Ροπή αδρανείας σφαίρας.

(στα επόμενα κάνουμε χρήση της χωρίς κάποιο φυσικό νόημα «ροπής

αδράνειας ως προς σημείο» για να διευκολύνουμε τους υπολογιμούς μας)

τη γενική περίπωση ενός στερεού σώματος, δουλεύοντας σε

Καρτεσιανές συντεταγμένες και θεωρώντας ένα απειροστό όγκο

dV dxdydz σε μια περιοχή γύρω από κάποιο σημείο (x,y,z) με

πυκνότητα ρ, που μπορεί γενικά να είναι συνάρτηση του x, y, z με

στοιχειώδη μάζα: dm dxdydz ) θα έχουμε:

«Ροπή αδράνειας της στοιχειώδους μάζας ως προς το κέντρο Ο»:

2 2 2

0 ( )dI x y z dm (1)

Ροπή αδράνειας της στοιχειώδους μάζας ως προς τον χ άξονα:

2 2( )xdI y z dm (2)

Και όμοια:

2 2( )ydI x z dm (3)

2 2( )zdI x y dm (4)

Από τις (2), (3) και (4) παρατηρούμε ότι:

02x y zdI dI dI dI (5)

Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μια ομογενή σφαίρα πυκνότητας ρ.

Λόγω της συμμετρίας του προβλήματός μας θα έχουμε:

x y zI I I (6)

Άρα η ροπή αδρανείας ως προς κάποιον από τους 3 άξονες θα

είναι ίση (λόγω και της 5) με τα 2/3 της ροπής αδρανείας της

σφαίρας ως προς το Ο.

Προκειμένου να προσδιορίσουμε την «ροπή αδρανείας ως προς

το Ο» της σφαίρας, για να εκμεταλευτούμε την συμμετρία του

προβλήματός μας θα χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες.

τις σφαιρικές συντεταγμένες το στοιχείο όγκου είναι:

2 sindV r drd d ,

οπότε η αντίστοιχη απειροστή μάζα θα είναι:

2 sindm dV r drd d

Έτσι λοιπόν η αντίστοιχη στοιχειώδης «ροπή αδρανείας ως προς

το Ο» θα είναι:

2 4

0 sindI r dm r drd d και ολική ροπή αδρανείσας θα είναι:

2

4

0

0 0 0

sin

R

I r drd d ή

4

0

0 0

2 sin

R

I r dr d ή

4

0

0

4

R

I r dr ή

5

0

4

5I r ή

3 2

0

4 3

3 5I R R ή

2

0

3

5I MR (7)

Έτσι λοιπόν η ροπή αδρανείας της ομογενούς σφαίρας ως προς

κάποια διάμετρό της θα είναι:

2 22 3 2

3 5 5I MR MR (8)

Φυσικά η «ροπή αδράνειας ως προς σημείο» δεν έχει κάποιο

φυσικό νόημα, είναι μια... βοηθητική ευθεία.

Φιορεντίνος Γιάννης