Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ TENSEGRITY...

ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ-ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2008 1

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΤΩΝ TENSEGRITY* ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Ι. ΤΖΟΥΒΑ∆ΑΚΗΣ Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Χ. ΓΟΥΣΗΣ Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, MSc

Περίληψη

Η έννοια των tensegrities κατασκευών αναπτύχθηκε από τους Buckminster Fuller και

Kenneth Snelson τη δεκαετία του 1920, ενώ η πρώτη απλή σχετική κατασκευή υλοποι-

ήθηκε 28 χρόνια αργότερα. Ως κατασκευές είναι εντυπωσιακές, εύκαµπτες, ιδιαίτερα

ανθεκτικές και εξαιρετικά ενδιαφέρουσες, αλλά, παρ’ όλα αυτά, η χρήση τους παραµένει

ακόµα περιορισµένη.

Απαντώνται, κυρίως, σε χώρους εφήµερων υπαιθρίων εκθέσεων, ως φέρουσες κα-

τασκευές µικρών περιπτέρων, είτε ως γλυπτά στον αστικό χώρο. Βασικοί λόγοι, που

κρατούν αυτές τις κατασκευές στο περιθώριο, είναι η αντικειµενικά δύσκολη αντίληψη

της γεωµετρίας τους, πρακτικές οικοδοµικές δυσκολίες σχετικά µε τη µορφή και το υλικό

τους, κλπ.

Στο παρόν άρθρο αναλύεται, κυρίως, η γεωµετρία σφαιρικών tensegrity κατασκευών.

Για τον σκοπό αυτό σχεδιάστηκαν, σε Η/Υ, µια σειρά από τρισδιάστατα µοντέλα των

παραπάνω κατασκευών. Με βάση τη γεωµετρική ανάλυση που ακολούθησε δίνονται τα

βασικότερα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά τους.

* καλωδιωτά χωροδικτυώματα

2 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ-ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ-ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2008 3

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι tensegrity κατασκευές έχουν γίνει γνωστές από κάποιες εντυπωσιακές παρουσίες

τους, σε διάφορες εκθέσεις αρχιτεκτονικής και γλυπτικής. Παρουσιάζουν μεγάλο αρχι-

τεκτονικό ενδιαφέρον, λόγω της υψηλής αισθητικής τους, σε συνδυασµό µε τα κατα-

σκευαστικά τους πλεονεκτήµατα (µικρό βάρος, εύκολη συναρµολόγηση, δυνατότητα

στέγασης µεγάλων χώρων κ.ά.). Όµως, η εφαρµογή τους δεν σταµατάει εκεί. Υπάρχει

µία ενδιαφέρουσα σύνδεση ανάµεσα στα tensegrities και δοµές που συναντώνται στη

φύση, όπως, για παράδειγµα, οι µοριακοί δεσµοί και η δοµή των πρωτεϊνών, µε πλη-

θώρα σχετικών µελετών [Whiteley, W. 1999, Havel, T., 1998]. Επιπλέον, ερευνάται το

κατά πόσο οι αρχές των tensegrities αποτελούν γενικότερες αρχές που διέπουν τη δοµή

βιολογικών υλικών, ώστε η κατανόησή τους να οδηγήσει στη δηµιουργία νέων έξυπνων

υλικών [Zanotti, G., et al., 2003, Luo, H.,et al., 2005].

Στα µέσα του 20ου

αιώνα ο Buckminster Fuller επηρεασµένος από τα γλυπτά του καλλι-

τέχνη Kenneth Snelson επινόησε τη λέξη tensegrity η οποία προέρχεται από τη σύµπτυξη

των λέξεων tension και integrity [Fuller, B., 1975]. Μια λεπτοµερή ανασκόπηση στην

ιστορία των tensegrities, παρέχει ο Motro [1992].

Στην παρούσα εργασία θα χρησιµοποιηθεί ο ορισµός των tensegrities που δίνει ο Pugh:

ένα tensegrity υλοποιείται όταν µια οµάδα από διακριτά θλιβόµενα στελέχη αναρτάται σε

ένα συνεχές δίκτυο προεντεταµένων τενόντων (καλωδίων), ώστε να δηµιουργηθεί µια

ευσταθής κατασκευή στον χώρο.

Από εδώ και έπειτα τα θλιβόµενα στελέχη θα αναφέρονται ως ράβδοι. Το σύστηµα

ράβδων -τενόντων σχηµατίζει ένα συνεχές χωρικό δικτύωµα, χωρίς καµία ράβδος να

έρχεται σε επαφή µε άλλη ράβδο. Επίσης, µέσα στον ορισµό των tensegrities θα πρέπει

να συµπεριληφθούν και επίπεδες κατασκευές.

Η ιδιότητα των tensegrity κατασκευών να λειτουργούν ως ενιαίο σύστηµα και να

κατανέµουν αυτόµατα τις φορτίσεις που τους επιβάλλονται, αξονικά στα επιµέρους στοι-

χεία τους, τις καθιστά ιδιαίτερα ανθεκτικές. Η ύπαρξη τενόντων µειώνει το βάρος της

κατασκευής και παράλληλα την καθιστά εύκολα συναρµολογήσιµη (όσο και αποθηκεύσι-

µη), αφού για την ανέγερσή της απαιτείται απλά τη τάνυσή τους.


Από τα µέσα του τελευταίου αιώνα έχουν γίνει σηµαντικές έρευνες γύρω από τα

tensegrity. Πιο συγκεκριµένα, οι Pellegrino και Calladine περιέγραψαν τη συσχέτιση των

tensegrities µε άλλα προεντεταµένα συστήµατα [Calladine, C.R., et al., 1991, Pellegrino,

S. ,1990, Pellegrino, S. ,1993].

Η παρούσα εργασία εξετάζει τη γεωµετρία των tensegrity κατασκευών. Γίνεται ανα-

φορά στα πρισµατικά tensegrities και στη συνέχεια, παρουσιάζεται και αναλύεται η γεω-

µετρία των σφαιρικών tensegrities, µέσα από παραδείγµατα αυξανόµενης πολυπλοκό-

τητας, παρέχοντας στοιχεία για την υλοποίησή τους. Για την κατανόηση της γεωµετρίας

τους χρειάστηκε να σχεδιαστούν µε ακρίβεια µια σειρά από τρισδιάστατα µοντέλα σε Η/Υ,

από τα οποία µε γεωµετρικές µεθόδους προέκυψαν βασικές πληροφορίες για τη δοµή

τους, οι οποίες διασταυρώθηκαν και επαληθεύτηκαν, όπου ήταν δυνατό, µε δεδοµένα

από βιβλιογραφικές αναφορές.

2. ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Βασική µονάδα των tensegrity κατασκευών είναι η µορφή Χ, ή αλλιώς ο σκελετός

του χαρταετού, ο οποίος αποτελείται από δύο διασταυρούµενες θλιβόµενες ράβδους

και τέσσερις τένοντες (εικ. 2.1). Η σταθερότητα της κατασκευής οφείλεται στην παρου-

σία των τεσσάρων εφελκυόµενων τενόντων οι οποίοι συγκροτούν ένα συνεχές δίκτυο

[Connelly, R., 1982].

Εικόνα 2.1. ΗΧ - µονάδα.


∆εν υπάρχει περιορισµός όσον αφορά στα µήκη των ράβδων, διότι η βασική κατα-

σκευαστική αρχή παραµένει η ίδια. Ανεξάρτητα από τη διανοµή των δυνάµεων, ο εφελ-

κυσµός και η θλίψη ποικίλουν καθώς οι αναλογίες αλλάζουν, πάντοτε όµως το άθροισµα

των θλιπτικών δυνάµεων θα ισούται µε το άθροισµα των εφελκυστικών.

Με βάση τον ορισµό των tensegrity όπως διατυπώθηκε παραπάνω, η απλοποιηµένη

µορφή Χ δεν πληροί όλες τις προϋποθέσεις, (δεδοµένου ότι οι δύο ράβδοι έρχονται σε

επαφή και πιέζουν η µία την άλλη), αποτελεί όµως ένα κατ’ αρχήν απλό και κατανοητό

παράδειγµα λειτουργίας των δυνάµεων στο σύστηµα.

Ο αρχικά επίπεδος Χ σχηµατισµός µετατρέπεται σε πραγµατική tensegrity χωρική

κατασκευή µε την εισαγωγή τρίτης ράβδου. Για λόγους σταθερότητας και συνέχειας

του δικτύου, ένας από τους αρχικούς τένοντες (εικονίζονται µε πράσινο χρώµα στην

εικ 2.1) αντικαθίσταται από τέσσερις νέους (εικονίζονται µε κόκκινο χρώµα). Αυτοί οι

τέσσερις νέοι τένοντες λειτουργούν ως τένοντες ανάρτησης για τη νέα ράβδο. Όµως η

κατασκευή παραµένει ακόµα ασταθής. Η σταθερότητα αποκαθίσταται µε την εισαγωγή

δύο πρόσθετων τενόντων, οι οποίοι καλούνται τένοντες έλξεως (εικονίζονται µε µπλε

χρώµα στην εικ 2.2.)

Ειόνα 2.2. ∆ύο όψεις της ίδιας tensegrity κατασκευής µε τρεις ράβδους και εννέα τένοντες.


Οι τένοντες έλξεως ξεκινούν από τα άκρα της νέας ράβδου και καταλήγουν στα άνω

άκρα των αρχικών δύο ράβδων. Εάν οι τένοντες προσδεθούν σε λάθος άκρα, οι ράβδοι

του συστήµατος έρχονται σε «σταθερή» επαφή µε αποτέλεσµα να µην επιτευχθεί η

επιθυµητή αιωρούµενη κατασκευή[http://www.kennethsnelson.net/new_structure/stru

cture17.htm].

Αποτελεί βασική προϋπόθεση για όλες τις tensegrity κατασκευές όλοι οι τένοντες να-

είναι πλήρως τανυσµένοι.

Η κατασκευή της εικόνας 2.2 είναι η απλούστερη tensegrity κατασκευή, αποτελούµενη

από τρεις ράβδους και εννέα τένοντες. Θυµίζει τριγωνικό πρίσµα του οποίου η µια βάση

έχει στραφεί σε σχέση µε την άλλη, προκαλώντας συστροφή της παράπλευρης επιφανεί-

ας του [Darrell Williamson et al., 2003].

Η εισαγωγή µιας επιπλέον ράβδου θα µετατρέψει την τριγωνική βάση του παραπάνω

πρίσµατος σε τετράγωνο, µία ακόµη ράβδος θα την µετατρέψει σε πεντάγωνο και ούτω

καθεξής. Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατόν να αναπαράγουµε µια πιθανώς άπειρη οικο-

γένεια tensegrity πρισµάτων (Τ-πρισµάτων) που να αντιστοιχούν σε γνωστά πρίσµατα

της στερεοµετρίας [Gomez Estrada, et al., 2005].

Αυτές οι tensegrity µορφές έχουν µελετηθεί µε διάφορες µεθόδους από πολλούς ερευ-

νητές [Motro, R., 2003, Pellegrino, S., 1986, G.G. Estrada, 2006].

Εικόνα 2.3. Προσθήκη ράβδων στην κατασκευή της εικόνας 2.2


Μπορούµε να δηµιουργήσουµε συνθετότερες tensegrity κατασκευές συνενώνοντας δύο

Χ-µονάδες (εικ. 2.4.A). Οι τένοντες ανάρτησης είναι οι κόκκινοι και οι έλξεως οι µπλε.

Το ζεύγος των δύο «Χ - µονάδων» είναι το πρώτο στάδιο στη διαδικασία πρόσθεσης,

µονάδος µε µονάδα. Το νέο σύστηµα διαθέτει τώρα τέσσερις ράβδους και δεκατέσσερις

τένοντες. Κάθε τένοντας ακµής οποιασδήποτε διαθέσιµης µονάδας προσφέρεται για την

εισαγωγή µιας ακόµη Χ µονάδας.

Α Β

Εικόνα 2.4.(A, B) Συνδέοντας µεταξύ τους βασικές tensegrity µονάδες µπορούµε να κατασκευάσουµε ελαφρές tensegrity στήλες µεγάλου ύψους και αυξηµένης ελαστικότητας.

Η πρώτη tensegrity κατασκευή µε δηµιουργό των Kenneth Snelson αποτελείτο από

δύο Χ µονάδες, µε τη µία να αιωρείται πάνω από την άλλη (εικ.2.5.Α).

Εικόνα 2.5. Κατασκευές του Kenneth Snelson : A) Η πρώτη tensegrity κατασκευή και B) Needle tower.


Συνθετότερες tensegrity κατασκευές µπορούν να προκύψουν, επίσης, συνενώ-

νοντας, µε αντίστοιχο τρόπο, ένα ή περισσότερα tensegrity πρίσµατα. Ο Kenneth

Snelson υλοποίησε µε τον τρόπο αυτό πολλές εντυπωσιακές tensegrity κατασκευές,

χρησιµοποιώντας ως βασική µονάδα το tensegrity πρίσµα των τριών ράβδων (εικ 2.2).

Στις εικόνες 2.5.Β. και 2.6 φαίνονται δύο από αυτές. Αρκετοί ερευνητές (Tommy Zhou,

Mike Xie και Xiaodong Huang) προχώρησαν στη γενίκευση της µεθόδου του Snelson,

κατασκευάζοντας µοντέλα tensegrity πύργων και αψίδων, µε τον συνδυασµό διαφορε-

τικών tensegrity πρισµάτων στην ίδια κατασκευή (http://isg.rmit.edu.au/index.html).

Εξάλλου, πολλές µελέτες έχουν γίνει πάνω στoυς tensegrity πύργους [Sultan, C.and

Skelton, R., 2003, Milenko Masic et al., 2005].

Εικόνα 2.6. «Easy landing» του Kenneth Snelson

3. ΣΦΑΙΡΙΚΑ TENSEGRITIES

3.1 Εισαγωγικές έννοιες

Κάθε τοµή της σφαίρας από ένα επίπεδο, είναι κύκλος. Εάν το επίπεδο περνάει από το

κέντρο της σφαίρας, ο κύκλος που προκύπτει διαιρεί τη σφαίρα σε δύο ηµισφαίρια και

λέγεται µέγιστος κύκλος.

Η τοµή της σφαίρας µε επίπεδο, που δεν περνάει από το κέντρο της, λέγεται µικρός

κύκλος.


Η ακτίνα οποιουδήποτε µικρού κύκλου ρ, συνδέεται µε την ακτίνα της σφαίρας R από

τη σχέση r2 = R

2 -δ

2 . Όπου δ η απόσταση του κέντρου του µικρού κύκλου από το κέντρο

της σφαίρας. Εάν η απόσταση δ µηδενιστεί ο κύκλος είναι µέγιστος, ενώ, όταν η απόστα-

ση δ είναι ίση µε την ακτίνα της σφαίρας τότε ο κύκλος γίνεται σηµείο.

3.2. Τα κανονικά πολύεδρα και οι συµµετρίες τους

Απλό πολύεδρο ή ν-εδρο λέγεται το πεπερασµένο σχήµα του χώρου, το οποίο περι-

κλείεται από ν επίπεδα πολυγωνικά σχήµατα, που λέγονται έδρες του πολυέδρου.

Ένα πολύεδρο λέγεται κανονικό, όταν όλες οι έδρες του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα

και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες.

Από τον ορισµό αυτό προκύπτει ότι όλες οι ακµές ενός κανονικού πολυέδρου είναι

ίσα ευθύγραµµα τµήµατα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του

είναι ίσες.

Υπάρχουν µόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, που λέγονται και Πλατωνικά στερεά. Με-

λετήθηκαν στην ακαδηµία του Πλάτωνα, στη σχολή του Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης ασχο-

λείται µε αυτά στο δέκατο τρίτο βιβλίο των Στοιχείων, όπου αποδεικνύει ότι αυτά είναι

ακριβώς πέντε. Τα πλατωνικά στερεά είναι το τετράεδρο, το εξάεδρο, το οκτάεδρο, το

δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Το καθένα από αυτά τα πολύεδρα είναι εγγράψιµο και

περιγράψιµο σε δύο οµόκεντρες σφαίρες [Αργυρόπουλος Η., Ευκλείδεια Γεωµετρία]

Εικόνα 3.1. Πλατωνικά στερεά

Κάθε ακµή ενός πολυέδρου ορίζει ένα τόξο µέγιστου κύκλου, εφόσον τα δύο ακραία

σηµεία µιας ακµής κείνται στην επιφάνεια της σφαίρας.

Η µικρότερη διαδροµή από ένα σηµείο σε ένα άλλο µιας σφαιρικής επιφάνειας, είναι η

πορεία κατά µήκος ενός τόξου µέγιστου κύκλου.

Αν οι ακµές ενός πολυέδρου αντικατασταθούν από τόξα µέγιστων κύκλων θα προκύ-

ψει ένα σφαιρικό πολύεδρο. Από κάθε επίπεδο πολύγωνο, το οποίο αποτελεί έδρα του


πολυέδρου, προκύπτει κατά αυτόν τον τρόπο ένα σφαιρικό πολύγωνο το οποίο και απο-

τελεί κατά αντιστοιχία την έδρα ενός σφαιρικού πολυέδρου.

Ένας άλλος τρόπος δηµιουργίας ενός σφαιρικού πολυέδρου είναι µέσω κεντρικής προ-

βολής των ακµών του πολυέδρου στη σφαίρα που το περιγράφει. Με τη διαδικασία αυτή

προκύπτουν τα τόξα των µέγιστων κύκλων και κατά συνέπεια τα σφαιρικά πολύγωνα.

Εάν η σφαίρα τµηθεί από τα επίπεδα συµµετρίας ενός πολυέδρου, η κάθε τοµή θα απο-

τελεί µέγιστο κύκλο. Τα σηµεία τοµής αυτών των µέγιστων κύκλων επιµερίζουν την επιφά-

νεια της σφαίρας σε ένα δίκτυο σφαιρικών τριγώνων. Μέσω αυτών των σφαιρικών τριγώ-

νων είναι εφικτή η υλοποίηση σφαιρικών κατασκευών, όπως τα σφαιρικά tensegrities.

Οι βασικές οµάδες συµµετρίας των πέντε κανονικών πολυέδρων µειώνονται σε τρεις:

του τετραέδρου, του οκταέδρου και του εικοσαέδρου [Wenninger Magnus J., 1999]

3.3. Σφαιρικά tensegrities

Η ανάλυση της γεωµετρίας των σφαιρικών tensegrity που ακολουθεί παρακάτω, βασί-

ζεται στην ανάλυση που έχει γίνει από τον Hugh Kenner [Hugh Kenner, 2003].

Tensegrity-οκτάεδρο

Μια tensegrity κατασκευή, για να είναι σφαιρική, θα πρέπει να παρουσιάζει συµµετρία

ως προς το κέντρο της. Για να υλοποιήσουµε τέτοιες κατασκευές θα πρέπει να δα-

νειστούµε τις συµµετρίες κάποιων πολυέδρων.

Εικόνα 3.2 Tensegrity-οκτάεδρο.


Το απλούστερο, απόλυτα συµµετρικό, tensegrity είναι το tensegrity-οκτάεδρο

(εικ.3.2). Το σχήµα του δεν θυµίζει σφαίρα, όµως αποκαλύπτει τον τρόπο που µπορούµε

να εξάγουµε αντίστοιχα σφαιρικά tensegrities χρησιµοποιώντας τις συµµετρίες διάφο-

ρων πολυέδρων.

Εικόνα 3.3. Σχέση συστήµατος tensegrity-οκταέδρου και κανονικού οκταέδρου.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι σύνδεσης των ράβδων ενός tensegrity, καθένας από τους

οποίους αντιπροσωπεύει µια µεγάλη οικογένεια tensegrity κατασκευών. Στο tensegrity

οκτάεδρο, κάθε ράβδος αναρτάται µε 4 τένοντες απο κάθε άκρο της. Τα σφαιρικά

tensegrities, που θα περιγραφούν στη συνέχεια, θα έχουν ανάλογη µορφή.

Ήδη η ονοµασία του αποκαλύπτει το πολύεδρο από το οποίο δανείζεται τις συµµετρίες

του. Όταν οι ακµές του οκταέδρου προβληθούν κεντρικά στη σφαίρα που το περιγράφει

σχηµατίζουν 3 µέγιστους κύκλους τεµνόµενους ανά 2 υπό γωνία 90ο .

Οι 6 ράβδοι του tensegrity-οκταέδρου περιγράφονται ανά δύο, από τους 3 µέγιστους

κύκλους του οκταέδρου.

Στην εικόνα 3.3. φαίνεται χαρακτηριστικά η σχέση µεταξύ των εδρών του οκταέδρου

µε τις έδρες που σχηµατίζονται από τους τένοντες του tensegrity-οκτάεδρου. Οι έδρες

που σχηµατίζουν οι τένοντες (µπλε χρώµα) δεν συνορεύουν, όπως οι πλευρές του οκτα-


έδρου, αλλά χωρίζονται από τµήµατα µορφής διαµαντιού (κίτρινο).

Κάθε µέγιστος κύκλος του οκταέδρου τέµνεται σε τέσσερα σηµεία µε τους υπόλοι-

πους δύο. Κάθε σηµείο τοµής αντιπροσωπεύει τον τόπο σύνδεσης τριών ράβδων του

tensegrity-οκτάεδρου (εικ. 3.4).

Εικόνα 3.4. Κάθε σηµείο τοµής δύο µέγιστων κύκλων πολυέδρου αντιπροσωπεύει τον τόπο σύνδεσης τριών ράβδων ενός tensegrity συστήµατος

Κάθε ράβδος αναρτάται από 8 τένοντες, 4 από τους οποίους την ωθούν προς το κέντρο

του συστήµατος και 4 που την εξωθούν µακριά από αυτό. Οι τένοντες που την εξωθούν

από το κέντρο του συστήµατος προσδεµένοι ανά δύο σε δύο άλλες ράβδους ορίζουν δύο

επίπεδα που τέµνονται µεταξύ τους.

Η πρώτη ράβδος κείται στην τοµή των δύο αυτών επιπέδων (εικ.3.5). Η ισορροπία

της ράβδου αποκαθιστάται από τους 4 τένοντες που την ωθούν προς το κέντρο του

συστήµατος. Ανά δύο οι τένοντες αυτοί, µε τη σειρά τους, εξωθούν άλλες ράβδους

µακριά από το κέντρο του συστήµατος, ορίζοντας αντίστοιχα επίπεδα των σχηµατισµών

µορφής διαµαντιού (εικ 3.3).

Το πιο χαρακτηριστικό µέγεθος ενός tensegrity συστήµατος είναι η γωνία δ των δύο

αυτών επιπέδων. Η γωνία αυτή σχετίζεται άµεσα µε τον αριθµό των ράβδων n, που κεί-

νται στο επίπεδο κάθε κύκλου (µέγιστου ή όχι) και περιγράφονται από αυτόν.

δ = 180ο / n


Η γωνία αυτή είναι το κλειδί για τον προσδιορισµό της µορφής ενός σφαιρικού

tensegrity.

∆εδοµένου ότι ο αριθµός των ράβδων σχετίζεται άµεσα µε τον αριθµό των κύκλων

(µέγιστων ή όχι) που τις περιγράφουν, σε κάθε tensegrity κατασκευή ο προσδιορισµός

των κύκλων αυτών ορίζει µονοσήµαντα τη µορφή της.

Εικόνα 3.5. Κάθε ράβδος κείται στη τοµή δυο τριγωνικών επιφανειών.

Υπάρχουν και άλλα tensegrity συστήµατα τα οποία προκύπτουν από τις συµµετρίες

των µέγιστων κύκλων διαφορετικών πολυέδρων, αλλά τελικά ο αριθµός τους είναι πολύ

περιορισµένος. Τα πολύεδρα αυτά θα πρέπει να πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• Οι ακµές τους, όταν προβληθούν στην επιφάνεια της σφαίρας που τα περιγράφει, να

σχηµατίζουν µέγιστους κύκλους.

• Σε κάθε κορυφή του πολυέδρου να συντρέχουν ακριβώς τέσσερις ακµές. Τελικά υπάρ-

χουν µόνο δύο πολύεδρα που πληρούν τις παραπάνω προϋποθέσεις: το κυβοκτάεδρο

και το εικοσιδωδεκάεδρο [Hugh Kenner, 2003].

Η δεύτερη προϋπόθεση αποτελεί την συνθήκη για την εισαγωγή συνδέσεων τριών

ράβδων στα σηµεία τοµής των µέγιστων κύκλων.

Tensegrity-κυβοκτάεδρο

Όταν οι ακµές του κυβοοκταέδρου προβληθούν κεντρικά στη σφαίρα που το περιγρά-

φει σχηµατίζουν 4 τεµνόµενους µέγιστους κύκλους. Κάθε µέγιστος κύκλος τέµνεται µε

τους υπόλοιπους τρεις σε 6 σηµεία (εικ.3.6).


Για να κατασκευαστεί το tensegrity-κυβοκτάεδρο (εικ.3.8), σε κάθε σηµείο τοµής των

µέγιστων κύκλων θα πρέπει να εισαχθεί µια σύνδεση 3 ράβδων. Για να καταστεί αυτό

εφικτό θα πρέπει να τοποθετηθούν 3 ράβδοι κείµενοι σε κάθε επίπεδο µέγιστου κύκλου.

Από τη συµµετρία δε, προκύπτει ότι ανά τρεις οι ράβδοι αποτελούν πλευρές ισόπλευρων

τριγώνων που εγγράφονται στους 4 µέγιστους κύκλους που διατρέχουν τη σφαίρα που

περιγράφει το tenseg-Tensegrity-εικοσιδωδεκάεδρο rity (εικ.3.7).

Εικόνα 3.6. Κυβοκτάεδρο

Εικόνα 3.7. οιράβδοιτου tensegrity-κυβοκταέδρου και τα επίπεδα όπου κείνται.


Εικόνα 3.8. Tensegrity-κυβοκταέδρο

Το εικοσιδωδεκάεδρο έχει 30 κορυφές και 60 ακµές. Όταν οι ακµέςτου προβληθούν

κεντρικά στη σφαίρα που το περιγράφει σχηµατίζονται 6 µέγιστοι κύκλοι καθένας από

τους οποίους τέµνεται διαδοχικά µε τους υπόλοιπους, σε 10 σηµεία (εικ.3.9).

Εικόνα 3.9. Εικοσιδωδεκάεδρο

Στο αντίστοιχο tensegrity-εικοσιδωδεκάεδρο (εικ.3.11), σε κάθε επίπεδο µεγάλου κύ-

κλου έχουµε 5 ράβδους ανά επίπεδο µέγιστου κύκλου (10 / 2) (εικ.3.10). Συνολικά θα

υπάρχουν 30 ράβδοι (6 x 5) και 120 τένοντες (4 x 30 ).


Εικόνα 3.10. Κύκλοι εικοσιδωδεκάεδρου, ράβδοι ανά κύκλο

Εικόνα 3.11. Tensegrity -εικοσιδωδεκάεδρο.

3.4. Πολύεδρα που προκύπτουν από υποδιαίρεση των εδρών των κανονικών πολυέδρων.

Για την επεξήγηση της µεθόδου της υποδιαίρεσης, θα χρησιµοποιήσουµε το οκτάεδρο.

Το οκτάεδρο έχει οκτώ ισόπλευρες τριγωνικές έδρες. Θα δηµιουργήσουµε ένα πολύεδρο,

διαµερίζοντας ισοµετρικά κάθε έδρα του οκταέδρου και προβάλλοντας κεντρικά τα τρί-

γωνα που προέκυψαν στην επιφάνεια της σφαίρας που το περιγράφει.

Εικόνα 3.12. 2ν υποδιαίρεση του οκταέδρου µε την οποία προκύπτει το «2ν οκτάεδρο»


Η διαδικασία θα ξεκινήσει µε την µικρότερη των συχνοτήτων, τη 2ν. Η συχνότητα

υποδιαίρεσης, αναφέρεται στον αριθµό των υποδιαιρέσεων της κάθε ακµής του πολυέ-

δρου. Με την 2ν υποδιαίρεση, κάθε τριγωνική έδρα του οκταέδρου διαιρείται σε τέσσερα

µικρότερα τρίγωνα, ενώνοντας τα µέσα των ακµών κάθε έδρας. Συνολικά προκύπτουν

τριάντα δύο µικρότερα ίσα τρίγωνα (εικ.3.12).

Εικόνα 3.13. ∆ιαδικασία υπο διαίρεσης έδρας του οκταέδρου κατά 2ν και 4ν

Για να προκύψει το επιθυµητό πολύεδρο, θα πρέπει όλες οι κορυφές των τριγώνων

που προέκυψαν από την υποδιαίρεση, να ισαπέχουν από το κέντρο της σφαίρας που το

περιγράφει. Αυτό θα συµβεί µε την κεντρική προβολή τους στην επιφάνεια της σφαίρας.

Με αυτό τον τρόπο προκύπτει ένα πολύεδρο του οποίου όλες οι κορυφές ισαπέχουν από

το κέντρο του απόσταση R (ακτίνα R της περιγεγραµµένης σφαίρας).

Το νέο πολύεδρο που προκύπτει δεν θα αποτελείται µόνο από ισόπλευρα τρίγωνα.

Από τις συνολικά 32 τριγωνικές έδρες οι 8 θα είναι ισόπλευρα τρίγωνα και οι άλλες 24

θα είναι ισοσκελή.

Η παραπάνω διαδικασία είναι µια 2ν συχνότητας διαίρεση του οκταέδρου. Το πολύε-

δρο που προκύπτει καλείται 2ν οκτάεδρο πρώτης τάξεως (εικ. 3.12, 3.13).

Ανάλογες είναι οι διαδικασίες υποδιαίρεσης των υπόλοιπων πολυέδρων. Θα πρέπει να

αναφέρουµε ότι µερικές από τις γραµµές υποδιαίρεσης θα ακολουθούν τους µέγιστους


κύκλους που τους κληροδότησε η συµµετρία του αρχικού πολυέδρου.

Τα ευρέως χρησιµοποιούµενα συστήµατα ανάλυσης είναι τα εξής (εικ.3.14): Class I

και Class II.

Η τάξη αναφέρεται στον τρόπο διαίρεσης της έδρας του πολυέδρου. Στην πρώτη τάξη

οι γραµµές διαίρεσης είναι παράλληλες µε τις ακµές ενώ στη δεύτερη τάξη είναι κάθετες

σε αυτές. [http://www.ypoart.com]

Εικόνα 3.14. Συστήµατα ανάλυσης και υποδιαίρεσης πολυέδρων Τάξη I, Τάξη II

Τα πολύεδρα που προκύπτουν από την υποδιαίρεση του εικοσάεδρου έχουν πολύ κα-

λύτερα χαρακτηριστικά σε σχέση µε εκείνα που προκύπτουν από το οκτάεδρο (λιγότερα

είδη διαφορετικών πλευρών και καλύτερη κατανοµή τους, µικρές διαφορές στα µεγέθη

των όµοιων πλευρών). Για τους λόγους αυτούς, το εικοσάεδρο εν γένει προτιµάται να

χρησιµοποιείται ως αφετηρία για τα συστήµατα ανάλυσης και υποδιαίρεσης (εικ. 3.15).

Το 4ν εικοσάεδρο είναι πρακτικά ένα βοηθητικό πολύεδρο, που µας επιτρέπει να

προσδιορίσουµε τη µορφή του tensegrity που αναζητούµε [Hugh Kenner, 2003].

Αν και οι ακµές του 4ν εικοσαέδρου δεν ορίζουν ακριβώς τους κύκλους που αναζητάµε

στην επιφάνεια της σφαίρας, προδίδουν τις συµµετρίες τους. (εικ. 3.15).

Το 4ν εικοσάεδρο υποδεικνύει 12 µικρούς κύκλους, οι οποίοι προκύπτουν από 12

επίπεδα που τέµνουν την σφαιρική επιφάνεια. Τα επίπεδα αυτά µπορούν να οριστούν

ακριβώς παράλληλα και σε ίσες αποστάσεις από τα επίπεδα

τα µεσοκάθετα στις διαγώνιους του εικοσαέδρου (οι οποίες συνδέουν τις συµµετρικές

ως προς το κέντρο της σφαίρας κορυφές του).

Οι ακριβείς όµως θέσεις των κύκλων αυτών ορίζονται από τις συµµετρίες του tensegrity

4ν εικοσαέδρου και πιο συγκεκριµένα από τη γωνία δ.

Τελικά κάθε µικρός κύκλος του 4ν tensegrity εικοσάεδρου τέµνεται από τους υπόλοι-


πους, πλην του παράλληλου του, σε δυο σηµεία. Έχουµε λοιπόν 10 Χ 2=20 σηµεία τοµής

ανά κύκλο. Το tensegrity 4ν εικοσάεδρο αποτελείται από 120 ράβδους (12 κύκλοι Χ 10

ράβδοι ανά κύκλο) και 480 τένοντες.

Εικόνα 3.15. ∆ιαδικασία διαίρεσης των εδρών του εικοσάεδρου για τη δηµιουργία του 4ν εικοσάεδρου

Εικόνα 3.16. Τα έξι ζευγάρια παράλληλων µικρών κύκλων του Tensegrity 4ν εικοσάεδρου.


Εικόνα 3.17. Tensegrity 4ν εικοσάεδρου.

4. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Στα πλαίσια του άρθρου περιγράψαµε τη γεωµετρία των tensegrity κατασκευών και

προχωρήσαµε στην υλοποίηση µιας σειράς tensegrity µοντέλων σε ηλεκτρονικό υπο-

λογιστή, ως εφαρµογή αυτής εργασίας.

Στη συνέχεια κατασκευάσαµε ένα υλικό πρόπλασµα του σφαιρικού µοντέλου του 4ν

tensegrity εικοσαέδρου για την επαλήθευση των υπολογισµών µας .

5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Οι Tensegrity κατασκευές και ειδικότερα οι σφαιρικές απαιτούν ζωηρή φαντασία από

τον µελετητή τους καθώς και τη δυνατότητα να µπορεί να κατανοεί εύκολα τη γεω-

µετρία του τρισδιάστατου χώρου. Η σχεδίαση τρισδιάστατων µοντέλων σε Η/Υ είναι ένα

απαραίτητο εργαλείο για την κατανόηση της µορφής και γεωµετρίας των πολύπλοκων

αυτών δοµών.

Ως κατασκευές:

• ∆ηµιουργούνται από απλά βιοµηχανικά υλικά του εµπορίου (π.χ. µεταλλικοί σωλήνες

και λεπτό συρµατόσκοινο κ.λπ µικροεξαρτήµατα).


• Απαιτούνται ελκυστήρες για κάθε τένοντα (αφού καθένας από αυτούς πρέπει να είναι

συνέχεια τανυσµένος).

• Προσοχή θα πρέπει να δοθεί στους κόµβους, δηλαδή στα σηµεία ένωσης ράβδων και

τενόντων. Σκόπιµο θα ήταν να σχεδιαστεί ειδική κεφαλή, που θα προσαρτάται σταθε-

ρά στις ράβδους και θα επιτρέπει εύκολη αγκύρωση των τενόντων.

• Η διαδικασία κατασκευής απαιτεί ακριβή προκατασκευή των δοµικών στοιχείων και

την ανάγκη βοηθητικών κατασκευών για την προσωρινή διάταξη των στοιχείων, έως

ότου η κατασκευή ολοκληρωθεί και καταστεί αυτοφερόµενη.

• Με την ολοκλήρωση της κατασκευής δηµιουργείται ένας σφαιρόµορφος φέροντας

οργανισµός ο οποίος απαιτεί να επενδυθεί µε ένα υλικό το οποίο θα διαχωρίσει τον

χώρο σε εσωτερικό και εξωτερικό εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα το επιθυµητό εσωτερι-

κό κλίµα (θερµοκρασία υγρασία, φωτισµός, κ.λπ). Σε αυτό το σηµείο ξεκινά µια νέα

έρευνα για το είδος του υλικού και τον τρόπο ανάρτησης του στην tensegrity κατα-

σκευή, για το οποίο η διεθνής βιβλιογραφία δεν έχει να προσφέρει ακόµηαξιόπιστες

λύσεις και εµπειρία.

Για τους παραπάνω λόγους οι τόσο ελκυστικές tensegrity κατασκευές δεν έχουν ακόµα

ευρεία εφαρµογή, στην οικοδοµική βιοµηχανία.

6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Calladine, C.R., S. Pellegrino, First-order infinitesimal mechanisms, International

Journal of Solids and Structures 27 (4) (1991) 505–515.

2. Connelly, R., 1982. Rigidity and energy. Invent. Math. 66 (1), 11–33.

3. Darrell Williamson, Robert E. Skelton, Jeongheon Han. / International Journal of Sol-

ids and Structures 40 (2003) 6347–6367

4. Fuller, B., Synergetics: The Geometry of Thinking, MacMillan Publishing Co., Inc., New

York, 1975.


5. Gomez Estrada, G., Bungartz, H.-J., Mohrdieck, C., 2005. On cylindrical tensegrity

structures. In: Ramm, E., Wall, W.A., Bletzinger,K.-U., Bischoff, M. (Eds.), Proceed-

ings of the International Conference on Computation of Shell and Spatial Structures,

Salzburg.

6. G.G. Estrada H.-J. Bungartz , C. Mohrdieck/ International Journal of Solids and Struc-

tures 43 (2006) 6855– 6868.

7. Havel, T., 1998 Distance geometry: theory, algorithms and chemical applications. In:

von Rague΄ Schleyer, P. (Ed.), Encyclopedia of Computational Chemistry. John Wiley

& Sons, pp. 723–742

8. Kenner Hugh, Geodesic Math and How to use it, University of California Press (2003)

Berkeley.

9. Luo, H., Bewley, T.R., 2005. Accurate simulation of near-wall turbulence over a com-

pliant tensegrity fabric. In: Proceedings of SPIE: Smart Structures and Materials, vol.

5757(1), pp. 184–197.

10. Milenko Masic, Robert E. Skelton, Philip E. Gi / International Journal of Solids and

Structures 42 (2005) 4833–4858.

11. Motro, R., Tensegrity systems: the state of the art, International Journal of Space

Structures 7 (2) (1992) 75– 83.

12. Motro, R., 2003. Tensegrity: Structural Systems for the Future. Kogan Page Science,

London.

13. Pellegrino, S., Structural computations with the singular value decomposition of the

equilibrium matrix, International Journal of Solids and Structures 30 (21) (1993)

3025–3035.

14. Pellegrino S., Analysis of prestressed mechanisms, International Journal of Solids

and Structures 26 (12) (1990) 1329–1350.

15. Pellegrino, S., 1986. Mechanics of kinematically indeterminate structures. Ph.D. the-

sis, University of Cambridge, Cambridge, UK.


16. Sultan, C., R. Skelton / International Journal of Solids and Structures 40 (2003)

4637–4657.

17. Wenninger Magnus J, Spherical Models, Dover Publications(1999) N.Y.

18. Whiteley, W., 1999. Rigidity of molecular structures: generic and geometric analysis.

In: Thorpe, M.F., Dux-bury, P.M. (Eds.), Rigidity Theory and Applications. Kluwer

Academic/Plenum Publishers, pp. 21–46.

19. Zanotti, G., Guerra, C., 2003. Is tensegrity a unifying concept of protein folds? FEBS

Letters 534 (3), 7–10.

20. ΑργυρόπουλοςΗ., Σιδέρης Π., Ευκλείδεια Γεωµετρία, ΟΕ∆Β.

1 www.bfi.org.

2 mathworld.wolfram.com

3 www. geom.uiuc. edu

4 www.grunch.net/synergetics

5 www.greatbuildings.com/buildings/ US Pavilion at Expo ‘67.html

6 www.kennethsnelson.net

7 http://isg.rmit.edu.au/index.html

8 http://www.ypoart.com/

9 www.rwgrayprojects.com/synergetics/synergetics.html

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Το πρόβληµα του προσδιορισµού των χαρακτηριστικών µεγεθών ενός tensegrity δεν

είναι αµιγώς γεωµετρικό. Η µορφή του tensegrity προκύπτει από την δυναµική ισορρο-

πία του συστήµατος ράβδων – τενόντων. Η γεωµετρία στην οποία θα αναφερθούµε είναι

αυτή µιας απόλυτα συµµετρικής tensegrity κατασκευής, σε κατάσταση ηρεµίας, χωρίς

να της επιβάλλεται καµία εξωτερική φόρτιση. Οι δυνάµεις που αναπτύσσονται είναι οι

εφελκυσµοί στους τένοντες λόγω της προέντασης τους και οι θλίψεις στις ράβδους.


Υπολογισµός της γωνίας δ

Το σηµείο S µπορεί να ανήκει στη διχοτόµο του ορθογωνίου τριγώνου DAB, όµως

η ακριβής του θέση δεν µπορεί να οριστεί µονοσήµαντα. Πρέπει να ανατρέξουµε στην

ισορροπία του συστήµατος των τριών ράβδων της σύνδεσης. Αφού οι δυνάµεις των

επιπέδων που ορίζουν οι εφελκυόµενοι τένοντες είναι όλες ίσες (κάτι που απορρέει από

την απόλυτη συµµετρία του συστήµατος), θα πρέπει και οι αποστάσεις κάθε ράβδου από

το κέντρο C του συστήµατος της σύνδεσης να είναι ίσες. Συνεπώς AC=BC=CS Από το

σηµείο Α, το άκρο της ράβδου, φέρνουµε κάθετη στην ευθεία AD, η οποία τέµνει την DS

σε σηµείο C. Το σχήµα είναι συµµετρικό ως προς τη DS. Σχηµατίζεται έτσι το ορθογώνιο

τρίγωνο ADC. Προφανώς η γωνία:

ACD = 90ο -θ/2.

Η γωνία ACD ως εξωτερική του τριγώνου ACS θα ισούται µε το άθροισµα των γωνιών

του, SAC και CSD. Το τρίγωνο ACS είναι όµως ισοσκελέςσυνεπώς :

ACD = SAC + CSD = 2CSD

Εξάλλου λόγω συµµετρίας :

CSD = δ/2, άρα 90ο -θ/2 = ACD = δ.

Συµπεραίνουµε ότι όποια και αν είναι η γωνία θ, η γωνία δ θα είναι:

δ = 90ο -θ/2

Όλες ράβδοι αποτελούν πλευρές κανονικών πολυγώνων που είναι δυνατόν να εγγρά-

φονται σε µέγιστους ή µικρούς κύκλους που διατρέχουν τη σφαίρα που περιγράφει το

κάθε tensegrity. Σε κάθε περίπτωση η γωνία θ µεταξύ δύο παρακείµενων ράβδων που

24 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ-ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ

κείνται στο ίδιο επίπεδο είναι η εσωτερική γωνία δύο πλευρών ενός κανονικού πολυγώ-

νου µε n πλευρές. Για τα κανονικά πολύγωνα ισχύει θ = 180 - (360ο /n). Αντικαθιστώ-

ντας στην προηγούµενη εξίσωση έχουµε:

δ = 180ο / n

Αρκεί λοιπόν µόνο να διαιρέσουµε το 180ο µε τον αριθµό των ράβδων σε ένα επίπεδο

µιας Tensegrity σφαίρας ή αλλιώς τον αριθµό των ράβδων που εγγράφονται από έναν

µεγάλο ή µικρότερο κύκλο για να εξάγουµε την γωνία βύθισης µεταξύ οποιονδήποτεδύο

από αυτές τις ράβδους. [Hugh Kenner, 2003].

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ TENSEGRITY...

Documents

Transcript of Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ TENSEGRITY...