Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ-νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ-γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι-στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη-ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό-σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών.

τα βιβλία των επιτυχιών

Νίκος Τάσος

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α΄ & Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥγια μαθητές Γ΄ Λυκείου

Σειρά: Γενικό Λύκειό | Γ΄ Λύκειόύ

Βασικές έννοιες Μαθηματικών Α΄ & Β΄ Λυκείου για μαθητές Γ΄ Λυκείου Νίκος Τάσος ISBN: 978-618-5325-27-5

Επιμέλεια κειμένου: Γαλάτεια Μπασέα Σχεδιασμός έκδοσης, σελιδοποίηση: Βαρβάρα ΠαπαδημητρίουΣχεδιασμός εξωφύλλου: Αλέξανδρος Γιαννακούλιας, Μαλβίνα ΚότοΕικόνα εξωφύλλου: ShutterstockΥπεύθυνη έκδοσης: Μαλβίνα Κότο

Copyright 2019 © ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο

Κυκλοφορία έκδοσης: Μάιος 2019

Επικοινωνία με συγγραφέα: nikotaso@yahoo.gr | 6944 34 34 15

Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλ-λευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων.

Αριθμός έκδοσης: 1η | Αριθμός αντιτύπων: 1000

Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ 164 52 ΑργυρούποληΤ. 210 4112507 | www.ekdoseispoukamisas.gr | info@ekdoseispoukamisas.gr

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. Πραγματικοί Αριθμοί

1.1 Τοσύνολοτωνπραγματικώναριθμών 11

1.2 Οιπράξειςκαιοιιδιότητέςτους 13 1.3 Δυνάμεις 151.4 Ταυτότητες 171.5 Παραγοντοποίηση 19

1.6 Διάταξη 221.7 Απόλυτητιμήπραγματικού

αριθμού 271.8 Ρίζεςπραγματικώναριθμών 281.9 Προτεραιότητατωνπράξεων 32

2. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

2.1 Τριγωνομετρικοίαριθμοί 35 2.2 Ακτίνιο 362.3 Τριγωνομετρικοίαριθμοίβασικών

γωνιών 36

2.4 Αναγωγήστο1οτεταρτημόριο 372.5 Τριγωνομετρικέςταυτότητες 38

3. Πολυώνυμα

3.1 Ορισμόςπολυωνύμου 413.2 Σταθερόκαιμηδενικό

πολυώνυμο 413.3 Βαθμόςπολυωνύμου 423.4 Ισότηταπολυωνύμων 43

3.5 Αριθμητικήτιμήπολυωνύμου 433.6 Ρίζαπολυωνύμου 443.7 Διαίρεσηπολυωνύμων 453.8 ΣχήμαHorner 47

4. Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση

4.1 Εκθετικήσυνάρτηση 534.2 Λογάριθμοι 54

4.3 Λογαριθμικήσυνάρτηση 56

5. Εξισώσεις

5.1 Πολυωνυμικέςεξισώσεις1ουβαθμού 61

5.2 Εξισώσειςτηςμορφήςxν=α,ν∈!* 63

5.3 Εξισώσειςμεαπόλυτα 635.4 Πολυωνυμικέςεξισώσεις

2ουβαθμού 695.5 Πολυωνυμικέςεξισώσεις

βαθμού≥3 73

5.6 Ρητέςεξισώσεις 745.7 Άρρητεςεξισώσεις 755.8 Τριγωνομετρικέςεξισώσεις 775.9 Εκθετικέςεξισώσεις 795.10Λογαριθμικέςεξισώσεις 815.11Ειδικέςπεριπτώσειςεξισώσεων 83

8

6. Ανισώσεις

6.1 Πολυωνυμικέςανισώσεις1ουβαθμού 91

6.2 Ανισώσειςμεαπόλυτα 936.3 Πολυωνυμικέςανισώσεις

2ουβαθμού 986.4 Πολυωνυμικέςανισώσεις

γινομένου 102

6.5 Πολυωνυμικέςανισώσειςβαθμού≥3 104

6.6 Ρητέςανισώσεις 106 6.7 Άρρητεςανισώσεις 111 6.8 Εκθετικέςανισώσεις 115 6.9 Λογαριθμικέςανισώσεις 117 6.10Ειδικέςπεριπτώσειςανισώσεων 119

7. Καρτεσιανό επίπεδο

7.1 Καρτεσιανόσύστημασυντεταγμένων 125

7.2 Απόστασηδύοσημείωνστοεπίπεδο 130

7.3 Απόστασησημείουαπόευθεία 1327.4 Απόστασηευθείαςαπόευθεία 134

8. Συστήματα

8.1 Γραμμικάσυστήματα 1398.2 Μηγραμμικάσυστήματα 142

8.3 Εκθετικάσυστήματα 1438.4 Λογαριθμικάσυστήματα 144

9. Συναρτήσεις

9.1 Ηέννοιατηςσυνάρτησης 1479.2 Πεδίοορισμού&σύνολοτιμών

συνάρτησης 1489.3 Μονοτονία&ακρότατα

συνάρτησης 1509.4 Άρτια&περιττήσυνάρτηση 1539.5 Γραφικήπαράσταση

συνάρτησης 154

9.6 Ησυνάρτησηf(x)=αx+β 1619.7 Ησυνάρτησηf(x)=αx2 1669.8 Ησυνάρτησηf(x)=αx3 1699.9 Ησυνάρτησηf(x)=αx2+βx+γ 1719.10Τριγωνομετρικέςσυναρτήσεις 1799.11Σύνοψηγραφικώνπαραστάσεων

βασικώνσυναρτήσεων 182

10. Γεωμετρία

10.1 Βασικάστοιχείατριγώνων&είδητριγώνων 187

10.2Ισότητατριγώνων&κριτήριαισότηταςτριγώνων 189

10.3 Ομοιότητατριγώνων&κριτήριαομοιότηταςτριγώνων 189

10.4 Εμβαδόν&περίμετροςεπίπεδωνσχημάτων 190

10.5 Εμβαδόν&όγκοςγεωμετρικώνστερεών 191

Ευρετήριο όρων 195

Κεφάλαιο 1

Πραγματικοί Αριθμοί

11

1.1 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Βασικά σύνολα αριθμώνA.

• Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με N, είναι:N = {0, 1, 2, 3, …}

Με n* συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:n n n*

x x� �� � � � �� �0 0/

• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με Z, είναι:Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}

Με Z* συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:Z Z Z*

x x� �� � � � �� � 0 0/

• Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με q, είναι:

Q Z� � ����

���

��

� � �� �, , 0

Με Q* συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:Q Q Q*

x x� �� � � � �� � 0 0/

• Το σύνολο των άρρητων αριθμών, που δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό, είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος.

• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με r, αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους.Με R* συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:

R R R*x x� �� � � � �� � 0 0/

Εφαρμογή

Για τα σύνολα N, Z, q, που είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου r, ισχύει ότι:n Z Q R⊆ ⊆ ⊆

και με τη βοήθεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής:

r Q

Z

N

12

Πραγματικοί Αριθμοί

Ο άξονας των πραγματικών αριθμώνB.

Ο άξονας των πραγματικών αριθμών είναι μία ευθεία πάνω στην οποία ορίζουμε:• ένα σημείο, το οποίο θεωρείται ως αρχή μέτρησης,• ένα μέτρο,• τη θετική φορά.

0

xx΄ 2

−∞ −3 −1−2 1 2 3

e

+∞

Αντίθετοι & αντίστροφοι αριθμοίΓ.

Δύο αριθμοί α, β ονομάζονται:• Αντίθετοι, αν, και μόνο αν, α + β = 0• Αντίστροφοι, αν, και μόνο αν, α ⋅ β = 1

Εφαρμογή

i. Ο αντίθετος του –5 είναι ο 5, αφού –5 + 5 = 0.ii. Ο αντίθετος του α – β είναι ο β – α, αφού (α – β) + (β – α) = α – β + β – α = 0.

iii. Ο αντίστροφος του 2

3 είναι ο 3

2, αφού 2

3

3

2

2 3

3 2

6

61� �

��� � .

iv. Ο αντίστροφος του α2 + 4 είναι ο 1

42� �

, αφού (α2 + 4) 1

4

4

42

2

2����

���

= 1.

Άρτιοι & περιττοί αριθμοίΔ.

• Κάθε ακέραιος αριθμός που διαιρείται με το 2 (ή είναι πολλαπλάσιο του 2) λέγεται άρτιος. Συμβολικά κάθε άρτιος αριθμός έχει τη μορφή:

2ν, όπου ν ακέραιος• Κάθε ακέραιος αριθμός που δεν διαιρείται με το 2 λέγεται περιττός. Συμβολικά κάθε

περιττός αριθμός έχει τη μορφή:2ν + 1, όπου ν ακέραιος

13

Κεφάλαιο 1

1.2 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Ιδιότητες των πράξεωνΑ.

Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόμενο πίνακα, οι οποίες αποτελούν τη βάση του αλγεβρικού λογισμού.

ΠράξηΙδιότητα

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός

Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα

Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α 1 = α

Επιμεριστική α(β + γ) = αβ + αγ

Ιδιότητες που προκύπτουν από τις πράξεις πραγματικών αριθμώνB.

1. Για κάθε α, β, γ, δr ισχύει ότι:α βγ δ

α + γ = β + δ

Δηλαδή, μπορούμε δύο ισότητες να τις προσθέτουμε κατά μέλη.2. Για κάθε α, β, γ, δr ισχύει ότι:

α βγ δ

α γ = β δ

Δηλαδή, μπορούμε δύο ισότητες να τις πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη.3. Για κάθε α, β, γr ισχύει ότι:

α = β α + γ = β + γ(ιδιότητα διαγραφής στην πρόσθεση)Δηλαδή, μπορούμε και στα δύο μέλη μιας ισότητας να προσθέτουμε (ή να αφαι-ρούμε) τον ίδιο πάντα αριθμό.

4. Για κάθε α, β, γr με γ ≠ 0, ισχύει ότι:α = β α γ = β γ

(ιδιότητα διαγραφής στον πολλαπλασιασμό)Δηλαδή, μπορούμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας να τα πολλαπλασιάζουμε (ή να τα διαιρούμε) με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

14

Πραγματικοί Αριθμοί

5. Για κάθε α, βr, ισχύει ότι:α β = 0 α = 0 ή β = 0

Δηλαδή, το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν, και μόνο αν, ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς είναι ίσος με το μηδέν.Άμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η:

α ⋅ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 06. α2 + β2 = 0 ⇔ α = 0 και β = 07. |α| + |β| = 0 ⇔ α = 0 και β = 08. α2 + β2 ≤ 0 ⇔ α = 0 και β = 09. α2 + β2 > 0 ⇔ α ≠ 0 ή β ≠ 0

ΠαγίδεςΠροσέξτε ότι στις ιδιότητες (1) και (2) δεν ισχύει το αντίστροφο, γι’ αυτό άλλωστε χρησιμοποιούμε το σύμβολο της συνεπαγωγής (). Με άλλα λόγια, αν ισχύει α + γ = β + δ, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α = β και γ = δ. Όμοια, για τη (2), αν ισχύει α γ = β δ, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α = β και γ = δ. Για παράδειγμα:

2 + 5 = 3 + 4 δεν ισχύει ότι 2 = 3 και 5 = 43 4 = 2 6 δεν ισχύει ότι 3 = 2 και 4 = 6

Λόγος του α προς τον β, όπου β ≠ 0Γ.

Αν α και β είναι δύο πραγματικοί αριθμοί με β ≠ 0, ονομάζουμε λόγο του α προς τον β

το πηλίκο της διαίρεσης α : β και συμβολίζουμε ��

� .

Ανάλογοι αριθμοίΔ.

Δύο αριθμοί α, β λέγονται ανάλογοι προς δύο άλλους αριθμούς γ και δ, όταν ο λόγος του α προς τον γ είναι ίσος με τον λόγο του β προς τον δ, δηλαδή όταν ισχύει:

��

��

��

Ιδιότητες αναλογιώνΕ.

1. ��

��

� �� α δ = β γ, βδ ≠ 0

15

Κεφάλαιο 1

2. ��

��

��

��

� � �� , αβγδ ≠ 0

3. ��

��

��

��

� � � �� � � , βγδ ≠ 0

4. ��

��

� ��

� ��

� �� �

��

� , βδ ≠ 0

5. Αν ��

��

� , τότε: ��

��

� �� �

� �� �

��

, βδ(β + δ) ≠ 0

1.3 Δυνάμεις

Ορισμός δύναμηςΑ.

Η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού α με εκθέτη έναν ακέραιο αριθμό, τον οποίο συμβολίζουμε με αν, είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α, δηλαδή:

αν ΄

, για ν > 1

καια1 = α, για ν = 1

Αν επιπλέον ισχύει α ≠ 0, ορίζουμε ότι:α0 = 1 και α–ν =

1��

Εφαρμογή

i. 24 = 2 2 2 2 = 16 ii. (–3)2 = (–3)(–3) = 9 iii. (–2)3 = (–2)(–2)(–2) = –8

iv. 04 = 0 v. 50 = 1 vi. 3–2 =1

3

1

92=

Ιδιότητες δυνάμεωνΒ.

Για δυνάμεις με εκθέτη κ, λZ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:1. ακ ⋅ αλ = ακ+λ 2. ακ ⋅ βκ = (α ⋅ β)κ 3. (ακ)λ = ακλ

4. ακ

αα

λ ακ –λ 5. ακ

βα

κ βα κ

6. αβ κ

βα –κ

16

Πραγματικοί Αριθμοί

Εφαρμογή

i. 3–4 36 = 3–4 + 6 = 32 = 9 ii. 42 52 = (4 5)2 = 400

iii. (24)–2 = 2–8 =1

2

1

2568= iv.

�� ��� �

4

4

5

3= (–4)5 – 3 = (–4)2 = 16

v. �� �

���

��

���

6

3

6

3

4

4

4

= (–2)4 = 16 vi. ����

��� � ��

��

��� � �

��

��� � �

�2

3

3

2

3

2

3

2

81

16

4 4 4 4

4

ΠαγίδεςΤα λάθη που παρατηρούνται πιο συχνά και πρέπει να αποφύγουμε είναι τα εξής:

Λάθος Σωστό

23 = 2 3 = 6 23 = 2 2 2 = 8

23 + 22 = 25 = 32 23 + 22 = 8 + 4 = 12

23 – 22 = 21 = 2 23 – 22 = 8 – 4 = 4

–32 = 9 –32 = –9

4 23 = 83 = (23)3 = 29 4 23 = 22 23 = 25

Πρόσημο δυνάμεωνΓ.

Ισχύουν τα εξής:1. Αν ν άρτιος, τότε:

α. αν > 0, αν α ≠ 0 β. αν = 0, αν α = 0 2. Αν ν περιττός, τότε:

α. αν > 0, αν α > 0 β. αν = 0, αν α = 0 γ. αν < 0, αν α < 03. Ισχύει επίσης ότι:

(–α)2ν ≠ –α2ν ενώ (–α)2ν + 1 = –α2ν + 1, νZ

Εφαρμογή

i. (–5)2022 > 0 ii. 69301 > 0 iii. –7100 < 0iv. 0210 = 0 v. (–4)51 < 0 vi. –120 = –1 < 0

17

Κεφάλαιο 1

Δυνάμεις με εκθέτη ρητόΔ.

Αν α > 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε:

αμνα νμ

Αν μ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουμε:0

��� = 0

Εφαρμογή 1

i. 16 16 16 4

1

122 = = = ii. 8 8 64 4

2

23 33 = = =

Εφαρμογή 2

Για α > 0, είναι:� � � � � �34 53

3

4 3

3

4

5

3

29

12

5

� � � ���

ΠαγίδαΑν αr, μ, νN* και μ άρτιος, τότε:

αμν νμ

α

1.4 Ταυτότητες

Βασικές ταυτότητεςΑ.

Ταυτότητα είναι κάθε ισότητα με μεταβλητές, η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 2. (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2 3. α2 – β2 = (α – β)(α + β) 4. (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 5. (α – β)3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3 6. α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2) 7. α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ + β2) 8. (α + β + γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ

18

Πραγματικοί Αριθμοί

Χρήσιμες ταυτότητεςΒ.

Μερικές ακόμη εφαρμογές ταυτοτήτων είναι οι εξής:

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ 2. α2 + β2 = (α – β)2 + 2αβ 3. (α + β)2 = (α – β)2 + 4αβ 4. (α – β)2 = (α + β)2 – 4αβ 5. α3 + β3 = (α + β)3 – 3αβ(α + β) 6. α3 – β3 = (α – β)3 + 3αβ(α – β) 7. (α + β – γ)2 = α2 + β2 + γ2 + 2αβ – 2αγ – 2β

8. α3 + β3 + γ3 – 3αβγ =12

(α + β + γ)[(α – β)2 + (β – γ)2 + (γ – α)2]

Εφαρμογή

i. (3x2 + 2y)2 = (3x2)2 + 2 3x2 2y + (2y)2 = 9x4 + 12x2y + 4y2

ii. (x – 2y3)2 = x2 – 2 x 2y3 + (2y3)2 = x2 – 4xy3 + 4y6

iii. (x + 3y)(x – 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

iv. (3x + 4)3 = (3x)3 + 3 (3x)2 4 + 3 (3x) 42 + 43 = 27x3 + 108x2 + 144x + 64v. (2x – y)3 = (2x)3 – 3 (2x)2 y + 3 (2x) y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 vi. 8 + x3 = 23 + x3 = (2 + x)(22 – 2x + x2) = (2 + x)(4 – 2x + x2)vii. 27 – x3 = 33 – x3 = (3 – x)(32 + 3x + x2) = (3 – x)(9 + 3x + x2)viii. (2x + y + 1)2 = (2x)2 + y2 + 12 + 2 2x y + 2 2x 1 + 2 y 1 = = 4x2 + y2 + 1 + 4xy + 4x + 2y

ΠαγίδεςΠροσέχουμε τις παρακάτω ισότητες: • (–α – β)2 = (α + β)2 • (–α + β)2 = (β – α)2

• (–α – β)3 = –(α + β)3 • (–α + β)3 = (β – α)3

19

Κεφάλαιο 1

1.5 Παραγοντοποίηση

Ορισμός παραγοντοποίησηςΑ.

Η παραγοντοποίηση μιας παράστασης είναι ο μετασχηματισμός της σε γινόμενο παραγόντων.

Μέθοδοι παραγοντοποίησηςΒ.

1. Κοινός παράγοντας

Όταν οι όροι της παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετατρέ-πεται σε γινόμενο με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας.

Εφαρμογή

i. 4αβ – 2α2 + 3α = α(4β – 2α + 3)ii. 4α3β2 – 2α4β3 + 8α7β5 = 2α3β2(2 – αβ + 4α4β3)

2. Παραγοντοποίηση κατά ομάδες (ομαδοποίηση)

Όταν οι όροι που εμφανίζονται σε μια παράσταση δεν έχουν όλοι κοινό παράγοντα, τότε τους διασπάμε σε ομάδες ώστε:• οι ομάδες που δημιουργούμε να έχουν κοινό παράγοντα,• οι παραστάσεις που θα προκύψουν, μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα, να

είναι ίδιες.

Εφαρμογή

i. 20α2 + 5α – 2β – 8αβ = 5α(4α + 1) – 2β(1 + 4α) = (4α + 1)(5α – 2β)ii. 6α3 – 2α3β + 3α – αβ + β – 3 = 2α3(3 – β) + α(3 – β) + β – 3 =

= 2α3(3 – β) + α(3 – β) – (3 – β) = (3 – β)(2α3 + α – 1)

3. Ταυτότητες

1. α2 – 2αβ + β2 = (α – β)2 2. α2 + 2αβ + β2 = (α + β)2

3. α2 – β2 = (α – β)(α + β) 4. α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ + β2) 5. α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3 = (α – β)3 6. α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3 = (α + β)3

20

Πραγματικοί Αριθμοί

Εφαρμογή

i. 4α2 – 12αβ2 + 9β2 = (2α)2 – 2 2α 3β + (3β)2 = (2α – 3β)2

ii. 16α4 + β2 + 8α2β = (4α2)2 + 2 4α2 β + β2 = (4α2 + β)2

iii. 1 – 4α2 = 12 – (2α)2 = (1 – 2α)(1 + 2α)iv. 27α3 – 8β3 = (3α)3 – (2β)3 = (3α – 2β)[(3α)2 + 3α 2β + (2β)2] = = (3α – 2β)(9α2 + 6αβ + 4β2)v. 8α3 – 12α2 + 6α – 1 = (2α)3 – 3 4α2 1 + 3 2α 12 – 13 = = (2α)3 – 3 (2α)2 1 + 3 2α 12 – 13 = (2α – 1)3

vi. α3 + 12α2β + 48αβ2 + 64β3 = α3 + 3 α2 4β + 3 α 16β2 + (4β)3 = = α3 + 3 α2 4β + 3 α (4β)2 + (4β)3 = (α + 4β)3

4. Σε κάποιες περιπτώσεις παραγοντοποίησης θα χρειαστεί να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κάποια παράσταση, προκειμένου να δημιουργήσουμε το ανάπτυγμα κάποιας γνωστής ταυτότητας. Οι περιπτώσεις αυτές είναι εξαιρετικά δύσκολες και απαιτούν μεγάλη εμπειρία.

Εφαρμογή

α4 + 4β4 = α4 + 4β4 + 4α2β2 – 4α2β2 == (α2 + 2β2)2 – (2αβ)2 =

= (α2 + β2 – 2αβ)(α2 + β2 + 2αβ)

5. Συνδυασμός περιπτώσεων

Σε πολλές περιπτώσεις για την παραγοντοποίηση μιας παράστασης χρειάζεται να κάνουμε συνδυασμό των παραπάνω τρόπων.

Εφαρμογή

9α2 – 18αβ + 9β2 – 3α + 3β = 9(α2 – 2αβ + β2) – 3(α – β) == 9(α – β)2 – 3(α – β) = 3(α – β)[3(α – β) – 1] =

= 3(α – β)(3α – 3β – 1)

21

Κεφάλαιο 1

6. Τριώνυμο Διακρίνουσα

Δ = β2 – 4 ⋅ α ⋅ γ Ρίζες Μορφή τριωνύμουαx2 + βx + γ

Δ > 0 x1 2

2,�� ��

�� αx2 + βx + γ = α(x – x1)(x – x2)

Δ = 0 x0

2� �

��

αx2 + βx + γ = α(x – x0)2

Δ < 0 Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες

Δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων

Εφαρμογή

i. Το τριώνυμο 3x2 + x – 2 έχει α = 3, β = 1 και γ = –2. Οπότε η διακρίνουσα του είναι:

Δ = β2 – 4 α γ = 12 – 4 3 (–2) = 1 + 24 = 25 > 0Επομένως, το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, τις:

x1 2

2

1 25

2 3,�� �

�� �

��

��� � �

�

� �� �

� ���

� �

�

���

���

1 5

6

1 5

6

4

6

2

3

1 5

6

6

61

Άρα, το τριώνυμο 3x2 + x – 2 παραγοντοποιείται ως εξής:

3x2 + x – 2 = 3 x ����

���

2

3(x – (–1)) = (3x – 2)(x + 1)

ii. Το τριώνυμο 4x2 + 12x + 9 έχει α = 4, β = 12 και γ = 9. Οπότε η διακρίνουσα του είναι:

Δ = β2 – 4 α γ = 122 – 4 4 9 = 144 – 144 = 0Επομένως, το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα, τη:

x0 = � � ��� � � �

��2

12

2 4

12

8

3

2

Άρα, το τριώνυμο 3x2 + x – 2 παραγοντοποιείται ως εξής:

3x2 + x – 2 = 3 x x� ����

���

�

��

�

�� � ��

��

���

3

23

3

2

2 2

iii. Το τριώνυμο 2x2 – 5x + 6 έχει α = 2, β = –5 και γ = 6. Οπότε η διακρίνουσα του είναι:

Δ = β2 – 4 α γ = (–5)2 – 4 2 6 = 25 – 48 = –23 < 0Επομένως, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και συνεπώς δεν παραγοντο-ποιείται.