Κυκλική Κίνηση - Ενεργειακή Προσέγγιση

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Ένα σημαντικό θέμα αναφορικά με την κυκλική κίνηση είναι η ενεργειακή

αντιμετώπιση προβλημάτων. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι βασικές αρχές

αντιμετώπισης καθώς και χαρακτηριστικά παραδείγματα.

1) Κίνηση σε οριζόντιο κύκλο

Σώμα δεμένο στην άκρη σχοινιού που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο

επίπεδο.

Το ερώτημα που προκύπτει στην περίπτωση αυτή είναι ο υπολογισμός του έργου της

τάσης του σχοινιού.

Το έργο της τάσης του σχοινιού είναι μηδέν, 0TW , διότι η δύναμη T

είναι

συνεχώς κάθετη σε κάθε στοιχειώδη μετατόπιση του σώματος.

Επίσης στην περίπτωση αυτή επειδή . η μηχανική ενέργεια διατηρείται.

2) Κίνηση σε κατακόρυφο κύκλο

Α) Σώμα δεμένο στην άκρη σχοινιού που κάνει κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο

επίπεδο.

Όμως, το έργο της τάσης του σχοινιού είναι μηδέν, 0TW , διότι η δύναμη T

είναι

συνεχώς κάθετη σε κάθε στοιχειώδη μετατόπιση του σώματος.

Στην περίπτωση αυτή η μόνη δύναμη που

ασκείται στο σώμα στη διεύθυνση της

ακτίνας της κυκλικής τροχιάς είναι η τάση

του σχοινιού.

Επομένως: R

mTF2

Έστω ότι ένα σώμα μάζας m εκτελεί

κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο κύκλο,

δεμένο στην άκρη νήματος μήκους l (άρα l

θα είναι η ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς).

Έστω ότι μας δίνεται το μέτρο της

ταχύτητας 1 στη θέση Α και μας ζητείται

το μέτρο της ταχύτητας 2 στη θέση Β.

Προφανώς 21 , διότι η κυκλική κίνηση

σε κατακόρυφο κύκλο δεν είναι ομαλή,

όπως περιγράψαμε αναλυτικά στο αρχείο

‘δυναμική της κυκλικής κίνησης’.

Σε τέτοιου είδους προβλήματα μπορούμε να

εφαρμόσουμε το θεώρημα μεταβολής της

κινητικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α

και Β:

WWKK T

T

2

2T

gm

1T

gm

1

l

http://sciencephysics4all.weebly.com/



Άρα,

WWKK T WKK (1)

Πως υπολογίζεται όμως το έργο του βάρους στην κίνηση αυτή; Γνωρίζουμε ότι το

έργο του βάρους εξαρτάται μόνο από την υψομετρική διαφορά αρχικής και τελικής

θέσης. Άρα, mgllmgW 22 . (Το έργο του βάρους κατά τη διαδρομή

είναι αρνητικό διότι στη διαδρομή αυτή ‘εμποδίζει’ τη μετατόπιση (έχει κατεύθυνση

αντίθετη από την κατακόρυφη μετατόπιση). Αντίστοιχα στη διαδρομή θα

είναι θετικό διότι ‘βοηθάει’ τη μετατόπιση (έχει την ίδια κατεύθυνση με την

κατακόρυφη μετατόπιση)).

Άρα, η σχέση (1) δίνει: WKK mglmm 22

1

2

1 2

1

2

2

gl22

1

2

1 2

1

2

2 gl42

1

2

2 gl42

1

2

2 gl42

12

Β) Ανακύκλωση

Προκύπτει τώρα το παρακάτω ερώτημα:

Ποια είναι η οριακή τιμή του μέτρου της ταχύτητας ,1 που πρέπει να δώσουμε στο

κατώτατο σημείο Α για να κάνει το σώμα μάζας m ανακύκλωση δηλαδή να

διαγράψει ολόκληρη την κυκλική τροχιά;

Για να κάνει το σώμα ανακύκλωση, θα πρέπει το σχοινί να είναι συνεχώς τεντωμένο,

δηλαδή να υπάρχει η τάση του σχοινιού. Για την οριακή περίπτωση όπου το σώμα

μόλις που διαγράφει τον κύκλο, θα ισχύει 0T στο ανώτατο σημείο Β. Στην

περίπτωση αυτή λοιπόν η οριακή ταχύτητα στο σημείο Β θα προκύπτει από τη σχέση:

l

mTB

2

,2

lmB

2

,2

lmmg

2

,2

lg

2

,2 gl2

,2

gl ,2 (2)

Άρα,

WKK mglmm 22

1

2

1 2

,1

2

,2

gl22

1

2

1 2

,1

2

,2 gl42

,1

2

,2 gl42

,2

2

,1

gl42

,2,1 (3)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2) στην (3) προκύπτει: gl5,1

0

0




Επομένως,

1. όταν gl51 , τότε το σώμα δεν κάνει ανακύκλωση.

2. όταν gl51 , τότε το σώμα κάνει ανακύκλωση (οριακά), με 0T στο

ανώτατο σημείο Β.

3. όταν gl51 , τότε το σώμα κάνει ανακύκλωση, με 0T στο ανώτατο

σημείο Β.

Στην περίπτωση όπου στο σώμα ασκούνται μόνο το βάρος και η τάση του νήματος

και το σώμα κάνει ανακύκλωση, η μηχανική ενέργεια διατηρείται καθώς τόσο το

έργο του βάρους W , όσο και το έργο της τάσης του νήματος TW είναι μηδέν κατά

μήκος μιας ολοκληρωμένης κλειστής κυκλικής περιφοράς.

Γ) Ανάλυση για τυχαία θέση της κυκλικής τροχιάς

Γ.1) Ανάλογα μπορούμε να εργαστούμε και για να βρούμε το μέτρο της ταχύτητας 3

σε μια τυχαία θέση του σώματος:

122

1

2

3 gl 122

13 gl

Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα που χρειάζεται για να φθάσει το σώμα οριακά στη θέση

Κ, όπου 90 , θα πρέπει:

90122

1

2 gl gl20 2

1 gl21

WKK

llmgmm 2

1

2

32

1

2

1

12

1

2

1 2

1

2

3 mglmm

12

1

2

1 2

1

2

3 gl

122

1

2

3 gl

T

w

yw

xw

1

3

w

T

l

ll

0




Γ.2) Εύρεση μέγιστου ύψους για γωνίες 90

Στην περίπτωση αυτή η κυκλική τροχιά παύει να υφίσταται όταν 0T . Στη συνέχεια

το σώμα κάνει πλάγια βολή. Για να βρούμε τη γωνία στην οποία αντιστοιχεί το

μέγιστο ύψος ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:

WKK llmgmm 2

1

2

2

1

2

1

12

1

2

1 2

1

2 mglmm 12

1

2

1 2

1

2 gl

122

1

2 gl glgl 222

1

2 12

22

1

gl

Επιμέλεια

Κοντομάρης Στέλιος - sciencephysics4all.weebly.com/

Στο ανώτατο σημείο Λ ισχύει 0T , άρα

lmwx

2

lmmg

2

lg

2 gl

w

yw

xw

1

w

T

l

l


Κυκλική Κίνηση - Ενεργειακή Προσέγγιση

Documents

Transcript of Κυκλική Κίνηση - Ενεργειακή Προσέγγιση