ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ(Χωρίς την χρήση τύπων)

Όταν σε μία εξίσωση εμφανίζεται ο άγνωστος στο τετράγωνο , τουλάχιστον μία φορά, τότε λέμε ότι έχουμε δευτέρου βαθμού εξίσωση.

Η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α≠0 ονομάζεται εξίσωση δεύτερου βαθμού με έναν άγνωστο.

Οι αριθμοί α,β,γ ονομάζονται συντελεστές της εξίσωσης. Ο αριθμός γ λέγεται σταθερός όρος.

Οποιαδήποτε εξίσωση περιλαμβάνει μονώνυμα πρώτου και δεύτερου βαθμού και αριθμούς μπορεί με εφαρμογή ιδιοτήτων να αναχθεί στην κανονική ή γενική μορφή της εξίσωσης:

αχ2+βχ+γ=0 με α≠0

Η εξίσωση χ2+3χ=0 έχει α=1, β=3, γ=0 Η εξίσωση χ2-7=0 έχει α=….., β=……, γ=……. Η εξίσωση 2χ2=3χ-1 γίνεται ………………… ……… με α=……., β=……., γ=………. Η εξίσωση 4χ2+5χ-3=2χ2-7χ+4 γίνεται…………………………………. (την φέρνουμε στην

κανονική , γενική μορφή) με α=……, β=……., γ=……. Η εξίσωση χ(χ+2)-1= 4χ2+5χ-3 γίνεται………………………………….

Με α=……,β=………, γ=……….

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δευτέρου βαθμού είναι το γνωστό τριώνυμο. Θα μελετήσουμε απλές μορφές του τριωνύμου:

Αν είναι β=0 , τότε το τριώνυμο παίρνει την μορφή αχ2+γ=0. Αν οι αριθμοί α και γ είναι ετερόσημοι, τότε το τριώνυμο γίνεται διαφορά τετραγώνων, οπότε εύκολα βρίσκουμε τις ρίζες με παραγοντοποίηση.Αν οι α και γ είναι ομόσημοι , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Π.χ να λυθούν οι εξισώσεις 2χ2-8=0……………………………..και χ2 +5=0

Αν γ=0, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή αχ2+βχ=0 . Παραγοντοποιούμε και φθάνουμε στη σχέση χ(αχ+β)=0. Η οποία ισχύει όταν χ=0 ή αχ+β=0 και συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης είναι χ=0 ή χ=-β/α. π.χ Να λυθεί η εξίσωση 4χ2+20=0……………………………….Ποια είναι η μία λύση που έχει πάντοτε η παραπάνω εξίσωση;…………………………….

Χ2=α Αν α>0 η εξίσωση έχει λύσεις χ=√α και χ=-√α . Εάν α=0 τότε χ=0 και τέλος εάν α<0 η εξίσωση είναι αδύνατη. Π.χ Να λυθούν οι εξισώσεις χ2=169………………………….. και 2χ2=5…………………………

Σε πολλές περιπτώσεις γίνεται εύκολα παραγοντοποίηση γιατί είναι κάποια γνωστή ταυτότητα. Π.χ Να λυθεί η εξίσωση 4χ2+4χ+1=0……………………….

Συμπλήρωση τετραγώνου. Η μέθοδος της συμπλήρωσης τετραγώνου μπορεί να εφαρμοστεί σε όλες τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Σχηματίζουμε στο πρώτο μέλος ένα ανάπτυγμα τετραγώνου της μορφής (χ+ψ) 2 ή (χ-ψ)2 Π.χ Να λυθεί η εξίσωση

χ2+15χ-16=0 (Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α). Οπότε έχουμε 4χ2+60χ-64=0 (Μεταφέρουμε στο β΄μέλος τον σταθερό όρο και στο α΄μέλος δημιουργούμε παράσταση της μορφής α2+2αβ ή α2-2αβ) και έχουμε (2χ)2+2.2χ.15=64 στη συνέχεια (Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β2) έχουμε (2χ)2+2.2χ.15+152=64+152 = (2χ+15)2=289 και 2χ+15=√289 ή 2χ+15=-√289 2χ+15=17 ή 2χ+15=-17 και καταλήγουμε στις λύσεις χ=1 και χ=-16

Να λυθεί η εξίσωση 2χ2+3χ-2=0……………………………………………………….. Εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του δευτέρου. Εξισώσεις μεγαλύτερου του δευτέρου

βαθμού τις παραγοντοποιούμε σε παράγοντες πρώτου ή δευτέρου βαθμού και χρησιμοποιούμε την σχέση αν Α.Β.Γ=0 όπου Α,Β,Γ πολυώνυμα τότε κάποιος από τους παράγοντες πρέπει να είναι μηδέν. Π.χ Να λυθεί η εξίσωση χ4-16=0……………………………………… (Παραγοντοποιούμε την εξίσωση σε παράγοντες μικρότερου βαθμού)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες α) Η εξίσωση x 2 −9 = 0 έχει λύση το 3 β) Η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0 είναι δευτέρου βαθµού γ) Αν η εξίσωση αx 2 + βx + γ = 0 έχει λύση το 1 τότε α + β + γ = 0 Σ δ) Η εξίσωση x 2 −5x = 0 δεν έχει λύση το 5 2. Να λυθούν οι εξισώσεις i) (x −3)(x + 7) = 0 ii) (2x −4)(5x + 7) = 0 iii) x(3x + 5)(5x −3) = 0

3. Να λυθούν οι εξισώσεις . i) (2x2 + 5x)(x2 −64) = 0 ii) (x + 1)(3 −2x) = 4x2 −9 iii) (x 2 + 2x + 1)(x3 + 5x) = 0