Έργο - Ενέργεια...Ενότητα 5: Έργο, ενέργεια 17 հλαστική...

Ενότητα 5 Έργο ενέργεια

Γεώργιος Βούλγαρης

Σχολή Θετικών Επιστημών

Τμήμα Μαθηματικών

Γενική Φυσική

2 Ενότητα 5 Έργο ενέργεια

bull Βασική έννοια Μηχανική Ηλεκτρομαγνητική Χημική Θερμική

Πυρηνική κα Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη bull Μηχανική ενέργεια Λύση προβλημάτων μηχανικής α) 2ος νόμος Νεύτωνα δυναμική εξίσωση Χρονική εξέλιξη του συστήματος (θέση σαν συνάρτηση του

χρόνου) β) εξίσωση έργου ενέργειας όταν ενδιαφέρει η αρχική και

η τελική κατάσταση του σώματος (ταχύτητα) Συνήθως πιο εύχρηστη πχ όταν η δύναμη δεν είναι

σταθερή ή όταν το σύστημα είναι πολύπλοκο

Έργο - Ενέργεια


Έργο σταθερής δύναμης

sFW

W=(F cosθ) s

Οι δυνάμεις που είναι κάθετες στη μετατόπιση δεν παράγουν έργο


Ισχύς

bull Μέση Ισχύς

bull Στιγμιαία

t

WP

PdW

dt

Fdt

dsFP

Ισχύς που μεταφέρεται πάνω σε σώμα που κινείται με ταχύτητα υ Αν η F δεν είναι σταθερή τότε ο τύπος ισχύει για την μέση ισχύ


Εφαρμογές

Παραδείγματα Αντίσταση αέρα FR= -c υ2 Αεριωθούμενο Ft=λ(υ-υεξ) Πύραυλος Ft=λυεξ


Μετατόπιση σε καμπύλη

Η δύναμη Ε είναι σταθερή σε όλο το χώρο Το έργο υπολογίζεται από την προβολή της δύναμης στη μετατόπιση ΔLi


F

FT

r

ds

B

AAB sdFW

W F dsAB TA

B

dsFdW

dWdrF

rdFdW

T

r

0

Καμπυλόγραμμη κίνηση


sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα

Ονομάζεται Κινητική Ενέργεια

Κινητική ενέργεια


Το έργο που παράχθηκε είναι ίσο με την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος

Θεώρημα έργου ενέργειας


Μονάδες έργου 1 (Joule) 1 J=1 Nt 1 m Μονάδες Ισχύος 1W=1J1s SI 1 hp=736 W Βρετανικό 1 hp=746 W

Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0

Παραδείγματα

bull Διατηρητικές

bull Βαρύτητα Ηλεκτροστατικές

bull Μη διατηρητικές

bull Τριβή

Διατηρητικές δυνάμεις

0Fds


Αν το παραγόμενο έργο εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση του σώματος και όχι από την διαδρομή Ορίζουμε μία συνάρτηση U(xyz) την οποία ονομάζουμε συνάρτηση δυναμικής ενέργειας ή απλα δυναμική ενέργεια και η οποία είναι συνάρτηση μόνον των συντεταγμένων

i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(

Η Ui μπορεί να μηδενίζεται σε κάποιο αυθαίρετο σημείο αναφοράς

Συνάρτηση Δυναμικής Ενέργειας


Τι δυνατότητες μας δίνει η χρησιμοποίηση των συναρτήσεων δυναμικής ενέργειας Από τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας μπορούμε να υπολογίσουμε την δύναμη που θα ασκηθεί πάνω σε ένα σώμα που θα βρεθεί στη θέση αυτή Δηλαδή ορίζουμε ένα πεδίο δυνάμεων δηλ μία περιοχή του χώρου όπου αν φέρουμε ένα σώμα πάνω του θα ασκηθούν δυνάμεις Υπολογίζω την συνάρτηση που δίνει την δύναμη που ασκείται πάνω στη μονάδα μάζας φορτίου για κάθε σημείο του χώρου Την δύναμη αυτή την ονομάζω ένταση του πεδίου ή για συντομία σκέτο πεδίο Έτσι περιγράφουμε το πεδίο βαρύτητας με την σχέση το ηλεκτροστατικό πεδίο με την σχέση κα Και στις δύο περιπτώσεις έχω laquoκρύψειraquo το πρώτο σώμα στη σταθερή k

2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF

Πεδία Δυνάμεων (1 από 2)


Το πλεονέκτημα των είναι ότι απλοποιώ το σύστημα και το χωρίζω ουσιαστικά σε δύο κομμάτια Το ένα κομμάτι είναι το πεδίο το οποίο παράγεται από το ένα σώμα και προέρχεται από την βαθμωτή συνάρτηση U(xyz) Δηλαδή διαλέγουμε ένα από τα σώματα και το αντικαθιστούμε με το πεδίο δυνάμεων Συνήθως το χρησιμοποιούμε όταν οι αποστάσεις που χρησιμοποιούμε είναι πολύ μεγαλύτερες από τις διαστάσεις του σώματος στο οποίο τοποθετούμε την αρχή των συντεταγμένων



Έστω ότι στην αρχή των αξόνων τοποθετώ ένα ηλεκτρικό φορτίο και το εξαναγκάζω να κάνει μία παλινδρομική κίνηση Γύρω του δημιουργείται ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο το οποίο διαδίδεται στον γύρω χώρο Αν διακόψουμε την κίνηση η μεταβολή της κατάστασης δεν θα γίνει αμέσως αισθητή σε έναν απομακρυσμένο παρατηρητή και το πεδίο θα εξακολουθήσει να διαδίδεται στο χώρο ανεξάρτητα από την κατάσταση του φορτίου που το δημιούργησε Αν τώρα εξετάσουμε το πεδίο που δημιουργείται από ένα αντικείμενο με πολύ μεγάλη μάζα πχ μία μαύρη τρύπα Ελέγχουμε την γεωμετρία του χώρου γύρω της χρησιμοποιώντας μία φωτεινή ακτίνα Διαπιστώνουμε ότι η ακτίνα δεν διαδίδεται ευθύγραμμα Άρα έχει αλλάξει η γεωμετρία του χώρου Στα παραπάνω παραδείγματα ο φυσικός χώρος δεν είναι πιά ο γνωστός Ευκλείδιος χώρος αλλά έχει αποκτήσει φυσικές ιδιότητες που προέρχονται από την παρουσία των σωμάτων

Πεδία συνέχεια


Μηχανική Ενέργεια

0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE

Μεταβολή Κινητικής Ενέργειας από την επίδραση Διατηρητικών Δυνάμεων

Το άθροισμα διατηρείται

Ε Μηχανική Ενέργεια

Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας


Ελαστική δυναμική ενέργεια Απόδ Διατηρητική δύναμη Αν γνωρίζουμε την συνάρτηση δυναμικής ενέργειας τότε μπρούμε να υπολογίσουμε την δύναμη από την σχέση F

dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx

Συνάρτηση Δυναμικής Ενέργειας Αρμονικός Ταλαντωτής


000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r

Περιγράφει τις πυρηνικές δυνάμεις με την ανταλλαγή μεσονίων

Πολύ στενό και βαθύ πηγάδι δυναμικού

Δυναμικό Yukawa


10 12 14 16 18Relative_Distance

40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )

Συνάρτηση Δυν Ενέργειας Leanard-Jones


dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF

Όταν η δύναμη είναι διατηρητική ορίζουμε μία συνάρτηση U(xyz) τέτοια ώστε το παραγόμενο έργο να δίνεται από την σχέση

Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU

Διατηρητικές Δυνάμεις (1 από 2)


0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F

Συνθήκη Cauchy

Θεώρημα Stokes

Ισχύει όταν



22 yx

jyixF

22 yx

jyixF

Ακτινικό Πεδίο με σταθερό μέτρο

Τετραπολικό Πεδίο

0 F

0 F

Μορφές Πεδίων


10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF

Οι ομόκεντροι κύκλοι αντιστοιχούν στη Δυναμική Ενέργεια και τα βέλη στις laquoΓραμμές Ροήςraquo

laquoΔυναμικές Γραμμέςraquo

Ακτινικό Πεδίο με μέτρο

21r

Ακτινικό Πεδίο


10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0

Έργο για κλειστή διαδρομή Ι


010 005 000 005 010

010

005

000

005

010

Έργο για κλειστή διαδρομή ΙΙ

crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000

Έργο για κλειστή διαδρομή ΙΙ κάτω αριστερό τέταρτο

crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C

Οι συνεχείς γραμμές αντιστοιχούν στις διαδρομές ολοκλήρωσης

jxiyF

22

Έργο που παράγει η δύναμη F


Πεδία με laquoΣτροβιλισμόraquo

Μαγνητικό Πεδίο Ευθύγραμμου αγωγού laquoΦυγοκεντρικόraquo Πεδίο

Στροβιλά Πεδία

Τέλος Ενότητας


Χρηματοδότηση bull Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα

bull Το έργο laquoΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνώνraquo έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού

bull Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος laquoΕκπαίδευση και Δια Βίου Μάθησηraquo και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους

Σημειώματα


Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 10


Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών Γεώργιος Βούλγαρης 2015 Γεώργιος Βούλγαρης laquoΓενική Φυσική Ενότητα 5 Έργο ενέργειαraquo Έκδοση 10 Αθήνα 2015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση httpopencoursesuoagrcoursesMATH115


Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 40 [1] ή μεταγενέστερη Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες διαγράμματα κλπ τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο laquoΣημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτωνraquo

[1] httpcreativecommonsorglicensesby-nc-sa40 Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση bull που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για

το διανομέα του έργου και αδειοδόχο bull που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση

στο έργο bull που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος

(πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση εφόσον αυτό του ζητηθεί


Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει

το Σημείωμα Αναφοράς

το Σημείωμα Αδειοδότησης

τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους


bull Βασική έννοια Μηχανική Ηλεκτρομαγνητική Χημική Θερμική

Πυρηνική κα Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη bull Μηχανική ενέργεια Λύση προβλημάτων μηχανικής α) 2ος νόμος Νεύτωνα δυναμική εξίσωση Χρονική εξέλιξη του συστήματος (θέση σαν συνάρτηση του

χρόνου) β) εξίσωση έργου ενέργειας όταν ενδιαφέρει η αρχική και

η τελική κατάσταση του σώματος (ταχύτητα) Συνήθως πιο εύχρηστη πχ όταν η δύναμη δεν είναι

σταθερή ή όταν το σύστημα είναι πολύπλοκο

Έργο - Ενέργεια



sFW

W=(F cosθ) s



Ισχύς



t

WP

PdW

dt

Fdt

dsFP



Εφαρμογές






F

FT

r

ds

B

AAB sdFW

W F dsAB TA

B

dsFdW

dWdrF

rdFdW

T

r

0



sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα








Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22




































sFW

W=(F cosθ) s



Ισχύς



t

WP

PdW

dt

Fdt

dsFP



Εφαρμογές






F

FT

r

ds

B

AAB sdFW

W F dsAB TA

B

dsFdW

dWdrF

rdFdW

T

r

0



sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα








Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































Ισχύς



t

WP

PdW

dt

Fdt

dsFP



Εφαρμογές






F

FT

r

ds

B

AAB sdFW

W F dsAB TA

B

dsFdW

dWdrF

rdFdW

T

r

0



sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα








Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































Εφαρμογές






F

FT

r

ds

B

AAB sdFW

W F dsAB TA

B

dsFdW

dWdrF

rdFdW

T

r

0



sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα








Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22






































F

FT

r

ds

B

AAB sdFW

W F dsAB TA

B

dsFdW

dWdrF

rdFdW

T

r

0



sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα








Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































sdFW

2

1

x

xx dxFW

)( 2

1

2

2212

1

2

1

mdm

dxdx

dmdx

dt

dmW

dx

d

dt

dx

dx

d

dt

da

x

xx

21

2K m

Η ποσότητα








Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22







































Μονάδες


Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































Ορισμός

(a) WPQ1=WPQ2

(b) WPQ= -WQP

Wολ=WPQ+ WQP=0





bull Τριβή


0Fds



i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22




































i

x

xxf

fi

x

xxc

UdxFU

UXUxUdxFW

f

i

f

i

)()(





2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22




































2

ˆ

r

rkmF

2

ˆ

r

rkqF










0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22










































0)(

UKUK

UK

KWC

ffii UKUK

fi EE

UKE







dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22




































dU

dxx

0)cos()cos(2

0

2

2

ddttT

T

Ελατήριο

21

2U x kx

0 cosx x t

F kx


21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































21

2U kx



000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































000)(

rr

er

rUrU

( )

2

2

( ( ) ( ))

1( ( ) )

1( )

o

o o

o o

o

r

ror o

r r

r ro oo

r r

r ro oo

o

r

roo

re

r

dF

dr

r rd dF e e

dr r r dr

r re e

r r r

re

r r






40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22




































40

20

20

40

Energy

U ra

r

b

r( ) 12 6

U r Ur

r

r

r

FU

r

( )

0

0

12

0

6

2

U

r

r

r

r

rr r

U r U

0

12 12 00

12

13

0

6

7 0

0 0( )



dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































dUdzFdyFdxFzyxUzyx

)(

222

111

222

111

222111

)()(zyx

zyx

zyx

zyx

zyxUzyxUdUrdF

)( kz

Uj

y

Ui

x

UF

UF


Wc=Ui-Uf

Wc=-ΔU



0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































0 dzFdyFdxFzy

c

x

y

F

z

F

z

F

x

F

x

F

y

F

zy

xz

yx

00 FrdF

0rdF

zyxFFF

zyx

kji

F






22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































22 yx

jyixF

22 yx

jyixF



0 F

0 F



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

23

22 yx

jyixF




21r



10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































10 05 00 05 10

10

05

00

05

10

crdF 0



010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































010 005 000 005 010

010

005

000

005

010


crdF 0


010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































010 008 006 004 002 000

010

008

006

004

002

000


crdF 0


0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22



































0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

O B

C


jxiyF

22


































Έργο - Ενέργεια...Ενότητα 5: Έργο, ενέργεια 17 հλαστική...

Documents

Transcript of Έργο - Ενέργεια...Ενότητα 5: Έργο, ενέργεια 17 հλαστική...