Στροφική και μεταφορική Κινητική Ενέργεια

Ένας ομογενής και συμπαγής τροχός μάζας Μ και ακτίνας R αφήνεται να κυλήσει κατά μήκος ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ, όπως φαίνεται στο σχήμα: Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδράνειας του τροχού, ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=λΜR2, όπου λ θετικός αριθμός με λ<1. Να υπολογίσετε:

a) Την κινητική ενέργεια που αποκτά ο τροχός όταν το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά ύψος h.

b) Την κινητική ενέργειας της στροφικής κίνησης του τροχού και την κινητική ενέργεια της μεταφορικής του κίνησης. Ποιος είναι ο λόγος Κσ/Κμ των δύο ενεργειών;

c) Υπολογίστε το έργο της στατικής τριβής ως δύναμης που συμμετέχει στην μεταφορική κίνηση και το έργο της ροπής της που συμμετέχει στην στροφική κίνηση. Ποιο συμπέρασμα εξάγεται;

d) Γιατί η τιμή της γωνίας κλίσης φ του πλαγίου επιπέδου δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα των προηγούμενων υπολογισμών;

Απάντηση:

α. Η στατική τριβή ασκείται κάθε στιγμή σε διαφορετικό σημείο, δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της άρα δεν παράγει έργο. Το ίδιο και η δύναμη Ν που είναι κάθετη στην μετατόπιση. Το βάρος είναι συντηρητική δύναμη. Επομένως η μηχανική ενέργεια διατηρείται σταθερή.

Όλη η ποσότητα της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας που δαπανήθηκε (mgh) μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια .

Άρα Κ=mgh

β. Από την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας προκύπτει:

h

m,R

φ

h

mgημφ

φ

χmgσυνφ

Ν

Τs

Άρα και

γ. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Κ.Ε για την μεταφορική και για την στροφική κίνηση προκύπτει;

και

Όπως είναι φυσικό το συνολικό έργο είναι μηδέν. Η στατική τριβή «ρυθμίζει» με την ροπή της την ποσότητα της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής που παράγεται εις βάρος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής κίνησης.

δ. Η γωνία κλίσης δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα γιατί με δεδομένο το ύψος h, μια αλλαγή στην κλίση φ, θα μεταβάλλει μόνο την μετατόπιση χ κατά μήκος του πλαγίου επιπέδου.

Η μείωση της δυναμικής ενέργειας θα είναι πάντα η ίδια (mgh), η συνολική κινητική ενέργεια επίσης θα είναι ίδια ( mgh) , η αναλογία στροφικής / μεταφορικής κινητικής ενέργειας δεν αλλάζει,

εξαρτάται από την τιμή του λ Το έργο της Τs στην μεταφορική και το έργο της ροπής της στην

περιστροφική και αυτά δεν αλλάζουν γιατί μια μεταβολή στην μετατόπιση χ ή θ επιφέρει αντίστροφη μεταβολή στο μέτρο της Τs.