Εστω η εξισωση: αx+β=0 (1)• Λυση η ριζα της εξισωσης λεγεται κάθε τιμη του πραγματικου αριθμου x, που επαληθευ- ει την (1).• Συντελεστης του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α.• Σταθερος ορος λεγεται ο αριθμος β.ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

• Αν α ≠ 0 τοτε η (1) εχει μοναδικη λυση, την: βx = - α

• Αν α = 0 και β ≠ 0 τοτε η (1) δεν εχει λυση (αδυνατη)• Αν α = 0 = β τοτε η (1) εχει απειρες λυσεις (αοριστη η ταυτοτητα)ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ• Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκφραζεται με τη βοηθεια γραμμα- των, τοτε η εξισωση λεγεται παραμετρικη.• Ισοδυναμες λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες.

1. Να λυθει η εξισωση: x - 1 2x - 1 5x - 1+ =2 3 6

x = 2

x - 1 2x - 1 5x - 1 x - 1 2x - 1 5x - 1+ = 6 + 6 = 6 3 (x - 1) + 2 (2x - 1) = 5x - 12 3 6 2 3 6

2x 43x - 3 + 4x - 2 = 5x - 1 3x + 4x - 5x = -1 + 3 + 2 2x = 4 =2 2

2. 2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1) = 4x(λ - 1) - 3λ + 2

2(λ - 2) x = (λ - 1)(λ - 2)

λ - 1x =λ - 2

2 2 2 2 2

2 2

2

2

• λ (x - 1) = 4x(λ - 1) - 3λ + 2 λ x - λ = 4λx - 4x - 3λ + 2 λ x - 4λx + 4x = λ - 3λ + 2 (λ - 4λ + 4)x = λ - 3λ + 2 (Ι)• Για (λ - 2) 0, δηλαδη για λ 2, η (Ι) εχει την μοναδικη λυση :

(λ - 1)(λ - 2) x =(λ - 2)

αοριστη

2• Για (λ - 2) = 0, δηλαδη για λ = 2, η (Ι) γινεται : 0 x = (2 - 1)(2 - 2) 0 x = 1 0 0 x = 0, οποτε η εξισωση ειναι .

x + 1 2x + 1 5x + 1Να λυθει η εξισωση : + =2 3 6

1ο Βημα : Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφηx + 1 2x + 1 5x + 1• 6. + 6. = 6. 3.(x + 1) + 2.(

παρονομαστων).

2ο Βημα : Απαλοιφουμε τις π

2x + 1) = 5

αρενθεσ

x + 12 3 6

εις (επιμεριστικη ιδιοτητα).

3ο Βημα : Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι).

4ο Βημα : Κανουμε πραξεις σε καθε μελο

• 3x + 3 + 4x + 2 = 5x + 1

• 3x + 4x - 5x = 1 - 3 - 2

•ς.

5ο Βημα : Διαιρουμε με τ 2x = -4

ον συ

ντελεστη του αγνωστου (και το2x -4•

προσ

=

ημο το

x = -22

υ

2

).

ΕΞΙΣΩΣΗ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

25

ΜΕΘΟΔΟΣ (ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ)

2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1) = x(2λ - 1) - 3λ + 2

2 2 2 2 2

2 2

1ο Βημα : Με πραξεις, φερνουμε την εξισωση σε μορφη Α.x = B, με Α• λ (x - 1) = x(2λ - 1) - 3λ + 2 λ x - λ = 2λx - x - 3λ + 2 λ x - 2λx + x = λ - 3λ

,Β + 2

(λ

παραγοντοποιημενα

- 2λ + 1)x = λ

.

- 3λ +

2

2

2ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι διαφορος του μηδενος, οποτε B εχουμε μοναδ

2 (λ - 1) x = (λ - 1)(λ - 2)

•

(Ι)

Για (λ - 1) 0, δηλαδη γι

ικη λυση,

α λ 1, η

την

(Ι

: x = .A

) εχ 2

3ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι ισος με μηδεν και βρισκουμε ποιες τιμες μηδ

(λ - 1)(λ -

ενιζουν

2) λ - 2ε

την πα

ι μοναδικη λ

ραμετρο. Στη

υση :

συν

x = x =λ - 1(λ - 1

εχεια,

)

για κ

2

αθεμια απο τις τιμες αυτες, ελεγχουμε αν η εξισωση ειναι αδυνατη η αοριστ• Για (λ - 1) = 0, δηλαδη για λ = 1, η (Ι) γινεται : 0 x = 0, οποτε η εξισωση ειναι αορ

η.ιστη.

2 2x + 1 2 -xΝα λυθει η εξισωση : - =

xx + x (x + 1)

2

2

x + 1 2 -x• -

1ο Βημα : Παραγοντοποιουμε ολους τους παρονομαστες.

2ο Βημα : Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων.

=x

3

(x +

ο Β

1) x (x

ημα :

+ 1)

• Ε.Κ.ΠΘετουμε πε

. = x(xριο

+ 1)ρισμ

2 2

2 2 2 22

ους, με την προυποθεση οτι Ε.Κ.Π. 0.

4ο Βημα : Κανουμε απαλοιφη παρονομαστων• Πρεπει : x(x + 1) 0 x 0 και (x + 1) 0, δηλαδη x 0 και x -1.

x + 1 2 -x•

και λυν

x(x + 1) - x(x + 1) = x(x + 1) (x + 1) -x(x + 1) x (

ο

x + 1)

υμε .

2 2

2 2 2 2 2 2

Στη περιπτωση που η λυση ηταν ιδια με καποια απ'τις τιμες που

2(x + 1) = -x

- (x + 1) = -x (x + 1) = x x + 2x + 1 = x 2x + 1 = 0 2x = -11 x = - (δεκτη

μηδενιζουν τον παρονομαστη (δες περιορισμους), τοτε δεν

).2

θα την δεχομαστε.

α ν λυσεις της εξισωσης xν=αα = 0 αρτιος η περιττος x=0α > 0 αρτιος x= ν± αα > 0 περιττος x= ν αα < 0 αρτιος αδυνατηα < 0 περιττος x=- ν | α |

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

26

ΜΕΘΟΔΟΣ (ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ)

ΜΕΘΟΔΟΣ (ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ)

2

Ασκηση 1Να λυθουν οι εξισωσεις :

x + 3 x + 1 15 - x• - = 2x - • x - 3x + 2 = 02 4 3

• x(x - 3)(2 - x) = 0

Ισχυει :Α = 0 η

A.B.Γ = 0 Β = 0 ηΓ = 0

2 22 2

Ασκηση 2Να λυθουν οι εξισωσεις :

x + 1 x 2• + = • (x + 1) + (5 - x) = 0xx + x (x + 1)

2 2

• Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων.Απαιτουμε να ειναι το Ε.Κ.Π. διαφορο τουμηδενος. Λυνουμε κατα τα γνωστα (απα -λοιφη παρονομαστων, κλπ).Ελεγχουμε τις λυσεις με περιορισμους.• Αν Α + Β = 0 τοτε Α = 0 και Β = 0.

2

Ασκηση 3Να λυθει η εξισωση :λ (x - 1) - 2 = 3λ + x

• Η εξισωση στη μορφη Α.x = B (I) (παραγοντοποιημενα τα Α και Β).

B• Αν Α 0, τη (Ι) εχει λυση, την : x = .A

• Αν Α = 0, τοτε αντικαθιστουμε, ... : • 0.x = α, οπου α 0, τοτε η (Ι) αδυνατη. • 0.x = 0, τοτε η (Ι) τ

αυτοτητα.

Ασκηση 4Εστω η εξισωση : λ(x - μ) = 3(x - 2).Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η εξισωση να αληθευει για καθε x .

Μια εξισωση με μορφη Α.x = B ειναι :• αδυνατη αν Α = 0 και Β 0.• ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0.

2

Ασκηση 5Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η εξίσωση (2λ - 4)x = 0, να είναι ταυτότητα και η εξίσωση (μ - 3)x = λ + 3 να είναι αδύνατη .

Μια εξισωση με μορφη Α.x = B ειναι :• αδυνατη αν Α = 0 και Β 0.• ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0.

Ασκηση 6Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουι -σκυ περιεκτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσ -θετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα περιεκτικο -τητα 58%.Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου;

Oταν γνωριζουμε τη περιεκτικοτητα μιας διαλυμενης ουσιας σ'ενα διαλυμα, η ποσο -τητα της βρισκεται, αν πολλαπλασιασουμε την περιεκτικοτητα επι την ποσοτητα του διαλυματος.

Ασκηση 7Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη , γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου ρευματος σε 2 ωρες (χωρις να λει -τουργει).Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης η -λεκτρικου ρευματος) αποφορτιζεται σε 4 ωρες.Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παροχη του ρευματος.Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι;

Αν ο Α εκτελει ενα εργο σε α ωρες και ο Β σε β ωρες, τοτε αν συνεργαστουν και εκτε -λεσουν το εργο σε x ωρες, η εξισωση πουαποδιδει το προβλημα ειναι :x x+ = 1α β

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

27

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :x + 3 x + 1 15 - x• - = 2x -

2 4 3• x(x - 3)(2 - x) = 0 • x - 3x + 2 = 0

ΕΚΠ=12

• Eιναιx + 3 x + 1 15 - x x + 3 x + 1 15 - x - = 2x - 12. - 12. = 12.2x - 12.

2 4 3 2 4 3 6(x + 3) - 3(x + 1) = 24x - 4(15 - x) 6x + 18 - 3x - 3 = 24x - 60 + 4x

x = 3

x = 0x = 3x = 2

x = 2x = 1

2 2

-75 6x - 3x - 24x - 4x = -60 - 18 + 3 -25x = -75 x =-25

x = 0• x(x - 3)(2 - x) = 0 x - 3 = 0

2 - x = 0

• x - 3x + 2 = 0 x - 2x - x + 2 = 0 x(x - 2) - (x - 2) = 0 (x - 2)(x - 1) = 0x - 2 = 0

x - 1 = 0

2 2

2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :x + 1 x 2• + =

xx + x (x + 1)• (x + 1) + (5 - x) = 0

2 2 2

• Eιναιx + 1 x 2 x + 1 x 2 + = + = (1)

x x(x + 1) xx + x (x + 1) (x + 1) Για να εχει νοημα η (1), πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μ

1x = - 2

2

2 2 2 2 2 22

2 2

ηδενος. Δηλαδη

x 0 x(x + 1) 0 και , oποτε η (1) :

x -1x + 1 x 2 x(x + 1) + x(x + 1) = x(x + 1) (x + 1) + x = 2(x + 1)

x(x + 1) x(x + 1)

(x + 1) - x = 0 (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 0 (2x + 1) 1 = 0 2x + 1 = 0

(δεκτη, συμφωνα

x = 1

x = 5

2 2

με τους περιορισμους)x + 1 = 0

• (x + 1) + (5 - x) = 0 και και5 - x = 0

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΤα

κης

Τσακ

αλακ

ος

Α

λγεβ

ρα Α

28

2Να λυθει η εξισωση : λ (x - 1) - 2 = 3λ + x

1

2

λ =-12 2 2 2 2

λ =-2

2

Ειναι

λ (x - 1) - 2 = 3λ + x λ x - λ - 2 = 3λ + x λ x - x = λ + 3λ + 2

(λ - 1)x = (λ + 1)(λ + 2) (λ - 1)(λ + 1)x = (λ + 1)(λ + 2) (Ι)• Για (λ - 1)(λ + 1) 0, δηλαδη για λ 1 και λ -1, η (Ι) εχει τη μοναδικη

λυσ(

η : x =λ + 1) (λ + 2)

(λ - 1) (λ + 1)

λ + 2=λ - 1

• Για (λ - 1)(λ + 1) = 0, δηλαδη για λ = 1 η λ = -1, τοτε • Αν λ = 1 η (Ι) γινεται : 0.x = (1 + 1)(1 + 2) 0.x = 6, αδυνατη • Αν λ = -1 η (Ι) γινεται : 0.x = (-1 + 1)(-1 + 2) 0.x = 0, ταυτοτητα (απειρες λυσεις).

Εστω η εξισωση : λ(x - μ) = 3(x - 2).Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η εξισωση να αληθευει για καθε x .Ειναιλ(x - μ) = 3(x - 2) λx - λμ = 3x - 6 λx - 3x = λμ - 6 (λ - 3)x = λμ - 6 (1)Προκειμενου η (Ι) να αληθευε

λ = 3μ = 2

ι για καθε x , πρεπει :λ - 3 = 0 λ = 3λμ - 6 = 0 3μ = 6

2

Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η εξίσωση (2λ - 4)x = 0, να είναι ταυτότητα και η εξίσωση (μ - 3)x = λ + 3 να είναι αδύ

η εξίσωση (2λ - 4)x = 0 είναι ταυτότητα" λ = 2

η εξίσωση (μ

νατ

- 3

η. Ειναι " σημαινει οτι : 2λ - 4 = 0 2λ = 4• "

2)x = λ + 3 είναι αδύνατη"

μ = 32

σημαινει οτι :μ - 3 = 0

μ - 3 = 0λ + 3 0, που αληθευει, για καθε λ

Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οινο -πνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα περιεκτικο -τητα 58%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου;

40Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν x ml και του οινοπνευματος ηταν x ml. Μετα την ανα -100

58μειξη ο γκος του ουισκυ εγινε x + 300 ml και του οινοπνευματος (x + 300) ml.100

Επομενως, εξισωνοντας

x = 700

τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυπτει :40 58x + 300 = (x + 300) 40x + 30000 = 58x + 17400 18x = 12600100 100Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουσκυ ηταν 700 ml.

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

29

Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη , γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου ρευ -ματος σε 2 ωρες (χωρις να λειτουργει).Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) αποφορτι -ζεται σε 4 ωρες.Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παροχη του ρευματος.Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι;

Εστω x οι ωρες που θα χρειαστει η μπαταρια να γεμισει, ενω εργαζομαι.1• Αφου η μπαταρια φορτιζεται σε 2 ωρες, σε μια ωρα θα εχει φορτιστει κατα το και σε x ωρες 2

x θα εχει φορτιστει κατα .2

• Αφου η μπαταρια αποφορτιζεται σε

x = 4

1 4 ωρες, σε μια ωρα θα εχει αποφορτιστεικατα το και4

x σε x ωρες θα εχει φορτιστει κατα . 4

Επομενωςx x 2x x x- = 1 - = 1 = 12 4 4 4 4Δηλαδη, η μπαταρια θα φορτιστει πληρως σε 4 ωρες.

2

7 7 6

6

• Ειναι

2x - 4 = 3 2x = 7 • (2x - 4) = 3 | 2x - 4 |= 3 η η η

2x - 4 = -3 2x = 1

x = 0 • x = 64x x - 64x = 0 x(x - 64) = 0 η

x

2 7

• Να λυθουν οι εξισωσεις :

• (2x - 4) = 3 • x =

7x =2

1x =2

64x

6 6 6 6

- 64 = 0

x = 0 x = 0 x = 0 η η η η

x = 64 x = ± 64 x = 2

x = 0

x = ± 2

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

30

2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :5x - 1 x + 4 1 - 4x• + = 2x - • x (x + 1)(5 - x) = 0 • x - x - 12 = 0

2 5 3

2 22

Να λυθουν οι εξισωσεις :x 1 4x• + = • (x - 2x + 1) + (-6 + 5x - x ) = 0

x + 3 x - 3 x - 9

2 2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• λ x - 2 = λ + 4x • λ (x - 1) = x - λ • λ (x - 1) = 3(x - λ) + 2(1 - λx)

2

2

Αν η εξισωση α (x - 1) = x(2 - α) - 1 ειναι ταυτοτητα, τοτε να δειξετε οτι η εξισωση α x - 1 = α(x + 1) ειναι αδυνατη.

Nα λυθούν και διερευνηθούν οι εξισώσεις

x-2 x +2+ =1λ -2 λ +2

2λ λ(λx +3) = + λx +2

2 4 2x +1 = λ

x -λ(λ )

Να βρεθούν τα λ,μ ώστε η εξίσωση λ(λx -1) +μ = x+3 να ισχύει για κάθε x .

Να λυθεί η εξίσωση x-1 x -2 x- 4 x-5- = -x -2 x-3 x -5 x-6

Αν 4λ-7=-λ+3 να δείξετε ότι η εξίσωση (λ-2)x=λ2+1 είναι αδύνατη.

Ενας ποτεμπορος, προκειμενου να νοθεψει , προσθετει σε μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτηταςσε οινοπνευμα 40%, 300 ml νερο και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα 28%.Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου;

Σε μια δεξαμενη υπαρχουν τρεις βρυσες Α, Β και Γ.Η βρυση Α γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 8 ωρες, η βρυση Β γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 4 ωρες, ενω η βρυση Γ αδειαζει τη δεξαμενη σε 16 ωρες.Αν οι τρεις βρυσες ειναι ανοικτες ταυτοχρονα, σε ποσες ωρες θα γεμισει η δεξαμενη;

Αν οι μαθητές μιας τάξης Λυκείου καθήσουν στα θρανία ανά 2 , θα μείνουν όρθιοι 3 μαθη-τές .Αν όμως καθήσουν ανά 3 τότε χρειάζονται άλλοι 5 μαθητές για να συμπληρώσουν τα θρα-νία.Πόσα είναι τα θρανία και πόσοι οι μαθητές; (Απ. 8 θρανία , 19 μαθητές)

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

31

Σε έναν διψήφιο αριθμό το ψηφίο των μονάδων είναι αριθμός μεγαλύτερος κατά 2 από το ψηφίο των δεκάδων. Αν διαιρέσουμε τον διψήφιο αυτόν αριθμό με το άθροισμα των ψηφίων δεκάδων και μονάδων βρίσκουμε πηλίκο 4 και υπόλοιπο 6. Να βρεθεί ο διψήφιος αυτός αριθμός. (Απ. 46)

Δύο αυτοκίνητα Α και Β ξεκινούν από το ίδιο σημείο κινούμενα ευθύγραμμα και ομαλά, το Α με κατεύθυνση βόρεια και το Β με κατεύθυνση ανατολικά, με ταχύτητες 80 km/h και 60 km/h αντίστοιχα.Μετά πόση ώρα τα αυτοκίνητα θα απέχουν μεταξύ τους 100km; (Απ. 1 ώρα)

Ένας ποδηλάτης διανύει μια απόσταση με ταχύτητα 40km/h. Αν όμως διατρέξει την ίδια α-πόσταση με ταχύτητα 50km/h ,τότε φθάνει 1 ώρα γρηγορότερα.Ποια είναι η απόσταση; (Απ. 200 km)

Μετά πόση ώρα από τις 12 το μεσημέρι θα συμπέσουν πάλι ο λεπτοδείκτης και ο ωροδεί-κτης ενός κλασσικού ρολογιού; (Απ. 1 ώρα 5 λ. 27 δ.)

Το τριπλάσιο ενός θετικού αριθμού αυξημένο κατά 18 ισούται με το τετράγωνο του αριθμού αυτού. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός. (Απ. 6)

Σε μία τάξη Λυκείου διοργανώθηκε πρωτάθλημα σκακιού. Την πρώτη μέρα έγιναν μόνο κά-ποιοι αγώνες στους οποίους οι δύο αντίπαλοι ήταν ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Στους αγώνες αυτούς της πρώτης μέρας πήραν μέρος τα 2/3 του αριθμού των κοριτσιών της τάξης και τα 3/4 του αριθμού των αγοριών της τάξης. Αν η τάξη έχει συνολικά 34 παιδιά να βρείτε:α. πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει η τάξη, (Απ. κορίτσια18, αγόρια 16)

β. πόσα παιδιά δεν πήραν μέρος την πρώτη μέρα στους αγώνες. (Απ. 10)

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

32

| x - 1 | | 1 - x |Να λυθει η εξισωση : + =| -2x + 2 | -73 2

1ο Βημα : Μετατρεπουμε ολα τα απολυτα, ωστε να γινουν ιδια ( εχουμε το δικαιωμα να αλλα - ξουμε τα προσημα ενος απολυτου καθως και να βγαλουμε κοιν

| x - 1 | | x - 1 |• + = 2. | x - 1 | -73 2

| x - 1 | | x - 1 |• 6 + 6 = 6 2 | x - 1 | -

ο παραγοντα).

2ο Βημα : Λυνουμε σαν εξισωση 1ου β

6 7 2 | x - 1 | +3 | x - 1 |= 12 | x - 1 | - 423 2

2 | x - 1 | +3

αθμου με αγνωστο το απολυτ

| x - 1 | -12 | x - 1 | = -

ο

42

.

-7

3ο Βημα : Εχοντας υποψιν οτι, αν : α. | f(x) |= θ > 0, τοτε f(x) = ± θ β. | f(x) |= α < 0, τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη, λυνουμε

| x - 1 | = - 42

τις δυο εξι

| x - 1 |

σωσ

= 6

εις

που προκυπτουν η αναφερουμε οτι η εξισωση ειναι αδυ -

x - 1 = 6 x = 6 + 1 x = 7•

x - 1 = -6 x = -6 +

νατη.

1 x = -5

Να λυθει η εξισωση :| x - 1 | + | 2x - 4 |= 1

1ο Βημα : Βρισκουμε τις τιμες που μηδενιζουν καθε απολυτο και σχηματιζουμε πινακα προση - μων των απολυτων, για το καθε διαστημα που δημιουργηθηκε.● |x-1| μηδενιζει για x=1

● |2x-4| μηδενιζει για x=2

• Για x < 1, η εξισωση γινεται :4- x + 1 - 2x + 4 = 1 -x - 2x = 1 - 1 - 4

2ο Β

-3x

ημα : Λυνουμε την εξισωση ξεχωριστα σε καθε διαστημα που δημ

= - 4 x = (απορριπτεται, x < 1).3

• Για 1 x < 2, η εξισωση γιν

ιου

εται

ργ

:

ηθηκε.

x - 1 - 2

x + 4 = 1 x - 2x = 1 + 1 - 4 -x = - 2 x = 2 (απορριπτεται, 1 x < 2).• Για x 2, η εξισωση γινεται :

x - 1 + 2x - 4 = 1 x + 2x = 1 + 1 + 4 3x = 6 x = 2 (δ εκτη).

x -∞ 1 2 +∞

|x-1| -x-1 x+1 x+1

|2x-4| -2x-4 -2x-4 2x+4Τα

κης

Τσακ

αλακ

ος

Αλγ

εβρα

Α

33

ΜΕΘΟΔΟΣ (ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΙΔΙΑ ΑΠΟΛΥΤΑ)

ΜΕΘΟΔΟΣ (ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΑ)

Ασκηση 8Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 4 |= 6• | x - 4 |= 0• | x - 4 |= -3• 3 | x - 4 |=| 2x - 3 |

| x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 |• + =3 2 4

Ισχυει :x = θ

• Αν | x |= θ, θ > 0 τοτε ηx = -θ

x = α• Αν | x |=| α | τοτε η

x = -α

2

Ασκηση 9Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 1 |= 3x + 5• || x - 3 | +1 |= 2• || x | -x |= 4 - 3 | x |• x - 3 | x | +2 = 0

Ισχυει :x = θ

• Αν | x |= θ, θ > 0 τοτε ηx = -θ

x = α• Αν | x |=| α | τοτε η

x = -α2 2• | α | = α

Ασκηση 10Να λυθει η εξισωση :3 | x - 1 | + 2 | x - 2 | - | x - 3 |= 0

Bρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουντα απολυτα και εξεταζουμε την εξισωση στα διαστηματα που σχηματιζονται απ'αυ -τες τις τιμες.Ελεγχουμε αν η λυση που βρισκουμε καθε φορα, ανηκει στο διαστημα που εξεταζουμε την εξισωση.

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

34

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 4 |= 6 • | x - 4 |= 0 • | x - 4 |= -3 • 3 | x - 4 |=| 2x - 3 |

| x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 |• + =3 2 4

Ειναιx - 4 = 6 • | x - 4 |= 0 x - 4 = 0

• | x - 4 |= 6 η ηx - 4 = -6 • | x - 4 |= -3 ειναι αδυνατη αφου - 3 < 0

3x - 12 = 2x - 3• 3 | x - 4 |=| 2x - 3 | | 3x - 12 |=| 2x - 3 | η

3x - 12 =

x = 10 x = 4

x = -2

|α|=|-α|

3x - 2x = 12 - 3 η

-2x + 3 3x + 2x = 12 + 3x = 9

η η 5x = 15

| x - 4 | | 4 - x | | 2x - 8 | | x - 4 | | -(x - 4) | | 2(x - 4) |• + = + = 3 2 4 3 2 4

| x - 4 | | x - 4 | | x - 4 | | x - 4 | | x - 4 | | x - 4 | + = 2 6. + 6. = 6. 3 2 4 3 2 2

2

x = 9

x = 3

| x - 4 | +3 | x - 4 |= 3 | x - 4 | 2 | x - 4 |= 0 x - 4 = 0 x = 4

• Aν 3x + 5 < 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη.x - 1 = 3x + 55 Aν 3x + 5 > 0, δηλαδη x > - , τοτε | x - 1 |= 3x + 5

3 x - 1 = -3x - 5

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x - 1 |= 3x + 5 • || x - 3 | +1 |= 2 • || x | -x |= 4 - 3 | x | • x - 3 | x | +2 = 0

}

|x-3|+1>0

-2x = 64x = -4

5 5 {x = -3 (απορριπτεται αφου - 3 < - ) (δεκτη αφου - 1 > - )3 3

x - 3 = 1• || x - 3 | +1 |= 2 | x - 3 | +1 = 2 | x - 3 |= 1

x - 3 = -1• Ισχυει : | x | x | x | - x 0, οποτε η εξισωση :

|| x |

x = -1

x = 4x = 2

2 2

|x|=x, αν x 0

|x|=-x, αν x<0

|x| =x2 2 2

-x |= 4 - 3 | x | | x | -x = 4 - 3 | x | 4 | x |= 4 + x

4x = , αν x 04x = 4 + x, αν x 0 3x = 4, αν x 0 3 -4x = 4 + x, αν x < 0 -5x = 4, αν x < 0 4x = - , αν x < 0

5

• x - 3 | x | +2 = 0 | x | -3| x | +2 = 0 | x | - | x

| -2 | x | +2 = 0 | x | (| x | -1) - 2(| x | -1) = 0 (| x | -1)(| x | -2) = 0

| x | -1 = 0 | x |= 1| x | -2 = 0 | x |= 2

x = ±1x = ±2

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

35

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τα απολυτα μηδενιζουν για x = 1, x = 2 και x = 3. Οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα : (- ,1), [1,2), [2,3) και [3, + ).• Στο : (- ,1) ειναι | x - 1 |= -x + 1 | x -: ,

Να λυθει η εξισωση : 3 | x - 1 | + 2 | x - 2 | - | x - 3 |= 0

, και η εξισωση γινεται : 3(-x + 1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0 -3x + 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0 - 4x + 4 = 0 x = 1 (απορριπτεται αφου 1 (- ,1)).• Στο : [1,2)

2 |= -x + 2 | x - 3 |= -x + 3

| x - 1 |= x - 1 | x - 2 |= -x + 2 | x - 3 |= -x + 3ειναι : , , και η εξισωση γινετ

| x -

αι :

1 |=

3(x -

x - 1

1) + 2(-x + 2) - (-x + 3) = 0 3x - 3 - 2x + 4 + x - 3 = 0 2x - 2 = 0 (δεκτη αφου 1 [1,2)).• Στο : [2,3) ειναι : , , και η εξισωση γινεται :

3(x - 1) + 2(x - 2) - (-x + 3

| x - 2 |= x -

) = 0 3x - 3 + 2x - 4 + x - 3 =

2 | x

0 6x - 10 =

- 3 |= -x + 3

x = 1

50 x = 3

5 (απορριπτεται αφου [2,3)).3

• Στο : [3, + ) ειναι : , , και η εξισωση γινεται : 3(x - 1) + 2(x - 2) - (x - 3) = 0 3x - 3 + 2x - 4 - x + 3 = 0 4x - 4 = 0 x = 1

| x - 1 |= x - 1 | x - 2 |=

(απορριπτεται

x -

α

2 |

φου 1 [3, + )).Αρα

x - 3 x

η

|= 3-

εξισωση εχει μια λυση, την . x = 1

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

36

2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :| x - 2 | | 4 - 2x |• | x - 1 |= 5 • | x + 7 |= 0 • - 2 | x + 3 | +3 | x - 6 |= 0 • + 1 =

2 33| 2x - 6 | +1 4 | 2x - 6 | -3 | 2x - 6 | +1 2 | x - 1 | -1 | x - 1 | +1• - = • - = 3

2 2 3 3 2

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x + 3 |= -x + 2 • | 2x - 1 |= -x + 3 • || 2x - 4 | +2 |= 6• || 2x | -x |= 6- | x | • (3 - x) + | x - 3 | -20 = 0

Να λυθουν οι εξισωσεις :• | x + 2 | - | x - 2 |= 5• | x + 1 | - 3 | x - 2 | + | x - 3 |= 0• | 2x - 1 | - 3 | x + 2 | + 2 | x - 4 |= 3 - 5x

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

37

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Εξισωση 2ου βαθμου μ’έναν αγνωστο, ειναι η εξισωση με :αx²+βx+γ=0 με α,β,γ και α≠0.● Διακρινουσα της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: Δ=β2-4αγ.● Λυση της εξισωσης δευτερου βαθμου:

● Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες στο τις ρ₁‚₂ = -β ± Δ2α

.

● Αν Δ=0 τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα ρ = -β2α

.

● Αν Δ<0 τοτε η εξισωση δεν εχει ριζα στο , δηλαδη είναι αδυνατη στο .ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ ≥ 0.2. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ είναι ε- τεροσημοι.3. H εξισωση της μορφης: αx4+βx2+γ=0 με α,β,γ και α≠0, λεγεται διτετραγωνη και η λυ- ση της γινεται με την αντικατασταση: x2=y, οποτε αx4+βx2+γ=0 αy2+βy+γ=0.

2

2 22 2 2

2 2 22 2 Δ=β -4αγ

2 2 2

2

2

β γ β β β γαx + βx + γ = 0 x + x + = 0 x + 2 x + - + = 0α α 2α 2α 2α α

β β γ β β - 4αγ β Δx + = - x + = x + = (1)2α α 2α 2α4α 4α 4α

β Δ β Δ -β ± Δ• Αν Δ > 0 : x + = x + = ± x =2α 2α 2α 2α4α

β• Αν Δ = 0 : x +2α

2 β β= 0 x + = x = -2α 2α

• Αν Δ < 0 : Η (1) ειναι αδυνατη στο , οποτε η εξισωση δεν εχει ριζες στο .

Εστω η εξισωση: αx2+βx+γ=0 με α≠0, Δ≥0 και ριζες x1,x2.

● To αθροισμα των ριζων x1,x2 της εξιςωσης: αx2+βx+γ=0 δινεται από: S=x1+x2=β-α

(1)

● To γινομενο των ριζων x1,x2 της εξιςωσης: αx2+βx+γ=0 δινεται από: Ρ=x1.x2=γα

(2)

Οι πιο πανω τυποι λεγονταi τυποι του Vietta.● Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: αx2+βx+γ=0 μετασχηματιζεται:

2 (1)

2 2

(2)

αx βx γ β γαx + βx + γ = 0 + + = 0 x - (- )x + = 0 α α α α α

2x - Sx + P = 0

2

21 2

1 2

2 2 2 Δ=β -4αγ

1 2 2 2 2

2 2

2

-β + Δ -β - ΔOι ριζες της : αx + βx + γ = 0 ειναι : x = και x = . Τοτε2α 2α

-β + Δ -β - Δ -β + Δ - β - Δ -2β• = x + x = + = = =2α 2α 2α 2α

-β + Δ -β - Δ (-β + Δ)(-β - Δ) (-β) - ( Δ) β - Δ• Ρ = x .x = . = = = = 2α 2α 4α 4α 4α

β - β + 4αγ = =4α

βS -α

24αγ γ=

α4α

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

38

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΘΡΟΙΣΜΑ – ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

2

2 2• (x1ο Βημα : Κανουμε πραξεις και τη φερνουμε στη μορφη :

- 1) - 2(x + 3) = x - 11αx + βx + γ = 0.

2ο Βρισκουμε τη... x - 5x + 6 = 0 με α = 1,β =

ν διακρινουσα πο-5 και γ

υ ειναι ιση μ= 6.

2Να λυθει η εξισωση : (x - 1) - 2(x + 3) = x - 11

2

1

1

2

2

1 1

1,2

2 2

,2

ε : Δ = β - 4.α.γ.

-• Δ = (-5) - 4 1 6 = 25 - 24 = 1

5 + 1 6x = x =-(-5) ± 1 5 ± 1 2 2• x = =2 1 2

β ± Δ3ο Βημα :

5 - 1 4x = x =2

Βρισκουμε τις ριζες της, με τη βοηθεια του τυπου :

x = 3x = 2

Στη περιπ

x =

2

.2

τωση που

α

:β• Δ = 0, τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα, την : x = - .2α

• Δ < 0, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες ριζες.

01. Δυο ριζες πραγματικες και ανισες02. Δυο ριζες ισες03. Καμμια πραγματικη ριζα04. Δυο ριζες ετεροσημες05. Δυο ριζες ετεροσημες ("θετικη" μεγαλυτερη)06. Δυο ριζες ετεροσημες ("αρνητικη" μεγαλυτερη)07. Δυο ριζες θετικες08. Δυο ριζες θετικες και ανισες09. Δυο ριζες θετικες και ισες10. Μια ριζα θετικη και η αλλη μηδεν11. Δυο ριζες αρνητικες12. Δυο ριζες αρνητικες και ανισες13. Δυο ριζες αρνητικες και ισες14. Μια ριζα αρνητικη και η αλλη μηδεν15. Μια ριζα το μηδεν16. Δυο ριζες ισες με μηδεν17. Δυο ριζες αντιστροφες18. Δυο ριζες αντιθετες19. Δυο ριζες ομοσημες20. Δυο ριζες ομοσημες και διαφορετικες21. Δυο ριζες ομοσημες και ισες

01. Δ > 0 και α 002. Δ = 0 και α 003. Δ < 0 04. Ρ < 0 05. Ρ < 0 και S > 006. Ρ < 0 και S < 007. Δ 0 και Ρ > 0 και S > 008. Δ > 0 και Ρ > 0 και S > 009. Δ = 0 και S > 010. P = 0 και S > 011. Δ 0 και Ρ > 0 και S < 01

2. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0

13. Δ = 0 και S < 014. P = 0 και S < 015. P = 0 16. Δ = 0 και P = 017. Δ 0 και P = 118. P < 0 και S = 019. Δ 0 και P > 020. Δ > 0 και P > 021. Δ = 0 και P > 0

ΜΕΘΟΔΟΣ (ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ)

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

39

2

Ασκηση 11• Δινεται η εξισωση x + (1 - λ)x - λ = 0 (Ι). • Αν η μια ριζα της ειναι το - 1, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. • Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυτη.

2Η εξισωση αx + βx + γ = 0 εχει :• δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0.• μια διπλη ριζα, αν Δ = 0.• καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0.

2

Ασκηση 12Δινεται η εξισωση (λ - 2)x + 2λx + λ - 1 = 0 (Ι).Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :• να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες.• να μην εχει πραγματικη ριζα.

2Η εξισωση αx + βx + γ = 0 εχει :• δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0.• μια διπλη ριζα, αν Δ = 0.• καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0.

21 2

1 2

Ασκηση 131Δινεται η εξισωση x - 2λx + λ - = 0 με ριζες ρ και ρ .4

Αν οι αριθμοι 3, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε :3λ ( ,2).2

Αν α, β , γ ειναι πλευρες τριγωνου, τοτε :• | β - γ |< α < β + γ• | α - γ |< β < α + γ• | β - α |< γ < β + α

21 2

2 2 3 3 21 2 1 2 1 2

1 22

Ασκηση 14• Δινεται η εξισωση x + x - 6 = 0 με ριζες τις x και x . Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις : • Α = x + x • B = x + x • Γ = (x - x )

1 1 • Δ = +x + 2 x + 2

• Δινεται η εξισωση x + (λ - 2 1 22 21 2

)x - 2λ = 0 με ριζες x , x . Να υπολογισετε το λ ωστε : x + x = 13.

2

2 2 21 2 1 2 1 23 3 2 21 2 1 2 1 1 2 2

• Για την εξισωση αx + βx + γ = 0, το α - θροισμα και το γινομενο των ριζων της δινεται απο :

β γ • S = - και • Ρ =α α

• Ισχυει : • x + x = (x + x ) - 2x .x • x ± x = (x ± x )(x x .x + x )

21 2

Ασκηση 15Δινεται η εξισωση x - 3x + λ = 0 με ριζες τις x και x .• Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι διπλασια της αλλης.• Για την πιο πανω τιμη του λ, να κατασκευασετε εξισωσ

1 2

2 1

η που x x εχει ριζες : και .x x

2

2

• Για την εξισωση αx + βx + γ = 0, το α -θροισμα και το γινομενο των ριζων της δινεται απο :

β γ • S = - και • Ρ =α α

• Αν α και β ειναι ριζες εξισωσης δευτερου βαθμου, τοτε αυτη εχει μορφη : x - (α + β)x + αβ = 0

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

40

2

Ασκηση 16Δινεται η x - λx + λ - 1 = 0 . Για ποιa λ η εξισωση εχει : • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες θετικες ανισες.• Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες.

β γΒρες : Δ, - και και χρησιμοποιησε τον α α

δοσμενο πινακα.

2

2 2

Ασκηση 17Αν οι ριζες της εξισωσης x - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντι -θετες και οι ριζες της εξισωσης αx + 5x + 2α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε :• να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων α και β.• να λυσετε την πρωτη εξισωση, για τις τιμες των α και β που βρηκατε πιο πανω.

β γΒρες : Δ, - και και χρησιμοποιησε τον α α

δοσμενο πινακα.

4 2

4 3 2

Ασκηση 18Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : x + x - 2 = 0 • (2) : x + 2x + 2x + 2x + 1 = 0

4 3 2

2

2 22

2

4

2

2 2

• Για εξισωσεις της μορφης : αx + βx + γx + βx + α = 0 : • Διαιρουμε με x . • αντικαθιστουμε :

• Γ

1 1 • y

ια εξισωσεις της μορφης : αx + βx + γ =

= x + οποτε : x + = y - 2x x1 1 • y = x -

0, αντικαθιστουμε

οποτε : x +

y =

x

x

x

.

= y 2 + 2

2 2 2

2

Ασκηση 19Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : (x - 2x + 2) - 6(x - 2x + 2) + 5 = 0 • (2) : (x - 1) - 8 | x - 1 | +15 = 0

Αντικαθιστουμε τις ιδιες παρενθεσεις η τα ιδια απολυτα με y και λυνουμε τις δευ -τεροβαθμιες εξισωσεις που προκυπτουν.Για καθε y βρισκουμε τα αντιστοιχα x.

2

Ασκηση 20Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : x - 3 | x - 1 | -1 = 0• (2) : x - x - 1 - 3 = 0

• Λυνουμε σε δυο διαστηματα, λογω του α - πολυτου.• Βαζουμε περιορισμους, λογω του ριζικου.

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

41

2• Δινεται η εξισωση x + (1 - λ)x - λ = 0 (Ι). • Αν η μια ριζα της ειναι το - 1, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. • Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυ

2

2 2

• Αφου το - 3 ειναι ριζα της εξισωσης, τοτε την επαληθευει. Δηλαδη (-3) + (1 - λ)(-3) - λ = 0 9 - 3 + 3λ - λ = 0 2λ = 6 λ = 3 Οποτε η (Ι) γινεται :

Δ = 4 + 12 = 16 x + (1 - 3)x - 3 = 0 x - 2x - 3 = 0 32 ± 4x = = 1 ± 2 =

2 -1 Oποτε η α

τη.

2 2 2

2

λλη ριζα ειναι το 3 και λ = 3.• Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : Δ = 0 (1 - λ) - 4.1.(-λ) = 0 1 - 2λ + λ + 4λ = 0 λ + 2λ + 1 = 0 (λ + 1) = 0 λ + 1 = 0 λ = -1. Επισης

-(1 - λ) -1 + λ -1 + (-1) -1 - 1 -2 x = = = = = = -12.1 2 2 2 2

Αρα ο λ ισουται με τη διπλη ριζα.

2Δινεται η εξισωση (λ - 2)x + 2λx + λ - 1 = 0 (Ι).Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :• να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. • να εχει μια διπλη ριζα, που θα βρειτε.• να εχει δυο πραγματικες και • Αφου η (Ι) εχει μονο μια ριζα, τοτε δεν ειναι εξισωση δευτερου βαθμου. Οποτε πρεπει, λ - 2 = 0 λ = 2

1 Για λ = 2 η (Ι) γινεται : 4x + 1 = 0 x = -4

• Η εξισωση (Ι

ανισες ριζες. • να μην εχει πραγματικη ριζα.

2 2 2

0

) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει :2 Δ = 0 (2λ) - 4.(λ - 2).(λ - 1) = 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 = 0 12λ = 8 λ = .3

Επισης, η διπλη ριζα ειναι :2 4 4-2. - --2λ -2λ 13 3 3 x = = = = = = =2 4 12 82.(λ - 2) 2λ - 4 22. - 4 - - 2

4-34-3

.3 3 3 3•

2 22

Η εξισωση (Ι), προκειμενου να εχει δυο ριζες πραγματικες ανισες, πρεπει :2 Δ > 0 (2λ) - 4.(λ - 2).(λ - 1) > 0 - + 4λ + 8λ - 8 > 0 12λ > 8 λ > .3

• Η εξισωση (Ι), προκειμενου να μην εχει ριζες πραγματικες, πρεπει :

4λ 4λ

2 2 2 2Δ < 0 (2λ) - 4.(λ - 2).(λ - 1) < 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 < 0 12λ < 8 λ < .3

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΤα

κης

Τσακ

αλακ

ος

Αλγ

εβρα

Α

42

2 2 2

1

1,2

Ειναι1Δ = (-2λ) - 4.1.(λ - ) = 4λ - 4λ + 1 = (2λ - 1)4

2λ + (2λ - 1) 2x = =2λ ± (2λ - 1) 2x =2

21 2

1 2

1Δινεται η εξισωση x - 2λx + λ - = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ .4

3Αν οι αριθμοι 3, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ ( ,2).2

∈

2

(+1)

(:

λ + 2λ - 1 4λ - 1=2 2

2λ - (2λ - 1) 2λ - 2λ + 1 1x = = =2 2 2

4λ - 1 1Eπειδη 3, , αποτελουν μηκη πλευρων τριγωνου ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα.2 2

Δηλαδη1 4λ - 1 1 5 4λ - 1 73 - < < 3 + < < 5 < 4λ - 1 < 7 2 2 2 2 2 2

5 + 1 < 4λ - 1 + 1 < 7 + 1 6 < 4λ < 8

4) 6 8 3 3 < λ < < λ < 2. Αρα λ ( ,2).

4 4 2 2

21 2

2 2 3 3 21 2 1 2 1 2

1 22

• Δινεται η εξισωση x + x - 6 = 0 με ριζες τις x και x . Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις :

1 1 • Α = x + x • B = x + x • Γ = (x - x ) • Δ = +x + 2 x + 2

• Δινεται η εξισωση x + (λ - 2)x - 2λ = 0 με

1 2 1 2

(1)2 2 2 21 2 1 2 1 2 (2)

3 3 21 2 1 2 1 1 2

β 1 γ -6 S = x + x = - = - = -1 (1) Ρ = x .x = = = -6 (2)α 1 α 1

• = x + x = (x + x ) - 2x .x =(-1) - 2(-6) = 1 + 12 =

• = x + x = (x + x )(x - x .x +

1 22 21 2

ριζες τις x και x . Να υπολογισετε το λ ωστε : x +

Α 13

B

x = 13.

(1,2)2 2 22 1 2 1 2 1 2 Α=13

(2)2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Α=13(1)

2 1 1 2(2)

1 2 1 2 1 2 1 2

x ) = (x + x )[(x + x ) - x .x ] =

= (-1)[13 - (-6)] =

• = (x - x ) = x - 2x .x + x = (x + x ) - 2x .x = 13 - 2(-6) =

x + 2 + x + 2 (x + x ) + 41 1 • = + = = =x + 2 x + 2 (x + 2)(x + 2) 2(x + x ) + x x + 4

-19

Γ 25

Δ

1 2 1 2

(1)2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 (2)

2 2

-1 + 4 3 = = =2(-1) + (-6) + 4 -2 - 6 + 4

β λ - 2 γ -2λ• S = x + x = - = - = -λ + 2 (3) Ρ = x .x = = = -2λ (4)α 1 α 1

x + x = 13 (x + x ) - 2x .x = 13 (-λ + 2) - (-2λ) = 13 λ - 4λ + 4 + 4λ - 13 = 0

λ - 9 = 0 λ = 9 λ = ± 9

3-4

λ = ±3

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

43

Ειναι

2Δινεται η εξισωση x - λx + λ - 1 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες θετικες ανισες.• Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες.

2 21 2 1 2

2

β -λ γ λ - 1Δ = (-λ) - 4.1.(λ - 1) = (λ - 2) S = x + x = - = - = λ Ρ = x .x = = = λ - 1α 1 α 1

• Η εξισωση εχει δυο ριζες ετεροσημες, αν : Ρ < 0 λ - 1 < 0 λ < 1• Η εξισωση εχει δυο ριζες θετικες ανισες, αν :

Δ > 0 (λ - 2) > 0 S > 0 λ

Ρ > 0

2

2

λ 2λ 2

> 0 λ > 0 λ (1,2) U (2, + ) λ > 1

λ - 1 > 0 λ > 1

• Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιστροφες, αν :Δ 0 λ(λ - 2) 0 λ = 2Ρ = 1 λ = 2λ - 1 = 1

• Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιθετες, αν :Δ > 0 (λ - 2) > 0 S = 0

λ 2λ = 0

λ = 0λ = 0

21 2Δινεται η εξισωση x - 3x + λ = 0 με ριζες τις x και x .

• Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι διπλασια της αλλης.

• Για την πιο πανω τιμη του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει

1 2 1 2

1 2

2 22 22 2

2 2 2

• Ειναιβ -3 γ λ x + x = - = - = 3 (1) x .x = = = λ (2)α 1 α 1

Αν x = 2x , τοτε οι (1) και (2) γινονται :3x = 3 x = 12x + x = 3

λ = 22x .x = λ 2x = λ 2.1 = λ

η οποια ειναι δεκτ

1 2

2 1

x xριζες : και .x x

2

21 2 1 2

η γιατι, για λ = 2 η διακρινουσα ειναι : Δ = (-3) - 4.1.2 = 9 - 8 = 1 > 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες.• Για λ - 2 η εξισωση γινεται : x - 3x + 2 = 0 και x + x = 3, x .x = 2.

Oποτε, αν 1 21 2

2 12 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 21 2

2 1 1 2 1 2

1 21 2

2 1

2 21 2 1 2

x xρ = και ρ = , τοτεx x

x x x + x (x + x ) - 2x .x 3 - 2.2 9 - 4 5 • ρ + ρ = + = = = = =x x x .x x .x 2 2 2

x x • ρ .ρ = . = 1x x

Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι :5 x - (ρ + ρ )x + ρ .ρ = 0 x - x + 1 = 02

22x - 5x + 2 = 0

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

44

2

2 2

Αν οι ριζες της εξισωσης x - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης αx + 5x + 2α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε :• να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων α και β.• να λυσετε την πρωτη ε

2

2 2 2 2 21

1

• Αφου οι ριζες της εξισωσης x - (α - 2β)x - αβ = 0 ειναι αντιθετες, τοτε :Δ > 0 (α - 2β) + 4αβ > 0 α - 4αβ + 4β + 4αβ > 0 α + 4β > 0 S = 0 α - 2β = 0 α = 2β α = 2β

ξισωση, για τις τιμες των α και β που βρηκατε πιο πανω.

2 2

2 222

2 2

2

α = 2β (1)

Αφου οι ριζες της εξισωσης αx + 5x + 2α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε :5 - 4α(2α - 3αβ) > 0 25 - 4α.α > 0 25Δ 0 α <25 - 4α > 0 4α(2α - 3β)2α - 3αβΡ = 1 = 1 2α - 3β = 1= 1 2α - 3β = 1αα

25- < α 4

(1)

2 2 2

25 25 25 25 25< - < 2β < - < β < β = 1 (δεκτη), οποτε α = 2.4 4 4 8 82α - 3β = 1 2.2β - 3β = 1 β = 1

• Για α = 2 και β = 1 η πρωτη εξισωση γινεται : x - (2 - 2.1)x - 2.1 = 0 x - 2 = 0 x = 2 x = ± 2.

2

2 2

• Θετουμε x = y, οποτε η (1) γινεται : y + y - 2 = 0 y - y + 2y - 2 = 0 y(y - 1) + 3(y - 1) = 0 (y - 1)(y + 3) = 0

y - 1 = 0 y = 1

y + 3 = 0 y = -3

4 2

4 3 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : x + x - 2 = 0 • (2) : x + 2x + 2x + 2x + 1 = 0

2

2

2 2 2 2 2 22 2

2

• Για y = 1 τοτε x = 1 x = ±1 • Για y = -3 τοτε x = -3 αδυνατη. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1, 1}.

1 1 1 1• Για x + = y τοτε (x + ) = y x + 2 + = y x + = y - 2.x x x x

Για x 0, διαιρουμε την (2) με x , οποτε προκυπτει :

2 22

1x+ =yx

2 22 2 1x + =y -2

x

2 2

x 02

2 2

2 1 1 1 x + 2x + 2 + + = 0 x + + 2 x + + 2 = 0x xx x

y = 0 y = 0 y - 2 + 2y + 2 = 0 y + 2y = 0 y(y + 2) = 0

y + 2 = 0 y = -21 • Για y = 0 τοτε x + = 0 x + 1 = 0, αδυνατηx1 • Για y = -2 τοτε x - = -2 x - 1 = -2x x + 2x

2x - 1 = 0 (x + 1) = 0 x + 1 = 0

x = -1 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1}.

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

45

2

2 2

• Θετουμε x - 2x + 2 = y, οποτε η (1) γινεται : y - 6y + 5 = 0 y - y - 5y + 5 = 0 y(y - 1) - 5(y - 1) = 0 (y - 1)(y - 5) = 0

y - 1 = 0

y - 5 = 0

2 2 2 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : (x - 2x + 2) - 6(x - 2x + 2) + 5 = 0 • (2) : (x - 1) - 8 | x - 1 | +15 = 0

2 2 2

2 2 2

y = 1y = 5

• Για y = 1 τοτε x - 2x + 2 = 1 x - 2x + 1 = 0 (x - 1) = 0 • Για y = 5 τοτε x - 2x + 2 = 5 x - 2x - 3 = 0 x - 3x + x - 3 = 0

x + 1 = 0 x(x - 3) + (x - 3) = 0 (x + 1)(x - 3) = 0

x - 3 = 0 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-1,

x = 1

x = -1x = 3

Θετουμε2 2 2

|x-1|=ω

2

1,3}.

• Eιναι, (x - 1) - 8 | x - 1 | +15 = 0 | x - 1 | -8 | x - 1 | +15 = 0 ω - 8ω + 15 = 0

ω = 3 ω - 3ω - 5ω + 15 = 0 ω(ω - 3) - 5(ω - 3) = 0 (ω - 3)(ω - 5) = 0

ω = 5x - 1 = 3

• Για ω = 3 τοτε | x - 1 |= 3x - 1 = -3

• Για ω = 5 το

x = 4x = -2

x - 1 = 5τε | x - 1 |= 5

x - 1 = -5 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4, -2, 4, 6}.

x = 6x = -4

2 2 2 2

• Για x - 1 0 x 1 η (1) γινεται : x - 3(x - 1) - 1 = 0 x - 3x + 3 - 1 = 0 x - 3x + 2 = 0 x - x - 2x + 2 = 0

x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 (x - 1)(x - 2)

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (1) : x - 3 | x - 1 | -1 = 0 • (2) : x - x - 1 - 3 = 0

2 2 2 2

x - 1 = 0 x = 1= 0

x - 2 = 0 x = 2 Για x - 1 < 0 x < 1 η (1) γινεται : x - 3(-x + 1) - 1 = 0 x + 3x - 3 - 1 = 0 x + 3x - 4 = 0 x + 4x - x - 4 = 0

x + 4 = 0 x = -4 x(x + 4) - (x + 4) = 0 (x + 4)(x - 1) = 0

x - 1 = 0 x = 1 απορριπτεται αφου x < 1 Αρα το συνολο

22 2

2 2 2

λυσεων ειναι : {-4,1,2}.x - 3 0 x 3

• x - x - 1 - 3 = 0 x - 3 = x - 1 x - 1 0 x 1x - 6x + 9 =| x - 1 |(x - 3) = ( x - 1)

x 3 x 3 x 3

x - 6x + 9 = x - 1 x - 7x + 10 = 0 x - 2x - 5x + 10 = 0x

x 3 x 3

x(x - 2) - 5(x - 2) = 0 (x - 2)(x - 5) = 0

3 x 3x - 2 = 0 x = 2 απορριπτεταιx - 5 = 0 x = 5

Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {5}.

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Α

λγεβ

ρα Α

46

2

2

• Δινεται η εξισωση x - (λ + 3)x + λ + 4 = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το 2, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα.• Να δειξετε οτι η εξισωση x - (α + β + γ)x + αβ + βγ + γα = 0 (ΙΙ) εχει διπλη ριζα, μονο αν α = β

2

= γ.• Να δειξετε οτι η εξισωση αx + βx + γ = 0 (ΙΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο - 1, μονο αν β = α + γ.

2 2Δινεται η εξισωση (λ - 3λ + 2)x + (λ - 2)x + 3 = 0 (Ι).Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) :• να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε.• να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες.• να μην εχει πραγματικη ριζα.

21 2

1 2

Δινεται η εξισωση x - (λ + 1)x + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ .Αν οι αριθμοι 2, ρ , ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (1,3).

21 2

2 22 2 1 21 2 2 1 1 2

2 12

1

• Δινεται η εξισωση x + 2x - 3 = 0 με ριζες τις x και x . Χωρις να λυσετε, υπολογιστε τις : x x • Α = x x + x x • B = + • Γ = (1 - x )(1 - x ) x x

• Δινεται η εξισωση x + (λ + 1)x - 2 - λ = 0 με ριζες τις x και 2

1 22

2 2 2

3 3

x .1 1 2 Να υπολογισετε το λ ωστε : + = .x x 3

• Αν α και β ειναι ριζες της εξισωσης - x + 2x + 3 = 0, τοτε να λυθει το συστημα :2α 2β(α - β) x + + y = α β + αββ α

(α - β )x - (1 - 2α)(1 - 2β)y = 4

21 2Δινεται η εξισωση x - λx + 3 = 0 με ριζες τις x και x .

• Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι τριπλασια της αλλης.• Για τις πιο πανω τιμες του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχε 1 2ι ριζες : 2x - 1, 2x - 1.

2 2Δινεται η εξισωση 4x + 4(3λ + 2)x + 9λ - 36 = 0 . Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : • Δυο ριζες ετεροσημες. • Δυο ριζες oμοσημες.• Δυο ριζες αντιστροφες. • Δυο ριζες αντιθετες.

2

2 2

Αν οι ριζες της εξισωσης x - (5λ - 6μ)x - 1 = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης λx + 13x - λμ + λ = 0 ειναι αντιστροφες, τοτε :• να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων λ και μ.• να λυσετε τις εξισωσεις, για τις τιμες των λ και μ που βρηκατε.

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

47

4 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2

4 3 2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• x - 3α x - 4α = 0 • γ x + (α γ - β γ )x - α β = 0 • x + 5x + 4x - 5x + 1 = 0

2 2 2

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• (x + 2x - 3) + (x + 2x + 4) - 9 = 0 • (x - 1) = 3 | x - 1 | +4

2

Να λυθουν οι εξισωσεις :• x - 2 | x - 2 | -4 = 0• x + x - 1 = 7

Τακη

ς Τσ

ακαλ

ακος

Αλγ

εβρα

Α

48