ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE D’ Alembertdris/ANALYTDYN120318kef-2.pdf · 2018-03-13 ·...

76
30 2. ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE 2.1 Αρχή D’ Alembert Μια τέτοια αρχή διατύπωσε πρώτα ο James Bernoulli αλλά αναπτύχτηκε στη συνέχεια από τον D’ Alembert. Στην αρχή χρησιμοποιούμε καρτεσιανές συντεταγμένες. Η ιδέα της ανωτέρω αρχής ξεκινά από τη Στατική. Όταν ένα σύστημα από N υλικά σημεία ισορροπεί, τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε κάθε σημείο του συστήματος είναι μηδέν, 0 1, 2,..., i F i N . (2.1) Παριστάνομε με δ i r την απειροστή δυνατή (εικονική) μετατόπιση του υλικού σημείου i . Αυτή είναι μετατόπιση από το σημείο ισορροπίας του, η οποία γίνεται «παγώνοντας» το χρόνο ( d 0) t , προφανώς είναι συμβατή με τους συνδέσμους. Τονίζομε ότι οι ταχύτητες παγώνουν, διατηρώντας κατά τη δυνατή μετατόπιση, τις τιμές που έχουν τη στιγμή t . Το δυνατό έργο της ολικής δύναμης πάνω σε κάθε ένα υλικό σημείο θα είναι μηδέν, διότι από την Εξ (2.1) προκύπτει, κατά προφανή τρόπο, ότι ισχύουν δ 0 1, 2,..., i i F r i N . (2.2) Έστω ότι υπάρχουν M δεσμοί, οπότε σύμφωνα με τα προηγούμενα, υπάρχουν, γενικώς, οι ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις και οι δυνάμεις των δεσμών (παθητικές δυνάμεις). Η συνολική δύναμη πάνω σε κάθε υλικό σημείο μπορεί να αναλυθεί σε μια (συνολική) ενεργητική , ai F , και μια (συνολική) δύναμη δεσμού, ci F , οπότε a c i i i F F F . (2.3) Το δυνατό έργο που εκτελείται κατά τη δυνατή μετατόπιση, πάνω σε κάθε ένα σωμάτιο, είναι a c δ δ δ 0 i i i i i i F r F r F r . (2.4) Η συνολική δύναμη δεσμού, ci F , πάνω στο σωμάτιο i , που οφείλεται στους M δεσμούς, είναι το άθροισμα των δυνάμεων από τον κάθε έναν δεσμό, cji F 1, 2,..., j M , 1 M ci cji j F F . Αν αθροίσομε τα δυνατά έργα για όλα τα υλικά σημεία του συστήματος, θα έχομε για το συνολικό δυνατό έργο όλων των δυνάμεων επί του συστήματος, a 1 1 δ δ 0 N N i i ci i i i F r F r . (2.5) Υποθέτομε ότι κάθε ένας δεσμός είναι ιδανικός δεσμός, οπότε για κάθε έναν δεσμό, το δυνατό συνολικό έργο των δυνάμεων του δεσμού πάνω σε όλα τα σωμάτια είναι μηδέν, δηλαδή 1 δ 0 N cji i i F r , επομένως

Transcript of ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE D’ Alembertdris/ANALYTDYN120318kef-2.pdf · 2018-03-13 ·...

30

2. ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE 2.1 Αρχή D’ Alembert Μια τέτοια αρχή διατύπωσε πρώτα ο James Bernoulli αλλά αναπτύχτηκε στη συνέχεια από τον D’ Alembert. Στην αρχή χρησιμοποιούμε καρτεσιανές συντεταγμένες. Η ιδέα της ανωτέρω αρχής ξεκινά από τη Στατική. Όταν ένα σύστημα από N υλικά σημεία ισορροπεί, τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε κάθε σημείο του συστήματος είναι μηδέν,

0 1, 2,...,iF i N

. (2.1)

Παριστάνομε με δ irτην απειροστή δυνατή (εικονική) μετατόπιση του υλικού σημείου i .

Αυτή είναι μετατόπιση από το σημείο ισορροπίας του, η οποία γίνεται «παγώνοντας» το χρόνο ( d 0)t , προφανώς είναι συμβατή με τους συνδέσμους. Τονίζομε ότι οι ταχύτητες παγώνουν, διατηρώντας κατά τη δυνατή μετατόπιση, τις τιμές που έχουν τη στιγμή t . Το δυνατό έργο της ολικής δύναμης πάνω σε κάθε ένα υλικό σημείο θα είναι μηδέν, διότι από την Εξ (2.1) προκύπτει, κατά προφανή τρόπο, ότι ισχύουν

δ 0 1, 2,...,i iF r i N

. (2.2)

Έστω ότι υπάρχουν M δεσμοί, οπότε σύμφωνα με τα προηγούμενα, υπάρχουν, γενικώς, οι ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις και οι δυνάμεις των δεσμών (παθητικές δυνάμεις). Η συνολική δύναμη πάνω σε κάθε υλικό σημείο μπορεί να αναλυθεί σε μια (συνολική)

ενεργητική , aiF

, και μια (συνολική) δύναμη δεσμού, ciF

, οπότε

a ci i iF F F

. (2.3)

Το δυνατό έργο που εκτελείται κατά τη δυνατή μετατόπιση, πάνω σε κάθε ένα σωμάτιο, είναι

a cδ δ δ 0i i i i i iF r F r F r

. (2.4)

Η συνολική δύναμη δεσμού, ciF

, πάνω στο σωμάτιο i , που οφείλεται στους M

δεσμούς, είναι το άθροισμα των δυνάμεων από τον κάθε έναν δεσμό, cjiF

1, 2,...,j M ,

1

M

ci cjij

F F

. Αν αθροίσομε τα δυνατά έργα για όλα τα υλικά σημεία του συστήματος, θα

έχομε για το συνολικό δυνατό έργο όλων των δυνάμεων επί του συστήματος,

a1 1

δ δ 0N N

i i ci ii i

F r F r

. (2.5)

Υποθέτομε ότι κάθε ένας δεσμός είναι ιδανικός δεσμός, οπότε για κάθε έναν δεσμό, το δυνατό συνολικό έργο των δυνάμεων του δεσμού πάνω σε όλα τα σωμάτια είναι μηδέν,

δηλαδή 1

δ 0N

cji ii

F r

, επομένως

31

1 1 1

δ δ 0N N M

ci i cji ii i j

F r F r

. (2.6)

Έτσι η (2.5) δίνει

a1

δ 0N

i ii

F r

. (2.7)

Αυτό σημαίνει ότι κάθε χρονική στιγμή, κατά την ισορροπία, το συνολικό δυνατό έργο επί του συστήματος των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων είναι μηδέν. Η Εξ (2.7) αναφέρεται ως Αρχή των Δυνατών Έργων. Οι δυνατές μετατοπίσεις δ 1, 2,...,ir i N

, όταν υπάρχουν δεσμοί, δεν είναι αυθαίρετες,

δηλαδή δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, γι αυτό από τη σχέση (2.7) δεν μπορούμε να

συμπεράνομε ότι a 0iF .

Η σχέση (2.7) είναι κάτι χρήσιμο που μπορεί να εφαρμοστεί σε συστήματα σε ισορροπία και να βοηθήσει στη λύση προβλημάτων στατικής. Σε στοιχειώδες επίπεδο εφαρμόζεται στις απλές μηχανές με τροχαλίες, μοχλούς κτλ. Στη συνέχεια, έγινε η προσπάθεια να αναχθούν τα προβλήματα της Δυναμικής σε προβλήματα Στατικής και να γενικευτεί η Αρχή των Δυνατών έργων και για τη Δυναμική. Ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής για κάθε υλικό σημείο ενός συστήματος γράφεται,

d

1,2,...,d

ii i

pF p i N

t

. (2.8)

Από αυτή τη σχέση καταλήγομε στη σχέση

=0 1, 2,...,i iF p i N . (2.9)

Ο όρος ip λέγεται αντίστροφη ενεργός δύναμη (reversed effective force) ή αδρανειακή

δύναμη ή δύναμη D’ Alembert. Η Εξ. (2.9) μας λέει ότι για ένα σύστημα υλικών σημείων που, γενικώς, δεν βρίσκεται σε ισορροπία, κάθε στιγμή το διανυσματικό άθροισμα των πραγματικών δυνάμεων και των αντίστροφων ενεργών δυνάμεων, σε κάθε ένα σημείο είναι μηδέν, δηλαδή αυτές οι δυνάμεις ισορροπούν. Αν φανταστούμε δυνατές μετατοπίσεις (ο χρόνος παγώνει), από την Εξ. (2.9) βρίσκομε

δ δ 0i i i iF r p r . (2.10)

Στη συνέχεια κάνομε την ανάλυση των πραγματικών δυνάμεων, όπως και στα προηγούμενα. Υποθέτομε ότι έχομε ιδανικούς δεσμούς και καταλήγομε στη σχέση,

a1

δ 0N

i i ii

F p r

. Για ευκολία αλλάζομε συμβολισμό, δηλαδή παραλείπομε τον

δείκτη a στην ενεργητική δύναμη και γράφομε αντί aiF

απλώς iF

. Έτσι έχομε

1 1

δ δ 0N N

i i i i i ii i

F p r F r r

(2.11)

Έχομε στη Στατική και στη Δυναμική, ότι το δυνατό έργο δW όλων των πραγματικών δυνάμεων στο σύστημα, είναι το άθροισμα των έργων των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων και των δυνάμεων των δεσμών. Εφόσον οι δεσμοί είναι ιδανικοί, το δυνατό έργο τους είναι μηδέν, οπότε το συνολικό δυνατό έργο όλων των πραγματικών δυνάμεων στο σύστημα, ισούται με το έργο (μόνον) όλων των ενεργητικών δυνάμεων. Έτσι καταλήγομε στη σχέση,

32

1

δ δN

i ii

W F r

. (2.12)

Η σχέση (2.11) είναι η Αρχή (του) D’ Alembert, που είναι γενίκευση της Αρχής των Δυνατών Έργων, Εξ.(2.7). Προφανώς η Αρχή D’ Alembert ισχύει και όταν δεν υπάρχουν δεσμοί. Σημειώνομε, όπως και πριν, ότι από την Εξ. (2.11) δεν μπορούμε να συμπεράνομε ότι

0i i i i iF p F m r

διότι όταν υπάρχουν δεσμοί, τα δ ir

δεν μπορεί το καθένα να ληφθεί αυθαίρετα σε σχέση

με τα άλλα, διότι αλληλοεξαρτιόνται, όπως είπαμε προηγουμένως. 2.2 Φορμαλισμός χωρίς δεσμούς Θα εξετάσομε την περίπτωση που δεν υπάρχουν δεσμοί. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν δυνάμεις δεσμών (δηλαδή παθητικές δυνάμεις) , υπάρχουν μόνο ασκούμενες (δηλαδή ενεργητικές) δυνάμεις και μπορεί κάποιος να προχωρήσει χωρίς χρήση της αρχής D’ Alembert, όμως μπορεί να ξεκινήσει και από την Αρχή D’ Alembert η οποία ισχύει και όταν δεν υπάρχουν δεσμοί. Θα δούμε ότι με μετασχηματισμό των συντεταγμένων από καρτεσιανές σε οποιεσδήποτε άλλες (γενικευμένες) συντεταγμένες, καταλήγομε στις εξισώσεις (του) Lagrange που έχουν ίδια μορφή ανεξάρτητα από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Μερική περίπτωση (γενικευμένων) συντεταγμένων, είναι και οι καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι δυνάμεις μετασχηματίζονται σε γενικευμένες δυνάμεις που κάθε μια σχετίζεται με μια γενικευμένη συντεταγμένη και λέγεται συνιστώσα γενικευμένης δύναμης, συγκεκριμένης γενικευμένης συντεταγμένης. Έστω ότι οι σχέσεις μετασχηματισμού συντεταγμένων είναι

1 2

1 2

3

( , ,..., , ) 1, 2,...,

( , ,..., , ) 1, 2,..., .i i n

j j N

n N

r r q q q t i N

q q r r r t j n

(2.13)

Σημειώστε ότι μπορεί να υπάρχει και άμεση εξάρτηση από το χρόνο. Εννοείται ότι για την περιοχή ισχύος αυτού του μετασχηματισμού πρέπει οι σχέσεις αυτές να μπορούν να αντιστραφούν. Αυτό σημαίνει ότι, η ιακωβιανή μήτρα (jacobian matrix) του μετασχηματισμού πρέπει να μην είναι ανώμαλη. Θυμίζομε ότι εδώ η ιακωβιανή είναι η μήτρα που σχηματίζεται με στοιχεία τα

, ( , ) 1, 2,...,l

k

ql k n

x

(2.14)

όπου τα kx είναι οι n=3N καρτεσιανές συντεταγμένες των Ν διανυσμάτων θέσης ir

,

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )N nr r r x x x

.

Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι δεδομένη ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο οποίο η περιγραφή γίνεται με καρτεσιανές συντεταγμένες, σε

33

καρτεσιανούς άξονες στερεά συνδεδεμένους με το αδρανειακό σύστημα. Ξεκινούμε με την κινητική ενέργεια του συστήματος των σωματίων. Για τα δυο συστήματα συντεταγμένων ισχύουν οι σχέσεις των Εξ. (2.13). Έχομε για την κινητική ενέργεια

2

1

1

1

2

d

d

N

i ii

ni i i

i i jj j

T m

r r rr q

t q t

(2.15)

. Οι εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (στο αδρανειακό σύστημα και) με τις ανωτέρω καρτεσιανές συντεταγμένες είναι

1,2,...,i i im r F i N . (2.16)

Τις πολλαπλασιάζομε επί i

k

r

q

και αθροίζομε στα i οπότε έχομε

1 1

1, 2,..., N N

i ii i i

i ik k

r rm r F k n

q q

(2.17)

Όμως ισχύουν

1

2 2

1

d d

d d

d

d

ni i i i

jjk k j k

i i ii i i i

k k k k

ni i i

i i jjk j k k

r r r rq

q q q t q

r r rrr r r r

q q t q t q

r r rr r q

t q q q t q

d

di i

i ik k

r rr r

t q q

2 2d 1 1( ) ( )

d 2 2i ik k

r rt q q

.

Επομένως έχομε ότι

34

2 2

1 1 1

1 d 1( ) ( )

2 d 2

d.

d

N N Ni i i

i i i ii i ik k k

k k

r r rm r m m

q t q q

T T

t q q

(2.18)

Στην τελευταία σχέση έχομε μεταθέσει την άθροιση με την παραγώγιση και εισαγάγαμε την κινητική ενέργεια, αφού κάνοντας χρήση των Εξ. (2.13) και Εξ.(2.15) θεωρούμε ότι εκφράζεται ως συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, των γενικευμένων ταχυτήτων και του χρόνου, ( , , )T T q q t , βλ. παράρτημα Π2. Η παράσταση στο δεξί μέλος των Εξ.(2.17), ορίζει την γενικευμένη συνιστώσα δύναμης της συντεταγμένης k, που παριστάνεται με kQ , δηλαδή

1

1, 2,...,N

ik i

i k

rQ F k n

q

. (2.19)

Από τις Εξ. (2.17), Εξ.(2.18) και Εξ.(2.19) καταλήγομε στις εξισώσεις

d

1,2,...,d k

k k

T TQ k n

t q q

. (2.20)

Όταν όλες οι δυνάμεις προέρχονται από βαθμωτή δυναμική συνάρτηση 1 2( , ,..., , )NV r r r t

,

δηλαδή i iF V

, τότε έχομε για τις γενικευμένες δυνάμεις

1 1

1, 2,..., .N N

i ik i i

i ik k

r rQ F V k n

q q

Η τελευταία έκφραση είναι η μερική παράγωγος της συνάρτησης V ως προς kq , όπου

( , )V V q t , δηλαδή τα ir

έχουν αντικατασταθεί με τις εκφράσεις τους, συναρτήσει των

jq . Επομένως

kk

VQ

q

(2.21)

Εφόσον το V δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, οι Εξ.(2.20) γίνονται

d ( ) ( )

0 1, 2,...,d k k

T V T Vk n

t q q

.

Ορίζεται η συνάρτηση (του) Lagrange, λαγκρανζιανή (lagrangian), από τη σχέση

( , , ) ( , , ) ( , )L q q t T q q t V q t . Θα δούμε παρακάτω την περίπτωση όπου η δυναμική συνάρτηση έχει μιαν ειδική μορφή εξάρτησης από τις ταχύτητες, οπότε ( , , )U U q q t και τότε ( , , ) ( , , ) ( , , )L q q t T q q t U q q t . Αυτή είναι η «φυσιολογική» λαγκρανζιανή. Oι εξισώσεις κίνησης γίνονται

35

d

0 1, 2,...,d k k

L Lk n

t q q

. (2.22)

Από κάποιους μόνο οι εξισώσεις (2.22) της Αναλυτικής Δυναμικής, αναφέρονται ως εξισώσεις (των) Euler- Lagrange ή απλώς εξισώσεις (του) Lagrange ή (του) Euler. Άλλοι αναφέρονται και στις (2.20) με το ίδιο όνομα, εμείς θα ακολουθήσομε αυτή τη συνήθεια. Προς τιμήν του Lagrange, χρησιμοποιείται και ο όρος Λαγκρανζιανή Μηχανική (Lagrangian Mechanics). Είναι ευνόητο ότι οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα, προκύπτουν από τις ανωτέρω γενικής μορφής εξισώσεις Lagrange, αφού δοθεί η μορφή της λαγκρανζιανής ή/και οι ενεργητικές γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, για το μηχανικό σύστημα που εξετάζεται. Δηλαδή οι εξισώσεις του Λαγκράνζ είναι ένα είδος «συνταγής» που οδηγεί στις ειδικές (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για κάθε συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα. Μηχανικό σύστημα του οποίου η κίνηση καθορίζεται από λαγκρανζιανή, χωρίς πρόσθετες γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, συνήθως λέγεται λαγκρανζιανό σύστημα. Τα παραπάνω που αναφέρονται στην περίπτωση μη ύπαρξης δεσμών, έχουν την αξία τους, εκτός των άλλων και ένεκα του γεγονότος ότι η μορφή των εξισώσεων Euler-Lagrange δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Η αξία όμως της ύπαρξης τέτοιων εξισώσεων είναι μεγαλύτερη όταν υπάρχουν δεσμοί. Στην περίπτωση ύπαρξης ολόνομων δεσμών μπορούμε να έχομε τις εξισώσεις Lagrange και τις ειδικές για το σύστημα εξισώσεις κίνησης, ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών. Συμπληρώνομε εδώ ότι, στα πλαίσια της Κλασικής Μηχανικής, μπορούμε να βρούμε λαγκρανζιανές με τη συνταγή της φυσιολογικής λαγκρανζιανής, ή L T V L T U , για τις συνήθεις βασικές μακροσκοπικές δυνάμεις του ηλεκτρομαγνητισμού και της (νευτώνειας) βαρύτητας. Αυτό γίνεται διότι αυτές οι δυνάμεις μπορούν να προκύψουν με τον γνωστό τρόπο, από δυναμική συνάρτηση, ( , ) ή ( , , )V q t U q q t . Αυτό δεν μπορεί να γίνει για όλες τις περιπτώσεις μη βασικών μακροσκοπικών δυνάμεων, όπως είναι οι τριβές. Όμως μπορεί να δειχτεί ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις , μπορούμε να βρούμε λαγκρανζιανές και για συστήματα στα οποία δεν μπορεί να εφαρμοστεί η συνταγή

, L T V L T U . Και σε αυτή την περίπτωση οι (ειδικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος προκύπτουν από τις εξισώσεις Lagrange. Θα δούμε περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω. Σημειώνομε το εξής: Έστω ότι για κάποιες γενικευμένες συντεταγμένες ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange, αν χρησιμοποιηθεί μετασχηματισμός μεταξύ αυτών των συντεταγμένων και νέων γενικευμένων συντεταγμένων ίδιου πλήθους (όπου μπορεί να εισέρχεται και ο χρόνος) τότε ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange και στο νέο σύστημα. Δεν είναι ανάγκη να ξεκινά κάποιος από καρτεσιανές συντεταγμένες, αρκεί φυσικά να ξέρει τις εκφράσεις για την λαγκρανζιανή και τις γενικευμένες δυνάμεις στις αρχικές συντεταγμένες. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού οι εξισώσεις έχουν την ίδια μορφή για κάθε σύνολο συντεταγμένων. Σημειώνομε ότι αυτό σχετίζεται με τα παρακάτω. Αν ξέρομε τη λαγκρανζιανή ως προς κάποιες συντεταγμένες με οποιαδήποτε αλλαγή συντεταγμένων προκύπτει επίσης σωστή λαγκρανζιανή στις νέες συντεταγμένες. Αυτό ισχύει ακόμη και όταν ο μετασχηματισμός οδηγεί από σύστημα αναφοράς σε άλλο κινούμενο ως προς το πρώτο. Το τελευταίο δεν ισχύει για την κινητική και τη δυναμική ενέργεια ενώ ισχύει για τη λαγκρανζιανή. Με αυτή την έννοια είναι αναλλοίωτη (ως προς τις τιμές της) κατά τη μετάβαση από σύστημα αναφοράς σε

36

άλλο κινούμενο ως προς το πρώτο. Επίσης με αυτή την έννοια η λαγκρανζιανή χαρακτηρίζει το μηχανικό σύστημα ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων ή/και το σύστημα αναφοράς. Είναι καλό να κάνομε κάποια σχόλια για τις διάφορες παραγώγους και τα σύμβολά τους.

Το σύμβολο της παραγώγισης d

dx , στη συνήθη πρακτική, δηλώνει την παράγωγο ως

προς x συνάρτησης ( )G G x η οποία εξαρτάται από μια μόνο μεταβλητή, την x . Αν η συνάρτηση εξαρτάται από πολλές μεταβλητές τότε χρησιμοποιείται το σύμβολο της μερικής παραγώγου που σχετίζεται με μια συγκεκριμένη μεταβλητή (οι άλλες θεωρούνται σταθερές). Για τη συνάρτηση δυο μεταβλητών ( , )G G x y έχομε τις μερικές

παραγώγους ( , ) ( , )

,G x y G x y

x y

.

Στην Αναλυτική Μηχανική τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά. Ας υποθέσομε ότι έχομε μονοδιάστατο θεσικό χώρο και ότι υπάρχει μια δυναμική συνάρτηση, δηλαδή μια συνάρτηση της θέσης, του χρόνου και της ταχύτητας, ( , , )F F q q t . Τέτοια συνάρτηση είναι και η λαγκρανζιανή, ( , , )L L q q t . Τα μεγέθη ,q q είναι, άγνωστες στην αρχή, συναρτήσεις του χρόνου. Η συγκεκριμένη εξάρτησή τους από το χρόνο θα προσδιοριστεί από τη λύση του προβλήματος. Έχομε ( ), ( )q q t q q t , αυτό σημαίνει ότι για τη

συνάρτηση F έχομε, ( ), ( ), )F F q t q t t , δηλαδή η F εξαρτάται άμεσα από τον

χρόνο και έμμεσα από αυτόν μέσω των ( ), ( )q t q t . Η έκφραση F

q

δηλώνει την μερική

παράγωγο της ( , , )F q q t ή της ( ), ( ), )F q t q t t ως προς q , των μεταβλητών ,q t

θεωρουμένων σταθερών. Η έκφραση F

t

δηλώνει τη μερική παράγωγο ως προς το χρόνο

της ( , , )F q q t , των μεταβλητών ,q q θεωρουμένων σταθερών. Μέχρι εδώ κινούμαστε στα

γνωστά περί παραγώγων. Ας έλθομε τώρα στην έκφραση d ( , , )

d

F q q t

t

. Στην περίπτωση

της Αναλυτικής Δυναμικής η έκφραση αυτή δεν σημαίνει ότι υπάρχει εξ αρχής εξάρτηση μόνο από το χρόνο, αλλά ότι αυτό συμβαίνει, αφού ληφθούν υπόψη και η άμεση και οι έμμεσες εξαρτήσεις από αυτόν. Γι αυτό αυτή λέγεται ολική παράγωγος ως προς το χρόνο.

Προφανώς έχομε τη σχέση d ( ), ( ),

d

F q t q t t F F Fq q

t q q t

.

Θα δούμε παρακάτω ότι τα πράγματα γίνονται λίγο πιο πολύπλοκα αν υπάρχει εξάρτηση (δεσμευτική σχέση) μεταξύ των συντεταγμένων θέσης και ίσως και του χρόνου. Αξίζει να τονίσομε ότι, η «συνταγή» L T U , όταν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αυτό μπορεί να γίνει, ανεξάρτητα από το αν το σύστημα περιγραφής είναι αδρανειακό ή όχι. Όμως πρέπει να ξέρομε πώς να υπολογίσομε το U και το στο μη αδρανειακό σύστημα. Επίσης τονίζομε ότι, ανεξάρτητα από το σύστημα αναφοράς και την επιλογή των συντεταγμένων, η λαγκρανζιανή έχει την ίδια τιμή στα ίδια σημεία του χώρου την ίδια χρονική στιγμή, δηλαδή είναι αναλλοίωτη ποσότητα ως προς την τιμή, ενώ η μορφή της, γενικώς, αλλάζει. Θα δούμε ότι πολλές λαγκρανζιανές οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα. Επειδή το μέγεθος U είναι γνωστό, συνήθως, σε αδρανειακά συστήματα, προτιμούμε πρώτα να γράφομε την λαγκρανζιανή σε αδρανειακό σύστημα και μετά με

37

μετασχηματισμό να τη βρίσκομε για οποιοδήποτε σύστημα, αδρανειακό ή όχι. Πολλές φορές ξεκινούμε και με καρτεσιανές συντεταγμένες, παρόλο που ούτε αυτό είναι απαραίτητο. 2.3 Φορμαλισμός με δεσμούς Προφανώς αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει και την περίπτωση όπου δεν υπάρχουν δεσμοί. Α. Δυνάμεις δεσμών Όπως είπαμε, οι δεσμοί ασκούν δυνάμεις και περιορίζουν την κίνηση μηχανικού συστήματος. Οι δυνάμεις αυτές των δεσμών, δεν έχουν γνωστή άμεση εξάρτηση από τη θέση, τις ταχύτητες και το χρόνο, ενώ αυτό ισχύει για τις ενεργητικές δυνάμεις, οι οποίες

είναι γνωστές συναρτήσεις της γενικής μορφής, ( , , )i iF F r r t . Θα δούμε ότι από τις

σχέσεις των δεσμών (για την περίπτωση ολόνομων ή ανολόνομων δεσμών) μπορούμε να έχομε την άμεση εξάρτηση των δυνάμεων των δεσμών μόνο από τη θέση ενώ η εξάρτηση από το χρόνο δεν προσδιορίζεται από τις σχέσεις των δεσμών αλλά για την εύρεση αυτής της εξάρτησης χρειάζεται η λύση του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση θα δούμε ότι δεν εμφανίζεται άμεση εξάρτηση από τις ταχύτητες, αλλά σε μια γενίκευση εξισώσεων δεσμών όπου υπάρχουν ταχύτητες όχι σε ανολόνομη μορφή, τότε μπορούμε να βρούμε και την άμεση εξάρτηση από τις ταχύτητες, χωρίς τη λύση του προβλήματος. Με αυτή την έννοια οι δυνάμεις δεσμών λέμε ότι εξαρτώνται από την συγκεκριμένη πραγματική κίνηση που εκτελεί το σύστημα, επομένως πρέπει να βρεθεί η συγκεκριμένη λύση του συστήματος για να προσδιοριστούν οι δυνάμεις των δεσμών. Σημειώστε ότι αν δοθούν η θέση, οι ταχύτητες και ο χρόνος τότε οι ενεργητικές δυνάμεις είναι καθορισμένες, για τον προσδιορισμό τους δε χρειάζεται να βρεθεί συγκεκριμένη πραγματική κίνηση του συστήματος. Όμως, για κάποιο σύστημα υλικών σημείων όπου υπάρχουν δεσμοί, αυτό δεν ισχύει. Δηλαδή για τις ίδιες θέσεις, ταχύτητες και χρόνο οι δυνάμεις των δεσμών μπορεί να είναι διαφορετικές. Θυμηθείτε ότι μπορεί στο ίδιο σύστημα σωματίων οι δεσμοί να είναι ίδιοι αλλά οι ενεργητικές δυνάμεις να είναι διαφορετικές και επομένως, ακόμη και για ίδιες αρχικές συνθήκες, οι κινήσεις είναι διαφορετικές. Οφείλομε να τονίσομε ότι οι δυνάμεις των δεσμών, σε αντίθεση με τις ενεργητικές δυνάμεις, μηδενίζονται όταν δεν υπάρχουν δεσμοί. Επίσης οι θέσεις και ταχύτητες που υπάρχουν στις σχέσεις που δίνουν τις δυνάμεις δεσμών, είναι τέτοιες που να πληρούν τις σχέσεις των δεσμών, δηλαδή δεν είναι τόσο αυθαίρετες όπως είναι στην περίπτωση των ενεργητικών δυνάμεων. Όπως και στα προηγούμενα, θα ξεκινήσομε με καρτεσιανές συντεταγμένες. Ας υποθέσομε ότι έχομε σύστημα Ν σωματίων που περιγράφονται με Ν διανύσματα θέσης 1 2( , ,..., )Nr r r

. Υποθέτομε ότι υπάρχουν K ολόνομοι και K μη ολόνομοι δεσμοί.

Οι δεσμευτικές σχέσεις είναι K K το πλήθος, ισχύει 3K K N . Τις κατατάσσομε έτσι που οι πρώτες K να είναι αυτές των μη ολόνομων δεσμών και οι υπόλοιπες K

38

αυτές των ολόνομων. Οι σχέσεις για τους ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή (γεωμετρική μορφή) είναι,

1 2( , ,..., , ) 0 1, 2,..., 3l Nf r r r t l K K K K K K N

. (2.23)

Οι εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως συναρτήσεις των καρτεσιανών συνιστωσών θέσης και του χρόνου αφού έχομε, 1 2 1 2 3( , ,..., , ) ( , ,..., , )N Nr r r t x x x x t

. (2.24)

Θα περιοριστούμε στην περίπτωση που οι K μη ολόνομοι δεσμοί εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις γραμμικές ως προς τις παραγώγους πρώτης τάξεως ή στην αντίστοιχη μορφή με εξισώσεις Pfaff (είναι ανολόνομοι δεσμοί) . Μπορούμε να γράψομε τις δεσμευτικές σχέσεις με τις καρτεσιανές συντεταγμένες στην ολοκληρωμένη μορφή για την περίπτωση των ολόνομων δεσμών, και για τα δυο είδη δεσμών στη μορφή με παραγώγους πρώτης τάξεως (ή στη μορφή Pfaff):

1 2 3

3 3

1 1

3 3

1 1

3

1

( , ,..., , ) 0

= ( , ) ( , ) 0

d d = ( , )d ( , )d 0

( , ) ( , ) 1, 2,...,

( , ) (

l N

N Nl l

i li i li ii

N Nl l

i li i li ii

l lli l

i

N

ji i ji

f x x x t

f fx A x t x A x t

x t

f fx t A x t x A x t t

x t

f fA x t A x t l K K K K

x t

A x t x A

3

1

, )=0

( , )d ( , )d 0 1, 2,...,

3 .

N

ji i ji

x t

A x t x A x t t j K

K K N

(2.25)

Διαλέξαμε την παραπάνω αρίθμηση των δεσμευτικών σχέσεων αλλά κάποιος μπορεί να διαλέξει κάποιαν άλλη. Το σύνολό των δεσμευτικών σχέσεων είναι K K . Οι K το πλήθος μη ολόνομες σχέσεις δεν είναι ολοκληρώσιμες. Οι σχέσεις της πρώτης σειράς αποτελούν γεωμετρικούς δεσμούς και οι αντίστοιχες δυνάμεις δεσμών λέγονται δυνάμεις γεωμετρικού δεσμού, μπορούμε να τις λέμε και γεωμετρικές δυνάμεις. Όλες οι άλλες σχέσεις δεσμών αποτελούν κινηματικούς δεσμούς και οι αντίστοιχες δυνάμεις δεσμών λέγονται δυνάμεις κινηματικού δεσμού ή κινηματικές δυνάμεις. Στην περίπτωση ολόνομων δεσμών οι δεσμοί μπορεί να είναι γεωμετρικοί ή κινηματικοί και αντίστοιχα οι δυνάμεις των δεσμών, είναι δυνάμεις γεωμετρικού δεσμού (γεωμετρικές) ή δυνάμεις κινηματικού δεσμού (κινηματικές). Στην περίπτωση των μη ολόνομων δεσμών, οι δεσμοί

39

είναι μόνο κινηματικοί και οι αντίστοιχες δυνάμεις είναι μόνο δυνάμεις κινηματικού δεσμού (κινηματικές). Τονίζομε ξανά, ότι στην περίπτωση των ολόνομων δεσμών οι ολοκληρωμένες εκφράσεις των δεσμών (γεωμετρικές μορφές) είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες διαφορικές μορφές τους (κινηματικές μορφές). Το πολύ που μπορεί να διαφέρουν είναι κατά μια σταθερά. Δηλαδή από τις γεωμετρικές μορφές μπορούμε να βρούμε με παραγώγιση ή διαφόριση τις κινηματικές μορφές. Αντίστροφα, με ολοκλήρωση μπορούμε να κάνομε το αντίθετο οπότε το πολύ να έχομε και μια προσθετική σταθερά. Η σταθερά έχει τιμή που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του χρονικά εξελισσόμενου συστήματος. Εννοείται ότι κατά την ανωτέρω διαδικασία, μπορεί οι δεδομένες κινηματικές μορφές να μην είναι ολικά διαφορικά ή ολοκληρώσιμες. Σε αυτή την περίπτωση θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστούν επί ολοκληρωτικούς παράγοντες πριν την ολοκλήρωση ή ακόμη αν έχομε πολλές εξισώσεις, να χρειαστεί να ληφθούν και συνδυασμοί τους και μετά να ολοκληρωθούν. Δηλαδή στην περίπτωση που υπάρχει ολοκληρωσιμότητα πάντα μπορούμε να καταλήξομε σε σχέσεις που περιέχουν ολικά διαφορικά και τελικώς σε γεωμετρικές μορφές. Ας ξεκινήσομε με την περίπτωση ολόνομου δεσμού, όπου έχομε μόνο ένα σωμάτιο το οποίο μπορεί να κινείται στον τρισδιάστατο (θεσικό) χώρο και είναι δέσμιο να βρίσκεται συνεχώς πάνω σε μια δισδιάστατη επιφάνεια αυτού του θεσικού χώρου (γεωμετρικός δεσμός) και δεν υπάρχει τριβή. Η μη ύπαρξη τριβής σημαίνει ότι η δύναμη ένεκα του δεσμού, είναι κάθετη στην δισδιάστατη επιφάνεια, και κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο της δύναμης του δεσμού είναι μηδέν, επομένως ισχύει η αρχή D’ Alembert. Αυτή η επιφάνεια παριστάνεται με μια μοναδική δεσμευτική σχέση την 1 2 3( , ) ( , , , ) 0f r t f x x x t

και

έχομε το Σχ.(2.1). Η επιφάνεια στο θεσικό χώρο, γενικώς, κινείται και μπορεί να μεταβάλλει σχήμα με το χρόνο. Το Σχ. (2.1) αναφέρεται σε δυο διαφορετικές σταθερές τιμές του χρόνου 1 1, t t t t .

Σχήμα 2.1 Δισδιάστατη επιφάνεια δεσμού σε τρισδιάστατο θεσικό χώρο για ένα (δέσμιο) σωμάτιο.

40

Το διάνυσμα με τις τρεις συνιστώσες 1 2 3

, ,f f f

x x x

είναι διάνυσμα κάθετο στην

επιφάνεια στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, υπό την προϋπόθεση ότι στη συγκεκριμένη επιφάνεια και θέση τη δεδομένη χρονική στιγμή, οι παραπάνω μερικές παράγωγοι δεν είναι όλες μηδέν και επίσης όλες είναι πεπερασμένες. Μπορούμε πάντα να γράψομε τη σχέση του συνδέσμου έτσι που αυτές οι παράγωγοι να μην είναι μηδέν. Για παράδειγμα, η σχέση a 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( ) 0f x x x s x s x s x και η

σχέση 2b 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( ) 0f x x x s x s x s x με 1 2 3( , , )s s s σταθ. , παριστάνουν και οι

δυο τον ίδιο γεωμετρικό δεσμό, δεσμεύουν το σωμάτιο να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετο στο διάνυσμα 1 2 3( , , )s s s . Όμως

πάνω στη συγκεκριμένη επιφάνεια

a 0 1, 2,3ii

fs i

x

(2.26)

ενώ b1 1 2 2 3 32( ) 0 1,2,3i

i

fs x s x s x x i

x

(2.27)

Επομένως για το σκοπό μας είναι χρήσιμη για την περιγραφή του παραπάνω δεσμού, μόνο η μια από τις δυο παραπάνω εκφράσεις, δηλαδή η έκφραση, a 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( ) 0f x x x s x s x s x

Μια άλλη έκφραση, η 1/2

c 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( ) 0f x x x s x s x s x δε μπορεί να

χρησιμοποιηθεί διότι οι παράγωγοί της ως προς τα ix απειρίζονται. Η δύναμη του δεσμού

cF

, θα είναι συγγραμμική με το κάθετο διάνυσμα και θα ισχύει

( ) 1, 2,3 ή ( )ci ci

fF t i F t f

x

. Βλέπομε ότι κάναμε ένα βήμα για τον

προσδιορισμό παθητικής δύναμης δηλαδή δύναμης δεσμού. Η δύναμη είναι ίση με το γινόμενο μιας άγνωστης συνάρτησης του χρόνου (πολλαπλασιαστής Λαγκράνζ) ( )t επί την κλίση της δεδομένης (γνωστής) έκφρασης της οποίας ο μηδενισμός καθορίζει τον ολόνομο δεσμό. Αυτά γενικεύονται και για σύστημα πολλών σωματίων και με πολλούς ολόνομους δεσμούς. Τώρα θα δούμε τι ισχύει για τις παθητικές δυνάμεις στην κάπως πιο γενική περίπτωση που οι δεσμοί μπορεί να είναι ολόνομοι αλλά μπορεί να είναι και ανολόνομοι. Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι εξισώσεις των δεσμών και στις δυο αυτές περιπτώσεις, μπορεί να γραφτούν στην κινηματική τους μορφή,

3

1

( , )d ( , )d 0 1, 2,..., N

ji i ji

A x t x A x t t j M

. M είναι το πλήθος των δεσμών.

Θα δούμε παρακάτω ότι αν ένα σύστημα αποτελείται από N σωμάτια τα οποία υπόκεινται σε δεσμούς με δεσμευτικές ανολόνομες (ή ολόνομες) σχέσεις (κινηματικοί

41

δεσμοί), τότε αν οι 3N συνιστώσες δύναμης για κάθε δεσμό j είναι cjiF , θα ισχύουν:

1 2 3

1 2 3

... ( )cj cj cj Nj

j j j N

F F Ft

A A A ή ( , ) ( ) ( , ) =1,2,...,3 1, 2,...,cji j jiF x t t A x t i N j M .

Από την κάθε μια σχέση για τους δεσμούς θέτομεd 0t οπότε έχομε τις σχέσεις 3

1

( , )δ 0 1, 2,...,N

ji ii

A x t x j M

. Αυτές είναι σχέσεις δυνατών μεταβολών αφού d 0t .

Στην περίπτωση των ολόνομων ή ανολόνομων δεσμών στη μορφή εξισώσεων Pfaff, αυτές οι σχέσεις είναι οι κατάλληλες σχέσεις που μαζί με τις εξισώσεις Λαγκράνζ, μας λύνουν το μηχανικό πρόβλημα. Πρόκειται για δεσμευτικές σχέσεις μόνο μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει αν οι δεσμοί δεν είναι της μορφής Pfaff ή δεν μπορούν να αναχθούν σε τέτοια μορφή. Συγκεκριμένα, ενώ για περιπτώσεις εκτός Μηχανικής οι σχέσεις δυνατών μεταβολών είναι οι κατάλληλες να χρησιμοποιηθούν με τις εξισώσεις Λαγκράνζ, αυτό δεν ισχύει γενικώς για τη Μηχανική. Τονίζομε ότι στη Μηχανική χρειάζεται η δεσμευτική σχέση, δυνατή μεταβολή, η οποία θα βρεθεί με χρήση των εξισώσεων των δεσμών, αλλά λαμβάνοντας υπόψη ότι το συνολικό έργο των δυνάμεων δεσμού για κάθε έναν δεσμό είναι μηδέν, δηλαδή

3

1

( , )δ 0 1, 2,...,N

cji ii

F x t x j M

.

Επομένως το πρόβλημα που τίθεται στη Μηχανική είναι, με χρήση των δεσμευτικών σχέσεων, να βρούμε τις αποδεκτές σχέσεις δυνατών μεταβολών, που στην ουσία είναι σχέσεις μεταξύ μόνον δυνατών μετατοπίσεων. Στην ουσία χρειάζεται να βρούμε πως σχετίζονται οι δυνάμεις των δεσμών με γνωστές εκφράσεις που υπολογίζονται από τις δεδομένες δεσμευτικές (με πολλαπλασιαστικούς άγνωστους παράγοντες, ( )j t ). Για το

σκοπό αυτό ακολουθούμε την ακόλουθη διαδικασία: Πολλαπλασιάζομε την κάθε μια από τις προηγούμενες σχέσεις επί μια αυθαίρετη συνάρτηση του χρόνου ( )j t και

αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την κάθε μια από τις τελευταίες, οπότε βρίσκομε,

3

1

( , ) ( ) ( , ) δ 0 =1,2,...,N

cji j ji ii

F x t t A x t x j M

. Επειδή για κάθε δεσμό j ισχύει μια

δεσμευτική σχέση μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων δ ix , αυτό σημαίνει ότι μόνο

3 1N από τις μετατοπίσεις δ ix είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Επομένως μια από

αυτές τις δυνατές μετατοπίσεις θα εξαρτάται από τις άλλες. Ας λάβομε την πρώτη, δηλαδή την 1δx να εξαρτάται από τις υπόλοιπες. Αφού το ( )j t είναι αυθαίρετο

μπορούμε να το διαλέξομε έτσι ώστε να ισχύει 1 1( , ) ( ) ( , ) 0cj j jF x t t A x t , οπότε

καταλήγομε στη σχέση 3

2

( , ) ( ) ( , ) δ 0N

cji j ji ii

F x t t A x t x

. Σε αυτή τη σχέση τα δ ix

είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, επομένως με τη γνωστή μεθοδολογία, εύκολα συμπεραίνομε ότι

( , ) ( ) ( , ) 0 =2,3,...,3cji j jiF x t t A x t i N . Δηλαδή τελικώς ισχύουν

( , ) ( ) ( , ) =1,2,...,3 1, 2,...,cji j jiF x t t A x t i N j M .

42

Αυτές είναι οι σχέσεις μεταξύ των δυνάμεων των δεσμών και μεγεθών που βρίσκονται από τις δεδομένες δεσμευτικές σχέσεις. Αυτό σημαίνει πως αντί να έχομε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μεταβολών

3

1

( , )δ 0 1, 2,...,N

cji ii

F x t x j M

,

στις οποίες οι δυνάμεις δεσμών δεν μας είναι γνωστές συναρτήσεις, καταλήγομε στις παρακάτω δεσμευτικές σχέσεις για τις δυνατές μετατοπίσεις

3

1

( , )δ 0 1, 2,...,N

ji ii

A x t x j M

(2.28)

όπου τα υπόλοιπα μεγέθη είναι γνωστές συναρτήσεις. Αυτές είναι οι λεγόμενες πρόσθετες ή βοηθητικές συνθήκες (side conditions, auxiliary conditions) που συνδέουν τις δυνατές μετατοπίσεις. Τονίζομε ότι, η Αναλυτική Μηχανική ασχολείται κυρίως με συστήματα για τα οποία οι δυνάμεις του κάθε δεσμού δεν παράγουν έργο κατά μια δυνατή μετατόπιση του συστήματος. Επίσης, συνήθως, οι δεσμοί μπορεί να εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις που εξαρτώνται γραμμικά από τις ταχύτητες ή έχουν την ισοδύναμη μορφή εξισώσεων Pfaff. Υπάρχει γενίκευση στη Μηχανική που οι εξισώσεις των δεσμών είναι πιο γενικές, της μορφής ( , , ) 0lg q q t , όπου η εξάρτηση από τις ταχύτητες μπορεί να είναι μη γραμμική.

Σε αυτή την περίπτωση η δυνατή μεταβολή που προκύπτει άμεσα από τις εξισώσεις αυτές θέτοντας απλώς d 0t , μπορεί να μην είναι η κατάλληλη να χρησιμοποιηθεί ως βοηθητική σχέση. Πρέπει με κάποιο τρόπο να βρούμε πως από τη σχέση του δεσμού θα βρούμε τη δύναμη του δεσμού, με έναν άγνωστο παράγοντα που εξαρτάται από το χρόνο, όπως αναφέραμε στα προηγούμενα. Θα αναφερθούμε σε αυτό το θέμα αργότερα. Η τελευταία γενίκευση μπορεί να περιλάβει ως μερική περίπτωση και τους δεσμούς που είναι γραμμικοί ως προς τις ταχύτητες. Β. Μετάβαση σε γενικευμένες συντεταγμένες Στη συνέχεια θα δείξομε ότι για κάθε έναν ολόνομο δεσμό, οι δυνάμεις του δεσμού, δηλαδή οι παθητικές δυνάμεις, μπορεί να απαλειφθούν από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης, πράγμα που απλουστεύει κατά πολύ την αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων. Συγχρόνως, για κάθε ολόνομο δεσμό, μπορεί να μειωθεί κατά ένα η διάσταση του θεσικού χώρου, οπότε έχομε λιγότερες γενικευμένες συντεταγμένες. Θα υποθέσομε και πάλι ότι έχομε N σωμάτια και M σχέσεις δεσμών του παραπάνω τύπου, εκ των οποίων οι K είναι ολόνομοι και οι K είναι μη ολόνομοι,

3M K K N . Έχομε δει ότι οι ολόνομοι δεσμοί πλήθους K περιορίζουν τον προσβάσιμο θεσικό χώρο ενός συστήματος και τον κάνουν να έχει διάσταση 3n N K . Με άλλα λόγια, ο αναγκαίος και ικανός αριθμός (γενικευμένων) συντεταγμένων που χρειάζεται για να καθορίσει τη θέση ενός συστήματος είναι 3n N K . Αυτές οι συντεταγμένες λέγονται από μερικούς, γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες, αυτός ο όρος είναι βολικός και θα τον χρησιμοποιούμε σε αυτό το σύγγραμμα. Πιο απλά, αυτές οι συντεταγμένες αποτελούν το ελάχιστο πλήθος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης του συστήματος. Τέτοιες συντεταγμένες μπορεί να είναι διάφορα φυσικά μεγέθη, όχι κατ ανάγκη με διαστάσεις μήκους. Ενώ το πλήθος τους για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση είναι το

43

παραπάνω n , πρακτικώς, δεν υπάρχει περιορισμός για την επιλογή αυτών των συνόλων συντεταγμένων. Ξεκινούμε και πάλι από καρτεσιανές συντεταγμένες και για τους K ολόνομους δεσμούς κρατούμε μόνο τη γεωμετρική σχέση. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχομε

1 2 3

3

1

3

1

( , ,..., , ) 0 1, 2,...,

( , ) ( , )=0

( , )d ( , )d 0 1, 2,...,

3 .

l N

N

ji i ji

N

ji i ji

f x x x t l K

A x t x A x t

A x t x A x t t j K

K K N

(2.29)

Στην περίπτωση των ολόνομων δεσμών, είναι δυνατόν να θεωρήσει κάποιος το σύστημα των εξισώσεων των γεωμετρικών δεσμευτικών σχέσεων πλήθους K (και αν αυτό είναι δυνατόν), να λύσει αυτό το σύστημα έτσι ώστε να εκφραστούν K από τις καρτεσιανές συντεταγμένες συναρτήσει των υπόλοιπων 3N K n . Στη συνέχεια αντικαθιστά στη λαγκρανζιανή και έτσι η λαγκρανζιανή γίνεται συνάρτηση λιγότερων συντεταγμένων. Αυτή είναι άμεση ενσωμάτωση των (ολόνομων) δεσμευτικών σχέσεων. Ανεξάρτητα από το αν ακολουθηθεί αυτή η μέθοδος ή όχι, οι απαραίτητες (γνήσιες) συντεταγμένες που χρειάζονται για τον καθορισμό της θέσης του συστήματος στον θεσικό χώρο είναι λιγότερες από τις αρχικές, όπως ήδη ξέρομε από τα προηγούμενα. Με αυτές τις λιγότερες συντεταγμένες και με τη χρήση των σχέσεων των δεσμών μπορούμε να βρούμε τη θέση οποιουδήποτε σωματίου του συστήματος. Αυτό, σε πολλές περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητο να γίνει. Είναι ευνόητο ότι ο χώρος των γνήσιων συντεταγμένων θέσης είναι υπόχωρος του αρχικού (πλήρους) θεσικού χώρου. Μπορεί να γίνει μετάβαση σε άλλες γενικευμένες συντεταγμένες πριν από οποιαδήποτε διαδικασία που θα οδηγήσει στη μείωση του πλήθους των συντεταγμένων θέσης. Αν ακολουθηθεί αυτή τη διαδικασία, πρέπει να γίνει και μετασχηματισμός των σχέσεων των δεσμών. Στη συνέχεια μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος που αναφέραμε στην αρχή για τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Όμως αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται σε απλές περιπτώσεις αλλά δεν χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις με πολλές γεωμετρικές δεσμευτικές σχέσεις. Φανταστείτε ένα στερεό σώμα το οποίο έχομε προσεγγίσει να αποτελείται από 1010N υλικά σημεία. Αν γράψομε όλους τους γεωμετρικούς δεσμούς μεταξύ όλων των σημείων που σχετίζονται με το γεγονός ότι οι αποστάσεις τους είναι σταθερές ανεξάρτητα από τη θέση του συστήματος στο χώρο, καταλαβαίνετε ότι θα έχομε ένα τεράστιο πλήθος σχέσεων, είναι αδύνατο να εργαστούμε με κάτι τέτοιο. Θυμηθείτε ότι η θέση ενός στερεού σώματος στο χώρο των τριών διαστάσεων καθορίζεται από έξι ανεξάρτητες συντεταγμένες, δηλαδή οι εξισώσεις δεσμών είναι 103 10 6 . Κανείς δεν ενδιαφέρεται να ξέρει τη θέση του καθενός υλικού σημείου του στερεού, παρόλο που μπορεί να τη βρει. Δίνομε απλώς τη διαδικασία για αυτή την περίπτωση. Η μέθοδος που θα αναπτύξομε είναι πιο βολική. Θυμίζομε ότι οι μη ολόνομοι δεσμοί περιορίζουν την κινηματική του συστήματος αλλά δεν περιορίζουν το θεσικό χώρο. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι κινηματικές εξισώσεις των μη ολόνομων δεσμών για να περιορίσομε το πλήθος των

44

απαραίτητων συντεταγμένων για τον καθορισμό της θέσης του συστήματος κάθε χρονική στιγμή. Το πλήθος των συντεταγμένων είναι το ίδιο με ή χωρίς τους μη ολόνομους δεσμούς. Εισάγομε τους σχετικά αυθαίρετους καλά συμπεριφερόμενους αντιστρεπτούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων θέσης:

1 2 3

1 2 3

( , ,..., , )

( , ,..., , ) 1, 2,...,3 .i i N

i i N

q q x x x t

x x q q q t i N

(2.30)

Εφόσον υπάρχουν K ανεξάρτητοι ολόνομοι γεωμετρικοί δεσμοί και αντίστοιχες εξισώσεις, είναι βολικό να διαλέξομε K γενικευμένες συντεταγμένες με τέτοιο τρόπο που να εξαρτώνται από τις 1, 2,...,3ix i N μόνον μέσω των γεωμετρικών σχέσεων των

δεσμών. Επιλέγομε να διαλέξομε τις K τελευταίες συντεταγμένες έτσι που να ισχύουν,

3 1 2 3 1 2( , ,..., ) , ,..., 1, 2,...,N K l N l K K K Kq x x x f f f l K . (2.31)

()l είναι αυθαίρετες, καλά συμπεριφερόμενες, συναρτήσεις. Μπορεί κάποιος να

διαλέξει τις ()l να συμπίπτουν με τις K lf , αλλά αυτό δεν είναι πολλές φορές το πιο

βολικό. Δηλαδή, υπάρχουν πολλοί τρόποι να διαλέξει κάποιος αυτές τις συναρτήσεις, οπότε διαλέγει τις πιο κατάλληλες για την περίπτωση. Πρέπει να τονίσομε ξανά ότι στην πράξη σχεδόν ποτέ δε χρειάζεται να γραφτούν οι παραπάνω σχέσεις, μας αρκεί το ότι υπάρχουν τέτοιες σχέσεις. Το ότι δεν χρειάζεται να γραφτούν είναι και ένα από τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθοδολογίας. Υποθέτομε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις ώστε οι (2.31) να μπορεί να αντιστραφούν, οπότε καταλήγομε στις σχέσεις

1 2( , ,..., ) 1, 2,...,l l K K K Kf f q q q l K . (2.32)

Επιλέγομε τις γενικευμένες συντεταγμένες που ορίζονται από τις (2.31) οπότε, εφόσον ισχύουν οι γεωμετρικοί δεσμοί που φαίνονται στην πρώτη σειρά των (2.29), βρίσκομε 0,0,...,0 1, 2,...,K l lq l K . (2.33)

Αυτό σημαίνει ότι οι K τελευταίες γενικευμένες συντεταγμένες είναι σταθερές, δηλαδή είναι ανεξάρτητες του χρόνου, άρα δεν μεταβάλλονται κατά την κίνηση του συστήματος. Επομένως, καταλήξαμε στο ότι χρειάζεται να βρούμε πως εξελίσσονται στο χρόνο οι άλλες, πρώτες 3n N K , συντεταγμένες, 1 2, ,..., nq q q . Αν ενδιαφερόμαστε για τις

θέσεις όλων των σωματίων του συστήματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τη δεύτερη σειρά από τις σχέσεις (2.30). Όπως είπαμε, αυτό συνήθως δε χρειάζεται να γίνει. Ουσιαστικά με τον παραπάνω τρόπο, έγινε απαλειφή συντεταγμένων και ο θεσικός χώρος τώρα έχει διάσταση 3 3n N K N , δηλαδή μικρότερη από τη διάσταση 3N , του αρχικού «πλήρους» χώρου. Αυτό είναι ένα είδος ενσωμάτωσης των δεσμών (embedding of constraints), όπου γίνεται μείωση του πλήθους των συντεταγμένων θέσης. Παραμένουν οι μη ολόνομοι δεσμοί του συστήματος οι οποίοι δεν μπορούν να ενσωματωθούν με τον ανωτέρω τρόπο, δηλαδή δεν μπορούν να περιορίσουν τη διάσταση

45

του θεσικού χώρου, διότι δεν υπάρχουν για αυτούς γεωμετρικές σχέσεις οι οποίες να χρησιμοποιηθούν για την παραπάνω διαδικασία που ακολουθήθηκε για τους ολόνομους δεσμούς. Συνοψίζομε λέγοντας ότι, ξεκινήσαμε με σύστημα που είχε ολόνομους και μη ολόνομους δεσμούς, ενσωματώσαμε τους ολόνομους δεσμούς, ουσιαστικά τους απαλείψαμε, και καταλήξαμε σε περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος με λιγότερες γενικευμένες συντεταγμένες. Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας περιορίστηκαν στους

3 3n N K N . Στο νέο θεσικό χώρο οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες δεν υπόκεινται στους ολόνομους δεσμούς αλλά μόνο στους μη ολόνομους. Στη συνέχεια θα μετασχηματίσομε διάφορες σχέσεις έτσι ώστε να περιέχουν μόνο τις νέες (γνήσιες) συντεταγμένες. Εφόσον οι τελευταίες K γενικευμένες συντεταγμένες είναι σταθερές μπορούμε να γράψομε, 1, 2,...,K l lq l K , οπότε από τις δεύτερες των σχέσεων (2.30) βρίσκομε

1 2 1 2( , ,..., , , ,..., , ) 1, 2,...,3i i n Kx x q q q t i N . (2.34)

Μπορεί κάποιος να καταλάβει από την αντιστροφή των (2.34), ότι οι σταθερές είναι δυνατόν να προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες. Διαφορίζοντας αυτές τις σχέσεις καταλήγομε στις

1

d d d 1, 2,...,3n

i ii k

k k

x xx q t i N

q t

. (2.35)

Παγώνομε το χρόνο οπότε από τις τελευταίες βρίσκομε για τις δυνατές μετατοπίσεις:

1

δ δ 1, 2,...,3n

ii k

k k

xx q i N

q

. (2.36)

Οι πιθανές μετατοπίσεις δίνονται από τις σχέσεις των μη ολόνομων δεσμών τύπου Pfaff που φαίνονται στις (2.29), δηλαδή

3

1

( , )d ( , )d 0 1, 2,...,N

ji i ji

A x t x A x t t j K

. (2.37)

Λαβαίνομε υπόψη τις (2.35) και μετά από κάποιες πράξεις βρίσκομε τη μορφή των μη ολόνομων εξισώσεων των δεσμών στις γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες:

1

1

3 3

1 1

( , )d ( , )d 0 1, 2,...,

ή ( , ) ( , ) 0 1, 2,...,

όπου , .

n

ji i ji

n

ji i ji

N Ni i

jk ji j ji ji ik

B q t q B q t t j K

B q t q B q t j K

x xB A B A A

q t

(2.38)

46

Από την πρώτη σειρά συμπεραίνομε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις ικανοποιούν τις σχέσεις,

1

( , )δ 0 1, 2,...,n

ji ii

B q t q j K

. (2.39)

Στα επόμενα θα αλλάξομε συμβολισμό και στη θέση των ,ji jB B θα χρησιμοποιούμε

ξανά τα σύμβολα που είχαμε με τις καρτεσιανές συντεταγμένες, δηλαδή τα ,ji jA A .

Αν δεν υπάρχουν μη ολόνομοι δεσμοί το σύστημα με τους ενσωματωμένους ολόνομους δεσμούς λέγεται ότι είναι ένα ολόνομο σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας (δηλαδή χωρίς δεσμούς). Θυμίζομε ότι, μπορεί να δειχτεί πως για το σύμβολο δ , ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, για οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες, συμπεριλαμβανομένων των καρτεσιανών:

dδ d

dδ δd , δ δd d

q qq q q

t t .

δq είναι οι δυνατές (virtual) ταχύτητες. Οι σχέσεις με τα διανύσματα θέσης των καρτεσιανών συντεταγμένων και τις (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες είναι προφανώς,

1 2

1 2

( , ,..., , ) 1, 2,...,

( , ,..., , ) 1, 2,..., .i i n

j j N

r r q q q t i N

q q r r r t j n

(2.40)

Στην Αναλυτική Μηχανική, μπορούμε να ξεκινήσομε από τη μορφή των μεγεθών,

, , , ,T V U L Q , συναρτήσει των καρτεσιανών συντεταγμένων σε αδρανειακό σύστημα και να τα μετασχηματίσομε στη μορφή με γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες. Φυσικά το ίδιο γίνεται για τους μη ενσωματωμένους δεσμούς. Έτσι όλα εκφράζονται συναρτήσει των n γνήσιων συντεταγμένων. Δεν είναι ανάγκη να ξεκινούμε από καρτεσιανές συντεταγμένες, πολλές φορές έχομε ένα μηχανικό σύστημα εκφρασμένο ήδη σε γενικευμένες συντεταγμένες και στη συνέχεια μπορούμε να προσθέσομε επιπλέον δεσμούς στο σύστημα. Γ. Αρχή D’ Alembert σε γενικευμένες συντεταγμένες Η σχέση (2.11) είναι η αρχή D’ Alembert σε καρτεσιανές συντεταγμένες, την

ξαναγράφομε 1 1

δ δ 0N N

i i i i i ii i

F p r F r r

.

Υποθέτομε ότι οι ολόνομοι δεσμοί έχουν ενσωματωθεί με τον παραπάνω τρόπο, ενώ μπορεί να υπάρχουν μη ολόνομοι δεσμοί. Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας είναι n και τόσες είναι και οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες. Θα μετασχηματίσομε την

47

παραπάνω αρχή ώστε να ισχύει για οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες. Για το

σκοπό αυτό τα , ,δi i ir F r

πρέπει να γραφτούν ως συναρτήσεις των , 1, 2,...,q n .

Ας αρχίσομε με τα δ ir

(δυνατές μετατοπίσεις). Ξεκινούμε από τις Εξ.(2.40) και βρίσκομε

1

δ δ 1,2,...,n

ii α

α α

rr q i N

q

. (2.41)

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω ξαναγραμμένη σχέση (2.11) και καταλήγομε στην

1 1

δ ( ) 0n N

ii i i

i

rq m r F

q

. (2.42)

Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τον όρο που έχει τη δύναμη στην Εξ.(2.42). Ο όρος αυτός είναι το δυνατό έργο των ενεργητικών δυνάμεων. Πράγματι από την Εξ.(2.12),

δηλαδή την 1

δ δN

i ii

W F r

, αντικαθιστώντας τις δυνατές μετατοπίσεις από την εξίσωση

(2.41) βρίσκομε,

1 1

δ δn N

iα i

α i α

rW q F

q

. (2.43)

Εννοείται ότι όλα, όπως και οι δυνάμεις, έχουν εκφραστεί συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων q. Στη συνέχεια η διαδικασία είναι ίδια με αυτή της παραγράφου 2.2. Ορίζομε ως γενικευμένη συνιστώσα δύναμης που σχετίζεται με τη συντεταγμένη q την

ποσότητα

1

Ni

ii

rQ F

q

, 1

δ δn

j jj

W Q q

(2.44)

Στην (2.44) φαίνεται και η μορφή για το δυνατό έργο με γενικευμένες δυνάμεις και δυνατές μετατοπίσεις. Τώρα στην Εξ.(2.42) θα ασχοληθούμε με τον όρο που περιέχει τις επιταχύνσεις (ο όρος αυτός περιέχει τις αναφερόμενες ως αδρανειακές δυνάμεις), έχομε

d d

d di i i

i i i

r r rr r r

q t q t q

. (2.45)

Για τις ταχύτητες έχομε

1

d

d

ni i i

i i

r r rr q

t q t

οπότε ισχύουν

48

i i ir r

q q q

. (2.46)

Για τον τελευταίο όρο στο δεξί μέλος της Εξ.(2.45) έχομε

2

1

1

d

d

.

ni i i

ni i i

r r rq

t q q q t q

r rq

q q t q

(2.47)

Εισάγομε τα αποτελέσματα των Εξ.(2.46) και Εξ.(2.47) στην Εξ.(2.45), πολλαπλασιάζομε επί im και αθροίζομε ως προς i , οπότε βρίσκομε

1 1

d

d

d,

d

N Ni i i

i i i i i ii i

rm r m m

q t q q

T T

t q q

η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των σωματίων είναι 2

1

1

2

N

i ii

T m

. Εδώ την

έχομε μετασχηματίσει ώστε να είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, ( , , )T T q q t , βλ. παράρτημα Π2 . Η Εξ.(2.42) γίνεται,

1

dδ =0

d

n T Tq Q

t q q

(2.48)

Αυτή είναι η αρχή του D’ Alembert για γενικευμένες συντεταγμένες. Ξαναθυμίζομε μια γνωστή για την περίπτωση διαδικασία: Αν τα δq είναι όλα

αυθαίρετα, μπορούμε να πάρομε n ανεξάρτητα σύνολα των δq έτσι που το πρώτο

σύνολο να έχει μόνο το 1δq μη μηδενικό ενώ όλα τα άλλα μηδέν, το δεύτερο σύνολο να

έχει το 2δq μη μηδενικό και όλα τα άλλα μηδέν, κοκ. Αυτό οδηγεί σε n ανεξάρτητες

εξισώσεις Lagrange, της μορφής

d

, 1, 2,...,d

T TQ n

t q q

(2.49)

Αν οι ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση που δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, μπορούμε με τον τρόπο που βρήκαμε την Εξ.(2.21), να καταλήξομε στις σχέσεις με τη λαγκρανζιανή, Εξ.(2.50).

49

( , , ) ( , , ) ( , )

d0 1, 2,..., .

d

L q q t T q q t V q t

L Ln

t q q

(2.50)

Οι εξισώσεις κίνησης είναι, το πολύ, δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις ως προς το χρόνο. Αυτό φαίνεται αν αναπτύξομε τις παραγώγους ως προς το χρόνο. Έχομε για την Εξ.(2.49) (ανάλογα ισχύουν για την Εξ.(2.50)),

2 2 2

1

( , , )n T T T T

q q Q q q tq q q q t q q

(2.51)

Για να είναι δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις πρέπει 2

det 0T

q q

. Είναι ευνόητο

ότι αν δεν προέρχονται όλες οι δυνάμεις από δυναμική συνάρτηση τότε μπορούμε να γράψομε τις εξισώσεις κίνησης στη μορφή

( , , ) ( , , ) ( , )

d 1, 2,..., .

d

L q q t T q q t V q t

L LQ n

t q q

(2.52)

Θυμίζομε ξανά ότι για το δυνατό έργο των ασκούμενων γενικευμένων δυνάμεων ισχύει αυτό που φαίνεται στη δεύτερη από τις σχέσεις της Εξ.(2.44), που την ξαναγράφομε:

1

δ δn

j jj

W Q q

. (2.53)

Παρατηρούμε και πάλι ότι ένα χαρακτηριστικό των εξισώσεων Euler-Lagrange είναι ότι η μορφή τους δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Το άλλο σημαντικό, που έχομε ήδη αναφέρει, είναι το χαρακτηριστικό ότι στην περίπτωση ύπαρξης ολόνομων δεσμών μπορούμε να έχομε τις εξισώσεις κίνησης ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών. Θα δούμε παρακάτω ότι η λαγκρανζιανή συγκεκριμένου μηχανικού προβλήματος, μπορεί να μετασχηματιστεί κατά τρόπο που να μεταβάλλεται και η τιμή της, εκτός από τη μορφή της, και όμως να οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, δηλαδή περιγράφει το ίδιο πρόβλημα (το ίδιο μηχανικό σύστημα). Ξανατονίζομε ότι δεν είναι εύκολο να προσδιορίσει κάποιος τη λαγκρανζιανή ως προς μη αδρανειακά συστήματα, γι αυτό είναι καλύτερα να ξεκινά από αδρανειακό σύστημα, να προσδιορίζει τα T και V ως προς συντεταγμένες του αδρανειακού συστήματος, στη συνέχεια να εφαρμόζει τον κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων μεταξύ αδρανειακού και μη αδρανειακού συστήματος και να εκφράζει τα T και V συναρτήσει των συντεταγμένων του μη αδρανειακού. Μετά εφαρμόζει τη «συνταγή» L T V (2.54)

50

για να προσδιορίσει τη λαγκρανζιανή. Παρόλο που σύμφωνα με όσα είπαμε είναι αυτονόητο ότι οι εξισώσεις Euler-Lagrange έχουν την ίδια μορφή ανεξάρτητα από τις γενικευμένες συντεταγμένες, μπορεί κάποιος να δείξει αυτό με απευθείας υπολογισμό. Δηλαδή μα δείξει ότι, κάθε μετασχηματισμός μεταξύ (γενικευμένων) συντεταγμένων, όπου μπορεί να υπεισέρχεται και ο χρόνος, αφήνει αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων Euler-Lagrange. 2.4 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες Ας υποθέσομε ότι έχομε δυναμική συνάρτηση (δυναμικό) που εξαρτάται από τις ταχύτητες (γενικευμένο δυναμικό) και ότι οι γενικευμένες δυνάμεις που προέρχονται από αυτό υπολογίζονται ως εξής

( , , )

d, 1, 2,...,

djj j

U U q q t

U UQ j n

q t q

(2.55)

Η λαγκρανζιανή υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση και εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange, δηλαδή έχομε την αντίστοιχη της Εξ.(2.52), όπου υπάρχουν και δυνάμεις που δεν προέρχονται από την εν λόγω δυναμική συνάρτηση.

( , , ) ( , , ) ( , , )

d 1, 2,..., .

d

L q q t T q q t U q q t

L LQ n

t q q

(2.56)

Οι δυνάμεις που γενικώς προέρχονται από δυναμικό και που μπορεί να εξαρτώνται από τις ταχύτητες ή να μην εξαρτώνται από αυτές, λέγονται μονογενείς δυνάμεις σε αντίθεση με όλες τις άλλες που λέγονται πολυγενείς. Με δεδομένο ότι οι δυνάμεις δε μπορεί να εξαρτώνται από τις επιταχύνσεις, προκύπτει πως η εξάρτηση της U από τις ταχύτητες μπορεί να είναι μόνο γραμμική, δηλαδή έχομε

τη σχέση 01

( , ) ( , )n

i ii

U a q t q a q t

.

Αντίστροφα, ας υποθέσομε ότι για ένα σύστημα υπάρχει Λαγκρανζιανή της μορφής ( , , )L T U q q t οι προκύπτουσες από αυτήν εξισώσεις Λαγκράνζ είναι:

d d d

0d d di i i i i i

L L T T U U

t q q t q q t q q

51

Από αυτές προκύπτουν οι επιμέρους εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Είναι ευνόητο ότι, επίσης, πρέπει να ισχύουν:

d

d ii i

Qt q q

όπου οι δυνάμεις iQ προκύπτουν από την ( , , )U q q t .

Είναι ευνόητο ότι από τα προηγούμενα προκύπτει ότι, πράγματι, οι δυνάμεις πρέπει να υπολογίζονται από τις

d

dii i

U UQ

q t q

2.5 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη. Αδρανειακές δυνάμεις. Χαρακτηριστική περίπτωση μονογενούς δύναμης που εξαρτάται από την ταχύτητα είναι η δύναμη Lorentz σε φορτισμένο σωμάτιο που κινείται μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Υποθέτομε ότι δεν υπάρχουν άλλου είδους δυνάμεις. Αυτή η δύναμη μπορεί να προέλθει από την παρακάτω δυναμική συνάρτηση ( , , )U U q q t και την αντίστοιχη λαγκρανζιανή

2

1

2

q q

q q

U e e A

L m e e A

(2.57)

όπου qe είναι το φορτίο του σωματίου,

η ταχύτητά του, είναι το βαθμωτό δυναμικό

και A

το διανυσματικό δυναμικό του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Παίρνοντας ως γενικευμένες συντεταγμένες τις καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματίου σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς και γράφοντας τις εξισώσεις του Lagrange, καταλήγομε σε εξισώσεις κίνησης όπου εμφανίζεται η γνωστή δύναμη Lorentz

( )qF e E B

.

Δηλαδή, αφού λάβομε υπόψη ότι

, A

E B At

βρίσκομε ότι

( )qmr F e E B . (2.58)

52

Σημειώνομε πως ανάλογα ισχύουν για τις αδρανειακές δυνάμεις. Συγκεκριμένα, αν έχομε ένα σωμάτιο του οποίου η κίνηση περιγράφεται με τις συντεταγμένες ως προς περιστρεφόμενο (μόνο) σύστημα αξόνων (δηλαδή μη αδρανειακό σύστημα), τότε έχομε την παρακάτω δυναμική συνάρτηση και αντίστοιχη λαγκρανζιανή.

2

2 2

1( )

21 1

( )2 2

U m r m r

L m m r m r

(2.59)

Βλέπομε και εδώ γραμμική εξάρτηση από τις ταχύτητες, όπως και στην περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Υποθέσαμε ότι δεν ασκούνται συνήθεις δυνάμεις στο σωμάτιο, αν υπάρχουν και προέρχονται από δυναμική συνάρτηση αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη κατάλληλα στις ανωτέρω σχέσεις. Η ταχύτητα

είναι η ταχύτητα ως προς το

περιστρεφόμενο σύστημα,

είναι η γωνιακή ταχύτητα του στρεφόμενου συστήματος ως προς το (ακίνητο) αδρανειακό σύστημα και r

το διάνυσμα θέσης ως προς το

περιστρεφόμενο σύστημα. Αυτά οδηγούν στις γνωστές εξισώσεις κίνησης, όπου εμφανίζονται το φαινόμενο Coriolis (χρησιμοποιείται και ο όρος δύναμη Coriolis) και η φυγόκεντρος δύναμη. 2.6 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές Η λαγκρανζιανή καθορίζει κατά μοναδικό τρόπο τις εξισώσεις κίνησης μηχανικού συστήματος αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή, υπάρχουν πολλές λαγκρανζιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης, αυτές είναι ισοδύναμες λαγκρανζιανές. Αυτό είναι αντικείμενο μαθηματικής μελέτης μέχρι τις μέρες μας. Εδώ θα περιοριστούμε σε μιαν απλή περίπτωση. Θα δείξομε ότι αν σε κάποια λαγκρανζιανή προσθέσομε μια συνάρτηση η οποία είναι ολική παράγωγος ως προς το χρόνο κάποιας συνάρτησης (μόνο) των ,q t τότε οι τελικές εξισώσεις κίνησης παραμένουν οι ίδιες. Σημειώνομε όμως ότι αν δυο λαγκρανζιανές δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι διαφέρουν κατά τη συνάρτηση που αναφέραμε παραπάνω. Τέτοιο παράδειγμα αποτελεί το ζευγάρι (ισοδύναμων) λαγκρανζιανών

2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1, ( ) ( ) ( ) ( )

2L q q q q L q q q q .

Η 2L είναι φανερό ότι περιγράφει δυο μη αλληλεπιδρώντες αρμονικούς ταλαντωτές

μέσα σε ίδιο δυναμικό. Παρόλο που δεν είναι προφανές και η 1L περιγράφει την ίδια

περίπτωση. Θα επανέλθομε σε αυτή την περίπτωση παρακάτω. Ένα άλλο τέτοιο ζευγάρι ισοδύναμων λαγκρανζιανών είναι το ζευγάρι 2 4 3 6

1 2 , L q q L q q .

53

Εύκολα διαπιστώνεται ότι το κάθε ένα από τα δυο παραπάνω ζευγάρια λαγκρανζιανών, οδηγεί σε ίδιες εξισώσεις κίνησης χωρίς να διαφέρουν κατά μια ολική παράγωγο κάποιας συνάρτησης των ,q t . Έστω τώρα ότι έχομε τις λαγκρανζιανές

1

d ( , )( , , ),

d

G q tL L q q t L L

t (2.60)

Θα δείξομε ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι (αμφιμονοσήμαντα) ίδιες για τις δυο αυτές λαγκρανζιανές, δηλαδή δεν υπάρχουν εξισώσεις κίνησης που αντιστοιχούν στην L και δεν αντιστοιχούν στην 1L και αντιστρόφως. Οι εκφράσεις Euler είναι το αρνητικό του

πρώτου μέλους των εξισώσεων Lagrange , Εξ.(2.52), επομένως για να είναι οι εξισώσεις κίνησης αμφιμονοσήμαντα ίδιες, για την περίπτωσή μας, πρέπει οι αντίστοιχες εκφράσεις Euler να είναι ταυτοτικά ίδιες, δηλαδή ανεξάρτητα από τη μορφή των

( )q q t . Θα αναπτύξομε τις εκφράσεις Euler

d

, 1, 2,...,dα

α α

L LE α n

q t q

για τη λαγκρανζιανή ( , , )L L q q t .

Έχομε

2 2 2

1 1

d ( , , )

d

n n

α β ββ βα α β α β α α α

L q q t L L L L LE q q

t q q q q q q t q q

. (2.61)

Οι τελικές εξισώσεις κίνησης, αν υπάρχουν και μη μονογενείς δυνάμεις, είναι

2 2 2

1 1

d0

d

άρα ( , , )

1, 2,...,

α α αα α

n n

β β αβ ββ α β α α α

L LQ E Q

t q q

L L L Lq q Q q q t

q q q q t q q

α n

. (2.62)

Θα δείξομε ότι οι τελικές εξισώσεις κίνησης είναι ίδιες αν χρησιμοποιήσομε τη λαγκρανζιανή

1

d ( , )( , , ) ( , , )

d

G q tL q q t L q q t

t . (2.63)

54

Δηλαδή θα δείξομε ότι οι αντίστοιχες εκφράσεις Euler είναι ταυτοτικά ίσες, E E .

Οι εκφράσεις Euler για την 1( , , )L q q t είναι

1 1d, 1, 2,...,

dαα α

L LE α n

q t q

.

Προφανώς, η έκφραση d ( , )

d

G q t

t θα εξαρτάται μόνο από τα , ,q q t , αφού έχομε

1

d ( , )( , , )

d

n

ii i

G q t G Gg q q t q

t q t

. (2.64)

Η ανάπτυξή των αE δίνει

2 2 2

1 1

n n

α α β ββ ββ α β α α α

g g g gE E q q

q q q q t q q

(2.65)

Ισχύουν

2

β α

g

q q

=0, 2 2

β α β α

g G

q q q q

,

2 2

α α

g G

t q t q

,

2 2

1

n

iiα α i α

g G Gq

q q q q t

Αν αντικαταστήσομε στην Εξ. (2.65) βρίσκομε ότι το άθροισμα των όρων που περιέχουν το g είναι ταυτοτικά μηδέν, δηλαδή είναι μηδέν ανεξάρτητα από τις συναρτήσεις

( )q q t . Δηλαδή οι εκφράσεις για τα αE και αE είναι ταυτοτικά ίδιες, E E . Αυτό

ισχύει ανεξάρτητα από την ισχύ ή όχι των εξισώσεων Lagrange. Τελικώς, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν από τις 1 και L L με τη μέθοδο Lagrange είναι

αμφιμονοσήμαντα ίδιες, δηλαδή περιγράφουν το ίδιο φυσικό σύστημα. Ουσιαστικά δείξαμε ότι αν έχομε

d ( , )

( , , )d

G q tg q q t

t

Τότε θα ισχύουν ταυτοτικά, δηλαδή για κάθε συνάρτηση ( )q q t , οι σχέσεις

55

d ( , , ) ( , , )

0 1, 2,..., .d j j

g q q t g q q tj n

t q q

(2.66)

Με βάση τα προηγούμενα μπορεί να βρεθεί γενικό κριτήριο που για δεδομένες

1 2( , , ), ( , , )L q q t L q q t μπορεί να ελεγχθεί αν διαφέρουν κατά d ( , )

d

G q t

t. Αυτό είναι χρήσιμο,

κυρίως σε περίπτωση πολύπλοκων εκφράσεων όπου μπορεί να μην «φαίνεται» εύκολα

ότι 1 2

d ( , )( , , ) ( , , )

d

G q tL q q t L q q t

t .

Αυτή η περίπτωση είναι ένα είδος μετασχηματισμού βαθμίδας (gauge transformation). Σε αυτή την κατηγορία υπάγεται η περίπτωση του ηλεκτρομαγνητισμού, όπου ο μετασχηματισμός του διανυσματικού και του βαθμωτού πεδίου

( , )r t

t

όπου αυθαίρετη (διαφορίσιμη) συνάρτηση, δεν επηρεάζει τη δύναμη Lorentz και προφανώς τις εξισώσεις κίνησης φορτισμένου σωματίου. 2.7 Μη ολόνομοι δεσμοί-Υπολογισμός δυνάμεων δεσμών Εισαγάγαμε τις γενικευμένες συντεταγμένες υποθέτοντας ότι έχομε ολόνομους δεσμούς και ότι ξέρομε την ολοκληρωτική τους μορφή την οποία χρησιμοποιούμε για να μειώσομε το πλήθος των συντεταγμένων του δυναμικού συστήματος που εξετάζομε. Εδώ θα δούμε τι κάνομε στην περίπτωση που μπορεί να υπάρχουν και μη ολόνομοι δεσμοί που εκφράζονται με κινηματικές εξισώσεις, δηλαδή με διαφορικές εξισώσεις Pfaff, ή με τις αντίστοιχες που περιέχουν τις ταχύτητες, θυμίζομε ότι αυτοί οι δεσμοί λέγονται ανολόνομοι. Ενώ αυτοί οι δεσμοί περιορίζουν την κινητικότητα του συστήματος δεν περιορίζουν τη διάσταση του θεσικού χώρου, άρα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθούν για να εισαχθούν λιγότερες το πλήθος γενικευμένες συντεταγμένες, όπως μπορεί να γίνεται με ολόνομους δεσμούς. Σημειώνομε ότι ο περιορισμός της διάστασης του θεσικού χώρου εξαρτάται από τις ολόνομες δεσμευτικές σχέσεις, ανεξάρτητα από το ειδικό δυναμικό σύστημα που μελετούμε. Πολλές φορές ενώ ξέρομε ότι κάποιοι δεσμοί είναι ολόνομοι, δεν λαβαίνομε υπόψη τις ολοκληρωμένες σχέσεις τους ώστε να διώξομε τις δυνάμεις των δεσμών αυτών και να μειώσομε το πλήθος των συντεταγμένων με την εισαγωγή των (γνήσιων) γενικευμένων συντεταγμένων, δηλαδή δεν κάνομε αυτό το είδος ενσωμάτωσης (embedding) δεσμών. Συνήθως δεν κάνομε αυτή την ενσωμάτωση δεσμών όταν θέλομε να προσδιορίσομε τις δυνάμεις αυτών των ολόνομων δεσμών με τη μέθοδο που θα αναπτύξομε για μη ολόνομους και για ολόνομους δεσμούς. Θα δεχτούμε λοιπόν ότι αφήνομε μερικούς δεσμούς που εκφράζονται με τις γνωστές κινηματικές εξισώσεις τους, ενώ για μερικούς από τους ολόνομους δεσμούς ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία ενσωμάτωσης και εισάγομε n γενικευμένες συντεταγμένες. Θα έχομε επομένως τη σχέση της αρχής του

56

D’ Alembert , Εξ.(2.48), μαζί με δεσμευτικές διαφορικές εξισώσεις μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων και του χρόνου,

1

1

dδ 0

d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,...,

n

n

lk k lk

L Lq Q

t q q

A q t q A q t t l M

(2.67)

Πρέπει να τονίσομε ότι εδώ τα δn q , οι δυνατές μετατοπίσεις, δεν είναι ανεξάρτητα

μεταξύ τους, άρα δεν μπορούμε να καταλήξομε στις εξισώσεις κίνησης, Εξ.(2.52). Πρέπει με χρήση των δεσμευτικών σχέσεων να προσδιορίσομε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δ αq , πρόσθετες ή βοηθητικές σχέσεις ή συνθήκες (side conditions, auxiliary

conditions ). Όπως έχομε ξαναπεί, αυτές οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων σχετίζονται με το γεγονός ότι κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο των δυνάμεων των δεσμών είναι μηδέν. Όπως θα δούμε αργότερα, μπορούμε να προχωρήσομε διαλέγοντας κάποιες δυνατές μετατοπίσεις δ αq , ( )n M το πλήθος, ως ανεξάρτητες, στη συνέχεια να εκφράσομε τις

υπόλοιπες ως συναρτήσεις αυτών, έτσι τελικώς καταλήγομε σε εκφράσεις με μόνο ανεξάρτητες δυνατές μετατοπίσεις, οπότε μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις εξέλιξης με το χρόνο του συστήματος. Αυτό είναι ένα άλλο είδος ενσωμάτωσης, είναι ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων. Αντί για αυτό θα κάνομε χρήση της διαδικασίας των πολλαπλασιαστών του Lagrange και των βοηθητικών σχέσεων. Θυμίζομε ότι κατά τις δυνατές μετατοπίσεις πρέπει το έργο των δυνάμεων των δεσμών να είναι μηδέν για τον καθένα δεσμό χωριστά. Στη Μηχανική οι σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των δq (δυνατές μετατοπίσεις) από τις διαφορικές εξισώσεις των δεσμών των Εξ.(2.67), είναι ( d 0t ) :

1

( , )δ 0, 1, 2,...,n

lk kk

A q t q l M

. (2.68)

Σύμφωνα με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange, πολλαπλασιάζομε τις

Εξ.(2.68) επί ( )l t 1,2,...,l M οι οποίες είναι γενικώς Μ συναρτήσεις του χρόνου που

πρέπει να προσδιοριστούν και αφού αθροίσομε στα l βρίσκομε

1 1

( ) ( , )δ 0.M n

l lk kl k

t A q t q

(2.69)

Στη συνέχεια αφαιρούμε κατά μέλη την Εξ.(2.69) από την πρώτη από τις Εξ.(2.67) και βρίσκομε τελικώς

1 1

dδ ( ) ( , ) 0

d

n M

l ll

L Lq t A q t Q

t q q

(2.70)

57

Αφού έχομε κρατήσει M δεσμευτικές σχέσεις, συμπεραίνομε ότι μεταξύ των n δυνατών μεταβολών υπάρχουν μόνο m n M ανεξάρτητες τέτοιες μεταβολές. Στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία, μπορούμε να διαλέξομε τις πρώτες στη σειρά δυνατές μεταβολές πλήθους m ως αυθαίρετες (ανεξάρτητες) δυνατές μεταβολές και τις επόμενες M ως εξαρτημένες. Στη συνέχεια διαλέγομε τους Μ πολλαπλασιαστές ( )l t να

πληρούν τις Μ το πλήθος σχέσεις

1

d( ) ( , ) 0, = +1, +2,...,

d

M

l ll

L Lt A q t Q m m n

t q q

. (2.71)

Επομένως η Εξ.(2.70) ανάγεται στην Εξ.(2.72) για τις m πρώτες ανεξάρτητες δυνατές μεταβολές

1 1

dδ ( ) ( , ) 0

d

m M

l ll

L Lq t A q t Q

t q q

. (2.72)

Αφού οι δυνατές μεταβολές αυτές είναι ανεξάρτητες προφανώς ο κάθε όρος του αθροίσματος πάνω στα =1,2,.., m θα είναι μηδέν, δηλαδή

1

d( ) ( , ) 0, =1,2,...,

d

M

l ll

L Lt A q t Q m

t q q

. (2.73)

Τελικώς οι Εξ.(2.71) και Εξ.(2.73) οδηγούν στις Εξ.(2.74)

1

d( ) ( , ) 0, =1,2,...,

d

M

l lj jlj j

L Lt A q t Q j n

t q q

. (2.74)

Αυτές μαζί με τις εξισώσεις των δεσμών της Εξ.(2.67), στη μορφή

1

( , ) ( , ) 0, 1, 2,...,n

lk k lk

A q t q A q t l M

(2.75)

μας λύνουν το πρόβλημα. Η παραπάνω διαδικασία, με τους πολλαπλασιαστές Lagrange, οδηγεί στην λεγόμενη παράθεση (adjoining) των σχέσεων των δυνατών μετατοπίσεων Εξ.(2.68) που σχετίζονται με τους δεσμούς, λέμε ότι έχομε παράθεση των δεσμών. Σημειώνομε εδώ ότι, οι Εξ.(2.68), οι πρόσθετες συνθήκες (side conditions), δεν είναι απαραίτητο να οδηγούν από πιθανές σε πιθανές καταστάσεις. Δηλαδή οι μετατοπισμένες δεν ικανοποιούν κατ’ ανάγκη τις Εξ.(2.75) των δεσμών. Αν έχομε ολόνομους δεσμούς τότε από τις σχέσεις,

( , ) 0 1, 2,...,lf q t l M

καταλήγομε στις ισοδύναμες σχέσεις

58

1

1

( , ) ( , ) 1, 2,...

άρα 1, 2,...

( , ) ( , )όπου , .

nl l l

kk k

nl

lk k lk

l llk l

k

df f q t f q tq l M

dt q t

dfA q A l M

dt

f q t f q tA A

q t

(2.76)

Αυτό σημαίνει ότι για τη λύση του προβλήματος έχομε τις εξισώσεις

1

( , )d( ) 0, =1,2,...,

d

( , ) 0 1, 2,..., .

Ml

l jlj j k

l

f q tL Lt Q j n

t q q q

f q t l M

(2.77)

Θα ακολουθήσομε αντίστροφη πορεία για να επιβεβαιώσομε και με άλλον τρόπο, τις σχέσεις για τις δυνάμεις των δεσμών που ήδη ξέρομε από τη διαδικασία προσδιορισμού των βοηθητικών σχέσεων. Για τους Μ ανωτέρω δεσμούς έχομε δυνάμεις δεσμών. Όταν κάναμε την ανάλυση για ολόνομους δεσμούς και λάβαμε υπόψη τις ολοκληρωμένες εξισώσεις τους, είχαμε εισαγάγει τις δυνάμεις των δεσμών στο καρτεσιανό σύστημα

παριστάνοντάς τις με ciF

, Εξ.(2.3). Οι δυνάμεις των δεσμών εξαλείφθηκαν διότι

διαλέξαμε κατάλληλα τις γενικευμένες συντεταγμένες , οι οποίες είναι λιγότερες από τις αρχικές κατά το πλήθος των ολόνομων δεσμών. Εδώ όμως δεν διαλέξαμε έτσι τις γενικευμένες συντεταγμένες, οι γενικευμένες συντεταγμένες μένουν οι ίδιες κατά τη διαδικασία που ακολουθούμε, οι δυνάμεις αυτών των δεσμών δεν απαλείφονται, θα παραμείνουν μετασχηματισμένες σε γενικευμένες δυνάμεις δεσμών, cjQ (όπως συμβαίνει

και με τις ασκούμενες δυνάμεις). Επομένως μπορούμε να γράψομε τις εξισώσεις Lagrange στη μορφή

c

d0, =1,2,...,

d j jj j

L LQ Q j n

t q q

. (2.78)

Οι Εξ.(2.74) και Εξ.(2.78) μας οδηγούν στο ότι οι γενικευμένες συνιστώσες των δυνάμεων των δεσμών δίνονται πράγματι από τις

c

1

d

d

( ) ( , )

=1,2,...,

j jj j

M

cj l ljl

L LQ Q

t q q

Q t A q t

j n

(2.79)

59

Προφανώς μπορούμε να βρούμε τις δυνάμεις δεσμών και για ολόνομους δεσμούς. Τονίζομε ξανά ότι, ουσιαστικά, η κάθε μια από τις δεσμευτικές σχέσεις των Εξ. (2.68) εκφράζει το γεγονός ότι το ολικό έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού κατά τις δυνητικές (δυνατές) μετατοπίσεις είναι μηδέν. Αυτή είναι η θεμελιώδης απαίτηση της Αναλυτικής Δυναμικής η οποία ισχύει ανεξάρτητα από το αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι ή ανολόνομοι. Αν έχομε μη εμφυτευμένους ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή, ( , ) 0, 1, 2,...,lf q t l M (2.80)

θα δούμε ότι μπορούμε να τροποποιήσομε τη λαγκρανζιανή L , έτσι ώστε αντί της αρχικής λαγκρανζιανής ( , , )L L q q t (2.81) να έχομε μια νέα λαγκρανζιανή L για την οποία να ισχύει

1

( , , ) ( ) ( , )M

l ll

L L q q t λ t f q t

. (2.82)

Αυτό αναφέρεται ως κανόνας του πολλαπλασιασμού. Από αυτή τη λαγκρανζιανή μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις Lagrange χωρίς να λάβομε υπόψη τους δεσμούς σε αυτή τη φάση, δηλαδή θεωρούμε τις μεταβολές δq ανεξάρτητες.

Έχομε όμως εισαγάγει M πρόσθετες άγνωστες συναρτήσεις τις ( )lλ t που πρέπει να

προσδιοριστούν οπότε χρειάζονται και οι M το πλήθος σχέσεις των ολόνομων δεσμών. Τελικώς, καταλήγομε στη λύση του ίδιου προβλήματος με τις ίδιες εξισώσεις όπως πριν. Είναι καλό να ξεκινήσομε από τη βασική αρχή που είναι η αρχή D’Alembert, Εξ.(2.67), που εδώ με χρήση της Εξ.(2.80) παίρνει τη μορφή

1

dδ 0

d

( , ) 0, 1, 2,..., .

n

l

L Lq Q

t q q

f q t l M

(2.83)

Επαναλαμβάνομε πράγματα που ήδη έχομε αναφέρει προηγουμένως, κατά τη δυνατή μεταβολή έχομε για τη (μικρή) μεταβολή (variation) της lf

1

1

( , )δ ( δ , ) ( , ) δ

( , )( δ , ) ( , ) δ ( , ) δ 0.

nl

l l l ii i

nl

l l l l ii i

f q tf f q q t f q t q

q

f q tf q q t f q t f f q t q

q

(2.84)

Η τελευταία προκύπτει διότι, για τις δυνατές μεταβολές ισχύει η γνωστή σχέση (ένα είδος ορθογωνιότητας):

1 1

( , )δ ( , )δ 0.

n nl

i li ii ii

f q tq A q t q

q

(2.85)

60

Αυτό μας λέει ότι η σχέση του δεσμού ικανοποιείται και στα απειροστά γειτονικά σημεία που προκύπτουν κατά τη δυνατή μεταβολή, δq , βλέπετε τη δεύτερη σχέση στην (2.83) . Δηλαδή έχομε μετάβαση από πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Ακολουθούμε και πάλι τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Η μετάβαση από πιθανή σε πιθανή κατάσταση μας οδηγεί στο ότι το παρακάτω άθροισμα είναι μηδέν

1 1 1

δ ( ) ( , ) ( ) δ 0M n M

ll l l i

l i l i

fλ t f q t λ t q

q

. (2.86)

Το 1

( )M

ll

l i

ft

q

είναι η i στη γενικευμένη συνιστώσα δύναμης του δεσμού.

Προσθέτομε το μηδενικό άθροισμα της Εξ. (2.86), στις πρώτες από τις Εξ.(2.83). Τώρα θεωρούμε τα δq ανεξάρτητα οπότε καταλήγομε τελικώς στις σχέσεις

1

d0, =1,2,...,

d

( , , ) ( ) ( , )

( , ) 0 1, 2,..., .

jj j

M

l ll

l

L LQ j n

t q q

L L q q t t f q t

f q t l M

(2.87)

Πηγαίνοντας αντίστροφα, εύκολα βρίσκομε από αυτές τις Εξ.(2.77). Επειδή τα ( )l t είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου όπως είναι και τα ( )iq t , είναι δυνατόν

να διευρύνομε τις εξαρτημένες από το χρόνο μεταβλητές (γενικευμένες συντεταγμένες) ώστε να συμπεριληφθούν σε αυτές και οι συναρτήσεις ( )l t , έτσι το σύνολο των νέων

μεταβλητών (συντεταγμένων) είναι 1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ), ( , ,..., )n M n Mq q q q . (2.88)

Έχομε επομένως ότι η νέα λαγκρανζιανή είναι συνάρτηση των j και μπορεί και του

χρόνου, 1 2( , ,..., , )n ML L t . (2.89)

Οι δυνατές μετατοπίσεις είναι δ (δ ,δ )q και θεωρούνται ανεξάρτητες. Οι εξισώσεις Lagrange θα είναι

d

, 1, 2,...,d j

j j

L LQ j n M

t

. (2.90)

Δηλαδή έχομε n M εξισώσεις και n M αγνώστους και δεν έχομε σχέσεις δεσμών. Οι σχέσεις δεσμών ουσιαστικά εμπεριέχονται στις Εξ.(2.90).

61

Με τη χρήση και της Εξ.(2.82) βρίσκομε από τις Εξ.(2.90) τις γνωστές σχέσεις Εξ.(2.77) με τις οποίες μπορούμε να προσδιορίσομε και τις δυνάμεις των δεσμών, 2.8 Διερεύνηση Θα ασχοληθούμε με δεσμούς της μορφής διαφορικών εξισώσεων όπως στην Εξ.(2.91):

1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,...,n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

. (2.91)

Αυτές οι σχέσεις μπορεί να περιγράφουν ολόνομους δεσμούς ή μη ολόνομους (δηλαδή ανολόνομους δεσμούς). Οι δυνατές μετατοπίσεις δ kq πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις

1

( , )δ 0, 1, 2,...,n

lk kk

A q t q l M

. (2.92)

Με το γνωστό τρόπο βρίσκομε τις γνωστές εξισώσεις Lagrange που μαζί με τις Εξ.(2.91) δίνουν τη λύση του δυναμικού προβλήματος, δηλαδή έχομε

1

1

d( ) ( , ) 0, 1, 2,...,

d

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .

M

l lk jlj j

n

l lk k lk

L Lt A q t Q j n

t q q

g q q t A q t q A q t l M

(2.93)

Θα εξετάσομε πότε άλλοτε, εκτός της περίπτωσης του Εδαφίου 2.7, μπορούμε να τροποποιήσομε τη λαγκρανζιανή ώστε να έχει τη μορφή (κανόνας του πολλαπλασιασμού)

1

( ) , ( , , ) 0 1, 2,...,M

l l li

L L μ t g g q q t l M

(2.94)

από την οποία θα βρούμε τις εξισώσεις Lagrange για την L . Θα δούμε ότι αυτό γίνεται μόνο για ολόνομους δεσμούς (εδώ στην ημιολόνομη έκφρασή τους, δηλαδή με τις ταχύτητες). Μπορούμε να καταλάβομε ότι αυτό γενικώς δεν είναι δυνατόν διότι η μεταβολή (variation) για τις δεσμευτικές σχέσεις στην ανωτέρω μορφή είναι

1 1

( , , ) ( , , )δ ( , , ) ( , , ) δ δ .

n nl l

l l l i ii ii i

g q q t g q q tg g q δq q δq t g q q t q q

q q

(2.95)

62

Οι δυνάμεις των δεσμών κατά τη δυνατή μετατόπιση παράγουν έργο ίσο με μηδέν. Για τους δεσμούς της Εξ.(2.93) το έργο των δυνάμεων των δεσμών σχετίζεται με τις εκφράσεις

1 1

( , , )( , ) 0 1,2,...,

n nl

lk k kk k k

g q q tA q t δq δq l M

q

. (2.96)

Αυτές καθορίζουν τις δεσμεύσεις μεταξύ των δq . Σε αυτή την περίπτωση ο συνδυασμός των Εξ.(2.95) και (2.96) δεν οδηγεί, πάντοτε, στο μηδενισμό της δυνατής μεταβολής για τις ( , , )lg q q t , δηλαδή ισχύει γενικώς

δ ( , , ) 0lg q q t .

Εδώ δεν ισχύει το ανάλογο της Εξ.(2.84). Θα δούμε στη συνέχεια τι πρέπει να ισχύει ώστε να μπορούμε να πάρομε, με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, ως λαγκρανζιανή αυτή που φαίνεται στη σχέση (2.94) . Εισάγομε τα ljG έτσι που να ισχύουν

, 1, 2,...,l llj

j j

g gdG j n

dt q q

(2.97)

Η σχέση D’Alembert για την L θα είναι (δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις),

1

dδ 0 .

d

n

j jj j j

L LQ q

t q q

(2.98)

Με χρήση της Εξ.(2.94) και (2.97) βρίσκομε

1 1 1

dδ 0

d

n M Ml

l l lj j jj l lj j j

gL LG Q q

t q q q

. (2.99)

Τα δ jq είναι ανεξάρτητα επομένως καταλήγομε στις σχέσεις

1 1

d0, 1, 2,...,

d

0, 1, 2,..., .

M Ml

l l lj jl lj j j

l

gL LG Q j n

t q q q

g l M

(2.100)

Τα ( )lμ t είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου οπότε μπορούμε να γράψομε ( ) ( )l lλ t μ t ,

δηλαδή έχομε τα αντίστοιχα των ( )l t . Προφανώς υπεισέρχονται πάλι οι συντελεστές ljA

63

και υπολογίζονται από τις σχέσεις που χρησιμοποιήσαμε, οι οποίες δεν είναι οι ολοκληρωμένες αλλά περιέχουν τις ταχύτητες στην πρώτη δύναμη, δηλαδή έχομε

1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

(2.101)

llj

j

gA

q

. (2.102)

Ξέρομε ότι οι σωστές εξισώσεις κίνησης είναι οι Εξ.(2.93), επομένως για να είναι οι Εξ.(2.100) ίδιες με τις σωστές πρέπει

1

0n

lj ljli llj i

i i j j

A AA AG q

q q t q

. (2.103)

Η σχέση αυτή ικανοποιείται αν για κάθε iq ισχύουν οι σχέσεις

0, 0lj ljli l

i j j

A AA A

q q t q

. (2.104)

Αυτές οι σχέσεις είναι οι σχέσεις που ισχύουν για να είναι η διαφορική έκφραση που αντιστοιχεί στις Εξ.(2.93) ολικό διαφορικό (βλ. Εξ. (1.20)). Αυτοί οι δεσμοί που εκφράζονται με ολικά διαφορικά, είναι ημιολόνομοι δεσμοί. Επομένως οι ημιολόνομοι δεσμοί μπορεί να μας οδηγήσουν σε εισαγωγή νέας λαγκραντζιανής και σε χρήση της αρχής D’ Alembert. Θα δούμε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις οι σύμφωνες με την αρχή του D’ Alembert, Εξ.(2.92) που τώρα γράφονται όπως στην Εξ.(2.96) δεν παραβιάζουν τους δεσμούς των Εξ.(2.101), δηλαδή τους

1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

(2.105)

Επομένως οι δυνατές αυτές μετατοπίσεις οδηγούν από πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Πράγματι έχομε ( δ , δ , ) ( , , ) δ ( , , )l l lg q q q q t g q q t g q q t . (2.106)

Ισχύουν οι σχέσεις

64

=1 1

=1 1

δ = δ ( ) δ ( )

δ ( ) d δ ( ) / d

dδ = δ ( ) δ ( ).

d

n nl l

l j jj jj j

j j

n nl

l j lj jj jj

g gg q t q t

q q

q t q t t

gg q t G q t

t q

(2.107)

Για ημιολόνομους δεσμούς έχομε την Εξ.(2.103), δηλαδή 0ljG , επίσης οι δυνατές

μετατοπίσεις οδηγούν στις σχέσεις της Εξ.(2.96), επομένως δ =0lg . Άρα από την

Εξ.(2.106) εφόσον η αρχική κατάσταση είναι πιθανή και ισχύει η Εξ.(2.105) συμπεραίνομε ότι και η μετατοπισμένη είναι πιθανή αφού ισχύει

( δ , δ , ) ( , , ) δ ( , , )l l lg q q q q t g q q t g q q t =0+0=0.

Αν η δεσμευτική σχέση περιέχει τις ταχύτητες στην πρώτη δύναμη αλλά το αντίστοιχο διαφορικό δεν είναι ολικό διαφορικό αλλά μπορεί να μετατραπεί σε ολικό πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο ολοκληρωτικό παράγοντα, τότε ισχύουν τα ανωτέρω για την προκύπτουσα, μετά τον πολλαπλασιασμό, δεσμευτική σχέση η οποία είναι ολικό διαφορικό. Τελικώς οι εξισώσεις που λύνουν το πρόβλημα είναι ουσιαστικά οι γνωστές σχέσεις στη μορφή

1

d( ) 0 1, 2,3...

d

0, 1, 2,3...

Ml

l jlj j j

l

gL Lt Q j n

t q q q

g l M

(2.108)

Αξίζει να συνοψίσομε και να τονίσομε τα παρακάτω. Μόνο όταν έχομε ολόνομους δεσμούς μπορεί να μειωθεί η διάσταση του θεσικού χώρου. Υπενθυμίζομε ότι αυτό δεν εξαρτάται από το ειδικό μηχανικό σύστημα που εξετάζομε. Μπορούμε να τροποποιήσομε τη λαγκρανζιανή λαβαίνοντας υπόψη τους δεσμούς μόνον αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι. Με άλλα λόγια, μπορούμε να λάβομε υπόψη τις δεσμευτικές σχέσεις πριν τη χρήση των δυνατών μετατοπίσεων (δηλαδή της Αρχής D’ Alambert), μόνον αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι. Αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι όταν έχομε ολόνομες σχέσεις οι σωστές, για τη μηχανική δυνατές μετατοπίσεις, οδηγούν από πιθανή σε πιθανή κατάσταση, δηλαδή οι δεσμευτικές σχέσεις ισχύουν και στις μετατοπισμένες θέσεις. Αυτό είναι προφανές για την περίπτωση της τροποποιημένης λαγκρανζιανής με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού (παράθεση δεσμών), διότι όπως είδαμε η προστιθέμενη ποσότητα με τους πολλαπλασιαστές Λαγκρανζ είναι μηδέν και για τις γειτονικές θέσεις, τις μετατοπισμένες. Το ίδιο όμως πρέπει να ισχύει και όταν οι δεσμοί ενσωματώνονται. Δε μπορούν να ενσωματωθούν δεσμοί που δεν οδηγούν από πιθανές σε πιθανές καταστάσεις, δηλαδή μη ολόνομοι δεσμοί. Ο σωστός τρόπος αντιμετώπισης των μη ολόνομων δεσμών είναι να ληφθούν υπόψη οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων μετά την εφαρμογή στη λαγκρανζιανή της γνωστής σχέσης D’ Alembert.

65

Όπως είδαμε, μπορεί κάποιος να κάνει, και για ολόνομους και για μη ολόνομους δεσμούς, ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων (όχι όμως πάντα των σχέσεων των δεσμών). Μπορεί να γίνουν ανάλογα των παραπάνω με τις διαδικασίες της Αρχής Hamilton. Για καλύτερη κατανόηση όσων αναφέραμε, θα δούμε ένα διευκρινιστικό παράδειγμα παρακάτω. 2.9 Εξισώσεις Lagrange με γενικούς δεσμούς Μέχρι τώρα θεωρήσαμε δεσμούς όπου αν περιλαμβάνουν και ταχύτητες αυτές είναι στην πρώτη δύναμη, είχαμε έτσι ολόνομους (προφανώς και ημιολόνομους) καθώς και μη ολόνομους (δηλαδή ανολόνομους) δεσμούς. Τώρα θα εξετάσομε την περίπτωση που οι δεσμοί δεν έχουν τον ανωτέρω περιορισμό αλλά είναι της γενικής μορφής: ( , , ) 0, 1, 2,...,lg q q t l M (2.109)

Σε αυτή τη γενική μεθοδολογία μπορεί να υπαχθούν οι μέχρι τώρα περιπτώσεις που εξετάσαμε. Ουσιαστικά το πρόβλημα που τίθεται είναι, στη γενική αυτή περίπτωση να βρούμε τη σχέση που συνδέει τις δυνατές μετατοπίσεις. Ας ξανατονίσομε ότι πρέπει κατά τις δυνατές μετατοπίσεις να έχομε δυνατό έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού ίσο με μηδέν. Το δυνατό έργο δυνάμεων είναι πάντα της μορφής της Εξ.(1.39), οπότε για το έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού l , έχομε

1

δ δ 0, 1, 2,...,n

l li ii

W Q q l M

(2.110)

Όπως ξέρομε οι δυνάμεις δεσμών δεν είναι πλήρως καθορισμένες από την αρχή. Προσπαθούμε από τις γενικές σχέσεις των δεσμών (2.109) να βρούμε σχέσεις οι οποίες να συνδέονται με τις δυνάμεις των δεσμών, δηλαδή τις (2.110) με έναν πολλαπλασιαστή (Λαγκράνζ) που γενικώς είναι συνάρτηση του χρόνου . Αυτό προφανώς οδηγεί σε σχέσεις που προκύπτουν από τις δεδομένες, γνωστές, σχέσεις των δεσμών (2.109), οι οποίες μας οδηγούν στις σχέσεις που χρειαζόμαστε, δηλαδή στις δεσμευτικές σχέσεις που συνδέουν τις δυνατές μετατοπίσεις (βοηθητικές σχέσεις, side ή auxiliary conditions). Ξέρομε ότι, γενικώς, οι δυνατές μετατοπίσεις μπορεί να μην ικανοποιούν τις Εξ.(2.109), τις ικανοποιούν μόνον αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι. Ας πάρομε την ολική παράγωγο της Εξ.(2.109), οπότε βρίσκομε

1 1

d0, 1, 2,...,

d

n nl l l l

j jj jj j

g g g gq q l M

t q q t

. (2.111)

66

Ας κάνομε μιαν ελάχιστη υπόθεση, η οποία λέει ότι οι δυνάμεις των δεσμών επηρεάζουν τις επιταχύνσεις jq μόνο όπως καθορίζουν οι Εξ.(2.111).

Οι εξισώσεις αυτές περιέχουν τις γενικευμένες συνιστώσες της επιτάχυνσης 1 2( , ,..., )nq q q q (2.112)

σε όρους που περιέχουν τις αντίστοιχες γενικευμένες συνιστώσες του lg

q

,

1 2

, ,..., , 1, 2,...,l l l l

n

g g g gl M

q q q q

. (2.113)

Αυτό σημαίνει ότι μια γενικευμένη συνιστώσα της επιτάχυνσης επηρεάζεται μόνο από την αντίστοιχη γενικευμένη συνιστώσα που ορίζουν οι Εξ.(2.113). Αυτό οδηγεί στο ότι οι γενικευμένες συνιστώσες των δυνάμεων του κάθε ενός δεσμού είναι ανάλογες των συνιστωσών που ορίζουν οι Εξ.(2.113), με κάποιον πολλαπλασιαστικό παράγοντα που μπορεί να εξαρτάται από το χρόνο. Έτσι καταλήγομε στο ότι για να ισχύει η αρχή του μηδενισμού των δυνατών έργων των δυνάμεων των δεσμών, πρέπει για τις δυνατές μετατοπίσεις δq να ισχύουν οι ακόλουθες πρόσθετες ή βοηθητικές σχέσεις:

1

( , , )δ 0, 1, 2,...,

nl

jj j

g q q tq l M

q

. (2.114)

Αυτές θα χρησιμοποιηθούν με τους πολλαπλασιαστές Lagrange και προφανώς θα καταλήξομε σε αντίστοιχες σχέσεις με αυτές των Εξ.(2.74) και Εξ. (2.75), δηλαδή στις

1

( , , )d( ) 0, =1,2,...,

d

( , , ) 0, 1, 2,...,

Ml

l jlj j j

l

g q q tL Lt Q j n

t q q q

g q q t l M

(2.115)

Εύκολα φαίνεται ότι οι σχέσεις αυτές πράγματι ισχύουν και για την ειδική περίπτωση που έχομε ημιολόνομους ή ολόνομους δεσμούς στη μορφή με τις ταχύτητες, αφού μπορεί να δει κάποιος εύκολα ότι δίνουν τις σωστές εξισώσεις κίνησης. Αυτή η μεθοδολογία είναι η πιο γενική. 2.10 Ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων Έστω ότι σε κάποιο μηχανικό σύστημα έχομε δεσμούς με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων Pfaff ή των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ως προς τις

67

ταχύτητες. Αν οι δεσμοί ληφθούν υπόψη με το σωστό τρόπο που έχομε αναφέρει, καταλήγομε να έχομε να λύσομε το παρακάτω σύστημα των Εξ.(2.116)

1

1

d( ) ( , ) 0, 1, 2,...,

d

( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .

M

l lk jlj j

n

lk k lk

L Lt A q t Q j n

t q q

A q t q A q t l M

(2.116)

Θυμίζομε ότι σε αυτή την περίπτωση, που χρησιμοποιούμε πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ, λέμε ότι οι δεσμοί έχουν παρατεθεί (adjoined). Όταν λάβει κανείς υπόψη τους δεσμούς, με σωστό τρόπο, αλλά χωρίς τη χρήση βοηθητικών μεταβλητών, δηλαδή πολλαπλασιαστών Lagrange, τότε θυμίζομε ότι λέμε πως οι δεσμοί έχουν ενσωματωθεί (embedded). Ας υποθέσομε ότι έχομε μόνο M ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή και οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι n . Ας υποθέσομε ακόμη ότι μπορούμε να βρούμε αναλυτική λύση που να συνδέει M γενικευμένες συντεταγμένες με τις υπόλοιπες n M . Αυτές μπορούν να εισαχθούν στην έκφραση της λαγκρανζιανής οπότε έχομε πρόβλημα με n M γενικευμένες συντεταγμένες, χωρίς δεσμούς. Υπάρχει μέθοδος με την οποία μπορεί να γίνει ένα είδος ενσωμάτωσης, όπως η τελευταία για τις συντεταγμένες, των δυνατών μετατοπίσεων ακόμη και αν οι δεσμοί δεν είναι ολόνομοι αλλά γενικώς δίνονται στη μορφή εξισώσεων Pfaff ή των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ως προς τις ταχύτητες. Οι δεσμοί είναι της μορφής

1

( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., n

lk k lk

A q t q A q t l M

. (2.117)

Οι δυνατές μεταβολές μετατοπίσεις τις σχέσεις

1

( , )δ 0, 1, 2,..., n

lk kk

A q t q l M

. (2.118)

Επειδή υποθέτομε ότι οι σχέσεις των δεσμών Εξ.(2.117) είναι ανεξάρτητες είναι εύκολο να λύσομε τις Εξ.(2.118) ως προς M από τις nμετατοπίσεις δ kq . Ας το κάνομε για τις

πρώτες M . Αυτό δεν σημαίνει ότι οι πρώτες παίζουν κάποιον προεξάρχοντα ρόλο αφού μπορούμε να κάνομε τη διάταξη των γενικευμένων συντεταγμένων όπως θέλομε. Το αποτέλεσμα θα είναι

1 21

δ ( , ,..., , )δ 1, 2,...,n

i ij n jj M

q a q q q t q i M

. (2.119)

Έχομε από την Εξ.(2.67), η οποία είναι η αρχή D’ Alembert, βρίσκομε

68

1 1

1

d dδ δ 0

d d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,..., .

M n

M

n

lk k lk

L L L Lq Q q Q

t q q t q q

A q t q A q t t l M

(2.120)

Αντικαθιστούμε τα M δ iq από την Εξ.(2.119) στο πρώτο άθροισμα της Εξ.(2.120) και

μετά από αλλαγή της σειράς των αθροισμάτων καταλήγομε στις

1 1

1

d dδ 0

d d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,..., .

n M

j i ijj M i i i j j

n

lk k lk

L L L Lq Q a Q

t q q t q q

A q t q A q t t l M

(2.121)

Τώρα τα δ jq είναι ανεξάρτητα επομένως συμπεραίνομε ότι

1

1

d d0, 1, 2,...,

d d

( , )d ( , )d 0, 1, 2,...,

M

ij ji i i j j

n

lk k lk

L L L La Q j M M n

t q q t q q

A q t q A q t t l M

(2.122)

Αυτές είναι οι n εξισώσεις που η λύση τους δίνει τις n ( )iq t σχέσεις για την κίνηση του

συστήματος.

2.11 Ταλαντώσεις A) Ελεύθερες ταλαντώσεις Εξετάζομε την περίπτωση συστήματος με n (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια του συστήματος δίνονται από τις σχέσεις

1

1

1

2

1.

2

n

ij i ji , j

n

ij i ji , j

T T q q

V V q q

(2.123)

69

Η κινητική ενέργεια είναι ομογενής τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες και οι συντελεστές ,ij ijT V είναι σταθερές ανεξάρτητες του χρόνου και της θέσης, ισχύουν

, ij ji ij jiV V T T .

Τα ,T V είναι θετικά ορισμένα μεγέθη. Αυτό σημαίνει ότι είναι πάντα θετικά μεγέθη εκτός από την περίπτωση του V που όλα τα q είναι μηδέν, οπότε 0V και την περίπτωση του T που όλα τα q είναι μηδέν, οπότε 0T . Η περίπτωση όπου κάποια από

τα ijV είναι μηδέν χρειάζεται ιδιαίτερη μελέτη σε ότι ακολουθεί.

Σημειώνομε ότι μια τέτοια περίπτωση μπορεί να εμφανιστεί σε περίπτωση συντηρητικού συστήματος με n γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες. Η προϋπόθεση είναι το σύστημα να βρίσκεται σε θέση ευσταθούς (ή για κάποιες συντεταγμένες αδιάφορης) ισορροπίας για 1 2 ... 0nq q q . Αν η θέση ισορροπίας είναι διαφορετική από το μηδέν,

μπορούμε να κάνομε κατάλληλο γραμμικό μετασχηματισμό έτσι που η θέση ισορροπίας να είναι το μηδέν. Οδηγούμαστε στις παραπάνω εκφράσεις για την κινητική και δυναμική ενέργεια αν περιοριστούμε σε ταλαντώσεις μικρού πλάτους από τη θέση ισορροπίας. Αυτό που κάνομε είναι ανάπτυξη σε σειρά Taylor της δυναμικής και κινητικής ενέργειας, όπου κρατούμε όρους μέχρι δευτέρας τάξης ενώ παραλείπομε εμφανιζόμενους σταθερούς όρους. Η λαγκρανζιανή του συστήματος οι εξισώσεις λαγκράνζ και οι εξισώσεις κίνησης είναι

, 1

1

1

2

d0

d

0, 1, 2,..., .

n

ij i j ij i ji j

k k

n

ij j ij jj

L T q q V q q

L L

q t q

T q V q i n

(2.124)

Αναζητούμε για τις τελευταίες εξισώσεις της Εξ.(2.124) n λύσεις της μορφής

cos( )j jq a t . Θέλομε να προσδιορίσομε τα ja . Καταλήγομε στο ακόλουθο

σύστημα n συζευγμένων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων,

2

1

0, 1, 2,...,n

ij ij jj

V T a i n

. (2.125)

Αυτό είναι ένα είδος προβλήματος ιδιοτιμών και μπορεί να γραφτεί με μορφή μητρών ως εξής 2Va Ta . (2.126) Είναι ευνόητο ποιές είναι οι συνιστώσες των μητρών ,V T και του διανύσματος a (διάνυσμα στήλης). Επειδή το σύστημα των εξισώσεων είναι ομογενές, έχει μη τετριμμένη λύση για τα ja , τότε και μόνον τότε, όταν η ορίζουσα των συντελεστών του

συστήματος είναι μηδέν, δηλαδή πρέπει 2det 0.ij ijV T (2.127)

70

Αυτή η εξίσωση είναι η χαρακτηριστική εξίσωση η οποία έχει n θετικές ή και μηδενικές (θετικά ημιορισμένες) λύσεις τις 2 , 1, 2,...,k k n . Τα 0k είναι οι (κυκλικές)

ιδιοσυχνότητες ή χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος. Βάζομε μια μια χωριστά αυτές τις ιδιοσυχνότητες στις Εξ.(2.125), οπότε προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις για τον προσδιορισμό των ja .

2

1

2

0, 1, 2,...,

0, 1, 2,..., .

n

ij k ij jkj

k k

V T a i n

k n

V T a

(2.128)

Για κάθε μια ιδιοσυχνότητα k έχομε ένα ιδιοδιάνυσμα ka (διάνυσμα στήλης) με n

συνιστώσες, τις 1 2, ,...,k k nka a a , το οποίο προσδιορίζεται από τη λύση του αντίστοιχου

συστήματος γραμμικών εξισώσεων, δηλαδή για κάθε k έχομε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα, άρα υπάρχουν n ιδιοδιανύσματα. Σημειώστε ότι τα συστήματα είναι ομογενή οπότε για κάθε ένα σύστημα η λύση του είναι μονοσήμαντη αλλά με μια αυθαίρετη πολλαπλασιαστική σταθερά. Μπορεί κάποιος να θεωρήσει κάποια συνιστώσα από τις jka , για δεδομένο k , γνωστή και να υπολογίσει τις άλλες συναρτήσει αυτής.

Αυτά σημαίνουν ότι τα ιδιοδιανύσματα έχουν καθορισμένη διεύθυνση αλλά δεν έχουν καθορισμένο «μήκος». Μπορούμε να επιβάλλομε στο καθένα κάποιο «μήκος», να το κανονικοποιήσομε. Ας εξετάσομε την περίπτωση που όλες οι ιδιοτιμές (συχνότητες) είναι διαφορετικές (μη εκφυλισμένες). Για δυο διαφορετικές συχνότητες έχομε

2

1

2

1

0, 1,2,...,

0, 1, 2,..., .

n

ij k ij jkj

n

ij p ij ipi

V T a i n

V T a j n

(2.129)

Πολλαπλασιάζομε τις πρώτες εξισώσεις επί ipa και αθροίζομε στα i , πολλαπλασιάζομε

τις δεύτερες επί jka και αθροίζομε στα j , στη συνέχεια σχηματίζομε τη διαφορά τους και

βρίσκομε

2 2

, 1

0.n

p k ip ij jki j

a T a

(2.130)

Ορίζομε τη μήτρα A με συνιστώσες τα ija . Αφού οι συχνότητες για p k είναι

διαφορετικές, για p k έχομε

71

, 1

T

0

0.

n

ip ij jki j

a T a

A TA

(2.131)

Θέτομε p k και κανονικοποιούμε τα διανύσματα όπως παρακάτω, δηλαδή έτσι ώστε το διπλό άθροισμα να είναι ίσο με 1. Από τα παραπάνω καταλήγομε στις σχέσεις

, 1

Tu

δ

.

n

ip ij jk pki j

a T a

A TA E

(2.132)

uE είναι η μοναδιαία μήτρα.

Από τις πρώτες σχέσεις της Εξ.(2.129) και την Εξ.(2.132) καταλήγομε στις σχέσεις

2 2

, 1 , 1

T Tu

δ

.

n n

ip ij jk k ip ij jk k pki j i j

a V a a T a

A VA A TAλ E λ

(2.133)

λ είναι η διαγώνια μήτρα με διαγώνια στοιχεία τα 2 2 2

1 2, ,..., n .

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η μήτρα A διαγωνοποιεί τις μήτρες ,V T με στοιχεία

,ij ijV T αντιστοίχως.

Η γενική λύση των εξισώσεων κίνησης που φαίνονται στην Εξ.(2.124) είναι επαλληλία των λύσεων με διαφορετικές ιδιοσυχνότητες. Δηλαδή έχομε για κάθε γενικευμένη συντεταγμένη

1

cos( ), 1, 2,..., .n

i j ij j jj

q C a t i n

(2.134)

Τα ,j jC προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες, π.χ. από το γεγονός ότι τη στιγμή

0t τα (0), (0) 1, 2,...,i iq q i n είναι γνωστά.

Ορίζομε τις λεγόμενες κανονικές συντεταγμένες και καταλήγομε στις σχέσεις

1 1

1 T

cos( )

cos( ), 1, 2,...,

, .

j j j j

n n

i ij j j ij j jj j

Q C t

q a Q C a t i n

q

q AQ Q A q A T

(2.135)

72

Κάναμε χρήση της τελευταίας σχέσης της Εξ.(2.132). Το διάνυσμα στήλης, Q , έχει

συνιστώσες τα , 1, 2,...,jQ j n .

Μπορούμε να σκεφτούμε και ως εξής, θεωρούμε το μετασχηματισμό

1

, 1, 2,...,

.

n

i ip pp

q a Q i n

q AQ

(2.136)

Αντικαθιστούμε τα q στις σχέσεις για την κινητική ενέργεια και τη δυναμική ενέργεια, Εξ.(2.123) και χρησιμοποιούμε τη σχέση για τη Λαγκρανζιανή της Εξ. (2.124), οπότε καταλήγομε στις σχέσεις

2 2 2

1 1

2 2 2

1

1 1,

2 2

1.

2

n n

p p pp p

n

p p pp

T Q V Q

L Q Q

(2.137)

Οι γενικευμένες συντεταγμένες, Q , που προέκυψαν από τον μετασχηματισμό των Εξ.(2.136) οδηγούν σε αποσύζευξη των εξισώσεων κίνησης. Πράγματι, με χρήση των εξισώσεων Λαγκράνζ, καταλήγομε στις ακόλουθες εξισώσεις κίνησης για τα Q και τις λύσεις τους

2 0

= cos( ), 1, 2,..., .i i i

i i i i

Q Q

Q C t i n

(2.138)

Τα ,i iC εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Επαναλαμβάνομε ότι στη γενική

περίπτωση το σύστημα ταλαντεύεται συγχρόνως με πολλές συχνότητες, η γενική κίνηση είναι γραμμικός συνδυασμός όλων των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Είναι ενδιαφέρον να δει κάποιος υπό ποιες αρχικές συνθήκες όλα τα μέρη του συστήματος ταλαντεύονται με την ίδια συχνότητα που δείχνουν οι σχέσεις (2.138). Αυτοί είναι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης. Από τις δεύτερες σχέσεις της Εξ. (2.135) φαίνεται ότι για μια συχνότητα (έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης) όλες οι γενικευμένες συντεταγμένες iq κινούνται σε φάση ή σε αντίθεση φάσης. Πράγματι, για μια μόνο

συχνότητα, l , θα έχομε

73

1 1

2 2

cos( )

cos( )

.

.

.

cos( ).

l l l l

l l l l

n l nl l l

q C a t

q C a t

q C a t

(2.139)

Σημειώστε ότι τα ija μπορεί να είναι θετικά, αρνητικά ή μηδέν.

Ας υποθέσομε ότι έχομε τις εκφυλισμένες συχνότητες (ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης), 1 2 ...k k ks , δηλαδή υπάρχει βαθμός εκφυλισμού s . Σε αυτή την

περίπτωση τα ιδιοδιανύσματα δεν μπορούν να προσδιοριστούν μονοσήμαντα όπως γίνεται στην περίπτωση μη εκφυλισμού. Εφαρμόζομε τη γνωστή μέθοδο από τη γραμμική άλγεβρα και σχηματίζομε s το πλήθος ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα ja . Ξεκινούμε από τις Εξ.(2.128), για τη συχνότητα

εκφυλισμού. Από τις εξισώσεις που προκύπτουν για τις συνιστώσες διαλέγομε αυθαίρετα s ανεξάρτητες μεταξύ τους. Στη συνέχεια κάνομε χρήση των σχέσεων ορθογωνιότητας των λύσεων, Εξ.(2.131), (2.132). Τέλος, χρησιμοποιούμε την κανονικοποίηση που αναφέραμε, Εξ.(2.132). Οι εξισώσεις που καταλήγομε είναι λιγότερες από τις συνιστώσες που χρειάζεται να προσδιορίσομε. Έτσι διαλέγομε αυθαίρετα κάποιες από αυτές και έτσι καταλήγομε σε ίσο πλήθος ανεξάρτητων εξισώσεων και συνιστωσών που θα προσδιορίσομε. Β) Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Η χρήση των κανονικών συντεταγμένων κάνει δυνατή την αναγωγή προβλημάτων εξαναγκασμένης ταλάντωσης, με πολλές γενικευμένες συντεταγμένες, σε προβλήματα μιας γενικευμένης συντεταγμένης. Πράγματι αν 0L είναι η Λαγκρανζιανή χωρίς τις

δυνάμεις εξαναγκασμού, αν έχομε δυνάμεις εξαναγκασμού με γενικευμένες συνιστώσες

της μορφής ( )kG t , η λαγκρανζιανή προφανώς γίνεται 01

( )n

k kk

L L G t q

. Κάνομε το

μετασχηματισμό (2.136) οπότε βρίσκομε

2 2 2

1 1

1

1( )

2

( ) ( ).

n n

k k k k kk k

n

k lk ll

L Q Q g t Q

g t a G t

(2.140)

Αυτή η διαδικασία οδηγεί σε αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης που γενικώς μπορούν να λυθούν ευκολότερα από τις συζευγμένες. Αυτές είναι 2 ( ), 1, 2,...,k k k kQ Q f t k n . (2.141)

74

2.12 Το αντίστροφο πρόβλημα της Μηχανικής - Περί μη μοναδικότητας της λαγκρανζιανής Τα δυναμικά λαγκρανζιανά συστήματα στα οποία αναφερθήκαμε μέχρι τώρα, είναι συστήματα των οποίων η λαγκρανζιανή είναι η φυσιολογική λαγκρανζιανή,

, L T V L T U ή προκύπτει από την φυσιολογική με προσθήκη μιας ολικής παραγώγου, ως προς το χρόνο, κάποιας συνάρτησης της θέσης και του χρόνου,

d ( , )

d

G q tL L

t . Η φυσιολογική λαγκρανζιανή υπάρχει στις περιπτώσεις που οι

δυνάμεις μπορεί να προκύψουν από δυναμική συνάρτηση ,V U κατά τα γνωστά. Με χρήση της λαγκρανζιανής και των εξισώσεων Euler-Lagrange βρίσκομε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Υπάρχουν και δυναμικά συστήματα των οποίων οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης είναι γνωστές αλλά δεν μπορεί να προκύψουν από λαγκρανζιανές που σχηματίζονται με τον ανωτέρω τρόπο. Σημειώνομε ότι τα περισσότερα συγγράμματα Μηχανικής ασχολούνται με την περίπτωση λαγκρανζιανών όπως οι παραπάνω, και σε αυτό το σύγγραμμα ακολουθούμε αυτή την πρακτική εκτός από ειδικές περιπτώσεις όπου θα δίνομε σχετική διευκρίνηση. Τώρα θα ασχοληθούμε με το λεγόμενο Αντίστροφο Πρόβλημα της Μηχανικής, μια άλλη εκδοχή είναι Αντίστροφο Πρόβλημα της Θεωρίας Μεταβολών. Συγκεκριμένα, δίνονται οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης και εξετάζεται αν μπορεί να βρεθεί κάποια λαγκρανζιανή η οποία με χρήση των εξισώσεων Euler-Lagrange να οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης. Η ιδέα είναι παλιά, ο H. Helmholtz έχει ασχοληθεί με το θέμα από το 1887, ο Darboux από το 1894. Αυτό είναι ένα ανοιχτό αντικείμενο μελέτης μέχρι σήμερα. Θα δούμε ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις μπορεί να βρεθούν λαγκρανζιανές που οδηγούν στις δεδομένες εξισώσεις κίνησης. Αυτές οι λαγκρανζιανές μπορεί να μην σχετίζονται με λαγκρανζιανές που προκύπτουν ή ταυτίζονται με φυσιολογικές λαγκρανζιανές, δηλαδή με τη συνήθη μέθοδο της φυσιολογικής λαγκρανζιανής μπορεί το σύστημα να μη μπορεί να γίνει λαγκρανζιανό. Η ύπαρξη λαγκρανζιανής είναι κάτι σημαντικό διότι μπορεί να χρησιμοποιείται σε θεωρήματα διατήρησης για τον προσδιορισμό της χαμιλτονιανής και των κανονικών εξισώσεων κίνησης, την θεμελίωση της θεωρίας Hamilton-Jacobi, τη Στατιστική Μηχανική κτλ. Αυτή η διαφορετική μεθοδολογία οδηγεί σε επιπλέον μη μοναδικότητα της λαγκρανζιανής. Το θέμα της κλασικής λαγκρανζιανής έχει σχέση με την κβάντωση του συγκεκριμένου συστήματος. Η μη μοναδικότητα της λαγκρανζιανής και της αντίστοιχης χαμιλτονιανής δημιουργεί προβληματισμούς στο πια είναι η κατάλληλη λαγκρανζιανή που οδηγεί στο σωστό κβαντικό σύστημα. Η συνήθης πρακτική είναι να ξεκινούμε από τη φυσιολογική λαγκρανζιανή. Θα κάνομε μια εισαγωγή στο αντικείμενο του Αντίστροφου Προβλήματος χωρίς αποδείξεις. Έστω ότι έχομε τις εξισώσεις κίνησης στη γνωστή μορφή τους, δηλαδή

1

( , , ) ( , , ) 0 1, 2,...,n

ij j ij

A q q t q B q q t i n

. (2.142)

75

Το αντίστροφο πρόβλημα συνίσταται στο να προσδιορισθούν αυτές οι εξισώσεις από εξισώσεις Euler-Lagrange, δηλαδή να τεθούν στη μορφή,

d

0 1,2,...,d k k

L Lk n

t q q

. (2.143)

Μια πρώτη ιδέα είναι να απαιτήσομε να ισχύει

1

d( , , ) ( , , ) 1, 2,...,

d

n

ij j iji i

L LA q q t q B q q t i n

t q q

(2.144)

Πρέπει να σημειώσομε ότι αυτό μπορεί να γίνει κατά πολλούς τρόπους, διότι έχομε n εξισώσεις της μορφής (2.142) και n εξισώσεις τύπου (2.143). Μπορεί να εξισωθεί οποιαδήποτε από τις πρώτες με οποιαδήποτε από τις δεύτερες. Για να ισχύει η (2.144) πρέπει η λαγκρανζιανή να είναι λύση του συστήματος των μερικών διαφορικών εξισώσεων που ακολουθεί

2 2 2

1 1 1

( , , ) ( , , ) 1,2,..., .n n n

j j ij j ij j ji j i j i i

L L L Lq q A q q t q B q q t i n

q q q q q t q

(2.145)

Στη απλή περίπτωση όπου 1n (μονοδιάστατο πρόβλημα Δυναμικής), μια εξίσωση και μια άγνωστη συνάρτηση, υπάρχει πάντοτε λύση, αρκεί να ισχύουν κάποιοι σχετικά απλοί κανόνες κανονικότητας και συνέχειας, χωρίς αυστηρότητα λέμε ότι πρέπει, μαθηματικώς, να υπάρχει «καλή συμπεριφορά». Όμως όταν 1n έχομε πολλές εξισώσεις και μιαν άγνωστη συνάρτηση, οι εξισώσεις μπορεί να μην είναι συμβατές μεταξύ τους και έτσι το πρόβλημα να μην έχει λύση. Στη συνέχεια θα δούμε πότε υπάρχει λύση και όταν υπάρχει πως μπορεί να προσδιοριστεί. Χωρίς περισσότερες επεξηγήσεις και αποδείξεις αναφέρομε ότι αν έχομε ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων της μορφής ( , , , ) 0 1, 2,...,iF q q q t i n , (2.146)

το σύστημα είναι self-adjoint αν ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις,

76

d2

d

d

d

d d

d d

1 d .

2 d

ji

j i

ji i

j i j

j i

i j

j j ji

j i i i

ji

j i

FF

q q

FF F

q q t q

F F

t q q

F F FF

q q t t q q

FF

t q q

(2.147)

Εφαρμόζομε τις σχέσεις (2.147) για την περίπτωση του συστήματος εξισώσεων (2.142) και βρίσκομε τις σχέσεις που πρέπει να ισχύουν ώστε οι (2.142),

1

( , , , ) ( , , ) ( , , ) 1, 2,...,n

i ij j ij

F q q q t A q q t q B q q t i n

, να είναι self adjoint. Πρέπει να

ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις,

1

1

2

1 .

2

ij ji

jkik

j i

nji

k ijkj i k

nj ji i

kkj i k j i

A A

AA

q q

BBq A

q q t q

B BB Bq

q q t q q q

(2.148)

Στη συνέχεια δίνομε ένα σημαντικό θεώρημα του Αντίστροφου Προβλήματος. Οι σχέσεις (2.148) αποτελούν τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το σύστημα (2.142), με αντιστρέψιμη τη μήτρα ijA , να έχει λύση η οποία είναι η λαγκρανζιανή, ( , , )L q q t .

Μπορεί να δειχθεί ότι εφόσον υπάρχει λύση αυτή δίνεται από τις σχέσεις

77

1

1 1

1 10 0

1

1 0

1

1 0

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) d d ( , , ) ( , , )

( , ) d ( , )

( , ) d ( , )

1( , )

2

n

i ii

n n

i j iji j

n

i j ijj

n

i ii

jiij

j i

L q q t K q q t D q t q C q t

K q q t q q A q q t q q t

D q t q Z q t

C q t q W q t

BBZ q t

q q

2 2

2 2

1

1( , ) .

2

i j j i

nji i

i i jji i i j j i

K K

q q q q

BD BK K KW q t B q

t q q t q q q q

(2.149)

Χρειάζεται να δώσομε μερικές διευκρινήσεις για το συμβολισμό που χρησιμοποιούμε στις σχέσεις (2.149), όπου έχει εισαχθεί η παράμετρος (ή ) για την οποία ισχύει 0 1 . Συγκεκριμένα, ισχύουν τα παρακάτω. Τα , ,q q t θεωρούνται ανεξάρτητα μεταξύ τους.

Η έκφραση ( , , )ijA q q t σημαίνει ότι στην αρχική έκφραση για το ( , , )ijA q q t , στη θέση

της κάθε μιας από τις γενικευμένες ταχύτητες jq εισάγεται η jq .

Η έκφραση 1

0

d ( , , ) ( , , )j ijq A q q t q q t

σημαίνει ότι αφού υπολογιστεί το σημειούμενο

ολοκλήρωμα όπου η έκφραση jq αντικαθίσταται με jq .

Η έκφραση ( , )ijZ q t σημαίνει ότι στη συνάρτηση ( , )ijZ q t το jq αντικαθίσταται με το

jq .

Επίσης η έκφραση ( , )iW q t σημαίνει ότι στη συνάρτηση ( , )iW q t το jq αντικαθίσταται

με το jq .

Μερικές φορές ενώ οι δεδομένες διαφορικές εξισώσεις δεν είναι self adjoint μπορεί να γίνουν τέτοιες γράφοντάς τις σε φυσικώς ισοδύναμη μορφή (π.χ. πολλαπλασιάζοντας την κάθε μια με κατάλληλη μη μηδενική συνάρτηση). Αυτό είναι μια άλλη όψη της μη μοναδικότητας της λαγκρανζιανής. Μπορούμε να απαιτήσομε να ισχύει η συνθήκη (2.150) αντί της πρώτης από τις (2.144), δηλαδή

1

d0 ( , , ) ( , , )=0

d

1,2,..., .

n

ij j iji i

L LA q q t q B q q t

t q q

i n

. (2.150)

78

Αυτό που εννοούμε είναι ότι οι πρώτες από τις εξισώσεις (2.150) και οι δεύτερες εξισώσεις είναι ισοδύναμες (έχουν ίδιες λύσεις), χωρίς να ισχύει η ισότητα (2.144). Θα περιοριστούμε στην περίπτωση των σχέσεων (2.144) εξετάζοντας αν μπορούμε να βρούμε κατάλληλη πολλαπλασιαστική συνάρτηση όπως αναφέραμε προηγουμένως. Στην περίπτωση μονοδιάστατου προβλήματος ( 1n ) με «καλή συμπεριφορά», μπορεί να δειχτεί ότι η λαγκρανζιανή μπορεί να υπολογιστεί με τη μεθοδολογία που φαίνεται παρακάτω. Με αυτή τη μέθοδο για μονοδιάστατα προβλήματα, δε χρειάζεται η εξίσωση να είναι self adjoint, ενώ με την προηγούμενη μέθοδο ακόμη και για μονοδιάστατο πρόβλημα πρέπει η εξίσωση να είναι self adjoint. Υποθέτομε ότι η εξίσωση κίνησης έχει τη γνωστή μορφή, ( , , )q G q q t . Η λαγκρανζιανή υπολογίζεται από τη σχέση

0 0

0 0

d ( , )( ) ( , , )d ( , , ) ( , , )dz

d

q q

q

q tL q y q y t y G z t z t

t

. (2.151)

Ισχύει

( , , )( , , )

d G q q tq q t

dt q

. (2.152)

Τα 0 0,q είναι αυθαίρετα και επηρεάζουν τη συνάρτηση ( , )q t , όμως η ( , )q t

μπορεί να ληφθεί αυθαίρετα. Η λύση της τελευταίας διαφορικής εξίσωσης (2.152) είναι σχετικά πολύπλοκη και χρειάζεται τη γενική λύση 0 0( , , )q q t q της δεδομένης

εξίσωσης κίνησης ( , , )q G q q t . Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί να βρεθεί λύση με απλό τρόπο, χωρίς τη χρήση της γενικής λύσης της ( , , )q G q q t , και εδώ θα περιοριστούμε σε τέτοιες περιπτώσεις. Θα πούμε δυο λόγια για τη γνωστή περίπτωση των δυο παρακάτω ισοδύναμων λαγκρανζιανών, οι οποίες περιγράφουν κλασικά δυο ασύζευκτους αρμονικούς ταλαντωτές (δυο σωμάτια) με ίδια δυναμική συνάρτηση,

2 2 2 21 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1,

2L q q q q L q q q q . (2.153)

Χρησιμοποιούμε τη λαγκρανζιανή 2L και βρίσκομε για τη συζυγή ορμή του σωματίου 1

τη σχέση

21 2

1

Lp q

q

. (2.154)

Στο κβαντικό σύστημα ξέρομε ότι τα 1p και 1q (ως τελεστές) δεν μετατίθενται, δηλαδή

δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα. Αυτό σημαίνει ότι ούτε τα 2 1,q q δεν μπορούν να

μετρηθούν ταυτόχρονα. Αν χρησιμοποιήσομε την λαγκρανζιανή 1L αυτό δεν ισχύει,

πράγμα που δείχνει ότι δυο διαφορετικές λαγκρανζιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης στο κλασικό επίπεδο, δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα στο κβαντικό επίπεδο. Θα μπορούσε να πει κάποιος ότι ξεκινώντας από την κλασική θεώρηση η επιλογή της κατάλληλης για το κβαντικό επίπεδο λαγκρανζιανής, είναι θέμα και του πειράματος. Αυτό

79

λίγο πολύ ισχύει στην περίπτωση που δεν υπάρχει κλασικό ανάλογο του συστήματος, π.χ. σπιν σωματιδίου κτλ. Θα μελετήσομε την απλή περίπτωση μονοδιάστατης κίνησης ενός σωματίου το οποίο κινείται μέσα σε δυναμικό ( )V q . Θα ακολουθήσομε την πρώτη μέθοδο. Η εξίσωση κίνησης του σωματίου είναι

d ( )

0d

V qmq

q . (2.155)

Οι συντελεστές ,A B της εξίσωσης (2.142) είναι

d ( )

, ( )d

V qA m B B q

q . (2.156)

Εύκολα διαπιστώνεται ότι η εξίσωση είναι self adjoint. Θα υπολογίσομε τη λαγκρανζιανή από τις πολύπλοκες σχέσεις (2.149). Έχομε

1 1 1

0 0 0

1 12 2

0 0

d d ( , ) d ( )

1d d .

2

K q q m q q q mq q

mq q mq mq

(2.157)

Μπορεί να διαπιστωθεί ότι 0Z , επομένως 0D .

Επίσης βρίσκομε ότι ισχύει d ( )

d

V qW

q , επομένως,

1 1

0 0

d ( ) d ( )( ) (0)

d( ) d

V q V qC q d d V q V

q

. (2.158)

Άρα, από την πρώτη σχέση των εξισώσεων (2.149), παραλείποντας τη σταθερά (0)V , καταλήγομε στη γνωστή σχέση

21( )

2L mq V q . (2.159)

Ας εφαρμόσομε τώρα τη δεύτερη μέθοδο, δηλαδή τη μέθοδο που ισχύει για μια διάσταση, στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση, με εξίσωση κίνησης τη γνωστή σχέση

b k

q q qm m

. (2.160)

Η εξίσωση (2.152) δίνει

d

d

b

t m

. (2.161)

80

Μπορούμε να χρησιμοποιήσομε λύση της (2.161) στη μορφή 0 0( , , ) exp[( / ) ], σταθ.q q t b m t (2.162)

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τη σχέση (2.151), όπου θεωρούμε ότι 0 00, 0q ,

διότι οι σταθερές επηρεάζουν μόνο την ( , )q t η οποία είναι αυθαίρετη και μπορεί να θεωρηθεί ακόμη και ότι είναι μηδέν, ( , ) 0q t . Τελικώς βρίσκομε

2 2

exp2 2

b q k qL t

m m

. (2.163)

Παραδείγματα 1. Δυνάμεις απωλειών Οι εξισώσεις Lagrange στην περίπτωση συστήματος με n (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες, όπου συνυπάρχουν δυνάμεις που απορρέουν από δυναμική συνάρτηση και δυνάμεις που δεν απορρέουν από δυναμική συνάρτηση, μπορεί να πάρουν τη μορφή

d

1,2,...,d i

i i

L LQ i n

t q q

. Ισχύει γενικώς L T U . Οι γενικευμένες

συνιστώσες δύναμης, iQ , είναι αυτές που δεν απορρέουν από δυναμική συνάρτηση.

Αυτές που απορρέουν είναι «μέσα» στο L . Στην περίπτωση αυτών των δυνάμεων iQ ,

ανήκουν κάποιες δυνάμεις απωλειών (δυνάμεις τριβής). Υποθέτομε ότι έχομε σύστημα που αποτελείται από N σωμάτια που μπορεί να υπόκεινται και σε δεσμούς, επομένως

3n N . Θα υποθέσομε ότι οι καρτεσιανές συνιστώσες των δυνάμεων τριβής κατά μήκος των τριών καρτεσιανών αξόνων, για κάθε ένα σωμάτιο, είναι ανάλογες της αντίστοιχης συνιστώσας της ταχύτητας του κάθε σωματίου του και έχουν αντίθετη προς αυτήν κατεύθυνση. Τότε μπορούμε να γράψομε για τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της κάθε

μιας δύναμης τριβής, , 1, 2,...,jF j N

, ότι ισχύουν οι σχέσεις

( , , ) , ( , , ) , ( , , )jx jx j j j j jy jy j j j j jz jz j j j jF k x y z x F k x y z y F k x y z z . Οι συντελεστές k

εξαρτώνται γενικώς από τη θέση του κάθε σωματίου και είναι θετικές ποσότητες. Τέτοιες δυνάμεις τριβής, μπορούν να βρεθούν με χρήση μιας συνάρτησης που λέγεται συνάρτηση

81

(του) Rayleigh, την 2 2 2

1

1, , , , ,

2

N

jx jx jy jy jz jzj

x y z x y z k x k x k x

. Δηλαδή η

συνάρτηση αυτή εξαρτάται από όλες τις καρτεσιανές συντεταγμένες των σωματίων και γραμμικά από τα τετράγωνα των συνιστωσών των ταχυτήτων τους. Προφανώς έχομε

, ,jx jy jzj j j

F F Fx y z

ή

jj r

F

. Το έργο που παράγει το σύστημα

για να υπερνικήσει την τριβή είναι

2 2 2

1 1 1

d d d d 2 dN N N

j j j jx j jy j jz jj j j

W F r F r t k x k y k z t t

. Δηλαδή για την

ισχύ d

d

W

tπου παράγεται από τις άλλες δυνάμεις, κατά την κίνηση του συστήματος, για να

υπερνικηθούν οι δυνάμεις τριβής ισχύει d

2d

W

t , γι αυτό η λέγεται και

συνάρτηση ισχύος. Από τις σχέσεις μετασχηματισμού 1 2( , ,..., , ), 1, 2,...,j j nr r q q q t j N

,

3n N , οι γενικευμένες συνιστώσες δύναμης τριβής είναι κατά τα γνωστά

1 1 1j j

N N Nj j j

i j r rj j ji i i i

r r rQ F

q q q q

.

Άρα ii

Qq

. Η έχει εκφραστεί ως προς ,q q και ίσως τον χρόνο. Οι εξισώσεις

Lagrange, στη γενική περίπτωση, γίνονται ii i i

d L LQ

dt q q q

.

Παράδειγμα τέτοιας δύναμης τριβής είναι η δύναμη Stokes, SF

που είναι η δύναμη που

ασκείται σε σφαίρα, ακτίνας a που κινείται μέσα σε ρευστό που έχει ιξώδες , με

σχετικά μικρή ταχύτητα, η δύναμη τριβής είναι S 6πF ar . Εύκολα μπορείτε να βρείτε

τη συνάρτηση Rayleigh για αυτή την περίπτωση. Γενικότερα, μπορούμε να γράψομε για τις δυνάμεις τριβής σε καρτεσιανές συντεταγμένες

d

( , ) , , 1, 2,...,d

i ii i i i i

i

rF h r i N

t

. Παντού θα ισχύει ότι 0i , δηλαδή

πρόκειται για την απόλυτη τιμή της ταχύτητας. Ορίζομε ως συνάρτηση απωλειών την

1 0

d ( , )iN

i i i ii

h r

. Ο μετασχηματισμός σε γενικευμένες συντεταγμένες δίνει

1 1 1

2

( , ) ( , ) ( , )

1 1διότι ισχύουν κατά τα γνωστά , .

2 2

N N Ni i i i i

j i i i i i i i i ii i ii j i j j

i ii i i i ii i

j j j j j j

rQ h r h r h r

q q q

r

q q q q q q

82

Επομένως 1 1 0

( , ) d ( , )iN N

ii i i i i i i i

i ij j j

Q h r h rq q q

.

Εννοείται ότι έχομε χρησιμοποιήσει το μετασχηματισμό συντεταγμένων οπότε τελικώς όλα έχουν εκφραστεί συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων και αντίστοιχων ταχυτήτων ( , )i i q q και τα ( )i ir r q

.

Οι συνήθεις δυνάμεις τριβής (απωλειών) είναι

Α) η κινητική τριβή ,F N

N η γνωστή κάθετη δύναμη.

Β) δύναμη τριβής που ισχύει για σχετικά μικρές ταχύτητες μέσα σε ρευστά (νόμος του

Stokes, που αναλύσαμε στην αρχή) , 0F

.

Γ) δύναμη τριβής για σχετικά μεγάλες ταχύτητες μέσα σε ρευστά, 2 , 0, 0F

.

2. Από την άμεση ενσωμάτωση δεσμευτικής σχέσης στη λαγκρανζιανή, μετάβαση στην τροποποίηση λαγκρανζιανής με παράθεση δεσμευτικής σχέσης Θα εξετάσομε την περίπτωση λαγκρανζιανής σε θεσικό χώρο δυο διαστάσεων,

1 2 1 2( , , , , )L q q q q t , ενώ έχομε και την (ολόνομη) δεσμευτική σχέση, 1 2( , , ) 0f q q t .

Υποτίθεται ότι ισχύει 2

0f

q

για τις τιμές των μεταβλητών που σχετίζονται με τη λύση

του προβλήματος, οπότε μπορούμε από τη δεσμευτική σχέση να εκφράσομε την 2q

συναρτήσει των δυο άλλων μεταβλητών, 2 1 2 1( , ) ( , )q g q t q q t . Για την αντίστοιχη

ταχύτητα έχομε 2 22 1 1

1 1

q qg gq q q

q t q t

. Στη συνέχεια μπορούμε να

αντικαταστήσομε αυτές τις εκφράσεις στη λαγκρανζιανή, δηλαδή ενσωματώνομε άμεσα τη δεσμευτική σχέση οπότε τελικώς το L μετασχηματίζεται σε μια ισοδύναμη λαγκρανζιανή που εξαρτάται από τα 1 1, ,q q t στην 1 1 1( , , )L q q t .

Έχομε

1 1 1 1 2 1 1 2 1 1( , , ) , ( , ), , ( , , ),L q q t L q q q t q q q q t t .

Η εξίσωση Λαγκράνζ είναι

1 1

1 1

0L Ld

dt q q

.

Από τα προηγούμενα προκύπτουν οι σχέσεις:

83

2 21 2 2 2

1 21 1 2 1 2 1 1

L q q qL L Lq

q q q q q t q q

, 1 2

1 1 2 1

L qL L

q q q q

.

Εδώ έχομε λίγο πιο πολύπλοκο πρόβλημα από ότι αντιμετωπίσαμε μέχρι τώρα. Έχομε εξάρτηση μιας συντεταγμένης θέσης από την άλλη και του χρόνου. Οι μερικές

παράγωγοι 1 1 1 1 1 1

1 1

( , , ) ( , , ),

L q q t L q q t

q q

, όταν εκφραστούν με χρήση της

1 2 1 1 2 1 1, ( , ), , ( , , ),L L q q q t q q q q t t , είναι ένα είδος «ολικής μερικής» παραγώγου! Θα

μπορούσαμε να εισαγάγομε έναν άλλον συμβολισμό για αυτού του είδους τις παραγώγους αλλά δεν θα το κάνομε, απλώς συνιστούμε προσοχή κατά τις παραγωγίσεις. Η εξίσωση Λαγκράνζ γίνεται:

2 2

2 2 2 21 2

1 2 1 1 2 1 2 1 1

d0

d

q q q qL L L L Lq

t q q q q q q q t q q

.

Αυτή οδηγεί στη σχέση:

2

1 1 2 2 1

d d0

d d

qL L L L

t q q t q q q

ή 2 1 1

1

2 2

dddd

L Lq t q q

L Lqt q q

Καλό είναι να υπενθυμίσομε ορισμένα πράγματα για παραγώγους πεπλεγμένων συναρτήσεων. Αυτές απαντούν κυρίως στη θερμοδυναμική. Στη Θερμοδυναμική χρησιμοποιείται πιο αυστηρός συμβολισμός, πράγμα που δε συνηθίζεται στη Μηχανική. Ας θεωρήσομε την συνάρτηση τριών μεταβλητών που αναφέραμε προηγουμένως, η οποία εκφράζει ολόνομο δεσμό, δηλαδή την 1 2( , , ) 0f q q t . Υπό κατάλληλες

προϋποθέσεις αυτή η σχέση ορίζει τρεις πεπλεγμένες συναρτήσεις, έστω η μια από αυτές

η 2 2 1( , )q q q t . Μπορούμε να βρούμε την παράγωγο 2

1

q

q

χωρίς να ξέρομε την

έκφραση 2 2 1( , )q q q t . Από την αρχική σχέση διαφορίζοντας έχομε

1 21 2

d 0 d d df f f

f q q tq q t

. Για t σταθερό, από την τελευταία σχέση βρίσκομε

2

1 2 1

0qf f

q q q

ή 2 1

1

2

fq q

fqq

.

Σε συνδυασμό με τη σχέση που βρήκαμε από την εξίσωση Λαγκράνζ καταλήγομε στη σχέση:

84

1 1 1

2 2 2

dddd

L L ft q q q

L L ft q q q

Αυτή η σχέση οδηγεί στο ότι α) 1 2

0 και συγχρόνως 0f f

q q

ή στο ότι

β) 1 1 1 2 2 2

d d( ) και ( )

d d

L L f L L ft t

t q q q t q q q

.

Το α) αποκλείεται σύμφωνα με την υπόθεση που κάναμε στην αρχή. Δηλαδή 2

0f

q

.

Επομένως μένουν οι εξισώσεις (Λαγκράνζ) στο β). Ουσιαστικά βρίσκομε ξανά τις εξισώσεις με τους πολλαπλασιαστές Λαγκράνζ. Προφανώς μπορούμε να τροποποιήσομε κατά τα γνωστά τη λαγκρανζιανή και να γράψομε

1 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )L q q t L q q t t f q q t , κανόνας του πολλαπλασιασμού. Με άλλα λόγια

οδηγηθήκαμε στην παράθεση της δεσμευτικής σχέσης. 3. Ενσωμάτωση και παράθεση δεσμευτικών σχέσεων Οι σωστές εξισώσεις για τη λύση προβλημάτων με μη ενσωματωμένους ολόνομους και μη ολόνομους δεσμούς είναι οι:

1

1

d( ) ( , ) 0, 1, 2,...,

d

( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., .

M

l lk jlj j

n

lk k lk

L Lt A q t Q j n

t q q

A q t q A q t l M

Οι δεύτερες M το πλήθος δεσμευτικές σχέσεις μπορεί να αντιπροσωπεύουν μη ολόνομους και ολόνομους δεσμούς. Εκ πρώτης όψεως θα νόμιζε κάποιος ότι μπορεί να λύσει ως προς τις ταχύτητες τις δεύτερες εξισώσεις, να αντικαταστήσει στη λαγκρανζιανή που χρησιμοποιείται στις πρώτες οπότε η ‘νέα’ λαγκρανζιανή θα είναι απλούστερη (αφού έχουν απαλειφθεί οι παραπάνω ταχύτητες) και έτσι διευκολύνεται η λύση του προβλήματος. Αν μάλιστα οι μεταβλητές jq που αντιστοιχούν σε αυτές τις ταχύτητες δεν υπάρχουν στη

λαγκρανζιανή, νομίζει κάποιος ότι έτσι καταφέρνει να μειώσει τη διάσταση του θεσικού χώρου. Αυτά όμως ισχύουν μόνο για αυτούς τους δεσμούς από τους παραπάνω, οι οποίοι είναι ολόνομοι. Αν τα εφαρμόσομε και για τους μη ολόνομους δεσμούς τότε καταλήγομε σε σφάλματα. Δε μπορεί να γίνει εμφύτευση δεσμών, δηλαδή δε μπορούμε να χρησιμοποιήσομε τις σχέσεις των δεσμών στη λαγκρανζιανή αν αυτοί είναι μη ολόνομοι. Επίσης δε μπορεί να γίνει μείωση του πλήθους των συντεταγμένων αν οι δεσμοί είναι μη ολόνομοι. Στην περίπτωση που αναφέραμε μας φάνηκε ότι το πετύχαμε αλλά στην ουσία λάβαμε υπόψη την ειδική περίπτωση λαγκρανζιανής (ανεξάρτητη από τις ταχύτητες) ενώ θα έπρεπε η μείωση να είναι ανεξάρτητη από τη λαγκρανζιανή. Ας εξετάσομε τα παρακάτω παραδείγματα.

85

Α) Έστω υλικό σημείο που κινείται σε επίπεδο χωρίς να ασκούνται πάνω του ενεργητικές δυνάμεις. Υπάρχει όμως η δεσμευτική σχέση 0y tx . Θεωρείστε ότι η

κινητική ενέργεια δίνεται από τη σχέση 2 21

2T x y . Να βρεθούν οι εξισώσεις

κίνησης με τη γνωστή σωστή διαδικασία. Η λαγκρανζιανή είναι η κινητική ενέργεια. Λύση α) Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι ο δεσμός δεν είναι ολόνομος, άρα δε μπορεί να γίνει μείωση της διάστασης του θεσικού χώρου, δε μπορεί να γίνει ενσωμάτωση της εξίσωσης του δεσμού στη λαγκρανζιανή. Η σωστή διαδικασία είναι η εξής: Η δεσμευτική σχέση, που είναι γραμμική ως προς τις ταχύτητες, οδηγεί στη δεσμευτική σχέση μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων, δ δ 0y t x , βοηθητική σχέση. Μπορούμε να κάνομε χρήση των τελικών εξισώσεων που έχομε δείξει για την περίπτωση, όπου γίνεται χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange, αλλά θα ακολουθήσομε τη διαδικασία από πιο πρώιμο στάδιο και θα κάνομε ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων. Συγκεκριμένα, η αρχή του D’ Alembert δίνει

d dδ δ 0

d d

T Tx y

t x t y

άρα δ δ 0x x y y . Έχομε και τη βοηθητική σχέση

δ δ 0y t x . Επομένως απαλείφομε το δy μεταξύ των δυο τελευταίων και βρίσκομε, ( )δ 0x yt x . Ισχύει και η αρχική δεσμευτική σχέση από την οποία βρίσκομε y x tx .

Επομένως ( ) δ 0x x tx t x . Από αυτήν αφού το δx είναι αυθαίρετο προκύπτει ότι

( ) 0x x tx t ή 2(1 ) 0x t xt .

Οι τελικές εξισώσεις κίνησης του σωματίου είναι 2(1 ) 0, 0x t xt y tx . β) Ας αγνοήσομε τη σωστή διαδικασία και ας το παίξομε πονηρά! Στην κινητική ενέργεια δεν υπάρχουν οι συντεταγμένες αλλά μόνο οι ταχύτητες. Χρησιμοποιούμε τη δεδομένη δεσμευτική σχέση στη μορφή y tx για να απαλείψομε το y από τη σχέση για την κινητική ενέργεια, το y δεν υπάρχει οπότε νομίζομε ότι έτσι μειώνομε τη

διάσταση του θεσικού χώρου κατά ένα! Βρίσκομε για τη «νέα» κινητική ενέργεια *T ,

* 2 2 2 2 21 11

2 2T x t x x t . Έχομε την εξίσωση Λαγκρανζ

*

0d T

dt x

άρα βρίσκομε 2(1 ) 2 0x t x t . Αυτή με την δεδομένη δεσμευτική

σχέση υποτίθεται λύνουν το πρόβλημα. Βλέπομε ότι η παραβίαση της θεωρίας οδηγεί σε λάθος σύστημα εξισώσεων. Οι σωστές εξισώσεις είναι οι προηγούμενες οι οποίες βρέθηκαν με τη σωστή διαδικασία. Β) Θεωρούμε και πάλι το παραπάνω σωμάτιο με δεσμευτική σχέση την 0y kx όπου k είναι μια σταθερά.

86

Λύση α) Είναι φανερό ότι ο δεσμός είναι ολόνομος. Ακολουθούμε στην αρχή την ίδια διαδικασία που ακολουθήσαμε και προηγουμένως στο αντίστοιχο α). Έχομε δ δ 0x x y y και από τη δεσμευτική σχέση έχομε τη σχέση μεταξύ των δυνατών μεταβολών, δ δ 0y k x . Απαλείφομε όπως και πριν οπότε καταλήγομε στη σχέση

2(1 ) 0 άρα 0 x k x . Επομένως οι σωστές εξισώσεις κίνησης είναι 0 , 0x y kx . β) Ας ακολουθήσομε τώρα την αντίστοιχη διαδικασία που ακολουθήσαμε στο β) στην προηγούμενη περίπτωση. Με χρήση της δεδομένης δεσμευτικής σχέσης απαλείφομε από τη σχέση για την κινητική ενέργεια το y . Βρίσκομε

* 2 21(1 )

2T x k . Η εξίσωση Λαγκράνζ δίνει 2(1 ) 0 άρα 0 x k x . Δηλαδή

βρίσκομε την ίδια εξίσωση όπως και πριν στο α). Αυτό γίνεται διότι ο δεσμός είναι ολόνομος οπότε υπάρχει ολοκληρωμένη μορφή του, η

σταθεράy kx . Γι αυτό μπορεί πράγματι να μειωθεί η διάσταση του θεσικού χώρου κατά ένα και να καταλήξομε σε μονοδιάστατο σωστό πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση είναι σαν να χρησιμοποιήσαμε την ολοκληρωμένη σχέση και πήραμε την παράγωγό της για να βρούμε την ταχύτητα. Δεν χρειάστηκε να βρούμε την ολοκληρωμένη σχέση διότι δεν υπήρχε η συντεταγμένη y που, ουσιαστικά, απαλείψαμε. Αυτό θα ήταν αναγκαίο αν η κινητική ενέργεια περιείχε και τη θέση. Συμπεραίνομε ότι στην περίπτωση των ολόνομων δεσμών έχομε ισοδυναμία των διαφόρων μεθόδων που χρησιμοποιήσαμε. Ίσως, κατά μια έννοια, μπορούμε να πούμε ότι οι δεσμευτικές σχέσεις των δεδομένων ολόνομων δεσμών, είναι ισοδύναμες με τις δεσμευτικές σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων. 4. Συζευγμένα εκκρεμή Στο Σχήμα Παρ 4, θεωρούμε τρία ίδια εκκρεμή μέσα σε κατακόρυφο πεδίο βαρύτητας, g , συζευγμένα μεταξύ τους. Εξετάζομε μικρού πλάτους αιωρήσεις οπότε οι γωνίες

εκτροπής 1 2 3, , είναι αρκούντως μικρές. Είναι δεδομένο ότι (για τις σημειακές μάζες)

ισχύουν 1 2 3m m m m και επίσης δίνεται ότι 1 2 3l l l l . Οι μάζες των ράβδων

των εκκρεμών είναι αμελητέες. Υποθέτομε ότι υπάρχει σύζευξη μεταξύ όλων των εκκρεμών και όχι μόνο μεταξύ των γειτονικών. Αυτό το δηλώνομε με το γραμμοσκιασμένο παραλληλόγραμμο, χωρίς να εξετάζομε πως μπορεί να επιτευχθεί κάτι τέτοιο. Η ύπαρξη μηχανισμού σύζευξης μεταξύ μόνο των γειτονικών εκκρεμών μπορεί να επιτευχθεί ευκολότερα με διάφορους τρόπους. Θεωρείστε ότι, για μικρού πλάτους αιωρήσεις, ο όρος στη δυναμική συνάρτηση που χαρακτηρίζει τη σύζευξη μεταξύ των εκκρεμών i και j είναι i jmgl , όπου 1 . Θα μελετήσομε την κίνηση του

87

συστήματος το οποίο έχει τρεις γενικευμένες συντεταγμένες, τρεις (θεσικούς και κινηματικούς) βαθμούς ελευθερίας.

Σχήμα Παρ 4 Λύση

Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι 2 2 2 21 2 3

1

2T ml . Η δυναμική

ενέργεια για μικρού πλάτους ταλαντώσεις είναι

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

12 2 2

2V mgl .

Η μήτρα T είναι διαγώνια με στοιχεία τα 2

11 22 33T T T ml , όλα τα άλλα στοιχεία

είναι μηδέν. Η μήτρα V είναι συμμετρική με τα εξής στοιχεία,

11 22 33 12 13 21 23 31 32, V V V mgl V V V V V V mgl .

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι

2 0 V T . Αυτή οδηγεί στη σχέση

88

2

2

2

0.

g l g g

g g l g

g g g l

Μετά από πράξεις καταλήγομε στη σχέση

2

2 21 1 2 0.l l

g g

Οι τρεις ρίζες για το 2 οδηγούν στις τρεις (θετικές)

ρίζες για το εκ των οποίων οι δυο είναι ίδιες (εκφυλισμός). Έχομε για τις ρίζες

1 2 31 , 1 2 .g g

l l

Στην αρχή θα προσδιορίσομε το ιδιοδιάνυσμα 3a για την ιδιοσυχνότητα 3 . Από την

Εξ.(2.128) έχομε

13

23

33

1 1 0 0

1 (1 2 ) 0 1 0

1 0 0 1

a

a

a

13

23

33

0

2

άρα 2 0.

2

a

a

a

Εφόσον το σύστημα έχει τρεις εξισώσεις και είναι ομογενές μόνο οι δυο από αυτές είναι ανεξάρτητες, οπότε έχομε

13 23 33

13 23 33

2 0

2 0.

a a a

a a a

Έχομε τρεις άγνωστες ποσότητες να προσδιορίσομε οπότε θα κάνομε χρήση και της τρίτης εξίσωσης που προκύπτει από την κανονικοποίηση του διανύσματος σύμφωνα με την Εξ.(2.132), η οποία δίνει 2 2 2 2

13 23 33 1.ml a a a

Το αποτέλεσμα είναι

13 23 33

1

3a a a

ml .

Επομένως για τη συχνότητα 3 1 2g

l η κίνηση καθορίζεται από τις σχέσεις

89

1 2 3 3 3

1cos( ).

3t

ml

Δηλαδή και τα τρία εκκρεμεί κινούνται σε φάση και με τα ίδια πλάτη.

Ας εξετάσομε την εκφυλισμένη κατάσταση των συχνοτήτων 1 2 12 1g

l .

Εφαρμόζομε την Εξ.(2.128) για την διπλά εκφυλισμένη συχνότητα οπότε έχομε

2 212 1 12 20, 0. V T a V T a

Από το πλήθος των 6 εξισώσεων, 3+3, διαλέγομε μια από τις 3 πρώτες και μια (διαφορετική) από τις δεύτερες, τελικώς καταλήγομε στις

11 21 31 12 22 320, 0a a a a a a . Δηλαδή έχομε τα δυο ιδιοδιανύσματα 1a και 2a

που πρέπει να είναι ορθοκανονικοποιημένα, Εξ.(2.132). Αυτό μας οδηγεί στη σχέση ορθογωνιότητας 11 12 21 22 31 32 0a a a a a a και στις σχέσεις κανονικοποίησης

2 2 2 2 2 211 21 31 12 22 322 2

1 1, a a a a a a

ml ml . Δηλαδή έχομε το παρακάτω σύστημα με 5

εξισώσεις και 6 αγνώστους.

11 21 31

12 22 32

11 12 21 22 31 32

2 2 211 21 31 2

2 2 212 22 32 2

0

0

0

1

1.

a a a

a a a

a a a a a a

a a aml

a a aml

Για να βρούμε τις συνιστώσες των δυο ορθοκανονικών ιδιοδιανυσμάτων 1 2,a a διαλέγομε

μια από τις συνιστώσες αυθαίρετα και έτσι προσδιορίζομε τις άλλες 5. Ένεκα του εκφυλισμού υπάρχουν άπειρες επιλογές. Έστω 31 0a οπότε έχομε

31

11 21

12 22 32

11 12 21 22

2 211 21 2

2 2 212 22 32 2

0

0

0

0

1

1.

a

a a

a a a

a a a a

a aml

a a aml

Το ιδιοδιάνυσμα 1a έχει συνιστώσες, 11 21 31

1 1, , 0

2 2a a a

ml ml .

90

Το 2a έχει συνιστώσες, 12 22 32

1 1 2, ,

6 6 6a a a

ml ml ml .

Για την περίπτωση του 1a η κίνηση των τριών εκκρεμών είναι

1 12 1

2 12 1

3

1cos

21

cos2

0.

tml

tml

Τα δυο πρώτα κινούνται με το ίδιο πλάτος και αντίθετες φάσεις ενώ το τρίτο είναι ακίνητο. Είναι ευνόητο ότι η αυθαιρεσία στην επιλογή λύσεων μπορεί να μας οδηγήσει στην περίπτωση που το πρώτο είναι ακίνητο και τα άλλα δυο κινούνται με αντίθετες φάσεις, ακόμη μπορεί το δεύτερο να είναι ακίνητο και τα δυο άλλα να έχουν αντίθετες φάσεις. Αυτά είναι αποτέλεσμα του εκφυλισμού. Για την περίπτωση του 2a έχομε την κίνηση

1 12 2

2 12 2

3 12 2

1cos

61

cos6

2cos .

6

tml

tml

tml

Τα δυο πρώτα εκκρεμή κινούνται σε φάση με ίδια πλάτη, το τρίτο με διπλάσιο πλάτος και αντίθετη φάση. Είναι ευνόητο ότι και εδώ ισχύουν τα ανάλογα με την περίπτωση του 1a .

Σύμφωνα με όσα έχομε πει οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης είναι, σύμφωνα με την πρώτη από τις Εξ.(2.135), οι

1 1 12 1

2 2 12 2

3 3 3 3

cos

cos

cos .

Q C t

Q C t

Q C t

Δίνομε τις σχέσεις για τον υπολογισμό των Q από τις γενικές λύσεις q όπου μπορεί να συνυπάρχουν πολλές συχνότητες. Αυτό γίνεται με χρήση των τελευταίων εξισώσεων στην Εξ.(2.135). Έχομε τελικώς

91

1 1 2

2 1 2 3

3 1 2 3

( )2

( 2 )6

( ).3

mQ l

mQ l

mQ l

5. Εφαρμογή της λαγκρανζιανής μεθόδου στην ηλεκτροτεχνία Αυτή είναι μια ενδιαφέρουσα χρήση της λαγκρανζιανής μεθόδου που δεν αφορά στη Μηχανική αλλά στην ηλεκτροτεχνία. Συγκεκριμένα μπορεί κάποιος να αντιστοιχίσει στις γενικευμένες θέσεις μηχανικού συστήματος, τα ηλεκτρικά φορτία που ρέουν στους διάφορους βρόχους κυκλώματος ή που υπάρχουν σε πυκνωτές του κυκλώματος, δηλαδή

(συντεταγμένη) (ηλεκτρικό φορτίο)q q . Επίσης στη θέση των αντίστοιχων ταχυτήτων τις παραγώγους ως προς το χρόνο των παραπάνω φορτίων, δηλαδή τα ρεύματα που κυκλοφορούν στο κύκλωμα, (ταχύτητα) (ηλεκτρικό ρεύμα)q q . Οι όροι της κινητικής ενέργειας, στην περίπτωση κυκλώματος είναι οι όροι που αντιστοιχούν στην ενέργεια

αυτεπαγωγών και αμοιβαίων επαγωγών, 2 2 21 1 1

2 2 2T mq Li Lq ή

1 1

2 2lm l m lm l mM q q M i i . Οι όροι της δυναμικής ενέργειας (εδώ αρμονικού ταλαντωτή)

αντιστοιχούν στις ενέργειες πυκνωτών, 2

21 1

2 2 2

qV kq

C . Οι ενεργειακοί όροι που

αντιστοιχούν στις δυνάμεις απωλειών αντιστοιχούν στις απώλειες ένεκα ωμικών

αντιστάσεων, 21

2Ri . Αυτό δικαιολογείται επειδή Ri

q i

οπότε η ισχύς που

καταναλίσκεται στον αντιστάτη R , ισούται πράγματι με 2i R = 2 , που είναι το ανάλογο της Μηχανικής που είδαμε στα προηγούμενα. Τέλος, αν υπάρχει πηγή τάσης

( )t που τροφοδοτεί το κύκλωμα, αυτή είναι το αντίστοιχο της γενικευμένης συνιστώσας δύναμης της Μηχανικής, διότι το γινόμενο

d (τάση επί φορτίο δια μέσου της πηγής)q , είναι το ηλεκτρικό έργο που παρέχει η πηγή που αντιστοιχεί στο γινόμενο dQ q που είναι το έργο της γενικευμένης δύναμης. Να βρεθεί η (διαφορική) εξίσωση για κύκλωμα με , ,L C R σε σειρά που τροφοδοτείται από πηγή, ( )t . Με αυτές τις αντιστοιχίες μπορεί κάποιος να προχωρήσει και να γράψει την εξίσωση του Lagrange και στη συνέχεια να βρει τη διαφορική εξίσωση για το κύκλωμα.

92

Λύση Προφανώς το κύκλωμα χαρακτηρίζεται από μια μεταβλητή, το φορτίο του πυκνωτή, q , και την παράγωγό του ως προς το χρόνο, q . Θα χρησιμοποιήσομε την «φυσιολογική»

λαγκρανζιανή. Ισχύουν 2

2 21 1 1, , ,

2 2 2

qT Lq V Rq Q

C .

Επομένως έχομε για τη λαγκρανζιανή του ηλεκτρικού κυκλώματος 2

21 1

2 2

qL T V Lq

C . Για τον αντίστοιχο με τη Μηχανική όρο απωλειών έχομε

Rqq

και τέλος ισχύει Q . Επομένως η εξίσωση Lagrange

d

d

L LQ

t q q q

, δίνει

qLq Rq

C . Αν υποθέσομε ότι οι φορές είναι τέτοιες

ώστε να ισχύει i q (δηλαδή χωρίς αρνητικό πρόσημο), τότε βρίσκομε d

d

i qL Ri

t C , παραγωγίζομε αυτή τη σχέση ως προς το χρόνο και τελικώς βρίσκομε,

2

2

d 1 d d

d d d

i iL i R

t C t t

. Αυτή είναι η γνωστή εξίσωση της ηλεκτροτεχνίας για το

παραπάνω κύκλωμα με τα διάφορα στοιχεία σε σειρά. 6. Μηχανική ομοιότητα Ας υποθέσομε ότι έχομε μηχανικό λαγκρανζιανό σύστημα με κινητική ενέργεια της μορφής

1 1

1, σταθερές

2

n n

ij i j iji j

T M q q M

,

δηλαδή η κινητική ενέργεια είναι ομογενής συνάρτηση ως προς τις ταχύτητες, βαθμού ομογένειας 2, και με δυναμική ενέργεια της μορφής ( )V V q , η φυσιολογική λαγκρανζιανή του συστήματος είναι, L T V . Έστω ότι ως προς τις συντεταγμένες θέσης, η δυναμική ενέργεια είναι ομογενής συνάρτηση βαθμού (ομογένειας) k . Αυτό σημαίνει ότι αν κάνομε το μετασχηματισμό κλίμακας (βαθμίδας) q q θα βρούμε

1 2( ) ( , ,..., ) ( )knV V q V q q q V q .

Υποθέτομε ότι και ο χρόνος μετασχηματίζεται σύμφωνα με τη σχέση 1 /2kt t . Είναι ευνόητο ότι αν εφαρμόσομε και τους δυο αυτούς μετασχηματισμούς κλίμακας συγχρόνως για τις ταχύτητες θα έχομε

/21 /2

d d

d dki i

i ik

q qq q

t t

.

93

Λέμε ότι τα δυο συστήματα είναι μηχανικά όμοια. Το ένα προήλθε από το άλλο με χρήση του παραπάνω μετασχηματισμού κλίμακας (βαθμίδας). Η κινητική ενέργεια θα γίνει

/2 /2

1 1 1 1

1 1( ) ( ) ( )

2 2

n n n nk k k k

ij i j ij i ji j i j

T T q T q M q q M q q T q

.

Επομένως η νέα (φυσιολογική) λαγκρανζιανή συνδέεται με την αρχική σύμφωνα με τη σχέση ( , , ) ( , , )k k kL q q t T V T V L q q t . Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι οι ίδιες και για τις δυο περιπτώσεις συντεταγμένων αφού η μια λαγκρανζιανή διαφέρει από την άλλη στη μορφή κατά μια πολλαπλασιαστική σταθερά. Αυτό συνεπάγεται ότι οι λύσεις, ( )q q t και

( )q q t , και για τις δυο περιπτώσεις έχουν την ίδια συναρτησιακή μορφή, ( )f f w . Το συμπέρασμα είναι ότι οι τροχιές του συστήματος στους χώρους q και q έχουν ακριβώς την ίδια μορφή (είναι γεωμετρικά όμοιες), που σημαίνει ότι απλώς αλλάζουν γεωμετρικές διαστάσεις. Μπορούμε να γράψομε ότι οποιαδήποτε «μήκη» (εφόσον μπορούν να οριστούν «μήκη») ,l l στους χώρους των θέσεων, ,q q των τροχιών ικανοποιούν τη σχέση

l

l

όπως ισχύει για τις συντεταγμένες, δηλαδή i

i

q

q

. Αυτός είναι ο γεωμετρικός λόγος.

Για τους χρόνους των αντίστοιχων σημείων των τροχιών στους δυο χώρους ισχύει 1 /2

1 /2

k

k i

i

qt

t q

. Αυτή η σχέση ισχύει και για οποιαδήποτε χρονικά διαστήματα των

αντίστοιχων σημείων για τις κινήσεις ( )q q t και ( )q q t . Δηλαδή

1 /2

1 /2k

kt l

t l

.

Γενικώς, οι λόγοι διαφόρων αντίστοιχων φυσικών μεγεθών, μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει του γεωμετρικού λόγου. Παραδείγματα μερικών φυσικών μεγεθών είναι τα εξής,

/2

/k

i i

lq q

l

, , ,

k k kT l V l E l

T l V l E l

.

94

Προβλήματα 1. Βρείτε μια λαγκρανζιανή για το απλό εκκρεμές και στη συνέχεια με χρήση της βρείτε την (διαφορική) εξίσωση κίνησης για το απλό εκκρεμές. Θεωρήστε ως γνήσια γενικευμένη συντεταγμένη τη γωνία με την κατακόρυφο, δηλαδή την γωνία εκτροπής από την κατακόρυφο. Η φορά της κατακόρυφου να θεωρηθεί θετική προς τα κάτω. Για μικρές γωνίες εκτροπής, βρείτε την περίοδο του εκκρεμούς. 2. Θεωρείστε ότι η κινητική ενέργεια συστήματος είναι ομογενής τετραγωνική μορφή ως

προς τις ταχύτητες, δηλαδή , 1

1,

2

n

lk l k lk kll k

T a q q a a

, και δεν εξαρτάται άμεσα από το

χρόνο. Στο σύστημα δρουν οι ενεργητικές (ασκούμενες) γενικευμένες δυνάμεις ( , , ), 1, 2,...,i iQ Q q q t i n . Δείξτε ότι οι εξισώσεις κίνησης γίνονται

1 , 1

1, , 1, 2,...,

2

n nlm lm lr mr lm

ri i r l m r ri l m m l r

a a aa q q q Q r n

q q q

όπου

,lmr r lm Γ είναι τα σύμβολα του Cristoffel πρώτου είδους.

3. Έστω μηχανικό σύστημα που αποτελείται από σωμάτιο-χάνδρα η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή σε στερεά ευθύγραμμη λεπτή ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται σε επίπεδο περί το ένα άκρο της με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, . Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας. Θεωρείστε πολικές συντεταγμένες, ,r . Υποθέστε ότι οι αρχικές

συνθήκες είναι 00, (0) , (0) 0, (0) 0t r r r . Θεωρείστε ως γνήσια συντεταγμένη

τη συντεταγμένη r , αυτό σημαίνει ότι έχετε εμφυτέψει την εξίσωση του δεσμού. Γράψτε τη (διαφορική) εξίσωση κίνησης που η λύση της προσδιορίζει την κίνηση της χάνδρας και βρείτε τη λύση με τις παραπάνω αρχικές συνθήκες. 4. Έστω μηχανικό σύστημα που αποτελείται από σωμάτιο-χάνδρα η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή σε στερεά ευθύγραμμη λεπτή ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται σε επίπεδο περί το ένα άκρο της με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας. Υποθέστε ότι οι αρχικές συνθήκες είναι

00, (0) , (0) 0, (0) 0t r r r . Θεωρείστε ως γνήσιες συντεταγμένες τις πολικές

συντεταγμένες ,r , δηλαδή μην εμφυτέψετε την εξίσωση του δεσμού. Προσδιορίστε την εξίσωση του δεσμού σε διαφορική μορφή. Βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης που η λύση τους προσδιορίζει την κίνηση της χάνδρας και βρείτε τη λύση με τις παραπάνω αρχικές συνθήκες. Προφανώς τα ( ), ( )r r t t πρέπει να είναι τα ίδια με αυτά που ισχύουν για το ίδιο πρόβλημα όταν έχει εμφυτευτεί η εξίσωση του δεσμού. 5. Με Αναλυτική Μηχανική βρείτε τις εξισώσεις κίνησης για ελεύθερο σωμάτιο,

( , )L T q q , σε σφαιρικές συντεταγμένες. Στο σωμάτιο ασκείται μια καρτεσιανή δύναμη

με δεδομένες φυσικές συνιστώσες κατά μήκος των μοναδιαίων διανυσμάτων, e , e , er

.

6. Δίσκος ακτίνας a και μάζας m , ομοιόμορφα κατανεμημένης, είναι δέσμιος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο. Το επίπεδο του δίσκου να θεωρηθεί κατακόρυφο. Στο δίσκο ασκείται γνωστή καρτεσιανή δύναμη F

η οποία ασκείται στο

95

κέντρο του δίσκου. Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης του δίσκου. Δεν υπάρχει πεδίο βαρύτητας. L T . 7. Γράψτε όλες τις εξισώσεις δεσμών για επίπεδο εκκρεμές (υλικό σημείο) αν το σημείο στήριξής του κινείται στο ίδιο επίπεδο κατά γνωστό τρόπο, 0 0( ), ( )x f t y g t . Οι

εξισώσεις να γραφούν στην πεπερασμένη μορφή τους με (γενικευμένες) συντεταγμένες τα , x y . Γράψτε τις εξισώσεις για τις δυνατές μετατοπίσεις και για τις πιθανές μετατοπίσεις.

Πότε οι δυο θα ήταν ίδιες; Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής με μόνη γενικευμένη (γνήσια) συντεταγμένη τη γωνία του εκκρεμούς με την κατακόρυφο. 8. Θεωρείστε σωμάτιο δεμένο στο άκρο άμαζης στερεάς ράβδου η οποία μπορεί να περιστρέφεται περί το άλλο άκρο της σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Αυτό το άλλο άκρο της εκτελεί γνωστή κατακόρυφη κίνηση. Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής. Δείξτε ότι η κίνηση θα ήταν ίδια αν το άκρο της ράβδου ήταν ακίνητο και το πεδίο βαρύτητας μεταβάλλονταν με το χρόνο. 9. Σωμάτιο τοποθετείται (ακίνητο) στο ανώτατο σημείο ακίνητου κατακόρυφου κυκλικού βρόχου και από εκεί με μικρή διαταραχή ξεκινά να κινείται. Υποθέστε ότι το σωμάτιο είναι χάνδρα που ο βρόχος διαπερνά και ότι το σύστημα είναι μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής, υπολογίστε τη δύναμη του δεσμού ως συνάρτηση της ταχύτητας και της θέσης του κινητού πάνω στο βρόχο (όχι συναρτήσει του χρόνου. Αν υποθέσετε ότι το σωμάτιο τοποθετείται στο εξωτερικό του βρόχου, βρείτε πότε θα ξεφύγει από το βρόχο. 10. Θεωρήστε σύστημα πλαγιογώνιων συντεταγμένων xOy , που η γωνία μεταξύ των αξόνων , x y είναι (σταθερή). Πάνω σε σωμάτιο ασκείται σταθερή καρτεσιανή δύναμη

F

η οποία αναλύεται με τον κανόνα του παραλληλόγραμμου σε συνιστώσες , x yF F κατά

μήκος των ανωτέρω δυο αξόνων για τους οποίους τα μοναδιαία διανύσματα είναι ,x ye e

.

Θεωρήστε ως γενικευμένες συντεταγμένες του σωματίου τις πλαγιογώνιες συντεταγμένες , x y . Προσδιορίστε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης , x yQ Q . Υπενθυμίζεται ότι

d ( ) (d d )x x y y x yW F e F e xe ye

και δ ( ) (δ δ )x x y y x yW F e F e xe ye

. Βρείτε τις

διαφορικές εξισώσεις κίνησης. 11. α) Υποθέστε ότι οι γενικευμένες συνιστώσες δύναμης δεν εξαρτιόνται από τις επιταχύνσεις και δείξτε ότι οι δυναμικές συναρτήσεις που μπορεί να εξαρτιόνται από τις ταχύτητες είναι της γενικής μορφής,

01

( , , ) ( , ) ( , )n

j jj

U q q t a q t q a q t

.

β) Βρείτε τη δύναμη Lorentz που ασκείται σε σωμάτιο μάζας m που κινείται μέσα σε (εξωτερικό) ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Δίνεται ότι η γενικευμένη δυναμική συνάρτηση

είναι q qU e e A

.

96

γ) Βρείτε την εξίσωση κίνησης για το σωμάτιο. Θυμίζομε ότι ισχύουν

A

E B At

.

δ) Ως προς περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς με σταθερή γωνιακή ταχύτητα

, η δυναμική συνάρτηση σωματίου είναι

21( ) ( )

2U m r m r V r

Να προσδιοριστούν οι «δυνάμεις» που ασκούνται στο σωμάτιο. Να γραφτούν οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης. 12. Θεωρήστε στερεό κατακόρυφο δίσκο ο οποίος μπορεί να κινείται στο επίπεδο. Ο δίσκος χωρίζεται από μια διάμετρό του σε δυο τμήματα. Το ένα έχει ομοιόμορφη μη μηδενική πυκνότητα και το άλλο έχει πυκνότητα μηδέν. Ο δίσκος είναι δυνατό να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και βρίσκεται μέσα στο πεδίο βαρύτητας. α) Με τις μεθόδους της Αναλυτικής Δυναμικής βρείτε την εξίσωση κίνησης, με γενικευμένη συντεταγμένη κατάλληλη γωνία με την κατακόρυφο η οποία όταν ο δίσκος βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία είναι μηδέν. Βρείτε την εξίσωση κίνησης για μικρές τιμές της ανωτέρω γωνίας και τη λύση της. β) Με χρήση της νευτώνειας θεώρησης βρείτε την εξίσωση κίνησης. 13. Θεωρήστε σωμάτιο μάζας m που κινείται σε κυκλική τροχιά περί σταθερό σημείο που είναι η αρχή των συντεταγμένων. Η ελκτική δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο με

κατεύθυνση προς το σταθερό σημείο είναι της μορφής d ( )

( ) ( )d

V rF F r mg r

r .

Βρείτε τη συνθήκη για να είναι η κυκλική τροχιά ευσταθής.

Υποθέστε ότι ( )K

F rr

. Για ποιες τιμές του είναι η κυκλική τροχιά ευσταθής; Τι

συμπεραίνετε για τις κυκλικές τροχιές στην περίπτωση που ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης; Εργαστείτε με αναλυτική δυναμική. 14. Εφαρμόστε τις εξισώσεις Euler-Lagrange για την περίπτωση που κάποιες από τις ασκούμενες (ενεργητικές) δυνάμεις του δυναμικού συστήματος είναι κρουστικές, δηλαδή ασκούνται επί πολύ μικρό χρονικό διάστημα αλλά είναι πολύ μεγάλες ώστε στον πολύ μικρό χρόνο που ασκούνται το ολοκλήρωμά τους ως προς το χρόνο, δηλαδή η γενικευμένη ώθησή τους να είναι πεπερασμένη. Θα βρείτε μια σχέση με μεγέθη λίγο πριν το κρουστικό φαινόμενο και λίγο μετά. 15. α) Ελεύθερο από δεσμούς σωμάτιο μάζας m κινείται ενώ πάνω του ασκείται δύναμη

F

. Δείξτε ότι υπάρχει διάνυσμα ( , )C r t

τέτοιο που το μέγεθος P p C

διατηρείται.

Ισχύει p m

. Βρείτε τη σχέση μεταξύ C

και F

. β) Kάντε τα αντίστοιχα για τη

στροφορμή . γ) Εφαρμόστε τα ανωτέρω αποτελέσματα για σωμάτιο με φορτίο qe το

οποίο κινείται μέσα σε ομογενές σταθερό μαγνητικό πεδίο zB Be

, κάθετο στην κίνηση

του σωματίου.

97

16. Έστω ότι έχετε τη λαγκρανζιανή 2 21 2L Aq Cqq Dqt Dq E Bq . Γράψτε τις

εξισώσεις κίνησης και προσδιορίστε τη λύση ( )q q t . Θεωρείστε ότι 0(0) 0, (0)q q q .

Έστω στη συνέχεια η λαγκρανζιανή 2 22L Aq Bq . Για τις ίδιες αρχικές συνθήκες η

λύση είναι η ίδια. Γιατί; Υποθέστε ότι τα , , , ,A B C D E είναι θετικές σταθερές. 17. Θεωρήστε σωματίδιο μάζας (ηρεμίας) m το οποίο κινείται σε ευθεία, άξονα x . Η δυναμική συνάρτηση (δυναμικό) είναι της μορφής ( )V x . Η σχετικιστική κινητική

ενέργειά του είναι 2

2

2

2

,

1

mcT mc x

c

. Σχηματίστε τη λαγκρανζιανή με τη

διαδικασία L T V . Με χρήση της εξίσωσης του Λαγκράνζ δείξτε ότι δεν καταλήγετε στην αναμενόμενη σχετικιστική (διαφορική) εξίσωση κίνησης. Δεχτείτε ότι και για την περίπτωση της σχετικιστικής ορμής ισχύει η γνωστή σχέση που ορίζει τη γενικευμένη

ορμή από τη λαγκρανζιανή. Με βάση αυτό, βρείτε τη λαγκρανζιανή 2

2f 2

1L mcc

για ελεύθερο (δυνάμεων) σωματίδιο . Στη συνέχεια δείξτε ότι η λαγκρανζιανή

f( , ) ( ) ( )L x x L x V x οδηγεί στη σωστή εξίσωση κίνησης.

18. Υποθέστε ότι έχετε σύστημα δυο σωματίων με μάζες 1 2, m m που μπορούν να

κινούνται στο επίπεδο μέσα σε κατακόρυφο, προς τα κάτω ομογενές σταθερό πεδίο βαρύτητας g . Τα σωμάτια δεν αλληλεπιδρούν το ένα με το άλλο. Ως γενικευμένες

συντεταγμένες να ληφθούν οι καρτεσιανές συντεταγμένες, 1 1 2 2, , , x y x y των δυο

σωματίων αντιστοίχως, ως προς άξονες που ο x είναι οριζόντιος και ο y κατακόρυφος προς τα κάτω. Ακολουθείστε τη μέθοδο των εξισώσεων του Λαγκράνζ και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης. Σχηματίστε την ολική μηχανική ενέργεια του κάθε ενός σωματίου και με χρήση των ανωτέρω (διαφορικών) εξισώσεων κίνησης δείξτε ότι η κάθε μια διατηρείται ανεξάρτητα από την άλλη. 19. Δυο υλικά σημεία με μάζες 1 2, m m είναι μεταξύ τους δεμένα στα άκρα άμαζου

ελατηρίου. Η μάζα (1) είναι στερεωμένη στο ταβάνι, η (2) κρέμεται (κατακόρυφα) δεμένη στην άλλη άκρη του ελατηρίου και το σύστημα είναι ακίνητο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Κάποια στιγμή η μάζα (1) απαγκιστρώνεται από το ταβάνι και το όλο σύστημα κινείται σε κατακόρυφη ευθεία. α) Βρείτε τις εξισώσεις Lagrange με συντεταγμένες τις κατακόρυφες καρτεσιανές συντεταγμένες ως προς το σημείο στερέωσης της μάζας (1). β) Λύστε τις εξισώσεις κίνησης και προσδιορίστε τις κινήσεις των δυο μαζών. Στη συνέχεια, με χρήση των κινήσεων των δυο μαζών, βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου συναρτήσει του χρόνου και την κίνηση του κέντρου μάζας. 20. Εφαρμόστε τα περί κρουστικών δυνάμεων στην περίπτωση άμαζης στερεάς ράβδου της οποίας τα άκρα είναι δέσμια να κινούνται στο επίπεδο ενώ βρίσκονται συνεχώς πάνω σε δυο δεδομένες σταθερές καμπύλες του επιπέδου. Στα άκρα της ράβδου υπάρχουν σωμάτια με δεδομένες μάζες. Κάποια χρονική στιγμή ασκείται σε ένα σημείο της κινούμενης υπό την επίδραση ασκουμένων δυνάμεων ράβδου, κάθετα σε αυτήν,

98

πρόσθετη κρουστική δύναμη γνωστής γενικευμένης ώθησης. Βρείτε τις μεταβολές των ταχυτήτων των δυο σωματίων μεταξύ των χρονικών στιγμών λίγο μετά και λίγο πριν το κρουστικό φαινόμενο. 21. Δείξτε ότι για ολόνομους δεσμούς μια δυνατή μετατόπιση οδηγεί από πιθανή κατάσταση σε πιθανή κατάσταση. 22. α) Αν η λαγκρανζιανή για σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας περιέχει τις δυο πρώτες συντεταγμένες μόνο ως συνδυασμό της μορφής 1 2aq bq , όπου ,a b σταθερές,

δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά κίνησης και βρείτε την. β) Σωμάτιο κινείται στο επίπεδο υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης με τιμή

2

2 2

1 21

r rrF

r c

.

Βρείτε μια γενικευμένη δυναμική συνάρτηση που οδηγεί σε αυτή τη δύναμη. Αυτή είναι η δύναμη μεταξύ δυο κινούμενων φορτισμένων σωματίων στην ηλεκτροδυναμική του Weber. 23. Δείξτε με απευθείας υπολογισμό ότι αν μετασχηματίσομε από ένα σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων σε άλλο η μορφή των εξισώσεων του Lagrange παραμένει η ίδια. Εννοείται ότι η μετασχηματισμένη λαγκρανζιανή είναι λαγκρανζιανή με τις νέες συντεταγμένες ακόμη και αν γίνεται αλλαγή συστήματος αναφοράς. 24. Να βρεθεί γενικό κριτήριο που για δεδομένες 1 2( , , ), ( , , )L q q t L q q t μπορεί να ελεγχθεί

αν διαφέρουν κατά d ( , )

d

G q t

t.

25. Θεωρήστε τη γνωστή περίπτωση του δίσκου που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο και το επίπεδό του είναι κατακόρυφο. Κάντε χρήση των δεσμών αυτής της περίπτωσης σε μορφή διαφορικών εξισώσεων του Pfaff και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Προσδιορίστε τη λύση, δηλαδή τα

( ), ( ), ( ), ( )x x t y y t t t υποθέτοντας ότι η αρχικές τους τιμές είναι

0, 0, 0, 0, ,x y Ω. Προσδιορίστε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης των δεσμών. Στη συνέχεια προσδιορίστε τις καρτεσιανές (συνήθεις) δυνάμεις δεσμών.

26. Θεωρήστε τη γνωστή περίπτωση του δίσκου που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο και το επίπεδό του είναι κατακόρυφο. Κάντε χρήση των δεσμών αυτής της περίπτωσης σε μη γραμμική μορφή και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Προσδιορίστε τη λύση, δηλαδή τα ( ), ( ), ( ), ( )x x t y y t t t υποθέτοντας ότι η αρχικές τους τιμές είναι

0, 0, 0, 0, ,x y Ω.

27. Βρείτε τη μετρική του χώρου για πολικές συντεταγμένες, για σφαιρικές συντεταγμένες και για κυλινδρικές συντεταγμένες.

99

28. Είναι δυνατόν να διευρύνομε τις γενικευμένες συντεταγμένες συστήματος με ολόνομους δεσμούς της μορφής ( , , ) 0 1, 2,...,lf q q t l M ώστε να συμπεριληφθούν σε

αυτές και οι συναρτήσεις ( )l t , οι γνωστοί πολλαπλασιαστές Lagrange, έτσι το σύνολο

των νέων μεταβλητών (συντεταγμένων) είναι 1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ), ( , ,..., )n M n Mq q q q .

Η νέα λαγκρανζιανή κατά τα γνωστά είναι 1

( , , ) ( ) ( , )M

l ll

L q q t λ t f q t

. Τώρα θα είναι

συνάρτηση των j , δηλαδή

1 2( , ,..., , )n ML L t .

Οι δυνατές μετατοπίσεις είναι δ (δ ,δ )q . Με αυτές τις διευρυμένες συντεταγμένες δείξτε ότι ισχύει η αρχή του D’Alembert και οι εξισώσεις Lagrange για την

1 2( , ,..., , )n ML L t χωρίς δεσμευτικές σχέσεις. Στη συνέχεια δείξτε ότι από αυτές

καταλήγετε στις γνωστές εξισώσεις Lagrange στις συντεταγμένες q .

29. Ξεκινήστε από τη γνωστή έκφραση για την αρχή D’Alembert και βρείτε μιαν άλλη

έκφρασή της που να περιλαμβάνει τη δυνατή μεταβολή (παραλλαγή) δL , παραγώγους

του L , τα δq και τις δυνάμεις που δεν περιέχονται στη λαγκρανζιανή.

30. Ξεκινήστε από τις σχέσεις 1

( , , ) ( , ) ( , ) 0, 1, 2,..., n

l lk k lk

g q q t A q t q A q t l M

.

Υποθέστε ότι κάνετε δυνατές μεταβολές δq τέτοιες που να ισχύουν

1

0 1, 2,...,n

lj

j j

gδq l M

q

. Βρείτε υπό ποιες προϋποθέσεις ισχύουν για τις δυνατές

μεταβολές οι σχέσεις δ ( , , ) 0 1, 2,...,lg q q t l M .

31. Υποθέστε ότι σωμάτιο μάζας m εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση. Η θέση του προσδιορίζεται από τη συντεταγμένη q . Το σωμάτιο κινείται προς τα κάτω μέσα σε

ομογενές πεδίο βαρύτητας και ασκείται πάνω του δύναμη τριβής, 2bq

m . Η εξίσωση

κίνησης είναι η γνωστή, 2bq g q

m , όπου ο άξονας της συντεταγμένης q , είναι

θετικός προς τα πάνω. Να δειχθεί ότι λαγκρανζιανή του συστήματος είναι η 22

exp2 2

b q mgL q

m b

.

32. Δείξτε ότι για πύραυλο που κινείται προς κατακόρυφα προς τα πάνω μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας ενώ δέχεται δύναμη τριβής της μορφής bq , η εξίσωση κίνησης είναι

100

0 0 0 r( ) ( )m t q m t g bq .

Ο άξονας για το q είναι θετικός προς τα πάνω. ( )m m t είναι η μάζα του πυραύλου

και 0m είναι η αρχική μάζα του πυραύλου, 0m είναι ο σταθερός ρυθμός

μεταβολής αυτής της μάζας, r ( )t είναι η ταχύτητα εκροής των αερίων της καύσης

σχετικά με τον πύραυλο. Να δειχτεί ότι λαγκρανζιανή του συστήματος είναι η

2

/ 0 r0

0

[( ) ( )]( )

2b m t g t qq

L m tm t

.

33. Δείξτε ότι για σχετικιστικό σωμάτιο που κινείται ελεύθερο από οποιεσδήποτε

δυνάμεις, κατά μήκος του άξονα x , υπάρχει η λαγκρανζιανή, 2

2 1x

L mcc

.

Θυμίζομε ότι η εξίσωση κίνησης είναι 2

d0

d1

mx

t xc

.

34. Βρείτε τη λαγκρανζιανή για σωμάτιο που κινείται ευθύγραμμα υπό την επίδραση

μιας μοναδικής δύναμης που είναι η δύναμη τριβής, q , η οποία είναι αντίθετη της

κίνησης, με τους δυο τρόπους που αναπτύξαμε. Η εξίσωση κίνησης είναι η 0q q .

Α) Εφαρμόστε πρώτα τη θεωρία που αναφέρεται μόνο σε μονοδιάστατη κίνηση. Β) Στη

συνέχεια, δείξτε ότι αυτή η εξίσωση κίνησης δεν είναι self adjoint. Πολλαπλασιάστε την

επί e t και δείξτε ότι η προκύπτουσα εξίσωση (ισοδύναμη της προηγούμενης) είναι self

adjoint. Εφαρμόστε τη σχετική μεθοδολογία για αυτή την περίπτωση και βρείτε τη

λαγκρανζιανή.

35. Θεωρήστε δυο σωμάτια 1,2 μέσα σε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή. Η κίνηση του

κάθε σωματίου είναι ευθύγραμμη. Υπενθυμίζεται ότι οι δυο εξισώσεις κίνησης είναι,

2 21 1 2 20, 0q q q q . Α) Δοκιμάστε να προσδιορίσετε λαγκρανζιανή που να

ικανοποιεί τις σχέσεις, 2 21 1 2 2

1 1 2 2

d d,

d d

L L L Lq q q q

t q q t q q

. Πρέπει να

βρείτε το γνωστό αποτέλεσμα 2 2 2 2 2 21 2 1 2

1

2L q q q q .

101

Β) Στη συνέχεια δοκιμάστε να προσδιορίσετε λαγκρανζιανή που να ικανοποιεί τις

σχέσεις, 2 22 2 1 1

1 1 2 2

d d,

d d

L L L Lq q q q

t q q t q q

. Θα βρείτε την

21 2 1 2L q q q q .

36. Ας εξετάσομε την κίνηση ενός ελεύθερου από δυνάμεις σωματίου που εκτελεί

μονοδιάστατη κίνηση. Η εξίσωση κίνησης είναι 0q . Πολλαπλασιάζομε αυτή τη σχέση

επί 2( ), 0f q f , οπότε καταλήγομε στην «ισοδύναμη» εξίσωση κίνησης, 2( ) 0f q q .

Δείξτε ότι αυτή η εξίσωση είναι self adjoint. Εφαρμόστε την αντίστοιχη μεθοδολογία, και

δείξτε ότι

2( )1

0 0

1d d ( )

q

L xf x

. Α) Διαλέξτε ( ) 1f x , και βρείτε την αντίστοιχη

λαγκρανζιανή. Β) Διαλέξτε 2( ) 1 5f x x και βρείτε μιαν άλλη λαγκρανζιανή που δεν

διαφέρει από την προηγούμενη, κατά τα γνωστά, κατά μιαν ολική παράγωγο ως προς το

χρόνο. Γ) Ξεκινήστε από την αρχική, συνήθη, εξίσωση κίνησης 0q , εφαρμόστε τη

μέθοδο για μονοδιάστατα προβλήματα και προσδιορίστε μια λαγκρανζιανή.

37. Θεωρήστε συντηρητικό σύστημα με n γενικευμένες συντεταγμένες θέσης, βαθμούς

ελευθερίας. Υποθέστε ότι το σύστημα βρίσκεται σε θέση μη ασταθούς ισορροπίας

(μπορεί για κάποιες συντεταγμένες η θέση να είναι θέση ευσταθούς και για κάποιες

άλλες, αδιάφορης ισορροπίας) όταν 1 2 ... 0.nq q q Δείξτε ότι για μικρού πλάτους

μετακινήσεις από αυτή τη θέση η δυναμική συνάρτηση (ενέργεια) του συστήματος είναι

της μορφής , 1

1

2

n

ij i ji j

V V q q

, η κινητική ενέργεια είναι 2 2

, 1

1

2

n

ij i ji j

T T q q

, όπου τα ,ij ijV T

είναι σταθερά. Αυτό είναι χρήσιμο διότι οδηγεί, γενικώς, σε συζευγμένες αρμονικές

ταλαντώσεις μικρού πλάτους.

38. Μελετήστε την περίπτωση εξαναγκασμένων ταλαντώσεων για σύστημα συζευγμένων

αρμονικών ταλαντώσεων με n γενικευμένες συντεταγμένες. Υποθέστε ότι οι δυνάμεις

εξαναγκασμού είναι της μορφής 0 cos( )j j jG G t . Τα ,ij ijT V είναι γνωστά.

102

39. Μελετήστε τις ταλαντώσεις που εκτελούν οι σημειακές μάζες 1 2m m m , του

σχήματος Πρo. 2.35 . Η κίνηση γίνεται πάνω στην ευθεία των ελατηρίων οι

κατευθύνουσες δυνάμεις (σταθερές) των ελατηρίων είναι 1 12 2, , k k k k k . Το μεσαίο

ελατήριο είναι η αιτία που υπάρχει σύζευξη. Το πρόβλημα αυτό είναι το πρόβλημα δυο

συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών. Οι γενικευμένες συντεταγμένες 1 2,x x , είναι οι

μετατοπίσεις των μαζών 1,2 από τη θέση ισορροπίας του συστήματος. Προσδιορίστε την

κίνηση 1 1 2 2( ), ( )x x t x x t , όταν 1 10 2 20 1 2(0) , (0) , (0) (0) 0x x x x x x . Προσδιορίστε

τις κανονικές συντεταγμένες. Δεν υπάρχει βαρύτητα.

Σχήμα Προ. 2.35

40. Μελετήστε το γνωστό διπλό εκκρεμές όπου τα δυο μήκη είναι ίσα, l , και οι δυο

σημειακές μάζες είναι ίσες, m . Η μελέτη να γίνει για μικρού πλάτους αιωρήσεις. Βρείτε

τις ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης και τις κανονικές συντεταγμένες συναρτήσει των

γενικευμένων συντεταγμένων.

41.Το πάνω άκρο ενός άμαζου ελατηρίου με σταθερά k είναι ακλόνητα στερεωμένο. Στο

κάτω άκρο του είναι δεμένη σημειακή μάζα m και επίσης ένα άλλο ίδιο ελατήριο που

στο άλλο άκρο του είναι δεμένη σημειακή μάζα 2m . Αρχικά τα ελατήρια ισορροπούν

στην κατακόρυφη θέση μέσα στο πεδίο βαρύτητας, g . Βρείτε τις κανονικές συχνότητες

και τις κανονικές συντεταγμένες συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων. Το

σύστημα εκτελεί κίνηση στην κατακόρυφη διεύθυνση.

103

42. Μελετήστε την κίνηση του συστήματος που φαίνεται στο Σχήμα Προ. 2.38. Αυτό

είναι μοντέλο για κλασική περιγραφή τριατομικού συμμετρικού μορίου. Υποθέστε ότι το

σύστημα μπορεί να κινείται μόνο κατά μήκος της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι

σημειακές μάζες. Προσδιορίστε τις ιδιοσυχνότητες και βρείτε τις κανονικές

συντεταγμένες συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων. Θεωρήστε ως γενικευμένες

συντεταγμένες τις μετατοπίσεις των μαζών από τη θέση ισορροπίας του συστήματος. Τα

δυο ελατήρια είναι ίδια.

Σχήμα Προ. 2.38

43. Το πρόβλημα 38, μοντέλο κλασικής φυσικής για τριατομικό μόριο, μπορεί να

μετατραπεί σε πρόβλημα με δυο γενικευμένες συντεταγμένες (δυο βαθμών ελευθερίας),

υποθέτοντας ότι κατά την κίνηση του συστήματος το κέντρο μάζας του είναι ακίνητο.

Θεωρήστε ως συντεταγμένες τις 1 2,y y όπου το 1 2 1 2 3 2,y y . 1 2 3, , είναι οι

συντεταγμένες των μαζών 1,2,3 αντιστοίχως. Με χρήση της ακινησίας του κέντρου

μάζας κάντε απαλοιφή του 2 .

44. Για το πρόβλημα του απλού εκκρεμούς προσδιορίστε την (διαφορική) εξίσωση

κίνησης για τη γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο, όταν υπάρχει δύναμη τριβής που

ασκείται στο σωμάτιο του εκκρεμούς η οποία είναι της μορφής (νόμος του Stokes)

, 0, σταθεράF kr k k . Να λυθεί με τη μεθοδολογία περί δυνάμεων απωλειών.

Βρείτε τη φυσιολογική λαγκρανζιανή και τη συνάρτηση Rayleigh και στη συνέχεια κάντε

χρήση της εξίσωσης Euler-Lagrange για τον προσδιορισμό της (διαφορικής) εξίσωσης

κίνησης.

45. Υποθέστε ότι έχετε δυο (άμαζα) ελατήρια με σταθερές 1 2,k k και φυσικά μήκη 1 2,l l

αντιστοίχως. Το ελατήριο 1 έχει το ένα άκρο του ακλόνητα δεμένο σε ένα σημείο. Στο

104

άλλο άκρο του είναι δεμένο υλικό σημείο μάζας 1m . Σε αυτό το άκρο είναι δεμένο το

ελατήριο 2 και στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου 2 είναι δεμένο υλικό σημείο μάζας 2m .

Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας και μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία στην

οποία βρίσκονται και τα δυο ελατήρια. Υποθέστε ότι στο κάθε ελατήριο ασκείται δύναμη

τριβής της μορφής 1 1 2 2,C x C x (Stokes), 1 2 1 20, 0, , σταθερέςC C C C και 1 2,x x οι

αντίστοιχες ταχύτητες των σωματίων. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία με δυνάμεις

απωλειών, βρείτε τη φυσιολογική λαγκρανζιανή του συστήματος και τη συνάρτηση

απωλειών Rayleigh και στη συνέχεια από τις εξισώσεις Lagrange βρείτε τις εξισώσεις

κίνησης. Στο τέλος μετασχηματίστε σε μεταβλητές 1 2,q q οι οποίες είναι οι

απομακρύνσεις των δυο μαζών αντιστοίχως από τις θέσεις ισορροπίας τους.

46. Δείξτε ότι για την περίπτωση του μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή, αν το

σύστημα υποστεί μετασχηματισμό κλίμακας όπου και ο χρόνος μετασχηματίζεται

κατάλληλα κατά τα γνωστά, τότε η περίοδος του συστήματος μένει η ίδια, χωρίς να

λύσετε τις εξισώσεις κίνησης αλλά με χρήση της θεωρίας περί μηχανικής ομοιότητας.

47. Με τη μέθοδο της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι στην περίπτωση κεντρικής

κίνησης τύπου Kepler, ισχύει ο σχετικός νόμος για τις περιόδους των τροχιών και

αντίστοιχων διαστάσεων των τροχιών των πλανητών. Υπενθυμίζομε ότι

2 3

1 1

2 2

T R

T R

.

48. Με τη μέθοδο της θεωρίας της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι για την ελεύθερη

πτώση υλικού σημείου μέσα σε σταθερό και ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας ο χρόνος

πτώσης είναι ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας του αρχικού ύψους. Υποτίθεται ότι η

αρχική ταχύτητα είναι μηδέν.

49. Με τη μέθοδο της θεωρίας της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι ο λόγος των χρονικών

διαστημάτων, για την ίδια διαδρομή, για σωμάτια που έχουν διαφορετικές μάζες αλλά την

ίδια δυναμική ενέργεια, είναι t m

t m

.

105

50. Με τη μέθοδο της θεωρίας της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι ο λόγος των χρονικών

διαστημάτων για την ίδια διαδρομή σωματιδίων που έχουν την ίδια μάζα αλλά δυναμικές

ενέργειες που διαφέρουν κατά σταθερό συντελεστή, είναι t V

t V

.

51. Θεωρήστε σωμάτιο που κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα σε πεδίο βαρύτητας,

οπότε έχει δυναμική ενέργεια V gy . Η κινητική του ενέργεια είναι 2 21

2T x y .

Υπάρχει η δεσμευτική σχέση 0y tx . Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης. 52. Υποθέστε ότι έχομε έναν κυκλικό δακτυλίδι που το επίπεδό του είναι κατακόρυφο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Μια μικρή χάνδρα ορισμένης μάζας είναι δέσμια να κινείται χωρίς τριβή κατά μήκος του δακτυλιδιού. Το δακτυλίδι περιστρέφεται περί την κατακόρυφη διάμετρό του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Θεωρήστε ως (μοναδική, γνήσια) συντεταγμένη τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία που ενώνει το κέντρο του κύκλου με τη χάνδρα με την κατακόρυφο. Αυτή η γωνία είναι μηδέν όταν η χάνδρα είναι στο κατώτερο σημείο του δακτυλιδιού και παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές. Προσδιορίστε τη λαγκρανζιανή για το σύστημα και βρείτε τη (διαφορική) εξίσωση κίνησης.