ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 2014.pdf
1
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Θεωρούμε τους μιγαδικούς z για τους οποίους ισχύει: (i 2013 z-4-3i)( z -3-4i)=4i (1) α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z| γ) Aν z 1 ,z 2 δύο μιγαδικοί οι εικόνες των οποίων είναι αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω κύκλου, να δείξετε ότι |z 1 +z 2 |-|z 1 -z 2 |=6 δ) Έστω z 3 μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση (1) και w 1 ,w 2 οι ρίζες της εξίσωσης w 2 +2(|z 3 |-5)w+9=0 i) Να δείξετε ότι οι w 1 ,w 2 δεν είναι πραγματικοί αριθμοί ii) Να υπολογίσετε τα |w 1 | και |w 2 | iii) Να δείξετε ότι 0 3 3 = + − i w i w Re 1 1 iv) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w 1 ,w 2 , 2 1 2 1 3 w 3 w w w w − − = 3 είναι ομοκυκλικά σημεία ε) Δίνονται επιπλέον οι μιγαδικοί u 1 ,u 2 για τους οποίους ισχύουν: • u 1 = (5λ-1)+(-10λ-3)I , λєℜ • |u 2 -1|=Re(u 2 )+1 i) Nα δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του u 1 είναι ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση, ενώ γεωμετρικός τόπος των εικόνων του u 2 είναι παραβολή, της οποίας να βρείτε την εστία Ε. ii) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του |z-u 1 | και την ελάχιστη τιμή του |u 1 -u 2 |
-
Upload
thanasis-kopadis -
Category
Documents
-
view
3.616 -
download
1
description
Μιγαδικοί αριθμοί
Transcript of ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 2014.pdf
-
z : (i2013 z-4-3i)( z -3-4i)=4i (1)
) z .
) |z|
) A z1,z2 , |z1+z2|-|z1-z2|=6
) z3 (1) w1,w2 w2+2(|z3|-5)w+9=0
i) w1,w2 ii) |w1| |w2| iii) 0
33
=
+
iwiwRe
1
1
iv) w1,w2 ,
21
213
w3
w
www
=
3
) u1,u2 :
u1 = (5-1)+(-10-3)I ,
|u2-1|=Re(u2)+1
i) N u1 , ,
u2 ,
.
ii) |z-u1| |u1-u2|
