ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

40
  • Upload

    -
  • Category

    Documents

  • view

    240
  • download

    15

description

ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript of ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Page 1: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Page 2: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΝΤΙΝΟΥ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΥ

ανάλυση

τόμος Α΄

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥΣ ΤΩΝ ΑΝΩΤΑΤΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

περιέχει • Θεωρία • 124 παραδείγματα • 103 εφαρμογές • 536 ασκήσεις με υποδείξεις ή λύσεις

Page 3: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Πρόλογος Χθες ήταν που ξεκίνησα να κάνω το δάσκαλο των μαθηματικών και από χθες μέχρι σήμερα πέρασαν κοντά σαράντα χρόνια. Κοντά σαράντα χρόνια, λοιπόν, και όμως δεν άκουσα ποτέ και από κανένα μαθητή λυκείου να εκθειάζει ως εύκολο κάποιο βιβλίο μαθηματικών. Αντιλαμβάνεσθε πιστεύω τον πόθο μου, μια και το να γίνω δάσκαλος μαθημα-τικών το διάλεξα, να είμαι εγώ αυτός που θα γράψει το πρώτο ευκολοδιάβαστο βιβλίο μαθηματικών για το μαθητή του λυκείου. Όλα αυτά τα χρόνια το τόλμησα κάμποσες φορές. Αποτέλεσμα; Κάθε φορά τα γραπτά μου γίνονταν και πιο δύσκολα. Έπρεπε να περάσουν τόσα χρόνια, για να αποδεχθώ την ήττα μου και να το πάρω απόφαση πια, ότι εύκολο βιβλίο μαθηματικών για ένα μαθητή λυκείου δεν υπάρχει. Μπορεί να γραφεί ένα πιο ευχάριστο βιβλίο ως προς την εμφάνιση (χρώματα, εικόνες, ιστορικά παραλειπόμενα, καλύτερη σύνδεση με την πραγματικότητα). Αυτό όμως, θα μεγάλωνε τον όγκο του βιβλίου, πράγμα απαγορευτικό για τα Ελληνικά δεδομένα λόγω του μεγέθους της αγοράς. Στην ουσία όμως, αυτό καθαυτό το κείμενο δεν θα άλλαζε. Πάντα το βιβλίο μαθη-ματικών του λυκείου θα φαντάζει δύσκολο στα μάτια του μαθητή. Η δυσκολία έγκειται στο ότι τα μαθηματικά έχουν δικιά τους δομή (όπως μια ξένη γλώσσα), έχουν νόμους και κανόνες τους οποίους πρέπει να τηρούμε και το κυ-ριότερο, έχουν συνέχεια, δηλαδή πρέπει να ξεκινήσουμε από το α και να προχωρά-με γράμμα – γράμμα με συνεχείς επαναλήψεις. Δεν μπορούμε δηλαδή αφού μελε-τήσουμε το α να διαβάσουμε στη συνέχεια το θ. Μια ξένη γλώσσα πάλι, είναι δυνατόν να τη χρησιμοποιούμε υπακούοντας μόνο στους βασικούς της κανόνες, γιατί κύριο μέλημά μας είναι να κατορθώσουμε να συνεννοηθούμε κάπως με το συνομιλητή μας. Δυστυχώς, αυτό το κάπως δεν υπάρ-χει στα μαθηματικά. Όταν προσπαθούμε να λύσουμε ένα μαθηματικό πρόβλημα, έχουμε απόλυτη ελευ-θερία στο πώς να το προσεγγίσουμε. Όταν όμως το λύσουμε και θελήσουμε να το μεταφέρουμε στο χαρτί, τότε πρέπει να το γράψουμε ακολουθώντας και τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού της γλώσσας μας, αλλά και τους κανόνες της γραμματικής και του συντακτικού των μαθηματικών. Αποτέλεσμα αυτού είναι να φαντάζει το κείμενο δύσκολο στα μάτια ενός μαθητή . Συμβιβασμένος πια με την αντικειμενική δυσκολία του εγχειρήματος, έγραψα το βιβλίο αυτό, καταστάλαγμα τόσων χρόνων εμπειρίας, που ολοκληρώνεται σε τρεις τόμους και απευθύνεται κυρίως σε υποψήφιους της τριτοβάθμιας εκπαίδευ-σης, με την ευχή και προσδοκία να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο στην προσ-πάθειά τους. Ο αναγνώστης υποψήφιος δεν θα πρέπει να ξεχνά ότι τίποτα δεν επιτυγχάνεται χωρίς κόπο. Εδώ θα ήθελα να τονίσω στον υποψήφιο, πως είναι λάθος η πεποίθηση που επικρατεί, ότι όσο περισσότερες ασκήσεις λύσει, τόσο καλύτερα είναι και προετοι-μασμένος. Μάλιστα, αν βρεθεί κάποιος να του ομαδοποιήσει τις ασκήσεις, τότε

Page 4: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

αποστηθίζοντας τις ομάδες νομίζει ότι είναι γνώστης και πανέτοιμος. Θα πρέπει να ξέρει ότι οι μεγάλοι βαθμοί στα γραπτά επιτυγχάνονται κυρίως με την καλή γνώση και όχι την αποστήθιση. Αποτεινόμενος στον υποψήφιο που θα αποκτήσει αυτό το βιβλίο, έχω να προτεί-νω τον παρακάτω τρόπο μελέτης ενός κεφαλαίου. α) Σε πρώτη φάση να μελετήσει προσεκτικά τη θεωρία, τα σχόλια και τις βασικές προτάσεις με τα αντίστοιχα παραδείγματα του κεφαλαίου. β) Να προσπαθήσει να λύσει τις εφαρμογές της Α΄ ομάδας, βοηθούμενος από τις λύσεις τους, και κάποιες από τις ασκήσεις της Α΄ ομάδας (για παράδειγμα να λύσει την 1η, κατόπιν την 4η, την 7η, …) , βοηθούμενος από τα αποτελέσματα, τις υποδείξεις ή τις λύσεις που υπάρχουν στο τελευταίο μέρος του βιβλίου. Εδώ θέλω να τονίσω ότι: • Στις εφαρμογές θα πρέπει οπωσδήποτε να διαβάσει και τις λύσεις τους. Αυτό πρέπει να γίνει, όχι τόσο για τον τρόπο που είναι λυμένες, γιατί είναι πολύ πιθανό να έχει βρει πιο εύκολο τρόπο λύσης (πιο εύκολος είναι ο τρόπος που κατανοεί κάποιος καλύτερα, έστω και αν είναι πιο μακροσκελής), αλλά για τον τρόπο που είναι γραμμένες, ώστε να μάθει πώς πρέπει να είναι η εικόνα της λύσης μιας άσκη-σης στο γραπτό. • Στις ασκήσεις θα πρέπει να χρησιμοποιεί το τελευταίο μέρος του βιβλίου μόνο σαν τελευταία λύση. γ) Μετά το τέλος των παραπάνω θα προχωρήσει στο επόμενο κεφάλαιο χωρίς να ασχοληθεί με τις εφαρμογές και τις ασκήσεις της Β΄ομάδας. δ) Όταν τελειώσει η πρώτη φάση για όλα τα κεφάλαια, τότε θα ξεκινήσει πάλι από την αρχή με επανάληψη της θεωρίας κάθε κεφαλαίου και λύση των εφαρμογών και κάποιων ασκήσεων της Β΄ομάδας. Εννοείται ότι, έχοντας εικόνα όλης της θεωρίας, μπορεί να διαλέξει και ευκολότερο δρόμο στη αντιμετώπιση κάποιας εφαρμογής ή άσκησης, έστω και αν χρησιμοποιήσει στοιχεία της θεωρίας που υπάρχουν σε επό-μενα κεφάλαια. ε) Όταν τελειώσει η δεύτερη φάση θα ασχοληθεί με τα γενικά θέματα που βρίσκονται στο τέλος του Γ΄ τόμου για μια γενική επανάληψη. Κλείνοντας, θέλω να ευχαριστήσω όλους τους κατά την πάροδο των τόσων χρό-νων διδασκαλίας μαθητές μου, για όλα όσα μου δίδαξαν με τον προβληματισμό τους, τις «χαζές», όπως πίστευαν οι περισσότεροι, αλλά γεμάτες ουσία παρα-τηρήσεις και απορίες τους και την παιδική τους αθωότητα. Ακόμη θέλω να ευχαριστήσω τους συναδέλφους, κυρίως αυτούς που υπηρέτη-σαν κάποιο διάστημα σε σχολείο της Καλλιθέας, οι οποίοι μου δίδαξαν πολλά μέσω των μαθητών τους. Ειδικότερα θέλω να ευχαριστήσω το Δημήτρη Βρύσαλη για τις εύστοχες παρα-τηρήσεις και διορθώσεις, καθώς επίσης τη γυναίκα μου και την κόρη μου για την υπομονή τους. Τέλος δεν μπορώ να μη νιώθω απέραντα υποχρεωμένος στη Μαρίνα Βαρδαλή – Καλύβα, χωρίς την υπομονή και την πολύτιμη βοήθεια της οποίας θα ήταν πολύ δύσκολο το γράψιμο αυτού του βιβλίου.

Αθήνα Ντίνος Ζαφειρόπουλος

Page 5: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Βιβλιογραφία

1. Όλα τα κατά καιρούς εκδοθέντα από τον Ο.Ε.Δ.Β σχολικά βιβλία. 2. Περιοδικά Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε. 3. Ασκήσεις που κατά καιρούς έχουν προτείνει συνάδελφοι στα σχολεία (κυρίως της Καλλιθέας). 4. Τα θέματα που έχουν δοθεί στις εισαγωγικές εξετάσεις , θέματα που έχουν προ-ταθεί από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και θέματα που έχουν προταθεί σε εξετάσεις άλλων χωρών. 5. Κάππος. Α. Δ.– Απειροστικός λογισμός – έκδοσις Β΄ 1962. 6. Flett. T. M – Mathematical Analysis – Mc Graw Hill publishing Company Limited – London 1966. 7. Perju C. – Perju R – Culegere de probleme de matematica – Bucuresti 1970. 8. Φερεντίνου. Α – Νικολακοπούλου & Σαββαίδης. Χ. Β. – Στοιχεία Μαθηματ-ικής Αναλύσεως – Τόμοι 1 & 2 – Αθήνα 1976. 9. Γαλανής. Ε – Εισαγωγή στην πραγματική ανάλυση – Εκδόσεις Συμεών – Αθήνα 1976. 10. Leithold L. – The calculus with analytic geometry – Third edition – Harper & Row 1976. 11. Μάγειρας. Ν. Π – Αλγεβρικά θέματα μετά σημειώσεων αναλύσεως – τόμοι 3, 4, 6 – Σύγχρονοι μεθοδικαί μαθηματικαί σπουδαί – Αθήνα 1971, 1972, 1977. 12. Berman N. G. – A problem book in mathematical analysis – Mir Publisheers – Moscow 1977. 13. Sallas L. S & Hill E. – Calculus – One and several variables – Part 1 Third edition –J. wiley – New York 1978. 14. Donciu N – Flondor D – Algebra si analisa matematica – Bucuresti 1978. 15. Καζαντζής. Ν. Θ – Συναρτήσεις – τεύχη 1ο & 2ο – Τυποεκδοτική Θεσσαλο-νίκη 1979 & 1980. 16. Binmor. K. G – Mathematical Analysis – Cambridge University Press – Second edition 1982. 17. Φράγκου Δ. Β. – Ασκήσεις διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού – Τόμοι Α΄& Β΄- Gutenberg – 1984. 18. Brand L. – Μαθηματική ανάλυση – Μετάφραση και έκδοση της Ε. Μ. Ε 1984. 19. Flanders. H – Calculus – W. H. Freeman and Company – New York 1985. 20. Zwirner G – Scaglianti L – Elementi di Analisi – Vol. secondo – Cendam – milani 1988. 21. Μαμούρης Ν. ΑΘ. – Συναρτήσεις - Μέρος ΙΙ – Διόφαντος – Αθήνα 1990. 22. Spivak M. – Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης – Ηράκλειο 1991. 23. Ganga M. – Teme si probleme de Matematica – Editura Tehnica – Bucuresti 1991.

Page 6: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

24. Ντζιώρας Β. Η – Ανάλυση Γ΄ λυκείου 1, 2, 3 τεύχη – Πατάκης – 1992. 25. Νεγρεπόντης Σ – Γιωτόπουλος Σ – Γιαννακούλιας Ε – τόμοι I και II – Συμμε-τρία 1987 & 1993. 26. Στρατή Γιάννη – Πραγματική Ανάλυση I – Εκδόσεις Αλκίνοος - Αθήνα 1993. 27. Thomas B. G – Finney L. R – Απειροστικός λογισμός – Τόμος Α΄ - Πανεπι-στημιακές εκδόσεις Κρήτης – Ηράκλειο 1993. 28. Γεωργιακάκης Μ. – Ευσταθόπουλος Ε – Καββαδίας Κ – Σβέρκος Α – Τεύχη 1, 2, 3 - Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη – Αθήνα 1994. 29. Μπουνάκης Ι. Δ – Γενικά θέματα και προβλήματα ανάλυσης – Τόμοι 1, 2 – Σύνθεση – Ηράκλειο – 1994. 30. Καζαντζής. Ν. Θ – Ολοκληρώματα & 1000 ασκήσεις ολοκληρωμάτων – Μαθηματική βιβλιοθήκη Χ. Βαφειάδης – Θεσσαλονίκη 1994 & 1997. 31. Στεργίου Χαρ. – Νάκης Χρ. – Στεργίου Ι. – Ανάλυση – Ασκήσεις και θέματα – Σαββάλας. 1998. 32. Ζαφειρόπουλος Ντ. – Παράγωγοι – Καλλιθέα 1998. 33. Αχτσαλωτίδης Χριστοφ. – Ανάλυση – Μεταίχμιο 2006.

Page 7: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.1 Σύνολα 1. Με τη λέξη σύνολο (set) εννοούμε μια συλλογή αντικειμένων τα οποία

προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη σκέψη μας, ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο και αναγνωρίζονται με σιγουριά. Π. χ Οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 μέχρι και το 9 αποτελούν ένα σύνολο, οι τίτλοι των βιβλίων της βιβλιοθήκης μας αποτελούν ένα σύνολο, ενώ τα ωραία τραγούδια δεν αποτελούν σύνολο, γιατί δεν είναι τα ίδια για όλους μας.

2. Τα αντικείμενα που περιέχονται (ανήκουν) σε ένα σύνολο, τα λέμε στοιχεία (elements ή members) του συνόλου και τα συμβολίζουμε συνήθως με μικρά γράμματα, ενώ τα σύνολα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα. Π. χ Το σύνολο Α περιέχει τα στοιχεία α, β, γ, … • Με το συμβολισμό α∈Α δηλώνουμε , ότι το στοιχείο α ανήκει ή περιέ- χεται στο σύνολο Α, ενώ αν θέλουμε να δηλώσουμε ότι το α δεν ανήκει στο σύνολο Α, γράφουμε α∉Α.

3. Για να παραστήσουμε ένα σύνολο έχουμε δυο τρόπους γραφής: Την αναγραφή, όπου γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου και τα κλείνου-με ανάμεσα σε δυο άγκιστρα. Π. χ Α = α, β, γ και την περιγραφή, όπου ανάμεσα σε δύο άγκιστρα γράφουμε τη χαρακτηριστική κοινή ιδιότητα που έχουν τα στοιχεία του συνόλου. Π. χ Οι θετικοί ακέραιοι οι μικρότεροι του 5 με αναγραφή αποδίδονται με Α = 1, 2, 3, 4, 5, ενώ με περιγραφή Α = θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του5 ή με σύμβολα Α = x∈ * / x < 5. • Το σύμβολο « / » διαβάζεται '' όπου " ή " τέτοιο ώστε ". • Υπάρχουν σύνολα που δεν μπορούμε να τα αποδώσουμε με αναγραφή. Π. χ Οι ρητοί αριθμοί, γιατί, αν γράψουμε ένα ρητό, ας πούμε το 2,334, δεν ξέρουμε ποιος ακολουθεί. • Σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία και γράφοντας τα στοιχεία τους γνωρίζουμε τη σειρά που θα ακολουθήσουμε, μπορούμε να τα αποδώ-σουμε με αναγραφή χρησιμοποιώντας το σύμβολο « … » (τρεις τελείες). Π. χ Οι φυσικοί αριθμοί γράφονται = 0, 1, 2, … και τα γράμματα του Ελληνικού αλφάβητου α, β, γ, … , ω.

4. Δυο σύνολα που έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία, χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά που είναι γραμμένα, λέγονται ίσα (equal). Π. χ Α = 1, 2, 3, 4 και Β = 3, 1, 2, 4.

Page 8: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.2 Συναρτήσεις 1. Αν Α και Β είναι δυο μη κενά σύνολα, τότε κάθε τρόπος με τον οποίο μπορού-

με να συσχετίσουμε τα στοιχεία του Α με τα στοιχεία του Β ονομάζεται διμελής σχέση (binary relation) ή απλά σχέση ή αντιστοιχία (correspond-dence) από το σύνολο Α στο σύνολο Β.

Π. χ Αν Α είναι το σύνολο των ανθρώπων, Β το σύνολο των αυτοκινήτων, τότε η πρόταση " Ο x άνθρωπος είναι ιδιοκτήτης του y αυτοκινήτου " ορίζει μια σχέση από το Α στο Β. • Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο αφετηρίας και το Β σύνολο άφιξης.

2. Μια ειδική σχέση είναι η συνάρτηση. Συγκεκριμένα:

Συνάρτηση (function) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας, τρόπος) με την οποία, κάθε στοιχείο του συνό-λου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

• Είναι φανερό από τον ορισμό ότι, σε μια συνάρτηση θα πρέπει να χρησι- μοποιήσουμε όλα τα στοιχεία του Α (δεν μας ενδιαφέρει, αν χρησιμοποιή-σουμε όλα τα στοιχεία του Β) και ακόμη ότι, κάθε στοιχείο x του Α να έχει μόνο ένα αντίστοιχο y στο Β. Δηλαδή κάθε σχέση δεν είναι οπωσδήποτε συνάρτηση. Π. χ Η παραπάνω σχέση δεν είναι συνάρτηση γιατί, αφενός δεν έχουμε χρησι-μοποιήσει όλα τα στοιχεία του Α (όλοι οι άνθρωποι δεν έχουν αυτοκίνητο) και αφετέρου κάθε στοιχείο του Α δεν έχει ένα μόνο αντίστοιχο στο Β ( υπάρχουν άνθρωποι που έχουν περισσότερα από ένα αυτοκίνητα) • Η πρόταση " ο y είναι διπλάσιος του x " και τα σύνολα Α = 1, 2, 3 και Β = 2, 3, 4 δεν ορίζουν συνάρτηση, γιατί το x = 3 του Α έχει διπλάσιο το y = 6 που δεν ανήκει στο Β. • Η ίδια πρόταση με το ίδιο Α και Β = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ορίζουν συνάρ-τηση, ενώ η πρόταση " ο x είναι μικρότερος του y " με Α = 1, 2, 3 και Β = 4, 5, 6, 7 δεν είναι συνάρτηση, γιατί στο x = 2 αντιστοιχούν πολλά (4, 5, 6, 7) y και όχι ένα.

3. Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα f , g , h , … του Λατινικού αλφάβητου. Λέμε λοιπόν, η συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β και συμβολίζουμε f : Α Β. →Σε μια συνάρτηση: • Το σύνολο αφετηρίας Α λέγεται πεδίο ή σύνολο ορισμού (domain) της συνάρτησης.

Page 9: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 33

αρτήσεων

χανίας λειτουργεί 18 άγει κάθε μέρα, μετά

από x ώρες λειτουργίας, είναι: αυτοκίνητα.

1.4 Σύνθεση συν 1. Πρόβλημα. Το τμήμα παραγωγής μιας αυτοκινητοβιομη

ώρες την ημέρα και ο αριθμός των αυτοκινήτων που παρ2f (x) 108x 3x= −

Το ημερήσιο κόστος g(t) για την παραγωγή t αυτοκινήτων είναι: g(t) = 12 + 9t χιλιάδες €. Να βρείτε το ημερήσιο κόστος g με τη βοήθεια (ως συνάρτηση) του χρόνου λειτουργίας του τμήματος παραγωγής. • Εδώ έχουμε δυο συναρτήσεις, τις:

2α) f (x) 108x 3x= − , με πεδίο ορισμού το διάστημα fA = [0, 18], η οποία συν-δέει τον αριθμό των αυτοκινήτων f(x) με τις ώρες λειτουργίας x.

g = [0, +∞ ), η οποία συνδέει το β) (t) = 12 + 9t , με πεδίο ορισμού το Ag

κόσ με τον αριθμό των αυτοκινήτων t. Μας ζητούν να βρούμε μια νέα συνάρτηση h(x) η οποία θα συνδέει το κόστος

δή, ητο

τος g(t)

ς δύο ίας το

εται ο αριθ-

2x +12.

τα x του

h(x) με τις ώρες λειτουργίας x. Δηλα μας ζ ύν να συνδυάσουμε τισυναρτήσεις και να δημιουργήσουμε μι έα, η ία θα μας δίνει απευθεα ν οπο

χωρίς να παρεμβάλλ

108x – 3x2) = - 27x2 + 97

κόστος ως συνάρτηση του χρόνου λειτουργίας, μός των αυτοκινήτων που παρήχθησαν. Είναι προφανές ότι, ο τύπος της συνάρτησης h θα προκύψει από τον τύπο της g, που δηλώνει κόστος, αν αντικαταστήσουμε το t που δηλώνει αριθμό αυτοκινήτων, με το f(x) που δηλώνει και αυτό αριθμό αυτοκινήτων. Έτσι θα έχουμε : h(x) = g(f(x)) = 12 + 9(Το πεδίο ορισμού της νέας συνάρτησης h περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία x (ώρες λειτουργίας) του πεδίου ορισμού της f, τα οποία έχουν τιμές f(x) (αυτό-κίνητα) που περιέχονται στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι όλα

f gA = [0, 18], για τα οποία το f(x) ανήκει στο A = [0, +∞ ). Έχουμε λοιπόν να επιλύσουμε το σύστημα των ανισώσεων: 0 x 18≤ ≤ και 2108x 3x 0− ≥ .

πίλυση του συστήματος δίνει Η ε

2 με πεδίο

hA = [0, 18]. Επομένως συνάρτηση είναι η h(x) = , η νέαg(f(x)) = - 27x + 972x +12, ορισ [0, 18]. μού hA =Τη νέα συνάρτηση που δημιουργήσαμε την ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g ή g κύκλος f, τη συμβολίζουμε με gof , έχει τύπο (gof )(x) g(f (x))= και πεδίο ορισμού

gof f g fA x A / f (x) A A= ∈ ∈ ⊆ . Μπορούμε λοιπόν, να δώσουμε τον παρακάτω ορισμό.

gofA

gA x

f (A) fA

f(x)

g(A) g gof

f

g(f(x))

Page 10: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 39

1.5 Μονοτονία συνάρτησης

Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x μεγαλώνει και ο y, λέγεται γνησίως αύξουσα. Γενικά:

Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (strictly increasing) σε ένα διά-στημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2, ισχύει f(x1) < f(x2).

• Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x, ο y μικραίνει, λέγεται γνη-σίως φθίνουσα. Γενικά:

Μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα (strictly decreasing) σε ένα διά-στημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2 , ισχύει f(x1) > f(x2).

• Είναι φανερό ότι, η γραφική παράσταση μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης ανέρχεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, ενώ μιας γνησίως φθίνουσας συνάρ-

τησης κατέρχεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται και στα παρα-πάνω σχήματα.

fC fC

• Μια συνάρτηση, η οποία σε όλο το πεδίο ορισμού της είναι μόνο γνησίως αύ-ξουσα ή μόνο γνησίως φθίνουσα, λέγεται γνησίως μονότονη (strictly mono-tonic). • Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x, τότε ο y μεγαλώνει ή δεν μεταβάλλεται (δηλαδή υπάρχουν στο πεδίο ορισμού δύο τουλάχιστον τιμές του x που αντιστοιχούν στο ίδιο y), λέγεται αύξουσα. Γενικά:

Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα (increasing) σε ένα διάστημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2, ισχύει f(x1) ≤ f(x2).

• Μια συνάρτηση στην οποία, όταν μεγαλώνει ο x, ο y μικραίνει ή δεν μεταβάλ-λεται, λέγεται φθίνουσα. Γενικά:

Μια συνάρτηση f είναι φθίνουσα (decreasing) σε ένα διάστημα Δ, όταν για όλα τα x 1 , x 2 του διαστήματος Δ, με x 1 < x 2 ισχύει f(x1) ≥ f(x2).

Page 11: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

46 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Άρα 17f (A ) f ((1,7]) (1, ]4

= = .

δ) Έστω η συνάρτηση f, με τύπο 4f (x) 1 x= − . Για το πεδίο ορισμού της f έχουμε: 41 x 0− ≥ ⇔ (1 2 2x )(1 x ) 0− + ≥ ⇔

2(1 x)(1 x)(1 x ) 0 x [ 1,1]− + + ≥ ⇔ ∈ − . Συνεπώς A [ 1,1]= − .

Για το σύνολο τιμών έχουμε 4y 1 x= − . Επειδή κάθε τετραγωνική ρίζα είναι μη αρνητικός αριθμός, είναι y 0 και ≥

2 4y 1 x= − ή y 0 και ≥ 4 2x 1 y 0= − ≥ ή y 0 και ≥ 1 y 1− ≤ ≤ ή y [0,1]∈ . Άρα . f (A) [0,1]=

1.6.2 Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης.

Έστω συνάρτηση f με : → 2f (x) 2x 3= + . Αν αναζητήσουμε το σύνολο τιμών της, θα βρούμε ότι f (A) f ( ) [3, )= = + ∞ Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε x ∈ , f και μάλιστα: (x) 3≥

2f (x) 3 2x 3 3= ⇔ + = ⇔ 22x 0 x 0= ⇔ = . Το τελευταίο σημαίνει ότι, για x 0= η συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή της

. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η f παρουσιάζει στο y 3= 0x 0= ελάχιστο, που είναι ίσο με . Γενικά λέμε ότι: 0y 3= y

• Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει ολικό μέγιστο ή μέγιστο (maximum) σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x A∈ ισχύει

0 . f (x) f (x )≤

x

f(x 0 )

O

f(x) C f

x 0 x

• Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ελάχιστο (minimum) σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, όταν για κάθε x A∈ ισχύει

0 . f (x) f (x )≥

C

f(x 0 )

x x

y

f(x)

x 0

f

Ο • Το μέγιστο και το ελάχιστο ονομάζονται ακρότατα της συνάρτησης.

Δίνουμε δυο παραδείγματα:

α) Έστω η συνάρτηση με f : →f (x) x 1= − . Παρατηρούμε ότι, για κάθε x ∈ f, . (x) 0≥

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x ∈ , που είναι ίσο με 0.

Page 12: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 57

19. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το , η οποία είναι γνήσια μονότονη, μπορεί να είναι περιοδική; 20. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α, είναι γνησίως αύξουσα σ’ αυτό και

για κάθε 0)x(f > x ∈ Α . Να εξετάσετε αν η )x(f

1)x(g = είναι γνησίως αύξουσα

ή γνησίως φθίνουσα. 21. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε Δ∈x και είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να

αποδείξετε ότι, η συνάρτηση g1

f1

+ είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

1.6.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Αν 12

λ ≠ , να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση x 1f (x)x 2λ +

=+

στα διαστήματα ( , 2)−∞ − και ( 2, )− +∞ . Λύση

Για με 1 2x , x 2∈ − − 1x x2< έχουμε:

1 2

1 2

x ) f (x ) ( xx x (x

− λ= 1 2 1

1 2

f ( 1) ( x 1)(x 2)2)(x 2)

− λ + ++ +

2

1 2

(x 2)x )(x

+ +− −

=

1 2

1 2 1 2 1 2

(x x )(2 1) 2 1(x x )(x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

− λ − λ −=

− + + + +.

Για ή 1 2x x 2< < − 12 x x2− < < ισχύει 1 2(x 2)(x 2) 0+ + > , οπότε το πρόσημο του

1 2

1 2

x ) f (x )x x

−−

f ( εξαρτάται από τις τιμές του λ. Έτσι διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

α) Αν 12

λ > , τότε 1

1 2

f (x ) f (x )x x

2−−

> 0, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στα δια-

στήματα ( και , 2)−∞ − ( 2, )− +∞ .

β) Αν 12

λ < , τότε 1 2

1 2

f (x ) f (x )x x

−−

< 0, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στα δια-

στήματα ( και , 2)−∞ − ( 2, )− +∞ .

2. Έστω οι συναρτήσεις 1x)x(f += και , με πεδίο ορισμού το . 2x3)x(g −=α) Αν Α, Β τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων, να αποδείξετε ότι το ΑΒ τριχοτομείται από τους άξονες x´x και y΄y. β) Αν Α΄ η προβολή του Α στον x´x, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΑ΄.

Page 13: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 61

1.7 Αντίστροφη Συνάρτηση

1.7.1 Συνάρτηση «1-1» (one – one ή one to one function ή bisection) Μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση "1-1", αν για οποιαδήποτε f : A R→στοιχεία του πεδίου ορισμού της Α, για τα οποία έχουμε , 1 2x ,x ≠1 2x xισχύει ≠1 2x )f ( . x ) f (

• Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση είναι συνάρτηση "1-1", αν και μόνο αν, για οποιαδήποτε

f : A R→A1 2x ,x ∈ , για τα οποία έχουμε 1 2f (x ) f (x )= , ισχύει . 1 2x x=

Δίνουμε μερικά παραδείγματα : i) Η συνάρτηση με f : → f (x) 3x 2= + είναι "1-1" γιατί, αν είναι τυχαία στοιχεία του , με 1 2x ,x 1 2f (x ) f (x )= , τότε: ή 1 23x 2 3x 2+ = + 13x 3x2= που σημαίνει ότι 1 2x x= .

ii) Έστω η συνάρτηση f : με → 3f (x) x= . Παρατηρούμε ότι, αν είναι τυχαία στοιχεία του , με , τότε:

ή 1 2x ,x 1f (x ) f (x )= 2

32

31x x= 1 2x x= .

iii) Έστω η συνάρτηση f με : → 2f (x) 2x 5= + . Παρατηρούμε ότι, f ( 1) f (1) 7− = = . Δηλαδή, από 1 1− ≠ έχουμε f ( 1) f (1)− = . Άρα η f δεν είναι "1-1".

• Από το τελευταίο παράδειγμα συμπεραίνουμε το εξής :

Για να αποδείξουμε ότι, μια συνάρτηση δεν είναι "1-1", αρκεί να βρού-με δύο στοιχεία του πεδίου ορισμού της με ,1 2x x 1x x2≠ , για τα οποία ισχύει 1 2x ) . f (x ) f (=

iv) Για τη συνάρτηση με f : →2x 1, x 1

f (x)x 2, x 1+ ≤⎧

= ⎨ − >⎩ έχουμε: f(0) = 1 και

f(3) = 1. Άρα η f δεν είναι "1-1".

• Μια συνάρτηση f είναι "1-1", αν και μόνο αν:

Page 14: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

64 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Π. χ για την 2f (x) 2x 5= + παρατηρούμε ότι, το y = 7 του συνόλου τιμών της είναι αντίστοιχο και του x = 1 και του x = - 1, γιατί f ( 1) f (1) 7− = = . Εδώ μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πότε η αντίστροφη σχέση μιας συνάρτησης είναι και αυτή συνάρτηση.

Ας υποθέσουμε ότι, μια συνάρτηση είναι "1-1". Τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α, για το οποίο ισχύει f

f : A →f (A)

(x) y= . Επομένως στην περίπτωση αυτή η αντίστροφη σχέση της f είναι συνάρτηση. Αντιστρόφως, αν υποθέσουμε ότι, η αντίστροφη σχέση μιας συνάρτησης f είναι συνάρτηση, τότε είναι προφανές ότι η f θα είναι "1-1". Έχουμε λοιπόν το ακό-λουθο συμπέρασμα .

Αν μια συνάρτηση είναι "1-1", ορίζεται μια συνάρτηση με την )

f : A R→οποία, κάθεg : f (A) R→ y f (A∈ αντιστοιχίζεται στο μοναδικό

οποίο x A∈ , για το ισχύει f (x) y . Η g = λέγεται αντίστροφη συνάρτηση συμβολίζεται με 1f − . της f και

• Από τον τρόπο που ορίστηκε η 1f − προκύπτει ότι: α) Οι f και είναι συναρτήσεις "1-1". 1f −

β) Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f, 1f − f (A)γ) Η έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f, 1f −

δ) Ισχύει η ισοδυναμία 1f (x) y f (y) x−= ⇔ = . ε) Ισχύουν 1f (f (x)) x− = , για κάθε x A∈ και

1f (f (x)) x− = , για κάθε x f (A)∈ .

Για να βρούμε την αντίστροφη συνάρτηση μιας συνάρτησης f, εφόσον υπάρχει, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία : i) Αποδεικνύουμε ότι η f είναι "1-1". ii) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. iii) Λύνουμε την εξίσωση y f (x)= ως προς x και θέτουμε όπου x το

και όπου y το x. 1f (x)−

Δίνουμε δυο παραδείγματα:

α) Έστω η συνάρτηση με ff : → (x) 3x 2= + . i) Αν για τυχαία στοιχεία του ισχύει 1 2x ,x 1f (x ) f (x )2= , τότε

. 1 23x 2 3x 2 x+ = + ⇔ =1 2xΕπομένως η f αντιστρέφεται , αφού είναι "1-1".

Page 15: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

74 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1.7.6 Βασικές προτάσεις

Θα αποδείξουμε παρακάτω μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν.

α) Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε αντιστρέφεται και η αντίστροφή της έχει το ίδιο είδος μονοτονίας.

Απόδειξη Αν η f είναι γνησίως μονότονη (έστω γνησίως αύξουσα), τότε είναι "1-1", οπότε και αντιστρέφεται. Ας υποθέσουμε ότι, η 1f − δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για κάποια 1 2y , y f (A)∈ , με 1 2y y< θα έχουμε . 1 1

1 2f (y ) f (y )− −≥

Ξέρουμε όμως, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και ότι τα είναι 1 11 2f (y ) , f (y )− −

στοιχεία του πεδίου ορισμού της f, οπότε θα έχουμε: 1 1

1 2f (f (y )) f (f (y ))− −≥ ή . Αυτό όμως είναι άτοπο. 1y y≥ 2

Άρα και επομένως η 1 11f (y ) f (y )− −< 1f − είναι γνησίως αύξουσα. 2

Όμοια αποδεικνύεται, όταν η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β) Έστω μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού και σύνολο τινών το , η οποία αντιστρέφεται και C, C΄ οι γραφικές παραστάσεις των f και 1f − στο ίδιο σύστημα αξόνων. Διαπιστώνουμε ότι:

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι γραφικές παραστάσεις C , C΄ των f και , αν τέμνονται, τέμνονται πάνω στις ευθεία y = x. 1f −

Το παραπάνω σημαίνει ότι: Οι λύσεις της εξίσωσης , όταν η f 1f (x) f (x)− =είναι γνησίως αύξουσα στο R, ταυτίζονται με τις λύσεις της εξίσωσης f(x) = x και αντίστροφα.

Απόδειξη

yΈστω ξ λύση της εξίσωσης . Τότε .

1f (x) f (x)− =1f ( ) f ( )− ξ = ξ

Θα αποδείξουμε ότι f(ξ) = ξ. Υποθέτουμε ότι f(ξ) > ξ.

Ο x

f(x) = x 3

y = x

C f - 1

Επειδή η , σύμφωνα με την προηγού-μενη πρόταση, είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: (f(ξ)) >

1f −

1−f 1f − (ξ) ή ξ > 1f − (ξ) ή τέλος, επειδή 1f ( f ( )− )ξ = ξ , θα ισχύει ξ > f(ξ) που είναι, λόγω της υπόθεσης,

Page 16: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75

άτοπο. Με ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι δεν μπορεί να είναι f(ξ) < ξ.. Συνεπώς f(ξ) = ξ.

Αντιστρόφως, αν f(ξ) = ξ, τότε 1 1f (f ( )) f ( )− −ξ = ξ ή 1f ( )−ξ = ξ , οπότε και 1f ( ) f ( )− ξ = ξ .

Π. χ Στο παραπάνω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = x 3, που

είναι γνησίως αύξουσα και της αντίστροφής της 3

1

3

x , x 0f (x)

x , x 0−

⎧ ≥⎪= ⎨− − <⎪⎩

.

Παρατηρούμε ότι, οι λύσεις της εξίσωσης είναι και λύσεις της εξί-σωσης f(x) = x και αντίστροφα. Επομένως έχουμε:

1f (x) f (x)− =

1f (x) f (x)− = ⇔ f(x) = x ⇔ x 3 = x ⇔ x = 1 ή x = - 1 ή x = 0.

• Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε και η f(x) – x είναι γνησίως φθίνουσα (γιατί;), οπότε η εξίσωση f(x) = x έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. Στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει το παραπάνω , γιατί οι γραφικές παραστάσεις των f και μπορεί να έχουν και άλλα κοινά σημεία. 1f −

Για παράδειγμα οι γραφικές παραστά-σεις της 3f (x) x= − και της αντίστρο-

φής της 3

1

3f (x)−

⎧ x ,x

x ,x

0

0

− <⎪= ⎨− ≥⎪⎩

f

έχουν

κοινά σημεία τα: Α(0, 0), Β(-1, 1) και Γ(1, -1), όπως φαίνεται στο σχήμα, οπότε η εξίσωση έχει λύσεις τις: x = 0, x = 1 και x = -1.

1(x) f (x)− =

• Στην περίπτωση της γνησίως φθί-νουσας συνάρτησης αποδεικνύεται ότι, οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τις λύσεις των εξισώσεων 1f (x) f (x)− =

Ο

y

x

y = - x

x f(x) = - x 3

y =

C f - 1

f(x) = x και f(x) = - x.

γ) Αν οι συναρτήσεις f, g : είναι αντιστρέψιμες και ορίζεται η σύν-R R→θεση της f με τη g , τότε ισχύει 1 1of ) f og 1(g − − −= .

Απόδειξη

Επειδή οι f, g είναι αντιστρέψιμες , είναι "1-1", οπότε και η g είναι "1-1" και επομένως αντιστρέψιμη.

of

Έστω και y f (x)= z g(y)= . Τότε και . 1x f (y)−= 1y g (z)−=

Page 17: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

76 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Έχουμε ή ή z g(y) g(f (x))= = 1g (z) y f (x)− = = 1 1f (g (z)) x− − = , οπότε (1). 1 1(f og− − )(z) x=

Ακόμη από τη z g(f (x))= ή z (gof )(x)= έχουμε (2). 1x (gof ) (z)−=

Από (1) και (2) έπεται 1 1(gof ) f og 1− − −= .

1.7.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Υπάρχει συνάρτηση η οποία είναι "1-1" και ικανοποιεί τη σχέση

2 2 , για κάθε f : →4≥12f (x 1) [3f (x 1)]+ − + x∈ ;

Λύση Έστω ότι υπάρχει. Τότε για x = 0 και x = 1 έχουμε:

2 212f (1) [3f (1)] 4 [3f (1) 2] 0− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ 3f (1) 2 0− = ⇔2f (1)3

= και

2 212f (2) [3f (2)] 4 [3f (2) 2] 0− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ 2f (2)3

= .

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

2. Να βρεθεί συνάρτηση με την ιδιότητα xf : → )x)(fofof( = , )x(fx)x(gγια κάθε

x∈ , αν είναι γνωστό ότι, η συνάρτηση g με τύπο )x)(fof(++= είναι "1-1". (1)

Λύση

Θέτουμε στην (1) όπου x το f(x) και έχουμε: g(f (x)) f (x) (fof )(x) (fofof )(x)= + + ) xή λόγω της ιδιότητας, g(f (x)) f (x) (fof )(x= +

Συνεπώς g(f (x)) g(x+ .

) , = και επειδή η g είναι "1-1" χουμε τελικά f (

Να βρείτε τις τιμές του

, έ x) x= .

3. λ∈ , για τις οποίες ισχύει: 12 .

Λύση

2 3 2 6 23 3 2 10λ − λ λ−− + λ = λ −

ση γράφεται )

Η εξίσω2 3 2 2 63 2( 3 ) 3 2(2 6λ − λ λ−+ λ − λ = + λ − .

Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα, γιατί για

2

xf (x) 3 2x= + , 12x 2x1 2x x< έχουμε 1 2x x3 3< και < , οπότε είναι και "1-1".

2( 3 ) 6)λ − λ . Συνεπώ 2 3 2 6Είναι ς f f (2= λ − λ − λ = λ − και λ = 2 ή λ = 3.

4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησ 3x x= α +β + γ με *, ,ης f (x) α β γ∈ διέρχεται από τα σημεία A(0, 4)− , B(1,1) , Γ(2, 18).

Page 18: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 81

2. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2.1 Όριο συνάρτησης στο x 0 R ∈ 2.1.1 Η έννοια του ορίου

Έστω η συνάρτηση με τύπο 2x 4f (x)

x 2−

=+

.

Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο f 2Α = − − και ο τύπος της γράφεται: (x 2)(x 2)f (x) x 2

x 2− +

= =+

− .

Προφανώς η γραφική παράσταση της f είναι η ευθεία y x 2= − με εξαίρεση το σημείο . A( 2, 4)− −Στο σχήμα παρατηρούμε ότι: "Καθώς το x προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό – 2, κι-νούμενο είτε από δεξιά είτε από αριστερά πάνω στον άξονα x΄x , το προσεγγίζει τον πραγματικό αριθμό – 4, κινούμενο πάνω στον άξονα y΄y. Μάλιστα, όσο πιο κοντά στο – 2 κινείται το x, μένοντας πάντα διάφορο του – 2, τότε και το f(x) κινείται όλο και πιο κοντά στο – 4.

f (x)

f(x)

f(x) (α) A

Ο x x

y y = x - 2

x - 2

- 4

Η προηγούμενη πρόταση δίνεται στα μαθηματικά με την εξής έκφραση: Οι τιμές της f προσεγγίζουν (πλησιάζουν) όσο θέλουμε το – 4, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο το – 2, παραμένοντας διάφορο του - 2.

f (x)

Η έκφραση αυτή διατυπώνεται και ως εξής: Το όριο της f, όταν το x τείνει στο – 2, είναι το – 4, ή η f έχει στο – 2 όριο το – 4, ή η f τείνει στο – 4, όταν το x τείνει στο – 2 και συμβολίζεται .

Γενικά: x 2lim f (x) 4→−

= −

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγμα-τικό αριθμό , καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό

0x , τότε γράφουμε 0x x

lim f (x)→

= και διαβάζουμε "το όριο (limit) της f, όταν

το x τείνει (approaches) στο , είναι " ή το όριο της f στο , είναι . 0x 0x

Page 19: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 98

θέτουμε u = αx , οπότε uxα

= και x 0

ημ(αx)lim αx u→ u 0

ημulim α 1 α→

= = ⋅ = .

Άρα x 0

ημ(αx)lim αx→

= .

β) Ζητούμε να υπολογίσουμε το x 0lim

3x 1→

ημ(3x)1+ −

.

Για κάθε π πx ( , 0) (0, )10 10

∈ − ∪ έχουμε:

ημ(3x)3x 1 1+ −

ημ(3x)[ 3x 1 1]+[ 3x 1 1][ 3x 1 1

+=

]− + +ημ(3x)[ 3x 1 1]

3x 1 1+ +

=+ + −

ημ(3x) ( 3x 1 1)3x

= ⋅ + . + Είναι: x 0lim( 3x 1 1) 2→

+ + = .

και x 0 u 0

ημ(3x) ημuli lim 13x u→

m→

= = . Θέτουμε u = 3x , οπότε x 0lim u→ x 0

lim(3x) 0→

= =

Άρα x 0

ημ(3x)lim3x 1 1→ + −

= 2.

2.2.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

2x x 14 3lim 2x 1 x x 3→

+ + − , 1. Να υπολογίσετε , εφόσον υπάρχουν , τα όρια : i) + +

2

2x 0

x x x 2lim

− + −, iii) ii)

x 1→ +

2x 4 x 2lim2x 2 x 4→

− + − , 8x

2xxxlim 3

23

2x −−−−

→,

− iv)

2

x 5

x 10x 25limx 5→

− +−

x 1

x 1limx x→ 2x 3

x 6 3limx 2x 6 3→

+ −

− + −2−

+ −v) , vi) vii) , ,

33 2

. viii) 2x 1

2 x xlimx 1→

− −−

Λύση

i) Έστω 2

2

x x 14 3f (x)x x 3+ + −

=+ +

.

διακρίνουσες των τριω μωνΕπειδή οι νύ 2x x 14+ + και 32x x+ + = 1), έχουμε

είναι αρνητικές στής του είναι και στα α 4 2x δύο θετικός ( 2x x 1+ +και ο συντελε > 0

και 3 > 0, για2x x+ + κάθε x∈ . . Συνεπώς το πεδίο ορισμού της f είναι Α =

Page 20: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 99

Είναι: 2 2

x 1lim(x x 14) 1 1 14 16→

+ + = + + = , 2

x 1x 16 4

→οπότε lim x 14+ + = = .

Ακόμη 2 2x 3) 1 1 3 5x 1lim(x→

+ + = + + = .

2x x 14 3Επομένως 2x 1lim

x x 3→

+ + − 4 3 1−5 5

= = . + +

· 2

2

x x x 2ii) Έστω f (x)

x 1

− + −=

+. Επειδή 2x 1 0+ > για κάθε x∈ , είναι Α =

Έχουμε:

.

2

x 0lim(x x) 0→

− = και x 0lim(x 2) 2→

− = − , οπότε 2

x 0lim x x 0→

− = και 2

x 0lim(x 1) 1→

+ = . x 0→lim x 2 2 2− = − = . Ακόμη

2

2x 0

x x x 2 0 2lim 2x 1 1→

− + − +Συνεπώς = =+

.

· 2

2

x 4 x 2f (x)x 4

− + −=

−iii) Έστω .

Πρέπει 0 και 2x 4− > x 2 0− ≥ . = (2, )

Η συναλήθευση των δύο ανισώσεων δίνει το πεδίο ορισμού Α . που είναι: +∞Για κάθε x∈Α έχουμε:

x 2− ⋅ x 2 x 22

+ + −− +

f (x)x 2 x

= =⋅

x 2( x 2 1)x 2 x 2− + +

=− ⋅ +

x 2 1+x 2

++

.

Συνεπώς x 2 x 2

x) lim f+→

3limf ( (x)2→

= = ⋅ ⋅ ⋅ = .

·

iv) Έστω 3 2

3

x x x 2f (x)x 8

− − −=

−. Προφανώς Α = - 2.

Για κάθε έχουμε: x∈Α2

2

(x 2)(x xx 2)(x 2x− + +1)f (x)

( 4)= =

− + +

2

2

x x 1x 2x 4

+ ++ +

, οπότε

x 2

7limf (x) = ⋅12→

⋅⋅ = .

·

v) Έστω 2x 10x 25f (x)

x 5− +

=−

.

Έχουμε 2 x 5(x 5)

f (x)x 5 x 5

−−= =

− − και Α = - 5.

Παρατηρούμε ότι η παράσταση x – 5 αριστερά και δεξιά του 5 έχει διαφορετικό

Page 21: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 103

i) xxlim

0x

εφ→

, ii) x 0

3x 2ημxm −⎛ ⎞⎜ ⎟ ii 3x 0

2ημxlimx 3x→

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

lix→ ⎝ ⎠

, i) ,

iv) x1

limx συν+π→

, x2ημ v) 2 2x 0

1 1lim( )x x συνx→

− x 0

4xlim2x→

εϕημ

vi), ,

xx

24x5x5lim

0x −+

ημ→

vii) lim0x

ημ→

, viii) )x1

1x

2(lim 20x συν−−

ημ→, ix) .

. Να βρείτε το αν : i) 11x)x(flim

1x=

−→. 12 ii) )x(flim

1x→,

x 1lim(3f (x) 1 5x) 2→

+ − = ,

2

2 2x 0

2xf (x) 5 xlimx 4 x→

− ημ x 0

f (x)lim 5x→

13. Αν , να είτε το βρ=+ ημ

.

Αν για την ορισμένη στο , ισχύει14. f , που είναι x 2

f (x) 3lim 2x 2→

−= −

−, να υπολο-

γίσετε το 2

2

x f (xlimx 2

) 12x x 2→

−− −

.

την f, πο η στο ισχύει

, 2

x 1

f (x)lim 2x 1→

−α= α

−, 15. Αν για υ είναι ορισμέν να βρείτε

2 2 2

2x 1 x 1

x f (x) αlim 6 lim→ →

− −≤ +

x 1x 1 x 3x 2−

τις τιμές του α∈ , ώστε: − +

.

16. Αν 2

x 0lim )(xf (x) 3 x 3→

+ − = , να υπολογίσετε το x 0

f (x)ημx x 8limxf (x) 4 x→

+ −+ −

.

2

x 1

(2 3) x 1lim

− −λ x 1κ

x 1→

+ −17. Να υπολογίσετε το λ∈ , ώστε = ∈−

.

18. Αν x 0limf 2α 3→

(x) = − και για κάθε xf (x) ημ2x 7x≥ − , x∈ , να βρεθεί ο α.

ΕΦΑΡΜΟΓΕ Σ B΄ ΟΜΑΔ

(αx

2.2.9 Σ - ΑΣΚΗΣΕΙ ΑΣ 1. Αν είναι γνωστό ότι: ημ ) ≤ ημx + ∈ ∗ , ημ7x, με α για κάθε x κοντά στο 0,

το όριο της συν σης 2

2

x x 7g(x)x 1−α

=−

. + στο 1να βρείτε άρτη

Λύση

Για x < 0 έχουμε: ημ(αx) ημx ημ7xx x x

≥ + και λόγω του ότι x 0

ημ(αx)lim α= , x→

x 0

ημxx→

lim 1= και x 0

ημ7xx→

lim 7= ισχύει: x 0 x 0

ημ(αx) μx ημ7xx 0

ηlim lim limx x x− − −→ → →

≥ + ή

τρόπο για x > 0 έχουμε:

α 8≥ .

ημ(αx) ημx ημ7xx x x

≤ + , οπότε α 8≤ . Με ίδιο

Page 22: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 111

2.3 Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ∈ 2.3.1 Η έννοια του άπειρου ορίου 1. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

1f (x)x 1

=−

.

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x προσεγγίζει το 1, κινούμενο είτε από δεξιά είτε από αριστερά πάνω στον άξονα x΄x , οι τιμές

αυξάνονται απεριόριστα. f (x)Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρ-τηση f έχει στο 1 όριο +∞

)

(συν άπειρο) ή η συνάρτηση f απειρίζεται θετικά στο 1 και γράφουμε

x 1limf (x→

= +∞ .

• Το +∞ είναι ένα σύμβολο και δεν είναι πραγματικός αριθμός. Δεχόμαστε όμως ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι μικρότερος του +∞ . • *Η έκφραση "οι τιμές μιας συνάρτησης f αυξάνονται απεριόριστα" σημαίνει στα μαθηματικά ότι, για οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ οσοδήποτε μεγάλο που διαλέγουμε αυθαίρετα, οι τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερες του Μ ή η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = Μ. • *Μπορούμε τώρα να διατυπώσουμε το διαισθητικό ορισμό του ορίου ως εξής: Λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο όριο το 0x +∞ , όταν για κάθε θετικό αριθμό Μ οσοδήποτε μεγάλο, που διαλέγουμε αυθαίρετα, μπορούμε να βρούμε (υπάρχει) ένα θετικό αριθμό δ ώστε, όταν το x διατρέχει το πεδίο ορισμού της f παραμένοντας στο διάστημα ( - δ, )∪ ( , + δ), 0x 0x 0x 0xτότε το f(x) παίρνει τιμές μεγαλύ-τερες του Μ. • *Στο σχήμα, το παραπάνω σημαί-νει: Για οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ και να διαλέξουμε, οσοδήποτε με-γάλο, μπορούμε να βρούμε ένα θετι-κό αριθμό δ, ώστε όλες οι τιμές της συνάρτησης να βρίσκονται μέσα στην ταινία που ορίζουν οι ευθείες x = - δ και x = + δ, αλλά πάνω από την ευθεία y = Μ. 0x 0x

1

y f(x)

x x O

x

y

x 0x x Ο

f(x)

f(x)

Μ

0x δ 0x δ− +

Page 23: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

120 120 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2.4 Όριο συνάρτησης στο άπειρο 2.4.1 Η έννοια του ορίου στο άπειρο

)

*Στο παρακάτω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα της μορφής (α,+∞ .Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απερι-όριστα, το προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό .

f (x)y

Δηλαδή για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε και να διαλέξουμε, οσο-δήποτε μικρό, μπορούμε να βρούμε ένα θετικό αριθμό Κ, ώστε, όταν το x παίρνει τιμές μεγαλύτερες του Κ, όλες οι τιμές της συνάρτησης να βρίσκονται μέσα στη ζώνη που ορί-ζουν οι ευθείες y = - ε και y =

+ ε. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο +∞

(x) όριο το και

γράφουμε xlim f→+∞

= . *Μπορούμε λοιπόν να διατυπώσουμε τον παρακάτω ορισμό.

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, που περιέχει ένα διάστημα της μορφής (α, )+∞ . Λέμε ότι η f έχει στο + ∞ όριο το ∈και συμβολίζουμε

xlim→+

f (x)∞

= , όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει Κ > 0 τέ-

τοιος, ώστε για κάθε x που ανήκει στο Α με , να ισχύει x > Κ f (x) − < ε . Ας εξετάσουμε τώρα τα παρακάτω σχήματα στα οποία έχουμε τις γραφικές

παραστάσεις δυο συναρτήσεων σε ένα διάστημα της μορφής (α, )+∞ .

Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα,

x

f(x)

x Κ

Μ

y

O

xlim f (x)→+∞

= +∞ y

x Ο xlim f (x)→+ ∞

= −∞

x

f(x)

x Ο

ε−

ε+

Κ

xlim f (x)→+∞

=

Page 24: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 127

Συνεπώς δεν υπάρχει το όριο της f(x) στο 3.

Άρα το όριο της f(x) στο 3 υπάρχει μόνο όταν κ = 1 και είναι x 3mf (x)

6→=

7li .

2. Να υπολογίσετε, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια :

i) 2

xlim x x 7→− ∞

+ + , ii) 2

xlim ( x 1 x 3x )→+ ∞

+ + − , iii) 2

2x

4x x 2xlim

x 5x 6→−∞

− +

− +,

iv) , v) 2 3

xlim (3x x 7 2ημ 4x)→−∞

+ + − 2

xlim ( x 1 x) 3x→+ ∞

+ − ημ ,

vi) 1xx

1xxlim2

2

x −−

+−+∞→

,

Λύση

i) Έστω 2f (x) x x 7= + + . Είναι fA = , (γιατί ;) Επειδή 2

x xlim (x x 7) lim x→− ∞ →− ∞

2+ + = = +∞ , έχουμε xlim f (x)→− ∞

= +∞ .

· ii) Έστω 2f (x) x 1 x 3x= + + − . Είναι fA = [ 1,0] [3, )− ∪ +∞ , γιατί πρέπει x 1 0+ ≥ και 2x 3x 0− ≥ ή και x 1≥ − (x 0 η x 3)≤ ≥ . Έχουμε

xlim (x 1)→+ ∞

+ = +∞ και 2

xlim (x 3x)→+ ∞

− = +∞ , οπότε

xlim x 1→+ ∞

+ = +∞ και 2

xlim x 3x→+ ∞

− = +∞ . Άρα xlim f (x)→+ ∞

= +∞ .

·

iii) Έστω 2

2

4x x 2xf (x)

x 5x 6− +

=− +

. Είναι fA 2,3= − .

Μελετάμε ως προς το πρόσημο την παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο.

Έχουμε , οπότε 24x x x(4x 1)− = − 24x x 0− > για κάθε 1x ( , 0) ( , )4

∈ −∞ ∪ +∞

και για κάθε 24x x 0− < 1x (0, )4

∈ .

Για ισχύει x ( , 0)∈ −∞2 2

2 2

4x x 2x 4x xf (x)x 5x 6 x 5x 6

− + += =

− + − +.

Επομένως 2

2x x

4xlim f (x) lim 4x→− ∞ →− ∞

= = .

· iv) Έστω . Είναι 2 3f (x) 3x x 7 2ημ 4x= + + − fA = . Για ισχύει: x ( , 0)∈ −∞

Page 25: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 141

3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

3.1 Συνέχεια Συνάρτησης

3.1.1 Συνέχεια σε σημείο • Στα παρακάτω σχήματα. δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσε-ων. Παρατηρούμε ότι:

Στο σχήμα (I) η συνάρτηση f είναι ορι-σμένη στο και η αριθμητική τιμή της στο 0x είναι ίση με ο όρ της

0x y

τ ιο συνάρτησηςστο 0x . Δηλαδή ισχύει

00x x→

lim f (x) f (x )= = .

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρ-τηση f είναι συνεχής στο 0x .

Στο σχή α (II) η συνάρτηση f είναι ορι-σμένη στο 0x , αλλά η αριθμητική τιμή της στο 0x δεν είναι ίση με το όριο της συνάρ-

μ

τησης στο 0x . Δηλαδή ισχύει

00x x→

lim f (x) f (x )= ≠ .

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρ-τηση δστο

f εν είναι συνεχής ή είναι ασυνεχής

(,

τ χίνο ιθ ή τιμ

εδώ έχουμε

0

0x . Τέλος στο σχήμα III) η συνάρτηση f

είναι ορισμένη στο όμως δεν υπάρχει το όριο ης f στο 0 , οπότε δεν έ ει νόημα να το συγκρ υμε μ ην αρ μητικ ή της στο 0x . Πληροφοριακά

0x

ε τx

02

x xlim f (x) f (x )

+→= = και

01

x xlim f (x)

−→= .

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρ-τηση f δεν είναι συνεχής ή είναι ασυνεχής στο . 0x

Από τις παραπάνω τρεις γραφικές παραστάσεις είναι φανερό ότι:

fC

x0

(I) 0f (x ) =

x O

x0

y

x O

fC

0f (x )

(II)

x

y

Ο

1

0 2f (x ) = fC

0x

(III)

Page 26: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 145

τησης, δεν χρειάζεται να σηκώσουμε το χέρι μας καθόλου παρά μόνο στα σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού.

Αντίθετα στα δύο τελευταία σχήματα, που δεν έχουμε συνεχείς συναρτήσεις, το χέρι μας σηκώνεται ακόμη και σε σημεία του πεδίου ορισμού, γιατί εμφανί-ζονται απότομες και ξαφνικές μεταβολές (πηδήματα), (στο 0 για το σχήμα III, στο

για το σχήμα IV). 0x

• Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του . (σχήμα V) (α,β)

• Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] , όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον

x αlim f (x) f (α)

+→= και

x βlim f (x) f (β)

−→= . (σχήμα VI)

x Ο

(V)

y

β α

(VI)

• Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (α,β] , [α,β) .

3.1.3 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων α) Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις • Από τον ορισμό της συνέχειας στο 0x και τις ιδιότητες των ορίων απόδεικνύ-εται ότι, οι πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων δίνουν συνεχείς συναρτήσεις. Δηλαδή:

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο , τότε, με την προϋπόθεση 0xότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το , είναι συνεχείς στο και οι 0x 0x

συναρτήσεις: f g+ , c f⋅ , όπου c∈ , f g⋅ , fg

, f και ν f .

• Οι συναρτήσεις x) εφxf ( = και x) σφxg( = είναι συνεχείς ως πηλίκα συνε-χών συναρτήσεων.

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

i) Η συνάρτηση f (x) 2x 4= − είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της [ , 2, )+ ∞αφού η συνάρτηση g(x) 2x 4= − είναι συνεχής.

β

x α

y

Ο

Page 27: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 157

3.2 Θεωρήματα Συνεχών Συναρτήσεων

3.2.1 Θεώρημα των Bolzano – Weierstrass Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ . α,β]Αν η f είναι συνεχής στο και επιπλέον ισχύει f[α,β] (α) f (β) 0⋅ < , τότε από-δεικνύεται ότι, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β)∈ τέτοιο, ώστε . f (ξ) 0=

Δηλαδή, η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια, τουλά-χιστον, ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α, β) ή η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Π. χ η εξίσωση 01xx =+−ημ,0( έχει μία

τουλάχιστον λύση στο διάστημα )π . Πράγματι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) ημx x 1= − + , παρατηρούμε ότι, είναι συνεχής στο διάστημα [0, π] και ισχύει f(0)f(π) = 1.(1 – π) < 0.

ξ β Ο x

y

α

f(α)

f(β)

• Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι το ακόλουθο.

Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Απόδειξη

Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση P, με ν ν 1ν ν 1 1P(x) α x α x ... α x α−

− 0= + + + + ,

να 0> και ν περιττό. Από τη θεωρία των ορίων γνωρίζουμε ότι:

ννx x

lim P(x) lim (α x )→+∞ →+∞

= = +∞ και x x

ννlim P(x) lim (α x )

→−∞ →−∞= = −∞ , oπότε υπάρχουν

α < 0 και β > 0 τέτοια, ώστε P(α) < 0 και P(β) > 0, δηλαδή P(α) P(β) < 0. Με ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε και όταν αν 0< . Συνεπώς ισχύει το θεώρημα των Bolzano – Weierstrass και άρα το P(x) έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Σχόλια

α) Από το θεώρημα των Bolzano – Weierstrass προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ'

Page 28: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

158 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈ Δ ή είναι αρνητική για κάθε . Δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ, όπως φαίνεται στα

παρακάτω σχήματα. x∈ Δ

Πράγματι. Αν υποθέσουμε ότι, υπάρχουν στο Δ δύο σημεία α, β με α < β και f(α)f(β) < 0, τότε θα υπάρχει στο (α, β) ένα, τουλάχιστον, ξ με f(ξ) = 0. Αυτό όμως είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης.

• Άμεση συνέπεια του παραπάνω είναι το εξής. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστή-ματα, στα οποία οι διαδο-χικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Στο διπλανό σχήμα φαίνε-ται το πρόσημο των τιμών της f, όταν το x διατρέχει το πεδίο ορισμού της. • Αυτό μας διευκολύνει στην επίλυση μιας ανίσωσης f(x) > 0 ή f(x) < 0, με f συνεχή συνάρτηση, όπου είναι απαραίτητος ο προσ-διορισμός του πρόσημου της f για τις διάφορες τιμές του x.

Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f(x) = 0. β) Σε καθένα από τα διαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό θ και βρίσκουμε το πρόσημο του f(θ). Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.

Π. χ Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τις τιμές του x στο (0, 2π), για τις οποίες ισχύει . Θεωρούμε τη συνάρτηση 2ημx 1 0− > f (x) 2ημx 2= − , η οποία είναι συνεχής, και υπολογίζουμε τις ρίζες της f (x) 0= στο (0, 2π).

Έχουμε 2 π 5πημx x ή x2 4

= ⇔ = =4

. Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το διάστημα

(0, 2π), στα διαστήματα π(0, )4

, π 5π( , )4 4

και 5π( , 2π )4

.

f(x) > 0

α β Ο

y

x f(x) < 0

α β Ο

y

x

5ρ x Ο

y

+ + +

− − −3ρ 1 4ρ ρ 2 ρ

Page 29: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 161

γ) Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Αν μια μη σταθερή συνάρτηση f

είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε το σύνολο τιμών της f(Δ) είναι διάστη-μα.

y

Αλλιώς διατυπωμένο:

Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρ-τησης είναι διάστημα.

Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια μη σταθερή και συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [α, β). Παρατηρούμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [Α, Β).

3.2.3 Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής – Σύνολο τιμών 1. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Έστω f μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ . α,β]Αποδεικνύεται ότι, υπάρχουν 1 2x ,x [α,β]∈ τέτοια ώστε, αν και 1(x )m f=

2M f(x )= , να ισχύει m f (x) M≤ ≤ , για κάθε x [α,β]∈ . Δηλαδή, η f παίρ-νει στο [ μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. α,β]

Σχόλια

Με τη βοήθεια των παραπάνω αποδει-κνύεται ότι:

Αν μια μη σταθερή συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα

, τότε το σύνολο τιμών της [α,β]f( [α, β] ) είναι κλειστό διάστημα.

Αλλιώς διατυπωμένο:

Η εικόνα ενός κλειστού διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα.

[α,β]

Π. χ στο παραπάνω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης που είναι ορισμένη στο διάστημα [α, β]. Παρατηρούμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [m, M], όπου m είναι η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.. • Το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει. Δηλαδή υπάρχει περίπτωση να είναι το σύνολο τιμών, μιας μη σταθερής και συνεχούς συνάρτησης, κλειστό διά-στημα, χωρίς το πεδίο ορισμού να είναι κλειστό διάστημα.

1x 2xΟ

y

x

m

β α

M

Οx

Α

β

Β

α

Page 30: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

164 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

στοιχα τα: [f(α), ), [f(α), f(β)] και ( , f(β)]. xlim f (x)→−∞

x

xlim f (x)→+∞

xlim→+∞

Τέλος έχουμε: f(A) = [f(α), )∪ [f(α) , f(β)]∪ ( , f(β)]. lim f (x)→−∞

f (x)

Π.χ το σύνολο τιμών της 2x 1, x 1

1f (x) 1 , x

x

− ≤

>

⎧⎪= ⎨⎪⎩

, η οποία είναι συνεχής,

γνησίως αύξουσα στο (- ∞ , 1] και γνησίως φθίνουσα στο (1, + ∞ ), είναι το ( , f(1)] ∪ ( , ) = (-

xlim f (x)→−∞

x)x 1limf (x)→

∞ , 1] ∪ (0, 1) = (- ∞ , 1]. xlim f (→+∞

ε) Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι: Για να βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της.

3.2.4 Βασικές προτάσεις

Θα αποδείξουμε παρακάτω μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν. 1. Συνέχεια συνάρτησης και μονοτονία

α) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και σημείο γ του [α, β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στα διαστή-ματα [α, γ) και (γ, β], τότε είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στο [α, β].

Απόδειξη

Η f είναι γνησίως αύξουσα στα [α, γ) και (γ, β], οπότε: Για κάθε 1 2x , x ∈[α, γ) με 1 2x x< ισχύει )1 2f (x ) f (x< . Για κάθε 1 2x , x ∈(γ, β] με 1 2x x< ισχύει )1 2f (x ) f (x< . Θα εξετάσουμε, τι γίνεται στην περίπτωση 1 2x γ x< < .

Ισχύει = = f(γ). x γlim f (x)

+→ x γlim f (x)

−→

γim f (x)

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [α, γ) ισχύει: 1 x

f (α) f (x ) l→

≤ < ή f(α) 1f (x )≤ < f(γ).

Ομοίως <x γlim f (x

+→) 2f (x ) ≤ f(β) ή f(γ) < 2f (x ) ≤ f(β).

xΣυνεπώς για 1 2γ x< < έχουμε f ( 1 2x ) f (γ) f (x )< < . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β], γιατί σε κάθε περίπτωση, για

κάθε 1 2x , x ∈[α, β] με 1 2x x< ισχύει 1 2 )f (x ) f (x< .

Page 31: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 165

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και « 1 – 1 » στο διάστημα [α, β], τότε είναι γνησίως μονότονη.

Απόδειξη Επειδή η f είναι « 1 – 1» ισχύει f (α) f (β)≠ . Έστω f . Θα αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. (α) f (β)<Υποθέτουμε ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν , με

, ώστε f . (Το fx ,x1 2

α x x β≤ < ≤1 2 (x ) f (x )>1 2 (x ) f (x )=1 2 αποκλείεται, γιατί η f είναι « 1 – 1 »)

i) Αν α = , τότε f ( . x1 β) f (α) f (x ) f (x )> = >1 2

Επειδή η f είναι συνεχής στο [ , παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των και f(β). Συνεπώς θα παίρνει και την τιμή f (

x ,β]2 f (x )2

x ) f (α)=1 .(θεώρημα ενδιαμέσων τιμών) Δηλαδή θα υπάρχει ξ στο διάστημα για το οποίο (x ,β)2 f (x ) f (ξ)=1 . Το τελευταίο λόγω της υπόθεσης σημαίνει ότι ξ = x . Δηλαδή το βρίσκεται στο διάστημα , πράγμα άτοπο.

1 x1

(x ,β)2

Με ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο, αν υπoθέσουμε ότι β = . x2

ii) Αν α ≠ x1 και β ≠ x2 , τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις. α) Αν , τότε το βρίσκεται στο διάστημα , πράγμα άτοπο.

f (β) f (α) f (x ) f (x )> > >1 2 x1 (x ,β)2

β) Αν , τότε το βρίσκεται στο διάστημα , πράγμα άτοπο.

f (x ) f (x ) f (α)> >1 2 x2 (α, x )1

γ) Αν τότε το α βρίσκεται στο διάστημα , πράγμα άτοπο.

f (x ) f (α) f (x )> >1 2 (x , x )1 2

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β]. 2*. Συνάρτηση συνεχής σε διάστημα και αντίστροφη

Στα προηγούμενα είδαμε ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνεχής. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο στην περίπτωση που η συνάρ-τηση είναι συνεχής σε διάστημα. Αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα.

α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και συνεχής σε ένα σημείο ξ που ανήκει στο Δ, τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f(ξ).

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και γνησίως μονότονη στο Δ, τότε και η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f(Δ).

Page 32: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

168 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

2) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο ],[ βα , η εξίσωση 0)x(f = δεν έχει ρίζα στο ),( βα και υπάρχει ),( βα∈ξ , ώστε 0)(f <ξ , τότε θα ισχύει 0)x(f < , για κάθε ),(∈ . Σ Λ x βα3) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο ],[ βα και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές )x(f), με ],[x(f 21 x,x 21 βα∈ , τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των )x(f 1 και )x(f . Σ Λ 2

4) Αν η f είναι συνεχής στο και 1)x(f = , 4)x(f 2 = , τότε υπάρχει 1

)x,x(x 210 ∈ )x(f 0, ώστε e . Σ Λ =5) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ],[ βα , τότε το σύνολο τιμών της είναι [ )](f),(f βα6) Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφη

. Σ Λ

της είναι συνεχής στο )(f Δ . Σ Λ 7) Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα [α, β] είναι συνεχής και 1-1,

η ι μ μέγιστη

άρτη συν

τότε η συνάρτηση 1f − είναι συνεχής. Σ Λ 8) Κάθε συνεχής συνάρτησ με πεδίο ορ σ ού το έχει και ελάχιστη τιμή. Σ Λ 9) Κάθε συν ση f, εχής στο ],[ βα , με )(f)(f β≠α , παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των )(f α και )(f β . Σ Λ 10) Αν οι συναρτήσεις f, g δεν ε υνεχείς στο σημείο 0x ου κοινού πεδίοίναι σ τ υ ορισμού τους , τότε η συνάρτηση gf + δε είναι συνεχής στο 0x . Σ Λ 11) Αν η συνάρτηση f είναι χής στο 0x και η συνάρτηση g εν είναι συνεχή

ν συνε δ ς

στο 0x , τότε η συνάρτηση gf + είναι πάντοτε συνεχής στο 0 . Σ Λ

12) Αν η συνάρτηση f εν ς 0 δεν ι συνεχή

μη

δ είναι συνεχή στο τότε και η είνα ς Σ Λ

7. Αν η συνάρ

x

x 2fστο 0x .

τηση f είναι συνεχής στο [α,β] , με f (α) 0≠ και ισχύει f (α) f (β) 0+ = , να απόδείξετ , η f έχει του ).

8. Αν η f είναι συνεχής στο [2,5] και ισχύει 2

ε ότι λάχιστον μία ρίζα στο (α, β

f (2)f (5) x x 7 x 2+ − + < + , για κάθε να αποδείξετεx [2,5]∈ , ωση 0)x(f ότι ίσ, η εξ = έχει μια το ρίζα στο

διάστημα (2, 5) ότι

υλάχιστον .

9. Έστω Να δειχθεί , υπάρχει )1,1(x 03f (x) 2x 3xημ(πx) 4= − + . −∈ τέτοιος,

ώστε να ισχύει 7= . 03f (x )

10. Δίνονται οι συναρ , g συνεχείς στο , για τις οπο ύειτήσεις f ίες ισχ α 1 και ≠g(x) f (x) 3( 1)x= − α − . Αν η εξίσωση f (x) 0= έχει δύο ρίζες 20 1ρ < < ρ , να δειχθεί ό ση g(xτι, η εξίσω ) 0= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 1 2( , )ρ ρ .

οι συναρτήσεις ορισμένες11. Αν f, g είναι και συνεχείς στο και πληρούν τις ]1,0[

Page 33: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

170 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

21. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[ 3,3]− → 81 x) 0, με 4 225(x ) 16f (− + =,3)

, για [ 3,3]∈ − . Να απ , η f όσημο στο ( 3 . κάθε οδείξετε πρ x ότι διατηρεί −

22. Υποθέτουμε ότι f, g συνεχείς και 2 2f (x) g (x)= και f (x) 0 ότι ≠ , για κάθε x∈ . Αποδείξτε ότι, f (x) g(x)= ή f (x) g(x)= − θ, για κά ε x.

23. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

[ , ]α β

τον

και όχι σταθερή. Αν κ, λ θετικοί ακέ-

οι, δείξτε ότι άρχει έ σραι υπ να τουλάχι ( , ) ώστε f ( ) f ( )f ( ) κ α + λ βξ =

κ + λ. ξ∈ α β

24. Να βρείτε το σύνολο τιμών i) 1

των συναρτήσεων: , ii) 1e)x(f x += , ]0,(x −∞∈ . xln)x(f −= , ]e,1[x∈

25. Δίνεται η συνάρτηση 2f (x)x2x 1, 0 x 2+ ≤ <⎧

1, 2 x 4= ⎨ + ≤ ≤⎩

.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τη συνέχεια. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της . 26. Για τη συνεχή συνάρτηση f :[α,β]→ ισχύει 0)x(f ≠ για ,[ βα∈ . Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της είναι θετική, ή η μέγιστη της είναι

κάθε τιμή

ε

]x

αρνητική. 27. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [-10, 10] και η ξίσωση 0)x(f = έχει μο-ναδικές ρίζες το - 4 και το 7.

) Αν υπάρχει - 4 α 0x < ώστε , να δείξετε ότι για κάθε x < - 4 . 0)x(f 0 > 0)x(f > β) Αν υπάρχει 0x στο διάστημα (- 4, 7) ώστε 0)x(f 0 < , να δείξετε ότι (fγια κάθε x στο (- 4, 7).

0)x <

3.2.6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΣΕΙΣ B΄ ΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗ

συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο f(1) = 5. κάθε x < - 4 ή x > 3 ισχύει να αποδείξετε ότι, υπάρχει πραγμα-

1. Μια Αν για

, με f (x) 5≥

τικός αριθμός ξ, για τον οποίο ισχύει f (ξ) ≤ 5.

Λύση Η f είναι συνεχής στο διάστημα [- 4, 3], οπότε έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Δηλαδή υπάρχουν m και Μ ώστε m f (x) M για κάθε x [ 4, 3]∈ − . ≤ ≤Θα είναι λοιπόν και m f (1) M≤ ≤ ή m 5 M≤ ≤ . Άρα υπάρχει ξ ώστε m = ≤ 5. f(ξ)

2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα να αποδείξετε ότι, υπάρχει

],[ βα ),( βα∈ξ τέτοιο, ώστε να ισχύει

Page 34: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 177

4. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

4.1 Κατακόρυφη Ασύμπτωτη

• Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γρα-φική παράσταση της συνάρτησης x

1f (x)x

= . Παρατηρούμε ότι, καθώς το

x πλησιάζει από δεξιά στο 0, η γραφική παράσταση της f πλησιάζει, όσο θέ-λουμε, (τείνει να συμπέσει) την ευθεία x = 0.

1yx

=

y O Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η ευ-θεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτω-τη της γραφικής παράστασης της f. Το ίδιο συμβαίνει και όταν το x πλησιάζει από αριστερά στο 0. Γενικά:

Η ευθεία x α= λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη (vertical asymptote) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, όταν ένα τουλάχιστον από τα όρια , είναι

x αlim→

f (x)+ x α

lim f (x)−→

+∞ ή −∞ . Δίνουμε τρία παραδείγματα.

α) Η ευθεία x 1= είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της xf (x)

x 1=

−, γιατί

x 1lim f (x)

+→= +∞ ,

x 1lim f (x)

−→= −∞ .

β) Η ευθεία x 0= είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της 2x 1f (x)x+

= , γιατί x 0lim f (x)

+→= +∞ ,

x 0lim f (x)

−→= −∞ .

γ) Η ευθεία x 1= − είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της x x

f (x) =+

2x 1−

, γιατί x 1lim f (x)

+→ −= −∞ και

x 1lim f (x)

−→ −= +∞ .

• Στα παρακάτω σχήματα δίνουμε μερικές περιπτώσεις στις οποίες η ευθεία

Page 35: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

178 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

x = α είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης..

x = α x = α

+∞=+α→

)x(flimx

−∞=+α→

)x(flimx

, −∞=−α→

)x(flimx

x = α x = α

,xlim f (x)

+→α= −∞

xlim f (x)

−→α= +∞ +∞=

+α→)x(flim

x, +∞=

−α→)x(flim

x

Σχόλια

α) Αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρ-τησης f: i) Στα άκρα των ανοικτών διαστημάτων του πεδίου ορισμού, στα οποία η f δεν ορίζεται. ii) Στα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής.

Π. χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με 2x 1f (x)x 2

+=

− με πεδίο

ορισμού 1A [ ,2) (2, )2

= − ∪ +∞ έχει πιθανή κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 2=

αΟ y

y x

fC α

Cf

x O

y

α x

O

fC

x α

y

Ο

fC

Page 36: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 181

4.3 Ασύμπτωτες • Εκτός από τις οριζόντιες και τις κατακόρυφες ασύμπτωτες είναι δυνατόν μια οποιαδήποτε ευθεία να είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρ-τησης f.

y Π. χ Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2x 2x 2f (x)x 1− +

=−

. Α f(x)

O Β

Παρατηρούμε ότι, καθώς το x τείνει στο , η γραφική παράσταση της f πλησιά-

ζει, όσο θέλουμε, (τείνει να συμπέσει) την ευθεία y = x - 1.

+∞

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η ευθεία y = x - 1 είναι ασύμπτωτη (πλάγια) στο

της γραφικής παράστασης της f. Το ίδιο συμβαίνει και όταν το x τείνει στο +∞

−∞ . • Ακόμη παρατηρούμε ότι η απόσταση ΑΒ = f(x) – (x – 1) τείνει στο 0 καθώς το x τείνει στο +∞ . Γενικά:

Η ευθεία y αx β= + λέγεται ασύμπτωτη (asymptote) στο +∞ ( ) της −∞γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, όταν

xlim [f (x) )] 0→ +∞

(αx β− + =

(xlim [f (x 0→ −∞

) (αx β)]− + = ).

Δίνουμε δύο παραδείγματα.

α) Η ευθεία y x= είναι ασύμπτωτη στο +∞ και στο −∞ (πλάγια) της γραφικής

παράστασης της 2x 1f (x)x+

= , γιατί

2

x x

x 1lim (f (x) x) lim x 0x→+∞ →+∞

⎛ ⎞+− = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ και

xlim (f (x) x) ... 0→−∞

− = = .

β) Η γραφική παράσταση της x x 2

f (x)x 1−

=+

έχει στο +∞ ασύμπτωτη την ευθεία

, γιατί y x 3= −xlim [f (x) (x 3)]→+∞

− − =x

x(x 2) (x⎛lim 3)x 1→+∞

− ⎞− − =+⎝ ⎠

⎜ ⎟ x

3lim 0x 1→+∞

=+

και στο την ευθεία −∞ y x 3= − + , γιατί

x

y = x - 1 x

y = x – 1

Page 37: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 185

Είναι 3f (x) 2x 1 2x 1 g(x)x

= + + = + + .

Επειδή x xlim g(x) lim g(x) 0→+∞ →−∞

= = έχουμε

x xlim [f (x) (2x 1)] lim [f (x) (2x 1)] 0→+∞ →−∞

− + = − + = , οπότε η y 2x 1= + είναι πλάγια

ασύμπτωτη στο +∞ και στο −∞ .

Είναι για κάθε , x 0>3f (x) (2x 1) 0x

− + = > ή , οπότε η γραφική

παράσταση της f "κοντά" στο

f (x) 2x 1> +

+∞ βρίσκεται πάνω από την ασύμπτωτη, ενώ "κοντά" στο βρίσκεται κάτω από την ασύμπτωτη, γιατί −∞ f (x) 2x 1< + .

δ) Θα ξέρουμε ότι:

i) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις δεν έχουν ασύμπτωτες.

ii) Για ρητές συναρτήσεις P(x)Q(x)

ισχύουν:

α) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος ή ίσος του βαθμού του παρονομαστή, έχουν οριζόντια ασύμπτωτη. β) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά ένα μεγαλύτερος του βαθμού του παρονομαστή, έχουν πλάγια ασύμπτωτη. γ) Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος τουλάχιστον κατά 2 του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες και οριζόντιες.

Π.χ. Οι γραφικές παραστάσεις των 3f (x) 2x 3x 7= + + και 3x xf (x)3x 2+ +

=+

1

δεν έχουν πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες. Μάλιστα η πρώτη δεν έχει ούτε κατακόρυφες.

Οι γραφικές παραστάσεις των 2x 3f (x)3x 2

+=

− και 3

2xf (x)x 3x

=+

έχουν οριζόντια

αλλά όχι πλάγια.

Τέλος οι γραφικές παραστάσεις των 3

2

x 2xf (x)x 1+

=−

και 2x 1

x 1++

έχουν πλάγια αλλά

όχι οριζόντια.

4.3.1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:

α) 1x3x)x(f

−+

= , β) 2f (x) x 1 2x= + − .

Λύση

Page 38: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 187

β) Αν είναι γνωστό ότι η ευθεία y = 2x + 3 είναι ασύμπτωτη της στο +∞ , να

βρείτε το

fC

2x

4f (x) 2x 1lim3xf (x) 6x x 7→+∞

+ −− − +

.

γ) Να υπολογίσετε το 3 2

2x

f (x) 2f (x) 4f (x) 5lim

f (x) 1→+∞

− + −

+.

Λύση

α) Έστω 2

2

12f (x) 2x 6xxg(x)

4x 3 2x

+ − ημ=

+ −. Τότε:

2 21 1f (x) ( 4x 3 2x)g(x) x 3x ημ2 x

= + − − + και

2f (x) 1 ( 4x 3 2x) 1g(x) 1 3xημx 2 x

+ −= −

x+ .

Βρίσκουμε τα επί μέρους όρια. 2 2 2

2x x

( 4x 3 2x) 4x 3 4xlim limx x( 4x 3 2x)→+ ∞ →+ ∞

+ − + −=

+ + 2x

3lim 0x( 4x 3 2x)→+ ∞

=+ +

και =

x x

1ημ1 xlim xημ lim 11xx

→+ ∞ →+ ∞= = .(γιατί ;)

Συνεπώς x

f (x) 1lim 0 5 1 3 1 2x 2→+ ∞

= ⋅ ⋅ − + ⋅ = .

β) Ισχύει xlim (f (x) 2x) 3→+∞

− = , γιατί η y = 2x + 3 είναι ασύμπτωτη της . fC

Έχουμε: 2x

4f (x) 2x 1lim3xf (x) 6x x 7→+∞

+ −=

− − + x

f (x) 14 2x xlim 73[f (x) 2x] 1

x→+ ∞

+ −=

− − +

4 2 2 0 53 3 1 0 4⋅ + −

=⋅ − +

.

γ) Έστω f (x)h(x)x

= . Τότε f (x) x h(x)= ⋅ και xlim f (x)→+ ∞

= +∞ , οπότε f(x) >0

για κάθε x κοντά στο +∞ . Είναι 3 2 2f (x) 2f (x) 4f (x) f (x)[f (x) 2f (x) 4]− + = − + . Παρατηρούμε ότι η παράσταση 2f (x) 2f (x) 4− +

2f (x) 2f (x) 4 είναι ένα τριώνυμο ως προς f(x)

με διακρίνουσα αρνητική, οπότε − +3 22f (x) 4f (x)

> 0 για κάθε x κοντά στο , και επειδή f(x) > 0 είναι

+∞

f (x) 0− + > .

Έχουμε 3 2

2x

f (x) 2f (x) 4f (x) 5lim

f (x) 1→+∞

− + −

+=

3 2

2x

f (x) 2f (x) 4f (x) 5limf (x) 1→+∞

− + −+

= +∞ .

Page 39: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

188 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

4.3.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ Ομάδα 1. Να σημειώσετε το σωστό ή λάθος στα παρακάτω :

α) Η συνάρτηση 01

11

011

1

x...xxx...xx

)x(fβ+β++β+βα+α++α+α

=−μ

−μμ

μ

−ν−ν

νν με 0, ≠βα μν έχει:

i) Οριζόντια ασύμπτωτη στο ∞− την ευθεία με εξίσωση 0y = , αν μ<ν Σ Λ

ii) Οριζόντια ασύμπτωτη στο ∞+ την ευθεία με εξίσωση μ

ν

βα

=y , αν μ=ν .

Σ Λ iii) Οριζόντια ασύμπτωτη στο ∞+ την ευθεία με εξίσωση να=y , αν μ>ν . Σ Λ β) Υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν δύο οριζόντιες ασύμπτωτες στο ∞+ . Σ Λ

γ) Αν 1x

1)x(f−

= , 1x ≠ , τότε η συνάρτηση )x(xf)x(g = έχει οριζόντια ασύμπτω-

τη στο την ευ εξίσωση ∞+ θεία με 1y = . Σ Λ δ) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα ],[ βα , τότε μπορεί να ει κατακόρ

έχυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση α=x Σ Λ

2. Πόσες ασύμπτωτες έχει συνολικά η γραφική παράσταση της συνάρτησης 22x 1+f (x)

x 2=

−; Α. 0 Β. 2 Γ. 4 Δ. 3

3. Έστω η 1x

xx)2 +

=x(f2

−λ+ , λ∈

την

. απ προτάσεις αληθής;

τακόρυφη ασύμπτωτη

Ποια ό τις δεν είναι

Α. η f έχει κα ευθεία με εξίσωση 1x = Β.

xlim f (x)→+∞

η f ριζόντια ασύμπτωτη στο = +∞ Γ. έχει ο ∞+ την ευθεία με

εξίσωση 1y = Δ. η f είναι ορισμένη στο 1− Ε. στο πεδίο ορισμού της. 4. Να βρεθούν ι ασύμπτωτες των γραφι

η f είναι συνεχής όλες ο κών παραστάσεων των συναρ-

τήσεων: i) 4x

)x(f−

= , ii) 1x2 +3x

)x(f 2 += , iii) 1+x3

1x3)x(f

+= ,

iv)

3x 2 +

2

2

)1x(4x)x(f

−−

=8x1x)x(f 6

2

++

=6x5x3x4x)x(f = v) 2

2

+−+− , , vi) ,

vii) g(x) 2 x= , iii)v 1x8x) = x(f 2

6

−+ , ix)

4x5x6x11x12xf −

=)x( 2

23

+−+− ,

2x1xx

)x(f−

−=2x

12x)x(x) f ++= , xi) .

Page 40: ΑΝΑΛΥΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ