ΑΠΟ ΣΗ ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΗ ΣΙ

ΕΞΙΩΕΙ ΚΙΝΗΗ

Η Lagrangian ενός σωματιδίου μάζας m είναι:

( )

at

mL e T V (1)

τη σχέση (1):

Σο a είναι σταθερά,

2 2 21( )

2T m x y z είναι η κινητική ενέργεια,

( , , )V V x y z είναι η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου.

Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης για το εν λόγω σωματίδιο.

Η Lagrangian γράφεται:

( )a

tmL e T V ή

2 2 21

[ ( ) ( , , )]2

at

mL e m x y z V x y z (2)

Έχουμε λοιπόν:

12

2

a at t

m mL

e m x e mxx

(3)

( )a a

t tm m

d L ae mx e mx

dt x m

ή

( ) ( )

at

md L

e mx axdt x

(4)

Και:

( , , )a

tm

L V x y ze

x x

(5)

Για τη συγκεκριμένη συντεταγμένη η εξίσωση Lagrange

γράφεται:

( ) 0

d L L

dt x x

(6)

Από τις σχέσεις(4), (5) και (6) έχουμε:

( , , )( ) 0

a at t

m mV x y z

e mx ax ex

ή

( , , )V x y zmx ax

x

(7)

Ή απλουστεύοντας τη γραφή: ( , , )V x y z V

Vmx ax

x

(8)

Δουλεύοντας με ανάλογο τρόπο:

Vmy ay

y

(9)

Vmz az

z

(10)

Οι εξισώσεις (8), (9) και (10) μπορούν να συνδυασθούν και να

γραφούν σε διανυσματική μορφή:

mr ar V

(11)

την εξίσωση κίνησης (11), ο όρος V αντιστοιχεί σε

συντηρητική δύναμη που απορρέει από το δυναμικό V , ενώ ο όρος

ar αντιστοιχεί σε δύναμη αντίστασης (αντίθετης στην ταχύτητα).

ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ