Μιχάλης Δρακόπουλος...

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Δρακόπουλος

Σημειώσεις Τμ. Χημείας Α.Ε. 2016–2017


Περιεχόμενα

1 Βασικές έννοιες 31.1 Η εκθετική συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Παράγωγος συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Σειρές Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Σχέση παραγώγου-ολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Διαφορικές εξισώσεις - ορισμοί και παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . 131.5.1 Η πιο σημαντική διαφορική εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.3 Συστήματα και σήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 172.1 Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Επίλυση με ολοκληρωτικούς παράγοντες . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Η αρχή της επαλληλίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Λύση ως συνδυασμός λύσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Γραμμικές εξισώσεις με σταθερό συντελεστή . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Παροδική και σταθερή κατάσταση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Σταθερή είσοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Εκθετική είσοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Η συνάρτηση Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.1 Απόκριση σε συνάρτηση Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Ασυνεχής είσοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Η συνάρτηση Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8.1 Απόκριση σε συνάρτηση Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.9 Μιγαδικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10 Μιγαδική εκθετική είσοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 Τριγωνομετρική είσοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.11.1 Λύση με προσδιοριστέους συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.11.2 Λύση σε πολικές συντεταγμένες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.11.3 Μιγαδική λύση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.12 Η εξίσωση Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Μιχάλης Δρακόπουλος 1


2.12.1 Η λογιστική εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.12.2 Επίλυση με μερικά κλάσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.13 Αυτόνομες εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 493.1 Επίλυση της ομογενούς εξίσωσης δεύτερης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Αρμονικός ταλαντωτής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 Αρμονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Επίλυση της μη-ομογενούς εξίσωσης δεύτερης τάξης . . . . . . . . . . . . . 573.4 Αρμονικός ταλαντωτής με εξωτερικές δράσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.1 Τριγωνομετρική είσοδος χωρίς απόσβεση . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.2 Τριγωνομετρική είσοδος με απόσβεση . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Εκθετική είσοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6 Απόκριση σε συναρτήσεις Dirac και Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7 Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62



1 Βασικές έννοιες

Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αρχικά κάποια χρήσιμα “εργαλεία” του απειροστι-κού λογισμού τα οποία είναι προαπαιτούμενα για τις διαφορικές εξισώσεις, και στησυνέχεια γίνεται μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες των διαφορικών εξισώσεων.

Στην ανάπτυξη που ακολουθεί δίνεται περισσότερη έμφαση στην κατανόηση των εννοιώνκαι των εργαλείων αυτών, παρά στη μαθηματική αυστηρότητα της παρουσίασής τους.

1.1 Η εκθετική συνάρτηση

Κεντρική θέση στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις έχει η εκθετική συνάρτηση

y(t) = eat, a σταθερά.

Μερικές ιδιότητες:e0 = 1, eat+c = eceat, eat = 0

Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.1:

Αν a > 0 τότε limt→∞

eat = ∞ και limt→−∞

eat = 0

Αν a < 0 τότε limt→∞

eat = 0 και limt→−∞

eat = ∞

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

t

e−t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

t

et

Σχήμα 1.1: Γραφικές παραστάσεις et και e−t

1.2 Παράγωγος συνάρτησης

Έστω συνάρτηση f(t) ορισμένη σε κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Φαντα-στείτε, για παράδειγμα, ότι η f(t) είναι η απόσταση που έχει διανύσει ένας μαραθωνο-δρόμος σε χρόνο t. Ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t και t+∆t, ο δρομέας έχει διανύσει



απόσταση ∆f = f(t+∆t)− f(t). Η μέση ταχύτητα του δρομέα στο διάστημα αυτό είναι∆f/∆t .

φ

t+ ∆tt

f(t)

f(t+ ∆t)

A

B

∆f

∆t

Σχήμα 1.2: Μέση ταχύτητα

Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.2, η μέση ταχύτητα είναι η κλίση της χορδής ΑΒ (=tanϕ). Η μέση ταχύτητα μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τον μέσο ρυθμό μεταβολής τηςσυνάρτησης f σε ένα διάστημα αναφοράς.

Προφανώς, όσο μεταβάλλεται η θέση του Β ως προς το Α, μεταβάλλεται και η μέσηταχύτητα (μπορεί να μειώνεται ή να αυξάνεται στο συγκεκριμένο σχήμα). Αυτό που μαςενδιαφέρει είναι να γνωρίζουμε τη στιγμιαία ταχύτητα v(t) σε κάθε χρονική στιγμή t.Να γνωρίζουμε δηλαδή τι συμβαίνει όταν το σημείο Β ταυτίζεται με το Α, με άλλα λόγιαόταν η χορδή ΑΒ γίνει η εφαπτομένη ευθεία στο Α ή αλλιώς όταν ∆t → 0 (Σχήμα 1.3).

φ

t

f(t) A

Σχήμα 1.3: Στιγμιαία ταχύτητα

Η ταχύτητα του δρομέα σε κάθε χρονική στιγμή είναι επομένως η κλίση της εφαπτο-μένης ευθείας ή αλλιώς ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f τη δεδομένηχρονική στιγμή.



Η παράγωγος μιας συνάρτησης f(t) είναι η συνάρτηση

f ′(t) = lim∆t→0

∆f

∆t.

Γενικεύοντας το παράδειγμα του δρομέα,

• η γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου είναι η κλίση της εφαπτομένης σε κάθεσημείο της συνάρτησης·

• η φυσική σημασία της παραγώγου είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρ-τησης.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης ορίζονται ως παράγωγοι της αμέσως προηγούμενης τάξης.Έτσι η δεύτερη παράγωγος f ′′ μιας συνάρτησης f είναι η παράγωγος της πρώτης παρα-γώγου f ′ (είναι δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της εφαπτομένης, που καθορίζει την καμπυ-λότητα της συνάρτησης).

Οι συνηθέστεροι συμβολισμοί παραγώγων συναρτήσεων δίνονται στον Πίνακα 1.1.

Παράγωγος Leibniz Lagrange Newton Euler

1ης τάξης dy/dt y′ y Dy

2ης τάξης d2y/dt2 y′′ y D2y

n-οστης τάξης dny/dtn y(n) - Dny

Πίνακας 1.1: Συμβολισμός παραγώγων

Στη συνέχεια των σημειώσεων θα χρησιμοποιούμε κυρίως τον συμβολισμό του Leibnizκαι σπανιότερα εκείνον του Lagrange.

Οι παράγωγοι κάποιων βασικών συναρτήσεων είναι:

ddt(t

n) = ntn−1,ddt(sin t) = cos t, d

dt(cos t) = − sin t,ddt

(et)= et,

ddt(ln t) =

1

t

Υπενθυμίζονται επίσης οι βασικοί κανόνες παραγώγισης:

• Παράγωγος αθροίσματος:(αf + βg)′ = αf ′ + βg′

• Παράγωγος γινόμενου:(fg)′ = f ′g + fg′.

• Παράγωγος πηλίκου: (f

g

)=

f ′g − fg′

g2.



• Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης y(x(t)) (κανόνας αλυσίδας):

dydt =

dydx · dxdt

Παράδειγμα: αν y(x) = ex, x(t) = sin t τότε y(t) = esin t και η παράγωγος της ωςπρος t είναι dy/dt = esin t cos t = y cos t.

Το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού λέει ότι αν μια συνάρτηση f είναισυνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιμη στο (a, b), τότε υπάρχει ξ στο (a, b) τέτοιο ώστε:

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a.

Υπάρχει δηλαδή σημείο Ξ, η εφαπτομένη στο οποίο είναι παράλληλη στη χορδή AB(Σχήμα 1.4). Η f ′(ξ) είναι η μέση κλίση της f στο [a, b].

ta bξ

f(t)

y

A

B

Ξ

Σχήμα 1.4: Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού

Η αντιπαράγωγος (ή παράγουσα) μιας συνάρτησης f , είναι κάθε συνάρτηση F για τηνοποία dF/dt = f . Προφανώς η A(t) = F (t) + C , με C = σταθερά, είναι επίσης μιααντιπαράγωγος της f . Κάθε αντιπαράγωγος A(t) της f είναι επίσης της μορφής A(t) =F (t) + C , όπως αποδεικνύεται εύκολα με το θεώρημα μέσης τιμής (d(A− F )/dt = 0επομένως η συνάρτηση A− F είναι σταθερά).

1.3 Σειρές Taylor

Για “μικρά” ∆y, ∆t ισχύειdydt ≃ ∆y

∆t⇒ ∆y ≃ dy

dt∆t.

Έτσι προκύπτει η γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης y(t) κοντά σε κάποιο t0:

y(t0 +∆t) = y(t0) + ∆y = y(t0) + y′(t0)∆t.

Η παραπάνω σχέση είναι ακριβής για γραμμικές συναρτήσεις (σταθερή κλίση). Για άλλεςσυναρτήσεις, όσο μικρότερο είναι το ∆t τόσο καλύτερη η παραπάνω προσέγγιση. Στην



προσέγγιση αυτή δεν λαμβάνεται υπόψη καμιά πληροφορία σχετικά με την καμπυλότητατης συνάρτησης.

Η βασική ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε τα t0, y(t0), y′(t0), y

′′(t0), . . . , για να υπολογί-σουμε τιμές y(t) της συνάρτησης για t που βρίσκονται κοντά στο t0. Αν λάβουμε υπόψημας και τη δεύτερη παράγωγο (καμπυλότητα) της συνάρτησης έχουμε:

y(t0 +∆t) = y(t0) + y′(t0)∆t+y′′(t0)

2(∆t)2.

Η παραπάνω σχέση είναι ακριβής για παραβολές (σταθερή καμπυλότητα).

Η σειρές Taylor παριστάνουν μια συνάρτηση στη γειτονιά ενός σημείου t0 ως άθροισμααπείρων όρων:

y(t0 +∆t) =

∞∑n=0

y(n)(t0)

n!(∆t)n (1.1)

με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη.

Συνήθως το ανάπτυγμα Taylor χρησιμοποιείται προσεγγιστικά, παίρνοντας μόνο μερι-κούς όρους της σειράς. Για τις περισσότερες συναρτήσεις η προσέγγιση είναι ικανοποι-ητική για μικρές τιμές του ∆t. Όταν απομακρυνθούμε από το t0 η συνάρτηση μπορεί ναμεταβάλλεται απότομα και στην περίπτωση αυτή η σειρά Taylor δεν συγκλίνει. Συναρτή-σεις που συγκλίνουν για οποιοδήποτε ∆t σε μια γειτονιά του t0 ονομάζονται αναλυτικές.Η εκθετική συνάρτηση, το ημίτονο και το συνημίτονο είναι παραδείγματα αναλυτικώνσυναρτήσεων σε όλο το πεδίο ορισμού τους.

Για t0 = 0 και ∆t = t, η (1.1) γράφεται:

y(t) =

∞∑n=0

y(n)(0)

n!(∆t)n

Η σειρά Taylor για την εκθετική συνάρτηση είναι:

et = 1 + t+t2

2!+

t3

3!+ · · · =

∞∑n=0

tn

n!. (1.2)

Στο Σχήμα 1.5 φαίνονται οι διαδοχικά καλύτερες προσεγγίσεις στην et με n = 1, 2, 3, 4όρους της σειράς Taylor. Επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι αναλυτική, κάθε επιπλέονόρος της σειράς αυξάνει το διάστημα γύρω από το 0 στο οποίο η προσέγγιση ταυτίζεταιμε τη συνάρτηση.

Τα αναπτύγματα Taylor για το συνημίτονο και το ημίτονο είναι αντίστοιχα:

cos t = 1− t2

2!+

t4

4!+ · · · =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!t2n, (1.3)

sin t = t− t3

3!+

t5

5!+ · · · =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!t2n+1. (1.4)



-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

et

n=1

n=2

n=3

n=4

Σχήμα 1.5: Προσέγγιση Taylor της et με n = 1, 2, 3, 4.

Η σειρά Taylor1

1− t= 1 + t+ t2 + t3 + . . .

συγκλίνει μόνο για −1 < t < 1 και αποκλίνει για τιμές εκτός του διαστήματος, όπωςφαίνεται για παράδειγμα για t = 2. Για την y = 1/(1− t) είναι y(n)(0) = n!.

Η σειρά Taylor είναι μια δυναμοσειρά της μορφής

f(x) =

∞∑n=0

cn(x− a)n.

Οι δυναμοσειρές συγκλίνουν όταν προοδευτικά οι όροι τους μικραίνουν, δηλαδή όταν

limn→∞

|cn+1(x− a)n+1||cn(x− a)n|

< 1 ⇒ |x− a| < 1

limn→∞

∣∣∣ cn+1

cn

∣∣∣ ⇒ |x− a| < limn→∞

∣∣∣∣ cncn+1

∣∣∣∣ = r.

Η r είναι η ακτίνα σύγκλισης και η δυναμοσειρά συγκλίνει για x ∈ (a− r, a+ r).

Στο ανάπτυγμα Taylor της 1/(1− t) παραπάνω, είναι a = 0 και r = 1.



1.4 Ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα

Το ορισμένο ολοκλήρωμα της πραγματικής συνάρτησης f(t)

I =

∫ b

af(t)dt

είναι το προσημασμένο εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από τη συνάρτηση, τονοριζόντιο άξονα t και τις ευθείες t = a και t = b (Σχήμα 1.6). Οι περιοχές πάνω από τονάξονα t (με ένδειξη “+” στο Σχήμα) προστίθενται, ενώ εκείνες κάτω από τον άξονα t (μεένδειξη “−” στο Σχήμα) αφαιρούνται.

++

− t

f(t)

a b

Σχήμα 1.6: Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός!

Αν αντικαταστήσουμε το άκρο ολοκλήρωσης b με την ανεξάρτητη μεταβλητή t της συνάρ-τησης f(t), τότε για κάθε τιμή του t παίρνουμε την τιμή του εμβαδού από το a έως το tδηλαδή το αόριστο ολοκλήρωμα

F (t) =

∫ t

af(s)ds .

Το αόριστο ολοκλήρωμα, σε αντίθεση με το ορισμένο, είναι μια συνάρτηση!

Το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού λέει ότι αν μια συνάρτηση f είναισυνεχής στο [a, b], τότε υπάρχει ξ στο [a, b] τέτοιο ώστε:∫ b

af(t)dt = f(ξ)(b− a).

Υπάρχει δηλαδή σημείο ξ, τέτοιο ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου aOBb να ισούται μετο εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη f(t) (Σχήμα 1.7). Η f(ξ) είναι δηλαδήη μέση τιμή της f στο [a, b].

1.4.1 Σχέση παραγώγου-ολοκληρώματος

Η σχέση παραγώγου-ολοκληρώματος προκύπτει από το θεμελιώδες θεώρημα του απει-ροστικού λογισμού το οποίο διατυπώνεται σε 2 μέρη:



ta bξ

f(t)

y

A

ΞO B

Σχήμα 1.7: Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού

Θεμελιώδες θεώρημα, μέρος πρώτο

Έστω f(t) συνεχής συνάρτηση:

Αν F (t) =

∫ t

af(s)ds τότε dF

dt = f(t).

Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος και το Σχήμα 1.8, έχουμε:

∆F = F (t+∆t)− F (t) =

∫ t+∆t

af(s)ds−

∫ t

af(s)ds =

∫ t+∆t

tf(s)ds = διαφορά εμβαδών.

ta t + ∆t

f(t)

y

t

∆F

Σχήμα 1.8: Διαφορά εμβαδών

Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει c ∈ [t, t+∆t], τέτοιο ώστε:

∆F

∆t=

1

∆t

∫ t+∆t

tf(s)ds = f(c).

Από τον ορισμό της παραγώγου:

dFdt = lim

∆t→0

∆F

∆t= lim

∆t→0f(c)



Το c είναι προφανώς μια συνάρτηση του ∆t της μορφής c(∆t) = x + κ∆t, με 0 ≤ κ ≤ 1.Επομένως, όταν ∆t → 0 τότε f(c) → f(t).

Θεμελιώδες θεώρημα, μέρος δεύτερο

Έστω f(t) συνεχής συνάρτηση:

Αν f(t) =dFdt τότε

∫ b

af(t)dt = F (b)− F (a).

Η F είναι μια αντιπαράγωγος της f . Από το πρώτο μέρος του θεμελιώδους θεωρήματος,ξέρουμε ότι η

A(t) =

∫ t

af(s)ds

είναι επίσης μια αντιπαράγωγος της f , και από την τελευταία παράγραφο της Ενότη-τας 1.2 έχουμε A(t) = F (t) + C. Για t = a το εμβαδόν της συνάρτησης στο [a, a] είναιA(a) = 0. Για t = b είναι A(b) = 0. Επομένως

F (b) + C = A(b) =

∫ b

af(t)dt

F (a) + C = A(a) = 0.

Αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει το δεύτερο μέρος του θεμελιώδους θεωρήματος∫ b

af(t)dt = F (b)− F (a).

1.4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης

Σύμφωνα με την προηγούμενη ενότητα η παραγώγιση και η ολοκλήρωση είναι πράξειςαντίστροφες.

• Από τη γραμμικότητα των παραγώγων προκύπτει η γραμμικότητα των ολοκληρω-μάτων: ∫

[au(t) + bv(t)]dt = a

∫u(t)dt+ b

∫v(t)dt .

• Από την παράγωγο γινομένου προκύπτει η ολοκλήρωση κατά παράγοντες:∫u(t)

dudt dt = u(t)v(t)−

∫v(t)

dudt dt ,

ή πιο συνοπτικά: ∫udv = uv −

∫v du .



• Από την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης προκύπτει η ολοκλήρωση με αντικατά-σταση: ∫

v(u(t))dudt dt =

∫v(u)du

Η ολοκλήρωση με αντικατάσταση συνοψίζεται στα παρακάτω βήματα.

1. Επιλέγουμε τη u(t) και υπολογίζουμε την παράγωγό της du/dt .

2. Σχηματίζουμε την παράσταση v(u)du από την ολοκληρωτέα παράσταση.

3. Ολοκληρώνουμε∫vudu και βρίσκουμε F (u) + C.

4. Αντικαθιστούμε την u(t) στην έκφραση της αντιπαραγώγου F .

Παραδείγματα ολοκλήρωσης κατά παράγοντες

•∫ln tdt. Είναι u = ln t και v = t:∫

ln tdt = t ln t−∫

t1

tdt = t ln t− t+ C.

•∫tet dt. Είναι u = t και v = et:∫

tet dt = tet −∫

et dt = (t− 1)et

•∫cos2 tdt. Είναι u = cos t και dv = cos tdt (άρα v = sin t):∫

cos2 tdt = cos t sin t+

∫sin2 tdt

= cos t sin t+

∫1dt−

∫cos2 tdt .

Χρησιμοποιήσαμε την τριγωνομετρική ταυτότητα sin2 t+cos2 t = 1. Τελικά, λύνουμεως προς

∫cos2 tdt: ∫

cos2 tdt = 1

2(cos t sin t+ t) + C.

Παραδείγματα ολοκλήρωσης με αντικατάσταση

•∫cos t sin tdt = 1

2 sin2 t+ C. Θέσαμε u = sin t.

•∫t cos

(t2)dt = 1

2 sin(t2)+ C. Θέσαμε u = t2.



1.5 Διαφορικές εξισώσεις - ορισμοί και παραδείγματα

Μια διαφορική εξίσωση εκφράζει μια σχέση ανάμεσα σε μια συνάρτηση και τις παραγώ-γους της. Αν πρόκειται για συνάρτηση μιας μεταβλητής τότε έχουμε μια συνήθη διαφορικήεξίσωση. Παραδείγματα:

dydt = y,

dydt = −y,

dydt = 2ty,

dydt = y2 (1.5)

Όλες οι εξισώσεις αυτές είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης γιατί η μεγαλύτερηπαράγωγος που εμπλέκεται σε αυτές είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης. Οι 3πρώτες είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ενώ η τέταρτη είναι ένα παράδειγμα μη-γραμμικής διαφορικής εξίσωσης.

Η γενική μορφή μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης είναι:

an(t)y(n)(t) + an−1(t)y

(n−1)(t) + · · ·+ a1(t)y′(t) + a0(t)y(t) = q(t)

Οι συντελεστές a0(t), . . . , an(t) και q(t) μπορεί να είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις ή στα-θερές. Μόνο η συνάρτηση y(t) και οι παράγωγοί της καθορίζουν αν η διαφορική εξίσωσηείναι γραμμική ή μη-γραμμική: σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεν εμφανίζονταιγινόμενα της συνάρτησης με τις παραγώγους της, ούτε δυνάμεις της συνάρτησης ή τωνπαραγώγων της. Μη-γραμμικές είναι οι εξισώσεις που δεν μπορούν να γραφτούν στηνπαραπάνω μορφή.

Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνάρτηση που την επαληθεύει. Οι λύσειςτων διαφορικών εξισώσεων (1.5) είναι αντίστοιχα:

y(t) = Cet, y(t) = Ce−t, y(t) = Cet2, y(t) =

−1

C + t,

όπου C μια σταθερά. Επομένως η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια παραμετρικήοικογένεια συναρτήσεων και ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Είναι εύ-κολο να επαληθεύσουμε ότι οι παραπάνω λύσεις επαληθεύουν τις αντίστοιχες διαφορικέςεξισώσεις στην (1.5) και μάλιστα για οποιεσδήποτε τιμές της παραμέτρου C.

Συχνά έχουμε μια διαφορική εξίσωση μαζί με αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση αυτήλέμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών. Οι αρχικές συνθήκες μας επιτρέπουν ναπροσδιορίσουμε τις παραμέτρους της γενικής λύσης και να πάρουμε τη λύση του προ-βλήματος αρχικών τιμών. Αν στις διαφορικές εξισώσεις (1.5) μας δοθεί για παράδειγμαως αρχική συνθήκη y(0) = 1, οι μοναδικές λύσεις στα αντίστοιχα προβλήματα αρχικώντιμών είναι:

y(t) = et, y(t) = e−t, y(t) = et2, y(t) =

1

1− t

και προκύπτουν αν στις γενικές λύσεις θέσουμε t = 0 και λύσουμε ως προς την παράμετροC.

Γενικά μπορούμε να λύσουμε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης γραμμικέςκαι μη-γραμμικές. Μπορούμε επίσης να λύσουμε αρκετές διαφορικές εξισώσεις δεύτερηςτάξης αν είναι γραμμικές ή έχουν σταθερούς συντελεστές. Δυσκολότερα προβλήματαεπιλύονται με υπολογιστικές μεθόδους.



1.5.1 Η πιο σημαντική διαφορική εξίσωση

Η πιο σημαντική διαφορική εξίσωση που θα συναντήσουμε σε σχέση και με την επίλυσηάλλων διαφορικών εξισώσεων είναι η

dydt = ay (1.6)

της οποίας η γενική λύση είναι ηy(t) = Ceat.

Αν ο σταθερός ρυθμός ανάπτυξης a είναι θετικός η λύση αυξάνεται και η διαφορικήεξίσωση μοντελοποιεί ένα σύστημα που αναπτύσσεται. Για αρνητικές τιμές του a τοσύστημα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση φθίνει προς το 0.

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

e-t

e2t

et

Σχήμα 1.9: Η εκθετική συνάρτηση για διάφορες τιμές του εκθέτη

Προφανώς, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.9, για τιμές του a > 1 η λύση αυξάνεταιγρηγορότερα από την et.

Αν η (1.6) περιγράφει ένα πρόβλημα αρχικών τιμών για κάποια δεδομένη αρχική συνθήκηy(0) τότε η λύση στο πρόβλημα αυτό είναι η

y(t) = y(0)eat.



1.5.2 Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων

Διάχυση θερμότητας

Ένα σώμα σε θερμοκρασία T βρίσκεται σε περιβάλλον θερμοκρασίας TE . Ο ρυθμός με-ταβολής της θερμοκρασίας του σώματος σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Newton είναι

dTdt = k(TE − T ) (1.7)

όπου k ≥ 0 σταθερά που εξαρτάται από τη θερμομόνωση του σώματος. Για k = 0 έχουμετέλεια μόνωση και η θερμοκρασία του σώματος δεν επηρεάζεται από τη θερμοκρασίατου περιβάλλοντος. Θετικές τιμές του k εξασφαλίζουν ότι η θερμοκρασία του σώματος Tτείνει πάντα προς τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος .

Πτώση σώματος

Έστω σώμα μάζας m που πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτηταςμε ταχύτητα v (θετική διεύθυνση προς τα κάτω). Θεωρούμε ότιδυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του FG = mg(g ≈ 9.8m/s2 η επιτάχυνση της βαρύτητας) και η αντίσταση τουαέρα FA = −γv, γ > 0 (αντίθετης φοράς από την FG).

FG

FA

m

Σύμφωνα με τον 2ο νόμος κίνησης του Newton η επιτάχυνση (μεταβολή της ταχύτητας)ενός σώματος λόγω των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι ανάλογη τηςμάζας του. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα:

mdvdt = 9.8m− γv (1.8)

που είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με άγνωστη συνάρτηση την ταχύτηταπτώσης v(t).

Αν θεωρήσουμε ως άγνωστη συνάρτηση την μετατόπιση y(t) τότε ο 2ος νόμος του Newtonδιατυπώνεται με τη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

md2y

dt2 = 9.8m− γdydt .

Αρμονικός ταλαντωτής

Έστω σώμα μάζας m προσαρτημένο σε ελατήριο. Έστω x(t) η επιμήκυνση του ελατηρίου.Ο νόμος του Hooke σε συνδυασμό με τον νόμο του Newton γράφεται ως διαφορικήεξίσωση 2ης τάξης που περιγράφει την ταλάντωση του συστήματος

md2x

dt2 = −kx ⇐⇒ md2x

dt2 + kx = 0



όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η φορά της δύναμηςπου ασκείται από το ελατήριο στη μάζα τείνει να την επαναφέρει στη θέση ισορροπίας.

Αν προσθέσουμε στο σύστημα και μια δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας, έχουμετη διαφορική εξίσωση:

md2x

dt2 = −kx− bdxdt ⇐⇒ m

d2x

dt2 + bdxdt + kx = 0,

όπου −b dx/dt η δύναμη απόσβεσης και b η σταθερά απόσβεσης.

Τέλος αν προσθέσουμε στο προηγούμενο σύστημα και τη δράση μιας εξωτερικής δύναμηςF (t) η οποία μεταβάλλεται με τον χρόνο έχουμε:

md2x

dt2 = −kx− bdxdt + F (t) ⇐⇒ m

d2x

dt2 + bdxdt + kx = F (t).

1.5.3 Συστήματα και σήματα

Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το μοντέλο διάχυσης θερμότητας της προηγούμενηςενότητας γράφεται ισοδύναμα:

dTdt + kT = kTE

Το δεξί μέλος δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία του σώματος και περιγράφει την επί-δραση εξωτερικών παραγόντων (της θερμοκρασίας περιβάλλοντος TE). Το αριστερό μέλοςπεριγράφει τι συμβαίνει στο σώμα.

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αριστερό μέλος είναι ένα σύστημα, η κατάσταση τουοποίου επηρεάζεται από το δεξί μέλος. Η εξωτερική επίδραση είναι η είσοδος του συ-στήματος και γενικά είναι μια συνάρτηση του t. Το σύστημα ανταποκρίνεται στην είσοδομε μια συνάρτηση του t (εδώ την T (t)) που είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης καιονομάζεται έξοδος ή απόκριση του συστήματος. Σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών έχουμεως επιπλέον είσοδο στο σύστημα και τις αρχικές συνθήκες (π.χ. T (0)).

ΣΩMAT (t)kTE(t)

T (0)

EIΣO∆OΣ AΠOKPIΣH

A.Σ.

(ΣYΣTHMA)

Σχήμα 1.10: Διαφορικές εξισώσεις ως συστήματα με είσοδο και απόκριση (έξοδο)

Μπορούμε να θεωρήσουμε επομένως ότι γενικά μια διαφορική εξίσωση περιγράφει τημεταβολή στην απόκριση ενός συστήματος υπό την επίδραση εξωτερικών επιδράσεων καιαρχικών συνθηκών.



2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

2.1 Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών

Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών χρησιμοποιείται για την επίλυση διαφορικών εξισώ-σεων της μορφής

dydt =

g(t)

f(y). (2.1)

Από θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού

F (y) =

∫f(y)dy ⇐⇒ dF

dy = f(y)

και από τον κανόνα παραγώγισης σύνθετων συναρτήσεων

dFdt =

dFdy · dydt = f(y)

dydt .

Αν G(t) =∫g(t)dt, η (2.1) γράφεται

f(y)dydt = g(t) ⇐⇒

∫f(y)

dydt dt =

∫g(t)dt ⇒ F (y) = G(t) + c.

Τα βήματα για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων της μορφής (2.1) με τη μέθοδο τωνχωριζομένων μεταβλητών είναι:

1. Χωρίζουμε τις μεταβλητές: f(y)dy = g(t)dt.

2. Ολοκληρώνουμε:∫f(y)dy =

∫g(t)dt ⇒ F (y) = G(t) + c.

3. Λύνουμε ως προς y.

Για παράδειγμα, οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (1.5) και (1.6), που δόθηκαν χωρίςαπόδειξη προηγουμένως, προκύπτουν άμεσα με τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών.

• Η τέταρτη από τις διαφορικές εξισώσεις (1.5) γράφεται:

dyy2

= dt ⇒∫ dy

y2=

∫dt ⇒ −1

y= t+ c ⇒ y(t) = − 1

c+ t

Εδώ, όταν διαιρέσαμε με y2, εμμέσως υποθέσαμε ότι y(t) = 0. Έτσι όμως “χάσαμε”μια λύση της εξίσωσης. Η λύση αυτή είναι η y(t) = 0 η οποία επαληθεύει τη δια-φορική εξίσωση αλλά δεν εκφράζεται στη γενική λύση. Μια λύση της διαφορικήςεξίσωσης που δεν προκύπτει από τη γενική λύση για κάποια τιμή της παραμέτρουc ονομάζεται ιδιάζουσα λύση.

• Για την επίλυση της (1.6) με τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών έχουμε:

dyy

= adt ⇒∫ dy

y= a

∫dt ⇒ ln |y| = at+ c ⇒ |y| = eat+c = eceat ⇒ y = ±eceat



Αν θέσουμε C = ±ec, παίρνουμε όλες τις λύσεις της (1.6)

y(t) = Ceat.

Η ιδιάζουσα λύση y(t) = 0, που προκύπτει όταν διαιρέσουμε με y, εκφράζεταιαπό τη γενική λύση για C = 0! Αν ακολουθούσαμε πιστά τη μέθοδο χωριζομένωνμεταβλητών θα παρατηρούσαμε ότι η C = ±ec δεν μπορεί να πάρει την τιμή 0! Θαέπρεπε επομένως να “γενικεύαμε” τη γενική λύση, για να μπορεί να παίρνει καιτην τιμή C = 0 που δίνει την ιδιάζουσα λύση.

2.2 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

Η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης στη γενική της μορφή

dydt = −a(t)y + q(t), (2.2)

με a(t), q(t) συνεχείς συναρτήσεις, είναι μια ειδική περίπτωση για την οποία μπορούμενα βρούμε μια λύση σε κλειστή μορφή y = y(t).

Η παραπάνω εξίσωση αντιπροσωπεύει μια σειρά προβλημάτων στα οποία ο ρυθμός με-ταβολής της άγνωστης συνάρτησης εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης y καθώςκαι από εξωτερικούς παράγοντες q(t). Η επίδραση της συνάρτησης συνήθως καθορίζεταιαπό κάποια συνάρτηση a(t). Για παράδειγμα, η y(t) μπορεί να παριστάνει χρήματα στηντράπεζα που τοκίζονται με επιτόκιο −a(t), ενώ η q(t) αντιπροσωπεύει καταθέσεις καιαναλήψεις.

2.2.1 Επίλυση με ολοκληρωτικούς παράγοντες

Το πρώτο βήμα για την επίλυση της (2.2) είναι να τη φέρουμε στη μορφή

dydt + a(t)y = q(t), (2.3)

να διαχωρίσουμε δηλαδή τους εξωτερικούς παράγοντες από τη συνάρτηση και την πα-ράγωγό της.

Στη συνέχεια θεωρούμε ότι υπάρχει μια κατάλληλη συνάρτηση M(t), που ονομάζεταιολοκληρωτικός παράγοντας, με την οποία πολλαπλασιάζουμε την (2.3)

M(t)dydt +M(t)a(t)y = M(t)q(t) (2.4)

και για την οποία ισχύειdMdt = M(t)a(t). (2.5)

Παρατηρούμε ότι το αριστερό μέλος της (2.4) είναι η παράγωγος του γινομένου M(t)y(t)και επομένως η (2.4) γίνεται

M(t)dydt +

dMdt y = M(t)q(t) ⇐⇒ d

dt(My) = M(t)q(t)



Ολοκληρώνουμε:M(t)y(t) + C =

∫M(t)q(t)dt

και λύνουμε ως προς y(t) (μεταφέροντας τη σταθερά ολοκλήρωσης C στο δεξί μέλος μεθετικό πρόσημο):

y(t) =1

M(t)

(∫M(t)q(t)dt+ C

). (2.6)

Αρκεί επομένως να βρούμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t), ο οποίος είναι στην ουσίαη λύση της διαφορικής εξίσωσης χωριζομένων μεταβλητών (2.5):

dMM

= a(t) ⇒∫ dM

M=

∫a(t)dt ⇒ ln |M | =

∫a(t)dt+ c ⇒ M = ±ece

∫a(t)dt = Ke

∫a(t)dt

Μπορούμε να επιλέξουμε ως ολοκληρωτικό παράγοντα, μια οποιαδήποτε λύση της (2.5)και για K = 1 παίρνουμε:

M(t) = e∫a(t)dt. (2.7)

Συνοψίζοντας, για την επίλυση της (2.2) με ολοκληρωτικούς παράγοντες ακολουθούμετα εξής βήματα:

1. Φέρνουμε την (2.2) στη μορφή (2.3).

2. Βρίσκουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t) από την (2.7) και τον γράφουμε στηναπλούστερη δυνατή μορφή.

3. Πολλαπλασιάζουμε την (2.3) με τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t) και ελέγχουμεως επαλήθευση ότι το αριστερό μέλος είναι η παράγωγος του γινομένου M(t)a(t).

4. Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη (χωρίς να ξεχνάμε τη σταθερά ολοκλήρωσης c!!!).

5. Λύνουμε ως προς y(t).

Παράδειγμα

Η διαφορική εξίσωση (1.8) που εκφράζει τον νόμο του Newton για την πτώση σώματοςείναι γραμμική πρώτης τάξης. Για να τη φέρουμε στη μορφή (2.3), διαιρούμε με τη μάζαm

dvdt +

γ

mv = 9.8.

Αν m = 10kg, γ = 2 kg/sec τότεdvdt + 0.2v = 9.8.

Ο ολοκληρωτικός παράγοντας για την εξίσωση αυτή είναι

M(t) = e∫0.2dt = e0.2t.

Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με e0.2t

e0.2tdvdt + 0.2e0.2tv = 9.8e0.2t ⇐⇒ de0.2tv

dt = 9.8e0.2t



και ολοκληρώνουμε

e0.2tv =

∫9.8e0.2t dt ⇒ e0.2tv = 49e0.2t + c.

H γενική λύση είναιv(t) = 49 + ce−0.2t

και η λύση στο πρόβλημα αρχικών τιμών με v(0) = 45m/s προκύπτει αφού υπολογίσουμετην τιμή του c

45 = v(0) = 49 + c ⇒ c = −4

και είναιv(t) = 49− 4e−0.2t.

2.2.2 Η αρχή της επαλληλίας

Στην περίπτωση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης, ισχύει η αρχήτης επαλληλίας (γνωστή και ως αρχή της υπέρθεσης).

Έστω η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης στην γενική της μορφή:

dydt + a(t)y = q(t).

Αν y1(t) είναι η λύση της για q(t) = q1(t) και y2(t) είναι η λύση της για q(t) = q2(t), η λύσητης

dydt + a(t)y = c1q1(t) + c2q2(t),

σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας είναι η

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t).

Πράγματι, από ιδιότητες παραγώγων:

d(c1y1 + c2y2)

dt + a(c1y1 + c2y2) = c1(dy1dt + ay1) + c2(

dy2dt + ay2) = c1q1 + c2q2.

Η αρχή της επαλληλίας μπορεί να βοηθήσει στην εύρεση λύσεων, όταν γνωρίζουμε τιςεπιμέρους λύσεις ή όταν μπορούμε να γράψουμε την συνάρτηση q(t) ως γραμμικό συν-δυασμό απλούστερων συναρτήσεων.

2.2.3 Λύση ως συνδυασμός λύσεων

Αν γράψουμε τη γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (2.3) με τον παρακάτωτρόπο:

dydt + a(t)y = 0 + q(t),



μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή της επαλληλίας για να βρούμε τη λύση της ωςάθροισμα των επιμέρους λύσεων των διαφορικών εξισώσεων

dydt + a(t)y = 0 (2.8)

dydt + a(t)y = q(t) (2.9)

Η εξίσωση (2.8) ονομάζεται ομογενής και η λύση της yh(t) είναι η απόκριση του συ-στήματος όταν δεν δέχεται εξωτερικές επιδράσεις. Η λύση της ομογενούς yh μπορεί ναβρεθεί με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών ως εξής:

• Χωρισμός μεταβλητών: dy /y = −a(t)dt.

• Ολοκλήρωση: ln |y| = −∫a(t)dt+ c.

• Λύση για y: y = ±ece−∫a(t)dt = Ce−

∫a(t)dt, C = 0.

• Ενσωμάτωση της ιδιάζουσας λύσης: yh(t) = Ce−∫a(t)dt, C = ο,τιδήποτε.

Η γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι επομένως η

yh(t) = Ce−∫a(t)dt. (2.10)

Αν συγκρίνουμε την (2.10) με την (2.7) παρατηρούμε ότι η ομογενής λύση yh(t) σχετίζεταιμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t) ως εξής:

yh(t) =C

M(t). (2.11)

Μια οποιαδήποτε λύση της μη-ομογενούς εξίσωσης (2.9) oνομάζεται ειδική λύση καισυμβολίζεται με yp (p = particular).

Έχοντας βρει τη λύση της ομογενούς, άρα και τον ολοκληρωτικό παράγοντα από (2.11),μπορούμε να υπολογίσουμε μια ειδική λύση εφαρμόζοντας απευθείας τον τύπο (2.6)δίνοντας μια αυθαίρετη τιμή στη σταθερά C. Άρα κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσηςείναι και μια ειδική λύση.

Αν θέσουμε C = 0 στην (2.6) παίρνουμε την ειδική λύση

yp(t) =1

M(t)

∫M(t)q(t)dt .

Για C = k, προκύπτει η ειδική λύση

yp(t) =1

M(t)

(∫M(t)q(t)dt+ k

).

Και στις δύο περιπτώσεις η παραμετροποιημένη ομογενής λύση είναι η ίδια.

Και οι δύο ειδικές αυτές λύσεις ανήκουν στην παραμετρική οικογένεια της γενικής λύσηςτης διαφορικής εξίσωσης και επομένως την επιλύουν. Δεν επιλύουν όμως προβλήματα



αρχικών τιμών της διαφορικής εξίσωσης. Η λύση ενός προβλήματος αρχικών τιμών όμωςεξαρτάται από τον προσδιορισμό της παραμέτρου της ομογενούς λύσης.

Ένας άλλος τρόπος για να δούμε πώς συνδυάζονται η ειδική με την ομογενή λύση είναινα γράψουμε την (2.6) ως εξής:

y(t) =1

M(t)

(∫M(t)q(t)dt+ k

)+

C − k

M(t),

για κάποια συγκεκριμένη τιμή k. Τότε ο πρώτος όρος του παραπάνω αθροίσματος είναιμια ειδική λύση και ο δεύτερος μια ομογενής λύση. Αν ονομάσουμε C την παράμετροC − k βλέπουμε ότι η ομογενής λύση γράφεται πάντα στη μορφή (2.11).

Στην επόμενη ενότητα θα δούμε ευκολότερους τρόπους υπολογισμού της ειδικής λύσης,στην περίπτωση που οι εξωτερικές δράσεις είναι ειδικής μορφής και a(t) = a = σταθερά.

Παράδειγμα

Έστω σώμα που έχει αρχικά θερμοκρασία 0°C. Το σώμα τοποθετείται στο εξωτερικόπεριβάλλον του οποίου η θερμοκρασία είναι αρχικά 15°C και αυξάνεται γραμμικά 3°Cτην ώρα. Σε πόση ώρα η θερμοκρασία του σώματος θα ανέβει στους 20°C, αν η σταθεράθερμομόνωσης είναι k = 1/3;

Έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών που περιγράφεται από τον νόμο ψύξης του Newton(1.7), με TE(t) = 15+3t και T (0) = 0. Για τα συγκεκριμένα δεδομένα έχουμε τη διαφορικήεξίσωση

dTdt +

1

3T = 5 + t.

Η ομογενής λύση είναιTh(t) = Ce−t/3,

και από (2.11) ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι M(t) = et/3. Αντικαθιστώντας στηνσχέση (2.6) και θέτοντας μια οποιαδήποτε τιμή στη σταθερά C , έστω C = 0, παίρνουμεμια ειδική λύση

Tp(t) = e−t/3

∫et/3(5 + t)dt .

Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουμε τελικά

Tp(t) = e−t/3et/3(3t+ 6) = 3t+ 6.

H γενική λύση είναιT = Th + Tp = 3t+ 6 + Ce−t/3

και για τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών θέτουμε t = 0, T (0) = 0 και λύνουμε ωςπρος C

0 = 0 + 6 + C ⇒ C = −6

και παίρνουμεT (t) = 3t+ 6− 6e−t/3



που είναι η συνάρτηση θερμοκρασίας του σώματος. Για να βρούμε σε πόση ώρα η θερ-μοκρασία θα φτάσει στους 20°C πρέπει να λύσουμε ως προς t την εξίσωση

20 = 3t+ 6− 6e−t/3,

ή να το υπολογίσουμε από τη γραφική παράσταση της T (t) (Σχήμα 2.1).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10

T

t

3*t+6-6*exp(-t/3)

Σχήμα 2.1: Περίπου 5 ώρες μέχρι τους 20°C

Ο υπολογισμός της ομογενούς λύσης στην περίπτωση αυτή είναι εύκολος, αφού η ομογενήςεξίσωση είναι της μορφής (1.6) της οποίας ξέρουμε τη λύση. Ο υπολογισμός της ειδικήςλύσης χρειάζεται μια κάπως δύσκολη ολοκλήρωση κατά παράγοντες, που μπορεί ναοδηγήσει σε λάθη. Στην επόμενη ενότητα θα δούμε ευκολότερους τρόπους υπολογισμούειδικών λύσεων.

2.3 Γραμμικές εξισώσεις με σταθερό συντελεστή

Σε πολλές εφαρμογές η γραμμική εξίσωση πρώτης τάξης έχει σταθερό συντελεστή. Είναιδηλαδή της μορφής

dydt + ay = q(t), (2.12)

με a σταθερό.

Στην περίπτωση αυτή η ομογενής και μια ειδική λύση είναι αντίστοιχα οι

yh(t) = Ce−at και yp(t) = e−at

∫eatq(t)dt .



Η γενική λύση της (2.12) είναι τότε

y(t) = yh(t) + yp(t),

ή αναλυτικάy(t) = e−at

∫eatq(t)dt+ Ce−at (2.13)

2.3.1 Παροδική και σταθερή κατάσταση

Αν a > 0 το σύστημα που περιγράφεται από την (2.12) ακολουθεί εκθετική μείωση. Αν δενυπάρχει δηλαδή εξωτερική είσοδος, η απόκριση του συστήματος είναι y(t) = yh(t) = e−at,η οποία φθίνει εκθετικά στο 0 καθώς το t πάει στο ∞.

Στη γενική λύση, η ομογενής περιγράφει την παροδική κατάσταση του συστήματος πουπάει στο 0, ενώ η ειδική λύση περιγράφει την σταθερή κατάσταση στην οποία τελικάτείνει να καταλήξει το σύστημα.

Η τιμή της σταθεράς C στη (2.13) εξαρτάται από την αρχική τιμή y(0). Επομένως η αρχικήσυνθήκη επηρεάζει μόνο την παροδική συμπεριφορά του συστήματος. Ανεξάρτητα απότην αρχική συνθήκη, όλες οι παραμετρικές λύσεις (2.13) καταλήγουν ασυμπτωτικά στησταθερή κατάσταση του συστήματος.

Για παράδειγμα, η εξίσωσηdydt + 6y = 3

έχει τη γενική λύσηy(t) = Ce−6t +

1

2= yh + yp

Η σταθερή κατάσταση είναι η

y∞ = limt→∞

y(t) = yp(t) =1

2

Στο Σχήμα 2.2 φαίνονται λύσεις της παραπάνω εξίσωσης για διάφορες αρχικές συνθήκεςy(0) που τελικά καταλήγουν στη σταθερή κατάσταση y∞ = 1/2.

Παραδείγματα

Ραδιενεργός διάσπαση

Έστω ραδιενεργό υλικό με σταθερά διάσπασης k1 > 0. Αυτό σημαίνει ότι ο ρυθμόςδιάσπασης του υλικού είναι ανάλογος με τη διαθέσιμη ποσότητα του υλικού σε κάθεχρονική στιγμή. Έστω A(t) η διαθέσιμη ποσότητα του υλικού στο χρονική στιγμή t. Τοσύστημα περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση

dAdt = −k1A(t) ⇐⇒ dA

dt + k1A(t) = 0,



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y(0

)

t

Σχήμα 2.2: Σταθερή κατάσταση y∞ = 1/2 για y′ + 6y = 3

της οποίας η λύση για αρχική ποσότητα A(0) είναι A(t) = A(0)e−k1t.

Αν τώρα υποθέσουμε ότι κατά τη διάσπασή του το υλικό μετατρέπεται σε ένα διαφορε-τικό ραδιενεργό υλικό B με σταθερά διάσπασης k2, ο ρυθμός μεταβολής της ποσότηταςB(t) του B είναι

dBdt = (ρυθμός δημιουργίας B από A)− (ρυθμός διάσπασης B) = k1A(t)− k2B(t),

και χρησιμοποιώντας τη λύση για A(t) έχουμε

dBdt + k2B(t) = k1A(0)e−k1t.

Ανάμειξη διαλύματος

Μια δεξαμενή που περιέχει όγκο V από ένα διάλυμα άλατος, τροφοδοτείται συνεχώς μενέο διάλυμα συγκέντρωσης Ce(t) με ρυθμό r λίτρα ανά λεπτό. Την ίδια στιγμή ποσότηταδιαλύματος φεύγει από τη δεξαμενή με τον ίδιο ρυθμό r. Αν υποθέσουμε ότι η συγκέ-ντρωση άλατος στη δεξαμενή είναι ομοιόμορφη, η διαφορική εξίσωση που μοντελοποιείτην ποσότητα s(t) που βρίσκεται στη δεξαμενή σε κάθε χρονική στιγμή προκύπτει ανυπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της s που είναι

ποσότητα που εισέρχεται ανά λεπτό− ποσότητα που εξέρχεται ανά λεπτό

• Η ποσότητα που εισέρχεται ανά λεπτό ισούται με τον ρυθμό ροής στην είσοδο επίτη συγκέντρωση άλατος στην είσοδο, δηλαδή με rCe(t).



r

r

V

Σχήμα 2.3: Ανάμειξη διαλύματος

• Η ποσότητα που εξέρχεται ανά λεπτό ισούται με τον ρυθμό ροής στην έξοδο επί τησυγκέντρωση άλατος στην έξοδο (=συγκέντρωση άλατος στη δεξαμενή), δηλαδή μεrs/V .

Επομένωςdsdt = rCe(t)− r

s

V⇐⇒ ds

dt + rs

V= rCe(t)

2.3.2 Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών

Στην περίπτωση διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και ανεξάρτητα απότην τάξη τους, αν συνάρτηση των εξωτερικών δράσεων q(t) είναι ειδικής μορφής, τότεμπορούμε να βρούμε εύκολα μια ειδική λύση με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντε-λεστών σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα.

1 q(t) = πολυώνυμο yp(t) = πολυώνυμο ίδιου βαθμού2 q(t) = A cos(ωt) +B sin(ωt) yp(t) = M cos(ωt) +N sin(ωt)3 q(t) = est, s = a yp(t) = Y est

4 q(t) = πολυώνυμο× est yp(t) = πολυώνυμο ίδιου βαθμού× est

Για παράδειγμα, για τη διαφορική εξίσωσηdydt + 2y = t2 − t+ 1

αναζητούμε μια ειδική λύση της μορφής yp(t) = αt2 + βt + γ, οπότε αντικαθιστώνταςέχουμε:

2αt+ β + 2αt2 + 2βt+ 2γ = t2 − t+ 1 ⇒ 2αt2 + 2(α+ β)t+ (β + 2γ) = t2 − t+ 1.

Εξισώνοντας τους συντελεστές των πολυωνύμων έχουμε ότι

α = 1/2, β = −1, γ = 1.

2.4 Σταθερή είσοδος

Έστω η διαφορική εξίσωση με σταθερή εξωτερική είσοδο q (= πολυώνυμο μηδενικούβαθμού)

dydt + ay = q.



Αναζητούμε μια ειδική λύση της μορφής yp(t) = Y με Y σταθερά. Αντικαθιστώνταςστην εξίσωση βρίσκουμε Y = q/a = yp(t). Η ομογενής λύση είναι κατά τα γνωστά ηyh(t) = Ce−at και η γενική λύση της είναι η

y(t) = Ce−at +q

a

2.5 Εκθετική είσοδος

Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών

dydt = ay + est, για δεδομένο y(0).

Η λύση της ομογενούς είναι yh(t) = Ceat. Αναζητάμε μια ειδική λύση της μορφής yp(t) =Y est, με Y σταθερά. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και υποθέτουμε αρχικά ότι s = a:

Y sest = aY est + est ⇒ Y s− aY = 1 ⇒ Y =1

s− a

Η γενική λύση είναι επομένως η

y(t) =est

s− a+ Ceat.

Υπολογίζουμε τη C από την αρχική συνθήκη:

y(0) =1

s− a+ C ⇒ C = y(0)− 1

s− a

Η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι

y(t) =est

s− a+ y(0)eat − eat

s− a= y(0)eat +

est − eat

s− a

Η λύση αυτή ισχύει όταν s = a, όπως υποθέσαμε. Όταν το s → a έχουμε ένα είδος συντο-νισμού. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζουμε τι συμβαίνει από τον κανόνα του L’ Hôpital:

lims→a

est − eat

s− a= lim

s→a

test

1= teat

H λύση του προβλήματος μας είναι:

y(t) =

y(0)eat + (est − eat)/(s− a), s = a

y(0)eat + teat s = a.



2.6 Η συνάρτηση Heaviside

Η συνάρτηση Heaviside ή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ορίζεται ως

H(t) =

0 για t < 0

1 για t ≥ 0

Η συνάρτηση έχει μια ασυνέχεια στο 0, όπου παίρνει απότομα την τιμή 1. Με τη συ-νάρτηση μοντελοποιούμε καταστάσεις απότομης μετάβασης από μια κατάσταση σε μιαάλλη.

Στο Σχήμα 2.4 φαίνεται η συνάρτηση βήματος H(t) και η μετατοπισμένη συνάρτησηβήματος H(t− T ). Η τελευταία μεταβαίνει από το 0 στο 1 τη στιγμή T .

t = 0 t

1

H(t)

t = 0 t = T t

1

H(t− T )

Σχήμα 2.4: Η συνάρτηση βήματος και η μετατοπισμένη συνάρτηση βήματος

Μια βασική εφαρμογή της συνάρτησης βήματος είναι ότι μας επιτρέπει να απενεργοποι-ήσουμε (δώσουμε την τιμή 0 σε) τμήματα συναρτήσεων. Ορίζουμε τη συνάρτηση

Hab(t) =

0 για t < a

1 για a ≤ t < b

0 για t ≥ b

της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο Σχήμα 2.5.

ta b

Hab(t)

Σχήμα 2.5: Η συνάρτηση Hab(t)

Η Hab προκύπτει και ως συνδυασμός 2 συναρτήσεων Heaviside:

Hab(t) = H(t− a)−H(t− b).

Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.6 το γινόμενο f(t) · Hab(t), όπου f μια οποιαδήποτεσυνάρτηση, μηδενίζει (απενεργοποιεί) παντού την f εκτός από το διάστημα [a, b] στο



t

Hab(t)f(t)

a b

t

f(t)

a b

Σχήμα 2.6: Ενεργοποίηση τμήματος συνάρτησης

οποίο η συνάρτηση διατηρεί τις τιμές της (είναι ενεργή στο διάστημα [a, b]). Μια κλαδικήσυνάρτηση, όπως για παράδειγμα:

f(t) =

0 για t < 0

t για 0 ≤ t < 1

t2 για 1 ≤ t < 2√t για 2 ≤ t

μπορεί να γραφτεί ως

f(t) = (H(t)−H(t− 1)) · t+ (H(t− 1)−H(t− 2)) · t2 +H(t− 2) ·√t.

2.6.1 Απόκριση σε συνάρτηση Heaviside

Η συνάρτηση Heaviside χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσουμε ένα φαινόμενο στοοποίο ο ρυθμός εφαρμογής της εξωτερικής δράσης είναι σταθερός. Έστω το πρόβλημααρχικών τιμών

dydt + ay = qH(t), y(0) = 0. (2.14)

Η συνάρτηση y(t) θα μπορούσε να περιγράφει για παράδειγμα την ποσότητα ραδιενεργούυλικού με σταθερά διάσπασης a > 0, όταν προσθέτουμε συνεχώς ραδιενεργό υλικό μερυθμό q kg ανά λεπτό.



Για t < 0 έχουμε προφανώς y(t) = 0. Στο πρόβλημα αρχικών τιμών όμως μας ενδιαφέρειτι συμβαίνει για t >= 0. Τότε η κατάσταση περιγράφεται από

dydt + ay = q, y(0) = 0

΄Όπως υπολογίσαμε προηγουμένως, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης με σταθερήείσοδο είναι

y(t) = Ce−at +q

aκαι για y(0) = 0 παίρνουμε C = −q/a. Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα αρχικών τιμώνγια κάθε t ∈ R (!) είναι

y(t) =

0 για t < 0qa

(1− e−at

)για t ≥ 0

.

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση βήματος η λύση γράφεται

y(t) =q

a

(1− e−at

)H(t).

Με αυτόν τον τρόπο ενσωματώνουμε τη λύση για t < 0 και τη λύση για t ≥ 0 σε μίασχέση.

Για q = 1 παίρνουμε την απόκριση μοναδιαίου βήματος η γραφική παράσταση τηςοποίας δίνεται στο Σχήμα 2.7. Παρατηρούμε ότι όταν a > 0 η απόκριση μοναδιαίου

t

1a

y(t)

Σχήμα 2.7: Απόκριση μοναδιαίου βήματος

βήματος τείνει στη σταθερά κατάσταση 1/a όταν t → ∞.

Αν η είσοδος στο παραπάνω πρόβλημα αρχικών τιμών είναι η qH(t − T ) (αρχίζουμε ναπροσθέτουμε υλικό τη χρονική στιγμή t = T αντί της t = 0) τότε η διαφορική εξίσωσηπαραμένει η ίδια. Αυτό που αλλάζει είναι η αρχική συνθήκη: η τιμή της συνάρτησης είναι0 μέχρι τη χρονική στιγμή T . Επομένως για να υπολογίσουμε την τιμή της παραμέτρουχρησιμοποιούμε τώρα την αρχική συνθήκη y(T ) = 0. Με αντικατάσταση βρίσκουμε

0 = Ce−aT +q

a⇒ C = −q

aeaT .

Η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών στην περίπτωση αυτή είναι

y(t) =

0 για t < Tqa

(1− e−a(t−T )

)για t ≥ T

ή διατυπωμένη σε μία σχέση

y(t) =q

a

(1− e−a(t−T )

)H(t− T ). (2.15)



2.7 Ασυνεχής είσοδος

Η πιο βασική ασυνεχής συνάρτηση είναι η συνάρτηση Heaviside, την οποία θα χρησιμοποι-ήσουμε στα παρακάτω παραδείγματα ασυνεχούς εισόδου. Προφανώς η μεθοδολογία πουθα ακολουθήσουμε μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες περιπτώσεις ασυνεχούς εισόδου.

Παράδειγμα 1

Η θερμοκρασία ενός σώματος είναι αρχικά 0°C και το σώμα βρίσκεται σε περιβάλλοντου οποίου η θερμοκρασία είναι επίσης 0°C. Τη χρονική στιγμή t1 το σώμα τοποθετείταιαπότομα σε περιβάλλον θερμοκρασίας 20°C. Η μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματοςπεριγράφεται από τον νόμο ψύξης του Newton, σχέση (1.7), για θερμοκρασία περιβάλλο-ντος TE(t) = 20H(t− t1) και έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών τιμών:

dTdt + kT = k20H(t− t1), T (0) = 0

που είναι της μορφής (2.14) με είσοδο όμως τη μετατοπισμένη συνάρτηση Heaviside.Είδαμε ότι η λύση στο πρόβλημα αυτό δίνεται από την (2.15). Αντικαθιστώντας a = kκαι q = 20k παίρνουμε

T (t) =(20− 20e−k(t−t1)

)H(t− t1).

ή με διαφορετική διατύπωση

T (t) =

0 για t < t1

20− 20e−k(t−t1) για t ≥ t1.


Συνεχίζοντας το προηγούμενο παράδειγμα, θεωρούμε τώρα ότι τη χρονική στιγμή t2, μεt2 > t1, η θερμοκρασία του περιβάλλοντος πέφτει απότομα στους 0°C. Στην είσοδο τώραέχουμε τη συνάρτηση

q(t) =

0 για t < t1

20k για t1 ≤ t < t2

0 για t ≥ t2

ή ισοδύναμα ως συνδυασμός συναρτήσεων Heaviside:

q(t) = 20kHt1t2(t) = 20kH(t− t1)− 20kH(t− t2).

1ος τρόπος Η λύση προκύπτει από την αρχή της επαλληλίας ως διαφορά των λύσεωντων διαφορικών εξισώσεων:

dTdt + kT = 20kH(t− t1)

dTdt + kT = −20kH(t− t2).



Καθεμία από τις εξισώσεις αυτές περιγράφει ένα πρόβλημα σαν αυτό που λύσαμε στοΠαράδειγμα 1 και συνεπώς η λύση τώρα είναι:

T (t) =

0 για t < t1

20− 20e−k(t−t1) για t1 ≤ t < t2

20e−k(t−t2) − 20e−k(t−t1) για t ≥ t2

2ος τρόπος Μέχρι τη χρονική στιγμή t2 το σύστημα συμπεριφέρεται όπως εκείνο στοΠαράδειγμα 1, επομένως η λύση μέχρι τότε είναι:

T (t) =

0 για t < t1

20− 20e−k(t−t1) για t1 ≤ t < t2

Τη χρονική στιγμή t = t2 η θερμοκρασία του σώματος είναι

T (t2) = 20− 20e−k(t2−t1).

Τη στιγμή αυτή, η θερμοκρασία του περιβάλλοντος μηδενίζεται απότομα και το πρόβλημααρχικών τιμών που περιγράφει τη μεταβολή της θερμοκρασίας για t ≥ t2 είναι

dTdt + kT = 0, T (t2) = 20− 20e−k(t2−t1).

Η διαφορική εξίσωση δεν είναι άλλη από τη (1.6) της οποίας η λύση είναι

T (t) = Ce−kt,

και προσδιορίζουμε τη C από την αρχική συνθήκη:

Ce−kt2 = 20− 20e−k(t2−t1) ⇒ C = 20ekt2 − 20ekt1 .

Για t ≥ t2 η λύση είναι ηT (t) = 20

(ekt2 − ekt1

)e−kt.

Ο συνδυασμός των λύσεων στα 3 διαστήματα δίνει πάλι

T (t) =

0 για t < t1

20− 20e−k(t−t1) για t1 ≤ t < t2

20e−k(t−t2) − 20e−k(t−t1) για t ≥ t2

2.8 Η συνάρτηση Dirac

Η είσοδος σε ένα σύστημα μπορεί να γίνει είτε σταδιακά είτε απότομα (στιγμιαία). Μιακατάθεση €365 σε έναν λογαριασμό μπορεί να γίνει σε είτε έναν χρόνο, αν καταθέτουμε1 ευρώ κάθε μέρα είτε σε μια μέρα, αν καταθέσουμε όλο το ποσό. Και στις 2 περιπτώσειςο λογαριασμός θα πιστωθεί με €365 σε έναν χρόνο.



Ένα άλλο παράδειγμα είναι η εναπόθεση ενός υλικού σε μια δεξαμενή. Αν q(t) είναιο ρυθμός εναπόθεσης σε kg/ώρα, τότε η συνολική ποσότητα που έχει εναποτεθεί στηδεξαμενή σε χρόνο t είναι

Q(t) =

∫ t

0q(s)ds ,

ή ισοδύναμα (από το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού)

dQdt = q(t).

Στο Σχήμα 2.8 φαίνονται 2 πιθανοί τρόποι εναπόθεσης ποσότητας 1kg με σταθερό ρυθμόq. Στη μία περίπτωση ο ρυθμός εναπόθεσης είναι ώρα 2 kg/ώρα, ενώ στην άλλη είναι4 kg/ώρα. Και στις 2 περιπτώσεις όμως εναποτίθεται συνολικά 1kg (το εμβαδού κάτωαπό την q(t))! Αν τώρα εναποθέσουμε 1kg σε χρόνο h o σταθερός ρυθμός εναπόθεσης

q

q

t

t

t

t

Q

Q

1

1

1/2 1/2

1/4 1/4

2

4

Σχήμα 2.8: Εναπόθεση 1kg με διαφορετικούς ρυθμούς

θα είναι qh(t) = 1/h. Καθώς h → 0 η Qh τείνει στη συνάρτηση στη συνάρτηση Heavisideκαι η qh τείνει στη “συνάρτηση” Dirac γνωστή και ως συνάρτηση δέλτα. H δ(t) είναι μιαγενικευμένη συνάρτηση που ορίζεται αυστηρά ως

δ(t) = limh→0

qh(t),

αλλά συνήθως ως

δ(t) =

+∞ αν t = 0,

0 αν t = 0.

Η συνάρτηση Dirac λέγεται και κρουστική συνάρτηση και χρησιμοποιείται στην επιστήμηκαι στην τεχνολογία για να περιγράψει φαινόμενα στιγμιαίας διάρκειας. Η μετατοπι-σμένη συνάρτηση Dirac δ(t−T ) παριστάνει μια στιγμιαία δράση που γίνεται σε χρόνο Tαντί για t = 0.



qh

tt

Qh

1

h h

1h

Σχήμα 2.9: Εναπόθεση 1kg σε χρόνο h με ρυθμό 1/h

Η γραφική παράσταση της δ(t) και της δ(t − T ) είναι ένα βέλος που εκτινάσσεται προςτο άπειρο όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.10.

δ(t)

t = 0 t

δ(t− T )

t = T t

Σχήμα 2.10: Οι συναρτήσεις δ(t) και δ(t− T ).

Μερικές από τις ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα είναι οι εξής:

• Αν H είναι η συνάρτηση Heaviside, τότεdHdt = δ(t).

• Αν Θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός και A ένας οποιοσδήποτε αρνητικόςαριθμός, τότε ∫ Θ

Aδ(t)dt =

∫ Θ

A

dHdt dt = H(Θ)−H(A) = 1− 0 = 1

ή γενικότερα ∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1.

Η συνάρτηση δέλτα έχει μοναδιαίο εμβαδόν συγκεντρωμένο στο t = 0.

• Για κάθε συνεχή συνάρτηση F (x) ισχύουν:

F (t)δ(t) = F (0)δ(t), F (t)δ(t− T ) = F (T )δ(t− T )

και ∫ +∞

−∞F (t)δ(t)dt = F (0),

∫ +∞

−∞F (t)δ(t− T )dt = F (T ).



2.8.1 Απόκριση σε συνάρτηση Dirac

Έστω y(t) η ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού με σταθερά διάσπασης a, σε έναν αντι-δραστήρα. Αρχικά y(0) = 0. Τη χρονική στιγμή t = 0 προσθέτουμε απότομα r kg υλικού.Αυτό περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση

dydt + ay = rδ(t)

Για t < 0 έχουμε προφανώς y(t) = 0. Τη χρονική στιγμή t = 0 η απότομη προσθήκη των rkg του υλικού, στην ουσία αλλάζει απότομα την αρχική συνθήκη που από το 0 πηγαίνειστο r. Για t > 0 δεν υπάρχει καμία είσοδος στο σύστημα και η y(t) είναι η λύση τουπροβλήματος αρχικών τιμών

dydt + ay = 0, y(0) = r.

Κατά τα γνωστά έχουμε για την ποσότητα του υλικού σε χρόνο t

y(t) =

0 για t < 0

re−at για t ≥ 0

Η απόκριση στη συνάρτηση Dirac για r = 1 είναι γνωστή και ως κρουστική απόκριση καιφαίνεται στο Σχήμα 2.11. Για τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών με τη μετατοπι-

t

1

y(t)

Σχήμα 2.11: Απόκριση σε είσοδο δ(t)

σμένη συνάρτηση Dirac στην είσοδο

dydt − ay = δ(t− T ), y(0) = ο,τιδήποτε,

εργαζόμαστε ως εξής:

• Μέχρι τη στιγμή T το πρόβλημα περιγράφεται από την

dydt − ay = 0

και η λύση είναι η y(t) = y(0)eat.

• Τη στιγμή t = T προσθέτουμε 1 στη συνάρτηση: y(T ) = y(0)eaT + 1.



• Για t ≥ T έχουμε τώρα να λύσουμε το εξής πρόβλημα αρχικών τιμών:dydt − ay = 0, y(T ) = y(0)eaT + 1.

Η γενική λύση είναι y(t) = Ceat και αντικαθιστώντας για t = T προσδιορίζουμε τηντιμή της παραμέτρου C

CeaT = y(0)eaT + 1 ⇒ C = y(0) + e−aT .

Η λύση για t ≥ T είναιy(t) = y(0)eat + ea(t−T ).

Η λύση σε κάθε περίπτωση είναι η

y(t) =

y(0)eat, για t < T

y(0)eat + ea(t−T ) για t ≥ T


Ποια είναι η σταθερά κατάσταση y∞ για τη διαφορική εξίσωσηdydt = −y + δ(t− 1) +H(t− 3).

Όταν t → +∞, τότε H(t − 3) = 1 και δ(t − 1) = 0, οπότε σύμφωνα με την αρχή τηςεπαλληλίας, η λύση στο άπειρο προκύπτει ως συνδυασμός των λύσεων των εξισώσεων:

dydt + y = 1

dydt + y = 0

Από γνωστές λύσεις των παραπάνω, η γενική λύση είναιy(t) =

(C1e

−t + 1)+

(C2e

−t)

και τελικά:y∞ = lim

t→+∞y(t) = 1.


Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμώνdydt − 2y = 200δ(t− 3), y(0) = 1.

Για t < 3 λύση είναι y(t) = e2t. Τη στιγμή t = 3 η λύση αυξάνεται κατά απότομα κατά200: y(3) = e6 + 200. Για t ≥ 3, χωρίς εξωτερικές δράσεις, η λύση ξεκινάει από το y(3)και είναι η y(t) = e2t + 200e2(t−3). Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Heaviside μπορούμενα συνδυάσουμε τις 2 λύσεις σε μία:

y(t) = e2t + 200e2(t−3)H(t− 3).

Η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα [2.5, 3.5] δίνεται στο Σχήμα 2.12, όπουφαίνεται το άλμα που γίνεται για t = 3.



0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2.6 2.8 3 3.2 3.4

y(t)

t

e2t + 200e2(t−3)H(t− 3)

Σχήμα 2.12: Λύση Παραδείγματος 2

2.9 Μιγαδικοί αριθμοί

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση (ένα υπερσύνολο) των πραγματικών αριθμώνπου παράγεται αν ορίσουμε την τετραγωνική ρίζα αρνητικών αριθμών. Για τον σκοπόαυτό ορίζουμε τη φανταστική μονάδα i =

√−1. Τότε, ένας μιγαδικός αριθμός εκφράζεται

ωςa+ ib με a, b ∈ R.

Είναι δηλαδή συνδυασμός 2 πραγματικών αριθμών: ο a είναι το πραγματικό μέρος καιο b το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζονται ως:

a = Re(a+ ib) b = Im(a+ ib).

Γραφικά, οι μιγαδικοί αριθμοί απεικονίζονται ως σημεία στο μιγαδικό επίπεδο όπωςφαίνεται στο Σχήμα 2.13.

Re

Im

a+ ib

a

br

θ0

Σχήμα 2.13: Μιγαδικό επίπεδο



Για a = 0 ή b = 0 γράφουμε:

a+ i0 = a, 0 + ib = ib, 0 + i0 = 0.

Ο ορισμός της ισότητας δυο μιγαδικών αριθμών είναι:

a+ ib = c+ id ⇐⇒ a = c και b = d.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών γίνεται κατά τα γνωστά, χρη-σιμοποιώντας το γεγονός ότι i2 = −1:

(a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d),

(a+ ib)(c+ id) = (ac+ i2bd) + i(ad+ bc) = (ac− bd) + i(ad+ bc).

Ο συζυγής μιγαδικός του z = a+ ib είναι ο αριθμός z = a− ib και ισχύει ότι ¯z = z και ότιzz = a2 + b2. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ότι το γινόμενο 2 συζυγών μιγαδικών είναιπραγματικός αριθμός ορίζουμε τη διαίρεση μιγαδικών αριθμών

a+ ib

c+ id=

a+ ib

c+ id· c− id

c− id=

ac+ bd

c2 + d2+ i

bc− ad

c2 + d2.

Το μέτρο ή απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως:

|z| = |a+ ib| =√

a2 + b2 ή αλλιώς |z| =√zz.

Στο μιγαδικό επίπεδο, ο αριθμός a+ ib μπορεί να παρασταθεί, εκτός από τις “συντεταγ-μένες” του a, b, και σε πολικές συντεταγμένες r, θ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.13. Γιατη μετατροπή από τη μια μορφή στην άλλη ισχύουν τα εξής:

a = r cos θ, b = r sin θ

r = |a+ ib| =√

a2 + b2, tan θ = b/a, (0 ≤ θ < 2π).

Μια από τις σημαντικότερες σχέσεις στα μαθηματικά είναι ο τύπος του Euler που συνδέειτη μιγαδική εκθετική συνάρτηση με τις πραγματικές συναρτήσεις του ημιτόνου και τουσυνημιτόνου:

Ο τύπος του Euler: eiθ = cos θ + i sin θ (2.16)

Αν στον τύπο (1.2) του Taylor για την εκθετική συνάρτηση θέσουμε t = iθ και παρατη-ρώντας ότι i2 = −1, i3 = −i, i4 = −1, . . . παίρνουμε:

eiθ =

(1− θ2

2!+

θ4

4!+ · · ·

)+ i

(θ − θ3

3!+

θ5

5!+ · · ·

)= cos θ + i sin θ.

Οι όροι στις παρενθέσεις είναι τα αναπτύγματα κατά Taylor του συνημιτόνου (1.3) καιτου ημιτόνου (1.4) αντίστοιχα.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler και την πολική μορφή του a+ ib έχουμε

a+ ib = r (cos θ + i sin θ) = reiθ.



Τώρα ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη μιγαδικών αριθμών απλο-ποιείται σημαντικά:

r1eiθ1 · r2eiθ2 = r1r2e

i(θ1+θ2)

r1eiθ1/r2e

iθ2 =r1r2ei(θ1−θ2)

(a+ ib)n = rneinθ.

Με τον τύπο του Euler μιγαδική εκθετική συνάρτηση εκφράζεται συναρτήσει του ημιτό-νου και του συνημιτόνου. Αλλά και οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο μπορούν ναδιατυπωθούν σε σχέση με την εκθετική συνάρτηση:

cos θ = Re(eiθ) sin θ = Im(eiθ)

cos θ =1

2(eiθ + e−iθ) sin θ =

1

2i(eiθ − e−iθ)

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες προκύπτουν εύκολα από τον τύπο του Euler, χωρίς ναείναι απαραίτητη η αποστήθιση τους. Για παράδειγμα για το συνημίτονο και το ημίτονοαθροίσματος έχουμε:

cos(α+ β) + i sin(α+ β) = ei(α+β) = eiαeiβ = (cosα+ i sinα)(cosβ + i sinβ)

= (cosα cosβ − sinα sinβ) + i(sinα cosβ + cosα sinβ).

Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη προκύπτουν οι γνωστές ταυτότητεςγια το συνημίτονο και το ημίτονο αθροίσματος αντίστοιχα.

Ο τύπος του Euler ορίζει την εκθετική συνάρτηση μιας φανταστικής δύναμης. Γενικεύο-ντας για οποιονδήποτε μιγαδικό εκθέτη έχουμε:

ea+ib = eaeib = ea(cos b+ i sin b). (2.17)

Από την παραπάνω παίρνουμε

Re(ea+ib) = ea cos b, Im(ea+ib) = ea sin b.

Συνδυάζοντας την (2.17) και τον κανόνα πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών, προκύ-πτει εύκολα ότι και για μιγαδικούς εκθέτες z1, z2, ισχύουν γνωστές ιδιότητες όπως η

ez1+z2 = ez1ez2 .

Συναρτήσεις όπως ηeix = cosx+ i sinx

που έχουν πεδίο ορισμού τον R αλλά παίρνουν τιμές στο σύνολο των μιγαδικών αριθμώνγράφονται γενικά ως

u(x) + iv(x), με u, v πραγματικές συναρτήσεις.

Η παράγωγος και το ολοκλήρωμά τους είναι:

ddx(u+ iv) =

dudx + i

dvdx και

∫(u+ iv)dx =

∫udx+ i

∫v dx .



Για την e(a+ib)x είναιddx

(e(a+ib)x

)= (a+ ib)e(a+ib)x,

και επομένως ∫e(a+ib)x dx =

1

a+ ibe(a+ib)x. (2.18)

Ένα τέχνασμα που χρησιμοποιούμε πολλές φορές είναι να μετασχηματίζουμε ένα πρό-βλημα με πραγματικούς αριθμούς σε ένα με μιγαδικούς, το οποίο όμως επιλύεται ευκο-λότερα. Για παράδειγμα, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος∫

ex cos 2xdx ,

αν δουλέψουμε με πραγματικούς αριθμούς απαιτεί δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις κατάμέρη. Αντί αυτού μπορούμε να θεωρήσουμε τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση

ex cos 2x+ iex sin 2x = e(1+2i)x

οπότε για το ζητούμενο ολοκλήρωμα∫ex cos 2xdx = Re

(∫e(1+2i)x dx

).

Αντικαθιστώντας στην (2.18) έχουμε∫e(1+2i)x dx =

1

1 + 2ie(1+2i)x =

(1

5− 2

5i

)(ex cos 2x+ iex sin 2x).

Μετά από τις πράξεις και την εξαγωγή του πραγματικού μέρους, παίρνουμε τελικά:∫ex cos 2xdx =

1

5ex cos 2x+

2

5ex sin 2x.

2.10 Μιγαδική εκθετική είσοδος

Θεωρούμε τώρα τη γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές με μιγαδικήεκθετική είσοδο:

dzdt + az = Aeiωt. (2.19)

Κατά τα γνωστά αναζητάμε μια ειδική μιγαδική λύση της μορφής:

zp(t) = Zeiωt,

και αντικαθιστώντας στην (2.19):

iωZeiωt + aZeiωt = Aeiωt ⇒ iωZ + aZ = A ⇒ Z =A

iω + a.

Παρατηρούμε ότι ο μιγαδικός αριθμός 1/(iω+a) πολλαπλασιάζει την είσοδο q(t) = Aeiωt

για να δώσει την απόκριση zp(t) = Zeiωt.



Re

Im

a+ iω

a

ωr

θ0

Σχήμα 2.14: Πολικές συντεταγμένες

Τα παραπάνω απλοποιούνται σημαντικά αν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες(Σχήμα 2.14). Σε πολικές συντεταγμένες έχουμε

iω + a = reiθ ⇒

r =

√a2 + ω2

tan θ = ω/a.

Η πολική μορφή του Z είναι επομένως

Z =A

iω + a=

A

reiθ= A

1√a2 + ω2

e−iθ = AGe−iθ

και η ειδική λύση της (2.19) γράφεται

zp(t) = AGei(ωt−θ). (2.20)

H (2.19) είναι το μοντέλο μιας ταλάντωσης που δέχεται ταλαντωτική είσοδο συχνότηταςω και πλάτους A. Η απόκριση του συστήματος είναι επίσης μια ταλάντωση με την ίδιασυχνότητα ω και διαφορά φάσης θ. Το πλάτος ταλάντωσης της απόκρισης είναι το πλάτοςA της εισόδου, πολλαπλασιασμένο επί το κέρδος G.

2.11 Τριγωνομετρική είσοδος

Οι γραμμικές διαφορικές πρώτης τάξης με τριγωνομετρική είσοδο είναι της μορφής:dydt + ay = A cos(ωt) +B sin(ωt), (2.21)

και λύση τους είναι κατά τα γνωστά το άθροισμα της ομογενούς και μιας ειδικής λύσης

y(t) = yh(t) + yp(t).

Σε πρακτικές εφαρμογές είναι a < 0, επομένως η λύση της ομογενούς φθίνει και μετάαπό κάποιο χρονικό διάστημα κυριαρχεί η ειδική λύση που είναι ταλαντωτική.

Στη συνέχεια θα αναζητήσουμε μια ειδική λύση τηςdydt + ay = A cos(ωt). (2.22)

Οι μεθοδολογίες που θα εξετάσουμε εφαρμόζονται και στη γενική περίπτωση τριγωνο-μετρικής εισόδου (2.21), η οποία αντιμετωπίζεται ως μια γενίκευση της (2.22), όπως θαδούμε παρακάτω.



2.11.1 Λύση με προσδιοριστέους συντελεστές

Αναζητάμε ειδική λύση της μορφής

yp(t) = M cos(ωt) +N sin(ωt). (2.23)

Αντικαθιστώντας στην (2.21):

−Mω sin(ωt) +Nω cos(ωt) + aM cos(ωt) + aN sin(ωt) = A cos(ωt) ⇐⇒(aM + ωN) cos(ωt) + (−ωM + aN) sin(ωt) = A cos(ωt).

Οι συντελεστές M και N προκύπτουν από την επίλυση του γραμμικού συστήματος

aM + ωN = A

−ωM + aN = 0.

Οι λύσεις είναι οι:M =

aA

a2 + ω2και N =

ωA

a2 + ω2.

2.11.2 Λύση σε πολικές συντεταγμένες

Η λύση της προηγούμενης ενότητας είναι γραμμικός συνδυασμός δύο ταλαντώσεων σεδιαφορά φάσης. Θα θέλαμε ιδανικά να την διατυπώσουμε ως μία ταλάντωση της μορφής

yp(t) = R cos(ωt− ϕ). (2.24)

Από τον τύπο συνημιτόνου διαφοράς έχουμε

yp(t) = R cos(ωt− ϕ) = R cos(ϕ) cos(ωt) +R sin(ϕ) sin(ωt).

Για να είναι ισοδύναμες οι λύσεις (2.23) και (2.24) πρέπει:

R cos(ϕ) = M και R sin(ϕ) = N. (2.25)

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο τις (2.25) και τις προσθέσουμε έχουμε

R =√

M2 +N2.

Αν διαιρέσουμε τις (2.25) κατά μέλη έχουμε

tan(ϕ) = N/M.

Ουσιαστικά αποδείξαμε και χρησιμοποιήσαμε έμμεσα την συνημιτονοειδή ταυτότητα

M cos(ωt) +N sin(ωt) = R cos(ωt− ϕ), (2.26)

που ισχύει για R,ϕ όπως υπολογίστηκαν παραπάνω. Από την (2.25) παρατηρούμε επίσης,ότι τα R και ϕ είναι οι πολικές συντεταγμένες του μιγαδικού αριθμού M+iN . Μπορούμεδηλαδή να γράψουμε

M + iN = Reiϕ.



Η συνημιτονοειδής ταυτότητα μας επιτρέπει να εκφράσουμε τον συνδυασμό δυο ταλα-ντώσεων που βρίσκονται σε διαφορά φάσης ως μία ταλάντωση. Η συνάρτηση

F (t) = R cos(ωt− ϕ)

είναι η συνάρτηση συνημιτόνου μεγενθυμένη κατά R, μετατοπισμένη κατά ϕ/ω, και συ-μπιεσμένη κατά ω.

2.11.3 Μιγαδική λύση

Στην ενότητα 2.10 βρήκαμε τη μιγαδική λύση της εξίσωσης με μιγαδική εκθετική είσοδο.Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Euler (2.16), η εξίσωση (2.19) γράφεται:

dzdt + az = A cos(ωt) + iA sin(ωt).

Αν zp(t) είναι η μιγαδική ειδική λύση (2.20), που έχουμε ήδη υπολογίσει παραπάνω, ηβασική ιδέα είναι ότι

• το πραγματικό της μέρος,

Re(zp) = yp(t) = AG cos(ωt− θ),

είναι μια ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης

dy/dt + ay = A cos(ωt),

• το φανταστικό της μέρος,

Im(zp) = yp(t) = AG cos(ωt− θ),

είναι μια ειδική λύση της διαφορικής εξίσωσης

dy/dt + ay = A sin(ωt).

Χρησιμοποιήσαμε δηλαδή ένα τέχνασμα, όπως στο τέλος της Ενότητας 2.9, και μετασχη-ματίσαμε ένα πραγματικό πρόβλημα σε μιγαδικό με ευκολότερη λύση.

Γενικεύοντας το τέχνασμα αυτό, η επίλυση της (2.21) γίνεται σε 3 βήματα

1. Χρησιμοποιούμε την συνημιτονοειδή ταυτότητα (2.26) για να γράψουμε την εξίσωση(2.21) στην ισοδύναμη μορφή y′ + ay = R cos(ωt− ϕ).

2. Μετασχηματίζουμε την πραγματική διαφορική εξίσωση σε μιγαδική z′+az = Rei(ωt−ϕ),της οποίας η μιγαδική λύση είναι η zp = Rei(ωt−ϕ)/(iω + a) = RGei(ωt−ϕ−θ).

3. Η ειδική λύση yp της (2.21) είναι το πραγματικό μέρος της μιγαδικής λύσης zp.



Παράδειγμα Εύρεση ειδικής λύσης της y′ − y = cos t− sin t. Είναι a = −1, ω = 1, A = 1και B = −1. Υπολογίζουμε τα R =

√A2 +B2 =

√2, tanϕ = B/A = −1 ⇒ ϕ = −π/4,

G = 1/√a2 + ω2 = 1/

√2 και tan θ = ω/a = −1 ⇒ θ = 3π/4. Έχουμε ακόμα ότι RG = 1.

Ακολουθούμε τα παραπάνω βήματα:

1. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: y′ − y =√2 cos(t+ pi/4).

2. Μετασχηματίζουμε σε μιγαδική εξίσωση z′ + az =√2ei(t+π/4) που έχει τη μιγαδική

ειδική λύση zp = ei(t−π/2).

3. yp = Re(zp) = cos(t− π/2) = sin t.

2.12 Η εξίσωση Bernoulli

Η εξίσωση Bernoulli στη γενική της μορφή

dydt = ay − byn

είναι μια μη-γραμμική διαφορική εξίσωση για τιμές του n ≥ 2 (για n = 0 ή 1 η εξί-σωση είναι γραμμική). Για την επίλυσή της θέτουμε z = y1−n οπότε καταλήγουμε σε μιαγραμμική εξίσωση ως προς z.

2.12.1 Η λογιστική εξίσωση

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τη λογιστική εξίσωση, που είναι η εξίσωση Bernoulli γιαn = 2

dPdt = aP − bP 2.

Η λογιστική εξίσωση χρησιμοποιείται για παράδειγμα ως μοντέλο αύξησης ενός πληθυ-σμού P (t). Ο πληθυσμός αυξάνεται ανάλογα με την τρέχουσα τιμή του και μειώνεταιανάλογα με το τετράγωνό της. Θεωρούμε επομένως ότι a, b > 0.

Για την επίλυσή της θέτουμε z = P−1 οπότε χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγισηςτης αλυσίδας έχουμε

z =1

P⇒ dz

dt = − 1

P 2

dPdt = − 1

P 2(aP − bP 2) ⇒ dz

dt = −az + b.

Καταλήξαμε δηλαδή σε μια γραμμική εξίσωση ως προς z της οποίας η λύση κατά ταγνωστά είναι

z = Ce−at +b

a.

Στο μοντέλο του πληθυσμού έχουμε ως αρχική συνθήκη την αρχική τιμή του πληθυσμούP (0) = 1/z(0) οπότε η λύση για t = 0 δίνει

C = z(0)− b

a



καιz(t) =

(z(0)− b

a

)e−at +

b

a=

De−at + b

a.

Η σταθερά D συγκεντρώνει σε μία τις σταθερές a, b και P (0)

D = az(0)− b =a

P (0)− b.

Η λύση P (t) προκύπτει αντιστρέφοντας τη z(t):

P (t) =a

De−at + b.

Παρατηρούμε ότι

• Όταν t → +∞, τότε e−at → 0 και P (t) → a/b. Σε κάποιες εφαρμογές η ποσότητα a/bονομάζεται και φέρουσα ικανότητα του συστήματος. Στο μοντέλο του πληθυσμού,είναι ο μέγιστος πληθυσμός που μπορεί να υποστηρίξει το σύστημα.

• Όταν t → −∞, τότε e−at → +∞ και P (t) → 0.

Οι περιπτώσεις αυτές αντιστοιχούν σε καταστάσεις ισορροπίας. Η P (t) είναι σταθερή κα-τάσταση ισορροπίας. Αν ο πληθυσμός ξεκινήσει από οποιαδήποτε αρχική τιμή P (0) = 0θα ισορροπήσει τελικά στη φέρουσα ικανότητα a/b και θα παραμείνει σταθερός. Η κα-τάσταση P (t) = 0 αντιστοιχεί σε ασταθή κατάσταση ισορροπίας: η μοναδική περίπτωσηνα επιτευχθεί είναι όταν δεν υπάρχει αρχικός πληθυσμός. Οποιοσδήποτε αρχικός πληθυ-σμός μεγαλύτερος από το 0, θα καταλήξει τελικά στη σταθερή κατάσταση ισορροπίας.Οι καταστάσεις ισορροπίας είναι οι ρίζες της εξίσωσης aP − bP 2 = 0, για τις οποίες ορυθμός μεταβολής dP/dt = 0 (ο πληθυσμός δεν μεταβάλλεται).

Η λύση της λογιστικής εξίσωσης είναι η σιγμοειδής καμπύλη που φαίνεται στο Σχήμα 2.15.

P (t)a/b

a/2b

P (0)

t1/20 t

σηµειo καµπηs

Σχήμα 2.15: Λύση της λογιστικής εξίσωσης (σιγμοειδής καμπύλη)

Τη χρονική στιγμή t1/2 ο πληθυσμός φτάνει στο μισό της μέγιστης τιμής του. Το σημείοαυτό είναι το σημείο καμπής της καμπύλης: μέχρι το σημείο αυτό ο ρυθμός αύξησηςτου πληθυσμού αυξάνεται· από το σημείο αυτό και μετά ο πληθυσμός εξακολουθεί νααυξάνεται, αλλά ο ρυθμός αύξησής του μειώνεται.



Η σιγμοειδής καμπύλη είναι ανεξάρτητη από την αρχική τιμή P (0). Για οποιαδήποτετιμή του P (0) απλώς το σημείο μετατοπίζεται ανάλογα πάνω στην καμπύλη. Η μορφήτης καμπύλης δεν μεταβάλλεται και εξαρτάται μόνο από τα a και b.

2.12.2 Επίλυση με μερικά κλάσματα

Αν δεν χρησιμοποιήσουμε το τέχνασμα της αλλαγής μεταβλητής, η εξίσωση Bernoulliμπορεί να επιλυθεί, δυσκολότερα όμως, και με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητώνχρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων. Για n = 2έχουμε

dydt = ay − by2 ⇒ dy

y − (b/a)y2= adt ⇒

∫1

y − (b/a)y2dy = at+ C.

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, παραγοντοποιούμε τον παρανομαστή και παίρ-νουμε

1

y − (b/a)y2=

A

y+

B

1− (b/a)y.

Στη συνέχεια προσδιορίζουμε τα A και B:

A(1− b

ay) +By = 1 ⇒ A = 1 και B = b/a.

Ολοκληρώνουμε, και από ιδιότητες λογαρίθμων έχουμε:∫ dyy

+

∫(b/a)dy1− (b/a)y

= ln y − ln(1− b

ay

)= ln y

1− (b/a)y.

Επομένως∫1

y − (b/a)y2dy = at+ C ⇒ ln y

1− (b/a)y= at+ C = at+ ln y(0)

1− (b/a)y(0).

Προσδιορίσαμε τη σταθερά C στο t = 0. Υψώνουμε το e στην εξίσωση αυτή και παίρνουμε:

y

1− (b/a)y= eat

y(0)

1− (b/a)y(0).

Λύνουμε ως προς y και μετά από πράξεις καταλήγουμε στη λύση που υπολογίσαμε (μεευκολότερο τρόπο) στην προηγούμενη ενότητα.

2.13 Αυτόνομες εξισώσεις

Η εξίσωση Bernoulli είναι μια αυτόνομη εξίσωση. Οι αυτόνομες εξισώσεις είναι γενικάμη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της μορφής

dydt = f(y),



1

2

Σχήμα 2.16: Λύση ανεξάρτητη αρχικής συνθήκης

οι οποίες εξαρτώνται μόνο από το y και όχι από το t. Η γραφική παράσταση της λύσηςείναι η ίδια για οποιαδήποτε αρχική τιμή y(0). Για παράδειγμα η dy/dt = y, της οποίαςη λύση y = Cet φαίνεται στο Σχήμα 2.16.

Ανεξάρτητα από το αν η αρχική συνθήκη είναι y(0) = 1 ή y(0) = 2 η εξέλιξη της λύσηςείναι η ίδια. Με άλλα λόγια, αν η y(t) είναι λύση μιας αυτόνομης εξίσωσης, τότε και ηy(t− t0) είναι επίσης μια λύση.

Οι αυτόνομες εξισώσεις είναι εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών αλλά η ολοκλήρωσήτους μπορεί να είναι δύσκολη. Συχνά μας ενδιαφέρει όμως η ποιοτική συμπεριφοράτου συστήματος. Σε μοντέλα πληθυσμών, θέλουμε για παράδειγμα να ξέρουμε αν οπληθυσμός σταθεροποιείται, εξαφανίζεται ή αυξάνεται ανεξέλεγκτα.

Οι καταστάσεις ισορροπίας Y για ένα σύστημα που περιγράφεται από μια αυτόνομη εξί-σωση είναι οι ρίζες της f(Y ) = 0, γιατί για τις τιμές αυτές η συνάρτηση δεν μεταβάλλεται(dy/dt = 0). Ένα βασικό ερώτημα έχει να κάνει με την ευστάθεια της κατάστασης ισορ-ροπίας: αν ξεκινήσουμε κοντά στο Y , τότε η λύση y(t) συγκλίνει στην Y ή απομακρύνεταιαπό αυτή;

Το απλούστερο παράδειγμα αυτόνομης εξίσωσης είναι η γνωστή μας γραμμική διαφορικήεξίσωση

dy/dt = ay, (2.27)

η λύση της οποίας είναι η εκθετική συνάρτηση y(t) = Ceat. Η κατάσταση ισορροπίαςείναι η Y = 0 (ρίζα της f(y) = ay) και είναι ευσταθής όταν a < 0 γιατί τότε καταλήγουμεπάντα σε αυτήν από οποιοδήποτε αρχικό y και αν ξεκινήσουμε. Στην αντίθετη περίπτωσηa > 0 η λύση απομακρύνεται από την κατάσταση ισορροπίας. Η a είναι η παράγωγος τηςf ως προς y.

H Y είναι ευσταθής κατάσταση ισορροπίας όταν dfdy (Y ) < 0.

.

Για να είναι η Y ευσταθής πρέπει η διαφορά y(t)− Y να μειώνεται με το πέρασμα τουχρόνου:

ddt(y − Y ) = f(y)− 0 = f(y)− f(Y ).



Από προσέγγιση Taylor πρώτης τάξης έχουμε

f(y)− f(Y ) ≃ dfdy · (y − Y ),

δηλαδή η διαφορά y(t)− Y μεταβάλλεται σύμφωνα με τη διαφορική εξίσωση

ddt(y − Y ) =

dfdy · (y − Y ),

η οποία είναι της μορφής (2.27) και η οποία καταλήγει σε ευσταθή κατάσταση ισορροπίαςόταν a < 0. Εδώ έχουμε a = df/dy .

Η εξίσωση Bernoullidydt = y − y3

έχει 3 καταστάσεις ισορροπίας για Y = 0,+1,−1, για τις οποίες έχουμε df/dy = 1−3y2 =1,−2,−2, αντίστοιχα. Επομένως μόνο οι Y = 1 και Y = −1 είναι καταστάσεις ευσταθούςισορροπίας. H γραμμή ευστάθειας για την εξίσωση αυτή φαίνεται στο Σχήμα 2.17. Για

+∞−∞ 0-1 +1

y′ = y − y3

Σχήμα 2.17: Γραμμή ευστάθειας για dy/dt = y − y3

αρχικές τιμές του y(0) ≥ 1 το σύστημα καταλήγει στην κατάσταση Y = 1. Για y(0) ≤ −1το σύστημα καταλήγει στην κατάσταση Y = −1. Για 0 < y(0) ≤ 1 το σύστημα απομακρύ-νεται από την ασταθή κατάσταση Y = 0 και καταλήγει στην ευσταθή κατάσταση Y = 1.Και αντίστοιχα για −1 ≤ y(0) < 0.



3 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούςσυντελεστές της μορφής

Ay′′ +By′ + Cy = f(t).

Γενικά οι εξισώσεις δεύτερης τάξης με μη-σταθερούς συντελεστές δεν επιλύονται μεεύκολο τρόπο και συνήθως, όταν προκύπτουν σε εφαρμογές, επιλύονται με υπολογιστικέςμεθόδους.

Συχνά μπορούμε να θεωρήσουμε ως σταθερούς συντελεστές τις φυσικές ιδιότητες εκείνεςτου συστήματος που μεταβάλλονται πολύ πιο αργά από τη φυσική εξέλιξη του φαινο-μένου. Για παράδειγμα, η ελαστικότητα ενός ελατηρίου μειώνεται με το πέρασμα τουχρόνου, αλλά για τη μελέτη μιας ταλάντωσης η μείωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνεταιυπόψη.

3.1 Επίλυση της ομογενούς εξίσωσης δεύτερης τάξης

Η ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης,

Ay′′ +By′ + Cy = 0 (3.1)

όπως και στις εξισώσεις πρώτης τάξης, είναι πολύ σημαντική για την κατανόηση και τηνεπίλυση μη-ομογενών εξισώσεων.

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας αν y1(t) και y2(t) είναι δυο λύσεις μιας γραμμικής,ομογενούς διαφορικής εξίσωσης τότε και η

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) (3.2)

είναι επίσης μια λύση της.

Η (3.2) είναι η γενική λύση της ομογενούς που εμπεριέχει κάθε δυνατή λύση, με τηνπροϋπόθεση οι y1 και y2 να είναι γραμμικά ανεξάρτητες, όπως εξηγείται στη συνέχεια.

Αν η (3.1) είναι μέρος ενός προβλήματος αρχικών τιμών τότε για να προσδιορίσουμε τιςπαραμέτρους c1 και c2 χρειαζόμαστε επίσης 2 αρχικές συνθήκες y(0) και y′(0) έτσι ώστε

c1y1(0) + c2y2(0) = y(0)

c1y′1(0) + c2y

′2(0) = y′(0)

Αυτό είναι ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων με άγνωστους τα c1 και c2. Σύμφωνα μετον κανόνα του Cramer η λύση του συστήματος είναι

c1 =

∣∣∣∣y(0) y2(0)y′(0) y′2(0)

∣∣∣∣∣∣∣∣y1(0) y2(0)y′1(0) y′2(0)

∣∣∣∣ και c2 =

∣∣∣∣y1(0) y(0)y′1(0) y′(0)

∣∣∣∣∣∣∣∣y1(0) y2(0)y′1(0) y′2(0)

∣∣∣∣ ,Μιχάλης Δρακόπουλος 49


όπου η ορίζουσα είναι ένας αριθμός που δίνεται από τη σχέση∣∣∣∣α βγ δ

∣∣∣∣ = αδ − βγ.

Για να έχει λύση το γραμμικό σύστημα πρέπει ο παρανομαστής να είναι = 0.

Για να είναι η y(t) στην (3.2) μια γενική λύση αρκεί για την ορίζουσα Wronksi W (t) πουεμφανίζεται στους παρανομαστές να ισχύει

W (t) =

∣∣∣∣y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(t)

∣∣∣∣ = 0,

για κάποιο t στο πεδίο ορισμού των y1, y2 (ειδικά για τις λύσεις της ομογενούς y1, y2,αν ∃t0 : W (t0) = 0 ⇒ W (t) = 0, ∀t). Στην περίπτωση αυτή οι συναρτήσεις y1, y2 είναιγραμμικά ανεξάρτητες.

Κατ’ αναλογία με την ομογενή εξίσωση πρώτης τάξης y′ + ay = 0, αναζητάμε λύσεις της(3.1) της μορφής y(t) = est. Αντικαθιστώντας στην (3.1) έχουμε

(As2 +Bs+ C)est = 0.

Επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι παντού = 0, βρήκαμε ότι η y(t) = est είναι μια λύσητης ομογενούς όταν το s είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης

As2 +Bs+ C = 0.

Το πολυώνυμο P (s) στο αριστερό μέλος ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η χα-ρακτηριστική εξίσωση μπορεί να έχει (i) 2 πραγματικές ρίζες, (ii) 2 συζυγείς μιγαδικέςρίζες, (iii) μια διπλή πραγματική ρίζα.

Δύο πραγματικές ρίζες

Αν η διακρίνουσα ∆ = B2 − 4AC > 0, η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο πραγματικέςρίζες s1, s2 = (−B ±

√∆)/(2A). Έχουμε δύο λύσεις y1(t) = es1t και y2(t) = es2t για τις

οποίες η W (t) = 0, επομένως η γενική λύση της ομογενούς στην περίπτωση αυτή είναι η

y(t) = c1es1t + c2e

s2t. (3.3)

Δύο μιγαδικές ρίζες

Αν η διακρίνουσα ∆ = B2 − 4AC < 0, η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο συζυγείςμιγαδικές ρίζες τις

s1, s2 = − B

2A± i

√|∆|2A

= a± ib

Η ομογενής εξίσωση έχει επομένως τις μιγαδικές λύσεις

z1(t) = e(a+ib)t και z2(t) = e(a−ib)t.



Επειδή όμως η διαφορική μας εξίσωση έχει πραγματικούς συντελεστές, θα θέλαμε ναέχουμε και πραγματικές λύσεις!

Προτού συνεχίσουμε θα δείξουμε ότι αν z(t) = u(t) + iv(t) είναι μια μιγαδική λύση τηςομογενούς, τότε οι u(t) και v(t) είναι επίσης λύσεις. Έχουμε

0 = Az′′ +Bz′ + Cz = · · · = (Au′′ +Bu′ + Cu) + i(Av′′ +Bv′ + Cv) = 0 + 0i

Και οι δύο εκφράσεις στις παρενθέσεις είναι πραγματικές, έτσι για να είναι το άθροισμα0 πρέπει καθεμιά από αυτές να ισούται με το 0. Επομένως οι πραγματικές συναρτήσειςu και v είναι πράγματι λύσεις της ομογενούς.

Αν αναπτύξουμε τη μιγαδική λύση z1(t) με τον τύπο του Euler, έχουμε

z1(t) = e(a+ib)t = eateibt = eat cos(bt) + ieat sin(bt).

Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της z1 είναι δυο λύσεις της ομογενούς καιμπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι για τις λύσεις αυτές η W (t) = 0, επομένως ηγενική λύση της ομογενούς στην περίπτωση αυτή είναι η

y(t) = c1eat cos(bt) + c2e

at sin(bt). (3.4)

Αντί της z1 θα μπορούσαμε να πάρουμε φυσικά και τις αντίστοιχες λύσεις της z2.

Μια διπλή πραγματική ρίζα

Στην περίπτωση αυτή είναι ∆ = 0 και η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μια διπλή πραγμα-τική ρίζα s = s1 = s2 = −B/(2A). Μια λύση της ομογενούς είναι επομένως η y1(t) = est.Για να κατασκευάσουμε τη γενική λύση χρειαζόμαστε επομένως και μια δεύτερη ανε-ξάρτητη λύση y2(t) τέτοια ώστε W (t) = 0. Μια τέτοια είναι η y2(t) = test, επομένως ηγενική λύση της ομογενούς είναι η

y(t) = c1est + c2te

st. (3.5)

Μέθοδος της μείωσης τάξης

Στην προηγούμενη περίπτωση της χαρακτηριστικής εξίσωσης με διπλή ρίζα, φάνηκε ναεπιλέξαμε “αυθαίρετα” τη δεύτερη λύση y2. Για ομογενής εξισώσεις δεύτερης τάξης, όχικατά ανάγκη με σταθερούς συντελεστές, υπάρχει η μέθοδος της μείωσης της τάξης μετην οποία μπορούμε να βρούμε μια δεύτερη ανεξάρτητη λύση της εφόσον γνωρίζουμεήδη μία. Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο μείωσης τάξης για την προηγούμενη περίπτωση.Ξέρουμε μια λύση, την y1(t) = est και αναζητάμε μια λύση της μορφής y2(t) = c(t)est. Γιαευκολία στους παρακάτω υπολογισμούς θα γράφουμε y2 και c αντί για y2(t) και c(t).Έχουμε

y2 = cest

y′2 = c′est + scest = est(c′ + sc)

y′′2 = c′′est + sc′est + sc′est + s2cest = est(c′′ + 2sc′ + s2c)



Για να είναι η y2 μια λύση της ομογενούς πρέπει να την επαληθεύει

Aest(c′′ + 2sc′ + s2c) +Best(c′ + sc) +Ccest = 0 ⇒ A(c′′ + 2sc′ + s2c) +B(c′ + sc) +Cc = 0.

Βγάζουμε κοινούς παράγοντες το c και τις παραγώγους του και έχουμε

Ac′′ + (2As+B)c′ + (As2 +Bs+ C)c = 0.

Αλλά η s = −B/2A είναι η διπλή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, οπότε οι παραστά-σεις στις παρενθέσεις είναι 0. Θέλουμε μια συνάρτηση c(t) για την οποία c′′(t) = 0 και ηαπλούστερη από αυτές είναι η c(t) = t.

3.2 Αρμονικός ταλαντωτής

Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε ως αντιπροσωπευτικό παράδειγμα διαφορικών εξι-σώσεων δεύτερης τάξης την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή

my′′ + by′ + ky = Fe(t). (3.6)

Η εξίσωση αυτή μοντελοποιεί την κίνηση ενός σώματος με μάζα m > 0. Στη γενικότερηπερίπτωση το σώμα είναι προσαρτημένο σε ένα ελατήριο σταθεράς k. Η κίνηση περι-γράφεται από τη θέση y του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή. Θεωρούμε ως y = 0 τηθέση στην οποία το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, δεν ασκεί δηλαδή καμίαδύναμη πάνω στο σώμα. Στο σώμα μπορεί επίσης να ασκούνται δυνάμεις απόσβεσηςπου αντιτίθενται στην κίνησή του (π.χ. τριβή, αμορτισέρ) με σταθερά b καθώς και άλλεςεξωτερικές δυνάμεις Fe(t). Η πλήρης εικόνα του μοντέλου φαίνεται στο Σχήμα 3.1.

y = 0

y

y

F_e

k

mb

Σχήμα 3.1: Αρμονικός ταλαντωτής

Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα είναι ανάλογη της επιμήκυνσης του ελατηρίουy και για μικρές μετατοπίσεις, σύμφωνα με τον νόμο του Hooke, είναι −ky με k > 0. Είναιδηλαδή αντίθετη της μετατόπισης y.

Οι δυνάμεις απόσβεσης είναι αντίθετες της ταχύτητας y′ και για μικρές ταχύτητες έχουμεγραμμική απόσβεση −by′ με σταθερά απόσβεσης b > 0.

Η (3.6) προκύπτει από τον 2ο νόμο του Newton:

my′′ = −ky − by′ + Fe(t).



Κάποια από τα στοιχεία του συστήματος (αποσβεστήρας, εξωτερική δύναμη και σπανιό-τερα το ελατήριο) μπορεί και να μην υπάρχουν σε κάποιο μοντέλο.

3.2.1 Αρμονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση

Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής είναι ένα αρμονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση καιχωρίς εξωτερικές δυνάμεις (b = 0 και Fe = 0). Η ταλάντωση του περιγράφεται από μιααπλουστευμένη μορφή της (3.6)

my′′ + ky = 0.

Στη μηχανική η φυσική συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος ορίζεται ως

ωn =

√k

m,

και η διαφορική εξίσωση γράφεται

y′′ + ω2ny = 0.

Η χαρακτηριστική εξίσωση s2+ω2n = 0 έχει δύο μιγαδικές ρίζες s1, s2 = ±iωn και η γενική

της λύση σύμφωνα με την (3.4) είναι

y(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt).

Για αρχικές συνθήκες y(0) και y(0) έχουμε

y(t) = y(0) cos(ωnt) +y′(0)

ωnsin(ωnt).

Η γενική λύση μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω με την ημιτονοειδή ταυτότητα (2.26)

y(t) = R cos(ωnt− ϕ),

όπου τα R,ϕ προσδιορίζονται από τα y(0) και y′(0)/ωn. Η κίνηση του ταλαντωτή δηλαδήδίνεται από μια μετατοπισμένη συνάρτηση συνημιτόνου που συνεχίζεται αμετάβλητη γιαπάντα αφού δεν υπάρχει απόσβεση ή κάποια εξωτερική δύναμη για να τη μεταβάλλει.Ένα παράδειγμα της κίνησης στο διάστημα [0, 2π] φαίνεται στο Σχήμα 3.2 για y(0) =1, y′(0) = 4 και ωn = 4.

3.2.2 Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση

Αν στο μοντέλο του απλού αρμονικού ταλαντωτή προσθέσουμε και απόσβεση, χωρίςόμως άλλες εξωτερικές δυνάμεις, παίρνουμε την αντίστοιχη ομογενή διαφορική εξίσωσητης (3.6)

my′′ + by′ + ky = 0, (3.7)

με m > 0, b ≥ 0, k > 0. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι

ms2 + bs+ k = 0



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6

y(t

)

t

cos(4*t)+sin(4*t)

Σχήμα 3.2: Αρμονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση

και οι ρίζες της συνολικά είναι−b±

√b2 − 4mk

2m.

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

ασθενής απόσβεση: b2 < 4mk (b μικρό σε σχέση με m και k)·

ισχυρή απόσβεση: b2 > 4mk (b μεγάλο σε σχέση με m και k)·

κρίσιμη απόσβεση: b2 = 4mk (b ανάμεσα σε ασθενή και ισχυρή απόσβεση).

Ασθενής απόσβεση

Ορίζουμε τη συχνότητα απόσβεσης:

ωd =

√|b2 − 4mk|

2m.

Οι δύο μιγαδικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι οι

s1, s2 =−b

2m± iωd

και η πραγματική λύση της (3.7) από την (3.4) είναι

y(t) = c1e−bt/2m cos(ωdt) + c1e

−bt/2m sin(ωdt)

Χρησιμοποιώντας την ημιτονοειδή ταυτότητα (2.26) έχουμε ισοδύναμα:

y(t) = e−bt/2m (c1 cos(ωdt) + c2 sin(ωdt)) = e−bt/2mR cos(ωdt− ϕ).

Παρατηρούμε ότι:

• Για b = 0 έχουμε e−bt/2m = 1, δηλαδή την περίπτωση του απλού αρμονικού ταλα-ντωτή χωρίς απόσβεση, όπου γίνονται συνέχεια ταλαντώσεις αμείωτου πλάτους.

• Για b μικρό, γίνονται αρχικά κάποιες ταλαντώσεις με συνεχώς όμως μειούμενο πλά-τος λόγω της επίδρασης του συντελεστή e−bt/2m και τελικά το σύστημα καταλήγεισε ηρεμία. Ένα παράδειγμα ασθενούς απόσβεσης φαίνεται στο Σχήμα 3.3 για τηνεξίσωση y′′ + y′ + 3y = 0 με y(0) = 1, y′(0) = 0.



-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14

y(t

)

t

Σχήμα 3.3: Αρμονικός ταλαντωτής με ασθενή απόσβεση

Ισχυρή απόσβεση

Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες s1, s2 που είναι και οι δύο αρ-νητικές. Εφόσον m, k > 0 έχουμε b2 − 4mk < b2, έχουμε

√b2 − 4mk < b και επομένως

−b+√b2 − 4mk < 0. Η δεύτερη ρίζα είναι επίσης αρνητική ως άθροισμα δυο αρνητικών

αριθμών.

Η γενική λύση δίνεται από την (3.3) και είναι άθροισμα 2 εκθετικών συναρτήσεων μεαρνητικούς εκθέτες. Η απόσβεση είναι τόσο μεγάλη που η κίνηση (η λύση) δεν είναι πιαταλάντωση, αλλά φθίνει προς την κατάσταση ισορροπίας y = 0.

Αν s1 > s2 τότε η συνιστώσα της λύσης es1t πηγαίνει στο 0 πιο αργά από την es2t καιεπομένως είναι εκείνη που καθορίζει τον ρυθμό με τον οποίο η y πάει στο 0.

Ένα παράδειγμα ισχυρής απόσβεσης φαίνεται στο Σχήμα 3.4 για την εξίσωση y′′ + 4y′ +3y = 0 με y(0) = 1, y′(0) = 0.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5

y(t

)

t

Σχήμα 3.4: Αρμονικός ταλαντωτής με ισχυρή απόσβεση



Κρίσιμη απόσβεση

Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα −b/(2m) και η γενική λύση από την (3.5)είναι

y(t) = e−b/2m(c1 + tc2).

Όπως και στην περίπτωση της ισχυρής απόσβεσης δεν έχουμε ταλάντωση ούτε εδώ. Έναπαράδειγμα ισχυρής απόσβεσης φαίνεται στο Σχήμα 3.5 για την εξίσωση y′′+4y′+4y = 0με y(0) = 1, y′(0) = 0.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5

y(t

)

t

Σχήμα 3.5: Αρμονικός ταλαντωτής με κρίσιμη απόσβεση

Για ένα σύστημα με δεδομένα m και k, η επιλογή του b για κρίσιμη απόσβεση δίνειτην ταχύτερη επιστροφή του συστήματος στην κατάσταση ισορροπίας. Στο Σχήμα 3.6φαίνονται οι λύσεις της y′′ + by′ + y = 0 με αρχικές συνθήκες y(0) = 1, y′(0) = 0, γιαb = 1, b = 2 και b = 3 που αντιστοιχούν σε ασθενή, κρίσιμη και ισχυρή απόσβεση.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

y(t

)

t

b=1b=2b=3

Σχήμα 3.6: Οι τρεις περιπτώσεις απόσβεσης



3.3 Επίλυση της μη-ομογενούς εξίσωσης δεύτερης τάξης

Έστω η μη-ομογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

Ay′′ +By′ + Cy = f(t) (3.8)

και η αντίστοιχη ομογενήςAy′′ +By′ + Cy = 0.

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, αν yh είναι μια λύση της ομογενούς και yp μια λύσητης μη-ομογενούς (3.8) τότε η y = yh + yp είναι επίσης μια λύση της (3.8). Η διαπίστωσηαυτή είναι αντίστοιχη με την επαλληλία για εξισώσεις πρώτης τάξης και αποδεικνύεταιμε τον ίδιο τρόπο: αντικαθιστούμε το y στην (3.8) και ελέγχουμε αν την επαληθεύει.

Ay′′ +By′ + Cy = A(yh + yp)′′ +B(yh + yp)

′ + C(yh + yp)

= (Ay′′h +Ay′′p) + (By′h +By′p) + (Cyh + Cyp)

= (Ay′′h +By′h + Cyh) + (Ay′′p +By′p + Cyp)

= 0 + f(t).

Αν yh είναι η γενική λύση της ομογενούς και yp μια οποιαδήποτε λύση της μη-ομογενούς,τότε η y = yh + yp είναι η γενική λύση της (3.8).

Για να βρούμε τη γενική λύση της μη-ομογενούς εξίσωσης (3.8) εργαζόμαστε επομένωςως εξής:

• Βρίσκουμε τη γενική λύση της ομογενούς yh χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστικήεξίσωση. Η yh θα είναι σύμφωνα με τα προηγούμενα γραμμικός συνδυασμός δύολύσεων.

• Βρίσκουμε μια οποιαδήποτε ειδική λύση yp της μη-ομογενούς εξίσωσης (3.8).

– Για το σκοπό αυτό και εφόσον η εξίσωσή μας έχει σταθερούς συντελεστές καιη συνάρτηση εξωτερικής δράσης f(t) είναι κατάλληλης μορφής χρησιμοποιούμετη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών (Ενότητα 2.3.2), όπως κάναμε καιγια τις εξισώσεις πρώτης τάξης.

– Διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο μεταβολής των παρα-μέτρων που θα δούμε στη συνέχεια. Η μέθοδος αυτή είναι γενική, εφαρμόζεταικαι σε εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές, αλλά συχνά καταλήγει σε δύ-σκολες ολοκληρώσεις.

• Βρίσκουμε τη γενική λύση της μη-ομογενούς εξίσωσης (3.8): y = yh + yp.

• Αν έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστώνc1, c2 της yh από τη γενική λύση y της μη-ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (3.8).



3.4 Αρμονικός ταλαντωτής με εξωτερικές δράσεις

3.4.1 Τριγωνομετρική είσοδος χωρίς απόσβεση

Όπως είδαμε στην Ενότητα 3.2.1 η ομογενής διαφορική εξίσωση που περιγράφει τηνκίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση είναι η

my′′ + ky = 0.

H λύση της yh είδαμε ότι είναι η

yh(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt),

όπου ωn =√

k/m είναι η φυσική συχνότητα ταλάντωσης.

Αν στον ταλαντωτή ασκείται μια εξωτερική δράση Fe = cos(ωt), η εξίσωση κίνησης γίνεται

my′′ + ky = cos(ωt).

Αναζητάμε μια ειδική λύση της yp. Σύμφωνα με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελε-στών η ειδική λύση θα ήταν της μορφής M cos(ωt)+N sin(ωt). Επειδή όμως στην εξίσωσηδεν υπάρχει όρος για την πρώτη παράγωγο (που θα έβαζε και το sin(ωt) στο παιχνίδι)αναζητάμε απλά μια ειδική λύση με συνημίτονο

yp = Y cos(ωt).

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση βρίσκουμε

Y =1

k −mω2,

και αντικαθιστώντας το k = mω2n έχουμε:

Y =1

m(ω2n − ω2)

.

Ο συντελεστής Y ονομάζεται απόκριση συχνότητας και μας λέει πώς μεταβάλλεται ηταλάντωση του συστήματος σε σχέση με την ταλάντωση εισόδου. Παρατηρούμε ότι όσοπιο κοντά είναι η συχνότητα της εισόδου στη φυσική συχνότητα του ταλαντωτή, τόσομεγαλύτερη είναι η ταλάντωση του συστήματος. Στην ακραία περίπτωση που ω = ωn

έχουμε το φαινόμενο του συντονισμού.

Επομένως, μια ειδική λύση της εξίσωσης είναι η

yp(t) =cos(ωt)

m(ω2n − ω2)

,

και η γενική της λύση είναι τελικά η

y(t) = yh(t) + yp(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt) +cos(ωt)

m(ω2n − ω2)

.



3.4.2 Τριγωνομετρική είσοδος με απόσβεση

Αν, για παράδειγμα, πάρουμε ως εξωτερική δράση στον ταλαντωτή με απόσβεση τηνf(t) = cos(ωt) η εξίσωση κίνησης είναι

my′′ + by′ + ky = cos(ωt).

Αναζητάμε μια ειδική λύση της μορφής

yp(t) = M cos(ωt) +N sin(ωt).

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση και μετά από πράξεις καταλήγουμε στην επίλυση ενόςγραμμικού συστήματος που δίνει

M =k −mω2

D, N =

bω

D, με D = (k −mω)2 + bω2.

Εδώ, λόγω της απόσβεσης, δεν μπορεί να υπάρξει συντονισμός. Πράγματι, ο παρανομα-στής

D = (k −mω)2 + bω2 = m2(ωn − ω)2 + bω

δεν μηδενίζεται ακόμα και όταν ω = ωn.

Όπως και στις εξισώσεις πρώτης τάξης είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε την συ-νημιτονοειδή ταυτότητα (2.26) και να γράψουμε τη λύση στη μορφή

yp(t) = G cos(ωt− ϕ)

στην οποία εμφανίζεται μόνο η συνάρτηση συνημιτόνου.

Παράδειγμα Για την εξίσωση y′′ + y′ + 2y = cos t, έχουμε m = b = ω = 1 και k = 2.Έχουμε M = N = 1/2 και η ειδική λύση γράφεται

yp(t) =1

2(cos t+ sin t).

Έχουμε G =√M2 +N2 = 1√

2και από tanϕ = N/M = 1, ϕ = π/4, οπότε η άλλη μορφή

της λύσης είναιyp(t) =

1√2cos(t− π/4).

3.5 Εκθετική είσοδος

Για τη διαφορική εξίσωσηAy′′ +By′ + C = est

αναζητάμε μια ειδική λύση της μορφής

yp(t) = Y est



και μετά την αντικατάσταση στην εξίσωση προκύπτει ότι

Y =1

As2 +Bs+ C=

1

P (s)

όπου P (s) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η ειδική λύση είναι

yp(t) =est

As2 +Bs+ C, όταν P (s) = 0.

Όταν το s είναι μια από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ή, με άλλα λόγια, ότανη εκθετική είσοδος είναι μια λύση της αντίστοιχης ομογενούς, τότε έχουμε ένα είδοςσυντονισμού και στην περίπτωση αυτή χρειαζόμαστε μια διαφορετική λύση ειδική λύση.Θα υπολογίσουμε την ειδική λύση στην περίπτωση αυτή από τον κανόνα του L’ Hôpital.Έστω s1 μια ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Τότε η es1t είναι μια λύση της ομογενούς.Μια λύση της ομογενούς είναι επίσης η yh = es1t/P (s) όταν s = s1. Σύμφωνα με την αρχήτης επαλληλίας, μια ειδική λύση της μη-ομογενούς είναι η

yp(t) =est

P (s)− es1t

P (s)=

est − es1t

As2 +Bs+ C.

Αν αφήνουμε το s → s1, έχουμε την απροσδιόριστη μορφή 0/0 και για να υπολογίσουμετην ειδική λύση στην περίπτωση του συντονισμού εφαρμόζουμε τον κανόνα του L’ Hôpital

yp(t) = lims→s1

est − es1t

As2 +Bs+ C= lim

s→s1

test

2As+B.

H ειδική λύση της εξίσωσης στην περίπτωση συντονισμού είναι:

yp(t) =test

2As+B, όταν P (s) = 0.

3.6 Απόκριση σε συναρτήσεις Dirac και Heaviside

Εξετάζουμε τις περιπτώσεις που οι εξωτερικές δράσεις είναι οι συναρτήσεις Dirac καιHeaviside. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα εφαρμόσουμε τις δράσεις αυτές στον αρμο-νικό ταλαντωτή.

Αν η συνάρτηση Dirac δ(t) είναι η εξωτερική δράση, τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών

g′′ + bg′ + kg = δ(t), g(0) = 0, g′(0) = 0

μετασχηματίζεται στο ισοδύναμο

g′′ + bg′ + kg = 0, g(0) = 0, g′(0) = 1.

Δηλαδή το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση μιας ομογενούς διαφορικής εξίσωσης μετροποποιημένη την αρχική συνθήκη της πρώτης παραγώγου. Αυτό γιατί η δράση είναιστιγμιαία και ουσιαστικά δίνει μια αρχική “ταχύτητα” (αλλάζει την πρώτη παράγωγο)της λύσης.



Για απλοποίηση των υπολογισμών θεωρήσαμε ότι ο συντελεστής της δεύτερης παραγώγουm = 1. Στην περίπτωση που m = 1 θέτουμε ως νέα αρχική συνθήκη g′(0) = 1/m.

Εξετάζουμε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης s2 + bs+ k = 0.

• Αν υπάρχουν 2 ρίζες s1, s2 τότε η λύση τελικά είναι

g(t) =es1t − es2t

s1 − s2, (3.9)

η οποία επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες. Η λύση αυτή είναι η βασική λύση απότην οποία προκύπτουν όλες οι λύσεις.

• Όταν δεν υπάρχει απόσβεση, υπάρχουν 2 φανταστικές ρίζες s1, s2 = ±iωn, όπουωn =

√k/m η φυσική συχνότητα. Αντικαθιστώντας στην (3.9) και χρησιμοποιώντας

τον τύπο του Euler παίρνουμε τη λύση

g(t) =sin(ωnt)

ωn.

• Στην περίπτωση ασθενούς απόσβεσης οι 2 μιγαδικές ρίζες είναι s1, s2 = −b/2± iωd,όπου ωd =

√|b2 − 4mkA/(2m) η συχνότητα απόσβεσης. Από τη βασική λύση (3.9)

και τον τύπο του Euler έχουμε

g(t) = e−bt/2 sin(ωdt)

ωd.

• Στην περίπτωση κριτικής απόσβεσης υπάρχει μια διπλη πραγματική ρίζα s1 = s2 =−b/2. Για να πάρουμε τη λύση και σε αυτή την περίπτωση με αντικατάσταση στηβασική λύση πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του L’ Hôpital, αν s1 → s2.Τελικά παίρνουμε

g(t) = te−bt/2.

Παρατηρούμε, ότι όλες οι παραπάνω λύσεις εκφράζουν τη φυσική συμπεριφορά του τα-λαντωτή σε κάθε περίπτωση. Οι λύσεις αυτές επαληθεύουν επίσης τις αρχικες συνθήκεςκαι προκύπτουν όλες από τη βασική λύση.

Αν η η εξωτερική δράση είναι συνάρτηση Heaviside H(t), έχουμε το πρόβλημα αρχικώντιμών

r′′ + br′ + kr = H(t), r(0) = 0, r′(0) = 0.

Η εξωτερική δράση είναι 0 μέχρι t = 0 και 1 στη συνέχεια. Το ισοδύναμο πρόβλημααρχικών τιμών είναι

r′′ + br′ + kr = 1, r(0) = 0, r′(0) = 0.

Η ειδική λύση της εξίσωσης είναι η rp = 1/k. Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τις ρίζεςs1 και s2 τότε η απόκριση στη συνάρτηση Heaviside είναι

r(t) = rp(t) + rh(t) =1

k+

s2es1t − s1e

s2t

s1s2(s1 − s2).



Αν λάβουμε υπόψη ότι s1s2 = k (γινόμενο ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης), η λύσηr(t) ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες.

Έχουμε δεί ότι η συνάρτηση Heaviside είναι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης Dirac. Εδώπαρατηρούμε ότι και η απόκριση Heaviside r(t) είναι επίσης το ολοκλήρωμα της απόκρι-σης Dirac g(t).

3.7 Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων

Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων μας επιτρέπει να βρούμε μια ειδική λύση τηςεξίσωσης

y′′ +B(t)y′ + C(t)y = f(t) (3.10)με την προϋπόθεση ότι γνωρίζουμε 2 λύσεις της αντίστοιχης ομογενούς y1(t) και y2(t).Για σταθερούς συντελεστές γνωρίζουμε πώς υπολογίζουμε τις λύσεις της ομογενούς. Ημέθοδος είναι γενική και εφαρμόζεται και στην περίπτωση που οι συντελεστές είναιμεταβλητές και τότε δεν είναι πάντα εύκολο να βρούμε δυο λύσεις της ομογενούς.

Θέλουμε να καταλήξουμε σε μια σχέση με ολοκληρώματα, τα οποία όμως συχνά είναιδύσκολο να τα υπολογίσουμε. Η βασική ιδέα είναι να βρούμε μια ειδική λύση της μορφής

yp(t) = c1(t)y1(t) + c2(t)y2(t). (3.11)

Αν οι συντελεστές c1, c2 είναι σταθερές τότε θα παίρναμε άλλη μια λύση της ομογενούς. Ηιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε παραμέτρους που μεταβάλλονται, δηλαδή οι παράμετροιc1 και c2 να είναι συναρτήσεις του t. Θέλουμε η (3.11) να επαληθεύει την (3.10).

Υπολογίζουμε την y′p

y′p = c′1y1 + c1y′1 + c′2y2 + c2y

′2 = (c1y

′1 + c2y

′2) + (c′1y1 + c′2y2).

Για να διευκολύνουμε τους υπολογισμούς, υποθέτουμε ότι μπορούμε να βρούμε c1(t), c2(t)που να μηδενίζουν τη δεύτερη παρένθεση:

c′1y1 + c′2y2 = 0. (3.12)

Με αυτή την παραδοχή η πρώτη παράγωγος και η δεύτερη παράγωγος είναι:

y′p = c1y′1 + c2y

′2

y′′p = c1y′′1 + c2y

′′2 + c′1y

′1 + c′2y

′2.

Αντικαθιστούμε τις yp, y′p, y

′′p στην (3.10), και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι y1 και y2 είναι

λύσεις της ομογενούς άρα y′′1,2 +B(t)y′1,2 + C(t)y1,2 = 0 καταλήγουμε τελικά στη σχέση

c′1y′1 + c′2y

′2 = f(t). (3.13)

Οι εξισώσεις (3.12) και (3.13) είναι ένα γραμμικό σύστημα με άγνωστους τις πρώτεςπαραγώγους c′1(t), c

′2(t) των ζητούμενων παραμέτρων c1(t) και c2(t)

c′1y1 + c′2y2 = 0

c′1y′1 + c′2y

′2 = f(t).



Η λύση σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer είναι

c′1(t) =−y2(t)f(t)

W (t), c′2(t) =

y1(t)f(t)

W (t)

όπου W (t) είναι η ορίζουσα Wronski

W (t) =

∣∣∣∣y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(t)

∣∣∣∣ .Η ειδική λύση της (3.10) είναι επομένως

yp(t) = y1(t)

∫−y2(t)f(t)

W (t)dt+ y2(t)

∫y1(t)f(t)

W (t)dt

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων στη διαφορική εξίσωση με στα-θερούς συντελεστές

y′′ +By′ + Cy = f(t).

• Αν η χαρακτηριστική εξίσωση s2 + Bs + C = 0 έχει 2 ρίζες s1, s2, τότε δύο λύσειςτης ομογενούς είναι οι y1 = es1t και y2 = es2t.

Η ορίζουσα Wronski για τις y1, y2 είναι

W (t) = y1y′2 − y2y

′1 = (s2 − s1)e

s1tes2t,

και η ειδική λύση είναι

yp(t) = es1t∫

−es2tf(t)

(s2 − s1)es1tes2tdt+ es2t

∫es1tf(t)

(s2 − s1)es1tes2tdt

= − es1t

s2 − s1

∫e−s1tf(t)dt+ es2t

s2 − s1

∫e−s2tf(t)dt

• Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα s, τότε δυο λύσεις της ομογενούςείναι οι y1 = est και y2 = test.

Η ορίζουσα Wronski για τις y1, y2 είναι

W (t) = y1y′2 − y2y

′1 = e2st,

και η ειδική λύση είναι

yp(t) = −est∫

te−stf(t)dt+ test∫

e−stf(t)dt.



Βιβλιογραφία

[1] William E. Boyce and Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations andBoundary Value Problems, Wiley, 10th edition, 2012.

[2] Gilbert Strang, Differential Equations and Linear Algebra, Wellesley Cambridge Press,2014.


Μιχάλης Δρακόπουλος...

Documents

Transcript of Μιχάλης Δρακόπουλος...