ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ελίδα 1 από 103

Δλληνικό Ανοικηό Πανεπιζηήμιο

σολή Θεηικών Δπιζηημών και Σεσνολογίαρ

(.Θ.Δ.Σ.)

Ππόγπαμμα ποςδών Πληποθοπική

Θ.Δ. ΠΛΖ-10: Διζαγωγή ζηην Πληποθοπική

Δπγαζηηπιακέρ αζκήζειρ ζε Απιθμηηικά ςζηήμαηα και Λογικά Κςκλώμαηα

ςμπληπωμαηικό ςλικό για ηον Α’ Σόμο – Διζαγωγή ζηην Δπιζηήμη ηων

Τπολογιζηών

Έκδοζη 1.0

2012


Πεξηερόκελα

1. Δηζαγσγή ............................................................................................................................................. 4

2. ύληνκε Θεσξεηηθή Δηζαγσγή ........................................................................................................... 5

2.1 πζηήκαηα Αξίζκεζεο .................................................................................................................. 5

2.1.1 Δηζαγσγή ζηα αξηζκεηηθά ζπζηήκαηα ................................................................................... 5

2.2 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από έλα ζύζηεκα αξίζκεζεο ζε άιιν ........................................................ 7

2.2.1 Μεηαηξνπή από νπνηδήπνηε ζύζηεκα αξίζκεζεο πξνο ην δεθαδηθό .................................... 7

2.2.2 Μεηαηξνπή από ην δεθαδηθό πξνο νπνηνδήπνηε άιιν ζύζηεκα αξίζεκεζεο ....................... 7

2.2.3 Μεηαηξνπή από δπαδηθό ζε δεθαεμαδηθό θαη αληίζηξνθα .................................................. 10

2.2.5 Μεηαηξνπή από ην δεθαεμαδηθό ζην νθηαδηθό ζύζηεκα κέζσ ηνπ δπαδηθνύ .................... 14

2.3 Πξάμεηο ζην δπαδηθό ζύζηεκα .................................................................................................... 14

2.3.1 Πξόζζεζε ............................................................................................................................. 14

2.3.2 Αθαίξεζε ............................................................................................................................. 15

2.3.3 Πνιιαπιαζηαζκόο ................................................................................................................ 17

2.3.4 Γηαίξεζε ............................................................................................................................... 18

2.4 Πξάμεηο ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα ............................................................................................ 18

2.4.1 Πξόζζεζε ............................................................................................................................. 19

2.4.2 Αθαίξεζε ............................................................................................................................. 19

2.4.3 Πνιιαπιαζηαζκόο ................................................................................................................ 20

2.4.4 Γηαίξεζε ............................................................................................................................... 21

2.5 Αλαπαξάζηαζε αξηζκεηηθώλ πιεξνθνξηώλ ζηνλ ππνινγηζηή ................................................... 22

2.5.1 Αλαπαξάζηαζε αξλεηηθώλ αξηζκώλ .................................................................................... 23

2.5.1.1 Αλαπαξάζηαζε πξνζεκαζκέλνπ κέηξνπ ......................................................................... 23

2.5.1.2 Αλαπαξάζηαζε Σπκπιεξώκαηνο ωο πξνο 1 ................................................................... 24

2.5.1.3 Αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο ωο πξνο 2 ................................................................... 25

2.5.2 Αλαπαξάζηαζε πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ................................................................................ 26

2.5.2.1 Αλαπαξάζηαζε ζηαζεξήο ππνδηαζηνιήο......................................................................... 27

2.6 Δηζαγσγή ζηα ινγηθά θπθιώκαηα .............................................................................................. 29

2.6.1 Άιγεβξα Boole ..................................................................................................................... 29

2.6.2 Λνγηθέο Πύιεο ...................................................................................................................... 30

2.6.3 Πύιεο κε πεξηζζόηεξεο από δύν εηζόδνπο ........................................................................... 33

2.6.4 Τινπνίεζε ινγηθήο ζπλάξηεζεο όηαλ δίλεηαη ν πίλαθαο αιεζείαο ηεο .............................. 34

2.6.5 ηνηρεηώδεηο κνλάδεο άζξνηζεο ........................................................................................... 37

2.6.5.1 Αζξνηζηέο ....................................................................................................................... 37

2.6.5.2 Ηκηαζξνηζηήο ................................................................................................................. 37

2.6.5.3 Πιήξεο Αζξνηζηήο ......................................................................................................... 38

3. Αζθήζεηο ζηηο κεηαηξνπέο κεηαμύ ζπζηεκάησλ αξίζκεζεο ............................................................ 40

3.1 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από άιια ζπζηήκαηα ζην δεθαδηθό .......................................................... 40

3.2 Μεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δεθαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο .................................. 42

3.3 Μεηαηξνπή αξηζκώλ κεηαμύ ηνπ δπαδηθνύ θαη ηνπ δεθαεμαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο ...... 45

3.4 Μεηαηξνπή αξηζκώλ κεηαμύ ηνπ δπαδηθνύ θαη ηνπ νθηαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο............ 47

3.5 Γεληθέο αζθήζεηο εμνηθείσζεο .................................................................................................... 49

4. Αζθήζεηο ζηηο πξάμεηο ζηα ζπζηήκαηα αξίζκεζεο .......................................................................... 51

4.1 Πξόζζεζε Φπζηθώλ Αξηζκώλ ..................................................................................................... 51


4.1.1 Δθθώλεζε Άζθεζεο (1) ...................................................................................................... 51



4.2 Αθαίξεζε Αξηζκώλ ζην Γπαδηθό ύζηεκα ................................................................................ 56


4.3 Αθαίξεζε Αξηζκώλ ζην Γπαδηθό ύζηεκα κε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 ............ 57

4.4 Λνγηθέο Πξάμεηο .......................................................................................................................... 63

4.4.1 Δθθώλεζε Άζθεζεο ............................................................................................................ 63

5. Αζθήζεηο ζε ινγηθά θπθιώκαηα ....................................................................................................... 65

5.1 Τινπνίεζε ινγηθήο ζπλάξηεζεο από πξνδηαγξαθέο .................................................................. 65

5.2 Πίλαθαο αιεζείαο θαη ινγηθό θύθισκα ...................................................................................... 67

5.3 Πίλαθαο Αιεζείαο θαη ινγηθή ζπλάξηεζε .................................................................................. 69

5.4 Λνγηθό Κύθισκα από Λνγηθή πλάξηεζε ................................................................................. 72

5.5 Πίλαθαο Αιεζείαο θαη Λνγηθό Κύθισκα ................................................................................... 77

5.6 Πίλαθαο Αιεζείαο από πξνδηαγξαθέο ........................................................................................ 80

5.7 Λνγηθό Κύθισκα από πξνδηαγξαθέο .......................................................................................... 82

5.8 Τινπνίεζε Αξηζκεηηθώλ πξάμεσλ κε Λνγηθέο πύιεο (1) .......................................................... 89

5.9 Τινπνίεζε Αξηζκεηηθώλ πξάμεσλ κε Λνγηθέο πύιεο (2) .......................................................... 92

Παξάξηεκα: Πεξηγξαθή θαη ρξήζε ηνπ εξγαιείνπ Gates .................................................................... 95


1. Διζαγωγή

Σν ζπκπιεξσκαηηθό εθπαηδεπηηθό πιηθό έρεη σο ζηόρν λα ζπλδξάκεη ηνπο θνηηεηέο ηεο ΠΛΖ10 λα

θαηαλνήζνπλ ηα αξηζκεηηθά ζπζηήκαηα θαη ηα ινγηθά θπθιώκαηα, ώζηε λα θαηαθηήζνπλ θάπνηνπο

από ηνπο καζεζηαθνύο ζηόρνπο ηνπ 1νπ ηόκνπ. Πην ζπγθεθξηκέλα, ηα ζέκαηα κε ηα νπνία

αζρνινύκαζηε είλαη ηα αθόινπζα:

1. πζηήκαηα αξίζκεζεο θαη κεηαηξνπέο κεηαμύ αξηζκεηηθώλ ζπζηεκάησλ

2. Δθηέιεζε πξάμεσλ ζηα δηαθνξεηηθά ζπζηήκαηα

3. Αλαπαξάζηαζε αξηζκεηηθώλ πιεξνθνξηώλ ζηνλ ππνινγηζηή

4. Λνγηθά θπθιώκαηα θαη ςεθηαθή ζρεδίαζε

ηελ Δλόηεηα 2 πξαγκαηνπνηείηαη κηα ζύληνκε ζεσξεηηθή εηζαγσγή ζηα παξαπάλσ αληηθείκελα. ηε

ζπλέρεηα (Δλόηεηεο 3-5) παξνπζηάδνληαη αζθήζεηο, θάζε κία από ηηο νπνίεο παξνπζηάδεηαη σο εμήο:

Δθπαηδεπηηθόο ζηόρνο ηεο άζθεζεο.

Δθθώλεζε.

Εεηνύκελα κε βάζε ηελ εθθώλεζε.

Δπίιπζε ησλ εξσηεκάησλ αλαθέξνληαο ην ζθεπηηθό επίιπζεο.

Σέινο, ζην Παξάξηεκα ηνπ θεηκέλνπ παξνπζηάδεηαη ην εξγαιείν Gates, ην νπνίν κπνξεί λα

ρξεζηκνπνηήζεη θαλείο γηα λα βξεί ηηο ινγηθέο ζπλαξηήζεηο ησλ εμόδσλ ησλ ππιώλ ελόο ινγηθνύ

θπθιώκαηνο, θαη ηνλ Πίλαθα Αιεζείαο ηνπ.


2. ύνηομη Θεωπηηική Διζαγωγή

2.1 ςζηήμαηα Απίθμηζηρ

2.1.1 Διζαγωγή ζηα απιθμηηικά ζςζηήμαηα

Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα απνηειείηαη από έλα ζύλνιν ςεθίσλ, έλα ζύλνιν ζπκβόισλ (πξάμεσλ) θαη

ηνπο θαλόλεο εθηέιεζεο ησλ πξάμεσλ αλάκεζα ζηνπο αξηζκνύο κε βάζε ηα ςεθία απηά.

Βάζε (base) ελόο αξηζκεηηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη έλαο αθέξαηνο αξηζκόο b ν νπνίνο ραξαθηεξίδεη ην

ζύζηεκα θαη ν νπνίνο είλαη ίζνο κε ην πιήζνο ησλ δηαθνξεηηθώλ ςεθίσλ ηνπ ζπζηήκαηνο.

Σα πην ζπρλά ρξεζηκνπνηνύκελα ζπζηήκαηα είλαη ην δεθαδηθό (κε βάζε ην 10) ην νπνίν

ρξεζηκνπνηνύκε ζηελ θαζεκεξηλή δσή, ην δπαδηθό (κε βάζε ην 2), ην νθηαδηθό (κε βάζε ην 8) θαη ην

δεθαεμαδηθό (κε βάζε ην 16).

Ζ γλώζε ηνπ δπαδηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη ηδηαίηεξα ρξήζηκε ζηελ θαηαλόεζε ησλ αξρώλ ιεηηνπξγίαο

ησλ ππνινγηζηηθώλ ζπζηεκάησλ δηόηη ε απεηθόληζε ηεο πιεξνθνξίαο θαη νη πξάμεηο ζηνπο

ππνινγηζηέο κπνξνύλ λα αλαπαξαζηαζνύλ κε ην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο, θαζώο νη ππνινγηζηέο

ρξεζηκνπνηνύλ ηελ ςεθηαθή ινγηθή. Σν δεθαεμαδηθό ζύζηεκα από ηελ άιιε κεξηά έρεη ην

πιενλέθηεκα όηη ππάξρεη έλαο εύθνινο ηξόπνο κεηαηξνπήο ησλ αξηζκώλ από ην δπαδηθό ζην

δεθαεμαδηθό ζύζηεκα θαη αληίζηξνθα, ελώ ην πιήζνο ησλ ςεθίσλ ελόο αξηζκνύ ζην δεθαεμαδηθό

ζύζηεκα είλαη πνιύ κηθξόηεξν από ην πιήζνο ησλ ςεθίσλ ηνπ ίδηνπ αξηζκνύ ζην δπαδηθό ζύζηεκα.

Έηζη, ζηνπο ππνινγηζηέο ζπρλά, αληί λα αλαθέξνπκε ηε δπαδηθή αλαπαξάζηαζε ελόο αξηζκνύ

ρξεζηκνπνηνύκε γηα πξαθηηθνύο ιόγνπο ηε δεθαεμαδηθή αλαπαξάζηαζε. ηνλ επόκελν πίλαθα

θαίλνληαη ηα ςεθία ηα νπνία ρξεζηκνπνηνύληαη ζε θάζε έλα από ηα ζπζηήκαηα απηά.


Γςαδικό

ζύζηημα

Οκηαδικό

ζύζηημα

Γεκαδικό

ζύζηημα

Γεκαεξαδικό

ζύζηημα

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Σα ςεθία A, B, C, D, E, F ρξεζηκνπνηνύληαη ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα γηα λα εθθξάζνπλ ηνπο

αξηζκνύο 10, 11, 12, 13, 14, 15, γηα ηνπο νπνίνπο δελ ππάξρνπλ αληίζηνηρα ςεθία ζην δεθαδηθό

ζύζηεκα.

Ζ γεληθή κνξθή παξάζηαζεο ελόο αξηζκνύ ζε έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα είλαη ε αθόινπζε:

Ν=am-1 bm-1

+ am-2 bm-2

+ … a1 b1 +a0 b

0 + a-1 b

-1 + a-2 b

-2 + … a-n b

-n

όπνπ νη αξηζκνί m θαη n αλαθέξνληαη ζε ζέζεηο ςεθίσλ. Σα ςεθία am-1 bm-1

+ am-2 bm-2

+ … a1 b1 +a0

b0 είλαη ην αθέξαην κέξνο ηνπ αξηζκνύ, ελώ ηα a-1 b

-1 + a-2 b

-2 + … a-n b

-n είλαη ην θιαζκαηηθό ηνπ

κέξνο.

Έλαο αξηζκόο Υ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζε νπνηνδήπνηε αξηζκεηηθό ζύζηεκα κε βάζε β, θαη

ζπκβνιίδνπκε (Υ)β. Έηζη, είλαη δπλαηό λα επηβεβαηώζεη θαλείο όηη ν ίδηνο αξηζκόο (28 ζην δεθαδηθό

ζύζηεκα) εθθξάδεηαη κε δηαθνξεηηθέο αθνινπζίεο ςεθίσλ ζε άιια ζπζηήκαηα αξίζκεζεο, όπσο

θαίλεηαη ζηα πην θάησ παξαδείγκαηα.

(28)10= 2x101 + 8x10

0


(34)8 = 381 + 48

0 = (28)10

(1C)16 = 1x161 + 12x16

0 = (28)10

(11100)2= 1x24 + 1x2

3 + 1x2

2 + 0x2

1 + 0x2

0 = (28)10

Αληίζηξνθα, ε ίδηα αθνινπζία ςεθίσλ κπνξεί λα ζπκβνιίδεη δηαθνξεηηθνύο αξηζκνύο ζε δηαθνξεηηθά

ζπζηήκαηα, γηα παξάδεηγκα,

(11)16= 1x161 + 1x16

0= 16 + 1 = (17)10

(11)8= 1x81 + 1x8

0 = (9)10

(11)2 = 1x21 + 1x2

0= 2 + 1 = (3)10

2.2 Μεηαηποπή απιθμών από ένα ζύζηημα απίθμηζηρ ζε άλλο

ηελ παξάγξαθν απηή ζα αλαθεξζνύκε ζηηο δηαδηθαζίεο κεηαηξνπήο ελόο αξηζκνύ από έλα ζύζηεκα

αξίζκεζεο ζε θάπνην άιιν.

2.2.1 Μεηαηποπή από οποιδήποηε ζύζηημα απίθμηζηρ ππορ ηο δεκαδικό

Γηα λα κεηαηξέςνπκε έλαλ αξηζκό από νπνηνδήπνηε ζύζηεκα ζην δεθαδηθό ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή

ηεο παξάζηαζεο (ε ππνδηαζηνιή βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ ςεθίσλ a0 θαη a-1).

am-1 bm-1

+ am-2 bm-2

+ … a1 b1 +a0 b

0 + a-1b

-1 + a-2b

-2 + …+ a-nb

-n

όπνπ κε b ζπκβνιίδνπκε ηε βάζε ηνπ ζπζηήκαηνο. Γηα παξάδεηγκα, γηα λα κεηαηξέςνπκε ηνλ αξηζκό

(11001)2 ζην δεθαδηθό ζύζηεκα, ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

1x24+1x2

3+0x2

2+0x2

1+1x2

0=16+8+1=25

Γηα λα κεηαηξέςνπκε ηνλ αξηζκό (11,01)2 ζην δεθαδηθό ζύζηεκα, ηόηε ζα έρνπκε:

1x21+1x2

0+0x2

-1+1x2

-2=2+0,25 = 2,25

Γηα λα κεηαηξέςνπκε ηνλ αξηζκό (45,34)8 από ην νθηαδηθό ζύζηεκα πξνο ην δεθαδηθό, ππνινγίδνπκε

ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

4x81 + 5x8

0 + 3x8

-1 + 4x8

-2 = 32 + 5 + 0,375 + 0,0625 = 37,4375

2.2.2 Μεηαηποπή από ηο δεκαδικό ππορ οποιοδήποηε άλλο ζύζηημα απίθημηζηρ

Ζ κεηαηξνπή απηή γίλεηαη ζε δπν θάζεηο. ηελ πξώηε θάζε κεηαηξέπεηαη ην αθέξαην κέξνο ηνπ

αξηζκνύ, ελώ ζηε δεύηεξε κεηαηξέπεηαη ην θιαζκαηηθό κέξνο.


Μεηαηξνπή αθεξαίνπ κέξνπο

Γηα λα κεηαηξέςνπκε ην αθέξαην κέξνο ηνπ αξηζκνύ, ην δηαηξνύκε κε ηε βάζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαη

παίξλνπκε έλα ππόινηπν (Τ) θαη έλα πειίθν (Π). Σν πειίθν δηαηξείηαη θαη πάιη κε ηo β θαη παίξλνπκε

έλα λέν πειίθν Π θαη ππόινηπν Τ. Ζ δηαδηθαζία απηή επαλαιακβάλεηαη κέρξη ην πειίθν Π λα γίλεη 0.

Ζ δεηνύκελε αλαπαξάζηαζε είλαη ηα ππόινηπα (Τ), κε ηελ αληίζηξνθε ζεηξά από εθείλε πνπ ηα

βξήθακε.

Γηα παξάδεηγκα, ζην επόκελν ρήκα θαίλεηαη ε δηαδηθαζία κεηαηξνπήο ηνπ αξηζκνύ 28 ζην δπαδηθό

θαη ην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αληίζηνηρα. Οη αλαπαξαζηάζεηο ηνπ δεθαδηθνύ αξηζκνύ 28 ζηα δύν

ζπζηήκαηα είλαη (11100)2 θαη (1C)16. ηε κεηαηξνπή ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα, ην 12, κεηαηξέπεηαη

ζην ςεθίν C ζην νπνίν θαη αληηζηνηρεί.

28 2

140 2

70 2

1 3 2

1 1 2

1 0

28 16

112 16

01

(28)10=(11100)2

(28)10=(1C)16

σήμα: Μεηαηξνπή ηνπ αξηζκνύ (28)10 ζην δπαδηθό θαη ην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο

Μεηαηξνπή θιαζκαηηθνύ κέξνπο

Γηα ηε κεηαηξνπή ηνπ θιαζκαηηθνύ κέξνπο ελόο δεθαδηθνύ αξηζκνύ ζε νπνηνδήπνηε ζύζηεκα κε

βάζε b εξγαδόκαζηε σο εμήο: πνιιαπιαζηάδνπκε ηνλ αξηζκό επί b. εκεηώλνπκε ην αθέξαην κέξνο

ηνπ απνηειέζκαηνο θαη κε ην θιαζκαηηθό κέξνο επαλαιακβάλνπκε ηελ πξνεγνύκελε δηαδηθαζία. Ζ

δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη έσο όηνπ βξνύκε ζην θιαζκαηηθό κέξνο ηνπ αξηζκνύ ην 0, ή (αλ απηό δε

γίλεη) κέρξη λα θηάζνπκε ζηελ επηζπκεηή αθξίβεηα (π.ρ. 3 θιαζκαηηθά δπαδηθά ςεθία). Γηα ην

απνηέιεζκα παίξλνπκε ηα ςεθία πνπ βξήθακε ζην αθέξαην κέξνο θάζε πξάμεο.

Παπάδειγμα: Να κεηαηξαπεί ν αξηζκόο (0,375)10 ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο. Ζ δηαδηθαζία

θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα.


αξηζκόο πνιιαπιαζηαζκόο επί

2 απνηέιεζκα

αθέξαην

κέξνο

θιαζκαηηθό

κέξνο

0,375 2 0,75 0 0,75

0,75 2 1,5 1 0,5

0,5 2 1 1 0

Με βάζε ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, θηάζακε ζε απνηέιεζκα κε θιαζκαηηθό κέξνο 0. Δπνκέλσο ε

δηαδηθαζία νινθιεξώζεθε, θαη ην απνηέιεζκα είλαη (0,375)10 = (0,011)2.

Παπάδειγμα: Να κεηαηξαπεί ν αξηζκόο (0,4276)10 ζην δπαδηθό ζύζηεκα. Αλ ρξεηαζηεί, λα

ζηακαηήζεη ε δηαδηθαζία ζην 5ν θιαζκαηηθό ςεθίν.

Ζ δηαδηθαζία θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα.

αξηζκόο πνιιαπιαζηαζκόο επί

2 απνηέιεζκα

αθέξαην

κέξνο


κέξνο

0,4276 2 0,8552 0 0,8552

0,8552 2 1,7104 1 0,7104

0,7104 2 1,4208 1 0,4208

0,4208 2 0,8416 0 0,8416

0,8416 2 1,6832 1 0,6832

ην ζεκείν απηό δελ έρνπκε θηάζεη ζε απνηέιεζκα κε 0 ζην θιαζκαηηθό κέξνο, επνκέλσο

πξνβαίλνπκε ζε ζηξνγγπινπνίεζε ηνπ αξηζκνύ θαη κπνξνύκε λα απαληήζνπκε όηη (0,4276)10 =

(0,01101)2. Αμίδεη λα ζεκεησζεί όηη, ζηελ πξαγκαηηθόηεηα, ν αξηζκόο πνπ βξήθακε είλαη

δηαθνξεηηθόο από ηνλ αξρηθό. Πην ζπγθεθξηκέλα, ν αξηζκόο πνπ βξήθακε είλαη ζην δεθαδηθό

ζύζηεκα ν

02-1

+ 12-2

+ 12-3

+ 02-4

+ 12-5

= = 0,25 + 0,125 + 0,03125 = (0,40625)10

Ζ δηαθνξά απηή (από ην 0,4276 ζην 0,40625) νθείιεηαη ζην ιάζνο ζηξνγγπινπνίεζεο θαη είλαη ηόζν

κηθξόηεξε όζν πην πνιιά δπαδηθά ςεθία ρξεζηκνπνηήζνπκε.

Παπάδειγμα: Να κεηαηξαπεί ν αξηζκόο (0,701171825)10 ζην νθηαδηθό ζύζηεκα.

Ζ δηαδηθαζία θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα

αξηζκόο πνιιαπιαζηαζκόο επί 8 απνηέιεζκα αθέξαην

κέξνο


κέξνο


0,701171825 8 5,609375 5 0,6093750

0,609375000 8 4,875000 4 0,8750000

0,875000000 8 7,000000 7 0,0000000

Καη ζην παξάδεηγκα απηό, θηάζακε ζε απνηέιεζκα κε θιαζκαηηθό κέξνο 0. Δπνκέλσο ε δηαδηθαζία

νινθιεξώζεθε, θαη ην απνηέιεζκα είλαη (0,701171825)10 = (0,547)8.

2.2.3 Μεηαηποπή από δςαδικό ζε δεκαεξαδικό και ανηίζηποθα

Τπάξρνπλ δύν ηξόπνη γηα λα κεηαηξέςνπκε έλαλ αξηζκό από ην δπαδηθό ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα

αξίζκεζεο θαη αληίζηξνθα.

Ο πξώηνο ηξόπνο είλαη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε σο ελδηάκεζν ην δεθαδηθό ζύζηεκα. ηνλ ηξόπν απηό

κεηαηξέπνπκε από ην έλα ζύζηεκα ζην δεθαδηθό θαη ζηε ζπλέρεηα από ην δεθαδηθό ζην άιιν όπσο

πεξηγξάςακε πξνεγνπκέλσο. ην δεύηεξν ηξόπν κεηαηξέπνπκε απεπζείαο από ην έλα ζύζηεκα ζην

άιιν. Οη δύν απηνί ηξόπνη πεξηγξάθνληαη ζηε ζπλέρεηα.

Μεηαηξνπή κέζω ηνπ δεθαδηθνύ

Γηα λα κεηαηξέςνπκε ην δεθαεμαδηθό αξηζκό 77F ζην δπαδηθό ζύζηεκα κπνξνύκε λα ηνλ

κεηαηξέςνπκε πξώηα ζην δεθαδηθό αξηζκό

7x162 + 7x16

1 + 15x16

0 = (1919)10

ηε ζπλέρεηα κεηαηξέπνπκε ην δεθαδηθό αξηζκό ζηνλ αληίζηνηρν δπαδηθό αξηζκό όπσο θαίλεηαη ζηε

ζπλέρεηα.

1919 2

22

2

2

95914791

2391

119

2

2

1

1 59

291 14

2

2

2

2

0 7

31

11

01

1

(1919)10=(11101111111)2

σήμα: Μεηαηξνπή ηνπ αξηζκνύ (1919)10 ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο


Δπνκέλσο, ε δπαδηθή παξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ (77F)16 είλαη ε (11101111111)2.

Αληίζηξνθα, γηα ηε δεθαεμαδηθή παξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ (11101111111)2 βξίζθνπκε πξώηα ηε

δεθαδηθή αλαπαξάζηαζε πνπ είλαη

210

+29+2

8+2

6+2

5+2

4+2

3+2

2+2

1+2

0=1919

ηε ζπλέρεηα ε κεηαηξνπή ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα ζα δώζεη (77F)16.

1919 16

16

16

11915

77

07

(1919)10=(77F)16

σήμα: Μεηαηξνπή ηνπ αξηζκνύ (1919)10 ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο

Απεπζείαο κεηαηξνπή

Ζ απεπζείαο κεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δπαδηθό ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα θαη αληίζηξνθα

ζηεξίδεηαη ζην γεγνλόο όηη 16=24, επνκέλσο έλα ςεθίν ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αληηζηνηρεί ζε

ηέζζεξα αθξηβώο ςεθία ζην δπαδηθό ζύζηεκα. Με βάζε ηελ παξαηήξεζε απηή κπνξνύκε λα

αθνινπζήζνπκε ηε δηαδηθαζία πνπ πεξηγξάθνπκε ζηε ζπλέρεηα.

Γηα ηελ απεπζείαο κεηαηξνπή ελόο δεθαεμαδηθνύ αξηζκνύ ζην δπαδηθό ζύζηεκα αληηθαζηζηνύκε θάζε

ςεθίν ηνπ αξηζκνύ κε έλα ηεηξαςήθην δπαδηθό αξηζκό ζύκθσλα κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα.

δεθαεμαδηθό

ςεθίν

δπαδηθά

ςεθία

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111


8 1000

9 1001

A 1010

B 1011

C 1100

D 1101

E 1110

F 1111

Μπνξεί θαλείο λα παξαηεξήζεη όηη ν δπαδηθόο αξηζκόο (π.ρ. 1100) είλαη ε έθθξαζε ηνπ δεθαεμαδηθνύ

ςεθίνπ ζην δπαδηθό ζύζηεκα (π.ρ. C). Έηζη, γηα παξάδεηγκα, ν δεθαεμαδηθόο αξηζκόο 77F αληηζηνηρεί

ζην δπαδηθό αξηζκό 0111 0111 1111 όπσο θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα.

7 7 F

0111 0111 1111

Αληίζηξνθα, γηα λα κεηαηξέςνπκε έλαλ αξηζκό από ην δπαδηθό ζύζηεκα ζην δεθαεμαδηθό, ρσξίδνπκε

ζε ηεηξάδεο ην αθέξαην κέξνο ηνπ αξηζκνύ από ηελ ππνδηαζηνιή θαη πξνο ηα αξηζηεξά πξνζζέηνληαο

κεδεληθά, αλ ρξεηαζηεί, ζην αξηζηεξό κέξνο ηνπ αξηζκνύ. Αθόκε, ρσξίδνπκε ζε ηεηξάδεο ην

θιαζκαηηθό κέξνο ηνπ αξηζκνύ από ηελ ππνδηαζηνιή θαη δεμηά πξνζζέηνληαο κεδεληθά, αλ ρξεηαζηεί,

ζην δεμηό κέξνο ηνπ αξηζκνύ. ηε ζπλέρεηα αληηζηνηρνύκε ζε θάζε ηεηξάδα ην αληίζηνηρν

δεθαεμαδηθό ςεθίν. Έηζη, ν δπαδηθόο αξηζκόο 1 1010 1101, 1010 11 αληηζηνηρεί ζην δεθαεμαδηθό

αξηζκό 1AD,ΑC όπσο θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα (κε πιάγηα γξάκκαηα θαίλνληαη ηα κεδεληθά πνπ

πξνζζέζακε ζηελ αξρή ηνπ αξηζκνύ πξνθεηκέλνπ λα ζπκπιεξσζνύλ ηεηξάδεο ςεθίσλ).

0001 1010 1101 1010 1100

1 A D A C

Μπνξεί θαλείο λα δηαπηζηώζεη όηη ε απεπζείαο κεηαηξνπή είλαη πνιύ πην εύθνιε θαη γξήγνξε από όηη

ε κεηαηξνπή ρξεζηκνπνηώληαο ην δεθαδηθό ζύζηεκα.

2.2.4 Μεηαηποπή από ηο οκηαδικό ζηο δςαδικό και ανηίζηποθα

Ζ κεηαηξνπή απηή κπνξεί λα γίλεη κέζσ ηνπ δεθαδηθνύ ή απεπζείαο. Γηα ηελ απεπζείαο κεηαηξνπή

αξηζκώλ από ην δπαδηθό ζην νθηαδηθό θαη αληίζηξνθα ζηεξηδόκαζηε ζην γεγνλόο όηη, παξόκνηα κε ην

δεθαεμαδηθό, ζύζηεκα, ηζρύεη όηη 8=23, επνκέλσο έλα ςεθίν ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αληηζηνηρεί


ζε ηξία αθξηβώο ςεθία ζην δπαδηθό ζύζηεκα. Με βάζε ηελ παξαηήξεζε απηή κπνξνύκε λα

αθνινπζήζνπκε ηε δηαδηθαζία πνπ πεξηγξάθνπκε ζηε ζπλέρεηα.

Γηα ηελ απεπζείαο κεηαηξνπή ελόο νθηαδηθνύ αξηζκνύ ζην δπαδηθό ζύζηεκα αληηθαζηζηνύκε θάζε

ςεθίν ηνπ αξηζκνύ κε έλα ηξηςήθην δπαδηθό αξηζκό ζύκθσλα κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα.

δεθαεμαδηθό

ςεθίν

δπαδηθά

ςεθία

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

Μπνξεί θαλείο λα παξαηεξήζεη όηη ν δπαδηθόο αξηζκόο (π.ρ. 100) είλαη ε έθθξαζε ηνπ νθηαδηθνύ

ςεθίνπ ζην δπαδηθό ζύζηεκα (π.ρ. 4). Έηζη, γηα παξάδεηγκα, ν νθηαδηθόο αξηζκόο 773 αληηζηνηρεί

ζην δπαδηθό αξηζκό 111 111 011 όπσο θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα.

7 7 3

111 111 011

Αληίζηξνθα, γηα λα κεηαηξέςνπκε έλαλ αξηζκό από ην δπαδηθό ζύζηεκα ζην νθηαδηθό, ρσξίδνπκε ηα

ςεθία ηνπ ζε ηξηάδεο πξνζζέηνληαο, αλ ρξεηαζηεί, κεδεληθά ζηελ αξρή θαη ζην ηέινο ηνπ αξηζκνύ

(κεηά ηελ ππνδηαζηνιή) θαη αληηζηνηρνύκε ζε θάζε ηξηάδα ην αληίζηνηρν νθηαδηθό ςεθίν. Έηζη, ν

δπαδηθόο αξηζκόο 1 101 101 αληηζηνηρεί ζηνλ νθηαδηθό αξηζκό 155 όπσο θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα (κε

πιάγηα γξάκκαηα θαίλνληαη ηα κεδεληθά πνπ πξνζζέζακε ζηελ αξρή ηνπ αξηζκνύ πξνθεηκέλνπ λα

ζπκπιεξσζνύλ ηξηάδεο ςεθίσλ).

001 101 101

1 5 5


2.2.5 Μεηαηποπή από ηο δεκαεξαδικό ζηο οκηαδικό ζύζηημα μέζω ηος δςαδικού

Γηα λα κεηαηξέςνπκε έλα αξηζκό από ην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα ζην νθηαδηθό κεηαηξέπνπκε ηνλ

αξηζκό ζηνλ αληίζηνηρν δπαδηθό θαη ζηε ζπλέρεηα ην δπαδηθό αξηζκό ζην νθηαδηθό ζύκθσλα κε ηα

παξαπάλσ. Γηα παξάδεηγκα, ε δηαδηθαζία κεηαηξνπήο ηνπ δεθαεμαδηθνύ αξηζκνύ 3FA ζην νθηαδηθό

ζύζηεκα, θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα.

3 F A

0011 1111 1010

001 111 111 010

1 7 7 2

Δπνκέλσο, ε νθηαδηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ δεθαεμαδηθνύ αξηζκνύ (3FA)16 είλαη ν νθηαδηθόο αξηζκόο

(1772)8.

2.3 Ππάξειρ ζηο δςαδικό ζύζηημα

ηελ παξάγξαθν απηή ζα πεξηγξάςνπκε ηνλ ηξόπν εθηέιεζεο ησλ ηεζζάξσλ βαζηθώλ πξάμεσλ

(πξόζζεζε, αθαίξεζε, πνιιαπιαζηαζκόο θαη δηαίξεζε) ζην δπαδηθό ζύζηεκα.

Σν λα γλσξίδνπκε ηνλ ηξόπν εθηέιεζεο ησλ πξάμεσλ ζην δπαδηθό ζύζηεκα, ζα καο βνεζήζεη λα

θαηαιάβνπκε ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν πξαγκαηνπνηείηαη ε εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ ζην ππνινγηζηηθό

ζύζηεκα.

2.3.1 Ππόζθεζη

Ζ πξάμε ηεο πξόζζεζεο γίλεηαη όπσο θαη ζην δεθαδηθό ζύζηεκα. Βάδνπκε ηνλ έλαλ αξηζκό θάησ από

ηνλ άιιν ζηνηρίδνληαο ηα ςεθία θάζε ζεκαληηθήο ζέζεο. Πξνζζέηνπκε ηα ςεθία αλά δύν μεθηλώληαο

από ην ιηγόηεξν ζεκαληηθό ςεθίν θαη θαηαγξάθνπκε ην απνηέιεζκα. ηελ πεξίπησζε πνπ πξνθύςεη

θξαηνύκελν απηό κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα άζξνηζεο. Γηα ηε δηεπθόιπλζε ηεο δηαδηθαζίαο

δίλνληαη νη θαλόλεο πξόζζεζεο δπαδηθώλ αξηζκώλ.

Ο πίνακαρ ηηρ Ππόζθεζηρ (+)

Ππώηορ

Όπορ

Γεύηεπορ

Όπορ

Κπαηούμενο

από μεηαθοπά Αποηέλεζμα


0 0 0 = 0

0 0 1 = 1

0 1 0 = 1

0 1 1 = 0 θαη 1 ην θξαηνύκελν γηα κεηαθνξά

1 0 0 = 1



1 1 1 = 1 θαη 1 ην θξαηνύκελν γηα κεηαθνξά.

Γηα παξάδεηγκα, γηα λα εθηειέζνπκε ηελ πξόζζεζε ησλ αθόινπζσλ δπαδηθώλ αξηζκώλ.

(111110111)2+(11011011)2

Ζ διαδικαζία είναι η ακόλοςθη

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

Ξεθηλώληαο από ην ιηγόηεξν ζεκαληηθό ςεθίν θάλνπκε ηελ πξάμε 1 + 1 πνπ δίλεη απνηέιεζκα 0 θαη

θξαηνύκελν 1 ην νπνίν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα άζξνηζεο. Ζ επόκελε πξάμε είλαη 1 + 1 +

1 πνπ δίλεη απνηέιεζκα 1 θαη θξαηνύκελν 1 ην νπνίν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα άζξνηζεο. Ζ

πξάμε ζπλερίδεηαη κέρξη θαη ηελ παξάγσγή ηνπ ηειηθνύ θξαηνπκέλνπ ην νπνίν απιά θαηαγξάθεηαη

ζην απνηέιεζκα. Ζ ίδηα ινγηθή εθαξκόδεηαη ζε όιεο ηηο επόκελεο ζεκαληηθέο ζέζεηο.

2.3.2 Αθαίπεζη

Ζ πξάμε ηεο αθαίξεζεο γίλεηαη όπσο θαη ζην δεθαδηθό ζύζηεκα. Σνπνζεηνύκε ηνλ έλαλ αξηζκό (ηνλ

αθαηξέηε) θάησ από ηνλ άιιν (ηνλ αθαηξεηέν) ζηνηρίδνληαο ηα ςεθία ζε θάζε ζεκαληηθή ζέζε.

Αθαηξνύκε ηα ςεθία αλά δύν μεθηλώληαο από ην ιηγόηεξν ζεκαληηθό ςεθίν θαη θαηαγξάθνπκε ην

απνηέιεζκα. ηελ πεξίπησζε πνπ πξνθύςεη δαλεηθό απηό κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα ηεο

αθαίξεζεο. Γηα ηε δηεπθόιπλζε ηεο δηαδηθαζίαο δίλνληαη νη θαλόλεο αθαίξεζεο θπζηθώλ δπαδηθώλ

αξηζκώλ.

Ο πίνακαρ ηηρ Αθαίπεζηρ (-)

Ππώηορ

Όπορ

Γεύηεπορ

Όπορ

Γανεικό

από μεηαθοπά Απνηέιεζκα

0 0 0 = 0

0 0 1 = 1 θαη 1 ην δαλεηθό γηα κεηαθνξά




1 0 0 = 1

1 0 1 = 0

1 1 0 = 0


Πξηλ πξνρσξήζνπκε ζηελ επίιπζε ησλ αζθήζεσλ ζα δώζνπκε έλα παξάδεηγκα γηα λα γίλεη

θαηαλνεηό ην πώο γίλεηαη ε πξάμε θαη πσο κεηαθέξεηαη ην δαλεηθό ζηελ επόκελε βαζκίδα ηεο

αθαίξεζεο.

Αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε λα εθηειέζνπκε ηελ αθαίξεζε:

1 0 0 0 0

- 0 1 0 1 0

Ξεθηλάκε θαλνληθά από δεμηά θαη θάλνπκε ηελ πξώηε αθαίξεζε νπόηε:

1 0 0 0 0

- 0 1 0 1 0

0

πλερίδνπκε ζηε δεύηεξε βαζκίδα θαη κε βάζε ην 0 - 1 = 1 θαη έλα δαλεηθό γηα κεηαθνξά έρνπκε:

1

1 0 0 0 0

- 0 1 0 1 0

1 0

θαη πξνθύπηεη θαη έλα δαλεηθό ην νπνίν ζα κεηαθεξζεί ζηελ επόκελε βαζκίδα (θαη όπσο θάλνπκε θαη

ζην δεθαδηθό ζύζηεκα) ζα πξνζηεζεί ζηνλ θάησ αξηζκό. Άξα ζηελ ηξίηε βαζκίδα ζα έρνπκε

νπζηαζηηθά (αθνύ 0 θαη 1 θάλεη 1):

1 0 0 0 0

- 0 1 1 1 0


1 1 0

θαη έλα ην θξαηνύκελν πνπ πξνθύπηεη από ηελ πξόζζεζε ην νπνίν ζα κεηαθεξζεί ζηελ επόκελε

βαζκίδα θαη ζα πξνζηεζεί ζηνλ αθαηξέηε.

1

1 0 0 0 0

- 0 1 0 1 0

0 1 1 0

ηελ πεξίπησζε απηή όκσο ην ςεθίν ηνπ αθαηξέηε πνπ ζα πξνζηεζεί ην θξαηνύκελν είλαη 1 νπόηε 1

+ 1 = 10. Άξα είλαη ζαλ λα έρσ 0 ζηελ βαζκίδα απηή θαη ην 1 κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε.

1

1 0 0 0 0

- 0 0 0 1 0

0 1 1 0

Από ηελ πξνεγνύκελε κεηαθνξά ηνπ 1 ζα έρσ νπζηαζηηθά ηελ παξαθάησ αθαίξεζε ζηελ επόκελε

βαζκίδα

1 0 0 0 0

- 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0

Έηζη ν ηειηθόο αξηζκόο ζα είλαη ν 00110 = (6)10

Όπσο θαίλεηαη από ην παξαθάησ παξάδεηγκα ηδηαίηεξε πξνζνρή πξέπεη λα δνζεί ζηελ κεηαθνξά ηνπ

δαλεηθνύ όηαλ ππάξρεη ή ηνπ θξαηνπκέλνπ πνπ πξνθύπηεη από ηελ πξόζζεζε ηνπ δαλεηθνύ ζην

αληίζηνηρν ςεθίν ηνπ αθαηξέηε (πνπ πξέπεη λα γίλεη πξηλ γίλεη ε πξάμε ηεο αθαίξεζεο)

2.3.3 Πολλαπλαζιαζμόρ

Ο πνιιαπιαζηαζκόο ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο γίλεηαη, όπσο θαη ζην δεθαδηθό, κε δηαδνρηθέο

πξνζζέζεηο. Κάζε ςεθίν ηνπ πνιιαπιαζηαζηή πνιιαπιαζηάδεηαη κε όια ηα ςεθία ηνπ


πνιιαπιαζηαζηένπ θαη ζρεκαηίδεη έλα κεξηθό γηλόκελν. Κάζε κεξηθό γηλόκελν γξάθεηαη θάησ από ην

πξνεγνύκελν νιηζζεκέλν θαηά κία ζέζε πξνο ηα αξηζηεξά. ηε ζπλέρεηα, πξνζζέηνπκε αλά δύν ηα

κεξηθά γηλόκελα.

ην επόκελν ρήκα θαίλεηαη ν δπαδηθόο πνιιαπιαζηαζκόο ησλ αξηζκώλ (1110)2 θαη (110)2. Ο

πνιιαπιαζηαζκόο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα ζα έδηλε 14x6=84=(1010100)2.

1 1 1 0

x 1 1 0

0 0 0 0

1 1 1 0

x 1 1 0

0 0 0 0

1 1 1 0

1 1 1 0

x 1 1 0

0 0 0 0

1 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

x 1 1 0

0 0 0 0

+ 1 1 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 0

x 1 1 0

1 1 1 0 0

+ 1 1 1 0

1 0 1 0 1 0 0

μερικό

γινόμενο 1 μερικό

γινόμενο 2

μερικό

γινόμενο 3μερικό

άθροισμα

σήμα: Πνιιαπιαζηαζκόο ζην δπαδηθό ζύζηεκα

2.3.4 Γιαίπεζη

Ζ δηαίξεζε ζην δπαδηθό ζύζηεκα πξαγκαηνπνηείηαη κε δηαδνρηθέο αθαηξέζεηο ηνπ δηαηξέηε από ην

δηαηξεηέν. ην επόκελν ρήκα θαίλεηαη ε δηαδηθαζία δηαίξεζεο ησλ αξηζκώλ (11011)2 δηα (101)2 πνπ

δίλεη πειίθν (101)2 θαη ππόινηπν (10)2. Ζ αληίζηνηρε πξάμε ζην δεθαδηθό ζύζηεκα (27 : 5) ζα έδηλε

πειίθν 5 θαη ππόινηπν 2.

1 1 0 1 1

1 0 1

0 0 1

1 0 1

1

1 1 0 1 1

1 0 1

0 0 1 1

1 0 1

1 0

1 1 0 1 1

1 0 1

0 0 1 1 1

1 0 1

0 1 0

1 0 1

1 0 1

σήμα: Γηαίξεζε ζην δπαδηθό ζύζηεκα

2.4 Ππάξειρ ζηο δεκαεξαδικό ζύζηημα

Ζ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα είλαη πην πνιύπινθε από όηη ζην δπαδηθό. Ο

ιόγνο πνπ καζαίλνπκε πξάμεηο ζην ζύζηεκα απηό είλαη όηη πνιιέο θνξέο ρξεζηκνπνηνύκε ην


δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αληί ηνπ δπαδηθνύ, επεηδή ην πιήζνο ησλ ςεθίσλ ελόο αξηζκνύ είλαη πνιύ

κηθξόηεξν από όηη ζην δπαδηθό ζύζηεκα.

2.4.1 Ππόζθεζη

Ζ πξόζζεζε ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα γίλεηαη όπσο ζην δεθαδηθό, μεθηλώληαο από ηα δεμηά θαη

πξνζζέηνληαο αλά δύν ηα ςεθία, πξνζζέηνληαο αθόκε ην θξαηνύκελν ηεο πξνεγνύκελεο βαζκίδαο

(αλ ππάξρεη).

Γηα λα πξνζζέζνπκε δύν ςεθία ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα ππνινγίδνπκε ηελ αξηζκεηηθή ηνπο ηηκή

(αλ θάπνην από απηά είλαη κεηαμύ ηνπ „A‟ θαη ηνπ „F‟), πξνζζέηνπκε ηηο αξηζκεηηθέο ηνπο ηηκέο θαη

δηαηξνύκε ην απνηέιεζκα κε ην 16. Σν ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο είλαη ην ςεθίν ηνπ απνηειέζκαηνο ηεο

άζξνηζεο, ελώ ην πειίθν είλαη ην θξαηνύκελν πξνο ηελ επόκελε βαζκίδα. Έηζη, ε πξόζζεζε 9 + 9

δίλεη απνηέιεζκα (18)10 επνκέλσο δίλεη απνηέιεζκα 2 (18 mod 16) θαη θξαηνύκελν 1 (18 div 16).

Γηα παξάδεηγκα, ζην επόκελν ρήκα θαίλεηαη ε δηαδηθαζία πξόζζεζεο ησλ αξηζκώλ (1AD9)16 θαη

(201D)16. Ζ ζεηξά εθηέιεζεο ησλ πξάμεσλ είλαη από ην δεμί κέξνο ηνπ ζρήκαηνο πξνο ην αξηζηεξό.

α=9

β=D

cin=0

s=6

cout=1

1 A D 9

+ 2 0 1 D

6

1 A D 9

+ 2 0 1 D

F 6

α=D

β=1

cin=1

s=F

cout=0

1 A D 9

+ 2 0 1 D

A F 6

α=A

β=0

cin=0

s=A

cout=0

1 A D 9

+ 2 0 1 D

3 A F 6

α=1

β=2

cin=0

s=3

cout=0

σήμα: Πξόζζεζε ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα

Ζ αληίζηνηρε πξάμε ζην δεθαδηθό ζύζηεκα (6873 + 8221) δίλεη απνηέιεζκα 15094 = (3AF6)16.

2.4.2 Αθαίπεζη

Ζ αθαίξεζε ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα γίλεηαη όπσο ζην δεθαδηθό, μεθηλώληαο από ηα δεμηά θαη

αθαηξώληαο ην ςεθίν ηνπ αθαηξέηε από ην ςεθίν ηνπ αθαηξεηένπ. Αλ ππάξρεη δαλεηθό από

πξνεγνύκελε βαζκίδα, πξνζηίζεηαη ζην ςεθίν ηνπ αθαηξέηε.


ηελ πεξίπησζε πνπ ην ςεθίν ηνπ αθαηξέηε είλαη κεγαιύηεξν από ην ςεθίν ηνπ αθαηξεηένπ, δε

δαλεηδόκαζηε από ηελ επόκελε βαζκίδα 10 (όπσο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο), αιιά 16 (πνπ

είλαη ε βάζε ηνπ ζπζηήκαηνο).

Γηα παξάδεηγκα, ε δηαδηθαζία ηεο αθαίξεζεο ησλ αξηζκώλ (41177)10= (A0D9)16 θαη

(8733)10=(221D)16 πνπ δίλεη απνηέιεζκα (32444)10= (7EBC)16 θαίλεηαη ζην επόκελν ρήκα.

α=9

β=D

bin=0

s=C

bout=1

A 0 D 9

- 2 2 1 D

C

A 0 D 9

- 2 2 1 D

B C

α=D

β=1

bin=1

s=B

bout=0

A 0 D 9

- 2 2 1 D

E B C

α=0

β=2

bin=0

s=E

bout=1

A 0 D 9

- 2 2 1 D

7 E B C

α=A

β=2

bin=1

s=7

bout=0

σήμα: Αθαίξεζε ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα

2.4.3 Πολλαπλαζιαζμόρ

Ο πνιιαπιαζηαζκόο ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα γίλεηαη όπσο ζην δεθαδηθό. Κάζε ςεθίν ηνπ

πνιιαπιαζηαζηή πνιιαπιαζηάδεηαη κε όια ηα ςεθία ηνπ πνιιαπιαζηαζηένπ θαη ζρεκαηίδεη έλα

κεξηθό γηλόκελν. Κάζε κεξηθό γηλόκελν γξάθεηαη θάησ από ην πξνεγνύκελν νιηζζεκέλν θαηά κία

ζέζε πξνο ηα αξηζηεξά. ηε ζπλέρεηα, πξνζζέηνπκε αλά δύν ηα κεξηθά γηλόκελα.

Ο πνιιαπιαζηαζκόο γίλεηαη (όπσο θαη ε πξόζζεζε) πνιιαπιαζηάδνληαο ηηο αξηζκεηηθέο ηηκέο ησλ

ςεθίσλ θαη παίξλνληαο ην πειίθν θαη ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο κε ην 16 (αλ ππάξρεη θξαηνύκελν

από ην πξνεγνύκελν ςεθίν πξνζηίζεηαη ζην γηλόκελν απηό). Έηζη ν πνιιαπιαζηαζκόο ησλ ςεθίσλ 8

x 7 δίλεη γηλόκελν 8 (=56 mod 16) θαη θξαηνύκελν πξνο ηελ επόκελε βαζκίδα 3 (=56 div 16).

Γηα παξάδεηγκα, ζην επόκελν ρήκα θαίλεηαη ε δηαδηθαζία πνιιαπιαζηαζκνύ ησλ αξηζκώλ (217)10

=(D9)16 θαη (29)10=(1D)16 πνπ δίλεη απνηέιεζκα (6243)10=(1895)16.


σήμα: Πνιιαπιαζηαζκόο ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα

2.4.4 Γιαίπεζη

Ζ δηαίξεζε γίλεηαη ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα όπσο ζην δεθαδηθό. Τπνινγίδνπκε πόζεο θνξέο ρσξάεη

ν δηαηξέηεο ζηα πξώηα ςεθία ηνπ δηαηξεηένπ ππνινγίδνληαο έλα ςεθίν ηνπ πειίθνπ. ηε ζπλέρεηα

ππνινγίδνπκε ην γηλόκελν ηνπ δηαηξέηε κε ην ςεθίν ηνπ πειίθνπ πνπ ππνινγίζακε θαη ην αθαηξνύκε

από ηα ςεθία ηνπ δηαηξεηένπ. πλερίδνπκε „θαηεβάδνληαο‟ θάζε θνξά έλα ςεθίν ηνπ δηαηξεηένπ

κέρξη λα ηειεηώζνπλ ηα ςεθία ηνπ.

Γηα παξάδεηγκα, ζην επόκελν ρήκα θαίλεηαη ε δηαδηθαζία δηαίξεζεο ησλ αξηζκώλ (217)10=(D9)16

θαη (29)10=(1D)16. ηελ αξρή «δνθηκάδνπκε» πόζεο θνξέο ρσξάεη ην 1D ζην D9. Ο πνιιαπιαζηαζκόο

(ζην δεμηό κέξνο ηνπ ζρήκαηνο) καο δείρλεη όηη ρσξάεη 7 θνξέο. ηε ζπλέρεηα πνιιαπιαζηάδνπκε ην

1D επί 7 πνπ καο θάλεη CB ην νπνίν αθαηξνύκε από ην D9. Σν απνηέιεζκα είλαη 0E, πνπ είλαη

κηθξόηεξν από ην 1D, θαη ε δηαίξεζε έρεη νινθιεξσζεί. Δπνκέλσο ε δηαίξεζε καο δίλεη πειίθν

(7)10=(7)16 θαη ππόινηπν (14)10=(Δ)16.

D 9 1 D

7

1 D

x 7

C B- C B

0 E

σήμα: Γηαίξεζε ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα

D 9

x 1 D

5

D 9

x 1 D

B 0 5

+ D 9

1 8 9 5

D x 9 = 117 =

7 x 16 + 5

D x D + 7= 176 =

11 x 16 + 0

α=9

β=D

cin=0

s=5

cout=7

D 9

x 1 D

B 0 5

α=D

β=D

cin=7

s=0

cout=B

D 9

x 1 D

B 0 5

9

α=9

β=1

cin=0

s=9

cout=0

D 9

x 1 D

B 0 5

D 9

α=D

β=1

cin=0

s=D

cout=0


2.5 Αναπαπάζηαζη απιθμηηικών πληποθοπιών ζηον ςπολογιζηή

ηε ζπλέρεηα ζα πεξηγξάςνπκε πώο αλαπαξίζηαληαη αξηζκεηηθέο πιεξνθνξίεο, δειαδή αξηζκνί, ζηνλ

ππνινγηζηή. Όπσο γλσξίδνπκε, ζηνλ ππνινγηζηή νη αξηζκνί αλαπαξίζηαληαη ζε δπαδηθή κνξθή. ηε

ζπλέρεηα ζα αλαθεξζνύκε ζε πην εηδηθά ζέκαηα όπσο ην πώο αλαπαξίζηαληαη αξλεηηθνί αξηζκνί ζηνλ

ππνινγηζηή, θαζώο θαη πώο κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε θιαζκαηηθνύο αξηζκνύο

ρξεζηκνπνηώληαο ηελ αλαπαξάζηαζε ζηαζεξήο ππνδηαζηνιήο.

Όπσο γλσξίδνπκε, γηα λα κπνξέζνπκε λα απνζεθεύζνπκε ζηνλ ππνινγηζηή πιεξνθνξίεο από ηνλ

εμσηεξηθό θόζκν, πξέπεη λα ηηο κεηαηξέςνπκε ζε κνξθή ηελ νπνία λα κπνξεί λα „θαηαλνήζεη‟ ν

ππνινγηζηήο. Οη πιεξνθνξίεο πνπ ρξεζηκνπνηεί έλαο ππνινγηζηήο αλαπαξίζηαληαη ζην εζσηεξηθό ηνπ

θσδηθνπνηεκέλεο κε ηε βνήζεηα δπαδηθώλ ςεθίσλ (binary digits, bits). Έλα δπαδηθό ςεθίν κπνξεί λα

πάξεη κία από δύν ηηκέο, 0 ή 1. Οη πιεξνθνξίεο πνπ αλαπαξίζηαληαη ζηνλ ππνινγηζηή είλαη αξηζκνί,

ραξαθηήξεο, εληνιέο πξνο ηελ Κεληξηθή Μνλάδα Δπεμεξγαζίαο (ηνλ επεμεξγαζηή ηνπ ππνινγηζηή),

ήρνη θαη εηθόλεο (αθίλεηεο θαη θηλνύκελεο) θαη πιεξνθνξίεο πνπ εθθξάδνπλ ζπλερή κεγέζε (πρ. ηηκέο

ζεξκνθξαζίαο, ηαρύηεηαο, πίεζεο). ηε ζπλέρεηα ζα πεξηγξάςνπκε ζπλνπηηθά πώο θσδηθνπνηνύληαη

θαη αλαπαξίζηαληαη ζην εζσηεξηθό ηνπ ππνινγηζηή νη αξηζκνί.

Οη αξηζκνί αλαπαξίζηαληαη ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο. ην ζύζηεκα απηό ρξεζηκνπνηνύληαη

ηα ςεθία 0 θαη 1. Ο ρώξνο (πνζόηεηα κλήκεο) πνπ αθηεξώλνπκε γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ελόο

αξηζκνύ εμαξηάηαη από ην κήθνο ιέμεο (word length) ηνπ ππνινγηζηή. Σν κήθνο ιέμεο είλαη ζπλήζσο

πνιιαπιάζην ησλ 8 δπαδηθώλ ςεθίσλ. ηε κνλάδα απηή αλαθεξόκαζηε κε ηνλ όξν byte (1 byte=8

bit). Οη πην ζπλεζηζκέλεο ηηκέο γηα ην κέγεζνο ηεο ιέμεο είλαη 1, 2, 4, ή 8 bytes (8, 16, 32 ή 64

δπαδηθά ςεθία).

Πξηλ ζπλερίζνπκε, πξέπεη λα αλαθεξζεί όηη, όπσο αθξηβώο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο

κπνξνύκε, ρξεζηκνπνηώληαο n ςεθία, λα αλαπαξαζηήζνπκε 10n δηαθνξεηηθνύο αξηζκνύο (από ην

00...0 κέρξη θαη ην 99...9), έηζη αθξηβώο θαη ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο κπνξνύκε κε m δπαδηθά

ςεθία λα αλαπαξαζηήζνπκε 2m

δηαθνξεηηθνύο αξηζκνύο (από ην 00...0 εσο ην 11...1). Έηζη, γηα m=3,

κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηνπο 23=8 αξηζκνύο {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.

Ο ηξόπνο κε ηνλ νπνίν αλαπαξίζηαληαη νη αξηζκνί ζηνλ ππνινγηζηή δηαθέξεη αλάινγα κε ην ηη

αξηζκνύο ζέινπκε λα αλαπαξαζηήζνπκε. Πην ζπγθεθξηκέλα, δηαθξίλνπκε ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο:


αλ ζέινπκε λα αλαπαξαζηήζνπκε κόλν ζεηηθνύο ή ζεηηθνύο θαη αξλεηηθνύο αξηζκνύο

αλ ζέινπκε λα αλαπαξαζηήζνπκε αθέξαηνπο ή πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο (κε θιαζκαηηθό κέξνο)

Έηζη, αλ ζέινπκε λα αλαπαξαζηήζνπκε κόλν ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο, απιά θσδηθνπνηνύκε

ηνπο αξηζκνύο από ην δεθαδηθό ζύζηεκα ζηε δπαδηθή ηνπο αλαπαξάζηαζε όπσο έρνπκε ήδε δεη. Γηα

παξάδεηγκα, έζησ έλαο ππνινγηζηήο κε κήθνο ιέμεο 16 δπαδηθά ςεθία. Δθόζνλ κε 16 δπαδηθά ςεθία

κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε 216

= 65.536 δηαθνξεηηθνύο αξηζκνύο, κπνξνύκε λα

αλαπαξαζηήζνπκε ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο αξηζκνύο από ην 0 έσο θαη ην 65.535.

Παπάδειγμα: Να αλαπαξαζηαζεί ν αξηζκόο (54)10 (54 ζην δεθαδηθό ζύζηεκα) ζε ππνινγηζηή κε

κήθνο ιέμεο 8 δπαδηθά ςεθία.

Απάληεζε: Γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ ππνινγίδνπκε αξρηθά ηε δπαδηθή αλαπαξάζηαζε ε

νπνία είλαη 110110. ηε ζπλέρεηα, ζπκπιεξώλνπκε ηνλ αξηζκό από αξηζηεξά κε „0‟, θαη έηζη έρνπκε

ηελ αλαπαξάζηαζε ζε 8 δπαδηθά ςεθία: 00110110

Παπάδειγμα: Να αλαπαξαζηαζεί ν αξηζκόο (400)10 ζε ππνινγηζηή κε κήθνο ιέμεο 8 δπαδηθά ςεθία.

Απάληεζε: Ζ δπαδηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ (400)10 είλαη 110010000. Παξαηεξνύκε όηη γηα

ηελ παξάζηαζε απηή απαηηνύληαη 9 ςεθία, επνκέλσο δε κπνξεί λα παξαζηαζεί ζε ππνινγηζηή κε

κήθνο ιέμεο 8 δπαδηθώλ ςεθίσλ.

2.5.1 Αναπαπάζηαζη απνηηικών απιθμών

ηελ αλαπαξάζηαζε ησλ αξλεηηθώλ αθεξαίσλ αξηζκώλ ην πςειήο ηάμεο δπαδηθό ςεθίν ηνπ αξηζκνύ

ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα δείρλεη αλ ν αξηζκόο είλαη ζεηηθόο ή αξλεηηθόο. Έηζη, ν κεγαιύηεξνο ζεηηθόο

αξηζκόο πνπ κπνξνύκε λα παξαζηήζνπκε είλαη κηθξόηεξνο από όηη ζηελ πεξίπησζε πνπ

αλαπαξηζηάλνπκε κόλν ζεηηθνύο αξηζκνύο. Τπάξρνπλ ηξεηο ηξόπνη αλαπαξάζηαζεο αξλεηηθώλ

αξηζκώλ: ε παξάζηαζε κέηξνπ, ε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο έλα θαη ε παξάζηαζε

ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο δύν.

2.5.1.1 Αλαπαξάζηαζε πξνζεκαζκέλνπ κέηξνπ

ηελ αλαπαξάζηαζε πξνζεκαζκέλνπ κέηξνπ, ρξεζηκνπνηνύκε ην αξηζηεξόηεξν ςεθίν ζαλ έλδεημε ηνπ

πξόζεκνπ, θαη ηα ππόινηπα ςεθία γηα ην κέηξν ηνπ αξηζκνύ. Γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ κέηξνπ ηνπ

αξηζκνύ εξγαδόκαζηε όπσο ζηελ πεξίπησζε ησλ ζεηηθώλ αξηζκώλ.


Παπάδειγμα: Να αλαπαξαζηαζεί ν αξλεηηθόο αξηζκόο (-18)10 κε νθηώ δπαδηθά ςεθία κε

αλαπαξάζηαζε πξνζεκαζκέλνπ κέηξνπ.

Απάληεζε: ζα εξγαζηνύκε σο εμήο. Βξίζθνπκε ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ 18 κε νθηώ δπαδηθά

ςεθία (00010010)2. ηε ζπλέρεηα αληηζηξέθνπκε ην πξώην ςεθίν, πξνθεηκέλνπ λα δείμνπκε νηη ν

αξηζκόο είλαη αξλεηηθόο. Έηζη ε δεηνύκελε αλαπαξάζηαζε είλαη: 10010010.

Παπάδειγμα: Να παξαζηαζεί ν αξηζκόο (–200)10 ζε ππνινγηζηή κε κήθνο ιέμεο 8 bit.

Απάληεζε: Βξίζθνπκε ηε δπαδηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ πνπ είλαη 11001000. ην ζεκείν απηό

κπνξνύκε λα παξαηεξήζνπκε όηη ην πςειήο ηάμεο ςεθίν είλαη 1. Δπνκέλσο, δε κπνξνύκε λα

αληηζηξέςνπκε γηα λα δείμνπκε όηη ν αξηζκόο είλαη αξλεηηθόο. Με άιια ιόγηα, δε κπνξνύκε λα

παξαζηήζνπκε ηνλ αξλεηηθό αξηζκό (-200)10 κε νθηώ δπαδηθά ςεθία.

Παπάδειγμα: Πνηνλ αξηζκό αλαπαξηζηά ε πνζόηεηα 11001000 ζε ππνινγηζηή κήθνπο ιέμεο νθηώ

δπαδηθώλ ςεθίσλ ν νπνίνο κπνξεί λα παξαζηήζεη αξλεηηθνύο αξηζκνύο κε αλαπαξάζηαζε

πξνζεκαζκέλνπ κέηξνπ;

Απάληεζε: Δθόζνλ ην πςειήο ηάμεο ςεθίν ηνπ αξηζκνύ ρξεζηκνπνηείηαη σο ελδείθηεο πξόζεκνπ, ε

πνζόηεηα αλαπαξηζηά ηνλ αληίζεην ηνπ αξηζκνύ 01001000. Μεηαηξέπνληαο ηνλ αξηζκό απηό ζην

δεθαδηθό ζύζηεκα βξίζθνπκε όηη είλαη ν αξηζκόο (72)10. Δπνκέλσο ε αξρηθή πνζόηεηα είλαη ε

αλαπαξάζηαζε ηνπ αξηζκνύ (-72)10.

2.5.1.2 Αλαπαξάζηαζε Σπκπιεξώκαηνο ωο πξνο 1

ηελ αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1, γηα λα αλαπαξαζηήζνπκε έλαλ αξλεηηθό αξηζκό

μεθηλάκε από ηνλ αληίζηνηρν ζεηηθό αξηζκό θαη αληηζηξέθνπκε όια ηα ςεθία ηνπ.

Έηζη, γηα λα αλαπαξαζηήζνπκε ηνλ αξηζκό –18 κε αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1,

μεθηλάκε από ηελ παξάζηαζε ηνπ ζεηηθνύ αξηζκνύ 00010010 θαη αληηζηξέθνληαο ηα ςεθία

βξίζθνπκε ηελ παξάζηαζε 11101101.


2.5.1.3 Αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο ωο πξνο 2

ηελ αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2, μεθηλάκε από ηελ αλαξάζηαζε ηνπ αληίζηνηρνπ

ζεηηθνύ αξηζκνύ, αληηζηξέθνπκε όια ηα ςεθία ηνπ θαη ζηε ζπλέρεηα πξνζζέηνπκε ην „1‟ ζην

ρακειόηεξεο ηάμεο (δεμηόηεξν) ςεθίν ηνπ αξηζκνύ.

Έηζη, γηα λα αλπαξαζηήζνπκε ηνλ αξηζκό –18 κε αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2,

μεθηλάκε από ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ ζεηηθνύ αξηζκνύ 00010010. Αληηζηξέθνληαο ηα ςεθία

βξίζθνπκε ηελ αλαπαξάζηαζε 11101101. ηε ζπλέρεηα, πξνζζέηνληαο ην 1, βξίζθνπκε ηελ

αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 πνπ είλαη ε 11101110.

Αμίδεη λα παξαηεξήζεη θαλείο, όηη θαη ζηνπο ηξεηο ηξόπνπο αλαπαξάζηαζεο ησλ αξλεηηθώλ αξηζκώλ

πνπ αλαθέξζεθαλ, ην αξηζηεξόηεξν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ δείρλεη αλ ν αξηζκόο είλαη ζεηηθόο ή

αξλεηηθόο. Έηζη, αλ ην ςεθίν είλαη „1‟, κπνξεί θαλείο λα ζπκπεξάλεη όηη ν αξηζκόο είλαη αξλεηηθόο.

Πξέπεη ζην ζεκείν απηό λα αλαθεξζεί όηη ε αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 έρεη

επηθξαηήζεη, ζηελ πξάμε, έλαληη ησλ άιισλ δύν ηερληθώλ αλαπαξάζηαζεο (ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο

1 θαη πξνζεκαζκέλνπ κέηξνπ). Ο ζεκαληηθόηεξνο ιόγνο γη απηό, είλαη ην γεγνλόο όηη ζηελ

αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 ην „0‟ έρεη κηα θαη κνλαδηθή αλαπαξάζηαζε, ελώ ζηηο

άιιεο δύν ηερληθέο κπνξεί λα αλαπαξαζηαζεί κε δύν δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο („-0‟ θαη „+0‟). Απηό

έρεη σο απνηέιεζκα ηα θπθιώκαηα ηνπ ππινγηζηή λα ρξεηάδεηαη λα ειέγμνπλ δύν πεξηπηώζεηο γηα λα

ειέγμνπλ αλ έλαο αξηζκόο είλαη „0‟ (κηα πνιύ ζπλεζηζκέλε πεξίπησζε ζηηο πξάμεηο) κε απνηέιεζκα ν

ζρεδηαζκόο ησλ ππνινγηζηώλ λα γίλεηαη πην πεξίπινθνο. Γηα παξάδεηγκα, ζηνλ αθόινπζν πίλαθα

δίλνπκε, γηα ηελ πεξίπησζε πνπ ε ιέμε πνπ ρξεζηκνπνηνύκε απνηειείηαη από 3 δπαδηθά ςεθία, ζε

πνην αθέξαην αξηζκό αληηζηνηρεί θάζε κία από ηηο παξαζηάζεηο 000 … 111 γηα θάζε κία από ηηο ηξεηο

ηερληθέο αλαπαξάζηαζεο. Από ηνλ Πίλαθα θαίλεηαη όηη κε ηελ αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο

πξνο 2 έρνπκε κηα αλαπαξάζηαζε ηνπ „0‟, ελώ κε ηηο άιιεο ηερληθέο έρνπκε από 2 αλαπαξαζηάζεηο

Αλαπαξάζηαζε

Πξνζεκαζκέλνπ

Μέηξνπ


πκπιεξώκαηνο

σο πξνο 1


πκπιεξώκαηνο

σο πξνο 2

000 0 0 0

001 1 1 1

010 2 2 2


011 3 3 3

100 -0 -3 -4

101 -1 -2 -3

110 -2 -1 -2

111 -3 -0 -1

Πίνακαρ: Αληηζηνίρηζε ησλ ζπλδπαζκώλ δπαδηθώλ ςεθίσλ γηα 3 bit, γηα ηηο δηαθνξεηηθέο

αλαπαξαζηάζεηο αξλεηηθώλ αξηζκώλ.

Αμίδεη, αθόκε, λα αλαθεξζεί όηη κε ηε ρξήζε ηεο αλαπαξάζηαζεο ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 γίλεηαη

απινύζηεξε ε πξόζζεζε κεηαμύ ζεηηθνύ θαη αξλεηηθνύ ή κεηαμύ αξλεηηθώλ αξηζκώλ. ηελ

πεξίπησζε απηή, πξνζζέηνπκε ζηνλ όπσο θαίλεηαη ζην αθόινπζν παξάδεηγκα.

Παπάδειγμα: Να εθηειεζηεί ε πξάμε 2 + (-3) ζε ππνινγηζηή κε κήθνο ιέμεο 4 δπαδηθά ςεθία

ζεσξώληαο όηη νη αξεηηθνί αξηζκνί αλαπαξίζηαληαη κε ηε κζνδν ηνπ ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2.

Γηα λα εθηειέζνπκε ηελ πξόζζεζε απηή, αλαπαξηζηνύκε ηνπο αξηζκνύο κε ηέζζεξα δπαδηθά ςεθία

ρξεζηκνπνηώληαο ηελ κέζνδν ηνπ ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 γηα ηνλ αξλεηηθό αξηζκό.

(2)10 0010

(3)10 0011

(-3)10 κε αλαπαξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2

1101

Ζ πξάμε ηεο πξόζζεζεο:

0 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1 Απνηέιεζκα

Σν απνηέιεζκα είλαη 1111. Δθόζνλ ππάξρεη „1‟ ζηελ πην ζεκαληηθή ζέζε, ν αξηζκόο είλαη αξλεηηθόο,

άξα γηα λα βξνύκε ην κέηξν ηνπ ηνλ ζπκπιεξώλνπκε σο πξνο 2 (γίλεηαη 0001) πνπ ηζνύηαη κε 1, άξα

ηειηθά ν αξηζκόο είλαη ην -1, ην αλακελόκελν απνηέιεζκα ηεο πξάμεο 2 + (-3).

2.5.2 Αναπαπάζηαζη ππαγμαηικών απιθμών

Γηα λα αλαπαξαζηήζνπκε κε αθέξαηνπο αξηζκνύο (αξηζκνύο κε θιαζκαηηθό κέξνο) κπνξνύκε λα

ρξεζηκνπνηήζνπκε κηα από δύν ηερληθέο: ηελ παξάζηαζε ζηαζεξήο ππνδηαζηνιήο θαη ηελ παξάζηαζε


θηλεηήο ππνδηαζηνιήο. ηε ζπλέρεηα ζα πεξηγξάςνπκε ηελ ηερληθή ηεο αλαπαξάζηαζεο ζηαζεξήο

ππνδηαζηνιήο

2.5.2.1 Αλαπαξάζηαζε ζηαζεξήο ππνδηαζηνιήο

ηελ αλαπαξάζηαζε ζηαζεξήο ππνδηαζηνιήο αθηεξώλνπκε έλα ηκήκα ηεο ιέμεο ηνπ ππνινγηζηή γηα

ηελ αλαπαξάζηαζε ηνπ δεθαδηθνύ κέξνπο ηνπ αξηζκνύ. Ζ ηερληθή απηή πξνθαλώο κεηώλεη ην κέγεζνο

ησλ αξηζκώλ πνπ κπνξνύλ λα αλαπαξαζηαζνύλ.

Παπάδειγμα: Να αλαπαξαζηαζεί ν δπαδηθόο αξηζκόο (1001,11) ζε ππνινγηζηή κε κήθνο ιέμεο νθηώ

δπαδηθά ςεθία ζηνλ νπνίν ηα ηξία (δεμηόηεξα) ςεθία αθηεξώλνληαη ζηελ παξάζηαζε ηνπ

θιαζκαηηθνύ κέξνπο.

Απάληεζε: Αθνύ ηα ηξία δεμηόηεξα δπαδηθά ςεθία είλαη αθηεξσκέλα ζην θιαζκαηηθό κέξνο, ε

κνξθή πνπ ζα έρεη ε ιέμε ηνπ ππνινγηζηή είλαη ε αθόινπζε:

αθέξαην κέξνο θιαζκαηηθό κέξνο

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 bo

Σα ςεθία b7-b3 αθηεξώλνληαη ζην αθέξαην κέξνο ελώ ηα ςεθία b2-b0 ζην θιαζκαηηθό κέξνο. Ζ

ζέζε ηεο ππνδηαζηνιήο είλαη κεηαμύ ησλ ςεθίσλ b3 θαη b2. Σνπνζεηνύκε ηνλ αξηζκό «γύξσ» από

ηελ ππνδηαζηνιή θαη ζπκπιεξώλνπκε κε κεδεληθά ζηα αξηζηεξά θαη δεμηά ηνπ.


1 0 0 1 1 1

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 bo


0 1 0 0 1 1 1 0

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 bo

Έηζη έρνπκε ηελ ηειηθή κνξθή ηνπ αξηζκνύ 01001110.

Αμίδεη λα ζεκεησζεί όηη αλ είρακε πηνζεηήζεη δηαθνξεηηθή ζύκβαζε ζρεηηθά κε ην πιήζνο ησλ

ςεθίσλ πνπ ζα αθηεξώλακε ζην θιαζκαηηθό κέξνο, ζα είρακε δηαθνξεηηθό απνηέιεζκα. Έηζη, αλ


είρακε ζπκθσλήζεη όηη ζέινπκε λα αθηεξώζνπκε δύν ςεθία γηα ην θιαζκαηηθό κέξνο, ε κνξθή ηνπ

ίδηνπ αξηζκνύ ζα ήηαλ: 00100111, όπσο θαίλεηαη ζην αθόινπζν ρήκα.


0 0 1 0 0 1 1 1

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 bo

Παπάδειγμα: Να παξαζηαζεί ν αξηζκόο (-3,5)10 παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2 ζε

ππνινγηζηή κε κήθνο ιέμεο νθηώ δπαδηθά ςεθία ζηνλ νπνίν ηα ηξία (δεμηόηεξα) ςεθία αθηεξώλνληαη

ζηελ παξάζηαζε ηνπ θιαζκαηηθνύ κέξνπο.

Απάληεζε: Γηα λα κπνξέζνπκε λα παξαζηήζνπκε ηνλ αξηζκό, ζα πξέπεη λα κεηαηξέςνπκε ην (3,5)10

ζε δπαδηθή κνξθή, πνπ είλαη ε 11,1. Ζ παξάζηαζε ηνπ 11,1 ζηε κνξθή απηή, ζύκθσλα κε ην

πξνεγνύκελν παξάδεηγκα, είλαη:


0 0 0 1 1 1 0 0

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 bo

Γηα ηελ παξάζηαζε ηνπ αξλεηηθνύ αξηζκνύ κε ζπκπιήξσκα σο πξνο 2, όπσο πεξηγξάςακε ζηελ

παξάγξαθν 2.5.1.3, αληηζηξέθνπκε ηα ςεθία ηνπ αξηζκνύ.

1 1 1 0 0 0 1 1

ηε ζπλέρεηα πξνζζέηνπκε ην ςεθίν „1‟ ζην δεμηόηεξν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ, θαη θαηαιήγνπκε ζηελ

αθόινπζε κνξθή:

1 1 1 0 0 1 0 0

επνκέλσο ν αξηζκόο (-3,5)10 παξίζηαηαη, κε βάζε ηηο πξνδηαγξαθέο πνπ δίλνληαη, ζηε κνξθή

11100,100


2.6 Διζαγωγή ζηα λογικά κςκλώμαηα

2.6.1 Άλγεβπα Boole

Ζ δίηηκε άιγεβξα Boole είλαη έλα αιγεβξηθό ζύζηεκα ην νπνίν πεξηιακβάλεη δύν ζηνηρεία (ηα νπνία

ζπκβνιίδνπκε ζπλήζσο κε „0‟ θαη „1‟) θαη ηξεηο ηειεζηέο, ηνπο νπνίνπο ζπκβνιίδνπκε κε

+ (OR, Ζ)

. (AND, ΚΑΗ)

~ (NOT, ΟΥΗ)

πρλά, αληί γηα ην ζύκβνιν ~ ρξεζηκνπνηνύκε ην ζύκβνιν „, ή κηα παύια πάλσ από ηε κεηαβιεηή

(~x = x‟ = x ), ελώ ην ζύκβνιν . ζπρλά ην παξαιείπνπκε (ζπκβνιίδνληαο ηελ πξάμε ΚΑΗ σο x

.y ή

απιά xy). Οη θαλόλεο γηα ηνπο ηειεζηέο απηνύο νξίδνληαη ζύκθσλα κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα.

x y x+y x y x.y x ~x

0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Πίνακαρ: Σειεζηέο ηεο δίηηκεο άιγεβξαο Boole

Οη κεηαβιεηέο ηεο άιγεβξαο Boole κπνξνύλ λα πάξνπλ δύν ηηκέο „0‟ ή „1‟.

Σσναρτήσεις Boole

Μηα ζπλάξηεζε Boole είλαη κηα έθθξαζε πνπ ζρεκαηίδεηαη από δπαδηθέο κεηαβιεηέο, ηνπο ηειεζηέο

Ζ, ΚΑΗ, ΟΥΗ θαη παξελζέζεηο. Γηα κηα δεδνκέλε ηηκή ησλ κεηαβιεηώλ ε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο κπνξεί

λα είλαη είηε „0‟ είηε „1‟. Μηα ζπλάξηεζε Boole κπνξεί λα νξηζηεί είηε κε ηνλ ηύπν ηεο, είηε κε ηνλ

πίλαθα αιεζείαο ηεο. Γηα παξάδεηγκα, ε ζπλάξηεζε

F= xyz + xyz’

Παίξλεη ηελ ηηκή „1‟ είηε όηαλ x=y=z=1 είηε όηαλ x=y=1, θαη z=0.

Ο πίλαθαο αιεζείαο ηεο ζπλάξηεζεο F δίλεηαη ζηε ζπλέρεηα.


x y z F

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Πίνακαρ: Πίλαθαο αιεζείαο ηεο ζπλάξηεζεο F = xyz + xyz‟

2.6.2 Λογικέρ Πύλερ

Μηα ινγηθή πύιε πινπνηεί κηα ινγηθή πξάμε Boole θαη κπνξεί λα έρεη κία, δύν ή πεξηζζόηεξεο

εηζόδνπο θαη κία έμνδν.

Κάζε ινγηθή πύιε έρεη έλα ζύκβνιν θαη έλαλ πίλαθα αιεζείαο. Ο πίλαθαο αιεζείαο δείρλεη ηελ ηηκή

ηεο εμόδνπ γηα ηηο δηαθνξεηηθέο ηηκέο ησλ εηζόδσλ. Οη ινγηθέο πύιεο ρξεζηκνπνηνύληαη αθόκε ζηελ

πινπνίεζε ησλ άιισλ κνλάδσλ (απνθσδηθνπνηεηώλ πνιππιεθηώλ, αζξνηζηώλ, θ.ιπ.) πνπ ζα

πεξηγξαθνύλ ζηε ζπλέρεηα.

Οη πην γλσζηέο ινγηθέο πξάμεηο είλαη ε ζύδεπμε (AND), ε δηάδεπμε (OR) θαη ε άξλεζε (NOT). Οη

πξάμεηο απηέο πινπνηνύληαη κε ηηο ινγηθέο πύιεο AND, OR θαη NOT αληίζηνηρα. Αθόκε, πνιύ ζπρλά

ρξεζηκνπνηνύληαη νη πύιεο NAND θαη NOR, νη νπνίεο εθηεινύλ ηηο αληίζηξνθεο ινγηθέο πξάμεηο από

ηηο AND θαη OR αληίζηνηρα, θαζώο θαη νη πύιεο ηεο απνθιεηζηηθήο δηάδεπμεο (ΥΟR) θαη ηεο

άξλεζήο ηεο (XNOR).

Πύιε NOT

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο άξλεζεο έρεη κηα κεηαβιεηή εηζόδνπ θαη κία έμνδν ηεο νπνίαο ε ηηκή είλαη „1‟ αλ

ε είζνδνο είλαη „0‟, δηαθνξεηηθά ην απνηέιεζκα είλαη „0‟. ην επόκελν ρήκα παξνπζηάδνπκε ην

ινγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο ΝΟΣ, θαζώο θαη ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηεο.

α x

0

1

1

0

α x

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο ΝΟΣ θαη πίλαθαο αιεζείαο


πρλά, ζηελ πινπνίεζε ινγηθώλ ζπλαξηήζεσλ, αληί γηα ην ζύκβνιν ηεο πύιεο NOT ρξεζηκνπνηνύκε

γηα απιόηεηα έλα θπθιάθη.

Πύιε AND

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο ζύδεπμεο έρεη δύν (ή πεξηζζόηεξνπο) ηειεζηαίνπο θαη κηα έμνδν ε ηηκή ηεο

νπνίαο είλαη „1‟ αλ όια ηα δεδνκέλα είλαη „1‟. ε θάζε άιιε πεξίπησζε, ην απνηέιεζκα είλαη „0‟. Ζ

πξάμε απηή πινπνηείηαη κε ηελ πύιε AND. ην επόκελν ρήκα παξνπζηάδνπκε ην ινγηθό ζύκβνιν

ηεο πύιεο AND δύν εηζόδσλ, θαζώο θαη ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηεο.

α β x

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

α

βx

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο AND θαη πίλαθαο αιεζείαο

Πύιε OR

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο δηάδεπμεο έρεη δύν (ή πεξηζζόηεξνπο) ηειεζηαίνπο θαη κία έμνδν, ε ηηκή ηεο

νπνίαο είλαη „0‟ αλ όια ηα δεδνκέλα είλαη „0‟. ε θάζε άιιε πεξίπησζε, ε ηηκή ηεο εμόδνπ είλαη „1‟.

Ζ πξάμε απηή πινπνηείηαη κε ηελ πύιε OR. ην επόκελν ρήκα παξνπζηάδνπκε ην ινγηθό ζύκβνιν

ηεο πύιεο OR δύν εηζόδσλ, θαζώο θαη ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηεο.

α β x

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

α

βx

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο OR θαη πίλαθαο αιεζείαο


Πύιε NAND

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο άξλεζεο ηεο ζύδεπμεο έρεη δύν (ή πεξηζζόηεξνπο) ηειεζηέο θαη έλα απνηέιεζκα

ην νπνίν είλαη „0‟ αλ όια ηα δεδνκέλα είλαη „1‟. ε θάζε άιιε πεξίπησζε, ην απνηέιεζκα είλαη „1‟. Ζ

πξάμε απηή πινπνηείηαη κε ηελ πύιε NAND. Ζ πύιε NAND πξνθύπηεη από ηελ αληηζηξνθή ηεο

εμόδνπ κηαο πύιεο AND. ην επόκελν ρήκα παξνπζηάδνπκε ην ινγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο ΝAND

δύν εηζόδσλ, θαζώο θαη ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηεο.

α β x

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

α

βx

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο ΝAND θαη πίλαθαο αιεζείαο

Πύιε ΝOR

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο άξλεζεο ηεο δηάδεπμεο έρεη δύν (ή πεξηζζόηεξνπο) ηειεζηέο θαη έλα απνηέιεζκα

ην νπνίν είλαη „1‟ αλ όια ηα δεδνκέλα είλαη „0‟. ε θάζε άιιε πεξίπησζε, ην απνηέιεζκα είλαη „1‟. Ζ

πύιε NOR πξνθύπηεη από ηελ αληηζηξνθή ηεο εμόδνπ κηαο πύιεο OR. ην επόκελν ρήκα

παξνπζηάδνπκε ην ινγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο ΝOR δύν εηζόδσλ, θαζώο θαη ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηεο.

α β x

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

α

βx

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο ΝOR θαη πίλαθαο αιεζείαο

Πύιε ΥOR

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο απνθιεηζηηθήο δηάδεπμεο κε δύν ηειεζηαίνπο έρεη έμνδν κε ηηκή „1‟ αλ νη δύν

ηειεζηαίνη έρνπλ δηαθνξεηηθή ηηκή θαη „0‟ δηαθνξεηηθά. Ζ πξάμε απηή πινπνηείηαη κε ηελ πύιε XOR.

ην επόκελν ρήκα παξνπζηάδνπκε ην ινγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο XOR δύν εηζόδσλ, θαζώο θαη ηνλ

πίλαθα αιεζείαο ηεο.


α β x

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

α

βx

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο XOR θαη πίλαθαο αιεζείαο

πλήζσο, ε ινγηθή πξάμε ηεο απνθιεηζηηθήο δηάδεπμεο ζπκβνιίδεηαη κε ην , δειαδή x=ab.

Πύιε ΥNOR

Ζ ινγηθή πξάμε ηεο άξλεζεο ηεο απνθιεηζηηθήο δηάδεπμεο κε δύν ηειεζηαίνπο έρεη απνηέιεζκα „0‟

αλ νη δύν ηειεζηαίνη έρνπλ δηαθνξεηηθή ηηκή θαη „1‟ δηαθνξεηηθά. Ζ πξάμε απηή πινπνηείηαη κε ηελ

πύιε XNOR. ην επόκελν ρήκα παξνπζηάδνπκε ην ινγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο XNOR δύν εηζόδσλ,

θαζώο θαη ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηεο.

α β x

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

α

βx

σήμα: Λνγηθό ζύκβνιν ηεο πύιεο XΝOR θαη πίλαθαο αιεζείαο

2.6.3 Πύλερ με πεπιζζόηεπερ από δύο ειζόδοςρ

Οη πύιεο AND, OR, NAND, NOR, XOR θαη XNOR κπνξνύλ λα έρνπλ πεξηζζόηεξεο από δύν

εηζόδνπο. ηελ πεξίπησζε απηή, ε έμνδνο πξνζδηνξίδεηαη κε παξόκνην ηξόπν κε εθείλν πνπ γίλεηαη

ζηελ πεξίπησζε ησλ ππιώλ κε δύν εηζόδνπο. Γηα παξάδεηγκα, ν αθόινπζνο πίλαθαο δίλεη ηελ ηηκή ηεο

εμόδνπ γηα θάζε κία από ηηο πύιεο απηέο, ζηελ πεξίζησζε πνπ έρνπκε ηξεηο εηζόδνπο (ηηο νπνίεο

νλνκάδνπκε A, B, C).

Α Β C AND OR NAND NOR XOR XNOR

0 0 0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0 1


1 0 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 1 0 0 1 0

Αμίδεη λα ζεκεησζεί όηη ε έμνδνο κίαο πύιεο XOR κε πεξηζζόηεξεο από δύν εηζόδνπο είλαη „1‟ όηαλ

ην πιήζνο ησλ „1‟ ζηηο εηζόδνπο ηεο είλαη πεξηηηό, ελώ είλαη „0‟ ζε δηαθνξεηηθή πεξίπησζε. Έηζη, γηα

ηνπο ζπλδπαζκνύο εηζόδσλ 001, 010, 100, 111 πνπ ην πιήζνο ησλ „1‟ είλαη πεξηηηό (1 ή 3) ε ηηκή

ηεο εμόδνπ είλαη „1‟, ελώ γηα ηνπο ζπλδπαζκνύο εηζόδσλ 000, 011, 101, 110 πνπ ην πιήζνο ησλ „1‟

είλαη άξηην (0 ή 2) ε ηηκή ηεο εμόδνπ είλαη 0.

2.6.4 Τλοποίηζη λογικήρ ζςνάπηηζηρ όηαν δίνεηαι ο πίνακαρ αληθείαρ ηηρ

Όηαλ καο δίλεηαη ν πίλαθαο αιεζείαο (truth table) ελόο θπθιώκαηνο θαη καο δεηείηαη ην αληίζηνηρν

ινγηθό θύθισκα, εξγαδόκαζηε σο εμήο: Δληνπίδνπκε ηηο γξακκέο ηνπ πίλαθα αιεζείαο ζηηο νπνίεο ε

έμνδνο έρεη ηελ ηηκή „1‟ θαη γηα θάζε ηέηνηα γξακκή ρξεζηκνπνηνύκε κία πύιε AND ηόζσλ εηζόδσλ

όζεο νη είζνδνη ηνπ θπθιώκαηνο. Κάζε είζνδνο ηεο πύιεο είλαη ε αληίζηνηρε είζνδνο ηνπ πίλαθα

αιεζείαο ηνπ θπθιώκαηνο, κε ηε δηαθνξά όηη αλ ε ηηκή ηεο ζηε ζπγθεθξηκέλε γξακκή είλαη 0, ηόηε

ηελ αληηζηξέθνπκε πξηλ ηελ είζνδν ζηελ πύιε. Οπζηαζηηθά, ρξεζηκνπνηνύκε ηόζεο πύιεο AND, όζεο

θαη νη γξακκέο ηνπ πίλαθα αιεζείαο πνπ ε έμνδνο έρεη ηελ ηηκή „1‟, θαη θάζε κία από απηέο έρεη ηόζεο

εηζόδνπο, όζεο είλαη νη είζνδνη ηνπ θπθιώκαηνο. Σέινο, ρξεζηκνπνηνύκε κία πύιε OR ε νπνία

παίξλεη σο εηζόδνπο ηηο εμόδνπο ησλ ππιώλ AND. Γηα παξάδεηγκα, ν πίλαθαο αιεζείαο,

Α Β Out

#1 0 0 0

#2 0 1 1

#3 1 0 1

#4 1 1 0

Τινπνηείηαη από ην αθόινπζν θύθισκα:


ην παξαπάλσ θύθισκα ε πάλσ πύιε AND (πνπ ζεκεηώλεηαη κε #2) αληηζηνηρεί ζηελ γξακκή #2 ηνπ

πίλαθα αιεζείαο, ελώ ε θάησ πύιε AND (πνπ ζεκεηώλεηαη κε #3) αληηζηνηρεί ζηε γξακκή #3 ηνπ

πίλαθα.

Παπάδειγμα: Γίλεηαη ην παξαθάησ ινγηθό θύθισκα (ε πύιε κε έμνδν Μ είλαη πύιε NOR):

(α) πκπιεξώζηε ηνλ πίλαθα αιήζεηαο ηνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο, ζπκπεξηιακβάλνληαο θαη ηηο

ελδηάκεζεο ηηκέο K, L, M θαη Ν.

(β) Πνηα είλαη ε ινγηθή ζπλάξηεζε πνπ πινπνηεί ην θύθισκα;

Απάληεζε:

α) Πίλαθαο αιεζείαο ηνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο:

A B C K

NOT(A)

M

K NOR B

L

NOT(B)

N

L XOR C

F

M AND N

0 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 0

K M

L N

A

B

C

F


β) Ζ ινγηθή ζπλάξηεζε κπνξεί λα εθθξαζηεί είηε βάζεη ηνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο είηε βάζεη ηνπ

πίλαθα αιεζείαο.

Ζ ινγηθή ζπλάξηεζε βάζεη ηνπ θπθιώκαηνο είλαη:

F=(NOT (NOT(A) OR B)) AND (NOT(B) XOR C) ή πην απιά: F=(A' NOR B) AND (B' XOR C)

Ζ ινγηθή ζπλάξηεζε κπνξεί λα εθθξαζηεί θαη βάζεη ηνπ πίλαθα αιεζείαο. Ζ κόλε πεξίπησζε πνπ

ππάξρεη έμνδνο F=1 είλαη όηαλ A=1, B=0 θαη C=0. Δπνκέλσο, ε F κπνξεί λα εθθξαζηεί θαη σο:

F = A AND (NOT (B)) AND (NOT (C)) ή πην απιά: F = A AND B' AND C'

Οη δύν εθθξάζεηο είλαη ηζνδύλακεο θαη εμίζνπ νξζέο.


2.6.5 ηοισειώδειρ μονάδερ άθποιζηρ

Όπσο αλαθέξακε, κηα από ηηο πην ζεκαληηθέο ιεηηνπξγίεο πνπ εθηεινύλ ηα ππνινγηζηηθά ζπζηήκαηα

είλαη νη αξηζκεηηθέο πξάμεηο. Οη πην ζεκαληηθέο πξάμεηο, πάλσ ζηηο νπνίεο ζηεξίδνληαη νη ππόινηπεο,

είλαη ε πξόζζεζε θαη ε αθαίξεζε. Γηα ηελ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ απηώλ ρξεζηκνπνηνύληαη νη

αζξνηζηέο θαη νη αθαηξέηεο.

2.6.5.1 Αζξνηζηέο

Όπσο αλαθέξακε, γηα ηελ πξόζζεζε δύν δπαδηθώλ ςεθίσλ ππάξρνπλ ηέζεξηο δπλαηέο πεξηπηώζεηο:

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10. Οη ηξεηο πξώηεο πξάμεηο δεκηνπξγνύλ έλα άζξνηζκα πνπ απνηειείηαη

από έλα ςεθίν. Όηαλ θαη νη δύν πξνζεηένη είλαη 1, ην δπαδηθό άζξνηζκα απνηειείηαη από δύν ςεθία.

Σν πην ζεκαληηθό από απηά ηα δύν ςεθία νλνκάδεηαη „θξαηνύκελν‟. Όηαλ νη πξνζζεηένη πεξηέρνπλ

θαη άιια ζεκαληηθά ςεθία, ην θξαηνύκελν πνπ βγαίλεη από ηελ πξόζζεζε πξνζηίζεηαη ζην επόκελν

κεγαιύηεξεο ζεκαληηθόηεηαο δεπγάξη δπαδηθώλ ςεθίσλ. Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα πνπ εθηειεί ηελ

πξόζζεζε δπν δπαδηθώλ ςεθίσλ ιέγεηαη „εκηαζξνηζηήο‟. Δλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα πνπ εθηειεί ηελ

πξόζζεζε ηξηώλ δπαδηθώλ ςεθίσλ (δύν ζεκαληηθώλ ςεθίσλ θαη ελόο πξνεγνύκελνπ θξαηνύκελνπ)

ιέγεηαη „πιήξεο αζξνηζηήο‟. Σν όλνκα ηνπ εκηαζξνηζηή πξνέξρεηαη από ην γεγνλόο νηη δύν

εκηαζξνηζηέο κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα λα πινπνηήζνπλ έλαλ πιήξε αζξνηζηή, όπσο ζα

δνύκε ζηε ζπλέρεηα.

2.6.5.2 Ηκηαζξνηζηήο

ύκθσλα κε ηα πξνεγνύκελα, ν εκηαζξνηζηήο είλαη έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα κε δύν εμόδνπο, x θαη

y, θαη δύν εμόδνπο s (sum, άζξνηζκα) θαη C (Carry, θξαηνύκελν), ηνπ νπνίνπ ν πίλαθαο αιεζείαο

δίλεηαη ζηε ζπλέρεηα.

x y s C

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

Πiνακαρ: Πίλαθαο αιεζείαο εκηαζξνηζηή

Δίλαη δπλαηό λα εμάγνπκε ηηο ζπλαξηήζεηο Boole από ηνλ πίλαθα αιεζείαο νη νπνίεο είλαη νη

αθόινπζεο.


S=x‟y + x y‟ = x y

C=xy

Οπσο έρνπκε δεη, ε ζπλάξηεζε x‟y + xy‟ είλαη ε πύιε XOR. Σν ινγηθό δηάγξακκα ηεο πινπνίεζεο

απηήο ρξεζηκνπνηώληαο πύιεο AND θαη XOR θαίλεηαη ζην αθόινπζν ρήκα:

x

yC

S

σήμα: Ζκηαζξνηζηήο

2.6.5.3 Πιήξεο Αζξνηζηήο

Ο πιήξεο αζξνηζηήο είλαη έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα πνπ ζρεκαηίδεη ην άζξνηζκα ηξηώλ δπαδηθώλ

ςεθίσλ εηζόδνπ. Δρεη ηξεηο εηζόδνπο θαη δύν εμόδνπο. Οη δύν από ηηο κεηαβιεηέο εηζόδνπ

παξηζηάλνπλ ηα δύν ζεκαληηθά ςεθία πνπ πξνζηίζεληαη. Ζ ηξίηε είζνδνο παξηζηάλεη ην θξαηνύκελν

από ηε ιηγόηεξν ζεκαληηθή βαζκίδα. Ο πίλαθαο αιεζείαο ηνπ πιήξνπο αζξνηζηή δίλεηαη ζηε

ζπλέρεηα:

z x y s C

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Πίνακαρ: Πίλαθαο αιεζείαο πιήξνπο αζξνηζηή

Μπνξνύκε, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα αιεζείαο, λα εμάγνπκε ηηο αθόινπζεο απινπνηεκέλεο

ζπλαξηήζεηο γηα ηηο ζπλαξηήζεηο S θαη C ηνπ πιήξνπο αζξνηζηή.

S=x‟y‟z + x‟yz‟ + xy‟z‟ + xyz

C=xyz‟ + x‟yz + xy‟z + xyz


Έηζη, κπνξνύκε λα δώζνπκε ηελ αθόινπζε πινπνίεζε γηα ην θύθισκα ηνπ πιήξνπο αζξνηζηή.

σήμα: Πιήξεο αζξνηζηήο

Πξνθεηκέλνπ λα πξνζζέζνπκε δπαδηθνύο αξηζκνύο πνπ απνηεινύληαη από πεξηζζόηεξα ηνπ ελόο

ςεθία, ρξεζηκνπνηνύκε πεξηζζόηεξνπο από έλαλ πιήξεηο αζξνηζηέο. Κάζε πιήξεο αζξνηζηήο

αληηζηνηρεί ζε έλα ςεθίν αζξνίζκαηνο, θαη ην θξαηνύκελν εμόδνπ θάζε αζξνηζηή ζπλδέεηαη ζην

θξαηνύκελν εηζόδνπ ηνπ αζξνηζηή πνπ αληηζηνηρεί ζηελ επόκελε βαζκίδα. Γηα παξάδεηγκα, ζην

επόκελν ρήκα παξνπζηάδεηαη έλαο ηέηνηνο αζξνηζηήο ηεζζάξσλ βαζκίδσλ. Ο αζξνηζηήο απηόο

πξνζζέηεη ηνπο ηεηξαςήθηνπο δπαδηθνύο αξηζκνύο A3A2A1A0 θαη Β3Β2Β1Β0 θαη δίλεη ζαλ

απνηέιεζκα ηνλ πεληαςήθην δπαδηθό αξηζκό S4S3S2S1S0.

Α0Β0Α1Β1Α2Β2Α3Β3

S0S1S2S3

CoutCoutCoutCout Cin Cin Cin Cin0

S4

σήμα: Αζξνηζηήο 4 δπαδηθώλ ςεθίσλ

xyz

xyz

xyz

yz

x

S

xyz

xyz

xyz

yz

x

C


3. Αζκήζειρ ζηιρ μεηαηποπέρ μεηαξύ ζςζηημάηων απίθμηζηρ

3.1 Μεηαηποπή απιθμών από άλλα ζςζηήμαηα ζηο δεκαδικό

Δκπαιδεςηικόρ ζηόσορ

Ο ζηόρνο ησλ αζθήζεσλ πνπ αθνινπζνύλ είλαη λα θαηαλνήζνπλ νη θνηηεηέο ηνλ ηξόπν πνπ γίλεηαη ε

κεηαηξνπή αξηζκώλ από άιια ζπζηήκαηα (π.ρ. δπαδηθό, νθηαδηθό, δεθαεμαδηθό, θ.α.) ζην δεθαδηθό.

Μεθοδολογία επίλςζηρ:

Όπσο έρεη αλαθεξζεί, ε κεηαηξνπή ελόο αξηζκνύ νπνηνπδήπνηε αξηζκεηηθνύ ζπζηήκαηνο ζηνλ

αληίζηνηρν αξηζκό ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο γίλεηαη ππνινγίδνληαο ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

x = αn-1.β

n-1 + αn-2

. β

n-2 + ... + α1

. β

1 + α0

. β

0 + α-1

.β

-1 + ... + α-m

. β

-m

όπνπ «β» ε βάζε ηνπ ζπζηήκαηνο ζην νπνίν είλαη ν ζπγθεθξηκέλνο αξηζκόο. Δηζη:

Ο δπαδηθόο αξηζκόο 10011 ζην δεθαδηθό ζύζηεκα έρεη ηελ ηηκή

1·24 + 0·2

3 + 0·2

2 + 1·2

1+ 1 = 16+2+1 = (19)10.

Ο νθηαδηθόο αξηζκόο (7123,35)8, ζην δεθαδηθό ζύζηεκα έρεη ηελ ηηκή

7·83 + 1·8

2 + 2·8 + 3 + 3·8

-1 + 5·8

-2 = 3584 + 64 +16 + 3 + 0,375 + 0,078125 = (3667,453125)10.

Ο δεθαεμαδηθόο αξηζκόο (FC27)16 είλαη ηζνδύλακνο κε ην δεθαδηθό

15·163 + 12·16

2 + 2·16 + 7 = 61440 + 3072 + 32 + 7 = (64551)10.

3.1.1 Δκθώνηζη

Να κεηαηξαπεί ν αξηζκόο (132,013)4 ηνπ ηεηξαδηθνύ ζπζηήκαηνο ζε αληίζηνηρν αξηζκό ηνπ δεθαδηθνύ

ζπζηήκαηνο.

Δπίλςζη

(132,013)4 = 1 x 42

+ 3 x 41 + 2 x 4

0 + 0 x 4

-1 + 1 x 4

-2 + 3 x 4

-3 = . . . = (30,109375)10



Μεηαηξέςηε ηνλ αξηζκό (123,604)8 ηνπ νθηαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο ζηνλ αληίζηνηρν αξηζκό ηνπ

δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο.

Δπίλςζη

Ζ κεηαηξνπή ηνπ αξηζκνύ 123,604 ηνπ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο κε βάζε 8 ζε αληίζηνηρν αξηζκό ηνπ

δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη ε αθόινπζε:

(123,604)8 = 1 x 82 + 2 x 8

1 + 3 x 8

0 + 6 x 8

-1 + 0 x 8

-2 + 4 x 8

-3 = 64 + 16 + 3 + 0.75 + 0,0078125=

(83,7578125)10.


Μεηαηξέςηε ηνλ δπαδηθό αξηζκό (11111100)2 ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο κε δεδνκέλν όηη

αλαπαξηζηά έλαλ κε πξνζεκαζκέλν αξηζκό νθηώ δπαδηθώλ ςεθίσλ

Δπίλςζη

(11111100)2 = 1*27 + 1*2

6 + 1*2

5 + 1*2

4 + 1*2

3 + 1*2

2 + 0*2

1 + 0*2

0 =

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0 +0 = (252)10

3.1.4 Δκθώνηζη Άζκηζηρ

Θεσξήζηε έλαλ ππνινγηζηή κε κήθνο ιέμεο 8 δπαδηθώλ ςεθίσλ ζηνλ νπνίν ηα 3 ηειεπηαία ςεθία

αθηεξώλνληαη ζην θιαζκαηηθό κέξνο. Πνηνη δεθαδηθνί αξηζκνί είλαη νη αθόινπζνη δπαδηθνί αξηζκνί

ζηνλ ελ ιόγσ ππνινγηζηή;

1. 0000 0010

2. 0100 0010

3. 0100 0111

Δπίλςζη

(00000,010)2 = 0*24 + 0*2

3 + 0*2

2 + 0*2

1 + 0*2

0 + 0*2

-1 + 1*2

-2 + 0*2

-3 = 0,25

(01000,010)2 = 0*24 + 1*2

3 + 0*2

2 + 0*2

1 + 0*2

0 + 0*2

-1 + 1*2

-2 + 0*2

-3 = 8,25

(01000,111)2 = 0*24 + 1*2

3 + 0*2

2 + 0*2

1 + 0*2

0 + 1*2

-1 + 1*2

-2 + 1*2

-3 =8,875


3.2 Μεηαηποπή απιθμών από ηο δεκαδικό ζηο δςαδικό ζύζηημα απίθμηζηρ


Ο ζηόρνο ησλ αζθήζεσλ πνπ αθνινπζνύλ είλαη λα μεθαζαξίζνπλ νη θνηηεηέο ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν

γίλεηαη ε κεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δεθαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο.


Μεηαηξέςηε ηνλ δεθαδηθό αξηζκό (83,7578125)10 ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο.

κεπηικό Δπίλςζηρ

Γηα ηε κεηαηξνπή ελόο ζεηηθνύ αθεξαίνπ αξηζκνύ ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο ζην δπαδηθό,

εξγαδόκαζηε όπσο πεξηγξάθεθε ζηελ παξάγξαθν 2.2.2 . Πην ζπγθεθξηκέλα, γηα λα κεηαηξέςνπκε ην

αθέξαην κέξνο ηνπ αξηζκνύ, ην δηαηξνύκε κε ηε βάζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαη παίξλνπκε έλα ππόινηπν

(Τ) θαη έλα πειίθν (Π). Σν πειίθν δηαηξείηαη θαη πάιη κε ηo β θαη παίξλνπκε έλα λέν πειίθν Π θαη

ππόινηπν Τ. Ζ δηαδηθαζία απηή επαλαιακβάλεηαη κέρξη ην πειίθν Π λα γίλεη 0. Ζ δεηνύκελε

αλαπαξάζηαζε είλαη ηα ππόινηπα (Τ), κε ηελ αληίζηξνθε ζεηξά από εθείλε πνπ ηα βξήθακε.Γηα ηε

κεηαηξνπή ηνπ θιαζκαηηθνύ κέξνπο εξγαδόκαζηε σο εμήο: πνιιαπιαζηάδνπκε ηνλ αξηζκό επί 2.

εκεηώλνπκε ην αθέξαην κέξνο ηνπ απνηειέζκαηνο θαη κε ην θιαζκαηηθό κέξνο επαλαιακβάλνπκε

ηελ πξνεγνύκελε δηαδηθαζία. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη έσο όηνπ βξνύκε ζην θιαζκαηηθό κέξνο ηνπ

αξηζκνύ ην 0, ή (αλ απηό δε γίλεη) κέρξη λα θηάζνπκε ζηελ επηζπκεηή αθξίβεηα (π.ρ. 3 θιαζκαηηθά

δπαδηθά ςεθία). Γηα ην απνηέιεζκα παίξλνπκε ηα ςεθία πνπ βξήθακε ζην αθέξαην κέξνο θάζε

πξάμεο.

Δπίλςζη

Ζ δηαδηθαζία γηα ην αθέξαην κέξνο είλαη ε αθόινπζε:

83

41 1

20 1

10 0

5 0

2 1

1 0

0 1


Δλώ ε δηαδηθαζία γηα ην θιαζκαηηθό κέξνο θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα

Αξηζκόο Πνιιαπιαζηαζκόο επί 2 Απνηέιεζκα Αθέξαην κέξνο Κιαζκαηηθό κέξνο

0.7578125 2 1.515625 1 0.515625

0.515625 2 1.03125 1 0.03125

0.03125 2 0.0625 0 0.0625

0.0625 2 0.125 0 0.125

0.125 2 0.25 0 0.25

0.25 2 0.5 0 0.5

0.5 2 1 1 0.0

Σν ηειηθό απνηέιεζκα πξνθύπηεη παίξλνληαο ηα ππόινηπα ηεο δηαίξεζεο κε ηελ αληίζηξνθή ζεηξά γηα

λα ζρεκαηίζνπκε ην αθέξαην κέξνο, θαη ηα αθέξαηα κέξε ησλ πνιιαπιαζηαζκώλ κε ηε ζεηξά πνπ

πξνθύπηνπλ γηα λα ζρεκαηίζνπκε ην κέξνο κεηά ηελ ππνδηαζηνιή (θιαζκαηηθό):

83,7578125 = (1010011, 1100001)2


Μεηαηξέςηε ηνλ δεθαδηθό αξηζκό (39,625)10 ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο.

Δπίλςζη

Ζ δηαδηθαζία γηα ην αθέξαην κέξνο είλαη ε αθόινπζε:

39

19 1

9 1

4 1

2 0

1 0

0 1

Δλώ ε δηαδηθαζία γηα ην θιαζκαηηθό κέξνο θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα

Αξηζκόο Πνιιαπιαζηαζκόο επί 2 Απνηέιεζκα Αθέξαην κέξνο Κιαζκαηηθό κέξνο

0.625 2 1.25 1 0.25

0.25 2 0.5 0 0.5

0.5 2 1.0 1 0.0


Σν ηειηθό απνηέιεζκα πξνθύπηεη παίξλνληαο ηα ππόινηπα ηεο δηαίξεζεο κε ηελ αληίζηξνθή ζεηξά γηα

λα ζρεκαηίζνπκε ην αθέξαην κέξνο, θαη ηα αθέξαηα κέξε ησλ πνιιαπιαζηαζκώλ κε ηε ζεηξά πνπ

πξνθύπηνπλ γηα λα ζρεκαηίζνπκε ην κέξνο κεηά ηελ ππνδηαζηνιή (θιαζκαηηθό):

39,625 = (100111, 101)2


3.3 Μεηαηποπή απιθμών μεηαξύ ηος δςαδικού και ηος δεκαεξαδικού ζςζηήμαηορ απίθμηζηρ



γίλεηαη ε κεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δπαδηθό ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο θαη αληίζηξνθα.

Μεθοδολογία επίλςζηρ

Ζ κεηαηξνπή από ην δπαδηθό ζύζηεκα ζην δεθαεμαδηθό δελ απαηηεί πξάμεηο. Υσξίδνπκε ηνλ δπαδηθό

από ηα δεμηά πξνο ηα αξηζηεξά ζε νκάδεο ησλ ηεζζάξσλ ςεθίσλ (bits) θαη ζηε ζπλέρεηα

κεηαηξέπνπκε θαζεκία από απηέο ζηνλ αληίζηνηρν δεθαεμαδηθό αξηζκό (βιέπε πίλαθα αληηζηνηρηώλ).

Όηαλ ππάξρεη ππνδηαζηνιή (ν αξηζκόο έρεη θαη θιαζκαηηθό κέξνο), ηόηε ν ρσξηζκόο μεθηλάεη από ηελ

ππνδηαζηνιή θαη αξηζηεξά γηα ην αθέξαην κέξνο θαη από ηελ ππνδηαζηνιή θαη δεμηά γηα ην

θιαζκαηηθό.

Γςαδικό (ΒΗΝ) Γεκαδικό (DEC) Γεκαεξαδικό (HEX)

0000 0 0

0001 1 1

0010 2 2

0011 3 3

0100 4 4

0101 5 5

0110 6 6

0111 7 7

1000 8 8

1001 9 9

1010 10 A

1011 11 B

1100 12 C

1101 13 D

1110 14 E

1111 15 F

Αληίζηνηρα ε κεηαηξνπή από ην δεθαεμαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο, γίλεηαη

αληηθαζηζηώληαο θάζε δεθαεμαδηθό ςεθίν κε ηελ αληίζηνηρε ηεηξάδα δπαδηθώλ ςεθίσλ (βιέπε πάιη

ζρεηηθό πίλαθα αληηζηνηρηώλ).



Μεηαηξέςηε ηνλ αθόινπζν αξηζκό από ην δεθαεμαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα: (FA43,329F)16

Δπίλςζη

Μεηαηξέπνπκε ςεθίν-ςεθίν ην δεθαεμαδηθό αξηζκό FA43,329F, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα

αληηζηνίρεζεο ησλ δεθαεμαδηθώλ ζε δπαδηθνύο. Έηζη έρνπκε ην απνηέιεζκα:

1111 1010 0100 0011, 0011 0010 1001 1111


Μεηαηξέςηε ηνλ δπαδηθό αξηζκό (1011010101,011010)2 ζηνλ αληίζηνηρό ηνπ δεθαεμαδηθό.

Δπίλςζη

Υσξίδνπκε από δεμηά ηνλ δπαδηθό αξηζκό ζε ηεηξάδεο θαη έηζη έρνπκε ηνλ:

0010 1101 0101, 0110 1000

ηε ζπλέρεηα κε βάζε ηνλ πίλαθα, έρνπκε ην απνηέιεζκα: 2 D 5,68

Άξα (001011010101,01101000)2 = (2D5,68)16.


3.4 Μεηαηποπή απιθμών μεηαξύ ηος δςαδικού και ηος οκηαδικού ζςζηήμαηορ απίθμηζηρ



γίλεηαη ε κεηαηξνπή αξηζκώλ από ην δπαδηθό ζην νθηαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο θαη αληίζηξνθα.

Μεθοδολογία Δπίλςζηρ

Ζ κεηαηξνπή από ην δπαδηθό ζύζηεκα ζην νθηαδηθό (όπσο θαη κε ην δεθαεμαδηθό) δελ απαηηεί

πξάμεηο: Υσξίδνπκε ηνλ δπαδηθό από ηα δεμηά πξνο ηα αξηζηεξά ζε νκάδεο ησλ ηξηώλ ςεθίσλ (bits)

θαη ζηε ζπλέρεηα κεηαηξέπνπκε θάζε κία από απηέο ζηνλ αληίζηνηρν νθηαδηθό αξηζκό (βιέπε πίλαθα

αληηζηνηρηώλ). Όηαλ ππάξρεη ππνδηαζηνιή (ν αξηζκόο έρεη θαη θιαζκαηηθό κέξνο), ηόηε ν ρσξηζκόο

μεθηλάεη από ηελ ππνδηαζηνιή θαη αξηζηεξά γηα ην αθέξαην κέξνο θαη από ηελ ππνδηαζηνιή θαη δεμηά

γηα ην θιαζκαηηθό.

Γςαδικό (ΒΗΝ) Γεκαδικό (DEC) Οκηαδικό (OCT)

000 0 0

001 1 1

010 2 2

011 3 3

100 4 4

101 5 5

110 6 6

111 7 7

Αληίζηνηρα ε κεηαηξνπή από ην νθηαδηθό ζην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο, γίλεηαη αληηθαζηζηώληαο

θάζε νθηαδηθό ςεθίν κε ηελ αληίζηνηρε ηξηάδα δπαδηθώλ ςεθίσλ (βιέπε πάιη ζρεηηθό πίλαθα

αληηζηνηρηώλ).


Μεηαηξέςηε ηνλ αξηζκό (7443,32)8 ηνπ νθηαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο ζηνλ αληίζηνηρν αξηζκό

ηνπ δπαδηθνύ ζπζηήκαηνο.


Δπίλςζη

Μεηαηξέπνπκε ςεθίν-ςεθίν ηνλ νθηαδηθό αξηζκό 7443,32 ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα

αληηζηνίρεζεο ησλ νθηαδηθώλ ζε δπαδηθνύο θαη έηζη έρνπκε ηνλ δπαδηθό αξηζκό:

111 100 100 011, 011 010


Μεηαηξέςηε ηνλ δπαδηθό αξηζκό (10110101,01)2 ζηνλ αληίζηνηρό ηνπ νθηαδηθό.

Δπίλςζη

Υσξίδνπκε πξνο ηα δεμηά (από ηελ ππνδηαζηνιή) ηνλ δπαδηθό αξηζκό ζε ηξηάδεο θαη πξνο ηα

αξηζηεξά κεηά ηελ ππνδηαζηνιή θαη έηζη έρνπκε ηνλ: 010 110 101, 010

ηε ζπλέρεηα κε βάζε ηνλ πίλαθα, έρνπκε ην απνηέιεζκα: 2 6 5, 2.

Άξα (10110101,01)2 = (265,2)8.


3.5 Γενικέρ αζκήζειρ εξοικείωζηρ



πξαγκαηνπνηείηαη ε κεηαηξνπή αξηζκώλ κέζα από γεληθέο αζθήζεηο.


Μεηαηξέςηε ηνλ αθόινπζν αξηζκό ηνπ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο κε βάζε 4 (123,013)4 ζηνλ αληίζηνηρν

αξηζκό ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο.

Δπίλςζη

Ζ κεηαηξνπή ηνπ αξηζκνύ 123,013 ηνπ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο κε βάζε 4 ζε αληίζηνηρν αξηζκό ηνπ

δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο είλαη ε αθόινπζε:

(123,013)4 = 1 x 42 + 2 x 4

1 + 3 x 4

0 + 0 x 4

-1 + 1 x 4

-2 + 3 x 4

-3 = 16 + 8 + 3 + 0,0625+ 0,046875=

(27,109375)10.


Μεηαηξέςηε ηνλ αξηζκό (7443,32)8 από ην νθηαδηθό ζην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα κε δύν ηξόπνπο (α)

κέζσ ηνπ δπαδηθνύ (β) κέζσ ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο.

Δπίλςζη

(α) Μεηαηξέπνπκε ςεθίν-ςεθίν ηνλ νθηαδηθό αξηζκό (7443,32)8, ζε δπαδηθό αξηζκό

ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα αληηζηνίρεζεο ησλ νθηαδηθώλ ζε δπαδηθνύο.

111 100 100 011, 011 010

ζηε ζπλέρεηα, γίλεηαη νκαδνπνίεζε αλά 4 bits (γηα λα έρνπκε ζην θιαζκαηηθό κέξνο πιήζνο ςεθίσλ

πνιιαπιάζην ηνπ 4, πξνζζέηνπκε δύν κεδεληθά ζην ηέινο):

1111 0010 0011, 0110 1000

Σέινο κεηαηξέπνπκε ηνλ αξηζκό, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα αληηζηνίρεζεο ησλ δπαδηθώλ ζε

δεθαεμαδηθνύο.

Σν ηειηθό απνηέιεζκα είλαη (F23,68)16


(β) Ζ κεηαηξνπή ηνπ νθηαδηθνύ αξηζκνύ 7443,32 ζε αληίζηνηρν αξηζκό ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο

γίλεηαη σο εμήο:

(7443,32)8 = 7 x 83 + 4 x 8

2 + 4 x 8

1 + 3 x 8

0 + 3 x 8

-1 + 2 x 8

-2 = 3584+ 256 + 32 + 3 +0,375 +

0,03125 = (3875,40625)10

Σν αθέξαην κέξνο ηνπ δεθαδηθνύ δηαηξείηαη δηαδνρηθά κε ην 16 (βάζε) θαη ζπγθέληξσζε ησλ

αληίζηνηρσλ ππνινίπσλ δηαίξεζεο, θαη ην θιαζκαηηθό κέξνο πνιιαπιαζηάδεηαη δηαδνρηθά κε ην 16

θαη ζπγθέληξσζε ησλ αθέξαησλ ςεθίσλ πνπ πξνθύπηνπλ.

θαη ηειηθά (3875,40625)10 = (F23,68)16

Αθέξαην κέξνο = 3875

3875

242 3

15 2

0 15

Κιαζκαηηθό κέξνο = 0.40625

0,40625 x 16 = 6,5

0,5 x 16 = 8


4. Αζκήζειρ ζηιρ ππάξειρ ζηα ζςζηήμαηα απίθμηζηρ

4.1 Ππόζθεζη Φςζικών Απιθμών


Ο ζηόρνο ησλ παξαθάησ αζθήζεσλ λα μεθαζαξίζνπλ νη θνηηεηέο ηνλ ηξόπν πνπ γίλεηαη ε πξάμε ηεο

πξόζζεζεο θπζηθώλ αξηζκώλ (κε πξνζεκαζκέλσλ αθεξαίσλ) ζε θάζε έλα από ηα ηξία αξηζκεηηθά

ζπζηήκαηα πνπ ελδηαθέξνπλ ηνπο αλζξώπνπο πνπ εξγάδνληαη ζην ρώξν ηεο Πιεξνθνξηθήο.

Παξνπζηάδνληαη παξαδείγκαηα πξόζζεζεο ζην δπαδηθό, ζην δεθαεμαδηθό θαη ζην νθηαδηθό ζύζηεκα.

4.1.1 Δκθώνηζη Άζκηζηρ (1)

Δθηειέζηε ηηο αθόινπζεο πξνζζέζεηο δπαδηθώλ αξηζκώλ.

α) (111110111)2+(11011011)2

β) (10010,101)2 + (111,101)2

γ) (10110,1001)2 + (100,00010)2

δ) (1010,101)2 + (1111,111)2

Δπίλςζη

α)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

Ξεθηλώληαο από ην ιηγόηεξν ζεκαληηθό ςεθίν θάλνπκε ηελ πξάμε 1 + 1 πνπ δίλεη απνηέιεζκα 0 θαη

θξαηνύκελν 1 ην νπνίν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα άζξνηζεο. Ζ επόκελε πξάμε είλαη 1 + 1 +

1 πνπ δίλεη απνηέιεζκα 1 θαη θξαηνύκελν 1 ην νπνίν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα άζξνηζεο. Ζ

πξάμε ζπλερίδεηαη κέρξη θαη ηελ παξάγσγή ηνπ ηειηθνύ θξαηνπκέλνπ ην νπνίν απιά θαηαγξάθεηαη

ζην απνηέιεζκα. Ζ ίδηα ινγηθή εθαξκόδεηαη ζε όια ηα επόκελα παξαδείγκαηα.


β)

1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 0 0 1 0 , 1 0 1

1 1 1 , 1 0 1

1 1 0 0 1 , 0 1 0

ε απηή ηελ πεξίπησζε ε ζηνίρηζε ησλ δύν αξηζκώλ γίλεηαη ζην ζεκείν ηεο ππνδηαζηνιήο.

γ)

1 1 Μεηαθνξέο

1 0 1 1 0 , 1 0 0 1 0

1 0 0 , 0 0 0 1 0

1 1 0 1 0 , 1 0 1 0 0

Καη ζηελ πεξίπησζε απηή ε ζηνίρηζε ησλ δύν αξηζκώλ γίλεηαη ζηελ ππνδηαζηνιή. Γηα λα έρνπκε

θαιύηεξν νπηηθό απνηέιεζκα, πνιιέο θνξέο ζπκπιεξώλνπκε ηνπο αξηζκνύο (εδώ ηνλ πξώην αξηζκό)

κε ην ςεθίν 0 ζην ηέινο ηνπ θιαζκαηηθνύ αξηζκνύ.

δ)

1 1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 0 1 0 , 1 0 1

1 1 1 1 , 1 1 1

1 1 0 1 0 1 0 0


Δθηειέζηε ηηο αθόινπζεο πξνζζέζεηο δεθαεμαδηθώλ αξηζκώλ.

α) (4AD9)16+(5EF4)16

β) (A1F1,11)16 + (D6F,E1)16

γ) (ΑF35,901)16 + (FF,FF)16

δ) (B2F3,14)16 + (D6C,E5)16


Ζ πξάμε ηεο πξόζζεζεο κε ηελ ίδηα ινγηθή. Γηα ηε δηεπθόιπλζε ηεο δηαδηθαζίαο δίλνληαη νη θαλόλεο

πξόζζεζε δεθαεμαδηθώλ αξηζκώλ.


Αλ ην απνηέιεζκα είλαη κηθξόηεξν ή ίζν ηνπ 15 ηόηε άζξνηζκα είλαη ην αληίζηνηρν δεθαεμαδηθό

ςεθίν.

Αλ ην απνηέιεζκα είλαη κεγαιύηεξν από 15, ηόηε πξόθεηηαη γηα δηςήθην δεθαεμαδηθό αξηζκό,

νπόηε ζεκεηώλνπκε ζην απνηέιεζκα ην ιηγόηεξν ζεκαληηθό ηνπ ςεθίν θαη κεηαθέξνπκε ην πην

ζεκαληηθό ςεθίν σο θξαηνύκελν πξνο ηα αξηζηεξά.

Δπίλςζη

α)


4 A D 9

5 E F 4

A 9 C D

Αξρίδνπκε ηε δηαδηθαζία πξνζζέηνληαο ην 4 + 9 κε απνηέιεζκα 13 πνπ αληηζηνηρεί ζην δεθαεμαδηθό

ςεθίν D

ηελ επόκελε βαζκίδα πξνζζέηνπκε ην F + D (15 + 13) κε απνηέιεζκα 28. Σν απνηέιεζκα είλαη

κεγαιύηεξν από ην 15 νπόηε θαη αθαηξνύκε από απηό ην 16. Άξα 28 – 16 = 12 πνπ είλαη ην

δεθαεμαδηθό ςεθίo C πνπ θαηαγξάθεηαη ζαλ απνηέιεζκα ηεο άζξνηζεο ελώ ην θξαηνύκελν

κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα.

πλερίδνπκε πξνζζέηνληαο Δ + Α + 1 (14 + 10 + 1) = 25 από ην νπνίν αθαηξνύκε ην 16 θαη

θαηαγξάθνπκε ην 25 – 16 = 9 ζαλ απνηέιεζκα ελώ κεηαθέξνπκε ην θξαηνύκελν ζηελ επόκελε

βαζκίδα.

Με ηνλ ίδην ηξόπν ζηελ ηειεπηαία βαζκίδα πξνζζέηνπκε 5 + 4 + 1 = 10 πνπ αληηζηνηρεί ζην

δεθαεμαδηθό ςεθίν Α πνπ θαηαγξάθνπκε (εδώ δελ γίλεηαη θακία αθαίξεζε κηα θαη ην απνηέιεζκα

είλαη κηθξόηεξν ηνπ 15).

β)


Α 1 F 1 , 1 1

D 6 F , E 1

A F 6 0 F 2

Πξέπεη λα ζεκεησζεί όηη ζε απηή ηελ πεξίπησζε ε ζηνίρηζε ησλ δύν αξηζκώλ γίλεηαη ζην ζεκείν ηεο

ππνδηαζηνιήο.


γ)

1 1 1 1 Μεηαθνξέο

A F 3 5 , 9 0 1

F F , F F 0

B 0 3 5 , 8 F 1

δ)


B 2 F 3 , 1 4

D 6 C , E 5

C 0 5 F , F 9


Δθηειέζηε ηηο αθόινπζεο πξνζζέζεηο νθηαδηθώλ αξηζκώλ.

α) (763)8+(317)8

β) (42574,14)8 + (57421,763)8

γ) (7732)8 + (643,0754)8

δ) (46576,142)8 + (37425,763)8


Ζ πξάμε ηεο πξόζζεζεο γίλεηαη κε ηελ ίδηα ινγηθή πνπ αθνινπζήζακε κέρξη ηώξα. Γηα ηε

δηεπθόιπλζε ηεο δηαδηθαζίαο (πνπ είλαη παξόκνηα κε ηελ πξόζζεζε δεθαεμαδηθώλ αξηζκώλ) δίλνληαη

νη θαλόλεο πξόζζεζεο νθηαδηθώλ αξηζκώλ.

Αλ ην απνηέιεζκα είλαη κηθξόηεξν ή ίζν ηνπ 7 ηόηε άζξνηζκα είλαη ην αληίζηνηρν νθηαδηθό ςεθίν.

Αλ ην απνηέιεζκα είλαη κεγαιύηεξν από ην 7 ηόηε ην άζξνηζκα είλαη ην αληίζηνηρν νθηαδηθό

ςεθίν πνπ πξνθύπηεη αλ αθαηξέζνπκε ην 8 θαη ην θξαηνύκελν πνπ πξνθύπηεη κεηαθέξεηαη ζηελ

επόκελε βαζκίδα άζξνηζεο.

Δπίλςζη

α )

1 1 1 Μεηαθνξέο

7 6 3

3 1 7

1 3 0 2


Αθνινπζνύκε ηελ ίδηα δηαδηθαζία πνπ αθνινπζήζακε θαη γηα ην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα. Ζ δηαθνξά

είλαη όηη δνπιεύνπκε κε ηνπο αξηζκνύο 7 θαη 8.

Αξρίδνπκε ηε δηαδηθαζία πξνζζέηνληαο ην 3 + 7 κε απνηέιεζκα 10. Σν απνηέιεζκα είλαη κεγαιύηεξν

από ην 7 νπόηε θαη αθαηξνύκε από απηό ην 8. Άξα 10 – 8 = 2 πνπ θαηαγξάθεηαη ζαλ απνηέιεζκα ηεο

άζξνηζεο ελώ ην θξαηνύκελν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα.

πλερίδνπκε πξνζζέηνληαο 1 + 6 + 1 = 8. Σν απνηέιεζκα είλαη κεγαιύηεξν από ην 7 νπόηε θαη

αθαηξνύκε από απηό ην 8. Άξα 8 – 8 = 0 πνπ θαηαγξάθεηαη ζαλ απνηέιεζκα ηεο άζξνηζεο ελώ ην

θξαηνύκελν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα.

πλερίδνπκε πξνζζέηνληαο 3 + 7 + 1 = 11. Σν απνηέιεζκα είλαη κεγαιύηεξν από ην 7 νπόηε θαη

αθαηξνύκε από απηό ην 8. Άξα 11 – 8 = 3 πνπ θαηαγξάθεηαη ζαλ απνηέιεζκα ηεο άζξνηζεο ελώ ην

θξαηνύκελν κεηαθέξεηαη ζηελ επόκελε βαζκίδα ην νπνίν θαη ηειηθά θαηεβαίλεη ζην απνηέιεζκα.

β)

1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

4 2 5 7 4 , 1 4 0

5 7 4 2 1 , 7 6 3

1 2 2 2 1 6 , 1 2 3

Δδώ ζπκπιεξώλνπκε θαη πάιη ηα δεθαδηθά ςεθία κε κεδέλ.

γ)


7 7 3 2 , 0 0 0 0

6 4 3 , 0 7 5 4

1 0 5 7 5 , 0 7 5 4

Καη πάιη ζπκπιεξώλνπκε κε κεδεληθά.

δ)

1 1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

4 6 5 7 6 , 1 4 2

3 7 4 2 5 , 7 6 3

1 0 6 2 2 4 , 1 2 5


4.2 Αθαίπεζη Απιθμών ζηο Γςαδικό ύζηημα


Ο ζηόρνο ησλ παξαθάησ αζθήζεσλ λα μεθαζαξίζνπλ νη θνηηεηέο ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν γίλεηαη ε

πξάμε ηεο αθαίξεζεο θπζηθώλ αξηζκώλ. ηελ πεξίπησζε απηή νη αξηζκνί είλαη εθθξαζκέλνη ζην

δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο.


Δθηειέζηε ηηο αθόινπζεο αθαηξέζεηο δπαδηθώλ αξηζκώλ.

α) (101001,101)2 – (10111,111)2

β) (101001,001)2 – (11111,111)2

γ) (100001,001)2 – (11001,111)2

Δπίλςζη

α)

1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 0 1 0 0 1 , 1 0 1

1 0 1 1 1 , 1 1 1

0 1 0 0 0 1 1 1 0

β)

1 1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 0 1 0 0 1 , 0 0 1

1 1 1 1 1 , 1 1 1

0 0 1 0 0 1 0 1 0

γ)

1 1 1 1 1 1 1 Μεηαθνξέο

1 0 0 0 0 1 , 0 0 1

1 1 0 0 1 , 1 1 1

0 0 0 1 1 1 0 1 0


4.3 Αθαίπεζη Απιθμών ζηο Γςαδικό ύζηημα με παπάζηαζη ζςμπληπώμαηορ ωρ ππορ 2


Ο ζηόρνο ησλ παξαθάησ αζθήζεσλ είλαη ε παξνπζίαζε ηεο πξάμεο ηεο αθαίξεζεο ζε έλα ζύζηεκα

ππνινγηζηή κε ζπγθεθξηκέλν αξηζκό bits γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ησλ αξηζκώλ. Οη αξηζκνί είλαη

αθέξαηνη θαη γηα ηελ αλαπαξάζηαζή ηνπο ρξεζηκνπνηείηαη ε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2.


Έζησ έλαο ππνινγηζηήο κε κήθνο ιέμεο 8 δπαδηθώλ ςεθίσλ. ηνλ ππνινγηζηή απηό νη πξάμεηο

γίλνληαη αλαπαξηζηώληαο όινπο ηνπο αξηζκνύο κε νθηώ δπαδηθά ςεθία. Οη αξλεηηθνί αξηζκνί

αλαπαξίζηαληαη κε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2. Να εθηειεζηνύλ νη αθόινπζεο αθαηξέζεηο

ζηνλ ππνινγηζηή απηό ρξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2:

α) (24)10 – (63)10

β) (7) 10 – (22) 10

γ) (1000)2 - (1001)2

δ) (0010 1110)2 – (0111 0000)2

ε) (1)2 – (10)2

δ) (0110 1010)2 – (0100 1111)2

ε) (100)2 – (101)2

ζ) (43)10 – (16)10


Πξηλ γίλεη ε ηειηθή πξάμε γηα ηελ παξαγσγή ηνπ απνηειέζκαηνο ζα πξέπεη λα αθνινπζήζνπκε κηα

ζεηξά από βήκαηα.

1. Μεηαηξέπνπκε ηνπο δύν δεθαδηθνύο αξηζκνύο πνπ ζπκκεηέρνπλ ζηελ αθαίξεζε ζε δπαδηθνύο (ην

βήκα απηό αγλνείηαη ζηελ πεξίπησζε πνπ νη αξηζκνί πνπ δίλνληαη είλαη ήδε δπαδηθνί)

2. πκπιεξώλνπκε ηνπο αξηζκνύο κε δπαδηθά ςεθία ώζηε λα έρνπλ θαη νη δύν ην ίδην πιήζνο

δπαδηθώλ ςεθίσλ θαη κάιηζηα ίζν κε ην πιήζνο ησλ δπαδηθώλ ςεθίσλ πνπ ρξεζηκνπνηεί ν

ππνινγηζηήο ζηνλ νπνίν εθηειείηαη ε πξάμε γηα ηελ παξάζηαζε ησλ αξηζκώλ (ην βήκα απηό

αγλνείηαη αλ νη αξηζκνί έρνπλ ην ζσζηό πιήζνο δπαδηθώλ ςεθίσλ).


3. Μεηαηξέπνπκε ηνλ αθαηξέηε ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο δύν. Γηα λα γίλεη απηό

αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα

Μεηαηξέπνπκε ηνλ αξηζκό ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1 αληηζηξέθνληαο όια ηα

ςεθία ηνπ. Αλ έλα ςεθίν είλαη 0 γίλεηαη 1 θαη αλ έλα ςεθίν είλαη 1 γίλεηαη 0.

ην αξηζκό πνπ πξνέθπςε από ην πξνεγνύκελν βήκα (θαη είλαη ζε παξάζηαζε

ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1) πξνζζέηνπκε ηε κνλάδα. Ο αξηζκόο πνπ πξνθύπηεη είλαη

εθθξαζκέλνο ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 2

4. Πξνζζέηνπκε ηνπο δύν αξηζκνύο. Ζ πξάμε ηεο πξόζζεζεο γίλεηαη όπσο είδακε παξαπάλσ. ηελ

πεξίπησζε πνπ παξαρζεί θξαηνύκελν ζηελ ηειεπηαία βαζκίδα άζξνηζεο (ην νπνίν δελ κπνξεί λα

απνζεθεπηεί ζηα δπαδηθά ςεθία πνπ έρνπκε ζηνλ ππνινγηζηή καο) απηό αγλνείηαη.

5. Μεηαθξάδνπκε ην απνηέιεζκα ζην δεθαδηθό ζύζηεκα. Γηα ηε κεηάθξαζε απηή ρξεζηκνπνηνύκε

ηελ δηαδηθαζία κεηαηξνπήο δπαδηθνύ ζε παξάζηαζε σο πξνο δύν ζε δεθαδηθό, ζπκπιεξώλνληαο

ηνλ αξηζκό σο πξνο 2 θαη ζέηνπκε ην ζύκβνιν „-„ αλ ην δπαδηθό απνηέιεζκα έρεη „1‟ ζην πην

ζεκαληηθό ςεθίν (ην βήκα απηό δελ είλαη απαξαίηεην αιιά καο δίλεη ηελ δπλαηόηεηα λα

ειέγμνπκε πην εύθνια ηελ νξζόηεηα ησλ πξάμεσλ καο).

ρεκαηηθά ε παξαπάλσ δηαδηθαζία θαίλεηαη ζην αθόινπζν ρήκα:

Δπίλςζη

α)

Ζ πξνεηνηκαζία:

Αθαηξεηένο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 24 = 11000

Αθαηξέηεο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 63 = 111111

Αθαηξεηένο (κε ζπκπιεξσκέλα 8

δπαδηθά ςεθία) 00011000

Αυαιρετέος Αυαιρέτης

Σσμπλήρωμα ως προς 1

Πρόσθεση τοσ ‘1’

+

Αποτέλεσμα


Αθαηξέηεο (κε ζπκπιεξσκέλα 8 δπαδηθά

ςεθία) 00111111

πκπιήξσκα σο πξνο 1 ηνπ αθαηξέηε 11000000



Μεηαθνξέο

0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 1 1 0 0 1

Σν απνηέιεζκα είλαη 11011001. Δθόζνλ ππάξρεη „1‟ ζηελ πην ζεκαληηθή ζέζε, ν αξηζκόο είλαη

αξλεηηθόο, άξα γηα λα βξνύκε ην κέηξν ηνπ ηνλ ζπκπιεξώλνπκε σο πξνο 2 (γίλεηαη 00100111) πνπ

ηζνύηαη κε 39, άξα ηειηθά ν αξηζκόο είλαη ην -39.

β)







ςεθία) 00010110





0 0 0 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 0 0 0 1


Σν απνηέιεζκα είλαη 11110001

Δθόζνλ ππάξρεη „1‟ ζηελ πην ζεκαληηθή ζέζε, ν αξηζκόο είλαη αξλεηηθόο, άξα γηα λα βξνύκε ην

κέηξν ηνπ ηνλ ζπκπιεξώλνπκε σο πξνο 2 (γίλεηαη 00001111) πνπ ηζνύηαη κε 15, άξα ηειηθά ν

αξηζκόο είλαη ην -15.

γ)


Αθαηξεηένο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 1000

Αθαηξέηεο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 1001




ςεθία) 00001001



Απνηέιεζκα ηεο πξόζζεζεο 11111111

Απνηέιεζκα (ζην δεθαδηθό ζύζηεκα) -1


Μεηαθνξέο

0 0 0 0 1 0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Σν απνηέιεζκα είλαη 11111111. Δθόζνλ ππάξρεη „1‟ ζηελ πην ζεκαληηθή ζέζε, ν αξηζκόο είλαη

αξλεηηθόο, άξα γηα λα βξνύκε ην κέηξν ηνπ ηνλ ζπκπιεξώλνπκε σο πξνο 2 (γίλεηαη 00000001) πνπ

ηζνύηαη κε 1, άξα ηειηθά ν αξηζκόο είλαη ην -1.

δ)



Αθαηξεηένο (κε ζπκπιεξσκέλα 8 Γελ ρξεηάδεηαη. Έρεη ήδε 8 ςεθία


δπαδηθά ςεθία)


ςεθία) Γελ ρξεηάδεηαη. Έρεη ήδε 8 ςεθία



Απνηέιεζκα ηεο πξόζζεζεο (00101110) + (10010000) = 10111110


ε)






ςεθία) 0000 0010





δ)




δπαδηθά ςεθία) Γελ ρξεηάδεηαη. Έρεη ήδε 8 ςεθία


ςεθία) Γελ ρξεηάδεηαη. Έρεη ήδε 8 ςεθία




Απνηέιεζκα (ζην δεθαδηθό ζύζηεκα) 27


ε)






ςεθία) 00000101





ζ)






ςεθία) 000100002



Απνηέιεζκα ηεο πξόζζεζεο 00011011

Απνηέιεζκα (ζην δεθαδηθό ζύζηεκα) 27

Πξνζνρή ζην θξαηνύκελν ηεο ηειεπηαίαο βαζκίδαο ην νπνίν αγλνείηαη γηαηί δελ κπνξνεη΄λα

απνζεθεπηεί ζηα 8 δπαδηθά ςεθία πνπ έρεη ν ππνινγηζηήο καο.


0 0 1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1 0 1 1

Άξα ην απνηέιεζκα είλαη 00011011


4.4 Λογικέρ Ππάξειρ


Ο ζηόρνο ησλ παξαθάησ αζθήζεσλ λα θαηαιάβεη ν θνηηεηήο/ηξηα όηη κεηαμύ ησλ δπαδηθώλ ςεθίσλ

ελόο αξηζκνύ κπνξνύλ λα εθαξκνζηνύλ όρη κόλν αξηζκεηηθνί ηειεζηέο αιιά θαη νη ινγηθνί ηειεζηέο

AND, OR. Οη θαλόλεο ησλ ινγηθώλ πξάμεσλ δίλνληαη ζηε ζπλέρεηα:

Λογικέρ Ππάξειρ – Πίνακαρ Αλήθειαρ

Ππώηορ

Όπορ

Γεύηεπορ

Όπορ AND OR

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1


Θεσξώληαο όηη νη ππνινγηζκνί γίλνληαη κεηαμύ αξηζκώλ κε 8 bits, ππνινγίζηε ηελ ηηκή ησλ

παξαθάησ εθθξάζεσλ, γξάθνληαο αλαιπηηθά ηηο ελέξγεηεο πνπ θάλεηε γηα λα ππνινγίζεηε ηα

απνηειέζκαηα θαη δώζηε ηα απνηειέζκαηα ηόζν ζε δπαδηθή όζν θαη ζε δεθαδηθή κνξθή:

α) 45 AND 59

β) 78 OR 92


Σα βήκαηα είλαη παξόκνηα κε ηηο πξόζζεζεο. Μεηαηξέπνπκε ηνπο αξηζκνύο ζε δπαδηθνύο θαη ηνπο

ζηνηρίδνπκε ζην ιηγόηεξν ζεκαληηθό ςεθίν (δεμηά ζηνίρηζε). ηε ζπλέρεηα εθαξκόδνπκε ηε ινγηθή

πξάμε ζε θάζε δεύγνο από δπαδηθά ςεθία κε βάζε ηνπο πίλαθεο αιήζεηαο ηεο πξάμεο AND θαη OR.

Αμίδεη λα πξνζέμνπκε εδώ όηη ε πξάμε είλαη ινγηθή θαη δελ ππάξρεη θξαηνύκελν.

Δπίλςζη

α)

Πξώηνο αξηζκόο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 45 = 101101

Γεύηεξνο αξηζκόο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 59 = 111011

Πξώηνο αξηζκόο (κε ζπκπιεξσκέλα 8 00101101


δπαδηθά ςεθία)

Γεύηεξνο αξηζκόο (κε ζπκπιεξσκέλα 8


Ζ πξάμε

0 0 1 0 1 1 0 1

AND 0 0 1 1 1 0 1 1

0 0 1 0 1 0 0 1 = (41)10

β)

Πξώηνο αξηζκόο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 78 = 1001110

Γεύηεξνο αξηζκόο (ζε δπαδηθό ζύζηεκα) 92 = 1011100

Πξώηνο αξηζκόο (κε ζπκπιεξσκέλα 8


Γεύηεξνο αξηζκόο (κε ζπκπιεξσκέλα 8


Ζ πξάμε

0 1 0 0 1 1 1 0

OR 0 1 0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 1 0 = (94)10


5. Αζκήζειρ ζε λογικά κςκλώμαηα

5.1 Τλοποίηζη λογικήρ ζςνάπηηζηρ από πποδιαγπαθέρ

Δκπαιδεςηικόρ ηόσορ:

Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηνλ ηξόπν ιεηηνπξγίαο ησλ ινγηθώλ ππιώλ θαη ησλ ινγηθώλ

θπθισκάησλ.

Δκθώνηζη Άζκηζηρ:

Έζησ δύν ινγηθά θπθιώκαηα, ηα νπνία παξηζηάλνπλ κηα ειεθηξνληθή θιεηδαξηά θαη έλα θύθισκα

ειέγρνπ ζπκκεηξίαο, ζύκθσλα κε ηα όζα αλαθέξνληαη ζηε ζπλέρεηα.

Εηηούμενα Άζκηζηρ:

1. Ζιεθηξνληθή Κιεηδαξηά: Σνπνζεηήζηε θαη ζπλδέζηε ηηο θαηάιιειεο πύιεο ζην εζσηεξηθό ηνπ

παξαθάησ θνπηηνύ, ώζηε ε έμνδνο ηνπ θπθιώκαηνο λα γίλεηαη 1 κόλν όηαλ ζηελ είζνδν

εκθαλίδεηαη ν ζπλδπαζκόο 101011 (ζεσξήζηε ην Β5 σο ην πην αξηζηεξό ζηνηρείν). Δμεγήζηε

πεξηιεπηηθά ην ζπιινγηζκό ζαο.

2. Κύθισκα Διέγρνπ πκκεηξίαο: Σνπνζεηήζηε θαη ζπλδέζηε ηηο θαηάιιειεο πύιεο ζην

εζσηεξηθό ηνπ παξαθάησ θνπηηνύ, ώζηε ε έμνδνο ηνπ θπθιώκαηνο λα γίλεηαη 1 όηαλ ε είζνδνο

είλαη ζπκκεηξηθή θαη 0 αιιηώο, εμεγώληαο πεξηιεπηηθά ην ζπιινγηζκό ζαο.


Υπόδεημε:

πκκεηξηθή είλαη ε είζνδνο όηαλ ην Β0 είλαη ίζν κε ην Β5, ην Β1 ίζν κε ην Β4 θαη ην Β2 ίζν κε ην

Β3.

Δπίλςζη Άζκηζηρ:

Δπώηηζη 1

Σν δεηνύκελν ινγηθό θύθισκα είλαη ην εμήο:

Αλ ν ζπλδπαζκόο ήηαλ όιν άζνη (111111) ζα αξθνύζε κηα πύιε AND. Σώξα ζα πξέπεη λα αιιάμνπκε

κε NOT ηηο εηζόδνπο πνπ είλαη 0 πξηλ ηηο νδεγήζνπκε ζηελ πύιε AND.

Δπώηηζη 2

Σν δεηνύκελν ινγηθό θύθισκα είλαη ην εμήο:


Θα πξέπεη λα ειέγρνπκε αλ ην πξώην bit είλαη ίδην κε ην ηειεπηαίν, ην 2ν κε ην πξνηειεπηαίν θαη ηα 2

κεζαία ίδηα κεηαμύ ηνπο. Ζ πύιε πνπ δίλεη ζηελ έμνδν 1 όηαλ ηα ςεθία εηζόδνπ ηεο είλαη ίδηα είλαη ε

πύιε XNOR. Θα ρξεηαζηνύκε ηξεηο πύιεο XNOR, αθνύ πξέπεη λα θάλνπκε 3 ειέγρνπο, θαη επεηδή

ζέινπκε λα ηζρύνπλ θαη νη 3 ζα ζπλδέζνπκε ηηο εμόδνπο ηεο ζε κηα πύιε AND.

5.2 Πίνακαρ αληθείαρ και λογικό κύκλωμα


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηελ αληηζηνηρία πνπ ππάξρεη αλάκεζα ζε πίλαθεο αιεζείαο θαη ζε

ινγηθά θπθιώκαηα.


Γίλεηαη ην παξαθάησ ινγηθό θύθισκα, όπνπ ε πύιε κε ην όλνκα GATE είλαη άγλσζηε:

K M

L N

A

B

C

F GATE


Ο πίλαθαο αιήζεηαο ηνπ πην πάλσ ινγηθνύ θπθιώκαηνο είλαη:

A B C F = M GATE N

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0


Πνηα είλαη ε πύιε GATE πνπ επαιεζεύεη ηνλ παξαπάλσ πίλαθα αιήζεηαο; Σεθκεξηώζηε ηελ

απάληεζή ζαο ζπκπιεξώλνληαο ηνλ παξαπάλσ πίλαθα αιήζεηαο κε ηα ελδηάκεζα απνηειέζκαηα Κ, L,

M θαη N.


Ο πίλαθαο αιήζεηαο πνπ δίλεηαη ζηελ εθθώλεζε ηεο άζθεζεο, ζπκπιεξσκέλνο κε ηα ελδηάκεζα

απνηειέζκαηα Κ, L, M θαη N, είλαη ν αθόινπζνο:

A B C K = NOT A M = K OR B L = NOT B N = L XOR C F = M NAND N

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 1 0 1 0

Δπνκέλσο, ε δεηνύκελε πύιε είλαη ε πύιε ΝΑΝD:


5.3 Πίνακαρ Αληθείαρ και λογική ζςνάπηηζη


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηε δεκηνπξγία θαη ηε ρξήζε πηλάθσλ αιεζείαο, κε ηνλ πξνζδηνξηζκό

ινγηθώλ ζπλαξηήζεσλ από πίλαθεο αιεζείαο θαη κε ηελ εξκελεία ηνπ ηξόπνπ ιεηηνπξγίαο ινγηθώλ

θπθισκάησλ.


Γίλεηαη ην αθόινπζν θύθισκα, ην νπνίν έρεη 5 εηζόδνπο θαη 4 εμόδνπο. Θεσξήζηε όηη ε είζνδνο C0

έρεη ηηκή ζηαζεξή θαη ίζε κε 0.


Α) Υξεζηκνπνηώληαο ηνπο πίλαθεο αιεζείαο ησλ ππιώλ NAND, XOR ηνπ 1νπ

Σόκνπ, θαη

θαηαζθεπάδνληαο ηνλ πίλαθα αιεζείαο ηνπ πην πάλσ ινγηθνύ θπθιώκαηνο, απαληήζηε ζηηο

αθόινπζεο εξσηήζεηο:

Α.1) Πνηνη ζπλδπαζκνί εηζόδσλ Α1, Α2, Β1 θαη Β2, δίλνπλ ζηηο εμόδνπο S1 θαη C1, ηαπηόρξνλα

ηελ ηηκή 1;

Α.2) Πνηνη ζπλδπαζκνί εηζόδσλ Α1, Α2, Β1 θαη Β2, δίλνπλ ζηηο εμόδνπο C1 θαη C2 ηαπηόρξνλα ηελ

ηηκή 1;

Α.3) Πνηνη ζπλδπαζκνί εηζόδσλ Α1, Α2, Β1 θαη Β2, δίλνπλ ζηηο εμόδνπο S1 θαη S2, ηαπηόρξνλα ηελ

ηηκή 0;

Β) Να δνζεί ε ινγηθή ζπλάξηεζε πνπ αληηζηνηρεί ζηηο εμόδνπο S2 θαη C1 ηνπ αλσηέξσ θπθιώκαηνο.

S2 C2

B2A2

S1 C1

C0 B1 A1


Γ) Να αλαθέξεηε ηελ πξάμε πνπ πινπνηεί ην αλσηέξσ θύθισκα.


Αξρηθά θηηάρλνπκε ηνλ πίλαθα ηηκώλ ηνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο, ν νπνίνο απνηειείηαη από 16 γξακκέο

θαη 9 ζηήιεο, όπσο θαίλεηαη ζηε ζπλέρεηα:

Α2 B2 A1 Β1 C0 C2 C1 S2 S1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 1 0 1 1 1 0

Ο πην πάλσ πίλαθαο ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ απάληεζε ησλ εξσηήζεσλ Α.1, Α.2 θαη Α.3

Δπώηηζη Α.1

Γελ ππάξρεη ζπλδπαζκόο εηζόδσλ πνπ λα δίλεη ζηα S1, C1 ηαπηόρξνλα ηελ ηηκή 1.

Δπώηηζη Α.2

Οη δεηνύκελνη ζπλδπαζκνί είλαη:

Α2 Β2 Α1 Β1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Δπώηηζη Α.3

Οη δεηνύκελνη ζπλδπαζκνί είλαη:


Α2 Β2 Α1 Β1

0 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

Δπώηηζη Β

Ζ ινγηθή ζπλάξηεζε κηαο εμόδνπ βξίζθεηαη αλ πάξνπκε ην άζξνηζκα εθείλσλ ησλ γξακκώλ ζηηο

νπνίεο ε έμνδνο έρεη ηελ ηηκή 1 θαη ηηο πξνζζέζνπκε (ινγηθή πξάμε OR, +). Γηα θάζε κηα από ηηο

γξακκέο απηέο παίξλνπκε έλα γηλόκελν ησλ κεηαβιεηώλ εηζόδνπ (ινγηθή πξάμε AND, .), όπνπ θάζε

κεηαβιεηή έρεη ηελ θαλνληθή ηεο ηηκή (π.ρ. Α1) αλ ζε εθείλε ηε γξακκή έρεη ηελ ηηκή „1‟, ή ηελ

αληεζηξακκέλε ηηκή (π.ρ. Α1‟) αλ ζε εθείλε ηε γξακκή έρεη ηελ ηηκή „0‟.

Με βάζε ηα παξαπάλσ, πξνθύπηεη όηη ην C1 παίξλεη ηηκή 1 ζηηο αθόινπζεο γξακκέο:

Α2 B2 A1 Β1 C0 C2 C1 S2 S1

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 1 0 1 1 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 1

1 0 1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1 0

Δπνκέλσο ε ινγηθή ζπλάξηεζε γηα ηελ έμνδν C1 δίλεηαη από ηνλ αθόινπζν ηύπν:

Α2’ . Β2’ . Α1 . Β1 + Α2’ . Β2 . Α1 . Β1 + Α2 . Β2’ . Α1 . Β1’ +

Α2 . Β2’ . Α1 . Β1 + Α2 . Β2 . Α1 . Β1

Αληίζηνηρα, ην S2 παίξλεη ηηκή 1 ζηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο:

Α2 B2 A1 Β1 C0 C2 C1 S2 S1

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1 1

1 1 1 1 0 1 1 1 0


Δπνκέλσο ε ινγηθή ζπλάξηεζε γηα ηελ έμνδν S2 είλαη:

Α2’ . Β2’ . Α1 . Β1 + Α2’ . Β2 . Α1’ . Β1’ + Α2’ . Β2 . Α1’ . Β1 + Α2’ . Β2 . Α1 . Β1’ +

Α2 . Β2’ . Α1’ . Β1’ + Α2 . Β2’ . Α1’ . Β1 + Α2 . Β2 . Α1 . Β1

Δπώηηζη Γ

Σν θύθισκα πινπνηεί ηε δπαδηθή πξόζζεζε ησλ δηςήθησλ δπαδηθώλ αξηζκώλ Α2Α1 θαη Β2Β1 κε

απνηέιεζκα ηνλ ηξηςήθην δπαδηθό αξηζκό C2S2S1. Σν C1 είλαη ην ελδηάκεζν θξαηνύκελν.

5.4 Λογικό Κύκλωμα από Λογική ςνάπηηζη


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηε δεκηνπξγία θαη ηε ρξήζε πηλάθσλ αιεζείαο, κε ηνλ πξνζδηνξηζκό

ινγηθώλ ζπλαξηήζεσλ από πίλαθεο αιεζείαο θαη κε ηε ζρεδίαζε ινγηθώλ θπθισκάησλ

ρξεζηκνπνηώληαο πίλαθεο αιεζείαο.


Θέινπκε λα θαηαζθεπάζνπκε έλα ςεθηαθό θύθισκα, ην νπνίν λα παίξλεη σο εηζόδνπο ηα ηξία πξώηα

ςεθία κίαο δηεύζπλζεο IP (ηα νπνία ζπκβνιίδνπκε κε Addr[31], Addr[30], θαη Addr[29]), θαη λα έρεη

ηέζζεξηο εμόδνπο, κε ηα αληίζηνηρα νλόκαηα Α, Β, C, N:

Ζ έμνδνο Α ζα γίλεηαη 1 αλ ε δηεύζπλζε είλαη θιάζεο Α θαη ζα είλαη 0 ζε νπνηαδήπνηε άιιε

πεξίπησζε.

Ζ έμνδνο B ζα γίλεηαη 1 αλ ε δηεύζπλζε είλαη θιάζεο B θαη ζα είλαη 0 ζε νπνηαδήπνηε άιιε

πεξίπησζε.

Ζ έμνδνο C ζα γίλεηαη 1 αλ ε δηεύζπλζε είλαη θιάζεο C θαη ζα είλαη 0 ζε νπνηαδήπνηε άιιε

πεξίπησζε.

Ζ έμνδνο N ζα γίλεηαη 1 αλ ε δηεύζπλζε δελ αλήθεη ζε θακία από ηηο θιάζεηο Α, Β, C.


Γηεπθξηλίδεηαη όηη κία δηεύζπλζε ηνπ Γηαδηθηύνπ (Internet Protocol address ή IP address)

απεηθνλίδεηαη ζηνλ ππνινγηζηή σο έλαο αξηζκόο 32 δπαδηθώλ ςεθίσλ, ηα νπνία είλαη ρσξηζκέλα ζε

ηέζζεξηο νθηάδεο πνπ δηαρσξίδνληαη κε ηειείεο. Γηα παξάδεηγκα, ε αλαπαξάζηαζε ηεο δηεύζπλζεο

www.eap.gr είλαη ν αξηζκόο 11000001.01101100.10100000.00110101. ηελ πξάμε, πξνθεηκέλνπ λα

είλαη πην θαηαλνεηή γηα ηνλ άλζξσπν ε αλαπαξάζηαζε απηή, ρξεζηκνπνηνύκε ηελ αληίζηνηρε

δεθαδηθή αλαπαξάζηαζε θάζε νθηάδαο ςεθίσλ. Γηα παξάδεηγκα, ε αλσηέξσ δηεύζπλζε ηνπ

Διιεληθνύ Αλνηθηνύ Παλεπηζηεκίνπ (ΔΑΠ), απεηθνλίδεηαη θαη σο εμήο: 193.108.160.53.

Πξνθεηκέλνπ λα κπνξέζνπκε λα νκαδνπνηήζνπκε ηηο δηεπζύλζεηο θαη λα ρεηξηζηνύκε δίθηπα

ππνινγηζηώλ δηαθνξεηηθώλ κεγεζώλ, ρσξίδνπκε ην δηαδίθηπν ζε ππνδίθηπα. Οη δηεπζύλζεηο IP

δηαθξίλνληαη ζε θαηεγνξίεο, πνπ νλνκάδνληαη “θιάζεηο”. Οη ηξεηο πην γλσζηέο από ηηο θιάζεηο απηέο

κε ηα νλόκαηα Α, Β, C, νξίδνληαη σο εμήο:

Κιάζε Α: Υξεζηκνπνηεί ηα 8 πςειήο ηάμεο ςεθία (ηα πξώηα 8 ςεθία από αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά)

γηα λα πξνζδηνξίζεη ηε δηεύζπλζε ηνπ δηθηύνπ θαη ηα ππόινηπα γηα λα πξνζδηνξίζεη ηε

δηεύζπλζε ηεο ζπζθεπήο κέζα ζην δίθηπν.

Κιάζε B: Υξεζηκνπνηεί ηα 16 πςειήο ηάμεο ςεθία γηα λα πξνζδηνξίζεη ηε δηεύζπλζε ηνπ δηθηύνπ

θαη ηα ππόινηπα γηα λα πξνζδηνξίζεη ηε δηεύζπλζε ηεο ζπζθεπήο κέζα ζην δίθηπν.

Κιάζε C: Υξεζηκνπνηεί ηα 24 πςειήο ηάμεο ςεθία γηα λα πξνζδηνξίζεη ηε δηεύζπλζε ηνπ δηθηύνπ

θαη ηα ππόινηπα γηα λα πξνζδηνξίζεη ηε δηεύζπλζε ηεο ζπζθεπήο κέζα ζην δίθηπν.

Πξνθεηκέλνπ λα κπνξεί έλαο “δξνκνινγεηήο” (router) ηνπ δηαδηθηύνπ λα δηαθξίλεη κε επθνιία ην

είδνο ηεο δηεύζπλζεο, νη δηεπζύλζεηο γηα θάζε θιάζε (class) έρνπλ ηε κνξθή πνπ θαίλεηαη ζην

αθόινπζν ρήκα:

http://www.eap.gr/


πγθεθξηκέλα, ζε κία δηεύζπλζε θιάζεο Α, ην πξώην ςεθίν είλαη πάληα „0‟, ζε κία δηεύζπλζε

θιάζεο Β ηα πξώηα δύν ςεθία είλαη πάληα „10‟, ελώ ζε κία δηεύζπλζε θιάζεο C ηα πξώηα ηξία

ςεθία είλαη πάληα „110‟.


1. πκπιεξώζηε ηνλ πίλαθα αιεζείαο γηα ηηο εμόδνπο A, B, C, N ηνπ πην πάλσ ινγηθνύ θπθιώκαηνο

κε βάζε ηηο παξαπάλσ νδεγίεο:

Addr[31] Addr[30] Addr[29] A B C N

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

2. Γώζηε ηηο ινγηθέο ζπλαξηήζεηο πνπ πινπνηεί θάζε κία από ηηο εμόδνπο Α, Β, C, Ν.

3. ρεδηάζηε ην δεηνύκελν ινγηθό θύθισκα ρξεζηκνπνηώληαο ινγηθέο πύιεο.

4. Έζησ όηη καο δεηνύλ λα ζρεδηάζνπκε κία επηπιένλ έμνδν, ε νπνία ζα έρεη ηελ ηηκή „1‟ όηαλ ηα

ςεθία Addr[31] θαη Addr[29] είλαη ίζα θαη „0‟ ζε θάζε άιιε πεξίπησζε. Γώζηε ηνλ πίλαθα

αιεζείαο θαζώο θαη ηε ινγηθή ζπλάξηεζε, θαη ζρεδηάζηε ην ηκήκα ηνπ ινγηθνύ θπθιώκαηνο πνπ

ηθαλνπνηεί απηή ηελ απαίηεζε.

Υπόδεημε:

ηε ζρεδίαζε κε ινγηθέο πύιεο, πνιιέο θνξέο ρξεζηκνπνηνύκε πύιεο AND, OR κε πεξηζζόηεξεο από

δύν εηζόδνπο. Οη έμνδνη ησλ ππιώλ απηώλ ππνινγίδνληαη σο εμήο: κία πύιε AND πνιιώλ εηζόδσλ

είλαη „1‟ όηαλ όιεο νη είζνδνη είλαη „1‟, θαη είλαη „0‟ ζε θάζε άιιε πεξίπησζε, ελώ κία πύιε OR

πνιιώλ εηζόδσλ είλαη „0‟ όηαλ όιεο νη είζνδνη είλαη „0‟, θαη είλαη „1‟ ζε θάζε άιιε πεξίπησζε.



Δπώηηζη 1: Ο ζπκπιεξσκέλνο πίλαθαο αιήζεηαο είλαη ν αθόινπζνο:

Addr[31] Addr[30] Addr[29] A B C N

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 1

Δπώηηζη 2:

Με βάζε ηνλ πην πάλσ πίλαθα αιεζείαο, νη δεηνύκελεο ινγηθέο ζπλαξηήζεηο είλαη νη αθόινπζεο (γηα

επθνιία ζπκβνιίδνπκε ην Addr[31] κε Α31, ην Addr[30] κε Α30 θαη ην Addr[29] κε Α29):

Α = Α31‟.Α30‟.Α29‟ + Α31‟.Α30‟.Α29 + Α31‟.Α30.Α29‟ + Α31‟.Α30.Α29

Β = Α31.Α30‟.Α29‟ + Α31.Α30‟.Α29

C = Α31.Α30.Α29‟

N = Α31.Α30.Α29

Δπώηηζη 3:

Σν δεηνύκελν ινγηθό θύθισκα είλαη ην αθόινπζν:


Δπώηηζη 4

Ο πίλαθαο αιεζείαο ηεο δεηνύκελεο εμόδνπ είλαη ν αθόινπζνο:

Addr[31] Addr[30] Addr[29] Ξ

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Ζ ινγηθή ζπλάξηεζε είλαη ε:

Ξ = Α31‟.Α30‟.Α29‟ + Α31‟.Α30.Α29‟ + Α31.Α30‟.Α29 + Α31.Α30.Α29

Καη ην ινγηθό θύθισκα είλαη ην αθόινπζν:


5.5 Πίνακαρ Αληθείαρ και Λογικό Κύκλωμα


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ην ζρεκαηηζκό πηλάθσλ αιεζείαο θαη ινγηθώλ ζπλαξηήζεσλ από

ινγηθά θπθιώκαηα θαη ε εμέηαζε ηεο ηζνδπλακίαο ινγηθώλ θπθισκάησλ.


ηε ζρεδίαζε κε ινγηθέο πύιεο, πνιιέο θνξέο ρξεζηκνπνηνύκε πύιεο AND, OR κε πεξηζζόηεξεο από

δύν εηζόδνπο. Οη έμνδνη ησλ ππιώλ απηώλ ππνινγίδνληαη σο εμήο: κία πύιε AND πνιιώλ εηζόδσλ

είλαη „1‟ όηαλ όιεο νη είζνδνη είλαη „1‟, θαη είλαη „0‟ ζε θάζε άιιε πεξίπησζε, ελώ κία πύιε OR

πνιιώλ εηζόδσλ είλαη „0‟ όηαλ όιεο νη είζνδνη είλαη „0‟, θαη είλαη „1‟ ζε θάζε άιιε πεξίπησζε.


1. Να δνζεί ν πίλαθαο αιεζείαο κε ηα ελδηάκεζα απνηειέζκαηα K, L, M, θαζώο θαη ε ινγηθή

ζπλάξηεζε πνπ πινπνηείηαη από ην ινγηθό θύθισκα ηνπ πην θάησ ζρήκαηνο:


2. Δμεηάζηε αλ ην παξαθάησ θύθισκα είλαη ηζνδύλακν (δίλεη ην απηό απνηέιεζκα) κε απηό ηεο

εξώηεζεο 1:


Δπώηηζη 1

Γηα ην ινγηθό θύθισκα ηεο εθθώλεζεο ηεο άζθεζεο (εξώηεζε 1), ν δεηνύκελνο πίλαθαο αιεζείαο

είλαη:

A B C A΄ B΄ C΄ Κ L M X

0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 1 0 1

K

L

M


Γηα ην ινγηθό θύθισκα ηεο εθθώλεζεο ηεο άζθεζεο (εξώηεζε 1), ε δεηνύκελε ινγηθή ζπλάξηεζε

είλαη:

Υ=M+L=KAB΄+ΑΒC =(Α΄C΄)΄AB΄+ΑΒC

Δπώηηζη 2

Γηα ην ινγηθό θύθισκα ηεο εθθώλεζεο ηεο άζθεζεο (εξώηεζε 2), ν δεηνύκελνο πίλαθαο αιεζείαο

είλαη:

A B C B΄ ΑΒ΄ AC X

0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1

Γηα ην ινγηθό θύθισκα ηεο εθθώλεζεο ηεο άζθεζεο (εξώηεζε 2), ε δεηνύκελε ινγηθή ζπλάξηεζε

είλαη:

X= ΑΒ΄+AC

ύκθσλα κε ηνπο πίλαθεο αιεζείαο ηα δύν θπθιώκαηα έρνπλ ηελ ίδηα έμνδν Υ (ιακβάλεη ηηο ίδηεο

ηηκέο). Δπνκέλσο, ην ινγηθό θύθισκα ηεο εξώηεζεο 2 είλαη ηζνδύλακν (δίλεη ην ίδην απνηέιεζκα) κε

απηό ηεο εξώηεζεο 1.


5.6 Πίνακαρ Αληθείαρ από πποδιαγπαθέρ


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηε δεκηνπξγία πίλαθα αιεζείαο, ινγηθήο ζπλάξηεζεο θαη ινγηθνύ

θπθιώκαηνο από κηα καζεκαηηθή ζπλάξηεζε.


Έζησ ε ζπλάξηεζε P(n)={1, αλ n=1 ή n=πξώηνο, 0 αιιηώο}, όπνπ n = 0, 1, 2, …, 15.


Γώζηε γηα ηε ζπλάξηεζε απηή ηoλ πίλαθα αιήζεηαο θαη ηε ινγηθή ζπλάξηεζε, θαζώο επίζεο θαη ην

αληίζηνηρν ινγηθό θύθισκα. Σν θύθισκα ζα παίξλεη σο είζνδν ηε δπαδηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ

αξηζκνύ (ηέζζεξα δπαδηθά ςεθία).

Δπηζεκαίλεηαη όηη πξώηνη είλαη νη θπζηθνί αξηζκνί πνπ έρνπλ αθξηβώο δύν αθέξαηνπο δηαηξέηεο (ηνλ

εαπηό ηνπο θαη ηε κνλάδα).


Ο δεηνύκελνο πίλαθαο αιήζεηαο είλαη:

Γεθαδηθό

ύζηεκα A B C D P

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1

6 0 1 1 0 0

7 0 1 1 1 1

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 0

10 1 0 1 0 0

11 1 0 1 1 1

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 1

14 1 1 1 0 0

15 1 1 1 1 0


Ζ δεηνύκελε ινγηθή ζπλάξηεζε είλαη:

P= Α΄B΄C΄D+ Α΄B΄CD΄+ Α΄B΄CD + Α΄BC΄D+ Α΄BCD+ ΑB΄CD + ΑBC΄D

Σν δεηνύκελν ινγηθό θύθισκα είλαη:


5.7 Λογικό Κύκλωμα από πποδιαγπαθέρ


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηελ αλαπαξάζηαζε θηλεηήο ππνδηαζηνιήο (floating point) θαη ε

ζρεδίαζε ινγηθώλ θπθισκάησλ ζύκθσλα κε ζπγθεθξηκέλεο πξνδηαγξαθέο / απαηηήζεηο.


Πξνθεηκέλνπ λα κπνξέζνπκε λα απεηθνλίζνπκε ζε έλαλ ππνινγηζηή πνιύ κεγάινπο θαη πνιύ κηθξνύο

αξηζκνύο, ρξεζηκνπνηείηαη ε αλαπαξάζηαζε θηλεηήο ππνδηαζηνιήο (floating point). Ζ αξηζκεηηθή

θηλεηήο ππνδηαζηνιήο έρεη ηδηαίηεξε ζεκαζία ζηελ αξρηηεθηνληθή ππνινγηζηώλ. Οη ζύγρξνλνη

επεμεξγαζηέο δηαζέηνπλ εηδηθή κνλάδα (Floating Point Unit, FPU) γηα ηελ εθηέιεζε πξάμεσλ κεηαμύ

αξηζκώλ κε ηελ αλαπαξάζηαζε απηή.

Όηαλ έλαο αξηζκόο βξίζθεηαη ζε αλαπαξάζηαζε θηλεηήο ππνδηαζηνιήο, αλαπαξίζηαηαη από κηα ζεηξά

δπαδηθώλ ςεθίσλ ε νπνία απνηειείηαη από 3 κέξε. Σν πξώην κέξνο απνηειείηαη από έλα ςεθίν θαη

παξηζηά ην πξόζεκν (sign) ηνπ αξηζκνύ (0 = ζεηηθόο, 1 = αξλεηηθόο). Σν δεύηεξν κέξνο απνηειεί ην

θιαζκαηηθό κέξνο (mantissa) ηνπ αξηζκνύ. Σν ηξίην κέξνο είλαη ν εθζέηεο (exponent), o νπνίνο είλαη

ζε παξάζηαζε ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο δύν. Ζ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ θσδηθνπνηεκέλνπ κε απηό ηνλ

ηξόπν αξηζκνύ πξνθύπηεη από ηε ζρέζε:

(-1)sign

× mantissa × 2exponent

Πξνθεηκέλνπ λα είλαη δπλαηή ε κεηαθνξά αξηζκώλ κεηαμύ ππνινγηζηηθώλ ζπζηεκάησλ δηαθνξεηηθήο

αξρηηεθηνληθήο, ρξεζηκνπνηνύληαη ζπγθεθξηκέλα πξόηππα (standards) γηα ηα κεγέζε (ηκήκαηα) ηνπ

θιαζκαηηθνύ κέξνπο θαη ηνπ εθζέηε.

ηε ζπλέρεηα ηεο άζθεζεο θάλνπκε νξηζκέλεο παξαδνρέο γηα ηα ηκήκαηα ηνπ αξηζκνύ ζε

αλαπαξάζηαζε θηλεηήο ππνδηαζηνιήο. Οη παξαδνρέο πνπ θάλνπκε είλαη νη αθόινπζεο:

Π1. Αλ ν αξηζκόο είλαη ζεηηθόο, ε mantissa είλαη έλαο (ζεηηθόο) αξηζκόο κεγαιύηεξνο ή ίζνο από ηε

κνλάδα θαη κηθξόηεξνο από ην 2, δειαδή ζην δπαδηθό ζύζηεκα έρεη ηε κνξθή 1,Υ1Υ2…, όπνπ

ηα Υ1, Υ2 είλαη δπαδηθά ςεθία. ηελ παξάζηαζε πνπ πξνηείλεηαη, ην αξρηθό 1 παξαιείπεηαη.

Έηζη, αλ κηιάκε γηα κηα mantissa κε ηηκή 1,10, παξίζηαηαη σο 10.

Π2. Γηα λα παξαζηήζνπκε ην κεδέλ, ρξεζηκνπνηνύκε κόλν κεδεληθά ςεθία γηα ην πξόζεκν, ηε

mantissa θαη ηνλ εθζέηε.


Π3. ηελ παξάζηαζε πνπ ζα παξνπζηάζνπκε, ρξεζηκνπνηνύκε ζπλνιηθά 6 δπαδηθά ςεθία, εθ ησλ

νπνίσλ ην έλα (ην πξώην από αξηζηεξά) ρξεζηκνπνηείηαη γηα ην πξόζεκν (sign), ηα δύν επόκελα

ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ην θιαζκαηηθό κέξνο (mantissa) θαη ηα 3 ηειεπηαία ρξεζηκνπνηνύληαη γηα

ηνλ εθζέηε (exponent).

Έηζη, ζηελ θσδηθνπνίεζε απηή, ε παξάζηαζε

sign mantissa exponent

0 11 110

αθνξά ζηνλ αξηζκό: (-1)0 × 1,11 × 2

110

Ο αξηζκόο απηόο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ππνινγίδεηαη σο αθνινύζσο (ν αξλεηηθόο εθζέηεο

110 αληηζηνηρεί ζην 001+1= 010):

(-1)0 × 1,11 × 2

-2 =

1 × (1×20 + 1×2

-1 + 1×2

-2) × 2

-2 = 1 × (1+ 0.5 + 0.25) × ¼ =1. 75 × ¼ = 0,4375.

Παξόκνηα, ε παξάζηαζε:


1 11 110

αθνξά ζηνλ αξηζκό

(-1)1 × 1,11 × 2

110

Ο αξηζκόο απηόο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ππνινγίδεηαη σο αθνινύζσο:

(-1)1 × 1,11 × 2

-2 =

(-1) × (1×20 + 1×2

-1 + 1×2

-2) × 2

-2 = (-1) × (1+ 0.5 + 0.25) × ¼ = -1. 75 × ¼ = -0,4375.

Αληίζηνηρα εξγαδόκαζηε γηα ζεηηθνύο εθζέηεο.


Με βάζε ηα όζα αλαθέξνληαη πην πάλσ:

1. πκπιεξώζηε ζηνλ αθόινπζν πίλαθα πνηνλ αξηζκό ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο αλαπαξηζηά

θαζεκία από ηηο ζεηηθέο παξαζηάζεηο ζηελ πξναλαθεξζείζα αξρηηεθηνληθή:

sign mantissa exponent Τιμή (δεκαδικό ζύζηημα)

0 00 000

0 00 001

0 00 010


0 00 011

0 00 100

0 00 101

0 00 110

0 00 111

0 01 000

0 01 001

0 01 010

0 01 011

0 01 100

0 01 101

0 01 110

0 01 111

0 10 000

0 10 001

0 10 010

0 10 011

0 10 100

0 10 101

0 10 110

0 10 111

0 11 000

0 11 001

0 11 010

0 11 011

0 11 100

0 11 101

0 11 110

0 11 111

2. ρεδηάζηε έλα θύθισκα ην νπνίν ζα έρεη 6 εηζόδνπο (ηα έμη δπαδηθά ςεθία ηνπ αξηζκνύ,

δειαδή sign, mantissa θαη exponent) θαη κία έμνδν κε ην όλνκα zero. Ζ έμνδνο ηνπ θπθιώκαηνο

ζα είλαη „1‟ όηαλ ν αξηζκόο έρεη ηελ ηηκή 0 (όηαλ όια ηα ςεθία ηνπ είλαη 0) θαη „0‟ ζε

νπνηαδήπνηε άιιε πεξίπησζε.

3. Γηα ηελ πινπνίεζε ησλ αξηζκεηηθώλ πξάμεσλ ζηνλ ππνινγηζηή ρξεζηκνπνηνύληαη ινγηθά

θπθιώκαηα. Εεηείηαη ε ζρεδίαζε ελόο θπθιώκαηνο κε εηζόδνπο ηα ςεθία δύν αξηζκώλ ηνπ

ππνινγηζηή καο ζε αλαπαξάζηαζε θηλεηήο ππνδηαζηνιήο, ην νπνίν ζα απνθαζίδεη αλ ην

γηλόκελν ησλ δύν αξηζκώλ είλαη Θεηηθό, Αξλεηηθό ή Μεδέλ. Σν θύθισκα ζα έρεη ηξεηο εμόδνπο


(Θ, Α, Μ) θαη ζα ελεξγνπνηείηαη (ζα έρεη ηηκή 1) κία κόλν από απηέο, αλάινγα κε ην εάλ ην

απνηέιεζκα είλαη Θεηηθό, Αξλεηηθό ή Μεδέλ. Τπελζπκίδεηαη όηη ην γηλόκελν δύν αξηζκώλ είλαη

ζεηηθό αλ νη αξηζκνί είλαη νκόζεκνη, αξλεηηθό αλ είλαη εηεξόζεκνη θαη κεδέλ αλ θάπνηνο (ή θαη

νη δύν) είλαη κεδέλ.

Υπνδείμεηο:

1. Μπνξείηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε σο βάζε ην θύθισκα πνπ ζρεδηάζαηε ζηελ πξνεγνύκελε εξώηεζε

(2). Δπνκέλσο. ην θύθισκα ζα έρεη ηε κνξθή πνπ θαίλεηαη ζην αθόινπζν ρήκα. Εεηείηαη

ινηπόλ ε ζρεδίαζε ηνπ ηκήκαηνο πνπ έρεη ζεκεησζεί κε „?‟:

2. Μπνξείηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε ηελ παξαηήξεζε όηη ε έμνδνο M πξέπεη λα είλαη 1 όηαλ

ηνπιάρηζηνλ κία έμνδνο zero (zeroA, ή zeroB) είλαη 1. Δπνκέλσο πξόθεηηαη γηα κηα πύιε OR θαη

θαηά ζπλέπεηα δελ ρξεηάδεηαη λα ρξεζηκνπνηήζεηε ηε ινγηθή ζπλάξηεζε πνπ ζα πξνθύςεη από

ηνλ πίλαθα αιεζείαο γηα ηε δεκηνπξγία ηνπ θπθιώκαηόο ζαο.

3. Γηα ηηο εμόδνπο Μ, Θ, Α, ν πίλαθαο αιεζείαο ζα έρεη ηελ αθόινπζε κνξθή (αμίδεη λα ζεκεησζεί

όηη όηαλ sA=1, ηόηε ην zeroA δελ κπνξεί λα είλαη 1. Αληίζηνηρα, όηαλ sB = 1 ην zeroB δελ κπνξεί

λα είλαη 1. Δπνκέλσο, νη ζθηαζκέλεο γξακκέο ηνπ πίλαθα αληηζηνηρνύλ ζε ζπλδπαζκνύο πνπ δελ

κπνξνύλ λα εκθαληζηνύλ, ηηο εκθαλίδνπκε όκσο γηα ιόγνπο πιεξόηεηαο).


sA sB zeroA zeroB Μ Θ Α

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1


Δπώηηζη 1

Ο δεηνύκελνο πίλαθαο είλαη ν εμήο:


0 00 000 (-1)0 1,00 2

000 1×1 ×2

0 0

0 00 001 (-1)0 1,00 2

001 1×1 ×2

1 2

0 00 010 (-1)0 1,00 2

010 1×1 ×2

2 4

0 00 011 (-1)0 1,00 2

011 1×1 ×2

3 8

0 00 100 (-1)0 1,00 2

100 1×1 ×2

-4 0,0625

0 00 101 (-1)0 1,00 2

101 1×1 ×2

-3 0,125

0 00 110 (-1)0 1,00 2

110 1×1 ×2

-2 0,25

0 00 111 (-1)0 1,00 2

111 1×1 ×2

-1 0,5

0 01 000 (-1)0 1,01 2

000 1×1,25×2

0 1,25

0 01 001 (-1)0 1,01 2

001 1×1,25×2

1 2,5

0 01 010 (-1)0 1,01 2

010 1×1,25×2

2 5

0 01 011 (-1)0 1,01 2

011 1×1,25×2

3 10

0 01 100 (-1)0 1,01 2

100 1×1,25×2

-4 0,078125

0 01 101 (-1)0 1,01 2

101 1×1,25×2

-3 0,15625

0 01 110 (-1)0 1,01 2

110 1×1,25×2

-2 0,3125

0 01 111 (-1)0 1,01 2

111 1×1,25×2

-1 0,625


0 10 000 (-1)0 1,10 2

000 1×1,5×2

0 1,5

0 10 001 (-1)0 1,10 2

001 1×1,5×2

1 3

0 10 010 (-1)0 1,10 2

010 1×1,5×2

2 6

0 10 011 (-1)0 1,10 2

011 1×1,5×2

3 12

0 10 100 (-1)0 1,10 2

100 1×1,5×2

-4 0,09375

0 10 101 (-1)0 1,10 2

101 1×1,5×2

-3 0,1875

0 10 110 (-1)0 1,10 2

110 1×1,5×2

-2 0,375

0 10 111 (-1)0 1,10 2

111 1×1,5×2

-1 0,75

0 11 000 (-1)0 1,11 2

000 1×1,75×2

0 1,75

0 11 001 (-1)0 1,11 2

001 1×1,75×2

1 3,5

0 11 010 (-1)0 1,11 2

010 1×1,75×2

2 7

0 11 011 (-1)0 1,11 2

011 1×1,75×2

3 14

0 11 100 (-1)0 1,11 2

100 1×1,75×2

-4 0,109375

0 11 101 (-1)0 1,11 2

101 1×1,75×2

-3 0,21875

0 11 110 (-1)0 1,11 2

110 1×1,75×2

-2 0,4375

0 11 111 (-1)0 1,11 2

111 1×1,75×2

-1 0,875

Δπώηηζη 2

ύκθσλα κε ηελ εθθώλεζε ηεο άζθεζεο ην θύθισκα ζα είλαη κία πύιε NOR έμη εηζόδσλ (εμ

νξηζκνύ). Οη είζνδνη ηεο πύιεο ζα είλαη ηα ςεθία ηνπ θπθιώκαηνο θαη ε έμνδνο ζα είλαη ε έμνδνο ηνπ

θπθιώκαηνο. Ηζνδύλακα, κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε κία πύιε OR έμη εηζόδσλ, ηεο νπνίαο ε

έμνδνο ζα ζπλδεζεί ζηελ είζνδν κίαο πύιεο NOT. Αλ ζεσξήζνπκε όηη ηα ςεθία ηνπ αξηζκνύ

ζπκβνιίδνληαη κε s, m1, m0, e2, e1, e0 γηα ηα ςεθία ηνπ πξόζεκνπ, ηεο mantissa θαη ηνπ εθζέηε

αληίζηνηρα, ηόηε έρνπκε ην αθόινπζν ινγηθό θύθισκα:

Δπώηηζη 3

Γηα ηε ιύζε κπνξνύκε λα ζθεθηνύκε σο εμήο:

Ζ έμνδνο M πξέπεη λα είλαη 1 όηαλ ηνπιάρηζηνλ κία έμνδνο zero είλαη 1.

Ζ έμνδνο Θ πξέπεη λα είλαη „1‟ όηαλ νη αξηζκνί έρνπλ ην ίδην πξόζεκν (sΑ = sB) θαη ην Μ δελ είλαη „1‟.


Ζ έμνδνο Α πξέπεη λα είλαη „1‟ όηαλ νη αξηζκνί έρνπλ δηαθνξεηηθό πξόζεκν (sA sB) θαη ην Μ δελ

είλαη „1‟.

Δπνκέλσο, ν πίλαθαο αιεζείαο είλαη ν αθόινπζνο:

sA sB zeroA zeroB M Θ Α

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0

1 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 1 0 0

Με βάζε ηνλ πην πάλσ πίλαθα αιεζείαο κπνξνύκε λα εμάγνπκε ηηο ινγηθέο ζπλαξηήζεηο γηα ηηο

εμόδνπο Μ, Θ, Α σο αθνινύζσο:

Θ = sA'.sB'.zeroA'.zeroB' + sA.sB.zeroA'.zeroB'

Α = sA'.sB.zeroA'.zeroB' + sA.sB'.zeroA'.zeroB'

Μ = sA'.sB'.zeroA'.zeroB + sA'.sB'.zeroA.zeroB' + sA'.sB'.zeroA.zeroB + sA'.sB.zeroA'.zeroB +

sA'.sB.zeroA.zeroB' + sA'.sB.zeroA.zeroB + sA.sB'.zeroA'.zeroB + sA.sB'.zeroA.zeroB' + sA.sB'.zeroA.zeroB +

sA.sB.zeroA'.zeroB + sA.sB.zeroA.zeroB' + sA.sB.zeroA.zeroB

Ωζηόζν, γηα ηε ζρεδίαζε πνπ αθνξά ζηελ έμνδν Μ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ππόδεημε 2. Έηζη

κπνξνύκε λα ζρεδηάζνπκε ην αθόινπζν ινγηθό θύθισκα:


5.8 Τλοποίηζη Απιθμηηικών ππάξεων με Λογικέρ πύλερ (1)


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηε ιεηηνπξγία ηνπ ζπλδπαζηηθνύ θπθιώκαηνο ηνπ εκη-αθαηξέηε (Half

Subtractor, HS), κε ηνλ πξνζδηνξηζκό πηλάθσλ αιεζείαο θαη ινγηθώλ ζπλαξηήζεσλ θαη κε ηε

ζρεδίαζε ινγηθώλ θπθισκάησλ.


Ζ αθαίξεζε δύν δπαδηθώλ αξηζκώλ κπνξεί λα πινπνηεζεί κε έλα ινγηθό θύθισκα. Κάζε bit (δπαδηθό

ςεθίν) ηνπ αθαηξεηένπ αθαηξείηαη από ην αληίζηνηρεο ζέζεο bit ηνπ κεησηένπ θαη δίλεη έλα bit

δηαθνξάο. Δάλ ην bit ηνπ κεησηένπ είλαη κηθξόηεξν από ην bit ηνπ αθαηξεηένπ, δαλεηδόκαζηε κηα

κνλάδα από ηελ ακέζσο επόκελε πην ζεκαληηθή ζέζε. O ημι-αθαιπέηηρ (Half Subtractor, HS) είλαη

έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα δύν εηζόδσλ X, Y θαη δύν εμόδσλ D (Difference – Γηαθνξά) θαη B

(Borrow - Γαλεηθό) πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ πινπνίεζε ηεο αθαίξεζεο. Σν θύθισκα απηό δίλεη


ζηελ έμνδό ηνπ D ηε δηαθνξά ησλ δύν εηζόδσλ (X - Y) θαη ζηελ έμνδό ηνπ B ηελ έλδεημε δαλεηζκνύ

κνλάδαο γηα ηελ αθαίξεζε. Σν πεξίγξακκά ηνπ θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα, καδί κε ηνλ αληίζηνηρν

πίλαθα αιεζείαο:

X Y B D

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0


Α) Να θαηαζθεπαζηνύλ: 1) νη ινγηθέο ζπλαξηήζεηο ησλ 2 εμόδσλ θαη 2) ην αληίζηνηρν ινγηθό

θύθισκα.

Β) Έζησ ην αθόινπζν θύθισκα, ζην νπνίν έρνπκε ζπλδέζεη ηξεηο εκη-αθαηξέηεο κε ηε

ζπλδεζκνινγία πνπ θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα:

Να ζπκπιεξώζεηε ηνλ παξαθάησ πίλαθα κε ηνπο δηάθνξνπο ζπλδπαζκνύο ηηκώλ ησλ εηζόδσλ

Υ2, Υ1, Υ0:

X HS D

B

Y

X0 D0

1

X1 D1

X2 D2

D3

B0

B1


Υ2 Υ1 Υ0 D3 D2 D1 D0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Πεξηγξάςηε κε ιόγηα ηε ιεηηνπξγία ηνπ θπθιώκαηνο ζεσξώληαο όηη ηα Υ2, Υ1 θαη Υ0 είλαη ηα

ςεθία ελόο ηξηςήθηνπ δπαδηθνύ αξηζκνύ, όπνπ ην Υ2 είλαη ην πην ζεκαληηθό (πςειήο ηάμεσο)

ςεθίν θαη ην Υ0 ην ιηγόηεξν ζεκαληηθό (ρακειήο ηάμεσο) ςεθίν.


Δπώηηζη Α

Οη ινγηθέο ζπλαξηήζεηο ησλ 2 εμόδσλ είλαη:

D = X' Y + X Y' = X XOR Y

B = X' Y

Σν αληίζηνηρν ινγηθό θύθισκα είλαη ην εμήο:


Δπώηηζη Β

Ο δεηνύκελνο πίλαθαο είλαη ν εμήο:

Υ2 Υ1 Υ0 D3 D2 D1 D0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

Σν θύθισκα κεηώλεη ηελ ηηκή ηνπ Υ2Υ1Υ0 θαηά 1, αλ ην Υ2Υ1Υ0 είλαη κεγαιύηεξν ηνπ 0. Αλ είλαη

ίζν κε ην 0, επηζηξέθεη όιν 1 ζηηο εμόδνπο (αμίδεη λα αλαθεξζεί όηη αλ ζεσξήζνπκε ην D3D2D1D0

σο ηεηξαςήθην πξνζεκαζκέλν δπαδηθό αξηζκό, ε παξάζηαζε 1111 αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή -1,

επνκέλσο θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ Υ2Υ1Υ0 = 000, ην θύθισκα πξαγκαηνπνηεί κείσζε θαηά έλα).

5.9 Τλοποίηζη Απιθμηηικών ππάξεων με Λογικέρ πύλερ (2)


Ζ εμνηθείσζε ηνπ θνηηεηή κε ηε ιεηηνπξγία ηνπ ζπλδπαζηηθνύ θπθιώκαηνο ηνπ πιήξνπο αθαηξέηε

(Full Subtractor, FS) θαη κε ηνλ ηξόπν ιεηηνπξγίαο ησλ ινγηθώλ θπθισκάησλ.


Ο πλήπηρ αθαιπέηηρ (Full Subtractor, FS) είλαη έλα θύθισκα κε ηξεηο εηζόδνπο θαη δύν εμόδνπο, ηηο

νπνίεο ζπκβνιίδνπκε κε (Υ, Τ, Β-1) θαη (D, B) αληίζηνηρα. Ζ ιεηηνπξγία ηνπ είλαη αλάινγε κε ηε

ιεηηνπξγία ηνπ εκη-αθαηξέηε (βι. Άζθεζε 7). Ζ είζνδνο B-1 είλαη ην θξαηνύκελν (ε έμνδνο Β) πνπ

έξρεηαη από ηελ πξνεγνύκελε βαζκίδα θαη ρξεζηκνπνηείηαη όηαλ αθαηξνύκε αξηζκνύο πνιιώλ

δπαδηθώλ ςεθίσλ. Σν πεξίγξακκα ηεο ιεηηνπξγίαο ηνπ θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα, καδί κε ηνλ

αληίζηνηρν πίλαθα αιεζείαο:


X Y B-

1

B D

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

Ο πιήξεο αθαηξέηεο κπνξεί λα πινπνηεζεί ρξεζηκνπνηώληαο δύν εκη-αθαηξέηεο θαη κία πύιε δύν

εηζόδσλ όπσο θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα (ζην αξηζηεξό κέξνο ηνπ ζρήκαηνο παξνπζηάδνπκε

ηξνπνπνηεκέλν ην δηάγξακκα ηνπ εκη-αθαηξέηε γηα επθνιία αλαθνξάο):


Πνηα ή πνηεο πύιεο (από ηηο AND, OR, XOR, NAND, NOR, XNOR) κπνξνύκε λα ηνπνζεηήζνπκε

ζην ζεκείν πνπ ζεκεηώλεηαη κε «?» ώζηε ην ινγηθό θύθισκα ηνπ ζρήκαηνο λα πινπνηεί ηελ πξάμε

ηεο πιήξνπο αθαίξεζεο; Να εμεγήζεηε αλαιπηηθά ην ζθεπηηθό ζαο.


Πξνθεηκέλνπ λα απνθαζίζνπκε γηα ην είδνο ηεο πύιεο, νλνκαηίδνπκε ηα ελδηάκεζα ζήκαηα όπσο

θαίλεηαη ζην αθόινπζν ζρήκα:

X

FS

D

B

Y

B-1

XHS

D

Y B

XHS

B-1

Y

HS

D

? B


XHS

B-1

Y

HS

D

? B

K

L M

ηε ζπλέρεηα θαηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα αιεζείαο πεξηιακβάλνληαο ηα ζήκαηα K, L, M:

X Y B-1 K L M B D

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 1

Παίξλνπκε ηνπο δπλαηνύο ζπλδπαζκνύο ησλ L θαη Μ, ηνπο βάδνπκε ζε έλα λέν πίλαθα αιεζείαο καδί

κε ην Β θαη πξνθύπηεη ν πίλαθαο αιήζεηαο ηεο πύιεο:

L M B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

Παξαηεξώληαο ηώξα ηνλ λέν πίλαθα αιεζείαο, κπνξνύκε λα δνύκε όηη ν ζπλδπαζκόο εηζόδσλ (1,1)

δελ εκθαλίδεηαη, ελώ εκθαλίδνληαη νη άιινη ηξεηο ζπλδπαζκνί (0,0), (0,1), (1,0). Δπίζεο, ε έμνδνο Β

είλαη „1‟, όπνηε ηνπιάρηζηνλ έλα από ηα L, M είλαη „1‟. Τπάξρνπλ δύν πύιεο πνπ ηθαλνπνηνύλ ην

δεηνύκελν. Ζ πύιε OR (ε νπνία γηα ηνλ ζπλδπαζκό εηζόδσλ (1,1) πνπ δελ καο ελδηαθέξεη δίλεη

απνηέιεζκα 1) θαη ε πύιε XOR (ε νπνία γηα ην ζπλδπαζκό εηζόδσλ (1,1) πνπ δελ καο ελδηαθέξεη

δίλεη απνηέιεζκα 0). Δπνκέλσο, νη δεηνύκελεο πύιεο είλαη ε πύιε OR θαη ε πύιε XOR.


Παπάπηημα: Πεπιγπαθή και σπήζη ηος επγαλείος Gates

Για ηην Δύπεζη Λογικών ςναπηήζεων ςνδςαζηικών Κςκλωμάηων

και ηος Πίνακα Αληθείαρ

κοπόρ

Σν εξγαιείν Gates (δηαζέζηκν γηα download γηα ηνπο θνηηεηέο ηνπ ΔΑΠ από ηε δηεύζπλζε

http://edy.eap.gr/dspace/handle/123456789/72) αλαπηύρζεθε ώζηε λα κπνξεί ν ρξήζηεο ηνπ λα

βξίζθεη ηηο ινγηθέο ζπλαξηήζεηο ηόζν ηεο εμόδνπ ηεο θάζε πύιεο πνπ πεξηιακβάλεηαη ζ‟ έλα ινγηθό

θύθισκα, όζν θαη ησλ εμόδσλ ηνπ θπθιώκαηνο, θαζώο επίζεο θαη ηηο δπαδηθέο ηηκέο ηνπο θαη ην

ζρεηηθό Πίλαθα Αιεζείαο.

Γςναηόηηηερ

1. ρεδίαζε ηεο πύιεο NOT θαη ησλ ππιώλ 2 εηζόδσλAND, OR, XOR, XNOR, NAND θαηNOR

2. Πξνζζήθε θαη Δπηινγή ηηκήο ησλ κεηαβιεηώλ εηζόδνπ: W,Υ,Τ,Ε

3. Πξνζζήθε εμόδσλ: OUT

4. ρεδίαζε ή δηαγξαθή ζπλδέζκσλ

5. Απνζήθεπζε ζε / Δπαλαθνξά από αξρείν (*.GTS)

σεδιαζμόρ κςκλώμαηορ


Ζ επηθάλεηα εξγαζίαο ηνπ εξγαιείνπ Gates πεξηιακβάλεη έλα πιέγκα ζρεδίαζεο απνηεινύκελν από 4

γξακκέο θαη 4 ζηήιεο (δείηε ην θαησηέξσ ζρήκα). ην αξηζηεξό κέξνο ππάξρεη κία ζηήιε κε ηηο

επηινγέο ππιώλ, κεηαβιεηώλ εηζόδσλ θαη εμόδνπ, ελώ ζην θάησ κέξνο εκθαλίδνληαη νη ινγηθέο

ζπλαξηήζεηο εμόδνπ ησλ ππιώλ.

Πποζθήκη ζηοισείος κςκλώμαηορ (πύλη, μεηαβληηή ειζόδος ή έξοδορ)

1. Σα ζηνηρεία ηνπ θπθιώκαηνο ηνπνζεηνύληαη ζε πξνθαζνξηζκέλεο ζέζεηο κέζα ζην πιέγκα

ζρεδίαζεο. πγθεθξηκέλα, ζε θάζε νξζνγώλην ηνπ πιέγκαηνο ππάξρνπλ πέληε ζέζεηο

ηνπνζέηεζεο: (α) πάλσ αξηζηεξά, (β) πάλσ δεμηά, (γ) θάησ δεμηά, (δ) θάησ αξηζηεξά θαη (ε)

ζην θέληξν.

2. Δπηιέμηε κία από ηηο επηινγέο (πύιε, κεηαβιεηή εηζόδνπ ή έμνδνο) πνπ εκθαλίδνληαη ζηελ

αξηζηεξή ζηήιε (ή, ελαιιαθηηθά, κέζσ ηνπ κελνύ ΠΡΟΘΖΚΖ) θαη ζηε ζπλέρεηα ζύξεηε ην

πνληίθη κέζα ζην πιέγκα ζρεδίαζεο. Σνπνζεηήζηε ηελ επηινγή ζαο ζηε ζέζε πνπ εκθαλίδεηαη

κε κπιε ρξώκα θάλνληαο αξηζηεξό θιηθ κέζα ζηελ πεξηνρή ζρεδίαζεο.


3. Τπάξρεη ε δπλαηόηεηα ηνπνζέηεζεο ηεο ίδηαο εηζόδνπ πεξηζζόηεξεο από κία θνξέο γηα ηελ

απινπνίεζε ησλ ζπλδέζεσλ.

4. Τπάξρεη ε δπλαηόηεηα ηνπνζέηεζεο εμόδσλ ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηνπ θπθιώκαηνο.

Πποζθήκη ζςνδέζμος

1. Δπηιέμηε από ην κελνύ ΠΡΟΘΖΚΖ ΤΝΓΔΖ ΠΤΛΩΝ.

2. Σνπνζεηήζηε ηνλ θέξζνξα ηνπ πνληηθηνύ ζε κία είζνδν ή έμνδν ελόο ζηνηρείνπ (θόθθηλε ή

κπιε θνπθθίδα αληίζηνηρα) θαη ζα εκθαληζηεί έλαο θόθθηλνο θύθινο.

3. Παηήζηε αξηζηεξό θιηθ θαη, κε παηεκέλν ην πιήθηξν ηνπ πνληηθηνύ, ζύξεηε ην πνληίθη κέρξη

κία άιιε είζνδν ή έμνδν ελόο άιινπ ζηνηρείνπ, όπνπ ζα εκθαληζηεί μαλά ν θόθθηλνο θύθινο.

(ζε όιε ηε δηάξθεηα απηήο ηεο δηαδηθαζίαο εκθαλίδεηαη κία δηαθεθνκκέλε γξακκή)

4. Απειεπζεξώζηε ην πιήθηξν ηνπ πνληηθηνύ γηα λα πξνζζέζεηε ην ζύλδεζκν


Πξνζνρή: Δελ ππάξρεη δπλαηόηεηα αιιαγήο ηεο ηνπνζέηεζεο ηωλ ζπλδέζεωλ θαη έηζη ζε θάπνηεο

πεξηπηώζεηο ην θύθιωκα κπνξεί λα κελ είλαη επδηάθξηην.

Γιαγπαθή ζηοισείος κςκλώμαηορ (πύλη, μεηαβληηή ειζόδος ή έξοδορ)

1. Δπηιέμηε από ην κελνύ ΓΗΑΓΡΑΦΖΓΗΑΓΡΑΦΖΣΟΗΥΔΗΟΤ.

2. Δπηιέμηε ην ζηνηρείν πνπ ζέιεηε λα δηαγξάςεηε κεηαθηλώληαο ην πνληίθη ζηελ αληίζηνηρε ζέζε

ηεο πεξηνρήο ζρεδίαζεο, νπόηε θαη ην ζηνηρείν εκθαλίδεηαη κε κσβ ρξώκα.

3. Παηήζηε αξηζηεξό θιηθ θαη ζηελ νζόλε ζα εκθαληζηεί εξώηεζε επηβεβαίσζεο γηα ηε

δηαγξαθή απηή.

4. Παηήζηε «Yes» θαη ην ζηνηρείν πνπ επηιέμαηε, καδί κε όινπο ηνπο ζπλδέζκνπο ηνπ, ζα

δηαγξαθνύλ.

Γιαγπαθήζςνδέζμος

1. Δπηιέμηε από ην κελνύ ΓΗΑΓΡΑΦΖ ΓΗΑΓΡΑΦΖΤΝΓΔΖ.


2. Αθνινπζήζηε ηα βήκαηα 2, 3 θαη 4 ηεο Πξνζζήθεο ζπλδέζκνπ θαη ν ζύλδεζκνο ζα δηαγξαθεί.

Πξνζνρή: Καηά ηε δηάξθεηα απηήο ηεο δηαδηθαζίαο δελ εκθαλίδεηαη ε δηαθεθνκκέλε γξακκή.

Δπίλςζη κςκλώμαηορ & εμθάνιζη Πίνακα Αληθείαρ

Έζησ ην θύθισκα ηνπ θαησηέξσ ζρήκαηνο (είλαη απνζεθεπκέλν σο Example.GTS ζην αξρείν

δηαλνκήο Gates.zip ηνπ εξγαιείνπ).Παξαηεξήζηε όηη έρεη 4 εηζόδνπο (W, X, Y θαη Z αληίζηνηρα) θαη

2 εμόδνπο (OUT1 θαη OUT2 αληίζηνηρα).

Δπιλογή ηιμήρ ζε μεηαβληηή ειζόδος

ην θύθισκα ηνπ παξαδείγκαηνο, παξαηεξήζηε όηη νη κεηαβιεηέο εηζόδνπ W, X, Y, Zέρνπλ ιάβεη ηηο

ηηκέο 0, 1, 1 θαη 0 αληίζηνηρα. Γηα λα αιιάμεηε ηεο ηηκή κηαο κεηαβιεηήο εηζόδνπ αθνινπζείζηε ηελ

θαησηέξσ δηαδηθαζία:

1. Σνπνζεηήζηε ηνλ θέξζνξα ηνπ πνληηθηνύ πάλσ ζηε κεηαβιεηή θαη παηήζηε δεμί θιηθ.


2. Θα εκθαληζηεί κία θόξκα ζηελ νπνία κπνξείηε λα επηιέμεηε ηελ ηηκή 0 ή ηελ ηηκή 1.

Πξνζνρή: Οη ηηκέο ηωλ κεηαβιεηώλ εηζόδνπ εκθαλίδνληαη κόλν εάλ έρεηε επηιέμεη από ην κελνύ

ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΔΥΑΔΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ.

Δπίλςζη κςκλώμαηορ

1. Δπηιέμηε από ην κελνύ ΔΚΣΔΛΔΖΔΠΗΛΤΖ.

2. Με ηελ επίιπζε θπθιώκαηνο εκθαλίδνληαη νη ινγηθέο ζπλαξηήζεηο εμόδνπ ησλ ππιώλ ζην

θάησ κέξνο ηεο νζόλεο.


Δάλ δελ είλαη ελεξγνπνηεκέλε ε επηινγή «Δκθάληζε όισλ ησλ Δμόδσλ», ηόηε ζην θάησ κέξνο

ηεο νζόλεο εκθαλίδνληαη κόλν νη ινγηθέο ζπλαξηήζεηο ησλ ηειηθώλ εμόδσλ ηνπ θπθιώκαηνο

θαη όρη ησλ ελδηάκεζσλ ππιώλ.

3. Δπίζεο, εάλ είλαη ελεξγνπνηεκέλε θαη ε επηινγή «Δκθάληζε Γπαδηθώλ Σηκώλ», ηόηε θαηά ηελ

επίιπζε ζα εκθαληζηνύλ θαη όιεο νη δπαδηθέο ηηκέο ησλ εμόδσλ ησλ ππιώλ.

Τπολογιζμόρ Πίνακα Αληθείαρ

1. Δπηιέμηε από ην κελνύ ΔΚΣΔΛΔΖ ΠΗΝΑΚΑ ΑΛΖΘΔΗΑ.


Μηνύμαηα Λάθοςρ

Μήνςμα Λάθοςρ Δπεξήγηζη – Πποηεινόμενη ενέπγεια

Ζ ΘΤΡΑ ΔΗΝΑΗ ΖΓΖ ΤΝΓΔΜΔΝΖ ε κία είζνδν δελ κπνξεί λα ππάξρνπλ δύν ζύλδεζκνη.

ΛΑΘΟ ΤΝΓΔΖ Πξνζπαζήζαηε λα δεκηνπξγήζεηε έλαλ άθπξν

ζύλδεζκν (π.ρ., από κία είζνδν ζε κία άιιε είζνδν ή

από είζνδν ζε έμνδν ηεο ίδηαο πύιεο)

Πξνζπαζήζαηε λα δηαγξάςεηε έλαλ αλύπαξθην

ζύλδεζκν.

ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΣΖΝ (ΠΤΛΖ) Μία από ηηο εηζόδνπο θάπνηαο πύιεο είλαη αζύλδεηε.

Πξέπεη λα ζπλδεζεί κε κία κεηαβιεηή εηζόδνπ ή κε ηελ

έμνδν κίαο άιιεο πύιεο.

ΣΟ ΚΤΚΛΩΜΑ ΓΔΝ ΔΗΝΑΗ

ΤΝΓΤΑΣΗΚΟ Ή ΠΗΘΑΝΟΝ

ΚΑΠΟΗΑ ΠΤΛΖ ΝΑ ΔΗΝΑΗ

ΑΤΝΓΔΣΖ

Γελ επηηξέπεηαη ε έμνδνο κίαο πύιεο λα είλαη είζνδνο

κίαο άιιεο ηεο νπνίαο ε έμνδνο είλαη ζπλδεδεκέλε κε

ηελ είζνδν ηεο πξώηεο.

ΓΔΝ ΒΡΔΘΖΚΑΝ ΔΗΟΓΟΗ ΔΞΟΓΟΗ Γηα ηελ εκθάληζε ηνπ Πίλαθα Αιεζείαο είλαη

απαξαίηεην λα ππάξρνπλ ηνπιάρηζηνλ κία είζνδνο θαη

κία έμνδνο. Πξέπεη λα εηζάγεηε εηζόδνπο (κεηαβιεηέο

W,X,Y,Z) θαη εμόδνπο (OUT).

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Documents

Transcript of ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ