω περιστροφικής

κίνησης. Αν λάβουμε υπόψη τη σχέση Rcm , τότε μπορούμε να βρούμε την

ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού.

Η ταχύτητα του σημείου Κ του άξονα του τροχού

είναι:

cm

Η ταχύτητα του σημείου Γ του τροχού είναι:

cm cm cmcm

0

K

R

Γ

Β

Σ

cm

cm

cm

cm

A

Δ



Η ταχύτητα του σημείου Δ του τροχού είναι:

cm cm cmcm cm 2

Η ταχύτητα του σημείου B του τροχού είναι:

cm

22 cm

22 cm cm 2

Η κατεύθυνση της ταχύτητας

προσδιορίζεται από τη γωνία , η οποία δίνεται από τη

σχέση:

1cm

cm

cm

45

(Ομοίως και για το σημείο Α)

Το μέτρο της ταχύτητας ενός τυχαίου σημείου Σ δίνεται από τη σχέση

cmcm 222 cmcmcmcm 222

22 22 cmcm 12 2

cm 12cm

, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων cm

και

.

Η κατεύθυνση της ταχύτητας

προσδιορίζεται από τη γωνία , η οποία δίνεται από τη

σχέση:

cm

cmcm

cm

1cm

cm

1

, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων cm

και

ενώ είναι η γωνία μεταξύ

των διανυσμάτων cm

και

.

Προσοχή! Για τα εσωτερικά σημεία του τροχού, που βρίσκονται σε αποστάσεις Rr από

το κέντρο του τροχού ισχύει: cmr . Η λογική υπολογισμού είναι ακριβώς η ίδια

(δηλαδή η ταχύτητα κάθε εσωτερικού σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της

ταχύτητας cm

, λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας

, λόγω

περιστροφικής κίνησης) με τη διαφορά ότι δεν ισχύει πλέον η ισότητα cm .

Κινητική ενέργεια στερεού σώματος

Το σώμα του σχήματος, που στρέφεται με γωνιακή

ταχύτητα ω, γύρω από τον άξονα z´z, έχει κινητική

ενέργεια. Προκειμένου να υπολογίσουμε την

κινητική ενέργεια του σώματος, το χωρίζουμε σε



11 r , 22 r ,….,

vv r (1)

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των

μαζών από τις οποίες αποτελείται,

vKKKK .....21 22

22

2

112

1.......

2

1

2

1vvmmmK (2)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) στη σχέση (2) προκύπτει:

222

2

2

2

2

1

2

12

1.....

2

1

2

1vv rmrmrmK 222

22

2

11 )...(2

1vvrmrmrmK

Όμως Irmrmrm vv 22

22

2

11 ... , όπου I η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον

άξονα zz .Επομένως

2

2

1IK (Β.2.2)

Η παραπάνω σχέση δίνει την κινητική ενέργεια στερεού σώματος λόγω περιστροφικής

κίνησης.

Κινητική ενέργεια σώματος που εκτελεί σύνθετη κίνηση

στοιχειώδεις μάζες vmmm ..., 21 Οι μάζες αυτές έχουν

την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμικές

ταχύτητες που δίνονται από τις σχέσεις:

Αν το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα

μεταφορική και στροφική κίνηση, όπως ο

τροχός του σχήματος η κινητική του

ενέργεια είναι ίση με το άθροισμα της

κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής και

λόγω στροφικής κίνησης:

22

2

1

2

1 IMK cm



,όπου M η μάζα του σώματος, I η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς άξονα που

διέρχεται από το κέντρο μάζας του, cm το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του και

το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του.

Απόδειξη:

iiiiii mmK

2

1

2

1 2 icmicmim

2

1 iiicmcmcmim

2

2

1

22 22

1iicmcmim

Η ολική κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι:

22

2

1

2

1iiicmicmi mmmK

22

2

1

2

1iiiicmicm mmm

Ο δεύτερος όρος στην παραπάνω σχέση είναι μηδενικός διότι το άθροισμα iim

ισούται

με το γινόμενο της ολικής μάζας του σώματος M επί την ταχύτητα του κέντρου μάζας ως

προς το κέντρο μάζας που είναι εξ ορισμού μηδενική.

Άρα,

22

2

1

2

1iiicm mmK

22

2

1

2

1iiiicm Rmm 222

2

1

2

1iiiicm Rmm

22

2

1

2

1icmcm IM

Η κινητική ενέργεια ως συνάρτηση μεγεθών μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης

Όταν πρόκειται για συμμετρικό σώμα (π.χ. κύλινδρο, σφαίρα, δίσκο, δακτύλιο κ.α) που

κυλίεται, χωρίς ταυτόχρονη ολίσθηση, τότε ισχύει η γνωστή σχέση Rcm . Έτσι στην

περίπτωση μιας σφαίρας, μάζας M και ακτίνας R , που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, η

κινητική ενέργεια της σφαίρας μπορεί να πάρει τις εξής εκφράσεις:

Ένα τυπικό σημείο μάζας im , η ταχύτητά του ως προς κάποιο

αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα είναι:

icmi

cm

ταχύτητα κέντρου μάζας

i

ταχύτητα σωματίου ως προς το κέντρο μάζας

Η κινητική ενέργεια του σημείου μάζας im στο αδρανειακό

σύστημα αναφοράς που εξετάζουμε θα είναι:



(Η ροπή αδράνειας συμπαγούς ομογενούς σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το

κέντρο μάζας της σφαίρας είναι 2

5

2MRI cm )

Α) Έκφραση με στοιχεία μεταφορικής κίνησης:

22

2

1

2

1 cmcm IMK

2

222

5

2

2

1

2

1

RMRMK cm

cm

22

5

1

2

1cmcm MMK

2

10

7cmMK

Β) Έκφραση με στοιχεία στροφικής κίνησης:

22

2

1

2

1 cmcm IMK 22

2

1)(

2

1 cmIRMK 222

2

1

5

2

2

5

2

1 cmIMRK

22

2

1

2

5

2

1 cmcm IIK 22

2

1

4

5 cmcm IIK 2

4

7cmIK

Εφαρμογή 1

Το γιο - γιο του σχήματος αποτελείται από κύλινδρο με μάζα m και ακτίνα R, γύρω από τον

οποίο έχει τυλιχτεί πολλές φορές νήμα. Κρατώντας το ελεύθερο άκρο του νήματος, αφήνουμε

τον κύλινδρο να κατεβαίνει. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί σκοινί μήκους h.

Θεωρήστε το νήμα κατακόρυφο. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του

είναι 2

2

1mRI .

Θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας

μεταξύ των θέσεων Α και Β. Θεωρούμε σαν επίπεδο

μηδενικής δυναμικής ενέργειας το επίπεδο στη θέση Β.

Ο κύλινδρος αφήνεται, οπότε στην αρχική θέση Α έχει

μηδενική ταχύτητα και μηδενική κινητική ενέργεια.

)()(

UU )()()()(

)()(U

22

2

1

2

1 Immgh cm (1)

h

Θέση Α

Θέση Β

Επίπεδο μηδενικής

δυναμικής ενέργειας

0 0 0



Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: R

R cmcm

(2)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1):

2

22

2

1

2

1

2

1

RmRmmgh cm

cm

2

22

4

1

2

1

RRgh cm

cm

2

222

4

1

2

1

RRgh cm

cm

22

4

1

2

1cmcmgh 22

4

1

4

2cmcmgh 2

4

3cmgh 234 cmgh

3

42 ghcm

3

4ghcm

Εφαρμογή 2

Σε ένα κεκλιμένο επίπεδο βρίσκονται 2 συμπαγείς σφαίρες διαφορετικής μάζας, δύο

συμπαγείς κύλινδροι διαφορετικής μάζας και ένα κυλινδρικό κέλυφος. Ποιο από τα

παρακάτω σώματα κινείται ταχύτερα στο κεκλιμένο επίπεδο;

Οι ροπές αδράνειας όλων των κυλιόμενων σωμάτων δίνονται από μια σχέση της μορφής

2mRI cm , όπου:

Συμπαγής κύλινδρος: 2

11

Συμπαγής σφαίρα: 5

22

Κοίλο κυλινδρικό κέλυφος: 13

Θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας μεταξύ της κορυφής και της βάσης του

κεκλιμένου επιπέδου.

)()(

UU )()()()(

22

2

1

2

1 cmcm Immgh 222

2

1

2

1 mRmmgh cm 222

2

1 Rgh cm

2

222

2

1

RRgh cm

cm

1

2

1 2

cmgh

1

2ghcm

0 0 0



Άρα επειδή, 312213 cmcmcm

Επομένως τη μεγαλύτερη ταχύτητα θα η συμπαγής σφαίρα, μετά ο συμπαγής κύλινδρος και

τέλος το κέλυφος. Επίσης παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της μάζας των

σωμάτων. Άρα δύο συμπαγείς σφαίρες διαφορετικής μάζας θα έχουν ίδια ταχύτητα κτλ.

Συνεπώς πρώτα θα τερματίσουν όλες οι συμπαγείς σφαίρες, μετά οι συμπαγείς κύλινδροι και

τέλος το κέλυφος.

Παρατήρηση: Τα σώματα με μικρό πάντα προπορεύονται των σωμάτων μεγάλου γιατί

δεσμεύουν μικρότερο ποσοστό της ολικής κινητικής τους ενέργειας σε ενέργεια περιστροφής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ

ΑΞΟΝΑ


Young)

Ένας σπάγγος είναι τυλιγμένος αρκετές φορές γύρω από την περιφέρεια ενός μικρού κρίκου

ακτίνας 0,080m και μάζας 0,140kg. Αν η ελεύθερη άκρη του σπάγγου κρατιέται σε σταθερό

ύψος και ο κρίκος αφήνεται από την κατάσταση ηρεμίας, υπολογίστε:

a) Την τάση του σπάγγου καθώς ο κρίκος κατεβαίνει και ο σπάγγος ξετυλίγεται.

b) Το χρόνο που χρειάζεται ο κρίκος για να κατέβει 0,600m.

c) Τη γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου κρίκου όταν θα έχει κατέβει 0,600m.

ΛΥΣΗ

a)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2) στη σχέση (1) υπολογίζουμε την επιτάχυνση του κέντρου

μάζας του κρίκου. Άρα:

cmammg cmcm ammamg cmag 22

gacm

Από την τιμή της επιτάχυνσης στη σχέση (2) μπορούμε να υπολογίσουμε την τάση του

νήματος.

Για τη μεταφορική κίνηση του κρίκου μπορούμε να

γράψουμε:

cmamF cmamw cmammg

(1)

Για το στροφική του κίνηση γράφουμε:

I I R

amRR cm2

cmma (2)

w

R



Nsmkgmg

macm 686,02

/8,9140,0

2

2

b) ssm

m

a

yttay

cm

cm 495,0/9,4

600,022

2

12

2

c) sradsm

smt

R

at cm /3,30495,0

080,0

/9,4 2


Young)

Ένας χαρτοκόπτης που μοιάζει με έναν λεπτότοιχο κούφιο κύλινδρο μάζας M σύρεται

οριζόντια με μια σταθερή δύναμη F

που ασκείται από μια χειρολαβή στερεωμένη στον

άξονα του τροχού. Αν ο χαρτοκόπτης κυλίεται χωρίς ολίσθηση, να βρείτε την επιτάχυνση και

τη δύναμη της τριβής.

ΛΥΣΗ

Για το χαρτοκόπτη ισχύουν:

cmaMF cmaMF (1)

I I R

aMRR cm2

cmMa (2)

Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) και προκύπτει:

cmcm MaMaF cmMaF 2M

Facm

2

Τέλος από την (2) προκύπτει: 22

F

M

FM


Young)

To γιο-γιο. Ένα γιο-γιο αποτελείται από δύο ομοιομόρφους δίσκους, που ο καθένας έχει

μάζα m και ακτίνα R , συνδεδεμένους με ένα κυλινδρικό άξονα ακτίνας b . Το ένα άκρο του

σπάγκου είναι τυλιγμένο αρκετές φορές από τον άξονα και το άλλο άκρο συγκρατείται σε ένα

F



σταθερό ύψος, οπότε το γιο-γιο αφήνεται ελεύθερο να πέσει, ενώ ο σπάγγος ξετυλίγεται. Να

βρείτε την επιτάχυνση του γιο – γιο και την τάση του σπάγγου.

ΛΥΣΗ

Μεταφορική κίνηση: cmmaTmg 22 (1)

Στροφική κίνηση:

IbT b

aIbT cm

2b

aIT cm

2

2

2

12

b

aRmT cm

2

2

b

aRmT cm

(2)

Αντικαθιστώντας την (2) στην (1) προκύπτει:

cmcm mab

amRmg 22

2

2 cmcm ab

aRg 22

2

2 cmcm ab

aRg 22

2

2

cma

b

Rg 22

2

2

cma

b

bRg

2

22 22

22

2

2

2

bR

gbacm

(3)

Παρατήρηση: Μπορούμε να γράψουμε την σχέση (3) στη μορφή:

2

22 2

2

b

bR

gacm

2

22

b

R

gacm

Από όπου φαίνεται ξεκάθαρα ότι για Rb , 3

2gacm

Τέλος, αντικαθιστώντας την (3) στην (2) προκύπτει:

2

2

2222

2

22

2

2

2

21

2

2

2

2

2

2

2

R

b

mg

R

bR

mg

bR

mgR

bR

bg

b

RmT


Young)

Ένας στερεός δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια με σταθερή

ταχύτητα 4,00m/s. Αν ο δίσκος συναντήσει στο δρόμο του ένα κεκλιμένο επίπεδο που

σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 30 , σε πόση απόσταση θα κυλίσει χωρίς ολίσθηση κατά

μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι να μηδενιστεί η γωνιακή του ταχύτητα;



ΛΥΣΗ

Μεταφορική κίνηση:

cmx maTw cmmaTmg sin (1)


ITR R

amRTR cm2

2

1cmmaT

2

1 (2)

Αντικαθιστώ την (2) στην (1):

cmcm mamamg2

1sin cmag

2

3sin cma

g

2

3

2 3

gacm

Άρα συνδυάζοντας τις σχέσεις:

2

02

1tatx cm

tacm0 tacm 00

Προκύπτει:

msm

sm

ax

cm

45,2

3

/8,92

/00,4

2 2

22

0


Young)

Ένας ομοιόμορφος συμπαγής κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R2 ηρεμεί πάνω στην

οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού. Ένας σπάγγος είναι συνδεδεμένος μέσω ενός ζυγού με

w

xw

yw

T



έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου, ως προς τον οποίο ο κύλινδρος

μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές. Ι σπάγγος περνάει από μια τροχαλία σε σχήμα δίσκου

μάζας M και ακτίνας R , ο οποίος περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από έναν άξονα που

διέρχεται από το κέντρο του. Ένα σώμα μάζας M κρέμεται από το ελεύθερο άκρο του

σπάγγου. Ο σπάγγος δεν ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια της τροχαλίας και ο κύλινδρος

κυλά χωρίς ολίσθηση πάνω στην επιφάνεια του τραπεζιού. Με πόση επιτάχυνση θα πέσει το

σώμα, μόλις αφεθεί το σύστημα να κινηθεί ελεύθερα από την ηρεμία;

ΛΥΣΗ

Κύλινδρος:

Μεταφορική κίνηση: cmMaTT 1 (1)

Στροφική κίνηση: IRT 2 R

aRMRT cm22

2

12 cmMaT

2

1 (2)

Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) και προκύπτει:

cmcm MaMaT2

11 cmMaT

2

31

(3)

Σώμα μάζας Μ:

Μεταφορική κίνηση: cmMaTMg 2 cmagMT 2 (4)

Τροχαλία:


IRTRT 12 R

aMRRTT cm2

122

1 cmMaTT

2

112

(5)

Αντικαθιστούμε τις (3) και (4) στην (5) και προκύπτει:

cmcmcm MaMaagM2

1

2

3 cmcmcm aaag

2

1

2

3 cmag 3

3

gacm

T

1T

1T

2T

2T

w



Β.4) Έργο και ισχύς στην περιστροφική κίνηση

dsFdW tan RdFdW tan ddW

Επομένως, το ολικό έργο W που παράγεται από τη ροπή κατά τη διάρκεια μιας γωνιακής

μετατόπισης κατά γωνία 12 θα είναι:

2

1

dW (Β.4.1)

Αν η ροπή είναι σταθερή τότε: 12 W (Β.4.2)

Μονάδα του έργου και στην περίπτωση αυτή θα είναι προφανώς το joule .

Σε περίπτωση δύναμης που έχει και ακτινική συνιστώσα δεν αλλάζει κάτι καθώς το έργο της

ακτινικής (η γενικότερα αξονικής) συνιστώσας της θα ήταν μηδενικό.

Όταν μια ροπή παράγει έργο σε ένα περιστρεφόμενο σώμα, η κινητική του ενέργεια

μεταβάλλεται κατά ποσότητα ίση με το παραγόμενο έργο. Πράγματι:

dIddt

dId

dt

dIdId

Άρα,

2

1

2

22

1

2

12

1

IIdIW (Β.4.3)

Τέλος από τη σχέση ddW προκύπτει η σχέση της ισχύος στην περιστροφική κίνηση:

dt

d

dt

dW P (Β.4.4)

Έστω μια εφαπτομενική δύναμη tanF

που ασκείται

στην περιφέρεια του τροχού του διπλανού σχήματος.

Σε χρόνο dt , ο τροχός διαγράφει γωνία στροφής d .

Το έργο της δύναμης tanF

στο χρόνο dt θα είναι:



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ

ΚΙΝΗΣΗ


Young)

Μια κυκλική πίστα σε παιδική χαρά που έχει ακτίνα 4,40m και ροπή αδράνειας 2160kgm ,

περιστρέφεται με αμελητέα τριβή γύρω από ένα κατακόρυφο άξονα διερχόμενο από το

κέντρο της.

a) Ένα παιδί ασκεί για 20,0s μια οριζόντια δύναμη 25,0Ν εφαπτομενικά προς την περιφέρεια

της πίστας. Αν η πίστα ήταν αρχικά σε ηρεμία, τι γωνιακή ταχύτητα θα αποκτήσει στο τέλος

του διαστήματος των 20,0s;

b) Πόσο έργο δαπάνησε το παιδί σε αυτό το χρονικό διάστημα;

c) Ποια είναι η μέση ισχύς που παρήγαγε το παιδί περιστρεφόμενος την πίστα;

ΛΥΣΗ

a)

I

0

0

ttIFR

tIFR

sradkgm

smN

I

FRt/8,13

160

0,2040,40,252

b) 2

0

2

2

1

2

1 IIW JsradkgmIW 125.15/8,13160

2

1

2

1 222

c) Ws

J

t

WPav 756

0,20

125.15


Young)

a) Υπολογίστε τη ροπή που αναπτύσσεται από μια μηχανή αεροπλάνου που αποδίδει ισχύει

W61080,1 με γωνιακή ταχύτητα 2400rev/min.

b) Αν ένα τύμπανο αμελητέας μάζας και διαμέτρου 0,500m στερεωθεί ομοαξονικά στον

άξονα αυτού του κινητήρα και η ισχύς που παράγει ο κινητήρας χρησιμοποιηθεί για να

ανυψωθεί ένα βάρος που κρέμεται από ένα σχοινί τυλιγμένο γύρω από το τύμπανο, πόσο

είναι το μέγιστο βάρος που μπορεί να ανυψωθεί; (Θεωρήστε ότι το βάρος ανυψώνεται με

σταθερή ταχύτητα).

c) Με πόση ταχύτητα θα ανυψωθεί;

ΛΥΣΗ

a) sradsradsrads

rev/2,251/80/

60

22400

min2400

Nmsrad

WPP 3

6

1016,7/2,251

1080,1

b) Nm

Nm

RFFR 3

3

1064,28250,0

1016,7



Άρα μπορεί να ανυψωθεί βάρος Nw 31064,28

c) smms

radR /8,62250,02,251

Β.5) Στροφορμή – Διατήρηση στροφορμής

Στροφορμή

Για ένα σωμάτιο με σταθερή μάζα m , ταχύτητα

, ορμή

mp και διάνυσμα θέσης r

ως

προς την αρχή O ενός αδρανειακού συστήματος, ορίζουμε τη στροφορμή:

mrprL (Β.5.1)

Η μονάδα μέτρησης της στροφορμής στο S.I. είναι το s

kgm21 .

Όταν μια δύναμη F

δρα σε ένα σωμάτιο, η ταχύτητά του μεταβάλλεται και επομένως

μεταβάλλεται και η στροφορμή του.

Αν παραγωγίσουμε τη σχέση (Β.5.1) ως προς το χρόνο προκύπτει:

Framrmdt

dmrm

dt

rd

dt

Ld

Δηλαδή, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός σωματίου ισούται με τη ροπή της

συνισταμένης δύναμης που δρα επάνω του.

dt

Ld (Β.5.2)

Στη σχέση (Β.5.3) είναι η κάθετη απόσταση του

από το σημείο Ο.

Η σχέση (Β.5.3)μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της ολικής στροφορμής ενός

στερεού σώματος περιστρεφόμενου γύρω από τον άξονα z με γωνιακή ταχύτητα :

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα σωμάτιο να

κινείται στο επίπεδο xy. Το διάνυσμα της

στροφορμής του L

είναι κάθετο στο επίπεδο xy . Η

κατεύθυνση του L

συμπίπτει με την κατεύθυνση του

άξονα z και το μέτρο του είναι:

lmrmL sin (Β.5.3)

0



Επομένως η ολική στροφορμή της λεπτής φέτας του σώματος στο επίπεδο xy θα είναι:

IrmLL iii 2

Ο ίδιος υπολογισμός μπορεί να επαναληφθεί για κάθε λεπτή φέτα στο επίπεδο xy. Στο σημείο

αυτό πρέπει να αναφέρουμε ότι τα διανύσματα θέσης των σημείων που δεν βρίσκονται στο

επίπεδο xy έχουν μη μηδενικές συνιστώσες στη διεύθυνση του άξονα z που προκαλούν

συνιστώσες στροφορμής κάθετες στον z. Όμως αν ο άξονας z είναι άξονας συμμετρίας αυτές

οι κάθετες στον z συνιστώσες έχουν διανυσματικό άθροισμα μηδέν. Επομένως, όταν ένα

σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας του, το διάνυσμα L

έχει κατεύθυνση

κατά μήκος του άξονα συμμετρίας του και το μέτρο του είναι:

IL (Β.5.4)

Γενικεύοντας, για ένα σύστημα σωματίων ή ένα στερεό σώμα, ο χρονικός ρυθμός μεταβολής

της ολικής στροφορμής είναι ίσος με το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών

δυνάμεων που δρουν σε όλα τα σωμάτια. Οι ροπές των εσωτερικών δυνάμεων μηδενίζονται

λόγω του τρίτου νόμου του Νεύτωνα. Επομένως αν η ολική στροφορμή του σώματος είναι L

και το άθροισμα των εξωτερικών ροπών είναι

, τότε:

dt

Ld

(Β.5.5)

Τέλος, για ένα στερεό σλωμα που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα συμμετρίας ισχύει

IL , όπου το I είναι σταθερό. Αν ο άξονας περιστροφής έχει σταθερό προσανατολισμό

στο χώρο, τότε δεν μεταβάλλεται η κατεύθυνση της γωνιακής του ταχύτητας άρα:

Idt

dI

dt

dL

Προσοχή! Aν το σώμα δεν είναι στερεό, το I μπορεί να αλλάζει, οπότε μπορεί να αλλάζει το

L ακόμα και όταν το παραμένει σταθερό. Σε αυτή την περίπτωση η dt

Ld

εξακολουθεί να ισχύει, αλλά η I όχι.

Θεωρούμε μια λεπτή φέτα του σώματος στο επίπεδο

xy. Κάθε σωμάτιο έχει στιγμιαία ταχύτητα κάθετη

στο διάνυσμα της διανυσματικής του θέσης άρα,

290sin iiiiiiiii rmrmrmL

Η κατεύθυνση της στροφορμής κάθε σωματίου

συμπίπτει με τον άξονα z .



Διατήρηση Στροφορμής

Όταν το άθροισμα των ροπών όλων των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα είναι

μηδέν, τότε η ολική στροφορμή του συστήματος είναι σταθερή (διατηρείται).

Η αρχή διατήρησης της στροφορμής διατυπώνεται και ως εξής: Η ολική στροφορμή ενός

απομονωμένου συστήματος είναι σταθερή. (Απομονωμένο είναι ένα σύστημα στο οποίο η

ολική εξωτερική δύναμη και η ολική εξωτερική ροπή είναι μηδενικές).

Σε ένα απομονωμένο σύστημα οι εσωτερικές δυνάμεις που εξασκούν τα τμήματα μεταξύ

τους προκαλούν μεταβολές στις στροφορμές των τμημάτων, αλλά η ολική ορμή δεν

μεταβάλλεται. Έστω για παράδειγμα δύο σώματα Α και Β που αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ

τους και αποτελούν και τα δύο μαζί απομονωμένο σύστημα. Έστω F

η δύναμη που ασκεί

το Α στο Β και dt

Ld

η αντίστοιχη ροπή ως προς ένα αυθαίρετο σημείο αναφοράς.

Έστω F

η δύναμη που ασκεί το Β στο Α και dt

Ld

η αντίστοιχη ροπή ως προς το

σημείο αναφοράς.

Επομένως,

FF

0

0

dt

Ld

dt

Ld

0

dt

LLd0

dt

Ld

Επομένως η ολική στροφορμή του συστήματος είναι σταθερή.

Δηλαδή LL 2211 II

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ – ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ


Young)

ΛΥΣΗ

ΛΥΣΗ

Η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας της πέτρας στο διάνυσμα θέσης της είναι:

smy /22,737sin

Μια πέτρα μάζας 0,600kg ρίχνεται με ταχύτητα

sm /12 . Όταν βρίσκεται στο σημείο P του

σχήματος πόση είναι η στροφορμή της ως το O ;

Θεωρείστε ότι η σφαίρα κινείται σε ευθεία γραμμή με

σταθερή ταχύτητα. 37



Επομένως, skgmmsmkgrmL y /66,3400,8/22,7600,0 2


Young)

a) Ποια είναι η νέα γωνιακή ταχύτητα;

b) Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος.

c) Πόσο έργο παρήχθη κατά το τράβηγμα του σπάγγου;

ΛΥΣΗ

a)

2

2

21

2

1 mrmrLL 2

2

21

2

1 rr 12

2

2

12

r

r

sradsradm

m/00,6/5,1

100,0

200,02

2

2

b) 2

11

2

222

1

2

1 IIKKK 2

1

2

1

2

2

2

22

1

2

1 mrmr 2

1

2

1

2

2

2

22

1 rrm

Js

radm

s

radmkg 00675,050,1200,000,6100,00500,0

2

122

c) JWK 00675,0


Young)

Μια στερεή συμπαγής ξύλινη πόρτα πλάτους 1,00m και ύψους 2,00m αναρτάται κατά μήκος

της μιας πλευράς της και έχει συνολική μάζα 50,0kg. Αρχικά ανοικτή και σε ηρεμία, η πόρτα

χτυπιέται στο κέντρο της από μια χούφτα κολλώδη λάσπη μάζας 0,500kg, που κινείται λίγο

πριν την πρόσκρουση με ταχύτητα 8,00m/s κάθετα προς την πόρτα. Να βρείτε την τελική

γωνιακή ταχύτητα της πόρτας. Παίζει σημαντικό ρόλο η ροπή αδράνειας της λασπης;

ΛΥΣΗ

Συμβολίζουμε με r το πλάτος της πόρτας.

Ένα μικρό στερεό συμπαγές παραλληλεπίπεδο,

κινούμενο χωρίς τριβή πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο,

έχει μάζα 0,0500kg και έχει προσδεθεί σε ένα σπάγγο

που διέρχεται από μια οπή του επιπέδου, όπως

φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σώμα αυτό αρχικά

περιστρέφεται σε μια απόσταση 0,200m από την οπή

με γωνιακή ταχύτητα 1,50rad/s. Τραβάμε κατόπιν τον

σπάγγο προς τα κάτω, μικραίνοντας την ακτίνα

περιστροφής του σώματος στα 0,100m. Θεωρήστε το

σώμα ως υλικό σημείο.



IIr

mLL2

2

2

23

1

2

rmMr

rm

22

4

1

3

12

mrMr

rm

mrMr

m

2

1

3

2

rmM

m

2

1

3

2

srad

mkgkg

smkg/119,0

00,1500,02

10,50

3

2

/00,8500,0


Young)

Μια συμπαγής ξύλινη πόρτα πλάτους 1,00m και ύψους 2,00m αναρτάται κατακόρυφα κατά

μήκος της μια πλευράς της και έχει συνολική μάζα 40,0kg. Αρχικά η πόρτα είναι ανοικτή και

ακίνητη και χτυπιέται με ένα σφυρί στο κέντρο της. Κατά τη διάρκεια του χτυπήματος

ασκείται στην πόρτα μια ολική δύναμη 2000N επί s21000,1 . Να βρείτε τη γωνιακή

ταχύτητα της πόρτας μετά το χτύπημα.

Υπόδειξη: Από την dt

Ld

προκύπτει με ολοκλήρωση

2

1

t

t

avtdtL . Η

ποσότητα 2

1

t

t

dt ονομάζεται γωνιακή ώθηση.

ΛΥΣΗ

Το πλάτος της πόρτας είναι ml 00,1 . Άρα η πόρτα χτυπιέται σε απόσταση 2

lr από τον


Η ροπή αδράνειας της πόρτας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι: 2

3

1MlI (1)

Ισχύει: avav Fr

Επίσης: 2

tFltFrtL av

avav

(2)

Επομένως,

IL 0IL ILI

L (3)

Αντικαθιστώντας τις (1) και (2) στην (3) προκύπτει:



3

22Ml

tFl av

sradmkg

sN

lM

tFav /75,000,10,402

1000,120003

2

3 2


Young)

Χτυπώντας διάνα. Ο στόχος σε μια αίθουσα σκοποβολής είναι μια ακίνητη κατακόρυφη

τετράγωνη ξύλινη πινακίδα, πλευράς 0,200m και μάζας 2,20kg, η οποία μπορεί να

περιστραφεί χωρίς τριβή ως προς έναν οριζόντιο άξονα κατά μήκος της υψηλότερης πλευράς

της. Μια σφαίρα μάζας 5,00g χτυπάει το στόχο ακριβώς στο κέντρο, κινούμενη οριζόντια με

ταχύτητα 300m/s τη στιγμή πρόσκρουσης.

a) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της πινακίδας αμέσως μετά την πρόσκρουση της σφαίρας.

b) Μέχρι ποιο ύψος, πάνω από τη θέση ισορροπίας του, θα φτάσει το κέντρο της πινακίδας

πριν αρχίσει η ανάστροφη αιώρησή του προς τα κάτω;

c) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας που πρέπει να έχει η σφαίρα για να εκτελέσει η

πινακίδα μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονά της αμέσως μετά την πρόσκρουση της

σφαίρας;

ΛΥΣΗ

a)

Από την αρχή διατήρησης της στροφορμής προκύπτει: LL (1)

2sin

lmrmrmL y (2)

2

2

.23

1 lmMlIIIL

22

4

1

3

1mlMl 2

4

1

3

1lmM

(3)

Αντικαθιστούμε τις (2) και (3) στην (1) και προκύπτει:

2

4

1

3

1

2lmM

lm

lmMm4

1

3

12

lmM

m

4

1

3

12

y

r 2/l



srad

mkgkg

smkg/10,5

200,01000,54

120,2

3

12

/3001000,5

3

3

b) Θεωρούμε το αρχικό σημείο του κέντρου μάζας της πινακίδας σαν επίπεδο μηδενικής

δυναμικής ενέργειας. Στην ανώτατη θέση η πινακίδα ακινητοποιείται και το κέντρο μάζας

ανυψώνεται κατά h . Άρα,

2211 UKUK 21 UK ghmI 2

2

1

gm

I

h

2

2

1

gmM

lmMl

h

2

2

2

23

1

2

1

m

gmM

lmM

h 0177,02

4

1

3

1 22

c) Στην περίπτωση αυτή θέλουμε το κέντρο μάζας της πινακίδας να ανυψωθεί κατά lh

hgmI 2

2

1

I

hgm22 srad /15,17

Άρα, από την εξίσωση (1) προκύπτει η νέα ταχύτητα :

2

4

1

3

1

2lmM

lm sm

m

lmM

/1001,14

1

3

12

3


Young)

Ένα στερεό παραλληλεπίπεδο μάζας m περιστρέφεται με γραμμική ταχύτητα 1 σε κύκλο

ακτίνας 1r πάνω σε μια οριζόντια άτριβη επιφάνεια. Ο σπάγγος σύρεται αργά προς τα κάτω

μέχρις ότου η ακτίνα του κύκλου τον οποίο διαγράφει το σώμα μειωθεί σε 2r .

a) Υπολογίστε την τάση T του σπάγγου συναρτήσει του r , που είναι η απόσταση του

σώματος από την οπή. Η απάντησή σας θα πρέπει να περιέχει την αρχική ταχύτητα 1 και

την αρχική ακτίνα 1r .

b) Χρησιμοποιήστε το ολοκλήρωμα 2

1

r

r

rdrTW

για να υπολογίσετε το έργο που παράγει η

δύναμη T , όταν το r μεταβάλλεται από 1r σε 2r .

c) Συγκρίνετε το προηγούμενο αποτέλεσμα στο (b) με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας

του σώματος.

ΛΥΣΗ

a) Από την αρχή διατήρησης της στροφορμής προκύπτει:

0 0



2211 rmrmLL 2211 rr 2

112

r

r

r

r112

(1)

Σημείωση: Όταν η ταχύτητα του σώματος γίνει 2 η απόσταση του από την οπή είναι rr 2 .

Η τάση του σπάγγου θα είναι: r

mT2

2 (2)

Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) και προκύπτει:3

2

1

2

1

r

rmT

b) Τα διανύσματα T

και rd

είναι συνεχώς αντιπαράλληλα.

Άρα, TdrrdT

2

1

r

r

TdrW 2

1

3

2

1

2

1

r

rr

drrm

2

1

32

1

2

1

r

r

drrrm

2

1

2

22

1

2

1

r

r

rrm

2

1

2

2

2

1

2

1 11

2 rr

rm

1

2

12

2

12

1r

rm

c) 2

1

2

22

1mK

2

12

2

2

1

2

1

2

1

r

rm

1

2

12

2

2

12

1r

rm

1

2

12

2

12

1r

rm

Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό του ερωτήματος (b).

Το έργο προκύπτει θετικό διότι η T

έχει κατεύθυνση προς την οπή και το σώμα μετακινείται

επίσης προς την οπή.

Β.6) Γυροσκόπια

Στα προβλήματα που είδαμε ως τώρα, τα

και L

είχαν πάντα την ίδια διεύθυνση, οπότε

μόνο μία συνιστώσα από κάθε διανυσματικό μέγεθος ήταν μη μηδενική. Όμως η σχέση

dt

Ld

ισχύει ακόμα και όταν τα

και L

έχουν διαφορετικές διευθύνσεις. Στις

περιπτώσεις αυτές μπορεί να μεταβληθεί η διεύθυνση του άξονα περιστροφής, όπως

συμβαίνει με μια στροβιλιζόμενη σβούρα ή με ένα γυροσκόπιο.

Έστω ότι θέτουμε σε στροβιλισμό τον τροχό ενός γυροσκοπίου. Όταν στηριχτεί μόνο το ένα

άκρο του άξονα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, μια από τις κινήσεις που μπορεί να

εκτελέσει το γυροσκόπιο είναι η σταθερή κυκλική κίνηση του άξονα σε οριζόντιο επίπεδο με

ταυτόχρονο στροβιλισμό του τροχού γύρω από τον κινούμενο άξονά του.



Δύο από τις δυνάμεις που ενεργούν στο γυροσκόπιο είναι το βάρος του με σημείο εφαρμογής

το κέντρο μάζας του και η κάθετη δύναμη με σημείο εφαρμογής το σημείο Ο. Όταν ο τροχός

είναι ακίνητος όλα τα Ld

που παράγει η ροπή σταθερής κατεύθυνσης

είναι

ομοπαράλληλα και προστίθενται καθώς πέφτει το ελεύθερο άκρο του άξονα με αποτέλεσμα

να δίνουν ένα οριζόντιο διάνυσμα στροφορμής σταθερής κατεύθυνσης και συνεχώς

αυξανόμενου μέτρου μέχρι το ελεύθερο άκρο του άξονα του γυροσκοπίου να συναντήσει το

έδαφος. Όταν όμως ο τροχός αρχικά περιστρέφεται, η αρχική στροφορμή του βρίσκεται κατά

μήκος του οριζόντιου άξονα περιστροφής τη στιγμή που αρχίζει να δρα η ροπή

ενώ κάθε

Ld

είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής. Αυτή η δράση προκαλεί αλλαγή στην κατεύθυνση

του L

, όχι όμως στο μέτρο του. Η περίπτωση αυτή είναι ανάλογη με την ομαλή κυκλική

κίνηση ενός σωματίου. Η κεντρομόλος δύναμη προκαλεί μεταβολές pd

στη γραμμική ορμή

του σωματίου που είναι πάντα κάθετες στο στιγμιαίο διάνυσμα p

της ορμής μεταβάλλοντας

την κατεύθυνσή του αλλά όχι το μέτρο του.

Σε μια τυχαία χρονική στιγμή το γυροσκόπιο έχει μια συγκεκριμένη μη μηδενική στροφορμή

L

. Η μεταβολή της στροφορμής Ld

στο μικρό χρονικό διάστημα dt αμέσως μετά τη στιγμή

αυτή είναι dtLd

.

Η φορά του Ld

είναι ίδια με τη φορά του

. Στο τέλος του διαστήματος dt η στροφορμή

είναι LdL

. Αυτό σημαίνει ότι στο ίδιο διάστημα dt ο άξονας του γυροσκοπίου έχει

στραφεί κατά μια μικρή γωνία:L

Ldd

, όπως φαίνεται στα παρακάτω διάγραμματα:

Τροχός

Άξονας τροχού

Τροχιά που

εκτελεί το άκρο

του άξονα Όταν ο τροχός και ο άξονάς του είναι στατικοί θα πέσουν κάτω. Όταν όμως ο τροχός περιστρέφεται

ο άξονας του εκτελεί κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο.

Σημείο Ο



Η κίνηση αυτή είναι συνέπεια της σχέσης μεταξύ ροπής και στροφορμής. Η κίνηση του

άξονα περιστροφής ονομάζεται μετάπτωση.

Ο χρονικός ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης του άξονα ονομάζεται γωνιακή ταχύτητα

της μετάπτωσης:

I

wR

Ldt

LLd

dt

d

/

Προσέξτε ότι η γωνιακή ταχύτητα της μετάπτωσης είναι αντιστρόφως ανάλογη προς τη

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού γύρω από τον άξονά του. Επίσης αν ο τροχός

επιβραδύνεται λόγω τριβών η γωνιακή ταχύτητα της μετάπτωσης αυξάνει.

Καθώς το γυροσκόπιο εκτελεί τη μεταπτωτική του κίνηση, το κέντρο μάζας του διαγράφει σε

οριζόντιο επίπεδο ένα κύκλο ακτίνας R .Η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι

μηδέν, επομένως ο άξονας στήριξης πρέπει να εξασκεί στον άξονα περιστροφής μια

κατακόρυφη δύναμη με μέτρο ίσο με το βάρος και φορά προς τα πάνω. Η κυκλική κίνηση

του κέντρου μάζας με γωνιακή ταχύτητα προϋποθέτει τη δράση μιας κεντρομόλου

δύναμης F

με μέτρο RMF 2 . Η δύναμη αυτή εξασκείται από τον άξονα στήριξης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: ΓΥΡΟΣΚΟΠΙΑ


Young)

Ο ρότορας ενός παιγνιδιού γυροσκοπίου έχει μάζα 0,150kg και η ροπή αδράνειας γύρω από

τον άξονά του είναι 241050,1 kgm . Η μάζα του μεταλλικού πλαισίου είναι 0,0300kg. Το

γυροσκόπιο στηρίζεται πάνω σε έναν άξονα που είναι σε οριζόντια απόσταση 4,00cm από το

κέντρο μάζας του γυροσκοπίου. Το γυροσκόπιο εκτελεί μετάπτωση σε ένα οριζόντιο επίπεδο

με ρυθμό μιας περιστροφής κάθε 4,00s.

a) Να βρείτε την κατακόρυφη δύναμη που ασκείται από τον άξονα.

b) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του ρότορα γύρω από τον άξονά του

σε μονάδες rev/min.

c) Να δείξετε με διανύσματα τη στροφορμή του ρότορα και τη ροπή που ασκείται επ’ αυτού.

Γωνία στροφής

του άξονα του

γυροσκοπίου



ΛΥΣΗ

kgkgkgm 0180,00300,0150,0

sradsradT

/57,1/00,4

22

a) NsmkggmwF 76,1/8,9180,0 2

b) min/2856/93,298/57,11050,1

1000,476,124

2

revsradsradkgm

mN

I

wR

I

wR

c) Το

είναι στην κατεύθυνση της μετάπτωσης και το L

είναι κατά μήκος του άξονα του

ρότορα απομακρυνόμενο από τον άξονα περιστροφής.

Κεφάλαιο 5 Περιστροφική Κίνηση

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 5 Περιστροφική Κίνηση