ΜΑΘΗΜΑ 03: Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

03.1 Εισαγωγή

Ο μετασχηματισμός Laplace και ο μετασχηματισμός Z είναι δύο πολύ χρήσιμα μαθηματικά εργαλεία για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων αυτομάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ (Γραμμικών Χρονικά Αναλλοίωτων συστημάτων).

Ο μετασχηματισμός Laplace μετασχηματίζει συναρτήσεις από το πεδίο του χρόνου (t) στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s:

Η λογική της χρήσης του μετασχηματισμού Laplace είναι αντίστοιχη με τη λογική της χρήσης του μετασχηματισμού Fourier στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα. Η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι με τον μετασχηματισμό Laplace μπορούμε να μελετήσουμε και την συμπεριφορά συστημάτων στη μεταβατική κατάσταση και όχι μόνο στη μόνιμη κατάσταση (για αυτό και χρησιμοποιείται η μιγαδική μεταβλητή s = σ + jω, αντί της φανταστικής μεταβλητής jω του μετασχηματισμού Fourier)

Η βασική χρήση του μετασχηματισμού Laplace είναι για τη λύση ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων ΓΧΑ συστημάτων. Μέσω του μετασχηματισμού οι εξισώσεις αυτές μετατρέπονται σε αλγεβρικές των οποίων η επίλυση είναι ευκολότερη.

Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται όμως και για την μελέτη της ευστάθειας και τη σχεδίαση Σ.Α.Ε (όπως για παράδειγμα με τη μέθοδο του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών).

03.2 Ο Μετασχηματισμός Laplace

Έστω η πραγματική συνάρτηση f(t) της πραγματικής μεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

0

)()()]([ dtetfsFtfL st (03.1)

Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) υπάρχει εφόσον το ολοκλήρωμα

0

0)( dtetfI t (03.2)

συγκλίνει για κάποιο πραγματικό αριθμό σ0, δηλαδή ισχύει Ι <+∞.

03.2.1 Παράδειγμα

Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης f(t) =e-t υπάρχει διότι το ολοκλήρωμα I υπάρχει για κάθε σ0>-1.

00

)1(

00

)1(

01

1

1

1000

tttt edtedteeI (03.3)

Επομένως ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)] = F(s) της συνάρτησης f(t) =e-t θα είναι:

se

sdtedteesF tstsstt

1

1

1

1)(

0

)1(

0

)1(

0

(03.4)

Στο επόμενο σχήμα (Σχήμα 3.1) δίνεται η φιλοσοφία της χρήσης του μετασχηματισμού Laplace στη μελέτη των συστημάτων Σ.Α.Ε. Συγκεκριμένα πολλά ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής:

)()(

0

tudt

tyda

n

iii

i

(03.5)

των οποίων η επίλυση είναι δυσχερής. Η χρήση του μετασχηματισμού Laplace απλοποιεί τη διαδικασία επίλυσης:

Σχήμα 3.1: Παράδειγμα χρήσης του μετασχηματισμού Laplace

03.2.2 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace

Έστω F(s) ο μετασχηματισμός Laplace L[f(t)] της συνάρτησης f(t). Η συνάρτηση f(t) υπολογίζεται από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace L-1[F(s)]=f(t) με τη βοήθεια του επικαμπύλιου ολοκληρώματος:

jc

jc

stdsesFj

tfsFL )(2

1)()]([1

(03.6)

για c πραγματικό αριθμό τέτοιο ώστε c>σ0.

Στη πράξη και εξαιτίας της δυσκολίας υπολογισμού του παραπάνω ολοκληρώματος ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace υπολογίζεται με ανάλυση σε μερικά κλάσματα και χρήση γνωστών ζευγών του μετασχηματισμού Laplace. Αν δηλαδή ο μετασχηματισμός Laplace F(s) μιας συνάρτησης f(t) έχει τη μορφή (δηλαδή εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση):

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sa

sbsF

nn

n

mm

mm

(03.7)

τότε η συνάρτηση F(s) αναλύεται σε μερικά κλάσματα ως εξής:

n

n

s

c

s

c

s

c

sa

sbsF

...

)(

)()(

2

2

1

1 (03.8)

όπου λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn οι ρίζες του πολυωνύμου a(s).

Για κλάσματα της μορφής i

i

s

c

ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι γνωστός.

Συγκεκριμένα ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι:

tn

tt necececsFL ...)]([ 2121

1 (03.9)

Σημείωση: Για την διευκόλυνση ανάλυσης συναρτήσεων σε μερικά κλάσματα μπορείτε να χρησιμοποιείτε τις συναρτήσεις residue και roots της Matlab.

03.2.3 Παρaδείγματα υπολογισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace

Παράδειγμα 1: Διακριτές ρίζες

Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = δ(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση:

23

22)(

2

2

ss

sssY

Να υπολογιστεί η y(t).

Λύση

Μετά από χρήση της συνάρτησης residue της Matlab προκύπτει η εξής ανάλυση της συνάρτησης σε μερικά κλάσματα:

2

2

1

11

2123

22)( 21

02

2

sss

r

s

rr

ss

sssY

και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι:

tt eetsYLty 21 2)()]([)( .

Παράδειγμα 2: Πολλαπλότητα ριζών

Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = us(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση:

254

1)(

23

ssssY

Να υπολογιστεί η y(t).

Λύση

Μετά από χρήση της συνάρτησης residue της Matlab προκύπτει η εξής ανάλυση της συνάρτησης σε μερικά κλάσματα:

2

1

)1(

1

1

1

2)1(1)2()1(

1

254

1)(

23

221

0223

ssss

r

s

r

s

rr

ssssssY

και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι:

ttt eetesYLty 21 )]([)(

Παράδειγμα 3: Μιγαδικές ρίζες

Η απόκριση y(t) ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου σε είσοδο u(t) = δ(t) έχει υπολογιστεί μέσω του μετασχηματισμού Laplace και συγκεκριμένα αντιστοιχεί στη συνάρτηση:

595

4

)(

)()(

23

ssssa

sbsY

Να υπολογιστεί η y(t).

Λύση

Μετά από χρήση της συνάρτησης roots της Matlab προκύπτει ότι οι ρίζες του πολυωνύμου a(s) είναι -1, -2+j, -2-j. Άρα το Y(s) γράφεται ως:

)54(1)1)(54(

1

595

1)(

2321

223 ss

rsr

s

r

sssssssY

1)2(

12

1)2(

)2(2

1

12

)54(

62

1

2222

ss

s

sss

s

s

και επομένως η συνάρτηση y(t) είναι:

)sin(cos22)]([)( 21 tteesYLty tt

Σχήμα 3.2: Η μορφή της συνάρτησης y(t) του παραδείγματος 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

t - time in sec

f(t)

- r

esp

onse

to

dir

ac

fun

ctio

n

Σχήμα 3.3: Η μορφή της συνάρτησης y(t) του παραδείγματος 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

t - time in sec

f(t)

- r

espo

nse

to d

irac

func

tion

03.3 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace

Ιδιότητα 1: Γραμμικότητα:

(α) L[α1f1(t)+α2f2(t)]=α1F1(s)+ α2F2(s), όπου α1, α2 σταθερές

(β) L-1[b1F1(s)+b2F2(s)]=b1f1(t)+b2f2(t), όπου b1, b2 σταθερές

Ιδιότητα 2: Παραγώγιση στο πεδίο του χρόνου:

)0()()(

fssFdt

tdfL

01

1

02

23

0

21 )(...

)()()0()(

)(

tn

n

t

n

t

nnnn

n

dt

tfd

dt

tfds

dt

tdfsfssFs

dt

tfdL

Ιδιότητα 3: Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου:

0

0

)(1)(

)( dfss

sFdfL

t

Ιδιότητα 4: Θεώρημα αρχικής τιμής:

)(lim)(iml0

ssFtfst

, t>0

Ιδιότητα 5: Θεώρημα τελικής τιμής:

)(lim)(iml0

ssFtfst

, εφόσον το όριο )(iml tft

υπάρχει

Ιδιότητα 6: Αλλαγή κλίμακας χρόνου:

)(asaFa

tfL

, όπου α σταθερά

Ιδιότητα 7: Αλλαγή κλίμακας μιγαδικής συχνότητας:

)(1 atafa

sFL

Ιδιότητα 8: Χρονική καθυστέρηση:

)(sFeTtfL sT , όπου Τ>0, και f(t-T)=0 για t≤T.

Ιδιότητα 9: Μιγαδική μετατόπιση:

)(1 tfeasFL at , όπου Τ>0, και f(t-T)=0 για t≤T.

Ιδιότητα 10: Παραγώγιση στο πεδίο της συχνότητας:

)]([)(

ttfLds

sdF

)]([)1()(

tftLds

sFd nnn

n

Ιδιότητα 11: Ολοκλήρωση στο πεδίο της συχνότητας:

s

dwwFt

tfL )(

)(

Ιδιότητα 12: Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου:

)()()()()()()()( 211

0

12

0

2121 sFsFLdtffdtfftftftt

03.4 Ζεύγη του Μετασχηματισμού Laplace

Συνάρτηση Μετασχηματισμός Laplace

δ(t) 1

δ(t-t0) 0ste

us(t) s

1

t 2

1

s

atte 2)(

1

as

nt 1

!ns

n

ate as

1

sin(ωt) 22 s

cos(ωt) 22 s

s

)sin( te at 22)( as

)cos( te at 22)(

as

as

Πίνακας 3.1: Ζεύγη Μετασχηματισμών Laplace

03.5 Συναρτήσεις μεταφοράς

Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της μορφής:

m

j

j

j

n

iii dtj

tudb

dt

tyda

i

00

)()( (03.10)

Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην παραπάνω σχέση (βλέπε Ιδιότητα 2) προκύπτει:

m

j tq

qqj

q

qjjj

n

i tk

ki

k

kiii

dt

tudssUsb

dt

tydssYsa

0 00

1

0 0

1

0

1 )()(

)()( (03.11)

από την οποία λύνοντας ως προς Y(s) παίρνουμε:

n

i

ii

n

i tk

ki

k

ki

n

i

ii

m

j tq

qqj

q

qj

n

i

ii

m

j

jj

sa

dt

tyds

sa

dt

tuds

sU

sa

sb

sY

0

0 0

1

0

1

0

0 00

1

0

0

)()(

)()( (03.12)

Η έξοδος y(t) λαμβάνεται υπολογίζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της Y(s). Ο πρώτος και δεύτερος όρος στην παραπάνω σχέση αντιστοιχούν στη διεγερμένη απόκριση του συστήματος (forced response) ενώ ο τρίτος στην ελεύθερη απόκριση (free response). Είναι φανερό ότι η διεγερμένη απόκριση εξαρτάται από την είσοδο που επιβάλλεται στο σύστημα (προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήματος) ενώ η ελεύθερη απόκριση εξαρτάται από την αρχική (εσωτερική) κατάσταση του συστήματος (προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήματος).

Όταν οι αρχικές συνθήκες της εξόδου και της εισόδου είναι ίσε με μηδέν, δηλαδή ισχύει

qkdt

tud

dt

tyd

tq

q

tk

k

,,0)(

,0)(

00

, τότε η σχέση (03.12) εκφυλίζεται στη σχέση

)()()()()(

0

0 sUsHsYsU

sa

sb

sYn

i

ii

m

j

jj

(03.13)

όπου )(

)(

)(

)()(

0

0

sa

sb

sa

sb

sU

sYsH

n

i

ii

m

j

jj

είναι γνωστή και ως συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Το

δε a(s) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος.