ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΠαρατηρήσειςΦθίνουσες Μηχανικές Ταλαντώσεις1.Η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου καθώς και από το σχήμα και το μέγεθος του αντικείμενου που κινείται2. Η συνιστάμενη δύναμη που ασκείται στο σώμα δίνεται από τη σχέση –Dx-bu=ma3.Στη σχεση A=Aoe-Λt o xρονος παίρνει τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου t=κT οπου κ=0,1,2,……4. Το Λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και την μάζα του σώματος που ταλαντώνεται5. Η αρχική ενέργεια Eo=1/2 D Ao

2 μετά από χρόνο t=κT γίνεται Ε=1/2 D Aκ

2 =Eo e-2Λt 6.Για ορισμένη τιμη της σταθεράς b η περίοδος Τ,η συχνότητα f και η γωνιακή συχνότητα ω είναι σταθερές και ανεξάρτητες του πλατους.Με αύξηση της σταθεράς b έχουμε μεγαλύτερο ρυθμό μείωσης του πλάτους (το πλάτος μειώνεται πιο γρήγορα)καθώς και μεγαλύτερο ρυθμό μείωσης της ενεργείας( η ενέργεια μειώνεται πιο γρήγορα) μικρή αύξηση της περιοδου,μικρη μείωση της (f) και της (ω ) που θα την θεωρούμε αμελητέα7. προσοχή στις γραφικές παραστάσεις 1.20 και 1.21 καθώς και στην απόδειξη Αο/Α1=Α1/Α2 =……=σταθ= eΛt

8. Αν μας ζητήσουν το έργο της δύναμης Fαντ θα χρησιμοποιούμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για να υπολογίσουμε την απώλεια της ενεργειας:Εαπωλ=Εαρχ-Ετελ και μετα

Εαπωλ=|W Fαντ|

9.Όταν ένα σώμα εκτελεί Ν ταλαντώσεις σε ένα χρονικο διαστημαΔt τοτε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης (η όποια είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια ) δίνεται από τη

σχέση=

ΔtN

Εξαναγκασμενες Μηχανικες ταλαντωσεις1.Ο διεγέρτης στην εξαναγκασμένη ταλάντωση επιβάλλει την συχνότητα του(f)2.Το πλάτος παραμένει σταθερό γιατί οι απώλειες ενέργειας αναπληρώνονται ανα περίοδο μέσω του έργου της Fεξ

3.To πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα f του διεγέρτη.(σχημα 1.26)4. Το πλάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισμό εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b.Συγκεκριμένα αύξηση της σταθεράς απόσβεσης προκαλεί μείωση του πλατους(σχημα 1.28)5. Στο συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά βέλτιστο τρόπο γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο6.Στις ταλαντώσεις με απόσβεση η συχνότητα συντονισμού είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνοτητα fo. Στο σχολικό βιβλίο αυτό δεν λαμβάνεται υποψη.Στις ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση η συχνότητα συντονισμού είναι ιση με την ιδιοσυχνοτητα του συστήματος και τότε το πλάτος γίνεται άπειρο7. Στο σώμα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση η συνισταμενη δύναμη δίνεται από την σχεση –Dx-bu+ Fεξ =ma 8. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος που αντιστοιχεί σε συχνότητα που τεινει στο μηδεν(f0)εξαρταται από τον τρόπο με τον όποιο προσφέρετε η ενεργεια .Στην

1

πειραματική διάταξη του σχολικού (Σχ1.27) τοπλατος της ταλάντωσης είναι ισο με την απόσταση του σημείου στο οποιο εχει προσδεθει το νήμα από το κεντρο του στρεφομενου τροχου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1.Στο συστημα ελατηριου-μαζας εκτος από την ελαστικη δυναμη επαναφορας ενεργουν δυναμη αντιστασης F=-b.u με b σταθερο και εξωτερικη περιοδικη δυναμη F`=F0συνωt με κυκλικη συχνοτητα ω που μπορει να μεταβαλλεται.Ποιες από τις παρακατω προτασεις είναι σωστες και γιατι;Α) Το συστημα ταλαντωνεται με συχνοτητα ω ιση με την γωνιακη ιδιοσυχνοτητα ω0

Β) Το πλατος της ταλαντωσης είναι ανεξαρτητο της κυκλικης συχνοτητας ω.Γ) Η συχνοτητα της ταλαντωσης είναι ιση με τη συχνοτητα της εξωτερικης περιοδικης δυναμηςΔ) Το πλατος της ταλαντωσης μεταβαλλεται αναλογα με τη συχνοτητα της εξωτερικης δυναμηςΕ) Σε κάθε περιοδο η ενεργεια που δινει ο διεγερτης στο συστημα είναι ιση με την ενεργεια που χανεται λογω των αποσβεσεωνΖ) Το πλατος της ταλαντωσης μειωνεται με τον χρονοΗ) Αν το συστημα βρισκεται σε συντονισμο οι απωλειες λογω των αποσβεσεων είναι μεγιστεςΘ) Σε μια περιοδο η απωλεια ενεργειας λογω των αποσβεσεων είναι η ιδια με την αντιστοιχη απωλεια αν η ταλαντωση ηταν φθινουσα

2.Σε αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί

και δύναμη αντίστασης F=−bυ . Όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b, η περίοδος της ταλάντωσης

α. αυξάνεται.β. ελαττώνεται.γ. μένει σταθερή.δ. αυξάνεται μέχρι να αποκτήσει ορισμένη τιμή και κατόπιν ελαττώνεται.

3. Σε αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί

και δύναμη αντίστασης F=−bυ . Σε χρόνο t1 το πλάτος μειώνεται από

A0

2 σε A0

4 και σε χρόνο t2 από

A0

6 σε

A0

12 . Η σχέση μεταξύ των χρονικών διαστημάτων t1 και t2 είναι

α. t1 = t2 β. t1=

t2

2γ. t1 = 2 t2 δ. t1 = 4 t2

4. Σε σύστημα μάζας - ελατηρίου εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς

ενεργούν δύναμη αντίστασης F1=−bυ και περιοδική δύναμη F=Fmax ημ2 π ft με ω που μπορεί να μεταβάλλεται. Τότε

α. το σύστημα ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του f0 .β. το πλάτος ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο της κυκλικής συχνότητας ω.γ. η συχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι ίση με τη συχνότητα της περιοδικής δύναμης.

2

δ. όταν αυξάνεται η συχνότητα της περιοδικής δύναμης, το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνει πάντοτε.

5.Η ιδιοσυχνότητα ενός ταλαντωτή εξαρτάταια. από το πλάτος της ταλάντωσης.β. από τη σταθερά απόσβεσης.γ. από την αρχική φάση.

δ. από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος

6.Σε μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση, ο διεγέρτης ταλαντώνεται με συχνότητα f που είναι μικρότερη από τη φυσική συχνότητα του ταλαντωτή. Αν αρχίσουμε να αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, ο ταλαντωτής

α. θα εξακολουθεί να ταλαντώνεται με τη φυσική του συχνότητα.β. θα ταλαντώνεται πάντα με τη συχνότητα του διεγέρτη.γ. το πλάτος του φορτίου θα αυξάνεται συνεχώς.

δ. το πλάτος της έντασης του ρεύματος θα αυξάνεται συνεχώς

7.Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί

και δύναμη αντίστασης F=−bυ , τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης διατηρείται σταθερή.

8.Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί

και δύναμη αντίστασης F=−bυ , με μεγάλη σταθερά απόσβεσης, η κίνηση γίνεται απεριοδική.

9.Στη φθίνουσα αρμονική ταλάντωση ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται το πλάτος δεν εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης.

10.Ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του μέγιστου φορτίου του ίδιου οπλισμού ενός πυκνωτή σε κύκλωμα R – L – C, που εκτελεί φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, μειώνεται με την πάροδο του χρόνου.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Σε ταλαντούμενο σύστημα μάζας - ελατηρίου εκτός από τη δύναμη επαναφοράς −kx , ενεργούν

i) μια δύναμη αντίστασης – bυ, όπου b η σταθερά απόσβεσης και υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της μάζας m και

ii) περιοδική δύναμη F=Fmaxημωt σταθερού πλάτους και μεταβλητής συχνότητας. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

α. Για τον ταλαντωτή θα ισχύει η εξίσωση Fmax ημωt−kx−bυ=m⋅α .

3

β. Αν η συχνότητα f εξ της περιοδικής δύναμης F είναι μικρότερη από την

ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντωτή και αρχίσει να αυξάνεται συνεχώς, το πλάτος της ταλάντωσης συνεχώς θα αυξάνεται.

γ. Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή είναι ίση με f 0=

12 π √ k

m .

δ. Όταν είναι f εξ< f 0 το σύστημα ταλαντώνεται με την ιδιοσυχνότητά του. 2. Η περίοδος μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης είναι Τ και το πλάτος της

ακολουθεί τον εκθετικό νόμο A=A0 e−Λt, όπου Λ σταθερή ποσότητα.

α. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους της ταλάντωσης είναι σταθερός.

β. Μετά από N1=18 πλήρεις ταλαντώσεις, που διαρκούν t1=13 , 86 s , το πλάτος

της ταλάντωσης είναι ίσο με

A0

2. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης, όταν

γίνουν ακόμα Ν2=72πλήρεις ταλαντώσεις.

3.Το πλάτος μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης ακολουθεί τον εκθετικό νόμο A=A0 e−Λt

, όπου A0 το αρχικό πλάτος και Λ σταθερή ποσότητα.

α. Σε πόσο χρόνο το πλάτος της ταλάντωσης θα γίνει A=

A0

2;

β. Αν για κάθε πλήρη ταλάντωση η επί τοις % ελάττωση της ολικής ενέργειας Ε της ταλάντωσης είναι 36%, να βρείτε την επί τοις % μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης.

4.Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά με

το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση A=A0 e−Λt. Τη χρονική στιγμή t0=0 η ολική

ενέργεια του ταλαντωτή είναι E0 .

α. Μετά πόσο χρόνο t1 η ενέργεια του ταλαντωτή θα γίνει E1=

E0

2;

β. Πόση είναι η ενέργεια του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t2=3 t1 ;

5. Στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας m = 1 kg το οποίο μπορεί να κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου στερεώνεται σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά Α0 = 0,2 m και το αφήνουμε ελεύθερο.

Λόγω τριβών το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται κατά 20% μετά από κάθε πλήρη ταλάντωση.

α. Ποια είναι η ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντωτή; β. Πόση ενέργεια αφαιρείται από τον ταλαντωτή μέσω του έργου των τριβών στη διάρκεια της πρώτης περιόδου;

4

γ. Πόση ενέργεια πρέπει να μεταφερθεί στον ταλαντωτή μέσω του έργου εξωτερικής αρμονικής δύναμης σε χρόνο t = 62,8 s, ώστε να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με συχνότητα f0;

[Απ. (α)

5π

Hz (β) 0,72 J (γ) 72 J]

6.Ένα σύστημα σώμα (m=1Kg) –ελατήριο ιδιοσυχνοτητας f=5/2 π Hz τίθεται σε γραμμική ταλάντωση τη χρονική στιγμή t=0 με πλάτος Α0=10cm. Στο σύστημα ασκείται δύναμη αντίστασης ανάλογη της ταχύτητας( F’=-b.u όπου b=0,1Kg/s) με συνέπεια το πλάτος της να μειώνεται εκθετικά σύμφωνα με τη σχέση ΑΚ=Αο.e-Λt . Μετά από 18 πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος της ταλάντωσης Α0/41.Να βρεθεί το πλάτος όταν γίνουν ακόμη 27 πλήρεις ταλαντώσεις2.Να βρεθεί η χρονική στιγμή που η ενέργεια της ταλάντωσης έχει τιμή Εο/2 οπου Εο η τιμή της την χρονική στιγμή t=03. Να υπολογιστεί η απώλεια της ενέργειας της ταλάντωσες στο χρονικό διάστημα που το αρχικό πλάτος μειώθηκε κατα80%Β. Αν το σύστημα σώμα – ελατήριο εκτελούσε εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης με συχνότητα ιση με την ιδιοσυχνοτητα του να γραφεί η σχέση της εξωτερικής περιοδικής δυναμης σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση

5