μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis

Μαθηματικά Προσανατολισμού

Β΄ Λυκείου

Στάμου Γιάννης

Αναλυτική θεωρία – Λυμένα παραδείγματα

Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις – Επαναληπτικά διαγωνίσματα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου

Στάμου Γιάννης Σελίδα 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

Ενότητα I: Η έννοια του διανύσματος σελ. 4

Στοιχεία διανύσματος σελ. 4

Πράξεις με διανύσματα σελ. 9

Λυμένα παραδείγματα σελ. 15

Ενότητα ΙΙ: Συντεταγμένες στο επίπεδο σελ. 20

Συντεταγμένες διανύσματος σελ. 21

Μέτρο διανύσματος σελ. 25


Ενότητα ΙΙΙ: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων σελ. 33

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου σελ. 34

Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα σελ. 35


Ερωτήσεις κατανόησης 1ου

κεφαλαίου σελ. 45

Ασκήσεις σελ. 50

Φύλλο εργασίας σελ. 58

Το θέμα σελ. 61

Κεφάλαιο 2ο: Ευθεία

Ενότητα Ι: Εξίσωση ευθείας σελ. 62

Εξίσωση γραμμής σελ. 62

Συνθήκες παραλληλίας-καθετότητας ευθειών σελ. 64

Μορφές εξίσωσης ευθείας σελ. 65


Ενότητα ΙΙ: Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας σελ. 78

Διάνυσμα παράλληλο ή κάθετο σ’ ευθεία σελ. 79

Γωνία δύο μη-παραλλήλων ευθειών σελ. 79


Ενότητα ΙΙΙ: Απόσταση σημείου από ευθεία-Εμβαδόν τριγώνου σελ. 85









Κεφάλαιο 3ο: Κωνικές τομές

Ενότητα Ι: Ο κύκλος σελ.108

Εξίσωση κύκλου σελ. 108

Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου σελ. 108

Εφαπτομένη κύκλου σελ. 109

Η εξίσωση 2 2 0x y x y σελ. 110


Ενότητα ΙΙ: Η παραβολή σελ. 128

Εξίσωση παραβολής σελ. 128

Ιδιότητες παραβολής σελ. 130

Εφαπτομένη παραβολής σελ. 131

Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής σελ. 133


Ενότητα ΙΙΙ: Η έλλειψη σελ. 146

Εξίσωση έλλειψης σελ. 146

Ιδιότητες έλλειψης σελ. 149

Εκκεντρότητα έλλειψης σελ. 151

Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης σελ. 153

Εφαπτομένη έλλειψης σελ. 153

Ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης σελ. 154


Ενότητα ΙV: Η υπερβολή σελ. 172

Εξίσωση υπερβολής σελ. 172

Ιδιότητες υπερβολής σελ. 175

Ασύμπτωτες υπερβολής σελ. 177

Εκκεντρότητα υπερβολής σελ. 179

Εφαπτομένη υπερβολής σελ. 181

Ανακλαστική ιδιότητα υπερβολής σελ. 182


Ενότητα V: Η εξίσωση 2 2 0x y x y σελ. 198

Μεταφορά αξόνων σελ. 198

Η εξίσωση 2 2 0x y x y σελ. 199



Σχετική θέση ευθεία και κωνικής σελ. 199





Γενικές επαναληπτικές ασκήσεις σελ. 234



Κεφάλαιο 4ο: Θεωρία αριθμών

Ενότητα Ι: Η μαθηματική επαγωγή σελ. 244



Βιβλιογραφία σελ. 257



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Η έννοια του διανύσματος

Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή είναι ένα

ευθύγραμμο τμήμα με διατεταγμένα άκρα. Το πρώτο άκρο ονομάζεται αρχή ή σημείο

εφαρμογής και το δεύτερο άκρο τέλος ή πέρας του διανύσματος. Το διάνυσμα με αρχή το

σημείο Α και τέλος το σημείο Β συμβολίζεται με , έτσι ώστε να διακρίνεται απ’ το

ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

Αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα ονομάζεται

μηδενικό και συμβολίζεται με 0 . Π.χ το διάνυσμα είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Δηλαδή 0 .

Για το συμβολισμό ενός διανύσματος συχνά χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα του

ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου, όπως: , , , ,u v w ….

Στοιχεία διανύσματος

Μέτρο ενός διανύσματος ονομάζεται η απόσταση των άκρων του, δηλαδή το μήκος

του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και συμβολίζεται με . Άρα =d(Α,Β)=(ΑΒ).

Για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα είναι >0, ενώ για το μηδενικό διάνυσμα

ισχύει ότι =0. Συνεπώς ισχύει ότι 0, για κάθε διάνυσμα .

Αν =1, τότε το διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο.

Φορέας ενός μη-μηδενικού διανύσματος λέγεται η ευθεία που ορίζεται απ’ τα

σημεία Α και Β, δηλαδή η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα.

u

Α Β



Ως φορέα του μηδενικού διανύσματος μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία

διέρχεται απ’ το σημείο Α.

Αν ο φορέας ενός διανύσματος u είναι παράλληλος προς μια ευθεία (ε) ή ταυτίζεται μ’ αυτή,

τότε λέμε ότι το διάνυσμα u είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και γράφουμε u //(ε).

Συγγραμμικά διανύσματα

Δύο μη-μηδενικά διανύσματα και ονομάζονται παράλληλα ή συγγραμμικά όταν

έχουν κοινό φορέα ή παράλληλους φορείς. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα

έχουν την ίδια διεύθυνση και γράφουμε / / .

.

ε3

ε1 ε2

Α

Α Β ε1

Δ Γ ε2

Α

Β

ε

Α

Β

Γ

Δ

ε



Δύο μη-μηδενικά διανύσματα και λέγονται ομόρροπα όταν:

α) έχουν τον ίδιο φορέα και μία απ’ τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη

. .

β) έχουν παράλληλους φορείς και η ευθεία ΑΓ που ενώνει τις δύο αρχές αφήνει τα πέρατα Β

και Δ των δύο διανυσμάτων στο ίδιο ημιεπίπεδο.

ε

Α. Β

Γ. Δ

Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα και είναι ομόρροπα γράφουμε .

Τα ομόρροπα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά, έχουν δηλαδή την ίδια

κατεύθυνση.

Δύο μη-μηδενικά διανύσματα και θα λέγονται αντίρροπα όταν έχουν τον ίδιο

φορέα ή παράλληλους φορείς και δεν είναι ομόρροπα.

ε

Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα και είναι αντίρροπα γράφουμε .

Α

Β

Γ Δ

Α Β Γ Δ ε

Α Β Γ Δ

ε



Τα αντίρροπα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση κι αντίθετη φορά, έχουν δηλαδή

αντίθετες κατευθύνσεις.

Δεχόμαστε ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ομόρροπο κι αντίρροπο προς οποιοδήποτε

διάνυσμα.

Ισότητα διανυσμάτων

Έστω τα διανύσματα , 0 . Θα λέμε ότι τα διανύσματα και είναι ίσα μεταξύ τους

και θα γράφουμε = , αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα.

Ισχύει δηλαδή ότι: =

.

Η ισότητα δύο διανυσμάτων και δίνει την εικόνα ενός παραλληλογράμμου.

/ /

( ) ( )

ΑΒΔΓ παραλληλόγραμμο.

Απ’ την ισότητα προκύπτουν οι ισοδυναμίες:

1.

2.

3.

Επίσης ισχύουν τα εξής:

Α Β

Γ Δ



1. (τα σημεία Β και Γ ταυτίζονται)

2. 0 (τα σημεία Α και Β ταυτίζονται)

3. Μ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ

Αντίθετα διανύσματα

Έστω τα διανύσματα , 0 . Θα λέμε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα μεταξύ

τους και θα γράφουμε , αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα κι έχουν ίσα

μέτρα.

Ισχύει δηλαδή ότι:

.

Το αντίθετο διάνυσμα του είναι προφανώς το - , είναι όμως και το . Άρα ισχύει

ότι: -= .

Το αντίθετο του μηδενικού διανύσματος είναι το ίδιο το μηδενικό διάνυσμα. Δηλαδή: - 0 0 .

Γωνία δύο διανυσμάτων

Έστω , δύο μη-μηδενικά διανύσματα και τα σημεία Ο, Α, Β του επιπέδου τέτοια, ώστε:

και . Ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και την κυρτή γωνία

, η οποία είναι ανεξάρτητη της εκλογής του σημείου Ο καθώς και της σειράς που

θεωρούμε τα διανύσματα και . Η γωνία

συμβολίζεται με ,

ή ,

, ενώ

πολλές φορές χρησιμοποιούμε για το συμβολισμό της ένα μικρό γράμμα του ελληνικού

αλφαβήτου π.χ φ, θ, ω.

Ο

Α

Β

θ



Έστω λοιπόν θ= ,

. Τότε ισχύουν τα εξής:

1. 0 θπ

2. θ=0

3. θ=π

Τα διανύσματα και θα ονομάζονται κάθετα ή ορθογώνια και θα γράφουμε , αν

και μόνο αν θ=2

. Άρα θ=

2

.

Αν 0 ή 0 , τότε ως γωνία των διανυσμάτων και μπορούμε να θεωρήσουμε

οποιαδήποτε γωνία θ με 0 θπ.

Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

1. Πρόσθεση διανυσμάτων

Διαδοχικά διανύσματα

Έστω τα διανύσματα και και σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε και .

Ισχύει ότι: . Το διάνυσμα είναι ανεξάρτητο της επιλογής του

σημείου Ο κι ονομάζεται άθροισμα ή συνισταμένη των διαδοχικών διανυσμάτων και

.

.

.

Ο

Α Β



Σύμφωνα με τα παραπάνω, για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ ισχύει ότι:

(διανυσματική σχέση του Chasles).

Γενικότερα ισχύει, για οποιαδήποτε σημεία Α1, Α2,….., Αν (ν 3), ότι:

1 2 2 3 1 1...... (γενικευμένη διανυσματική σχέση του Chasles).

Κανόνας του παραλληλογράμμου

Έστω τα διανύσματα και και σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε και .

Σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο με πλευρές ΟΑ κι ΟΒ. Η διαγώνιος ΟΓ του

παραλληλογράμμου ΟΑΓΒ αντιστοιχεί στο άθροισμα των διανυσμάτων και .

Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων

Για οποιαδήποτε διανύσματα , και ισχύουν:

1. (αντιμεταθετική)

2. (προσεταιριστική)

3. 0

4. 0

Απ’ τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων δε μεταβάλλεται αν

αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων ή αντικαταστήσουμε δύο ή περισσότερους προσθετέους

με το άθροισμά τους.

Ο

Α

Β

Γ



2. Αφαίρεση διανυσμάτων

Έστω τα διανύσματα και . Το διάνυσμα ονομάζουμε διαφορά του

διανύσματος απ’ το διάνυσμα και το συμβολίζουμε με .

Δηλαδή = .

Έστω σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε και . Έστω επίσης σημείο Γ τέτοιο,

ώστε και Δ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου με πλευρές τις ΟΑ και ΟΓ.

Απ’ το παραλληλόγραμμο ΟΒΑΔ προκύπτει ότι . Δηλαδή προκύπτει ότι:

.

Άλλες ιδιότητες

1. x x

2. x x

3.

4.

Ο Α

Β

Γ Δ



Μέτρο αθροίσματος-διαφοράς διανυσμάτων

Για οποιαδήποτε διανύσματα και ισχύει ότι: .

Ειδικότερα ισχύουν: και .

Αν στη θέση του διανύσματος θέσω το έχω:

.

Ειδικότερα ισχύουν: και .

Παρατήρηση

Για οποιαδήποτε διανύσματα 1 2, ,..., ισχύει ότι:

1 2 1 2... ... .

Διανυσματική ακτίνα-Σημείο αναφοράς

Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχίζεται

μοναδικό διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο, το .

Αντίστροφα, κάθε διάνυσμα ορίζει με το πέρας του τη θέση ενός και μόνο σημείου Μ

του χώρου.

Το διάνυσμα ονομάζεται διανυσματική ακτίνα ή διάνυσμα θέσης του σημείου Μ.

Το σταθερό σημείο Ο ονομάζεται σημείο αναφοράς ή αρχή των διανυσματικών ακτίνων.

Ως γνωστό ισχύει ότι: οπότε , δηλαδή το διάνυσμα

γράφεται ως διαφορά της διανυσματικής ακτίνας του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα

της αρχής του.

.

Άρα ισχύει ότι: , κτλ.

Ως σημείο αναφοράς μπορεί να θεωρηθεί οποιοδήποτε σημείο του χώρου.

Α

Ο Β



3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Έστω το διάνυσμα 0 και ο πραγματικός αριθμός λ 0. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με

το και συμβολίζουμε με ή το διάνυσμα το οποίο:

είναι ομόρροπο του αν λ>0

είναι αντίρροπο του αν λ<0

έχει μέτρο

Στην περίπτωση που είναι 0 ή λ=0, τότε ορίζουμε ότι 0

Προσοχή

Το σύμβολο δεν έχει νόημα και δεν χρησιμοποιείται.

Βασικές ιδιότητες

Για οποιαδήποτε διανύσματα και και για κάθε λ, μ , ισχύουν:

1. (αριθμητικός κοινός παράγοντας)

2. (διανυσματικός κοινός παράγοντας)

3.

4. 1

Απ’ τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν και οι εξής

1. 0 0 0ή

2.

3 2



3. 1

4.

5. Αν και λ 0, τότε (διαγραφή αριθμητικού παράγοντα)

6. Αν και 0 , τότε λ=μ (διαγραφή διανυσματικού παράγοντα)

Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα v θα λέμε ότι είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων 1 2, ,...,

αν και μόνο αν υπάρχουν λ1, λ2, …, λν τέτοια, ώστε: 1 1 2 2 ...v .

Π.χ αν 2 3 6v , τότε το διάνυσμα v αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων , και .

Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Έστω τα διανύσματα , , με 0 . Τότε ισχύει η ισοδυναμία: / / , .

Ο πραγματικός αριθμός λ είναι μοναδικός σε κάθε περίπτωση.

Χρήσιμη πρόταση

Αν , μη-συγγραμμικά διανύσματα και λ, μ , τότε ισχύει η ισοδυναμία:

0 0 .

Απόδειξη

Αν λ=μ=0, τότε η πρόταση είναι προφανής.

Έστω 0 και λ 0. Τότε / /

. Άτοπο, διότι τα

διανύσματα και δεν είναι συγγραμμικά. Όμοια αν μ 0. Άρα λ=μ=0.

Διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος

Έστω διάνυσμα και σημείο αναφοράς Ο. Έστω Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος

ΑΒ. Τότε έχουμε: και . Με πρόσθεση κατά μέλη

έχουμε: 2 22

,αφού

0 ως αντίθετα διανύσματα.



Λυμένα παραδείγματα

1. Θεωρούμε τρίγωνο

και τα διανύσματα και . Να δειχθεί

ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ.

Λύση

Επειδή ΑΒΓΜ παραλληλόγραμμο (1)

Επειδή ΑΒΝΓ παραλληλόγραμμο (2)

Απ’ τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: , άρα Γ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ.

2. Θεωρούμε τα διαφορετικά μεταξύ τους και ανά δύο μη-συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ,

και Δ. Να δειχθεί ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του επιπέδου ισχύει η ισοδυναμία:

ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο .

Λύση

ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο

.

Δ Γ

Ο

Α

Β

Μ

Μ

Α Β

Ν

Β Γ

Α Μ



3. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ σημεία

Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα τέτοια, ώστε: και . Να δειχθεί ότι τα

ευθύγραμμα τμήματα ΚΜ και ΝΛ έχουν κοινό μέσο.

Λύση

Επειδή και , έχουμε:

ΜΝΚΛ παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του ΚΜ και ΝΛ

διχοτομούνται.

4. Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Μ ισχύει ότι , να δείξετε ότι

τα σημεία Α και Μ ταυτίζονται.

Λύση

Έστω σημείο αναφοράς Ο. Τότε:

Α, Μ ταυτίζονται.

5. Δίνεται τρίγωνο

.

α) Να προσδιοριστεί η θέση σημείου Κ του επιπέδου, αν ισχύει 0 .

β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία το διάνυσμα

είναι παράλληλο στο διάνυσμα .

Λύση

α) Είναι 0 0 , οπότε η θέση

του σημείου Κ είναι η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου ΑΒΓΚ, όπου Α, Β, Γ οι

κορυφές του τριγώνου

.

Α Κ Β

Γ

Λ

Δ Μ

Ν



β) Παίρνοντας ως σημείο αναφοράς το Κ έχουμε:

0

Άρα / / / / , οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των

σημείων Μ του επιπέδου είναι η ευθεία (ε), που διέρχεται απ’ το σημείο Κ κι είναι

παράλληλη στη ΒΓ.

6. Σε τρίγωνο

να δειχθεί η ισοδυναμία: Μ=μέσο ΒΓ 1

2 .

(Βασική άσκηση)

Λύση

1

22

Μ=μέσο ΒΓ.

7. Αν ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου

, να δειχθεί ότι:

α) 0

β) , για οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου.


Λύση

Α

Β Γ

Κ ε

Α

Β Γ Δ

Ε Ζ

Ο



α) Από Άσκηση 6 έχουμε:

1 1 1

2 2 2

1

2 1

0 02

.

β) 1 1 1

2 2 2

1 1

2 2 22 2

1

2 2 .

8. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Μ, για τα οποία ισχύει: 2 3 0 .

Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

Λύση

2 3 0 2 2 0 2 0

2 0 2 / / κι επειδή τα διανύσματα και

έχουν κοινό άκρο το Γ, τότε τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

9. Δίνονται τα διανύσματα 3 6 , 2 6 και

3 9 4 , όπου , , μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι

τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

Λύση

2 6 3 6 2 6 3 6

3 5 (1)

3 9 4 3 6 3 9 4 3 6



2 6 10 2 3 5 (2)

Από (1) και (2) είναι: 2 / / κι επειδή τα διανύσματα κι έχουν

κοινό άκρο το Α, τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

10. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του

επιπέδου, το διάνυσμα 4 7 3u είναι σταθερό (δηλαδή δεν εξαρτάται απ’

τη θέση του σημείου Μ).

Λύση

4 7 3 4 4 3 3 4 3u

4 3

Το διάνυσμα 4 3 είναι ανεξάρτητο του σημείου Μ, άρα το διάνυσμα u είναι

σταθερό.



ΕΝΟΤΗΤΑ II: Συντεταγμένες στο επίπεδο

Άξονας-Τετμημένη σημείου

Έστω ευθεία x΄x πάνω στην οποία έχουμε ορίσει τυχαίο σημείο Ο. Επί της ημιευθείας Οx

ορίζουμε σημείο Ι τέτοιο, ώστε =1. Τότε έχουμε ορίσει έναν άξονα με αρχή το σημείο Ο

και μοναδιαίο διάνυσμα το i . Τον άξονα αυτό συμβολίζουμε με xΌx ή x΄x.

Η ευθεία x΄x ονομάζεται φορέας του άξονα xΌx.

Η ημιευθεία Οx ονομάζεται θετικός ημιάξονας ενώ η ημιευθεία Οx΄ αρνητικός

ημιάξονας.

Έστω Μ ένα σημείο του άξονα x΄x. Επειδή / /i τότε, ως γνωστό, θα υπάρχει μοναδικός

πραγματικός αριθμός x τέτοιος, ώστε x i .

Αντίστροφα, για κάθε πραγματικό αριθμό x, υπάρχει μοναδικό σημείο Μ του άξονα τέτοιο,

ώστε x i .

Ο πραγματικός αριθμός x ονομάζεται τετμημένη του σημείου Μ

Καρτεσιανό επίπεδο-Συντεταγμένες σημείου

Πάνω σ’ ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x΄x και y΄y, με κοινή αρχή το σημείο

Ο και μοναδιαία διανύσματα τα i και j αντίστοιχα. Τότε λέμε ότι έχουμε ένα

ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο επίπεδο ή ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή

ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Οxy.

M(x, y)

M1

M2

Ο

y

y΄

x x΄ i

j

i x΄ x

Ο Ι M(x)



Έστω τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου και Μ1, Μ2 οι προβολές του Μ στους άξονες x΄x και y΄y

αντίστοιχα. Αν x είναι η τετμημένη του Μ1 ως προς τον άξονα x΄x και y η τετμημένη του Μ2

ως προς τον άξονα y΄y, τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ. Η

τετμημένη και η τεταγμένη αποτελούν τις συντεταγμένες του Μ. Έτσι σε κάθε σημείο Μ του

επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων (x, y).

Αντίστροφα, σε κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών (x, y) αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του

επιπέδου, το οποίο βρίσκεται ως εξής: πάνω στους άξονες x΄x και y΄y παίρνουμε σημεία

Μ1(x) και Μ2(y) αντίστοιχα, απ’ τα οποία φέρνουμε παράλληλες στους άξονες y΄y και x΄x

αντίστοιχα. Το σημείο τομής τους Μ είναι το ζητούμενο.

Ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (x, y) συμβολίζεται με Μ(x, y) ή απλά με (x, y).

Ο άξονας x΄x ονομάζεται άξονας των τετμημένων.

Ο άξονας y΄y ονομάζεται άξονας των τεταγμένων.

Κάθε σημείο Α του άξονα x΄x έχει συντεταγμένες της μορφής (x, 0).

Κάθε σημείο Β του άξονα y΄y έχει συντεταγμένες της μορφής (0, y).

Συντεταγμένες διανύσματος

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με

αρχή το σημείο Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα . Αν Α1, Α2 οι προβολές του Α στους

άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, έχουμε: 1 2 (1).

Ο

Α

Α1

Α2

x x΄

y

y΄

i

j



Αν (x, y) οι συντεταγμένες του σημείου Α, τότε ισχύει 1 x i και 2 y i .

Επομένως η σχέση (1) γράφεται: x i y j x i y j .

Αποδείχθηκε λοιπόν ότι το διάνυσμα αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων i

και j .

Πρόταση

Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή x i y j .

Απόδειξη

Έστω διάνυσμα του επιπέδου τέτοιο, ώστε x i y j . Έστω επίσης ότι ισχύει και

' 'x i y j . Τότε θα είναι: ' ' ' 'x i y j x i y j x i x i y j y j

' 'x x i y y j .

Αν ' ' 0x x x x , οπότε

'

'/ /

y yi j i j

x x

. Άτοπο, διότι i j , συνεπώς x=x΄.

Τότε έχουμε 0

' ' '0 0j

y y j y y y y

.

Άρα κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή

x i y j .

Τα διανύσματα x i και y j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος κατά τη διεύθυνση

των i και j αντίστοιχα.

Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος στο σύστημα Οxy.

Ο αριθμός x λέγεται τετμημένη του διανύσματος .

Ο αριθμός y λέγεται τεταγμένη του διανύσματος .

Κάθε διάνυσμα x i y j θα συμβολίζεται ,x y .

Είναι 1,0i και 0,1j .



Ισότητα διανυσμάτων

Έστω τα διανύσματα 1 1,x y και 2 2,x y . Ισχύει η ισοδυναμία:

1 2x x και 1 2y y .

Συνεπώς αν ,x y , τότε: 0 0x και 0y .

Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων

Έστω τα διανύσματα 1 1,x y και 2 2,x y . Τότε ισχύουν τα εξής:

1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y

1 1 1 1, ,x y x y

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , , , ,x y x y x y x y x x y y

Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμήματος

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του καρτεσιανού επιπέδου κι ας

υποθέσουμε ότι το σημείο Μ(x, y) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Α(x1, y1)

Μ(x, y)

Β(x2, y2)

O x x΄

y΄

y



Είναι :

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1, , , , ,

2 2 2x y x y x y x y x x y y

1 2 1 2, ,2 2

x x y yx y

.

Επομένως 1 2

2

x xx

και 1 2

2

y yy

.

Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του καρτεσιανού επιπέδου κι ας

υποθέσουμε ότι (x, y) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος .

Τότε είναι: 2 2 1 1, , ,x y x y x y

2 1 2 1 2 1, ,x y x x y y x x x και 2 1y y y .

Άρα 2 1 2 1,x x y y , δηλαδή:

τετμημένη =τετμημένη του Β-τετμημένη του Α

τεταγμένη = τεταγμένη του Β-τεταγμένη του Α.

Α(x1, y1)

Β(x2, y2)

O x

y

x΄

y΄



Μέτρο διανύσματος

Έστω ( , )x y ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και σημείο Α με διανυσματική

ακτίνα . Αν Α1 κι Α2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα,

τότε θα ισχύει: (ΟΑ1)= x και (ΟΑ2)= y .

y

A2 Α(x, y)

x΄ Ο A1 x

y

Έτσι θα έχουμε: 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 2 x y x y , οπότε:

2 2x y .

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(x1, y1) και Β(x2, y2) του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε ως

γνωστό είναι 2 1 2 1,x x y y . Επειδή η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α και Β

ισούται με το μέτρο του διανύσματος , θα ισχύει: (ΑΒ)= 2 2

2 1 2 1x x y y .

Επομένως η απόσταση των σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) είναι ίση με:

(ΑΒ)= 2 2

2 1 2 1x x y y .

Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων

Έστω τα διανύσματα 1 1,x y και 2 2,x y του καρτεσιανού επιπέδου. Ονομάζουμε

ορίζουσα των διανυσμάτων και και συμβολίζουμε με det , , τον αριθμό x1y2-x2y1.

Δηλαδή 1 1

1 2 2 1

2 2

det , x y x yx y

x y .

Ισχύει τότε η ισοδυναμία: / / det , 0 .



Προφανώς / / det , 0 .

Πρόταση

Έστω ( , )x y ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε:

i) '/ / 0x x y , ii) '/ / 0y y x

Απόδειξη

i) '/ / / / det , 0 0 0 1 0 0 01 0

x yx x i i x y y y

ii) '/ / / / det , 0 0 1 0 0 00 1

x yy y j j x y x

Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος

Έστω ( , )x y ένα μη-μηδενικό διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και σημείο Α του

επιπέδου τέτοιο, ώστε . Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ημιάξονας Οx κατά τη θετική

φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το

διάνυσμα με τον άξονα x΄x. Είναι φανερό ότι: 0φ<2π.

Έστω x 0, δηλαδή / / 'y y . Τότε ισχύει: εφφ=y

x. Το πηλίκο

y

x, x 0, ονομάζουμε

συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος και το συμβολίζουμε με ή απλώς λ.

A(x, y)

φ

x΄ x

y

y΄

Ο



Δηλαδή: y

x εφφ, x 0.

Αν '/ /x x , δηλαδή αν y=0, τότε λ=0.

Αν '/ / y y , δηλαδή αν x=0, τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης λ.

Έστω τα διανύσματα 1 1,x y και 2 2,x y του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία δεν

είναι παράλληλα στον άξονα y΄y, δηλαδή x1, x2 0. Αν λ1, λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των

διανυσμάτων και αντίστοιχα, τότε ισχύει η ισοδυναμία:

1 1 1 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2

2 2 1 2

/ / 0 0x y y y

x y x y x y x yx y x x

.


1. Θεωρούμε τα διανύσματα 3,1 , 5,1 και 1,1 . Να βρεθεί το

διάνυσμα 2v .

Λύση

2 2 3,1 5,1 1,1 6,2 5,1 1,1 6 5 1,2 1 1 0,2v

2. Σ’ ένα επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α(3, 4), Β(-1, -2) και Γ(0, -5). Να βρεθούν οι

συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν με :

2 και 1 3

22 2

.

Λύση

Είναι: 3, 4 , 1, 2 και 0, 5 .

2 2 3,4 1, 2 0, 5 6,8 1, 2 0, 5

6 1 0,8 2 5 5,1 Μ(5, 1)



1 3 1 3 3 3

2 3,4 1, 2 2 0, 5 ,2 , 3 0, 102 2 2 2 2 2

3 3

0,2 3 10 3, 52 2

N(3, -5)

3. Δίνεται το διάνυσμα 2 24 3, 6 . Να βρείτε για ποιες τιμές του

πραγματικού αριθμού λ ισχύει: i) 0 , ii) 0 .

Λύση

i)

2

2 2

2

4 3 0 1 3 0

0 4 3, 6 0

6 0 2 3 0

1 0 3 0 1 3

3

2 0 3 0 2 3

ή ή

ή ή

ii) 0 3

4. Δίνονται τα διανύσματα 2 5, 1 και 2 24 , 6 . Να

βρείτε τα κ, λ, μ αν ισχύει .

Λύση

2 2

2 2 2

2

5 4

5, 1 4 , 6

1 6

2 22 2 2 2

2 2 2

2 4 5 0 2 1 4 4 0 1 2 0

7 7 7

222

1 2 1 2 1 2

5 52 1

.



5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-2, 1), Β(1, 4) και Κ(2, -3), όπου Κ το κέντρο

του. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ.

Λύση

Κ μέσο του ΑΓ

22

2 4 62

6, 7

1 1 6 73

2

x

x x

y y y

Κ μέσο του ΒΔ

12

1 4 32

3, 10

4 4 6 103

2

x

x x

y y y

6. Δίνονται τα σημεία Α(1, 2), Β(-3, 1) και Γ(2, -2).

α) Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου.

β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου G του τριγώνου.

Λύση

α) Πρέπει / / , δηλαδή det , 0 .

3 1,1 2 4, 1 και 2 1, 2 2 1, 4

4 1

det , 16 1 17 01 4

, άρα τα σημεία Α, Β και Γ

αποτελούν κορυφές τριγώνου.

β)

Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ του τριγώνου. Τότε ως γνωστό είναι ΑG=2

3AM,

οπότε:

Α(-2, 1) Β(1, 4)

Κ(2, -3)

Γ(xΓ, yΓ) Δ(xΔ, yΔ)

Α(1, 2)

G

Γ(2, -2) Μ Β(-3, 1)



2 2 1 1

3 3 2 3G (1)

Αν G(xG, yG), τότε 1, 2G GG x y , οπότε η (1) γίνεται:

1 1

1 1 51, 2 4, 1 1, 4 3, 5 1, 5

3 3 3 23

G

G G

G

x

x yy

1 1 0

5 12

3 3

G G

G G

x x

y y

, άρα G(0, 1

3 ).

Γενικά, αν Α(xΑ, yΑ), B(xΒ, yΒ) και Γ(xΓ, yΓ) κορυφές τριγώνου και G(xG, yG) το

βαρύκεντρό του, τότε: 3

G

x x xx

και 3

G

y y yy

.

7. Να αναλυθεί το διάνυσμα 1, 2 σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα

διανύσματα 3, 4 και 2, 3 .

Λύση

Έστω u και v , λ,μ οι δύο συνιστώσες του διανύσματος . Τότε:

1, 2 3,4 2, 3u v

1

3 2 1 171, 2 3 2 ,4 3 .....

4 3 2 10

17

.

Άρα 1 10

17 17 .

8. Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες τα σημεία Α(1, 0), Β(-μ2, 3) και

Γ(-5μ, 9) είναι συνευθειακά.

Λύση

Πρέπει / / , δηλαδή det , 0 .

Όμως 2 1,3 και 5 1,9 .



2

2

2 2 2

1 3det , 0 0 9 1 3 5 1 0

5 1 9

9 9 15 3 0 9 15 6 0 3 5 2 0

21

3ή .

9. Θεωρούμε τα διανύσματα , 6 και 6, 9 . Να υπολογιστεί η τιμή

του λ, ώστε τα διανύσματα και να είναι αντίρροπα.

Λύση

Πρέπει αρχικά να είναι / / 6

det , 0 06 9

29 36 0 9 36 0 3 12ή .

Για λ=3 έχουμε: 3, 6 και 6,12 .

Άρα 2 .

Για λ=-12 έχουμε: 12, 6 και 6, 3 .

Άρα 2 .

Συνεπώς για λ=3 τα διανύσματα και είναι αντίρροπα.

Προσοχή!

Εδώ η συνθήκη det , 0 δεν αρκεί ώστε τα διανύσματα και να είναι αντίρροπα.

10. Έστω το διάνυσμα 1, 2 . Να βρεθεί το διάνυσμα που είναι αντίρροπο του

κι έχει μέτρο διπλάσιο του .

Λύση

Έστω διάνυσμα / /v , με 2v . Τότε:, 0 , 0

2 2

v v

v



, 0 , 0 , 0 2

22 2 2

v v v v

.

Άρα 2 2 1,2 2, 4v .

11. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος , αν 2 2, 3 2,1 .

Λύση

2 2, 3 2,1 2 2, 3 2 , 2 2 2 , 3

31 ,

2

.

Άρα 2 2

2 2 23 6 91 1 2

2 4

2

4 2

4 8 4 2 2

6 9 14 13 0 1 13.ή

12. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα 3, 3 και

3, 3 με τον άξονα x΄x.

Λύση

Είναι 3 3

3 3 6 6

5

6

κι επειδή 0 2 , θα είναι

5

6

ή

5 11

6 6

.

Το διάνυσμα έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα το πέρας του βρίσκεται

στο 2ο τεταρτημόριο, συνεπώς

5

6

.

Όμοια για το είναι 7

6

.



ΕΝΟΤΗΤΑ III: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Ορισμός

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη-μηδενικών διανυσμάτων , και συμβολίζουμε

με ή τον πραγματικό αριθμό , όπου ,

η γωνία

των διανυσμάτων και .

Αν 0 ή 0 , τότε ορίζουμε ότι 0 .

Προσοχή!

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή αν 0 0 0ή .

Συνέπειες του ορισμού

(Αντιμεταθετική ιδιότητα)

0

Με 0 , 0 και ,

ισχύουν:

0 02

02

02

Εσωτερικό τετράγωνο

Το εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται εσωτερικό τετράγωνο του ή απλώς

τετράγωνο του και συμβολίζεται με 2

.



Είναι: 22

0 .

Άρα 22

.

Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν:

0i j j i

2 2

1i j

Παρατηρήσεις

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός κι όχι διάνυσμα.

Αν

Δεν ισχύει πάντα ο νόμος της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων.

Δηλαδή: .

Δεν ισχύει πάντοτε η προσεταιριστική ιδιότητα. Δηλαδή:

Οι δυνάμεις 3 4

, ,... δεν ορίζονται.

Ισχύουν οι ταυτότητες: 2 2 2

2 , 2 2 2

2 ,

2 2

.

Δεν ισχύουν οι ταυτότητες με περιττό εκθέτη.

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Έστω 1 1,x y και 2 2,x y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε

ισχύει: 1 2 1 2x x y y .

Δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων

των ομώνυμων συντεταγμένων τους.

Ιδιότητες

(Επιμεριστική ιδιότητα)



1

, όταν , / / 'y y

Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων

Έστω 1 1,x y και 2 2,x y δύο μη-μηδενικά διανύσματα του καρτεσιανού

επιπέδου και ,

. Τότε ισχύει:

(1).

Επειδή 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2, ,x x y y x y x y , η σχέση (1) γίνεται:

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x y y

x y x y

.

Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα

Σ’ ένα επίπεδο θεωρούμε τα διανύσματα , με 0 . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε

τα διανύσματα και . Αν Μ είναι η προβολή του σημείου Β στο φορέα του

διανύσματος , τότε το διάνυσμα λέγεται προβολή του στο και συμβολίζεται

με

. Δηλαδή

.

Αποδεικνύεται ότι η προβολή του στο είναι ανεξάρτητη απ’ την επιλογή του σημείου

Ο.

Είναι :

0

.

Β

Ο Μ Α



Άρα

.

Όμοια αποδεικνύεται ότι:

.

Είναι: / /

, οπότε

και / /

, οπότε


1. Αν 1, 2 και 2

,3

, να υπολογιστούν:

i) , ii)3

22

, iii) 2

, iv) 2

Λύση

i) 2 1

, 1 2 2 13 2

ii) 3 3

2 2 3 1 32 2

iii) 2 2 22 2

2 22 2 1 1 2 2 1 2 4 3

iv) 22

22 2 1 2 1 2 2 1 8 9

2. Έστω τα διανύσματα 1,3 και 2, 1 . Να υπολογιστούν:

i) , ii) 2 2

, iii) 2

2 , iv) 2

Λύση

i) 1,3 2, 1 1 2 3 1 2 3 5

ii) 222 22 2 2 22 21 3 2 1 10 5 5

iii) 2 1,3 2 2, 1 1,3 4, 2 1 4,3 2 3,1



Άρα 22 2 2 22 2 3 1 10 .

3. Έστω τα διανύσματα , με 1

2,2

και ,3

. Να βρεθούν τα

μέτρα των διανυσμάτων 2v και 3u .


Λύση

Είναι: 22 2 2

2 2 2 4 4v

2

2 1 1 1 1 1 65 654 2 4 2 14 4 16

2 3 2 2 4 4 4 2

Όμοια: 22 2 2

3 3 3 6 9u

2

2 1 1 1 1 9 13 132 6 2 9 4 6 9 1

2 3 2 2 4 4 4 2

4. Έστω τα διανύσματα , με 3, 1 και ,6

. Να βρεθεί η γωνία

των διανυσμάτων v και w .


Λύση

Έστω ,v w

. Τότε:

2 2

2 2

v w

v w

(1)

Όμως 22 22 2

2 3 2 3 16



33 2 3 1 3 3 1 7

2 .

Όμοια 22 22 2

2 3 2 3 16

33 2 3 1 3 3 1 1

2 .

Οπότε η σχέση (1) γίνεται:

223 1 3 1 2 2 7

4177 1 7 7

.

5. Αν , διανύσματα του επιπέδου, να δειχθεί ότι:

i) , ii) 2 2 2

. Πότε ισχύουν οι ισότητες;


Λύση

i) Έστω ,

.Τότε: , διότι

1 1 1 .

Η ισότητα ισχύει όταν 1 1 0 / /ή .

ii) Όμοια: 22 2 2 2 2

2 , διότι

2 2 21 1 1 1 1 .

Η ισότητα ισχύει όταν 2 1 1 0 / /ή .

6. Για δύο διανύσματα και ισχύουν: 3, 4 και 8 2 9 .

Να δειχθεί ότι: .

Λύση

2 2

8 2 9 8 2 9 0 16 72 2 9 0

2 216 3 70 9 4 0 144 70 144 0 70 0 0



7. Αν 1, 2, 2 και 0 , να υπολογιστεί η τιμή της

παράστασης 2 3 .

Λύση

Είναι:

2 22 2 2

2 2 2 2 2

2 2 22 2

2

0 2

2

22 2

22 2

22 2

3

1 2 2 2 22 5 2 2 35

2 2 2 1 2 6 1 2 52

2 3 4 2 12 2 1 2 1

2

.

Άρα 3 5 1 3

2 3 2 32 2 2 2

35

2 5 .

8. Δίνονται τα διανύσματα 3,1 και 1, 2 . Ν’ αναλυθεί το διάνυσμα σε

δύο κάθετες συνιστώσες, εκ των οποίων η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα .


Λύση

Έστω σημείο Ο τέτοιο ώστε και . Έστω ευθεία , η οποία διέρχεται

απ’ το σημείο Ο. Απ’ το πέρας Β του φέρνουμε τις 1 και 2 κι έστω

1 1 και 2 2 .

ε

Ο

Β

Β1

Β2

1

2



Είναι: 1 1 3 ,

.

Έχουμε:

1 2 1 2 1 2

3,1 1,2 3,1 3 ,

9. Για δύο διανύσματα και να δειχθούν οι ισοδυναμίες:

i) , ii) .

Λύση

i) 2 22 2 2

2

2

2

2 2

2

2 2 2

ii) 22 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

2 2 .

10. Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα , αν

1, 2

2 και ,

4

.

Λύση

Ισχύει ότι / /

, οπότε:

221 1 2 1

2 22 4 2 2 2

2 12

4 4 .

Άρα 2

.



11. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 2, 1 και 4

. Να

υπολογιστεί το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του.

Λύση

Έστω φ η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ του παραλληλογράμμου. Τότε:

2 2

(1).

Είναι: 22 2

22 2, 1 1 και 2

1 2 2 1,4 2

3 22 1 2 1

4 2

.

3

4 4

22 2 2

2

22 2

2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 54 2

22 2 2

2

223 2

2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 14 2

Α Β

Γ Δ

Ο φ



Η σχέση (1) γίνεται: 2 1 1 1 2 1 1 5

55 1 5 5

.

Άρα το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλογράμμου είναι 5

5.

12. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ κι ονομάζουμε Ε και Ζ τις προβολές του Γ στις

πλευρές ΑΒ κι ΑΔ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι:2

.

Λύση

Είναι

και

, οπότε:

2

.

13. Θεωρούμε τρίγωνο

με 3 3, 2 3 και 3

. Αν Δ είναι

το μέσο της πλευράς ΑΓ, να υπολογιστούν:

i) το μήκος της διαμέσου ΑΔ, ii) η γωνία

.

Λύση

i)

22

2 2 2 2

ω

Α Ε Β

Ζ

Γ Δ

Α

Β Δ Γ



2 2

2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 32 3

2 2

19 6 3 3 12 3 12 12

24 6 32

2

6 3 6 18 3 2

2 2 2

.

ii) Είναι:

2

2

3 2 3 2 3 3 3 2 3 33 3

2

2

3 33 3 3 3 2 33

3 2 3 3

13 3 2 3

2

3 2 3 3

3 3

3

3 2

3 1 2

23 2 2 κι επειδή 0<ω<π, θα είναι

4

.


και το ύψος του ΑΔ. Να δειχθεί ότι:

2

.

Λύση

Είναι

, οπότε:

2

, διότι

.

15. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευθεία που

διέρχεται απ’ το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β, να δείξετε ότι το γινόμενο

είναι σταθερό και ίσο με δ2-R

2, όπου δ=(ΟΜ). (Δύναμη σημείου ως προς

κύκλο).

Α

Β Δ Γ



Λύση

Φέρνουμε τη διάμετρο ΑΓ και τη ΒΓ. Τότε 90

ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε

ημικύκλιο. Έχουμε:

2 22 2

2 2R .


. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου,

για τα οποία ισχύει: 0 .

Λύση

Έστω Κ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Τότε έχουμε:

0 0 2 0 0

0

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι μια ευθεία (ε) κάθετη στη διάμεσο ΑΚ στο

σημείο Α.

Μ

Α

Β

Γ

Ο

ε

Α

Β Κ Γ




κεφαλαίου

1. Ένα μη-μηδενικό διάνυσμα είναι ορισμένο αν γνωρίζουμε:

α) τη διεύθυνσή του Σ Λ

β) το μέτρο του Σ Λ

γ) το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά του Σ Λ

2. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα είναι ίσα όταν:

α) έχουν ίσα μέτρα Σ Λ

β) είναι συγγραμμικά κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ

γ) είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ

3. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα είναι αντίθετα όταν:

α) έχουν ίσα μέτρα Σ Λ

β) είναι αντίρροπα Σ Λ

γ) είναι αντίρροπα κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ

4. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και τέτοια ώστε 1

2 . Τότε:

α) Σ Λ

β) 2 Σ Λ

γ) , 0

Σ Λ

5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του.

α) Σ Λ

β) Σ Λ

γ) 1

2 Σ Λ

Α Β

Ο

Γ Δ



δ) 2 Σ Λ

ε) 0 Σ Λ

στ) 0 Σ Λ

6. Θεωρούμε τέσσερα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ, Δ τέτοια, ώστε 3 . Τότε:

α) τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι πάντα συνευθειακά Σ Λ

β) Σ Λ

γ) ισχύει πάντα / / Σ Λ

7. Ν’ αντιστοιχίσετε καθένα απ’ τα διανύσματα της πρώτης στήλης με το ίσο του

διάνυσμα της δεύτερης στήλης.

1 1 2

2 2 0

3 3

4 4 2

5 5

8. Έστω , μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Τότε:

α) Σ Λ

β) Σ Λ

γ) Σ Λ

δ) αν 0 , πάντα ισχύει Σ Λ

9. Θεωρούμε τα διανύσματα 21,6 και 7

, 12

. Τότε:

α) τα διανύσματα και δεν είναι συγγραμμικά Σ Λ

β) τα διανύσματα και είναι αντίρροπα Σ Λ

γ) η γωνία των διανυσμάτων είναι ίση με 180ο Σ Λ



10. Θεωρούμε σημεία Α(1, 1), Β(-1, 1) και Μ τέτοια, ώστε: 2 0 .

Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι:

Α. (0, 1) Β. 1

,02

Γ. (0, 1) Δ. (1, 0)

11. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και . Τότε:

α) / /

Σ Λ

β) αν 5

4 , ισχύει 4,5 Σ Λ

γ) αν 0, 3 , ισχύει 0 Σ Λ

δ) det , 0 , για κάθε λ Σ Λ

ε) det , 0 Σ Λ

12. Η απόσταση των σημείων Α(ημx, συνx) και Β(συνx, -ημx), x είναι:

Α. 1 Β. 2 Γ. 2 Δ. 1

2

13. Τα διανύσματα 2, 3x και 1 , 2x είναι συγγραμμικά όταν:

Α. x=2 Β. x=0 Γ. x=-1 Δ. x=1

14. Θεωρούμε τα σημεία Α(-3, 5), Β(1, -7) και Γ(-2, β). Το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία

ΑΒ όταν:

Α. β=2 Β. β=4 Γ. β=-3 Δ. β=-4

15. Θεωρούμε τα σημεία Α(-5, 1) και Β(2, 3). Το συμμετρικό του Α ως προς το Β είναι

το σημείο:

Α. Α΄3

,22

Β. Α΄(9, 7) Γ. Α΄(3, -2) Δ. Α΄ 2, 1

16. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων 1 1,x y και 2 2,x y είναι ίσο

με:

Α. x1y1+x2y2 Β. x1y2-x2y1 Γ. x1x2-y1y2 Δ. x1x2+y1y2



17. Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j των αξόνων ισχύει:

α) det , 0i j Σ Λ

β) 0i j Σ Λ

γ) 1i j Σ Λ

δ) 0i j Σ Λ

18. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο , με πλευρά α=5. Τότε:

α) 25

2 Σ Λ

β) 0 Σ Λ

γ) 0 Σ Λ

19. Στο παρακάτω ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ=8, ΒΓ=6, Ο το κέντρο του κι Ε το μέσο

της πλευράς ΑΒ.

α) 64 Σ Λ

β) 36 Σ Λ

γ) Σ Λ

δ) 16 Σ Λ

20. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και Ο το κέντρο του.

Α Β

Ο

Γ Δ

Α Ε Β

Ο

Γ Δ



Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα:

α) δ)

β) ε)

γ) στ)

21. Αν u v u w και 0u , τότε:

Α. v w Β. v w Γ. u v w Δ. u v w

22. Ν’ αντιστοιχίσετε σε κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης το είδος της

γωνίας που αναφέρεται στη δεύτερη στήλη:

α) 7,5 , 1,2u v .οξεία

β) 3

3,4 , 2,2

u v

γ) 3,5 , 6,0u v .ορθή

δ) 0, 1 , 5, 4u v

ε) 2,1 , 3, 2u v .αμβλεία

στ) , , ,u v

23. Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος, να δώσετε τη σωστή απάντηση:

Α.

Β.

Γ.

Γ

Δ

Β Ε Α



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ενότητα Ι

1. Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να δειχθεί ότι:

α) , β)

2. Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα και

. Να δειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΕ.

3. Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ανά τρία μη-συνευθειακά. Αν ισχύει

, να δειχθεί ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο.

4. Έστω τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν. Να συγκριθούν τα διανύσματα και

.


και Ρ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν Μ είναι σημείο

τέτοιο, ώστε , να δειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι

παραλληλόγραμμο.

6. Δίνονται τρία σημεία Α, Β και Γ. Να βρεθούν τα σημεία Μ, για τα οποία ισχύει:

Α. Β.

Γ. Δ. 0

7. Δίνονται τα διανύσματα 2 3 , 5 3 , 6 5 , όπου

, μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ

είναι συνευθειακά.

8. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Κ, Λ και Μ, για τα οποία ισχύει:

2 3 2 .

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά.

β) Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων Κ, Λ και Μ.

9. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 1 2

24 3

v και 1 8 8

3 3 9w είναι

παράλληλα.

10. Αν τα διανύσματα , , είναι μη-συγγραμμικά ανά δύο και ισχύει / /

και / / , να δειχθεί ότι: / / .



11. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του

επιπέδου, το διάνυσμα 3 3v είναι σταθερό, για κάθε

τιμή του κ .

12. Δίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. Αν επιπλέον υπάρχουν

κ, λ, μ , ώστε 0 , να δείξετε ότι κ=λ=μ.

13. Αν για δύο διανύσματα και ισχύουν 2

2 2,1 2

και

4 8 , να δείξετε ότι .

14. Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ κύκλου κέντρου Ο τέμνονται στο Ρ. Να δείξετε ότι:

α) 2

β) 4

γ) αν Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΟΚΡΛ είναι


15. Δίνεται τρίγωνο . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου,

για τα οποία ισχύει: 2 2 1 , λ .

16. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ καθώς και τα Μ, Ν τέτοια, ώστε

και .

Να δειχθεί ότι: . Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τι

συμπεραίνετε για τα σημεία Μ και Ν;

17. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ=2. Για δύο σημεία του επιπέδου ισχύουν:

3

4 και

5

4 . Θεωρούμε το διάνυσμα . Να δείξετε ότι

το σημείο Μ είναι εσωτερικό του κύκλου.

18. Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια, ώστε:

1,

4 και

1

2 .

α) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και

.

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

γ) Αν Η το μέσο της ΖΕ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΓΔ είναι




Ενότητα II

19. Δίνονται τα διανύσματα 2 , 3 5i i j και 1,4 . Να βρεθούν τα

διανύσματα:

α) 2 4v , β) 1

22

w v

20. Δίνεται το διάνυσμα 2 23 2, 7 10 , λ . Να βρεθούν οι τιμές

του λ , για τις οποίες ισχύει:

α) 0 , β) 0 , γ) '/ /x x , δ)

'/ / y y και 0 .

21. Έστω σημείο Α(3, -1). Να βρεθεί σημείο Β τέτοιο, ώστε:

α) το Β να είναι το συμμετρικό του Α ως προς το σημείο Μ3

, 22

β) τα σημεία Α και Β να είναι άκρα διαμέτρου κύκλου κέντρου Κ 2, 2 .

22. Να βρεθούν οι κ, λ , ώστε τα σημεία Α(-κ+1, 2) και Β(-λ+2, λ) να είναι

συμμετρικά:

α) ως προς το σημείο Ο(0, 0)

β) τον άξονα y΄y

γ) την ευθεία y=x

23. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης 2x2-(λ

2-λ-2)x+2014=0.

Να προσδιοριστεί η τιμή του λ , ώστε το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ

να έχει τετμημένη ίση με 5

2.

24. Δίνονται τα διανύσματα 1, 2x και , 2 1x x .

α) Να δείξετε ότι για κάθε x τα διανύσματα και δεν είναι συγγραμμικά.

β) Αν x= -3, να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x΄x.

γ) Αν x= -1, να γράψετε το διάνυσμα 3i ως γραμμικό συνδυασμό των και .

δ) Αν x= -2, να βρεθεί διάνυσμα v αντίρροπο του με 10v .

25. Δίνονται τα διανύσματα 2 5, 1 και 4 1, 2 , .

Να προσδιοριστεί η τιμή του λ , ώστε .

26. Οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων και με , / / 'y y , είναι ρίζες

της εξίσωσης x2-(2λ+3)x+4=0. Να προσδιοριστεί η τιμή του λ , ώστε τα

διανύσματα και να είναι παράλληλα.



27. Αν 3,1 , 1, 3 , 1, 1 και 0, 5 , να βρεθούν οι

γωνίες των διανυσμάτων με τον άξονα x΄x.

28. Δίνεται το διάνυσμα 0,3 1, 1 .

α) Να βρεθεί το μέτρο και οι συντεταγμένες του διανύσματος .

β) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x΄x.

29. Έστω Α(λ, 2λ-3), Β(λ+1, 2λ-1), Γ(λ-1, 2λ-5), λ , σημεία του καρτεσιανού

επιπέδου.

α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Γ ως προς το μέσο Μ του ΑΒ.

30. Έστω τα διανύσματα 1 1,x y και 2 2,x y με det , 0 .

Να δείξετε ότι:

α) αν 1 2 0x x , τότε

β) αν 1 2 0x x , τότε .

31. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(5, 1), Β(2, -2), Γ(1, 3) και σημεία Δ, Ε τέτοια,

ώστε 1

3 και

1

3 . Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου

τομής των ευθειών ΒΕ και ΓΔ.

32. Δίνονται τα διανύσματα , και , με: 3 2 2,9 , 2 10, 5 και

1,3 .

α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων , και .

β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και .

γ) Να υπολογιστεί τη τιμή του λ , ώστε το διάνυσμα , 6 να είναι

παράλληλο στο διάνυσμα v .

33. Δίνονται τα διανύσματα , τέτοια, ώστε: 2 4,0 και 3, 3 .

α) Να δειχθεί ότι: 1, 3 και 2,2 3 .

β) Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων και με τον άξονα x΄x.

γ) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και .



Ενότητα III

34. Αν 2, 2 και 3

,4


α) , β) 3

22

, γ)

21

22

, δ)

13

3

35. Αν 1,3 , 2, 2 και 2

2,3


α) , β) 2 , γ) 2

3

36. Για τα μη-μηδενικά διανύσματα και , να δειχθούν οι ισοδυναμίες:

α) , β) ,

γ) 2 2 2

, δ) 2 2 2

2 2 .

37. Αν 1

, 2 2, ,2 4

και 0 , να υπολογιστούν:

α) το , β) η παράσταση , γ) η γωνία ,

.

38. Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων:

α) 1, 2 και 3, 1 , β) 2 3,1 2 3 και 2,1 ,

γ) 2, 2 και 2,1 , δ) 1

, 12

και 2

, 22

.

39. Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα κι έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε ότι τα

διανύσματα 3 2v και 2 3u είναι επίσης κάθετα κι έχουν ίσα μέτρα.

40. Δίνονται τα διανύσματα και τέτοια, ώστε: 1 και 2

,3

. Να

βρεθεί διάνυσμα x αν: / /x και x .

41. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με 3, 2 και 6

. Να

υπολογιστεί η οξεία γωνία των διαγωνίων του.



42. Έστω τα διανύσματα και τέτοια, ώστε: 3

, 12

και ,3

.

α) Να υπολογιστεί ο κ , ώστε τα διανύσματα 2v και 3w να

είναι κάθετα.

β) Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων v και w .

43. Δίνεται το διάνυσμα 1, 2 . Να βρεθεί διάνυσμα:

α) v , με 2 5v , β) / /v , με 10v .

44. Αν για τα διανύσματα , και ισχύουν 2 0 και

2 , 5 , να δειχθεί ότι:

α) 5 , β) 2 .

45. Δίνονται τα διανύσματα 3,1 και 3,2

. Να βρεθούν:

α) η γωνία των διανυσμάτων και

β) η προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα .

46. Για τα διανύσματα και ισχύουν: 1, 2 και 2 4,5 .

α) Να αναλυθεί το διάνυσμα 3,1 σε δύο κάθετες συνιστώσες εκ των οποίων η

μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα .

β) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα .

47. Για τα διανύσματα και ισχύουν: 19, 3 και 2 .

α) Να δειχθεί ότι: 3 .

β) Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων και .

γ) Να υπολογιστεί το μέτρο του διανύσματος v .

48. Δίνονται τα διανύσματα 2 ,4 , 2,4 και v .

α) Να υπολογιστούν τα μέτρα των διανυσμάτων και .

β) Να υπολογιστούν τα v και v .

γ) Να βρεθεί διάνυσμα x τέτοιο, ώστε: 2 / /x v και x v .



49. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και , με 2

,3

κι ο ρόμβος ΑΒΓΔ με

3 3 και .

α) Να δειχθεί ότι .

β) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των

διανυσμάτων και .

γ) Αν 2 και 2 , να βρεθούν οι γωνίες του ρόμβου.

50. Έστω τα διανύσματα και τέτοια, ώστε: 2, 1 και ,3

.

Έστω τρίγωνο με 2 4 , 4 2 και Μ το μέσο της

πλευράς ΒΓ.


β) Να βρεθούν τα διανύσματα και .

γ) Να υπολογιστούν τα μέτρα των διανυσμάτων και .

δ) Να υπολογιστεί το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων και .

51. Έστω τα διανύσματα και τέτοια, ώστε: 2, 1 και

2 3 .


β) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και .

γ) Να δειχθεί ότι: 2 3 .

δ) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος 2 3v στο διάνυσμα .

52. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 1), Β(1, -3) και Γ(3, 1). Αν ΑΜ, ΑΔ, ΑΕ η διάμεσος ,

το ύψος και η διχοτόμος αντίστοιχα που άγονται απ’ την κορυφή Α, να βρεθούν τα

μέτρα των διανυσμάτων , , .

Α

Γ Μ Ε Δ Β



53. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Μ του επιπέδου. Να δείξετε

ότι: .

Α Β

Δ Γ

Μ

54. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 90

και ο περιγεγραμμένος κύκλος C του

τριγώνου. Μια ευθεία διέρχεται απ’ την κορυφή Γ του τριγώνου και τέμνει το ύψος

ΑΔ του τριγώνου στο Μ και τον κύκλο στο Ν. Να δειχθεί ότι: 2

.

55. Δίνονται τα διανύσματα , και , για τα οποία ισχύουν: 1 και

0 .

α) Να δειχθεί ότι: .

β) Να δειχθεί ότι: 2

4 και 1 .

γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Α, Β και Γ του επιπέδου, για τα

οποία ισχύει , και .

56. Δίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του ΑΔ. Αν ισχύει

, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο κι

ισοσκελές.

57. Δίνεται τρίγωνο . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του

επιπέδου, για τα οποία ισχύει: 0 .

58. Δίνεται τρίγωνο και σημείο Δ της ΑΓ τέτοιο, ώστε 2 .

α) Να δείξετε ότι: 2

3

.

β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:

2 0 .



Φύλλο εργασίας

ΘΕΜΑ Α

Α1. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη-μηδενικών διανυσμάτων και ;

Μονάδες 3

Α2. Έστω τα διανύσματα και , τα οποία δεν είναι παράλληλα στον άξονα y΄y, με

συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι: 1 2/ / .

Μονάδες 7

Α3. Ν’ απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις.

i) Για τυχαία διανύσματα και ισχύει ότι: / / det , 0 .

ii) Το μέσο Μ(x, y) ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα Α(x1, y1) και Β(x2, y2) έχει

συντεταγμένες 2 1

2

x xx

και 2 1

2

y yy

.

iii) Για τυχαία διανύσματα και ισχύει πάντοτε ότι .

iv) Για τυχαία διανύσματα και ισχύει πάντοτε ότι

.

v) Για τη γωνία δύο διανυσμάτων και ισχύει ότι: 0 ,

.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Β

Για τα διανύσματα και ισχύει ότι: 1, 2 και 3 7,6

i) Να δειχθεί ότι: 2,1 και 1,3

Μονάδες 9



ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, για τον οποίο τα διανύσματα και

είναι παράλληλα.

Μονάδες 8

iii) Να λυθεί η εξίσωση 5x .

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ

Έστω τα διανύσματα , και του επιπέδου, για τα οποία ισχύουν:

6, 3, , , 23

.

i) Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο .

Μονάδες 4

ii) Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος .

Μονάδες 7

iii) Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο .

Μονάδες 8

iv) Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων και .

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και , για τα οποία ισχύουν:

2 21, 2 2, 1 .



i) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων και .

Μονάδες 6

ii) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και .

Μονάδες 4

iii) Να δειχθεί ότι:

.

Μονάδες 7

iv) Έστω Α και Β σημεία του επιπέδου τέτοια, ώστε και , να βρεθεί το

εμβαδόν του τριγώνου .

Μονάδες 8

Καλή επιτυχία!



Το θέμα

Α. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και σημεία Δ, Ε στις πλευρές ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα,

τέτοια ώστε 2

1

. Αν η ΒΔ τέμνει τη ΓΕ στο σημείο Η, να δείξετε ότι

90

.

Β. Δίνονται τα διανύσματα

,, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις:

1+

=0 (1) και 1+

=0 (2).

Αν / / και

=1, δείξτε ότι:

i)

= 0

ii)

<2.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο: ΕΥΘΕΙΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Εξίσωση ευθείας

Εξίσωση γραμμής

Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x και y συμβολίζεται με f(x, y)=0 και ονομάζεται εξίσωση

μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την

επαληθεύουν.

Κάθε διατεταγμένο ζεύγος συντεταγμένων 0 0,x y των σημείων της C αποτελεί λύση της

εξίσωσης.

Για παράδειγμα, τα ζεύγη 1,4 , 2,7 , 3,12 αποτελούν λύσεις της εξίσωσης 2 3y x ,

που στο επίπεδο απεικονίζει μια παραβολή.


Έστω οι γραμμές 1 : ( , ) 0C f x y και 2 : g( , ) 0C x y . Ένα σημείο 0 0,x y είναι κοινό

σημείο των 1 2,C C , αν και μόνο αν, 0 0( , ) 0f x y και 0 0g( , ) 0x y , δηλαδή, αν και μόνο

αν, το ζεύγος 0 0,x y αποτελεί λύση του συστήματος ( , ) 0

( , ) 0

f x y

g x y

. Αν το σύστημα αυτό

είναι αδύνατο, τότε οι γραμμές 1 2,C C δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Γωνία ευθείας με τον άξονα x΄x. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας

Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε μια ευθεία ε, η οποία τέμνει τον άξονα x΄x σε σημείο Α.

ω

x

y

x΄

y΄ ε

Α Ο



Η γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Αx, αν στραφεί γύρω απ’ το Α κατά τη θετική φορά,

μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε, ονομάζεται γωνία της ευθείας ε με τον άξονα x΄x.

Αν '/ /x x , τότε θεωρούμε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ω=0

(οριζόντια ευθεία). Έτσι έχουμε πάντοτε ότι: 0 .

Στην περίπτωση που είναι '/ / y y , τότε

2

και η ευθεία ε ονομάζεται κατακόρυφη.

Γενικά, αν 2

η ευθεία ε ονομάζεται πλάγια. Στην περίπτωση αυτή τον αριθμό εφω

ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας ε και τον συμβολίζουμε με λε ή

απλώς λ. Είναι δηλαδή λ=εφω, 2

.

Στην περίπτωση που είναι '/ /x x , τότε λ=εφ0=0, ενώ στην περίπτωση που είναι

'/ / y y ,

τότε λέμε ότι δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε.

Είναι φανερό λοιπόν ότι:

0 0

0 02

02

.

Διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία

Έστω τώρα διάνυσμα v παράλληλο σε μια ευθεία ε και φ, ω οι γωνίες που σχηματίζουν το

διάνυσμα και η ευθεία αντίστοιχα με τον x΄x.

Είναι: / / ( ( ) )v

v ή ύ .

Αποδείχθηκε λοιπόν ότι, όταν μια ευθεία κι ένα διάνυσμα είναι παράλληλα τότε έχουν τον

ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

v ε

Ο

φ ω

v

ε

Ο

ω

φ x x

y y

x΄ x΄

y΄ y΄



Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων μιας πλάγιας ευθείας ε, δηλαδή 2

,

τότε μπορούμε να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας αυτής. Έστω 1 1( , )x y και

2 2( , )x y , 1 2x x , σημεία της ευθείας ε. Τότε είναι 2 1 2 1( , )x x y y και

2 1

2 1

y y

x x

.

Επειδή / / , σύμφωνα με τα παραπάνω θα είναι 2 1

2 1

y y

x x

.

Επομένως ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται απ’ τα σημεία 1 1( , )x y

και 2 2( , )x y , 1 2x x , είναι 2 1

2 1

y y

x x

.

Για παράδειγμα, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς που διέρχεται απ’ τα σημεία Α(-2, 3)

και Β(1, 4) είναι: 4 3 1

1 ( 2) 3

.

Συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας ευθειών

Έστω ευθείες ε1 κι ε2 με συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντίστοιχα. Έστω επίσης τα

διανύσματα 1 1/ /v και 2 2/ /v .Τότε 1 1v

και 2 2v

. Έχουμε λοιπόν:

1 21 21 2 1 2/ / / /

v vv v

1 21 21 2 1 21 1

v vv v

Ώστε: (συνθήκη παραλληλίας) και

(συνθήκη καθετότητας).

1 1( , )x y

2 2( , )x y

O

ε

x x΄

y

y΄

1 2 1 2/ /

1 2 1 2 1



Εξίσωση ευθείας που ορίζεται από ένα σημείο και το

συντελεστή διεύθυνσής της

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και 0 0( , )x y ένα σημείο του επιπέδου.

Ζητάμε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ’ το σημείο Α κι έχει συντελεστή

διεύθυνσης λ.

Ένα σημείο (x, y) διαφορετικό του 0 0( , )x y ανήκει στην ευθεία ε αν και μόνο αν το

διάνυσμα είναι παράλληλο στην ε, δηλαδή αν και μόνο αν

.

Όμως 0 0(x x , )y y και 0

0

y y

x x

, επομένως το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία

ε αν και μόνο αν 00 0

0

y yy y x x

x x

. Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και

από το σημείο 0 0( , )x y , άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: .

Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ’ το σημείο Α(2, -3) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης

λ=2, έχει εξίσωση: (3 2 ) 3 2 4 2 72 y x yy xx

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία. Κατακόρυφη

εξίσωση ευθείας

Έστω η ευθεία ε που διέρχεται απ’ τα σημεία 1 1( , )x y και 2 2( , )x y .

Αν 1 2x x , τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι 2 1

2 1

y y

x x

κι επειδή

η ευθεία διέρχεται απ’ το σημείο 1 1( , )x y , η εξίσωση 0 0y y x x παίρνει

τη μορφή 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x

.

Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ’ τα σημεία Α(0, 3) και Β(-2, 5) έχει εξίσωση:

ε

0 0( , )x y

(x, y)

0 0y y x x

Ο x x΄

y

y΄



5 3 2( 5) ( 0) 5 5

2 0 2y x y x y x

Αν 1 2x x , τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ε και η

εξίσωσή της είναι η , αφού κάθε σημείο με τετμημένη x1 ανήκει στην ε.

Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ’ τα σημεία Α(-2, 4) και Β(-2, -7), έχει εξίσωση

x= -2.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, από ένα σημείο 0 0( , )x y διέρχονται οι ευθείες:

0 0( ),y y x x

0x x (κατακόρυφη ευθεία)

Ειδικές περιπτώσεις

Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Β(0, κ) κι έχει συντελεστή

διεύθυνσης λ είναι: ( 0)y x

Για παράδειγμα, η ευθεία που τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Β(0, -1) κι έχει συντελεστή

διεύθυνσης 3 είναι: y=3x-1.

Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) κι έχει

συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: 0 ( 0)y x

Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων κι έχει συντελεστή

διεύθυνσης 2

3 έχει εξίσωση:

2

3y x .

1x x

y x

O

B(0, κ)

x x΄

ε

y x

y=λx

O

ε

x x΄

y

y΄

ω

y

y΄



Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών xOy και 'yOx έχουν εξισώσεις y=x και y= -x αντίστοιχα.

Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον x΄x (οριζόντια ευθεία) και

διέρχεται απ’ το σημείο 0 0( , )x y είναι : 0 00( )y y x x .


Κάθε ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ έχει μια εξίσωση της μορφής y x .

Έστω οι ευθείες 1 1 1: y x κι 2 2 2: y x . Τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

/ /

1

.

Το σύμβολο σημαίνει «ταυτίζονται».

45

135

y=x y= -x

O x

y

y΄

x΄

0y y

0 0(x , )y

O

ε

x

y

x΄

y΄




1. Βρείτε τα κοινά σημεία των δύο γραμμών C:y=x2 και C΄:x=y

2.

Λύση

Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων είναι οι πραγματικές λύσεις του συστήματος

2

2

y x

x y

, με , 0x y . Είναι:

22 2 2

22 4 42 0

y xy x y x y x

x y x x x xx x

2 2 2

3 2 21 0 1 1 0 0 1 0 1 0

y x y x y x

x x x x x x x ή x ή x x

2 0, 0

, (0,0), (1,1)1, 10 1

x yy xx y

x yx ή x

(Η εξίσωση 2 1 0x x είναι αδύνατη στο )

Άρα τα κοινά σημεία των δύο γραμμών είναι (0, 0) και (1, 1).

2. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας η οποία διέρχεται απ’ τα σημεία:

α. Α(2, -4) και Β(1, 3), β. Α(3, -2) και Β(-1, -2), γ. Α(7, 0) και Β(7, -6)

Λύση

α. Είναι 3 ( 4) 3 4 7

71 2 1 1

.

β. Είναι 2 ( 2) 2 2 0

01 3 4 4

.

γ. Είναι 7x x , οπότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ΑΒ.

3. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας η οποία σχηματίζει με τον άξονα

x΄x γωνία:

α.3

, β.

5

6

, γ.

2

Λύση

α. Είναι 33

.

β. Είναι 5 3

( )6 6 6 3

.



γ. Είναι 2

, άρα δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας.

4. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα x΄x η ευθεία ε, η οποία:

α. διέρχεται απ’ τα σημεία Α(0, -5) και Β(2, -4)

β. διέρχεται απ’ τα σημεία ( 4, 3 1) και (5,4 3 1)

γ. είναι κάθετη στην ευθεία 3

: y 43

x .

Λύση

α. Είναι 4 ( 5) 4 5 1

10 1 1 1

κι επειδή 0 , θα είναι

3135

4

.

β. Είναι 4 3 1 ( 3 1) 4 3 1

5 ( 4)

3 1 3 3 3

5 4 9 3

κι επειδή

0 , θα είναι 306

.

γ. Είναι 3

1 1 3 33

κι επειδή

0 , θα είναι 603

.

5. Αν η ευθεία ε διέρχεται απ’ το σημείο Α(-3, 2), να βρείτε την εξίσωσή της σε

καθεμία απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. να είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : 2 3 7 0x y

β. να είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 4 10 0x y

γ. να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x

δ. να είναι παράλληλη στον άξονα y΄y

ε. να είναι κάθετη στο διάνυσμα (0, 3)

στ. να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 150

Λύση

α. Είναι 1

2 7: y

3 3x , άρα 1

2

3 , οπότε: 1 1

2/ /

3



Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι

2 2 2 2: 2 [ ( 3)] 2 ( 3) 2 2

3 3 3 3y x y x y x y x .

β. Είναι 2

1 5: y

4 2x , άρα 2

1

4 , οπότε:

2 2

11 1 4

4


: 2 4[ ( 3)] 2 4( 3) 2 4 12 4 10y x y x y x y x .

γ. Είναι / / ' 0x x , οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση της μορφής 0y y .

Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : 2y .

δ. Είναι / / 'y y , οπότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ε και η

εξίσωσή της θα είναι της μορφής 0x x .

Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι 3x .

ε. Για το διάνυσμα (0, 3) δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, άρα / / 'y y .

Είναι / / 'y y , συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι 3x .

στ. Είναι 3

150 303

, οπότε η ζητούμενη εξίσωση ευθείας

είναι 3 3 3

: 2 [ ( 3)] 2 ( 3) 2 33 3 3

y x y x y x

32 3

3y x .

6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ τα σημεία:

α. Α(-3, 5) και Β(-2, 8), β. Γ(4, 7) και Δ (-1, 7), γ. Ε(6, -3) και Ζ(6, 6)

Λύση

α. Είναι 8 5 3 3

32 ( 3) 2 3 1

, επομένως η ζητούμενη εξίσωση ευθείας

είναι : 5 3[ ( 3)] 5 3( 3) 5 3 9 3 14y x y x y x y x .

β. Είναι 7 7 0

01 4 5

, επομένως η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : 7y .



γ. Είναι 6E Zx x , επομένως η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : 6x .

7. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(2, 1), Β(4, 5) και Γ(-1, -5) είναι συνευθειακά. Στη

συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων

και το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ.

Λύση

Έχουμε 5 1 4

24 2 2

και

5 5 102

4 1 5

, επομένως:

/ / Α, Β, Γ συνευθειακά.

Έστω (x , )My το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ. Τότε είναι:

2 1 1

2 2x

και

1 5 42

2 2y

, άρα

1( , 2)2

.

Η ευθεία που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση : ,y x ή

: 0΄ x .

Η ευθεία ε΄ δεν αποτελεί λύση του προβλήματος, διότι το σημείο Μ δεν ανήκει σ’ αυτήν.

Για την ευθεία ε έχουμε:1

2 42

, οπότε η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι

: 4y x .

8. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(-2, 2), Β(-3, -1) και Γ(4, 0). Να βρείτε

την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΒΔ.

Λύση

Έστω ( , )x y το μέσο των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, οπότε:2 4 2

12 2

x

και

2 0 21 (1,1)

2 2y

Είναι 1 ( 1) 1 1 2 1

1 ( 3) 1 3 4 2

, οπότε:

11 1 2

2


: 1 2( 1) 1 2 2 2 3y x y x y x .


με κορυφές Α(3, 4), Β(-5, 2) και Γ(1, -2). Να βρείτε τις

εξισώσεις:

α. της διαμέσου ΑΔ, β. του ύψους ΒΕ, γ. της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ



Λύση

α. Το μέσο Δ της πλευράς ΒΓ έχει συντεταγμένες:

5 1 4 2 2 02, 0

2 2 2 2x y

, άρα Δ(-2, 0).

Είναι 0 4 4 4

2 3 5 5

, οπότε η ευθεία ΑΔ έχει εξίσωση

4 4 4 80 [ ( 2)] ( 2)

5 5 5 5y x y x y x .


31 3 2

, οπότε:

11 3 1

3

Άρα η ευθεία ΒΕ έχει εξίσωση 1 1

2 [ ( 5)] 2 ( 5)3 3

y x y x

1 5 1 5 1 12 2

3 3 3 3 3 3y x y x y x .

γ. Το μέσο Ζ της πλευράς ΑΒ έχει συντεταγμένες:

3 5 2 4 2 61, 3

2 2 2 2x y

, άρα Ζ(-1, 3).

Είναι 2 4 2 1

5 3 8 4

, οπότε:

Δ Ε

Ζ

μ



11 1 4

4

Άρα η μεσοκάθετος μ της πλευράς ΑΒ έχει εξίσωση

3 4[ ( 1)] 3 4( 1) 3 4 4 4 1y x y x y x y x

10. Δίνονται οι ευθείες 1 : 2 3y x κι 2 : 2y x . Να βρείτε την εξίσωση της

ευθείας που διέρχεται απ’ το σημείο Μ(3, 1) και τέμνει τις ε1, ε2 στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Λύση

Έστω α η τετμημένη του σημείου Α της ε1. Τότε θα είναι Α(α, 2α-3).

Έστω β η τετμημένη του σημείου Β της ε2. Τότε θα είναι Β(β, -β+2).

Για να είναι το Μ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ πρέπει:

32

2 3 21

2

6 6 6 3 6 3

2 1 2 2 3 3 9 3 3

Άρα Α(3, 3) και Β(3, -1) κι επειδή 3x x , η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 3x .

11. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το σημείο Μ(-2, 1) και

σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

Λύση

Απ’ το σημείο Μ(-2, 1) διέρχονται οι ευθείες

: 1 [ ( 2)] 1 ( 2) 2 1y x y x y x κι : 2΄ x .

Η ευθεία 2x δεν αποτελεί λύση του προβλήματος διότι δεν τέμνει τον άξονα y΄y.

Περιορισμοί

Πρέπει 0 , διότι για λ=0 η ευθεία y=1 δεν τέμνει τον άξονα x΄x.

Πρέπει 1

2 , διότι για

1

2 η ευθεία

1

2y x διέρχεται απ’ την αρχή των

αξόνων και δεν σχηματίζει τρίγωνο μ’ αυτούς.

Έστω Α και Β τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες y΄y και x΄x αντίστοιχα.

Για x=0 είναι: y=2λ+1, οπότε Α(0, 2λ+1).

Για y=0 είναι:0 2 1

2 1 0 2 1x x x

, οπότε

2 1( ,0)

.



Για να είναι το τρίγωνο

ισοσκελές, πρέπει 2 1

2 1

1

22 12 1 12 1 2 1 1 1 1

Για λ=1 είναι 1 : 3y x , ενώ για λ=-1 είναι 2 : 1y x .

12. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ την αρχή των αξόνων και

σχηματίζουν με την ευθεία : 2 6y x και τον άξονα x΄x τρίγωνο με εμβαδόν 9

τετραγωνικές μονάδες.

Λύση

Απ’ την αρχή των αξόνων διέρχονται οι ευθείες : y x κι : 0΄ x .

Η ευθεία η τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(3, 0) και Β(0, -6).

Το τρίγωνο

έχει εμβαδόν 1 1 18

( ) ( ) ( ) 3 6 92 2 2

, άρα η ευθεία

x=0 αποτελεί λύση του προβλήματος.

Βρίσκουμε τα σημεία τομής των ευθειών ε και η.

Περιορισμοί

Πρέπει 2 , διότι για 2 οι ευθείες ε και η είναι παράλληλες, άρα δεν

τέμνονται.

2

62 6 2 6 2 6 ( 2) x 6

2

y xy x y x y x y x

y x x x x x x

ε1 ε2



6

6 62( , )

6 2 2

2

y

x

Είναι 1 1 6 3

( ) 9 ( ) 9 3 9 6 92 2 2 2 2

12 0 22

9 9 1 12 2 22 2

12

(Η εξίσωση 0λ=-2 είναι αδύνατη.)

Για λ=1, η ζητούμενη ευθεία είναι η : y x .

13. Δίνονται οι ευθείες 1

: 52

y x κι : 3 5΄ y x , καθώς και το σημείο Μ(2, 1).

Να βρεθεί η συμμετρική της ευθείας ε:

α. ως προς το σημείο Μ(2, 1), β. ως προς την ευθεία ε΄

Λύση

α. Τα σημεία Α(2, -4) και Β(4, -3) ανήκουν στην ευθεία ε, αφού οι συντεταγμένες τους

ικανοποιούν την εξίσωσή της.

Έστω Α΄(x1, y1) και Β΄(x2, y2) τα συμμετρικά των Α και Β ως προς το σημείο Μ.

ε η



Τότε το Μ είναι το μέσο των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΑ΄ και ΒΒ΄, οπότε:

1 2

1 2

1 21 2

2 42 2

2 02 2(2,6) (0,5)

6 54 31 1

2 2

x x

x x΄ ΄

y yy y

Η ευθεία που διέρχεται απ’ τα σημεία Α΄ και Β΄ είναι η συμμετρική της ε ως προς το σημείο

Μ.

Είναι 5 6 1 1

0 2 2 2

, οπότε η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση:

1 15 ( 0) 5

2 2y x y x .

β. Βρίσκω αρχικά το σημεία τομής των ευθειών ε κι ε΄.

12 10 05

(0, 5)23 5 5

3 5

x y xy x

x y yy x

Αρκεί να βρω το συμμετρικό του σημείου Α(2, -4) της ε ως προς την ε΄.

1: 5

2y x

1

1: 5

2y x



Η ευθεία η που διέρχεται απ’ το Α και είναι κάθετη στην ε΄ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ

τέτοιο, ώστε 1

3 13

. Άρα η εξίσωσή της θα είναι:

1 1 2 1 2 1 10( 4) ( 2) 4 4

3 3 3 3 3 3 3y x y x y x y x .

Βρίσκω το σημείο τομής των ευθειών ε΄ και η.

13 5

3 5 1 72( , )1 10

3 10 7 2 23 3

2

y x xx y

x yy xy

Έστω Α΄(x1, y1) το συμμετρικό του Α(2, -4) ως προς την ε΄. Τότε το Ρ είναι το μέσο του

ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ΄, οπότε:

1

1

11

21

12 2( 1, 3)

347

2 2

x

x΄

yy

Η ζητούμενη ευθεία διέρχεται απ’ τα σημεία Κ και Α΄ κι έχει συντελεστή διεύθυνσης

3 ( 5) 3 5 22

1 0 1 1

, άρα η εξίσωσή της είναι:

( 5) 2( 0) 5 2 2 5y x y x y x

1: 5

2y x

1 : 2 5y x

: 3 5΄ y x



ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ: Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

Η εξίσωση 0x y , με 0 0ή

Έστω ε μια ευθεία ε στο καρτεσιανό επίπεδο.

Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Μ(0, β) κι έχει συντελεστή

διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση

0 ( 1) 0y x x y x y , όπου θέτοντας Α=λ, Β= -1

και Γ=0, η αρχική εξίσωση γράφεται στη μορφή 0x y με 0 .

Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται απ’ το σημείο Μ(x0, y0), τότε θα έχει

εξίσωση 0 0 00 0 0 ( ) 0x x x y x x y x , όπου θέτοντας Α=1, Β=0

και Γ= - x0, η αρχική εξίσωση γράφεται στη μορφή 0x y με 0 .

Παρατηρούμε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή

0x y , με 0 0ή .

Αντίστροφα, έστω η εξίσωση 0x y , με 0 0ή .

Αν 0 , τότε η εξίσωση γράφεται στη μορφή y x

, που είναι εξίσωση

ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης

και η οποία τέμνει τον άξονα y΄y στο

σημείο (0, )

. (Στην περίπτωση που είναι Α=0, τότε έχουμε την οριζόντια

ευθεία y

.)

Αν Β=0 τότε, λόγω της υπόθεσης είναι 0 και η εξίσωση γράφεται στη μορφή

x

, που είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα x΄x στο σημείο του

( ,0)

.

Αποδείχθηκε λοιπόν ότι ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής

0x y , με 0 0ή (1)

κι αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστά στο επίπεδο ευθεία γραμμή.



Διάνυσμα παράλληλο ή κάθετο σε ευθεία

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο κι ε μια ευθεία του επιπέδου μ’ εξίσωση

0x y , με 0 0ή .

Αν 0 , τότε η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης

, επομένως είναι

παράλληλη στο διάνυσμα ( , ) .

Αν Β=0, τότε η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα y΄y, επομένως είναι παράλληλη

σε κάθε διάνυσμα με τετμημένη 0 και τεταγμένη διάφορη του 0, άρα και στο

διάνυσμα ( , ) .

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν ισχύει ότι:

Έστω το διάνυσμα ( , ) . Είναι: ( , ) ( , ) 0

Το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα κι επειδή / / , θα είναι .

Επομένως:

Για παράδειγμα, η ευθεία : 3 2 11 0x y είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 2, 3)

(ή στο (2,3) ) και κάθετη στο διάνυσμα (3, 2) .

Γωνία δύο μη-παραλλήλων ευθειών

Έστω οι μη-παράλληλες ευθείες 1 1 1 1 1 1: 0, 0 0x y ή και

2 2 2 2 2 2: 0, 0 0x y ή .

Έστω τα διανύσματα 1 1 1 1( , ) / / και 2 2 2 2( , ) / / . Αν 1 2( , )

, τότε

ως γνωστό είναι:1 2

1 2

.

Η ευθεία ε μ’ εξίσωση 0x y , με 0 0ή είναι παράλληλη στο

διάνυσμα ( , ) .

Η ευθεία ε μ’ εξίσωση 0x y , με 0 0ή είναι κάθετη στο διάνυσμα

( , ) .



Αν συνθ>0, τότε θ είναι η οξεία γωνία των ευθειών ε1 κι ε2.

Αν συνθ<0, τότε θ είναι η αμβλεία γωνία των ευθειών ε1 κι ε2.

Αν συνθ=0, τότε θ=90ο, άρα 1 2 .

ε1

ε2

θ

ε2

ε1

θ

ε1

ε2




1. Δίνεται η εξίσωση (3 1) (2 4) 0x y x y (1), όπου .

i. Να δειχθεί ότι:

α. η εξίσωση (1) παριστά ευθεία γραμμή για κάθε

β. όλες οι ευθείες που ορίζονται απ’ την (1) διέρχονται απ’ το ίδιο σημείο (Οικογένεια

ευθειών).

ii. Απ’ τις ευθείες που ορίζονται απ’ την (1) να βρείτε εκείνη που είναι παράλληλης στην

ευθεία : 2 9 0x y . (Βασική άσκηση)

Λύση

i. Φέρνω αρχικά την (1) στη γενική μορφή εξίσωσης ευθείας. Είναι:

(3 1) (2 4) 0 3 2 4 0x y x y x y x y

(3 2) ( 1) ( 4) 0x y , όπου 3 2, 1, ( 4) .

α. Η εξίσωση δεν παριστά ευθεία όταν υπάρχει τέτοιο, ώστε Α=0 και Β=0, οπότε:

20 3 2 0 3 2

30 1 0 1

1

Δεν υπάρχει τιμή του για την οποία να ισχύει Α=0 και Β=0, συνεπώς η (1) παριστά

ευθεία για κάθε .

β. α΄ τρόπος

Εξετάζω αν υπάρχει σημείο Μ(x0, y0) οι συντεταγμένες του οποίου ικανοποιούν την (1) για

κάθε . Πρέπει 0 0 0 0(3 1) (2 4) 0x y x y για κάθε , οπότε:

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

3 1 0 3 1 3 1 3 1 1

2 4 0 2 4 5 5 1 2

x y x y x y y x

x y x y x x y

Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται απ’ το σημείο Μ(1, -2).

β΄ τρόπος

Δίνω στο λ δύο τυχαίες τιμές και λύνω το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν.

Για λ=0 η (1) γίνεται: 2 4 0x y

Για λ=1 η (1) γίνεται: 5 5 0 5 5 1x x x



2 4 0 2 4 0 1(1, 2)

1 1 2

x y y x

x x y

Εξετάζω αν οι συντεταγμένες του σημείου Μ ικανοποιούν την (1).

[3 1 ( 2) 1] [2 1 ( 2) 4] 0 (3 3) (2 2 4) 0 0 0 0 , που

ισχύει για κάθε .

Άρα όλες οι ευθείες που ορίζονται απ’ την (1) διέρχονται απ’ το σημείο Μ(1, -2).

ii. Η ευθεία η είναι παράλληλη στο διάνυσμα (1,2)v , ενώ για κάθε η ευθεία που

ορίζεται απ’ την (1) είναι παράλληλη στο διάνυσμα ( 1, 3 2) . Είναι:

1 3 2/ / / / det( , ) 0 0 2( 1) ( 3 2) 0

1 2v v

2 2 3 2 0 5 0 0

Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η 2 4 0x y .

2. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α(2, λ+1) και Β(2λ-1, 3), . Να βρεθεί ο

γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. (Βασική άσκηση)

Λύση

Έστω ( , )x y . Είναι τότε:

2 2 1 2 1

2 2 12 2

2 41 3 4

2 2

x xx

yy y

2 2(2 4) 12 4 8 1 2 4 7 0

2 4

x yx y x y

y

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία μ’ εξίσωση 2 4 7 0x y .

3. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες

1 : ( 1) 1 0x y και 2 : ( 2) 2 0x y . (Βασική άσκηση)

Λύση

Έστω τα διανύσματα 1 1/ / και 2 2/ / .Τότε 1 ( 1,1) και 2 ( 2, ) .

Αν 1 2( , )

, τότε: 1 2

2 2 2 21 2

( 1,1) ( 2, )

( 1) 1 ( 2) ( )



2 2 2

( 1) ( 2)

2 1 1 4 4

2 2

2

2 22 2 2 4 4

2

2 2

2 2

2 2 2( 2 2)

2 22 2 2 0

2 2

2 22 2

2( 2 2)

22 ( 2 2)

1

2

02

2 4

Άρα η οξεία γωνία των ευθειών ε1 κι ε2 είναι 4

.

4. Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 2 0x y xy x y .

α. Να δειχθεί ότι η παραπάνω εξίσωση παριστά δύο ευθείες ε1 κι ε2.

β. Να βρεθεί η σχετική θέση των δύο ευθειών.

Λύση

α. Είναι: 2 2 2 22 2 0 (2 1) 2 0x y xy x y x y x y y

Θεωρούμε την εξίσωση τριώνυμο με άγνωστο το x, οπότε:

2 2 2[ 2 1 ] 4 1 2 4y y y y 4y 21 4y 4y 8 9

2 2

1 1 02 1 9 2 1 3 2

2 4 2 2 02 1 2

2

yx

x y x yy yx x

y x y x yx

Επομένως οι ζητούμενες ευθείες είναι 1 : 1 0x y κι 2 : 2 0x y .

β. Είναι λ1=λ2=1, άρα ε1//ε2.

5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής των ευθειών

1 : ( 2) ( 3) y 0x κι 2 : ( 3) ( 2) y 1 0x , .



Λύση

Όπως παρατηρούμε, οι εξισώσεις παριστούν ευθείες για κάθε . Το σημείο τομής των

ευθειών προκύπτει απ’ τη λύση του συστήματος:

( 2) ( 3) y 0 ( 2) ( 3) y

( 3) ( 2) y 1 0 ( 3) ( 2) y 1

x x

x x

Η ορίζουσα του συστήματος είναι:

2 22 3

2 2 3 3 4 93 2

D

2 24 9 5 0

2 23

2 3 1 2 3 31 2

xD

2 22 4 3 6 3

22

2 1 33 1

yD

22 2 3 6 2

Το σύστημα έχει μοναδική λύση: 0 0

6 3 6 2,

5 5

yxDD

x yD D

.

Άρα το σημείο τομής των ευθειών ε1 κι ε2 είναι 6 3 6 2

( , )5 5

, .

Τότε:

6 3

5 6 355 5 1 5 5 1 0

6 2 5 6 2

5

xx

x y x yy

y

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής είναι η ευθεία 5x+5y+1=0.



ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ: Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου

Απόσταση σημείου από ευθεία

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου μ’ εξίσωση 0, 0 0x y ή

και Μ(x0, y0) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση d(Μ, ε) του

σημείου Μ απ’ την ευθεία ε.

Αν Μ΄(x1, y1) είναι η προβολή του Μ πάνω στην ε, τότε θα ισχύει: d( , ) ΄ (1)

Έστω διάνυσμα ( , )v . Είναι v κι επειδή ΄ , θα είναι / /v ΄ .

Άρα θα υπάρχει τέτοιος ώστε: 1 0 1 0, ( , )΄ v x x y y

1 0 1 0 1 0 1 0, ,x x y y x x y y (2)

Η (1) γίνεται: 2 2d( , ) ΄ v v (3).

Το σημείο Μ΄ ανήκει στην ευθεία ε, οπότε:(2)

1 1 0 00 ( ) ( ) 0x y x y

2 2 2 2

0 0 0 00 0x y x y

0 0

2 2

x y

Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε:

0 02 2 2 20 0

2 2 2 2d( , )

x yx yM

0 0

2 2d( , )

x y

Μ(x0, y0)

M΄(x1, y1) ( , )v

Ο x

y

x΄

y΄

ε



Αποδείχθηκε λοιπόν ότι η απόσταση ενός σημείου Μ(x0, y0) από μια ευθεία

ε:Αx+Βy+Γ=0, δίνεται απ’ τον τύπο:

Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου Μ(2, -1) απ’ την ευθεία ε:6x-8y-1=0 είναι:

2 2

6 2 8 ( 1) 1 12 8 1 19 19d( , )

1036 64 1006 ( 8)

Εμβαδόν τριγώνου

Έστω τρία μη-συνευθειακά σημεία Α(x1, y1), Β(x2, y2) και Γ(x3, y3), τα οποία αποτελούν

κορυφές τριγώνου . Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω ΑΔ το ύψος του τριγώνου. Τότε: 1

( ) ( ) ( )2

(1).

Είναι 2 2

3 2 3 2( ) ( ) ( )x x y y και 2 2

1 1( ) ( ) ( )x x y y .

Αν 2 3x x , τότε η ευθεία ΒΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 2

3 2

y y

x x

κι εξίσωση

3 22 2 2 3 2 3 2 2

3 2

( ) ( ) 0y y

y y x x y y x x y y x xx x

(2)

Αν 2 3x x , τότε η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση 3x x , η οποία παίρνει κι αυτή τη

μορφή (2).

Άρα σε κάθε περίπτωση η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση της μορφής (2), η οποία μετά τις πράξεις

γίνεται: 3 2 3 2 2 3 3 2( ) ( ) 0y y x x x y y x y x .

Η απόσταση (ΑΔ) του Α απ’ τη ΒΓ είναι:

0 0

2 2d( , )

x y

Α(x1, y1)

B(x2, y2) Γ(x3, y3) Δ(x, y)



3 2 1 3 2 1 2 3 3 2

2 2

3 2 3 2

( ) ( )( )

( ) ( )

y y x x x y y x y x

y y x x

(3)

Είναι 2 1 2 1,x x y y και 3 1 3 1,x x y y , οπότε:

2 1 2 1

2 1 3 1 2 1 3 1

3 1 3 1

det( , )x x y y

x x y y y y x xx x y y

=

3 2 1 3 2 1 2 3 3 2( ) ( )y y x x x y y x y x

Επομένως η (3) γίνεται: det( , )

( ) det( , ) ( ) ( )( )

Άρα η (1) γίνεται: 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) det( , )2 2

.

Όμοια αποδεικνύεται ότι: 1 1

( ) det( , ) det( , )2 2

.

Αποδείχθηκε λοιπόν ότι το εμβαδόν τριγώνου δίνεται απ’ τον τύπο:

Για παράδειγμα, αν οι κορυφές ενός τριγώνου είναι Α(2, -3), Β(1, 5) και Γ(2, 2), τότε

(1 2,5 ( 3)) ( 1,8), (2 1,2 5) (1, 3) , οπότε:

1 81 1 1 1 5( ) det( , ) 3 8 5

1 32 2 2 2 2

.

1 1 1( ) det( , ) det( , ) det( , )

2 2 2




1. Να βρείτε:

α. την απόσταση του σημείου Α(-2, 3) απ’ την ευθεία : 6 8 1 0x y

β. τις τιμές του για τις οποίες το σημείο Β(2, -1) απέχει απ’ την ευθεία

: 1 2 1 0΄ x y απόσταση d 3 .

Λύση

α. Είναι

2 2

6 2 8 3 1 12 24 1 35 35 7d( , )

10 236 64 1006 ( 8)

β. Η ε΄ παριστά ευθεία για κάθε , οπότε:

2 2

2( 1) 2 ( 1) 2 1d( , ) 3 3

( 1)΄

2 2

2 2

13

2 1

2 2

2

13 ( 1) 3 (2 2 1) 1 6 6 3

2 2 1

2 2 2 2 2( 1) 6 6 3 2 1 6 6 3 5 8 2 0

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 2( 8) 4 5 2 64 40 24 , οπότε:

1

1,2

2

4 6

( 8) 24 8 2 6 5

2 5 10 4 6

5

2. Δίνονται οι ευθείες 1 : 4 3 2 0x y κι 2

4: y 2

3x .

α. Να δειχθεί ότι 1 2/ / .

β. Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών ε1 κι ε2. (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Είναι 1 2 1 2

4 4/ /

3 3

.

β. Βρίσκω αρχικά ένα σημείο της ευθείας ε2. Θέτω x=0, οπότε:

40 2 2 (0, 2)

3y y



Είναι τότε:

1 2 12 2

4 0 3 ( 2) 2 6 2 8d( , ) d(Μ, )

5254 3

3. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες 1 : 3 5 11 0x y κι 1 : 3 5 3 0x y . Να

βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 κι ε2. (Βασική άσκηση)

Λύση

Έστω Α(x0, y0) σημείο της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 κι ε2. Επειδή κάθε σημείο της

μεσοπαράλληλης ισαπέχει απ’ τις ευθείες ε1 κι ε2, θα είναι:

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3 5 11 3 5 33 5 11 3 5 3

3 5 11 3 5 3

x y x yx y x y

x y x y

0 0

0 0

0 0

0 0 143 5 4 0

6 10 8 0

x yx y

x y

(η εξίσωση 0 00 0 14x y είναι αδύνατη)

Οι συντεταγμένες του σημείου Α ικανοποιούν την εξίσωση 3 5 4 0x y , συνεπώς η

μεσοπαράλληλη των ε1 κι ε2 είναι η : 3 5 4 0x y .

4. Η ευθεία : 2 5 5 0x y είναι η μεσοπαράλληλη δύο ευθειών ε1 κι ε2, για τις

οποίες ισχύει d(ε1, ε2)=12. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ε1 κι ε2.


Λύση

Είναι 1 2 1 2d , 12 d , d , 6 , δηλαδή οι ζητούμενες ευθείες είναι το

σύνολο των σημείων Μ(x0, y0), για τα οποία ισχύει d(Μ, ε)=6. Είναι τότε:

0 0 0 0

0 02 2

2 5 5 2 5 5d , 6 6 6 2 5 5 6 29

292 ( 5)

x y x yx y

0 0 0 0

0 0 0 0

2 5 5 6 29 2 5 5 6 29 0

2 5 5 6 29 2 5 5 6 29 0

x y x y

x y x y

Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι οι 1 : 2 5 5 6 29 0x y κι

2 : 2 5 5 6 29 0x y .

5. Να δειχθεί ότι η ευθεία : 7 4 16 0x y είναι μία απ’ τις διχοτόμους των γωνιών

που σχηματίζουν οι ευθείες 1 : 3 4 4 0x y κι 2 : 5 12 4 0x y . (Βασική

άσκηση)

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε σημείο της ε ισαπέχει απ’ τις ε1 κι ε2.



Έστω τυχαίο σημείο Μ(x0, y0) της ε. Τότε:

0 00 0 0 0 0 0

7 16 7 167 4 16 0 4 7 16 ( , )

4 4

x xx y y x y x

00

0 0 0 0

12 2

7 163 4 4

3 ( 7 16) 4 3 7 16 44d(Μ, )

5253 ( 4)

xx

x x x x

0 0

0

10 20 10 22 2

5 5

x xx

0

2

5 12

d(Μ, )

x

3

0

0 0 0 0

2 2

7 164

5 3( 7 16) 4 5 21 48 44

131695 ( 12)

x

x x x x

0 0

0

26 52 26 22 2

13 13

x xx

Είναι d(M, ε1)=d(Μ, ε2), άρα κάθε σημείο της ε ισαπέχει απ’ τις ευθείες ε1 κι ε2, συνεπώς η

ευθεία : 7 4 16 0x y είναι μία απ’ τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι

ευθείες ε1 κι ε2.

6. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες

1 : 2 3 0x y κι 2 : 2 4 9 0x y .

Ποια είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας; (Βασική άσκηση)

Λύση

Είναι 1

22

1 και 2

2 1

4 2 , δηλαδή 1 2 , οπότε οι ευθείες ε1 κι ε2

τέμνονται.

Για κάθε σημείο Μ(x0, y0) της διχοτόμου της γωνίας που σχηματίζουν οι ε1 κι ε2, ισχύει ότι:

0 0 0 0

1 22 2 2 2

2 3 2 4 9d(Μ, ) d(Μ, )

2 ( 1) 2 4

x y x y

0 0 0 0 0 02 3 2 4 9 2 3

5 20 5

x y x y x y

0 02 4 9

2 5

x y

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

2(2 3) 2 4 92 2 3 2 4 9

2(2 3) 2 4 9

x y x yx y x y

x y x y

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 6 2 4 9 2 2 15 0 2 2 15 0

4 2 6 2 4 9 6 6 3 0 2 2 1 0

x y x y x y x y

x y x y x y x y



Άρα οι ζητούμενες διχοτόμοι είναι 1 : 2 2 15 0x y και 2 : 2 2 1 0x y .

Για να βρω ποια απ’ τις δύο είναι η ευθεία της διχοτόμου της εσωτερικής γωνίας, παίρνω ένα

σημείο της ε1 ή της ε2 και βρίσκω την απόστασή του απ’ τις δ1 και δ2.

Στην ε1, για x=0 είναι y=-3, άρα Α(0, -3).

12 2

2 0 2 ( 3) 15 6 15 21d(Α, )

40 2 102 ( 6)

και

12 2

2 0 2 ( 3) 1 6 1 7d(Α, )

40 2 102 ( 6)

Είναι 1 2d(Α, ) d(Α, ) , άρα η 2 : 2 2 1 0x y είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας.

7. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου σε καθεμία απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. Α(2, 3), Β(-1, -1), Γ(0, 4)

β. Α(-1, 0), Β(3, 4), Γ(-5, -4)

Λύση

α. Είναι ( 1 2, 1 3) ( 3, 4) και ((0 ( 1),4 ( 1)) (1,5) , οπότε:

3 41 1 1 1 1 11

( ) det( , ) 15 ( 4) 15 4 111 52 2 2 2 2 2

δ1

δ2 1 : 2 3 0x y

2 : 2 4 9 0x y



β. Είναι (3 ( 1),4 0) (4,4) και ( 5 ( 1), 4 0) ( 4, 4) , οπότε:

4 41 1 1 1( ) det( , ) 16 ( 16) 0 0

4 42 2 2 2

, άρα τα σημεία

Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

8. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, με κορυφές Α(0,2), Β(2, 5), Γ(4, -1)

και Δ(3, -6).

Λύση

Είναι (ΑΒΓΔ)=(ΑΒΓ)+(ΑΔΓ), οπότε:

(2 0,5 2) (2,3), (4 0, 1 2) (4, 3), (3 0, 6 2) (3, 8)

2 3det( , ) 6 12 18

4 3

και

3 8det( , ) 9 ( 32) 9 32 23

4 3

, συνεπώς έχουμε:

1 1 1 1( ) ( ) ( ) det( , ) det( , ) 18 23

2 2 2 2

18 23 41

2 2 2



9. Έστω τρίγωνο , με κορυφές Α(-3, 5), Β(1, 1) και Γ(9, -3). Θεωρούμε τα σημεία

Δ, Ε και Ζ τέτοια, ώστε:1 3

,4 4

και 1

2 . Να υπολογίσετε

το εμβαδόν του τριγώνου .

Λύση

Είναι (1 ( 3),1 5) (4, 4), (9 ( 3), 3 5) (12, 8) και

(9 1, 3 1) (8, 4) , οπότε έχουμε:

3 1 3 1(4, 4) (8, 4) (3, 3) (4, 2) (7, 5)

4 2 4 2

3 1 3 1(12, 8) (4, 4) (9, 6) (1, 1) (8, 5)

4 4 4 4

Άρα 7 51 1 1 1 5

( ) det( , ) 35 ( 40) 35 408 52 2 2 2 2

.

10. Δίνονται τα σημεία Α(2, -1) και Β(-2, 3). Να βρείτε τα σημεία Μ(α, β) της ευθείας

ε:2x+y-7=0, για τα οποία το εμβαδόν του τριγώνου είναι 12 τετραγωνικές

μονάδες.

Λύση

Για τις συντεταγμένες του σημείου Μ(α, β) έχουμε ότι: 2 7 0 7 2 ,

οπότε Μ(α, 7-2α).

Είναι: (2 , 1 (7 2 )) (2 , 8 2 ) και

( 2 ,3 (7 2 )) ( 2 , 4 2 )

Α(-3, 5)

Β(1, 1) Γ(9, 3)

Δ

Ε

Ζ



2 8 21 1( ) 12 det( , 12 12

2 4 22 2

1(2 ) ( 4 2 ) ( 8 2 ) ( 2 ) 12

2

2 218 4 4 2 (16 8 4 2 ) 12

2

218 8 2

2 216 4 2

4 24 2412 4 24 24

4 24 24

4 48 12

4 0 0

Για α=0 είναι β= -7, οπότε Μ1(0, -7), ενώ για α=12 είναι β= -17, οπότε Μ2(12, -17).




κεφαλαίου

1. Ν’ απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις:

Η ευθεία 1

12

y x σχηματίζει με τον άξονα x΄x αμβλεία γωνία.

Οι ευθείες 2y και 2 3y x είναι παράλληλες.

Η ευθεία 2( 1) 5 0x y διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων.

Η εξίσωση 1 ( 5)y x παριστά, για κάθε , όλες τις ευθείες που

διέρχονται απ’ το σημείο Μ(5, -1).

Η ευθεία : 3 1 0x y είναι κάθετη στο διάνυσμα (3 , ), 0 .

Η ευθεία που διέρχεται απ’ το σημείο Α(-2, 3) και είναι κάθετη στον άξονα y΄y, έχει

εξίσωση 2x .

Οι εξίσωση ( 2) ( 2) 3 1 0x y παριστά ευθεία για κάθε .

Το σημείο Κ(0, -4) απέχει απ’ την ευθεία 1x απόσταση ίση d=1.

Η αρχή των αξόνων Ο(0, 0) απέχει απ’ την ευθεία 2 3 0x y απόσταση 1

d13

.

Τα σημεία Ο(0, 0), Α(α, 0) και Β(0, β), με α, β>0, σχηματίζουν τρίγωνο μ’ εμβαδόν

2

.

2. Η ευθεία που διέρχεται απ’ τα σημεία Α(-1, 1) και Β(3, -5) έχει εξίσωση:

α. 3 2 1 0x y β. 3 2 1 0x y γ. 6 4 1 0x y

3. Η ευθεία που διέρχεται απ’ τα σημεία Α(1, 3) και Β(α, β), 1 , έχει συντελεστή

διεύθυνσης λ=1. Τότε:

α. α+β=2, β. α-β=2, γ. β-α=2, δ.α=β, ε. β=α+1

4. Αν η ευθεία 0x y έχει συντελεστή διεύθυνσης, τότε συμπεραίνουμε ότι:

α. 0 , β. 0 , γ. 0 , δ. 0 και 0

5. Ν’ αντιστοιχίσετε σε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης το συντελεστή διεύθυνσής της

στη δεύτερη στήλη:

Στήλη 1 Στήλη 2

1 : 2 2 5 0x y 0

2 : 1y 3

3 : 4x 1

4 : 3y x δεν ορίζεται

5

1:

3x y 3

6. Μια ευθεία κάθετη στην 0y είναι η:

α. 5y , β. 2 9 0x y , γ. 2x , δ. y x

7. Αν οι ευθείες 1 : ( 1) ( 1) 0x y κι 2 : 2 ( 1) 2 0x y είναι

παράλληλες τότε:

α. λ=1, β. λ= -1, γ. λ=2, δ. λ=3, ε. λ=0



8. Με βάση το παρακάτω σχήμα, ν’ αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης με

την εξίσωσή της στη δεύτερη στήλη.

Στήλη 1 Στήλη 2

ε1: 4y

ε2: 5 6 0x y

ε3: 2x

ε4: y x

ε5: 1

3 02

x y

9. Ποια απ’ τις παρακάτω ευθείες απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση απ’ την αρχή των

αξόνων;

α. 1 : 4 3 7 0x y , β. 2 : 4 3 9 0x y , γ. 2 : 4 3 2 0x y ,

δ. 4 : y x , ε. 5 : 3y

10. Οι ευθείες 1 : 3 3 8 0x y κι 2 : 3 3 8 0x y είναι:

α. παράλληλες, β. κάθετες, γ. συμμετρικές ως προς τον άξονα x΄x,

δ. συμμετρικές ως προς τον άξονα y΄y

11. Η μεσοπαράλληλη των ευθειών 1 : 3 5 1 0x y και 2 : 3 5 9 0x y είναι η:

α. 3 5 0x y , β. 4x , γ. 3y , δ. 3 5 4 0x y

ε1 ε2 ε3

ε4

ε5



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ενότητα Ι

1. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών C:y=3x2 και C΄:y=-x+2.

2. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που σχηματίζει με τον άξονα x΄x

γωνία:

α.6

, β.

2

3

, γ.

3

4

, δ.

2

, ε. 0

3. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται απ’ τα σημεία:

α. Α(4, 2), Β(-1, -5), β. ( 3,4) , Β(0, 5), γ. Α(-1, 3), Β(2, 3),

δ. Α(3, -4), Β(3, 0)

4. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x η ευθεία που διέρχεται απ’ τα

σημεία :

α. ( 1,2 3 3), (2 1, 3 3), 2 ,

β. Α(α+4, α), Β(α-1, α), , γ. Α(α-2, 3), Β(α-2, -1), ,

δ. Α(5, α+1), Β(4, α+1),

5. Αν η ευθεία ε διέρχεται απ’ το σημείο Α(-3, 1), να βρείτε την εξίσωσή της σε

καθεμιά απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. είναι παράλληλη στο διάνυσμα (2, 4)

β. είναι παράλληλη στην ευθεία 1

: 23

΄ y x

γ. είναι κάθετη το διάνυσμα (0,3)

δ. σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 3

4

ε. διέρχεται απ’ το σημείο Β(-3, 5)

στ. διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων

6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που είναι κάθετη στην ευθεία

1: 6

2΄ y x , τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα

και:

α. το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β είναι ίσο με 4

β. το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 9 τετραγωνικές μονάδες

γ. η τετμημένη του Α και η τεταγμένη του Β είναι ακέραιοι αριθμοί διάφοροι του 0

και το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή ίσο απ’ το 2



7. Δίνονται τα σημεία Α(α+2, -1), Β(3α+4, α), . Να βρείτε την εξίσωση της

μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

8. Δίνονται τα σημεία Α(2, 1), Β(-1, 3) και Γ(-2, 0).

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου.

β. Να βρείτε τις εξισώσεις των διαμέσων, των υψών και των μεσοκαθέτων των

πλευρών του.

9. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ το σημείο Μ(6, 3), τέμνει τις

ευθείες 1

: 42

y x κι : 1΄ y x στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και το

σημείο Μ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

10. Θεωρούμε τα σημεία Α(3, 2), Β(-2, 5) και την ευθεία : 2 1y x .Να βρείτε τα

σημεία Μ της ευθείας ε, για τα οποία το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση

την πλευρά ΑΒ.

11. Θεωρούμε τρίγωνο με Β(-4, 9).Το ύψος ΑΔ ανήκει στην ευθεία

1

1: 2

5y x και η διάμεσος ΑΜ ανήκει στην ευθεία 2 : 4y . Να βρείτε τις

συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ.

12. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(2, 6) και Β(-2, 1). Αν 7 16

( , )3 3

είναι το

ορθόκεντρο του τριγώνου, να βρείτε:

α. τις συντεταγμένες της κορυφής Γ

β. τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου

13. Οι ευθείες 1 : 2y x κι 2 : 3y x είναι φορείς δύο πλευρών ενός

ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Αν η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (-2, 4), να βρείτε τις

συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ και Δ.

14. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(4, 2) και Γ(2, -3). Να βρείτε τις συντεταγμένες των

κορυφών Β και Δ.

15. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(4, 2), Β(5, 3), Γ(6, 5) και Δ(2, 1).

α. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.

β. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του τραπεζίου.

16. Θεωρούμε τα σημεία Α(3λ-2, 2λ+1), Β(2λ-3, λ+1) και Γ(λ-2, 2), .

α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν

κορυφές τριγώνου.

β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του βαρύκεντρου G του τριγώνου.



Ενότητα ΙΙ

17. Δίνεται η εξίσωση : ( 2) ( 1) 2 4 0x y (1), .

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά ευθεία για κάθε .

β. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστά η (1) διέρχονται από σταθερό σημείο.

γ. Να βρείτε ποια απ’ τις ευθείες που παριστά η (1) είναι κάθετη στην ευθεία

: 3 10 0΄ x y .

δ. Να βρείτε ποια απ’ τις ευθείες της (1) τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία

Α και Β αντίστοιχα, ώστε να ισχύει1 1 3

( ) ( ) 2

.

18. Να βρείτε τους αριθμούς , για τους οποίους η ευθεία

2 2: (3 1) ( 1) 4 6 0x y διέρχεται απ’ το σημείο τομής των ευθειών

1 : 2 3 8 0x y κι 2 : 2 3 0x y .

19. Να βρείτε τη αμβλεία γωνία των ευθειών 1 : 7 5 0x y κι

2 : 3 4 10 0x y .

20. Δίνονται οι ευθείες 1 : ( 1) ( 1) y 2 0x κι 2 : 10 0x y , .

Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε1 κι ε2.

21. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το σημείο Α(2, 1) και

σχηματίζουν με την ευθεία : 2 3 5 0x y γωνία 4

.

22. Δίνονται οι ευθείες : 2 0x y κι : 1 0΄ x y , .

α. Να βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες οι ευθείες ε κι ε΄ τέμνονται.

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής των ευθειών ε κι ε΄.

23. Να βρείτε τι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το σημείο Α(1, 1), τέμνουν

την ευθεία : 2 3 15 0x y σε σημείο Μ τέτοιο, ώστε d( , ) 2 2 .

24. Δίνονται τα διανύσματα , 0 κι η εξίσωση

( ) ( ) 0x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά ευθεία σε κάθε περίπτωση.

β. Αν , τότε η (1) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

γ. Αν , τότε η (1) είναι παράλληλη στον άξονα y΄y.

δ. Αν το σημείο Ο(0, 0) ανήκει στην (1), τότε .



25. Να βρείτε την οξεία γωνία ω που σχηματίζουν οι ευθείες

1 : 1 0x y κι 2 : 2 0x y , όπου

02

.

26. Δίνεται η εξίσωση2 2 2 0x y xy x y (1).

α. Να δειχθεί ότι η (1) παριστά δύο ευθείες ε1 κι ε2.

β. Να δειχθεί ότι ε1//ε2.

γ. Να βρεθεί η εξίσωση της παράλληλης των ευθειών ε1 κι ε2, η οποία διέρχεται απ’

την αρχή των αξόνων.

27. Δίνεται η εξίσωση 2 22 2 3 5 5 3 0x y xy x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά δύο ευθείες ε1 κι ε2.

β. Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών.

γ. Να βρεθεί η τιμή του , ώστε το σημείο τομής των ευθειών ε1 κι ε2 ν’ ανήκει

στην ευθεία : ( 1) 2 0x y .

28. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων είναι Π1(t-1, t+2) και Π2(3t, 3t-1), για κάθε χρονική

στιγμή t, όπου t ο χρόνος σε ώρες.

α. Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία.

β. Να εξετάσετε αν υπάρξει χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο πλοία θα

συναντηθούν.

γ. Ποια είναι η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t=3h;

29. Δίνεται η ευθεία : 1 0x y και το σημείο Α(2, -4).

α. Να βρείτε την προβολή του Α πάνω στην ε.

β. Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς την ε.

30. Σημείο Α κινείται επί της ευθείας : 3 0x y . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο

του συμμετρικού του Α ως προς την ευθεία : 2 1 0΄ x y

31. Δίνονται τα διανύσματα και με 2, 6 και 0 , όπου

( , )

. Δίνεται επίσης η εξίσωση ( 12) ( 6) y 7 0x (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά ευθεία για κάθε [0, ] .

β. Αν η (1) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, τότε 3 .

γ. Αν η (1) είναι παράλληλη στον άξονα y΄y, να βρείτε τη γωνία φ.

δ. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(1, 1) ανήκει στην (1).



Ενότητα ΙΙΙ

32. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(3, -2) απ’ τις ευθείες:

α. 1 : 3 8 0x , β. 2 : 2 5 0y , γ. 3 : 3 4 11 0x y

33. Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σημείο Α(2, -1) ν’ απέχει απ’ την ευθεία

: ( 1) 3 2 0x y απόσταση d=4.

34. Δίνονται οι ευθείες 1 : 0x y

κι

2 : 2 0x y .

Αν d1, d2 είναι οι αποστάσεις της αρχής των αξόνων Ο(0, 0) απ’ τις ευθείες ε1 κι ε2

αντίστοιχα, να δείξετε ότι:2 2 2

1 24d d .

35. Η ευθεία : 5 3 2 0x y είναι η μεσοπαράλληλη δύο παραλλήλων ευθειών ε1,

ε2 για τις οποίες ισχύει d(ε1, ε2)=10. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε1 κι ε2.

36. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το σημείο Α(1, 2) κι

απέχουν απ’ το σημείο Μ(-3, 5) απόσταση d=4.

37. Θεωρούμε τις ευθείες 1 : 1 0x y κι 2 : 2 2 0x y , , .

Να βρείτε τις τιμές των , ώστε να ισχύει: ε1//ε2 και 1 2 2 2d , .

38. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες

1 : 4 3 2 0x y κι 2 :12 5 3 0x y .

39. Δίνεται η εξίσωση 2 24 4 12 6 5 0x y xy x y (1).


β. Να δείξετε ότι ε1//ε2.

γ. Να βρείτε τη μεσοπαράλληλη των ευθειών ε1 κι ε2.

δ. Το σημείο Μ(-2, 4) βρίσκεται μέσα στη ζώνη των παραλλήλων ευθειών ε1 κι ε2;

40. Δίνεται η εξίσωση ( 3) -(2 1) 0x y (1) και το σημείο Α(1, 5).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά ευθεία ε για κάθε .

β. Να βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες ισχύει d(Α, ε)< 2.

41. Έστω ευθεία : y x και η αρχή των αξόνων Ο(0, 0). Να βρείτε το γεωμετρικό

τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει d(Μ,Ο)= 5 d(Μ, ) .

42. Δίνονται τα σημεία Α(2, 3), Β(4, -1) και Γ(-5, -7).

α. Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου.

β. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου .

γ. Να βρεθεί το μήκος του ύψους ΑΔ.



43. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α(2, -3), Β(-1, 7),

Γ(-2, -5) και Δ(7, 0).

44. Δίνονται τα σημεία Α(3, 2), Β(1, λ-2) και Γ(λ-2, λ), .

α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν

κορυφές τριγώνου.

β. Να βρείτε την τιμή του , αν (ΑΒΓ)=12.

45. Θεωρούμε τα σημεία Α(1, 4) κα Β(3, -2). Να βρείτε τα σημεία Μ του επιπέδου, για

τα οποία ισχύει (ΜΑ)=(ΜΒ) και (ΜΑΒ)=10.

46. Δίνονται τα σημεία Α(10, 12), Β(-2, 6) και Γ(6, -6).

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου.

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου .

γ. Να βρείτε τις εξισώσεις της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας

.

δ. Ποια απ’ τις ευθείες του ερωτήματος (γ) είναι η εσωτερική και ποια η εξωτερική

διχοτόμος;

47. Δίνεται η εξίσωση 2 22 6 6 8 0x xy y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά δύο παράλληλες ευθείες ε1 κι ε2.

β. Αν 1 : 2 0x y κι 2 : 4 0x y , να βρείτε την εξίσωση της

μεσοπαράλληλης ευθείας ε των ε1 κι ε2.

γ. Αν Α σημείο της ε1 με τεταγμένη 2 και Β σημείο της ε2 με τετμημένη 1,τότε

i. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β

ii. να βρείτε σημεία Γ και Δ της ε ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο

iii. να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΓΒΔ.

48. Δίνονται οι ευθείες 1 : 2 10 16 0x y κι 2 :10 2 4 0x y , .

α. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1 κι ε2 τέμνονται για κάθε τιμή του και να βρείτε

τις συντεταγμένες του σημείου τομής Μ.

β. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι η ευθεία

:8 6 0x y .

γ. Αν η ε τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε:

i. να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων Ο

και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ

ii. αν Κ τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να δείξετε ότι 9

4 .



Γενικές ασκήσεις πάνω στην ευθεία

49. Δίνονται τα σημεία Α(8, 0) και Β(0, 4) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy.

α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων

Ο(0, 0) και το μέσο Δ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ’ το σημείο Δ και είναι

κάθετη στην ευθεία ζ.

γ. Έστω Μ τυχαίο σημείο της ευθείας ε. Να δείξετε ότι 2 2 2

2 .

(Πανελλαδικές 1999)

50. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, η εξίσωση

( 1) ( 1) 3 0x y , , περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει

περιστρεφόμενος φάρος Φ.

α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ.

β. Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(2, 2), Λ(-1, 5) και Μ(1, 3). Να βρείτε τις

εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται απ’ τα πλοία Κ, Λ και Μ.

γ. Να υπολογίσετε ποιο απ’ τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή

ακτίνα που διέρχεται απ’ το πλοίο Μ.

δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται απ’ το φάρο Φ

και τα πλοία Λ και Μ. (Πανελλαδικές 2000)

51. Δίνεται η εξίσωση 2 2 6 9 0x y x (1).


β. Να δείξετε ότι 1 2 .

γ. Να βρείτε σημείο Μ(κ, λ) με κ>0, λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσμα (3, ) να

είναι παράλληλο σε μία απ’ τις δύο ευθείες ε1 κι ε2 και το διάνυσμα ( 16,4 )

να είναι παράλληλο στην άλλη. (Πανελλαδικές 2001)

52. Δίνεται η εξίσωση 2 2 22 3 3 2 0x y xy x y (1), 0 .

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά δύο παράλληλες ευθείες ε1 κι ε2 με κλίση ίση με 1.

β. Να βρείτε την τιμή του , αν το εμβαδόν του τετραγώνου, του οποίου οι

πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε1 κι ε2, είναι ίσο με 2.

53. Θεωρούμε ένα σημείο Ν της ευθείας : 1 0x y κι ονομάζουμε Α και Β τις

προβολές του Ν στις ευθείες 1 : 2y x κι 2

1:

2y x , αντιστοίχως. Να βρείτε το

γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, όταν το Ν διαγράφει

την ευθεία ε.




ΘΕΜΑ Α

Α1. Να δείξετε ότι η ευθεία : 0x y , 0 ή 0 , είναι παράλληλη στο

διάνυσμα ( , ) και κάθετη στο διάνυσμα ( , ) .

Μονάδες 7

Α2. Αν Α(x1, y1), Β(x2, y2) και Γ(x3, y3), να γράψετε τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου

.

Μονάδες 3


i) Όλες οι ευθείες που διέρχονται απ’ το σημείο Α(x0, y0) περιγράφονται απ’ την εξίσωση

0 0( - )y y x x .

ii) Το διάνυσμα ( , ) είναι κάθετο στην ευθεία Βx+Αy+Γ=0.

iii) Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται πάντα απ’ τον τύπο

1( ) det( , )

2 .

iv) Αν οι ευθείες ε1 κι ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντίστοιχα, τότε ισχύει

1 2 1 0

v) Η εξίσωση 2( 1) ( 1) y 4 0x δεν παριστά ευθεία για κάθε .

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ευθεία η ευθεία : 2y x και το σημείο Α(1, 2).

Β1. Να βρείτε την προβολή του σημείου Α στην ευθεία ε.

Μονάδες 8



Β2. Να βρείτε το συμμετρικό Α΄ του σημείου Α ως προς την ευθεία ε.

Μονάδες 7

Β3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ’ το Α΄ και σχηματίζει με τον άξονα

x΄x γωνία 135 .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι ευθείες 1 : 3 1 0x y κι 2 : 3 2 0x y .

Γ1. Να δείξετε ότι ε1//ε2.

Μονάδες 4

Γ2. Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε1 κι ε2.

Μονάδες 6

Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε1 κι ε2.

Μονάδες 7

Γ4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται απ’ το σημείο Κ(2, 1) και τέμνει

τις ευθείες ε1, ε2 στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να

διχοτομείται απ’ την ευθεία : 1 0x y .

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται το διάνυσμα (4,2) και το σημείο Β(0, 1).

Δ1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται απ’ το σημείο Β κι είναι

παράλληλη στο διάνυσμα .

Μονάδες 3



Δ2. Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Α, να δείξετε ότι η μεσοκάθετος του

ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση : 4 2 3 0x y .

Μονάδες 5

Δ3. Α η ευθεία ζ τέμνει τον άξονα y΄y στο Γ, να βρεθεί σημείο Δ της ζ ώστε το τετράπλευρο

ΑΓΒΔ να είναι ρόμβος.

Μονάδες 7

Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ρόμβου ΑΓΒΔ.

Μονάδες 4

Δ5. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας

.

Μονάδες 6




Το θέμα

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 2 32 ( ) ( ) 0x y xy x y (1), {0,1} .

Α. Να δειχθεί ότι η (1) παριστά 2 παράλληλες ευθείες, για κάθε {0,1} .

Β. Αν μ>1, τότε:

i. να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που ορίζουν οι παράλληλες ευθείες με τους

θετικούς ημιάξονες Οx και Oy

ii. να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τραπεζίου είναι

ίσο με 12 τετραγωνικές μονάδες.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Ο κύκλος

Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(0, 0)

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο

Ο(0, 0) και ακτίνα ρ. Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στον κύκλο C αν και μόνο αν απέχει απ’ το

κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ. Δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει (ΟΜ)=ρ.

Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα 4 έχει εξίσωση: x2+y

2=4

2.

Ο κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ=1, λέγεται μοναδιαίος κύκλος.

Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου

Έστω ο κύκλος 2 2 2:C x y κι ένα σημείο Μ(x, y) του καρτεσιανού επιπέδου.

Ονομάζουμε φ τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x΄x, οπότε είναι

0 2 . Αν το σημείο Μ(x, y) ανήκει στον κύκλο C τότε, όπως γνωρίζουμε απ’ την

τριγωνομετρία, θα είναι:

x

x

y y

(1)

Μ(x, y)

O x x΄

y

y΄

Όμως:

2 2 2 2

2 2 2

( ) x y x y

x y

Άρα η εξίσωση του κύκλου με κέντρο

Ο(0, 0) και ακτίνα ρ είναι:

2 2 2x y

Μ(x, y)

O x x΄

y

y΄

φ

Ώστε, για κάθε σημείο Μ(x, y)

του κύκλου C, υπάρχει

μοναδική γωνία [0, 2 )

τέτοια ώστε να ισχύει η (1).



Αντιστρόφως, αν για τις συντεταγμένες του σημείου Μ ισχύει η (1), τότε έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )x y

Ώστε για κάθε γωνία [0, 2 ) , το σημείο Μ με συντεταγμένες τις (1) ανήκει στον κύκλο

C. Επομένως , οι συντεταγμένες των σημείων Μ(x, y) του κύκλου και μόνον αυτές

ικανοποιούν τις εξισώσεις:

Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C.

Εφαπτομένη κύκλου

Έστω ο κύκλος 2 2 2:C x y κι ένα σημείο του Α(x1, y1), οπότε ισχύει

2 2 2

1 1x y (1).

Έστω επίσης η εφαπτομένη ε του κύκλου στο σημείο Α.

Ώστε η εφαπτομένη του κύκλου 2 2 2:C x y στο σημείο του Α(x1, y1), έχει εξίσωση:

Για παράδειγμα, η εφαπτομένη του κύκλου 2 2: 4C x y στο σημείο του (1, 3) έχει

εξίσωση1 3 4 3 4x y x y .

Εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(x0, y0)

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων και C ο κύκλος με κέντρο Κ(x0, y0) και ακτίνα ρ.

x και y , [0, 2 )

Ο

Α(x1, y1)

M(x, y)

ε

x x΄

y΄

y Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στην ε αν και

μόνο αν , δηλαδή αν και

μόνο αν ισχύει 0 (2).

Όμως 1 1( , )x y και

1 1( , )x x y y , οπότε η (2)

γίνεται:

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

(1)2 2 2

1 1 1 1 1 1

( ) ( ) 0

0

x x x y y y

x x x y y y

x x y y x y x x y y

2

1 1x x y y

Κ(x0, y0)

Μ(x, y)

Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στον

κύκλο C, αν και μόνο αν η

απόσταση ΚΜ είναι ίση με την

ακτίνα ρ, δηλαδή αν και μόνο αν

ισχύει (ΚΜ)=ρ (1).



Όμως 2 2

0 0( ) ( - ) ( )x x y y , οπότε η (1) γίνεται:

2 2 2 2 2

0 0 0 0( - ) ( ) ( - ) ( )x x y y x x y y

Άρα ο κύκλος με κέντρο Κ(x0, y0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:

Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο Κ(-2, 3) και ακτίνα 5 έχει εξίσωση

2 2( 2) ( 3) 5x y

Η εξίσωση 2 2 0x y x y

Θεώρημα

Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής 2 2 0x y x y με

2 2 4 0 (1)

κι αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστά κύκλο κέντρου ( , )2 2

κι

ακτίνας

2 2 4

2

.

Απόδειξη

Έστω κύκλος C κέντρου Κ(x0, y0) κι ακτίνας ρ. Η εξίσωσή του είναι:

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0( ) ( ) 2 2x x y y x x x x y y y y

2 2 2 2 2

0 0 0 02 2 0x y x x y y x y (2).

Θέτοντας 0 02 , 2x y και2 2 2

0 0x y , η (2) παίρνει τη μορφή

2 2 0x y x y και 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 04 ( 2 ) ( 2 ) 4( )x y x y

2

04x 2

04y 2

04x 2

04y 2 24 4 0

Αντίστροφα, έστω η εξίσωση2 2 0x y x y .έχουμε τότε:

2 2 2 20 ( ) ( ) 0x y x y x x y y

2 2 2 2

2 22 2 02 2 2 2 2 2

x x y y

2 2 2

0 0( ) ( )x x y y



2 2 2 22 2 2 2

02 4 2 4 2 2 4 4

x y x y

2 2 2 2 4

2 2 4x y

(3)

Αν 2 2 4 0 , τότε η (3) παριστά κύκλο κέντρου ( , )

2 2

κι ακτίνας

2 2 4

2

.

Αν 2 2 4 0 , τότε η (3) γίνεται:

2 2

02 2 2

x y x

και 2

y

, δηλαδή παριστά το σημείο

( , )2 2

(εκφυλισμένος κύκλος)

Αν 2 2 4 0 , τότε η (3) γίνεται:

2 2

02 2

x y

που είναι

αδύνατη, άρα δεν υπάρχουν σημεία Μ(x, y) των οποίων οι συντεταγμένες να την

επαληθεύουν.

Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση 2 2 6 2 8 0x y x y , όπου Α= -6, Β=2 και Γ=8.

Είναι 2 2 2 24 ( 6) 2 4 8 36 4 32 8 0 , οπότε η εξίσωση παριστά

κύκλο κέντρου6 2

, , (3, 1)2 2 2 2

και ακτίνας

2 2 4 8 2 22

2 2 2

.




1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου C όταν:

α. έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α(2, 7) και Β(-6, 5)

β. έχει κέντρο το σημείο Κ(-1, 0) κι εφάπτεται στην ευθεία : 3 4 0x y

γ. διέρχεται απ’ τα σημεία Α(1, 2), Β(-1, 1) και Γ(2, 3). (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες:

2 6 4

22 2( 2,6)

67 5 12

2 2

x xx

yy y

Είναι 2 2( ) [2 ( 2)] (7 6) 16 1 17 , συνεπώς ο ζητούμενος κύκλος

έχει εξίσωση 2 2: ( 2) ( 6) 17C x y .

β. Είναι 2 2

1 ( 1) 2 0 4 1 4 5 5 5 5d( , ) 5

55 5 51 2

, συνεπώς ο

ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση 2 2: ( 1) 5C x y

γ. α΄ τρόπος

Έστω 2 2 0x y x y η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου. Οι συντεταγμένες των

σημείων Α, Β και Γ επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου, οπότε έχουμε:

2 2

2 2

2 3

1 2 2 0 1 4 2 0 2 5

( 1) 1 0 1 1 0 2

2 3 2 3 0 4 9 2 3 0 2 3 13

5

..... 13

16

Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση 2 2: 5 13 16 0C x y x y (Ι)



β΄ τρόπος

Το μέσο Δ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες:

1 10

320,3

2 1 22

2

xx

yy

Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 2 1 1

1 1 2 2

, οπότε για τη μεσοκάθετο

μ1 του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ισχύει ότι:

1 1 11

11 1 2

2 .

Οπότε η ευθεία μ1 έχει εξίσωση 3 3 3

2( 0) 2 22 2 2

y x y x y x (1)

Το μέσο Ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ έχει συντεταγμένες:

1 2 3

3 52 2,

2 3 5 2 2

2 2

x x

y y

Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης3 2 1

12 1 1

, οπότε για τη μεσοκάθετο μ2

του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ ισχύει ότι:

2 2 22 1 1 1 1 .

Οπότε η ευθεία μ2 έχει εξίσωση

3 5 3 5 5 34

2 2 2 2 2 2y x y x y x y x

(2)

Οι συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου αποτελούν τη λύση του συστήματος των

εξισώσεων (1) και (2).

3 3 3 52 4 2 2 4

2 2 2 2

4 4 4 4

y x x x x x x

y x y x y x y x



5 5 5

2 5 132 2,

5 5 13 2 24 4

2 2 2

x x x

y y y

Η ακτίνα του κύκλου είναι:

2 2 2 25 13 7 9 49 81 130 130

( ) 1 22 2 2 2 4 4 4 2

Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση

2 25 13 65

:2 2 2

C x y

(II)

Παρατήρηση: Οι εξισώσεις (Ι) και (ΙΙ) ταυτίζονται αν γίνουν οι πράξεις.

2. Δίνεται ο κύκλος 2 2: (x 2) ( 3) 25C y και το σημείο Α(5, 1).

α. Να δείξετε ότι το σημείο Α(5, 1) ανήκει στον κύκλο.

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α. (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του σημείου Α στην εξίσωση του κύκλου κι έχω:

2 2 2 2(5 2) (1 3) 25 3 4 25 9 16 25 που ισχύει, άρα το σημείο Α ανήκει

στον κύκλο C.

β. Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(2, -3) και ακτίνα ρ=5, οπότε ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στην

εφαπτομένη ε αν και μόνο αν 0 (1).

Είναι (5 2,1 3) (3,4) και ( 5, 1)x y , οπότε η (1) γίνεται:

0 (3,4) ( 5, 1) 0 3( 5) 4( 1) 0x y x y

3 15 4 4 0 3 4 19 0x y x y

Άρα η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του A(5, 1) έχει εξίσωση : 3 4 19 0x y ,

όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα:



3. Δίνεται η εξίσωση2 2 4 2 5 0x y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα

ρ.

β. Να δείξετε ότι η ευθεία : 3 5 0x y εφάπτεται στον κύκλο και να βρείτε τις

συντεταγμένες του σημείου επαφής. (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Αν Α=4, Β= -2 και Γ= -5, τότε έχουμε:

2 2 2 24 4 ( 2) 4 ( 5) 16 4 20 40 0 , οπότε η (1) παριστά κύκλο

κέντρου 4 2

, , ( 2,1)2 2 2 2

και ακτίνας

40 2 1010

2 2 .

Άρα η εξίσωση του κύκλου γίνεται 2 2: ( 2) ( 1) 10C x y

β. Υπολογίζω την απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου απ’ την ευθεία ε.

2 2

3 ( 2) 1 1 5 6 1 5 10 10d( , ) 10

10 10 103 1

Είναι d(Κ, ε)=ρ, άρα η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο C.

Μ(x, y)

ε



Για την εύρεση των συντεταγμένων του σημείου επαφής, λύνω το σύστημα κύκλου κι

ευθείας.

2 2 2 2 2 2( 2) ( 1) 10 ( 2) (5 3 1) 10 ( 2) (4 3 ) 10

3 5 0 5 3 5 3

x y x x x x

x y y x y x

2 2 2 24 4 16 24 9 10 0 10 20 10 0 2 1 0

5 3 5 3 5 3

x x x x x x x x

y x y x y x

2 1 0 1 1( 1) 0(1,2)

5 3 5 3 1 25 3

x x xx

y x y yy x

Επομένως, η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο Μ(1, 2).

4. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 10C x y και το σημείο Ρ(4, -2).

α. Να βρεθεί η σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο C.

β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται απ’ το Ρ.

γ. Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο εφαπτομένων.

Λύση

α. Βρίσκουμε την απόσταση του σημείου Ρ απ’ το κέντρο Ο(0, 0) του κύκλου.

2 2

( ) 4 0 2 0 16 4 20 2 5 και 10 , οπότε (ΟΜ)>ρ,

συνεπώς το σημείο Ρ είναι εξωτερικό του κύκλου C.

β. Έστω Μ(x1, y1) σημείου του κύκλου C. Η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ έχει εξίσωση

1 1: 10x x y y . Οι συντεταγμένες του σημείου Ρ ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας

ε, οπότε είναι 1 1 1 14 2 10 2 5x y x y (1).

Το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο C, οπότε είναι επίσης 2 2

1 1 10x y (2).

Λύνω το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2).

1

1 1 1 11

22 2 2 221 1 1 11

1

1210 4 20 25 10 015

2 5 2 52 5

0x y x x xx x

x y y xy x



2 21 11 1 1 1

1 11 1 1 1

1 35 20 15 0 4 3 0.....

2 52 5 2 5

x ή xx x x x

y xy x y x

1 1 1 1

1 1 1 1

1, 2 1 5 1, 3(1, 3) (3,1)

3, 2 3 5 3, 1

x y x yή

x y x y

Άρα οι ζητούμενες εφαπτόμενες έχουν εξισώσεις 1 : 3 10x y κι 2 : 3 10x y .

γ. Είναι 1

1 1

3 3

, 2

33

1

και 1 2 1 2

1( 3) 1

3 .

5. Δίνονται οι κύκλοι μ’ εξισώσεις2 2

1 : ( 2) ( 3) 25C x y και

2 2

2 : ( 1) 9C x y . Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C1 στο σημείο του

Α(5, -1) εφάπτεται και στον κύκλο C2.

Λύση

Ο κύκλος C1 έχει κέντρο K(2, 3) και ακτίνα ρ1=5, ενώ ο κύκλος C2 έχει κέντρο Λ(0, -1) και

ακτίνα ρ2=3.

Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στην εφαπτομένη του κύκλου στο Α αν και μόνο αν ,

δηλαδή αν και μόνο αν 0 (1).

Όμως (5 2, 1 3) (3, 4) και ( 5, ( 1)) ( 5, 1)x y x y , οπότε η

(1) γίνεται:

A(5, -1)

Μ(x, y)

B

ε



0 (3, 4) ( 5, 1) 0 3( 5) 4 ( 1) 0x y x y

3 15 4 4 0 3 4 19 0x y x y .

Άρα η εφαπτομένη του κύκλου C1 στο Α έχει εξίσωση : 3 - 4 -19 0x y .

Η απόσταση του κέντρου Λ του κύκλου C2 απ’ την ευθεία ε είναι:

2 2

3 0 4 ( 1) 19 0 4 19 15 15d( , ) 3

59 16 253 ( 4)

.

Άρα d(Λ, ε)=ρ2, συνεπώς η ευθεία ε εφάπτεται και στον κύκλο C2.

6. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(2, 2) κι αποκόπτει

απ’ την ευθεία : 3 4 1 0x y χορδή μήκους 8. (Βασική άσκηση)

Λύση

Το απόστημα ΚΜ είναι μεσοκάθετος της χορδής, οπότε ΑΜ=ΜΒ=4. Επίσης είναι:

2 2

3 2 4 2 1 6 8 1 15( ) d(K,ε)= 3

59 163 4

.

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο , οπότε έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2 23 4 9 16 25 25 5

Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση2 2: ( 2) ( 2) 25C x y .

7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. ο κύκλος έχει ακτίνα ρ=6, εφάπτεται στον άξονα x΄x κα διέρχεται απ’ το σημείο

Α(2, 6)

β. ο κύκλος έχει κέντρο Κ(-4, 5) κι εφάπτεται του άξονα y΄y

K(2, 2)

M A B

ρ 3

4



γ. ο κύκλος έχει κέντρο Κ(2, -2) κι εφάπτεται στους άξονες x΄x και y΄y.


Λύση

Χρήσιμες παρατηρήσεις

Ο κύκλος κέντρου Κ(x0, y0) εφάπτεται στον άξονα x΄x 0y .

Ο κύκλος κέντρου Κ(x0, y0) εφάπτεται στον άξονα y΄y 0x

Ο κύκλος κέντρου Κ(x0, y0) εφάπτεται στους άξονες x΄x και y΄y 0 0x y

α. Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x΄x 0 0 06 6y y y

Αν y0=6, τότε ο κύκλος έχει εξίσωση 2 2

0: ( ) ( 6) 36C x x y (1)

Το σημείο Α(2, 6) ανήκει στον κύκλο C, άρα η (1) γίνεται:

y0

O x0

Κ(x0, y0)

y

x

Κ(x0, y0)

O x

y

x0

y0

Κ(x0, y0)

x

y

x0

y0

O



2 2 2

0 0 0 0 0 0(2 ) (6 6) 36 (2 ) 36 2 6 2 6 4 8x x x ή x x ή x

Συνεπώς προκύπτουν οι κύκλοι μ’ εξισώσεις2 2

1 : ( 4) ( 6) 36C x y και

2 2

1 : ( 8) ( 6) 36C x y .

Αν y0= -6, τότε ο κύκλος έχει εξίσωση 2 2

0: ( ) ( 6) 36C x x y (2)

Το σημείο Α(2, 6) ανήκει στον κύκλο C, άρα η (2) γίνεται:

2 2 2 2

0 0 0(2 ) (6 6) 36 (2 ) 144 36 (2 ) 108x x x , αδύνατη.

Άρα δεν υπάρχει κύκλος.

β. Ο κύκλος εφάπτεται του άξονα y΄y 0 4 4x

Τότε ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση 2 2: ( 4) ( 5) 16C x y .

γ. Ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες x΄x και y΄y 0 0 2 2 2x y

Τότε ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση 2 2: ( 2) ( 2) 4C x y .

Προσοχή

Όταν ο κύκλος κέντρου Κ(x0, y0) εφάπτεται στους άξονες x΄x και y΄y, τότε:

Αν x0, y0 ομόσημοι, το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία y x .

Αν x0, y0 ετερόσημοι, το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία y x .

8. Να δείξετε ότι οι κύκλοι 2 2

1 : 4 2 3 0C x y x y και

2 2

2 : 10 4 21 0C x y x y τέμνονται ορθογώνια, δηλαδή τέμνονται και οι

εφαπτόμενες στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες.

Λύση

Για τον κύκλο C1 είναι Α= -4, Β= -2 και Γ=3, οπότε:

2 2 2 24 ( 4) ( 2) 4 3 16 4 12 8 .

Άρα ο κύκλος C1 έχει κέντρο 4 2

, , (2,1)2 2 2 2

και ακτίνα

1

8 2 22

2 2 .



Για το κύκλο C2 είναι Α= -10, Β= -4 και Γ=21, οπότε:

2 2 2 24 ( 10) ( 4) 4 21 100 16 84 32 .

Άρα ο κύκλος C2 έχει κέντρο 10 4

, , (5,2)2 2 2 2

και ακτίνα

2

32 4 22 2

2 2 .

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία

α. Ο ένας στο εσωτερικό του άλλου

β. Ο ένας εξωτερικός του άλλου

Αν (ΚΑ)=R και (ΛΒ)=ρ, τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R+ρ

Κ

Λ Α Β

Αν (ΚΑ)=R και (ΛΒ)=ρ, τότε:

( )

R-ρ

Κ

Λ Α Β



Κύκλοι εφαπτόμενοι

α. Κύκλοι εσωτερικά εφαπτόμενοι

β. Κύκλοι εξωτερικά εφαπτόμενοι

Αν (ΚΑ)=R και (ΛΑ)=ρ, τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) R+ρ

Κύκλοι τεμνόμενοι

Κ Λ

Α

Αν (ΚΑ)=R και (ΛΑ)=ρ, τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) R-ρ

Κ

Λ Α

Κ Λ

Α

Β

Αν (ΚΑ)=R και (ΛΑ)=ρ, τότε στο τρίγωνο

είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R-ρ<(ΚΛ)<R+ρ



Για τους κύκλους C1, C2 είναι 2 2 2 2( ) (5 2) (2 1) 3 1 9 1 10 .

Έχουμε 1 2 2 2 2 3 2 , 2 1 2 2 2 2 κι επειδή

2 1 2 1( ) , οι κύκλοι τέμνονται.

Για να βρω τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων λύνω το σύστημα των δύο

εξισώσεων.

2 2 2 2( )

2 2

4 2 3 0 4 2 3 0

10 4 21 0 6 2 18 0

x y x y x y x y

x y x y x y

2 2 2 24 2 3 0 (9 3 ) 4 2(9 3 ) 3 0

3 9 0 9 3

x y x y x x x x

x y y x

2 2 281 54 9 4 18 6 3 0 10 52 66 0

9 3 9 3

x x x x x x x

y x y x

2 11 3, 9 3 335 26 33 0

..... 5 11 11, 9 39 3

9 3 5 5

x yx ή xx x

x yy xy x

3, 011 12

(3,0), ,11 125 5,

5 5

x y

x y

ε1

ε1 ε2



Έστω ε1 η εφαπτομένη του κύκλου (Κ, ρ1) κι ε2 η εφαπτομένη του κύκλου (Λ, ρ2) στο σημείο

τομής τους Α(3, 0).

Είναι 0 1 1

13 2 1

κι επειδή 1 1 1 11 ( 1) 1 1 .

Είναι 0 2 2

13 5 2

κι επειδή 2 2 2 21 1 1 1 .

Συνεπώς 1 2 1 21 ( 1) 1 .

Όμοια και για τις εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο Β.

Άρα οι κύκλοι C1, C2 τέμνονται ορθογώνια.

9. Να βρείτε τους αριθμούς για τους οποίους η ευθεία : - -1 0x y

εφάπτεται στον κύκλο 2 2 2: ( ) ( 1) 1C x y .

Λύση

Σχετικές θέσεις ευθείας-κύκλου

Ευθεία εξωτερική του κύκλου

Ευθεία εφαπτόμενη στον κύκλο

Κ

ε

Α

Μ

ρ

d

Αν ΚΑ=ρ και ΚΜ=d(Κ, ε), τότε η ευθεία

είναι εξωτερική του κύκλου αν και μόνο αν

ρ<d .

Κ

Α ε

Είναι ΚΑ=ρ και ΚΑ=d(Κ, ε), οπότε η

ευθεία εφάπτεται στον κύκλο αν και

μόνο αν d=ρ .

ρ d



Ευθεία τέμνουσα του κύκλου

Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ(λ, -1) και ακτίνα 2 1 , οπότε η ευθεία θα εφάπτεται στον

κύκλο αν και μόνο αν 2

2 2

1 ( 1) 1d Κ, ε =ρ 1

( 1)

2 1 1

22 2 2

21 1

1

2 2 2

1

1

2

11

2 1 0

(η εξίσωση

22 1 0 είναι αδύνατη).

10. Έστω ο κύκλος 2 2: ( 3) ( 2) 85C x y και το σημείο Μ(2, 4). Να βρείτε την

εξίσωση της ευθείας ε, η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β και το σημείο

Μ είναι το μέσο της χορδής ΑΒ.

Λύση

α΄ τρόπος

Έστω Α(x1, y1) και Β(x2, y2) τα το σημεία στα οποία η ζητούμενη ευθεία τέμνει τον κύκλο C.

Τότε είναι:2 2

1 1( 3) ( 2) 85x y (1) και 2 2

2 2( 3) ( 2) 85x y (2).

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχω:

2 2 2 2

1 2 1 2( 3) ( 3) ( 2) ( 2) 0x x y y

2 2

1 1 2 26 9 6 9x x x x 2 2

1 1 2 24 4 4 4y y y y 0

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( ) 6( ) ( ) 4( ) 0x x x x y y y y

Κ

Α Β Μ

d ρ

Αν ΚΑ=ρ και ΚΜ=d(Κ, ε), τότε στο

ορθογώνιο τρίγωνο είναι

ΚΑ>ΚΜ (ΚΑ υποτείνουσα), άρα η

ευθεία τέμνει τον κύκλο αν και μόνο

αν ρ>d .



1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) 4( ) 0x x x x x x y y y y y y

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( 6) ( ) ( 4) 0x x x x y y y y (3)

Το σημείο Μ(2, 4) είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, αν και μόνο αν,

1 2

1 2

1 21 2

242

84

2

x x

x x

y yy y

(4)

Από (3) και (4) έχω: 1 2 1 2( ) (4 6) ( ) (8 4) 0x x y y

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22( ) 4( ) 0 2( ) 4( ) 2( )x x y y x x y y x x y y (5)

Αν 1 2x x , η (5) γίνεται 1 2 1 22( ) 0y y y y (απορρίπτεται), άρα 1 2x x ,

οπότε η (5) γίνεται 1 2

1 2

1 1

2 2

y y

x x

.

Η ευθεία ΑΒ διέρχεται απ’ το σημείο Μ(2, 4), οπότε έχει εξίσωση

1: 4 ( 2) 2 8 2 2 6 0

2y x y x x y .

(Ο παραπάνω τρόπος εφαρμόζεται και στις υπόλοιπες κωνικές τομές, παραβολή, έλλειψη,

υπερβολή).

β΄ τρόπος



Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(3, 2), οπότε το Μ(2, 4) είναι το μέσο της χορδής ΑΒ, αν και μόνο αν,

. Είναι 4 2 2

22 3 1

, συνεπώς:

11 ( 2) 1

2

Η ευθεία ΑΒ διέρχεται απ’ το σημείο Μ(2, 4), οπότε έχει εξίσωση

1: 4 ( 2) 2 8 2 2 6 0

2y x y x x y .

(Ο παραπάνω τρόπος εφαρμόζεται μόνο στον κύκλο).

11. Απ’ το σημείο Μ(x0, y0) εκτός του κύκλου 2 2 2:C x y φέρνουμε τις δύο

εφαπτόμενές του. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής, να δείξετε ότι η χορδή ΑΒ έχει εξίσωση

2

0 0xx yy .

Λύση

Έστω Α(x1, y1) και Β(x2, y2) τα σημεία επαφής των εφαπτομένων που άγονται απ’ το σημείο

Μ προς τον κύκλο C. Οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι:

2

1 1 1: x x y y κι 2

2 2 2: x x y y .

Το σημείο Μ ανήκει στις ε1, ε2 οπότε είναι:2

1 0 1 0x x y y και 2

2 0 2 0x x y y .

Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ικανοποιούν την εξίσωση 2

0 0xx yy , που είναι εξίσωση ευθείας διότι 0 0, 0x y , αφού .

Άρα η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση 2

0 0xx yy .

Η ευθεία ΑΒ ονομάζεται πολική του Μ ως προς τον κύκλο C και το σημείο Μ πόλος της

ευθείας ΑΒ ως προς τον κύκλο C.

Μ(x0, y0)

A

B O

y

x

y΄

x΄



ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ: Η παραβολή

Ορισμός

Έστω μια ευθεία δ κι ένα σημείο Ε εκτός αυτής. Ονομάζουμε παραβολή, με εστία το σημείο

Ε και διευθετούσα την ευθεία δ, το γεωμετρικό τόπο C των σημείων του επιπέδου τα οποία

ισαπέχουν απ’ το σημείο Ε και την ευθεία δ.

Εξίσωση παραβολής

Εστία στον άξονα x΄x

Έστω C μια παραβολή μ’ εστία Ε και διευθετούσα δ. Στο επίπεδο της παραβολής θεωρούμε

σύστημα συντεταγμένων Οxy, το οποίο έχει αρχή την κορυφή Ο της παραβολής και στο

οποίο ο άξονας x΄x διέρχεται απ’ την εστία Ε της παραβολής (οπότε 'x x ).

Αν η εστία της παραβολής έχει συντεταγμένες ,02

p

, 0p , τότε η διευθετούσα έχει

εξίσωση :2

px . Ο αριθμός p ονομάζεται παράμετρος της παραβολής και η p

εκφράζει την απόσταση της εστίας Ε απ’ τη διευθετούσα δ.

Είναι : 0 02 2

p px x y .

Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στην παραβολή C αν και μόνο αν d(M, E)=d(M, δ) (1).

Όμως 2 2

2 2d(Μ,Ε) 02 2

p px y x y

και

2 2

1 02

d(Μ,δ)=21 0

px y

px

, οπότε η (1) γίνεται:

E

M Ρ

Α Κ

Αν Α είναι η προβολή της εστίας

Ε στη διευθετούσα δ, τότε το

μέσο Κ του ευθυγράμμου

τμήματος ΕΑ είναι προφανώς

σημείο της παραβολής και λέγεται

κορυφή της.



2 2 2

2 2( ) ( )2

d M,E =d M2

,2 2

δp p p p

x y x x y x

2 22 2 2 22 2 2

2 4 2 4

p p p px x y x x y px

Επομένως, η εξίσωση της παραβολής C μ’ εστία ,02

p

και διευθετούσα :2

px

είναι:

Για παράδειγμα, η παραβολή μ’ εστία το σημείο Ε(3, 0) και διευθετούσα 3x , έχει p=6 κι

επομένως έχει εξίσωση 2 12y x .

Εστία στον άξονα y΄y

Έστω C μια παραβολή μ’ εστία Ε και διευθετούσα δ. Στο επίπεδο της παραβολής θεωρούμε

σύστημα συντεταγμένων Οxy, το οποίο έχει αρχή την κορυφή Ο της παραβολής και στο

οποίο ο άξονας y΄y διέρχεται απ’ την εστία Ε της παραβολής (οπότε 'y y ).

Εργαζόμενοι όπως πριν, βρίσκουμε ότι η εξίσωση της παραβολής C μ’ εστία 0,2

p

και

διευθετούσα :2

py είναι:

Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα 21

2y x

p και παριστά τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης 2( )f x x , όπου

1

2 p .

2 2y px

p>0

,02

p

M(x, y)

O

:2

px

x x΄

y

y΄

Ρ

,02

p

M(x, y)

p<0

x x΄

:2

px

y΄

y

O

Ρ

2 2x py



Ιδιότητες παραβολής

Η μορφή 2 2y px (1)

Απ’ την εξίσωση (1) , επειδή 2 0y , είναι 0px , οπότε για 0x προκύπτει

ότι οι αριθμοί p και x είναι ομόσημοι. Επομένως η παραβολή βρίσκεται στο

ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας y΄y και η εστία Ε.

Αν το σημείο Μ0(x0, y0) ανήκει στην παραβολή, δηλαδή αν 2

0 02y px , τότε και

το σημείο Μ1(x0, -y0) θ’ ανήκει στην παραβολή, αφού 2 2

0 0 0 0( ) 2 2y px y px που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας x΄x είναι

άξονας συμμετρίας της παραβολής κι εν συντομία λέγεται άξονας της

παραβολής.

Η μορφή 2 2x py (2)

Απ’ την εξίσωση (21) , επειδή 2 0x , είναι 0py , οπότε για 0y προκύπτει

ότι οι αριθμοί p και y είναι ομόσημοι. Επομένως η παραβολή βρίσκεται στο

ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας x΄x και η εστία Ε.

Αν το σημείο Μ0(x0, y0) ανήκει στην παραβολή, δηλαδή αν 2

0 02x py , τότε και

το σημείο Μ1(-x0, y0) θ’ ανήκει στην παραβολή, αφού 2 2

0 0 0 0( ) 2 2x py x py που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας y΄y είναι

άξονας συμμετρίας της παραβολής κι εν συντομία λέγεται άξονας της

παραβολής.


1. Σε κάθε περίπτωση, η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την εστία και

τη διευθετούσα.

2. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα είναι σημεία της παραβολής, ονομάζεται

χορδή της παραβολής.

p>0

0,2

p

:2

py

M(x, y)

x

y

x΄

y΄

Ο

Ρ

0,2

p

:2

py

p<0

x x΄

y΄

y

M(x, y)

Ο

Ρ



3. Έστω Μ ένα σημείο μιας παραβολής C μ’ εστία Ε. Η απόσταση (ΜΕ) ονομάζεται εστιακή

απόσταση ή εστιακή ακτίνα του σημείου Μ.

Εφαπτομένη παραβολής

Έστω η παραβολή C μ’ εξίσωση 2 2y px (1) κι ένα σταθερό της σημείο Μ1(x1, y1).

Έστω επιπλέον μια μη-κατακόρυφη ευθεία ζ που διέρχεται απ’ το Μ1 και τέμνει την

παραβολή σε σημείο Μ2(x2, y2), διαφορετικό του Μ1. Τότε η ευθεία ζ θα έχει

συντελεστή διεύθυνσης 2 1

2 1

y y

x x

κι επειδή διέρχεται απ’ το σημείο Μ1 θα έχει

εξίσωση 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x

(2).

Τα σημεία Μ1(x1, y1) και Μ2(x2, y2) ανήκουν στην παραβολή οπότε ισχύουν οι

σχέσεις: 2

1 12y px (3) και 2

2 22y px (4).

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (3) και (4) έχουμε:2 2

2 1 2 12 ( )y y p x x

1 22 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

2( )( ) 2 ( )

x x y y py y y y p x x

x x y y

.

Έτσι η (2) παίρνει τη μορφή: 1 1

2 1

2( )

py y x x

y y

2 1 1 1( )( ) 2 ( )y y y y p x x (5)

Αν υποθέσουμε τώρα ότι το σημείο Μ2(x2, y2), κινούμενο πάνω στην παραβολή C,

τείνει να συμπέσει με το σημείο Μ1(x1, y1), δηλαδή το y2 τείνει να γίνει ίσο με το y1,

τότε η (5) γίνεται: 1 1 1 1 1 1 1( )( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )y y y y p x x y y y p x x

(3)2

1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 2y y y p x x y y y px px y y px px px

1 1 1 1 1 1 12 ( )yy px px px yy px px yy p x x

Η τελευταία εξίσωση παριστά την εξίσωση ευθείας ε που είναι η οριακή θέση της

ευθείας ζ, όταν το σημείο Μ2 τείνει να συμπέσει με το Μ1. Στην περίπτωση αυτί η

ευθεία ε λέγεται εφαπτομένη της παραβολής C στο σημείο της Μ1(x1, y1).

M1(x1, y1) M2(x2, y2)

ε

C

Ε x

y

x΄

y΄

O

δ



Άρα η εφαπτομένη της παραβολής 2 2y px στο σημείο της Μ1(x1, y1) έχει εξίσωση:

Έστω η παραβολή C μ’ εξίσωση 2 2x py (1) κι ένα σταθερό της σημείο Μ1(x1, y1).

Εργαζόμενοι όπως παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, η εφαπτομένη της

παραβολής 2 2x py στο σημείο της Μ1(x1, y1) έχει εξίσωση:

Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της παραβολής 2 4y x , στο σημείο της Μ(4, 4), έχει

εξίσωση: 4 2( 4) 2 4 2 4 0y x y x x y .

Αντίστοιχα, η εφαπτομένη της παραβολής 2 6x y , στο σημείο της Μ(-6, 6), έχει εξίσωση:

6 3( 6) 2 6 2 6 0x y x y x y .


Κάθε εφαπτομένη μιας παραβολής C έχει μ’ αυτήν μοναδικό κοινό σημείο. Το αντίστροφο

δεν ισχύει.

Για παράδειγμα, κάθε ευθεία ε της μορφής 0y y ( / / ' )x x έχει με την παραβολή

μοναδικό κοινό σημείο, όμως δεν εφάπτεται σ’ αυτήν.

2 2y px

1 1( )yy p x x

1 1( )xx p y y

M1(x1, y1)

M2(x2, y2)

C

O

E

δ

x

y

x΄

y΄

ε



Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής

Έστω η παραβολή C μ’ εστία Ε και κορυφή Ο κι ένα σημείο της Μ1(x1, y1). Η κάθετη στην

εφαπτομένη ε της παραβολής C στο σημείο επαφής M1 διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν

η ημιευθεία Μ1Ε και η ημιευθεία Μ1t που είναι ομόρροπη της ΟΕ.

.

Απόδειξη

Έστω η παραβολή 2: 2C y px και το σημείο της Μ1(x1, y1). Τότε

2

1 12y px (1).

Η εφαπτομένη ε της παραβολής στο Μ1 έχει εξίσωση 1 1( )yy p x x (2) κι επειδή 1

η (1) γίνεται:1 1

1 1 1 1

( )p p p p

y x x y x xy y y y

.

Είναι 1

1

1 1yp

y p , άρα η ευθεία η έχει εξίσωση

11 1( )

yy y x x

p (2).

Για y=0 η (2) γίνεται: 11 1 1 1 10 ( ) ( )

yy x x py y x x

p

1 1 1( ,0)p x x x p x p x

Είναι 2 2

2

1 1 1( ) 0 02 2 2

p p pp x x x

και

Μ1(x1, y1)

C

E O

δ

x

y

x΄

y΄

t

ε

φ1

φ2

η

Α

ω

Ν1



2 2 2(1)

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 0 2 22 2 4 4

p p p px y x x y x px px

222

1 1 1 14 2 2

p p px px x x

Είναι (ΕΑ)=(ΕΜ1), οπότε το τρίγωνο 1 είναι ισοσκελές, συνεπώς ω=φ1. Όμως είναι

και ω=φ2 ως εντός εναλλάξ 1( t// )x , άρα φ1=φ2.

Σχόλιο

Η χρήση της παραπάνω ιδιότητας γίνεται στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ραντάρ, στα

φανάρια των αυτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κ.α.


Η εφαπτομένη της παραβολής 2: 2C y px στο σημείο της Μ1(x1, y1) τέμνει τον άξονα x΄x

στο σημείο Ν1(-x1, 0). Άρα για να φέρουμε την εφαπτομένη της παραβολής στο Μ1, αρκεί να

ενώσουμε το σημείο Μ1 με το σημείο Ν1.




1. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, όταν:

α. έχει εστία Ε(-3, 0)

β. έχει διευθετούσα την ευθεία : 2y

γ. διέρχεται απ’ το σημείο Α(4, 2)

Λύση

α. Η εστία βρίσκεται στον άξονα x΄x, άρα η παραβολή έχει εξίσωση της μορφής 2 2y px .

Η εστία έχει συντεταγμένες της μορφής ,02

p

, οπότε 3 62

pp , άρα η

παραβολή έχει εξίσωση 2 12y x .

β. Η διευθετούσα είναι της μορφής 2

py , άρα η παραβολή έχει εξίσωση της μορφής

2 2x py , όπου 2 42

pp .

Άρα η παραβολή έχει εξίσωση 2 8x y .

γ. Η παραβολή διέρχεται απ’ το σημείο Α(4, 2) κι έχει κορυφή την αρχή των αξόνων.

H παραβολή έχει εξίσωση της μορφής 2 2y px , οπότε:

22 2 4p

14 8

2p p .

Άρα η παραβολή έχει εξίσωση 2y x .

H παραβολή έχει εξίσωση της μορφής 2 2x py , οπότε:

24 2 2p

16 4 4p p .

Άρα η παραβολή έχει εξίσωση 2 8x y .

2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2: 8C y x , όταν:

α. είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : -3 2 0x y



β. είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 2 3 0x y

γ. σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία3

4

δ. διέρχεται απ’ το σημείο Μ(-2, 1) (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Έστω Α(x0, y0) σημείο της παραβολής 2: 8C y x . Τότε

2

0 08y x (1).

Είναι 2 8 4p p , άρα εφαπτομένη της παραβολής στο Α έχει εξίσωση

0 0 0 0 0 0: 4( ) 4 4 4 4 0yy x x yy x x x y y x (2).

Είναι 1 1

1: -3 2 0

3x y , οπότε ισχύει:

(2)

1 1 0

0

4 1/ / 12

3y

y

Για 0 12y η (1) γίνεται: 2

0 0 012 8 144 8 16x x x , άρα Α(16, 12) κι η

εφαπτομένη στο Α έχει εξίσωση : 4 12 72 0 3 18 0x y x y .

β. Είναι 2 2

1: 2 3 0

2x y , οπότε ισχύει:

(2)

2 2 1

(2)

0

0

4 11 2

2y

y

Για 0 2y η (1) γίνεται:2

0 0 0

12 8 4 8

2x x x , άρα

1,2

2

κι η εφαπτομένη

στο Α έχει εξίσωση : 4 2 2 0 2 1 0x y x y .

γ. Είναι (2)

0

0

3 41 1 4

4y

y

.

Για 0 4y η (1) γίνεται:2

0 0 0( 4) 8 16 8 2x x x , άρα Α(2, -4) κι η εφαπτομένη

στο Α έχει εξίσωση : 4 4 8 0 2 0x y x y .

δ. Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του Μ(-2, 1) στην (2), οπότε:

0 0 0 08 4 0 4 8y x y x (3)

Απ’ τις σχέσεις (1) και (3) έχουμε:



22 2

0 0 0 0 00 0

0 0 0 00 0

8 16 64 64 8 04 8 8

4 8 4 84 8

y x x x xx x

y x y xy x

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0

9 17 9 1716 72 64 0 2 9 8 0

4 44 8 4 8

4 8

x x x x x ή x

y x y xy x

0 0 0 0

0 0 0 0

9 17 9 17 9 17, 4 8 , 1 17

4 4 4

9 17 9 17 9 17, 4 8 , 1 7

4 4 4

x y x y

x y x y

9 17 9 17,1 17 ,1 17

4 4ή

, οπότε οι ζητούμενες εφαπτόμενες

είναι οι : 4 1 17 9 17 0x y κι : 4 1 17 9 17 0΄ x y .

3. Να δείξετε ότι η ευθεία : 2 2 0x y εφάπτεται στην παραβολή 2: 2C y x .


Λύση

Βρίσκουμε τα κοινά σημεία ευθείας και παραβολής, λύνοντας το σύστημα των δύο

εξισώσεων.

2 2 2 22 2( 2 2) 4 4 4 4 0

2 2 0 2 2 2 2 2 2

y x y y y y y y

x y x y x y x y

2 2 0 2 2( 2) 0(2, 2)

2 2 2( 2) 2 22 2

y y yy

x y x xx y

Είναι 2 2 1y x p , άρα η εφαπτομένη της παραβολής στο Α έχει εξίσωση

: 2 2 2 2 0΄ y x x y , δηλαδή ΄ .

Άρα η ευθεία : 2 2 0x y εφάπτεται στην παραβολή 2: 2C y x .



4. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής 2: 4C y x που έχει μέσο το

σημείο 5

,12

. (Βασική άσκηση)

Λύση

Έστω Α(x1, y1) και Β(x2, y2) τα άκρα της χορδής της παραβολής. Τότε ισχύουν:

2

1 14y x , 2

2 24y x και

1 2

1 2

1 21 2

5

52 2

21

2

x x

x x

y yy y

Αν x1=x2, τότε τα σημεία Α, Β και Μ ανήκουν στην ευθεία 5

2x , οπότε:

22 2544 10 10

5 52, 10 , , 105 5 5

5 2 22 2 2

2

yy x y y

x x xx

Τότε όμως 1 2 10 100 1

2 2

y y , οπότε το Μ δεν είναι το μέσο της χορδής ΑΒ.

Για 1 2x x έχουμε:2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 14 4 ( )( ) 4( )y y x x y y y y x x

2 12 1 2 1

2 1

2( ) 4( ) 2 2y y

y y x xx x

Α

Β

Ε

Μ

Ο

x

y

x΄

y΄ δ



Άρα η χορδή ΑΒ έχει εξίσωση 5

: 1 2 1 2 5 2 4 02

y x y x x y

.

5. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων,

άξονα συμμετρίας τον x΄x κι εφάπτεται στην ευθεία : 2 1 0x y .

Λύση

Η παραβολή έχει εξίσωση της μορφής 2: 2C y px κι έστω Α(x0, y0) το σημείο επαφής

ευθείας και παραβολής. Η ευθεία ε δεν είναι κατακόρυφη, άρα το σημείο Α δεν συμπίπτει με

την αρχή Ο των αξόνων, συνεπώς 0 0, 0x y .

Είναι 2

0 02y px (1) κι η εφαπτομένη της παραβολής C στο Α έχει εξίσωση

(1)

0 0 0

0 0 0 0

: ( )pp p p

΄ yy p x x y x x y xy y y y

2

0 0

02 2

y ypy x

p y

Η ευθεία ε γράφεται στη μορφή 2 1y x , οπότε οι ευθείες ε κι ε΄ ταυτίζονται αν και μόνο

αν: 0

000

242

22

212

pp

py

yy y

.

Άρα η ζητούμενη παραβολή έχει εξίσωση 2: 8C y x .

6. Έστω η παραβολή 2: 2C y px κι η εφαπτομένη της ε σ’ ένα σημείο της Μ1(x1, y1),

διαφορετικό του Ο(0, 0), η οποία τέμνει τη διευθετούσα δ της παραβολής στο σημείο

Μ2. Να δείξετε ότι 1 2 90

, όπου Ε η εστία της παραβολής.

Λύση

,02

p

Μ1(x1, y1)

Μ2

Ο

C

ε

:2

px

x x΄

y

y΄

Είναι

22 11 1 12

2

yy px x

p ,

άρα

2

11 1,

2

yy

p

. Η

εφαπτομένη ε έχει εξίσωση:

1 1

2

11

( )

( )2

yy p x x

yyy p x

p



12 01 1

1

12 2

yy ypyy px y x

y

Οι συντεταγμένες του Μ2 θα είναι η λύση του συστήματος:

2 2 21 1 1 1

1 1 1 1

2 222

2 2 2 2 2 2

p pppx xxx

yp yp p yp y py x y y y

y y y y

2 2

12

1

,2 2

y pp

y

Είναι 1

1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1

0 2

2 2 2

y y py

y y pp y p

p p

και 2

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 1

1

02 2

2

2 2

y p y p

y y y p

p p p py

οπότε :1 2

12py

2 2

1y p

2 2

1y p

12py1 2 1 21 90

7. Έστω η παραβολή 2: 2C y px κι ε1, ε2 οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα

σημείο Μ0(x0, y0), 0 0x . Αν Μ1, Μ2 τα σημεία επαφής των ε1, ε2 με την παραβολή

C. Να δείξετε ότι:

α. η ευθεία Μ1Μ2 έχει εξίσωση 0 0( )yy p x x

β. η ευθεία Μ1Μ2 διέρχεται απ’ την εστία Ε της παραβολής αν και μόνο αν το σημείο Μ0

ανήκει στη διευθετούσα δ της παραβολής.

Λύση

ε1

ε2

Ε

Μ1

Μ2

δ

Μ0

Ο x x΄

y

y΄



α. Αν Μ1(x1, y1) και Μ2(x2, y2) τα σημεία επαφής τότε οι εφαπτόμενες της παραβολής στα

σημεία αυτά έχουν εξισώσεις 1 1 1: ( )yy p x x κι 2 2 2: ( )yy p x x .

Οι ευθείες ε1 κι ε2 διέρχονται απ’ το σημείο Μ0(x0, y0), οπότε είναι:

0 1 0 1( )y y p x x και 0 2 0 2( )y y p x x .

Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Μ1 και Μ2 επαληθεύουν την εξίσωση

0 0( )yy p x x .

Άρα η χορδή Μ1Μ2 έχει εξίσωση 0 0( )yy p x x .


Η ευθεία Μ1Μ2 λέγεται πολική του σημείου Μ ως προς την παραβολή C, ενώ το σημείο Μ

λέγεται πόλος της ευθείας Μ1Μ2 ως προς την παραβολή C.

β. Η ευθεία Μ1Μ2 διέρχεται απ’ την εστία ,02

p

αν και μόνο αν οι συντεταγμένες της

επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

0

0 0 0 0 00 0 02 2 2 2

pp p p py p x p x x x

.

Αυτό συμβαίνει μόνο όταν το σημείο Μ0(x0, y0) ανήκει στη διευθετούσα δ της παραβολής.

8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών της παραβολής 2: 10C y x

που έχουν το ένα άκρο τους στην αρχή των αξόνων.

Λύση

O

C

M

A

x x΄

y

y΄



Έστω Α(x1, y1) το άλλο άκρο της χορδής. Τότε είναι:

22 11 1 110

10

yy x x (1).

Έστω Μ(x0, y0) το μέσο της χορδής ΟΑ. Έχουμε τότε:

10

1 0

1 010

0

22

20

2

xx

x x

y yyy

.

Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:

22 20

0 0 0 0 0

(2 )2 20 4 5

10

yx x y y x .

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή 2' : 5C y x .

9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x0, y0), απ’ τα οποία οι εφαπτόμενες

που άγονται προς την παραβολή 2: 2C y px είναι κάθετες. (Βασική άσκηση)

Λύση

Απ’ το σημείο Μ(x0, y0) διέρχονται οι ευθείες 0: x x κι 0 0: ( )y y x x .

Η ευθεία η εφάπτεται στην παραβολή μόνο όταν x0=0, δηλαδή μόνο όταν η ευθεία η

ταυτίζεται με τον άξονα y΄y. Όμως τότε δεν μπορούμε να φέρουμε προς την παραβολή άλλη

εφαπτόμενη ευθεία, άρα η ευθεία η δεν αποτελεί λύση του προβλήματος.

Είναι , οπότε 0 0, 0x y .

Για το σημείο Μ(x0, y0) πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει διπλή λύση:

M

O

C δ

x x΄

y

y΄

E

ε1

ε2



0 00 0

22

0 0

( )

( ) 2 02

y x y xy y x x

x y x pxy px

0 0

2 2 2

0 0 0 02( ) ( ) 0

y x y x

x y x p x y x

Για να έχει το σύστημα διπλή λύση, πρέπει για την (1) να είναι Δ=0.

22 2 2

0 0 0 0 0 00 2( ) 4 ( ) 0 ..... 2 2 0y x p y x x y p (2)

H (2) είναι τριώνυμο ως προς λ και οι λύσεις του είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των

εφαπτομένων που άγονται απ’ το σημείο Μ προς την παραβολή C.

Απ’ τους τύπους του Vieta έχουμε:1 2

02

p

x (3).

Θέλουμε οι εφαπτόμενες απ’ το σημείο Μ να είναι κάθετες, οπότε:

(3)

1 2 1 2 0

0

1 12 2

p px

x .

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία 2

px , δηλαδή η διευθετούσα της

παραβολής.

10. Έστω Α, Β δύο σημεία του άξονα x΄x, συμμετρικά ως προς την εστία Ε της

παραβολής 2: 2C y px . Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων των

αποστάσεων των σημείων Α, Β από τυχαία εφαπτομένη της παραβολής C παραμένει

σταθερή.

Λύση

(1)

C

ε

Ο Ε Α

Β

Α΄

Β΄

d1

d2 x x΄

y

y΄

Α

Μ



Η παραβολή C έχει εστία ,02

p

. Τα σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς την εστία

Ε, άρα θα έχουν συντεταγμένες ,02

p

και ,02

p

, όπου α>0.

Η εφαπτομένη της παραβολής σε τυχαίο σημείο Μ(x0, y0) έχει εξίσωση

0 0 0 0 0 0: ( ) 0yy p x x yy px px px y y px

Επίσης ισχύει ότι 2

0 02y px (1).

Aν d1, d2 είναι οι αποστάσεις των σημείων Α και Β απ’ την ευθεία ε, τότε έχουμε:

2

0 0 0 (1)2

1 1 2 22 200

02 2

d d( )

p pp y px p px

p yp y

2 2 2

20 0 0(1)

2 2 2

1 1 12

0 0 0

2 2 2d d d

2 ( 2 ) 2

p p pp px p x p x

p px p p x p x

(2)

2

0 0 0 (1)2

2 2 2 22 200

02 2

d d( )

p pp y px p px

p yp y

2 2 2

20 0 0(1)

2 2 2

2 2 22

0 0 0

2 2 2d d d

2 ( 2 ) 2

p p pp px p x p x

p px p p x p x

(3)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:

2 22 2

0 00 0

2 2

1 2

0 0 0

2 22 2d d

2 2 2

p pp p p x xp x p x

p x p x p x

0 0 0 0

0

2 2 2 2

2

p p p pp x x x x

p x



02 2

p pp x

02

px

0x

2

p 0x

0

0

( 2 )

2

p p x

p x

0

2

2p x

2 p

Άρα η διαφορά 2 2

1 2d -d παραμένει σταθερή.

11. Θεωρούμε τον κύκλο 2 2: ( 3) 5C x y και την παραβολή

2: 2C΄ y x

α. Να δείξετε ότι ο κύκλος και η παραβολή εφάπτονται, δηλαδή έχουν κοινές

εφαπτόμενες στα κοινά τους σημεία.

β. Από ένα σημείο Μ της παραβολής, διαφορετικό των κοινών της σημείων με τον

κύκλο, φέρνουμε μια εφαπτομένη στον κύκλο C κι ονομάζουμε Γ το σημείο επαφής. Να

δείξετε ότι 5

( ) ( )2

, όπου Ε η εστία της παραβολής. (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ(3, 0) κι ακτίνα 5 , ενώ η παραβολή C΄ έχει εστία

1,0

2

.

Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων κύκλου και παραβολής προκύπτουν απ’ τη λύση του

συστήματος:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 3) 5 6 9 2 5 0 4 4 0 ( 2) 0

2 2 2 2

x y x x x x x x

y x y x y x y x

2 2 2

2 0 2 2 2 2, 2

2 2 2 4 2 2, 2

x x x x x y

y x y y y x y

(2, 2) και (2, 2)

Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α έχει εξίσωση : 2 2 2 2 0y x x y .

Το κέντρο Κ του κύκλου απέχει απ’ την ευθεία εΑ απόσταση ίση με:

2 2

1 3 2 0 2 3 2 5d( , ) 5

1 4 51 ( 2)

.



Άρα η ευθεία εΑ είναι εφαπτομένη και του κύκλου.

Η εφαπτομένη της παραβολής στο Β έχει εξίσωση : 2 2 2 2 0y x x y .

Το κέντρο Κ του κύκλου απέχει απ’ την ευθεία εΒ απόσταση ίση με:

2 2

1 3 2 0 2 3 2 5d( , ) 5

1 4 51 ( 2)

.

Άρα η ευθεία εΒ είναι εφαπτομένη και του κύκλου.

Συνεπώς ο κύκλος C κι η παραβολή C΄ εφάπτονται.

β.

Έστω Μ(x0, y0), οπότε 2

0 02y x (1). Έχουμε τότε:

2(1)

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1( ) ( 0) 2

2 4 4x y x x y x x x

2

2

0 0 0 0

1 1 1

4 2 2x x x x

(2), διότι 0x .

Απ’ το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 2 2 2( ) ( )

(1)2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0( ) 6 9 5 ( ) 6 4 2x x y x x x

(2)2 2 2 2

0 0 0 0( ) 4 4 ( ) ( 2) ( ) 2x x x x

1 5( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 2 .

O E K

A

B

C΄

C

M

Γ

x x΄

y

y΄

ρ



ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ: Η έλλειψη

Ορισμός

Έστω Ε κι Ε΄ δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία

Ε κι Ε΄ το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των

αποστάσεων από τα Ε κι Ε΄ είναι σταθερό και μεγαλύτερο του (ΕΕ΄).

Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε συνήθως με 2α ενώ την απόσταση των εστιών Ε

κι Ε΄ με 2γ (άρα α, γ>0). Η απόσταση ΕΕ΄ ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό:

Απ’ την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΄ έχουμε:

( ) ( ) ( ) 2 2΄ ΄ .

Αν γ=0, τότε τα σημεία Ε κι Ε΄ συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με

κέντρο το Ε κι ακτίνα α.

Εξίσωση έλλειψης

Εστίες στον άξονα x΄x

Έστω έλλειψη C μ’ εστίες Ε κι Ε΄. Στο επίπεδο της έλλειψης επιλέγουμε σύστημα

συντεταγμένων Οxy, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ΄ και στο

οποίο ο θετικός ημιάξονας Οx διέρχεται απ’ την εστία Ε της έλλειψης.

Έχουμε τότε:

2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( 0) ( ) ( 0) 2΄ x y x y

2 2 2 2( ) ( 0) 2 ( ) ( 0)x y x y

Ε Ε΄

Μ Ένα σημείο του επιπέδου είναι

σημείο της έλλειψης αν και

μόνο αν: (ΜΕ)+(ΜΕ΄)=2α

2γ

Ο

Μ(x, y)

Ε(γ, 0) Ε΄(-γ, 0) x x΄

y

y΄

Επειδή (ΕΕ΄)=2γ, θα είναι

Ε(γ, 0) κι Ε΄(-γ, 0).

Α Α΄

Β

Β΄



2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2

( ) 4 4 ( ) ( )

2 4 2 4 ( )

4 4 4 ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( 2 )

2 2

x y x y x y

x x y x x y x y

x x y x x y

x x y x x x x y

x x x x

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) ( )

1 1

y

x x y x y

x y x y

Επομένως η έλλειψη μ’ εστίες τα σημεία Ε΄(-γ, 0) κι Ε(γ, 0) και σταθερό άθροισμα 2α έχει

εξίσωση:

Για παράδειγμα, η εξίσωση της έλλειψης μ’ εστίες Ε΄(-3, 0), Ε(3, 0) και σταθερό άθροισμα

2α=10 είναι

2 2

2 21

5 4

x y , αφού 2 10 5 , γ=3 και

2 25 3 25 9 16 4 .

Εστίες στον άξονα y΄y

Έστω έλλειψη C μ’ εστίες Ε κι Ε΄. Στο επίπεδο της έλλειψης επιλέγουμε σύστημα

συντεταγμένων Οxy, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ΄ και στο

οποίο ο θετικός ημιάξονας Οy διέρχεται απ’ την εστία Ε της έλλειψης.

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2

M(x, y)

A

A΄

Β Β΄

Ε(0, γ)

Ε(0, -γ)

Ο

Επειδή (ΕΕ΄)=2γ, θα είναι

Ε(0, γ) κι Ε΄(0, -γ).

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2

Εργαζόμενοι όπως παραπάνω,

καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η

έλλειψη μ’ εστίες τα σημεία Ε΄(0, -γ),

Ε(0, γ) και σταθερό άθροισμα 2α, έχει

εξίσωση:



Για παράδειγμα, η έλλειψη μ’ εστίες Ε΄(0, -8), Ε(0, 8) και σταθερό άθροισμα 2α=20, έχει

εξίσωση

2 2

2 21

6 10

x y , αφού 2 20 10 , γ=8 και

2 210 8 100 64 36 6 .


Είναι 2 2 2 2 2 22 2

, οπότε στη

εξίσωση της έλλειψης το α2 είναι πάντοτε ο μεγαλύτερος παρονομαστής.

Αν ο αριθμητής του κλάσματος με το μεγαλύτερο παρονομαστή είναι το x2, τότε η

έλλειψη έχει εστίες στον άξονα x΄x.

Αν ο αριθμητής του κλάσματος με το μεγαλύτερο παρονομαστή είναι το y2, τότε η

έλλειψη έχει εστίες στον άξονα y΄y.

Ιδιότητες έλλειψης

Η μορφή

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2 .

Αν Μ1(x1, y1) είναι ένα σημείο της έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

. Τότε τα σημεία

Μ2(x1, -y1), M3(-x1, y1) και Μ4(-x1, -y1) ανήκουν επίσης στη έλλειψη C, αφού οι

συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω

έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες x΄x και y΄y κι έχει κέντρο συμμετρίας

την αρχή Ο των αξόνων. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης.

O E΄ Ε

Α Α΄

Β

Β΄

x=α x= -α

y=β

y= -β

y

y΄

x x΄

Μ1

Μ2

Μ3

Μ4

C



Απ’ την εξίσωση

2 2

2 21

x y

, για 0y βρίσκουμε x ενώ για 0x

βρίσκουμε y . Επομένως η έλλειψη C τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία Α(α, 0)

και Α΄(-α, 0), ενώ τέμνει τον άξονα y΄y στα σημεία Β(0, β) και Β΄(0, -β). Τα σημεία

Α, Α΄, Β, Β΄ λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ΄ και

ΒΒ΄, με μήκη (ΑΑ΄)=2α και (ΒΒ΄)=2β, λέγονται μεγάλος και μικρός άξονας

αντίστοιχα.

Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο συμμετρικά ως προς το Ο σημεία Μ1 και Μ4

της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι:

1 42 ( ) 2 , δηλαδή κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση

του μικρού άξονα και μεγαλύτερη ή ίση του μεγάλου άξονα.

Απ’ την εξίσωση της έλλειψης έχουμε:

2 2 2 2

2 2 2 21 1

x y x y

2 02 2 2 2

21 0

xx x x

.

Ομοίως y .

Άρα η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x=α, x= -α, y=β και

y= -β.


Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του είναι σημεία της έλλειψης, λέγεται χορδή της

έλλειψης.

Η μορφή

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2 .

Εργαζόμενοι όμοια, όπως

παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι

η έλλειψη έχει άξονες

συμμετρίας τους x΄x και y΄y,

όπως επίσης έχει κέντρο

συμμετρίας την αρχή Ο των

αξόνων.

Η έλλειψη τέμνει τον άξονα

x΄x στα σημεία Β(β, 0) και

Β΄(-β, 0), ενώ τέμνει τον

άξονα y΄y στα σημεία Α(0, α)

και Α΄(0, -α). Τα σημεία Α,

Α΄, Β, Β΄ λέγονται κορυφές

της έλλειψης, ενώ τα

ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ΄ και

ΒΒ΄, με μήκη (ΑΑ΄)=2α και

(ΒΒ΄)=2β, λέγονται μεγάλος

και μικρός άξονας


O

A

Α΄

Β Β΄

Ε

Ε΄

x=β x= -β

y=α

y= -α

x x΄

y

y΄



Απ’ την εξίσωση της έλλειψης έχουμε:

2 2 2 2

2 2 21 1

x y x y

2 02 2 2 2

21 0

xx x x

.

Ομοίως y .

Άρα η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x=β, x= -β, y=α και

y= -α.

Εκκεντρότητα έλλειψης

Ορισμός

Έστω η έλλειψη

2 2

2 2: 1

x yC

. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης C και

συμβολίζουμε με ε το λόγο

. Δηλαδή

, 0 1.

Είναι 2 2 , οπότε

2 2 2 22

2

2 22 2 2

2 21 1 1

.

Επομένως, όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος

και κατά συνέπεια

τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη.

Όταν 0 , τότε 1

κι επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (και γίνεται

κύκλος όταν 0 ).

Όταν 1 , τότε 0

κι επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε

ευθύγραμμο τμήμα.

0

1



Η τιμή της εκκεντρότητας καθορίζει τη μορφή της έλλειψης.

Δύο ή περισσότερες ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα τον ίδιο λόγο

, λέγονται όμοιες.


Έστω Μ(x, y) ένα σημείο της έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

. Θέτουμε ρ1=(ΜΕ) και ρ2=(ΜΕ΄),

οπότε:2 2 2 2

1 1 1( ) ( ) ( 0) ( )x y x y

2 2 2

1 ( )x y (1) και 2 2

2 2( ) ( ) ( 0)΄ x y

2 2 2 2 2

2 2( ) ( )x y x y (2).

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:2 2 2 2

1 2 ( )x y 2 2( )x y

2

1 2 1 2( )( ) x 22 x 2x 22 x 1 2 2

1 22 ( ) 4 x

1 2 1 2

22

xx

.

Είναι:

1 2 1 1 1

1 2 1 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

x x x

x x x x x

( )

( )

x

΄ x

.

C

x x΄

y

y΄

Ο

Ε΄(-γ, 0) Ε(γ, 0)

Μ(x, y)

ρ1 ρ2



Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης

Έστω η έλλειψη

2 2

2 2: 1

x yC

κι ένα σημείο Μ(x, y) του καρτεσιανού επιπέδου.

Αν το σημείο Μ(x, y) ανήκει στην έλλειψη C, τότε:

222 2

2 21 1

x y x y

.

Επομένως το σημείο ,x y

θ’ ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο, οπότε θα υπάρχει γωνία

[0, 2 ) τέτοια, ώστε:

x

x

y y

(1).

Αντιστρόφως, αν ισχύουν οι σχέσεις (1) για κάποια γωνία [0, 2 ) , τότε το

σημείο Μ(x, y) θ’ ανήκει στην έλλειψη C, αφού:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )x y

2

2

2

2

2

2 2 1 που ισχύει για κάθε γωνία φ.

Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων Μ(x, y) της έλλειψης C και μόνο αυτές

ικανοποιούν τις εξισώσεις:

Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης C.

Εξίσωση εφαπτομένης έλλειψης

Έστω η έλλειψη C μ’ εξίσωση

2 2

2 21

x y

κι ένα σημείο της Μ1(x1, y1).

x και , [0, 2 )y

Μ1

Ο Α Α΄

Β

Β΄

x

y

x΄

y΄

E΄ E

ε

Εργαζόμενοι όπως και στην

περίπτωση της παραβολής,

βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη

της έλλειψης στο σημείο της

Μ1(x1, y1) έχει εξίσωση:

1 1

2 21

xx yy



Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης

2 2

: 116 4

x yC στο σημείο της 1(2, 3)

έχει εξίσωση:2 3 3

1 1 2 3 8 016 4 8 4

x y x yx y .

Έστω η έλλειψη C μ’ εξίσωση

2 2

2 21

x y


Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης

2 2

: 16 12

x yC στο σημείο της 2 ( 2,2)

έχει εξίσωση:2 2

1 1 2 6 06 12 3 6

x y x yx y

.


Κάθε εφαπτομένη ε μιας έλλειψης C, έχει με την έλλειψη μοναδικό κοινό σημείο (το σημείο

επαφής) κι αντιστρόφως, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τον κύκλο.

Ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης

Έστω έλλειψη C με κέντρο Ο, εστίες Ε, Ε΄ κι ένα σημείο της Μ1(x1, y1). Η κάθετη δ στην

εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο επαφής Μ1 διχοτομεί τη γωνία ΄

.

Μ1(x1, y1)

ε


περίπτωση της παραβολής,

βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη

της έλλειψης στο σημείο της

Μ1(x1, y1) έχι εξίσωση:

1 1

2 21

xx yy

Α

Α΄

Β Β΄ x x΄

y

y΄

E

E΄

Ο Ε΄ Ε

Α Α΄

Β

Β΄

x x΄

y

y΄

Μ1(x1, y1)

ε

δ

φ1 φ2



Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή, ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν απ’ τη

μία εστία της έλλειψης, ανακλώμενες σ’ αυτή, διέρχονται από την άλλη εστία.

Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό ορισμένων τύπων οπτικών οργάνων και

στην κατασκευή των λεγομένων «στοών με ειδική ακουστική». Οι στοές αυτές είναι

αίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες ένα πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μία εστία μπορεί

να ακουστεί στην άλλη εστία. Ακόμα, η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης βρίσκει

σπουδαία εφαρμογή σε μια ιατρική μέθοδο που λέγεται λιθοθρυψία. Στη μέθοδο αυτή, στη

μία εστία της έλλειψης τοποθετείται ένα ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο ασθενής

τοποθετείται σε τέτοια θέση, ώστε το νεφρό του να είναι στην άλλη εστία . Τότε οι πέτρες

του νεφρού κονιορτοποιούνται απ’ τους ανακλώμενους υπερήχους.




1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. έχει εστίες Ε΄(-4, 0), Ε(4, 0) και μεγάλο άξονα 2α=10

β. έχει εστίες Ε΄(0, -6), Ε(0, 6) και μικρό άξονα 2β=16

γ. έχει εστίες ( 5,0), ( 5,0)΄ και διέρχεται απ’ το σημείο Μ(-3, 2)

δ. έχει κορυφές Α΄(0, -5), Α(0, 5) κι εκκεντρότητα 1

2 .

Λύση

α. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα x΄x, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της

μορφής

2 2

2 2: 1

x yC

.

Είναι 2 10 5 και 4 , οπότε:2 2 2 25 4

25 16 9 3 .

Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση

2 2

: 125 9

x yC .

β. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα y΄y, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της

μορφής

2 2

2 2: 1

x yC

.

Είναι 2 16 8 και 6 , οπότε: 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 28 6 64 36 100 100 10 .


2 2

: 164 100

x yC .

γ. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα x΄x, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της

μορφής

2 2

2 2: 1

x yC

.



Η έλλειψη διέρχεται απ’ το σημείο Μ(-3, 2), οπότε:

2 2 2

2

2 2 5

2 2 2 2 2 2 25 0

( 3) 2 9 4 9 41 1 1

5

2

2 2 2 2 2 2 4 2

5 09( 5) 4 ( 5) 9 45 4 5

4 218 45 0 (1)

Θέτω 2 , οπότε η (1) γίνεται

2 18 45 0 (2).

Η (2) είναι τριώνυμο ως προς ω, οπότε:2( 18) 4 1 45 324 180 144 .

Οι λύσεις της (2) είναι:

211

1,2 22

2

30

15 1518 144 18 12 2

362 1 2 3

2

Επειδή 2 25 0 5 , άρα η τιμή

2 3 απορρίπτεται.

Συνεπώς 2 15 15 , άρα η έλλειψη έχει εξίσωση

2 2

: 115 10

x yC .

δ. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα y΄y, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της

μορφής

2 2

2 2: 1

x yC

.

Είναι 5 κι 1 1 1 5

2 2 5 2 2

.

Συνεπώς,

2

2 2 2 5 25 75 5 35 25

2 4 4 2

.


2 2

: 175 25

4

x yC .

2. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, τις

εστίες της σ’ έναν απ’ τους άξονες συντεταγμένων και διέρχεται απ’ τα σημεία

Μ(6, 2) και Ν(-4, 3). Στη συνέχεια να βρείτε τις εστίες, τα μήκη του μεγάλου και του

μικρού άξονα, καθώς και την εκκεντρότητα της έλλειψης.



Λύση

Η έλλειψη έχει εξίσωση

2 2

2 2: 1, , 0

x yC

. Οι συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν

ικανοποιούν την εξίσωση της έλλειψης, οπότε έχουμε:

2

2

2 2

1

2 2 2 2

2 2 1

2 22 2

6 2 36 41 1

36 4 1 (9) 324 36 9

16 9 16 9 1 ( 4) 64 36 4( 4) 311

1 1 1 1

260 5 52 52 52 52

16 9 1 1 4 9 116 9 1 9 1 9

52 13 13 13

2

2

1 1

52

1 1

13


2 2

: 152 13

x yC .

Παρατηρούμε ότι ο μεγαλύτερος παρονομαστής βρίσκεται στο κλάσμα με αριθμητή το x, άρα

η έλλειψη έχει τις εστίες της στον άξονα x΄x.

Είναι 2 52 52 2 13 2 4 13 και

2 13 13 2 2 13 .

Επίσης, 2 2 2 2 2 2 213 52 39 39 .

Άρα η έλλειψη έχει εστίες ( 39,0), ( 39,0)΄ , μεγάλο άξονα 2 4 13 , μικρό

άξονα 2 2 13 κι εκκεντρότητα 39 39 13 3 13 13

2 13 2 132 13

13

3

2 13

3

2 .



3. Δίνεται η έλλειψη

2 2

: 116 15

x yC και το σημείο Μ(1, 2).

α. Να δείξετε ότι το σημείο Μ είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης.

β. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το σημείο Μ.


Λύση

α. α΄ τρόπος

Είναι 2 216, 15 οπότε

2 2 2 2 2 215 16

2 1 1 , άρα η έλλειψη έχει εστίες Ε΄(-1, 0), Ε(1, 0).

Για να είναι το Μ εσωτερικό σημείο της έλλειψης, πρέπει (ΜΕ΄)+(ΜΕ)<2α, δηλαδή

(ΜΕ΄)+(ΜΕ)<8, αφού α=4.

2 2 2 2( ) ( ) ( 1 1) (0 2) (1 1) (0 2) 4 4 4΄

( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 1 8΄ , διότι:

2 2 1 8 2 1 4 2 3 που ισχύει.

Άρα το Μ(1, 2) είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης.

β΄ τρόπος

Είναι

2 21 2 1 4 15 4 16 791

16 15 16 15 16 15 240

, άρα το Μ(1, 2) είναι εσωτερικό σημείο της

έλλειψης.

β. Έστω Κ(xκ, yκ) και Λ(xΛ, yΛ) τα άκρα της χορδής της έλλειψης με μέσο το σημείο Μ.

Τότε είναι:

122

42

2

x x

x x

y yy y

(1).



Τα σημεία Κ και Λ ανήκουν στην έλλειψη

2 2

: 116 15

x yC , οπότε:

2 2

116 15

x y (2) και

2 2

116 15

x y (3).

Αφαιρώ κατά μέλη τις (2) και (3):2 2 2 2

2 2 2 20 15( ) 16( ) 016 15

x x y yx x y y

(1)

15( )( ) 16( )( ) 0x x x x y y y y

(1)

30( ) 64( ) 0 32( ) 15( )x x y y y y x x (4)

Αν x x , τότε απ’ την (4) έχουμε 32( ) 0 0y y y y y y ,

δηλαδή , άτοπο.

Για x x η (4) γίνεται:15 15

32 32

y y

x x

.

Οπότε η χορδή ΚΛ έχει εξίσωση:

152 ( 1) 32 64 15 15 15 32 79 0

32y x y x x y

4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης

2 2

: 116 9

x yC , όταν:

α. είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : 3y x

β. όταν είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 4 1y x

O x x΄

y

y΄

Μ(1, 2)

Κ(xΚ, yΚ)

Λ(xΛ, yΛ)



γ. όταν σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 3

4

δ. όταν διέρχεται απ’ το σημείο Κ(4, 9).

Λύση

Έστω Μ(x0, y0) σημείο της έλλειψης C. Τότε

2 22 20 00 01 9 16 144

16 9

x yx y (1).

Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο Μ έχει εξίσωση

0 00 0: 1 9 16 144

16 9

xx yyx x y y

α. Είναι 01 1 0 0

0

9 16/ / 1

16 9

xx y

y (2)

(Είναι 0 0y διότι η ε//ε1 που δεν είναι κατακόρυφη ευθεία.)

Από (1) και (2) έχουμε:

2

2 2 2

0 0 0 0

16 2569 16 144 9 16 144

9 81y y y y

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

256 129616 144 256 144 1296 400 1296

9 400y y y y y y

0 0

36 9

20 5y y

Για 0

9

5y η (2) γίνεται

0 0

16 9 16

9 5 5x x , οπότε η ζητούμενη

εφαπτομένη έχει εξίσωση

1

16 9:9 16 144 144 144 720 5

5 5x y x y x y

5 0x y .

Για 0

9


0 0

16 9 16

9 5 5x x

, οπότε η ζητούμενη


2

16 9:9 16 144 144 144 720 5

5 5x y x y x y

5 0x y .



β. Είναι 01 2 0 0

0

9 41 ( 4) 1

16 9

xx y

y (3)

(Είναι 0 0y διότι η 1 που δεν είναι οριζόντια ευθεία.)


2

2 2 2

0 0 0 0

4 169 16 144 9 16 144

9 81y y y y

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

16 129616 144 16 144 1296 160 1296

9 160y y y y y y

0 0 0

36 9 9 10

104 10 10y y y

Για 0

9 10


0 0

4 9 10 2 10

9 10 5x x , οπότε η ζητούμενη


1

2 10 9 10:9 16 144 36 10 144 10 1440

5 10x y x y

10 4 10 40 10 4 10 40 0x y x y .

Για 0

9 10


0 0

4 9 10 2 10

9 10 5x x

, οπότε η

ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση

2

2 10 9 10:9 16 144 36 10 144 10 1440

5 10x y x y

10 4 10 40 10 4 10 40 0y x y .

γ. Είναι 00 0

0

93 161 1

4 16 9

xx y

y

(4)

(Είναι 0 0y διότι η ε δεν είναι κατακόρυφη ευθεία.)


2

2 2 2

0 0 0 0

16 2569 16 144 9 16 144

9 81y y y y

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

256 129616 144 256 144 1296 400 1296

9 400y y y y y y



0 0

36 9

20 5y y

Για 0

9


0 0

16 9 16

9 5 5x x , οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη

έχει εξίσωση

1

16 9: 9 16 144 144 144 720 5

5 5x y x y x y

5 0x y .

Για 0

9


0 0

16 9 16

9 5 5x x

, οπότε η ζητούμενη


2

16 9:9 16 144 144 144 720 5

5 5x y x y x y

5 0x y .

δ. Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο Μ έχει διέρχεται απ’ το σημείο Κ(4, 9), οπότε

0 0 00 0 0 0 0

4 91 1 4 4 4 4

16 9 4

x y xy x y x y (5)

Από (1) και (5) έχουμε:2 2 2 2

0 0 0 09 16 144 9(4 4 ) 16 144x y y y

2 2 2 2

0 0 0 0 0 09(16 32 16 ) 16 144 144 288 144 16 144y y y y y y

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0160 288 0 5 9 0 (5 9) 0 0 5 9 0y y y y y y y ή y

0 0

90

5y ή y

Για 0 0y η (5) γίνεται 0 04 4 0 4x x , οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη


1

4 0: 1 1 416 9 4

x y xx

Για 0

9

5y η (5) γίνεται 0 0

9 164 4

5 5x x , οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη




2

16 9

1 15 5: 1 1 5 5 016 9 5 5

x y

x y x y x y

.

5. Έστω η έλλειψη

2 2

2 2: 1

x yC

και σημείο Μ(x0, y0) εξωτερικό C. Απ’ το σημείο

Μ φέρνουμε τις εφαπτόμενες ε1 κι ε2 προς την έλλειψη κι έστω Α και Β τα σημεία

επαφής. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι 0 0

2 21

xx yy

.

Λύση

Έστω Α(x1, y1) και Β(x2, y2) τα σημεία επαφής των ε1, ε2 αντίστοιχα με την έλλειψη C.

Τότε είναι 1 11 2 2: 1

xx yy

κι 2 2

2 2 2: 1

xx yy

. Το σημείο Μ(x0, y0) ανήκει στις ε1, ε2

οπότε ισχύουν 0 1 0 1

2 21

x x y y

και 0 2 0 2

2 21

x x y y

.

Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ικανοποιούν την εξίσωση

0 0

2 21

xx yy

.

Άρα η εξίσωση της ευθεία ΑΒ είναι 0 0

2 21

xx yy

.


Η ευθεία ΑΒ λέγεται πολική του σημείου Μ ως προς την έλλειψη C, ενώ το σημείο Μ

λέγεται πόλος της ευθείας ΑΒ ως προς την έλλειψη C.

Μ(x0, y0)

Α

Β

Ο

ε1

ε2

x x΄

y

y΄




2 2

2 2: 1

x yC

. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ(x0, y0) απ’ τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς την έλλειψη.


Λύση

Απ’ το σημείο Μ(x0, y0) διέρχονται ευθείες της μορφής 0x x (1) και

0 0( ),y y x x (2).

Οι ευθείες της μορφής (1) που εφάπτονται στην έλλειψη είναι οι x και x , ενώ οι

ευθείες που εφάπτονται στη C και είναι κάθετες σ’ αυτές είναι οι y και y .

Άρα τα σημεία (α, β), (α, -β), (-α, -β), (-α, β) είναι σημεία του ζητούμενου γεωμετρικού

τόπου.

Για να εφάπτεται μια ευθεία της μορφής (2) στη C, πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει

διπλή λύση:

0 0

0 02 22 2 2 2 2 2

2 2

( )

1

y y x xy x y x

x yx y

0 0

2 2 2 2 2 2

0 0

.....( ) 0

y x y x

x x y x

0 0

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0( ) 2 ( ) [( ) ] 0

y x y x

x y x y x

Η (3) αποτελεί τριώνυμο ως προς x και για να έχει διπλή λύση, πρέπει και αρκεί:

Ο

Μ(x0, y0)

x x΄

y

y΄

(3)



22 2 2 2 2 2

0 0

2

0 0 [( ) ]0 2 ( ) 4( 0 .....) yy xx

2 2 2 2 2

0 0 0 0( ) 2 0x x y y (4)

Οι ζητούμενες κάθετες ευθείες της μορφής (2) θα εφάπτονται στην έλλειψη αν και μόνο αν

έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της (4), δηλαδή λ1=ρ1 και λ2=ρ2.

Τότε το σημείο Μ(x0, y0) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου αν και μόνο αν ισχύει:

2 22 2 2 20

1 2 1 2 1 2 0 02 2

0

1 1 1Vieta y

y xx

2 2 2 2

0 0x y .

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος 2 2 2 2' :C x y , στον

οποίο ανήκουν και τα σημεία (α, β), (α, -β), (-α, -β), (-α, β).


2 2

2 2: 1

x yC

και μια τυχαία εφαπτομένη της ε. Να δείξετε ότι

το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών της έλλειψης C απ’ την εφαπτομένη ε είναι

σταθερό.

Λύση

Έστω Μ(x0, y0) τυχαίο σημείο της έλλειψης. Τότε

2 22 2 2 2 2 20 0

0 02 21

x yx y

(1).

Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Μ έχει εξίσωση

2 2 2 20 00 02 2

: 1 0xx yy

x x y y

.


Μ

Ε΄ Ε Ο

ε

x x΄

y

y΄

d1 d2



2 2 2 2 2 2 2 2(1)

0 0 0 0

12 2 2 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

( ) 0 ( )d d(Ε ,́ε)=

( ) ( )

x y x x

x y x y x y

2 2 2 2 2 2(1)

0 0 0

4 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4

0 0 0 0 0( ) [( ) ]

x x x

x x x x x

2 2 2 2

0 0 0

2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 2

0 0 0( ) ( )

x x x

x x x

Όμοια είναι

2

0

24 2 2

0

d d( , )x

x

, οπότε:

2 2 2 2 2 2 2 2 4

0 0 0 0 0

1 2 4 2 2 4 2 24 2 2 4 2 20 00 0

( )( )d d

x x x x x

x xx x

2 4 2 2

0( )x

4 2 2

0x

2 , σταθερό.

(Είναι 4 2 2

0 0x διότι 2 2 και

2 2

0 0 0x x x ,

συνεπώς 4 2 2

0x .)

8. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες μιας έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

στα άκρα μιας

διαμέτρου της είναι παράλληλες.

Λύση

Έστω Κ και Λ τα άκρα της διαμέτρου. Τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την αρχή Ο

των αξόνων οπότε, αν Κ(x0, y0) τότε Λ(-x0, -y0).

Οι εφαπτόμενες στα σημεία Κ και Λ έχουν εξισώσεις

Κ

Λ

Ο x x΄

y

y΄

ε1

ε2



2 2 2 20 01 0 02 2: 1

xx yyx x y y

κι

2 2 2 20 02 0 02 2

( ) ( ): 1

x x y yx x y y

.

Είναι 2 2

1 0 0 1( , ) / /y x , 2 2

2 0 0 2( , ) / /y x και

2 2

2 2 2 20 01 2 0 0 0 02 2

0 0

det( , ) ( ) ( )y x

y x y xy x

2 2 2 2

0 0 0 0 0x y x y , συνεπώς 1 2 1 2/ / / / .

9. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης

22: 1

3

xC y , οι οποίες

τέμνουν τους θετικούς ημιάξονες Οx , Οy και σχηματίζουν μ’ αυτούς ισοσκελές

τρίγωνο.

Λύση

Έστω Μ(x0, y0) σημείο της έλλειψης με 0 0, 0x y , αφού οι εφαπτόμενες στις κορυφές της

έλλειψης δεν τέμνουν και τους δύο άξονες. (Άρα 0 0, 0x y .)

Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Μ έχει εξίσωση 00 0 0: 1 3 3

3

xxyy x x y y (1).

Για y=0 η (1) γίνεται: 0

0 0

3 33 ,0x x x

x x

Για x=0 η (1) γίνεται: 0

0 0 0

3 1 13 3 0,

3y y y y

y y y

Ο

Μ

Κ

Λ

x x΄

y

y΄

ε



Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα 0 0, 0

0 0

0 0

3 1( ) ( ) 3

x y

x yx y

(2)

Το σημείο Μ(x0, y0) ανήκει στην έλλειψη C, οπότε:

2 2(2)2 20 00 0

(3 )1 1

3 3

x yy y

22 2 2 2 200 0 0 0 0 0 0

9 1 1 11 3 1 4 1

3 4 4 2

yy y y y y y y

Αντικαθιστώντας στη (2) έχουμε 0 0

1 33

2 2x x , άρα το σημείο επαφής είναι το

3 1,

2 2

κι η εφαπτομένη στο σημείο αυτό έχει εξίσωση

3 3: 3 2 0

2 2x y x y .


2 2

2 2: 1

x yC

και ο κύκλος

2 2 2' :C x y . Αν Μ1(x1, y1)

είναι ένα σημείο της C και Μ2(x2, y2) είναι ένα σημείο του C΄, με x2= x1, να δείξετε

ότι η εφαπτομένη ε1 της έλλειψης C στο σημείο Μ1 κι η εφαπτομένη του κύκλου C΄

στο σημείο Μ2, τέμνονται σε σημείο του άξονα x΄x.

Λύση

Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο Μ1 έχει εξίσωση 1 11 2 2: 1

xx yy

(1), ενώ η εφαπτομένη

του κύκλου C΄ στο Μ2 έχει εξίσωση 2

2 1 2: xx yy (2).

Για y=0 η (1) γίνεται

2

1

2

1

1xx

xx

.

Μ2

Μ1

Ο

x1 x x΄

y

y΄

Μ

C

C΄



Για y=0 η (2) γίνεται

22

1

1

xx xx

.

Άρα οι ε1, ε2 τέμνονται στο σημείο

2

1

,0x

του άξονα x΄x.

11. Έστω η έλλειψη C μ’ εστίες Ε΄(-γ, 0), Ε(γ, 0) και μεγάλο άξονα 2α .Να δείξετε ότι ο

λόγος των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου Μ(x, y) της έλλειψης απ’ την εστία

Ε(γ, 0) και την ευθεία

2

: x

είναι σταθερός κι ίσος με την εκκεντρότητα της

έλλειψης. Ομοίως για την εστία Ε΄(-γ, 0) και την ευθεία

2

:΄ x

.

Λύση

Είναι

220

, άρα η ευθεία

2

: x

βρίσκεται στο εξωτερικό

της έλλειψης.

Για το σημείο Μ(x, y) της έλλειψης ισχύει ότι:

2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( 0) ( ) ( 0) 2 .....΄ x y x y

2 2 2 2 2( ) ( ) d( , )x y x x y x x

(1).

Επίσης

2

2

2 2

1 0

d( , )1 0

x y

x

(2), διότι

2

και x .

Διαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

Μ

Ε(γ, 0) Ε΄(-γ, 0) Ο

ε

x x΄

y

y΄

Ν



2

2

2 2

( )d( , )

d( , )

xx x

xx

2( )x

.

12. Η εφαπτομένη ε μιας έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

(α>β>0) σ’ ένα σημείο της Ρ ,

διαφορετικό των κορυφών Α κι Α΄, τέμνει την ευθεία

2

: x

σ’ ένα σημείο Μ.

Να δείξετε ότι 90

, όπου Ε(γ, 0) η εστία της έλλειψης.

Λύση

Η λύση του συστήματος των δύο ευθειών δίνει τις συντεταγμένες του σημείου Μ.

2

2 2 2 2

0 0 22

022

00

0

( )..... ,

( )

xx x y yx

yx xy

y

Έχουμε τότε: 0 0( , )x y κι

22

0

0

( ),

x

y

.

Είναι: 2

0 0x y

2

0

0

( )x

y

2 2 2

0x

2 2

0 0 0 0 90x x

.


Η ευθεία ονομάζεται διευθετούσα της έλλειψης.

2

: x

Ρ(x0, y0)

Ε(γ, 0)

Μ

Ο

ε

δ

Ε΄(-γ, 0) x x΄

y

y΄

Έστω Ρ(x0, y0), 0 0y .

Η εφαπτομένη της έλλειψης

στο Ρ έχει εξίσωση

0 0

2 2

2 2 2 2

0 0

: 1xx yy

x x y y

Επίσης

2

: x

.



ΕNOTHTA IV: Η υπερβολή

Ορισμός

Έστω Ε΄ κι Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζουμε υπερβολή μ’ εστίες τα σημεία Ε΄ κι Ε

το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς

των αποστάσεων από τα Ε΄ κι Ε είναι σταθερή και μικρότερη του (Ε΄Ε).

Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής απ’ τις εστίες

τη συμβολίζουμε συνήθως με 2α, ενώ την απόσταση των εστιών με 2γ.

Η απόσταση Ε΄Ε ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό:

Απ’ την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΄ έχουμε:

( ) ( ) ( ) 2 2΄ ΄ .

Εξίσωση υπερβολής

Εστίες στον άξονα x΄x

Έστω μια υπερβολή C μ’ εστίες Ε΄ κι Ε και σταθερή απόλυτη διαφορά 2α. Στο επίπεδο της

υπερβολής επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων Οxy, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του

ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ΄ και στο οποίο ο θετικός ημιάξονας Οx διέρχεται απ’ την εστία Ε

της υπερβολής.

Ε΄ Ε

Μ

Ένα σημείο Μ του επιπέδου

είναι σημείο της υπερβολής αν

και μόνο αν

( ) ( ) 2΄ .

C

Ε΄(-γ, 0) Ε(γ, 0) Ο x x΄

y

y΄

A A΄

Αν Μ(x, y) είναι ένα σημείο

της υπερβολής, τότε θα ισχύει

( ) ( ) 2΄ .

Επειδή (Ε΄Ε)=2α, οι εστίες θα

έχουν συντεταγμένες Ε΄(-γ, 0)

κι Ε(γ, 0).




2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( 0) ( ) ( 0) 2΄ x y x y

2 2 2 2( ) ( ) 2x y x y

22 2 2 2 2( ) ( ) (2 )x y x y

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 4 .....x y x y x y x y

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2x y x y x y

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 ( ) 2x y x x y x x y

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 4 ( ) 4 ( ) 4x y x x y x y

2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 24 ( ) 4 4 ( )x y x x y x

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2x y x x x y

02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y x y

2 2 22 2 2 20

2 2 2 2 21 1

x y x y

.

Επομένως η υπερβολή μ’ εστίες τα σημεία Ε΄(-γ, 0) κι Ε(γ, 0) και σταθερή απόλυτη διαφορά

2α έχει εξίσωση:

Για παράδειγμα, η εξίσωση της υπερβολής μ’ εστίες Ε΄(-13, 0), Ε(13, 0) και σταθερή

απόλυτη διαφορά 2α=24 είναι

2 2

2 21

12 5

x y , αφού 2 24 12 και

2 213 12 169 144 25 5 .

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2



Εστίες στον άξονα y΄y

Έστω μια υπερβολή C μ’ εστίες Ε΄ κι Ε και σταθερή απόλυτη διαφορά 2α. Στο επίπεδο της

υπερβολής επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων Οxy, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του

ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ΄ και στο οποίο ο θετικός ημιάξονας Οy διέρχεται απ’ την εστία Ε

της υπερβολής.

Για παράδειγμα, η εξίσωση της υπερβολής μ’ εστίες Ε΄(0, -5), Ε(0, 5) και σταθερή απόλυτη

διαφορά 2α=6 είναι

2 2

2 21

3 4

y x , αφού 2 6 3 και

2 25 3 25 9 16 4 .


Είναι 2 2 2 2 2 22 2

.

Όταν ο αριθμητής του κλάσματος με πρόσημο «+» είναι το x2, τότε η υπερβολή έχει

εστίες στον άξονα x΄x.

Όταν ο αριθμητής του κλάσματος με πρόσημο «+» είναι το y2, τότε η υπερβολή έχει

εστίες στον άξονα y΄y.

Κάθε εξίσωση της μορφής

2 2

2 21

x y

ή

2 2

2 21, , , , 0

y x

,παριστά μια

υπερβολή.

Το α2 είναι πάντα ο παρονομαστής του κλάσματος με πρόσημο «+».

Αν είναι α=β, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται

2 22 2 2

2 21

x yx y

( αντίστοιχα

2 2 2y x ).

Αν Μ(x, y) είναι ένα σημείο

της υπερβολής, τότε θα ισχύει

( ) ( ) 2΄ .

Επειδή (Ε΄Ε)=2α, οι εστίες θα

έχουν συντεταγμένες Ε΄(0, -γ)

κι Ε(0, γ).

Εργαζόμενοι όπως παραπάνω,

βρίσκουμε ότι η εξίσωση της

υπερβολής μ’ εστίες Ε΄, Ε και

σταθερή απόλυτη διαφορά 2α

είναι:

Ε(0, γ)

Ε΄(0, -γ)

Ο

Α

Α΄ x x΄

y

y΄

2 2

2 21

y x

, όπου

2 2

C



Ιδιότητες υπερβολής

Η μορφή

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2 .

Αν Μ1(x1, y1) είναι ένα σημείο της υπερβολής

2 2

2 2: 1

x yC


Μ2(x1, -y1), M3(-x1, y1) και Μ4(-x1, -y1) ανήκουν επίσης στη υπερβολή C, αφού οι


υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες x΄x και y΄y κι έχει κέντρο συμμετρίας

την αρχή Ο των αξόνων. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής.


2 2

2 21

x y

, για 0y βρίσκουμε x , συνεπώς η υπερβολή

τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία Α΄(-α, 0) κι Α(α, 0). Τα σημεία αυτά λέγονται

κορυφές της υπερβολής.


2 2

2 21

x y

, για 0x προκύπτει ότι

22 2

21 0

yy

.

Η σχέση αυτή είναι αδύνατη, άρα η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα y΄y.

Είναι

2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 21 1 1 0

x y x y xx x

x ή x . Επομένως τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω απ’ την

ταινία των ευθειών x= -α και x=α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται

από δύο χωριστούς κλάδους.

M1

M2

M3

M4

O A A΄

Ε Ε΄

C



Η μορφή

2 2

2 21

y x

, όπου

2 2 .

Αν Μ1(x1, y1) είναι ένα σημείο της υπερβολής

2 2

2 2: 1

y xC


Μ2(x1, -y1), M3(-x1, y1) και Μ4(-x1, -y1) ανήκουν επίσης στη υπερβολή C, αφού οι


υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες x΄x και y΄y κι έχει κέντρο συμμετρίας

την αρχή Ο των αξόνων. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής.


2 2

2 21

y x

, για 0x βρίσκουμε y , συνεπώς η υπερβολή

τέμνει τον άξονα y΄y στα σημεία Α΄(0, -α) κι Α(0, α). Τα σημεία αυτά λέγονται

κορυφές της υπερβολής.


2 2

2 21

y x

, για 0y προκύπτει ότι

22 2

21 0

xx

.

Η σχέση αυτή είναι αδύνατη, άρα η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα x΄x.

Είναι

2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 21 1 1 0

y x y x yy y

y ή y . Επομένως τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω απ’ την

ταινία των ευθειών y= -α και y=α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται

από δύο χωριστούς κλάδους.


Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του είναι σημεία της υπερβολής, λέγεται χορδή της

υπερβολής.

Μ1

Μ2

Μ3

Μ4

Ο

Ε

Ε΄

Α

Α΄



Ασύμπτωτες υπερβολής

Η μορφή

2 2

2 21

x y

, όπου

2 2 .

Έστω μια υπερβολή C μ’ εξίσωση

2 2

2 21

x y

(1) και μια ευθεία ε μ’ εξίσωση y x (2),

δηλαδή μια ευθεία που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων. Η ευθεία ε έχει με τη υπερβολή C

κοινά σημεία, αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) έχει λύση.


2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( )1 1

x x x xx x

2 2 2 2 2 2( )x (3)

Επειδή 2 2 0 και

2 0x η (3) έχει λύση αν και μόνο αν 2 2 2 0

2 , 02 2 2 2

2

.

Επομένως η ευθεία : y x θα έχει με την υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

ακριβώς

δύο κοινά σημεία αν και μόνο αν

.

Αν

ή

, η (3) είναι αδύνατη, άρα το σύστημα είναι

αδύνατο, συνεπώς η ευθεία ε κι η υπερβολή C δεν έχουν κοινά σημεία.

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι ευθείες 1 : y x

κι 2 : y x

δεν έχουν κοινά σημεία

με την υπερβολή C και παρατηρούμε επίσης ότι όλα τα σημεία της υπερβολής C περιέχονται

στις δύο κατακορυφήν γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 κι ε2, στις οποίες γωνίες

περιέχεται κι ο άξονας x΄x.

2 : y x

1 : y x

C

Ο Α Α΄

Ε΄ Ε

Μ(x, y)

Ρ

x x΄

y

y΄



Έστω σημείο Μ(x, y) της υπερβολής C, με 0x και 0y . Αποδεικνύεται ότι όταν το x

αυξάνει απεριόριστα (δηλαδή x ), η απόσταση ΜΡ του σημείου Μ απ’ την ευθεία

1 : y x

τείνει προς το 0. Έτσι το άνω τεταρτημόριο του δεξιού κλάδου της υπερβολής

πλησιάζει, όλο και περισσότερο, την ευθεία 1 : y x

, χωρίς ποτέ να συμπέσει μ’ αυτήν.

Την ευθεία 1 : y x

ονομάζουμε ασύμπτωτη του δεξιού κλάδου της υπερβολής .

Λόγω συμμετρίας της υπερβολής ως προς τον άξονα x΄x, ο δεξιός κλάδος θα έχει ασύμπτωτη

και την ευθεία 2 : y x

.

Λόγω συμμετρίας της υπερβολής ως προς την αρχή τον άξονα y΄y, ο αριστερός κλάδος της

υπερβολής θα έχει τις ίδιες ακριβώς ασύμπτωτες.

Άρα οι ασύμπτωτες της υπερβολής

2 2

2 2: 1

x yC

είναι οι ευθείες:

Είναι φανερό ότι οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιες του ορθογωνίου ΚΛΜΝ,

με κορυφές τα σημεία Κ(α, β), Λ(α, -β), Μ(-α, -β) και Ν(-α, β).

Το ορθογώνιο αυτό ονομάζεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής.

y x

και y x

Κ

Λ Μ

Ν

Ο Α Α΄

Ε Ε΄

y x

y x



Μνημονικός κανόνας

Για να βρούμε τις ασύμπτωτες μιας υπερβολής, θέτουμε στην εξίσωσή της όπου 1 το 0,

παραγοντοποιούμε το 1ο μέλος κι εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το 0.

Για παράδειγμα, έστω η υπερβολή

2 2

116 9

x y . Έχουμε:

2 2

016 9

x y

0 04 3 4 3 4 3

x y x y x y

ή 0

4 3 3 4

x y y x ή

3 4

y x

3

4y x ή

3

4y x .


Οι ασύμπτωτες των ισοσκελών υπερβολών 2 2 2x y και

2 2 2y x είναι οι ευθείες

y x και y x .

Εκκεντρότητα υπερβολής

Ορισμός

Έστω η υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της υπερβολής C και

συμβολίζουμε με ε το λόγο

. Δηλαδή , 1

.

Είναι 2 2 , οπότε

2 2 2 22

2

2 22 2 2

2 21 1 1

Επομένως, όσο η εκκεντρότητα μικραίνει και τείνει να γίνει ίση με 1, τόσο μικραίνει ο

λόγος

, άρα και το β τείνει να γίνει ίσο με 0. Κατά συνέπεια, όσο πιο μικρή είναι η

εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επίμηκες είναι το ορθογώνιο της βάσης, δηλαδή

τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή.

1



Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είναι , οπότε 2 .

Σημείωση

Έστω υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

, μ’ εστίες Ε΄, Ε και σημείο Μ της υπερβολής. Οι

αποστάσεις (ΜΕ΄) και (ΜΕ) ονομάζονται εστιακές αποστάσεις ή εστιακές ακτίνες του

σημείου Μ.

Έστω r1=(ME) και r2=(ME΄). Έχουμε: 2 2

1r ( )x y και 2 2

2r ( )x y .

Είναι 1 2r r 2 (1) και 2 2

1 2r r 4 x 1 2 1 2(r r )(r r ) 4 x (2) .

Έστω ότι το Μ ανήκει στο δεξιό κλάδο της υπερβολής, οπότε x>0. Τότε 1 2r r 0 ,

άρα η (1) γίνεται 1 2r r 2 (3).

Από (2) και (3) έχουμε: 1 22 (r r ) 4 x 1 2 1 2r +r =2 r +r =2εx x

(4).


1 2 1 1 1

1 2 1 2 2 2

r +r =2ε 2r 2ε 2 r ε r ε

r r r r 2 ε r 2 r ε

x x x x

x x

.

Έστω ότι το Μ ανήκει στον αριστερό κλάδο της υπερβολής, οπότε x<0. Όμοια

βρίσκουμε ότι 1

2

r (ε )

r (ε )

x

x

.

Σε κάθε περίπτωση ισχύει 1r x και 2r x .

Σχόλιο

Οι υπερβολές

2 2

1 2 2: 1

x yC

και

2 2

2 2 2: 1

y xC

ονομάζονται συζυγείς.

Οι συζυγείς υπερβολές έχουν τις ίδιες ασύμπτωτες.

Μ(x, y)

Ε΄ Ε Ο x x΄

y

y΄

C

r1 r2



Η υπερβολή C1 έχει εκκεντρότητα 1

ενώ η υπερβολή C2 έχει εκκεντρότητα

2

.

Εφαπτομένη υπερβολής

Έστω η υπερβολή μ’ εξίσωση

2 2

2 2: 1

x yC


Ειδικά, στις κορυφές Α(α, 0) και Α΄(-α, 0) η υπερβολή έχει εφαπτόμενες μ‘ εξισώσεις

x και x αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής

2 2

: 110 15

x yC στο σημείο της Μ1(-4, 3) έχει

εξίσωση:4 3 2

1 1 2 5 2 5 010 15 5 5

x y x yx y x y .

Έστω η υπερβολή μ’ εξίσωση

2 2

2 2: 1

y xC


Ειδικά, στις κορυφές Α(0, α) και Α΄(0, -α) η υπερβολή έχει εφαπτόμενες μ‘ εξισώσεις

y και y αντίστοιχα.

Ε΄ Ε Α΄ Α

Μ1

C

ε


περίπτωση της παραβολής και της

έλλειψης, βρίσκουμε ότι η

εφαπτομένη της υπερβολής στο

σημείο της Μ1(x1, y1) έχει εξίσωση:

1 1

2 21

xx yy

Ε

Ε΄

Α

Α΄

Ο

Μ1

C

x x΄

y

y΄

x x΄

y

y΄

O

ε


περίπτωση της παραβολής και της

έλλειψης, βρίσκουμε ότι η

εφαπτομένη της υπερβολής στο

σημείο της Μ1(x1, y1) έχει εξίσωση:

1 1

2 21

yy xx



Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής

2 2

: 13 8

y xC στο σημείο της Μ1(4, 3) έχει

εξίσωση:3 4

1 1 2 2 2 2 03 8 2

y x xy y x x y .


Κάθε εφαπτομένη μιας υπερβολής C έχει μ’ αυτή μοναδικό κοινό σημείο, το σημείο επαφής.

Το αντίστροφο δεν ισχύει (όπως ισχύει στον κύκλο και την έλλειψη), δηλαδή αν μια ευθεία ε

έχει με την υπερβολή C μοναδικό κοινό σημείο, δεν έπεται αναγκαίως ότι η ε εφάπτεται στη

C. Αποδεικνύεται ότι κάθε ευθεία παράλληλη σε μια ασύμπτωτη της υπερβολής (και

διαφορετική απ’ την ασύμπτωτη), έχει με την υπερβολή μοναδικό κοινό σημείο αλλά δεν

είναι εφαπτομένη αυτής.

Ανακλαστική ιδιότητα υπερβολής

Έστω υπερβολή C με κέντρο Ο, εστίες Ε, Ε΄ κι ένα σημείο της Μ1(x1, y1). Η εφαπτομένη της

υπερβολής στο σημείο της Μ1 διχοτομεί τη γωνία ΄

.

Ε Ε΄ Ο

C

Α Α΄

ε1

x x΄

y

y΄

ε

Ε Ε΄ Α Α΄ Ο x x΄

y

y΄

Μ1

ε

C

φ φ

Επομένως, μια φωτεινή ακτίνα,

κατευθυνόμενη προς τη μία

εστία της υπερβολής, όταν

ανακλάται στην επιφάνεια

αυτής, διέρχεται απ’ την άλλη

εστία. Η ιδιότητα αυτή της

υπερβολής, σε συνδυασμό με τις

αντίστοιχες ιδιότητες των άλλων

κωνικών τομών, βρίσκει

εφαρμογή στην κατασκευή

ανακλαστικών τηλεσκοπίων, καθώς και στη ναυσιπλοΐα για τον προσδιορισμό του

στίγματος των πλοίων.




1. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. έχει εστίες Ε΄(-6, 0), Ε(6, 0) κι απόσταση κορυφών 6

β. έχει εστίες Ε΄(0, -4), Ε(0, 4) κι εκκεντρότητα 4

3

γ. έχει εστίες Ε΄(-5, 0), Ε(5, 0) και διέρχεται απ’ το σημείο (4 2,3)

δ. έχει ασύμπτωτες τις ευθείες 1

2:

3y x , 2

2:

3y x και διέρχεται απ’ το σημείο

9,1

2

.

Λύση

α. Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής

2 2

2 2: 1

x yC

.

Είναι 2 6 3 και γ=6, οπότε 2 2 2 2 236 9 27

27 3 3 .

Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι

2 2

: 19 27

x yC .

β. Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y΄y, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής

2 2

2 2: 1

y xC

.

Είναι γ=4 και 4 4 4 4

33 3 3

, οπότε

2 2 2

2 216 9 7 7 .


2 2

: 19 7

y xC .



γ. Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής

2 2

2 2: 1

x yC

.

Είναι γ=5 και 2 2 2 2 225 , οπότε η εξίσωση της υπερβολής γίνεται

2 2

2 21

25

x y

. Το σημείο (4 2,3) ανήκει στην υπερβολή C, συνεπώς έχουμε:

2 22 2 2 2

2 2 2 2

(4 2) 3 32 91 1 32(25 ) 9 (25 )

25 25

2

2 2 2 4 4 2 2800 32 9 25 66 800 0 66 800 0

Είναι 2( 66) 4 1 800 4356 3200 1156 ,οπότε:

2 2212

1,2 2

2

10050

5066 1156 66 34 216

322 1 2 1616

2

.


2 2

: 116 9

x yC .

δ. 1η περίπτωση

Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x, οπότε 1

2 2:

3 3y x

, άρα

θα έχει εξίσωση

2 2 2 2

22 2 2

9: 1 1

42

3

x y x yC

.

Το σημείο 9

,12

ανήκει στην υπερβολή, οπότε έχουμε:

2

2

2 2

9

9 121

4

2 2

2 2 2

81 9 721 1 4 72 18 18 3 2

4 4 4

Τότε 2 3 2

2 23

, οπότε η υπερβολή έχει εξίσωση

2 2

: 118 8

x yC .



2η περίπτωση

Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y΄y, οπότε 1

2 3:

3 2y x

, άρα

θα έχει εξίσωση

2 2 2 2

22 2 2

4: 1 1

93

2

y x y xC

.

Το σημείο 9

,12

ανήκει στην υπερβολή, οπότε έχουμε:

2

22

2 2 2 2 2 2 2

9 814 4

1 1 1 9 82 41 1 1 1 8

9 9

, η

οποία είναι αδύνατη, άρα δεν υπάρχει υπερβολή της μορφής

2 2

2 2: 1

y xC

που να

ικανοποιεί τις συνθήκες της άσκησης.

2. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, τις

εστίες της σ’ έναν απ’ τους άξονες συντεταγμένων και διέρχεται απ’ τα σημεία

Μ(1, -1) και 2, 2 . Στη συνέχεια να βρείτε τις ασύμπτωτες και την

εκκεντρότητα της υπερβολής. (Βασική άσκηση)

Λύση

Απ’ τα δεδομένα της άσκησης δεν μπορούμε να συμπεράνουμε σε ποιον άξονα βρίσκονται οι

εστίες της υπερβολής, οπότε θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.


Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x, οπότε θα έχει εξίσωση

2 2

2 2: 1

x yC

. Τα σημεία

Μ και Ν ανήκουν στην υπερβολή, συνεπώς έχουμε:

2

2

2 2

12 2 2 2

2 12

2 22 2

1 1 1 11 1

1 ( 2) 2 2 2

2 4 2 4 1 2 4 12 2 11



1 11 1

2 1 2 22 2

2 4 1 1 32 2 1 2 32 4 1

2 2

22

2

2

1 12

23

1 32

2

.

Οπότε η εξίσωση της υπερβολής είναι

2 2 2 23: 1 1

2 2 2 2

3

x y x yC .

Είναι

22 21

2 2

3 3

3

2

3 , οπότε οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι

1 : 3y x κι 2 : 3y x .

Επίσης 2 2 2 2 22 8

23 3

και

2 28

2 23 3

2 2

3 3

3

2 32 ,

οπότε η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι 2

.


Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y΄y, οπότε θα έχει εξίσωση

2 2

2 2: 1

y xC

. Τα σημεία

Μ και Ν ανήκουν στην υπερβολή, συνεπώς έχουμε:

2

2

2 2

12 2 2 2

2 12

2 22 2

1 1 1 11 1

1 ( 2) 2 2 2

4 2 4 2 1 4 2 12 2 11



1 11 1

2 1 2 22 2

14 2 1 34 2 1 2 2 1 2 3

2 2

22

2

2

1 12

221 332

.

Οι παραπάνω ισότητες είναι αδύνατες, άρα δεν υπάρχει υπερβολή μ’ εξίσωση

2 2

2 2: 1

y xC

που να ικανοποιεί τις συνθήκες της άσκησης.

3. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής 2 2: 4 3 12C x y η οποία έχει

μέσο το σημείο Μ(4, 2). (Βασική άσκηση)

Λύση

Έστω Κ(x1, y1) και Λ(x2, y2) τα άκρα της χορδής που έχει μέσο το σημείο Μ. Τότε

2 2

1 14 3 12x y (1) και 2 2

2 24 3 12x y (2).

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και(2) έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 24( ) 3( ) 0 3( ) 4( )x x y y y y x x

1 2 1 2 1 2 1 24( )( ) 3( )( )y y y y x x x x (3).

Μ

Ο Ε΄ Ε

Α΄ Α

C

x x΄

y

y΄

K

Λ



Όμως το σημείο Μ(4, 2) είναι το μέσο της χορδής ΚΛ οπότε

1 2

1 2

1 21 2

482

42

2

x x

x x

y yy y

,

άρα η (3) γίνεται 1 2 1 2 1 2 1 2

316( ) 24( ) ( )

2y y x x y y x x (4).

Αν 1 2x x , τότε απ’ την (4) προκύπτει ότι 1 2y y , δηλαδή , άτοπο.

Για 1 2x x η (4) γίνεται 1 2

1 2

3 3

2 2

y y

x x

, άρα η χορδή ΚΛ έχει εξίσωση

32 ( 4) 2 4 3 12 3 2 8 0

2y x y x x y .

4. Να βρείτε την εφαπτομένη της υπερβολής

2 2

: 112 2

x yC όταν:

α. είναι παράλληλη στην ευθεία 1

1: 1

2y x

β. είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 3 2 4 0x y

γ. σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 60

δ. διέρχεται απ’ το σημείο Ρ(0, 4).

Λύση

α. Έστω σημείο Μ(x1, y1) της υπερβολής C. Τότε

2 22 21 11 11 6 12

12 2

x yx y (1) και η

εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ θα έχει εξίσωση 1 11 1: 1 6 12

12 2

xx yyx x y y .

Είναι 11 1 1

1

1 1/ / 3

2 6 2

xx y

y (2), οπότε από (1) και (2) έχουμε:

(2)2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1(3 ) 6 12 9 6 12 3 12 4 2y y y y y y y

(2)1 1

1 1

2, 6(2,6)

2, 6

y x

y x

και ( 2, 6)΄ , οπότε οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι

οι : 2 36 12 18 6 0x y x y κι : 2 36 12 18 6 0΄ x y x y .




1

3 21 4

2 6 3

xx y

y (3), οπότε από (1) και (3) έχουμε:

(2)2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

6 6( 4 ) 6 12 16 6 12 10 12

5 5y y y y y y y

1 1 1 1(2)

1 1 1 1

6 6 4 30 30, 4 ,

4 30 305 5 5 5,

5 56 6 4 30 30, 4 ,

5 5 5 5

y x x y

y x x y

και

4 30 30,

5 5΄

, οπότε οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι

4 30 6 30: 12 2 30 3 30 30 0

5 5x y x y κι

4 30 6 30: 12 2 30 3 30 30 0

5 5΄ x y x y


Απ΄τον τύπο της υπερβολής πρέπει

221 12 2 3 2 3

12

xx x x ή

2 3x και 2

1 1

4 30 16 3016 12

5 25x x

, οπότε οι τιμές που βρήκαμε είναι

δεκτές.

γ. Είναι 1 11 1

1 1

60 3 6 36 6

x xx y

y y (4), οπότε από (1) και (4)

έχουμε:2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2(6 3 ) 6 12 108 6 12 102 12

17y y y y y y

1 1(2)

1 1

1 1

34 6 102,

2 34 6 102 3417 17,

17 17 17 1734 6 102,

17 17

y x

y y

y x

και

6 102 34,

17 17΄

, οπότε οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι



6 102 6 34: 12 3 34 0

17 17x y x y κι

6 102 6 34: 12 3 34 0

17 17΄ x y x y .


Όμοια, όπως προηγουμένως, οι τιμές που βρήκαμε είναι δεκτές.

δ. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ έχει εξίσωση 1 16 12x x y y κι επειδή διέρχεται

απ’ το σημείο Ρ(0, 4) θα είναι (1)

1 1 1 10 6 4 12 24 12 2x y y y

2 2(1)11 1

11 1

624 12 36(6, 2)

22 2

xx x

yy y

και ( 6, 2)΄ , οπότε οι

ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι : 6 12 12 2 2 0x y x y κι

: 6 12 12 2 2 0΄ x y x y .

5. Δίνεται η υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

και σημείο Μ(x0, y0) εκτός της υπερβολής. Απ’

το σημείο Μ φέρνουμε τις εφαπτόμενες ε1, ε2 κι έστω Κ, Λ τα σημεία επαφής. Να δείξετε

ότι η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση 0 0

2 21

xx yy

.

Λύση

κι επειδή διέρχεται απ’ το σημείο Μ θα είναι 0 2 0 2

2 21

x x y y

(2).

Μ

Κ

Λ

Ο Ε΄ Ε

C

ε1

ε2

x x΄

y

y΄

Έστω Κ(x1, y1) και Λ(x2, y2) τα

σημεία επαφής. Η εφαπτομένη της

C στο Κ έχει εξίσωση

1 11 2 2: 1

xx yy

κι επειδή

διέρχεται απ’ το σημείο Μ θα είναι

0 1 0 1

2 21

x x y y

(1).

Η εφαπτομένη της C στο Λ έχει

εξίσωση 2 22 2 2

: 1xx yy



Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Κ και Λ ικανοποιούν την εξίσωση

0 0

2 21

xx yy

, άρα η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση 0 0

2 21

xx yy

.


Η ευθεία ΚΛ λέγεται πολική του σημείου Μ ως προς την υπερβολή C, ενώ το σημείο Μ

λέγεται πόλος της ευθείας ΚΛ ως προς την υπερβολή C.

6. Να δείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων ενός σημείου Μ(x1, y1) της υπερβολής

2 2

2 2: 1

x yC

απ’ τις ασύμπτωτές της είναι σταθερό.

Λύση

Το σημείο Μ(x1, y1) ανήκει στην υπερβολή, οπότε είναι

2 22 2 2 2 2 21 1

1 12 21

x yx y

(1).

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής έχουν εξισώσεις 1 : 0y x x y

κι

2 : 0y x x y

. Τότε έχουμε

M

K

Λ Ε Ε΄ Ο

ε1 ε2

x x΄

y

y΄



1 1 1 1

12 2 2 2

d( , )( )

x y x y

και

1 1 1 1

22 2 2 2

d( , )( )

x y x y

,

οπότε

2 2 2 2 2 2(1)1 11 1 1 1

1 2 2 2 2 22 2 2 2d( , ) d( , )

x yx y x y

, που είναι

σταθερό.

7. Η εφαπτομένη της υπερβολής

2 2

2 2: 1

x yC

στο σημείο Μ(x0, y0) τέμνει τις

ασύμπτωτές της στασημεία Κ και Λ. Να δείξετε ότι:

α. το Μ είναι μέσο του ΚΛ

β. 2( ) ( )

γ. το τρίγωνο έχει σταθερό εμβαδόν.

Λύση

Το σημείο Μ(x0, y0) ανήκει στην υπερβολή, οπότε ισχύει ότι

2 22 2 2 2 2 20 0

0 02 21

x yx y

(1).

Μ

Κ

Λ

Ο Ε΄ Ε

C

x

y

x΄

y΄ ε1 ε2

ε



Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση 2 2 2 20 0

0 02 2: 1

xx yyx x y y

.

Οι συντεταγμένες του σημείου Κ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ευθειών ε κι

1 : y x

, οπότε:2 2 2 22 2 2 2

0 00 0

y xy x

x x y xx x y y

2

2 20 0

20 0 0 0

0 0

..... ,

xx y

x y x yy

x y

.

Οι συντεταγμένες του σημείου Λ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ευθειών ε κι

2 : y x

, οπότε:

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

.....

y xy x

x x y y x x y x

2

2 20 0

20 0 0 0

0 0

,

xx y

x y x yy

x y

.

Είναι

2 2

2

0 00 0 0 0(

2 2

x yx y x yx x

0 0x y (1)

2 2 2 2

0 0

)

2( )x y

2 2(1) 2

0

2 22

x

0x και

2 2

0 0 0 0

2 2

x y x yy y

2

0( x

0 0y x 2 2(1)0

2 2 2 2

0 0

) 2

2(( )

y

x y

0

2 22

y

0y , άρα το σημείο Μ είναι μέσο του

ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ.



β. Είναι

2 22 2 4 2 2 4

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

( )( ) ( )x y x y x y x y

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0 0 0

( )

( ) ( )x y x y x y

και

2 22 2 4 2 2 4

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

( )( ) ( )x y x y x y x y

2 2 22 2 2 2 2 2 2

2 2

0 0 0 0 0 0

( )

( ) ( )x y x y x y

, οπότε

2 22 2 2 (1)

2 2 2 20 0 0 0 0 0

( ) ( )x y x y x y

2

2 2

2 .

γ. Είναι

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

, , ,x y x y x y x y

και

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

1 1( ) det( , )

2 2

x y x y

x y x y

3 3 3 3 3 3 3 3(1)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

1 1 2 1 2

2 2 2x y x y x y

2

12

2 ,

που είναι σταθερό.

8. Να δείξετε ότι η ευθεία : 2 1 0x y εφάπτεται στην υπερβολή

22: 1

3

yC x .


Λύση

Λύνουμε αρχικά το σύστημα των ε και C, για να δούμε αν υπάρχουν κοινά σημεία και πόσα.

22 2 2 22

2 1 02 1 2 1

3 (2 1) 3 3 (4 4 1) 3 013

x yy x y x

yx x x x xx



2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

3 4 4 1 3 0 4 4 0 4 4 0

y x y x y x

x x x x x x x

2

2 1 2 1 2 2 1 2(2,3)

( 2) 0 2 0 2 3

y x y x y x

x x x y

.

Η ευθεία και η υπερβολή έχουν μοναδικό κοινό σημείο, αυτό όμως δεν αρκεί για να

εφάπτεται η ευθεία στην υπερβολή. Βρίσκουμε λοιπόν την εφαπτομένη της υπερβολής στο

Μ, η οποία έχει εξίσωση 3

: 2 1 2 1 03

y΄ x x y . Όμως ΄ , άρα η ευθεία ε

εφάπτεται στην υπερβολή C.

9. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται απ’ τις ασύμπτωτες της

υπερβολής

2 2

: 14 12

x yC και την ευθεία που διέρχεται απ’ την εστία Ε της

υπερβολής και σηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 30 .

Λύση

Είναι 2 2 2 2 24 12 16 4 (4,0), ( 4,0)΄ .

Επειδή 12 2 3

32 2

, οπότε οι ασύμπτωτες της υπερβολής έχουν εξισώσεις

1 : 3y x κι 2 : 3y x .

Ε Ε΄ Ο

ε

ε1 ε2

x

y

x΄

y΄

K

Λ



Η ευθεία που διέρχεται απ’ την εστία Ε της υπερβολής και σηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία

30 έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 1

303

, οπότε έχει εξίσωση

1 1: 0 ( 4) ( 4)

3 3y x y x .

Οι συντεταγμένες του σημείου Κ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ε κι ε1, οπότε:

3 33 3 2 3

1 1( 4) 3 ( 4) 3 4 2 4 2

3 3

y x y xy x y x y

y x x x x x x x

( 2, 2 3) .

Οι συντεταγμένες του σημείου Λ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ε κι ε2, οπότε:

3 33 3 3

1 1( 4) 3 ( 4) 3 4 4 4 1

3 3

y x y xy x y x y

y x x x x x x x

(1, 3) .

Είναι ( 2, 2 3), (1, 3) οπότε για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε:

2 2 31 1 1 1( ) det( , 2 3 2 3 4 3 2 3

2 2 2 21 3

τετρ.μον.

10. Να βρεθούν τα σημεία Μ(κ, λ) της ισοσκελούς υπερβολής 2 2: 2C x y για τα

οποία οι ευθείες ΕΜ κι Ε΄Μ είναι κάθετες, όπου Ε, Ε΄ οι εστίες της υπερβολής.

Λύση

Είναι 2 2 2 , οπότε

2 2 2 2 22 2 4 2 , συνεπώς οι

εστίες της υπερβολής είναι οι Ε(2,0) κι Ε΄(-2, 0).

Έχουμε επίσης ότι ( 2, ) και ( 2, )΄ , οπότε:

2 20 ( 2, ) ( 2, ) 0 4 0΄ ΄

2 2 4 (1).



Το σημείο Μ(κ, λ) ανήκει στην υπερβολή 2 2: 2C x y , οπότε

2 2 2 (2).


2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 2 6 3 3 3

2 2 3 2 2 1

, οπότε τα

ζητούμενα σημεία είναι τα 1 2 3( 3,1), ( 3, 1), ( 3, 1) και 4 ( 3,1) .

11. Δίνονται τα σημεία 3 1

(1,0), ( , )2 2

και 3 1

( , )2 2

. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο

των σημείων Μ(x, y) του επιπέδου για τα οποία ισχύει

2 2 222( 1)x (1).

Λύση

Είναι 3 1

(x 1, y), ,2 2

x y

και 3 1

,2 2

x y

, οπότε η (1)

γίνεται:

2 2 2 2

2 2 23 1 3 1( 1) 2( 1)

2 2 2 2x y x y x y x

2 2 2 2 2 2 29 1 9 13 3 2 1 2 4 2

4 4 4 4x x y y x x y y x x y x x

2 2 2 2 24 4 2 4 2 2x y x x x x y .

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου είναι η ισοσκελής

υπερβολή 2 2: 2C x y .



ENOTHTA V: Η εξίσωση 2 2 0x y x y

Μεταφορά αξόνων

Σ’ ένα επίπεδο θεωρούμε σ΄συτημα συντεταγμένων Οxy κι έστω ένα σημείο Ο΄(x0, y0) του

επιπέδου αυτού. Στο ίδιο επίπεδο θεωρούμε ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων Ο΄ΧY, με

αρχή το σημείο Ο΄(x0, y0) και στο οποίο τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων Χ΄Χ και Υ΄Υ

είναι ίσα με τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x΄x και y΄y αντίστοιχα. Άρα Χ΄Χ// x΄x και

Υ΄Υ// y΄y.

Λέμε στην περίπτωση αυτή ότι το σύστημα Ο΄ΧΥ έχει προκύψει με παράλληλη μεταφορά

των αξόνων του συστήματος Οxy.

Έστω τώρα ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ είναι (x, y) ως προς το αρχικό σύστημα

Οxy και (X, Y) ως προς το νέο σύστημα Ο΄ΧΥ. Τότε έχουμε:

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )΄ ΄ x y x y x y x y

0 0

0 0

x x x x

y y y y

.

Οι παραπάνω ισότητες ονομάζονται τύποι μεταφοράς των αξόνων.

Για παράδειγμα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα είναι

(3, 4) κι η αρχή Ο(0, 0) μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξόνων στο σημείο Ο΄(-1, 2), τότε

οι νέες συντεταγμένες του σημείου Μ θα είναι: Χ=3-(-1)=4 και Υ=4-2=2.

Έστω επίσης η εξίσωση 2 2( 2) ( 1) 9x y , που παριστά κύκλο κέντρου Κ(2, -1) και

ακτίνας ρ=3. Αν με μια παράλληλη μεταφορά αξόνων η αρχή Ο(0, 0) μετακινηθεί στο κέντρο

του κύκλου, τότε οι νέες συντεταγμένες (Χ, Υ) ενός σημείου Μ(x, y) του κύκλου είναι Χ=x-2

και Υ=y-(-1)=y+1.

Επομένως η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημα αξόνων έχει την απλούστερη

μορφή 2 2 9 .

x x΄

y

y΄

i

j

Ο

i

j

Ο΄(x0, y0) X X ΄

Υ

Υ΄

Μ

( , )

(Χ,Υ)

x y



Η εξίσωση 2 2 0x y x y

Αποδεικνύεται ότι κάθε εξίσωση της μορφής 2 2 0x y x y (1), όπου

, , , , και δεν είναι όλοι ίσοι με 0:

παριστά κωνική τομή

παριστά δύο παράλληλες ευθείες

είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχει σημείο του επιπέδου που οι συντεταγμένες του να

την επαληθεύουν.

Για να βρούμε αν μια εξίσωση της μορφής (1) παριστά μια γραμμή και ποια,εφαρμόζουμε

αρχικά τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και στη συνέχεια μεταφέρουμε κατάλληλα τους

άξονες.

Για παράδειγμα, έστω η εξίσωση 2 29 25 18 100 116 0x y x y . Έχουμε τότε:

2 29 25 18 100 116 0x y x y

2 2 2 2 2 2(3 ) 2 3 3 3 3 (5 ) 2 5 10 10 10 116 0x x y y

2 2 2 2(3 3) (5 10) 225 [3( 1)] [5( 2)] 225x y x y

2 22 2 ( 1) ( 2)

9( 1) 25( 2) 225 125 9

x yx y

(2)

Στην εξίσωση (2) θέτουμε 1x και Υ=y-2,δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων

στο σημείο Ο΄(-1, 2), οπότε η (2) γίνεται

2 2

125 9

που είναι εξίσωση έλλειψης.

Σχετική θέση ευθείας και κωνικής

Ας θεωρήσουμε μια ευθεία : y x και μια κωνική 2 2: 0C x y x y .

Η ευθεία και η κωνική έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, αφού το σύστημα

2 2 0

y x

x y x y

έχει το πολύ δύο διακεκριμένες λύσεις.

Στο σύστημα Ο΄ΧΥ έχουμε:

Εστίες: Ε΄(-4, 0), Ε(4, 0)

Κορυφές:( 5,0), (5,0)

(0, 3), (0,3)

΄

΄

Στο σύστημα Οxy έχουμε:

Εστίες: Ε΄(-5, 2), Ε(3, 2)

Κορυφές:( 6,2), (4,2)

( 1, 1), ( 1,5)

΄

΄



Για την επίλυση του συστήματος θέτουμε στη δεύτερη εξίσωση όπου y x , οπότε

προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση.

Αν η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μια απλή ρίζα (όταν είναι 1ου

βαθμού),

τότε η ευθεία και η κωνική τέμνονται.

Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή είναι 2ου

βαθμού με διακρίνουσα Δ=0, τότε

αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται της κωνικής.

Αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία.

Για παράδειγμα, έχουμε την ευθεία : 1y x και την υπερβολή

22: 1

2

xC y .

Θέτοντας στην εξίσωση της C όπου 1y x έχουμε:

22( 1) 1

2

xx

2 2 22 2( 2 1) 1 0 2 1 1 0 2 2 0

2 2 2

x x xx x x x x

2 24 4 0 ( 2) 0 2 0 2x x x x x , που είναι διπλή ρίζα άρα η

ευθεία εφάπτεται της υπερβολής.

Για 2x είναι 2 1 1y , άρα το σημείο επαφής είναι το Μ(2, 1).




1. Έστω ο κύκλος 2 2: ( 2) ( 5) 4C x y (1). Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C

στο σύστημα που προκύπτει όταν μεταφερθεί η αρχή των αξόνων στο σημείο:

α. Ο΄(3, 2), β. Ο΄΄(2, -5). (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Είναι x0=3 και y0=2, οπότε: 3 3

2 2

x x

y y

. Αντικαθιστώντας στην (1)

έχουμε:2 2 2 2( 3 2) ( 2 5) 4 ( 1) ( 7) 4 .

β. Είναι x0=2 και y0= -5, οπότε: 2 2

5 5

x x

y y

. Αντικαθιστώντας στην (1)

έχουμε:2 2 2 2( 2 2) ( 5 5) 4 4 .

2. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 4 6 5 0y x y (1) παριστά παραβολή της οποίας να

βρείτε την κορυφή, την εστία, τη διευθετούσα και τον άξονα συμμετρίας.

Λύση

Η (1) γράφεται: 2 2 24 6 5 0 6 9 4 5 9 ( 3) 4( 1)y x y y y x y x (2)

Θέτουμε 1 1

3 3

x x

y y

, δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο

σημείο Ο΄(-1, 3), οπότε η (2) γίνεται 2 24 .

Η παραπάνω εξίσωση παριστά παραβολή με παράμετρο p=2, κορυφή το σημείο Ο΄(-1, 3),

εστία το σημείο0 0,0 (0,3)

2

px y

, διευθετούσα : 1 1 2x x και

άξονα συμμετρίας την ευθεία 3 0 3y y .

O

O΄ Ε Χ Χ΄

Υ

Υ΄

C

x x΄

y

y΄ x= -2



3. Έστω η γραμμή 2 2: 4 9 8 90 193 0C x y x y (1). Μεταφέρουμε την αρχή

των αξόνων στο σημείο Ο΄(-1, 5). Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής C στο νέο

σύστημα αξόνων Ο΄ΧΥ.

Λύση

Είναι x0= -1, y0=5 οπότε:1 1

5 5

x x

y y

. Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε:

2 24( 1) 9( 5) 8( 1) 90( 5) 193 0

2 24( 2 1) 9( 10 25) 8 8 90 450 193 0

24 8 24 9 90 225 8 8 90 450 193 0

2 22 24 9 36 1

9 4

, που είναι η εξίσωση μιας έλλειψης.

4. Να βρείτε τη γραμμή που παριστά η εξίσωση 2 24 9 16 20 0x y x (1), καθώς

και τα στοιχεία της. (Βασική άσκηση)

Λύση

Η (1) γράφεται: 2 2 2 2 2 24 9 16 20 0 (2 ) 2 2 4 4 4 9 20 0x y x x x y

2 2 2 2 2 2(2 4) 9 36 [2( 2)] 9 36 4( 2) 9 36x y x y x y

2 2( 2)1

9 4

x y (2).

Θέτουμε 2x και y , δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο

Ο΄(2, 0), οπότε η (2) στο νέο σύστημα αξόνων Ο΄ΧΥ παίρνει τη μορφή

2 2

19 4

.

Άρα, η εξίσωση (1) παριστά υπερβολή C με κέντρο το σημείο Ο΄(2, 0), εστίες στον άξονα

Χ΄Χ (δηλαδή στον άξονα x΄x) και με α=3, β=2, οπότε 2 2 2 2 9 4

2 13 13 .



5. Δίνεται η εξίσωση 2 4 6 5 0y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά παραβολή.

β. Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Μ(3, -7). (Βασική άσκηση)

Λύση

Η (1) γράφεται:

2 2 2 2 24 6 5 0 2 3 3 3 4 5 0 ( 3) 4 4y x y y y x y x

2( 3) 4( 1)y x (2)

Θέτουμε 1x και 3y , δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο

Ο΄(-1, -3), οπότε η (2) γίνεται 2 4 (3).

Στο σύστημα Ο΄ΧΥ έχουμε:

Εστίες: ( 13,0)

( 13,0)

΄

Κορυφές:( 3,0)

(3,0)

΄

Ασύμπτωτες:

2

3

2

3

Στο σύστημα Οxy έχουμε:

Εστίες: (2 13,0)

(2 13,0)

΄

Κορυφές: ( 1,0)

(5,0)

΄

Ασύμπτωτες:

2( 2)

3

2( 2)

3

y x

y x

O O΄

C

E΄ E

Α΄ Α

2( 2)

3y x

2( 2)

3y x

X x

Χ΄ x΄

y΄

y Y

Y΄



Οι συντεταγμένες του σημείου Μ(3, -7) ως προς το νέο σύστημα είναι:

1 1

1 1

3 ( 1) 4

7 ( 3) 4

Η εφαπτομένη της (3) στο σημείο της με συντεταγμένες (4, -4) έχει εξίσωση:

1

34 2( 4) 2 4 2( 3) 1 4 2 6 5

x

yy x y x

2 11 0x y

Άρα η εφαπτομένη της παραβολής (2) στο σημείο της Μ(3, -7) έχει εξίσωση

: 2 11 0x y .

6. Θεωρούμε την έλλειψη μ’ εξίσωση

2 2

1 : 15 4

x yC και την υπερβολή μ’ εξίσωση

2 2

2 : 125 16

x yC . Να δείξετε ότι η ευθεία : 3y x είναι κοινή εφαπτομένη των

C1, C2.

Λύση

Λύνουμε αρχικά το σύστημα της ευθείας ε και της έλλειψης C1.

2 22 2 2 2

33 3

4 5( 3) 20 4 5( 6 9) 20 015 4

y xy x y x

x yx x x x x

2 2 2 2

3 3 3

4 5 30 45 20 0 9 30 25 0 (3 5) 0

y x y x y x

x x x x x x

5 53

3 5 43 3,

3 5 0 5 4 3 3

3 3

y xy x

xx y

Το σύστημα ευθείας κι έλλειψης έχει διπλή ρίζα, άρα η ευθεία εφάπτεται της έλλειψης στο

σημείο 5 4

,3 3

.

Λύνουμε στη συνέχεια το σύστημα της ευθείας ε και της υπερβολής C2.



2 22 2 2 2

33 3

16 25( 3) 400 16 25( 6 9) 400 0125 16

y xy x y x

x yx x x x x

2 2 2

3 3

16 25 150 225 400 0 9 150 625 0

y x y x

x x x x x

2 2

253

3 3 3 3

9 150 625 0 (3 25) 0 3 25 0 25

3

yy x y x y x

x x x xx

25

25 163,

16 3 3

3

x

y

Το σύστημα ευθείας κι υπερβολής έχει διπλή ρίζα, άρα η ευθεία εφάπτεται στην υπερβολή

στο σημείο 25 16

,3 3

.

Συνεπώς η ευθεία ε είναι κοινή εφαπτομένη της έλλειψης C1 και της υπερβολής C2.

7. Δίνεται η εξίσωση 2 24 2 16 12 0x y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά έλλειψη.

β. Να βρείτε τις τιμές του , ώστε η ευθεία : y x να εφάπτεται στην

έλλειψη που παριστά η εξίσωση (1). (Βασική άσκηση)

Λύση

α. Η (1) γράφεται:

2 2 2 24 2 16 12 0 2 1 1 4( 4 4 4) 12 0x y x y x x y y

2 2 2 2( 1) 4( 2) 16 12 0 ( 1) 4( 2) 4x y x y

22( 1)

( 2) 14

xy

(2)



Θέτουμε 1x και 2y , δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο

Ο΄(1, 2), οπότε η (2) γράφεται

22 1

4

, που παριστά έλλειψη.

β. Αρκεί το σύστημα ευθείας κι έλλειψης να έχει διπλή ρίζα.

2 2 2 24 2 16 12 0 4( ) 2 16( ) 12 0

y x y x

x y x y x x x x

2 2 24( 2 ) 2 16 16 12 0

y x

x x x x x

2 2 24 8 4 18 16 12 0

y x

x x x x

2 25 2(4 9) 4 16 12 0

y x

x x

Η εξίσωση (3) είναι τριώνυμο ως προς x κι έχει διπλή ρίζα αν και μόνο αν

2 20 [2(4 9)] 4 5 (4 16 12) 0

2 24(16 72 81) 80 320 240 0

2 2 2 216 72 81 20 80 60 0 4 8 21 0 4 8 21 0

Η τελευταία εξίσωση είναι τριώνυμο ως προς λ, με

2( 8) 4 4 ( 21) 64 336 400 , οπότε

1

1,2

2

28 7

8 400 8 20 8 2

12 32 4 8

8 2

.


2 2

: 125 16

x yC . Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής, η οποία

έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη κι εφάπτεται στην ευθεία : 1 0x y .

Λύση

Είναι 2 225, 16 οπότε

2 2 2 2 225 16 9 3 , άρα η

έλλειψη έχει εστίες ( 3,0), (3,0)΄ .

(3)



Κάθε υπερβολή μ’ εστίες στον άξονα x΄x έχει εξίσωση

2 2

2 2' : 1

x yC

(1) κι επειδή έχει

τις ίδιες εστίες με την έλλειψη είναι 2 2 2 2 23 9 9 9 , οπότε

η (1) γίνεται

2 22 2 2 2 2 2

2 21 (9 ) (9 )

9

x yx y

(2).

Είναι : 1 0 1x y y x , οπότε αντικαθιστώντας στη (2) έχουμε:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4(9 ) ( 1) (9 ) (9 ) ( 2 1) 9x x x x x

2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2(9 ) 2 9 0 (9 2 ) 2 10 0x x x x x

Για να εφάπτεται η ευθεία στην υπερβολή πρέπει η τελευταία εξίσωση να είναι 2ου

βαθμού ως

προς x, δηλαδή πρέπει:

22

2 2 2 4 2

99 2 0

20

( 2 ) 4 (9 2 ) ( 10 ) 0

4 4 2 6 4 4 6 4 2

3 3 2

2 2

4 4(9 90 2 20 ) 0 ( 2 29 90 ) 0

4 6 4 2 6 4 2

3 2 3 2

2 2

2 29 90 0 2 28 90 0

0

6 4 2 4 2 2 2

3 2 3 2 3 2

2 2 2

14 45 0 14 45 0 ( 9)( 5) 0

2 2 2

3 23 2 3 2

22 2

9 5 5 5ή

, οπότε 2 2 29 9 5

2 4 2 .

Συνεπώς η εξίσωση της ζητούμενης υπερβολής είναι

2 2

' : 15 4

x yC .




κεφαλαίου

1. Ν’ απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις.

Η εξίσωση 2 2 , 0x y παριστά κύκλο.

Η παραβολή 2: 2 , 0C x py p έχει την εστία της πάνω στον ημιάξονα Οx΄.

Όταν η εκκεντρότητα μιας έλλειψης τείνει στο 0, τότε η έλλειψη τείνει να γίνει

κύκλος.

Η υπερβολή μ’ εξίσωση

2 2

2 2: 1

x yC

τέμνει τον άξονα y΄y σε δύο σημεία.

Όταν μια ευθεία κι ένας κύκλος έχουν μοναδικό κοινό σημείο, τότε η ευθεία

εφάπτεται στον κύκλο.

Όταν μια ευθεία και μια παραβολή έχουν μοναδικό κοινό σημείο, τότε η ευθεία

εφάπτεται στην παραβολή.

Οι κατακόρυφες εφαπτομένες της έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

είναι οι x και

x .

Υπάρχουν υπερβολές που οι ασύμπτωτές τους είναι κάθετες μεταξύ τους.

Ένα σημείο Μ(x1, y1) είναι εξωτερικό ενός κύκλου κέντρου Κ(x0, y0) και ακτίνας ρ,

αν και μόνο αν ισχύει2 2 2

1 0 1 0( ) ( )x x y y .

Η διευθετούσα της παραβολής 2:C y x είναι η ευθεία

1

4x .

Οι ελλείψεις

2 2

1 2 2: 1

x yC

και

2 2

2 2 2: 1

x yC

, με α>β>0, έχουν την ίδια

εκκεντρότητα

, με 2 2 2 .

Αν Ε΄(-3, 0) κι Ε(3, 0), τότε το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία

ισχύει ( ) ( ) 8΄ είναι υπερβολή μ’ εστίες τα σημεία Ε, Ε΄.

Ο κύκλος 2 2 2: ( ) ( ) , 0C x y , εφάπτεται στους άξονες x΄x και y΄y.

Η παραβολή 2: 2C y px έχει εστία το σημείο 0,

2

p

.

Αν Μ1Μ2 είναι η χορδή μια έλλειψης

2 2

2 2: 1, 0

x yC

, τότε ισχύει

1 22 ( ) 2 .

Για την εκκεντρότητα ε της υπερβολής ισχύει ότι 0 1 .



2. Ο κύκλος 2 2 2C : (x ) y :

α. εφάπτεται στον άξονα x΄x

β. διέρχεται απ’ το σημείο Α(0, α)

γ. εφάπτεται στον άξονα y΄y

3. Η ευθεία : 1y x κι ο κύκλος2 2: 1C x y :

α. τέμνονται

β. εφάπτονται

γ. δεν έχουν κοινά σημεία

4. Έστω ο κύκλος με παραμετρικές εξισώσεις 2 , 2x y όπου

[0, 2 ) . Το σημείο (1, 3) είναι:

α. εσωτερικό του κύκλου

β. εξωτερικό του κύκλου

γ. σημείο του κύκλου

5.

6. Η παραβολή 2: 2C y px διέρχεται απ’ το σημείο Μ(1, -2). Η παραβολή αυτή:

α. διέρχεται απ’ το σημείο 1

, 22

Α

Ε

Β

Ο

δ

2 2y px

x x΄

y

y΄

Στο διπλανό σχήμα δ είναι η

διευθετούσα κι Ε η εστία της

παραβολής 2: 2 , 0C y px p . Το

μήκος της χορδής ΑΒ είναι ίσο με:

α. ΑΒ=2

p

β. ΑΒ=p

γ. ΑΒ=2p

δ. ΑΒ=4p



β. έχει εστία το σημείο (4, 0)

γ. έχει διευθετούσα x= -2

7.

8.

Β. Στο ίδιο σχήμα αν το τρίγωνο ΄ είναι ισόπλευρο, τότε η εκκεντρότητα της

έλλειψης είναι ίση με:

α.1

2 , β. 2 , γ. 1 , δ.

3

2

9. Αν οι ελλείψεις

2 2

1 2 2: 1

6 4

x yC και

2 2

2 2 2: 1, 2

2

x yC

είναι όμοιες, τότε:

α. 6 , β. 12 , γ. 3 , δ. 2 .

10. Η εξίσωση

2 2

2: 1

4 1

x yC

παριστά έλλειψη όταν:

α. 1 2 , β. 2 2 , γ. 1 , δ.1 2

Ο

Α(x0, y0)

Β

2: 2C y px

x x΄

y

y΄

Στο διπλανό σχήμα είναι και

. Οι συντεταγμένες του

σημείου Β είναι:

α. (p, -y0)

β. (x0, -2y0)

γ. (2p, -y0)

δ. (-p, 2x0)

A Α΄

Β

Β΄

Ε΄ Ε Ο x x΄

y

y΄

Α. Στο διπλανό σχήμα τα

σημεία Ε κι Ε΄ είναι οι εστίες

της έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

.

Το μήκος του τμήματος ΒΕ

είναι:

α. μεγαλύτερο του α

β. μικρότερο του α

γ. ίσο με α



11. Οι υπερβολές

2 2

1 2 2: 1

4 3

x yC και

2 2

2 2 2: 1

3 4

y xC έχουν:

α. ίδιες ασύμπτωτες και ίδια εκκεντρότητα

β. διαφορετικές ασύμπτωτες και ίδια εκκεντρότητα

γ. ίδιες ασύμπτωτες και διαφορετική εκκεντρότητα

δ. διαφορετικές ασύμπτωτες και διαφορετική εκκεντρότητα

12. Η εφαπτομένη ε της υπερβολής

22: 1

2

yC x στο σημείο της ( 3,2) έχει

εξίσωση:

α. : 3 1 0x y , β. : 3 1 0x y , γ. : 3 1 0x y ,

δ. : 3 1 0x y

13. Αν Ε΄, Ε είναι οι εστίες της υπερβολής

2 2

: 136 9

x yC και σημείο Μ αυτής τέτοιο

ώστε (ΜΕ)=3, τότε είναι:

α. (ΜΕ΄)=15, β. (ΜΕ΄)=6, γ. (ΜΕ΄)=12, δ. (ΜΕ΄)=10

14. Να συνδέσετε με μια γραμμή τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τ’ αντίστοιχά τους

στη δεύτερη στήλη.

15. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(α, β) του επιπέδου, για τα οποία η εξίσωση

2 0x x έχει μια διπλή ρίζα, είναι:

α. μια ευθεία, β. μια έλλειψη, γ. μια παραβολή, δ. μια ισοσκελής υπερβολή

Εκκεντρότητα

2

2

0

4

5

5

4

2

Κωνική

Κύκλος

Ισοσκελής υπερβολή

Υπερβολή

Έλλειψη



16. Να συνδέσετε με μια γραμμή τα δεδομένα της πρώτης στήλης με τ’ αντίστοιχά τους

στη δεύτερη στήλη.

17. Θεωρούμε τα σημεία Κ(-1, -2), Λ(3, -2) κι ένα σημείο Μ της γραμμής μ’ εξίσωση

2 2: 5 2 20 16 0C x y x y . Το άθροισμα (ΜΚ)+(ΜΛ) είναι:

α. μεγαλύτερο του 5, β. μικρότερο του 5, γ. ίσο με 5

18. Η εξίσωση 2 24 9 4y x παριστά:

α. μια παραβολή, β. μια έλλειψη, γ. μια υπερβολή, δ. δύο απ’ αυτές τις γραμμές

19. Ζεύγη παράλληλων εφαπτομένων υπάρχουν:

Α. σ’ έναν κύκλο

α. κανένα, β. ένα, γ. δύο, δ. άπειρα

Β. σε μια παραβολή


Γ. σε μια έλλειψη


Δ. σε μια υπερβολή


Εξίσωση

2 29 0x y

2 2 4 2 6 0x y x y

2 2 2 1 0y x y

2 24 8 2 4 0x y x y

2 2 2 4 4 0x y x y

Κωνική

Έλλειψη

Υπερβολή

Παραβολή

Ζεύγος ευθειών

Κύκλος



ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ενότητα I

1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C όταν:

α. έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία Α(4, -3) και Β(-4, 3)

β. έχει κέντρο το σημείο Κ(1, -2) και διέρχεται απ’ το σημείο Α(3, 1)

γ. διέρχεται απ’ τα σημεία Α(4, -3), Β(-2, 1) και το κέντρο του είναι σημείο της

ευθείας : 4 3 6 0x y

δ. διέρχεται απ’ τα σημεία Α(-3, 4), Β(4, 5) και Γ(1, -4)

ε. έχει κέντρο το σημείο Κ(3, -1) κι εφάπτεται στην ευθεία : 3 4 2 0x y

στ. έχει κέντρο το σημείο Κ(2, -1) κι αποκόπτει απ’ την ευθεία : 4 3 1 0x y

χορδή μήκους 8

ζ. έχει το κέντρο του στο 1ο τεταρτημόριο κι εφάπτεται στην ευθεία

: 4 3 12 0x y και στους άξονες x΄x, y΄y

η. έχει ακτίνα ρ=5 κι αποκόπτει απ’ τον άξονα x΄x χορδή μήκους 8 ενώ απ’ τον

άξονα y΄y χορδή μήκους 6

θ. όταν διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων κι εφάπτεται της ευθείας

: 3 4 12 0x y στο σημείο Α(0, 3)

ι. είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που σχηματίζει η ευθεία : 3 4 60 0x y με

τους άξονες x΄x και y΄y.

2. Να εξετάσετε ποιες απ’ τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο. Γι’ αυτές

να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

α. 2 2 4 6 3 0x y x y , β.

2 2 3 4 0x y x , γ.

2 2 2 7 0x y x y , δ. 2 2 6 8 25 0x y x y ,

ε. 2 23 3 6 9 1 0x y x y , στ.

2 2(2 3) (2 1) 4x y ,

ζ. 2 2 2 24 10 4 16 0x y x y ,

η. 2 2 (3 1) ( 3) 3 1 0x y x y



3. Να βρεθεί η σχετική θέση των δύο κύκλων και στη συνέχεια (αν υπάρχουν) οι

συντεταγμένες των κοινών τους σημείων.

α. 2 2 2 2

1 2: 9, : ( 3) ( 4) 4C x y C x y

β. 2 2 2 2

1 2: 4 2 1 0, : 2 0C x y x y C x y x

γ. 2 2 2 2

1 2: 1, C : 6 8 9 0C x y x y x y

δ. 2 2 2 2

1 2: ( 3) ( 2) 9, : ( 4) ( 3) 1C x y C x y

ε. 2 2 2 2

1 2: 2 20 0, : ( 4) ( 5) 10C x y x C x y

4. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 4 8 0C x y x y . Αν το σημείο Μ(-1, 0) ανήκει

στον κύκλο C, να βρείτε:

α. το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C

β. την εξίσωση του κύκλου C΄, ο οποίος εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου C στο

σημείο Μ κι έχει διπλάσια ακτίνα απ’ τον κύκλο C.

5. Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 2 1 0, [0,2 )x y x y .

α. Να δείξετε ότι για κάθε [0, 2 ) η εξίσωση παριστά κύκλο, του οποίου να

προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα.

β. Αν 2

, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στα στο σημείο

Μ(1, 2).

γ. Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων

βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ=1. (Εξετάσεις 2002)

6. Ένα σημείο Μ διαγράφει τον κύκλο 2 2: ( 6) ( 8) 25C x y . Να βρείτε τη

μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της αρχής των αξόνων Ο απ’ το Μ. Ποιες

είναι τότε οι συντεταγμένες του Μ;

7. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2: ( 1) ( 3) 4C x y

οι οποίες διέρχονται απ’ το σημείο Ρ(0, 1).

8. Δίνεται ο κύκλος 2 2: ( 2) 3C x y και η ευθεία : y x . Να βρείτε τη

σχετική θέση της ευθείας ως προς τον κύκλο για τις διάφορες τιμές του .



9. Να δείξετε ότι η ευθεία : 3 3x y εφάπτεται

του κύκλου 2 2: ( 1) ( 3) 9C x y .

10. Δίνεται ο κύκλος 2 2: ( 2) ( 3) 25C x y και το σημείο Ρ(1, 4).

α. Να δείξετε ότι το σημείο Ρ είναι εξωτερικό του κύκλου.

β. Απ’ το σημείο Ρ φέρνουμε δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο κι έστω Α, Β τα

σημεία επαφής. Να βρείτε:

i. τις εξισώσεις των εφαπτομένων ΡΑ και ΡΒ

ii. τα μήκη των τμημάτων ΡΑ και ΡΒ

iii. τη γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ

iv. την απόσταση του σημείου Ρ απ’ τη χορδή ΑΒ.

11. Δίνονται οι κύκλοι 2 2

1 : 4 2 3 0C x y x y και

2 2

2 : 10 4 21 0C x y x y .

α. Να βρείτε τα κέντρα Κ1, Κ2 και τις ακτίνες ρ1, ρ2 των κύκλων C1 και C2


β. Να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται και να βρείτε τις συντεταγμένες των

κοινών τους σημείων Α και Β.

γ. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του ενός κύκλου σ’ ένα απ’ τα κοινά τους σημεία

διέρχεται απ’ το κέντρο του άλλου κύκλου.

δ. Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των δύο κύκλων σ’ ένα κοινό τους σημείο είναι

κάθετες.

ε. Να δείξετε ότι ισχύει 2 2 2

1 2 1 2( ) .

στ. Να δείξετε ότι η γωνία των εφαπτομένων δύο τεμνόμενων κύκλων (Κ1, ρ1),

(Κ2, ρ2) σ’ ένα κοινό τους σημείο είναι ορθή αν και μόνο αν ισχύει

2 2 2

1 2 1 2( ) .



12. Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας : y x ώστε τα εφαπτόμενα τμήματα που

άγονται απ’ το Μ προς τους κύκλους 2 2

1 : ( 1) ( 1) 4C x y και

2 2

2 : ( 4) 1C x y να είναι ίσα.

13. Δίνεται ο κύκλος 2 2: ( 1) ( 3) 10C x y .Να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης του κύκλου σε κάθε μία απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : 2 1 0x y

β. η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 2 2 5 0x y

γ. η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45 .

14. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 2 2: 4C x y η οποία

σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το σημείο Ο(0, 0).


1 : ( 1) ( 3) 25C x y και 2 2

2 : ( 3) 25C x y .

α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C1 στο σημείο του Α(4, -1).

β. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C1 στο σημείο του Α(4, -1) εφάπτεται και

στον κύκλο C2.

16. Δίνονται οι κύκλοι 2 2 2

1 : ( 3 ) ( 1)C x y και

2 2 2

2 : ( 4) ( )C x y , όπου . Αν η ευθεία :8 6 5 0x y

είναι κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων, να βρείτε το λ και την ακτίνα ρ.

17. Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των κύκλων 2 2

1 : 9C x y και

2 2

2 : ( 1) ( 2) 4C x y .

18. Θεωρούμε τον κύκλο 2 2: 16C x y και το σημείο Μ(λ-3, λ+3), .

α. Να δείξετε ότι το σημείο Μ είναι εξωτερικό του κύκλου C για κάθε .

β. Απ’ το σημείο Μ φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο C κι ονομάζουμε Α και Β

τα σημεία επαφής.

i. Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο (ανεξάρτητο του λ).

ii. Να βρείτε τους αριθμούς , για τους οποίους η ευθεία ΑΒ διέρχεται απ’ το

σημείο Ρ(3, -1).



19. Δίνεται η εξίσωση2 2 ( 2) 2 2 0x y x y (1).

α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η (1) παριστά εξίσωση κύκλου.

β. Για τις παραπάνω τιμές του λ, να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από σταθερό

σημείο.

γ. Να βρείτε τις τιμές του ώστε ο κύκλος που περιγράφεται απ’ την (1) να

εφάπτεται στην ευθεία : 4 3 1 0x y .

20. Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται

από έναν αριθμό n=1, 2, 3, …, 1999 και κινείται πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο

Οxy διαγράφοντας μια τροχιά μ’ εξίσωση 2 2( 1) 2n( 1)x y x y .


α. η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του

κέντρου του

β. κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από σταθερό σημείο Α

(που είναι η φωλιά τους), του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες

γ. οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας : 1 0x y στο

σημείο Α. (Εξετάσεις 1999)

21. Δίνεται η εξίσωση 2 2 ( 1) 3 0x y x y (1). Να δείξετε ότι:

α. η (1) παριστά κύκλο Cλ για κάθε

β. όλοι οι κύκλοι Cλ έχουν μια κοινή χορδή της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

γ. Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων Cλ ανήκουν σε σταθερή ευθεία.

22. Δίνεται η ευθεία : 5 3 2 0x y και ο κύκλος 2 2: 2 0C x y x .

α. Να δείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος τέμνονται και να βρεθούν οι συντεταγμένες

των κοινών τους σημείων Μ και Ν.

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 2 2 (5 3 2) 0x y x x y (1) παριστά κύκλο

Cλ που διέρχεται απ’ τα σημεία Μ και Ν, για κάθε . Για ποια τιμή του λ ο

κύκλος διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων;

γ. Να δείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων ανήκουν σ’ ευθεία ε΄, της οποίας να βρείτε

την εξίσωση.



23. Δίνεται η εξίσωση 2 2 (2 1) ( 1) 1 0x y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά κύκλο Cλ, για κάθε , του οποίου να βρείτε το

κέντρο Κ και την ακτίνα ρ.

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων Cλ, για κάθε .

γ. Απ’ τους κύκλους Cλ να βρεθεί αυτός με τη μικρότερη δυνατή ακτίνα. Ποια είναι η

ακτίνα αυτή;

24. Έστω C ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται απ’ το

σημείο Α(3α, 0) και Μ ένα σημείο του. Να δείξετε ότι όταν το Μ διαγράφει τον

κύκλο C, τότε το κέντρο βάρους G του τριγώνου διαγράφει τον κύκλο

2 2 2' : ( )C x y .

25. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, απ’ τα οποία

άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς τον κύκλο 2 2: 2 4 1 0C x y x y .

26. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου

2 2: ( 1) ( 6) 20C x y που άγονται απ’ το σημείο Ρ(1, 2).

27. Α. Δίνονται τα σημεία Α(1, 2) και Β(2, -1).Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:

α.2 2( ) ( ) 6 , β.

090

Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων

2 2

2 2

5 6 5 7 1, ,

1 1

.

28. Έστω το τρίγωνο με κορυφές Α(3, 5), Β(2, -4) και Γ(-5, -1). Να δείξετε ότι ο

γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει

2 2 2 107 , είναι κύκλος με κέντρο το βαρύκεντρο του

τριγώνου .

29. Δίνονται οι ευθείες 1 : x y κι 2 : x y ,

[0, 2 ) . Να δείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών ε1 κι ε2 διαγράφει τον

κύκλο 2 2 2 2:C x y , για κάθε τιμή του [0, 2 ) .




1 : 1C x y , 2 2

2 : ( 2) 4C x y και η ευθεία

: y x , όπου , .

α. Να βρείτε τις αποστάσεις των κέντρων των κύκλων C1 και C2 απ’ την ευθεία ε.

β. Να βρείτε τις τιμές των λ και β, για τις οποίες η ευθεία εφάπτεται καις τους δύο

κύκλους.

γ. Να δείξετε ότι οι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C1 και C2 τέμνονται πάνω στον

άξονα x΄x και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 60ο.

31. Δίνεται η εξίσωση 2 2 6 8 0x y x y (1), όπου λ, μ πραγματικοί αριθμοί

διάφοροι του 0.

α. Να δείξετε ότι για κάθε τιμή των λ και μ η (1) παριστά κύκλο που διέρχεται απ’

την αρχή των αξόνων.

β. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ισχύει η σχέση 3μ+2λ=0 (2).

i. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται απ’ την (1) για τις διάφορες τιμές

των λ και μ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία ε που διέρχεται απ’ την αρχή των

αξόνων.

ii. Να βρείτε τις τιμές των λ και μ έτσι ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του

αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία : 2 0x y , να ισχύει 0 .

iii. Για τις τιμές των λ και μ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να

υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου . (Εξετάσεις 2001)

32. Δίνεται η εξίσωση ( 1)( 3) ( 3)( 5) 0x x y y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και

την ακτίνα.

β. Σε τοπογραφικό σχεδιάγραμμα με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, τα

σημεία Α(1, 3), Β(3, 3), Γ(3, 5) και Δ(1, 5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήμων.

Να δείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόμος που να διέρχεται

απ’ τους τέσσερις δήμους.

γ. Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος (β), οι

συντεταγμένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t>0 είναι (t, t+2), να

βρείτε αν η γραμμή στην οποία κινείται τ’ αυτοκίνητο συναντά τον κυκλικό δρόμο κι

αν ναι, σε ποια σημεία; (Επαναληπτικές 2000)



Ενότητα II

33. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων κι

άξονα συμμετρίας τον άξονα x΄x, σε καθεμιά απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. όταν έχει εστία το σημείο Ε(-2, 0)

β. όταν έχει διευθετούσα την ευθεία 1

4x

γ. όταν διέρχεται απ’ το σημείο (1, 3) .

34. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων κι

άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y, σε κάθε μία απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. όταν έχει εστία Ε(0, 6)

β. όταν έχει διευθετούσα την ευθεία 4y

γ. όταν διέρχεται απ’ το σημείο Α(-2, 1).

35. Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής σε κάθε μία απ’ τις

παρακάτω περιπτώσεις:

α. 2 8y x , β.

22x y , γ. 2 5y x , δ.

2 1

4x y , ε.

21, 0

2y x

,

στ.2 2( 1)y x , ζ.

2 3y x , η.2 1

4 15x y

36. Δίνεται η παραβολή 2: 8C y x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

παραβολής, η οποία:

α. είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : 5y x

β. είναι κάθετη στην ευθεία 2

1: 3

2y x

γ. διέρχεται απ’ το σημείο Α(-1, 0)

δ. απέχει απ’ την εστία Ε απόσταση ίση με 4



ε. σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 2 τετ. μονάδες.

37. Δίνεται η παραβολή 2: 4C x y . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

παραβολής:

α. στο σημείο της Α(-2, 1)

β. η οποία είναι παράλληλη στη ευθεία 1

1: 3

2y x

γ. η οποία είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 5y x

δ. η οποία σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 135ο

ε. η οποία διέρχεται απ’ το σημείο Ρ(-4, 1).

38. Δίνεται η παραβολή 2

1 : 4C y x και ο κύκλος 2 2

2 : ( 3) 8C x y .

α. Να βρείτε τα κοινά σημεία A και B των C1 και C2.

β. Να δείξετε ότι οι C1 και C2 έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά τους σημεία

(ο κύκλος και η παραβολή εφάπτονται).

39. Α. Δίνεται η παραβολή 2: 2C y x και η ευθεία : 8 0x y . Να

μελετήσετε τη σχετική τους θέση για τις διάφορες τιμές του .

Β. Να δείξετε ότι η ευθεία : , 0y x , εφάπτεται στην παραβολή

2: 2C y px αν και μόνο αν p=2λβ.

40. Έστω η παραβολή 2: 12C y x . Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο

της (1,2 3) τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Β, να δείξετε ότι το τρίγωνο

είναι ισόπλευρο.

41. Η εφαπτομένη ε μιας παραβολής 2: 2C y px , σ’ ένα σημείο της Α

διαφορετικό της κορυφής Ο, τέμνει τον άξονα y΄y σ’ ένα σημείο Β και τον άξονα

x΄x σ’ ένα σημείο Γ. Να δείξετε ότι το Β είναι το μέσο του ευθυγράμμου

τμήματος ΑΓ.

42. Η εφαπτομένη ε μιας παραβολής 2: 2C y px , σ’ ένα σημείο της Μ

διαφορετικό της κορυφής Ο, τέμνει τον άξονα x΄x στο Α. Η κάθετη ε΄ της ε στο



σημείο Μ τέμνει τον άξονα x΄x στο Β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β είναι

συμμετρικά ως προς την εστία Ε της παραβολής.

43. Δίνεται η παραβολή 2: 2C y px . Αν η εφαπτομένη της C στο σημείο της Α

τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β και τον άξονα y΄y στο σημείο Κ, να δείξετε

ότι:

α. 90

, β. , γ.2( ) ( ) ( ) .

44. Έστω η παραβολή 2: 2C y px κι ένα σημείο της Α(x1, y1). Φέρνουμε την

εφαπτομένη της παραβολής στο Α, που τέμνει τον άξονα x΄x στο Β και την

παράλληλη απ’ το Α στον άξονα x΄x , που τέμνει τη διευθετούσα στο Γ. Να

δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΒ είναι ρόμβος.

45. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει εστία Ε(2, 3) και διευθετούσα

την ευθεία : 1 0x y .

46. Έστω η παραβολή 2: 2 , 0C y px p . Να δείξετε ότι για κάθε σημείο Μ(x, y)

της C, διαφορετικό απ’ την κορυφή της, ισχύει 1 1 2

2x p y .

47. Δίνονται οι παραβολές 2

1 : 2C y px και 2

2 : 2C x py .

α. Να δείξετε ότι οι C1 και C2 τέμνονται στα σημεία Ο(0, 0) και Α(2p, 2p).

β. Αν οι εφαπτόμενες των C1 και C2 στο Α τέμνουν τις C2 και C1 στα σημεία Β και Γ

αντίστοιχα, να δείξετε ότι η ΒΓ είναι κοινή εφαπτομένη των C1 και C2.

48. Θεωρούμε τα σημεία Α(-2, 1), Β(0, 3) κι ένα σημείο Μ της παραβολής

2: 4C y x . Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου δεν μπορεί να

είναι μικρότερο των 2 τετ. μονάδων.

49. Θεωρούμε την ευθεία : 2 4 0x y και την παραβολή 2: 16C y x .

α. Να δείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία.

β. Από ένα σημείο Μ της ευθείας ε φέρνουμε τις εφαπτόμενες στη C κι ονομάζουμε

Α και Β τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι, όταν το Μ διαγράφει την ευθεία ε, η

ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο.

50. Έστω ότι από ένα σημείο Μ άγονται δύο εφαπτόμενες μιας παραβολής

2: 2C y px . Ονομάζουμε Γ και Δ τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία



ΓΔ διέρχεται απ’ την εστία Ε της παραβολής αν και μόνο αν το Μ ανήκει στη

διευθετούσα δ της παραβολής.

51. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής 2: 4C y x , που έχει μέσο το

σημείο Μ(2, 1).

52. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της παραβολής 2

1 : 4C y x και του κύκλου

2 2

2

1:

2C x y .

53. Μια ευθεία ε που διέρχεται απ’ την εστία Ε της παραβολής 2: 2 , 0C y px p ,

τέμνει την παραβολή σε δύο διαφορετικά σημεία Α(x0, y0) και B(x1, y1). Η ευθεία

ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα δ της C στο σημείο Γ.

α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β ως συνάρτηση των y0 και p.

β. Να δείξετε ότι ΓΒ//x΄x.

γ. Να δείξετε ότι 1 1 2

( ) ( ) p

.

δ. Ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ εφάπτεται στη διευθετούσα δ της παραβολής C.

54. Από ένα σημείο Μ της ευθείας : 2 0x p φέρνουμε τις εφαπτόμενες προς

την παραβολή 2: 2C y px κι ονομάζουμε Α και Β τα σημεία επαφής. Να

δείξετε ότι η γωνία

είναι ορθή.

55. Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή 2: 2 , 0C x py p και

η μια κορυφή του είναι το σημείο Ο. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του.

56. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x0, y0) του επιπέδου, των οποίων

η απόσταση απ’ τον άξονα x΄x ισούται με το μήκος της εφαπτομένης ΜΑ που

άγεται απ’ το σημείο Μ προς τον κύκλο 2 2: ( 1) 1C x y .

57. Η εφαπτομένη ε της παραβολής 2: 16C y x , σ’ ένα σημείο της Μ, τέμνει τους

άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρείτε το γεωμετρικό

τόπο του μέσου Ν του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, όταν το Μ διατρέχει την

παραβολή C.

58. Θεωρούμε την παραβολή 2: 2 , 0C y px p και δύο εφαπτόμενες ε1 κι ε2

αυτής. Μια μεταβλητή εφαπτομένη ε της C τέμνει τις ε1 κι ε2 στα σημεία Μ1 και



Μ2 αντίστοιχα. Ονομάζουμε Ν1 και Ν2 τις προβολές των Μ1 και Μ2 αντίστοιχα

στον άξονα y΄y. Να δείξετε ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Ν1Ν2 είναι

σταθερό.

Ενότητα III

59. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε κάθε μία απ’ τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. έχει εστίες Ε΄(-2, 0), Ε(2, 0) και μεγάλο άξονα 2α=6

β. έχει εστίες Ε΄(0, -4), Ε(0, 4) και μικρό άξονα 2β=10

γ. έχει εστίες Ε΄(-6, 0), Ε(6, 0) και διέρχεται απ’ το σημείο ( 10, 3)

δ. διέρχεται απ’ τα σημεία Α(4, -3) και Β(-6, 2)

ε. έχει κορυφές Α΄(0, -10), Α(0, 10) κι εκκεντρότητα 3

5

στ. έχει τις εστίες της στον άξονα x΄x, διέρχεται απ’ το σημείο 135

1,4

κι έχει

εκκεντρότητα 7

4

ζ. έχει μεγάλο άξονα διπλάσιο του μικρού και διέρχεται απ’ το σημείο Α(-6, -2).

60. Να βρείτε τις κορυφές, τα μήκη των αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα

των παρακάτω ελλείψεων:

α.

22

1 : 14

xC y , β.

2 2

2 : 4 9 36C x y , γ.2 2

3 : 25 9 225C x y

61. A. Να δείξετε ότι οι ελλείψεις

2 2

1 2 2: 1

x yC

και

2 2

2 2 2 2 2: 1

x yC

έχουν τις ίδιες εστίες.

Β. Να δείξετε ότι οι ελλείψεις

2 2

1 2 2: 1

x yC

και

2 2 2 2

2 2 2: 1

x yC

είναι

όμοιες.



62. Δίνεται η καμπύλη

2 2

2: 1

5 7 4

x yC

, . Να βρεθούν οι τιμές

του λ, ώστε:

α. η καμπύλη C να παριστά έλλειψη

β. οι εστίες να βρίσκονται πάνω στον άξονα x΄x

γ. η μία εστία να είναι η ( 3,0) .

63. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης 2 2: 3 4C x y , όταν:

α. είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : 3 0x y

β. είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 5y x

γ. σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 60ο

δ. διέρχεται απ’ το σημείο Μ(2, -1).

64. Δίνεται η έλλειψη 2 2: 3 2C x y και η ευθεία : y x , . Να

βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η ευθεία να εφάπτεται της έλλειψης.

65. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των ελλείψεων

2 2

1 : 15 2

x yC και

22

2 : 16

yC x

66. Α. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που εφάπτεται της ευθείας

1 4:

3 3y x στο σημείο Μ(1, -1).

Β. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που εφάπτεται της ευθείας

1 10:

6 3y x και διέρχεται απ’ το σημείο Μ(-2, 3).

67. Έστω ε κι ε΄ οι εφαπτόμενες της έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

, 0<β<α στις

κορυφές της Α(α, 0) κι Α΄(-α, 0) αντίστοιχα και ζ η εφαπτομένη της C σ’ ένα

σημείο της Μ1(x1, y1), διαφορετικό των Α, Α΄. Αν η ζ τέμνει τις ε κι ε΄ στα

σημεία Γ και Γ΄ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:



α. 2( ) ( )΄ ΄

β. ο κύκλος διαμέτρου ΓΓ΄ διέρχεται απ’ τις εστίες της έλλειψης.


2 2

2 2: 1

x yC

, 0<β<α, σ’ ένα σημείο Ρ

διαφορετικό των κορυφών της, τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Γ και

Δ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

2 2

2 21

( ) ( )

.

69. Απ’ το σημείο Μ(-3, 4) φέρνουμε τις εφαπτόμενες της παραβολής 2

1 : 4C y x

κι έστω Κ, Λ τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία ΚΛ εφάπτεται στην

έλλειψη 2 2

2 : 2 3C x y .


2 2

2 2: 1

x yC

, 0<β<α, σ’ ένα σημείο Ρ

διαφορετικό των κορυφών της, τέμνει τον άξονα x΄x σ’ ένα σημείο Γ. Η κάθετη

ε΄ της ε στο Ρ τέμνει τον άξονα x΄x σ’ ένα σημείο Δ. Να δείξετε ότι:

α. όταν το Ρ διαγράφει την έλλειψη, εκτός των κορυφών της, το γινόμενο

( ) ( ) είναι σταθερό

β. η ευθεία ΟΡ και η κάθετη απ’ την εστία Ε(γ, 0) στην εφαπτομένη ε τέμνονται σε

σημείο Μ της ευθείας

2

: x

.

71. Έστω ε η εφαπτομένη της έλλειψης

2 2

: 116 12

x yC στο σημείο της Ρ(2, 3) κι ε΄

η κάθετη της ε στο Ρ. Ονομάζουμε Μ και Ν τις προβολές της εστίας Ε στις ε κι

ε΄ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία Ο, Μ και Ν είναι συνευθειακά.

72. Έστω η έλλειψη 2 2: 2 9C x y . Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της

έλλειψης που έχει μέσο το σημείο Μ(-1, 1).

73. Να δείξετε ότι τα μέσα των παραλλήλων χορδών μιας έλλειψης

2 2

2 2: 1

x yC

, ανήκουν σ’ ευθεία που διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων.


2 2

: 116 9

x yC .

α. Να βρείτε τις εστίες Ε, Ε΄ και τις κορυφές Α, Α΄, Β, Β΄ της έλλειψης.



β. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ε΄ΒΕΒ΄ είναι ρόμβος, του οποίου να υπολογίσετε

το εμβαδόν.


2 2

2 2: 1

x yC

, 0<β<α. Αν Ε(γ, 0), Ε΄(-γ, 0)οι εστίες της, ε

η εκκεντρότητά της και Μ(x0, y0) τυχαίο σημείο της, να δείξετε ότι:

α. 2 2

0( ) ( ) 4΄ x

β. 0 0( ) , ( )x ΄ x

γ.2 2 2( ) ( ) ( )΄ .

76. Να δείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών 1 : ( )y x κι

2 : ( )y x ανήκει στην έλλειψη

2 2

2 2: 1

x yC

, για κάθε τιμή του

.


2 2

2 2: 1

x yC

, 0<β<α, μ’ εστίες Ε΄(-γ, 0), Ε(γ, 0) κι

εκκεντρότητα ε. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(x0, y0) της C τέτοιο ώστε

90΄

, αν και μόνο αν 2

2 .

78. Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε τα σημεία Α(-1, 0) και Β(1, 0). Αν

για τυχαίο σημείο Μ(x0, y0) ισχύει 2

2 18 , να

δείξετε ότι:

α. το σημείο Μ κινείται σ’ έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση

β. 2 2

0 0

9 84

x y , για κάθε ζεύγος συντεταγμένων (x0, y0) σημείου της C.

79. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x0, y0) απ’ τα οποία άγονται

κάθετες εφαπτόμενες στην έλλειψη

22: 1

5

xC y .

80. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ όταν:

α. Μ(3συνθ, 4ημθ), β.

2

2 2

1 4, ,

1 1

.



Ενότητα IV

81. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε κάθε μία απ’ τις παρακάτω

περιπτώσεις:

α. όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-5, 0), Ε(5, 0) και κορυφές τα σημεία Α(3, 0) και

Α΄(-3, 0)

β. όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0, -3), Ε(0, 3) κι εκκεντρότητα 9

5

γ. όταν έχει εστίες ( 5,0), ( 5,0)΄ και διέρχεται απ’ το σημείο (2 2,1)

δ. όταν έχει ασύμπτωτες της ευθείες 1

2y x ,

1

2y x και διέρχεται απ’ το σημείο

( 3, 1)

ε. όταν έχει τις εστίες της στον άξονα x΄x, εκκεντρότητα 5 και διέρχεται απ’

το σημείο Ρ(3, 2)

στ. όταν διέρχεται απ’ τα σημεία Κ(6, -4), (3 2,2)

ζ. όταν έχει κοινές εστίες με την έλλειψη

2 2

' : 136 81

x yC κι εκκεντρότητα

4

3

η. όταν έχει τις εστίες της στον άξονα y΄y, διέρχεται απ’ το σημείο Μ(1, 4) κι έχει

εκκεντρότητα 2 .

82. Να βρείτε τη σταθερή απόλυτη διαφορά, τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις

ασύμπτωτες των παρακάτω υπερβολών:

α.

2 2

1 : 14 3

x yC , β.

2 2

2 :16 9 144C y x , γ.2 2

3 : 10C x y

83. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής 2 2: 25 4 100C x y :

α. στο σημείο της 12

, 115



β. όταν είναι παράλληλη στην ευθεία 1 : 3 2y x

γ. όταν είναι κάθετη στην ευθεία 2 : 25 1 0x y

δ. όταν διέρχεται απ’ το σημείο Ρ(2, 0)

84. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει πάνω στον άξονα x΄x κι

εφάπτεται της ευθείας : 2y x στο σημείο Μ(4, 2).

85. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη

2 2

' : 116 25

x yC κι εφάπτεται της ευθείας : 1 0x y .

86. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες της υπερβολής

2 2: 7 32 224C x y , οι οποίες άγονται απ’ το σημείο Μ(-3, 4).

87. Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες:

α. της παραβολής 2

1 : 8C y x και της υπερβολής 2 2

2 : 7 2 14C x y

β. του κύκλου 2 2

1 : 6 4 0C x y y και της υπερβολής

2 2

2 : 14 12

x yC .

88. A. Να βρείτε τις τιμές του , αν είναι γνωστό ότι η ευθεία : y x

εφάπτεται στην υπερβολή 2 2: 4 5C x y .

B. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του ώστε, η ευθεία : 2 0x y να

εφάπτεται της υπερβολής 2 2: 16C x y .

89. Έστω η υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

, ε η εφαπτομένη της σ’ ένα σημείο

Μ1(x1, y1) και ζ η κάθετη της ε στο Μ1. Αν η ε διέρχεται απ’ το σημείο Μ2(0, -β)

και η ζ διέρχεται απ’ το σημείο 3(2 2,0) , να δείξετε ότι η υπερβολή έχει

εκκεντρότητα 2 .

90. Δίνεται η εξίσωση

2 2

13 5

x y

(1).

α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η (1) παριστά υπερβολή.

β. Για τις παραπάνω τιμές του λ να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, τις ασύμπτωτες

και την εκκεντρότητα της υπερβολής.



91. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής

22: 1

8

yC x , η οποία έχει

μέσο το σημείο Μ(4, 3).

92. Αν Μ(x0, y0) είναι ένα σημείο μιας ισοσκελούς υπερβολής

2 2 2: , 0C x y , μ’ εστίες Ε΄ κι Ε, να δείξετε ότι

2( ) ( ) ( )΄ , όπου Ο η αρχή των αξόνων.

93. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών της υπερβολής

2 2

: 16 4

x yC .

94. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, για τα οποία ο λόγος

των αποστάσεων απ’ το σημείο Κ(0, 6) και την ευθεία8

:3

y είναι ίσος με3

2.

95. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο:

α. του σημείου 4 3

,3 , [0,2 ) ,2 2

β. του σημείου τομής των ευθειών 1 : ( )y x κι 2 : ( )y x ,

όπου 1,0,1 και α, β>0.

96. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου απ’ τα οποία άγονται

κάθετες εφαπτόμενες στην υπερβολή

2 2

2 2: 1, , 0

y xC

.

97. Αν Ε1 είναι η προβολή της εστίας Ε της υπερβολής

2 2

2 2: 1

x yC

πάνω στην

ασύμπτωτη y x

, να δείξετε ότι:

α. 1( ) , β. 1( ) .

98. Τυχαία ευθεία ε τέμνει την υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

στα σημεία Α, Β και τις

ασύμπτωτές της στα σημεία Γ, Δ. Να δείξετε ότι:

α. τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν το ίδιο μέσο

β. ΑΓ=ΒΔ, ΑΔ=ΒΓ.



99. Θεωρούμε μια υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

και τις ευθείες

2

: x

και

2

:΄ x

. Να δείξετε ότι:

α. οι ευθείες δ και δ΄ δεν έχουν κοινά σημεία με τη C

β. ένα σημείο Μ ανήκει στη C αν και μόνο αν το Μ δεν ανήκει στην ευθεία δ κι ο

λόγος των αποστάσεων αυτού απ’ την εστία Ε(γ, 0) και τη δ είναι ίσος με την

εκκεντρότητα ε της C

γ. ένα σημείο Μ ανήκει στη C αν και μόνο αν το Μ δεν ανήκει στην ευθεία δ΄ κι ο

λόγος των αποστάσεων αυτού απ’ την εστία Ε΄(-γ, 0) και τη δ΄ είναι ίσος με την

εκκεντρότητα ε της C. (Οι ευθείες δ και δ΄ ονομάζονται διευθετούσες της C.)

100. Δίνονται οι ευθείες 1 : 2x y κι 2 : 2x y ,* .

α. Να δείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών ανήκει σε ισοσκελή υπερβολή C.

β. Να βρείτε τις εστίες και τις ασύμπτωτες της C.

γ. Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο Μ της ευθείας : y x , για το οποίο να ισχύει

( ) ( ) 8΄ .

101. Έστω ε1, ε2 οι εκκεντρότητες των συζυγών υπερβολών

2 2

1 2 2: 1

x yC

και

2 2

2 2 2: 1

y xC

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

2 2

1 2

1 11

.

102. Θεωρούμε μια υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

και τα σημεία 2 20, ,

2 20, . Να δείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των

αποστάσεων των σημείων Γ και Δ από μια μεταβλητή εφαπτομένη της C είναι

σταθερό.

103. Να δείξετε ότι τα μέσα παραλλήλων χορδών μιας υπερβολής ανήκουν στην

ίδια ευθεία.



Ενότητα V

104. Θεωρούμε ένα καρτεσιανό επίπεδο Οxy. Μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων

στο σημείο Ο΄(2, -3).

α. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α(-2, 1), Β(0, 4) και 1

, 22

στο

νέο σύστημα αξόνων Ο΄ΧY.

β. Στο νέο σύστημα αξόνων Ο΄ΧY θεωρούμε τα σημεία Ε(-2, 3), Ζ(-1, -1) και

3, 3

4

. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Ε, Ζ και Η στο αρχικό

σύστημα αξόνων Οxy.

105. Να εξετάσετε τι παριστά στο επίπεδο καθεμιά απ’ τις εξισώσεις:

α.2 12 0x x , β.

29 6 1 0y y , γ.2 4 8 4 0y y x ,

δ.2 29 4 72 24 144 0x y x y , ε.

2 29 16 36 96 252 0x y x y .

106. Δίνεται η εξίσωση 2 4 6 10 0x x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά παραβολή της οποίας να βρείτε την εστία και τη

διευθετούσα.

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που περιγράφει η (1) στο

σημείο της Μ(4, 7).

107. Δίνεται η εξίσωση 2 29 2 36 28 0x y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά έλλειψη της οποίας να βρείτε τις εστίες και την

εκκεντρότητα.

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης που περιγράφει η (1), οι

οποίες άγονται απ’ το σημείο Ρ(4, 1).

108. Δίνεται η εξίσωση2 225 2 100 199 0x y x y (1).

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά υπερβολή της οποίας να βρείτε τις εστίες και την

εκκεντρότητα.



β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής που περιγράφει η (1), η

οποία είναι κάθετη στην ευθεία : 6 2 1 0x y .

109. Να βρείτε το είδος της γραμμής που παριστά η εξίσωση

2 2( 1) ( 1) 1 0x y x , .

110. Να μελετήσετε τη σχετική θέση της ευθείας : y x ως προς την

παραβολή 2: 4 2 2 0C y y x , για τις διάφορες τιμές του .

111. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική παραβολή C που έχει κορυφή την αρχή των

αξόνων, την εστία της στον άξονα x΄x και η ευθεία 1

: y x

εφάπτεται

στη C για κάθε .


2 2

2 2: 1

x yC

. Να δείξετε ότι, για κάθε , καθεμιά

απ’ τις ευθείες 2 2 2

1 : y x κι 2 2 2

2 : y x είναι

εφαπτομένη της C.

113. Να βρεθεί το είδος και τα στοιχεία της κωνικής τομής

2 2: 4 0C x y x y , η οποία διέρχεται απ’ το σημείο Μ(-1, 2) κι

εφάπτεται στον άξονα x΄x στο σημείο Ο(0, 0).

114. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της παραβολής 2: 8C y x και της

υπερβολής

22' : 1

3

yC x .

115. Μια υπερβολή

2 2

2 2: 1

x yC

, με α>0, β>0, έχει ασύμπτωτες τις ευθείες

1 : 3y x , 2 : 3y x κι εφάπτεται στην ευθεία : 5 8y x .

Να βρείτε τους αριθμούς α και β.

116. Να δείξετε ότι η ευθεία : y x εφάπτεται στην κωνική τομή

2 2: 1C x y , 0 , αν και μόνο αν 2 0 και

2 2( 1) .


2 2

: 125 16

x yC . Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που

έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη κι εφάπτεται στην ευθεία : 1 0x y .



Γενικές επαναληπτικές ασκήσεις

1. Αν 2 0 και 6, 2 3 , να δείξετε ότι:

α. τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά

β. το σημείο Γ βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία Α και Β

γ. η γωνία 90

δ. το διάνυσμα v είναι κάθετο στο . (Επαναληπτικές 2001)

2. Δίνεται το σημείο Α(2, 1) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy.

α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΟΑ.

β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ’ το σημείο Α και είναι κάθετη

στην ευθεία ΟΑ.

γ. Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Β, να βρείτε την εξίσωση του ύψους

του τριγώνου που άγεται απ’ την κορυφή Α.

δ. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου . (Επαναληπτικές 2000)

3. Δίνεται η εξίσωση 2 2( 1) 2 2 0x y (1), όπου και γ

πραγματική σταθερά.

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά ευθεία για κάθε .

β. Αν 1 , να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται απ’ την (1) διέρχονται απ’ το

ίδιο σημείο.

γ. Αν 1 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που απ’ το

καθένα διέρχεται μόνο μία ευθεία η οποία επαληθεύει την (1). (Επαναληπτικές 2002)

4. Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(2λ-1, 3λ+2), Β(1, 2) και Γ(2, 3), όπου με

2 .

α. Να δείξετε ότι το σημείο Α κινείται σ’ ευθεία όταν το λ μεταβάλλεται στο .

β. Αν λ=1, να βρείτε:



i. το εμβαδόν του τριγώνου

ii. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1, 5) κι εφάπτεται στην

ευθεία ΒΓ. (Εξετάσεις 2003)

5. Το σημείο Α(7, 5) είναι μια κορυφή τετραγώνου, του οποίου η μία διαγώνιος

βρίσκεται στην ευθεία : 3 6 0x y .

α. Να βρείτε την εξίσωση της άλλης διαγωνίου του τετραγώνου.

β. Να δείξετε ότι το κέντρο του τετραγώνου είναι το σημείο Κ(1, 3).

γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται απ’ τις κορυφές του παραπάνω

τετραγώνου. (Επαναληπτικές 2004)

6. Δίνονται οι ευθείες 1 : 3 4 6 0x y κι 2 : 3 4 16 0x y .

α. Να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε1 κι ε2.

β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 κι ε2.

γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε1 με

τον άξονα x΄x κι αποκόπτει απ’ την ευθεία ε2 χορδή μήκους d 4 3 . (Εξετάσεις 2004)

7. Στο επίπεδο Οxy θεωρούμε την εξίσωση

2 26 1 3 4 7 4 02 2

x y

(1), όπου [0, ] .

α. Να δειχθεί ότι η (1) παριστά οικογένεια ευθειών η οποία διέρχεται από σταθερό

σημείο Μ, το οποίο να προσδιοριστεί.

β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το Μ και σχηματίζουν με

τους άξονες τρίγωνο μ’ εμβαδόν 4.

γ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ’ το Μ και τα σημεία Α(2, 0)

και Β(4, -2) ισαπέχουν απ’ αυτές. Ποιες απ’ τις ευθείες αυτές ανήκουν στην οικογένεια

ευθειών που παριστά η (1); Για ποια τιμή του ω συμβαίνει αυτό;

8. Θεωρούμε την εξίσωση 2 2 2 2 ( 2) 4 ( 4) 0x y x y (1).

α. Να δειχθεί ότι η (1) παριστά δύο οικογένειες ευθειών για κάθε * .



β. Να δειχθεί ότι οι ευθείες κάθε οικογένειας διέρχονται από σταθερό σημείο Σ1 και Σ2

αντίστοιχα, το οποίο και να προσδιοριστεί.

γ. Αν Σ1 είναι το σημείο που έχει θετική τεταγμένη, (ελ) η οικογένεια των ευθειών που

διέρχονται απ’ αυτό και (ηλ) η άλλη οικογένεια ευθειών, τότε:

i. να προσδιοριστούν οι τιμές του * για τις οποίες υπάρχουν ευθείες των

οικογενειών (ελ) και (ηλ), οι οποίες τέμνονται σε σημεία Ρλ

ii. να δειχθεί ότι τα σημεία Ρλ, όταν υπάρχουν, είναι συνευθειακά

iii. να βρεθούν οι ευθείες της οικογένειας (ηλ), οι οποίες εφάπτονται του κύκλου

2 2: 4 4 3C x y και να υπολογιστεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν.

9. Έστω η εξίσωση 2 2 2 1 0x y y (1), .

α. Να δείξετε ότι η (1) παριστά κύκλο Cλ, για κάθε , του οποίου να βρείτε το

κέντρο Κ και την ακτίνα ρ.

β. i. Να δείξετε ότι οι κύκλοι Cλ, για κάθε , διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α

και Β, των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες.

ii. Αν Α(1, 0), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου Cλ στο σημείο Α.

γ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, μ’ εστίες τα σημεία Α, Β κι εκκεντρότητα

2

2 .

δ. Αν Μ είναι ένα κοινό σημείο των Cλ και C, να υπολογίσετε τις τιμές του έτσι,

ώστε: ( ) ( ) 2( ) .

10. Δίνεται η εξίσωση 2 2 4 22 2 4 0x y x y (1), .


α. η (1) παριστά κύκλο για κάθε , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα

β. οι κύκλοι που περιγράφονται απ’ την (1) είναι ίσοι μεταξύ τους

γ. δύο μόνο απ’ τους κύκλους που παριστά η (1) διέρχονται απ’ την αρχή των αξόνων

δ. τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν σε κωνική, της οποίας να βρείτε τα

στοιχεία.



11. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 25C x y κι ε1, ε2 οι εφαπτόμενες του κύκλου που άγονται

απ’ το σημείο Μ(0, -10). Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των ε1 κι ε2 αντίστοιχα με

τον κύκλο, να βρείτε:

α. τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε1 κι ε2

β. τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β

γ. την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται απ’

τα σημεία Α και Β. (Επαναληπτικές 2001)

12. Η παραβολή C μ’ εξίσωση 2y x , , διέρχεται απ’ το σημείο Α(2, 4).

α. Να δείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο Ε(2, 0).

β. Έστω Ε΄ το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα x΄x. Αν Μ(x, y) είναι ένα

οποιοδήποτε σημείο για το οποίο ισχύει 2

' , να δείξετε ότι το σημείο

Μ(x, y) ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ=2. (Επαναληπτικές 2001)

γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται απ’

το σημείο Α.

13. Δίνεται η παραβολή 2 4y x . Να βρείτε:

α. την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής

β. τις ευθείες που διέρχονται απ’ την εστία της παραβολής κι απέχουν απ’ την αρχή των

αξόνων απόσταση 2

d2

γ. την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία

: 1y x . (Εξετάσεις 2002)

14. Δίνεται η παραβολή 2

1 : 2C y px και η έλλειψη 2 2 2

2 : 4 2 3C x y p , p>0.

α. Να δείξετε ότι οι εστίες της έλλειψης είναι τα σημεία 3

0,2

p

κι 3

0,2

p΄

.



β. Να δείξετε ότι τα σημεία τομής των δύο κωνικών τομών είναι τα ,2

pp

και

,2

pp

.

γ. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο σημείο ,2

pp

είναι

κάθετες. (Εξετάσεις 2003)

15. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 9C x y .

α. Αν το σημείο 0 0( , )x y ανήκει στον κύκλο C, να δείξετε ότι το σημείο

0 0

5 4,

3 3x y

ανήκει σε έλλειψη της οποίας να υπολογίσετε την εκκεντρότητα.

β. Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την

παραπάνω έλλειψη.

γ. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής του ερωτήματος (β), καθώς

και τη γωνία που αυτές σχηματίζουν. (Επαναληπτικές 2004)

16. Έστω ( ,4 ), ( ,2)x y x , με ,x y , δύο διανύσματα του καρτεσιανού

επιπέδου κάθετα μεταξύ τους.

α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) του επιπέδου είναι η

παραβολή 2: 8C x y , της οποίας να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα δ.

β. i. Να βρείτε τις εξισώσεις ε1, ε2 των εφαπτομένων στην παραβολή C, οι οποίες

διέρχονται απ’ το σημείο Α(1, -1).

ii. Να δείξετε ότι για τη γωνία ω των εφαπτομένων ε1, ε2 ισχύει ότι 10

10 .

γ. Δίνεται επιπλέον σημείο Β(x0, y0) της παραβολής C, με x0<0, που απέχει απ’ τη

διευθετούσα δ αυτής απόσταση d=10. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C1, ο οποίος

έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα τα σημεία Ε και Β.



17. Δίνεται η εξίσωση 2 2 3 32 2 4 0x y x y xy (1).

α. Να δείξετε ότι σε σύστημα συντεταγμένων Oxy η (1) παριστά δύο παραβολές, των

οποίων να βρείτε τις εστίες Ε1, Ε2 και τις εξισώσεις των διευθετουσών δ1 και δ2


β. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου C που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα Ε1Ε2

και να δείξετε ότι διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων Ο.

γ. Έστω ε η εφαπτομένη της παραβολής 2 2x y στο σημείο της

11,

2

.

Να δείξετε ότι η ευθεία ε:

i. εφάπτεται και στην παραβολή 2 2y x

ii. είναι παράλληλη στην εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Ο(0, 0).

18. Έστω η εξίσωση 2 24 2 8 0y y x (1).

α. Να δείξετε ότι για κάθε η (1) παριστά μια παραβολή Cλ.

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κορυφών των παραβολών Cλ, όταν το λ διατρέχει

το .

19. Δίνεται η έλλειψη μ’ εστίες στον άξονα x΄x, η οποία διέρχεται απ’ το σημείο Μ(2, 1)

κι έχει εκκεντρότητα 2

2 .

α. Να βρείτε την εξίσωσή της και την εφαπτομένη της ε στο Μ.

β. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται της ε, στο σημείο που αυτή τέμνει

τον x΄x και διέρχεται απ’ το σημείο Σ(5, 2).

γ. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής, μ’ εστία στον x΄x, που διέρχεται απ’ το Μ και

την εφαπτομένη της ε΄ στο Μ.

δ. Να βρείτε το συνημίτονο της οξείας γωνίας των ε και ε΄.


2 2

: 116 9

x yC και μια υπερβολή C΄ η οποία έχει εστίες της

κορυφές της έλλειψης και κορυφές της εστίες της έλλειψης.

Να βρείτε:



α. την εξίσωση της υπερβολής και τις ασύμπτωτές της

β. το εμβαδόν του ορθογωνίου βάσης της υπερβολής

γ. το γινόμενο 1 2 , όπου ε1 κι ε2 οι εκκεντρότητες έλλειψης και υπερβολής αντίστοιχα.


2 2

2 2: 1, 0

x yC

. Αν ο κυκλικός δακτύλιος, που

σχηματίζουν οι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνες ρ1=α και ρ2=β, έχει

εμβαδόν 25π τετραγωνικές μονάδες, ενώ η εκκεντρότητα της C είναι ίση με το μισό

της εκκεντρότητας της υπερβολής

2 2

' : 19 16

x yC , τότε να βρείτε:

α. την εξίσωση της έλλειψης

β. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται απ’ τις ασύμπτωτες της υπερβολής και την

εφαπτομένη της έλλειψης που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και τέμνει τον θετικό

ημιάξονα Οx.

22. Έστω η υπερβολή

2 2

1 2 2: 1

y xC

και η έλλειψη

2 2

2 : 136 100

x yC . Μία κορυφή

του ορθογωνίου βάσης της C1 είναι το σημείο 2 2, 2 2 .

α. Να βρείτε:

i. τις τιμές των κ, λ, τις εξισώσεις των ασυμπτώτων και την εκκεντρότητα της C1

ii. την εξίσωση της έλλειψης C3, που έχει τις ίδιες εστίες με τη υπερβολή C1 και είναι

όμοια με τη έλλειψη C2.

β. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της υπερβολής C1 στο σημείο της Α(-3, -1) εφάπτεται

στην κωνική που ορίζεται απ’ τις παραμετρικές εξισώσεις 4 10

5x ,

4 10

5y , [0, 2 ) .

23. Έστω αριθμός 0 .

α. Να δείξετε ότι, όταν το λ μεταβάλλεται στο , οι κωνικές τομές που περιγράφονται

απ’ την εξίσωση 2 2 2(2 1) 3( 1) 0x y x (1) διέρχονται από 3 σταθερά

σημεία.

β. Ποια κωνική τομή προκύπτει απ’ την (1) για 1

4 ;

γ. Για ποια τιμή του 0 το εμβαδόν του σχηματιζόμενου απ’ τα τρία σταθερά σημεία

τριγώνου είναι ίσο με 32 τετραγωνικές μονάδες;




ΘΕΜΑ Α

Α1. Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής μ’ εστία σημείο Ε και διευθετούσα ευθεία δ.

Μονάδες 6

Α2. Έστω ο κύκλος2 2 2:C x y κι ένα σημείο του Μ(x1, y1). Να δείξετε ότι η

εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Μ έχει εξίσωση 2

1 1xx yy .

Μονάδες 9


i. Η εξίσωση 2 2 0x y x y παριστά πάντα κύκλο όταν Γ<0.

ii. Μια παραβολή με κορυφή Ο(0, 0) και διευθετούσα την ευθεία 2

py έχει άξονα

συμμετρίας τον x΄x.

iii. Αν Μ1Μ2 είναι η διάμετρος μιας έλλειψης, τότε πάντα ισχύει 2β<(Μ1Μ2)<2α.

iv. Στην εξίσωση μιας υπερβολής

2 2

2 2: 1

x yC

ισχύει πάντα α>β.

v. Αν μια ευθεία έχει ένα μόνο σημείο με μια υπερβολή, τότε πάντα εφάπτεται σ’ αυτή.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η έλλειψη 2 2

1 :9 25 225C x y και η παραβολή 2

2 : 12C y x .

Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες των εστιών Ε κι Ε΄, το μήκος του μεγάλου άξονα και

την εκκεντρότητα της έλλειψης C1.

Μονάδες 8

Β2. Να βρείτε τα κοινά σημεία Κ και Λ της έλλειψης C1 με τη διευθετούσα δ της

παραβολής C2.

Μονάδες 9

Β3. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν των τριγώνων ΄ κι ΄ .

Μονάδες 8



ΘΕΜΑ Γ

Θεωρούμε την έλλειψη

2 2

1 : 19 5

x yC και την υπερβολή

22

2 : 13

yC x .

Γ1. Να δείξετε ότι η έλλειψη C1 και η υπερβολή C2 έχουν τις ίδιες εστίες.

Μονάδες 6

Γ2. Να δείξετε ότι οι δύο κωνικές τέμνονται σε 4 σημεία, τα οποία ανήκουν στον ίδιο

κύκλο.

Μονάδες 9

Γ3. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των C1 και C2 στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 2 (2 1) 0x y y x (1), .

Δ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστά κύκλο για κάθε , του οποίου να

υπολογίσετε το κέντρο και την ακτίνα.

Μονάδες 6

Δ2. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που περιγράφονται απ’ την

εξίσωση (1).

Μονάδες 4

Δ3. Να δείξετε ότι οι κύκλοι διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β.

Μονάδες 7

Δ4. Να βρείτε τις τιμές του , ώστε ο κύκλος που περιγράφεται απ’ την εξίσωση (1)

να είναι ο μικρότερος.

Μονάδες 8




Το θέμα

Δίνονται οι γραμμές C1, C2 που ορίζονται απ’ τις εξισώσεις

2 2 2 2

1 : 2 ( ) 2 0C x y x y και 2 2 2 2

2 : 2 ( ) 2 0C x y x y ,

όπου 0<α<β και α2+β

2<6αβ.

Α. Να δείξετε ότι καθεμιά απ’ τις εξισώσεις C1, C2 παριστά κύκλο για κάθε τιμή των α, β.

Β. Να βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων C1, C2.

Γ. Αν οι κύκλοι C1, C2 τέμνονται στα σημεία Α και Β, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που

αυτά ορίζουν.

Δ. Αν επιπλέον ισχύει ότι81

128 , να δείξετε ότι η ευθεία του ερωτήματος Γ εφάπτεται

στην παραβολή 2: 8C y x .



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο

: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Μαθηματική επαγωγή

Αρχή Μαθηματικής Επαγωγής

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων ν σε πλήθος

περιττών αριθμών, δηλαδή το άθροισμα 1 3 5 7 2 1 , για οποιοδήποτε θετικό

ακέραιο ν. Υπολογίζουμε το παραπάνω άθροισμα για μερικές τιμές του ν κι έχουμε:

Για ν=1, 1=1 (=12)

Για ν=2, 1+3=4 (=22)

Για ν=3, 1+3+5=9 (=32)

Για ν=4, 1+3+5+7=16 (=42)

Τα μέχρι τώρα αποτελέσματα μας οδηγούν στο συμπέρασμα πως το άθροισμα των ν πρώτων

περιττών αριθμών ισούται με το τετράγωνο του πλήθους τους.

Δηλαδή: 21 2 3 5 7 2 1 (1).

Επειδή το πλήθος των θετικών ακεραίων είναι άπειρο, είναι αδύνατο με τον παραπάνω τρόπο

να δείξουμε ότι η (1) ισχύει για όλους τους θετικούς ακεραίους. Αν όμως μπορούσαμε να

δείξουμε ότι, όταν αληθεύει ο ισχυρισμός (1) για αυθαίρετο θετικό ακέραιο ν θα αληθεύει και

για τον επόμενό του ν+1, τότε ο ισχυρισμός θα ίσχυε για όλους τους θετικούς ακεραίους.

Αυτό συμβαίνει διότι, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για ν=1, θα είναι αληθής και για ν+1=2,

συνεπώς και για (ν+1)+1=3 και διαδοχικά για κάθε θετικό ακέραιο .

Έστω λοιπόν ότι ισχύει 21 2 3 5 7 2 1 . Τότε:

2 2

1 2 3 5 7 2 1 2 1 1 2 3 5 7 2 1 2 1

2 1 ( 1)

Αποδείξαμε δηλαδή ότι αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για έναν αυθαίρετο θετικό ακέραιο ν,

τότε είναι αληθής και για τον επόμενό του ακέραιο ν+1. Άρα αληθεύει για κάθε θετικό

ακέραιο ν.

Η αποδεικτική αυτή μέθοδος λέγεται μαθηματική ή τέλεια επαγωγή και στηρίζεται στην

λεγόμενη «αρχή της μαθηματικής επαγωγής».



Παράδειγμα

Να δειχθεί ότι ισχύει 2 (1), για κάθε θετικό ακέραιο ν.

Απόδειξη

Η (1) ισχύει για ν=1, αφού 12 2 1 .

Υποθέτω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, όπου κ τυχαίος θετικός ακέραιος.

Θα δείξω ότι η (1) ισχύει και για τον θετικό ακέραιο ν=κ+1.

Έστω λοιπόν ότι 2 (2).

Είναι (2)2 1

12 2 2 2 2 2 1 1

(είναι κ>1 οπότε 12 2 1 ).

Η πρόταση ισχύει και για ν=κ+1, άρα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν.

Πολλές φορές όμως πρέπει να αποδείξουμε ότι μια πρόταση Ρ(ν) αληθεύει όχι για κάθε

θετικό ακέραιο ν, αλλά για κάθε θετικό ακέραιο ν μεγαλύτερο ή ίσο από κάποιον ορισμένο

φυσικό αριθμό.

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να δείξουμε ότι 2 2 1 για 3 , τότε το πρώτο βήμα

είναι να διαπιστώσουμε την αλήθεια της ανισότητας για ν=3, ενώ αν θέλουμε να δείξουμε ότι

3 2 1 για 0 , τότε το πρώτο βήμα είναι να διαπιστώσουμε την αλήθεια της

ανισότητας για ν=0.

Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την παρακάτω μέθοδο, η οποία αποτελεί γενίκευση

της αρχής της μαθηματικής επαγωγής.

Διατύπωση

Έστω μια πρόταση Ρ(ν) που αναφέρεται στο θετικό ακέραιο ν.

Αν:

η πρόταση είναι αληθής για το θετικό ακέραιο 1, δηλαδή η Ρ(1) είναι αληθής,

και

η αλήθεια της Ρ(κ) συνεπάγεται την αλήθεια της Ρ(κ+1) για κάθε θετικό ακέραιο

κ,

τότε η πρόταση Ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους ν.



Παράδειγμα

Να δειχθεί ότι ισχύει 2 2 1 (1), για κάθε θετικό ακέραιο 3 .

Απόδειξη

Η (1) ισχύει για ν=3, αφού 32 8 2 3 1 7 .

Υποθέτω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, όπου κ τυχαίος θετικός ακέραιος, με 3 .

Θα δείξω ότι η (1) ισχύει και για τον θετικό ακέραιο ν=κ+1.

Έστω λοιπόν ότι 2 2 1 (2).

Είναι (2)

12 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2( 1) 2 2( 1) 1 ,

αφού για 3 είναι 2 6 1 .

Η πρόταση ισχύει και για ν=κ+1, άρα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο 3 .

Προσοχή

Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δύο βήματα, τα οποία είναι απολύτως

αναγκαία να ισχύουν ταυτόχρονα για να εξασφαλίσουμε την αλήθεια μιας πρότασης που

αναφέρεται στο θετικό ακέραιο ν. Σε κάθε άλλη περίπτωση μπορεί να οδηγηθούμε σε λάθος

συμπεράσματα, αφού υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες ικανοποιείται το 1ο βήμα αλλά όχι το

2ο κι άλλες στις οποίες ικανοποιείται το 2

ο βήμα αλλά όχι το 1

ο.

Διατύπωση

Έστω Ρ(ν) μια πρόταση που αναφέρεται στο θετικό ακέραιο ν, με 0 , 0 .

Αν:

η πρόταση είναι αληθής για το θετικό ακέραιο ν0, δηλαδή η Ρ(ν0) είναι αληθής,

και

η αλήθεια της Ρ(κ) συνεπάγεται την αλήθεια της Ρ(κ+1) για κάθε θετικό ακέραιο

0 ,

τότε η πρόταση Ρ(ν) αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους 0 .



Παράδειγμα 1

Η ανισότητα 1002 2 αληθεύει για ν=1, 2, 3, …, 100, όμως η αλήθεια της Ρ(100) δεν

συνεπάγεται την αλήθεια της Ρ(101) αφού 101 100 101 1002 2 101 2 2 101

100 1002 (2 1) 101 2 101 , που ισχύει.

Άρα η ανισότητα δεν αληθεύει για κάθε θετικό ακέραιο ν.

Παράδειγμα 2

Έστω η πρόταση ( 1)

1 2 3 ... 102

(1).

Έστω τώρα ότι η (1) ισχύει για , , δηλαδή ( 1)

1 2 3 ... 102

(2).

Για 1 έχουμε: ( 1)

1 2 3 ... ( 1) 10 ( 1)2

( 1) 2( 1) ( 1)( 2)10 10

2 2

.

Η πρόταση αληθεύει και για τον επόμενο θετικό ακέραιο, όμως δεν αληθεύει για όλους τους

θετικούς ακεραίους αφού για ν=1 είναι 1 (1 1)

1 10 1 1 10 1 112

που είναι

ψευδής.

Ανισότητα του Bernoulli

Έστω ένας πραγματικός αριθμός 1 . Τότε για κάθε ισχύει ότι:

(1 ) 1 (1).

Απόδειξη

Για ν=1 η (1) γίνεται 1(1 ) 1 1 1 1 , που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για , , δηλαδή (1 ) 1 (2).

Για ν=κ+1 είναι: (2)

1 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1

21 ( 1) 1 ( 1) , αφού 2 0 .



Η σχέση αληθεύει και για ν=κ+1, άρα αληθεύει για κάθε θετικό ακέραιο ν.

Όμοια αποδεικνύονται και οι παρακάτω ανισότητες:

(1 ) 1 , όπου , 2

, 1, 0

(1 ) 1 , όπου , 1

(1 ) 1 , όπου , 2

, 1, 0

Μια παραλλαγή της αρχής της μαθηματικής επαγωγής αποτελεί και παρακάτω πρόταση.

Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής είναι χρήσιμη για την απόδειξη ισοτήτων, ανισοτήτων

και διαφόρων άλλων προτάσεων απ’ όλους τους κλάδους των μαθηματικών που αναφέρονται

στους φυσικούς και τους θετικούς ακεραίους αριθμούς.

Διατύπωση

Έστω Ρ(ν) μια πρόταση που αναφέρεται στο θετικό ακέραιο ν.

Αν:

η Ρ(1) είναι αληθής,

και

με την προϋπόθεση ότι αληθεύει η Ρ(ν) για κάθε , , αληθεύει και η

Ρ(κ),

τότε η Ρ(ν) αληθεύει για κάθε φυσικό αριθμό ν.




1. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει:

α. ( 1)

1 2 3 ...2

, β.

2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...

6

,

γ. 21 2 2 5 5 8 ... (3 1) ( 1) ,

δ. 1 1 1 1

...1 3 3 5 5 7 (2 1) (2 1) 2 1

.

Λύση

α. Έστω ( 1)

1 2 3 ...2

(1), .

Για ν=1, η (1) γίνεται 1 (1 1)

1 1 12

, που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή ( 1)

1 2 3 ...2

(2), .

Για ν=κ+1 έχουμε: (2) ( 1)

1 2 3 ... ( 1) ( 1)2

( 1) 2( 1) ( 1) ( 2)

2 2

.


β. Έστω 2 2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2 3 ...6

(1).

Για ν=1, η (1) γίνεται 2 1 (1 1) (2 1 1) 1 2 3

1 1 1 16 6


Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 2 2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2 3 ...6

(2),

.

Για ν=κ+1 έχουμε: (2)

2 2 2 2 2 2( 1)(2 1)1 2 3 ... ( 1) ( 1)

6

2 ( 1) (2 1) 6( 1)( 1)(2 1) 6( 1)

6 6



2 2( 1)(2 6 6) ( 1)(2 7 6) ( 1)( 2)(2 3)

6 6 6

( 1)( 2) 2( 1) 1

6


γ. Έστω 21 2 2 5 5 8 ... (3 1) ( 1) (1), .

Για ν=1, η (1) γίνεται 21 2 1 (1 1) 2 2 , που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 21 2 2 5 5 8 ... (3 1) ( 1) (2), .


1 2 2 5 5 8 ... (3 1) ( 1)(3 2)

(2)2 2( 1) ( 1)(3 2) ( 1)( 3 2) ( 1)( 1)( 2)

2( 1) ( 2)


δ. Έστω 1 1 1 1

...1 3 3 5 5 7 (2 1) (2 1) 2 1

(1), .

Για ν=1, η (1) γίνεται 1 1 1 1

1 3 2 1 1 3 3


Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή

1 1 1 1...

1 3 3 5 5 7 (2 1) (2 1) 2 1

(2), .

Για ν=κ+1 έχουμε: (2)1 1 1 1 1

...1 3 3 5 5 7 (2 1) (2 1) (2 1) (2 3)

2(2) 1 (2 3) 1 2 3 1

2 1 (2 1) (2 3) (2 1) (2 3) (2 1) (2 3)

(2 1)

( 1)

(2 1)

1

2 3(2 3)




2. Να δείξετε ότι, για κάθε θετικό ακέραιο 3 , ισχύει 1 22 3 (1).

Λύση

Για ν=3, η (1) γίνεται3 1 2 42 3 3 1 2 9 3 1 16 13 , που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 1 22 3 (2), , 3 .

Για ν=κ+1έχουμε:(2)

2 1 2 22 2 2 2( 3) 2 2 6

Αρκεί να δείξουμε ότι 2 22 2 6 ( 1) ( 1) 3

2 2 22 2 6 2 1 1 3 1 0 ( 1) 1 0 , που

ισχύει διότι 3 .


3. Να δείξετε ότι, για κάθε θετικό ακέραιο 10 , ισχύει 32 (1).

Λύση

Για ν=10, η (1) γίνεται 10 32 10 1024 1000 , που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 32 (2), , 10 .


1 32 2 2 2 .

Αρκεί να δείξουμε ότι

3 310

3 3 1 12 ( 1) 2 1 2

(3).

Είναι

3 31 1 1 1 1 11 1 11

10 1 1 1 110 10 10 10

31 1331

1 21000

, άρα η (3) ισχύει.


4. Να δείξετε ότι, για κάθε θετικό ακέραιο 4 , ισχύουν:

α. 1 2 3 ... 2 , β. 3

12

.

Λύση

α. Έστω 1 2 3 ... 2 (1), , 4 .

Για ν=4, η (1) γίνεται41 2 3 4 2 24 16 , που ισχύει.



Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 1 2 3 ... 2 (2), , 4 .

Για ν=κ+1 έχουμε (2) 1 2

11 2 3 ... ( 1) 2 ( 1) 2 2 2

.


β. Έστω 3

12

(1), , 4 .

Για ν=4, η (1) γίνεται

4

4 3 3 814 1 5 5 80 81

2 2 16


Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 3 3

1 12 2

(2), , 4 .

Για ν=κ+1 έχουμε:

1(2)3 3 3 3 1

( 1) 1 22 2 2 2 2

, αφού

1 54 1 5 2

2 2

.


5. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει 2 2 2 2

1 1 1 1 1... 2

1 2 3 .

Λύση

Έστω ότι 2 2 2 2

1 1 1 1 1... 2

1 2 3 (1), .

Για ν=1, η (1) γίνεται 2

1 12 1 1

1 1 , που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 2 2 2 2

1 1 1 1 1... 2

1 2 3 (2), .


2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1... 2

1 2 3 ( 1) ( 1)

(3)

Αρκεί να δείξουμε ότι 2 2

1 1 1 1 1 12 2

( 1) 1 ( 1) 1

( 1) 02 2 2

2

1 1( 1) ( 1) 2 1

( 1) ( 1)

1 0 , που ισχύει.



Οπότε η (3) γίνεται 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1... 2

1 2 3 ( 1) 1

, .

Η πρόταση ισχύει για ν=κ+1, άρα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν.

6. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ο αριθμός 23 1 είναι πολλαπλάσιο του 8.

Λύση

Αρκεί να δείξουμε ότι 23 1 .8 (1), .

Για ν=1, η (1) γίνεται 2 1 23 1 3 1 9 1 8 .8 .

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 23 1 .8 (2), .

Για ν=κ+1 έχουμε:(2)

2( 1) 2 2 2 2 2 2

.8

3 1 3 1 3 3 1 9 3 9 8 9(3 1) 8

(2)

9 8 8 8(9 1) .8


Σημείωση

Συμβολίσαμε με 8 , τα πολλαπλάσια του8.

Γενικά, συμβολίζουμε με , τα πολλαπλάσια ενός θετικού ακεραίου α.

7. Να δείξετε ότι, για κάθε θετικό ακέραιο ν, ο αριθμός 2 1 23 2 είναι πολλαπλάσιο

του 7.

Λύση

Έστω 2 1 23 2 .7 (1), .

Για ν=1, η (1) γίνεται 2 1 31 31 2 3 2 27 8 37 73 .2

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 2 1 23 2 .7 (2), .

Για ν=κ+1 έχουμε: 2( 1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 23 2 3 3 2 23 2

(2)2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2

.7

9 3 2 2 9 3 9 2 7 2 9(3 2 ) 7 2

2 29 7 7 2 7(9 2 ) .7




8. Για κάθε θετικό ακέραιο 3 , να δείξετε ότι:

α. 1 ( 1) , β. 1 1 .

Λύση

α. Έστω 1 ( 1) (1), , 3 .

Για ν=3, η (1) γίνεται 3 1 3 4 33 (3 1) 3 4 81 64 , που ισχύει.

Έστω ότι η (1) ισχύει για ν=κ, δηλαδή 1 ( 1) (2), , 3 .

Για ν=κ+1 έχουμε: 1 1 1 2 1( 1) ( 1 1) ( 1) ( 2) (3).

Για να δείξω την (3), πολλαπλασιάζω αρχικά τα μέλη της (2) με 2( 1) οπότε:

1 01 2 2 1 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 2 202

1

( 1)( 1)

Για να ισχύει η (3), αρκεί να δείξω ότι

2 21

1

( 1)( 2)

2 2 1 1 2( 1) 1( 1) ( 2) ( 1) [ ( 2)]

1 02 1 1 2 2 2[( 1) ] [ ( 2)] ( 1) ( 2) 2 1 2

1 0 που ισχύει.

Συνεπώς ισχύει και η (3), άρα η πρόταση ισχύει για ν=κ+1, οπότε ισχύει και για κάθε

θετικό ακέραιο 3 .

β. Έστω 1 1 (1), , 3 .

Η (1) ισοδύναμα γίνεται: ( 1) ( 1)

1 11 1

1 ( 1) που ισχύει απ’ το ερώτημα α.



Ασκήσεις

1. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει:

α.

3

3 3 3 3 ( 1)1 2 3 ...

2

, β.

2 3

1 1 1 1 1 1...

3 3 3 3 2 2 3

,

γ. 2 3

1 2 3 2... 2

2 2 2 2 2

, δ.

( 1) ( 2) ... 22

1 3 5 ... (2 1)

2. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο 2 ισχύει:

( 1)( 1)1 2 2 3 3 4 ... ( 1)

3

.

3. Να δείξετε ότι ισχύει:

α. 22 , για κάθε θετικό ακέραιο 5

β. 1 23 , για κάθε θετικό ακέραιο 4 .

4. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν, ο αριθμός 3 2 43 2 είναι πολλαπλάσιο

του 5.

5. Να δείξετε ότι το πλήθος των διαγωνίων ενός ν-γώνου είναι ( 3)

2

, για κάθε

θετικό ακέραιο 4 .

6. Να δείξετε ότι 3 3 , για κάθε θετικό ακέραιο 4 .

7. Θεωρούμε έναν αριθμό 5 . Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει

14

.

8. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο 2 ισχύουν:

α. 3 5 6 11 , β. 8 (1 )(1 3 ) , γ. 9 1 2 .

9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (με 90

) και μήκη πλευρών α, β, γ.


α. 3 3 3 , β.

, για κάθε θετικό ακέραιο 3 .



Το θέμα

Να δείξετε ότι 2016 20152015 2016 .



Βιβλιογραφία

1. Αντώνη Κυριακόπουλου: Μαθηματικά Β΄ Ενιαίου Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

2. Νίκου Τάσου: Μαθηματικά Β΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

3. ΟΕΔΒ: Μαθηματικά Β΄ Ενιαίου Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

4. ΒΙΒΛΙΟμαθήματα: Περιοδικό «Εξετάσεις» της εφημερίδας Ελευθεροτυπία.

5. www.mathematica.gr

μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis

Education

Transcript of μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis