ΔΕΙΓΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Επιμέλεια :Κόκκορης Α .Διονύσιος __________________________________________

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ` ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΕΙΓΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΚΟΚΚΟΡΗΣ Α . ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ


2

1. ΠΩΣ εργαζόμαστε για βρούμε το ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ μίας συνάρτησης.

Αν η συνάρτηση είναι ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ τότε το ΠΟ είναι το .

Παράδειγμα

Έστω 45 25 xxxf , τότε το ΠΟ είναι το .

Αν η συνάρτηση περιέχει ΡΙΖΑ τότε πρέπει το ΥΠΟΡΙΖΟ να είναι

ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ Η ΙΣΟ από το ΜΗΔΕΝ .

Δηλαδή αν xgxf πρέπει 0xg .


Έστω 565 32 xxxxf , τότε πρέπει 0652 xx 3,2 x

Άρα το ΠΟ = 3,2

Αν η συνάρτηση περιέχει ΚΛΑΣΜΑ τότε πρέπει ο ΠΑΡΑΝΟΜΑΣΤΗΣ να είναι

ΔΙΑΦΟΡΟΣ από το ΜΗΔΕΝ. Δηλαδή αν xgxa

xf πρέπει 0xg .


Έστω 3

7

x

xxf , τότε πρέπει 03 x δηλαδή 3x .

Άρα ΠΟ = ,33,A

Αν η συνάρτηση περιέχει xfln ή xflog τότε πρέπει 0xf .


Έστω 34ln 2 xxxf , τότε πρέπει 0342 xx 3,1 x

Άρα ΠΟ = 3,1A


3

Συνδυασμός των παραπάνω περιπτώσεων


Έστω 23

3ln 2

x

x

xxf τότε πρέπει:

03

3ln

03

3

03

x

x

x

x

x

( I )

Το πεδίο ορισμού προκύπτει από την λύση του συστήματος ( I ), δηλαδή :

13

3

3,3

3

x

x

x

x

3,0

3,3

3

x

x

x

, άρα 3,0x

ΠΡΟΣΟΧΗ !!!

Ειδική περίπτωση : Πως βρίσκουμε το ΠΟ της xhxgxf

Στα σχολικά βιβλία και στα φροντιστηριακά αναφέρετε ότι το πεδίο ορισμού είναι το

σύνολο 0/ xgx . Στο περιοδικό Ευκλείδης Β- τεύχος 3 - 1993 ανακοινώθηκε ότι

αυτό είναι λάθος .

Πρέπει: • xhxg ,0

• 0,0 xhxg

• xhxg ,0 ακέραιος


Να βρεθεί το ΠΟ της x

xxf

5

1 .

Πρέπει: • xx

,05

1 5005 xήxxx

1ln3

3ln

3,3

3

x

x

x

x


4

• 0,05

1 xx

5 x

• xx

,05

1 ακέραιος 50 x , x ακέραιος 4,3,2,1 x

Άρα ΠΟ = ,54,3,2,10,A

Ασκήσεις για λύση

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :

i )

x

xxf

1

4

ii) 99 22 xxxf

iii )

x

xxf

3

3ln

iv ) ))1ln(1ln( xxf

v)

1

4 2

xe

xxf

vi) 22 xx eexf

2. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 362 xxxf αν το σύνολο τιμών

της είναι το 5,2Af .

2. ΠΩΣ βρίσκω το ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ της xf , δηλαδή το y

● Έστω xf με ΠΟ το Α. Θέτουμε xfy και κατασκευάζουμε εξίσωση με

άγνωστο το x την οποία λύνουμε . Επειδή Ax βρίσκουμε το y λύνοντας την

ανισότητα. (Αν δεν μπορούμε;;;;; βλ παράδειγμα).


1.Να βρεθεί το ΣΤ της 522 xxxf , x .


5

Λύση

522 xxy 0522 yxx , το x , αρα 0 , δηλαδη 0544 y

4 y . Άρα ΣΤ = ,4 .

2.Να βρεθεί το ΣΤ της 1

12

2

xx

xxxf ,

3. ΠΩΣ αποδεικνύουμε ότι δυο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ είναι ΙΣΕΣ

● Εξετάζουμε 1) εάν έχουν το ΙΔΙΟ πεδίο ορισμού.

&

2) εάν έχουν τον ΙΔΙΟ τύπο.


Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις οι συναρτήσεις είναι ισες. Αν f≠g

να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει

f(x) = g(x) αν :

i) xx

xxf

2

2 1 και

xxg

11

ii) x

x

x

xxxf

2

2

και

0,2

0,2

x

xxg

iii) 2 xxxf και 2 xxxg

Λύση

i) *fA επίσης *gA Αρα θα ελέγξουμε τους τυπους των συναρτησεων

xgxx

x

xx

x

xx

xxf

11

1

1

112

2

2

. Αρα f=g.

ii) *fA επίσης *gA Αρα θα ελέγξουμε τους τυπους των συναρτήσεων


6

• x>0 εχουμε xgx

x

x

x

x

x

x

xxxf 2

2

2

2

2

• x<0 εχουμε xgx

x

x

x

x

x

x

xxxf

2

2

2

2

2

. Αρα f=g.

iii) Είναι ,20,fA και ,2gA . Αρα f≠g

ωστόσο στο διαστημα ,2 μπορούμε να μιλήσουμε για ισότητα των συναρτήσεων

διότι

xgxxxxxf 22

Ασκήσεις για λύση

Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι gf . Στις περιπτώσεις

όπου gf να προσδιορίσετε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο ισχύει

xgxf αν :

1. xx

xgx

xf

3

1,

2

1

2. 12

1,

3

21

xxg

x

xxf

3. ,2

2

xx

xxf

,

1

2

x

xxxg

4. xxx

xxg

xx

xxxf

2

32,

2

5. x

xxg

xx

xxxf

1

5,

23

872

2

2

6. Αν οι συναρτήσεις f, g εχουν κοινο πεδιο ορισμου το Α και για κάθε Ax ισχυει :

2

22 xgfxxgfxgf 224xxgf

Τότε να δείξετε ότι f = g.


7

4. ΠΩΣ αποδεικνύουμε ότι η xf είναι 1-1

● Αποδεικνύω ότι για οποιοδήποτε 21 , xx που ανήκουν στο ΠΟ της f :

Aν 2121 xxxfxf ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ

5. ΠΩΣ βρίσκουμε τα ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ των γραφικών παραστάσεων

δυο συναρτήσεων gf , .

● Λύνουμε την εξίσωση xgxf .

6. ΠΩΣ βρίσκουμε τα ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ της γραφικής παράστασης με

τους άξονες.

● Λύνουμε την εξίσωση 0xf για να βρούμε που τέμνει τον άξονα xx'

● ‘Βάζουμε’ όπου x το μηδέν στην xfy και βρίσκουμε το y , για να βρούμε που

τέμνει τον άξονα yy' .

Ασκήσεις

1.Να βρεθούν τα σημεία τομής των συναρτήσεων

1. 3223 xxxxf και 22 xxg

2. 1ln1 xxf και 2xg

2 Να βρεθούν τα σημεία τομής των συναρτήσεων με τον άξονα χ΄χ

1. 2 xexf

2. 65 24 xxxf

3. 652 xxxf


8

3 Για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον

άξονα χ’χ;

1. 2 xexf

2. 65 24 xxxf

3. 652 xxxf

7. ΠΩΣ βρίσκουμε την g αν ξέρουμε την fog& f .

● Θέτουμε στην xf όπου x το xg και το αποτέλεσμα το εξισώνουμε με την fog ,

στην συνέχεια λύνουμε ως προς xg .


Έστω 724 4 xxxfog και 12 xxf , να βρεθεί η g .

Λύση

12 xxf 12 xgxgf . Όμως 724 4 xxxgf . Αρα,

12 xg 724 4 xx xg 422

824 44

xxxx

8. ΠΩΣ βρίσκουμε την f αν ξέρουμε την fog & g .

● Λύνουμε ως προς x τον τύπο της g και αντικαθιστούμε στην fog το xg με x .



9

Έστω 254 2 xxxfog και 1 xxg , να βρεθεί η f .

Λύση

Έχουμε 1 xgx . Άρα 214 xgxgf -5 1xg +2 ...........

…… 334 2 xgxgxgf , άρα 334 2 xxxf .

9. ΠΩΣ βρίσκουμε τα σημεία τομής της fC και 1fC

1.Λυνω την εξισωση xfxf 1

2.Αν η συνάρτηση f είναι αύξουσα τότε αντί να λύσουμε την xfxf 1 λύνουμε

την xxf η οποία είναι ισοδύναμη και πιο εύκολη.

Να αποδειχθεί!!!!!!

ΧΡΗΣΙΜΟ

3.Αν η εξίσωση xfxf 1 είναι δύσκολο να λυθεί τοτε λύνω το ισοδύναμο

σύστημα:

xfy

xfy

1.

xyf

xfy

Παράδειγμα-Άσκηση

Να βρεθούν τα σημεία τομής των fC και 1fC αν xxxxf 23

10. ΠΩΣ εργαζόμαστε σε ασκήσεις που περιέχουν xf 1

● Χρησιμοποιώ τον ΟΡΙΣΜΟ της xf 1 .

Δηλαδή yfxyxf 1 από την οποία έχουμε ,

yyff 1 και xxff 1


Έστω μια συνάρτηση f η οποία αντιστρέφεται και για κάθε yx, ισχύει

yfxfyxf


10

Δείξατε ότι yfxfyxf 111

Λύση

Η f αντιστρέφεται άρα,

yf

xf

1

1

fy

fx .Συνεπώς,

1fyxyxf 111 fff

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………..

ΔΕΙΓΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Documents

Transcript of ΔΕΙΓΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ