Κεφάλαιο 2: Βασικές...

Κεφάλαιο 2: Βασικές Έννοιες 37

Κεφάλαιο 2

Βασικές Έννοιες

2.1 Γεωμετρικές και αναλυτικές μέθοδοι στα μαθηματικά

Τον 17ο αιώνα, ο Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός Descartes (1596-1650), γνωστός σε μας με το εξελληνι-σμένο όνομα Καρτέσιος, χρησιμοποίησε συντεταγμένες για την περιγραφή σημείων του χώρου με αριθμούς. Μολονότι η ιδέα αυτή δεν ήταν πρωτοφανής (αρκεί να αναφερθούμε στο γεωγραφικό μήκος και πλάτος της γεωγραφίας του Πτολεμαίου), οι συντεταγμένες δεν αναφέρονται πλέον στον πραγματικό χώρο αλλά στον αφηρημένο χώρο της γεωμετρίας και πηγάζουν από την επιθυμία να λυθούν καθαρά γεωμετρικά προβλήματα με αλγεβρικά μέσα. Η προσέγγιση αυτή οφείλεται όχι μό-νο στον Descartes, αλλά και τον σύγχρονο του Fermat (1601-1665) και ξεκινά με τον Vieta (1540-1603) που πρώτος χρησιμοποιεί αλγεβρικές μεθόδους για την επίλυση «κατασκευαστικών» προβλημάτων της γεωμετρίας. Χάρις στην ευρύτερη επιρροή της φιλοσοφικής σκέψης του Descartes στους σύγχρονους και μεταγενέστερους του, η νέα μεθοδολογία έπαιξε ένα καταλυτικό ρόλο στην μετέπειτα εξέλιξη των μαθηματικών και της φυσικής, επειδή επέτρεψε τη σύνδε-ση ανάμεσα στις, μέχρι τότε κυρίαρχες, γεωμετρικές μεθόδους και στις «αριθμη-τικές» μεθόδους για τις οποίες επικράτησε η ονομασία «αναλυτικές μέθοδοι».

René Descartes

Με αυτή τη σύνδεση γεωμετρίας και άλγεβρας, γεωμετρικά αντικείμενα μπο-ρούν να περιγραφούν με αναλυτικά (δηλαδή μαθηματικά - αριθμητικά) μέσα. Για παράδειγμα μία ευθεία περιγράφεται από μία πρωτοβάθμια εξίσωση, ή μία κωνική τομή (κύκλος, έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) από μία κατάλληλη (κατά περίπτωση) δευτεροβάθμια εξίσωση. Αλλά και αντίστροφα, μαθηματικά αντικεί-

38 Γεωμετρικές και αναλυτικές μέθοδοι στα μαθηματικά

μενα επιδέχονται μία γεωμετρική ερμηνεία, για παράδειγμα σε μία συνάρτηση μιας μεταβλητής ( )y x αντιστοιχεί η γραφική της παράσταση, δηλαδή μία κα-μπύλη στο επίπεδο με συντεταγμένες x και y . Την περιγραφή μαθηματικών εννοιών, όπως οι αλγεβρικές εξισώσεις, με γεωμετρικά μέσα είχαν ήδη χρησιμο-ποιήσει Έλληνες μαθηματικοί.

Η αλήθεια είναι ότι η επιστημονική κοινότητα χρειάστηκε πολύ χρόνο για να αποδεχτεί την αντικατάσταση των γεωμετρικών μεθόδων (ή μάλλον του γεω-μετρικού τρόπου σκέψης) με την αναλυτική προσέγγιση, παρά τα αδιαμφισ-βήτητα πλεονεκτήματα της τελευταίας. Χαρακτηριστική είναι η στάση του Νεύ-τωνα, παρά το γεγονός ότι υπήρξε (ταυτόχρονα με τον Leibniz) ο θεμελιωτής του κυρίαρχου αναλυτικού μαθηματικού εργαλείου του διαφορικού-ολοκλη-ρω(μα)τικού λογισμού. Τα αίτια του σκεπτικισμού αυτού πρέπει να αναζητη-θούν στην αίγλη που ασκούσε, από την αναγέννηση και μετά, η αρχαία ελληνι-κή σκέψη και ιδιαίτερα η αυστηρή λογική προσέγγιση των μεθόδων της γεωμε-τρίας. Η αυστηρή μαθηματική θεμελίωση των αναλυτικών μεθόδων ήρθε πολύ αργότερα και υπήρξε ουσιαστικά έργο του εικοστού αιώνα.

Η έννοια του «συστήματος συντεταγμένων» και εκείνη του «συστήματος ανα-φοράς», καίτοι διαφορετικές, συγχέονται μεταξύ τους εξαιτίας της στενής σχέ-σης που έχουν στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας, η οποία αποτελεί ανα-πόσπαστο μέρος της κλασσικής Νευτώνειας φυσικής. Η σχέση αυτή δεν επιζεί στις πιο σύγχρονες φυσικές θεωρίες, όπως η ειδική και η γενική θεωρία της σχε-τικότητας του Αϊνστάιν, αλλά ούτε καν στην κλασσική περιγραφή μη επίπεδων χώρων, όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της Νευτώ-νεια μηχανικής που δεν επιζεί σε νεότερες θεωρίες είναι ο διαχωρισμός χώρου και χρόνου. Στη θεωρία της σχετικότητας χώρος και χρόνος παραμένουν αδια-χώριστοι στα πλαίσια ενός τετραδιάστατου «χωροχρόνου», «σημεία» του οποί-ου αποτελούν τα «γεγονότα» (γεγονός ίσον τόπος συν χρονική στιγμή).

Μολονότι εδώ θα περιοριστούμε κυρίως στα συστήματα αναφοράς και χρόνου στα πλαίσια της Νευτώνειας μηχανικής, υπάρχουν περιπτώσεις, όπως για παρά-δειγμα η ανάλυση παρατηρήσεων γεωδαιτικών δορυφόρων, όπου η επίδραση της θεωρίας της σχετικότητας δεν μπορεί να αγνοηθεί, επειδή είναι σημαντική σε σχέση με την ακρίβεια των διαθέσιμων παρατηρήσεων.

Για να ξεκαθαρίσουμε λοιπόν τις σχετικές έννοιες του συστήματος συντεταγ-μένων και του συστήματος αναφοράς, θα τις εξετάσουμε πρώτα από μια γενικό-τερη σκοπιά για να δούμε στη συνέχεια πως αυτές σχετίζονται και σχεδόν ταυτί-ζονται στα πλαίσια της ευκλείδειας γεωμετρίας.


2.2 Συστήματα συντεταγμένων και τοπικά διανυσματικά συστήματα αναφοράς

Αναλυτική περιγραφή των σημείων του χώρου

Ένα σύστημα συντεταγμένων είναι μία απεικόνιση (συνάρτηση) η οποία σε κά-θε σημείο , ενός συγκεκριμένου γεωμετρικού χώρουP n διαστάσεων, αντιστοι-χεί n πραγματικούς αριθμούς , , ...1( )q P 2 ( )q P , . ( )nq P

Μία ουσιαστική ιδιότητα του συστήματος συντεταγμένων είναι ο αμφιμονοσή-μαντος χαρακτήρας της σχετικής απεικόνισης: σε διαφορετικά σημεία πρέπει να αντιστοιχούν διαφορετικές συντεταγμένες αλλά και σε διαφορετικές συντεταγ-μένες διαφορετικά σημεία. Η απαραίτητη ιδιότητα αυτή, μπορεί εύκολα να ικα-νοποιηθεί για ένα επίπεδο ή για τον επίσης επίπεδο (ευκλείδειο) τρισδιάστατο χώρο, αλλά όχι, π.χ., για την δύο διαστάσεων επιφάνεια μιας σφαίρας.

Το πρόβλημα αυτό ξεπερνιέται στα θεωρητικά μαθηματικά με τη χρησιμοποίη-ση δύο ή περισσότερων συστημάτων συντεταγμένων, τα οποία συνιστούν έναν «άτλαντα», το καθένα από τα οποία καλύπτει ένα μέρος μόνο του αντίστοιχου χώρου, έτσι ώστε να καλύπτεται το σύνολο του χώρου. Στα εφαρμοσμένα όμως μαθηματικά προτιμούμε τη χρήση «προβληματικών» αλλά απλούστερων ενιαί-ων συστημάτων συντεταγμένων, έχοντας επίγνωση των ενδεχόμενων λαθών που μπορούν να προκύψουν από τη χρήση τους.

Για παράδειγμα στην επιφάνεια της σφαίρας (σχήμα 1) χρησιμοποιούμε για συ-ντεταγμένες το σφαιρικό μήκος λ και πλάτος φ , παρά το γεγονός ότι δια-

BP

NP

λ

φ

P

Σχήμα 1:

Σφαιρικό πλάτος και μήκος

40 Συστήματα συντεταγμένων και τοπικά διανυσματικά συστήματα αναφοράς

φορετικές συντεταγμένες , αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο , τον «βόρειο» πόλο της σφαίρας, ενώ το ίδιο πρόβλημα εμφανίζεται και στον «νότιο» πόλο, όπου και

.

= = = =1 1 2 2( ) ( ) 90φ φ P φ φ P = π =1 1 2 2( ) ( )λ λ P λ λ P=1P P2

= = -1 2 90φ φπ1 2λ λ

Αν κρατήσουμε όλες τις συντεταγμένες σταθερές εκτός από μία στην οποία επιτρέπουμε να λάβει όλες τις πραγματικές τιμές, τα σημεία που προκύπτουν σχηματίζουν μία καμπύλη γραμμή που ονομάζεται καμπύλη της σχετικής συντε-ταγμένης (σχήμα 2). Για το λόγο αυτό οι συντεταγμένες ονομάζονται καμπυλό-γραμμες συντεταγμένες, σε αντιδιαστολή με τις ευθύγραμμες ή καρτεσιανές συντεταγμένες τις οποίες θα γνωρίσουμε στη συνέχεια.

Για παράδειγμα στην περίπτωση των σφαιρικών συντεταγμένων μήκος , πλάτος και ακτινική απόσταση , οι καμπύλες των συντεταγμένων έχουν ως εξής: H -καμπύλη ( φ και r σταθερά) είναι κύκλος σε επίπεδο κάθε-το στον άξονα , με κέντρο πάνω στον ίδιο άξονα (παράλληλος κύκλος) και ακτίνα τέτοια ώστε να διέρχεται από το σημείο . Η -καμπύλη ( και σταθερά) είναι κύκλος σε επίπεδο που περιέχει τον άξονα με κέντρο την αρχή (μεσημβρινός κύκλος) και ακτίνα τέτοια ώστε να διέρχεται από το ση-μείο . Η -καμπύλη ( και σταθερά) ταυτίζεται με την ημιευθεία με άκρο την αρχή O η οποία διέρχεται από το σημείο .

=1q λ=2q φ =3q r

λ3Ox

P φ λ r3Ox

OP r λ φ

P

Περιορίζοντας τη συζήτηση στον τρισδιάστατο φυσικό χώρο, ένα σύστημα συ-ντεταγμένων , , έχει σκοπό την περιγραφή του χώρου με αριθμούς, έτσι ώστε να είναι δυνατή η εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών σχε-τικών με φυσικά φαινόμενα που συμβαίνουν σ’ αυτόν. Για να γίνει όμως κάτι τέτοιο κατορθωτό είναι απαραίτητο να περιγραφούν με αριθμητικά μέσα και τα διάφορα φαινόμενα που συμβαίνουν στα σημεία του γεωμετρικού χώρου. Το πιο απλό παράδειγμα είναι ένα βαθμωτό φυσικό φαινόμενο, (όπως π.χ. η θερμο-κρασία, η πίεση, κλπ.), δηλαδή ένα φαινόμενο για το οποίο σε κάθε σημείο αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός . Η χρησιμοποίηση συντεταγμένων επιτρέπει την περιγραφή του φυσικού αυτού φαινομένου με τη βοήθεια αναλυ-τικών μέσων και συγκεκριμένα με μία πραγματική συνάρτηση τριών ανε-ξάρτητων μεταβλητών , όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές , ,

είναι οι συντεταγμένες του τυχόντος σημείου .

1( )q P 2 ( )q P 3( )q P

P( )f P

1 2 3( , , )f q q q 1q 2q3q P


Αναλυτική περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων

Περισσότερο πολύπλοκα φυσικά φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν αναλυτι-κά, ξεκινώντας από την εξέταση ενός διανυσματικού φυσικού φαινομένου, που αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χώρου και εκτός από μέγεθος έχει και διεύθυνση και φορά, όπως π.χ. η δύναμη, η ταχύτητα, η επιτάχυνση κλπ. Συμβολίζομε ένα διάνυσμα (διανυσματικό μέγεθος) με ένα βέλος, π.χ. , απο-μένει όμως να βρεθεί ένας τρόπος ώστε το σύμβολο αυτό να αντικατασταθεί με 3 πραγματικούς αριθμούς (2 χρειάζονται για τη διεύθυνση και 1 για το μέγεθος). Για να το πετύχουμε αυτό πρέπει να εισάγουμε τοπικά (δηλαδή στο συγκεκρι-μένο σημείο όπου εμφανίζεται το διάνυσμα

v

P v ) τρία διανύσματα , , , τα οποία όμως να μη βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο.

1e 2e 3e

Δύο θεμελιώδεις ιδιότητες των τοπικών φυσικών διανυσματικών μεγεθών είναι η δυνατότητα πολλαπλασιασμού τους με έναν πραγματικό αριθμό και η πρό-σθεση δύο διανυσμάτων με όμοια φυσικά χαρακτηριστικά. Με τον πολλαπλασι-ασμό το αρχικό διάνυσμα

λ

v αντικαθίσταται από ένα νέο διάνυσμα , το ο-ποίο σε σχέση με το

λvv έχει τη ίδια διεύθυνση, μέγεθος πολλαπλασιασμένο με

την απόλυτη τιμή | , την ίδια φορά όταν και αντίθετη φορά όταν . Η πρόσθεση δύο διανυσμάτων

|λ > 0λ < 0λv και u , από την οποία προκύπτει ένα νέο διά-

νυσμα είναι μία φυσική ιδιότητα των τοπικών διανυσμάτων: Για πα-ράδειγμα αν σε ένα σημείο επιδρούν ταυτόχρονα δύο δυνάμεις

= +w v u1f και , το

αποτέλεσ ίδιο όπως και στην περίπτωση που θα επιδρούσε μόνο μία δύναμη

2fμα είναι το = +1 2f f f .

Τις δύο παραπάνω ιδιότητες του πολλαπλασιασμού και της άθροισης συ-νοψίζουμε λέγοντας ότι το σύνολο των τοπικών διανυσμάτων συνιστά ένα «γραμμικό διανυσματικό χώρο». Από μαθηματική σκοπιά αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός +λv μu ( λ και μ πραγματικοί), δύο οποιωνδήποτε τοπικών διανυσμάτων v και u , συνιστά ένα τοπικό διάνυσμα

. = +w λv μuΑς σημειωθεί ότι αποφεύγουμε εδώ την συνηθισμένη γραφική παράσταση των διανυσμάτων με ευθύγραμμα βέλη τα οποία έχουν αρχή το σημείο εφαρμογής, διεύθυνση και φορά ίδια με το διάνυσμα, και μήκος ίσο με το μέγεθος του δια-νύσματος. Η γραφική αυτή απεικόνιση είναι δυνατή μόνο σε επίπεδους χώρους όπου μπορούν να «σχεδιαστούν» τέτοια ευθύγραμμα βέλη και όχι σε γενικότε-ρους «καμπύλους» χώρους όπως η επιφάνεια μιας σφαίρας ή ο χωροχρόνος της


(γενικής) θεωρίας της σχετικότητας. Έτσι η συζήτηση διατηρείται σε ένα γενι-κότερο επίπεδο πριν εξειδικευτεί στο επόμενο κεφάλαιο στην περίπτωση του ευκλείδειου χώρου της κλασσικής φυσικής.

Με την εισαγωγή μιας τοπικής διανυσματικής βάσης (ή ενός τοπικού διανυ-σματικού συστήματος αναφοράς) 1e , 2e , 3e , είναι δυνατό να εκφράσουμε ο-ποιοδήποτε τοπικό διάνυσμα v ως ένα γραμμικό συνδυασμό

È ˘Í ˙

È ˘= + + = =Í ˙Î ˚Í ˙Í ˙Î ˚

1

1 2 3 21 2 3 1 2 3

3

v

v v e v e v e e e e v

v

e v . (1)

Στην παραπάνω σχέση εισάγαμε χάριν ευκολίας τον συμβολισμό πινάκων θέτο-ντας

È ˘= Î ˚1 2 3e e ee ,

È ˘Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

1

2

3

v

v

v

v . (2)

Οι τρεις πραγματικοί αριθμοί αποτελούν τις συνιστώσες του διανύ-σματος , ως προς τη συγκεκριμένη βάση. Οι συνιστώσες βρίσκονται σε αμφι-μονοσήμαντη αντιστοιχία με τα διανύσματα: διαφορετικά διανύσματα έχουν διαφορετικές συνιστώσες και διαφορετικές συνιστώσες αντιστοιχούν σε διαφο-ρετικά διανύσματα. (Προσοχή: συνιστώσες ή συντεταγμένες είναι διαφορετικές όταν διαφέρει έστω και μία μόνο από αυτές). Η αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία διανυσμάτων και συνιστωσών, (η οποία επιτρέπει την αντικατάσταση του ενός από το άλλο), είναι συνέπεια του γεγονότος ότι τα διανύσματα βάσης δεν βρί-σκονται στο ίδιο επίπεδο και επομένως είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή κα-νένα από αυτά δεν μπορεί να προκύψει από γραμμικό συνδυασμό των δύο άλ-λων.

1 2 3, ,v v vv

Αναλυτική περιγραφή των διανυσματικών πεδίων

Πολλά φυσικά διανυσματικά φαινόμενα, όπως π.χ. η έλξη ανά μονάδα μάζας που ασκεί η γη πάνω σε άλλα σώματα, δεν έχουν τοπικό χαρακτήρα αλλά ορί-ζονται σε κάθε σημείο του χώρου. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για ένα δια-


νυσματικό πεδίο, δηλαδή σε μία απεικόνιση κάθε σημείου του χώρου σε ένα αντίστοιχο τοπικό διάνυσμα

P( )v P . Για την αναλυτική περιγραφή των διανυσμα-

τικών πεδίων χρειάζεται να εισάγουμε μια τοπική διανυσματική βάση , , , σε κάθε σημείο του χώρου, δηλαδή να εισάγουμε ένα «πεδίο δια-

νυσματικών βάσεων». Αυτό δεν μπορεί να γίνει αυθαίρετα αλλά με «ομαλό» τρόπο, έτσι ώστε όταν μεταβάλλεται η θέση κατά τρόπο συνεχή (π.χ. κατά μή-κος μιας καμπύλης) να μεταβάλλονται και τα διανύσματα βάσης με τρόπο συνε-χή χωρίς απότομα «πηδήματα» (ασυνέχειες).

1( )e P2 ( )e P 3( )e P

Αν αντικαταστήσουμε το διάνυσμα

= + +1 2 31 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v P v P e P v P e P v P e P3

με τις συνιστώσες του , , και το σημείο με τις συντεταγμέ-νες του , , , προκύπτει η αναλυτική περιγραφή του διανυσματικού πεδί-ου μέσω τριών συναρτήσεων τριών ανεξάρτητων μεταβλητών

1( )v P 2 ( )v P 3( )v P P1q 2q 3q

, , . 1 1 2 3( , , )v q q q 2 1 2 3( , , )v q q q 3 1 2 3( , , )v q q q

Αναλυτική περιγραφή των τανυστών

Για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων χρειάζονται και φυσικά αντικείμε-να περισσότερο πολύπλοκα τα οποία ονομάζονται τανυστές. Εντούτοις και οι τανυστές μπορούν να περιγραφούν αναλυτικά με βάση την αντίστοιχη περι-γραφή των διανυσμάτων. Σαν πρώτο βήμα εισάγονται τοπικά οι γραμμικές μορφές οι οποίες είναι γραμμικές απεικονίσεις των διανυσμάτων σε πραγ-ματικούς αριθμούς

α v( )a v .

Ο όρος γραμμική απεικόνιση σημαίνει ότι ικανοποιείται η γραμμική ιδιότητα

+ = +( ) ( ) (a λv μu λa v μa u) (3)

για οποιαδήποτε διανύσματα v , u και πραγματικούς αριθμούς , . Στην συνέχεια οι τανυστές ορίζονται ως γραμμικές απεικονίσεις T , ενός αριθμού διανυσμάτων

λ μr

1v , 2v , ..., rv και γραμμικών μορφών , , ..., , σε πραγμα-τικούς αριθμούς

s 1α 2α sα… …1 2 1 2( , , , , , , , )r sT v v v α α α .

Τον ουσιαστικότερο ρόλο στον τανυστικό λογισμό παίζει ο ιδιαίτερος τρόπος επιλογής των τοπικών διανυσματικών βάσεων (σχήμα 2). Κάθε διάνυσμα βάσης


q , q = staq.2 3

q , q = σταθ.1 3q , q = σταθ.1 2

P

e2

e1�

e3

Σχήμα 2: Η τοπική διανυσματική βάση με διανύσματα εφαπτόμενα στις καμπύλες των συντεταγμένων

( )ie P επιλέγεται να είναι εφαπτόμενο, στο σημείο , στην καμπύλη της αντί-στοιχης συντεταγμένης (όπως αυτή ορίστηκε παραπάνω), και να έχει μέγε-θος ίσο με την τιμή στο του ρυθμού μεταβολής του μήκους της κα-μπύλης σε σχέση με τη συντεταγμένη iq (σχετικές λεπτομέρειες στο κεφ. 3.1).

Η συν

Piq

P / ids dqs

έπεια της επιλογής αυτής είναι ιδιαίτερα μεγάλης σημασίας: η μορφή που

2.3 Συστήματα συντεταγμένων και αναφοράς

Ευκλείδειος χώρος και παράλληλη μετάθεση

οποιείται στη Νευτώνεια μη-

εισάγεται ως συστατικό στοιχείο με

παίρνουν οι εξισώσεις περιγραφής των φυσικών φαινομένων είναι πάντοτε η ίδια, ανεξάρτητα από ποιο σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων χρησιμοποιεί-ται.

στον ευκλείδειο χώρο

Το μαθηματικό μοντέλο για τον χώρο που χρησιμχανική, συστηματοποιήθηκε από τον Ευκλείδη στα περίφημα «Στοιχεία» του, όπου περιγράφεται με βάση ορισμένα αξιώματα, από τα οποία το περίφημο «5ο αξίωμα» αποτελεί και την πεμπτουσία της ευκλείδειας γεωμετρίας. Στη σύγχρο-νη του διατύπωση το αξίωμα αυτό εισάγει την ιδιότητα ότι «από δοσμένο ση-μείο διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς δοσμένη ευθεία». Για την ιστο-ρία ας συμπληρώσουμε ότι επί αιώνες οι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με το ερώ-τημα αν το αξίωμα αυτό είναι αυτοτελές, ή λογική συνέπεια των υπόλοιπων αξιωμάτων ώστε να μπορεί να αποδειχτεί από αυτά. Την απάντηση έδωσε τελι-κά η εισαγωγή μη ευκλείδειων γεωμετριών από τους Lobatsevsky και Riemman. Η γεωμετρία του Riemman μάλιστα αποτελεί το μαθηματικό μοντέλο του χω-ροχρόνου της θεωρίας της σχετικότητας.

Σε έναν ευκλείδειο χώρο η ευθεία γραμμή


την ιδιότητα να περνά μόνο μία ευθεία από δύο σημεία, ενώ το αντίστοιχο ευ-θύγραμμο τμήμα είναι η συντομότερη καμπύλη που ενώνει τα δύο σημεία. Το 5ο αξίωμα μας επιτρέπει να μεταφέρουμε μία ευθεία σε οποιοδήποτε άλλο σημείο διατηρώντας τη διεύθυνση της μέσω μιας παράλληλης μετάθεσης. Σε κάθε ση-μείο οποιαδήποτε κατεύθυνση ορίζεται μονοσήμαντα από μία ευθεία που διέρ-χεται από το σημείο, πράγμα που μας επιτρέπει να θεωρήσουμε τις ευθείες ως «φορείς» των διανυσμάτων και να παραστήσουμε τα τελευταία με ευθύγραμμα τμήματα μήκους ίσου με το μέγεθος τους. Επιπλέον μπορούμε να μεταφέρουμε παράλληλα κάθε διάνυσμα από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο, αρκεί να με-ταφέρουμε παράλληλα την ευθεία-φορέα του.

Άθροιση διανυσμάτων

ιτρέπει να ορίσουμε με γεωμετρικό H παράλληλη μετάθεση διανυσμάτων μας επτρόπο το άθροισμα +u v δύο διανυσμάτων u και v που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο (ή ακόμα και διανυσμάτων που δεν εφαρ όζονται στο ίδιο σημείο αρκεί το άθροισμα που προκύπτει να έχει φυσικό νόημα). Το διάνυσμα

μ v με-

ταφέρεται παράλληλα έτσι ώστε η αρχή του να συμπέσει με την κορυφή του u , οπότε το διάνυσμα +u v έχει αρχή την αρχή του u και κορυφή την κορυφή του v στη νέα του θέση. Το ίδιο άθροισμα θα προκύψει αν αντί για το v με-ταφερθεί παράλληλα το διάνυσμα u (γεγονός που εκφράζει γεωμετρικ την ιδιότητα + = +u v v u ). Το άθροισμα μπορεί να επεκταθεί και σε οσαδήποτε διανύσμα νύσματα

ά

τα. Aν τα δια 1u , 2u , ..., nu τοποθετηθούν σε σειρά (σχήμα 3) έτσι ώστε το τέλος καθενός να είναι η ρχή του επομένου, το διάνυσμα με αρχή την αρχή του

α1u και κορυφή την κορυφή του nu αντιστοιχεί στο άθροισμα

+ + +…1 nu u u .

2

vu��

+v�

u

u�

v� 1u

�

54321 uuuuu��

++++

2u�

3u�

4u�

5u�

2u�

3u�

4u�

5u�

Σχήμα 3:

Άθροιση διανυσμάτων με παράλληλη μετάθεση

46 Συστήματα συντεταγμένων και αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο

Σύστημα αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο

Χάρις στην δυνατότητα παράλληλης μετάθεσης των διανυσμάτων, αρκεί να επιλέξουμε ένα σημείο του χώρου, να ορίσουμε εκεί μία διανυσματική βάση O

1( )e O , 2 ( )e O , 3( )e O και να την μεταθέσουμε παράλληλα σε κάθε σημείο του χώρου ώστε να προκύψει ένα πεδίο τοπικών διανυ βάσεων P σματικών 1( )e P ,

2 ( )e P , 3( )e P .

1( )e O , 2 ( )e O , Η βάση 3( )e O αποτελεί έτσι ένα στημα αναφοράς, ενώ το σημείο αποτελεί την

παγκό ύ-αρχή του συστήματος.

ρ

σ

σμιο (διανυσματικό) σ O

∆ιάνυσμα θέσης και κα τεσιανές συντεταγμένες

Σε κάθε ημείο P μπορεί να αντιστοιχηθεί ένα διάνυσμα =x OP , με αρ ο χή τ και τέλος το σημείο , το οποίο ονομάζεται διάνυσμα θέσης του σημείου

). Οι σ τώ ςO P P (σχήμα 4 υ σενισ 1x , 2x , 3x του διανύσματος θέσης

33

22

11 exexexx

��++=

33 ex�

22

11 exex

��+2

2 ex�

11ex�

3e�

2e�

1e�O

P

Σχήμα 4:

Διάνυσμα θέσης και καρτεσιανές συντεταγμένες σεφοράς με τυχούσα (μη ορθογώνια)

σύστημα ανα-

διανυσματική βάση

= + +1 2 31 2 3x x e x e x e , (4)

ως προς το παγκόσμιο διανυσματικό σύστημα αναφοράς 1( )e O , 2 3

ν, οι οποίες ονομάζονται καρτ

ίρνει τη μορφή

( )e O , ( )e O , αποτελούν μία ιδιαίτερη επιλογή συντεταγμένω ε-σιανές συντεταγμένες.

Με συμβολισμό πινάκων η παραπάνω σχέσ πα

η

È ˘Í ˙

È ˘= =Í ˙Î ˚Í ˙

1

21 2 3

x

x e e e x ex , (5)

Í ˙Î ˚3x


με διάνυσμα συντεταγμένων

È ˘Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

1

2

3

x

x

x

x . (6)

Απευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων

ς

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες μπορούν να προκύψουν και απευθείας με την εξής γεωμετρική κατασκευή: Επιλέγεται ένα σημείο και 3 ευθείες (άξονες)

, που διέρχονται από αυτότική και μία αρνητική κατεύθυνση. Από το σημείο (σχήμα 5) φέρουμε επί-πεδο παράλληλο προς το επίπεδο των και το οποίο τέμνει τον

ξονα στο σημείο . Η συντεταγμένη

χωρίς το σύστημα αναφορά

O1Ox , πάνω στις οποίες επιλέγεται μία θε-2Ox , 3Ox ,

P1π 2Ox 3Ox

1Ox 1P 1x είναι ίση με την απόσταση ς του άξονα και

ίσκεται στο αρνητικό σκέλος. Παρόμοια επίπε-

1OP άμε θετικό πρόσημο όταν το 1P βρίσκεται στο θετικό σκέλοαρνητικό πρόσημο όταν αυτό βρ

1Ox

δο 2π παράλληλο προς το επίπεδο 1Ox , 3Ox τέμνει τον άξονα 2Ox στο σημείο 2P , ενώ επίπεδο 3π παράλληλο προς το επίπεδο Ox , 2Ox τέμνει τον άξονα

Ox 1

3 στο σημείο 3P . Οι αποστάσεις 2OP και 3OP , με το κατάλληλο πρόσημο όπως εξηγήθηκε παραπάνω, αποτελούν τις συντεταγμένες 2x και 3x , αντί-στοιχα, του σημείου P .

Είδαμε ότι από το σύστημα αναφοράς προκύπτουν με τρόπο φυσικό οι καρσιανές συντεταγμένες, αλλά ισχύει και το αντίστροφο. Μετά την επιλογή της αρχής O και των αξόνων 1Ox , 2Ox , 3Ox του συστήματος των καρτεσιανών

τε-

O

P

1x

2x

3x

1x

2x

3x

1π2π

3π

1P

2P

3P

Σχήμα 5:

Aπευθείας ορισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς την εισαγωγή συστήματος αναφοράς


συντεταγμένων, έχει ουσιαστικά επιλεγεί και ένα παγκόσμιο σύστημα ανα-φοράς, αρκεί να ορίσουμε τα διανύσματα βάσης 1( )e O , 2 ( )e O , 3( )e O συγγραμ-μικά με τα θετικά σκέλη των αξόνων και να επιλέξουμε το μήκος τους (κατά προτίμηση ίσο με 1). Σε κάθε άλλο σημείο , οι «καμπύλες» των καρτεσιανών συντεταγμένων, οι οποίες προκύπτουν μετκρατώντας τις άλλες δύο σταθερές, δεν είναι παρά ευθείες γραμμές παράλληλες προς τους άξονες. Σύμφωνα με την επιλογή -πικό σύστημα αναφοράς

Pαβάλλοντας ελεύθερα μία από αυτές

του τανυστικού λογισμού, ένα το 1( )e P , 2 ( )e P , 3( )P , στο σημείο P , δημιουργείτe αι

x είν ο μήαπό τα διανύσματα τα εφαπτόμενα στις καμπύλες-ευθείες των συντεταγμένων με μέγεθος /idx ds , ίσο με τη μονάδα, όπου =s x P αι κος επάνω στη καμπύλη-ευθεία της κάθε συντεταγμένης i

- ( )i i τx . Είναι προφανές ότι κάθε διά-

νυσμα ( )ie P της τοπικής βάσης είναι ίσο σ μέγεθος και παράλληλο προς το αντίστοιχο διάνυσμα

ε( )ie O στην αρχή O του συστήματος των καρτεσιανών

συντεταγμένων. Επομένως και οι τοπικές διανυσματικές βάσεις που προκύ-πτουν απευθείας από τις καρτεσιανές συντεταγμένες ταυτίζονται με τις τοπικές διανυσματικές βάσεις του σ μα να ς οι οποίες προ ύπτουν από την παράλληλη μετάθεση της διανυσματικής βάσης

υστή τος α ο κφ ρά1( )e O , 2 ( )e O , 3( )e O του συ-

στήματος αναφοράς από το σημείο O στο ση ∆ιαφορά συστήματος αναφοράς και συστήματος συντεταγμένων

Η δυνατότητα εισαγωγής των καρτεσιανών συντεταγμένων χωρίς την άμεση χρησιμοποίηση ενός παγκόσμιου διανυσματικού συστήματος αναφοράς, αποτε-λεί την αφετηρία της σύγχυσης μεταξύ των δύο εννοιών, οι οποίες στην περί-πτωση αυτή είναι ουσιαστικά ισοδύναμες μεταξύ το

Ο ορισμός ενός συστήματος αναφορ ς σε ένα ευκλ δε

μείο

υς.

ά εί ιο χώρο είναι ο εξής:

να σύστημα αφοράς αποτελείται από

τήματος

βάση του συ ειο

χώρο).

P .

Έ

(α) ένα σημείο του χώρου O το οποίο επιλέγεται ως η αρχή του συσαναφοράς.

(β) Ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων τοπικών διανυσμάτων 1( )e O , …, ( )ne O στο σημείο O τόσα όση η διάσταση n του ευκλείδειου χώρου, τα

οποία αποτελούν την (παγκόσμια) διανυσματική στήματοςαναφοράς (3 μη συνεπίπεδα διανύσματα για τον τρισδιάστατο ευκλείδ


1( )e P , …, ( )ne P(γ) Ένα πεδίο τοπικών διανυσματικών βάσεων , το οποίο προκύπτει από την παράλληλη μετάθεση της βάσης 1( )e O , …, ( )ne O από το σημείο O σε κάθε σημείο του χώρου και χρησιμεύει για την αναλυτι-

Παρνών

P κή περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο P , καθώς και την αναλυτική περιγραφή των διανυσματικών πεδίων.

άγωγο του συστήματος αναφοράς είναι ένα αντίστοιχο σύστημα καρτεσια-συντεταγμένων 1( )x P , …, ( )nx P , οι οποίες προκύπτουν ως οι συνιστώσες διανύσματος θέσης =του x OP , του τυχόντος σημείου P . Σε διαφορετικές

επιλογές του συστήματος αναφοράς αντιστοιχούν διτεσιανών συντεταγμένων. Όμως η χρήση καρτεσιανών συ τετ γμένων για τον

είδειο χώρο, όπου έχει ήδη οριστεί ένα σύστημα αναφοράς, δεν είναι υπο-τική (αλλά απλά βολική): είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί ένα οποιοδή- άλλο σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων.

αφορετικά συστήματα καρ-ν α

ευκλχρεωποτε

Ένα σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί όχι μόνο σε ένα ευκλείδειο χώ-ρο αλλά και σε μη ευκλείδειους χώρους. Ο σχετικός ορισμός είναι ο εξής:

Ένα σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων σε ένα χώρο n διαστάσεων αποτελείται από n απεικονίσεις (συναρτήσεις) 1q , …, nq , οι οποίες σε κάθε σημείο του χώρου P αντιστοιχίζουν n πραγματικούς αριθμούς 1( )q P , …,

( )nq P .

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων είναι δυνατόν (αλλά όχι υποχρεωτικό) να αντι-στοιχηθεί ένα πεδίο διανυσματικών βάσεων 1e , …, ne , οι οποίες ορίζονται σε

1( )e P , …, κάθε σημείο P από τα διανύσματα ( )ne P , τα οποία ορίζονται σε σχέση με τις αντίστοιχες καμπύλες των συντεταγμένων. Κάθε διάνυσμα eείναι «εφαπτόμενο» στην καμπύλη της αντίστοιχης συντεταγμένης kq

k (το ε-

ζ

ννων και του συστήματος αναφοράς, σε συνάφεια με τις απαιτήσεις για την ανα-

ν

ονομάζονται τανυστές.

φαπτόμενο διάνυσμα σε μία καμπύλη σε συγκεκριμένο σημείο ορί εται στο κεφ. 3.1, σχέση 3.9).

Τη σχέση και τις διαφορές ανάμεσα στη έννοια του συστήματος συντεταγμέ-

λυτική (με μαθηματικά–υπολογιστικά εργαλεία) περιγραφή της φύσης μπορού-με να συνοψίσουμε ως εξής: Για να περιγράψουμε τη φύση αναλυτικά, δηλαδή με μαθηματικά – υπολογιστικά εργαλεία, απαιτείται ένα σύστημα συντεταγμένων για την περιγραφή τω σημεί-ων του χώρου και ένα πεδίο διανυσματικών βάσεων (δηλαδή μία τοπική βάση σε κάθε σημείο) για την περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων, αλλά και πιο γενικών φυσικών αντικειμένων που


Όταν εισάγεται ένα σύστημα (γενικά καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων, είναι δυνατόν (αλλά όχι υποχρεωτικό) να προκύψει από αυτό ένα πεδίο διανυσματικών βάσεων μέσα από τα εφαπτόμενα διανύσματα στις καμπύλες των συντεταγμένων. Η επιλογή αυτή είναι δυνατή και σε μη ευκλείδειους χώρους.

ιτήσεων με ένα μόνο εργαλείο,

Όταν εισάγεται ένα σύστημα αναφοράς (δυνατότητα η οποία περιορίζεται σε ευκλείδειους χώρους) προκύπτουν αυτόματα από αυτό, τόσο ένα σύστημα συντε-ταγμένων (οι καρτεσιανές), όσο και ένα πεδίο διανυσματικών βάσεων (από την παράλληλη μετάθεση της διανυσματικής βάσης του συστήματος αναφοράς σε κάθε σημείο). Χάρις στη ικανοποίηση των δύο απαη χρήση συστήματος αναφοράς είναι σχεδόν «ἐκ τῶν ὤν οὐκ ἄνευ» για την περι-γραφή φυσικών φαινομένων στον ευκλείδειο χώρο της Νευτώνειας μηχανικής. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δύο οικείες έννοιες από την ευκλείδεια γεωμετρία, η απόσταση και η γωνία, βρίσκουν τη μαθηματική τους έκφραση μέσα από την έννοια του εσωτερικού γινομένου ∑u v δύο διανυσμάτων u και v .

Από τις ιδιότητες της συμμετρίας ∑ ∑=u v v u και της γραμμικότητας

∑ ∑ ∑+ = +1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )u λ v λ v λ u v λ u v ,

και την συνακόλουθη ιδιότητα ∑∑ ∑+ = +1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) (λ u λ u v λ u v λ u v) , προκύ-μία συμμετρική διγραμμική απεικόνιση

δύο διανυσμάτωνg πτει ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι

∑ = ( , )u v g u v . u και v σε έναν πραγματικό αριθμό

Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου προκύπτει το μήκος | |u ενός διανύ-σματος u ,

∑= | u u , (7)

| u

u�

v�

θ Ax�

Bx�

O

A

B

|AB|

Σχήμα 6:

ι αμε το εσωτερικό γινόμενο Σχέση γωνίας κα πόστασης


η απόσταση | |AB μεταξύ δύο σημείων A , B , με αντίστοιχα διανύσματα θέσης

Ax , Bx ,

∑= - = - -| | | | ( ) ( )B A B A B AAB x x x x x x , (8)

καθώς και η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων θ u και v από τις σχέσεις

∑ =| || |cosu v u v θ ¤ ∑= os| || |u v

. (arccθ 9)

τικού Ευκλείδειου χώρου

Τα σημεία του φυσικού (γεωμετρικού) τρισδιάστατου χώρου βρίσκονται σε

u v

∆ιαφορά φυσικού και μαθημα

P αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης =x OP . Το σύνολο των διανυσμάτων θέσης συνιστούν έναν μαθηματικό ευκλείδειο χώρο,

πως εξάλλου συμβαίνει και για τ ύ ο των τοπικών συγκεκριμένο σημείο. Ο μαθηματικός ευκλείδειος χώρος είναι γενικά ένα σύνο-

ο στοιχείων για των οποίων μπορούν να σχηματιστούν γραμμικοί συνδυασμοί ι οποίοι είναι επίσης στοιχεία του συνόλου και για τα οποία επιπλέον ορίζεται,

ραγματική τιμή) ως εσωτερικό γινόμενο.

ό ο σ νολ διανυσμάτων σε ένα

λομια διγραμμική συμμετρική μορφή (δηλαδή απεικόνιση με π

Αντίθετα ο φυσικός ευκλείδειος χώρος δεν συνιστά και ένα μαθηματικό ευκλεί-δειο χώρο, επειδή τα στοιχεία του (σημεία) δεν μπορούν ούτε να πολλαπλασια-σθούν με πραγματικούς αριθμούς, ούτε να προστεθούν! Το σημείο C με διάνυ-σμα θέσης +A Bx x , (όπου Ax , Bx τα διανύσματα θέσης αντίστοιχων σημείων A , B ), δεν αποτελεί σε καμία περίπτωση άθροισμα των σημείων A και B , αφού αυτό εξαρτάται από την αυθαίρετη επιλογή της αρχής O του συστήματος αναφοράς. Από μαθηματική σκοπιά ο φυσικός ευκλείδειος χώρος είναι ένας α-φινικός (ή ομοπαραλληλικός) χώρος. Εσωτερικό γινόμενο μπορεί να οριστεί και για σύνολα σημείων τα οποία δεν συνιστούν ένα ευκλείδειο (επίπεδο) χώρο. Σύνολα σημείων με εσωτερικό γινό-μενο για τα τοπικά τους διανύσματα, ονομάζονται χώροι Riemman. Παρα-δείγματα χώρων Riemman είναι οι διδιάστατες καμπύλες επιφάνειες του τρισ-διάστατου ευκλείδειου χώρου, όπως, π.χ. η επιφάνεια μιας σφαίρας.


Ορθοκανονικές βάσεις

Δύο διανύσματα u και v , ορθογώνια μεταξύ τους, σχηματίζουν γωνία = 90θ με = =cos cos90 0θ και έχουν εσωτε ∑ = 0u v . ρικό γινόμενο

x�

2e�

2xO

P

3e�

1e�

1x

3x

Σχήμα 7:

Διάνυσμα θέσης και (συνήθεις) καρτεσιανές συντεταγμένες ως προς ορθοκανονική διανυσματική βάση

Η πιο πλεονεκτική επιλογή των διανυσμάτων βάσης είναι τα ορθοκανονικά διανύσματα, δηλαδή διανύσματα ορθογώνια μεταξύ τους και με μήκος 1. Τα διανύσματα μιας ορθοκανονικής βάσης ικανοποιούν τις σχέσεις

Ï

= ∫ ÌÓ

10i k ik

ie e δ

i10)

Με την επιλογή αυτή οι συνιστώσες ενός δι ν ) αρτεσιανές συντεταγμένες δίνονται από τις σχέσεις

= kπ k

. (

ύσματος και οι (ορθοκανονικέςα

∑

κ

∑=iiu u e , ∑=i

ix x e , = 1,2,3i , (11)

το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων = + +1 2 31 2u u e u e u e3 και

3e v e v e από τη σχέση

Í ˙Í ˙

= + +1 2 31 2v v

∑

È ˘Í ˙

È ˘= + + = Î ˚ =Í ˙

Î ˚

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 T

v

u v u v u v u v u u u

1

3

v

v

u v . (12)

και το μήκος από τη σχέση (Πυθαγόρειο θεώρημα στις 3 διαστάσεις)


= + + =1 2 2 2 3 2| | ( ) ( ) ( ) Tu u u u u (13) u .

Μη ορθοκανονικές βάσεις

την γενικότερη περίπτωση της μη ορθοκανικής βάσης οι παγίνονται πιο περίπλοκες και περιλαμβάνουν τα εσωτερικά γινόμενα των διανυ-σμάτων βάσης

Σ ραπάνω σχέσεις

∑∫ik i kg e e . Συγκεκριμένα

Í ˙Í ˙Î ˚ Í ˙

˙∑

= =

È ˘È ˘Í ˙Í ˙È ˘= = =Í ˙Î ˚ Í

Î ˚

ÂÂ11 12 133 3

1 2 3 221 22

1 1 331 32 33

i k Tik

i k

vg g gu v g u v u u u g g g v

g g g v

u Gv , (14)

1

23

= =

= =ÂÂ1 1

| | i k Tik

i k

u g u u u Gu , (15)

ενώ οι συνιστώσες διανύσματος προκύπτου

3 3

ν από τη λύση του συστήματος

∑+ + =1 2 311 12 13 1g u g u g u u e

∑+ + =1 2 321 22 23 2g u g u g u u e

∑+ + =1 2 331 32 33 3g u g u g u u e . (16)

3×3 πίνακας ονομάζεται μετρικός πίνακας της. Για μία ορθοκανονική βάση ισχύει (μοναδιαίος πίνακας).

Ο μη ορθοκανονικής βάσης G

1e , 2e , 3e =G I

Μία τελευταία επιλογή σε μία ορθοκανονική βάση 1e , 2e , 3e σχετίζεται με τον προσανατολισμό της, δηλαδή με την επιλογή της φοράς κάθε διανύσματος σε

χέση με τα άλλα δύο. Αν από την πλευρά του 3e το σ 1e φαίνεται στα δεξιά του έχουμε ένα δεξιόστροφο σύστημα και στην αντίθετη περίπτωση ένα αριστε-

Από δω και πέρα όλα τα παγκόσμια συστήμα

κα θα ν

2eρόστροφο.

τα αναφοράς και οι σχετικές καρτεσιανές συντεταγμένες θα θεωρούνται (χωρίς αυτό να διατυπώνεται ρητά) ότι αναφέρονται σε ορθοκανονικές και δεξιό-στροφες βάσεις.

Επίσης θα παραλείπουμε το επίθετο «παγκόσμιος» ι α αφερόμαστε απλά


σε ένα σύστημα αναφοράς, αφού από αυτό προκύπτει με παράλληλη μετάθεση και ένα τοπικό σύστημα σε κάθε σημείο του χώρου.

Εξωτερικό

γινόμενο διανυσμάτων

Ο δεύ μενο

τερος τύπος γινομένου μεταξύ διανυσμάτων είναι το εξωτερικό γινό το οποίο συνδέεται με το εμβαδόν ¥u v ,

= ¥| |A u v (17)

του παραλληλόγραμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και v (σχήμα 8), καθώς και με τον όγκο

∑= ¥( )V u v w (18)

του παραλληλεπιπέδου με πλευρές τρία δεξιόστροφα διατεταγμένα διανύσματα u (σχήμα 9). , v , w

u�

v�

A

Σχήμα 8 u�

v�

w�

V

Σχήμα 9

Έστω η γωνία μεταξύ θ u και v και η γωνία μεταξύ f w και της καθέτου στο επίπεδο των u και v (σχήμα 10). Το παραλληλόγραμμο, που σχηματίζουν τα και , έχει βάση

u v | |u , ύψος | | sinv θ και εμβαδόν | || | sinA u v θ= . Το παραλ-

ληλεπίπεδο των u , v , w , με εμβαδόν βάσης A , έχει ύψος = | | cosh w φ και όγκο

( ) ∑= = = ¥| || | sin | | cos ( )V Ah u v θ w φ u v w . (19)

Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι το εξωτερικό γινόμενο ίναι να διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των

¥u v ε u και v (σχήμα 11) με μέγεθος έ


θ

φ

u�

v�

w�

φco

s|

|w�

θsin||v�

Σχήμα 10 θ

u

u × v

�

v�

��

θsin|

|v� ||u�

Σχήμα 11

¥ =| | | || | sinu v u v θ , (20)

ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα u και

Ο πραγματικός αριθμός

v .

∑= ¥[ , , ] ( )u v w u v w , (21)

ονομάζεται μικτό γινόμενο των διανυσμάτων u , v , w και ισούται με τον όγκο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν όταν τα διανύσματα αυτά σχημα-

ίζουν δεξιόστροφη τριάδα, ή με το αντίθετο όταν η σχετική τριάδα είναι αριστερόστροφη. Για το μικτό γινόμενο ητα

[ , , ] [ , , ] [ , , ] [ , , ] [ , , ] [ , , ]u v w v w u w u v u w v w v u v u w , (22)

κλική μετάθεση των τριών διανυσμάτων.

ιότητες εξωτερικού γινόμενου

V -V

ισχύει η ιδιόττ

= = = - = - = -

δηλαδή το πρόσημο διατηρείται για κυ

Ιδ

Για το εξωτερικό γινόμενο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες

¥ = - ¥u v v u , (23)

¥ = 0u u , (24)

¥ + = ¥ + ¥( ) ( ) (u λv μw λ u v μ u w) , (25)

+ ¥ = ¥ + ¥( ) ( ) ( )λu μv w λ u w μ v w . (26)

Για τα τρία ορθοκανονικά διανύσματα βάσης 1e , 2e , 3e ενός καρτεσιανού συ-στήματος αναφοράς ισχύουν οι σχέσεις ( = 90θ , f = 0 )


¥ =1 2 3e e e , ¥ =2e 3 1e e , ¥ =3 1 2e e e . (27)

Συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων

παραπάνω σχέσεις μπορούμε να προσδιτις συνιστώσες δύο διανυσμάτων

Με βάση τις ορίσουμε τη σχέση ανάμεσα σ =w e w , =v e v

ινομένου v

)

e

και του εξωτερικού τους = = ¥u we u γ

= ¥ = + + ¥ + + =1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3( ) (u w v w e w e w e v e v e v e

= ¥ + + + ¥ + + +1 1 2 3 2 1 31 1 2 3 2 1 2 3( ) ( )w e v e v e v e w e v e v e v

+ ¥ + + =

2

3 1 2 33 1 2 3( )w e v e v e v e

= ¥ + ¥ + ¥ + ¥1 1 1 2 1 3 2 11 1 1 2 1 3 2 1w v e e w v e e w v e e w v e e +

=

+ ¥ + ¥ + ¥ + ¥ + ¥2 2 2 3 3 1 3 22 2 2 3 3 1 3w v e e w v e e w v e e w v e e 3 3

2 3 3w v e e

= + + - + - + + + + - + =1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 23 2 3 1 2 10 ( ) ( ) 0 ( ) 0w v e w v e w v e w v e w v e w v e

= - + - + - =3 2 1 2 2 11 2 3) ( ) ( )w v e w v w v e w v w v e

2 3 3 1 1 3(w v

È ˘ È- ˘Í ˙ Í

È ˘ È ˘= - =˙

Í ˙ ÍÎ ˚ Î ˚ ˙Í ˙ Í- ˙Í ˙ Í ˙Î ˚ Î

2 3 3 2 1

3 1 1 3 21 2 3 1 2 3

1 2 2 1 3

w v w v u

e e e w v w v e e e u

w v w v u ˚

. (28)

]W v w v (29)

υ εισήγαμε τον πίνακα

Επομένως

u

È ˘ È ˘ È ˘ È ˘- -Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙

= = - = - = = ¥Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙- -Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚ Î ˚

1 2 3 3 2 3 2 1

2 3 1 1 3 3 1 2

2 1 2 2 1 2 1 2

0

0 [

0

u w v w v w w v

u w v w v w w v

u w v w v w w v

όπο

È ˘-Í ˙

= ¥ ∫ -Í ˙Í ˙-Í ˙Î ˚

3 2

3 1

2 1

0

[ ] 0

0

w w

w

w w

W w w

ο οποίος είναι αντισυμμετρικός, δηλαδή έχει την ιδιότητα

(30)


= -TW W , ( ). (31)

Κάθε αντισυμμετρικός πίνακας έχει μηδενικά τα διαγώνια στοιχεία του ), ενώ μη διαγώνια στοιχεία συμμετρικά ως προς τη διαγώνι

αντίθετο πρόσημο ( ).

Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου

¥ = - ¥[ ] [ ]Tw w

( ο έχουν = 0iiW= -ik kiW W , πi k

u= ¥ ς συνιστώσες και u w v , συνδέονται με τι w v των διανυσμάτων και

αντίστοιχα, μέσω της σχέσης w v ,

= ¥u w v ¤ = ¥[ ]u w v (32)

όπου ο αντισυμμετρικός πίνακας ορίζεται από τη σχέση (30).

ντισυμμετρικής απεικόνισης)

˙˙˙

13 12 13 3 20 0Ω Ω ω ω

σμα

¥[ ]w

Αξονικό διάνυσμα αντισυμμετρικού πίνακα (α

Σε οποιονδήποτε ¥3 3 αντισυμμετρικό πίνακα

È ˘ È ˘ È ˘-Í

11 12Ω Ω Ω -Í ˙ Í Í ˙

Í ˙ Í Í ˙- - -Î ˚ Î ˚ Î ˚21 22 23 12 23 3 1

31 32 33 13 23 2 1

0 00 0

Ω Ω Ω Ω Ω ω ωΩ Ω Ω Ω Ω ω ω

Ω (33)

μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα διάνυ

˙ Í ˙ Í= = - ∫

=ω e ω με

1

12

ω Ω Ω1 32 23ω Ω Ω

2 13 3

È ˘ ˘ È ˘-ÈÍ ˙ ˙ Í ˙

3 21ω Ω Ω

Í= ∫ = -Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙ Í ˙ Í - ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚

ω , (34)

ώστε να ισχύει η σχέση Το διάνυσμα = ¥[ ]Ω ω . ω είναι το αξονικό διάνυσμα η οποία παριστάνεται στο

συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς από τον πίνακα έτσι ώστε αν τότε για τις συνιστώσες να ισχύει η σχέση

Ιδιότητες αντισυμμετρικών πινάκων

κων όταν αυτές εκφράζονται μέσα από τα αξονικά τους διανύσματα είναι οι εξής

που αντιστοιχεί στην αντισυμμετρική απεικόνιση Ω

Ω , = = ¥( )b Ω a ω a = = ¥[ ]b Ωa ω a .

Μερικές ιδιότητες των αντισυμμετρικών πινά


, , , (35)

ια κάθε πραγματικό αριθμό

, (36)

a

ενώ αν είναι έ ), τότε

. (38)

τάσεων 3 3

, η ορίζουσα | |S ε

¥ = - ¥[ ] [ ]Ta a ¥ = - ¥[ ] [ ]a b b a ¥ =[ ] 0a a

λ γ

¥ = ¥[( ) ] [ ]λ λa a

¥ ¥ = -[ ][ ] ( )T Ta b ba a b I , ( ¥ = -2[ ] ( )Ta a a a I ) (37)

νας ορθογώνιος πίνακας ( - =1 TQ Q , =| | 1Q

T

Q

¥ = ¥[( ) ] [ ] TQa Q a Q

Φυσική σημασία της ορίζουσας πίνακα διασ ×

Για έναν ομαλό (τετραγωνικό και αντιστρέψιμο) πίνακα S , ο οποίος αντιστοι-χεί σε μία γραμμική απεικόνιση det S κφράζει τη μεταβο-S =

λή του όγκου ∑= ¥ )c του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν τα ( , , ) (V a b c a bδιανύσματα a , c . Αν ( , , )V Sa Sb Sc και είναι ο όγκος του παραλλη

διανύσματα

b λεπιπέ-δου που σχηματίζουν τα Sa , Sb , Sc (εικόνες των a , b , c , αντί-σ ) τότε Sτοιχα για τη γραμμική απεικόνιση

∑ ¥= = =[(( , , ) ( ) [( ) ( )] ( ](

| |V Sa Sb Sc Sa Sb Sc a S SbS

S∑

¥¥ =¥ ¥¥

) ]) [( ) )[ ] [ ]( , , ) ( )

T TT

T TV a b c a b cSca Sb Sc

a b c a b c (39)

και επειδή τα διανύσματα και είναι αυθαίρετα, ισχύει η σχέση b S S b , από την οποία προκύπτει η ιδιότητα

1T

οκύπτει η παρα

a , b c¥ = ¥[( ) ] | |[ ]TS S

¥ = ¥[( ) ] | | [ ]Sb S S b S . (40)

Από την ιδιότητα αυτή πρ πάνω ιδιότητα (38) για την ειδική πε-ρίπτωση όπου ο πίνακας είναι ορθογώνιος.

- -


2.4 Σχέσεις μεταξύ δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς

Έστω δύο διαφορετικά συστήματα αναφοράς 1( )e O , 2 ( )e O , 3( )e O και ¢ ¢1( )e O , ιαφορετικές αρχές και διανύσματα βά¢ ¢2( )e O , 3( )e O , με δ σης. Ένα σημείο

έχει στα δύο αυτά συστήματα διαφορετικά διανύσματα θέσης ¢ ¢ P

=x OP και =¢ ¢ = ¢c OO ώς η σχέση = +¢ ¢O P . Αν θέσουμε ισχύει προφαν OP OO O P , x

δηλαδή

= + ¢x c x . (41)

Ένα διάνυσμα v που εφαρμόζεται στο σημείο θα εκφραστεί μέσω των συνι-τωσών του στις τοπικές βάσεις

P1( )e P , 2 ( )e P , 3( )e P και ¢1( )e P , ¢2 ( )e P , ¢3( )e P , σ

οι οποίες προκύπτουν από την παράλληλη μετάθεση των αρχικών βάσεων στο από τα σημεία και , αντίστοιχα. Η ανάλυση του P O ¢O v σε συνιστώσες στα

δύο συστήματα αναφοράς είναι

= + +1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( )v P v e P v e P v e P , (42)

= + +¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢1 21 2 3( ) ( ) ( ) (v P v e P v e P 3 )v e P . (43)

x�

2e�

O

P

3e�

1e�

2e ′�

x ′�

O ′

1e ′�

3e ′�

c�

Σχήμα 12:

Σχέση μεταξύ ύο διαφορετικών δσυστημάτων αναφοράς

ι καρτεσιανές συντεταγμένες του στα δύο συστήούν με βάση τη σχέση

Ο ματα μπορούν να συνδε-P = + ¢x c x θ αν λάβουμε υπόψη ότι

1 2 31 2 3( ) ( ) ( )x x e O x e O x e O= + + , (44)

60 Σχέσεις μεταξύ δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς

= + +¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢1 2 31 2 3( ) ( ) ( )x x e O x e O x e O , (45)

. (46)

Για να πετύχουμε την απευθείας σύνδεση μεταξύ συντεταγμένων και συ-νιστωσών στα δύο συστήματα πρέπει να εκφράσουμε τα διανύσματα της κάθε βάσης σε σχέση με τα διανύσματα της άλλης, αφού και οι δύο μετατεθούν σε ένα οποιοδήποτε κοινό σημείο. Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό πινάκων

,

= + + = + +¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c e O c e O c e O c e O c e O c e O

È ˘= Î ˚1 2 2e e ee

È ˘Í ˙

= Í ˙Í ˙Í ˙Î ˚

1

2

3

x

x

x

x , È ˘¢ ¢ ¢=¢ Î ˚1 2ee 2e e ,

È ˘¢Í ˙

=¢ ¢Í ˙Í ˙¢Í ˙Î ˚

1

2

3

x

x

x

x (47)

¢

οι προηγούμενες σχέσεις παίρνουν τη μορφή

= = ¢( ) ( ) ( )v P P Pe v e v , (48)

= ( )x Oe x , (49)

¢=¢ ¢ ¢( )x Oe x , (50)

= = ¢ ¢ ¢( ) ( )c O Oe c e c . (51)

Για τη σύνδεση μεταξύ των δύο βάσεων σε οποιοδήποτε σημείο θέτουμε = + +¢ 1 1 2 2 3 3i i i ie R e R e R e , = 1,2,3i , όπου ikR είναι η k συνιστώσα του διανύ-

σματος ¢ie ως προς τη βάση e . Με συμβολι μό πινάκων οι σχέσεις αυτές γίνο-νται

=

=

σ

È ˘=¢ ¢ ¢ ¢Î ˚1 2 3e e ee

È ˘= + + + + + +Î ˚11 1 12 2 13 3 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3R e R e R e R e R e R e R e R e R e

È ˘Í ˙È ˘= Î ˚ Í ˙Í ˙Î ˚

11 21 31

1 2 3 12 22 32

13 23 33

T

R R Re e e R R R

R R Re R= , (52)

όπου


È ˘Í ˙= Í ˙Í ˙Î ˚

11 12

21 22 23

31 32 33

R R RR R RR R R

R

πίνακας στροφή πό

13

. (53)

είναι ο ς α το σύστημα e στο σύστημα ¢e .

Ο πίνακα R είναι ορθογώνιο ( - =1 TR R , =| | 1R ) ιδιότητα η οποία προκύπτει από τ

ς ςην ορθοκανονικότητα e και ¢ των βάσεων e . Οι σχέσεις ορθοκανονικότη-

τας i k ike e δ , ∑ = ∑ =¢ ¢i k ike e δ μπορούν να συνδυαστούν σε μορφή πινάκων ως ξής

=1 0 00 1 00 0 1

T

e e e e e e ee e e e e e e e e ee e e e e e e

e e I , (54)

ε

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

È ˘ È ˘ È ˘Í ˙ Í ˙ Í ˙È ˘= = =Í ˙ Î ˚ Í ˙ Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚

1 1 1 1 2 1 3

2 1 2 3 2 1 2 2 2 3

3 3 1 3 2 3 3

∑ =¢ ¢Te e I . (55) Επομένως

= , (56)

(57)

και η ορθογωνικότητα του πίνακα έχει αποδειχτεί.

( ) ( )∑ ∑ ∑= = = =¢ ¢ ( )TT T T T T T Te e eR eR R e e R R IR RR I

- =1 TR R

R

Από τη σχέση =¢ Te eR προκύπτει ότι = =¢ Te R eR R e κ ι α οι σχέσεις μεταξύ ετων δύο βάσ ων είναι

=¢ Te eR , = ¢e e R . (58)

Από τ = = =¢ ¢ ¢v e v e v e R v η σχέση προκύπτει ότι

, =¢v R v = ¢Tv R v , (59)

ή αναλυτικά

˘

˙ Í ˙Í ˙Í ˙ Í ˙Í ˙¢ Î ˚Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚

111 12 13

21 22 233 3

31 32 33

v vR R RR R R vR R Rv v

, ¢Í 2 2v

È ˘ È ˘¢ ÈÍ ˙ Í ˙Í ˙=

1 È ˘ È ˘¢È ˘Í ˙ Í ˙Í ˙= ¢Í ˙ Í ˙Í ˙Í ˙ Í ˙Í ˙ ¢Î ˚Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚

1

2 212 22 32

3 313 23 33

v

v R R R vR R Rv v

. (60)

111 21 31

vR R R

62 Σχέσεις μεταξύ δύο διαφορετικών συστημάτων αναφοράς

Γ = +ια τις καρτεσιανές συντεταγμένες έχουμε ¢ ¢ ¢ ¢= = = +Tx ce x eR x

ή

)x R c , ( =¢c Rc

+¢ ¢È ˘ ÈÍ ˙ ÍÍ ˙ Í= + = +¢ ¢Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙˙

Í Í ˙ Í ˙˙+ ¢˚Í Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚ Î ˚

1 111 12 13 11

2 2 2 2 221 22 23 23

3 3 331 32 33 33

x e c e x

= +¢TR x c x , και επομένως

, (61) = + = +¢ ¢( )x R x c Rx c

- = -¢ ¢(T Tx c R x ), (62)

ή αναλυτικά

= ¢

È ˘ È ˘ È ˘ È ˘˘˙ Í ˙ Í ˙˙

1 1 112 13

x x cR R R R x cR R

Í ˙ ÍÍ ˙ ˙Í ˙ Í¢ Î ˚ ÎÍ ˙ ˙

21 223 3

31 32

x R R R x c R R R x cR RR R R Rx x c x c

(63)

˘¢È ˘ È ˘Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙- = -¢ ¢ ¢Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙

Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙ Í ˙ -¢ ¢ ¢Î ˚ Î ˚Í ˙ Í ˙ Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚ Î ˚

1 111 21 31 11 21 31

2 2 2 212 22 32 12 22 32

3 3 3 3 313 23 33 13 23 33

Í ˙ Í ˙=Í ˙ Í ˙

2

È ˘ È ˘ È È ˘-¢ ¢1 1 1x x cR R R R R R x c

x R R R x c R R R x cR R R R R Rx x c x c

. (64)

Προσανατολισμός βάσης

ι επιπλέον χαρακτηρί-σια ορθογώ ν ένας ορθογώνιος πίνακας πολλα-

λασιαστεί με ένα από τους πίνακες

Ο μαθηματικός ορισμός ενός ορθογώνιου πίνακα περιορίζεται στην ιδιότητα -= 1TR R , ενώ πίνακες για τους οποίους ισχύει ότ

ζονται ως γνή νιοι. Α=| | 1R

¥3 3 Rπ

È ˘-Í ˙

È ˘Í ˙

È ˘Í ˙

Í ˙Í ˙Î ˚

1 0 00 1 00 0 1

, = -Í ˙Í ˙Î ˚

2

1 00 1 00 0 1

E , 0 1 0 0

=1E = Í ˙Í ˙-Î ˚

3 0 1 00 0 1

E , (65)

ια τους οποίους και προκύπτει έναή ο οποίος είναι επίσης ορθογώνιος

= , = (66)

αι επομένως

| . (67)

γ ς πίνακας = -| | 1kE = = =2T Tk k k k kE E E E E I ,

=¢ kR RE =¢¢ kR E R ,

= =¢ ¢T T T Tk k k kR R E R RE E E I = =¢¢ ¢¢T T T T

k kR R R E E R R R I

κ

= = = -¢ ¢¢| | | | | || | |kR R R E R


O

1x

2x

3x

1-x

Σχήμα 13:

Μετασχηματισμοί ανάκλασης οι οποί

νιου πίνακα ε αρνητικό

Οι τρεις πίνακες της σχέσης (65) αντιπροσωπεύουν «ανακλάσεις» του χώ- επίπεδα των αξόνων (2,3), (3,1) και (1,2), αντίστοιχα. Για παρά-

ειγμα ο πρώτος δίνει μετασχηματισμό

οι μεταβάλλουν το πρόσημο ενός ορθογώαπό θετικό σ

kE ρου ως προς ταδ ή αναλυτικά = -¢1 1=¢ 1x E x x x ,

=¢2 2x x , =¢3 3x x , όπου κάθε σημείο ( 1 2 3, ,x x x ) αντικαθίσταται απ

τρικό του (

ό το συμμε-

- 1 2 3, ,x x x

γεί ως ένας καθρέφτης

) ως προς το επίπεδο των αξόνων (2,3), το οποίο λειτουρ-

όπου ( - 1 2 3, ,x x x ) είναι το είδωλο του σημείου

( 1 2 3, ,x x x ). Τα διανύσματα της βάσης 2e , 3e παραμένουν τα ίδια ενώ το αντικαθίσταται από το

1e - 1e . π

π

Αυτό έχει σαν συνέπεια να αλλάξει ο προσανατο-λισμός της βάσης και α ό δεξιόστροφη να γίνει αριστερόστροφη. Για να περιο-ριστούμε σε βάσεις με τον ίδιο προσανατολισμό (που ήδη αποφασίσαμε ότι θα είναι δεξιόστροφος) πρέ ει να χρησιμοποιήσουμε μόνο γνήσια ορθογώνιους πίνακες ( ), οι οποίοι διατηρούν το δεξιόστροφο προσανατολισμό των βάσεων, ενώ οι μη γνήσια ορθογώνιοι πίνακες ( μετατρέπουν ένα δε-ξιόστροφο σύστημα σε αριστερόστροφο και αντ

Από δω και πέρα θα αναφερόμαστε σε ορθογώνιους πίνακες εννοώ-ντας τους γνήσια ορθογώνιους πίνακες λό-τητας τη σχετική διευκρίνηση.

=| | 1R= -| | 1R )

ίστροφα.

ραλείποντας χάριν αππα

64 Περιγραφή του πίνακα στροφής. Στροφές γύρω από τους άξονες.

2.5 Περιγραφή του πίνακα στροφής. Στροφές γύρω από τους άξονε

ς σε 3 στροφές γύρω υς άξονες

Η στροφή ενός συστήματος αναφοράς ¢

ς.

Ανάλυση στροφή από το

από τη θέση 1( )e O , ¢2( )e O , ¢3( )e O στη θέση ¢ ¢( )e O , ¢ ¢1 2 ( )e O , ¢ ¢3( )e O περιγράφεται από τον πίνακα R , για τον οποίο όμως χρειαζόμαστε ένα συγκεκριμένο μα ημ τικό μοντέλο. Στο μοντέλο αυτ θα υπεισέρχονται μόνο τρεις μεταβλητές, π.χ. = ( , , )a b cR R , επειδή τα 9 στοι-χεία του ¥3 3 πίνακα R , ικανοποιούν 6 σχέσεις ορθογωνικότητας =TRR I , οπότε παραμένουν - =9 6 3 ανεξάρτητες παράμετροι. Εκ πρώτης όψεως έχουμε 9 σχέσεις για τα 9 στοιχεία του πίνακα TRR . Επειδή όμως ο πίνακας αυτός είναι συμμετρικ χέσεις των 3 πάνω από τη διαγώνιο στοιχείων θα είναι ταυτό-σημες με τις αντίστοιχες σχέσεις των 3 στοιχείω από τη διαγώνιο. Για παράδειγμα η σχέση = + + =1 1 2 2 3 3( )T

ik i k i k i kR R R R R RRRT

θ α ό

προφανΗ μετ πορεί να επιτευχθεί με τη βοήθεια τριών διαδ ς,

ατά α . Αν οι στροφές αυτές περιγράφονται από τους ορθογώνιους πίνακες ο συνολικός πίνακας στρο-φής θα είναι

( )θ , (68)

όπου οι πίνακες εμφανίζονται στο γινόμενο από τα δεξιά προς στα αριστερά ό τους άξονες.

ις σχέσεις αύρω απ

ός οι σν κάτω

0 , όπου πi k είναι ώς ταυτόσημη με τη σχέση = + + =1 1 2 2 3 3( ) 0ki k i k i k iR R R R R RRR .

άβαση από τη αρχική θέση των διανυσμάτων βάσης στη νέα θέση μοχικών στροφών γύρω από τους άξονε

ντίστοιχες γωνίες κ 1θ , 2θ , 3θ 1 1( )θR , 2 2( )θR , 3 3( )θR ,

=1 2 3 3 3 2 2( , , ) ( ) ( )θ θ θ θ θR R R R1 1

σύμφωνα με τη σειρά που εφαρμόστηκαν οι στροφές γύρω απ Στροφή στο επίπεδο

Για να προσδιορίσουμε την αναλυτική μορφή των επιμέρους πινάκων στροφής γύρω από τους άξονες θα χρειαστούμε πρώτα τ λλαγής των συντε-ταγμένων λόγω στροφής σε ένα επίπεδο. Όταν το σύστημα στρέφεται γ ό έναν άξονα η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα αυτόν δεν μεταβάλλε-ται. Αν 1 2,p p είναι αρχικές καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο, ύστερα από μία στροφή των αξόνων κατά γωνία θ (θετική κατά την αντίστροφη φορά των δεικτών του ρολογιού), θα προκύψουν νέες συντεταγμένες ¢ ¢1 2,p p . Οι σχέ-σεις ανάμεσα σε αρχικές ν εύκολα ς φαί-νεται στο σχήμα (14):

και νέες συντεταγμένες προκύπτου όπω


1p ′

1p

2p

θcos

1p

θsin

2p

qsin

1p

1p ′

1p

2p

2p ′

2p

′θ

cos2

p

θ

θ

θ

Μεταβολή συντεταγμέ-νων στο επίπεδο λόγω στροφής των αξόνων κατά γωνία θ

1 1 2

2 2 1

cos s ,

cos sin .

p θ p θ p

p θ p θ p

= +¢

= -¢ (69)

Σχήμα 14:

Στοιχειώδεις στροφές γύρω από τους 3 άξονες

Για στροφή γύρω από τον πρώτο άξονα (

in

=¢1 1x x ) αρκεί να θέσουμε = 1θ θ , = 2

1p x , = 32p x , =¢ ¢21p x , =¢ ¢32p x , οπότε η σχέση μετασχηματισμού

γίνεται =¢ 1 1( )θx R x

1θ

1θ

11 xx =′

2x

2x′

3x3x′

Σχήμα 15:

Στοιχειώδηςαπό τον ο ά

στροφή γύρω ξονα 1


2

0sin

1 1

2 2 3

1

1 1 1 13 3 2 3

1 11 1

1 0cos sin 0 cos

0 sin coscos sin

x x x

x θ x θ x θθ θx θ x θ x x

È ˘ È ˘ È ˘¢ È ˘Í ˙ Í ˙ Í= + =¢Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙--¢ Î ˚Í ˙ Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚

θ xÍ ˙˙Í ˙ , (70)

È ˘Í ˙=1 0 0

Í ˙Í ˙-Î ˚

1 1 1

1 10 sinθ θ

Γ ύρω από

1( ) 0 cos sincos

θ θ θR . (71)

ια στροφή γ το δεύτερο άξονα ( =¢2 2x x ) αρκεί να θέσουμε = 2θ θ , = 3

1p x , = 12p x , =¢ ¢31p x , =¢ ¢12p x , οπότε η σχέση μετασχηματισμού

γίνεται

=¢ 2 2( )θx R x

2θ

2θ1x

1x′

22 xx =′

3x3x′

Σχήμα 16:

Στοιχειώδης στροφή γύρω από τον 2ο άξονα

1

2

22 2

cos sin cos 0 sin0 1 0

sin 0cos sin

x θ x θ x xθ θ

1 1 32 2 2 2

2 2

3 3 1 32cos

x x xθx θ x θ x

È ˘ È ˘ È ˘-¢ È ˘-Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙= =¢Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙Í ˙ Í ˙ Í+¢ ÎÍ ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚

, (72) θ xÍ ˙˙̊ Í ˙Î ˚

È ˘-Í ˙= Í ˙Í ˙Î ˚

2 2

2 2

cos 0 sin

sin

θ θ

θ θ

ια στροφή γύρω από τον τρίτο άξονα (

2 2

( ) 0 1 00 cos

θR . (73)

Γ =¢3 3x x ) αρκεί να θέσουμε = 3θ θ , 1

1p x= , 22p x= , =¢ ¢11p x , =¢ ¢22p x , οπότε η σχέση μετασχηματισμού


=¢ 3 3( )θx R x

γίνεται

1

2

3

x

x

1 1 23 3 3 3

2 2 13 3 3 3

3 3

cos sin cos sin 0cos sin sin cos 0

0 0 1

x θ x θ x θ θx θ x θ x θ θ

x x x

È ˘ È ˘ È ˘+¢ È ˘Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙= - = -¢Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙Í ˙¢ Î ˚Í ˙ Í ˙ Í ˙Î ˚ Î ˚ Î ˚

, (74)

È ˘Í ˙= -Í ˙Í ˙Î ˚

3

3 3 3

cos sin( ) s co

0 0 1

θθ θR (75)

3

3

0s 0θθ . in

3θ

3θ2x

2x′

33 xx =′

1x1x′

Σχήμα 17:

Στοιχειαπό το

Με την ευκαιρία, έχουμε ήδη προσδιορίσει τον πίνακα στροφής στο επίπεδο

ο οποίος εμφανίζεται έμμεσα στις σχέσεις (69). Θέτοντας

ώδης στροφή γύρω ν 2ο άξονα

( )θR =1 1x p , =2 2 = 1 2[ ]Tx xx , p , x για τις συντεταγμένες στο επίπεδο, οι σχέσ

των συντεταγμένων ύστερα από στροφή κατά γωνία είναι

sin cosx xθ θ

θ θx xx

εις μεταβολής θ

( )θR x , (76) È ˘ È ˘¢ È ˘

= = =¢ Í ˙ Í ˙Í ˙-¢Í ˙ Î ˚ Í ˙Î ˚ Î ˚

1 1

2 2

cos sin

È ˘

= Í ˙-Î ˚

cos sin( )

sin cosθ θ

θθ θ

R (77)


∆υνατότητες επιλογής στοιχειωδών στροφών. Γωνίες Cardan και Euler

Η επιλογή της σειρά στροφών γύρω από τους άξονες 1-2-3 δεν είναι υποχρεω-τική, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε σειρά,

θ θ θ θ θR R R

( , , ) ( ) (θ θ θ θR R R

Οι γωνίες όμως σε κάθε μια από τις παραπάνω επιλογές παίρνουν διαφορετικές τιμές προκειμένου να προκύψει τελικά ο ίδιος πίνακας . Όταν οι

τροφές γίνονται γύρω και από τους τρεις άξονες, όπως στροφής ονομάζονται γωνίες Cardan. Μία διαφορετική επιλογή είναι οι γωνίες Euler, όπου η πρώτη και η τελευταία

τροφή γίνονται γύρω από τον ίδιο άξονα:

=1 2 3 3 3 2 2 1 1( , , ) ( ) ( ) ( )θR ,

=1 2 3 2 2 3 3 1 1) ( )θR , θ

=1 2 3 1 1 3 3 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θR R R R ,

=1 2 3 3 3 1 1 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θR R R R ,

=1 2 3 2 2 1 1 3 3( , , ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θR R R R ,

=1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θR R R . (78) R

1θ , 2θ , 3θ R

σ παραπάνω, οι γωνίες

σ

2θ

3x3x′

3θ

2x

2x′

1x

1x′

1θ

2θ

3θ

1θ

Σχήμα 18:

Γωνίες Cardan για περιστροφή

3 3 2 2 1 1( ) ( ) ( )θ θ θ=R R R R


f = f1 3 1( , , ) ( ) ( ) ( )θ ψ θ ψR R R R ,

f = f1 2 1( , , ) ( ) ( ) ( )θ ψ θ ψR R R R ,

f = 2( , , ) ( )θ ψR R f 1 2( ) ( )θ ψR R ,

. (79)

Παρόμοια οι γωνίες παίρνουν διαφορετικές τιμές, σε κάθε μια από τις παραπάνω επιλογές, προκε μένου να προκύψει τελικά ο ίδιος πίνακας

f = f2( , , ) ( ) ( ) ( )θ ψ θ ψR R R R , 3 2

f = f3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )θ ψ θ ψR R R R ,

f = f3 2 3( , , ) ( ) ( ) ( )θ ψ θ ψR R R R

ψ , θ , fι R .

3x3x′

2x

2x′

1x1x′

θ

θ

θ

ψ

ψ

φ

φ

Σχήμα 19:

Γωνίες Euler για περιστροφή

ιότητες των στοιχειωδών πινάκων στροφής

ερικές βασικές ιδιότητες των στοιχειωδών πινάκων στροφής γύρω από τους ξονες είναι οι εξής:

)i , (80)

α β β αR R R R (81)

3 1 3( ) ( ) ( )θ ψ= fR R R R

Iδ

Μά

+ =( ) ( ) (i iα β α βR R R

=( ) ( ) ( ) ( )i i i i

[ ] [ ]- = = -1( ) ( ) ( )Ti i iθ θ θR R R , =(0)iR I . (82)

H πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις εξηγεί γιατί στις επιλογές τριών στοιχειω-δών πινάκων στροφής, για την ανάλυση ενός ορθογώνιου πίνακα , δεν υπάρ-R


χουν δύο διαδοχικές στροφές γύρω από τον ίδιο άξονα. Σε μια τέτοια περίπτω-ση , όπου και είναι οποιεσδήποτε άλλες γωνίες για τις οποίες ισχύει ότι και επομένως οι γωνίες στροφής δεν ορίζονται μονοσήμαντα. Παράγωγοι στοιχειωδών πινάκων στ

Οι παράγωγοι των στοιχειωδών πινάκω νονται από τις σχέσεις

= + = +¢ ¢( ) ( ) ( ) ( )i i i iα β α β α βR R R R ¢α ¢β

+ = +¢ ¢α β α β ,

ροφής

ν στροφής δί

[ ]∂ = - ¥ = - ¥( )[ ]k kθR i , ∂

( ) [ ] ( )k k kθ θθ

R i R (83)

που οι αντισυμμετρικοί «πίνακες παραγώ ισης» έχουν τις τιμές ό γ

Í ˙È ˘ È ˘ È ˘-

¥ = -Í˙Î ˚

0 0 0

0˙

Í ˙¥ = Í ˙Í ˙-Î ˚

2

0 0 1

1 0 0

Í ˙¥ =Í

1[ ] 0 0 10 1

i , [ ] 0 0 0i , Í ˙Í ˙Î ˚

3

0 1 0

0 0 0

σμός που επιλέχθηκε επισημαίνει το γεγοματα των αντισυμμετρικών αυτών πινάκων έχου

νακα

[ ] 1 0 0i . (84)

Ο συμβολι νός ότι τα αξονικά διανύ-σ ν συνιστώσες τις στήλες του μοναδιαίου πί

È ˘Í ˙= Í ˙Í ˙Î ˚

1

100

i , È ˘Í ˙= Í ˙Í ˙Î ˚

2

010

i , È ˘Í ˙= Í ˙Í ˙Î ˚

3

001

i , È ˘Í ˙È ˘= =Î ˚ Í ˙Í ˙Î ˚

1 2 3

1 0 00 1 00 0 1

I i i i . (85)

Επομένως τα αξονικά διανύσματα των πινάκων παραγώγισης είναι τα τρία δια-νύσματα βάσης =1 1e e i , =2 2e e i , =3e 3e i .

ια τον πίνακα στροφής στο επίπεδο η παράγωγος δίνεται από τη σχέση Γ

[ ]∂ = =( ) ( ) ( )θ θR W R R∂

θθ

W , (86)

0 1 cos90 sin90(91 0 sin90 cos90

W R

όπου

0 ) (87) È ˘È ˘

= = =Í ˙Í ˙- -Î ˚ Í ˙Î ˚


και

[ ]∂ = +∂

( ) ( 90 )θ θθ

R R . (88)

2.6 Γεωμετρική σημασία των γωνιών στροφής γύρω από τους άξονες

νός πίνακα στροφής θα εξετάσουμε αναλυτικά μόνο 4 και συγκεκριμένα αυτές που έχουν για τελευταία (πρώτη αριστερά) μία στροφή γύρω από τον 3ο άξονα:

3 2 1 1( , ( ( ) ( )θ θ θ θ θR R R ,

2 3( , , ) ( ( )θ ψR R R .

χουν ήδη φέρει τον 3ο άξονα από την αρχική τ νέα του θέση (3′). ι γωνίες της κάθε περίπτωσης φαίνονται στο σχήμ

ις είναι εντελώς ανάλογες, αρκεί να αλλάξουμε κυκλικά τους άξονες

Από τις 12 διαφορετικές επιλογές στοιχειωδών στροφών (6 Cardan και 6 Euler) για την περιγραφή ε R ,

3 3 2, ) )θ R=1 2

=1 2 3 3 3 1 1 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θR R R R ,

f = f3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )θ ψ θ ψR R R R ,

f 3( ) )θ ψ R= f

Η επιλογή αυτή σημαίνει ότι στη μετατροπή =¢x Rx , οι 2 πρώτες στροφές έ-ου θέση (3) στη

Ο α (20). Οι υπόλοιπες περι-πτώσε

(1,2,3) Æ (2,3,1) Æ (3,1,2) .

1

3

1'

2 2'

3'

a

Β

γ

γαβ

Σχήμα 20 :

στοιχειωδών στροφών μετά-

βαση του 3 άξονα στη νέα του θέση με 2 στρο-

Επιλογή (1): ) ( ) ( )γ β αR R R

Διαφορετικές επιλογές

όταν προηγείται ηου

φές.

Σχήμα 20 α:

-3 2 1(

72 Γεωμετρική σημασία των γωνιών στροφής γύρω από τους άξονες.

(1) Γωνίες Cardan

γωνία είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 1, 3 και στο επίπεδο ων αξόνων 1, 3′.

Η γωνία είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας 3′ με το επίπεδο των αξόνων

(2) Γωνίες Cardan

είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 2, 3 και στο επίπε-′.

Η γωνία είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας 3 εδο των αξόνων 1,3 Η γωνία είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των επίπε-δο των αξόνων 3′, 2′.

= -¢ 3 2 1( ) ( ) ( )γ β αx R R R x

αΗτ

β2,3 (δηλαδή με την προβολή του πάνω στο επίπεδο αυτό) Η γωνία γ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3′, 1 και στο επίπεδο των αξόνων 3′, 1′.

= -¢ ¢ ¢ ¢3 1 2( ) ( ) ( )γ α βx R R R x

Η γωνία δο των αξόνων 2, 3

¢β

¢α ′ με το επίπ

αξόνων 3′, 2 και στο ¢γ

1

3

1'

2 2'

3'

β'

α'

γ'

β' γ'α'Σχήμα 20 β:

Επιλογή (2): ¢3 1( ) (γR R - ¢ ¢2) ( )α βR

R R x

γωνία είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 1 και στο επίπεδο

νία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 3′ και στο επίπε-

(3) Γωνίες Euler x R= -¢ 3 2 3( ) ( ) ( )ψ δ Γ

Γ Ητων αξόνων 3, 3′. Η γωνία δ είναι η γωνία ανάμεσα στον άξονα 3 και στον άξονα 3′. Η γωνία ψ είναι η γω

δο των αξόνων 3, 1′.


1

3

1'

22'

3'

δ

Γ

ψ

Γ

Γ

δ

ψ

Γ

Σχήμα 20 γ:

Επιλογή (3):

4) Γωνίες Euler

+¢ ¢ ¢3 1 3 3 1 3( ) ( ) ( ) (90 ) 90 )ψ δ Γ ψ Γx R R R x R x

γωνία είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 2 και στο επίπε-′.

Γ περίπτωσης: .

-3 2 3( ) ( ) ( )ψ δ ΓR R R

= - - = - - -( ) (δR R

¢ΓΗδο των αξόνων 3, 3Η γωνία δ είναι η γωνία ανάμεσα στον άξονα 3 και στον άξονα 3′. Η γωνία ¢ψ είναι η γωνία ανάμεσα στο επίπεδο των αξόνων 3, 3′ και στο επίπε-δο των αξόνων 3, 2′. Οι γωνίες ¢ και ¢ψ είναι οι συμπληρωματικές των γωνιών Γ και ψ , αντίστοι-χα, της προηγούμενης

= -¢ 90Γ Γ , = -¢ 90ψ ψ

1

3

1'

2 2'

3'

δΓΓ'=90 -Γo

δ ψ'

Γ'

ψ'=90 -ψo

Γ'Γ'

ψ

Σχήμα 20 δ:

4):

=¢1 3( ) ( )δ ΓR

)ψ δR R

Επιλογή (

- -¢3 ( )ψR R

¥= - -3 1(90 ) (

¥ - +3( 90 )ΓR

74 Μιγαδικοί αριθμοί και στροφή στο επίπεδο.

2.7 Μιγαδικοί αριθμοί και στροφή στο επίπεδο

P Ένας διαφορετικός τρόπος για να παραστήσουμε ένα σημείο στο επίπεδο, μεκαρτεσιανές συντεταγμένες x και y , είναι μέσω ενός μιγαδικού αριθμού

= +z x i y (89)

όπου = -1i είναι η φανταστική μονάδα. Αν και είναι οι πολικές συντε-r θταγμένες του ίδιου σημείου, τότε ισχύουν οι σχέσεις = cosx r θ , sin=y r θ και ο μιγαδικός αριθμός που παριστάνει το σημείο παίρνει την εναλλακτική μορφή

(90)

Οι συντεταγμένες

= + = + =(cos sin ) iθz x i y r θ i θ r e

¢x , ¢y ύστερα από στροφή του συστήματος αναφοράς κατά γωνία , δίνονται από τις σχέσεις

, ψ (91)

ενώ το σημείο παριστάνεται στο νέο σύστημα από τον μιγαδικό αριθμό

¢ ¢ ¢ cos sin sinz x i y x ψ y ψ i x ψ

=

=

Επομένως η στροφή των αξόνων κατά γωνία παριστάνεται από τον πολλα-λασιασμό

ια την παραγώγιση ως προς την πολική γωνία ισχύε

ψ

= +¢ cos sinx x ψ y ψ = - +¢ sin cosy x ψ y

= + = + - + =cosi y ψ

= + - +cos cos sin sin cos sin sin cosr θ ψ r θ ψ i r θ ψ i r θ ψ

= + + - +(cos cos sin sin ) ( cos sin sin cos )r θ ψ θ ψ ri θ ψ θ ψ

= - + - =[cos( ) sin( )]r θ ψ i θ ψ

- - -= = =( )i θ ψ iψ iθ iψr e r e e e z (92)

ψπ

-=¢ iψz e z (93)

με τον μιγαδικό αριθμό - = -cos siniψe ψ i ψ , ο οποίος παίζει στην περίπτωση αυτή το ρόλο του πίνακα στροφής ( )ψR .

Γ ι θ


∂ ∂= =

θ

ν λάβουμε υπόψη ότι

=∂ ∂

iθiθz e

r re i i zθ

(94)

= + = + ◊ =2 cosΑ sin προκύπτει επίσης 0 1πi π π

e i i i , τότε

ότι η παραγώγιση αντιστοιχεί σε στροφή κατά γωνία

2 2

2π

:

∂ = =∂

2πiz

i z e zθ

. (95)

Κεφάλαιο 2: Βασικές...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 2: Βασικές...