ΦΥΣΙΚΗ - syn.fro.gr · ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΗΣ Β....

ΦΥΣΙΚΗΑ΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΓΓΕΛΗΣ Β.

ΑΛΕΞΙΟΥ Β.

ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ Π.

ΑΝΑΣΤΑΣΑΚΗΣ Ν.

ΑΝ∆ΡΙΟΠΟΥΛΟΣ Γ.

ΒΑΓΙΟΝΑΚΗΣ Ι.

ΒΑΡΒΑΡΑΣ Ι.

ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ Γ.

ΒΕΪΤΗΣ Β.

ΓΑΒΡΙΕΛΗΣ ∆.

ΓΑΖΗΣ Α.

ΓΕΩΡΓΙΟΥ Β.

ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ Π.

ΓΙΟΜΠΛIΑΚΗΣ Λ.

ΓΚΡΟΣ Γ.

ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗΣ Γ.

∆ΑΜΙΑΝΟΣ ΣΠ.

∆ΕΛΗΓΙΑΝΝΗ Μ.

∆ΕΡΜΙΤΖΑΚΗ Μ.

∆ΗΜΟΣ Ι.

∆ΡΑΚΑΚΗΣ Κ.

∆ΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Α.

ΖΕΛΙ∆ΗΣ Χ.

ΖΗΣΑΚΟΣ Β.

ΘΕΟ∆ΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Σ.

ΚΑΛΙΜΑΝΗΣ Ι.

ΚΑΛΠΟΥΖΑΝΗ M.

ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Ν.

ΚΑΡΑΓΙΩΡΓΟΣ Π.

Συγγραφική οµάδα:

Πανελλαδικά Συνεργαζόµενα ΦροντιστήριαΤµήµα Φυσικής:

ΚΑΤΣΑΝΑΚΗΣ Α.

ΚΑΤΣΙΑΟΥΝΗΣ Κ.

ΚΟΛΛΙΑΣ Κ.

ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΑΚΟΥ Ν.

ΚΟΥΝΤΟΥΡΗΣ Π.

ΚΟΥΡΟΣ ∆.

ΚΟΥΤΣΟΝΙΚΑ Ε.

ΚΡΗΤΙΚΟΣ Ι.

ΚΥΡΙΑΚΑΤΗ Α.

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΟΣ Κ.

ΛΑΖΙ∆ΟΥ Μ. - ΜΙΤΟΓΛΟΥ

ΛΙΜΟΣ Λ.

ΛΙΝΑΚΗΣ Κ.

ΛΙΝΑΡ∆ΟΥ Σ.

ΛΟΥΒΕΡ∆ΗΣ Σ.

ΛΟΥΠΑΚΗΣ Σ.

ΜΑΝ∆ΡΑΒΕΛΗΣ Π.

ΜΑΣΤΡΑΛΕΞΗΣ ∆.

ΜΑΤΣΟΣ Γ.

ΜΑΥΡΟΜΙΧΑΛΗΣ Κ.

ΜΙΣΙΡΛΗΣ Σ.

ΜΙΧΑΛΑΡΙΑΣ Χ.

ΜΟΣΧΟΒΟΣ Β.

ΜΠΑΛΤΑΣ Κ.

ΜΠΕΜΠΗΣ Σ.

ΜΠΕΡΤΖΕΛΕΤΟΣ Γ.

ΜΠΙΖΕΛΗΣ ∆.

ΝΤΡΕΣ Σ.

ΠΑΛΑΪΝΗΣ Γ.

ΠΑΝΙ∆ΗΣ Α.

ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ Κ.

ΠΑΠΑ∆ΑΚΗΣ Β.

ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΣΤ.

ΠΑΠΑΛΕΞΙΟΥ Γ.

ΠΑΠΑΜΙΧΑΗΛ Σ.

ΠΑΠΑΠΟΣΤΟΛΟΥ Ι.

ΠΑΠΠΟΥΣ ΧΡ.

ΠΑΡΧΑΣ Θ.

ΠΕΡ∆ΙΚΑKΗΣ Ν.

ΠΕΤΡΙ∆ΗΣ Α.

ΠΙΤΕΡΟΣ Τ.

ΠΥΡΙΟΧΟΥ Β.

ΡΟΥΠΑΚΑΣ Γ.

ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ Ι.

ΣΑΛΤΑΡΗ Μ.

ΣΙΟΥΤΑΣ ΑΠ.

ΣΚΟ∆ΡΑΣ ∆.

ΣΤΑΘΗΣ Γ.

ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ Χ.

ΤΕΠΕΤΕΣ Ν.

ΤΟΥΜΠΗΣ ∆.

ΤΟΥΝΤΑΣ Κ.

ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙ∆ΗΣ Γ.

ΤΡΟΥΛΛΙΝΟΣ Γ.

ΤΣΑΠΡΟΥΝΗΣ Ι.

ΦΡΑΓΚΟΥΛΙ∆ΗΣ Π.

ΧΑΤΖΗΜΑΡΙΝΑΚΗΣ ΣΤ.

ΧΙΩΤΑΚΗ Ζ.

Eκτύπωση Μάρτιος 2003

Εκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε

Λ. Ιωνίας 166 • 111 44 ΑΘΗΝΑ • τηλ.: 210 95 46 000

Copyright Eκδοτικές Επιχειρήσεις Η. ΜΑΝΙΑΤΕΑ Α.Ε.

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του παρόντος βιβλίου, µε οποιονδήποτε

τρόπο, χωρίς την έγγραφη άδεια του Εκδοτικού Οίκου.

∆ / ΝΣΗ Εκπαιδευτικής σειράς: Α. ΖΥΡΜΠΑΣ

Ηλ. Σελιδοποίηση - Γραφικά:

Β. ΑΝΑΤΟΛΙΤΗ, Β. ΚΑΚΑΛΗΣ, Σ. ΑΧΙΛΛΙΑ

Περιέχει: Όλη την ύλη της Α΄ Λυκείου, σύµφωνα µε το αναλυτικό πρόγραµµα

του Υπουργείου Παιδείας.

• Με θεωρία - Μεθοδολογία ασκήσεων.

• Παραδείγµατα - Ερωτήσεις - Ασκήσεις µε τις απαντήσεις τους.

• Τεστ πολλαπλής επιλογής - Εύρεσης σωστού - λάθους

Συµπλήρωσης κενών - Αντιστοίχισης - Σύντοµης απάντησης.

• Κριτήρια αξιολόγησης - Ανά κεφάλαιο και επαναληπτικά.

Θέµατα που κινούν τη σκέψη και βοηθούν στο σωστο τρόπο µάθησης.


περιεχόµενα

1ο κεφάλαιο

1. Ευθύγραµµη κίνσηση ...................................................................... 13


2. ∆υναµική σε µία διάσταση .............................................................. 35


3. ∆υναµική στο επίπεδο ..................................................................... 61

4. ∆εύτερος νόµος Νεύτωνα για οµοεπίπεδες δυνάµεις .................... 77

5. Οριζόντια βολή ................................................................................ 107

6. Οµαλή κυκλική κίνηση ................................................................... 119


7. Νόµος παγκόσµιας έλξης - Πεδίο βαρύτητας ................................ 139


8. ∆ιατήρηση ορµής............................................................................. 157


9. ∆ιατήρηση της µηχανικής ενέργειας ............................................... 173

10. Συντηρητικές δυνάµεις .................................................................. 193

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Αγαπητοί συνάδελφοι,

Φίλοι µαθητές και µαθήτριες

Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο “ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα” δηµιουργήθηκε

από µια ιδέα µας για το περιοδικό “Εξετάσεις” της Ελευθεροτυπίας. Παρουσιάσαµε

στην εφηµερίδα τα µαθήµατα, όπως γίνονται στον πίνακα, δηµιουργώντας για το

σκοπό αυτό την πολυπληθέστερη συγγραφική οµάδα που έχει ποτέ συσταθεί,

προσπαθώντας την εµπειρία της τάξης να την αποτυπώσουµε στο χαρτί. Τη

συγγραφική οµάδα αποτελούν καθηγητές συγγραφείς καταξιωµένοι στη συνείδηση

γονιών και µαθητών για την ποιότητα της δουλειάς τους.

Η συλλογική αυτή προσπάθεια, εµπλουτισµένη, σε σχέση µε το υλικό που παρου-

σιάστηκε στην εφηµερίδα, απευθύνεται, αφενός στον καθηγητή που θέλει να

παρουσιάσει το µάθηµά του στην τάξη µε µια µεθοδικότητα, αφετέρου στο φιλόπονο

µαθητή που θέλει να διαβάσει, να µελετήσει και να κατανοήσει την ύλη, χωρίς να

σπαταλήσει τον πολύτιµο χρόνο του.

Γι’ αυτό κάθε µάθηµα ολοκληρώνεται σ’έναν τόµο. Στο βιβλίο που κρατάτε στα

χέρια σας περιέχονται µια σειρά από νέες, στην Ελληνική βιβλιογραφία, ασκήσεις

καθώς και συνδυαστικά θέµατα.

Ο σκοπός µας: να δηµιουργήσουµε ένα “εργαλείο δουλειάς” για όλους µας.

Η ύλη χωρίστηκε σε 10 ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα που το καθένα περιέχει:

Τις απαραίτητες γνώσεις θεωρίας, µε παρατηρήσεις για βαθύτερη κατανόηση.

Τη µεθοδολογία ασκήσεων, στις κίτρινες σελίδες.

Λυµένα παραδείγµατα, στα οποία καταδεικνύεται η µεθοδολογία επίλυσής τους.

Τα προτεινόµενα θέµατα µε τις απαντήσεις τους, στις µπλέ σελίδες.

Το “ξεχωριστό θέµα”, που περιέχει ένα ή περισσότερα συνδυαστικά θέµατα και τέλος

Ένα διαγώνισµα στις πράσινες σελίδες.

Όσοι από τους συναδέλφους επιθυµούν να έχουν τις λύσεις των ασκήσεων, για έλεγχο

των απαντήσεων, µε χαρά θα τις στείλουµε αν επικοινωνήσουν µαζί µας. Επίσης, θα

θέλαµε κρίσεις, παρατηρήσεις, καθώς και επισηµάνσεις γι’ αυτή µας την προσπάθεια,

ώστε η γόνιµη αυτή ανταλλαγή απόψεων να βοηθήσει στη βελτίωση των µελλοντικών

µας εκδόσεων.

Η συγγραφική οµάδα

Τυπολόγιο 1ου Κεφαλαίου

ταχύτητα: ∆x

υ∆t

=

µέση ταχύτητα: µ

sυ

t=

επιτάχυνση: ∆υ

α∆t

=

Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: υ σταθ=

, ∆x υ ∆t= ⋅ ή x υt=

Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη: α σταθ=

0υ υ αt= ±

20

1x υ t αt

2= ± 2

0υ υ 2αx= ±

Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη και σταµατά 0υtα

=2

0υS2α

=

Ευθύγραµµη κίνηση

1 Ευθύγραµµη κίνηση

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Χρονική στιγµή - χρονική διάρκεια - θέση - µετατόπιση - διάστηµα.

Η χρονική στιγµή t προσδιορίζει το πότε συµβαίνει ένα γεγονός ενώ η χρονική διάρκεια

2 1∆t t t= − που είναι η διαφορά δύο χρονικών στιγµών καθορίζει το πόσο διαρκεί ένα φαινόµενο.

Κάθε ευθύγραµµη κίνηση την εφοδιάζουµε µε έναν προσανατολισµένο άξονα, η διεύθυνση του

οποίου συµπίπτει µε την ευθεία της κίνησης. Έτσι διάνυσµα θέσης x

είναι το διάνυσµα που έχει

αρχή την αρχή του άξονα και τέλος το σηµείο του άξονα στο οποίο βρίσκεται το κινητό. Η

αλγεβρική τιµή του διανύσµατος προσδιορίζει τη θέση του κινητού µια δεδοµένη χρονική στιγ-

µή. Η µετατόπιση είναι η µεταβολή του διανύσµατος της θέσης 2 1∆x x x= −

. Είναι ένα διάνυ-

σµα µε αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική.

Αν 2 1x x> τότε ∆x 0> και το κινητό κινείται προς την θετική κατεύθυνση, ενώ αν 2 1x x< τότε

∆x 0< και κινείται κατά την αρνητική κατεύθυνση. Το διάστηµα είναι το µήκος της συνολικής

διαδροµής που διάνυσε το κινητό και είναι µονόµετρο µέγεθος µε θετική πάντα τιµή.

ΤαχύτηταΗ µέση (διανυσµατική) ταχύτητα εκφράζεται µε το πηλίκο της µετατόπισης προς το χρονικό

διάστηµα στο οποίο πραγµατοποιήθηκε.

2 1

µ

2 1

∆x x xυ

∆t t t

−= =−

Αν ∆x 0> τότε και υ 0> , αν ∆x 0< τότε και υ 0< .

Μονάδες µέτρησης στο (S.Ι) είναι το 1 m/s. Στην πράξη χρησιµοποιούµε, το 1km/h.

Η µέση αριθµητική ταχύτητα είναι αυτή που παρουσιάζει πρακτικό ενδιαφέρον και ισούται µε

το πηλίκο του διανυθέντος διαστήµατος προς το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

µ

sυ

t=

H στιγµιαία ταχύτητα ισούται µε την τιµή που τείνει να πάρει η µέση διανυσµατική ταχύτητα όταν

14. Ευθύγραµµη κίνηση

το χρονικό διάστηµα γίνεται πολύ µικρό. Αναφέρεται σε χρονική στιγµή και είναι ο ρυθµός

µεταβολής της θέσης.

Ευθύγραµµη οµαλή κίνησηΚίνηση κατά την οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα διατηρεί σταθερό το διάνυσµα της

ταχύτητας. Έτσι σε ίσα χρονικά διαστήµατα οι µετατοπίσεις του είναι ίσες.

Η µέση και η στιγµιαία ταχύτητα ταυτίζονται. Έτσι :

( )0 0

∆xυ ∆x υ ∆t x x υ t t

∆t= ⇒ = ⋅ ⇒ − = −

και τελικά προκύπτει η εξίσωση της κίνησης : ( )0 0x x υ t t= + −

Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= (αρχικός χρόνος) είναι 0x 0= (αρχική θέση) τότε : x υ t= ⋅

Επιτάχυνση - Ευθύγραµµα οµαλά µεταβαλλόµενη κίνησηΗ επιτάχυνση είναι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή.

∆υα

∆t=

µονάδα µέτρησης στο SI : 1m / s2.

Μία κίνηση χαρακτηρίζεται επιταχυνόµενη όταν αυξάνεται το µέτρο της ταχύτητας και επιβρα-

δυνόµενη όταν το µέτρο της ταχύτητας µειώνεται. Στην επιταχυνόµενη κίνηση ταχύτητα και

επιτάχυνση έχουν ίδια κατεύθυνση ενώ στην επιβραδυνόµενη αντίθετη.

15.Ευθύγραµµη κίνηση

Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνησηΚίνηση στην οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα µεταβάλλει την ταχύτητά του µε σταθερό

ρυθµό. ∆ηλαδή σε ίσα χρονικά διαστήµατα παρατηρούνται ίσες µεταβολές της ταχύτητας. Η

επιτάχυνση της κίνησης διατηρείται σταθερή.

Εξίσωση ταχύτητας :

( ) ( )0 0 0 0

∆υα ∆υ α ∆t υ υ α t t υ υ α t t

∆t= ⇒ = ⋅ ⇒ − = − ⇒ = + −

Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= είναι 0υ υ= τότε : 0υ υ αt= +

Τέλος αν τη χρονική στιγµή 0t 0= είναι 0υ 0= : υ αt=Εξίσωση κίνησης :

20

1∆x υ ∆t α∆t

2= ⋅ +

Αν τη χρονική στιγµή t0 = 0 είναι x = 0 τότε : 2

0

1x υ t αt

2= ⋅ +

Τέλος αν τη χρονική στιγµή t0 = 0 είναι x

0 = 0 και υ

0 = 0 :

21x t

2= α

Β. ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

∆ιαγράµµατα και πληροφορίες που παρέχουν

α. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= :

Αν υ > 0 Αν υ < 0Το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στη γραφική παράσταση και τον άξονα των

χρόνων είναι ίσο αριθµητικά µε την µετατόπιση ∆x του κινητού στο χρονικό διάστηµα

∆t. Όταν η ταχύτητα είναι θετική το εµβαδόν θα λαµβάνεται µε θετικό πρόσηµο και η

µετατόπιση θα προκύπτει θετική. Όταν η ταχύτητα είναι αρνητική το εµβαδόν θα λαµ-

βάνεται µε αρνητικό πρόσηµο και η µετατόπιση θα προκύπτει αρνητική.


∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου ( )x f t= :

Αν x = υt και υ > 0.

Η κλίση της ευθείας αριθµητικά, είναι ίση µε την ταχύτη-τα της κίνησης.

∆x x 0 xεφω υ

∆t t 0 t

−= = = =−

Αν 0x x υt= + και υ 0>

0 0

0

x x x x∆xεφω υ

∆t t t t

− −= = = =

−

Αν 0x x υt= + και υ 0<

Στο διπλανό διάγραµµα το κινητό ξεκινάει από την θέση x0

του θετικού ηµιάξονα και κινείται µε αρνητική ταχύτητα την

χρονική στιγµή t1 φτάνει στην αρχή του άξονα και συνεχίζει

να κινείται µε την ίδια ταχύτητα στον αρνητικό ηµιάξονα µέ-

χρι τη χρονική στιγµή t2 .

Ισχύει :

0

1

0 x∆xυ εφω

∆t t 0

−= − = =

− ή 2

2 1

x 0υ

t t

−=

−Το πρόσηµο της ταχύτητας είναι ίδιο µε το πρόσηµο της µετατόπισης ∆x. Μπορεί η θέσηνα είναι θετική και η ταχύτητα αρνητική.

β. Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= :

Αν 0υ υ αt= + και 0υ 0> , α 0>Η κλίση της ευθείας αριθµητικά είναι ίση µε την επιτά-χυνση της κίνησης

0 0

0

υ υ υ υ∆υεφω α

∆t t t t

− −= = = =

−

Αν υ αt= και α 0>∆υ υ 0

εφω α∆t t 0

−= = =−

Σε κάθε διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου αποδεικνύεται ότι το εµβαδόν που περικλείε-ται ανάµεσα στην καµπύλη και στον άξονα των χρόνων αριθµητικά είναι ίσο µε τηνµετατόπιση ∆x για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.


∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου ( )x f t= :

20

1x υ t αt

2= ⋅ + ή 21

x αt2

= , αν 0υ 0=

Η κλίση της καµπύλης αριθµητικά είναι ίση µε την ταχύτη-τα την συγκεκριµένη χρονική στιγµή. Παρατηρούµε ότι ηκλίση αυξάνεται.

∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου ( )x f t= :Το εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ της γραφικής πα-ράστασης και του άξονα των χρόνων αριθµητικά είναιίσο µε την µεταβολή της ταχύτητας για το αντίστοιχοχρονικό διάστηµα.

( )αρ

2 1Ε α ∆t α t t ∆υ= ⋅ = − =

γ. Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνησηΘεωρούµε την ταχύτητα θετική και την επιτάχυνση αρνητική (επιβράδυνση).

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου

0υ 0> , α 0<

00 υ∆υα εφω

∆t t 0

−= = = −

−αρ

∆x E=

∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου ∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου

20

1x υ t αt

2= ⋅ −

Η κλίση της καµπύλης (στιγµιαία ταχύτητα) µειώνεται.Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνοµένη κίνηση ισχύουν:

0υ υ αt= − και 20

1x υ t αt

2= ⋅ − , όπου α: µέτρο της επιβράδυνσης


Μετατόπιση στην διάρκεια κάποιου δευτερόλεπτουΑν για παράδειγµα ζητείται η µετατόπιση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη κίνηση κατά τη διάρκεια του 4ου δευτερολέπτου εργαζόµαστε ως εξής :

Υπολογίζουµε την θέση του κινητού την χρονική στιγµή 3t 3s= και την χρονική στιγµή

4t 4s= . ∆ηλαδή (υποθέτουµε 0t 0= , 0x 0= ):

23 0 3 3

1x υ t αt

2= ⋅ + και

24 0 4 4

1x υ t αt

2= ⋅ +

Η ζητούµενη µετατόπιση ισούται µε : 4 3∆x x x= −Η παραπάνω µετατόπιση µπορεί να υπολογιστεί και γραφικά από το εµβαδόν σε διάγραµ-

µα υ t− .

Όταν εξετάζουµε ταυτόχρονη κίνηση δύο κινητών πρέπει να προσδιορίζουµε τις µετα-

τοπίσεις, τις ταχύτητες, τις επιταχύνσεις, τους χρόνους και τις θέσεις και για τα δύο

κινητά και αν είναι απαραίτητο να σχεδιάζουµε τα διαγράµµατα ταχύτητας - χρόνου και

θέσης - χρόνου σε κοινό σύστηµα αξόνων.

Η σχέση που συνδέει την ταχύτητα µε την µετατόπιση είναι 20υ υ 2αs= ± (ανεξάρτητη

του χρόνου ). Αποδεικνύεται στο παράδειγµα 5.

Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση όπου το κινητό τελικά σταµατά, ο

ολικός χρόνος και το ολικό διάστηµα µέχρι να σταµατήσει είναι:

( )0 0υ υ αt υ

t 1υ 0 α

= − ==

( )12

0

1S υ t αt

2= − ⇒

20 0

0 2

υ υ1S υ α

α 2 α= − ⋅ ⇒

20υS

2α=

Παράδειγµα 1∆ύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραµµα οµαλά πάνω στον ίδιο δρόµο και προς την ίδια

κατεύθυνση, το πρώτο µε ταχύτητα 1υ 144 Km / h= και το δεύτερο µε ταχύτητα

2υ 72Km / h= . Τη στιγµή 0t 0= το πρώτο κινητό βρίσκεται 1000 m πίσω από το δεύτερο.

α. Ποια χρονική στιγµή και σε πόση απόσταση από την αρχική θέση του κινητού Α θασυναντηθούν τα δύο κινητά ;

β. Ποια χρονική στιγµή θα απέχουν 500m για δεύτερη φορά;Λύση:

α. Για τα µέτρα των ταχυτήτων των δύο κινητών έχουµε: 2υ 72km / h 20m / s= = ενώ

1υ 144km / h 40m / s= = . Θεωρώντας σαν αρχή του άξονα την αρχική θέση του κινητού Α

έχουµε για τη στιγµή της συνάντησης:


1x υ t= ⋅ (1) και 2x d υ t= + ⋅ (2). Απο τις (1) και (2) παίρνουµε :

1 21 2

dυ t d υ t t 50s

υ υ⋅ = + ⋅ ⇒ = =

−Με αντικατάσταση στη σχέση (1) : x 2000m=

β. Για τη χρονική στιγµή t΄ που το κινητό Α θα βρίσκεται 500 m µπροστά από το Β ισχύει :

1 1x υ t΄= ⋅ (3) και 2 2x d υ t '= + ⋅ (4)

Αλλά ( )1 2 1 2x x s υ t΄ d υ t ' s t ' 75s− = ⇒ ⋅ − + ⋅ = ⇒ =

Παράδειγµα 2Για ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα το διάγραµµα θέ-σης - χρόνου δίνεται στο διπλανό σχήµα.Να υπολογιστούν :

α. Η µετατόπιση του κινητού στο χρονικό διάστηµα από

t 0= µέχρι t 5s= .β. Το διάστηµα που διήνυσε το κινητό σε 5 sec.γ. Να γίνει το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου.

Λύση:

α. ∆x 10m 0 10m= − − = −β. ( )

ολS 10 10 10 m 30m= + + =

γ. Είναι : 11

1

∆x 10mυ 10m / s

∆t 1s= = =

2

22

∆xυ 0

∆t= =

3

33

∆x 20mυ 10m / s

∆t 2s

−= = = −

Παράδειγµα 3

∆ύο λεωφορεία Α και Β µε µήκος 12m = κινούνται σε ευθύγραµµο δρόµο µε την ίδια

κατεύθυνση και ταχύτητες Α

υ 16m / s= και Bυ 20m / s= . Το λεωφορείο Β βρίσκεται


πίσω από το λεωφορείο Α και το πλησιάζει. Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται να προσπε-ράσει το ένα λεωφορείο το άλλο καθώς και το διάστηµα που θα διανύσει το λεωφορείο Α.Λύση:

Ο ζητούµενος χρόνος ∆t είναι ο χρόνος από τη στιγµή που το µπροστινό µέρος του λεωφορεί-

ου Β φτάνει το πίσω µέρος του λεωφορείου Α µέχρι τη στιγµή που το πίσω µέρος του λεωφο-

ρείου Β περνά το µπροστά µέρος του λεωφορείου Α.

A ΑS υ ∆t= ⋅ και

Β A ΒS S 2 υ ∆t= + = ⋅

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει :

Α Β Β Α

Β Α

2υ ∆t 2 υ ∆t υ ∆t υ ∆t 2 ∆t 6s

υ υ⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ = =

−

Το διάστηµα που διανύει το λεωφορείο Α σε αυτό το χρόνο είναι :

A ΑS υ ∆t 16 6m 96m= ⋅ = ⋅ =

Παράδειγµα 4

Μοτοσικλέτα κινείται µε σταθερή ταχύτητα Mυ 20m / s= . Κάποια χρονική στιγµή που

βρίσκεται πριν από ένα φανάρι απόσταση d 80m= , αυτοκίνητο που βρίσκεται στο φανάριξεκινάει προς την ίδια κατεύθυνση έχοντας σταθερή επιτάχυνση 24m / s , προπορευόµενο

της µοτοσυκλέτας. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση στην οποία η µοτοσικλέτα θα πλησιά-σει το αυτοκίνητο.Λύση:Για όσο χρόνο το αυτοκίνητο έχει µικρότερη ταχύτητα από τη µοτοσικλέτα τα δύο οχήµατα

πλησιάζουν. Όταν το αυτοκίνητο αποκτήσει µεγαλύτερη ταχύτητα από τη µοτοσικλέτα τα δύο

οχήµατα θα αποµακρύνονται.

Τη στιγµή που η απόσταση θα γίνει ελάχιστη (dmin) θα πρέπει οι ταχύτητες των δύο οχηµάτων

να είναι ίσες, δηλαδή : υΑ = υ

Β = 20m/s.

O χρόνος που χρειάστηκε το αυτοκίνητο για να αποκτήσει αυτή την ταχύτητα είναι

Αυ α t t 5s= ⋅ ⇒ =Τα διαστήµατα που διάνυσαν τα δύο οχήµατα αντίστοιχα είναι:

M MS υ t 100m= ⋅ = , 2A

1S α t 50m

2= ⋅ =

Όµως από το σχήµα έχουµε: α M min min

d S S d d 30m+ = + ⇒ =


Παράδειγµα 5 (Ανεξάρτητη του χρόνου)

Αυτοκίνητο επιταχύνεται οµαλά σε ευθύγραµµο δρόµο µε επιτάχυνση µέτρου 24m / s . Αν

το αυτοκίνητο σε κάποιο χρονικό διάστηµα µετατοπίζεται κατά x 100m= και αποκτά ταχύ-

τητα 2υ 30 m / s= να βρεθεί η ταχύτητα στην αρχή του χρονικού διαστήµατος καθώς και το

χρονικό διάστηµα αυτό.Λύση:

2 1υ υ α t= + ⋅

21

1x υ t α t

2= ⋅ + ⋅

Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο : 2 1υ υt

α

−=

Και µε αντικατάσταση στη δεύτερη :

2 2 2 22 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1

1

υ υ υ υ υ υ υ υ 2υ υ υ1x υ α

α 2 α α 2α

− − ⋅ − − ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + ⇒

2 22 22 1

1 2 1

υ υx υ υ 2αx υ 10m / s

2α

−= ⇒ = − ⇒ =

Ο ζητούµενος χρόνος εποµένως είναι : 2 1υ υt 5s

α

−= =

Παράδειγµα 6Για κινητό που κινείται ευθύγραµµα και την χρονική στιγ-

µή 0t 0= βρίσκεται στη θέση 0x 0= και έχει ταχύτητα

0υ 10m / s= δίνεται το διπλανό διάγραµµα επιτάχυνσης -

χρόνου. Με τη βοήθεια του διαγράµµατος να υπολογιστεί η

ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγµή t 8s= και να γί-νουν τα διαγράµµατα ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου.Λύση:

Για το χρονικό διάστηµα 1 1 0∆t t t 3 0 3s= − = − = το κινητό επιταχύνεται οµαλά. Η µεταβολή

της ταχύτητας ισούται µε το εµβαδό του σχήµατος ΟΑΒΓ. Είναι

21∆υ 5m / s 3s 15m / s= ⋅ = , αλλά 1 1 0∆υ υ υ= − οπότε :

1 1 0υ ∆υ υ 25m / s= + =

Για το χρονικό διάστηµα ( )2 2 1∆t t t 5 3 s 2s= − = − = το κινητό κινείται ευθύγραµµα οµαλά

µε ταχύτητα 2 1υ υ 15m / s= = . 2∆υ 0= .

Τέλος για το χρονικό διάστηµα ( )3 3 2∆t t t 8 5 s 3s= − = − = το κινητό επιβραδύνεται οµαλά.


Η µεταβολή της ταχύτητας ισούται µε

3 ∆ΖΗΘ 3 2∆υ E υ υ 30m / s= − ⇒ − = − 3υ 5m / s⇒ = −Το αρνητικό πρόσηµο στην τελική τιµή της ταχύτητας σηµαί-

νει ότι το κινητό έχει αντιστρέψει την φορά κίνησής του. Ου-

σιαστικά επιταχύνεται πλέον κατά την αρνητική κατεύθυνση

του άξονα.

Απο το διπλανό διάγραµµα :

1

10 25∆x 3m 52,5m

2

+= ⋅ =

2∆x 25 2m 50m= ⋅ =

3

25 2,5∆x m 31, 25m

2

⋅= =

( )4

0,5 5∆x 1,25m

2

⋅ −= = −

Παράδειγµα 7Αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 20 m/s. Ο οδηγός , του οποίου ο χρόνος αντίδρασης είναι0,5 s, αντιλαµβάνεται κόκκινο φανάρι σε απόσταση 50 m.

α. Αν η επιβράδυνση του αυτοκινήτου έχει τιµή 4 m/s2 , θα προλάβει το αυτοκίνητο νασταµατήσει πρίν το φανάρι ;

β. Αν όχι ποια θα έπρεπε να είναι η τιµή της επιβράδυνσης για να σταµατήσει έγκαιρα;Λύση:

α. Το αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 0υ 20 m / s= για χρόνο 1∆t 0,5s= και διανύει

διάστηµα 1 0 1∆x υ ∆t 10m= ⋅ = . Συνεπώς για την επιβραδυνόµενη κίνηση αποµένουν

( )2∆x 50 10 m 40m= − = .

Για να σταµατήσει το αυτοκίνητο απαιτείται χρόνος 2∆t .

Από την εξίσωση της ταχύτητας :

00 2 2

υ0 υ α ∆t ∆t 5s

α= − ⋅ ⇒ = =

Στον χρόνο αυτό το αυτοκίνητο θα διένυε:

' 22 0 2 2

1∆x υ ∆t α ∆t 50m

2= ⋅ − ⋅ =

Επειδή 2 2∆x ' ∆x> δεν προλαβαίνει να σταµατήσει.

β. Έστω α1 το µέτρο της απαιτούµενης επιβράδυνσης για να σταµατήσει έγκαιρα σε χρόνο ∆t΄

καλύπτοντας απόσταση ∆x2. Είναι:

( )' ' 00 1

1

υ0 υ α ∆t ∆t 1

α= − ⋅ ⇒ =


( )( ) 21

2' ' 202 0 1 2 1

1

υ1∆x υ ∆t α ∆t ∆x α 5m / s

2 2 α= ⋅ − ⋅ ⇒ = ⇒ =

Παράδειγµα 8∆ροµέας των 200 m ξεκινάει από την ηρεµία και κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτά-

χυνση 21α 3m / s= µέχρις ότου αποκτήσει ταχύτητα 1υ 12m / s= την οποία και διατηρεί

µέχρι τη θέση που βρίσκεται 56 m πριν τον τερµατισµό. Στη συνέχεια λόγω κόπωσηςεπιβραδύνεται οµαλά και τερµατίζει σε συνολικό χρόνο 20s.Να βρεθεί η επιβράδυνση και η ταχύτητα τερµατισµού.Λύση:

Για την επιταχυνόµενη κίνηση ισχύει :

1 1 1 1υ α ∆t ∆t 4s= ⋅ ⇒ =

21 1 1

1∆x α ∆t 24m

2= =

Στην συνέχεια µε την σταθερή ταχύτητα υ1 µετατοπίζεται κατά

22 1 2 2

1

∆x∆x υ ∆t ∆t

υ= ⋅ ⇒ = (1)

Aλλά 2∆x 200m 24m 56m 120m= − − =

Εποµένως από την (1) 2∆t 10s= και 3∆t 20s 14s 6s= − =

Τέλος για την επιβραδυνόµενη έχουµε :

( )2 23 1 3 2 3 2

1 8∆x υ ∆t α ∆t α m / s

2 9= ⋅ − ⋅ ⇒ =

2 1 2 3υ υ α ∆t 6,67 m= − ⋅ =


Γ. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

1. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης µε τα στοιχεία της δεξιάς στήλης.

1. χρόνος t α. m2. µετατόπιση ∆x β. s

3. ταχύτητα υ γ. 2m / s4. επιτάχυνση α δ. m / s

ε. 2 2m / s

2. Το ίδιο για τις επόµενες στήλες

1. α 0 υ=

α. επιταχυνόµενη κίνηση

2. υ α

β. ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

3. α υ

γ. επιβραδυνόµενη κίνηση

4. υ 0 α=

δ. ταχύτητα κατά την χρονική στιγµή της εκκίνησης

3. Μπορεί ένα αυτοκίνητο να έχει ταχύτητα προς την ανατολή ενώ θα έχει επιτάχυνση προς την

δύση;

4. Μπορεί να αλλάξει η φορά της ταχύτητας ενός σώµατος όταν η επιτάχυνση του είναι σταθερή.

5. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και µε (Λ) αν είναι λανθασµένες:

α. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι σταθερό

β. Στο διάγραµµα υ(t) η κλίση µας δείχνει αριθµητικά την επιτάχυνση

γ. Στο διάγραµµα υ(t) το εµβαδόν µας δείχνει την επιτάχυνση

δ. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση το διάνυσµα της ταχύτητας είναι σταθερό.

ε. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου κίνησης.

6. Μια διαφορά µεταξύ ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι ότι:

α. Το ένα είναι µονόµετρο µέγεθος και το άλλο διανυσµατικό

β. Έχουν πάντα διαφορετική φορά

γ. Το ένα εκφράζει το πόσο γρήγορα αλλάζει η µετατόπιση, ενώ το άλλο πόσο γρήγορα

αλλάζει η ταχύτητα

δ. Η ταχύτητα είναι δύναµη ενώ η επιτάχυνση δεν είναι

7. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει:

α. Το πόσο γρήγορα αυξάνεται η µετατόπιση

β. Το πηλίκο του διαστήµατος προς το χρόνο

γ. Το πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητα

ε. Το πόσο γρήγορα κινείται ένα κινητό


8. Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραµµη οµαλή όταν:

α. Το διάνυσµα της ταχύτητας παραµένει σταθερό

β. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης παραµένει σταθερό

γ. Το µέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό

δ. Το µέτρο της επιτάχυνσης είναι σταθερό

9. Η µέση ταχύτητα ενός κινητού εκφράζει το πόσο .................... κινείται.

10. Η µέση επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το πόσο ....................... µεταβάλλεται το .......................

της ταχύτητας.

11. Ένα αυτοκίνητο κατευθύνεται από την Αθήνα προς την Θεσσαλονίκη µε ταχύτητα km

75h

ενώ ένα άλλο από την Αθήνα προς την Πάτρα µε ταχύτητα km

75h

. Είναι ίσες οι ταχύτητες

των δύο αυτοκινήτων; (Αιτιολογήστε).

12. Μπορεί ποτέ το µέτρο της στιγµιαίας ταχύτητας να είναι µεγαλύτερο από το µέτρο της µέσης

ταχύτητας (Αιτιολογήστε).

∆. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Η ταχύτητα των παλµών στα νεύρα των θηλαστικών είναι m

100s

. Εάν ένας καρχαρίας

δαγκώσει την ουρά µιας φάλαινας µήκους 30m, µετά απο πόσο χρόνο θα το καταλάβει η

φάλαινα;

Απ: 3

s10

2. Το πιο γρήγορο επίγειο ζώο είναι η cheetah (κυναίλουρος) που τρέχει µε ταχύτητα km

101h

.

Το δεύτερο σε ταχύτητα ζώο είναι η αντιλόπη που τρέχει µε km

88h

. Υποθέστε ότι η cheetah

αρχίζει να κυνηγάει µια αντιλόπη που είναι µπροστά 100m.

α. Πόσο χρόνο χρειάζεται η cheetah για να φθάσει την αντιλόπη;

β. Πόση απόσταση διένυσε η cheetah;

Απ: α. 27,7s, β. 771,1m

3. Το βλήµα ενός όπλου βγαίνει από την κάνη µε ταχύτητα m

υ 400s

= και κινούµενο ευθύ-

γραµµα και οµαλά φθάνει στον στόχο και σκάει. Αν ο πυροβολητής ακούει τον ήχο από την

έκρηξη µετά από 12s, να βρείτε την απόσταση του πυροβόλου από τον στόχο. ∆ίνεται η

ταχύτητα του ήχου 1

mυ 340

s= .

Απ: 2205,9 m


4. Ένα τρένο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ. Περνά από µια γέφυρα µήκους 1x 1000m= σε

χρόνο 1t 80s= , ενώ από µια άλλη γέφυρα µήκους 2x 800m= σε χρόνο 2t 70s= . Να

υπολογίσετε το µήκος και την ταχύτητα του τρένου;

Απ: 600 m, m

20s

5. ∆ύο τρένα που το καθένα έχει ταχύτητα km

υ 30h

= κινούνται αντίθετα σε γειτονικές παράλ-

ληλες ράγες. Ένα πουλί που πετά µε σταθερή ταχύτητα 1

kmυ 60

h= φεύγει από το ένα

τρένο και κατευθύνεται προς το άλλο, όταν αυτά απέχουν 60 km. Φτάνοντας στο άλλο

τρένο πετά πάλι προς το πρώτο κ.ο.κ. Ποια συνολική απόσταση θα διανύσει το πουλί πριν

συναντηθούν τα τρένα;

Απ: 60 km

6. ∆ίνεται το διάγραµµα θέσης - χρόνου ενός κινητού. Να γίνει το

διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου και να υπολογιστεί το συνολι-

κό διάστηµα που διένυσε το κινητό, µέχρι την χρονική στιγµή

16s.

Απ: 180 m

7. Με αρχική ταχύτητα km

260h

το γαλλικό τρένο T.G.V. διανύει απόσταση 1500 m σε επίπεδες

γραµµές για να σταµατήσει. Αν η επιβράδυνση είναι σταθερή να υπολογίσετε το µέτρο της

καθώς και τον χρόνο που απαιτείται για να σταµατήσει.

Απ: 2

m1,74

s , 41,5s

8. Η ταχύτητα ενός αθλητή αυξάνεται σταθερά κατά m

20s

σε κάθε 10s. Αν το σώµα αναχωρεί

από την ηρεµία

α. µετά από πόσο χρόνο θα έχει διανύσει 100 m;

β. πόση ταχύτητα θα έχει τότε;

Απ: 10s, m

20s

9. Ένα cart διατρέχει το πρώτο µισό µιας πίστας µήκους 100 m µε σταθερή ταχύτητα m

5s

. Στο

δεύτερο µισό της πίστας παρουσιάζει µηχανικό πρόβληµα και επιβραδύνεται κατά 2

m0,2

s.

Σε πόσο χρόνο θα διατρέξει την απόσταση των 100 m;

Απ: 33,8s


10. Ένας αθλητής των 100m θέλει να κάνει παγκόσµιο ρεκόρ, που µέχρι την ηµέρα του αγώνα

ήταν 9,84s, ξεκινώντας από τον βατήρα µε σταθερή επιτάχυνση 2

m4

s για 5s. Στη συνέχεια

κινείται µε σταθερή ταχύτητα και τέλος επειδή κουράστηκε επιβραδύνει µε σταθερή επιβρά-

δυνση 2

m10

s, οπότε φθάνει στο νήµα µε µηδενική ταχύτητα. Έκανε παγκόσµιο ρεκόρ;

Απ: όχι

11. Το διάγραµµα ( )υ f t= του σχήµατος προκύπτει από την

κίνηση µιας Porshe 911s. Αν για 0t 0= είναι 0x 0= .

α. Υπολογίστε από το διάγραµµα την συνολική µετατόπιση

που διένυσε

β. Σχεδιάστε το διάγραµµα ( )α f t=γ. Γράψτε την εξίσωση x(t) για κάθε φάση της κίνησης και

κάντε το διάγραµµά της

δ. Ποια είναι η µέση ταχύτητα από 0 έως 50s

ε. Ποια απόσταση διανύει µεταξύ των χρονικών στιγµών 10s έως 40s.

Απ: α. 1875 m, δ. m

37,5s

, ε. 1458,33 m

12. ∆ύο κινητά Α και Β κινούνται στην ίδια οριζόντια ευθεία τρο-

χιά ξεκινούν από το ίδιο σηµείο. Τα διαγράµµατα τους υ(t)

είναι όπως στο σχήµα

α. Τι είδους κινήσεις κάνουν;

β. Ποια είναι η επιτάχυνση τους;

γ. Πότε θα συναντηθούν;

δ. Πότε έχουν κοινή ταχύτητα;

Απ: β. 2

m2

s, 0 γ. 10s, δ. 5s

13. Στο σχήµα φαίνεται το διάγραµµα επιτάχυνσης χρόνου ενός

αυτοκινήτου α(t). Αν η αρχική του ταχύτητα είναι 0

mυ 5

s=

α. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα ( )υ f t=

β. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα ( )x f t=γ. Την χρονική στιγµή t 15s= το αυτοκίνητο έχει σταµατή-

σει;

Απ: γ. όχι


14. Το σχήµα περιγράφει το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου υ(t)

ενός αυτοκινήτου. Αν για 0t 0= είναι 0x 0= Να υπολογί-

σετε:

α. Τι κινήσεις εκτελεί το αυτοκίνητο;

β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση σε κάθε κίνηση και να

κάνετε το διάγραµµα α(t)

γ. Να κάνετε το διάγραµµα x(t)

δ. Ξαναγύρισε στο σηµείο που ξεκίνησε;

Απ: Ναι

15. Η µέγιστη επιτάχυνση που µπορεί να αναπτύξει ένα τρένο είναι 1 2

mα 2

s= , ενώ η µέγιστη

επιβράδυνση 2 2

mα 5

s= . Αν η µέγιστη ταχύτητα του είναι

kmυ 108

h= , να βρεθεί ο ελάχι-

στος χρόνος που χρειάζεται για να καλύψει µια απόσταση 4515 m, αν ξεκινήσει από την

ηρεµία και φθάσει στο τέλος της διαδροµής µε ταχύτητα µηδέν.

Απ: 161s

16. Ένα σώµα εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. Το σώµα διανύει 16 m κατά την διάρκεια

του δεύτερου sec της κίνησής του και 28 m κατά την διάρκεια του πέµπτου sec της κίνησής

του. Να υπολογίσετε:

α. την αρχική του ταχύτητα,

β. την επιτάχυνση

Απ: α. m

10s

β. 2

m4

s

17. 'Οχηµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα 0υ 32m / s= όταν τη χρονική στιγµή 0t 0= αρχίζει

να επιβραδύνεται µε επιβράδυνση σταθερού µέτρου 22m / s .

α. Πόση απόσταση έχει διανύσει το όχηµα µέχρι να υποτετραπλασιαστεί η ταχύτητά του;

β. Ποια η συνολική µετατόπιση του οχήµατος µέχρι να σταµατήσει ;

Απ: α. 240 m β. 256 m

18. Όχηµα Α κινείται µε σταθερή ταχύτητα Aυ 10m / s= ενώ όχηµα Β που βρίσκεται πίσω από

το Α σε απόσταση d 39m= ξεκινάει µε σταθερή επιτάχυνση 2α 2m / s= . Να βρεθούν :

α. Η µέγιστη απόσταση που θα έχουν τα δύο οχήµατα

β. Ο χρόνος που απαιτείται από τη στιγµή που ξεκινάει το όχηµα Β για να συναντηθούν τα

δύο οχήµατα.

Απ: α. 64m β. 13 s


19. ∆ύο κινητά κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία. Τα διαγράµ-

µατα θέσης - χρόνου των δύο κινητών δίνονται στο σχήµα

που ακολουθεί.

Από αυτά να υπολογιστούν :

α. η ταχύτητα κάθε κινητού

β. το συνολικό διάστηµα που διήνυσε κάθε κινητό σε 10

sec

γ. η µετατόπιση κάθε κινητού σε 10 sec

δ. η χρονική στιγµή της συνάντησής τους.

Απ: α. -5 m / s,5 m/s β. 50 m, 50 m γ. - 50 m, 50 m δ. 7,5 s

20. ∆ύο οχήµατα Α και Β κινούνται σε ευθύγραµµο δρόµο µε σταθερές ταχύτητες Aυ 8m / s=

και Bυ 10 m / s= αντίστοιχα. Το όχηµα Α περνάει µπροστά από περίπτερο και δύο δευτε-

ρόλεπτα αργότερα περνάει το όχηµα Β.

α. Πόσος χρόνος έχει περάσει από τη στιγµή που πέρασε το όχηµα Α από το περίπτερο

µέχρι τη στιγµή της συνάντησης ;

β. Σε πόση απόσταση από το περίπτερο θα συναντηθούν τα δύο οχήµατα ;

Απ: 10 s, 80 m

21. Κινητό κινείται µε σταθερή ταχύτητα 5 m/s και τη χρονική στιγµή 0t 0= αποκτά σταθερή

επιτάχυνση 22m / s .

Να βρεθεί η µετατόπιση του κινητού στη διάρκεια του 5ου δευτερόλεπτου της κίνησής του.

Απ: 14 m

Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ

∆ύο σώµατα Α και Β βρίσκονται την ίδια χρονική στιγµή 0t 0= στην αρχή του άξονα

( )0x 0= . Το σώµα Α ξεκινάει από την ηρεµία και επιταχύνεται µε σταθερή επιτάχυνση

21α 6m / s= . Το σώµα B την στιγµή 0t 0= έχει ταχύτητα 0υ 10m / s= και επιβραδύνεται

µε επιβράδυνση σταθερού µέτρου 22α 2m / s= .

α. Να βρεθούν οι χρονικές στιγµές που η απόσταση των δύο σωµάτων είναι d 4m=β. Πόσο απέχουν τα δύο σώµατα τη χρονική στιγµή που µηδενίζεται η ταχύτητα του

σώµατος Β ;γ. Αν το σώµα Β διατηρεί την επιτάχυνση και µετά τον µηδενισµό της ταχύτητάς του

πόσο θα απέχουν τα δύο σώµατα τη στιγµή που το σώµα Β επιστρέφει στην αρχή τουάξονα ;


Λύση:α.

Αρχικά το Β σώµα αποµακρύνεται από το σώµα Α γιατί τρέχει γρηγορότερα παρά το ότι

επιβραδύνεται ενώ το Α επιταχύνεται.

Τη µέγιστη απόσταση από το Α θα την αποκτήσει όταν η ταχύτητά του καθώς µειώνεται

γίνει ίση µε αυτήν του σώµατος Α. Στη συνέχεια το σώµα Α θα το προσπεράσει και θα το

αφήσει πίσω.

Η ζητούµενη απόσταση d 4= cm θα παρατηρηθεί 3 φορές αρκεί να είναι µικρότερη από την

µέγιστη απόσταση που απέκτησε το Β όσο ήταν µπροστά από το Α. Οι δύο φορές θα είναι

µε το Β προπορευόµενο µια και µία µε το Α.

Ισχύει :

( )2 20 2 1

1 1υ t α t α t d 1

2 2⋅ − ⋅ − ⋅ =

( )2 21 0 2

1 1α t υ t α t d 2

2 2 ⋅ − ⋅ − ⋅ =

Από την πρώτη έχουµε :

2 2 2 210 t t 3t 4 4t 10t 4 0 2t 5t 2 0⋅ − − = ⇔ − + = ⇔ − + =Επιλύοντας την δευτεροβάθµια ως προς το χρόνο βρίσκουµε :

1t 0,5s= και 2t 2s=Από την δεύτερη εξίσωση µε αντικατάσταση παίρνουµε :

2 2 2 23t 10t t 4 4t 10t 4 0 2t 5t 2 0− + = ⇔ − − = ⇔ − − =Επιλύοντας την βρίσκουµε t

3 = 2,85 s (ή άλλη λύση είναι αρνητική).

β. Τη στιγµή του µηδενισµού της ταχύτητας του Β ισχύει :

' ' 00 2

2

υ0 υ α t t 5s

α= − ⋅ ⇒ = =

( )2' 'B 0 2

1x υ t α t 25m

2= ⋅ − ⋅ =

( )2'A 1

1x α t 75m

2= ⋅ =


Η ζητούµενη απόσταση είναι: A B∆x x x 50m= − =

γ. Μετά τον µηδενισµό της ταχύτητάς του το σώµα Β αλλάζει φορά κίνησης και επιστρέφει

προς την αρχή του άξονα επιταχυνόµενα.

Όταν φτάνει στην θέση όπου βρισκόταν την χρονική στιγµή 0t 0= ισχύει

2 00 2

2υ10 υ t '' α t '' t '' 10s

2 α= ⋅ − ⋅ ⇒ = =

Την ίδια χρονική στιγµή το σώµα Α θα βρίσκεται στη θέση :

2A 1

1x '' α t '' 300m

2= ⋅ = , που είναι και η ζητούµενη απόσταση.

ΣΤ. ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΘΕΜΑ 1

1. Επιλέξτε τις σωστές προτάσεις, θέτωντας σε κύκλο το αντίστοιχο γράµµα.

Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση:

α. Η µέση ταχύτητα είναι ίση µε την στιγµιαία

β. Η µετατόπιση έχει µέτρο ίσο µε το διάστηµα

γ. Η ταχύτητα είναι ανάλογη µε την µετατόπιση

δ. Η ταχύτητα είναι ανάλογη µε τον χρόνο

ε. Η µετατόπιση είναι ανάλογη µε τον χρόνο κίνησης.

Μονάδες 15

2. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα της συνάρτησης ( )υ f x= είναι:

Μονάδες 15


ΘΕΜΑ 2

1. Από το διάγραµµα θέσης - χρόνου δύο κινητών (α) και (β) σε

µια ευθύγραµµη κίνηση ποιο αντίστοιχο διάγραµµα ταχύτη-

τας - χρόνου προκύπτει;

Μονάδες 15

2. Ένα αντικείµενο που κινείται ευθύγραµµα έχει για 0t 0= :

0x 0m= . Αν δίνεται το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου

να υπολογίσετε την µετατόπιση από 0 έως 25 sec.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 3

Η ταχύτητα απογείωσης ενός αεριωθούµενου είναι km

360h

. Εάν πρόκειται να απογειωθεί

από ένα διάδροµο µήκους 2100 m, πόση πρέπει να είναι η επιτάχυνση του;

Μονάδες 20

ΘΕΜΑ 4Ένα αυτοκίνητο µάρκας Jaguar καθώς φρενάρησε και σταµάτησε άφησε σηµάδια στο

δρόµο µήκους 290 m. Αν η επιβράδυνσή του ήταν 2

m10

s να υπολογιστεί η αρχική ταχύτη-

τα του αυτοκινήτου.

Μονάδες 20

ΦΥΣΙΚΗ - syn.fro.gr · ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΗΣ Β....

Documents

Transcript of ΦΥΣΙΚΗ - syn.fro.gr · ΦΥΣΙΚΗ Α΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΗΣ Β....