1

4. Εξισώσεις του Μάξγουελ (Maxwell’s equations) Στα προηγούμενα μαθήματα συγκεντρωθήκαμε στα ηλεκτροστατικά πεδία Ε(x,y,z) και στα μαγνετοστατικά Η(x,y,z). Περιοριστήκαμε δηλαδή στα στατικά πεδία. Σε αυτό το μέρος θα εξετάσουμε περιπτώσεις όπου ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία είναι δυναμικά (dynamic) ή μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια του χρόνου (time-varying). Θα πρέπει να αναφερθεί ότι στα στατικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, όμως στα δυναμικά είναι αλληλοεξαρτώμενα. Τα μεταβαλλόμενα στο χρόνο ηλεκτρομαγνητικά πεδία τα παρουσιάζουμε ως Ε(x,y,z,t) και Η(x,y,z,t). Επίσης τα μεταβαλλόμενα στο χρόνο ηλεκτρομαγνητικά πεδία ή τα κύματα συνήθως προκαλούνται λόγω επιταχυνόμενων φορτίων ή μεταβαλλόμενα στο χρόνο ρεύματα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

Σημείωση: Κάθε παλμικό (pulsating) ρεύμα προκαλεί ακτινοβολία. Στις ψηλές συχνότητες υπερισχύουν τα κυματικά φαινόμενα και η ακτινοβολία.

Περιληπτικά: Στάσιμα φορτία → ηλεκτροστατικά πεδία Σταθερά ρεύματα → μαγνετοστατικά πεδία Μεταβαλλόμενα στο χρόνο ρεύματα → ηλεκτρομαγνητικά πεδία (ή κύματα).

2

Αυτό το μέρος περιλαμβάνει την εισαγωγή δύο πολύ σημαντικών εννοιών:

1. Την ηλεκτρεγερτική δύναμη (emf) βασισμένη στο πείραμα του Φάραντεϊ (Faraday’s experiment), και

2. Το ρεύμα μετατόπισης (displacement current), το οποίο είναι αποτέλεσμα της υπόθεσης του Μάξγουελ (Maxwell’s hypothesis).

Σημείωση: Οι εξισώσεις του Μάξγουελ συνοψίζουν τους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού και θεωρούνται η καρδιά αυτού του θέματος.

Νόμος του Φάραντεϊ (Faraday’s Law)

Σύμφωνα με το πείραμα του Φάραντεϊ, ένα στατικό μαγνητικό πεδίο δεν παράγει ρεύμα, όμως ένα μεταβαλλόμενο στο χρόνο πεδίο προκαλεί επαγόμενη τάση (induced voltage) σε ένα κλειστό κύκλωμα, το οποίο προκαλεί ρεύμα. Ο Φάραντεϊ ανακάλυψε ότι η επαγόμενη τάση, σε ένα κλειστό κύκλωμα, είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής που προκαλείται από αυτό το κύκλωμα. Αυτό ονομάζεται ο νόμος του Φάραντεϊ (Faraday’s law) και εκφράζεται ως

dtdNVemfΨ

−=

όπου το Ν είναι ο αριθμός των περιστροφών στο κύκλωμα και Ψ η ροή μέσα από κάθε περιστροφή. Το αρνητικό σύμβολο δείχνει ότι η επαγόμενη τάση επηρεάζει με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να είναι αντίθετη στη ροή που τη προκαλεί. Αυτό είναι γνωστό ως νόμος του Lenz. Υπάρχουν άλλα είδη ηλεκτρικών πεδίων που δεν προκαλούνται απευθείας από ηλεκτρικά φορτία. Αυτά είναι τα πεδία που προκαλούνται από ηλεκτρεγερτική δύναμη (electromotive force emf). Είναι πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι:

1. Ένα ηλεκτροστατικό πεδίο Εe δεν μπορεί να συντηρήσει ένα σταθερό ρεύμα σε ένα κλειστό κύκλωμα λόγω του ότι

∫ ==L

IR0.dlE e

3

2. Ένα πεδίο που προκαλείται από emf Ef δεν είναι συντηρητικό

(conservative). 3. Εκτός από τα ηλεκτροστατικά πεδία, η τάση και η διαφορά δυναμικού

συνήθως δεν είναι ισοδύναμα.

Μετασχηματιστής και κινητικά ΕΜFs

(Transformer and motional EMFs)

Για κύκλωμα με μια περιστροφή ξέρουμε από πιο πάνω ότι

dtdVemfΨ

−=

Σε σχέση με το Ε και το Β η πιο πάνω εξίσωση γράφεται

∫∫ ⋅−=⋅=SL

emf dtdV dSBdlE

όπου φαίνεται ότι σε περιπτώσεις με μεταβολές κατά τη διάρκεια του χρόνου και τα δύο πεδία, ηλεκτρικό και μαγνητικό, είναι παρόντα και συσχετίζονται. Η μεταβολή της ροής με το χρόνο όπως φαίνεται στις πιο πάνω εξισώσεις προκαλείται με τρεις τρόπους:

1. Με το να έχουμε ένα σταθερό βρόγχο (loop) σε ένα μεταβαλλόμενο στο χρόνο Β πεδίο.

2. Με το να έχουμε ένα εμβαδόν που μεταβάλλεται με το χρόνο μέσα σε ένα στατικό Β πεδίο.

3. Με το να έχουμε ένα εμβαδόν που μεταβάλλεται με το χρόνο μέσα σε ένα μεταβαλλόμενο στο χρόνο Β πεδίο.

Θα αναλύσουμε πιο κάτω δύο από αυτές τις τρεις περιπτώσεις.

4

Σταθερός βρόγχος (loop) σε μεταβαλλόμενο στο χρόνο πεδίο Β

(Stationary Loop in time-varying B field)

Αυτή είναι η περίπτωση όπου ένας σταθερός βρόγχος, που είναι καλός αγωγός, βρίσκεται σε ένα μεταβαλλόμενο στο χρόνο μαγνητικό πεδίο Β όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το emf που δημιουργείται από αυτό το μεταβαλλόμενο στο χρόνο ρεύμα συνήθως το αποκαλούμε μετασχηματιστή emf (transformer emf). Από την εξίσωση

∫∫ ⋅−=⋅=SL

emf dtdV dSBdlE

και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Stoke καταλήγουμε στην εξίσωση

∫ ∫ ∂∂

−=×∇S S t

dSBdSE .).(

Από αυτές τις δύο εξισώσεις καταλήγουμε ότι

5

t∂∂

−=×∇BE

όπου είναι μια από τις εξισώσεις του Maxwell για τα μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία.

Kινούμενος βρόγχος σε στατικό πεδίο Β

(Moving loop in static B field)

Όταν ένας βρόγχος (loop), που είναι καλός αγωγός, κινείται σε ένα στατικό πεδίο Β, δημιουργείται ένα emf μέσα στο βρόγχο όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Ορίζουμε το κινητικό ηλεκτρικό πεδίο Εm ως

BuFE mm ×==

Q όπου u είναι η ταχύτητα του φορτίου που κινείται στο μαγνητικό πεδίο Β. Αν έχουμε ένα βρόγχο (loop), που είναι καλός αγωγός, κινείται με ταχύτητα u και αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό ελεύθερων ηλεκτρονίων, το emf που δημιουργείται στο βρόγχο είναι

6

∫ ∫ ×==L L

emfV dlBudlE m ).(.

Επίσης με κατάλληλους υπολογισμούς μπορούμε να καταλήξουμε στην εξίσωση

)( BuE m ××∇=×∇

7

Παράδειγμα 4.1 Το μαγνητικό κύκλωμα στο πιο κάτω σχήμα έχει ομοιόμορφη διατομή (cross section) που έχει διαστάσεις 10-3 m2. Aν το κύκλωμα ενεργοποιηθεί από ρεύμα i1(t)= 3sin 100πt Α μέσα στο πηνίο με Ν1=200 περιστροφές, να βρεθεί το emf που δημιουργήθηκε στο πηνίο με Ν2= 100 περιστροφές. Να υποθέσετε ότι μ= 500μ0. (sd 9.3 p421)

8

9

Ρεύμα μετατόπισης (Displacement current)

Στο προηγούμενο μέρος, αναθεωρήσαμε την εξίσωση του Maxwell για τα ηλεκτροστατικά πεδία και την τροποποιήσαμε για περιπτώσεις που υπάρχουν αλλαγές κατά τη διάρκεια του χρόνου για να ικανοποιεί το νόμο του Faraday. Τώρα θα αναθεωρήσουμε και πάλι τη εξίσωση του Maxwell για μαγνητικά πεδία για περιπτώσεις που υπάρχουν αλλαγές κατά τη διάρκεια του χρόνου. Για στατικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία θυμίζουμε

JH =×∇ όμως

JH .0)( ∇==×∇⋅∇ Η εξίσωση που ονομάζεται ο νόμος της συνέχειας του ρεύματος (continuity of current) όμως είναι

0. ≠∂∂

−=∇tνρJ

Προσθέτουμε έναν όρο στην εξίσωση

JH =×∇ και έτσι γίνεται

DJJH +=×∇

όπου το Jd ονομάζεται πυκνότητα ρεύματος μετατόπισης και ορίζεται ως

10

t∂∂

=DJD

και το J είναι η πυκνότητα ρεύματος αγωγιμότητας (conduction current density) και ορίζεται ως

EJ σ= Από την πιο πάνω εξίσωση και ξέροντας ότι

0).( =×∇∇ H ⇒ 0.. =∇+∇ dJJ και καταλήγουμε στο

ttt ∂∂

∇=∇∂∂

=∂∂

=−∇=∇DDJJ d .).(.. νρ

ή

t∂∂

=DJ d

Αντικαθιστώντας τη προηγούμενη εξίσωση στην εξίσωση

DJJH +=×∇ καταλήγουμε στην εξίσωση

t∂∂

+=×∇DJH

11

η οποία είναι η εξίσωση του Μάξγουελ για πεδία μεταβαλλόμενα στον χρόνο. Επίσης βασισμένοι στη εξίσωση της πυκνότητας ρεύματος μετατόπισης, ορίζουμε το ρεύμα μετατόπισης ως

dSDdSJ d ..∫ ∫ ∂∂

==t

I d

Ο όρος αυτός δημιουργείται λόγω μετατόπισης του φορτίου σε διηλεκτρικά υλικά και μετατόπισης της ηλεκτρικής ενέργειας στον ελεύθερο χώρο. Κάτι που είναι πολύ σημαντικό είναι ότι τώρα το ρεύμα μετατόπισης συνδέεται με το μαγνητικό πεδίο μέσω της εξίσωσης

t∂∂

+=×∇DJH

Με αυτόν τον τρόπο παρατηρείται το φαινόμενο της ακτινοβολίας. Εάν η μεταβολή είναι αρμονική τότε έχουμε ότι το ρεύμα μετατόπισης μας δίνει:

EtD ωε=∂∂

12

Έτσι το πηλίκο του J δια το tD∂∂ μας δίνει

ωεσ

Σε ένα αγωγό ε=ε0 το οποίο έχει μια τιμή περίπου 10-11, έτσι για ένα καλό αγωγό το πηλίκο παίρνει τιμές της μορφής

ω/1018

Η πιο πάνω τιμή είναι πολύ μεγάλη και έτσι μπορούμε εύκολα να πούμε ότι σε καλούς αγωγούς το ρεύμα μετατόπισης είναι αμελητέο. Όμως, όταν δεν υπάρχει ρεύμα αγωγιμότητας, ή μακριά από ένα αγωγό, το ρεύμα μετατόπισης δεν μπορεί να μην ληφθεί υπόψη. Σημείωση: Το φυσικό νόημα του ρεύματος μετατόπισης είναι ότι ένα εναλλασσόμενο στο χρόνο ηλεκτρικό πεδίο παράγει ένα εναλλασσόμενο στο χρόνο μαγνητικό πεδίο το οποίο με τη σειρά του παράγει ηλεκτρικό πεδίο και έτσι με αυτόν τον τρόπο γίνεται διάδοση της ενέργειας. Η συμπερίληψη αυτού του όρου είναι πολύ σημαντική για την εξήγηση φυσικών φαινομένων που έχουν σχέση με εναλλασσόμενα στο χρόνο ηλεκτρικά πεδία.

13

Παράδειγμα 4.2 Ένας πυκνωτής, που οι παράλληλες μεταλλικές του πλάκες έχουν εμβαδόν 5 cm2 και απόσταση μεταξύ τους 3 mm, έχει τάση 50 sin 103t V. Να υπολογίσετε το ρεύμα μετατόπισης εάν έχουμε ε=2εο. (sd 9.4 p424)

14

Oι εξισώσεις του Maxwell σε τελική μορφή

(Maxwell’s equations in final form)

Maxwell’s Equation

One of the chief peculiarities of this treatise is the doctrine which asserts, that the true electric current on which the electromagnetic phenomena depend, is not the same thing as the current of conduction, but that the time variation of the electric displacement must be taken into account in estimating the total movement of electricity JAMES CLARK MAXWELL A treatise on electricity and magnetism Oxford 1873 O James Clerk Maxwell θεωρείται ο ιδρυτής της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας στη σημερινή της μορφή. Μέσα από τις θεωρητικές του προσπάθειες, πάνω από 5 χρόνια (όταν ήταν 35-40 χρονών), κατάφερε να εκδώσει την πρώτη ενοποιημένη θεωρία για ηλεκτρισμό και μαγνητισμό. Εκτός από τα γνωστά αποτελέσματα, η έκδοση αυτή περιείχε εισαγωγή στο ρεύμα μετατόπισης και πρόβλεψε την ύπαρξη κυμάτων. Οι εξισώσεις του Maxwell δεν έγιναν αποδεχτές από όλους τους επιστήμονες ώσπου επιβεβαιώθηκαν από το Γερμανό Heinrich Rudolf Hertz. O Ηertz κατάφερε να δημιουργήσει και να ανιχνεύσει ραδιοκύματα. Η γενική μορφή των εξισώσεων του Maxwell φαίνονται στο πιο κάτω πίνακα όπου δείχνουμε και τη διαφορική αλλά και την ολοκληρωματική μορφή.

15

Διαφορική μορφή (Differential form)

Oλοκληρωματική μορφή (Integral form)

Σημειώσεις

νρ=∇ D. ∫ ∫=S v

dvνρdSD . Νόμος του Gauss

0. =∇ Β ∫ =S

0.dSB Mη ύπαρξη απομονωμένου μαγνητικού φορτίου

t∂∂

−=×∇ΒΕ ∫ ∫∂

∂−=

L StdSBdlE ..

Νόμος του Faraday

t∂∂

+=×∇DJH ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=SL t

dSDJdlH .. Νόμος του Αmpere

Συνήθως χρειαζόμαστε ακόμα τις εξισώσεις

HB μ=

ED ε=

και

EJ σ= (για γραμμικά, ομοιόμορφα και ισοτροπικά μέσα). Για να πούμε ότι ένα πεδίο είναι ηλεκτρομαγνητικό πρέπει να ικανοποιεί και τις τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ. Είναι πολύ σημαντικές αφού συνοψίζουν όλους τους γνωστούς νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού.

Ορισμοί Mονάδα μέτρησης H Ένταση Μαγνητικού πεδίου A/m E Ένταση Ηλεκτρικού πεδίου V/m B Μαγνητική Πυκνότητα ροής Wb/m2, Tesla (T) D Ηλεκτρική Πυκνότητα ροής C/m2 J Πυκνότητα ρεύματος A/m2

16

μo Διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου H/m εo Επιτρεπτότητα ελεύθερου χώρου F/m εr Σχετική Επιτρεπτότητα No units μr Σχετική Διαπερατότητα No units σ Αγωγιμότητα S/m P Πολικότητα C/m2 M Μαγνητική Δίπολη Ροπή A/m

Μεταβαλλόμενα στο χρόνο δυναμικά

(Time-varying potentials)

Για τα στατικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, καταλήξαμε ότι το βαθμωτό ηλεκτρικό δυναμικό είναι

∫=V

v

RdvV

περ4

και το διανυσματικό μαγνητικό πεδίο είναι

∫=V R

dvπ

μ4JA

Τώρα θέλουμε να δούμε τι γίνεται σε αυτά τα δυναμικά όταν έχουμε μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία. Υπενθυμίζουμε ότι στα μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία ισχύει

AB ×∇= Αφού το Α έχει ορισθεί από τον πιο κάτω τύπο:

0. =∇ Β Συνδυάζοντας το νόμο του Faraday στην εξίσωση

17

t∂∂

−=×∇ΒΕ

με την εξίσωση

AB ×∇= μας δίνει

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+×∇t

AE

Αφού η περιστροφή της κλίσης (gradient) ενός βαθμωτού πεδίου είναι 0, καταλήγουμε στην εξίσωση

tV

∂∂

−−∇=AE

Ξέρουμε ότι

νρ=∇ D. και ισχύει για μεταβαλλόμενα στο χρόνο πεδία. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις

ED ε= και HB μ= και την απόκλιση της εξίσωσης

18

tV

∂∂

−−∇=AE

καταλήγουμε στην εξίσωση

ερν−=∇

∂∂

+∇ ).(2 At

V

Παίρνοντας την περιστροφή (curl) της εξίσωσης

AB ×∇= και συνδυάζοντας τις εξισώσεις

tV

∂∂

−−∇=AE

και

t∂∂

+=×∇DJH

καταλήγουμε στο

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∇−∂∂

+=×∇×∇t

Vt

AJA εμμ

Από αυτή την εξίσωση και χρησιμοποιώντας τη ταυτότητα

( ) AAA 2. ∇−∇∇=×∇×∇ καταλήγουμε στην εξίσωση

19

( ) 2

22 .

ttV

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∇+−=∇∇=∇AJAA μεμεμ

Επίσης διαλέγουμε την απόκλιση του Α να είναι

tV∂∂

−=∇ μεA.

Χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω εξισώσεις καταλήγουμε στις εξισώσεις κύματος (wave equations) που είναι

ερμε ν−=

∂∂

−∇ 2

22

tVV

και

JAA μμε −=∂∂

−∇ 2

22

t .

Αρμονικά πεδία στο χρόνο (Time –Harmonic fields)

Με αρμονικές μεταβλητές στο χρόνο εννοούμε μεταβλητές που αλλάζουν περιοδικά ή ημιτονοειδή (sinusoidal) με το χρόνο. Οι ημιτονοειδείς μεταβλητές μπορούν εύκολα να εκφραστούν με φάσορες (phasors) όπου γίνεται πιο εύκολη η ανάλυση όπως μάθαμε στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Δίκτυα (ΗΜΥ102). Γενικά ένας φάσορας (phasor) μπορεί να είναι είτε βαθμωτός είτε διάνυσμα. Αν ένα διάνυσμα Α(x,y,z,t) είναι ένα αρμονικό πεδίο στο χρόνο, η μορφή του φάσορα (phasor) του Α είναι ΑS(x,y,z) και οι δύο μεταβλητές συσχετίζονται με

20

)Re( tje ωsAA =

Για παράδειγμα αν Α=Αο cos (ωt-βx)ay, μπορούμε να το γράψουμε σαν

)Re( tjxjo eeA ωβ

yaA −= Συγκρίνοντας με την εξίσωση

)Re( tje ωsAA =

μπορούμε να δούμε ότι ο φάσορας (phasor) του Α είναι

ys aA xjo eA β−=

O πιο κάτω πίνακας δείχνει τις εξισώσεις του Μάξγουελ, σε μορφή φάσορα (phasor), για αρμονικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία στο χρόνο, σε γραμμικά, ισοτροπικά και ομογενή μέσα. Σημειακή Μορφή (point form) Oλοκληρωματική μορφή(integral

form)

vsρ=∇ SD. ∫ ∫= dvvsρdSD s .

0. =∇ SB ∫ = 0.dSB s

ss BE ωj−=×∇ ∫ ∫−= dSBdlE ss .. ωj

sss DJH ωj+=×∇ ( )∫ ∫ += dSDJdlH sss .. ωjΑρμονικές στο χρόνο εξισώσεις του Maxwell υποθέτοντας το παράγοντα του χρόνου ejωτ.

21

Παράδειγμα 4.3 Δίνεται το Α= 10 cos (108t – 10x + 60o) az (σε στιγμιαία μορφή) και Βs= (20/j) ax + 10ej2πx/3 ay , να εκφράσετε το Α σε μορφή φάσορα (phasor) και το Β σε στιγμιαία μορφή. (sd 9.6 p436)

22

Παράδειγμα 4.4 Το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε ελεύθερο χώρο δίνονται από τις πιο κάτω εξισώσεις

φaE )10cos(50 6 zt βρ

+= V/m

ρaH )10cos( 6 zt βρο +

Η= A/m

Να εκφράσετε τις πιο πάνω εξισώσεις σε μορφή φάσορα (phasor) και να υπολογίσετε τις σταθερές Ηο και β έτσι ώστε τα πεδία να ικανοποιούν τις εξισώσεις του Maxwell. (sd 9.7 p437)

( )Re j te ω= sE E και ( )Re j te ω= sH H όπου ω=106 και 50 j ze βϕρ

=sE a , oH j ze βρρ

=sH a

(φάσορες) Για ελεύθερο χώρο ρv=0, σ=0, ε=εο και μ=μο Άρα οι εξισώσεις Μάξγουελ

0 0oε∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ⇒∇⋅ =sD E E 0 0oμ∇⋅ = ∇ ⋅ = ⇒∇⋅ =sB H H

o ojt

σ ε ωε∂∇× = + ⇒∇× =

∂ s sEH E H E

o ojt

μ ωμ∂∇× = − ⇒∇× = −

∂ s sHE E H

Αντικαθιστούμε το ΕS στην 0∇⋅ =sE

( )S1 E 0ϕρ ϕ

∂∇ ⋅ = =

∂sE

( )S1 H 0ρρρ ρ

∂∇ ⋅ = =

∂sH

Όμως o oH Hj z j ze j eβ βρ ϕ

βρ ρ

⎛ ⎞∇× = ∇× =⎜ ⎟

⎝ ⎠sH a a

Επίσης ojωε∇× =s sH E από πιο πάνω. oH 50j z j z

oj e j eβ βϕ ϕ

β ωερ ρ

⇒ =a a

oH 50 oβ ωε⇒ = 1 Επίσης ojωμ∇× = −s sE H

23

oH50 j z j zoj e j eβ β

ρ ρβ ωμρ ρ

⇒ − = −a a

oH 50

oβ ωμ⇒ = 2

2 2o1 2 H 50 o

o

εμ

× = ή o50H 50 0.1326

120o

o

εμ π

= ± = ± = ±

2 21 2 o oβ ω ε μ÷ = ή 6

38

10 3.33 103 10o o c

ωβ ω ε μ −= ± = ± = = ± ××

oH 0.1326⇒ = και 33.33 10β −= × oH 0.1326= − και 33.33 10β −= − × Μόνο αυτές οι τιμές ικανοποιούν τις εξισώσεις του Μάξγουελ.

24

Παράδειγμα 4.5 Σε ένα μέσο που χαρακτηρίζεται από σ=0, μ=μο, ε=ε0 και

yaE )10sin(20 8 zt β−= V/m , να υπολογίσετε το β και το H. (sd 9.8 p439)

( )Im j te ω= sE E όπου ω=108 και y20 j ze β−=sE a ,p439)

( )ySE 0y∂

∇ ⋅ = =∂sE j

jωμ

ωμ∇×

∇× = − ⇒ =−

ss S S

EE H H

ή ( )yS x x1 20E 1j tej z

ββωμ ωμ

−∂⎛ ⎞= = −⎜ ⎟− ∂⎝ ⎠SH a a

Το 0∇⋅ =SH ικανοποιείται

2jj

ωεωε

∇×∇× = ⇒ = S

S S SHH E E

1 στη 2 2 2

xSy y2 2

H1 20 20 = 20j ze

j z

ββ βωε ω εμ ω με

−∂= ⇒ =

∂SE a a ή 23

β ω με= ± = ±

( ) x x8 7

22013

310 4 10

j z

j ze

e

β

β

ππ

±

±−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ± = ±

×SH a a

( ) ( )8x

1Im sin 10 A/m3

j te t zω βπ

= = ± ±SH H a

25

Διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

(Εlectromagnetic wave propagation) H πρώτη εφαρμογή των εξισώσεων του Μάξγουελ θα είναι σε σχέση με τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Γενικά, τα κύματα είναι μέσο μεταφοράς ενέργειας ή πληροφοριών. Τυπικά παραδείγματα ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι τα ραδιοκύματα (radio waves), σήματα τηλεόρασης (TV signals), ακτίνες των ραντάρ (radar beams) και ακτίνες φωτός (light rays). Όλες οι μορφές της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας μοιράζονται τρία βασικά χαρακτηριστικά:

1. όλες οι μορφές ταξιδεύουν με μεγάλες ταχύτητες, 2. έχουν τις ιδιότητες των κυμάτων και 3. ακτινοβολούν προς τα έξω από μια πηγή, χωρίς να χρειάζονται

φυσικά μέσα μεταφοράς. Σε αυτό το μέρος θα λύσουμε τις εξισώσεις του Μάξγουελ και θα μελετήσουμε τη μετάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων (EM wave motion) στα πιο κάτω μέσα:

1. Ελεύθερος χώρος (free space) (σ=0, ε=εο, μ=μο) 2. Χωρίς απώλειες διηλεκτρικά μέσα (lossless dielectrics) (σ=0, ε=εrεο,

μ=μrμο, ή σ << ωε) 3. Διηλεκτρικά με απώλειες (lossy dielectrics) (σ 0≠ , ε=εrεο, μ=μrμο) 4. Καλοί αγωγοί (good conductors) ( σ ∞≈ , ε=εο, μ=μrμο, ή σ >> ωε)

όπου ω είναι η γωνιακή συχνότητα του κύματος. Η τρίτη περίπτωση, για διηλεκτρικά με απώλειες, είναι η πιο γενική και θα τη δούμε πρώτη. Αφού λύσουμε αυτή τη γενική περίπτωση, μετά εύκολα μπορούμε να συνεχίσουμε και με τις άλλες τρεις περιπτώσεις όπου θα τις θεωρούμε ως ειδικές περιπτώσεις και θα αλλάζουμε τις τιμές των σ, μ και ε.

Κύματα γενικά (waves in general)

H καλή κατανόηση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων εξαρτάται πρώτα από την πλήρη κατανόηση του όρου κύματα. Ένα κύμα εξαρτάται από την απόσταση και από το χρόνο. Κίνηση κύματος δημιουργείται όταν η παρενόχληση σε ένα σημείο Α, στο χρονικό σημείο to, συσχετίζεται με το τι

26

συμβαίνει στο σημείο Β, τη χρονική στιγμή t > to. Σε μία διάσταση (one dimension) μια βαθμωτή εξίσωση κύματος παίρνει τη μορφή

02

22

2

2

=∂∂

−∂∂

zE

utE

όπου u είναι η ταχύτητα του κύματος. Αν υποθέσουμε αρμονική (ή ημιτονοειδής) εξάρτηση στο χρόνο της μορφής ejωt τότε η πιο πάνω εξίσωση γίνεται

022

2

=Ε+∂ s

s

zEd

β

όπου β= ω/u και Εs είναι ο φάσορας του Ε. Αν λύσουμε τη πιο πάνω εξίσωση η πιθανή λύση είναι της μορφής

( ) ( )ztjztj BeAeE βωβω +− += Αν πάρουμε το φανταστικό μέρος της λύσης

( )ztjAeE βω −+ = τότε έχουμε

)sin( ztAE βω −= Σημειώστε τα πιο κάτω χαρακτηριστικά του κύματος στη προηγούμενη εξίσωση:

1. Είναι αρμονικό στο χρόνο αφού υποθέσαμε εξάρτηση στο χρόνο ejωt 2. To A ονομάζεται πλάτος (amplitude) του κύματος και έχει την ίδια

μονάδα μέτρησης με το Ε. 3. (ωt-βz) είναι η φάση (phase) του κύματος σε radians.

27

4. ω είναι η γωνιακή συχνότητα (σε radians/second), το β είναι η σταθερά της φάσης (phase constant) ή αριθμός κύματος (wave number) (σε radians/meter).

Λόγω της εξάρτησης του Ε από το χρόνο t και από την απόσταση z, μπορούμε να κάνουμε τη γραφική παράσταση του Ε σε συνάρτηση του t αλλά και τη γραφική παράσταση του Ε σε συνάρτηση του z όπως φαίνονται στα πιο κάτω σχήματα.

Aπό το πρώτο σχήμα βλέπουμε ότι χρειάζεται μιαν απόσταση λ για να γίνει επανάληψη του κύματος. Η απόσταση αυτή ονομάζεται μήκος κύματος (wavelength) και μετριέται σε μέτρα. Από το δεύτερο σχήμα βλέπουμε ότι το κύμα χρειάζεται ένα χρόνο Τ για να επαναληφθεί. Ο χρόνος αυτός ονομάζεται περίοδος (period) και μετριέται σε δευτερόλεπτα. Αφού χρειάζεται χρόνο Τ για να ταξιδέψει το κύμα μιαν απόσταση λ, με ταχύτητα u, τότε

uT=λ

28

Aφού

fT 1=

όπου f είναι η συχνότητα, τότε

λfu = Επίσης αφού ω = 2πf, β = ω/u και Τ = 1/f τότε

λπβ /2= Από την εξίσωση

dtdzu ==

βω

μπορούμε να δούμε ότι το κύμα κινείται με ταχύτητα u στη κατεύθυνση –z. Ένας μεγάλος αριθμός συχνοτήτων σε αριθμητική σειρά δημιουργούν ένα φάσμα (spectrum). O πίνακας πιο κάτω δείχνει σε ποιες συχνότητες εμφανίζονται οι διάφοροι τύποι της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας.

29

Φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας

30

Hλεκτρομαγνητικά φαινόμενα

Παραδείγματα χρησιμοποίησης

Συχνότητες

Κοσμικές ακτίνες Φυσική, αστρονομία 1014 GHz και πάνω Ακτίνες γ Θεραπεία καρκίνου 1010-1013 GHz Ακτίνες Χ Εξετάσεις με ακτίνες Χ 108-109 GHz Υπεριώδεις ακτίνες Αποστείρωση 106-108 GHz Ορατό φως Ανθρώπινη όραση 105-106 GHz Υπέρυθρη ακτινοβολία

Φωτογράφηση 103-104 GHz

Μικροκύματα Ραντάρ, επικοινωνίες με δορυφόρους

3-300 GHz

Ραδιοκύματα Τηλεόραση UHF Τηλεόραση VHF, Ράδιο FM Ράδιο AM

470 – 806 MHz 54 – 216 MHz 535 – 1605 kHz

31

Παράδειγμα 4.6 Το ηλεκτρικό πεδίο στον ελεύθερο χώρο δίνεται από yaE )10cos(50 8 xt β+= V/m (α) να βρείτε τη κατεύθυνση του κύματος (β) να υπολογίσετε το β και το χρόνο που θέλει για να ταξιδέψει μιαν απόσταση λ/2 (γ) να σχεδιάσετε το κύμα στο t=0, T/4 και Τ/2. (sd 10.1 p459)

32

Διάδοση κυμάτων σε διηλεκτρικό μέσο με απώλειες

(Wave propagation in lossy dielectrics)

Σε ένα διηλεκτρικό μέσο με απώλειες τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα χάνουν ενέργεια καθώς μεταδίδονται, λόγω κακής αγωγιμότητας (σ 0≠ ). Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα γραμμικό, ισοτροπικό ομογενές διηλεκτρικό μέσο που έχει απώλειες και που είναι ελεύθερο από φορτίο. Υποθέτοντας τον παράγοντα χρόνου ejωt, oι εξισώσεις του Maxwell γίνονται:

0. =∇ sE

0. =∇ sH

ss HE ωμj−=×∇

ss EH )( ωεσ j+=×∇

Παίρνοντας την περιστροφή (curl) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης του ηλεκτρικού πεδίου έχουμε

ss HE ×∇−=×∇×∇ ωμj και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα

( ) AAA 2. ∇−∇∇=×∇×∇ καταλήγουμε στην εξίσωση

022 =−∇ ss EE γ

όπου

33

)(2 ωεσωμγ jj += και το γ ονομάζεται σταθερά διάδοσης (propagation constant) του μέσου. Με παρόμοια διαδικασία μπορούμε να δείξουμε ότι

022 =−∇ ss HH γ Οι πιο πάνω εξισώσεις είναι γνωστές ως εξισώσεις του Helmholtz’s ή εξισώσεις κύματος (wave equations). Aφού το γ είναι μιγαδική ποσότητα μπορούμε να πούμε ότι

βαγ j+= Μπορούμε να καταλήξουμε ότι

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+= 11

2

2

ωεσμεωα

και

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+= 112

2

ωεσμε

ωβ

Το α ονομάζεται συντελεστής εξασθένησης (Μονάδες Npm-1 ή dB/m 1 Np = 20log10e = 8.686 dB) και το β η σταθερά της φάσης (phase constant) ή ο αριθμός κύματος (wave number) (Μονάδες radian/m). Επίσης μπορούμε να καταλήξουμε, με κάποιες υποθέσεις, στην εξίσωση

34

xaE )cos(),( zteEtz zo βωα −= −

όπου δείχνει ότι το Ε έχει μόνο συνιστώσα x και ταξιδεύει στη κατεύθυνση του z όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

Μπορούμε να βρούμε το Η(z,t) με παρόμοιους υπολογισμούς

)Re(),( )(yaH ztjaz

o eeHtz βω −−= όπου

η0

0EH =

και το η είναι μία μιγαδική ποσότητα που ονομάζεται εγγενής αντίσταση (intrinsic impedance) του μέσου και μετριέται σε Ohms. Το η δίδεται από

ωεσωμη

jj+

=

35

Σημείωση: Το εc ονομάζεται μιγαδική επιτρεπτότητα (complex permittivity) του μέσου και είναι

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−=ωεσ

εε jc 1

ή εc = ε’ – jε’’ όπου ε’ =ε και ε’’ = σ/ω

Eπίσης

ωεσ

εε

θ == '

''

tan

και ονομάζεται συντελεστής διηλεκτρικών απωλειών (loss tangent).

Επίπεδα κύματα σε διηλεκτρικά μέσα χωρίς απώλειες

(Plane waves in lossless dielectrics)

Ένα διηλεκτρικό μέσο χωρίς απώλειες έχει τις ίδιες εξισώσεις με τις πιο πάνω αλλά με

σ=0, ε=εrεο, μ=μrμο Αντικαθιστώντας αυτά στις πιο πάνω εξισώσεις καταλήγουμε:

0=α

μεωβ =

μεβω 1

==u

βπλ /2=

ο

εμη 0∠=

Το Ε και Η είναι σε φάση

36

Επίπεδα κύματα σε ελεύθερο χώρο (Plane waves in free space)

Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση των πιο πάνω με

σ=0, ε=εο, μ=μο Αντικαθιστώντας και πάλι αυτά στις προηγούμενες εξισώσεις καταλήγουμε

0=α

coo

ωεμωβ ==

cuoo

==εμ

1

βπλ /2=

όπου c = 3 x 108 m/s (ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο) Είναι πολύ σημαντικό να προσέξουμε ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στον ελεύθερο χώρο ταξιδεύουν με ταχύτητα φωτός, το οποίο δείχνει ότι το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Με κατάλληλες αντικαταστάσεις καταλήγουμε ότι η εγγενής αντίσταση στον ελεύθερο χώρο (intrinsic impedance in free space) είναι

Ω≈== 377120 πεμη ο

o

o.

37

Γραμμική πόλωση κυμάτων (Linearly polarized waves)

Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο κύμα που ταξιδεύει με κατεύθυνση έξω από το χαρτί, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, με ηλεκτρικό πεδίο Εο συνεχώς στη κατεύθυνση y. Aυτό το κύμα είναι γραμμικά πολωμένο (στη κατεύθυνση y).

Eγκάρσια ηλεκτρομαγνητικά κύματα

(Transverse electromagnetic waves)

Όταν και τα δύο πεδία Ε και Η είναι παντού κάθετα στη κατεύθυνση που ταξιδεύει το κύμα, διαμορφώνουν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο δεν έχει συνιστώσα ηλεκτρικού πεδίου, αλλά ούτε και μαγνητικού, στη κατεύθυνση που ταξιδεύει το κύμα. Αυτά τα κύματα ονομάζονται εγκάρσια ηλεκτρομαγνητικά κύματα (Transverse electromagnetic waves) και φαίνονται στο πιο κάτω σχήμα.

x z (out)

Eo

y

38

Eπίπεδα κύματα σε καλούς αγωγούς

(Plane waves in good conductors)

Είναι και αυτή μια ειδική περίπτωση της διάδοσης κυμάτων σε διηλεκτρικό μέσο που έχει απώλειες (Wave propagation in lossy dielectrics). Ένας καλός αγωγός έχει

σ >> ωε έτσι ώστε

∞→ωεσ

και έτσι

σ ∞≈ , ε=εο και μ=μrμο Αντικαθιστώντας αυτά στις προηγούμενες εξισώσεις, καταλήγουμε στις πιο κάτω εξισώσεις:

μσπωμσ

β fa ===2

μσω

βω 2

==u

βπ

λ2

=

ο

σωμη 45∠=

που σημαίνει ότι το Η ακολουθεί το Ε με καθυστέρηση 45ο.

39

Αν

χaE )cos(0 zteE z βωα −= −

τότε

yaH )45cos( oazo zteE−−= − βω

σωμ

όπου φαίνεται καθαρά ότι καθώς το Ε (ή το Η) ταξιδεύουν σε ένα μέσο που είναι καλός αγωγός, το πλάτος (amplitude) εξασθενεί με ένα παράγοντα e-αz. Στο πιο κάτω σχήμα βλέπουμε την απόσταση δ, η οποία είναι η απόσταση που ταξιδεύει το Ε για να μειωθεί κατά e-1 (37%) και ονομάζεται βάθος διείσδυσης κυμάτων (skin depth) του υλικού το οποίο δίδεται από την πιο κάτω εξίσωση για ένα καλό αγωγό:

μσπαδ

f11

==

40

Το βάθος διείσδυσης κυμάτων (skin depth) στο χαλκό για διάφορες συχνότητες φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα. Συχνότητα (Hz)

10 60 100 500 104 108 1010

(skin depth) (mm)

20.8 8.6 6.6 2.99 0.66 6.6 x 10-3

6.6 x 10-4

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το βάθος διείσδυσης κυμάτων μειώνεται με την αύξηση της συχνότητας. Με αυτό συμπεραίνουμε ότι το Ε και το Η μόλις που μεταδίδονται μέσα σε καλούς αγωγούς. Tο φαινόμενο όπου η ένταση του πεδίου σε έναν αγωγό μειώνεται ραγδαία ονομάζεται επιδερμικό φαινόμενο (skin effect). Τα πεδία και τα ρεύματα που δημιουργούνται στον αγωγό βρίσκονται σε μια πολύ λεπτή επιφάνεια του αγωγού, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

To βάθος διείσδυσης κυμάτων (skin depth) χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της εναλλασσόμενης αντίστασης (ac resistance) λόγω του επιδερμικού φαινομένου (skin effect). Ορίζουμε την επιδερμική αντίσταση (skin resistance) ως το πραγματικό μέρος του η για ένα καλό αγωγό και μετριέται σε (Ω/m2)

41

σμπ

σδf

R s ==1

Το πιο πάνω αφού είναι η αντίσταση μιας μονάδας πλάτους (unit width) και μιας μονάδας μήκους (unit length), τότε είναι ισοδύναμη με την dc αντίσταση για μια μονάδα μήκους ενός αγωγού με εμβαδόν διατομής 1 x δ. Τότε για ένα συγκεκριμένο πλάτος w και μήκος l, η εναλλασσόμενη αντίσταση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη γνωστή εξίσωση για τη dc αντίσταση που δίνεται ως

Sl

R dc σ=

και θεωρώντας ότι το ρεύμα είναι ομοιόμορφο σε πάχος δ τότε

wlR

wl

R sac ==

σδ

όπου wS δ≈ .

42

Παράδειγμα 4.7 Ένα διηλεκτρικό υλικό με απώλειες έχει εγγενής αντίσταση (intrinsic impedance) o30200∠ Ω σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Αν σε αυτή τη συχνότητα, το επίπεδο κύμα που διαδίδεται μέσα από ένα διηλεκτρικό υλικό έχει συντελεστή μαγνητικού πεδίου

yaH )21cos(10 xte ax −= − ω Α/m

να βρείτε το Ε και το α. Να υπολογίσετε το βάθος διείσδυσης κυμάτων (skin depth) και τη πόλωση (polarization) του κύματος. (sd 10.2 p473)

Διάδοση κύματος σε κατεύθυνση x Κατεύθυνση του Ε στην -az E H k× =a a a

6 6o

EH 10 200 30 200 E 2000H

j joo

o

e eπ π

η= ⇒ = = ∠ ° = ⇒ =

Το Ε και Η έχουν την ίδια μορφή εκτός πλάτους και φάσης ( )( )x6

ZRe 2000 j j te e eπ γ ω−⇒ = −E a

za)62

1cos(2 πωα +−−= − xte x kV/m

β=1/2, θέλουμε το α 2

1 12με σα ω

ωε

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

2

1 12με σβ ω

ωε

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

z

y

x

43

1

22

2

1 1

1 1

σωεα

β σωε

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Όμως ntan 2 tan 60 3σ θωε

= = ° = 1

22 1 12 1 3

αβ

−⎡ ⎤⇒ = =⎢ ⎥+⎣ ⎦

1 0.2887 Np/m3 2 3βα = = = και 1 2 3 3.464δ

α= = =

Το κύμα έχει μόνο συνιστώσα Εz. Άρα είναι πολωμένο στην κατεύθυνση z.

44

Παράδειγμα 4.8 Σε ένα μέσο χωρίς απώλειες όπου η = 60π, μr = 1 και

yx aaH )sin(5.0)cos(1.0 ztzt −+−−= ωω Α/m, να υπολογίσετε το εr , ω και Ε. (sd 10.3 p474) σ=0, α=0 και β=1

o r

o r r

120μ μμ πηε ε ε ε

= = =

r r120 120 2 4

60π πε ε

η π= = = ⇒ =

o o r r24

c cω ωβ ω με ω μ ε μ ε= = = = ή ( )8

81 3 10c 1.5 10 rad/s

2 2βω

×= = = ×

Τώρα εφαρμόζουμε τις εξισώσεις του Μάξγουελ = +

tσ ε ∂∇×

∂EH E αφού 0σ = =

tε ∂∇×∂EH

x y z

y xx y

x y

H H=

H (z) H (z) 0x y z z z

∂ ∂∂ ∂ ∂∇× = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a a a

H a a

( ) ( )20 x 10 yH cos H sint z t zω ω= − + −a a όπου 10H 0.1= − και 20H 0.5=

( ) ( )20 10x y

H H1 sin cosdt t z t zω ωε ωε ωε

= ∇× = − + −∫E H a a

( ) ( )x y94.25sin 18.85cos V/mt z t zω ω= − + −a a

45

Παράδειγμα 4.9 Ένα ομοιόμορφο, επίπεδο κύμα διαδίδεται σε ένα μέσο και έχει τη μορφή

yaE )10sin(2 8 zte az β−= − V/m

Αν το μέσο χαρακτηρίζεται από εr = 1, μr = 20 και σ = 3 S/m, να βρείτε το α, β και Η. (sd 10.4 p476)

98

3 3393 11010 x 1 x 36

σωε

π

−= = >> ⇒ Το μέσο μπορεί να θεωρηθεί καλός αγωγός

σε αυτή την συχνότητα. 1

7 8 24 10 x 20(10 )(3) 61.42 2

μωσ πα β−⎡ ⎤×

= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦

61.4 Np/m 61.4 rad/mα β= = 1

7 8 24 10 x 20(10 ) 8003 3

μω π πησ

−⎡ ⎤×= = =⎢ ⎥

⎣ ⎦

n ntan 2 3393 454

σ πϑ ϑωε

= = ⇒ = ° =

o HH sin4

aze t z πω β− ⎛ ⎞⇒ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

H a όπου H K E z y x= × = × = −a a a a a a και

3oo

E 3H 2 69.1 10800η π

−= = = ×

Έτσι 61.4 8x69.1 sin 10 61.42 mA/m

4ze t z π− ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠H a

46

Ισχύς και το διάνυσμα του poynting

Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, η ενέργεια μπορεί να μεταφερθεί από ένα σημείο σε ένα άλλο με ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ο ρυθμός μιας τέτοιας μεταφοράς μπορεί να υπολογιστεί από τις εξισώσεις του Μάξγουελ:

t∂∂

−=×∇HΕ μ και t∂

∂+=×∇

ΕΕH εσ

Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο (dot product) και στις δύο πλευρές της εξίσωσης του Η με το Ε μας δίνει

t∂∂

+Ε=×∇ΕEHE εσ .).( 2

αλλά έχουμε την ιδιότητα

).().().( BAABBA ×∇−×∇=×∇ όπου Α=Η και Β=Ε τότε

t∂∂

+Ε=×∇+×∇ΕEEHEH εσ .).().( 2

Από την εξίσωση

t∂∂

−=×∇HΕ μ

⇒∂∂

−=∂∂

−=×∇ ).(2

).().( HHΗHEHtt

μμ

47

tt ∂Ε∂

+Ε=×∇−∂Η∂

−2

22

21).(

2εσμ HE

Παίρνοντας ολοκληρώματα όγκου και στις δύο πλευρές

∫∫∫ Ε−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂∂

−=×∇vvv

dvdvHEt

dv 222

21

21).( σμεHE

Εφαρμόζοντας το θεώρημα της απόκλισης (divergence theorem) στο αριστερό μέρος της εξίσωσης καταλήγουμε

∫∫∫ Ε−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂∂

−=×vvS

dvdvHEt

dS 222

21

21).( σμεHE

Ολική ισχύς που φεύγει = Ρυθμός μείωσης στην ενέργεια - Ωμική από τον όγκο που αποθηκεύεται κατανάλωση στα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία ισχύς Η πιο πάνω εξίσωση ονομάζεται ως θεώρημα του Poynting (Poynting’s theorem). Το Ε x H στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι γνωστό ως διάνυσμα Poynting (Poynting vector) και μετριέται σε W/m2

HE×=℘ Το διάνυσμα poynting αντιπροσωπεύει το διάνυσμα της στιγμιαίας πυκνότητας της ισχύς (instantaneous power density vector) που σχετίζεται με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε ένα συγκεκριμένο σημείο.

48

Η συνολική μέση ισχύς που διαπερνά μια δεδομένη επιφάνεια S δίνεται από

∫℘=S

averP dSaver .

όπου

∫℘=℘T

aver dttzT

z0

),(1)(

ή

)Re(21)( ssaver HE ∗×=℘ z

49

Παράδειγμα 4.10 Σε ένα μη μαγνητικό μέσο το

zaE )8.0102sin(4 7 xt −×= π V/m Να υπολογίσετε (α) το εr και το η (β) το μέσο όρο της πυκνότητας ισχύς (time-average power) που μεταφέρεται από το κύμα (γ) τη συνολική ισχύ που διαπερνά 100 cm2 του επιπέδου 2x + y = 5 (sd 10.7 p483)

50

Αντανάκλαση επίπεδου κύματος σε κάθετη πρόσκρουση

(Reflection of a plane wave at normal incidence)

Μέχρι στιγμής έχουμε μελετήσει ομοιόμορφα κύματα που ταξιδεύουν σε ομογενή και χωρίς όρια μέσα. Όταν ένα επίπεδο κύμα ταξιδεύει σε ένα μέσο και συναντήσει ένα άλλο μέσο, τότε το κύμα μερικώς αντανακλάται και μερικώς συνεχίζει να διαδίδεται. Η αναλογία του εισερχόμενου κύματος που θα πάθει αντανάκλαση ή θα συνεχίσει τη διάδοση εξαρτάται από τους παραμέτρους ε, σ και μ των δύο μέσων. Σε αυτό το στάδιο θα υποθέσουμε ότι το εισερχόμενο κύμα είναι κάθετο στο σημείο όπου συναντιούνται τα δύο μέσα. Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο κύμα που διαδίδεται στη κατεύθυνση +z και εισέρχεται κάθετα στο σημείο που συναντιόνται τα δύο μέσα z=0.Το μέσο 1 (z<0) χαρακτηρίζεται από σ1, μ1, ε1 και το μέσο 2 (z>0) από σ2, μ2, ε2 όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.

Το εισερχόμενο κύμα, το αντανακλόμενο και το διαδιδόμενο, όπως φαίνονται στο πιο πάνω σχήμα, μπορούμε να τα υπολογίσουμε με τον εξής τρόπο:

x

51

Εισερχόμενο κύμα (Incident wave) (Εi, Hi) ταξιδεύει στη κατεύθυνση +ak στο μέσο 1. Αν υποθέσουμε ότι

xis aE zio eEz 1)( γ−=

τότε το

yyis aaH ziozio eEeHz 11

1

)( γγ

η−− ==

Αντανακλόμενο κύμα(Reflected wave) (Εi, Hi) ταξιδεύει στη κατεύθυνση –az στο μέσο 1. Αν

xrs aE zro eEz 1)( γ=

τότε

yyrs aaH zrozro eEeHz 11

1

)()( γγ

η−=−=

όπου Εrs θεωρείτε να είναι στη κατεύθυνση του ax.

Διαδιδόμενο κύμα(Transmitted wave) (Εt, Ht) ταξιδεύει στη κατεύθυνση +az στο μέσο 2. Αν

xts aE zto eEz 2)( γ−=

τότε

yyts aaH ztozto eEeHz 22

2

)( γγ

η−− ==

Aφού στο σημείο z = 0,

E1tan = E2tan και Η1tan = H2tan

52

τότε

toroiotri EEEEEE =+→=+ )0()0()0(

( )21

1)0()0()0(ηη

toroiotri

EEEHHH =−→=+

Από τις πιο πάνω εξισώσεις καταλήγουμε στο

ioro EE12

12

ηηηη

+−

=

και

ioto EE12

22ηη

η+

=

Μπορούμε τώρα να ορίσουμε το συντελεστή αντανάκλασης (reflection coefficient) Γ και το συντελεστή διάδοσης (transmission coefficient) τ ως

12

12

ηηηη

+−

==Γio

ro

EE

και

12

22ηη

ητ+

==io

to

EE

.

53

Σημειώσεις: 1. 1 + Γ = τ 2. Το τ και το Γ δεν έχουν μονάδες μέτρησης και μπορεί να είναι

μιγαδικά. 3. 10 ≤Γ≤ .

Η πιο πάνω περίπτωση είναι μια γενική περίπτωση. Αν μελετήσουμε την ειδική περίπτωση όπου το μέσο 1 είναι τέλειο διηλεκτρικό υλικό (χωρίς απώλειες σ1 = 0) και το μέσο 2 είναι τέλειος αγωγός ( ∞≈2σ ). Για αυτή τη περίπτωση, η2 = 0 και έτσι Γ = -1 και τ= 0, δείχνοντας ότι το κύμα αντανακλάται εξ ολοκλήρου. Ακόμα μια περίπτωση είναι όταν και τα δυο μέσα είναι χωρίς απώλειες (σ1 = 0 = σ2). Ας μελετήσουμε τις πιο κάτω περιπτώσεις:

Περίπτωση 1 Αν η2>η1 , Γ>0. Όπως και πιο πάνω, στο μέσο 1 θα έχει ένα στάσιμο κύμα, ενώ στο μέσο 2 θα έχει ένα κύμα που θα διαδίδεται. Όμως το εισερχόμενο και το διαδιδόμενο κύμα δεν θα έχουν το ίδιο πλάτος κύματος. Μπορεί να

αποδειχτεί ότι η μέγιστη τιμή του 1E εμφανίζεται στο

πβ nz =− max1 και η ελάχιστη τιμή του 1E εμφανίζεται στο

2)12(1

πβ ιν +=− nz m .

Περίπτωση 2

Αν η2<η1 , Γ<0. Για αυτή τη περίπτωση η τοποθεσία του 1E μέγιστου και ελάχιστου δίνεται από τις δύο πιο πάνω εξισώσεις.

Η αναλογία του 1E max προς 1E min (ή 1H max προς 1H min) ονομάζεται αναλογία στάσιμου κύματος (standing-wave ratio) s που δίνεται από

54

Γ−Γ+

===11

min1

max1

min1

max1

H

H

E

Es

ή

11

+−

=Γss

Το s δεν έχει μονάδες μέτρησης και συνήθως εκφράζεται σε dB (decibel) ως s σε dB = 20 log10 s.

55

Παράδειγμα 4.11 Σε ελεύθερο χώρο (z 0≤ ), ένα επίπεδο κύμα με

xaH )10cos(10 8 zt β−= mA/m εισέρχεται κάθετα σε ένα μέσο χωρίς απώλειες (ε = 2εο, μ = 8μο) στη περιοχή z 0≥ . Nα υπολογίσετε το αντανακλόμενο κύμα Ηr, Er και το διαδιδόμενο κύμα Ηt, Et . (sd 10.8 p489)

Για τον κενό χώρο 8

1 1 o8

10 1 120c 3 10 3ωβ η η π= = = = =

×

Για το διηλεκτρικό χωρίς απώλειες

2 o o r r 1

o r2 o

o r

4(4) 4 = c 3

2

ωβ ω με ω μ ε μ ε β

μ μμη ηε ε ε

= = = ⋅ =

= = =

Έχουμε ( ) ( ) i

8 8i 1 x i io 1 E10cos 10 E 10cos 10t z t zβ β= − ⇒ = −H a E a

όπου i i iE H k x z y= × = × = −a a a a a a και io 1 io oE H 10η η= =

( )8i o 1 y10 cos 10 mV/mt zη β= − −E a

56

ro o o2 1ro io

io 2 1 o o

E 2 1 1E EE 2 3 3

η ηη ηη η η η

−−= Γ = = = ⇒ =

+ +

Έτσι 8r o y

10 1cos 10 mV/m3 3

t zη ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

E a και 8r x

10 1cos 10 mA/m3 3

t z⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

H a

Με τον ίδιο τρόπο to

to ioio

E 4 41 E EE 3 3

τ= = +Γ = ⇒ =

Έτσι ( ) t

8t to 2 EE cos 10 mV/mt zβ= −E a όπου

t iE E y= = −a a a 8

t o y40 4cos 10 mV/m3 3

t zη ⎛ ⎞⇒ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

E a

και έτσι παίρνουμε 8

t x20 4cos 10 mA/m3 3

t z⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

H a