Άλγ 0βρα 2012 ú΄ υκκκεεείου · - 2 - ( ù) Πολυώνυμα 1. Περί...

Πολυώνυμα

Πολυωνυμικές εξισώσεις

ΆΆΆλλλγγγεεεβββρρρααα

ΒΒΒ΄́́ ΛΛΛυυυκκκεεείίίοοουυυ

Athens 2012 – 13

2012

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης

http://lisari.blogspot.com

14/2/2012

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές εξισώσεις

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης http://lisari.blogspot.com

- 2 -

(Α) Πολυώνυμα

1. Περί πολυωνύμων

Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: v v 1

v v 1 1 0P x a x a x ... a x a

όπου av, av-1,…,a1,a0 πραγματικοί αριθμοί και ν φυσικός αριθμός.

Σημείωση: Ο παραπάνω ορισμός του σχ. βιβλίου έχει πρόβλημα, αν το ν = 0, τότε ο δεύτερος εκθέτης του x θα ήταν – 1, πράγμα που απαγορεύεται στα

πολυώνυμα. Ίσως η πιο αυστηρή διατύπωση να ήταν η εξής: ο φυσικός αριθμός ν είναι τέτοιος ώστε όλες οι δυνάμεις του x να είναι επίσης φυσικοί αριθμοί.

Έννοιες Ονομασίες

v v 1

v v 1 1 0a x ,a x ,...,a x,a

είναι μονώνυμα και λέγονται όροι του

πολυωνύμου και είναι ν + 1 στο πλήθος

v v 1 1 0a ,a ,...,a ,a συντελεστές του πολυωνύμου και είναι ν + 1

στο πλήθος

0a

σταθερός όρος του πολυωνύμου, είναι

δηλαδή το μονώνυμο που δεν

πολλαπλασιάζεται με x

v

v va x με a 0 μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου

(έννοια εκτός βιβλίου)

2. Πολυώνυμο του x δεν ονομάζουμε μια παράσταση όταν:

Ο εκθέτης του x είναι αρνητικός ή ρητός αριθμός και όχι φυσικός αριθμός.

Όταν το x βρίσκεται (και δεν μπορούμε να το εξάγουμε) μέσα σε απόλυτο, ρίζα, παρονομαστή

Όταν έχουμε δύο ίδιες δυνάμεις του x (πχ 5x2

– 6x +αx+2)(φυσικά ανάγεται σε πολυώνυμο)

Όταν έχουμε δύο διαφορετικές μεταβλητές, έστω x, y (πχ: 3 2 2x 5x y 2xy xy 2 )

Γενικά, όταν η παράσταση του χ δεν είναι της μορφής v v 1

v v 1 1 0a x a x ... a x a

όπου ν

φυσικός αριθμός (δες ορισμό πολυωνύμων).

3. Παραστάσεις που ανάγονται σε πολυώνυμα

Μια παράσταση που δεν έχει μορφή πολυωνύμου, πολλές φορές ανάγεται σε πολυώνυμο αν κάνουμε

τα εξής:

Απαλείψουμε παρενθέσεις (με επιμεριστική ιδιότητα)

Κάνουμε αναγωγές όμοιων όρων (κοινός παράγοντας…)

Ας δούμε μερικά παραδείγματα

P(x) = 23 3 22x 5x x2x 6x 1 x 4x 4x 1



- 3 -

P(x) = 5 2 5 3 23 3x 3x 1 x ( 2a2ax bx b)x 3x 1

P(x) = 2 2bx a(x a x ab x (a b)) xx x ab( b)

2 2P(x) bx k ax k ax (a baxax( ) )1 bxx x k

2 2 2P x x 2axx aa

4. Αν δεν έχουμε συντελεστή σε ένα όρο του πολυωνύμου, τότε ο συντελεστής τους θεωρείται το

μηδέν. Αυτό το προσέχουμε κυρίως στο σχήμα Horner και στην ισότητα των πολυωνύμων.

π.χ.

3 1 02

3

a 0

P x x 2x 1

a 1, a , 1, 2 a

και

4

5

3 2 1 0a a a a 0

x

,

Q 2x 1

a 1

5. Σταθερό πολυώνυμο

Το πολυώνυμο v v 1

v v 1 1 0P(x) a x a x ... a x a

είναι σταθερό αν:

v v 1 1a a ... a 0

Σημείωση: Αν το πολυώνυμο υ(x) είναι σταθερό, τότε σημαίνει ότι δεν περιέχει μεταβλητή x, άρα μπορούμε να το

συμβολίζουμε αντί για υ(x) με υ.

6. Μηδενικό πολυώνυμο


v v 1 1 0P(x) a x a x ... a x a

είναι μηδενικό αν:

v v 1 1 0a a ... a a 0

Σημείωση: Σε πολλές βιβλιογραφίες το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται και ως 0(x).

7. Βαθμός πολυωνύμου


v v 1 1 0P(x) a x a x ... a x a

είναι βαθμού ν και θα συμβολίζουμε βαθμP(x)= v

ή deg P(x) = v , αν αν ≠ 0 και ν είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης που εμφανίζεται στο x.

Ιδιότητες βαθμού πολυωνύμου

Ο βαθμός ενός σταθερού μη μηδενικού πολυωνύμου είναι μηδέν

Ο βαθμός ενός μηδενικού πολυωνύμου δεν ορίζεται (άρα από εδώ και στο εξής όταν αναφερόμαστε

σε βαθμό πολυωνύμου θα εννοούμε το μη μηδενικό πολυώνυμο)

Ο βαθμός του αθροίσματος δύο πολυωνύμων είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο βαθμό των

δύο πολυωνύμων. Δηλαδή, αν deg P(x) m και degQ(x) n τότε:

deg(P(x) Q(x)) max{m,n}

Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων, είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών

τους. Δηλαδή, αν deg P(x) m και degQ(x) n τότε:

deg(P(x) Q(x)) m n



- 4 -

Όταν διαιρούμε δύο πολυώνυμα τότε ο βαθμός του πηλίκου που προκύπτει ισούται με την διαφορά

τους. Δηλαδή, αν degΔ(x) m και degδ(x) n τότε:

deg[Δ(x) : δ(x)] deg π(x) m n

Αν ο βαθμδ(x) = ν, τότε ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης είναι το πολύ ν – 1.

βαθμ υ(x) < βαθμ δ(x) ή υ = 0 (δηλ. δεν ορίζεται βαθμός)

Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσους βαθμούς, δηλαδή, P x Q x deg P x degQ x

(Προσοχή: Δεν ισχύει το αντίστροφο)

8. Ρίζα πολυωνύμου

το ρ είναι ρίζα του P(x) P(ρ)=0

το ρ δεν είναι του P(x) P(ρ) ≠ 0

9. Θεώρημα υπολοίπου

Όταν η άσκηση μας δίνει ή μας ζητάει ένα υπόλοιπο διαίρεσης τότε έχουμε κατά νου τις παρακάτω

προτάσεις. Διαφορετικά εφαρμόζουμε κλασική διαίρεση ή την ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης

για τα πολυώνυμα (4η ιδιότητα).

Σημείωση: Επειδή οι παρακάτω διαιρέσεις είναι με διαιρέτη πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι σταθερό (ή μηδενικό) πολυώνυμο, οπότε αντί

του συμβολισμού υ(x) θα γράφουμε υ.

P x : x p u P p

P x : x p u P p

b

P x : ax b u P , a 0a

(Βασική άσκηση)

Απόδειξη

Από την ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (ax + b) παίρνουμε: Ρ(x) = (ax + b) π(x) + υ

Αντικαθιστούμε όπου b

xa

και γίνεται:

b b b b b bP a b π υ P 0 π υ P υ

a a a a a a

Σημείωση:Αν το υπόλοιπο είναι μηδέν, τότε η διαίρεση είναι τέλεια και παίρνουμε μια γνωστή πρόταση όπως θα δούμε και παρακάτω.

Αν α, β κάποιες από τις ρίζες του διαιρέτη δ(x), τότε ισχύει:

P α υ α και P β υ β

Απόδειξη

Αφού το α είναι ρίζα του δ(x) τότε δ(α)=0, ομοίως και για την ρίζα β παίρνουμε δ(β) = 0.

Άρα από την ταυτότητα της διαίρεσης P x : δ x έχουμε:



- 5 -

P x δ x π x υ x 1

Αν αντικαταστήσουμε στην (1) όπου x = α και x = β παίρνουμε την ζητούμενη σχέση.

Σημείωση: Το παραπάνω αποτελεί μέθοδος όταν γνωρίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης και ισχύει για περισσότερες ή λιγότερες

ρίζες του δ(x).

10. Διαίρεση πολυωνύμων

Με την κλασική διαίρεση (δεν υπάρχει κανένας περιορισμός)

Με το σχήμα Horner ( πρέπει ο διαιρέτης να είναι της μορφής x ± α ή ax b (Βασική άσκηση))

11. Ισοδύναμες εκφράσεις τέλειας διαίρεσης πολυωνύμων

Η διαίρεση Ρ(x) : δ(x) είναι τέλεια

υ = 0

Ρ(x) = δ(x) π(x)

το δ(x) διαιρεί το Ρ(x)

το δ(x) είναι παράγοντας του Ρ(x)

το Ρ(x) έχει παράγοντα το δ(x)

το Ρ(x) διαιρείται από το δ(x)

Σημείωση: Οι διπλανές εκφράσεις είναι ισοδύναμες

οπότε στις ασκήσεις εφαρμόζουμε όποια έκφραση μας

ταιριάζει καλύτερα.

Αν δ(x) = x – α, τότε ισχύει: Ρ(α) = 0

12. Διαίρεση Horner με κατάλληλες μορφές παραγόντων

Α΄ μορφή: Με την βοήθεια του σχήματος

Horner να δείξετε ότι το (χ – α)(χ – β) είναι

παράγοντας του πολυωνύμου Ρ(χ)

Διαιρούμε το Ρ(χ) με το χ –α

Βρίσκουμε πηλίκο π(χ) και το υπόλοιπο θα είναι πάντα

μηδέν (λόγω παρατήρησης 11)

Γράφουμε την ταυτότητα της διαίρεσης:

Ρ(χ) = π(χ)(χ – α) (1)

Διαιρούμε το πηλίκο π(χ) με τον άλλο παράγοντα (χ – β)

Βρίσκουμε ένα άλλο πηλίκο π΄(χ) και το νέο υπόλοιπο θα

είναι μηδέν

Γράφουμε την νέα ταυτότητα της διαίρεσης:

π(χ)= π΄(χ)(χ – β) (2)

Αντικαθιστούμε την σχέση (2) στην (1):

Ρ(χ)=π΄(χ)(χ –α )(χ – β)

που φαίνεται ότι το (χ –α )(χ –β) είναι παράγοντας του Ρ(χ).

Β΄ μορφή: Με την βοήθεια του σχήματος

Horner να δείξετε ότι (χ –α)2 είναι


Το γράφουμε ως εξής: (χ –α)2 =(χ –α)(χ – α)

και ακολουθούμε την μορφή α΄.

Γ΄ μορφή: Με την βοήθεια του σχήματος

Horner να δείξετε ότι το αχ2+βχ+γ ,

Έστω ρ1 , ρ2 οι λύσεις της εξίσωσης αχ2 + βχ + γ = 0 ,

οπότε γράφεται: αχ2+βχ+γ = α(χ – ρ1)(χ – ρ2)



- 6 -

όπου β2 – 4αγ > 0, είναι παράγοντας του

πολυωνύμου Ρ(χ)

που ακολουθούμε την μορφή α΄.

Δ΄ μορφή: Με την βοήθεια του σχήματος

Horner να δείξετε ότι το δ(χ) = ένα

πολυώνυμο (το οποίο παραγοντοποιείται σε

γινόμενο πρώτων παραγόντων) είναι


Μετατρέπουμε το πολυώνυμο δ(χ), σε γινόμενο

πρωτοβάθμιων παραγόντων, δηλαδή το γράφουμε στην

μορφή: δ(χ)=(χ – ρ1)(χ – ρ2)…(χ – ρκ)

και ακολουθούμε την μορφή α΄.

Ε΄ μορφή: Να δείξετε ότι το πολυώνυμο

δ(χ) (το οποίο ΔΕΝ παραγοντοποιείται σε

γινόμενο πρώτων παραγόντων) είναι


πχ. χ2 – χ + 1

Σε αυτή την περίπτωση δεν λειτουργεί το σχήμα Horner,

άρα δουλεύουμε αποκλειστικά με την γενική μέθοδο που

είναι η κλασική διαίρεση. Διαιρούμε το Ρ(χ) : δ(χ) και

βρίσκουμε (ή απαιτούμε, ανάλογα την εκφώνηση) το

υπόλοιπο να είναι το μηδενικό πολυώνυμο

13. Παράγοντας πολυωνύμου

Το x – ρ είναι παράγοντας* του P (x)

H διαίρεση P x : x ρ είναι τέλεια

Γράφεται στην μορφή

P x x ρ π x

Το ρ είναι ρίζα του P (x)

P ρ 0

Υποσημείωση:

* Αντί την έννοια «παράγοντας» μπορούμε να

αντικαταστήσουμε οποιαδήποτε ισοδύναμη λέξη που

δηλώνει τέλεια διαίρεση (δες σημείωση 11)

14. Αν το (χ –α)(χ –β) είναι παράγοντας του Ρ (χ) τότε:

το χ –α είναι παράγοντας του Ρ (χ) και

το χ – β είναι παράγοντας του Ρ (χ)

Απόδειξη

Αφού (χ –α)(χ –β) είναι παράγοντας του Ρ(χ) γράφεται στην μορφή: P χ χ α χ β π χ

Επίσης γράφεται και ως εξής:

P χ χ α χ β π χ χ α π ' χ άρα το χ – α είναι παράγοντας του P (x) και

P χ χ β χ α π χ χ β π '' χ άρα το χ – β είναι παράγοντας του P (x)

Σημείωση: Το αντίστροφο ισχύει, αλλά δεν είναι άμεση συνέπεια της θεωρίας, μπορεί να ζητηθεί ως άσκηση. Δείτε την επόμενη παρατήρηση.

15. Αν δίνεται ότι :

χ – α είναι παράγοντας του Ρ(χ) και



- 7 -

χ – β είναι παράγοντας του Ρ(χ) (με α ≠ β και α, βR*)

τότε να δείξετε ότι και το (χ –α)(χ –β) είναι παράγοντας του Ρ(χ)

Απόδειξη

Το χ – α είναι παράγοντας του Ρ(χ), άρα: Ρ (α)= 0 (1)

Όμοια από την δεύτερη σχέση βρίσκουμε, Ρ(β)=0 (2)

Όμως η διαίρεση του Ρ(χ):(χ –α)(χ –β) μας δίνει υπόλοιπο το πολύ πρώτου βαθμού, αφού ο διαιρέτης

είναι δευτέρου βαθμού. Οπότε: υ(χ) = κχ +λ με κ, λ∈ℛ

Άρα η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: Ρ(χ) = (χ –α)(χ –β)π(χ) + κχ + λ

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: κα + λ = 0 και κβ + λ = 0

Το παραπάνω σύστημα μας δίνει: κ = λ = 0 υ(χ) = 0χ + 0 = 0

Άρα το (χ –α)(χ –β) είναι παράγοντας του Ρ(χ).

Σημείωση: Λύνεται άμεσα από την παρατήρηση 9 (θεώρημα υπολοίπου) ιδιότητα 4η



- 8 -

(Β) Χρήσιμες προτάσεις – Βασικές Ασκήσεις

1. Αν P x Q x 0 τότε ένα τουλάχιστον από τα πολυώνυμα P(x), Q(x), είναι το μηδενικό, δηλαδή

P x Q x 0 P x 0 ή Q x 0

2. Αν P x Q x 0 τότε κανένα από τα πολυώνυμα P(x), Q(x) δεν είναι μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή

P x Q x 0 P x 0 και Q x 0

3. Ισχύει ο κανόνας της διαγραφής για μη μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή,

K x 0

P x R x Q x R x P x Q x

4. Κάθε πολυώνυμο μη μηδενικό διαιρεί τον εαυτό του, δηλαδή αν πολυώνυμο P(x) είναι μη μηδενικό, η

διαίρεση P(x):P(x) είναι τέλεια.

5. Κάθε πολυώνυμο διαιρείται από κάθε σταθερό αλλά μη μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή αν τo πολυώνυμο

Q x είναι σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο τότε η διαίρεση P(x):Q(x) είναι τέλεια.

6. Το μηδενικό πολυώνυμο διαιρείται από κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο και δίνει πηλίκο μηδέν, δηλαδή αν

P x 0 τότε η διαίρεση 0 x : P x είναι τέλεια με π(x) =0. Αντίστροφα, το μηδενικό πολυώνυμο δεν

διαιρεί κανένα πολυώνυμο.

7. Αν το πολυώνυμο δ(x) διαιρεί το πολυώνυμο Δ(x), τότε ή το Δ(x) είναι μηδενικό πολυώνυμο ή ο βαθμός του

Δ(x) θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του δ(x)

8. Ισχύει η μεταβατική ιδιότητα στην τέλεια διαίρεση, δηλαδή, αν οι διαιρέσεις P x : Q x και

Q x : K x είναι τέλειες τότε και η διαίρεση P x : K x είναι τέλεια.

9. Αν η διαίρεση P x : Q x είναι τέλεια, τότε και η διαίρεση P x K x : Q x K x είναι τέλεια,

για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο K(x).

10. Αν τα πολυώνυμα δ x , δ x διαιρούν τα πολυώνυμα Δ x , Δ x τότε το δ x δ x διαιρεί το

Δ x Δ x

11. Αν το πολυώνυμο δ x διαιρεί

α) Τα πολυώνυμα 1 2Δ x , Δ x τότε θα διαιρεί και το πολυώνυμο 1 2Δ x Δ x

β) (Γενίκευση) Καθένα από τα πολυώνυμα 1 2 vΔ x ,Δ x ,...,Δ x τότε το δ(x) διαιρεί και τα πολυώνυμα



- 9 -

1 1 2 2 v vc Δ x c Δ x ... c Δ x , όπου 1 2 vc ,c ,...,c

1 1 2 2 v vΦ x Δ x Φ x Δ x ... Φ x Δ x , όπου 1 2 vΦ x ,Φ x ,...,Φ x πολυώνυμα

γ) (Επέκταση) Ένα τουλάχιστον από τα πολυώνυμα 1 2 vΔ x ,Δ x ,...,Δ x τότε το δ(x) διαιρεί και το

πολυώνυμο 1 2 vΔ x Δ x ... Δ x

δ) το P(x) τότε διαιρεί και το P x K x , όπου Κ(x) ένα οποιοδήποτε πολυώνυμο

ε) το P(x) τότε διαιρεί και το v

P x , v

12. Αν το πολυώνυμο δ(x) διαιρεί τα πολυώνυμα 1 2Δ x Δ x και 1Δ x , τότε διαιρεί και το 2Δ x

13. Αν το πολυώνυμο δ(x) διαιρεί το πολυώνυμο Δ x και το Δ x διαιρεί το πολυώνυμο δ x τότε

*Δ x c δ x , c

14. Αν π x , υ x είναι το πηλίκο και υπόλοιπο της διαίρεσης Δ x : δ x ,τότε το δ x διαιρεί το

πολυώνυμο Δ x υ x

15. Αν 1 2υ x , υ x είναι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 1 2P x : δ x και P x : δ x τότε ισχύει η εξής

ισοδυναμία: 1 2δ x διαιρεί το P x υ x υ x



- 10 -

(Γ) Άλυτες Ασκήσεις

Κατηγορία 1η: Πράξεις πολυωνύμων

1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P (x) = x3 - 2x, Q (x) = x

2 - 3x - 1.

(Α) Βρείτε τους όρους, συντελεστές και τον σταθερό όρο του πολυωνύμου Q(x). Ποιος είναι ο μεγιστοβάθμιος

όρος του Q(x);

(Β) Να βρεθούν: α) P (x) + Q (x) β) P (x) - Q (x) γ) P (x) Q (x) δ) P(x) : Q(x)

(Γ) Βρείτε τους βαθμούς των παρακάνω πολυωνύμων(για το (δ) βρείτε το βαθμό του πηλίκου) .

2. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 2

x 5x 2 και Q(x) = 3

x 3x 1 . Να βρεθούν τα πολυώνυμα:

i) Ρ(x) + Q(x) ii) 2Ρ(x) – 3Q(x) iii) Ρ(x) Q(x) iv) 2

P x

όπως και οι βαθμοί τους.

Κατηγορία 2η: Σταθερό και μηδενικό πολυώνυμο (Παρατηρήσεις 5, 6)

3. Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία το πολυώνυμο: P (x) = (λ + 2) x3 - (λ

2 + λ - 2) x + λ

2 - 4

να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

4. Αν α3 + β

3 + γ

3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυμο P (x) = (α - β) x

2 + (β - γ) x + γ - α είναι

το μηδενικό πολυώνυμο.

5. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο P (x) = (κ - 2) x2 + (2λ + 6) x + κ + λ – 3 είναι μη μηδενικό πολυώνυμο.

6. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ , έτσι ώστε 3 3 2 1

(4 )x 4 x 2 14

= 0 για κάθε x

πραγματικό αριθμό.

Κατηγορία 3η: Ίσα πολυώνυμα και βαθμός πολυωνύμων (Παρατηρήσεις 3, 4 και 7)

7. Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ, λ, μ είναι ίσα τα πολυώνυμα:

P (x) = λx2 - (λ - κ) x + μ - 2λ και Q (x) = (μ - λ) x

2 + 4x + κ + λ.

Στη συνέχεια βρείτε τους βαθμούς των πολυωνύμων.

8. Να βρείτε για ποιες τιμές του α , έτσι ώστε 2 3 2

( 3 )x x = 3 2 2 3

2x x ( 1)x 1

για κάθε x πραγματικό αριθμό.

9. Να προσδιοριστεί ο α R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x3 - 3x

2 + 8x – 27 να παίρνει τη μορφή

α (x3 + x) - 3x

2 + (x - 3) (x

2 + 3x + 9).



- 11 -

10. Έστω το πολυώνυμο Κ (x) τέτοιο ώστε το τετράγωνό του να ισούται με το: P (x) = x4 + 2x

3 - 3x

2 - 4x + 4.

α) Βρείτε τον βαθμό του Κ(x) β) Βρείτε το Κ(x)

11. Έστω το πολυώνυμο P (x) τέτοιο ώστε: (x2 + 1) P (x) = 3x

5 + 2x

4 + x

3 - x

2 - 2x - 3

α) Βρείτε τον βαθμό του P(x) και να το γράψετε σε μορφή πολυωνύμου

β) Βρείτε το πολυώνυμο P(x)

γ) Υπάρχει άλλος τρόπος εύρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) χωρίς να ακολουθήσουν τα προηγούμενα βήματα;

12. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x2 + 2x + 5. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α αν ισχύει:

Ρ (α - 1) = 13.

13. Βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου P(x) = 3 4 2 3

(9 4 )x (9 4)x 3 2 , για τις διάφορες

τιμές του .

Κατηγορία 4η: Ρίζες πολυωνύμου (Παρατήρηση 8)

14. Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x5 + (3κ

2 + 2) x

3 + κx δεν έχει ρίζα το

1

2.

15. Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς που δίνονται, είναι ρίζες του πολυωνύμου

α) Ρ(x) = 3 2

2x 3x 2x 7 , x = –1, x = 1

β) Q(x) = 4

x 1 , x = –1, x = 1, x = 3

γ) 3 2R x x 2x x 2, x 1, x 0, x 1, x 2

16. το πολυώνυμο Ρ(x) = 3 2

x kx 5x k .

(Α) Να βρείτε για ποια τιμή του k ,

α) Το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα το 2

β) Το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα το 0

γ) Το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα το k

δ) Η τιμή του πολυωνύμου Ρ(x) για x = – 2 είναι 3

(Β) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(x) δεν έχει ρίζα το 1 και – 1 για κάθε πραγματικό αριθμό k.

17. Αν το πολυώνυμο P (x) = x2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το

Κ (x) = x3 + 4x

2 + (α

2 - 1) x. Το αντίστροφο ισχύει;

18. Να βρείτε τους πραγματικούς α, β, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = 3 2

3x x x 6

έχει ρίζες το –2 και το 3.



- 12 -

19. Να βρείτε τους πραγματικούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = 3 2

2x x x 6

έχει ρίζα το 1 και η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x = – 2 είναι –12.

Κατηγορία 5η: Διαιρέσεις πολυωνύμων – Ευκλείδεια Διαίρεση (Παρατηρήσεις 9, 10)

20. Να γίνουν οι διαιρέσεις των παρακάτω πολυωνύμων και να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας

διαίρεσης.

α) (2x5 - x

3 + 2x

2 - 9) : (x

2 - 1) β) (x

4 - 7x

3 + 2x - 15) : (x

3 + 5)

γ) (3x3 - 4αx + α

2) : (x - 2α) δ) [7x

3 - (9α + 7α

2) x + 9α

2] : (x - α)

21. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ (x) το οποίο όταν διαιρεθεί με το x2 + 1, δίνει πηλίκο 3x - 1 και υπόλοιπο 2x + 5.

22. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 11888 11880 11850P x 2x 2x 10000x 11821

με τα πολυώνυμα α) x + 1 β) x – 1 γ) x2 – 1 δ) x

23. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = λ2x

2 + 2 (λ

2 - 3λ + 1) x - 3 (4λ + 1).

α) Βρείτε τον βαθμό του Ρ(x) για τις διάφορες πραγματικές τιμές του λ

β) Να δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x + 2) είναι ανεξάρτητο του λ.

24. Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x - 2 αφήνει υπόλοιπο 10, ενώ διαιρούμενο με το x + 3 αφήνει

υπόλοιπο 5.

α) Βρείτε τον βαθμό του υπολοίπου της διαίρεσης του Ρ (x) : (x - 2) (x + 3) γράψτε το στην μορφή πολυωνύμου

και να δοθεί η ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης.

β) Συμπληρώστε τα κενά Ρ( 2) =….. και Ρ( - 3) = …… και δικαιολογήστε την απάντησή σας

γ) Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x - 2) (x + 3)

25. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των παρακάτω διαιρέσεων:

α) (x3 - 2x

2 + 5x - 6) : (x - 2) β) (2x

5 - x

4 + 6x

2 + 3) : (x + 1)

γ) [6x3 - (2α + 6α

2) x + 3α

2] : (x - α), α R δ) (x

6 - 4x

5 + x

2 - 2) : (2x - 1)

Κατηγορία 6η: Τέλειες διαιρέσεις – παράγοντας (Παρατηρήσεις 11, 12, 13)

26. Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του P(x) = 2 4 2

k x 3kx 4 ,

στη συνέχεια βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου Ρ(x).

27. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε αν το πολυώνυμο Ρ (x) = x4 + 1 διαιρεθεί με το

πολυώνυμο x2 + κx + λ να αφήνει υπόλοιπο 0.



- 13 -

28. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 + αx

2 + βx + 4 διαιρείται με το x - 2 και η διαίρεση Ρ (x): (x-1) δίνει υπόλοιπο

8, να προσδιοριστούν τα α, β.

29. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 4 3 2

2x 6x 5x 3x 2

α) Να αποδείξετε ότι διαιρείται με το ( x 1 )( x 2 )

β) Βρείτε το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης

30. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = 2x3 + αx

2 - 13x + β. Αν το Ρ (x) διαιρείται με το x

2 - x - 6, να προσδιορίσετε

τα α, β R.

31. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο P (2x - 3) έχει

παράγοντα το x - 4.

32. Το πολυώνυμο Ρ (x) (βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του τρία) διαιρείται με το (x - ρ)3. Βρείτε το υπόλοιπο της

διαίρεσης Ρ (x) : (x - ρ).

33. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P (x) = x3 - κx

2 + (λ - 1) x + 5 να έχει

για παράγοντα το (x - 1) (x + 2).

34. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο P (x) = x3 - x

2 - (3 + α) x + β + 10 να

έχει για παράγοντα το (x - 2)2.

35. Το πολυώνυμο Ρ(x) = 1

x x 1

,όπου v και α, β , έχει παράγοντα το 2

x 1 .

α) Να αποδείξετε ότι ν > 1.

β) Υπολογίστε τους πραγματικούς αριθμούς α, β

γ) Στην συνέχεια για τις τιμές α, β τους ερωτήματος (β), να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ(x).

36. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x) = 2 2

x 1 x 2x 1

, *

v και Q(x) = 3 2

2x 3x x .

α) Βρείτε όλους τους παράγοντες του Q(x).

β) Να αποδείξετε ότι: Ρ(x) = Q(x)π(x), όπου π(x) ένα πολυώνυμο.

γ) Βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου π(x), όπου π(x) το πολυώνυμο του (β) ερωτήματος.



- 14 -

(Δ) Πολυωνυμικές εξισώσεις

1. Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση κάνουμε τα εξής:

Α΄ τρόπος (Γενική μέθοδος: Παραγοντοποίηση)

Μεταφέρουμε όλους τους όρους σε ένα μέλος

Κάνουμε παραγοντοποίηση

Καταλήγουμε σε ένα γινόμενο ίσο με το μηδέν, άρα ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες είναι

μηδέν, οπότε καταλήγουμε σε πιο απλές εξισώσεις (μικρότερου βαθμού), δηλαδή

P x Q x 0 P x 0 ή Q x 0

Σημείωση: Αν και η παραγοντοποίηση λύνει θεωρητικά όλες τις πολυωνυμικές εξισώσεις, η εφαρμογή της σε κάθε άσκηση

δεν είναι απλή υπόθεση, γι’ αυτό καταφεύγουμε στις επόμενες μεθόδους. Αν μπορούσαμε να λύσουμε όλες τις πολυωνυμικές

εξισώσεις, ανεξαρτήτου βαθμού, τότε θα είχαμε σπάσει πολλά προβλήματα κρυπτογραφίας , και άλυτα προβλήματα των

Μαθηματικών (πχ. στην Θεωρία Αριθμών).

Β΄ Τρόπος (Όταν υπάρχει μια τουλάχιστον ακέραια λύση: Θεώρημα ακέραιων ριζών)

Μεταφέρουμε όλους τους όρους σε ένα μέλος και απαλείφουμε παρονομαστές

Ονομάζουμε το πολυώνυμο Ρ(χ) και βρίσκουμε τον σταθερό όρο α0

Βρίσκουμε όλους τους διαιρέτες του σταθερού όρου που είναι και πιθανές ακέραιες ρίζες

Με αντικατάσταση στο πολυώνυμο βρίσκουμε ΜΙΑ ακέραια ρίζα, έστω ρ

Κάνουμε διαίρεση Ρ(χ): (χ – ρ) με την βοήθεια του Horner

Βρίσκουμε το πηλίκο π(χ) και γράφουμε την ταυτότητα της διαίρεσης, δηλαδή:

Ρ(χ)=(χ – ρ)π(χ)

Μετά λύνουμε την εξίσωση: Ρ(χ)=0 (χ – ρ)π(χ)=0 χ = ρ ή π(χ) = 0

Την εξίσωση π(χ)=0, την λύνουμε κατά τα γνωστά αν είναι 1ου

ή 2ου

βαθμού, διαφορετικά

επαναλαμβάνουμε το 3ο βήματα και μετά.

2. Αν σε μια πολυωνυμική εξίσωση δεν υπάρχει σταθερός όρος, τότε βγάζουμε κοινό παράγοντα την

μικρότερη δύναμη του χ!!

πχ. 4 3 2 3 2P(x) x 2x 3x x x(x 2x 3x 1)

3. Αν σε μια πολυωνυμική εξίσωση οι συντελεστές του είναι ομόσημοι αριθμοί, τότε πιθανές

ακέραιες ρίζες είναι οι αρνητικές και όχι οι θετικές.

πχ. 3 2P(x) x 2x 3x 6 τότε οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι το -1, -2, -3, -6



- 15 -

4. Αν ο σταθερός όρος μιας πολυωνυμικής εξίσωσης είναι μεγάλος αριθμός με πολλούς διαιρέτες,

τότε κάνουμε τα εξής:

Αντικαθιστούμε εύκολους διαιρέτες του σταθερού όρου μήπως βρούμε μια ρίζα του πολυωνύμου

ή κάνουμε παραγοντοποίηση

Παράδειγμα

Λύστε την εξίσωση: 3 2x 1000x 2x 2000 0

Λύση

Το 2000 έχει πολλούς διαιρέτες, επομένως το θεώρημα ακεραίων ριζών μας δυσκολεύει. Παίρνουμε το 1,

-1, 2, -2 και παρατηρούμε ότι δεν είναι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης. Επομένως παίρνουμε

παραγοντοποίηση:

2x (x 1000) 2(x 1000) 0

2(x 1000)(x 2) 0

x 1000 ή x 2

5. Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια πολυωνυμική εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες, τότε βρίσκουμε

όλους τους διαιρετές του σταθερού όρου και αποδεικνύουμε ότι δεν είναι ρίζες της πολυωνυμικής

εξίσωσης. Επίσης αν το πολυώνυμο είναι θετικό ή αρνητικό για κάθε x πραγματικό αριθμό, τότε

επίσης δεν έχει ρίζες. (πχ. x4 +2x

2 + 2012 = 0)

6. Για να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των ακεραίων ριζών πρέπει οι συντελεστές του πολυωνύμου

να είναι ακέραιοι αριθμοί. Αν είναι ρητοί, τότε πολ/με όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π των

παρονομαστών (Άσκηση 1 σελ. 79)

7. Αν η άσκηση λέει να βρείτε τα σημεία τομής με τον άξονα x΄x και της γραφικής παράστασης της f

τότε θα λύνουμε την εξίσωση: f (x) 0 (Άσκηση 5 / σελ. 78)

8. Επίσης αν η άσκηση μας ζητάει να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f βρίσκεται άνω ή κάτω από τον άξονα x΄x, τότε θα λύνουμε αντίστοιχα τις ανισώσεις:

f (x) > 0 ή f (x) < 0 (Άσκηση 6/ σελ. 78)

9. Επίσης αν η άσκηση μας ζητάει να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f βρίσκεται στο 1ο, 2ο, 3ο και 4ο τεταρτημόριο, τότε απαιτούμε αντίστοιχα τα εξής:

I : x 0 f x 0

II : x 0 f x 0

III : x 0 f x 0

IV : x 0 f x 0



- 16 -

(Δ) Άλυτες ασκήσεις

Κατηγορία 1η (Εξισώσεις με ακέραιες ρίζες)

1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ρίζα ακέραιο αριθμό;

Α. x2 - 5x + 6 = 0 Β. x

3 - 2x

2 + x - 2 = 0 Γ. 3x

4 - 2x

3 + x - 2 = 0

Δ. 3x4 + x

2 + 7 = 0 Ε. 2x

3 + x + 3 = 0

2. Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις η γραφικής παράσταση αποκλείεται να τέμνει τον άξονα x´x;

Α. f (x) = (x - 2)2 + 2x - 4 Β. g (x) = x

3 - 3x

Γ. h (x) = x4 - 3x

2 + 2 Δ. k (x) = x

5 - 5x + 4

Ε. Φ (x) = (x + 1)4 + x

2 + 5

3. Η εξίσωση x3 - 3x

2 + κx + 2 = 0, κ Ζ αποκλείεται να έχει ακέραια ρίζα τον αριθμό

Α. – 1 Β. 1 Γ. - 2 Δ. 2 Ε. 3

4. Αν η εξίσωση x3 + βx

2 - x + α = 0, α, β Ζ, έχει ρίζα το 3, τότε ο α αποκλείεται να ισούται με

Α. 6 Β. 10 Γ. 12 Δ. 15 Ε. 18

5. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ακέραιες λύσεις των παρακάτω εξισώσεων:

α) x3 - 8x + 7 = 0 β) x

4 - 5x

3 + 6x

2 + x - 2 = 0

γ) (x3 - 2x) x + x + 2 = 0 δ) (x - 1) (x

4 + 4) - 3 (x + 4) = 0

ε) x4 - 2x

3 - 7x

2 + 8x + 12 = 0

6. Αν κ ακέραιος αριθμός να δειχθεί ότι η εξίσωση: 5x2ν

+ 9κx - 1 = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες.

7. Δίνεται η εξίσωση x5 - αx

3 + βx

2 + x - 1 = 0. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση να έχει

το ανώτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών.

Κατηγορία 2η (Εξισώσεις διάφορων μορφών)

8. Η εξίσωση 3 - x = x + κ, κ R* αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθμό

Α. 1 Β. - 1 Γ. 2

3 Δ. 4 Ε.

5

4

9. Αν ρ ρίζα της εξίσωσης 5 - x = κ2 x, κ R* τότε πρέπει :

Α. ρ (0, + ) Β. ρ (- , 0) Γ. ρ [5, + )

Δ. ρ (- , 5] Ε. ρ [0, 5]



- 17 -

10. Αν η εξίσωση x - 3 + κ - x = α, α R, έχει οπωσδήποτε λύση, ποια τιμή δεν μπορεί να πάρει ο κ R*;

Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 Ε. 6

11. Να λύσετε τις παρακάτω ειδικές μορφές εξισώσεων:

α) 4 2x 2x 3 0 (διτετράγωνη μορφή)

β) x6 - 9x

3 + 8 = 0 (επέκταση διτετράγωνης μορφής)

γ) (x2 + 3x - 2)

6 - 9 (x

2 + 3x - 2)

3 + 8 = 0 (γενίκευση διτετράγωνης μορφής)

δ) (x + 2)8 - 3 (x + 2)

4 - 4 = 0 (γενίκευση διτετράγωνης μορφής)

ε)

2

x

1 -x

- 5

x

1 -x + 6 = 0 (της μορφής

2P x P x 0, 0 )

στ) 5 4 4x 1 x 1 x 27x 0 (της μορφής xv = α)

12. Να λυθούν οι κλασματικές εξισώσεις:

α) x

x - 1 +

x + 2

x + 1 =

1 - x

22

β) x + 2x - 4

x - 2

2

= x2

13. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις:

α) (2ημx - 1)4 + 6 (2ημx - 1)

2 - 7 = 0 β) 2ημ

3x + 5ημ

2x + 5ημx + 2 = 0

γ) 2συν4x - 5συν

3x + 5συνx - 2 = 0

14. Να λυθούν οι άρρητες εξισώσεις:

α) 3 -x = 5 β) x - 2 x- 25 = 1

γ) x - 1 x = 2 δ) 2 4x - 5 = 5 - 4x

ε) 5 + x - x 2 = x – 3 στ) x3x2

Κατηγορία 3η (Ανισώσεις)

15. Για ποιας συνάρτησης τη γραφική παράσταση μπορείτε να πείτε με βεβαιότητα και χωρίς καμιά δοκιμή ότι

βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x´x

Α. f (x) = x3 - 3x

2 + x + 2 Β. g (x) = x

2 - 5x

Γ. h (x) = (x3 - 1)

2 + x

4 Δ. k (x) = (x - 1)

2 - 2

Ε. Φ (x) = x4 + x

2 – 2



- 18 -

16. Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f( x ) = 4 3 2

x 5x 3x x . Να βρείτε τα διαστήματα, στα

οποία η γραφική παράσταση βρίσκεται

α) Κάτω από τον άξονα x x . β) Πάνω από τον άξονα x x .

γ) Στο 1ο, 2ο, 3ο και 4ο τεταρτημόριο

17. Να λυθούν οι πολυωνυμικές ανισώσεις:

α) x3 - 2x

2 - x + 2 > 0 β) x

3 + 3x 5x

2 - 9

γ) 3x4 - x

3 - 9x

2 + 9x - 2 0 δ) x

4 - 3x

3 + 6x 4

18. Να λυθούν οι άρρητες ανισώσεις:

α) 2 -x < 1 2x β) 1 4x < 2x - 1

γ) x 5 x 3 δ) 2x 1 2x 1

19. Να λυθούν οι κλασματικές ανισώσεις:

α) x + 2x - 4

x - 2

3

< 1 β) x

x + 1

2

- 4

x - 1

2

x - 12

Κατηγορία 4η (Γενικές ασκήσεις)

20. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x x x x 1 το οποίο έχει παράγοντα το πολυώνυμο 2x 1 .

α) Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ.

β) Να λυθεί η εξίσωση P x 0

γ) Να λυθεί η ανίσωση P x 0

δ) Να λυθεί η ανίσωση : P x P x , 0 33

21. Θεωρούμε το πολυώνυμο 3 3 3P x x 3 x , , . Να δείξετε ότι:

α) Το P x έχει παράγοντα το x

β) Το P x γίνεται γινόμενο με τη μορφή : 2 2 2P x x x x x

γ) 2 2 22 2 2 1

x x x x x2



- 19 -

δ) 0 ή , αν το γ είναι ρίζα του P x

22. Αν το πολυώνυμο 3 2P x 3x ax 4x 4 έχει παράγοντα το 3x 2

α) Να δείξετε ότι: a 5

β) Βρείτε όλους τους παράγοντες του πολυωνύμου P x

γ) Να βρεθούν οι τιμές του τόξου 0,2 , ώστε να ισχύει 3 23 5 4 4 .

23. Ένα εργοστάσιο παράγει x μονάδες ενός προϊόντος την ώρα με κόστος παραγωγής που

χαρακτηρίζεται από τη συνάρτηση P x 5x 6 . Η τιμή πώλησης αυτών των x μονάδων

χαρακτηρίζεται από τη συνάρτηση 3 2x x 2x . Να βρεθούν:

α) Στις πόσες μονάδες παραγωγής δε θα έχει ούτε κέρδος ούτε ζημιά;

β) Για ποιες τιμές των μονάδων παραγωγής θα έχουμε κέρδος;

24. Δίνεται το πολυώνυμο P(x), βαθμού 2v , για το οποίο ισχύει

3 28(x 1)P(x) xP(2x 3) 52x 8x 6x 16 , για κάθε x .

Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 1 είναι 2, τότε,

Α. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2x 6x 5 .

Β. Να αποδείξετε ότι το πηλίκο της διαίρεσης 2P x : x 6x 5 είναι x x 4

Γ. Στη συνέχεια με δεδομένο τα υποερωτήματα (Α) και (Β),

α. Να λυθεί η εξίσωση P(x)=2

β. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της P(x):

i) με τον άξονα y y ii) με την ευθεία y=2

γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x) είναι πάνω από

την ευθεία y = 2.

25. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 2Ρ(x) x (ημ θ) x (ημθ) x α 1 όπου α, θ .

α) Αν η διαίρεση του Ρ(x) με το x είναι τέλεια, να βρείτε το α.

β) Αν α = 1 και η διαίρεση P x : x 1 δίνει υπόλοιπο 3 , να βρείτε τις τιμές του θ.

26. Ο ιδιοκτήτης ενός κρουαζιερόπλοιου , έκανε την εξής συμφωνία με ένα ταξιδιωτικό γραφείο:

«Αν δηλώσουν 100 άτομα η τιμή θα είναι στα 1000 ευρώ. Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά

άτομο μειώνεται κατά 5 ευρώ » .



- 20 -

Αν τελικά ο ιδιοκτήτης έκλεισε την συμφωνία με 97500 ευρώ ,πόσα άτομα τελικά έκλεισαν με το

ταξιδιωτικό γραφείο;

27. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx 3 – (k + λ) x

2 + λx + 1. Αν

1P 7

2

και P ( –1) = 23, τότε :

α. Να αποδείξετε ότι k = – 6 και λ = – 5.

β. Να γίνει η διαίρεση του P(x), με το πολυώνυμο 2x + 1 και να γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας

διαίρεσης.

γ. Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7

28. Έστω κ και λ οι βαθμοί των πολυωνύμων P x Q x αντίστοιχα, τέτοια ώστε

2 3P 2x 1 x 1 Q x 1 ά x και 1 το υπόλοιπο της διαίρεσης Q x : x 3

α) Αν τα πολυώνυμα είναι του ίδιου βαθμού να βρεθεί ο βαθμός τους.

β) Να αποδειχθεί ότι αν v 3 ό k v , ενώ αν v 3 ό k v

γ) Να αποδειχθεί ότι το Q(x) είναι περιττού βαθμού.

δ) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x : x 3

29. Αν το πολυώνυμο P x έχει την ιδιότητα P x P 1 x και P 0 0 , να δείξετε ότι το υπόλοιπο της

διαίρεσης 2P x : x x είναι σταθερός αριθμός.

30. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 4 21 x 4x 2 0, 1 έχει:

α) 2 ρίζες διπλές β) 4 ρίζες διαφορετικές ανά δύο



- 21 -

(Ε) Στοιχεία εκτός μαθήματος

Επεκταμένο σχήμα Horner

Εισαγωγή

Είναι γνωστό ότι το σχήμα Horner είναι μια σύντομη μέθοδος διαίρεσης ενός πολυωνύμου

v v 1

v v 1 1 0 vP x x x ... x 0

με το διώνυμο x p , αντί της κλασικής διαίρεσης.

Με τα παραδείγματα που ακολουθούν, οι συνάδελφοι Γιαννογλούδης Βασίλειος & Τζήκας Ιωάννης

μας δείχνουν μια σύντομη μέθοδος διαίρεσης πολυωνύμου P x με το γενικευμένο διώνυμο

kx p, k,v ό 1 .

Δεν θα αναφέρουμε την απόδειξη, αφού η εργασία υπάρχει στο διαδίκτυο και πόσο μάλλον στο blog

http://lisari.blogspot.com , αλλά λυμένες ασκήσεις που μας εξηγούν την νέα μέθοδο.

Ποια είναι η χρησιμότητα αυτής της μεθόδου; Γιατί να την γνωρίζω; Εκτός από την εύκολη

διαίρεση πολυωνύμων της μορφής k *x : x p, k αποτελεί και μία από τις σημαντικές

εφαρμογές στην εύρεσης ριζών πολυωνύμων στο σύνολο των άρρητων και φανταστικών αριθμών.

http://lisari.blogspot.com/



- 22 -

Εφαρμογές

1η. Να γίνει η διαίρεση: 5 4 3 2 22x 3x 8x 8x 2x 1 : x 2 .

Απάντηση: Έχουμε

2 3 -8 8 -2 1 -2

-4 -6 24 -4

2 3 -12 2 22 -3

Συντελεστές πηλίκου Συντελεστές υπολοίπου

Άρα 5 4 3 2 2 3 22x 3x 8x 8x 2x 1 x 2 2x 3x 12x 2 22x 3

2η. Να γίνει η διαίρεση 4 3 24x 5x 2x 7 : 2x 3

Απάντηση: Έχουμε, 2 2 32x 3 2 x

2

, άρα

4 -5 0 2 -7 -

2

3

-6

2

15

9

4 -5 -6 19

2

2

Συντελεστές πηλίκου Συντελεστές υπολοίπου

Άρα, 4 3 2 2 2 23 19 5 194x 5x 2x 7 x 4x 5x 6 x 2 2x 3 2x x 3 x 2.

2 2 2 2

3η: Να γίνει η διαίρεση 6 5 4 3 2 3x 4x 3x 9x 6x 7x 2 : x 2

Απάντηση: Έχουμε

Άρα 6 5 4 3 2 3 3 2 2x 4x 3x 9x 6x 7x 2 x 2 x 4x 3x 11 14x x 20

1 -4 -3 9 -6 7 -2 2

2 -8 -6 22

1 -4 -3 11 -14 1 20



- 23 -

Β) Εφαρμογές στη επίλυση πολυωνυμικών Εξισώσεων

Θεώρημα: Έστω εξίσωση τετάρτου βαθμού α4x4

+ α3x3

+ α2x2

+ α1x + α0 = 0 ,με α4,α3,α1,α0 0(1).

Αναγκαία συνθήκη για να έχει το πολυώνυμο της εξίσωσης (1) παράγοντα το x2

- ρ είναι το ρ=-3

1

a

a

1η Εφαρμογή: Να λυθεί η εξίσωση 4 3 22x x 9x 5x 5 0 (2).

Απάντηση: Διαπιστώνουμε ότι οι πιθανές ρίζες: 1, 5 δεν είναι ρίζες της εξίσωσης.

Έστω ότι το πολυώνυμο έχει πιθανό παράγοντα τον x2 - ρ.

Τότε το ρ=-3

1

a

a =5. Τον ελέγχουμε:

2 1 -9 -5 -5 5

10 5 5

2 1 1 0 0

Άρα είναι ο x2

- 5 παράγοντας και η (2) γίνεται:

(x2-5)(2x

2+x+1)=0 x

2-5=0 ή 2x

2+x+1=0

x= 5 ή x=1 i 7

4

(μιγαδικές λύσεις – Γνώσεις Γ Λυκείου)

Σημείωση: Η εφαρμογή 1 λύθηκε χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα. Στην παρακάτω

εφαρμογή, θα δώσουμε την απάντηση ενσωματώνοντας το θεώρημα στη λύση, ώστε να μην υπάρχει

επιβάρυνση της μνήμης με την γνώση του θεωρήματος.

2η Εφαρμογή: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x

4-x

3+6x

2-5x+5=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Απάντηση: Υποθέτουμε ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντα της μορφής x2 - ρ. Τότε έχουμε

1 -1 6 -5 5 ρ

ρ -ρ ρ2+6ρ

1 -1 ρ+6 -ρ-5 ρ2+6ρ+5

Συντ Πηλίκου

Συντ. υπολοίπου

Άρα πρέπει -ρ-5=0 ρ= -5 άρα έχουμε:

Συνεπώς η δοθείσα εξίσωση γίνεται:

(x2 + 5)(x

2 – x + 1)=0 x

2+5=0 ή x

2 – x + 1 = 0.

Η πρώτη εξίσωση είναι αδύνατη στο R και της δεύτερης η Δ= - 3 < 0, άρα δεν έχει ρίζες στο R.

1 -1 6 -5 5 -5

-5 5 -5

1 -1 1 0 0

Άλγ 0βρα 2012 ú΄ υκκκεεείου · - 2 - ( ù) Πολυώνυμα 1. Περί...

Documents

Transcript of Άλγ 0βρα 2012 ú΄ υκκκεεείου · - 2 - ( ù) Πολυώνυμα 1. Περί...