ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ · 2013-03-29 · 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ...

1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ndash ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ



ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ndash ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

1 Τι καλούμε μονώνυμο τι πολυώνυμο τι όροι τι συντελεστές τι

σταθερός όρος του πολυωνύμου τι σταθερό και τι μηδενικό

πολυώνυμο

Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή

Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αxν όπου α είναι ένας

πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος Μονώνυμο του x καλούμε επίσης

και κάθε πραγματικό αριθμό

Για παράδειγμα οι παραστάσεις 2x3 - 34 x

5 0x

4 2x και οι αριθμοί 2 -3 0 είναι

μονώνυμα του x

Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής ανxν + αν-1x

ν-1 + hellip +

α1x + α0όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0 α1 hellip αν είναι πραγματικοί

αριθμοί

Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x) Q(x) κτλ

Τα μονώνυμα ανxν αν-1x

ν-1 hellip α1x α0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι

αριθμοί αν αν-1 hellip α1 α0 συντελεστές αυτού

Ειδικότερα ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου

Τα πολυώνυμα της μορφής α0 δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί

λέγονται σταθερά πολυώνυμα

Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο

2 Πως ορίζεται η ισότητα δύο πολυωνύμων

Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής

Δυο πολυώνυμα αμxμ + hellip + α1x + α0 και βνx

ν + hellip + β1x + β0 με

μ ge ν

θα λέμε ότι είναι ίσα όταν α0 = β0 α1 = β1 hellip αν = βν και αν+1 = αν+2 = hellip

= αμ = 0


Για παράδειγμα τα πολυώνυμα 0x4 + 0x

3 + 2x

2 - x + 1 και 2x

2 - x + 1 είναι ίσα

Επίσης τα πολυώνυμα αx2+ βx + γ και 2x + 3 είναι ίσα αν και μόνο αν γ = 3 β = 2 και

α = 0

3 Τι καλείται μηδενικό πολυώνυμο τι βαθμός πολυωνύμου και τι βαθμό

έχει το μηδενικό πολυώνυμο

Έστω τώρα ένα πολυώνυμο P(x) = ανxν + αν-1x

ν-1 + hellip + α1x + α0

Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν τότε το Ρ(x) είναι ίσο με το

πολυώνυμο 0 (μηδενικό πολυώνυμο)

Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν τότε το

Ρ(x) παίρνει τη μορφή αkxk + αk-1x

k-1 + hellip + α1x + α0 με αk ne 0 Στην περίπτωση

αυτή ο αριθμός k λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x) Είναι φανερό ότι κάθε

σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν

ορίζεται βαθμός

Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P(x) = -4x3 + 3x - 7 είναι 3

ου βαθμού ενώ

το Q(x) = 7 είναι μηδενικού βαθμού

4 Τι καλείται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου και τι ρίζα

Έστω ένα πολυώνυμο P(x) = ανxν + αν-1x

ν-1 + hellip + α1x + α0 Αν

αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ τότε ο πραγματικός

αριθμός P(ρ) = ανρν + αν-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 που προκύπτει λέγεται αριθμητική

τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x = ρ

Αν είναι Ρ(ρ) = 0 τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου

Για παράδειγμα η τιμή του πολυωνύμου P(x) = -x3 + 2x

24x + 1για x = 1 είναι

P(1) = -13 + 2middot1

2 + 4middot1 + 1 = 6 ενώ για x = -1 είναι P(-1) = -(-1)

3 + 2(-1)

2 + 4(-1) +

1=0 που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x)

5 Τι γνωρίζετε για το σταθερό πολυώνυμο

Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και Τα ίσα πολυώνυμα

έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x

Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο δηλαδή ότι

Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x τότε αυτό είναι το σταθερό

πολυώνυμο c και

Αν δυο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x τότε τα πολυώνυμα

αυτά είναι ίσα


6 Τι γνωρίζετε για τις πράξεις πολυωνύμων

Μπορούμε να προσθέσουμε να αφαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα

χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών όπως φαίνεται στα

επόμενα παραδείγματα

1 i) (x3 + 2x2 - 5x + 7) + (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2x2 - 5x + 7 + 4x3 - 5x2 + 3

= (1 + 4)x3 + (2 - 5)x2 - 5x + (7 + 3)

= 5x3 - 3x2 - 5x + 10 [Πολυώνυμο 3ου βαθμού]

ii) (2x3 - x2 + 1) + (-2x3 + 2x - 3)

= 2x3 - x2 + 1 - 2x3 + 2x - 3

= -x2 + 2x - 2 [Πολυώνυμο 2ου βαθμού]

iii) (x3 - 3x2 - 1) + (-x3 + 3x2 + 1) =

= x3 - 3x2 - 1 - x3 + 3x2 + 1 = 0 [Μηδενικό πολυώνυμο]

2 (x3 + 2x2 - 5x + 7) - (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2 x2 - 5x + 7 - 4x3 + 5x2 - 3

= -3x3 + 7x2 - 5x + 4 [Πολυώνυμο 3ου βαθμού]

3 (x2 + 5x)(2x3 + 3x - 1)

= x2(2x3 + 3x - 1) + 5x(2x3 + 3x - 1)

= 2x5 + 3x3 - x2 + 10x4 + 15x2 - 5x

= 2x5 + 10x4 + 3x3 + 14x2 - 5x [Πολυώνυμο 5ου βαθμού]

7 Τι γνωρίζετε για τον βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο

πολυωνύμων

Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων αποδεικνύεται

ότι

Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο

τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο


Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το

άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών

8 i) Να βρεθούν οι τιμές του λ isin R για τις οποίες το πολυώνυμο

P(x) = (λ2 - 1)x

3 + (λ

2 - 3λ + 2)x + λ - 1

είναι το μηδενικό πολυώνυμο

ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ isin R για τις οποίες τα πολυώνυμο

Q(x) = λ2x

3 + (λ - 2)x

2 + 3 και R(x) = (5λ - 6)x

3 + (λ

2 - 4)x

2 + λ + 1

είναι ίσα


Λύση

i) To Ρ(x) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες

συναληθεύουν οι εξισώσεις

λ2 - 1 = 0 λ

2 - 3λ + 2 = 0 και λ - 1 = 0

Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 1

Επομένως για λ = 1 το πολυώνυμο Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο

ii) Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες


λ2 = 5λ - 6 λ - 2 = λ

2 - 4 και 3 = λ + 1


Επομένως για λ = 2 τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα

9 Αν P(x) = x2 + 3x + α

2 - 1 να βρεθούν οι τιμές του α isin R για τις οποίες

ισχύει Ρ(-1) = -1

Λύση

Έχουμε P(-1) = 1

hArr (-1)2 + 3(-1) + α

2 - 1 = 1

hArr α2 - 4 = 0

hArr α = -2 ή α = 2 Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι -2 2


Ασκήσεις σχολικού βιβλίου

A΄ Oμάδας

1 Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x

i) 1 ndash 3

x ii) 3 2 2 3

3 x 3 x x

iii) 1

xx

iv)

1

4 3x 2x 4x 1

Λύση

Πολυώνυμα του x είναι οι παραστάσεις 1 ndash 3

x 3 2 2 3

3 x 3 x x

2 Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 2

x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1

Να βρεθούν τα πολυώνυμα

i) Ρ(x) + Q(x) ii) 2Ρ(x) ndash 3Q(x) iii) Ρ(x) Q(x) iv) 2

P x

Λύση

i) Ρ(x) + Q(x) = 2

x 5x 2 + 3

x 3x 1 = 3 2

x x 2x 3

ii) 2Ρ(x) ndash 3Q(x) = 2(2

x 5x 2 ) ndash 3(3

x 3x 1 )

= 2

2x 10x 4 ndash 33

x 9x 3

= 3 2

3x 2x ndash 19 x + 1

iii) Ρ(x) Q(x) = (2

x 5x 2 ) (3

x 3x 1 )

= 5 3 2 4 2 3

x 3x x 5x 15x 5x 2x 6x 2

= 5 4 3 2

x 5x 5x 14x x 2

iv) 2

P x = 2 2

(x 5x 2)

= 4 2 3 2

x 25x 4 10x 20x 4x

= 4 3 2

x 10x 29x 20x 4

3 Να βρείτε για ποιες τιμές του μϵR το πολυώνυμο

Ρ(x) = 3 3 2 1

(4 )x 4( )x 2 14


Λύση

Πρέπει 3

4 = 0 και 2 1

4 = 0 και 2 1 = 0

3

4 = 0 2

(4 1) = 0

μ = 0 ή 2

4 1 = 0

μ = 0 ή 2 1

4

μ = 0 ή μ = 1

2 ή μ =

1

2 (1)

2 1

4 = 0

2 1

4 = 0


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)

2 1 = 0 ndash2μ = ndash1

μ = 1

2 (3)

Οι (1) (2) (3) συναληθεύουν για μ = 1

2

4 Να βρείτε για ποιες τιμές του αϵR τα πολυώνυμα

Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3

2x x ( 1)x 1 είναι ίσα

Λύση

Πρέπει 2

3 = ndash2 και 1 = 2

και 0 = 3

1 και = 1

Η μοναδική τιμή = 1 επαληθεύει τις άλλες τρεις εξισώσεις άρα είναι η

ζητούμενη

5 i) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται είναι ρίζες του

πολυωνύμου Ρ(x) = 3 2

2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2

1 3 1 2 1 7 = ndash2 ndash 3 ndash 2 + 7 = 0

Άρα ο αριθμός ndash1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x)

P(ndash1) = 2 1 ndash 3 1 + 2 1 + 7 = 2 ndash 3 + 2 + 7 = 8 0

Άρα ο αριθμός 1 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x)

5ii) Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται είναι ρίζες του

πολυωνύμου Q(x) = 4

x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0

Άρα ο αριθμός ndash1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)

Q(1) = ndash1 + 1 = 0

Άρα ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)

Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0

Άρα ο αριθμός 3 δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)

6 Να βρείτε για ποιες τιμές του kϵR το 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου

Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση

Το 2 είναι ρίζα του Ρ(x) Ρ(2) = 0

3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6

7Για ποιες τιμές του αϵR η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) = 2 2

5x 3 x 2

για x = ndash1 είναι ίση με 1


Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας

1Να βρείτε τους πραγματικούς α β γ για τους οποίους το πολυώνυμο

f(x) = 2

3x 7x 5 παίρνει τη μορφή f(x) = x(x 1) x

Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x

Πολυώνυμο 2

x ( )x = πολυώνυμο 2

3x 7x 5

3 και 7 και 5

3 και 3 7 και 5

3 και 10 και 5

2 Να βρείτε τους πραγματικούς α β γ για τους οποίους το πολυώνυμο

P(x) = 3 2

3x x x 6 έχει ρίζες το ndash2 και το 3

Λύση

Το ndash2 ρίζα του P(x) Το 3 ρίζα του P(x)

Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0

ndash24 + 4α ndash 2β ndash 6 = 0 9α + 3β = ndash 75

4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)

Σύστημα των (1) (2) 2 15

3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2

3 Να βρείτε τους πραγματικούς λ και μ για τους οποίους το πολυώνυμο

P(x) = 3 2

2x x x 6 έχει ρίζα το 1 και ισχύει Ρ(ndash2) = ndash12

Λύση

Το P(x) έχει ρίζα το 1 Ρ(1) = 0 3 2

21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)


Ρ(ndash2) = ndash12 3 2

2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12

ndash16 + 4λ ndash 2μ + 6 = ndash12

4λ ndash2μ = ndash2

2λ ndash μ = ndash1 (2)

Σύστημα των (1) (2) 8

2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5

4 Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου P(x) = 3 3 2

(9 4 )x (9 4)x 3 2

για τις διάφορες τιμές του λϵR

Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0

λ 0 και 3λ ndash 2 0 και 3λ + 2 0

λ 0 και 3λ 2 και 3λ ndash2

λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3

τότε ο βαθμός του P(x) είναι 3

β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3

β1) Για λ = 0 P(x) = ndash 4x + 2 οπότε ο βαθμός του P(x) είναι 1

β2) Για λ = 2

3 P(x) = 0x + 0x + 0 = 0 μηδενικό πολυώνυμο

που δεν έχει βαθμό


β3) Για λ = ndash 2

3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4

σταθερό πολυώνυμο άρα έχει βαθμό 0

5 Να βρείτε πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση

Το γινόμενο 2x 1 P(x) είναι πολυώνυμο σα γινόμενο δύο πολυωνύμων και ο

βαθμός του είναι 3 αφού ισούται με το πολυώνυμο 3 2

2x 9x 3x 1

Άρα ο βαθμός του P(x) είναι 2

Επομένως P(x) = 2

x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1

2α = 2 και 2β + α = ndash 9 και 2γ + β = ndash3 και γ = 1

α = 1 και 2β + 1 = ndash9 και 2 1 + β = ndash3 και γ = 1

2β = ndash10 β = ndash5

β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1


ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1 Πως ορίζεται η αλγοριθμική ή Ευκλείδεια διαίρεση μεταξύ θετικών

ακεραίων αριθμών

Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης

μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών

Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι

Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με δ ne 0 υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί

αριθμοί π και υ τέτοιοι ώστε Δ = δπ + υ 0 le υ lt δ (1)

Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης

Ο Δ λέγεται διαιρετέος ο δ διαιρέτης ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης

2 Πως ορίζεται η ταυτότητα της διαίρεσης για πολυώνυμα

(Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) ne 0

υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε

Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)

όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό

του δ(x)

Όπως και στη διαίρεση μεταξύ φυσικών αριθμών το Δ(x) λέγεται διαιρετέος το

δ(x) διαιρέτης το π(x)πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης

3 Πως μπορούμε να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x)

της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x)

Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός

πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x) ακολουθούμε μια διαδικασία ανάλογη

με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων

4 Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου x3 - 5x

2+ 2x - 1 με το πολυώνυμο x - 3

Παρακάτω περιγράφεται βήμα προς βήμα η διαδικασία της διαίρεσης του πολυωνύμου

x3 - 5x


1 Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα δυο πολυώνυμα

2 Βρίσκουμε τον πρώτο όρο x2 του πηλίκου διαιρώντας τον πρώτο όρο x

3

του διαιρετέου με τον πρώτο όρο x του διαιρέτη


3 Πολλαπλασιάζουμε το x2 με x - 3 και το γινόμενο x

3 - 3x

2 το αφαιρούμε

από το διαιρετέο

Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο -2x2 + 2x - 1

4 Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 με νέο διαιρετέο το -2x2 + 2x - 1

Βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο -4x - 1

5 Τέλος επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 με νέο διαιρετέο το -4x - 1

Βρίσκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο -13 και το πηλίκο x2 - 2x - 4

Παρατηρούμε ότι ισχύει η ισότητα

x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)

(διαιρετέος) = (διαιρέτης) middot (πηλίκο) + (υπόλοιπο)

που εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης

5 Να γίνει η διαίρεση (4x4 + x

2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)

Παρατηρήστε ότι συμπληρώσαμε την δύναμη x3 με συντελεστή το μηδέν


6 Να γίνει η διαίρεση (2x3 + 2x

2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)

7 Πότε τελειώνει μία διαίρεση πολυωνύμων

Η διαίρεση πολυωνύμων τελειώνει όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του

γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη

8 Πότε μια διαίρεση λέγεται τέλεια

Γενικά αν σε μια διαίρεση είναι υ(x) = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η

ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Δ(x) = δ(x)middotπ(x)

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x)

είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ακόμη ότι το δ(x)

είναι διαιρέτης του Δ(x)

9 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x - ρ είναι ίσο με

την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ Είναι δηλαδή υ=Ρ(ρ)

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x - ρ

γράφεται P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)

Επειδή ο διαιρέτης x - ρ είναι πρώτου βαθμού το υπόλοιπο της διαίρεσης θα

είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ Έτσι έχουμε P(x) = (x - ρ)π(x) + υ

και αν θέσουμε x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ

Επομένως P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)

10 Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x - ρ αν και μόνο αν το ρ είναι

ρίζα του Ρ(x) δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0

Έστω ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x) Τότε P(x) = (x - ρ)π(x)

Από την ισότητα αυτή για x = ρ παίρνουμε P(ρ) = (ρ - ρ)π(x) = 0


που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x)

Αντιστρόφως Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(x) δηλαδή ισχύει Ρ(ρ) = 0

Τότε από τη σχέση P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ) παίρνουμε P(x) = (x - ρ)π(x) που

σημαίνει ότι το x - ρ είναι παράγοντας του Ρ(x)

11 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα x + 2 και x - 1 είναι παράγοντες του

πολυωνύμου P(x) = x3 + x

2 - x + 2

Λύση

Το x + 2 γράφεται x - (-2)

Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)

2 - (-2) + 2 = 0 το -2 είναι ρίζα του Ρ(x)

Επομένως σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα το x + 2 είναι παράγοντας του Ρ(x)

Επειδή P(1) = 13 + 1

2 - 1 + 2 = 3 ne 0 το 1 δεν είναι ρίζα του Ρ(x)

Επομένως το x - 1 δεν είναι παράγοντας του Ρ(x)

12 Για ποιες τιμές του λ isin R

i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x3 - 3x

2 + 3x - 1 με το x + λ είναι

το μηδέν

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) = λ2x

4 + 3λx

2 - 3 με το x - 1 είναι

το 1

Λύση

i) Επειδή x + λ = x - (-λ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + λ είναι

υ = Ρ(-λ) Επομένως για να είναι υ = 0 αρκεί

P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x - 1 είναι υ = Q(l) Επομένως για να

είναι υ = 1 αρκεί

Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4

13 Να γίνει η διαίρεση του P(x) = 3x3 - 8x

2 + 7x + 2 με ένα πολυώνυμο της

μορφής x ndash ρ και κατόπιν να περιγραφεί η διαδικασία του σχήματος

Horner

Η Ευκλείδεια διαίρεση του Ρ(x) με το x-ρ είναι η ακόλουθη


Η παραπάνω διαίρεση μπορεί να παρουσιασθεί εποπτικά με τον ακόλουθο

πίνακα που είναι γνωστός ως σχήμα του Horner

Συντελεστές του P(x)

3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2

Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο

Για την κατασκευή του πίνακα αυτού εργαζόμαστε ως εξής

- Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του πολυωνύμου

Ρ(x) και στην πρώτη θέση της τρίτης γραμμής τον πρώτο συντελεστή

του Ρ(x)

Στη συνέχεια ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής

- Κάθε στοιχείο της δεύτερης γραμμής προκύπτει με πολλαπλασιασμό

του αμέσως προηγούμενου στοιχείου της τρίτης γραμμής επί ρ

- Κάθε άλλο στοιχείο της τρίτης γραμμής προκύπτει ως άθροισμα των

αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και δεύτερης γραμμής

Το τελευταίο στοιχείο της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο της

διαίρεσης του Ρ(x) με το (x - ρ) δηλαδή η τιμή του πολυωνύμου

Ρ(x) για x = ρ Τα άλλα στοιχεία της τρίτης γραμμής είναι οι συντελεστές

του πηλίκου της διαίρεσης

14 Με το σχήμα Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2


Με το σχήμα Horner

3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]

Συμπληρώσαμε με 0 τους συντελεστές των δυνάμεων του x που δεν υπάρχουν

Επομένως το πηλίκο της διαίρεσης είναι

π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x

2 + 36x + 78 και το υπόλοιπο υ = Ρ(2) = 143

15 Τι καλείται ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου

Ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου ονομάζεται η μορφή εκείνη του πολυωνύμου στην

οποία οι φθίνουσες δυνάμεις του χ που λείπουν από ένα πολυώνυμο συμπληρώνονται

με μηδέν συντελεστή

Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0

16 Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση

Το σχήμα Horner με διαιρετέο το 4x2 - 8αx + 4α

2 και διαιρέτη το x - α δίνει

4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0

17 Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος να αποδειχθεί η ταυτότητα

(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση

Το σχήμα Horner με διαιρετέο το xν - α

ν και διαιρέτη το x - α δίνει

1 0 0 helliphellip 0 -αν ρ = α

α α2 helliphellip α

ν-1 α

ν

1 α α2 helliphellip α

ν-1 0


Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης (xν - α

ν) (x - α) είναι μηδέν ενώ το πηλίκο

είναι το πολυώνυμο

π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1

Τέλος από την ταυτότητα της διαίρεσης προκύπτει ότι xν - α

ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

18 Να εξεταστεί για ποιες τιμές του φυσικού αριθμού ν το x + α είναι

παράγοντας του xν + α

ν α ne 0 Γι αυτές τις τιμές του ν το x

ν + α

ν να γίνει

γινόμενο της μορφής (x + α)π(x)

Λύση

Αν θέσουμε P(x) = xν + α

ν τότε P(-α) = (-α)

ν + α

ν Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

Αν ν άρτιος τότε P(-α) = αν + α

ν = 2α

ν ne 0 που σημαίνει ότι το -α δεν είναι ρίζα

του Ρ(x) Επομένως το x + α δεν είναι παράγοντας του xν + α

ν

Αν ν περιττός τότε P(-α) = -αν + α

ν = 0 που σημαίνει ότι το -α είναι ρίζα του Ρ(x)

Επομένως το x + α είναι παράγοντας του xν + α

ν

Στη συνέχεια με το σχήμα Horner για ν περιττό βρίσκουμε την ταυτότητα

xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας

1i) Να κάνετε τη διαίρεση (3 2

3x 6x 17x 20 ) ( x 3 ) και να γράψετε την

ταυτότητα της διαίρεσης

Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44

H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 3 2

3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44

1ii) Να κάνετε τη διαίρεση (4

x 81 ) ( x 3 ) και να γράψετε την ταυτότητα

της διαίρεσης

Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0

H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 4

x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )

1iii) Να κάνετε τη διαίρεση (5 3 2

24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να

γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης

Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3


H ταυτότητα της διαίρεσης είναι 5 3 2

24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3

1iv) Να κάνετε τη διαίρεση (4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 ) (2

x 2x 3 ) και να


Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1

H ταυτότητα είναι 4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1

1v) Να κάνετε τη διαίρεση 4

x 3

x 1 και να γράψετε την ταυτότητα της

διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3

1vi) Να κάνετε τη διαίρεση (5

x 7 ) (3

x 1 ) και να γράψετε την ταυτότητα


Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7

2Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (80 50 20

18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14


2 Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του

g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση

Πρέπει και αρκεί g(1) = 0 2 4 2

k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4

4i) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο

της διαίρεσης (3

x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση

ndash1 0 75 ndash250 ndash10

10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0

4ii) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο


x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8

ndash 8 64 ndash 512

1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0

4iii) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο


x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2

x x x x 1 και υ = 2

4iv) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο

της διαίρεσης 4

3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2

ndash6 ndash12 ndash24 ndash 48

ndash3 ndash6 ndash12 ndash24 ndash 48

Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48

4v) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο

της διαίρεσης (3 2

4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση

4 16 ndash23 ndash15 1

2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2

2x 2x x 2409 να βρείτε το Ρ(ndash11)

Λύση

ndash2 ndash2 ndash1 2409 ndash11

22 ndash220 2431

ndash2 20 ndash221 4840

Άρα Ρ(-11) = 4840

6i) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x 3 είναι παράγοντας του

Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση

1 0 ndash25 0 144 ndash3

ndash3 9 48 ndash144

1 ndash3 ndash16 48 0

υ = 0 άρα το x 3 είναι παράγοντας του Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

6ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 1

x4

είναι παράγοντας του

Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση

16 ndash8 9 14 ndash 4 1

4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0

υ = 0 άρα το 1

x4

είναι παράγοντας του Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4

6iii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x 1 3 είναι παράγοντας του

Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0

υ = 0 άρα το x 1 3 είναι παράγοντας του Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

7 Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος να αποδείξετε ότι το x y είναι

παράγοντας του x y

Λύση

Θεωρούμε τα Ρ(x) = x y π(x) = x y = x ( y) ως πολυώνυμα του x

Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) π(x) είναι

υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y

αφού ν άρτιος Άρα υ = 0

Επομένως το x y είναι παράγοντας του x y

8 Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της

μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση

i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) ( x ) είναι

υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0

Επομένως το x δεν είναι παράγοντας του Ρ(x)

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x) ( x ) είναι

υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0

Επομένως το x δεν είναι παράγοντας του Q(x)


9Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος τότε το x 1 είναι παράγοντας του

x 1 Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης ( x 1

) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 helliphelliphelliphellip0 1 ndash1

ndash1 1 ndash1helliphelliphelliphellip 1 ndash1

1 ndash1 1 ndash1 helliphelliphelliphellip 1 0

υ = 0 το x 1 είναι παράγοντας του x 1

Το πηλίκο της διαίρεσης είναι 1 2 3

x x x x 1

Άρα η ταυτότητα της διαίρεσης ( x 1 ) ( x 1 ) είναι

x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0

10ii) Να κάνετε τη διαίρεση (3 2 2 3

x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας

1 Να αποδείξετε ότι αν το ν είναι παράγοντας του μ τότε και το x

είναι παράγοντας του x (μ ν θετικοί ακέραιοι)

Λύση

ν είναι παράγοντας του μ μ = kν όπου k θετικός ακέραιος Τότε

x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x

το x είναι παράγοντας του x

2 i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το

x α 0 είναι υ = Ρ(

)

ii) Να βρείτε τις συνθήκες για τις οποίες το πολυώνυμο 3

x διαιρείται

με το x

Λύση

i) Με την ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) (αx + β) έχουμε

Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ

ii) Έστω Ρ(x) = 3

x

Tο πολυώνυμο 3

x διαιρείται με το x

το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) ( x ) είναι 0 και λόγω του i)

Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β

3 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο

Ρ(x) = 4 3 2

2x 6x 5x 3x 2 διαιρείται με το ( x 1 )( x 2 ) και να βρείτε το

πηλίκο

Λύση

Σχήμα Horner για τη διαίρεση Ρ(x) ( x 1 )

2 ndash6 5 ndash3 2 1

2 ndash 4 1 ndash 2

2 ndash 4 1 ndash 2 0

Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2

2x 4x x 2 = π(x) Τότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x) (1) Σχήμα Horner για τη διαίρεση π(x) ( x 2 )

2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )

το Ρ(x) διαιρείται με το ( x 1 )( x 2 ) και το πηλίκο είναι 2

2x 1

4 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) = 2 2

x 1 x 2x 1

ν 0 έχει

παράγοντες όλους τους παράγοντες του 3 2

2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )

Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου 2

2x 3x 1 ndash1 και 1

2

Άρα οι ρίζες του 3 2

2x 3x x είναι 0 ndash1 1

2

και οι παράγοντές του είναι x x 1 1

x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1

= 1 ndash 0 ndash 0 ndash 1 = 0

το πολυώνυμο x - 0 = x είναι παράγοντας του Ρ(x)

Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0

το πολυώνυμο x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x)


Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0

το πολυώνυμο 1

x2

είναι παράγοντας του Ρ(x)

5 Να υπολογίσετε τους αβϵR για τους οποίους το Ρ(x) = 1

x x 1

έχει

παράγοντα το 2

x 1

Λύση

Το Ρ(x) για να έχει παράγοντα το 2

x 1 πρέπει να έχει παράγοντα

και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1

Θέτουμε 1 2x x x 1

= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)


x 1 πρέπει το π(x) να έχει παράγοντα

το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)


ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1 Ποιες εξισώσεις μάθαμε να λύνουμε σε προηγούμενες τάξεις Τι

καλούμαι πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν τι ρίζα της πολυωνυμικής

εξίσωσης και πως λύνεται αυτή

Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων

αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0

Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής

Ρ(x) = 0 όπου Ρ(x) πολυώνυμο οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις

Συγκεκριμένα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής

αvxν + αv-1x

ν-1 + hellip + α1x + α0 = 0 αv ne 0

Για παράδειγμα οι εξισώσεις 2x3 - 5x

2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι

πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου

P(x) = αvxν + αv-1x

ν-1 + hellip + α1x + α0 δηλαδή κάθε αριθμό ρ για τον οποίο ισχύει

Ρ(ρ) = 0

Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού έτσι και για τις

πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής

τους Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του

βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ Τέλος έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος

επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει Για

τους λόγους αυτούς για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου

από 2 θα περιοριστούμε στην γνωστή μας παραγοντοποίηση

Η επίλυση μια εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία

P1(x)middotP2(x)hellipPk(x) = 0 hArr (P1(x) = 0 ή P2(x) = 0 ή hellip Pk(x) = 0) Δηλαδή για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0 παραγοντοποιούμε το

Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου

βαθμού

2 Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα ακέραιων ριζών Ισχύει

το αντίστροφο του θεωρήματος

Έστω η πολυωνυμική εξίσωση αvxν + αv-1x

ν-1 + hellip + α1x + α0 = 0 με ακέραιους

συντελεστές Αν ο ακέραιος ρ ne 0 είναι ρίζα της εξίσωσης τότε ο ρ είναι

διαιρέτης του σταθερού όρου α0

Απόδειξη

Αν o ρ ne 0 είναι ρίζα της εξίσωσης τότε διαδοχικά έχουμε

αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0

hArr α0 = -αvρν - αv-1ρ

ν-1 - hellip - α1ρ


hArr α0 = ρ(-αvρν-1

- αv-1ρν-2

- hellip - α1)

Επειδή οι ρ α1 α2 hellip αν είναι ακέραιοι έπεται ότι και

-αvρν-1

- αv-1ρν-2

- hellip - α1 είναι ακέραιος

Tο αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει Με άλλα λόγια μπορεί ένας

ακέραιος ρ να είναι διαιρέτης του α0 χωρίς αυτός να είναι κατ ανάγκη και ρίζα

της εξίσωσης

3 Να λυθεί η εξίσωση x3 - 3x

2 + x + 2 = 0

Λύση

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες plusmn1 plusmn2 του σταθερού όρου

Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το

πολυώνυμο P(x) = x3 - 3x

2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0

Άρα το 1 δεν είναι

ρίζα του Ρ(x)

1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0

Άρα το -1 δεν είναι


1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0

Άρα το 2 είναι ρίζα του Ρ(x)

Επομένως το x - 2 είναι παράγοντας του Ρ(x)

Συγκεκριμένα από το τελευταίο σχήμα έχουμε

P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)

οπότε η εξίσωση γράφεται (x - 2)(x2 - x - 1) = 0 και έχει ρίζες τους αριθμούς 2

και


4 Να λυθεί η εξίσωση x4 + 5x

3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση

Οι διαιρέτες του 4 είναι οι plusmn1 plusmn2 plusmn4 Επειδή όλοι οι συντελεστές της

εξίσωσης είναι θετικοί οι διαιρέτες 1 2 και 4 αποκλείεται να είναι ρίζες της

Επομένως οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι -1 -2 και -4

βρίσκουμε Ρ(-1) = 1 ne 0 ενώ για ρ = -2 έχουμε

1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)

P(-2) = 0 Άρα το -2 είναι ρίζα του P(x)

1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0

Q(-2) = 0 Άρα το -2 είναι ρίζα του Q(x)

Επομένως είναι x3 + 3x

2 + 3x + 2 = (x + 2)(x

2 + x + 1) και η αρχική εξίσωση γράφεται

(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0

Η τελευταία έχει μια μόνο διπλή ρίζα τον αριθμό -2

5 Πως βρίσκουμε το πρόσημο ενός γινομένου πρωτοβάθμιων και

δευτεροβάθμιων πολυωνύμων

Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) bull B(x) bullbullΦ(x) ως προς

το πρόσημό του όπου οι παράγοντες A(x)B(x) Φ(x) είναι της μορφής αx + β

(πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx2 + βx + γ (τριώνυμα) Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε

παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x)

6 Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x isin R το πρόσημο του γινομένου

P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής

Επειδή

x ‒ 1 ge 0 hArr x ge 1

το x ‒ 1 είναι θετικό για x gt1 μηδέν για x =1 και αρνητικό για x lt1

Επειδή x2 + x ‒ 6 ge 0 hArr (x + 3) (x ‒ 2) ge 0 hArr x le minus3 ή x ge 2

το x2 + x ‒ 6 είναι θετικό για x lt minus3 και για x gt 2 μηδέν για x = minus3 και για x = 2 και

αρνητικό για minus3 lt x lt 2

Επειδή 2x2 + x + 1 έχει διακρίνουσα ∆ = 1minus 8 = minus 7 lt 0 το τριώνυμο αυτό είναι

θετικό για κάθε x isinR

Ο προσδιορισμός τώρα του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια

του παρακάτω πίνακα εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων

Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για minus3 lt x lt 1 και για x gt 2 ενώ είναι αρνητικό

για x lt minus3 και για 1lt x lt 2 Τέλος είναι μηδέν για x = minus3 για x =1 και για x = 2

ΣΧΟΛΙΟ Οι ανισώσεις της μορφής A(x) bull B(x) bull bull Φ(x) gt 0 (lt0) λύνονται

ακριβώς με τον ίδιο τρόπο

Για παράδειγμα η ανίσωση

(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)

Προκειμένου να λύσουμε την ανίσωση αυτή αρκεί να βρούμε τις τιμές του x isin R για

τις οποίες το γινόμενοP(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1) είναι αρνητικό

Από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα προσήμου του P(x)

διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν x ( minusinfin minus3) cup (12)

7 Να λυθεί η ανίσωση x3 - 3x

2 + x + 2 gt 0

Λύση

Αν εργαστούμε όπως στο ερώτηση 3 η ανίσωση γράφεται

(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0

Τοποθετούμε τις ρίζες του P(x) = x3 - 3x

2 + x + 2 σε άξονα και παρατηρούμε ότι

Στο 1ο από δεξιά διάστημα (2 +infin) το Ρ(x) είναι θετικό αφού όλοι οι παράγοντες

είναι θετικοί Στο επόμενο διάστημα (

2) το Ρ(x) είναι αρνητικό αφού ένας μόνο

παράγοντας ο x - 2 είναι αρνητικός Αν συνεχίσουμε έτσι βρίσκουμε το πρόσημο

του Ρ(x) σε όλα τα διαστήματα όπως φαίνεται στο σχήμα

Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι τα x isin R με

lt x lt

ή x gt 2


8 Ποιο θεώρημα προσδιορίζει προσεγγιστικά τις ρίζες μιας εξίσωσης

Δώστε γεωμετρική ερμηνεία

Όταν ο ακριβής προσδιορισμός των ριζών μιας εξίσωσης είναι δύσκολος ή αδύνατος

τότε χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι για να προσδιοριστούν με προσέγγιση οι

ρίζες αυτές

Μια τέτοια προσεγγιστική μέθοδος στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω η συνάρτηση f(x) = αvxν + αv-1 x


Αν για δυο πραγματικούς αριθμούς α β με α lt β οι τιμές f(α) f(β) της συνάρτησης

είναι ετερόσημες τότε υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 μεταξύ

των α β

Το παραπάνω θεώρημα ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής

Αν η γραφική παράσταση της f περνάει από δυο σημεία Α (α f(α)) και Β(βf(β)) που

βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα xprimex τότε αυτή τέμνει τον άξονα σε ένα

τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β

9 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x3 - 3x + l = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα

μεταξύ των αριθμών 1 και 2 Στη συνέχεια να βρεθεί μια ρίζα με

προσέγγιση δεκάτου

Λύση

Έστω η συνάρτηση f(x) = x3 - 3x + l

1o βήμα Έχουμε

2ο βήμα Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης στα ενδιάμεσα σημεία 11 12 hellip

19 και παρατηρούμε ότι

Επομένως υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (15 16)

3ο βήμα Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία στο διάστημα (15 16)

και έχουμε

Επομένως υπάρχει μια ρίζα ρ στο διάστημα (153 154) δηλαδή ισχύει 153 lt ρ lt

154 Άρα με προσέγγιση δεκάτου είναι ρ = 15



A΄ Ομάδας

1i) Να λύσετε την εξίσωση 4 2

5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5

1ii)Να λύσετε την εξίσωση 3 2

x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3

1iii) Να λύσετε την εξίσωση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3

1iv) Να λύσετε την εξίσωση 6

x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2

1v) Να λύσετε την εξίσωση 3 2

x x 2 0


Λύση

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 2

1 ndash 1 2 ndash 2

Σχήμα Horner με ρ = 1

1 1 0 ndash2 1 Άρα το 1 είναι ρίζα και

το 2

x 2x 2 είναι το πηλίκο

1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0

1 2 2 0 Επομένως δεν έχουμε άλλες ρίζες

1vi) Να λύσετε την εξίσωση 3

x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3

1vii) Να λύσετε την εξίσωση 3

(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0

1viii) Να λύσετε την εξίσωση 2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22


1ix) Να λύσετε την εξίσωση 3

x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση

Βρίσκουμε χωριστά 3

x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται

( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2

x 2x 4 )ndash 7( x 2 )( x 3 ) ndash 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2

x 2x 4 ndash 7 x ndash 21 ndash 9 x + 18) = 0

( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80

1x) Να λύσετε την εξίσωση 4 3

x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2

2i) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 3 2

x 3x x 2 0

Λύση

Έστω Ρ(x) = 3 2

x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2

1 3 1 1 2 = ndash 1 ndash 3 ndash 1 + 2 = ndash 3 0

Ρ(2) = 3 2

2 32 2 2 = 8 ndash 12 + 4 = 0 ο αριθμός 2 είναι ρίζα του

πολυωνύμου Ρ(x) άρα και


Ρ(ndash2) = 3 2

2 3 2 2 2 = ndash 8 ndash 12 ndash 2 + 2 = - 20 0


2ii) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 3 2

3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4


1 ndash 1 2 ndash 2 4 ndash 4

Ρ(1) =3 2

31 81 151 4 = 3 + 8 ndash 15 + 4 = 0 ο αριθμός 1 είναι ρίζα του



Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0

ο αριθμός ndash 4 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) άρα και της εξίσωσης

2iii) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 3

x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12

Σχήμα Horner για ρ = ndash 2

1 0 ndash10 ndash12 ndash2

ndash2 4 12

1 ndash2 ndash6 0 Ο αριθμός ndash2 είναι ρίζα και το πηλίκο

είναι 2

x 2x 6

Λύνουμε την εξίσωση 2

x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2

Άρα η μοναδική ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι ο ndash2

2iv) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 3 2

x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6

Οι θετικοί διαιρέτες δε μπορούν να είναι ρίζες αφού καθιστούν το πρώτο μέλος της

εξίσωσης θετικό

Σχήμα Horner για ρ = ndash1

1 2 7 6 ndash1

ndash1 ndash1 ndash6

1 1 6 0 Ο αριθμός ndash1 είναι ρίζα και το πηλίκο


είναι 2

x x 6

Δ = 1 ndash 24 = ndash23 lt 0

Άρα δεν έχουμε άλλες ρίζες

3i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4

x 3x 2 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες

Λύση

Αν η εξίσωση είχε ακέραια ρίζα αυτή η ρίζα θα ήταν διαιρέτης του σταθερού όρου

2 δηλαδή θα ήταν 1 ή 2

Ελέγχουμε αν επαληθεύουν την εξίσωση 4

1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4

( 1) 3( 1) 2 = 1 ndash 3 ndash 2 = ndash 4 0

42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0

Άρα η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες

3ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2

2x 3x 6x 24x 5 = 0 δεν έχει

ακέραιες ρίζες

Λύση



Ελέγχουμε ποιος επαληθεύει την εξίσωση 4 3 2

21 31 61 241 5 = 2 ndash 3 + 6 ndash 24 + 5 = ndash14 0 4 3 2

2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0


4i) Να λύσετε την ανίσωση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)

x +2 gt 0 x gt ndash2

4ii) Να λύσετε την ανίσωση 4 3 2

x 6x 22x 30x 13 0

Λύση

Το 1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου


1 ndash5 17 ndash13

1 ndash5 17 ndash13 0


Η ανίσωση γράφεται ( x ndash1)(3 2

x 5x 17x 13 ) 0

Το 1 είναι προφανής ρίζα του πηλίκου


1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0

Η ανίσωση γράφεται ( x ndash 1)( x ndash 1)(2

x 4x 13 ) 0

Το τριώνυμο 2

x 4x 13 έχει Δ = 16 ndash 52 = ndash36 lt 0 άρα είναι ομόσημο του

α = 1 δηλαδή θετικό για κάθε x

Επομένως η ανίσωση γράφεται 2

x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1

4iii) Να λύσετε την ανίσωση 3

x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0

Η ανίσωση γράφεται ( x ndash 1)(2

x x 2 ) lt 0


x x 2 έχει Δ = 1 + 8 = 9 και ρίζες ndash2 1

Επομένως η ανίσωση γράφεται ( x ndash 1) ( x ndash 1) ( x + 2) lt 0

2

x 1 ( x ndash 2) lt 0

Για x = 1 η ανίσωση δεν επαληθεύεται

Για x 1 είναι 2

x 1 gt 0 άρα η ανίσωση γίνεται x + 2 lt 0 x lt ndash2

4iv) Να λύσετε την ανίσωση 4 3 2

x x x 3x 6 0

Λύση

Το ndash1 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου

1 ndash1 1 ndash3 ndash6 ndash1

ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0

Η ανίσωση γράφεται ( x + 1)(3 2

x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0

και επειδή 2

x +3 gt 0 θα έχουμε ( x + 1)( x ndash 2) 0


Τριώνυμο με ρίζες ndash1 2 ομόσημο του α = 1 άρα ο x εκτός των ριζών

δηλαδή x ndash1 ή x 2

5i) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x x και της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f( x ) = 3 2

3x 3x 5x 2

Λύση

Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι f( x ) = 0 δηλαδή

αναζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης 3 2

3x 3x 5x 2 = 0

Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 2 δηλαδή 1 2

3 ndash3 ndash5 ndash2 2

6 6 2

3 3 1 0

Η εξίσωση γίνεται ( x ndash 2)(2

3x 3x 1 ) = 0

Το τριώνυμο έχει Δ = 9 ndash 12 = ndash13 lt 0 άρα δεν έχει ρίζες

Η εξίσωση γίνεται x ndash 2 = 0 x = 2

Άρα ο άξονας x x και η γραφική παράσταση της f τέμνονται στο σημείο (2 0)

5ii) Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x x και της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης g( x ) = 3

4x 3x 1

Λύση

Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι g( x ) = 0 δηλαδή

αναζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης 3

4x 3x 1 = 0

Προφανής ρίζα ο 1

4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0

x = 1 ή 2 x = ndash1

x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα

Άρα ο άξονας x x και η γραφική παράσταση της g τέμνονται στο σημείο (1 0)

και εφάπτονται στο 1

02


6 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

πολυωνυμικής συνάρτησης f( x ) = 4 3 2

x 5x 3x x βρίσκεται κάτω από τον

άξονα x x

Λύση

Αναζητάμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι f( x ) lt 0 δηλαδή

4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1

1 ndash 4 ndash1 0 Η ανίσωση γράφεται x ( x ndash 1)(2

x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20

Ρίζες του τριωνύμου 4 20

x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5

Η ανίσωση γράφεται x ( x ndash 1)[ x ndash ( 2 5 )][ x ndash ( 2 5 )] lt 0

x 2 5 0 1 2 5

f(x) + ndash + ndash +

Άρα τα ζητούμενα διαστήματα είναι ( 2 5 0) (1 2 5 )


x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y

Η δοσμένη εξίσωση γίνεται 2

y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4

x = ndash1 που είναι αδύνατη

7ii) Να λύσετε την εξίσωση 6

x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2


7iii) Να λύσετε την εξίσωση 6

2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση

Περιορισμός x 1 0 x 1

Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3

2 2x = ndash 3x ndash 3 5x = ndash 3 x =

3

5

8 Να βρεθεί μια ρίζα της εξίσωσης 3

x 5x 3 = 0 στο διάστημα (0 1) με


Λύση

Θέτουμε f(x) = 3

x 5x 3

Βρίσκουμε τις τιμές f ( 01 ) f ( 02 ) ( 09 )

Διαπιστώνουμε ότι οι τιμές f ( 05 ) f ( 06 ) είναι ετερόσημες

Άρα η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (05 06)




Επομένως η ζητούμενη ρίζα είναι ο αριθμός 060


Β΄ Oμάδας

1i) Να λύσετε την εξίσωση 3 21 1 1 4

x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1 2 4 8

1 5 2 ndash8 1

1 6 8

1 6 8 0 Η εξίσωση γράφεται ( x ndash 1)(2

x 6x 8 ) = 0

Δ = 36 ndash 32 = 4 Ρίζες του τριωνύμου 6 4

2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4

Ρίζες της εξίσωσης 1 ndash 2 ndash 4

1ii) Να λύσετε την εξίσωση 3 25 22 5

x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1 3 5 15 διαιρέτες του 15

6 ndash5 ndash 44 15 3

18 39 ndash15

6 13 ndash5 0 Η εξίσωση γράφεται ( x ndash 3)(2

6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2

Ρίζες της εξίσωσης 3 1

3

5

2

2 Να βρείτε για ποιες τιμές των α βϵR το Ρ(x) = 4 3 2

x x x 16x 12 έχει

παράγοντες τους x + 1 και x ndash 2 Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση

Ρ(x) = 0

Λύση

x + 1 παράγοντας του Ρ(x) Ρ(ndash1) = 0

4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)


x ndash 2 παράγοντας του Ρ(x) Ρ(2) = 0

4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)

Λύνουμε το σύστημα των (1) (2) και βρίσκουμε α = 4 και β = ndash1

Για αυτές τις τιμές των α β έχουμε Ρ(x) = 4 3 2

x 4x x 16x 12

1 4 ndash1 ndash16 ndash12 ndash1

ndash1 ndash3 4 12

1 3 ndash4 ndash12 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)(3 2

x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )

Ρίζες του τριωνύμου ndash2 ndash3

Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 είναι ndash1 2 ndash2 ndash3

3 Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες η εξίσωση 3 2

x x kx 3 = 0 έχει

μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα

Λύση

Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι 1 3 διαιρέτες του 3

α) Όταν x = 1 τότε 3 2

1 1 k1 3 = 0 k = ndash3

β) Όταν x = ndash1 τότε 3 2

( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0

ndash1 ndash 1 ndash k + 3 = 0 k = 1

γ) Όταν x = 3 τότε 3 2

3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0

3k = ndash 21 k = ndash7

δ) Όταν x = ndash3 τότε 3 2

( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0

ndash27 ndash 9 ndash 3k + 3 = 0

ndash 3k = ndash33 k = ndash11

4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 x 2 = 0 νϵN 2 λϵN δεν

έχει ακέραιες ρίζες


Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο

β) Όταν x = ndash1 τότε ( 1) 2 ( 1) 2

= 0

1 ) αν ν άρτιος τότε 1 ndash 2λ ndash 2 = 0 2λ = ndash1 λ = ndash

1

2 άτοπο

2

) αν ν περιττός τότε ndash 1 ndash 2λ ndash 2 = 0 2λ = ndash3 λ = ndash 3

2 άτοπο

γ) Όταν x = 2 τότε 2 2 2 2 = 0 4λ = 2 ndash 2

άτοπο αφού τα δύο

μέλη είναι ετερόσημα

δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)

δ1) αν ν άρτιος τότε 4λ = 2 ndash 2 άτοπο αφού τα δύο μέλη είναι ετερόσημα

δ2) αν ν περιττός τότε 4λ = 2 + 2 λ =

1

2 +

22

άτοπο αφού το

δεύτερο μέλος δεν είναι ακέραιος

5 Αν Ρ(x) = 6 4 2

x 5x 10x k να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το

x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) Για αυτές τις τιμές του k να λύσετε την

εξίσωση Ρ(x) = 0

Λύση

x 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) Ρ(1) = 0

6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14

Η εξίσωση Ρ(x) = 0 γίνεται 6 4 2

x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14

1 ndash 4 ndash14 0 Η εξίσωση γίνεται (y ndash 1)(2

y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72

Ρίζες του τριωνύμου 2

y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2

α) για y = 1 θα έχουμε 2

x 1 x = 1 ή x = ndash1

β) για y = 2 + 3 2 θα έχουμε 2

x = 2 + 3 2 x = 2 3 2

γ) y = 2 ndash 3 2 θα έχουμε 2

x = 2 ndash 3 2 άτοπο αφού 2 ndash 3 2 lt 0


x

x

6 Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί

από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις 5dm

και 9dm κόβουμε ίσα τετράγωνα από κάθε γωνία

του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του

Να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού αν είναι

γνωστό ότι αυτές εκφράζονται σε dm με ακέραιους

αριθμούς και ακόμη ότι ο όγκος του είναι 213

dm

Λύση

Οι διαστάσεις του κουτιού θα είναι 9 ndash 2x 5 ndash 2x x και ο όγκος του

(9 ndash 2x)( 5 ndash 2x) x = 21

3 2

4x 28x 45x 21 0

Οι πιθανές θετικές ακέραιες ρίζες και μικρότερες του 5 είναι οι διαιρέτες 1 και 3

του σταθερού όρου 21


4 ndash24 21

4 ndash24 21 0 Η εξίσωση γίνεται (x ndash 1)(2

4x 24x 21 ) = 0

Δ = 576 ndash 336 = 240 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο

Επομένως η εξίσωση δεν έχει άλλη ακέραια ρίζα εκτός του 1

Οι διαστάσεις του κουτιού είναι 1 9 ndash 21 = 7 5 ndash 21 = 3

7 Η συγκέντρωση μιας χημικής ουσίας στο αίμα t ώρες μετά από ενδομυϊκή

ένεση δίνεται από τον τύπο c = 2

3

3t t

t 50

Η συγκέντρωση είναι μέγιστη όταν

4 33t 2t 300t 200 = 0 Να υπολογίσετε με προσέγγιση δεκάτου το χρόνο t

καθώς και τη μέγιστη συγκέντρωση

Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2

3 (απορρίπτεται t 0 ) ή t = 3 100

Με δοκιμές μπορούμε να έχουμε 3

4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)

Επομένως ο χρόνος με προσέγγιση δεκάτου είναι t 46

Η μέγιστη συγκέντρωση είναι c =

23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1

8 Αν ο όγκος του διπλανού σχήματος είναι

363

m να βρείτε το x

Λύση

Θα έχουμε την εξίσωση

x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0

Με επαλήθευση ο 3 είναι προφανής ρίζα

1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0

Δ = 16 ndash 48 lt 0 άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες

Επομένως η εξίσωση γράφεται x ndash 3 = 0

x = 3

9 Ένα παγόβουνο σύρεται από την Ανταρκτική προς την Αφρική Αν ο όγκος

του V μετά από ν ημέρες δίνεται από τον τύπο

V = 2 3500

(2000 100 20 )3

να βρείτε μετά πόσο χρόνο το παγόβουνο θα λιώσει τελείως

Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0

20 ndash ν ν = 20 ημέρες

10 Σε χρόνο t δευτερολέπτων μετά την πρόσκρουση φορτηγού σε κιγκλίδωμα

του δρόμου η παραμόρφωση σε mm του κιγκλιδώματος δίνεται από τον τύπο

d = 15t(3

t 6t 9 ) Σε πόσο χρόνο μετά την πρόσκρουση η μπάρα του

κιγκλιδώματος θα επανέλθει στην αρχική της θέση

Λύση

Με την προϋπόθεση ότι η η παραμόρφωση αποκαθίσταται στον ίδιο χρόνο που

συνέβη θα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση d = 0

15t(3

t 6t 9 ) = 0 3

t 6t 9 = 0 Με επαλήθευση ο 3 είναι προφανής ρίζα

1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9

1 3 3 0 Η εξίσωση γράφεται ( t ndash 3)(2

t 3t 3 ) = 0


y

x

x

Δ = 9 ndash 12 = ndash3 lt 0 άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες

Επομένως η εξίσωση γράφεται t ndash 3 = 0

t = 3

11 Ένα πακέτο σχήματος (ορθογωνίου)

παραλληλεπιπέδου για να σταλεί με το ταχυδρομείο

πρέπει το άθροισμα του μήκους του με την περίμετρο

μιας κάθετης τομής του να μην υπερβαίνει τα 108 cm

Να βρεθούν οι διαστάσεις του πακέτου αν γνωρίζουμε

ότι ο όγκος του είναι 11664 3

cm

Λύση

Θα έχουμε την εξίσωση 2

x y = 11664 y = 2

11664

x

και την ανίσωση y + 4x 108

2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0

Με επαλήθευση βρίσκουμε ότι ο ndash9 είναι ρίζα του πολυωνύμου

1 ndash27 0 2916 ndash9

ndash9 324 ndash2916

1 ndash36 324 0

Η ανίσωση γράφεται ( x + 9)(2

x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18

Οι τιμές x ndash 9 δεν είναι δεκτές αφού x gt 0

Άρα οι διαστάσεις είναι 18 18 και y = 2

11664

x =

2

11664

18 = 36

12 i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α(1 2)

και Β1 1

2 2

ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία αυτή τέμνει την καμπύλη y = 3 2

x x για τα x

που είναι ρίζες της εξίσωσης 3 2

x x 5x 3 = 0

iii) Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής

τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση

i) Έστω ε y x η ευθεία ΑΒ

2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β

ndash1 = 2 ndash β + 2β β = ndash3

λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3

ii) Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων των δύο γραμμών είναι οι λύσεις του

συστήματος των εξισώσεών τους y 5x 3 και y = 3 2

x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3

Παρατηρούμε ότι ο 1 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης άρα το κοινό σημείο των δύο

γραμμών με τετμημένη 1 είναι σημείο επαφής

Το σημείο τομής τους έχει τετμημένη ndash3 και τεταγμένη y = 5( ndash3) ndash 3 = ndash18

Άρα Γ(ndash3 ndash18)

13 Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει μικρά δοχεία για

χυμούς φρούτων Το τμήμα σχεδιασμού του εργοστασίου

έλαβε τρεις παραγγελίες

α) Ο πρώτος πελάτης θέλει κουτιά που να χωρούν

200ml και με διαστάσεις που να διαφέρουν κατά

1cm Να αποδειχθεί ότι το τμήμα έχει να λύσει την

εξίσωση 3 2

x 3x 2x 200 = 0 Μπορείτε να τους

βοηθήσετε να βρουν το x με προσέγγιση ενός mm

β) Ο δεύτερος πελάτης θέλει τενεκεδάκια κυλινδρικά που

να χωρούν 1lit και να έχουν ύψος 10cm μεγαλύτερο από

το μήκος της ακτίνας τους Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

αυτή τη φορά είναι 3 2

r 10r 318 = 0 και να βρεθεί το

r με με προσέγγιση ενός mm

γ) Ο τρίτος πελάτης ζήτησε κουτιά σε σχήμα

τετραγωνικής πυραμίδας που να χωρούν 250ml

με πλευρά βάσης 5cm μεγαλύτερη από το ύψος

Να βρεθεί η εξίσωση και στη συνέχεια μια κατά

προσέγγιση τιμή του ύψους h (προσέγγιση χιλιοστού)


Λύση

α) Θα έχουμε την εξίσωση x ( x +1)( x +2) = 200

3 2

x 3x 2x 200 = 0

Θέτουμε f(x) = 3 2

x 3x 2x 200

Οι τιμές f(4) = ndash 80 f(5) = 10 είναι ετερόσημες

άρα υπάρχει ρίζα x με 4 lt x lt 5





Άρα x 49 cm = 49 mm

β) Θα έχουμε την εξίσωση π2

r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0

Θέτουμε g(r) = 3 2

r 10r ndash 318

Οι τιμές g(4) = ndash94 g(5) = 57 είναι ετερόσημες

άρα υπάρχει ρίζα r με 4 lt r lt 5





Άρα r = 47 cm = 47 mm

γ) Θα έχουμε την εξίσωση 21

h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0

Θέτουμε q(h) = 3 2

h 10h 25h 750

Οι τιμές q(6) = ndash24 q(7) = 258 είναι ετερόσημες

άρα υπάρχει ρίζα h με 6 lt h lt 7





Άρα h = 61cm = 61mm


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Υπάρχουν εξισώσεις οι οποίες δεν είναι πολυωνυμικές αλλά με κατάλληλη

διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών

1 Να λυθεί η εξίσωση x2 +

-

= 0

Λύση

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x isin R με x ne 0 και x ne 12 Με αυτούς τους

περιορισμούς έχουμε

x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0

Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς 12 και -1 Λόγω των περιορισμών

δεκτή είναι μόνο η x = -1

2 Να λυθεί η εξίσωση = x - 2

Λύση

Η εξίσωση ορίζεται για x ge 0

Αν υψώσουμε και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο προκύπτει η εξίσωση

x = x2 - 4x + 4

η οποία γράφεται x2 - 5x + 4 = 0 και έχει ως ρίζες τις x1 = 4 και x2 = 1

Οι τιμές αυτές του x αν και ικανοποιούν τον περιορισμό x ge 0 δεν είναι και οι δύο

ρίζες της αρχικής εξίσωσης

Πράγματι αν θέσουμε τις τιμές αυτές στην αρχική εξίσωση παίρνουμε

Για x = 4 radic4 = 4 - 2 που είναι αληθής ισότητα

Για x = 1 radic1 = 1 - 2 που δεν είναι αληθής ισότητα

Άρα η αρχική εξίσωση έχει ως μοναδική ρίζα την x = 4

ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω παράδειγμα προκύπτει ότι αν υψώσουμε τα μέλη

μιας εξίσωσης στο τετράγωνο τότε η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να έχει και

άλλες ρίζες εκτός από τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης Είναι λοιπόν απαραίτητο

σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε επαλήθευση των ριζών που βρίσκουμε και να

απορρίπτουμε όσες από αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική εξίσωση

3 Να λυθεί η εξίσωση - x = 2

Λύση

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε x isin R με x ge - 72 Γι αυτά τα x διαδοχικά έχουμε

(απομονώνουμε το ριζικό)

= x + 2

(υψώνουμε στο τετράγωνο)

( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0

Η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους αριθμούς -3 και 1 Από τις ρίζες αυτές

διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = l είναι ρίζα της αρχικής


4 Να λυθεί η εξίσωση - = 1

Λύση

Η εξίσωση ορίζεται για τα x isin R για τα οποία ισχύουν 2x + 6 ge 0 και x + 4 ge 0

δηλαδή για τα x ge -3 Γι αυτά τα x διαδοχικά έχουμε


= 1 + (υψώνουμε στο τετράγωνο)

( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4

x + 1 = 2 (υψώνουμε στο τετράγωνο)

(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0


διαπιστώνουμε με επαλήθευση ότι μόνο η x = 5 είναι ρίζα της αρχικής

ΣΧΟΛΙΟ Εξισώσεις όπως αυτές των 2 3 και 4 όπου παραστάσεις του x

βρίσκονται κάτω από ριζικά ανήκουν σε μια κατηγορία εξισώσεων που

λέγονται ά ρ ρ η τ ε ς

Ανισώσεις της μορφής A(x)B(x) gt 0 (lt0)

Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα

Επομένως

αφού καμία από τις λύσεις της A(x) bull B(x) gt 0 και της A(x) bull B(x) lt 0 δεν

μηδενίζει το Β(x)

ΣΧΟΛΙΟ Μία ανίσωση της μορφής A(x) B(x) ge 0 αληθεύει για εκείνους τους

πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως

A(x) bull B(x) ge 0 και B(x) ne 0

5 Να λυθεί η ανίσωση (x2 ‒ 4x + 3) (x

2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση

Οι ρίζες του τριωνύμου x

2 ‒ 4x + 3 είναι οι 1 και 3 ενώ του

τριωνύμου x2 + 3x ‒ 4 είναι οι 1 και minus4

Περιορισμοί χne1 και χne-4

Συντάσσουμε τον πίνακα προσήμου του γινομένου

P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)


Άρα η ανίσωση αληθεύει όταν x ( minusinfin 4) cup[3+infin )



A΄ Ομάδας

1i) Να λύσετε την εξίσωση

2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2

x x = x ( x ndash 1)

ΕΚΠ = x ( x ndash 1) 0 x 0 και x ndash 1 0

x 0 και x 1 (περιορισμοί)

2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0

x = 0 (απορρίπτεται) ή 2

x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2

= 1 (απορρίπτεται ) ή ndash 3

1ii) Να λύσετε την εξίσωση

2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)

ΕΚΠ = ( x ndash 1)(x + 1) 0 x ndash 1 0 και x + 1 0

x 1 και x ndash 1 (περιορισμοί)

2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2

x (x+1) ndash 2 (x ndash 1) = 4

3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2

x ndash 2 x ndash 2 = 0

2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0

x = ndash 1 (απορρίπτεται) ή 2

x = 2

x 2 ή x 2


2 Να λύσετε την ανίσωση

2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση

ΕΚΠ = x (2x ndash 1) 0 x 0 και 2x ndash 1 0

x 0 και 2x 1

x 0 και x 1

2 (περιορισμοί)

2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)

Για το τριώνυμο 2

x x 1 Είναι Δ = 1 ndash 4 = ndash3 lt 0 άρα είναι ομόσημο του

α = 1 δηλαδή θετικό

Η (1) x(x + 1) 0 (2)

Το πρώτο μέλος της (2) είναι τριώνυμο με ρίζες ndash1 και 0

Η (2) x 1 ή 0 x και λόγω των περιορισμών

x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x

3 Να λύσετε την εξίσωση 23 2x x 2 x 2 0

Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0

2ημx(2x 1 ) ndash (

2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ + π ndash

6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6


4i) Να λύσετε την εξίσωση 3

x = ndash 4x

Λύση

Περιορισμοί 3

x 0 x 0 (1)

επειδή 3

x 0 από την εξίσωση θα είναι και - 4x 0 x 0 (2)

Από (1) και (2) έχουμε x = 0

4ii) Να λύσετε την εξίσωση 3x 2 = 4

Λύση

Περιορισμός 3x ndash 2 0 3x 2 x 2

3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6

4iii) Να λύσετε την εξίσωση 5x 1 4

Λύση

Η εξίσωση είναι αδύνατη αφού 5x 1 0 και - 4 lt 0 οπότε δεν υπάρχουν

τιμές του x για τις οποίες οι δύο ποσότητες να είναι ίσες

4iv) Να λύσετε την εξίσωση x 3 = x + 1

Λύση

Περιορισμοί x + 3 0 x ndash 3

επειδή x 3 0 από την εξίσωση θα είναι και x + 1 0 x ndash 1

x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0

x = ndash 2 (απορρίπτεται) ή x = 1

4v) Να λύσετε την εξίσωση x 3 = 10 x + 1

Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)

Περιορισμός x ndash 4 0 x 4

(1) 2

(x 4) 10 x 2

x 8x 16 = 10 ndash x

2

x 7x 6 = 0

x = 1 (απορρίπτεται) ή x = 6


4vi) Να λύσετε την εξίσωση x + x 20 = 10

Λύση

Περιορισμοί x 0

x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)

Περιορισμός επειδή x 20 0 από την εξίσωση (2) θα είναι και

10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36

4vii) Να λύσετε την εξίσωση x = x 8

2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)

Περιορισμός επειδή 6 x 0 από την εξίσωση θα είναι και

x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16

4viii) Να λύσετε την εξίσωση 1 2 x x 1

Λύση

Περιορισμός x + 1 0 x ndash 1

1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)

Περιορισμός επειδή 2 x 0 από την εξίσωση θα είναι και x 0

(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας

1i) Να λύσετε την ανίσωση 2x 3 1 3x

Λύση

Περιορισμοί 2x + 3 0 2x ndash3 x 2

3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)

Συναλήθευση των (1) (2) (3) 2

3 x lt

2

5

1ii) Να λύσετε την ανίσωση x 3 x ndash 5

Λύση

Περιορισμός x ndash 3 0 x 3 (1)

α) Όταν x ndash 5 lt 0 δηλαδή x lt 5 (2)

Τότε η δοσμένη ανίσωση επαληθεύεται για κάθε x που ικανοποιεί τις

(1) και (2) δηλαδή 3 x lt 5

αφού το πρώτο μέλος είναι 0 και το δεύτερο lt 0

β) Όταν x ndash 5 0 δηλαδή x 5 (3)

Τότε η δοσμένη ανίσωση x ndash 3 gt 2

x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0

Τριώνυμο με ρίζες 4 και 7 ετερόσημο του α = 1

άρα ο x είναι εντός των ριζών δηλαδή 4 lt x lt 7 (4)

Συναληθεύουμε τις (1) (3) και (4) οπότε 5 x lt 7

2i) Να λύσετε την εξίσωση x +3 x ndash 10 = 0

Λύση

Περιορισμός x 0

Θέτουμε x = y οπότε x = 2

y και y 0

Η εξίσωση γίνεται 2

y + 3y ndash 10 = 0 y = ndash5 (απορρίπτεται) ή y = 2

Άρα x = 2

2 = 4


2ii) Να λύσετε την εξίσωση 23 3x x ndash 6 = 0

Λύση


Θέτουμε 3 x = y οπότε 2 23 3x ( x) =

2y και y 0


y + y ndash 6 = 0 y = ndash 3 (απορρίπτεται) ή y = 2

Από την ισότητα 3 x = y έχουμε 3 x = 2 x = 8


x x 4 = 2

x x 2

Λύση

Περιορισμός 2

x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2

x x 2 = y 0 οπότε 2

x x 4 = y ndash 2

Η εξίσωση γίνεται y ndash 2 = y

Περιορισμός Επειδή y 0 θα είναι και y ndash 2 0 δηλαδή y 2

Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0

y = 1 (απορρίπτεται) ή y = 4

Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0


3ii) Να λύσετε την εξίσωση x 1 x 4 x 4

Λύση

Περιορισμοί x ndash 1 0 x 1

x ndash 4 0 x 4

x + 4 0 x ndash 4 Συναλήθευση x 4 (1)

2 2

( x 1 x 4) ( x 4) x ndash 1 + 2 x 1 x 4 + x ndash 4 = x + 4

2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)

Επειδή 2 x 1 x 4 0 θα είναι και 9 ndash x 0

x 9 (2)

Η εξίσωση (A) 2

(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)

4(x ndash 1)(x ndash 4) = 81 ndash 18x + 2

x

42

x ndash 16x ndash 4x + 16 = 81 ndash 18x + 2

x

32

x ndash 2x ndash 65 = 0

Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13

3 ( απορρίπτεται λόγω των (1) (2))


4i) Να λύσετε την εξίσωση x 1 = α

Λύση


Επειδή x 1 0 θα είναι και α 0

Η εξίσωση x ndash 1 = 2

x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2

4x 1 gt 0 θα είναι και 2x ndash λ gt 0 (1)

Η εξίσωση 42

x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)

α) Όταν λ = 0 η (2) γίνεται 0 = ndash 1 αδύνατη

β) Όταν λ 0 η (2) γίνεται x = 2

1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0

5Να λύσετε την εξίσωση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0

Θέτουμε ημx = y οπότε η εξίσωση γίνεται 4 3 2

2y 3y 3y 3y 1 0


Πιθανές ακέραιες ρίζες οι διαιρέτες 1 -1 του σταθερού όρου


2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0

Η εξίσωση γίνεται (y ndash 1)(3 2

2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0

y ndash 1 = 0 ή 2y ndash 1 = 0 y = 1 ή y = 1

2

α) για y = 1 έχουμε ημx = 1 x = 2κπ + 2

κϵΖ

β) για y = 1

2 έχουμε ημx =

1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ndash ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

1 Τι καλούμε μονώνυμο τι πολυώνυμο τι όροι τι συντελεστές τι

σταθερός όρος του πολυωνύμου τι σταθερό και τι μηδενικό

πολυώνυμο

Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή

Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αxν όπου α είναι ένας

πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος Μονώνυμο του x καλούμε επίσης

και κάθε πραγματικό αριθμό

Για παράδειγμα οι παραστάσεις 2x3 - 34 x

5 0x

4 2x και οι αριθμοί 2 -3 0 είναι

μονώνυμα του x

Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής ανxν + αν-1x

ν-1 + hellip +

α1x + α0όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0 α1 hellip αν είναι πραγματικοί

αριθμοί

Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x) Q(x) κτλ

Τα μονώνυμα ανxν αν-1x

ν-1 hellip α1x α0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι

αριθμοί αν αν-1 hellip α1 α0 συντελεστές αυτού

Ειδικότερα ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου

Τα πολυώνυμα της μορφής α0 δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί

λέγονται σταθερά πολυώνυμα

Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο

2 Πως ορίζεται η ισότητα δύο πολυωνύμων

Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής

Δυο πολυώνυμα αμxμ + hellip + α1x + α0 και βνx

ν + hellip + β1x + β0 με

μ ge ν

θα λέμε ότι είναι ίσα όταν α0 = β0 α1 = β1 hellip αν = βν και αν+1 = αν+2 = hellip

= αμ = 0



3 + 2x

2 - x + 1 και 2x



α = 0


























P(1) = -13 + 2middot1


3 + 2(-1)

2 + 4(-1) +















1 i) (x3 + 2x2 - 5x + 7) + (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2x2 - 5x + 7 + 4x3 - 5x2 + 3

= (1 + 4)x3 + (2 - 5)x2 - 5x + (7 + 3)


ii) (2x3 - x2 + 1) + (-2x3 + 2x - 3)

= 2x3 - x2 + 1 - 2x3 + 2x - 3


iii) (x3 - 3x2 - 1) + (-x3 + 3x2 + 1) =


2 (x3 + 2x2 - 5x + 7) - (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2 x2 - 5x + 7 - 4x3 + 5x2 - 3


3 (x2 + 5x)(2x3 + 3x - 1)

= x2(2x3 + 3x - 1) + 5x(2x3 + 3x - 1)

= 2x5 + 3x3 - x2 + 10x4 + 15x2 - 5x





ότι







P(x) = (λ2 - 1)x

3 + (λ

2 - 3λ + 2)x + λ - 1



Q(x) = λ2x

3 + (λ - 2)x

2 + 3 και R(x) = (5λ - 6)x

3 + (λ

2 - 4)x

2 + λ + 1

είναι ίσα


Λύση



λ2 - 1 = 0 λ

2 - 3λ + 2 = 0 και λ - 1 = 0





λ2 = 5λ - 6 λ - 2 = λ

2 - 4 και 3 = λ + 1



9 Αν P(x) = x2 + 3x + α



Λύση


hArr (-1)2 + 3(-1) + α

2 - 1 = 1

hArr α2 - 4 = 0




A΄ Oμάδας


i) 1 ndash 3

x ii) 3 2 2 3

3 x 3 x x

iii) 1

xx

iv)

1

4 3x 2x 4x 1

Λύση


x 3 2 2 3

3 x 3 x x


x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1



P x

Λύση

i) Ρ(x) + Q(x) = 2

x 5x 2 + 3

x 3x 1 = 3 2

x x 2x 3


x 5x 2 ) ndash 3(3

x 3x 1 )

= 2

2x 10x 4 ndash 33

x 9x 3

= 3 2


iii) Ρ(x) Q(x) = (2

x 5x 2 ) (3

x 3x 1 )

= 5 3 2 4 2 3

x 3x x 5x 15x 5x 2x 6x 2

= 5 4 3 2

x 5x 5x 14x x 2

iv) 2

P x = 2 2

(x 5x 2)

= 4 2 3 2

x 25x 4 10x 20x 4x

= 4 3 2

x 10x 29x 20x 4


Ρ(x) = 3 3 2 1

(4 )x 4( )x 2 14


Λύση

Πρέπει 3

4 = 0 και 2 1

4 = 0 και 2 1 = 0

3

4 = 0 2

(4 1) = 0

μ = 0 ή 2

4 1 = 0

μ = 0 ή 2 1

4

μ = 0 ή μ = 1

2 ή μ =

1

2 (1)

2 1

4 = 0

2 1

4 = 0


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)


μ = 1

2 (3)


2


Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3


Λύση

Πρέπει 2


και 0 = 3

1 και = 1


ζητούμενη



2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2







x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0


Q(1) = ndash1 + 1 = 0


Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0



Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση


3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6


5x 3 x 2



Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



3 + 2x

2 - x + 1 και 2x



α = 0


























P(1) = -13 + 2middot1


3 + 2(-1)

2 + 4(-1) +















1 i) (x3 + 2x2 - 5x + 7) + (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2x2 - 5x + 7 + 4x3 - 5x2 + 3

= (1 + 4)x3 + (2 - 5)x2 - 5x + (7 + 3)


ii) (2x3 - x2 + 1) + (-2x3 + 2x - 3)

= 2x3 - x2 + 1 - 2x3 + 2x - 3


iii) (x3 - 3x2 - 1) + (-x3 + 3x2 + 1) =


2 (x3 + 2x2 - 5x + 7) - (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2 x2 - 5x + 7 - 4x3 + 5x2 - 3


3 (x2 + 5x)(2x3 + 3x - 1)

= x2(2x3 + 3x - 1) + 5x(2x3 + 3x - 1)

= 2x5 + 3x3 - x2 + 10x4 + 15x2 - 5x





ότι







P(x) = (λ2 - 1)x

3 + (λ

2 - 3λ + 2)x + λ - 1



Q(x) = λ2x

3 + (λ - 2)x

2 + 3 και R(x) = (5λ - 6)x

3 + (λ

2 - 4)x

2 + λ + 1

είναι ίσα


Λύση



λ2 - 1 = 0 λ

2 - 3λ + 2 = 0 και λ - 1 = 0





λ2 = 5λ - 6 λ - 2 = λ

2 - 4 και 3 = λ + 1



9 Αν P(x) = x2 + 3x + α



Λύση


hArr (-1)2 + 3(-1) + α

2 - 1 = 1

hArr α2 - 4 = 0




A΄ Oμάδας


i) 1 ndash 3

x ii) 3 2 2 3

3 x 3 x x

iii) 1

xx

iv)

1

4 3x 2x 4x 1

Λύση


x 3 2 2 3

3 x 3 x x


x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1



P x

Λύση

i) Ρ(x) + Q(x) = 2

x 5x 2 + 3

x 3x 1 = 3 2

x x 2x 3


x 5x 2 ) ndash 3(3

x 3x 1 )

= 2

2x 10x 4 ndash 33

x 9x 3

= 3 2


iii) Ρ(x) Q(x) = (2

x 5x 2 ) (3

x 3x 1 )

= 5 3 2 4 2 3

x 3x x 5x 15x 5x 2x 6x 2

= 5 4 3 2

x 5x 5x 14x x 2

iv) 2

P x = 2 2

(x 5x 2)

= 4 2 3 2

x 25x 4 10x 20x 4x

= 4 3 2

x 10x 29x 20x 4


Ρ(x) = 3 3 2 1

(4 )x 4( )x 2 14


Λύση

Πρέπει 3

4 = 0 και 2 1

4 = 0 και 2 1 = 0

3

4 = 0 2

(4 1) = 0

μ = 0 ή 2

4 1 = 0

μ = 0 ή 2 1

4

μ = 0 ή μ = 1

2 ή μ =

1

2 (1)

2 1

4 = 0

2 1

4 = 0


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)


μ = 1

2 (3)


2


Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3


Λύση

Πρέπει 2


και 0 = 3

1 και = 1


ζητούμενη



2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2







x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0


Q(1) = ndash1 + 1 = 0


Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0



Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση


3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6


5x 3 x 2



Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR






1 i) (x3 + 2x2 - 5x + 7) + (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2x2 - 5x + 7 + 4x3 - 5x2 + 3

= (1 + 4)x3 + (2 - 5)x2 - 5x + (7 + 3)


ii) (2x3 - x2 + 1) + (-2x3 + 2x - 3)

= 2x3 - x2 + 1 - 2x3 + 2x - 3


iii) (x3 - 3x2 - 1) + (-x3 + 3x2 + 1) =


2 (x3 + 2x2 - 5x + 7) - (4x3 - 5x2 + 3)

= x3 + 2 x2 - 5x + 7 - 4x3 + 5x2 - 3


3 (x2 + 5x)(2x3 + 3x - 1)

= x2(2x3 + 3x - 1) + 5x(2x3 + 3x - 1)

= 2x5 + 3x3 - x2 + 10x4 + 15x2 - 5x





ότι







P(x) = (λ2 - 1)x

3 + (λ

2 - 3λ + 2)x + λ - 1



Q(x) = λ2x

3 + (λ - 2)x

2 + 3 και R(x) = (5λ - 6)x

3 + (λ

2 - 4)x

2 + λ + 1

είναι ίσα


Λύση



λ2 - 1 = 0 λ

2 - 3λ + 2 = 0 και λ - 1 = 0





λ2 = 5λ - 6 λ - 2 = λ

2 - 4 και 3 = λ + 1



9 Αν P(x) = x2 + 3x + α



Λύση


hArr (-1)2 + 3(-1) + α

2 - 1 = 1

hArr α2 - 4 = 0




A΄ Oμάδας


i) 1 ndash 3

x ii) 3 2 2 3

3 x 3 x x

iii) 1

xx

iv)

1

4 3x 2x 4x 1

Λύση


x 3 2 2 3

3 x 3 x x


x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1



P x

Λύση

i) Ρ(x) + Q(x) = 2

x 5x 2 + 3

x 3x 1 = 3 2

x x 2x 3


x 5x 2 ) ndash 3(3

x 3x 1 )

= 2

2x 10x 4 ndash 33

x 9x 3

= 3 2


iii) Ρ(x) Q(x) = (2

x 5x 2 ) (3

x 3x 1 )

= 5 3 2 4 2 3

x 3x x 5x 15x 5x 2x 6x 2

= 5 4 3 2

x 5x 5x 14x x 2

iv) 2

P x = 2 2

(x 5x 2)

= 4 2 3 2

x 25x 4 10x 20x 4x

= 4 3 2

x 10x 29x 20x 4


Ρ(x) = 3 3 2 1

(4 )x 4( )x 2 14


Λύση

Πρέπει 3

4 = 0 και 2 1

4 = 0 και 2 1 = 0

3

4 = 0 2

(4 1) = 0

μ = 0 ή 2

4 1 = 0

μ = 0 ή 2 1

4

μ = 0 ή μ = 1

2 ή μ =

1

2 (1)

2 1

4 = 0

2 1

4 = 0


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)


μ = 1

2 (3)


2


Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3


Λύση

Πρέπει 2


και 0 = 3

1 και = 1


ζητούμενη



2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2







x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0


Q(1) = ndash1 + 1 = 0


Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0



Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση


3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6


5x 3 x 2



Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση



λ2 - 1 = 0 λ

2 - 3λ + 2 = 0 και λ - 1 = 0





λ2 = 5λ - 6 λ - 2 = λ

2 - 4 και 3 = λ + 1



9 Αν P(x) = x2 + 3x + α



Λύση


hArr (-1)2 + 3(-1) + α

2 - 1 = 1

hArr α2 - 4 = 0




A΄ Oμάδας


i) 1 ndash 3

x ii) 3 2 2 3

3 x 3 x x

iii) 1

xx

iv)

1

4 3x 2x 4x 1

Λύση


x 3 2 2 3

3 x 3 x x


x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1



P x

Λύση

i) Ρ(x) + Q(x) = 2

x 5x 2 + 3

x 3x 1 = 3 2

x x 2x 3


x 5x 2 ) ndash 3(3

x 3x 1 )

= 2

2x 10x 4 ndash 33

x 9x 3

= 3 2


iii) Ρ(x) Q(x) = (2

x 5x 2 ) (3

x 3x 1 )

= 5 3 2 4 2 3

x 3x x 5x 15x 5x 2x 6x 2

= 5 4 3 2

x 5x 5x 14x x 2

iv) 2

P x = 2 2

(x 5x 2)

= 4 2 3 2

x 25x 4 10x 20x 4x

= 4 3 2

x 10x 29x 20x 4


Ρ(x) = 3 3 2 1

(4 )x 4( )x 2 14


Λύση

Πρέπει 3

4 = 0 και 2 1

4 = 0 και 2 1 = 0

3

4 = 0 2

(4 1) = 0

μ = 0 ή 2

4 1 = 0

μ = 0 ή 2 1

4

μ = 0 ή μ = 1

2 ή μ =

1

2 (1)

2 1

4 = 0

2 1

4 = 0


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)


μ = 1

2 (3)


2


Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3


Λύση

Πρέπει 2


και 0 = 3

1 και = 1


ζητούμενη



2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2







x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0


Q(1) = ndash1 + 1 = 0


Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0



Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση


3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6


5x 3 x 2



Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



A΄ Oμάδας


i) 1 ndash 3

x ii) 3 2 2 3

3 x 3 x x

iii) 1

xx

iv)

1

4 3x 2x 4x 1

Λύση


x 3 2 2 3

3 x 3 x x


x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1



P x

Λύση

i) Ρ(x) + Q(x) = 2

x 5x 2 + 3

x 3x 1 = 3 2

x x 2x 3


x 5x 2 ) ndash 3(3

x 3x 1 )

= 2

2x 10x 4 ndash 33

x 9x 3

= 3 2


iii) Ρ(x) Q(x) = (2

x 5x 2 ) (3

x 3x 1 )

= 5 3 2 4 2 3

x 3x x 5x 15x 5x 2x 6x 2

= 5 4 3 2

x 5x 5x 14x x 2

iv) 2

P x = 2 2

(x 5x 2)

= 4 2 3 2

x 25x 4 10x 20x 4x

= 4 3 2

x 10x 29x 20x 4


Ρ(x) = 3 3 2 1

(4 )x 4( )x 2 14


Λύση

Πρέπει 3

4 = 0 και 2 1

4 = 0 και 2 1 = 0

3

4 = 0 2

(4 1) = 0

μ = 0 ή 2

4 1 = 0

μ = 0 ή 2 1

4

μ = 0 ή μ = 1

2 ή μ =

1

2 (1)

2 1

4 = 0

2 1

4 = 0


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)


μ = 1

2 (3)


2


Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3


Λύση

Πρέπει 2


και 0 = 3

1 και = 1


ζητούμενη



2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2







x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0


Q(1) = ndash1 + 1 = 0


Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0



Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση


3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6


5x 3 x 2



Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


μ = 1

2 ή μ =

1

2 (2)


μ = 1

2 (3)


2


Ρ(x) = 2 3 2

( 3 )x x και Q(x) = 3 2 2 3


Λύση

Πρέπει 2


και 0 = 3

1 και = 1


ζητούμενη



2x 3x 2x 7 x = ndash1 x = 1

Λύση

P(ndash1) = 2 3 2







x 1 x = ndash1 x = 1 x = 3

Λύση

Q(-1) = 4

( 1) 1 = ndash1 + 1 = 0


Q(1) = ndash1 + 1 = 0


Q(3) = ndash4

3 + 1 = ndash 81 + 1 = ndash80 0



Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k

Λύση


3 2

2 k2 52 k = 0

8 ndash 4k + 10 + k = 0

ndash3k = ndash18

k = 6


5x 3 x 2



Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση

Ρ(ndash1) = 1 2 2

5 1 3 1 2 = 1

5 ndash 32

3 = 0

2

ndash 3 + 2 = 0

Δ = 9 ndash 8 = 1 = 3 1

2

=

3 1

2

= 2 ή 1


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Β΄ Oμάδας


f(x) = 2


Λύση

f(x) = x(x 1) x = 2

x x x = 2

x ( )x



3x 7x 5

3 και 7 και 5




P(x) = 3 2


Λύση


Ρ(ndash2) = 0 Ρ(3) = 0

3 2

3 2 2 2 6 = 0 3 2

33 3 3 6 = 0

3 8 4 2 6 = 0 81 + 9 + 3 ndash 6 = 0


4α ndash 2β = 30 3 α + β = ndash 25 (2)

2α ndash β = 15 (1)


3 25

2 15

3 2 15 25

2 15

5 10

2 15

2

2( 2) 15

2

4 15

2

19

2


P(x) = 3 2


Λύση


21 1 1 6 = 0

2 6 = 0

8 (1)



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



2( 2) ( 2) ( 2) 6 = ndash12

2( 8) 4 2 6 = ndash12





2 1

8

2 1

2 1 8

2 1

3 9

2 1

3

2 1

3

2( 3) 1

3

5


(9 4 )x (9 4)x 3 2


Λύση

α) Όταν 3

9 4 0 29 4 0

3 2 3 2 0



λ 0 και λ 2

3 και λ

2

3


β) Όταν 3

9 4 = 0 29 4 = 0

3 2 3 2 = 0

λ = 0 ή 3λ ndash 2 = 0 ή 3λ + 2 = 0

λ = 0 ή 3λ = 2 ή 3λ = ndash2

λ = 0 ή λ = 2

3 ή λ =

2

3


β2) Για λ = 2





3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



3 P(x) = 0x + 0x ndash 3

2

3

+ 2 = 2 + 2 = 4



2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

Λύση



2x 9x 3x 1



x x με 0

2x 1 P(x) = 3 2

2x 9x 3x 1

2x 1 (2

x x ) = 3 2

2x 9x 3x 1

3 22 x 2 x 2 x +

2x x =

3 22x 9x 3x 1

3 22 x (2 )x (2 )x =

3 22x 9x 3x 1




β = ndash5

Άρα P(x) = 2

x 5x 1















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR















Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)


του δ(x)











x3 - 5x




3




3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



3 - 3x









x3 - 5x

2 + 2x - 1 = (x - 3)middot(x

2 - 2x - 4) + (-13)




2 - 3x ndash 1) (2x

2 + x)




2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



2 - x ndash 1)(2x

2 ndash 1)





























2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR








2 - x + 2

Λύση


Επειδή P(-2) = (-2)3 + (-2)



Επειδή P(1) = 13 + 1






το μηδέν


4 + 3λx


το 1

Λύση



P(-λ) = 0

hArr (-λ)3 - 3(-λ)

2 + 3(-λ) - 1 = 0

hArr -λ3 - 3λ

2 - 3λ - 1 = 0

hArr λ3 + 3λ

2 + 3λ + 1 = 0

hArr (λ + 1)3 = 0

hArr λ = -1



Q(1) = 1

hArr λ21

4 + 3λ1

2 - 3 = 1

hArr λ2 + 3λ - 4 = 0

hArr λ = 1 ή λ = -4




Horner






3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR





3 -8 7 2 ρ

3ρ (3ρ - 8)ρ [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ

3 3ρ - 8 (3ρ - 8)ρ + 7 [(3ρ - 8)ρ + 7]ρ + 2





του Ρ(x)











P(x) = 3x5 + 3x

4 + 6x - 13 με το x - 2



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



3 3 0 0 6 -13 ρ = 2

6 18 36 72 156

3 9 18 36 78 143

]



π(x) = 3x4 + 9x

3 + 18x






Πχ 5χ5+3χ

3= 5χ

5+0χ

4+3χ

3+0χ

2+0χ+0


(4x2 - 8αx + 4α

2) (x - α)

Λύση



4 -8α 4α2 α

4α -4α2

4 -4α 0

Άρα π(x) = 4x - 4α και υ(x) = 0


(xν - α

ν) = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)

Λύση





ν-1 α

ν


ν-1 0





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR





π(x) = xν-1

+ αxν-2

+ α2x

v-3 + hellip + α

ν-1


ν = (x - α)π(x) + 0 ή

xν - α

ν = (x - α)(x

ν-1 + x

ν-2α + x

ν-3α

2 + hellip + α

ν-1)




ν + α

ν να γίνει


Λύση



ν + α



ν = 2α



ν




ν


xν + α

ν = (x + α)(x

ν-1 - x

ν-2α + x

ν-3α

2 - hellip + α

ν-1)



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



A΄ Oμάδας




Λύση 3 2

3x 6x 17x 20 x 3

3 23x 9x

23x 3x 8

2

3x 17x 20

2

3x 9x

8x 20

8x 24

44


3x 6x 17x 20 = ( x 3 )(2

3x 3x 8 ) + 44




Λύση

4

x 81 x 3

4 3

x 3x 3 2

x x 9x 27

3

3x 81

3 2

3x 9x

2

9x 81

2

9x 27x

27x 81

27x 81

0


x 81 = ( x 3 )(3 2

x x 9x 27 )


24x 20x 16x 15 ) (2

6x 5 ) και να


Λύση 5 3 2

24x +20x 16x 15 2

6x 5

5 324x 20x

3 84x

3

2

16x 15

2 40

16x +3

5

3



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



24x 20x 16x 15 = (2

6x 5 )(3 8

4x3

) 5

3


2x 4x 5x 3x 2 ) (2



Λύση

4 3 2

2x 4x 5x 3x 2 2

x 2x 3

4 3 2

2x 4x 6x 2

2x 1

2

x 3x 2

2

x 2x 3

x 1


2x 4x 5x 3x 2 = (2

x 2x 3 )(2

2x 1 ) + x 1


x 3


διαίρεσης

Λύση

Είναι 3

x 1 = 3 2

x 3x 3x 1

4

x 3 2

x 3x 3x 1

4 3 2x 3x 3x x x 3

3 2

3x 3x x

3 2

3x 9x 9x 3

2

6x 8x 3


x = (3 2

x 3x 3x 1 )( x 3 ) + 2

6x 8x 3

4

x = 3

x 1 ( x 3 ) + 2

6x 8x 3


x 7 ) (3



Λύση

5

x 7 3

x 1 5 2

x x 2

x

2

x 7


x 7 = (3

x 1 )2

x +2

x 7


18x 6x 4x 2 ) ( x 1 )

Λύση

Έστω Ρ(x) = 80 50 20

18x 6x 4x 2

υ = Ρ(ndash1) = 18 80

1 50 20

6 1 4 1 2 = 18 ndash 6 + 4 ndash 2 = 14



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



g(x) = 2 4 2

k x 3kx 4

Λύση


k 1 3k1 4 = 0

2

k 3k 4 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 k = 3 5

2

= 1 ή -4



x 75x 250 ) ( x 10 )

Λύση


10 ndash100 250

ndash1 10 ndash25 0

Άρα π(x) = 2

x 10x 25 και υ = 0



x 512 ) ( x 8 )

Λύση

1 0 0 512 ndash 8


1 ndash 8 64 0

Άρα π(x) = 2

x 8x 64 και υ = 0



x 1 ) ( x 1 )

Λύση

1 0 0 0 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

Άρα π(x) = 4 3 2




3x ( x 2 )


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση

ndash3 0 0 0 0 2



Άρα π(x) = 3 2

3x 6x 12x 24 και υ = - 48



4x 16x 23x 15 ) (1

x2

)

Λύση


2

ndash2 ndash7 15

4 14 ndash30 0

Άρα π(x) = 2

4x 14x 30 και υ = 0

5 Αν Ρ(x) = 3 2


Λύση


22 ndash220 2431


Άρα Ρ(-11) = 4840


Ρ(x) = 4 2

x 25x 144

Λύση





x 25x 144


x4


Ρ(x) = 4 3 2

16x 8x 9x 14x 4


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση


4

4 ndash1 2 4

16 ndash 4 8 16 0


x4


16x 8x 9x 14x 4


Ρ(x) = 3 2

x 3x 2

Λύση

Είναι x 1 3 = x (1 3)

1 ndash3 0 2 1 3

1 3 1 3 2

1 ndash2 + 3 1 3 0


x 3x 2



Λύση



υ = Ρ(-y ) = y y

Αλλά y y




μορφής x

i) Ρ(x) = 4 2

4x 7x 12 ii) Q(x) = 6 2

5x 3x 4

Λύση


υ = Ρ(ρ ) = 4 2

4 7 12 gt 0



υ = Q(ρ ) = 6 2

5 3 4 lt 0





) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR




) ( x 1 )

Λύση






x x x x 1


x 1 = ( x 1 )(

1 2 3x x x x 1 )


3x 2 x 8 ) ( x 2 )

Λύση

2 2

3x 2 x 8 x 2

23x 6 x 3x 4

2

4 x 8

2

4 x 8

0


x x x ) ( x )

Λύση

3 2 2 3

x x x x

3 2x x

2 2x

2 3x

2 3x

0


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Β΄ Oμάδας



Λύση


x =

k kx

=

k k

x

=

= ( x )

k 1 k 2 k 1

x x




)



με το x

Λύση


Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ (1)

Η (1) για x =

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)=

+ υ

Ρ(

)= 0

+ υ

Ρ(

) = υ


x




Ρ(

) = 0

3

= 0

3

3

= 0

3

2

= 0

3 2

= 0

2 2

( ) = 0


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


β = 0 ή 2 2

= 0

β = 0 ή 2 2

β = 0 ή α = β ή α = - β


Ρ(x) = 4 3 2


πηλίκο

Λύση



2 ndash 4 1 ndash 2


Οπότε Ρ(x) = ( x 1 )(3 2

2x 4x x 2 )

Θέτουμε 3 2


2 ndash4 1 ndash2 2

4 0 2

2 0 1 0

Οπότε π(x) = ( x 2 )(2

2x 1 )

(1) Ρ(x) = ( x 1 )( x 2 )(2

2x 1 )


2x 1


x 1 x 2x 1

ν 0 έχει


2x 3x x

Λύση

Είναι 3 2

2x 3x x = x (2

2x 3x 1 )



2



2


x2

Ρ(0) = 2 2

0 1 0 20 1



Ρ(ndash1) = 2 2

1 1 ( 1) 2( 1) 1

= 0 ndash 1 + 2 ndash 1 = 0



Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Ρ(1

2 ) =

2

21 1 1( ) 1 ( ) 2( ) 1

2 2 2

=

2 21 1

1 12 2

= 0


x2



x x 1

έχει


x 1

Λύση



και το x 1 Ρ(1) = 0

1

1 1 1

= 0

1 = 0 ( 1) (1) Τότε

Ρ(x) = 1

x ( 1)x 1

= 1

x x x 1

= x (x 1) (x 1)

= 1 2

x (x 1) (x 1)(x x 1)

= 1 2(x 1) x x x 1


= π(x) Οπότε Ρ(x) = ( x 1 ) π(x)



το x 1 π(1) = 0 1 21 1 1 1

= 0

(1 1 1) = 0

= 0

Η (1) ( 1)







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR







αx + β = 0 αx2 + βx + γ = 0 και αx

4 + βx

2 + γ = 0 με α ne 0





αvxν + αv-1x



2 + x - 2 = 0 και -3x

6 + 5x

2 + 1 = 0 είναι





Ρ(ρ) = 0











βαθμού







Απόδειξη


αvρν + αv-1ρ

ν-1 + hellip + α1ρ + α0 = 0





- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



- αv-1ρν-2

- hellip - α1)


-αvρν-1

- αv-1ρν-2






2 + x + 2 = 0

Λύση




2 + x + 2

Έχουμε

1 -3 1 2 ρ = 1

1 -2 -1

1 -2 -1 1

P(1) = 1 ne 0



1 -3 1 2 ρ = -1

-1 4 -5

1 -4 5 -3

P(-1) = -3 ne 0



1 -3 1 2 ρ = 2

2 -2 -2

1 -1 -1 0

P(2) = 0




P(x) = (x - 2)(x2 - x - 1)


και



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



3 + 9x

2 + 8x + 4 = 0

Λύση





1 5 9 8 4 ρ = -2

-2 -6 -6 -4

1 3 3 2 0

P(x)


1 3 3 2 ρ = -2

-2 -2 -2

1 1 1 0



2 + 3x + 2 = (x + 2)(x


(x + 2)2(x

2 + x + 1) = 0









P(x) = (x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση


Επειδή















(x ‒ 1) (x2 + x ‒ 6) (2x

2 + x + 1)







2 + x + 2 gt 0

Λύση


(x - 2)(x2 - x - 1) gt 0 ή (x - 2)(x -

)(x ndash

) gt 0









lt x lt

ή x gt 2












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR












των α β








Λύση







και έχουμε





A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



A΄ Ομάδας


5x 6x

Λύση 4 2

5x 6x 4 2

5x 6x 0

2 2x 5x 6 0

2

x 0 ή 2

5x 6 0

x 0 ή 2

5x 6

x 0 ή 2 6

x5

x 0 ή 6

x5

ή 6

x5


x 2x 9x 18 0

Λύση 3 2

x 2x 9x 18 0 2x x 2 9 x 2 0

( x 2 )(2

x 9 ) = 0

x 2 = 0 ή 2

x 9 = 0

x 2 ή 2

x 9

x 2 ή x 3 ή x 3


3x 5x 3x 5x

Λύση 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 5 4 3 2

3x 5x 3x 5x 0

2 3 2

x (3x 5x 3x 5) 0

2

x 0 ή 3 2

3x 5x 3x 5 0

x 0 ή 2 2

3x(x 1) 5(x 1) 0

x 0 ή (2

x 1 )(3x 5 ) = 0

x 0 ή 2

x 1 = 0 ή 3x 5 = 0

x 0 ή 2

x 1 ή 3x 5

x 0 ή x 1 ή x 1 ή 5

x3


x ndash 64 = 0

Λύση 6

x ndash 64 = 0 6

x = 64

x 64 ή x 64

x 2 ή x 2


x x 2 0


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση


1 ndash 1 2 ndash 2



το 2


1 2 2 Δ = 4 ndash 8 = ndash 4 lt 0



x 7x 6 0

Λύση 3

x 7x 6 0 3

x x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x x 1 x 1 6 x 1 0

2x 1 x x 6 0

α) x 1 = 0 x 1

β) 2

x x 6 = 0 Δ = 1 + 24 = 25

1 5

x2

= 2 ή ndash3


(x 1) + 1 = 0

Λύση 3

(x 1) + 1 = 0 3

(x 1) = ndash1

3x 1 1

3x 1 1

x 1 1 x 0


7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0

Λύση

2 2 3

7 3x 2 1 x 3x 2 1 x 0 (3x 2 )2

(1 x) 7(3x 2) (1 x) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 21x 14 1 x ) = 0

(3x 2 )2

(1 x) ( 22x 13 ) = 0

α) 3x 2 = 0 3x 2 2

x3

β) 2

(1 x) = 0 1 x = 0 1 x

γ) 22x 13 = 0 22x 13 13

x22



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



x 8 = 7(2

x 5x 6 ) + 2

9x 36

Λύση


x 8 = 3 3

x 2 = ( x 2 )(2

x 2x 4 )

2

x 5x 6 = ( x 2 )( x 3 )

2

9x 36 = 9(2

x 4 ) = 9( x 2 )( x 2 )


( x 2 )(2

x 2x 4 ) = 7( x 2 )( x 3 ) + 9( x 2 )( x 2 ) = 0

( x 2 )(2


( x 2 )[2

x 2x 4 ndash 7 ( x 3 ) ndash 9 ( x 2 )] = 0

( x 2 )(2


( x 2 )(2

x ndash 18 x + 1) = 0

α) x 2 = 0 x 2

β) 2

x ndash 18 x + 1 = 0

Δ = 324 ndash 4 = 320 18 320

x2

=

18 2 80

2

= 9 80


x 3x 6x 4 0

Λύση 4 3

x 3x 6x 4 0 2 2 2

(x ) 2 3x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ) ndash 3 x (2

x 2 ) = 0

(2

x 2 )(2

x 2 ndash3 x ) = 0

(2

x 2 )(2

x 3x 2 ) = 0

α) 2

x 2 = 0 2

x 2 x 2 ή x 2

β) 2

x 3x 2 = 0 x = 1 ή x = 2


x 3x x 2 0

Λύση


x 3x x 2


1 ndash 1 2 ndash 2

Ρ(1) = 1 ndash 3 + 1 + 2 = 1 0

Ρ(ndash1) = 3 2


Ρ(2) = 3 2




Ρ(ndash2) = 3 2




3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



3x 8x 15x 4 0

Λύση


3x 8x 15x 4



Ρ(1) =3 2




Ρ(ndash1) =3 2

3( 1) 8( 1) 15( 1) 4 = ndash3 + 8 +15 + 4 = 24 0

Ρ(2) = 3 2

32 82 152 4 = 24 + 32 ndash 30 + 4 = 30 0

Ρ(ndash2) = 3 2

3( 2) 8( 2) 15( 2) 4 = ndash24 + 32 + 30 + 4 0

Ρ(4) = 3 2

34 84 154 4 = 3 64 + 816 ndash 60 + 4 0

Ρ(ndash 4) = 3 2

3( 4) 8( 4) 15( 4) 4 = 3( ndash 64) + 8 16 + 60 + 4

= ndash192 + 128 + 64 = 0



x 10x 12 0

Λύση


1 2 3 4 6 12



ndash2 4 12


είναι 2

x 2x 6


x 2x 6 = 0

Δ = 4 + 24 = 28 2 28

x2

=

2 2 71 7

2



x 2x 7x 6 0

Λύση


1 2 3 6




1 2 7 6 ndash1




είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


είναι 2

x x 6





Λύση




1 31 2 = 1 + 4 ndash 2 = 3 0 4


42 32 2 = 16 + 6 ndash 2 = 20 0

4( 2) 3( 2) 2 = 16 ndash 6 ndash 2 = 8 0





Λύση





2( 1) 3( 1) 6( 1) 24( 1) 5 = 2 + 3 + 6 + 24 +5 gt 0

4 3 225 35 65 245 5 gt 0

4 3 22( 5) 3( 5) 6( 5) 24( 5) 5 gt 0



x 2x 3x 6 gt 0

Λύση 3 2

x 2x 3x 6 gt 0 2

x ( x +2) + 3( x +2) gt 0

( x +2)(2

x +3) gt 0 (2

x +3 gt 0)



x 6x 22x 30x 13 0

Λύση



1 ndash5 17 ndash13




x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



x 5x 17x 13 ) 0



1 ndash 4 13

1 ndash 4 13 0


x 4x 13 ) 0





x 1 0 x ndash 1 = 0 x = 1


x 3x 2 lt 0

Λύση


1 0 ndash3 2 1

1 1 ndash2

1 1 ndash2 0


x x 2 ) lt 0




2






x x x 3x 6 0

Λύση



ndash1 2 ndash3 6

1 ndash2 3 ndash6 0


x 2x 3x 6 ) 0

( x + 1) 2x x 2 3 x 2 0

( x + 1)( x ndash 2)(2

x +3) 0








3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR






3x 3x 5x 2

Λύση



3x 3x 5x 2 = 0



6 6 2

3 3 1 0


3x 3x 1 ) = 0






4x 3x 1

Λύση



4x 3x 1 = 0


4 0 ndash3 ndash1 1

4 4 1

4 4 1 0


4x 4x 1 ) = 0 ( x ndash 1) 2

2x 1 = 0

x ndash 1 = 0 ή 2 x + 1 = 0


x = 1 ή x = 1

2

διπλή ρίζα



02





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR





άξονα x x

Λύση


4 3 2

x 5x 3x x lt 0

x (3 2

x 5x 3x 1 ) lt 0

1 ndash5 3 1 1

1 ndash 4 ndash1


x 4x 1 ) lt 0

Δ = 16 + 4 = 20


x2

=

4 2 5

2

= 2 5 ή 2 5


x 2 5 0 1 2 5




x 15x 16 = 0

Λύση

Θέτουμε 4

x y


y 15y 16 = 0 y = 16 ή y = ndash1

α) y = 16 4

x = 16 x = 2 ή x = ndash2

β) y = ndash1 4



x 1 ndash 9 3

x 1 + 8 = 0

Λύση

Θέτουμε 3

x 1 = y


y 9y 8 = 0 y = 8 ή y = 1

α) y = 8 3

x 1 = 8 x ndash 1 = 2 x = 3

β) y = 1 3

x 1 = 1 x ndash 1 = 1 x = 2



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



2x

x 1

+ 5

x

x 1 - 6 = 0

Λύση


Θέτουμε x

x 1 = y


6y 5y 6 = 0

Δ = 25 + 144 = 169

y = 5 169

12

=

5 13

12

=

8

12 ή ndash

18

12 =

2

3 ή

3

2

α) y = 2

3

x

x 1 =

2

3 3x = 2x + 2 x = 2

β) y = 3

2

x

x 1 =

3


3

5




Λύση


x 5x 3









Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Β΄ Oμάδας


x x x10 2 5 5

= 0

Λύση

3 21 1 1 4x x x

10 2 5 5 = 0

3 2x 5x 2x 8 = 0


1 5 2 ndash8 1

1 6 8


x 6x 8 ) = 0


2

=

6 2

2

= ndash2 ή ndash 4



x x x6 3 2

= 0

Λύση

3 25 22 5x x x

6 3 2 = 0

3 26x 5x 44x 15 = 0



18 39 ndash15


6x 13x 5 ) = 0

Δ = 169 + 120 = 289


12

=

13 17

12

=

4

12 ή

30

12 =

1

3 ή

5

2


3

5

2




Ρ(x) = 0

Λύση


4 3 2

1 1 1 16 1 12 = 0

1 16 12 = 0

5 (1)



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



4 3 2

2 2 2 162 12 = 0

16 8 4 32 12 = 0

8 4 = 28

2 = 7 (2)



x 4x x 16x 12


ndash1 ndash3 4 12


x 3x 4x 12 )


2 10 12

1 5 6 0 Άρα Ρ(x) = ( x + 1)( x ndash 2)(2

x 5x 6 )






Λύση



1 1 k1 3 = 0 k = ndash3


( 1) ( 1) k( 1) 3 = 0



3 3 k3 3 = 0

27 ndash 9 + 3k + 3 = 0



( 3) ( 3) k( 3) 3 = 0






Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση


α) Όταν x = 1 τότε 1 2 1 2 = 0 2λ = 1 λ =

1

2 άτοπο


= 0


1

2 άτοπο

2


2 άτοπο




δ) Όταν x = -2 τότε ( 2) 2 ( 2) 2

= 0 ( 2) 4 2

= 0

4λ = 2 ndash ( 2)



1

2 +

22



5 Αν Ρ(x) = 6 4 2




Λύση


6 4 2

1 51 101 k = 0

1 ndash 5 ndash 10 + k = 0 k = 14


x 5x 10x 14 = 0

Θέτουμε 2

x y οπότε 3 2

y 5y 10y 14 = 0


1 ndash 4 ndash14


y 4y 14 ) = 0

Δ = 16 +56 = 72


y 4y 14 4 72

2

=

4 6 2

2

= 2 + 3 2 ή 2 ndash 3 2




x = 2 + 3 2 x = 2 3 2




x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


x

x








dm

Λύση



3 2

4x 28x 45x 21 0




4 ndash24 21


4x 24x 21 ) = 0






3

3t t

t 50




Λύση 4 3

3t 2t 300t 200 = 0 3

t (3t + 2) ndash 100(3t + 2) = 0

(3t + 2)(3

t ndash 100) = 0

3t + 2 = 0 ή 3

t ndash 100 = 0

3t = ndash 2 ή 3

t = 100

t = 2



4 lt 33( 100) lt

35

3(46) lt

33( 100) lt 3

(47) 3

(464) lt 33( 100) lt

3(465)



23(46) 46

100 50

=

3 2116 46

150

=

6808045

150


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


x

x

x

1


363


Λύση


x x ( x + 1) = 36 2

x ( x + 1) ndash 36 = 0

3 2

x x 36 = 0


1 1 0 ndash36 3

3 12 36


x 4x 12 ) = 0



x = 3



V = 2 3500

(2000 100 20 )3


Λύση

V = 0 2 3500

(2000 100 20 )3

= 0

2 3

2000 100 20 = 0

100(20 ndash ν) + 2

(20 ndash ν) = 0

(20 ndash ν)(100 + 2

) = 0




d = 15t(3



Λύση



15t(3

t 6t 9 ) = 0 3


1 0 ndash6 ndash9 3

3 9 9


t 3t 3 ) = 0


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


y

x

x



t = 3







cm

Λύση


x y = 11664 y = 2

11664

x


2

11664

x + 4x 108

11664 + 43 2

x 108x

43 2

x 108x + 11664 0

3 2

x 27x + 2916 0




1 ndash36 324 0


x 36x 324 ) 0 ( x + 9) 2

x 18 0

x + 9 0 ή x ndash 18 = 0

x ndash 9 ή x = 18



11664

x =

2

11664

18 = 36


και Β1 1

2 2


x x για τα x


x x 5x 3 = 0


τους Γ


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


x+1

x+2x χυμός

ροδάκινο

r+10

r

χυμός

μήλο

h+5

hχυμός

αχλάδι

Λύση


2 = λ 1 + β λ = 2 ndash β

ndash 1

2= λ

1

2 + β

ndash1 = λ +2β


λ = 2 ndash β = 2 ndash (- 3) = 2 + 3 = 5

Άρα ε y 5x 3



x x

3 2

x x = 5x 3

3 2

x x 5x 3 = 0

iii)

1 1 ndash5 3 1

1 2 ndash3


x 2x 3 ) = 0

Δ = 4 + 12 = 16


2

= 1 ή ndash3











εξίσωση 3 2















Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


Λύση


3 2

x 3x 2x 200 = 0


x 3x 2x 200









r (r + 10) = 1000 3 2 1000

r 10r

3 2

r 10r = 318

3 2

r 10r ndash 318 = 0


r 10r ndash 318







Άρα r = 47 cm = 47 mm


h 5 h3

= 250

(2

h 10h 25 ) h = 750

3 2

h 10h 25h 750 = 0


h 10h 25h 750













-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR






-

= 0

Λύση



x2 +

-

= 0

χ(2χ-1)x2 + χ(2χ-1)

- χ(2χ-1)

= χ(2χ-1) 0

hArr 2x4 - x

3 + 2x - 1 = 0

hArr x3(2x - 1) + 2x - 1 = 0

hArr (2x - 1)(x3 + 1) = 0




Λύση



x = x2 - 4x + 4














Λύση



= x + 2


( )2 = (x + 2)

2

2x + 7 = x2 + 4x + 4

x2 + 2x - 3 = 0





Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



Λύση





( )2 = (1 + )2

2x + 6 = 1 + 2 + x + 4


(x + 1)2 = 4(x + 4)

x2 - 2x + 15 = 0








Επομένως







2 + 3x ‒ 4) ge 0

Λύση






P(x) = (x2 ‒ 4x + 3)(x

2 + 3x ‒ 4)





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR





A΄ Ομάδας


2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

Λύση

Είναι 2




2 2

2

3x 1 2 x 3x 2

x 1 xx x

2 23x 1 2 x 3x 2

x 1 x x 1 x

2 2

x(3x 1) 2 (x 1)(x 3x 2)

3 3 2 2

3x x 2 x 3x 2x x 3x 2

3 2

2x 4x 6x = 0

2x (2

x 2x 3 ) = 0


x 2x 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16

x = 2 4

2



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

Λύση

Είναι 2

x 1 = ( x ndash 1)(x + 1)



2

2

x 2 4

x 1 x 1 x 1

2x 2 4

x 1 x 1 (x 1)(x 1)

2


3

x + 2

x ndash 2 x + 2 = 4

3

x + 2


2

x (x + 1) ndash 2 (x +1) = 0

(x + 1)( 2

x ndash 2) = 0

x + 1 = 0 ή 2

x ndash 2 = 0


x = 2

x 2 ή x 2



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



2 2 1x

2x 1 x 2x 1

Λύση


x 0 και 2x 1

x 0 και x 1


2 2 1

x 2x 1 x 2x 1

2 2 1x 0

2x 1 x 2x 1

2 2x 1

x 0x(2x 1)

2 1

x 0x

3

x 1 0

x

3x(x 1) 0

x(x + 1)(2

x x 1 ) 0 (1)




Η (1) x(x + 1) 0 (2)



x 1 ή 0 x lt 1

2 ή

1

2 lt x


Λύση

23 2x x 2 x 2 0 2

3 2x 1 x 2 x 2 0

23 2x x 2 x 1 0


2x 1 ) = 0

(2x 1 )(2ημx ndash 1) = 0

2ημx ndash 1 = 0

2ημx = 1

ημx = 1

2

x = 2κπ + 6


6

x = 2κπ + 6

ή x = 2κπ +

5

6



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



x = ndash 4x

Λύση


x 0 x 0 (1)

επειδή 3




Λύση


3

3x 2 = 4 3x ndash 2 = 16

3x = 18 άρα x = 6


Λύση




Λύση



x 3 = x + 1 x + 3 = 2

x 1

x + 3 = 2

x 2x 1

2

x x 2 = 0



Λύση


10 ndash x 0 x 10

x 3 = 10 x + 1 2

( x 3) = 2

( 10 x 1)

x + 3 = 10 ndash x + 2 10 x + 1

2x ndash 8 = 2 10 x

x ndash 4 = 10 x (1)


(1) 2

(x 4) 10 x 2


2

x 7x 6 = 0




Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



Λύση


x ndash 20 0 x 20

x + x 20 = 10 x 20 = 10 ndash x (1)


10 ndash x 0

10 x

x 100

(1) x ndash 20 = 2

(10 x) x ndash 20 = 100 ndash 20 x + x

20 x = 120

x = 6

x = 36


2 x

+ 3

Λύση


2 x 0 x 0

x = x 8

2 x

+ 3

2x = x ndash 8 + 6 x x + 8 = 6 x (1)


x + 8 0 x - 8

(1) 2

x 16x 64 36x

2

x 20x 64 = 0 x = 4 ή x = 16


Λύση


1 2 x x 1 1 + 2 x = x + 1

2 x = x (1)


(1) 4 x = 2

x 2

x ndash 4x = 0

x(x ndash 4) = 0

x = 0 ή x ndash 4 = 0

x = 0 ή x = 4


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR


B΄ Oμάδας


Λύση


3 (1)

1 ndash 3x 0 1 3x x 1

3 (2)

2x 3 1 3x 2x + 3 lt 1 ndash 3x

5x lt ndash 2

x lt 2

5 (3)


3 x lt

2

5


Λύση








x 5

x ndash 3 gt 2

x 10x 25

2

x 11x 28 lt 0





Λύση



y και y 0



Άρα x = 2

2 = 4



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



Λύση



2y και y 0





x x 4 = 2

x x 2

Λύση


x x 2 0 ndash2 x 1

Θέτουμε 2


x x 4 = y ndash 2



Η εξίσωση 2

y 2 y

2

y 4y 4 y

2

y 5y 4 0


Η ισότητα 2

x x 2 = y 2

x x 2 = 4

2

x x 6 = 0



Λύση


x ndash 4 0 x 4


2 2


2 x 1 x 4 = 9 ndash x (A)


x 9 (2)


(2 x 1 x 4) = 2

(9 x)


x

42


x

32


Δ = 4 + 780 = 784

x = 2 784 2 28

6 6

= 5 ή

13




Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR



Λύση




x = 1 + 2


4x 1 = 2x ndash λ

Λύση

Επειδή 2



x +1 = 2

2x

42

x +1 = 42

x ndash 4λx + 2

4λx = 2

ndash 1 (2)



1

4

(1) 2 2

1

4

ndash λ gt 0

21

2

ndash λ gt 0

2 2

1 2

2

gt 0

2

1

2

gt 0

2

( 1)

2

gt 0 λ lt 0


2 x 3 x 3 x 3 x 4 0

Λύση 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3(1 x) 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 3 x 3 x 4 0 4 3 2

2 x 3 x 3 x 3 x 1 0


2y 3y 3y 3y 1 0




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR




2 ndash1 2 ndash1

2 ndash1 2 ndash1 0


2y y 2y 1 ) = 0

(y ndash 1) 2 22y y 1 y 1

= 0

(y ndash 1)(2

y 1 )(2y ndash 1) = 0


2


κϵΖ

β) για y = 1


1

2

ημx = ημ 6

x = 2κπ + 6


6

= 2κπ +

5

6

κϵR

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ · 2013-03-29 · 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ...

Documents

Transcript of ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ · 2013-03-29 · 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ...