Έργο – Κινητική Ενέργεια

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 1

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 2

Έργο W ≡!F ⋅!d = Fdcosθ = Fxdx +Fydy +Fzdz

Η μετατόπιση d είναι αυτή του σημείου εφαρμογής της δύναμης F.

Ø  Η δύναμη δεν παράγει έργο στο σώμα ή το σύστημα (σύνολο σωμάτων) αν η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της είναι κάθετη στη διεύθυνση της δύναμης.

Ø  Η δύναμη δεν παράγει έργο στο σώμα αν το σημείο εφαρμογής της στο σώμα δεν κινείται μέσω μιας μετατόπισης

Η κάθετη αντίδραση n και η βαρυτική δύναμη δεν παράγουν έργο επειδή είναι κάθετες στη μετατόπιση του σώματος

Η δύναμη F παράγει έργο

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 3

Έργο q  Το σύστηµα και το περιβάλλον του συστήµατος (ότι βρίσκεται έξω από τις οριακές συνθήκες του συστήµατος) πρέπει να προσδιορίζονται όταν δουλεύουµε µε την έννοια του έργου.

q  Αν ένα σύστηµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον τότε αυτή η αλληλεπίδραση µπορεί να χαρακτηριστεί σαν µεταφορά ενέργειας

q  Το έργο µπορεί να ’ναι θετικό, αρνητικό ή µηδέν. Ø  Εξαρτάται από την διεύθυνση της δύναµης ως προς την διεύθυνση κίνησης

Ø  Το έργο είναι θετικό όταν η δύναµη έχει διεύθυνση προς τη µετατόπιση του συστήµατος.

q  Αν έργο εκτελείται στο σύστηµα και το έργο είναι θετικό τότε µεταφέρεται ενέργεια στο σύστηµα.

Ø  Το έργο είναι αρνητικό όταν η δύναµη έχει φορά αντίθετη προς τη µετατόπιση του συστήµατος.

q  Αν έργο εκτελείται στο σύστηµα και το έργο είναι αρνητικό τότε µεταφέρεται ενέργεια από το σύστηµα

Ø  Το περιβάλλον εκτελεί έργο στο σύστηµα

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 4

Γενικός ορισµός έργου

W =

!F ⋅d

a

b

∫!l

Κάθε τμήμα της διαδρομής προσθέτει στοιχειώδες έργο F cosθ dl

Εμβαδό = Έργο καταβαλλόμενο από την F κατά μήκους της l

ld

F θ

διαδρομή

a: αρχική θέση του σώματος b: τελική θέση του σώματος

Έργο

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 5

Έργο από πολλές δυνάµεις

Wκαθ = Wi

i∑

W∑ =Wκαθ = Fx

i

i∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

xi

x f∫

q  Αν περισσότερες από μια δυνάμεις ασκούνται σε ένα σύστημα και το σύστημα μπορεί να περιγραφεί σαν υλικό σημείο τότε το ολικό έργο στο σύστημα είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης δύναμης

q  Αν το σύστημα δεν μπορεί να περιγραφεί σαν υλικό σημείο τότε το ολικό έργο είναι το αλγεβρικό άθροισμα των έργων που ασκούνται στο σύστημα από κάθε δύναμη που ασκείται στο σύστημα.

Fσυνισταμένη

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 6

Παραδείγματα

d F

mg F

mg d

�

F = mgsinθ

�

F = mgsin ′ θ

Wa =!F ⋅!d =mgsinθ d = !

F ⋅d!l =

0

d

∫ mgh Wb =!F ⋅!′d =mgsin ′θ ′d =mgh

�

Wa =Wb

q  Θέλετε να σηκώσετε ένα βιβλίο με σταθερή ταχύτητα

Ø  Η δύναμη F παράγει έργο W = F·d > 0 è W = mαd > 0Ø  H βαρύτητα παράγει έργο –mgd < 0Ø  Αφού v=σταθ, F= mg και επομένως Wtot = 0

q  Θέλετε να μεταφέρετε το βιβλίο οριζόντια

q  Πότε καταναλώνεται περισσότερο έργο;

g gygx

h

θ

dh

θ΄

d΄

Ø  Συνολικό έργο και πάλι μηδέν αφού F ⊥ d

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 7

Τ

Παραδείγματα Ν

mg

y

x

Πόσο έργο πρέπει να δαπανήσουμε για να μετακινήσουμε το κιβώτιο με γωνία 10ο σε απόσταση 250m με σταθερή ταχύτητα

fτ

Fy =N +T sinθ −mg=0∑T cosθµs

+T sinθ −mg=0⇒

Επομένως το έργο που πρέπει να δαπανήσουμε είναι fτρ = µsN⇒N =

fτρµs

= T cosθµs

W =

!T ⋅!d =Tdcosθ =

µsmgdcosθcosθ + µs sinθ

Πόσο έργο παράγει η βαρύτητα?

Πόσο έργο παράγει η τριβή?

μηδέν

W =

!f ⋅!d = −µsNd = −

µsTdcosθµs

= −TdcosθΟλικό έργο = Wτρ+Wo=0

Fx =T cosθ − fτρ =0∑

T =

mgµs

cosθ + µs sinθ

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 8

Ελατήρια - Έργο

Εµβαδό

Wελ = Fxi

f

∫ dx =

q  Το ολικό έργο που παράγεται κατά τη µετακίνηση του σώµατος από τη θέση x=-xmax στη θέση x=+xmax είναι µηδέν

Ø  Διαλέγουµε το σώµα που εξαρτάται από τo ελατήριο σα το σύστηµά µας.

Ø  Υπολογίζουµε το έργο καθώς το σώµα κινείται από τη θέση xi = -xmax στη θέση x = 0.

−kx( )dx

− xmax

0∫

⇒Wελ =

12kx

2

Ø  Θεωρούµε ότι xισορ.=0 οπότε Δs=x

Ø  Αν θεωρούσαμε τη δύναμη επαναφοράς ως τότε: F = −kΔs = −k s− sισορ .( )

Wελ = −kΔx( )dx

xi

x f∫ = −k x − xισορ .( )dx

xi

x f∫αλλάζοντας µεταβλητές:

u = x − xισορ . ⇒ du = dx

ui = xi − xισορ .

u f = x f − xισορ .και όρια ολοκλήρωσης: και

Wελ = −k u du

ui

u f∫

⇒ Wελ = − 1

2k u2

u f

ui

⇒ Wελ = − 1

2ku f

2 + 12

kui2

⇒ Wελ = − 1

2k Δx f( )2

+ 12

k Δxi( )2 για το παράδειγµα Δxf =0 οπότε καταλήγουµε στο ίδιο αποτέλεσµα

ΦΥΣ 111 - Διαλ.19 9

Σκεφθείτε και ολοκληρώματα κίνησης

Fx dx∫ = Fx = ma12at 2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Έργο Fdt∫

F

tFdt∫

Ώθηση

Fx dx∫

Fx dx∫

έργο Για σταθερή δύναμη

Fdt∫ = Ft = mat = mv

Τι λέει:

Fx

x

Η ενέργεια ενός σώματος εξαιτίας της κίνησής του

⇒ Fx dx∫ =12m at( )2 = 1

2mv2

To έργο που παράγεται από μια δύναμη σε ένα σώμα ισούται με την μεταβολή της κινητικής του ενέργειας

ορμή