Πολυώνυμα

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.Μονώνυμα 2.Πολυώνυμα 3.Αριθμιτική τιμή πολυωνύμων 4.Πράξεις πολυωνύμων 5. Διαίρεση πολυωνύμου

Μονώνυμο του χ ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής αχν όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος.

Παράδειγμα

Οι παραστάσεις: 3χ3 , (-2/5)χ5 , 0χ4 και οι αριθμοί 2, -3, 0 είναι μονώνυμα του χ.

Πολυώνυμο του χ ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής:

ανχν+αν-1χ

ν-1+.........α1χ+α0 όπου ν είναι ένας

φυσικός αριθμός και αi είναι πραγματικοί αριθμοι. Τα πολυώνυμα της μορφής α0 λέγονται σταθερά

πολυώνυμα

Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο

Παράδειγμα

Οι παραστάσεις 3χ3 +2χ2 –χ+2, 0χ2 -5χ+1, και οι αριθμοί 2, 0 κτλ. Είναι πολυώνυμα τουχ.

Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα εάν έχουν όλους τους συντελεστές του χ και τον σταθερό όρο ίσους

Για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο ο μεγαλύτερος εκθέτης λέγεται βαθμός του πολυωνύμου.

Παράδειγμα

Τα πολυώνυμα οχ4 +0χ3 +2χ2 –χ+2 και 2χ2 –χ+2 είναι ίσα. Ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 2

Αριθμητική τιμή πολυωνύμου

Εστω ένα πολυώνυμο P(x) Aν αντικαταστήσουμε το χ με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός Ρ(ρ) που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ

Αν είναι Ρ(ρ)=0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου.

Παράδειγμα

Η τιμή του πολυωνύμου Ρ(χ)=-χ3 +2χ2 +4χ+1, για χ=1 είναι Ρ(1)=-1+2+4+1=6, ενώ για χ=-1 είναι Ρ(-1)=0 που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ).

Πράξεις με πολυώνυμα

Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώνας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.

Για τον βαθμό του πολυωνύμου αποδεικνύεται ότι:

Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο , τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.

Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.

Ασκηση 1

Να βρεθούν οι τιμές του λ Ε R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ(χ)= (λ2 -2)χ3 +(λ2 -3λ+2)χ+λ-2 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Το Ρ(χ) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις:

λ2 -2=0, λ2 -3λ+2=0 και λ-2=0

Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι λ=2.

Λύση

Ασκηση 2

Αν Ρ(χ) = χ2 +4χ+α-1, να βρεθούν οι τιμές του α Ε R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1)=1.

Εχουμε Ρ(-1)=1 (-1)2 +4(-1)+α-1=1 1-3+α-1=1α=5

Λύση

Ερώτηση 1

Το μηδενικό πολυώνυμο στερείται βαθμού;

Ερώτηση 2

Δύο μη μηδενικά ίσα πολυώνυμα έχουν τον ίδιο βαθμό;

Ερώτηση 3

Αν το ρ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ), τότε το ίδιο ισχύει και για το πολυώνυμο Q(χ)=Ρ(2χ-1)+2χ-2

Διαίρεση πολυωνύμου με χ-ρ

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(χ) με το πολυώνυμο χ-ρ γράφεται Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ(χ)

ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το χ-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για χ=ρ. Είναι δηλ. υ=Ρ(ρ)

ΘΕΩΡΗΜΑ Ενα πολυωνύμου Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0.

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ,μ για τους οποίους το πολυώνυμο Ρ(χ)=χ3 +λχ2 +μχ+4 έχει ρίζα τον αριθμό 2 και για χ=1 παίρνει την τιμή 8

Ασκηση 1

Ρ(2)=0 και Ρ(1)=8

23 +λ22 +μ2+4=0 και 13 +λ12 +μ1+4=8 και

στην συνέχεια λύνουμε

το σύστημα.

Ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ(χ) Καλείται κάθε πραγματικός

Αριθμός ρ για τον οποίο Ισχύει:Ρ(ρ)=0

Λύση

Ασκηση 2

Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα χ+2 και χ-1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου Ρ(χ)=χ3 +χ2 –χ+2

Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x + 2 και x - 1 είναι παράγοντες του πολυωνύμου

P(x) = x3 + x2 - x + 2.

Το x + 2 γράφεται x - (-2). Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)2 - (-2) + 2 = 0, το -2 είναι ρίζα του Ρ(x).

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το x + 2 είναι παράγοντας του Ρ(x).

Επειδή P(1) = 13 + 12 - 1 + 2 = 3 ≠ 0, το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x). Επομένως το x - 1 δεν είναι

παράγοντας του Ρ(x).

Λύση

Διαίρεση πολυωνύμων

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου, π.χ. του P(x) = 3x3 - 8x2 + 7x + 2 με ένα πολυώνυμο της μορφής x - ρ.

Παράδειγμα

Ασκηση

Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ2x3 + (λ - 2)x2 + 3 και R(x) = (5λ - 6)x3 + (λ2 - 4)x2 + λ + 1είναι ίσα.

Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις: λ2 = 5λ - 6, λ - 2 = λ2 - 4 και 3 = λ + 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 2. Επομένως για λ = 2 τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα.

Λύση